Physikalische Formelsammlung 9783111360812, 9783111003511

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

136

PHYSIKALISCHE FORMELSAMMLUNG von

P R O F . G. M A H L E R f Fortgeführt von

PROF. KARL

MAHLER

Neubearbeitet von

DR. H E R B E R T

GRAEWE

Mit 69 Figuren Elfte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G . J . Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • V e i t & C o m p .

B E R L I N 1963

© Copyright 1963 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. - Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellur,g von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7740636. - Satz: Mercedes-Druck. Berlin 61. Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Literatur I. Kapitel. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Seite 6 Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper Mechanische Grundeinheiten und abgeleitete Einheiten Die gleichförmige, geradlinige Bewegung Das Parallelogramm der Bewegungen Die gleichförmig beschleunigte Bewegung Freier Fall und Bewegung auf der schiefen Ebene Der Wurf Masse. Kraft Impuls. Energie. Leistung Die Dimension Die Zentralbewegung Die harmonische Bewegung Das mathematische Pendel Die Grundgesetze des Gleichgewichts starrer Körper Die Zusammensetzung zweier Kräfte mit verschiedenen Angriffspunkten Drehkräfte. Moment einer Kraft Schwerpunkt Die einfachen Maschinen Das Trägheitsmoment Gesetze der drehenden Bewegung. Kreisel Fallmaschine. Physisches Pendel Reibung Die allgemeine Gravitation Elastizität Der Stoß

7 9 9 11 12 18 15 17 19 19 20 22 24 24 26 29 30 33 35 37 38 39 40 41

II. Kapitel. Statik der Flüssigkeiten und Gase 25. Druck in einer ruhenden Flüssigkeit 26. Archimedisches Prinzip 27. Spezifisches Gewicht (Wichte). Dichte 28. Eigenschaften der Gase 29. Luftdruck. Luftpumpen 30. Gesetz von Boyle

43 45 46 47 48 60

III. Kapitel. Dynamik der Flüssigkeiten und Gase 31. Strömung von Flüssigkeiten und Gasen 32. Ausfluß von Flüssigkeiten und Gasen aus einer Öffnung 33. Flächen in Luft und Wasser

51 53 55

IV. Kapitel. Molekularphysik 34. Oberflächenspannung. Kapillarität. Diffusion. Osmose 35. Strömung in Kapillaren. Turbulenz. Gesetz von Stokea 36. Kinetische Theorie der Gase

58 59 60

4

Inhaltsverzeichnis

V. Kapitel. Wärmelehre 37. Thermometer 38. Ausdehnung der Körper durch dte Wärme 39. Kalorimetrie; spezifische Wärme 40. Änderung des Aggregatzustandes 41. Thermodynamik VI. Kapitel. Welfcnlehre und Akustik 42. Wellenlehre I 43. Wellenlehre I I 44. Schwingungszahl. Tonleiter 45. Tonquellen 46. Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit VII. Kapitel. Geometrische Optik 47. Reflexion des Lichtes an ebenen Flächen 48. Kugel- oder sphärische Spiegel 49. Brechung des Lichtes 50. Prisma 51. Brechung an sphärischen Begrenzungsflächen 52. Brechung durch Linsen 53. Sphärische Aberration bei der Brechung 54. Optische Instrumente VIII. Kapitel. Optische Strahlung 55. Photometrie 56. Geschwindigkeit des Lichtes 57. Spektroskopie 58. Achromasie 59. Wellenlängenmessung 60. Polarisation. Doppelbrechung

Seite 62 62 65 66 68

70 74 75 77 79

'80 81 84 87 88 89 94 96

101 102 104 107 107 108

IX. Kapitel. Das elektrische Feld 61. Elektrisches Feld 109 62. Eigenschaften der Ladung 111 63. Spannung. Feldstärke. Verschiebungsdichte 112 64. Kapazität und Kondensator 113 65. Kräfte und Arbeit im elektrischen Feld 115 66. Das elektrische Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektrostatischen Maßsystems 116 X. Kapitel. Das magnetische Feld 67. Magnetisches Feld 118 68. Ausmessung des magnetischen Feldes 120 69. Magnetisches Feld unter Zugrundlegung des absoluten elektromagnetischen Maßsystems 122 70. Das Moment und das Drehmoment eines Magneten 123 71. Ablenkung und Schwingungen eines drehbaren Magneten 124 72. Erdmagnetismus 124

Inhaltsverzeichnis

5

Seite XI. Kapitel. Elektrische Strömung 73. Ohmsches Gesetz. "Widerstand 125 74. Stromstärke einer Batterie 126 75. Strom Verzweigung. Sätze von Kirchhoff 128 76. Stromenergie. Oesetz von Joule. Spannungseinheit 131 77. Die Gesetze von Faraday. Das elektrisclc i lementarquantum. 133 XII. Kapitel. Induktion 78. Grundlagen der Induktion 79. Die Selbstinduktion 80. Kräfte in magnetischen Feldern 81. Der EinphasenWechselstrom 82. Dreiphasenwechselstrom. Transformator 83. Elektrische Schwingungen

134 136 138 139 142 143

XIII. Kapitel. Elektrische Strahlung. Theorie der Materie 84. Kathoden- und Anoden- (Kanal-) Strahlen 145 85. Die Dreielektrodenröhre 146 86. Röntgenstrahlen 148 87. Radioaktivität 149 88. Atombau und Atomumwandlung. Periodisches System der chemischen Elemente 151 89. Relativitätstheorie 156 90. Bohrsche Sätze. Wasserstoffatom 157 ttcgisler

160

Bemerkung Den Bezeichnungen liegen, soweit möglich, die Angaben des Deutschen Normenausschusses zugrunde.

Literatur Dem Charakter einer „ F o r m e l s a m m l u n g " entsprechend, gibt der vorliegende Band der Sammlung Göschen nur fertige Resultate ohne Ableitungen. Letztere findet der Leaer in der ausgedehnten physikalischen läteratur, aus der einige wenige Werke namentlich genannt seien: A. Schulbücher D o r n , Physik. Hannover, Schroedel. F o c k - W e b e r , Lehrbuch der Physik. Frankfurt/M. - Hamburg, Salle. G r i m s e h l (bearb. v. German, Graewe, Neunhöffer u. Weiß), Physik. Stuttgart. Klefct. H a h n , K., Lehrbuch der Physik. Braunschweig, Westermann. H ö f l i n g , Lehrbuch der Physik. Bonn, Dümmler. P o s k e - B a v i n k - B r e n n e c k e - W o l s k i , Physik, Braunschweig, Vieweg 0 cos oc Besonderer F a l l : Waagerechter Wurf ( + y-Achse unten): Vx =

V0

X =

v0t

vv =

gt

y =

I gt*

nach

Alle Formeln dieser Nummer gelten streng nur für die Bewegung im luftleeren Raum. 7. Masse. Kraft a) Jeder sich selbst überlassene Körper besitzt im luftleeren Raum ein Gewicht, das sich darin äußert, daß er auf seine Unterlage drückt; er besitzt also die Eigenschaft der „Schwere". Jeder Körper braucht eine gewisse Zeit, um seinen Bewegungszustand zu ändern, er ist träge; das Maß dieser Eigenschaft ist die „träge Masse".

16

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

b) 1. Bewegungsgesetz von Newton, das Gesetz des Beharrungsvermögens oder der Trägheit: Jeder Körper verharrt in dem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung in geradliniger Bahn, wenn er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, diesen Bewegungszustand zu ändern. c) 2. Bewegungsgesetz von Newton: Die Beschleunigung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und erfolgt in der Richtung der geraden Linie, in der die Kraft wirkt. Allgemeine Formulierung: Die Änderung der Bewegungsgröße (des Impulses, vgl. Nr. 8) ist nach Größe und Richtung proportional der wirkenden Kraft, als Formel

é(mv)= ' p

wenn m die Masse, v die Geschwindigkeit, P die Kraft ist (gilt auch für nichtkonstante Massen, vgl. Nr. 89 d, 4). d) 3. Bewegungsgesetz von Newton: Die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets einander gleich und von entgegengesetzter Richtung (Prinzip von Aktion und Reaktion). e) Bewegende Kraft = Masse mal Beschleunigung P = m • b Gewicht = Masse mal Erdbeschleunigung G= m • g f) Grundeinheiten des technischen oder praktischen Maßsystems: Länge (m), Zeit (sec oder h), Kraft (kp, gelesen „Kilopond" = kg-Gewicht bei Normbeschleunigung nach Nr. 1 d; Gegensatz: kg-Masse). g) Grundeinheiten des absoluten oder CGS-Systems: Länge (cm), Masse (g), Zeit (sec). Die Maßeinheit der Masse ist das Gramm. 1 g-Masse ist Vlooo d e r in Sèvres bei Paris aufbewahrten UrkilogrammMasse aus Platin-Iridium. 1 cm3 reinsten Wassers bei 4 °C sollte eine Masse von genau l g darstellen; Nachmessungen ergaben aber nur 0,99973 g.

8. Impuls. Energie. Leistung

17

h) Grundeinheiten des MKS-Systems: Länge (m), Masse (kg), Zeit (sec). Die Einheiten dieses Systems erweisen sich in vielen Fällen als besonders zweckmäßig. i) Einheit der Kraft im CGS- und MKS-System: ein Dyn (Kurzzeichen: 1 dyn) ist diejenige Kraft, die der Grammasse die Beschleunigung 1 cm/sec 2 erteilt; ein Newton (Kurzzeichen: 1 N) erteilt demgegenüber der Kilogrammasse die Beschleunigung 1 m/sec 2 . Folglich hat 1 N = 10 5 dyn. Umrechnung ins technische Maßsystem: 1 kp = 9,81 N. k) Bestimmungsstücke einer Kraft sind Größe, Richtung, Angriffspunkt. 1) Einem Vektor kommen Größe und Richtung, einem Skalar nur Größe zu. Ein Vektor ohne Angabe eines Angriffspunktes heißt freier Vektor, mit festgelegtem Angriffspunkt gebundener Vektor. Vektoren: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, u. a. Skalare: Masse, Dichte, Rauminhalt, u. a. 8. Impuls. Energie. Leistung a) Unterliegt die Masse m der steten Einwirkung der unveränderlichen K r a f t P, so bewegt sie sich gleichmäßig beschleunigt, und es ist: mv = Pt,' ms = i2 PI2,' Ps = i2 mvz Besaß jedoch die Masse, als die Kraft P einsetzte, die Geschwindigkeit v0, so ist, je nachdem, ob v oder v0 größer ist: m(v — v0) = Jt Pt m (s - v0t) = ± | Pt2 Ps = i

^ m (t>2— vi)

Das Produkt mv heißt die Bewegungsgröße oder der Impuls, das Produkt Pt die „Zeitsumme der K r a f t " oder der Kraftstoß, es ist also der Impuls gleich dem Kraftstoß. Allgemein ist der Kraftstoß gegeben durch fPät. Darin liegt auch der Satz: Wirkt auf die Massen m und m 1 eine und dieselbe Kraft gleich lange ein und erlangen sie dadurch die Geschwindigkeiten v und so ist mv = m^.

18

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

b) Allgemein gilt (vgl. 13 e) Arbeit = Kraft mal Wegkomponente in der Kraftrichtung A = P • s • cos ix Technische Einheit: 1 kpm, d.i. die Arbeit, die notwendig ist, um 1 kp 1 m hoch zu heben. CGS-Einheit: 1 erg (1 dyncm), d. i. die Arbeit, die verrichtet wird, wenn die Kraft 1 dyn längs eines "Weges von 1 cm wirkt. MKS-Einheit: 1 Newtonmeter (1 Nm) oder 1 Joule (1 J). Umrechnungen: 1 J = 1 Nm = (106 dyn) • (102 cm) = 10' erg 1 kpm = 9,81 Nm = 9,81 J. c) Leistung oder Effekt = Arbeit in cer Zeiteinheit: N = Ajt Technische Einheit: 1 Pferdestärke (1 PS) = 75 kpm/sec MKS-Einheit: 1 Watt (1 W) = 1 Nm/sec = 1 J/sec Umrechnungen: 1 PS =

736 Watt ~ | Kilowatt (kW)

1 kW = 1000 Watt «s l PS d) Aus N = Ajt folgt A =

N-t.

1 Pferdestärkenstunde (1 PSh) bzw. 1 Kilowattstunde (1 kWh) ist die Arbeit von 1 PS bzw. 1 kW während einer Stunde. 1 PSh = 270 000 kpm 1 kWh ~ 360 000 kpm , , „„ , gewonnene Arbeit e) Wirkungsgrad oder Nutzeffekt = — ? TI— . -j. b ö ' aufgewendete AArbeit f) Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Energie der Lage oder potentielle Energie, gemessen durch Gh in kpm bzw. in erg oder J = Nm. (h Höhe über der tiefsten möglichen Lage). Energie der Bewegung oder kinetische Energie, gemessen durch | mv2 in kpm, erg oder J. Die Umwandlung von Lageund Bewegungs-Energie ineinander erfolgt in einem abge-

9. Die Dimension

19

schlossenen System ohne Gewinn oder Verlust (Satz von der E r h a l t u n g der Energie, vgl. Nr. 41, I I I ) . Spannungsenergie einer F e d e r , gemessen durch \ Ps (die K r a f t P ist der D e h n u n g bzw. V e r k ü r z u n g s der F e d e r proportional). 9. Die Dimension J e d e r Ausdruck, der die Abhängigkeit einer Größe von den Grundeinheiten der Masse M, der L ä n g e L u n d der Zeit T erkennen l ä ß t , heißt die Dimension dieser Größe. Dabei werden die Grundeinheiten nicht b e t r a g s m ä ß i g , sondern n u r nach ihrer A r t angegeben. Dimension Beispiel (im MKS-System) Weg L m Fläche L2 m2 3 Volumen L m3 Masse M kg Zeit T sec Frequenz T-' s e c - 1 ( = IIz) Geschwindigkeit LT" 1 m sec-1 Beschleunigung LT"2 m sec-2 Winkeigesch wind igkeitT - 1 sec-1 Winkelbeschleunigung T - 2 sec-2 Kraft MLT"2 kg m sec~ 2 ( = N) Dichte ML"3 kg m - 3 spezif.Gewicht (Wichte) M L - 2 T - 2 kg m - 2 s e c - 2 ( = N m~ 3 ) Druck M L - 1 T - 2 kg m - 1 sec" 2 ( = N m~ 2 ) Impuls MLT" 1 kg m s e c - 1 Arbeit, Energie ML2T"2 kg m 2 s e c - 2 ( = Nm = J) Leistung ML2T"3 kg m 2 s e c - 3 ( = Nm s e c - 1 = W) Wirkung ML2T_1 kg m 2 s e c - 1 ( = Nm sec = J sec) Drehmoment ML2T"2 kg m 2 s e c - 2 Drehimpuls (Drall) ML 2 T" 1 kg m 2 s e c - 1 Trägheitsmoment ML 2 kg m 2 Über die Dimensionen der elektrischen Größen siehe Kapitel I X - X I I I . 10. Die Zentralbewegung Die einfachste aller Zentralbewegungen ist diejenige, bei der eine K r e i s b a h n v o m Halbmesser r m i t der gleichbleibenden Geschwindigkeit v durchlaufen wird.

20

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

Die auftretende Radialbeschleunigung b liegt in der Richtung des Halbmessers (Leitstrahles) gegen den Mittelpunkt zu und hat die Größe b = v2/r. Unter Winkelgeschwindigkeit cu versteht man den von dem Leitstrahl in der Zeiteinheit überstrichenen Winkel oder, wenn man den Winkel im Bogenmaß ausdrückt, die Geschwindigkeit desjenigen Punktes auf dem Leitstrahl, der vom Mittelpunkt die Entfernung 1 hat. Es ist sodann: b = reo2

v = reo

Ist T die Umlaufszeit und n die Umlaufszahl des Massenpunkts, so ist: n =

1

co =

2 7t =

v = 2 7T r : T = 2 n rn 6 = 4 n2r : T2 = AizHn* Ist rn die Masse des Punktes, so ist der Betrag der Radialkraft : P = mv2: r = mrco2 = in2mr: T2 — Arfmrn2 Soll der Punkt der Erdanziehung entzogen werden, so muß gelten: P = G, also b = v*/R = g, worin R der Halbmesser der Erdkugel und G das Gewicht des Massenpunktes ist. 11. Die harmonische Bewegung Bewegt sich ein P u n k t auf einer Kreisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit v0, so f ü h r t seine Projektion auf einen Durchmesser eine schwingende Bewegung aus, die h a r m o n i s c h e Bewegung heißt. InFig.7 sei A der sich bewegende Punkt, 0 der Mittelpunkt des Kreises vom Halbmesser r, ferner (!R AO und

Kg. 7

11. Die harmonische Bewegung

21

derjenige Durchmesser, auf welchen der Punkt A projiziert wird, E der Ort des Punktes A, an welchen er nach der Drehung um den oc gelangt, F dessen Projektion auf CB, EG der Betrag der Tangentialgeschwindigkeit v und EK der Betrag der Radialbeschleunigung b des Punktes E. Sodann ist der von dem Punkt F zurückgelegte Weg OF = x = r sin CG und BF durch CR zu ersetzen ist. Das Parallelogramm CGJH liefert die Mittelkraft CJ vom Betrage R. Gibt man ihr den Angriffspunkt K und macht KL = CJ, so ist KL die gesuchte Resultante. Fällt man des weiteren von K die Lote auf CA und CB, so ist mit KN = p und KS = q: P-p = Q-q

II. Beide Kräfte sind gleichgerichtet (Fig. 11). Die beiden Kräfte AC vom Betrag P und BD vom Betrag Q sind gleichgerichtet und greifen in A und B an. In der Wirkung der Kräfte tritt keine Änderung ein, wenn man die gleichen und entgegengesetzten Kräfte AG und BE hinzufügt. Nun liefern die Kräfte AC und AG die Resultante AH und auf der anderen Seite die Komponenten BD und BE die Mittelkraft BF. Verfährt man wie bei I, so hat die Resultierende UV den Betrag P + Q, und es verhält sich AU: BU = Q: P . Um die Mittelkraft für mehrere parallele und gleichgerichtete Kräfte zu bestimmen, setzt man zunächst zwei derselben zusammen, dann die erhaltene Resultante mit der dritten usw. Das Verfahren läßt sich auch anwenden, wenn die Kräfte an beliebigen im Räume gelegenen Massenpunkten angreifen.

26

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

Die Resultante ist gleich der Summe der Einzelkräfte, und ihr Angriffspunkt ist unabhängig von der Richtung der Kräfte, wenn sieh die Angriffspunkte der letzteren nicht ändern. Der Angriffspunkt der Resultante heißt der M i t t e l p u n k t der parallelen Kräfte.

l'ig. 12

I I I . Die beiden Kräfte

Fig. 13

sind

entgegengesetztgerichtet

einander nicht gleich (Fig. 12). Ist AC größere, BD

und

vom Betrag P die

vom Betrag Q die kleinere gegebene Kraft,

EF vom Betrag R die Resultante, so ergibt eine der vorigen analoge Betrachtung: R = P - Q _ und P: Q = EB: EA, d. h.: Die Resultante zweier ungleichen, entgegengesetztgerichteten Kräfte ist gleich dem Unterschied beider; sie teilt die Verbindungsstrecke der Angriffspunkte im umgekehrten Verhältnis der Kräfte. Zwei gleiche und entgegengesetztgerichtete Kräfte liefern keine Resultante. Man nennt sie ein K r ä f t e p a a r (Fig. 13). 15. Drehkräfte. Moment einer Kraft a) Unter dem (Dreh-)Moment 9)1 einer K r a f t iß hinsichtlich eines (Dreh-) Zentrums 0 versteht man das Produkt aus der Kraft und dem senkrechten Abstand a des (Dreh-) Zentrums von der Wirkungslinie der K r a f t ; mithin ist der Betrag des Moments: M = P • a (im MKS-System in kg m 2 secr 2 , d. h. in Nm)

27

15. Drehkräfte. Moment einer Kraft

Die Momente der beiden Komponenten für irgendeinen Punkt der Resultante sind, absolut genommen, einander gleich (vgl. Nr. 14,1). Zwei Drehkräfte halten einander das Gleichgewicht, wenn ihre Momente den gleichen Betrag, aber entgegengesetztes Vorzeichen haben. Zwei Kräfte sind für eine Drehung um einen Punkt gleichwertig, d. h. erzeugen die gleiche Winkelbeschleunigung (vgl. Nr. 19 a), wenn ihre Momente absolut und den Vorzeichen nach gleich sind. Jede Drehkraft läßt sich somit durch eine andere von der Größe ihres Moments in der Entfernung 1 vom Drehpunkt ersetzen. Bezeichnet allgemein P den Betrag der resultierenden Kraft, a ihren senkrechten Abstand vom Drehzentrum ( = Kraftarm), sind P 1 ; P 2 , P 3 . . . die Beträge der Einzelkräfte mit den zugehörigen Kraftarmen alt a2,a3 . . . , so ist P • a=

Pj«! + P2a2 + P3as-\

,

d. h., das Moment der Mittelkraft ist gleich der algebraischen Summe der Momente aller Einzelkräfte. b) Drehung um eine Achse. Legt man durch 0 eine Gerade l senkrecht zur Ebene der vorhandenen Kräfte, so kann die Drehung um 0 als eine Drehung um die Achse l aufgefaßt werden. Deshalb versteht man unter dem Moment einer Kraft für die Achse l ihr Moment für den Punkt 0, und die oben ausgesprochenen Sätze behalten auch in diesem Falle ihre Gültigkeit. Insbesondere merke man: Schneidet die Resultante die Drehungsachse oder ist die algebraische Summe der Momente aller Einzelkräfte gleich Null, so befindet sich das System im Gleichgewicht. c) Das Moment eines Kräftepaares (Fig. 14). AB = + iß und CD = — iß seien die Kräfte eines Paares, 0 der Drehpunkt in der Ebene der Kräfte, ferner OE und OF die Arme der Einzelkräfte. Als Beträge ihrer Momente ergeben sich die

28

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

Produkte + P - OE und — P - OF; mithin h a t das Moment des Paares den Betrag = P • OE — P • OF = P (a + ÖF) — P • OF = P • a, wenn EF = a gesetzt wird. Das Produkt aP wird negativ, wenn der Arm der negativen Kraft größer als der der positiven ist. Die Strecke a heißt der Arm des Paares, ± aP das Moment desselben. Da in dem Ausdruck f ü r das Moment die Entfernung des Drehpunktes von dem Kräftepaar fehlt, so gilt: Die Wirkung eines Kräftepaares ist unabhängig von der Lage des Drehpunktes. Nur bei gegebener Lage desselben läßt sich das Paar durch eine Drehkraft von der Größe des Moments in der Entfernung 1 vom Drehpunkt ersetzen. Zwei Kräftepaare von gleichem Moment sind gleichwertig. Mehrere Kräftepaare einer Ebene lassen sich zu einem Paar zusammensetzen, dessen Moment gleich der algebraischen Summe der Momente der gegebenen Paare ist.

Fig. 14

Fig. 15

d) Moment eines Systems paralleler Kräfte in iezug auf eine se en ZWß Elene (Fig. 15). A1Bl = und A2B2 — i i parallele Kräfte mit den Angriffspunkten A, und A2; « sei eine beliebige Ebene, auf welche man die Lote ( A r m e genannt) AjC^ «u A2C2 = «2 gefällt hat. Die Produkte /V'i> P 2 a 2 heißen die Momente der beiden Kräfte in bezug auf die E b e n e « (Kräfte und Momente in Beträgen angegeben).

16. Schwerpunkt

29

I s t P = P j + P 2 die Resultierende und a der K r a f t a r m , so ist Pa = P i d j + P 2 a 2 und entsprechend für mehrere K r ä f t e , d. h . : D a s Moment der R e s u l t a n t e beliebig vieler paralleler K r ä f t e in bezug auf eine E b e n e ist gleich der algebraischen S u m m e der Momente aller Einzelkräfte. 16. Schwerpunkt a) Infolge der Erdschwere wirken auf die Massenteilchen TO1; m2, m3, . . . eines starren Körpers die unter sich parallelen K r ä f t e des Körpers m m 2 g , m3g, . . . Solche K r ä f t e haben immer eine Resultante, die stets durch den Mittelpunkt geht, welche L a g e der Körper auch einnehmen mag. Man nennt diesen Mittelpunkt den Schwerpunkt des Körpers; die in ihm angreifende Resultante h a t den B e t r a g mxg + m2g + m3g + . . . = (TOx + m2 + m3 + • • •) g — mg, wo m die ganze Masse des Körpers bezeichnet. D e m n a c h wirkt die Schwerkraft der E r d e auf jeden starren Körper so, als ob seine ganze Masse im Schwerpunkt vereinigt wäre. E i n starrer Körper befindet sich nur dann im Gleichgewicht, wenn die Resultante aller Einzelkräfte durch den Unterstützungspunkt geht. Ist der K ö r p e r an einer Achse drehbar unterstützt, so besteht Gleichgewicht, wenn sich der Schwerpunkt in der durch die Achse gelegten senkrechten E b e n e befindet. b ) Koordinaten des Schwerpunkts. Bezeichnen f , rj, f die Koordinaten des Schwerpunkts, m die Gesamtmasse, m l 5 m 2 , m3 . . . die Einzelmassen, xlt x 2 . . . y 1 , y 2 . . . 2 1 ; z 2 . . . ihre Koordinaten hinsichtlich eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so i s t : _

m A

+

m2x2

+

m3x3

+

•• •

m3y3

+

•••

in rt =

rniVi

+

™2y2

'

_

+

w » V i

+

w2z2

+

m3z3

TO

+

• • •

30

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

c) Beispiele. 1. Der Schwerpunkt (S. P.) einer Dreiecksfläche ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. 2. Der S. P. eines Kreisbogens von der Länge b, dem Halbmesser r, der Sehne s und dem W i n k e l « liegt auf dem Mittellot £X

der Sehne im Abstand r • s:b bzw. 360r sin : OCTZ vom Mittelpunkt. 3. Der S. P. der Fläche eines Kreisausschnitts vom Halbmesser r, der Sehne s und dem Bogen b liegt auf dem Mittellot der Sehne in der Entfernung § r • s : b vom Mittelpunkt. 4. Der S. P. der Fläche eines Kreisabschnitts von der Sehne s und dem Flächeninhalt F liegt auf dem Mittellot der Sehne im Abstand s 3 : 1 2 F vom Mittelpunkt. 5. Der S. P. eines Tetraeders ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien der Ecken mit den Schwerpunkten der Gegenflächen. 6. Der S. P. einer Pyramide bzw. eines Kegels liegt auf der Geraden, welche die Spitze mit dem Flächenschwerpunkt der Grundfläche verbindet, und zwar um drei Viertel dieser Strecke von der Spitze entfernt. 7. Der S. P. der krummen Fläche einer Kugelzone bzw. Kugelhaube ist die Mitte der Höhe. 8. Der S. P. eines Kugelausschnitts vom Kugelhalbmesser r und der Höhe h liegt auf dem zur Kleinkreisebene senkrechten Halbmesser in der Entfernung | (2 r — h) vom Mittelpunkt der Kugel. 9. Der S. P. eines Kugelabschnitts vom Kugelhalbmesser r und der Höhe h liegt auf dem zur Kleinkreisebene senkrechten 3 (2 r — hY Halbmesser in der Entfernung

— ^ — ^ • vom Mittelpunkt

der Kugel. 17. Die einfachen Maschinen

/ . Der Hebel. Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die algebraische Summe der Drehmomente sämtlicher am Hebel

31

17. Die einfachen Maschinen

wirkenden Kräfte gleich Null ist. Die Kraft auf den Drehpunkt ist gleich der Resultante der Kräfte. II. Die gleicharmige Waage. Eine gute Waage muß stabil, richtig und empfindlich sein. — An der je mit P belasteten, um C drehbaren Waage AB (Fig. 16) bringe das Übergewicht p den Ausschlag ot±lßt* o)2 = a>l ± 2 ßa W = i Jo fA =

P-a-a

P • a • a = l Jco2 - l Jwl Drehimpuls oder Drall: D = 3m (Für eine Einzelmasse m in der Entfernung r von der Achse und der Bahngeschwindigkeit v ist auch I) =

mrv.)

Das Drehmoment ist gleich der Änderung des Dralls in der Zeiteinheit. Ist das Drehmoment Null, so ist J -w = const. (Satz von der Erhaltung des Drehimpulses). b) Kreiselsätze: a) Der'kräftefreie Kreisel bewegt sich so, daß sein Drall nach Richtung und Größe im R a u m konstant bleibt. ß) Unter dem Einfluß äußerer Kräfte bewegt sich der Kreisel derart, daß die Änderungsgeschwindigkeit des Drallvektors nach Richtung und Größe gleich ist dem Moment der äußeren Kräfte in bezug auf den Stützpunkt des Kreisels. y) Die „KreiselWirkung" besteht darin, daß sich die Achse des Kreisels mit der Achse der hinzukommenden Drehung in gleichsinnigen Parallelismus zu setzen strebt, derart, daß der Drehsinn der Eigenrotation mit demjenigen der hinzukommenden Drehung übereinstimmen würde.

20. Fallmaschine. Physisches Pendel

37

20. Fallmaschine. Physisches Pendel

I. Die Atwoodsche Fällmaschine. Das Übergewicht bewegt die Massen (2 P + p) und die Masse der Rolle. Letztere läßt sich in bezug auf die Drehung durch eine ihr gleichwertige Masse x in einem Punkt des Umfanges ersetzen. Nennt man r den Halbmesser der Rolle, J das Trägheitsmoment derselben, so ist x-r1 = J, ferner die Beschleunigung: ZP + V + y* II. Das physische Pendel. Ein beliebig gestalteter Körper, der über seinem Schwerpunkt drehbar befestigt ist, kann als physisches Pendel gelten. tx) Die reduzierte Pendellänge ist die Länge desjenigen mathematischen Pendels, das mit dem betrachteten physischen Pendel in der Schwingungszeit übereinstimmt. ß) Bezeichnet J das gesamte Trägheitsmoment des Pendels, m seine Masse, k die Entfernung des Schwerpunkts vom Drehpunkt, so ist die reduzierte Pendellänge l = J/hm, die Schwingungszeit für eine volle Schwingung:

" f" r k • m

T = 2

3

y) Ein Punkt, der von der Achse die Entfernung l hat, heißt der Schwingungsmittelpunkt des Pendels. Er schwingt so, wie er auch schwingen würde, wenn er ganz allein vorhanden wäre (l reduzierte Pendellänge). d) Legt man durch den Schwerpunkt die Achse parallel zur Achse durch den Drehpunkt und ist in bezug auf diese das Trägheitsmoment J 0 , so hat man: Jn

38

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes

Die Größen