Physikalische Formelsammlung 9783111659794, 9783111275390

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S A M M L U N G GÖSCHEN BAND 156

{Ι(|ΐ||ίΗοΗΓφ( JormelfammUing Von

G. MAHLER t Professor der Mathematik und Physik am Gymnasium in U l m

Neubearbeitet von

PROF. K. MAHLER Oberstudiendirektor an der Schubartoberschule Aalen in Württemberg

Mit 69 Figuren

Achte, verbesserte A u f l a g e

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals Gr. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer • Karl J. Trübner · Veit & Comp. Berlin

1960

A He R e c h t e , i n s b e s o n d e r e d a s Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , von der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n .

Archiv-Nr. 110136 Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis. Seite I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper. 1. Metrisches Maßsystem 7 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung 8 3. Das Parallelogramm der Bewegungen 8 4. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung 10 5. Freier Fall u n d Bewegung auf der schiefen Ebene 12 β. Der Wurf 13 7. Masse. K r a f t 15 8. Impuls. Energie. Leistung 16 9. Die Dimension 17 10. Die Zentralbewegung 18 11. Die harmonische Bewegung 19 12. Das mathematische Pendel 21 13. Die Grundgesetze des Gleichgewichts starrer Körper 22 14. Die Zusammensetzung zweier K r ä f t e m i t verschiedenen Angriffspunkten 23 15. Drehkräfte. Moment einer K r a f t 26 16. Schwerpunkt 27 17. Die einfachen Maschinen 28 18. Das Trägheitsmoment 31 19. Gesetze der drehenden Bewegung. Kreisel 33 20. Fallmaschine. Physisches Pendel 34 21. Eeibung 36 22. Die allgemeine Gravitation 37 23. Elastizität 38 24. Der Stoß 39 I Kapitel. Statik der Flüssigkeiten und Oase. 25. Druck in einer ruhenden Flüssigkeit 26. Archimedisches Prinzip 27. Spezifisches Gewicht. Bestimmung desselben 28. Eigenschaften der Gase 29. Luftdruck. L u f t p u m p e n 30. Gesetz von Boyle

42 43 44 46 46 48

III. Kapitel. Dynamik der Flüssigkeiten und Gase. 31. Strömung von Flüssigkeiten u n d Gasen 32. Ausfluß von Flüssigkeiten u n d Gasen aus einer Öffnung 33. Flächen in L u f t und Wasser

48 50 52

IV. Kapitel. Molekularphysik. 34. Oberflächenspannung. Kapillarität. Diffusion. Osmose 35. Strömung in Kapillaren. Turbulenz. Gesetz von Stokes 36. Kinetische Theorie der Gase

55 56 57

V. Kapitel. Wärmelehre. 37. Thermometer 38. Ausdehnung der Körper durch die Wärme 39. Kalorimetrie; spezifische W ä r m e 40. Änderung des Aggregatzustandes 41. Thermodynamik

58 58 60 62 68 1

4

Inhaltsverzeichnis. Seite

VI. Kapitel. Wellenlehre und Akustik. 42. Wellenlehre I 43. Wellenlehre I I 44. Schwingungezahl. Tonleiter 46. Tonquellen 46. Ausbreitung des Schalles. Schallgeschwindigkeit VII. Kapitel. Geometrische Optik. 47. Reflexion dee Lichtes an ebenen Flächen 48. Kugel- oder sphftrische Spiegel 49. Brechung des Lichtes 60. Prisma 61. Brechung an sphärischen Begrenzungsflächen 62. Brechung durch Linsen 53. Sphärische Aberration bei der Brechung 64. Optische Instrumente VIII. Kapitel. Optische Strahlung. 65. Photometrie 56. Geschwindigkeit des Lichtes 57. Spektroskopie 58. Achromasie 59. Wellenlängenmessung 60. Polarisation. Doppelbrechung

ββ 69 71 72 74 75 77 80 82 84 85 90 91 96 97 99 102 102 103

IX. Kapitel. Das elektrische Feld. 61. Elektrisches Feld 104 62. Eigenschaften der Ladung 106 63. Spannung. Feldstärke. Verschiebungsdichte 107 64. Kapazität und Kondensator 108 65. Kräfte und Arbeit im elektrischen Feld 110 66. Das elektrische Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektrostatischen Maßsystems Hl X. Kapitel. Das magnetische Feld. 67. Magnetisches Feld 68. Ausmessung des magnetischen Feldes 69. Magnetisches Feld unter Zugrundelegung des absoluten elektromagnetischen Maßsystems 70. Das Moment und das Drehmoment eines Magnetes 71. Ablenkung und Schwingungen eines drehbaren Magnetes 72. Erdmagnetismus

117 118 119 119

XI. Kapitel. Elektrische Strömung. 73. Ohmsches Gesetz. Widerstand 74. Stromstärke einer Batterie 75. Stromverzweigung. Sätze von Kirchhoff 76. Stromenergie. Gesetz von Joule. Spannungseinheit 77. Die Gesetze von Faraday. Das elektrische Elementarquantum.

120 121 123 126 127

XII. Kapitel. Induktion. 78. Grundlagen der Induktion 79. Die Selbstinduktion 80. Kräfte in magnetischen Feldern 81. Der Einphasenwechselstrom 82. Dreiphasenwechselstrojn. Transformator 83. Elektrische Schwingungen

113 115

128 131 132 133 136 137

Inhaltsverzeichnis. XIII. Kapitel. Elektrische Strahlung. Theorie der Materie. 84. Kathoden- und Anoden- (Kanal-) Strahlen 85. Die Dreielektrodenröhre 86. Röntgenstrahlen 87. Radioaktivität 88. Atombau und periodisches System der chemischen Elemente 89. Relativitätstheorie 90. Bohreche Sätze. Wasserstoffatom Register

5 Seit· 139 141 142 143 . . 144 148 149 161

Bemerkung. Den Bezeichnungen liegen, soweit möglich, die Angaben des Deutschen Normenausschusses zugrunde (Din 1304).

Literatur. Dem Charakter einer „ F o r m e l s a m m l u n g " entsprechend, gibt der vorliegende Band der Sammlung Göschen nur fertige Resultate ohne Ableitungen. Ableitungen findet der Leser in der ausgedehnten physikalischen Literatur, aus der einige wenige Werke namentlich genannt seien: G ü n t h e r , Grundriß der Physik I und II, Hildesheim, Lax. H u n d , Einführung in die theor. Physik Bd. I. Mechanik. Leipzig, Bibliograph. Institut. R o s e n b e r g - H a u s c h u l z - I p p i s c h , Grundriß der Physik I und II. Berlin u. Leip?ig, Freytag. Grimsehl, Lehrbuch der Physik. Leipzig, Teubner. L e c h e r , Lehrbuch der Physik. Leipzig, Berlin, Teubner. Mie, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. Stuttgart, Enke. Riecke-Lecher, Lehrbuch der Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r , Einführung in die theoretische Physik. Berlin, Walter de Gruyter & Co. S c h a e f e r - B e r g m a n n , Grundaufgaben des physikalischen Praktikums. Leipzig, Teubner. P o h l , Einführung in die Mechanik, Akustik u. Wärmelehre. Berlin, Springer. Pohl, Einführung in die Elektrizitätslehre. Berlin, Springer. P o h l , Einführung in die Optik. Berlin, Springer. S o m m e r f e l d , Mechanik. Leipzig, Akadem. Verlagsgesellschaft. W e s t p h a l , Lehrbuch der Physik. Berlin, Springer. In diesen Werken finden sich z. T. auch Übungsbeispiele, eine größere Zahl von Beispielen finden sich u. a. in Mahler, Physikalische Aufgabensammlung. Sammlung Göschen Bd. 243. Bohn und M a t t h é , Sammlung physikalischer Aufgaben. Leipzig, Quelle & Meyer. G o t t s b a c h e r , Physikalische Aufgabensammlung. Leipzig u. Wien, Deuticke.

I. Kapitel. Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper. 1. Metrisches Maßsystem, a) Ausgangspunkt für das metrische Maßsystem ist das Meter, ursprünglich festgesetzt 1m =

10 mm =10-7

Erdquadranten

'

dargestellt durch den geradlinigen gegenseitigen Abstand zweier Strichmarken auf einem Platinstab bei 0°C. Später ergab sich mit wachsender Genauigkeit der Messungen, daß 1 m = 0,999914 · I O - 7 Erdquadranten, doch besteht keine Veranlassung, deshalb das Grundmaß zu ändern, weil für die praktischen Anwendungen diese Abweichungen meist keine Bedeutung haben, für die Wissenschaft es viel mehr auf die Unveränderlichkeit des einmal angenommenen Grundmaßes ankommt. Außerdem 1 m = 1553164,13 Wellenlängen der roten Kadmiumlinie. Abgeleitete Längenmaße: mm, cm, dm, m, Dekameter, Hektometer, km; je 10 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. Außerdem 1 μ = 1 Mikron = 1/1000 mm = 10~* cm 1 ταμ = 1 Millimikron = 1/1000000 mm = 10~ 7 cm 1 Α. Ε. = 1 Angströmeinheit = 1/10 ταμ = I O - 8 cm (Lichtwellen) 1 XE. = 1 X-Einheit = IO" 1 1 cm (Röntgenwellen) 1 Lichtjahr ss 365 · 24 · 60 · 60 · 300000 km ~ 9 5. IO12 km. 1 paisek ist die Entfernung, von der aus gesehen der Halbmesser der Erdbahn um die Sonne unter einem Winkel von 1" erscheint, entsprechend 3,0666 · 1018 km = 3,26 Lichtjahre, b) Flächenmessung. Maßeinheit 1 m2 (1 cma) d. i. ein Quadrat von 1 m (1 cm) Seitenkante.

g

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

Abgeleitete Flächenmaße: mm 2 , cm2, dm 2 , m 2 , a, ha, km 2 ; je 100 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden Maßes. c) Raummessung. Maßeinheit 1 dm 3 (1 cm3), d. i. ein Würfel von 1 dm (1 cm) Seitenkante. Abgeleitete Maße: mm 3 , cm 3 , dm 3 , km 3 ; je 1000 Einheiten des einen gleich einer des nächstfolgenden. Außerdem 11 = 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 1/100 hl. Genau : 11 (Rauminhalt von 1 kg luftfreien Wassers größter Dichte bei 1 Atm. Druck) gleich 1,000028 dm 3 , entsprechend der maximalen Dichte des Wassers bei 4° C und 760 Torr ρ = 0,999972 ± 0,000002 g/cm 3 . d) Gevoichtsmessung. Maßeinheit 1 kg* (1 g*), d. i. das Gewicht von 1 dm 3 (1 cm3) Wasser bei 4° C. Abgeleitet mg*, g*, kg*, t*; Übergangszahl 1000 wie bei c, vgl. Nr. 7f bis 7 h. 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung. Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung, bei der in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. Geschwindigkeit ist der in 1 sek zurückgelegte Weg. Bedeuten ν die Maßzahl der Geschwindigkeit, t die der Zeit und s die des zurückgelegten Weges, so ist s = vi. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, den Weg durch den Inhalt eines Rechteckes zu versinnlichen, dessen Grundlinie und Höhe durch die Maßzahlen der Zeit bzw. der Geschwindigkeit gegeben sind. Die mittlere Geschwindigkeit v0 aus mehreren (η) Geschwindigkeiten vlt v2, v3 · • • vn ist das arithmetische Mittel derselben: + V* . η 3. Das Parallelogramm der Bewegungen. Wird ein Körper gezwungen, gleichzeitig mehrere Bewegungen auszuführen, so ist das Endergebnis dasselbe, wie wenn er die Bewegungen nacheinander während derselben Zeit ausführen würde. v0 —

+

Das Parallelogramm der Bewegungen.

9

Wird also ein materieller Punkt A (Fig. 1) zu zwei Bewegungen angeregt, die einen Winkel « miteinander bilden, so gelangt er in die vierte Ecke D desjenigen Parallelogramms, das man aus den beiden Einzelwegen und s 2 lind dem von diesen eingeschlossenen Winkel « konstruiert. S1 Sind die beiden Bewegungen geFia. ι. radlinig und gleichförmig, so ist auch die resultierende Bewegung geradlinig und gleichförmig, und der Punkt A durchläuft die Diagonale AD. Bezeichnet man den Weg AD mit r, so ist r2 = sf + s| + 2 · · s2 · cos λ . Wird oc — 0 bzw. 180°, so ergeben sich die besonderen Werte r = sx ± s2 . Ist α = 90°, so kommt r 2 = s? + s i . Die Einzelwege heißen die Seitenwege, die Komponenten; der resultierende Weg der Mittelweg, die Resultante. Soll der Mittelweg AD (Fig. 2) in T zwei Seitenwege längs und L 2 zercj^Jt legt werden, so ziehe man DB\\L2 und f sy DCJI^; nun sind AB und AC die ge/ / suchten Komponenten. — Hat man / s— / über die beiden Einzelwege keine wei- j L · — ζ, teren Bestimmungen getroffen, so ist Flg 2 die vorliegende Aufgabe vieldeutig. Sonderfall: „Projektionssatz". Ist Lt J_ L und bildet AD mit L1 den Winkel«, so ist die waagerechte Komponente AB = AD cos«, die senkrechte AC = AD sin«. Unterliegt ein materieller Punkt gleichzeitig mehreren Bewegungen, so bestimmt man die Resultante folgendermaßen: Zunächst werden zwei Wege zusammengesetzt, hierauf der

10

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

Mittelweg mit dem dritten, der sich nun ergebende Weg mit dem vierten usw. Man konstruiert daher (Fig. 3) aus den Einzelwegen einen gebrochenen Zug ABFGH; alsdann ist die

Fig. 8.

Schlußlinie AH die gesuchte Resultante. Schließt sich der Zug, so bleibt der Punkt in Ruhe. Zerlegt man die Bewegung OB eines materiellen Punktes 0 (Fig. 4) in die Komponenten OE und OD von beliebigen Richtungen L und L,, die durch O gehen, und projiziert die so erhaltenen Seitenbewegungen auf zwei zueinander senkrechte Achsen OX und OY, so ist die algebraische Summe der Projektionen auf jede Achse gleich den Komponenten OG und OJ, die unmittelbar aus der Zerlegung der OB längs OX und OY hervorgehen. Im Raum ist das Parallelogramm der Bewegungen durch ein Parallelfiach zu ersetzen. Wird nämlich der Punkt O (Fig. 5) zu den Bewegungen OA, OB und OC angeregt, deren Richtungen nicht in eine Ebene fallen, so AL- A ^ gelangt er an die der Ecke O gegenüberliegende Ecke D des aus OA, OB und OC als Kanten konstruierten PaFig. 6. rallelflachs. 4. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung. Legt ein

Die gleichförmig beschleunigte Bewegung

11

Körper in gleichen Zeiten ungleiche Wege zurück, so ist seine Bewegung eine ungleichförmige. Unter Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitpunkt versteht man in diesem Fall den Weg, den der Körper von jenem Zeitpunkt ab in einer Sekunde zurücklegen würde, falls er sich nun gleichförmig weiterbewegte. J e nachdem die Geschwindigkeiten in den aufeinanderfolgenden gleichen Zeitteilen wachsen oder abnehmen, heißt die Bewegung beschleunigt oder verzögert. Die Geschwindigkeitszunahme in der Sekunde heißt Beschleunigung. Ändert sich diese während der Dauer der Bewegung nicht, so führt der materielle Punkt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. Bezeichnen^ die Anfangsgeschwindigkeit, b die Beschleunigung, ν die Geschwindigkeit zur Zeit t, s den Weg. den der Körper während dieser Zeit zurücklegt, so gelten folgende Beziehungen: v = v0 + bt s = vj. + J bt2 v*=vl + 2 bs. Für die gleichförmig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ist v = bt s=Pi2 v2 = 2 hs. Allgemein gilt für jede Bewegung ds ~ dt dt dfi d. h. die- Geschwindigkeit ist die erste, die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. Ist die Bewegung gleichmäßig verzögert und bedeutet b die (konstante) Verzögerung, so ist ν = v0 — bt, s=v¿ — \bp, φ=ι% — 2 bs.

12

Mechanik des materiellen Punktes und der starren Körper.

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden wie Wege zusammengesetzt und zerlegt (vgl. Nr. 3). 5. Freier Fall und Bewegung au! der schiefen Ebene. a) Im luftleeren Raum fallen alle Körper gleich schnell. Der freie Fall ist innerhalb unseres Beobachtungsgebietes eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der konstanten Beschleunigung g = 9,81 m s e k - 2 : v = gt, s= igt2, n2 = 2 qs . Genauer Wert der Schwerebeschleunigung: Standardwert g = 980,665 cm/sek2 unter 45° Breite g,, = 980,616 cm/sek2. ix) Die Fallgeschwindigkeiten wachsen proportional den Zeiten. ß) Die Fallräume in den einzelnen Sekunden wachsen wie die ungeraden Zahlen. γ) Die Fallräume von Anfang an gerechnet bis zum Ende der einzelnen Sekunden wachsen wie die Quadrate der Zeiten. 2 = Λ2 '. h^. 28. Eigenschaften der Gase, a) Gase besitzen wie Flüssigkeiten Volumelastizität, vgl. Nr. 25. b) Bei der Bestimmung des spezifischen Gewichts der Gase ist zu beachten, daß das Volumen auf 0° und Normaldruck reduziert werden muß, vgl. Nr. 38, VI. c) Archimedisches Prinzip, vgl. Nr. 26. Dieser Gewichtsverlust ist gleich dem Auftrieb, und er beträgt, wenn wir mit V den Rauminhalt des Körpers in cm3, mit b den Barometerstand in Millimetern, mit t die Temperatur in C-Graden und mit γ die Raumausdehnungszahl Nr. 38),

¿t IO

für Gase bezeichnen (vgl.

46

Statik der Flüssigkeiten und Gaee.

V •b , Gramm. 760 · (1 + γί) d) Steigkraft X eines Freiballons vom Kauminhalt V und dem Gesamtgewicht P , wenn s das sp. G. der Luft und sx das des Füllgases ist, X = F(s — s x ) — Ρ . e) Bei wissenschaftlichen Untersuchungen müssen die Wägungen auf den leeren Raum reduziert werden. Nennen wir das scheinbare Gewicht des Körpers in der Luft ρ und das der Gewichtsstücke im luftleeren Raum x, die Rauminhalte derselben V bzw. V1 und das spezifische Gewicht der Luft s, so ist x = v + s (V — Fi). 29. Luftdruck. Luftpumpen, a) Der Luftdruck ist an den verschiedenen Orten der Erde verschieden und unterliegt sowohl periodischen als auch unregelmäßigen Schwankungen. Am Meeresspiegel in unseren Breiten hält der mittlere Luftdruck einer Quecksilbersäule von 760 mm das Gleichgewicht. Da nun 1 cm 3 Quecksilber bei 0° C 13,6 g* wiegt, so beträgt der Druck der Luft auf ein Quadratzentimeter 1,033 kg*, rund 1 kg*. Weitere Druckeinheiten (Druck stets gleich Kraft je Flächeneinheit vgl. Nr. 9) : 1. Die Druckeinheit des C. G. S.-Systems ist das Mikrobar 0,001 293

1 ß b = 1 dyn/cm 2 1 lar = 1 b = 106 dyn/cm 2 1 millibar = 1 mb = 103 dyn/cm 2 . 2. Die Druckeinheit des technischen Meßsystems ist 1 kg*/m 2 ; sie ist nahezu gleich dem Druck einer Wassersäule von 1 mm. 3. Der Druck einer Quecksilbersäule von 1 mm Höhe bei 0° C und normaler Schwere heißt 1 Torr. 1 Millibar nahezu gleich 3 / 4 Torr. W

Luftdruck. Luftpumpen. e

47

2

4. 1 absolute Atm. = 10 dyn/cm = 1 Bar = 1,0197 kg*/cm2 = 750,06 Torr. 1 physikal. Atm. = 1,0132 Bar = 1,0332 kg7cm 2 = 760 Torr. 1 techn. Atm. = 0,980 Bar = 1 kg*/ran2 = 735,56 Torr. = 10 m W.S. Alle Barometerstände sind auf 0°C zu reduzieren. Die den Luftdruck anzeigenden Barometerstände nehmen in geometrischer Reihe ab, während die Höhen in arithmetischer Reihe wachsen (vgl. Nr. 38, III). b) Barometrische Höhenmessung. An den Orten B0 und Bj seien b0 und b1 die Barometerstände, t sei die mittlere Temperatur und h der Höhenunterschied, dann ist h = 18400 (log i 0 — log 6X) (1 + 0,0041) m. Für Höhenunterschiede bis zu etwa 1000 m darf der bequemere Näherungswert h = 16 000 (1 + 0,0040 ^ ^ m 00 + 01 genommen werden. c) Grad der Verdünnung. V bedeute den Inhalt des Re* zipienten, V1 den Raum des Pumpenzylinders, der bei jedem Kolbenhub frei wird, d die Dichte der Luft vor Beginn des Versuches. Die Dichte dn in dem Rezipienten nach dem riten Kolbenzug ist dn = d

\v + vlt

d) Grad der Verdichtung. Bei Verwendung derselben Bezeichnungen ist adn =

V +

n V

^ —v—d.

Beide Formeln liefern theoretische Werte für Kolbenpumpen. e) Daltons Gesetz. Befinden sich mehrere Gase oder Dämpfe in demselben Raum und findet dabei keine chemische Wechsel-

48

Dynamik der Flüssigkeiten und Gase.

Wirkung statt, so ist der Gesamtdruck des Gemenges gleich der Summe der Einzeldrucke der Gemengteile. 30. Gesetz von Boyle. Sind V und V1 die Rauminhalte derselben Gasmenge bei den Drucken ρ und p1 und d und άλ die zugehörigen Dichten, so ist V :V1=p1 :ρ d:dí=p:p1 pV = p1Vì = const. In Worten: Der Rauminhalt einer gegebenen Gasmenge verhält sich bei unveränderter Temperatur umgekehrt wie der Druck, der auf sie ausgeübt wird. Das Produkt aus Druck und Rauminhalt derselben Gasmenge ist konstant. Nach dem Gesetz von der Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung ist die Spannkraft eines Gases gleich dem äußeren Druck; mithin kann der obige Satz auch so ausgesprochen werden: Bei unveränderter Temperatur ist das Produkt aus dem Rauminhalt und der Spannkraft derselben Gasmenge konstant. Die Dichte eines Gases ist dem darauf wirkenden äußeren Druck oder seiner Spannkraft direkt proportional. Zusatz. Die Gleichung pV = konst, ist die einer gleichseitigen Hyperbel, welche man in der Zeichnung erhält, wenn man unter Zugrundelegung eines rechtwinkligen Koordinatensystems den Rauminhalt V als Abszisse und den Druck ρ als Ordinate aufträgt.

III. Kapitel. Dynamik der Flüssigkeiten und Gase. 31. Strömung von Flüssigkeiten und Gasen, a) Eine stationäre Strömung ist dadurch ausgezeichnet, daß an einem beliebigen Querschnitt in jedem Augenblick ebensoviel zuals abfließt. b) Die Stromstärke I, d. i. die sekundliche Durchflußmenge, ist gemessen durch das Produkt aus Querschnitt mal Geschwindigkeit, also l=F-v.

Strömung von Flüssigkeiten und Oasen.

49

c) Für verschiedene Querschnitte gilt bei einer stationären Strömung F\v\ = F 2 v 2 = &3ν3 = konst. d) Allgemeine Druckgleichung (Bernoulli). Bedeuten ρ den Druck, V den Kauminhalt, m die Masse der Flüssigkeit, ρ ihre Dichte, h die Hubhöhe, υ die Geschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung, so ist f V + mgh + l mv i = konst., oder p + ρ^/ι + Ι ρ ν 2 = konst., der 1. Posten stellt die von der Flüssigkeit geleistete Arbeit, der 2. die Lagenenergie und der 3. die Bewegungsenergie dar. Ändert sich die Höhenlage nicht, so ist ρ + i ρΐ*2 = konst. = p, ; ρ heißt der statische, \ ρν2 der Staudruck. Die Summe aus statischem und Staudruck ist daher konstant. Unter Verwendung eines Staurohres erlaubt die letzte Gleichung Strömungsgeschwindigkeiten zu messen. e) Durch geeignete Dimensionierung der verschiedenen Querschnitte kann bewirkt werden, daß an der engsten Stelle eine Saugwirkung auftritt (Wasserstrahlpumpe, Zerstäuber, Bunsenbrenner). f) Arbeitsleistung von Wasserkraftmaschinen. Ist Q das in der Sekunde zufließende Wassergewicht in kg* und 5 das Nutzgefäll in m, so ist die theoretisch zur Verfügung stehende Leistung

Ist bei einem Schaufelrad die Eintrittsgeschwindigkeit ve, die beim Austritt va m/sek, so ist auch 1 Q Ν = — — 1%) mkg*/sek. 2 9 g) Eine rotierende Flüssigkeitsoberfläche hat die Oberfläche eines Rotationsparaboloids M a h l e r . Physikalische Formelsammlung.

4

50

Dynamik der Flüssigkeiten und Gase.

ωΜ wobei ω die Winkelgeschwindigkeit, r den Halbmesser, z0 die Lage des tiefsten Punktes und ζ die zugehörige Ordinate bedeuten. 32. AusfluB von Flüssigkeiten und Gasen aus einer Öffnung. Die Geschwindigkeit, mit der eine Flüssigkeit durch eine kleine Bodenöffnung eines Gefäßes, die den Abstand h vom Flüssigkeitsspiegel hat, ausfließt, ist v = Y2gh. Die Ausflußgeschwindigkeit ist unabhängig von der Natur der Flüssigkeit und ebenso groß wie die beim freien Fall vom Spiegel bis zur Bodenöflnung erlangte Endgeschwindigkeit (Gesetz von Torricelli). Wird die Druckhöhe konstant erhalten und beträgt der Querschnitt der Öffnung F, so strömt in der Zeiteinheit die Menge Fv = FY2gh aus. Wegen der Kontraktion des Strahles ist die wirkliche Ausflußmenge geringer als die theoretisch abgeleitete. Der Erfahrungskoeffizient beträgt für Wasser etwa 0,6. Strömt die Flüssigkeit unter der Einwirkung der Schwere durch eine seitliche Wandöffnung aus, so gilt folgender Satz: Die Ausflußgeschwindigkeit ist unabhängig von der Natur der Flüssigkeit und ebenso groß wie die beim freien Fall vom Spiegel bis zur Seitenöft'nung erlangte Endgeschwindigkeit. Die ausströmende Flüssigkeit beschreibt eine Parabel. Leert sich ein aufrechtes, zylindrisches Gefäß, so ist die mittlere Ausflußgeschwindigkeit «=i)/2 Ist ein aufrechtes, zylindrisches Gefäß bis zu der Höhe k bzw. \ gefüllt, so gilt für die Ausflußzeiten die Beziehung

Ausfluß von Flüssigkeiten und Gasen.

51

Für die Gase gelten folgende Zusätze: 1. Für die Geschwindigkeit des Ausflusses von Gasen gelten die gleichen Gesetze wie bei den Flüssigkeiten. Bei den Gasen ist diese Druckhöhe durch die Beobachtung nicht unmittelbar gegeben, denn der auf einer gewissen Gasschicht lastende Druck kann nur durch eine Wasser- oder Quecksilbersäule von der Höhe H gemessen werden. Ist ρ die Dichte des Gases bezogen auf Wasser, so ist die Geschwindigkeit des Gases, mit der es in den leeren Raum ausströmt,

Daher: die Ausflußgeschwmdigkeit eines und desselben Gases ist von seiner Dichte unabhängig, denn die Dichte ist dem Druck gerade proportional. Für verschiedene Gase verhalten sich bei gleichem Druck die Ausflußgescliwindigkeiten umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus den Dichten dieser Gase. Vergleicht man also die Zeit, die eine bestimmte Gasmenge zum Ausströmen braucht, mit der Zeit, die ein gleicher Luftraum unter denselben Bedingungen erfordert, so gibt das ins Quadrat erhobene Verhältnis der Zeiten die auf Luft bezogene Gasdichte. 2. Wenn das in ein Gefäß eingeschlossene Gas bei einem Barometerstand von b cm außer dem Druck der Atmosphäre auch noch einen Überdruck erleidet, welcher durch eine Quecksilbersäule von der Höhe H cm gemessen wird, so ergibt sich für die Ausflußgeschwmdigkeit desselben in die Luft 1 /2 ο · Η · s · 76 , , , / —— cm/sek ( g = 981 cm s e c - 2 ) . \ e0(6 + H ) Wäre ζ. Β. das ausströmende Gas die atmosphärische Luft, so ist ρ0 = 0,001293, außerdem s = 13,6; folglich ist 4* ν =

Dynamik der Flüssigkeiten und Gase.

52 ν

2 • 981 • 13,6 · 76

0,001 293 = 396·

1¿TH

H cm/sek f+Tl

ra/sek

·

33. Flächen in Luft und Wasser, a) Eine ebene Fläche vom Inhalt F qm wird mit der Geschwindigkeit ν m/sek senkrecht zu sich selbst durch die Luft geführt oder, was in der Wirkung auf dasselbe herauskommt, es blase gegen sie ein Luftstrom mit der Geschwindigkeit ,v m/sek. Der auftretende Bewegungswiderstand ist P = c„|iVkg*, wobei ρ die Dichte der Luft in kg/m3 und cw den sogenannten Widerstandsbeiwert bedeuten (vgl. b). Der Luftwiderstand besteht teilweise aus einer Druckwirkung vor der Fläche, teils aus einer Saugwirkung hinter der Fläche (siehe auch f). Für die Geschwindigkeit ν kommt stets nur die Relativgeschwindigkeit zwischen Luft und Fläche in Betracht. b) Der Widerstandsbeiwert cu schwankt in sehr weiten Grenzen, er ist sehr groß bei senkrecht angeblasenen kreisförmigen Platten 1,2) und runden Röhren und Stäben ( » 1), sehr klein beim Tropfenkörper ( « 0,06). c) Der Angriffspunkt der resultierenden Luftwiderstandskraft heißt Druckmittelpunkt und befindet sich bei einer senkrecht zur Bewegungsrichtung gestellten Fläche im geometrischen Mittelpunkt, er wandert um so mehr gegen die Vorderkante, je kleiner der Anstellwinkel wird und erreicht diese bei tx = 0°. Druckmittelpunkt und Schwerpunkt fallen im einfachsten Fall zusammen. d) Das senkrechte Herabschweben mittels Fallschirmes vom Gewicht 0 erfolgt mit der Geschwindigkeit

Flächen in Luft und Wasser.

1/

53

2G

(Bezeichnungen wie bei a). e) Eine gewölbte Profilfläche hat gegenüber einer ebenen Fläche derselben Größe nicht nur eine bedeutend größere Auftriebskraft, sondern gleichzeitig auch einen geringeren Flugwiderstand. Sie besitzt im Unterschied zu der ebenen Fläche nicht nur Auftrieb bei positiven Anstellwinkeln, sondern auch bei dem Anstellwinkel 0° und sogar bei kleinen negativen Winkeln. Der dynamische Auftrieb einer Tragfläche ist bedingt durch die Zirkulation der Flüssigkeit um das Flügelprofil; auf der Rückenseite addieren sich Zirkulation und fortschreitende Strömung, auf der Bauchseite wirken sie einander entgegen. Die Strömung ist „gesund", wenn sich die Stromlinien überall an das Profil anschmiegen, „krank", wenn sie auf der hinteren Hälfte der Oberseite immer mehr abreißt. (Rasche Verringerung des Auftriebs „Überziehen des Tragflügels".) f) Prandtlsehe Grenzschicht. In unmittelbarer Nähe der Wandungen wird ein verhältnismäßig kleiner Teil der Luft (des Wassers) stark verzögert und haftet an der Wand selbst. Schieben sich diese Grenzschichten in die freie Luftmasse (Flüssigkeit) hinaus, so erzeugen sie Wirbel, die Energie verzehren. Um die Wirbelbildung zu verringern, werden Luftschiffkörper in eine lange Spitze ausgezogen („Stromlinienform"). g) Der Magnuseffeht besteht darin, daß die unsymmetrische Strömung durch die Drehung aufrechterhalten werden kann, so daß die damit verbundenen Quertiiebe zur Wirkung kommen. Je nach der Schnelligkeit der Drehung tritt die Ablösung der Grenzschicht an verschieden weit zurückliegenden Stellen der Oberfläche auf. Die Unsymmetrie und damit die Querkraft hängen davon ab. h) Ist die Fläche schräg angestellt, so läßt sich die Gesamt-

Molekularphysik.

54

luftkraft in den im Räume senkrecht nach oben gerichteten Auftrieb A und den waagerecht nach rückwärts gerichteten Widerstand W zerlegen. Es ist A = ca I v2F kg* W :

c w ^v 2 F kg*.

Benennung und Bedeutung der Buchstaben wie bei a); ca ist der Auftriebsbeiwert. i) Die Gleitzahl ε ist das Verhältnis von Widerstand zu Auftrieb; sie ist ein Maß für die Güte des Tragflügels bzw. Flugzeugs. ε = W/A = tg φ. ψ heißt der Gleitwinkel. Da beim normalen Geradeausflug Auftrieb A = Fluggewicht G Gesamtwiderstand W = Schraubenschub Z, so ist auch Ζ = EG. k) Polardiagramm

: Die f ü r

die einzelnen Anstellwinkel oc festgestellten Werte von ca und cw werden wie die Fig. 23 zeigt, in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingezeichnet. Das günstigste Verhältnis von e = cw:ca

liefert

af—as

Anstellwinkel

die vom

Koordinatenursprung an die Polare gezogene Tangente. (Die meisten Polardiagramme F l g 23 sind wegen der Verschieden' ' heit der Zahlenwerte von c„ und ca verzerrt gezeichnet.) 1) Die Geschmndigheit des Flugzeuges ist m/sek Χ

COQF

Oberflächenspannung.

Kapillarität.

Diffusion.

55

(Bezeichnungen wie bei a, h und i); sie muß um so größer sein, je kleiner c e , d. h. je kleiner der Anstellwinkel ist, je größer die Belastung auf die Flächeneinheit und je kleiner die Luftdichte ist. m) Der Steigflug entspricht der Bewegung der schiefen Ebene nach oben, der Gleitflug der Bewegung auf der schiefen Ebene abwärts; beim Kurvenflug bilden das Gewicht G und die Fliehkraft Ρ eine Resultierende, die dem Auftrieb A entgegengesetzt gleich ist (wegen Ρ vgl. Nr. 10).

IT. Kapitel. Molekularphysik. 34. Oberflächenspannung. Kapillarität. Diffusion. Osmose, a) Oberflächenspannung. Jede der Schwere entzogene Flüssigkeit nimmt Kugelform an. Ist die Oberflächenspannung P, die Belastung γ und l die Länge des beweglichen an einer Seifenlamelle hängenden Drahtes, so ist Ρ =2. γΐ ; für eine kugelförmige Seifenblase vom Halbmesser r ist Ρ = 4 γ r. b) Kapillarität. Ist k die auf 1 cm Randlinie angreifende Kraft, die „Kapillaritätskonstante", r der Halbmesser der Kapillaren, h die Steighöhe der Flüssigkeit vom spezifischen Gewicht s in derselben, so ist k — rhs/2. Unter sonst gleichen Umständen ist also die Steighöhe umgekehrt proportional dem Halbmesser der Kapillaren. c) Diffusion. Hat ein Gas in einem Raum den Druck pl und ein zweites unter gleichen Umständen in demselben Raum den Druck p2. so haben die diffundierten Gase den Druck Vi + TzDie Diffusionsgeschwindigkeit der Gase durch poröse Mem-

Molekularphysik.

56

branen ist um so größer, je kleiner das Molekulargewicht derselben ist. d) Osmotischer Druck. Der osmotische Druck einer Lösung ist gleich dem Druck, den der gelöste Stoff ausüben würde, wenn er als Gas in dem Räume vorhanden wäre, den die Lösung einnimmt. Gleichviel Moleküle verschiedener Stoffe in derselben Wassermenge gelöst, bringen denselben osmotischen Druck hervor. Der osmotische Druck ist proportional der Konzentration der Lösung (bei konstanter Temperatur). 35. Strömung in Kapillaren. Turbulenz. Gesetz von Stokes, a) Strömung %n Kapillaren. Ist V der in t sek durch ein Kapillarrohr vom Halbmesser R gehende Rauminhalt einer Flüssigkeit von der Zähigkeit η und ist auf l cm der Druckunterschied ρ vorhanden, so ist

b) Turbulenz. Bei einer Flüssigkeitsströmung gibt es eine gewisse Geschwindigkeit, unterhalb deren sich die Biüssigkeitsteilchen parallel der Röhrenachse fortbewegen, oberhalb deren aber Wirbel und andere Unregelmäßigkeiten auftreten. Diese kritische Geschwindigkeit ergibt sich aus • ν — = konst. (Reynoldsclie Zahl), wobei ρ die Dichte, d der Rohrdurchmesser, η die Reibungszahl und ν die (durchschnittliche) Strömungsgeschwindigkeit bedeuten. c) Gesetz von Stokes. Ein sehr kleines Tröpfchen vom Halbmesser r und der Dichte σ, das in einem Mittel von der Dichte ρ und der Zähigkeit η unter dem Einfluß der Schwere sinkt hat die Geschwindigkeit ν

9»7

Kinetische Theorie der Gase.

57

(Die Formel ist nur unter gewissen Einschränkungen gültig.) 36. Kinetische Theorie der Gase, a) Gasdruck. Ν ist die Anzahl Moleküle im cm3, μ die Masse eines Moleküls, ν seine Geschwindigkeit, ρ die Dichte des Gases ; der Druck ist ρ —^ Ν μν2 dyn c m - 2 p= dyn c m - 2 . b) Die Stoßzahl η eines Moleküls in der Sekunde unter der Voraussetzung, daß die Moleküle Kugeln vom Halbmesser r seien, ist 16?·2πΛτΐ; c) Die mittlere freie Weglänge l eines Moleküls ist — 3 — . 16 τ * π Ν d) Die Reibungszahl η der Gase ist η = %ρΙν. e) Der Rauminhalt F m i n sämtlicher Moleküle, wenn das Gas in festen Zustand übergegangen ist, ist gegeben durch z=

l^min —8 t 3 Ν (angenähert). f) Loschmidtsche Zahl d. i. die Anzahl der Moleküle im Kubikzentimeter

N =

=2687 1018Moleküle

' fê f ' '

für alle Gase bei 0° C und 760 mm Quecksilber Druck. Avogadrosche Zahl: Na = 6,0223 · 1023 Moleküle in jedem Grammolekül. g) Satz von Avogadro: Gleiche Gasvolumina enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gleichviel Moleküle. h) Die mittlere Bewegungsenergie eines Moleküls ist für alle Gase bei. derselben Temperatur gleich groß. i) Ist V der Rauminhalt des Gases, Τ seine absolute Tem-

Wärmelehre.

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peratur (s. Nr. 38) und ε ein Proportionalitätsfaktor, so ist p 7 = l Νβμ*, wo N0 die Anzahl der Moleküle im Raum V und εΤ=\μφ. Diese beiden Gleichungen sind gültig bei Annahme zentralen Stoßes und gleichmäßiger Verteilung der Bewegungsrichtungen der Moleküle.

V. Kapitel. Wärmelehre. 37. Thermometer.

Die Fixpunkte sind Celsius Reaumur Fahrenheit Eispunkt 1 des 0° 0° 32° Siedepunkt/ Wassers 100° 80° 212° n° C = i » » R = ( | n ° + 32°) F w°R = C = ( | n ° + 32°) F n° F = (w° — 32°) C = f (n° — 32°) R. Festpunkte: Sauerstoffpunkt normal —182,97° C Eispunkt normal 0,00° C Wasserdampfpunkt normal 100,00° C Schwefelsiedepunkt normal 444,60° C Silberpunkt (Erstarrungstemp.) 960,5° C Goldpunkt (Erstarrungstemp.) 1063,00° C. 38. Ausdehnung der Körper durch die Wärme. I. Feste Körper, a) Lineare Ausdehnung. Die Zahl, welche angibt, um den wievielten Teil seiner bei 0° gemessenen Länge ein stabförmiger Körper bei der Erwärmung um I o C sich ausdehnt, heißt die Längsausdehnungszahl. Bezeichnet man sie mit OÍ, ist ferner LQ die Länge des Stabs bei 0°, L die Länge bei so ist l = l0(l + 2 f < CO

f