Grundlagen der Elektronik [2. Auflage, Reprint 2021] 9783112532140, 9783112532133

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Albrecht Rost Grundlagen der Elektronik

Grundlagen der

Elektronik von

Albrecht Rost 2. Auflage

Mit 308 Abbildungen und 43 Tabellen

Akademie-Verlag Berlin 1988

Verfasser: Dr. rer. nat. Albrecht Rost Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Sektion Physik

ISBN 3-05-500052-8 Erschienen im Akademie-Verlag Berlin, DDR-1086 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 © Akademie-Verlag Berlin 1983 Lizenznummer: 202 . 100/511/88 Printed in the German Democratic Republic Satz: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 5820 Bad Langensalza Druck: VEB Druckhaus Kothen Buchbinderische Verarbeitung: VEB Druckerei „G W. Leibniz", 4450 Gräfenhainichen Einbandgestaltung: Rolf Kunze Lektor. Dipl.-Phys. Ursula Heilmann Hersteller Christoph Neubarth LSV 1154 Bestellnummer: 7 6 3 1 0 6 1 (6698) 04800

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch entstand auf der Grundlage der Vorlesung „Elektronik", die vom Verfasser für Studenten der Fachrichtung Physik im zweiten Studienjahr an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg gehalten wird. Es ist daher vor allem für Studierende dieser Fachrichtung gedacht. Das Buch soll die Lehrveranstaltungen zum Fachgebiet Elektronik begleiten und den Studenten die Möglichkeit geben, den in Vorlesungen, Übungen und Praktika dargebotenen Stoff nachzuarbeiten und zu vertiefen. Darüber hinaus wendet es sich aber auch an alle Studierenden sonstiger naturwissenschaftlicher und technischer Fachrichtungen sowie an andere Interessierte, die sich selbständig Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Elektronik erarbeiten möchten oder ergänzende Literatur zu entsprechenden Lehrveranstaltungen benötigen. Gemäß dieser Zielstellung war von vornherein eine Beschränkung sowohl hinsichtlich der Stoffauswahl als auch in der Breite der Darstellung geboten. Diese wird durch den Lehrplan für das Fachgebiet Elektronik der Grundstudienrichtung Physik vorgenommen. Auswahl und Gliederung des dargebotenen Stoffes lehnen sich daher eng an diesen Lehrplan an. In sechs Kapiteln werden folgende Themen behandelt: Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich, Schaltungen mit passiven Bauelementen, Leitungen, Halbleiterbauelemente, Analogschaltungen, Digitalsch altungen. Dabei wurde, soweit das im Rahmen dieses Buches möglich war, auch neueren Entwicklungen z. B. auf dem Gebiet der Halbleiterbauelemente oder der digitalen Schaltkreise Rechnung getragen. Daß andererseits bei dieser Auswahl die Behandlung der Elektronenröhre vollständig entfallen mußte, entspricht der Tatsache, daß sie in der Anwendung bereits überwiegend durch Halbleiterbauelemente verdrängt worden ist. Trotzdem geht der Stoff teilweise erheblich über die Forderungen des Lehrplans hinaus, vor allem hinsichtlich der Beschreibung der physikalischen Grundlagen. Damit möchte der Verfasser sowohl die unterschiedlichen Vorkenntnisse und Interessen des Lesers berücksichtigen als auch den Übergang zu weiterführenden Darstellungen bestimmter Teilgebiete erleichtern. Trotz aller bei dem begrenzten Umfang dieses Buches erforderlichen Vereinfachungen hat sich der Verfasser stets um eine physikalisch exakte und anschauliche Darstellung bemüht und sich besonders auf die praktische Anwendung orientiert.

VI

Vorwort

Die Schreibweise der Gleichungen und Symbole entspricht im wesentlichen den Empfehlungen der „Internationalen Union für reine und angewandte Physik (I.U.P. A.P.)". Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formelzeichen und Symbole soll das Arbeiten mit dem Buch erleichtern; darüber hinaus werden aber alle Symbole im Text eingeführt und erläutert. Mathematische Ableitungen werden so ausführlich gebracht, daß sie der Leser leicht nachvollziehen kann. Die Gleichungen sind, soweit erforderlich, kapitelweise fortlaufend numeriert. Die in den Textteil einbezogenen Rechenbeispiele sind nicht als Übungsaufgaben gedacht, sondern dienen ebenso wie die Abbildungen der Erläuterung und Veranschaulichung des behandelten Stoffes. Abbildungen und Rechenbeispiele sind in den einzelnen Kapiteln fortlaufend numeriert. Bei den besprochenen Schaltungen wurde ein Bezug auf konkrete Bauelemente (z. B. durch die Angabe von Daten oder Kennlinien) vermieden, da dieser aufgrund der schnellen Entwicklung bald nicht mehr aktuell wäre. Die wenigen in dieses Buch aufgenommenen Angaben über technische Daten und Kennlinien von Bauelementen dienen lediglich als Beispiele zur Veranschaulichung allgemeiner Aussagen. Auf ein ausführliches Literaturverzeichnis wurde verzichtet und nur eine Auswahl an ergänzender und weiterführender Literatur angegeben, die aber keine Wertung darstellt und keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit erhebt. Aus der großen Zahl der zu diesem Fachgebiet erschienenen Bücher wurden nur deutschsprachige und davon in erster Linie die berücksichtigt, die dem Verfasser zur Verfügung standen. Abschließend sei es dem Verfasser gestattet, allen den Kollegen zu danken, die die Arbeit an diesem Buch durch Diskussionen und kritische Hinweise gefördert haben. Sein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. H . PFEIFER und Herrn Dr. W. H E I N K von der Karl-Marx-Universität Leipzig, Herrn Dr. G. BOHCHHARDT, . jetzt V E B Keramische Werke Hermsdorf, und Herrn Dipl.-Phys. G. TSCHUCH von der MartinLuther-Universität für die kritische Durchsicht des Manuskriptes und die sich daraus ergebenden Hinweise. Gedankt sei aber auch dem Akademie-Verlag, insbesondere der Lektorin Frau Dipl.-Phys. U. HEILMANN, für die gute Zusammenarbeit und die Bemühungen, allen Vorstellungen und Wünschen hinsichtlich der Gestaltung dieses Buches gerecht zu werden. Halle, im März 1982 ALBRECHT R O S T

Inhalt

1.

Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich

1

1.1. 1.1.1.

Grundgesetze des elektrischen Stromkreises Elektrischer Strom — OHMsches Gesetz

1 1

1.1.2.

KmcHHOFFSche Regeln

3

1.1.3. 1.1.4.

Ersatzspannungsquelle u n d Ersatzstromquelle Anpassung

6 7

1.2.

K o m p l e x e Darstellung elektrischer Größen

9

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6.

Die Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen u n d Wechselströme . . Symbolische (komplexe) Schreibweise Komplexer Widerstand Zeigerdiagramm Ortskurve Übertragungsfunktion

9 10 11 13 15 19

1.3.

Signale u n d S p e k t r e n

20

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.4.1.' 1.3.4.2. 1.3.4.3. 1.3.5. I.3.5.I. 1.3.5-2. 1 -3-5-3. 1.3.5.4.

FouRiER-Transformation E n t s t e h u n g höherer H a r m o n i s c h e r Modulation D a s Einschaltproblem Sprungantwort und Stoßantwort Lösung des Einschaltproblems bei b e k a n n t e r Ü b e r g a n g s f u n k t i o n LAPLACE-Transformation A b t a s t t h e o r e m e u n d Pulsmodulation A b t a s t t h e o r e m der S p e k t r a l f u n k t i o n . Verschiebungssatz A b t a s t t h e o r e m der Zeitfunktion Pulsmodulation

20 27 28 31 31 34 37 43 43 45 46 47

2.

Schaltungen mit passiven Bauelementen

50

2.1.

Passive B a u e l e m e n t e

50

2.1.1. 2.1.1.1. 2.1.1.2. 2.1.1.3. 2.1.1.4. 2.1.1.5. 2.1.1.6. 2.1.2. 2.1.2.1.

Widerstände Festwiderstände Veränderbare Widerstände . Thermische B e l a s t b a r k e i t Rauschen Temperaturabhängige Widerstände Spannungsabhängige W i d e r s t ä n d e Kondensatoren . . K a p a z i t ä t u n d Dielektrizitätskonstante

52 54 54 55 56 57 59 60 60

.

VIII

Inhalt

2.1.2.2. 2.1.2.3. 2.1.2.4. 2.1.3. 2.1.3.1. 2.1.3-2. 2.1.3.3. 2.1.3.4.

Ersatzschaltung des realen Kondensators Festkondensatoren Veränderbare Kondensatoren Induktivitäten Selbstinduktion und Gegeninduktion Aufbau und Eigenschaften von Induktivitäten Induktivität mit Luftspalt Transformator

62 63 65 65 65 66 69 71

2.2. 2.2.1. 2.2.1.1. 2.2.1.2. 2.2.1.3. 2.2.1.4. 2.2.1.5. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.3.1. 2.2.3.2. 2.2.3.3. 2.2.3.4. 2.2.3.5.

Lineare passive Netzwerke Siebschaltungen Hochpaß Tiefpaß BoDE-Diagramm Übertragung von Rechteckspannungen Bandpaß und Bandsperre Phasenschieber Schwingkreise Serienschwingkreis Parallelschwingkreis Parallelschwingkreis mit Spulenverlusten 'Der nichtstationäre Zustand Gekoppelte Schwingkreise

74 74 75 76 77 79 84 86 88 88 90 92 92 94

2.32.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4.

Vierpole Vierpolgleichungen und ihre Matrixdarstellung Zusammenschalten von Vierpolen Übertragungsfunktionen und Wellenwiderstand 'Vierpolersatzstrukturen

96 96 99 101 103

3.

Leitungen

106

3-1. 3-1.1. 3.1.2. 3.1.33.1.4.

Vorgänge auf Leitungen Leitungsgleichungen und Wellenparameter Ausbreitungsgeschwindigkeit Reflexionsfaktor und Stehwellen Verhältnis Impedanztransformation

3.2. 3-2.1. 3-2.2. 3.2.3.

Anwendungen von Leitungen Anpassung Leitungen als Resonatoren Schalt verhalten von Leitungen. .

106 .107 109 111 112 116 117 119 120

3.3.

Spezielle Leitungen

123

3.3-1. 3-3.2. 3.33.

Paralleldrahtleitung Koaxialleitung Hohlleiter

123 123 124

4.

Halbleiterbauelemente

127

4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3.

Grundlagen Bändermodell und Besetzungswahrscheinlichkeit Eigenleitung Störstellenleitung

127 127 130 133

Inhalt

IX

4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4.

Bauelemente mit homogenem Halbleiter Halbleiterthermoelement Fotowiderstand HALL-Generator GUNN-Diode

136 136 137 137 139

4.3.

^w-übergang

140

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. 4.3.6. 4.3.7. 4.3.8.

Verhältnisse am stromlosen ^«-Übergang Berechnung der Diffusionsspannung Sperrschichtweite Stromdurchflossener ^w-Übergang Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie. Reale Diodenkennlinie Ersatzschaltung einer Diode Übergangsverhalten

4.4.

Halbleiterdioden

158

4.4.1. 4.4.1.1. 4.4.1.2. 4.4.1.3. 4.4.1.4. 4.4.1.54.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5. 4.4.6. 4.4.7. 4.4.8. 4.4.8.1. 4.4.8.2. 4.4.8.3-

Gleichrichtung Gleichrichtergrundschaltungen Gleichrichter mit Ladekondensator Spannungsvervielfacher Gleichrichtung bei hohen Frequenzen und Schalteranwendungen Technische Ausführungsformen von Gleichrichterdioden Z-Dioden Kapazitätsdioden Tunneldioden Fotodioden Lumineszenzdioden Metall-Halbleiter-Übergang Spezialdioden Speicherschaltdiode Lawinenlaufzeitdiode ^¿«-Diode

158 159 161 162 163 164 166 168 169 172 173 174 176 176 177 177

4.5-

Bipolartransistor

178

4.5-1. 4.5.2. 4.5.34.5.3.1. 4.5-3.2. 4-5-3-3-

Wirkungsweise des Transistors Transistorgrundschaltungen und ihre Gleichstromkenngrößen Beschreibung der Kleinsignaleigenschaften Beschreibung des Transistors durch Vierpolparameter Transistorkennlinien Physikalische Ersatzschaltung des Transistors in Emitterschaltung für tiefe Frequenzen Transistorkapazitäten — die vollständige Ersatzschaltung Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung Der Transistor als Verstärker — die allgemeinen Kleinsignalbetriebseigenschaften Betriebsstromverstärkung .' . Betriebsspannungsverstärkung Betriebseingangswiderstand Betriebsausgangswiderstand Übergangsverhalten

178 180 181 182 184

4.5.3.4. 4-5-3-54-5-4. 4.5-4.1. 4-5-4.2. 4-5-4-3. 4.5-4.4. 4.5.5.

•

. . -

140 142 144 146 149 152 155 157

185 187 188 190 191 191 192 192 194

X 4.5-6. 4.5-7-

Inhalt Temperaturabhängigkeit des Transistors Grenzwerte

195 196

4.6.

Feldeffekttransistoren (FET)

197

4.6.1. 4.6.2. 4.6.2.1. 4.6.2.2. 4.6.3. 4.6.3.1. 4.6.3.2. 4.6.4. 4.6.5.

Übersicht über di^ FET-Typen Sperrschicht-FET Aufbau und Wirkungsweise Kennlinien Isolierschicht-FET Aufbau und Wirkungsweise : Kennlinien Ersatzschaltung und Vierpoldarstellung der F E T MISFET-Tetrode

197 198 198 199 200 200 202 203 203

4.7. 4.7.1. 4.7.2. 4.7.3.

Thyristor Aufbau und Wirkungsweise Dynamische Eigenschaften Thyristoranwendungen

204 204 206 208

5.

Analogschaltungen

209

5.1. 5.1.1. 5.1.1.1. 5.1.1.2. 5.1.1.3. 5.1.1.4. 5.1.1.5. 5.1.1.5-1. 5.1.1.5.2. 5.1.1.5.3. 5.1.1.6. 5.1.2. 5.1.2.1. 5.1.2.2. 5.1.3. 5.1.3.1. 5.1.3.2. 5.1.3.3. 5.1.4. 5.1.4.1. 5.1.4.2. 5.1.5. 5-1 -5-1 • 5-1-5-2. 5.1.5.3.

Transistor-Kleinsignalverstärker 209 Emitterschaltung 209 Ausgangskennlinien und Arbeitsgerade 210 Einstellung des Arbeitspunktes . . . 211 Vollständige Emitterschaltung und ihre Ersatzschaltung für niedrige Frequenzen 214 Die Betriebsgrößen der Emitterschaltung 215 Emitterschaltung bei sehr tiefen Frequenzen 217 Einfluß des Emitterkondensators 218 Einfluß der Koppelkondensatoren 219 Dimensionierung der vollständigen Emitterschaltung 220 Emitterschaltung bei höhen Frequenzen 221 Basisschaltung 222 Vollständige Basisschaltung und ihre Ersatzschaltung 222 Die Betriebsgrößen der Basisschaltung 223 Kollektorschaltung 224 Vollständige Kollektorschaltung und ihre Ersatzschaltung 224 Die Betriebsgrößen der Kollektorschaltung 225 Bootstrapschaltung 226 Mehrstufige Verstärkerschaltungen • . . 227 RC-Verstärker in Kettenschaltung 227 DARLiNGXON-Schaltung • 228 Differenzverstärker 230 Ersatzschaltung und Betriebseigenschaften 231 Differenzverstärker mit Konstantstromquelle im Emitterkreis 233 Offsetverhalten . .234

5.2. 5.2.1. 5.2.1.1. 5.2.1.2. 5.2.2.

Transistor-Großsignalverstärker Leistungsverstärker .4-Verstärker Gegentakt-B-Verstärker Transistor als Schalter

235 235 236 237 239

Inhalt

XI

5-3-

Rückkopplung

242

5-3-1. 5-3-1.1. 5.3.1.2. 5.3.1.3. 5.3.1.4. 5.3.2. 5.3.2.1. 5-3.2.2. 5.3.2.3.

Gegenkopplung Stabilisierung der Betriebsgrößen Vergrößerung der Bandbreite Die gegengekoppelte Emitterschaltung Die Kollektorschaltung als gegengekoppelte Schaltung Mitkopplung Die Selbsterregungsbedingung Harmonische Oszillatoren . Kippgeneratoren

243 244 244 245 250 251 251 252 254

5-4. 5-4.1. 5-4.2. 5-4-2.1. 5-4.2.2.

Schaltungen m i t Feldeffekttransistoren Einstellung des Arbeitspunktes FET-Grundschaltungen Sourceschaltung Drainschaltung

255 255 257 257 258

5-55.5.1. 5'. 5.1.1. 5-5.1.2. 5.5.1.3. 5-5-1-4. 5-5-1-4.1. 5-5-1.4.2. 5-5-1-4.3. 5-5-1-4.4. 5.5.I.4.5. 5-5-1.4.6. 5.5.1.5. 5-5-1 -5-1 5.5.1.5.2. 5-5-1 - 5-35.5.1.5.4. 5.5.1.5.5. 5.5.1.5.6. 5.5.2. 5.5.2.1. 5-5.2.2. 5.5.2.3. 5.5.2.3.1. 5.5.2.3.2. 5.5.2.3.3. 5.5.3.

Integrierte Analogschaltungen . Operationsverstärker (OV) Eigenschaften des idealen OV Der ideale OV als Spannungsverstärker Kenngrößen und Grenzwerte realer OV Einfluß der Eigenschaften eines realen OV Einfluß der endlichen Leerlaufverstärkung Einfluß des endlichen Eingangswiderstandes Einfluß des Ausgangswiderstandes E i n g a n g s - u n d Ausgangswiderstand der Schaltung Der reale nichtinvertierende Verstärker Kompensation der Offsetgrößen Anwendungsbeispiele Analoge Rechenschaltungen Mittelwertbildner Impedanzwandler Gleichrichter • Komparator Signalgeneratoren Multiplizierer Logarithmier-Delogarithmier-Multiplizierer Multiplizierer mit veränderlicher Steilheit Anwendungsbeispiele Analoge Rechenschaltungen Regelbarer Verstärer Effektivwertmesser Integrierte Spannungsregler

260 261 261 262 264 266 266 267 268 268 269 270 271 272 275 276 277 278 281 282 283 283 284 284 285 285 286

6.

Digitalschaltungen

6.1.

Grundlagen und logische Grundgesetze

6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4.

Digitale und analoge Signale Zahlensysteme Codierung Boolesche Algebra . .-

.

. 289 289 '

289 290 .291 292

XII

Inhalt

6.1.4.1. 6.1.4.2. 6.1.4.3. 6.1.4.4. 6.1.56.1-5-16-1-5-2.

Logische Operationen Rechenregeln Schaltalgebra Minimierung Logische Grundfunktionen Einstellige Grundfunktionen Zweistellige Grundfunktionen

'

293 295 299 300 303 . . . . 303 304

6.2.

Schaltkreissysteme

6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.56.2.6. 6.2.7.

Charakteristische Kenngrößen Dioden-Transistor-Logik (DTL) Transistor-Transistor-Logik (TTL) Emittergekoppelte Logik (ECL) Integrierte Injektionslogik (I 2 L) MOS-Logikschaltungen Vergleich der Schaltkreissysteme

307 309 310 311 313 314 315

6.3.

Grundelemente u n d Schaltungen der Digitaltechnik

317

Rechenschaltungen Binäraddition Binärsubtraktion Binärmultiplikation und Binärdivision Astabiler Multivibrator . . Univibrator ScHMiTT-Trigger Speicher Flipflopgrundschaltungen Master-Slave-Flipflop (MS-Flipflop) Schieberegister Zähler Dynamische Speicher CCD-Speicher Speicherorganisation Codeumsetzer Multiplexer Signalumsetzer Digital/Analog-Umsetzer Analog/Digital-Umsetzer

317 31'8 320 322 323 324 325 326 327 329 330 331 333 333 334 335 337 338 338 339

6.3.1. 6.3.1.1. : 6.3.1.2. 6.3.I.3. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4. 6.3-5. 6.3.5.1. 6.3.5.2. 6.3.5.3. 6.3.5.4. 6.3.5.5. 6.3.5.6. 6.3.5.7. 6.3.6. 6.3.7. 6.3.8. 6.3.8.1. 6.3.8.2.

. 307

:

7.

Verzeichnisse

342

7.1.

Häufig verwendete Formelzeichen und Symbole

342

7-2.

Ergänzende u n d weiterführende Literatur

346

7.3.

Sachverzeichnis

349

1.

l.l.

Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich

Grundgesetze des elektrischen Stromkreises

In diesem Abschnitt werden zunächst zeitunabhängige Verhältnisse vorausgesetzt. Die Grundgesetze des elektrischen Stromkreises lassen sich dann besonders einfach und anschaulich gewinnen. Wie in den späteren Abschnitten gezeigt wird, läßt sich ihre Gültigkeit jedoch auch auf quasistationäre Stromkreise ausdehnen.

1.1.1.

Elektrischer Strom — OHMsches Gesetz ->

Wird in einem Leiter ein elektrisches Feld E aufrechterhalten, indem man z. B . die Enden des Leiters mit den Klemmen einer Batterie verbindet, so wirkt auf alle geladenen Bausteine des Leitermaterials eine K r a f t F — qE, wenn man mit q ihre Ladung bezeichnet. Die frei beweglichen Ladungsträger werden durch diese K r a f t verschoben. Sie führen eine beschleunigte Bewegung aus, bis sie mit einem anderen Baustein zusammenstoßen und dabei ihre Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung ändern. Makroskopisch erscheint die Bewegung der Ladungsträger als Bewegung in einem reibenden Medium mit einer konstanten mittleren Driftgeschwindigkeit v D , deren Größe der Feldstärke proportional ist: vD = ( i E .

(1.1)

Der Proportionalitätsfaktor [i heißt Beweglichkeit. Die Gesamtheit der sich unter Feldeinfluß pro Zeiteinheit durch einen Leiterquerschnitt A bewegenden Ladungsträger ergibt einen elektrischen Strom I = AQ/At. Aus A b b . 1.1 liest man ab, daß in der Zeit At alle im Volumen AvDAt enthaltenen Ladungsträger durch den zur Feldrichtung senkrechtein Querschnitt A fließen; sie bilden die Ladung AQ = qntAvDAt (nl Anzahl der freien Ladungsträger pro Volumeneinheit = Trägerdichte). Für den Strom gilt also I =

= nlqAvD = nßnAE

— nß/i — U .

J Abb. l . l . Zur Berechnung der Leitfähigkeit

(1.2)

2

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

Bei konstanter Beweglichkeit ¡1 und TrägercUchte nl besteht demnach ein linearer Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung, den man als OHMSches Gesetz bezeichnet. Man schreibt das in der Form i = L ü = a j Ü .

(1.3)

Die Größe R = IjoA nennt man den ohmschen Widerstand, der außer von den geometrischen Abmessungen des Leiters von der Leitfähigkeit a — nflfi des Leitermaterials abhängt. Bei Metallen ist die Anzahl der freien Ladungsträger (Elektronen) praktisch unabhängig von der Temperatur gleich der Anzahl der Atome. Dagegen* hängt die Driftbeweglichkeit von der Temperatur ab, da mit wachsender Temperatur die Wahrscheinlichkeit von Zusammenstößen zwischen den freien Elektronen und den Gitterbausteinen zunimmt. Die Leitfähigkeit nimmt also mit wachsender Temperatur ab, d. h., der Widerstand nimmt zu. Bei Eigenhalbleitern steigt, wie später noch gezeigt werden wird, die Trägerdichte mit wachsender Temperatur stark an. Dieser Einfluß überwiegt die Abnahme der Beweglichkeit, so daß ihre Leitfähigkeit mit steigender Temperatur wächst. Die Abhängigkeit des elektrischen Widerstandes von der Temperatur beschreibt man in erster Näherung durch den linearen Temperaturkoeffizienten T KR

s

= i ^ . RA&

(1.4)1

In Tab. 1 sind die Leitfähigkeiten und Temperaturkoeffizienten einiger für die Elektrotechnik wichtiger Metalle zusammengestellt. Tabelle 1 Leitfähigkeit und mittlerer linearer Temperaturkoeffizient einiger Metalle (bei 20 °C)

/106 I am

/ 1CT3 I K

Stoff

al

TKJ

Gold Aluminium Silber Kupfer Platin Nickelin Manganin Konstantan Chromnickel

45,5 35,9 61,3 57 9,3 3,33 2,32 2,0 1,0

4,0 4,0 4,1 3,87 3,98 0,11 0,02 -0,03 0,2

1 . 1 . 2 . KiRCHHOFFSche R e g e l n

3

A b b . 1.2. Z u r l . KiRCHHOFFSchen R e g e l

1.1.2.

KmcHHOFFsche R e g e l n

In einem verzweigten Stromkreis lassen sich unmittelbar aus der Anschauung zwei Gesetze ableiten, die man als KmcHHOFFsche Regeln bezeichnet. In einem Verzweigungspunkt (Knoten) gilt die 1. KiRCHHOFFsche Regel (Knotenpunktsatz): Die Summe aller zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller abfließenden Ströme. Dieses Gesetz folgt aus dem Satz von der Erhaltung der Ladung. Bezeichnet man alle zum Knoten fließenden Ströme als positiv und die abfließenden als negativ, dann gilt (Abb. 1.2)

E K = 0•

(4-5)

n

Für einen geschlossenen Strompfad mit beliebig vielen Verzweigungspunkten (Masche) gilt die 2. KiRCHHOFFsche Regel (Maschensatz): Die Summe aller Spannungsabfälle ist gleich der Summe der Quellenspannungen. Dieses Gesetz folgt aus der 2. MAXWELLschen Gleichung. Als Quellenspannung bezeichnet man dabei die Spannung, die an den Klemmen einer Spannungsquelle gemessen wird, wenn man ihr keinen Strom entnimmt, d. h., die Quellenspannung ist gleich der Leerlauf Spannung (s. auch 1.1.3. und 1.1.4.). Bei den Spannungsabfällen müssen auch die an den Innenwiderständen der Spannungsquellen berücksichtigt werden. Bezeichnet man die im (willkürlich festgelegten) Umlaufsinn der Masche fließenden Ströme als positiv, entgegengesetzt fließende als negativ und zählt man die Quellenspannungen entsprechend, so gilt (Abb. 1.3)

E lmRm = EU, m

(1.6)

n

A b b . 1.3. Z u r 2. KiRCHHOFFSchen R e g e l

4

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

rö^n Abb. 1.4. Parallelschaltung von Widerständen

Die Anwendung dieser Regeln auf beliebige Stromkreise liefert mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte und gestattet daher die vollständige Berechnung der Ströme bei gegebenen Spannungen und Widerständen. Die berechneten Ströme haben dann einen positiven Wert, wenn ihre anfangs willkürlich festgelegte Richtung mit der tatsächlichen übereinstimmt. Als besonders wichtige Fälle seien die Parallelund die Serienschaltung von Widerständen betrachtet. Für die Parallelschaltung (Abb. 1.4) ergibt sich im Knoten P2 aus (1.5) 7i + 4 - / = 0 .

(1.7)

Zwischen den beiden Knoten Px und P2 liegt die Spannung U, d. h., es ist

R1

R2

Andererseits wird / durch den aus der Parallelschaltung von Widerstand R ges bestimmt:

und i?2 resultierenden

1=1-. •Rges Dann folgt aber nach Einsetzen in (1.7) und Division durch U 1 1 1 — = — + — , P P Kg« K± KP2

(1.8)

d. h., bei Parallelschaltung addieren sich die reziproken Teilwiderstände zum reziproken Gesamtwiderstand. Da man den Kehrwert eines Widerstandes als Leitwert bezeichnet, kann man auch sagen: Bei Parallelschaltung addieren sich die Teilleitwerte zum Gesamtleitwert, d. h., es ist Gges =

Gi

+

•

Bei der Serienschaltung folgt aus Abb. 1.5 mit (1.6) / X + I R 2 = Ü = /¿?ges

Abb. 1 . 5 . Serienschaltung von Widerständen

(1.8 a)

1 . 1 . 2 . KiRCHHOFFSche R e g e l n

4

5

yy/j, B

A b b . 1.6. Zu Beispiel 1 . 1 :

WHEATSTONE-Brücke

und daraus unmittelbar flj

+

=

flges,

(1.9)

d. h., bei Serienschaltung addieren sich die Teilwiderstände zum Gesamtwiderstand. Beispiel l .1. Berechnung des Querstromes einer WHEATSTONE-Brücke mit Hilfe der KiRCHHOFFsdien R e g e l n .

In Abb. 1.6 ist eine WHEATSTONE-Brücke dargestellt, wie sie zur Messung von Widerständen benutzt wird. Zunächst wird davon ausgegangen, daß der Gesamtstrom I der Brücke gegeben ist. Dann ergibt sich folgendes,Gleichungssystem: (Knoten A) (Knoten D) (Knoten C) (Masche ADC) (Masche BCD)

/j, I1 -

+

h

I2

ÄJ/J R2I2

*+

Ig

= I, = 0,

I3 /4 Ig = 0 , - R3I3 - RgIg = 0 , - RJt + RgIg = 0 .

D i e A n w e n d u n g der KRAMERSchen R e g e l liefert daraus

e

I

Rg(Ri + R2 + R3 + Rt) + (Ä, + R3) (R2 + Rt)

Nimmt man dagegen die Batteriespannung U als gegeben an, so ist die erste Gleichung des Gleichungssystems zu ersetzen durch (Masche ADB)

R^

+ R2h = Ü ,

und damit ergibt sich RxRt — R2R3 + Ä2) (R3 + Ä4) +

+ Ä2Ä3i?4 + R^Rx

+

Die Brücke ist abgeglichen, wenn I g — 0 ist. Daraus folgt die Abgleichbedingung

2

R2

Rost, Elektronik

Ä4

Ä^-R*

6

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

1.1.3-

Verändert man in einem linearen N e t z w e r k 1 einen Widerstand, so verändern sich i. allg. die Ströme in allen Zweigen. Die Berechnung des neuen Stromes durch den veränderlichen Widerstand mit Hilfe der KiRCHHOFFschen Regeln ist zwar möglich, aber umständlich. N a c h dem Satz von HELMHOLTZ ist die Darstellung des gesamten Netzwerkes mit Ausnahme

des veränderlichen Widerstandes durch eine E r s a t z -

spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U'L und dem Serieninnenwiderstaiid i?,oder durch eine Ersatzstromquelle mit dem K u r z s c h l u ß s t r o m 2 l ' K und dem gleichen Innenwiderstand R\ in Parallelschaltung möglich. Bezeichnet man die Anschlußklemmen des veränderlichen Widerstandes mit a und b, so ist die Spannung U'L der Ersatzspannungsquelle gleich der Leerlaufspannung zwischen den K l e m m e n a und b, während sich R'i als Widerstand zwischen diesen K l e m m e n ergibt, wenn man alle im N e t z w e r k enthaltenen Spannungsquellen kurzschließt und alle Stromquellen durch offene Leiterzweige ersetzt. Der Strom l' K der Ersatz'stromquelle ergibt sich als K u r z schlußstrom zwischen den K l e m m e n a und b. Demnach gilt zwischen den Größen der Ersatzschaltung die Beziehung i

(1.10)

Ri

=

I'K

Mit diesen Werten kann der Strom über den veränderlichen Widerstand R a einfach angegeben werden: _ U'L R't (i.ii) = Ik R\ + R a Beispiel 1.2. Berechnung der Ersatzstromquelle und der Ersatzspannungsquelle für ein gegebenes Netzwerk (Abb. 1.7). J, J, _ R*

J,

•n

»-

fS

i

/

b

R;

iV

f>„ / ß b

Abb. 1.7. Lineares Netzwerk mit Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle 1

2

Man spricht in diesem Sinne von einem linearen Netzwerk, wenn es nur aus linearen Widerständen aufgebaut ist, d. h., wenn für alle Widerstände das OHMSche Gesetz gilt. Zum Begriff des linearen Widerstandes und des linearen Netzwerkes s. Kap. 2. Eine Spannungsquelle liefert bei kurzgeschlossenen Ausgangsklemmen den Kurzschlußstrom IK, der durch ihre Leerlaufspannung IJL und ihren Innenwiderstand Ri bestimmt wird: hi

=

El Ä. ' \

1.1.4. Anpassung

7

Bei offenen Klemmen a und b gilt

+ 12R2

= U,

/2Ä2 + I3R3 + I.R, = Ü , /"

+ I3

- I2

-

/„

= + Ä

0,

= 0.

Aus diesem Gleichungssystem lassen sich I 2 und / 3 nach der

KRAMERSchen

Regel berechnen:

R1 + R3 + Ä4 {R1 + R2) (R~+ R~)~ '

2 =

I,=

U

1 R

t

R

2

+

(R

t

+

Ä

2

)

(R

3

+

Ä4)

Damit folgt für die Ersatzleerlaufspannung U'L nach (1.6)

Ul =

+ i3R3 = t/

:

R^Rz + Ä3) + R2(R3 + Rt) + + R2) (Ä3 + Ä4)

Für den Ersatzinnenwiderstand gilt (bei kurzgeschlossener Spannungsquelle U) nach (1.8) und (1 9)

Ä; = (ä, ii R2 + R3) II Ä4 _ ß 4

+ R2R3 + Ä3i?i R,R2 + (Ä, + R2) (R3 + i?7) •

Schließlich findet man bei Kurzschluß zwischen den Klemmen a und b (Ra = 0) das Gleichungssystem

IfRi + I$R2 IfR!

f*

= Ü,

+

_ ff

1'iR,

_}*

=

=

/fÄ4, =

Ü, o,

Ü.

Daraus berechnet man

Ii = U --

R.

RiRz + ÄJ7?3

und nach (1.5)

f =I*+I*

1.1.4.

= Ü R l { R * + Ä 3 ) + R*{R* + R t ) Ri(R1R2 + R2R3 + Ä3Äj)

Anpassung

Wir betrachten die Zusammenschaltung einer Spannungsquelle mit einem Verbraucher (Abb. 1.8) und fragen, unter welcher Voraussetzung dem Verbraucher die maximale Leistung P„ m a x zugeführt wird. In diesem Fall sagt man, daß der Verbraucher an die Spannungsquelle angepaßt ist. Da bei Belastung am Innenwiderstand der Spannungsquelle ein Spannungsabfall auftritt, ist die Klemmenspannung Uk lastabhängig. Sie 2

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

8

Abb. 1.8. Zur Definition von Klemmenspannung und Leerlaufspannung

beträgt (s. Abb. 1.8) ük

üL

=

(1.12)

+ Ra

Ri

d. h., im Kurzschluß (Ra = 0) ist die Klemmenspannung Null, und sie nimmt für Ra oo (Leerlauf) ihren maximalen Wert, die Leerlaufspannung UL an. Für die an den Verbraucher abgegebene Leistung gilt TJ2

P. =

R.

=

(1.13)

{Ri + Ra)

Die Ausgangsleistung Pa ist also eine Funktion des Lastwiderstandes Ra. Zur Bestimmung des Maximums von Pa wird die Nullstelle der 1. Ableitung der Funktion Pa = f(Ra) ( s . (1.13)) aufgesucht. Die Gleichung d P a fRi R„ 2 = 0 — UL d R, (Ri + Ra)3 —

liefert Rs = Ra. Das Einsetzen dieses Wertes in die 2. Ableitung ergibt d *Pa = dÄ?

-¡fr

+ Ra)3 -HR,-

Rtt) {Rt + Ra)«

(Ri + Ra)"

- ~

ü l

m

< 0

-

d. h., der berechnete Extremwert ist ein Maximum. Also gibt die Spannungsquelle im Anpassungsfall Ri = Ra die maximale Leistung p a max = ul 4i? ;

(1.14)

A

an den Verbraucher ab (Abb. 1.9). V Po

0,5 Abb. 1 9. Ausgangsleistung und Wirkungsgrad Spannungsquelle als Funktion des Lastwiderstandes

1

l

3

i

5 Ri_

einer

1.2.1. Harmonische Zeitfunktionen

9

Allerdings ist mit dem Fall der Leistungsanpassung nicht der größte Wirkungsgrad der Spannungsquelle verknüpft. Vielmehr beträgt dieser nur 50%, da am Innenwiderstand der Spannungsquelle genau so viel Leistung umgesetzt wird wie am Verbraucher. In Abhängigkeit vom Lastwiderstand beträgt der Wirkungsgrad P n = S - =

1

(1.15)

Aus (1.15) liest man ab, daß der Wirkungsgrad, allerdings bei abnehmender Ausgangsleistung, für Ra oo dem Maximalwert f] = i zustrebt und mit abnehmendem Lastwiderstand sinkt (Abb. 1.9). Für bestimmte Betriebsfälle ist eine Überanpassung (Ra^> Ri) oder Unteranpassung (Ra Rt) zweckmäßig. Unter der Voraussetzung R{ Ra ist die Klemmenspannung praktisch unabhängig vom Lastwiderstand; man spricht von Spannungseinspeisung und bezeichnet die Spannungsquelle als Konstantspannungsquelle. Ist dagegen Ra Rit wird der Strom über Ra praktisch allein durch Ri bestimmt; man spricht von Stromeinspeisung bzw. dem Betrieb als Konstantstromquelle.

1.2.

Komplexe Darstellung elektrischer Größen

Bisher hatten wir zeitunabhängige Spannungen und Ströme angenommen. In vielen praktischen Fällen sind aber Spannung und Stromstärke zeitabhängig. Ändert sich dabei nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung dieser Größen, dann spricht man von Wechselspannungen und Wechselströmen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf die Behandlung des quasistationären Zustandes im Stromkreis. Das bedeutet, daß alle Übergangs- oder Einschwingvorgänge, wie sie z. B. nach dem Einoder Ausschalten von Spannungen auftreten, abgeklungen sind. Es werden also nur solche zeitlichen Änderungen zugelassen, bei denen die Momentanwerte von Strom und Spannung jederzeit dem eingeschwungenen Zustand entsprechen.

1.2.1.

Die Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme

Von einer harmonischen Wechselspannung spricht man, wenn man die Zeitabhängigkeit des Momentanwertes durch eine Kosinus- oder Sinusfunktion darstellen kann. Damit ergibt sich folgende Schreibweise: U = Ü cos (cot + Ri) oder Unteranpassung (Ra Rt) zweckmäßig. Unter der Voraussetzung R{ Ra ist die Klemmenspannung praktisch unabhängig vom Lastwiderstand; man spricht von Spannungseinspeisung und bezeichnet die Spannungsquelle als Konstantspannungsquelle. Ist dagegen Ra Rit wird der Strom über Ra praktisch allein durch Ri bestimmt; man spricht von Stromeinspeisung bzw. dem Betrieb als Konstantstromquelle.

1.2.

Komplexe Darstellung elektrischer Größen

Bisher hatten wir zeitunabhängige Spannungen und Ströme angenommen. In vielen praktischen Fällen sind aber Spannung und Stromstärke zeitabhängig. Ändert sich dabei nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung dieser Größen, dann spricht man von Wechselspannungen und Wechselströmen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf die Behandlung des quasistationären Zustandes im Stromkreis. Das bedeutet, daß alle Übergangs- oder Einschwingvorgänge, wie sie z. B. nach dem Einoder Ausschalten von Spannungen auftreten, abgeklungen sind. Es werden also nur solche zeitlichen Änderungen zugelassen, bei denen die Momentanwerte von Strom und Spannung jederzeit dem eingeschwungenen Zustand entsprechen.

1.2.1.

Die Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme

Von einer harmonischen Wechselspannung spricht man, wenn man die Zeitabhängigkeit des Momentanwertes durch eine Kosinus- oder Sinusfunktion darstellen kann. Damit ergibt sich folgende Schreibweise: U = Ü cos (cot + ) bekannt ist, dann gilt für die Ausgangss p a n n u n g (mit g( — nco0) — g*{nay0))

1 U2(0 = — E g{nco0) cn e,puo91

(1-34)

Beispiel 1.7. Darstellung einer Rechteckfunktion durch eine FouRiER-Entwicklung. Den in der graphischen Darstellung der Abb. 1.19 gegebenen zeitlichen Verlauf der Funktion F{t) kann man analytisch durch +A

für

T 0 < i < —,

-A

für

—< t< T

F(t) =

2

beschreiben. Damit ergeben sich die FouRiER-Koeffizienten nach (1.31) zu

J T

a

n = Y

0

F

^

C0S

(W Y ')

r/2

2 r / 2n \ = — | A cos In — 11 d2 T J \ T I 0

2A

T 2n sin I n — t T 2Tin

3 Rost, Elektronik

di

T

r 1 271 . | A cos n — 11 di T j [

2

T/2

/ 271 \ — sin In — t\

\

T

)

= 0

22

1.3. Signale und Spektren

F(th +A

2T

II

2

Abb. 1.19. Rechteckfunktion für beliebige Werte von n und b.

T

1

F(t)

sin I n

0 2A

T

T

2nn

- cos

+ cos

n

= — (1 — cos nn + cos

r/2-

2nn

—

nn

0

/ 2n \ T In — t\ T \ /

cos

nn)

für gerade n ,

4A

— für ungerade n . nn

Daraus folgt die FouRiER-Entwicklung F(t)

1 . 1 \ — sin 1oat -\ sin 3a)0i + — sm 5co8i + ••• , 3 5 / x \

4A I

d. h., die Reihe enthält nur Sinusglieder mit ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz co0. Verschiebt man den Nullpunkt der Zeitachse um eine Viertelperiode, d. h., wählt man als neue Variable t' = t + T/4, erhält man eine FouRiER-Entwicklung, die nur Kosinusglieder enthält. In Tab. 2 sind einige praktisch wichtige Funktionen und ihre FouRiER-Entwicklungen und Spektralfunktionen dargestellt. Aus diesen Beispielen kann man folgendes ablesen: — Treten in der Zeitfunktion F(t) sehr steile Anstiege auf (Tab. 2, Beispiel i, 2 und 4), dann fällt das Amplitudenspektrum zu hohen Frequenzen hin nur langsam ab. In der FouRiE^-Zerlegung der Funktion F(i) treten viele Harmonische auf, deren Amplitude einen bestimmten Minimalwert überschreitet, d. h., zur Darstellung der Funktion F{t) im Frequenzbereich benötigt man ein breites Frequenzband. — Da co — ijT ist, wird der Frequenzabstand der Harmonischen mit wachsender Periode T immer geringer, und f ü r den Grenzfall T 00, d. h., f ü r eine nichtperiodische Zeitfunktion geht das Linienspektrum in ein kontinuierliches Spektrum über. Aus der zweiten Feststellung folgt, daß dann in der analytischen Darstellung an die Stelle der Summation eine Integration t r i t t ; (1.30) und (1-31) gehen also über in 00 F(t) = f (a cos ü)t + b sin (ot) dw 0

(1.35)

23

1.3-1- FouRiER-Transformation Tabelle 2 Zeitfunktion, FouRiER-Zerlegung und Amplitudenspektrum einiger wichtiger Funktionen

0 1 +A F(t)

für

0 < /
s und co, + A(os. Zur Übertragung eines AM-Signales benötigt man daher eine Bandbreite B = 2 Afs

(Afs =

(1.50)

Acoj2n).

Bei der Frequenzmodulation (FM) wird die Trägerfrequenz co, durch die Zeichenfrequenz tos moduliert. Im Zeigerbild bedeutet das, daß der Zeiger / F M nicht mehr mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umläuft. Das Argument cott muß also ersetzt werden durch / (a), + Ao>t cos a>st) dt = œtt + — - sin cost,

o

cos

1.3.4. Einschaltproblem

31

wobei Aco, die maximal auftretende • Frequenzänderung — der Frequenzhub — ist. Damit ist ~ / Aco \ 7fm = It ( H sin cot)

\

= 1,2

—00

/

In(mF) sin (co, + na>s)t.

(1.51)

Die Amplituden I„{mF) der einzelnen Teilströme werden durch die BESSEL-Funktionen w-ter Ordnung vom Argument mF = Acojcos = AHjfs dargestellt (mF heißt Phasenhub oder Modulationsindex, AH ist der Frequenzhub in Hz). In der Praxis rechnet man damit, daß die zur Übertragung eines FM-Signals erforderliche Bandbreite mindestens B ^ 2{AH + Afs)

(1.52)

beträgt, also um 2AH größer ist als die für ein entsprechendes AM-Signal. Der Frequenzhub Aco, ist unabhängig von der Signalfrequenz [Am, wird beim UKW-Rundfunk z. B. durch die Lautstärke bestimmt), während der Phasenhub m F der Signalfrequenz umgekehrt proportional ist. Die Phasenmodulation (PM) läßt sich mathematisch ähnlich wie die Frequenzmodulation darstellen: Im = It

sin

W

+ A

) =

— 2

=

_

4 Z C„ „=-oo-Ä

—2jr

•/ ]\W

7

Z

ä

n = — oo

e-»(—

\ 2

; Sl(cO-

H7C |,

(1.64.1) (1.64.2)

Die Spektralfunktion c(co) wird also aus den einzelnen Probenwerten ein • 2 n l T ) aufgebaut, wobei die si-Funktion zwischen diesen Probenwerten interpoliert. In diesem Sinne bezeichnet man das Abtast-theorem auch als Probensatz der Spektralfunktion. Berechnung der Spektralfunktion des Signals F ( t ) — ?7sin2eo5i(0:££f£ = Jt/cus) mittels FoURiER-Transformation und nach dem Abtasttheorem. Mit Beispiel'l.ii.

1 /

sin2 x = — (1 — cos 2x) = — ! 1 2 \ und nach (1.38) ist

U

— 2

—]'a>

Te

2

sicu

T

1

2

1

;

1

T2

—.

coTV 2n

/

2

T

si oi re 2 \ 2

T

S1CU

I

-j'2*

1 g—;(o>+20t

2

_ 1 . e—j(n + l)a>i,< di. 2

e-/(«—l)to0i

Daraus ergibt sich U

A

c

0

=

c„ = 0

Cj = - — = c_! ,

U ,

für \n\ > 1 .

Einsetzen dieser Werte in (1.64) liefert C{(0)

U u

^

= — 7e

T

—im -irn

r

lT

z

.

T

1

. /

T

\

1

. /

T

\

s i ( o — + — s i l a > — — s r l - f — s i l c o — + 7tl

also das gleiche Ergebnis wie oben. 1.3.5.2.

Verschiebungssatz

Häufig ist der Existenzbereich einer zeitbegrenzten Funktion anders als im vorangegangenen Abschnitt festgelegt. Es ist zu untersuchen, wie sich das auf die Spektralfunktion auswirkt. Das Signal setze nicht zur Zeit t = 0, sondern zur Zeit t' = t — t0 ein. Da das Signal sonst gleich sein soll, gilt F(t) = F(t') für t = /'. Für die Spektralfunktion des zeit verschobenen Signals liest man aus Abb. 1.32 ab: 00

¿ H k =/F(t

-/0)e-'«!di

u =

f F { t ' )

=

e~'at°f

dt'

F ( t ' ) e~iat'dt'

.

0

Abb. 1.32. Zum Verschiebungssatz

46

1.3. Si gnale und Spektren

Abb. 1-33- sin2-Impuls und seine spektrale Verteilungsfunktion Nun ist aber offensichtlich unter den angenommenen Voraussetzungen

oo

oo

/ F{t')

0 d. h., es gilt

e~'mt'

dt'

=

/ F[t)

0

e~lat

dt =

c(co) ,

c(»)| ( | = e-'"'c(tü).

(1.65)

Die spektrale Verteilungsfunktion der um t0 zeitverschobenen Funktion F(t') geht also aus der ursprünglichen einfach durch eine Phasendrehung um den Winkel cot hervor (s. auch Tab. 3, Nr. 6). 0

Beispiel

1.12.

Berechnung der Spektralfunktion der Zeitfunktion F(t') — U sin2 mst' t0 = t — t' = — T/2) aus dem Ergebnis von Beispiel 1.11 mittels des Ver-

(0 5S SS nja>s\ schiebungssatzes. Aus dem Ergebnis von Beispiel 1.11 folgt mit (1 65) sofort T +]o> c(co)

C_{(o)\_Tß U • T

2

si

1-

nfT (fT)2

In Abb. 1.33 ist die Zeitfunktion F(t + T/2) und die zugehörige Spektralfunktion dargestellt.

1.3.5.3.

Abtasttheorem der Zeitfunktion

Eine analoge Aussage wie für die Spektralfunktion kann man für die Zeitfunktion im Abtasttheorem der Zeitfunktion formulieren: Wenn eine Spektralfunktion c{m) nur in dem Frequenzbereich 0 ^ / 2B existiert, so ist die zugehörige Zeitfunktion F(t) vollständig durch die Werte F(tm) bestimmt, die man der Zeitfunktion als Probensignale zu den Zeiten tm — m\2B [m — 0, 1, 2,...) entnimmt. Formal kann man die spektrale Verteilungsfunktion c(co) über ihren Existenzbereich 0 fS / ^ 2B hinaus periodisch fortsetzen und diese so gewonnene periodische Funktion Cp{u>) durch eine FouRiER-Entwicklung darstellen: A

+OO

Z m— —00

a>

-1 -3-5- Abtasttheoreme und Pulsmodulation

mit

47

2B

c-m=h J£p{(0) 0

e

'M^d/

(s. (-1-32) und (1-33); die veränderten Vorzeichen der Exponenten ergeben sich, weil bereits eine FouRiER-Transformierte ist). Andererseits ergibt sich die Zeitfunktion F(t) als FouRiER-Integral der Spektralfunktion (Gl. (1-37)) zu Cp(co)

F(t) =

+00 / c(co) e'™' d f . —00

Da nun c(w) nur im Intervall 0 / 2B definiert ist, andererseits aber genau in diesem Intervall c(co) = cp(co) vorausgesetzt worden war, folgt 2B F(t) =fcp{co)

e'mt df

0

=

! B / < 1 00 tu \ / - Z cme~,m2B e '«*d/

0 \ 2 m=0 "

(1.66)

(die Summation über negative Werte von m kann entfallen, da m i> 0 vorausgesetzt worden" war). Die FouRiER-Koeffizienten cm der Entwicklung der periodischen Spektralfunktion lassen sich also durch die Probenwerte F(tm) der Zeitfunktion ausdrücken: 1

\

_/m\

, , .

Aus (1.66) folgt durch Vertauschen von Summation und Integration und Auswerten des Integrals F W - r ^ e M - S K m=0 2 +op = e' 2 " 5 ' £ ( - l ) m f(—

^ m=0

"

I n i t - ^ B \ 2 BJ

) si (2nBt - mn) .

\2BI /

(1.68)

Die Zeitfunktion F(t) wird also aus den Probenwerten F[tm) aufgebaut, wobei die siFunktion zwischen den Proben werten interpoliert. 1.3.5.4.

Pulsmodulation

Das Abtasttheorem der Zeitfunktion bildet die theoretische Voraussetzung der gesamten Pulsmodulationstechnik. Bei den Pulsmodulationsarten benutzt man als Trägersignal eine. Folge von Rechteckimpulsen. Das Signal wird einer charakteristischen Größe dieser Impulsfolge aufgeprägt. Entsprechend unterscheidet man zwischen Pulsamplitudenmodulation (PAM), Pulslängenmodulation (PLM) und Pulsphasenmodulation (PPM) (s. dazu Abb. 1-34). Mittels dieser Modulationsarten können sowohl Signale mit unendlichem Wertevorrat (wertkontinuierliche bzw. analoge Signale) als auch Signale mit endlichem Wertevorrat (wertdiskrete, quantisierte bzw. digitale Signale) darge-

48

1.3. Signale und Spektren

stellt werden. Geht man von einem quantisierten Signal aus, so kommt als weitere Modulationsart die Pulscodemodulation (PCM) hinzu. Bei der PAM entspricht die Pulsamplitude der Signalamplitude zu diesem Zeitpunkt. Damit wird der Zusammenhang zwischen der Impulsfolge und dem darzustellenden Signal über das Abta$ttheorem der Zeitfunktion sofort deutlich. Dieses sagt aus, daß die Darstellung eines Signals durch eine Folge von Probenimpulsen möglich ist, wenn das Signal eine endliche Bandbreite B besitzt (was praktisch immer der Fall ist) und die Probensignale mindestens im Abstand t0 = 1 ¡2B entnommen werden. Für die anderen Pulsmodulationsarten gilt die gleiche Überlegung, denn die einzelnen Impulse tragen ja die gleiche Information, nämlich die Amplitude der Probensignale, lediglich in einer anderen Form. So ist bei der PLM die Dauer der Impulse ein Maß für die Probensignalamplitude, während bei der PPM der Einsatzpunkt der Impulse entsprechend der Probensignalamplitude verschoben wird. Bei der PCM schließlich wird jedem diskreten Amplitudenwert eine bestimmte Impulsfolge über einen vorher vereinbarten Code zugeordnet. In diesem Sinne stellt also auch die Analog-Digital-Umwandlung eines Signals eine Pulscodemodulation dar. Das bedeutet aber, daß die aus dem Abtasttheorem folgenden Gesetzmäßigkeiten auch für das gesamte Gebiet der Analog-Digital-Wandlung und digitalen Informationsverarbeitung gültig sind. Zur Veranschaulichung der Möglichkeiten und Vorteile der Pulsmodulation wollen wir die Übertragung von Telefoniesignalen betrachten. Die Bandbreite eines Telefoniesignals beträgt etwas mehr als 3 kHz (0,3 ... 3,4 kHz). Nach dem Abtasttheorem der Zeitfunktion wählt man für den Zeitabstand der Abtastimpulse

Nimmt man für die Abtastimpulse eine Dauer tp = 0,25 [xs an, so haben sie nach dem Zeitgesetz der Nachrichtentechnik (1-39) eine spektrale Breite Bp = 4 MHz. Das puls-

1.3.5- Abtasttheoreme und Pulsmodulation

49

modulierte Signal wird seinerseits zur Übertragung einem hochfrequenten Träger aufmoduliert (z. B. nach dem AM-Verfahren). Das bedeutet zunächst einmal, daß man einen hinreichend hochfrequenten Träger und einen Übertragungskanal ausreichender Bandbreite benötigt: Die Pulsmodulation wird zur Nachrichtenübertragung auf Richtfunkstrecken, Mikrowellenleitungen und Lichtleitern angewendet. Vorteile sind die gegenüber anderen Modulationsarten bedeutend höhere Störsicherheit (vor allem bei PCM) und die Möglichkeit der zeitlichen Bündelung (Zeitmultiplexverfahren), die die gleichzeitige Übermittlung mehrerer Nachrichten gestattet. Dazu werden in die Zeitlücken zwischen den Abtastimpulsen die Abtastimpulse weiterer Signale eingefügt. Sollen z. B. gleichzeitig N Telefoniesignale übertragen werden, so steht für jeden Gesprächskanal die Zeit

zur Verfügung. In unserem Beispiel ergibt sich mit N = 20 eine zeitliche Kanalbreite tk — 6 ¡J.S. Ein solcher Zeitkanal ist ausreichend, um jede der genannten Modülationsarten anwenden zu können.

Schaltungen mit passiven Bauelementen

2.

Eine Einteilung der in der Praxis angewendeten elektronischen Bauelemente kann nach unterschiedlichen Gesichtspunkten erfolgen. Eine dieser Möglichkeiten ist ihre Unterscheidung nach den hauptsächlichen Anwendungsgebieten in Kontaktbauelemente (z. B. Schalter, Steckverbinder), Widerstandsbauelemente (z. B. Widerstände, Kondensatoren), Verstärkerbauelemente (z. B. Relais, Transistoren), Wandlerbauelemente (z. B. Fotozellen, Thermopaare). Dabei ist eine konsequente Durchführung dieser Einteilung oft nicht möglich, z. B. wenn man die Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes benutzt zum Aufbau eines thermoelektrischen Wandlers oder wenn wie beim Fototransistor Verstärker und Wandler in einem Bauelement vereinigt sind. Auch einfache elektronische Bauelemente wie Widerstände oder Kondensatoren zeigen ein recht komplexes physikalisches Verhalten, das sich nicht durch einen ohmschen Widerstand oder eine Kapazität allein beschreiben läßt. Man kann aber das physikalische Verhalten realer Bauelemente näherungsweise durch eine Ersatzschaltung darstellen, die als Elemente sogenannte ideale Schaltelemente enthält, nämlich reine Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten sowie unabhängige Spannungsund Stromquellen. Widerstand, Kapazität und Induktivität bezeichnet man als passive Schaltelemente. In diesem Sinn spricht man von einem passiven Bauelement, wenn seine Ersatzschaltung nur passive Schaltelemente enthält. Passive Bauelemente können zeitweilig Energie speichern (Kondensator, Induktivität). Dagegen bezeichnet man ein Bauelement als aktiv, wenn es in der Schaltung in irgendeiner Form eine Verstärkung bewirkt; in der Ersatzschaltung kann man das durch gesteuerte Strom- oder Spannungsquellen oder durch negative Widerstände beschreiben (s. Kap. 4 und 5).

2.1.

Passive Bauelemente

In den folgenden Abschnitten werden einige besonders häufig verwendete technische Ausführungsformen von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten einschließlich ihrer wichtigsten Eigenschaften und Kennwerte behandelt. Die wichtigsten Kennwerte werden auf dem Bauelement durch Aufdruck entweder in alphanumerischer Form oder mittels eines international festgelegten Farbcodes (s. Tab. 4) angegeben. Ein Bauelement wird durch die Angabe seines Nennwertes und der höchst-

2.1.1. Widerstände

51

Tabelle 4 Internationale Farbenreihe Farbe

Ziffernwert

farblos silberfarben goldfarben sthwarz braun rot orange gelb grün blau violett grau weiß

Multiplikator

—

—

10"2 10" 1 1 10 102 103 104 105 10® 107 10® 109

—

-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabelle 5 Internationale E-Reihen Reihe E 24 ±5%

Reihe E 12 ±10%

Reihe E 6 ±20%

1,0 1,1

1,0

1,0

1,2

1,2

1.3 1.5 1.6

1,5

1,8

1,8

1,5

2,0 2,2

2.4 2,7 3.0 3,3 3.6 3,9 4,3 4.7 5.1 5,6

6.2 6.8

2,2

2,7 3,3

9,1

3,3

3,9 4,7

4,7

5,6 6,8

7.5 8,2

2,2

8,2

6,8

Toleranz ±20% ±10% ±5% —

±1% ±2% -

±0,5% — — — —

52

2.1. Passive Bauelemente

zulässigen Abweichung seines Istwertes vom Nennwert — die Toleranz — charakterisiert. Bei der Bauelementefertigung treten technologisch bedingte Schwankungen der Kennwerte auf. Um jedes funktionsfähige Bauelement einordnen zu können, werden die Standardnennwerte in Form dezimalgeometrischer Reihen mit den Faktoren 6 /l0, 7 l 0 oder "/lO abgestuft (s. Tab. 5). 2.1.1.

Widerstände

Als Widerstand bezeichnet man ein Bauelement, dessen hauptsächliches Kennzeichen ein bestimmter, von der Richtung des Stromes unabhängiger, ohmscher Widerstand gemäß (1.3) ist. Die Maßeinheit des elektrischen Widerstandes ist nach (1.3) das Ohm; 1 Ohm (Q) = 1 Volt/1 Ampere (V/A). Festwiderstände haben einen' definierten Widerstandswert, dessen durch äußere Einflüsse hervorgerufene Änderungen als Fehler betrachtet werden. Ihre Eigenschaften können daher in guter Näherung durch einen linearen Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung beschrieben werden. Deshalb bezeichnet man sie als lineare Widerstände. Bei veränderbaren Widerständen kann der Widerstandswert mittels eines mechanischen Einstellorgans — des Schleifers — innerhalb eines vorgegebenen Regelbereiches verändert werden. Man setzt für sie ebenfalls eine lineare Strom-Spannungs-Charakteristik voraus. In Abb. 2.1 sind die Schaltzeichen für feste und veränderbare Widerstände dargestellt. Für einen stationären Gleichstrom oder niederfrequenten Wechselstrom läßt sich das Verhalten eines Widerstandes allein durch seinen ohmseben Widerstand beschreiben. Bei Schaltvorgängen und hochfrequenten Wechselspannungen jedoch weist ein Widerstand auch induktive und kapazitive Eigenschaften auf, und sein Verhalten muß durch die Ersatzschaltung in Abb. 2.2 beschrieben werden. Die induktive Komponente entsteht durch das Magnetgfeld, das jeden stromdurchflossenen Leiter umgibt, während die Kapazität durch das um das Bauelement wirksame elektrische Streufeld hervorgerufen wird, das zusätzlich zum Leitungsstrom einen Verschiebungsstrom bewirkt. Im Gegensatz zu den linearen spricht man von nichtlinearen Widerständen, wenn die Strom-Spannungs-Kennlinie einen ausgeprägt nichtlinearen Verlauf zeigt (Abb. 2.3; in den Kennlinienblättern der Hersteller wird i. allg. der Strom als unabhängige Variable gewählt). Nichtlineare Kennlinien treten z. B. auf, wenn die Leitfähigkeit des Widerstandsmaterials feldstärkeabhängig ist. Aber auch die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit kann zu einer nichtlinearen Charakteristik führen, wenn die Eigenerwärmung des Widerstandes durch die Stromwärme eine wesentliche Rolle spielt. So ergibt sich z. B. für einen metallischen Leiter unter Berücksichtigung der Eigenerwärmung eine Kennlinie erster Art.

Abb. 2.1. Schaltzeichen für Widerstände a) Festwiderstand, b) und c) veränderbare Widerstände

3.1.1. Widerstände

53 Abb. 2.2. Ersatzschaltung eines Widerstandes für hohe Frequenzen

Der Widerstandswert eines nichtlinearen Widerstandes hängt vom Betriebszustand ab, der in der Kennlinie durch den Arbeitspunkt A beschrieben wird. Dabei sind in jedem Arbeitspunkt zwei Widerstandswerte definiert: Der Gleichstromwiderstand RA

= — = lA

m,

tan a

(2.1)

und der differentielle Widerstand =

dU dl.

= —IL tan ß . m,

(2.2)

{m Ut ntj Maßstabsfaktoren, angegeben z. B . in V c m - 1 und A c m - 1 ) . In Abb. 2.4 ist das am Beispiel einer Kennlinie zweiter Art dargestellt. Zu beachten ist, daß sich in diesem Fall zu dem Strom I A zwei mögliche Arbeitspunkte ergeben. Im Arbeitspunkt A 2 ist der differentielle Widerstand negativ; in diesem Fall spricht man vom negativen Widerstand eines Bauelementes mit fallender Charakteristik.

Abb. 2.3 Nichtlmeare Kennlinien a) erster Art, b) zweiter Art, c) dritter Art, d) vierter Art

54

2.1. Passive Bauelemente

j : f

Toleranz

i t, t t. i i i i Multiplikator IWertzifiir 1. Wertziflir 2.1.1.1.

Abb. 2.5- Kennzeichnung eines Widerstandes mittels Farbringen nach dem internationalen Farbcode

Festwiderstände

Die gebräuchlichen Festwiderstände werden als Schicht- oder Drahtwiderstände aufgebaut. Dazu wird die Widerstandsschicht bzw. der Widerstandsdraht auf einen keramischen Träger aufgebracht und mit Anschlüssen zur elektrischen Verbindung mit der Schaltung versehen. Als Widerstandsschichten werden Kohle-, Metall- oder Metalloxidschichten verwendet, die nach verschiedenen Technologien auf dem Träger hergestellt werden. Der Widerstandswert wird sowohl durch die Schichtdicke als auch durch Einschieifen einer Wendel in die Widerstandsschicht eingestellt. Durch die zweite Maßnahme erhält der Widerstand allerdings eine zusätzliche induktive Komponente; Widerstände für Anwendungen bei sehr hohen Frequenzen haben daher keine Abgleichwendel. Metallschichtwiderstände zeichnen sich gegenüber Kohleschichtwiderständen durch eine bessere Langzeitkonstanz, eine höhere Belastbarkeit (s. 2.1.1 -3-) und ein geringeres Rauschen (s. 2.1.1.4.) aus. Drahtwiderstände werden aus speziellen Widerstandsdrähten hergestellt, die sich durch einen geringen Temperaturkoeffizienten und eine geringe Leitfähigkeit auszeichnen (s. Tab. 1). Wegen der höheren zulässigen Oberflächentemperaturen werden sie vor allem als Hochlastwiderstände eingesetzt. Durch bestimmte Ummantelungen kann die zulässige Oberflächentemperatur und damit die Belastbarkeit weiter erhöht werden (zementierte bzw. glasierte Drahtwiderstände). Weiter finden Drahtwiderstände Anwendung im Niederohmbereich (bei Werten unter 10 O ist die Herstellung von Schichtwiderständen technologisch problematisch) und als Präzisionswiderstände. Aufgrund der Bauform weisen Drahtwiderstände eine große induktive Komponente auf; Präzisionswiderstände werden deshalb in der Regel bifilar gewickelt. Als wichtigste Kennwerte werden der Widerstandsnennwert und dessen Toleranz, bei Drahtwiderständen zusätzlich die Belastbarkeit auf dem Widerstand angegeben. Aus Platzgründen und zur Rationalisierung erfolgen diese Angaben häufig durch eine Farbkennzeichnung (s. Abb. 2.5 und Tab. 4). 2.1.1.2.

Veränderbare Widerstände

Veränderbare Widerstände werden sowohl als Draht- als auch als Schichtwiderstände hergestellt. Der gewünschte Widerstandswert kann mittels eines Schleifers innerhalb des vorgegebenen Nennwiderstandsbereiches eingestellt werden. Bei veränderbaren Drahtwiderständen wird der Widerstandsdraht einlagig auf einem gebogenen oder gestreckten Widerstandskörper aufgewickelt. Der Schleifer wird aus Federmetall gefertigt und kann zur Verbesserung der Kontakteigenschaften mit einer Edelmetallauflage oder mit einem Kohlekontakt versehen werden. Veränderbare Schichtwiderstände werden meist als Schichtdrehwiderstände aufgebaut. Die häufigste Anwendung

2.1.1. Widerstände 4

1 >1

$

55

100% 80

/

60

*»

W

§

20

/

/

/

SO

60 W

,/i

20

20 W

60 ,

ret. Drehwmkel

b)

-

20

I/O

60

80 100%

rel. Drehwmkel

Abb. 2.6. Reglercharakteristiken veränderbarer Schichtdrehwiderstände a) linear, b) logarithmisch

finden Schichtdrehwiderstände mit einer auf einem Hartpapierträger aufgespritzten Kolloidkohleschicht. Der Schleifer besteht wie bei Drahtwiderständen aus Federmetall und trägt einen Schleifkontakt aus Kohle oder Neusilber. Für besondere Ansprüche werden auch Edelmetall-Widerstandsschichten verwendet, die nach einer Dickschichttechnologie auf einem Keramikträger erzeugt werden. Veränderbare Widerstände gibt es für die verschiedensten Anwendungen in einer Vielzahl von Ausführungsformen. Neben einer einfachen linearen Reglercharakteristik sind insbesondere bei Schichtdrehwiderständen auch logarithmische Reglercharakteristiken gebräuchlich (Abb. 2.6). 2.1.1.3.

Thermische Belastbarkeit

Wird ein Widerstand von einem Strom / durchflössen, dann wird in ihm die elektrische Leistung P

v

= Ü I = P R =

T K

(2.3)

in Wärme umgesetzt (JouLEsche Wärme). Diese Wärme wird zum größeren Teil durch Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung abgeführt; ein Teil verbleibt aber im Bauelement und erhöht dessen Temperatur. Die Oberflächentemperatur steigt also um einen Betrag A$ v über die Umgebungstemperatur '&u an. Diese Übertemperatur Aftv hängt von der Verlustleistung a b : % -

0 a = A&v = i ? t h P s .

(2.4)

Die Größe i? th heißt thermischer Widerstand und hängt davon ab, wie gut die durch die Verlustleistung erzeugte Warme durch die oben genannten Wärmeübertragungsmechanismen vom Bauelement abgeführt wird. Aus technischen Gründen darf ein bestimmter Maximalwert $ 0 j m a x der Oberflächentemperatur nicht überschritten werden. Aus (2.4) ergibt sich daher für die maximal zulässige Verlustleistung P

r

v, m a x

_

^O.max — ^

•

.

c , 5/

Die maximal zulässige Verlustleistung hängt also von der Umgebungstemperatur ab. Bezieht man sich bei der Angabe der maximalen Verlustleistung eines Bauelementes auf eine bestimmte Umgebungstemperatur (häufig wählt man ^ = 25 °C) und einen bestimmten Wärmewiderstand (z. B . bei freitragender Montage ohne zusätzliche Maß5*

2.1. Passive Bauelemente

56

Abb. 2.7. Lastminderungskurven eines Bauelementes (schematisch) 1 ohne zusätzliche Kühlung, 2: mit Kühlung

VC

Abb. 2.8. Lastminderungskurven eines Kohleschichtwiderstandes (ausgezogene Kurve) und eines Metallschichtwiderstandes (gestrichelte Kurve) gleicher Baugröße

nahmen zur Kühlung), so ergibt die graphische Darstellung von (2.5) die sogenannte Lastminderungskurve des Bauelementes. Eine zusätzliche Kühlung (z. B. durch die Vergrößerung der Oberfläche mittels eines Kühlkörpers) würde eine Verringerung von Rth bewirken und damit nach (2.5) eine Erhöhung von Pvmax zulassen (s. Abb. 2.7). Bei Kohleschichtwiderständen wird die angegebene maximale Verlustleistung auf eine Umgebungstemperatur von 40 °C bezogen. Da Metallschichtwiderstände eine höhere zulässige Oberflächentemperatur haben, ergibt sich für sie bei gleicher Baugröße und Umgebungstemperatur eine im Vergleich zu Kohleschichtwiderständen höhere Belastbarkeit (s. Abb. 2.8). 2.1.1.4.

Rauschen

Als Folge der thermischen Bewegung der Ladungsträger entstehen zwischen den Enden eines Leiters statistische Spannungsschwankungen. Diese Erscheinung heißt thermisches Rauschen. Nach N Y Q U I S T beträgt die effektive Rauschspannung des thermischen Rauschens Uth = U MRB

(2.6)

(k BOLTZMANN-Konstante, $ absolute Temperatur, R ohmscher Widerstand des Leiters, B Rauschbandbreite). Die entsprechende Rauschleistung ist dann P* = ~ = 4MB , K

(2-7)

d. h., sie ist unabhängig von der Größe des Widerstandes. Die spektrale Leistungsdichte Pth = 4k& (2.8) B

2.1.1. Widerstände

57

hängt nicht von der Frequenz ab; man bezeichnet dieses Signal als weißes Rauschen. Dagegen spricht man von farbigem Rauschen, wenn die spektrale Leistungsdichte des Rauschsignals frequenzabhängig ist. Bei anderen als metallischen Leitern liefern weitere statistische Prozesse zusätzliche Rauschspannungen, so z. B. Schwankungen der Ladungsträgerdichte oder des Stromüberganges in Mikrobereichen des Leitermaterials oder Schwankungen der Stromverteilung zwischen mehreren Anschlüssen eines Bauelementes (Stromverteilungsrauschen bei Mehrelektrodenröhren und Transistoren). Da metallische Leiter nur thermisches Rauschen zeigen, liefern Metallschichtwiderstände eine bis um eine Größenordnung geringere Rauschleistung als Kohleschichtwiderstände. Zum Vergleich der Rauscheigenschaften von Verstärker-Bauelementen führt man den äquivalenten Rauschwiderstand RIQ ein. Man bezieht die am Ausgang des Bauelementes auftretende Rauschleistung auf den Eingang und gibt den Widerstand an, der die gleiche Rauschleistung als thermisches Rauschen liefern würde. Ist UR E diese auf den Eingang des Bauelementes bezogene Rauschspannung, so gilt

Das Rauschen beschränkt die Möglichkeiten der Signalübertragung und der sinnvollen Signalverstärkung, da ein bestimmter Signal/Rausch-Abstand eingehalten werden muß, wenn die Erkennbarkeit des Signals gewährleistet sein soll. Jede Baugruppe eines Übertragungssystemes (z. B. ein Verstärker) liefert einen Beitrag zur Rauschleistung und verschlechtert damit das Signal/Rausch-Verhältnis AS!T = = PJPR {PS Signalleistung, PR Rauschleistung). Die Rauschzahl F drückt aus, um welchen Faktor sich das Signal/Rausch-Verhältnis am Ausgang der Baugruppe verringert hat: A s/f, ein = P^s/r, aus •

(2-10)

Beispiel 2.1. Berechnung der minimalen Eingangs-Signalspannung eines Verstärkers für ein Signal/Rausch-Verhältnis ^4 s / r>aus = 100. Die Bandbreite betrage B = 200 kHz, seine Rauschzahl F = 1,5; der am Eingang wirksame Widerstand sei R = 1 k ß . Aus (2.7) und (2.10) folgt U% ein = As,fi

aus

• F • AMRB

und daraus bei Zimmertemperatur {& = 293,15 K) U s , ein = 22,0 JJ.V . 2.1.1.5.

Temperaturabhängige Widerstände

In der Schaltungstechnik benötigt man Festwiderstände mit einem möglichst temperaturunabhängigen Widerstandswert. Die Temperaturabhängigkeit wird als Fehler betrachtet und durch den mittleren Temperaturkoeffizienten TK f i des Widerstandes beschrieben: R

o)

(i?(#) Widerstandswert bei der Meßtemperatur zugstemperatur $ 0 ).

¿?(#0) Widerstandswert bei der Be-

58

2.1. Passive Bauelemente

Für viele Aufgaben in der Elektronik, besonders auch in der Meß-, Steuer- und Regelungstechnik benötigt man aber gerade Widerstände mit möglichst großer und reproduzierbarer Temperaturabhängigkeit. Dabei ist es unerheblich, ob die Temperaturänderung des Widerstandes von außen oder durch Eigenerwärmung (JouLEsche Wärme) erfolgen soll. Als Präzisions-Widerstandsthermometer verwendet man Platindrahtwiderstände. Der Platindraht ist auf einem Träger aus Glas oder Keramik aufgewickelt und mit einer keramischen Masse abgedeckt. Zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes über einen größeren Temperaturbereich reicht der lineare Ansatz nach (2.11) nicht mehr aus, sondern man verwendet eine Potenzreihenentwicklung =

mit

R(60)

(1 + aR Ä% + ßR AW

ccR = 3,98 • 10"3 K" 1 ,

+ ...)

(2.12)

ßR= - 5 , 9 1 • lO-'K" 2 .

Für die meisten Anwendungen — z. B. zur Temperaturmessung und für temperaturabhängige Regler und Schalter — benutzt man Widerstände aus halbleitendem Material. Bei Halbleitern steigt die Ladungsträgerdichte mit wachsender Temperatur. Deshalb nimmt der Widerstand mit wachsender Temperatur ab. Nach (1.2) und (1.3) ist 1 m

Im Gegensatz zu Metallen haben Halbleiter also einen negativen Temperaturkoeffizienten. Man bezeichnet diese Bauelemente daher als Heißleiter oder NTC-Widerstände (von engl.: negative temperature coefficient). Die Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes kann in der Form R{ö)

= K • e1"»

(2.13)

dargestellt werden, wobei die Größen K und b von Form und Material des Bauelementes abhängen. Die Eigenschaften von Heißleitern werden durch spezielle Kennwerte (Kaltwiderstand R{20 °C), Energiekonstante b) und Kennlinien beschrieben. Für Anwendungen, bei denen die Temperaturänderung von außen vorgenommen wird, ist die Widerstands-Temperatur-Kennlinie wichtig (Abb. 2.9), während man für Anwendungen mit Eigenerwärmung die Strom-Spannungs-Kennlinie (Abb. 2.10) benötigt.

Abb. 2.9. Widerstands-Temperatur-Kennlinie von Heißleitern (nach KWH-Handbuch „Halbleiter")

20

1 : R (20 °C) = 1000£î; b = 5000 K, 2' R (20 °C) = 470 O; b = 4700 K, 3:fi(20°C)= 220ÌÌ; 6 = 3780 K, 4:Je(20',C)= 100O; b = 3520 K, 5. R (20 °C) = 47 Q; b = 3400 K

W •WC

2.1.1. Widerstände

59

Abb. 2.10. Strom-Spannungs-Kennlinie von Heißleitern (nach KWHHandbuch „Halbleiter"); Kennzeichnung der Kurven wie in Abb. 2.9

togR,

Abb. 2.11. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes eines Kaltleiters (schematisch)

Eine andere Art techiiisch wichtiger temperaturabhängiger Widerstände sind die Kaltleiter, auch als PTC-Widerstände (von engl.: positive temperature coefficient) bezeichnet. Bei diesen Bauelementen tritt in einem bestimmten Intervall oberhalb der Anfangstemperatur ein sehr großer positiver Temperaturkoeffizient auf (s.Abb. 2.11). Bei &M erreicht der Kaltleiterwiderstand den 10 3 ... 104-fachen Wert seines Kaltwiderstandes. Unterhalb •ftA und oberhalb verhält sich das Bauelement wie ein normaler Halbleiter, d. h., sein Temperaturkoeffizient ist negativ. 2.1.1.6.

Spannungsabhängige Widerstände

Varistoren (von engl.: variable resistor) sind Bauelemente, bei denen die Feldstärkeabhängigkeit der Leitfähigkeit ausgenutzt wird. Ausgangsmaterial ist Siliziumkarbid oder Zinkoxid mit bestimmten Dotierungen und in einer bestimmten Körnung, das zu Scheiben oder Stäben gesintert und mit Elektroden und Anschlußdrähten versehen wird. Die Kennlinie läßt sich durch die Gleichung U = K • Ib'

(2.14)

(K Konstante, abhängig von den Abmessungen des Varitors; V Nichtlinearitätskoeffizient, Werkstoffkonstante mit Werten zwischen 0,15 und 0,3) beschreiben und hat den in Abb. 2.12 a) schematisch dargestellten Verlauf. Für die Anwendung ist es

60

2.1. Passive Bauelemente

a)

J

b)

logj

Abb. 2.12. Kennlinie eines Varistors (schematisch) a) im linearen Maßstab, b) doppelt-logarithmisch

üblich, die Kennlinie im doppelt-logarithmischen Maßstab anzugeben (Abb. 2.12b)). Für sehr geringe Stromdichten ergeben sich Abweichungen von dem durch (2.14) beschriebenen Verlauf. Aufgrund ihrer nichtlinearen Kennlinie werden Varistoren vor allem zur Spannungsstabilisierung und als Überspannungssicherung sowie zum Verzerren von Wechselspannungen benutzt. 2.1.2.

Kondensatoren

Kondensatoren sind neben Widerständen die wichtigsten passiven Bauelemente und finden in der Schaltungstechnik vielseitige Anwendung, z B. als Energiespeicher, als Koppelelement zur Übertragung von Wechselspannungen zwischen auf unterschiedlichem Potential liegenden Punkten einer Schaltung, in Schwingkreisen und Phasenschiebern. 2.1.2.1.

Kapazität und Dielektrizitätskonstante

Wir betrachten zunächst eine Anordnung aus zwei im Abstand d zueinander parallel stehenden kreisförmigen Metallplatten mit der Fläche A und dem Radius r. Diese Anordnung heißt Plattenkondensator. Verbindet man die Platten mit den Klemmen einer Spannungsquelle (Abb. 2.13 a)), so entsteht zwischen ihnen ein elektrisches Feld vom Betrage E, für das unter der Voraussetzung d in guter Näherung Ü E = -

(2.15)

Abb 2.13. Zum Zusammenhang zwischen Spannung und Ladung am Kondensator a) Plattenkondensator, b) Plattenkondensator mit Dielektrikum

2.1.2. Kondensatoren

61

gilt. Beide Platten tragen dann Ladungen gleicher Größe Q, aber entgegengesetzten Vorzeichens. Die Ladungsdichte auf den Platten bestimmt die Größe der dielektrischen Verschiebung im Feld: — = D = e0E

(2.16)

A

(e0 = 8,8542 • 10-12 A s V " 1 m _ 1 , Influenzkonstante, auch als Dielektrizitätskonstante des Vakuums bezeichnet). Aus (2.15) und (2.16) folgt Q =

=CÜ .

d

(2.17)

Den von der Geometrie des Plattenkondensators abhängenden Ausdruck C = e0Ajd nennt man Kapazität. Entsprechend (2.17) wird die Kapazität in Farad gemessen: 1 Farad (F) = 1 A s V - 1 . Da diese Einheit für die Praxis zu groß ist, verwendet man folgende Bruchteile: Mikrofarad (¡iF): 1 [xF = 10" 6 F , Nanofarad (nF): 1 nF = 1.0"9 F , Picofarad (pF): 1 p F = 1CT 12 F . Bringt man zwischen die Platten des Kondensators bei konstanter Spannung einen Nichtleiter (Dielektrikum), so wird dieser im elektrischen Feld polarisiert. Auf seinen Oberflächen entstehen scheinbare Ladungen Q', die einen Teil der Ladungen auf den Platten kompensieren. Da die Feldstärke nach Voraussetzung (s. (2.15)) konstant bleibt, muß also die Ladung Q' zusätzlich auf die Platten fließen (Abb. 2.13 b)). Das führt zu einer Vergrößerung der dielektrischen Verschiebung: D

0

0'

Ä

Ä

= e0E + P ;

(2.18)

Tabelle 6 Relative Dielektrizitätskonstante einiger Dielektrika Stoff Luft (0 °C, 101,3 kPa) Paraffin Transformatoröl PVC Polystyrol Polyethylen Glimmer Porzellan Glas Wasser (18 °C) Rutil, TiO z ||* 1 * BaTi0 3 (20 °C) ( ~ 120 °C)

£„ 1,0059 2 2,6 . . 2,9 2,3 ... 3,4 2,5 ... 3,1 2,2 ... 2,3 6 ... 8 5 ... 6,5 5 .. 16 81 89 173 ~1500 ~ 101

* Richtung des elektrischen Feldes zur tetragonalen Achse

2.1. Passive Bauelemente

62

Abb. 2.14. Schaltzeichen für Kondensatoren a)

b)

a) Festkondensator, b) veränderbare Kondensatoren, c) Elektrolytkondensator

c)

diese setzt sich nun aus dem Vakuumanteil e0E und der Polarisation P des Dielektrikums zusammen. Man schreibt dafür auch D =

£oerE

(2.19)

und nennt die so eingeführte dimensionslose Materialkonstante e r relative Dielektrizitätskonstante. Der Plattenkondensator mit Dielektrikum hat demnach die K a p a zität C

=

e e

o f "T • a

(2.20)

Die relative Dielektrizitätskonstante kann Werte zwischen 1 und einigen 104 annehmen (s. Tab. 6). Diese Erhöhung der Kapazität einer bestimmten geometrischen Anordnung durch Verwendung eines geeigneten Dielektrikums nutzt man bei der Herstellung technischer Kondensatoren aus. In Abb. 2.14 sind die Schaltzeichen fester und veränderbarer Kondensatoren dargestellt. 2.1.2.2.

Ersatzschaltung des realen Kondensators

Legt man an einen Kondensator mit der Kapazität C eine harmonische Wechselspannung U- exp (jcot), dann fließt ein Verschiebungsstrom, für den aus Gl. (2.17) folgt: J

/ e>mt =C—{U di

e, 0 max maximale relative Permeabilität ßtlT Sättigungsinduktion, gemessen in Tesla // c /(A/cm) Koerzitivfeldstärke, gemessen in A c m " 1

4

2.1. Passive Bauelemente

68

Aus den Gleichungen (2.34) und (2-35) liest man ab, daß sich die Induktivität beträchtlich vergrößern läßt, wenn man in den magnetischen Kreis Stoffe mit großer Permeabilität ¡j, bringt. Man verwendet dazu Spulenkerne aus ferromagnetischem Material. Ferromagnetika können relative Anfangspermeabilitäten bis ¡ j , t A ^ 105 aufweisen (s. Tab. 7 und Tab. 8). Bei Ferromagnetika ist der Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und Magnetisierung stark nichtlinear; er wird durch eine Hysteresekurve beschrieben. Das bedeutet, daß auch die Permeabilität stark von der Feldstärke und damit die Induktivität von dem Strom in der Spule abhängt. Induktivitäten mit ferromagnetischem Kern sind also nichtlineare Bauelemente. Tabelle 8 Anfangspermeabilität und optimaler Frequenzbereich einiger Ferrite Werkstoff

Frequenzbereich in MHz

¡irA

Manifer Manifer Manifer Manifer Manifer

0,001... 0,001 ... 0,1 ... 1 ... 10 ...

2200 1000 400 80 10

183 163 140 343 320

0,1 0,5 1,5 10 220

In Abb. 2.18 sind die Schaltzeichen für verschiedene Formen von Induktivitäten dargestellt. Sowohl Luftspulen als auch Spulen mit einem ferromagnetischen Kern stellen keine reinen Induktivitäten dar. Jede Induktivität hat eine Eigenkapazität, hervorgerufen durch die Kapazität der Windungen und der Anschlüsse gegeneinander und gegen ihre Umgebung (z. B. gegenüber dem Kern). Dazu kommt ein Verlustwiderstand, der sich aus folgenden Anteilen zusammensetzt: — dem ohmschen Widerstand der Drahtwicklung; — den Magnetisierungs- und Wirbelstromverlusten im ferromagnetischen Kern; — den dielektrischen Verlusten der Eigenkapazität im Spulenkörper. Infolge des Skineffektes ist der Wirkwiderstand der Spulenwicklung frequenzabhängig. Der Skineffekt, d. h. die Stromverdrängung im Inneren eines Leiters, wird hervorgerufen durch Überlagerung des ursprünglichen Stromes mit den im Leiter induzierten Wirbelströmen und führt zu einer Abnahme des wirksamen Leiterquerschnittes und damit zu einer Zunahme des Wirkwiderstandes mit wachsender Fre-

Abb. 2.18. Schaltzeichen für Induktivitäten

b)

a) Luftspule, b) Spule mit Ferritkern, c) Spule mit Eisenkern, d) veränderbare Induktivität

2.1.3. Induktivitäten

69

R Ro

7

Abb. 2.19. Erhöhung des Wirkwiderstandes durch den Skineffekt Jb.

22 ansteigenden Verlustwiderstand beschrieben werden. F a ß t man alle diese Einflüsse zusammen, kann man die reale Induktivität durch die Ersatzschaltung in Abb. 2.20 beschreiben. Die gesamten Verluste werden durch einen Serienverlustwiderstand Rv dargestellt, der frequenzabhängig ist. Die Eigenschaften der Induktivität charakterisiert man durch den Verlustfaktor tan ö L =

coL

(2-3 7)

oder dessen Kehrwert, die Güte QL. Entsprechend der Frequenzabhängigkeit der einzelnen Beiträge zeigt der Verlustfaktor meist ein ausgeprägtes Minimum bei einer Frequenz, die weit unterhalb der durch die Induktivität und die Eigenkapazität bestimmten Eigenresonanzfrequenz der Spule liegt. 2.1.3.3.

Induktivität mit Luftspalt

Die Kennlinie einer Induktivität mit ferromagnetischem Kern kann linearisiert werden, wenn der magnetische Kreis im Kern durch einen Luftspalt unterbrochen wird. Für den magnetischen Widerstand gilt dann (im unverzweigten magnetischen 6

Rost, Elektronik

70

2.1. Passive Bauelemente

Abb. 2.21. Konstruktion der Magnetisierungskennlinie eines Kerns mit Luftspalt (schematisch)

Kreis) RM

=

RM K +

RML

1r

1 A

PK^K

N

(2.38)

VEIT' A

(mit dem Index K sind alle den Kern betreffenden, mit L die den Luftspalt betreffenden Größen bezeichnet; //.„ Permeabilität des Vakuums). Der Spulenkern mit L u f t spalt kann hinsichtlich seiner Wirkung also durch einen mit der magnetischen Weglänge l = l K + l L und der effektiven Permeabilität

l

l

fj,0

ersetzt werden, in dem eine effektive Feldstärke H f ff =

HKLK

+ HLLL _

LK

= HK f +

L

L

BK FI0

L L

(2.40)

wirkt. Nach dieser Gleichung kann die Kennlinie B = F(HE¡¡) des Kerns mit Luftspalt konstruiert werden (Abb. 2.21). Dazu wird B(HK) mit der Luftspaltgeraden B(HL) in i f - R i c h t u n g addiert. (Diese Operation wird auch als Scherung bezeichnet.) Den Anstieg der Luftspaltgeraden erhält man aus t a n a = /x0

L M>N LLMH

—

(2.41)

{mB, m H Maßstabsfaktoren der grafischen Darstellung). Allerdings ist zu beachten, daß infolge der Feldinhomogenitäten der wirksame Querschnitt A und die wirksame Luftspaltlänge l L größer sind als die geometrischen Größen. Für übliche Kernformen findet man entsprechend korrigierte Werte in den einschlägigen Tabellenwerken und Katalogen. Induktivitäten mit Luftspalt werden vor allem in Schaltungen eingesetzt, in denen eine Gleichstrom-Vormagnetisierung der Induktivität a u f t r i t t (Siebschaltungen, NF-Übertrager). Die durch den Luftspalt bewirkte Scherung der Permeabilität sorgt bei richtiger Dimensionierung f ü r eine über weite Bereiche der Vormagnetisierung nahezu konstante Induktivität (s. Abb. 2.22).

2.1.3- Induktivitäten

71

L

ohne Luftspalt

Abb. 2.22.

mit Luftspalt

Abhängigkeit der Induktivität einer Spule

mit Kern vom Gleichstrom I (schematisch)

2.1.3.4.

Transformator

Als Transformator bezeichnet man eine Anordnung aus zwei Spulen, die von einem gemeinsamen magnetischen Kraftfluß durchsetzt werden. Nimmt man an, daß keine Verluste auftreten und daß die Gegeninduktivität ihren Maximalwert M max annimmt, dann spricht man von einem idealen Transformator. Aus Abb. 2.23 liest man für offene Ausgangsklemmen (/ 2 = 0) ab: . dA Uy = - t/ ind>1 = Lx - 1 = di

Nfi,K

. r r r - M i

di N

=

N

2 t

dt

l

d/, *, di

2.42) N ^ A l

d^

dt

d/j

(2-43)

dt

t

Daraus folgt E l

=

= N±

1

(2.44)

ü

(Nv N2 Windungszahlen der Primär- bzw. Sekundärspule). Die Zahl 1 jü nennt man das Übersetzungsverhältnis des Transformators. Wenn man als Eingangsspannung eine harmonische Wechselspannung U1 exp (jmt) annimmt, ist (2-45)

ojL

d. h., in der Primärspule fließt ein reiner Blindstrom; der ideale unbelastete Transformator nimmt keine Wirkleistung auf.

1,

—

•1 -

N,

6*

—

Nt

A

-1 .. 1

&

& Abb. 2.23. Zum idealen Transformator

72

2.1. Passive Bauelemente h

gp=ü'ßi

Abb. 2.24. Ersatzschaltung des idealen belasteten Transformators

Belastet man die Sekundärspule mit einem Widerstand R2, fließt im Sekundärkreis ein Strom I 2 . Dieser induziert im Kern einen zusätzlichen magnetischen Kraftfluß. Bei konstanter Eingangsspannung muß aber nach wie vor (2.42) erfüllt sein, d. h., der magnetische Kraftfluß muß konstant bleiben. Im Primärstromkreis fließt daher ein zusätzlicher Strom / 1 B , der der Bedingung N ^ b + iV 2 / 2 = 0

(2.46)

genügt. Damit ergibt sich für den gesamten Primärstrom 1

h

=

jwl^

\ N j

R2

U,.

(2.47)

Aus (2.47) liest man ab, daß man den Transformator primärseitig durch eine einfache Ersatzschaltung darstellen kann (s. Abb. 2.24). Der im Sekundärkreis eingeschaltete Lastwiderstand wird mit ü 2 in den Primärkreis transformiert. Weiter liest man aus (2.47) ab, daß nur der Wirkanteil des Lastwiderstandes R2 eine Leistungsaufnahme durch den Transformator bedingt, d. h., der ideale Transformator hat einen Wirkungsgrad von Eins. Im Gegensatz dazu hat der reale Transformator einen Wirkungsgrad, der kleiner als Eins ist. Die Ursachen d a f ü r sind die ohmschen Verluste in den Wicklungen (Kupferverluste) und die Magnetisierungsund Wirbelstromverluste im Kern (Eisenverluste) sowie die Tatsache, daß wegen der Streuung des Magnetfeldes der Koppelfaktor k / / /

\

I I I -90°

86

2.2. Lineare passive N e t z w e r k e

(Abb. 2.38). Gegenüber der W I E N - R O B I N S O N - B r ü c k e hat diese Schaltung den Vorteil, daß Eingang und Ausgang eine gemeinsame Klemme haben. Die auf co0 = 1 ¡RC normierte Übertragungsfunktion lautet i

=

g ( 0 )

fia

-

1 + 4jQ

(2.7i)%

Q2

-

mit fi2

1 2 2

tan

0C

(2.79)

d. h., sie ist Qs mal so groß wie die der Eingangsspannung. Deshalb spricht man beim Serienschwingkreis von Spannungsresonanz. Außerdem gilt

Uco — UL0, wobei diese beiden Spannungen gegenphasig sind.

(2.80)

- 2.2. Lineare passive Netzwerke

90

Eine weitere charakteristische Größe ist die Bandbreite eines Schwingkreises. Sie ist definiert als Abstand der beiden Frequenzen, bei denen die Stromamplitude den Wert 70/|/2 hat. Aus 1

1

erhält man 1

q2

2qs+y 4Q

= ^ r + / Trt +

1

und daraus schließlich /2-/1 = ß = | ;

(2.81)

die Bandbreite eines Schwingkreises ist seiner Güte umgekehrt proportional. 2.2.3.2.

Parallelschwingkreis

Beim Parallelschwingkreis benutzt man zur Beschreibung der Bauelementeverluste zweckmäßig Parallelersatzschaltungen. Dann kann man die beiden Verlustleitwerte zu einem resultierenden Verlustleitwert Gp = GLp + Gcp zusammenfassen und erhält die in Abb. 2.42 dargestellte Schaltung. Lassen wir durch diesen Schwingkreis einen konstanten harmonischen Wechselstrom fließen, ergibt sich im quasistationären Zustand u = zp.i_

^

= GP

mit

+

j

[aC

— - œL (2.82)

= Zp- Î e'9" 1 — T — wC aiL G'p + \ojC -

Führt man die Güte

—) (oL)

91

2.2.3. Schwingkreise L U

a)

—

ii 'S

2p, U

\X6p

= 6,

I II

aio

Abb. 2.42. Parallelschwingkreis a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der Impedanz bzw. der Spannung als Funktion der Frequenz (schematisch)

b)

des Parallelschwingkreises ein und normiert wieder auf die Resonanzfrequenz co0 = = \ ¡iLC, erhält man aus (2.82) R* i

+iQfi\Q

(2.84) QJ

mit

V

R*

tan(pp — Qp\~q

- O

(s. Abb. 2.42b)). In Resonanz ist die Amplitude des Stromes über die Kapazität Ico = o>oCU0 = Rp(o0CI = Qp-I (2.85) Qp mal so groß wie die des Gesamtstromes; man spricht deshalb von Stromresonanz. Außerdem ist

/» = /«. (2-86) und die beiden Blindströme sind gegenphasig. Für die Bandbreite des Parallelschwingkreises findet man analog zum Serienschwingkreis r

(2.87)

92

2.2. Lineare passive Netzwerke

Abb. 2.43- Parallelschwingkreis mit Spulenverlusten

2.2.3.3.

Parallelschwingkreis mit Spulenverlusten

In der Praxis können die Verluste des Kondensators in der Regel gegenüber den Verlusten der Spule vernachlässigt werden. Verwendet man zur Beschreibung der Spulenverluste das meßtechnisch zweckmäßigere Serienersatzschaltbild, f ü h r t das auf die in Abb. 2.43 dargestellte Schaltung. Für die Impedanz dieser Schaltung findet man (s. Beispiel 1.5)

1 - cü 2 IC + jcoRC

(1

Q2 —

(2.88)

wenn man wieder auf co0 = 1//LC normiert und eine Güte Q nach (2.76) einführt. Bezeichnet man als Resonanzfrequenz die Frequenz, bei der die Impedanz reell wird, erhält man aus (2.88) coop = w0 [/ 1 -

;

(2.89)

die Resonanzfrequenz liegt also etwas tiefer als co0. Praktisch ist diese Abweichung aber bereits bei Q 10 vernachlässigbar. Die Impedanz zeigt eine charakteristische Frequenzabhängigkeit ähnlich Abb. 2.42 b), geht allerdings für co = 0 nicht gegen Null, sondern wird gleich R. Im Resonanzfall hat sie den reellen Wert Zop = Q2R •

(2.90)

Ihren maximalen Betrag nimmt sie näherungsweise bei der Frequenz (2-91) an, also etwas oberhalb von (oop (s. dazu auch Abb. 1.17 von Beispiel 1.5). Allerdings ist auch diese Abweichung praktisch f ü r Q 10 vernachlässigbar. 2.2.3.4.

Der nichtstationäre Zustand

Mathematisch aufwendiger als die vorangegangenen Betrachtungen ist die Behandlung des nichtstationären Zustandes. Wie wir in Kap. 1 gesehen hatten, kann man den Strom bei gegebener Spannung entweder durch Lösen der Differentialgleichung des Schwingkreises unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen oder durch Anwenden der LAPLACE-Transformation berechnen. Hinsichtlich der vollständigen Behandlung dieses Problems soll auf entsprechende Lehrbücher der theoretischen Physik

2.2.3. Schwingkreise

93

t=to,

Abb. 2.44. Zum Übergangsverhalten eines Serienschwingkreises

Un^F

oder Elektrotechnik 1 verwiesen werden; wir wollen uns hier auf die Diskussion der Ergebnisse für den Fall beschränken, daß der Kondensator eines Serienschwingkreises auf eine Spannung U0 aufgeladen ist und sich zur Zeit t = t0 über die Spule entlädt (Abb. 2.44). Man findet, daß die Lösung wesentlich durch die Größe d = R\2L bestimmt wird, und kann drei Fälle unterscheiden: 1. cu0. Der Strom hat die Zeitabhängigkeit 2

I{t)

=

- C l 7

W

°

0

—

cog

e-