Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt. Band 1 Elementare und klassische Algebra: Vom modernen Standpunkt [3., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111361130, 9783111003832

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S A M M L U N G

G Ö S C H E N

B A N D

930

ELEMENTARE UND KLASSISCHE ALGEBRA VOM M O D E R N E N

STANDPUNKT

von

DR. W O L F G A N G

KRULL

o. P r o f e s s o r a n d e r U n i v e r s i t ä t B o n n

3., e r w e i t e r t e A u f l a g e

Band I

WALTER

DE

GRUYTER&

CO.

v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . C u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1963

© Copyright 1963 b y Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / K a r l J. Trübner / Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — A r c h i v - N r . 7711633. — Satz und D r u c k : Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany

Inhalt Seite

Vorbemerkungen

6

Abschnitt I: Formales Rechnen § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Der Körperbegriff Quotientenkörperbildung Polynome in einer Unbestimmten Unzerlegbare Polynome Polynome in endlich vielen Unbestimmten Symmetrische Funktionen Restklassen, insbesondere nach Polynomen Restklassen nach ganzen Zahlen, Körper von Primzahlcharakteristik

6 9 13 18 20 22 27 29

Abschnitt II: Nullstellen und Zerlegung von Polynomen § 9. Nullstellen. Algebraisch abgeschlossene Körper § 10. Ableitung und mehrfache Nullstellen. Die Diskriminante . . § 11. Nullstellen und Nichtnullstellen bei Polynomen in mehreren Veränderlichen § 12. Nullstellen und Unzerlegbarkeit rationalzahliger Polynome § 13. Interpolation. Faktorzerlegung ganzzahliger Polynome . . § 14. Nullstellen reeller Polynome. Der Sturmsche Satz . . . .

30 32 36 37 42 44

Abschnitt III: Auflösung der Gleichungen ersten bis vierten Grades § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. §21. § 22.

Gleichung ersten und zweiten Grades Qudratwurzelkörper. Konstruktion mit Zirkel und Lineal Einheitswurzeln. Binomische Gleichungen Gleichung dritten Grades Trigonometrische Behandlung des ,,casus irreducibilis". . . Auflösung der Gleichung vierten Grades Zwei quadratische Gleichungen in zwei Unbekannten . . . Geschichtliche Bemerkungen

50 53 50 63 66 68 70 73

Abschnitt IV: Höhere Gleichungstheorie § 23. § 24. § 25. § 26. § 27.

Der Körpergrad Der Gleichberechtigungssatz (Isomorphiesatz) Der Kronecker- Steinitzsche Fundamentalsatz Resolventen Untersuchungen über die Auflösung der Gleichung dritten Grades § 28. Zyklische Gleichungen und Lagrangesche Resolventen . . . § 29. Unzerlegbare zyklische Polynome. Die Galoissche Gruppe

75 80 82 86 88 92 96

Abschnitt V: Kreisteilungstheorie § 30. § 31. § 32. §33. 1*

Grundlagen und Problemstellung Zuordnung zwischen Gruppen und Körpern Hauptsatz über n(x). Der Fall p = 1 7 Anwendung und Verallgemeinerung

...

99 102 107 111

4

Inhalt / Literatur Seite

Abschnitt V I : Metazyklische und Radikalkörper § 34. § 35. § 36. § 37.

Normalkörper. Satz von Abel Metazyklische Körper und lladikalkörper Nichtmetazyklische Körper Ausblick auf die Galoissche Theorie

113 118 123 127

Abschnitt VII: Geordnete und reelle Körper § 38. Ordnungen § 39. Archimedische Ordnungen § 40. a-maximale reelle Körper Algebra

und der Fundamentalsatz

der

130 137 142

Literatur 1. B i e b e r b a c h - B a u e r , Algebra. Leipzig, Teubner 1928. 2. II. H a s s e , Höhere Algebra. I. Lineare Gleichungen. Sammlung Göschen Nr. 931. 3. H . H a s s e , Höhere Algebra. II. Gleichungen höheren Grades. Sammlung Göschen Nr. 932. 4. II. H a s s e u. W. K l o b e , Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Sammlung Göschen Nr. 1082. 5. 0 . H a u p t , Lehrbuch der Algebra. 2 Bde. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft m. b. II. 2. Aufl. 1952. 6. O . P e r r o n , Algebra. 2 Bde. Berlin, Walter de Gruyter & Co. Göschens Lehrbücherei Bd. 8 u. 9. 3. Aufl. 1951 u. 1952. 1. B. L. v a n d e r W a e r d e n , Moderne Algebra I. Grundlehren d. Math. Wiss. 33. Berlin, Springer, 3. Aufl. 1950.

Vorbemerkungen In dem vorliegenden Buche habe ich mich bemüht, möglichst vollständig diejenigen Teilgebiete der nichtlinearen Algebra, insbesondere der Gleichungstheorie zu behandeln, die auch dem der Algebra ferner stehenden Mathematiker vertraut sein sollten. Gleichzeitig war es mein Ziel, durch die Form der Darstellung den Leser in die moderne Denkweise einzuführen und ihn so auf die eigentliche „Höhere Algebra" vorzubereiten. Zu den einzelnen Abschnitten sei bemerkt: Abschnitt I enthält eine Neubegründung des bereits auf der Schule geübten Buchstabenrechnens unter Voranstellung des f ü r die moderne Algebra grundlegenden Körperbegriffs. Der Anfänger möge gerade diesen Abschnitt sorgfältig durcharbeiten. In Abschnitt I I werden die rationalen Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Beiwerten (Koeffizienten) algebraischer Gleichungen und die Zerlegung ganzzahliger Polynome behandelt. Auch der Sturmsche Satz h a t hier seinen Platz gefunden. Die elementare Auflösung der Gleichungen 2. bis 4. Grades durch Wurzelzeichen bringt Abschnitt III. Höhere Gesichtspunkte — eine Einführung in den Gedankenkreis des Bezoutschen Satzes — finden sich dort, wo die homogene Schreibweise benutzt wird, vor allem bei der Lösung zweier simultaner quadratischer Gleichungen. — Abschnitt IV behandelt zunächst die Konstruktion algebraischer Oberkörper nach K r o n e c k e r und S t e i n i t z , sowie die moderne Gradtheorie. Im übrigen schließt sich der Abschnitt eng an die geschichtliche Entwicklung an, indem als Vorbereitung für die Gaulische Kreisteilungstheorie von Abschnitt V die Untersuchungen von L a g r a n g e besprochen werden, die f ü r die moderne Gleichungstheorie grundlegend geworden sind. Unmittelbar bis zur allgemeinen Galoisschen Theorie führt Abschnitt VI. Zunächst wird — ohne Gruppentheorie — gezeigt, daß metazyklische Körper und Radikalkörper im wesentlichen gleichwertige Begriffe sind. Dann wird nach K r o n e c k e r die Existenz von ganzzahligen, nicht durch Radikale lösbaren Gleichungen von Primzahlgrad bewiesen. Zum Abschluß werden die Hauptsätze der Galoisschen Theorie ohne Beweis formuliert, und es wird gleichzeitig der Grundgedanke des klassischen Abelschen Unmöglichkeitsbeweises herausgearbeitet. — Abschnitt V I I entwickelt die Theorie der archimedisch und nichtarchimedisch geordneten Ringe und Körper. Hier ordnet sich dann der Artinvan der Waerdensche Fundamentalsatz f ü r reell abgeschlossene Körper und der Gaußsche Fundamentalsatz der Algebra in natürlicher Weise ein.

Abschnitt I. Formales Rechnen § 1. Der Körperbegriff Die Algebra wird beherrscht von den vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division. Der Leser geht am besten mit diesen Rechnungsarten zunächst so um, wie er es vom elementaren Buchstabenrechnen her gewohnt ist. Eine Zusammenstellung derjenigen formalen Eigenschaften der Addition usw., auf die es in der Algebra allein ankommt, findet sich am Schlüsse des Paragraphen. Ein System 9t, für dessen Elemente Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert und unbeschränkt ausführbar sind, wird als „ R i n g " bezeichnet. Ist in 9t außerdem auch die Division durch von 0 verschiedene Elemente unbeschränkt ausführbar, so heißt 9t ein „ K ö r p e r " . — Der Ring 9t ist dann und nur dann ein Körper, wenn 9t gleichzeitig mit einem beliebigen Elemente a =)= 0 stets auch das dazu reziproke Element a =

^ enthält. a

Die Bedeutung des Ring- und Körperbegriffs erkennt man am besten durch die Betrachtung von Beispielen. Beschränkt man sich, wie wir im folgenden, so weit nichts anderes ausdrücklich angegeben wird, stets tun wollen, auf die Betrachtung von solchen Ringen und Körpern, bei denen das weiter unten erwähnte Element 0 bzw. 1 mit der Zahl 0 bzw. 1 zusammenfällt, so ist der einfachst denkbare Ring das System 9t 0 aller positiven und negativen ganzen Zahlen (einschließlich der Null). Das Teilsystem aller positiven ganzen Zahlen bildet f ü r sich allein keinen Ring, da die Subtraktion innerhalb dieses Teilsystems nicht unbeschränkt ausführbar

§ 1. Der Körperbegriff

7

Der einfachste Körper ft0 besteht aus allen rationalen a0 Zahlen, also aus allen Brüchen der Form—-(a 0 ,6 0 in 3t 0 ; i o =|=0).

ist.

Die Menge ftr aller reellen Zahlen, also aller endlichen oder unendlichen Dezimalbrüche, stellt einen e c h t e n O b e r k ö r p e r von £ 0 dar, also einen Körper, der alle Elemente von außerdem aber auch nicht zu gehörige Elemente enthält. Einen echten Oberkörper von ® r bildet die Menge ft* aller komplexen Zahlen, also aller Zahlen der F o r m x = a + bi (a und b reell, i imaginäre Einheit). Bei der Betrachtung von hat man die Rechenregeln (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i\ (a + bi) • (c + di) = (ac — bd) _1 2 + (ad + bc)i; (a + bi) = (a + i 2 ) - 1 • (a— bi) zu beachten. Aus diesen Regeln folgt nun, daß auch das System aller „rationalen komplexen Zahlen", d. h. aller a = a + bi (a, b in S 0 ) einen Körper darstellt,ffi'j.ist ein echter Oberkörper von S 0 und ein echter Unterkörper von ffij.. Von den Körpernffi'j.,S r ist keiner im anderen enthalten. Der D u r c h s c h n i t t von und d. h. die Menge aller gleichzeitig zu St'k und Str gehörigen Elemente ist der Körper ffi0. Ein f ü r die Algebra charakteristischer Vorgang besteht darin, daß man aus einem gegebenen Körper ® bzw. Ring ÜR durch Hinzunahme neuer Elemente einen Oberkörper £ bzw. Oberring £1 bildet. Dabei können die neuen Elemente „ U n bestimmte" sein (vgl. zu diesem Begriff § 3, insbesondere Anm.*)), es können aber auch zwischen ihnen und den Elementen von ® bzw. algebraische Beziehungen bestehen. Beide Möglichkeiten kommen bereits in der Schulmathematik vor. Das übliche „Buchstabenrechnen" ist nichts anderes als das Operieren in einem Körper oder Ring, den man aus einem geeigneten Zahlkörper (etwa aus ST0, durch Hinzunahme von endlich vielen Unbestimmten gewonnen hat. In diesem Sinne bringen die folgenden Paragraphen (bis § 7 einschließlich) einfach eine Entwicklung der Grundlagen des Buchstabenrechnens „vom höheren S t a n d p u n k t " . Aber auch die Bildung von Oberkörpern mit algebraischen Beziehungen

8

Abschnitt I. Formales Rechnen

zwischen den neu hinzugenommenen Elementen und denen des Grundkürpers spielt schon in der Schulmathematik eine nicht unbeträchtliche Rolle. Die Bedeutung der üblichen Rechenregeln f ü r Quadratwurzeln, insbesondere des „Wegschaffens der Quadratwurzeln aus dem N e n n e r " wird erst vom körpertheoretischen S t a n d p u n k t aus voll verständlich. Die f ü r uns allein wichtigen Eigenschaften der Addition und Multiplikation sind bei beliebigen Ringen die folgenden: a) (a + b) + c = a + (b + c); (a • b) • c = a • (6 • c) (assoziatives Gesetz). b) a + J = 6 + «; a-b = b • a (kommutatives Gesetz). c) (a + b) • c = a • c + b • c (distributives Gesetz). d) E s gibt ein „Nullelement" bzw. „Einheitselement" 0 bzw. 1 der Addition bzw. Multiplikation, das f ü r jedes a der Gleichung a + 0 = a bzw. a • 1 = a genügt. e) Zu jedem a gibt es ein (eindeutig bestimmtes) Element — a, f ü r das a + (— a) = Ö wird. In jedem K ö r p e r gilt außerdem f) E s gibt zu jedem Element «=j= 0 ein (eindeutig bestimmtes) Element a - 1 , f ü r das a • = 1 wird. Aus e) folgt sofort die allgemeine eindeutige Ausführbarkeit der Subtraktion, d. h. die Lösbarkeit der Gleichung a-j-x = b. Analog ergibt sich aus f) die Möglichkeit der Division durch jedes a=j=0. Besonders betont sei die Tatsache, daß die Division durch Null grundsätzlich ausgeschlossen ist. Die Gleichung a • 0 = 0 ist eine einfache Folge von c), gilt also in jedem Ring. I m übrigen beschränken wir uns auf die Betrachtung von solchen Ringen, in denen k e i n e „ N u l l t e i l e r " auftreten, d. h. Ringe mit der Eigenschaft: g) Aus a • b =

0 folgt 6 = 0.

§ 2. Quotientenkörperbildung Bei

einem

Körper ist g) selbstverständlich,

9 denn

aus

a • b = 0, a=f= 0 ergibt sich durch Multiplikation mit a~l sofort: 0 = a-1 • 0 = a - 1 •(«•&) = ( a - 1 • a) • 6 = 1 • b = b. Da sich das Nullelement 0 bzw. das Einselement 1 weitgehend analog den Zahlen 0 und 1 verhalten, lassen wir in Zukunft dort, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist, den Querstrich fort und schreiben einfach 0 und 1. Die Körper lassen sich einfacher charakterisieren, wenn man den für die moderne Algebra grundlegenden Gruppenbegriff einführt. Eine Menge 0 von Elementen a,b . . . zwischen denen eine Verknüpfung o definiert ist, heißt eine G r u p p e (hinsichtlich o), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Für jedes Paar a, b aus G gehört auch a o b = c zu 6 . 2. (a o b) o c = a o (J o c) für alle a, b, c aus G. 3. Es gibt eine o - E i n s e, derart daß eoa = aoe für alle a aus G. 4. Zu jedem a gibt es ein a - 1 , derart daß a^oa = a o « _ 1 . G wird k o m m u t a t i v oder a b e l s c h genannt, wenn außerdem noch gilt: 5. aob = bo a für alle a, b aus G. — Die Eigenschaften a)—c), e)—f) lassen sich jetzt so formulieren: Bei einem Körper bildet die Menge a l l e r bzw. a l l e r v o n 0 v e r s c h i e d e n e n Elemente eine kommutative + - bzw. »-Gruppe, wobei e = 0, a - 1 = —a und e = 1, a _ 1 = a - 1 . + + ° Wenn wir von einer M e n g e 2R reden, meinen wir naiv eine wohldefinierte Gesamtheit von „Elementen". Das Grundlagenproblem, wann eine unendliche Gesamtheit als wohldefiniert anzusehen ist, fällt aus unserem Rahmen heraus. Ist SDt Obermenge von 92, so schreiben wir 3R 2 , 9i 2 2Ji bzw., wenn 3R u n d 9i sicher verschieden sind, 3K > 3 i , Sic; 331. „System" und „Menge" sind für uns Synonyme. Unter dem D u r c h s c h n i t t ® bzw. der V e r e i n i g u n g s m e n g e © eines Systems S von Mengen U verstehen wir die Menge der Elemente a, die in allen bzw. mindestens einem U aus £ vorkommen. § 2. Quotientenkörperbildung Die folgenden Betrachtungen zeigen an einem einfachen Beispiel den praktischen Wert des allgemeinen Körper- und

10

Abschnitt I. Formales Rechnen

Ringbegriffs. Bekanntlich ist das Rechnen mit Brüchen, insbesondere die Addition und Division, auch für viele der Schule entwachsene Gebildete keineswegs eine einfache Sache. Wir behandeln nun die Aufgabe, einen ganz beliebigen, von Nullteilern freien Ring9? genau so zu einem Körper® zu erweitern, wie man es bei dem Ring 9i 0 der ganzen Zahlen macht, wenn man durch Einführung der gewöhnlichen Brüche zum Körper St0 der rationalen Zahlen übergeht. Dabei wird sich zeigen, daß der allgemeine Fall in gewissem Sinne leichter zu erledigen ist als der von der Schule her bekannte Spezialfall. — Der gesuchte Körper it soll offenbar aus allen formalen „Brüchen" j (a und b in 9t, 6 4=0) bestehen b

(„Quotientenkörper"!) a

wobei insbesondere für beliebige a stets -- —- a zu setzen ist. Aus der Tatsache, daß der Bruch ~ eingeführt wird, um eine Lösung der Gleichung b • x = a zu erhalten, ergibt sich sofort zwangsläufig die folgende G l e i c h h e i t s d e f i n i t i o n : ^i- = ^ in £ dann und nur dann, wenn a, • b, = "1 "2 (l, In der Tat, soll bis

• 6, in 9t.

= — sein, so muß, da ja die Gesetze a) • b2

Haben wir umgekehrt at • b2 = a2 • bv wobei b^ =|= 0, b2 =j= 0 und damit wegen der Nullteilerfreiheit von 9t auch bt • b2 =(= 0 a. ist, so haben wirin anderer Schreibweise— (J, • b2)

§2. Quotientenkörperbildung

H

u n d daraus m u ß wegen der Nullteilerfreiheit jedes Körpers a

i

a

2t , folgen. Ol h Unsere Gleichheitsdefinition ist also jedenfalls zwangsläufig festgelegt, es f r a g t sich nur, ob diese Definition auch i m m e r =

brauchbar ist1). vität") dt bl

=

il, ü-, D a z u ist zu zeigen: 1. - - = — ( „ R e f l e x i b h i

2. Aus

= folgt ^ = S y m m e t r i e " ) 3. Aus 6j b2 b2 6, Cl.} Qj.t (In . . dt d b{ di bl b2 d1 d2 — • — = — • ~ folgt, u n d daß die formalen Bedingungen a) #2 1 2 bis f) von § 1 f ü r die Addition u n d Multiplikation erfüllt sind. Aber das sind ganz einfache Überlegungen, deren Durchf ü h r u n g dem Leser überlassen werden k a n n . (Man m u ß dabei d a u e r n d die T a t s a c h e a u s n ü t z e n , daß der l i i n g 3} jedenfalls a (— a) den F o r d e r u n g e n a) bis e) genügt.) N a t ü r l i c h w i r d — - • = — - — ;

bj

5 a b a •b = — ia=j= 0), das letztere wegen , • - = - , = 1 . — a b a a •b

D a m i t ist nicht n u r die E x i s t e n z des Q u o t i e n t e n k ö r p e r s £ gesichert, es ist auch, d a wir z w a n g s l ä u f i g auf die Definitionen von Gleichheit, A d d i t i o n u n d Multiplikation k a m e n , nachgewiesen, d a ß $ d u r c h den Ausgangsring e i n d e u t i g b e s t i m m t ist. D a b e i waren die entscheidenden Überlegungen so einfach, daß ihre R e k o n s t r u k t i o n nach einmaliger g r ü n d licher D u r c h d e n k u n g auch dem Mindergeübten keine Schwierigkeit m a c h e n d ü r f t e . — Anders ist es bei der üblichen Einführung der rationalen Brüche in der Schulmathematik. Hier werden einerseits gewöhnlich die zwischen den ganzen Zahlen bestehenden, aber für die Quotienten-

§ 3. Polynome in einer Unbestimmten

13

bildung unwesentlichen G r ö ß e n b e z i e h u n g e n zu früh ins Spiel gebracht. (Einteilung der positiven Brüche in „echte" ( < 1) und unechte ( > 1), Darstellung eines Bruches als „gemischte Zahl", d. h. Herausziehung des größten Ganzen). Andererseits und hauptsächlich wird viel zu großes Gewicht auf die Tatsache gelegt, daß wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung, also einer ganz speziellen und keineswegs selbstverständlichen Eigenschaft der ganzen Zahlen, jeder rationale Bruch eine „gekürzte" Normaldarstellung besitzt. Das f ü h r t vor allem bei der Bruchaddition zur Vernachlässigung der einfachen und allgemeinen Formel ^ + = + aA »i h »i • o2 und zum ausschließlichen Arbeiten mit dem „Hauptnenner", dessen Berechnung die Bildung des „kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen" von \ und b2, d. h. die Lösung einer durchaus nicht trivialen zahlentheoretischen Aufgabe erfordert. — Bei einem beliebigen Ausgangsring 3t bleibt die Bestimmung des Hauptnenners erspart, weil ein solcher keineswegs immer existiert. Die Betrachtung des allgemeinen „ a b s t r a k t e n " Falles f ü h r t also hier zwangsläufig zu dem einfachen und gerade auch f ü r den Ungeübten empfehlenswerten Aufbau der Bruchrechnung.

§ 3. Polynome in einer Unbestimmten Es sei ® -ein beliebiger Körper, x eine Unbestimmte 1 ), 5)3 = £?[«] bedeute den „ P o l y n o m r i n g in x ü b e r d . h . die Menge aller „ P o l y n o m e " *) Eine „ U n b e s t i m m t e " x im Sinne des Textes ist einfach eine Rechenmarke. Wesentlich ist, daß x mit den Elementen des Ausgangskörpers St durch keine algebraische Beziehung verknüpft ist, daß also keine Gleichung xn -f+ ' ' • + an = 0 mit Beiwerten a^ aus Si gilt. I n diesem Sinn sind z . B . die Zahlen e und TI Unbestimmte über dem Körper der rationalen Zahlen, — (aber nicht über dem Körper Si t der reellen Zahlen, der ja selbst e und n als Elemente enthält). Andererseits braucht bei Anwendungen eine Unbestimmte x keineswegs immer als Zahl gedeutet zu werden. Sehr häufig wird z. B. über dem Körper aller reellen oder aller komplexen Zahlen unter x irgendeine F u n k t i o n , — etwa w = — , w = sin z usw. — , zu verstehen sein, z und zwar die Funktion im ganzen, nicht der Funktionswert an einer einzelnen Stelle. I m übrigen ist die Möglichkeit derartiger anschaulicher Deutungen von x für-unsere algebraischen Betrachtungen nebensächlich. — Man unterscheide scharf zwischen dem Begriff der „ U n b e s t i m m t e n " und dem der (in irgendeiner Gleichung auftretenden) „ U n b e k a n n t e n " .

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Abschnitt I. Formales Rechnen p{x) = a0 + axx +

H «„z" (n ^

0) 2 )

bei denen die „ B e i w e r t e " (Koeffizienten) a t dem Körper ST angehören. Addition, Subtraktion und Multiplikation erfolgen in ^ nach bekanntem Schema: («o + a i x + H x % + ' ' 0 ± ( J o + h x + M 2 H ) = («o ± + («I ± h ) x + ( a 2 ± h ) x 2 + • • •; (a0 + a1x + a2x2 + • • • + anxn) • (b0 -)- btx + b2x1 + • • • + bmxm) = a0b0 + (a0b1 + a ^ x + {a0b2 + a^ + aj>0) x1 H + anbmxm+n. Daß

ein Ring ist, ist selbstverständlich; daß ^ß keinen

Körper darstellt, folgt z. B. aus der Tatsache, daß x~l = — nicht zu gehört. Unter dem „ G r a d " des Polynoms 'p(x) versteht man den Exponenten der höchsten Potenz von x, die in p(x) „wirklich", d. h. mit einem von 0 verschiedenen Beiwert a u f t r i t t . 0 wird der Wert — o o zugeschrieben, wobei — o o < « ; — o o + n = — o o f ü r n = 0 , 1 , 2, . . . gelten soll. Der Grad von p(x) bezeichnen wir kurz mit | p (x) \. Aus dem Multiplikationsschema der Polynome folgt sofort der Gradsatz. Der Grad des Produktes zweier Polynome ist gleich der Summe der Grade der Faktoren. Der Gradsatz zeigt insbesondere, daß das Produkt zweier von Null verschiedener Polynome stets selbst von Null verschieden ist. Aus a(x) • b(x) = a(x) • c(x), a(x) =\= 0 folgt daher (wegen a(x) • (b(x) — c(x)) = 0) stets b(x) = c(x). Das Polynom p(x) heißt „ t e i l b a r " durch das Polynom D (tC\ q(x), wenn der Quotient — - zu gehört, wenn also eine q(x) Gleichung p(x) = q(x) • r(x) gilt. Ist p(x) durch q(x) teilbar, so kann wegen des Gradsatzes der Grad von p(x) nicht 2 ) Potenzen mit ganzzahligem Exponenten können in jedem Ring in der aus der Elementarmathematik bekannten Weise gebildet werden. Insonderheit wird stets o" = 1 gesetzt, auch für a = O.

§ 3. Polynome in einer Unbestimmten

15

kleiner sein als der von q(x); haben p(x) und q(x) den gleichen Grad, so unterscheiden sie sich nur um einen Faktor a aus dem Beiwertkörper Ä, und es ist nicht nur p(x) durch q(x), sondern auch q(x) durch p(x) teilbar: p(x) = a • q(x), q(x) = a 1 • p(x). Zwei wechselseitig durcheinander teilbare Polynome werden im folgenden als „nicht wesentlich verschieden" angesehen. In jeder Schar wechselseitig durcheinander teilbarer Polynome gibt es ein einziges „ n o r m i e r t e s " Polynom, das dadurch ausgezeichnet ist, daß bei ihm die höchste wirklich auftretende .x-Potenz den Beiwert 1 besitzt. Gleichzeitig mit b(x) und c(x) ist stets auch b(x)-c(x) normiert. Ist umgekehrt a(x) = b(x) • e(x) eine beliebige Faktorzerlegung des normierten Polynoms a(x), und bedeutet ß bzw. y den Beiwert der höchsten in b(x) bzw. c(x) wirklich auftretenden z-Potenz, so ist y = ß'1, und es wird a(x) = (/J - 1 • b(x)) • (ß • c(x)) eine Zerlegung von a(x), bei der die von b(x) bzw. c(x) nicht wesentlich verschiedenen Faktoren ß_1 • b(x) bzw. ß • c(x) beide normiert sind. Bei einem normierten Polynom braucht man daher nur Zerlegungen in normierte Faktoren zu betrachten. — Die Grundlage für die Teilbarkeitstheorie der Polynome bildet der Ausdivisionssatz. Zu zwei Polynomen p(x) und q(x) von den Graden m und n (n^m) gibt es stets ein eindeutig bestimmtes drittes Polynom s(a), derart, daß der „Rest" p(x) — q(x)-s(x) = r(x) ein Polynom höchstens (n — 1 )-ten Grades wird. Die Bestimmung von s(x) (und damit auch von r(x)) erfolgt nach dem von der elementaren Buchstabenrechnung her bekannten Divisionsverfahren. Zunächst wählt man c0 so, daß in p(x)—c0xm~n • q(x) der Beiwert von xm gleich 0 wird, dann macht man (für m — 1 n) durch geeignete Wahl von c, den Beiwert von xm~1 in (p{x) —c0xm~n • q(x)) — c1xm-n~1 • q(x) = p(x) — (c0xm~n + c-^x™-71-1) • q(x) zu Null usw. — Hat ferner sowohl r^x) — p(x)—q(x)-s1(x)

16

Abschnitt I. Formales Rechnen

als auch r2(x) = p(x) — q(x) • s2(x) einen kleineren Grad als n, so ist auch der Grad von r1(x)—r2(x)=q(x) (s 2 (^)— s i(®)) kleiner als der Grad n von q(x), und daraus folgt sofort S X h(X) — r2(X) = l( ) — ^C») = 0Zu endlich vielen von 0 verschiedenen Polynomen %(«),..,,aT(x) betrachten wir die Menge 9Ji aller Polynome c(x), die sich in der F o r m c(x) = b^x) • ax{x) H b er(x) • ar(x) darstellen lassen. Offenbar gehören mit c^x) und c2(x) immer auch alle Polynome der F o r m q1 (x)-c1(x)+q2(x)-c2(x) zu SJi. Ist also speziell n > — o o der kleinste Grad, f ü r den 9Jt ein Polynom c(x) =|= 0 mit | c(x) | = n enthält, so gibt es sicher in 9Ji auch ein n o r m i e r t e s Polynom t(x) vom Grade n. Es gilt n u n : 1. Teilt s(a;) alle at(x), so teilt s(a;) auch t{x). — 2. t(x) seinerseits teilt alle af(x) und damit auch alle Polynome aus 9Jt. 1. folgt sofort aus der Gültigkeit einer Gleichung t(x) = \ {x) • a^x) + • • • + br(x) • aT(x). Nach dem Ausdivisionssatz haben wir ferner at(x) = q^x) • t(x) = d^x); I di(x) | < | t(x) | = n (i = 1, . . ., r), und da die d((x) alle zu üffi gehören, muß d({x) = 0 (i = 1, . . ., r) sein. t(x) ist als normiertes Polynom durch die Eigenschaften 1. und 2. eindeutig bestimmt (vgl. die Bemerkungen von S. 15 über wechselseitige Teilbarkeit). Wir nennen t(x) d e n und jedes von t(x) nicht wesentlich verschiedene Polynom t^x) e i n e n g r ö ß t e n g e m e i n s c h a f t l i c h e n T e i l e r (abgekürzt: gr. g. T.) von a^x),. .ar{x). F ü r zwei Polynome a^x), a2(x) gibt es ein einfaches Verfahren zur Berechnung des gr. g. T. ( s o g e n a n n t e r E u k l i d i s c h e r A l g o r i t h m u s ) . Wir bilden, solange ai+2(x\ =|= 0 , durch schrittweise Ausdivision die K e t t e : a^x) = qx(x) • a2(x) + a3(x), a2(x) = q2(x) • a3(x) + ai(x),..., a^x) = qt{x) • at +1(x) + al+2{x),... (| a^x) | ;> | a2(x) | > | a3{x) | > • • • > | at(x) !>•••)• Wegen der Gradungleichungen gibt es ein r, derart daß a a s0 a x r+ iix) =1= Oi ar+2(x) — l r( ) = 1r(x)' «r+i(®)- Durchl ä u f t man die Gleichungskette vom 1-ten bis zum r-ten

§ 3. Polynome in einer Unbestimmten

17

bzw. rückwärts vom r-ten bis zum 1-ten Glied, so sieht m a n , daß ar+1{x) die Eigenschaften 1. und 2. des gr. g. T. besitzt und somit e i n (im Falle der Normiertheit sogar d e r ) gr. g. T. von «¡(x), a2 (x) sein muß. — Die Berechnung eines gr. g. T. f ü r r Polynome a1(x),.. ., ar(x) läßt sich leicht auf den Fall r = 2 zurückführen. Man h a t sich nur zu überlegen: Ist t^x) ein gr. g. T. von a1(x), a2(x) u n d t(x) ein gr. g. T. von t^x), a3(x), . .., ar(x), so ist t(x) auch ein gr. g. T. von a^x), . . ., ar(x). Das Hauptergebnis unserer Überlegungen fassen wir zusammen: r von 0 verschiedene Polynome a^x),.. ., ar(x) besitzen stets einen mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus berechenbaren gr.g. T. t(x), der durch die Eigenschaften 1. und 2. bis auf einen Normierungsfaktor eindeutig bestimmt ist. Für t (x) gilt stets eineGleichung t(x) = 6t(a;) • a^x) -| b br(x)- ar(x). Zwei Polynome heißen „ t e i l e r f r e m d " , wenn ihr gr. g. T. den Grad 0 besitzt, also bei geeigneter Normierung gleich 1 wird. Nach dem Hauptsatz über den gr. g. T. sind p(x) u n d q(x) d a n n u n d n u r d a n n t e i l e r f r e m d , w e n n e i n e G l e i c h u n g A(x) • p(x) + B(x) • q(x) = 1 g i l t . Aus dieser Bemerkung folgt sofort weiter: Ist q{x)-r{x) teilbar durch p(x), und sind p(x) und q(x) teilerfremd, so ist stets auch r(x) durch p(x) teilbar. In der Tat, aus q(x) • r(x) = p(x) • C(x), 1 = A(x) • p(x) + B(x) • q(x) ergibt sich: r(x) = p{x) • (A(x) • r(x) + B(x) • C(x)). Ebenso sieht man sofort: Sind die Polynome p(x) und q(x) über dem Körper S' teilerfremd, so sind sie es erst recht über jedem Oberkörper £ von SL Ist S' ein Körper, so ein nullteilerfreier Ring und wir können den Quotientenkörper S(a;) von bilden. besteht aus allen Polynomquotienten

(n(x) 4= 0) und heißt der „Körper der

rationalen Funktionen über S". 2

K r u l l , Elementare und klassische Algebra I .

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Abschnitt I. Formales Rechnen § 4. Unzerlegbare Polynome

Ein Polynom p(x) von positivem Grade aus = fijz] heißt (in „ u n z e r l e g b a r " , wenn es sieh in nicht als Produkt-von Faktoren niedrigeren Grades darstellen läßt, wenn es also in 5p außer den Elementen von £ und den nicht wesentlich verschiedenen Polynomen keine weiteren Teiler besitzt. Zu den unzerlegbaren Polynomen gehören jedenfalls alle Polynome vom Grade 1 („lineare" Polynome). Ein durch das unzerlegbare Polynom p{x) unteilbares Polynom a(x) aus (z. B. jedes Polynom a(x), dessen Grad kleiner ist als der von p{x)) ist stets zu p(x) teilerfremd. Zerlegungssatz. In kann jedes normierte Polynom a(x) eindeutig als Produkt von endlich vielen normierten unzerlegbaren Polynomen dargestellt werden, a(x) = p1(x) • p2{x) •... • Die Existenz einer Zerlegung der gewünschten Art ist fast selbstverständlich. Sie folgt einfach aus der Tatsache, daß jedes nichtunzerlegbare normierte Polynom als Produkt von Faktoren niedrigeren Grades dargestellt werden kann, die nach einer früheren Bemerkung gleichfalls normiert angenommen werden dürfen, sowie aus der Bemerkung, daß bei keiner Zerlegung a(x) = a1 (x) • . . . • at(x) die Faktorenzahl t größer sein kann als der Grad von a(x). — Es sei ferner a(x) = Pj(«)•... -ps{x) =p[{x) •... -p'S'(x), wobei sowohl die Pi(x) als auch die p\(x) alle unzerlegbar und normiert sind. Sind dann etwa PK+I(x)-, PK+i(x), • • • Ps'{x) durch p1(x) unteilbar, so sind diese Polynome zu Pi(x) teilerfremd, und es muß infolgedessen, wie bereits festgestellt p[(x)-... •P'K(X) durch p1(x) teilbar sein. Aus dieser Bemerkung folgt sofort, daß mindestens ein p'i(x), etwa p[(x), durch pt(x) teilbar ist. Als unzerlegbares Polynom ist dann p't(x) von rf'i(x) nicht wesentlich verschieden, und wegen der Normierungsvoraussetzung müssen p^x) und p[ (x) sogar identisch sein.

§ 4. Unzerlegbare Polynome Aus

p

nun

weiter

1

(x)-((p

2

p.,(x)

( x ) - . . . - p s ( x ) ~ p'2(x)-... • . . . •ps(x) =

19 •p',.(x))

p'^(x) •. . . •

=

0

und

folgt aus

dieser letzteren Gleichung schließt man wieder, daß bei geeigneter Numerierung p2(x) = p'2 (x) werden muß. So beweist man schrittweise die Eindeutigkeitsbehauptung des Zerlegungssatzes. — Läßt man im Zerlegungssatz die Normierungsvoraussetzung fallen, so ist die Eindeutigkeitsbehauptung folgendermaßen zu formulieren: Sind a(x) = Pi{x)

•..

. • Ps{x)=Pi{x)

• . . . • p'g'(x) zwei Zerlegungen v o n

a(x) in unzerlegbare Faktoren, so ist s = s', und es sind bei geeigneter Numerierung Pi(x) und p'i(x) (i = 1,.. . s) jeweils nicht wesentlich verschieden. Die Zerlegung eines bestimmten Polynoms in unzerlegbare Faktoren hängt wesentlich von dem zugrundegelegten Beiwertkörper ab. Bs sei z. B. bzw. % r bzw. ißt der Polynomring in x über dem Körper S 0 bzw. Sfr bzw. ffij. aller rationalen bzw. aller reellen bzw. aller komplexen Zahlen, a(x) bedeute das allen drei Polynomringen angehörige Polynom x* — x 2 — 2. Dann zerfällt a(x) in in die beiden unzerlegbaren Faktoren x 2 — 2 und x2 + 1. In $pr wird x 2 — 2 zerlegbar x* — 2 = (x— |/2) • (x + |/2), während x 2 + 1 unzerlegbar bleibt man hat also a(x) = (x - / 2 ) • (x + / 2 ) • (x 2 + 1). In qSfc schließlich wird auch 2 2 x + 1 zerlegbar, x + 1 = (x — i) • (x + i), und es ergibt sich a(x) = (x — j/2) • (x + |/2) • (x — i) • (x + i). Bei weiterer Vergrößerung des Beiwertkörpers ändert sich an der Zerlegung von a(x) nichts mehr. — Die Aufgabe, jedes beliebig vorgegebene Polynom rechnerisch in seine unzerlegbaren Faktoren aufzuspalten, ist nur bei besonderer Wahl des Beiwertkörpers allgemein lösbar. Zu dem wichtigsten Fall (Beiwertkörper vgl. §12, sowie den Kleindruck von § 13. Ist p(x) in £[a;] unzerlegbar, und q(x) nicht durch p(x) teilbar, so ist p{x) über St und also nach § 3 auch über jedem Oberkörper £ von £ zu q(x) teilerfremd. Daraus folgt der wichtige Satz: Ist

p(x)

Polynom 2*

unzerlegbar

in

aus ®[a:], das mit

und p(x)

bedeutet

über

irgend

q(x) einem

ein

beliebiges Oberkörper

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Abschnitt I. Formales Rechnen

£ von S einen Teiler t(x) von positivem Grade gemeinsam, (z. B. einen Linearfaktor x—oc, -j[xn], so e r h a l t e n wir als E n d e r g e b n i s d e n P o l y nomriiig = 9 t x n \ in n U n b e s t i m m t e n ü b e r Die E l e m e n t e v o n 9 ß „ w e r d e n als P o l y n o m e i n n U n b e stimmten über b e z e i c h n e t . E i n ( v o n 0 verschiedenes) P o l y n o m p(x) aus . . ., xn] ist eine endliche S u m m e der Gestalt

§ 5. Polynome in endlich vielen Veränderlichen (1)

p{x)

=

p(xlt

N 2 , Oii • x[U

...,Xn) =

21 XTnni

• ...•

¿= 1 wobei die Beiwerte von 0 verschiedene Elemente aus 9t, die rki (i = 1 , . . k = l,...,n) nicht negative Zahlen sind, und wobei noch vorausgesetzt werden darf und soll, daß f ü r keine zwei verschiedenen Indizes ilt i, durchweg r i:i1 = i'n, wird. Wir sagen, das Potenzprodukt x** • . . . • x/n „trete in p(x) wirklich auf", wenn in (1) unter den Exponentensystemen ru,.. ., rni unter anderem auch das System rx, ..,rn vorkommt. Unter dem „konstanten Glied" von p(x) verstehen wir dasjenige Element aus 9t, in das p(x) durch die Substitution xl = . . . = xn — 0 übergeht. Ein echtes Polynom ist ein von Null verschiedenes nicht zu 9t gehöriges Element aus 9t [ a ^ , . . . , xn]. Urafürdie,,Glieder"«-a;i 1 -...-a!^ n von p(x) eine Reihenfolge festzulegen, führen wir unter den Potenzprodukten xl 1 • . . . • xn n eine Rangordnung ein. Xi' • ... • x„" heißt „ h ö h e r " als xll-...-xnn, wenn die erste von 0 verschiedene unter den Differenzen — . . ., a n —bn positiv ist. Die in p(x) wirklich auftretenden Glieder sollen dann so geordnet werden, daß die zugehörigen Potenzprodukte in abnehmender Höhe aufeinander folgen. Das bei dieser Anordnung an erster Stelle stehende Glied