Digitale Elektronik: Theoretische Grundlagen und Schaltungsanalysen 9783486594973

Citation preview

Oldenbourg

Digitale Elektronik Theoretische Grundlagen und Schaltungsanalysen von Uwe Naundorf

Oldenbourg Verlag München Wien

Für Ingrid

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2004 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der G renzen de s U rheberrechtsgesetzes is t ohne Zus timmung de s Ve rlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Sabine Krüger Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27598-4

Vorwort Die digitale Elektronik ist das Bindeglied zwischen der analogen Elektronik und der Digitaltechnik. Schaltungen aus der digitalen Elektronik verarbeiten Signale, die für rein digitale Schaltungen bestimmt sind oder von diesen geliefert werden. Insbesondere schließt dies Schaltungen zur Signalerzeugung, zur Signalaufbereitung sowie zur Umsetzung von analogen Signalen in digitale Signale und umgekehrt ein. Bei der Analyse derartiger Schaltungen stehen analoge Fragestellungen im Mittelpunkt des Interesses, z. B. wie stellt sich das Einschwingverhalten eines Filters dar oder wo liegt die Umschaltschwelle eines Komparators. Das logische Verhalten einer Schaltung ist dabei nur von untergeordneter Bedeutung. Aus dem umfangreichen Gebiet der digitalen Elektronik werden in diesem Buch die Themenbereiche Filter, Komparatoren, Schmitt-Trigger, Kippschaltungen und Umsetzer behandelt. Nach einem kurzen Exkurs in die Filtertheorie werden die wichtigsten Realisierungen von zweipoligen Filtern vorgestellt. Dabei werden neben den zeitkontinuierlich arbeitenden Filtern auch zeitdiskret arbeitende Filter, sogenannte Abtastfilter, in die Betrachtung einbezogen. Der folgende Abschnitt befasst sich mit Komparatoren. Diese haben vielfältigen Eingang in digitale Schaltungen gefunden, sei es als Vergleicher in Analog-Digital-Umsetzern oder als Schmitt-Trigger in der Peripherie einer digitalen Schaltung zum Unterdrücken leitungsgebundener Störungen. Schaltungen von Kippstufen zur Erzeugung von einzelnen Impulsen (monostabiler Multivibrator) oder von periodischen Impulsfolgen (astabiler Multivibrator) sind Gegenstand eines weiteren Abschnitts. Dort wird im Detail beschrieben, wie die zeitlichen Verläufe der einzelnen Knotenspannungen zustande kommen und wie sie berechnet werden können. Im letzten Abschnitt erhält der Leser zunächst einen kurzen Einblick in die Theorie der Signalabtastung und -rückgewinnung. Danach lernt er die Fehlermöglichkeiten kennen, die bei der Umsetzung von Signalen auftreten können. Im Hauptteil dieses Abschnitts wird er detailliert mit den verschiedenen Realisierungen von Digital-Analogund Analog-Digital-Umsetzern vertraut gemacht. Einen Schwerpunkt in diesem Buch bilden die Aufgaben am Ende eines jeden Kapitels. Schritt für Schritt werden dort Lösungen zu den einzelnen Problemstellungen erarbeitet. Dabei wird zur anschaulichen Darstellung der Ergebnisse intensiv von dem Grafikprogramm Gnuplot1 Gebrauch gemacht. Dieses nahezu intuitiv zu bedienende Programm steht für alle heute bekannten Rechnerplattformen frei (Public Domain) zur Verfügung. 1

http://www.gnuplot.info

VI

Vorwort

Als weiteres Hilfsprogramm wird das Schaltungssimulationsprogramm SPICE verwendet. Ein solches Programm ist eine nicht hoch genug zu schätzendes Hilfe beim Lösen von technischen Problemen bzw. bei der Überprüfung von theoretisch ermittelten Ergebnissen. SPICE ist in zahlreichen Varianten auf dem Markt. Hier wurde der aus SPICE 3F4 und XSPICE weiterentwickelte Schaltungssimulator Spice Opus2 in einer Freeware-Version verwendet. Dieses Simulationsprogramm arbeitet textbasiert. So behält der Benutzer die volle Kontrolle über jeden seiner Schritte bei der Programmierung der Schaltung, ihrer Simulation und der Ergebnisauswertung. Beide Programme, Gnuplot und Spice Opus, einschließlich ihrer Dokumentation, sind in lauffähiger Ausführung auf der dem Buch beiliegenden CD-ROM enthalten. Zusätzlich sind dort auch die Eingabedateien, die zum Simulieren der Schaltungen und zum grafischen Darstellen der Lösungen verwendet wurden, im Quellcode abgelegt. Der Leser hat damit die Möglichkeit, die Lösungen der Übungsaufgaben unmittelbar am Rechner nachzuvollziehen. Dieses Buch wendet sich an Studenten technischer Studiengänge an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen mit einer Grundausbildung in Elektronik. Vorausgesetzt wird neben einer gewissen Fertigkeit im Umgang mit den Gesetzen und Regeln der Schaltungsanalyse auch Basiswissen von den elektronischen Bauelementen Diode, Transistor und Operationsverstärker, so wie es z. B. in meinem Buch Analoge Elektronik [12] vermittelt wird. Die verwendete Mathematik ist weitgehend elementar, allerdings sind bei einigen Herleitungen Grundkenntnisse der Differentialrechnung und der LaplaceTransformation von Nutzen. Ich danke Herrn Dipl.-Ing. Harro Tesmann, der die mühevolle Arbeit des Korrekturlesens auf sich genommen hat. Ihm verdanke ich auch einige Anregungen als Ergebnis fruchtbarer Diskussionen. Ebenso möchte ich Frau Sabine Krüger vom Oldenbourg Verlag für die freundliche Annahme meines Manuskripts und die zügige Realisierung des Buchprojekts danken. Obertshausen

2

http://fides.fe.uni-lj.si/spice/

U. Naundorf

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

Inhaltsverzeichnis

VII

1

Filter

1

1.1 1.1.1 1.1.1.1 1.1.1.2 1.1.2 1.1.2.1 1.1.2.2 1.1.2.3 1.1.3

Analoge Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiefpass 2. Ordnung im Frequenz- und Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frequenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realisierungen von Filterschaltungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Universal- oder Zustandsraumfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter mit Mehrfachgegenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter mit Einfachmitkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4 4 7 9 10 13 23 32

1.2 1.2.1 1.2.1.1 1.2.1.2 1.2.1.3 1.2.2 1.2.2.1 1.2.2.2 1.2.3

Abtastfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SC-Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SC-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiefpass 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 48 48 50 53 56 56 59 62

2

Komparatoren und Schmitt-Trigger

71

2.1 2.1.1

Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.3

Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmitt-Trigger mit Einzeltransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzverstärker als Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplementärer Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmitt-Trigger mit Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invertierender Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtinvertierender Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81 83 85 85 87 90

VIII

Inhaltsverzeichnis

3

Kippschaltungen

103

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3

Monostabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungen mit Operationsverstärkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungen mit digitalen Gattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 104 110 113

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3

Astabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungen mit Operationsverstärkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungen mit digitalen Gattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 128 131 135

4

Umsetzer

145

4.1 4.1.1 4.1.2

Signalabtastung und Signalrückgewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Signalrückgewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.4.1 4.2.4.2 4.2.5

Digital-Analog-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAU mit dual gestuften Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAU mit R-2R-Leiternetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frequenz-Spannungs-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verstärker mit digitaler Verstärkungseinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digital einstellbarer Funktionsgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 151 153 156 158 158 159 162

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.2.1 4.3.2.2 4.3.3 4.3.3.1 4.3.3.2 4.3.3.3 4.3.3.4 4.3.3.5 4.3.4

Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umsetzungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umsetzgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statische Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flash-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pipeline-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umsetzer nach dem Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serielle Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sigma-Delta-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176 176 177 178 182 186 186 187 189 190 204 211

A

Abtasttheorem

223

A.1 A.1.1 A.1.1.1 A.1.1.2

Verdeutlichung des Abtasttheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastung eines sinusförmigen Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unterabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

223 224 225 228

B

Informationen zur CD-ROM

235

B.1

Liste der Lösungsdateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Inhaltsverzeichnis

IX

B.2 B.2.1 B.2.2

Anwendung der Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Simulation einer Schaltung mit SpiceOpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Grafische Darstellung der Ergebnisse mit Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

C

SPICE Unterprogramme

243

Symbolverzeichnis

250

Literaturverzeichnis

255

Sachverzeichnis

259

Satz:

TEX, Version 3.14159 (Web2C 7.3.7) LATEX 2ε < 2001/06/01 >

Grafik:

Gnuplot, Linux Version 3.7 XFIG, Linux Version 3.2 patchlevel 3d

Simulation:

Spice Opus (c), Version 2.2 Light

Quicquid discis, tibi discis Petron, Satyrica 46

1

Filter

1.1

Analoge Filter

Ein Filter ist ein elektrisches Netzwerk, das die Amplituden- und/oder Phasencharakteristik eines Signals in Abhängigkeit der Frequenz verändert. Das Filter wird als analog bezeichnet, wenn es die Signale zeit- und amplitudenkontinuierlich verarbeitet. Da die Wirkung eines Filters im Frequenzbereich liegt, werden seine Eigenschaften vorzugsweise durch seine Übertragungsfunktion, also durch das Verhältnis der LaplaceTransformierten seiner Ausgangs- und Eingangssignale beschrieben. u1

Filterfunktion

u2

F (s) =

U2 (s) U1 (s)

Bild 1.1: Allgemeines Blockschaltbild und Übertragungsfunktion eines Filters

Man unterscheidet die fünf Filterarten Tiefpass-, Hochpass- und Bandpassfilter sowie Bandsperre und Allpassfilter. Die Übertragungsfunktionen all dieser Filter können immer als Quotient zweier Polynome in s geschrieben werden, wobei der Grad des Zählers stets kleiner oder höchstens gleich dem Grad des Nenners ist F (s) =

P (s) bn sn + bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0 =A n . Q(s) s + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0

(1.1)

Die höchste Potenz von s gibt die Ordnung des Filters an. Wir wollen uns im Folgenden auf Filter 2. Ordnung beschränken. Für diese reduziert sich die allgemeine Übertragungsfunktion Gl. (1.1) zu F (s) = A

b 2 s2 + b 1 s + b 0 . s 2 + a 1 s + a0

Die Koeffizienten des Zählerpolynoms P (s) bestimmen die Art des Filters, wogegen die Koeffizienten des Nennerpolynom Q(s) die spezielle Charakteristik des Filterfrequenzgangs, den Typ des Filters, bestimmen. Als Filtertypen unterscheidet man Tschebyscheff-, Invers-Tschebyscheff-, Butterworth-, Bessel- und Cauer-Filter. Das Nennerpolynom wird häufig in der Form ωP 2 Q(s) = s2 + s + ωP Q

(1.2)

2

1 Filter

√ √ ausgedrückt. Hierbei bedeuten ωP = a0 die Polfrequenz und Q = a0 /a1 die Polgüte. Die Polfrequenz ist die Resonanzfrequenz des ungedämpften Filters, die Polgüte ist ein Maß für die Verluste der Filterschaltung. Filterart

Koeffizienten von P (s)

Tiefpass

b2 = 0

b1 = 0

b 0 = a0

Hochpass

b2 = 1

b1 = 0

b0 = 0

Bandpass

b2 = 0

b 1 = a1

b0 = 0

Bandsperre

b2 = 1

b1 = 0

b 0 = a0

Allpass

b2 = 1

b1 = −a1

b 0 = a0

Übertragungsfunktion a0 + a1 s + a0 s2 AHP 2 s + a1 s + a0 a1 s ABP 2 s + a1 s + a0 s2 + a0 ABS 2 s + a 1 s + a0 s2 − a1 s + a 0 AAP 2 s + a1 s + a0 ATP

s2

Tabelle 1.1: Übertragungsfunktionen der Filter 2. Ordnung

Die Gleichung Q(s) = 0 ist die sog. charakteristische Gleichung. Ihre Wurzeln sind die Pole der Übertragungsfunktion. Entsprechend heißen die Wurzeln der Gleichung P (s) = 0 Nullstellen der Übertragungsfunktion. Pole und Nullstellen gemeinsam beschreiben, sieht man von einem konstanten Faktor ab, vollständig das Übertragungsverhalten des Filters. Man kann sie deshalb als Hilfsmittel zur grafischen Analyse eines Filters verwenden, dem sog. Pol-Nullstellen Diagramm. Die Polstellen der Filter-Übertragungsfunktionen findet man aus ωP 2 Q(s) = s2 + s + ωP =0 Q zu  2  ωP ωP 2. sN1,2 = − − ωP ± 2Q 2Q In Abhängigkeit der Polgüte ergeben sich aus dieser Gleichung drei Betriebszustände: 1. Für Q < 1/2 erhält man zwei reelle Pole in der linken s - Halbebene, das Filter ist überkritisch gedämpft   ωP  sN1,2 = − 1 ∓ 1 − 4Q2 . (1.3) 2Q 2. Für Q = 1/2 ergibt sich ein reeller Doppelpol in der linken s - Halbebene, das Filter ist kritisch gedämpft ωP sN1,2 = − (1.4) = −ωP . 2Q

1.1 Analoge Filter

3

3. Für Q > 1/2 erhält man zwei konjugiert komplexe Pole in der linken s - Halbebene, das Filter ist unterkritisch gedämpft   ωP  1 ∓ j 4Q2 − 1 . (1.5) sN1,2 = − 2Q Für die unterkritisch gedämpften Filter liefert die Lage der Pole anschaulich eine Information über die Kenngrößen ωP und Q. Setzt man sN1,2 = σN ± jω N , ergibt sich |sN1,2 | =

 2 + ω2 = ω . σN P N

(1.6)

Der Betrag der Polstelle ist gleich der Polfrequenz. Aus der geometrischen Beziehung cos δ = σN /|sN | = σN /ωP = 1/(2Q) folgt für die Polgüte der Wert Q=

1 . 2 cos δ

(1.7)

Der Winkel δ, den die Polstelle mit der negativen reellen Achse einschließt, ist ein Maß für die Polgüte. Beim Winkel Null ist Q = 1/2, das Filter ist kritisch gedämpft. Mit zunehmendem Winkel steigt die Polgüte. Im Grenzfall δ = π/2 geht Q gegen ∞, das Filter ist ungedämpft. jω 6 × ×

jω 6 σ

×

σ

jω 6 jω N × I @ @ δ@ σN σ ×

Q < 1/2

Q = 1/2

Q > 1/2

Bild 1.2: Polstellendiagramme von Filtern 2. Ordnung

In der Digitalelektronik und insbesondere bei der digitalen Signalverarbeitung sind Tiefpassfilter von besonderer Bedeutung, da sie dort vielfältige Aufgaben zu erfüllen haben. Sie dienen z. B. der Störunterdrückung, als Filter zur Vermeidung von Abtastverzerrungen und zur Signalrekonstruktion. Es wird deshalb im nächsten Abschnitt zunächst auf die theoretischen Aspekte des Übertragungsverhaltens von Tiefpassfiltern 2. Ordnung eingegangen. Nachfolgend werden dann verschiedene Realisierungsmöglichkeiten beschrieben, erweitert um die Filterarten Hochpass und Bandpass.

4

1.1.1

1 Filter

Tiefpass 2. Ordnung im Frequenz- und Zeitbereich

Ein Tiefpass 2. Ordnung besitzt nach Tab. 1.1 in Verbindung mit Gl. (1.2) die allgemeine Übertragungsfunktion F (s) = ATP

2 ωP 2 s2 + s + ωP ωP Q

ATP

= 1+

s QωP

+



s ωP

2

(1.8)

mit ωP als Polfrequenz und Q als Polgüte. 1.1.1.1

Frequenzverhalten

Durch die Substitution s → jω geht die Übertragungsfunktion in den Frequenzgang über F (jω) =

ATP . 2 1 ω 1 − ωωP + j Q ωP 

(1.9)

Durch Betragsbildung ermittelt man daraus den Amplitudengang zu ATP . |F (jω)| =    2 2  2 ω ω 1 − ωP + QωP

(1.10)

Für niedrige Frequenzen ω  ωP läuft der Amplitudengang asymptotisch gegen die Gerade |F (jω)| = ATP , wogegen er für hohe Frequenzen ω  ωP quadratisch mit der Frequenz abfällt. Im Bode-Diagramm, in dem bekanntlich die Frequenzachse logarithmisch und die Amplitudenachse in Dezibel geteilt ist, bilden die beiden Asymptoten Geraden. Die auf ATP normierte Asymptote für tiefe Frequenzen liegt auf der 0 dB−Achse, die Asymptote für hohe Frequenzen ist eine Gerade, die mit der Steigung 40 dB/Dekade abfällt.    F (jω)    =0 lim (1.11) ωωP  ATP   dB  F (jω)   = −40 lg ω . (1.12) lim  ωωP  ATP  ωP dB Die beiden Asymptoten schneiden sich an der Stelle der Polfrequenz, siehe Bild 1.4. Der Bereich links der Polfrequenz wird als Durchlassbereich, der Bereich rechts der Polfrequenz als Sperrbereich des Tiefpassfilters bezeichnet. Die Form des Amplitudengangs in der Umgebung der Polfrequenz wird wesentlich durch die Polgüte beeinflusst:

1.1 Analoge Filter

5

√ • Für Polgüten Q > 1/ 2 weist der Amplitudengang unterhalb der Polfrequenz an der Stelle 1 ωmax = ωP 1 − 2Q2 ein mehr oder weniger ausgeprägtes Maximum der Größe ATP Q  2 1 1 − 2Q

|F (jω)|max =

(1.13)

auf. Die Frequenz, bei der der Amplitudengang maximal wird, liegt stets unterhalb der Polfrequenz, nähert sich dieser aber mit steigender Güte. Die Überhöhung nimmt für größere Güten praktisch linear mit der Güte zu. Die Überhöhung des Amplitudengangs gemäß Gl. (1.13) wird als Welligkeit bezeichnet und i. a. in Dezibel angegeben. Tabelle 1.2 listet den Zusammenhang zwischen Welligkeit und Güte zahlenmäßig auf.

Welligkeit [dB]

0

0.5

1

2

3

4

5

6

Güte Q

0.707

0.864

0.957

1.129

1.307

1.493

1.700

1.927

Tabelle 1.2: Güte als Funktion der Welligkeit

√ Ein Tiefpass mit einer Polgüte Q > 1/ 2 heißt Tschebyscheff-Tiefpass. • Mit abnehmender Polgüte verschiebt sich das Maximum des √ Amplitudengangs zu kleineren Frequenzen. Erreicht die Güte den Wert Q = 1/ 2, verschwindet es an der Stelle ωmax = 0. Der Amplitudengang ist dann maximal flach ATP  4 . 1 + ωωP

|F (jω)| =

(1.14)

Ein derartiger Tiefpass wird Butterworth-Tiefpass genannt. √ • Für Polgüten Q < 1/ 2 ist der Amplitudengang eine mit zunehmender Frequenz monoton fallende Funktion. Einen interessanten Sonderfall findet man bei näherer Untersuchung des Phasenwinkels der Filterfunktion Gl. (1.9) ϕ = arg F (jω) = − arctan

ω   2  . ωP Q 1 − ωωP

(1.15)

6

1 Filter Es lässt sich nämlich ein Gütewert derart finden, dass in einem weiten Bereich der Durchlasskennlinie die Phase nahezu linear mit der Frequenz verläuft. Dies bedeutet, dass die Gruppenlaufzeit, das ist die (negative) Steigung des Phasenwinkels, nahezu konstant ist. Filter mit konstanter Gruppenlaufzeit verursachen bei der Übertragung von Signalen keine Phasenverzerrungen, was insbesondere bei der Datenübertragung von Wichtigkeit ist. Die Gruppenlaufzeit berechnet sich zu  dϕ 1 τg = − = dω ωP Q

 1+

ω ωP

1+ 2 

1 Q2

ω ωP

2

  4 . − 2 + ωωP

(1.16)

Im Durchlassbereich, √ also für ω < ωP , wird der zweite Bruch dann näherungsweise 1, wenn Q = 1/ 3 gesetzt wird. In√diesem Fall ist dann der gesamte Ausdruck konstant, nämlich τg ≈ 1/(ωPQ) = 3/ωP . √ Ein Filter mit dem Gütewert Q = 1/ 3 wird als Bessel-Tiefpass bezeichnet. Dieser zeichnet sich gegenüber allen anderen Tiefpässen dadurch aus, dass er in seinem Durchlassbereich Signale weitgehend verzerrungsfrei überträgt [11].

3

Q = 0.3 Bessel Q = 1/√3 Butterworth Q = 1/√2 Tschebyscheff Q = 1 Tschebyscheff Q = 2

2.5

(QωP)τg

2

1.5

1

0.5

0

0

0.2

0.6

0.4

0.8

1

ω/ωP Bild 1.3: Normierte Gruppenlaufzeit τg eines Tiefpasses 2. Ordnung bei variabler Polgüte

1.1 Analoge Filter

7

Das Verhalten des Amplitudengangs in Abhängigkeit der Polgüte wird in der nachfolgenden Abbildung veranschaulicht. 20

Bessel Q = 1/√3 Butterworth Q = 1/√2 Tschebyscheff Q = 1 Tschebyscheff Q = 2 Tschebyscheff Q = 10 Asymptotischer Verlauf

10

|F(jω)/ATP|dB

0

−10

−20

−30

−40 0.1

1 ω/ωP

10

Bild 1.4: Normierte Amplitudengänge eines Tiefpasses 2. Ordnung bei variabler Polgüte

1.1.1.2

Zeitverhalten

Der Tiefpass 2. Ordnung mit der Übertragungsfunktion nach Gl. (1.8) wird mit einer Sprungfunktion der Amplitude U0 angeregt, u1 (t) = U0 H(t)1 . Die Eingangsspannung u1 (t) = U0 H(t) ◦−• U1 (s) =

U0 s

liefert im Bildbereich die Ausgangsspannung U2 (s) = = 1

2 U0 ATP ωP ωP 2 2 s + Q s + ωP s

(1.17)

2 ATP U0 ωP . s(s − sN1 )(s − sN2 )

(1.18)

H(t) bezeichnet die Heaviside’sche- oder Einheits-Sprungfunktion

8

1 Filter

Mit Hilfe einer Korrespondenztabelle [2] findet man hierfür die Lösung im Zeitbereich zu ⎧   2 ATP U0 ωP sN2 esN1 t − sN1 esN2 t ⎪ ⎪ 1 + (sN1 = sN2 ) ⎪ ⎨ sN1 sN2 sN1 − sN2 u2 (t) = 2 ⎪  ATP U0 ωP ⎪ ⎪ 1 + (σN t − 1)eσN t (sN1 = sN2 = sN ) ⎩ 2 sN (1.19) Für die Polstellen sN1,2 muss eine Fallunterscheidung getroffen werden  ⎧ ω   P ⎪ 1 ∓ 1 − 4Q2 (Q < 0.5) ⎪− ⎪ 2Q ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ωP = −ωP (Q = 0.5) sN1,2 = − 2Q ⎪ ⎪ ⎪  ⎪  ⎪ ω  ⎪ ⎩− P 1 ∓ j 4Q2 − 1 = σN ± jω N (Q > 0.5) 2Q

(1.20)

Überkritische Dämpfung. Für Polgüten Q < 0.5 ist die Sprungantwort überkritisch gedämpft. Die Ausgangsspannung nähert sich aperiodisch ihrem Endwert ATP U0   sN2 esN1 t − sN1 esN2 t (1.21) u2 (t) = ATP U0 1 + sN1 − sN2 mit sN1,2 = −

  ωP  1 ∓ 1 − 4Q2 . 2Q

Kritische Dämpfung. Der Tiefpass ist kritisch gedämpft, wenn die Polgüte den Wert Q = 0.5 annimmt. Die Ausgangsspannung erreicht immer noch aperiodisch, aber in kürzester Zeit, ihren Endwert ATP U0 (aperiodischer Grenzfall)   u2 (t) = ATP U0 1 + (σN t − 1)eσN t   (1.22) = ATP U0 1 − (ωP t + 1)e−ωP t . Unterkritische Dämpfung. Für Polgüten Q > 0.5 ist die Sprungantwort unterkritisch gedämpft.     σN (1.23) u2 (t) = ATP U0 1 + sin ωN t − cos ωN t eσN t ωN mit σN ± jω N = −

  ωP  1 ∓ j 4Q2 − 1 . 2Q

1.1 Analoge Filter

9

Es tritt eine mehr oder weniger stark gedämpfte Schwingung auf, deren erstes Maximum den Wert   −√ π u2 max = ATP U0 1 + e 4Q2 −1 an der Stelle ωN t = π bzw. ωP t = π/



1 − (4Q2 )−1 annimmt.

Das Überschwingen nimmt mit zunehmender Polgüte zu. Das Maximum wird bei unendlich großer Güte mit u2 max = 2ATP U0 erreicht. Es liegt dann genau bei ωP t = π. Nachfolgend ist eine Folge von normierten Sprungantworten für verschiedene Polgüten wiedergegeben. 2

Überkritisch: Q = 0.3 Kritisch: Q = 0.5 Unterkritisch: Q = 1.0 Q = 2.0 Q = 10.0

u2(t)/(ATPU0)

1.5

1

0.5

0 0π

1π

3π

2π

4π

5π

ωp t Bild 1.5: Normierte Sprungantworten eines Tiefpasses 2. Ordnung bei variabler Polgüte

1.1.2

Realisierungen von Filterschaltungen

Aktive Filterschaltungen lassen sich auf vielfältige Weise realisieren. Allerdings haben sich im Wesentlichen nur drei Strukturen auf dem Markt durchgesetzt, nämlich das sog. Universal- oder Zustandsraumfilter2 , Filter mit Mehrfachgegenkopplung3 und Filter mit 2 3

engl.: state variable topology engl.: multiple feedback topology

10

1 Filter

Einfachmitkopplung4 . Für diese Strukturen werden von verschiedenen Herstellern wie z. B. [32], [19] kostenlose Filterentwurfsprogramme angeboten, die das Design und den Aufbau von aktiven Filtern ohne große Mühe ermöglichen. In den folgenden Abschnitten werden die genannten Filterstrukturen näher untersucht. Weitere Beispiele, auch zu Filtern mit davon abweichenden Topologien, findet man bei den Aufgaben in Abschnitt 1.1.3 ab Seite 32. 1.1.2.1

Universal- oder Zustandsraumfilter

Der Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters 2. Ordnung F (s) = A

2 ωP 2 s2 + s + ωP ωP Q

entspricht im Zeitbereich mit ωP = 1/τ , u1 als Eingangs- und u2 als Ausgangsspannung, die Differentialgleichung τ 2u ¨2 +

1 τ u˙ 2 + u2 = Au1 . Q

(1.24)

Es lassen sich nun Zustandsgrößen zi so definieren, dass das durch Gl. (1.24) dargestellte Übertragungssystem durch ein Signalflussdiagramm, bestehend aus Integrationen, Additionen und Multiplikationen mit Konstanten, beschrieben wird. Ein derartiges Signalflussdiagramm kann leicht in eine aktive Schaltung umgesetzt werden. Es sei unterstellt, dass zum Aufbau der Filterschaltung ausschließlich invertierende Integratoren mit der Zeitkonstanten τ sowie invertierende Summierverstärker zur Verfügung stehen. Bei Berücksichtigung dieser Einschränkung bestimmt man die Zustandsgrößen wie folgt: z1 = u2 z2 = −τ z˙1 = −τ u˙ 2 z3 = −τ z˙2 = τ 2 u ¨2 . Durch Einsetzen der Zustandsgrößen in die Differentialgleichung ergibt sich eine lineare Verknüpfung für z3 z3 = Au1 +

1 z2 − z1 , Q

die man wegen der Voraussetzung, dass nur invertierende Summierverstärker vorhanden sein sollen, weiter umformt in z3 = −(z4 + z1 ) 4

engl.: Sallen-Key filter topology

1.1 Analoge Filter

11

mit z4 = −(Au1 +

1 z2 ). Q

Mit diesen Festlegungen kann das Signalflussdiagramm gezeichnet werden. −1  Q u1 d

z4 d

−A -

z3 d

−1 -

− τ1 -



− τ1 -

z2 d



z1 = u2 d

−1  Bild 1.6: Signalflussdiagramm der Differentialgleichung Gl. (1.24)

Die Realisierung der Schaltung kann direkt dem Signalflussdiagramm entnommen werden. Man erkennt, dass zwei Summierverstärker und zwei Integratoren in Kette zu schalten sind. RQ R q R/A q

u1

R

q

H R −H H q q  + z  u4  BS

R

C

H R −H H q q  +  uz3  HP

q

H R −H H q q  + z  u2  BP

C

q

H −H H q + z1 = u 2  

Bild 1.7: Schaltung des Universalfilters

Obwohl der Hardwareaufwand des Universalfilters mit vier Operationsverstärkern recht hoch ist, weist die Schaltung gegenüber den in den folgenden Abschnitten analysierten Schaltungen zwei entscheidende Vorteile auf. Zum einen lassen sich die Filterkenngrößen Verstärkung, Güte und Polfrequenz unabhängig voneinander einstellen, zum anderen kann dem Filter neben der Tiefpassfunktion gleichzeitig auch die Bandpass-, Hochpassund Bandsperrenfunktion entnommen werden: Erweitert man die Übertragungsfunktion des Tiefpasses FTP (s) =

U2 (s) =A U1 (s) 1+

1 + (τ s)2

τ Qs

12

1 Filter

mit dem Faktor −sτ , ergibt sich wegen z2 = −τ z˙1 bzw. UBP (s) = −sτ U2 (s) die Übertragungsfunktion eines Bandpasses FBP (s) =

UBP (s) = −A U1 (s) 1+

τs . + (τ s)2

τ Qs

Aus dieser Übertragungsfunktion ergibt sich wegen der Beziehung z3 = −τ z˙2 bzw. UHP (s) = −sτ UBP (s) die Übertragungsfunktion eines Hochpasses FHP (s) =

UHP (s) (τ s)2 =A . τ U1 (s) 1 + Q s + (τ s)2

Letztendlich liefert der Ausgang des ersten Summierverstärkers wegen z4 = −(Au1 + zQ2 )   1 bzw. UBP (s) = − AU1 (s) + Q UBP (s) die Funktion einer Bandsperre FBS (s) =

UBS (s) 1 = −A + A U1 (s) Q 1+

τs 1 + (τ s)2 = −A . τ + (τ s)2 1+ Q s + (τ s)2

τ Qs

Zusätzlich zu den von dem Universalfilter unmittelbar gelieferten Filterfunktionen lässt sich die noch fehlende Allpassfunktion dadurch realisieren, dass man von der Bandsperrenfunktion die mit der Polgüte Q gewichtete Bandpassfunktion subtrahiert. UAP (s) = UBS (s) −

1 UBP (s) Q

UAP (s) 1 = FBS (s) − FBP (s) U1 (s) Q 1 + (τ s)2 1 = −A + A τ 1+ Q s + (τ s)2 Q 1+

FAP (s) =

= −A

1− 1+

τ Qs τ Qs

τs + (τ s)2

τ Qs

+ (τ s)2 + (τ s)2

R UBP (s) UBS (s)

RQ

q

R

q

HH − H   RQ +

HH 

q

UAP (s)

Bild 1.8: Allpassfilter als Differenz von Bandsperre BS und Bandpassfilter BP

1.1 Analoge Filter 1.1.2.2

13

Filter mit Mehrfachgegenkopplung

Ist bei der Realisierung von Filterschaltungen mit Operationsverstärkern ein möglichst geringer Hardwareaufwand gefordert, werden die Operationsverstärker mit einer sog. Mehrfachgegenkopplung betrieben. Es lassen sich auf diese Weise zweipolige Filter mit nur einem Operationsverstärker und fünf passiven Zweipolen, bestehend aus Widerständen und Kondensatoren, realisieren. Bild 1.9 zeigt die Schaltung, mit der wahlweise die Filterarten Tiefpass, Hochpass oder Bandpass dargestellt werden können. Der geringe Hardwareaufwand wird allerdings dadurch erkauft, dass die Filterkenngrößen, Polfrequenz, Polgüte und Verstärkung miteinander verkoppelt, also nicht unabhängig voneinander einstellbar, sind. q Z4 U1 (s)

Z1

Z3

q Z2

q

Z5 HH

HH

−

+

H 



q

U2 (s)



Bild 1.9: Allgemeine Filterschaltung mit Mehrfachgegenkopplung

Die Übertragungsfunktion der allgemeinen Filterschaltung bestimmt man am einfachsten dadurch, dass man zunächst in die Schaltung die Spannungen einträgt, die an den einzelnen Impedanzen abfallen, und anschließend auf den Knoten, mit dem die vier Impedanzen Z1 bis Z4 verknüpft sind, die Kirchhoff’sche Knotenregel anwendet. q U2 U1 + Z3 Y2U1 (s)

Z1

Z4 U2 + Z3 Y5 U2 ? Z3 Y5 U2  q Z2 6 Z3 Y5 U2

Z5 U2 ? H q − HH H

H 

+



q

U2 (s)



Bild 1.10: Analyse der allgemeinen Filterschaltung

Aus der Knotengleichung Y1 (U1 + Z3 Y5 U2 ) + Y4 U2 (1 + Z3 Y5 ) + Y5 U2 + Y2 Z3 Y5 U2 = 0

14

1 Filter

erhält man durch Umstellen die gesuchte Übertragungsfunktion F (s) =

−Y1 Y3 U2 (s) = . U1 (s) Y3 Y4 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )

(1.25)

In diese Gleichung sind für die Admittanzen je nach gewünschtem Filtertyp Kondensatoren oder Widerstände einzusetzen. Tiefpassfilter 2. Ordnung. Die allgemeine Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 2. Ordnung lautet FTP (s) = ATP

2 ωP 2. s2 + s + ωP

(1.26)

ωP Q

Hierbei bedeuten ATP die Verstärkung bei tiefen Frequenzen, ωP die Polfrequenz und Q die Polgüte. Um Gl. (1.26) erfüllen zu können, sind die Admittanzen in Gl. (1.25) wie folgt zu wählen: • Y1 , Y3 , Y4 reell, also als ohmsche Leitwerte, • Y2 , Y5 positiv imaginär, also als Kondensatoren. Mit diesen Zuordnungen ergibt sich die folgende Schaltung q R4 U1 (s)

R1

R3

q C2

q

C5 HH −

H

  +

HH 

q

U2 (s)

Bild 1.11: Tiefpass 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung

Die Übertragungsfunktion des Tiefpasses errechnet sich aus Gl. (1.25) mit der o. g. Wahl der Admittanzen zu −G1 G3 G3 G4 + sC5 (G1 + sC2 + G3 + G4 ) −G1 G3 = 2 s C2 C5 + sC5 (G1 + G3 + G4 ) + G3 G4

FTP (s) =

=

1 G3 −G C2 C5 3 +G4 s2 + s G1 +G + C2

G3 G4 C2 C5

.

1.1 Analoge Filter

15

Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. (1.26) lassen sich die Kenngrößen des Tiefpassfilters berechnen. Aus der Beziehung 2 ωP =

G3 G4 1 = C2 C5 R3 R4 C2 C5

bestimmt sich die Polfrequenz zu 1 ωP = √ . R3 R4 C2 C5

(1.27)

Weiterhin liefert der Vergleich G1 G3 1 =− C2 C5 R1 R3 C2 C5 1 =− R3 R4 C2 C5 R1 R3 C2 C5

2 ATP ωP =−

ATP

für die Verstärkung den Wert ATP = −

R4 . R1

(1.28)

Letztendlich ergibt sich mit ωP G1 + G3 + G4 = Q C2 1 G1 + G3 + G4  R3 R4 C2 C5 = Q C2   √ C5 R3 R4 R4 R3 = + + C2 R1 R3 R4 für den Kehrwert der Polgüte   C5 R3 R4 1 = . (1 − ATP ) + Q C2 R4 R3

(1.29)

Synthese des Tiefpasses 2. Ordnung. Häufig besteht die Aufgabe eines Ingenieurs nicht darin, eine Filterschaltung zu analysieren, d. h. ihre Kenngrößen aus der dimensionierten Schaltung zu bestimmen, sondern es ist die Schaltung zu dimensionieren und zwar so, dass vorgegebene Filterkenngrößen eingehalten werden. Da zur Berechnung der fünf unbekannten Zweipole nur drei Gleichungen existieren, nämlich die Gleichungen (1.27), (1.28), (1.29), müssen zwei Bauelemente willkürlich vorgegeben werden. Zweckmäßig ist es, die Kapazitätswerte zu wählen und die Widerstandswerte damit zu berechnen.

16

1 Filter

Hier wird für den Kondensator C5 der Wert C5 = C und für den Kondensator C2 der k−fache Wert C2 = kC gewählt, wobei der Faktor k gewissen Einschränkungen unterliegt, siehe Gl. (1.31). Mit dieser Wahl erhält man für die Polfrequenz ωP =

1 √ . C kR3 R4

Hieraus findet man R3 1 √ . = R4 ωP CR4 k Der Ausdruck für die Polgüte reduziert sich zu 1 1 =√ Q k



√ 1 − ATP √ + ωP CR4 k ωP CR4 k

 =

1 − ATP + ωP CR4 . ωP CR4 k

Damit ist eine Bestimmungsgleichung für den Widerstand R4 gefunden: 1 1 − ATP R4 + =0 Q ωP Ck 1 1 − ATP R4 + =0 R42 − ωP CQ (ωP C)2 k   4Q2 1 1± 1− R4 = (1 − ATP ) . 2ωP CQ k

ωP CR42 −

(1.30)

Aus der Forderung, dass der Radikand in obiger Gleichung positiv sein muss, folgt eine Nebenbedingung für den Faktor k, nämlich k ≥ 4Q2 (1 − ATP ).

(1.31)

Aus Gl. (1.28) folgt der Wert für R1 , aus Gl. (1.27) der für R3 R4 ATP 1 . R3 = k(ωP C)2 R4 R1 = −

(1.32) (1.33)

Damit sind alle Bauelemente der Schaltung bestimmt. Beispiel 1.1.1 Es ist ein Tiefpass 2. Ordnung mit den Kenngrößen ATP = −10, fP = 10 kHz und Q = 5 in Mehrfachgegenkopplungstechnik zu entwerfen.

1.1 Analoge Filter

17

Lösung. Der Kondensator C5 wird zu C5 = 100 pF gewählt. Aus Gl. (1.31) ergibt sich damit die Bedingung k ≥ 1100. Es wird der Wert k = 2200 gewählt. Damit ist C2 = 220 nF. Aus den Gleichungen (1.30), (1.32), (1.33) errechnen sich zwei Sätze von Widerstandswerten. R41 = 27.17 kΩ R11 = 2.72 kΩ R31 = 423 Ω

R42 = 4.66 kΩ R12 = 466 Ω R32 = 2.47 kΩ

Der Amplitudengang der wahlweise mit dem ersten oder zweiten Widerstandssatz dimensionierten Schaltung wurde mit Gnuplot berechnet und ist nachfolgend abgebildet. 40 30 20 10

|F(jω)|dB

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 102

103

4

10 f/Hz

105

106

Bild 1.12: Amplitudengang des Tiefpassfilters 2. Ordnung

Hochpassfilter 2. Ordnung. Die allgemeine Übertragungsfunktion eines Hochpassfilters 2. Ordnung lautet FHP (s) = AHP

s2 2. s2 + ωQP s + ωP

(1.34)

18

1 Filter

Hierbei bedeuten AHP die Verstärkung bei hohen Frequenzen, ωP die Polfrequenz und Q die Polgüte. Um Gl. (1.34) erfüllen zu können, sind die Admittanzen in Gl. (1.25) wie folgt zu wählen: • Y1 , Y3 , Y4 positiv imaginär, also als Kondensatoren, • Y2 , Y5 reell, also als ohmsche Leitwerte. Damit erhält man die folgende Schaltung q C4 U1 (s)

C1

C3

q

q

R5 HH

R2

HH

−

+

H 



q

U2 (s)



Bild 1.13: Hochpass 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung

Für die Übertragungsfunktion des Hochpasses ergibt sich mit Gl. (1.25) der Ausdruck −s2 C1 C3 , s2 C3 C4 + G5 (sC1 + G2 + sC3 + sC4 )

FHP (s) =

aus dem sich durch Koeffizientenvergleich mit Gl. (1.34) die Kenngrößen des Filters berechnen lassen. Man erhält Verstärkung C1 C4

(1.35)

1 ωP = √ R2 R5 C3 C4

(1.36)

AHP = − Polfrequenz

Kehrwert der Polgüte 1 = Q



R2 R5



C4 (1 − AHP ) + C3



C3 C4

 .

(1.37)

1.1 Analoge Filter

19

Synthese des Hochpasses 2. Ordnung. Es werden zwei Kapazitätswerte vorgegeben, z. B. die für die Kondensatoren C1 und C3 . Sie werden aus Gründen der Einfachheit gleich groß gewählt. C1 = C3 = C.

(1.38)

Dann ergibt sich aus Gl. (1.35) C4 = −

C . AHP

(1.39)

Aus Gl. (1.36) erhält man √ −AHP ωP = √ C R2 R5 bzw.

√ R2 −AHP = . R5 ωP CR5

Dieser Ausdruck, verknüpft mit Gl. (1.37), liefert eine Bestimmungsgleichung für den Widerstand R5 R5 =

Q (1 − 2AHP ). ωP C

(1.40)

Letztendlich ergibt sich aus der Kombination der Gleichungen (1.40) und (1.37) der Widerstandswert R2 zu R2 =

−AHP . ωP CQ(1 − 2AHP )

(1.41)

Beispiel 1.1.2 Es ist ein Hochpass 2. Ordnung mit den Kenngrößen AHP = −10, fP = 10 kHz und Q = 5 in Mehrfachgegenkopplungstechnik zu entwerfen. Lösung. Die Kondensatoren C1 und C3 werden zu C1 = C3 = 10 nF gewählt. Damit errechnen sich aus den Gleichungen (1.39), (1.40), (1.41) für die restlichen Bauelemente die Werte C4 = 1 nF R5 = 167.1 kΩ R2 = 151.6 Ω

20

1 Filter

Der Amplitudengang der so dimensionierten Schaltung ist nachfolgend abgebildet. 40 30 20 10

|F(jω)|dB

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 102

4

103

10 f/Hz

105

106

Bild 1.14: Amplitudengang des Hochpassfilters 2. Ordnung

Bandpassfilter 2. Ordnung. Die allgemeine Übertragungsfunktion eines Bandpassfilters 2. Ordnung lautet FBP (s) = ABP

s2 +

ωP Q s ωP Q s+

2 ωP

.

(1.42)

Hierbei bedeuten ABP die Verstärkung bei der Polfrequenz, ωP die Polfrequenz und Q die Polgüte. Dieser Ausdruck ist dann mit Gl. (1.25) identisch, wenn die Admittanzen wie folgt gewählt werden: • Y1 , Y2 , Y5 reell, also als ohmsche Leitwerte, • Y3 , Y4 positiv imaginär, also als Kondensatoren. Mit diesen Festlegungen ergibt sich die folgende Schaltung

1.1 Analoge Filter

21 q

C4 U1 (s)

R1

C3

q

q

R5 HH

H

−

 

R2

+

HH 

q

U2 (s)

Bild 1.15: Bandpass 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung

Für die Übertragungsfunktion des Bandpasses ergibt sich mit Gl. (1.25) der Ausdruck FBP (s) =

s2 C3 C4

−sG1 C3 + G5 (G1 + G2 + sC3 + sC4 ) 1 −s G C4

=

s2 +

G5 (C3 +C4 ) C3 C4

s+

G1 +G2 C3 C4

G5

.

Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. (1.42) ergibt sich die Polfrequenz zu ωP =

G1 + G2 . R5 C3 C4

(1.43)

Aus ωP G5 (C3 + C4 ) = Q C3 C4 folgt für den Kehrwert der Polgüte   C3 C4 C4 + C3 1 =  . Q R5 (G1 + G2 )

(1.44)

Aus ABP = −

1 R5 C3 C4 Q 1 =− R1 C4 ωP R1 C4 C3 + C4

erhält man für die Bandmittenverstärkung ABP = −

R5 1 . 4 R1 1 + C C3

(1.45)

22

1 Filter

Synthese des Bandpasses 2. Ordnung. Die beiden Kapazitätswerte werden vorgegeben C3 = C4 = C.

(1.46)

Hiermit lassen sich die Widerstände berechnen. Aus ωP G5 (C3 + C4 ) = Q C3 C4 folgt R5 = −

2Q . ωP C

(1.47)

R5 1 Q =− . C 4 ABP 1 + C ABP ωP C 3

(1.48)

Aus Gl. (1.45) folgt R1 = − Aus Gl. (1.44) folgt 1 R5 (G1 + G2 ) 2 (2Q)2 ABP ωP C − G1 = 2QωPC + G2 = R5 Q Q . R2 = (2Q2 + ABP )ωP C Q=

(1.49)

Gl. (1.49) liefert wegen R2 ≥ 0 noch die Nebenbedingung −ABP ≤ 2Q2 .

(1.50)

Beispiel 1.1.3 Es ist ein Bandpass 2. Ordnung mit den Kenngrößen ABP = −10, fP = 10 kHz und Q = 5 in Mehrfachgegenkopplungstechnik zu entwerfen. Lösung. Die Nebenbedingung Gl. (1.50) ist erfüllt. Die Kondensatoren C3 und C4 werden zu C3 = C4 = 10 nF gewählt. Damit errechnen sich aus den Gleichungen (1.48), (1.49), (1.47) die Widerstandswerte zu R1 = 796 Ω R2 = 199 Ω R5 = 15.9 kΩ

1.1 Analoge Filter

23

Der Amplitudengang der so dimensionierten Schaltung ist nachfolgend abgebildet. 20

10

|F(jω)|dB

0

-10

-20

-30

-40 2 10

103

104 f/Hz

105

106

Bild 1.16: Amplitudengang des Bandpassfilters 2. Ordnung

1.1.2.3

Filter mit Einfachmitkopplung

Zweipolige aktive Filter mit Einfachmitkopplung benötigen ebenso wie die Filter mit Mehrfachgegenkopplung nur einen Operationsverstärker sowie eine minimale Anzahl von externen Bauteilen. Diesem Vorteil eines geringen Hardwareaufwandes steht der Nachteil der Verkopplung der Filterkenngrößen, Polfrequenz, Polgüte und Verstärkung, gegenüber.

Analyse der Filterschaltung Bild 1.17. Der an R6 abfallende Teil der Ausgangsspannung kU2 wird gegenphasig auf den Verstärkereingang zurückgekoppelt. Der Gegenkoppelfaktor k ist durch den Spannungsteiler am Ausgang bestimmt zu k=

R6 . R5 + R6

24

U1

1 Filter

Z1

Z2 q

Z3

HH + H

q Z4

HH 

  −

q

U2 R5

q R6

Bild 1.17: Allgemeine Filterschaltung mit Einfachmitkopplung

Die gegengekoppelte Spannung kU2 liegt auch an Z4 . Dadurch beträgt der Strom durch Z4 kU2 Y4 . Dieser Strom bewirkt an der Reihenschaltung von Z3 und Z4 den Spannungsabfall kU2 (1 + Z3 Y4 ). Mit diesem Ausdruck kann die Summenbilanz der Ströme, die durch die Impedanzen Z1 , Z2 und Z3 fließen, aufgestellt werden. Aus der Schaltung liest man ab     Y1 U1 − kU2 (1 + Z3 Y4 ) + Y2 U2 − kU2 (1 + Z3 Y4 ) − kU2 Y4 = 0. Daraus ermittelt sich die Übertragungsfunktion zu F (s) =

1 U2 (s) k Y1 Y3 .  = U1 (s) Y1 Y3 + Y4 (Y1 + Y2 + Y3 ) − Y2 Y3 k1 − 1

(1.51)

Je nachdem, ob man für die Impedanzen Z1 bis Z4 Widerstände oder Kondensatoren verwendet, lässt sich entweder ein Tiefpass- oder Hochpassfilter realisieren. Die übrigen drei Filterarten sind mit dieser einfachen Struktur nicht zu verwirklichen. Tiefpassfilter 2. Ordnung. Beim Tiefpass ist der Zähler der Übertragungsfunktion reell. Deshalb müssen die Impedanzen Z1 und Z3 Widerstände sein. Damit das Filter zweipolig wird, sind die beiden anderen Impedanzen Z2 und Z4 als Kondensatoren zu wählen. Mit diesen Festlegungen erhält man für die Übertragungsfunktion 1 k

F (s) =

G1 G3   G1 G3 + sC4 (G1 + sC2 + G3 ) − sC2 G3 k1 − 1

F (s) =

1/k   . 1 + s C4 (R1 + R3 ) − R1 C2 k1 − 1 + s2 R1 R3 C2 C4 

(1.52)

Ein Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Form eines zweipoligen Tiefpasses F (s) = 1+

1 Q



ATP   2 s s ωP + ωP

1.1 Analoge Filter

25

liefert die Filterkenngrößen zu Verstärkung

ATP =

1 k

(1.53)

1 ωP = √ R1 R3 C2 C4

Polfrequenz

Q= 

Polgüte

C4 C2



R1 R3

(1.54) 

+

R3 R1

1 

−



R1 R3



C2 C4

1 k

−1

. (1.55)

Aus der Forderung, dass die Güte positiv und endlich sein muss, folgt als Bedingung für den Gegenkoppelfaktor k k>

1+

C4 C2

1  1+

R3 R1

.

(1.56)

Für die praktische Dimensionierung der Schaltung bieten sich zwei Spezialfälle an. 1. Die Widerstände und die Kondensatoren werden gleich groß gewählt, R1 = R3 = R und C2 = C4 = C. Hierfür vereinfachen sich die Filterkenngrößen zu ATP =

U1

R

C q

1 k

R

ωP =

1 RC

Q=

HH +

q

HH

C

−

H 





q

1 . 3 − 1/k

U2 R5

q R6

Bild 1.18: Version 1 eines Tiefpasses 2. Ordnung mit Einfachmitkopplung

Der Vorteil dieser Festlegung ist offensichtlich. Polfrequenz und Polgüte sind nun voneinander unabhängig. Während die Polfrequenz nur von den Bauelementen R und C des Rückkopplungsnetzwerkes abhängt, wird die Polgüte ausschließlich von dem Grad der Gegenkopplung k bestimmt. Man kann also einerseits bei konstanter Polgüte die Polfrequenz, z. B. durch ein Doppelpotentiometer, variieren, andererseits kann bei konstanter Polfrequenz die Polgüte, also der Filtertyp, durch

26

1 Filter Variation der Widerstände R5 und R6 eingestellt werden. Die Einstellung der Polgüte ist jedoch nicht ganz unkritisch: Nähert man sich dem durch Gl. (1.56) für diese Dimensionierung festgelegten Grenzwert k = 1/3, können kleinste Änderungen der Gegenkopplung zum Schwingen der Schaltung führen. 2. Der Gegenkoppelgrad wird zu k = 1 gewählt. Dadurch kann der Spannungsteiler R5 , R6 entfallen und die Filterkenngrößen reduzieren sich zu  C2 C4 1  . ωP = √ Q=  ATP = 1 R R1 R3 C2 C4 1 + R3 R3

U1

R1

C2 q

R3

HH +

q

HH

C4

−

H 



q

R1

U2



Bild 1.19: Version 2 eines Tiefpasses 2. Ordnung mit Einfachmitkopplung

Der Vorteil dieser Variante ist, dass das Filter bis zur Transitfrequenz des Operationsverstärkers, also bei schnellen Verstärkern bis weit in den Megahertzbereich, betrieben werden kann. Werden die Werte für C2 und C4 vorgegeben, dann berechnen sich die beiden Widerstände bei bekannter Polfrequenz und -güte zu   C4 2 1 1∓ 1−4 R1 = Q 2ωP QC4 C2   1 C4 2 1± 1−4 R3 = Q . 2ωP QC4 C2 Da die Widerstände reell sein müssen, ergibt sich als Nebenbedingung C2 ≥ 4Q2 . C4 Setzt man insbesondere C2 = 4Q2 C4 , werden die beiden Widerstände gleich groß, R1 = R3 = 1/(2ωPQC4 ). Beispiel 1.1.4 Es ist ein Tschebyscheff-Tiefpass 2. Ordnung mit der Polfrequenz fP = 10 kHz in Einfachmitkopplungstechnik zu entwerfen. Die Welligkeit des Filters soll 3 dB betragen.

1.1 Analoge Filter

27

Lösung Version 1 nach Bild 1.18. Die beiden Kondensatoren werden zu C = 10 nF gewählt. Damit erhalten die beiden Widerstände den Wert R=

1 = 1.59 kΩ. 2πfP C

Die geforderte Welligkeit von 3 dB stellt sich nach Tabelle 1.2, Seite 5 bei einer Polgüte Q = 1.307 ein. Dies macht einen Gegenkoppelfaktor von k=

1 = 0.447 3 − 1/Q

erforderlich. Wegen 1/k = 1 + R5 /R6 muss also das Widerstandsverhältnis auf den Wert R5 /R6 = 1.235 eingestellt werden. Wählt man z. B. R6 = 10 kΩ, ergibt sich R5 = 12.35 kΩ. Damit ist die Schaltung vollständig dimensioniert. 10

Version 1 Version 2

5 0 -5

|F(jω)|dB

-10 -15 -20 -25 -30 -35 -40

10 f/kHz

1

100

Bild 1.20: Amplitudengänge der Tiefpassfilter nach Version 1 und 2

Lösung Version 2 nach Bild 1.19. Der Kondensator C4 wird zu C4 = 10 nF gewählt. Damit berechnen sich die übrigen Bauelemente zu C2 = 4Q2 C4 = 68.28 nF 1 = 609 Ω. R1 = R3 = 2ωP QC4

28

1 Filter

Die mit SPICE simulierten Amplitudengänge der beiden so dimensionierten Tiefpässe geben die geforderten Verläufe wieder, siehe Bild 1.20. Es ist zu beachten, dass das Filter nach Version 1 eine Grundverstärkung von ATP = 1/k = 2.235 entsprechend 7 dB, das zweite jedoch eine Verstärkung von 0 dB besitzt. Deshalb sind die Kennlinien um die Differenz dieser beiden Werte zueinander versetzt.

Hochpassfilter 2. Ordnung. Aus Gl. (1.51) geht die Übertragungsfunktion eines Hochpasses 2. Ordnung hervor, wenn die Impedanzen Z1 und Z3 Kondensatoren, Z2 und Z4 ohmsche Widerstände sind. Für diesen Fall ist 1 2 k s C1 C3   F (s) = 2 s C1 C3 + G4 (sC1 + G2 + sC3 ) − sG2 C3 k1 − 1 F (s) =

1 k

s2 R2 R4 C1 C3   . 1 + s R2 (C1 + C3 ) − R4 C3 k1 − 1 + s2 R2 R4 C1 C3 

(1.57)

Ein Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Form eines zweipoligen Hochpasses  2 AHP ωsP F (s) =    2 1 s s 1+ Q ωP + ωP liefert die Filterkenngrößen zu Verstärkung Polfrequenz Polgüte

AHP =

1 k

(1.58)

1 ωP = √ R2 R4 C1 C3 Q= 

R2 R4



C1 C3

(1.59) 

+

C3 C1

1 

−



R4 R2



mit der Nebenbedingung für den Gegenkoppelfaktor k 1  . k> R2 1 1 + R4 1 + C C3

C3 C1

1 k

−1

 (1.60)

(1.61)

Ebenso wie beim Tiefpassfilter lassen sich zwei Spezialfälle definieren. 1. Die Widerstände und die Kondensatoren werden jeweils gleich groß gewählt. Es sei R2 = R4 = R und C1 = C3 = C. Hierfür vereinfachen sich die Gleichungen für die Filterkenngrößen zu 1 AHP = k 1 ωP = RC 1 Q= . 3 − 1/k

1.1 Analoge Filter

U1

C

29

R q

C

HH +

q

HH

H 

 −  

R

q

U2 R5

q R6

Bild 1.21: Version 1 eines Hochpasses 2. Ordnung mit Einfachmitkopplung

2. Der Gegenkoppelgrad wird zu k = 1 gewählt. Dadurch entfällt der von den Widerständen R5 , R6 gebildete Spannungsteiler und die Filterkenngrößen reduzieren sich zu AHP = 1 1 ωP = √ R2 R4 C1 C3  Q= 

U1

C1

R2 q

C3

R4 R2

C1 C3



+

q R4

C3 C1

.

HH + H HH  −  

q

U2

Bild 1.22: Version 2 eines Hochpasses 2. Ordnung mit Einfachmitkopplung

Werden z. B. die Werte für R2 und R4 vorgegeben, berechnen sich die beiden Kondensatoren bei bekannter Polfrequenz und -güte zu  2 1 1 1 C1 = ± − 2 2ωP QR2 2ωP QR2 ωP R2 R4  2 1 1 1 C3 = ∓ − 2 . 2ωP QR2 2ωP QR2 ωP R2 R4

30

1 Filter Da die Kondensatoren nur reelle Werte annehmen können, ergibt sich noch die Nebenbedingung R4 ≥ 4Q2 . R2 Insbesondere sind für den Sonderfall R4 = 4Q2 R2 die Kondensatoren gleich groß, nämlich C1 = C3 = 1/(2ωPQR2 ).

Beispiel 1.1.5 Es ist ein Butterworth-Hochpass 2. Ordnung mit der Polfrequenz fP = 10 kHz in Einfachmitkopplungstechnik zu entwerfen. Lösung Version 1 nach Bild 1.21. Die beiden Kondensatoren werden zu C = 10 nF gewählt. Damit erhalten die beiden Widerstände den Wert R=

1 = 1.59 kΩ. 2πfP C

√ Ein Butterworth-Hochpass ist maximal flach, seine Polgüte beträgt Q = 1/ 2. Hierfür muss der Gegenkopplungsgrad auf k=

1 = 0.631 3 − 1/Q

eingestellt werden. Mit 1/k = 1 + R5 /R6 beträgt das hierfür notwendige Widerstandsverhältnis R5 /R6 = 0.586. Wählt man z. B. R6 = 10 kΩ, ergibt sich R5 = 5.86 kΩ. Damit ist die Schaltung vollständig dimensioniert. Lösung Version 2 nach Bild 1.22. Der Widerstand R2 wird zu R2 = 10 kΩ gewählt. Damit berechnen sich die übrigen Bauelemente zu R4 = 4Q2 R2 = 20 kΩ 1 = 1.125 nF. C1 = C3 = 2ωP QR2 Die mit SPICE simulierten Amplitudengänge der beiden so dimensionierten Tiefpässe geben die geforderten Verläufe wieder, siehe Bild 1.23. Es ist zu beachten, dass das Filter nach Version 1 eine Grundverstärkung von AHP = 1/k = 1.586 entsprechend 4 dB, das zweite jedoch eine Verstärkung von 0 dB besitzt. Die Amplitudengänge der beiden Filter sind deshalb um die Differenz dieser beiden Werte zueinander versetzt.

1.1 Analoge Filter

31

5 0 -5

|F(jω)|dB

-10 -15 -20 -25 -30 -35

Version 1 Version 2

-40

1

10 f/kHz

Bild 1.23: Amplitudengänge der Hochpassfilter nach Version 1 und 2

100

32

1 Filter

1.1.3

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1.1.1 Filteranalyse R

R0 U1 (s)

q

R1

q

C

q

HH − H   +

q HH 

C R

q

q

R2

HH −

HH

+

H 



q



R2

q

HH − H H

q H 

+





q U2 (s)

Bild 1.24: Filter 2. Ordnung

Das Filter besitzt die Übertragungsfunktion F (s) =

U2 (s) = U1 (s)

ATP 1+

s Q ωP

+



s ωP

2

Wie groß sind Verstärkung ATP , Polgüte Q und Polfrequenz ωP für die gegebene Dimensionierung? Lösung der Aufgabe 1.1.1 Die Ausgangsspannung des ersten, gedämpften Integrators wird mit Uint1 , die des zweiten Integrators mit Uint2 bezeichnet. Die Übertragungsfunktion der Filterschaltung kann damit geschrieben werden als F (s) =

U2 (s) Uint2 (s) Uint1 (s) U2 (s) = · · . U1 (s) Uint2 (s) Uint1 (s) U1 (s)

Für die Ausgangsspannungen der einzelnen Stufen entnimmt man der Schaltung die folgenden Beziehungen U2 (s) = −Uint2 (s) Uint1 (s) Uint2 (s) = − sRC U2 (s) U1 (s) Uint1 (s) = − − R0 (G1 + sC) R(G1 + sC)

1.1 Analoge Filter

33

Zusammengefasst ergibt sich   U1 (s) U2 (s) 1 + U2 (s) = − sRC R0 (G1 + sC) R(G1 + sC)   U1 (s) 1 =− U2 (s) 1 + sRC · R(G1 + sC) sRC · R0 (G1 + sC) U2 (s) R/R0 =− U1 (s) 1 + sR2 C(G1 + sC) U2 (s) −R/R0 = U1 (s) 1 + sR2 C/R1 + (sRC)2 Ein Koeffizientenvergleich der letzten Gleichung mit der in der Aufgabenstellung vorgegebenen Übertragungsfunktion liefert die Lösung ATP = −

R R0

ωP =

1 RC

Q=

R1 R

Aufgabe 1.1.2 Butterworth-Tiefpass 2. Ordnung R3 R1

R

q

R

q

HH − H

U1 (s)

R0 HH q   U (s)  2

+



C1

q q

HH − H +

q

R2 HH q   U (s)  3



C2 q

q

HH −

HH

+

H  q  U4 (s) 



Bild 1.25: Butterworth-Tiefpass

Das Filter ist so zu dimensionieren, dass es an seinem Ausgang Tiefpassverhalten nach Butterworth aufweist. Die Verstärkung soll ATP = −10, die Polfrequenz fP = 10 kHz betragen. Die Vorgaben für die Bauelemente sind: C1 = C2 = 4.7 nF, R1 = R2 = R. 2.1 Bestimmen Sie die Widerstände R, R0 und R3 .

34

1 Filter

2.2 Verifizieren Sie Ihr Ergebnis dadurch, dass Sie zunächst die Schaltung mit der berechneten Dimensionierung simulieren und dann das Simulationsergebnis und das theoretische Ergebnis in einem gemeinsamen Plot darstellen. Lösung der Aufgabe 1.1.2 2.1 Berechnung der Widerstände Zunächst wird die Übertragungsfunktion des Tiefpasses bestimmt. Aus dem Vergleich dieses Analyseergebnisses mit der allgemeinen Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 2. Ordnung lassen sich die Kenngrößen Verstärkung, Polfrequenz und Polgüte als Funktion der unbekannten drei Widerstände angeben. Verstärkung und Polfrequenz sind in der Aufgabenstellung direkt gegeben, die Polgüte indirekt durch die Forderung √ nach einem Butterworth Verhalten, was gleichbedeutend ist mit der Polgüte Q = 1/ 2. Aus der Schaltung lassen sich mit den Abkürzungen τ1 = R1 C1 , τ2 = R2 C2 , V0 = R3 /R, V1 = R1 /R0 die Beziehungen 1 U3 (s) sτ2 1 V1 U2 (s) = − U2 (s) U3 (s) = − R0 (G1 + sC1 ) 1 + sτ1     R 1 U4 (s) = − U1 (s) + U4 (s) U2 (s) = − U1 (s) + R3 V0

U4 (s) = −

entnehmen. Damit lässt sich die Übertragungsfunktion ermitteln.   1 V1 1 U4 (s) = − U1 (s) + U4 (s) sτ2 1 + sτ1 V0 V1 V0 U4 (s) =− F (s) = =− U1 (s) V1 /V0 + sτ2 + s2 τ1 τ2 1 + sτ2 VV0 + s2 τ1 τ2 VV0 1

1

Durch Koeffizientenvergleich mit der Standardform eines Tiefpasses 2. Ordnung ATP

F (s) = 1+

s Q ωP

+



s ωP

2

erhält man für die Kenngrößen ATP , Q und ωP die Ausdrücke Verstärkung Polfrequenz Polgüte

R3 ATP = −V0 = − R  V1 /V0 R = ωP = τ1 τ2 R0 R2 R3 C1 C2 V1 τ1 R C1 Q= = τ1 ωP = R1 V0 τ2 R0 R2 R3 C2

1.1 Analoge Filter

35

Mit diesen Ergebnissen können unter Berücksichtigung der übrigen Vorgaben die gesuchten Widerstände bestimmt werden zu Q = 2.39 kΩ ωP C R3 = −ATP R = 23.94 kΩ R=

R0 =

2R2 2R =− = 478.9 Ω R3 ATP

2.2 Verifikation der Ergebnisse Zur Simulation mit SPICE wird die Schaltung um Knotennummern erweitert. Weiterhin werden alle Bauteile, soweit das nicht schon vorgegeben ist, mit eindeutigen Namen belegt. R3 R1 q R4 1k

q 5k

R5 HH −

HH R0 OP1 H  q +  2k 

q

C1

H q − HH R2 H q 6k OP2 H   +  3k 

Bild 1.26: Zur Simulation aufbereitete Schaltung

SPICE-Eingabefile (File a1.1_2.cir) Aufgabe a1.1.2, Butterworth-Tiefpassfilter .control * Gegebene Größen let fp=1e4 let Q=1/sqrt(2) let A=-10 let C=4.7e-9 * Berechnung der Widerstände let wp=2*pi*fp let r=Q/(wp*C) let r0=-2*r/A

q

C2

q

H q − HH H q 7k OP3 H   +  4k 

36

1 Filter

let r3=-A*r * Übergabe der Werte let @r1[resistance]=r let @r2[resistance]=r let @r4[resistance]=r let @r5[resistance]=r let @r0[resistance]=r0 let @r3[resistance]=r3 let @c1[capacitance]=C let @c2[capacitance]=C * Kontrollausgabe echo ’R =’ $&r Ohm echo ’R0 =’ $&r0 Ohm echo ’R3 =’ $&r3 Ohm echo ’C =’ $&C Farad * Simulation und Abspeichern des Amplitudengangs ac dec 50 1k 100k print vdb(4)>a1.1_2.dat .endc * Netzliste v1 1 0 dc 0 ac 1 r4 1 5 0 r3 5 4 0 r5 5 2 0 eop1 2 0 0 5 1e6 r0 2 6 0 c1 6 3 0 r1 6 3 0 eop2 3 0 0 6 1e6 r2 3 7 0 c2 7 4 0 eop3 4 0 0 7 1e6 .end SPICE-Ausgabe Spice Opus (c) 1 -> source a1.1_2.cir Circuit: Aufgabe a1.1.2, Butterworth-Tiefpassfilter R R0 R3 C

= = = =

2394.46 478.892 23944.6 4.7E-09

Ohm Ohm Ohm Farad

1.1 Analoge Filter

37

Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a1.1_2.gnu) Der Amplitudengang eines zweipoligen Butterworth-Tiefpasses lautet nach Gl. (1.14) ATP  4 . 1 + ωωP

|F (jω)| =

Der Verlauf dieses theoretischen Amplitudengangs wird, gemeinsam mit den aus der Simulation gewonnenen und im File a1.1_2.dat abgespeicherten Daten, durch Gnuplot dargestellt. Erwartungsgemäß sind die Plots beider Ergebnisse deckungsgleich. 20

Theorie Simulation

15 10

|F(jω)|db

5 0 -5 -10 -15 -20 103

104 f/Hz

105

Bild 1.27: Amplitudengang des Butterworth-Tiefpassfilters

Aufgabe 1.1.3 Filteranalyse Die beiden Operationsverstärker in der Schaltung Bild 1.28 sind ideal. Berechnen Sie für die gegebene Dimensionierung die Polgüte des Filters.

38

1 Filter C

U1 (s)

R R

q q

HH − H   +

C

HH 

R

q

3R

q

HH − H HH  +   

q

U2 (s)

Bild 1.28: Tiefpassfilter 2. Ordnung

Lösung der Aufgabe 1.1.3 Um die Güte des Filters bestimmen zu können, muss seine Übertragungsfunktion aufgestellt werden. Ein Koeffizientenvergleich dieser Übertragungsfunktion mit der eines Filters 2. Ordnung liefert das gewünschte Ergebnis. Bezeichnet man die Ausgangsspannung des ersten Operationsverstärkers mit U3 (s), berechnet sich die Übertragungsfunktion des Filters zu F (s) =

U2 (s) U3 (s) U2 (s) = · . U1 (s) U3 (s) U1 (s)

Es ist 1 U3 (s) sRC   U2 (s) 1 1 U1 (s) + 1+ . U3 (s) = − sRC 4 sRC U2 (s) = −

Setzt man zur Abkürzung noch τ = RC, lassen sich die Gleichungen zusammenfassen zu    1 1 1 U2 (s) U2 (s) = − − U1 (s) + 1+ . sτ sτ 4 sτ Auflösen nach U2 (s) liefert    1 1 1 1+ = U2 (s) 1 + U1 (s) 4sτ sτ (sτ )2 U2 (s) 1 4 = 1 F (s) = . = 2 U1 (s) 1 + sτ + (2sτ )2 4 (1 + sτ ) + (sτ ) Die Übertragungsfunktion hat die Struktur eines Tiefpasses 2. Ordnung. Ein Vergleich mit dessen allgemeiner Übertragungsfunktion gemäß Gl. (1.8) ATP

F (s) = 1+

s Q ωP

+



s ωP

2

1.1 Analoge Filter

39

liefert die Ergebnisse 1 =τ QωP

und ωP =

1 . 2τ

Hieraus ergibt sich die Güte dieses Filters zu Q = 2.

Aufgabe 1.1.4 Dimensionierung einer Bandsperre

R U1 (s)

HH − H HH  +  

R

q

q

q C

C

q R 4

q

q

U2 (s)

 −

C q

q

 H



H x R HH + 1 −Q x H

Bild 1.29: Bandsperre mit einstellbarer Polgüte

Die Schaltung arbeitet als Bandsperre (auch Kerbfilter oder Notchfilter genannt). Seine Übertragungsfunktion lautet U2 (s) s2 + ω 2 = 2 ωP P 2 . U1 (s) s + Q s + ωP Über den Widerstand RQ wird der x−te Teil der Ausgangsspannung auf das Filternetzwerk zurückgekoppelt. Dadurch kann die Polgüte in weiten Grenzen eingestellt werden. 4.1 Der Kapazitätswert C, die Polfrequenz fP sowie die Polgüte Q seien bekannt. Bestimmen Sie damit allgemein den Widerstandswert R sowie das einzustellende Teilerverhältnis x. 4.2 Berechnen Sie den Amplitudengang des Filters. 4.3 Zeichnen Sie den Amplitudengang für die Polfrequenz fP = 1 kHz und die Polgüte Q = 100. Wählen Sie einen linearen Maßstab.

40

1 Filter

Lösung der Aufgabe 1.1.4 4.1 Berechnung von R und x Hierzu wird die Übertragungsfunktion der Schaltung berechnet. Durch Koeffizientenvergleich mit der gegebenen Übertragungsfunktion findet man die gesuchten Größen. Die Operationsverstärker arbeiten als Spannungsfolger. Die Schaltung kann deshalb wie folgt vereinfacht werden. R

R

q

q

U1 (s)

q C

U2 (s)

C

q

Ui (s)

Uo (s) R/4

?

C ? xU2 (s)

q

q

Bild 1.30: Vereinfachte Filterschaltung

Die Übertragungsfunktion dieses Doppel-T-Filters wird mittels des Knotenpotentialverfahrens [14] berechnet. Dazu wird die Schaltung auf geeignete Weise umgeformt. Mit den Beziehungen für die Eingang- und Ausgangsspannungen des Doppel-T-Filters Ui (s) = U1 (s) − xU2 (s) Uo (s) = U2 (s)(1 − x) läßt sich die Schaltung wie folgt darstellen R nUi (s) ? C nUi (s) ?

R

q

k q 1 q

q Uo (s)

C q q

q

6 n GUi (s)

?

C R/4

q

G q

≡

R

q

q

C q

Uo (s)

C

k q 2 q 6 n sCUi (s)

3k

q

C

? k 0

4G q

Bild 1.31: Schaltungsumformungen

Wählt man für die Spannungen zwischen den Knoten 1, 2, 3 und dem Bezugsknoten 0 die Bezeichnungen U10 , U20 , U30 = Uo , kann das Gleichungssystem für diese Knoten-

1.1 Analoge Filter

41

spannungen angeschrieben werden als ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U GU 2G + sC 0 −G i 10 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 4G + 2sC −sC ⎟ ⎜U20 ⎟ ⎜sCUi ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −G −sC G + sC Uo 0 Die Ausgangsspannung Uo wird nach der Cramer’schen Regel berechnet.      2G + sC 0 GU i        0 4G + 2sC sCU i        −G −sC 0 

Uo (s) =      2G + sC 0 −G         0 4G + 2sC −sC        −G −sC G + sC   2  G (4G + 2sC) + (sC)2 (2G + sC) Ui (s) = (2G + sC)(4G + 2sC)(G + sC) − G2 (4G + 2sC) − (sC)2 (2G + sC) 2 + (sRC)2 = Ui (s) 2 + 6sRC + (sRC)2 Der Einsatz der Hilfgrößen Uo und Ui wird wieder rückgängig gemacht und der Ausdruck in die gewünschte Form gebracht. Uo (s) U2 (s)(1 − x) 2 + (sRC)2 = = Ui (s) U1 (s) − xU2 (s) 2 + 6sRC + (sRC)2 xU2 (s) x 2 + (sRC)2 = U1 (s) − xU2 (s) 1 − x 2 + 6sRC + (sRC)2 U2 (s) 2 + (sRC)2 = U1 (s) (1 − x)(2 + 6sRC + (sRC)2 ) + x(2 + (sRC)2 ) 2 + (sRC)2 = 2 + 6sRC(1 − x) + (sRC)2 2 s2 + (RC) 2 U2 (s) = (1−x) 2 U1 (s) s2 + 6s RC + (RC) 2

42

1 Filter

Ein Koeffizientenvergleich mit der gegebenen Übertragungsfunktion liefert die gewünschten Ergebnisse. √ 2 1 folgt R = √ Aus ωP = RC 2πfP C 6 1 ωP = (1 − x) folgt x = 1 − √ Aus Q RC 3 2Q 4.2 Berechnung des Amplitudengangs Durch die Substitution s −→ jω geht aus der Übertragungsfunktion der Frequenzgang hervor. F (jω) =

2 −ω 2 + ωP 1 1 = = ωP ωωP 2 1 1 2 −ω + jω Q + ωP 1 − j Q ω2 −ω2 1 + jQν P

mit ν =

ω ωP − ωP ω

Der Amplitudengang ist der Betrag des Frequenzgangs 1 . |F (jω)| =  1 + (Qν)−2 4.3 Plot des Amplitudengangs (File a1.1_4.gnu)

1

|F(jω)|

0.8

0.6

0.4

0.2

0 900

950

1000 f/Hz

Bild 1.32: Bandsperre mit fP = 1 kHz, Q = 100

1050

1100

1.1 Analoge Filter

43

Aufgabe 1.1.5 Bandpass q C U1 (s)

R1

C

q

q

R3 HH

R2

−

HH

+



H 

q

U2 (s)



Bild 1.33: Bandpass 2. Ordnung

Das Filter hat die Dimensionierung R1 = 159 kΩ, R2 = 792 Ω, R3 = 318 kΩ, C = 10 nF. Der Operationsverstärker ist ideal. Welche Bandmittenfrequenz f0 stellt sich ein? Lösung der Aufgabe 1.1.5 Der schnellste Weg zur Lösung ist, dass man zunächst in die Schaltung sukzessive alle Zweigspannungen und -ströme einträgt,  beginnend beim Widerstand R3 . Anschließend wird im Knoten Kkdie Strombilanz I = 0 aufgestellt. q (G3 + sC)U2 (s) G3 U2 (s) ? ?   3 R3 U2 (s) C 1+ G sC U2 (s)   3 ? ? U1 (s) + G U (s) sC 2 k H C G U (s) K R1 3 2 q q − HH U1 (s)   HH  3 G1 U1 (s) + G G3 U2 (s) sC U2 (s) sC  +  G3 U2 (s)  R2 6

q

U2 (s)

sC

G2 G3 6sC U2 (s)

Bild 1.34: Schaltung mit eingetragenen Zweigspannungen und -strömen

Aus der Knotengleichung   G3 G2 G3 U2 (s) + (G3 + sC)U2 (s) + G3 U2 (s) + U2 (s) = 0 G1 U1 (s) + sC sC

44

1 Filter

ergibt sich die Übertragungsfunktion zu sG1 C U2 (s) =− U1 (s) G1 G3 + G2 G3 + 2sG3 C + s2 C 2 sG1 /C =− . G3 (G1 + G2 )/C 2 + 2sG3 /C + s2

F (s) =

Die Mittenfrequenz eines Bandpasses ist identisch mit seiner Polfrequenz, da dort der Frequenzgang maximal und reell wird. Sie berechnet sich deshalb aus dem frequenzunabhängigen Koeffizienten im Nenner der Übertragungsfunktion zu ωP =

1 G3 (G1 + G2 ). C

Mit der gegebenen Dimensionierung ergibt sich f0 = 1 kHz. Aufgabe 1.1.6 Tiefpass im Zeitbereich Ein Tiefpassfilter 2. Ordnung besitzt die Verstärkung ATP = 1 und die Polfrequenz fP = 100 Hz. Es wird mit der rampenförmigen Spannung  u1 (t) t/τ (0 ≤ t < τ ) = V 1 (t ≥ τ ) mit τ = 10 ms angesteuert. 6.1 Simulieren Sie den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung u2 (t) für einen √ • Bessel-Tiefpass (Q = 1/ 3), • Tschebyscheff-Tiefpass mit 3 dB Welligkeit (Q = 1.307). 6.2 Zeigen Sie an Hand der Simulationsergebnisse, dass der Bessel-Tiefpass den Eingangsimpuls zwar verzögert, aber praktisch verzerrungsfrei überträgt, wohingegen der Tschebyscheff-Tiefpass den Eingangsimpuls stark verformt. Hinweis: Verwenden Sie zur Simulation des Tiefpasses das XSPICE-Modell s_xfer. Lösung der Aufgabe 1.1.6 6.1 Simulation des Zeitverhaltens SPICE-Eingabefile (File a1.1_6.cir) Das XSPICE-Modell s_xfer ermöglicht sowohl die Simulation von Übertragungsfunktionen als auch die Simulation des zeitlichen Übertragungsverhalten aller Filterarten und Filtertypen. Für das geforderte zweipolige Tiefpassfilter werden in der allgemeinen Übertragungsfunktion Gl. (1.1) alle Zählerkoeffizienten bis auf den konstanten Term

1.1 Analoge Filter

45

auf Null gesetzt. Im Nenner verschwinden alle Koeffizienten ab der dritten Potenz von s. Zähler- und Nennerkoeffizienten werden als Parameter übergeben: der Zählerkoeffizient 2 ωP mit der Anweisung let @@tp2[num_coeff]=wp∧2 und die drei Nennerkoeffizienten 2 1, ωP /Q und ωP mit der Anweisung let @@tp2[den_coeff]=(1;wp/Q;wp∧2). Aufgabe 1.1.6 * Zeitverhalten eines Tiefpasses 2. Ordnung .control * Bessel Tiefpass let Q = 1/sqrt(3) let let let let let

fp = 100 wp = 2*pi*fp @@tp2[num_coeff]=wp^2 @@tp2[den_coeff]=(1;wp/Q;wp^2) @@tp2[gain]=1

tran 10u 20m * Tschebyscheff Tiefpass mit 3db Welligkeit let Q = 1.307 let @@tp2[den_coeff]=(1;wp/Q;wp^2) tran 10u 20m plot v(1) tran1.v(2) tran2.v(2) print v(1) tran1.v(2) tran2.v(2) >a1.1_6.dat .endc v 1 0 dc 0 ac 1 pulse 0 1 0 10m atp 1 2 tp2 .model tp2 s_xfer (gain=0 num_coeff=[0] den_coeff=[0 0 0]) .end Die von SPICE generierten Daten (File a1.1_6.dat) werden durch Gnuplot als Grafik (File a1.1_6.gnu) in Bild 1.35 ausgegeben. 6.2 Interpretation der Ergebnisse Sieht man von den Verrundungen ab, die von den Knickstellen des Eingangsimpulses verursacht werden, folgt der Ausgangsimpuls des Bessel-Filters exakt dem Eingangsimpuls. Die Verzögerung zwischen Ausgangs- und Eingangsimpuls ist durch die Gruppen√ laufzeit des Filters gegeben. Sie beträgt nach Gl. (1.16) mit Q = 1/ 3 τg =

1 = 2.76 ms. ωP Q

Dagegen steigt beim Tschebyscheff-Filter der Ausgangsimpuls zunächst langsamer, ab etwa der halben Amplitude aber schneller als der Eingangsimpuls an. Zusätzlich zeigt er

46

1 Filter

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

u(t)/V

u(t)/V

ein starkes Überschwingen. Er ist also deutlich gegenüber dem Eingangsimpuls verzerrt. Vorteilhaft ist sicherlich die gegenüber dem Bessel-Filter kürzere Verzögerungszeit von etwa τg = 1/(ωP Q) = 1.22 ms, gemessen bei 50 % der Ausgangsamplitude.

0.6

0.6

0.4

0.4

u1(t) u1(t-τg) u2(t)

0.2

u1(t) u1(t-τg) u2(t)

0.2

0

0

0

5

10 t/ms

15

20

0

5

10 t/ms

15

20

Bild 1.35: Impulsantworten des Bessel-Filters (links) und des Tschebyscheff-Filters (rechts). Gestrichelt eingezeichnet sind die um die Gruppenlaufzeit verzögerten Verläufe der Eingangsspannungen.

1.2 Abtastfilter

1.2

47

Abtastfilter

Im Gegensatz zu den bisher behandelten analogen Filtern, die Signale wert- und zeitkontinuierlich verarbeiten5 , durchlaufen Signale das Abtastfilter zwar auch wertkontinuierlich, aber zeitdiskret. Analogfilter

SC-Filter

Digitalfilter

Amplitude

kontinuierlich

kontinuierlich

diskret

Zeit

kontinuierlich

diskret

diskret

Tabelle 1.3: Signalverarbeitung der verschiedenen Filterarten

Da Abtastfilter mit geschalteten Kondensatoren arbeiten, werden sie auch als SchalterKondensator-Filter oder SC-Filter6 bezeichnet. SC-Filter zählen zu den Abtastsystemen. Sie unterliegen daher wie jedes Abtastsystem dem Abtasttheorem nach Nyquist-Shannon, das einen eindeutigen Zusammenhang zwischen der Abtastfrequenz und der maximalen Frequenz des abgetasteten Signals herstellt: Die höchste im Signal auftretende Frequenz darf maximal halb so groß wie die Abtastfrequenz sein. Wird das Abtasttheorem verletzt, ist die Rekonstruktion des abgetasteten Signals nicht mehr eindeutig. Es treten dann zusätzliche Frequenzen auf, die das rekonstruierte Signal nichtlinear verzerren. Man spricht von Abtastverzerrungen7. Da alle nichtperiodischen physikalischen Signale ein unendlich ausgedehntes Spektrum besitzen, muss deshalb dem Abtastfilter grundsätzlich ein analoges Tiefpassfilter zur Bandbegrenzung des abzutastenden Signals vorgeschaltet werden. Soll das zeitdiskrete Ausgangssignal eines Abtastfilters analog weiterverarbeitet werden, ist zu seiner Glättung ein weiteres analoges Tiefpassfilter erforderlich. 

Prefilter



SC-Filter



Postfilter



6 Taktsignal Bild 1.36: Allgemeine Betriebsanordnung für Abtastfilter 5 6 7

Im Folgenden werden die Begriffe ’analog’ und ’(zeit)kontinuierlich’ synonym verwendet engl. Akronym: Switched Capacitor filter engl.: aliasing error

48

1 Filter

Das Abtastfilter ist also grundsätzlich zwischen zwei analogen Tiefpassfiltern eingebettet. Das Prefilter oder Anti-Aliasing Filter dient der Vermeidung von Abtastverzerrungen, das Post- oder Rekonstruktionsfilter glättet das Ausgangssignal. Allerdings können je nach Beschaffenheit des zu filternden Signals und der Verwendung des Ausgangssignals sowohl das Pre- als auch das Postfilter entfallen. SC-Filter werden kommerziell als integrierte Schaltungen mit fest vorgegebener oder auch programmierbarer Übertragungscharakteristik angeboten. Dabei stehen neben Universalfiltern auch Tiefpass-, Bandpass- sowie Bandsperrenfilter bis zur 12. Ordnung mit Arbeitsfrequenzen im Niederfrequenzbereich bis etwa 50 kHz zur Verfügung. Gegenüber analogen Filtern haben SC-Filter den Vorteil, dass die Filterkenngrößen nicht durch Widerstände bestimmt werden, die wegen ihrer Toleranzen, ungenügender Langzeitstabilität und schlechten Integrierbarkeit zu Problemen führen können, sondern durch eine Taktfrequenz und durch Kapazitätsverhältnisse, die beide leicht in hoher Genauigkeit realisiert werden können. Nachteilig kann sich aber das Übersprechen des Taktsignals auf das Filterausgangssignal auswirken, ein Phänomen, das allen Abtastsystemen inhärent zu Eigen ist. Gegenüber digitalen Filtern zeichnen sich SCFilter dadurch aus, dass ein analoges Signal direkt, d. h. ohne Umsetzung von analog zu digital bzw. von digital zu analog, verarbeitet werden kann. Abtastfilter werden vorzugsweise als Zustandsraumfilter (siehe Seite 10) aufgebaut. Bei diesem Design werden ausschließlich Integratoren und Summierverstärker verwendet, wobei die Widerstände dann in der SC-Technologie realisiert sind.

1.2.1

SC-Integrator

1.2.1.1

Funktionsprinzip

Kernelement des SC-Integrators ist ein periodisch geschalteter Kondensator als Ersatz für einen ohmschen Widerstand.

Φ1 t Φ2 T

t

Bild 1.37: Taktschema zur Schaltersteuerung

Die Funktion des geschalteten Kondensators nach Bild 1.38 ist wie folgt: Mit dem Takt Φ1 schließt der linke Schalter. Damit fließt von der Spannungsquelle

1.2 Abtastfilter

49

die Ladung Q = CU in den Kondensator. Mit dem zu Φ1 zeitlich versetzten Takt Φ2 schließt der rechte Schalter. Die in dem Kondensator gespeicherte Ladung fließt über den Kurzschlussdraht ab. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch. Innerhalb einer Taktperiode T fließt durch den Kurzschlussdraht im Mittel der Strom i(t) =

Φ1 q   nU ?



1 T

T

i(t) dt = 0

1 T



T

0

dQ 1 dt = dt T



Φ2 q  

q

Q

dQ = 0

1 CU. T

R -

? i(t)

C q

nU ?

? I

Bild 1.38: Geschalteter Kondensator und seine Ersatzschaltung

Fließen in der SC-Schaltung (links) und in ihrer Ersatzschaltung (rechts) im zeitlichen Mittel gleich große Ströme, ist also i(t) = I, dann “sieht” die Spannungsquelle auch gleich große Widerstände U U T = , = I C i(t)

R=

d. h. der geschaltete Kondensator hat im Mittel dieselbe Wirkung wie ein Widerstand der Größe T . C

R=

(1.62)

Ersetzt man also in einem analogen Integrator den Integrationswiderstand durch einen geschalteten Kondensator CS nach Gl. (1.62), wird aus dem RC-Integrator ein SCIntegrator. C u1 (t)

Φ1 q  

q

Φ2 q   CS

q

HH −

HH

+



H 



Bild 1.39: Invertierender SC-Integrator

Φ1 q   q u2 (t)

u2 (t)

50

1 Filter

1.2.1.2

Analyse im Zeitbereich

Φ1

Φ2

t u1 (t)

u1 (tn+2 ) u1 (tn+1 )

u1 (tn )

t

u2 (t) u2 (tn )

tn−1

tn−1/2

tn

u2 (tn+1 ) tn+1/2

tn+1

u2 (tn+2 ) tn+3/2

tn+2 t

Bild 1.40: Zweiphasentakt und Abtastwerte beim SC-Integrator.

Es werden die Ladungsverteilungen innerhalb einer Taktperiode, also von tn = nT bis tn+1 = (n + 1)T betrachtet. tn : Mit dem Takt Φ1 fließt in den Kondensator CS die Ladung QCS = CS u1 (tn ). Die Ausgangsspannung u2 (tn ) liegt über dem geschlossenen Schalter am Kondensator C. Dessen Ladung beträgt damit QC = Cu2 (tn ). tn+1/2 : Mit dem Takt Φ2 fließt die Ladung des Kondensators CS zum Kondensator C und vermindert dessen Ladung um diesen Betrag QC (tn+1/2 ) = QC (tn ) − QCS (tn ). Damit beträgt die Spannung des Kondensators C u2 (tn+1/2 ) = u2 (tn ) −

CS u1 (tn ) C

tn+1 : Der o. a. Vorgang wiederholt sich. In den Kondensator CS fließt nun die Ladung QCS = CS u1 (tn+1 ). Die Ausgangsspannung wird über den geschlossenen Schalter gleich der Kondensatorspannung u2 (tn+1 ) = u2 (tn+1/2 ). CS u1 (tn ). u2 (tn+1 ) = u2 (tn ) − C

(1.63)

1.2 Abtastfilter

51

Gl. (1.63) ist eine Differenzengleichung, die zu jedem diskreten Zeitpunkt tn = nT den Wert der Ausgangsspannung u2 liefert. Bei bekannter Eingangsspannung lässt sich u2 mit Hilfe der Gl. (1.63) rekursiv berechnen. Mit den Anfangsbedingungen u1 (t0 ) und u2 (t0 ) ist n=0: n=1:

CS u1 (t0 ) C CS u1 (t1 ) u2 (t2 ) = u2 (t1 ) − C

u2 (t1 ) = u2 (t0 ) −

.. . n=n:

u2 (tn ) = u2 (tn−1 ) −

CS u1 (tn−1 ) C

.. . Da das Abtastintervall T meist konstant ist, werden zur Vereinfachung der Schreibweise die Abtastwerte u(tn ) als u[n] geschrieben und als Spannungssequenz bzw. als Folgenwerte der Spannung bezeichnet. Mit dieser Vereinbarung bekommt die Differenzengleichung (1.63) die Form u2 [n + 1] = u2 [n] −

CS u1 [n]. C

(1.64)

Beispiel 1.2.1 Ein invertierender SC-Integrator mit einem Integrationskondensator von C = 1 nF und einem geschalteten Kondensator von CS = 100 pF wird mit der Periodendauer T = 10 μs getaktet. Am Eingang des Integrators liegt eine negative Gleichspannung u1 (t) = U1 = −1 V an. Die Ausgangsspannungssequenz u2 [n] des SC-Integrators ist zu berechnen und mit dem Ausgangssignal eines äquivalenten analogen Integrators zu vergleichen. Als Anfangsbedingung wird unterstellt, dass beide Kondensatoren zu Beginn der Integration leer sind. Lösung. Die Eingangsspannung wird periodisch mit den Taktimpulsen der Periodendauer T = 10 μs abgetastet. Dies liefert als Abtastwerte die Sequenz u1 [n] = {−1, −1, −1, −1, . . .}. Unter Verwendung der Rekursionsgleichung (1.64) errechnet man damit für die Folgenwerte der Ausgangsspannung u2 [n] = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, . . .}.

52

1 Filter

Um einen Eindruck von der Qualität des SC-Integrators zu bekommen, wird der zeitliche Verlauf von u2 [n] mit dem Ausgangssignal eines kontinuierlichen Integrators mit T der Zeitkonstanten τ = RC = C verglichen. Bekanntlich verläuft dessen AusgangsCS spannung nach der Funktion  1 u2 (t) = − u1 (t)dt. τ In diesem Beispiel ist die Eingangsspannung eine Gleichspannung mit U1 = −1 V. Mit τ = 0.1 ms steigt deshalb die Ausgangsspannung vom Anfangswert u2 (0) = 0 rampenförmig mit der Steigung 10 V/ms an u2 (t) = −U1

t t = 10−2 V . τ μs

1.2

SC-Integrator u2’(t) u2[n] Kontinuierlicher Integrator u2(t)

1

u2/V

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60 t/μs

80

100

120

Bild 1.41: Ausgangsspannungen für U1 = −1 V, T = 10 μs, CS = 100 pF, C = 1 nF

Soll das Ausgangssignal des SC-Integrators analog weiterverarbeitet werden, muss es durch einen Tiefpass geglättet werden. Dies erfordert wegen des geringen Energieinhaltes der Impulse einen hohen Filteraufwand. Hier erweist es sich als günstig, direkt das Treppensignal u2 (t) als die bessere Approximation des gewünschten analogen Signals zu verwenden.

1.2 Abtastfilter 1.2.1.3

53

Analyse im Frequenzbereich

Die Differenzengleichung Gl. (1.64) wird der z-Transformation unterworfen. Unter Anwendung der Transformationsregeln [4] f [n] ◦−• F (z)

f [n + 1] ◦−• zF (z)

transformiert sich Gl. (1.63) nach zU2 (z) = U2 (z) −

CS U1 (z). C

Hieraus lässt sich die Übertragungsfunktion des SC-Integrators angeben zu F (z) =

CS 1 U2 (z) =− . U1 (z) C z−1

(1.65)

Zur Darstellung des Frequenzganges substituiert man z durch ejω T . Der Frequenzgang des SC-Integrators lautet also F (ejω T ) = −

1 CS . jω T C e −1

(1.66)

Zum Vergleich hierzu wird der Frequenzgang eines analogen Integrators herangezogen. C U1 (s)

R

q

HH −

HH

H 



+

q

U2 (s)



Bild 1.42: Invertierender analoger Integrator

Dieser besitzt die Übertragungsfunktion F (s) =

1 U2 (s) =− U1 (s) sRC

bzw. den Frequenzgang F (jω) = −

1 . jω RC

54

1 Filter

Substituiert man noch den Widerstand durch sein Äquivalent eines geschalteten KonT densators R = , wird daraus CS F (jω) = −

CS 1 . C jω T

(1.67)

Ein Vergleich von Gl. (1.66) und Gl. (1.67) zeigt, dass für niedrige Betriebsfrequenzen bzw. hohe Abtastfrequenzen, also ωT  1, die beiden Frequenzgänge ineinander übergehen, denn es gilt lim F (ejω T ) = −

ωT 1

CS 1 ! = F (jω). C jω T

Allerdings liefert der SC-Integrator mit zunehmender Frequenz (bei konstanter Taktperiode) ein vom kontinuierlichen Integrator abweichendes Verhalten. Dazu wird der Amplitudengang des SC-Integrators betrachtet. Es ist |F (ejω T )| =

CS 1 1 CS  . = C C 2 | sin ωT /2| 2(1 − cos ωT )

Bei Verwendung der Spaltfunktion si x = sin x/x vereinfacht sich der Ausdruck noch zu |F (ejω T )| =

1 1 CS 1 = |F (jω)| . C ωT | si (ωT /2)| | si (ωT /2)|

Die Amplitudengänge des zeitdiskreten und des zeitkontinuierlichen Integrators unterscheiden sich gerade um den zweiten Faktor in obiger Gleichung. Da wegen des NyquistKriteriums aber der SC-Integrator nur bis zur halben Taktfrequenz, der Nyquist-Frequenz fmax = 1/(2T ), betrieben werden darf, differieren die beiden Amplitudengänge innerhalb des Nyquist-Bereiches 0 ≤ f ≤ fmax lediglich um den Faktor     ωT  2 1 ≤ si ≤ . 2  π Die größte Abweichung tritt mit 20 lg π/2 = 3.9 dB bei der Nyquist-Frequenz auf. Beispiel 1.2.2 Zum Vergleich werden die Amplitudengänge des SC-Integrators und des kontinuierlichen Integrators grafisch dargestellt. Zur Dimensionierung werden die Werte aus dem vorherigen Beispiel 1.2.1 von Seite 51, nämlich C = 1 nF, CS = 100 pF und T = 10 μs, verwendet. Die allgemeinen Gleichungen für die Amplitudengänge lauten: SC-Integrator |F (ejω T )|dB = 20 lg

CS 1 1 C ωT | si (ωT /2)|

1.2 Abtastfilter

55

Kontinuierlicher Integrator |F (jω)|dB = 20 lg

CS 1 . C ωT

Bei der hier verwendeten Taktperiode von T = 10 μs liegt die nach dem Abtasttheorem maximal zugelassene Betriebsfrequenz des SC-Integrators bei fmax = 1/(2T ) = 50 kHz. Bei dieser Frequenz weist der Amplitudengang des SC-Integrators das erste lokale Minimum auf. Seine Dämpfung an dieser Stelle ist mit 26 dB um 3.9 dB gegenüber der des analogen Integrators vermindert. Bei der Taktfrequenz fS = 1/T = 100 kHz hat der Amplitudengang des SC-Integrators seine erste Polstelle. Weitere Polstellen folgen periodisch bei allen ganzzahligen Vielfachen der Taktfrequenz. Die größte Dämpfung wird jeweils zwischen den Polstellen bei den Frequenzen (n + 0.5)fS erreicht. Sie liegt konstant bei 26 dB. Allerdings hat der Verlauf des Amplitudengangs für Frequenzen größer als die Nyquist-Frequenz fS /2 keine praktische Bedeutung mehr. 20 10 0

|F(jω)|dB

-10 -20 -30 -40 -50 -60 102

SC-Integrator Kontinuierlicher Integrator 103

10

4

f/Hz Bild 1.43: Amplitudengänge für T = 10 μs, CS = 100 pF, C = 1 nF

105

56

1 Filter

1.2.2

SC-Filter

1.2.2.1

Tiefpass 1. Ordnung

Ein Tiefpass 1. Ordnung lässt sich als als gedämpfter Integrator interpretieren, d. h. ein Integrator, bei dem der Kondensator im Gegenkoppelzweig durch einen Widerstand überbrückt ist. R2 C

q U1 (s)

R1

HH − H

q

  +

q HH 

q

U2 (s)

Bild 1.44: Analoger Tiefpass 1. Ordnung

In analoger Schaltungstechnik besitzt dieser Tiefpass die Übertragungsfunktion F (s) =

V0 R2 /R1 . =− 1 + sτ 1 + sR2 C

(1.68)

Soll der Tiefpass in SC-Technik realisiert werden, müssen die beiden Widerstände durch geschaltete Kondensatoren ersetzt werden. Hierfür kann die folgende Schaltung angegeben werden. Φ2 q   Φ1

C2

C

q u1

Φ1 q

q

Φ2 q C1

q

Φ2 q Q Φ1 Q

HH −

H

  +

q HH 

q u2

Φ1 q  

u2

Bild 1.45: SC-Tiefpass 1. Ordnung

Zur Analyse dieser Schaltung werden die Ladungen der drei Kondensatoren innerhalb einer Taktperiode, beginnend bei einem willkürlich gewählten Zeitpunkt tn = nT , betrachtet. Mit dem Takt Φ1 liegt der Kondensator C1 an der Eingangsspannung u1 , der

1.2 Abtastfilter

57

Kondensator C2 ist kurzgeschlossen und am Kondensator C liegt die Ausgangsspannung u2 qC1 [n] = C1 u1 [n] qC2 [n] = 0 qC [n] = Cu2 [n]. Eine halbe Taktperiode später, also mit dem Takt Φ2 zur Zeit tn+1/2 , entlädt sich der Kondensators C1 auf den Kondensator C. Zusätzlich verliert der Kondensator C Ladung an den Kondensator C2 qC [n + 1/2] = qC [n] − qC2 [n] − qC1 [n]. Die Spannung am Kondensator C hat somit zu diesem Zeitpunkt den Wert C1 C2 u2 [n + 1/2] = u2 [n] − u2 [n] − u1 [n] C C   C1 C2 u2 [n] − u1 [n]. = 1− C C Eine weitere halbe Taktperiode später, zum Zeitpunkt tn+1 , wiederholt sich der Zyklus. Insbesondere wird wieder die Spannung am Kondensator C als Ausgangsspannung übernommen, u2 [n + 1] = u2 [n + 1/2]. Damit lautet die Differenzengleichung für u2   C1 C2 u2 [n] = − u1 [n]. u2 [n + 1] − 1 − (1.69) C C Um das Verhalten des Filters im Frequenzbereich zu analysieren, wird Gl. (1.69) der z-Transformation unterworfen   C2 C1 U2 (z) = − U1 (z) zU2 (z) − 1 − C C C1 /C U1 (z) U2 (z) = − z − 1 + C2 /C C1 /C2 F (z) = − . (1.70) 1 + CC2 (z − 1) Durch die Substitution z −→ esT , mit T als Taktfrequenz des Filters, ergibt sich die Übertragungsfunktion F (esT ) = −

C1 /C2 , 1+ (esT − 1) C C2

(1.71)

die für niedrige Frequenzen, d. h. für sT  1, übergeht in F (esT ) = −

C1 /C2 . 1 + CC2 sT

(1.72)

58

1 Filter

Berücksichtigt man noch, dass die geschalteten Kondensatoren sich wie Widerstände verhalten, lässt sich R1 = CT1 und R2 = CT2 setzen. Damit geht die Übertragungsfunktion des SC-Filters in die Übertragungsfunktion des analogen Filters Gl. (1.68) über F (esT ) = −

R2 /R1 . 1 + sR2 C

Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, denn bereits beim ungedämpften Integrator wurde nachgewiesen, dass unterhalb der Nyquist-Frequenz das Übertragungsverhalten der zeitdiskret betriebenen Schaltung nahezu identisch ist mit dem der zeitkontinuierlich betriebenen Schaltung. Das folgende Beispiel veranschaulicht diese theoretischen Ergebnisse. Beispiel 1.2.3 In diesem Beispiel werden die Amplitudengänge eines SC-Tiefpasses und eines analogen Tiefpasses, beide 1. Ordnung, miteinander verglichen. Die Tiefpässe sollen jeweils die Verstärkung V0 = −10 und die Eckfrequenz fg = 1 kHz besitzen. Da mit diesen Angaben die Dimensionierungen der Schaltungen nicht eindeutig bestimmbar sind, werden einige Werte ’willkürlich’ festgelegt, die restlichen werden berechnet. Für den analogen Tiefpass nach Bild 1.44 wird der Widerstand R1 auf 1 kΩ festgelegt. Die übrigen Bauelemente haben damit die Werte R2 = |V0 |R1 = 10 kΩ und C = τ /R2 = 1/(2πfg R2 ) = 15.9 nF. Die Taktfrequenz des SC-Tiefpasses Bild 1.45 wird auf fS = 1/T = 100 kHz, der Wert des Kondensators C auf 159 pF festgelegt. Da das SC-Filter dieselben Kennwerte besitzen soll wie das analoge Filter, errechnen sich die geschalteten Kondensatoren aus den Beziehungen Gl. (1.72) und Gl. (1.68) durch Koeffizientenvergleich. Es gilt nämlich −C1 /C2 = V0 und T C/C2 = τ = 1/2πfg . Hieraus folgt C1 = 100 pF und C2 = 10 pF. Mit diesen Daten können aus den Gleichungen (1.71) und (1.68) die Amplitudengänge bestimmt und numerisch ausgewertet werden. SC-Tiefpass 1. Ordnung |F (e

jω T

)|dB

    C1 /C2   = 20 lg    1 + CC (ejω T − 1)  2

Analoger Tiefpass 1. Ordnung   |F (jω)|dB = 20 lg 

 R2 /R1  . 1 + jω R2 C 

1.2 Abtastfilter

59

Bild 1.46 bestätigt die o. a. Ausführungen. Durchlassdämpfung und Eckfrequenz beider Filter sind identisch. Auch im Sperrbereich stimmen die Amplitudengänge bis in unmittelbarer Nähe der Nyquist-Frequenz fS /2 = 50 kHz noch weitgehend überein. Oberhalb der Nyquist-Frequenz differieren die Amplitudengänge sehr stark, allerdings ist der Betrieb des SC-Filters in diesem Bereich wegen der dann sich einstellenden Abtastverzerrungen sowieso unzulässig. 20 15 10

|F(jω)|dB

5 0 -5 -10 -15 -20 102

SC-Tiefpass analoger Tiefpass 103

104 f/Hz

105

106

Bild 1.46: Amplitudengänge Tiefpass 1. Ordnung mit V0 = −10, fg = 1 kHz, T = 10 μs

1.2.2.2

Filter 2. Ordnung

Es wurde in den vorigen Abschnitten exemplarisch anhand eines Integrators sowie eines Tiefpasses 1. Ordnung gezeigt, dass sich Abtastschaltungen unter bestimmten Randbedingungen näherungsweise wie die entsprechenden analogen Schaltungen verhalten. Insbesondere muss der Arbeitsfrequenzbereich der Schaltung deutlich unterhalb der Nyquist-Frequenz liegen. Man kann deshalb SC-Filtern 2. (und auch höherer) Ordnung im Prinzip die gleiche Struktur geben wie analogen Filtern. Wegen ihrer Flexibilität und Universalität hat

60

1 Filter

sich allerdings in der Praxis insbesondere die Topologie des Zustandsraumfilters durchgesetzt. Erleichternd für der Auslegung der Schaltungen kommt hinzu, dass sich in der SCTechnik sehr einfach negative Widerstände und damit nichtinvertierende Integratoren und Summierverstärker realisieren lassen. C q Φ1 q   Φ2

CS

Φ2  q Φ1

HH − H   +

HH 

q

HH  HH H +   

Φ1 q

Bild 1.47: Nichtinvertierender SC-Integrator und sein Symbol

Bei Verwendung solcher nichtinvertierender Integratoren kann z. B. bei der Umsetzung des Universalfilters nach Bild 1.7 in die SC-Technik ein Operationsverstärker eingespart werden. R

U1

RA

q

RQ

q

R

q

HH − H   +

HH q  U

HP

HH  HH H +   

q UBP

HH  HH H +   

q UTP

Bild 1.48: Universalfilter in (teilweiser) SC-Technik

In einem weiteren Schritt könnte man in dieser Schaltung alle Widerstände als geschaltete Kondensatoren realisieren. Solange man sich auf Arbeitsfrequenzen beschränkt, die deutlich unterhalb der Nyquistfrequenz liegen, kann bei der Berechnung von SC-Filtern in guter Näherung auf die z-Transformation verzichtet und ausschließlich mit der Laplace-Transformation gearbeitet werden. Dadurch wird der notwendige mathematische Rechenaufwand erheblich verringert. Für das Universalfilter Bild 1.48 können dann näherungsweise die folgenden Übertragungsfunktionen für seine einzelnen Ausgänge angegeben werden:

1.2 Abtastfilter

61

Hochpassfunktion  FHP (s) =

UHP (s) = AHP U1 (s)

1+

s ωP

1 s Q ωP

2 

+

s ωP

2 ,

Bandpassfunktion FBP (s) =

UBP (s) = ABP U1 (s)

s ωP

1+

1 s Q ωP



+

s ωP

2 ,

Tiefpassfunktion FTP (s) =

UTP (s) = ATP U1 (s)

1 1+

1 s Q ωP

+



s ωP

2 .

Alle Filter haben dieselben Kenngrößen. Ihre Verstärkungsfaktoren betragen AHP = ABP = ATP = −

R . RA

Ihre Polgüte bestimmt sich zu Q=

RQ R

und ihre Polfrequenz bei der Taktfrequenz fS zu ωP =

CS fS . C

62

1 Filter

1.2.3

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1.2.1 SC-Integrator Φ1 q  

u1 (t)

q

Φ2 q  

q

CS

C

HH −

HH

+

H 



q

u2 (t)



Bild 1.49: Invertierender SC-Integrator

Der abgebildete SC-Integrator ist mit den beiden Kapazitätswerten C = 50/π pF und CS = 10 pF bestückt. Er wird von einem Zweiphasentakt der Periodendauer T = 10 μs, dessen zwei Phasen um eine halbe Periodendauer zueinander versetzt sind, gesteuert. Am Eingang des Integrators liegt die sinusförmige Spannung u1 (t) = u ˆ1 sin ωt mit der Amplitude uˆ1 = 1 V und der Frequenz f = 1 kHz. Zu Beginn der Taktung sind beide Kondensatoren ungeladen. 1.1 Dimensionieren Sie den Widerstand eines analogen invertierenden Integrators so, dass dessen Übertragungsverhalten dem des gegebenen SC-Integrators äquivalent ist. 1.2 Berechnen Sie für diese Dimensionierung seine Ausgangsspannung u2 (t). 1.3 Simulieren Sie das Zeitverhalten des SC-Integrators über eine Periode der Eingangsspannung und plotten Sie das Simulationsergebnis gemeinsam mit dem Ergebnis aus Punkt 1.2. 1.4 Berechnen Sie iterativ den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung des SCIntegrators. Stellen Sie auch dieses Ergebnis gemeinsam mit dem Ergebnis aus Punkt 1.2 grafisch dar. Hinweis: Schreiben Sie hierfür ein Programm in Nutmeg, der Interpretersprache von SPICE. Lösung der Aufgabe 1.2.1 1.1 Dimensionierung des analogen Integrators Ein analoger Integrator weist nach Abschn. 1.2.1.3 dann näherungsweise dasselbe Übertragungsverhalten wie ein SC-Integrator auf, wenn sein Integrationswiderstand den Wert R= besitzt.

T 10 μs = 1 MΩ = CS 10 pF

1.2 Abtastfilter

63

1.2 Ausgangsspannung des analogen Integrators C u1 (t)

R

q

HH − H   +

HH 

q

u2 (t)

Bild 1.50: Invertierender analoger Integrator

Aus der Knotenbedingung am invertierenden Eingang Gu1 (t) + C u˙ 2 (t) = 0 folgt

 1 u1 (t) dt RC  1 u ˆ1 sin ωt dt =− RC u ˆ1 cos ωt + k. = ωRC

u2 (t) = −

Da für t = 0 der Kondensator C ungeladen sein soll, ist auch u2 (0) = 0. Damit bestimmt u ˆ1 sich die Integrationskonstante zu k = − , und die Ausgangsspannung verläuft nach ωRC der Funktion u ˆ1 (1 − cos ωt) ωRC u2 (t) = −10 V (1 − cos ωt).

u2 (t) = −

1.3 Simulation der Ausgangsspannung 4k 1k

S1 q

3k S2 q q CS

q

C HH −

HH eop H  +  

Bild 1.51: Für SPICE aufbereitete Schaltung

q

2k

64

SPICE-Eingabefile (File a1.2_1.cir) Aufgabe 1.2.1, Pkt. 1.3 * SC-Integrator, invertierend .control tran 1u 1m * Ausgangsspannung nach Pkt. 1.2 let f = 1e3 let u2_theo = -10*(1-cos(2*pi*f*time)) * Simulationsergebnis let u2_sc = v(2) * Ausgabe * plot u2_sc, u2_theo print u2_sc, u2_theo > a1.2_1a.dat .endc * Eingangsspannung v1 1 0 dc 0 sin 0 1 1e3 * Zweiphasentakt, Pulsbreite 1us vs1 10 0 dc 0 pulse 0 1 0u 1n 1n 1u 10u vs2 20 0 dc 0 pulse 0 1 5u 1n 1n 1u 10u * Schalter s1 1 3 10 0 schalter s2 3 4 20 0 schalter .model schalter sw vt=.5 vh=10m * Kondensatoren cs 3 0 10p c 4 2 15.92p eop 2 0 0 4 1e6 .end Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a1.2_1a.gnu) # Aufgabe 1.2.1 # Ergebnisdarstellung der SPICE-Simulation set term post eps enhanced "Times-Roman" 18 set output "a1.2_1a.eps" set dummy t set key bottom right set xrange [0:1e-3] set format x "%1.0s%c" set xlabel "t/s" set yrange [-20:0] set ytics 5 set ylabel "u_2(t)/V" plot "a1.2_1a.dat" using 2:3 title "SC-Integrator" w l lw 2,\ "a1.2_1a.dat" using 2:4 title "Analoger Integrator" w l lw 2

1 Filter

1.2 Abtastfilter

65

set term X11 set output

0

u2(t)/V

-5

-10

-15

SC-Integrator Analoger Integrator

-20

0

600u

400u

200u

800u

1m

t/s Bild 1.52: Ergebnisplot der Simulation

1.4 Iterative Berechnung der Ausgangsspannung Nach Gl. (1.64) beträgt zum Zeitpunkt (k + 1)T die Ausgangsspannung des SCIntegrators u2 [k + 1] = u2 [k] −

CS u1 [k]. C

Der SPICE-Interpreter Nutmeg erlaubt das Programmieren dieser Differenzengleichung.

66

SPICE-Eingabefile (File a1.2_1.nut) Aufgabe 1.2.1, Pkt. 1.4 * Nutmeg-Programm zur Lösung der Differenzengleichung .control * Zuweisungen * Dimensionierung des Integrators let C = 50e-12/pi let Cs = 10e-12 * Takt let fs = 1e5 let T = 1/fs * Eingangsspannung let u = 1 let f = 1e3 * Initialisierung der Arrays let kmax = fs/f let time = vector(kmax+1) let u1 = vector(kmax+1) let u2 = vector(kmax+1) * Anfangsbedingungen let k=0 let u2[k] = 0 * Berechnung repeat $&kmax let u1[k] = u*sin(2*pi*f*time[k]) let u2[k+1] = u2[k]-Cs/C*u1[k] let k=k+1 let time[k]=k*T end * Abspeichern set nobreak print time u2 >a1.2_1b.dat .endcontrol .end Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a1.2_1b.gnu) # Aufgabe 1.2.1 # Ergebnisdarstellung der Nutmeg-Berechnung set term post eps enhanced "Times-Roman" 18 set output "a1.2_1b.eps" set dummy t set key bottom right

1 Filter

1.2 Abtastfilter

67

set xrange [0:1e-3] set format x "%1.0s%c" set xlabel "t/s" set yrange [-20:0] set ytics 5 set ylabel "u_2(t)/V" # Theoretischer Verlauf u2(t) = -10*(1-cos(2*pi*1e3*t)) plot "a1.2_1b.dat" using 2:3 title "SC-Integrator" with fsteps lw 2,\ u2(t) title "Analoger Integrator" w l lw 2 set term X11 set output

0

u2(t)/V

-5

-10

-15

SC-Integrator Analoger Integrator

-20

0

200u

600u

400u

t/s Bild 1.53: Ergebnisplot der iterativen Berechnung

800u

1m

68

1 Filter

Aufgabe 1.2.2 SC-Filter 1. Ordnung Das SC-Filter LMF1008 lässt sich mit drei externen Widerständen gleichzeitig sowohl als Hochpass- als auch als Tiefpassfilter 1. Ordnung schalten. R3 R2

q U1 (s)

R1

q

HH −

HH

+

H q  U (s) 2





HH  HH H +   

q

U3 (s)

Bild 1.54: SC-Filter 1. Ordnung

Die Übertragungsfunktion des SC-Integrators beträgt näherungsweise G(s) = 1/(sτ ), wobei bei der Taktfrequenz fS die Zeitkonstante des SC-Integrators auf τ = 100/ωS eingestellt ist. 2.1 Dimensionieren Sie die drei Widerstände so, dass für fS = 1 MHz die Polfrequenz der Filter bei fP = 1 kHz liegt. Das Hochpassfilter soll die Verstärkung AHP = −1, das Tiefpassfilter die Verstärkung ATP = −10 besitzen. Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung die Laplace-Transformation. 2.2 Zeichnen Sie die Amplitudengänge der so dimensionierten Filter.

Lösung der Aufgabe 1.2.2 2.1 Dimensionierung der Widerstände Aus der Schaltung lassen sich die Beziehungen 1 U2 (s) sτ R2 R2 U2 (s) = − U1 (s) − U2 (s) R1 R3

U3 (s) =

ablesen. Durch einfaches Umformen ergeben sich daraus die Übertragungsfunktionen R2 /R1 U2 (s) =− 2 1 U1 (s) 1+ R R sτ 3

U3 (s) R3 /R1 =− . 3 U1 (s) 1+ R R sτ 2

8

Dual Switched Capacitor Filter, Firma National Semiconductor [35]

1.2 Abtastfilter

69

Ein Vergleich mit den Standardformen der Übertragungsfunktionen Hochpass 1. Ordnung FHP =

AHP 1 + ωP /s

Tiefpass 1. Ordnung FTP =

ATP 1 + s/ωP

liefert für die Kennwerte der Filter die Werte AHP = −

R2 R1

ATP = −

R3 R1

ωP =

R2 1 . R3 τ

Wegen τ = 100/ωS ergibt sich für das Widerstandsverhältnis R2 /R3 der Wert AHP ωP R2 1 . = = 100 = R3 ATP ωS 10 Von den drei Gleichungen zur Bestimmung der Widerstände sind nur zwei linear unabhängig. Deshalb muss ein Widerstand frei gewählt werden. Setzt man z. B. R1 = 4.7 kΩ, dann bestimmen sich die beiden anderen Widerstände zu R2 = −AHP R1 = 4.7 kΩ R3 = −ATP R1 = 47 kΩ. 2.2 Amplitudengänge der Filter (File a1.2_2.gnu) # Aufgabe 1.2.2 # SC-Filter 1. Ordnung set term postscript eps enhanced "Times-Roman" 18 set output "a1.2_2.eps" AHP = -1 ATP = -10 fp = 1e3 wp = 2*pi*fp j = {0,1} set dummy f s(f)= j*2*pi*f # Frequenzgänge FHP(f)= AHP/(1+wp/s(f))

70

1 Filter

FTP(f)= ATP/(1+s(f)/wp) # Amplitudengänge AHP(f)=20*log10(abs(FHP(f))) ATP(f)=20*log10(abs(FTP(f))) set set set set set set

xrange [fp*1e-2:fp*1e2] yrange [-40:20] logscale x format x "10^{%T}" xlabel "f/Hz" ylabel "|F(j{/Symbol w})|_{dB}"

plot AHP(f) title "Hochpass" lw 4,\ ATP(f) title "Tiefpass" lw 4

20

Hochpass Tiefpass

10

|F(jω)|dB

0

-10

-20

-30

-40 1 10

102

103 f/Hz

104

Bild 1.55: Amplitudengänge des Hochpass- und Tiefpassfilters 1. Ordnung

10

5

2

Komparatoren und Schmitt-Trigger

2.1

Komparator

Ein Komparator vergleicht einen Istwert mit einem Sollwert. Das Ergebnis des Vergleichs, in der Regel ein analoger Spannungspegel, kann als logisches Signal interpretiert und in digitalen Schaltungen weiterverarbeitet werden. Um ein eindeutiges Vergleichsergebnis für exakt einen Istwert zu erhalten, muss der Komparator eine sehr hohe innere Verstärkung besitzen. Zur Realisierung der Komparatorfunktion bieten sich deshalb Operationsverstärker an, die auf Grund ihrer Leerlaufverstärkung von 105 und größer bereits bei Änderungen des Istwertes im Mikrovoltbereich eindeutig große Signale an ihrem Ausgang liefern. Bei den folgenden Betrachtungen soll der Operationsverstärker als ideal betrachtet werden, allerdings mit der Einschränkung, dass seine Aussteuerbarkeit begrenzt ist. Diese Ausgangsspannungsbegrenzung ist eine verstärkerinhärente Eigenschaft, die dadurch gegeben ist, dass die Ausgangsstufe des Operationsverstärkers nicht die von den Betriebsspannungen vorgegebenen Grenzen überschreiten kann.

U+

HH + Ud ?



HH

−

H 



Ua



Ua =

UaH UaL

für Ud > 0 für Ud < 0

(2.1)

U− Bild 2.1: Unbeschalteter Operationsverstärker

UaH und UaL sind die Begrenzungspegel des Ausgangs. Sie liegen in der Nähe der Betriebsspannungswerte U+ und U− , d. h. es gilt UaH  U+ und UaL  U− . Ein Operationsverstärker, dessen Ausgang sich praktisch immer in der Begrenzung befindet, wird als Komparator oder auch als bistabile Kippschaltung bezeichnet. Man erreicht dieses Betriebsverhalten dadurch, dass man den Verstärker ohne Gegenkopplung betreibt, also seine inhärent hohe Verstärkung ausnutzt.

72

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger U2 6

U1 Uref

U2H

HH − H

HH 

U2

  +

Uref

U1

U2L

Bild 2.2: Grundschaltung eines Komparators und seine Übertragungskennlinie

Die Differenz-Eingangsspannung des Komparators nach Bild 2.2 beträgt Ud = Uref −U1 . Damit nimmt der Ausgang nach Gl. (2.1) die Werte  U2H für U1 < Uref U2 = (2.2) U2L für U1 > Uref an. Ein derart einfacher Komparator weist zwei für die praktische Anwendung nicht immer tolerierbare Nachteile auf: 1. Bei langsam veränderlichen Eingangssignalen können bereits geringe Amplitudenschwankungen, hervorgerufen durch Störeinstreuungen oder auch durch überlagertes Rauschen, beim Erreichen der Schaltschwelle zu einem mehrfachen Wechsel des Ausgangssignals führen, der Ausgang ’prellt’. 2. Auf Grund interner Speichereffekte treten beim Wechsel des Ausgangs zwischen den beiden Begrenzungswerten relativ große Umschaltverzögerungen auf. Der erste Nachteil wird durch den Einbau einer positiven Rückkopplung (Mitkopplung) vermieden. Eine derartige Schaltung heißt Schmitt-Trigger. Die durch die Sättigung verursachten langen Umschaltzeiten lassen sich dadurch reduzieren, dass man durch eine geeignete Gegenkopplung dafür sorgt, dass der Verstärker seinen linearen Verstärkungsbereich nicht verlässt. Eine mögliche Schaltungsvariante, die dies gewährleistet, ist nachfolgend dargestellt. U1 Uref

R1

q-I

R2

q

HH −

HH

+

H 



q

U2



Bild 2.3: Komparator mit verkürzten Umschaltzeiten

2.1 Komparator

73

Durch die beiden Z-Dioden wird die Ausgangsspannung des Verstärkers auf Werte geklemmt, die innerhalb der Betriebsspannungsgrenzen, also innerhalb des aktiven Verstärkungsbereiches, liegen. Vernachlässigt man die dynamischen Innenwiderstände der beiden Z-Dioden, dann liegen die Begrenzungswerte bei ±(UZ0 + US )1 . Zur Analyse der Schaltung betrachtet man den Strom I durch die Rückführung. Ist I < 0, ist U2 = +(UZ0 + US ). Ist dagegen I > 0, ist U2 = −(UZ0 + US ). Uref R1 U1 + < 0 bzw. U1 < − Uref ist. R1 R2 R2 Uref R1 U1 + > 0 bzw. U1 > − Uref ist. I > 0 bedeutet, dass R1 R2 R2

I < 0 bedeutet, dass

Damit liegt die Übertragungscharakteristik des Komparators fest.  U2 =

R1 Uref +(UZ0 + US ) für U1 < − R 2 R1 −(UZ0 + US ) für U1 > − R2 Uref

(2.3)

1 Seine Schaltschwelle liegt genau bei U1 = − R R2 Uref .

Fensterkomparator. Ein Fensterkomparator liefert dann ein Signal, wenn die zu vergleichende Spannung zwischen zwei vorgegebenen Referenzwerten liegt. Eine Schaltung, die dies leistet, zeigt Bild 2.4. Die nebenstehenden Signalverläufe verdeutlichen die Arbeitsweise des Fensterkomparators. Nur wenn die zu vergleichende Spannung die Bedingung Uref 1 < U1 < Uref 2 erfüllt, sind beide Verstärker in der positiven Begrenzung, die hier als logische 1 (H) interpretiert wird. In allen anderen Fällen ist einer der beiden Verstärker in der negativen Begrenzung, was einer logischen 0 (L) entspricht. Die Verknüpfung der beiden Verstärkerausgänge durch ein logisches UND gewährleistet somit die gewünschte Fensterfunktion. x1 6 H

Uref 2

U1

q

H +H H  −  

& H +H H  −  

Uref 1

x2

x1

y

L x2 6 H L y 6 H L

Uref 1

Bild 2.4: Fensterkomparator mit zugehörigen Signalverläufen 1

U1

Uref 1

UZ0 ist die Durchbruchspannung, US die Schleusenspannung der Z-Diode

Uref 2

U1

Uref 2

U1

74

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Eine Variante dieser Schaltung, bei der statt eines logischen Gatters ein digitaler Schalter Verwendung findet, ist in Bild 2.5 dargestellt. Die Fensterfunktion wird hier ausschließlich dem rechten Verstärker entnommen. Solange die Eingangsspannung U1 kleiner als die Referenzspannung Uref 2 ist, wird sie zunächst über den geschlossenen Schalter mit der Referenzspannung Uref 1 verglichen. Ist U1 < Uref 1 , ist der Verstärkerausgang in der positiven Sättigung U2H . Er schaltet in die negative Sättigung U2L , wenn der Referenzwert Uref 1 überschritten wird. Übersteigt U1 jedoch auch die größere Referenzspannung Uref 2 , kippt der erste Verstärker um. Als Folge davon trennt der Schalter die Verbindung vom Eingang zum zweiten Verstärker und der Widerstand erzwingt an dessen invertierenden Eingang Nullpotential. Dadurch springt der Ausgang zurück in die positive Sättigung U2H .

U1

q

U2 6

Uref 1

Uref 2 H +H H  −  

H +H H  −   q

U2H U2 Uref 1

R

q

U1

Uref 2

U2L

Bild 2.5: Variante eines Fensterkomparators mit zugehörigem Signalverlauf

Eine Schaltung, mit der die Lage und Breite des Fensters unabhängig voneinander durch jeweils nur eine Spannung eingestellt werden können, ist in Bild 2.6 wiedergegeben. Die Fenstermitte wird durch die negative Spannung UT bestimmt, die Fensterbreite beträgt das Doppelte der Spannung UH . Einerseits kann also durch Variation von UT das Fenster bei konstanter Breite beliebig verschoben werden, andererseit kann durch Variation von UH die Fensterbreite bei konstanter Lage variiert werden. R/2 U1 UT

R

q

R

q

R/4

UHW q

D1 U1 D2

HH −

HH

+





H 

q

UT UH

R

q

R

q

R

UZ

 q

HH −

-

HH

+

H 



q

U2



Bild 2.6: Fensterkomparator mit unabhängig einstellbarer Fensterlage und -breite

Die linke Teilschaltung arbeitet als Einweggleichrichter. Solange U1 + UT < 0 ist, ist die Diode D1 leitend, D2 ist gesperrt. Damit ist UHW = 0. Sobald U1 + UT ≥ 0 wird, sperrt D1 und D2 leitet. In diesem Fall ist UHW = −(U1 + UT )/2.

2.1 Komparator

75

Die rechte Teilschaltung arbeitet als Komparator. Dieser kippt genau dann, wenn der Strom durch die Reihenschaltung der beiden Z-Dioden gerade Null ist. Für UHW = 0 liegt der Kipppunkt bei (U1 +UT +UH )/R = 0, also bei U1 = −(UT +UH ). Ist U1 kleiner als dieser Wert, ist U2 = UZ , anderenfalls ist U2 = −UZ . Der linke Teil der Übertragungskennlinie wird damit beschrieben durch  für U1 < −(UT + UH ) UZ U2 = −UZ für −(UT + UH ) ≤ U1 < −UT Für UHW = −(U1 + UT )/2 liegt der Kipppunkt bei −

(U1 + UT )/2 U1 + UT + UH + = 0, R/4 R

also bei U1 = −UT + UH . Ist U1 größer als dieser Wert, ist U2 = UZ , anderenfalls ist U2 = −UZ . Der rechte Teil der Übertragungskennlinie gehorcht damit der Gleichung  für U1 > −UT + UH UZ U2 = −UZ für −UT < U1 ≤ −UT + UH Mit diesen Überlegungen lässt sich Übertragungskennlinie des Fensterkomparator zeichnen. U2 6 UZ −UT − UH

−UT

−UT + UH

U1

−UZ Bild 2.7: Übertragungskennlinie des Fensterkomparators nach Bild 2.6

76

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

2.1.1

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 2.1.1 Optischer Schwellwertschalter R1 q

q

R2

HH +

q  I -p

q

q R3

UZ ?

−

 R4

U+

HH

H 



U2

U−

R1 R2 R3 R4

= 3.9 kΩ = 220 kΩ = 220 kΩ = 100 kΩ

UZ = 6 V U2H = 14 V U2L = −14 V

Bild 2.8: Schwellwertschalter

Der Schwellwertschalter ändert dann sein Ausgangssignal, wenn die Beleuchtungsstärke der Fotodiode einen bestimmten Pegel überschreitet. Für die Berechnung ist die Z-Spannung innerhalb des Arbeitsbereiches der Schaltung als konstant zu betrachten. Die Fotodiode ist als Konstantstromquelle mit dem Strom Ip aufzufassen. Ermitteln Sie für die gegebene Dimensionierung die Übertragungskennlinie des Schwellwertschalters in Abhängigkeit des Fotostroms, also die Funktion U2 = f (Ip ). Lösung der Aufgabe 2.1.1 Der Komparator schaltet dann um, wenn seine Differenz-Eingangsspannung gerade Null wird. Der Schaltung entnimmt man für diese Spannung den Wert Ud =

R3 UZ − Ip R4 . R2 + R3

Ist Ud > 0, ist der Verstärker in der positiven Begrenzung, U2 = U2H , dagegen ist er für Ud < 0 in der negativen Begrenzung, U2 = U2L . Der Umschaltpunkt der Schaltung liegt mit Ud = 0 bei Ip =

R3 UZ = 30 μA. R4 (R2 + R3 )

Damit ist die Übertragungskennlinie bekannt:  für Ip < 30 μA U2H = 14 V U2 = U2L = −14 V für Ip > 30 μA

2.1 Komparator

77

Aufgabe 2.1.2 Überwachung der Änderungsgeschwindigkeit einer Spannung Die Schaltung Bild 2.9 überwacht die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung u1 (t). Ihr Ausgangssignal springt dann um, wenn die Spannungsänderung eine durch die Dimensionierung der Schaltung vorgegebene Größe überschreitet.

U0 u1 (t)

R

q

C

q

 UZ HH − H   +

HH 

q

u2 (t)

Bild 2.9: Schaltung zur Überwachung der Änderungsgeschwindigkeit von u1 (t)

2.1 Berechnen Sie allgemein die Übertragungskennlinie u2 (t) = f (u˙ 1 (t)). 2.2 Die Schaltung sei wie folgt dimensioniert: R = 10 kΩ, C = 16 nF, U0 = 1 V, UZ = 5 V. Welche Frequenz muss eine sinusförmige Eingangsspannung u1 (t) = u ˆ1 sin ωt mit u ˆ1 = 10 V mindestens haben, damit der Komparator gerade noch (periodisch) umschaltet? 2.3 Verifizieren Sie das Ergebnis aus Punkt 2.2 durch Simulation. Verwenden Sie dafür das SPICE-Modell des Operationsverstärkers OPA177 nach Seite 243. Lösung der Aufgabe 2.1.2 2.1 Ermittlung der Übertragungskennlinie U0 u1 (t)

R

i(t) q-

C

q 6 ud

HH − H   +

HH 

q

u2 (t)

Bild 2.10: Schaltung mit eingetragenen Hilfsgrößen

Der Komparator schaltet um, wenn i(t) = 0 wird. Der Strom berechnet sich wegen ud = 0 (der invertierende Eingang liegt virtuell auf Masse) zu i(t) = GU0 + C

du1 (t) . dt

78

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Der Umschaltpunkt liegt also mit i(t) = 0 bei du1 (t) 1 =− U0 . dt RC Ist die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung kleiner als dieser Schaltwert, liegt der Verstärkerausgang auf +UZ , anderenfalls auf −UZ . Zusammengefasst ergibt sich mit τ = RC  +UZ für u˙ 1 < −U0 /τ u2 (t) = −UZ für u˙ 1 > −U0 /τ

u2 (t) 6 UZ u˙ 1 (t)

−U0 /τ −UZ

Bild 2.11: Übertragungskennlinie der Schaltung Bild 2.9

2.2 Berechnung der Mindest-Eingangsfrequenz Der Ausgang des Komparators liegt bei einer positiven Flanke der Eingangsspannung auf −UZ . Er schaltet erst bei einer ausreichend steilen negativen Flanke auf +UZ . Die Forderung zum Umschalten lautet deshalb u˙ 1 = ω u ˆ1 cos ωt < −

U0 . τ

Die größte Steigung tritt beim Nulldurchgang der Spannung, also für cos ωt = −1, auf. Damit ist U0 τ U0 = 99.5 Hz. f> 2πτ u ˆ1

−ω u ˆ1 < −

Bei einer Frequenz von mindestens f = 99.5 Hz schaltet der Komparator jeweils im negativen Nulldurchgang der Eingangsspannung. 2.3 Verifikation durch Simulation Als Vorbereitung zur Simulation werden in der Schaltung Knotennummern und eindeutige Bauteilebezeichnungen vergeben.

2.1 Komparator

3k

R

1k

C

4k D1 5kD2 q HH 6k q − H H xop H  +   7k

79

q

2k

Bild 2.12: Zur Simulation aufbereitete Schaltung

SPICE-Eingabefile (File a2.1_2.cir) Aufgabe 2.2.2 .control * Eingangsspannung: v(1) * Ausgangsspannung: v(2) save v(1) v(2) tran 10u 20m plot v(1) v(2) title ’Aufgabe 2.1.2’ xlabel t/s ylabel u(t)/V .endc * Sinusförmige Eingangsspannung u1(t) mit f=101 Hz v1 1 0 dc 0 sin 0 10 101 * Referenzspannung U0 v0 3 0 dc 1 * Beschaltung des Komparators r 3 4 10k c 1 4 16n d1 4 5 zdiode d2 2 5 zdiode .model zdiode d bv=5 ibv=1u * Verstärker als Subcircuit xop 0 4 6 7 2 opa177 .include opa177.mod * Spannungsversorgung vplus 6 0 dc 10 vminus 7 0 dc -10 .end Das Simulationsergebnis Bild 2.13 bestätigt die vorherigen theoretischen Überlegungen. Die langsam an- und absteigenden Flanken des Ausgangsimpulses sind auf die Trägheit des verwendeten Verstärkermodells zurückzuführen (nach Datenblatt [23] beträgt die Slewrate des Operationsverstärkers OPA177 SR = 0.3 V/μs).

80

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

10

u1(t) u2(t)

8 6 4

u(t)/V

2 0 -2 -4 -6 -8 -10

0

5

Bild 2.13: Simulationsergebnis für f = 101 Hz

10 t/ms

15

20

2.2 Schmitt-Trigger

2.2

81

Schmitt-Trigger

Komparatoren genügen in der Praxis vielfach nur geringen Anforderungen. Zum einen erfolgt der Übergang zwischen den beiden Ausgangszuständen wegen der endlichen Verstärkung der aktiven Bauelemente nicht beliebig schnell, zum anderen kann der Ausgang bei einem mit einer Störspannung überlagerten Eingangssignal im Umschaltbereich mehrfach zwischen seinen Begrenzungspegeln pendeln. In Analogie zu einem mechanischen Schalter wird dieser Zustand als Prellen bezeichnet. Eine positive, d. h. gleichphasige Rückführung, eine Mitkopplung, vermeidet die genannten Nachteile. Der mitgekoppelte Komparator wird als Schmitt-Trigger bezeichnet. Der Schmitt-Trigger ist eine bistabile Kippschaltung, die beim Überschreiten einer bestimmten Eingangsspannung, dem H-Pegel U1H , umkippt und aufgrund der Mitkopplung beim Unterschreiten einer niedrigeren Eingangsspannung, dem L-Pegel U1L , wieder zurückkippt. Das Umschalten erfolgt pegelgesteuert, d.h. auch bei sehr langsam veränderlichen Eingangsspannungen springt der Ausgang steilflankig um. Die Differenz der beiden Schaltspannungen heißt Schalthysterese ΔU1 = U1H − U1L . Bedingt durch die Schalthysterese hat der Schmitt-Trigger einen im Vergleich zu üblichen Logikgattern großen Störabstand. Die Hauptanwendungen des Schmitt-Triggers sind • Einsatz als Schwellwertschalter, z.B. zur Grenzwertüberwachung analoger Signale. • Signalregenerierung, z. B. Versteilerung verschliffener Rechteckflanken. • Rechteckimpulserzeugung aus periodischen Signalverläufen beliebiger Kurvenform. Schmitt-Trigger lassen sich diskret mit bipolaren und unipolaren Transistoren aufbauen. Heute gebräuchlich sind aber Schaltungen, die unter Verwendung von logischen Gattern oder Operationsverstärkern aufgebaut sind.

2.2.1

Schmitt-Trigger mit Einzeltransistoren

2.2.1.1

Differenzverstärker als Schmitt-Trigger

Der „klassische“ Aufbau eines Schmitt-Triggers ist in Form eines rückgekoppelten Differenzverstärkers nach Bild 2.14 ausgeführt. Funktionsbeschreibung. Für U1 = 0 ist Transistor T1 gesperrt. Transistor T2 hat bei Vernachlässigung seines Basisstroms das Basispotential UB2 =

R1 UCC . R1 + R2 + RC

(2.4)

Da der gesamte Strom I0 durch den Transistors T2 fließt, liegt an seinem Ausgang etwa die Spannung U2L = UCC − I0 RC .

82

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger q RC R2

q U1

q

T1 

UCC RC

T2 

U2 q UB2

UqE nI0 ?

R1

Bild 2.14: Rückgekoppelter Differenzverstärker als Schmitt-Trigger

Bei steigendem Basispotential von T1 bleibt dieser Zustand solange erhalten, bis U1 etwa den Wert nach Gl. (2.4) erreicht hat. Jetzt beginnt T1 zu leiten, sein Kollektorpotential nimmt ab. Dadurch nimmt auch das Basispotential von T2 ab, d. h. T2 wird weniger gut durchgesteuert. Diese beiden Effekte schaukeln sich gegenseitig auf, so dass Transistor T2 selbständig in den sperrenden Zustand läuft und der gesamte Strom I0 vom Transistor T1 übernommen wird. Die für diesen Kippvorgang notwendige Eingangsspannung beträgt also etwa U1H =

R1 UCC . R1 + R2 + RC

(2.5)

Ist der Umschaltvorgang abgeschlossen, liegt der Ausgang des Transistors T2 auf Versorgungspotential U2H = UCC , seine Basisspannung beträgt etwa UB2 =

R1 (UCC − I0 RC ). R1 + R2

(2.6)

Das Basispotential des Transistors T1 kann nun wieder soweit zurückgenommen werden, bis der Wert von UB2 nach Gl. (2.6) erreicht ist. In diesem Fall wird der Strom I0 wieder vom Transistor T2 übernommen und Transistor T1 sperrt. Jetzt liegt der Umschaltwert etwa bei U1L =

R1 (UCC − I0 RC ). R1 + R2

(2.7)

Unter den Annahmen, dass die Rückkopplung hochohmig ist, R1 = R2  RC , und dass am Kollektorwiderstand eines der durchgeschalteten Transistoren etwa ein Drittel der Versorgungsspannung abfällt, I0 RC ≈ UCC /3, liefert eine grobe Abschätzung für die Umschaltwerte der Eingangsspannung L-Pegel: U1L ≈

UCC 3

H-Pegel: U1H ≈

UCC 2

(2.8)

2.2 Schmitt-Trigger

83

und damit die Schalthysterese ΔU1 ≈

UCC . 6

Der Ausgang bewegt sich dabei etwa zwischen den Werten L-Pegel: U2L ≈ 2.2.1.2

2UCC 3

H-Pegel: U2H ≈ UCC .

(2.9)

Komplementärer Schmitt-Trigger

Der L-Pegel des Schmitt-Triggers mit emittergekoppelten Transistoren liegt relativ dicht am H-Pegel, der Störabstand der Schaltung ist daher sehr niedrig. In dieser Hinsicht ist die nachfolgende, aus komplementären Transistoren aufgebaute Schaltung vorteilhafter. Bei dieser Schaltung liegt der H-Pegel wiederum nahe bei der Versorgungsspannung, der L-Pegel jedoch etwa auf dem Bezugspotential. q

UCC

RC1

U1

R1

q

q T1 

RB2

 T2 q

nU0 ?

q

U2

RC2 R2

Bild 2.15: Komplementärer Schmitt-Trigger

Funktionsbeschreibung. Ausgangssituation sei U1 = 0 V. Bei dieser Spannung ist T1 sicher gesperrt. Damit kann kein Basisstrom durch T2 fließen, auch dieser Transistor ist gesperrt, seine Kollektorspannung, die Ausgangsspannung des Schmitt-Triggers, liegt bei U2L = 0 V. Die Eingangsspannung steige nun an. Dann ändert sich an dem gesperrten Zustand der beiden Transistoren solange nichts, wie das Basispotential von T1 unterhalb von US + U0 bleibt (US ist die Schleusenspannung der Emitterdiode von T1 ). Wird dieser Wert aber erreicht, beginnt T1 zu leiten, sein Kollektorpotential nimmt ab. Infolgedessen kommt auch T2 in den leitenden Bereich, die Ausgangsspannung U2 steigt an. Über die Rückführung R2 wird der Anstieg der Ausgangsspannung gleichphasig auf die Basis von T1 zurückgeführt. Dadurch werden T1 und als Folge davon T2 in die Sättigung getrieben, der Ausgang nimmt das stabile Potential U2H ≈ UCC an.

84

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Die Eingangsspannung, bei der die Schaltung von U2L nach U2H umkippt, berechnet sich bei Vernachlässigung des Basisstroms von T1 aus der Bedingung U1H

R2 + RC2 = US + U0 R1 + R2 + RC2

zu U1H =

 1+

R1 R2 + RC2

 (2.10)

(US + U0 ).

Unterhalb dieses Wertes ist der Ausgang im L-Zustand, was der geringen Spannung U2L =

RC2 U1 R1 + R2 + RC2

(2.11)

entspricht. Bei geringfügiger Erhöhung der Eingangsspannung über U1H nach Gl. (2.10) springt der Ausgang steilflankig auf den nahezu konstanten H-Wert U2H = UCC + UCEsat2 .2 Wird nun die Eingangsspannung wieder zurückgenommen, kippt die Schaltung dann in ihre Ursprungslage zurück, wenn das Basispotential den Wert US + U0 erreicht hat. Aus der dafür notwendigen Bedingung U1L

R2 R1 + (UCC + UCEsat2 ) = US + U0 R1 + R2 R1 + R2

ergibt sich für die Eingangsspannung der Wert   R1 R1 (US + U0 ) − U1L = 1 + (UCC + UCEsat2 ). R2 R2

(2.12)

Mit den Näherungen RC2  R2 und UCC  |UCEsat2 | lässt sich daraus die Schalthysterese ΔU1 abschätzen zu ΔU1 = U1H − U1L ≈

R1 UCC . R2

(2.13)

U2 6 UCC





0 0











 U1L

U1H

U1

Bild 2.16: Schaltkurve des Schmitt-Triggers nach Bild 2.15 2

Hinweis: Da der Transistor T2 vom Typ PNP ist, ist seine Sättigungsspannung UCEsat2 negativ.

2.2 Schmitt-Trigger

2.2.2

85

Schmitt-Trigger mit Operationsverstärker

Ein Schmitt-Trigger, aufgebaut mit einem Operationsverstärker, kann in zwei Grundvarianten realisiert werden, dem invertierenden und dem nichtinvertierenden SchmittTrigger. Die beiden Schaltungen gehen durch sinngemäßes Vertauschen der Operationsverstärkereingänge auseinander hervor.

2.2.2.1

Invertierender Schmitt-Trigger

Vom Ausgang des Schmitt-Triggers Bild 2.17 wird der Anteil kU2 gleichphasig auf den Eingang zurückgekoppelt, wobei k = R1 /(R1 + R2 ) als Rückkoppelfaktor bezeichnet wird. Die Differenz-Eingangsspannung des Operationsverstärkers bestimmt sich damit zu Ud = kU2 − U1

(2.14)

R2 R1 U1

q Ud ?

HH +

HH

  −

H 



q

U2

Bild 2.17: Invertierender Schmitt-Trigger

Ist Ud > 0, befindet sich der Ausgang in der positiven Begrenzung, also U2 = U2H . Dies gilt nach Gl. (2.14) für alle Eingangsspannungen U1 < kU2H . Ist dagegen Ud < 0, befindet sich der Ausgang in der negativen Begrenzung, also U2 = U2L . Dies gilt nach Gl. (2.14) für alle Eingangsspannungen U1 > kU2L . Die Umschaltwerte des Schmitt-Triggers liegen somit bei U1H = kU2H

U1L = kU2L .

(2.15)

Bei Kenntnis der Eingangsspannungen, bei denen der Operationsverstärker umschaltet, sowie der ausgangsseitigen Begrenzungswerte, kann die Übertragungskennlinie des invertierenden Schmitt-Triggers Bild 2.18 gezeichnet werden. Der Bereich der Übertragungskennlinie kU2L < U1 < kU2H ist zweideutig, die Ausgangsspannung kann entweder U2H oder U2L sein. Welcher der beiden Werte tatsächlich angenommen wird, hängt von der Vorgeschichte der Schaltung ab.

86

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger U2 6 





U2H







kU2L

kU2H



U2L



U1





Bild 2.18: Übertragungskennlinie des invertierenden Schmitt-Triggers

Die Differenz der der beiden Eingangsspannungen, bei denen die Schaltung umkippt, ist die Hysterese ΔU1 des Schmitt-Triggers. Hier ist ΔU1 = k(U2H − U2L ), also ΔU1 =

R1 (U2H − U2L ). R1 + R2

(2.16)

Führt man dem Schmitt-Trigger Bild 2.17 eine zusätzliche Referenzspannung Uref zu, wird die Hystereseschleife auf der U1 −Achse um einen zu dieser Spannung proportionalen Betrag verschoben, ohne dass die Hysterese selbst verändert wird. R2 Uref U1

R1

q Ud ?

HH +

HH

−

H 



q

U2



Bild 2.19: Invertierender Schmitt-Trigger mit verschobener Hysterese

Aus dieser Schaltung ermittelt man für die Differenz-Eingangsspannung des Operationsverstärkers R1 R2 U2 + Uref − U1 R1 + R2 R1 + R2 R2 = kU2 + Uref − U1 . R1 + R2

Ud =

Die Umschaltwerte des Schmitt-Triggers liegen wieder bei Ud = 0, also bei U1H = kU2H +

R2 Uref R1 + R2

U1L = kU2L +

R2 Uref . R1 + R2

(2.17)

2.2 Schmitt-Trigger

87

Je nach Polarität der Referenzspannung sind die beiden Umschaltwerte um denselben Betrag zu positiven oder negativen Werten versetzt. U2 6 





U2H 



U1L

U1H



U2L

U1





Bild 2.20: Übertragungskennlinie der Schaltung Bild 2.19 für Uref > 0

2.2.2.2

Nichtinvertierender Schmitt-Trigger R2

U1

R1

q Ud ?

HH +

HH

−

H 



q

U2



Bild 2.21: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger

Vom Ausgang des Schmitt-Triggers wird der Anteil kU2 gleichphasig auf den Eingang zurückgekoppelt. Der Rückkoppelfaktor hat denselben Wert wie beim invertierenden Schmitt-Trigger, k = R1 /(R1 + R2 ). Die Eingangsspannung des Operationsverstärkers bestimmt sich damit zu   R2 (2.18) U1 Ud = k U2 + R1 Ist Ud > 0, ist der Ausgang in der positiven Begrenzung, also U2 = U2H . Dies gilt nach 1 Gl. (2.18) für alle Eingangsspannungen U1 > − R R2 U2H . Ist dagegen Ud < 0, ist der Ausgang in der negativen Begrenzung, also U2 = U2L . Dies 1 gilt nach Gl. (2.18) für alle Eingangsspannungen U1 < − R R2 U2L . Die Umschaltwerte des Schmitt-Triggers liegen somit bei U1H = −

R1 U2L R2

U1L = −

R1 U2H . R2

(2.19)

88

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Damit ist die Übertragungskennlinie des nichtinvertierenden Schmitt-Triggers festgelegt: U2 6 



U2H









R1 −R U2H 2

1 −R R2 U2L





U2L



U1



Bild 2.22: Übertragungskennlinie des nichtinvertierenden Schmitt-Triggers

Die Hysterese ΔU1 des nichtinvertierenden Schmitt-Triggers ergibt sich zu ΔU1 =

R1 (U2H − U2L ). R2

(2.20)

Auch beim nichtinvertierenden Schmitt-Trigger kann die Hysteresekurve durch das Hinzufügen einer Referenzspannung definiert verschoben werden. R2 U1 Uref

R1

q Ud ?

HH + H   −

HH 

q

U2

Bild 2.23: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger mit verschobener Hysterese

Die Differenz-Eingangsspannung Ud entnimmt man der Schaltung zu Ud =

R1 R2 U2 + U1 − Uref . R1 + R2 R1 + R2

Hieraus ergeben sich die Umschaltwerte zu   R1 R1 Uref U2L + 1 + U1H = − R2 R2   R1 R1 U1L = − Uref . U2H + 1 + R2 R2

(2.21) (2.22)

2.2 Schmitt-Trigger

89 U2 6 U2H













U1L

U1H

U2L



U1



Bild 2.24: Übertragungskennlinie der Schaltung Bild 2.23 für Uref > 0

90

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

2.2.3

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 2.2.1 Klassischer Schmitt-Trigger q RC q U1

UCC RC

q

R2

Q1 

Q2



U2 q

q RE

R1

Bild 2.25: Klassische Schmitt-Trigger Schaltung

Der Schmitt-Trigger Bild 2.25 besitzt die folgende Dimensionierung: RC = 1 kΩ, RE = 1.6 kΩ, R1 = 11 kΩ, R2 = 10 kΩ, UCC = 10 V. 1.1 Berechnen Sie seine Übertragungskennlinie U2 = f (U1 ) unter Verwendung des idealisierten Transistormodells

I E q E H Y H HH H UBE B

AIE  n

C

IE = 0 für UBE < US UBE = US für IE ≥ 0 A=1 bzw. IC = IE US = 0.8 V

Bild 2.26: Transistormodell

1.2 Ermitteln Sie die Übertragungskennlinie durch SPICE-Simulation • mit dem Modell nach Punkt 1.1 • mit dem Modell des Transistors 2N2222 nach Anhang C, Seite 248. Lösung der Aufgabe 2.2.1 1.1 Berechnung der Übertragungskennlinie Der Schmitt-Trigger ist nichtinvertierend. Seine Übertragungskennlinie verläuft prinzipiell so wie in Bild 2.27 dargestellt. Für kleine Eingangsspannungen ist der linke Transistor gesperrt, der rechte Transistor leitet, der Ausgang liegt auf der niedrigen

2.2 Schmitt-Trigger

91

Spannung U2L . Dieser Zustand bleibt solange erhalten, wie die Basis-Emitterspannung des linken Transistors unterhalb der Schleusenspannung US liegt. Wird diese bei der Eingangsspannung U1 = U1H erreicht, kippt der Ausgang auf den höheren Wert U2H . U2 U2H 6

U2L 0

0





U1L

U1H

U1

Bild 2.27: Prinzipdarstellung der Schmitt-Trigger Übertragungskennlinie

q RC

UCC

Aus der Maschengleichung

RC R2

U1 UBE1 ? q ? IE2 RE

q nIE2 q ? nU S ?

US +IE2 RE =

U2

R1 UCC R1 + R2 + RC

ergibt sich der Emitterstrom von Q2 zu   UCC R1 1 IE2 = − US RE R1 + R2 + RC = 2.625 mA.

q

Die Ausgangsspannung bestimmt sich damit zu

R1

U2L = UCC − IE2 RC = 7.375 V. Bild 2.28: Ersatzschaltbild U1 < U1H

Dieser Zustand bleibt solange erhalten, wie die die Basis-Emitterspannung des Transistors Q1 unterhalb von US bleibt UBE1 = U1 − IE2 RE ≤ US . Hieraus ergibt sich die obere Umschaltspannung zu U1H = US + IE2 RE =

R1 UCC = 5.0 V. R1 + R2 + RC

Sobald der Umschaltwert U1H erreicht ist, sperrt der rechte Transistor Q2 , der Ausgang nimmt den Wert U2H = UCC an.

92

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Zur Berechnung der Eingangsspannung, bei der der Ausgang wieder auf U2L zurückkippt, wird das Ersatzschaltbild 2.29 verwendet. Es lassen sich die folgenden Beziehungen aufstellen: Aus dem Maschenumlauf

q

UCC U1 = US + RE IE1

RC q U1

RC q

R2

nIE1 q ? nUS ? q ? IE1 RE

U2

ergibt sich der Emitterstrom zu IE1 =

? I q

U1 − US . RE

Aus dem Maschenumlauf

UBE2 ?

UCC = RC (IE1 + I  ) + (R1 + R2 )I  R1

folgt für den Strom I 

Bild 2.29: Ersatzschaltbild U1 > U1L

I =

UCC − RC IE1 . R1 + R2 + RC

Diese Gleichungen gelten solange, wie die Basis-Emitterspannung des rechten Transistors kleiner als die Schleusenspannung US ist. Aus dieser Bedingung wird der untere Umschaltwert U1L berechnet. Dazu setzt man in die Gleichung UBE2 = R1 I  − RE IE1 ≤ US die oben gefundenen Ergebnisse ein. Es ergibt sich UCC − RC IE1 − (U1 − US ) ≤ US R1 + R2 + RC R1 RC R1 UCC U1 − US − − U1 ≤ 0. R1 + R2 + RC R1 + R2 + RC RE

R1

Hieraus bestimmt sich U1 zu U1 ≥

UCC + RC GE US . RC GE + 1 + G1 (R2 + RC )

Als Grenzwert erhält man die Spannung U1L zu U1L =

UCC + RC GE US = 4.0 V. RC GE + 1 + G1 (R2 + RC )

Mit Kenntnis der beiden Kipppunkte ist die Übertragungskennlinie vollständig bestimmt.

2.2 Schmitt-Trigger

93

1.2 Simulation der Übertragungskennlinie Als Vorbereitung zur Simulation werden in der Schaltung Knotennummern und eindeutige Bauteilebezeichnungen vergeben. q 5k RC1 4kq 1k

Q1 

RC2 q

R2

3k q

Q2



RE

2k q 6k

R1

Bild 2.30: Für SPICE aufbereitete Schaltung

SPICE-Eingabefiles (File a2.2_1a.cir) und (File a2.2_1b.cir) Aufgabe 2.2.1: Schmitt-Trigger * Transistormodell nach Aufgabenstellung .control * 1 = Eingang, 2 = Ausgang tran 1m 1 print v(1) v(2) > a2.2_1a.dat .endc v1 1 0 dc 0 pwl 0 0 .5 10 1 0 xq1 4 1 3 npn xq2 2 6 3 npn rc1 5 4 1k rc2 5 2 1k re 3 0 1.6k r1 6 0 11k r2 4 6 10k vcc 5 0 dc 10

Aufgabe 2.2.1: Schmitt-Trigger * Transistoren 2N2222 .control * 1 = Eingang, 2 = Ausgang tran 1m 1 print v(1) v(2) > a2.2_1b.dat .endc v1 1 0 dc 0 pwl 0 0 .5 10 1 0 q1 4 1 3 2n2222 q2 2 6 3 2n2222 rc1 5 4 1k rc2 5 2 1k re 3 0 1.6k r1 6 0 11k r2 4 6 10k vcc 5 0 dc 10

* Transistormodell npn .subckt npn c b e s b bb b bb dio v bb e dc .8 f c b v 1 c b 0 10p .model dio sw

* Transistormodell 2N2222 .include 2n2222.mod .end

94

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

+ ron=1m roff=1meg vt=1m vh=1m .ends npn .end

10.5 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5

U2/V

U2/V

Den beiden Kennlinien Bild 2.31 entnimmt man, dass bei Verwendung des idealen Transistormodells das Simulationsergebnis mit dem in Punkt 1.1 theoretisch ermittelten Ergebnis exakt übereinstimmt, was natürlich zu erwarten war. Bei Verwendung des mehr realistischen Transistormodells 2N2222 verschieben sich die beiden Umschaltspannungen gegenüber den theoretischen Werten. Insbesondere verringert sich die Spannung U2H um etwa 200 mV. Dies ist darauf zurückzuführen, dass der Basisstrom des Transistors Q2 , der beim idealen Modell zu Null gesetzt ist, sein Basispotential, also die Knotenspannung 6k , um den genannten Betrag herunterzieht.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U1/V

10.5 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U1/V

Bild 2.31: Simulierte Hysteresekurven. Linkes Bild: Ideales Transistormodell, rechtes Bild: Transistor 2N2222

Aufgabe 2.2.2 Nichtinvertierender Schmitt-Trigger Uref  n

HH − H

R1

  R2 +

U1

q

HH 

q

U2

Bild 2.32: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger

Der Ausgang des Operationsverstärker begrenzt bei den Spannungswerten U2H = 13 V bzw. U2L = −12 V. Seine übrigen Eigenschaften sind ideal. Er ist über den Widerstand R2 = 27 kΩ rückgekoppelt.

2.2 Schmitt-Trigger

95

Dimensionieren Sie den Widerstand R1 und die Referenzspannung Uref so, dass sich die Schaltschwellen U1L = 1 V und U1H = 5 V einstellen. Lösung der Aufgabe 2.2.2 Mit Hilfe des Überlagerungssatzes lässt sich aus der Schaltung die Beziehung Uref =

R2 R1 U1 + U2 R1 + R2 R1 + R2

ablesen. Da der Schmitt-Trigger nichtinvertierend ist, schaltet er bei den Wertepaaren (U1H , U2L ) sowie (U1L , U2H ). Damit ergeben sich für die beiden Umschaltpunkte die Gleichungen R2 R1 U1L + U2H R1 + R2 R1 + R2 R2 R1 = U1H + U2L R1 + R2 R1 + R2

Uref = Uref bzw.

  R1 R1 Uref − 1+ U2H R2 R2   R1 R1 Uref − = 1+ U2L . R2 R2

U1L = U1H

Die Differenz der beiden Umschaltwerte, die Hysterese ΔU1 , liefert eine Bestimmungsgleichung für den gesuchten Widerstand R1 : ΔU1 = U1H − U1L = R1 =

R1 R1 (U2H − U2L ) = ΔU2 R2 R2

ΔU1 R2 = 4.32 kΩ. ΔU2

Damit kann z. B. aus der Gleichung Uref =

R1 R2 U1L + U2H R1 + R2 R1 + R2

die Referenzspannung bestimmt werden zu Uref = 2.655 V.

Aufgabe 2.2.3 Invertierender Schmitt-Trigger Der Operationsverstärker in der Schaltung Bild 2.33 begrenzt bei den Werten U2L = 0 V und U2H = UB . Seine übrigen Eigenschaften sind ideal. Von der Beschaltung sind die Widerstände R1 und R2 bekannt.

96

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Dimensionieren Sie den Rückkopplungswiderstand R so, dass der Schmitt-Trigger eine vorgegebene Hysteresebreite ΔU1 aufweist. q q UB R2 U1

R1

R2 HH

q

H

−

q R1

q

+

HH  

q

U2



R

Bild 2.33: Invertierender Schmitt-Trigger

Lösung der Aufgabe 2.2.3 Die Spannung am invertierenden Eingang des Operationsverstärkers wird mit Un , die am nichtinvertierenden Eingang mit Up bezeichnet. Für diese Spannungen lassen sich aus dem Ersatzschaltbild 2.34 mit Hilfe des Überlagerungssatzes die Beziehungen aufstellen U2 UB + 1 + R(G1 + G2 ) 1 + R2 (G + G1 ) U1 R2 + UB R1 . Un = R1 + R2

Up =

UB R2 R1

q

Up R

U2

Ud U1

R1

R2 q? Un

UB

Bild 2.34: Ersatzschaltbild zur Berechnung der Spannungen Up und Un

Der Ausgang eines Schmitt-Triggers kippt um, wenn seine Differenz-Eingangsspannung Null ist, Ud = Up − Un = 0. Da hier ein invertierender Schmitt-Trigger vorliegt, ist dies der Fall für die Wertepaare (U1H , U2H ) und (U1L , U2L ).

2.2 Schmitt-Trigger

97

Die Bedingung Ud = 0 liefert für den Umschaltpunkt (U1H , U2H ) = (U1H , UB ) die Gleichung UB UB U1H R2 + UB R1 + − =0 1 + R(G1 + G2 ) 1 + R2 (G + G1 ) R1 + R2 und für den Umschaltpunkt (U1L , U2L ) = (U1L , 0) die Gleichung U1L R2 + UB R1 UB = 0. − 1 + R2 (G + G1 ) R1 + R2 Die zweite Gleichung wird von der ersten subtrahiert: U1L R2 + UB R1 UB U1H R2 + UB R1 + − =0 1 + R(G1 + G2 ) R1 + R2 R1 + R2 R2 UB − (U1H − U1L ) = 0 1 + R(G1 + G2 ) R1 + R2 Setzt man noch U1H − U1L = ΔU1 und löst nach dem unbekannten Widerstand R auf, erhält man als Lösung R=

UB 1 R1 − . ΔU1 G1 + G2

Aufgabe 2.2.4 Nichtinvertierender Schmitt-Trigger mit nichtlinearer Rückkopplung Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers wird bei U2H = −U2L = 12 V begrenzt. Der invertierende Eingang des Operationsverstärkers liegt auf dem Referenzwert Uref = 2 V, der nichtinvertierenden Eingang ist über dem Widerstand R1 = 1 kΩ mit der Eingangsspannung U1 beschaltet. In der Rückführung liegt der Widerstand R2 = 2 kΩ in Reihe mit der Diode D, die als idealer Schalter3 zu betrachten ist. Uref  n

HH −

HH

+

U1

R1

q

H 

 R2



q

U2

D

Bild 2.35: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger mit nichtlinearer Rückkopplung 3

Idealer Schalter bedeutet ID = 0 für UD < 0 bzw. UD = 0 für ID ≥ 0

98

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

4.1 Berechnen Sie die Umschaltspannungen des Schmitt-Triggers. 4.2 Verifizieren Sie das Rechenergebnis durch Simulation. Lösung der Aufgabe 2.2.4 4.1 Berechnung der Umschaltspannungen Der Schmitt-Trigger ist nichtinvertierend. Somit liegen seine Umschaltpunkte bei den Wertepaaren (U1H , U2L ) und (U1L , U2H ). Wegen des nichtlinearen Verhaltens des Operationsverstärkers und der Rückführung wird die Schaltung abschnittsweise analysiert. 1. Annahme: Der Ausgang des Operationsverstärkers ist positiv gesättigt, U2 = U2H . In diesem Zustand ist für Eingangsspannungen U1 < U2H die Diode gesperrt, es gilt das linke Ersatzschaltbild in Bild 2.36. Uref  H n Un − HH Up

+

H

H 



q

Uref  H n Un − HH H H  Up  +  

U2

 U1

R1

q

U1

Diode gesperrt

R1

q

q

U2

R2

Diode leitend

Bild 2.36: Ersatzschaltbilder bei offener und geschlossener Rückführung

In dieser Schaltung geht der Ausgang des Operationsverstärkers dann in die negative Sättigung, wenn die Differenz-Eingangsspannung gerade Null wird. Mit Up = U1 und Un = Uref liegt der Umschaltwert mit Ud = Up − Un = 0 bei U1L = Uref = 2 V. Für Eingangsspannungen U1 > U2H ist die Diode leitend, der Ausgang des Operationsverstärkers bleibt wegen Up > U2H > Uref in der positiven Sättigung. 2. Annahme: Der Ausgang des Operationsverstärkers ist negativ gesättigt, U2 = U2L . In diesem Zustand ist für Eingangsspannungen U1 > U2L die Diode leitend, es gilt das rechte Ersatzschaltbild in Bild 2.36. Der Ausgang des Operationsverstärkers springt bei Ud = 0 in die positive Sättigung. Mit Up =

R1 R2 U1 + U2L R1 + R2 R1 + R2

und Un = Uref

2.2 Schmitt-Trigger

99

berechnet sich daraus der obere Umschaltwert U1H zu   R1 R1 U1H = 1 + Uref − U2L . R2 R2 Mit den gegebenen Werten ergibt sich U1H = 9 V. Für Eingangsspannungen U1 < U2L ist die Diode gesperrt, der Ausgang bleibt aber wegen Up < U2L < Uref in der negativen Sättigung. In der Schaltkurve Bild 2.37 sind alle Ergebnisse zusammenfassend dargestellt. U2 /V 6 12  −12

2 −12

9

12 U1 /V



Bild 2.37: Berechnete Kennlinie des Schmitt-Triggers nach Bild 2.35 (nicht maßstäblich). Durchgezogene Linie: Diode leitet, unterbrochene Linie: Diode sperrt

4.2 Verifikation durch Simulation Uref  kH n 4 − HH H

H 

+

1k

R1

q 3k

 R2



q

2k

D 5k

Bild 2.38: Zur Simulation aufbereitete Schaltung

Zur Simulation des Schmitt-Triggers werden ideale Modelle verwendet. Der Operationsverstärker wird durch das Modell des idealen Komparators xcomp modelliert, bei dem in Abhängigkeit vom Vorzeichen der steuernden Spannung nur zwei diskrete Werte, die Begrenzungswerte U2L (vm) und U2H (vp), angenommen werden. Die Diode wird durch einen spannungsgesteuerten Schalter modelliert, wobei die steuernde Spannung die Schalterspannung selber ist. Als Diodendurchlassspannung wird 1 mV (vt=1m) mit einer Hysterese von 1 mV (vh=1m) zugelassen.

100

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

Um eine geschlossenen Hysteresekurve zu erhalten, wird eine Zeitanalyse (tran) mit einer zeitlinear ansteigenden und abfallenden Eingangsspannung pwl durchgeführt. Die Spannungen, bei denen der Ausgang des Operationsverstärkers umschaltet, werden durch die beiden Cursors cur1 und cur2 ermittelt. SPICE-Eingabefile (File a2.2_4.cir) Aufgabe 2.2.4 Invertierender Schmitt-Trigger, nichtlineare Rückführung .control * 1 = Eingang, 2 = Ausgang tran 1m 1 * plot v(2) vs v(1) xlabel U1/V ylabel U2/V print v(1) v(2) >a2.2_4.dat * Ermittlung der Umschaltspannungen let ud=v(3,4) let cur1=0 let cur2=0 cursor cur1 left ud cursor cur2 right ud cursor cur1 right ud 0 cursor cur2 left ud 0 let u1h=v(1)[%cur1] let u1l=v(1)[%cur2] echo U1H = $&u1h V echo U1L = $&u1l V .endc v1 1 0 dc 0 pwl (0,0) (.5,12) (1,0) vref 4 0 dc 2 r1 1 3 1k r2 3 5 2k * Diode als spannungsgesteuerter Schalter sdio 5 2 5 2 diode .model diode sw ron=1m roff=1meg vt=1m vh=1m * Komparator als Subcircuit xcomp 3 4 p m 2 comparator vp p 0 dc 12 vm m 0 dc -12 .include comparator.mod .end Für die beiden Schaltspannungen werden von SPICE die Werte U1H = 8.98277 V, U1L = 2.00393 V ausgegeben. Die geringfügige Abweichung der Simulationswerte von den rechnerischen Werten ist durch die nichtidealen Eigenschaften des DiodenSimulationsmodells (vt=1m vh=1m) begründet. Die Hysteresekurve Bild 2.39, von Gnuplot aus dem Datenfile (File a2.2_4.dat) gene-

2.2 Schmitt-Trigger

101

riert, hat den prognostizierten Verlauf.

U2/V

Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a2.2_4.gnu)

14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

4

3

2

1

0

5

8

7 6 U1/V

9

10

11

12

Bild 2.39: Simulierte Übertragungskennlinie

Aufgabe 2.2.5 Invertierender Schmitt-Trigger mit nichtlinearer Rückkopplung HH − H

U1

I6

H

+

R1

q

H 

 R2



q

I 6 6 U

U2

D O

US

U

Bild 2.40: Schmitt-Trigger-Schaltung und Diodenkennlinie

Die Eingangsspannung liegt direkt am invertierenden Eingang des Operationsverstärkers, sein nichtinvertierende Eingang liegt über R1 = 1 kΩ an Masse. Die Rückkopplung wird durch die Reihenschaltung des Widerstandes R2 = 3 kΩ mit der Diode D vorgenommen. Die Diode besitzt die abgebildete Kennlinie. Ihre Schleusenspannung beträgt

102

2 Komparatoren und Schmitt-Trigger

US = 0.6 V. Der Operationsverstärker ist ideal mit der Einschränkung, dass der Ausgang bei den Spannungswerten U2L = −13 V bzw. U2H = 14 V begrenzt. Berechnen und zeichnen Sie die Übertragungskennlinie des Schmitt-Triggers. Markieren Sie den Durchlaufsinn der Hystereseschleife. Lösung der Aufgabe 2.2.5 Da die Eingangsspannung am invertierenden Eingang des Operationsverstärkers anliegt, ist der Schmitt-Trigger vom invertierenden Typus. Seine Umschaltpunkte liegen gemäß Bild 2.18 bei den Wertepaaren (U1H , U2H ) und (U1L , U2L ). Die beiden Ersatzschaltbilder in Bild 2.41 verdeutlichen die Situation, die sich genau bei den Umschaltwerten einstellt: Für positive Ausgangsspannungen ist der Rückführungszweig stromlos, der nichtinvertierende Eingang liegt über R1 auf Massepotential. Dieser Zustand besteht für alle negativen Eingangsspannungen. Der Operationsverstärker schaltet um, sobald seine Differenz-Eingangsspannung Null wird. Dieser Zustand wird bei der Eingangsspannung 0 V erreicht. Also liegt der obere Umschaltwert bei U1H = 0 V. U1H

6 0V

HH −

HH

+

R1

H  q



U1L U2H

HH

H  q    USR2 n

U2L

+



q

6 0V

HH −

R1

Ausgang in der positiven Begrenzung

q

Ausgang in der negativen Begrenzung

Bild 2.41: Ersatzschaltbilder zur Berechnung der Umschaltwerte U1H und U1L .

Ist der Ausgang in der negativen Begrenzung, leitet die Diode. Für diesen Fall ergibt sich der Umschaltwert aus dem rechten Ersatzschaltbild zu R1 U1L = (U2L + US ) = −3.1 V. R1 + R2 Mit Kenntnis der Umschaltwerte kann die Übertragungskennlinie gezeichnet werden. U2 /V  



6

14





−3.1

0 

−13

U1 /V  

Bild 2.42: Übertragungskennlinie des Schmitt-Triggers Bild 2.40

3

Kippschaltungen

Kippschaltungen sind positiv rückgekoppelte (mitgekoppelte) Verstärker. Sie zeichnen sich durch ein ausgeprägtes Kippverhalten aus, d.h. ihr Ausgangssignal ändert sich sprunghaft zwischen zwei Signalwerten, denen man die logischen Zustände Low (L) und High (H) zuordnet. Man unterscheidet prinzipiell drei Arten von Kippschaltungen, • bistabile Kippschaltungen, • monostabile Kippschaltungen, • astabile Kippschaltungen. Eine bistabile Kippschaltung besitzt zwei stabile Ausgangszustände. Sie kann beliebig lange in dem jeweils angenommenen Ausgangspegel verharren. Nur durch eine äußere Anregung wechselt die Schaltung ihren Ausgangszustand. Man bezeichnet sie deshalb als Flipflop. Flipflops sind die Grundbausteine von Speichern, Zählern, Schieberegistern und Frequenzteilern. Eine monostabile Kippschaltung hat einen stabilen und einen quasistabilen Zustand. Durch ein Triggersignal kippt die Schaltung vom stabilen in den quasistabilen Zustand, verharrt dort eine durch die Schaltungsdimensionierung vorgegebene Zeit und kehrt danach selbständig in den stabilen Zustand zurück. Monostabile Kippschaltungen heißen auch monostabile Multivibratoren, Monoflops, Univibratoren oder One-shots. Ihre Anwendung liegt in der Erzeugung von Rechteckimpulsen einstellbarer Impulsbreite, der Realisierung von Zeitverzögerungen und der dynamischen Speicherung von Binärsignalen. Eine astabile Kippschaltung, auch als astabiler Multivibrator bezeichnet, besitzt zwei quasistabile Zustände, die abwechselnd für eine vorgegebene Zeit eingenommen werden. Sie ist ein Oszillator, wird also nicht zum Speichern von Informationen, sondern zum Erzeugen von periodischen Impulsfolgen, rechteck- oder dreieckförmig, verwendet. Für alle Kippschaltungen existieren verschiedene schaltungstechnische Realisierungsmöglichkeiten, angefangen vom Aufbau mit diskreten Transistoren über die Verwendung von Operationsverstärkern bis hin zur Realisierung durch integrierte Schaltungen in einer der heute gebräuchlichen digitalen Schaltungstechniken wie z. B. TTL oder CMOS.

104

3.1

3 Kippschaltungen

Monostabile Kippschaltungen

Um die Funktion einer monostabilen Kippschaltung zu verstehen ist es zunächst notwendig, ihren Ruhezustand, also ihren Zustand ohne Triggersignal, festzustellen. Ist dieser bekannt, können die Eigenschaften des Triggerimpulses, das sind insbesondere dessen Polarität und Amplitude, die zum Triggern der Schaltungen, d. h. zum Wechseln des Ausgangszustandes, notwendig sind, festgelegt werden. Mit diesem Wissen kann dann die Schaltung im Detail analysiert werden.

3.1.1

Schaltungen mit Operationsverstärkern R2

U0

R1 u1 (t)

C

 HH uC (t) q + H HH ud (t) ?  −   

q

u2 (t)

Bild 3.1: Monostabile Kippschaltung mit dynamischer Rückführung

Der stationäre Zustand der Schaltung Bild 3.1 wird durch die Gleichspannung U0 bestimmt. Da im Ruhezustand die Rückführung stromlos ist, fällt über R1 keine Spannung ab und die Spannung U0 liegt auch am nichtinvertierenden Eingang des Operationsverstärkers. Der invertierenden Eingang hat bei fehlendem Triggerimpuls Nullpotential. Somit hat die Differenz-Eingangsspannung den Wert ud (t) = U0 . Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers richtet sich nach der Polarität der DifferenzEingangsspannung. Ist diese positiv, befindet sich der Ausgang in der positiven Begrenzung U2H , bei negativer Differenz-Eingangsspannung in der negativen Begrenzung U2L . Unterstellt man, dass U0 > 0 ist, ist demnach die Ruhelage der Ausgangsspannung u2 (t) = U2H . Die Schaltung kippt in den quasistabilen Zustand, sobald die Differenz-Eingangsspannung ihr Vorzeichen wechselt. Dies kann durch einen positiven Triggerimpuls mit einer Amplitude uˆ1 > U0 erreicht werden. Wird ein solcher Impuls angelegt, wechselt der Ausgang schlagartig in die negative Sättigung. Das Umschalten der Ausgangsspannung wird über das RC-Glied, abgeschwächt durch die Widerstände R1 und R2 , auf den nichtinvertierenden Eingang übertragen. Da dadurch die Differenz-Eingangsspannung noch negativer wird, wird der bereits angenommene Ausgangszustand zunächst gehalten. Mit zunehmender Aufladung des Kondensator nimmt jedoch das Potential am nichtinvertierenden Eingang wieder zu. Sobald die Differenz-Eingangsspannung den Wert Null erreicht hat, kippt der Operationsverstärker wieder um und die Schaltung kehrt nach Ablauf der Erholzeit in ihren Ruhezustand zurück.

3.1 Monostabile Kippschaltungen

105

u1 (t) u ˆ1

u2 (t)

t U2H t

U2L

T

uC (t) U2H − U0 t U2L − U0 ud (t) U0 T

t

U0 − kΔU2 U0 − kΔU2 − uˆ1 Bild 3.2: Impulsdiagramme zur monostabilen Kippschaltung Bild 3.1

Die Impulsdiagramme verdeutlichen die zeitlichen Zusammenhänge. Insbesondere interessiert hier der Verlauf der Differenz-Eingangsspannung ud (t), denn dieser bestimmt letztendlich die Impulszeit T der monostabilen Kippschaltung. Mit der ansteigenden Flanke des Triggerimpulses zum Zeitpunkt t = 0 springt ud (t) vom Ruhepotential U0 auf den negativen Wert U0 − kΔU2 − u ˆ1 ; denn zum einen ändert sich der nichtinvertierende Eingang sprunghaft um u ˆ1 und zum anderen überträgt sich die Ausgangsspannungsänderung ΔU2 = U2H − U2L über den Kondensator C, abgeR1 schwächt um den Faktor k = . Würde der Triggerimpuls stehen bleiben, würde R1 + R2 ud (t) exponentiell mit der Zeitkonstanten τ = (R1 + R2 )C dem Wert U0 − u ˆ1 zustreben. Da der Triggerimpuls aber nach kurzer Zeit auf Null zurückspringt, springt ab diesem Zeitpunkt die Differenz-Eingangsspannung um uˆ1 nach oben und läuft danach asymptotisch gegen den Ruhewert U0 . Zur Berechnung der Impulszeit kann man deshalb von

106

3 Kippschaltungen

einem exponentiellen Verlauf mit dem fiktiven Startwert U0 − kΔU2 ausgehen ud (t) = U0 − kΔU2 e−t/τ .

(3.1)

Für ud (t) = 0 ist die Impulszeit T erreicht 0 = U0 − kΔU2 e−T /τ . Hieraus bestimmt sich T zu   ΔU2 T = τ ln k U0 T = (R1 + R2 )C ln



U2H − U2L R1 R1 + R2 U0

 .

(3.2)

Mit Ende der Impulszeit springt ud (t) von Null auf ud (T ) = kΔU2 und klingt danach mit der Zeitkonstanten τ auf U0 ab. Die Schaltung benötigt daher eine relativ lange Erholzeit, nämlich etwa 5τ . Ist man auf kurze Erholzeiten angewiesen, muss der nichtinvertierende Eingang für positive Spannungen geklemmt werden. Hierzu bietet sich die folgende Schaltungsvariante an. U0 u1 (t)

R1 C1

R

q un (t) up (t) q q

HH −

HH

+

H 





q

u2 (t)

C

Bild 3.3: Monostabile Kippschaltung mit verkürzter Erholzeit

Im Ruhezustand liegt der nichtinvertierende Eingang über den Widerstand R auf Nullpotential, während der invertierende Eingang über den Widerstand R1 auf dem Potential U0 liegt. Wählt man für U0 eine negative Spannung, d. h. U0 < 0, dann ist die Ruhelage des Ausgangs der positive Sättigungswert U2H . Getriggert wird die Schaltung mit der positiven Flanke eines Rechteckimpulses, dessen Amplitude mindestens so groß ist, dass die Differenz-Eingangsspannung negativ wird. Ist dies gewährleistet, springt mit der ansteigenden Flanke des Triggerimpulses der Ausgang vom positiven auf den negativen Sättigungswert. Da die Diode für negative Spannungen gesperrt ist, überträgt sich dieser negative Sprung in seiner gesamten Amplitude U2H −U2L über den Kondensator C auf den nichtinvertierenden Eingang. Dadurch verharrt der Operationsverstärker zunächst in der negativen Sättigung. Allerdings lädt sich der Kondensator nun mit der Zeitkonstanten τ = RC um, wodurch die Spannung up (t) mit dieser Zeitkonstanten exponentiell auf Null anzusteigen versucht up (t) = −(U2H − U2L )e−t/τ .

(3.3)

3.1 Monostabile Kippschaltungen

107

Sobald die beiden Eingänge des Operationsverstärkers das gleiche Potential haben, also up = un = U0 ist, schaltet sein Ausgang wieder auf den positiven Sättigungswert zurück. Damit ist die Impulszeit T beendet. Setzt man die Schaltbedingung up (T ) = U0 in Gl. (3.3) ein, ergibt sich für die Impulszeit T = τ ln

U2H − U2L . −U0

(3.4)

u1 (t) u ˆ1 t un (t) t

U0 u2 (t) U2H

U2L

t T

up (t) U0

t T

−(U2H − U2L ) Bild 3.4: Impulsdiagramme zur monostabilen Kippschaltung Bild 3.3

Der Rücksprung des Ausgangsimpulses nach Ablauf der Impulszeit erzeugt am nichtinvertierenden Eingang einen positiven Spannungssprung, der jedoch durch die jetzt leitende Diode in seiner Amplitude auf eine Schleusenspannung, also auf etwa 0.7 V, begrenzt wird. Danach klingt die Spannung mit der Zeitkonstanten τ rasch auf Null ab, und die Schaltung ist wieder für einen weiteren Triggerimpuls bereit. Eine weitere einfache Schaltung einer monostabilen Kippschaltung, die insbesondere lange Impulszeiten mit guter Genauigkeit erzeugen kann, ist in Bild 3.5 dargestellt.

108

3 Kippschaltungen D2

u1 (t)

C2

C1

q

D1

q un (t) up (t)

D3

q R5

q

R2 R1

HH −

q

HH

+

H 



q

u2 (t)

 R3

R4

Bild 3.5: Monostabile Kippschaltung für lange Impulszeiten

Funktionsbeschreibung. Es sei angenommen, dass die Dioden D1 und D3 die Schleusenspannung US besitzen. Im Ruhezustand, d. h. ohne Triggerimpuls, befindet sich dann der Ausgang des Operationsverstärkers in der positiven Sättigung u2 (t) = U2H . Sein nichtinvertierender Eingang liegt dabei auf dem Potential up (t) =

1 1 U2H + US , 1 + R3 (G4 + G5 ) 1 + R5 (G3 + G4 )

(3.5)

sein invertierender Eingang auf dem Potential un (t) = US . Bei einem negativen Triggerimpuls u1 (t) mit einer Mindestgröße nach Gl. (3.5) springt der Ausgang auf den negativen Sättigungswert u2 (t) = U2L . Gleichzeitig springt der nichtinvertierende Eingang auf up (t) =

R4 U2L . R3 + R4

(3.6)

Durch den Spannungssprung am Verstärkerausgang lädt sich der am negativen Eingang angeschlossene Kondensator C1 mit der Zeitkonstanten τ1 = R1 C1 negativ auf, beginnend bei der Schleusenspannung US der Diode D1 t

un (t) = (US − U2L )e− τ1 + UL .

(3.7)

Der Pfad über die Reihenschaltung von R2 und D2 ist bei diesem Aufladevorgang gesperrt. Erreicht die Kondensatorspannung den Wert von up (t), der gemäß Gl. (3.6) zu diesem Zeitpunkt am nichtinvertierenden Eingang anliegt, kippt der Operationsverstärker wieder in seinen Ausgangszustand zurück. Aus dieser Ablaufbeschreibung lässt sich die Zeit T , die die monostabile Kippschaltung im quasistabilen Zustand verharrt, bestimmen.

3.1 Monostabile Kippschaltungen

109

Aus der Bedingung zum Zeitpunkt t = T un (T ) = (US − U2L ) e−T /τ1 + U2L R4 = U2L R3 + R4 ergibt sich die Impulszeit zu  T = τ1 ln

1+

R4 R3

 

US 1− . U2L

(3.8)

Die Länge des Ausgangsimpulses wird praktisch nur durch die passiven Bauelemente der Schaltung bestimmt. Sie ist somit genau und stabil einstellbar. Wählt man insbesondere die Widerstandswerte von R3 und R4 gleich, ergibt sich für die Impulszeit näherungsweise der Wert T ≈ τ1 ln 2.

(3.9)

Um die Erholzeit der Schaltung klein zu halten, wird der Widerstand R2 deutlich kleiner als der Widerstand R1 gewählt. Der Kondensator C1 wird dann nämlich praktisch ausschließlich über die Reihenschaltung von R2 und D2 entladen, wodurch die Schaltung sehr schnell in ihren Ruhezustand zurückkehren kann. u1 (t) t

u2 (t) U2H

U2L

t T

un (t) US t R4 R3 +R4 U2L

U2L

τ1

Bild 3.6: Impulsdiagramme zur monostabilen Kippschaltung Bild 3.5

110

3 Kippschaltungen

3.1.2

Schaltungen mit digitalen Gattern

Monostabile Kippschaltungen können auch mit logischen Gattern, die geeignet mit zeitbestimmenden RC-Gliedern beschaltet sind, realisiert werden. Derartige Schaltungen erfüllen allerdings wegen der verhältnismäßig großen Gattertoleranzen keine allzu hohe Genauigkeitsanforderungen. Eine sehr einfache Schaltung verwendet zwei NOR-Gatter in CMOS-Technologie, die über ein Differenzierglied miteinander verbunden sind. UDD R 1k

≥

a

C 2k

q 3k

q

≥

a

q

4k

Bild 3.7: Monostabile Kippschaltung mit CMOS NOR-Gattern

Funktionsbeschreibung. Im stationären Zustand liegt am Eingang 3kdes als Inverter geschalteten NOR-Gatters die Versorgungsspannung UDD . Dies entspricht einer logischen 1. Dadurch liegt der Ausgang 4kauf Null Volt entsprechend einer logischen 0. Das auf den Eingang des ersten NOR-Gatters zurückgeführte Ausgangssignal erzeugt an dessen Ausgang 2keine 1, vorausgesetzt, der Triggereingang 1kliegt auf 0. 1 t

2 t

UDD 67%UDD 33%UDD

3

t

4 ΔT

t

Bild 3.8: Impulsdiagramme zur monostabilen Kippschaltung Bild 3.7

Mit der ansteigenden Flanke des Triggerimpulses springt der Ausgang 2kauf 0. Dieser Sprung überträgt sich auf den Eingang 3kund lässt den Ausgang 4kauf 1 springen. Durch die Rückführung liegt dadurch an dem unteren Eingang des ersten NOR-Gatters

3.1 Monostabile Kippschaltungen

111

eine 1, so dass der Triggerimpuls zurückgenommen werden kann, ohne die Funktion der Schaltung zu beeinflussen. Der Kondensator C, der im Ruhezustand ungeladen war, lädt sich nun über den Widerstand R mit der Zeitkonstanten τ = RC auf. Damit steigt im Pkt. 3kdie Spannung exponentiell von 0 V an gemäß   (3.10) u3 (t) = UDD 1 − e−t/τ . Sobald diese Spannung die Schwellspannung des zweiten NOR-Gatters erreicht hat, wird der Ausgangsimpuls wieder abgeschaltet. Definiert man für die Schwellspannung den Wert kUDD , ergibt sich aus der Umschaltbedingung u3 (T ) = kUDD für die Impulsbreite T der Wert T = −τ ln (1 − k).

(3.11)

Die maximale Toleranz der Schaltschwelle wird von den Halbleiterherstellern garantiert. Sie liegt typisch bei 1/3 ≤ k ≤ 2/3. Das bedeutet, dass die Impulsbreite in dem Toleranzbereich 0.4τ ≤ T ≤ 1.1τ liegt. Dies kann für bestimmte Anwendungen intolerabel sein. Der Bereich lässt sich jedoch dadurch einschränken, dass man das Signal des zweiten Gatters nicht direkt, sondern über ein Integrierglied zurückführt. Der Ausgangsimpuls wird nun statt am Ausgang 4kam Ausgang 2kabgenommen. Da er hier gegenüber der vorherigen Schaltung invertiert erscheint, muss ggf. noch ein Inverter nachgeschaltet werden. Ausgang UDD R1 1k

a

≥

5kq

q 2k

C1

q 3k

q

≥

a

q

4k

q R2

C2

Bild 3.9: Kompensierte monostabile Kippschaltung

Die Impulszeit dieser Schaltung wird unter der Annahme berechnet, dass die Schaltschwellen der beiden Gatter wiederum bei kUDD liegen. Aus den Liniendiagrammen Bild 3.10 können die Beziehungen   u3 (t) = UDD 1 − e−t/τ1 u5 (t) = UDD e−(t−T1 )/τ2 abgelesen werden. Die Spannung am Knoten 3kerreicht die Schaltschwelle des rechten NOR-Gatters zum Zeitpunkt T1 . Somit ist u3 (T1 ) = kUDD . Die Spannung 5kerreicht

112

3 Kippschaltungen

die Schaltschwelle des linken NOR-Gatters um die Zeit T2 später. Damit ergibt sich u5 (T1 + T2 ) = kUDD . Aus diesen Bedingungen berechnen sich die beiden Teilzeiten zu T1 = −τ1 ln(1 − k) T2 = −τ2 ln k.

1k

t

0 UDD

2k

0

kUDD



T

-

3k

t

0 4k

t

0 kUDD 0

t

5k  T1 - T2 

t

Bild 3.10: Impulsdiagramme zur monostabilen Kippschaltung Bild 3.9

Die Gesamtzeit erhält man mit T = T1 + T2 zu T = −τ1 ln(1 − k) − τ2 ln k.

(3.12)

Diese Impulsbreite ist gegenüber der Impulsbreite der unkompensierten monostabilen Kippschaltung deutlich weniger toleranzbehaftet. Dimensioniert man insbesondere die Schaltung so, dass die beiden Zeitkonstanten gleich groß sind, τ1 = τ2 = τ , ist T = −τ ln k(1 − k). In diesem Fall besitzt die Impulszeit nur noch den Toleranzbereich 1.4τ ≤ T ≤ 1.5τ .

3.1 Monostabile Kippschaltungen

3.1.3

113

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 3.1.1 Monostabile Kippschaltung, Berechnung und grafische Ergebnisdarstellung Gegeben ist eine monostabile Kippschaltung nach Bild 3.11. U0

R up (t) u1 (t)

q

C HH +UB + H HH  −   −UB

q

u2 (t)

Bild 3.11: Monostabile Kippschaltung mit Ausgangsspannungsbegrenzung

Die zeitbestimmenden Bauelemente haben die Werte R = 12 kΩ und C = 380 nF. Die Durchbruchspannung der Z-Diode liegt bei UZ = 10 V, ihre Schleusenspannung beträgt US = 0.7 V. Der Operationsverstärker wird mit UB = ±15 V betrieben. Der Widerstand an seinem Ausgang begrenzt den Ausgangsstrom des Verstärkers, er hat auf die eigentliche Funktion der Schaltung keinen Einfluss. Die Gleichspannung U0 beträgt U0 = 1 V. Die Schaltung wird mit einem positiven Rechteckimpuls, Amplitude 2 V, Impulslänge 1 ms, getriggert. 1.1 Berechnen Sie den Ausgangsimpuls u2 (t). 1.2 Stellen Sie in Gnuplot die Liniendiagramme der Ausgangsspannung u2 (t) und der Spannung am nichtinvertierenden Eingang up (t) dar.

Lösung der Aufgabe 3.1.1 1.1 Berechnung des Ausgangsimpulses u2 (t) Im Ruhezustand liegt der Triggerimpuls auf u1 (t) = 0 V und der Kondensator ist stromlos. Dadurch beträgt die Differenz-Eingangsspannung des Operationsverstärkers ud = U0 . Da ud positiv ist, befindet sich der Ausgang des Differenzverstärkers in der positiven Begrenzung und die Ausgangsspannung u2 (t) wird durch die Z-Diode auf UZ = 10 V geklemmt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Triggerimpuls eingespeist. Mit seiner positiven Flanke kippt der Verstärkerausgang in die negative Begrenzung, wodurch die Ausgangsspannung durch die Z-Diode auf −US = −0.7 V geklemmt wird. Der negative Sprung der

114

3 Kippschaltungen

Ausgangsspannung um UZ + US wird auf den Eingang des Verstärkers zurückgekoppelt. Dadurch wird der augenblickliche, quasistabile Zustand des Verstärkers zunächst gehalten. Allerdings steigt nun die Spannung up (t) am nichtinvertierende Eingang mit der Zeitkonstanten τ = RC exponentiell an gemäß up (t) = −(UZ + US )e−t/τ + U0 . Sobald sie durch Null läuft, kippt der Verstärker wieder in den stabilen Zustand zurück, die Impulszeit ist abgelaufen. Mit der Bedingung up (T ) = 0, eingesetzt in obige Gleichung, ergibt sich 0 = −(UZ + US )e−T /τ + U0 U0 e−T /τ = UZ + US UZ + US T = τ ln . U0 Mit den gegebenen Zahlenwerten liegt die Impulszeit bei T = 10.8 ms. 1.2 Grafische Darstellung der Liniendiagramme (File a3.1_1.gnu) Die oben gefundenen Ergebnisse werden zusammengefasst und in Gnuplot programmiert. ⎧ ⎪ (t < 0) ⎨U Z u2 (t) = −US (0 ≤ t < T ) ⎪ ⎩U (t ≥ T ) Z ⎧ ⎪ (t < 0) ⎨U 0 −t/τ up (t) = −(UZ + US )e + U0 (0 ≤ t < T ) ⎪ ⎩(U + U − U )e−(t−T )/τ + U (t ≥ T ) Z S 0 0 # Aufgabe 3.1.1 # Liniendiagramme u2(t) und up(t) set terminal post eps enhanced "Times-Roman" 18 set output "a3.1_1.eps" # Konstanten R = 1.2e4 C = 3.8e-7 UZ = 10. US = .7 U0 = 1. tau = R*C set dummy t set samples 1000

3.1 Monostabile Kippschaltungen

115

set key bottom right # Pulszeit T = tau*log((UZ+US)/U0) # Ausgangsspannung u2(t)=ta4.2_5a.dat .endc * Eingangsspannung Rechteck 5V, 1kHz V1 1 0 dc 0 pulse 0 5 0 10n 10n .5m 1m * Ladungspumpe C1 1 3 20n ic=0 xD1 3 0 d_ideal us=0 xD2 4 3 d_ideal us=0 .include diode.mod * Idealer Operationsverstärker Eop 2 0 0 4 1e6

170

4 Umsetzer

* Tiefpass R 2 4 10k C 2 4 1u ic=0 .end Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a4.2_5a.gnu) 1.2 1

u2(t)/V

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

25 t/ms

30

35

40

45

50

1.1

u2(t)/V

1.05

1

0.95

0.9

95

96

98

97

99

t/ms Bild 4.20: Ausgangsspannung und Brummspannung (Dioden mit US = 0 V)

100

4.2 Digital-Analog-Umsetzer

171

Die Simulationsergebnisse bestätigen die Rechenergebnisse aus Pkt. 5.1: Der Mittelwert der Ausgangsspannung liegt bei 1 V, die überlagerte Brummspannung misst 100 mV. 5.3 Übertragungskennlinie bei Berücksichtigung realer Dioden Die Dioden D1 und D2 sollen durch eine Schleusenspannung US in Reihe mit einem idealen Schalter modelliert werden. Wie man sich an Hand des Bildes 4.18 klarmachen kann, wird dann der Kondensator C1 bei der positiven Flanke von u1 (t) nicht mehr auf U1 , sondern nur noch auf die Spannung U1 − US aufgeladen. Bei der negativen Flanke von u1 (t) wird er nicht mehr bis auf 0 V, sondern auf US entladen. Der Kondensator C1 besitzt dadurch nur noch die Ladung q = C1 (U1 − 2US ). Das Problem ist also gelöst, wenn in Gl. (4.12) und Gl. (4.13) U1 durch die Differenz U1 − 2US ersetzt wird U2 = RC1 (U1 − 2US )f C1 ΔU2 = (U1 − 2US ). C 5.4 Verifikation durch Simulation Im SPICE-Eingabefile werden lediglich die Subcircuit-Aufrufe für die Dioden geändert, die übrigen Programmzeilen werden übernommen. SPICE-Eingabefile (File a4.2_5b.cir) Aufgabe 4.2_5, Pkt. 5.4 * Frequenz- Spannungsumsetzer .control tran 1u 100m uic print v(2)>a4.2_5b.dat .endc * Eingangsspannung Rechteck 5V, 1kHz V1 1 0 dc 0 pulse 0 5 0 10n 10n .5m 1m * Ladungspumpe C1 1 3 20n ic=0 xD1 3 0 d_ideal us=0.5 xD2 4 3 d_ideal us=0.5 .include diode.mod * Idealer Operationsverstärker Eop 2 0 0 4 1e6 * Tiefpass R 2 4 10k C 2 4 1u ic=0 .end Grafische Darstellung der Ergebnisse (File a4.2_5b.gnu) Für die gegebene Dimensionierung liefert die Auswertung der beiden o. a. Gleichungen: • Mittlere Ausgangsspannung U2 = 0.8 V • Brummspannung ΔU2 = 80 mV.

172

4 Umsetzer

Nach der Einschwingzeit von mindestens fünf Zeitkonstanten entsprechend 50 ms können dem simulierten Ausgangsspannungsverlauf praktisch dieselben Werte wie die errechneten entnommen werden.

0.9 0.8 0.7

u2(t)/V

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

20

25 t/ms

30

35

40

45

50

0.9 0.88 0.86

u2(t)/V

0.84 0.82 0.8 0.78 0.76 0.74 0.72 0.7

95

96

98

97

99

t/ms Bild 4.21: Ausgangsspannung und Brummspannung (Dioden mit US = 0.5 V)

100

4.2 Digital-Analog-Umsetzer

173

Aufgabe 4.2.6 Frequenz-Spannungs-Umsetzer C2 q τ 6 u0 (t)

>

R1

q

u1 (t)

R2

q

HH − H HH  +  

q

u2 (t)

Bild 4.22: Frequenz-Spannungs-Umsetzer

Die monostabile Kippschaltung generiert aus der einlaufenden frequenzmodulierten Impulsfolge u0 (t) mit der Augenblicksfrequenz f = 1/T Impulse mit den Amplituden ±2 V und dem Tastgrad VT = τ /T . Von dieser jetzt pulsweitenmodulierten Folge bildet der nachfolgende gedämpfte Integrator den zeitlichen Mittelwert. Da dieser Mittelwert ein Maß für die Frequenz der Schwingung u0 (t) ist, hat die Schaltung die Funktion eines Frequenz-Spannungs-Umsetzers. Die Schaltung sei wie folgt dimensioniert: Die Impulszeit der monostabilen Kippschaltung beträgt τ = 0.2 ms. Die passive Bauelemente haben die Werte R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ und C2 = 1 μF. Der Operationsverstärker ist ideal. 6.1 In welchem Frequenzbereich arbeitet die Schaltung als Frequenz-Spannungs-Umsetzer? 6.2 Berechnen Sie die Ausgangsgleichspannung u2 (t) als Funktion der Frequenz und zeichnen Sie ihren Verlauf im zugelassenen Frequenzbereich.

Lösung der Aufgabe 4.2.6 6.1 Zugelassener Frequenzbereich Die Periodendauer der Eingangsspannung u0 (t) darf im Bereich τ ≤T Zähler


xout

6 Reset

Uref    Z Z Z

n q 

? 

DAU

Bild 4.39: Blockschaltbild eines Stufenrampen-Umsetzer

Funktionsprinzip. Im Wartezustand ist der Zähler auf Null gesetzt, die Ausgangsspannung des DAU ist Null. Der Komparator liefert bei positiver Eingangsspannung Uin ein logisches 1-Signal, das die digitale Torschaltung, gebildet durch das UND-Gatter, für den Zählertakt freigibt. Die Umsetzung wird durch einen Rücksetzimpuls des Zählers ausgelöst. Jetzt laufen Taktimpulse in den Zähler ein. Dadurch steigt die Ausgangsspannung des DAU treppenförmig an und zwar solange, bis eine Treppenstufe die Eingangsspannung gerade überschreitet. In diesem Moment kippt der Komparator, sperrt den Takt und beendet damit den Umsetzvorgang. Nachlauf-Umsetzer.

Uin

HH + H   −

Takt -> - V/R Zähler

HH 

xout

6 Reset

Uref    Z Z Z

n q 

? DAU



Bild 4.40: Blockschaltbild eines Nachlauf-Umsetzer

Statt eines Vorwärtszählers wie beim Stufenrampen-Umsetzer wird beim NachlaufUmsetzer ein Vor-Rückwärtszähler verwendet. Der Komparator steuert die Zählrichtung. Solange die Eingangsspannung noch größer als die Rampenspannung des DAU ist,

192

4 Umsetzer

wird in Vorwärtsrichtung gezählt. Die Zählrichtung dreht sich um, sobald die Eingangsspannung kleiner als die Rampenspannung wird. Auf diese Weise läuft der Zählerstand ständig der Eingangsspannung nach. Ist die Eingangsspannung konstant, dann pendelt nach Erreichen der Eingangsspannung der Zählerstand ständig um das LSB hin und her. Einflanken-Umsetzer. Der Einflanken- oder Sägezahn-Umsetzer30 nach Bild 4.41 setzt die Eingangsspannung zunächst in eine zu Uin proportionale Zeit T um. Dies leisten der Integrator zusammen mit dem Fensterkomparator. Während dieser Zeit werden Taktimpulse gezählt und gespeichert. Der Zählerinhalt xout ist dann ein Maß für die Spannung Uin . Funktionsprinzip. Zu Beginn der Umsetzung wird die Ausgangsspannung des Integrators durch hier nicht dargestellte Schaltungsmaßnahmen auf den Wert uint (0) = −U0 gehalten. Dadurch liefert der Fensterkomparator eine logische 0, das UND-Gatter, das als digitale Torschaltung fungiert, sperrt den Takt. Der Zähler ist auf Null zurückgesetzt. Uin

C R Uref

q

H −H H  +  

q

Integrator

q

Takt

H −H H +  




-> Zähler

=1 H +H H  − Torschaltung   Fensterkomparator

n q  xout

6 Reset

Bild 4.41: Blockschaltbild eines Einflanken-Umsetzer

Mit Beginn der Umsetzung wird der Integrator freigegeben. Dieser integriert die negative Referenzspannung Uref auf  1 Uref dt uint (t) = − RC 1 Uref t − U0 . =− RC Zum einem Zeitpunkt t1 läuft die Integratorspannung durch Null, uint (t1 ) = 0. Ab diesem Zeitpunkt liefert der Fensterkomparator eine logische 1. Diese öffnet die Torschaltung, die Taktimpulse werden in den Zähler eingelesen. Erreicht die Integratorspannung zu dem Zeitpunkt t2 den Wert der Eingangsspannung, liefert der Fensterkomparator wieder eine logische 0 und sperrt das digitale Tor für den Takt. Mit t1 = RC 30 engl.:

U0 −Uref

Single Slope Converter

t2 = RC

Uint + U0 −Uref

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

193

ergibt sich also für die Torzeit T T = t2 − t1 = RC

Uint . −Uref

Wird mit der Frequenz fC = 1/TC getaktet, werden während dieser Zeit N TC Takte in den Zähler eingelesen. Damit hat nach der Umsetzung der Zähler den Stand N = RCfc

Uin . −Uref

(4.25)

Die Anzahl N der im Zähler gespeicherten Impulse ist der umzusetzenden Spannung direkt proportional. Das Einflanken-Verfahren erfüllt keine allzu hohen Genauigkeitsansprüche. Toleranzen und Drift der Bauelemente R und C, Fehler der Taktfrequenz und der Referenzspannung, Offset- und Driftfehler der Komparatoren gehen unmittelbar in das Umsetzergebnis ein. Es ist deshalb kein Wunder, dass es in der Praxis vollständig durch das Zweiflanken-Verfahren, das einen Großteil dieser Mängel inhärent vermeidet, verdrängt wurde. xout n 6

Zweiflanken-Umsetzer.

Uref

Latch

C

−Uin q 6

R

q

H −H H  +  

q

n

H +H H  −  

&

Zähler

Takt Integrator

Komparator

Bild 4.42: Blockschaltbild eines Zweiflanken-Umsetzer

Beim Zweiflanken-Umsetzer31 erfolgt die Umsetzung des analogen Signals in zwei zeitlich aufeinanderfolgenden Phasen. In der ersten Phase wird die unbekannte Spannung Uin über eine definierte Zeit t1 aufintegriert. Anschließend wird in der zweiten Phase die Kondensatorspannung mittels der bekannten Referenzspannung Uref wieder abintegriert. Die dafür benötigte Zeit t2 wird digitalisiert und gespeichert. Funktionsprinzip. Zu Beginn eines Umsetzzyklus ist der Integrationskondensator entladen und der Zähler steht auf Null. In der ersten Phase geht der Eingangsschalter in die obere Stellung. Dadurch wird die konstante analoge Eingangsspannung Uin aufintegriert, die Integratorspannung steigt 31 engl.:

Dual Slope Converter

194

4 Umsetzer

zeitlinear an 1 uint (t) = RC

 Uin dt =

1 Uin t mit τ = RC. τ

Unmittelbar zu Beginn der Integration gibt der Komparator das UND-Gatter frei. Dadurch laufen Taktimpulse mit der Periodendauer TC in den Dualzähler ein. Mit dem ersten Zählerüberlauf nach der Zeit t1 = Nmax TC (Nmax = 2n ist die maximale Zählerkapazität) hat der Komparatorausgang die Spannung uint (t1 ) =

1 Uin Nmax TC τ

erreicht. uint (t)

6

Uint2

J

Uin2 Uint1 Uin1  

  J





  

0 0

t1

J J J

J J J

J J J

J J J

J J J J J J JJ J t1 + t21 t1 + t22 t

Bild 4.43: Ausgangsspannungen des Integrators, dargestellt für zwei Eingangsspannungen Uin2 > Uin1

Der Überlaufimpuls des Zählers schaltet den Eingangsschalter in die untere Stellung. In der jetzt beginnenden zweiten Phase wird die Ausgangsspannung der Integrators durch die Referenzspannung wieder vermindert  1 t uint (t) = uint (t1 ) − Uref dt. τ t1 Sobald sie nach einer weiteren Zeitspanne t2 den Wert Null erreicht hat, wird der Zähler gestoppt und der Umsetzvorgang ist beendet. Der Zählerstand beträgt zu diesem Zeitpunkt N . Er berechnet sich mit t2 = N TC aus der Stoppbedingung t1 +t2  1 =0 uint (t1 + t2 ) = uint (t1 ) − Uref t τ t1

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

195

zu N=

Uin Nmax . Uref

(4.26)

Der Zählerstand N , also das digitale Ausgangswort xout , ist der Amplitude der analogen Eingangsspannung direkt proportional. Unter der Voraussetzung, dass während einer Umsetzung die Zeitkonstante des Integrators sowie die Periodendauer des Taktsignals konstant bleiben, wird die Genauigkeit des Umsetzergebnisses, sieht man von dem unvermeidlichen Quantisierungsfehler ab, im Wesentlichen durch die Genauigkeit der Referenzspannung bestimmt. Mögliche Driftfehler der Operationsverstärker werden in einer hier nicht dargestellten zusätzlichen Abgleichphase eliminiert. Insbesondere werden auch Störungen, die der analogen Eingangsspannung überlagert sind, durch das Integrieren weitgehend unterdrückt. Dies wird im Folgenden näher untersucht. Störunterdrückung des Zweiflanken-Umsetzers. Es wird angenommen, dass der Gleichspannung Uin eine sinusförmige Störspannung uS (t) = u ˆS sin(ωt + ϕS ) überlagert ist. Dann hat nach Ablauf der Integrationszeit t1 die Kondensatorspannung Uint den Wert  1 t1 [Uin + u ˆS sin(ωt + ϕS )]dt Uint = τ 0

t1 u ˆS 1 Uin t − = cos(ωt + ϕS ) τ ω 0

 u ˆS  1 Uin t1 − cos(ωt1 + ϕS ) − cos ϕS = τ ω

  1 t1 Uin − u ˆS cos(ωt1 + ϕS ) − cos ϕS = τ ωt1 t1 = (Uin + uS (t)). τ uS (t) ist die durch den Integrator gemittelte Störspannung uS (t) = −

  1 u ˆS cos(ωt1 + ϕS ) − cos ϕS . ωt1

Dieser Ausdruck kann mit den Beziehungen cos α − cos β = −2 sin

α+β α−β sin 2 2

und ω = 2π/TS umgeformt werden in     t1 1 TS t1 . uS (t) = − u ˆS sin π + ϕS sin π π t1 TS TS

196

4 Umsetzer

Die mittlere Störspannung verschwindet, wenn die Integrationszeit gerade ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer der Störspannung beträgt, also t1 = nTS mit n ∈ . 

Bei beliebiger Störfrequenz wird die mittlere Störspannung dann maximal, wenn ihre Anfangsphase die Bedingung   t1 sin π + ϕS = 1 TS erfüllt. Für diesen Fall ist uS (t)max

  1 TS t1 . =− u ˆS sin π π t1 TS

Durch das Normieren der Störamplitude uˆS auf diesen Maximalwert definiert man eine Dämpfung des Störsignals, die sog. Störunterdrückung a: Definition. Störunterdrückung des integrierenden Analog-Digital-Umsetzers u ˆS  a = 20 lg   uS (t)max 

(4.27)

Mit dem vorher gefundenen Ausdruck ergibt sich für die Störunterdrückung         sin π Tt1S   t1   . a = −20 lg = −20 lg si π TS  π Tt1S Wie bereits oben gezeigt wurde, verschwindet für t1 = nTS die Störspannung. Hierfür geht die Störunterdrückung gegen Unendlich amax → ∞ für

t1 = n. TS

(4.28)

     Andererseits wird die mittlere Störspannung maximal, wenn sin π Tt1S  = 1, also wenn t1 /TS = (2n + 1)/2 wird. Für Integrationszeiten, die ein ungeradzahliges Vielfaches der Periodendauer der Störspannung sind, wird somit die Störunterdrückung minimal   t1 t1 2n + 1 . (4.29) amin = 20 lg π für = TS TS 2 Diese minimale Störunterdrückung wird als Grunddämpfung des integrierenden Umsetzers bezeichnet. Die Grunddämpfung steigt proportional zum Logarithmus der Störfrequenz an. Dies ist aber das Dämpfungsverhalten eines Tiefpasses 1. Ordnung, denn für diesen ermittelt man aus seiner Frequenzgangfunktion FTP (jω) =

1 1 + jωτ

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

197

den Dämpfungsverlauf aTP = 20 lg(ωτ ). Aus dem Vergleich der Tiefpassdämpfung mit der Störunterdrückung des integrierenden Umsetzers folgt ωτ = π τ=

t1 t1 =ω TS 2

t1 . 2

(4.30)

Der Zweiflanken-Umsetzer besitzt eine Grunddämpfung, die der Dämpfung eines Tiefpasses 1. Ordnung mit der Zeitkonstanten τ = t1 /2 entspricht. 40 35 30

a/dB

25 20 15 10 5 0 0.1

Störunterdrückung Grunddämpfung 1/π

1 t1/TS

10

Bild 4.44: Störunterdrückung des integrierenden Zweiflanken-Umsetzers

Spannungs-Frequenz-Umsetzer. Beim Spannungs-Frequenz-Umsetzer VFC32 wird die analoge Eingangsspannung Uin in eine Pulsfolge mit einer zur Eingangsamplitude proportionalen Frequenz umgesetzt. 32 engl.

Akronym: Voltage-to-Frequency Converter

198

4 Umsetzer

Die Pulsfolge läuft während einer definierten Torzeit in einen Dualzähler und kann nach Ende der Torzeit als digitales Ergebnis ausgelesen werden.

Uin

-

-

VFC

&

-

Zähler

n

Torimpuls Bild 4.45: Erweiterung eines Spannungs-Frequenz-Umsetzers zum AD-Umsetzer

Die Übertragungscharakteristik des Umsetzers ist wegen seiner unten näher beschriebenen Arbeitsweise inhärent monoton. Zusätzlich besitzt er eine dem ZweiflankenUmsetzer vergleichbare gute Störunterdrückung. Nachteilig sind seine langen Umsetzzeiten. Diese resultieren daraus, dass die Torzeit der niedrigsten noch zu zählenden Frequenz angepasst sein muss. Reicht z. B. die Ausgangsfrequenz des VFC hinab bis zu 1 Hz, muss die Torzeit mindestens 1 s betragen. Ein besonderer Vorteil des Spannungs-Frequenz-Umsetzers ist, dass sein Ausgang einen seriellen frequenzmodulierten Datenstrom liefert. Dies prädestiniert seinen Einsatz als Eingangsteil von ADU’s in Fernmesssysteme, bei denen Daten mit hoher Auflösung über lange Leitungen geführt werden müssen. Wegen der Störunempfindlichkeit von frequenzmodulierten Signalen kann dann nämlich die Übertragung über einfache verdrillte Zweidrahtleitungen oder, falls eine galvanische Trennung von Analog- und Digitalteil gefordert ist, über eine Glasfaserstrecke erfolgen. Sensor mit analoger Signalaufbereitung

Computer

- VFC



Zähler

- Übertragungsstrecke



 NAND  Torimpuls

Bild 4.46: Blockschaltbild eines Fernmesssystems [22]

Funktionsprinzip. Herzstück des Umsetzers ist ein Integrator, bestehend aus einem Operationsverstärker, dem Integrationskondensator C und den Widerständen R1 und R2 . Der Integrator arbeitet nach dem sog. Ladungsausgleichsverfahren33. Dies besagt, dass die Ladung des Kondensators im zeitlichen Mittel konstant bleibt. Das wird dadurch erreicht, dass während der Öffnungsphase des Schalters S derselbe Ladungsanteil in 33 engl.:

charge-balance technique

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

199

den Kondensator hineinfließt wie während der Schließzeit des Schalters wieder aus ihm herausfließt. Uin

S

q

Uref

R1

q

R2

q

C HH −

HH

H q − HH τ HH 6 + >  uC (t)   +   Integrator Komparator Monoflop H 

uout q (t)

Bild 4.47: Prinzipschaltbild eines Spannungs-Frequenz-Umsetzers

Ist der Schalter geöffnet, nimmt der Kondensator den Strom Uin /R1 auf. Dadurch fällt die Ausgangsspannung des Integrators uC (t) zeitlinear ab. Sobald die Spannung den Wert Null erreicht, gibt der nachgeschaltete Komparator einen Impuls ab, der die monostabile Kippschaltung triggert. Während dessen Impulszeit τ wird dem Kondensator über den jetzt geschlossenen Schalter zusätzlich der Strom Uref /R2 zugeführt. Dieser Stromanteil ist betragsmäßig größer als der über R1 fließende und er ist wegen Uref < 0 negativ. Dadurch steigt nun die Integratorspannung wieder zeitlinear an. Sobald die Impulszeit der monostabilen Kippschaltung abgelaufen ist, wiederholt sich der beschriebene Vorgang. uC (t) UCmax 6 HH HH HH HH uout (t) 6

0

T −τ

HH HH HH HH

T

2T − τ

HH HH t

2T

t

Bild 4.48: Integratorspannung uC (t) und Ausgangsspannung uout (t) der monostabilen Kippschaltung

Die Frequenz dieses zyklischen Vorgangs berechnet sich aus der Ladungsbilanz des Kondensators. Da die während einer Periode T zugeführte Ladung Null sein muss, gilt   Uin Uin Uref τ = 0. (T − τ ) + + R1 R1 R2 !" # !" # Schalter offen Schalter geschlossen

200

4 Umsetzer

Hieraus ergibt sich die Schwingfrequenz f = 1/T der Schaltung zu f=

1 R2 Uin . τ R1 (−Uref )

(4.31)

Die vom VFC abgegebene Frequenz ist der Eingangsspannung Uin direkt proportional. Beispiel 4.3.3 Der Spannungs-Frequenz-Umsetzer VFC32 [22] besitzt eine Schaltung nach Bild 4.47. Er sei wie folgt dimensioniert: Integratorbeschaltung: Referenzspannung: Pulsdauer Monoflop: Versorgungsspannungen:

R1 = 40 kΩ, R2 = 15 kΩ, C = 10 nF Uref = −15 V τ = 25 μs ±15 V

• Wie lautet für diese Dimensionierung die Übertragungskennlinie des Umsetzers? Welche Spitzenwerte nimmt die Ausgangsspannung des Integrators an? • Verifizieren Sie das Ergebnis durch Simulation mit SPICE für die beiden Eingangsspannungswerte 1 V und 10 V. Lösung. Für den Zusammenhang zwischen Ausgangsfrequenz und Eingangsspannung ergibt sich nach Gl. (4.31) die Beziehung f = 103 Uin

Hz , V

d.h. einem Eingangsspannungsbereich Uin = 1 mV . . . 10 V ist ein Ausgangsfrequenzbereich von f = 1 Hz . . . 10 kHz zugeordnet. Die Integratorausgangsspannung nimmt nach der Beziehung   1 Uin Uref t + uC (t) = − C R1 R2 den Maximalwert UCmax

1 =− C



Uin Uref + R1 R2

 τ

an. In dem o. a. Umsetzbereich stellen sich Werte von UCmax = 2.5 V . . . 1.875 V ein. Zur Simulation der Schaltung werden die folgenden Modelle verwendet:

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

201

• Operationsverstärker Integrator: Spannungsgesteuerte Spannungsquelle E • Operationsverstärker Komparator: Idealer Operationsverstärker, Anhang C, Seite 244 • Monoflop: XSPICE Modell oneshot mit der Pulszeit τ = 25 μs • Schalter: SPICE Modell sw Die Schaltung wird für die Simulation mit Knotenbezeichnern versehen.

S

C

1k

R1

q

3k

R2

H Pk q − HH HH H k 2 q − H eop H τ k  Ak xop HH B > 6 +    +   Integrator Komparator Monoflop

q

4k

Dk q

Bild 4.49: Für SPICE aufbereitete Schaltung des Spannungs-Frequenz-Umsetzers

SPICE-Eingabefile (File b4.3_2.cir) Spannungs-Frequenz-Umsetzer .control destroy all * Simulation für Uin = 10V * let @vin[dc]=10 * tran 250n 250u uic * print a,d >vfc_10.dat * * Simulation für Uin = 1V let @vin[dc]=1 tran .5u 2.5m uic print a,d >vfc_1.dat print max(a) .endc * Eingangsspannung=1 Vin 1 0 dc 0 *Integrator * invertierender Eingang=2 Ausgang=A R1 1 2 40k

202

4 Umsetzer

C A 2 10n ic=1m Eop A 0 0 2 1e6 * Komparator VB P 0 10 xop 0 A P 0 B opamp .include opamp.mod * Monoflop * clock = b, control_in = 10, clear = 0, out = d vcntl_in 10 0 dc 1 ashot b 10 0 d monoflop .model monoflop oneshot (cntl_array=[1] pw_array=[25e-6] rise_time=1n + fall_time=1n) * Schalter mit R2 und Referenzspannung R2 3 2 15k Vref 4 0 -15 S 4 3 D 0 Schalter .model Schalter SW vt=.95 RON=1 ROFF=100g .end

2.5

2

u(t)/V

1.5

1

0.5

0

-0.5 0.0

Ausgang Integrator Ausgang Monoflop 0.5

1.5

1.0

2.0

t/ms Bild 4.50: Ausgangsspannungen von Integrator und Monoflop für Uin = 1 V

2.5

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

203

2

1.5

u(t)/V

1

0.5

0

Ausgang Integrator Ausgang Monoflop

-0.5

50

0

150

100

200

250

t/μs Bild 4.51: Ausgangsspannungen von Integrator und Monoflop für Uin = 10 V

Die simulierten Frequenzwerte werden entweder aus den Liniendiagrammen Bild 4.50 und Bild 4.51 oder mit höherer Genauigkeit aus den gespeicherten Datenfiles vfc_1.dat und vfc_10.dat abgelesen. Die Integratorspannungen werden durch den Befehl print max(a) von SPICE ausgegeben. Theorie Uin

Simulation

Theorie

1V

Simulation 10 V

Frequenz

1 kHz

1 kHz

10 kHz

10 kHz

UCmax

2.438 V

2.443 V

1.875 V

1.878 V

Tabelle 4.1: Vergleich von theoretischen und simulierten Werten

Die theoretischen Ergebnisse werden durch die Simulation bestätigt.

204

4 Umsetzer

4.3.3.5

Sigma-Delta-Umsetzer

Die Struktur eines Sigma-Delta-Umsetzers34 in seiner einfachsten Form, als SigmaDelta-Umsetzer 1. Ordnung, ist in Bild 4.52 dargestellt. Der ΣΔ−Modulator als Teilschaltung des Umsetzers besteht aus einem Summierer, einem Integrator und einem Komparator als 1-Bit ADU im Hauptzweig und einem 1-Bit DAU in der Rückführung. Dem ΣΔ−Modulator nachgeschaltet ist ein digitales Tiefpassfilter und ein Dezimierer zur Reduzierung der Daten bei gleichzeitiger Erhöhung der Auflösung.

Uin

fS ?

kfS H HH? HH kfS  H + H + H? + Σ  HH 1-Bit q    − 6   −  Uref  ?

1-Bit DAU J J ΣΔ−Modulator

Digitales Filter und Dezimierer

n-Bit

xout

Bild 4.52: Sigma-Delta-Umsetzer 1. Ordnung

Funktionsprinzip. Im ΣΔ−Modulator wird das um das rückgekoppelte Ausgangssignal verminderte Eingangssignal integriert und vom Komparator in ein 1-Bit Digitalsignal umgesetzt. Zum Verständnis dieser Schaltungsfunktion sei angenommen, dass zu Beginn der Umsetzung der Ausgang des DAU auf Null liegt. Am Eingang liege der Wert Uin = Uref /2. Unter dieser Annahme liefert der Integrator ein positives Ausgangssignal, wodurch der Komparatorausgang auf logisch 1 geht. Die logische 1 des Komparators wandelt der DAU in die Spannung Uref , wodurch der Integratoreingang den negativen Wert −Uref /2 1

6

1

6

1

- 0 t

0 Uin klein

- 0 t Uin = Uref /2

Bild 4.53: Digitaler Ausgang des ΣΔ−Modulators 34 engl.:

ΣΔ Converter

6

t Uin groß

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

205

erhält. Dadurch nimmt die Integratorausgangsspannung wieder ab. Sobald sie den Wert Null erreicht, geht der Komparatorausgang auf logisch 0 und der Zyklus wiederholt sich. Der Ausgang des Modulators liefert also einen seriellen Datenstrom von Einsen und Nullen, dessen Mittelwert gleich der Eingangsamplitude ist. Der Prozess in der geschlossenen Schleife findet mit der sehr hohen Abtastfrequenz kfS statt. k heißt Überabtastungsverhältnis35 und ist definiert als k=

1 2

Abtastfrequenz fS /2 = maximale Signalfrequenz fm

(4.32)

mit k ≥ 1 bzw. fm ≤ fS /2.36 Der Datenstrom läuft anschließend durch ein digitales Filter mit Tiefpasscharakteristik in den Dezimierer. Dieser reduziert die Abtastfrequenz um den Faktor k, d. h. er entnimmt der einlaufenden Sequenz jeden k−ten Abtastwert und eliminiert somit alle redundanten Daten. Das Prinzip, dem die Funktion des Sigma-Delta-Umsetzers zugrunde liegt, ist eine Erhöhung seiner Auflösung durch Reduzieren seines Quantisierungsrauschens. Diese Rauschverminderung erreicht man durch Überabtastung37 und Filterung38 . Das Quantisierungsrauschen hat nach Seite 183 einen Effektivwert von q Uq = √ , 12 wobei die Quantisierungseinheit q wegen der 1-Bit Quantisierung lediglich q = FSR/2 beträgt. Da das Rauschen weiß ist, erstreckt es sich mit konstanter Amplitude über den gesamten zulässigen Frequenzbereich von 0 bis fS /2. Seine spektrale Dichte beträgt somit Uq . Uq (f ) =  fS /2

(4.33)

Überstreicht das abgetastete Signal lediglich ein schmaleres Frequenzband von 0 bis fm , dann fällt in dieses Band die (normierte) Rauschleistung  fm PN = Uq2 (f )df 0



fm

= 0

q2 = 12 q2 PN = 12 35 engl.:

q2 2 df 12 fS 2fm fS 1 , k

oversampling ratio Beziehung gilt strenggenommen nur für Signale im Basisband 37 engl.: oversampling 38 engl.: noise shaping 36 Diese

(4.34)

206

4 Umsetzer

d. h. durch die Überabtastung nimmt die Rauschleistung umgekehrt proportional zum Überabtastungsverhältnis ab. Bei sinusförmiger Vollaussteuerung, also für die (normierte) Signalleistung PS =

1 2



FSR 2

2 (4.35)

,

erhält man dann mit der Definition SNR = 10 lg

PS PN

für das Signal-Rauschverhältnis √ FSR 2 12 √ k dB SNR = 20 lg √ 2 2 FSR SNR = (7.78 + 10 lg k) dB.

(4.36)

Eine Verdopplung der Abtastfrequenz erhöht demnach die Auflösung um 3 dB. Dies entspricht einer Zunahme der Auflösung um ein halbes Bit. Stärker als das Überabtasten wirkt sich jedoch die frequenzabhängige Dämpfung des Rauschens durch den Integrator aus. Um dessen Wirkung abschätzen zu können, wird die Modulatorschaltung Bild 4.52 linearisiert. Hierfür werden der Integrator durch seine Übertragungsfunktion 1/(sT ), der Komparator durch eine weiße, also frequenzunabhängige Rauschquelle Uq (s) = Uq und der DA-Umsetzer durch ein Leitungsstück modelliert.

Uin (s)

 + Σ  −6

1 sT

Uq (s) + ?  + - Σ q 

Uout (s)

Bild 4.54: Kleinsignal-Ersatzschaltbild des Sigma-Delta-Modulators 1. Ordnung

Die Analyse dieser Ersatzschaltung liefert mit Uout (s) =

 1  Uin (s) − Uout (s) + Uq (s) sT

für die Ausgangsspannung den Ausdruck sT 1 Uin (s) + Uq (s) 1 + sT 1 + sT Uout (s) = FTP (s) Uin (s) + FHP (s) Uq (s).

Uout (s) =

(4.37)

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

207

Die letzte Gleichung sagt aus, dass die Eingangsspannung durch ein Tiefpassfilter 1. Ordnung, die Rauschspannung jedoch durch ein Hochpassfilter 1. Ordnung gedämpft wird. Während bei genügend kleiner Abtastrate T die Amplitude des Eingangssignals also praktisch nicht beeinflusst wird, da für diesen Fall das gesamte Eingangsspektrum in den Durchlassbereich des Tiefpasses fällt, wird die Rauschspannung teilweise unterdrückt, und zwar um so stärker, je niedriger die Abtastrate bzw. je höher das Überabtastungsverhältnis k gewählt wird. Aus dieser Überlegung ergibt sich für die (normierte) Rauschleistung  fm 2 PN = |FHP (ω)Uq (ω)| df 0



= Uq2 (ω) 0

fm

(ωT )2 df 1 + (ωT )2

Mit der Substitution ωT = x sowie den Beziehungen T = 1/fS, k = fS /(2fm ) und Uq (ω) nach Gl. (4.33) wird das Integral umgeformt. Man erhält  Uq2 fS /2 π/k x dx PN = fS /2 π 1 + x2 0 π/k Uq2  x − arctan x 0 = π   q2 1 k π 1 − arctan . PN = 12 k π k

(4.38)

Unter Verwendung des Ausdrucks für die Signalleistung nach Gl. (4.35) kann nun das Signal-Rauschverhältnis berechnet werden. Setzt man wie vorher als 1-Bit Auflösung des Modulators den Wert q = FSR/2 an, ergibt sich   k π dB. (4.39) SNR = 7.78 + 10 lg k − 10 lg 1 − arctan π k Dieser Ausdruck lässt sich für hohe k−Werte mit arctan x ≈ x − x3 /3 noch nähern zu SNR = 7.78 + 10 lg

3 3 k dB. π2

(4.40)

Jede Verdoppelung der Abtastfrequenz erhöht das Signal-Rauschverhältnis um 9 dB. Davon stammen 3 dB aus der Verminderung des Rauschens durch die Überabtastung, die restlichen 6 dB resultieren aus der Zunahme der Hochpassdämpfung39 . Beispiel 4.3.4 Ein (idealer) n-Bit ADU besitzt nach Gl. (4.21) das Signal-Rauschverhältnis SNRn−Bit = (6.02n + 1.76) dB. 39 Ein

Hochpass 1. Ordnung besitzt eine Sperrdämpfung von 6 dB/Oktave

208

4 Umsetzer

Ein Sigma-Delta-Modulator 1. Ordnung mit seiner 1-Bit Auflösung produziert somit ein Signal-Rauschverhältnis von SNR1−Bit = 7.78 dB. Durch die Überabtastung um den Faktor k erhöht sich das Signal-Rauschverhältnis um etwa 10 lg(3k 3 /π 2 ) dB. Man erreicht also nach Gl. (4.24) eine effektive Auflösung von (SNR1−Bit + 10 lg(3k 3 /π 2 ) − 1.76) dB 6.02 dB 3k 3 10 lg 2 . =1+ 6.02 π

ENOB =

Z. B. wird bei einer 128-fachen Überabtastung die effektive Auflösung ENOB = 10.64 bit erreicht.

Obwohl sich mit Sigma-Delta-Umsetzern 1. Ordnung bereits recht hohe Auflösungen bei moderaten Überabtastungsverhältnissen erreichen lassen, werden kommerziell vorwiegend Umsetzer höherer Ordnung angeboten. Zum Erreichen der höheren Ordnung werden im Modulator zwei oder mehr Integratoren in Kette geschaltet.

Uin

H HH  H + H + Σ    − 6 

H HH  H H + Σ    − 6  q

HH +

HH

−

H 



q

Uout





1-Bit DAU J J

Bild 4.55: Sigma-Delta-Modulator 2. Ordnung

Eine Analyse dieser Schaltung liefert näherungsweise die (normierte) Rauschleistung PN =

q2 π4 1 , 12 5 k 5

(4.41)

mit der man das Signal-Rauschverhältnis SNR = 7.78 + 10 lg

5 5 k dB π4

(4.42)

bestimmen kann. Bei diesem Umsetzer führt eine Verdopplung der Abtastfrequenz zu einer Erhöhung des Signal-Rauschverhältnisses von 15 dB. Dies entspricht einer Verbesserung der Auflösung um 2.5 bit.

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

209

Allgemein kann für einen Umsetzer m - ter Ordnung ein Signal-Rauschverhältnis von SNR = 7.78 + 10 lg

2m + 1 2m+1 k dB π 2m

(4.43)

angegeben werden. Jede Verdopplung der Abtastfrequenz erhöht das Signal-Rauschverhältnis um 3(2m + 1) dB bzw. verbessert die Auflösung um (m + 0.5) bit. 120

1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung

100

SNR/dB

80 60 40 20 0

8

4

32 16 Überabtastungsverhältnis k

64

128

Bild 4.56: Signal-Rauschverhältnis als Funktion des Überabtastungsverhältnisses für Umsetzer erster, zweiter und dritter Ordnung

20

1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung

ENOB/bit

16 12 8 4 0

4

8

32 16 Überabtastungsverhältnis k

64

128

Bild 4.57: Effektive Auf lösung als Funktion des Überabtastungsverhältnisses für Umsetzer erster, zweiter und dritter Ordnung

210

4 Umsetzer

Der Sigma-Delta-Umsetzer weist eine Reihe von Vorteilen gegenüber den Technologien der übrigen Umsetzer auf. • Die Schaltung ist einfach und daher kostengünstig herstellbar. • Der größte Teil der Schaltung ist digital. Das bedeutet, dass die elektrischen Eigenschaften zeit- und temperaturstabil sind. • Der Umsetzvorgang ist inhärent monoton, es können keine fehlenden Codes auftreten. • Aufgrund der hohen Abtastraten kann auf eine externe Abtast-Halteschaltung verzichtet werden. • Die Anforderungen an ein analoges Antialiasing-Filter sind gering. Meist genügt ein einpoliges RC-Filter. • Das Digitalfilter kann so ausgelegt werden, dass es zusätzlich spezielle Störfrequenzen (z. B. Netzbrummen und deren Oberschwingungen) ausblendet.

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

4.3.4

211

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 4.3.1 Pipeline-Umsetzer Es ist das Blockschaltbild eines dreistufigen 6-Bit Pipeline-Analog-Digital-Umsetzers gegeben. Uin

S&H

S&H

+

Σ −

S&H

+

Σ −

Bild 4.58: 6-Bit Pipeline-Analog-Digital-Umsetzer

Der analoge Messbereich aller Umsetzer liegt zwischen 0 V und 5 V (FSR = 5 V). Die Umsetzer arbeiten offsetfrei. 1.1 Wie groß sind die notwendigen Wortlängen der AD- und DA-Umsetzer? Welche Verstärkung müssen die Verstärker besitzen? Tragen Sie die Ergebnisse in das Blockschaltbild ein. 1.2 Zeichnen Sie je eine Übertragungskennlinie eines Analog-Digital-Umsetzers sowie eines Digital-Analog-Umsetzers. 1.3 Berechnen Sie für die Eingangsspannung Uin = 4.25 V alle analogen und digitalen Zwischenwerte und tragen Sie sie in das Blockschaltbild ein. Wie lautet das Ergebnis der Umsetzung? 1.4 Welcher Quantisierungsfehler entsteht bei der Umsetzung?

Lösung der Aufgabe 4.3.1 1.1 Wortlängen der Umsetzer und Verstärkungsfaktor Wenn n = 6 die gesamte Wortlänge des Umsetzers und p = 3 seine Stufenzahl ist, dann ist mit p=

n m

die Wortlänge eines Umsetzers m = 2. Da jeweils 2 bit umgesetzt und vom Eingangswert subtrahiert werden, muss der analoge Rest um den Faktor 22 = 4 verstärkt werden.

212

4 Umsetzer

1.2 Übertragungskennlinien der Umsetzer Bei einem FSR von 5 V und einer Wortlänge von m = 2 beträgt die Quantisierungseinheit FSR q = m = 1.25 V. 2 Die Kennlinien der Umsetzer sind Treppenkurven mit einer Stufenbreite von 1.25 V beim Analog-Digital-Umsetzer bzw. einer gleich großen Stufenhöhe beim Digital-AnalogUmsetzer. Beide Kennlinien besitzen nach Aufgabenstellung keinen Offset. x 6

U/V 6

11

3.75

10

2.5

01

1.25

00 0

1.25

2.5

3.75 U/V

0 00

01

10

11

x

Bild 4.59: 2-Bit Übertragungskennlinien von ADU (links) und DAU (rechts)

1.3 Berechnung aller Zwischenwerte Die Eingangsspannung beträgt Uin = 4.25 V. Stufe

Analoger Eingangswert

Digitalwert

Analoger Restwert

1

4.25 V

11

(4.25 − 3.75) V = 0.5 V

2

2.0 V

01

(2.0 − 1.25) V = 0.75 V

3

3.0 V

10

(3.0 − 2.5) V = 0.5 V

Der Umsetzer liefert das binäre Ergebnis x = 110110 entsprechend dezimal 54. Alle Rechenergebnisse sind in das Blockschaltbild 4.60 eingetragen. 1.4 Quantisierungsfehler Bei der Quantisierung ist ein analoger Rest von 0.5 V übriggeblieben. Dies entspricht einem Quantisierungsfehler von 0.5 V = 0.4 LSB. |Q| = 1.25 V

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

213

Der Quantisierungsfehler ist negativ, da das Ergebnis kleiner ist als es bei einem Umsetzer mit unendlich großer Auflösung sein würde Q = −0.4 LSB. 4.25V Uin

S&H

0.5V +

S&H

Σ

2.0V

0.75V +

S&H

4

− 2 Bit

Σ

4

3.0V

2 Bit

−

2 Bit

2 Bit

11

3.75V

2 Bit

01

1.25V

10

Bild 4.60: 6-Bit Pipeline-ADU mit Ergebnissen nach Punkt1.3

Aufgabe 4.3.2 Stufenrampen-Umsetzer

Uin

HH + H   −

Takt HH 

-

-> 8-Bit Zähler


Uref

8 q 

x

6 Reset

?     Z 8-Bit DAU Z Z Bild 4.61: 8-Bit Stufenrampen-Umsetzer

Der abgebildete Analog-Digital-Umsetzer ist mit FSR = 10.24 V spezifiziert. Die Übertragungskennlinie hat einen Offset von einem halben LSB. Die Umsetzung erfolgt, abgesehen vom inhärenten Quantisierungsfehler, fehlerfrei. 2.1 Welchen Ausgangswert x liefert der ADU bei einer Eingangsspannung von 3.11 V? 2.1 Welcher Quantisierungsfehler entsteht?

214

4 Umsetzer

Lösung der Aufgabe 4.3.2 2.1 Umsetzergebnis Bei einer Auflösung von 8 bit und einem analogen Umsetzbereich von FSR = 10.24 V hat die Quantisierungseinheit den Wert q=

FSR = 40 mV. 28

Damit liefert der Umsetzer für die Eingangsspannung Uin = 3.11 V den Digitalwert % $ % $ 3.11 V 1 Uin 1 + = x= + q 2 40 mV 2 x = 7810 = 4E16 = $4E 2.2 Quantisierungsfehler $4F $4E $02

$4D

$01 $00 0

1

2

0.5

Q/LSB

@ @ @ @ 0 @ @ @ @ @ @ @ @ −0.5 0 0.04 0.08

77

78

79 Uin /q

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 3.08 3.12 3.16 Uin /V 3.11

Bild 4.62: Übertragungskennlinie und zugehörige Fehlerkurve

Dem Digitalwert $4E entspricht die analoge Spannung 3.12 V mit dem Quantisierungsfehler Q = 0. Für die um 10 mV entsprechend 0.25 LSB kleinere Eingangsspannung Uin = 3.11 V tritt ein positiver Quantisierungsfehler der Größe Q = +0.25 LSB auf. Dieses Ergebnis kann auch aus dem Bild 4.62 an der gestrichelten Linie abgelesen werden.

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

215

Aufgabe 4.3.3 Serieller Analog-Digital-Umsetzer Die Schaltung gibt das Prinzip eines Microcontroller gesteuerten Analog-Digital-Umsetzers wieder. Die umzusetzende Spannung Ue wird mit einer treppenförmigen Spannungsrampe verglichen, die durch sukzessives Aufladen des Kondensators durch den Gleichstrom I erzeugt wird. Gleichzeitig wird auch die Referenzspannung Uref mit dieser Spannungsrampe verglichen. Aus dem Ergebnis beider Vergleiche wird der Wert der Spannung Ue errechnet und digital ausgegeben. Uref

q S1 6 n I

q

q B S2 Bq

q C Ue

HH − H H K2 H  +   HH + HH K1 H  −   



Takt



Start

Controller - xout

Bild 4.63: Serieller Digital-Analog-Umsetzer

Funktionsprinzip. Vor der Umsetzung ist S1 geöffnet, S2 ist geschlossen. Die Umsetzung beginnt mit dem Öffnen von S2 . S1 wird vom Taktsignal, das der Controller liefert, periodisch geschlossen und geöffnet. Bei jedem Schließen von S1 erhöht sich die Kondensatorspannung um einen bestimmten Betrag. Nach m Takten kippt der Komparator K1 , nach n Takten der Komparator K2 . Nachdem beide Komparatoren gekippt sind, ist der Umsetzvorgang abgeschlossen, der Takt zum Schalter S1 wird unterbrochen und S2 schließt. Der Controller errechnet aus den ihm bekannten Werten m und n einen Näherungswert für die Eingangsspannung nach der Beziehung Ue =

m Uref n

und gibt diesen Wert digital aus. Die Schaltung wird mit f = 100 kHz und einem Tastgrad von VT = 0.5 getaktet. Ferner sind gegeben: Uref = 10 V, C = 22 nF, I = 30 μA, Ue = 2.6 V 3.1 Wie groß sind m und n? 3.2 Welche Spannung registriert der Controller? Wie groß ist der Fehler bei dieser Umsetzung? 3.3 Wie lange dauert eine Umsetzung?

216

4 Umsetzer

Lösung der Aufgabe 4.3.3 3.1 Bestimmung von m und n Der Takt besitzt die Periodendauer T = 1/f = 10 μs, seine Pulsdauer beträgt τ = VT T = 5 μs. Mit jedem Takt nimmt die Kondensatorspannung um den Betrag ΔU =

Iτ C

zu. Der Komparator K1 kippt, wenn die Kondensatorspannung die Eingangsspannung überschreitet mΔU ≥ Ue . Hieraus bestimmt sich die Taktzahl m zu ' & ' & Ue C Ue = = 381.3 = 382. m= ΔU Iτ Übersteigt die Kondensatorspannung die Referenzspannung, kippt auch der Komparator K2 nΔU ≥ Uref . Hieraus bestimmt sich die Taktzahl n zu ' & ' & Uref C Uref = = 1466.7 = 1467. n= ΔU Iτ 3.2 Umsetzwert und -fehler Aus den beiden Taktwerten errechnet der Controller die Spannung Ue =

m Uref = 2.604 V. n

Der Fehler bei dieser Umsetzung beträgt damit F =

Ue − 1 = 0.152 %. Ue

3.3 Umsetzzeit Die Umsetzung ist nach der Zeit nT = 14.67 ms abgeschlossen.

Aufgabe 4.3.4 Spannungs-Frequenz-Umsetzer Der Spannungs-Frequenzumsetzer Bild 4.64 besteht aus einem Integrator und einem als Schmitt-Trigger geschalteten Komparator.

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

217

Funktionsprinzip. Bei entladenem Kondensator befindet sich der Komparatorausgang in der negativen Begrenzung, der Transistor ist gesperrt. Durch die umzusetzende Gleichspannung U1 wird der Kondensator aufgeladen, die Ausgangsspannung des Integrators steigt linear an. Erreicht uC (t) die obere Schaltschwelle des Schmitt-Triggers, kippt dieser um und schaltet den Transistor durch. Über den durchgeschalteten Transistor wird jetzt der Kondensator schlagartig entladen, wodurch augenblicklich die untere Schaltschwelle des Schmitt-Triggers erreicht wird. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch. Die Frequenz der Rechteckschwingung am Ausgang des Schmitt-Triggers ist ein Maß für die Gleichspannung U1 .  C

q R 6 U1

+

HH − H

q

  +

q HH q  uC (t)

Uref 

R1

q

q

HH − H HH  +   R2

q

uS (t) D

q

6 UZ

Bild 4.64: Spannungs-Frequenz-Umsetzer

4.1 Berechnen Sie die Schaltschwellen des Schmitt-Triggers sowie seine Hysterese. 4.2 Ermitteln Sie mit diesem Ergebnis die Übertragungskennlinie des Umsetzers, d. h. die Ausgangsfrequenz als Funktion der Eingangsspannung.

Lösung der Aufgabe 4.3.4 4.1 Schaltschwellen und Hysterese des Schmitt-Triggers US 6 



UCL

UCH

UC

Bild 4.65: Übertragungskennlinie des Schmitt-Triggers

Der Schmitt-Trigger hat prinzipiell ein Schaltverhalten nach Bild 4.65. Solange sein Ausgang in der negativen Sättigung ist, leitet die Diode D und die Z-Diode befindet

218

4 Umsetzer

sich im Durchbruch. Die Umschaltspannung UCH ist dann erreicht, wenn die DifferenzEingangsspannung des Schmitt-Triggers Null wird, also für R1 R2 − UZ + UCH − Uref = 0. R1 + R2 R1 + R2 Hieraus bestimmt sich die obere Schaltschwelle zu   R1 R1 UZ + + 1 Uref . UCH = R2 R2 Befindet sich der Schmitt-Trigger in der positiven Sättigung, sind sowohl die Diode D als auch die Z-Diode gesperrt. Die untere Schaltschwelle wird deshalb für UCL = Uref erreicht. Die Schalthysterese ΔUC hat damit den Wert R1 ΔUC = UCH − UCL = (UZ + Uref ) . R2 4.2 Übertragungskennlinie des Umsetzers Der Integrationskondensator wird mit dem konstanten Strom U1 /R geladen und über den Transistor niederohmig entladen. Seine Spannung verläuft deshalb innerhalb der Hysteresebreite des Schmitt-Triggers sägezahnförmig. uC (t) UCH 6

UCL 0

T

2T

t

Bild 4.66: Liniendiagramm der Kondensatorspannung uC (t)

Die Aufladung der Kondensators verläuft nach der Gleichung 1 U1 t + UCL . uC (t) = C R Vernachlässigt man die Entladezeit, ist die maximale Spannung UCH nach einer Periode erreicht, d. h. es gilt uC (T ) = UCH = UCL + ΔUC . Daraus ergibt sich die Periodendauer der Schwingung zu ΔUC T = RC . U1 Die gesuchte Beziehung für die Übertragungskennlinie lautet somit f=

R2 /R1 1 U1 . RC UZ + Uref

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

219

Aufgabe 4.3.5 Spannungs-Frequenz-Umsetzer

U1

q

R1

q

R1

q

TG

R1

C

H −H H q A1 +  R 

R

q

H −H H q A2 +  T 

H −H H A3 +  

Ra

q

q

S

q

q

Bild 4.67: Spannungs-Frequenzumsetzer

Der Spannungs-Frequenzumsetzer liefert wahlweise an den beiden Ausgänge T und S periodische Impulsfolgen, deren Frequenz der Eingangsgleichspannung proportional ist. Die Operationsverstärker A1 , A2 und A3 sind ideal. Der elektronische Schalter TG schaltet bei einer positiven Steuerspannung ein und bei einer negativen Steuerspannung aus. Sein Schaltverhalten ist ideal. Die Z-Dioden besitzen ideale Knickkennlinien, ihre Durchlassspannungen sind Null, ihre Durchbruchspannungen betragen jeweils UZ . 1. Beschreiben Sie die Funktionen der drei eingerahmten Teilschaltungen. 2. Zeichnen Sie qualitativ die Liniendiagramme der Spannungen an der Ausgängen R, T und S der drei Teilschaltungen. 3. Berechnen Sie die Übertragungskennlinie, d. h. die Ausgangsfrequenz als Funktion der Eingangsspannung, der Gesamtschaltung. Lösung der Aufgabe 4.3.5 5.1 Funktionen der Teilschaltungen Linke Teilschaltung: Bei geschlossenem Schalter liegt der nichtinvertierende Eingang des Operationsverstärkers auf Massepotential. In dieser Schalterstellung arbeitet die Schaltung als invertierender Verstärker mit der Verstärkung UR /U1 = −R1 /R1 = −1, ihre Ausgangsspannung beträgt UR = −U1 . Ist der Schalter geöffnet, liegt an beiden Eingängen des Verstärkers das Potential U1 . Deshalb ist der Rückkopplungswiderstand des Operationsverstärkers stromlos, die Ausgangsspannung beträgt UR = U1 . In beiden Schalterstellungen arbeitet die Schaltung also als Spannungsfolger  UR =

−U1 U1

Schalter geschlossen Schalter geöffnet

220

4 Umsetzer

R1

U1

q

R1

q

R1

q

TG

q

HH −

HH H A1   +  

q

UR

Bild 4.68: Linke Teilschaltung

Mittlere Teilschaltung: Die Schaltung integriert die Eingangsspannung uT (t) = −

1 RC

 uR (t)dt.

C uR

R

q

HH −

HH H A2  +  

q

uT

Bild 4.69: Mittlere Teilschaltung

Da uR (t) entweder eine positive oder negative Gleichspannung mit der Amplitude U1 ist, ist uT (t) eine sägezahnförmige Spannung mit negativer oder positiver Steigung uT (t) = ±

1 U1 t + k. RC

k ist eine noch zu bestimmende Integrationskonstante. Rechte Teilschaltung: In der rechten Teilschaltung ist der Operationsverstärker als invertierender SchmittTrigger geschaltet. Seine Umschaltwerte liegen bei ±UZ . Der Widerstand Ra dient zur Ausgangsstrombegrenzung, er hat auf die eigentliche Funktion der Schaltung keinen Einfluss.

4.3 Analog-Digital-Umsetzer

221

US 6 HH −

uT

q

HH H A3   +  

  Ra

q

q

 UZ



uS −UZ 

UZ −UZ



UT  

Bild 4.70: Rechte Teilschaltung mit ihrem Schaltverhalten

Aus den Funktionen der Teilschaltungen können die Gesamtfunktion und damit auch die einzelnen Liniendiagramme ermittelt werden. Sobald der Schmitt-Trigger ein positives Signal abgibt, schließt der Schalter TG, der Spannungsfolger liefert dem Integrator die invertierte Eingangsspannung. Dadurch steigt die Integratorspannung zeitlinear an bis zum Wert UZ . Hier kippt der SchmittTrigger, der Schalter TG öffnet. Dadurch erhält der Integrator die positive Eingangsspannung, sein Ausgang fällt zeitlinear ab bis zum Wert −UZ . Jetzt kippt der SchmittTrigger wieder zurück und der Zyklus wiederholt sich. Die Hystereseschleife wird somit innerhalb einer Periode gerade einmal durchlaufen. uS (t) UZ 6 t −UZ uR (t) U1 6 t −U1 uT (t) UZ 6

S S  S  S   S  S t  S  S  S S −UZ 

Bild 4.71: Liniendiagramme der Spannungen an den Ausgängen S, R und T

222

4 Umsetzer

Zur Berechnung des Übertragungsverhaltens wird die erste Halbperiode der Sägezahnspannung betrachtet. Der zeitliche Verlauf ergibt sich aus den Vorüberlegungen zu uT (t) =

1 U1 t − UZ . RC

Nach einer halben Periode ist der Maximalwert erreicht, uT (T /2) = UZ . Damit ist UZ =

T 1 U1 − UZ . RC 2

Die Periodendauer der Sägezahnspannung am Ausgang T bzw. der Rechteckspannungen an den Ausgängen R und S beträgt damit T = 4RC

UZ . U1

Die Übertragungskennlinie ergibt sich daraus mit T = 1/f zu f=

U1 . 4RCUZ

Die Ausgangsfrequenz des Spannungs-Frequenz-Umsetzers ist seiner Eingangsspannung direkt proportional.

A

Abtasttheorem

Das Abtasttheorem1 von Nyquist-Shannon verknüpft die Häufigkeit, mit der ein kontinuierliches, innerhalb ±fm bandbegrenztes Signal abgetastet werden muss, damit es aus diesen Abtastwerten eindeutig rekonstruiert werden kann, mit der maximalen Frequenz im Spektrum dieses Signals. Es besagt: Zur eindeutigen Rekonstruktion eines Signals müssen seine äquidistanten Abtastwerte mindestens den Abstand haben, der durch das Nyquist-Intervall T = 1/(2fm) gegeben ist. Bei einer Abtastperiode T > 1/(2fm) kann das ursprüngliche Signal also nicht mehr eindeutig, was gleichbedeutend ist mit nicht verzerrungsfrei, zurückgewonnen werden.

A.1

Verdeutlichung des Abtasttheorems f (t) 6

t Zeitfunktion

|F (jω)| 6
A
A
A
A
A
A
A ωm −ωm ω 0 Amplitudenspektrum

Bild A.1: Bandbegrenztes Signal f (t) und sein Betragsspektrum |F (jω)|

Es sei f (t) ein bandbegrenztes Signal, d.h. sein Fourier-Spektrum, gegeben durch  ∞ e− jω t f (t)dt, F (jω) = −∞

verschwindet für ω > ωm . Wird nun die Zeitfunktion periodisch mit der Periodendauer2 T abgetastet, entsteht ein periodisches Spektrum mit der Periodizität ωS = 2π/T . 1 2

engl.: sampling theorem engl.: sample interval

224

Abtasttheorem f (t) 6S

L L L - L t

0 T Zeitfunktion

|F (jω)| 6S L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ωm ωS −ωS −ωm 0 Amplitudenspektrum

ω

Bild A.2: Abgetastetes Signal fS (t) und sein Betragsspektrum |FS (jω)|

Das Fourier-Spektrum der abgetasteten Funktion fS (t) lautet FS (jω) =

∞ 1  F (jω −jkωS ) T

k∈ 

(A.1)

k=−∞

Das Spektrum der Impulsfolge fS (t) setzt sich, abgesehen von dem Faktor 1/T , aus einer unendlichen Summe der jeweils um ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastkreisfrequenz ωS verschobenen Originalspektren F (jω) zusammen. Solange ωS − ωm > ωm , d.h. ωS > 2ωm ist, sind die einzelnen Spektren voneinander getrennt. Dann lässt sich aus den einzelnen Spektren durch Filterung die ursprüngliche Zeitfunktion eindeutig zurückgewinnen. Überlappen sich jedoch die einzelnen Spektren, was für Abtastperioden T >

π 1 = ωm 2fm

der Fall ist, ist die Rückgewinnung nicht mehr eindeutig. Es treten zusätzliche Frequenzen auf, die als Abtastverzerrungen3 bezeichnet werden.

A.1.1

Abtastung eines sinusförmigen Signals

Zum tieferen Verständnis des Abtasttheorems werden beispielhaft zwei sinusförmige Signale f (t) = A sin ω0 t mit unterschiedlichen Frequenzen abgetastet. Die Frequenzen werden so gewählt, dass zum einen schneller und zum anderen langsamer abgetastet wird, als es das Abtasttheorem fordert. Im ersten Fall spricht man von Überabtastung, im zweiten von Unterabtastung. Zunächst wird das Spektrum der abzutastenden Sinusfunktion f (t) ermittelt. Dieses findet man entweder formal über die komplexe Form der Fourier-Reihenentwicklung f (t) =

∞  n=−∞

3

engl.: aliasing errors

cn ejnω0 t

mit cn =

1 T

 0

T

f (t)e−jnω0 t dt

Verdeutlichung des Abtasttheorems

225

oder einfacher über die Identität f (t) = A sin ω0 t =

 A  jω0 t e − e− jω0 t 2j

zu c−1 = −

A 2j

und c1 =

A . 2j

|cn | 6

arg(cn ) 6

A/2 −ω0

π/2 ω

ω0

−ω0

ω0

ω

−π/2 Amplitudenspektrum

Phasenspektrum

Bild A.3: Amplituden- und Phasenspektrum einer sinusförmigen Zeitfunktion

A.1.1.1

Überabtastung

Das sinusförmige Signal habe eine Frequenz von f0 = 60 Hz und werde mit der Frequenz fS = 250 Hz abgetastet. Nach Gl. (A.1) entsteht durch die Abtastung ein in fS periodisches diskretes Amplitudenspektrum (Linienspektrum), und zwar werden Spektralanteile mit Frequenzen ±(nfS ± f0 ) für alle n ∈ generiert. 

Bei dieser (Über-)Abtastung werden somit die Frequenzen ±60 Hz, ±190 Hz, ±310 Hz, ±440 Hz, ±560 Hz usw. erzeugt. Leitet man nun das Signal nach der Abtastschaltung durch einen idealen Tiefpass, dessen (positive) Eckfrequenz oberhalb der Signalfrequenz f0 = 60 Hz, aber unterhalb der ersten durch die Abtastung erzeugten Frequenz fS − f0 = 190 Hz liegt, werden alle Oberschwingungen abgeschnitten und man erhält eindeutig das Originalsignal zurück. Das folgende Bild zeigt das Linienspektrum des mit der Frequenz fS abgetasteten Sinussignals. Die gestrichelte Linie deutet den Amplitudengang eines idealen Tiefpasses an. Durch ihn werden alle Frequenzanteile oberhalb |f0 | vollständig unterdrückt.

226

Abtasttheorem |cn | 6

−2fS

−fS

−f0

f0

Idealer Tiefpass

fS fS − f0 fS + f0

2fS

f

Bild A.4: Linienspektrum der abgetasteten Funktion

Simulation. Zur Verifikation der theoretischen Überlegung wird eine Simulation mit SPICE durchgeführt. Hierfür wird eine einfache Schaltung verwendet, dargestellt als Blockschaltbild A.5. Der Generator in dieser Schaltung liefert ein sinusförmiges Signal u1 (t) mit der Frequenz f0 = 60 Hz. Dieses wird in der Sample&Hold-Schaltung periodisch mit der Frequenz fS kurz abgetastet und anschließend in einem Kondensator gehalten. Der Tiefpass, der bei dieser Simulation als Butterworth-Tiefpass 5. Ordnung mit der Eckfrequenz fg = 100 Hz ausgebildet ist4 , siebt alle Frequenzanteile oberhalb der Signalfrequenz fast vollständig aus. An seinem Ausgang sollte praktisch wieder das Originalsignal erscheinen. kfS 10 ? Generator Frequenz f0

u1 (t) 1k

Sample&Hold

uS (t) 2k

Tiefpass

uTP (t)

Bild A.5: Simulationsschaltung

SPICE-Eingabefile (File ueberabtast.cir) Überabtastung * Abgetastete Frequenz f0=60Hz * Abtastrate T=4ms --> fs=250Hz .control tran 50u 50m * Eingangsspannung u1 let u1=v(1) * Abtastwerte us let us=v(2) * Gefilterte Spannung utp let utp=v(4) print u1 us utp > ueberabtast.dat 4

Die SPICE-Netzliste dieses Tiefpasses ist im Anhang C, Seite 248 abgedruckt

4k

Verdeutlichung des Abtasttheorems

227

.endc * V0 1 0 dc 0 sin 0 1 60 * * Sample & Hold S 1 2 10 0 schalter .model schalter sw vt=.5 vh=.1 Vs 10 0 dc 0 pulse 0 1 4m 1n 1n 10u 4m Chold 2 0 1n * * Buffer ebuf 20 0 2 0 1 * * Tiefpass X3 20 4 butterworth5 param:fg=100 .include butterworth5.mod .end

1 0.8 0.6 0.4

u(t)

0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

10

5

15

20

25 t/ms

30

u1(t) Bild A.6: Originalsignal u1 (t) und abgetastetes Signal uS (t)

35

uS(t)

40

45

50

228

Abtasttheorem

Im Bild A.6 erkennt man, wie die alle 4 ms (d. h. mit der Abtastfrequenz von 250 Hz) erzeugten Abtastwerte durch die Halteschaltung auf konstanten Pegel gehalten werden. Die daraus resultierende Treppenkurve bildet das Eingangssignal des Tiefpasses. An dessen Ausgang erscheint das Signal nach Bild A.7, das dem Eingangssignal entspricht, allerdings etwas gedämpft und verzögert.

1 0.8 0.6 0.4

uTP(t)

0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

5

10

15

20

25 t/ms

30

35

40

45

50

Bild A.7: Durch den Tiefpass regeneriertes Signal uTP (t)

A.1.1.2

Unterabtastung

Das sinusförmige Signal mit der Frequenz f0 = 60 Hz wird nun nur noch alle 10 ms abgetastet. Dies entspricht der Abtastfrequenz fS = 100 Hz, also weniger als die durch das Abtasttheorem geforderte Mindestabtastfrequenz von 120 Hz. Auch jetzt entstehen durch das Abtasten wieder Spektralanteile mit den Frequenzen ±(nfS ± f0 ). Das bedeutet, dass das Amplitudenspektrum jetzt die Frequenzen ±40 Hz, ±60 Hz, ±140 Hz, ±160 Hz usw. enthält. Schaltet man nun der Abtast- und Halteschaltung einen idealen Tiefpass nach, dessen (positive) Eckfrequenz dicht oberhalb der Signalfrequenz f0 = 60 Hz liegt, dann liegt

Verdeutlichung des Abtasttheorems

229

die Differenzfrequenz fS − f0 = 40 Hz innerhalb seines Durchlassbereiches. Das hat zur Folge, dass sie nicht ausgefiltert wird. Sie überlagert das Originalsignal, wodurch dieses erheblich verzerrt wird und deshalb nicht mehr rekonstruiert werden kann. Anschaulich kann die Existenz der Differenzfrequenz dadurch erklärt werden, dass die Abtastwerte sowohl dem Kurvenverlauf mit der Frequenz f0 = 60 Hz als auch dem mit der Differenzfrequenz fS − f0 = 40 Hz genügen. 1 0.8 0.6 0.4

u(t)

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

5

10

15

20

25 t/ms

30

35

40

45

50

Abgetastete Funktion f0 = 60Hz Abtastwerte fs = 100Hz Differenzfrequenz fs-f0 = 40Hz Bild A.8: Veranschaulichung, wie die Differenzfrequenz bei Unterabtastung entsteht

Simulation. Zur Simulation wird wiederum die Schaltung Bild A.5 verwendet. Neben der Transientenanalyse, die wegen der niedrigen Abtastfrequenz über 100 ms durchgeführt wird, wird zusätzlich eine Fourier-Analyse der Spannung uTP vorgenommen5. Damit wird das Vorhandensein der 40 Hz-Komponente im Spektrum der abgetasteten und gefilterten Spannung nachgewiesen. SPICE-Eingabefile (File unterabtast.cir) Unterabtastung * Abgetastete Frequenz 5

f0=60Hz

Um alle Frequenzen erfassen zu können, wird für die Analyse als Grundfrequenz 20 Hz gewählt.

230

Abtasttheorem

* Abtastrate T=10ms --> fs=100Hz * Überlappungsfrequenz fs-f0=40Hz .control tran 100u 100m let u1=v(1) let us=v(2) let utp=v(4) print us utp > unterabtast_t.dat linearize utp fourier 20 utp > unterabtast_f.dat .endc

1 0.8 0.6 0.4

u(t)

0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

20

0

80

60

40

t/ms u1(t) Bild A.9: Originalsignal u1 (t) und abgetastetes Signal uS (t)

V0 1 0 dc 0 sin 0 1 60 * * Sample & Hold S 1 2 10 0 schalter .model schalter sw vt=.5 vh=.1 Vs 10 0 dc 0 pulse 0 1 0 1n 1n 10u 10m Chold 2 0 1n *

uS(t)

100

Verdeutlichung des Abtasttheorems

231

* Buffer ebuf 20 0 2 0 1 * * Tiefpass X3 20 4 butterworth5 param:fg=100 .include butterworth5.mod .end Erwartungsgemäß ist das Signal nach dem Tiefpass Bild A.10 nicht mehr sinusförmig, denn es besteht aus der Überlagerung mehrerer Sinusgrößen, hauptsächlich der Originalspannung mit 60 Hz und der in den Durchlassbereich des Tiefpassfilters gespiegelten Komponente mit 40 Hz. 1.5

1

uTP(t)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

0

20

60

40

80

100

t/ms Bild A.10: Durch den Tiefpass regeneriertes Signal uTP (t)

Aussagekräftiger als das Liniendiagramm der gefilterten Spannung ist jedoch ihr Linienspektrum Bild A.11 als Ergebnis der diskreten Fourier-Analyse. Die erwarteten Spektrallinien bei den Frequenzen 40 Hz, 60 Hz, 140 Hz, 160 Hz sind gut zu erkennen. Allerdings müsste man aufgrund des Amplitudengangs des Filters, der gestrichelt in das Bild eingeblendet ist, erwarten, dass die beiden Komponenten innerhalb des FilterDurchlassbereiches annähernd gleich groß sind. Auch die Komponenten, die im Sperrbereich des Filters liegen, sollten deutlich größer sein.

232

Abtasttheorem

Warum dies nicht so ist, liegt darin begründet, dass durch das Halten der Abtastwerte eine zusätzliche Tiefpassfilterung bewirkt wird. Dies wird im Abschnitt Signalrückgewinnung auf Seite 148 theoretisch diskutiert. Das dort erzielte Ergebnis sagt, dass das Spektrum eines abgetasteten und zwischen den Abtastwerten gehaltenen Signals nicht mit der Abtastperiode T zu wichten ist, wie das Gl. (A.1) angibt, sondern mit dem Term si(ωT /2)    ∞ ωT ωT US (jω) = e−j 2 si U1 (jω −jkωS ). 2 k=−∞

Ausgangsspektrum Filterkennlinie Gesamtdämpfung

1

Normierte Amplituden

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

100

80

120

140

160

180

f/Hz Bild A.11: Spektrum des regenerierten Signals uTP

Nach dem Filter mit seinem bekannten Amplitudengang6 1 |F (jω)| =  1 + (ω/ωg )10 werden folglich alle Spektralanteile mit dem Produkt beider Tiefpassterme gedämpft     ∞    | si ωT |   2 U1 (jω −jkωS ) . |UTP (jω)| =   10   1 + (ω/ωg ) k=−∞ 6

[5], S. 844

Verdeutlichung des Abtasttheorems

233

Der daraus resultierende Dämpfungsverlauf ist als Kennlinie in Bild A.11 eingetragen. Es wird ersichtlich eine gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Simulationsergebnis erzielt.

B

Informationen zur CD-ROM

Auf der CD-ROM, die diesem Buch beiliegt, sind alle Eingabe-Dateien, die zum Lösen der Aufgaben sowie zur grafischen Darstellung der Ergebnisse verwendet wurden, im Quellcode gespeichert. Weiterhin sind alle grafischen Ergebnisse, so wie sie im Buch dargestellt sind, als PDF- und PostScript-Dateien abgelegt. Speziell für Benutzer eines Windows-Betriebssystems ab Windows 95 sind zusätzlich das Simulationsprogramm SpiceOpus sowie das Plotprogramm Gnuplot auf der CDROM zu finden. Beide Programme sind von der CD lauffähig. Es muss nichts auf die Festplatte des Rechners installiert werden!

Wer noch nicht mit diesen beiden Programmen vertraut ist, sollte sich zunächst in ihre Dokumentation einlesen. Dazu findet man auf der CD-ROM: 1. Dokumentation zu SPICE • Handbuch SPICE3, File SPICE Manual.pdf • ergänzend das Handbuch für XSPICE, File XSPICE Manual.pdf • diverse HTML-Seiten. Startseite ist das Verzeichnis SpiceOpus/documentation/welcome.html 2. Dokumentation zu Gnuplot • Handbuch, File Gnuplot Manual.pdf • diverse Beispiele im Verzeichnis gnuplot/gp373w32/Demo Weitergehende Literatur zum Programm Gnuplot existiert nicht. Zum Programm SPICE findet man eine Fülle von Büchern, beispielhaft sind in der Literaturliste die Referenzen [37], [38] und [39] gelistet. Allerdings werden in dieser Literatur vorzugsweise die Eigenschaften von kommerziellen SPICE Versionen behandelt, die nicht vollständig kompatibel zu dem hier verwendeten SpiceOpus Programm sind. Die Quelldateien zu SPICE und Gnuplot haben Ascii-Format. Sie können mit jedem einfachen Editor, unter Windows z. B. Wordpad, gelesen werden. Soll eine Datei editiert werden, muss sie selbstverständlich zunächst auf die Festplatte oder ein anderes Medium mit Schreib-Leserechten kopiert werden.

236

Informationen zur CD-ROM

B.1

Liste der Lösungsdateien

Gnuplot Quelldateien findet man im Verzeichnis GnuplotFiles, SPICE Quelldateien im Verzeichnis SpiceFiles.

Aufgabe

Gnuplot Dateien

SPICE Dateien

1.1.1 1.1.2

a1.1_2.gnu

a1.1_2.pdf

a1.1_2.cir

a1.1_2.dat

a1.1_4.gnu

a1.1_4.pdf

a1.1_4.cir

1.1.6

a1.1_6.gnu

a1.1_6.pdf

a1.1_6.cir

a1.1_6.dat

1.2.1

a1.2_1a.gnu

a1.2_1a.pdf

a1.2_1.cir

a1.2_1a.dat

a1.2_1b.gnu

a1.2_1b.pdf

a1.2_1.nut

1.1.3 1.1.4 1.1.5

1.2.2

a1.2_2.gnu

a1.2_2.pdf

a2.1_2.gnu

a2.1_2.pdf

a1.2_1b.dat

2.1.1 2.1.2

a2.1_2.cir

a2.1_2.dat

opa177.mod 2.2.1

a2.2_1.gnu

a2.2_1a.pdf a2.2_1b.pdf

a2.2_1a.cir

a2.2_1a.dat

a2.2_1b.cir

a2.2_1b.dat

2n2222.mod 2.2.2 2.2.3 2.2.4

a2.2_4.gnu

a2.2_4.pdf

a2.2_4.cir

a2.2_4.dat

comparator.mod 2.2.5 3.1.1

a3.1_1.gnu

a3.1_1.pdf

a3.1_3.gnu

a3.1_3.pdf

3.1.2 3.1.3

a3.1_3a.gnu

a3.1_3a.pdf

a3.1_3.cir

a3.1_3.dat

a3.1_3a.cir lm6762a.mod

3.1.4 3.1.5

a3.1_3a.dat diode.mod

Anwendung der Programme Aufgabe 3.2.1

237

Gnuplot Dateien a3.2_1.gnu

a3.2_1a.pdf a3.2_1b.pdf

SPICE Dateien a3.2_1.cir

a3.2_1.dat

comparator.mod

diode.mod

3.2.2 3.2.3 3.2.4 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5

a4.2_5a.gnu

a4.2_5a.pdf

a4.2_5a.cir

a4.2_5a.dat

a4.2_5b.gnu

a4.2_5b.pdf

a4.2_5b.cir

a4.2_5b.dat

diode.mod 4.2.6 4.2.7 4.3.1

a4.3_1a.pdf a4.3_1b.pdf

4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

B.2

Anwendung der Programme

Nachfolgend wird am Beispiel der Aufgabe 1.1.2, Seite 33, der Umgang mit den Programmen SpiceOpus und Gnuplot demonstriert. Dabei ist vorausgesetzt, dass der Leser ein Grundverständnis von der Arbeitsweise dieser Programme und der Wirkungsweise ihrer Befehle besitzt.

B.2.1

Simulation einer Schaltung mit SpiceOpus

Der Simulator wird durch Doppelklick auf sein Icon SpiceOpus gestartet. Das Programm auf der CD-ROM ist so konfiguriert, dass es das Verzeichnis SpiceFiles als sein Arbeitsverzeichnis kennt. Deshalb kann mit dem Befehl source a1.1_2.cir das SPICE-Eingabefile aus diesem Verzeichnis geladen werden:

238

Informationen zur CD-ROM

SpiceOpus (c) 1 -> source a1.1_2.cir Circuit: Aufgabe a1.1.2, Butterworth Tiefpassfilter Nach dem Laden der Eingabedatei startet automatisch der Simulator. Nach kurzer Zeit werden im SPICE-Fenster die berechneten Bauteilewerte und in einem separaten Plotfenster der simulierte Amplitudengang des Filters ausgegeben. Grafische Ausgabe des Amplitudengangs:

y, Imag

20

10

0

-10

-20

10000 x, Real

Bild B.1: SPICE-Ausgabe des Amplitudengangs

Werteausgabe im SPICE-Fenster: R R0 R3 C

= = = =

2394.46 478.892 23944.6 4.7E-09

Ohm Ohm Ohm Farad

Damit hat man die in der Aufgabenstellung geforderten Ergebnisse erhalten. Ist man darüberhinaus an weiteren Ergebnissen interessiert, müssen zusätzliche Befehle eingegeben werden. Dies wird im Folgenden demonstriert.

Anwendung der Programme

239

Man möchte z. B. wissen, wie der Phasengang des Filters verläuft. Insbesondere ist man an dem Phasenwinkel der Ausgangsspannung interessiert, der sich einstellt, wenn der Amplitudengang auf 19 dB abgefallen ist. Den Phasengang im Gradmaß erhält man durch die Eingaben SpiceOpus (c) 2 -> set units=degrees SpiceOpus (c) 3 -> plot vp(4)

y, Imag

150

100

50

10000 x, Real Bild B.2: SPICE-Ausgabe des Phasengangs

Zur Bestimmung des speziellen Phasenwinkels wird ein Cursor definiert und im Vektor vdb(4) an die Stelle 19 dB gesetzt: SpiceOpus (c) 4 -> let cur=0 SpiceOpus (c) 5 -> cursor cur right vdb(4) 19 SpiceOpus (c) 6 -> let phase=vp(4)[%cur] SpiceOpus (c) 7 -> echo Phasenwinkel bei |F|=19 dB: $&phase Grad Phasenwinkel bei |F|=19 dB: 115.999 Grad Soll eine Simulation für ein geändertes Filterverhalten durchgeführt werden, muss die SPICE-Quelldatei zum Editieren zunächst auf die Festplatte kopiert werden. Zusätzlich ist vor einer erneuten Simulation im SPICE-Fenster der Pfad mit dem Befehl cd auf diese Datei umzulegen.

240

B.2.2

Informationen zur CD-ROM

Grafische Darstellung der Ergebnisse mit Gnuplot

Die Qualität der grafischen Ausgabe von SPICE ist zwar für die aktuelle Problembearbeitung zufriedenstellend, sie genügt aber nicht den Anforderungen an eine ästhetisch anspruchsvolle Dokumentation. Um hier zu einer besseren Darstellung zu kommen, werden die Simulationsergebnisse zunächst in eine Datei gespeichert und anschließend mit dem Plotprogramm Gnuplot formatiert ausgegeben. Die Verwendung des Plotprogramms bietet dabei noch den Zusatznutzen, dass gemeinsam mit den simulierten Werten auch noch der vom Plotprogramm theoretisch berechnete Kurvenverlauf ausgegeben werden kann, so wie das in dem hier diskutierten Beispiel der Fall ist. Das Plotprogramm wird durch Doppelklick auf sein Icon Gnuplot gestartet. Als erstes muss der Pfad zu den Quelldateien gesetzt werden. Dazu wird im Gnuplot-Fenster der Befehl cd ’GnuplotFiles’ eingegeben1 . Mit dem Befehl load ’a1.1_2.gnu’ wird das vorbereitete File geladen und abgearbeitet. Als Ergebnis erscheint der folgende Plot:

Bild B.3: Schirmausgabe von Gnuplot

Man erkennt, dass die Schirmausgabe von Gnuplot keine zufriedenstellende Formatierung der Achsen und Achsenbezeichner zuläßt. Dies kann ausschließlich durch eine PostScript-Ausgabe2 erreicht werden, entweder direkt auf einen PostScript-fähigen Drucker oder als Import in ein weiterverarbeitendes Programm. Dazu müssen in der Datei a1.1_2.gnu das PostScript-Terminal sowie ein Dateiname angegeben werden3 : 1 2 3

Hinweis: Im Gegensatz zu SPICE sind in Gnuplot Befehlsargumente in Hochkommata zu setzen. Eine PDF-Ausgabe ist in der aktuellen Programmversion noch nicht implementiert Da die Gnuplot-Datei auf der CD-ROM nicht unmittelbar editierbar ist, werden hier die Befehle direkt

Anwendung der Programme

241

set terminal postscript enhanced set output ’c:\\a1.1_2.ps’

20

Theorie Simulation

15 10

|F(jω)|db

5 0 -5 -10 -15 -20 103

104 f/Hz

105

Bild B.4: Druckerausgabe der PostScript-Datei

Auf der CD-ROM ist die druckfertige Datei in zweifacher Form vorhanden, zum einen im PostScript-Format im Verzeichnis PS-Plotfiles, zum anderen im PDF-Format im Verzeichnis PDF-Plotfiles. Die in PDF formatierte Datei bietet zusätzlich die Möglichkeit, bereits auf dem Bildschirm das Druckergebnis beurteilen zu können, z. B. mit dem frei erhältlichen Programm Acrobat Reader.

in das Gnuplot-Fenster eingegeben. Mit dem Befehl replot wird anschließend der Plot im angegebenen Pfad gespeichert.

C

SPICE Unterprogramme

Operationsverstärker OPA177 Aufruf: .include opa177.mod * OPA177 OPERATIONAL AMPLIFIER "MACROMODEL" SUBCIRCUIT * CREATED USING PARTS RELEASE 4.03 ON 10/15/90 AT 15:33 * -----------------------------------------------------------------------* | NOTICE: THE INFORMATION PROVIDED HEREIN IS BELIEVED TO BE RELIABLE; | * | HOWEVER; BURR-BROWN ASSUMES NO RESPONSIBILITY FOR INACCURACIES OR | * | OMISSIONS. BURR-BROWN ASSUMES NO RESPONSIBILITY FOR THE USE OF THIS | * | INFORMATION, AND ALL USE OF SUCH INFORMATION SHALL BE ENTIRELY AT | * | THE USER’S OWN RISK. NO PATENT RIGHTS OR LICENSES TO ANY OF THE | * | CIRCUITS DESCRIBED HEREIN ARE IMPLIED OR GRANTED TO ANY THIRD PARTY. | * | BURR-BROWN DOES NOT AUTHORIZE OR WARRANT ANY BURR-BROWN PRODUCT FOR | * | USE IN LIFE-SUPPORT DEVICES AND/OR SYSTEMS. | * -----------------------------------------------------------------------* * CONNECTIONS: NON-INVERTING INPUT * | INVERTING INPUT * | | POSITIVE POWER SUPPLY * | | | NEGATIVE POWER SUPPLY * | | | | OUTPUT * | | | | | .SUBCKT OPA177 1 2 3 4 5 * C1 11 12 40.00E-12 C2 6 7 80.00E-12 DC 5 53 DX DE 54 5 DX DLP 90 91 DX DLN 92 90 DX DP 4 3 DX EGND 99 0 POLY(2) (3,0) (4,0) 0 .5 .5 FB 7 99 POLY(5) VB VC VE VLP VLN 0 1.326E9 -1E9 1E9 1E9 -1E9 GA 6 0 11 12 301.6E-6 GCM 0 6 10 99 30.16E-12 IEE 10 4 DC 20.00E-6 HLIM 90 0 VLIM 1K Q1 11 2 13 QX Q2 12 1 14 QX

244

SPICE Unterprogramme

R2 6 9 100.0E3 RC1 3 11 3.316E3 RC2 3 12 3.316E3 RE1 13 10 729.2 RE2 14 10 729.2 REE 10 99 9.999E6 RO1 8 5 30 RO2 7 99 30 RP 3 4 15.15E3 VB 9 0 DC 0 VC 3 53 DC 1.500 VE 54 4 DC 1.500 VLIM 7 8 DC 0 VLP 91 0 DC 22 VLN 0 92 DC 22 .MODEL DX D(IS=800.0E-18) .MODEL QX NPN(IS=800.0E-18 BF=10.00E3) .ENDS

Idealer Operationsverstärker Aufruf: .include opamp.mod

*////////////////////////////////////////////////////////////////////////// * Generic OPAMP MODEL * 05.01.2003 / drun * Differenzverstärkung vd=1e6 (default) * Begrenzung bei positiver und negativer Spannungsversorgung * trägheitslos *////////////////////////////////////////////////////////////////////////// * * default parameter: differential gain Vd * connections: non-inverting input | * | inverting input | * | | positive power supply | * | | | negative power supply | * | | | | output | * | | | | | | * | | | | | | .subckt opamp 1 2 3 4 5 Param: vd=1e6 Bop 5 0 V = uramp(V(4)-{vd}*V(1,2)) + + {vd}*V(1,2) + - uramp({vd}*V(1,2)-v(3)) .ends opamp

SPICE Unterprogramme

Komparator LMC6762 (Ausdruck gekürzt!) Aufruf: .include lmc6762a.mod *////////////////////////////////////////////////////////////////////// * (C) National Semiconductor, Inc. * Models developed and under copyright by: * National Semiconductor, Inc. *///////////////////////////////////////////////////////////////////// * Legal Notice: This material is intended for free software support. * The file may be copied, and distributed; however, reselling the * material is illegal *//////////////////////////////////////////////////////////////////// * For ordering or technical information on these models, contact: * National Semiconductor’s Customer Response Center * 7:00 A.M.--7:00 P.M. U.S. Central Time * (800) 272-9959 * For Applications support, contact the Internet address: * [email protected] **///////////////////////////////////////////////// *LMC6762A CMOS Comparator Macro-Model *///////////////////////////////////////////////// * * connections: non-inverting input * | inverting input * | | output * | | | positive power supply * | | | | negative power supply * | | | | | * | | | | | .SUBCKT LMC6762A/NS 3 2 6 4 5 * *Features *Low Power Consumption *Wide Range of Supply *4us Propagation delay at 100mv Overdrive * *----- input stage ----RINB 2 18 1000 RINA 3 19 1000 DIN1 5 18 DMOD2 DIN2 18 4 DMOD2 DIN3 5 19 DMOD2 DIN4 19 4 DMOD2

245

246 FIN1 18 5 VTEMP 0.75 FIN2 19 5 VTEMP 1.25 * Input Bias Currents CIN1 2 10 1e-12 CIN2 3 10 1e-12 * Common Mode Input Capacitance RD1 18 11 5e+10 RD2 19 11 5e+10 * Diff. Input Resistance RCM 11 10 9.975e+12 * Common Mode Input Resistance *----- supply current -----EXX 10 5 17 5 1.0 EEE 10 50 17 5 1.0 ECC 40 10 4 17 1.0 ... *----- output stage ----GO3 10 71 59 10 1 RO3 71 10 1 RDN2 710 71 100 RDP 720 72 100 DDN1 73 74 DMOD1 DDN2 73 710 DMOD1 RNO 78 81 1 RPO 79 81 1 DDP1 75 72 DMOD1 DDP2 71 720 DMOD1 C1 58 59 1e-10 VOOP 40 76 DC 0 VOON 77 50 DC 0 QNO 76 73 78 NPN1 QNP 77 72 79 PNP1 VOX 86 6 DC 0 RNT 76 81 100MEG RPT 81 77 1MEG EPOS 40 74 26 10 0.05 ENEG 75 50 26 10 0.04 * Output Voltage Swing Settings GSOURCE 74 73 33 34 0.00032 GSINK 72 75 33 34 0.00045 * Output Current Settings ROO 81 86 20 .MODEL DMOD1 D .MODEL DMOD2 D (IS=1e-17) .MODEL NPN1 NPN (BF=100 IS=1e-15) .MODEL PNP1 PNP (BF=100 IS=1e-15) RA 73 40 10e6

SPICE Unterprogramme

SPICE Unterprogramme RB 72 RC 72 RD 10 RE 24 RF 93 * .ENDS *

50 73 57 10 10

10e6 10e6 10e6 10e6 10e6

Idealer Komparator Aufruf: .include comparator.mod *////////////////////////////////////////////////////////// * Generic COMPARATOR model * 13.05.2002 / drun * Ausgangsspannungsbegrenzung bei Spannungsversorgung * trägheitslos *////////////////////////////////////////////////////////// * * connections: non-inverting input * | inverting input * | | positive power supply * | | | negative power supply * | | | | output * | | | | | * | | | | | .subckt comparator 1 2 3 4 5 Bcom 5 0 V=V(3)*u(V(1,2))+V(4)*u(V(2,1)) .ends comparator

Ideale Diode Aufruf: .include diode.mod *////////////////////////////////////////////////////////// * Generic Diode Model * 01.05.2003 / drun * Id = (Ud-Us)/rd für Ud>Us * Id = 0 für Ud