Grundlagen der Elektronik [Reprint 2021 ed.] 9783112532324, 9783112532317

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Albrecht Rost Grundlagen der Elektronik

Grundlagen der

Elektronik von

Albrecht Rost

Mit 308 Abbildungen und 43 Tabellen

Akademie-Verlag

1983

Berlin

Verfasser: D r . rer. n a t . Albrecht R o s t M a r t i n - L u t h e r - U n i v e r s i t ä t Halle-Wittenberg, Sektion P h y s i k

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR-1086 Berlin, Leipziger S t r a ß e 3 — 4 L e k t o r : Dipl.-Phys. Ursula H e i l m a n n © Akademie-Verlag Berlin 1983 L i z e n z n u m m e r : 202 • 100/429/83 G e s a m t h e r s t e l l u n g : V E B Druckerei „ T h o m a s M ü n t z e r " , 5820 Bad Langensalza E i n b a n d g e s t a l t u n g : Rolf K u n z e B e s t e l l n u m m e r : 7631061 (6698) • LSV 1154 P r i n t e d in G D R D D R 48, - M

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch entstand auf der Grundlage der Vorlesung „Elektronik", die vom Verfasser für Studenten der Fachrichtung Physik im zweiten Studienjahr an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg gehalten wird. Es ist daher vor allem für Studierende dieser Fachrichtung gedacht. Das Buch soll die Lehrveranstaltungen zum Fachgebiet Elektronik begleiten und den Studenten die Möglichkeit geben, den in Vorlesungen, Übungen und Praktika dargebotenen Stoff nachzuarbeiten und zu vertiefen. Darüber hinaus wendet es sich aber auch an alle Studierenden sonstiger naturwissenschaftlicher und technischer Fachrichtungen sowie an andere Interessierte, die sich selbständig Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Elektronik erarbeiten möchten oder ergänzende Literatur zu entsprechenden Lehrveranstaltungen benötigen. Gemäß dieser Zielstellung war von vornherein eine Beschränkung sowohl hinsichtlich der Stoffauswahl als auch in der Breite der Darstellung geboten. Diese wird durch den Lehrplan für das Fachgebiet Elektronik der Grundstudienrichtung Physik vorgenommen. Auswahl und Gliederung des dargebotenen Stoffes lehnen sich daher eng an diesen Lehrplan an. In sechs Kapiteln werden folgende Themen behandelt: Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich, Schaltungen mit passiven Bauelementen, Leitungen, Halbleiterbauelemente, Analogschaltungen, Digitalsch altungen. Dabei wurde, soweit das im Rahmen dieses Buches möglich war, auch neueren Entwicklungen z. B. auf dem Gebiet der Halbleiterbauelemente oder der digitalen Schaltkreise Rechnung getragen. Daß andererseits bei dieser Auswahl die Behandlung der Elektronenröhre vollständig entfallen mußte, entspricht der Tatsache, daß sie in der Anwendung bereits überwiegend durch Halbleiterbauelemente verdrängt worden ist. Trotzdem geht der Stoff teilweise erheblich über die Forderungen des Lehrplans hinaus, vor allem hinsichtlich der Beschreibung der physikalischen Grundlagen. Damit möchte der Verfasser sowohl die unterschiedlichen Vorkenntnisse und Interessen des Lesers berücksichtigen als auch den Übergang zu weiterführenden Darstellungen bestimmter Teilgebiete erleichtern. Trotz aller bei dem begrenzten Umfang dieses Buches erforderlichen Vereinfachungen hat sich der Verfasser stets um eine physikalisch exakte und anschauliche Darstellung bemüht und sich besonders auf die praktische Anwendung orientiert.

VI

Vorwort

Die Schreibweise der Gleichungen und Symbole entspricht im wesentlichen den Empfehlungen der „Internationalen Union für reine und angewandte Physik (I.U.P. A.P.)". Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formelzeichen und Symbole soll das Arbeiten mit dem Buch erleichtern; darüber hinaus werden aber alle Symbole im Text eingeführt und erläutert. Mathematische Ableitungen werden so ausführlich gebracht, daß sie der Leser leicht nachvollziehen kann. Die Gleichungen sind, soweit erforderlich, kapitelweise fortlaufend numeriert. Die in den Textteil einbezogenen Rechenbeispiele sind nicht als Übungsaufgaben gedacht, sondern dienen ebenso wie die Abbildungen der Erläuterung und Veranschaulichung des behandelten Stoffes. Abbildungen und Rechenbeispiele sind in den einzelnen Kapiteln fortlaufend numeriert. Bei den besprochenen Schaltungen wurde ein Bezug auf konkrete Bauelemente (z. B. durch die Angabe von Daten oder Kennlinien) vermieden, da dieser aufgrund der schnellen Entwicklung bald nicht mehr aktuell wäre. Die wenigen in dieses Buch aufgenommenen Angaben über technische Daten und Kennlinien von Bauelementen dienen lediglich als Beispiele zur Veranschaulichung allgemeiner Aussagen. Auf ein ausführliches Literaturverzeichnis wurde verzichtet und nur eine Auswahl an ergänzender und weiterführender Literatur angegeben, die aber keine Wertung darstellt und keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit erhebt. Aus der großen Zahl der zu diesem Fachgebiet erschienenen Bücher wurden nur deutschsprachige und davon in erster Linie die berücksichtigt, die dem Verfasser zur Verfügung standen. Abschließend sei es dem Verfasser gestattet, allen den Kollegen zu danken, die die Arbeit an diesem Buch durch Diskussionen und kritische Hinweise gefördert haben. Sein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. H . P F E I F E R und Herrn Dr. W. H E I N K von der Karl-Marx-Universität Leipzig, Herrn Dr. G. BORCHHARDT, jetzt VEB Keramische Werke Hermsdorf, und Herrn Dipl.-Phys. G. TSCHUCH von der MartinLuther-Universität für die kritische Durchsicht des Manuskriptes und die sich daraus ergebenden Hinweise. Gedankt sei aber auch dem Akademie-Verlag, insbesondere der Lektorin Frau Dipl.-Phys. U. HEILMANN, für die gute Zusammenarbeit und die Bemühungen, allen Vorstellungen und Wünschen hinsichtlich der Gestaltung dieses Buches gerecht zu werden. Halle, im März 1982 ALBRECHT ROST

Inhalt

1.

Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich

1

1.1. 1.1.1.

Grundgesetze des elektrischen Stromkreises Elektrischer S t r o m — O H M s c h e s Gesetz

1 1

1.1.2.

KiRCHHOFFSche R e g e l n

3

1.1.3. 1.1.4.

Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle Anpassung

6 7

1.2.

K o m p l e x e Darstellung elektrischer Größen

9

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6.

Die Z e i t f u n k t i o n harmonischer W e c h s e l s p a n n u n g e n u n d Wechselströme . . Symbolische (komplexe) Schreibweise Komplexer Widerstand ' Zeigerdiagramm Ortskurve Übertragungsfunktion

9 10 11 13 15 19

1.3.

Signale u n d S p e k t r e n

20

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.4.1. 1.3.4.2. 1.3.4.3. 1.3.5. 1.3.5.1. 1.3.5.2. 1.3.5.3. 1.3.5.4.

FouRiER-Transformation E n t s t e h u n g höherer H a r m o n i s c h e r Modulation Das Einschaltproblem Sprungantwort und Stoßantwort L ö s u n g des Einschaltproblems bei b e k a n n t e r Ü b e r g a n g s f u n k t i o n LAPLACE-Transformation Abtasttheoreme und Pulsmodulation A b t a s t t h e o r e m der S p e k t r a l f u n k t i o n Verschiebungssatz A b t a s t t h e o r e m der Z e i t f u n k t i o n Pulsmodulation

20 27 28 31 31 34 37 43 43 45 46 47

2.

Schaltungen mit passiven Bauelementen

50

2.1.

Passive B a u e l e m e n t e

50

2.1.1. 2.1.1.1. 2.1.1.2. 2.1.1.3. 2.1.1.4. 2.1.1.5. 2.1.1.6. 2.1.2. 2.1.2.1.

Widerstände Festwiderstände Veränderbare Widerstände Thermische B e l a s t b a r k e i t Rauschen Temperaturabhängige Widerstände Spannungsabhängige Widerstände Kondensatoren Kapazität und Dielektrizitätskonstante

52 54 54 55 56 57 59 60 60

VIII

Inhalt

2.1.2.2. 2.1.2.3. 2.1.2.4. 2.1.3. 2.1.3.1. 2.1.3.2. 2.1.3.3. 2.1.3.4.

E r s a t z s c h a l t u n g des realen K o n d e n s a t o r s Festkondensatoren Veränderbare Kondensatoren Induktivitäten Selbstinduktion u n d Gegeninduktion A u f b a u u n d E i g e n s c h a f t e n von I n d u k t i v i t ä t e n Induktivität mit Luftspalt Transformator

62 63 65 65 65 66 69 71

2.2.

Lineare passive Netzwerke

74

2.2.1. 2.2.1.1. 2.2.1.2.

Siebschaltungen Hochpaß Tiefpaß

74 75 76

2.2.1.3.

BoDE-Diagramm

77

2.2.1.4. 2.2.1.52.2.2. 2.2.3. 2.2.3-1. 2.2.3.2. 2.2.3.3. 2.2.3.4. 2.2.3.5.

Ü b e r t r a g u n g von R e c h t e c k s p a n n u n g e n Bandpaß und Bandsperre Phasenschieber Schwingkreise Serienschwingkreis Parallelschwingkreis Parallelschwingkreis m i t Spulenverlusten Der nichtstationäre Zustand Gekoppelte Schwingkreise

79 84 86 88 88 90 92 92 94

2.32.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4.

Vierpole . . . . , Vierpolgleichungen u n d ihre M a t r i x d a r s t e l l u n g Z u s a m m e n s c h a l t e n v o n Vierpolen Übertragungsfunktionen und Wellenwiderstand Vierpolersatzstrukturen

96 96 99 101 103

3.

Leitungen

106

3.1.

Vorgänge auf L e i t u n g e n

106

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4.

Leitungsgleichungen u n d W e l l e n p a r a m e t e r Ausbreitungsgeschwindigkeit Reflexionsfaktor u n d Stehwellenverhältnis Impedanztransformation

107 109 111 112

3 2.

A n w e n d u n g e n von L e i t u n g e n

116

3.2.1. 3 2.2. 3.2.3.

Anpassung Leitungen als R e s o n a t o r e n Schaltverhalten von Leitungen

117 119 120

3.3.

Spezielle L e i t u n g e n

123

3.3.1. 3.3.2. 3.33.

Paralleldrahtleitung Koaxialleitung Hohlleiter

123 123 124

4.

Halbleiterbauelemente

127

41.

Grundlagen

127

4.1.1. 4.1.2. 4.1.3.

B ä n d e r m o d e l l u n d Besetzungswahrscheinlichkeit Eigenleitung Störstellenleitung

127 130 133

Inhalt

IX

4.2. 42.1. 4.2.2. 4.2.3.

Bauelemente mit homogenem Halbleiter Halbleiterthermoelement Fotowiderstand HALL-Generator

136 136 137 137

4.2.4.

GUNN-Diode

139

4.3.

^w-Ubergang

140

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3 S4.3.6. 4.3.7. 4.3-8.

Verhältnisse am stromlosen /m-Übergang Berechnung der Diffusionsspannung Sperrschichtweite Stromdurchflossener ^«-Übergang Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie Reale Diodenkennlinie Ersatzschaltung einer Diode Übergangsverhalten

4.4.

Halbleiterdioden

158

4.4.1. 4.4.1.1. 4.4.1.2. 4.4.1.3. 4.4.1.4. 4.4.1.54.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5. 4.4.6. 4.4.7. 4.4.8. 4.4.8.1. 4.4.8.2. 4.4.8.3.

Gleichrichtung Gleichrichtergrundschaltungen Gleichrichter mit Ladekondensator Spannungsvervielfacher Gleichrichtung bei hohen Frequenzen und Schalteranwendungen Technische Ausführungsformen von Gleichrichterdioden Z-Dioden ! Kapazitätsdioden Tunneldioden Fotodioden . ? Lumineszenzdioden Metall-Halbleiter-Übergang Spezialdioden Speicherschaltdiode Lawinenlaufzeitdiode pin-Diode

158 159 161 162 163 164 166 168 169 172 173 174 176 176 177 177

Bipolartransistor

178

4.5. 4.5-1. 4.5.2. 4.5-34.5-3-.1 • 4.5-3.2. 4.5.3.3. 4.5.3.4. 4.5.3.5. 4.5-4. 4.5-4.1. 4.5.4.2. 4.5-4.3. 4.5.4.4. 4.5-5.

140 142 144 146 149 .152 155 157

Wirkungsweise des Transistors Transistorgrundschaltungen und ihre Gleichstromkenngrößen _ Beschreibung der Kleinsignaleigenschaften Beschreibung des Transistors durch Vierpolparameter Transistorkennlinien Physikalische Ersatzschaltung des Transistors in Emitterschaltung f ü r tiefe Frequenzen Transistorkapazitäten — die vollständige Ersatzschaltung Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung Der Transistor als Verstärker — die allgemeinen Kleinsignalbetriebseigenschaften Betriebsstromverstärkung Betriebsspannungsverstärkung Betriebseingangswiderstand Betriebsausgangswiderstand Übergangsverhalten

178 180 181 182 184 185 187 188 190 191 191 192 192 194

X 4.5-6. 4.5.7.

Inhalt Temperaturabhängigkeit des Transistors Grenzwerte

195 196 197

4.6.

Feldeffekttransistoren (FET)

4.6.1. 4.6.2. 4.6.2.1. 4.6.2.2. 4.6.3. 4.6.3.1. 4.6.3-2. 4.6.4. 4-6-5-

Übersicht über die F E T - T y p e n Sperrschicht-FET A u f b a u u n d Wirkungsweise Kennlinien Isolierschicht-FET A u f b a u u n d Wirkungsweise Kennlinien Ersatzschaltung u n d Vierpoldarstellung der F E T MISFET-Tetrode

4-7.

Thyristor

204

4.7.1. 4.7-2. 4.7-3.

A u f b a u u n d Wirkungsweise Dynamische Eigenschaften Thyristoranwendungen

204 206 208

5.

Analogschaltungen

209

5-1-. 5-1.1. 5.1.1.1. 5-1-1-2. 5-1.1.35-1.1-4. 5.1.1.55-1-1-5-15-1.1.5-2. 5-1-1 -5-35.1.1.6. 5.1.2. 5-1-2.1. 5.1.2.2. 5.1.35.1-3-1. 5-1-3-2. 5.1.3.3. 5-1.4. 5.1.4.1. 5-1-4.2. 5.1.55.1.5-15-1.5-2. 5.1.5.3.

Transistor-Kleinsignalverstärker 209 Emitterschaltung 209 Ausgangskennlinien u n d Arbeitsgerade 210 Einstellung des Arbeitspunktes 211 Vollständige Emitterschaltung und ihre Ersatzschaltung f ü r niedrige Frequenzen 214 Die Betriebsgrößen der Emitterschaltung 215 Emitterschaltung bei sehr tiefen Frequenzen 217 Einfluß des Emitterkondensators 218 Einfluß der Koppelkondensatoren 219 Dimensionierung der vollständigen Emitterschaltung 220 Emitterschaltung bei hohen Frequenzen 221 Basisschaltung 222 Vollständige Basisschaltung u n d ihre Ersatzschaltung 222 Die Betriebsgrößen der Basisschaltung 223 Kollektorschaltung 224 Vollständige Kollektorschaltung und ihre Ersatzschaltung 224 Die Betriebsgrößen der Kollektorschaltung 225 Bootstrapschaltung 226 Mehrstufige Verstärkerschaltungen 227 RC-Verstärker in Kettenschaltung 227 DARLINGTON-Schalfung 228 Differenzverstärker 230 Ersatzschaltung u n d Betriebseigenschaften 231 Differenzverstärker mit Konstantstromquelle im Emitterkreis 233 Offsetverhalten 234

5.2. 5-2.1. 5.2.1.1. 5-2.1.2. 5.2.2.

Transistor-Großsignalverstärker Leistungs Verstärker A-Verstärker Gegentakt-B-Verstärker Transistor als Schalter

.

197 198 198 199 200 200 . . . 202 203 203

235 235 236 237 239

Inhalt

XI

5.3.

Rückkopplung

242

5.3.1. 5.3.1.1. 5.3.1.2. 5.3.1.3. 5.3.1.4. 5.3.2. 5.3.2.1. 5.3.2.2. 5.3.2.3.

Gegenkopplung Stabilisierung der Betriebsgrößen Vergrößerung der Bandbreite Die gegengekoppelte Emitterschaltung Die Kollektorschaltung als gegengekoppelte Schaltung Mitkopplung Die Selbsterregungsbedingung Harmonische Oszillatoren Kippgeneratoren •

243 244 244 245 250 251 251 252 254

5.4. 5.4.1. 5.4.2. 5.4.2.1. 5.4.2.2.

Schaltungen mit Feldeffekttransistoren Einstellung des Arbeitspunktes FET-Grundschaltungen Sourceschaltung Drainschaltung

255 255 257 257 258

5-55.5.1. 5.5.1.1. 5.5.1.2. 5-5-1-35.5.1.4. 5.5.1.4.1. 5.5.1.4.2. 5.5.1.4.3. 5.5.1.4.4. 5.5.1.4.55.5.I.4.6. 5.5.1.55.5.1.5-15.5.I.5.2. 5-5-1 -5-35.5.1.54. 5.5.1.5-55.5.1.5 6. 5.5.2. 5.5.2.1. 5.5.2.2. 5.5.2.3. 5.5.2.3.1. 5.5.2.3.2. 5-5-2.3-3. 5.5.3.

Integrierte Analogschaltungen Operationsverstärker (OV) Eigenschaften des idealen OV Der ideale OV als Spannungsverstärker Kenngrößen und Grenzwerte realer OV Einfluß der Eigenschaften eines realen OV Einfluß der endlichen Leerlaufverstärkung Einfluß des endlichen Eingangswiderstandes Einfluß des Ausgangswiderstandes E i n g a n g s - u n d Ausgangswiderstand der Schaltung Der reale nichtinvertierende Verstärker Kompensation der Offsetgrößen Anwendungsbeispiele Analoge Rechenschaltungen . . Mittelwertbildner Impedanzwandler Gleichrichter Komparator Signalgeneratoren Multiplizierer Logarithmier-Delogarithmier-Multiplizierer Multiplizierer mit veränderlicher Steilheit Anwendungsbeispiele Analoge Rechenschaltungen Regelbarer Verstärker Effektivwertmesser Integrierte Spannungsregler

6.

Digitalschaltungen

289

6.1. 6.1.1. 6.1.2. 6.1.36.1.4.

Grundlagen und logische Grundgesetze Digitale und analoge Signale Zahlensysteme Codierung BooLESche Algebra

289 289 290 291 292

* ;

260 261 261 262 264 266 266 267 268 268 269 270 271 272 275 276 277 278 . . 281 282 283 283 284 284 285 285 286

XII

Inhalt

6.1.4.1. 6.1.4.2. 6.1.4.3. 6.1.4.4. 6.1.56.1.5.1. 6.1.5.2.

Logische Operationen Rechenregeln Schaltalgebra Minimierung Logische Grundfunktionen Einstellige Grundfunktionen Zweistellige Grundfunktionen

6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.56.2.6. 6.2.?.

Schaltkreissysteme . Charakteristische Kenngrößen Dioden-Transistor-Logik (DTLJ Transistor-Transistor-Logik (TTL) Emittergekoppelte Logik (ECL) Integrierte Injektionslogik (I 2 L) MOS-Logikschaltungen Vergleich der Schaltkreissysteme

307 307 309 310 311 313 314 315

6.3.

Grundelemente und Schaltungen der Digitaltechnik

317

6.3.1. 6.3.1.1. 6.3.1.2. 6.3.1.3. 6.3.2. 6.3.3.

Rechenschaltungen Binäraddition Binärsubtraktion Binärmultiplikation und Binärdivision Astabiler Multivibrator Univibrator

6-3.4.

,

ScHMiTT-Trigger

293 295 299 300 303 303 304

•

317 318 . . . 320 322 323 324 325

6.35. 6.3.51. 6.3.5.2. 6.3.5.3. 6.3.54. 6.3.5.5. 6.3.5.6. 6.3.5.7. 6-3.6. 6.3-7. 6.3.8. 6.3.8.1. 6 3 8.2.

Speicher Flipflopgrundschaltungen Master-Slave-Flipflop (MS-Flipflop) Schieberegister Zähler Dynamische Speicher CCD-Speicher Speicherorganisation Codeumsetzer Multiplexer Signalumsetzer Digital/Analog-Umsetzer Analog/Digital-Umsetzer

326 327 329 330 331 333 333 334 335 337 338 338 339

7.

Verzeichnisse

342

7.1.

Häufig verwendete Formelzeichen und Symbole

342

7.2.

Ergänzende und weiterführende Literatur

346

73.

Sachverzeichnis

349

1.

Darstellung von Signalen im Frequenz- und Zeitbereich

l.l.

Grundgesetze des elektrischen Stromkreises

I n diesem A b s c h n i t t werden zunächst zeitunabhängige Verhältnisse vorausgesetzt. Die Grundgesetze des elektrischen Stromkreises lassen sich dann besonders einfach und anschaulich gewinnen. W i e in den späteren A b s c h n i t t e n gezeigt wird, l ä ß t sich ihre Gültigkeit j e d o c h auch auf quasistationäre Stromkreise ausdehnen.

1.1.1.

Elektrischer Strom — Omvisches Gesetz - >

W i r d in einem Leiter ein elektrisches F e l d E aufrechterhalten, indem man z. B . die E n d e n des Leiters m i t den K l e m m e n einer B a t t e r i e verbindet, so w i r k t auf alle ge->

- >

ladenen Bausteine des Leitermaterials eine K r a f t F = qE, wenn m a n mit q ihre L a d u n g bezeichnet. Die frei beweglichen L a d u n g s t r ä g e r werden durch diese K r a f t verschoben. Sie führen eine beschleunigte B e w e g u n g aus, bis sie mit einem anderen B a u s t e i n zusammenstoßen und dabei ihre Geschwindigkeit n a c h B e t r a g u n d R i c h t u n g ändern. Makroskopisch erscheint die B e w e g u n g der L a d u n g s t r ä g e r als B e w e g u n g in einem reibenden Medium mit einer konstanten mittleren Driftgeschwindigkeit v D , deren Größe der Feldstärke proportional i s t : vD = liE.

(1.1)

Der Proportionalitätsfaktor ¡i heißt Beweglichkeit. Die Gesamtheit der sich unter Feldeinfluß pro Zeiteinheit durch einen Leiterquerschnitt A bewegenden L a d u n g s träger ergibt einen elektrischen Strom I = AQjAt. A u s A b b . 1.1 liest m a n ab, d a ß in der Zeit At alle im V o l u m e n AvDAt enthaltenen L a d u n g s t r ä g e r durch den zur Feldrichtung senkrechten Querschnitt A fließen; sie bilden die L a d u n g AQ = q^Av^At (nl A n z a h l der freien Ladungsträger pro Volumeneinheit = Trägerdichte). F ü r den Strom gilt also I =

= nßAvD

= nßjiAE

= n,q[i — U .

Abb. 1.1. Zur Berechnung der Leitfähigkeit

(1.2)

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

2

Bei konstanter Beweglichkeit /x und Trägerdichte nl besteht demnach ein linearer Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung, den man als OHMsches Gesetz bezeichnet. Man schreibt das in der Form =

(1.3)

Die Größe R = IjoA nennt man den ohmschen Widerstand, der außer von den geometrischen Abmessungen des Leiters von der Leitfähigkeit a = nflji des Leitermaterials abhängt. Bei Metallen ist die Anzahl der freien Ladungsträger (Elektronen) praktisch unabhängig von der Temperatur gleich der Anzahl der Atome. Dagegen hängt die Driftbeweglichkeit von der Temperatur ab, da mit wachsender Temperatur die Wahrscheinlichkeit von Zusammenstößen zwischen den freien Elektronen und den Gitterbausteinen zunimmt. Die Leitfähigkeit nimmt also mit wachsender Temperatur ab, d. h., der Widerstand nimmt zu. Bei Eigenhalbleitern steigt, wie später noch gezeigt werden wird, die Trägerdichte mit wachsender Temperatur stark an. Dieser Einfluß überwiegt die Abnahme der Beweglichkeit, so daß ihre Leitfähigkeit mit steigender Temperatur wächst. Die Abhängigkeit des elektrischen Widerstandes von der Temperatur beschreibt man in erster Näherung durch den linearen Temperaturkoeffizienten

In Tab. 1 sind die Leitfähigkeiten und Temperaturkoeffizienten einiger für die Elektrotechnik wichtiger Metalle zusammengestellt. Tabelle 1 Leitfähigkeit und mittlerer linearer Temperaturkoeffizient einiger Metalle (bei 20 °C)

J l » -

/ ßm

Gold Aluminium Silber Kupfer Platin Nickelin Manganin Konstantan Chromnickel

45,5 35,9 61,3 57 9,3 3,33 2,32 2,0 1,0

t k K / K

4,0 4,0 4,1 3,87 3,98 0,11 0,02 -0,03 0,2

3

1.1.2. K i R C H H O F F S c h e Regeln

Abb. 1.2. Zur 1. K i R C H H O F F S c h e n Regel

1.1.2.

KmcHHOFFsche Regeln

In einem verzweigten Stromkreis lassen sich unmittelbar aus der Anschauung zwei Gesetze ableiten, die man als KmcHHOFFsche Regeln bezeichnet. In einem Verzweigungspunkt (Knoten) gilt die 1. KiRCHHOFFsche Regel (Knotenpunktsatz): Die Summe aller zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller abfließenden Ströme. Dieses Gesetz folgt aus dem Satz von der Erhaltung der Ladung. Bezeichnet man alle zum Knoten fließenden Ströme als positiv und die abfließenden als negativ, dann gilt (Abb. 1.2)

(1-5)

Z In = 0 • n

Für einen geschlossenen Strompfad mit beliebig vielen Verzweigungspunkten (Masche) gilt die 2. KiROHHOFFsche Regel (Maschensatz): Die Summe aller Spannungsabfälle ist gleich der Summe der Quellenspannungen. Dieses Gesetz folgt aus der 2. MAXWELLschen Gleichung. Als Quellenspannung bezeichnet man dabei die Spannung, die an den Klemmen einer Spannungsquelle gemessen wird, wenn man ihr keinen Strom entnimmt, d. h., die Quellenspannung ist gleich der Leerlaufspannung (s. auch 1.1.3. und 1.1.4.). Bei den Spannungsabfällen müssen auch die an den Innenwiderständen der Spannungsquellen berücksichtigt werden. Bezeichnet man die im (willkürlich festgelegten) Umlaufsinn der Masche fließenden Ströme als positiv, entgegengesetzt fließende als negativ und zählt man die Quellenspannungen entsprechend, so gilt (Abb. 1.^) £ m

Im Rm

=

E n

U

(1.6)

,

A b b . 1.3. Z u r 2. K i R C H H O F F S c h e n

Regel

4

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

Ji Abb. 1.4. Parallelschaltung von Widerständen

Die Anwendung dieser Regeln auf beliebige Stromkreise liefert mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte und gestattet daher die vollständige Berechnung der Ströme bei gegebenen Spannungen und Widerständen. Die berechneten Ströme haben dann einen positiven Wert, wenn ihre anfangs willkürlich festgelegte Richtung mit der tatsächlichen übereinstimmt. Als besonders wichtige Fälle seien die Parallelund die Serienschaltung von Widerständen betrachtet. Für die Parallelschaltung (Abb. 1.4) ergibt sich im Knoten P2 aus (1.5) /i + Z 2 - / = 0.

(1.7)

Zwischen den beiden Knoten P1 und P2 liegt die Spannung U, d. h., es ist I j -— Ü t X

I i 2- — Ü •

Andererseits wird / durch den aus der Parallelschaltung von R± und R2 resultierenden Widerstand Rges bestimmt: 1=1-. R%es Dann folgt aber nach Einsetzen in (1.7) und Division durch U

d. h., bei Parallelschaltung addieren sich die reziproken Teilwiderstände zum reziproken Gesamtwiderstand. Da man den Kehrwert eines Widerstandes als Leitwert bezeichnet, kann man auch sagen: Bei Parallelschaltung addieren sich die Teilleitwerte zum Gesamtleitwert, d. h., es ist Gges = G1 + G 2 .

(1.8 a)

Bei der Serienschaltung folgt aus Abb. 1.5 mit (1.6) IR: + IR2=U

7)1"

= IRges

Abb. 1.5. Serienschaltung von Widerständen

1.1.2. KiRCHHOFFSche R e g e l n

B

5

Abb. 1.6. Zu Beispiel l . l : WHEATSTONE-Brücke

und daraus unmittelbar + R2 = Rges,

(1.9)

d. h., bei Serienschaltung addieren sich die Teilwiderstände zum Gesamtwiderstand. Beispiel l.i. Berechnung des Querstromes einer WHEATSTONE-Brücke mit Hilfe der KmcHHOFFschen Regeln. In Abb. 1.6 ist eine WHEATSTONE-Brücke dargestellt, wie sie zur Messung von Widerständen benutzt wird. Zunächst wird davon ausgegangen, daß der Gesamtstrom I der Brücke gegeben ist. Dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem: (Knoten A) (Knoten D) (Knoten C) (Masche ADC) (Masche BCD)

+ Ix -

I2

¿^7, RtIt

J3

+ Ig I3 Ig - R3I3 -Rgfg - Rtf, + RgIg

= = = = =

7, 0, 0, 0, 0.

Die Anwendung der KRAMERschen Regel liefert daraus I.= '

I

i?1J?1 — i? 2 Ä 3 Rg(Rr + R2 + R3 + Rt) + (Rt + R3) (R2 + Ä4)

Nimmt man dagegen die Batteriespannung U als gegeben an, so ist die erste Gleichung des Gleichungssystems zu ersetzen durch (Masche ADB)

R^

+ RJ2 = U ,

und damit ergibt sich

/.=

R1R4 — URg(Ri + -Rj) (R3 + Rt) + RXR2R3 + R2R3Rt

+ R3RiR1 + i?4i?ji?2

Die Brücke ist abgeglichen, wenn I g = 0 ist. Daraus folgt die Abgleichbedingung R

i _ R3 R2 ä4 2

Rost, Elektronik

6

1.1. Grundgesetze des Stromkreises Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle

1.1.3-

Verändert man in einem linearen Netzwerk1 einen Widerstand, so verändern sich i. allg. die Ströme in allen Zweigen. Die Berechnung des neuen Stromes durch den veränderlichen Widerstand mit Hilfe der KiRCHHOFFschen Regeln ist zwar möglich, aber umständlich. Nach dem Satz von H e l m h o l t z ist die Darstellung des gesamten Netzwerkes mit Ausnahme des veränderlichen Widerstandes durch eine Ersatzspannungsquelle mit der Leerlaufspannung U'L und dem Serieninnenwiderstand R\ oder durch eine Ersatzstromquelle mit dem Kurzschlußstrom2 l' K und dem gleichen Innenwiderstand R't in Parallelschaltung möglich. Bezeichnet man die Anschlußklemmen des veränderlichen Widerstandes mit a und b, so ist die Spannung lfL der Ersatzspannungsquelle gleich der Leerlaufspannung zwischen den Klemmen a und b, während sich R\ als Widerstand zwischen diesen Klemmen ergibt, wenn man alle im Netzwerk enthaltenen Spannungsquellen kurzschließt und alle Stromquellen durch offene Leiterzweige' ersetzt. Der Strom l' K der Ersatzstromquelle ergibt sich als Kurzschlußstrom zwischen den Klemmen a und b. Demnach gilt zwischen den Größen der Ersatzschaltung die Beziehung

£

=

(1.10)

R'i-

I'K

Mit diesen Werten kann der Strom über den veränderlichen Widerstand Ra einfach angegeben werden: u'L R\ =

(i.n)

I'K

R'i+

Ra'

Beispiel 1.2. Berechnung der Ersatzstromquelle und der Eisatzspannungsquelle für ein gegebenes Netzwerk (Abb. 1.7). J*

a a

4

"1

\ V t.

[

b

b

Abb. 1.7. Lineares Netzwerk mit Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle 1

2

Man spricht in diesem Sinne von einem linearen Netzwerk, wenn es nur aus linearen Widerständen aufgebaut ist, d. h., wenn für alle Widerstände das OHMSche Gesetz gilt. Zum Begriff des linearen Widerstandes und des linearen Netzwerkes s. Kap. 2. Eine Spannungsquelle liefert bei kurzgeschlossenen Ausgangsklemmen den Kurzschlußstrom IK, der durch ihre Leerlaufspannung UL und ihren Innenwiderstand Ri bestimmt wird:

Ür

1.1.4. Anpassung

7

Bei offenen Klemmen a und b gilt ii-Ri + I2R2

= Ü,

/2-R2 + I*R3 + / > 4 = ^ . Ä

- J2

+ J3 - J3

= 0, = 0.

+

Aus diesem Gleichungssystem lassen sich / 2 und I 3 nach der KRAMERSchen Regel berechnen:

I2

=

7

Ü

R l + R3 + Rl R1Ä2 + (Ä, + Ä2) (Ä3 + Rt) ' R

Vr

1 RXR2 + (Rx + j y (R3 + Ä4)

Damit folgt für die ErsatzleerlaufSpannung U'l nach (1.6) - RX(R2 + Rs) + Rt(R3 + RJ U'l = I A + I3R3 = u RyR* + (R1 + R2) (R3 + Ri) Für den Ersatzinnenwiderstand gilt (bei kurzgeschlossener Spannungsquelle U) nach (1.8) und (1.9) R'i = (Rt || Ä2 + R3) || Rt „ = H k

R R

1 2 + R2R3 +' R3R1 RXR2 + (R1 + R2) (R3 + i?4)

Schließlich findet man bei Kurzschluß zwischen den Klemmen a und b (Ra = 0) das Gleichungssystem JfR1 + I?R2

= U,

I*Rx

+I£R3

= U,

- ]*

= 0,

r*

- r*

IfR,

= V.

Daraus berechnet man If und nach (1.5)

=U •ff1i?2 + RxR3 +

I'K = I£+

1.1.4.

RI(R2 + R3) + R2(R3 + Ä4) It = f / : Ri(R1R2 + R2R3 + R3Ri)

Anpassung

Wir betrachten die Zusammenschaltung einer Spannungsquelle mit einem Verbraucher (Abb. 1.8) und fragen, unter welcher Voraussetzung dem Verbraucher die maximale Leistung P a m a x zugeführt wird. In diesem Fall sagt man, daß der Verbraucher an die Spannungsquelle angepaßt ist. Da bei Belastung am Innenwiderstand der Spannungsquelle ein Spannungsabfall auftritt, ist die Klemmenspannung Uk lastabhängig. Sie 2»

8

1.1. Grundgesetze des Stromkreises

«t

A b b . 1.8. Zur Definition von Klemmenspannung und Leerlaufspannung

beträgt (s. Abb. 1.8)

d. h., im Kurzschluß (Ra = 0) ist die Klemmenspannung Null, und sie nimmt für Ra oo (Leerlauf) ihren maximalen Wert, die Leerlaufspannung UL an. Für die an den Verbraucher abgegebene Leistung gilt Ul = _UlK_ Ra (Ri + Ra)2

a

( 1 1 )

Die Ausgangsleistung Pa ist also eine Funktion des Lastwiderstandes Ra. Zur Bestimmung des Maximums von Pa wird die Nullstelle der 1. Ableitung der Funktion Pa = f{Ra) (s. (1.-13)) aufgesucht. Die Gleichung dPa -rrd Ra

Fj2

VL

R„ - R. (R{ + Raf

liefert Ä f = Ra. Das Einsetzen dieses Wertes in die 2. Ableitung ergibt d2p«=

dRl

Ul ~{Ri

+

Ra)s

-

3(Äi

~

Ra) {Ri +

Ra)i

(ä, + Ra)e

o,

=

d. h., der berechnete Extremwert ist ein Maximum. Also gibt die Spannungsquelle im Anpassungsfall Ri — Ra die maximale Leistung Pamax = ^

(1-14)

i

an den Verbraucher ab (Abb. 1.9).

Abb.

1.9.

Ausgangsleistung

und

Wirkungsgrad

Spannungsquelle als Funktion des Lastwiderstandes

1.2.1. Harmonische Zeitfunktionen

9

Allerdings ist mit dem Fall der Leistungsanpassung nicht der größte Wirkungsgrad der Spannungsquelle verknüpft. Vielmehr beträgt dieser nur 50%, da am Innenwiderstand der Spannungsquelle genau so viel Leistung umgesetzt wird wie am Verbraucher. In Abhängigkeit vom Lastwiderstand beträgt der Wirkungsgrad P 1 « = — = — P ges l + (RJRa)

(1.15);

Aus (1.15) liest man ab, daß der Wirkungsgrad, allerdings bei abnehmender Ausgangsleistung, für Ra oo dem Maximalwert »7 = 1 zustrebt und mit abnehmendem Lastwiderstand sinkt (Abb. 1.9). Für bestimmte Betriebsfälle ist eine Überanpassung (Ra^> R t ) oder Unteranpassung (Ra R{) zweckmäßig. Unter der Voraussetzung R{ Ra ist die Klemmenspannung praktisch unabhängig vom Lastwiderstand; man spricht von Spannungseinspeisung und bezeichnet die, Spannungsquelle als Konstantspannungsquelle. Ist dagegen Ra R{, wird der Strom über Ra praktisch allein durch Ri bestimmt; man spricht von Stromeinspeisung bzw. dem Betrieb als Könstantstromquelle.

1.2.

Komplexe Darstellung elektrischer Größen

Bisher hatten wir zeitunabhängige Spannungen und Ströme angenommen. In vielen praktischen Fällen sind aber Spannung und Stromstärke zeitabhängig. Ändert sich dabei nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung dieser Größen, dann spricht man von Wechselspannungen und Wechselströmen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf die Behandlung des quasistationären Zustandes im Stromkreis. Das bedeutet, daß alle Übergangs- oder Einschwingvorgänge, wie sie z. B. nach dem Einoder Ausschalten von Spannungen auftreten, abgeklungen sind. Es werden also nur solche zeitlichen Änderungen zugelassen, bei denen die Momentanwerte von Strom und Spannung jederzeit dem eingeschwungenen Zustand entsprechen.

1.2.1.

Die Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme

Von einer harmonischen Wechselspannung spricht man, wenn man die Zeitabhängigkeit des Momentanwertes durch eine Kosinus- oder Sinusfunktion darstellen kann. Damit ergibt sich folgende Schreibweise: U = Ü cos (cot + u und 9kennzeichnen den Zeitpunkt des Nulldurchganges von Spannung und Strom. Da diese Festlegung willkürlich ist, wählt man häufig den Koordinatenursprung t — 0 so, daß einer der Nullphasenwinkel verschwindet, also

10

1.2. Komplexe Darstellung

um

Abb. 1.10. Graphische Darstellung einer harmonischen Wechselspannung und eines Wechselstromes

z. B. — ) =

1

1

+jo)RC

mit slco) 6K '

=

1 + (tuRC)2

,

tan a>„ = — coRC

(s. Abb. 1.18b)). Der Betrag der Ubertragungsfunktion ist also für tu = 0 gleich Eins und nimmt mit wachsender Frequenz ab; man bezeichnet die betrachtete Schaltung deswegen als Tiefpaß. 1

Beispiele für solche Netzwerke werden in 2.2. behandelt, allgemeine Gesetzmäßigkeiten in 2-3.

20

1.3- Signale und Spektren g(m

m

U,(t) a) log co Abb. 1.18. Zu Beispiel 1.6 b)

1.3.

a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der Übertragungsfunktion als Funktion der Frequenz

£ '2

Signale und Spektren

B e i den bisherigen B e t r a c h t u n g e n z u den Vorgängen in elektrischen Stromkreisen waren zeitunabhängige oder quasistationäre Verhältnisse vorausgesetzt worden, d. h , d a ß als Leerlaufspannungen Gleichspannungen oder harmonische Wechselspannungen angenommen wurden, die bereits so lange eingeschaltet waren, d a ß sich im Stromkreis ein Gleichgewichtszustand — der eingeschwungene Z u s t a n d — eingestellt h a t t e . I m folgenden A b s c h n i t t wollen wir nun unsere B e t r a c h t u n g e n u m zwei Gesichtspunkte erweitern: Erstens wollen wir beliebige periodische und nichtperiodische Spannungen zulassen, u n d zweitens soll gerade die Zeit unmittelbar nach d e m Einschalten der Spannung u n d die R e a k t i o n des Stromkreises auf das Einschalten der Spannung untersucht werden. 1.3.1.

FouRiER-Transformation

W i r nehmen an, d a ß die Zeitabhängigkeit einer Spannung durch eine periodische F u n k t i o n F(t) beschrieben werden kann, d. h., für diese F u n k t i o n gilt F(t) = F(t +

T)

(T Periodendauer) für beliebige Zeiten t. Innerhalb einer Periode soll die F u n k t i o n F(t) nur eine endliche A n z a h l v o n E x t r e m w e r t e n besitzen u n d bis auf eine endliche A n z a h l von Sprungstellen stetig sein. D a n n k a n n F(t) in eine unendliche Reihe der Form 00 a F(t) = — + £ (a„ cos nw0t + bn sin nw0t) (1.30) 2 »=1 — eine FouRiER-Reihe — entwickelt werden mit den K o e f f i z i e n t e n i.+ T 2

a "

b«

= — IC F(t) cos wtü0< d i , T J t, .

/

sin (cot + n(ost) .

(1.51)

Die Amplituden I n {m F ) der einzelnen Teilströme werden durch die BESSEL-Funktionen n-ter Ordnung vom Argument mF = Acotlws = AH/fs dargestellt (mF heißt Phasenhub oder Modulationsindex, AH ist der Frequenzhub in Hz). In der Praxis rechnet man damit, daß die zur Übertragung eines FM-Signals erforderliche Bandbreite mindestens B ^ 2(AH + Af.)

(1.52)

beträgt, also um 2 A H größer ist als die für ein entsprechendes AM-Signal. Der Frequenzhub AcOf ist unabhängig von der Signalfrequenz (Aco, wird beim U K W - R u n d funk z. B. durch die Lautstärke bestimmt), während der Phasenhub m F der Signalfrequenz umgekehrt proportional ist. Die Phasenmodulation (PM) läßt sich mathematisch ähnlich wie die Frequenzmodulation darstellen: A

-JpM = h sin («V + A

= 3780 K, 4:fi(20°C) = 100Q; b = 3520 K, 5: R (20 °C) = 47 £1; 6 = 3400 K

2.1.1. Widerstände

U/v

2

\ \

«o 5

*

/ 10e 2

/

A

A

\A

/

'

\

/

5

59

2

5

Abb. 2.10. Strom-Spannungs-Kennlinie von Heißleitern (nach KWHHandbuch „Halbleiter"); Kennzeichnung der Kurven wie in Abb. 2.9

J/mM logR,

Abb. 2.11. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Kaltleiters (schematisch)

eines

Eine. andere Art technisch wichtiger temperaturabhängiger Widerstände sind die Kaltleiter, auch als PTC-Widerstände (von engl.: positive temperature coefficient) bezeichnet. Bei diesen Bauelementen tritt in einem bestimmten Intervall oberhalb der Anfangstemperatur %A ein sehr großer positiver Temperaturkoeffizient auf (s. Abb. 2.-11). Bei %M erreicht Üer Kaltleiterwiderstand den 103 ... 104-fachen Wert seines Kaltwiderstandes. Unterhalb ê A und oberhalb d M verhält sich das Bauelement wie ein normaler Halbleiter, d. h., sein Temperaturkoeffizient ist negativ. 2.1.1.6.

Spannungsabhängige Widerstände

Varistoren (von engl.: variable resistor) sind Bauelemente, bei denen die Feldstärkeabhängigkeit der Leitfähigkeit ausgenutzt wird. Ausgangsmaterial ist Siliziumkarbid oder Zinkoxid mit bestimmten Dotierungen und in einer bestimmten Körnung, das zu Scheiben oder Stäben gesintert und mit Elektroden und Anschlußdrähten versehen wird. Die Kennlinie läßt sich durch die Gleichung U = K- Ib"

(2.14)

(.K Konstante, abhängig von den Abmessungen des Varitors; V Nichtlinearitätskoeffizient, Werkstoffkonstante mit Werten zwischen 0,15 und 0,3) beschreiben und hat den in Abb. 2.12a) schematisch dargestellten Verlauf. Für die Anwendung ist es

60

2.1. Passive Bauelemente

Abb. 2.12. Kennlinie eines Varistors (schematisch) a) im linearen Maßstab, b) doppelt-logarithmisch

üblich, die Kennlinie im doppelt-logarithmischen M a ß s t a b anzugeben (Abb. 2.12b)). F ü r sehr geringe S t r o m d i c h t e n ergeben sich Abweichungen von d e m d u r c h (2.14) beschriebenen Verlauf. A u f g r u n d ihrer n i c h t l i n e a r e n Kennlinie w e r d e n Varistoren v o r allem zur S p a n n u n g s s t a b i l i s i e r u n g u n d als Ü b e r s p a n n u n g s s i c h e r u n g sowie z u m Verzerren von W e c h s e l s p a n n u n g e n b e n u t z t .

2.1.2.

Kondensatoren

K o n d e n s a t o r e n sind n e b e n W i d e r s t ä n d e n die wichtigsten passiven B a u e l e m e n t e u n d f i n d e n in der S c h a l t u n g s t e c h n i k vielseitige A n w e n d u n g , z. B. als Energiespeicher, als K o p p e l e l e m e n t zur Ü b e r t r a g u n g von W e c h s e l s p a n n u n g e n zwischen auf u n t e r s c h i e d lichem P o t e n t i a l liegenden P u n k t e n einer S c h a l t u n g , in Schwingkreisen u n d P h a s e n schiebern. 2.1.2.1.

Kapazität und Dielektrizitätskonstante

W i r b e t r a c h t e n z u n ä c h s t eine A n o r d n u n g a u s zwei im A b s t a n d d z u e i n a n d e r parallel s t e h e n d e n kreisförmigen M e t a l l p l a t t e n m i t der F l ä c h e A u n d d e m R a d i u s r. Diese A n o r d n u n g h e i ß t P l a t t e n k o n d e n s a t o r . V e r b i n d e t m a n die P l a t t e n m i t den K l e m m e n einer S p a n n u n g s q u e l l e (Abb. 2.13 a)), so e n t s t e h t zwischen i h n e n ein elektrisches F e l d v o m B e t r a g e E, f ü r das u n t e r d e r ' V o r a u s s e t z u n g d r in g u t e r N ä h e r u n g

Abb. 2.13. Zum Zusammenhang zwischen Spannung und Ladung am Kondensator a)

b)

a) Plattenkondensator, b) Plattenkondensator mit Dielektrikum

61

2.1.2. Kondensatoren

gilt. Beide Platten tragen dann Ladungen gleicher Größe Q, aber entgegengesetzten Vorzeichens. Die Ladungsdichte auf den Platten bestimmt die Größe der dielektrischen Verschiebung im Feld: (2.16)

A

(t 0 = 8,8542 • 10~12 A s V - 1 m - 1 , Influenzkonstante, auch als Dielektrizitätskonstante des Vakuums bezeichnet). Aus (2.15) und (2.16) folgt (2.17)

et

Den von der Geometrie des Plattenkondensators abhängenden Ausdruck C = e 0 Ald nennt man Kapazität. Entsprechend (2.17) wird die Kapazität in Farad gemessen: 1 Farad (F) = 1 A s V - 1 . Da diese Einheit für die Praxis zu groß ist, verwendet man folgende Bruchteile: Mikrofarad (¡j.F) : 1 jjlF = 10" 6 F , Nanofarad ( n F ) : 1 nF = 10" 9 F , Picofarad ( p F ) : 1 pF = 10" 12 F . Bringt man zwischen die Platten des Kondensators bei konstanter Spannung einen Nichtleiter (Dielektrikum), so wird dieser im elektrischen Feld polarisiert. Auf seinen Oberflächen entstehen scheinbare Ladungen Q', die einen T e i l der Ladungen auf den Platten kompensieren. Da die Feldstärke nach Voraussetzung (s. (2.15)) konstant bleibt, muß also die Ladung Q' zusätzlich auf die Platten fließen (Abb. 2 . 1 3 b)). Das führt zu einer Vergrößerung der dielektrischen Verschiebung: (2.18) Tabelle 6 Relative Dielektrizitätskonstante einiger Dielektrika Stoff

e,

Luft (0 °C, 101,3 kPa) Paraffin Transformatoröl PVC Polystyrol Polyethylen Glimmer Porzellan Glas Wasser (18 °C) Rutil, TiOj H* BaTi0 3

1 * (20 °C) 120 °C)

1,0059

2

2,6 ... 2,9 2,3 ... 3,4 2,5 ••• 3,1 2,2 ... 2,3 6 ... 8

5 6,5 5 ... 16 81

89 173 ~ 1500 ~ 101

*Richtung des elektrischen Feldes zur tetragonalen Achse

2.1. Passive Bauelemente

62

_L T

«0

J>)

J ±

Abb. 2.14. Schaltzeichen für Kondensatoren

0

a) Festkondensator, b) veränderbare Kondensatoren, c) Elektrolytkondensator

T

diese setzt sich nun aus dem Vakuumanteil e0E und der Polarisation P des Dielektrikums zusammen. Man schreibt d a f ü r auch D = e^E

(2.19)

u n d nennt die so eingeführte dimensionslose Materialkonstante er relative Dielektrizitätskonstante. Der Plattenkondensator mit Dielektrikum h a t demnach die K a p a zität

r

A

(2.20)

Die relative Dielektrizitätskonstante kann Werte zwischen 1 und einigen 104 annehmen (s. Tab. 6). Diese Erhöhung der Kapazität einer bestimmten geometrischen Anordnung durch Verwendung eines geeigneten Dielektrikums nutzt man bei der Herstellung technischer Kondensatoren aus. In Abb. 2.14 sind die Schaltzeichen fester und veränderbarer Kondensatoren dargestellt. 2.1.2.2.

Ersatzschaltung des realen Kondensators

Legt man an einen Kondensator mit der Kapazität C eine harmonische Wechselspannung U • exp (jmt), dann fließt ein Verschiebungsstrom, für den aus Gl. (2.17) folgt:

I eJmt = C—(U ejmt) = jmC • U e'at, dt

(2.21)

d. h., der Kondensator kann als reiner Blindwiderstand beschrieben werden (s. auch 1.2.3-). Nun ändern sich aber Größe und Richtung der Polarisation des Dielektrikums im R h y t h m u s des anliegenden elektrischen Wechselfeldes, und dabei wird ein Teil der zugeführten elektrischen Energie in Wärme umgesetzt. Diese sogenannten dielektrischen Verluste haben demnach einen zusätzlichen Wirkstrom zur Folge. Im elektrischen Ersatzschaltbild (Abb. 2.15) berücksichtigt man das durch einen der Kapazität C parallelgeschalteten Wirkleitwert G, in der relativen Dielektrizitätskonstanten durch den komplexen Ansatz

§, = £'— je" ,

(2.22)

Abb. 2.15- Ersatzschaltung und Zeigerdiagramm eines realen Kondensators

2.1.2. Kondensatoren

63

wobei e' die dielektrische Polarisation und e" die damit verbundenen Verluste beschreibt. Für den komplexen Leitwert des Kondensators gilt damit X.c =

= j — In

U0 Un+1

Ux , n ganze Zahl . -U„'

Dabei beschreibt U„+i — U^ = AU die Abweichung vom quasistationären Zustand nach n Perioden.

2.2. Lineare passive Netzwerke

84

a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der normierten Übertragungsfunktion (symmetrische WiEN-Brücke)

2.2.1.5.

Bandpaß und Bandsperre

Mittels relativ einfacher i?C-Schaltungen lassen sich auch Bandpässe und Bandsperren realisieren. Wir wollen einige Schaltungen betrachten, die wegen ihrer Einfachheit häufig Verwendung finden. In Abb. 2.36 ist die WiEN-Brücke dargestellt. Ihre Übertragungsfunktion ergibt sich sofort aus (2.48), wenn man f ü r die Serienschaltung von Rt und Q u n d f ü r Z2 die Parallelschaltung von R2 und C2 einsetzt: g(a) =

S, jojR2C2

ß j'JìCy

Ä. 1 + ju>R2C2

(2.67)

Meist verwendet m a n die WiEN-Brücke in ihrer symmetrischen Form, d. h., es ist i?! = R2 = R und Q = C2 = C. Dann vereinfacht sich (2.67) zu gH

(2.68)

=

3 +jlwRC

-

coRC

Die Übertragungsfunktion (2.68) der symmetrischen WiEN-Brücke wird für co0 = 1 /RC reell u n d hat den Betrag g = 1 / ) (s. Abb. 2.36). Die Frequenz co0 nennt man die Eigenfrequenz der Brücke. Mit der normierten Frequenz Q = co/co0 läßt sich (2.68) vereinfachen zu g(Q) =

1

(2.69)

mit

7 + Q* +

Q2

Der Verlauf dieser beiden Teilfunktionen ist in Abb. 2.36b) dargestellt. Die B rücke zeigt das Verhalten eines Bandpasses.

WIEN-

2.2.1. Siebschaltungen

85

L

L R

9'

2R,

90°

03

?

-C

V

U,

0,

l y 1 X \ 1 / \ 1 / \i/ 7T 1 1 V 1

0,1

C R

—

f

»1

1

> 1 o)

1

0

b)

Abb. 2.37.

-

10 -

-90°

WIEN-ROBINSON-Brücke

a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der normierten Übertragungsfunktion

D u r c h H i n z u f ü g e n eines o h m s c h e n Spannungsteilers zur WiEN-Brücke e r h ä l t m a n die WIEN-ROBINSON-Brücke (Abb. 2.37a)). Die auf co0 = 1 \RC n o r m i e r t e Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n dieser S c h a l t u n g l a u t e t (2.70)

g _ ( 0 ) = j Q

Q

mit Q

-

Q

1

tan

(pg

= Q

I m Gegensatz zur WiEN-Brücke ist der B e t r a g der Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n f ü r co = co0 Null u n d geht f ü r hohe u n d tiefe F r e q u e n z e n gegen den W e r t g = 1/3, d. h., die S c h a l t u n g zeigt d a s V e r h a l t e n einer B a n d s p e r r e (s. A b b . 2.37b)). D e r P h a s e n w i n k e l der Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n weist bei co = eo0 eine Unstetigkeitsstelle auf. E i n g a n z ähnliches V e r h a l t e n wie die WIEN-ROBINSON-Brücke zeigt d a s DoppelT - F i l t e r , von d e m wir n u r seine gebräuchliche s y m m e t r i s c h e F o r m b e t r a c h t e n wollen

0 Ä

I

,

II ffll 2C~ _

a)

II Uff

'

0 °

R Z

I

b)

Abb. 2.38. Symmetrisches Doppel-T-Filter a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der normierten Übertragungsfunktion 7

Rost, Elektronik

86

2.2. Lineare passive Netzwerke

(Abb. 2.38). Gegenüber der WiEN-R0BiNS0N-Brücke hat diese Schaltung den Vorteil, daß Eingang und Ausgang eine gemeinsame Klemme haben. Die auf a>0 = 1 ¡RC normierte Übertraglingsfunktion lautet 1 1+ 4jQ -

mit

(2.71)

ü2

1 -ß2 (/(l - Ü 2 ) 2 + 16Ì2 2

tan q> ü

-

Q

Das Doppel-T-Filter läßt sich vor allem in Verbindung mit integrierten Operationsverstärkern vorteilhaft einsetzen, u. a. zur Realisierung von Oszillatoren und aktiven Filtern.

2.2.2.

Phasenschieber

Ein Phasenschieber ist ein Netzwerk, dessen Ausgangsspannung eine gegenüber der Eingangsspannung frequenzabhängige Phasenlage bei möglichst konstanter Amplitude aufweist. Eine einfache Möglichkeit zur Realisierung bietet die in Abb. 2.39 dargestellte i?C-Brücke. Aus der Schaltung liest man ab: U'n = Ut, — 1 + jcoRC -1 £

= ^

(mit R t = i y .

Daraus folgt U*

=

-

Ui

Abb. 2.39. ÄC-Phasenschieber-Brücke a) Schaltung, b) Zeigerdiagramm der Spannungen

2.2.2. Phasenschieber'

87

Aus (2.72) erhält man den auf co0 = 1 jRC normierten Betrag und Phasenwinkel der Übertragungsfunktion: =

tan 2 = —OJRC .

Daraus ergibt sich für die Phasenwinkel tan 1

7

^

= — — - — -- tan (— — a>„ |, tan (p2 \2

(2-74)

Eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit kann man in zwei zueinander senkrechte, harmonische Schwingungen gleicher Frequenz zerlegen, die gegeneinander um ji/2 phasenverschoben sind (s. dazu auch 1.2.2.).

88

2.2. Lineare passive Netzwerke

d. h., es ist 2 = 3t/2. Die Phasenbeziehungen zwischen den Spannungen macht das Zeigerdiagramm in Abb. 2.40b) deutlich.

2.2.3.

Schwingkreise

Schwingkreise sind Schaltungen, die Induktivitäten und Kapazitäten enthalten. Das besondere physikalische Verhalten dieser Schaltungen rührt daher, daß sie zwei Energiespeicher enthalten, die in der Lage sind, die in ihnen gespeicherte Energie periodisch auszutauschen. Da dabei Verluste auftreten, ist dieser Vorgang zeitlich begrenzt. J e nachdem wie Induktivität und Kapazität zusammengeschaltet sind, unterscheidet man Serien- und Parallelschwingkreise. Aufgrund der Verluste realer Spulen und Kondensatoren enthält die Ersatzschaltung auch stets ohmsche Widerstände. 2.2.3.1.

Serienschwingkreis

Ein Serienschwingkreis entsteht durch Serienschaltung eines Kondensators mit einer Spule. Die Verluste dieser Bauelemente sollen durch die Serienwiderstände RCS und RLS beschrieben werden; sie lassen sich dann einfach zu einem Verlustwiderstand RS = RCS + RU des Kreises zusammenfassen, und man erhält so die in Abb. 2.41 dargestellte Schaltung. Legt man an diesen Schwingkreis eine konstante harmonische

Abb. 2.41. Serienschwingkreis a) Schaltung, b) Betrag und Phasenwinkel der Admittanz bzw. des Stromes als Funktion der Frequenz (schematisch)

2.2.3- Schwingkreise

89

Wechselspannung, so gilt im quasistationären Zustand = y .

I

u

U

=

=

YSU

(2.75)

ei0 antwortet der Schwingkreis mit einer gedämpften Schwingung, die man als Spannung über der Induktivität mit einem Oszillografen sichtbar machen kann. Nach (2.94) gilt für zwei beliebige aufeinander folgende Amplituden TT U

>
21

1

Z

22

Ay

¿21

z

A

¿21

Z

a11

Aa

«21

«21

1

«22

«21

«21

a22

Aa

«12

«12

Aa

Az

Ah Ay

21

^21

Z

22

H

>21

Ah hn

Ki ha

y«.

>11 >21

Ki Ki

Ki

>22 Ay

>12 Ay

Ah K2

Ki K2

y*.i Ay

>n 4y

Ki

1

_>22

12

I

^22 ~Äz.

z n Az

Vn

>12

Z 21 Äz

z n Az

yn

>22

Y

H

Y

«12

«12

a 12

/la

Az

z

1

«22

«22

Z

z

yn

>12 >11

1 «22

«21 «22

Z

>21 yn

>n

22

21 ¿22

«11«22 — «12«21

«12 «21

n 22 1

¿22

_>12

K;

>21

Ki

Z

2l

Z

11Z22 ~~ ¿12^21

«22

fll Z 22

«12

i Az

h 22

i Ay

>'n yn ynV22 - >12>21

i

K2

1

_ h?

Ki

Ki

Ki

Ah

Ki

Ki

Ki

Ki

¿21

¿22

Kx Ki

Kl^22 ~ KiKi K2 Ki

2.3.2. Zusammenschalten von Vierpolen

99

Durch Vertauschen der Variablen findet man die anderen fünf Darstellungsformen. Die gebräuchlichsten davon lauten in Matrixschreibweise: Leitwertform:

iiht H)(tH(i)' Kettenform:

p-t äd'H(I')'

Hybridform (Reihen-Parallel-Form):

tH£ t)!MDDie Bedeutung der Matrixelemente ergibt sich ganz analog durch partielle Differentiation der entsprechenden abhängigen Variablen. Da alle Gleichungssysteme den gleichen physikalischen Sachverhalt beschreiben, lassen siöi die Elemente jeder Matrix durch die jeder anderen ausdrücken. Einfaches Umformen der Gleichungen führt auf die in Tab. 10 wiedergegebenen Beziehungen zwischen den gebräuchlichen Vierpolparametern. Der gleiche Formalismus läßt sich unter bestimmten Voraussetzungen auch auf nichtlineare Vierpole anwenden. Bei einem nichtlinearen Vierpol kann der Zusammenhang zwischen Strömen und Spannungen am anschaulichsten durch Kennlinien dargestellt werden. Nimmt man diese in einem bestimmten, hinreichend klein gewählten Arbeitsbereich — man sagt, in der Umgebung des Arbeitspunktes U\A, U^A, I\A, I%A — als linear an, lassen sich die oben eingeführten Vierpolgleichungen zur Beschreibung der Übertragungseigenschaften innerhalb dieses Arbeitsbereiches verwenden. Die Matrixelemente sind dann allerdings keine Konstanten mehr, sondern vom Arbeitspunkt abhängig; sie entsprechen dem Anstieg der Kennlinien im Arbeitspunkt (s. dazu 4.4.).

z.3.2.

Zusammenschalten von Vierpolen

Ihre eigentliche Bedeutung gewinnt die Vierpoltheorie bei der Beschreibung der Zusammenschaltung von mehreren Vierpolen. Benutzt man auch weiterhin die im Zusammenhang mit den KiRCHHOFFschen Regeln eingeführte Bezeichnungsweise, so ist für eine Serienschaltung die Addition der Teilspannungen, für eine Parallelschaltung die Addition der Teilströme charakteristisch. Damit ergeben sich für Vierpole u. a. die in Abb. 2.48 dargestellten Schaltungen. Als besondere Form der Zusammenschaltung von Vierpolen tritt die Kettenschaltung auf, bei der das Ausgangstor eines Vierpols mit dem Eingangstor des folgenden verbunden ist (Abb. 2.48c)).

-100

2.3. Vierpole •2,

>0

>

In

o

2,

Un

J,t

Un

J Ü

_ 'Uv

Abb. 2.48. Vierpolen

Ja'J,

Ja

A,

a) Serienschaltung, b) Parallelschaltung, c) Kettenschaltung

Un'

A,

Zusammenschalten von

..

Aus Abb. 2.48a) liest man für die Serienschaltung folgende Bedingungsgleichungen ab: Uu + U21 = Ux , U12 + C/22 = ü , , (2.107.1) Im

— ha.

— h

•

—

I n

—

Ii •

(2.107-2)

Stellt man die Vierpolgleichungen in Widerstandsform entsprechend (2.-103) a u f und berücksichtigt diese Bedingungen nach (2.107), ergibt sich nach Umformen in Matrixschreibweise .2/

III "T \3:121 + = (Zi +

^112 + £212 \ ¿122 + £222/

Z9.11

I ¿1

(2.108)

Z h

Bei der Serienschaltung von Vierpolen addieren sich die Widerstandsmatrizen der einzelnen Vierpole entsprechend den gültigen Rechengesetzen zu einer resultierenden Widerstandsmatrix. Auf ganz ähnliche Weise findet man für die Parallelschaltung (Abb. 2.48b)) >111 + 11 ^121 + ^221

+ ^212 \U2) ^122 +

yn2

W

(2.109) d. h., bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwertmatrizen.

2.3.3- Übertragungsfunktionen

101

Für die Kettenschaltung ergeben sich aus Abb. 2.48 c) folgende gleichungen :

Ui = un, U* = Mn. u22 = u2 ,

h = In. b* = la. ¿22

=

/

2

Bedingungs-

(2.110)

.

Verwendet man die Vierpolgleichungen in Kettenform (Gl. (2.105)), ergibt sich für die Kettenschaltung mit den Bedingungen (2.110) Hl

=

(#111 #211 + #112 ?22l) U2 + («in #212 + #112 #222) I i >

Ii

=

(#121 #211 "I" #122 #22l) H2 + (#121 #212 "f" #122 #222) Ii

oder in Matrixschreibweise

Dabei muß man beachten, daß das Matrixprodukt nicht kommutativ ist. Das bedeutet, daß die resultierende Kettenmatrix von der Reihenfolge der zusammengeschalteten Vierpole abhängt, was auch physikalisch einleuchtend ist. Diese einfachen Regeln über das Zusammenschalten von Vierpolen gelten allerdings nur, wenn die oben für die paarweise Zusammenfassung der Klemmen zu Eingangsund Ausgangstor gemachten Voraussetzungen erfüllt sind.

2-3-3-

Übertragungsfunktionen und Wellenwiderstand

Die Eigenschaften eines Vierpols hinsichtlich der Übertragung eines elektrischen Signals vom Eingangs- zum Ausgangstor lassen sich beschreiben, wenn man Ströme und Spannungen miteinander ins Verhältnis setzt (s. auch 1.2.6.). Wir gehen dabei aus von einem Vierpol, der am Ausgang mit einem Lastwiderstand R2 beschaltet ist (Abb. 2.49)- Dann besteht zwischen den Ausgangsgrößen der Zusammenhang

U_2 = R2 •

•

(2.112)

Setzt man das in die Kettengleichungen (2.105) ein, ergibt sich U1

= I «11

^2-

h = (#21^2 + #22) h .

(2-113)

Daraus gewinnt man die sogenannten Übertragungsfunktionen: 1 1 ™ia #11 + — R•

k h

Spannungsübertragungsf aktor,

(2.114.1)

Stromübertragungsfaktor,

(2.114.2)

U, Abb. 2.49. Zur Herleitung der Übertragungsfunktionen 8

Rost, Elektronik

2.3. Vierpole

102 gp

w

=

Leistungsübertragungsfaktor,

i

1

«lli?2 + «12

=

Li

-

«21^2 "' «22

gj

R2

U2 L

«21-^2 + «22

h

1

(2.114-3)

Eingangsimpedanz,

(2.114.4)

Übertragungsimpedanz,

(2.114-5)

Übertragungsadmittanz. (2.114.6) «11;?2 + «12 Mittels Tab. 10 lassen sich diese Funktionen auch durch andere Vierpolparameter darstellen. Die Übertragungsfaktoren können in der Praxis in Abhängigkeit von anderen Variablen (z. B. als Funktion der Frequenz) einen sehr großen Wertebereich umfassen. Sie werden dann unanschaulich und lassen sich vor allem grafisch nicht mehr sinnvoll darstellen. Es ist daher üblich, sie in einem logarithmischen Maßstab darzustellen (s. dazu 2.2.1.3'.). Aus (2.114.4) liest man ab, daß die Eingangsimpedanz W t eines Vierpols vom Abschlußwiderstand Ä2 abhängt. J e nach Beschaltung kann W_i alle Werte annehmen zwischen Hl

Wj ä =oo = W 1L = —

Leerlaufeingangsimpedanz

(2.115.1)

Kurzschlußeingangsimpedanz.

(2.115.2)

«21

und Wj|r,=o = WjiK

=

~ a22

Gleiche Überlegungen gelten für das Ausgangstor, wenn man das Eingangstor mit einer Impedanz R t abschließt, und führen auf W2\Rj=ao = W 2L = —

Leerlaufausgangsimpedanz

(2.115-3)

«21

und

1^1*1=0 = 1^2 k = — Kurzschlußausgangsimpedanz. (2.115-4) «ii Den geometrischen Mittelwert aus Leerlauf- und Kurzschlußimpedanz bezeichnet man als Wellenwiderstand des Vierpols für das entsprechende Tor: z01 = iw1L

• W1K = 1/ ^ ^ r

Z 02

=

f w

2 L

• W

2 K

Eingangswellenwiderstand ,

(2.116. 1)

Ausgangswellenwiderstand.

(2.116.2)

«21?22

= 1/^^

Dieser stellt gerade den Abschluß widerstand dar, für den der Vierpol angepaßt ist, d. h., ein mit Z 02 am Ausgang abgeschlossener Vierpol hat gerade die Eingangsimpedanz Wi = Z 01 und umgekehrt. Den Wellenwiderständen eines Vierpols kommt somit eine eminente praktische Bedeutung zu. Betrachten wir den Fall, daß eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand R { über einen Vierpol mit dem Ver-

103

2.3-4. Ersatzstrukturen

braucher R2 verbunden ist. Im Anpassungsfall, d. h., wenn R{ — Z01 und R2 = Z02 ist, wird die maximale. Leistung an den Verbraucher übertragen, und es treten keine Reflexionen auf (s. dazu 1.1.4. und Kap. 3 ). Die Wellenwiderstände lassen sich über die Messung der Leerlauf- und Kurzschlußimpedanzen experimentell ermitteln. Besonders einfache Verhältnisse ergeben sich beim symmetrischen Vierpol. Dann ist a n = a 22 und damit

2.3.4.

Vierpolersatzstrukturen

Die Gleichungen (2.115) liefern Zusammenhänge zwischen den oben definierten charakteristischen Ein- und Ausgangsimpedanzen w 1 K , W 1L , W ZK und W$L und den Kettenparametern eines Vierpols. Beschränken wir uns weiterhin auf passive Vierpole, dann ist Aa = ^ ¡ ¡ 2 — a^a^

= 1 .

(2.118)

Diese Beziehung ist identisch mit den Gleichungen z12 = —z^ oder y12 = —y21 (s. Tab. 10). Damit lassen sich die Gleichungen (2.115) in einfacher Weise so umformen, daß die Kettenparameter afJ- durch die charakteristischen, der Messung immittelbar zugänglichen Ein- und Ausgangsimpedanzen ausgedrückt werden: w2L-w2K

--

r w1L -

iWzdWiL a12 = W1K]I ^ V W1L - W1K

w1K

-

W1K)

'

(2.119)

= W,K-\I ^ ~2K ]/ W2L - Wz«

Entsprechend Tab. 10 kann man nun auch alle anderen Vierpolparameter durch die charakteristischen Impedanzen W1L, WiK, W2L und W2K ausdrücken. So ergibt sich z. B. für die Widerstandsparameter «21 *u = - — = - * n = ~ i W z L { W 1 L ~ W 1 K ) = - i w 1 L { W 2 L - W 2 K ) , «21 £22 —

«22 «21

TJ

(2.120)

,

= —yvjLL •

Andererseits läßt sich das Ersatzschaltung anschaulich sind in Abb. 2.50 dargestellt. durch die meßbaren Größen 8*

Übertragungsverhalten eines Vierpols auch durch eine machen. Die gebräuchlichsten Vierpolersatzstrukturen Die Aufbauelemente dieser Ersatzstrukturen lassen sich W1L, W1K, W_2L und w^ ausdrücken. Aus Abb. 2.50a)

104

2-3- Vierpole

F

U,

h

•

h

cO

A b b . 2.50. V i e r p o l e r s a t z s t r u k t u r e n a) T-Glied (Sternschaltung), b) jr-Glied (Dreieckschaltung), c) Kreuzglied (Brückenschaltung)

liest man z. B. ab: w1L

= zx

+ z3,

w1K

= zt

-2-3

+

(2.121)

W_2L = Zi + Z3 ,

W2K =

Z2

Z^Z^ Zi +

Z3

Man kann aber auch die Aufbauwiderstände durch die Vierpolparameter ausdrücken und umgekehrt. So liest man aus Abb. 2-50a) ab, wenn man die Definitionsgleichungen (2.102) der Widerstandsparameter berücksichtigt: £11 = W1L z12 = ?22

=

= h

z21 = TX

2L —

+

Za,

Zs , (Z_2. + Z3) ,

d. h., es ist Z j = Z u -f- £j 2 ,

Z2—

(^21 ~f~ £22) >

Z3 =

Z12 — Z21 .

(2.122)

In ähnlicher Weise lassen sich Beziehungen zwischen den Aufbaugrößen anderer Ersatzstrukturen einerseits und den meßbaren Ein- und Ausgangsimpedanzen bzw. beliebigen Vierpolparametern andererseits aufstellen. Beispiel 2.5. P h a s e n s c h i e b e r k e t t e (s. A b b . 2.51). B e r e c h n e t werden soll die Frequenz, bei der die P h a s e n v e r s c h i e b u n g zwischen Ausgangs- u n d E i n g a n g s s p a n n u n g 180° b e t r ä g t (Ausgang offen). Dieses einfache Beispiel soll deutlich machen, wie m a n m i t Hilfe des Vierpolformalismus die Ü b e r t r a g u n g s e i g e n s c h a f t e n eines Netzwerkes einfach analysieren k a n n . D a es sich u m die K e t t e n s c h a l t u n g v o n drei gleichen Vierpolen h a n d e l t , g e h t m a n bei den B e t r a c h t u n g e n

2.3-4. Ersatzstrukturen

105

Abb. 2.51 • Zu Beispiel 2.5: Phasenschieberkette aus drei ÄC-Hochpässen von der Kettenmatrix aus. Aus Abb. 2.51 liest man mit den Gleichungen (2.102) für die Widerstandsmatrix eines i?C-Hochpasses ab: 1

R

jmC

—R

R

-R)

Nach Tab. 10 ergibt sich daraus die Kettenmatrix 1 +

1 jwRC — R

1 jcoC 1

Nach (2.111) findet man daraus die resultierende Kettenmatrix des Phasenschiebers: A3 =

• a . 11

_12

: 21

7.W ii22

-{- 2.(11

1

W¡2^21^22

^12(^11 ^ ^22

+

^11^22

&12&21

+

Bei offenem Ausgang (J4 = 0) gilt demnach, wenn man die oben berechneten Kettenparameter des i?C-Hochpasses einsetzt, Ux = «i3i • Ut = («i! + 2anana21 + al2a21a22) Lr4 1—

5 . ./ 1 - v3R3C3 a>2R2C2 + j co

6 V OJRC

Die Ausgangsspannung Ui weist gegenüber der Eingangsspannung Ul genau dann eine Phasenverschiebung von 180° auf, wenn eine negative reelle Zahl ist. Das ist bei gegebenen Schaltelementen bei der Frequenz

6 R2C2 der Fall. Es ist dann a$(cu0) = —29.

3.

Leitungen

Bisher hatten wir angenommen, daß man den Strom in einem beliebigen Zweig eines Netzwerkes allein aus der Kenntnis der Widerstände und der wirksamen Spannungen berechnen kann, und zwar unabhängig davon, ob die Spannungen konstant oder zeitlich veränderlich sind. Nun kann sich jedoch ein bestimmter elektrischer Zustand, den man durch die Momentanwerte von Spannung und Stromstärke beschreibt, nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Das heißt aber, daß die Momentanwerte nicht überall gleichzeitig den gleichen Wert annehmen können. Praktisch bedeutend wird das allerdings erst, wenn die mechanischen Abmessungen der Schaltung hinreichend groß werden oder die zeitliche Änderung der Momentanwerte sehr schnell erfolgt. Als Leitungen im Sinne dieses Kapitels sollen die elektrischen Verbindungen zwischen einzelnen Baugruppen oder Geräten eines Systems bezeichnet werden, die der Übertragung von Energie oder Informationen dienen. Häufig weisen diese Leitungen eine beträchtliche Länge auf. Wird die Laufzeit der Energie oder der Information auf einer Leitung vergleichbar mit einer für die übertragene Größe charakteristischen Zeit, z. B. der Periodendauer bei einer Wechselspannung oder der Impulsdauer bei einem impulsförmigen Signal, kann man die Beschreibung des elektrischen Zustandes auf der Leitung nicht mehr wie bisher vornehmen, sondern man muß zusätzlich die Ortsabhängigkeit von Spannung und Stromstärke berücksichtigen.

3.1.

Vorgänge auf Leitungen

Eine exakte Beschreibung solcher Vorgänge erfolgt auf der Grundlage der MAXWELLschen Gleichungen. Man kann aber bereits mittels eines einfachen Modells, der Ausbreitung von Wechselspannungen längs einer Doppelleitung, auf anschaulichem Wege eine Reihe neuer Erkenntnisse gewinnen, die zum Verständnis vieler für die Elektronik und Meßtechnik wichtiger Erscheinungen führen. Auf diesen einfachen Fall wollen wir uns beschränken. Eine Doppelleitung (Paralleldrahtleitung, LECHER-Leitung) besteht aus zwei zueinander parallelen elektrischen Leitern konstanten Querschnitts. Ihre elektrischen Eigenschaften lassen sich durch den Widerstands- und Leitwertbelag beschreiben: R' Widerstand des Hin- und Rückleiters, L' Induktivität des Hin- und Rückleiters, G' Leitwert zwischen Hin- und Rückleiter, C' Kapazität zwischen Hin- und Rückleiter (alle Größen werden pro Längeneinheit angegeben).

107

3-1.1. Leitungsgleichungen

Die' Größen R' und L' können in recht guter Näherung als Impedanz der am Ende kurzgeschlossenen, G' und C als Admittanz der am Ende offenen Leitung gemessen werden. Man nennt eine Leitung homogen, wenn diese Größen ortsunabhängig sind.

3.1.1.

Leitungsgleichungen und Wellenparameter

An den Eingang einer unendlich langen Doppelleitung wird eine harmonische Wechselspannung angelegt. Auf Grund der Admittanz TT = G' + jcoC' zwischen Hin- und Rückleiter fließt in die Leitung ein Strom hinein. In ihrer Wirkung auf die Spannungsquelle kann man also der Leitung einen äquivalenten Widerstand zuschreiben. Dieser ergibt sich aus den Momentanwerten von Spannung und Stromstärke am Leitungseingang gemäß (1.20) und hängt von den Eigenschaften der Leitung ab (Abb. 3.1). Man nennt ihn den Wellenwiderstand der Leitung. Schließt man an eine Leitung endlicher Länge eine unendlich lange Leitung gleichen Wellenwiderstandes an, so wird sich die ganze Leitung so verhalten, als ob sie unendlich lang ist, d. h., der Eingangswiderstand der endlichen Leitung ist in diesem Fall ebenfalls gleich dem Wellenwiderstand. Daraus folgt, daß sich eine Leitung endlicher Länge auch dann wie eine unendlich lange verhält, wenn sie an ihrem Ende mit einer Impedanz abgeschlossen wird, deren Wert gleich ihrem Wellenwiderstand ist. Um zu einer Beschreibung der Ortsabhängigkeit von Spannung und Strom auf der Leitung zu gelangen, betrachten wir die Verhältnisse auf einem Abschnitt der Länge Ax (Abb. 3.2). Wegen des Querleitwertes unterscheiden sich Eingangs- und Ausgangsstrom dieses Abschnittes, und wegen der Längsimpedänz tritt an ihm ein Spannungsabfall auf. Die sinngemäße Anwendung der 2. KiRCHHOFFschen Regel (man betrachtet den Leitungsabschnitt als Masche) liefert 1 ** + jcoL' A 2

x

i

I

_

+

M \ _ 2 I

{ l l + A U )

_ R ' + j»L> 2

A %

/

+

2

Daraus erhält man AU = - ( « ' +jcoL')Ax(i

+ ^pJ.

(3.1)

Entsprechend liefert die 1. KiRCHHOFFsche Regel (der Leitungsabschnitt wird als Knoten betrachtet)

/ - (/ + AI) - (G' + jaC') Ax (iJ + ^pj

= 0,

J(t) Abb. 3.1. Unendlich lange Leitung 1

Da wir uns auf den eingeschwungenen Zustand beschränken, braucht die Zeitabhängigkeit nicht immer explizit hingeschrieben werden; wir rechnen also wieder mit den komplexen Amplituden. Zur besseren Unterscheidung werden Variable, die zusätzlich ortsabhängig sind, durch halbfett kursiv gedruckte Buchstaben dargestellt.

108

3.1. Vorgänge auf Leitungen

11

i+AJ 1

2 U+AU

ü J

v

2' Jx

J+AJ

Abb. 3.2. Zur Ableitung der Leitungsgleichungen

und daraus folgt AI = _ ( G ' + jcoC') Ax ^U +

.

(3-2)

Aus den beiden Gleichungen (3.1) und (3.2) gewinnt man durch den Grenzübergang Ax -> 0 die Leitungsgleichungen (3-3)

?==-HR'+ja>L'), ax

(3-4)

M=-U(G'+ja>C'). ax

Nochmaliges Differenzieren von (3.3) und Einsetzen in (3.4) liefert schließlich die sogenannte Telegrafengleichung 0

= V(R' + joL')

(C + j Phasenwinkel des Reflexionsfaktors). Die eingangs rein anschaulich gewonnene Aussage, daß sich eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung wie eine unendlich lange verhält, wird durch (3-24) bestätigt: Für Z a — Z 0 ist r = 0, d. h., es läuft genau wie bei einer unendlich langen Leitung nur eine Welle in die Leitung hinein. Tritt Reflexion auf, kann man unter Vernachlässigung der Dämpfung (a = 0) die Spannung im Abstand x vom Leitungsende ausdrücken durch U. e> 0 K ) wie Nichtleiter verhalten, aber bei Zimmertemperatur eine meßbare Leitfähigkeit besitzen.

4.1.

Grundlagen

4.1.1.

Bändermodell und Besetzungswahrscheinlichkeit

Nach dem BoHRschen Atommodell ist ein Atom aus dem positiv geladenen Atomkern, bestehend aus z Protonen mit der Ladung und m — z ungeladenen Neutronen (m Massenzahl, z Kernladungszahl), und z Elektronen mit der Ladung — e, die den Kern auf Schalen umkreisen, aufgebaut. Die Schalen haben einen ganz bestimmten Abstand vom Kern und können mit einer definierten Zahl von Elektronen besetzt werden, wobei diesen Elektronen eine bestimmte kinetische Energie zugeschrieben wird. Entsprechend der Energie, die man aufwenden muß, um ein Elektron von einer Schale zu entfernen, ordnet man den Schalen eine potentielle Energie zu, die die Bindung der Elektronen an den Kern beschreibt. Als Bezugsniveau wählt man die Energie des freien Elektrons. Anschaulich läßt sich das im sogenannten Potentialtopfmodell (Abb. 4.1) darstellen. Dieses Modell verdeutlicht, daß die Elektronen der innersten Schale (.K-Schale) am stärksten an den Kern gebunden sind und die der äußersten am geringsten. Jedem Elektron kommt somit eine bestimmte Energie zu — der Energieeigenwert. Die zwischen diesen diskreten Energieeigenwerten liegenden

4.1. Halbleiter

128

Abb. 4.2. Zur Entwicklung des Bändermodells: Anwendung des Potentialtopf modells auf das lineare Gitter

Energiewerte können von den Elektronen nicht angenommen werden; man bezeichnet sie als verbotene Bereiche oder Zonen. Im kristallinen Festkörper sind die Atome in einer räumlich periodischen Gitterstruktur angeordnet. Entsprechend h a t auch die potentielle Energie eine periodische S t r u k t u r (Abb. 4.2). Wechselwirkungen zwischen den Atomen führen zu einer Aufspaltung der Energieeigenwerte. Im kristallinen Festkörper bedeutet das, daß jedem Elektronenzustand so viele dicht benachbarte Energieeigenwerte entsprechen, wie A t o m e im Gitter vorhanden sind. Man sagt, daß die ursprünglich diskreten Energieeigenwerte des Atoms in Energiebänder mit einer praktisch kontinuierlichen Verteilung der Energieeigenwerte aufspalten (s. Abb. 4.2). Nach wie vor existieren zwischen diesen Bändern der erlaubten Energiezustände i. allg. verbotene Bereiche. Aus Abb. 4.2 erkennt man, d a ß von einem bestimmten Energieband an die Bindung der Elektronen an das Atom verlorengeht. Man bezeichnet das letzte B a n d , das im Grundzustand noch vollständig besetzt ist, als Valenzband, da die Elektronen dieses Bandes das chemische Bindungsverhalten des Stoffes bestimmen. Das nächste B a n d heißt Leitungsband, weil in ihm die Elektronen ungebunden sind und unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes im Gitter verschoben werden können. Zur Diskussion der Leitfähigkeitsphänomene kann die Betrachtung auf diese beiden Energieb ä n d e r beschränkt werden. In einem Festkörper stehen den Elektronen mehr Energieeigenwerte zur Verfügung, als Elektronen vorhanden sind. E s sind also nicht alle Energieniveaus besetzt. Die Besetzungsdichte hängt ab von der Höhe der Energieniveaus und der T e m p e r a t u r des Festkörpers. Über die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmtes Energieniveau besetzt ist, können statistische Aussagen gemacht werden. Die elektrische Leitfähigkeit wird durch die Konzentration der freien, d. h. nicht an Atome gebundenen, Elektronen bestimmt, die sich also nach dem oben Gesagten im Leitungsband befinden. Die Konzentration dieser Elektronen ist in Metallen und meist auch in Halbleitern bereits bei Zimmertemperatur sehr groß; man spricht von einem entarteten Elektronengas, dessen Energieverteilung durch die FERMi-Statistik beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit f(W¡) f ü r die Besetzung des Energieeigenwertes W¿ bei einer Temperatur •& ist danach

- W

= 1v^wr— e + -1

(4-1)

4.1.1. Bändermodell

129

f(Wi) 1

\\ \

Oi

L l\ \\ w

Wr

w

Abb. 4.3. FERMi-Verteilung

(A = 1,38 • 10" 2 3 W s K - 1 , BoLTZMANN-Konstante). Dabei ist WF das oberste bei der Temperatur # = 0 K besetzte Energieniveau (s. Abb. 4.3). Aus (4.1) liest man ab, daß bei # = 0 K alle Energieniveaus unterhalb WF vollständig besetzt (f(W{) = 1 für W{ < WF) und alle oberhalb WF leer sind (f(Wt) = 0 für W{ > WF). Mit zunehmender Temperatur wächst die Wahrscheinlichkeit dafür, daß auch Energieniveaus oberhalb der sogenannten FERMi-Grenze WF (auch als FERMl-Kante bezeichnet) besetzt werden. Zur Veranschaulichung der Elektronenzustände kombiniert man die Aussagen der FERMI-Statistik mit den Erkenntnissen, die man aus dem Bändermodell gewinnt (s. Abb. 4.4). Valenz- und Leitungsband werden durch die verbotene Zone AW getrennt. Die Verhältnisse werden richtig beschrieben, wenn man die FERMi-Grenze W F in die Mitte der verbotenen Zone legt. Man erkennt, daß dann bei # = 0 K das Valenzband voll besetzt, das Leitungsband dagegen völlig unbesetzt ist: Der Kristall verhält sich wie ein Nichtleiter. Mit steigender Temperatur nimmt die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes zu: Der Kristall weist eine von Null verschiedene, mitsteigender Temperatur zunehmende Leitfähigkeit auf. Man erkennt weiter, daß die Größe der Energielücke AW maßgeblich die elektrischen Eigenschaften des Stoffes bestimmt. Ist der Bandabstand groß (AW^> \ eV), dann bleibt auch bei hohen Temperaturen die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes gering: Der Stoff ist ein Nichtleiter. Bei Halbleitern ist der Bandabstand relativ gering (AW ^ \ eV; s.Tab. 13), so daß die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes bereits bei Zimmertemperatur relativ groß ist. Bei Metallen schließlich verschwindet die Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband, so daß auch bei $ 0 K die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes nicht verschwindet (die FERMi-Kante liegt in einem nur teilweise besetzten Band).

W

AW ,

1

f(W-,)

Abb. 4.4. Anwendung der FERMI-Statistik auf das Bändermodell

430

4.1. Halbleiter Tabelle 13 Breite der verbotenen Zone A W für einige Stoffe (# = 300 K) Stoff

Verbotene Zone A W / e V

Kohlenstoff (Diamant) Silizium Germanium Zinn Schwefel Phosphor Tellur

C

5,2

Si Ge Sn S P Te

1,12 0,665 0,08 2,6 1,5 0,34

Galliumphosphid Galliumarsenid Galliumantimonid Indiumarsenid Indiumantimonid Cadmiumsulfid Bleisulfid

4.1.2.

GaP GaAs GaSb InAs InSb CdS PbS

2,24 1,43 0,71 0,36 0,18 2,42 0,37

Eigenleitung

Die wichtigsten Grundsubstanzen für die Halbleiterphysik sind Germanium (Ge) und Silizium (Si). Diese Stoffe sind vierwertig, d. h., jedes Atom hat vier Valenzelektronen. Sie kristallisieren im Diamantgitter, dessen Grundstruktur ein Tetraeder ist, an dessen vier Ecken und in dessen Zentrum die Ge- bzw. Si-Atome angeordnet sind. Die Atome gehen eine kovalente Bindung ein, was bedeutet, daß zwischen je zwei Atomen eine Elektronenpaarbindung aufgebaut wird, zu der jedes Atom ein Valenzelektron beisteuert. Bei vier nächsten Nachbarn im Kristallgitter verfügt damit jedes Atom über eine scheinbar mit acht Elektronen aufgefüllte äußere Schale (s. Abb. 4.5). Der gesamte Kristall ist elektrisch neutral.

IK

Abb. 4.5- Ideales Siliziumgitter (ebene Darstellung)

4.1.2. Eigenleitung

131

E

Abb. 4.6. Paarbildung und Ladungstransport im idealen, reinen Halbleiter (schematisch) Aus der Betrachtung des Bändermodells folgte, d a ß die Valenzelektronen relativ schwach an das Atom gebunden sind und durch thermische Anregung ins Leitungsb a n d gehoben werden können. Im Kristallgitter bedeutet das, daß ein Elektron aus einer kovalenten Bindung herausgelöst wird u n d sich unter dem Einfluß der Wärmebewegungen statistisch durch den Kristall bewegt. Durch ein äußeres elektrisches Feld wird dieser statistischen Bewegung eine Driftbewegung überlagert (Abb. 4.6). Zurück bleibt im Gitter eine ungesättigte Bindung, der als Folge der N ¿utralitätsbedingung eine positive Ladung zugeschrieben werden muß. Man spricht von einer Elektronfehlstelle (auch Defektelektron oder Loch genannt) u n d bezeichnet diesen Prozeß der Erzeugung eines frei beweglichen Elektrons u n d einer Elektronfehlstelle als Paarbildung. Da die Elektronen in den kovalenten Bindungen energetisch nahezu gleichwertig sind, ist es leicht möglich, d a ß die Elektronfehlstelle von einem anderen Bindungselektron besetzt wird, d. h., unter dem Einfluß der Wärmebewegung wandert das Loch statistisch durch den Kristall. Bei der Einwirkung eines elektrischen Feldes überlagert sich dieser ungeordneten Bewegung ebenfalls eine Driftbewegung: Die Löcher tragen zum Ladungstransport bei. Insgesamt weist der Kristall als Folge der Paarbildung eine bestimmte Leitfähigkeit auf, die m a n Eigenleitung (engl, intrinsic conduction) nennt. Bezeichnet man mit n die Konzentration (Anzahl pro Volumeneinheit) der Elektronen u n d mit p die der Löcher sowie mit ¡xn und fip die Beweglichkeiten dieser Ladungsträger, gilt f ü r die elektrische Leitfähigkeit (s. (1.2) u n d (1-3))

a = e(jinn + fipp) .

(4-2)

Überträgt man das bisher Gesagte auf das Bändermodell, erkennt man, daß Elektronen durch thermische Anregung aus dem Valenz- ins Leitungsband gehoben werden. I m Valenzband bleiben positive Löcher zurück. Beide Arten von Ladungsträgern können durch ein äußeres elektrisches Feld in den Bändern verschoben werden. Diese Verschiebung erfolgt parallel zur Bandkante, d. h., die Ladungsträger bleiben auf einem bestimmten Energieniveau. Der Kristall wird durch die Paarbildung zum Eigenhalbleiter. Trifft ein Elektron bei seiner Bewegung durch das Gitter auf eine freie Bindung, kann es diese besetzen. Man sagt, es rekombiniert mit einem Loch. Dabei verschwinden zwei Ladungsträger, ein Elektron und ein Loch. Im Bändermodell beschreibt man diesen Rekombinationsprozeß durch den Übergang eines Elektrons aus dem Leitungsband in das Valenzband, wobei es eine Energie etwa vom Betrag AW als elektro-

432

4.1. Halbleiter

magnetische Strahlung abgibt. Entsprechend der Energielücke hat diese Rekombinationsstrahlung eine ganz charakteristische Wellenlänge, die z. B. bei Si 1,13 beträgt (s. a. 4.3-6.). Im thermodynamischen Gleichgewichtszustand werden genau so viele Ladungsträger durch Rekombination vernichtet, wie durch Paarbildung erzeugt werden, so daß ihre Konzentration konstant bleibt. Diese Gleichgewichtskonzentration der Ladungsträger ist abhängig von der Temperatur und der Breite der verbotenen Zone. Aus der Neutralitätsbedingung folgt, daß die Elektronenkonzentration n gleich der Löcherkonzentration p ist. Die Eigenleitungsdichte (Inversionsdichte) n i beschreibt die Gesamtkonzentration freier Ladungsträger; es gilt n-p

= n\ .

(4.3)

Beim Eigenhalbleiter ist also n = p = n{, und (4.2) vereinfacht sich zu O = e(f*n + Vp) Vi •

(4.4)

Die Inversionsdichte nimmt mit steigender Temperatur zu; ihre Temperaturabhängigkeit läßt sich durch die Gleichung n'i = n% i - j

e

* U

(4.5)

beschreiben (n i0 Inversionsdichte bei der Temperatur s. Tab. 14). Will man eine Aussage hinsichtlich der Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit machen, muß man berücksichtigen, daß auch die Beweglichkeiten von der Temperatur abhängen (s. 1.1.1.); jedoch ist deren Temperaturabhängigkeit bedeutend geringer als die der Inversionsdichte. Für einen Eigenhalbleiter ergibt sich daher eine mit wachsender Temperatur stark zunehmende Leitfähigkeit. In Tab. 14 sind einige wichtige Eigenschaften und Kennwerte von Germanium und Silizium zusammengestellt. Tabelle 14 Einige Kennwerte und Eigenschaften von reinem Ge und Si (•» = 300 K) Größe

Ge

Si

Bandabstand A W/eV

0,665

1,12

Inversionsdichte ni/m~3

2,4 • 10 19

1,5 • 10 16

Beweglichkeit ¡iJvcl 2 V - 1 s - 1 fip/m2 V"1 s"1

0,39 0,19

0,135 0,048

Leitfähigkeit ff/il-1 m _ 1

2,23

4,4 • 10"4

Diffusionskonstante DJm2 s - 1 Dp/m2 s"1

10"2 4,9 • 10"3

3,5- lO"3 1,24 • 10"3

relative Dielektrizitätskonstante er

16

12

133

4.1.3- Störstellenleitung 4.1.3.

Störstellenleitung

Durch den gezielten Einbau von Fremdatomen in das Kristallgitter läßt sich die elektrische Leitfähigkeit von Germanium oder Silizium - definiert verändern. Man sagt, der Kristall wird dotiert. Die F r e m d a t o m e bewirken eine Störung des idealen Kristallgitters; die durch diese Störstellen im ursprünglichen Gitter verursachte Leitfähigkeit nennt man daher Störstellenleitung. Betrachten wir zunächst den Fall, daß in einen Si-Kristall fünfwertige F r e m d a t o m e (Elemente der 5. Hauptgruppe, z. B. Sb; s. Tab. 15) eingebaut werden. 1 Das Sb-Atom Tabelle 15 B a n d a b s t ä n d e einiger D o n a t o r e n u n d A k z e p t o r e n in G e r m a n i u m u n d Silizium (& = 300 K) Grundgitter

Donator

Akzeptor

Element

AW/eV

Element

AWjéV

Ge

P As Sb

0,012 0,013 0,0096

AI Ga In

0,01 0,011 0,011

Si

P As Sb

0,044 0,049 0,039

AI Ga In

0,057 0,065 0,16

nimmt den Gitterplatz eines Si-Atoms ein. D a es jedoch fünf Valenzelektronen besitzt, ist eins nicht an der kovalenten Bindung beteiligt. Dieses gewissermaßen überflüssige Valenzelektron ist nur sehr lose an das Sb-Atom gebunden u n d wird bereits bei geringer Energiezufuhr im Gitter frei beweglich. I m Unterschied zu den Vorgängen im Eigenhalbleiter entsteht dabei aber kein Defektelektron, sondern zurück bleibt im Kristallgitter ein ortsfestes positives Ion (Abb. 4.7). Fremdatome, die überschüssige Valenzelektronen als Leitungselektronen abgeben, nennt man Donatoren. Da die durch sie erzeugte Leitfähigkeit n u r durch Elektronen bewirkt wird, spricht man von «-Leitung.

1

10

F ü r einen Ge-Kristall gelten die nachfolgenden Überlegungen in gleicher Weise. Rost, Elektronik

134

4.1. Halbleiter

Wird dagegen ein dreiwertiges Fremdatom (Elemente der 3. Hauptgruppe, z. B. Ga; s. Tab. 15) in das Si-Gitter eingebaut, fehlt in einer Paarbindung ein Elektron. Das dreiwertige Atom erzeugt also im Gitter ein Defektelektron, das zunächst lose an das Fremdatom gebunden ist. Durch eine geringe Energiezufuhr kann diese freie Bindung aber durch ein Elektron aus einer anderen Bindung besetzt werden. Damit rückt das Loch an dessen Stelle. Es nimmt nun einen normalen Bindungsplatz ein, d. h., es wird zum freien Defektelektron. Bei diesem Prozeß entsteht kein freies Elektron, sondern im Gitter bleibt ein ortsfestes negatives Ion zurück (Abb. 4.8). Fremdatome, die Defektelektronen abgeben (d. h. Valenzelektronen aus dem Gitter aufnehmen), heißen Akzeptoren. Die durch sie erzeugte Leitfähigkeit wird allein durch Löcher bewirkt; man spricht daher von ^-Leitung. Überträgt man diese Aussagen auf das Bändermodell, kann man die Störstellenleitung folgendermaßen darstellen: 1. Dem fünften, in der Bindung nicht benötigten Valenzelektron der Donatoratome entsprechen Energieniveaus WD, die nur einen sehr geringen Abstand zum Leitungsband haben (Tab. 15). Die FERMi-Kante WF liegt zwischen diesen Donatorniveaus WD und der Unterkante des Leitungsbandes; bei Zimmertemperatur haben praktisch alle Donatoratome ein Elektron an das Leitungsband abgegeben (Abb, 4.9a)). 2. Den Defektelektronen der Akzeptoren (d. h. dem fehlenden vierten Valenzelektron) entsprechen Energieniveaus WA kurz über der Oberkante des Valenzbandes. Die FERMi-Kante liegt zwischen Valenzb'and und Akzeptorniveau W A ; bei Zimmertemperatur haben praktisch alle Akzeptoren ihre Löcher an das Valenzband abgegeben (d.h. Elektronen aus dem .Valenzband aufgenommen; s. Abb. 4.9b).) In Tab. 15 sind die Bandabstände für einige gebräuchliche Donatoren und Akzeptoren zusammengestellt.

Abb. 4.9. Bändermodell des Störstellenhalbleiters t>)

a) n-Halbleiter, b) ^-Halbleiter

4.1.3. Störstellenleitung

135

Unabhängig von der Dotierung eines Si- oder Ge-Kristalls laufen natürlich weiterhin die oben beschriebenen Paarbildungs- und Rekombinationsprozesse ab. Das bedeutet, daß in einem «-dotierten Halbleiter auch eine bestimmte Konzentration von Löchern bzw. in einem ^»-dotierten auch eine bestimmte Konzentration von Elektronen existiert. Die durch die Dotierung hervorgerufene E r h ö h u n g der Konzentration einer Ladungsträgerart bewirkt jedoch eine Vergrößerung der Rekombinationsrate und dadurch eine Abnahme der anderen Ladungsträgerart. I m thermodynamischen Gleichgewicht ist (4-3) nach wie vor gültig; der «-Halbleiter weist daher einen Überschuß an Elektronen, der ^-Halbleiter einen Überschuß an Löchern auf. Die jeweils überwiegende Ladungsträgerart bezeichnet m a n als Majoritätsträger, d i e andere als Minoritätsträger. In den meisten technisch genutzten Störstellenhalbleitern ist die Dotierungskonzentration nA (Konzentration der Akzeptoren) bzw. nD (Konzentration der Donatoren) bedeutend höher als die Eigenleitungsdichte «¿. Da bei R a u m t e m p e r a t u r praktisch alle Donatoren bzw. Akzeptoren angeregt sind, gilt im thermischen Gleichgewicht im «-Halbleiter

«0 ~ ^d > ni > Po («0, p0 Gleichgewichtskonzentration der Elektronen bzw. Löcher) und im ^-Halbleiter A> SS

> Mi > w0 .

Damit folgt aus (4.2) f ü r die Leitfähigkeit eines «-Halbleiters a

n =

en

D^n

(4-6.1)

u n d für die eines ^-Halbleiters

op = enA/ip .

(4.6.2)

Nach einer Störung des Gleichgewichtszustandes stellt sich die neue Gleichgewichtskonzentration der Ladungsträger nicht unmittelbar, sondern erst nach einer gewissen Zeit ein, die von der Lebensdauer der Ladungsträger abhängt. Die Majoritätsträgerkonzentration kann sich sehr schnell (in etwa 10~ 1 3 s) durch Verschiebung der Ladungsträger auf den Gleichgewichtswert einstellen. Dagegen läuft die Einstellung der Gleichgewichtskonzentration der Minoritätsträger wesentlich langsamer a b ; sie wird vor allem durch Paarbildung und Rekombination bestimmt. Die Lebensdauer der Minoritätsträger technischer Halbleiter liegt etwa im Bereich von 1 fis bis 1 ms. Sie hängt stark von der Güte des Kristallmaterials a b : Gitterbaufehler u n d Verunreinigungen sowie Oberflächeneigenschaften b e s t i m m e t wesentlich die Rekombinationsrate und damit die Lebensdauer der Minoritätsträger. Störstellenhalbleiter weisen eine charakteristische Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit auf. Nach wie vor verschwindet die Leitfähigkeit f ü r # - > 0 K, denn für diesen Fall liest m a n aus dem Bändermodell (s. Abb. 4.9) a b , daß im wHalbleiter alle Donatorniveaus besetzt sind u n d das Leitungsband leer ist, während im ^»-Halbleiter alle Akzeptorniveaus leer sind u n d das Valenzband vollständig besetzt ist. Mit zunehmender Temperatur werden immer mehr Majoritätsträger erzeugt, bis schließlich alle Störstellen ionisiert sind (•& = Eine weitere Temperaturerhöhung bewirkt zunächst keine wesentliche Vergrößerung der Ladungsträgerkonzentration (Störstellenerschöpfung), bis die thermische Paarbildung so anwächst, d a ß sie schließlich bei # die weitere Zunahme der Ladungsträgerkonzentration be10»

136

4.2. Bauelemente

Störstelknhalbkiter

a)

Abb. 4.10. Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit eines Störstellenhalbleiters (schematisch) b)

a) Ladungsträgerkonzentration nt = f f ß ) , b) Leitfähigkeit a = /(£)

stimmt (Abb. 4.10a).) Berücksichtigt man, daß die Beweglichkeit der freien Ladungsträger mit wachsender Temperatur abnimmt, erkennt man, daß die Leitfähigkeit im Bereich der Störstellenerschöpfung einen negativen Temperaturkoeffzienten hat, während sie sonst aufgrund der steigenden Ladungsträgerkonzentration mit wachsender Temperatur zunimmt (Abb. 4.10b)).

4.2.

Bauelemente mit homogenem Halbleiter

Die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit von Halbleitern nutzt man zur Herstellung stark temperaturabhängiger Widerstände aus. Derartige Widerstände — je nach dem Vorzeichen des Temperaturkoeffizienten als NTC-Widerstände (Heißleiter) oder PCT-Widerstände (Kaltleiter) bezeichnet — haben wir bereits in 2.1.1.5. kennengelernt. Die Leitfähigkeit von Halbleitern läßt sich aber auch durch andere Größen beeinflussen. Diese Abhängigkeiten nutzt man ebenfalls zum Aufbau von Halbleiterbauelementen aus.

4.2.1.

Halbleiterthermoelement

Klassische Thermoelemente nutzen die Temperaturabhängigkeit des Kontaktpotentials zwischen unterschiedlichen Leitern, die miteinander verschweißt oder, verlötet sind, aus (SEEBECK-Effekt). Dagegen lassen sich aus homogenen Halbleitern Thermoelemente aufbauen, bei denen die thermische Erzeugung freier Ladungsträger die Ursache für die Entstehung einer Thermospannung ist. Dazu versieht man einen Halbleiterstab mit sperrschichtfreien Kontakt (s. dazu 4.4.7.). Bei geeigneter Dotierung ist die Ladungsträgerdichte stark temperaturabhängig. Hält man die beiden Enden des Halbleiterstabes auf unterschiedlichen Temperaturen, so bildet sich zwischen ihnen ein Gradient der Ladungsträgerkonzentration und damit eine Thermospannung heraus. Bei Bismuttellurid (BiTe) beträgt diese Thermokraft z.B.—250 (xV/K (Bezugstemperatur 125 °C).

137

4.2.3. HALL-Generator 4.2.2.

Fotowiderstand

Bisher haben wir nur die thermische Anregung als Ursache der Paarbildung berücksichtigt. Die zur Paarbildung erforderliche Energie kann aber dem Halbleiter auch anders, z. B. als elektromagnetische Strahlung, zugeführt werden. Die Absorption elektromagnetischer Strahlung führt zur Paarbildung und damit zur Erhöhung der Eigenleitungsdichte n it wenn ein Strahlungsquant die Energie hv^AW

(4.7)

(h PLANCKsches Wirkungsquantum, v Frequenz der Strahlung) hat, d. h., wenn die Wellenlänge der Strahlung

(c0 Vakuum-Lichtgeschwindigkeit) ist. Diese Paarbildung durch Strahlungsabsorption bezeichnet man als inneren lichtelektrischen Effekt. Die Paarbildungsrate und damit die Leitfähigkeit hängt von der Intensität der absorbierten Strahlung ab. Bauelemente, deren Leitfähigkeit man direkt über den inneren lichtelektrischen Effekt beeinflußt, heißen Fotowiderstände. Prinzipiell zeigt jeder Halbleiter deninneren lichtelektrischen Effekt. Für Fotowiderstände, die im sichtbaren Spektralbereich angewendet werden, verwendet man vor allem Cadmiumsulfid (CdS) und Cadmiumselenid (CdSe), wobei CdS wegen des größeren Bandabstandes die geringere Temperaturabhängigkeit zeigt. Im infraroten Spektralbereich verwendet man Fotowiderstände aus Bleisulfid (PbS) oder Indiumantimonid (InSb). Alle Fotowiderstände haben eine gewisse temperaturabhängige Grundleitfähigkeit, hervorgerufen durch die thermische Paarbildung. Bei Anlegen einer Spannung fließt daher ein Dunkelstrom. Dieser stört vor allem bei geringen Lichtintensitäten und begrenzt die Empfindlichkeit des Bauelementes. Normalerweise ist die Kennlinie zur Darstellung des Widerstandes als Funktion der Beleuchtungsstärke nichtlinear; durch geeignete Dotierung oder Mischung verschiedener Materialien lassen sich aber auch weitgehend lineare Kennlinien erzeugen, wie man sie z. B. für automatische Belichtungsmesser oder Blendenregelungen benötigt. Für viele Anwendungen ist die Charakterisierung des dynamischen Verhaltens wichtig. Ändert man sprunghaft die Beleuchtungsstärke, so stellt sich die Leitfähigkeit erst nach einer gewissen Zeit auf ihren stationären Wert ein. Diese Anstiegszeit nimmt mit zunehmender Beleuchtungsstärke ab; bei sehr geringen Beleuchtungsstärken kann sie bis zu einigen Sekunden betragen (s. dazu 4.1 -3-)-

4.2.3.

HALL-Generator —>-

Auf bewegte Ladungsträger wirkt im Magnetfeld die LoRENTZ-Kraft FL, die dem Vektorprodukt aus der Geschwindigkeit v der Ladungsträger und der magnetischen Induktion B proportional ist (Abb. 4.11): FL = q[vB]

(4.9)

4.2. Bauelemente

138 VUH

Abb. 4.11. Zur Ableitung der HALL-Spannung

(q Ladung der Ladungsträger). Sind Magnetfeld und Bewegungsrichtung senkrecht zueinander, steht die LoRENTZ-Kraft senkrecht auf beiden und hat den Betrag Fl = qvB. Die Ladungsträger werden in Richtung dieser Kraft ausgelenkt und erzeugen ein elektrisches Feld E, das an entsprechenden Elektroden als HALL-Spannung UH gemessen werden kann. Dieses Feld übt auf die Ladungsträger eine Kraft vom Betrage FE = qE = qUHß aus (s. Abb. 4.11). Im stationären Zustand haben Feldkraft und LoRENTZ-Kraft den gleichen Betrag und sind entgegengesetzt gerichtet. Daraus folgt für die HALL-Spannung UH = -vBl.

(4.10)

Drückt man die Driftgeschwindigkeit nun noch nach (1.2) und (4.6) durch Stromstärke und Leitfähigkeit aus, erhält man für die HALL-Spannung in Abhängigkeit von der Majoritätsträgerart =

IB p„0 — k o m m t es zur Diffusion von Majoritätsträgern aus einem Halbleitergebiet über die Grenzschicht in das andere. Durch die Grenzschicht fließt ein Diffusionsstrom. Die Folge ist ein Anwachsen der Minoritätsn

D.nA

0" 10* rjiO .

n'S

1017

.

Abb. 4.14. Konzentrationsverteilung der Donatoren und Akzeptoren am abrupten /"«-Übergang

141

4.3 • 1 • Stromloser /»«-Übergang

trägerkonzentration in der Nähe der Grenzschicht, die eine Zunahme der Rekombinat"ionsrate und damit eine Verarmung an freien Ladungsträgern bewirkt : Am pnÜbergang bildet sich eine Verarmungsrandschicht heraus (s. Abb. 4.15 a)). Die geringe Konzentration freier Ladungsträger hat eine Abnahme der Leitfähigkeit zur Folge; man bezeichnet die Übergangsschicht daher auch als Sperrschicht. Andererseits wird durch die zurückbleibenden ortsfesten Akzeptoren bzw. Donatoren sowie durch die eindiffundierten Minoritätsträger in der Umgebung der Grenzschicht eine Raumladung aufgebaut : Als Folge der Ladungsträgerdiffusion entsteht eine Raumladungsdoppelschicht (Abb. 4.15 b)). In dieser Raumladungsschicht wirkt ein elektrisches Feld (Abb. 4.15 c)), das einen Strom von Minoritätsträgern hervorruft, der dem Diffusionsstrom entgegengesetzt gerichtet ist. Im thermischen Gleichgewicht sind Diffusionsund Feldstrom gleich groß. Der ortsabhängigen elektrischen Feldstärke der R a u m ladungsschicht entspricht ein Potentialverlauf am /m-Übergang, wie ihn Abb. 4.15 d) zeigt. E s bildet sich eine Potentialschwelle UD heraus, die man als Diffusionsspannung bezeichnet. Die Verhältnisse am /»«-Übergang lassen sich auch mittels des Bändermodells veranschaulichen. Man geht dazu davon aus, daß im Gleichgewichtszustand die FERMIK a n t e ein durch den gesamten Halbleiterkristall gehendes, konstantes Energieniveau darstellt. Daraus folgt, daß im /»-Halbleiter Valenz- und Leitungsband energetisch höher liegen als im «-Halbleiter (s. Abb. 4.9). Die als Folge der Diffusion auftretenden Raumladungen führen in der Umgebung der Grenzschicht zu einer Deformation der Bänder: Valenz- und Leitungsband werden im «-Halbleiter angehoben und im /»-Halbleiter abgesenkt (Abb. 4.16). Die gesamte Bandverschiebung zwischen nno,nA,niP

Abb. 4.15. Symmetrischer, abrupter ¿»«-Übergang im thermischen Gleichgewicht

xn

X0

Xp

a) b) c) d)

Dotierungsverlauf und Verteilung der Ladungsträgerkonzentration, Verteilung der Raumladungsdichte, Feldstärkeverlauf, Potentialverlauf

4.3- ¿'«-Übergang

AW

Abb. 4.16. Darstellung eines ¿>w-Überganges im Bändermodell Xn

X0

Xp

und ^-Halbleiter beträgt gerade eUD. Dabei bleibt die Energielücke AW zwischen Valenz- und Leitungsband erhalten. Der Diffusionsstrom beschreibt das Anlaufen der Majoritätsträger gegen die Potentialschwelle UD aufgrund ihrer kinetischen Energie, der Feldstrom die Verschiebung der Minoritätsträger in den abfallenden Bändern unter Energiegewinn. Auch aus dieser Vorstellung folgt, daß diese beiden Ströme im thermodynamischen Gleichgewicht gleich groß sein müssen. 4.3.2.

Berechnung der Diffusionsspannung

Unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes fließen Elektronen und Löcher in unterschiedlicher Richtung. Ist E(x) der Betrag der elektrischen Feldstärke an einer Stelle x, ist die Stromdichte des Elektronenfeldstromes i»F = epHn(x) E(x) und die des Löcherfeldstromes

(4-13-1)

ipF = enPp{x) E(x) .

(4.13-2)

Als Folge eines Konzentrationsgradienten tritt ein Diffusionsstrom in Richtung abnehmender Konzentration auf. Die Stromdichte des Elektronendiffusionsstromes inD = e D

n

^ l ax

(4.14.1)

und die des Löcherdiffusionsstromes ~ dPix) t pD = - eD p -!^-L

(4.14.2)

sind dem Gradienten der Teilchenkonzentration proportional. Als Proportionalitätskonstanten treten die Diffusionskonstanten Dn und Dp auf, die von der Beweglichkeit und der thermischen Energie der Ladungsträger abhängen: D„ = f i n — = (4.15.1) e kft d P = VP— = P p U « . (4.15.2) e Die Größe = kftje. heißt Temperaturspannung; sie hat bei Zimmertemperatur {•& = 300 K) einen Wert von U = 25,84 mV.

4.3-2. Diffusionsspannung

I43

Am ^»«-Übergang sind im thermodynamischen Gleichgewicht Diffusions- u n d Feldstromdichte gleich groß. F ü r die Elektronenstromdichte gilt daher in = 0 = epnn(x) E(x) +

e(xnU6

ax

,

(4.16)

und daraus folgt E(x) dx = -

d0 bzw. schwach dotiert

Die Stromdichte des Durchlaßstromes ergibt sich aus diesen beiden Anteilen zu Kd

In Sperrichtung kehren Stromdichte und Spannung ihr Vorzeichen u m :

Aus dieser Gleichung liest man ab, daß 2 R mit wachsender Sperrspannung einem Sättigungswert zustrebt, dem Sperrsättigungsstrom = e

Dnnnp0

DpP«

(4-34)

Damit kann man die Strom-Spannungs-Charakteristik eines ^ - Ü b e r g a n g e s mit der Fläche A in der Form / = Ai = I,[ev»

-

l)

(4-35)

angeben, wobei man U und I in Durchlaßrichtung positiv und in Sperrichtung negativ zählt. Ersetzt man in (4-34) die Minoritätsträgerkonzentration mittels (4-3) durch die Störstellenkonzentration und die Inversionsdichte, erhält man für den Sperrsättigungsstrom I, =

enfA

Dh

D. n L

An

(4-36)

n

DLP,

Aus dieser Gleichung liest man ab, daß der Sperrsättigungsstrom mit zunehmender Dotierung abnimmt. Bei einem unsymmetrischen ^«-Übergang wird er praktisch nur durch die schwach dotierte Seite bestimmt. Berücksichtigt man die Temperaturabhängigkeit der Inversionsdichte nach (4-5), erkennt man, daß der Sperrsättigungsstrom mit wachsender Temperatur sehr stark ansteigt. Da der Sperrsättigungsstrom nach (4-35) den gesamten Kennlinienverlauf bestimmt, ergibt sich die in Abb. 4.20 schematisch dargestellte Abhängigkeit der Strom-Spanmmgs-Kennlinie eines ftnÜberganges von der Dotierung bzw. von der Temperatur. Beispiel 4.5. Berechnung des Sperrsättigungsstromes eines /»«-Überganges in Ge bei Zimmertemperatur (& = 300 K). Gegeben: A = 1 mm 2 ; , Ge = 2,3 m V K - 1 , £> diSi = 3,6 m V K - 1 . Über die Temperaturspannung TJ$ ist der Temperaturdurchgriff selbst noch temperaturabhängig.

4.3.6.

Reale Diodenkennlinie

Ein Bauelement mit einem pn-\Jbergang bezeichnet man als Halbleiterdiode. Die Kennlinie einer realen Diode weicht von der nach der einfachen ScHOTTKY-Näherung des abrupten ^«-Überganges berechneten ab. Als besonders wesentliche Einflüsse auf den Kennlinienverlauf sollen der Bahnwiderstand und die begrenzte Sperrfähigkeit diskutiert werden. Der Bahnwiderstand R b bewirkt, daß beim Betrieb in Durchlaßrichtung nicht die gesamte äußere Spannung UF am pn-tJbergang abfällt. Berücksichtigt man in (4.35) den Spannungsabfall am Bahnwiderstand, erhält man für den Durchlaßstrom /

I f = I . V

ÜF-RjlF

U

>

\

- ! / •

(4-37)

Bei konstantem Bahnwiderstand bedeutet das eine Scherung der exponentiellen Kennlinie von (4-35) mit der Widerstandskennlinie U' = R b I F (s. Abb. 4.21). Tatsächlich sinkt der Bahnwiderstand mit wachsendem Strom. Die Kennlinie weist daher bei großen Strömen einen nahezu linearen Verlauf auf. Man definiert eine Schleusen-

Abb. 4.21. Zum Einfluß des Bahnwiderstandes: Kurve 1: ideale Kennlinie Kurve 2: Kennlinie des Bahnwiderstandes Kurve 3: resultierende Kennlinie bei Berücksichtigung des Bahnwiderstandes

4.3-6. Reale Diodenkennlinie

153

Spannung Us, indem man diesen annähernd linearen Kennlinienteil auf IF = 0 extrapoliert. 1 Die Schleusenspannung hat annähernd die Größe der Diffusionsspannung. Um das zu zeigen, formen wir (4-36) um. Mit (4-3) und (4-21) erhält man (4.38) d. h., für U F ^ > 11$ kann man die Durchlaßkennlinie in der Form I

F

= l f e

Uf-UD u*

(4:39)

schreiben. Tatsächlich ergibt sich also erst für UF > UD ein steiler Anstieg des Durchlaßstromes. E r h ö h t man die Sperrspannung über einen bestimmten Wert, steigt der Sperrstrom stark an. Ursache dafür ist die große Feldstärke in der Sperrschicht, wobei für den Stromanstieg zwei verschiedene Mechanismen, der ZENER-Effekt und der Lawinendurchbruch, verantwortlich sein können. Beim ZENER-Effekt k o m m t es durch die hohe Feldstärke in der Raumladungszone zur feldinduzierten Paarbildung. Die entstehenden Elektron-Loch-Paare werden im Raumladungsfeld sofort getrennt, so daß sie nicht rekombinieren können (Abb. 4.22a)), sondern einen Beitrag zum Sperrstrom liefern. Die feldinduzierte Paarbildung k a n n durch den quantenmechanischen Tunneleffekt beschrieben werden. Dabei gelangen Elektronen aus dem Valenzband des ^-Gebietes auf energetisch gleichwertige Niveaus im Leitungsband des w-Gebietes. Voraussetzung d a f ü r ist das Vorhandensein solcher

n

P

e!UDK W, w\4\\\\\N

a)

Abb. 4.22. Darstellung des Durchbruchs 1. Art im Bändermoden a) ZENER-Effekt; b) Lawineneffekt 1

Teilweise wird anstelle der Schleusenspannung die Flußspannung eingeführt, die durch die Spannung an der Diode bei einem Zehntel des höchstzulässigen Durchlaßstromes definiert wird.

4.3. ^»»-Übergang

154

energetisch gleichwertiger Niveaus in den beiden Bereichen, d. h., es muß e(UD + UR) AW sein, und eine geringe Dicke der Potentialbarriere, d. h. der Sperrschicht (s. Abb. 4.22a)). Der ZENER-Effekt tritt daher bei dünnen, hochdotierten Sperrschichten bei relativ geringen Sperrspannungen auf. 1 Beim Lawinendurchbruch (Avalanche-Effekt) tritt infolge Stoßionisation eine Ladungsträgervervielfachung ein. Unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes bewegen sich die Ladungsträger mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit, indem sie den Energieüberschuß durch Stöße an das Gitter abgeben. Im Bändermodell entspricht ein^r solchen Bewegung eine Verschiebung parallel zur Bandkante. Bei großen Feldstärken kann aber ein Ladungsträger zwischen zwei Stößen so viel Energie aufnehmen, daß er beim nächsten Stoß ein Atom ionisiert. Dadurch wird ein Ladungsträgerpaar gebildet. Das stoßende Teilchen gibt die Energie AW ab, bleibt aber noch im Leitungsband (Abb. 4.22b)). Das erzeugte Elektron-Loch-Paar wird im Raumladungsfeld getrennt und kann bei genügend großer Feldstärke weitere Stoßionisatipnsprozesse bewirken. Es kommt zur Ladungsträgervervielfachung (Ladungsträgerlawine) und damit zum abrupten Ansteigen des Sperrstromes. Der Lawinendurchbruch tritt an dicken Sperrschichten bei hohen Sperrspannungen auf. Beide Mechanismen äußern sich in der Kennlinie also in gleicher Weise durch einen abrupten Anstieg des Sperrstronies, wenn eine bestimmte Sperrspannung überschritten wird (Abb. 4.23, Durchbruch Art). Bei Si-Dioden führt dieser Durchbruch i. allg. nicht zur Zerstörung des Bauelementes, wenn man den Strom begrenzt (reversibler Durchbruch). Die reale Diodenkennlinie wird außerdem durch den Realbau des Halbleiterkristalls beeinflußt. Vor allem Oberflächeneigenschaften führen zu einer Vergrößerung des Sperrstromes gegenüber dem berechneten Wert und zur Spannungsabhängigkeit des Sperrstromes bereits unterhalb der Durchbruchspannung. In Abb. 4.24 sind als Beispiele die Kennlinien einer Ge- und einer Si-Flächendiode dargestellt. Beim Betrieb einer Halbleiterdiode tritt eine Verlustleistung auf, die zu einer Erwärmung des Bauelementes und dadurch zu einem Ansteigen des Stromes führt (s. Beispiel 4.6). Damit steigt aber die Verlustleistung weiter an, was eine weitere Erhöhung des Stromes zur Folge hat. Es kann zu einer unzulässigen Erwärmung und schließlich zur Zerstörung der Sperrschicht kommen (Abb. 4.23, Durchbruch 2. Art), wenn die Verlustwärme nicht abgeführt wird. Wegen des größeren Bandabstandes und der damit verbundenen geringeren Eigenleitungsdichte ist die maximal zulässige Sperrschichttemperatur und damit bei sonst vergleichbaren Bedingungen

\

Durchbruch lArt \

Durchbruch \1.Art

\ \

^

Abb. 4.23. Sperrkennlinie einer realen Diode (schematisch)

155

4.3-7- Ersatzschaltung

Jf/mA 20 Jf/mA 20

15

15 10 5

0,1

02 Us QS UF/V

c)

QJ.02

OA

OS/,

OßUr/V

•10 h/M*

Abb. 4.24. Diodenkennlinien a) Germanium-Flächendiode (GY 101), theoretisch und experimentell, b) Germanium-Flächendiode (GY 101), c) Silizium-Flächendiode

die maximal zulässige Verlustleistung P„ max bei Si-Dioden bedeutend höher als bei Ge-Dioden (Si: %• = 150 ... 220 °C; Ge: = 80 ... 100 °C). Durch eine zusätzliche Kühlung kann der Wärmewiderstand i?th zwischen Sperrschicht und Umgebung verringert und damit die maximal zulässige Verlustleistung erhöht werden (s. 2.1.1.3.).

4.3.7.

Ersatzschaltung einer Diode

Die bisherigen Betrachtungen gelten am stromdurchflossenen ^»«-Übergang im quasistationären Zustand, der durch eine stationäre Ladungsträgerverteilung und einen bestimmten Gleichstromleitwert Gpn des ^«-Überganges gekennzeichnet ist. Häufig wird aber eine Diode in der Weise betrieben, daß in einem bestimmten Gleichstrom-Arbeitspunkt zusätzlich eine Wechselspannung angelegt wird. Der Zusammenhang zwischen Wechselspannung und Wechselstrom wird dann durch den differentiellen Leitwert gpn des />w-Überganges im entsprechenden Arbeitspunkt beschrieben (s. 2.1.1.). Die Ladungsträgerverteilung muß sich dabei auf den dem Momentan wert der Gesamtspannung entsprechenden Wert einstellen. Wegen der endlichen Lebens-

156

4.3. ^«-Übergang

g* Aen„ Xpl xp2 •V -«nl

I 1"

4en,

Abb. 4-25- Änderung der Raumladung am Rand der Sperrschicht

datier u n d Beweglichkeit der Minoritätsträger geht das aber nicht beliebig s chnell. Die Diode zeigt daher ein gegenüber der statischen Kennlinie abweichendes Verhalten Beim Betrieb in Sperrichtung hat eine Änderung der Sperrspannung eine Änderung der Sperrschichtweite und damit verbunden eine Änderung der Raumladung zur Folge (Abb. 4.25). Neben dem der statischen Kennlinie entsprechenden Sperrstrom m u ß daher ein der Raumladungsänderung in der Sperrschicht entsprechener Verschiebungsstrom fließen: Beim Betrieb in Sperrichtung verhält sich eine Diode wie eine verlustbehaftete Kapazität. Zur Berechnung dieser Kapazität gehen wir aus von der R a u m ladung in der Sperrschicht. Mit (4.27.1) erhält man aus Abb. 4.25 am abrupten pnÜbergang Q+ = enDA(x0 -

xn)

2e(freUnAnD = A

nA + nD

wobei U = UD + UR die Potentialschwelle in der Sperrschicht ist (s. Abb. 4.19). Die Sperrschichtkapazität ergibt sich aus der Änderung dieser R a u m l a d u n g bei einer im Vergleich zur Spannung U kleinen Spannungsänderung, also als differentielk Kapazität, zu _

/

C

C

04/1

4-J

2 (nA + nD) U

(4.40)

Beim Betrieb der Diode in Durchlaßrichtung h a t eine Änderung der Durchlaßspannung eine Änderung der Minoritätsträgerkonzentration an den Sperrschichträndern und in den angrenzenden Bahngebieten zur Folge. Diese erfolgt nicht unmittelbar, sondern mit einer bestimmten Zeitkonstanten. Das kann man beschreiben, indem man dem differentiellen Leitwert gpn des in Durchlaßrichtung betriebenen pnÜberganges eine Diffusionskapazität CD parallelschaltet, die sich f ü r nicht zu hohe Frequenzen (cur < 1; r Minoritätsträger-Lebensdauer) zu eA Cd =

2U~& { P n ° L p

+

n p o L n ) eV

*

(4 41)

'

ergibt. Bei sehr hohen Frequenzen ( w r ^ > l ) wird die Gesamtadmittanz des pnÜberganges frequenzabängig.

157

4.3-8. Übergangsverhalten

w

o

-o

if£

9pn

Abb. 4.26. diode

Ersatzschaltung

einer

Halbleiter-

Zusätzlich zu diesen Größen, die sich aus den physikalischen Vorgängen am pnÜbergang ableiten lassen, muß man im vollständigen Ersatzschaltbild noch die Induktivität LL der Zuleitungen und die Gehäusekapazität CG berücksichtigen. Damit erhält man die in Abb. 4.26 dargestellte Ersatzschaltung einer Halbleiterdiode, die ihr elektrisches Verhalten beim Betrieb mit Wechselspannungen nicht zu hoher Frequenz und bei nicht zu großen Strömen beschreibt. 4.3.8.

Ubergangsverhalten

Für viele Anwendungen ist das dynamische Verhalten einer Halbleiterdiode beim schnellen Umschalten von Durchlaß- in Sperrichtung oder umgekehrt wichtig. Dieses sogenannte Übergangsverhalten läßt sich zumindest qualitativ aus den bisherigen Überlegungen ableiten. Beim Betrieb der Diode in Durchlaßrichtung stellt sich am /m-Übergang und in den angrenzenden Bahngebieten eine hohe Minoritätsträgerkonzentration ein. Nach dem Umschalten in Sperrichtung fließt daher zunächst ebenfalls ein großer Strom, der praktisch nur von der Sperrspannung UR und dem Widerstand R des Stromkreises bestimmt wird und während der Speicherphase konstant bleibt. Nach einer bestimmJ(t)

u

t

H,

b)

Abb. 4.27. Zum Ubergangsverhalten einer Diode a) Schaltung, b) zeitlicher Verlauf der Spannung, c) zeitlicher Verlauf des Diodenstromes

158

4.4. Halbleiterdioden

ten Zeit, der Speicherzeit (s (engl, storage time), hat die Minoritätsträgerkonzentration an den Sperrschichträndern den Gleichgewichtswert erreicht und fällt anschließend in der Abfallzeit t{ auf den der anliegenden Sperrspannung entsprechenden Wert ab. Dabei sinkt der Strom exponentiell auf den Sperrsättigungsstrom. Der stationäre Sperrzustand hat sich also nach der Sperrverzögerungszeit t„ (engl, recovery time) eingestellt (Abb. 4.27). Vor allem über ts hängt t„ außer von den Eigenschaften des Halbleitermaterials vom Durchlaßstrom IF und der Sperrspannung UR ab: ts steigt mit wachsendem IF und nimmt mit wachsendem UR ab. Beim Umschalten aus der Sperr- in die Durchlaßrichtung kommt es durch die Entladung der Sperrschichtkapazität zu einer Stromspitze. Danach stellt sich exponentiell der stationäre Durchlaßstrom ein. Dieses Verhalten beschreibt man durch eine Durchlaßerholzeit te. Praktisch spielt dieser Vorgang meist keine Rolle, da in der Schaltung wirksame Induktivitäten die Stromanstiegsgeschwindigkeit begrenzen.

4.4.

Halbleiterdioden

Unter dem Begriff Halbleiterdiode wollen wir in diesem Abschnitt alle Bauelemente mit einem /»«-Übergang zusammenfassen. Ausgehend vom physikalischen Verhalten des /»^-Überganges, werden im folgenden verschiedene technische Ausführungsformen von Halbleiterdioden beschrieben, wobei gleichzeitig auf die schaltungstechnischen Grundlagen ihrer Anwendung eingegangen wird.

4.4.1.

Gleichrichtung

Eine sehr wichtige Anwendung von Halbleiterdioden ist ihre Verwendung zur Gleichrichtung von Wechselspannungen. Von Gleichrichtung spricht man, wenn aus einer J

t U

7

Abb. 4.28. Gleichrichtung an einer nichtlinearen Kennlinie

4.4.1. Gleichrichtung

159

J

U

Abb. 4.29. Ideale Gleichrichterkennlinie

Wechselspannung U(t), deren zeitlicher Mittelwert t.+ T

U

= Y I U{t)dt

(4.42)

(T Periodendauer) Null ist, mittels eines nichtlinearen Bauelementes ein Strom abgeleitet wird, dessen zeitlicher Mittelwert nicht mehr verschwindet (Abb. 4.28). Ein Bauelement, das sich dazu aufgrund seiner Kennlinie besonders eignet, nennt man Gleichrichter. Der Widerstand eines Gleichrichters hängt von der Stromrichtung ab. Beim idealen Gleichrichter ist er für eine Stromrichtung (Durchlaßrichtung) sehr klein, für die entgegengesetzte (Sperrichtung) unendlich groß (Abb. 4.29). Dieser Forderung kommt die statische Kennlinie einer Halbleiterdiode sehr nahe (vgl. Abb. 4.24). Man unterscheidet Leistungsgleichrichter und Gleichrichter für universelle Anwendungen. Leistungsgleichrichter dienen zur Erzeugung von Versorgungsgleichspannungen aus technischen Wechselspannungen. Die verwendeten Gleichrichter müssen für große Ströme dimensioniert sein und einen hohen Wirkungsgrad rj = PjP (P abgegebene Gleichstromleistung, P aufgenommene Wechselstromleistung) aufweisen. Die zur Leistungsgleichrichtung verwendeten Gleichrichterdioden haben daher einen großflächigen ^«-Übergang und einen möglichst geringen Flußwiderstand. Universaldioden müssen in der Regel keinen großen Strom liefern. Dagegen fordert man einen über einen großen Amplituden- und Frequenzbereich eindeutigen, konstanten Zusammenhang zwischen der anliegenden Wechselspannung und der abgegebenen Gleichspannung. Angestrebt wird ein linearer oder quadratischer Verlauf der Durchlaßkennlinie, ein möglichst großer Sperrwiderstand und geringe Kapazitäten. Bei der Gleichrichtung kleiner Wechselspannungen muß man den Einfluß der Schleusenspannung der Diode berücksichtigen. Ein größerer Durchlaßstrom fließt erst bei Ue > Us (s. 4.3.6.). Leistungsgleichrichter können also nur mit Eingangsspannungen betrieben werden, deren Amplitude groß gegen die Schleusenspannung ist. Bei Meßgleichrichtern stört vor allem die starke Nichtlinearität der Kennlinie im Bereich um Us. Zur Gleichrichtung kleiner Wechselspannungen verwendet man deshalb Dioden mit geringer Schleusenspannung. 4.4.1.1.

Gleichrichter-Grundschaltungen

Die einfachste Schaltung ist die Einweggleichrichterschaltung (Abb. 4-30). Bei Ue > 0 ist die Diode in Durchlaßrichtung gepolt; sie weist nur den kleinen Flußwiderstand

4.4. Halbleiterdioden

160

Ua Abb. 4.30. Einweggleichrichterschaltung

RF auf, und über den Lastwiderstand RL fließt ein großer Strom. Bei UE sowie höhere Harmonische. Um beide Halb wellen der Eingangsspannung ausnutzen zu können, verwendet man Doppelweggleichrichterschaltungen (Abb. 4.31)- Die Zweiweggleichrichterschaltung (Abb. 4.31 a)) besteht aus zwei Einwegschaltungen, die abwechselnd betrieben werden. Die Eingangsspannung m u ß deshalb einer symmetrischen Wechselspannungsquelle (Gegentakt-Transformator) entnommen werden. Bei der eingezeichneten Polarität der Wechselspannung leitet Diode DLY während Diode Z)2 sperrt; über RH fließt ein Strom in der angegebenen Richtung. Bei der entgegengesetzten Polarität sperrt DLT und D2 leitet; über RL fließt ebenfalls ein Strom in der eingezeichneten Richtung. Da die Polarität der Ausgangsspannung stets gleich bleibt, t r i t t an den Dioden eine vergrößerte maximale Sperrspannung UR = UA -j- U'E ä j 2 U'E auf, was bei der Auswahl der Dioden berücksichtigt werden muß. Beim Brückengleichrichter ((GRAETZ-Gleichrichter; Abb. 4.31 b)) sind je nach der Polarität der Eingangsspannung entweder die Dioden D1 und DS oder die Dioden Z)2 und Z)4 leitend; der Strom über RL fließt während jeder Halbperiode in der gleichen Richtung. D a stets zwei Dioden in Reihe liegen, ist die Sperrbelastung genau so groß wie bei der Einwegschaltung.

Abb. 4.31. Doppelweggleichrichterschaltungen a) Zweiweggleichrichter mit symmetrischer Wechselspannungsquelle, b) Briickengleichrichter (GRAETZ-Schaltung)

JA +

161

4.4.1. Gleichrichtung

Beide Doppelweggleichrichter liefern eine Ausgangsspannung der in Tab, 2, Nr. 6 angegebenen Form mit einem Gleichspannungsanteil Ua = 2UJn, der doppelt so groß ist wie beim Einweggleichrichter. Die Ausgangsspannung enthält keinen Wechselspannungsanteil mit der Grundfrequenz, sondern nur höhere Harmonische. 4.4.1.2.

Gleichrichter mit Ladekondensator

Bei der Gleichrichtung werden pulsierende Gleichspannungen erzeugt, die außer der Gleichspannung auch noch Wechselspannungsanteile enthalten. Erst durch die Verwendung von Siebschaltungen gewinnt man Ausgangsspannungen, die einen für den Verwendungszweck hinreichend geringen Wechselspannungsanteil aufweisen. Gleichzeitig wird dabei der Gleichspannungsanteil erhöht. Die schaltungstechnisch einfachste Maßnahme zur Glättung einer pulsierenden Gleichspannung ist die Verwendung eines Ladekondensators CL, der dem Lastwiderstand parallelgeschaltet wird (Abb. 4-32). Abb. 4-33 zeigt schematisch den zeitlichen Verlauf der Spannungen und Ströme in dieser Schaltung. Der Kondensator CL wird von der positiven Halbwelle der Eingangsspannung bis auf den Spitzenwert t / a Ä Ue — UF aufgeladen (UF Flußspannung der Diode, ä Us). Sinkt die Eingangsspannung unter diesen Wert Ua ab, sperrt die Diode, und der Strom Ia über den Lastwiderstand Rl wird vom Ladekondensator geliefert. Dabei sinkt die Spannung am Kondensator exponentiell um einen Wert 2Ä Ua ab. Der Kondensator gibt näherungsweise (wenn RLCL te ist) die Ladung rje = ^ t

e

= 2AU a C L

(4.44)

L

ab. Mit te 8 V bestimmt vorwiegend der Lawineneffekt das Durchbruchverhalten. Diesem wirkt die thermische Gitterbewegung entgegen. Der Temperaturkoeffzient der Durchbruchspannung ist in diesem Fall positiv (x t ÄS 10" 3 K _ 1 ) , d. h., mit steigender Temperatur wird die Durchbruch' Spannung größer. Z-Dioden werden mit Durchbruchspannungen zwischen etwa 2,5 V und 100 V hergestellt (Z-Dioden mit einer Arbeitsspannung von Uz « 0,7 ... 0,8 V werden in Durchlaßrichtung betrieben und nutzen den steilen Anstieg der Kennlinie von Si-Dioden oberhalb der Schleusenspannung aus; s. Abb. 4.24). Bei Durchbruchspannungen im Bereich um U t 6 V überlagern sich ZENER- und Lawineneffekt; solche Z-Dioden weisen daher besonders geringe Temperaturkoeffizienten auf (xx ^ 10" 8 K _ 1 ) und werden vorzugsweise als Referenzelemente eingesetzt. Der maximal zulässige Betriebsstrom einer Z-Diode richtet sich nach der Durchbruchspannung und der maximal zulässigen Verlustleistung. Eine einfache Z-Diodenparallelstabilisierung mit ihrer Ersatzschaltung zeigt Abb. 4.38. Die Z-Diode kann durch ihren differentiellen Widerstand rz und eine Konstant spannungsquelle U z0 ersetzt werden. Sieht man von Schwankungen innerhalb einer Stabilisierungsschaltung ab, gilt allgemein, daß ihre Ausgangsspannung U2 eine Funktion der Eingangsspannung U1 und des Ausgangsstromes I 2 ist. Änderungen der Ausgangsspannung ergeben sich J,

Ji n

u

Ua T -

t fr

R

Abb. 4.38. tion

Z-Diodenparallelstabilisa-

a) Schaltbild; b) Ersatzschaltung

4.4.2. Z-Dioden

167

damit als totales Differential dieser Funktion

U2

=

U2(Ult

I2):

9 U2 dU2 dU2 = ^ d ^ + — ^ d / 2 = G • dC/x - r, • d I 2 . aU1

ol2

(4.49)

Die darin auftretenden partiellen Ableitungen definiert man als für die Stabilisierungsschaltung charakteristische Größen und bezeichnet G als Stabilisierungsfaktor und ri als Innenwiderstand. Aus der Ersatzschaltung in Abb. 4.38b) liest man nach der Maschenregel für die Ausgangsspannung U 2 = U Z = Ü z0 + I / z bzw. U

2

= U , -

I1RV

=

U,

-

(1, +

I2)

Rv

ab. Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen den ZENER-Strom I z , ergibt sich U2

=

U2(Ult

I2)

= r,

U

~ +

l Tl

I

f

r

v

Kv

—j^- .

üz0

rz+

Kv

(4.50)

Daraus erhält man für den Innenwiderstand 9C/2 r

9/ 2 dt/,=o

r

*

Rs, z

(4.51)

+ K

und für den Stabilisierungsfaktor Y

Y

+

9 Ui d/a=0

K

(4-52) K

(die angegebenen Näherungen gelten für r Rv', zu Rv muß ggf. noch der Innenwiderstand der Eingangsspannungsquelle hinzugerechnet werden). Aus (4.52) folgt, daß die Stabilisierungseigenschaften der Schaltung um so besser sind, je größer Rv gewählt wird. Damit steigt allerdings die an Rv umgesetzte Verlustleistung. Auch kann Rv nicht beliebig gewählt werden, denn einerseits muß bei maximalem Ausgangsstrom I2max durch die Z-Diode noch ein bestimmter minimaler Strom I z m ^ fließen, andererseits darf der durch die maximale Verlustleistung bestimmte maximale ZENER-Strom /» max bei minimalem Ausgangsstrom /2mm nicht überschritten werden. Daraus folgt näherungsweise für Rv U,

+ AU,

-

»mai r

JT

JT

U2

2min.

^ —

_

^ —

ü

i

-

AVX

±Tz mm _L\

-

U

2 ML. 2max

JT

(4.53) \

Weitere Anwendungsmöglichkeiten von Z-Dioden, z. B. zur Unterdrückung des Nullpunktes oder als Überlastungsschutz bei Instrumenten, zeigen die Prinzipschaltungen in Abb. 4-39.

j J 12*

Abb. 4.39. Anwendungen von Z-Dioden (schematisch)

a) Nullpunktunterdrückung, b) Überlastschutz (Begrenzer)

4.4. Halbleiterdioden

168 4-4-3-

Kapazitätsdioden

Die Abhängigkeit der Sperrschichtkapazität von der Sperrspannung nutzt man aus zur Realisierung spannungsabhängiger Kapazitäten. Man verwendet Si-Dioden mit großflächigem ^w-Übergang, die in Sperrichtung betrieben werden. Derartige Bauelemente heißen Kapazitätsdioden (auch Varicap oder Varactordiode). Bezeichnet man mit C ; 0 die Sperrschichtkapazität der Diode bei U R = 0, so gilt für die Spannungsabhängigkeit der Sperrschichtkapazität (s. (4.40)) Cj — C, 0 1 +

(4.54)

U,

Für den Exponenten n ergibt sich aus der ScHOTTKY-Näherung der Wert n = 0,5 (s. 4-3-3-)- Praktisch ist n abhängig von den Herstellungsbedingungen und kann durch die Erzeugung bestimmter Störstellenprofile am ^m-Übergang im Bereich n = 0,33 bis 0,7 eingestellt werden. Die gebräuchlichen Schaltsymbole für Kapazitätsdioden zeigt Abb. 4.40 a). Das Ersatzschaltbild einer Kapazitätsdiode ergibt sich unmittelbar aus dem allgemeinen Ersatzschaltbild einer Halbleiterdiode und ist in Abb. 4.40b) dargestellt. Meist kann man bis zu Frequenzen im UHF-Bereich die Serieninduktivität L und den differentiellen Widerstand rpn der Sperrschicht vernachlässigen und das vereinfachte Ersatzschaltbild der Abb. 4.40c) verwenden. Der Serienwiderstand Rb berücksichtigt im wesentlichen die Bahnwiderstände und bestimmt die Güte Q

(4.55)

= coCR h

der Kapazitätsdiode. In die variable Kapazität C geht außer der eigentlichen Sperrschichtkapazität die Kapazität der gesamten Anordnung ein. Kapazitätsdioden werden als regelbare Kapazität zur Abstimmung von Oszillatorschaltungen, als Stellglied zur automatischen Frequenzregelung von Empfängern (AFC, von engl.: automatic frequency control), in'Modulations- und Demodulationsschaltungen sowie als aktives Element in parametrischen Verstärkern verwendet. Für die Anwendung von Kapazitätsdioden in Oszillatorschaltungen ist es wichtig, daß die Amplitude der Wechselspannung klein ist gegenüber der Sperrspannung UR im Arbeitspunkt, da es sonst wegen der stark nichtlinearen Charakteristik zu Signal-

rPn

J ^ C

Abb. 4.40. Kapazitätsdiode c)6

a) Schaltzeichen, b) Ersatzschaltung, c) vereinfachte Ersatzschaltung

4.4.4. Tunneldioden

169

L

Abb. 4.41. Schwingkreis mit Diodenabstimmung

Verzerrungen kommt. Eine einfache Schwingkreisschaltung mit Diodenabstimmung zeigt Abb. 4.41. Durch CP wird die von der Schaltung und der Induktivität herrührende Parallelkapazität dargestellt. Der Widerstand Rv entkoppelt die Gleichspannungsquelle vom Schwingkreis, die Serienkapazität Cs t r e n n t die Gleichspannung vom Schwingkreis ab und Schließt gleichzeitig den Wechselstromkreis. Wählt m a n Cs hinreichend groß gegenüber der Diodenkapazität, hat sie praktisch keinen Einfluß auf die Eigenfrequenz des Schwingkreises. Die gleiche Prinzipschaltung kann zur Erzeugung einer Frequenzmodulation benutzt werden, indem man der konstanten Vorspannung U R die Signalwechselspannung überlagert.

4.4.4.

Tunneldioden

Macht man die Dotierung des p- und des «-Gebietes einer Diode sehr hoch (nA « í n D ~ 1026 m - 3 ) , erhält man Dioden mit vom normalen Verlauf stark abweichenden Kennlinien (s. Abb. 4.42). Beim Betrieb in Durchlaßrichtung steigt der Strom zunächst stark an und erreicht bei einer Spannung Uh ^ 50 mV ein Maximum (Höckerstrom 7Ä). Danach fällt er ab und durchläuft bei einer Spannung Ut ä j 300 bis 500 mV ein Minimum (Talstrom It), d. h., zwischen Uh und Ut durchläuft die Kennlinie einen Bereich mit negativem differentiellen Widerstand. Anschließend mündet die Kennlinie in den exponentiellen Anstieg des Durchlaßzweiges einer normalen Halbleiterdiodenkennlinie ein. Diese Dioden zeigen kein Sperrverhalten. Ursache f ü r dieses 1957 von E s a k i entdeckte Verhalten ist der quantenmechanische Tunneleffekt; Bauelemente dieser Art heißen daher Tunneldioden. Durch die starke Dotierung ist die Bandverschiebung eUD a m ^«-Übergang größer als der Bandabstand AW (Abb. 4.43). Die Fermi-Kante liegt im «-Gebiet im unteren Teil des Leitungsbandes und im ^-Gebiet im oberen Teil des Valenzbandes. F ü r die Leitungselektronen des «-Gebietes existieren also durch die Bandüberlappung energetisch J

Abb. 4.42. Kennlinie und Schaltzeichen einer Tunneldiode

170

4.4. Halbleiterdioden n

eUB

AW

P

1 ?

Abb. 4.43- Bändermodell zur Erläuterung des Tunneleffektes am ^w-Ubergang

gleichwertige Niveaus im Valenzband des ^-Gebietes. Da die Sperrschicht wegen der hohen Dotierung sehr schmal ist (s. (4.28)), besteht quantenmechanisch eine hohe Wahrscheinlichkeit dafür, d a ß Elektronen diesen Potentialwall „durchtunneln". Beim Betrieb eines solchen /»«-Überganges in Sperrichtung fließt ein ElektronenTunnelstrom vom p- ins «-Gebiet, der mit wachsender Spannung stark ansteigt; das entspricht dem bereits in 4 . 3 . 6 . besprochenen ZENER-Effekt. In Durchlaßrichtung fließt ein Elektronen-Tunnelstrom aus dem n- ins /»-Gebiet, der zunächst ebenfalls mit wachsender Spannung stark ansteigt, aber mit zunehmender Besetzung des Valenzbandes im /»-Gebiet und abnehmender Bandüberlappung wieder absinkt, bis sich schließlich das normale Durchlaßverhalten des /»«-Überganges einstellt. Da das Durchtunneln der Potentialbarriere sehr schnell abläuft (die Elektronen bewegen sich dabei nahezu mit Lichtgeschwindigkeit), gilt d e r durch den Tunneleffekt bestimmte Verlauf der Kennlinie bis zu sehr hohen Frequenzen (bis ca. 10 GHz).

Abb. 4.44. Tunneldioden-Diskriminator a) Schaltung (schematisch), b) Kennlinie mit Widerstandsgeraden zur Konstruktion der Arbeitspunkte, c) zeitlicher Verlauf der Spannungen

171

4-4.4. Tunneldioden

Tunneldioden werden als schnelle Schalter und zur Entdämpfung von Schwingkreisen eingesetzt. Als Beispiel für eine Schalteranwendung wollen wir die in Abb. 4.44 dargestellte Diskriminatorschaltung betrachten. Legt man an den Eingang dieser Schaltung eine Gleichspannung Ue an, ergeben sich je nach der Größe dieser Spannung verschiedene charakteristische Arbeitspunkte der Tunneldiode. Zur Konstruktion dieser Arbeitspunkte trägt man in das Kennliniendiagramm die sogenannte Widerstandsgerade ein, die dem Zusammenhang Ud — Ue — IdR1 entspricht und durch die beiden ausgezeichneten Punkte Ud = Ue, • Id = o und Ud = 0, Id- = UJR1 geht. Aus Abb. 4.44b) liest man dann ab, daß sich für Ue < Uel ein stabiler Arbeitspunkt A1 unterhalb der Höckerspannung Uh und für Ue > Ue2 ein stabiler Arbeitspunkt Aa oberhalb der Talspannung Ut ergibt. Im Eingangsspannungsbereich Uel ^ Ue Ue2 ergeben sich bei entsprechender Wahl von R1 drei Schnittpunkte der Widerstandsgeraden mit der Kennlinie, von denen jedoch nur die auf den ansteigenden Kennlinienzweigen liegenden stabile Arbeitspunkte darstellen. Die tatsächliche Lage des Arbeitspunktes A ergibt sich aus dem vorangegangenen Zustand der Schaltung. Steigt die Eingangsspannung von Werten Ue < Uel an, dann bleibt der Arbeitspunkt A1 stabil (d. h. Ud 0 für uu lur < 0 für

' ^

,

\rD\

L\p ,

\rD\
WAH ein ohmscher Kontakt entsteht.

4.4.8.

Spezialdioden

In diesem Abschnitt soll kurz auf einige Spezialdioden eingegangen werden, die vor allem im Bereich sehr hoher Frequenzen (Mikrowellengebiet) Anwendung finden. 4.4.8.1.

Speicherschaltdiode

Speicherschaltdioden (Step-Recovery-Dioden) sind ^w-Dioden, die aufgrund ihrer Strukturparameter eine extrem kurze Abfallzeit t f (s. 4.3.8.) aufweisen. Beim Betrieb mit Wechselspannung treten daher charakteristische Verzerrungen mit sehr steilen

177

4.4.8. Spezialdioden

Abb. 4.52. Zeitlicher Verlauf von Spannung und Strom an einer Step-Recovery-Diode

Flanken auf (s. Abb. 4.52), die man wegen des'hohen Oberwellengehaltes zur Frequenzvervielfachung und in Mikrowellengeneratorschaltungen bis zu Frequenzen von einigen Gigahertz ausnutzt. 4.4.8.2.

Lawinenlaufzeitdiode

In Abb. 4.53 ist schematisch die Zonenfolge einer Lawinenlaufzeitdiode (ImpattDiode, von engl.; imj>act ionization by «valanche and fransit ¿ime diode) dargestellt. Wird die Diode in Sperrichtung vorgespannt, treten am «+^>-Übergang sehr hohe Feldstärken auf, die nach Überschreiten eines kritischen Wertes zum AvalancheDurchbruch führen. Die dadurch erzeugte Defektelektronenlawine muß durch das pund das ¿-Gebiet laufen und kommt aufgrund ihrer Laufzeit zeitlich verzögert gegenüber dem auslösenden Maximalwert der Feldstärke am Ende der Driftstrecke an. Bei richtiger Wahl der Länge der Driftstrecke beträgt die Phasenverschiebung etwa 180°, d. h., der Diode kann Leistung entnommen werden, die zur Anregung eines angekoppelten Mikrowellenresonators bis zu Frequenzen von einigen 100 GHz verwendet werden .kann. 4.4.8.3.

pin-Diode

pin-Strukturen hatten wir bereits als Hochleistungs-NF-Gleichrichter kennengelernt (s. 4.4.1.5-). Diese Dioden lassen sich aber auch als regelbare Hochfrequenzwiderstände einsetzen. Beim Betrieb in Durchlaßrichtung wird die Intrinsic-Zone von Ladungsträgern aus den Bahngebieten überschwemmt, die nach einer gewissen mittleren Lebensdauer r miteinander rekombinieren. Überlagert man der Durchlaßgleichspannung eine kleine Wechselspannung niedriger Frequenz, stellt sich die Ladungsträgerkonzentration zu jedem Zeitpunkt entsprechend dem Momentanwert der Gesamtspannung ein, und der Durchlaßstrom schwankt im Takt der Wechselspannung. Hat aber die überlagerte Wechselspannung eine hinreichend hohe Frequenz (u> > 1/T), kann sich die Ladungsträgerkonzentration der ¿-Zone und damit der Flußstrom nicht mehr schnell genug ändern. Oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz wird daher der Durchlaßwiderstand einer pin-Diode frequenzunabhängig und allein durch den Durchlaßgleichstrom bestimmt.

>—

n* P i

P*

0 Abb. 4.53. Zonenfolge in einer Impatt-Diode (nach

READ)

178

4-5- Bipolartransistor

Je

Vs

Iis

a) ¡¡cc

U»e

"

U

U

"

a) «¿m-Transistor, b) /m/j-Transistor

b)

4.5.

Abb. 4.54. Polung der Betriebsspannungen, Zählpfeile der Ströme und Spannungen und Schaltzeichen für Transistoren

Bipolartransistor

Als Transistor bezeichnet man ein Halbleiter-Bauelement, das aus drei unterschiedlich dotierten Zonen mit der Zonenfolge n-p-n bzw. p-n-p aufgebaut ist; ein Transistor enthält also zwei ^«-Übergänge. Beim normalen Betrieb weisen Transistoren in der Schaltung eine Verstärkerwirkung auf; man bezeichnet sie deshalb als aktive Bauelemente. Man spricht vom Bipolartransistor, da im Unterschied zu den später zu besprechenden Feldeffekttransistoren (s. Abschn. 4.6.) stets Elektronen u n d Löcher am Ladungstransport beteiligt sind. Die Entwicklung des Transistors geht auf Arbeiten von J . B A R D E E N und W. H. B R A T T A I N (1948) und von W. S H O C K L E Y (1949) zurück. Je nach der Zonenfolge spricht man von einem npn- oder einem ^>n^>-Transistor. Die mittlere Zone wird als Basis (B), die äußeren werden als E m i t t e r (E) u n d Kollektor (C) bezeichnet. I m normalen Betrieb ist die Emitter-Basisdiode in Durchlaßrichtung und die Kollektor-Basisdiode in Sperrichtung gepolt. Die üblichen Zählpfeile für Spannungen und Ströme sowie die Schaltzeichen zeigt Abb. 4-54. F ü r die Spannungen gilt ÜCE = ÜCB + ÜBE .

4.5.1.

(4.58)

Wirkungsweise des Transistors

Die grundsätzliche Wirkungsweise soll qualitativ am Beispiel des ^ « - T r a n s i s t o r s diskutiert werden. Wir gehen dazu von den in Abb. 4.54 dargestellten Betriebsverhältnissen aus. _ Die Kollektor-Basisdiode ist durch die Spannung UCB in Sperrichtung gepolt, d. h., über diesen /»^-Übergang fließt ein Sperrstrom, der von den Minoritätsträgerkonzentrationen an den Sperrschichträndern abhängig ist (s. (4.34)). Wenn der Kollek-

4.5-1 • Wirkungsweise

179

torstrom beeinflußt werden soll, kann das also über eine Änderung der Minoritätsträgerkonzentration np0 der Basiszone geschehen. Die Emitter-Basisdiode wird mit der Spannung UBE in Durchlaßrichtung betrieben, die einen Majoritätsträgerstrom (Elektronenstrom IEn] s. Abb. 4.55) aus dem Emitter in die Basiszone bewirkt, der dort die Minoritätsträgerdichte erhöht. Ist die Basisdicke l B klein gegenüber der Diffusionslänge Ln der Elektronen in der Basiszone, gelangen die vom Emitter injizierten Elektronen bis in die Raumladungszone der Kollektor-Basisdiode und fließen als Elektronenstrom A IEn über den Kollektor ab. Nur ein geringer Anteil der Elektronen rekombiniert in der Basiszone und liefert einen Rekombinationsstrom 7 rek , der über den Basisanschluß abfließt. Der Kollektorstrom. I c läßt sich also durch die Spannung UBE bzw. durch den Emitterstrom IE steuern (Transistoreffekt). Die Größe A heißt Gleichstromverstärkung der Basisschaltung. Außer dem Elektronenstrom IEn, der den eigentlichen Nutzstrom darstellt und möglichst ohne Rekombinationsverlust (A « 1) zum Kollektor fließen soll, fließt über den Emitter noch ein aus der Basis injizierter Löcherstrom IEp. Dieser soll ebenfalls möglichst gering sein, da er keinen Beitrag zum Transistoreffekt liefert. Durch eine gegenüber der Emitterzone niedrige Dotierung der Basiszone (n AB n DE ) erreicht man, daß der Durchlaßstrom der Emitter-Basisdiode nahezu ein reiner Elektronenstrom ist. Der Kollektorstrom besteht aus dem vom Emitter kommenden Elektronenstrom A I E n und dem Sperrstrom / C B 0 der Kollektor-Basisdiode. Damit findet man die in Abb. 4.55 schematisch dargestellte Verteilung der Teilchenströme, wobei für die Strombilanz des Transistors -IE = Ic + (4.59) gilt. Die Verstärkerwirkung des Transistors ergibt sich aus einer Abschätzung der Leistungen im Eingangs- und Ausgangskreis. Zwar ist nach (4-59) l ^ l IQ< aber da die Sperrspannung an der Kollektor-Basisdiode bedeutend größer ist als die Spannung an der in Durchlaßrichtung betriebenen Emitter-Basisdiode (U BE ist etwa gleich der Schleusenspannung Us), ist auch die gesteuerte Leistung im Ausgangskreis größer als die Steuerleistung im Eingangskreis; der Transistor bewirkt eine Leistungsverstärkung.

480

4.5- Bipolartransistor

B

b) l

-o

J,-Js Abb. 4.56. Transistor als Vierpol in seinen drei Grundli^Ufc

Schaltungen (mit Zählpfeilen) a) Emitterschaltung, b) Basisschaltung, c) Kollektorschaltung

4.5.2.

Transistorgrundschaltungen und ihre Gleichstromkenngrößen

Obwohl der Transistor nur drei Anschlüsse hat, wird er zur Beschreibung seiner Übertragungseigenschaften als Vierpol behandelt. Das bedeutet, daß Eingangs- und Ausgangskreis einen Transistoranschluß gemeinsam haben. Daraus ergeben sich die in Abb. 4.56 dargestellten drei Grundschaltungen eines Transistors: Emitterschaltung, Basisschaltung und Kollektorschaltung. 1 Die Bezeichnung erfolgt nach dem in Eingangs* und Ausgangskreis gemeinsamen Transistoranschluß, der für die Signalspannungen i. allg. das Bezugspotential darstellt. Zur Beschreibung des Transistoreffekts waren wir von der Basisschaltung ausgegangen (s. Abb. 4-54). Im normalen Betriebsfall ist AIEn^> ICBO, d. h., für die Gleichstromverstärkung gilt in sehr guter Näherung (4.60) Die Basisschaltung wird also durch eine Stromverstärkung A < 1 charakterisiert. Da andererseits bei der Transistorherstellung dafür Sorge getragen wird, daß die Rekombinationsverluste in der Basis und der Löcherstrom aus der Basis in den Emitter sehr gering sind, weicht die Stromverstärkung A nur sehr wenig von Eins ab (A > 0,97). Für die Emitterschaltung definiert man eine Gleichstromverstärkung B, für die nach (4.59) und (4.60) (4.61) 1

Im Unterschied zur Betrachtungsweise der Vierpoltheorie in 2.3. wird bei der Anwendung des Vierpolformalismus auf Transistoren i. allg. das symmetrische Zählpfeilsystem verwendet (s. auch Abb. 4.54 und 4.56).

4.5-3- Kleinsignaleigenschaften

181

gilt, d. h., die Emitterschaltung weist eine echte Stromverstärkung auf. Analog findet man als Stromverstärkung der Kollektorschaltung =

(4.62)

d. h., auch die Kollektorschaltung zeigt eine echte Stromverstärkung, die praktisch gleich der der Emitterschaltung ist. Neben den Stromverstärkungsfaktoren dienen die sogenannten Restströme zur Kennzeichnung des Gleichstrom Verhaltens von Transistoren. Da sie von der Eigenleitungsdichte n i abhängen und daher eine starke Temperaturabhängigkeit zeigen (s. 4.3-5.), muß man sie in vielen Fällen bei der Dimensionierung von Schaltungen berücksichtigen. Aus Abb. 4-55 liest man ab, daß bei offenem Emitter ( I E = 0) nur der Kollektorsperrstrom ICBO fließt, der dem Sperrsättigungsstrom der Kollektor-Basisdiode entspricht. Bei U B E = 0 (Basis- und Emitteranschluß kurzgeschlossen) fließt ein etwas größerer Sperrstrom IQES> da jetzt der Kollektor-Basisdiode noch Ladungsträger aus dem Emitter zugeführt werden. Bei einem bestimmten Emitterstrom muß der Basisstrom gerade verschwinden (IB = 0 : offene Basis); dieser Emitterstrom fließt dann als Kollektorreststrom I C E 0 in voller Höhe zum Kollektor. 4.5.3.

Beschreibung der Kleinsignaleigenschaften

Bisher haben wir uns mit dem Gleichstromverhalten des Transistors befaßt. Wir wollen nun seine Übertragungseigenschaften für Signale untersuchen. Dazu geht man z. B. davon aus, daß der Betriebsspannung UBE der Emitter-Basisdiode eine Signalspannung UBE überlagert wird, und fragt nach dem daraus resultierenden Kollektorstrom. Dabei muß man berücksichtigen, daß der Transistor ein nichtlineares Bauelement ist. Wenn man also auf die Beschreibung der Übertragungseigenschaften der Transistorgrundschaltungen den Vierpolformalismus anwenden will, muß man sich auf einen hinreichend kleinen Arbeitsbereich in der Umgebung des Arbeitspunktes beschränken (s. auch 2.3-1.). Praktisch bedeutet das, daß die Amplituden der Wechselgrößen stets klein gegenüber den entsprechenden Gleichstromwerten sein müssen. Unter dieser Voraussetzung spricht man vom Transistor als Kleinsignalverstärker. Zur Beschreibung der Übertragungseigenschaften des Transistors geht man von den oben besprochenen Grundschaltungen aus, wobei es für jede dieser Grundschaltungen drei Möglichkeiten gibt, die Transistoreigenschaften darzustellen. Die erste Möglichkeit bieten die Transistorkennlinien, die den Zusammenhang zwischen den Strömen und Spannungen für den quasistationären Betriebsfall im gesamten zulässigen Arbeitsbereich grafisch wiedergeben. Eine weitere ist die formale Anwendung der Vierpolgleichungen. Der Transistor wird dabei durch eine äquivalente Ersatzschaltung dargestellt, deren Parameter vom Arbeitspunkt abhängig sind. Die dritte Möglichkeit ist die Ableitung einer Ersatzschaltung auf Grund der physikalischen Vorgänge im Transistor. Wir wollen uns im folgenden mit allen drei Möglichkeiten der Beschreibung der Übertragungseigenschaften befassen und dabei besonders auf die Zusammenhänge zwischen ihnen hinweisen. 13

Rost, Elektronik

182

4-5- Bipolartransistor

4-S-3-1-

Beschreibung des Transistors durch Vierpolparameter

In der Schaltung wird der Transistor als Vierpol behandelt, indem man einen Anschluß sowohl im Eingangs- als auch im Ausgangskreis benutzt. Seine Übertragungseigenschaften lassen sich daher ganz formal durch die Vierpolgleichungen beschreiben. Am häufigsten verwendet man die Vierpolgleichungen in der Hybridform (Gl. (2.106)), da man zwischen den A-Parametern und den gebräuchlichen Kennlinienfeldern einen unmittelbaren Zusammenhang herstellen kann. Die A-Parameter sind daher reell und können nur zur Beschreibung der Übertragungseigenschaften im NFBereich verwendet werden. Das Vierpolgleichungssystem lautet in Matrixform (s. 2.3.)1 fin M M V (4.63) \Ah) V*2i V \ / l t / 2 / Dabei werden die /¿-Parameter als Differenzenquotienten definiert und haben folgende Bedeutung: hn =

AU, AI, Ui = const

Kurzschlußeingangswiderstand,

(4.64.1)

AU! -TFT 1 - const Zt/j. :

Leerlaufspannungsrückwirkung,

(4.64.2)

Alt

Kurzschlußstromverstärkung,

(4-64-3)

Leerlaufausgangsleitwert.

(4.64.4)

Ah

Ug = const

AI2 AU» Ii = const

Mit diesen Bedeutungen der /«-Parameter leitet sich aus dem Gleichungssystem (4.63) die entsprechende Ersatzschaltung ab (Abb. 4.57), wobei die erste Zeile den Eingangskreis und die zweite Zeile den Ausgangskreis beschreibt. Die Vierpolgleichungen mit ihrer Ersatzschaltung gelten formal für alle drei Grundschaltungen des Transistors, wobei die Werte der A-Parameter allerdings von der Grundschaltung abhängen. Die Spannungen und Ströme am Transistor sind jedoch über die Gleichungen (4-58) und (4-59) miteinander verknüpft (s. auch Abb. 4.56). Damit kann man die Vierpolgleichungen der drei Grundschaltunge'n ineinander überführen. Durch Koeffizientenvergleich findet man die in Tab. 18 angegebenen Umrechnungsbeziehungen zwischen J,

h„

Abb. 4.57- A-Parameter-Ersatzschaltung eines Transistors 1

Da der Transistor ein nichtlinearer Vierpol ist, müssen die Vierpolgleichungen als Differenzengleichungen geschrieben werden (s. (4.63)). Bei Kleinsignalaüssteuerung wird jedoch vorausgesetzt, daß sich der Transistor im Aussteuerbereich linear verhält. Im folgenden wird daher, wie allgemein üblich, statt mit den Differenzen mit den Amplituden der Wechselspannungen und -ströme oder mit diesen selbst gerechnet.

4.5-3. Kleinsignaleigenschaften

\

Tabelle 18 Umrechnung der /¡-Parameter von Basis-, Emitter- und Kollektorschaltung (es bedeuten: Ah = h h — h h , Zh = 1 + Ah + h — h ) n 22

12 21

21

Ahe

hlle

¿116

Zh,

Zh. Ahe

h i b

hzzb

"in.

Ahh

-

+

h

2 u

Zh.

h22e Zh.

h

12

12« I ¿11 c

*121C +

Ahr Ä12c

Ahc

Ahr -

Ahc

Ahr

Ä22c

jäT

Zh, b Ahb

+

h2ib

h22b

Zhh

l

h u Zhb h m

-

1

¿216 Zhh

» 2 2b ~ZK

ZK

h-22e

Zhc

- (1 + h 2 u)

h\\e

- (1 + ¿21e)

¿2

¿22 c

den A-Parametern für die Emitter-, Basis- und Kollektorschaltung. Ihre Kennzeichnung erfolgt durch einen entsprechenden Index. Von Transistorherstellern werden i. allg. die /^-Parameter der Emitterschaltung angegeben; der Anwender kann daraus nach Tab. 18 leicht die Ä-Parameter der anderen Grundschaltungen berechnen. Hochfrequenztransistoren werden vorzugsweise durch die Leitwertparameter (yParameter) beschrieben. Die entsprechenden Vierpolgleichungen lauten in Matrixform (s. (2.104)) l A / y u M p (4.65) U i l y22/ \U_2 (alle Größen in dieser Gleichung werden komplex angenommen), wobei sich die Bedeutung der ^-Parameter unmittelbar aus ihrer Definition als différentielle Größen ergibt (analog zu den Gleichungen (4.64)). Den Vierpolgleichungen in Leitwertform entspricht das in Abb. 4.58 wiedergegebene Ersatzschaltbild. Formal ergibt sich nach Tab. 10 ein Zusammenhang zwischen h- und ^-Parametern, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die A-Parameter beim Transistor reell angenommen wurden. h )

Abb. 4-58. y-Parameter-Ersatzschaltung eines Transistors 13*

184

4.5- Bipolartransistor

Beispiel 4.7. Berechnung der /¡-Parameter der Grundschaltungen aus den ¿¿-Parametern eines Transistors. Gegeben sind hlle

= 780 i l ,

h1Ze = 5 • 10"5 , ¿21* = 1 SO , /»22s = 12 (¿S . Mit Ahe = 1,86 • 10" 3 und Ehe = 1 5 1 ergibt sich nach Tab. 18 f ü r die Basisschaltung ¿116 = 5,17 0 ,

¿12b = 1.20 • 10"5 , ¿216 = - 0 , 9 9 3 , ¿22b = 79,5 • 1 0 " 9 S u n d f ü r die Kollektorschaltung hnc

= 78O i l ,

¿12c » 1 . hn.c = - 1 5 1 ,

¿22c = 12 (iS . Aus den Relationen in Tab. 18 und diesem Zahlenbeispiel kann man folgende allgemeine Aussagen über die Transistoreigenschaften in den drei Grundschaltungen ablesen — In der Emitterschaltung hat der Eingangswiderstand einen mittleren und der Ausgangswiderstand 1 jh22 einen großen Wert; die Spannungsrückwirkung ist gering; die Stromverstärkung weist einen großen Wert auf. — In der Basisschaltung hat der Transistor einen kleinen Eingangswiderstand und einen sehr großen Ausgangswiderstand; die Spannungsrückwirkung ist noch geringer als in Emitterschaltung; die Stromverstärkung ist nahezu Eins. — In der Kollektorschaltung hat der Transistor den gleichen Eingangs- und Ausgangswiderstand und nahezu die gleiche Stromverstärkung wie in der Emitterschaltung; die Spannungsrückwirkung ist nahezu Eins. 4.5.3.2.

Transistorkennlinien

Die anschaulichste Form der Beschreibung der Übertragungseigenschaften bieten die Transistorkennlinien. Sie stellen den Zusammenhang zwischen den Spannungen und Strömen am Transistor im quasistationären Betriebszustand in grafischer Form dar. Entsprechend den vier Variablen des Transistorvierpols (s. Abb. 4-56) ergeben sich für jede Grundschaltung vier Kennlinienscharen: Die beiden abhängigen Variablen werden als Funktion einer unabhängigen Variablen mit der zweiten als Parameter dargestellt. Als meßtechnisch und für die Anwendung besonders zweckmäßig erweisen sich die der Hybridform entsprechenden Kennlinien, die den Transistor als stromgesteuertes Bauelement beschreiben: U1 = / ( / j ) und I2 = f{Ii)

mit U2 als Parameter,

L\ = f(U2) und I2 = f{U2) mit

als Parameter.

185

4.S-3- Kleinsignaleigenschaften

Ud-const

- © n i

7

©

Abb. 4.59- Meßschaltung zur Kennlinienaufnahme und Kennlinien eines Transistors in Emitterschaltung

Für die in der Praxis am meisten angewendete Emitterschaltung ergibt sich daraus die in Abb. 4-59 angegebene Meßschaltung, die auf das schematisch dargestellte Kennlinienfeld führt. Nach ihrer Definition (s. (4.64)) entsprechen die A-Parameter den Anstiegen der Kennlinien im Arbeitspunkt A, der durch die Gleichstromwerte UCE,A> IC,A> IB,A und U B E Ä festgelegt ist. Während jedoch die A-Parameter nur zur Beschreibung des Kleinsignalverhaltens verwendet werden können, läßt sich aus den Kennlinien das quasistationäre Betriebsverhalten des Transistors im gesamten zulässigen Arbeitsbereich ableiten (s. dazu 5-2.). 4.5.3.3.

Physikalische Ersatzschaltung des Transistors in Emitterschaltung für tiefe Frequenzen

Kennlinien oder Vierpolparameter werden am Transistor für einen ganz bestimmten Betriebszustand gemessen. Sie gestatten die Beschreibung des Übertragungsverhaltens im quasistationären Betrieb und bilden damit eine wichtige Grundlage der Schaltungsberechnung, können aber nicht ohne weiteres benutzt werden, um allgemeine Aussagen über das dynamische Verhalten des Transistors zu gewinnen. Vielmehr ist es dazu notwendig, eine Ersatzschaltung auf der Grundlage der physikalischen Vorgänge im Transistor abzuleiten. Im folgenden soll das am Beispiel der Emitterschaltung durchgeführt werden. Für die in Durchlaßrichtung betriebene Emitter-Basisdiode gilt die exponentielle Kennlinie eines ^«-Überganges (4-35). Daraus folgt für U B E ^> U 6 ) da der Basisstrom dem Emitterstrom proportional ist, näherungsweise ÜBE

I

B

= I

B s

e

ü

»

(4.66)

186

4.5- Bipolartransistor

Zwischen Eingangsspannung UBE und Eingangsstrom IB besteht also ein nichtlinearer Zusammenhang (s. auch Abb. 4-59)- Die Emitter-Basisdiode hat für eine kleine, der Gleichspannung UBEIA im Arbeitspunkt überlagerte Wechselspannung UBE einen differentiellen Widerstand U*

RBE

DIBLDUBE

(4-67)

IBIA

der stets kleiner ist als ihr Gleichstromwiderstand und vom Basisstrom, d. h. vom Arbeitspunkt, abhängt. Wie bei der Diode muß auch beim Transistor der Bahnwiderstand des Halbleitermaterials berücksichtigt werden. Aufgrund des Dotierungsprofils spielt vor allem der Bahnwiderstand RBB der Basis eine Rolle. Damit gilt für den Eingangskreis des Transistors die in Abb. 4.60 wiedergegebene Ersatzschaltung. Den Punkt B' bezeichnet man als inneren Basispunkt, die Spannung U'BE als innere Steuerspannung. Wesentliches Merkmal des Transistors ist die Steuerbarkeit des Kollektorstromes. Aus (4.66) ergibt sich mit (4.61) IC

=

B I

ß

=

e

BIBS

ÜBE U»

(4.68)

J e nach der Betrachtung des Transistors als ström- oder als spannungsgesteuertes Bauelement ergibt sich also eine nahezu lineare oder eine stark nichtlineare Übertragungskennlinie (s. auch Abb. 4.5 9)Bei Kleinsignalaussteuerung beschreibt man den Transistoreffekt durch eine Stromquelle im Ausgangskreis mit dem Kurzschlußstrom ICK = ß0IB

=

su'BE

(4-69)

•

Die Größe ß0 heißt Kurzschlußstromverstärkung in Emitterschaltung für tiefe Frequenzen. Sie ist als différentielle Größe =

9 1 „ ücs — const

(4.70)

H21«

UCE=O

definiert und i. allg. relativ wenig vom Arbeitspunkt abhängig (s. auch Abb. 4-59)Im typischen Anwendungsgebiet eines Transistors unterscheidet sie sich nur wenig von der Gleichstromverstärkung B. Die Größe S heißt innere Steilheit des T r a n sistors. Aus Abb. 4.60 liest man mit (4.69) a b : HB c O M à = Po 7TT- = U'BE

ßO RBE

O Iß, A

= Po -

(4.71)

U»

d. h., die innere Steilheit hängt vom Arbeitspunkt ab.

JA

'B£

^

'BC

L

,

Abb. 4.60. Ersatzschaltung des Eingangskreises eines Transistors in Emitterschaltung

187

4.5-3- Kleinsignaleigenschaften

Abb. 4.61. Ersatzschaltung des Ausgangskreises eines Transistors in Emitterschaltung

Der Ausgangsstrom des Transistors ist außerdem eine Funktion der KollektorEmitterspannung. In der Ersatzschaltung drückt sich das durch einen Leitwert gCE

=

3 Ir

9 u,CE

IB = const

u,CE

= h9.

(4.72)

IB=o

aus, der der Stromquelle parallelgeschaltet ist. Damit erhält man für den Ausgangskreis des Transistors die in Abb. 4.61 dargestellte Ersatzschaltung, die der Ersatzschaltung der A-Parameterdarstellung entspricht (s. Abb. 4-57). , Bei diesen Überlegungen wurde die Abhängigkeit der Eingangsspannung von der Ausgangsspannung — die Spannungsrückwirkung — vernachlässigt. Da diese jedoch meist sehr kleine Werte annimmt « 10 - 4 ; s. Beispiel 4.7-). ist diese Vernachlässigung zulässig und in der Praxis üblich. 4.5.3.4.

Transistorkapazitäten — die vollständige Ersatzschaltung

Wird die Laufzeit der aus dem Emitter in die Basis injizierten Ladungsträger vergleichbar mit der Periodendauer der steuernden Wechselspannung, tritt zwischen Steuerspannung U BE und Kollektorstrom I c eine Phasenverschiebung auf. Das läßt sich durch eine Diffusionskapazität CD beschreiben, die dem differentiellen Widerstand der Emitter-Basisdiode parallelgeschaltet ist und als Eingangskapazität des Transistors wirkt. Je nach Transistortyp beträgt CD etwa 50 ... 5000 pF. Über die Sperrschichtkapazität und die Änderung der Sperrschichtweite wirkt eine Änderung der Kollektorspannung auf die Basis zurück. Im Ersatzschaltbild wird das durch eine Rückwirkungskapazität CCB dargestellt, die zwischen Kollektor und innerem Basispunkt liegt und je nach Transistortyp etwa 1 ... 50 p F beträgt. Dieser Rückwirkungskapazität liegt ein Rückwirkungsleitwert gCB parallel, für den sich aus der Transistortheorie näherungsweise

ergibt.

Po

(4.73)

Abb. 4.62. Vollständige Ersatzschaltung eines Transistors in Emitterschaltung

188

4-5- Bipolartransistor

Schließlich weist der Kollektor eine statische Kapazität gegen den Emitter auf, die dem Ausgangsleitwert parallel liegt. Sie beträgt allerdings nur wenige Pikofarad und kann daher in vielen Fällen vernachlässigt werden. Damit erhält man das in Abb. 4.62 wiedergegebene vollständige Ersatzschaltbild des Transistors in Emitterschaltung, das sowohl für tiefe als auch für hohe Frequenzen gilt und im Gegensatz zu den oben hergeleiteten formalen Vierpolersatzschaltungen (Abb. 4.57 und 4-58) die physikalischen Vorgänge im Transistor beschreibt. Es gestattet allgemeine Aussagen über das dynamische Verhalten des Transistors, ist jedoch ungeeignet als Grundlage für die Dimensionierung von Transistorschaltungen. 4.5.3.5.

Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung

Nach dem vollständigen Ersatzschaltbild setzt sich die Eingangsimpedanz des inneren Transistors bei kurzgeschlossenem Ausgang aus der Parallelschaltung des differentiellen Widerstandes rBE der Emitter-Basisdiode, der Diffusionskapazität CD und dem Rückwirkungsleitwert gCB + jaCCB zusammen. Entsprechend teilt sich der Basisstrom IB im inneren Basispunkt B' in drei Teilströme auf. Der Ausgangs-Kurzschlußstrom Ick wird jedoch allein von dem Strom /' B über rBE bestimmt: ICK = ß 0 l ' B = ß o — r

-

BE

(4-74)

Aus der Ersatzschaltung der Abb. 4.62 liest man für die innere Steuerspannung ab: U1BE = - ~ 1 + gcB^BE

+J(orBE(CD

t ^ X T ^ T + CCB)

(4 75

" >

Vernachlässigt man den Rückwirkungsleitwert (im normalen Betriebsbereich gilt i. allg. gcBrBE "0 und die Rückwirkungskapazität (C CB CD), erhält man aus (4.75) mit (4.74) als gute Näherung I'B = -

1

r

+j(orBECD

(4-76)

und schließlich i§*=ß = LB

-

A — . 1 +

(4.77)

P*BECD

Der Zusammenhang zwischen dem Kurzschluß-Ausgangsstrom und dem Steuerstrom ist frequenzabhängig. Als Kurzschlußstromverstärkung im eigentlichen Sinne definiert man den Betrag der durch (4.77) beschriebenen komplexen Größe: ß = - j = L = ^ . Kl +

(«>

(4.78)

rBECD)*

Mit wachsender Frequenz nimmt die Stromverstärkung des Transistors ab. Die Frequenzabhängigkeit läßt sich durch ein einziges i?C-Glied beschreiben. Mit der Grenzfrequenz fß=

1 02nr L r BE D

(4-79)

189

4.5-3- Kleinsignaleigenschaften

-3dB

-

Abb. 4.63- Frequenzabhängigkeit der Kurzschlußstromverstärkung eines Transistors in Emitterschaltung

kann man die Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung in der Form ßo ß = /l + ( f l f ß )

(4-80) 2

schreiben, die sich in einfacher Weise grafisch darstellen läßt (Abb. 4.63 s - auch 2.2.1-3-). Häufig wird als charakteristischer Wert die Transitfrequenz f T angegeben, bei der die Stromverstärkung auf den Wert Eins abgefallen ist. Aus (4.80) erhält man (4-81) Um eine Aussage über die Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung der Basisschaltung machen zu können, müssen wir zunächst deren Ersatzschaltung entwickeln. Den Eingangskreis kann man durch die Parallelschaltung des differentiellen Widerstandes rEB der Emitter-Basisdiode mit der Diffusionskapazität CD beschreiben. Wendet man (4-59) sinngemäß auf die Wechselströme an, ergibt sich und daraus

I e = 0 + ßo) I B

rEB

(4.82) (4.83)

— 1 +

ßo

Bahnwiderstände können für diese Betrachtung unberücksichtigt bleiben. Der Ausgangskreis wird wieder durch eine gesteuerte Stromquelle mit dem Kurzschlußstrom ICk beschrieben, der die Kapazität CCB parallel liegt. Der Leitwert gCB wird vernachlässigt. Da die zwischen Kollektor (Ausgang) und Emitter (Eingang) liegende Basis signalmäßig auf Massepotential liegt, kann der Transistor rückwirkungsfrei angenommen werden. Damit erhält man das in Abb. 4.64 angegebene vereinfachte Ersatzschaltbild. Der Ausgangs-Kurzschlußstrom wird allein durch den Wirkanteil jTe des Emitterstromes bestimmt und ist Ick

f

Jf

(4.84)

— M-Überganges (s. (4.66) und (4.68)). Man muß daher auch die gleiche Temperaturabhängigkeit erwarten: Mit steigender Temperatur nehmen die Ströme annähernd exponentiell zu (s. Beispiel 4.6). Zur Darstellung der Temperaturabhängigkeit ist es üblich, die Wirkung einer Temperaturerhöhung z. B . auf den Kollektorstrom mit der Änderung A U B E der BasisEmitterspannung zu vergleichen, die die gleiche Stromänderung AJC hervorrufen würde. Ausgedrückt wird das durch den Temperaturdurchgriff

A&

Für Kleinsignaltransistoren hat der Temperaturdurchgriff Werte im Bereich D# ^ 1,8 bis 2,5 mV/K. Das ist ein sehr großer Wert, wenn man bedenkt, daß wegen des exponen tiellen Zusammenhanges bereits eine Änderung von U B E um etwa 18 mV eine Verdopplung der Ströme nach sich zieht. Für die Temperaturabhängigkeit der Restströme gilt annähernd die gleiche Aussage, die Beispiel 4.6 für den Sperrsättigungsstrom des ^«-Überganges geliefert hat. Si-Transistoren zeigen also eine stärkere Temperaturabhängigkeit der Restströme als Ge-Transistoren, bei gleicher Temperatur sind jedoch ihre Restströme um zwei bis drei Größenordnungen geringer. Die Erhöhung der Transistortemperatur kann ihre Ursache in der Erhöhung der Umgebungstemperatur und in der im Transistor umgesetzten Verlustleistung PV haben. Wie bei der Diode darf auch beim Transistor die Sperrschichttemperatur fy

4-5- Bipolartransistor

196

bestimmte Grenzwerte nicht überschreiten (s. 4-3-6.)• Daraus ergibt sich für die maximal zulässige Verlustleistung nach (2.5) •&• — d ' U • (4-96) •Kth Die im Transistor umgesetzte Verlustleistung ist praktisch gleich der Kollektorverlustleistung : fi,,nax =

Pv = UCEIC •

(4-97)

Der Wärmewiderstand Rth beschreibt den Wärmeübergang zwischen den Sperrschichten und der Umgebung; er kann durch zusätzliche Kühlmaßnahmen herabgesetzt werden. Besonders für Leistungstransistoren werden vom Hersteller neben dem Wärmewiderstand bei normaler Montage Lastminderungskurven für verschiedene Kuhlbedingungen angegeben.

4.5.7.

Grenzwerte

Um einen zerstörungsfreien Betrieb sicherzustellen, müssen jederzeit bestimmte thermische und elektrische Grenzwerte eingehalten werden. So darf im zeitlichen Mittel die Verlustleistung einen bestimmten Maximalwert Pvmax nicht überschreiten (Gl. (4.96)). Die Hyperbel Pv max = UCEIC wird in das Ausgangskennlinienfeld eingetragen (s. Abb. 4-59) und begrenzt den im normalen Betrieb zulässigen Arbeitsbereich. 1 Die Grenzwerte der Ströme (bei niedrigen Betriebsspannungen) ergeben sich aus den maximal zulässigen Stromdichten im Halbleiterkristall oder in den inneren Zuleitungen des Transistors zwischen Kristall und äußeren Anschlüssen. Die maximal zulässigen Spannungen folgen aus den maximal zulässigen Sperrspannungen (s. auch 4.3.6.). Betreibt man die Emitter-Basisdiode in Sperrichtung, kommt es wegen der hohen Dotierung des Emitters bereits bei relativ niedrigen Spannungen zum ZENER-Durchbruch. Angegeben wird als Grenzwert die maximal zulässige Emitter-Basissperrspannung U E B 0 bei offenem Kollektor, die etwa 5 ... 8 V beträgt. Die maximal zulässige Sperrspannung der Kollektor-Basisdiode ist wegen der geringeren Dotierung des Kollektors bedeutend größer und wird durch den Lawinendur chbruch begrenzt. Angegeben wird die Kollektor-Basissperrspannung TJCBO bei offenem Emitter, die bei speziellen Transistoren bis zu einigen Kilovolt betragen kann. Der Lawinendurchbruch der Kollektor-Basisdiode ist reversibel, wenn die zulässige Verlustleistung und der zulässige maximale Strom nicht überschritten werden (Durchbruch 1. Art; s. dazu das Schaltungsbeispiel in Abb. 3.10). Speziell für diesen Betrieb im Durchbruchbereich konstruierte Transistoren werden als AvalancheTransistoren bezeichnet. Eine weitere Grenze stellt der Kollektor-Emitterdurchbruch dar, der dann auftritt, wenn die Raumladungszone der Kollektor-Basisdiode bis an den Emitter-Basisübergang heranreicht. Als Grenzwert wird die Kollektor-Emitterspannung UCE0 bei offener Basis angegeben, die meist kleiner als UCB0 ist. 1

Abweichungen davon, die im Schalterbetrieb zulässig sind, werden in 5-2.2. behandelt.

4.6.1. Übersicht

197

Durch ungleichmäßige Stromverteilung kann es bei großen Verlustleistungen zur lokalen Überhitzung und dadurch zur thermischen Zerstörung des Halbleiterkristalls kommen (Durchbruch 2. Art; s. auch 4.3-6.). Im praktischen Betrieb kommt es meist zum Durchbruch 2. Art als Folge eines Durchbruchs 1. Art, wenn nicht für eine entsprechende Strombegrenzung gesorgt wird.

4.6.

Feldeffekttransistoren (FET)

Die Arbeitsweise von Feldeffekttransistoren beruht auf der Steuerung des Widerstandes eines Stromkanals in einem Halbleiterkristall durch ein senkrecht zur Stromrichtung wirkendes elektrisches Feld. Ein wesentlicher Unterschied zu den bisher besprochenen Bipolartransistoren besteht darin, daß der Strom durch den F E T praktisch allein aus Majoritätsträgern besteht; man bezeichnet Feldeffekttransistoren deshalb auch als Unipolartransistoren. Das Prinzip des Feldeffekttransistors wurde bereits 1952 von W. Shockley angegeben.

4.6.1.

Übersicht über die FET-Typen

Man unterscheidet nach dem Steuerungsprinzip und nach der Art der Majoritätsträger des Kanals sechs verschiedene Arten von F E T . Einen Überblick über die verschiedenen FET-Typen einschließlich ihrer Schaltsymbole vermittelt Abb. 4.68. Die Steuerelektrode (Tor) wird mit G (von engl.: gate) bezeichnet, die Kanalanschlüsse mit Quelle S (von engl.: source) und Senke D (von engl.: drain). Der Stromkanal wird auf einem Halbleiterkristall (Substrat B, von engl.: bulk) erzeugt. Häufig erhält das Substrat einen zusätzlichen Anschluß, der aber meist nicht herausgeführt, sondern im Transistor mit der Quelle verbunden wird. Alle Anschlüsse werden sperrschichtfrei an den Halbleiterkristall herangeführt.

FET

14

Rost, Elektronik

-198

4.6. Feldeffekttransistoren

Als Substrat wird fast ausschließlich Silizium verwendet. Die Drain-Sourcespannung UDS wird im normalen Betrieb so gepolt, daß die Majoritätsträger im Kanal von der Quelle zur Senke fließen, obwohl bei den meisten FET auch ein inverser Betrieb möglich ist.

4.6.2.

Sperrschicht-FET

4.6.2.1.

Aufbau und Wirkungsweise

Wir wollen Aufbau und Wirkungsweise am Beispiel eines ra-Kanal-Sperrschicht-FET (JFET, von engl.: junction) besprechen, der in Abb. 4.69 schematisch dargestellt ist. Ein w-leitender Halbleiterkristall ist mit zwei sperrschichtfreien Anschlüssen S und D versehen. Er verhält sich wie ein ohmscher Widerstand, d. h., der Kanalstrom ist der Spannung UDS bei beliebiger Polarität proportional. Auf diesem «-leitenden Kanal werden zwei einander gegenüberliegende ^-leitende Inseln erzeugt, die ebenfalls mit sperrschichtfreien Anschlüssen versehen sind und die Torelektrode bilden. Zwischen Tor und Kanal entsteht eine Sperrschicht. Zur Erläuterung der Wirkungsweise gehen wir davon aus, daß Gate und Source zunächst miteinander verbunden sind (Eingang kurzgeschlossen) und am Kanal eine positive Drain-Sourcespannung UDS liegt. Bei geringen Spannungen UDS verhält sich der Kanal nach wie vor annähernd wie ein ohmscher Widerstand, d. h., der Drainstrom ID ist UDS proportional (ohmscher Bereich). Durch den Spannungsabfall am Kanal liegt jedoch am ^»«-Übergang zwischen Gate und Kanal eine zur Drainelektrode hin ansteigende Sperrspannung. Infolgedessen weitet sich die Sperrschicht aus, und der wirksame Kanalquerschnitt nimmt zur Drainelektrode hin ab, und zwar um so mehr, je höher die Spannung UDS wird. Dieser Abschnüreffekt (engl, pinchoff) hat zur Folge, daß der Drainstrom ID oberhalb einer Spannung UDS = UK (Kniespannung) schließlich unabhängig von der Drain-Sourcespannung wird (Abschnürbereich). Legt man nun zusätzlich eine gegen Source in Sperrichtung gepolte Gatespännung UGS an, tritt der Abschnüreffekt bereits bei einer geringeren DrainSourcespannung auf, und im Abschnürbereich ergibt sich ein geringerer Drainstrom. Die Durchbruchspannung des ^»«-Überganges zwischen Gate und Kanal bestimmt die maximal zulässige Drain-Sourcespannung.

Abb. 4.69. Prinzip eines «-Kanal-JFET (nicht schraffiert: ^-leitende Inseln; schraffiert: «-Kanal; doppelt schraffiert: Verarmungszone im Kanal)

4.6.2. Sperrschicht-FET

199

I UJV

-5

-3

-2

-1 -1

b)

A)

UP

-SV

UA

Abb. 4-70. a) Steuerkennlinie bei Ups = const und b) Ausgangskennlinienfeld mit UQS als Parameter für einen w-Kanal-JFET (schematisch)

4.6.2.2.

Kennlinien

Aus der Beschreibung der Wirkungsweise ergibt sich das in Abb. 4.70 b) dargestellte Ausgangskennlinienfeld eines J F E T , das den Drainstrom ID als Funktion der DrainSourcespannung UDS für verschiedene konstante Gate-Sourcespannungen UGS wiedergibt. Auch im aktiven Bereich hängt der Drainstrom noch gering von der DrainSourcespannung ab (der F E T hat einen bestimmten, von Null verschiedenen Ausgangsleitwert). Der maximale Drainstrom fließt bei UGS = 0 V. Positive Gate-Sourcespannungen sind nicht zulässig (der ^«-Übergang würde in Durchlaßrichtung betrieben). Die in Abb. 4.70a) wiedergegebene Steuerkennlinie ID = f(UGS) kann man für UDS = const unmittelbar aus dem Ausgangskennlinienfeld entnehmen. Mit negativ werdender Steuerspannung UGS sinkt der Drainstrom und wird bei der Schwellenspannung Up nahezu Null. Für nicht zu große Spannungen UDS kann man die Steuerkennlinie durch die Gleichung (4.98) ausdrücken. Die Steuerwirkung eines F E T beschreibt man durch seine Steilheit S, die als Anstieg der Steuerkennlinie definiert ist:

3 UGS

UDS = const

(4.99)

Mit (4.98) ergibt sich für die Steilheit (4-100) 14*

200

4.6. Feldeffekttransistoren

Sie nimmt für UGS = 0 V ihren maximalen Wert Smax = Ä \ U

(4.101) P

\

an. Zwischen der Kniespannung UK der Ausgangskennlinien und der Schwellenspannung Up der Steuerkennlinie besteht annähernd der Zusammenhang Ü

K

^

U

G

S

-

U

P

,

(4.102)

d. h., für UGS = 0 V wird ÜK ^ \XJp\. Da der ^«-Übergang zwischen Gate und Kanal nur in Sperrichtung betrieben wird, ist der Eingangswiderstand des J F E T sehr groß (1010 ... 10 11 Q). Daher werden auch keine Eingangskennlinien angegeben. Die Steuerung des J F E T erfolgt praktisch leistungslos (reine Spannungssteuerung). 4.6.3.

Isolierschicht-FET

Beim Isolierschicht-FET (MISFET, von engl.: metal insulator semiconductor FET) ist die Gateelektrode vom Halbleiterkristall und damit vom Kanal galvanisch getrennt. Dadurch erreicht man bei diesem Transistortyp noch höhere Eingangswiderstände (1014 ... 10 16 Q). Die Steuerung des Kanalwiderstandes erfolgt durch Influenz. Verwendet man Siliziumdioxid (Si0 2 ) als Isolator, bezeichnet man den Transistor als MOSFET (von engl.: metal oxide semiconductor FET). Durch den extrem hohen Eingangswiderstand kann es leicht zur elektrostatischen Aufladung des Gate und in der Folge zum Durchschlag des Gatedielektrikums und damit zur Zerstörung des Transistors kommen. Wegen der geringen Kapazität und der geringen Schichtdicke des Dielektrikums genügen dazu bereits sehr kleine Ladungsmengen. Während des Versands und des Einbaus werden deshalb alle Anschlüsse durch eine Metallbrücke kurzgeschlossen, die erst nach dem Einbau des Transistors in die Schaltung entfernt wird. Bei manchen Typen wird das Gate durch integrierte Z-Dioden geschützt; allerdings wird dadurch auch der Eingangswiderstand herabgesetzt. 4.6.3.1.

Aufbau und Wirkungsweise

Die Abb. 4.71 zeigt schematisch den Aufbau unterschiedlicher MISFET-Typen, wobei in allen Fällen ^»-Silizium als Basismaterial angenommen wurde. In dem ^»-leitenden Substrat werden zwei w-leitende Inseln als Source und Drain erzeugt und mit sperrschichtfreien Anschlüssen versehen. Die Gateelektrode ist durch eine Si0 2 Schicht vom Substrat isoliert und bildet mit diesem einen Plattenkondensator. Betrachten wir zunächst den in Abb. 4.71a) dargestellten Transistortyp, so erkennt man, daß ohne Gatespannung bei beliebiger Polarität der Drain-Sourcespannung UDS kein Drainstrom ID fließen kann, da stets einer der ^«-Übergänge zwischen Drain bzw. Source und Substrat in Sperrichtung betrieben wird. Legt man an die Gateelektrode eine positive Spannung, wird unterhalb im Substrat eine negative Raumladung influenziert. In der Nähe der Substratoberfläche bildet sich eine Inversionsschicht, d. h., das ursprünglich ^-leitende Material wird «-leitend. Source und

201

4.6.3- Isolierschicht-FET

4 rcn 1 ROT fera n-täna/ P

ÜK

b)

bß

c)

bß

Abb. 4-71. Aufbau und Wirkungsweise von MISFET a) Inversionsgesteuerter Anreicherungs-FET («-Kanal) ohne und mit äußeren Spannungen, b) inversionsgesteuerter «-Kanal-Verarmungs-FETf c) leitfähigkeitsgesteuerter «-Kanal-Verarmungs-FET

Drain werden durch einen w-leitenden Kanal miteinander verbunden, der zur Drainelektrode hin enger wird. Durch diesen Kanal fließt ein Drainstrom ID, der durch die Gatespannung UGS gesteuert werden kann. Diesen Transistortyp bezeichnet man als selbstsperrenden oder Anreicherungstyp (engl, normally off, enhancement type). Durch den Einbau ortsfester positiver Ladungsträger in der Isolierschicht kann man erreichen, daß bereits ohne Gatespannung eine Inversionsschicht, d. h. ein leitender Kanal auftritt (Abb. 4-71 b)).Durcheine positive Gatespannung kann die Kanalleitfähigkeit weiter erhöht, durch eine negative Gatespannung kann sie verringert werden. Diesen Transistortyp bezeichnet man als selbstleitenden oder Verarmungstyp (engl, normally on, depletion type). Da in beiden Fällen der Kanal als Inversionsschicht im Substrat gebildet wird, nennt man diese Transistoren inversionsgesteuert. Einen selbstleitenden MISFET kann man auch dadurch aufbauen, daß man die stark dotierten Zonen von Source und Drain durch einen schwach dotierten Kanal des gleichen Leitungstyps verbindet (Abb. 4-71 c)). Die Leitfähigkeit dieses Kanals kann wie die eines inversionsgesteuerten MISFET durch die Gatespannung UGS gesteuert werden. Selbstleitende MISFET können sowohl im Anreicherungsbereich als auch im Verarmungsbereich gesteuert werden. Im Vergleich dazu ist der J F E T ein selbstleitender FET, der nur im Verarmungsbereich betrieben werden kann. Alle beschriebenen MISFET-Typen kann man auch komplementär, d. h. mit entgegengesetztem Leitungstyp der einzelnen Zonen aufbauen (s. Abb. 4.68). Alle Spannungen müssen dann umgepolt werden. Bei Anreicherungstypen hat die Gatespannung die gleiche Polarität wie die Drainspannung. Das vereinfacht die Hintereinanderschaltung mehrerer Transistorstufen. Anreicherungstypen werden deshalb bevorzugt beim Entwurf integrierter Schaltungen

202

4.6. Feldeffekttransistoren

eingesetzt. Allerdings sind «-Kanal-Anreicherungstypen schwierig herstellbar, da Kontaktpotentiale und positive Zwischenschichtladungen oft bereits ohne Gatespannung zur Ausbildung eines Kanals führen. 4.6.3.2.

Kennlinien

Ähnlich wie beim J F E T wird die Ausbildung des Kanals durch die Drain-Sourcespannung UDS beeinflußt; oberhalb eines Wertes UDS == UK kommt es zur Abschnürung des Kanals. Die Kennlinien der MISFET haben daher nahezu den gleichen Verlauf wie die des J F E T , unterscheiden sich jedoch in der Größe der Schwellenspannung Up und damit im Aussteuerbereich. Beim selbstsperrenden MISFET entsteht der Kanal erst, wenn UGS größer wird als die Schwellenspannung UP, d. h., 'die Kennlinien existieren nur im Anreicherungsbereich U GS U p (Abb. 4.72 a)). Dagegen kann ein selbstleitender MISFET sowohl im Anreicherungsbereich (UGS 0) bis zu einem maximalen Drainstrom / f l m a x als auch im Verarmungsbereich (UGS IBA konstant. Aus Abb. 5.5 liest man a b : =

UB

0 =

HR2

+

UBE,A

/ " X

+

Ie,ARE

-

sein, d. h., die Spannung J ^

ist annähernd

I.E,A RR >

(5.8)

UBE.Ä

(5-9)

~

•

RT kann aus (5-9) berechnet werden. Für R2 folgt dann aus (5.8) und (5.9) mit (5.3) R

2

=

RI

UB — UBE,A

—

UBE.A +

+

IE,ARE

IB,AR\

—

(5-10)

IE.ARE

(mit ausreichender Genauigkeit kann man hier —IE,A = ¡C.A setzen). Zur Erläuterung der Arbeitspunktstabilisierung durch RE diskutieren wir die Wirkung einer Temperaturerhöhung auf die Schaltung. Sie verursacht eine Verschiebung des Arbeitspunktes zu größeren Werten von I c . Das hat einen erhöhten Spannungsabfall an RE und damit (s. Abb. 5-5) eine Abnahme der Basis-Emitterspannung zur Folge, die der Vergrößerung des Kollektorstromes gerade entgegenwirkt. Praktisch verbleibt eine geringe Temperaturabhängigkeit, die um so kleiner ist, je besser die Bedingung \IEIARE\ > UBEIA, d. h. BRE > UBEIAIIB>A = RBE erfüllt ist. Die Stabilisierung des Arbeitspunktes kann weiter verbessert werden, wenn man im Basisspannungsteiler temperaturabhängige Widerstände einsetzt. So kann z. B . R1 aus einem Festwiderstand und einem Heißleiter zusammengesetzt werden. Mit steigender Temperatur nimmt dann der Gesamtwiderstand und damit der Spannungsabfall an R1 ab. Das bedeutet eine Verkleinerung von UBEIA und wirkt dem Anstieg des Kollektorstromes entgegen. Die Stabilisierung des Arbeitspunktes durch einen Emitterwiderstand bewirkt auch, daß die Eigenschaften der Verstärkerschaltung weitgehend unabhängig von den Eigenschaften des Transistors werden. Mit UBE Ä — IBFARBE und — I E A R E BIb,ARE folgt aus (5-9) für eine Schaltung mit guter Stabilisierung LB,A-

HRI RBE

IIRX

+

BRE

BRE

Weiter folgt aus der Voraussetzung für den Spannungsteilerstrom ( I X ZX „

RI 15 Rost, Elektronik

R l

+

n

R.

Üh.

(5.11) Ib,A) (5.12)

5.1. Transistor- Kleinsignalverstärke r

214

Damit ergibt sich näherungsweise für den Kollektorstrom

d. h., der Kollektorstrom hängt praktisch nur von der äußeren Beschaltung ab und nicht von den Eigenschaften des Transistors. 5.1.1.3.

Vollständige Emitterschaltung und ihre Ersatzschaltung für niedrige Frequenzen

Häufig soll ein Verstärker Wechselspannungen oder -ströme innerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches verstärken. Die Schaltung wird dann so aufgebaut, daß die Einstellung des Gleichstromarbeitspunktes unabhängig von den Wechselstromeigenschaften der Schaltung vorgenommen werden kann. Dazu werden Eingang und Ausgang kapazitiv von der vorangehenden bzw. nachfolgenden Schaltung getrennt. Außerdem wird der Emitterwiderstand RE für den Wechselstrom IE kapazitiv kurzgeschlossen. Damit erhält man das in Abb. 5.6a) wiedergegebene vollständige Schaltbild eines Verstärkers in Emitterschaltung. Zur Herleitung einer äquivalenten Ersatzschaltung beschränken wir uns auf einen Frequenzbereich, in dem einerseits der Transistor durch die Ä-Parameter beschrieben werden kann, andererseits aber die Kondensatoren Ckl, Ck2 und CE als Kurzschlüsse angesehen werden können. Die Betriebsspannungsquelle stellt wechselspannungsmäßig einen Kurzschluß dar. Im Eingang des Transistors wirkt daher die Parallelschaltung RT II R2 = RB der beiden Widerstände des Besisspannungsteilers; im Aus-

fr)

S

E

Abb. 5.6. a) Vollständige Emitterschaltung und b) ihre Ersatzschaltung für niedrige Frequenzen

5.1.1. Emitterschaltung

215

Abb. 5-7- Arbeitsgerade für Gleich- und Wechselström

. Ub Uci

UC£A ,

gangskreis Hegt der Kollektorwiderstand RC parallel zum Ausgangsleitwert des Transistors und dem äußeren Lastwiderstand RA. Damit erhält man die in Abb. 5-6b) dargestellte Wechselstrom-Ersatzschaltung für niedrige Frequenzen. Bei Ansteuerung des Transistors mit einem Steuerstrom I 1 verschiebt sich der momentane Arbeitspunkt längs der Arbeitsgeraden. Aus der Ersatzschaltung erkennt man, daß sich für Wechselstrom eine andere Arbeitsgerade ergibt, als wir sie zur Beschreibung des Gleichstromverhaltens ermittelt hatten. Die Gleichstromarbeitsgerade wird durch die Widerstände RC und RE bestimmt und geht durch die Punkte UCE = UB, IC = 0 und UCE = 0, IC = UJ(RE + RC) des Ausgangskennlinienfeldes (s. Abb. 5-7) ; ihr Anstieg ist fH i tan ocG = —. (5.14.1) m

u

k

e +

c

Für Wechselstrom wirkt im Ausgangskreis die Parallelschaltung von RC und RA, während RE kurzgeschlossen ist. Die Wechselstromarbeitsgerade geht ebenfalls durch den Arbeitspunkt A, hat aber den Anstieg

{mv, m I Maßstabsfaktoren, angegeben z. B. in Vcm - 1 und Acm -1 ). 5.1.1.4.

Die Betriebsgrößen der Emitterschaltung

Zur Berechnung der Betriebseigenschaften wird die allgemeine Wechselstrom-Ersatzschaltung durch folgende, in der Praxis meist zulässige Vernachlässigungen vereinfacht : 1. Der Transistor ist rückwirkungsfrei: h12e ^ 0. 2. Der Kurzschlußausgangsleitwert hZ2e ist vernachlässigbar gegenüber den anderen Leitwerten im Ausgangskreis : /t22e » 0 . Damit erhält man die in Abb. 5-8 wiedergegebene vereinfachte Ersatzschaltung der Emitterschaltung, aus der man unmittelbar für den Eingangswiderstand Wu = klu\\RB = J ^ ^ »Iii +

und für den Ausgangswiderstand WIT = RC 15*

k

(5.15) b

(5.16)

216

Or.

5.1. Transistor-Kleinsignalverstärker

U,

Verstärker als aktiver Vierpol

FH Li

Abb. 5-8. Emitterschaltung: vereinfachte Ersatzschaltung

abliest. Weiter folgt h

Rr

^

Ra + R C

Rr

h 21«

Ra + Rc

Rr Ku +

r

h .

b

und daraus ergibt sich für die Stromverstärkung der Schaltung1 =

Rr

!> = h

h

2"R

R«

+ Rc

a

hlu+RB

(5-17)

Man sieht, daß die Stromverstärkung ihren Maximalwert h2U annimmt, wenn der äußere Lastwiderstand Null ist (R a = 0: Kurzschluß) und der gesamte Steuerstrom in die Basis fließt (RB hlu). Um eine hohe Stromverstärkung zu erzielen, muß also der Basisspannungsteiler möglichst hochohmig sein. Schließlich liest man aus Abb. 5-8 ab: U, =

IaRa,

Ut =

hWu.

Mit (5-15) und (5-17) folgt daraus für die Spannungsverstärkung v «,=

U, I„R„ — = • hRicW Ux l2i«

hlu

= — Vi,

RaRc Ra +

Rc

R. RuW

(5.18)

Die Spannungsverstärkung nimmt ihren Maximalwert an, wenn der äußere Lastwiderstand unendlich groß wird (leerlaufender Verstärker). Den Quotienten Ä21i/Alle bezeichnet man als Steilheit S des Transistors (s. 4.5.3-30* 1

Andere Autoren beziehen bei der Berechnung der Betriebswerte der Verstärkungen den Ausgangsstrom auf den Kurzschlußstrom IG bzw. die Ausgangsspannung auf die Leerlaufspannung UG der steuernden Quelle. Die Verstärkung hängt dann zusätzlich vom Innenwiderstand R i der Steuerquelle ab. Hier wird der Verstärker als Vierpol aufgefaßt; die Betriebswerte der Verstärkungen werden genau wie die in 2.3-3- definierten Übertragungsfunktionen berechnet. Dieses Vorgehen entspricht auch dem in der Meßtechnik i. allg. angewendeten.

5.1.1. Emitterschaltung

217

Beispiel 5.1. Gegeben ist ein Transistor, der im Arbeitspunkt UCe,a = 5 V, Ic,a — 5 mA, = 0,65 V die Parameter hUe = 7 8 O Q und ä 2 u = 150 hat. Für eine geforderte Leerlaufspannungsverstärkung |vmi\ 200 soll die Schaltung entsprechend Abb. 5-6 dimensioniert und ihre Betriebseigenschaften berechnet werden (Widerstandswerte nach der Ei 2Reihe angeben). (5.18) liefert Ube,a

R c = K e L \ ^ = 1,04 k n . "21e

Mit — I e . a ^ e = 0.1 U b ergibt sich aus Abb. 5.5 Ü

b

=

I c

-

a R c

+

0,9

UcE'A

=

11,3 V »

11 V ,

und aus der Festlegung über den Spannungsabfall an RE folgt RE — 220 ü. Für den Strom über den Spannungsteiler gelte /2 = iO/gA- Dann ist J 2 = 10

10 ^ Ic.a

B

= 0,33 mA ,

h ~ ^

= 0,3 mA .

«21c

Damit folgt aus (5-9) R

=

Ube.a

- I E , A R

e

=

5

9 S

k

n

h und aus (5.10) schließlich R2 = 28,5 k i l . Mit den Werten der Ei2-Reihe Dimensionierung: ä j

=

5,6 k ß ,

i?2

=

27

kn,

r

c

= 1 kn,

r

e

ergibt sich folgende =

220

n .

Damit ergeben sich folgende Betriebswerte der Schaltung: Eingangswiderstand W l e = 668 ß , Ausgangswiderstand W%e = 1 k n , Leerlaufspannungsverstärkung \vwL\ = 192,3 , Kurzschlußstromverstärkung vieK = 128,4 . Betreibt man den Verstärker mit einem äußeren Lastwiderstand Ra = 1 k i l ( R a = Rc) liest man aus (5-17) und (5-18) ab, daß die Betriebswerte der Strom- bzw. Spannungsverstärkung gegenüber dem Kurzschluß- bzw. Leerlauffall auf die Hälfte absinken. Dieses Verhalten, das sich qualitativ bereits aus Abb. 5-7 ablesen läßt, ist bei der Berechnung mehrstufiger Verstärkerschaltungen zu berücksichtigen. 5.1.1.5.

Emitterschaltung bei sehr tiefen Frequenzen

B e i sehr tiefen Frequenzen kann man die in der Schaltung enthaltenen K a p a z i t ä t e n bei der E n t w i c k l u n g der Ersatzschaltung nicht mehr vernachlässigen. W i r wollen den Einfluß dieser K a p a z i t ä t e n auf die Betriebseigenschaften der Schaltung, insbesondere auf die Spannungsverstärkung, untersuchen, indem wir voraussetzen, d a ß e n t weder die Koppelkondensatoren oder der E m i t t e r k o n d e n s a t o r hinreichend groß bemessen sind und daher weiterhin vernachlässigt werden können.

5.1. Transistor-Kleinsignalverstärker

218

Abb. 5.9. Emitterschaltung: Ersatzschaltung zur Berechnung des Einflusses von R E und C E 5.1.1.5.1.

Einfluß des Emitterkondensators

Beim Aufstellen der Ersatzschaltung muß die i?C-Kombination im Emitterkreis berücksichtigt werden. Macht man im übrigen die gleichen Vernachlässigungen wie bei der Ableitung der Ersatzschaltung in Abb. 5 8, erhält man die in Abb. 5-9 wiedergegebene Schaltung. Aus dieser Schaltung liest man ab: U9 = 7„Ä„ = H1 = hluIB

-/

RgRc j R„ + Rr B •

+ (h2U + 1) (Re II CE) IB

iu + (h2u + 1)

R* i + ja>RECE

IB •

Verwendet man weiter die Näherung (h2U + 1) a ; hzu, ergibt sich für die Spannungsverstärkung U2 _ h2u KRc RaRc 1 + jo)RECE hluRa+ Rc + j ( o R C hu 1 - j K M (5-19) = vueO i — j (w2/co) Darin bedeutet VM0 den durch Gl. (5-18) gegebenen frequenzunabhängigen Wert der Spannungsverstärkung und O)o =

RrCE

Im allgemeinen ist a>2 oj1, da RE hllejhile ist, und der Betrag der Spannungsverstärkung hat in Abhängigkeit von der Frequenz den in Abb. 5-10 wiedergegebenen Verlauf: Oberhalb co2 hat die Verstärkung den frequenzunabhängigen Wert im Intervall eu2 ]> «1 fällt die Verstärkung um 20 dB pro Frequenzdekade, und unterhalb oj1 ist sie wieder frequenzunabhängig. Unter diesen Voraussetzungen wird die untere Grenzfrequenz praktisch durch a>2 bestimmt: f

E

= °2h 71-

1

2nC

(5.20) E

Re II

^ "zu

5.1.1. Emitterschaltung

219

logw

Abb. 5-10. Durch eine ifC-Kombination im Emitterkreis bewirkte Frequenzabhängigkeit der Verstärkung (schematisch)

Mit der Definition der Grenzfrequenz folgt aus (5-19) „2

2 col UE ue0coZe ö— coi

- v2

M

V

UTO

Diese Gleichung liefert n u r dann eine reelle Wurzel f ü r wenn der Emitterwiderstand der Ungleichung

couE,

wenn

2a>\ ist,

f2 hi h,21«

RE>

d. h.,

(5.21)

genügt; anderenfalls weist der Verstärker keine untere Grenzfrequenz auf. 5.1.1.5.2.

E i n f l u ß der Koppelkondensatoren

Koppelkondensatoren dienen der Abtrennung eines Gleichspannungsanteils, d. h. im Gegensatz zur i?C-Kombination im Emitterkreis bewirken sie in jedem Fall eine untere Grenzfrequenz. Zunächst untersuchen wir den Einfluß des Koppelkondensators Cki im Eingangskreis unter der Annahme, daß CE u n d Ck2 ohne Einfluß sind. Das f ü h r t auf das in Abb. 5-11 wiedergegebene Ersatzschaltbild, aus dem m a n UB

ÄpllÄ =

(Rb

Ii

hu)

+ -r

Ui =

jtoCki RR u Uz = I.R* = - h, 21«- a c h B Ra + Rc iu

jcoCkl(RB II hlle) El, 1 + jcoCkl(RB II hlu)

abliest. Damit erhält man f ü r die Spannungsverstärkung

Ä21«RgRc RaRc j(oCkl{RB || hlle) hin Ra + Rc 1 +jo>Ckl (RB || hiu)

v ui = —

w

v

«e01+j

-M©

u.

1

(5.22)

CO

Fl«I 1 T T TT

RB

Ü2 n,

Abb. 5-11- Emitterschaltung: Ersatzschaltung zur Berechnung des Einflusses von Ck1

220

10

5.1. Transistor-KleinsignalVerstärker

R; ¿1 ül

h?1cÎB. Abb. SA2. Emitterschaltung: Ersatzschaltung zur Berechnung des Einflusses von C ki

n

Der Koppelkondensator C ftl bildet also zusammen mit dem frequenzunabhängigen Anteil Wu = Rb 11 hlu des Eingangswiderstandes einen Hochpaß mit der unteren Grenzfrequenz * ^ 2 j i C n Rb II hiu

(5 23)

Berücksichtigt man allein den Koppelkondensator C l 2 im Ausgangskreis, erhält man die Ersatzschaltung Abb. 5.12, aus der man für die Spannungsverstärkung V

= —

R

"Rc

imCk2(Rg

Ku Ra + R

c

i + jcoCh2(Rtt

+ RC)

/r

+RC)

ableitet. Der Koppelkondensator CkZ bildet zusammen mit dem Kollektorwiderstand Rc und dem Lastwiderstand Ra einen Hochpaß in jr-Schaltung mit der unteren Grenzfrequenz ^ 2nCk2{Rtt +

(5

Rc)

5)

(5.25) läßt sich ganz allgemein auf den Fall anwenden, daß eine Quelle mit dem Innenwiderstand Ri über einen Koppelkondensator Ck mit einem Verbraucher Ra verbunden ist. Die Ersatzschaltung ist ein Hochpaß in jr-Schaltung (Abb. 5-13) mit der unteren Grenzfrequenz \ 2nCh{Ri 5.1.1.5.3.

+

(5-26)

Ra)

Dimensionierung der vollständigen Emitterschaltung

Im allgemeinen muß der Einfluß aller drei Kapazitäten auf den Frequenzgang der Verstärkung berücksichtigt werden. Ein Vergleich der durch (5-20), (5-23) und (5-25) angegebenen unteren Grenzfrequenzen ergibt jedoch, daß bei annähernd gleich großen Kapazitätswerten die durch die i?C-Kombination im Emitterkreis bestimmte Grenzfrequenz fuE meist den größten Wert hat. Daher legt man zweckmäßig mittels CE die untere Grenzfrequenz der Verstärkerschaltung fest, da man so den kleinstmög-

Abb. 5-13- Kapazitive Kopplung einer Last R a an eine Quelle mit dem Innenwiderstand Ri

5.1.1. Emitterschaltung

221 •o+ny

1kS2

Abb. 5-14- Vollständige Emitterschaltung (zu Beispiel 5-1 und 5-2)

liehen Kapazitätswert für CE erhält. Die Koppelkondensatoren werden dann so berechnet, daß die sich durch sie ergebenden Grenzfrequenzen wenigstens um eine Größenordnung unter der durch RECE festgelegten liegen. Beispiel 5.2. Berechnung des Emitterkondensators und der Koppelkondensatoren für die in Beispiel 5-1 behandelte Emitterschaltung für /„ = 75 Hz (die Kapazitätswerte sind nach der £12-Reihe anzugeben). Nach (5-20) folgt mit den Zahlenwerten aus Beispiel 5-1 CE =

h2uRE

1 2 nfu

+

hlu

hlleRE

= 417,7 ¿"F.

Die Koppelkondensatoren werden so berechnet, daß die durch sie bestimmte Grenzfrequenz mindestens eine Größenordnung niedriger liegt. Aus (5-23) folgt, wenn R^ W ie ist, Ch 1 =

10 2

nfuWu

= 31,8 ¡xF

und aus (5.25) mit Ra — Rc --Ä2

10 2 nfu(Ra

+

Rc)

= 10,6 (JtF .

Damit ergibt sich folgende Dimensionierung: CE

=

470 n F ,

C M = 33 ¡J.F , Ck 2 = 10[JI.F. Die vollständig dimensionierte Emitterschaltung gibt Abb. 5-14 wieder. 5.1.1.6.

Emitterschaltung bei hohen Frequenzen

Bei der Berechnung der Frequenzabhängigkeit der Kurzschlußstromverstärkung ß eines Transistors in Emitterschaltung war die Rückwirkungskapazität CCB, die im wesentlichen der Kollektor-Basis-Sperrschichtkapazität entspricht, gegenüber der Diffusionskapazität CD der Basis-Emitterdiode vernachlässigt worden (s. 4.5-3-4. und 4-5-3-5-). Die vollständige Emitterschaltung weist nun gemäß (5-18) eine Spannungsverstärkung vue auf. Die Rückwirkungskapazität C CB wird daher vom Ausgang her mit einer um den Faktor vM größeren Spannung aufgeladen als vom Eingang. Da

222

5.1. Transistor-KleinsignalVerstärker

Abb. 5-15- Emitterschaltung: vereinfachte Ersatzschaltung für hohe Frequenzen beide Platten eines Kondensators stets gleiche Ladungen tragen, m u ß vom Eingang ein entsprechend größerer Ladestrom auf CCB fließen: Die Kapazität CCB erscheint vom Eingang her gesehen vergrößert. I m Eingangskreis wirkt die MiLLER-Kapazität CM

= ("• +

(5.2 7)

Vue) CB C :

die vergleichbar ist mit der Diffusionskapazität CD u n d dieser parallelgeschaltet ist. Unter Vernachlässigung des Basisbahnwiderstandes erhält man die in Abb. 5-"15 wiedergegebene vereinfachte Ersatzschaltung, aus der man f ü r die Stromverstärkung = Li

"21e

= h»

o

Rr K +

RcLL

Rr Ra +RcRb

R^iu + hUe + jcoRBhlu(CD+

CM)

1 \ +MRB\\hlu)

(CD + CM)

(5.28)

ableitet. Dabei ist vie0 der durch (5-17) definierte frequenzunabhängige Wert der Stromverstärkung. Damit ergibt sich f ü r die Betriebsstromverstärkung eine obere Grenzfrequenz \ /o =

2n{CD+CM)\RB\\hlle)

•

(5'29)

die beträchtlich u n t e r der Grenzfrequenz fß der Kurzschlußstromverstärkung (s (4.79)) liegen kann.

5.1.2. 5.1.2.1.

Basisschaltung Vollständige Basisschaltung und ihre Ersatzschaltung

Die Festlegung des Arbeitspunktes erfolgt genau wie bei der Emitterschaltung mittels eines Emitterwiderstandes u n d eines Basisspannungsteilers. Die Basis wird wechselspannungsmäßig durch einen Kondensator CB auf Masse gelegt. Damit erhält man die in Abb. 5-iöa) wiedergegebene vollständige Basisschaltung, die bei Vernachlässigung der Rückwirkung (h12b < 1) und des Ausgangsleitwertes ( Ä c < l / Ä 2 2 i , ) auf das in Abb. 5.16b) dargestellte vereinfachte Ersatzschaltbild f ü h r t , das die Eigenschaften der Basisschaltung f ü r niedrige Frequenzen in guter Näherung beschreibt.

5.1.2. Basisschaltung

223

Ha

*t U,

•

J,

1

r

| W/|

j

m

.

0,

j

Abb. 5-16. Basisschaltung a) Vollständiges Schaltbild, b) vereinfachte Ersatzschaltung für niedrige Frequenzen

b) 5.1.2.2.

Die Betriebsgrößen der Basisschaltung

Aus der Ersatzschaltung in Abb. 516b) liest man unmittelbar für den Eingangswiderstand h

i u

E + und für den Ausgangswiderstand

Ä

W

W

u

=

2 b

=

|| Ä 11Ä = 116

R„

R

R

E

R

(5-30)

lli

(5-31)

c

ab. Weiter ergibt sich für die Stromverstärkung

=

R,

Rr

—h,21» '

Ra

+ R

c

R

e

+

(5-32)

hllb

und für die Spannungsverstärkung U2

V

«b

= VT = Ui

L R . I

E

h

hzib h

n b

u b

R Ra

a

+

R

c

(5-33)

R

c

Man findet also formal die gleichen Beziehungen wie für die Emitterschaltung. Um die Betriebseigenschaften dieser beiden Schaltungen miteinander vergleichen zu können, rechnet man die A 6 -Parameter in die /^-Parameter um. Mit Zhe = 1 -{Ahe-\+ Ä2ie — h12e« 1 + h2u (wegen Ahe, h1Ze < 1) folgt in guter Näherung aus Tab. 18 h 116'

l

21i •

h 11«

AK "12b

1 + Ä2 'nie

\ , l

21e

l

22b

H2e

1 +

h u

^22e

TTÄÜ7'

,

5.1. Transistor-Kleinsignalverstärker

224

Damit erhält man für die Betriebswerte der Basisschaltung im Vergleich zur Emitterschaltung: Wlb

=

h9

RE\\^Ciw?> Aft Res Ra h[l Rci + Wg hfl RC2 + W

Da der Kollektorstrom abwechselnd durch die beiden Transistoren fließt, muß die Betriebsspannungsquelle einen pulsierenden Gleichstrom mit dem zeitlichen Mittelwert 2 I J n liefern (s. 4.4.1.1.). Der Verstärker nimmt eine von der Aussteuerung abhängige Gleichstromleistung auf, deren Maximum A

9 TT2 ist. Der maximale Wirkungsgrad beträgt also t ] ^ — 78,5%. Am Lastwiderstand tritt keine Gleichstromleistung auf. Die Differenz zwischen der aufgenommenen Gleichstromleistung Pb und der Ausgangsleistung Pa, aufgeteilt auf die beiden Transistoren, entspricht der Kollektorverlustleistung: =

=

(5.67)

71

Aus d Pc_ut_ida*R. dI c

™

=

0

2

erhält man den Kollektorstrom Ic{Pcmax)=^Ra'

bei dem die Verlustleistung ein Maximum annimmt. Mit diesem Wert folgt aus (5-67) =

nluiRa

=

71

(5-68)

Gegenüber einem A-Verstärker weist also ein B-Verstärker ein etwa um den Faktor Zehn besseres Leistungsverhältnis P a m a i /P C m a l auf.

5-2.2. Schalter

239

Abb. 5-28. Gegentaktverstärker mit komplementären Transistoren

Durch den Übergang zur Kollektorschaltung und die Verwendung von komplementären Transistoren (Transistoren mit entgegengesetzter Zonenfolge, aber übereinstimmenden Parametern) kann man Leistungsverstärker ohne Übertrager aufbauen. In Abb. 5-28 ist eine solche Schaltung dargestellt, die je nach der Wahl des Arbeitspunktes als AB- oder .B-Verstärker betrieben werden kann. Der Widerstand Rp ermöglicht den Ausgleich von Unsymmetrien der Kollektorströme (Rp Ra ). Schaltungen dieser Art für kleine und mittlere Leistungen werden heute als integrierte Schaltungen angeboten. Transistor als Schalter Ein Schalter soll im geschlossenen Zustand einen möglichst geringen und im geöffneten Zustand einen möglichst großen Widerstand darstellen und in möglichst kurzer Zeit aus einem dieser beiden Zustände in den anderen umgeschaltet werden können. Unter bestimmten Betriebsbedingungen werden diese Forderungen von einem Transistor sehr gut erfüllt.

ub

C / y j y - ' Sättigungsbereich J

Csat

^fq

\

* 1 *c

1 V Ai

yj|

\

, _ x

\ \\

f i

0)

b)

^

" S o u

CEsat

Bb

Uce

Abb. 5-29. Transistor als Schalter a) Schaltung, b) Ausgangskennlinienfeld mit Widerstaadsgerade und Arbeitspunkten

240

5.2. Transistor-Großsignalverstärker

Wir wollen den Schalterbetrieb am Beispiel der Emitterschaltung eines Bipolartransistors näher untersuchen. In Abb. 5-29 ist die Schaltung und das Ausgangskennlinienfeld mit der Arbeitsgeraden dargestellt. Charakteristisch für den Schalterbetrieb ist das Auftreten von zwei unterschiedlichen Arbeitspunkten: Arbeitspunkt B: Der Transistor befindet sich im Sperr- oder Auszustand, der durch I ß = 0, I c = ICEO charakterisiert wird. Ideal wäre I c = 0; der Sperrzustand kann bis auf IE = 0 verbessert werden, wenn UBE < 0 gemacht wird (s. dazu 4.5-2.). Arbeitspunkt A: Der Transistor befindet sich im Durchlaß- oder Einzustand. Die Kollektor-Emitterspannung erreicht ihren minimalen Wert UCE sat (Rest- oder Sättigungsspannung), wenn der Transistor bis in den Sättigungsbereich ausgesteuert wird (U CB 0); unabhängig vom Basisstrom bleibt der Kollektorstrom auf den Sättigungswert Ic sat beschränkt. In diesen stabilen Arbeitspunkten ist die im Transistor umgesetzte Verlustleistung wegen der kleinen Werte von I C B 0 und U CE sat gering. Maßgeblich für die gesamte Verlustleistung und damit für die Auswahl des Transistors und die Festlegung der Arbeitspunkte ist das Übergangsverhalten (s. 4-5-5-)- Bein1 Aufstellen der Leistungsbilanz muß das Verhältnis der Verweilzeit in den stabilen Arbeitspunkten zur Übergangszeit berücksichtigt werden. Die Arbeitsgerade darf teilweise oberhalb der Verlustleistungshyperbel liegen, wenn der zeitliche Mittelwert der Verlustleistung den zulässigen Maximalwert nicht überschreitet. Ungünstiger liegen die Verhältnisse, wenn der Transistor auf einen komplexen Lastwiderstand arbeitet. Die stabilen Arbeitspunkte werden nach wie vor durch den reellen Anteil des Lastwiderstandes festgelegt. Ist dem Kollektorwiderstand eine Kapazität parallelgeschaltet, treten beim Einschalten (Übergang vom gesperrten in den leitenden Zustand) hohe Spitzenströme auf, verursacht durch die Entladung der Kapazität (Abb. 5-30a.)) Um den Transistor vor Zerstörung zu schützen, kann es erforderlich sein, diesen Spitzenstrom zu begrenzen (z. B. durch einen Serienwiderstand oder durch verzögertes Einschalten). Bei einem induktiven Lastwiderstand

Ausschalten

Abb. 5.30. Zum Schaltverhalten des Transistors mit komplexem Lastwiderstand a) Lastwiderstand kapazitiv, b) Lastwiderstand induktiv

5.2.2. Schalter

C

o

o

241

D

0

•O

-o

Abb. 5-31- Schaltungsmöglichkeiten zur Verbesserung des Übergangsverhaltens

treten beim Ausschalten hohe Spannungsspitzen auf (Abb. 5-30b), die zum Durchbruch des Transistors führen können. Auch hier muß der Transistor durch entsprechende Schaltungsmaßnahmen (z. B. durch eine Begrenzerdiode) geschützt werden. Für viele Anwendungen spielt die Geschwindigkeit, mit der man einen Transistorschalter aus einem stabilen Arbeitspunkt in den anderen umschalten kann, eine wesentliche Rolle. Diese Umschaltgeschwindigkeit hängt vom Ubergangsverhalten des Transistors und von der äußeren Beschaltung ab. Abb. 5-31 zeigt zwei Möglichkeiten, das Übergangsverhalten des Transistors durch die äußere Beschaltung zu beeinflussen. Wenn die Eingangsspannung von Null auf einen positiven Wert springt (Einschalten), liefert der Ladestrom der Kapazität C einen zusätzlichen Beitrag zum Basisstrom. Dadurch schaltet der Transistor schneller in den Einzustand; die Versteilerungskapazität bewirkt eine Verringerung der Verzögerungszeit td und der Anstiegszeit tr. Im eingeschalteten Zustand verhindert die Klammerdiode D eine Übersättigung des Transistors: Bei U CB

U\

V*

J Ui

Ur*\

4*1 a) Jr u; . J/*

> k

b)

j; U2 'Ui

J,

>

iVi

J.

4

n*

u'.

d) Abb. 5-34. Grundschaltungen der Rückkopplung a) Strom-Serien-Rückkopplung (Serien-Serien- bzw. Strom-Spannungs-Rückkopplung), b) Spannungs-Parallel-Rückkopplung (Parallel-Parallel- bzw. Spannungs-Strom-Rückkopplung), c) Spannungs-Serien-Rückkopplung (Parallel-Serien- bzw. Spannungs-Spannungs-Rückkopplung), d) Strom-Parallel-Rückkopplung (Serien-Parallel- bzw. Strom-Strom-Rückkopplung)

Stärkung bezeichnet. Der Rückkopplungsvierpol ist ein Netzwerk, dessen Spannungsübertragungsfunktion als Rückkopplungsfaktor k bezeichnet wird (der Einfachheit halber werden Frequenzabhängigkeiten vernachlässigt, so daß alle Größen reell angenommen werden können). Ersetzt man schließlich noch die allgemeinen Signalgrößen Sß und s^ durch die Ausgangsspannung U2 und die Eingangsspannung Ult geht (5.69) über in (; 70)

Man nennt v'u die äußere Verstärkung des rückgekoppelten Systems und kvu = vs seine Schleifen Verstärkung. Aus (5-70) liest man zwei für die Schaltungstechnik besonders wichtige Fälle ab: 1. vs > 0: Mitkopplung. Das rückgekoppelte Signal ist gleichphasig zum Eingangssignal; für die Verstärkung gilt v'u^>vu. Die Angabe der äußeren Verstärkung ist allerdings nur sinnvoll für 0 < vs < 1, da das System für vs 1 instabil ist. 2. v , < 0 : Gegenkopplung. Das rückgekoppelte Signal ist gegenphasig zum Eingangssignal; für die Verstärkung gilt v'u < vu. Der Betrag der Schleifenverstärkung kann beliebige Werte annehmen; meist ist \. Entsprechend den verschiedenen Möglichkeiten des Zusammenschaltens von Vierpolen (s. 2.3-2.) gibt es vier Grundschaltüngen der Rückkopplung, die in Abb. 5-34 dargestellt sind. 5.3.1.

Gegenkopplung

Die Gegenkopplung stellt ein wichtiges schaltungstechnisches Mittel zur Verbesserung der Stabilität, zur Vergrößerung der Bandbreite sowie zur Verbesserung der Linearität der Ubertragungskennlinie einer Verstärkerschaltung dar. Die Gegenkopplung kann über eine Verstärkerstufe, aber auch über einen mehrstufigen Verstärker wirken.

244 5-3-1-1-

5-3- Rückkoppjung Stabilisierung der Betriebsgrößen

Die stabilisierende Wirkung der Gegenkopplung läßt sich allgemein an ihrem Einfluß auf die Verstärkung untersuchen. Nach (5-70) hängt die äußere Verstärkung v' eines gegengekoppelten Verstärkers von der inneren Verstärkung v und vom Rückkopplungsfaktor k ab. Daraus folgt, daß eine Änderung Av' der äußeren Verstärkung durch eine Änderung Av der inneren Verstärkung oder durch eine Änderung Ak des Rückkopplungsfaktors verursacht werden kann. Es ist demnach Av' =

dv' dv' Av + dv dk

Ak.

(5-71)

Bildet man die partiellen Ableitungen aus (5-70), erhält man aus (5-71) Av' _

1 Av , v 1 + vs V 1-

Ak

(5-72)

und daraus als gute Näherung für starke Gegenkopplung (vs^> 1) Av' ^ \ Av v' k•V V

Ak k

(5-73)

Bei starker Gegenkopplung wirkt sich zwar eine Änderung des Rückkopplungsfaktors voll auf die äußere Verstärkung aus, aber Änderungen der inneren Verstärkung werden um den Faktor i[vs verringert. Änderungen der inneren Verstärkung können ihre Ursache in Exemplarstreuungen der aktiven Bauelemente, in Toleranzen der Widerstände, in Temperatur- und Alterungseinflüssen oder in Änderungen der Betriebsspannung haben. Eine Gegenkopplung eignet sich also insbesondere auch zur Stabilisierung des Arbeitspunktes, 5.3.1.2.

Vergrößerung der Bandbreite

Wenn wir annehmen, daß die untere und obere Grenzfrequenz eines Verstärkers durch je ein einziges i?C-Glied beschrieben werden können, läßt sich der Frequenzgang der Verstärkung durch ein einfaches BoDE-Diagramm in asymptotischer Näherung darstellen, bei dem die Verstärkung oberhalb f0 bzw. unterhalb fu mit 20 dB pro Dekade abfällt (Abb. 5-35). Da eine Gegenkopplung eine Verringerung der Verstärkung bewirkt, liest man aus dem BoDE-Diagramm unmittelbar eine Verschiebung der Eckfrequenzen ab: Die untere Grenzfrequenz wird vermindert, die obere erhöht. 1 Man erkennt leicht, daß eine Mitkopplung gerade die entgegengesetzte Wirkung hat. Allgemein gilt für die Eckfrequenzen eines rückgekoppelten Verstärkers (unter 1

Hinsichtlich der unteren Grenzfrequenz muß man beachten, daß zur Erzeugung der Gegenkopplung häufig gerade das ÄC-Glied entfernt wird, das fu bestimmt (s. 5-3.1-3-), oder daß das frequenzbestimmende i?C-Glied nicht innerhalb der Rückkopplungsschleife liegt. Beim Verstärkungsabfall bei hohen Frequenzen muß man berücksichtigen, daß dieser i. allg. durch mehrere ¿?C-Glieder beschrieben werden muß. Diese einfachen Betrachtungen gelten daher nur näherungsweise für einstufige Verstärker.

245

5-3.1- Gegenkopplung

A b b . 5-35. V e r g r ö ß e r u n g der B a n d b r e i t e d u r c h G e g e n k o p p l u n g (schematische D a r stellung i m BoDE-Diagramm)

der oben gemachten Voraussetzung)

/; = T^1 -

(5 74)

-

vs

/.=/o(l-w,)-

(5-75)

Die Gegenkopplung stellt also ein wirksames Mittel dar, die meist durch die ß-Grenzfrequenz des Transistors bestimmte obere Grenzfrequenz eines Verstärkers bedeutend zu erhöhen. Außerhalb der Eckfrequenzen ändert sich nicht nur der Betrag der Verstärkung, sondern auch ihr Phasenwinkel. Dadurch kann die Gegenkopplung in eine Mitkopplung übergehen ; der Verstärker wird instabil. Diese Möglichkeit muß vor allem in Betracht gezogen werden, wenn die Rückkopplung über mehrere Verstärkerstufen wirkt und dadurch die Grenzfrequenzen durch mehrere i?C-Glieder bestimmt werden. 5.3.1.3.

Die gegengekoppelte Emitterschaltung

In diesem Abschnitt wollen wir den Einfluß einer Gegenkopplung auf die Betriebseigenschaften der am häufigsten angewendeten Verstärkerschaltung, der E m i t t e r schaltung, untersuchen. In der praktischen Schaltungstechriik werden vor allem zwei Arten der Gegenkopplung benutzt: die Stromgegenkopplung durch einen nicht kapazitiv überbrückten Emitterwiderstand und die Spannungsgegenkopplung über einen Widerstand zwischen Kollektor und Basis.

c

A b b . 5.36. Transistor in E m i t t e r s c h a l t u n g mit Stromgegenkopplung a) Normale Darstellung der Schaltung, b) Vierpoldarstellung

17

Rost, Elektronik

246

5-3- Rückkopplung

• Abb. 5.36 a) zeigt in üblicher Darstellung einen Transistor in Emitterschaltung mit einem nicht überbrückten Emitterwiderstand. In Abb. 5-36b) ist dieselbe Schaltung in einer der Darstellung von Abb. 5-34a) entsprechenden Form wiedergegeben, die unmittelbar erkennen läßt, daß es sich um eine Strom-Serien-Gegenkopplung handelt. Aus Abb. 5-36b) liest man folgende Beziehungen zwischen den Strömen und Spannungen ab: h

=

I i

U

^

I2

—

I 2 >

U2

U =

l

-

U

g k

,

U2 — Uek ,

(/; + R2) RE . eh Beschränkt man sich auf niedrige Frequenzen, kann man für die weiteren Betrachtungen die Vierpolgleichungen U

x

I i

u =

=

h u h

+

—

h l e h

+

h

x 2 e

U

2

,

^22eU2

des Transistors zugrunde legen. Setzt man in diese die oben aus Abb. 5.36b) abgelesenen Beziehungen ein, erhält man nach einigen Umformungen ü [

h u

+ /; =

(1 -

+

hl2e

+

(1

+

h

2 2 e

R

(i

e

+

h i e

—

1

1

+

h

^22

+

h

2 2 e

R

R

E

e^E

2 2 e

R

1 1

+

E

u'2,

^22e^E

h12e)

—

hie^-E

^21« — 1

Ä12e) R

(5-76)

E

U'2,

I'l

1

E

+

h

Z 2 e

also zwei Gleichungen, die man als Vierpolgleichungen des gegengekoppelten Transistors interpretieren kann. Im Vergleich zum nicht gegengekoppelten Transistor wird der in der stromgegengekoppelten Emitterschaltung betriebene Transistor durch folgende A-Paramater beschrieben1 : h u

h u

=

h u

=

+

=

-

h u

+

(1

+

h i e

+

(1

-

h i e

h i i

(1

+

h u 1

h u ) h2e)

h i e ^ E

— +

hie)

hieR-E h

2 2 e

R

R

R

hie

1

e

\

E

>

— +

h i e ^ E h

2 2 e

R

E

h u ,

h i J ^ E 1

+

h

2 2 e

R

E

h i e > _

i. l 21e

>

A h

•

E

h,"lie h a

A h

1

=

1

~ Ahe

+

h +

2 2 e

h

R

2 2 e

E

R

E

e

.

Der Index i zeigt an, daß es sich um eine Stromgegenkopplung handelt. Die angegebenen Näherungen gelten unter den praktisch stets erfüllten Annahmen, daß h 1, h R 1 und h 2 u 1 ist. i2 hlu. Für die Betriebsspannungsverstärkung des stromgegengekoppelten Transistors folgt daher im Vergleich zur einfachen Emitterschaltung aus (4.89) mit den angenommenen Näherungen hZuRc hu + Ah{Rc hne

Ki*RC + Ahe • Rc

1 +

Ä21 eRc

RE

i +

kvu'

(5-77)

hu + Aht • Rc Rc wobei k = RE/RC der Rückkopplungsfaktor und vu die innere Verstärkung, d. h. die Verstärkung der nicht gegengekoppelten Emitterschaltung bedeuten. Entsprechend folgt aus (4-91) für den Eingangswiderstand W[

=

HU +

A\RC

1 + h2ZiRc

Wle + (1 + h21e) RE ,

(5-78)

aus (4-92) für den Ausgangswiderstand (mit ii j ä; 0) w
W2 < W2

h U2 U2 h

< >

W2 w2

Ui h U, Ii

Beispiel 5.3. E s sollen die Betriebseigenschaften der in den Beispielen 5.1 und 5.2 berechneten Emitterschaltung und die h i -Parameter des Transistors berechnet werden für den Fall, daß CE weggelassen wird.

250

5 3. Rückkopplung

Die ¿¿-Parameter des verwendeten Transistors waren in Beispiel 4.7 angegeben worden: hu = 780 ß ,

hi2e = 5 • 10 -5 ,

¿21^ = 1 5 0 ,

h22e = 12 JxS ,

&he = 1,86 • 10-» . Damit ergeben sich als praktisch ausreichende Näherungswerte für die ¿¿-Parameter des stromgegengekoppelten Transistors hü

= h u

+ (1 + ^21«)

h2i = h12e + ¿ 2 2 ' R E =

Re 2

= 34,0 kQ ,

' 6 9 • 10-» ,

¿21» = ¿21e = 1 50 , ¿22« = ¿2£e = 12 [iS , ¿¿i = 4,5 • 10~3 . Für die Leerlaufspannungsverstärkung der Schaltung (d.h. für Ra -» co) folgt aus (5-77) mit dem in Beispiel 5.1 berechneten Wert vu = 192,3 vi

= 4,4 .

Weiter ergibt sich aus (5-78) und (5-79) für den Eingangs- und Ausgangswiderstand des gegengekoppelten Transistors Wi = 33,9 k Q , W'2=

7,56 M Q .

Daraus erhält man für den Eingangs- und Ausgangswiderstand der Schaltung W u = Will Ää = 4,1 k Q , =

W'2\\RC

1 k ß .

Da der Emitterkondensator entfernt worden ist, wird die untere Grenzfrequenz durch die Koppelkondensatoren bestimmt. Da sich die frequenzbestimmenden ÄC-Glieder außerhalb der Gegenkopplungsschleife befinden, wird die untere Grenzfrequenz auch nicht durch die Gegenkopplung beeinflußt. Aus (5-23) erhält man mit C*i = 47 fukl

=

1,2 H z .

Wird der Verstärker wie in Beispiel 5.2 über einen Kondensator CÄ2 = 10 ¡xF mit einem Widerstand Ra = 1 k i i belastet, sinken im normalen Betriebsbereich sowohl vu als auch v'u auf die Hälfte des Leerlaufwertes (s. dazu (5 81)). Die durch CA2 bewirkte Grenzfrequenz ist nach (5-25) fuh2 =

8 Hz;

sie bestimmt die untere Grenzfrequenz der Schaltung. 5.3.1.4.

Die Kollektorschaltung als gegengekoppelte Schaltung

Die Leerlaufspannungsverstärkung einer Kollektorschaltung beträgt nach (5-36) _

hle^E Ku

+

h2uRE

S-3-2. Mitkopplung

251

Dièse Gleichung läßt sich auf die Form

1

+kvu

(5-84)

bringen mit vu = R E h 2 ulh lle als Verstärkung der entsprechenden Emitterschaltung (s. (4.89)) und k = 1. Die Kollektorschaltung läßt sich also als Emitterschaltung beschreiben, die mit k = 1 stromgegengekoppelt ist. Damit liest man aus Tab. 20 unmittelbar die Eigenschaften der Kollektorschaltung ab, die wir in 5-1-3. berechnet hatten.

5.3.2.

Mitkopplung

Bei Mitkopplung ist die Schleifenverstärkung positiv, d. h., das rückgekoppelte Signal ist gleichphasig zum Eingangssignal. Geht man von (5-70) aus, ist

da k • vu > 0 ist, wobei berücksichtigt worden ist, daß i. allg. sowohl der Rückkopplungsfaktor k als auch die innere Verstärkung vu komplexe Größen sind. Für genaue Aussagen über das Verhalten der Schaltung müssen daher Betrag und Phasenwinkel der Schleifenverstärkung betrachtet werden. Allgemein kann man in Analogie zur Gegenkopplung sagen, eine Mitkopplung bewirkt — eine Erhöhung der äußeren Verstärkung; — eine Verringerung der Stabilität der Schaltung gegenüber Parameteränderungen, hervorgerufen z. B. durch Änderung der Temperatur oder Alterung; — eine Vergrößerung der nichtlinearen Verzerrungen; — eine Verringerung der Transistorgrenzfrequenzen und damit der Bandbreite. Die Grundschaltungen der Mitkopplung entsprechen den in Abb. 5-34 angegebenen Schaltungen. 5.3.2.1.

Die Selbsterregungsbedingung

Das Prinzip der Selbsterregung beruht auf dem mitgekoppelten Verstärker und wird zur Erzeugung ungedämpfter elektrischer Schwingungen benutzt. Die Mitkopplung bewirkt, daß eine Schwankung z. B. der Eingangsspannung nach Durchlaufen der Verstärkerrückkopplungsschleife gleichsinnig auf den Eingang zurückgeführt wird und dadurch in gleicher Weise wie die ursprüngliche Spannungsänderung wirkt. Bei einer bestimmten Größe der Schleifenverstärkung wird das System instabil — es schwingt. Zur Anregung der Schwingungen genügen bereits kleinste Schwankungen, wie sie z. B. durch das Rauschen verursacht werden. Je nachdem ob die Selbsterregungsbedingung nur für eine bestimmte Frequenz oder für ein breiteres Frequenzband erfüllt ist, entstehen entweder harmonische Schwingungen oder sogenannte Kippschwingungen.

252

5-3- Rückkopplung

Aus (5.70) folgt v

oo

= \

—

für

k • v

=

1

,

k - v

d. h., es tritt Selbsterregung ein, wenn die Schleifen Verstärkung reell und gleich Eins ist. Daraus folgt mit v

=

und

v e'i*

k

=

k

als Selbsterregungsbedingung k - v

=

( p

\,

k

= - ( p

v

(5.85)

.

In der Praxis wählt man die Schleifenverstärkung größer als Eins, um ein sicheres Anschwingen der Schaltung zu gewährleisten. Die Begrenzung der Amplitude erfolgt entweder durch die nichtlineare Übertragungskennlinie des Verstärkers (mit wachsender Amplitude nimmt die Verstärkung ab) oder besser durch zusätzliche Regelschaltungen. 5.3.2.2.

Harmonische Oszillatoren

Bei einem harmonischen Oszillator darf die Selbsterregungsbedingung nur für eine einzige Frequenz (praktisch bedeutet das: nur für ein schmales Frequenzband) erfüllt sein. Das erreicht man, indem man entweder vu oder k oder beide Größen frequenzabhängig macht. Die Verstärkung ist frequenzabhängig, wenn man einen frequenzabhängigen Arbeitswiderstand benutzt. Das kann z. B. ein Parallelschwingkreis sein, dessen Impedanz Zp bei der Resonanzfrequenz reell wird und ein Maximum annimmt. Die Spannungsverstärkung einer Emitterschaltung ist dann (für niedrige Frequenzen, so daß der Transistor durch die A-Parameter beschrieben werden kann) V

—

v..

=

2

—

U

7

-

—

21«

Z

p

e1Vp

«Ii« 11« (vgl. dazu 2.2.3.2.), d. h., im Resonanzfall beträgt sie —

(5.86)

Au. P und es tritt keine zusätzliche Phasenverschiebung auf. Stellt man die Rückkopplung so ein, daß k = 1 jvu und rein reell ist, erfolgt Selbsterregung genau bei der Resonanzfrequenz co0 des Schwingkreises. Die dazu erforderliche frequenzunabhängige Rück-

„ff

Abb. 5-38. MEissNER-Oszillator

253

5 .3-2. Mitkopplung

kopplung kann man mittels eines Transformators (MEissNER-Oszillator) oder über einen induktiven (HARTLEY-Oszillator) bzw. kapazitiven Spannungsteiler (COLPITTSOszillator) einstellen. Die Prinzipschaltung eines MEissNER-Oszillators zeigt Abb. 5-38. Nimmt man einen idealen unbelasteten Transformator an, ist der Rückkopplungsfaktor gleich dem Übersetzungsverhältnis: * = ± = ü

Nx

Tatsächlich treten im Transformator Verluste auf, und durch die Belastung des Verstärkerausganges durch den Transistoreingang sinkt die Verstärkung. Es t r i t t eine zusätzliche Phasenverschiebung auf, so daß die Selbsterregung nicht genau bei co0, sondern etwas oberhalb erfolgt. Aus dieser Überlegung ergibt sich auch, daß die Oszillatorfrequenz von der äußeren Belastung abhängt. Diese Abweichungen von der Resonanzfrequenz des Schwingkreises werden um so geringer, je höher die Kreisgüte ist. Eine frequenzabhängige Rückkopplung läßt sich recht einfach durch entsprechende i?C-Schaltungen im Rückkopplungszweig realisieren. Im Idealfall ist die Verstärkung dann frequenzunabhängig. Praktisch muß allerdings berücksichtigt werden, daß die frequenzabhängige Eingangsimpedanz des Rückkopplungsvierpols als Belastung des Verstärkers wirkt und die Verstärkung beeinflußt. Man verwendet deshalb häufig Verstärkerschaltungen mit besonders niedrigem Ausgangswiderstand, z. B., indem man mit einer zusätzlichen Kollektorschaltung eine Impedanztransformation vornimmt. Abb. 5-39 zeigt die Prinzipschaltung eines einfachen i?C-Generators, bei dem eine dreigliedrige i?C-Hochpaßkette als Rückkopplungsvierpol verwendet wird. Diese weist bei (5-87) einen reellen Spannungsübertragungsfaktor von —1/29 auf (s. Beispiel 2-5)- Bei der Dimensionierung wählt man möglichst R gleich dem Eingangswiderstand der Emitterschaltung (s. (5.15))- Der Rückkopplungsfaktor hat dann also den Betrag k = 1/29 und den Phasenwinkel

(5-92)

% - y u U * .

und damit erhält man nach einigen Umformungen für die Spannungsverstärkung I.R. -uD

SR,

Uy

1 +

y22RL

+

S R

(5-93) t

(mit Rl — Rs II Ra). Diese Gleichung läßt sich auch in der Form S R VuD

1

l

1 + y*RL

1 +

SRr

v„s

1 +

(5-94)

1

schreiben. Die vollständige Stromgegenkopplung über Rs bewirkt also genau wie bei der Kollektorschaltung eine Spannungsverstärkung vuD < 1. Für den Eingangswiderstand liest man aus Abb. 5-44b) TT

TT

5.4.2. Grundschaltungen

259

ab und erhält daraus mit (5-94) und vuD = U^iHi

W1D = (1 + vuS) ,W1S = (1 + Eus) (rg

gn -f- j voraussetzt. Logarithmiert m a n (5-123) und berücksichtigt, daß J « 1 und Ii = Ic (wegen IE1 = 0) ist, erhält man = -VBE

= -U*

In

¿EsK 1

(5.124)

Die Ausgangsspannung ist also dem Logarithmus der Eingangsspannung proportional. Allerdings sind und IEs stark temperaturabhängig. Zur thermischen Stabilisierung sind daher besondere Schaltungsmaßnahmen erforderlich. Bei Einsatz hochwertiger Siliziumplanartransistoren u n d entsprechender thermischer Stabilität gilt die logarithmische Übertragungskennlinie über 5 - . 6 Dekaden der Eingangsspannung. Durch Vertauschen des Transistors mit dem Widerstand im Rückkopplungszweig erhält m a n die Umkehrfunktion, den Exponentialverstärker (Abbb. 5-58). Analog zu (5-123) gilt U

l

= - U

B E

= - Uz

ln-^, Es

l

(5-125)

und daraus folgt mit I c = t/ 2 /i? 2 U2 =

R2IEse~u>lü».

(5-126)

Abb. 5-59 zeigt die Schaltung eines Integrierers. Da Knoten P ein virtueller Massep u n k t ist, gilt f ü r die Ladung des Kondensators Qc = ^

c,ut.

Je

U, o

Abb. 5-58. Exponentialverstärker

274

5-5- Integrierte Analogschaltungen

Abb. 5-59- Integrierer

Der Ladestrom wird durch den Widerstand R1 bestimmt:

Damit erhält man dt + U2(0) ;

U,

(5-127)

die Ausgangsspannung ist bis auf einen konstanten Wert U2{0) dem Integral der Eingangsspannung proportional. Man kann t/2(0) zu Null machen, wenn man vor dem Anlegen der Eingangsspannung den Kondensator entlädt. Ist t/j = Ut = const, ergibt sich eine linear mit der Zeit veränderliche Ausgangsspannung. Für U1 = = i/j sin cot erhält man A

ut

Ut cos mt, (oR1Ci

=

d. h., die Ausgangsspannung ist gegenüber der Eingangsspannung um jr/2 phasenverschoben, und ihre Amplitude fällt proportional zur Frequenz: Der Integrierer zeigt Tiefpaßverhalten; die Einsfrequenz, bei der Ausgangs- und Eingangsspannung die gleiche Amplitude aufweisen, ist coT — \j{R1C^. Durch Vertauschen von Widerstand und Kondensator in Rückkopplungszweig erhält man die Grundschaltung des Differenzierers. Aus Abb. 5-60 liest man ab, daß h

=

df/ x i "dT

c

U* R2

ist, und daraus folgt U2 = —R2C1

d Ut ~dT'

(5-128)

Für eine sinusförmige Eingangsspannung erhält man t/ 2 = —oj R2C1Ü1 cos cot ;

Abb. S-60. Differenzierer

275

5-5-1- Operationsverstärker

der Differenzierer zeigt Hochpaßverhalten. Das hat zur Folge, daß hochfrequente Rauschanteile der Eingangsspannung hoch verstärkt am Ausgang auftreten und die Schaltung zur Instabilität neigt. In der Praxis legt ma,n deshalb einen Widerstand R t in Serie zu Cx und einen Kondensator C2 parallel zu i?2, so daß ein Tiefpaß entsteht, der oberhalb der Grenzfrequenz mg = \j{R1C2j die Verstärkung absenkt. Eine exakte Differentiation ist dann allerdings nur für co R1C2 und T < R2C2. Während der Impulsdauer tp fließt auf den Kondensator C2 die Ladung AQ1 = f l

dt = - /(Ii

c

0

0

i —

+ IR)

dt

T _ C u2 Y j ^ ' - i 1 ' 0

(U2 ist der zeitliche Mittelwert der Ausgangsspannung). Während der Impulspause entlädt sich der Kondensator C2 teilweise über R2. Die abfließende Ladung ist (da A = 0) T

^ 2 = J

iR

d / = 3 ( r - g .

h

Abb. 5-61. Modifizierter Integrierer zur Mittelwertbildung a) Schaltung, b) Zeitverlauf der Spannungen Im quasistationären Zustand (schematisch)

276

5.5- Integrierte Analogschaltungen

Abb. 5-62. Invertierender Verstärker als Impedanzwandler

Im quasistationären Zustand ist AQX = AQ2, und man erhält T

U9

Äs2 =

Rx'

1

> < 38 50 >

750 2,5 V 0 V ns ns 70 dB

* mit H bezeichnet man den hoben, mit L den niedrigen Pegel einer zweiwertigen digitalen Größe

280

5 5- Integrierte Analogschaltungen

b) Abb. 5-68. Spannungskomparator mit Hysterese (ScHMiTT-Trigger) a) Schaltung, b) Übertragungsfunktion

Die in Abb. 5-67 angegebene Komparatorschaltung hat, bedingt durch den direkten Zusammenhang zwischen Eingangs- u n d Ausgangsspannung, zwei Nachteile: < UKi — UTmax/«« ändert sich U2 nur lang— Im Bereich Urei — t/^nax/f« < sam, wenn Ui langsam veränderlich ist, d. h., die Umschaltgeschwindigkeit wird durch die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung bestimmt. — Im gleichen Eingangsspannungsbereich ist das Umschalten unsicher, wenn der Eingangsspannung ein Störsignal überlagert ist. Diese Nachteile vermeidet man durch Mitkopplung des OV (Abb. 5-68). Die Mitkopplung bewirkt ein schnelles Umschalten des Komparators nach Überschreiten einer bestimmten Eingangsspannung 1 und das Auftreten einer Umschalthysterese UH = — i^iein — aus bezüglich der Eingangsspannung (s. Abb. 5-68b). Man bezeichnet diese Schaltung auch als ScHMirr-Trigger. Beim idealen OV gilt für die Einschaltspannimg ein = U rei -

^

^

(C7ref -

t/2+max)

(5.137)

(U[ei -

C/2-max) .

(5.138)

und für die Ausschaltspannung aus = U[ei -

^

Daraus erhält man für die Spannungshysterese UH = Uiein -

[7 l a u s =

^

(t/2+max -

t72"max) .

(5-139)

Die Spannungshysterese und damit die Sicherheit des ScHMiTT-Triggers gegenüber Störspannungen, die der Eingangsspannung überlagert sind, kann also mittels der Widerstände R x und i?2 im Mitkopplungszweig eingestellt werden, wobei allerdings 1

Die Umschaltgeschwindigkeit wird durch die Eigenschaften des Schaltkreises bestimmt. Zur Kompensation des Einflusses der Eingangskapazität wird i?2 ein Kondensator parallelgeschaltet (kapazitiv kompensierter Spannungsteiler; s. Beispiel 1.10).

281

5.5 • 1 • O p e r a t i o n s v e r s t ä r k e r

beim realen OV die Mitkopplungsbedingung V„ = V„

Ri

(5.140)

>1

erfüllt sein muß. Anderenfalls würde der Komparator eine Übertragungsfunktion ohne Hysterese entsprechend Abb. 5-67 zeigen. 5.5.1.5.6.

Signalgeneratoren

Ein einfacher Signalgenerator zur Erzeugung von Dreieck- und Rechteckspannungen läßt sich aus einem Integrierer und einem' Komparator aufbauen (Abb. 5-69). Die Funktionsweise der Schaltung überblickt man, wenn man von einem bestimmten Ausgangszustand des Komparators ausgeht. Es sei z. B. U22 — U^m^- Diese Spannung liegt am Eingang des Integrierers und liefert eine zeitlinear abfallende Ausgangsspannung U21. Der Komparator schaltet um, wenn Up = Ulei = 0 ist. Aus Abb. 5-69 liest man ab, daß in diesem Moment die Ausgangsspannung des Integrierers den Wert _ R3-+ Ula (5.141) erreicht hat. Die Ausgangsspannung des Komparators springt auf den Wert U22 = = L/ ra 0) w = «„_„_! ln~m~x + «w_m_2 ln-m~2 + ...

+a_ml~">,

+ ... + aj,1 + aj? +

a.Jr* (6,1)

291

6.1.3- Codierung

wobei die a t entsprechend der Anzahl der Zeichen des Zahlensystems die Werte 0, 1, 2, ... ,1 — i annehmen können. Die Zahl l nennt man Basis oder Wurzel des Zahlensystems. Das Wort (die Zahl) wird nur aus den at gebildet, wobei die Stelle mit der höchsten Wertigkeit links steht; Stellen mit einer kleineren Wertigkeit als Eins, d. h. mit negativem Exponenten der Basis, werden durch ein Komma abgetrennt (gebrochene Zahlen). Häufig verwendete Zahlensysteme sind das Dezimaisystem (/ = 10) und das Dualsystem (1 — 2). Das Dualsystem benötigt nur zwei unterscheidbare Zeichen. Das bedeutet, daß jede Stelle des Signalswortes nur zwei Werte annehmen kann, die Werte „binär 0" und „binär 1", die durch eine Entscheidungsschwelle voneinander getrennt sind. Dafür lassen sich technisch realisierbare Lösungen angeben. Den Informationsinhalt einer solchen Binärstelle bezeichnet man als 1 Bit (von engl.: binary digit).|

6.1.3.

Codierung

Digitale Informationsverarbeitungssysteme arbeiten praktisch ausschließlich mit binären Zahlensystemen. Dagegen werden periphere Zahlenangaben üblicherweise im Dezimalsystem gemacht. Außerdem wird häufig eine ganze Anzahl anderer Worte und Zeichen zur Kennzeichnung' von Größen und Maßeinheiten oder zur Angabe von Befehlen benötigt. Man muß also eine Umwandlung dezimaler Zahlen und anderer Zeichen und Worte in binäre Signale und umgekehrt vornehmen. Wir wollen uns hier auf die Codierung von Dezimalzahlen beschränken. Die einfachste Form der Codierung ist die Angabe der Dezimalzahl durch die entsprechende Dualzahl gemäß dem Stellenwertkonzept. Die Umwandlung kann aber auch mittels eines bestimmten Codes erfolgen. Ein häufig verwendeter Code, der hier als Beispiel etwas näher betrachtet werden soll, ist der BCD-Code (von engl.: binary coded decimals), bei dem jede Dezimalstelle in ihre entsprechende Dualzahl umgewandelt wird (s. Tab. 26). Zur Verschlüsselung einer Dezimalstelle sind vier Dualstellen Tabelle 26 BCD-Code Dezimalzahl

8 D

4 C

0 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

3 4 5 6 7 8 9

2 B

1 (Stellenwert) A (Stelle)

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

292

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik

(4 Bit) erforderlich; eine solche binäre Zifferngruppe bezeichnet man als Tetrade. Wegen der den dualen Stellen A bis D zugeordneten Wertigkeiten nennt man diesen Schlüssel auch 8-4-2-1-Code. Ein Code kann mehr mögliche Zeichenkombinationen enthalten, als zur Darstellung aller auftretenden diskreten Signalwerte erforderlich sind. So werden z. B. von den 16 möglichen Zeichenkombinationen einer Dual-Tetrade beim BCD-Code nur zehn zur Darstellung der Dezimalstelle benötigt. Die Anzahl der nicht benötigten Zeichenkombinationen bestimmt die Redundanz der codierten Information. Die absolute Redundanz R ist ein Maß für die Sicherheit eines Codes gegenüber wortverfälschenden Fehlern und ist definiert als Anzahl der möglichen Bitkombinationen l°f>2 Anzahl der benötigten Bitkombinationen Der BCD-Code hat demnach die absolute Redundanz R = log2 JJ = 0,68. Dagegen tritt bei der Darstellung von Dezimalzahlen durch entsprechende Dualzahlen überhaupt keine Redundanz kuf, denn jeder Zeichenfehler ergibt eine falsche, aber dennoch gültige Dualzahl. Eine besonders große Redundanz weist die menschliche Sprache auf, da nur in seltenen Fällen durch Vertauschen eines Buchstaben in einem Wort ein neues gültiges Wort entsteht. Die Verwendung von Codes mit hoher Redundanz und zusätzlichen Möglichkeiten zur Fehlererkennung hat große praktische Bedeutung. So kann z. B. durch die Einführung eines Prüfbits ein Code zusätzlich gegen Fehler geschützt werden. Der Wert des Prüfbits wird so gewählt, daß das gesamte Wort eine ungerade (oder gerade) Anzahl von Einserbits enthält. Damit hat der Code unabhängig von der Wortlänge die absolute Redundanz ¿2 = 1, und es ist möglich, einfache Feliler zu erkennen. Spezielle Codes mit hoher Redundanz und sicherer Fehlererkennbarkeit gestatten unmittelbar eine automatische Fehlerkorrektur.

6.1.4.

BooLEsche Algebra

Die BooLEsche Algebra (GEORG BOOLE, 1815 — 1864) ist eine Ereignisalgebra, die auf einer zweiwertigen Aussagenlogik beruht. Sie stellt .eine Methode dar, Zusammenhänge zwischen zweiwertigen Ereignissen mathematisch zu formulieren. Damit üefert sie die mathematischen Hilfsmittel zur Darstellung der Vorgänge in binären Digitalschaltungen. In diesem Zusammenhang bezeichnet man sie als Schaltalgebra. Die durch die BooLEsche Algebra darstellbaren funktionalen Zusammenhänge lassen sich wegen der Zweiwertigkeit der Variablen stets in Tabellenform angeben. Diese Tabellen heißen Funktionstabellen (Wahrheitstabellen) und enthalten nur zwei Zeichen, denen eine logische Aussage zugeordnet ist. Wir verwenden die Zeichen 1 und 0 mit folgender Aussagezuordnung1: 1 0 = 1

wahr (erfüllt), nicht wahr (nicht erfüllt).

Häufig werden zur besseren Unterscheidung von den Ziffern 0 und 1 auch andere Zeichen •erwendet, z. B. 0 und L.

6.1.4. BooLEsche Algebra 6.1.4.1.

293

Logische Operationen

Zur Einführung der logischen Verknüpfungen der Booleschen Algebra soll von einem technischen Beispiel ausgegangen werden: von der doppelten Sicherung eines Tresors. Der Tresor läßt sich nur öffnen, wenn der richtige Schlüssel verwendet wird und die richtige Ziffernkombination eingestellt worden ist. Zur Beschreibung wählen wir folgende Variablen und logische Aussagen: T = 1 : Tresor kann geöffnet werden; 5 = 1 : richtiger Schlüssel wird verwendet; Z = 1 : richtige Ziffernkombination ist eingestellt. Der funktionale Zusammenhang der doppelten Sicherung kann dann zum Ausdruck gebracht werden, indem man sagt: T — 1, wenn S = 1 und Z — 1. Diese logische Verknüpfung der beiden Variablen 5 und Z heißt Konjunktion (logisches Und, BooLEsches Produkt) und wird durch die Gleichung (6.2)

T = S •Z

oder die Funktionstabelle Tab. 27 dargestellt. Meist wird zur Vereinfachung der Schreibweise das Verknüpfungssymbol weggelassen: 1

T = SZ . Tabelle 27 Funktionstabelle der Konjunktion von zwei Variablen S

Z

0

0

0 1 1

1 0 1

T 0

0 0 1

Ist eine logische Aussage nicht erfüllt,. nimmt die betreffende Variable den Wert „logisch 0 " an. Man schreibt also z. B., wenn die Aussage „Tresor kann geöffnet werden" nicht erfüllt ist: T = 0. Für eine solche nicht erfüllte logische Aussage führt man eine neue Variable ein. Diese BooLEsche Operation bezeichnet man als Negation (Komplement, logisches Nicht) und stellt sie durch einen Querstrich über der ursprünglichen Variablen dar. Angewendet auf die Variablen unseres Beispiels folgt damit: T = 1 : Tresor kann nicht geöffnet werden; 5 = 1 : richtiger Schlüssel wird nicht verwendet ; 2 Z = 1 : richtige Ziffernkombination ist nicht eingestellt. 1 2

20

Die Konjunktion wird auch durch das Verknüpfungssymbol A beschrieben. Man beachte, daß „nicht richtiger Schlüssel wird verwendet" nicht die logische Negation der ursprünglichen Aussage ist, denn darin wäre die Möglichkeit,,kein Schlüssel" nicht enthalten. Rost, Elektronik

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik

294

Mit diesen neuen Variablen (d. h. mit den Komplementen der ursprünglichen Variablen) kann der funktionale Zusammenhang der doppelten Sicherung durch folgende Aussage beschrieben werden:

T — 1, wenn 5 = 1 oder Z — 1 . Diese Verknüpfung heißt Disjunktion (logisches Oder, Boolesche Summe) und wird durch die Gleichung

T = S+Z

(6.3.)

oder die Funktionstabelle Tab. 28 dargestellt. 1 Tabelle 28 Funktionstabelle der Disjunktion von zwei Variablen

s

z

T

0 0 1 1

0

0

1 0 1

1 i 1

In der Form solcher Funktionstabellen läßt sich jeder beliebige, durch die hier definierten BooLESchen Operationen darstellbare Zusammenhang beschreiben; umgekehrt kann für jede Funktionstabelle eine BooLEsche Funktion angegeben werden. Beispiel 6.1. Ableitung der Funktionstabelle aus einer gegebenen Booleschen Funktion. Gegeben ist die Funktion /=

ABC

+ ÄC + ABC

.

Tabelle 29 Funktionstabelle zu Beispiel 6.1

1

A

B

c

/

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0

0 1 0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1

Für die Disjunktion wird auch das Verknüpfungssymbol V verwendet.

295

6.1.4. BooLEsche Algebra Diese Funktion liest man als / = 1, wenn A = 1 und B = 0 und C — 1 oder A = 0 und

C= 1

oder A = \ und B = \ und C = 0 , / = 0 für alle anderen Verknüpfungen der Variablen. Daraus folgt unmittelbar die Funktionstabelle der Tab. 29. Man erkennt, daß die Variablen einer Zeile konjunktiv und die Zeilen untereinander disjunktiv verknüpft sind. Beispiel 6.2. Ableitung der BooLEschen Funktion aus einer gegebenen Funktionstabelle (Tab. 30). Nach Beispiel 6.1 benötigt man zur Darstellung der Funktionstabelle die Zeilen, für die / = 1 ist. Aus Tab. 30 liest man ab: A = A = / = 1, wenn A = ^4 = ¿1 =

1 1 1 1 1

und B und B und B und B und B

= = = = =

1 und C = \ und C = 1 und C = 1 und C = 1 und C =

Daraus erhält man /=

ABC

ABC + ABC + ABC + ABC .

Tabelle 30 Funktionstabelle zu Beispiel 6.2 A

B

C

0

0

0

0

0

0

1

6.1.4.2.

1 0

1 1 1

0

1

1

0

0 1

f

1

1

0

1

1 1 1

0 1

0

0 0 1

1

Rechenregeln

Für eine BooLEsche Algebra gelten zusammen mit den oben eingeführten Verknüpfun gen folgende Axiome: 1. Für Summe und Produkt gelten — das kommutative Gesetz: A •B

= B-A

,

A + B = B + A• 20*

(6.4) (6.5)

296

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik

— das distributive Gesetz1: A • (B + C) = (A • B) + (A • C) , A+(B.C)

= (A+B)-(A

+ C).

(6.6) (6.7)

2. Es existiert ein Element 0, mit dem gilt A + 0 = A .

(6.8)

3- Es existiert ein Element 1, mit dem gilt A • 1 = A .

(6.9)

4. Wenn die Elemente 0 und 1 eindeutig definiert sind, gilt A • Ä = 0, A +

(6.10)

1.

(6.41)

Aus diesen Axiomen lassen sich weitere Rechenregeln ableiten: — das assoziative Gesetz: A • (B • C) = (A • B) • C , A + (B + C) = (A + B) + C ;

(6.12) (6.43)

— die Tautologiegesetze: A-A=A,

(6.14)

A+A=A;

(6.15)

— die Absorptionsgesetze: A • (A + B) = A , A + {A-B) — die Gesetze von

= A-,

(6.16) (6.17)

DE MORGAN :

B,

(6.18)

A + B = Ä• B;

(6.19)

A- B = Ä+

— Operationen mit den Elementen 0 und 1: 0-^=0,

(6.20)

0=1,

(6.21)

4 + 4 = 4,

(6.22)

1=0;

(6.23)

— Gesetz der doppelten Negation: 1 = 4 . 1

(6.24)

Im Gegensatz zur gewöhnlichen Algebra mit ihrer Hierarchie der Grundrechenarten (Punktrechnung vor Strichrechnung) gilt in der BooLESchen Algebra das distributive Gesetz auch für die Addition in Bezug auf die Multiplikation.

6.1.4. BooLEsche Algebra

A+(8C)

A-(A+8)=A

=

297

(A* B) • (A*C)

A+(A.-B)=A Abb. 6.2. Darstellung Boolescher Funktionen durch VENN-Diagramme a) b) c) d)

Die Booleschen Operationen, zum distributiven Gesetz (6.6), zum distributiven Gesetz (6.7), zu den Absorptionsgesetzen (6.16) und (6.17),

e ) z u d e n UE-MOKGAN s e h e n G e s e t z e n (6.18) u n d (6.19)

A-B=A+B

A+B=A-B

Eine anschauliche Darstellung der BooLEschen Rechengesetze ist mit Hilfe der VENN-Diagramme der Mengenlehre möglich. Dafür zeigt Abb. 6.2 einige Beispiele. Danach entspricht das BooLEsche Produkt dem Durchschnitt der beiden Teilmengen A und B einer gegebenen Gesamtmenge, hier dargestellt durch die Fläche eines Quadrats, und die BooLEsche Summe ihrer Vereinigung (Abb. 6.2a)). Definiert man 1 und 0 gemäß den Axiomen (6.8) und (6.9), ergeben sich aus dieser Darstellung der Verknüpfungen durch VENN-Diagramme auch unmittelbar die Rechenregeln über die Operationen mit 0 und 1 und die Tautologiegesetze. Beispiel 6.3. Vereinfachung der in Beispiel 6.2 abgeleiteten Funktion mit Hilfe der Rechenregeln. / = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC . Daraus folgt mit Hilfe des distributiven Gesetzes (6.6)

/ = ( Z + A) BC + (I + A) BC + ABC

298

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik

und daraus mit den Rechengesetzen (6.11) und (6.9) / = 1BC + 1BC +

ABC

— BC + BC + ABC . Diese Funktion führt ebenfalls wieder auf die Wahrheitstabelle Tab. 30. Aber das ist nicht die einzige mögliche Vereinfachung; durch anderes Zusammenfassen erhält man z. B. . / = BC + ABC + AB .

Eine weitere Möglichkeit der Umformung Boolescher Funktionen liefert das Dualitätsprinzip, das sich aus den Rechengesetzen ableiten läßt: Vertauscht man in einer BooLEschen Funktion die beiden Verknüpfungen + und • und die beiden Elemente 0 und 1 und ersetzt man alle Variablen durch ihr Komplement, bleibt der funktionale Zusammenhang gültig. Ein einfaches Beispiel für das Dualitätsprinzip liefern die beiden Grundverknüpfungen selbst mit ihren Funktionstabellen (s. (6.2) und (6-3) und Tab. 27 und 28). Beispiel 6.4. Anwendung des Dualitätsprinzips auf eine gegebene Funktion. Gegeben ist die Funktion / = ABC

+ ABC + ABC .

Nach dem Dualitätsprinzip folgt daraus unmittelbar / = (I + B + C) (A + B-f

C) (Z+

B +

C).

Bildet man das Komplement der gegebenen Funktion und wendet darauf die schen Gesetze an, erhält man / = ABC + ABC + =

DE-MORGAN-

ABC

ABC•ABC•ABC

= (Ä + B + C)(A

+ B + C) (A+

B + C)

und daraus mit (6.24) / = (I + B + C) (A + B + C) (Ä + B + C), also das gleiche Ergebnis wie oben.

Häufig wird gefordert, eine gegebene BooLEsche Funktion in einer bestimmten Form darzustellen. Von besonderer Bedeutung sind die disjunktive und die konjunktive Normalform. Bei der disjunktiven Normalform wird die Funktion als Summe von Produkten, die jede Variable (oder ihr Komplement) genau einmal enthalten (Minterme), dargestellt. Die konjunktive Normalform besteht aus einem Produkt von Summen, die ebenfalls jede Variable genau einmal enthalten (Maxterme). Man erkennt, daß in Beispiel 6.4 die ursprüngliche Funktion / in ihrer disjunktiven Normalform angegeben wurde, während man / als konjunktive Normalform erhält. Es kann gezeigt werden, daß für jede Funktion genau eine disjunktive und eine konjunktive Normalform existiert (Basissatz).

299

6.1.4. BooLESche Algebra

Abb. 6.3. Darstellung BooLEscher Verknüpfungen durch Relaisschaltungen a)f = A- B, b)f=A+

6.1.4.3.

B, c)f = Ä

Schaltalgebra

Als Schaltalgebra bezeichnet man die Anwendung der BooLEschen Algebra auf Schaltungen mit bistabilen Schaltelementen. Das anschaulich einfachste bistabile Schaltelement ist das Relais. Man unterscheidet — Arbeitskontakte, bei denen in der Ruhestellung (d. h. bei abgefallenem Relais) der Schalter offen (a = 0) und in der Arbeitsstellung (d. h. bei angezogenem Relais) der Schalter geschlossen (a = 1) ist; — Ruhekontakte, bei denen in der Ruhestellung der Schalter geschlossen (ä = 1) und in der Arbeitsstellung der Schalter offen (a = 0) ist. Die BooLEschen Verknüpfungen lassen sich durch einfache Relaisschaltungen realisieren. Aus Abb. 6.3 a) liest man ab, daß die Lampe brennt ( / = 1), wenn beide Relais angezogen haben, d. h., wenn beide Schalter geschlossen sind: Das BooLESche Produkt entspricht einer Serienschaltung. Entsprechend zeigt Abb. 6.3 b), daß sich die BooLEsche Summe durch eine Parallelschaltung realisieren läßt, während ein Ruhekontakt eine Negation darstellt (Abb. 6.3 c)). Beliebige Funktionen können daher durch Serien-Parallelschaltungen realisiert werden. Umgekehrt entspricht jeder Serien-Parallelschaltung eine BooLEsche Funktion. Dagegen können Nicht-SerienParallelschaltungen nicht direkt durch eine BooLEsche Funktion beschrieben werden, sondern müssen zunächst in Serien-Parallelschaltungen transformiert werden. Ein bekanntes Beispiel für eine Serien-Parallelschaltung ist die Wechselschaltung. Aus Abb. 6.4 liest man ab, daß dieser Schaltung die Funktion / = ab + ab

entspricht.

f

H2H

Abb. 6.4. Wechselschaltung

300

A

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik A

AB

AB

AB

AB

A b b . 6.5-

Entwicklung

des

KARNAUGH-

VEITCH-Diagramms für zwei Variable 6.1.4.4.

Minimierung

Für die praktische Anwendung ist es von großer Bedeutung, vor der schaltungstechnischen Realisierung diejenige Form einer gegebenen BoOLEschen Funktion zu finden, die den geringsten Aufwand an Schaltelementen erfordert. Eine Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe bietet die Anwendung der Rechenregeln der BooLEschen Algebra (s. Beispiel 6.3), wobei häufig jedoch nicht ohne weiteres zu sehen ist, auf welchem Wege man die gesuchte Minimalform findet. Als weiteres Minimierungsverfahren wollen wir eine grafische Methode — die Anwendung des K A R N A U G H - V E I T C H Diagramms — kennenlernen. Das KARNAUGH-VEiTCH-Diagramm stellt eine spezielle Form des VENN-Diagramms dar und ermöglicht, alle Bedingungen einer Funktionstabelle wiederzugeben. Abb. 6.5 zeigt die Entwicklung des KARNAUGH-VEiTCH-Diagramms für zwei Variable aus den Diagrammen für je eine Variable. D a eine Variable zwei Zustände einnehmen kann, wird das gesamte Diagramm in zwei gleiche Zellen eingeteilt, die diese Zustände repräsentieren. Durch Überlagerung der beiden Diagramme für je eine Variable entsteht das Diagramm für zwei Variable, das aus vier gleichen Zellen besteht. Jede Zelle repräsentiert den Durchschnitt (Konjunktion) der beiden Variablen in ihren möglichen Zuständen. E s ist üblich, in die Zellen des KARNAUGH-VEiTCH-Diagramms nicht unmittelbar die BooLEschen Produkte der Variablen (die Minterme) einzutragen, sondern ihre Entsprechung als Dualzahl. Die besondere Eigenschaft des KARNAUGH-VEiTCH-Diagramms besteht darin, daß man sogenannte Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den Mintermen, die schließlich eine Vereinfachung der Funktion ermöglichen, unmittelbar ablesen kann. Von benachbarten Zellen (Mintermen) spricht man, wenn sich die entsprechenden Dualzahlen nur um 1 B i t unterscheiden. In diesem Sinne sind alle aneinandergrenzenden Zellen benachbart, aber auch die Zellen am oberen und am unteren bzw. am rechten und am linken Rand des KARNAUGH-VEiTCH-Diagramms (s. Abb. 6.6). Ausgehend von einer BooLEschen Funktion in disjunktiver Normalform trägt man in alle Zellen des KARNAUGH-VEiTCH-Diagramms, deren entsprechende Minterme in der Funktion auftreten, eine 1 ein und in alle übrigen Zellen eine 0. Weist die Funktion sogenannte

1100 1110 0110

0100

1101 1111 0111 0101 1001 1011 0011 0001 1000 1010 0010 0000

Abb. 6.6. KARNAUGH-VEITCH-Diagramm für vier Variable

6.1.4. BooLEsche Algebra

B

301

(170)\(111) (011) (010) / | 0 0 1 Abb. 6.7. Entwicklung der Minimalform aus dem KARNAUGH-

-1

(100) (101) (001) 0 0 0

VEITCH-Diagramm

benachbarte Minterme auf, werden diese durch benachbarte Zellen dargestellt, die sich zusammenfassen lassen. Das in Abb. 6.7 wiedergegebene KARNAUGH-VEITCHDiagramm entspricht der Funktion / = ABC

+ ABC

+ ABC

(6.25)

.

Im Diagramm treten am rechten Rand zwei benachbarte Zellen auf (ausgezogen gekennzeichnet), die sich durch die vereinfachte Funktion AC = ABC

+

ABC

darstellen lassen. Außerdem sind die äußeren Zellen der oberen Zeile benachbart (gestrichelt gekennzeichnet) und durch BC = ABC

+

ABC

darstellbar. Das KARNAUGH-VEITCH-Diagramm liefert also anstelle der Funktion (6.25) unmittelbar f=ÄC

(6.26)

+ BC

als sogenannte disjunktive Minimalform. Dieselbe Form erhält man, wenn man zur ursprünglichen Form entsprechend dem Rechengesetz (6.15) den Minterm ABC hinzufügt und dann nach (6.6) und (6.11) zusammenfaßt: / = ABC

+ ABC + ABC

+

ABC

= {A + Z) BC + (B + B) ÄC = BC+

ÄC.

Beispiel 6.5. Aufstellung des KARNAUGH-VEITCH-Diagramms aus einer Funktionstabelle und Herleitung der disjunktiven Minimalform. Die durch Tab. 31 gegebene Funktionstabelle führt auf die disjunktive Normalform / = ÄBCD + AB CD + ÄBCD + AB CD + ÄBCD + AB CD + ABCD + ABCD + ÄBCD + ABCD . Nach (6.6) und (6.11) erhält man daraus / = ~ÄBC + ABC + ACD + ÄCD + ACD = ÄC + ÄC + ACD = Ä+

ACD .

302

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik Tabelle 31 Funktionstabelle zu Beispiel 6.5 D

C

B

A

f

Minterm

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0

ABCD A HCl) A HCl) -

/

ABCD —

ÄBCD ABCD ÄBCD ABCD ÄBCD —

ABCD —

Erweitert man diesen Ausdruck nach (6.17) und wendet dann noch einmal (6.6) und (6.11) an, erhält man / = Ä + ACD + ÄCD = Ä + CD . Dabei kann man durchaus auch in anderer Weise zusammenfassen und erhält erst nach einer weit umständlicheren Rechnung die angegebene Minimalform. Abb. 6.8 zeigt das der Funktionstabelle in Tab. 31 entsprechende KARNAUGH-VEiTCH-Diagramm. Entsprechend den Nachbarschaftsbeziehungen kann man die Zellen in zwei Gruppen zusammenfassen, die durch die Ausdrücke A (ausgezogen) und C • D (gestrichelt) beschrieben werden. Das führt unmittelbar auf die gesuchte disjunktive Minimalform. Man erkennt, daß die Ausdrücke um so einfacher werden, je mehr Zellen sich zusammenfassen lassen.

0

0

7

7

0

7

r j 7

0

7

1

0

7

7

S 1 7 0

/

Abb. 6.8. KARNAUGH-VEiTCH-Diagramm zu Beispiel 6.5

6.1.5. Logische Grundfunktionen 6.1.5.

303

Logische Grundfunktionen

Die Aufgabe eines datenverarbeitenden Systems besteht darin, jeder beliebigen Kombination von n binären Eingangsvariablen xx, ..., xn eine bestimmte Kombination von m Ausgangsvariablen ylt ..., ym zuzuordnen. Beliebige Strukturen eines solchen datenverarbeitenden Systems lassen sich auf 4 einstellige und 16 zweistellige logische Grundfunktionen zurückführen. Die technische Realisierung eines solchen Datenverarbeitungssystems bedingt zunächst eine eindeutige Zuordnung der binären Signalgrößen zu den logischen Aussagen „wahr" und „nicht wahr". Dafür gibt Tab. 32 einige Beispiele an. So wird die Tabelle 32 Zuordnung zwischen logischen Aussagen und binären Signalgrößen wahr (l)

nicht wahr (0)

Schalter geschlossen hohes Potential (H) magnetisch Strom

Schalter offen niedriges Potential (L) unmagnetisch kein Strom

Aussage „wahr" (logisch 1) z. B. dem geschlossenen Arbeitskontakt eines Relais oder einem hohen Potential oder dem magnetisierten Zustand eines Ferritkerns oder einem Strom zugeordnet. Damit wird die Umsetzung bestimmter logischer Verknüpfungen in elektrotechnische Schaltungen möglich. Es ist üblich, die Signalpegel in einer Schaltung, in der als Signalgröße eine Spannungsamplitude verwendet wird, mit den Symbolen H (von engl.: high) und L (von engl.: low) zu bezeichnen, wobei H das höhere (positivere) und L das niedrigere (weniger positive oder negativere) Potential bezeichnet. Je nach der Zuordnung dieser Signalpegel zu den logischen Aussagen spricht man von einer positiven Logik, wenn H = 1 und L = 0 bedeutet, oder von einer negativen Logik, wenn H = 0 und L = 1 bedeutet. 6.1.5.1.

Einstellige Grundfunktionen

Die einstelligen logischen Grundfunktionen verknüpfen eine Ausgangsvariable y mit einer Eingangsvariablen x. Entsprechend der Zweiwertigkeit der Variablen gibt es dafür die in Tab. 33 angegebenen vier Möglichkeiten. Dabei stellen yx und y4 prakTabelle 33 Die einstelligen logischen Grundfunktionen X

Vx Vi

y« y«

0

1

0 0 1 1

0 1 0 1

BooLESche Funktion = 0 y2 = x Position y3 = x Negation (Not) yt = 1 Vi

304

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik

Abb. 6.9. Realisierung der einstelligen logischen G r u n d f u n k t i o n e n durch Relaiskontakte

tisch Fehlschaltungen dar, _y2 beschreibt die logische Funktion eines Verstärkers, und y3 ist eine der Grundverknüpfungen der BooLEschen Algebra. Abb. 6.9 zeigt die Realisierung dieser Funktionen durch Relaiskontakte. 6.1.5.2.

Zweistellige Grundfunktionen

Die zweistelligen Grundfunktionen verknüpfen eine Ausgangsvariable y mit zwei Eingangsvariablen % und x2. Entsprechend der Zweiwertigkeit der Variablen erhält man die in Tab. 34 angegebenen 16 Möglichkeiten. In Tab. 35 sind die wichtigsten Tabelle 34 Die zweistelligen logischen Grundfunktionen

Vi y2 y» Vi. y» y7 ys y» yio yu yi 2 Vis yu yu yu

0 0

0 1

1 0

1 1

BooLESche

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 i 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Vi = 0 Vi = XjX2 y» = Vi = *1 y6 = XXX2 y= *2

Bezeichnung

Funktion

K o n j u n k t i o n (Und)

= x1 + x2 y» yio = yu = y^ = yu = yu = yu = Tie =

Xi%2 + ¥ i *2 *l + *2 x1

Antivalenz Disjunktion (Oder) Nor (Nicht-Oder) Äquivalenz

x^ N a n d (Nicht-Und)

1

zweistelligen Grundfunktionen mit ihren Funktionstabellen und Schaltzeichen dargestellt. Aus den Tab. 33 und 34 ist ersichtlich, daß sich alle logischen Grundfunktionen mittels der drei BooLEschen Verknüpfungen Negation, Konjunktion und Disjunktion ausdrücken lassen. Man sagt deshalb, daß diese drei Operationen ein vollständiges logisches System darstellen. Es kann gezeigt werden, daß sich alle logischen

305

6.1.5- Logische Grundfunktionen Tabelle 35

Tafel der wichtigsten logischen Grundfunktionen mit ihren Funktionstabellen und Schaltzeichen Bezeichnung BooLEsche Funktion

Funktionstabelle

Negation y = *

X

Konjunktion

*2 0 0 1 1

y 1 0

0 1

fx

0 1 0 1

y 0 .0 0 1

0 1 0 1

y 0 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

y 1 1 1 0

x2 0 0 1 1

% 0 1 0 1

y 1 0 0 0

Äquivalenz y = xL = x2 = xxx„ + xxx.2

*2 0 0 1 1

0 1 0 1

y 1 0 0 1

Antivalenz (Exklusiv-Oder) y = xx ^ x2 = xx = x. — X i) "J- X1X2

x2 0 1 0 1

y 0 1 1 0

V

=

Disjunktion V = xx + x2

x2 0 0 i \

x2

Nand V

= =

¥

s

+

Nor y = x ¡+

x2

x.

= *1*2

0 0 1 1

Schaltzeichen neu alt

*i *2

AT

{^y

& y

xi

xf

X,

y

*i

\Jy

"1 X?

306

6.1. Grundlagen der Digitaltechnik Tabelle 36 Zu Beispiel 6.6

Bezeichnung

Umrechnung der Funktion nach der BooLESche Algebra

Negation

y = x = X

Disjunktion

y =

Xl

X= X•X

+ x2

— x! 1

Konjunktion

X-^X2

E3 «-C

y

3-,

y = =

x^x2

Nor

y = *1 + = XjX2 = XjX2

Antivalenz

y = x^xz + xtx2 = X^Xi, X¡X) -f X ¡X2 = xl(*l + = X^X^X^ — XyXyXp

+ + ^2) X.^X^X^ X2X1X2

= X^XyXo ' X.^X^X,,

Äquivalenz

Logische Schaltung

y = xxx% + xxx2 entspricht der Negation der Antivalenz (vgl. Funktionstabellen in Tab. 35)

—tCK pir

307

6.2.1. Kenngrößen

Grundfunktionen auch durch die Funktionen Nand oder Nor ausdrücken lassen, d. h., auch jede dieser Funktionen stellt für sich ein vollständiges logisches System dar. Praktisch bedeutet das, daß jede beliebige Verknüpfung auf der Grundlage einer einzigen logischen Grundfunktion realisiert werden kann, was bei der schaltungstechnischen Realisierung sehr vorteilhaft ist. Beispiel 6.6. Darstellung und schaltungstechnische Realisierung der in Tab. 35 angegebenen logischen Grundfunktionen durch die Nand-Funktion. Die Ergebnisse sind in Tab. 36 zusammengefaßt.

6.2.

Schaltkreissysteme

6.2.1.

Charakteristische Kenngrößen

Die logischen Grundfunktionen lassen sich mittels sehr unterschiedlicher elektronischer Schaltungen verwirklichen. Die Eigenschaften der verschiedenen technischen Realisierungen der logischen Funktionen (Logikfamilien), die die Grundlage der verschiedenen Schaltkreissysteme bilden, kann man durch eine Anzahl charakteristischer Kenngrößen (z. B. Spannungen, Ströme, Schaltzeiten, Leistungen) beschreiben und miteinander vergleichen. So ist für jede Logikfamilie die Betriebsspannung in gewissen Grenzen vorgegeben; aus ihr und dem maximalen Betriebsstrom ergibt sich eine typische Verlustleistung. Zur Festlegung weiterer Kenngrößen setzen wir eine positive Logik voraus und betrachten die Übertragungskennlinie eines invertierenden Gatters 1 (Not, Nand, Nor), wie sie in Abb. 6.10 schematisch dargestellt ist. Diese Übertragungskennlinie ist abhängig von der Betriebsspannung, der Temperatur, der Belastung des Ausgangs (angegeben durch den Ausgangslastfaktor N0 , der gleich der Anzahl der an den Ausgang angeschlossenen gleichwertigen Gattereingänge ist) und von Fertigungstoleranzen. Tatsächlich ergibt sich also eine Kurvenschar, und die vom Hersteller angegebenen charakteristischen Spannungen sind die sich für den ungünstigsten Fall ergebenden

Vju Uo Um 1

Abb. 6.10. Übertragungskennlinie eines invertierenden Gatters (schematisch)

Als Gatter bezeichnet man eine Schaltung, die eine Anzahl Eingangsvariabler x { durch eine logische Grundfunktion zu einer Ausgangsvariablen y verknüpft.

308

6.2. Schaltkreissysteme

Grenzwerte. Aus der Übertragungskennlinie liest man folgende charakteristische Spannungen ab: UV UILA UIHB UOLA U0HB

Umschaltspannung (stellt sich ein, wenn Eingang und Ausgang miteinander verbunden werden); maximale Eingangsspannung, die als „logisch 0 " (L) erkannt wird; minimale Eingangsspannung, die als „logisch 1 " (H) erkannt wird; maximale Ausgangsspannung, die als „logisch 0 " erkannt wird; minimale Ausgangsspannung, die als „logisch 1 " erkannt wird.

Durch die Definition dieser Spannungen aus den Kennlinienpunkten mit dem Anstieg minus Eins (s. Abb. 6.10) wird gewährleistet, daß eine der Eingangsspannung überlagerte Störspannung AUJ am Ausgang vermindert auftritt: Im zulässigen Bereich ist A U0 < A U,. In jeden Gattereingang fließt ein von der Eingangsspannung UI abhängiger Eingangsstrom 7 / ; die Abhängigkeit dieser beiden Größen voneinander beschreibt die Eingangskennlinie. Aus ihr definiert man als charakteristische Größen die beiden maximalen Eingangsströme IILA =

I,(UI

= 0) ,

IIHA =

I

=

J

?7/max) .

Jeder Gatterausgang liefert einen Strom I 0 , von dessen Größe die tatsächliche Ausgangsspannung U0 abhängt. Die Ausgangskennlinien geben diesen Zusammenhang für den zulässigen H-Bereich bzw. L-Bereich der Ausgangsspannung wieder. Daraus definiert man die beiden maximalen Ausgangsströme IOLA = IO(U0

=

U0LA)

,

IOHA = I0(U0

= UQHB) •

Es ist auch möglich, daß der Ausgangsstrom durch die Verlustleistung begrenzt wird; dann können die Maximalwerte nicht aus den Ausgangskennlinien entnommen werden. Aus den Maximalströmen ergibt sich der maximale Ausgangslastfaktor (Ausgangsfächer) zu =

\ 1 ILA

1

IHA )

(6.27)

Die statischen Störspannungsabstände 1 sind ein Maß für die maximalen Störspannungen, die im ungünstigsten Betriebsfall auf den Verbindungsleitungen zwischen zwei Gattern auftreten dürfen, ohne daß die logische Information verloren geht, d. h., das nachfolgende Gatter muß den Zustand am Ausgang des vorangehenden noch richtig erkennen. Aus der Übertragungskennlinie liest man verschiedene Werte des Störspannungsabstandes 2 ab, je nachdem ob der Ausgang eines Gatters H oder L 1

2

Mit statisch werden hier Spannungsänderungen bezeichnet, die im Vergleich zu den Schaltzeiten sehr langsam ablaufen. Die hier definierten W e r t e kennzeichnen den ungünstigsten im Betrieb auftretenden Fall (engl, worst case); i. allg. wird im Betrieb U0H > UQHB bzw. UN < UJLA sein, so daß sich dann größere W e r t e für den Störspannungsabstand ergeben.

6.2.2. Dioden-Transistor-Logik

309

Abb. 6.11. Zur Definition der Schaltzeiten zeigt: El,

UnHR

Ur

~ UOLA • (6.28) Als minimaler Störspannungsabstand E,nuo wird das Minimum dieser beiden Werte angegeben: EL

=

£mia = Min (El, Eh) .

UILA

(6.29)

Eine wichtige Charakterisierung liefert weiterhin die Angabe der Schaltzeiten. Zur Untersuchung der Umschalteigenschaften wählt man als Eingangssignal einen Impuls (H L -» H), dessen Anstiegs- und Abfallzeit annähernd die gleiche Größe haben wie die des Ausgangssignals (systemeigene Flanken). Dann ergibt sich der in Abb. 6.11 schematisch dargestellte zeitliche Verlauf der Eingangs- und Ausgangsspannung. Anstiegszeit tTLH und Abfallzeit tTHL werden dem Diagramm der Ausgangsspannimg nach der üblichen Definition (s. 2.2.1.4.) entnommen. Das Umschalten der Ausgangsspannung erfolgt mit einer bestimmten Verzögerung gegenüber der Eingangsspannung. Als mittlere Signalverzögerungszeit tD definiert man das arithmetische Mittel aus der Einschaltverzögerung tDHL und der Ausschaltverzögerung tDLI^: *D

=

lDHL

+

h

(6.30)

Die Umschalteigenschaften einer Transistorschaltung sind von der Wahl des Arbeitspunktes abhängig. Eine Verringerung der Schaltzeiten erfordert eine Verkleinerung der Widerstände und damit eine Vergrößerung des Stromes im leitenden Zustand. Bei Schaltungen mit aktiver Last steigt die Verlustleistung im dynamischen Betrieb mit wachsender Schaltfrequenz an. Als weitere Kenngröße wird daher häufig das Geschwindigkeits-Leistungsprodukt angegeben, das sich aus dem Kehrwert der maximal möglichen Schaltfrequenz und der bei dieser Schaltfrequenz typischen Verlustleistung ergibt. 6.2.2.

Dioden-Transistor-Logik (DTL)

Die einfachste Realisierung logischer Grundfunktionen mittels elektronischer Schaltungen ist mit Dioden möglich (Abb. 6.12; die Zuordnung gilt für eine positive Logik). Liegt an einem der beiden Eingänge des Und-Gatters L((7 7 = 0), erscheint am Ausgang die Flußspannung der Dioden, also ebenfalls L. Nur wenn an beiden Eingängen 1

Der Bezugpegel zur Messung der Schaltverzögerung zwischen den Flanken der Eingangsund Ausgangsspannung wird nicht immer einheitlich gewählt; hier wurde als charakteristischer Pegel die Umschaltspannung U v benutzt.

21

Rost, Elektronik

6.2. Schaltkreissysteme

310

X,o-

Abb. 6.12. Dioden-Widerstandsgatter (DRL) 0)

a) Konjunktion, b) Disjunktion

H(C/7 = Ub) anliegt, d.h., wenn beide Dioden sperren, erscheint am Ausgang H. Die Schaltung erfüllt also die Funktionstabelle der Konjunktion (s. Tab. 27). In ähnlicher Weise kann man sich die Funktionsweise des Oder-Gatters (Abb. 6.12b)) deutlich machen. Praktisch ist es nicht möglich, mehrere solcher einfachen Diodengatter in Reihe zu schalten, da i. allg. bereits nach dem zweiten Gatter die Ausgangsspaniiungen durch die sich summierenden Flußspannungen der Dioden nicht mehr im zulässigen Bereich liegen. Zu funktionsfähigen Schaltungen kommt man, wenn man diese DRL-Gatter mit einer als Negator wirkenden Transistorstufe verbindet; man spricht dann von einer Dioden-Transistor-Logik (DTL). Je nachdem, von welchem Diodengatter man ausgeht, erhält man als DTL-Grundschaltung ein Nand (Abb. 6.13) oder ein Nor, wobei jede für sich ein vollständiges logisches System bildet. Die Spannungsverschiebedioden Da und Di dienen zum Einstellen der Schaltschwelle des Transistors und gewährleisten damit einen ausreichenden Störspannungsabstand (der Basisstrom ist Null, d. h., der Transistor ist sicher gesperrt, wenn die Spannung im Knoten P kleiner als die Summe der Flußspannungen der Dioden Ds und Z)4 und der Schwellenspannung der Basis-Emitterdiode ist).

6.2.3.

Transistor-Transistor-Logik (TTL)

Die TTL-Technik stellt eine entscheidende Weiterentwicklung der DTL-Technik dar. Das Grundgatter der TTL-Technik ist das Nand (Abb. 6.14). Anstelle der DiodenVerknüpfungsschaltung des DTL-Nand tritt ein Multiemittertransistor. Die KollektorT

-oU„

-0y

X.O-

•I N D»

0*

| I

Abb. 6.13- DTL-Nand

6.2.4. Emittergekoppelte Logik

^¡Hk Abb. 6.14. TTL-Nand Basisdiode dieses Transistors bewirkt eine Erhöhung der Schaltschwelle und ersetzt damit die Spannungsverschiebedioden. Liegt an einem der Emitter L, fließt ein Basisstrom und steuert den Transistor in die Sättigung, d. h., auch der Kollektor liegt auf L. Nur wenn alle Eingänge auf H liegen, sperrt der Multiemittertransistor und liefert am Kollektor H. Am Kollektor des Multiemittertransistors entsteht also die Konjunktion der Eingangsvariablen. Diese Verknüpfungsschaltung wird durch eine leistungsfähige Ausgangsstufe ergänzt, die aus dem Transistor T3 mit dem Transistor Tt als aktive Last besteht. Transistor T2 wirkt als Phasenumkehrstufe und steuert Ta und Tt mit komplementären Signalen an. Liegt der Kollektor von Tx auf L, sperrt T2, und dadurch wird T3 gesperrt und Ti geöffnet: Am Ausgang erscheint H. Liegt dagegen der Kollektor von Tt auf H, wird T2 aufgesteuert und dadurch Ta geöffnet und Ti gesperrt: Am Ausgang erscheint L. Durch diese Ausgangsstufe erreicht man einen höheren Ausgangslastfaktor und annähernd symmetrische Umschaltzeiten sowie eine zusätzliche Erhöhung der Umschaltschwelle. Außer durch das Übergangsverhalten der Transistoren werden die Schaltzeiten vor allem durch die parasitären Kapazitäten der Schaltung bestimmt. Um ihre Umladung zu beschleunigen, müssen die Widerstände in der Schaltung verkleinert werden, was allerdings mit einer höheren Leistungsaufnahme durch das Gatter verbunden ist. Je nach der Dimensionierung unterscheidet man zwischen Standard-TTL (Pv = 10 mW/ Gatter; tD = i$ ns), leistungsarmer TTL (Pv = \ mW/Gatter; ¿ D = 3 0 n s ) und schneller TTL (Pv = 20 mW/Gatter; tD = 5 ns). Eine weitere Möglichkeit zur Erhöhung der Umschaltgeschwindigkeit ist die Verwendung von Klammerdioden zur Verhinderung der Sättigung der Transistoren (s. 5-2.2.). Dazu eignen sich vor allem ScHOTTKY-Dioden ( S C H O T T K Y - T T L ; tD = 2,5 ns) Allerdings hat diese Schaltungsmaßnahme eine Verringerung des Störspannungsabstandes und eine erhöhte Temperaturabhängigkeit zur Folge. 6.2.4.

Emittergekoppelte Logik (ECL)

Schnellere Logikschaltungen lassen sich aufbauen, wenn man Schaltungen verwendet, in denen die Transistoren nicht bis in die Sättigung ausgesteuert werden. Das Grundelement einer solchen Schaltungstechnik stellt der emittergekoppelte Differenzver21*

312

6.2. Schaltkreissysteme

n -oy

T1

I

-ouh t

• — t —

Abb. 6.15- ECL-Grundelement

stärker (bipolarer Stromschalter) dar (Abb. 6.15). Die Basis von Transistor J 2 erhält eine Hilfsspannung Uh, die zwischen den Logikpegeln H und L liegt. Durch die Kopplung über RE wird verhindert, daß einer der Transistoren bis in die Sättigung ausgesteuert werden kann. An den beiden Kollektoren stehen komplementäre Ausgangssignale zur Verfügung. Diese Grundschaltung läßt sich zur logischen Verknüpfungsschaltung erweitern, indem für Tx mehrere parallelgeschaltete Transistoren eingesetzt werden. Abb. 6.16 zeigt die schaltungstechnische Realisierung eines ECL-Nor/Oder-Gatters. Üblich ist die Verwendung einer negativen Betriebsspannung (an die Stabilität und den Innenwiderstand der Betriebsspannungsquelle müssen dann geringere Anforderungen gestellt werden) , wobei die Schaltung jedoch mit einer positiven Logik arbeitet (U H ä ; —0,75 V — 1: ULza —1,55 V = 0). Die Hilfsspannüng für den Transistor T2 wird mit dem Transistor T3 und dem zugehörigen Basisspannungsteiler eingestellt; die beiden Dioden D1 und D2 dienen der Temperaturkompensation. Zur Vergrößerung des Ausgangslastfaktors verwendet man Kollektorstufen mit den Transistoren T t und T5, an denen wahlweise entweder das Ausgangssignal y — xx + x2 oder dessen Komplement y = % + x2 abgegriffen werden kann. Außerdem bewirken diese Stufen eine Pegelverschiebung, so daß Eingangs- und Ausgangspegel der beiden logischen Zustände übereinstimmen. ECL-Schaltungen haben typische Schaltzeiten von weniger als 2,5 ns; nachteilig ist ihre hohe Leistungsaufnahme (Pv = 50 mW/Gatter) und ihr geringer Störspannungsabstand.

P^h , if K * .


«^>-Transistor Tx wird invers betrieben und dient als spannungsabhängige Stromquelle (nach Anlegen der Betriebsspannung wird ein Strom injiziert), wobei der ^-Kollektor dieses Transistors gleichzeitig die ^-Basis des «^»«-Transistors T2 ist. Ist der Eiijgang x offen (x = H), fließt der gesamte Injektionsstrom von Tj in die Basis des Inverters T2 und hält diesen Transistor in der Sättigung, d. h., die Kollektoren von J"2 sind niederohmig mit Masse verbunden (y. = L). Wird dagegen der Eingang niederohmig mit Masse verbunden (x = L), fließt der gesamte Injektionsstrom über den Eingang ab, und Ta sperrt; die Ausgänge sind offen (yt — H). Das PL-Grundgatter wirkt also als Negator mit mehreren Ausgängen. Logische Verknüpfungen lassen sich einfach realisieren, indem man mehrere Variable an den Eingang legt (Nand) oder die Ausgänge mehrerer Gatter parallelschaltet (Nor; s. Abb. 6.18). Dabei dient der/»«/»-Transistor jeweils als aktive Last der

Abb. 6.18. Verknüpfungsschaltung aus I 2 L-Grundgattern a) vollständiges Schaltbild, b) integrierte Schaltung (Querschnitt, schematisch)

314

6.2. Schaltkreissysteme

vorangehenden w/w-Transistoren, d. h., für die Verknüpfungsschaltungen sind keine Widerstände erforderlich. Daraus und aus der konstruktiven Verbindung der beiden Transistoren des Grundgatters miteinander (^-Kollektor von T1 ^ ^>-Basis von T2; «-Basis von TT = «-Emitter von T2), die es ermöglicht, sehr viele (bis zu einigen zehn) Inverter mit einem einzigen Injektor zu betreiben, ergibt sich ein sehr geringer Platzbedarf beim Schaltungsentwurf (s. Abb. 6.18 b)). Die PL-Technik ermöglicht daher sehr große Packungsdichten (100... 300 Gatter/mm 2 ). Ein weiterer Vorteil dieser Technik ist das sehr geringe Geschwindigkeits-Leistungsprodukt von 0,05 ••• 1 pj6.2.6.

MOS-Logikschaltungen

Die Anwendung von Feldeffekttransistoren zum Aufbau integrierter Logikschaltungen bietet vor allem technologische Vorteile. Da die Grundgatter nur aus Unipolartransistoren aufgebaut sind und einen geringen Platzbedarf beim Schaltungsentwurf aufweisen, ist diese Technik besonders zur Herstellung hochintegrierter (VLSI-) Schaltkreise geeignet. Standard-MOS-Logikschaltungen enthalten nur einen MOSFETTyp. Je nach dem Leitungstyp des Kanals unterscheidet man daher zwischen pKanal- und «-Kanal-MOS-Technologie (s. 4.6.). Die «-Kanal-Technologie ist aufwendiger und schwieriger zu beherrschen; aufgrund der höheren Beweglichkeit der Ladungsträger weisen w-Kanal-MOS-Schaltungen jedoch kürzere Schaltzeiten auf. Die Grundschaltung zum Aufbau logischer Schaltungen in MOS-Technik ist der Inverter (Abb. 6.19)- Der MOSFET arbeitet als spannungs^esteuerter Schalter. Da der Kanalwiderstand auch im leitenden Zustand relativ groß ist, muß der Drainwiderstand RD hinreichend groß gewählt werden (RD = 10® ... 108 Q), damit man einen ausreichenden Spannungshub erreicht. Als günstiger erweist sich daher die Verwendung eines zweiten MOSFET als Lastwiderstand (Abb. 6.19b)), der praktisch stets im Sättigungsbereich betrieben wird, d. h., er wirkt nicht als aktive Last, sondern als Widerstand konstanter Größe. Die Herstellung dieses Transistors erfogt mit den gleichen technologischen Schritten wie die des eigentlichen Schalttransistors, und der Platzbedarf ist wesentlich geringer als der für einen entsprechenden ohmschen Widerstand. Eine weitere Möglichkeit zum Aufbau eines Inverters bietet die Verwendung komplementärer Transistoren (MOSFET mit unterschiedlichem Kanaltyp), als CMOSTechnologie (von engl.: complementary MOS) bezeichnet. Das Grundgatter zeigt Abb. 6.19c). Transistor T2 wird im Gegentakt zu Transistor T1 gesteuert und wirkt als

Abb. 6.19- MOS-Inverter »

a)

-o

o-

b)

•o

oc)

•O

a) «-Kanal-MOSFET mit passivem Lastwiderstand Rj), b) rt-Kanal-MOSF£ T (T,) mit MOSFET als Last-

Widerstand (7*,),

c) CMOS-Inverter

6.2.7. Vergleich der Schaltkreissysteme

315

Xto

a)

b)

Abb. 6.20. a) Nor und b) Nand in StandardMOS-Technik («-Kanal)

aktive Last. Dadurch ergibt sich gegenüber der Standard-/>-MOS-T,echnik eine Verringerung der Schaltzeiten. Da stets einer der beiden Transistoren gesperrt ist und nur im Moment des Umschaltens ein geringer Strom fließt, ist die Leistungsaufnahme einer solchen Schaltung extrem gering. Die MOS-Inverter lassen sich in einfacher Weise zu logischen Verknüpfungsschältungen erweitern. In Standard-MOS-Technik werden dazu lediglich mehrere Schalttransistoren Tu parallel (Abb. 6.20a): Nor) oder in Serie (Abb. 6.20b): Nand) geschaltet, die auf einen gemeinsamen Lasttransistor arbeiten. Dagegen sind bei den CMOS-Verknüpfungsschaltungen (s. Abb. 6.21) auch mehrere Lasttransistoren erforderlich. MOS-Logikschaltungen haben einen relativ hohen Ausgangs widerstand. Streu- und Schaltkapazitäten bewirken daher eine erhebliche Vergrößerung der Schaltzeiten. Aus diesem Grund müssen die Ausgangstransistoren einen möglichst geringen Kanalwiderstand aufweisen; sie erfordern daher eine große Fläche beim Schaltungsentwurf. Die MOS-Technik eignet sich deshalb vor allem für komplexe Schaltungen mit wenigen Ausgängen. 6.2.7.

Vergleich der Schaltkreissysteme

In Tab. 3 7 sind einige typische Daten wie Betriebsspannung, Signalhub zwischen den Pegeln H und L, statischer Störspannungsabstand, mittlere Signalverzögerungszeit, Ausgangslastfaktor, Leistungsaufnahme und Flächenbedarf für ein Grundgatter der

Abb. 6.21. a) Nor und b) Nand in CMOS-Technik

6.2. Schaltkreissysteme tí 'S f-H h

e

6

fo O •o o to O O O O O O O

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00 o o T- o

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mlfl

-«4 -oÖ

A b b . 6.26. 4-Bit-Parallel-Addier-Subtrahierwerk

der Zahl A und dem Zweierkomplement B2 der Zahl B. Können als Ergebnis auch negative Zahlen auftreten, muß durch eine entsprechende logische Schaltung erneut das Komplement gebildet werden, wenn die Bewertungsstelle des Ergebnisses 1 ist. Es sei dem Leser zur Übung überlassen, die Schaltung aus Abb. 6.26 entsprechend zu erweitern. 6.3.1.3.

Binärmultiplikation und Binärdivision

Die Multiplikation läßt sich als Folge von Verschiebungen und Additionen ausführen, wobei der Multiplikand nicht verändert wird, da der Multiplikator nur die Ziffern 0 und 1 enthält. Entsprechend kann die Division auf eine Folge von Verschiebungen und Subtraktionen zurückgeführt werden. Als eigentliches Rechenwerk kann also in beiden Fällen wieder ein Addierer verwendet werden, wobei der Operationsablauf durch entsprechende Programme gesteuert werden muß. Einige Zahlenbeispiele sollen den Ablauf der Rechenoperationen erläutern. Beispiel 6.8. Multiplikation u n d Division v o n Dualzahlen. F ü r die Multiplikation im D u a l s y s t e m gilt:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 0; 0 - 1 = 0 ; 1 - 1 = 1 . D e r R e c h e n a b l a u f ist der gleiche wie i m Dezimalsystem. D e r M u l t i p l i k a n d wird m i t den Stellenziffern des Multiplikators multipliziert u n d e n t s p r e c h e n d der W e r t i g k e i t der Stellenziffer verschoben. Anschließend w e r d e n diese Zwischenergebnisse a d d i e r t .

1101 -1011 1101

0000

13-11 13

1101

1001111

143

6.3.2. Astabiler Multivibrator

323

Für die Division im Dualsystem gilt: 0 : 1 = 0 ; 1:1 = 1; Division durch 0 ist nicht erlaubt. Der Rechenablauf ist der gleiche wie im Dezimalsystem. 101100:100 = 1011 — 100 -

11 0

-

110 100

—

(44:4 = 11)

100 100 0

101100:101 = 1000 Rest 100 — 101

(44:5 = 8 Rest 4)

0100

6.3.2.

Astabiler Multivibrator

Größere digitale Schaltungen werden in ihrer Operationsfolge durch einen T a k t generator gesteuert. Dieser Taktgenerator soll möglichst ebenfalls mittels logischer Grundfunktionen realisiert werden. Eine sehr einfache Möglichkeit dafür bietet der astabile Multivibrator (vgl. 5.3.2.3.). Die in der diskreten Schaltung verwendeten Transistorstufen kann man als Negatoren auffassen, die über ¿?C-Glieder miteinander gekoppelt sind. Damit erhält man die in Abb. 6.27 wiedergebene logische Schaltung. -Die Realisierung kann z. B . mit Nands erfolgen, bei denen die Eingänge miteinander verbunden sind ( s . T a b . 36); die überzähligen Eingänge können aber auch für zusätzliche Steuerfunktionen benutzt werden (Triggerung, Blockierung). Die Dioden dienen dem Schutz der Schaltkreise und unterdrücken die sonst beim Umschalten auftretenden negativen Schaltflanken (vgl. Abb. 5-40).

L c) Abb. 6.27. Astabiler Multivibrator a) Symbol, b) logische Schaltung, c) zeitlicher Verlauf der Spannungen am Negator G s

^

T

324

6.3- Digitalschaltungen

Zur Verdeutlichung der Funktionsweise der Schaltung zeigt Abb. 6.27c) den zeitlichen Verlauf der Spannungen am Negator Gz. Kippt der Negator Gt in den Zustand Q = i, tritt am Eingang des Negators G2 ein LH-Sprung auf, der diesen nach L ) . Das Basis-Flipflop kann aus zwei Nands aufgebaut werden. E s stellt ein bistabiles Speicherelement mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen dar; logische Schaltung und Funktionstabelle zeigt Abb. 6.30. Zur Erläuterung der Funktionsweise gehen wir davon aus, daß Q = 0 (d. h. Q — 1) ist und daß an beiden Eingängen 1 anliegt. Dieser Zustand ist stabil, denn Q — 1 wird auf das Nand Gx rückgekoppelt und hält Q = 0, und