Elementare Mathematik: Vor- und Aufbaukurs [Reprint 2015 ed.] 9783486598872, 9783486259568

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Elementare Mathematik Vor- und Aufbaukurs von Walter Strampp

Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Strampp, Walter: Elementare Mathematik : Vor- und Aufbaukurs / von Walter Strampp. München ; Wien : Oldenbourg, 2002 (Oldenbourg-Lehrbiicher für Ingenieure) ISBN 3-486-25956-3

© 2002 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Sabine Ohlms Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH

Vorwort Die mathematischen Anforderungen stellen erfahrungsgemäß eine der größten Hürden für viele Studienanfänger dar. In dem vorliegenden Skript wird deshalb ein Brückenschlag zwischen Schule und Studium beabsichtigt. Wichtige Bestandteile des Schulstoffs werden aufgearbeitet und allmählich in Richtung der im Grundstudium erforderlichen Kenntnisse ausgebaut. Das Skript ist als Vorkurs und Ergänzung für Mathematik-Vorlesungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler im ersten Studienabschnitt gedacht. Darüber hinaus soll es als Hilfe für Anwender dienen, die sich im Grundlagenbereich wieder orientieren wollen. In vielen Studiengängen insbesondere in der Technik stellt sich das Problem, dass die Mathematik-Vorlesung nicht mit den Vorlesungen im Fach Schritt halten kann. In diesen Fach-Vorlesungen werden oft von Beginn an mathematische Hilfsmittel benutzt, die dem Aufbau der Mathematik entsprechend erst wesentlich später bereitgestellt werden können. Hier soll das Skript die Möglichkeit bieten, sich Vorabinformationen über einzelne Begriffe und ihre Anwendung zu verschaffen. Auf die Strenge im begrifflichen Aufbau und im Beweis von Sätzen, die in Mathematik-Vorlesungen üblich ist, wird zugunsten einer anschaulichen, auf Grundvorstellungen hin orientierten Vorgehensweise verzichtet. Ein Kapitel über die Grundzüge der mathematischen Logik wurde ebenfalls nicht aufgenommen. Das mathematische Schließen und Folgern soll anhand von Beispielen und Erläuterungen zu den Sätzen erarbeitet werden. Viele handwerkliche Übungen sollen die technischen Fertigkeiten entwickeln und verfestigen. Ein weiterer Typ von Beispielen dient der Einübung der Begriffe und der Entwicklung der Fähigkeit, die erworbenen Kenntnisse im Kontext zu gebrauchen. Mein Dank gilt meinen ehemaligen Studenten Daniel Bock, Alexander Kricke und Stefan Schüler sowie meiner Tochter Pia und meinem Sohn Clemens für viele wertvolle Hilfen bei der inhaltlichen und äußeren Gestaltung des Skripts. Beim Oldenbourg-Verlag bedanke ich mich für die gute Zusammenarbeit. Kassel

Walter Strampp

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Mengen und Zahlen Mengen Natürliche Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen

1 1 12 17 29

2 2.1 2.2 2.3

Funktionen Der Funktionsbegriff Operationen mit Funktionen Polynome

37 37 45 53

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Potenzen und Logarithmen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Der binomische Satz Potenzen mit rationalen Exponenten Exponential- und Logarithmusfunktion

61 61 66 71 79

4 4.1 4.2

Kombinatorik Permutationen Variationen und Kombinationen

89 89 94

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Trigonometrie Winkel und Winkelmaße Rechtwinkliges Dreieck und Winkelfunktionen Trigonometrische Funktionen Das schiefwinklige Dreieck Trigonometrische Formeln

101 101 105 117 124 127

6 6.1 6.2 6.3

Analytische Geometrie der Ebene Punkte und Koordinaten Die Gerade Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel

133 133 138 152

7 7.1

Vektorrechnung Ebene Vektoren

171 171

VIII

Inhaltsverzeichnis

7.2 7.3 7.4

Räumliche Vektoren Gerade und Ebene im Raum Komplexe Zahlen

189 211 221

8 8.1 8.2 8.3

Lineare Gleichungssysteme Gleichungen mit zwei Unbekannten Gleichungen mit drei Unbekannten Matrizen

237 237 247 262

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Grenzwerte und Ableitungen Folgen und Grenzwerte Differenzenquotienten und Ableitung Ableitungsfunktion und Regeln Taylorentwicklung Partielle Ableitung

275 275 288 299 309 328

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Integrale Bestimmte Integration Hauptsatz und Folgerungen Unbestimmte Integration Differenzialgleichungen erster Ordnung Mehrfachintegrale

347 347 354 369 383 397

Sachwortverzeichnis

417

1 1.1

Mengen und Zahlen Mengen

Werden bestimmte Objekte mit einer festgelegten Eigenschaft zu einer Gesamtheit zusammengefasst, so entsteht eine Menge. Im Allgemeinen entstammen die Objekte, von denen wir reden, der Mathematik. Man kann aber durchaus auch außerhalb der Mathematik Objekte zu einer Menge zusammenfassen. Beispiel 1.1 Wir fassen alle Menschen, die im Jahr 2000 Einwohner der Stadt Kassel waren, zu einer Menge zusammen. Wir fassen alle Bücher einer Bibliothek zu einer Menge, dem Buchbestand, zusammen. Wir fassen alle natürlichen Zahlen zu einer Menge zusammen. Wir fassen alle geraden Zahlen zu einer Menge zusammen. Wir fassen die Zahlen 17,19, 31 zu einer Menge zusammen. Objekte, die zu einer Menge gehören, werden von anderen Objekten durch eine beschreibende Eigenschaft oder durch Aufzählung hervorgehoben. Mengen werden oft in Flächendarstellung als Kreis- oder Ellipsenscheiben (oder mithilfe anderer Flächen) innerhalb eines Rechtecks veranschaulicht. Das Rechteck symbolisiert eine Grundmenge, die alle in Rede stehenden Objekte enthält.

Bild 1.1: Eine Menge A

Es können mehrere Mengen auftreten und Beziehungen zueinander aufnehmen. In der grafischen Darstellung entsteht dann ein sogenanntes Venn-Diagramm.

2

1 Mengen und Zahlen

Bild 1.2: Venn-Diagramm der drei Mengen A, B, C

Ein Objekt, das zu einer Menge gehört, nennen wir Element dieser Menge. Mengen bezeichnen wir mit großen Buchstaben wie A, B, C und Elemente mit kleinen Buchstaben wie a, b, c. Ist a ein Element der Menge A und b kein Element der Menge A, so schreiben wir a e A , b fi A , und sagen auch a liegt in A und b liegt nicht in A.

Bild 1.3: Eine Menge Á und zwei Objekte a und b. a e A, b £ Α.

Wird die Menge A durch Aufzählung ihrer Elemente erklärt ai ,Ü2, ...

,a„,

so schreiben wir: Mengenfestlegung durch Aufzählung Α = {α\.α2

an}.

Wird die Menge A durch die Eigenschaft E festgelegt, so schreiben wir: Mengenfestlegung durch Beschreibung A = {a I a besitzt die Eigenschaft E ) . Bei der Aufzählung der Elemente einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Eine Veränderung der Aufzählungsreihenfolge verändert die Menge nicht. Jedes Element darf nur einmal aufgeführt werden.

1.1 Mengen

3

Mengengleichheit Die Gleichheit zweier Mengen A und Β : Α= Β liegt genau dann vor, wenn jedes Element von A zu Β gehört und umgekehrt jedes Element von Β zu A. Zwei Mengen müssen also dieselben Elemente enthalten, damit sie gleich sind. Beispiel 1.2 Die Menge Α = {α, b, c] besteht aus den Elementen a, b und c. Offenbar gilt die Gleichheit: A

=

{a,b,c}

= {a,c,b}

=

=

{b,c,a}

= {c,a,b}

=

[b,a,c] [c,b,a].

Beispiel 1.3 Wir fassen die Zahlen 1,2, 3,4, 5 zu einer Menge zusammen: A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. Die Menge A hätte man auch anstatt einer Aufzählung durch eine Beschreibung festlegen könA = {a I a ist eine natürliche Zahl, die nicht größer als 5 ist}. Die Menge Β = [b I b ist das Quadrat einer natürlichen Zahl} stellt die Menge aller Quadratzahlen dar. Wir deuten dies auch durch folgende Schreibweise an: Β = {1,4,9, 2 5 , 3 6 , . . . } .

Beispiel 1.4 Die beiden folgenden Mengen sind gleich: A = {& I k — 4 + 3 j , j ist irgendeine ganze Zahl}

Β = {A: I k = 13 + 3 j , j ist irgendeine ganze Zahl}. Sei k ein Element aus A, dann lässt sich k darstellen als 4 = 4 + 3y = 4 + 9 - 9 + 3y = 1 3 + 3 0 " - 3 ) .

4

1 Mengen und Zahlen

Damit liegt k auch in der Menge ffi. Sei umgekehrt k ein Element aus B. Dann lässt sich k darstellen als * = 1 3 + 3 7 = 4 + 9 + 3 . / = 4 + 3 0 ' + 3). Damit liegt k auch in der Menge A. Schließlich kann es vorkommen, dass man eine Eigenschaft angibt, die auf kein Objekt zutrifft. Beispielsweise gibt es eine keine natürliche Zahl, die zugleich gerade und ungerade ist. Für solche Fälle hält man die leere Menge 0 bereit, die kein Element enthält. Eine Menge enthält Teilmengen. Jede Teilmenge ist gewissermaßen in der Ausgangsmenge als Untermenge enthalten. Teilmenge Wir bezeichnen eine Menge A als Teilmenge der Menge B: A c B, wenn jedes Element von A zu Β gehört. Jedes Element von A ist auch Element von B. (Wenn a e A, folgt a e Β).

Bild 1.4: Eine Menge Β mit einer Teilmenge A und einem Element α e Λ

Insbesondere ist die leere Menge als Teilmenge in jeder Menge enthalten. Außerdem ist jede Menge Teilmenge von sich selbst. Die Gleichheit zweier Mengen Α = Β lässt sich mit dem Begriff der Teilmenge so ausdrücken: A c Β

und

B c A.

(A ist Teilmenge von Β und Β ist Teilmenge von A). Gilt A c ® aber nicht A = B, so spricht man von einer echten Teilmenge. Echte Teilmenge Die Menge A stellt eine echte Teilmenge der Menge Β dar A ^B, wenn A c B, aber mindestens ein Element α e B mit a g A existiert.

1.1 Mengen

5

Beispiel 1.5 Die Menge {a, b] ist eine echte Teilmenge von {a, b, c}. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke ist eine echte Teilmenge der Menge aller Dreiecke.

Beispiel 1.6 Die Menge {a, b, c, d} besitzt folgende Teilmengen: 0,

[a] ,{b} Λο)

Λά),

[a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},[c,

d],

{a, b, c], {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d], [a, b, c, d].

Alle aufgelisteten Teilmengen sind echte Teilmengen mit Ausnahme von {a, b, c, d}. Die Elemente aus zwei Mengen A und Β kann man zu einer einzigen Menge zusammenfassen: Vereinigung von Mengen Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B: A U Β ist die Menge aller zu A oder zu Β gehörigen Elemente. Wenn α e A oder α e Β, folgt α e A U Β und umgekehrt. (Ein Element der Vereinigungsmenge kann nur zu A oder nur zu Β oder zu A und zu Β gehören.)

Θ

Bild 1.5: Vereinigungsmenge zweier Mengen A und Β mit nichtleerem Durchschnitt (links) und zweier disjunkter Mengen (rechts)

Beispiel 1.7 Wir bilden die Vereinigung der Mengen: A = {a, b]

A = {a,b,c,d]

und B = {3,4,c}

und

Β = [b, d, / , 1, 2 } .

6

1 Mengen und Zahlen

Im ersten Fall ergibt sich: A U Β = {3,4, a, b, c} und im zweiten Fall: ÀUB = { l , 2 , f l , i , c , / ) . Offenbar gelten folgende Regeln: Eigenschaften der Vereinigungsmenge AUA = A

und A U l = l U A ,

AcAUB

und

IcAüB.

Man kann auch die Vereinigung mehrerer Mengen, beispielsweise von drei Mengen Α, Β und C bilden. Dabei spielt die Reihenfolge keine Rolle: Assoziativität der Vereinigung (AUl)UC = A U ( l U € ) = A U l U C . Wenn a e A oder a e Β oder a e C,folgto e A U B U C .

Bild 1.6: Vereinigung von drei Mengen A U l U C mit einem Element a aus der Vereinigungsmenge

Beispiel 1.8 Gegeben seien die drei Mengen A = {a,b,c,d,e,5],

Β = {1, 3,4, a, c},

C = {5,6,a,d}

und gesucht die Vereinigungsmengen: A u B , B ü C , A U C und A U B U C . Es ergeben sich folgende Vereinigungsmengen: AUB BUC

= =

{1,3,4,5, a, b, c, d, ej, {1,3,4,5,6 ,a,c,d),

AUC

=

{5,6

AUBUC

=

{1,3,4,5,6

,a,b,c,d,e],

,a,b,c,d,e}.

1.1 Mengen

7

Sind zwei Mengen A und Β gegeben, dann betrachten wir alle Elemente, die sowohl zu A als auch zu Β gehören. Durchschnitt von Mengen Der Durchschnitt zweier Mengen A und Β: Α Π Β ist die Menge aller zu A und zu Β gehörigen Elemente. Offenbar besteht der Durchschnitt aus allen Elementen von A, die zugleich Elemente von Β sind, oder gleichbedeutend aus allen Elementen von B, die zugleich Elemente von A sind. Wenn α € A und α e Β, folgt α e Α η Β und umgekehrt.

Bild 1.7: Zwei Mengen A und Β mit nichtleerem Durchschnitt und einem Element a aus dem Durchschnitt

Gibt es kein Element, das zu A und zu Β gehört, so ist der Durchschnitt leer. Disjunkte Mengen Man bezeichnet A und I l als disjunkte Mengen, wenn gilt: A H B = 0.

Bild 1.8: Zwei Mengen A und Β mit leerem Durchschnitt: disjunkte Mengen

Beispiel 1.9 Wir bilden den Durchschnitt der Mengen: A ={a,b,c,d,e}

bzw.

und

Β = [a, b, d, / , 1, 2 } ,

8

1 Mengen und Zahlen Α = (α, b, 5,6}

und Β = {3,4, c, d, e}.

Im ersten Fall ergibt sich: A n B = (a,ii,d), und im zweiten Fall: A n i = 0. Offenbar gelten wieder folgende Regeln: Eigenschaften der Durchschnittsmenge und A f l B = l n A ,

ΑΠ A — A AnlcA

und

A n i c i .

Man kann den Durchschnitt mehrerer Mengen, beispielsweise von drei Mengen Α, Β und C, bilden. Dabei spielt die Reihenfolge wiederum keine Rolle: Assoziativität des Durchschnitts (Ani)nC

A n (BnC) = A n l n c .

Wenn a e A und a e Β und a e C, folgt α e Α η Β η C und umgekehrt.

Bild 1.9: Durchschnitt von drei Mengen Α η Β η C mit einem Element a aus dem Durchschnitt

Beispiel 1.10 Gegeben seien die drei Mengen Α = {α, b, c, d, e, 5 , 7 } ,

Β = {1,3,4,a,c,e},

C = {5,a,c,d]

und gesucht die Durchschnitte: A n Β, B n C , A n C und Α η Β η C. Es ergeben sich folgende Durchschnitte: Ani

=

{a,c,e},

BnC

=

{a,c},

A n e

=

{5,a,c,

Anlnc

=

{a,c}.

d},

1.1 Mengen

9

Zwischen Vereinigung und Durchschnitt bestehen folgende Beziehungen: (a)

A U (» Π C) = (A U Β) Π (A U C),

{β) Α η ( 1 υ C) = (Α η Β) υ (Α η C ) . Wir zeigen (α). Wenn α in Α oder im Durchschnitt von Β und C liegt, dann muss a in der Vereinigung von A und Β und in der Vereinigung von A und C liegen, d. h. A U (Β Π C) c (A U Β) η (A U C). Umgekehrt überlegt man sich genauso: (A U Β) Π (A U C) c A U (Β Π C).

Bild 1.10: AU(BnC) = (A U Β) Π (A U C)

Bild 1.11: An(BUC) = (A η 1) υ (A η C) Beispiel 1.11 Wir zeigen: (α)

A U (Β Π A) = A ,

(,β )

Α Π (Β U Α) = Α .

(α) Gilt α e Α oder gilt α e Β und a e A, so folgt a e A, d. h. A U (Β Π A) c A. Aus a e A folgt a e A U (Β Π A), d. h. A c A U (Β η A). (ß) Gilt a e A und α e Β oder gilt α e A, so folgt α e A, d. h. A η (Β U A) c A. Aus a e A folgt a 6 A Π (Β U A), d. h. A c A n ( B U A ) .

1 Mengen und Zahlen

10

Bild 1.12: A U (Β Π A) = A Α Π (Β U A) = A

Nimmt man aus der Menge A alle Elemente heraus, die zu Β gehören, so entsteht die Differenzmenge. Differenz von Mengen Die Differenz zweier Mengen A und Β: A \ 1 ist die Menge aller Elemente, die zu A und nicht zu Β gehören. Wenn a e A und a & Β, folgt a e A \ Β und umgekehrt.

Bild 1.13: Differenz zweier Mengen: Α \ Β mit einem Element a aus der Differenzmenge

Stets gilt A \ A = 0. Ferner ist Β \ A = 0 und Α \ Β = 0 gleichbedeutend mit Α Π Β = 0. Beispiel 1.12 Für die Mengen A = [a, b, c, 5, 6, 7}, A ={a,b,c), A =[a,b,c,d],

Β = {1, 3,4, a, c, e}, Β = { 1 , 3 , 4 , d), Β = {1,3,4},

geben wir jeweils die Differenzmengen Α \ Β und Β \ A an. Es ergibt sich im ersten Fall: Α \ Β = {5,6, 7, b}, und im zweiten:

B \ A = {1,3,4, e),

1.1 Mengen

11

A \ B = [a,b,c],

B \ A = {1,3,4,d].

Im dritten Fall gilt sowohl Α \ Β = 0 als auch Β \ A = 0.

Beispiel 1.13 Wir zeigen: Α \ ( Α \ Β ) = ΑΠΒ. Wenn a zu A, aber nicht zur Differenzmenge Α \ Β gehört, dann gehört a zum Durchschnitt Α Π Β. Wenn α zu A und Β gehört, dann gehört a zu A aber nicht zur Differenzmenge A \ B.

Bild 1.14: A \ ( A \ B ) = A n i

Beispiel 1.14 Unter Verwendung von Mengenoperationen beschreiben wir die schattierten Mengen.

Bild 1.15: A

12

1 Mengen und Zahlen

Bild 1.16: A \ B

Bild 1.17: ( C n A ) U ( C n B )

Bild 1.18: A \ ( l n C )

1.2

Natürliche Zahlen

Alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen und ihre Verknüpfungen durch Rechenoperationen lassen sich auf die folgenden Grundannahmen zurückführen.

1.2 Natürliche Zahlen

13

Peano Axiome 1) 1 ist eine natürliche Zahl. 2) Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger: η + 1. 3) 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. 4) Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger. 5) Ist W eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, welche die 1 enthält, und ist mit n e W auch stets der Nachfolger η + 1 e W, dann stimmt W mit Ν überein: W = N. (Induktionseigenschaft). Die natürlichen Zahlen lassen sich nun der Größe nach anordnen, indem man mit 1 beginnt und auf jede Zahl ihren Nachfolger folgen lässt: Natürliche Zahlen N = {1,2,3,...}. Bild 1.19: Die natürlichen Zahlen auf einem Strahl der Größe nach angeordnet Für zwei natürliche Zahlen η e Ν, m e Ν gilt entweder η < m oder η = m oder η > m. Beispielsweise ist 3 < 5 und 11 > 9. Es gibt eine kleinste natürliche Zahl 1, aber keine größte natürliche Zahl. In der Menge der natürlichen Zahlen ist die Addition und Multiplikation erklärt. Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen η e Ν, m € Ν

=>· η + m e Ν ,

η + m= m +η, η e Ν,m

€ Ν

η •m e Ν,

η • m= m • η , η • 1 = «. Bei der Produktbildung sind abkürzende Schreibweisen üblich. Meistens wird der Malpunkt unterdrückt. Bei Produkten, die aus gleichen Faktoren bestehen, verwendet man die Potenznotation.

14

1 Mengen und Zahlen

Schreibweisen für Produkte η • m — ηm , m

n

= ηη • • •η . m-mal

Häufig hat man mehrere Summanden aufzusummieren, die durch einen bestimmten Ausdruck oder eine bestimmte Eigenschaft festgelegt werden. Man arbeitet dann mit dem Summenzeichen. Summenzeichen Sind m\, m2· • · • • mn natürliche Zahlen, so kürzt man ihre Summe wie folgt ab: η η Summanden Die Induktionseigenschaft liefert ein sehr wichtiges Beweisprinzip für Aussagen über natürliche Zahlen. Beweis durch vollständige Induktion Gilt eine Aussage A für eine natürliche Zahl «o und folgt aus der Annahme der Gültigkeit von A für irgendein η > no die Gültigkeit für η + 1, so ist die Aussage A für alle η > no richtig. Ein Induktionsbeweis besteht also aus drei Schritten: 1) Induktionsanfang (Nachweis der Aussage für η = n0), 2) Induktionsannahme (Annahme der Richtigkeit der Aussage für irgendein η), 3) Induktionsschritt (Schluss von η auf η + 1). Beispiel 1.15 Wir addieren alle ungeraden Zahlen, d. h. wir bilden nacheinander folgende Summen:

1+3+5+7+ Man vermutet die Aussage:

1

=

1,

1+3

=

4,

1+3 + 5

=

9,

1+3 + 5 + 7

=

16,

+ 2n — 1 =

η £(2*-1)=? *=1

1.2 Natürliche Zahlen

15

£ ( 2 * - 1) = n2, i=l die wir durch vollständige Induktion beweisen wollen. Induktionsanfang: Für η — 1 gilt: 1 = 12. Induktionsannahme: Für irgendein η > 1 gelte: π 1 + 3 + · · · + 2 n - l = ^ ( 2 / t - 1) = n 2 . *=i Induktionsschritt: Aufgrund der Annahme muss nun gezeigt werden, dass die Aussage für den Nachfolger η + 1 gilt, d. h. 1 + 3 + · · · + ( 2 ( n + l ) - l ) = (/j + l) 2 Dieser Nachweis wird wie folgt geführt: 1 + 3 + ··· +(2(n + l ) - l ) =

( 1 + 3 + · · · + ( 2 « - l ) ) + (2(n + l ) - l )

=

n 2 + 2(n + 1) — 1

-

n2 + 2 n + l

=

(η

+ l) 2 .

Beispiel 1.16 Wir zeigen durch vollständige Induktion für alle η > 1 : " ^ £ *=ι

1 = 1 + 2 + 3 + · · · + ( η - 1 ) + η = - η ( / ι + 1).

Induktionsanfang: Für η — 1 gilt: 1 = ^ 1 ( 1 + 1). Induktionsannahme: Für irgendein η > 1 gelte: ¿ *

= ¿ « ( k + 1).

Induktionsschritt: Aufgrund der Annahme muss nun gezeigt werden, dass die Aussage für den Nachfolger η + 1 gilt, d. h. n+1

£ k=ι

j Λ = - (η + 1) ((η + 1) + 1). 1

16

1 Mengen und Zahlen

Dieser Nachweis wird wie folgt geführt: n+1 =

π 5 3 * + (η + 1) *=1

=

Ι Λ ( Λ + 1 ) + (Λ + ΐ)

k=1

(1 + 1)

G

-

)

ì ( n + l)(n + 2) I ( π + 1) ((« + ! ) + ! ) .

Beispiel 1.17 Wir zeigen durch vollständige Induktion für alle η > 1 : " 1 J 2 k 2 = 7 « ( " + l ) ( 2 « + l)· *=i Induktionsanfang: Für η = 1 gilt: 1 = ^1-2-3. 6 Induktionsannahme: Für irgendein η > 1 gilt: " ^k1 k=1

1 = -n(n + \)(2n + \).

Induktionsschritt: n+1 £* i=l

2

=

η ¿ j f c 2 + (« + υ 2 *=1

=

^ n ( « + l ) ( 2 n + l ) + (« + l) 2

=

(n + 1) Q « (2« + !) + (« + 1)^

=

(n + 1) Q n ( 2 n + l) + ì ( 6 « + 6)^

=

1 9 - (n + 1) (2 η + « + 6 η + 6) 6

=

7 (η + 1) ((" + 1) + 1) (2 (η + 1) + 1). 6

6

1.3 Rationale Zahlen

17

Beispiel 1.18 Wir zeigen durch vollständige Induktion für alle η > 1 :

( i > ) 2 = i > j · \Jfc=l / k= 1 Wir benutzen die für beliebige η > 1 gültige Formel: "

1

*=i und zeigen die äquivalente Behauptung: ¿ * 3 = Ι„2·(„ + I ) 2 · *=1 Induktionsanfang: Für η = 1 gilt: l3 = 1 = ì 1222. 4 Induktionsannahme: Für irgendein η > 1 gilt: = ^

2

(n + l)2·

k=l

Induktionsschritt : η

n+l

Σ*

3

=

£ f c 3 + (n + l) 3 (t=l

=

^ n 2 ( n + l) 2 + (n + l) 3

=

^(n + l ) 2 ( n 2 + 4 ( n + l))

=

I(n + l ) 2 ( „ + 2 ) 2

k=1

=

1.3

4

+ l) 2 ((« + 1) + l) 2 .

Rationale Zahlen

Es gibt Gleichungen, die in der Menge der natürlichen Zahlen nicht lösbar sind. Beispielsweise besitzt die Gleichung χ + 5 = 3 keine Lösung in N. Daher erweitert man Ν zur Menge der ganzen Zahlen:

18

1 Mengen und Zahlen

Ganze Zahlen Ζ

=

{... , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,

=

{0,±1 , ± 2 , ± 3 , . . . }

Wir schreiben — η für das inverse Element der Addition: η + (—η) — η

—η —0

und bekommen: —(—η) = η. Beispiel 1.19 Die Lösung der Gleichung χ + 5 = 3 erhält man schrittweise: χ

+ 5 = 3,

* + 5 + (-5) = 3 + (-5), jc+0 = 3 - 5 , χ — —2.

Beispiel 1.20 Wir zeigen für η > 1, dass 1 ln+l

+

122"-1

ein ganzzahliges Vielfaches von 133 ist. Induktionsanfang: Für η = 1 bestätigt man: 11 1+1 + 12 2 ' 1 - 1 = 112 + 121 = 121 + 12 = 133 = 1 · 133 . Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass für ein beliebiges η > 1 mit /„ e Ν gilt: 1 Γ + 1 + 12 2 "" 1 = fn 133. Induktionsschritt: jjtn+lRl

+

j 2 2(n+l)-l

_

j j"+2 + \2 2n + X

=

11 · l l n + 1 + 122 · 12 2 " - 1

=

122 · (11" +1 + 12 2 " - 1 ) - (122 - 11) · 1Γ+ 1

=

144· ( l l " + 1 + 12 2 "- 1 ) - 133- 11" +1

-

( l 4 4 / „ - 1 Γ + Λ 133.

Für die ersten fn erhält man folgende Zahlen werte:

19

1.3 Rationale Zahlen /, = !,

Λ = 23,

/3 = 1981,

U = 270623.

Die ganzen Zahlen lassen sich wiederum der Größe nach anordnen, indem man die Ordnung der natürlichen Zahlen überträgt: -1 -4

1 -3

1 -2

1——Ι-1 Ο

η

1 1

1-— ι — —+> 4 2 3

Bild 1.20: Die ganzen Zahlen auf einer Geraden der Größe nach angeordnet

-η

0

n

m

0

-m

-η

m

η

0

-η

-m

Bild 1.21: Es gilt: η < 0, wenn —n > 0 η < m, wenn —n > —m η > m, wenn —η < —m

Beispiel 1.21 Es gilt: - 2 < 0,

weil

2 > 0,

3 < -1,

weil

3 > 1,

•5 > - 7 ,

weil

5 > 7,

—6 < 2,

weil

6 < 0

und

0 < 2.

Die Gleichung 3x — 7 hat in Ζ keine Lösung. Man erweitert die ganzen Zahlen daher um die inversen Elemente der Multiplikation. Zu jedem m e Ζ \ {0} führt man eine Zahl

mit der Eigenschaft = m - = 1 m

Erweitert man Ζ um die Inversen und bildet anschließend alle möglichen Produkte, so entsteht die Menge der rationalen Zahlen. Rationale Zahlen Q =

n ί— I η e Γ77 Z, meN Imi

1 . 1

Beispiel 1.22 Die Lösung der Gleichung 3 χ = 7 erhält man schrittweise wie folgt:

20

1 Mengen und Zahlen

3χ

—

- i x

7,

—

3

*

=

X

=

-

3

7,

Ì7. 7

Anhand des folgenden Schemas erkennt man, dass zunächst die rationalen Zahlen mit positivem Zähler durchnummeriert werden können. Abzählbarkeit der rationalen Zahlen 1

2 I

Τ

/

/ 1 2

;

2 2

/

1 3

1 5

2 5

/ 4

5 3

3

/ 4

3 4

5 4

4

/

/ 3 5

5 2

2

/

/

/

4

3 3

2 4

/

/

/

5 1

Τ

3 2

2 3

1 4

4 —>

/

/

/

;

3 1

4

5

5

5

Insgesamt können auf ähnliche Weise auch die rationalen Zahlen durchnummeriert werden. Man sagt, die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Die rationalen Zahlen bilden nun einen Körper. Das Rechnen in einem Zahlenkörper wird durch die folgenden Gesetze oder Axiome festgelegt:

21

1.3 Rationale Zahlen

Gesetze der Addition a a a a a

+b e M +b = b+a + (b + c) = (a + b) + c + 0= a + (-a) = 0

Abgeschlossenheit , Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Neutrales Element , Inverses Element.

Gesetze der Multiplikation a-be Κ a•b=b•a a • (b • c) = (a • b) • c a • i —a a • ( a - 1 ) = 1 ,αφ 0

Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz Assoziativgesetz, Neutrales Element, Inverses Element.

Distributivgesetz a -(b + c)=a

b+a

c.

Die Gesetze der Addition und Multiplikation zusammen mit dem Distributivgesetz werden auch als Körperaxiome bezeichnet. Man überzeugt sich leicht davon, dass für alle a gilt: a · 0 = 0 . Ergibt ein Produkt null, so muss mindestens einer der Faktoren gleich null sein. Verschwinden eines Produkts Die Aussage: ab

= 0

ist gleichbedeutend damit, dass einer der folgenden drei Fälle eintritt: (1) α = 0

und

b

φ0,

(2) α / 0

und

b = 0,

(3) a = 0

und

b = 0.

Als weitere Folgerungen erhält man die Vorzeichenregeln. Vorzeichenregeln —(—a) as a, —(α + b) — —α — b, i-a)b=a(-b) (-a)(-b) 1 — = —α

=

-ab,

= ab, 1 , α

αφ

0.

22

1 Mengen und Zahlen

Beispiel 1.23 Wir bringen zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner: a c —I— b a

= =

a d c b 1 b d d b

, (Neutrales Element)

— (ad + cb) bd ad + cb bd '

(Distributivgesetz)

Beispiel 1.24 Wir vereinfachen folgende Ausdrücke: 1 «o

' + -

V

·

1

M

·

w

Vo +

h

+

Vs·

(a) 1H 1+

î-j— r 1 + Ì 3

=

1Η

^

j

I+Ì 3

3

(Neutrales Element)

1+

1H

î-j—

(Distributivgesetz)

1 + - I I+ - 13 1 + 4 1

1H

1 +

1+ ^

+

4

4 ·ï

(Neutrales Element)

4

^

4 _ 7 4 _ 11 + 7 7 7 ~ T '

(Distributivgesetz)

1.3 Rationale Zahlen

23

(b) 1 1 2 ~ 3 1 1 2+ 3

3 1 2 3' 2 ~ 2 ' 3 1 2 3 2 ^ 2

_

3

1 3 1 3

(Neutrales Element)

2

6 ~

6

3 6

2 6

+

(Distributivgesetz) ^ ( 3 + 2) 1 I I 1 '5 6

- 1 5'

(c)

3 10

5 12

7 15

3-6 10-6

5-5 12-5

18 + 25 + 28 60 71 _ 60 ~

+

11 60 '

Beispiel 1.25 Durch vollständige Induktion zeigen wir:

Σ

—

=

* - — •

Induktionsanfang: Für η = 1 gilt: 1

1-2

=1-

1

1+ 1

Wir nehmen an, die Behauptung gilt für irgend ein η > 1.

7-4 15-4

24

1 Mengen und Zahlen

Induktionsschritt: n+1 y ,

,

£¡k(k+

1)

η

_

y^

1

~

L.kik

+ l)

1

=

ι - η- +^ 1 + -(η + 1)1(η + 2)

+

(n+l)((n

+ l) + l)

η + 1 \η + 2

(

= =

1 1 η + 1 \η + 2 1 (-« - 1 ) 1+ η+ 1 η+2 η+1 ι -•' = ι (η + !)(« + 2)

1

(η + 1) + 1

Beispiel 1.26 Wir betrachten die rationalen Zahlen, welche durch die Formel: 2

fn = fn-l + -z Jn-1

mit

/o = 2 ,

festgelegt werden. Die Formel geht rekursiv vor. Aus einem Vorgänger mit dem Index η — 1 wird die neue Zahl mit dem Index η berechnet. Λ

+

à

=

fi

fi

+

iΤι

=

fi

s

fi

+

IΤι

=

h

h

S +

τ h

=

h

Offenbar lauten die ersten fünf Zahlen: , „ 70 = 2,

,

-

fi = 3 ,

,

H

f2 = — 3 ,

, 139 /3 = —— 33 ,

, 21499 /4 = 4587

Beispiel 1.27 Wir betrachten die rationalen Zahlen, welche durch die Formel: fn = \{fn-2 + fn-\)

mit

f0 = 0 , fX = 1 ,

25

1.3 Rationale Zahlen

festgelegt werden. Die Formel geht rekursiv vor. Aus je zwei Vorgängern mit den Indizes η — 2 und η — 1 wird die neue Zahl mit dem Index η berechnet. fo

+

f i )

=

h

I

i h

+

f i )

=

h

I

I

h

+

h )

=

è(

; Λ

+

/3 =

-

Λ ι /4)

=

f5

Offenbar lauten die ersten fünf Zahlen: 1 fo =

0,

/i

=

1,

h

— -

3 ,

5 ,

U

=

-

Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass für η > 0 gilt: _ (-1)" fn+1

~

f η —

^

·

Induktionsanfang: Für η = 0 gilt (-1)° f i - f o =

- ¿ ö -

1

=

·

Induktionsschritt: fn+2

fn+l

—

~ ( f n +

—

- ( f n — fn+l)

1 2

fn+\) —

fn+l

n+1

(-1)" 2"

(-1) 2" + 1

'

Man kann sich die gegebene Zahlenfolge nun auch mit der Formel berechnen: (-1)" fn+l

=

fn

Η

,

fo =

0 .

Die Anordnung der rationalen Zahlen lässt sich auf den Körper der rationalen Zahlen ausdehnen. Für zwei rationale Zahlen trifft zunächst stets eine der folgenden drei Möglichkeiten zu: a




b.

Das weitere Rechnen mit Ungleichungen unterliegt den folgenden Regeln:

26

1 Mengen und Zahlen

Anordnungsaxiome a b

und

a >b a >b

b >c

a >c

a+c >b+c und

c>0

=>

Transitivgesetz, Monotonie der Addition,

ac > bc

Monotonie der Multiplikation.

Ist c < 0, so ist 0 = c + (—c) < — c bzw. — c > 0 und mit der Monotonie der Multiplikation zieht a < b die Ungleichung a (—c) < b (—c) nach sich. Damit bekommen wir insgesamt die wichtige Regel: Muliplikation einer Ungleichung mit einer Zahl a 0

=>

ac < bc,

a

ac > bc.

Als weitere Folgerung erhält man sofort eine Bedingung dafür, dass ein Produkt ungleich null ist: Nichtverschwinden eines Produkts a b > 0 ist gleichbedeutend damit, dass einer der folgenden Fälle eintritt: (1)

a> 0

und

b> 0

oder

(2)

a< 0

und

b < 0.

a b < 0 ist gleichbedeutend damit, dass einer der folgenden Fälle eintritt: (1)

« > 0

und

b

0.

Bis auf den Ausnahmefall verschiedener Vorzeichen wird bei der Kehrwertbildung die Kleinerin eine Größerrelation verwandelt.

27

1.3 Rationale Zahlen

Kehrwert einer Ungleichung a

- > a b

1 1 Wir zeigen zunächst, dass aus 0 < c die Ungleichung 0 < - folgt. Denn wäre - < 0, so ergäbe c c sich 0 > c. Nun bekommt man die Behauptung durch Multiplizieren mit — . ab Beispiel 1.28 Aus der Ungleichung

a b

—


0, d > 0 folgt a a+c c b b+d d' Multipliziert man die vorausgesetzte Ungleichung mit bd > 0, so ergibt sich: ad < bc. Nun addiert man den Term ab auf beiden Seiten: ab + ad < ab + bc. Anschließend multiplizieren wir mit ab + ad b{b + d)


0: ab + bc b (b + d)

^

a b
0 . Zum Beweis unterscheiden wir drei Fälle: (1) a = 0: Aus a = 0 folgt a 2 = 0. (2) a > 0: Aus a > 0 folgt mit der Monotonie der Multiplikation a a > Oa = 0.

28

1 Mengen und Zahlen

(3) a < 0: Aus a < 0 folgt zunächst — a > 0 und mit der Monotonie der Multiplikation a (—a) < 0 (—α) = 0, also —a2 < 0 bzw. a 2 > 0.

Beispiel 1.30 Für alle a, b gilt: a2 + b2

>2ab

Wir unterscheiden zwei Fälle: a — b und α φ b. Im ersten Fall gilt: a2 + b2 - a2 + a2 - 2a2 = 2aa - 2a b Im zweiten Fall gilt a — b φ 0 und damit (a — b)2 > 0. Hieraus folgt (a -b)2

=a2 -2ab

+ b2 > 0

und durch Addition von 2ab auf beiden Seiten folgt die Behauptung. Beispiel 1.31 Durch vollständige Induktion zeigen wir: 0 < a

0 < a" < b"

für alle

η > 1.

Für η — 1 ist die Behauptung offensichtlich richtig. Nehmen wir an, die Behauptung sei für ein η > 1 richtig. Mulipliziert man an < bn mit a > 0, so ergibt sich: an+l =aan

< ab" .

Multipliziert man a < b mit b" > 0, so ergibt sich: abn = b" a < b" b =

bn+l.

Zusammen liefern beide Ungleichungen nach dem Transitivitätsgesetz: an+l < bn+l.

Beispiel 1.32 Für 0 < a < b und alle natürliche Zahlen η >2 gilt: 2" _ 1 {an + b") > (a + b)n . Wir beweisen diese Behauptung durch vollständige Induktion. Induktionsanfang: Für η = 2 gilt: 2 2 ~ l (a2 + b2) > (al + b1)2

bzw. 2 (a2 + b2) > (a + b)2.

Die Gültigkeit dieser Aussage, ergibt sich durch Addition des Terms a2 + b2 auf beiden Seiten der Ungleichung a2 + b2 > 2 a b.

29

1.4 Reelle Zahlen

Wir nehmen nun an, die Behauptung gelte für ein η > 2. Aus 0 < a < b folgt zunächst 0 1 haben. Wir können weiter annehmen, dass gemeinsame Teiler von m und η bereits herausgekürzt wurden, sodass m und η teilerfremd sind. Wenn m und η jedoch teilerfremd sind, dann sind auch m2 und n2 teilerfremd. Die Gleichung m2 = 2n 2 führt aber zu einem Widerspruch dazu. In der Tat führt -s/2 auf eine nicht abbrechende Dezimalentwicklung, die folgendermaßen beginnt:

31

1.4 Reelle Zahlen λ / 2 = 1.41421356 . . . Man kann sich der Zahl Λ/2 durch einen Grenzprozess nähern. Wegen: 1.42 = 1.96 < 2 < 1.52 = 2.25 1.412 = 1.9881 < 2 < 1.422 = 2.0164 1.4142 = 1.999396 < 2 < 1.4152 = 2.002225 1.41422 = 1.99996164 < 2 < 1.41432 = 2.00024449 1.414212 = 1.999989924 < 2 < 1.414222 = 2.000018208

1.4 < \ / 2 < 1.5 1.41 < V2 < 1.42 1.414 < y/2 < 1.415 1.4142 < \/2 < 1.4143 1.41421 < V2 < 1.41422

Rationale Zahlen lassen sich also als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche darstellen. Irrationale Zahlen führen zu nicht abbrechenden Dezimalentwicklungen. Eine der wichtigsten irrationalen Zahlen ist die Kreiszahl π mit folgender Dezimalentwicklung: π =3.141592654... Das Vollständigkeitsaxiom sorgt dafür, dass wir durch gewisse Grenzprozesse gewonnenen Zahlen zu den reellen Zahlen hinzufügen und auch mit ihnen Rechenoperationen durchführen können. Beispielsweise kann jeder positiven reellen Zahl a > 0 ihre Quadratwurzel -Ja zugeordnet werden: Quadratwurzel

•Ja > 0,

Vä = (Va)~ =

\iäb — y/aVb,

0a=0 a

für a,b> 0

Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich nun aus den rationalen und den irrationalen Zahlen zusammen. Während die Menge Q abzählbar ist, kann man die Menge der reellen Zahlen R nicht durchnummerieren. Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.

32

1 Mengen und Zahlen

Die Körperaxiome übernehmen wir aus Q und rechnen mit reellen Zahlen wie mit rationalen Zahlen. Die Anordnungsaxiome übernehmen wir ebenfalls aus Q. Damit können wir Ungleichungen in R genau wie in Q bearbeiten. Beispiel 1.34 Wir bestimmen alle reellen χ φ 2, welche die Ungleichung erfüllen: 2£±! 0 und 2.) χ — 2 < 0. 1.) Multiplikation mit χ — 2 ergibt 2* + 1 < * — 2

JE 2 und der Ungleichung folgt der Schluss χ < —1. Es kann also keine Lösung der Ungleichung geben, die größer als zwei ist. 2.) Multiplikation mit χ — 2 ergibt 2x + l > x - 2

x > - 3 .

Zusammen mit χ 2 zeigen wir: "

1

*=ι

Vfc

Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion. Induktionsanfang: Es gilt \Í2 > 1 und damit \ / 2 + 1 > 2 = V2 yfi.. Hieraus folgt: V2+1

V2.

V2 Für η = 2 gilt also: 1 1 "s/2 +1 r- = + —= = > V2 TT V2 λ/2 Induktionsschritt: Zunächst gilt s/n + 1 > *Jn und damit -Jn*Jn

+ 1 > s/n ~Jn = η .

33

1.4 Reelle Zahlen

Hieraus folgt: λ/π V « + 1 + 1 > η + 1 und v W « + 1+ 1

ι—¡—τ > V« + 1 .

V"+T

Unter der Annahme, dass die Behauptung für irgendein η > 2 richtig ist, ergibt sich nun: n+1 , t

ι

n

-

ι

V*

>

\/ñ+

Vii+T

.

ι

VñTT

_

V » (» + ! ) + ! V« + 1 >

V« + 1 ·

Eine reelle Zahl kann man durch ihr Vorzeichen und ihren absoluten Betrag charakterisieren. Betrag Die durch kl

χ, —χ ,

χ > 0, χ < 0,

erklärte nichtnegative Zahl |jc| heißt Betrag von x.

Bild 1.23: Betrag zweier Zahlen x\ > 0 und X2 < 0 Mit dem Vorzeichen einer Zahl wird ihre Lage links oder rechts vom Ursprung auf der Zahlengeraden festgelegt. Man belegt das Vorzeichen deshalb auch mit einem Symbol: Signum Das Signum (Vorzeichen) einer Zahl wird gegeben durch: sign (χ)

1, 1,

je > 0 , jc b. a-b Bild 1.24: Abstand zweier Zahlen a und b. a > b (oben) b > a (unten)

b-a

(Die Lage des Ursprungs spielt keine Rolle).

Die Ungleichungen (α)

|jc — a I < ε

und

(β)

\χ-α\>ε

treten so häufig auf, dass wir uns ihre Lösungsmengen veranschaulichen wollen. Dabei ist a eine beliebige reelle Zahl und ε > 0. Nach Definition des Betrages gilt (a): χ — α < ε, —{χ— a) < ε ,

\x — a\ < ε

falls χ — a > 0 , falls χ — α < 0 ,

χ < α + ε, falls Χ > α , i α — ε < χ , falls χ ε

I

χ — α > ε, —(je — a) > ε ,

falls χ — a > 0 , falls χ — a < 0 ,

χ > a + ε , falls χ > α , χ < α — ε , falls χ < α ,

d. h.

35

1.4 Reelle Zahlen |jc — a I > ε

a-ε

α

·

χ < a — ε, oder, χ > α + ε .

α+ε

Bild 1.26: Lösungen der Ungleichung \x — a | > ε

Speziell bekommt man als Lösungen der Ungleichung \x \ < ε alle χ mit —ε ε.

und als

Bild 1.27: Lösungen der Ungleichungen \x I < ε bzw. |λ I > ε

Beispiel 1.36 Welche reellen Zahlen χ φ 1 erfüllen die Ungleichung: \2x + 1| < U — 1| ? Man muss zuerst die Betragsstriche auflösen und unterscheidet dazu drei Fälle: 1.) χ < —^

= > | 2 j c + 1| = - ( 2 x + 1)

2.) — ^ < * < 1

3.) 1 < χ

=^\2x

+ l\=2x

und

+ l

= > |2jc + 1 | = 2 j c + 1 und

und

\x - 1| = -(x - 1), |jc — 11 = — Cjc — 1)»

\x - 1| = (* - 1).

In den einzelnen Fällen haben wir nun folgenden Ungleichungen zu erfüllen: 1.) ~ ( 2 x + 1) < - ( χ - 1) 2.) 2x + 1 < - ( χ - 1) 3.) 2 χ + 1 < χ - 1 und

und

und

x0}-Hy|y>0},

x »

Vx .

Eine Verkettung g o f ist nicht möglich, da die Funktionswerte fix) nicht im Definitionsbereich von g liegen. Wir können aber die Verkettung bilden: fog

: {Jc|*>0}->{y|y K, D c K, durch einen Graphen, so könnte man die Umkehrfunktion durch dieselbe Grafik von / ( £ ) ) aus betrachtet veranschaulichen. Man trägt aber besser /(£>) auf der x-Achse ab und stellt / " ' wieder durch einen Graphen dar.

51

2.2 Operationen mit Funktionen

Bild 2.27: Graph der Umkehrfunktion

Der Graph der Umkehrfunktion y =

/«}

entsteht durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden y — χ. Liegt (χ, y) im Graphen von / , so liegt (x, y) im Graphen von / - 1 .

Bild 2.28: Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung

Beispiel 2.12 Gegeben sei die Funktion / : R —• R,

χ ι-)· x + 3.

Die Gleichung χ + 3 = y besitzt genau eine Lösung χ = y — 3. Die Funktionsvorschrift ist injektiv und die Umkehrfunktion lautet f~l

: M —>· R,

bzw. / _ 1 : R —» R ,

j h ^ y - 3

2 Funktionen

52

Bild 2.29: Die Funktion fix) = χ + 3 und ihre Umkehrfunktion

/-'(*)=*-3 mit der ersten Winkelhalbierenden.

Offenbar gilt: r \ f { x ) )= f i x ) - 3 = x + 3 - 3 = x

und f(f~l00)= r H x ) + 3 = x - 3 + 3 =

Beispiel 2.13 Gegeben sei die Funktion auf R+ = {x e R| χ > 0} / : R+ — • R + ,

xh+ χ2.

Die Umkehrfunktion lautet: f~l

: R+ — • R+ ,

χ ι->· V I .

Betrachten wir auf R_ = [x e R| χ < 0} die Funktion g : R_ —> R+ ,

χ

χ2 ,

so lautet die Umkehrfunktion: g - 1 : R+ — • R_ ,

χ (->· - s f x .

x.

53

2.3 Polynome

Bild 2.30: Die Funktion f(x) = χ2 , χ > 0 und ihre Umkehrfunktion f~i(x) = ,x>0 (links) sowie die Funktion g(x) = χ2 , χ < 0 und ihre Umkehrfunktion (χ) = —Λ/χ , χ > 0 (rechts) mit der ersten Winkelhalbierenden.

2.3

Polynome

Unter einem Polynom «-ten Grades versteht man eine auf ganz R durch folgende Vorschrift erklärte Funktion: Polynom P n (x) = a n x n + a n - 1 x n ~ l Η

i-αϊ χ + α ο ,

α„ φ 0 .

Die (festen) reellen Zahlen at werden dabei als Koeffizienten bezeichnet. Polynome vom Grad 0: Po(x) = a0 stellen konstante Funktionen dar. Polynome vom Grad 1 : P\(x) =a\x

+ao

stellen Geraden dar. Polynome vom Grad 2: Pi(x) — ü2 χ2 + αι χ + ao stellen Parabeln dar.

54

2 Funktionen

- 2

-3|·

\

Bild 2.31: Polynom vom Grad 0, (Konstante Funktion), Polynom vom Grad 1, (Gerade), Polynom vom Grad 2, (Parabel).

Der Graph von Polynomen höheren Grades ist schwieriger aufzubauen und zu interpretieren. Man kann einzelne Funktionswerte berechnen und zu einer Wertetabelle zusammenstellen. Beispiel 2.14 Man berechne den Wert des Polynoms: Pi(x) = 2x3 + χ2 — χ — 1

an den Stellen: χ = 0,1, 2, 3. Es gilt: /MO)

=

-1,

ft(l)

=

2 + 1 - 1 - 1 = 1,

ft( 2)

=

2 2 + 2 - 2- 1=

ft (3)

=

2 3 + 3 - 3- 1=

3

2

3

2

bzw. X y

0 -1

1 1

2 17

3 59

··· ·•·

Zwei Polynome unterschiedlicher Grade stellen stets verschiedene Funktionen dar.

55

2.3 Polynome

Koeffizientenvergleich Sind zwei Polynome vom Grad η P„{x) = anxn + an-1 xn~ n

Qn(x) = bnx

i

+bn-ix"~

+ · · · +a\ χ + ao , + ···

+b)x+b0

gleich (das heißt Pn(x) = Qn(x) für alle χ e E), dann stimmen die Koeffizienten paarweise überein: a 7 = bj für alle j — 0 , . . . , η .

Beispiel 2.15 Gegeben seien die Polynome P$(x) = asx5 und

+ ajx3

+ a2X2 + a\ χ + ao

Q3(X) = TX3 + 3X2 + 2.

Wie müssen die Koeffizienten aj gewählt werden, damit für alle JE e R gilt: Ps(x) = Qi{x)1 Wir vergleichen die Koeffizienten der Monome Χ 0 , Λ:1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ5 und bekommen: a¡ = 0, ü4 = 0, a-i = 7, ö2 = 3 , α\ = 0, αο = 2.

Will man den Wert eines Polynoms an einer Stelle Jto berechnen, so kann man direkt nach der Vorschrift vorgehen, die erforderlichen Potenzen von xo berechnen, mit den jeweiligen Koeffizienten multiplizieren und anschließend alle Terme summieren. Man kann aber auch das Bilden der Potenzen vermeiden und schrittweise durch Multiplizieren vorgehen. Die Anzahl der durchzuführenden Multiplikationsoperationen wird dabei erheblich reduziert. Bei einem Polynom zweiten Grades Ρί(χ) = aix

y

+ a¡ χ + αο

kann man wie folgt vorgehen: P2(xo) = {ai xo + a\) XQ + ao. Anstatt drei Multiplikationen auszuführen, bekommt man den Funktionswert mit zwei Multiplikationen. Bei einem Polynom dritten Grades P 3 (x) = α3 χ3 + ü2 χ2 + αι χ + ao kann man wie folgt vorgehen: ftOo) = ((ö3*o + 02)xq + αι)*ο + ao. Anstatt sechs Multiplikationen auszuführen, bekommt man den Funktionswert mit drei Multiplikationen.

56

2 Funktionen

Im allgemeinen Fall Pn(x) = anxn +an-1 χ"'1 -\

\-a\x

+ao

setzt man die Klammern wie folgt: Pn(x)

=

^ ··· Η

Anstatt

n

+ an-\)X0 + a„-2)xo + Cln-ljxo hai^jco

.

^ Multiplikationen auszuführen, bekommt man den Funktionswert mit η Mul-

tiplikationen. Bei einem Polynomen dritten Grades ordnen wir die Rechenschritte in folgendem Schema an: Ö3 «2 a^xo 03

a

a

\

0

03*0 + a 2*0

«3*0 + °2X0 +

aix

°

Ü3X0 + 0 ganze Zahlen, dann bezeichnen wir n\

0=

k\ (n — ifc)!

als Binomialkoeffizient η über k. Beispiel 3.6 Wir berechnen einige Fakultäten und Binomialkoeffizienten: 1! = 1,

2! = 2 , ,

3! = 6,

4! = 24,

5!= 120,...

Es gilt: 1! =

1,

2!

=

1 - 2 = 2,

3!

=

1 - 2 - 3 = 6,

4!

=

1 · 2 · 3 · 4 = 24,

5!

=

1 - 2 - 3 - 4 - 5 = 120,

und

Q -

= 35,

1-2-3

9\ 4/

9-8-7-6 = 126, 1-2-3-4

/12\ Ι 1 .. \ 7/

12-11-10-9-8-7-6 1 ·2·3·4·5·6·7

=

792

Aus der Definition leiten wir sofort folgende Beziehungen her: fn\ 0)

0 =

n\ 0 \n\

n\

1 ! (η — 1)!

n\ η)

C-0 -

n\ n\

(η — n)\

-

1

n\

(η — 1)! ( « - ( « — 1))!

n\ =

(n — 1)! 1!

η.

68

3 Potenzen und Logarithmen /n\

_

1-2

(n - k) (n - k + 1)

V*/

~ _

1-2 k · 1·2 (n - k + 1) (n - k + 2) η (η-I)

(n-k) η

η

'

¡fe! (» - k + 1)

¡fe!

'

Die folgenden Eigenschaften gestatten es, die Binomialkoeffizenten schematisch aufzubauen: Eigenschaften der Binomialkoeffizienten Die Binomialkoeffizienten gehorchen dem Bildungsgesetz:

G-.KMT) und besitzen die Symmetrieeigenschaft:

Mit dem Bildungsgesetz kann man die Binomialkoeffizienten schematisch in Gestalt des Pascalschen Dreiecks aufbauen. Zugleich erhält man eine einfache Erklärung dafür, dass alle Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind. Die Symmetrieeigenschaft findet sich ebenfalls unmittelbar im Pascalschen Dreieck wieder: Pascalsches Dreieck

Der Beweis des Bildungsgesetzes verläuft wie folgt:

3.2 Der binomische Satz

69 nl

+

G-i) G)

•

n\

(k - 1)! (n - k + 1)! ni

+

/

it! (« - k)\ 1

1\

(k - 1)! (n - k)\ V« - k + 1 nl

k+

+

k)

n-k+l

(k — 1)! (n — k)l ' k(n-k n\{n + 1)

+ l) (n + 1)!

(Jk-l)!/fe(n-it)!(/i-jfc+l) (n +h 1)! _ ίη + 1\ k\(n + l - k ) ì ' \ k )'

kl(n-k+l)\

Der Beweis der Symmetrieeigenschaft ergibt sich aus: n\

0 -

/

ni Jñ -k)!(n

- (n-k))!

η

\

~ Vi - Jfc/ '

Beispiel 3.7 Das Bildungsgesetz der Binomialkoeffizienten kann noch verallgemeinert werden:

Diese Aussage gilt für alle η > 1 bei beliebigem k > 0. Für η = 1 erhalten wir die richtige Aussage:

•

Wir nehmen an, die Aussage gelte nun für ein beliebiges η und schließen von η auf η + 1.

Σ CÎO' - js=0 e r 7=0 X

X

_ -

+ 7

V

(k + n\

t"

7

(k+n\ k )

fk + (n + 1)\ V

k+l

)•

Im letzten Schritt wurde das Bildungsgesetz verwendet. Wir kehren zu unserem Ausgangsproblem zurück und formulieren den Satz:

3 Potenzen und Logarithmen

70

Binomischer Satz (a + b)n = ¿ ( " ) a"-k k=>0 W

bk.

Der Beweis des Binomischen Satzes geschieht durch vollständige Induktion: Induktionsanfang: η = 1 (fl+é)i =

¿f!)ei-k¿»*= k=o W

i e

+¿1.

Induktionsschritt: (.a + b)n+l

=

b)n(a+b)

(a +

(a+b)

α " + 1 ¿>° +

Q

a " + 1 _ 1 è1 + Q

a " + 1 - 2 fr2

—η

ι_η+1

Durch Zusammenfassen erhält man:

+ + · · ·

=

+

: +

Ö

"2>+Ί"Ίΐ2

Mit den Rechenregeln für Wurzeln ergibt sich: .4

( « » i t i )

Ja'! . 1 > 12 ¿>3 ¿>T

απ , 41 ¿,15

15/7ΤΓ Ví>41

Beispiel 3.17 Die folgenden Brüche sollen zusammengefasst werden:

12

b

6

wobei a > 0 und b φ 0 ist. Umformen ergibt: ¿>13a31 12

(V^) 1 0 ¿,6

_ -

=

a31¿13 fl18

a

l 3

b

a5 ¿,6 u

-4 b

alHi9-a5 b6 fl5 (a 8 fc19 — l )

b6

3.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

3.4

79

Exponential- und Logarithmusfunktion

Es bleibt noch die Aufgabe, Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten zu erklären, beispielsweise oder { - / 2 ) π . Da bereits die reellen Zahlen aus M \ Q durch Grenzprozesse festgelegt werden, muss natürlich bei Potenzen mit solchen Exponenten auch ein Grenzübergang stattfinAls Grundlage bei der Einführung der allgemeinen Potenz a x , α, χ e Μ, α > 0 dient uns die Exponentialfunktion (e-Funktion) ex mit der Eulerschen Zahl e als Basis. Sie wird durch folgende unendliche Reihe definiert: Eulersche Zahl e=

1 1 1 1+ — + — + — +··· · 1! 2! 3!

Die e-Funktion, die jeder reellen Zahl χ die Potenz ex zuordnet, wird dementsprechend erklärt durch: je11 jr 2 xJ3 e

= l

+

û

+

2 Î

+

3 !

+

- ·

Aus der Summendarstellung ergeben sich folgende fundamentalen Eigenschaften der e-Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktion 1.)

= 1,

el = e,

2.) ex ey = ex+y , 3.) ex > 0 ,

λ

4.) e'x = — ,

x,yeR.

e R, χ

eR.

Die Eigenschaft 2.) wird als Funktionalgleichung bezeichnet und stellt mit Abstand die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktion dar. Die Funktionalgleichung kann auch als definierende Eigenschaft der Exponentialfunktion genommen werden. Es lässt sich nämlich zeigen, dass die Exponentialfunktion die einzige Fuktion ist, welche die Funktionalgleichung und die Anfangsbedingung e° = 1 erfüllt. Man kann sich die Funktionalgleichung folgendermaßen plausibel machen:

80

3 Potenzen und Logarithmen

;

χ1 X2 TT+2!

+

X3 3!

+

f

=

^1!

Ι χ3 +

+

\\J

+

χ2 y1 +

Í3Í 2Í1T (x + y) 1 1!

_

/V ^2!

xl

1+

|

+

+

1! 1!

xl y2 +

+

2! j

y3 +

1T2Í 3Í

(x + y)2

|

(x + y)3

|

3!

2!

„χ+y

Offenbar ergibt sich 3.) zunächst für χ > 0 aus der Summendarstellung. Wegen ex e~x = e° = 1 folgt 3.) dann auch für χ < 0. Die Eigenschaft 4.) bekommt man analog mit ex > 0 aus der Funktionalgleichung.

Bild 3.2: Die Exponential-Funktion e*

Es gibt einen zweiten Zugang zur Exponentialfunktion, den wir etwas anschaulicher darstellen können. Betrachtet man ein Anfangskapital ko = 1, das mit dem jährlichen Zinssatz ρ verzinst wird, so erreicht man jeweils am Ende Jahres 1 , 2 , . . . , m das Kapital: k\ = ( 1 + — )

V

100/

, k2 = (l + — )

V

2

, . . . , km = (l + — Y

100/

V

100/

.

Ρ 1 Vereinbart man den Zinssatz —, schlägt den Zins aber bereits nach — Jahren zu, so erhält man η η das Kapital: ki = (l +

V

100«/ 12

,k2 = ( 1 +

V

)2 , . . . ,km

100 η )

m

= (1+

\

und zwar jeweils nach - , - , . . . , — Jahren. Nach einem Jahr ergibt sich η

η

η

kn = ( l +

X

-)\

mit

x =

——i""

100«/

3.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

81

Lässt man η beliebig groß werden und die Verzinsung stetig erfolgen, so geht man zu einem natürlichen Wachstum über. Man kann zeigen, dass für ein beliebiges Λ; e Κ die Funktionswerte kn mit wachsendem η gegen ex streben: lim ( 1 + - ) " = e» . Π-Χ30 V n) x n l \ Diese Beziehung bedeutet, dass die Funktionen 11 Η— I an jeder Stelle χ für wachsende η in

die Funktion ex übergehen.

Jeder Zahl χ > 0 haben wir diejenige Zahl zugeordnet, deren Quadrat χ selbst ergab. Dadurch wurde das Quadrieren umgekehrt. Auf ähnliche Weise kehren wir nun die Exponentialfunktion um. Jeder reellen Zahl χ > 0 ordnen wir diejenige reelle Zahl ln(x) zu, welche die Bedingung = χ erfüllt. Wir bezeichnen diese Zahl als natürlichen Logarithmus von x: Der natürliche Logarithmus Der natürlicher Logarithmus wird erklärt als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion: >' = ln(x)

- ey — χ,

χ > 0.

Damit gelten die folgenden beiden Beziehungen für die Logarithmusfunktion: elnU) =x

für

χ > 0,

\a(ex) =x

für χ e R .

Aus der Definition ergeben sich sofort folgende Eigenschaften: 1.) ln(l) = 0 ,

ln(e) = 1,

2.) ln(x y) = ln(x) + ln(.v), 3.) Inf - ) = — ln(x).

für x, y > 0 ,

82

3 Potenzen und Logarithmen

Die Eigenschaft 1.) ergibt sich unmittelbar aus e° = l und e1 = e. Ist χ > 0 und y = ex, so gilt y > 1. Für der e-Funktion: eln(x)

y > 0 bekommen wir mit der Funktionalgleichung

e\n(y)

χ

_

Φ _

y

e\n(x)+\n(y)

elnU)+ln(>)

Φ ln(*y)

=

I n (Λ: y )

=

ln^oM+'iW)

Φ ln(JC) +

ln(Y).

Damit haben wir die Funktionalgleichung des natürlichen Logarithmus 2.)· Aus 2.) ergibt sich die Eigenschaft 3.) wie folgt: In ^ c ^

=

ln(jc) + In Q

j

φ ln(l)

= Φ

0

= Φ

e)-

Ini-I

=

In (Λ:)

-G) g)

+ 1

In (λ) + In

— ln(jt).

Durch Kombination der Reihendarstellung der ¿-Funktion mit den Funktionalgleichungen und ihren Folgerungen kann man folgende Ungleichungen herleiten:

3.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

83

Ungleichungen für die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarihmus 1.) ex > 1 ,

für

2.) ln(jt) > 0, 3.) 1

χ > 0,

0 < ex < 1 ,

für

ln(*) < 0 ,

für

für χ > 1 ,

< ln(x) < χ — 1,

4.) 1 + χ < ex , 5.) ex < ey ,

für

χ
0 , e* < -

I - χ '

für

χ < 1,

y,

für

0 < χ < y.

Die Monotonie der Exponentialfunktion (Ungleichung 5.)) folgt aus der Ungleichung 1.). Dazu formen wir um: ey — ex = ey(l — ex~y). Ist nun χ < y, d.h. χ - y < 0, so folgt 0 < ex~y < 1 und hieraus ey — ex > 0. Die Monotonie des natürlichen Logarithmus (Ungleichung 6.)) bekommt man indirekt aus der Monotonie der Exponentialfunktion. Wäre 0 < χ < y und ln(;t) > ln()0, so ergäbe sich ¿.h. χ > y. Dies steht aber im Widerspruch zur ursprünglichen Annahme. ein(x) >

Bild 3.5: Die Funktionen ex, 1 + χ und

1—χ

Bild 3.6: Die Funktionen ln(jt), 1 und χ — 1

-10

Für χ > 0 und η e Ν gilt: ln(x") 1

Inte' )

=

η 1η(χ)

=

(—1) ln(jc).

84

3 Potenzen und Logarithmen

Wegen η In

= In ((·*")") =

( * " ) = In (λ)

wird man für m e Ζ und η e Ν auf folgende Beziehung geführt: Natürlicher Logarithmus einer Potenz /

m\

mm

In (*» J = — ln(jc).

Beispiel 3.18 Wir lösen folgende Gleichungen: (o)

In ( v T T l ) =

ln(* + 1) + 1,

(¿0

ex

+ e-x

(a) Umformen und Anwenden der Rechenregeln für den Logarithmus ergibt: ln((x+5)ï)-ln((* + l)ï) = l bzw.

- » B f ) ' ' - · Dies schreiben wir als: 2

\x +

l j

bzw. In Wenden wir auf beiden Seiten die e-Funktion an, so folgt: X +5 χ + 1

=

e

2

.

Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich zu: χ =

5e~ 2 — 1 1-e-2 '

(b) Durch Erweitern mit ex auf der linken Seite bekommen wir: e2x

-

1 _

l

e2x

+ l ~

5

5

85

3.4 Exponential- und Logarithmusfunktion und daraus: 2χ

3

e

=2Wendet man auf beiden Seiten die e-Funktion an, so folgt:

-(i)·

2x

Schließlich bekommt man die Lösung:

—(/I)· Für rationales r und reelles a > 0 haben wir ln(ar)

= r ln(e)

ar

= er

ln(a).

Verallgemeinert man dies auf reelle Exponenten, so bekommt man die Exponentialfunktion zur reellen Basis a. Exponentialfunktion zur Basis a, Verallgemeinerung der Potenzfunktion Die Exponentialfunktion zur Basis a wird erklärt durch: αχ

_

eMa)x

für α > 0 und * £

M.

Hiermit können wir die Verallgemeinerung der Potenzfunktion vornehmen: xb

=

eb

Ιηύ)

für χ > 0, fc e Κ.

Für alle α, b > 0 und x, y e R gelten folgende Rechenregeln: ax+y

=

(a-r

=

ax

bx

axa>. a

=

x y

,

(ab)x

Man rechnet dies mithilfe der Definition nach: a*+y

ein(a)(x+y)

_ _

eWa)x

=

{ax)y

ein(a)y

axay,

= _

(

e

W )

gin(a)x y

y

86

3 Potenzen und Logarithmen

y

_

gin(a)x £\n(b)x

_

e(\n(a)+\n(b»x

=

le

(ab)'·

-1.5

-1

0.2

-0.5

Bild 3.7: Die Exponentialfunktion ax bei verschiedenen Basen

0.4

Bild 3.8: Die Potenzfunktion xb bei verschiedenen Exponenten

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Beispiel 3.19 Mit der e-Funktion gilt: 2π

=

e*1"2,

=

g-s/3 In \Í2

_

g-s/3 j ln2 _

bzw.

=

(22)^

e

j V^ln2 ^

3.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

87

Mithilfe der allgemeinen Potenz bekommen wir nun auch für reelle Argumente χ : Natürlicher Logarithmus einer Potenz In(a x ) = In ( > ( α > * ) = j c ln(a).

Ist α > 0, α φ 1 und χ > 0, so kann die Gleichung ay

=ein(a)y=x

eindeutig mithilfe des natürlichen Logarithmus gelöst werden. Allgemeiner Logarithmus Sei a > 0. α φ 1 und χ > 0. Dann wird der Logarithmus von χ zur Basis a erklärt durch: ay = χ .

y = log ö O)

Zwischen log a und In ergibt sich ein einfacher Zusammenhang. Kombiniert man die Beziehungen: ay =x

so folgt:

ay = χ

y = logato ln(a y ) = y In (α) = In (χ),

•

log a (jc) In (α) = ln(x). Natürlicher Logarithmus und allgemeiner Logarithmus

Für alle α > 0, α φ 1, a e R und χ, y > 0 gilt: lOgaO >') loga (x a )

= =

l°ga(·*) + l o g a to . a log ( ,(x).

Man rechnet nämlich definitionsgemäß nach: logaU y)

-

ln(*y) In (α) ln(x) + ln(y) In (α) togato + logo (y) >

3 Potenzen und Logarithmen

88

In (χ") log« i*")

= =

=

ln(fl) ln(x) a ln(a) α log a (x).

Bild 3.9: Die Logarithmusfunktion log a (λ) bei verschiedenen Basen

Beispiel 3.20 Sei a > 0 und loga(3) = 7. Wie groß wird dann loga(81)? Mit der Regel loga

—b loga(x) bekommt man: loga(81) = loga (3 4 ) = 4 logö (3) = 28.

Beispiel 3.21 Sei a > b > 1. Wir zeigen: log a (x) < logh(x)

für χ > 1

und logft(x) < log a (x)

für 0 < χ < 1.

Mit der Monotonie des natürlichen Logarithmus ergibt sich: 1 1 ln(a) > ln(fc) > 0 bzw. 0 < < ln(a) - ln(fc) Multipliziert man diese Ungleichung mit ln(x) (x > 0), so gilt für χ > 1: 0
)

_

In (χ) < 0. In (α)

4 4.1

Kombinatorik Permutationen

Wir betrachten eine Menge, die aus η verschiedenen Elementen besteht. Man kann diese Elemente oder Objekte in einer bestimmten Reihenfolge anordnen. Beispiel 4.1 Gegeben seien drei Elemente: a,b,c. Diese drei Elemente können auf sechs verschiedene Arten angeordnet werden: abc,

acb,

bac,

bea,

cab,

cba.

Anstatt die drei Elemente a, b, c zu nennen, hätten wir sie auch als 1, 2, 3 bezeichnen können und anordnen: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Gegeben seien η verschiedene Objekte. Ordnet man sie in einer bestimmten Reihenfolge an, so entsteht eine Permutation. Der Begriff der Permutation von η verschiedenen Objekten kann als bijektive Abbildung aufgefasst werden. Eine bijektive Abbildung ρ einer Menge aus η verschiedenen Elementen in sich ρ :

{ei,e2

,...

,en]

—•

stellt eine Permutation der Menge [e\, ei,... durch ein Diagramm dargestellt: Urbilder Bilder

e\ P{e\)

[ei, e2,...

, e„]

,e„} dar. Anschaulich wird eine Permutation

e2

e-i

P(e 2)

P(e 3)

en P(en)

P(en-1)

Beispiel 4.2 Aus dem Diagramm Urbilder Bilder

e\ e

A

e2 es

e3

e4

e2

e\

lesen wir die Permutation ab: p(ei)

= e4, p(e2)

= e3 , p(e3)

= e2 , p(e4)

-

e\.

90

4 Kombinatorik

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass sich η verschiedene Objekte auf genau genau n\ verschiedene Arten anordenen lassen. Man unterteilt dazu {ei,...

, en] = {