Handbuch zur Berechnung der Zuverlässigkeit in Elektronik und Automatentechnik [Reprint 2021 ed.] 9783112550809, 9783112550793

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B. A. K O S L O W

I. A. U S C H A K O W

HANDBUCH ZUR BERECHNUNG DER Z U V E R L Ä S S I G K E I T

ELEKTRONISCHES RECHNEN UND REGELN Herausgegeben

von

Prof. Dr. HANS FRÜHAUF • Prof. Dr. WILHELM KÄMMERER Prof. Dr. KURT SCHRÖDERf " P r o f - D r - HELMUT THIELE Prof. Dr. HORST VÖLZ

Sonderband 25

H A N D B U C H ZUR B E R E C H N U N G DER Z U V E R L Ä S S I G K E I T IN E L E K T R O N I K UND AUTOMATENTECHNIK von

B. A. KOSLOW • I. A. USCHAKOW

AKADEMIE.VERLAG • BERLIN 1978

Berichtigung S. 64, 3. Spalte, 6. Zeile: Statt ( F + M e - ^ + ^ a - At0)

lies

(F +

(1 - At0)

S. 64, 2. Spalte, 8. Zeile: Statt u lies U S. 65, 4. Zeile v. u.: Statt U

lies Ü

S. 86, Tabelle 3.1.1., 2. Spalte, 5. Zeile, linke Summe: Statt oi}

lies (Xi

S. 86, Tabelle 3.1.1., 2. u. 3. Spalte, 5. u. 6. Zeile: (xt muß unmittelbar rechts neben dem Summenzeichen (als Argument der Summe) stehen und ist in dieser Form Exponent von t0. S. 146, Tabelle, 2. Spalte, Teile T: Lies y % nicht als Exponent, sondern als Faktor der Klammer. S. 158, Tabelle, 2. Spalte, 2. u. 3. Zeile im Zähler des Exponenten: Statt n3to

lies n3ta

S. 213, 3. Spalte, 3. ... 6. Zeile: Statt Tu lies T,

statt T lies Tu

S. 213, 5. Spalte, 3. u. 6. Z^ile: Statte

Tu

lies e

^

S. 327, 7. Zeile: Statt = ((1 - ¡p?)-*" ...

lies = ((1

-

S. 486, 12. Zeile: Statt 8{x) = [1 - 3^(1 - x 2 )] [(1 — x3) • 1 - ... lies S(x) = [1 - x t ( l - x2) (1 - .r3)] • [ 1 - ... S. 538, 20. Zeile: Statt M2{zt)

lies M2 = {z 4 }

S. 573, 6. Zeile: S t a t t . . . / ( « ) ( y ), y)

lies ...f{ t) = P(o, t + y/P(0, t) = P(t + y/P(.(x) dx 1 — e °

-

/({0* < t0} = Fk(t0)

= 1 -

Pk{to) •

Qk(t0) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Objekt während einer vorgegebenen Zeitdauer t0 ausfällt — unter der Bedingung, daß der Anfang dieses Zeitintervalls mit dem Zeitpunkt der (k — l)-ten Erneuerung des Objektes zusammenfällt (siehe Abb. 1.3.3). b) Statistische Definition (Punktschätzung) n n \ -

nk{to)

Nk(0)

-

~

_

Nk{to)

Nk(0) •

1.3. Zuverlässigkeitskenngrößen für Objekte'mit Erneuerung

33

Dabei ist Nk(0) die Anzahl der intakten Exemplare zum Zeitpunkt t' — 0; Nk(t0) ist die Anzahl der Exemplare, die bis zum Zeitpunkt £' = i0 kein einziges Mal ausgefallen sind; nk(t0) ist die Anzahl von Exemplaren, die bis zum Zeitpunkt t' = t0 mindestens einmal ausgefallen sind. Anmerkung: Hier wurde der Einfachheit halber eine neue Zeitzählung eingeführt. Für jedes Exemplar beginnt sie mit dem Zeitpunkt der Beendigung der (k — l)-ten Erneuerung, das heißt, für jedes Exemplar ist t' = 0 der Zeitpunkt k-1 t = E + *] +

=

N(0)

üfiöi.S

^

r

ö r > ) _ 1 ] ]

oder =

e

* '

+

N {

N {ö )

1

[e

*2V(0) - i + 1 = £

NiO)

*2) -

- + m

[

e

>

)

1

_

„ w - v - ^ '

wobei ^ 0f> ^ ... ^ e^ 7(0)1 und 6[ 0) = 0 gesetzt wurde. Hier ist N(0) die Gesamtzahl der Exemplare, die nach der (k — l)-ten Erneuerung zu arbeiten begannen; ist die Realisierung der Arbeitszeit zwischen (k — l)-ter Erneuerung und &-tem Ausfall beim i-tem Exemplar. (Die Indizierung erfolgt in der Reihenfolge des Ausfalleintritts.) Tk ist der arithmetische Mittelwert der Realisierungen der ausfallfreien Arbeitszeit des Objektes vom Beendigungszeitpunkt der (k — l)-ten Erneuerung bis zum k-ten Ausfall (Abb. 1.3.8).

34

1. Bezeichnungen und Begriffe

Q'P 8 ?

. . .

er'1

Abb. 1.3.8. Zeitdiagramm zur Erläuterung der statistischen Definition des Begriffs T k für h = 3 Anmerkung zu Punkt 10 und 11: Bereits im Abschnitt 1.1 wurde darauf hingewiesen, daß wir im weiteren den Begriff der mittleren ausfallfreien Arbeitszeit auch dann verwenden werden, wenn die mittlere Arbeitszeit bis zum Ausfall und die mittlere Arbeitszeit zwischen zwei Ausfällen vollständig äquivalent sind. 11. Erneuerungsrate standsbeginns

an

des

Objektes

zur

Zeit t, gerechnet

vom

Augenblick

des

Still-

a) Wahrscheinlichkeitsdefinition alt) =

1 1 fE(t) FE(t) = — , 1 - FE(t) dt E{> 1 - FE(t) '

wobei FE(t) = c < L t} die Verteilungsfunktion der Erneuerungszeit und fE(t) die zugehörende Verteilungsdichte sind. ¡¿(t) ist der Wert der bedingten Erneuerungsdichte im Zeitpunkt t — vom Augenblick des Stillstandsbeginns an gerechnet — unter der Bedingung, daß bis zum Zeitpunkt t das Objekt noch nicht wiederhergestellt wurde. b) Statistische Definition (Punktschätzung) f.i(t) =

nE(t + At) - nB(t)

NE(t + At) - NE(t)

AnE(t, t + At)

NE(t) At

NE(t) At

NE(t) At

wobei NE(t) die Anzahl von Exemplaren ist, die nach der Zeit t noch nicht wiederhergestellt sind; nE(t) ist die Anzahl von Exemplaren, deren Erneuerung bis zum Zeitpunkt t vollzogen wurde (die Zeit wird vom Augenblick des Stillstandsbeginns an gezählt); AnE{t, At) ist die Anzahl von Objekten, die gerade im Zeitintervall [i, t + At] wiederhergestellt werden. Anmerkung: In der Praxis muß einerseits At hinreichend klein und andererseits AnE{t, At) hinreichend groß sein.

ß(t) ist das Verhältnis der im Zeitintervall [i, t + At] abgeschlossenen Erneuerungen zum Produkt aus der Anzahl von Exemplaren, die bis zum Zeitpunkt t noch nicht erneuert wurden, und der Länge At des Zeitintervalls (Abb. 1.3.9).

1.3. Zuverlässigkeitskenngrößen für Objekte mit Erneuerung

35

t=0 t-0 NrZoNr 3o

^

¿=0 NrS o-

TT\

P777 771

7771

t'O

^ZZZZZZZZ V / / / / A

^ t=0 Nr.i-o-

T777\

'77777

>7773

Nr6°t=0 Nr. 7 o—^

"ZZZZTZZTQ-

t+At

0

Abb. 1.3.9. Zeitdiagramm zur Erläuterung der statistischen Definition des Begriffs ¡l(t) Die Realisierungen Nr. 2, 6 entsprechen den nE(t) Exemplaren,

12. Mittlere Erneuerungszeit a)

Exemplaren, die Realisierungen Nr 1, 3, 4, 5, 7 entsprechen den

NE(t)

die Realisierungen Nr. 1, 2, 5, 6 entsprechen den nE(t + AI) Exemplaren, die Realisierungen Nr. 3, 4, 7 entsprechen den NE(t =t- AI) Exemplaren

des Objektes

Wahrscheinlichkeitsdefinition oo

r =

M{£}

=

oo

/ tfE(t) dt = 0

oo

f t dFE(t) 0

=

/ [1 -

*•,(*)] d i .

0

T ist der E r w a r t u n g s w e r t ( M i t t e l w e r t ) der Erneuerungszeit des Objektes. b ) Statistische D e f i n i t i o n ( P u n k t s c h ä t z u n g ) 1

1

N(0)

oder £

=

|(1)

+

~ N( 0)

,N(0) ^ ( 0 ) - »

1

+

[|(2) _ |(l)] + ... +

[|W)1 _ JV(0)'

p(»)-D]

1

W )

NrZoNr 3o N r l/.0

EZZ2L

Nr SO Nr 60 Nr7°-

£m ia>

• • •§""""

t

Abb. 1.3.10. Zeitdiagramm zur Erläuterung der statistischen Definition des Begriffs f

1. Bezeichnungen und Begriffe

36

wobei I «

17771 •

n

P7771

V77\

177771 r 7771 TT*

n1

F71 (71

F7771

17771

m

r/W/V.

Abb. 1.3.11. Zeitdiagramm zur Erläuterung der statistischen Definition der Begriffe F(i) und Ü(t) Die Realisierungen Nr. 1 u. 7 entsprechen den N{0) Exemplaren, die Realisierungen Nr. 1, 2, 5, 6' entsprechen den N(t) Exemplaren, die Realisierungen Nr. 3, 4, 7 entsprechen den n(t) Exemplaren

1.3. Zuverlässigkeitskenngrößen für Objekte mit Erneuerung 14. Instationäre

mittlere

Verfügbarkeit

des

37

Objektes

a) Wahrscheinlichkeitsdefinition

t

V*{t)

= j J

V{x) dx ,

o wobei V*(t) der Erwartungswert des Zeitanteils innerhalb des Zeitintervalls [0, i] ist, während dessen sich das Objekt im Zustand der Arbeitsfähigkeit befindet. b) Statistische Definition (Punktschätzung) 1 N(0)

V*(t) = -

1

Z

Sf(t) ,

8= 1

wobei N(0) die Gesamtzahl der Exemplare und St(t) die kumulative Arbeitszeit des t-ten Exemplars im Zeitintervall [0, t] sind. 15. Verfügbarkeit

des

Objektes

a) Wahrscheinlichkeitsdefinition V = lim V(t) = lim OO

V*(t)

(->-00

oder V = R(t0 = 0) .

V ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das Objekt unter der Voraussetzung eines stationären zufälligen Prozesses (das heißt praktisch für einen „hinreichend fernen" Zeitpunkt) im Zustand der Arbeitsfähigkeit vorzufinden; oder der Erwartungswert des Zeitanteils, während dessen das Objekt (im'stationären Regime) intakt ist. T77T\

Nr1• Nr Z'

V/

Nr 3'

T777X T777t722_

l/V/'/t

P773 >7771

Nr

VMA

Nr 5• Nr6' Nr 7'

t Abb. 1.3.12. Zeitdiagramm zur Erläuterung der statistischen Definition der Begriffe V und U Die Realisierungen Nr. 1.. 7 entsprechen

den lf(0)

Exemplaren, die Realisierungen Nr. 1, 3, 4, 6, 7 entsprechen den

«(¿oo) Exemplaren, die Realisierungen Nr 2, 5 entsprechen den «(*«,) Exemplaren

38

1. Bezeichnungen und Begriffe

Anmerkung: Für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Arbeitszeit zwischen aufeinanderfolgenden Ausfällen und der Erneuerungszeit, die endliche Erwartungswerte T beziehungsweise t besitzen, gilt die folgende Beziehung:

V = T/(T + t) .

b) Statistische Definition (Punktschätzung) V

=

_

N(0)

n

N(0) "

Dabei ist N(0) die Gesamtzahl der Exemplare; N ( t i s t die Anzahl der Exemplare, die sich zu einem beliebigen „hinreichend fernen" Zeitpunkt im Zustand der Arbeitsfähigkeit befinden; n(t^ ist die Anzahl von Exemplaren, die zu einem beliebigen „hinreichend fernen" Zeitpunkt ausgefallen sind.

V ist das Verhältnis der Anzahl von Exemplaren, die sich zu einem beliebigen „hinreichend fernen" Zeitpunkt im Zustand der Arbeitsfähigkeit befinden, zur Gesamtzahl der Exemplare (Abb. 1.3.12). 16. Instationäre

(augenblickliche,

momentane)

Unverfügbarkeit

des

i +1 z

(0*+

a) Wahrscheinlichkeitsdefinition ü(t)=

oo

i=0

( i

(ek + u

+ ei+1

< «