Formelsammlung für das Vermessungswesen [20. Aufl.] 9783658301699, 9783658301705

Citation preview

Franz Josef Gruber Rainer Joeckel

Formelsammlung für das Vermessungswesen 20. Auflage

Formelsammlung für das Vermessungswesen

Franz Josef Gruber · Rainer Joeckel

Formelsammlung für das Vermessungswesen 20., aktualisierte Auflage

Franz Josef Gruber Laupheim, Deutschland

Rainer Joeckel Stuttgart, Deutschland

ISBN 978-3-658-30169-9 ISBN 978-3-658-30170-5  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National­ bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2004, 2005, 2007, 2009, 2011, 2012, 2014, 2017, 2018, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa­ tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Ralf Harms Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort Diese Formelsammlung wendet sich sowohl an Techniker und Ingenieure in der Ausbildung als auch an Vermessungstechniker, Vermessungsingenieure, Bauingenieure und Architekten in der Praxis. Die kompakten und übersichtlich gestalteten Themen sollen dem Benutzer in der Ausbildung und in der Berufspraxis eine Hilfe sein. Die nun vorliegende 20. Auflage haben wir aktualisiert und ergänzt. Auch zur 19. Auflage erhielten wir wieder Ergänzungs- und Verbesserungsvorschläge, wofür wir herzlich danken. Besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Ing. Wolffried Wehmann für seine nun schon mehrere Auflagen begleitenden Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge. Wir hoffen, dass wir auch weiterhin durch Vorschläge unserer Leser unterstützt werden.

September 2020

Franz Josef Gruber Rainer Joeckel

[email protected] [email protected]

Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen

1

1.1 Griechisches Alphabet

1

1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen

1

1.3 DIN Papierformate

1

1.3.1 DIN Blattgrößen (DIN 476)

1

1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 824)

2

1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse

4

1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen

4

1.4.2 Maßverhältnisse

7

2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe

8 8

2.1.1 Grundgesetze

8

2.1.2 Gesetze der Anordnung

8

2.1.3 Absoluter Betrag - Signum

8

2.1.4 Bruchrechnen

8

2.1.5 Lineare Gleichungssysteme

9

2.1.6 Quadratische Gleichungen

9

2.1.7 Potenzen - Wurzeln

9

2.1.8 Logarithmen

10

2.1.9 Folgen - Reihen

10

2.1.10 Binomischer Satz

11

2.1.11 n - Fakultät

11

2.1.12 Verschiedene Mittelwerte

11

2.2 Differentialrechnung

12

2.2.1 Ableitung

12

2.2.2 Potenzreihenentwicklung

13

2.3 Matrizenrechnung

14

2.3.1 Definitionen

14

2.3.2 Rechnen mit Matrizen

14

VIII

2.4 Ebene Geometrie

16

2.4.1 Arten von Winkeln

16

2.4.2 Kongruenzsätze

16

2.4.3 Ähnlichkeitssätze

16

2.4.4 Strahlensätze

17

2.4.5 Teilung einer Strecke

17

2.4.6 Dreieck

18

2.4.7 Viereck

20

2.4.8 Vielecke

21

2.4.9 Kreis

22

2.4.10 Ellipse

24

2.5 Trigonometrie

25

2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

25

2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck

27

2.5.3 Additionstheoreme

29

2.5.4 Sphärische Trigonometrie

30

3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen

31 31

3.1.1 Räumliches Bezugssystem

31

3.1.2 Lagebezugssystem

31

3.1.3 Höhenbezugssystem

31

3.1.4 Bezugsfläche

32

3.2 Geodätische Koordinatensysteme

33

3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem

33

3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem

33

3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem

33

3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem

34

3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem

34

3.2.6 Polarkoordinaten

34

3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System)

35

3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System)

36

3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen

37

IX

4 Vermessungstechnische Grundaufgaben

39

4.1 Einfache Koordinatenberechnungen

39

4.1.1 Richtungswinkel und Strecke

39

4.1.2 Polarpunktberechnung

41

4.1.3 Kleinpunktberechnung

42

4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt

44

4.1.5 Schnitt mit einer Gitterlinie

44

4.1.6 Geradenschnitt

45

4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis

46

4.2 Flächenberechnung

47

4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen

47

4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten

48

4.2.3 Flächenreduktionen

49

4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen

49

4.3 Flächenteilungen

50

4.3.1 Dreieck

50

4.3.2 Viereck

51

5 Winkelmessung

52

5.1 Achsenabweichungen beim Theodolit

52

5.2 Horizontalwinkelmessung

55

5.2.1 Begriffsbestimmung

55

5.2.2 Satzweise Richtungsmessung

55

5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss

56

5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen

57

5.3 Vertikalwinkelmessung

58

5.4 Winkelmessung mit der Bussole

59

6 Strecken- und Distanzmessung

60

6.1 Streckenmessung mit Messbändern - Korrektionen und Reduktionen

60

6.2 Optische Streckenmessung

61

6.2.1 Basislattenmessung

61

6.2.2 Strichentfernungsmessung (Reichenbach)

61

X

6.3 Elektronische Distanzmessung

62

6.3.1 Elektromagnetische Wellen

62

6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung

62

6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre

63

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen

64

6.4.1 Frequenzkorrektion

64

6.4.2 Zyklische Korrektion

64

6.4.3 Nullpunktkorrektion

65

6.4.4 Meteorologische Korrektion (1.Geschwindigkeitskorrektion)

68

6.4.5 Geometrische Reduktionen

68

6.4.6 Abbildungsreduktionen

70

6.5 Vertikale Exzentrität

71

6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken

72

7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen

73 73

7.1.1 Abriss

73

7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung

74

7.1.3 Exzentrische Streckenmessung

78

7.1.4 Gebrochener Strahl

79

7.2 Einzelpunktbestimmung

80

7.2.1 Polare Punktbestimmung

80

7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung

81

7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab

82

7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung

83

7.2.5 Bogenschnitt

85

7.2.6 Vorwärtseinschnitt

86

7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach Cassini

88

7.3 Freie Standpunktwahl

89

mittels Helmert-Transformation

89

7.4 Polygonierung

91

7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen

91

7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall

92

7.4.3 Freier Polygonzug

93

7.4.4 Ringpolygon

94

XI 7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge

95

7.4.6 Fehlertheorie

96

7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung - Statistische Überprüfung

97

7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte

98

8 Transformationen 8.1 Ebene Transformationen 8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung (1 Parameter)

99 99 99

8.1.2 Ähnlichkeitstransformation mit zwei identischen Punkten (4 Parameter)

100

8.1.3 Ähnlichkeitstransformation mit mehr als 2 identischen Punkten - Helmert-Transformation (4 Parameter)

102

8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter)

104

8.1.5 Projektivtransformation (8 Parameter)

106

8.1.6 Ausgleichende Gerade

108

8.2 Räumliche Transformationen

110

8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)

110

8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt

113

8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt

115

8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER

117

8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger- bzw. UTM-Koordinaten

119

9 Höhenmessung

122

9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen

122

9.2 Höhen

124

9.3 Geometrisches Nivellement

126

9.3.1 Definitionen

126

9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise

126

9.3.3 Grundformel eines Nivellements

127

9.3.4 Feinnivellement

127

9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke, -linie oder -schleife

128

9.3.6 Höhenknotenpunkt

129

XII 9.3.7 Ziellinienüberprüfung

130

9.3.8 Genauigkeit des Nivellements

132

9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement

133

9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung

134

9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m)

134

9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen

135

9.4.3 Trigonometrisches Nivellement

138

9.4.4 Turmhöhenbestimmung

139

10 Ingenieurvermessung

141

10.1 Absteckung von Geraden - Zwischenpunkt in einer Geraden

141

10.2 Kreisbogenabsteckung

142

10.2.1 Allgemeine Formeln

142

10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ

143

10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P

144

10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten

145

10.2.5 Näherungsverfahren

147

10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung

148

10.2.7 Korbbogen

149

10.3 Klotoide

150

10.3.1 Definition

150

10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide

152

10.4 Gradiente

153

10.4.1 Längsneigung

153

10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten

153

10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung

154

10.5 Erdmengenberechnung

155

10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen

155

10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien

156

10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen

157

10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe

158

10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren

158

XIII

11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein

160 160 160

11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen

160

11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten und der Kofaktorenmatrizen

161

11.1.3 Genauigkeit

161

11.1.4 Statistische Überprüfung

162

11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen

163

11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

166

12 Grundlagen der Statistik

167

12.1 Grundbegriffe der Statistik

167

12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

169

12.3 Vertrauensbereiche (Konfidenzbereiche)

170

12.4 Testverfahren

171

12.5 Messunsicherheit

172

12.6 Toleranzen

173

12.7 Varianz

174

12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen

174

12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz

175

12.8 Standardabweichung

176

12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen

176

12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung)

177

12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke

178

12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

179

Abkürzungen Internetportale Literaturhinweise Stichwortverzeichnis

182 183 184 185

1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Griechisches Alphabet Α,α Β,β Γ, γ Δ,δ Ε,ε Ζ,ζ

Η,η Θ, ϑ Ι,ι Κ,κ Λ,λ Μ,μ

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta

Eta Theta Jota Kappa Lambda My

Ν,ν Ξ,ξ Ο,ο Π,π Ρ,ρ Σ ,σ

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma

Τ ,τ Υ,υ Φ, ϕ Χ,χ Ψ,ψ Ω,ω

Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen = gleich

X

daraus folgt

...

 ungleich

Z

Aussagen sind gleichwertig

L ähnlich

, [ ] Summe von

AB Strecke AB  Dreieck

O angenähert n entspricht

n

und so weiter

Wurzel aus

^

kongruent

n -te Wurzel aus

’

unendlich

< kleiner als

sgn x signum x

> größer als

a

Betrag von a

( 1, 0, -1)

lim Grenzwert e O 2,718281828

> kleiner oder gleich

n!

n Fakultät ; n! = 1  2  „  n

 O 3,141592654

P größer oder gleich ppm parts per million; 1ppm = 1  10 −6 %

Prozent

1.3 DIN Papierformate 1.3.1 DIN Blattgrößen (DIN 476) Grundsätze des Formataufbaus Fläche F 0 des Ausgangsformats A0

F0 = x  y = 1 m2

y

Format

mm

A0

841 x 1189

A1

594 x 841

A2

420 x 594

A3

297 x 420

A4

210 x 297

A5

148 x 210

A6

105 x 148

y

x

=

y

x· Ö2

x:y=1: 2 H y=x 2

DIN Blattgrößen

x

y/2

Die Flächen zweier aufeinanderfolgender Formate verhalten sich wie 2 : 1

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_1

2

1 Allgemeine Grundlagen

1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 824) 1. mit ausgefaltetem, gelochtem Heftrand für Ablage mit Heftung Längsfalten

105

5

4

3

297

1

297

Zwischenfalte

841x1189

2 Querfalten

A0

6

7

Schräg falte

2 1

Schriftfeld

210

190

190

190

190

105

4

1

297

A1 594x841

3 297

5

1

Zwischenfalte

2

Schriftfeld

210

190

190

105

2 1

297

A2

3

1

420x594 Schriftfeld

210

2

192

192

1 297

A3 297x420

Schriftfeld

125 105

190

1.3 DIN Papierformate 2. zur Ablage ohne Heftung z. B. in Fächern oder Taschen Längsfalten

5

1

2 297

841x1189

2

Querfalten

A0

3

4

297

1

Schriftfeld

210

210

210

3

2

1

A1

1 297

594x841

210

297

Rest

Schriftfeld

210

210

210

1

2 1

297

A2

210

420x594 Schriftfeld

Rest

210

210

1 297

A3 297x420

Schriftfeld

210

210

210

3

4

1 Allgemeine Grundlagen

1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse 1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen Vielfache und Teile von Einheiten

Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko

Vorsatzzeichen T G M k h da d c m μ n p

Zehnerpotenz = 1012 = 109 = 106 = 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6 = 10-9 = 10-12

Für das Vermessungswesen wichtige Basiseinheiten Basisgröße Zeit

Einheit Sekunde

Symbol s

Länge

Meter

m

Masse

Kilogramm

kg

Definition 1 Sekunde ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der Strahlung, die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133-Cäsium entspricht. 1 Meter ist auf der 17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 1983 definiert worden als die Länge einer Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft. 1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps

1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Wichtige abgeleitete Einheiten Größe

Einheit

Kurzzeichen der Einheit

Fläche

Quadratmeter

m²

Volumen

Kubikmeter

m³

Winkel

Radiant

rad m m

Geschwindigkeit

Meter pro Sekunde

m; m km s 1 s = 3, 6 h

Frequenz

Hertz

Hz

Kraft

Newton

Druck

Pascal

Arbeit, Energie

Joule

Leistung

Watt

N kg  m2 s N Pa m2 2 J kg  m2 s 2 W kg  m3 s

1 s

Längenmaße Aus der Längeneinheit Meter abgeleitete Längenmaße: 1 000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000 001 m

= 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6

m m m m m m m

= 1 km = 1 hm = 1 dam = 1 dm = 1 cm = 1 mm = 1 μm

= 1 Kilometer = 1 Hektometer = 1 Dekameter = 1 Dezimeter = 1 Zentimeter = 1 Millimeter = 1 Mikrometer

Flächenmaße Aus der Flächeneinheit Quadratmeter abgeleitete Flächenmaße: 1 000 000 m² 10 000 m² 100 m² 0,01 m² 0,000 1 m² 0,000 001 m²

= 106 = 104 = 10² = 10-2 = 10-4 = 10-6

m² m² m² m² m² m²

= 1 km² = 1 ha =1a = 1 dm² = 1 cm² = 1 mm²

= 1 Quadratkilometer = 1 Hektar = 1 Ar = 1 Quadratdezimeter = 1 Quadratzentimeter = 1 Quadratmillimeter

Raummaße Aus der Volumeneinheit Kubikmeter abgeleitete Raummaße: 0,001 m³ = 10-3 m³ 0,000 001 m³ = 10-6 m³

= 1 dm³ = 1 cm³

= 1 Kubikdezimeter = 1 Liter = 1 Kubikzentimeter

5

6

1 Allgemeine Grundlagen

Zeitmaße Aus der Sekunde abgeleitete Zeitmaße: 60 s 3600 s 86400 s

= 1 min =1h =1d

= 1 Minute = 1 Stunde = 1 Tag

Winkelmaße

b

Einheit des Winkels ist der Radiant ( rad )

Bogenla¨nge  = br = Radius

Definition

r

a

(1 rad = Winkel α für b = r = 1 ) 1 Vollwinkel = 2 rad 200 gon = 180   =

1 rad

 O 3, 141592654

grobe Näherung:  O 355 113

Sexagesimalteilung: 1 Vollwinkel 1° 1'

Zentesimalteilung:

= 360° (Grad) = 60 ' (Minuten) = 60 '' (Sekunden)

1 Vollwinkel 1 gon

= 400 gon (Gon) = 1000 mgon (Milligon)

Bezeichnung bei Taschenrechnern: degree ( DEG ) = Grad

grad ( GRAD ) = Gon

RAD = rad

Umwandlung Grad - Gon - Radiant : 1 n 10 gon n  rad 9 180

1gon n 0, 9 n

 rad 200

Vermessungstechnisches Sonderzeichen ρ: ! = 180  = 57, 295779„

! (gon) =

200 gon = 63, 661977„ 

200 gon 1rad n 180  n 

1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse

1.4.2 Maßverhältnisse Maßstab M M=

s Kartenstrecke 1 = s NK = m Strecke in der Natur

m = Maßstabszahl Strecke in der Natur sN = sK  m

Maßstabsumrechnung bei Längen

s N = s K1  m1 = s K2  m2 s K1 m 2 s K2 = m 1

Maßstab und Flächen Fläche in der Natur

FN = aN  bN

Fläche in der Karte

FK = aK  bK

FN = aN  bN = aK  m  bK  m FN = FK  m2 m = Maßstabszahl

Maßstabsumrechnung bei Flächen

F N = F K 1  m 21 = F K 2  m 22 F K 1 m 22 = F K 2 m 21

7

2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe 2.1.1 Grundgesetze Kommutativgesetze a+b=b+a

ab=ba

Assoziativgesetze (a + b ) + c = a + (b + c )

(a  b )  c = a  (b  c )

Distributivgesetz a  (b + c ) = a  b + a  c

2.1.2 Gesetze der Anordnung a < b J b > a J (b − a ) > 0 Aus a < b folgt:

a+c −b

1> 1 a b

wenn a > 0

2.1.3 Absoluter Betrag - Signum Definitionen Betrag a

Gesetze Signum a

a>0

a =a

sgn a = 1

a+b > a + b

a=0

a =0

sgn a = 0

a−b P a − b

a a1 + a2 + „ + an

2.1.4 Bruchrechnen Erweitern Addition Multiplikation

a = az b bz a b a b

+ c = ad+bc d bd c a  c  = d bd

Kürzen Subtraktion Division

az = az: z = a bz bz: z b a − c = ad−cb b d bd a : c = ad b d bc

Nenner stets ungleich Null

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_2

2.1 Mathematische Grundbegriffe

2.1.5 Lineare Gleichungssysteme a1x + b1y = c1 D = a1b2 − a2b1  0

eindeutige Lösung , wenn :

a2x + b2y = c2

x=

c1b2 − c2b1 a1b2 − a2b1

y=

a1c2 − a2c1 a1b2 − a2b1

2.1.6 Quadratische Gleichungen Allgemeine Form:

x 1,2 =

ax 2 + bx + c = 0

−b  b 2 − 4ac 2a D = b 2 − 4ac

x 1,2 = −

x 2 + px + q = 0

Normalform:

p  2

D= D > 0 : 2 Lösungen

p 2 p 2

D = 0 : 1 Lösung

2

2

−q

−q

D < 0 : keine reelle Lösung

2.1.7 Potenzen - Wurzeln Definitionen a n = Produkt von n gleichen Faktoren a n

a1 = a

a 0 = 1 (a  0 )

a = x J xn = a

Rechenregeln: a m  a n = a m+n

n

a  n b = n ab

a m : a n = a m−n

n

a : nb =

(a m ) n = a mn

a b

( n a )m = n am

a n  b n = (a  b ) n a n : b n = (a : b )

n

n

m n

a =

a −n = a1n 1

an = n a a

m n

= n am

m

mn

a

a− n =

n

1 am

9

10

2 Mathematische Grundlagen

2.1.8 Logarithmen x = log b a J b x = a

Definition

H

a, b > 0 und b  1

log b b = 1 ; log b 1 = 0

Rechengesetze

Sonderfälle

log a u  v = log a u + log a v

log 10 x = lg x

log a u v = log a u − log a v

log e x = ln x

log a u n = n  log a u

log 2 x = lb x

log a n u = 1 n  log a u

Umrechnung von Basis g auf Basis b

log b x = log b g  log g x

log b g  log g b = 1

lg x = lg e  ln x = 0, 434294 ln x ln x = ln 10  lg x = 2, 302585 lg x

2.1.9 Folgen - Reihen Folge a 1 , a 2 , „, a n

Reihe a 1 + a 2 + „ + a n =

Arithmetische Folge

Arithmetische Reihe

a n = a 1 + (n − 1 )d

n

 ak = sn

k =1

s n = n (a 1 + a n ) 2

d = a n − a n −1 = konstant Geometrische Folge

a n = a  q n −1

Geometrische Reihe sn = a 

qn − 1 1 − qn =a 1−q q−1

q1

a q = a n n−1 = konstant Unendliche geometrische Reihe s = lim s n = nG’

a 1−q

q 1  10 99

2.1.12 Verschiedene Mittelwerte MH > MG > MA a1  p1 + a2  p2 + „ + an  pn [p i ]

Allgemeines arithmetisches Mittel

M AA =

Arithmetisches Mittel

MA =

Geometrisches Mittel

MG = n a1  a2  „  an

Harmonisches Mittel

MH =

a1 + a2 + „ + an n

n 1 1 1 a1 + a2 + „ + an

p = Gewicht

11

12

2 Mathematische Grundlagen

2.2 Differentialrechnung 2.2.1 Ableitung df(x ) Erste Ableitung: f š (x ) oder dx

Funktion f(x) : Ableitungsregeln Potenzregel

f(x) = a  x n

f š (x) = n  a  x n −1

Produktregel

f(x) = u(x)  v(x)

f š (x) = v(x)  u š (x) +v š (x)  u(x)

Quotientenregel

u(x) f(x) = v(x)

f š (x) =

Kettenregel

f(x) = u(v(x ))

f š (x) = u š (v(x ))  v š (x )

v(x)  u š (x) − v š (x)  u(x) (v(x)) 2

Tabelle von Ableitungen f(x)

f š (x )

f(x)

f š (x )

c

0

sin x

cos x

xn

n  x n −1

cos x

− sin x

x

1 2 x

tan x

1 cos 2 x

x

1 n  n x n −1

cot x

−

ex

ex

arcsin x

ax

a x  ln a

arccos x

−

ln x

1 x

arctan x

1 1 + x2

log a x

1 x  ln a

arccot x

−

n

1 sin 2 x

1 1 − x2 1 1 − x2

1 1 + x2

2.2 Differentialrechnung

2.2.2 Potenzreihenentwicklung TAYLORsche Formel MACLAURINsche Form

f (x ) = f (0 ) + Restglied:

f š (0 ) f šš (0 ) 2 f (n ) (0 ) n x+ x +„+ x + R n (x ) 1! 2! n! n +1 f R n (x ) = x (n + 1 )!

(n +1 ) (

x ) wobei 0 < ϑ < 1

Allgemeine Form f (x 0 + h ) = f (x 0 ) +

Restglied:

f š (x 0 ) f šš (x 0 ) 2 f (n ) (x 0 ) n h+ h +„+ h + R n (h ) 1! 2! n!

R n (h ) = 1 n!

(1 + x ) m = 1 +

m x+ 1

x 0 +h

ˆ

(x 0 + h − x ) n f (n +1 ) (x )dx

x0

m 2 x + 2

m 3 x + 3

1 = 1 − x + x2 − x3 + −    1+x

x 1

3 5 7 arctan x = x − x + x − x + −„ 5 7 3

x >1

13

14

2 Mathematische Grundlagen

2.3 Matrizenrechnung 2.3.1 Definitionen Matrix :

System von Elementen a ik mit i = 1„m und k = 1„n in m Zeilen und n Spalten angeordnet

A

=

(m,n )

a 11 a 12 a 13 „ a 1n a 21 a 22 a 23 „ a 2n † a m1 a m2 a m3 „ a mn

Rechteckige Matrix:

mn

Quadratische Matrix:

m=n

Skalar:

m = n =1

Vektor:

einzeilige Matrix = Zeilenvektor

einspaltige Matrix = Spaltenvektor

a1 a2 … an a1 a2 † am

Nullmatrix:

alle Elemente a ik = 0

Diagonalmatrix:

quadratische Matrix bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen = 0 a ik = 0 fu¨r alle i  k

Einheitsmatrix:

Diagonalmatrix mit a ii = 1 fu¨r alle i

Symmetrische Matrix:

quadratische Matrix mit a ik = a ki für alle i, k

Gleichheit von Matrizen: A = B wenn a ik = b ik fu¨r alle i, k

2.3.2 Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraktion AB=C

a ik  b ik = c ik

i = 1„m ; k = 1„n

Die Addition von Matrizen ist - kommutativ:

A+B=B+A=C

- assoziativ:

A + (B + C) = (A + B) + C

Zwischen Addition und Subtraktion besteht in der Gesetzmäßigkeit kein Unterschied

2.3 Matrizenrechnung Transponieren einer Matrix Eine Matrix wird transponiert, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht a ik H a ki

A H AT :

Für symmetrische Matrizen gilt:

i = 1„m ; k = 1„n AT = A

(A T ) T = A

Regeln:

( A  B )T = B T  AT ( A  B  C ) T = C T  B T  AT Matrizenmultiplikation

A



(m,n )

B = (n,p )

C

c ik =

(m,p )

B = (n,p )

A = (m,n )

a 11 … a 1n † † a i1 … a in † † a m1 … a m n

n



j =1

a ij  b jk

i = 1„m ; k = 1„p

b 11 … b 1k … b 1p † † † b n1 … b nk … b np c 11 c 1k … † † c i1 … c ik … † † cm 1 … cm k …

c 1p † ci p † cm p

= C (m,p )

Für die Multiplikation müssen die Matrizen A und B verkettbar sein. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ: A  B  B  A A (B + C ) = A  B + A  C A  B  C = A (B  C ) = (A  B ) C

aber distributiv: und assoziativ: Matrizeninversion

Existiert eine Matrix B mit A  B = B  A = E (Einheitsmatrix), dann ist B die zu A inverse Matrix und wird mit A−1 bezeichnet, also A  A−1 = A−1  A = E (A quadratisch) KRAMERsche Regel für symmetrische Matrizen a 22 −a 12 −a 12 a 11

A=

a 11 a 12 a 12 a 22

A=

a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33

mit

D = a 11  b 11 − a 12  b 21 + a 13  b 31

b 11 = a 22  a 33 − a 223 b 22 = a 11  a 33 − a 213 b 33 = a 11  a 22 − a 212

H A−1 = 1 D

mit D = a 11  a 22 − a 212

b 11 −b 21 b 31 1 −b H A−1 = D b 22 −b 32 21 b 31 −b 32 b 33

b 21 = a 12  a 33 − a 13  a 23 b 31 = a 12  a 23 − a 13  a 22 b 32 = a 11  a 23 − a 13  a 12

15

16

2 Mathematische Grundlagen

2.4 Ebene Geometrie 2.4.1 Arten von Winkeln Nebenwinkel

betragen zusammen 200 gon

 +  = 200 gon

Scheitelwinkel

sind gleich groß

 = š

Stufenwinkel

an geschnittenen Parallelen sind gleich groß

" = "š

Wechselwinkel

an geschnittenen Parallelen sind gleich groß

* = *š

Winkel

deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind entweder gleich groß oder ergänzen einander zu 200 gon

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden š =  +  nicht anliegenden Innenwinkel

Winkelsummen

Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 200 gon Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 400 gon Im n Eck ist die Summe der Innenwinkel (n - 2) 200 gon

s¢ a

a¢

w

s

g

d

w¢

b

d

a

2.4.2 Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in: a) drei Seiten SSS b) zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel SWS c) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite SSW d) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln WSW einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WWS

2.4.3 Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn: a) drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben b) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen c) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen d) zwei Winkel übereinstimmen

b

b'

2.4 Ebene Geometrie

2.4.4 Strahlensätze

17

A'

1. Strahlensatz

A

SA : SA š = SB : SB š

(B)

2. Strahlensatz

S AB : A š B š = SA : SA š

B (A)

B'

2.4.5 Teilung einer Strecke Teilungsverhältnis

a A

Innere Teilung

B b Ti

Ta

b Äußere Teilung

AT i : T i B = a : b

AT a : T a B = a : b

T i = innerer Teilpunkt T a = äußerer Teilpunkt Harmonische Teilung Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke außen und innen im gleichen Verhältnis geteilt wird AT i : T i B = AT a : T a B = a : b

Stetige Teilung (Goldener Schnitt) a = AB a/2

a : x = x : (a − x )

x x = a  ( 5 − 1) 2

A

x a

TS

a-x

B

18

2 Mathematische Grundlagen

2.4.6 Dreieck Allgemeines Dreieck Bezeichnungen im Dreieck

a: b: c:

C

h a : Höhe zur Seite a h b : Höhe zur Seite b h c : Höhe zur Seite c

g a

b

Gegenseite der Ecke A Gegenseite der Ecke B Gegenseite der Ecke C

ha

Winkelsumme im Dreieck (Innenwinkel)  +  +  = 200 gon

hc

a

b

c A Beziehungen im Dreieck

B

Winkelsumme am Dreieck (Außenwinkel) š š š  +  +  = 400 gon

Seitenhalbierende s , Schwerpunkt S

Schwerpunkt S = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

2 a/

b/ 2

C

c/2

s

A

sc

b

2 a/

b/ 2

S sa

B

c/2

Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1

Winkelhalbierende w, Inkreis Inkreismittelpunkt O = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

C

r

A

wa O a/2 a/2

a

b

Inkreisradius

g/2 g/2

!= F s =

b/2 b/2

B

c

(s − a )(s − b )(s − c ) s

s= a+b+c 2

F = Fläche des Dreiecks

Mittelsenkrechte, Umkreis Umkreismittelpunkt U = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

C g

Umkreisradius

b

a

A

r= abc 4F

r

U

c

B

r=

c 2 sin 

F = Fläche des Dreiecks

2.4 Ebene Geometrie Rechtwinkliges Dreieck

C

b

a

h q

A

p c

Satz des PYTHAGORAS

B

Kathetensatz

c2 = a2 + b2

Höhensatz

h2 = p  q

a2 = c  p b = cq 2

mathematische Bezeichnung für p, q (siehe auch Abschnitt 4.1.4) F= ab 2

Fläche

Gleichschenkliges Dreieck

C

a = b oder  = 

g/2 g/2 a

a

hc a

A

c/2

a

c/2 c

Höhe

hc = a2 − c 2

Fläche

F=

B

2

a 2  sin  2

Gleichseitiges Dreieck  =  =  = 60

C a

h= a  3 2

Fläche

2 F= a  3 4

Umkreisradius

r= a  3 3

Inkreisradius

!= a  3 6

a

a

h A

Höhe

a

a a

B

19

20

2 Mathematische Grundlagen

2.4.7 Viereck Quadrat Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang

a a

Diagonale

d=a 2

Umfang

U=4a

Fläche

F = a2

Diagonale

d = a2 + b2

Umfang

U = 2(a + b )

Fläche

F=ab

Rechteck Die Diagonalen sind gleich lang

a

b

Raute Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander

a a

e 2 + f 2 = 4a 2

a

f e

Umfang

U=4a

Fläche

F= 1 ef 2

a

Parallelogramm Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig a Umfang

b

ha

Fläche

U = 2(a + b ) F = a  ha = b  hb

a Trapez

d

2 gegenüberliegende Seiten sind parallel c Umfang b m h Fläche

a

m = 1 (a + c ) 2 U=a+b+c+d F = 1 (a + c )  h 2

2.4 Ebene Geometrie

21

2.4.8 Vielecke Allgemeines Vieleck

b3 b2 2 a2

a3

3

i ai

1

a1

an

b1

bi

n bn

Summe der Innenwinkel 

(n − 2 )  200 gon

Summe der Außenwinkel 

(n + 2 )  200 gon

Anzahl der Diagonalen

n(n − 3 )  1 2

Anzahl der Diagonalen in einer Ecke

n−3

n = Anzahl der Ecken

Regelmäßiges Vieleck 1. Jedes regelmäßige Vieleck kann in n gleichschenklige, kongruente Dreiecke zerlegt werden

3

2. Der Zentriwinkel eines Dreiecks beträgt: = 1 n  400 gon

2

b

b

3. Jeder Außenwinkel beträgt:  = 200 gon + 1 n  400 gon

i b

g

n = Anzahl der Ecken

1

b b n

4. Jedes regelmäßige Vieleck hat gleichgroße Seiten und Winkel 5. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen In- und einen Umkreis 6. Der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks hat von den Ecken die gleiche Entfernung

22

2 Mathematische Grundlagen

2.4.9 Kreis Bezeichnungen am Kreis = in sich geschlossene Kreislinie

Bogen

= Teil des Umfanges

Radius

= Verbindungsstrecke Kreispunkt - Mittelpunkt

Sekante

= Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet

Sehne

= Strecke, deren Endpunkte auf dem Kreis liegen

Tangente

= Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt

Pfeilhöhe

= maximaler Abstand zwischen Kreisbogen und Sehne

Kreisumfang

U = 2  r =   d

Kreisfläche

F =   r2 =   d2 4

Sehne

s = 2r  sin  2

Pfeilhöhe

h = r  1 − cos  = 2r  sin 2  2 4

Radius

2 r= s + h 8h 2

a

r

M

a/2 a/2

h s/2

M

s/2

r

b = r   [rad ]

b

Kreisbogen

r

n

Umfang

d

Bo

ge

Seka

n te

ne Seh Radius M

Tangente

Pfeilhöhe

r

2.4 Ebene Geometrie

23

Kreis und Sehne Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises und halbiert den Mittelpunktswinkel Ähnlichkeit am Kreis Sehnensatz

D AE  EB = CE  ED

A

E B C

Sekantensatz

C SE  SF = SC  SD

D F

S

E Tangentensatz

T C

M

2

ST = SE  SC E S

24

2 Mathematische Grundlagen

Winkel am Kreis  = Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)

b

b A

g

M a

 = Umfangswinkel (Peripheriewinkel)  = Sehnentangentenwinkel = =  ; 2

B

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß

Satz des THALES: Jeder Umfangswinkel über dem Halbkreis = 100 gon

M

A

B

2.4.10 Ellipse P b a e

a = große Halbachse b = kleine Halbachse F 1,2 = Brennpunkte

Ortslinie für die Punkte P mit F 1 P + F 2 P = konstant = 2a Umfang - Näherungsformel U O   3 (a + b ) − ab 2 Fläche F=ab

1 für b a> 5 Lineare Exzentrizität

e = a2 − b2

U >  (a + b )

2.5 Trigonometrie

25

2.5 Trigonometrie 2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Definition der Winkelfunktionen Sinusfunktion Gegenkathete a = c Hypotenuse

a

b

sin  =

C

Kosinusfunktion

a

A

Ankathete = b cos  = Hypotenuse c

B

c cot a a

Tangensfunktion tan  =

Gegenkathete a = Ankathete b

1

Kotangensfunktion

a

cot  = Ankathete = b a Gegenkathete

1

Beziehungen zwischen den Funktionen des gleichen Winkels

sin α =

cos α =

 1 − sin 2 

sin cos

 1 − cos 2 

tan

tan   1 + tan 2 

cot

1  1 + cot 2 

Das Vorzeichen der Wurzel hängt vom Quadranten ab

cot  = cos  sin 

sin  tan  = cos 

sin 2  + cos 2  = 1

1  1 + tan 2  cot   1 + cot 2 

+x IV

I

III

II

+y

tan α = sin   1 − sin 2 

cot α =

 1 − sin 2  sin 

 1 − cos 2  cos 

cos   1 − cos 2  1 tan 

1 cot 

Quadrant I II

sin + +

cos + -

tan/cot + -

III IV

-

+

+ -

26

2 Mathematische Grundlagen

Besondere Werte, Grenzwerte 0° (0 gon)

30°

45° (50 gon)

60°

90° (100 gon)

1 2 2

1 3 2

1

1 2 2

1 2

0

sin

0

1 2

cos

1

1 3 2

tan

0

3 3

1

3

’

cot

’

3

1

3 3

0

1

sin  O tan  O 

a

tan a

sin a

Funktionswerte kleiner Winkel

1 Umwandlungen 100 gon 

200 gon 

300 gon 

400 gon 

sin

+ cos 

 sin 

− cos 

− sin 

cos

 sin 

− cos 

 sin 

+ cos 

tan

 cot 

 tan 

 cot 

− tan 

cot

 tan 

 cot 

 tan 

− cot 

Arcusfunktionen Hauptwert arcsin

−100 gon >  > +100 gon

Nebenwerte  =   n  400 gon

n = 1,2..

 = 200 gon−  n  400 gon

n = 0,1..

 =  + n  400 gon

n = 1,2..

arccos

0 gon >  > +200 gon

 = −  n  400 gon

n = 1,2..

arctan

−100 gon <  < +100 gon

 =  + n  200 gon

n = 1,2..

arccot

0 gon <  < +200 gon

 =  + n  200 gon

n = 1,2..

2.5 Trigonometrie

27

2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck C g a

b

b

a

A

c

B

Sinussatz a = b = c = 2r sin  sin  sin  r = Umkreisradius Beachten:

Wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind, sind folgende Fälle möglich: (z.B. für a, b,  gegeben) Für a P b ist  < 100gon Für a < b sind folgende Fälle zu unterscheiden:  1 und  2 = 200gon− 1 1. b sin  < a : zwei Werte für :  = 100gon 2. b sin  = a : 3. b sin  > a : keine Dreieckskonstruktion möglich Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke a s 2a = a c  sc

2

+ c  cos   s  [rad ] sin 

2

a  s [rad ] + tan  

2

s c = Standardabweichung der Strecke c s  , s  = Standardabweichung der Winkel ,  [rad ] Kosinussatz 2 2 2 cos  = b + c − a 2bc

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc  cos 

2 2 2 cos  = a + c − b 2ac 2 2 2 cos  = a + b − c 2ab

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac  cos  c 2 = a 2 + b 2 − 2ab  cos  Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke c s 2c =

a − b  cos   sa c

2

+

b − a  cos   sb c

2

+

ab  sin   s  [rad ] c

s a , s b = Standardabweichung der Strecken a, b s  = Standardabweichung des Winkels  [rad ]

2

28

2 Mathematische Grundlagen

Projektionssatz

a = b  cos  + c  cos  b = a  cos  + c  cos  c = b  cos  + a  cos 

Tangenssatz

+ a + b = tan 2 a−b − tan 2

+ b + c = tan 2 b−c − tan 2

c+a = c−a

+ 2 − tan 2 tan

Halbwinkelsätze

sin  = 2

(s − b )(s − c ) bc

cos  = 2

s(s − a ) bc

sin

 = 2

(s − a )(s − c ) ac

cos

 = 2

s(s − b ) ac

sin

 = 2

(s − b )(s − a ) ab

cos

 = 2

s(s − c ) ab

tan  =  2

! (s − b )(s − c ) = s−a s(s − a )

 ! = 2 s−b  ! tan = s − c 2 tan

s = 1 (a + b + c ) 2 !2 =

(s − a )(s − b )(s − c ) s

! = Inkreisradius

2.5 Trigonometrie

2.5.3 Additionstheoreme Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen sin( +  ) = sin   cos  + cos   sin  cos( +  ) = cos   cos  − sin   sin  sin( −  ) = sin   cos  − cos   sin  cos( −  ) = cos   cos  + sin   sin  tan( +  ) =

tan  + tan  1 − tan   tan 

cot( +  ) =

cot   cot  − 1 cot  + cot 

tan( −  ) =

tan  − tan  1 + tan   tan 

cot( −  ) =

cot   cot  + 1 cot  − cot 

Trigonometrische Funktionen des doppelten und des halben Winkels  sin  = 2  sin 2  cos  2  − sin 2  cos  = cos 2 2 2 2 cos  = 1 − 2  sin 2  cos  = 2  cos 2 2 − 1  1 + cos  = 2  cos 2 2  1 − cos  = 2  sin 2 2

sin 2 = 2  sin   cos  cos 2 = cos 2  − sin 2  cos 2 = 1 − 2  sin 2  cos 2 = 2  cos 2  − 1 1 + cos 2 = 2  cos 2  1 − cos 2 = 2  sin 2  sin  = 2

1 − cos  2

cos  = 2

1 + cos  2

tan  = 2

1 − cos  1 + cos 

cot  = 2

1 + cos  1 − cos 

+ −  cos 2 2 + − sin  − sin  = 2  cos  sin 2 2 + − cos  + cos  = 2  cos  cos 2 2 + − cos  − cos  = 2  sin  sin 2 2 sin  + sin  = 2  sin

29

30

2 Mathematische Grundlagen

2.5.4 Sphärische Trigonometrie Rechtwinkliges Kugeldreieck sin  =

sin a sin c

sin  =

sin b sin c

b cos  = tan tan c = cos a  sin 

a cos  = tan tan c = cos b  sin 

tan a tan  = sin b

tan  =

tan b sin a

cos c = cos a  cos b = cot   cot 

C (90°-b) b

a

A

a

cos eines Stückes = Produkt der cot der benachbarten Stücke oder Produkt der sin der nicht benachbarten Stücke wobei a durch (90°- a) und b durch (90°- b) ersetzt und Winkel γ = 90° nicht beachtet wird.

(90°-a)

•

NEPERsche Regel:

b

a

B

b

c

c

C Schiefwinkliges Kugeldreieck

g b

a

Sinussatz

sin a = sin b = sin c sin  sin  sin 

b

a A

c

cos a = cos b  cos c + sin b  sin c  cos  Seitenkosinussatz

cos b = cos c  cos a + sin c  sin a  cos  cos c = cos a  cos b + sin a  sin b  cos  cos  = − cos   cos  + sin   sin   cos a

Winkelkosinus

cos  = − cos   cos  + sin   sin   cos b cos  = − cos   cos  + sin   sin   cos c

Fläche

F = r 2   [rad ]

r = Radius

 =  +  +  − 180 (sphärischer Exzess)

B

3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen 3.1.1 Räumliches Bezugssystem Dreidimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem mit gegebener Orientierung zur Bestimmung der Raumkoordinaten von Punkten.

Z WGS 84 = World Geodetic System 1984 Bezugsfläche: WGS 84 - Ellipsoid

P

ZP XP YP

X Meridian von Greenwich

Koordinatenursprung im Massenmittelpunkt der Erde

Y

X-Achse durch den Meridian von Greenwich Y-Achse rechtwinklig nach Osten auf der X-Achse Z-Achse mittlere Umdrehungsachse der Erde

Seit 1989 besteht das Europäische Referenznetz ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989) als Bezugssystem mit dem GRS 80 (Geodetic Reference System 1980)-Ellipsoid als Bezugsfläche. Das ETRS89 ist an die Lage der erdfesten Stationen auf der eurasischen Platte des ITRS ( International Terrestrial Reference System) von 1989 gebunden.

3.1.2 Lagebezugssystem Das amtliche Lagebezugssystem in der Bundesrepublik Deutschland ist das ETRS89 mit dem vorgegebenen Abbildungsverfahren in UTM-Koordinaten. Alle Bundesländer haben auf ETRS89/UTM umgestellt.

3.1.3 Höhenbezugssystem In der Regel ein System, das durch eine Höhenbezugsfläche und ihren Abstand zu einem Zentralpunkt definiert ist.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_3

32

3 Geodätische Grundlagen

3.1.4 Bezugsfläche Mathematisch, physikalisch oder mittels vorhandener Festpunktfelder definierte Fläche, auf die sich Lagekoordinaten, Höhen oder Schwerepotenziale von Vermessungspunkten beziehen. Bezugsflächen für Lagevermessungen oder räumliche Vermessungen Rotationsellipsoid Mittleres Erdellipsoid:

Ersatzfläche für das gesamte Geoid Ellipsoidisches geodätisches Referenzsystem (GRS 80)

Lokal bestanschließendes Erdellipsoid:

Ersatzfläche für einen Teil des Geoids

Referenzellipsoid:

Rotationsellipsoid, das als Bezugsfläche für eine Landesvermessung dient (z. B. Bessel-Ellipsoid) Parameter einiger Erdellipsoide: Ellipsoid Bessel GRS80 Krassowski große Halbachse a 6 377 397,155 m 6 378 137,00 m 6 378 245 m kleine Halbachse b

6 356 078,963 m 6 356 752,314 m

6 356 863,019 m

Abplattung

1: 299,1528153

1:298,3

Abplattung f=

(a − b) a

f

1: 298,257 223 563

Erste numerische Exzentrizität

Zweite numerische Exzentrizität

2 2 e 2 = a −2b a

2 2 š e 2 = a −2b b

Meridiankrümmungshalbmesser M=

a2  b2 (a 2  cos 2 B + b 2  sin B ) 2

3

=

a(1 − e 2 ) (1 − e 2  sin 2 B ) 3

Querkrümmungshalbmesser N=

a2 = a 2  cos 2 B + b 2  sin 2 B

a (1 − e 2  sin 2 B )

Kugel als Lagebezugsfläche Die Kugel diente früher als Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid, für Vermessungen in kleineren Ländern. Erdkugel

Radius R

Bildkugel

Radius der Soldnerschen Bildkugel Radius der Gaußschen Schmiegungskugel

RS = N RG = M  N

Ebene als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid oder für eine Bildkugel, für Vermessungen in einem Gebiet bis zu 10 x10 km² Höhenbezugsfläche

(siehe Abschnitt 9.1, Niveauflächen und Bezugsflächen)

3.2 Geodätische Koordinatensysteme

33

3.2 Geodätische Koordinatensysteme 3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem Z ϕ = Geographische Breite

P

λ = Geographische Länge

j

Y

l

X Meridian von Greenwich

3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem Z

(Geodätisches Koordinatensystem) B = Ellipsoidische Breite Winkel, den der in der Meridianebene liegende Normalkrümmungshalbmesser N mit der Äquatorebene bildet

P N

E

Y B Äquator

X

L = Ellipsoidische Länge Winkel, den die ellipsoidische Merdianebene eines Punktes mit der geodätischen Nullmeridianebene bildet H E = Ellipsoidische Höhe Punkthöhe über dem Ellipsoid

Meridian von Greenwich

3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem Z

Umdrehungsachse

X = (N + H E )  cos B  cos L Y = (N + H E )  cos B  sin L

P

2 Z = N  sin B  b 2 + H E  sin B a

Z

Y X

Y

X Meridian von Greenwich

Äquator

a = große Halbachse b = kleine Halbachse N = Normalkrümmungshalbmesser

34

3 Geodätische Grundlagen

3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem

Die Abszissenachse ist ein Meridian durch den Koordinatenanfangspunkt P0 .

X P2

T s P1

Y1

X1

Die Ordinate Y eines Punktes P1 ist das sphärische Lot von P1 auf die Abszissenachse, die Abszisse X von P1 ist der Meridianbogen vom Koordinatenanfangspunkt P0 bis zum Ordinatenlotfußpunkt.

Y P0

T = Sphärischer Richtungswinkel

3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem +x y1

x1 IV

t P0

III

s

P1

I,II,III,IV Quadranten t = ebener Richtungswinkel

I +y

s = Strecke

II

3.2.6 Polarkoordinaten

Φ = Polarwinkel N ul lri ch tu ng

Anmerkung: Ist die Nullrichtung = Abszissenachse, so ist der Polarwinkel = Richtungswinkel s = Strecke

F P0

s

P1

3.2 Geodätische Koordinatensysteme

35

3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System) Grundlage des GK-Systems ist die GK-Abbildung. Diese ist eine konforme Abbildung der Oberfläche eines Rotationsellipsoides in die Ebene, wobei der Hauptmerdian längentreu abgebildet wird. Das System ist in 3° breite Meridianstreifen eingeteilt. Meridianstreifen Jeder Meridianstreifen hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 1° 40' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 6°, 9°, 12° und 15° östlich von Greenwich. Die Meridianstreifen werden in östlicher Richtung durchnummeriert und mit einer Kennzahl bezeichnet. Kennzahl K z = L 0 /3 L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) R = Rechtswert = Ordinate = R 0 + y R 0 = Ordinatenwert des Hauptmeridians = K z  10 6 + 500 000 m

y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: 3 5 y=Y+ Y 2 + Y 4 +… 6R 24R

R = Mittlerer Krümmungsradius

für Süddeutschland 6381 km für Norddeutschland 6384 km

In der Praxis wurde jedoch ein einheitlicher Krümmungsradius für Deutschland von 6380 km verwendet.

H = Hochwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) eines 3° breiten Meridianstreifens. Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Die Abszisse wird längentreu abgebildet: x= X

36

3 Geodätische Grundlagen

3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System) Das UTM-System ist ähnlich aufgebaut wie das GK-System (siehe Abschnitt 3.2.7). Anders als beim GK-System ist das UTM-System aber in 60 Zonen mit 6° breiter Ost-West-Ausdehnung eingeteilt und der Hauptmerdian wird nicht längentreu abgebildet. Zonen Jede Zone hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 3° 30' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 3°, 9° und 15° östlich von Greenwich. Die Zonen werden in östlicher Richtung von 1 bis 60 durchnummeriert. Zonennummer Z =

L0 + 3 + 30 6

L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) E = Ostwert = Ordinate = E 0 + y E 0 = (Z + 0, 5 )  10 6 m

y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: 3 5 y= Y+ Y 2 + Y 4 +… 6R 24R

R = Mittlerer Krümmungsradius für Süddeutschland 6381 km für Norddeutschland 6384 km In der Praxis wird jedoch ein einheitlicher Krümmungsradius für Deutschland von 6380 km verwendet.

N = Nordwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Abbildungsmaßstab des Bezugsmeridians

m 0 = 0, 9996

3.2 Geodätische Koordinatensysteme

37

3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen Zur Zeit gelten in Deutschland für die als horizontale Bezugsrichtungen verwendeten Nordrichtungen folgende Anordnungen

GiN = GgN

GiN

GiN

GgN GgN -c +D

MN

+d

MN

+c

MN +D

+D +d

+d

Standpunkt westl. des Bezugsmeridians

Standpunkt im Bezugsmeridian

Standpunkt östl. des Bezugsmeridians

L < L0

L = L0

L > L0

Nordrichtungen GgN = Geographisch-Nord (Nördliche Richtung des durch den Standpunkt verlaufenden Meridians) GiN = Gitter-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden Parallelen zum Bild des Bezugsmeridians) MN = Magnetisch-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden horizontalen Projektion der magnetischen Feldlinien) Magnetisch-Nord ändert sich zeitlich auf Grund der Wanderung des magnetischen Nordpols. Damit sind auch die Deklination D und die Nadelabweichung d zeitlich veränderlich.

38

3 Geodätische Grundlagen

Deklination D

= Winkel zwischen GgN und MN, von GgN nach Osten +, nach Westen -

Nadelabweichung d

= Winkel zwischen GiN und MN, von GiN nach Osten +, nach Westen -

Meridiankonvergenz c

= Winkel zwischen GgN und GiN von GgN nach Osten +, nach Westen (im Bezugsmeridian GiN = GgN ; c = 0)

Näherungsformel für c: y c O (L − L 0 ) sin ' O N  !  tan ' L − L 0 = geogr. Längenunterschied zwischen Standpunkt und Bezugsmeridian ' = Geographische Breite N = Querkrümmungshalbmesser (siehe Abschnitt 3.1.4) y = Abstand vom Bezugsmeridian !=

200gon bzw. 180  

4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 4.1.1 Richtungswinkel und Strecke Dy

x 2

t 1,2 1

P2

Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )

s 1,2

y = y 2 − y 1

P1

y

y1

x = x 2 − x 1

y2

Richtungswinkel t 1,2 = arctan Quadrant I II III IV

y x

y x Funktion auf Taschenrechner: arctan = tan-1 t + + + arctan t + 200 gon + - arctan t + 200 gon - + arctan t + 400 gon + - arctan t

Formel für quadrantengerechten Richtungswinkel nach JOECKEL y = y 2 − y 1 + 1  10 −a x = x 2 − x 1 + 1  10 −a a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird. (z.B. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit) t [rad ] = arctan

y +  − (1 + sgnx )  sgny   x 2

y t [gon ] = 200  arctan x + 200 − (1 + sgnx )  sgny  100 Für Taschenrechner mit voreingestellter Einheit ”Gon” t [gon ] = arctan

y + 200 − (1 + sgnx )  sgny  100 x

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_4

40

4 Vermessungstechnische Grundlagen

Richtungswinkel und Strecke x Dy P2 2

t 1,2 1

Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )

s 1,2

y = y 2 − y 1

P1

x = x 2 − x 1

y

y1

y2

Strecke

s 1,2 = y 2 + x 2 Probe:

y + x = (y 2 + x 2 ) − (y 1 + x 1 ) = s  2  sin(t 1,2 + 50 gon )

Genauigkeit: Standardabweichung eines Richtungswinkels

s t [rad ] =

sP s

s P = Standardabweichung eines Punktes (siehe Abschnitt 4.1.2) s = Strecke Standardabweichung einer Strecke nach PYTHAGORAS

ss =

y s

2

 s 2y 1 + s 2y 2 + x s

2

 s 2x 1 + s 2x 2

s s = s 21 + s 22 fu¨r s 1 = s y 1 = s x 1 und s 2 = s y 2 = s x 2 s x i , s y i = Standardabweichungen der Koordinaten eines Punktes Die Berechnung von Richtungswinkel und Strecke ist auch mit der Tastenfunktion R - P eines Taschenrechners möglich. Die Rechenfolge ist aus der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Näherungsformel für Spannmaßberechnung

d c

b

a c=a+d

2 dO b 2a

a O c ; b klein

4.1 Einfache Koordinatenberechnungen

41

4.1.2 Polarpunktberechnung x

Dy

Pi

Gegeben: Koordinaten des Punktes P 1 (y 1 , x 1 ) Richtungswinkel t Strecke s

s

t P1

y

Koordinatenunterschiede x = s  cos t

y = s  sin t

Probe: s 2 = y 2 + x 2

Koordinaten des Punktes P i

y i = y 1 + y

x i = x 1 + x

Die Polarpunktberechnung kann auch mit der Tastenfunktion P - R eines Taschenrechners erfolgen. Die Rechenfolge ist der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten

sy =

y s  ss

2

+ (x  s  [rad ])

2

sx =

x  s s s

2

+ (y  s  [rad ])

Standardabweichung eines Punktes

s P = s 2x + s 2y

s P = s 2s + (s  s  [rad ]) 2 Standardabweichung der Querabweichung

s q = s  s  [rad ] s t = s  = Standardabweichung des Richtungswinkels s s = Standardabweichung einer Strecke s y , s x = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes

2

42

4 Vermessungstechnische Grundlagen

4.1.3 Kleinpunktberechnung Kleinpunkt in der Geraden

+x

PE

X

x

Pi i

PA

Y

Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A , X A ) und P E (Y E , X E ) Abszissen im örtlichen Koordinatensystem x A , x i , x E s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter

o=

YE − YA s

a=

XE − XA s

Probe: a2 + o2 O 1 YE = YA + o  s

XE = XA + a  s

Maßstabsfaktor m= S s Koordinaten der Punkte P i Y i = Y A + o  (x i − x A ) Probe: [Y i ] = n  Y A + o  ( [x i ] − n  x A )

X i = X A + a  (x i − x A )

[X i ] = n  X A + a  ([x i ] − n  x A )

n = Anzahl der Punkte P i oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i

4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Seitwärts gelegener Punkt

Pi

+x

PE

x

X

i

+y

PA

Y

Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A , X A ) und P E (Y E , X E ) Örtliche Koordinaten der Punkte P i (y i , x i ) s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter

o=

YE − YA s

a=

XE − XA s

Probe: a2 + o2 O 1 YE = YA + o  s

XE = XA + a  s

Maßstabsfaktor m= S s

Koordinaten der Punkte P i

Y i = Y A + o  (x i − x A ) + a  y i Probe: [Y i ] = n  Y A + o  ( [x i ] − n  x A ) + a  [y i ] n = Anzahl der Punkte P i oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i

X i = X A + a  (x i − x A ) − o  y i [X i ] = n  X A + a  ( [x i ] − n  x A ) − o  [y i ]

43

44

4 Vermessungstechnische Grundlagen

4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt Gegeben: Seiten a, b, c

b

a

h q

p c 2 2 2 p= b +c −a 2c

h = a2 − q2

2 2 2 q= a +c −b 2c

h = b2 − p2

p+q=c

vermessungstechnische Bezeichnung für p, q (siehe auch Abschnitt 2.4.6)

Genauigkeit: Standardabweichung der Seite p

b s c b

sp =

2

+ 1  sc 2

2

+ a c  sa

2

s a , s b , s c = Standardabweichung der Seiten a,b,c Standardabweichung der Höhe h

b 2  s 2b + p 2  s 2p h2

sh =

4.1.5 Schnitt mit einer Gitterlinie X

X Pi

Xi

PE

Xi

PA

PE

Pi PA

Y

Y

Yi

Yi = YA +

(Y E − Y A )(X i − X A ) (X E − X A )

Xi = XA +

(X E − X A )(Y i − Y A ) (Y E − Y A )

4.1 Einfache Koordinatenberechnungen

4.1.6 Geradenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ), P 2 (y 2 , x 2 ), P 3 (y 3 , x 3 ) und P 4 (y 4 , x 4 )

x P3 t 3,1 t 3,4 s

1,3

P2 PS

t 1,2 P1

P4

y

1. Möglichkeit

y2 − y1 tan t 1,2 = x 2 − x 1

y4 − y3 tan t 3,4 = x 4 − x 3

Koordinaten des Schnittpunktes P S xS = x3 +

(y 3 − y 1 ) − (x 3 − x 1 )  tan t 1,2 tan t 1,2 − tan t 3,4

y S = y 1 + (x S − x 1 )  tan t 1,2 oder

y S = y 3 + (x S − x 3 )  tan t 3,4 Probe: y2 − yS tan t 1,2 = x 2 − x S

oder

y4 − yS tan t 3,4 = x 4 − x S

2. Möglichkeit: Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 3,1 , t 3,4 und der Strecke s 1,3 aus Koordinaten (siehe Abschnitt 4.1.1) s 1,S = s 1,3 

sin(t 3,1 − t 3,4 ) sin(t 3,4 − t 1,2 )

Koordinaten des Schnittpunktes P S

y S = y 1 + s 1,S  sin t 1,2

x S = x 1 + s 1,S  cos t 1,2

Probe: t 1,2 = t 1,S ( 200gon) = t S,2 ( 200 gon)

45

46

4 Vermessungstechnische Grundlagen

4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis x

S2

B

H

a

A

r

h

S1

M

y

Gegeben: Koordinaten der Punkte A(y A , x A ), B(y B , x B ) und des Kreismittelpunktes M(y M , x M ) Radius r Berechnung der Richtungswinkel t A,B , t A,M und der Strecken AB, AM aus Koordinaten (siehe Abschnitt 4.1.1)  = t A,M − t A,B h = AM  sin 

h > r : keine Lösung h = r : eine Lösung h < r : 2 Lösungen

HS = r 2 − h2 2

AH = AM − h 2 AS 1 = AH − HS

AS 2 = AH + HS

Koordinaten der Schnittpunkte

y S 1 = y A + AS 1  sin t A,B

y S 2 = y A + AS 2  sin t A,B

x S 1 = x A + AS 1  cos t A,B

x S 2 = x A + AS 2  cos t A,B

Probe: SM = r

und

t A,B = t A,S

4.2 Flächenberechnung

47

4.2 Flächenberechnung 4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen Dreieck Allgemein 2F = Grundseite  Ho¨he

C g

a

A

2F = 4  r 2  (sin   sin   sin  )

b

b2 c2 a2 = = 2F = cot  + cot  cot  + cot  cot  + cot 

B

c

2F = 2 s(s − a )(s − b )(s − c ) ; s = a + b + c 2

Rechtwinkliges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

a

g

Gleichseitiges Dreieck

a

a

a

b

r = Umkreisradius

a

b

2F = a  b  sin  = a  c  sin  = b  c  sin 

a

a 2F = a  b

2F = a 2  sin 

2F = 1  a 2  3 2

Trapez Allgemein

c 2 − c2 2F = cota + cot 

h g

a

2F = (a + c)  h

a

-

Verschränktes Trapez

A xE

yA xA

2F = (x E − x A )(y E + y A )

+ yE

+

-

E

Beachten: (y A , x A ); (y E , x E ) sind vorzeichenbehaftete Koordinaten

48

4 Vermessungstechnische Grundlagen

Kreis

Kreisabschnitt s chni t t

a

r

F =   r2

Kreisausschnitt (Sektor)

F =  [rad ]  r 2 2

Kreisabschnitt (Segment)

2 F = r  ( [rad ] − sin  ) 2

a

r

us

a

Kreisfläche

i Kre

s

4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten Gaußsche Flächenformel Trapezformel

2F = 2F =

Dreiecksformel

n

 (y i + y i +1 )(x i − x i +1 )

2F =

 (x i + x i +1 )(y i +1 − y i )

2F =

i =1 n i =1

In einem n Eck gilt: für i = n folgt für i+1 = 1 für i = 1 folgt für i -1 = n

n

 y i (x i −1 − x i +1 )

i =1 n

 x i (y i +1 − y i −1 )

i =1

und

Flächenberechnung im Uhrzeigersinn X Fläche positiv Flächenberechnung gegen den Uhrzeigersinn X Fläche negativ Fläche aus Polarkoordinaten Nullrichtung

2 3

1

r i = gemessene Richtung

s1

s i = gemessene Strecke

r1

5

4

Standpunkt

Grundformel: F = 1 a  b  sin  2

2F =

n

 s i  s i +1  sin(r i +1 − r i ) i =1

4.2 Flächenberechnung

49

4.2.3 Flächenreduktionen Gauß-Krüger-System r F GK = −

Y m2  F 2GK R2

Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian F GK = berechnete Fläche aus Landeskoordinaten R = Erdradius 6380 km Fläche F Ell auf dem Erdellipsoid F Ell = F GK + r F Gk

UTM-System r F UTM =

F UTM 0, 9996  1 +

Y m2 2R 2

2

− F UTM

Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian F UTM = berechnete Fläche aus Landeskoordinaten R = Erdradius 6380 km Fläche F Ell auf dem Erdellipsoid F Ell = F UTM + r FUTM

4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen Baden-Württemberg: Z F bedeutet die größte zulässige Abweichung in Quadratmetern zwischen einer aus Landeskoordinaten berechneten Fläche F und der im Liegenschaftskataster nachgewiesen Flurstücksfläche Z F = 0, 2 F Genauigkeitsstufe 1 und 2

50

4 Vermessungstechnische Grundlagen

4.3 Flächenteilungen 4.3.1 Dreieck Nach der Ermittlung der Strecken s werden die Koordinaten der Neupunkte P mit diesen Strecken s über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen Von einem Eckpunkt

C

s=

F 1  AB 2F 1 = F h

h F1

A

F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche

B

P

s

Durch gegebenen Punkt G C

G

s=

h F1

A

B

P

s

F 1  AC  AB 2F 1  AC = F  AG h  AG

F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche

Parallel zur Grundlinie

C s s

1

2

F1

P1

P2

A

s 1 = AC  B

F1 F

s 2 = BC 

F1 F

F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche

Senkrecht zur Grundlinie

C Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt

P2

s 1 = AC 

F1 F2

s 2 = AE 

s

1

h F1 A

s2

F 1 = Teilungsfläche

P1

E

B

F 2 = AE  h 2

F1 F2

4.3 Flächenteilungen

4.3.2 Viereck Nach der Ermittlung der Strecken s werden die Koordinaten der Neupunkte P mit diesen Strecken s über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen Von einem Eckpunkt

C

D

s= h1

A

P

F1

F1 = Teilungsfläche

B

s

2F 1 F 1  AB = F ABD h1

Durch gegebenen Punkt G

G

D

F1 = Teilungsfläche

š

F1 A

š

F 1 = F 1 − F AGD

C

s=

P

B

s

F 1  AB F ABG

Parallelteilung

C

x = a 2 − 2F1 (cot  + cot )

D x

s

h1

F1 a

s2

A

a

2F h 1 = a + 1x

P2

1

P1

h1

b

B

h1 sin 

s1 =

h1 sin 

s2 =

F1 = Teilungsfläche Senkrechtteilung s2 P D 2 a

Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt š F 1 = F 1 − F AED F1 = Teilungsfläche

C

s1

š

x = h 2 − 2F 1  cot 

s1 =

2F 1 h+x

s2 =

s1 sin 

š

š

s'1

E

A

š

x

h F 1

P1

B

š

s 1 = AE + s 1

Sonderfall

y

y

F1 P1

s

s = F 1  cot

P2

g/2 s

A

 2

F1 = Teilungsfläche

F y = s1

51

5 Winkelmessung 5.1 Achsenabweichungen beim Theodolit Berechnung der Abweichungen als Verbesserung Zielachsenabweichung c c ist der Winkel, um den die Zielachse des Theodolits vom rechten Winkel zur Kippachse abweicht. k c ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen einer Zielachsenabweichung. Bestimmung: Anzielen eines etwa in Kippachsenhöhe liegenden Punktes in zwei Fernrohrlagen c=

(A II − A I ) − 200 gon 2

A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II Zielachsenkorrektion Auswirkungen auf die Horizontalrichtung

kc =

c sin z

z = Zenitwinkel Minimum z = 100 gon ; k c = c Maximum z = 0 gon Auswirkungen auf den Horizontalwinkel

k c = c 

1 − 1 sin z2 sin z1

Die Zielachsenabweichung kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_5

5.1 Achsenabweichungen beim Theodolit

53

Kippachsenabweichung k k

ist der Winkel, um den die Kippachse vom rechten Winkel zur Stehachse abweicht.

k k ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen einer Kippachsenabweichung. Bestimmung: a) Anzielen eines hochgelegenen Punktes in zwei Fernrohrlagen (z > 70gon ) k=

(A II − A I ) − 200 gon − c tan z 2 sin z

A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel

P

A1

l

A2

b) Abloten eines hohen Punktes in zwei Fernrohrlagen, nachdem Steh- und Zielachsenabweichung beseitigt sind. k = arctan l  tan z 2s l = Abstand A 1 A 2 am Maßstab s = Abstand Theodolit-Maßstab z = Zenitwinkel Kippachsenkorrektion Auswirkung auf die Horizontalrichtung k k = k  cot z z = Zenitwinkel Minimum bei z = 100 gon ; k = 0 Maximum bei z = 0 gon Auswirkung auf den Horizontalwinkel k k = k  (cot z 2 − cot z 1 ) Die Kippachsenabweichung kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.

54

5 Winkelmessung

Gemeinsame Bestimmung von Zielachsen- und Kippachsenabweichung Messung der Horizontalrichtungen zu zwei Punkten in zwei Fernrohrlagen R i = (A II − A I − 200 gon ) = 2k c + 2k k A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel Kippachsenabweichung

k=

R 1  sin z 1 − R 2  sin z 2 2(cos z 1 − cos z 2 )

Zielachsenabweichung

c=

R 1  sin z1 − 2k  cos z1 2

Höhenindexkorrektion k z Korrektion eines in einer Fernrohrlage gemessenen Zenitwinkels wegen fehlerhafter Stellung des Höhenindex. Bestimmung: Anzielen eines Punktes in beiden Fernrohrlagen und Ablesen der Zenitwinkel kz =

400 gon − (z I + z II ) 2

z I = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II = Ablesung Zenitwinkel Lage II Verbesserung vz = kz Die Höhenindexkorrektion wird durch Beobachten des Zenitwinkels in zwei Fernrohrlagen und Abgleichung der Ablesungen auf 400gon eliminiert.

Stehachsenabweichung - Stehachsenschiefe v Winkel, den die Stehachse des Theodolits mit der Lotrichtung bildet. v ist kein Instrumentenfehler und nicht durch Messung in zwei Fernrohrlagen eliminierbar. Deshalb muss die Stehachsenlibelle sorgfältig justiert und eingespielt werden. Digitale Theodoliten sind mit einer elektrischen Libelle zur automatischen Erfassung der Stehachsenschiefe ausgestattet. Hier muss der Theodolit (Tachymeter) mit der Dosenlibelle so genau vorhorizontiert werden, dass der Messbereich der elektrischen Libelle nicht überschritten wird.

5.2 Horizontalwinkelmessung

55

5.2 Horizontalwinkelmessung 5.2.1 Begriffsbestimmung Beobachten in 2 Halbsätzen:

Beobachten in Lage I (A I ) Teilkreisverstellung um wenige gon Beobachten in Lage II (A II )

Beobachten in Vollsätzen:

Beobachten in Lage I (A I ) und Lage II (A II ) Teilkreisverstellung um 200/n weitere (n - 1) Beobachtungen in Lage I und Lage II n = Anzahl der Sätze

Bei elektronischen Winkelmessinstrumenten ist eine tatsächliche Teilkreiseinstellung nicht mehr möglich und kann somit entfallen

5.2.2 Satzweise Richtungsmessung Berechnung: Reduzierung der Ablesungen in jedem Satz auf die erste Richtung R 1

Ri =

A I + (A II  200 gon ) − R 1 [Lage I ] 2

A I = Ablesung Lage I A II = Ablesung Lage II Mittel aus allen Sätzen [R ] R iM = ni

n = Anzahl der Sätze

s = Anzahl der Richtungen

Summenprobe [A I ] + [A II ] = 2n  [R iM ] + s  (R 1 [Lage I ] + R 1 [Lage II ]) Genauigkeit: d i = R iM − R i

Satzweise: v i = d i − [d ] / s

[v i ] = 0

Standardabweichung einer in einem Satz beobachteten Richtung sR =

[vv ] (n − 1 )(s − 1 )

n = Anzahl der Sätze

s = Anzahl der Richtungen

Standardabweichung einer in n-Sätzen beobachteten Richtung sR = sR  1 n Standardabweichung eines Winkels

s = sR  2

56

5 Winkelmessung

5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss Alle Winkel zwischen zwei Richtungen werden einzeln beobachtet.

Pn

P1

a1 a2

an ai

P2

Pi

Berechnung: ausgeglichener Winkel

i = i + v v = −w / s

Widerspruch

w = [ i ] − 400 gon s = Anzahl der Richtungen

Genauigkeit: Standardabweichung eines beobachteten Winkels s n = w s s = Anzahl der Richtungen Standardabweichung eines ausgeglichenen Winkels s  = s n  1 − 1 s s = Anzahl der Richtungen

5.2 Horizontalwinkelmessung

5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen Es sind mindestens zwei gemeinsame Ziele notwendig

1. Reduzieren o i = R 1i − R 2i R 1i = Richtungen 1. Teilsatz R 2i = Richtungen 2. Teilsatz 2. Orientierungsunbekannte [o ] o = ni n = Anzahl der gemeinsamen Ziele 3. orientierte Richtungen des 2. Teilsatzes R oi = R 2i + o 4. endgültige Richtung

Ri =

R 1i + R oi 2

Summenprobe [R 2i ] + s  o = [R oi ] s = Anzahl der Richtungen

Verbesserung v 1i = R i − R 1i v 2i = R i − R oi vi =

(v 1i + v 2i ) 2

Probe: [v i ] = [v 1i ] = [v 2i ] = 0

57

58

5 Winkelmessung

5.3 Vertikalwinkelmessung Höhenindexkorrektion k zi =

400 gon − (z I i + z II i ) 2

wobei i = 1...s  n

z I i = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II i = Ablesung Zenitwinkel Lage II

s = Anzahl der Richtungen n = Anzahl der Sätze

Mittelwert der Höhenindexkorrektion [k i ] k z = s zn Verbesserung der Höhenindexkorrektion v k zi = k z − k z i korrigierter Zenitwinkel (z Ii − z II i ) + 400 gon 2

zI š = i

oder

z I š = z I i + k zi i

;

z II š = z IIi + k zi i

korrigierter Zenitwinkel aus n Sätzen z I ši n

z I ši =

Summenprobe pro Richtung z I ši =

[z I i − z II i + 400 gon ] 2n

n = Anzahl der Sätze Genauigkeit: Standardabweichung für die einmal bestimmte Höhenindexkorrektion s kz =

v k z i v k zi sn−1

s = Anzahl der Richtungen n = Anzahl der Sätze Standardabweichung des Mittels aller n  s Höhenindexkorrektionen

s kz =

s kz ns

Standardabweichung eines in n Sätzen beobachteten Zenitwinkels z sz =

s kz n

5.4 Winkelmessung mit der Bussole

5.4 Winkelmessung mit der Bussole GiN

MN t

d'

P2 d' = Missweisung der Sicht

W'

W' = gemessenes magnetisches Azimut

P1

t = Richtungswinkel

Bestimmung der Missweisung der Sicht d': Messung des magnetischen Azimuts W' auf einem koordinierten Punkt P1 nach einem koordinierten Punkt P2 dš =t−Wš Die so ermittelte Missweisung der Sicht enthält auch noch etwaige Instrumentenfehler.

59

6 Strecken- und Distanzmessung 6.1 Streckenmessung mit Messbändern - Korrektionen und Reduktionen Temperaturkorrektion k t =   (t − t 0 )  D A

D A = abgelesene Bandlänge

α = Ausdehnungskoeffizient : α Stahl = 0,0000115 m/m °C α Invar = 0,000001 m/m °C t0 = Bezugstemperatur, t0 = 20°C

t = Bandtemperatur Kalibrierkorrektion

D k k = DIst  D A 0

D A = abgelesene Bandlänge

D Ist = Ist-Wert eines Messbandes Bestimmung auf einer Vergleichsstrecke oder auf einem Komparator D 0 = Solllänge des Messbandes unter Normalbedingungen (Nennmaß)

Länge eines freihängenden Bandes D = DA + kk + kt

Alignementreduktion wegen Messbandneigung sowie seitlicher Auslage 2

ra = − h 2D

S h

D Durchhangreduktion bei gleichen Höhen der Bandenden rd = −

D3  p2 24F 2

S

D F = Spannkraft gemessen in N p = Eigengewicht des Messbandes pro Längeneinheit in N/m

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_6

6.2 Optische Streckenmessung

6.2 Optische Streckenmessung 6.2.1 Basislattenmessung

s

g

b

Gegeben: Basis b Gemessen: Parallaktischer Winkel   s = b  cot 2 2

Genauigkeit: Standardabweichung der berechneten Strecke s

ss =

s s b b

2

2 + s  s  [rad ] b

2

s2 b fehlerfrei: s s = b  s[rad ]

s b = Standardabweichung der Latte b s  = Standardabweichung des Winkels γ

6.2.2 Strichentfernungsmessung (REICHENBACH)

Lo Lm L

e z

i

e

b

Lu

Dh HB

D

HA Gemessen: Zenitwinkel z Lattenablesung oben L o Lattenablesung unten L u Lattenablesung Mitte L m Instrumentenhöhe i

DH Bekannt:

 = arctan 1 2k k = 100  = 0, 3183 gon

Näherungsformeln: D = 100  L  cos 2  = 100  L  sin 2 z

L = Lo − Lu

h = 100  L  sin   cos  = 100  L  sin z  cos z

 = 100 gon − z

H = h − L m + i

61

62

6 Strecken- und Distanzmessung

6.3 Elektronische Distanzmessung 6.3.1 Elektromagnetische Wellen c c = n0

Signalgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

c 0 = 299 792 458 m/s

Brechzahl n der Atmosphäre

n=

c0 c

n = n(p,t,e, T )

N = (n − 1)  10 6

p = Luftdruck t = Temperatur e = Feuchte  T = Trägerwellenlänge

Modulationsfrequenz

c f = M

 M = Modulationwellenlänge

6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung Impulsverfahren Der Sender sendet nur während sehr kurzer Zeit und das ausgesandte Wellenpaket (Puls) dient als Messsignal

D=

c0  t 2n

t = Impulslaufzeit c 0 = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum n = Brechzahl der Atmosphäre Phasenvergleichsverfahren Der vom Sender kontinuierlich abgestrahlten Welle wird ein periodisches Messsignal aufmoduliert D=n

 M '  M +  2 2 2

 M = Modulationswellenlänge = c f n = Anzahl der  M ' = Phasendifferenz

6.3 Elektronische Distanzmessung

6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre Brechzahl N bei Licht als Trägerwelle für Normatmosphäre nach DIN ISO 2533 (Luft trocken; 0,03% CO2;

T = 273 K p = 1023,25 hPa)

Gruppenbrechungsindex n Gr nach BARRELL und SEARS

(n Gr − 1 )  10 6 = 287, 604 + 3 

1, 6288 0, 0136 +5  2T  4T

 T = Trägerwellenlänge in μm für tatsächliche Verhältnisse Brechungsindex n L nach KOHLRAUSCH (n − 1 ) 4, 1  10 −8 N L = (n L − 1 ) = 987  10 −6  Gr p− e (1 +   t ) (1 +   t ) t = Trockentemperatur in °C ; tf = Feuchttemperatur in °C p = Luftdruck in hPa e = Partialdampfdruck des Wasserdampfs in hPa α = Ausdehnungskoeffizient der Luft = 0,003661 Einfluss von e vernachlässigbar klein! Genauigkeit:

dN L = dn L 10 6 = 0, 29dp − 0, 98dt − 0, 06dt f Standardabweichung der Distanz Einfluss von p,t,t f s D = 0, 09s 2p + 0, 96s 2t + 0, 004s 2t f  10 −6  D

D

63

64

6 Strecken- und Distanzmessung

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen 6.4.1 Frequenzkorrektion kf = Da 

f0 − f f

c0 = Bezugsfrequenz no   f = gemessene Frequenz D a = abgelesene Distanz

λ = Trägerwellenlänge

f0 =

c 0 = Lichtgeschwindigkeit in Vakuum n o = Bezugsbrechzahl

6.4.2 Zyklische Korrektion Bestimmung: Messanordnung im Labor

Di

D0

ca. 1,2 U

L0

Li P0

EDM

P1

Pi

Auswertung:

K z[mm]

d[mm]

U C

A

0 B di 0

D0

NU

DC

D[m]

Di

d i = (L i − L 0 ) − (D i − D 0 ) Graphische Bestimmung der Sinusfunktion - Auftragen der Differenz d i im oben dargestellten Diagramm - Konstruktion der Sinuskurve, Abgreifen der erforderlichen Werte k zi = A  sin 2  (D i − C ) U

mit

A = Amplitude der zyklischen Verbesserung U = λ /2 = Länge des Feinmaßstabes λ = Modulationswellenlänge n = Anzahl der ganzen Wellen D i = Distanz

C = DC − n  U

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen

6.4.3 Nullpunktkorrektion Nullpunktkorrektion und Maßstabskorrektion aus Vergleich mit Sollstrecken Einteilung: Alle Teilstrecken an der gleichen Stelle des Feinmaßstabes gleichmäßig über die Gesamtstrecke verteilen, Bestimmung mit Schräg- oder Horizontalstrecken D = D Soll − D

D = Da + kn + kf + kz

Da = kn = kf = kz =

DD[mm]

kM

k0 1

Ausgleichende Gerade:

gemessene Distanz meteor. Korrektion Frequenzkorrektion zyklische Korrektion

D[km]

D = k 0 + k M  D

Ausgleichung: Verbesserungsgleichung:

v i = k 0 + k M  D i − D i

Nullpunktkorrektion k 0(mm) =

[DD ]  [D ] − [D ]  [D  D ] n  [DD ] − [D ] 2

D in km; ΔD in mm

Maßstabskorrektion für 1 km k M(mm) =

−[D ]  [D ] + n  [D  D ] n  [DD ] − [D ] 2

Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit (einer gemessenen Strecke)

s0 = sD =

[v i v i ] n−2

n = Anzahl der Messungen

Standardabweichung der Nullpunktkorrektion s k 0 = s 0  Q k0 k 0

Q k0k0 =

[DD ] n  [DD ] − [D ] 2

Standardabweichung der Maßstabskorrektion

s kM = s 0  Q kMkM

Q kM k M =

n 2 n  [DD ] − [D ]

65

66

6 Strecken- und Distanzmessung

Bestimmung der Nullpunktkorrektion durch Streckenmessung in allen Kombinationen Einteilung: Geradlinige Raumstrecke unterteilt in t Teilstrecken t ( t + 1) 2

Anzahl der möglichen Strecken:n = Lageskizze für t = 4 Teilstrecken:

1

3

2 x1 D12

5

4

x2

x3 D13

x4 D14

D23

D24 D34

D15 D25 D35 D45

Direkte Berechnung : Allgemein

k0 =

t t −j +1

t

6  − 1 ) j =1

(t 2

 (2i − t − 1 )  D 0,5(−j

i =1

2 +(2t

+3 )j )+i −t −1

Geschlossene Formel für 3 Teilstrecken k 0 = 1 (−2D 12 + 2D 14 − 2D 23 − 2D 34 ) 4 Geschlossene Formel für 4 Teilstrecken k 0 = 1 (−3D 12 − D 13 + D 14 + 3D 15 − 3D 23 − D 24 + D 25 − 3D 34 − D 35 − 3D 45 ) 10 Geschlossene Formel für 5 Teilstrecken k 0 = 1 (−2D 12 − D 13 + D 15 + 2D 16 − 2D 23 − D 24 + D 26 − 2D 34 − D 35 − 2D 45 − D 46 − 2D 56 ) 10

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen Berechnung der Nullpunktkorrektion und der Teilstrecken über Ausgleichungsrechnung (Matrizenschreibweise): p = t + 1 Unbekannte (t Teilstrecken, 1 Nullpunktkorrektion) Verbesserungsgleichungen v=AX-l

v ij =

für i = 1„(p − 1 )

j −1

 x k − k 0 − D ij

k=i

und j = (i + 1 )„p

Normalgleichungen NX-r=0 Unbekannte X = N −1  r = Q xx  r v = Vektor der Verbesserungen X = Vektor der Unbekannten l = Vektor der Beobachtungen (Strecken D) r = Vektor der Absolutglieder (r = AT  l) A = Koeffizientenmatrix der Unbekannten N = Normalgleichungsmatrix Q xx = Kofaktorenmatrix der Unbekannten (Inverse N −1 der Normalgleichungsmatrix) Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 = sD =

[v T v ] n−p

n − p = 1 (t + 1 )(t − 2 ) 2

n = Anzahl der Messungen Standardabweichung der Nullpunktkorrektion s k0 = s 0 

6 = s 0  Q k0k0 t(t − 1 )

t = Anzahl der Teilstrecken Standardabweichung der unbekannten Teilstrecken s xi = s 0 

2(d + 1 ) = s 0  Q xix i t+1

t = Anzahl der Teilstrecken

d=

12 t(t 2 − 1 )

67

68

6 Strecken- und Distanzmessung

6.4.4 Meteorologische Korrektion (1. Geschwindigkeitskorrektion) kn = Da 

(n o − n ) n

D = Da + kn

D a = gemessene Distanz n 0 = Bezugsbrechzahl n = tatsächliche Brechzahl der Atmosphäre

6.4.5 Geometrische Reduktionen Neigungs- und Höhenreduktion

r N,H = r N + r H

r N = Neigungsreduktion r H = Höhenreduktion

Höhenunterschied gegeben: für Strecken < 10 km: S R = D und S = S 0

D SR H 2

S

H1

S0 R

r N,H = D

D= SR = S= S0 = R= H1 , H2 =

R

H2 − H1 2 D H1 H 1 + R 1 + R2 1−

−1

S = D + r N,H

gemessene Distanz einschließlich der meteorolog. Korrektionen Schrägstrecke Strecke auf Bezugsfläche Sehne Erdradius 6380 km Höhe über dem Ellipsoid

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen Neigungs- und Höhenreduktion Näherungsformel für kurze Strecken und kleine Höhenunterschiede S R = D und S = S 0

D SR H 2

S

H1

S0 R

R

Reduktion wegen Neigung

Reduktion wegen Höhe

r N O − H 2D

2 H r H O − D − H  m R 2D

2

H = H 2 − H 1

Hm =

H1 + H2 2

S = D + rH + rN D= SR = S= S0 = R= H1 , H2 =

gemessene Distanz einschließlich der meteorolog. Korrektionen Schrägstrecke Strecke auf Bezugsfläche Sehne Erdradius 6380 km Höhe über dem Ellipsoid

Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S Einfluss von ΔH

sS =

H  s H D

Einfluss von H m

s H = Standardabweichung des Höhenunterschieds s H m = Standardabweichung der Höhe H m

sS =

S  s Hm R

69

70

6 Strecken- und Distanzmessung

Höhenreduktion (ohne Neigungsreduktion) für Strecken < 10 km :

S = S0

SH

H

S

m

SH = S= S0 = R= Hm =

m

H

S0

horizontale Strecke im Horizont H m Strecke im Bezugshorizont Sehne Erdradius 6380 km mittlere Höhe

R

R

Näherungsformel r H = −S H 

Hm R + Hm

r H O −S H 

Hm R

S = SH + rH

6.4.6 Abbildungsreduktionen Abbildungsreduktion Gauß-Krüger-System Näherungsformel

r A GK = (Y 21 + Y 1 Y 2 + Y 22 ) S 2 6R

r A GK O

Y 2m S 2R 2

Strecke im ebenen Abbild s GK = S + r A GK

Y + Y2 Ym = 1 Y 1 , Y 2 = Abstände vom Bezugsmeridian 2 R = Erdradius 6380 km S = Strecke im Bezugshorizont Abbildungsreduktion und Höhenreduktion im Gauß-Krüger-System Näherungsformel s = S −

Hm + R

Strecke im ebenen Abbild

Y 2m 2R 2

mit S O S H

s GK = S + s

Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian H m = mittlere Höhe R = Erdradius 6380 km Streckenreduktion s [mm ] für 100 m-Strecke im GK-System H [m ] 0 0 200 400 600 800 1000

0,0 -3,1 -6,2 -9,4 -12,5 -15,7

20 0,5 -2,6 -5,8 -8,9 -12,0 -15,2

40 2,0 -1,2 -4,3 -7,4 -10,6 -13,7

Y m [km ] 60 80 100 120 4,4 7,9 12,3 17,7 1,3 4,7 9,1 14,6 -1,8 1,6 6,0 11,4 -5,0 -1,5 2,9 8,3 -8,1 -4,7 -0,3 5,1 -11,3 -7,8 -3,4 2,0

6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen

71

Abbildungsreduktion UTM-System Strecke im ebenen Abbild r A UTM

Y2 = 0, 9996  1 + m2 − 1  S 2R

s UTM = S + r A UTM

Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian R = Erdradius 6380 km S = Strecke im Bezugshorizont Abbildungsreduktion und Höhenreduktion im UTM-System Näherungsformel s = S − Ym = Hm = R= SH =

Hm + R

Y 2m 2R 2

Strecke im ebenen Abbild − 0, 0004

s UTM = S + s

mit S O S H

mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian mittlere Höhe Erdradius 6380 km horizontale Strecke im Horizont H m

Streckenreduktion s [mm ] für 100 m-Strecke im UTM-System H [m ] 0 200 400 600 800 1000 1200

0 -40,0 -43,1 -46,3 -49,4 -52,5 -55,7 -58,8

20 -39,5 -42,6 -45,8 -48,9 -52,0 -55,2 -58,3

40 -38,0 -41,2 -44,3 -47,4 -50,6 -53,7 -56,8

60 -35,6 -38,7 -41,8 -45,0 -48,1 -51,3 -54,4

80 -32,1 -35,3 -38,4 -41,5 -44,7 -47,8 -50,9

Y m [km ] 100 120 -27,7 -22,3 -30,9 -25,4 -34,0 -28,6 -37,1 -31,7 -40,3 -34,9 -43,4 -38,0 -46,5 -41,1

140 -15,9 -19,1 -22,2 -25,3 -28,5 -31,6 -34,7

160 -8,6 -11,7 -14,8 -18,0 -21,1 -24,2 -27,4

6.5 Vertikale Exzentrität Distanzmesser ohne eigene Kippachse

D

DD

D = −e  cot z T

zT e

DT

D T = D − e  cot z T

180 200 -0,2 9,1 -3,3 6,0 -6,5 2,9 -9,6 -0,3 -12,7 -3,4 -15,9 -6,5 -19,0 -9,7

220 19,5 16,3 13,2 10,0 6,9 3,8 0,6

72

6 Strecken- und Distanzmessung

6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken Baden-Württemberg: Definition Genauigkeitsstufe 1: Die Genauigkeitsstufe 1 gilt für Gebiete, in denen hohe Grundstückswerte vorkommen. Ein Gebiet kann eine Gemarkung oder einen Teil derselben ( z. B. den Innenbereich) umfassen. Genauigkeitsstufe 2: Die Genauigkeitsstufe 2 gilt für die übrigen Gebiete

Zulässige Streckenabweichung Z SG Z SG

bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke unmittelbar nacheinander ermittelten Längen

Genauigkeitsstufe 1

Z SG = 1 (0, 0001  s + 0, 03 ) 2

Genauigkeitsstufe 2

Z SG = 0, 0001  s + 0, 03

s = Länge der Strecke

Zulässige Streckenabweichung Z SV Z SV

bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke zu verschiedenen Zeiten oder mit verschiedenen Messgeräten ermittelten Längen sowie zwischen gemessenen und berechneten Strecken

Genauigkeitsstufe 1

Z SV = 1 (0, 008  s + 0, 0003  s + 0, 05 ) 2

Genauigkeitsstufe 2

Z SV = 0, 008  s + 0, 0003  s + 0, 05

s = Länge der Strecke

7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen

t i,1

o i,1

R i,1

Pi

x t i,k t i,ok

P1

oi

R i,k

Nu de ll s T rich t un e il kr e is g es

x

Nu de ll s T rich t un e il kr e is g es

7.1.1 Abriss

v i,k

Pk

Pi

y

Gegeben: Koordinaten der Festpunkte P i (y i , x i ), P 1 (y 1 , x 1 )„P k (y k , x k ) Gemessen: Richtungen R i,1 „R i,k Richtungswinkel t i,1 „t i,k aus Koordinaten berechnen Orientierungsunbekannte oi =

[o i,k ] [t i,k − R i,k ] n = n

für k = 1„n

n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten orientierter Richtungswinkel

t i,ok = Ri,k + o i Verbesserung

v i,k = t i,k − t i,ok

[v i,k ] = 0

Genauigkeit: Standardabweichung der Orientierungsunbekannten s oi =

[v i,k v i,k ] n(n − 1 )

n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten Standardabweichung des orientierten Richtungswinkels s t = s 2o i + s 2R s R = Standardabweichung der Richtung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_7

y

74

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung Standpunktzentrierung ZP

Gegeben:

d

Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP

S

Gemessen: Strecke e 1 Richtungen r EXZ,S , r EXZ,ZP

e1

R1

EXZ

e1

S

 1 = r EXZ,ZP − r EXZ,S Strecke S aus Koordinaten berechnen

 = arcsin

e 1  sin  1 S

R1 = 1 + 

Zielpunktzentrierung EXZ

e2

Gegeben:

S

r S ,Z P ng tu ch llri Nu

r S,EXZ

ZP

e2

Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP

Gemessen: Strecke e 2 Richtungen: Standpunkt S r S,EXZ Standpunkt EXZ r EXZ,S , r EXZ,ZP

d

S

 2 = r EXZ,S − r EXZ,ZP Strecke S aus Koordinaten berechnen

 = arcsin

e 2  sin  2 S

r S,ZP = r S,EXZ + 

7.1 Indirekte Messungen

75

Genauigkeit: Standpunkt - Zielpunktzentrierung Standardabweichung des Winkels δ Einfluss von S

s  [rad ] = e2  sin   s S S

Einfluss von e

s  [rad ] = sin   s e S

max. Auswirkung: ε = 100 (300) gon

Einfluss von ε

s  [rad ] = e  cos   s  [rad ] S

max. Auswirkung: ε = 0 (200) gon

e auf mm messen s S = Standardabweichung der Strecke S s e = Standardabweichung der Strecke e s  = Standardabweichung des Winkels ε Indirekte Bestimmung der Zentrierungselemente B

Gemessen: bS bZ

xS

S g

e

t S,Z

e

g

yS

Winkel  S ,  Z ,  S ,  Z Richtung r S,A , r S,B Basis g

xZ

a

yZ

Z

Z

aS

A

 = r S,B − r S,A Winkelsumme:  S +  S +  = 200 gon Winkel auf Winkelsumme abgleichen Berechnung der örtlichen Koordinaten von S(y S , x S ) und Z(y Z , x Z ) yi =

g cot  i + cot  i

x i = y i  cot  i

Berechnung von e, t S,Z aus örtlichen Koordinaten

e = (y Z − y S ) 2 + (x Z − x S ) 2

yZ − yS t S,Z = x Z − x S

 =  S + t S,Z

r S,Z = r S,B +  = r S,A +  + 

76

7 Verfahren zur Punktbestimmung

Anschluss an Hochpunkt H (Herablegung)

H

A

S

R

d

bH e

bN

b

b

a e

E

N

Pi

Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte Gemessen: Richtungen Standpunkt N: Standpunkt E: Horizontalstrecke b

H(y H , x H ), A(y A , x A )

r N,E , r N,H , r N,A , r n,i r E,H , r E,N

Strecke S und Richtungswinkel t H,A aus Koordinaten berechnen  = r N,H − r N,E e=b

 = r E,N − r E,H

 = r N,A − r N,H

sin  sin( +  )

 = arcsin e  sin  S

R = + Polygonzuganschluss:

Polygonzugabschluss:

 H = 200 gon − R

 H = 200 gon + R

 N = r N,i − r N,H

 N = r N,H − r N,i

t H,N = t H,A +  H Koordinaten des Punktes N y N = y H + e  sin t H,N

x N = x H + e  cos t H,N

Zwei Lösungsprinzipien: 1. Bestimmung der Koordinaten von N und Anschluss an N 2. Bestimmung der Polygonzugelemente e,  N , H und Anschluss an H

7.1 Indirekte Messungen

77

Punktbestimmung des Hochpunktes N mittels Herauflegung A2 A1

N

e

t S,N

a2 a1

b2 b2 b1

S

b1

E2 E1 A3

Gegeben: Koordinaten des Standpunktes S(y S , x S ) Koordinaten der Anschlusspunkte A 1 (y A 1 , x A 1 ) ,A 2 (y A 2 , x A 2 ), A 3 (y A 3 , x A 3 ) Gemessen: Richtungen Standpunkt S: r S,A 1 , r S,A 2 , r S,A 3 , r S,N , r S,E 1 , r S,E 2 Standpunkt E 1 : r E 1 ,S , r E 1 ,N Standpunkt E 2 : r E 2 ,S , r E 2 ,N Horizontalstrecken b 1 , b 2 Berechnung des Richtungswinkel t S,N mittels Abriss ( siehe Abschnitt 7.1.1)  1 = r S,E 1 − r S,N

 2 = r S,E 2 − r S,N

 1 = r E 1 ,N − r E 1 ,S

 2 = r E 2 ,N − r E 2 ,S

e1 = b 

sin  1 sin( 1 +  1 )

e2 = b 

sin  2 sin( 2 +  2 )

e=

e1 + e2 2

Koordinaten des Punktes N y N = y S + e  sin t S,N

x N = x S + e  cos t S,N

Hinweise zur Punktbestimmung Zur Bestimmung von N sollte ein Festpunkt S benutzt werden, dessen Entfernung etwa den 1,5 bis 4-fachen Wert des Höhenunterschieds ΔHSN beträgt. Die Hilfsdreiecke SNE1 bzw. SNE2 sind möglichst als gleichschenklige Dreiecke so zu realisieren, dass b1 bzw. b2 = 0,6 bis 1,0 von e betragen. Die durchgreifende und damit doppelte Bestimmung von e aus 2 Hilfsdreiecken ist Pflicht, wobei die beiden Hilfspunkte E1 und E2 unmittelbar nebeneinander liegen können. Zur Berechnung des orientierten Richtungswinkels t S,N per Abriss sind mindestens 2, möglichst aber 3 und von S weit entfernte Festpunkte zu verwenden͘ Die Genauigkeit der Punktbestimmung von N ist vorrangig von der Genauigkeit der Festpunkte sowie der Bestimmungsfigur abhängig.

78

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.1.3 Exzentrische Streckenmessung Ein Punkt exzentrisch S

Z

Gemessen: Winkel  Strecken e, S E

e

S

SE

e EXZ

S = S 2E + e 2 − 2  S E  e  cos  Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S SE e −  cos   s S E S S

Einfluss von S E

sS =

Einfluss von e

S s S = e − E  cos   s e S S

Einfluss von ε

s S = e  sin   s  [rad ]

s SE = Standardabweichung der Strecke S E s e = Standardabweichung der Strecke e s  = Standardabweichung des Winkels ε Zwei Punkte exzentrisch e2

EXZ2

Z2

e2

Gemessen: Winkel  1 ,  2 Strecken e 1 , e 2 , S E

d2 SE S

S1

e1 Z1

EXZ1

e1

S1 = S2E + e21 − 2  SE  e 1  cos  1 S = S21 + e22 − 2  S1  e2  cos( 2 +  2 )

 2 = arcsin

e 1  sin  1 S1

7.1 Indirekte Messungen

7.1.4 Gebrochener Strahl

Gemessen: Strecken a, b Winkel  š

a

q

a

A

g

g‘

b

b

B

S

 = 200gon −  š  = arctan

q=

sin  b + cos  a

a  b  sin  S

sin   = arctan a + cos  b

Probe:  =  + 

S = a 2 + b 2 + 2  ab  cos 

Genauigkeit: Standardabweichung der Winkel α,β

s  [rad ] = 1  S

γ klein:

q2 2 q2 2 s +  s + (a 2 − q 2 )  s 2 [rad ] a2 a b2 b s O a  s S

s = Standardabweichung des Winkels γ

s wie s berechnen, jedoch muss a mit b vertauscht werden

Standardabweichung der Strecke S

sS =

γ klein:

a2 − q2 2 b2 − q2 2  sa +  s b + q 2  s 2 [rad ] a2 b2 s S O s 2a + s 2b

s a , s b = Standardabweichung der Strecken a und b

79

80

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.2 Einzelpunktbestimmung 7.2.1 Polare Punktbestimmung PA

PA

x

s

s

A

A

r

r

S,

S,

A

A

x

t S,A r S,i

bi

t S,A

Pi

si

PS

bi a

PS

y

Gegeben:

r S,i

s i r S,Ex s Ex

Pi e Ex y

Koordinaten des Standpunktes P S (y S , x S ) Koordinaten des Anschlusspunktes P A (y A , x A )

Gemessen: Horizontalrichtungen r S,A , r S,i Bzw. sA , si Horizontalstrecken bzw.

r S,A , r S,Ex s A , s Ex , e

Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S Horizontalwinkel

 i = r S,i − r S,A

 i = r S,EX − r S,A −   = arctan seEX s i = e 2 + s 2EX

Richtungswinkel

t S,i = t S,A +  i Maßstab

s A gemessen:

s m = s AA

s A nicht gemessen:

Strecke s A aus Koordinaten berechnen m=1

Koordinaten des Neupunkts

y i = y S + s i  m  sin t S,i

x i = x S + s i  m  cost S,i

Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten und Standardabweichung eines Punktes Pi (siehe Abschnitt 4.1.2 Polarpunktberechnung)

7.2 Einzelpunktbestimmung

7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung PA

z

Pi Dzi

x

di si

D

Dyi

PS

Gegeben:

ai

t S,i

bi

x i

t S,A

y

Koordinaten der Punkte P S (y S , x S , z S ), P A (y A , x A )

Gemessen: Schrägstrecke d i Horizontalwinkel  i Zenitwinkel  i Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S

t S,i = t S,A +  i

Richtungswinkel

Kartesische Koordinaten des Neupunkts aus Polarkoordinaten y i = d i  sin  i  sin t S,i

y i = y S + y i

x i = d i  sin  i  cos t S,i

x i = x S + x i

z i = d i  cos  i

z i = z S + z i

Polarkoordinaten aus kartesischen Koordinaten des Neupunktes Richtungswinkel

yi − yS t S,i = arctan x i − x S

Horizontalwinkel

 i = t S,i − t S,A

Schrägstrecke

d i = y 2i + x 2i + z 2i y i = y i − y S ;

Zenitwinkel

 i = arccos

z i di

Horizontalstrecke

x i = x i − x S ; oder

s i = y 2i + x 2i

z i = z i − x S

z  i = arccot s i i

81

82

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab Aufriss

z

P‘‘ 1

d‘‘1

z2 z1

P‘‘S

d2‘‘

i

P‘‘2

HS y

P‘‘ P‘A

Grundriss

x t S,A P‘S

Gegeben:

b2

b1

P‘1

d‘1

d‘2

P‘2 P‘

y

Koordinaten der Punkte P S (y S , x S ) , P A (y A , x A ) Höhe H S , Instrumentenhöhe i

Gemessen: Schrägstrecken d 1 , d 2 Horizontalwinkel  1 ,  2 Zenitwinkel z 1 , z2 Strecken am Kanalstab P 1 P und P 2 P sowie P 1 P 2 sind bekannt yA − yS Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen t S,A = arctan x A − x S Richtungswinkel

t S,1 = t S,A +  1

t S,2 = t S,A +  2

Koordinaten und Höhe von Punkt P 1 und P 2 y 1 = y S + d 1  sin z 1  sin t S,1

x 1 = x S + d 1  sin z 1  cos t S,1

H 1 = H S + d 1  cos z 1 + i

y 2 = y S + d 2  sin z 2  sin t S,2

x 2 = x S + d 2  sin z 2  cos t S,2

H 2 = H S + d 2  cos z 2 + i

Kontrolle:

(y 2 − y 1 ) 2 + (x 2 − x 1 ) 2 + (H 2 − H 1 ) 2 = P 1 P − P 2 P = P 1 P 2 Koordinaten und Höhe von Punkt P

y P = y 1 + (y 2 − y 1 ) 

P1P P1P2

x P = x 1 + (x 2 − x 1 ) 

P 1P P1P2

H P = H 1 + (H 2 − H 1 ) 

P1P P1P2

7.2 Einzelpunktbestimmung

83

7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung P1 (y1; x1 ; z 1) P

z g

E

P2 (y2; x2 ; z 2)

P3 (y3; x3 ; z 3)

x a b y

A(0;0;0)

y

Räumliche reflektorlose Polaraufnahme von drei Wandpunkten P 1 , P 2 und P 3 von A(0;0;0) aus, damit Wandebene E festgelegt. In der Praxis wird die Ebene mit mehr als drei aufgenommenen Punkten überbestimmt ermittelt. y

Anzielung des Gebäudeeckpunktes P von A(0;0;0) aus mit Horizontalrichtung α und Zenitwinkel β, damit Gerade g festgelegt.

y

Bestimmung des Gebäudeeckpunktes P als Schnitt der Geraden g mit der Ebene E (Durchstoßpunkt).

Ebene E in vektorieller Darstellung mit einem Ebenenpunkt P 1 und Normalenvektor n: (r − r 1 )  n = 0 oder r  n = r1  n

(I)

mit Vektor

r1 =

und Normalenvektor

n=

y1 x1 z1 (x 3 − x 1 )(z2 − z 1 ) − (z 3 − z 1 )(x 2 − x 1 ) (z 3 − z 1 )(y 2 − y 1 ) − (y 3 − y 1 )(z 2 − z1 ) (y 3 − y 1 )(x 2 − x 1 ) − (x 3 − x 1 )(y 2 − y 1 )

=

aE bE cE

84

7 Verfahren zur Punktbestimmung

Gerade g in vektorieller Darstellung mit einem Geradenpunkt A und Richtungsvektor R:

r = rA + t  R

Da A der Koordinatenursprung ist, gilt hier r A = 0 und damit r = t  R

mit Richtungsvektor R =

sin   sin  cos   sin  cos 

=

(II)

aG bG cG

Parameter t Gemeinsamer Punkt P von Gerade g und Ebene E, dazu (II) in (I) eingesetzt: t  R  n = r1  n damit Parameter

r n t = R1  n

oder

t=

y 1  a E + x 1  b E + z1  c E aG  aE + bG  bE + cG  cE

Skalares Produkt r 1  n in Matrizenschreibweise

y1 x1 z1

T



aE bE cE

= y 1  a E + x 1  b E + z1  c E

Skalares Produkt R  n in Matrizenschreibweise aG bG cG

T



aE bE cE

= aG  aE + bG  bE + cG  cE

Koordinaten für Punkt P yP xP zP

=t

aG bG cG

mit r = t  R

oder

y P = t  sin   sin  x P = t  cos   sin  z P = t  cos 

7.2 Einzelpunktbestimmung

7.2.5 Bogenschnitt x

q s

Gemessen: Strecken s 1 , s 2

h

P1

Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )

P2 s2

p

t 1,2

b

g

a s1

PN y

PN rechts von P 1 P 2 : + h PN links von P 1 P 2 : -h

Bedingung: s 1 + s 2 = s : eine Lösung (schlechter Schnitt) < s : keine Lösung > s : zwei Lösungen

1. Möglichkeit: Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen  = arccos

s 21 + s 2 − s 22 2s  s 1

t 1,N = t 1,2  

Probe:  = arccos

s 22 + s 2 − s 21 2s  s 2

Probe: t 2,N = t 1,2  200 gon  

Koordinaten des Punktes P N

y N = y 1 + s 1  sin t 1,N

Probe: y N = y 2 + s 2  sin t 2,N

x N = x 1 + s 1  cos t 1,N

Probe: x N = x 2 + s 2  cos t 2,N

2. Möglichkeit: p=

s 2 + s 21 − s 22 2s

h =  s21 − p2 o=

Probe: q =

s 2 + s 22 − s 21 2s

p+q=s

Probe: h =  s 22 − q2

y2 − y1 s

a=

x2 − x1 s

Koordinaten des Punktes P N

yN = y1 + o  p + a  h

Probe: s 1 , s 2 aus Koordinaten berechnen

xN = x1 + a  p − o  h Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN sP =

1  2 s s sin 

günstig  O 100gon

s s = Standardabweichung der Strecken

 = 200 gon − ( +  )

85

86

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.2.6 Vorwärtseinschnitt über Richtungswinkel (allgemeiner Fall) P4

t 2,4 x P3

t 1,2 t 1,N a P1

s

s2

,3

t 2,N

r 2,N

r1

P2 b

r 2,4

t 1,3

r1,N

g

s1

PN y

Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ), P 2 (y 2 , x 2 ), P 3 (y 3 , x 3 ) , P 4 (y 4 , x 4 ) Gemessen: Richtungen r 1,N , r 1,3 r 2,N , r 2,4 Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 1,3 , t 2,4 und der Strecke s aus Koordinaten t 1,N = t 1,3 + (r 1,N − r 1,3 ) t 2,N = t 2,4 + (r 2,N − r 2,4 ) Die Richtungswinkel t 1,N und t 2,N können auch aus Abrissen bestimmt werden (siehe Abschnitt 7.1.1)

 = t 1,N − t 1,2

 = t 2,1 − t 2,N

Koordinaten des Punktes P N xN = x1 +

Probe: xN = x2 +

(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 )  tan t 2,N tan t 1,N − tan t 2,N

y N = y 1 + (x N − x 1 )  tan t 1,N

(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 )  tan t 1,N tan t 1,N − tan t 2,N

y N = y 2 + (x N − x 2 )  tan t 2,N

Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN sP =

1  s 2 + s 2  s [rad ] t 1 2 sin 

günstig  O 100 gon (bei symmetrischer Anordnung)

s t = Standardabweichung der Winkel α, β

7.2 Einzelpunktbestimmung über Dreieckswinkel (bei Sichtverbindung zwischen P 1 und P 2 ) x t 1,2

P2 b

t 1,N a

P1

t 2,N

Gemessen: Richtungen r 1,N , r 1,2 r 2,N , r 2,1

s2

s

Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )

g s1

PN y

Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen Dreieckswinkel aus Differenzen der gemessenen Richtungen r ermitteln

 = r 1,N − r 1,2

 = r 2,1 − r 2,N

t 1,N = t 1,2 + 

t 2,N = t 1,2  200 gon −

s1 =

s  sin  sin( +  )

s2 =

s  sin  sin( +  )

Koordinaten des Punktes P N

y N = y 1 + s 1  sin t 1,N

x N = x 1 + s 1  cos t 1,N

Probe:

y N = y 2 + s 2  sin t 2,N

x N = x 2 + s 2  cos t 2,N

Seitwärtseinschnitt gemessen wird α und γ b

P1

a

P2

g

 = 200gon − ( +  )

PN

Weitere Berechnung siehe Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel

87

88

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach CASSINI PA

X

PM

a

a

PC

PB

b

b

PD

PN

Y

Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A , X A ), P M (Y M , X M ), P B (Y B , X B ) Gemessen: Winkel ,  Y C = Y A + (X M − X A )  cot 

Y D = Y B + (X B − X M )  cot 

X C = X A − (Y M − Y A )  cot 

X D = X B − (Y B − Y M )  cot 

Berechnung des Richtungswinkels t C,D aus Koordinaten Koordinaten des Punktes P N XN = XC +

Y M − Y C + (X M − X C )  cot t C,D tan t C,D + cot t C,D

Y N = Y C + (X N − X C )  tan t C,D

tan t C,D < cot t C,D

Y N = Y M − (X N − X M )  cot t C,D

cot t C,D < tan t C,D

Probe:  = t N,M − t N,A

 = t N,B − t N,M

Die Lösung ist unbestimmt, wenn alle vier Punkte auf einem Kreis, dem sogenannten gefährlichen Kreis liegen: Die beiden Kreise fallen ineinander es gibt keinen Schnittpunkt der Kreise

PM PA

PB

PC = PD = PN PN

7.3 Freie Standpunktwahl

89

7.3 Freie Standpunktwahl P1

X

y

mittels Helmert-Transformation

rn sn

r1

s1

x

Nu l Te lrich i l k tu r e ng is

NP

rN

P0

Pn

sN r2 s 2

P2

Y

Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte P 1 (Y 1 , X 1 ) , P 2 (Y 2 , X 2 )„ P n (Y n , X n ) Gemessen: Polarkoordinaten der Anschlusspunkte Richtungen r 1 , r 2 , „r n Horizontalstrecken s 1 , s 2 , „s n rN, sN Polarkoordinaten für die Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten (r i , s i ) in ein örtliches rechtwinkliges Koordinatensystem (y , x) mit Koordinatenursprung im Standpunkt FS x i = s i  cos r i

y i = s i  sin r i

Berechnung der Koordinaten des Standpunktes Transformation der Koordinaten des örtlichen yx-Systems in die Koordinaten eines übergeordneten YX-Systems mittels einer Helmert-Transformation (siehe Abschnitt 8.1.3) Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni

[x ] x S = ni

[Y ] Y S = ni

[X ] X S = ni

Reduktion auf den Schwerpunkt

[y ] y i = y i − ni

[x ] x i = x i − ni

[Y ] Y i = Y i − ni

n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter

o=

xi  Yi − yi  Xi 2

2

xi + yi

a=

xi  Xi + yi  Yi 2

2

xi + yi

[X ] X i = X i − ni

90

7 Verfahren zur Punktbestimmung

Koordinaten des Standpunktes

Y0 = YS − a  yS − o  xS

vorgegebener Maßstabsfaktor m = 1 : o Transformationsparameter o= m

Maßstabsfaktor

m= a +o 2

X0 = XS − a  xS + o  yS

2

a a= m

Abweichungen

W Xi = −X 0 − a  x i + o  y i + X i

W Yi = −Y 0 − a  y i − o  x i + Y i Probe: [W Y i ] = 0

[W X i ] = 0

Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten

sx = sy =

[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 4 2

2

Probe: [W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i

2

2

− (a 2 + o 2 )  x i + y i

Berechnung der Koordinaten der Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten in das yx-System x N = s N  cos r N

y N = s N  sin r N Koordinaten der Neupunkte

YN = Y0 + a  yN + o  xN

XN = X0 + a  xN − o  yN

Verbesserung der Koordinaten - Nachbarschaftstreue Einpassung Koordinatenverbesserungen für jeden Neupunkt, in denen die Fehlervektoren aller Anschlusspunkte entsprechend ihrer Punktlage Berücksichtigung finden

YN = YN + vy

vy =

[p i  v Y i ] [p i ]

p i = s1i

XN = XN + vx

vx =

[p i  v X i ] [p i ]

s i = (Y N − Y i ) 2 + (X N − X i ) 2

Absteckwerte für im Koordinatensystem YX vorgegebene Punkte

aT =

a a2 + o2 x 0 = −X 0  a T + Y 0  o T

oT = −

o a2 + o2 y 0 = −X 0  o T − Y 0  a T

yA = y0 + aT  YA + oT  X A

xA = x0 + aT  XA − oT  YA

Berechnung der Polarkoordinaten im örtlichen System über Richtungswinkel und Strecke (siehe Abschnitt 4.1.1)

7.4 Polygonierung

91

7.4 Polygonierung 7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen a) Zug mit beidseitigem Richtungs- und Koordinatenabschluss (Normalfall) t 0,1

P0

b2 P1

b1

s 1,2

Anzahl β: bi

P2 s2,i

Pi

t n,n+1

bn

Pn+1

n Anzahl s: n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 3

Pn

s i,n

Winkelabschlussverbesserung Koordinatenabschlussverbesserung b) Zug ohne Richtungsabschluss t 0,1

P0

b2 b1

P1

s 1,2

bi

P2 s2,i

Pi

Pn

s i,n

Anzahl β: n-1 Anzahl s: n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 2 Koordinatenabschlussverbesserung

c) Zug ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss t 0,1

P0

b2 P1

b1

bi

P2 s2,i s 1,2

Pi

Pn

s i,n

Anzahl β: n-1 Anzahl s: n-1 Neupunkte: n - 1 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen

d) eingehängter Zug ohne Richtungsanschlüsse (Einrechnungszug) - im örtlichen Koordinatensystem rechnen und ins Landeskoordinatensystem transformieren b2 s 1,2 P 2 s2

,i

x

P1

bi Pi

s i,n

Pn

Anzahl β: n-2 Anzahl s: n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 1 eine Maßstabskontrolle

y

e) freier Zug - im örtlichen Koordinatensystem rechnen s 1,2 P 2 s2

,i

bi Pi

y

Anzahl β: n-2 Anzahl s: n-1 Neupunkte: n - 1 und x 2 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen x

b2

P1

s i,n

Pn

f) geschlossener Polygonzug (Ringpolygon) (siehe Abschnitt 7.4.4, Ringpolygon)

92

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall Koordinaten der Anschlusspunkte P 0 (y 0 , x 0 ), P 1 (y 1 , x 1 ) Koordinaten der Anschlusspunkte P n (y n , x n ), P n+1 (y n+1 , x n+1 ) Gemessen: Brechungswinkel  i Strecken s i,i +1 Gegeben:

1. Berechnung von Anschluss- und Abschlussrichtungswinkel t 0,1 , t n,n +1 (siehe Abschnitt 4.1.1, Richtungswinkel und Strecke) 2. Winkelabweichung / Winkelabschlussverbesserung

W W W = nW

W W = t n,n +1 − (t 0,1 + [ ] − n  200 gon ) n = Anzahl der Brechungspunkte β = Brechungswinkel 3. Richtungswinkel

t i,i +1 = t i −1,i +  i + 200 gon +WW (400 gon) 4. Koordinatenunterschiede

y i,i +1 = s i,i +1  sin t i,i +1

x i,i +1 = s i,i +1  cos t i,i +1

Probe für Koordinatenunterschiede y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1  2  sin(t i,i +1 + 50 gon ) 5. Koordinatenabweichungen / Koordinatenabschlussverbesserung

W y = (y n − y 1 ) − [y ]

W x = (x n − x 1 ) − [x ]

6. Koordinatenverbesserungen

v y i,i +1 =

s i,i +1  Wy [s ]

v x i,i +1 =

s i,i +1  Wx [s ]

7. Endgültige Koordinaten

y i +1 = y i + y i,i +1 + v yi,i +1

x i +1 = x i + x i,i +1 + v xi,i +1

8. Abweichungen Lineare Abweichung

W S = W 2y + W 2x

Längsabweichung WL =

Lineare Querabweichung

W y  [y ] + W x  [x ] 2

[y ] + [x ]

[x ] = [x i,i +1 ]

2

WQ =

W y  [x ] − W x  [y ] [y ] 2 + [x ] 2

[y ] = [y i,i +1 ]

7.4 Polygonierung

7.4.3 Freier Polygonzug örtliches Koordinatensystem yx mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0

s 1,2 P 2 s2

x

b2

P1

b n-1

bi

,i

Pi

s i,n

Pn-1 s n-1,n

Pn

y

Richtungswinkel

t i,i +1 = t i −1,i +  i + 200 gon

t 1,2 = 0 gon

Koordinatenunterschiede

y i,i +1 = s i,i +1  sin t i,i +1

y 1,2 = 0

x i,i +1 = s i,i +1  cos t i,i +1

x 1,2 = s 1,2

Probe für Koordinatenunterschiede y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1  2  sin(t i,i +1 + 50 gon )

örtliche Koordinaten

y i +1 = y i + y i,i +1 x i +1 = x i + x i,i +1

Sind von Anfangs- und Endpunkt Landeskoordinaten bekannt, so können die örtlichen Koordinaten der Polygonpunkte in Landeskoordinaten transformiert werden. (siehe Abschnitt 8.1.2, Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten)

93

94

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.4.4 Ringpolygon X

x

b2 s2

,3

b1

P3 s 3 ,4

s

1, 2

P2 P1 s n,

1

s 4,n

Pn

P4 b4 Y

y

bn

örtliches Koordinatensystem yx z. B.: mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0

b3

Winkelabweichung W W bzw. Winkelabschlussverbesserung W W n = Anzahl der Ecken

[ i ] = gemessene Brechungswinkel

Sollwerte:

[ i ] = (n + 2 )200 gon [ i ] = (n − 2 )200 gon

W W = (n  2 )200 gon −[ i ]

für Außenwinkel für Innenwinkel

W W =

WW n

Richtungswinkel

t i,i +1 = t i −1,i +  i + 200 gon +WW (400 gon)

t 1,2 = 0 gon

Koordinatenunterschiede

y i,i +1 = s i,i +1  sin t i,i +1

y 1,2 = 0

x i,i +1 = s i,i +1  cos t i,i +1

x 1,2 = s 1,2

Koordinatenabweichungen

W y = 0 − [y ]

W x = 0 − [x ]

Koordinatenverbesserungen

v y i,i +1 =

s i,i +1  Wy [s ]

v x i,i +1 =

s i,i +1  Wx [s ]

Endgültige Koordinaten

y i +1 = y i + y i,i +1 + v yi,i +1

x i +1 = x i + x i,i +1 + v xi,i +1

7.4 Polygonierung

7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge Baden-Württemberg: Zahl der Brechungspunkte n > 0, 01  [s ] + 3 Zulässige Streckenabweichung der Polygonseite [m] Z E 1 = 1 (0, 006  s + 0, 02 ) 2 Z E 2 = 0, 006  s + 0, 02

Zulässige Winkelabweichung [mgon]

ZW 1 = 2 3 ZW 2 =

600 2  (n − 1 ) 2  n + 10 2 [s ] 2 600 2  (n − 1 ) 2  n + 10 2 [s ] 2

Zulässige Längsabweichung [m] Z L 1 = 2 0, 03 2  (n − 1 ) + 0, 06 2 3

Z L 2 = 0, 03 2  (n − 1 ) + 0, 06 2 Zulässige Querabweichung [m] Z Q 1 = 2 0, 003 2  n 3 + 0, 00005 2  S 2 + 0, 06 2 3

Z Q 2 = 0, 003 2  n 3 + 0, 00005 2  S 2 + 0, 06 2 [s ] = Summe der Seiten eines Polgonzuges in Metern S = Strecke zwischen Anfangspunkt- und Endpunkt n = Anzahl der Brechungspunkte einschließlich Anfangs- und Endpunkt Für andere Bundesländer gelten andere zulässige Abweichungen: z.B. Nordrhein-Westfalen, Brandenburg: Z W = 6, 0 mgon Z L = 6, 0 cm Z Q = 6, 0 cm

95

96

7 Verfahren zur Punktbestimmung

7.4.6 Fehlertheorie Querabweichung beim gestreckten Zug Querabweichung des freien Zuges: am Zugende

Q Ende =

n(2n − 1 ) [ ]  s  s  [rad ] O 6(n − 1 )

n  [s ]  s [rad ]  3

in der Zugmitte

Q Mitte =

n(n + 1 ) [ ]  s  s  [rad ] O 24(n − 1 )

n  [s ]  s [rad ]  24

Querabweichung bei beidseitigem Richtungsanschluss: am Zugende

Q Ende =

n(n + 1 ) [ ]  s  s  [rad ] O 12(n − 1 )

in der Zugmitte

Q Mitte =

(n + 1 )(n + 3 )  [s ]  s  [rad ] O 96(n − 1 )

n  [s ]  s [rad ]  12 n  [s ]  s [rad ]  96

Querabweichung bei beidseitig richtungs- und lagemäßig angeschlossenem Zug (Normalfall): in der Zugmitte

Q Mitte =

n 4 + 2n 2 − 3  [s ]  s [rad ] O  192n(n − 1 ) 2

n  [s ]  s [rad ]  192

Bei lagemäßig beidseitig angeschlossenen Zügen ist die Querabweichung am Zugende stets Null. n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s  = Standardabweichung des Brechungswinkels Längsabweichung beim gestreckten Zug Längsabweichung beim freien Zug am Zugende

L Ende = (n − 1 )  s s =

[s ]  ss S

Längsabweichung beim lagemäßig angeschlossenen Zug (Normalfall) in der Zugmitte

L Mitte = 1 (n − 1 )  s s = 1 2 2

[s ]  ss S

n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s s = Standardabweichung Polygonseite S = Strecke zwischen Anfangspunkt- und Endpunkt

7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung

97

7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung - Statistische Überprüfung Redundanz Gesamtredundanz r=n−u n = Anzahl der Beobachtungen u = Anzahl der Unbekannten Redundanzanteil

sl r i = 1 − q l il i  p i = 1 − s l i i

2

= q v iv i  p i

q l il i = Gewichtsreziproke der ausgeglichenen Beobachtung p i = Gewicht q v i v i = Gewichtsreziproke der Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s l i = Standardabweichung einer Beobachtung nach der Ausgleichung (a posteriori) Einfluss auf die Verbesserung Redundanzanteil in Prozent Auswirkung einer Änderung einer Beobachtung auf deren Verbesserung EV i = r i  100% EV > 40% 10% > EV > 40% EV < 10%

gut kontrolliert kontrolliert schlecht kontrolliert

Normierte Verbesserung v vi vi NV i = s vi = = i s 0 q v ivi sli  ri v i = Verbesserung s v i = Standardabweichung einer Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit a priori r i = Redundanzanteil 2,5 < NV < 4 NV } 4

Grober Fehler möglich Grober Fehler sehr wahrscheinlich

98

7 Verfahren zur Punktbestimmung

Grober Fehler v GF i = − r ii

Einfluss auf die Punktlage Einfluss eines etwaigen groben Fehlers auf den die Beobachtung berührenden Punkt EP i = −v i 

1 − ri r i = GF i (1 − r i )

EP i = −v i [rad ] 

für Strecken

1 − ri r i  S i = GF i [rad ](1 − r i )  S i

für Richtungen

S i = Strecke zwischen den verknüpften Punkten

7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte Baden-Württemberg: Zulässige lineare Abweichung bei der Doppelaufnahme oder bei der Verprobung der Aufmessung eines Punktes zur Bestimmung von Landeskoordinaten Genauigkeitsstufe 1, 2

Z P = 0, 03 m

Zulässige lineare Abweichung bei der Überprüfung eines durch Landeskoordinaten festgelegten Punktes Genauigkeitsstufe 1

Z P = 0, 06 m

Genauigkeitsstufe 2

Z P = 0, 08 m

8 Transformationen 8.1 Ebene Transformationen 8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung (1 Parameter)

xE

x

X

yE

x y

P T

t X

e

PE XE Y

PA =P 0

Y

YE

y Gegeben: Koordinaten des identischen Punktes im Quellsystem: Koordinaten des identischen Punktes im Zielsystem: oder Drehwinkel 

P E (y E , x E ) P E (Y E , X E )

Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )

Berechnung der Richtungswinkel

T A,E = arctan

YE XE

yE t = arctan x E

Drehwinkel =T−t Transformationsgleichung

Y = x  sin  + y  cos 

X = x  cos  − y  sin 

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_8

100

8 Transformationen

8.1.2 Ähnlichkeitstransformation mit zwei identischen Punkten (4 Parameter) Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem)

x

xE

X

yE

Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P A (y A , x A ), P E (y E , x E ) im Zielsystem: P A (Y A , X A ), P E (Y E , X E )

x y

PE

xA

P PA

P0

YA

XE

X

XA

X0 Y0

Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )

yA

e

Y

x = x E − x A

y = y E − y A Y Y = Y − Y E A

YE

X = X E − X A

y Berechnung der Richtungswinkel t A,E (Y, X ) = arctan

(Y E − Y A ) (X E − X A )

t A,E (y, x ) = arctan

(y E − y A ) (x E − x A )

Berechnung der Strecken S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2

s=

(y E − y A ) 2 + (x E − x A ) 2

Drehwinkel

Maßstabsfaktor m= S s

 = t A,E (Y, X ) − t A,E (y, x ) Transformationsparameter o=

Probe:

Y  x − X  y S = s  sin  s2

Y0 = YA − o  xA − a  yA

a=

X  x + Y  y S = s  cos  o 2 + a 2 O 1 s2

X0 = X A − a  xA + o  yA

Transformationsgleichungen

Y = Y0 + o  x + a  y Probe: [Y ] = k  Y 0 + o  [x ] + a  [y ]

X = X0 + a  x − o  y [X ] = k  X 0 + a  [x ] − o  [y ]

k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1

Y = Y 01 + o 1  x + a1  y mit o 1 = sin  ;

a 1 = cos  ;

X = X 01 + a 1  x − o1  y Y 01 = Y A − o 1  x A − a1  y A ;

X 01 = X A − a 1  x A + o1  y A

8.1 Ebene Transformationen

101

Sonderfall: X Koordinatensystem (y, x) Koordinatensystem (Y, X) (Landessystem = Quellsystem) (Messungslinie = Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem:

P A (Y A , X A ), P E (Y E , X A ) P A (0, x A ), P E (0, x E )

Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:

P(Y, X )

s = x E − x A = gemessene Strecke Berechnung des Richtungswinkels t A,E (Y, X ) = arctan

(Y E − Y A ) (X E − X A )

Berechnung der Strecke S=

(Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2

Drehwinkel

Maßstabsfaktor

 = t A,E (y, x) − t A,E (Y, X) = − t A,E (Y, X)

yA = yE = 0

m= S s

Transformationsparameter

Probe:

) ( o = − Y E − Y2 A  s = s  sin  S S y 0 = − o  XA − a  YA

( −X ) a = X E 2 A  s = s  cos  S S

o2 + a2 O 1

x0 = xA − a  XA + o  YA

Transformationsgleichungen x = x0 + a  X − o  Y

y = y0 + o  X + a  Y Probe: [y ] = k  y 0 + o  [X ] + a  [Y ]

[x ] = k  x 0 + a  [X ] − o  [Y ]

k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1

y = y 01 + o1  X + a1  Y mit o 1 = sin  ;

a 1 = cos  ;

x = x 01 + a1  X − o1  Y y 0 1 = −o 1  X A − a 1  Y A ;

x 01 = x A − a 1  X A + o1  Y A

102

8 Transformationen

8.1.3 Ähnlichkeitstransformation mit mehr als 2 identischen Punkten - Helmert-Transformation (4 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n > 2 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:

P(y, x )

Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni

[x ] x S = ni

[Y ] Y S = ni

[X ] X S = ni

[Y ] Y i = Y i − ni

[X ] X i = X i − ni

n = Anzahl der identischen Punkte

Reduktion auf den Schwerpunkt

[y ] y i = y i − ni

[x ] x i = x i − ni

Transformationsparameter o=

xi  Yi − yi  Xi 2 xi

2 + yi

Y0 = Y S − a  yS − o  xS

Maßstabsfaktor

m = a2 + o2

a=

xi  Xi + yi  Yi 2

2

xi + yi

X0 = X S − a  xS + o  yS

Drehwinkel zwischen beiden Systemen

 = arctan( o a)

Abweichungen

W Y i = −Y 0 − a  y i − o  x i + Y i

W Xi = −X0 − a  x i + o  y i + X i

Probe: [W Y i ] = 0

[W X i ] = 0

8.1 Ebene Transformationen

103

Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten

sx = sy =

[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 4

Probe: 2

2

[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 )  x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte

Transformationsgleichungen

Y = Y0 + a  y + o  x

X = X0 + a  x − o  y

Probe nach der Transformation weiterer Punkte: [Y ] = k  Y 0 + a  [y ] + o  [x ] [X ] = k  X 0 + a  [x ] − o  [y ] k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1

Y = Y 01 + a 1  y + o1  x o ; mit o 1 = m

a ; a1 = m

X = X 01 + a 1  x − o1  y Y 01 = Y S − a 1  y S − o1  x S ;

X 01 = X S − a 1  x S + o1  y S

Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter

aT =

a a2 + o2

y 0 = −X 0  o T − Y 0  a T

oT =

o a2 + o2

x 0 = −X 0  a T + Y 0  o T

Transformationsgleichungen

y = y0 + aT  Y − oT  X

x = x0 + aT  X + oT  Y

104

8 Transformationen

8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 3 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:

P(y, x )

Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni

[x ] x S = ni

[Y ] Y S = ni

[X ] X S = ni

[Y ] Y i = Y i − ni

[X ] X i = X i − ni

Reduktion auf den Schwerpunkt

[y ] y i = y i − ni

[x ] x i = x i − ni

n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter 2

a1 =

xiXi  yi − yiXi  xiyi = m 1  cos  N

a2 =

xiXi  xiyi − yiXi  xi N

a3 =

yiYi  xi − xiYi  xiyi = m 2  cos  N

a4 =

xiYi  yi − yiYi  xiyi = m 1  sin  N

2

= m 2  sin 

2

2

2

2

wobei: N = x i  y i − x i y i

2

Y0 = YS − a3  yS − a4  xS

X0 = XS − a1  xS + a2  yS

Drehwinkel für Abszisse und Ordinate Abszisse

a  = arctan a 41

Ordinate

a  = arctan a 23

Ordinate

m 2 = a 22 + a 23

Maßstabsfaktor für Abszisse und Ordinate Abszisse

m1 = a21 + a24

8.1 Ebene Transformationen Abweichungen

W Yi = −Y 0 − a 3  y i − a 4  x i + Y i

W Xi = −X 0 − a 1  x i + a 2  y i + X i

Probe: [W Y i ] = 0

[W X i ] = 0

Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten sx = sy =

[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 6

Probe: 2

2

[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 )  x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsgleichungen

Y = Y0 + a3  y + a4  x

X = X0 + a1  x − a2  y

Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter

a a T1 = a 1 a 3 +3a 2 a 4

−a a T2 = a 1 a 3 + 2a 2 a ,4

a a T3 = a 1 a 3 +1a 2 a 4

−a a T4 = a 1 a 3 + 4a 2 a 4

y 0 = −a T4  X 0 − a T3  Y 0

x 0 = −a T1  X 0 + a T2  Y 0

Transformationsgleichungen

y = y 0 + a T3  Y + a T4  X

x = x 0 + a T1  X − a T2  Y

105

106

8 Transformationen

8.1.5 Projektivtransformation (8 Parameter) Die Projektivtransformation wird in der Photogrammetrie und Video-Tachymetrie eingesetzt Transformation der Koordinaten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) X=

ax+by+c gx+hy+1

Y=

dx+ey+f gx+hy+1

Berechnung der Transformationsparameter mit n identischen Punkten Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem

Durch Umstellung der obigen Transformationsformeln erhält man folgende Bestimmungsgleichungen in Matrizenform

x i y i 1 0 0 0 −x i X i −y i X i 0 0 0 x i y i 1 −x i X i −y i Y i



a b c d e f g h

=

Xi Yi

mit i = 1, ..., n

Für vier identische Punkte (n = 4) ergeben sich acht Bestimmungsgleichungen für die acht Parameter. Von den identischen Punkten dürfen hierbei keine drei auf einer Geraden liegen. A  x =l

A=

x1 0 † x4 0

y1 0 † y4 0

x = A −1  l

mit:

1 0 † 1 0

0 x1 † 0 x4

0 y1 † 0 y4

0 1 † 0 1

−x 1 X 1 −x 1 Y 1 † −x 4 X 4 −x 4 Y 4

−y 1 X 1 −y 1 Y 1 † −y 4 X 4 −y 4 Y 4

x =

a b c d e f g h

l =

X1 Y1 † X4 Y4

8.1 Ebene Transformationen

107

Ist n > 4 liegt Überbestimmung vor und es muss ausgeglichen werden. Die Verbesserungsgleichungen hierzu lauten: v= A  x − l

v=

v X1 v Y1 † v Xn v yn

mit:

x1 0 † xn 0

A=

y1 0 † yn 0

1 0 † 1 0

0 x1 † 0 xn

0 y1 † 0 yn

0 1 † 0 1

−x 1 X 1 −x 1 Y 1 † −x n X n −x n Y n

−y 1 X 1 −y 1 Y 1 † −y n X n −y n Y n

x=

a b c d e f g h

l=

X1 Y1 † Xn Yn

Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten und der Kofaktorenmatrizen (siehe auch Abschnitt 11.1.2) N = AT  A

h = AT  l

x = N− 1  h

Q xx = N − 1

Standardabweichung s0 =

vT  v 2n − 8

n = Anzahl der identischen Punkte Standardabweichung der Unbekannten x i (i-ter Eintrag von x ) s x i = s 0  q xix i q x ix i = Q xx

ii

= i-tes Diagonalglied von Q xx

108

8 Transformationen

8.1.6 Ausgleichende Gerade Transformation der Koordinaten Landessystem (Y, X) X örtliches System (y, x) (Quellsystem) (Zielsystem) Transformation der Ordinaten unabhängig von den Abszissen Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im örtlichen System: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Landessystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 2 P(Y, X ) Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Landessystem: Ordinatenausgleichung Vorläufige Transformation der Ordinaten Y T = arctan

yE − yA t = arctan x E − x A

YE − YA XE − XA

vorläufige Parameter š a = cos 

=t−T š

š

o = sin 

š

š

y0 = yA − a  YA − o  XA

vorläufige Ordinaten š

š

š

š

yi = y0 + a  Yi + o  Xi Endgültige Transformation der Ordinaten Y Verbesserungsgleichung

v Y i = −x i  m − b + y i m =

[x i  y i ]  n − [x i ]  [y i ] [x 2i ]  n − [x i ] 2

b =

[y i ] [x i ] n − n  m

n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter a = cos( +  ) o = sin( +  )

y 0 = y A − a  Y A − o  X A + x A  m + b Transformationsgleichung - Ordinaten

y = y0 + a  Y + o  X

 = arctan m

š

y i = y i − y i

8.1 Ebene Transformationen

109

Abszissenausgleichung Vorläufige Transformation der Abszissen X vorläufige Parameter x0 = xA + a  XA + o  YA

a und o aus Ordinatenausgleichung

vorläufige Abszissen š

xi = x0 + a  Xi − o  Yi

Endgültige Transformation der Abszissen X Verbesserungsgleichung š

v xi = −x i  m A − x 0 + x i m A =

[x i  x i ]  n − [x i ]  [x i ] [x 2i ]  n − [x i ] 2

x 0 =

[x i ] [x i ] n − n  m A

n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter

Maßstabsfaktor

x 0 = m  x 0 + x 0

m = 1 + m A

Transformationsgleichung - Abzissen x = x0 + m  a  X − m  o  Y

Rücktransformation der Koordinaten Örtliche System (y, x) X Landessystem (Y, X) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter aT = a

o T = −o

1  x + oT  y X0 = − m 0 0

1  x − aT  y Y0 = − m 0 0

Transformationsgleichungen 1  aT  x − oT  y X = X0 + m

1  oT  x + aT  y Y = Y0 + m

š

x i = x i − x i

110

8 Transformationen

8.2 Räumliche Transformationen 8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) Der konforme Übergang von einem kartesischen Quellsystem (A) zu einem kartesischen Zielsystem (Z) kann mit Hilfe der räumlichen Ähnlichkeitstransformation erfolgen.

ZZ

ZA

e3

YA

e2 e1 DZ X A

YZ DX

DY XZ

Für die Transformation müssen 7 Parameter gegeben oder bestimmbar sein: 3 Translationen: 3 Rotationen: 1 Maßstabsfaktor:

X, Y, Z  1 ,  2 ,  3 *) m

*) Das Vorzeichen der Rotationen  ist positiv, wenn vom Ursprung aus und entlang der Achsen gesehen im Uhrzeigersinn gedreht wird!

8.2 Räumliche Transformationen

111

Allgemeine Form der Transformationsgleichungen XZ =  + m  R  XA

mit:

XZ =

XZ YZ ZZ

R1 =

1 0 0 0 cos  1 sin  1 0 − sin  1 cos  1

R=

=

X Y Z

R2 =

XA =

XA YA ZA

cos  2 0 − sin  2 0 1 0 sin  2 0 cos  2

und R = R 3 R 2 R 1

R3 =

cos  3 sin  3 0 − sin  3 cos  3 0 0 0 1

cos  2 cos  3 cos  1 sin  3 + sin  1 sin  2 cos  3 sin  1 sin  3 − cos  1 sin  2 cos  3 − cos  2  sin  3 cos  1 cos  3 − sin  1 sin  2 sin  3 sin  1 cos  3 + cos  1 sin  2 sin  3 sin  2 − sin  1 cos  2 cos  1 cos  2

Für kleine Drehwinkel  folgt mit sin  O , cos  O 1 und sin  i  sin  j O 0: R=

1  3 − 2 − 3 1  1  2 − 1 1

Für m nahe 1 gilt: m = 1 + m Transformationsformeln für kleine Drehwinkel mit m nahe 1: X Z = X A + X + m  X A +  3  Y A −  2  Z A Y Z = Y A + Y −  3  X A + m  Y A +  1  Z A Z Z = Z A + Z +  2  X A −  1  Y A + m  Z A

112

8 Transformationen

Berechnung der Transformationsparameter mit n identischen Punkten Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem

P i (Y A i , X A i ) P i (Y Zi , X Zi )

Durch Umstellung der Transformationsformeln erhält man folgende Bestimmungsgleichungen in Matrizenform:

X Zi Y Zi Z Zi

=

X Ai Y Ai ZAi

1 0 0 X A i 0 −Z A i Y A i + 0 1 0 Y Ai ZAi 0 −X A i 0 0 1 Z A i −Y A i X A i 0

X Y Z m 1 2 3



wobei i = 1, ...., n

Mit n P 3 ergeben sich zur Bestimmung der 7 Parameter mindestens 9 Gleichungen. Das System ist somit überbestimmt und es muss ausgeglichen werden. Es ergeben sich Verbesserungsgleichungen der Form:

v Xi v Yi v Zi

=

1 0 0 X A i 0 −Z A i Y A i 0 1 0 Y Ai Z Ai 0 −X A i 0 0 1 Z A i −Y A i X A i 0



X Y Z m 1 2 3

X Z i −X A i − Y Z i −Y A i Z Zi −Z A i

Allgemein gilt: v = A  x − l š mit:

v=

v X1 v Y1 v Z1 † v Xn v Yn v Zn

A=

1 0 0 † 1 0 0

0 1 0 † 0 1 0

0 0 1 † 0 0 1

X A1 Y A1 Z A1 † X An Y An Z An

0 Z A1 −Y A 1 † 0 Z An −Y A n

−Z A 1 0 X A1 † −Z A n 0 X An

Y A1 −X A 1 0 † Y An −X A n 0

x=

X Y Z m 1 2 3

lš =

X Z1 Y Z1 Z Z1 † X Zn Y Zn Z Zn

−X A 1 −Y A 1 −Z A 1 † −X A n −Y A n −Z A n

Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten und der Kofaktorenmatrizen (siehe auch Abschnitt 11.1.2) N = AT  A

h = AT  l š

Standardabweichung s0 =

vT  v 3n − 7

n = Anzahl der identischen Punkte

x = N− 1  h

Q xx = N − 1

Standardabweichung der Unbekannten x i s x i = s 0  q xix i q x ix i = Q xx

ii

= i-tes Diagonalglied von Q xx

8.2 Räumliche Transformationen

113

8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt Z P(X,Y,Z)

H N

E

Z

B L

p

Y X

Y X Meridian von Greenwich

Geographische Koordinaten L, B, H E X Kartesische Koordinaten X, Y, Z X = (N + H E )  cos B  cos L Y = (N + H E )  cos B  sin L 2 Z = N  sin B  b 2 + HE  sin B = ((1 − e 2 )  N + HE )  sin B a

mit:

N=

a 1 − e 2  sin 2 B

2 2 e 2 = a −2b

a

Bessel-Ellipsoid

Internationales Ellipsoid

Krassowsky Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 377 397,155 m

6 378 388,000 m

6 378 245 m

6 378 137,00 m

b

6 356 078,963 m

6 356 911,946 m

6 356 863,019 m

6 356 752,314 m

a = große Halbachse b = kleine Halbachse

114

8 Transformationen

Kartesische Koordinaten Y, X, Z X Geographische Koordinaten L, B, H E

L = arctan Y X 3 š2 B = arctan Z + e2  b  sin 3  p − e  a  cos 

p H E = cos B − N

mit:

N=

a 1 − e 2  sin 2 B

2 2 e 2 = a −2b

a

2 2 š2 e = a −2b

b

Za  = arctan p  b p=

X2 + Y2

Bessel-Ellipsoid

Internationales Ellipsoid

Krassowsky Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 377 397,155 m

6 378 388,000 m

6 378 245 m

6 378 137,00 m

b

6 356 078,963 m

6 356 911,946 m

6 356 863,019 m

6 356 752,314 m

a= große Halbachse b= kleine Halbachse

8.2 Räumliche Transformationen

115

8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt optimierte Formeln nach GERSTBACH Geographische Koordinaten B, L X Gauß-Krüger-Koordinaten R, H

R=

L0 + 0, 5  10 6 + y 3

c  1 + l 2  V 2 − t 2 + l 2  (0, 3 − t 2 ) y=l V 6

mit L 0 = 6°, 9°, 12° oder 15° für Deutschland 5, 03 − t 2 H = xB + l2  c  t  1 + l2  V 2 24 mit:

x B = E 0  B + E 2  sin 2B + E 4  sin 4B + E 6  sin 6B

wobei gilt: Bessel-Ellipsoid

Krassowsky-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

E0

111 120,619607 m/°

111 134,861087 m/°

111 132,952547 m/°

E2

-15 988,6383 m

-16 036,4801 m

-16 038,5088 m

E4

16,7300 m

16,8281 m

16,8326 m

E6

-0,0218 m

-0,0220 m

-0,0220 m

Bessel-Ellipsoid

Krassowsky-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 377 397,155 m

6 378 245 m

6 378 137,00 m

b

6 356 078,963 m

6 356 863,019 m

6 356 752,314 m

l=

L − L0 !  cos B

2 c= a b

V=

1 + e š2  cos 2 B

t = tan B ! = 180 

2 2 š2 e = a −2b

b

116

8 Transformationen

Gauß-Krüger-Koordinaten R, H X Geographische Koordinaten B, L

4, 97 + 3t 2 B = B x − y š2  !  t  V 2  1 − y š2  24 2 L − L 0 = yš 

mit:

! y š2 2 š2 ( 2 )2 ) ( 2 cos B x  1 − 6  V + 2t − y  0, 6 + 1, 1t

B x = " + F 2  sin 2" + F 4  sin 4" + F 6  sin 6"

H "= E 0 wobei gilt: Bessel-Ellipsoid

Krassowsky-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

E0

111 120,619607 m/°

111 134,861087 m/°

111 132,952547 m/°

F2

0,143 885 364°

0,144 297 408°

0,144 318 142°

F4

0,000 210 771°

0,000 211 980°

0,000 212 041°

F6

0,000 000 427°

0,000 000 431°

0,000 000 431°

yš =

yV c

! = 180 

y = R−

V=

2 c= a b

1 + e š2  cos 2 B x

L0 + 0, 5  10 6 3

2 2 š2 e = a −2b

t = tan B x

b

Bessel-Ellipsoid

Krassowsky-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 377 397,155 m

6 378 245 m

6 378 137,00 m

b

6 356 078,963 m

6 356 863,019 m

6 356 752,314 m

Hiermit auch Umrechnung von einem Gauß-Krüger-Merdianstreifensystem in das benachbarte Merdianstreifensystem möglich

(R, H ) L 0 H

L, B H

(R, H ) L 0

mit L 0 = 3 o , 6 o , 9 o , 12 o oder 15 o

 3o

8.2 Räumliche Transformationen

8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER Geographische Koordinaten B, L X UTM-Koordinaten E, N E = E 0 + [1 ]  L + [3 ]  L 3 + [5 ]  L 5 N = m  G + [2 ]  L 2 + [4 ]  L 4 + [6 ]  L 6 mit:

L = L − L 0 E0 =

mit L 0 = 3°, 9° oder 15° für Deutschland

L0 + 3 + 30, 5  10 6 6

m = 0,9996

G = G 0  B + G 2  sin 2B + G 4  sin 4B + G 6  sin 6B wobei gilt: Internationales Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

G0

111 136,536655 m/°

111 132,952547 m/°

G2

-16 107,0347 m

-16 038,5088 m

G4

16,9762 m

16,8326 m

G6

-0,0223 m

-0,0220 m

[1 ] = m !  N  cos B

m [3 ] = 6! 3  N  cos 3 B  (1 − t 2 +  2 ) m [5 ] = 120! 5  N  cos 5 B  (5 − 18t 2 + t 4 +  2  (14 − 58t 2 ))

m [2 ] = 2! 2  N  cos 2 B  t m [4 ] = 24! 4  N  cos 4 B  t  (5 − t 2 + 9   2 )

m [6 ] = 720! 6  N  cos 6 B  t  (61 − 58t 2 + t 4 ) ! = 180 

t = tan B 2 2  2 = a −2b  cos 2 B b

N=

c 1 + 2

2 c= a b

Internationales-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 378 388,000 m

6 378 137,00 m

b

6 356 911,946 m

6 356 752,314 m

117

118

8 Transformationen

UTM-Koordinaten E, N X Geographische Koordinaten B, L B = B F + ( 2 )  y 2 + ( 4 )  y 4 + (6 )  y 6 L = L 0 + (1 )  y + (3 )  y 3 + (5 )  y 5 y = E − E0

mit:

E0 =

L0 + 3 + 30, 5  10 6 6

oder

E 0 = (Zone + 0, 5 )  10 6

L 0 = (Zone − 30 )  6 − 3 B F = " + F 2  sin 2" + F 4  sin 4" + F 6  sin 6"

N "= mG 0

m = 0,9996

wobei gilt: Internationales Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

G0

111 136,536655 m/°

111 132,952547 m/°

F2

0,144 930 079°

0,144 318 142°

F4

0,000 213 843°

0,000 212 041°

F6

0,000 000 437°

0,000 000 431°

(2 ) = −

! 2  m2  NF

2

! = 180 

 t F  (1 +  2F )

! 2 2 ( 2 )) ( 4  t F  5 + 3t F + 6 F  1 − t F 24  m 4  N F ! 2 4) ( (6 ) = − 6  t F  61 + 90t F + 45t F 720  m 6  N F ! (1 ) = m  N F  cos B F ! (3 ) = −  (1 + 2t 2F +  2F ) 3 3 6  m  N F  cos B F ! (5 ) =  (5 + 28t 2F + 24t 4F ) 5 120  m 5  N F  cos B F (4 ) =

NF =

2 2  2F = a −2b  cos 2 B F b

Internationales-Ellipsoid

GRS80-Ellipsoid

a

6 378 388,000 m

6 378 137,00 m

b

6 356 911,946 m

6 356 752,314 m

c 1 +  2F

t F = tan B F 2 c= a b

8.2 Räumliche Transformationen

119

8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger- bzw. UTM-Koordinaten 8.2.5.1 Dreidimensionale Überführung 1. Schritt: Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit mindestens drei identischen Punkten

Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten der identischen Punkte X, Y, Z

Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit identischen Punkten durch Ausgleichung

Berechnung von Kartesischen Koordinaten bezogen auf das Bessel- bzw. das Internationale Ellipsoid (siehe Abschnitt 8.2.2) W X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I

Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4) W B, L und H E = H N + N oder näherungsweise HE O HN

Ausgangsdaten: GK- oder UTM- Koordinaten Amtliche Höhen H N (Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen N )

Ergebnis: X, Y, Z, m,  1 ,  2 ,  3 , (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“)

120

8 Transformationen

2. Schritt: Mit den im 1. Schritt bestimmten Parametern werden die WGS 84Koordinaten der identischen Punkte und der Neupunkte in das Landessystem ( GK oder UTM) überführt.

WGS 84 Koordinaten X,Y,Z

7-Parameter Transformation (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für Kleine Drehwinkel“) W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I

Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2) W B, L, H E

Umrechnung in Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4) W GK- oder UTM - Koordinaten und falls Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen bekannt: H N = H E − N

8.2 Räumliche Transformationen

121

8.2.5.2 Zweidimensionale Überführung Die zweidimensionale Überführung ist dann zweckmäßig, wenn nur GK- oder UTMKoordinaten und keine Höhen benötigt werden. Hierbei werden die 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation nicht über identische Punkte bestimmt, sondern die schon für ein größeres Gebiet bekannten Parameter (globale Parameter) übernommen (näherungsweise Vortransformation). Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten aller Punkte X, Y, Z

Räumliche Ähnlichkeitstransformation mit globalen Parametern ( Vortransformation) (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“) W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I

Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2) W B, L, (H E )

Umrechnung in vorläufige Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4) W GK- bzw. UTM - Koordinaten

Bestimmung der 4 Parameter (lokale Parameter) einer ebenen Ähnlichkeitstransformation über identische Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W Y 0 , X 0 , a, o

Ebene Ähnlichkeitstransformation aller Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W lokal best eingepasste Landeskoordinaten (GK bzw. UTM)

Landeskoordinaten (GK- bzw. UTM-Koordinaten) der identischen Punkte

9 Höhenmessung 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen Schwerebeschleunigung g → → → g = b + z

Pol

→ g = Schwerebeschleunigung → b = Gravitation → z = Zentrifugalbeschleunigung

z

g

b

g g

g Pol = b O 9, 833

m s2

g A¨qu O

m s2

9, 780

b

(z = 0 )

z Äquator

Schwerepotential W Schwerepotential W =

Lageenergie =gh Masse

m2 s2

Lageenergie = Potentielle Energie = m  g  h

g = Schwerebeschleunigung m = Masse h = Bezugshöhe Niveauflächen Die Niveaufläche (Äquipotentialfläche) ist eine Fläche konstanten Schwerepotentials W.

P

W = WP

dh

dh

W = WP +dW Lotlinie

dW = − g  dh

H

dh = − dW g

Zwei Niveauflächen, die sich um die Potentialdifferenz dW unterscheiden, sind in der Regel nicht parallel. Daraus folgt auch, dass die Lotlinien gekrümmt sind.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_9

9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen

123

Geoid Das Geoid ist eine Niveaufläche im Schwerefeld der Erde mit W = W 0 = konstant, die den mittleren Meeresspiegel bestmöglich approximiert.

Erdob erflä che

Pegel P0 Geoid W =W

0

Quasigeoid Das Quasigeoid ist die Bezugsfläche für die Normalhöhen (siehe Abschnitt 9.2). Diese Bezugsfläche entsteht, wenn man die Normalhöhen der Oberflächenpunkte entlang der Lotlinie nach unten abträgt. Das Quasigeoid ist keine reine Äquipotentialfläche, sondern eine fiktive Rechenfläche, die vom Geoid geringfügig abweicht.

Normalhöhennull In Deutschland wurde zum 1.7.2016 das Deutsche Haupthöhennetz 2016 (DHHN2016) eingeführt. Es hat das DHHN92 abgelöst. Als Höhenbezugsfläche gilt in Deutschland die Normalhöhennullfläche (NHN). Diese entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid.( GCG2016 German Combined Quasigeoid) Das DHHN2016 wurde auf 72 Datumspunkten aus dem DHHN92 gelagert. Die Bezeichnung der Höhen lautet: „Höhen über Normalhöhen-Null (NHN) im DHHN2016“ Zur Umstellung von DHHN92 auf DHHN2016 wurde dasTransformationsmodell HOETRA2016 abgeleitet und im Internet als Web-Applikation bereitgestellt www.hoetra2016.nrw.de

124

9 Höhenmessung

9.2 Höhen Geopotentielle Kote Die geopotentielle Kote C P eines Punktes P ist die Potentialdifferenz zwischen dem Potential W P des Punktes und dem Potential der Referenzfläche (Geoid) mit W = W 0 , P

W=W P C=C P

gP n Dh

iv

DW

Geoid W = W

0

P0

C=C = 0 0

g0

C P = W = W 0 − W P = C P − C 0 mit C 0 = 0 C P O h niv  (g 0 + g P )/2

m2 s2

h niv = nivellierter Höhenunterschied g 0 ; g P = gemessene Schwerebeschleunigung am Punkt P 0 und Punkt P oder streng: P

CP =

ˆ g  h

P0

h = differentiell kleine Höhenunterschiede g = zu h gehörige Schwerebeschleunigung 2

Die geopotentiellen Koten C mit der Maßeinheit ms 2 können bei Division durch g sm2 wieder in metrische Einheiten zurückgeführt werden. H= C g Das Problem hierbei ist die Bestimmung bzw. Festlegung der repräsentativen Schwerebeschleunigung g.

9.2 Höhen

125

Normalhöhen Die Normalhöhe H N ist der metrische Abstand eines Punktes P von der als Normalhöhennullfläche bezeichneten Höhenbezugsfläche. Die Normalhöhenbezugsfläche entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid. Kurze Darstellung der Ableitung der Normalhöhen: y Ausgangswert: Geopotentielle Kote C P des Punktes P = Potentialdifferenz zum Geoid y

Ein gedachter Punkt T weise gegenüber einem Niveauellipsoid ebenfalls die Potentialdifferenz C P auf. P T

E rdo

CP

ber flä

ch

e

Tellu

roid

CP Pegel P0

Geoid

Norm

y

Niveaue llipsoid

erefeld alschw

Metrischer Abstand des Punktes T vom Niveauellipsoid HN =

CP P

 P = nach VIGNAL bzw. KRASSOWSKI berechenbarer Mittelwert der Normalschwere Punkt T und dem Niveauellipsoid y

Die Höhe H N wird vom Punkt P aus längs der Lotlinie (näherungsweise Ellipsoidnormale) nach unten abgetragen und man erhält den Punkt Q P E rdo

ber flä

e

ch

HN

Pegel P0

Q Quas

igeoid

Führt man dies für beliebig viele Punkte P durch, so bilden die Punkte T das Telluroid und die Punkte Q das Quasigeoid

126

9 Höhenmessung

Ellipsoidische Höhen und Normalhöhen Die Ellipsoidische Höhe H E ist der metrische Abstand eines Punktes P zur Ellipsoidoberfläche gemessen entlang der Ellipsoidnormalen. P

Erdo b

e

er flä ch

Datumspunkt

HN

HE

Pegel

Höhenbezug

N Amsterdam

sfläche Quasigeoid

Niveauellipsoid

HE = HN + N

N = Quasigeoidundulation

Bei bekannten Quasigeoidundulationen N können ellipsoidische Höhen H E ( z.B. aus satellitengestützten Messungen) in Normalhöhen H N umgerechnet werden und umgekehrt. Berechnung der Ellipsoidischen Höhen aus kartesischen Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2)

9.3 Geometrisches Nivellement 9.3.1 Definitionen Nivellementstrecke (Niv - Strecke)

Nivellementlinie (Niv - Linie)

Nivellitische Verbindung zweier benachbarter Zusammenfassung von Höhenfestpunkte, die in der Regel durch aufeinanderfolgenden Niv-Strecken Wechselpunkte unterteilt ist Nivellementschleife (Niv - Schleife)

Höhenknotenpunkt

In sich geschlossene Folge von Niv- Linien oder Niv-Strecken

Höhenpunkt, zu dem mindestens drei Niv-Linien führen

9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise 1. Größte Zielweiten: 30 - 100 m beim Feinnivellement: 25 - 45 m (Zielweiten abschreiten oder abmessen) 2. Gleiche Zielweiten für den Rück- und Vorblick eines Standpunktes Zielweite Vorblick = Zielweite Rückblick; wenn dies nicht möglich ist, muss beim Feinnivellement der Einfluss der Erdkrümmung berücksichtigt werden. 3. Hin- und Rücknivellement oder Anschluss an zwei höhenbekannten Festpunkten Zusätzlich beim Feinnivellement: 4. Zielhöhe nicht unter 0,3 m über Boden (Refraktionseinflüsse) 5. Gerade Anzahl von Standpunkten (2 Niv - Latten verwenden) 6. Anwendung des Verfahrens "Rote Hose", um den Kompensationsrestfehler und den Höhenversatz unwirksam zu machen

9.3 Geometrisches Nivellement

127

9.3.3 Grundformel eines Nivellements Höhenunterschied

r

v Höhenunterschied = Rückblick - Vorblick

Dh Z

Δh

=

r

-

v

Z

Höhenunterschied zwischen zwei Höhenfestpunkten Sollhöhenunterschied (Differenz zwischen zwei vorgegebenen Höhen) H = H E − H A H A = Höhe des Anfangpunktes H E = Höhe des Endpunktes Isthöhenunterschied (beobachteter Höhenunterschied zwischen zwei Höhenpunkten)

h =

n

n

 r i − i=1 v i i =1

n = Anzahl der Niv-Standpunkte

9.3.4 Feinnivellement Beobachtungsverfahren: Lattenablesung an Zweiskalenlatten rl G vl G vr G rr

rl = rr = vl = vr =

Rückblick / linke Lattenskala Rückblick / rechte Lattenskala Vorblick / linke Lattenskala Vorblick / rechte Lattenskala

Auswertung der Beobachtung sofortige Standpunktkontrolle k I = r l − v l − (r r − v r )

sofortige Vor- und Rückblickkontrolle k r = r r − r l −Teilungskonstante k v = v r − v l −Teilungskonstante

kl = kv − kr Zulässige Abweichung k I > 0, 2 mm Höhenunterschied

h =

h l + h r 2

h l = r l − v l

;

h r = r r − v r

Bei Verwendung von Digitalnivellieren erfolgt die Lattenablesung an Codelatten nach r G v G v G r zu nur einer Teilung

128

9 Höhenmessung

9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke, -linie oder -schleife Bestimmung eines Höhenneupunktes zwischen zwei Höhenfestpunkten A, E mit den Höhen H A und H E Nivellementstrecke/-linie

Nivellementschleife

AE

A=E X

Sollhöhenunterschied

Sollhöhenunterschied

H = H E − H A Isthöhenunterschied h =  h i =  r i −  v i Streckenwiderspruch w S = H − h

HA = HE

H = 0 Isthöhenunterschied h =  h i =  r i −  v i Schleifenwiderspruch w U = −h

Verteilung des Strecken- bzw. Schleifenwiderspruchs w S , w U wichtiger Hinweis: Die Verbesserung v i darf nicht mit dem Vorblick v i verwechselt werden. 1. Verbesserung der einzelnen Rückblickablesungen a) nach der Anzahl der Standpunkte (wenn alle Zielweiten etwa gleich lang)

vi = w n n = Anzahl der Niv-Standpunkte b) nach den Zielweiten

v i = w  2z S z = z R = zV = Zielweite S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Rückwärtsablesung

ri = ri + vi

2. Verbesserung der Höhe des Neupunktes

vN = w  SN S S N = Niv-Strecke vom Höhenfestpunkt bis zum Neupunkt S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Höhe des Neupunktes

HN = HN + v N

9.3 Geometrisches Nivellement

9.3.6 Höhenknotenpunkt Bestimmung eines Höhenneupunktes von mehreren Höhenfestpunkten aus

H1

H2 S1

D h1

S2

HN

D h2

Si

D hi Hi Gewogenes Mittel der Höhe des Neupunktes HN =

[H N i  p i ] [p i ]

pi = 1

Si S i = Länge einer Niv-Strecke H N i = H i + h i h i = beobachteter Höhenunterschied H i = Höhenfestpunkte

Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit

s0 =

[p i v i v i ] n −1

vi = H Ni − H Ni n = Anzahl der beobachteten Höhenunterschiede Standardabweichung des Höhenneupunktes

s HN =

s0 [p i ]

129

130

9 Höhenmessung

9.3.7 Ziellinienüberprüfung

b1

B

Dh

A z h = a 1 − b 1

b 2'

wenig empfehlenswertes Verfahren

a2 a 2 Soll a1

Verfahren aus der Mitte

z

fehlerfrei

š

a 2 Soll O b 2 + (a 1 − b 1 )

B

a1

I1

b2

b1

a2

d

2d

Verfahren nach KUKKAMÄKI

I2

Dh

A z

I1 :

h = a 1 − b 1

I2 :

h = a 2 − b 2 − d a 2 Soll = a 2 − 2d b 2 Soll = b 2 − d

z

2z

fehlerfrei d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 )

z O 15 m

9.3 Geometrisches Nivellement Verfahren nach NÄBAUER

sehr zu empfehlen

a1

d I1

B

2d b1 b2

a2 2d

d

A

z

I2 z O 20 m

Dh z

z

I1 :

h = (a 1 − d ) − (b 1 − 2d ) = (a 1 − b 1 ) + d

I2 :

h = (a 2 − 2d ) − (b 2 − d ) = (a 2 − b 2 ) − d 2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b 2 − d

sehr zu empfehlen

I1

d

a2 a 2 Soll a1

2d

I2

B

d 2d b1 b2 Soll b2

Verfahren nach FÖRSTNER

Dh

A z

I1 :

a 1 − b 1 = h − d

I2 :

a 2 − b 2 = h + d

z

2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b 2 − d

z

z O 20 m

131

132

9 Höhenmessung

9.3.8 Genauigkeit des Nivellements Gewichtsansatz p=

1 S[km ]

S = Länge einer Niv-Strecke [km]

Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Strecken- bzw. Linienwidersprüchen Einfachmessung s0 =

1  wSwS S 2n

Doppelmessung

sD =

s0 2

w S = Streckenwiderspruch: Summe der Höhenunterschiede aus Hin- und Rückmessung n = Anzahl der Widersprüche = Anzahl der Strecken S = Länge einer Niv-Strecke/Linie [km]

Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Schleifenwidersprüchen Einfachmessung / Doppelmessung s0 = sD =

1  wUwU n U

w U = Schleifenwiderspruch: Abweichung der Summe der Höhenunterschiede von Null n = Anzahl der Widersprüche = Anzahl der Schleifen U = Länge einer Niv-Schleife = Σ S Bei Schleifenwiderspruch aus Einfachmessung: Standardabweichung s 0 Bei Schleifenwiderspruch aus den Mitteln der Doppelmessung: Standardabweichung s D

Standardabweichung einer Niv-Strecke von der Länge S i

si = s0  Si

bzw. s. iD = s D  S i

9.3 Geometrisches Nivellement

Standardabweichung einer Niv-Strecke der Länge S aus Einzelhöhenunterschieden s S = s h 

S 2Z

Z = Zielweiten S = Länge einer Niv-Strecke Standardabweichung des Einzelhöhenunterschiedes s h = s A  2 s A = Ablesegenauigkeit an der Nivellierskala

9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement 1. Ordnung : ADV Nivellement Feldanweisung 2006-2011: 2. Ordnung: VwV FP Baden-Württemberg

Zulässiger Streckenwiderspruch aus Hin- und Rückmessung I. Ordnung

Z S [mm ] = 0, 5 S + 1, 5 S

II. Ordnung

Z S [mm ] = 0, 5 S + 2, 25 S

S = Länge einer Niv-Strecke in km Zulässiger Schleifenwiderspruch I. Ordnung

Z U [mm ] = 2 U

II. Ordnung

Z U [mm ] = 3 U

U = Schleifenumfang in km Zulässige Abweichung aus gemessenem Höhenunterschied und vorgegebenem Höhenunterschied I. Ordnung

Z H [mm ] = 2 + 2 S

II. Ordnung

Z H [mm ] = 2 + 3 S

S = Länge einer Niv-Strecke in km

133

134

9 Höhenmessung

9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung 9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m) Z

D

t z S

S

HZ

i

DH

HS Gemessen:

Zenitwinkel z Distanz D oder Strecke S Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t

Höhenbestimmung mit Distanz D H = D  cos z + i − t Höhenbestimmung mit Strecke S H = S  cot z + i − t

Höhenbestimmung des Standpunktes

H S = H Z − H

Höhenbestimmung des Zielpunktes

H Z = H S + H

Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ΔH 2 s H = (cot z  s S ) +

sS = sz = si = st =

S  s [rad ] z sin 2 z

2

+ s 2i + s 2t

Standardabweichung der Strecke S Standardabweichung des Zenitwinkels Standardabweichung der Instrumentenhöhe Standardabweichung der Zieltafelhöhe

9.4 Trigonometrische Höhenmessung

9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen Einfluss der Erdkrümmung

B

2 kE O S 2R

z A

kE

HA

H A = Höhe des Punktes A R = Erdradius 6380 km

R R

Einfluss der Refraktion

kR

B

kR O − k  S 2R

2

z

A

H A = Höhe des Punktes A R = Erdradius 6380 km k = Refraktionskoeffizient k O 0,13 für Zielstrahlhöhen von >20m über Boden

HA

R

R

135

136

9 Höhenmessung

Einseitige Zenitwinkelmessung Gemessen: Zenitwinkel z Distanz D Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t

B

DH

z

A HA

R

H A = Höhe des Punktes A R = Erdradius 6380 km k = Refraktionskoeffizient k O 0,13 für Zielstrahlhöhen von >20m über Boden

R

Höhenbestimmung mit Distanz D 2 2 H = D  cos z + D  sin z  (1 − k) + i − t 2R

Strecke S im Bezugshorizont für S < 10km S = R  arctan

D  sin z [rad ] ((R + H A ) + D  cos z )

Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont H S2 H = 1 + RA  S  cot z +  (1 − k ) + i − t 2R  sin 2 z

Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ΔH 2 2 2 s H = (cos z  s D ) + (D  sin z  s z[rad ]) + D  s k 2R

sD = sz = si = st = sk =

2

+ s 2i + s 2t

Standardabweichung der Distanz D Standardabweichung des Zenitwinkels Standardabweichung der Instrumentenhöhe Standardabweichung der Zieltafelhöhe Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten

9.4 Trigonometrische Höhenmessung

137

Gegenseitig gleichzeitige Zenitwinkelmessung Bestimmung von ΔH ohne Kenntnis der Refraktion

zB

B

DH

zA

A

Gemessen: Zenitwinkel z A , z B Distanz D Instrumentenhöhen i A , i B R = Erdradius 6380 km H A = Höhe des Punktes A Hinweise für die Beobachtung der Zenitwinkel:

HA

- gleichzeitig beobachten - bei stabilen Refraktionsverhältnissen - bei gleichmäßig durchmischter Luft

R

R

Höhenbestimmung mit Distanz D H = D  sin

zB − zA + iA − iB 2

Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont H = 1 +

HA S (   cot z A − cot z B ) + i A − i B R 2

Ermittlung des Refraktionskoeffizienten k k = 1 − (z A + z B − 200 gon )    R 200 S R = Erdradius 6380 km S = Strecke Diese Art der Bestimmung des Refraktionskoeffizienten k ist sehr unsicher, da die Messfehler in den Zenitwinkeln z den Refraktionskoeffizienten sehr stark beeinflussen. Genauigkeit: Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten sk =

R 2  s z[rad ] S

s z = Standardabweichung des Zenitwinkels

138

9 Höhenmessung

9.4.3 Trigonometrisches Nivellement s r O s v > 250 m

zr zv tr

sr

sv

tv Dh

Höhenunterschied

h Trig = Vorblick - Ru¨ckblick h = s v  cot z v − s r  cot zr + (t r − t v ) oder mit t r = t v :

h = s v  cot z v − s r  cot zr

Höhenbestimmung einer trigonometrischen Niv-Strecke H =  h i

Genauigkeit: Standardabweichung des Einzelhöhenunterschieds

s h i = 2((cot z  s s ) 2 + zr O zv

s  s [rad ] z sin 2 z

2

+ s 2t )

sr O sv

s s = s s r = s s v = Standardabweichung der Strecken s s z = s zr = s zv = Standardabweichung der Zenitwinkel s t = s t r = s t v = Standardabweichung der Zieltafelhöhe Standardabweichung einer trigonometrischen Niv-Strecke s H = n  s 2h

s h = s h 1 = s h 2 = .... n = Anzahl der Einzelhöhenunterschiede

9.4 Trigonometrische Höhenmessung

139

9.4.4 Turmhöhenbestimmung Horizontales Hilfsdreieck Aufriss

Grundriss

HT T

hA s

A

hB

HK A

zB

sA

HK B

sB A Gegeben: Höhen der Kippachsen H K A , H K B Gemessen: Horizontalwinkel ,  Basis b : Zenitwinkel z A , z B :

sA = b 

sB

zA

sin  sin( +  )

B

a

A

b b

b auf Millimeter messen z genauer messen als α, β, da α, β jeweils Differenz zweier Horizontalrichtungen sB = b 

sin  sin( +  )

h A = s A  cot zA

h B = s B  cot zB

H TA = H K A + h A

H TB = H K B + h B

HT =

H TA + H TB 2

Genauigkeit: Standardabweichung der gemittelten Höhe H T , wenn: sA O sB O s , s HT =

 O ,

hA  sb b

2

+

B

zA O zB ,

h A O h B und H K A , H K B fehlerfrei

hA tan   s  [rad ] 2

2

+

2  hA  s z[rad ] sin 2 z A

2

s b = Standardabweichung der Strecke b s  = s  = Standardabweichung der Horizontalwinkel s z = Standardabweichung der Zenitwinkel Um die Forderung b O 2s ; z O 50 gon zu erfüllen müsste aber mit einem Steilsichtprisma oder einem Zenitokular gemessen werden

140

9 Höhenmessung

Vertikales Hilfsdreieck

sb

HT

b

HKA

h

zB

zA

HK B

Gegeben: Höhen der Kippachsen H K A , H K B

Gemessen: Basis b Zenitwinkel z A , z B

Günstige Anordnung: H K A O H K B b O 2h H z A O 80 gon s b O h H z B O 50 gon wobei h O H T − H K A O H T − H K B

Forderung: b auf Millimeter messen z A doppelt so genau wie z B messen

sb =

b  cot z A + H K A − H K B cot z B − cot z A

H T A = H K A + (b + s b )  cot z A

HT =

H TA + H TB 2

HTB = HKB + s b  cot zB Die schleifenden Schnitte der Zielstrahlen lassen sich vermeiden, wenn der Turm zwischen den Theodolitstandpunkten liegt. Die Strecke b kann indirekt ermittelt werden oder direkt gemessen werden, wenn im Turm eine Durchfahrt existiert.

HT

HK A

zA

zB

sa

sa =

H K B − H K A + b  cot z B cot z A + cot z B

sb = b − sa

b

H T A = H K A + s a  cot z A H T B = H K B + s b  cot z B

HK B

sb

HT =

H TA + H TB 2

10 Ingenieurvermessung 10.1 Absteckung von Geraden - Zwischenpunkt in einer Geraden Mit unzugänglichen oder gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten Gemessen: Winkel 

 =  − 200 gon

a

P'

b b

e

a

PA

a und b Näherungswerte

PB

P

e O a  b  sin  O a  b  [rad ] a+b a+b Bei unbekanntem a und b š

Gemessen: Winkel  ,  Strecke e

š

šš

š

 =  −200 gon ;

a''

šš

b ''

e

e''

P''

šš

 =  − 200 gon

P

PB

e'

PA P'

a'

b'

š

  +  šš

šš

e =e−e

š

PA

a'' a'

e

e''

P''

P'

e'

š

e Oe

š

b '' b' PB

P š

š

e Oe

  − š šš

šš

e =e+e

š

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_10

142

10 Ingenieurvermessung

10.2 Kreisbogenabsteckung 10.2.1 Allgemeine Formeln T a g Hauptpunkte:

c t

t

Bogenanfang A Bogenende E Bogenscheitel S

t1

t1 S

h A

a/2

E

s r

r

a M

Rechenproben:

Bogenlänge

b = r  [rad ]

Tangente

t = r  tan  2

Scheiteltangente

 t 1 = r  tan 4

Pfeilhöhe

h = r 1 − cos  2

(c + r )  sin  = t 2

Scheitelabstand

c = r  tan   tan  4 2

h + r  cos  = r 2

Sehne

s = 2r  sin  2

Zentriwinkel

 = 200 gon − 

Radius

r=

Tangentenfläche (Δ ATE - Kreisabschnitt)

s2 + h 8h 2   F T = r 2  tan 2 − 2 [rad ]

Kreisausschnitt (Sektor)

F =  [rad ]  r 2 2

Kreisabschnitt (Segment)

2 F = r  ([rad ] − sin  ) 2

10.2 Kreisbogenabsteckung

10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels

143

γ

Richtungen der Tangenten und Radius sind bekannt Tangentenschnitt T zugänglich

t

a

a

Winkel γ mit dem Theodolit messen oder Winkel γ über das Δ PQT ermitteln sin

T

g c

P

 = c 2 2a

Q E

A r

Tangentenschnitt T nicht zugänglich

r

M

1. Bestimmung der Winkel ψ,ϕ :

A r

t b

a) Hilfsstrecke b direkt messen und Winkel ψ,ϕ mit dem Theodolit messen

P j

M a

y

g

T

r

Q

b) Polygonzug von P nach Q messen:

E b1 s P,1

P

bP

s1,2

d

j

b2 bQ 2 s2,Q e

1 b

y

Q

- Brechungswinkel  i und Strecken s i messen - Berechnung des Polygonzuges im örtlichen Koordinatensystem ohne Richtungsanund -abschluss - Strecke b und die Winkel δ und ε aus den Koordinaten der Punkte P,1,2,Q berechnen ' = 400 gon −  P − 

) = 200 gon − Q − 

2. Berechnung mit Sinussatz  = ' + ) − 200 gon PT = sin )  AP = t − PT

b sin 

QT = sin '  EQ = t − QT

b sin  t = Tangentenlänge

144

10 Ingenieurvermessung

10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P T g

p

t2

E2

r2

M2 E1

x2

t1

A2

y

x1

P

r1 A1

M1

1. Beide Tangentenrichtungen bekannt

x 1/2 = y  tan

  2

y  tan

 2

2

+ 2p  y  tan

 − y2 2

Zwei Lösungen möglich

Ordinate y und Abszisse p gemessen Tangente

Radius

t 1/2 = p + x 1/2

r 1/2 = t 1/2  tan

 2

x 2 + y 2 = 2ry

Probe:

2. Eine Tangentenrichtung und der Radius bekannt

x 1/2 =

r 2 − (r − y )

2

Zwei Lösungen möglich Tangente

Tangente

t 1/2 = p + x 1/2 Ordinate y und Abszisse p gemessen

10.2 Kreisbogenabsteckung

10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Orthogonale Absteckung von der Tangente 1. mit gleichen Abszissenunterschieden Δx

M

r

x i = i  x

Pi

r

y i = r − r 2 − x 2i

yi

P1 y1

Näherungsformel

yi O

x 2i 2r

xi

Dx

x1

A Dx

i = 1„n n = Anzahl der x

2. mit gleichen Bogenlängen Δb

r

w

r

w

*[rad ] = b r

Pi

i = 1„n n = Anzahl der b

x i = r  sin * i

y i = r − r  cos * i

y1 xi

x1

A

yi

P1 Db

200 ; *[gon ] = b r  

*i = i  *

Db

M

Orthogonale Absteckung von der Sehne 1. bei Vorgabe von Abszissen x i

Pi Dx i

s/2

xi

A

yi

h

E

x i = x i − s 2

r

r

2 h = r − r2 − s 4

2 y i = r 2 − x 2i − r 2 − s 4

M 2. bei Vorgabe der Bogenlänge b i

b * i [rad ] = r i

b 200 ; * i [gon ] = r i  

yi

bi

Pi

A

r

a/2

wi M

r

r xi

E

y i = r  cos * i −  − cos  2 2 x i = r  sin * i −  + sin  2 2

145

146

10 Ingenieurvermessung

Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Absteckung nach der Sehnen-Tangenten-Methode Polare Kreisbogenabsteckung durch Angabe der Richtungen ri vom Standpunkt E und Messen der aufeinanderfolgenden Sehnen. Es soll immer von A nach E abgesteckt werden.

Pi

Db

s r

s

i

ri = i  * 2

s

Db

r1

s

P1

b 200 *[rad ] = b r ; *[gon ] = r   s = 2r  sin * 2

Db

A

w

r

sR

w/2

rA a

E

r

rA = 0

i = Anzahl der Sehnen Probe: *r =  − i  *

M

s r = 2r  sin * r

Absteckung mit Hilfe eines Sehnenpolygons Fortlaufende Kreisbogenabsteckung im Trassenverlauf mit polaren Absteckelementen

P bi i

w

s

s

w/2 w

bA

A

r

M

d Die größte absteckbare Sehnenlänge:

s max = 2  r 2 − (r − d )

2

d = Stollenbreite

* = 2  arcsin s 2r  A = 200 gon + * 2

 i = 200 gon+ *

Wegen der fortgesetzten Verlängerung des Polygonzuges ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss ergibt sich mit wachsender Punktzahl eine schnell anwachsende Lageunsicherheit.

10.2 Kreisbogenabsteckung

10.2.5 Näherungsverfahren x

Genähertes Absetzen von der Tangente A y

r

Pi 2 yO x 2r

wenn: xr < 1 10

r = Radius Genähertes Absetzen von der Sekante

P1 A

x

w

s

y s

w

sin * = s 2 2r

x = s  cos *

y = s  sin *

r = Radius Viertelmethode

S h'

h'

h A

s

Streng:

2 h = r − r2 − s 4

Genähert:

h š O 1 h 4 r = Radius

E

falls:

s < 1r 5

Pi

147

148

10 Ingenieurvermessung

Näherungsverfahren Einrückmethode für Zwischenpunkte zwischen zwei Bogenpunkten bei flachen Bögen x O b

P b

A

y E

x s yO

x(s − x ) 2r

r = Radius

10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung Pfeilhöhenmessung am Bogenanfang bzw. - ende

D

A a

h

h=

a  b2 2r  (a + b )

r = Radius

r

b

P r

M

im Kreisabschnitt für flache Bögen für gleiche Bogenlängen / bei gleichen Sehnen

P h A

E

s

2 hO s 8r

r = Radius

h O ab 2r

r = Radius

für ungleiche Bogenlängen

P A

a

h

b

E

10.2 Kreisbogenabsteckung

10.2.7 Korbbogen Dreiteiliger Korbbogen Der dreiteilige Korbbogen wird bei Straßeneinmündungen angewendet. Nach den "Richtlinien für die Anlage von Landstraßen, Teil III: Knotenpunkte (RAS-K1)" verhalten sich die Radien wie folgt: r 1 : r 2 : r 3 = 2 : 1 : 3 Die Zentriwinkel der Kreisbögen sind  1 = 17, 5 gon ,  3 = 22, 5 gon

t2 D r2

x2

g

c2

a2

E

y2

c1

P2

Dr1

P1

M2

r2

M1

a1 r3

t1

y1

r1 a1 x1

A a3

M3

y 1 = r 1  (1 − cos  1 )

x 1 = r 1  sin  1

y 2 = r 3  (1 − cos  3 )

x 2 = r 3  sin  3

r 1 = y 1 − r 2  (1 − cos  1 )

r 2 = y 2 − r 2  (1 − cos  3 )

a 1 = x 1 − r 2  sin  1

a 2 = x 2 − r 2  sin  3

c 1 = (r 2 + r 2 ) + (r 2 + r 1 )  cos 

c 2 = (r 2 + r 1 ) + (r 2 + r 2 )  cos 

t1 = a1 +

c1 sin 

t2 = a2 +

c2 sin 

149

150

10 Ingenieurvermessung

10.3 Klotoide 10.3.1 Definition Die Klotoide ist eine Kurve, deren Krümmung k stetig mit der Bogenlänge L wächst.

M

y

R

t

yM Tk

s

DR

L

s xM

Tl

t

y x

x

Krümmung

1 = L k= R A2

Grundformel

A2 = L  R

Grundgleichungen zwischen den Bestimmungsstücken L = R  2$ 2$

Parameter A

A= LR =

Radius

2 R= A = L = L 2$

Bogenlänge

2 L = A = 2$  R = A  2$ R

Tangentenwinkel

2 2 $= L = L 2 = A 2 2R 2A 2R

A 2$

Einheitsklotoide Alle Klotoiden sind einander ähnlich. Aus der Einheitsklotoide mit dem Parameter a = 1 lassen sich die Elemente anderer Klotoiden mit dem Parameter A als Vergrößerungsfaktor berechnen: R= rA

L =lA

10.3 Klotoide Bestimmungsstücke der Einheitsklotoide Koordinaten eines Klotoidenpunktes y=

2$ 

x = 2$ 

’

2n −1

 (−1 ) n +1  (4n − $1 )(2n − 1 )!

n =1

’

$ 2n −2

 (−1 )n +1  (4n − 3 )(2n − 2)! n =1

Näherungsformeln für 0 > l > 1 und sechsstellige Genauigkeit:

y = [(42410 −1  l 4 − 336 −1 )  l 4 + 6 −1 ]  l 3

l= L A

x = [(3474, 1 −1  l 4 − 40 −1 )  l 4 + 1 ]  l Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes

y M = y + r  cos $ x M = x − r  sin $

Tangentenabrückung

r = y M − r = y + r  cos $ − r

lange Tangente

t l = x − y  cot $

Tl = tl  A

kurze Tangente

tk =

y sin $

Tk = tk  A

Klotoidensehne

s = x2 + y2

S= sA

Richtungswinkel

y " = arctan x

R = r  A

Längenunterschied zwischen Klotoidenbogen und Klotoidensehne 3 B−SO B 2 24R

B = Klotoidenbogenlänge S = Klotoidensehne R = Radius

151

152

10 Ingenieurvermessung

10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide Symmetrisch  =  − 2$

g

 t = (R + R )  tan 2

t

t

T

T

b

t M

L

a

DR

t

t

R

b = R  [rad ]

t xM

L DR

x

T = t + XM

Gesamtbogenlänge: B = b + 2L

R

d

Unsymmetrisch

g d d=

 =  − ($ 1 + $ 2 )

t1 T1 t2

 t 1 = tan 2 (R + R 1 )

T2

b

x

M 1

L

2

t2

D R2 D R1

t 2 = tan

 (R + R 2 ) 2

T 2 = X M2 + t 2 − d

R

t1

DR

1

L1

a R

xM2

T 1 = X M1 + t 1 + d

t1

t2

R 2 − R 1 sin 

b = R  [rad ] Gesamtbogenlänge: B = L1 + b + L2

10.4 Gradiente

10.4 Gradiente 10.4.1 Längsneigung 1:n

s%

n

Dh

1

a Dl

s[% ] = h  100 = 100  tan  l s h tan  = 1 n = l = 100 h > 0 Steigung h < 0 Gefälle

10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten

+s

1

TS P1

-s

-s

2

1

P1

TS +s 2

P2

P2 h1

h2

h1

h TS = h 1 +

s1 (  x TS − x 1 ) 100

s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung: Steigung, positiv Gefälle, negativ

h2

x2

(x 2 − x 1 )  s 2 − (h 2 − h 1 ) 100 + x1 s2 − s1 100

h TS

x TS

x1

x2

x TS

x1

x TS =

h TS

153

154

10 Ingenieurvermessung

10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung s

1

A s2

HW

Pi

E

S y f

hA

hi

TS

h TS

hE

hS

xE

xS

x TS

xi

xA

T

T

TS = Tangentenschnittpunkt A = Ausrundungsanfang E = Ausrundungsende S = Scheitelpunkt H W = Halbmesser Wanne, positiv H K = Halbmesser Kuppe, negativ s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung: Steigung, positiv Gefälle, negativ auf die Horizontale reduzierte Tangentenlänge

T=

H W,K s − s1  2 100 2

Ausrundungsanfang A

x A = x TS − T

h A = h TS − T 

s1 100

Ausrundungsende E

x E = x TS + T

h E = h TS + T 

s2 100

Bogenstich

f=

Scheitelpunkt

xS = xA −

T2 2H W,K s 1  H W,K 100

hS = hA −

Scheitelpunkt vorhanden, Ordinate y an der Stelle x i

y=

(x i − x A ) 2 2H W,K

Höhe der Gradientenkleinpunkte x i hi = hS +

(x − x A ) 2 (x S − x i ) 2 s = h A + 1  (x i − x A ) + i 2H W,K 100 2H W,K

(x S − x A ) 2 2H W,K

s2 wenn: s 1 < 0

10.5 Erdmengenberechnung

155

10.5 Erdmengenberechnung 10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen F i+1 l = Profilabstand

Fm l

F i = Fläche der Querprofile

Fi

V = 1 (F i + 4F m + F i +1 )  l 6

Prismatoidenformel

F m nicht bekannt: F m =

2

F i + F i +1 2

Pyramidenstumpfformel

V = 1 F i + F i  F i +1 + F i +1  l 3

Näherungsformel

V O 1 (F i + F i +1 )  l 2

Mit der Näherungsformel wird das Volumen stets zu groß erhalten. GULDINsche Regel V = Querschnittsfläche * Weg des Schwerpunktes

Tr as se na

ch se

V = 1 (F i + F i +1 )  l  k m 2

3 4

1

Schwer

F yS

-y

+y

0

P i+1

pun k tw

2

R

l

z

Schwerpunkt

eg

l = Profilabstand in der Achse

Pi yS i

R

Verbesserungsfaktor k m = 1  (k i + k i +1 ) 2

ki =

R − y si R

k i +1 =

R − y s i +1 R

R = Radius, wobei: R > 0 Rechtskurve; R < 0 Linkskurve Schwerpunktsabstand von der Achse

yS = 1 6F

n

 (y 2i + y i  y i +1 + y 2i +1 )  (zi − zi +1 ) i =1

F = Querschnittsfläche

156

10 Ingenieurvermessung

Mengenberechnung aus Querprofilen Komplexe Berechnung von Mengen aus Querprofilen

F0

F1

F2

V1

Fi

V2

Sn

Si

S2

S1

S0

V = 1 S n (F n −1 + F n ) + 1 2 2

Fn Vn

n −1

 S i (F i −1 − F i +1 )

i =1

S i = Stationierung,wobei S 0 = 0 F i = Fläche der Querprofile n = Anzahl der Querprofile

10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien 105 104

103

105 h 104 103 102

V = h (F 1 + F n + 4(F 2 + F 4 + „ ) + 2(F 3 + F 5 + „ )) 3 ungerade Flächenanzahl notwendig; 2

F1 + Fn 2 h = Abstand zwischen zwei Höhenlinien ( Schichthöhe ) F i = Schichtfläche

sind nur zwei Flächen vorhanden:F 2 =

Näherungsformel V = h  (F 1 + F n + 2(F 2 + F 3 + „ + F n −1 )) 2 Dreiachtel - Regel für 4 Flächen V = 3  h  (F 1 + 3F 2 + 3F 3 + F 4 ) 8 Regel für 7 Flächen nach Weddle V = 3  h  (F 1 + 5F 2 + F 3 + 6F 4 + F 5 + 5F 6 + F 7 ) 10

10.5 Erdmengenberechnung

157

10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen Mengenberechnung aus Dreiecksprismen Grundriss

hi2 F1 hi1

hi =

Fn

hi3

Fi

F2 Fi

h i1 + h i2 + h i3 3

V=

n

 Fi  hi

i =1

F i = Fläche der Dreiecke n = Anzahl der Dreiecke Mengenberechnung aus Viereckprismen Rostrechtecke oder Rostquadrate Grundriss

2

1 1

h4

h1

4

h3 h2

a

3

2 1

F

4

2

Rostpunktgewichte j

hm =

 (g i  h i )

i =1

4n

h i = Rostpunkthöhen g i = Rostpunktgewichte Gewicht 1 Eckpunkte Gewicht 2 Randpunkte Gewicht 3 Randinneneckpunkte Gewicht 4 Innenpunkte F = Fläche der Rostrechtecke oder -quadrate n = Anzahl der Quadrate oder Rechtecke j = Anzahl der Rostpunkte

V = F  hm

1 2

4

2

2

1

158

10 Ingenieurvermessung

10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe

1

1:m

b

1:n

1: n

h nh

n = Böschungssteigung h = Böschungshöhe

b = Rampenbreite m = Rampenneigung n1 = Rampenböschungssteigung

2 n + 3b V 1 = h (m − n ) 2h  n 1 1 − m 6

2 n + 3b V 2 = h  m 2h  n 1 1 − m 6

10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren Dreiseitprisma

Vierseitprisma

h2

h2

h4 h3

h3 h1

h1

b

a V = a  b  1 (h 1 + h 2 + h 3 ) 2 3

b

a V O a  b  1 (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) 4

10.5 Erdmengenberechnung Pyramide

159

Pyramidenstumpf

F2

h

h F1

F

V = h F1 + F2 + F1  F2 3

V = 1Fh 3 Kegel

Kegelstumpf

r2

h

h r

F

r1

V =   h(r 21 + r 22 + r 1  r 2 ) 3

V = 1 F  h =   r2  h 3 3

Obelisk

Zylinder

r

b

a h

h r

b1

a1 V = h [(2a 1 + a )b 1 + (2a + a 1 )b ] 6

V =   r2  h

Grund- und Deckfläche sind im Abstand h parallel zueinander Keil

a V = h (2a 1 + a )b 1 6

h b1

a1

11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein 11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen ursprüngliche Verbesserungsgleichung Beobachtung + Verbesserung = Funktion der Unbekannten; Gewicht li

+

vi

f i (x 1 , x 2 , „, x u )

=

p

i = 1, 2, ..., n mit n = Anzahl der Beobachtungen k = 1, 2, ..., u mit u = Anzahl der Unbekannten umgestellte Verbesserungsgleichung v i = f i (x 1 , x 2 , „, x u ) − l ši = a i1  x 1 + a i2  x 2 + „ + a iu  x u − l ši

bei linearen Funktionen Absolutglied l ši = l i bei nicht linearen Funktionen wird mit Hilfe der TAYLORschen Reihe die Gleichung linearisiert dazu werden Näherungswerte x 0k eingeführt x k = x 0k + x k wobei x k durch eine differenzielle Größe dx k ersetzt werden kann x k = x 0k + dx k f i (x k ) = f i (x 0k + dx k ) = f i (x 0k ) +

‘f i (x 0k )  dx k + ...... ‘x 0k

Koeffizienten (partielle Ableitungen) Absolutglied

a ik =

‘f i (x 0k ) ‘x 0k

l ši = l i − f i (x 01 , x 02 , „, x 0u ) = l i − l 0 i

Matrizenschreibweise v=Ax−l š ;P v = A= x= lš= P=

mit l š = l − l 0

Verbesserungsvektor Koeffizientenmatrix Vektor der Unbekannten Absolutgliedvektor Gewichtsmatrix P = E (Einheitsmatrix) l = Beobachtungsvektor l 0 = Vektor der Näherungswerte der Beobachtungen

vi = a ik = xk = li š = pi =

Verbesserung Koeffizienten Unbekannte Absolutglied Gewicht pi = 1 l i = Beobachtungswert l 0 i = Näherungswert des Beobachtungswerts

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_11

11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - allgemein

161

11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten und der Kofaktorenmatrizen Aus dem Minimum der Quadratsumme der Verbesserungen mit vTPv = Minimum folgt: Normalgleichungsmatrix

N = AT  P  A

h- Vektor

h = AT  P  l š

Vektor der Unbekannten

x = N −1  h = (AT  P A ) −1 AT  P  l š

Direkte Berechnung vTPv

v T  P  v = l šT  P  l š - h T  x

v = A  x - lš

Verbesserungsvektor Ausgleichungsprobe

AT  P  v = 0

Vektor der ausgeglichenen Beobachtungen

l = l + v = A  x + l0

Kofaktorenmatrix der Unbekannten

Q xx = N −1

Varianz-Kovarianzmatrix der Unbekannten

T C xx = v n−Pu v Q xx

Kofaktorenmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen

Q l l = A  N −1  AT = A  Q xx  AT

Varianz-Kovarianzmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen

T C l l = v n−Pu v Q ll

Kofaktorenmatrix der Verbesserungen

Q vv = P −1 − A  N −1  A T

Varianz-Kovarianzmatrix der Verbesserungen

T C vv = v n−Pu v Q vv

Redundanzmatrix

R = Q vv  P = E − A  N −1  A T  P

11.1.3 Genauigkeit Standardabweichung der Gewichtseinheit (a posteriori)

s0 =

vT  P  v n−u

n = Anzahl der Beobachtungen u = Anzahl der Unbekannten Standardabweichung der Unbekannten x i s x i = s 0  q xix i

q x ix i = Q xx

ii

= i-tes Diagonalglied von Q xx

162

11 Ausgleichungsrechnung

Standardabweichung der Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori)

s li =

s0 pi

p i = Gewicht der Beobachtung s 0 = Standardabweichung a priori

Standardabweichung der Beobachtung nach der Ausgleichung (a posteriori)

s l i = s 0  q l il i q l il i = Diagonalglieder von Q l l = Q l l

ii

11.1.4 Statistische Überprüfung Redundanzanteil einer Beobachtung r i = (R ) ii (R ) ii = Diagonalglieder der Redundanzmatrix R Kontrolle:

 ri = r = n − u EV-Wert einer Beobachtung EV i [% ] = r i  100

Normierte Verbesserung einer Beobachtung NV i =

vi vi = s 0 q viv i s li r i

q v iv i = Q vv

ii

s 0 (a priori )

= i-tes Diagonalglied von Q vv

11.2 Punktbestimmung mit Richtungen/Strecken

163

11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichungen für Strecken und Richtungen ausgeglichene Strecke

s ik = s ik + v s ik

nicht lineare Verbesserungsgleichung 2 2 v s ik = (x k − x i ) + (y k − y i ) − s ik

linearisierte Verbesserungsgleichung v s ik = −a 1 ik  x i − b 1 ik  y i + a 1 ik  x k + b 1 ik  y k − l Streckenkoeffizienten

a 1 ik = cos t 0ik

Absolutglied

l

š

s ik

š

s ik

b 1 ik = sin t 0ik

= s ik − s 0ik

ausgeglichener Richtungswinkel [gon]

t ik = r ik + o i + v r ik

nicht lineare Verbesserungsgleichung yk − yi v r ik [gon ] = 200   arctan x k − x i − r ik − o i linearisierte Verbesserungsgleichung v r ik [gon ] = −* i − a 2 ik  x i − b 2 ik  y i + a 2 ik  x k + b 2 ik  y k − l

Richtungskoeffizient

sin t a 2ik = − s 0ik0ik  200 

Absolutglied

l rik = o 0i − (t 0ik − r ik )

š

r ik

cos t b 2 ik = + s 0ik0ik  200 

š

Näherungswert der Orientierungsunbekannten y i = y i − y 0i y k = y k − y 0k

x i = x i − x 0i x k = x k − x 0k

o 0i =

[t 0ik − r ik ] n

; wenn Pi = Festpunkt: H x i = y i = 0 ; wenn Pk = Festpunkt: H x k = y k = 0

y i , x i = Koordinaten des Standpunkts y k , x k = Koordinaten des Zielpunkts y 0i , x 0i = Näherungskoordinaten y 0k , x 0k = Näherungskoordinaten s ik = gemessene Strecke s 0ik = Strecke aus Näherungskoordinaten r ik = gemessene Richtung o i = Orientierungsunbekannte in Pi o i = o i − o 0i t 0ik = Richtungswinkel zum Näherungspunkt n = Anzahl der Beobachtungen

164

11 Ausgleichungsrechnung

Gewichtung von Strecken- und Richtungsbeobachtungen Genauigkeitsansatz bei der Streckenmessung

s 2S = a 2 + b 2  S 2 a = entfernungsunabhängiger Anteil (einschließlich Aufstellfehler in den Streckenendpunkten) b = entfernungsabhängiger Anteil S = Streckenlänge Genauigkeitsansatz bei der Richtungsmessung

s 2R = s 2r + c  200  S

2

+ d  200 S 

2

s r = Standardabweichung einer aus mehreren Sätzen gemittelten Richtung ohne Einfluss der Exzentrizitäten c, d = Exzentrizitäten (Aufstellfehler) in den Endpunkten Gewichtsansatz

s 20 = s 2S (für 1 km -Strecke) p 0S = 1 p Si =

s 20 s 2S i

p Ri =

oder

s 20 s 2R i

s 20 = s 2R (für 1 km lange Visur ) p0R = 1 p Ri =

s 20 s 2R i

p Si =

s 20 s 2S i

s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit s R i = Standardabweichungen der Richtungen s S i = Standardabweichungen der Strecken

Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten Δx, Δy, Δο (siehe Abschnitt 11.1, Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen-Allgemein) Koordinaten von Pi bzw. Pk , Orientierungsunbekannte o

y i = y 0i + y i

x i = x 0i + x i

o i = o 0i + o i

y k = y 0k + y k

y k = y 0k + y k

o k = o 0k + o k

Berechnung der Verbesserungen a) aus linearen Verbesserungsgleichungen b) aus nicht linearen Verbesserungsgleichungen Vergleich beider Verbesserungen (Schlussprobe)

11.2 Punktbestimmung mit Richtungen/Strecken

165

Genauigkeit a)

s 0 , s xi , s l i , s li siehe Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein

b)

Fehlerellipse Richtung der extremen Abweichung Richtungswinkel der großen Halbachse der Fehlerellipse

2Q xy

= 1 arctan 2 Q xx − Q yy Gewichtstreziproke Q xx , Q yy , Q xy aus der Gewichtsreziprokenmatrix Q = N −1 Größe der extremen Abweichung s 2max,min =

s 20 2 Q xx + Q yy  (Q xx − Q yy ) + 4Q 2xy 2

Standardabweichung der Punkte s P = s 2max + s 2min = s 0  (Q xx + Q yy ) = s 2x + s 2y Abweichung in einer beliebigen Richtung t der Fehlerellipse s t = s 2max  cos 2 (t − ) + s 2min  sin 2 (t − )

166

11 Ausgleichungsrechnung

11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichung Für Höhenunterschied zwischen zwei Neupunkten P i und P k š

v ik = x k − x i − l ik

š

mit l ik = l ik

Ist einer der zwei Punkte ein bekannter Höhenfestpunkt, so gilt entweder v ik = H k − x i − l ik und damit v ik =

š

− x i − l ik

oder v ik = x k − H i − l ik v ik = x k

š

− l ik

š

mit l ik = l ik − H k und damit š

mit l ik = l ik + H i

v = Verbesserung x = Höhe des Neupunktes H = Höhe des Festpunktes l = Beobachtung/gemessener Höhenunterschied l' = Absolutglied Matrizenschreibweise š

v=Ax-l ;P v = Verbesserungsvektor x = Vektor der Unbekannten l = Beobachtungsvektor š l = Absolutgliedvektor P = Gewichtsmatrix Gewichtsansätze beim geometrischen Nivellement

p= 1 s s = Entfernung

bei trigonometrischer Höhenmessung (kurze Distanzen)

p = 12 s

Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten, der Verbesserungen und der Genauigkeit (siehe Abschnitt 11.1, Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen-Allgemein)

12 Grundlagen der Statistik 12.1 Grundbegriffe der Statistik Messabweichungen Fehler falsche Ablesungen, Zielverwechslungen etc., die durch sorgfältige Arbeit vermieden werden und durch Kontrollmessungen aufgedeckt werden können systematische Abweichung - bekannte systematische Abweichungen (z. B. unzureichende Kalibrierung, Temperatureinflüsse) sollen durch Korrektionen beseitigt werden - unbekannte systematische Abweichungen sind nur sehr schwer zu bestimmen zufällige Abweichungen nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Einflüsse während mehrerer Messungen am selben Messobjekt innerhalb einer Messreihe Zufallsgrößen X = Zufallsgröße x i = Beobachtungswert; Einzelwert für eine Zufallsgröße L = Messgröße; Zufallsgröße, deren Wert durch Messung ermittelt wurde l i = Messwert; Einzelwert für eine Messgröße Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert

 x = E (x ) Schätzwert für  x = arithmetischer Mittelwert x Varianz Varianz σ² ist ein Streuungsmaß für die zufällige Abweichung eines einzelnen Messwertes vom Erwartungswert der Messgröße Standardabweichung Standardabweichung σ ist die positive Wurzel der Varianz Schätzwert für " = empirische Standardabweichung s

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5_12

168

12 Grundlagen der Statistik

Standardabweichung σ Erwartungswert  x bekannt

zufällige Abweichung

i = xi − x

Varianz

" 2x =

Standardabweichung

"x =

[ i  i ] n

nG ’

[ i  i ] n

nG ’

 x = Erwartungswert x i = Beobachtungswert; Messwert n = Anzahl der Beobachtungswerte

empirische Standardabweichung s Schätzwert für  x = arithmetischer Mittelwert x bekannt arithmetischer Mittelwert

[x ] x = ni

Verbesserung

vi = x − xi

(empirische) Varianz

s 2x =

(empirische) Standardabweichung

sx =

[v i v i ] n−1

[v i v i ] n−1

(empirische) Standardabweichung des Mittelwertes

Freiheitsgrad (Redundanz) x i = Beobachtungswerte n = Anzahl der Beobachtungswerte u = Anzahl der Unbekannten; hier u = 1

[ ]2 [v i v i ] = [x 2i ] − xni

f=n−u

sx =

sx n

12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

169

12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen Standardisierte Normalverteilung N (0,1) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X mit Erwartungswert  x = 0 und Varianz " 2x = 1 u=

standardisierte normalverteilte Zufallsvariable

x − x "x

1 exp − u 2 2 2

Wahrscheinlichkeitsdichte

' (u ) =

Verteilungsfunktion

 (u ) = P(X < u ) =

u

ˆ ' (x )dx

−’

 (u p ) = p

p-Quantil der standardisierten Normalverteilung

u p = Wert, für den die Verteilungsfunktion Φ(u) einer nach N (0,1) verteilten Zufallsgröße einen vorgegebenen Wert p annimmt Einseitig begrenztes Intervall

 (up ) = P (−’ < u < up ) Zweiseitig begrenztes Intervall P (−u p 1 < u < u p 2 ) = (u p 1 ) +  (u p 2 ) − 1 Symmetrisches Intervall

P (−up < u < up ) = 2 (up) − 1  (u p ) = P + 1 2

u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung, kann rückwärts aus der Tabelle 1 entnommen werden Zweiseitige Quantilen der standardisierten Normalverteilung p% (u p )

50,00

68,30

90,00

95,00

98,00

99,00

99,73

99,90

0,75

0,84

0,95

0,98

0,99

1,00

1,00

1,00

up

0,68

1,00

1,64

1,96

2,33

2,58

3,00

3,03

170

12 Grundlagen der Statistik

12.3 Vertrauensbereiche (Konfidenzbereiche) Vertrauensniveau P=1− Wenn nichts anders vereinbart ist, soll 1 - α = 0,95 benutzt werden.

Anmerkung:

Vertrauensintervall für den Erwartungswert μ P (C ,u >  x > C ,o ) = 1 −  Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " x bekannt standardisierte Normalverteilung untere Vertrauensgrenze " C ,u = x − u p  x n

obere Vertrauensgrenze

Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " t-Verteilung untere Vertrauensgrenze

C ,u = x − s x  t f;1−/2

"x n

C ,o = x + u p 

x

unbekannt

obere Vertrauensgrenze

C ,o = x + s x  t f;1−/2

x = Mittelwert der Messwerte n = Anzahl der Messwerte u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung t f;p = Quantil der t-Verteilung (Tabelle 2) s sx = x s x = empirische Standardabweichung n Vertrauensintervall für die Standardabweichung P (C ",u > " x > C ",o ) = 1 − 

Vertrauensgrenzen ( 2 − Verteilung untere Vertrauensgrenze

C ",u = s x 

f ( 2f;1−/2

obere Vertrauensgrenze

C ",o = s x 

f ( 2f;/2

( 2f;1−/2 , ( 2f,/2 = Quantile der ( 2 -Verteilung (Tabelle 3) f = n - 1 = Freiheitsgrade

12.4 Testverfahren

171

12.4 Testverfahren Testniveau:

α = Irrtumswahrscheinlichkeit

P=1−

5% Signifikanz:

α = 0,05

1% Hochsignifikanz: α = 0,01

Signifikanzbeweise sind in 5% aller Fälle Fehlschlüsse Hochsignifikanzbeweise sind in 1% aller Fälle Fehlschlüsse

Signifikanztest für den Mittelwert t-Verteilung Gegenüberstellung

Testgro¨be t f =

Nullhypothese

x = x

x − x s x J Quantil der t-Verteilung t f;p

 x < x : einseitige Fragestellung (1 - α)  x >< x : zweiseitige Fragestellung (1 - α/2) Nullhypothese verwerfen

t f > t f;p

d.h. x ist signifikant > bzw <  x

x = Mittelwert  x = Erwartungswert s x = empirische Standardabweichung des Mittelwertes f = Freiheitsgrade t f;p = Quantil der t-Verteilung ( Tabelle 2 ) Beim Vergleich zweier Mittelwerte gilt:

x − x = x1 − x2

s 2x = s 2x 1 + s 2x 2

Signifkanztest für Varianzen

f = f1 + f2

s1 > s2

F-Verteilung s 21 J Quantil der F-Verteilung F f 1 f 2 ;p s 22

Gegenüberstellung

Testgro¨be

Nullhypothese

s 21 =1 s 22

einseitige Fragestellung

Nullhypothese verwerfen

s 21 > F f 1 ,f 2 ;p > 1 s 22

d.h. s 21 ist signifikant > s 22

s 21 = Varianz mit f 1 Freiheitsgraden s 22 = Varianz mit f 2 Freiheitsgraden F f 1 ,f 2 ;p = Quantil der F-Verteilung (Tabelle 4)

172

12 Grundlagen der Statistik

12.5 Messunsicherheit Das Messergebnis aus einer Messreihe ist der um die bekannte systematische Abweichung berichtigte Mittelwert x E verbunden mit einem Intervall, in dem vermutlich der wahre Wert der Messgröße liegt.

y = xE  u Die Differenz zwischen der oberen Grenze dieses Intervalls und dem berichtigten Mittelwert bzw. der unteren Grenze dieses Intervalls wird als Messunsicherheit u bezeichnet. Die Messunsicherheit setzt sich aus einer Zufallskomponenten u z und einer systematischen Komponenten u s zusammen. Zufallskomponente u z Messreihe unter Wiederholungsbedingungen bei unbekannter Wiederholstandardabweichung " r uz =

t s n

Messreihe unter Wiederholbedingungen mit wenigen Einzelwerten bei bekannter Wiederholstandardabweichung " r uz =

t’  "r n

t = Quantil der t-Verteilung n = Anzahl der Beobachtungswerte Systematische Komponente u s kann im allgemeinen nur anhand ausreichender experimenteller Erfahrung abgeschätzt werden Zusammensetzung der Komponenten zur Messunsicherheit u Lineare Addition

u = uz + us

u z >> u s

Quadratische Addition

u = u 2z + u 2s

uz O us

Besteht die Messunsicherheit u nur aus der Zufallskomponenten, entspricht die Messunsicherheit dem halben Vertrauensbereich. Vertrauensintervall = Zone der Meßunsicherheit

-uz

+uz xE

12.6 Toleranzen

12.6 Toleranzen Toleranzbegriffe

Nennmaß Istabmaß

Istmaß

Kleinstmaß

Grenzabmaß -

Grenzabmaß +

Maßtoleranz Größtmaß

Nennmaß (Sollmaß):

Maß, das zur Kennzeichnung von Größe, Gestalt und Lage eines Bauteils oder Bauwerks angegeben und in Zeichnungen eingetragen wird

Istmaß:

Durch Messung festgestelltes Maß

Istabmaß:

Differenz zwischen Istmaß und Nennmaß

Größtmaß:

Das größte zulässige Maß

Kleinstmaß:

Das kleinste zulässige Maß

Grenzabmaß:

Differenz zwischen Größtmaß und Nennmaß oder Kleinstmaß und Nennmaß

Maßtoleranz:

Differenz zwischen Größtmaß und Kleinstmaß

173

174

12 Grundlagen der Statistik

12.7 Varianz 12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen - Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz FFG) Lineare Funktionen a)

x = a 1l1 + a 2 l2 + „ + an ln

s 2x = a21  s 21 + a 22  s22 + „ + a2n  s 2n b)

x = l1 + l2 + „ + ln

s 2x = s21 + s 22 + „ + s 2n c)

x = l 1 + l 2 + „ + l n und s 1 = s 2 = s n = s s 2x = n  s 2

l i = Messwert a i = Koeffizienten s i = Standardabweichung einer Messung n = Anzahl der Messungen Nichtlineare Funktionen x = f (l 1 , l 2 , „, l n ) Linearisierung durch das totale Differential

dx = ‘f  dl 1 + ‘f  dl 2 + „ + ‘f  dl n ‘l 1 ‘l 2 ‘l n Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz)

s 2x =

‘f ‘l 1

2

 s 21 + ‘f ‘l 2

2

 s 22 + „ + ‘f ‘l n

2

l i = Messwert n = Anzahl der Messungen s i = Standardabweichung einer Messung

 s 2n

12.7 Varianz

175

12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz (Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz) y = f (x 1 , x 2 , „, x n )

Funktion

Linearisierung durch das totale Differential

dy = ‘f  dx 1 + ‘f  dx 2 + „ + ‘f  dx n ‘x 1 ‘x 2 ‘x n Varianz der Funktion y

‘f ‘x 1

s 2y =

2

 s 21 +

‘f ‘x 2

Kovarianzfortpflanzungsgesetz 2

 s 22 + „ +

‘f ‘x n

2

 s 2n

+2 ‘f  ‘f  s 12 + ‘f  ‘f  s 13 + „ + ‘f  ‘f  s n−1,n ‘x 1 ‘x 2 ‘x 1 ‘x 3 ‘x n−1 ‘ n s 2y = s 20  q yy q yy = Gewichtsreziproke der Funktion y s i = Standardabweichungen s 12 „ s n−1,n = Kovarianzen zwischen voneinander abhängigen Variablen x i

Matrizenschreibweise m-dimensionaler Vektor y = Funktion des n-dimensionalen Vektors x

Funktion

y = f(x) =

f 1 (x 1, x 2, …, x n ) f 2 (x 1, x 2, …, x n ) † f m (x 1 , x 2 , …, x n )

Kovarianzmatrix der Funktion y

 yy = F   xx  F T

Die partiellen Ableitungen der Operators f(x) werden zusammengefasst in der

Funktionsmatrix

F =

‘f 1 ‘x 1 ‘f 2 ‘x 1 † ‘f m ‘x 1

Kovarianzmatrix von x

 xx =

s 20

Q xx =

s 21 s 12 „ s 1n s 21 s 22 „ s 2n † s n1 s n2 … s 2n

‘f 1 ‘f 1 „ ‘x 2 ‘x n ‘f 2 ‘f 2 „ ‘x 2 ‘x n ‘f m ‘f „ m ‘x 2 ‘x n Kofaktorenmatrix

Q xx =

q 11 q 12 „ q 1n q 21 q 22 „ q 2n † q n1 q n2 „ q nn

176

12 Grundlagen der Statistik

12.8 Standardabweichung 12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen mit gleicher Genauigkeit Einfaches arithmetisches Mittel [l ] l = ni Standardabweichung des arithmetischen Mittels sl = s n Standardabweichung einer Beobachtung

[v i v i ] n−1

s=

[ i ]2 [v i v i ] = [l 2i ] − ln

mit verschiedener Genauigkeit Allgemeines arithmetisches Mittel l =

[l i p i ] [p i ]

Standardabweichung des arithmetischen Mittels

sl =

s0 [p i ]

Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewicht 1

s0 =

[p i v i v i ] n−1

[ ]2 [p i v i v i ] = [p i l 2i ] − p i l i [p i ]

Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewicht p i

si =

s0 pi

l i = Messwert n = Anzahl der Messungen p i = Gewicht vi = l − li Probe: [v i ] = 0 bzw.

[v i p i ] = 0

12.8 Standardabweichung

12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung) mit gleicher Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung

s=

[d i d i ] 2n

Standardabweichung der Doppelmessung sM =

[d i d i ] = s 4n 2

mit verschiedener Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung vom Gewicht 1

s0 =

[d i d i p i ] 2n

Standardabweichung der Doppelmessung sM =

[d i d i p i ] s = 0 4n 2

d i = Differenz zwischen 1. und 2. Messung n = Anzahl der Differenzen

177

178

12 Grundlagen der Statistik

12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke Gewichte

p 1 : p 2 : „ : p n : 1 = 12 : 12 : „ : 12 : 12 s1 s2 sn s0 pi =

Gewicht p i

s 20 s 2i

p1 s2 H p 2 = 22 s1 s2 s 2i = p0i

Gewichtsfortpflanzungsgesetz Funktion

x = a 1l1 + a 2 l2 + „ + an ln

Gewicht der Funktion si = s0 = ai = li =

s 2x a 21 a 22 a 2n 1 px = s2 = p1 + p2 + „ + pn 0

Standardabweichung Standardabweichung vom Gewicht 1, Gewichtseinheitsfehler Koeffizienten Messwerte

Gewichtsreziproke q1 s2 H q 2 = 12 s2

q 1 : q 2 : „ : q n : 1 = s 21 : s 22 : „ : s 2n : s 20

Gewichtsreziproke q i

qi =

s 2i s 20

s 2i = s 20  q i

Kofaktorenfortpflanzungsgesetz Funktion

x = a 1l1 + a 2 l2 + „ + an ln

Gewichtsreziproke der Funktion si = s0 = ai = li =

q xx =

s 2x = a 21  q 1 + a 22  q 2 + „ + a 2n  q n s 20

Standardabweichung Standardabweichung vom Gewicht 1 Koeffizienten Messwerte

0,694974 0,729069 0,761148 0,791030 0,818589

0,843752 0,866500 0,886861 0,904902 0,920730

0,934478 0,946301 0,956367 0,964852 0,971933

0,977784 0,982571 0,986447 0,989556 0,992024

0,993963 0,995473 0,996636 0,997523 0,998193 0,1 0,99903

0,691462 0,725747 0,758036 0,788145 0,815940

0,841345 0,864334 0,884930 0,903200 0,919243

0,933193 0,945201 0,955434 0,964070 0,971283

0,977250 0,982136 0,986097 0,989276 0,991802

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,993790 0,995339 0,996533 0,997445 0,998134 0,0 3,0 0,99865

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,01

0,503989 0,543795 0,583166 0,621720 0,659097

0,00

0,500000 0,539828 0,579260 0,617911 0,655422

up

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,938220 0,949497 0,959070 0,967116 0,973810 0,979325 0,983823 0,987454 0,990358 0,992656 0,994457 0,995855 0,996928 0,997744 0,998359 0,4 0,99966

0,848495 0,870762 0,890651 0,908241 0,923642 0,936992 0,948449 0,958185 0,966375 0,973197 0,978822 0,983414 0,987126 0,990097 0,992451 0,994297 0,995731 0,996833 0,997673 0,998305 0,3 0,99952

0,846136 0,868643 0,888768 0,906582 0,922196

0,994132 0,995604 0,996786 0,997599 0,998250 0,2 0,99931

0,978308 0,982997 0,986791 0,989830 0,992240

0,935744 0,947384 0,957284 0,965620 0,972571

0,850830 0,872857 0,892512 0,909877 0,925066

0,702944 0,735653 0,767305 0,796731 0,823814

0,698468 0,732371 0,764238 0,793892 0,821214

0,04

0,705402 0,738914 0,770350 0,799546 0,826391

0,515953 0,555670 0,594835 0,633072 0,670031

0,03 0,511966 0,551717 0,590954 0,629300 0,666402

0,02 0,507978 0,547758 0,587064 0,625616 0,662757

0,05

0,994614 0,995975 0,997020 0,997814 0,998411 0,5 0,99977

0,979818 0,984222 0,987776 0,990613 0,992857

0,939429 0,950528 0,959941 0,967843 0,974412

0,853141 0,874928 0,894350 0,911492 0,926471

0,708840 0,742154 0,773373 0,802238 0,828944

0,519938 0,559618 0,598706 0,636831 0,673645

0,995060 0,996319 0,997282 0,998012 0,998559 0,8 0,99993

0,857690 0,879000 0,897958 0,914656 0,929219 0,941792 0,952540 0,961636 0,969258 0,975581 0,980774 0,984997 0,988369 0,991106 0,993244 0,994915 0,996207 0,997197 0,997948 0,998511 0,7 0,99892

0,855428 0,876976 0,896165 0,913085 0,927855 0,940620 0,951543 0,960796 0,968557 0,975002 0,980301 0,984614 0,988089 0,990862 0,993053 0,994766 0,996093 0,997110 0,997882 0,998462 0,6 0,99984

0,981237 0,985371 0,988696 0,991344 0,991344

0,715661 0,748571 0,779350 0,807850 0,833977

0,712260 0,745373 0,776373 0,805106 0,831472

0,08

0,942947 0,953521 0,962462 0,969946 0,976148

0,859929 0,881000 0,899727 0,916207 0,930563

0,719043 0,751748 0,782305 0,810570 0,836457

0,531881 0,571424 0,610261 0,648027 0,684386

0,07 0,527903 0,567495 0,606420 0,644309 0,680822

0,06 0,523922 0,563560 0,602568 0,640576 0,677242

0,09

0,995201 0,996427 0,997365 0,998074 0,998605 0,9 0,99995

0,981691 0,985738 0,988989 0,991576 0,993613

0,944083 0,954486 0,963273 0,970621 0,976704

0,862143 0,882977 0,901475 0,917736 0,931889

0,722405 0,754903 0,785236 0,813267 0,838913

0,535856 0,575345 0,614092 0,651732 0,587933

12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 179

12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Tabelle 1

Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung

180

12 Grundlagen der Statistik

Tabelle 2 t f;p

Quantile der t-Verteilung nach „Student”

p=1− f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40 ’

0,841

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

0,9995

1,84 1,32 1,2 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,03 1,02 1,02 1,02 1,01 1

3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,41 1,4 1,38 1,37 1,34 1,33 1,32 1,31 1,3 1,28

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,72 1,71 1,7 1,68 1,64

12,71 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,06 2,04 2,02 1,96

31,8 6,96 4,54 3,74 3,36 3,14 3 2,9 2,82 2,76 2,6 2,53 2,49 2,46 2,42 2,33

63,66 9,92 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,25 3,17 2,95 2,85 2,79 2,75 2,7 2,58

636,62 31,6 12,94 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,58 4,07 3,85 3,72 3,65 3,5 3,29

Tabelle 3 Quantile der ( 2 -Verteilung  = 0,05 p f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100

/2 0,025 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,7 3,25 9,59 16,79 24,43 32,36 74,22

1 − /2 0,975 5,02 7,38 9,35 11,14 12,8 14,45 16 17,54 19,00 20,48 34,17 46,98 59,34 71,42 129,56

( 2f,/2 , ( 2f,1− /2  = 0,01 /2 0,005 0 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 7,43 13,79 20,71 27,99 67,33

1 − /2 0,995 7,88 10,60 12,84 14,86 16,7 18,55 20,3 21,96 23,6 25,19 40 53,67 66,77 79,49 140,17

12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

181

Tabelle 4 Quantile der F-Verteilung F f 1 ,f 2 ;p

1-α

f1

3

4

5

6

8

10

15

20

50

100

’

f2 0,95 0,99

3

9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 8,7 8,7 8,6 8,6 8,5 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,9 26,7 26,4 26,2 26,1

0,95 0,99

4

6,6 6,4 6,3 6,2 6,0 6,0 5,9 5,8 5,7 5,7 5,6 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 14,0 13,7 13,6 13,5

0,95 0,99

5

5,4 5,2 5,0 5,0 4,8 4,7 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1

0,95 0,99

6

4,8 9,8

4,5 9,2

4,4 8,8

4,3 8,5

4,2 8,1

0,95 0,99

8

4,1 7,6

3,8 7,0

3,7 6,6

3,6 6,4

0,95 0,99

10

3,7 6,6

3,5 6,0

3,3 5,6

0,95 0,99

15

3,3 5,4

3,1 4,9

0,95 0,99

20

3,1 4,9

0,95 100 0,99 0,95 0,99

’

4,6 9,7

4,6 9,6

4,4 9,2

4,4 9,1

4,4 9,0

4,1 7,9

3,9 7,6

3,9 7,4

3,8 7,1

3,7 7,0

3,7 6,9

3,4 6,0

3,4 5,8

3,2 5,5

3,2 5,4

3,0 5,1

3,0 5,0

2,9 4,9

3,2 5,4

3,1 5,1

3,0 4,8

2,8 4,6

2,8 4,4

2,6 4,1

2,6 4,0

2,5 3,9

2,9 4,6

2,8 4,3

2,6 4,0

2,5 3,8

2,4 3,5

2,3 3,4

2,2 3,1

2,1 3,0

2,1 2,9

2,9 4,4

2,7 4,1

2,6 3,9

2,4 3,6

2,4 3,4

2,2 3,1

2,1 3,0

2,0 2,6

1,9 2,5

1,8 2,4

2,7 4,0

2,5 3,5

2,3 3,2

2,2 3,0

2,0 2,7

1,9 2,5

1,8 2,2

1,7 2,1

1,5 1,7

1,4 1,6

1,3 1,4

2,6 3,8

2,4 3,3

2,2 3,0

2,1 2,8

1,9 2,5

1,8 2,3

1,7 2,0

1,6 1,9

1,4 1,5

1,2 1,4

1,0 1,0

Abkürzungen AdV AFIS ALKIS ATKIS AVN BIM BKG DGK DGM DGNSS DGPS DHDN DHHN DLM DOM DTK DREF EPS ETRF ETRS EUREF GDI GIS GLONASS GNSS GPPS GPS GRS HEPS HN ITRF KI LOD LGL LVA ML MMS NAS NHN NN PD PDGNSS PDGPS PPS RINEX SAPOS TLS

Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland Amtliches Festpunktinformationssystem Amtliches Liegenschaftskatasterinformationssystem Amtliches Topographisch-Kartographische Informationssystem Allgemeine Vermessungs-Nachrichten Building Information Modeling Bundesamt für Kartographie und Geodäsie Deutsche Geodätische Kommission Digitales Geländemodell Differenzielles GNSS Differenzielles GPS Deutsches Hauptdreiecksnetz Deutsches Haupthöhennetz Digitales Landschaftsmodell Digitales Oberflächenmodell Digitale Topographische Karten Deutsches Referenzennetz Echtzeit Positionierungsservice European Terrestrial Frame European Terrestrial System European Reference Frame Geodateninfrastruktur Geoinformationssysteme Global’naya Navigatsioannaya Sputnikovaya Sistema Global Navigation Satellite System Geodätischer Präziser Positionierungsservice Global Positioning System Geodetic Reference System Hochpräziser EPS Höhennull International Reference Frame Künstliche Intelligenz 3D-Geländemodell (Level of Detail) Landesamt für Geoinformation und Landentwicklung Landesvermessungsamt Machine Learning Mobile Mapping System Normbasierte Austauschschnittstelle für AFIS, ALKIS, ATKIS Normalhöhen-Null Normalnull Potsdamer Datum Präzises DGNSS Präzises DGPS Precise Positioning Service Receiver Independent Exchange Format Satellitenpositionierungsdienst der deutschen Landesvermessung Terrestrisches Laserscanning

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5

183

UAS UAV UT UTC UTM VLBI VR WGS ZfV

Unmanned Aircraft System Unmanned Aerial Vehicle Universal Time Universal Time Coordinated Universal Transverse Mercator Very Long Baseline Interferometry Virtual Realitiy World Geodetic System Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement

Internetportale www.adv-online.de www.bkg.bund.de www.geoportal.de www.geodatenzentrum.de www.sapos.de www.hoetra2016.nrw.de www.bibliothek.kit.edu earth.google.de www.dvw.de

Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen Bundesamt für Kartographie und Geodäsie Geodateninfrastruktur Deutschland (GDI-DE) WebAtlasDE und DOP-Viewer Satellitenpositionierungsdienst der deutschen Landesvermessung Höhentransformationsmodell zwischen DHHN92 und DHHN 2016 Internationaler Buchkatalog Satellitenbilder DVW e.V. Gesellschaft für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement

Literaturhinweise Bauer, Manfred: Vermessung und Ortung mit Satelliten 7. Auflage 2018, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Baumann, Eberhard: Vermessungskunde: Lehr- und Übungsbuch für Ingenieure Band 1: Einfache Lagemessung und Nivellement, 5. Auflage 1999 Band 2: Punktbestimmung nach Lage und Höhe, 6. Auflage 1998 Bonn: Ferd. Dümmler Dresbach, Dieter; Kriegel, Otto Kataster ABC 4. Auflage 2007, Heidelberg: Wichmann Heck, Bernhard: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung 3. Auflage 2003, Heidelberg: Wichmann Joeckel, Rainer; Stober, Manfred; Huep, Wolfgang: Elektronische Entfernungs- und Richtungsmessung und ihre Integration in aktuelle Positionierungsverfahren 5. Auflage 2008, Heidelberg: Wichmann Kahmen, Heribert: Vermessungskunde 20. überarbeitete Auflage 2005, Berlin: W. de Gruyter Kummer, Klaus; Kötter, Theo; Kutterer, Hansjörg; Ostrau, Stefan (Hrsg.): Das deutsche Vermessungs- und Geoinformationswesen 2020 2020, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Luhmann, Thomas: Nahbereichsphotogrammetrie 4. Auflage 2018, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Möser, Michael: Ingenieurbau 2. Auflage 2016, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Resnik Boris; Bill, Ralf Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich 4. Auflage 2018, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Schödlbauer, Albert: Rechenformeln und Rechenbeispiele zur Landesvermessung Wichmann- Skripten Heft 2 Teil 1-3 1982, Karlsruhe: Wichmann Vermessungswesen: Normen (DIN Taschenbuch 111) 8. Auflage 2020, Berlin: Beuth Witte, Bertold ; Sparla, Peter; Blankenbach, Jörg: Vermessungskunde für das Bauwesen mit Grundlagen des Building Information Modeling (BIM) und der Statistik 9. Auflage 2020, Berlin: VDE Verlag (Wichmann) Wunderlich, Thomas (Hrsg.): Ingenieurvermessung 20 2020, Berlin: VDE Verlag (Wichmann)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5

Stichwortverzeichnis A Abbildungsreduktion, 70 Ableitungen, 4, 12, 160, 175 Abriss, 73 Absoluter Betrag, 8 Absteckung, 141 mit Hilfe eines Sehnenpolygons, 146 von der Sehne, 145 von der Tangente, 145 von Kreisbogen, 142 Abszissenausgleichung, 109 Additionstheoreme, 29 Affin - Transformation, 104 Ähnlichkeitssätze, 16 Ähnlichkeitstransformation, 100 Alignementreduktion, 60 Arcusfunktionen, 26 Arithmetische Folge, 10 Reihe, 10 Assoziativgesetze, 8 Atmosphäre, 62, 63 Ausgleichende Gerade, 65, 108 Ausgleichungsrechnung, 160 Außenwinkel, 16

B BARRELL, 63 Basiseinheiten, 4 Basislattenmessung, 61 Bezugsflächen, 32, 122 Bezugsmeridian, 35, 36 Bezugsrichtungen, 37 Bezugssystem, 31 Höhen-, 31 Lage-, 31 Räumliches, 31 Binomialkoeffizient, 11 Binomische Formeln, 11 Binomischer Satz, 11 Bogenschnitt, 85

Brechzahl, 62, 63 Bruchrechnen, 8

D Deklination, 37, 38 Deutsche Haupthöhennetz 2016, 123 Differentialrechnung, 12 DIN Blattgrößen, 1 DIN Faltungen, 2 Distributivgesetz, 8 Dreieck Allgemeines, 18 Flächenberechnung, 47 Flächenteilungen, 50 Gleichschenkliges, 19 Gleichseitiges, 19 Kugel-, 30 Rechtwinkliges, 19 Durchhangreduktion, 60

E Einheitsklotoide, 150 Einrückmethode, 148 Ellipse, 24 Ellipsoid Bessel-, 113 GRS80-, 113 Internationales, 113 Krassowsky, 113 Ellipsoidische Höhen, 126 Ellipsoidische Koordinaten, 33 Entfernungsmessung reflektorlose, 83 Strich-, 61 Erdellipsoid, 32 Erdkrümmung, 135 Erwartungswert, 167, 168, 169, 170 ETRS 89, 31 Exzentrische Richtungsmessung, 74 Streckenmessung, 78

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 F. J. Gruber und R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30170-5

186

Stichwortverzeichnis

Exzentrität Vertikale, 71

F Fakultät, 1, 11 Fehlerfortpflanzungsgesetz, 174 Allgemeines, 175 Gaußsches, 174 Fehlertheorie, 96 Feinnivellement, 127 Flächenberechnung aus Koordinaten, 48 aus Maßzahlen, 47 aus Polarkoordinaten, 48 eine Kreisfläche, 48 eines Kreisabschnitts, 48 eines Kreisausschnitts, 48 eines Dreiecks, 47 eines Trapez, 47 zulässige Abweichungen für, 49 Flächenmaße, 5 Flächenreduktion, 49 Flächenteilungen, 50 Dreieck, 50 Viereck, 51 Folge, 10 Arithmetische, 10 Geometrische, 10 FÖRSTNER, 131 Freie Standpunktwahl, 89 Frequenz, 5, 62 Frequenzkorrektion, 64

G Gauß-Krüger-Koordinaten, 35, 115 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem, 35 Gaußsche Flächenformel, 48 Gebäudeaufnahme mit reflekterloser Entfernungsmessung, 83 Gebrochener Strahl, 79 Gefälle, 153 Genähertes Absetzen von der Sekante, 147

von der Tangente, 147 Genauigkeit, 132 des Nivellement, 132 Standardabweichung, 176 Geographische Koordinaten, 33, 113 Geoid, 123 Geometrische Folge, 10 Reihe, 10 Unendliche, 10 Geometrisches Nivellement, 126 Geopotenielle Kote, 124 Geradenschnitt, 45 Geschwindigkeitskorrektion, 68 Gewichte, 178 Gewichtsfortpflanzungsgesetz, 178 Gleichung, 9 Lineare, 9 Quadratische, 9 Goldener Schnitt, 17 Gon, 6 Grad, 6 Gradiente, 153 Griechisches Alphabet, 1, 28, 135 GRS 80, 31 Guldinsche Regel, 155

H Halbwinkelsätze, 28 Helmert-Transformation, 102 Freie Standpunktwahl, 89 Herablegung, 76 Herauflegung, 77 Höhe und Höhenfußpunkt, 44 Höhenindexkorrektion, 54, 58 Höhenknotenpunkt, 126, 129 Höhenmessung, 122 Geometrische, 126 Geometrisches Nivellement, 126 Trigonometrische, 134 Höhennetzausgleichung, 166 Höhenreduktion, 68, 70, 71 Höhensatz, 19

Stichwortverzeichnis

I Impulsverfahren, 62 Indirekte Messungen, 73 Inkreisradius, 18, 19, 28

K Kalibrierkorrektion, 60 Kanalstab, 82 Kartesische Koordinaten, 33, 81, 113 Kathetensatz, 19 Kegel, 159 Kegelstumpf, 159 Keil, 159 Kettenregel, 12 Kippachsenabweichung, 53 Kleinpunktberechnung, 42 Klotoide, 150 KOHLRAUSCH, 63 Kommutativgesetze, 8 Konfidenzbereiche, 170 Kongruenzsätze, 16 Koordinaten, 113 Gauß-Krüger, 113 UTM-, 118 WGS 84, 119 Koordinatensystem Ellipsoidisches kartesisches, 33 Gauß - Krüger, 35 Rechtwinkig-spärisches, 33 Sphärisches geographisches, 33 UTM, 36 Koordinatentransformation, 100 Korbbogen, 149 Korrektion, 60 Frequenz-, 64 Kalibrier-, 60 Maßstabs-, 65 Meteorologische, 68 Nullpunkt-, 65 Temperatur-, 60 Zyklische, 64 Kosinusfunktion, 25

Kosinussatz, 27 Kotangesfunktion, 25 Kovarianzfortpflanzungsgesetz, 175 KRAMERsche Regel, 15 Kreis, 22 -abschnitt, 48 -ausschnitt, 48 -bogen, 22 -fläche, 22, 47 Schnitt Gerade -, 46 -umfang, 22 Kreisbogenabsteckung, 142 Kugeldreieck, 30 Rechtwinkliges, 30 Schiefwinkliges, 30 KUKKAMÄKI, 130 Kuppenausrundung, 154

L Längenmaße, 5 Längsabweichung, 92, 95, 96 Längsneigung, 153 Lichtgeschwindigkeit, 62, 64 Lineare Gleichung, 9 Lineare Querabweichung, 92 Logarithmen, 10

M MACLAURINsche Form, 13 Maßeinheiten, 4 Maßstab, 7 Maßstabskorrektion, 65 Maßverhältnisse, 7 Mathematische Zeichen, 1 Matrizen, 14 -inversion, 15 Addition, 14 -multiplikation, 15 Subtraktion, 14 Transponieren einer Matrix, 15 Matrizenrechnung, 14 Mengenberechnung aus Höhenlinien, 156 aus Prismen, 157

187

188

Stichwortverzeichnis

aus Querprofilen, 155 einer Rampe, 158 sonstiger Figuren, 158 Meridiankonvergenz, 38 Meridiankrümmungshalbmesser, 32 Meridianstreifen, 35 Messabweichungen, 167 Messunsicherheit, 172 Meteorologische Korrektionen, 68 Mittelsenkrechte, 18, 23 Mittelwert, 10, 11 Allgemeiner artihmetischer, 11 Arithmetischer, 11, 167 Geometrischer, 11 Harmonische, 11 nach VIGNAL, 125 Signifikanztest für den, 171 Modulationsfrequenz, 62

N NÄBAUER, 131 Nadelabweichung, 38 Nebenwinkel, 16 Neigungsreduktion, 68 Nepersche Regel, 30 Niveauflächen, 122 Nivellement, 126 Fein-, 127 Geometrisches, 126 -linie, 128 -schleife, 128 -strecke, 128 Trigonometrisches, 138 Nivellementlinie, 126 Nivellementschleife, 126, 128 Nivellementsinie, 128 Nivellementstrecke, 126 Nordrichtung Geographisch-Nord, 37 Gitter-Nord, 37 Magnetisch-Nord, 37 Normalgleichungsmatrix, 67, 161 Normalhöhen, 125 Normalhöhennull, 123

Normalkrümmungshalbmesser, 33 Normalverteilung, 169 Normierte Verbesserung, 97 Nullhypothese, 171 Nullpunktkorrektion, 65

O Obelisk, 159 Ordinatenausgleichung, 108 Orientierungsunbekannte, 57, 73, 163

P Parallelogramm, 20 Phasenvergleichsverfahren, 62 Polarkoordinaten, 34 Fläche aus, 48 Polarpunktberechnung, 41 Polygonzug -berechnung, 92 Potenzen, 9 Potenzregel, 12 Potenzreihenentwicklung, 13 Produktregel, 12 Projektionssatz, 28 Projektivtransformation, 106 Punktbestimmung Bogenschnitt, 85 dreidimensional polare, 81 Freie Standpunktwahl, 89 mit Kanalstab, 82 polare, 80 Polarverfahren, 80 Polygonzug, 91 Pyramide, 159 Pyramidenstumpf, 159 PYTHAGORAS, 19

Q Quadrat, 20 Quadratische Gleichungen, 9 Quasigeoid, 123 Quasigeoidundulation, 126 Querabweichung, 96

Stichwortverzeichnis Querkrümmungshalbmesser, 32 Quotientenregel, 12

R Radiant, 5, 6 Raummaße, 5 Raute, 20 Rechteck, 20 Rechtwinkliges Dreieck, 19 Kugeldreieck, 30 Reduktion, 70 Alignement-, 60 Durchhang-, 60 Flächen-, 49 Geometrische, 68 Höhen-, 70 Neigungs-, 68, 69 Redundanz, 97 Refernzellipsoid, 32 Refraktion, 135 Refraktionskoeffizient, 137 REICHENBACH, 61 Reihe, 10 Arithmetische, 10 Geometrische, 10 TAYLORsche, 13 Unendliche geometrische, 10 Richtungsmessung, 55, 74 Exzentrische, 74 Satzweise, 55 Richtungswinkel, 39, 40 ausgeglichener, 163 ebener, 34 sphärischer, 34 Ringpolygon, 94 Rückwärtseinschnitt nach Cassini, 88

S Satz des PYTHAGORAS, 19 Satz des THALES, 24 Satzvereinigung, 57 Scheitelwinkel, 16 Schnitt - Gerade - Kreis, 46

Schwerebeschleunigung, 122 Schwerepotential, 122 SEARS, 63 Sehnenpolygon, 146 Sehnensatz, 23 Sehnen-Tangenten-Methode, 146 Seitenhalbierende, 18 Seitenkosinussatz, 30 Seitwärtseinschnitt, 87 Sekantensatz, 23 Sexagesimalteilung, 6 Signalgeschwindigkeit, 62 Signifikanztest für den Mittelwert, 171 für Varianzen, 171 Signum, 8 Sinusfunktion, 25 Sinussatz, 27, 30 Spannmaßberechnung, 40 Standardabweichung, 168 Standpunktzentrierung, 74 Statistik, 167 Stehachsenabweichung, 54 Steigung, 153 Strahlensätze, 17 Strecke, 40 ausgeglichene, 163 Streckenmessung, 60, 78 Elektronische, 62 Exzentrische, 78 mit Messbändern, 60 Optische, 61 Strichentfernungsmessung, 61 Stufenwinkel, 16

T Tangensfunktion, 25 Tangenssatz, 28 Tangentensatz, 23 Tangentenschnittwinkel, 143 TAYLORsche Formel, 13 Teilung, 17 einer Strecke, 17 Harmonische, 17 Stetige, 17

189

190

Stichwortverzeichnis

Temperaturkorrektion, 60 THALES, Satz des, 24 Toleranzen, 172, 173 Trägerwelle, 63 Transformation, 99 Affin -, 104 Ebene, 99 Helmert-, 102 mit zwei identischen Punkten, 100 Räumliche -, 110 Trapez, 20, 47 Trigonometrisches Nivellement, 138 Turmhöhenbestimmung, 139 Horizontales Hilfsdreieck, 139 Vertikales Hilfsdreieck, 140

U Umkreisradius, 18 Universales Transversales Mercator-Koordinatensystem (UTM-System), 36 UTM-Koordinaten, 36, 117 ff

V Varianz, 167, 168, 174 Varianzfortpflanzungsgesetz, 174 Verbundkurve, 152 Vertikalwinkelmessung, 58 Vertrauensbereiche, 170 Vertrauensintervall, 170 für die Standardabweichung, 170 Vertrauensniveau, 170 Vieleck, 21 Allgemeines, 21 Regelmäßiges, 21 Viereck, 20, 51 Viertelmethode, 147 Vorsatzzeichen, 4 Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel, 87 über Richtungswinkel, 86

W Wahrscheinlichkeitsfunktion, 169

Wahrscheinlichkeitsverteilung, 167, 169 Wannenausrundung, 153 Wechselwinkel, 16 WGS 84, 119 Winkel, 5, 6, 16, 24 -maße, 6 Winkelarten, 16 Außenwinkel im Dreieck, 16 Nebenwinkel, 16 Scheitelwinkel, 16 Stufenwinkel, 16 Wechselwinkel, 16 Winkelfunktionen, 25 Winkelhalbierende, 18 Winkelmessung, 52 mit der Bussole, 59 mit Horizontschluss, 56 Satzvereinigung, 57 Winkelsummen, 16 Wurzeln, 9

Z Zeitmaße, 6 Zenitwinkel, 58 Zenitwinkelmessung, 136 einseitige, 136 Zentesimalteilung, 6 Zentrierung, 74 Zielachsenabweichung, 52 Ziellinienüberprüfung, 130, 131 aus der Mitte, 130 nach FÖRSTNER, 131 nach NÄBAUER, 131 Zielpunktzentrierung, 74 Zufallsgrößen, 167 Zufallskomponente, 172 Zulässige Abweichungen, 133 für Flächenberechnung, 49 für Nivellement, 133 für Polygonzüge, 95 für Strecken, 72 Zyklische Korrektion, 64 Zylinder, 159