Bauelemente der Elektronik 9783486856088, 9783486721270

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Herbert Bernstein Bauelemente der Elektronik

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Herbert Bernstein

Bauelemente der Elektronik

Autor Dipl.-Ing. Herbert Bernstein 81379 München [email protected]

ISBN 978-3-486-72127-0 e-ISBN (PDF) 978-3-486-85608-8 e-ISBN (ePUB) 978-3-11-039767-3 Set-ISBN 978-3-486-85609-5 Library of Congress Cataloging-in-Publication Data A CIP catalog record for this book has been applied for at the Library of Congress. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. © 2015 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/München/Boston Einbandabbildung: Andy Sotiriou / Photodisc / Thinkstock Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck ♾ Gedruckt auf säurefreiem Papier Printed in Germany www.degruyter.com

Vorwort Zum Dimensionieren eines elektronischen Gerätes reicht die Kenntnis der Schaltungstechnik allein nicht aus. Man muss auch die Eigenschaften der erforderlichen Bauelemente, also der Widerstände, Kondensatoren, Transistoren usw. genau kennen. So genügt es beispielsweise durchaus nicht, einen Widerstand nur nach seinem Ohmwert auszuwählen. Auch Toleranz, Belastbarkeit, Temperaturkoeffizient und die Frage, ob ein Schicht- oder ein Drahtwiderstand zu verwenden ist, sind wesentliche Daten, die die Funktion des Bauelementes im Gerät mitbestimmen. Solche Angaben findet man nur in den Datenblättern der Hersteller oder in den einschlägigen Normen. Welche Bauelemente es gibt, wie sie funktionieren, was die Daten bedeuten und in welcher Größenordnung sie liegen, davon ist in diesem Fachbuch die Rede. Jedes industrielle Produkt ist ein Kompromiss zwischen den Wünschen des Kunden und dem Aufwand, der bei gegebener Preisvorstellung für die Realisierung dieser Wünsche betrieben werden darf. Ideale Bauelemente, etwa Kondensatoren ohne Verluste, wird es deshalb nicht geben. Um beurteilen zu können, wie weit die tatsächlichen Daten von den idealen abweichen, ist es unerlässlich, das Verhalten idealer Bauelemente verstehen und berechnen zu können. Für die technischen Produkte zeichnet man sich Ersatzschaltbilder, die aus solchen idealen Elementen zusammengesetzt sind. So lässt sich beispielsweise für den im Stromlaufplan mit einem einfachen Symbol dargestellten Kondensator ein aus einem verlustlosen Kondensator und einem dazu parallel geschalteten Widerstand ein bestehendes Ersatzbild zeichnen, um die Verluste erfassen zu können. Bei genauer Kenntnis der Daten lässt sich dann das Verhalten des Kondensators vorausberechnen. Den Abschnitten mit der Beschreibung der eigentlichen Bauelemente wurde deshalb ein theoretischer Teil vorangestellt, um die hierzu notwendigen Grundlagen zu vermitteln. Für die Erstellung dieses Buches wurde die Software MultiSim verwendet. Das Tool kann kostenlos unter der URL http://www.mouser.com/MultiSimBlue heruntergeladen werden. Grundlage dieses Buches ist mein Manuskript aus der Technikerschule. Mit diesem Buch habe ich mir das Ziel gesetzt, mein gesamtes Wissen an den Leser weiterzugeben, das ich mir im Laufe der Zeit in der Industrie und im Unterricht angeeignet habe. Meiner Frau Brigitte danke ich für die Erstellung der Zeichnungen. Herbert Bernstein

Inhalt 1 1.1

Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre) Spannungen und Ströme in elektronischen Schaltungen . . . . . . . . . . .

1 1

1.2

Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen . . . . . . . . . .

5

1.3

Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7

Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände . . . . . . . . . Wirkwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kondensator als Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . . . Spule als Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reihenschaltung reiner Wirk- und reiner Blindwiderstände Parallelschaltung reiner Wirk- und reiner Blindwiderstände Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blindwiderstandsnomogramm . . . . . . . . . . . . . . . .

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18 18 19 22 25 32 37 53

1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3

Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme Hauteffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrische und unsymmetrische Leitersysteme . . .

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54 60 63 65

1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4

Leiterwerkstoffe . . . . . Blanke Drähte . . . . . . Isolierte Drähte . . . . . Abgeschirmte Leitungen Wellenleiter . . . . . . .

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68 69 69 70 71

2

Widerstände

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4

Eigenschaften von Widerständen . . Wertebereich der Widerstände . . . Bauarten von Widerständen . . . . . Aufbau einer simulierten Schaltung Nennwerte von Widerständen . . . .

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75 75 80 85 87

viii

Inhalt

2.2 2.2.1 2.2.2

Drahtwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Festwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Veränderbare Drahtwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7

Schichtwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . Festwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Schichtwiderständen . . . . . Metallflachchip-Widerstand . . . . . . . . . . . . Folienwiderstände für Strommessung . . . . . . . SMD-Präzisionswiderstände . . . . . . . . . . . . Präzisionswiderstände und Widerstandsnetzwerke Veränderbare Schichtwiderstände . . . . . . . . .

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99 99 102 106 108 112 117 119

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3

Temperaturabhängige Widerstände Heißleiter . . . . . . . . . . . . . Kaltleiter . . . . . . . . . . . . . . Spannungsabhängige Widerstände

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122 122 124 125

2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4

Dehnungsmessstreifen . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanischer Aufbau eines Dehnungsmessstreifens Messung einer mechanischen Biegung . . . . . . . Messung der Torsionsmomente . . . . . . . . . . . Druckmessung mittels Kraftmessdose . . . . . . .

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127 128 132 134 135

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3

Kondensatoren

3.1

Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

137

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2.9 3.2.10

Eigenschaften von Kondensatoren . Nennkapazität . . . . . . . . . . . . Toleranz . . . . . . . . . . . . . . . Betriebsspannnung . . . . . . . . . . Isolationswiderstand . . . . . . . . . Reihen- und Parallelschaltung . . . . Temperaturkoeffizient der Kapazität Verlustfaktor tan • . . . . . . . . . . Induktivität und Eigenresonanz . . . Konstanz . . . . . . . . . . . . . . . Zuverlässigkeit . . . . . . . . . . . .

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145 147 149 150 150 154 155 156 157 158 161

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

Technologie von Kondensatoren Festkondensatoren . . . . . . . . Papierkondensatoren . . . . . . . Metallpapierkondensatoren . . . Kunststofffolienkondensatoren .

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163 163 167 167 168

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Inhalt

ix

3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.3.9 3.3.10 3.3.11 3.3.12 3.3.13 3.3.14 3.3.15 3.3.16

Polyesterkondensatoren . . . . . . . . . Polycarbonatfolienkondensatoren . . . . Lackfolienkondensatoren . . . . . . . . Polypropylenkondensatoren . . . . . . . Styroflexkondensatoren . . . . . . . . . Glimmerkondensatoren . . . . . . . . . Keramikkondensatoren . . . . . . . . . Keramische Sperrschichtkondensatoren . Elektrolytkondensatoren . . . . . . . . . Aluminium-Elektrolytkondensatoren . . Tantal-Elektrolytkondensatoren . . . . . Sinter-Tantal-Elektrolytkondensatoren .

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169 170 170 171 171 172 173 177 178 178 183 184

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8

Doppelschichtkondensator . . . . . . . Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . Statische Doppelschichtkapazität . . . Konstruktionsmerkmale . . . . . . . . Gravimetrische Oberfläche . . . . . . Elektroden mit großer Pseudokapazität Elektroden für Hybridkondensatoren . Kompositelektroden . . . . . . . . . . Elektrolyt . . . . . . . . . . . . . . .

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185 185 186 192 195 196 197 197 198

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7 3.5.8

Veränderbare Kondensatoren . Kreisplattenkondensator . . . . Frequenzgerader Kondensator . Wellengerader Kondensator . . Logarithmischer Kondensator . Schmetterlingsdrehkondensator Differentialdrehkondensator . . Mehrfach-Drehkondensatoren . Trimmerkondensatoren . . . .

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200 200 201 203 204 204 205 207 207

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.8

Spulen, Transformatoren und magnetische Werkstoffe Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetischer Fluss und magnetische Feldstärke . . . . . . Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte . . . Parameter der Hystereseschleife . . . . . . . . . . . . . . Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Kernformgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte und Energie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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211 214 216 217 219 220 221 222 224 227

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x

Inhalt

4.2

Luftspulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.3 4.3.1 4.3.2

Spulen mit magnetisierbarem Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Spulenkernwerkstoffe und deren kennzeichnende Begriffe . . . . . . . . . 232 Blechkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6

Transformatoren und Übertrager . . . . . . . . . Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kleintransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung eines Transformators . . . . . . . . . Kopplung mit Übertragern und Transformatoren . Pulvereisen- und Ferritkerne . . . . . . . . . . . Topfkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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239 239 242 243 245 245 248

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4

Spulenkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spulenverluste und Gütefaktor Q . . . . . . . . . Wicklungskapazität Cw . . . . . . . . . . . . . . Gekoppelte Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . Reihen- und Parallelschaltung von Induktivitäten

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250 250 255 257 258

4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5

Simulationen mit Spulen . . . . . . . . . . Messung einer idealen Spule . . . . . . . . Spule an Rechteckspannung . . . . . . . . . Spule im Wechselstromkreis . . . . . . . . Reihenschaltung von Widerstand und Spule Parallelschaltung von Widerstand und Spule

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Weiterführende Literatur

271

Index

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1

Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Zur Dimensionierung eines elektronischen Gerätes reicht die Kenntnis der analogen und digitalen Schaltungstechnik allein nicht aus. Man muss auch die Eigenschaften der erforderlichen Bauelemente, also der Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Dioden, Transistoren, optische Bauelemente usw. genau kennen. So genügt es beispielsweise durchaus nicht, einen Widerstand nur nach seinem Ohmwert auszuwählen. Auch Toleranz, Belastbarkeit, Temperaturkoeffizient und die Frage, ob ein Schicht- oder ein Drahtwiderstand zu nehmen ist, sind wesentliche Daten, die die Funktion des Bauelementes im Gerät mitbestimmen. Solche Angaben finden sich in den Datenblättern der Hersteller oder in den einschlägigen Normen. Welche Bauelemente es gibt, wie sie funktionieren, was die Daten bedeuten und in welcher Größenordnung sie liegen. Jedes industrielle Produkt ist ein Kompromiss zwischen den Wünschen des Kunden und dem Aufwand, der bei gegebener Preisvorstellung für die Realisierung dieser Wünsche getrieben werden darf. Ideale Bauelemente, etwa Kondensatoren und Spulen ohne Verluste, wird es deshalb nicht geben. Um beurteilen zu können, wie weit die tatsächlichen Daten von den idealen abweichen ist es unerlässlich, das Verhalten idealer Bauelemente verstehen und berechnen zu können. Für die technischen Produkte zeichnet man sich Ersatzschaltbilder, die aus solchen idealen Elementen zusammengesetzt sind. So lässt sich beispielsweise für den im Stromlaufplan mit einem einfachen Symbol dargestellten Kondensator aus einem verlustlosen Kondensator und einem dazu parallel geschalteten Widerstand ein Ersatzbild zeichnen, um die entsprechenden Verluste erfassen zu können. Bei genauer Kenntnis der Daten lässt sich dann das Verhalten des Kondensators und der Spule vorausberechnen, d. h. man kann die aktiven und passiven Bauelemente optimal einsetzen.

1.1

Spannungen und Ströme in elektronischen Schaltungen

In den Schaltungen der gesamten Elektronik fließen neben Gleichspannungen und -strömen vor allem Wechselspannungen und -ströme mit den verschiedensten Kurvenformen. Unter einem Wechselstrom versteht man einen Strom, der seine Richtung periodisch mit der Zeit ändert. Abbildung 1.1 zeigt Beispiele für Spannungs- und Stromformen. Spannungen und Ströme ändern dagegen nur ihre Amplitude, während die Richtung zu allen Zeiten gleich bleibt. Man bezeichnet sie als Gleichspannungen und -ströme mit überlagerter Wechselspannung und -strom oder eine amplitudenmodulierte Spannung AM. Wird ein Bauelement von einem solchen Strom durchflossen, dann kann man diese Spannungen und Ströme in seine Gleich- und Wechselkomponente zerlegen und begutachtet das Verhalten anhand des Ersatzschaltbildes getrennt für jede der beiden. Das Verhalten bei Gleichspannungen und

2

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

-strömen ist im Allgemeinen einfach überschaubar und braucht in diesem theoretischen Teil nicht behandelt zu werden. Bei Wechselspannungen oder -strömen beliebiger Kurvenform ist das nicht mehr der Fall. Wie kompliziert die Kurvenformen von Wechselspannungen oder -strömen aber auch sein mögen, alle lassen sich auf Sinus-Komponenten mit den entsprechenden Frequenzen zurückführen. Das Verhalten eines idealen Bauelementes gegenüber sinusförmigen Spannungen und Strömen ist daher die Grundlage aller theoretischen Betrachtungen.

Abb. 1.1: Beispiele von Spannungs- und Stromformen a) bis c) Wechselspannungen oder -ströme d) Amplitudenmodulierte Spannung

Ein sinusförmiger Strom oder eine sinusförmige Spannung entsteht beispielsweise, wenn sich eine Leiterschleife oder eine Wicklung in einem Magnetfeld dreht (Abb. 1.2) dessen Magnetflussdichte an jeder Stelle gleich ist (homogenes Feld). Die Spannung in der Wicklung lässt sich nach dem Induktionsgesetz berechnen. u 

ˆ2  ˆ1 ˆ D t t2  t1

Sie ist der Magnetflussänderung pro Zeiteinheit proportional. Der Magnetfluss ˆ ist das magnetische Feld, das von der Schleife oder der Wicklung umfasst wird und ˆ die Änderung dieses Flusses. Das Minuszeichen besagt, dass die Spannung bei zunehmendem Fluss negativ ist, und positiv, wenn er abnimmt. Steht die Schleife zunächst quer zum Feld, wird sie vom maximal möglichen Fluss ˆm durchsetzt. Dreht man sie um einen ganz kleinen Winkel ’ entgegen dem Uhrzeigersinn, dann nimmt der durch sie hindurchgehende Fluss praktisch überhaupt nicht ab, und es entsteht nur eine geringe Spannung. Würde man die Schleife um den gleichen Winkel ’ drehen, wenn sie anfangs nicht quer zu den Feldlinien, sondern genau in ihrer Richtung gestanden hätte (’ D 90°), dann ergäbe sich eine Änderung von Null auf einen endlichen Wert. Dieser Sprung entspricht einer relativ großen Flussänderung ˆ/t und erzeugt demzufolge

1.1 Spannungen und Ströme in elektronischen Schaltungen

3

Abb. 1.2: Prinzip eines Wechselstromerzeugers mit n = Drehzahl (z. B. in Umdrehungen/Sekunde U/s)

eine große Spannung. Verfolgt man die Flussänderungen über den ganzen Drehbereich der Schleife, findet man, dass die Spannung dem Sinus des Drehwinkels ’ proportional sein muss (Abb. 1.3).

Abb. 1.3: Sinusförmige Wechselspannung

Die Erzeugung einer Wechselspannung mit einer rotierenden Schleife ist die Grundausführung eines Wechselspannungsgenerators. Die „Geometrie“ der Wechselspannung lässt sich aber auch an dem aus der Mathematik her bekannten „Einheitskreis“ erläutern (Abb. 1.4).

Abb. 1.4: Darstellung durch Einheitskreis

4

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Man zeichnet einen Kreis mit dem Radius r D 1. Den Radius lässt man entgegen dem Uhrzeigersinn umlaufen. Seine Projektion auf die senkrechte Achse (Ordinate) ist dann gleich dem Sinus des Winkels, den er im jeweiligen Augenblick mit der waagrechten Achse (Abszisse) bildet. Gibt man nun dem Radius einen Maßstab für den Scheitelwert der Spannung oder des Stromes, dann ist die Projektion des Radius auf die Ordinate gleich dem jeweiligen Augenblickswert (Abb. 1.4). Der Scheitelwert ist dabei der größte während eines Umlaufs O symbolisiert. Es gilt: vorkommende Spannungs- oder Stromwert. Er wird mit OI und U i D OI  sin ’

O  sin ’ uDU

Den Winkel ’ misst man in der Mathematik oft nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß (in „Radianten“ = rad). Darunter ist diejenige Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis zu verstehen, die den Winkel ’ einschließt (Abb. 1.5). Für eine ganze Umdrehung beträgt sie 2     r D 2     rad. Dreht sich der Radius mit n Umdrehungen/Sekunde (U/s), dann hat die Zeigerspitze die Geschwindigkeit v D 2     n. Bei einer U/s ist v D 2     rad=s D 6;28 rad=s; bei 50 U/s ist v D 314 rad/s usw.

Abb. 1.5: Erläuterung des Bogenmaßes

Bei jedem Umlauf wird die Sinuskurve einmal durchlaufen und man bezeichnet dies als eine Periode. Mit n  U=s entstehen folglich Perioden/ Sekunde. Die Periodenzahl pro Sekunde ist Frequenz f. Sie hat die Einheit „Hertz“, abgekürzt Hz. Vielfache dieser Einheit sind kHz (Kilohertz), MHz (Megahertz) und GHz (Gigahertz). Der Ausdruck für die Umlaufgeschwindigkeit der Zeigerspitze wird nun v D ¨ D 2     f. Diese Geschwindigkeit trägt die Bezeichnung „Winkelgeschwindigkeit“ oder „Kreisfrequenz“. Sie wird durch den griechischen Buchstaben ¨ symbolisiert. Eine Periode t dauert bei 1 Hz eine Sekunde. Die Periodendauer t ist also gleich dem Kehrwert der Frequenz mit t D 1=f. Der jeweilige Winkel ’ des Radius mit der Abszisse berechnet sich nach der Gleichung „Weg D Geschwindigkeit  Zeit“ zu „Winkel D Winkelgeschwindigkeit  Zeit“: ’D¨tD2 ft Damit ergibt sich der Augenblickswert einer Spannung oder eines Stromes zu O  sin ¨  t uDU i D IO  sin ¨  t

1.2 Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen

1.2

5

Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen

Bei der Serienschaltung zweier Gleichspannungsquellen ist die Gesamtspannung gleich der Summe der Einzelspannungen (Abb. 1.6a). Dieses Gesetz gilt bei Wechselspannungen nur O 1  sin ¨1  t und für die jeweiligen Augenblickswerte. Zwei Wechselspannungen u1 D U O 2  sin ¨2  t ergeben eine Gesamtspannung von ug D u1 C u2 (Abb. 1.6b). u2 D U

Abb. 1.6: Addition von Spannungen, a) von Gleichspannungen und b) von sinusförmigen Wechselspannungen

Dabei ist es im Prinzip gleichgültig, ob die Frequenzen der beiden Spannungen f1 und f2 gleich sind oder nicht: die augenblickliche Gesamtspannung ist stets gleich der Summe der Augenblickswerte. Besonders einfache Verhältnisse ergeben sich, wenn f1 und f2 gleich sind. Bei der graphischen Addition zweier Wechselspannungen gleicher Frequenz entsteht als Summenkurve wieder eine Sinuskurve. Man erhält das gleiche Ergebnis aber auch durch Betrachtung der rotierenden O1 C U O 2 . Setzt man nämlich die beiden Scheitelwerte aneinander und lässt Scheitelwerte U O1 C U O 2 / rotieren, dann ist seine Projektion auf die Ordinate ug D den Pfeil der Länge .U O1 CU O 2 /  sin ¨  t (Abb. 1.7). .U

Abb. 1.7: Addition von Wechselspannungen gleicher Frequenzen a) Zeitlicher Verlauf der Spannungen b) Vektordarstellung

Auch bei Wechselströmen addieren sich die Augenblickswerte: ig D i1 C i2 . Die für Wechselspannungen benutzte Darstellung gilt sinngemäß auch hier. Bei gleicher Frequenz ist somit ig D .OI1 C OI2 /  sin ¨  t (Abb. 1.8).

6

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.8: Addition von Wechselströmen

Etwas schwieriger wird die Addition von Spannungen oder Strömen, die zwar die gleiche Frequenz, aber ihre Nullpunktdurchgänge nicht zum gleichen Zeitpunkt aufweisen. Man spricht in diesem Fall von einer Phasenverschiebung zwischen den beiden Spannungen oder Strömen. Als Maß wird der Winkel ® angegeben, um den die Nulldurchgänge verschoben sind. Die Darstellung der Kurvenzüge kann wieder mit Hilfe der rotierenden Scheitelwerte O 1 und U O 2 vorgenommen werden. Den einen Scheitelwert zeichnet man in der Richtung der U Abszisse, den anderen um den Winkel ® verdreht (Abb. 1.9). Man spricht von „Voreilen“ von u2 gegenüber u1 , wenn ® positiv ist und von „Nacheilen“ bei negativem ®. Man denkt sich nun die beiden Spannungen rotierend, wobei ihr gegenseitiger Winkelabstand ® erhalten bleibt. Jeder Pfeil ergibt eine Sinuskurve in der schon beschriebenen Weise. Die graphische Addition der beiden Kurven ergibt eine neue Sinuskurve, deren Nulldurchgang zwischen den Nulldurchgängen von u1 und u2 erfolgt.

Abb. 1.9: Addition von Wechselspannungen mit Phasenverschiebung

O 1 und U O 2 zuvor Die Addition ist jedoch wesentlich praktischer, wenn die beiden Zeiger U O g zusammengesetzt werden. Man benutzt dazu das Vergeometrisch zur Gesamtspannung U fahren, das für die Addition von Kräften ist, nämlich das Kräfteparallelogramm (Abb. 1.10). O 1 und U O 2 bildet man die Resultierende und lässt diese rotieren. Aus den beiden Pfeilen für U Ihre Projektion auf die Ordinate ergibt dann den zeitlichen Verlauf der Summenspannung. Der O 1. Winkel ®0 ist die Phasenverschiebung zwischen der Resultierenden und der Spannung U Mathematisch lautet die Addition zweier Spannungen oder Ströme folgendermaßen: O 1  sin ¨1  t C U O 2  sin.¨2  t C ®/ ug D u1 C u2 D U

1.2 Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen

7

Abb. 1.10: Geometrische Addition phasenverschobener Spannungen a) Parallelogramm für die Spannungen b) Dreieck für die Spannungen

Die Anwendung des Kräfteparallelogramms auf Spannungen und Ströme kommt in der Elektrotechnik sehr häufig vor. Da die Zeiger oder Pfeile Symbole für Größe und Richtung sind, bezeichnet man sie auch als Vektoren. Das System der rotierenden Vektoren bezeichnet man Vektordiagramm. Die Addition mit Hilfe des Parallelogramms ist nur dann zulässig, wenn die beiden Ströme oder Spannungen gleiche Frequenz f haben. Bei unterschiedlichen Frequenzen lässt sich die Summenkurve nur durch Addieren der Augenblickswerte konstruieren. Recht übersichtlich sind die Verhältnisse, wenn die Frequenzen der beiden zu addierenden Spannungen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, wenn also neben der Frequenz f auch die doppelte (2f) oder dreifache (3f) Frequenz vorhanden ist. Die Abb. 1.11a–d stellen einige Beispiele mit der doppelten und der dreifachen Frequenz dar. Es ist ersichtlich, dass die Kurvenform stark von der Phasenlage zwischen den zu addierenden Sinuskurven abhängig ist. Durch Hinzufügen weiterer Spannungen kann die Summenkurve in jede gewünschte Form gebracht werden. Ein Beispiel dafür liefert das Oszillogramm mit der Addition von Spannungen der Frequenzen f, 3f und 5f. Der Kurvenzug hat starke Ähnlichkeit mit einem Rechteck. Es lassen sich alle Wechselspannungsformen durch Addition der Spannungen mit Vielfachen der Grundfrequenz zusammensetzen. Die verschiedenen Spannungen haben dann stets ein bestimmtes Amplitudenverhältnis und eine bestimmte Phasenlage zueinander. Die Vielfachen der Grundfrequenz bezeichnet man Harmonische oder Teilschwingungen. Die Grundwelle selbst wird als erste Harmonische bezeichnet, 2f als die zweite Harmonische usw. Zur zweiten Harmonischen sagt man auch erste Oberwelle, zur dritten Harmonischen zweite Oberwelle usw. Das Zerlegen von beliebigen Spannungsformen in ihre Harmonischen und die Bestimmung ihrer Amplituden nennt man Fourier-Analyse. Mit der Fourier-Analyse lässt sich der DC-Anteil, die Grundwelle und die Harmonische eines Zeitbereichssignals untersuchen. Bei dieser Analyse wird auf die Ergebnisse einer Zeitbereichsanalyse die diskrete Fourier-Transformation angewandt. Hierzu wird eine ZeitbereichsSpannungskurvenform in deren Frequenzbereichsanteile zerlegt. Multisim führt automatisch eine Zeitbereichsanalyse durch, um die Fourier-Analyseergebnisse zu erzeugen. In der Schaltung müssen Sie einen Ausgangsknoten wählen. Die Ausgangsvariable ist der Knoten, aus dem bei der Analyse die Spannungskurve extrahiert wird.

8

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.11a: Addition von Spannungen bei verschiedenen Frequenzen, Frequenzverhältnis f und 2f, Amplitudenverhältnis 2 : 1

Abb. 1.11b: Addition von Spannungen bei verschiedenen Frequenzen, Frequenzverhältnis f und 2f; phasenverschoben, Amplitudenverhältnis 2 : 1

1.2 Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen

9

Abb. 1.11c: Addition von Spannungen bei verschiedenen Frequenzen, Frequenzverhältnis f und 3f; Amplitudenverhältnis 4 : 1

Abb. 1.11d: Addition von Spannungen bei verschiedenen Frequenzen, Frequenzverhältnis f, 3f, 5f; Amplitudenverhältnis 5 : 2 : 1

10

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.11e: Fourier-Analyse von Abb. 1.11d mit der Spannungsaddition der Frequenzverhältnisse f, 3f, 5f und Amplitudenverhältnisse 5 : 2 : 1

Abbildung 1.11e zeigt die Fourier-Analyse von Abb. 1.11d in Tabellenform und als Betragsspektrum. Wenn die Fourier-Analyse dargestellt werden soll, ist auf den Balken „Simuliere“ zu klicken. Es öffnet sich ein Fenster und danach klickt man auf „Analyse“. Hier findet man alle Einstellungen für die Fourier-Analyse. Die Grundfrequenz (Frequency resolution oder Fundamental frequency) beträgt 1 kHz und die Ordnungszahl der Oberwellen (number of harmonics) ist mit „9“ festgelegt. Über TSTOP wird die Zeit für das Ende der Messung eingestellt. Das Ergebnis kann entsprechend gewählt werden. Für die vertikale Skala wird eine lineare Darstellung eingestellt. Wenn man danach sofort den Balken „Simulieren“ (Simulate) mit der Maus anklickt, erscheint eine Fehlermeldung, denn man hat noch nicht die Ausgänge (Output) für die Messung festgelegt. Die Fourier-Analyse erzeugt ein Diagramm mit Fourier-Spannungskomponentenbeträgen und optional die Phasenkomponenten über die Frequenz. Das Betragsdiagramm wird standardmäßig als Balkendiagramm dargestellt. Sie können jedoch die Darstellung als Liniendiagramm wählen. Bei der Fourier-Analyse wird auch der Klirrfaktor berechnet. Wegen der starken Nichtlinearitäten der Übertragungskennlinie innerhalb einer elektrischen Schaltung treten Verzerrungen

1.2 Addition von Wechselspannungen und Wechselströmen

11

auf, wenn die Amplitude des Eingangssignals nicht sehr klein ist. Ein Maß für die Verzerrungen ist der Klirrfaktor. Der Klirrfaktor k ist das Verhältnis des Oberwelleneffektivwerts zum Gesamteffektivwert, einschließlich der Grundwellen. Der Klirrfaktor k wird in % angegeben und gibt das Effektivwert-Verhältnis der Oberschwingungen zur Grundschwingung am Ausgang an, wenn man den Eingang sinusförmig um den Arbeitspunkt aussteuert. Interessant ist die Tabelle, die gleichzeitig ausgegeben wird. Die Trägerfrequenz mit 10 kHz erzeugt die Amplitude von 4,9398 V und eine minimale Phasenverschiebung. Die untere Seitenbandfrequenz bei 9 kHz hat noch eine Spannung von 2,47401 V bei einer Phasenverschiebung von 90°. Die obere Seitenbandfrequenz bei 1,1 kHz hat noch eine Spannung von 2,46136 V bei einer Phasenverschiebung von −90°. Tabelle 1.1 zeigt die Zusammensetzung einiger Kurvenformen und die Amplitude wird mit 1 O oder dem Scheitelstrom OI zu angenommen. Die Werte sind daher mit der Scheitelspannung U multiplizieren. Ein negatives Vorzeichen bedeutet eine um 180° verschobene Komponente. Tab. 1.1: Zusammensetzung von Kurvenformen und die Amplitude wird mit 1 angenommen. Die Werte O oder Scheitelstrom OI zu multiplizieren. Ein negatives Vorzeichen sind daher mit Scheitelspannung U bedeutet eine um 180° verschobene Komponente. Amplituden der Harmonischen 0. Kurvenform Einweggleichrichter Doppelweggleichrichter Rechteck (symmetrisch) Impulse v = T/ti Sägezahn

1.

2.

3.

4.

5.

Gleichwert

f

2f

3f

4f

5f

1  

1 2

2 3 

0

2 15 

0

2  

0

2 3 

0

2 15 

0

0

4  

0

4 3 

0

4 5 

1 v 1 2

2  

 sin 1 C 

  v

2 2 

 sin 1  2 

2  v

2 3 

 sin

1 C 3 

3  v

2 4 

 sin 4  v

2 5 

1  4 

 sin 5  v

1 C 5 

Jede periodische Schwingung kann als Summe von sinusförmigen Teilschwingungen dargestellt werden. Die Funktionsgleichung lautet:   4Ou 1 1 1 uD sin ¨t C sin 3¨t C sin 5¨t C sin 7¨t C : : : ¨D2 f   3 5 7 Für eine Rechteckspannung (Rechteckwechselspannung), die ˙Ub hat, gilt   1 1 1 4Ou sin ¨t C sin 3¨t C sin 5¨t C sin 7¨t C : : : uD   3 5 7 Für eine Rechteckspannung (Rechteckmischspannung), die CUb und 0 V hat, gilt   2Ou 1 1 1 uO sin ¨t  sin 3¨t C sin 5¨t  sin 7¨t C : : : uD C 2   3 5 7

12

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Für eine symmetrische Dreieckspannung (Dreieckwechselspannung), die ˙Ub hat, gilt   1 1 1 8Ou sin ¨t  2 sin 3¨t C 2 sin 5¨t  2 sin 7¨t C : : : uD   3 5 7 Für eine symmetrische Dreieckspannung (Dreieckmischspannung), die CUb und 0 V hat, gilt   4Ou 1 1 1 uO u D  2 sin ¨t C 2 sin 3¨t C 2 sin 5¨t C 2 sin 7¨t C : : :     3 5 7 Für eine unsymmetrische Dreieckspannung (Sägezahnwechselspannung), die ˙Ub hat, gilt   1 1 1 2Ou sin ¨t  sin 2¨t C sin 3¨t  sin 4¨t C : : : uD   2 3 4 Für eine unsymmetrische Dreieckspannung (Sägezahnmischspannung), die CUb und 0 V hat, gilt   uO 2Ou 1 1 1 uD  sin ¨t C sin 2¨t C sin 3¨t C sin 4¨t C : : : 2   2 3 4 Für eine Einweggleichrichtung gilt   uO 2Ou 1 1 1 uO cos 2¨t C sin 4¨t C sin 6¨t C : : : u D C sin t    2   3 15 35 Für eine Zweiweg- und Brückengleichrichtung gilt   2 2 2 2Ou 1  cos 2¨t C sin 4¨t C sin 6¨t C : : : uD   3 15 35 Aufgabe: Bei einer symmetrischen Dreieckspannung (Dreieckwechselspannung), die ˙Ue hat, sind die Fourier-Koeffizienten U0 , û1n und û2n zu berechnen. Anschließend ist die Fourier-Reihe bis zur einschließlich 4. Oberschwingung zu bestimmen. Der Wert für die Eingangsspannung ist U = 1 V. Lösung: Die Berechnung bis einschließlich zur 4. Oberschwingung bedeutet gemäß Fourier, dass die 5. Teilschwingung zu berücksichtigen ist. Für die allgemeine Fourier-Reihe gilt:   8Ou 1 1 u.t/ D sin.¨1 t/  2 sin.3¨1 t/ C 2 sin.5¨1 t/ : : :   3 5 Der Gleichspannungsanteil ist Null, d. h. U0 D 0. Sämtliche Cosinusglieder sind ebenfalls Null, also sind die Fourier-Koeffizienten uO 1n D 0. Da lediglich die ungeradzahligen Vielfachen von f1 auftreten, sind nur die Fourier-Koeffizienten uO 21 , uO 23 und uO 25 zu berechnen. Es ergibt sich uO 21 D

8U 8  1V D  0;81 V 2    2

uO 23 D

8U 8  1V D 2 2  0;09 V  2  32   3

uO 25 D

8U 8  1V D 2 2  0;032 V  2  52   5

1.3 Effektivwert

13

Damit erhält man folgende Fourier-Reihe u.t/ D 0;81 V  sin.¨1 t/ C 0;09 V  sin.3¨1 t/ C 0;032 V  sin.5¨1 t/ Aufgabe: Bei einer symmetrischen Rechteckspannung (Rechteckmischspannung), die CUb und 0 V hat, sind die Fourier-Koeffizienten U0 , û1n und û2n zu berechnen. Anschließend ist die Fourier-Reihe bis zur einschließlich 4. Oberschwingung zu bestimmen. Der Wert für die Eingangsspannung ist U = 1 V. Lösung: Die Berechnung bis einschließlich zur 4. Oberschwingung bedeutet gemäß Fourier, dass die 5. Teilschwingung zu berücksichtigen ist. Für die allgemeine Fourier-Reihe gilt:   uO 2Ou 1 1 uD C sin ¨t  sin 3¨t C sin 5¨t     C 2   3 5 Der Gleichspannungsanteil ist 0,5 V. Sämtliche Cosinusglieder sind ebenfalls Null, also sind die Fourier-Koeffizienten uO 1n D 0. Da lediglich die ungeradzahligen Vielfachen von f1 auftreten, sind nur die Fourier-Koeffizienten uO 21 , uO 23 und uO 25 zu berechnen. Es ergibt sich uO 21 D

2U 2  1V D  0;2 V  2  2

uO 23 D

2U 2  1V D 2 2  0;022 V 2 2   3   3

uO 25 D

2U 2  1V D 2 2  0;008 V 2 2   5   5

Damit erhält man folgende Fourier-Reihe u.t/ D 0;5 V C 0;2 V  sin.¨1 t/ C 0;022 V  sin.3¨1 t/ C 0;008 V  sin.5¨1 t/

1.3

Effektivwert

Da ein Wechselstrom ständig seinen Wert ändert, ist es schwierig, seine physikalische Wirkung abzuschätzen. Es wird deshalb eine Hilfsgröße eingeführt, die seine Wirkung zahlenmäßig wiedergibt. Schickt man einen Wechselstrom i durch den Widerstand R (Abb. 1.12), dann nimmt dieser in jedem Augenblick die Leistung p D i2  R auf. Den Verlauf der Augenblicksleistung p über der Zeit stellt Abb.1.12b dar. Er ergibt sich, wenn man für jeden Winkel ¨t (in der Darstellung auch einfach durch den Zeitpunkt t zu ersetzen) den Wert des obigen Produktes zeichnet. Die Leistungswerte sind bei reinen Widerständen immer positiv. Die während der Dauer einer Periode T von dem Wechselstrom verrichtete Arbeit ermittelt man durch folgende Überlegung: Man denkt sich die Leistungskurve nicht als einen kontinuierlichen Zug, sondern als Treppenkurve gezeichnet (Abb. 1.12c). Zu jeder

14

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.12: Ermittlung des Effektivwertes

Treppenstufe gehört eine Augenblicksleistung p1 ;p2 ; : : : ;pn . Jeden Leistungswert nimmt man für die sehr kleine Zeit t als konstant an. Die kleinen Rechtecke aus p1 t haben die Flächen w1 D p1 t, w2 D p2 t usw. Zusammengesetzt ergeben sie die während der Periodendauer t vom Widerstand R aufgenommene elektrische Arbeit oder Energie W D p1  t C p2  t C    C pn  t Die unter der p-Kurve befindliche Fläche lässt sich nun auf ein Rechteck mit der Breite T und der Höhe OI2  R=2 verteilen, ohne dass sich dabei der zahlenmäßige Wert von W irgendwie ändern würde. Ein solches Rechteck entsteht aber auch dann, wenn ein Gleichstrom der Größe I durch denselben Widerstand während der Zeit T fließt: W D I2  R  T Dieser Gleichstrom hat also dem Widerstand R die gleiche Energie zugeführt wie der Wechselstrom mit dem Scheitelwert OI. Die beiden Flächen sind demnach gleichzusetzen: W D I2  R  T D

OI2  R T 2

Die Werte für R und T lassen sich kürzen und es bleibt der Ausdruck I2 D

OI2 2

oder

OI ID p 2

Den Gleichstrom I, der einem Verbraucher R während einer bestimmten Zeit die gleiche Energie oder Arbeit zuführt wie ein sinusförmiger Wechselstrom mit dem Scheitelwert OI, bezeichnet man Effektivwert I oder Ieff . Die gleiche Überlegung führt zum Effektivwert der Wechselspannung O U UD p 2 In der gleichen Weise lässt sich auch der Effektivwert eines Wechselstromes mit ganz beliebiger Kurvenform ermitteln. Bei einer rechteckförmigen Wechselspannung (Rechteckspannung) ist der Effektivwert gleich dem Scheitelwert, da alle p-Werte während der Dauer

1.4 Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom

15

einer Periode ständig konstant sind. Bei allen Kurvenformen bei denen während der Periodendauer der Wert auch nur kurzzeitig unter den Scheitelwert sinkt, muss der Effektivwert stets kleiner als der Scheitelwert sein. Wechselströme und Spannungen gibt man meist mit ihrem Effektivwert an. Die Netzspannung von 230 V ist also auch der Effektivwert einer sinusförmigen Spannung mit dem Scheitelwert p O D 230 V  2 D 325 V U

Abb. 1.13: Messung der Leistung für einen Widerstand

Abbildung 1.13 zeigt die Messung der Leistung für einen Widerstand. Es wird mit einem Volt- und Amperemeter und mit einem Wattmeter gearbeitet. P D U  I D 12 V  1;2 A D 14;4 W Das Wattmeter zeigt P D 14;4 W an und die Berechnung mit der Spannung U D 12 V und dem Strom von I D 1;2 A ergibt ebenfalls P D 14;4 W.

1.4

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom

Ein Wechselstrom in einem ohmschen Widerstand ist stets in Phase mit der Spannung. Die Nulldurchgänge von Spannung und Strom erfolgen also im gleichen Zeitpunkt. Fließt ein Wechselstrom dagegen durch eine Spule oder einen Kondensator, sind Spannung und Strom nicht mehr gleichphasig. Auf die Ursache hierfür wird noch später eingegangen. In diesem Abschnitt soll nur generell die Wirkung einer Phasenverschiebung untersucht werden. Der Strom in einem Verbraucher kann der Spannung bis zu 90° vor- oder nacheilen. Strom und Spannung sind im Vektordiagramm mit einer Phasenverschiebung darstellbar (Abb. 1.14). Man beginnt die Betrachtung mit einer Phasenverschiebung eines Stromes um C90°. Steigt

16

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.14: Vektordiagramm für Phasenverschiebung ˙90° zwischen Spannung und Strom

die Spannung von 0 aus an, dann hat der Strom sein Maximum bereits überschritten und beginnt wieder abzunehmen. Abbildung 1.15 zeigt diese Verhältnisse. Die schraffierte Kurve in dieser Darstellung stellt den zeitlichen Verlauf der Leistung p D u  i dar. Im Gegensatz zum Leistungsverlauf bei einem rein ohmschen Widerstand kommen nun nicht nur positive Werte vor, sondern auch negative. Von der Erklärung des Effektivwertes weiß man, dass die Fläche unter der p-Kurve ein Maß für die verrichtete Arbeit ist.

Abb. 1.15: Spannung und Leistung bei einer Phasenverschiebung von ® D 90°

Mit einer Phasenverschiebung von ® D 90° ist diese Arbeit in der Summe Null, weil sich die Flächen oberhalb und unterhalb der Nulllinie aufheben. Die während der ersten Viertelperiode an den Verbraucher abgegebene Energie gibt diese in der zweiten Viertelperiode an den Generator zurück. Das Produkt p = i  u ist zwar eine Leistung, die aber über die Dauer einer Periode gesehen keine Arbeit verrichten kann. Man bezeichnet diese Amplitude als „Blindleistung“. Mit einer Phasenverschiebung von ® D 90° ergeben sich ähnliche Verhältnisse, nur beginnt die Leistungskurve mit negativen Werten und endet mit positiven. Die während einer Periode vom Verbraucher aufgenommene Energie ist auch hier Null. Als dritter Fall soll eine Phasenverschiebung von ® D C45° betrachtet werden (Abb. 1.16). Die Leistungskurve ist jetzt gegenüber derjenigen für 90° nach oben verschoben. Die Flächen oberhalb und unterhalb der Nulllinie sind daher ungleich. Das bedeutet, dass außer einer Blindleistung auch noch wirkliche Leistung, die „Wirkleistung“ vorhanden sein muss, weil die Flächensumme positiv ist, d. h. der Verbraucher hat während einer Periode eine gewisse

1.4 Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom

17

Abb. 1.16: Strom, Spannung und Leistung bei einer Phasenverschiebung von ® D C45°

Energie verbraucht, die sich zahlenmäßig durch Ausmessen der Flächen bestimmen lässt. Einfacher ist diese Berechnung jedoch unter Zuhilfenahme des Vektordiagramms (Abb. 1.17). Man denkt sich dabei den Stromvektor aus zwei Strömen zusammengesetzt, die um 90° gegeneinander phasenverschoben sind (die Längen der Zeiger kann man wie bisher entsprechend dem Scheitelwert wählen, meistens genügt es jedoch, den Effektivwert aufzutragen). Nach den Regeln der Trigonometrie ist die mit der Spannung U gleichphasige Komponente I0 D I  cos ®

Abb. 1.17: Zerlegung eines Stromvektors in eine mit der Spannung gleichphasige und eine um 90° verschobene Komponente

Dagegen hat die genau um 90° verdrehte Komponente den Wert I00 D I  sin ® Man bezeichnet I0 als den Wirkstrom IW und I00 den Blindstrom IB . Die Spannung U und der mit ihr gleichphasige Strom IW ergeben nun die Wirkleistung P D IW  U D I  U  cos ® D

OI p

2 p

O U 2  cos ®

D

OI  U O  cos ® 2

18

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Mit cos ® bezeichnet man den Leistungsfaktor. Die hier zugleich auftretende Blindleistung ist OI O OI  U O U  sin ® Q D IW  U D I  U  sin ® D p  p  sin ® D 2 2 2 So beträgt die Gesamtleistung bei einer Phasenverschiebung von C90° beispielsweise Q D I  U, während die Wirkleistung P zu Null ist. Bei einer Phasenverschiebung von 60° wäre die Wirkleistung P D 0;5  U  I und die Blindleistung Q D 0;866  U  I. Bei beliebigem Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung bezeichnet man das Produkt SDIU als Scheinleistung. Sie sagt über die physikalische Wirkung des Stromes nichts aus. Erst die Angabe des Phasenwinkels erlaubt es, die physikalische Wirkung eines Wechselstromes anzugeben.

1.5

Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

Wirkwiderstände sind ohmsche Widerstände ohne kapazitiven und induktiven Anteil. Bei den Blindwiderständen hat man dagegen eine ideale Spule oder Kondensator. Komplexe Widerstände sind reale Spulen und reale Kondensatoren, und dadurch ergibt sich eine Phasenverschiebung und ein Blindanteil.

1.5.1

Wirkwiderstand

Ein Stromverbraucher, bei dem Strom und Spannung stets genau in Phase sind, bezeichnet man als Wirkwiderstand oder reeller Widerstand. Der Strom durch den Widerstand folgt sowohl mit seinen Augenblickswerten i als auch mit seinem Effektivwert I dem Ohmschen Gesetz (Abb. 1.18): iD

u R

ID

U R

Abb. 1.18: Darstellung eines Wirkwiderstandes

In einem Wirkwiderstand wird die gesamte vom Generator gelieferte Leistung verbraucht, beispielsweise in Wärme umgesetzt. Alle Augenblickswerte der Leistung p sind demnach positiv.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

1.5.2

19

Kondensator als Blindwiderstand

Besteht zwischen Strom und Spannung eine Phasenverschiebung von ® D C90°, dann ist das ein Zeichen dafür, dass der Verbraucher die in einem gewissen Zeitraum aufgenommene Leistung anschließend restlos an den Generator zurückliefert, Das Produkt Q D U  I bezeichnet man in solchen Fällen als Blindleistung. Den Widerstand X D U=I eines Blindleistungsverbrauchers definiert man folglich als Blindwiderstand oder Reaktanz.

Abb. 1.19: Ladung eines Kondensators aus einer Gleichspannungsquelle

Ein verlustloser Kondensator stellt für Wechselströme einen solchen Blindwiderstand dar. Das Zustandekommen der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung lässt sich durch folgende Überlegung erläutern (Abb. 1.19 und 1.20): Legt man an einen Kondensator eine Gleichspannung U, fließt sofort ein Strom, da der zunächst ungeladene Kondensator spannungslos ist. Der Strom fließt solange, bis der Kondensator auf die Gleichspannung U aufgeladen ist. Die auf den Kondensatorplatten befindlichen positiven und negativen Ladungen stehen sich dann gegenüber und erzeugen ein elektrisches Feld, in dem ein Teil der während der Aufladung von der Batterie abgegebenen Energie steckt. Setzt man die Batteriespannung plötzlich herab, z. B. auf die Hälfte, dann fließt ein Strom in umgekehrter Richtung, der die Spannungen wieder ausgleicht. Der Kondensator gibt dabei einen Teil seiner Ladung ab. Im Extremfall könnte man die Batterie gegen eine ungeladene austauschen, dann würde der Kondensator seine gespeicherte Energie völlig verlieren.

Abb. 1.20: Ströme und Spannungen bei der Ladung eines Kondensators

20

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Trägt man den zeitigen Verlauf von Strom und Spannung auf, wobei ein kleiner Widerstand r zum Kondensator in Reihe liegen soll, in dem man sich den unvermeidlichen Leitungswiderstand denken kann, erkennt man folgendes: Zum Zeitpunkt t D 0 fließt ein Strom i0 D U=r, da ja sonst keine weitere Spannung vorhanden ist, die den Strom beeinflussen könnte. Im Einschaltmoment ist die Kondensatorspannung Null, während der Strom seinen größten Wert hat. Mit zunehmender Aufladung entsteht am Kondensator eine Spannung uc , die sich dem Stromfluss widersetzt. Dadurch nimmt der Strom nach und nach ab: i D .U  uc /=r. Ist der Kondensator schließlich auf die Spannung U aufgeladen (was theoretisch erst nach unendlich langer Zeit der Fall ist), dann hört jeglicher Stromfluss auf: U  Uc =r D 0. Es ist also erst der Strom da und keine Spannung, ist dagegen der Kondensator auf die volle Spannung geladen, dann fließt kein Strom mehr. Ein Gesetz der Physik besagt, dass die Ladungsmenge q auf einen Kondensator der Spannung u und einer Konstanten C, der Kapazität proportional ist: qDCu Folglich ist zur Erzeugung einer Spannungsänderung u eine Ladungsmengenänderung q D C  u notwendig. Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch t, dann erhält man q=t D C  u=t. t ist das Zeitintervall, während dem die Spannungsänderung vor sich geht. Der Ausdruck q=t ist definitionsgemäß der Strom i (Strom gleich Ladungsmenge pro Zeiteinheit). Somit ist i D C  u=t. Obwohl ein direkter Übergang von Ladungsträgern von einer Platte des Kondensators zur anderen wegen der dazwischen befindlichen Isolierung unmöglich ist, kann man dennoch in den Zuleitungen zum Kondensator einen Stromfluss beobachten, der immer dann auftritt, wenn die zugeführte Spannung verändert wird und somit die Ladung auf dem Kondensator verändert werden muss. Nach außen entsteht der Eindruck, als wäre ein Kondensator für Wechselströme leitend. Da für die Eigenschaften eines Bauelementes die an seinen Klemmen messbare Spannung und der in die Klemmen hineinfließende Strom als Maß dienen, schreibt man einem Kondensator einen Widerstand zu, den man bereits als Blindwiderstand bezeichnet hat (Abb. 1.21).

Abb. 1.21: Darstellung eines Kondensators als Blindwiderstand

Der Strom durch den Kondensator ist nach der vorstehenden Gleichung außer von der Größe der Kapazität C auch von der Geschwindigkeit u=t abhängig, mit der sich die Spannung an seinen Klemmen ändert.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

21

Abb. 1.22: Strom und Spannung bei einem kapazitiven Blindwiderstand

Schließt man nun an einen Kondensator eine sinusförmige Wechselspannung an, dann gilt folgende Überlegung: im Nulldurchgang der Spannung ist deren Änderungsgeschwindigkeit sehr groß, weshalb auch ein großer Strom fließen muss. Beim Scheitelwert der Spannung ist die Änderungsgeschwindigkeit dagegen Null, folglich wird auch kein Strom mehr fließen. Ein genaues Verfolgen der Spannungsänderung ergibt dann die Tatsache, dass der ebenfalls sinusförmige Strom durch einen Kondensator der Spannung um ® D 90° vorauseilt: erst muss ein Strom fließen, der die für eine bestimmte Spannung erforderliche Ladung auf den Kondensator bringt. Der zeitliche Verlauf von Strom und Spannung ist in Abb. 1.22 dargestellt. Da der Strom umso größer ist, je schneller die Spannungsänderung erfolgt, ist der Blindwiderstand eines Kondensators umso geringer, je höher die Frequenz und je größer die Kapazität C ist: XC D

1 1 D 2 fC ¨C

Aus mathematischen Gründen steht in der Gleichung nicht die Frequenz f, sondern die Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit ¨. Es gilt: ID

U 1 DU¨C D XC 1=.¨C/

In diese Gleichung setzt man f in Hertz (Hz oder 1/s) ein und die Kapazität C in Farad (F oder .A  s/=V). Da ein Farad eine sehr große Einheit ist, verwendet man meist nur Bruchteile davon. 106 F nennt man ein Mikrofarad (F), 109 F heißt ein Nanofarad (nF), 1012 F sind schließlich ein Picofarad (pF). Beispiele für Blindwiderstände: 1. Wie groß ist der Blindwiderstand für C D 1 F und f D 50 Hz? XC D

1 1 D D 3;18 k 2 fC 2  3;14  50 Hz  1 F

22

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.23: Messschaltung mit dem Blindwiderstand für C = 1 F, U = 12 V und f = 50 Hz

Abbildung 1.23 zeigt eine Messschaltung mit dem Blindwiderstand für C D 1 F, U = 12 V und f = 50 Hz. Die Strommessung zeigt I = 3,77 mA. Dies ergibt einen Blindwiderstand mit XC D

12 V U D D 3;18 k I 3;77 mA

2. Wie groß ist der Blindwiderstand für C D 1 nF D 109 F bei f D 1 MHz? XC D

1.5.3

1 1 D D 159  2 fC 2  3;14  1 MHz  1 nF

Spule als Blindwiderstand

Schließt man an eine verlustarme Spule eine Batterie (Gleichstromquelle) mit der Spannung U an (Abb. 1.24), widersetzt sich die Induktivität L zunächst jeglichem Stromfluss (Abb. 1.25): im Einschaltmoment liegt demnach die volle Spannung U an den Spulenklemmen. Allmählich beginnt der Strom anzusteigen, bis er den Wert I D U=r erreicht. r ist der Gleichstromwiderstand der Spule. Wenn dieser sehr klein ist, dann schließt er im Endzustand die Spannungsquelle praktisch kurz, es ist uL  0. Im Zeitabschnitt vom Einschalten der Spannung bis zum Erreichen des Endzustandes uL geht die Spannung von der Induktivität L gemäß dem Kurvenverlauf von Abb. 1.25 nach und nach auf den Widerstand r über. Die Batterie (Gleichstromquelle) hat Energie in das Magnetfeld der Spule geliefert. Ersetzt man nach Erreichen des Stromhöchstwerte die Stromquelle beispielsweise durch eine ungeladene Batterie, liefert die Spule auch weiterhin einen Strom in der ursprünglichen Richtung, da sie bestrebt ist, den Augenblickszustand zu erhalten. Die für diesen Strom notwendige Energie entnimmt sie ihrem Magnetfeld. Wenn dieses abgebaut ist, hört auch der Stromfluss auf. Bei einer Spule tritt also das umgekehrte Verhalten wie bei einem Kondensator auf: hier ist erst eine Spannung da, aber kein Strom, während die Spannung verschwindet, wenn der Strom seinen Höchstwert erreicht hat. Die beim Einschalten eine Spule auftretende Spannung uL hat nach dem Induktionsgesetz die Größe: uL D L  i=t.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

Abb. 1.24: Einschalten einer Spule

Abb. 1.25: Ströme und Spannungen beim Einschalten einer Spule

Abb. 1.26: Strom und Spannung bei einem induktiven Blindwiderstand

Abb. 1.27: Darstellung einer Spule als induktiver Blindwiderstand

23

24

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Darin ist L die Induktionskonstante, meist als Induktivität bezeichnet. Der Ausdruck i/t ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Strom ändert. Bei Betrieb mit einer sinusförmigen Wechselspannung entsteht die größte induzierte Spannung dann, wenn der Strom durch Null hindurchgeht. Die Spannung verschwindet dagegen beim Scheitelwert des Stromes. Somit eilt der Strom durch eine Induktivität der Spannung nach, während er beim Kondensator voreilt. Die Phasenverschiebung beträgt ® D 90° (Abb. 1.26 und 1.27). Der Widerstand einer Spule gegen einen Wechselstrom ist umso größer, je schneller sich dieser ändert, je höher also die Frequenz f ist. Es gilt: XL D 2     f  L D ¨L und ID

U U D XL ¨L

Die Induktivität L wird in Henry (H) gemessen, Bruchteile eines Henry sind Milli-Henry (mH), Mikro-Henry (H) und Nano-Henry (nH). Beispiele für den induktiven Blindwiderstand: 1. Wie groß ist der Blindwiderstand für L D 100 H und f D 50 Hz? XL D 2     f  L D 2  3;14  50 Hz  100 H D 31;4 k 2. Wie groß ist der Blindwiderstand für L = l H und f = 1 MHz XL D 2     f  L D 2  3;14  1 MHz  1 H D 6;28 

Abb. 1.28: Messschaltung mit dem Blindwiderstand für L D 1 H, U D 12 V und f D 50 Hz

Abbildung 1.28 zeigt eine Messschaltung mit dem Blindwiderstand für L D 1 H, U D 12 V und f D 50 Hz. Die Strommessung zeigt I D 0;038 A. Dies ergibt einen Blindwiderstand mit XL D

12 V U D D 316  I 0;038 A

XL D 2     f  L D 2  3;14  50 Hz  1 H D 314 

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

1.5.4

25

Reihenschaltung reiner Wirk- und reiner Blindwiderstände

Den zwei in Reihe geschalteten Wirkwiderständen R1 und R2 ist der Strom I gemeinsam (Abb. 1.29). Er bewirkt die Spannungsfälle U1 D I  R1 und U2 D I  R2 . Die gesamte über den beiden Widerständen stehende Spannung beträgt U D I  R und somit wird I  R D I  R 1 C I  R2 .

Abb. 1.29: Reihenschaltung von Wirkwiderständen

Kürzt man durch I, dann erhält man die bekannte Gleichung für die Reihenschaltung zweier Widerstände Rg D R 1 C R2 Allgemein gilt bei der Reihenschaltung von n Widerständen Rg D R 1 C R2 C : : : Rn Zur Darstellung dieser Verhältnisse im Vektordiagramm (Abb. 1.30a) zeichnet man auf der waagerechten Achse die den in Reihe geschalteten Widerständen gemeinsame Größe, nämlich O 1 und U O 2 sind bei den ohmschen Widerständen in Phase mit dem Strom, den Strom OI ein. U müssen also gleichfalls in Richtung der waagrechten Achse gezeichnet werden. Man kann die O OI-Zeiger beiden Spannungspfeile aneinander setzen und erhält dabei die Gesamtspannung U. O und U-Zeiger rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit ¨, wobei sich die Augenblickswerte von Strom und Spannung durch Projektion der Zeiger auf die Ordinate ergeben. Da dieser Vorgang als bekannt vorausgesetzt werden kann, lässt man bei der Darstellung des Vektordiagramms im Allgemeinen die Kreise weg und zeichnet nur die Zeiger oder Vektoren auf, und zwar – eine weitere Vereinfachung in der Länge der Effektivwerte U und I. Weil jede Spannung in einer Reihenschaltung proportional dem Widerstandswert ist, an dem sie abfällt, kann der Zeiger als Widerstand bezeichnet und beschriftet werden (Abb. 1.30b und c). Schaltet man zwei Spulen mit den Induktivitäten L1 und L2 in Reihe (Abb. 1.31a und b), dann betragen die Spannungsfälle U1 D I  ¨L1 und U2 D I  ¨L2 . Da die Gesamtspannung gleich der Summe der Einzelspannungen ist, erhält man Ug D U 1 C U 2 Ig  ¨Lg D I  ¨L1 C I  ¨L2 Lg D L 1 C L2

26

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.30: Vektordiagramme für die Reihenschaltung von Wirkwiderständen a) ausführliche Darstellung b) Spannungs- und Stromvektoren c) Widerstands- und Stromvektoren

Abb. 1.31: Reihenschaltung von Induktivitäten a) Schaltung b) Vektordiagramm

Die Gesamtinduktivität ist also gleich der Summe der Einzelinduktivitäten und allgemein bei n Spule Lg D L1 C L2 C    C Ln Diese Beziehung gilt aber nur für Einzelspulen, deren Magnetfelder nicht miteinander gekoppelt sind. Für Spulen auf ein und demselben Kern gelten andere rechnerische Beziehungen. Beispiel: L1 D 1 H, L2 D 5 H, f D 800 Hz

Abb. 1.32: Schaltung zum Zahlenbeispiel

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

27

Gesucht: Die Gesamtinduktivität Lg , die Blindwiderstände der Einzelspulen und der Reihenschaltung (Abb. 1.32) ¨L1 D 6;28  800 Hz  1 H D 5;02 k ¨L2 D 6;28  800 Hz  5 H D 25;1 k Lg D 1 H C 5 H D 6 H ¨Lg D 6;28  800 Hz  6 H D 30;12 k

Abb. 1.33: Reihenschaltung von Kondensatoren a) Schaltung b) Vektordiagramm

Auch für die Reihenschaltung zweier Kondensatoren mit den Kapazitäten C1 und C2 summieren sich die Blindwiderstände (Abb. 1.33a und b): Ug D U 1 C U 2 I

Ug U1 U2 DI CI ¨Cg ¨C1 ¨C2

1 1 1 D C Cg C1 C2 Allgemein gilt für die Reihenschaltung von Kondensatoren: 1 1 1 1 D C C  C Cg C1 C2 Cn Für zwei Kondensatoren wird aus dieser Gleichung Cg D

C1  C2 C1 C C2

Die Gesamtkapazität Cg ist immer kleiner als die kleinste der in Reihe geschalteten Einzelkapazitäten. Beispiel: C1 D 100 nF, C2 D 500 nF, f D 16 kHz Gesucht: Gesamtkapazität Cg und Gesamtblindwiderstand zwischen den Klemmen a und b (Abb. 1.34).

28

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.34: Schaltung zum Zahlenbeispiel

C1  C2 100 nF  500 nF D 83;3 nF D C1 C C2 100 nF C 500 nF 1 1 D D 120  D 2 fC 2  3;14  16 kHz  83;3 nF

Cg D XCg

Abb. 1.35: Reihenschaltung von induktivem und kapazitivem Blindwiderstand

Abb. 1.36: Vektordiagramme für die Reihenschaltung von induktivem und kapazitivem Blindwiderstand

Die Reihenschaltung gleichartiger Widerstandsarten ist übersichtlich und leicht verständlich. Das Verhalten einer aus einem induktiven und einem kapazitiven Blindwiderstand bestehenden Reihenschaltung lässt sich dagegen nur mit Hilfe des Vektordiagramms verstehen (Abb. 1.35 und 1.36a bis c). Es sei zunächst angenommen, dass der induktive Blindwiderstand ¨  L größer als der kapazitive 1=.¨  C/ ist. Die Spannung an der Spule eilt nun in bekannter Weise dem Strom voraus, und diejenige an der Kapazität eilt nach. Das Vektordiagramm Abb. 1.36a lässt erkennen, dass die Spannungen gegeneinander gerichtet

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

29

sind und die Summenspannung folglich die Differenz der beiden sein muss: Ug D U L  U C I  Xg D I  X L  I  X C Da die Spannung proportional den Widerständen ist, gilt ebenso, dass der Gesamtwiderstand Xg gleich der Differenz der beiden Blindwiderstände ist. Das positive Vorzeichen bekommt diejenige Komponente, die die Phasenverschiebung um ® D C90°verursacht, das negative die mit der Phasenverschiebung ® D 90°. Abbildung 1.36b stellt den Fall dar, dass der kapazitive Blindwiderstand größer als der negative ist, wobei hier wiederum anstelle der Spannungen lediglich die Widerstände eingetragen sind. Die resultierende Spannung eilt dann um ® D 90°nach, während sie im Fall a) um ® D 90° voreilt. Ein besonderer Fall ist dann gegeben, wenn die beiden Blindwiderstände zahlenmäßig gleich sind und damit auch die beiden Spannungen UL und UC . Die Differenz ergibt nämlich Null. Das bedeutet, dass zwar an den beiden Schaltelementen eine Spannung der Größe UL D UC D I  ¨  L D I=.¨  C/ liegt, an den Klemmen jedoch die Spannung sehr klein ist. Dieser Fall heißt Reihenresonanz oder auch Spannungsresonanz. Er tritt bei derjenigen Frequenz f0 ein, bei welcher die beiden Blindwiderstände gleich groß werden: ¨0  L D 1=.¨0  C/ Aus dieser Bezeichnung lässt sich die Resonanzfrequenz berechnen: ¨20 D 1=.L  C/ f20 D 1=.2   /2  .L  C/ 1 f0 D p 2  LC Die Darstellung der Blindwiderstände in Funktion der Frequenz verdeutlicht das Zustandekommen der Resonanz nochmals in einer anderen Weise (Abb. 1.37a). Mit zunehmender Frequenz steigt der Blindwiderstand XL linear an, während der kapazitive Blindwiderstand XC von unendlich nach Null geht. Er muss nach unten aufgetragen werden, weil er die Ursache für eine negative Phasenverschiebung der Spannung ist. Die gestrichelte Summenkurve in Abb. 1.37a geht bei f0 durch Null. In Abb. 1.37b sind die Blindwiderstände ihrem Betrag nach aufgetragen, also ohne Rücksicht auf ihr Vorzeichen, und als gestrichelte Linie die Summenkurve gezeigt. Diese ist der Blindwiderstandsverlauf eines Reihenkreises mit der Frequenz: Oberhalb und unterhalb der Resonanzfrequenz nimmt er beträchtliche Werte an, bei der Resonanzfrequenz verschwindet jeglicher Widerstand. Diese Eigenschaft wird zum Beispiel dazu benutzt, eine bestimmte Frequenz auszusieben und alle anderen auszusperren. Man spricht dann auch von einem Saugkreis. Eine Anwendung dieser Art stellt Abb. 1.38 dar. Hier liegt der Saugkreis parallel zu den Eingangsklemmen eines Empfängers und ist auf die Frequenz eines Senders abgestimmt, die nicht an den Eingang kommen soll, also unterdrückt werden. Die Signale dieses Senders werden durch den Saugkreis kurzgeschlossen und fließen nach Masse (Erde) ab. Beispiel: Es ist ein Sender mit der Frequenz f D 1;1 MHz vom Empfänger fernzuhalten. Die Induktivität der Spule beträgt L D 100 H. Aus der Gleichung für die Resonanzfrequenz f0

30

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

erhält man durch Umstellen CD

1 1 D D 209 pF .2     f/2  L .2  3;14  1;1 MHz/2  100 H

Die Blindwiderstände betragen: 2     f  L D 2  3;14  1;1 MHz  100 H D 691  1 1 D D 691  2 fC 2  3;14  1;1 MHz  209 pF In Abb. 1.39a ist das zu diesem Fall gehörende Vektordiagramm gezeigt. Die Spannungen an den beiden Schaltelementen sind entgegengesetzt gerichtet und heben sich auf. An den Klemmen a und b in Abb. 1.38 herrscht somit keine Spannung. Für einen anderen Sender mit der Frequenz 800 kHz herrschen dagegen folgende Verhältnisse: Die Induktivität hat den Blindwiderstand 2     f  L D 2  3;14  800 kHz  100 H D 500 

Abb. 1.37: Widerstandsverlauf beim Reihenkreis a) Blindwiderstände, mit Berücksichtigung des Vorzeichens b) Blindwiderstände nach Betrag

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

31

Abb. 1.38: Anwendung eines Reihenkreises als „Saugkreis“

Abb. 1.39: Vektordiagramme für Zahlenbeispiel a) bei der Resonanzfrequenz f D 1;1 MHz b) bei f D 800 kHz c) bei f D 1;6 MHz

und die Kapazität 1 1 D D 954  2 fC 2  3;14  800 kHz  209 pF Zwischen den Klemmen a und b besteht somit der resultierende Blindwiderstand Xg D 2     f  L 

1 D 500   954  D 454  2 fC

Für diesen Sender ist der Kurzschluss also aufgehoben da zwischen den Klemmen a und b ein kapazitiver Widerstand von 454  gemessen wird. Abbildung 1.39b zeigt das Vektordiagramm für die Frequenz f D 800 kHz. Der Reihenkreis verhält sich für die Frequenz wie ein Kondensator mit der scheinbaren Kapazität CD

1 1 D 438 pF D 2     f  Xg 2  3;14  800 kHz  454 

Abbildung 1.39c zeigt schließlich den Fall für einen Sender der Frequenz f D 1;6 MHz.

32

1.5.5

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Parallelschaltung reiner Wirk- und reiner Blindwiderstände

In einer Parallelschaltung ist allen daran beteiligten Widerständen die Spannung U gemeinsam. Demnach gilt (Abb. 1.40): I1 D

U R1

Ig D

U U U D C Rg R1 R2

I2 D

U R2

Ig D I1 C I2 1 1 1 D C Rg R1 R2

Abb. 1.40: Parallelschaltung von Wirkwiderständen a) Schaltung b) Vektordiagramm

Allgemein für n Widerstände: 1 1 1 1 D C C  C Rg R1 R2 Rn Die Ausdrücke 1=R also die Kehrwerte der Widerstände definiert man als Leitwerte und bezeichnet sie mit dem Buchstaben G. Es wird demnach: Gg D G 1 C G 2 C    C Gn Die Einheit für den Leitwert ist das Siemens (S) oder mho. Bruchteile sind das Millisiemens (mS) und das Mikrosiemens (S). Bei jeder Parallelschaltung von Widerständen addieren sich also deren Leitwerte. Man kann natürlich auch mit den Widerstandswerten operieren, doch ist die Benutzung der Leitwerte bei Berechnungen einfacher und übersichtlicher. Aus der allgemeinen Gleichung für die Parallelschaltung von Widerständen lässt sich die bekannte Formel für zwei Widerstände ableiten: Rg D

R1  R2 R1 C R2

Bei der Parallelschaltung von zwei Kondensatoren addiert man demnach nach obiger Regel die Blindleitwerte, die hier durch die Ausdrücke ¨C1 für den einen Kondensator und ¨C2 für

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

33

Abb. 1.41: Parallelschaltung von Kondensatoren a) Schaltung b) Vektordiagramm

den anderen gegeben sind (Abb. 1.41): Bg D ¨  Cg D B1 C B2 D ¨  C1 C ¨  C2 D ¨.C1 C C2 / Die Parallelschaltung verhält sich also wie ein Kondensator der Größe C D C1 C C2 , wie sich aus der vorstehenden Gleichung ergibt, wenn sie durch ¨ gekürzt wird. Ganz allgemein gilt bei n Kondensatoren (Abb. 1.42): C D C 1 C C 2 C    C Cn

Abb. 1.42: Parallelschaltung von n Kondensatoren

Abb. 1.43: Schaltung zum Zahlenbeispiel

Beispiel: (Abb. 1.43): C1 D 100 pF, C2 D 250 pF, f D 1 MHz Gesucht: Gesamtkapazität Cg , Gesamtleitwert und Gesamtblindwiderstand Cg D C1 C C2 D 100 pF C 250 pF D 350 pF ¨Cg D 6;28  1 MHz  350 pF D 2;2 mS 1 1 D D 455  Bg D ¨C 2;2 mS

34

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.44: Parallelschaltung von Induktivitäten

In gleicher Weise wie mit Widerständen und Kondensatoren verfährt man bei parallel geschalteten Spulen (Abb. 1.44 und 1.45):   1 1 1 1 1 1 Bg D D C Bg D  C ¨  Lg ¨  L1 ¨  L2 ¨ L1 L2

Abb. 1.45: Vektordiagramm für die Parallelschaltung von Induktivitäten

Durch Multiplikation dieser Gleichung mit ¨ ergibt sich ein Ausdruck für die Gesamtinduktivität parallel geschalteter Spulen zu 1 1 1 D C Lg L1 L2 und allgemein für n Spulen 1 1 1 1 D C C ::: Lg L1 L2 Ln Für zwei parallel geschaltete Spulen existiert wiederum eine einfache Formel, nämlich Lg D

L1  L2 L1 C L2

Die Gesamtinduktivität Lg ist stets kleiner als die kleinste der parallel geschalteten Einzelinduktivitäten. Alle vorstehenden Zusammenhänge gelten wiederum nur für Spulen, deren Magnetfelder nicht miteinander gekoppelt sind.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

35

Beispiel: Zwei Spulen mit L1 D 250 mH und L2 D 166 mH liegen an f D 8 kHz. Welchen Wert hat die Ersatzinduktivität L und Gesamtblindwiderstand B? Lg D

L1  L2 250 mH  166 mH D 100 mH D L1 C L2 250 mH C 166 mH

Bg D ¨  Lg D 2  3;14  8 kHz  100 mH D 5 k

Abb. 1.46: Parallelschaltung von kapazitivem und induktivem Blindwiderstand (Parallelkreis) a) Schaltung b) Vektordiagramm

Das Vektordiagramm für die Parallelschaltung eines Kondensators mit einer Spule (Abb. 1.46a und b) lehrt, dass in diesem Falle die Leitwerte der beiden Schaltelemente nicht zu addieren, sondern zu subtrahieren sind. Die beiden Ströme IC und IL sind nämlich gegeneinander gerichtet. Es gilt daher: Ig D I C  I L U  Bg D U  ¨  C  U=.¨  L/ Bg D ¨  C  1=.¨  L/ Im Gegensatz zur Reihenschaltung erhält hier die kapazitive Komponente das positive Vorzeichen, weil der durch sie hindurchfließende Strom gegenüber der Bezugsgröße U eine positive Phasenverschiebung hat. Wenn beide Leitwerte gleich groß sind, heben sie sich auf, und der Gesamtblindleitwert B wird zu Null. In der Zuführung zur Parallelschaltung verschwindet der Gesamtstrom I. Zwischen den Klemmen a und b (Abb. 1.46a) herrscht demnach der Widerstand unendlich. Dieser Fall wird Parallelresonanz genannt. Aus der Beziehung ¨C D 1=.¨  L/ errechnet man die Resonanzfrequenz f0 zu: f0 D

2 

1 p

LC

Die Frequenzabhängigkeit der Leitwerte ¨  C und 1=.¨  L/ stellt Abb. 1.47 dar, und zwar in a) vorzeichenrichtig, in b) dem Betrag nach. Hier ist außerdem noch der Kehrwert des Gesamtblindleitwertes, also der Gesamtblindwiderstand zwischen den Klemmen a und b aufgezeichnet. Die Parallelschaltung aus Spule und Kondensator bezeichnet man als Parallelschwingkreis. Beim „Schwingen“ lädt sich zuerst der Kondensator eine bestimmte

36

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Spannung U auf, dann entlädt er sich über die Spule L. Die anfangs auf dem Kondensator befindliche elektrische Ladung erzeugt durch ihren Stromfluss in der Spule L ein magnetisches Feld, bis die Ladung abgebaut ist. Die gesamte anfänglich vorhandene elektrische Energie befindet jetzt im Magnetfeld der Spule. Da diese bestrebt ist, den Stromfluss aufrechtzuerhalten, fließt auch weiterhin ein Strom, obwohl der Kondensator keine Ladung mehr hat. Die hierzu notwendige Energie stammt jetzt aus dem Magnetfeld. Ist diese aufgebraucht, dann hört der Stromfluss wieder auf, und die Energie steckt jetzt in dem umgekehrt aufgeladenen Kondensator C. Dieser entlädt sich nun in anderer Richtung über die Spule, und der gleiche Vorgang wiederholt sich. Die elektrische Energie „schwingt“ also zwischen Kondensator und Spule hin und her.

Abb. 1.47: Leitwerte bei der Parallelschaltung eines induktiven und eines kapazitiven Blindwiderstandes a) Blindleitwerte, vorzeichenrichtig b) Blindleitwerte und Blindwiderstand nach Betrag

Den hohen Widerstand eines Parallelschwingkreises bei der Resonanzfrequenz benutzt man in der Praxis dazu, eine bestimmte Frequenz aus einem Frequenzband auszublenden oder auszusperren. Deshalb spricht man auch von einem Sperrkreis. Eine häufige Anwendung findet er beispielsweise in Funkempfängern (Abb. 1.48). Soll beispielsweise die Frequenz 1,1 MHz

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

37

Abb. 1.48: Anwendung eines Parallelschwingkreises als „Sperrkreis“

vom Empfänger ferngehalten werden, dann benötigt man bei einem angegebenen Induktivitätswert von L D 100 H eine Kapazität von C D 209 pF. Bei dieser Frequenz sind die Leitwerte von Spule und Kondensator entgegengesetzt gleich und heben sich auf (Abb. 1.49).

Abb. 1.49: Vektordiagramm zum Zahlenbeispiel

Für die Berechnung gilt ¨C D 6;28  1;1 MHz  209 pF D 1;44 mS 1 1 D D 1;44 mS ¨L 6;28  1;1 MHz  100 H Der Gesamtleitwert B ist Null und der Gesamtwiderstand X unendlich. Die Frequenz f D 1;1 MHz wird also von den Eingangsklemmen des Empfängers ferngehalten, während alle übrigen Frequenzen nahezu ungeschwächt passieren können. In Wirklichkeit ist der Widerstand bei Resonanz infolge der Verluste in den Bauelementen niemals unendlich hoch.

1.5.6

Komplexe Widerstände

Unter komplexen Widerständen versteht man die Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen, Kondensatoren und Spulen.

38

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Reihenschaltung von Widerstand R und Kondensator C Das Verhalten der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes mit einem Blindwiderstand (Abb. 1.50a) kann man am besten wieder am Vektordiagramm (Abb. 1.50b) sehen. Auf der Abszisse ist die für beide Widerstände gemeinsame Größe aufgetragen, hier also der Strom I. Die Spannung UR ist in Phase mit I und demnach parallel dazu aufzutragen. UC dagegen eilt um 90° nach und weist nach unten. Aus beiden Spannungskomponenten ergibt sich wie beim Kräftedreieck die resultierende Gesamtspannung U, die mit dem Strom I den Phasenwinkel ® bildet. Obwohl es sich um einen Kondensator handelt, ist dieser Winkel nicht mehr 90°, sondern kleiner. Den fehlenden Winkelbetrag bezeichnet man als Fehlwinkel oder Verlustwinkel •. Die Reihenschaltung aus Kondensator und Widerstand dient als Ersatzschaltbild für einen verlustbehafteten Kondensator. Beim idealen Widerstand R berücksichtigt man keine Verluste, während der Kondensator C als ideale, verlustlose Kapazität eingesetzt wird. Ohne Verlust ist also R D 0 und damit auch • D 0. Der Fehlwinkel • dient als Maß für die Verluste eines Kondensators. Zur zahlenmäßigen Erfassung zieht man den Tangens heran: tan • D

UR IR DR¨C D UC I  1=¨C

Man bezeichnet tan • auch als Verlustfaktor, er ist das Verhältnis der Wirkspannung UR zur Blindspannung UC (Abb. 1.50b). Da die Spannungen den Widerständen proportional sind, ist der Verlustfaktor zugleich das Verhältnis aus Wirk- und Blindwiderstand.

Abb. 1.50: Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit einem kapazitiven Blindwiderstand a) Schaltung b) Vektordiagramm

Die Verluste sind auch durch einen Parallelwiderstand darstellbar, wobei aber eine andere Gleichung gilt, auf die noch eingegangen wird. Reale Kondensatoren weisen Verlustfaktoren tan • zwischen etwa 105 und 0,5 auf. Aus dem vorhergehenden Abschnitt ist bekannt, dass bei einer von 90° abweichenden Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung neben einer Blindleistung auch eine Wirkleistung vorhanden sein muss, die im Widerstand R in Wärme umgesetzt wird.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

39

Abb. 1.51: Geometrische Spannungsaddition nach dem Lehrsatz des Pythagoras a) Prinzip, b) Vektordiagramm

Die Gesamtspannung zwischen den Punkten a und b der Reihenschaltung ist anhand des Vektordiagramms mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes berechenbar (Abb. 1.51a und b): U2g D U2R C U2C q Ug D U2R C U2C p I  Z D .I  R/2 C .I  1=¨C/2 p I  Z D I  R2 C .1=¨C/2 Teilt man alle Spannungswerte durch den Strom 1, dann erhält man den Betrag des Gesamtwiderstandes Z zu p Z D R2 C .1=¨C/2 Diese Größe bezeichnet man als Scheinwiderstand (Impedanz). Die Gleichung zeigt, dass Wirk- und Blindwiderstände nicht einfach zusammengezählt werden dürfen. Dies ist nur zulässig, wenn jeweils reine Wirk- oder reine Blindwiderstände in Reihe geschaltet sind. Allgemein gilt für den Betrag des Scheinwiderstandes p Z D R 2 C X2 Der Phasenwinkel ® ergibt sich über den Cotangens zu cot ® D

R D R  ¨C 1=¨C

Abbildung 1.52 zeigt die Reihenschaltung eines Widerstandes mit R D 2;2 k und Kondensators mit C D 1 F. Der Kondensator hat einen Blindwiderstand von XC D

1 1 D D 3;18 k 2 fC 2  3;14  50 Hz  1 F

40

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.52: Messschaltung einer Reihenschaltung von Widerstand R und Kondensator C

Der Scheinwiderstand Z ist q p Z D R2 C X2C D 2;2 k2 C 3;18 k2 D 3;87 k Der Strom durch die Reihenschaltung ist ID

12 V U D D 3;1 mA Z 3;87 k

Die beiden Spannungsfälle sind UR D 6,821 V und UC D 9,871 V. Die Gesamtspannung errechnet sich nach q p U D U2R C U2C D 6;821 V2 C 9;871 V2 D 12 V Für den Leistungsfaktor cos ® oder die Phasenverschiebung ® ergibt sich UR P XC UC Q R D D sin ® D D D Z U S Z U S 2;2 k R D 0;568 ) ® D 55;3ı cos ® D D Z 3;87 k Der Leistungsfaktor ist cos ® D 0,568 und die Phasenverschiebung wird mit ® D 55,3° berechnet. Es lassen sich die drei Leistungen (Scheinleistung S, Wirkleistung P und die Blindleistung Q) berechnen. Die Wirkleistung wird in VA (Volt-Ampere) und die Blindleistung in var (voltampere-reaktiv) angegeben. cos ® D

S D U  I D 12V  3;1 mA D 37;2 mW P D U  I  cos ® D 12V  3;1 mA  0;568 D 21;17 mVA Q D U  I  sin ® D 12 V  3;1 mA  0;823 D 30;6 mvar cos ® D 0;568 ) sin ® D 0;823

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

41

Für die Überprüfung der Scheinleistung gilt p p S D P2 C Q2 D 21;17 mVA2 C 30;6 mvar2 D 37;2 mW

Abb. 1.53: Messen der Phasenverschiebung

Abbildung 1.53 zeigt das Messen der Phasenverschiebung. Die Eingangsspannung durchläuft alle 20 ms die Nulllinie. Die Ausgangsspannung liegt um 0,4 ms hinter der Eingangsspannung. ®D

X0  360° 0;4  360° D D 36° X 4

Abb. 1.54: Messen der Phasenverschiebung (Lissajous-Figur)

42

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abbildung 1.54 zeigt das Messen der Phasenverschiebung. Durch die Auslenkung des Elektronenstrahles ergibt sich X0 Y0 sin ® D D X Y 1 Div Y0 D D 0;588 ) ® D 36° sin ® D Y 1;7 Div Reihenschaltung von Widerstand R und Spule L Nach den schon mehrfach angewandten Regeln ergibt sich mit Abb. 1.55a und b. UR D I  R

UL D I  ¨L

®R D 0°

®L D C90°

Abb. 1.55: Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit einem induktiven Blindwiderstand mit Vektordiagramm

U2g D U2R C U2L q Ug D U2R C U2L p I  Z D .I  R/2 C .I  ¨L/2 p Z D R2 C .¨L/2 Den Phasenwinkel erhält man wieder über dessen Cotangens: cot ® D

R ¨L

Auch hier kann man in dem Widerstand R die Verluste der Spule zusammenfassen, deren Wirkleistungsaufnahme in Wärme umgesetzt wird. Der Phasenwinkel ® ist wiederum nicht mehr 90°, sondern um den Verlustwinkel • kleiner. Letzterer ist ebenfalls über seinen Tangens erfassbar: UR R IR tan • D D D UL I  ¨L ¨L

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

43

Auf Spulenverluste wird dieser Ausdruck allerdings kaum angewendet. Vielmehr bedient man sich seines Kehrwertes: QD

1 ¨L D tan • R

Diese Größe bezeichnet man als den Gütefaktor Q einer Spule. Bei R D 0 wäre Q D 1, bei R D ¨L dagegen Q D 1. Typische Werte sind Q D 10 : : : 600.

Abb. 1.56: Messschaltung einer Reihenschaltung von Widerstand R und Spule L

Abbildung 1.56 zeigt die Reihenschaltung eines Widerstandes mit R D 150  und Spule mit L D 1 H. Die Spule L hat einen Blindwiderstand von XL D 2     f  L D 2  3;14  50 Hz  1 H D 314  Der Scheinwiderstand Z ist q p Z D R2 C X2L D 150 2 C 314 2 D 348  Der Strom durch die Reihenschaltung ist ID

Ug 12V D D 34;4 mA Z 348 

Die beiden Spannungsfälle sind UR D 5,17 V und UL D 10,829 V. Die Gesamtspannung errechnet sich nach q p Ug D U2R C U2L D 5;17 V2 C 10;829 V2 D 12 V

44

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Für den Leistungsfaktor cos ® oder die Phasenverschiebung ® ergibt sich aus UR XC UC P Q R D sin ® D D D D Z Ug S Z Ug S 150  R D 0;431 ) ® D 64;5ı cos ® D D Z 348 

cos ® D

Der Leistungsfaktor ist cos ® D 0;431 und die Phasenverschiebung wird mit ® D 64;5° berechnet. Es lassen sich die drei Leistungen (Scheinleistung S, Wirkleistung P und die Blindleistung Q) berechnen. Die Wirkleistung wird in VA (Volt-Ampere) und die Blindleistung in var (voltampere-reaktiv) angegeben. S D U  I D 12V  34;4 mA D 408 mW P D U  I  cos ® D 12V  34;4 mA  0;431 D 175;8 mVA Q D U  I  sin ® D 12V  34;4 mA  0;902 D 368 mvar cos ® D 0;431 ) sin ® D 0;902 Für die Überprüfung der Scheinleistung gilt p p S D P2 C Q2 D 175;8 mVA2 C 368 mvar2 D 407 mW

Abb. 1.57: Messen der Phasenverschiebung

Abbildung 1.57 zeigt das Messen der Phasenverschiebung. Die Eingangsspannung durchläuft alle 20 ms die Nulllinie. Die Ausgangsspannung liegt um 0,38 ms vor der Eingangsspannung. ®D

X0  360ı 0;38  360ı D D 34;2ı X 4

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

45

Abb. 1.58: Messen der Phasenverschiebung (Lissajous-Figur)

Abbildung 1.58 zeigt das Messen der Phasenverschiebung. Durch die Auslenkung des Elektronenstrahles ergibt sich Y0 X0 D X Y 0;95 Div Y0 D D 0;593 ) ® D 36;4ı sin ® D Y 1;6 Div

sin ® D

Reihenschaltung von Widerstand R, Kondensator C und Spule L Man addiert zunächst die beiden Blindwiderstände und erhält X D ¨  L  1=.¨  C/. Der Wert X kann positiv oder negativ sein, je nachdem, ob der induktive oder der kapazitive Anteil größer ist. Schließlich addiert man Wirk- und Blindwiderstand geometrisch (Abb. 1.59a): p p Z D R2 C X2 D R2 C .¨L  1=.¨C/2 In gleicher Weise ergibt sich die Gesamtspannung q Ug D U2R C .UL  UC /2 Sind bei der Resonanzfrequenz f0 beide Blindwiderstände gleich groß, dann bleibt als Gesamtwiderstand nur noch R übrig, weil der Klammerausdruck ¨  L  1=.¨  C/ verschwindet (Abb. 1.60). In diesem Widerstand denkt man sich die ohmschen Verluste von Spule und Kondensator zusammengefasst. Man nennt ihn den Resonanzwiderstand des Reihenschwingkreises. Abbildung 1.61 zeigt die Reihenschaltung eines Widerstandes mit R = 1 k, Kondensator mit C = 1 F und Spule mit L = 5 H. Der Kondensator C und die Spule L haben einen Blindwiderstand von 1 1 XC D D D 3;18 k 2 fC 2  3;14  50 Hz  1 F XL D 2     f  L D 2  3;14  50 Hz  5 H D 1;57 k

46

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.59: Reihenschaltung von Wirkwiderstand und induktivem sowie kapazitivem Blindwiderstand a) Schaltung b) Vektordiagramm, wenn UL > UC c) Vektordiagramm der Widerstände

Abb. 1.60: Vektordiagramm bei Resonanz

Der kapazitive ist größer als der induktive Blindwiderstand und daher hat die Reihenschaltung ein kapazitives Verhalten. Der Scheinwiderstand Z ist p p Z D R2 C .XC  XL /2 D 1 k2 C .3;18 k  1;57 k/2 D 1;89 k

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

47

Abb. 1.61: Messschaltung einer Reihenschaltung von Widerstand R, Kondensator C und Spule L

Der Strom durch die Reihenschaltung ist ID

Ug 12V D D 6;35 mA Z 1;89 k

Die drei Spannungsfälle sind UR D 6;322 V, UC D 20;127 V und UL D 9;932 V. Die Gesamtspannung errechnet sich nach q p Ug D U2R C .UC  UL /2 D 6;322 V2 C .20;127 V  9;932 V/2 D 12 V Für den Leistungsfaktor cos ® oder die Phasenverschiebung ® ergibt sich aus cos ® D

UR P R D D Z Ug S

sin ® D

XC UC Q D D Z Ug S

1 k R D D 0;529 ) ® D 58ı Z 1;89 k Der Leistungsfaktor ist cos ® D 0;529 und die Phasenverschiebung wird mit ® D 58° berechnet. Es lassen sich die drei Leistungen (Scheinleistung S, Wirkleistung P und die Blindleistung Q) berechnen. Die Wirkleistung wird in VA (Volt-Ampere) und die Blindleistung in var (voltampere-reaktiv) angegeben. cos ® D

S D U  I D 12V  6;34 mA D 75;8 mW P D U  I  cos ® D 12V  6;34 mA  0;529 D 40;1 mVA Q D U  I  sin ® D 12V  6;34 mA  0;848 D 64;9 mvar cos ® D 0;529 ) sin ® D 0;848

48

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Für die Überprüfung der Scheinleistung gilt p p S D P2 C Q2 D 40;1 mVA2 C 64;9 mvar2 D 75;8 mW Die Phasenverschiebung ist UR P R D D Z Ug S 1 k R D 0;529 ) ® D 58ı cos ® D D Z 1;89 k

cos ® D

Parallelschaltung von Widerstand R und Kondensator C Der Strom durch den Widerstand und der Strom durch den Kondensator addieren sich geometrisch zum Gesamtstrom Ig gemäß Abb. 1.62a und b. Beiden Schaltelementen ist die Spannung U gemeinsam. Mit ihr ist der Strom I in Phase, während IL um ® D 90° voreilt. Rechnerisch ist wieder q Ig D I2G C I2C und Ig D

q

I2G C I2C D U  Y D

p .U  G/2 C .U  ¨C/2

p Durch Kürzen mit U ergibt dann Y D .G/2 C .¨C/2 . Der Gesamtleitwert Y ist also die geometrische Summe aus dem Wirk- und dem Blindleitwert. Der Gesamtwiderstand dieser Schaltung ist gleich dem Kehrwert des Gesamtleitwertes Z D 1=Y In der Praxis spricht man natürlich immer von Widerstandswerten. Zum Ausrechnen von Parallelschaltungen empfiehlt sich aber der Umgang mit Leitwerten, da die Gleichungen übersichtlicher sind. Mit den Widerständen hätte der Ausdruck für Z nämlich folgendes Aussehen: s  2 1 ZD C .¨C/2 R Auch lässt es sich viel leichter merken, dass bei Parallelschaltungen stets die Leitwerte zu addieren sind. Im Vektordiagramm Abb. 1.62b ist der Phasenwinkel ® zwischen der Spannung U und dem Gesamtstrom I. Der Ergänzungswinkel zu ® D 90° ist wieder der Fehlwinkel •. Zahlenmäßig erfasst man ihn mit dem Tangens tan • D

IG G 1 UG D D D IC U  ¨C ¨C R  ¨C

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

49

Abb. 1.62: Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem kapazitiven Blindleitwert a) Schaltung b) Vektordiagramm

Die Parallelschaltung eines idealen Kondensators mit einem Widerstand dient oft als Ersatzschaltbild für technische Kondensatoren, die ja niemals völlig verlustlos sind. G bzw. R repräsentiert in dieser Schaltung die Verluste des zwischen den Platten befindlichen Isolierstoffes, während ein Reihenwiderstand die Verluste der Zuleitungen darstellt. Für den Praktiker ist aber nicht der Parallelwiderstand allein aussagefähig. Er muss vielmehr in Beziehung zum jeweiligen Blindwiderstand oder Blindleitwert des Kondensators bei der in Frage kommenden Frequenz gesetzt werden. Ist nämlich der Wirkleitwert groß im Vergleich zum Blindleitwert, dann nimmt die Schaltung überwiegend Wirkleistung auf, und der Fehlwinkel • ist groß. Liegen die Verhältnisse umgekehrt, dann ist • klein, und die Schaltung setzt fast keine Wirkleistung um, womit man dem idealen Kondensator am nächsten kommt. Es kommt somit auf das Verhältnis Wirkkomponente zu Blindkomponente an, also auf den tan •. Ein idealer Kondensator hätte demnach den Wert tan • D 0. Abbildung 1.63 zeigt die Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem induktiven Blindleitwert.

Abb. 1.63: Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem induktiven Blindleitwert

50

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Bitte beachten:

tan • D

Wirkkomponente Blindkomponente

Bei der Parallelschaltung:

tan • D

Wirkleitwerk Blindleitwerk

Bei der Reihenschaltung:

tan • D

Wirkwiderstand Blindwiderstand

Parallelschaltung von ohmschem Leitwert und Spule Es gelten die gleichen Regeln wie zuvor in Abb. 1.63 gezeigt wurden. Der Gesamtstrom errechnet sich aus q Ig D I2G C I2L und der Gesamtleitwert ist p Y D G2 C ¨L2 Auch für diese Schaltung ist ein Gütefaktor Q definierbar QD

Blindkomponente 1=¨L 1 R 1 D D D D tan • Wirkkomponente G G  ¨L ¨L

Welche der beiden möglichen Ersatzschaltungen für eine Spule anzuwenden ist, die Reihenschaltung mit dem Widerstand oder die Parallelschaltung, hängt von den Gegebenheiten ab. Parallelschaltung von Leitwert G, Kondensator C und Spule L Dies ist die Ersatzschaltung für einen Parallelschwingkreis, der auf nicht idealen, also verlustbehafteten Bauelementen aufgebaut ist. L und C stellt man sich verlustlos vor, ihre tatsächlichen Verluste überträgt man auf den Wirkleitwert G = 1/R. Zur Berechnung dieser Schaltung (Abb. 1.64a) werden zweckmäßigerweise erst die Blindkomponenten zusammengefasst: Der Gesamtblindstrom IB ist gemäß Abb. 1.64b gleich der Differenz aus Spulen- und Kondensatorstrom: IB D I C  I L Der gesamte in die Schaltung hineinfließende Strom Ig ist dagegen die geometrische Summe aus Wirk- und Blindstrom: q Ig D I2R C .IC  IL /2 Ebenso geht man mit den Leitwerten vor: B D ¨  L  1=.¨C/ p Y D G2 C .¨C  1=.¨L//2 Im Resonanzfall verschwindet der Blindleitwert B und zwischen den Klemmen a und b der Schaltung ist nur noch der Wirkleitwert G wirksam. Sein Kehrwert R = l/G heißt Resonanzwiderstand des Parallelschwingkreises. Je kleiner G oder je höher R ist, desto mehr kommt die Schaltung dem Ideal, dem verlustlosen Schwingkreis, näher.

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

51

Tab. 1.2: Formeln und Vektordiagramme für die verschiedenen Kombinationen von Widerständen, Spulen und Kondensatoren

52

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Tab. 1.2: (fortgesetzt)

Abb. 1.64: Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem kapazitiven und einem induktiven Blindleitwert a) Schaltung b) Vektordiagramm

1.5 Wirk-, Blind- und komplexe Widerstände

53

Tabelle 1.2 zeigt alle Formeln und Vektordiagramme für die verschiedenen Kombinationen von Widerständen, Spulen und Kondensatoren. Es gibt noch eine andere mathematische Formulierung für das geometrische Zusammensetzen von Größen, deren Richtung um ˙90° verschieden ist: Alle um C90°pvoreilenden Größen erhalten danach den Faktor Cj, alle nacheilenden j, wobei j D 1 ist. Die Scheinwiderstands- und Scheinleitwertformeln sehen dann folgendermaßen aus: Z D R C j  ¨  L  j=.¨  C/

Y D G  j  ¨  C  j=.¨  L/

Auf diese Berechnungsweise kann hier jedoch nicht näher eingegangen werden.

1.5.7

Blindwiderstandsnomogramm

Eine schnelle Ermittlung des Blindwiderstandes einer Spule oder eines Kondensators ermöglicht ein Nomogramm. Man berechnet die Werte ¨L und 1=.¨C/ für einen interessierenden Frequenzbereich und trägt sie über der Frequenz auf. Für jeden L- oder C-Wert ergibt sich dann eine Kurve (Abb. 1.65a und b). Die Darstellung der Blindwiderstände im normalen Maßstab hat den Nachteil, dass die Ablesegenauigkeit gering ist, wenn weite Bereiche für f, L und C zu erfassen sind. Hierfür sind logarithmische Maßstäbe besser geeignet.

Abb. 1.65: Graphische Darstellung der Blindwiderstände XL und XC a) induktiver Widerstand b) kapazitiver Blindwiderstand

Zur Darstellung einer Kurve im logarithmischen Maßstab werden auf den Achsen nicht die natürlichen Werte, sondern ihre Logarithmen aufgetragen. Wäre beispielsweise der Frequenzbereich 1 Hz bis 1 MHz auf einer 10 cm langen linearen Skala unterzubringen, dann liegt 100 kHz bei 1 cm, 10 kHz bei 1 mm, und 1 kHz könnte man kaum noch erkennen. Abbildung 1.66 zeigt eine logarithmische Frequenzskala und Abb. 1.67 einen Ausschnitt. Solche Maßstäbe kommen in vielen Darstellungen der Elektronik vor. Je nach Bedarf verwendet man die waagrechte, die senkrechte oder beide Achsen auf diese Weise. Die Beschriftung ist jedoch ebenso wie bei den linearen Skalen, nämlich mit den Werten, deren Logarithmen man aufgetragen hat. Die Ablesegenauigkeit ist in allen Dekaden gleich gut. Die Zahl Null lässt sich allerdings nicht darstellen, weil 0 D 101 ist, somit ihr Logarithmus bei 1 liegen würde. Kurven werden durch die Anwendung des logarithmischen Maßstabes

54

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.66: Logarithmische Frequenzskala

Abb. 1.67: Ausschnitt aus einer logarithmischen Skala

in ihrem Aussehen verändert. So wird beispielsweise aus der Hyperbel XC D 1=.¨C/ eine fallende Gerade. Blindwiderstände für verschiedene L- und C-Werte in der geschilderten Weise über der Frequenz aufgetragen, ergeben das bekannte Nomogramm, bei dem sich die zu Geraden gewordenen Kurven XL D ¨  L und XC D 1=.¨  C/ unter einem Winkel von 90° kreuzen. Für jeden L- und C-Wert gibt es eine Gerade. Die Abstände dazwischen lassen sich ebenfalls logarithmisch unterteilen, damit die Ablesung in allen Bereichen gleich gut wird. An den Schnittpunkten zweier Geraden sind die Blindwiderstände der betreffenden Induktivitäten und Kapazitäten gleich groß. Die dazugehörige Frequenz ist also die Resonanzfrequenz f0 . In dem dargestellten Beispiel liest man beispielsweise ab: Für L D 10 mH und C D 1 nF eine Resonanzfrequenz von f0 D 50 kHz. Die Blindwiderstände belaufen sich auf XL D XC D 3;14 k (Abb. 1.68). Abbildung 1.69 zeigt ein vollständiges Nomogramm. Außer den Blindwiderständen X auf der linken Seite ist rechts auch der Kehrwert davon, der Blindleitwert B, aufgetragen, damit Rechnungen für die Parallelschaltung von Blindwiderständen schneller vonstatten gehen.

1.6

Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

Der praktische Einsatz eines Werkstoffes als Leiter für den elektrischen Strom wird an seinem spezifischen Leitwert oder seinem spezifischen Widerstand gemessen. Der Ausdruck „spezifisch“ besagt, dass der angegebene Widerstandswert auf einen bestimmten Querschnitt und eine bestimmte Länge bezogen ist, üblicherweise auf einen Querschnitt von A D 1 mm2 und eine Länge l D 1 m (Abb. 1.70). Vielfach gilt er auch für einen würfelförmigen Leiter mit einer Kantenlänge von l = 1 cm (Abb. 1.70). Als Formelzeichen für den spezifischen Widerstand dient der kleine griechische Buchstabe ¡. Die Einheit lautet  mm2 /m, wenn auf 1 mm2 Querschnitt und 1 m Länge bezogen wird, beim würfelförmigen Leiter   cm. Umrechnung: 1   mm2 =m D 104   cm

und

1   cm D 104   mm2 =m

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

55

Abb. 1.68: Ausschnitt aus einem LC-Nomogramm

Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ist der spezifische Leitwert ”, ausgedrückt in S = m/mm2 (S D l= D Siemens, Einheit für den Leitwert). In den anglo-amerikanischen Ländern steht statt der Einheit Siemens das rückwärtsgeschriebene Wort „Ohm“, also „mho“. Ein Tausendstel Siemens = 1 mS heißt mmho und 1 Millionstel Siemens 1 S heißt mho. Den spezifischen Leitwert findet man also in mho  m=mm2 angegeben. Die Einheit für einen würfelförmigen Leiter lautet A  cm. Der Widerstand eines Leiters mit der Länge l in m und einem Querschnitt A in mm2 berechnet sich aus der bekannten Gleichung R D l¡ , mit der A Einheit   mm2 /m für ¡. Unter der Verwendung des spezifischen Leitwertes ergibt sich die l Gleichung R D A” . Die Leitfähigkeit eines elektrischen Leiters wird von der Anzahl der freien Elektronen und deren Beweglichkeit bestimmt. Man hat daher den spezifischen Widerstand ¡ (rho) , die Leitfähigkeit ” (gamma) und den Temperaturbeiwert ’ (alpha). Der spezifische Widerstand gibt an, wie groß der Widerstand eines Leiters der Länge von 1 m bei dem Querschnitt von 1 mm2 und einer Umgebungstemperatur von 20 °C hat. Tabelle 1.3 zeigt die Werte der einzelnen Werkstoffe an. Der Widerstand eines Leiters berechnet sich aus Rl D

¡l A

Rl D

l ”A

56

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.69: Vollständiges LC-Nomogramm

Mittels des Temperaturbeiwerts ’ kann man die Widerstandsänderung R und den Warmwiderstand RW für einen Leiter oder für einen Widerstand berechnen mit R D ’  RK  ª

RW D RK .1 C ’  ª/

Die Widerstandsänderung R ist eine Multiplikation des Temperaturbeiwerts ’ mit dem Kaltwiderstand RK und der Temperaturänderung ª. Der Warmwiderstand RW stellt ebenfalls eine Multiplikation dar. Ein Widerstand hat bei 20 °C einen Wert von 1,5 k und einen Temperaturkoeffizienten von ’ D 0,0035 K1 . Welcher Wert ergibt sich bei 70 °C? RW D RK .1 C ’  ª/ D 1;5 k.1 C 0;0035 K1  70 °C  20 °C/ D 1762;5  Der Widerstandswert von 1,5 k erhöht sich auf 1,762 k. In der Technik der Dünnfilm- und der integrierten Schaltungen erweist sich eine andere Größe nützlicher als der spezifische Widerstand, nämlich der sogenannte Flächenwiderstand RS . Man versteht unter dieser Größe den Widerstand einer quadratischen Leitschicht – bei der also die Länge l gleich der Breite b ist – mit der Dicke d (Abb. 1.71). Aus der Gleichung für

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

57

Abb. 1.70: Definition des spezifischen Widerstandes

Abb. 1.71: Definition des Flächenwiderstandes

den Widerstand RS D ¡ 

¡ b D db d

ersieht man, dass der Flächenwiderstand vom spezifischen Widerstand ¡ und der Dicke d der Leitschicht abhängt, dagegen das absolute Maß der Kantenlänge des Quadrates ohne Bedeutung bleibt. Ein quadratisches Leiterstück 1 mm × 1 mm hat demnach den gleichen Widerstand wie ein Quadrat mit 1 m Kantenlänge. Für die Berechnung des Widerstandes

58

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Tab. 1.3: Spezifischer Widerstand ¡, Leitfähigkeit ” und Temperaturbeiwert ’ bei 20 °C. Die Angabe „WM“ definiert ein Widerstandsmaterial. Neusilber hat die Bezeichnung „WM 30“, d. h. der spezifische Widerstand beträgt 0,30   mm2 =m. ¡ in

Werkstoff

mm2 m

” in

m mm2

a) Metalle Aluminium Blei Eisendraht Gold Kupfer Nickel Platin Quecksilber Silber Tantal Wolfram Zink Zinn

0;0278 0;2066 0;15 : : : 0;1 0;023 0;01724 0;069 0;107 0;962 0;0164 0;135 0;055 0;061 0;12

36 4;84 6;7 : : : 10 43;5 58 14;5 9;35 1;04 61 7;4 18;2 16;5 8;3

b) Legierungen Konstantan (WM50) Manganin Messing Neusilber (WM 30) Nickelin (WM 43) Stahldraht (WM 13) Wood-Metall

0;5 0;43 0;063 0;3 0;43 0;13 0;54

2 2;32 15;9 3;33 2;32 7;7 1;85

c) Sonstige Leiter Graphit Homogene Kohle Retortengraphit d) Schichtwiderstände Kohleschicht bis 10 k Kohleschicht bis 10 M Metallschicht Metalloxidschicht

22 65 70

0;046 0;015 0;014

’ in

1 K

0;00403 0;0039 0;0065 0;0037 0;00393 0;006 0;0031 0;0009 0;0038 0;0033 0;0044 0;0039 0;0045 ˙0;00001 0;00001 0;0016 0;00035 0;00023 0;0048 0;0024 0;0013 0;0003 0;0004

0;0003 0;002 ˙0;00005 ˙0;0003

eines dünnschichtigen Leiters bekannter Dicke braucht man nur den Flächenwiderstand RS mit dem Verhältnis von Länge/Breite zu multiplizieren. Dies erklärt sich aus der Widerstandsgleichung, wenn man für die Länge l D n  B einsetzt: RD¡

nb ¡ D  n D RS  n db d

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

59

Beispiel: Der Flächenwiderstand für die 35 m dicke Kupferschicht einer gedruckten Schaltung beträgt rund 0,5 m. Eine Leiterbahn von 50 mm Länge und 1 mm Breite hat demnach einen Widerstand von R D RS  n D 0;5 m 

50 mm D 25 m: 1 mm

Flächenwiderstandswerte einiger Werkstoffe der Miniaturtechnik sind neben den herkömmlichen spezifischen Widerstandswerten in Tab. 1.4 zu finden. Tab. 1.4: Flächenwiderstandswerte der Miniaturtechnik Werkstoff

¡ in

  mm2 m

” in

m   mm2

Flächenwiderstand RS (=)

a) Metalle Gold

0,023

4,53

0,5  103

Kupfer, 35 m dick

–

–

0,3 . . . 0,4 (Dünnfilm 0,4 m)

Chrom-NickelFilm

–

–

40 . . . 400 (je nach Dicke) z. B. 80 = bei 0,02 m Dicke, 10 . . . 1 k

–

–

10 . . . 10 k

Germanium, rein, 450 k mm2 /m bei C27 °C

2,24 S  m=mm2

–

Silizium, rein, bei C27 °C

2,3 G mm2 /m

0,435 nS  m/mm2

–

Silizium für integrierte Schaltungen

50 k mm2 /m

20 S  m/mm2

–

b) Halbleiter Kohle aufgedampft

Silizium100  . . . 1 k mm2 /m*) 10 . . . 1 mS  m/mm2 Kollektorschichten

–

SiliziumEmitterschichten

1 . . . 5 k mm2 /m*)

1 . . . 0,2 mS  m/mm2

 2;2

SiliziumBasisschichten

5 . . . 10 k mm2 /m*)

0,2 . . . 0,1 mS  m/mm2

 200

*) Größenordnung bei Epitaxialtransistoren

60

1.6.1

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Hauteffekt

Spezifische und Flächenwiderstände gelten nur für Gleichstrom. Schickt man dagegen einen Wechselstrom durch einen Leiter, dann beobachtet man, dass sich der Widerstandswert mit zunehmender Frequenz erhöht. Die Widerstandserhöhung ist nicht nur von der Frequenz, sondern auch von der Form des Leiterquerschnittes abhängig. Die Zunahme des Widerstandes von Runddrähten ist bei größeren Durchmessern stärker als bei sehr kleinen. Bandförmige Leiter haben umso geringere Widerstandswerte, je größer das Verhältnis Breite zu Dicke ist. Beispiele für die Widerstandszunahme von Runddrähten sind in Tab. 1.5 aufgeführt. Die Widerstandszunahme hat ihre Ursache in der mit wachsender Frequenz zunehmenden Verdrängung des Stromes vom Inneren des Leiters nach seiner Oberfläche hin. Deshalb spricht man vom Hauteffekt oder Skineffekt. Von der Entstehung des Hauteffektes kann man sich ein ungefähres Bild machen, wenn man einen Stromfaden im Inneren eines Leiters für sich allein betrachtet. Tabelle 1.5 zeigt die Widerstandszunahme durch Hauteffekt. Tab. 1.5: Widerstandszunahme durch Hauteffekt Drahtdurchmesser 0,05 mm 0,25 mm 0,50 mm 2,00 mm 10,00 mm 25,00 mm

f D 50 Hz R =RD

f D 1 kHz R =RD

f D 1 MHz R =RD

1;000 1;000 1;000 1;000 1;002 1;075

1;000 1;000 1;000 1;001 1;500 3;400

1;001 1;008 2;200 8;100 39;000 

Abbildung 1.72 zeigt einen Ausschnitt aus einem Runddraht. In der Mitte befindet sich der zu betrachtende Stromfaden I, dicht daneben sind zwei kleine Leiterschleifen herausgeschnitten zu denken. Der Stromfaden wird von einem Magnetfeld M umgeben, das seine Stärke und Richtung im Takte des Wechselstromfadens verändert. Dieses magnetische Wechselfeld erzeugt Ströme in der unmittelbaren Nachbarschaft – also in dem gleichen Leiter – deren Richtung nach der Rechts-Hand-Regel bestimmt werden kann. In dem dargestellten Augenblick fließen die unmittelbar neben dem Stromfaden I entstehenden Ströme i, als Wirbelströme bezeichnet, ihm direkt entgegen. Sie schließen sich über den restlichen Teil des Leiters zu einem Stromkreis. Man sieht, dass nach der Oberfläche zu die Ströme wieder die gleiche Richtung wie der ursprüngliche Stromfaden haben. Die Ströme in seiner unmittelbaren Nachbarschaft heben ihn jedoch mehr oder weniger auf, d. h. der Strom wird nach außen abgedrängt. Gegen die Oberfläche des Leiters kann diese Wirkung nur teilweise auftreten, weil außerhalb des Leiters keine Wirbelströme entstehen können. Die vorstehende Erläuterung ist natürlich nicht völlig exakt, sie soll nur eine ungefähre Vorstellung vermitteln. Bei dicken Leitern und hohen Frequenzen geht die Stromverdrängung so weit, dass im Inneren praktisch kein Strom mehr fließt, d. h. man darf deshalb ohne weiteres Rohre anstelle von Vollleitern verwenden. Die Abnahme des Stromes von der Oberfläche nach der Leitermitte zu verläuft nach einer e-Funktion (Abb. 1.73). Als Maß für die Stromverdrängung wird diejenige Tiefe ª (Theta) angegeben, bei der der Strom auf den l/e-ten Teil abgesunken ist (e D 2;72), also auf etwa 37 % des an der Oberfläche fließenden Stromes.

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

61

Abb. 1.72: Ausschnitt aus einem Wechselstrom führenden Leiter I: „Stromfaden“ des Hauptstromes (Augenblickswert) i: induzierter Wirbelstrom in der Nachbarschaft von I M: Magnetfeld des Hauptstromes I

Abb. 1.73: Abnahme der Stromdichte nach dem Leiterinneren infolge des Hauteffektes. In Ordinatenrichtung ist das Verhältnis der Stromdichte im Abstand › zur Stromdichte an der Leiteroberfläche aufgetragen

62

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Dieser Wert heißt Eindringtiefe oder äquivalente Leitschichtdicke ª. Werte für ª können aus Abb. 1.74 entnommen werden. Ein Leiter braucht praktisch nicht wesentlich dicker als 2ª zu sein, d. h. man erfasst in diesem Falle 86,5 % des Stromflusses und mit 3ª wären es 95 %. Wenn die Frequenz des Stromes bekannt ist, lässt sich somit die erforderliche Dicke des Materials oder der Rohrwandung leicht angeben.

Abb. 1.74: Eindringtiefe ª (= äquivalente Leitschichtdicke) in verschiedene Werkstoffe

Für einen Strom mit einer Frequenz von 1 MHz reicht eine Kupferschicht von 2  ª D 2  65 m D 0;13 mm aus. Über dieses Maß hinausgehende Leiterdicken tragen nicht mehr wesentlich zur Stromleitung bei. Das würde bedeuten, dass ein runder Draht von 0,26 mm Durchmesser für 1 MHz gerade die optimale Dimensionierung wäre, da die Schichtdicke von seiner Oberfläche nach der Mitte zu gerechnet praktisch den ganzen Querschnitt ausfüllt. Benötigt man nun einen größeren Querschnitt, dann ist die Vergrößerung des Durchmessers nutzlos, da der Kern des Leiters praktisch nicht mehr vom Strom durchflossen werden kann. Man verwendet in solchen Fällen mehrere voneinander isolierte Einzeldrähte, die zu einer sogenannten Litze verseilt geliefert werden (Abb. 1.75). Der Querschnitt eines jeden Lit-

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

63

Abb. 1.75: Querschnitt einer Litze

zendrahtes, ist dann voll ausgenutzt, die Summe der Querschnitte aller parallel geschalteten Drähte ergibt den Gesamtquerschnitt. Man kann auch noch eine etwas andere Betrachtungsweise wählen, um die Widerstandsverringerung durch litzenförmige Leiter verständlich zu machen: Da der Strom vorwiegend an der Oberfläche fließt, wird die Leitfähigkeit umso größer sein, je mehr Oberfläche vorhanden ist. Benötigt man beispielsweise einen Querschnitt für Leiter, Leitungen, gedruckte Schaltungen von A = 0,2 mm2 , dann käme für Gleichstrom ein Draht mit einem Durchmesser von 0,5 mm in Frage. Bei einer Frequenz von f = 1 MHz hätte ein solcher Draht aber den 2,2fachen Wert des Gleichstromwiderstandes. Teilt man den notwendigen Querschnitt auf 100 Litzendrähte mit dem Durchmesser 0,05 mm auf, dann würde laut Tab. 1.5 die Widerstandszunahme nur 0,1 % betragen. Der 0,5 mm dicke Draht hat einen Umfang von rund 1,6 mm, die 0,05 mm dicken Litzendrähte je 0,16 mm, alle 100 zusammen also rund 16 mm. Die Leitung hat also eine zehnmal so große Oberfläche bekommen, ohne dass dafür ein größerer Kupferaufwand erforderlich wäre. Neben der Aufteilung des Querschnittes auf Litzendrähte wird auch häufig von bandförmigen oder plattenförmigen Leitern Gebrauch gemacht. Beispielsweise dient sehr häufig das Gerätechassis als Leiter. Da bei hohen Frequenzen ohnehin nur die Chassisoberfläche stromführend ist, darf ein billiger Werkstoff, wie Stahl oder Aluminium, verwendet werden, den man mit einer dünnen, gut leitenden Schicht bedeckt, etwa mit Silber.

1.6.2

Wellenwiderstand

Neben dem eigentlichen Widerstandswert der Leiter ist vor allem im Bereich der Hochfrequenztechnik noch der Begriff des Wellenwiderstandes erwähnenswert. Man ist im Allgemeinen gewohnt, dass beim Einschalten eines Stromes über eine Leitung hinweg am Ende sofort der gewünschte Strom fließt. In Wirklichkeit ist jedoch eine gewisse Zeit vorhanden, ehe sich der Einschaltvorgang vom Anfang der Leitung bis zu ihrem Ende fortgepflanzt hat. Dies erfolgt zwar nahezu mit Lichtgeschwindigkeit c, beansprucht aber dennoch eine endliche Zeit t. So wird bei einer l = 10 m langen Leitung ein Zeitraum von tD

l 10 m D D 33 ns c 3  108 m=s

benötigt, bis der Einschaltvorgang am Ende der Leitung wirksam wird. Welcher Strom fließt nun im Einschaltmoment in die Leitung hinein? Wenn man, wie gewohnt, annimmt, dass der

64

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.76: Leitung mit Abschlusswiderstand R

Strom ohne zeitliche Verzögerung sofort zu fließen beginnt, dann wäre bei einer als verlustlos angenommenen Leitung sofort der Strom I = U/R vorhanden (Abb. 1.76). Da in Wirklichkeit aber eine endliche Zeit verstreicht, kann – laienhaft gesprochen – die Stromquelle noch gar nicht wissen, wie groß der Lastwiderstand am Leitungsende ist und welchen Strom sie losschicken muss. Tatsächlich fließt in die Leitung zunächst ein Strom hinein, dessen Größe I1 D U1 =Z beträgt. Eine eindringende Welle findet im Einschaltmoment einen von der Form des Leitungsgebildes abhängigen charakteristischen Widerstand vor, den man Wellenwiderstand Z bezeichnet. Der Strom I1 fließt nun durch die Leitung hindurch bis zum Belastungswiderstand R. Ist dieser genau gleich dem Wellenwiderstand, dann bleibt der Wert I1 , bestehen. Ist R dagegen größer als Z, dann wird zuviel Strom geliefert. Der Überschuss wird reflektiert und fließt zurück, so dass sich auf der Leitung ein Strom einstellt, der dem Abschlusswiderstand entspricht. Mit R kleiner als Z reicht der ursprüngliche Strom I1 nicht aus, um dem ohmschen Gesetz Genüge zu leisten. Man kann sich dann eine negative Reflexion vorstellen, deren Strom sich zu I1 addiert und somit den erforderlichen größeren Strom I2 liefert. Der Wellenwiderstand einer Leitung hängt vor allem von der verteilten Kapazität zwischen Hin- und Rückleiter und von der Art und Weise ab, wie sich das mit den Strömen verknüpfte Magnetfeld ausdehnen kann. Bei weit auseinander liegenden Leitern entsteht ein ausgedehntes Magnetfeld, das mit einer großen Induktivität L verknüpft ist. Bei dicht nebeneinander liegenden Leitern ist das Magnetfeld sehr gering, wogegen die Kapazität größer als bei der ersten Ausführung sein wird. Induktivität, Kapazität und der unvermeidliche Kupferwiderstand sind unendlich fein verteilt über die Länge des Leiters zu denken. Zusätzlich muss man noch mit dem Isolationswiderstand zwischen den Leitern rechnen, wenngleich dieser Einfluss vielfach keine Rolle mehr spielt. Das Ersatzbild für eine solche Leitung zeigt Abb. 1.77.

Abb. 1.77: Ersatzschaltbild für eine Leitung r: verteilter Leitungswiderstand 1/g: verteilter Isolationswiderstand zwischen den Leitern l: verteilte Leitungsinduktivität c: verteilte Kapazität zwischen den Leitern

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

65

p Der Wellenwiderstand ist praktisch über die Gleichung Z D l=c in  berechenbar. Mit der Länge l wird die beispielsweise auf 1 m bezogene Leitungsinduktivität bezeichnet, mit c die auf 1 m bezogene Kapazität. Bei richtiger Dimensionierung gehen Kupferwiderstand und Isolation nur in geringem Maße in den Wellenwiderstand ein. Bei langen Leitungen schließt sich ein Teil des Wechselstromes über die verteilte Kapazität c kurz, so dass nur ein Bruchteil der eingespeisten Leistung an den Verbraucher gelangt, d. h. die Leitung dämpft. Wenn weniger als ein Zehntel der zugeführten Spannung an den Abschlusswiderstand gelangt – was einem Hundertstel der zugeführten Leistung entspricht –, dann wirkt sich der Abschlusswiderstand auf den in die Leitung hineinfließenden Strom nicht mehr aus: Am Leitungsanfang fließt stets der Strom I1 D U1 =Z1 unabhängig davon, ob am Leitungsende Leerlauf, Kurzschluss oder irgendeine andere Belastung herrscht. Der Wellenwiderstand ist somit gleich dem Eingangswiderstand einer stark dämpfenden, also sehr langen Leitung (genauer gesagt einer unendlich langen Leitung). Leitungen der Hochfrequenztechnik werden meist so konstruiert, dass sie einen genau definierten Wellenwiderstand besitzen. Beispiele für den Wellenwiderstand: Koaxialkabel für Hochfrequenz Symmetrische Antennenkabel Leitungen der Niederfrequenztechnik Hochfrequenzkabel

1.6.3

50 , 60 , 75 , 240 , 600 , 75 , 150 .

Symmetrische und unsymmetrische Leitersysteme

Ein Leitersystem, also ein Leiterpaar, das keine galvanische Verbindung mit Erde oder der Gerätemasse hat, bezeichnet man als symmetrische Leitung. Streng genommen ist dieser Ausdruck nur dann richtig, wenn die Kapazitäten C10 des Hinleiters und C20 des Rückleiters gegen Erde bzw. Masse gleich oder wenigstens nahezu gleich sind. Solche Leiter finden vorzugsweise in der Niederfrequenztechnik und zur Datenfernübertragung Verwendung, ferner bei bestimmten Antennenzuleitungen (Abb. 1.78). Wird eine der beiden Erdkapazitäten unendlich groß, dann ist der betreffende Leiter praktisch mit Erde verbunden (Abb. 1.79). Als Hinleiter dient der ungeerdete Draht, den man auch als „heißen“ Leiter bezeichnet. Die Rückleitung erfolgt über die Gerätemasse oder die Erde. Ein

Abb. 1.78: Symmetrische Leitung C10 : Kapazität der Ader 1 gegen Erde C20 : Kapazität der Ader 2 gegen Erde C12 : Kapazität der Adern 1 und 2 gegeneinander

66

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.79: Unsymmetrische Leitung (C20 ! 1/

einseitig geerdetes Leitersystem ist ein unsymmetrisches System, weil C10 , und C20 völlig verschieden voneinander sind. Die meisten Leitungen der Hochfrequenztechnik sowie vieler elektronischer Systeme sind unsymmetrisch geschaltet. Werden zwei unsymmetrische Leitersysteme dicht nebeneinander angeordnet, besteht zwischen den beiden heißen Leitungen 1 und 2 eine Kapazität C12 . Führt nun der Leiter 1 eine Wechselspannung (auch Impulse gehören dazu), kann ein Teil der Leistung auf das zweite Leitersystem übertragen werden, was man mit „Nebensprechen“ oder „Übersprechen“ bezeichnet (Abb. 1.80).

Abb. 1.80: Gegenseitige Beeinflussung zweier unsymmetrischer Leitersysteme

Je größer die Kapazität, desto mehr Leistung geht von dem einen Leitungssystem auf das andere über und kann dort Störungen verursachen. Dies lässt sich nur durch einen geerdeten Schirm zwischen den beiden heißen Leitern beseitigen. Der Beeinflussungsstrom fließt dann von Leiter 1 über den Schirm nach Erde ab, ohne in das Leitersystem 2 und 0 eindringen zu können. Unsymmetrische Leitersysteme dürfen also ohne eine kapazitive Abschirmung nicht nebeneinander angeordnet werden, wenn sie sich nicht gegenseitig beeinflussen sollen. Legt man zwei symmetrische Leiterpaare nebeneinander (Abb. 1.81), dann werden bei geometrischer Symmetrie die Kapazitäten der Leiter untereinander praktisch gleich sein. Das hat zur Folge, dass sich die von einem Leitersystem in das andere übertragenen Ströme kompensieren, und zwar umso besser, je weniger die einzelnen Kapazitäten voneinander abweichen. In Abb. 1.81 rechts sind zwei der vier möglichen in das Nachbarsystem eindringenden Ströme dargestellt. Sind C13 und C14 genau gleich, dann heben sich die Ströme im Verbraucher-

1.6 Gleichstromwiderstand in Leiter und Leitungssysteme

67

Abb. 1.81: Gegenseitige Beeinflussung zweier symmetrischer Leitersysteme

widerstand wegen ihrer Gleichheit auf. Ebenso verhält es sich mit den Strömen über C23 und C24 . Solche symmetrischen Leitersysteme kommen in Kabeln für die Fernsprech- und Datenübertragung vor. Obwohl hier viele Leiter dicht beieinanderliegen, verschwindet das Übersprechen infolge der kapazitiven Symmetrie des Systems weitgehend.

Abb. 1.82: Übersprechen durch das Magnetfeld des störenden Leiterpaares

Wenn zwei Leitersysteme dicht nebeneinanderliegen, entsteht Übersprechen nicht nur durch die gegenseitige Kapazität, sondern auch durch die unvermeidlichen Magnetfelder, die mit jedem Strom verknüpft sind und die auch das benachbarte Leitungssystem durchsetzen: Es entsteht induktives Übersprechen (Abb. 1.82). Diese Art des Übersprechens lässt sich verringern, indem die Einzeldrähte eines Leiterpaares dicht aneinandergelegt werden, damit möglichst wenig Magnetfeld umfasst wird. Ist das Leiterpaar zusätzlich verdrillt, dann kehrt

68

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

das Magnetfeld nach jeder Schlaglänge seine Richtung um, so dass die im Nachbarsystem induzierten Spannungen abwechselnd gegeneinander gerichtet sind und sich praktisch aufheben (Abb. 1.83). Diese Massnahme ist u. a. für die Zuführung einer Heizung oder für den Betrieb von Lampen erforderlich, wenn sie in der Nachbarschaft empfindlicher Leitungen verlaufen.

Abb. 1.83: Aufbau einer verdrillten Leitung

1.7

Leiterwerkstoffe

Wie allgemein in der Elektrotechnik, wird auch in der Elektronik vorwiegend Kupfer als Leitermaterial verwendet. Das Kupfer muss weitgehend frei von fremden Stoffen sein, damit es seine höchstmögliche Leitfähigkeit erreicht. Deshalb wird das verhüttete Kupfer für Zwecke der Elektrotechnik nochmals mit Schwefelsäure aufgelöst und elektrolytisch abgeschieden (Elektrolytkupfer). Der Reinheitsgrad steigt damit von 95 % auf 99,5 %. Dieser Reinheitsgrad wird auch von den Normen vorgeschrieben. Spezifischen Widerstand und spezifischen Leitwert findet man in Tab. 1.3. In Tab. 1.4 auch den Flächenwiderstand für die bei gedruckten Schaltungen genormte Materialstärke 35 m. Das noch besser als Kupfer leitende Silber kommt vielfach als galvanische Schicht zur Anwendung, einerseits um die Leitfähigkeit der Oberfläche zu erhöhen, andererseits um die Oxidation der Oberfläche zu verhüten und damit eine bessere Lötfähigkeit zu gewährleisten. Außerdem findet es Anwendung für Relais- und Schalterkontakte. Gold kommt in Dünnfilm- und integrierten Schaltungen in Form von 20 m starken Drähten oder als ca. 0,4 m dicker Film zur Verwendung. Auch zu Schalterkontakten wird es verarbeitet. Aus Aluminium stellt man vielfach Gerätechassis her, weil dieser Werkstoff eine noch relativ gute Leitfähigkeit hat, die ihn als Rückleiter verwendbar macht. In integrierten Siliziumschaltkreisen wird Aluminium als aufgedampfte Schicht zur Verbindung der einzelnen im Kristall befindlichen Schaltelemente untereinander benutzt. In sogenannten Dickfilmschaltungen wird es ferner im zermahlenen Zustand und mit Glaspulver vermischt als druckfähige Leitpaste verwendet. Die so aufgedruckte und danach eingebrannte Leitung hat allerdings nur 10 . . . 20 % der metallischen Leitfähigkeit, doch sind die Leitungen auf diesen Schaltungen meist so kurz, dass der höhere Widerstand nicht stört.

1.7 Leiterwerkstoffe

69

Andere Metalle kommen als Leitermaterial nur für untergeordnete Zwecke oder in kleinen Abmessungen in Frage. Zu den Leitern sind auch die in integrierten Schaltungen befindlichen leitenden Siliziumschichten zu rechnen. Silizium ist in völlig reinem Zustand ein sehr schlechter Leiter und hat bei Zimmertemperatur einen spezifischen Widerstand von 2,3 G mm3 /m. Durch Hinzufügen von Fremdatomen geht der spezifische Widerstand beträchtlich herunter, liegt aber noch weit über dem von reinen Metallen, weshalb man hier von Halbleitern spricht. So hat das Ausgangsmaterial (Substrat) einen spezifischen Widerstand von 50 k mm3 /m, die Kollektoren 1 . . . 5 k mm3 /m. Einige Schichten innerhalb von integrierten Schaltungen sind noch etwas niederohmiger.

1.7.1

Blanke Drähte

Bei blanken Drähten ist die Oberfläche dieser Leiter meist verzinnt oder versilbert, damit sie auch nach längerer Lagerungsdauer gut lötfähig bleibt.

1.7.2

Isolierte Drähte

Ein- oder mehradrige Leitungen werden mit Lack, mit Umspinnungen aus Seide oder Kunstfasern oder Kunststoffumpressungen isoliert. In Geräten verwendet man meist PVCIsolierungen (Polyvenylchlorid). Die Isolationsdicke richtet sich nach der Betriebsspannung der nebeneinanderliegenden Drähte. Leitungen, die bei Umgebungstemperaturen über 50 °C verwendet werden müssen, sind mit PTFE (Polytetrafluoräthylen; im Allgemeinen bekannt unter der Herstellerbezeichnung Teflon oder Hostaflon) umpresst, da PVC nicht wärmebeständig ist und sich die Leitungen durch die Isolation hindurchdrücken würden. Teflonisolierte Leitungen sind jedoch teuer, weshalb sie nur in speziellen Fällen verwendet werden. Bei Verdrahtungen in hochfrequenztechnischen Geräten stört mitunter der große Verlustfaktor des PVC, weshalb in solchen Fällen Polystyrol-Umpressungen üblich sind. Wechselstromführende Leiterpaare werden verdrillt, wie schon im vorigen Abschnitt erwähnt. Vielfach werden zwei Leiter oder auch eine noch größere Anzahl von Leitern gemeinsam in einen Kunststoffmantel eingepresst. Beispiele für isolierte Leitungen sind Runddrähte oder Litzen in Kunststoffeinbettung. Dieses ist flexibel und federnd um einen Kern herumgelegt und dient zur Verbindung von Geräteteilen, die hin und wieder gegeneinander bewegt werden müssen. Die Mehrfachbandkabel wickeln sich von selbst wieder auf, wenn die Geräteteile zusammengeschoben werden. Auch als symmetrische Antennenzuleitungen kommen mehradrige Leitungen zur Anwendung. Hierbei muss als Isolation ein hochwertiger, verlustarmer Kunststoff verwendet werden.

70

1.7.3

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abgeschirmte Leitungen

Im Abschnitt 1.5.2 wurden Maßnahmen beschrieben, die das Übersprechen von einem Leitersystem auf das benachbarte verhindern sollen. Diese Maßnahmen sind jedoch nur dann ausreichend, wenn man keine allzu großen Ansprüche an die gegenseitige Entkopplung der Leitersysteme stellt. Bei höheren Ansprüchen müssen die noch verbleibenden kapazitiven oder induktiven Streufeldkomponenten durch eine zusätzliche Abschirmung unterdrückt werden.

Abb. 1.84: Abgeschirmte zweiadrige Leitung

Zur Beseitigung von kapazitiven Kopplungen genügt es, das Leiterpaar eines symmetrischen Systems oder den heißen Leiter eines unsymmetrischen Systems mit einer nicht magnetischen Metallfolie oder einem nicht magnetischen Metallgeflecht zu umgeben (Abb. 1.84 und 1.85). Ein restliches Magnetfeld lässt sich durch nicht magnetische Werkstoffe jedoch nur im Bereich oberhalb etwa 100 kHz unterdrücken. Das magnetische Wechselfeld verursacht Wirbelströme in der Abschirmung und die hierdurch erzeugten Magnetfelder heben das Störfeld weitgehend auf. Soll die Abschirmung auch bei tiefen Frequenzen wirksam werden, z. B. bei der Netzfrequenz, dann muss die Schirmung aus einem magnetisierbaren, hochpermeablen Werkstoff bestehen. Die Feldlinien verlaufen dann in diesem Material und können nicht mehr in der Nachbarschaft umherstreuen. Hierfür eignen sich Nickellegierungen z. B. Mu-Metall.

Abb. 1.85: Aufbau einer Koaxialleitung

Unsymmetrische Leitungen werden meist als konzentrische Kabel ausgeführt, bei denen der Innenleiter vom Schirm umgeben wird (Abb. 1.85). Dieser dient gleichzeitig als Rückleiter. Das sich hier ausbildende Magnetfeld hat eine solche Form, dass es theoretisch nicht nach außen dringen kann. Dennoch werden infolge von Ungleichmäßigkeiten im Kabelaufbau auch magnetische Verkopplungen mit den Nachbarleitungen auftreten können.

1.7 Leiterwerkstoffe

71

Oberhalb 100 kHz genügt infolge der Wirbelströme auch ein nicht magnetischer Schirm zum Unterdrücken der magnetischen Feldlinien. Bei niedrigen Frequenzen muss jedoch auch hier zusätzlich ein magnetisches Material aufgebracht werden. Im Übrigen ist die Schirmwirkung bei symmetrischen und unsymmetrischen Leitungen umso wirksamer, je dichter die Schirme sind. Die Abstützung des Mittelleiters gegen den Außenleiter eines Koaxialkabels erfolgt durch Keramikperlen, durch Kunststoffwendeln oder durch eine dichte Kunststoffumpressung. Koaxialkabel werden mit Außendurchmessern von ca. 2 mm bis zu 100 mm hergestellt. Die zuletzt genannten großen Koaxialkabel dienen beispielsweise der Energiezuführung von Sendeantennen. Ihr Mittelleiter besteht aus einem Rohr, da wegen des Hauteffektes bei den hohen Frequenzen der Kern ohnehin nicht mehr stromführend ist. Die Abstützung gegen den Außenmantel aus einem dichten Aluminiumrohr geschieht durch wendelförmig aufgebrachte Polystyrolbänder, sogenannte Bandwendel. Die Abmessungen der Koaxialkabel und die Auswahl des Isolierstoffes zur Abstützung des Mittelleiters gegen den Außenleiter werden stets so getroffen, dass das Kabel einen definierten Wellenwiderstand hat, etwa 50 , 60  oder 75 . Der rechnerische Zusammenhang zwischen den Abmessungen des Koaxialkabels (Abb. 1.85), also dem Außendurchmesser des Innenleiters und dem Innendurchmesser D des Außenleiters, der Dielektrizitätskonstante ©r des Isolierstoffes und dem Wellenwiderstand Z lautet: 60 D Z D p  ln ©r d Z ist von ©r und vom Verhältnis der beiden Durchmesser, jedoch nicht von ihren Absolutwerten abhängig. Beispiel: Der Mittelleiter eines Koaxialkabels hat einen Durchmesser von d = 1 mm, der Außenleiter D = 4,55 mm. Der Raum zwischen beiden Leitern ist mit Polystrol ausgefüllt (©r D 2,3). Der Wellenwiderstand des Kabels beläuft sich somit auf 60 60 4;55 D D 60  Z D p  ln D p  ln ©r d 1 2;3 ©r -Werte für Isolierstoffe von Koaxialkabeln: Polystyrol ©r D 2,3 Polyäthylen ©r D 2,7 Teflon ©r D 2,1 Keramikperlen, Band- und Fadenwendeln und dergleichen, die den Hohlraum nur wenig ausfüllen, ergeben je nach Füllgrad und nahezu unabhängig vom Werkstoff eine effektive Dielektrizitätskonstante von ©r D 1,1 . . . 1,2.

1.7.4

Wellenleiter

Die Übertragung elektrischer Leistungen auf Koaxialkabeln bereitet bei Frequenzen oberhalb 3 GHz mitunter einige Schwierigkeiten. Deshalb kommen hier als „Wellenleiter“ oder „Hohlleiter“ bezeichnete Leitungstypen zur Anwendung. In diesen Leitern wird die elektrische Energie nicht durch einen kontinuierlichen Stromfluss von einem Ende zum anderen übertragen, sondern durch elektrische Wellen.

72

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

Abb. 1.86: Antennenformen

Bekanntlich lässt sich elektrische Energie über weite Entfernungen drahtlos übertragen. Man benötigt dazu Antennen. Diese können als Stab, als Dipol, als Rahmen oder im einfachsten Falle auch als einfacher geradeaus gespannter Draht ausgeführt sein (Abb. 1.86). Der in der Antenne fließende Strom verursacht ein magnetisches Wechselfeld, die Spannung zwischen Antenne und Erde oder zwischen den beiden Antennenhälften eines Dipols hat ein elektrisches Wechselfeld zur Folge. Diese Felder breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit, c D 300 000 km/s, in einem Raume aus. Die Amplitude des elektromagnetischen Feldes ändert sich mit der Frequenz des in die Antenne hineinfließenden Wechselstromes. Die abgestrahlte Leistung verteilt sich über den gesamten Raum und die von einer Empfangsantenne aufgenommene Leistung kann demnach nur ein geringer Bruchteil davon sein. Damit nennenswerte Leistungen an die Empfangsantenne gelangen, muss die Sendeleistung gebündelt abgestrahlt werden. Das erreicht man beispielsweise durch Reflektoren. Bei den erwähnten Wellen- oder Hohlleitern ist die Bündelung so vollständig, dass pro Meter nur wenige Prozent an Leistung verloren gehen. Die Wellenleiter sind hohle Rohre, die meist aus Metall bestehen, die sich prinzipiell aber auch aus einem verlustarmen Isoliermatenial herstellen lassen. Sie haben kreisförmigen oder rechteckigen Querschnitt. Am Anfang und am Ende eines Wellenleiters befinden sich kleine Sendeund Empfangsantennen, die man als Ein- oder Auskoppler bezeichnet. Vielfach werden sie auch als „Übergang“ bezeichnet, weil sie den Übergang vom koaxialen Leitungssystem auf den Wellenleiter herstellen. Ebenso wie die Sendeantennen eines Rundfunk- oder Fernsehsenders lassen sich stabförmige (Abb. 1.87) oder schleifenförmige Antennen als Ein- oder Auskoppler anwenden. Die Wandungen der Wellenleiter reflektieren die von den Antennen abgestrahlten elektromagnetischen Felder. Diese Reflexion ist ein sehr komplizierter Vorgang. Die Felder verursachen nämlich in den Wandungen Wirbelströme, welche wiederum elektromagnetische Felder erzeugen und dem gesamten Feld eine Konfiguration geben, die den Energietransport überhaupt erst zustande kommen lässt. Zwar fließen in den Wänden der Wellenleiter auch Ströme, doch nicht in der gewohnten Weise von einem Ende zum anderen und wieder zurück, sondern etwa kreisförmig, also in Wirbeln. Da das Innere der Wellenleiter hohl ist, heißen sie auch Hohlleiter. Sie haben meist rechteckigen Querschnitt. Eine Energieübertragung kann nur dann zustande kommen, wenn die Breite der Öffnung mindestens gleich der halben Wellenlänge der Sendefrequenz ist. Unter Wellenlänge versteht man diejenige Strecke, die ein Augenblickswert des elektromagnetischen Feldes während der Dauer einer Periode, also in der Zeit T D 1=f zurücklegt (Abb. 1.88), bei 1 MHz beispielsweise in 1 s. Aus der Beziehung Weg D Geschwindigkeit mal Zeit ergibt

1.7 Leiterwerkstoffe

73

Abb. 1.87: Übergang vom Koaxialkabel auf einen rechteckigen Wellenleiter durch stabförmigen Koppler („Stabantenne“)

sich die Wellenlänge œ zu œ D c  T D c=f Die Lichtgeschwindigkeit beträgt c D 3  105 km=s D 3  108 m=s.

Abb. 1.88: Zur Definition der Wellenlänge mit Weg des Scheitelwertes S1 , während der Dauer einer Schwingungsperiode T D 1=f

Beispiele: f D 1 MHz; f D 1 GHz; f D 10 GHz;

œ D 300 m œ D 30 cm œ D 3 cm

Bei 3 GHz muss der Hohlleiter also mindestens 5 cm breit sein, bei 10 GHz genügt dagegen schon eine Breite von 1,5 cm. Für die Übertragung bei Frequenzen unterhalb 3 GHz würde man sehr unhandliche und teure Wellenleiter benötigen, weshalb man hier weiterhin Koaxialkabel verwendet, die in diesem Bereich ohnehin keine nennenswerten Schwierigkeiten bereiten. Die metallischen Wellenleiter bestehen aus Kupfer, dessen Oberfläche völlig eben sein muss. Eine längere Leitung lässt sich aus mehreren Einzelstücken zusammensetzen, die dem gewünschten Leitungsverlauf entsprechen. Für Messzwecke werden auch flexible Wellenleiter aus Wellrohrschlauch hergestellt. Zwar weisen sie etwas größere Verluste auf, doch sind

74

1 Verhalten idealer Bauelemente (Wechselstromlehre)

diese wegen der in Messplätzen vorkommenden kurzen Leitungslängen meist zulässig. Die einzelnen Teile einer Wellenleitung werden über Flansche miteinander verbunden. Auch diese müssen sorgfältig konstruiert sein, damit keine Luftspalten entstehen, wodurch Leistungsverluste und Störstrahlungen entstehen könnten. Zur Übertragung von elektrischer Energie im Frequenzbereich von einigen 1 GHz wird auch die sogenannte Streifenleitung (Stripline) verwendet.

2

Widerstände

Der Widerstand ist wohl das am häufigsten vorkommende Schaltelement der Elektrotechnik und Elektronik. Man verwendet ihn entweder zum Erzwingen eines bestimmten Stromes gemäß dem Ohmschen Gesetz, I D U=R, oder zum Aufteilen einer Spannung

2.1

Eigenschaften von Widerständen

Für die Beschreibung der Eigenschaften von festen und veränderbaren Widerständen gibt es folgende Reihe gemeinsamer Begriffe, deren Kenntnisse unerlässlich sind:  Widerstandsnennwert  Widerstandstoleranz  Belastbarkeit  Spannungsfestigkeit  Widerstandsänderung durch Erwärmung  Widerstandsänderung durch Alterung  Eigeninduktivität  Eigenkapazität In der Praxis kennt man Widerstandswerte zwischen den Bereichen , k und M, wobei normalerweise der Nennwert nicht direkt aufgedruckt ist, sondern man hat vier oder fünf Farbringe. Alle Widerstandswerte gelten für eine Umgebungstemperatur von C20 °C, obwohl diese Temperatur nur selten in Arbeitsräumen anzutreffen ist. Abbildung 2.1 zeigt den äußeren Aufbau, Anschlussart und Möglichkeiten für die Montage von Widerständen.

2.1.1

Wertebereich der Widerstände

Der Wertebereich der Widerstände liegt zwischen 1  und 22 M. Werte unterhalb 1  sind zwar erhältlich, aber es handelt sich dann meistens um Lastwiderstände für eine höhere Leistungsabgabe oder um Messwiderstände mit großer Genauigkeit. Widerstände über 100 M findet man zwar in der Praxis, aber es handelt sich um spezielle Bauformen, denn Feuchtigkeit und Oberflächenverschmutzung spielen hier eine entscheidende Rolle. Ebenfalls sind diese Widerstände auch von der Temperatur abhängig. Prinzipiell lässt sich zwischen 1  und 22 M jeder beliebige Wert herstellen. Dies würde die Hersteller jedoch zu unwirtschaftlichen Lagervorräten zwingen oder lange Lieferzeiten verursachen. Stattdessen hat man genormte Abstufungen, die sich an die so genannten Normzahlen anlehnen. Jede dieser Zahlen steht zur folgenden in einem festen Verhältnis, das gleich

76

2 Widerstände

Abb. 2.1: Äußerer Aufbau, Anschlussart und Möglichkeiten für die Montage von Widerständen SMD-Bauteile (Surface Mounted Device zum Reflow- und Schwalllöten) MELF (Metal Electrode Face Bonding für Lötpasten und Kleber)

der n-ten Wurzel aus der Zahl 10 ist. So entsteht eine geometrische Zahlenreihe, bei der die prozentuale Wertzunahme immer p gleich ist. Wählt man z. B. n zu 12, ergibt sich eine Reihe, deren Werte um den Faktor 12 10 D 1;2 zunehmen. Jeder folgende Wert ist also praktisch um 20 % größer als der vorhergehende. Eine beliebige Zahl dazwischen ist also niemals um mehr als ˙10 % von beiden entfernt, weshalb in diesem Falle auch von einer 10 %-Reihe gesprochen wird. Dem Widerstandshersteller muss eine gewisse Toleranz für das Einhalten des Nennwertes vom Anwender zugestanden werden. Je nach den Ansprüchen sind genormte Widerstände mit Toleranzen von ˙20 %, ˙10 %, ˙5 %, ˙2 %, ˙1 % und ˙0,5 % lieferbar. Für Präzisionswiderstände in hochwertigen Elektroniksystemen gibt es keine Normen und es ist eine Genauigkeit bis zu ˙0,001 % erzielbar. Tabelle 2.1 zeigt Anzahl der Werte pro Dekade, Stufungsfunktion und Auslieferungstoleranz für die Bezeichnungen der Widerstände nach der IEC-Reihe.

2.1 Eigenschaften von Widerständen

77

Die Abstufung erfolgt nach IEC innerhalb jeder Dekade durch geometrische Folge (E-Reihen) mit dem Stufungsfaktor q: p a q D 10 a W Bezeichnung der Reihe entsprechend der Anzahl der Werte je Dekade, z. B. 6, 12, 24 usw. Für die Herstellungs- und Auslieferungstoleranz gilt: R=R  100 % Die Herstellungs- und Auslieferungstoleranz liegt in den einzelnen E-Reihen so, dass sich die Toleranzgrenzen benachbarter Nennwerte berühren oder geringfügig überschneiden. Tabelle 2.2 zeigt die Toleranzgrenzen zu den benachbarten Nennwerten für Widerstände nach der IEC-Reihe. Die einem Widerstand zugeführte elektrische Energie wird vollkommen in Wärme umgesetzt, die aber unmittelbar wieder durch die Oberfläche und den Anschlüssen des Bauelements abgeführt werden muss. Andernfalls erfolgt die Zerstörung des Widerstandes. Der überwiegende Teil der Wärmemenge wird von der Oberfläche an die Luft abgegeben. Die zulässige Belastbarkeit ist folglich eine Funktion der Abmessung und der Beschaffenheit der Oberfläche, wobei dies nicht nur für Widerstände, sondern prinzipiell für alle Bauelemente in der Elektrotechnik und Elektronik gilt. Daneben muss man natürlich auch die Umgebungstemperatur und die Luftumwälzung berücksichtigen, unter der der Widerstand arbeitet und belastet werden muss. Der Teil der gespeicherten Wärme lässt sich auch über die Anschlussdrähte abführen, was vor allem bei Widerständen mit sehr kleinen Abmessungen und relativ dicken Anschlussdrähten der Fall ist. Die Belastbarkeit handelsüblicher Widerstände erstreckt sich von 0,05 W bis 100 W. Bei hochohmigen Widerständen muss neben der Belastbarkeit in Watt auch der Grenzwert für die anzulegende Spannung gesetzt sein. Wegen der geringen Dicke der Widerstandsdrähte oder Widerstandsschichten können durch Feuchtigkeitseinwirkungen infolge der dadurch entstehenden elektrolytischen Leitungen allmählich Materialabtragungen auftreten, die bei einer zu hohen Betriebsspannung einen Widerstand innerhalb kurzer Zeit zerstören können. Der spezifische Widerstand jeglicher Widerstandsmaterialien ist temperaturabhängig. Zur Kennzeichnung des Änderungsmaßes mit der Temperatur findet man in den Datenblättern den Temperaturkoeffizienten, den TK-Wert. Dieser besagt, um welchen Bruchteil des bei 20 °C gemessenen Widerstandes sich sein Wert ändert, wenn die Temperatur um 1 °C zunimmt. Der TK-Wert ’ kann ein positives oder negatives Vorzeichen aufweisen, je nachdem, ob der Tab. 2.1: Anzahl der Werte pro Dekade, Stufungsfunktion und Auslieferungstoleranz Bezeichnung der IEC-Reihe E6 E 12 E 24 E 48 E 96 E 192

Anzahl der Werte/Dekade n

Stufungsfaktor q

6 12 24 48 96 192

1;47 1;21 1;10 1;05 1;02 1;01

Auslieferungstoleranz in % ˙20 ˙10 ˙5 ˙5 ˙1 ˙0;5

4;7

2;2

6;8

4;7

3;3

2;2

1;5

8;2

6;8

5;6

4;7

3;9

3;3

2;7

2;2

1;8

1;5

1;2

1;0

4;7 5;1 5;6 6;2 6;8 7;5 8;2 9;1

2;2 2;4 2;7 3;0 3;3 3;6 3;9 4;3

1;0 1;1 1;2 1;3 1;5 1;6 1;8 2;0

1;0

1;0

169

162

154

147

140

133

127

121

115

110

105

100

˙2 %

˙5 %

˙20 %

>20 %

˙10 %

Zulässige Abweichung

Zulässige Abweichung

E48

147 150 154 158 162 165 169 174

121 124 127 130 133 137 140 143

100 102 105 107 110 113 115 118

˙1 %

E96

301

287

274

261

249

237

226

215

205

196

187

178

˙2 %

E48

E24

E12

E3

E6

Vorzugswerte mit kleiner zulässiger Abweichung

Vorzugswerte

Tab. 2.2: Toleranzgrenzen zu den benachbarten Nennwerten

261 267 274 280 287 294 301 309

215 221 226 232 237 243 249 255

178 182 187 191 196 200 205 210

˙1 %

E96

536

511

487

464

442

422

402

383

365

240

332

316

˙2 %

E48

464 475 487 499 511 523 536 549

383 392 402 412 422 432 442 453

316 324 332 340 240 357 365 374

˙1 %

E96

953

909

866

825

787

750

715

681

649

619

590

562

˙2 %

E48

825 845 866 887 909 931 953 976

681 698 715 732 750 768 787 806

562 576 590 604 619 634 649 665

˙1 %

E96

78 2 Widerstände

2.1 Eigenschaften von Widerständen

79

ohmsche Widerstandswert beim Erwärmen zu- oder abnimmt. Der TK von Metallen ist im Allgemeinen positiv, der von Halbleitern oder von Kohle ist dagegen negativ. Je nach der Genauigkeitsklasse des Widerstandes wird ein entsprechend geringer TK-Wert benötigt. Die Belastbarkeit von Widerständen ist von der zulässigen Verlustleistung abhängig: Pmax D ’th  AO .ªmax  ª0 / D

ªmax  ª0 Rth

’th AO ªmax ª0 Rth

Wärmeaustauschkoeffizient Oberfläche des Bauelements (Widerstand) maximal zulässige Oberflächentemperatur Umgebungstemperatur Wärmewiderstand Die vom Hersteller angegebene Nennverlustleistung oder Nennleistung Pnenn gilt bis zu einer bestimmten Umgebungs- oder Nenntemperatur ªnenn (meist 40 °C oder 70 °C). Bei höherer Umgebungstemperatur muss die Belastung auf eine geringere zulässige Leistung Pmax < Pnenn heruntergesetzt werden. Die Lastminderung ist ªmax  ª0 Pmax D Pnenn ªmax  ªnenn Pnenn Nennleistung bei ª0  ªnenn ªnenn Nenntemperatur Aus den Gleichungen lässt sich die Lastminderungskurve grafisch in Abb. 2.2 darstellen.

Abb. 2.2: Unterlastkurve (derating curve)

Die Grenzspannung Ugr ist der maximal zulässige Spannungsfall über den Widerstand und diese Angabe wird vom Hersteller angegeben. p Umax  Ugr I aber Umax < Pmax  R Jeder Widerstandswert ändert sich mit der Zeit um einen gewissen Betrag, den man als Alterung definiert. Solche Änderungen entstehen z. B. nach großen Erwärmungen, durch Feuchtigkeitseinwirkungen, durch Abtragen von Widerstandsmaterial infolge elektrolytischer

80

2 Widerstände

Korrosion und durch andere Umwelteinflüsse. Der Grad der Widerstandsänderung durch Alterung ist ein Maß für die Qualität und somit zugleich eine Frage an die Herstellungskosten. Zur Kennzeichnung dienen bei genormten Widerständen die Güteklassen 0,5, 2, 5 und 7. Diese Zahlen besagen, dass sich der Widerstandswert nach 5000 Betriebsstunden unter Volllast (zulässige Belastbarkeit in Watt) um ˙0,5 %, ˙2 %, ˙5 % oder ˙7 % ändern kann. An einem Widerstand der Klasse 2 mit der Toleranz von ˙5 % darf also nach 5000 Betriebsstunden unter voller Belastung eine Widerstandsabweichung von ˙7 % feststellbar sein. Im Allgemeinen bleiben die tatsächlichen Abweichungen unter den zulässigen Werten, da die Widerstände nur in Ausnahmefällen voll ausgelastet sind. Ein auf einem Isolierkörper aufgewickelter Widerstandsdraht stellt im Prinzip eine Spule dar, d. h. es lassen sich Werte von nH bis zu mH erreichen. Während man bei den Spulen einen geringen Widerstandswert anstrebt, damit sich ein möglichst „reiner“ Blindwiderstand ergibt, bemüht man sich bei Drahtwiderständen, den Blindanteil gering zu halten. Ist das nicht der Fall, tritt bei Wechselstromschaltungen eine unerwünschte Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom auf. Durch besondere Wicklungstechniken, der sogenannten „bifilaren“ Wicklung, kann man diese Störkomponenten auf ein Minimum reduzieren. Wenn man sich den aufgewickelten Widerstandsdraht bei einem Isolierkörper genau betrachtet, hat man zwischen zwei Leitern einen Spannungsunterschied und eine Kapazität. Diese Kapazität wird durch das vorhandene elektrische Feld verursacht, da dieses Feld eine Anzahl von Ladungen bindet. Je nach Abstand der Widerstandsdrähte, der Isolationsdichte usw. ergibt sich in Wirklichkeit eine unendlich fein unterteilte Kapazität, die man sich in Form einer konzentrischen Kapazität zwischen den Anschlussklemmen vorstellen kann. Diese Kapazität ist bei hochohmigen Widerständen störend, da sie in der Hochfrequenztechnik einen mehr oder weniger wirksamen Kurzschluss darstellt. Die praktisch vorkommenden Kapazitätswerte liegen zwischen 10 pF und 100 pF. Durch besondere Wickeltechniken lässt sich die Kapazität reduzieren. Tabelle 2.3 zeigt die verschiedenen Widerstände nach DIN. CAD-Systeme mit Bauteilebibliotheken verwenden nur Tab. 2.3 für die Auswahl der Widerstände.

2.1.2

Bauarten von Widerständen

Die meisten Festwiderstände in der Praxis sind Schichtwiderstände. Diese bestehen aus einem Keramikröhrchen, auf das eine dünne Kohleschicht (Kohleschichtwiderstände), Metallschicht (Metallschichtwiderstände) oder Metalloxidschicht (Metalloxidschichtwiderstände) aufgebracht ist. Der erforderliche Widerstandswert wird durch entsprechende Wahl der Schichtdicke und durch Einschleifen von Wendeln bzw. Mäandern erreicht. Die Anschlussdrähte sind entweder eingepresst oder mit Kappen aufgesetzt. Damit die Eigenschaften des Widerstandes möglichst unabhängig von äußeren Einflüssen sind, lackiert man die Schichtwiderstände. Auf der Lackschicht befindet sich die Bezeichnung des Widerstandswertes. Dieser besteht aus dem Widerstandswert mit vier oder fünf Ringen und der letzte Ring stellt die Toleranz dar. Abbildung 2.3 zeigt Möglichkeiten für die Farbkennzeichnung bei Standard- und Präzisionswiderständen. Die Bedeutung für die Widerstandsfarbkennzeichnung ist in Tab. 2.4 gezeigt.

2.1 Eigenschaften von Widerständen

81

Tab. 2.3: Verschiedene Widerstände nach DIN Baugröße

Belastbarkeit in W

Zulässige Spannung2/ gegen Umgebung in V

Wärmewiderstand in K/W

210 210 210 250 250 250 250 250

400 250 210 160 150 120 75 65

210 210 210 250 250 250 250 250

400 250 210 160 150 120 75 65

210 210 250 250

250 210 160 120

500 750 750 1000

205 170 120 85

210 210 210 250 250 250

400 250 210 160 150 120

350 350 500 500 600

400 400 400 400 400

1604/ 1604/ 1054/ 704/ 604/

350 350 500

500 750 750

170 130 85

Höchste Dauerspannung1/ in V

Kohleschichtwiderstände nach DIN 44 051 AC (0204) CC (0207) DC (0309) EC (0411) FC (0414) HC (0617) KC (0922) LC (0933)

0;21 0;34 0;4 0;53 0;57 0;71 1;13 1;31

200 250 300 350 350 500 750 750

Kohleschichtwiderstände nach DIN 44 052 AC (0204) CC (0207) DC (0309) EC (0411) FC (0414) HC (0617) KC (0922) LC (0933)

0;14 0;22 0;26 0;34 0;37 0;45 0;73 0;85

150 150 150 250 250 350 500 750

Kohleschichtwiderstände nach DIN 44 055 CC (0207) DC (0309) EC (0411) HC (0617)

0;22 0;26 0;34 0;45

150 150 250 350

Kohlegemischschichtwiderstände nach DIN 44 054 AC (0207) BC (0309) CC (0411) DC (0615)

0;27 0;32 0;45 1;0

250 250 350 500

Metallschichtwiderstände nach DIN 44 061

A3/ (0204) C3/ (0207) D3/ (0309) E3/ (0411) F3/ (0414) H3/ (0617)

0;21 0;34 0;4 0;53 0;57 0;71

200 250 300 350 350 350

Metalloxidschichtwiderstände nach DIN 44 063 CV (0411) NV (0414) DV (0617) EV (0922) FV (0933)

0;66 0;66 1;0 2;5 3;0

Metallglasurwiderstände nach DIN 44 066

A4/ (0207) B4/ (0309) C4/ (0617) 1/ 2/ 3/ 4/

0;5 0;65 1;0

Gleichspannung oder effektive Wechselspannung Gleichspannung oder Scheitelwert der Wechselspannung 2. Kennbuchstabe zur Kennzeichnung des Temperaturkoeffizienten Gilt für ªo D 175 °C, bei ªo D 220 °C gilt für Baugröße EV 65 K/W und für Baugröße FV 50 K/W

82

2 Widerstände

Abb. 2.3: Farbkennzeichnung bei Standard- und Präzisionswiderständen Tab. 2.4: Internationaler Standardfarbencode für Widerstände. Der erste Ring liegt näher an dem einen Ende des Widerstandswertes als der letzte Ring am anderen Ende Farbe

1. Ring 1. Ziffer

2. Ring 2. Ziffer

3. Ring Multiplikator

4. Ring 4. Ziffer

schwarz braun rot orange gelb grün blau violett grau weiß gold silber keine

– 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – – –

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – – –

100 D 1 101 102 103 104 105 106 107 108 109 101 102 –

– ˙1 % ˙2 % – – ˙0,5 % ˙0,25 % ˙0,1 % – – ˙5 % ˙10 % ˙20 %

Beim Präzisionswiderstand von Abb. 2.3 hat man fünf Farbringe und der dritte Ring definiert dann die dritte Ziffer. Bei den Widerständen spielt die Toleranz eine große Rolle und zu jeder E-Reihe gehört ein bestimmter Toleranzwert. Man kann zwischen E6 mit ˙20 %, E12 mit ˙10 %, E24 mit ˙5 %, E48 mit ˙2 % und E96 mit ˙1 % auswählen. In der Praxis setzt man die E24-Reihe ein, d. h. eine Widerstandsdekade hat 24 verschiedene Werte. Tabelle 2.5 zeigt die Normreihen. Am verbreitetsten sind stabförmige Kohleschichtwiderstände. Bei ihrer Herstellung befindet sich die Widerstandsschicht auf einem Keramikkörper. Bei richtiger Steuerung des Prozesses erhält man eine Schichtdicke, die einen Widerstandswert in der Größenordnung des gewünschten Nennwertes ergibt. Durch Aussuchen mit Hilfe automatischer Messeinrichtungen findet man Widerstände, die ohne besonderen Abgleich – allerdings bei größerer Toleranz – mit einem Normwert der IEC-Reihe zusammenfallen. Für engere Toleranzen wird der Widerstand nachträglich bearbeitet und abgeglichen. Meist erfolgt dies durch Einschleifen des Wendels. Dadurch nimmt die zunächst rohrförmige Widerstandsschicht die Form eines aufgewickelten Bands an, wodurch sich der Widerstands-

1;5

2;2

3;3

4;7

6;8

1;20

1;76

2;64

3;76

5;14

8;16

5;64

3;96

2;64

1;80

1;20

1;0

0;80

6;8 8;2

7;38

5;6

5;04

6;12

4;7

3;9

3;51

4;23

3;3

2;7

2;43

2;97

2;2

1;8

1;62

1;98

1;5

1;2

1;08

1;35

1;0

0;90

Nennwert

10 %

Nennwert

20 %

C20 %

Reihe E12 ˙10 %

Reihe E6 ˙20 %

9;02

7;48

6;16

5;17

4;29

3;63

2;97

2;42

1;98

1;65

1;32

1;10

C10 %

Tab. 2.5: Normreihen nach E6, E12, E24, E48 und E96

0;950 1;045 1;140 1;235 1;425 1;520 1;710 1;900 2;090 2;280 2;665 2;850 3;135 3;420 3;705 4;085 4;465 4;845 5;320 5;890 6;460 7;125 7;790 8;645

5 % 1;0 1;1 1;2 1;3 1;5 1;6 1;8 2;0 2;2 2;4 2;7 3;0 3;3 3;6 3;9 4;3 4;7 5;1 5;6 6;2 6;8 7;5 8;2 9;1

Nennwert

Reihe E24 ˙5 %

1;050 1;155 1;260 1;365 1;575 1;680 1;890 2;100 2;310 2;520 2;835 3;150 3;465 3;780 4;095 4;515 4;935 5;355 5;880 6;510 7;140 7;875 8;610 9;555

C5 %

169

162

154

147

140

133

125

121

115

110

105

100

E48 100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 125 130 133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174

E96

301

287

274

261

249

237

226

215

205

196

187

178

E48 178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309

E96

536

511

487

464

442

422

402

383

365

348

332

316

E48 316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549

E96

Reihe für Nennwerte mit engen Stufen

953

909

866

825

787

750

715

681

649

619

590

562

E48

562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976

E96

2.1 Eigenschaften von Widerständen 83

84

2 Widerstände

Abb. 2.4: Vier Beispiele zur Bestimmung der aufgedruckten Widerstandsfarbkennzeichnung

wert erhöht. Dieses Verfahren ist auch für die Herstellung sehr hochohmiger Widerstände unerlässlich, da man keine stabilen Schichten mit der hierfür erforderlichen geringen Dicke herstellen kann. In der Herstellung erhalten die Wendelungen eine Steigung von 0,2 mm und eine Rillenbreite von 100 m, wodurch sehr lange Widerstandsbahnen für hochohmige Widerstände entstehen. Wendelförmig eingeschliffene Rillen weisen bei niederohmigen Werten den Nachteil einer nennenswerten Induktivität auf. Für HF-Anwendungen schleift man dann entweder Längsrillen ein oder verzahnte Querrillen, wodurch sich eine sehr geringe Induktivität erreichen lässt. Bei hochohmigen Werten ist die durch Wendelung verursachte induktive Blindkomponente vernachlässigbar. Dagegen tritt jetzt durch die nebeneinander liegenden Widerstandsbahnen eine Kapazität auf. Auch wenn diese Kapazität meist nur im pF-Bereich liegt, muss man diese bei höheren Frequenzen doch beachten, denn bei 10 MHz ergibt eine Kapazität von 1 pF einen Blindwiderstand von 16 k! Kohleschichtwiderstände ändern ihren Wert um 300  106 1/K, wenn diese Temperaturänderungen ausgesetzt sind. Der Streubereich des TK-Werts erstreckt sich von 100  106 1/K bis 12006 1/K. Die größte Temperaturabhängigkeit ist bei Widerstandswerten über 100 k gegeben, da dann die Schicht sehr dünn ist und wenig Stabilität aufweist. Diesem Nachteil

2.1 Eigenschaften von Widerständen

85

lässt sich durch die Verwendung von Widerständen mit größeren Abmessungen, als sie von der Belastung notwendig wären, bis zu einem gewissen Grade ausgleichen. Metallschichtwiderstände sind weniger temperaturabhängig. Der TK-Wert bleibt unter C100  106 1/K und wird je nach Anforderung in den Grenzen um C100  106 1/K, C50  106 1/K, C25  106 1/K und ˙5  106 1/K garantiert. Bei niederohmigen Werten geht auch die Ausdehnung des Widerstandskörpers in den TK-Wert ein, weshalb das Vorzeichen hier nicht definiert sein kann. In der Praxis unterscheidet man für die Belastbarkeit zwischen folgenden Nennbelastungen: 0,1 W, 0,25 W, 0,5 W, 1 W, 2 W, 3 W, 6 W, 10 W und 20 W. Die zulässige Belastung ist im Wesentlichen von der Abmessung des Widerstands abhängig.

2.1.3

Aufbau einer simulierten Schaltung

In der Simulation arbeitet man mit virtuellen Widerständen, die man entsprechend über die Maus verschaltet.

Abb. 2.5: Spannungs- Strom und Leistungsmessung an einem Widerstand

In der Schaltung von Abb. 2.5 erzeugt eine Gleichspannungsquelle die Betriebsspannung und über den Widerstand fließt ein Strom. Die Anzeige der Spannung erfolgt in einem Multimeter. Wenn man das Symbol für die Gleichspannungsquelle zweimal anklickt, erscheint ein Fenster und hier lässt sich nun ein Wert zwischen 0,0001 V und 999,99 kV einstellen. In unserem Fall erzeugt die Spannungsquelle einen Wert von 12 V. Ist die Spannung richtig eingestellt, klickt man das Feld „Akzept“ an und der entsprechende Spannungswert erscheint neben dem Symbol. Danach holt man sich aus der vertikalen Toolbar den Widerstandswert. Dieser ist in der Grundschaltung jedoch horizontal angeordnet. Mit Hilfe der Funktion Drehen nach

86

2 Widerstände

Betätigung der rechten Maustaste kann man das Widerstandssymbol in 90°-Schritten im oder gegen den Uhrzeigersinn drehen. Klickt man das Widerstandssymbol zweimal an, erscheint ein Fenster. Hier kann man einen Widerstand von 0,000 000 1  bis zu 99 999 999 M direkt über die Tastatur eingeben. Wenn man das Feld „Akzept“ anklickt, steht der eingegebene Wert direkt am Widerstandssymbol. Für die Messung der Spannung setzt man das Multimeter ein. Dieses Multimeter besitzt eine automatische Messbereichsumschaltung (Auto-Range). Die Messart und die Stromart werden durch Anklicken der entsprechenden Taste auf der Messgerätefront mit der Maus ausgewählt. Damit lassen sich Strom, Spannung, Widerstand und Dezibel messen. Unterhalb der Messart befinden sich die beiden Felder für die Wechselstrommessung (AC) und für die Gleichstrommessung (DC). Ist das Multimeter auf AC eingestellt, erfolgt die Messung stets im Effektivwert. Da der Effektivwert bei der Simulation auf mathematischem Weg ermittelt wird, bezieht sich diese Option nicht nur auf rein sinusförmige Signale, sondern auf jedes beliebig alternierende Signal. Die Grundeinstellungen des Multimeters kann man durch Anklicken der Taste Einstellung (Settings) programmieren. Tabelle 2.6 zeigt die Bereiche für die Grundeinstellung des Multimeters. Tab. 2.6: Bereiche für die Grundeinstellung des Multimeters

Ampere Volt Ohm Dezibel

Shunt-Widerstand Rm Innenwiderstand Ri Messstrom Im Spannungswert UdB

1,0 p bis 999,99  1,0  bis 999,99 T 1,0 A bis 999,99 kA 1,0 V bis 999,99 kV

In der Grundeinstellung hat der Volt-Bereich des Multimeters einen Wert von 1 G. Startet man die Simulation über den Schalter oben rechts im Monitor, erscheint im Anzeigenfeld des Multimeters der Wert U D 12,0 V. Der Spannungsmesser zeigt U D 12 V und der Strommesser I D 1,2 A an. Dieser Wert lässt sich errechnen mit ID

U 12 V D D 1;2 A R 10 

Mit dem Wattmeter kann man die Leistungsaufnahme des Widerstandes berechnen mit P D U  I D 12 V  1;2 A D 14;4 W Ein reales mechanisches Wattmeter hat eine Strom- und Spannungsspule. Im Widerstand R wird eine Leistung von 14,4 W umgesetzt und daher ist die maximale Leistung auf 20 W einzustellen. Wird dies nicht durchgeführt, ergibt sich eine Fehlermeldung, denn der Widerstand verschwindet. Wenn man die Schaltung von Abb. 2.6 realisiert, zeigt das Multimeter direkt den ohmschen Wert des Widerstands an. Der Widerstand und das Multimeter müssen geerdet sein, damit es keine Fehlermeldung gibt.

2.1 Eigenschaften von Widerständen

87

Abb. 2.6: Messung des Widerstandswertes durch den Ohmbereich im Multimeter

2.1.4

Nennwerte von Widerständen

Ein Widerstand beinhaltet zahlreiche Nennwerte. Toleranz Dem Widerstandshersteller muss eine gewisse Toleranz für das Einhalten des Nennwertes zugestanden werden. Je nach den Ansprüchen sind genormte Widerstände mit Toleranzen von ˙0,5 %, ˙1 %, ˙2 %, ˙5 %, ˙10 % und ˙20 % lieferbar. Für Präzisionswiderstände in Messgeräten, für die es aber keine Normen gibt, sind Genauigkeiten bis zu ˙0,001 % erzielbar. Belastbarkeit Die einem Widerstand zugeführte elektrische Energie wird vollkommen in Wärme umgesetzt, die aber sofort wieder abgeführt werden muss, wenn der Widerstand nicht zerstört werden soll. Der überwiegende Teil der Wärmemenge wird von seiner Oberfläche an die Luft abgegeben. Die zulässige Belastbarkeit ist folglich eine Funktion der Abmessungen des Widerstands. Daneben spielt natürlich auch die Umgebungstemperatur eine Rolle, unter der er arbeiten muss. Ein Teil der gespeicherten Wärme fließt auch über die Anschlussdrähte ab, was vor allem bei Widerständen mit sehr kleinen Abmessungen und relativ dicken Drähten der Fall ist. Die Belastbarkeit handelsüblicher Widerstände erstreckt sich von 0,1 W bis 150 W.

88

2 Widerstände

Belastbarkeit in Volt Bei hochohmigen Widerständen muss neben der Belastbarkeit in Watt auch der anzulegenden Spannung eine Grenze gesetzt werden. Wegen der geringen Dicke der Widerstandsdrähte oder -schichten können durch Feuchtigkeitseinwirkungen infolge der dadurch entstehenden elektrolytischen Leitung allmählich Materialabtragungen auftreten, die bei zu hoher Betriebsspannung einen Widerstand in kurzer Zeit zerstören. Widerstandsänderung durch Erwärmung Der spezifische Widerstand jeglicher Widerstandsmaterialien ist temperaturabhängig. Zur Kennzeichnung des Änderungsmaßes mit der Temperatur wird der Temperaturkoeffizient (TK) angegeben. Er besagt, um welchen Bruchteil des bei 20 °C gemessenen Widerstandes sich sein Wert ändert, wenn die Temperatur um 1 °C zunimmt. Meist sind die Nennwerte auf 20 °C bezogen. Prinzipiell können natürlich auch andere Bezugstemperaturen eingesetzt werden. Ein Widerstand mit dem Wert R20 und einem TK-Wert ’ nimmt bei der Änderung der Temperatur ª (in °C) den Wert Rª an: Rª D R20 .1 C ’  ª/ Der Wert ’ kann ein positives oder negatives Vorzeichen aufweisen, je nachdem, ob der Widerstand beim Erwärmen zu- oder abnimmt. Der TK von Metallen ist im Allgemeinen positiv, der von Halbleitern, zu denen auch die für Schichtwiderstände verwendete Kohle gehört, negativ. Je nach der Genauigkeitsklasse des Widerstands wird auch ein entsprechend geringerer TK benötigt. Beispiel: Ein Kohleschichtwiderstand hat bei Raumtemperatur von 20 °C einen Widerstandswert von 1 k. Wie groß ist der Widerstandswert bei 100 °C? Rª D R20 .1 C ’  ª/ ª D 100 °C  20 °C D 80 °C D 80 K Rª D 1 k.1 C .0;0003 1=K/  80 K/ D 1 k.1  0;024/ D 1 k  0;976 D 976  Der Widerstandswert hat sich also durch das Erwärmen von 20 °C auf 100 °C um 24  verringert und der Widerstand hat daher ein NTC-Verhalten. Abbildung 2.7 zeigt die Simulation eines Widerstandswertes mit R D 1 k durch Erwärmen von 20 °C auf 100 °C. In Abb. 2.8 ist eine Reihenschaltung von zwei Widerständen mit unterschiedlichen Temperaturbeiwerten gezeigt. Der Gesamttemperaturbeiwert errechnet sich aus ’D

’ 1  R 1 C ’2  R 2 R1 C R2

2.1 Eigenschaften von Widerständen

Abb. 2.7: Simulation eines Widerstandswertes durch das Erwärmen von 20 °C auf 100 °C

Abb. 2.8: Reihenschaltung von zwei Widerständen mit unterschiedlichen Temperaturbeiwerten

’ Gesamttemperaturbeiwert in 1/K ’1 ;’2 Temperaturbeiwerte in 1/K R1 , R2 Einzelwiderstände in  Beispiel: R1 D 1 k, ’1 D 0;004 1/K, R2 D 2 k, ’2 D 0;02 1/K, ’ D ? ’D

0;004 K1  1 k C 0;02 K1  2 k 1 D 0;0147 1 k C 2 k K

Abb. 2.9: Parallelschaltung von zwei Widerständen mit unterschiedlichen Temperaturbeiwerten

89

90

2 Widerstände

Abbildung 2.9 zeigt die Parallelschaltung von zwei Widerständen mit unterschiedlichen Temperaturbeiwerten. ’DR ’ R ’1 ;’2 R1 , R2

’1  R 2 C ’ 2  R 1 R1  R2

Gesamttemperaturbeiwert in 1/K Gesamtwiderstand in  Temperaturbeiwerte in 1/K Einzelwiderstände in 

Beispiel: R1 D 1 k, ’1 D 0;004 1/K, R2 D 2 k, ’2 D 0;02 1/K, ’ D ? 1 k  2 k R 1  R2 D 667  D R1 C R2 1 k C 2 k 0;004 K1  2 k C 0;02 K1  1 k 1 D 0;0093 ’ D 667   1 k  2 k K RD

Alterung Der Widerstandswert aller Typen verändert sich mit der Zeit um einen gewissen Betrag, den man als Alterung bezeichnet. Solche Veränderungen entstehen beispielsweise nach starker Erwärmung, durch Feuchtigkeitseinwirkung, durch Abtragen von Widerstandsmaterial infolge elektrolytischer Korrosion und durch andere Einflüsse. Der Grad der möglichen Widerstandsänderung durch Alterung ist ein Maß für die Qualität und somit zugleich eine Frage der Herstellungskosten. Zur Kennzeichnung dienen bei genormten Widerständen die Güteklassen 0,5, 2, 5 und 7. Diese Zahlen besagen, dass sich der Widerstandswert nach 5000 Betriebsstunden unter Volllast (= zulässige Belastbarkeit in Watt) um ˙0,5 %, ˙2 % usw. ändern kann. An einem Widerstand der Klasse 2 mit der Toleranz ˙5 % darf also nach 5000 Betriebsstunden unter voller Belastung eine Widerstandsabweichung von ˙7 % feststellbar sein. Im Allgemeinen bleiben die tatsächlichen Abweichungen unter den zulässigen Werten, da die Widerstände nicht in allen Anwendungsfällen voll ausgelastet sind. Man unterscheidet zwischen Widerständen für gewöhnliche Anforderungen, erhöhte Anforderungen und höchste Anforderungen. Die Klasseneinteilungen sind auf Präzisionswiderstände der Messtechnik nicht anwendbar. Hier wird eine sehr viel bessere Konstanz gefordert, bis herab zu 105 oder 0,001 %. Eigeninduktivität Ein auf einen Körper aufgewickelter Widerstandsdraht stellt im Prinzip etwas Ähnliches dar wie die in Hochfrequenzschaltungen verwendeten Spulen. Der Widerstand hat demzufolge eine bestimmte Induktivität. Abbildung 2.10 zeigt das Ersatzschaltbild eines Widerstandes mit induktiver Komponente. Der Wert reicht von einigen Nanohenry (nH) bis zu einigen Millihenry (mH). Während man bei Spulen einen geringen Widerstand anstrebt, damit sich ein möglichst reiner Blindwiderstand ergibt, bemüht man sich bei Drahtwiderständen, den Blindanteil kleinzuhalten, da er in Wechselstromschaltungen eine unerwünschte Phasenverschiebung zwischen Strom und

2.1 Eigenschaften von Widerständen

91

Abb. 2.10: Ersatzschaltbild eines Widerstandes mit induktiver Komponente

Spannung verursacht. Durch besondere Wickeltechniken gelingt es, diese Störkomponente in erträglichen Grenzen zu halten. Als Maßzahl für die Geringfügigkeit des Blindanteils gibt man das Verhältnis Induktivität zu Widerstand an und bezeichnet sie als Zeitkonstante, gemessen in s (Sekunden). Die Werte der Zeitkonstante von Widerständen, die sich auch bei Hochfrequenz einsetzen lassen, liegen unter 1 s. Eigenkapazität Jedes Leiterpaar, zwischen dem ein Spannungsunterschied besteht, hat auch eine Kapazität, weil das zugleich vorhandene elektrische Feld eine Anzahl Ladungen bindet. Dieser Grundsatz ist auch auf die einzelnen Windungen eines Drahtwiderstandes anwendbar.

Abb. 2.11: Wicklungskapazität eines Drahtwiderstandes

In Abb. 2.11 ist ein Widerstand mit drei Windungen dargestellt. Zwischen jeder Windung liegt ein Drittel der Gesamtspannung U. Je nach den Abmessungen der Drähte, ihrer Isolationsdicke usw. ergibt sich eine in Wirklichkeit unendlich fein verteilte Kapazität, die man sich in einer konzentrierten Kapazität zwischen den Klemmen zusammengefasst vorstellen darf (Abb. 2.12). Sie ist vorallem bei hochohmigen Widerständen störend, da sie bei Hochfrequenz einen mehr oder weniger wirksamen Kurzschluss darstellt. Die praktisch vorkommenden Kapazitätswerte liegen zwischen einigen Pikofarad und einigen hundert Pikofarad. Durch besondere Wickeltechnik lässt sich die Kapazität von Drahtwiderständen auf erträgliche Werte herabsetzen. Als Maß für den Blindanteil dient auch in diesem Falle die Zeitkonstante, die als das Produkt von Widerstand und Kapazität definiert ist: £ D C¨  R. Störende Kapazitäten sind nicht nur bei Drahtwiderständen vorhanden, sondern auch bei Schichtwiderständen, bei denen sie aber wesentlich geringer sind, meist 0,5 bis 1 pF.

Abb. 2.12: Ersatzschaltbild eines Widerstandes mit kapazitiver Komponente

92

2.2

2 Widerstände

Drahtwiderstände

Drahtwiderstände finden wegen ihrer Robustheit hauptsächlich bei größeren Belastungen bis zu P D 500 W ihre Verwendung. Daneben werden aber auch die hochpräzisen Typen für die Messtechnik mit Draht ausgeführt. Wegen ihrer unvermeidlichen induktiven oder kapazitiven Blindkomponente dürfen sie nur bei Gleichstrom oder niedrigen Frequenzen eingesetzt werden, mit Ausnahme ganz spezieller Ausführungen, die sich auch bis herauf zu etwa 300 kHz bewähren.

2.2.1

Festwiderstände

Der Widerstandsdraht wird auf einen wärmefesten Isolierkörper gewickelt, der beispielsweise aus Keramik besteht (Abb. 2.13). Anfang und Ende der Wicklung schweißt oder lötet man an Schellen oder Kappen an. Für den Draht kommen nur solche Werkstoffe in Frage, deren spezifischer Widerstand ¡ wesentlich größer als der von Kupfer ist, damit man keine übermäßigen Längen benötigt.

Abb. 2.13: Prinzipieller Aufbau eines Drahtwiderstandes mit unifilarer Wicklung und Schellenschlüssen

Auch darf sich sein Widerstandswert eines Drahtwiderstandes mit der Temperatur nur wenig verändern. Die Widerstandsmaterialien müssen deshalb einen kleinen Temperaturkoeffizienten aufweisen, was bei Kupfer auch nicht der Fall ist. Man hat aus diesem Grunde spezielle Legierungen entwickelt, deren Hauptbestandteile Chrom und Nickel sind. Drei Widerstandsmaterialien (WM) sind genormt: Nickelin: Manganin: Konstantan:

WM 40 WM 43 WM 50

¡ D 0;40 mm2 /m ¡ D 0;43 mm2 /m ¡ D 0;50 mm2 /m

’ D 0;0002 1/K ’ D 0;000004 1/K ’ D 0;000005 1/K

Die zur Anfertigung eines Widerstandes R erforderliche Drahtlänge errechnet sich bei gegebenem Drahtquerschnitt A oder -durchmesser d zu: lDR

A    d2 DR ¡ 4¡

Einzusetzen sind A in mm2 , d in mm, l in m und ¡ in mm2 /m

2.2 Drahtwiderstände

93

Beispiel: Zur Herstellung eines Widerstandes mit 1  soll ein 0,1 mm dicker Draht aus WM 50 verwendet werden. Welche Länge l wird benötigt? lDR

3;14  0;1 mm2    d2 D 1 D 0;157 m 4¡ 4  0;5 mm2 =m

Die Widerstandsdrähte sind entweder mit einem Textilfaden umsponnen, lackiert oder auf ihrer Oberfläche leicht anoxidiert, damit sich dicht aneinanderliegende Windungen nicht gegenseitig kurzschließen. Der ohmsche Wert von 1  des fertigen Widerstandes ist meist etwas größer als der des Drahtes allein, weil Maßänderungen des Wickelkörpers und andere Einflüsse beachtet werden müssen. Widerstände der Klasse 0,5 dürfen beispielsweise einen Wert 1  von maximal 100  106 1/K aufweisen, bei solchen der Klasse 2 sind dagegen 1  103 1/K zugelassen. Präzisionswiderstände lassen sich durch besondere Wickeltechniken und künstliche Alterung so weit stabilisieren dass der TK nur wenige 106 1/K beträgt, also praktisch den Wert des Drahtes selbst erreicht.

Abb. 2.14: Aufbau einer bifilaren Wicklung

Wickelt man den Draht einfädig auf den Körper, dann spricht man von einfädiger Wicklung (Abb. 2.13). Diese Wickelart hat eine relativ hohe Induktivität zur Folge. Legt man den Widerstandsdraht dagegen zuerst zu einer engen haarnadelförmigen Schleife zusammen und wickelt diese auf, so hat man die zweifädige oder bifilare Wicklung (Abb. 2.14). Die enge Schleife verhindert praktisch das Entstehen eines Magnetfeldes, weshalb die Induktivität verschwindend gering ist. Ein Nachteil dieser Wicklungsart ist ihre hohe Wicklungskapazität. Durch weitere, hier nicht zu erörternde Spezialwicklungen lässt sich für Präzisionswiderstände ein Kompromiss zwischen induktiver und kapazitiver Blindkomponente schaffen. Auf die Drahtwicklung wird vielfach noch eine Schutzschicht aufgebracht, um sie gegen Beschädigung und Feuchtigkeit und damit Korrosion zu schützen. Diese Schicht kann ein spezieller Lack sein. Bei hochbelastbaren Typen bettet man die Drähte gänzlich in Porzellan oder Zement ein (Abb. 2.15). Diese Widerstände dürfen sogar bis zur Rotglut der Drähte belastet werden, ohne dass sie dabei Schaden nehmen. Die Nennwerte von Drahtwiderständen sind der Normzahlreihe entnommen. Widerstandstoleranzen preiswerter Widerstände erstrecken sich von ˙1 % bis ˙10 %, bei Präzisionswi-

94

2 Widerstände

Abb. 2.15: Widerstand mit eingebetteten Drähten

derständen sind dagegen auch Toleranzen bis zu 0,001 % erzielbar. Das Alterungsverhalten genormter Drahtwiderstände entspricht den erwähnten Güteklassen.

2.2.2

Veränderbare Drahtwiderstände

Veränderbare Widerstände werden dann als Drahtwiderstände ausgeführt, wenn sie für größere elektrische Belastungen ausgelegt werden. Da man einen solchen Widerstand ohne weiteres auch als Spannungsteiler verwenden kann, bezeichnet man ihn in der technischen Umgangssprache stets als Potentiometer (Potentiometer = Spannungsteiler).

Abb. 2.16: Veränderbarer Widerstand mit geradliniger Bewegung des Schleifers

Der Widerstandsdraht wird auf einen Isolierkörper aus Hartpapier oder Keramik gewickelt. Der Körper kann ein langgestreckter Zylinder (Abb. 2.16) oder ein Ring sein (Abb. 2.17). Auf der Bahn des Schleifers ist die Isolation abgeschliffen, damit ein Kontakt zustande kommt. Die Drähte hochbelasteter Widerstände sind in Porzellan oder Zement eingebettet. Spannungsteiler für regelungstechnische Zwecke verwendet man als Wickelkörper auf einem gedrehten Aluminiumring, dessen Oberfläche zwecks Isolation eloxiert ist (= elektrolytisch oxidiert). Bei solchen Potentiometern kommt es darauf an, dass die Windungen genau gleiche Abstände aufweisen, damit ein streng linearer Zusammenhang zwischen Drehwinkel und der abgegriffenen Spannung besteht. Um das Auflösungsvermögen eines Spannungsteilers zu vergrößern, kann man den Wickelkörper aus einem langen flexiblen Stab herstellen, der nach dem Aufwickeln des Widerstandsdrahtes zu einer schraubenförmigen Wendel zusammengelegt wird (Abb. 2.17 und 2.18). Der Schleifer benötigt dann mehrere Umdrehungen, um die ganze Länge des Wickels überstreichen zu können. Solche Spezialpotentiometer (Mehrgangpotentiometer) werden für 2 . . . 40 Umdrehungen angefertigt. Die Schleifer von veränderbaren Drahtwiderständen bestehen aus federndem Material und tragen an der Kontaktstelle meist eine Feder mit einem Abgriff aus Silber.

2.2 Drahtwiderstände

95

Abb. 2.17: Veränderbarer Widerstand mit Kreisbahn des Schleifers

Abb. 2.18: Prinzip eines Mehrgangwendel-Potentiometers

In der Schaltung von Abb. 2.19 wird der unbelastete Spannungsteiler untersucht. Wenn es sich um einen unbelasteten Spannungsteiler handelt, ist der Schalter offen. Die Steuerung übernimmt die PC-Taste „Leerzeichen“. Die Ausgangsspannung errechnet sich aus   R01 Ue 0 Ua D U e R D R  1 1 1 R1 C R01 Ua Der Widerstand R01 ist der obere Teil und der Widerstand R1 der untere Teil des Spannungsteilers. Beispiel: Ue D 12 V; R1 D 400 ; R01 D 600 ; Ua D ? Ua D 12 V

600  D 7;2 V 400  C 600 

Die Ausgangsspannung lässt sich zwischen 0 V und 12 V in Stufen von 5 % einstellen. Diese Stufen kann man über das Symbol des Potentiometers zwischen 1 % und 20 % wählen.

96

2 Widerstände

Abb. 2.19: Simulation eines unbelasteten (Schalter offen) und eines belasteten Spannungsteilers (Schalter geschlossen)

In der Schaltung von Abb. 2.19 wird der belastete Spannungsteiler untersucht. Wenn es sich um einen belasteten Spannungsteiler handelt, ist der Schalter geschlossen. Die Steuerung übernimmt die PC-Taste „Leerzeichen“. Die Ausgangsspannung errechnet sich aus Ua D U e

R01 k RL R1 C R01 k RL

R k RL D

R01  RL R01 C RL

Beispiel: Ue D 12 V; R1 D 400 ; R01 D 600 ; RL D 1 k; Ua D ? R k RL D

600   1 k D 375  600  C 1 k

Ua D 12 V

375  D 3;27 V 375  C 1 k

Die Ausgangsspannung sinkt von 7,2 V auf 3,27 V, wenn der Schalter geschlossen ist. Nennwert Der Nennwert eines veränderbaren Drahtwiderstandes ist der Widerstandswert zwischen Anfang und Ende des Wickels. Als Toleranz ist ˙10 % üblich, doch lassen sich für Sonderanwendungen auch ˙0,1 % erzielen. Belastbarkeit in Watt Die Belastbarkeit in Watt gilt für den Gesamtwiderstand. Stellt man einen geringeren Widerstandswert ein, dann muss die Belastung entsprechend herabgesetzt werden, beispielsweise

2.2 Drahtwiderstände

97

bei Abgreifen des dritten Teils von R auf ein Drittel der Nennlast. Die angegebene zulässige Belastung gilt nur für Umgebungstemperaturen bis zu C40 °C. Kommen im Betrieb höhere Temperaturen vor, muss die zugeführte elektrische Leistung ebenfalls vermindert werden. Abbildung 2.20 zeigt den Widerstandsverlauf eines linearen Drahtdrehwiderstandes.

Abb. 2.20: Verlauf eines linearen Drahtdrehwiderstandes

Belastbarkeit in Volt Die Belastbarkeit in Volt ergibt sich aus der zulässigen Gesamtleistung p Umax D P  R Widerstandsverlauf Die abgegriffene Spannung oder der abgegriffene Widerstand sollen meist proportional zum Weg des Schleifers sein. Bei geraden Verlauf des Widerstandes (Abb. 2.21) heißt die Proportionalität zum Schleiferhub, bei den überwiegend verwendeten Drahtdrehwiderständen zum Drehwinkel ’. Da sich der Widerstand natürlich nicht vollkommen stetig, sondern nur in kleinen Sprüngen mit dem Widerstand einer Drahtwindung verändern kann, hat der tatsächliche Verlauf folgendes Verhalten: Steht der Schleifer am Anfang oder Ende seiner Bahn, dann herrscht zwischen seinem Anschluss und dem Wicklungsanfang bzw. Wicklungsende der Anfangsanschlagwert Ra bzw. Endanschlagswert Re (Abb. 2.20). Diesen wird durch den Widerstand des Schleifers bestimmt, der ja aus federndem Material sein muss, das stets schlechter leitet als Kupfer. Von dem Wert Ra oder Re springt der Widerstand auf den Anfangssprungwert Ra bzw. Endsprungwert Re , ehe die eigentliche Einstellstrecke beginnt. Von hier an ist dann der Widerstand proportional zum Drehwinkel ’. Auch der Proportionalität muss selbstverständlich eine gewisse Toleranz zugestanden werden. Die Abweichung

98

2 Widerstände

Abb. 2.21: Erklärung des Begriffes „Linearität“ bei einem Potentiometer

des Istwertes vom Sollwert bei einem beliebigen Drehwinkel ’ bezeichnet man als Linearität (Abb. 2.21): LD

R  100 % Re

Bei normalen Widerständen beträgt sie etwa ˙1,5 % vom Endwert (= Nennwert) des Widerstandes. Potentiometer für einstelltechnische Zwecke erfordern oft eine weit bessere Linearität, die sich durch Sonderausführungen mit Abweichungen von idealer Proportionalität um nur ˙0,02 % realisieren lässt.

Abb. 2.22: Potentiometer mit unterschiedlichen Drahtstärken

2.3 Schichtwiderstände

99

Mitunter soll zwischen Drehwinkel und abgegriffener Spannung ein anderer mathematischer Zusammenhang bestehen als Proportionalität. Beispielsweise kann verlangt werden, dass mit zunehmendem Drehwinkel ’ die am Schleifer verfügbare Spannung nach einem logarithmischen Gesetz wächst. Solche Potentiometer lassen sich auf verschiedene Weise realisieren. Bei der bekanntesten Ausführung verwendet man für bestimmte Drehwinkelbereiche unterschiedliche Drahtstärken. Dadurch lässt sich die Sollkurve annähern (Abb. 2.22). Je mehr verschiedene Drähte verwendet werden, desto genauer ist die Annäherung an den Idealzustand. Ferner ist es möglich, dem ringförmigen Wickelkörper in einzelnen Drehwinkelbereichen unterschiedliche Höhen zu geben, wodurch die Widerstandswerte der einzelnen Drahtwindungen verschieden werden und sich so ebenfalls nicht lineare Kurvenverläufe ergeben. Der Drehwinkelbereich einfacher Drahtwiderstände liegt zwischen 90° und 260°. Für Spezialzwecke kann er auf 360°, also einen vollen Kreisbogen oder sogar auf 14 400° ausgedehnt werden. Im letzteren Falle handelt es sich natürlich um Mehrfachwendelpotentiometer, z. B. um ein 10-Gang-Potentiometer, bei denen 20 Umdrehungen erforderlich sind, um den ganzen Widerstandswinkel zu überstreichen. Der Einstellbereich liegt bei 3600°.

2.3

Schichtwiderstände

Anstelle eines Drahtes lassen sich auch dünne Schichten eines geeigneten Widerstandsmaterials auf stab- oder plattenförmige Träger aufbringen. Diese Schichten werden aufgedampft (Schichtwiderstände und Dünnfilmwiderstände) oder aufgedruckt (Dickfilmwiderstände).

2.3.1

Festwiderstände

Am verbreitetsten sind die stabförmigen Kohle- und Metallschichtwiderstände (Abb. 2.23a und b).

Abb. 2.23: Aufbau von Kohleschichtwiderständen a) mit Kappen (tangentiale Anschlüsse) b) kappenlos (axiale Anschlüsse)

100

2 Widerstände

Bei ihrer Herstellung bringt man die Widerstandsschicht auf einem Keramikkörper auf. Bei richtiger Steuerung des Prozesses erhält man eine Schichtdicke, die einen Widerstandswert in der Größenordnung des gewünschten Nennwertes ergibt. Durch Aussuchen mit Hilfe automatischer Messeinrichtungen findet man Widerstände, die ohne besonderen Abgleich – allerdings bei größerer Toleranz – mit einem Normwert der IEC-Reihe identisch sind. Für engere Toleranzen wird der Widerstand abgeglichen. Meist erfolgt dies durch Einschleifen von Wendeln (Abb. 2.24). Dadurch nimmt die zunächst rohrförmige Widerstandsschicht die Form eines aufgewickelten Bandes an, womit der Widerstandswert höher wird. Dieses Verfahren ist auch für die Herstellung sehr hochohmiger Widerstände unerlässlich, weil man keine stabilen Schichten mit der hierfür erforderlichen geringen Dicke herstellen kann. Widerstände nach neueren Technologien erhalten Wendelungen mit 0,2 . . . 0,25 mm Steigung und Rillenbreiten von 100 . . . 150 m, wodurch sehr lange Widerstandsbahnen entstehen.

Abb. 2.24: Schichtwiderstand mit eingeschliffenen Wendeln

Wendelförmig eingeschliffene Rillen weisen bei niederohmigen Widerständen den Nachteil einer nennenswerten Induktivität auf. Für Hochfrequenzanwendung schleift man dann entweder Längsrillen ein oder verzahnte Querrillen, wodurch sich eine Art Labyrinth ergibt (Abb. 2.25), das ein nur sehr geringes Magnetfeld entstehen lässt und damit eine geringe Induktivität. Bei hochohmigen Widerständen ist die durch Wendelung verursachte induktive Blindkomponente vernachlässigbar. Dagegen macht sich die Kapazität der nebeneinander liegenden Widerstandsbahnen bemerkbar (Abb. 2.24). Wenngleich die resultierende Kapazität meist nur einige Zehntel Pikofarad ausmacht, muss man sie bei höheren Frequenzen doch beachten, schließlich stellen 0,5 pF beispielsweise bei f D 10 MHz nur noch einen Blindwiderstand von 3,2 k dar. Auf die Enden des Widerstandskörpers werden Kappen oder Schellen aufgepresst, welche die Lötfahnen oder Anschlussdrähte tragen. Bei einer anderen, häufig verwendeten Ausführungsart bringt man auf chemischem Wege auf die Enden der Widerstandsschicht eine Metallschicht auf, mit der sich die in axialer Richtung eingeführten Anschlussdrähte verlöten lassen. Lack- oder Kunstharzschichten schützen die Widerstandsschichten gegen Umwelteinflüsse und mechanische Beschädigungen. Zur Erleichterung der Bestückung von gedruckten Leiterplatten mit Bestückungsmaschinen liefert die Industrie die Widerstände auf Gurte aufgezogen aus. Die Maschinen schneiden die Enden mit den Gurten ab, biegen die Drähte um und führen sie in die Bohrungen der Leiterplatten ein. Für sehr engbestückte Schaltungen gibt es auch stehende Widerstände.

2.3 Schichtwiderstände

101

Abb. 2.25: Schichtwiderstand mit eingeschliffenen Querrillen

Abb. 2.26: Bandförmiger Dünnfilmwiderstand

Schichtwiderstände sind auch unter Anwendung der Dünnfilmtechnologie realisierbar. Auf einem plattenförmigen Träger aus Glas, vielfach auch als Substrat bezeichnet, schlägt sich das Widerstandsmaterial nieder. Die Schichtdicke beträgt nur Bruchteile eines m. Als Werkstoffe dienen reines Nickel, Chrom-Nickel-Legierungen und Tantal. Den gewünschten Widerstandswert erzielt man durch geeignete Formgebung der Metallfilmfläche. Die einfachste Form ist ein Band (Abb. 2.26) und der Widerstandswert wird unter Verwendung des Flächenwiderstandes RA berechnet: R D RA 

Länge Breite

So hat ein schmales Band, das 1 mm breit und 3 mm lang ist, bei einer 0,02 m dicken CrNiSchicht mit einem Flächenwiderstand von 80 = einen Widerstandswert von R D 80 

3 mm  D 240  1 mm

Durch Verschmälern des Widerstandsstreifens mit Hilfe eines winzigen Sandstrahls oder eines Laserstrahls lässt sich ein solcher Widerstand abgleichen.

102

2 Widerstände

Größere Widerstände müssten bei bandförmiger Ausführung sehr lang werden. Man faltet sie dann zu einem Mäander zusammen, wodurch sich brauchbare Abmessungen ergeben. Diese Form bietet zudem eine elegantere Abgleichmöglichkeit: Wie aus Abb. 2.27 ersichtlich, sind die Mäanderschlingen teilweise kurzgeschlossen. Durch Wegsanden oder -brennen erhöht sich der Widerstandswert um den Betrag des kurzgeschlossenen Widerstandsstückes. Je größer die Zahl der Schlingen, desto feiner der Abgleich. Dieses Verfahren erlaubt einen Abgleich auf 0,01 %. In dieser Weise lassen sich Widerstandswerte bis 100 k herstellen.

Abb. 2.27: Mäanderförmiger Dünnfilmwiderstand

Dünnfilmwiderstände sind als Einzelbauelemente erhältlich, speziell wenn man enge Toleranzen und kleine TK-Werte benötigt. Außerdem sind sie in den eigentlichen Dünnfilmschaltungen enthalten. Schließlich lassen sich Widerstände auch drucken. Es handelt sich um Dickfilmtechnik, bei der die als Widerstand dienende Fläche mit einer einbrennbaren „Tinte“ gedruckt wird. Sie besteht aus einem Metall- oder Metalloxidpulver, das mit Glaspulver vermischt ist, damit eine Bindung mit dem keramischen Trägermantel zustande kommt. Die Schichtdicke beläuft sich auf ca. 25 m. Als Trägermaterial dient meist Aluminiumoxid. Als Einzelwiderstände sind sie nicht erhältlich, weil sie gegenüber anderen Typen keine besonderen Vorteile aufweisen. Ihre Anwendung beschränkt sich auf die Dickfilmschaltungen. Der höchste herstellbare Widerstandswert beträgt 1 M.

2.3.2

Eigenschaften von Schichtwiderständen

Die Eigenschaften von Schichtwiderständen zeichnen sich durch folgende Eigenschaften aus. Nennwerte Der herstellbare Widerstandsbereich von Schichtwiderständen reicht von 1  bis zu 10 M. In Ausnahmefällen sind auch niederohmigere Werte ab 1  und hochohmigere bis 100 M lieferbar. Die Wertabstufung erfolgt nach einer der IEC-Reihen, während die DIN-Reihen in Zukunft nur noch in Sonderfällen Verwendung finden werden.

2.3 Schichtwiderstände

103

Toleranzen Kohleschichtwiderstände sind mit „Abweichungen vom Nennwert“, wie die neue Formulierung in den DIN-Normen lautet, von ˙0,25 % bis ˙10 % lieferbar. Diese Toleranz gilt für den Zeitpunkt der Anlieferung. Wegen des recht großen Temperaturkoeffizienten sind Toleranzen unter 0,5 % nur dann sinnvoll, wenn im Anwendungsfall die Umgebungstemperatur in engen Grenzen konstant bleibt. Metallschichtwiderstände in Stahlform sind mit engen Toleranzen bis zu 0,1 % erhältlich. Größere Toleranzen als 5 % lässt man bei diesem Typ meist nicht zu, weil diese wegen des höheren Preises ohnehin nur bei erhöhten Anforderungen zum Einsatz kommen. Die nach den Verfahren der Dünnfilmtechnik hergestellten Metallfilmwiderstände sind wegen der besseren Abgleichmöglichkeiten (Abb. 2.26) um eine Zehnerpotenz genauer lieferbar. Diese engen Toleranzen sind natürlich nur deshalb sinnvoll, weil der Temperaturkoeffizient ebenfalls sehr klein ist. Andernfalls wäre bei geringsten Temperaturänderungen die Abweichung vom Nennwert viel größer als die Toleranz bei der Herstellung. Bei Dickfilmwiderständen sind Toleranzen von ˙5 % bis ˙10 % üblich. Temperaturkoeffizient Kohleschichtwiderstände ändern ihren Wert um durchschnittlich 300  106 1/K, wenn sie Temperaturänderungen ausgesetzt werden. Der Streubereich des TK erstreckt sich jedoch von 100  106 1/K bis 1200  106 1/K. Die größte Temperaturabhängigkeit ist bei Widerstandswerten über 100 k gegeben, weil dann die Schicht sehr dünn und weniger stabil ist. Diesem Nachteil lässt sich durch die Verwendung von Widerständen mit größeren Abmessungen, als diese der Belastung nach notwendig wären, bis zu einem gewissen Grade ausgleichen. Metallschichtwiderstände sind weniger temperaturabhängig. Der TK bleibt unter C100  106 1/K und wird je nach Anordnung in den Grenzen um C100  106 1/K, C50  106 1/K, 25  106 1/K und 10  106 1/K garantiert. Bei den kleinen Werten geht auch die Ausdehnung des Widerstandskörpers in den TK ein, weshalb das Vorzeichen hier nicht definiert sein kann. Die Temperaturabhängigkeit der Dünnfilmwiderstände liegt in der gleichen Größenordnung. Bei einer listenmäßig lieferbaren Sonderausführung kann man durch sorgfältige Auswahl des die Schicht tragenden Glasmaterials, eine nahezu vollkommene Kompensation der einzelnen Temperaturkoeffizienten des Glases und der Widerstandsschicht herbeiführen, wodurch sich eine Temperaturabhängigkeit von nur ˙2;5  106 1/K ergibt. Dies war bisher nur bei speziellen Drahtwiderständen erreichbar. Der TK von Dickfilmwiderständen liegt mit 300  106 1/K beim gleichen Wert wie der der üblichen Kohleschichtwiderstände. Lediglich bei Verwendung von Zinnoxid anstelle von Kohle für die Widerstandsschicht ist eine Abhängigkeit von der Temperatur um rund 1500  106 1/K gegeben. Dieses Material findet allerdings nur für sehr hochohmige Widerstände bis 1000 M Verwendung. Klasseneinleitung Zur Kennzeichnung des Alterungsgrades und damit der Qualität eines Widerstandes dienten bisher die erläuterten Güteklassen. Die hierin festgelegten Eigenschaften erwiesen sich jedoch

104

2 Widerstände

für die Praxis als nicht flexibel genug, weshalb die deutschen Normen neue Formulierungen und Zahlenwerte erarbeiten mussten. Bei Kohleschichtwiderständen unterscheidet man jetzt zwischen solchen für gewöhnliche, erhöhte und höchste Anforderungen. Sie entsprechen etwa den bisherigen Klassen 7, 5 und 0,5. Die Alterungsrate ist aber vom Widerstandswert abhängig und von der über längere Zeit beibehaltenen Oberflächentemperatur, wie Tab. 2.7 zeigt. Tab. 2.7: Abhängigkeit der Alterungsrate von der Oberflächentemperatur DIN 44051 (gewöhnliche) bis 10 k 10 k . . . 100 k 100 k . . . 500 k über 500 k

max. 5 % max. 7,5 % max. 15 % max. 20 %

DIN 44052 (erhöhte) 93,5 . . . 5 % = max. 7 % ;

DIN 44053 (höchste) 9max. 0,5 % = max. 1 % ;

für Oberflächentemperatur

125 °C

125 °C

70 °C

und Betriebsdauer

5000 h

10 000 h

10 000 h

Da die Oberflächentemperatur meist nicht so hoch liegen wird, wie für die DIN-Prüfung festgelegt wurde, sind Faktoren erarbeitet worden, mit deren Hilfe sich das Alterungsverhalten eines Widerstandes unter anderen Betriebsbedingungen abschätzen lässt. So geht beispielsweise die Alterungsrate eines gewöhnlichen Kohleschichtwiderstandes um ein Drittel zurück, wenn seine Oberflächentemperatur nur 70 °C beträgt. Bei einem Widerstand für höchste Anforderungen beträgt sie nur ein Viertel, wenn die Oberfläche sich auf 40 °C erwärmt. Metallschichtwiderstände fertigte man bisher nur gemäß den Anforderungen der USamerikanischen Militärnormen („MIL-Vorschriften“). Deutsche Normen hierfür sind in Vorbereitung, doch liegen noch keine einschlägigen Veröffentlichungen vor. Widerstände mit engen Toleranzen, die nach MIL-Vorschriften hergestellt werden, entsprechen etwa der Klasse 0,5. Auch das Alterungsverhalten von Dünnfilmwiderständen entspricht etwa der Klasse 0,5. Lediglich bei den hochgenauen Widerstandstypen sind die Änderungen geringer, andernfalls wären die geringen Auslieferungstoleranzen unsinnig. Dickfilmwiderstände ändern ihre Widerstandswerte um maximal etwa 2 %, wenn die Oberflächentemperatur 100 °C nicht übersteigt. Normen für Dünn- und Dickfilmwiderstände sind wegen der noch immer in der Entwicklung befindlichen Technologie vorerst nicht zu erwarten. Belastbarkeit in Watt Die bisherigen Normen unterscheiden folgende Nennbelastungen für Kohleschichtwiderstände: 0;05 W; 0;1 W; 0;25 W; 0;5 W; 1 W; 2 W; 3 W; 6 W; 10 W; 20 W In der Praxis stellte sich heraus, dass vor allem die drei untersten Belastungswerte zu pessimistisch waren. Man hatte hier angenommen, dass die Wärme sich nur über die Oberfläche abführen ließe, doch geht in Wirklichkeit ein nennenswerter Teil über die bei den kleinen

2.3 Schichtwiderstände

105

Tab. 2.8: Belastbarkeitswerte nach bisher geltenden und neuen Normen bisher DIN 41400

neue DIN 41050

Abmessungen in mm

Code-Nr.

Belastbarkeit in W

Abmessungen in mm

Belastbarkeit in W Gewöhnliche Anforderungen ªo D 155 °C ªu D 70 °C

3;0  9 3;6  13;5 6;5  18;0 6;5  28;0 8;5  32;0

0;05 0;1 0;25 0;5 1;0

0207 0309 0414 0617 0922 0933 0952

2;6  7;5 3;2  9;5 4;0  13;5 5;8  16;9 9;0  23;0 8;8  33;9 9;5  52;5

0;25 0;33 0;5 0;7 0;84 1;1 2;0

Erhöhte Anforderungen ªo D 125 °C ªu D 40 °C

0;33 0;5 0;7  1;1 

Höchste Anforderungen ªo D 85 °C ªu D 40 °C

0;18 0;27 0;37  0;6 1;05

Tab. 2.9: Anwendungsbereich für Kohleschichtwiderstände

Anwendungsklasse Minimale Temperatur Maximale Temperatur Maximale Feuchte Mittlere jährliche Feuchte

Gewöhnliche Anforderungen

Erhöhte Anforderungen

Höchste Anforderungen

FHG 55 °C C155 °C 85 % 65 %

FKF 55 °C C125 °C 95 % 75 %

GPG 40 °C C85 °C 85 % 65 %

Abmessungen relativ dicken Anschlussdrähte auf die Verdrahtung über. Dadurch erwärmt sich der Widerstand weniger stark und darf stärker belastet werden, wie Tab. 2.8 zeigt. Die zulässige Belastung ist natürlich nach wie vor von den Abmessungen des Widerstandes abhängig, welche in den neuen Normen in einer vierstelligen Zahl codiert sind. Die ersten beiden Ziffern geben den ungefähren Durchmesser in Millimeter an, die beiden letzten die Länge. Die zulässige Belastung gilt aber nicht mehr bei einem festen Wert. In Tab. 2.8 bedeutet ªo die Oberflächentemperatur des Widerstandes und ªu die Umgebungstemperatur. Die Belastungswerte der Widerstände nach der neuen Norm unterscheiden sich bei nahezu gleichen Abmessungen nur bei den kleinen Typen. Wie schon erwähnt, geht bei diesen ein nicht unbeträchtlicher Teil der Wärme über die relativ dicken Anschlussdrähte auf die Verdrahtung über, weshalb die zulässige Belastung erhöht werden durfte. Tabelle 2.9 zeigt jedoch nur einen Auszug aus den sehr ausführlichen Normblättern DIN 44051 bis 44053. Für Anwendungsfälle, bei denen die hohen Oberflächentemperaturen der obigen Tabelle nicht zugelassen werden dürfen, enthalten die DIN-Blätter auch Werte für die Belastbarkeit bei herabgesetzten Temperaturen.

106

2 Widerstände

Anwendungsklassen Elektronische Bauelemente sind je nach ihrem Einsatzort sehr unterschiedlichen klimatischen Bedingungen unterworfen. Da man aus Kostengründen nicht jeden Widerstand für die höchsten Beanspruchungen auslegen kann, muss vereinbart werden, für welche Anwendungen ein bestimmter Typ geeignet ist. Diese Angaben werden gemäß DIN 40040 verschlüsselt. Es sollen nur der Anwendungsbereich für Kohleschichtwiderstände nach den neuen Normen erwähnt werden.

2.3.3

Metallflachchip-Widerstand

Chipwiderstände in Dünnmetall- und Dickschichttechnik werden hergestellt und sind ausschließlich in der bestückungsfreundlichen Rechteckbauform MFC (Metallschicht Flach Chip) und in Chipform erhältlich. Auf hochreinen und gut wärmeleitendem Al2 O3 -Keramik als Substratmaterial wird eine Dickschicht per Siebdruckverfahren aufgebracht oder eine Metallschicht aufgesputtert. Eine Temperaturbehandlung gewährleistet eine gute Langzeitstabilität und einen geringen Temperaturkoeffizienten. Durch Laser- bzw. Elektronenstrahltrimmung wird der Widerstand auf einen normierten Wert abgeglichen. Mit speziellen Dünnfilmkontakten versehen, verfügen diese Bauelemente über hohe Haftfestigkeit, ausgezeichnete Lötbarkeit und gute Langzeitstabilität. Zum Schutz gegen Umwelteinflüsse wird die Widerstandsfläche mit einem speziellen Lacksystem abgedeckt. Die Layout-Empfehlungen für die Lötflächen-Pads entsprechen denen gängiger Bauteile. Die Widerstandsfunktion von Dickschicht-Chipwiderständen wird im Siebdruck durch Beschichten mit Widerstandspasten erzielt. Dabei liegt der durch Aufdruck vorgegebene Flächenwiderstand RA nach dem Einbrennen bereits nahe am gewünschten Sollwert. Mit Feinabgleich durch Lasertrimmen lassen sich besonders engtolerierte Bauelemente herstellen. Mit Vakuumbeschichtung kann man Widerstände in einem Bereich von 45  cm bis 150  cm mit geringem Temperaturkoeffizienten (