Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt: I Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt [2., erw. Aufl. Reprint 2011] 9783111604817, 9783111229621

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S A M M L U N G GOSCHEN BAND 930

Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt Von

Dr. Wolfgang Krull o. Professor an der Universität Bonn Zweite, erweiteite Auflage

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vormals G J Goschen'sche Verlagshandlung J Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer · Karl J Trübner Veit & Comp

Berlin 1952

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

Archiv-Nr. 110930 Druck von A. W. Hayn's Erben, Berlin SO 56 Printed in Germany

Inhalt. Seile

Vorbemerkungen Abschnitt I: Formales Keehnen § § § § § § § §

1. 2 3 4 5 6 7

Der Korperbegriff Quotientenkorperbildung Polynome in einer Unbestimmten Unzerlegbare Polynome Polynome In endlich vielen Veränderlichen Symmetrische Funktionen Restklassen, insbesondere nach Polynomen Restklassen nach ganzen Zahlen, Körper von PrimzahlCharakteristik

5 6 9 13 17 19 21 24 20

Abschnitt II: Nullstellen und Zerlegung von Polynomen § 9 Nullstellen Algebraisch abgeschlossene Korper § 10 Ableitung und mehrfache Nullstellen Die Diskriminante § 11. Nullstellen und Nichtnullstellen bei Polynomen in mehreren Veränderlichen § 12. Nullstellen und Unzerlegbarkeit rationalzahliger Polynome § 13. Interpolation Faktorzerlegung ganzzahliger Polynome § 14. Nullstellen reeller Polynome Der Sturmsche Satz

27 30 32 33 37 40

Abschnitt III: Auflosung der Gleichungen ersten bis vierten Grades § 15 § 16 § 17. § 18 §1 . § 20 § 21. § 22.

Gleichung ersten und zweiten Grades Qudratwurzelkorper. Konstruktion mit Zirkel und Liueul Einheitswurzeln Binomische Gleichungen Gleichung dritten Grades Trigonometrische Behandlung des ,,casus irreducibilis" Auflosung der allgemeinen Gleichung vierten Grades Zwei quadratische Gleichungen in zwei Unbekannten Geschichtliche Bemerkungen

45 49 54 58 Cl 63 05 69

Abschnitt IV: Höhere Gleichungstheone § 23. Der Korpergrad g 24 § 25 § 26. S 27.

Der Gleichberechtigungssatz (Isomorphiesatz) Der Kronecker- Steinitzsche Fundamentalsatz Resolventenbildung Untersuchungen über die Auflosung der Gleichung dritten Grades S 28. Zyklische Gleichungen und Lagrangesche Resolventeu § 29. Unzerlegbare zyklische Polynome. Die Galoissche Gruppe

71

75 78 SO 83 86 CO

Abschnitt V: Kreisteilungstheorie § 30. § 31. § 32 § 33.

Grundlagen und Problemstellung Zuordnung zwischen Gruppen und J^oipern Hauptsatz über n(x) Der Fall p —17 Anwendung und Verallgemeinerung

93 96 101 105

4

Inhalt/Literatur Seite

Abschnitt VI: Metazyklische und Radikalkorper § 34 § 35 § 36 § 37. § 38

Normalkörper Satz von Abel Mctazyklische Körper und Radikalkorper Der Abelsche Unmoglichkeitssatz Allgemeine Gleichung Ausblick auf die allgemeine Galoissche Theorie Geschichtliche Bemerkungen

107 112 117 123 126

Anhang Der Fundamentalsatz der Algelira

Sachverzeichnis

128

135

Literatur. 1. Bieberbach-Bauer, Algebra. Leipzig, Teubner 1928. 2. H. Hasse, Höhere Algebra. I. Lineare Gleichungen. Sammlung Goschen Nr. 931. 3. H.Hasse, Höhere Algebra. II. Gleichungen höheren Grades. Sammlung Goschen Nr. 932. 4. H. Hasse u. W. K l o b e , Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Sammlung Goschen Nr. 1082. 5. 0. Haupt, Lehrbuch der Algebra. 2 Bde. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft m. b. H. 2. Aufl. 1952. 6. O.Perron, Algebra. 2 Bde. Berlin, Walter de Gruyter & Co. Goschens Lehrbucherei Bd. 8 u. 9. 3. Aufl. 1951 u. 1952. 7. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra I. Grundlehren d Math. Wiss. 33. Berlin, Springer, 3. Aufl. 1950.

Vorbemerkungen. In dem vorliegenden Buche habe ich mich bemuht, möglichst vollständig diejenigen Teilgebiete der mchtlmearen Algebra, insbesondere der Gleichungstheorie zu behandeln, die auch dem der Algebra ferner stehenden Mathematiker vertraut sein sollten. Gleichzeitig war es mein Ziel, durch die Form der Darstellung den Leser in die moderne Denkweise einzuführen und ihn so auf die eigentliche „Höhere Algebra' vorzubereiten Zu den einzelnen Abschnitten sei bemerkt: Abschnitt I enthalt eine Neubegrundung des bereits auf der Schule geübten Buchstabenrechnens unter Voranstellung des für die moderne Algebra grundlegenden Korperbegriffs. Der Anfanger möge gerade diesen Abschnitt sorgfaltig durcharbeiten. In Abschnitt II werden die rationalen Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Beiwerten (Koeffizienten) algebraischer Gleichungen und die Zerlegung ganzzahhger Polynome behandelt. Auch der Sturmsche Satz hat hier seinen Platz gefunden Die elementare Auflosung der Gleichungen 2. bis 4. Grades durch Wurzelzeichen bringt Abschnitt III. Höhere Gesichtspunkte — eine Einfuhrung in den Gedankenkreis des Bezoutschen Satzes — finden sich dort, wo die homogene Schreibweise benutzt wird, vor allem bei der Losung zweier simultaner quadratischer Gleichungen. — Abschnitt IV behandelt zunächst die Konstruktion algebraischer Oberkörper nach Kronecker und Steinitz, sowie die moderne Gradtheorie. Im übrigen schließt sich der Abschnitt eng an die geschichtliche Entwicklung an, indem als Vorbereitung für die Gaußsche Kreisteilungstheone von Abschnitt V die Untersuchungen von L a grange besprochen werden, die für die moderne Gleichungstheorie grundlegend geworden sind. Unmittelbar bis zur allgemeinen Galoisschen Theorie fuhrt Abschnitt VI. Zunächst wird — ohne Gruppentheone — gezeigt, daß metazyklische Korper und Radikalkorper im wesentlichen gleichwertige Begriffe sind, dann werden für die „allgemeine Gleichung" die Hauptsätze der Galoisschen Theorie in Lagrangeschem Geiste abgeleitet. So ist abschließend ein Standpunkt erreicht, von dem sich einerseits die Weiterentwicklung leicht überblicken laßt, und von dem aus andrerseits vor allem der Grundgedanke des Abelschen Beweises für die Unmöglichkeit der Losung der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch Radikale völlig durchsichtig wird. — In einem Anhang wird der Gaußsche „Fundamentalsatz der Algebra" vom modernen Standpunkt kurz behandelt.

Abschnitt I. Formales Rechnen. § 1. Der Körperbegritt. Die Algebra wird beherrscht von den vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division. Der Leser geht am besten mit diesen Rechnungsarten zunächst so um, wie er es vom elementaren Buchstabenrechnen her gewohnt ist. Eine Zusammenstellung derjenigen formalen Eigenschaften der Addition usw., auf die es in der Algebra allein ankommt, findet sich am Schlüsse des Paragraphen. Ein System 9 , für dessen Elemente Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert und unbeschrankt ausführbar sind, wird als „Ring" bezeichnet. Ist in 3 außerdem auch die Division durch von 0 verschiedene Elemente unbeschrankt ausfuhrbar, so heißt Sft ein „Korper". — Der Ring 9ft ist dann und nur dann ein Körper, wenn Sfä gleichzeitig mit einem beliebigen Elemente a ={= 0 stets auch das dazu reziproke Element a~l = — enthält, Die Bedeutung des Ring- und Kdrperbegriffs erkennt man am besten durch die Betrachtung von Beispielen. Beschränkt man sich, wie wir im Folgenden, so weit nichts anderes ausdrücklich angegeben wird, stets tun wollen, auf die Betrachtung von solchen Ringen und Körpern, bei denen das weiter unten erwähnte Element 0 bzw. l mit der Zahl 0 bzw. l zusammenfallt, so ist der einfachst denkbare Ring das System 9^, aller positiven und negativen ganzen Zahlen (einschließlich der Null). Das Teilsystem aller positiven ganzen Zahlen bildet für sich allein keinen Ring, da die Subtraktion rtnerhalb dieses Teilsystems nicht unbeschrankt ausfuhrbar

§ 1. Der Korperbegriff

7

ist. Der einfachste Korper $0 besteht aus allen rationalen Zahlen, also aus allen Brüchen der Form ^(« > &o in 9 0 ; 60

).

Die Menge ®r aller reellen Zahlen, also aller endlichen oder unendlichen Dezimalbruche, stellt einen echten O b e r k ö r p e r von Ä0 dar, also einen Korper, der alle Elemente von ®0, außerdem aber auch nicht zu ®0 gehörige Elemente enthalt. Einen echten Oberkörper von ®r bildet die Menge ^ aller komplexen Zahlen, also aller Zahlen der Form ot = a -j- bi (a und reell, i imaginäre Einheit). Bei der Betrachtung von ®k hat man die Rechenregeln (a + bi) ±(c + di) = (a±c) +1 (b± 2d>; 2 (a1 + In) · (c + du) = (ac — bd) + (ad + & , (a + fti)" — (a + )" · (a— bi) zu beachten. Aus diesen Regeln folgt nun, daß auch das System &% aller „rationalen komplexen Zahlen", d. h. aller = a + bi (a, b m $0) einen Korper darstellt. S?'fc ist ein echter Oberkörper von ®0 und ein echter Unterkorper von A*. Von den Korpern ®'Ä, ®r ist keiner im anderen enthalten. Der Durchschnitt von ®fc und ®r, d. h. die Menge aller gleichzeitig zu S'fc und Är gehörigen Elemente ist der Korper ®0. Ein für die Algebra charakteristischer Vorgang besteht darin, daß man aus einem gegebenen Korper ® bzw. Ring 9ft durch Hinzunahme neuer Elemente einen Oberkörper S bzw. Oberring Q, bildet. Dabei können die neuen Elemente „Unbestimmte" sein (vgl. zu diesem Begriff § 3, insbesondere Anm. 1)), es können aber auch zwischen ihnen und den Elementen von ® bzw. 9ft algebraische Beziehungen bestehen. Beide Möglichkeiten kommen bereits in der Schulmathematik vor. Das übliche „Buchstabenrechnen" ist nichts anderes als das Operieren in einem Korper oder Eing, den man aus einem geeigneten Zahlkorper (etwa aus 5 0, ®r, $*) durch Hinzunahme von endlich vielen Unbestimmten gewonnen hat. In diesem Sinne bringen die folgenden Paragraphen (bis § 7 einschließlich) einfach eine Entwicklung der Grundlagen des Buchstabenrechnens „vom höheren Standpunkt". Aber auch die Bildung von Oberkörpern mit algebraischen Beziehungen

8

Abschnitt I. Formales Rechnen

zwischen den neu hinzugenommenen Elementen und denen des Grundkorpers spielt schon in der Schulmathematik eine nicht unbetr chtliche Kolle. Die Bedeutung der blichen Eechenregeln f r Quadratwurzeln, insbesondere des „Wegschaffens der Quadratwurzeln aus dem Nenner" wird erst vom korpertheoretischen Standpunkt aus voll verstandlich. Die f r uns allem wichtigen Eigenschaften der Addition und Multiplikation sind bei beliebigen Ringen die folgenden: a) (a + V) + c = a -f (b -\- c); (a - Z>) · c = a · (& · c] (assoziatives Gesetz). b) α -f δ = δ + α; α · δ — δ · α (kommutatives Gesetz). c) (a -\- δ) · c = a · c -\- b · c (distributives Gesetz). d) Es gibt ein „Nullelement" bzw. „Emheitselement" 0 bzw. l der Addition bzw. Multiplikation, das f r jedes a der Gleichung α -f- 0 = a bzw. α · l = α gen gt. e) Zu jedem α gibt es ein (eindeutig bestimmtes) Element — a, f r das a -f (— a) = 0 wird. In jedem Korper gilt au erdem f) Es gibt zu jedem Element a φ em (eindeutig bestimmtes) Element a"1, f r das α · a-1 = l wird. Aus e) folgt sofort die allgemeine eindeutige Ausf hrbarkeit der Subtraktion, d. h. die L sbarkeit der Gleichung a-\-x=b. Analog ergibt sich aus f) die M glichkeit der Division durch jedes αφΟ. Besonders betont sei die Tatsache, da die Division durch Null grunds tzlich ausgeschlossen ist. Die Gleichung a · 0= 0 ist eine einfache Folge von c), gilt also in jedem Ring. Im brigen beschranken wir uns auf die Betrachtung von solchen Ringen, m denen keine „Nullteiler" auftreten, d. h. Ringe mit der Eigenschaft: g) Aus α · l = ~ , αφ folgt 6 = 0".

§ 2. Quotientenkorperbüdung

9

Bei einem Korper ist g) selbstverständlich, denn aus a · = 0, a =j= 0 ergibt sich durch Multiplikation mit a"1 sofort: 0 = a-1 - 0 = a-1 · (a · ) = (a-1 · a) · = f· = . Da sich das Nullelement 0 bzw. das Einselement weitgehend analog den Zahlen 0 und l verhalten, lassen wir in Zukunft dort, wo kein Mißverständnis zu befurchten ist, den Querstrich fort und schreiben einfach 0 und 1. Dem für abstrakte Überlegungen interessierten Leser sei empfohlen, überall dort, wo wir einen gegebenen Korper oder Ring zu einem Oberkörper oder Oberring erweitern, sorgfaltig nachzuprüfen, daß die für den Ausgangsbereich vorausgesetzten Eigenschaften a) bis f) bzw. a) bis e) auch dem Oberbereich zukommen1).

§ 2. Quotientenkorperbüdung. Die folgenden Betrachtungen zeigen an einem einfachen Beispiel den praktischen Wert des allgemeinen Korper- und Ringbegriffs. Bekanntlich ist das Rechnen mit Brüchen, insbesondere die Addition und Division, auch fur viele der Schule entwachsene Gebildete keineswegs eine einfache Sache. Wir behandeln nun die Aufgabe, einen ganz beliebigen, von Nullteilern freien Ring 3i genau so zu einem Korper ® zu erweitern, wie man es bei dem Ring 9^ der ganzen Zahlen macht, wenn man durch Emfulirung der gewohnlichen Bruche zum Korper ®0 der rationalen Zahlen übergeht. Dabei wird sich zeigen, daß der allgemeine Fall in gewissem Sinne leichter zu erledigen ist als der von der Schule her bekannte Spezialfall. — Der gesuchte Korper $ soll offenbar aus allen formalen „Brüchen" - (a und 0

in 3t,

) bestehen („Quotientenkorper"'),

wobei insbesondere für beliebige a stets - —- a zu setzen ist. ') Vgl hierzu Hasse, Höhere Algebra I, Goschen, Nr 931, §1.

10

Abschnitt I. Formales Kechnen

d Aus der Tatsache, da der Bruch — eingef hrt wird, um eine L sung der Gleichung δ · χ = a zu erhalten, ergibt sich sofort zwangsl ufig die folgende Gleichheitsdefinition: r-i- = -r^ in ® dann und nur dann, wenn % · &2 = a3 · &j in 9$. &1

»2

In der Tat, soll ~ = -^ sein, so mu , da ja die Gesetze a) Oy

P!

(a, \ bis f) in 5Ϊ gelten sollen, notwendig % · &2 = l -r- ' &i l ' &2 \°i / l

/τ

τ \

^*2

/·?

τ \

l

2

τ

ι

τ

τ

*

= ~r ' (h ' &2) = τ- · (J2 · Ji) = h- · &2 Γ δι = «2 · &i sein. °1

\°2

°2

/

Haben wir umgekehrt o, · J2 = α2 · δυ wobei δα Φ Ο, δ2 Φ Ο und damit wegen der Nullteilerfreiheit von 9Ϊ auch &j · δ2 Φ 0 α, /α, \ ist, so haben wir in anderer Schreibweise— (^ · J ) — U~ ' &i r*2 2 6 i \&i /

\°2

2

ί

-

-

=o

2/

und daraus mu wegen der Nullteilerfreiheit jedes Korpers «l

«2

Unsere Gleichheitsdefinition ist also jedenfalls zwangsl ufig festgelegt, es fragt sich nur, ob di se Definition auch immer brauchbar ist1). Dazu ist zu zeigen: 1. ~ = -^ („Reflexi&i \ vitat") 2. Aus ^ = -^ folgt -^ = -^ („ Symmetrie") 3. Aus bl b2 i>2 j « L = = o , ^= ^

«i^^ („Tnmritivitat"). l- und 2.

') Vgl. hierzu Hasse I a a O. § 2.

§2. Quotientenkorperbildung

sind aber in unserem Fall klar. Ist ferner α·$2 = aj)3 = fl3J2 (pj φ Ο, &2 Φ Ο, 03Φ 0), so haben wir Oj · 02 · &3 = a2 · ot · Z>3 = a3 · &j · &2, (% · 03 — a3 · 0j) · &2 = 0 und weiter wegen 0 2 φ Ο und der Nullteilerfreiheit von 9Ϊ: a^ = a3&1}

Bedingung 1. 2. und 3. sind also erf llt, unsere Gleichheitsdefinition ist stets brauchbar. Aus ihr ergibt sich sofort die a a ·c M glichkeit des Erweiterns und Kurzens, — = -- (e Φ 0), o o ·c d sowie die Tatsache, da γ dann und nur dann zu 9$ geh rt,

et c da — = — = c wird, wenn „a in 9Ϊ durch δ teilbar" ist, d. h. o l wenn in 9Ϊ eine Gleichung a = b - c gilt. — Auch die Definitionen von Addition und Multiplikation ergeben sich sofort zwangsl ufig: Offenbar mu (Z>j · J2) · l -^ -f ^1 = (Z>j · 63) · r-i \ "i DM "i

+ (\'^'Ί~ = V «i + V «a und (&Γ & ) ' (τ1 ' -^1 = «i ' «a °2

\ °1 1

fl

2

°2/

α

Ί ' b» -l·

j ' &i

werden, d. h. man hat zu setzen — + — = — \—-- , t>i 02 Οχ · o2 -i · -^ = * 2 . Es ist nun noch zu verifizieren, da bei diesen &i o2 &! · 62 _

.

.

,

C, , .

.

d·,

Cln

C-,

C»

Definitionen aus -^ = 4 (i = 1.2) stets -^ + ·=-? = -j- + -/ , ο, α, c>i o2 flfj a2 Γ- ' -^ = -r ·-r- folgt, und da die formalen Bedingungen a) PI 02 »i 4 bis f) von § l f r die Addition und Multiplikation erf llt sind. Aber das sind ganz einfache berlegungen, deren Durch-

12

Abschnitt L Formales Rechnen

fuhrung dem Leser überlassen werden kann. (Man muß dabei dauernd die Tatsache ausnutzen, daß der Ring 3 jedenfalls den Forderungen a) bis e) genügt.) Naturlich wird—- - =

;

=

( 0), das letztere wegen ·- - = —- = 1. — a o a a' o Damit ist nicht nur die Existenz des Quotientenkorpers & gesichert, es ist auch, da wir zwangsläufig auf die Definitionen von Gleichheit, Addition und Multiplikation kamen, nachgewiesen, daß Ä durch den Ausgangsring eindeutig bestimmt ist. Dabei waren die entscheidenden Überlegungen so einfach, daß ihre Rekonstruktion nach einmaliger grundlicher Durchdenkung auch dem Mindergeubten keine Schwierigkeit machen durfte. — Anders ist es bei der üblichen Einfuhrung der rationalen Bruche in der Schulmathematik. Hier werden einerseits gewöhnlich die zwischen den ganzen Zahlen bestehenden, aber für die Quotientenbildung unwesentlichen Großenbeziehungen zu früh ins Spiel gebracht. (Einteilung der positiven Bruche m „echte" (< 1) und unechte (> 1), Darstellung eines Bruches als „gemischte Zahl", d. h. Herausziehung des größten Ganzen). Andererseits und hauptsachlich wird viel zu großes Gewicht auf die Tatsache gelegt, daß wegen der eindeutigen Pnmfaktorzerlegung, also einer ganz speziellen und keineswegs selbstverständlichen Eigenschaft der ganzen Zahlen, jeder rationale Bruch eine „gekürzte" Normaldarstellung besitzt. Das fuhrt vor allem bei der Bruchaddition zur Vernachlässigung der einfachen und allgemeinen Formel ,-1 + ^ = -^—j-^-i Öj

t>2

DI ' 0%

und zum ausschließlichen Arbeiten mit dem „Hauptnenner", dessen Berechnung die Bildung des „kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen" von \ und &2, d. h. die Losung einer durchaus nicht trivialen zahlentheoretischen Aufgabe erfordert. — Bei einem beliebigen Ausgangsring 9l bleibt die Bestimmung des Hauptnenners erspart, weil ein solcher keineswegs immer existiert. Die Betrachtung des allgemeinen „abstrakten" Falles fuhrt also hier zwangsläufig zu dem einfachen und gerade auch für den Ungeübten empfehlenswerten Aufbau der Bruchrechnung.

§ 3. Polynome m einer Unbestimmten

13

§ 3. Polynome in einer Unbestimmten. Es sei ® ein beliebiger Korper, eine Unbestimmte1), * = $ [ ;] bedeute den „Polynomriffg in über ®". d.h. die Menge aller „Polynome" p(x) = 00 + 0^+ ---- h anxn (w:> O)2) bei denen die „Bei werte" (Koeffizienten) a, dem Korper ® angehören. Addition, Subtraktion und Multiplikation erfolgen in *ß nach bekanntem Schema:

(a0 + (a0 +

a;2

Daß ^ ein Ring ist, ist selbstverständlich; daß iß keinen Korper darstellt, folgt z. B. aus der Tatsache, daß -1 — — nicht zu gehört. Unter dem „Grad" des Polynoms p(x) versteht man den Exponenten der höchsten Potenz von x, die in p(x) „wirklich", d. h. mit einem von 0 verschiedenen l ) Eine „Unbestimmte" im Sinne des Textes ist einfach eine Rechenmarke Wesentlich Ist, daß x, mit den Elementen des Ausgangskorpers durch keine algebraische Beziehung verknüpft ist, daß also keine Gleichung xn + a,a;71""1 + · · · + an = 0 mit Beiwerten at aus ® gilt In diesem Sinn sind z B die Zahlen e und n Unbestimmte über dem Körper Äa der rationalen Zahlen, — (aber nicht über dem Korper $P der reellen Zahlen, der ja selbst e und als Elemente enthalt). Andererseits braucht bei Anwendungen eine Unbestimmte keineswegs immer als Zahl gedeutet zu werden Sehr häufig wird z B über dem Korper aller reellen oder aller komplexen Zahlen unter irgend eine Funktion, — etwa w = —, w = sin z usw —, zu verstehen sein, und zwar die Funktion im ganzen, nicht der Funktionswert an einer einzelnen Stelle Im übrigen ist die Möglichkeit derartiger anschaulicher Deutungen von für unsere algebraischen Betrachtungen nebensachlich — Man unterscheide scharf zwischen dem Begriff der ,,Unbestimmten" und dem der (mirgend einer Gleichung auftretenden) „Unbekannten". *) Potenzen mit ganzzahligem Exponenten können in jedem Ring in der aus der Elementarmathematik bekannten Weise gebildet werden. Insonderheit wird stets a° = l gesetzt, auch für o = 0.

14

Abschnitt L Formales Rechnen

Beiwert auftritt. Aus dem Multiplikationsschema der Polynome folgt sofort der

Gradsatz. Der Grad des Produktes zweier Polynome ist gleich der Summe der Grade der Faktoren. Der Gradsatz zeigt insbesondere, daß das Produkt zweier von Null verschiedener Polynome stets selbst von Null verschieden ist. Aus a(x) · b(x) = a(x) · c(x), a(x) =\= 0 folgt daher (wegen a(x) · (b(x) — c(x)) = 0) stets ~b(x) = c(x).

Das Polynom p(x) heßt „teilbar" durch das Polynom q(x), wenn der Quotien f

l *ü f wC i

.

t q(x)

zu *ß gehört, wenn also eine

Gleichung p(x) = q(x) · r(x) gilt. Ist p(x) durch q(x) teilbar, so kann wegen des Gradsatzes der Grad von p (x) nicht kiemer sein als der von q(x}; haben p(x) und q(x) den gleichen Grad, so unterscheiden sie sich nur um einen Faktor a aus dem Beiwertkorper ®, und es ist nicht nur p (x) durch q(x), sondern auch q(x) durch p(x) teilbar: p(x) = a- q(x\ q(x) = a'1 · p(x). Zwei wechselseitig durcheinander teilbare Polynome werden im Folgenden als „nicht wesentlich verschieden" angesehen. In jeder Schar wechselseitig durcheinander teilbarer Polynome gibt es ein einziges „normiertes" Polynom, das dadurch ausgezeichnet ist, daß bei ihm die höchste wirklich auftretende -Potenz den Beiwert l besitzt. Gleichzeitig mit l(x) und c(x) ist stets auch b(x) · c(x} normiert. Ist umgekehrt a(x] = b(x)· c(x) eine beliebige Faktorzerlegung des normierten Polynoms a(#),-und be.deutet bzw. den Beiwert der höchsten in b(x) bzw. c(x) \virklich auftretenden z-Potenz, so ist = -1, und es wird a(x) = (ß-1 · l(xj) - (ß - c(x}) eine Zerlegung von a(x), bei der die von b(x) bzw. c(x] nicht wesentlich verschiedenen Faktoren ß-1 -b(x) bzw. ß · c(x) beide normiert sind. Bei einem normierten Polynom braucht man daher nur Zerlegungen in normierte Faktoren zu betrachten. — Die Grundlage für die Teilbarkeitstheorie der Polynome bildet der

§ 3. Polynome m einer Unbestimmten

15

Ausdivisionssatz. Zu zuei Polynomen p(x) und q(x) von den Graden m und n (n^m) gibt es stets ein eindeutig bestimmtes drittes Polynom s(x), derart, daß der „Äesi" p(x) — q(x)-s(x) = r(x) ein Polynom höchstens (n — T)-ten Grades wird. Die Bestimmung von s(x) (und damit auch von r(x)) erfolgt nach dem von der elementaren. Buchstabenrechnung her bekannten Divisionsverfahren. Zunächst wählt man c0 so, daß in p(x)—c0xm~n · q(x) der Beiwert von xm gleich 0 wird, dann macht man (für m — l ^ n) durch geeignete Wahl von c± den Beiwert von a;™-1 m (p(x) —c 0 x^~ n · q(x)) — C1xm-n~1 · q(x] = p(x)~ (cQxm~n + CjZ"1-"-1) · q(x) zu Null usw. — Hat ferner sowohl rl(x) = p(x)—qfä'S^x) als auch r2(x) = p(x) — q(x) · s2{x) einen kleineren Grad als «, so ist auch der Grad von r1(x)~rz(x)=q(x) (s2(x)—s^x)) kleiner als der Grad n von q(x), und daraus folgt sofort rt(x) — rz(x) = 0, s1(o;) — s2(x) = 0. Offenbar ist p(x) dann und nur dann durch q(x) teilbar, wenn der Rest r(x) gleich Null wird. — Ist aber in der Gleichung p(x) = q(x) · s(x) + r(x) der Rest r(x) von 0 verschieden, und etwa vom Grade ^ < w, so dividiere man q(x) durch r(x) aus, q(x) — r(x) · s^x) -f r^x). Ist ferner r x von i( ) 0 verschieden und vom Grade n2 < nlt so bilde man zu r(x) und r^x) den zugehörigen Rest: r(x) = r^(x) - sz(x) + rz(x). Für r 2 (rc)=(=0 bilde man zu r^x) und rz(x) den Rest rs(x) usw. Wegen der dauernd abnehmenden Gradzahlen muß die Folge q(x), r(x), r^x), rz(x),... schließlich abbrechen, d. h. es muß schließlich ra(x) = ra_^(x] — r α2 ^ · · · ^> a„. Ware n mlich etwa a2 > alt so enthielte s(x1, . . . xn) neben α · χαι · z*' ' . · . · «i" das h here Glied α · a??1 · x"1 · . . . · #£"· b) Sind αι; «2, . . . an irgendwelche nichtnegative ganze Zahlen, f r die die Ungleichungen % ^za^··· ^« n gelten, so wird stets . ?1""' · ^'~a° · . . . · ;fcl~an · Xn eine symmetrische Funktion mit dem h chsten Glied x*1 · xf · . . . ·#£". c) Eine Folge von Potenzprodukten abnehmender Hohe kann niemals unendlich viele verschiedene Glieder besitzen. Es sei nun s+1 -f · · · -f a0 - br+s + ar+i · &,-i + ' ' ' + «r+s ' &o»

und daraus folgt sofort π(χ) auch als z-Polynom diese Eigenschaft besitzen mu , weil jede rationalzahlige Zerlegung ji(x) — m(x) · n(x) eine entsprechende Zerlegung P(y) = m(y -\- 1) · n(y -j- 1) = M(y)- N(y) nach sich zieht. § 18. Interpolation. Faktorzerlegung ganzzahliger Polynome.

Die „Interpolationsaufgabe", mit der wir uns im folgenden besch ftigen, besteht, anschaulich ausgedruckt, in der Bestimmung eines Polynoms m glichst niedrigen Grades, das x

) Zur Bildung der Blnomialkoeffizienten und zu ihren Teilharkeitseigenschaften vgl z B O Haupt, Lehrbuch d Algebra Bd l, Anhang, sowie S 335/336

38

Abschnitt II. Nullstellen und Zerlegung von Polynomen

an endlich vielen vorgegebenen Stellen vorgegebene Werte annimmt. Genau gesagt: Es seien %, . . . ui+l untereinander verschiedene Elemente aus einem beliebigen Korper ®. Jedem M, sei ein gleichfalls zu ® geh riges a, zugeordnet, wobei die a, nicht alle verschieden zu sein brauchen. Dann soll em Polynom a(x) von h chstens Z-tem Grade rational (also mit Hilfe der vier Grundrechnungsarten) so bestimmt werden, da die l -f l Gleichungen a(ut) = a, (i = l, ... l + 1) gelten.

Zun chst zeigen wir: a(x) ist, falls berhaupt vorhanden, eindeutig bestimmt. — Es seien n mlich a(x), b(x) zwei Polynome h chstens Z-ten Grades, f r die a(wt) = b(ut) = at (i = l, . . . Z + l) wird. Dann hat c(x) = a(x) — l(x) h chstens den Grad l, aber die l + 1 verschiedenen Nullstellen w„ und das ist nur m glich, wenn bei c(x) alle Beiwerte gleich 0 sind, wenn also a(x) = b(x) ist. — Es handelt sich nun noch darum, a(x) bei gegebenen u, und a, wirklich zu konstruieren. Eine sehr elegante Losung dieser Aufgabe liefert die sogenannte „Lagrangesche Interpolations-

formel": Es sei t(x) = Π -t (χ — wt), so da

t'(ut} =

Λ

(M, — «Ο · . · . · (MI — w«-i) · (ω, — MI+I) · . . . · (M, — ul+1) und

t(x)

X —U ,

= (x—uj · ... · (x~ «,_,) · (x—ut+1) ·...· (χ—

wird . Dann ist offenbar das gesuchte Polynom α (ζ) gegeben durch

(D

v

'

i'(ii\ \ ι/

Φ— ij ι

/' (u, \ i+i/Ϊ

·*'r — '

In der Praxis benutzt man an Stelle der Formel (1) zur Bestimmung von a(x) besser eine altere, auf Newton zur ckgehende Methode. — q0(x] = a^ bzw. % -J- —

ΐ - (χ — Uj)

~1ι(χ] i^ ein Polynom h chstens nullten bzw. ersten Grades, f r das qQ(uL) = % bzw. ?!(%) = ^,ΟΊ^) = J wird. Angenommen nun, es sei qk^l (x) von h chstens (A —1)-

§ 13. Interpolation. Faktorzerlegung ganzzahliger Polynome 39 tem Grade bereits so bestimmt, daß die k Gleichungen qic-i(ut) = a, (i = l, . . . fc) gelten. Dann ist offenbar

?t («) = ?*-! («) + (ttt+1 — Mj) ' (Wjfc+1 — tt J · . . . · (Mt+1 — M») (« — Mj) · (iC — Mj) · . . . · (« — ttt)

ein Polynom höchstens &-ten Grades, für das (Λ) Φ 0. — Damit ist der Fouriersche Satz bewiesen. Ein Spezialfall des Founerschen Satzes ist der Satz von Descartes: Die Anzahl der positiven bzw. negativen Wurzeln der Gleichung xn + % xn~1 φ · · · φ αη — 0 (an φ 0) ist h chstens so gro wie oder um eine gerade Zahl kleiner als die Anzahl der Zeichenwechsel in derFolgel, alt . . . an bzw. l, - alt (- 1)2 · % , . . . ( - l)n · an.

§ 15. Gleichung 1. und 2. Grades

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In der Tat, \vendet man den Fourierschen Satz auf das Intervall 0, + oo (bzw. 0 N mit hinreichend gro em N an, und beachtet man, da /(2V), f ^ ( N ) , f W ( N ) , . . , f r hinreichend gro es N alle positiv sind, wahrend /(O) = a„, /U>(0) = £(,_!, /( 2 >(0) = 2 ΐ · α η _ 2 , . . . / ( « > ( 0 ) = ηΐ wird, so erhalt man sofort den auf die positiven Wurzeln bezuglichen Teil der Behauptung. Was die negativen Wurzeln von f(x) angeht, so beachte man, da diese identisch sind mit den positiven Wurzeln von /(— x). Man sieht nun m helos· Die Summe der Zeichenwechsel in den Folgen a0 = l, al5 a^ . an und a0 — l, — a1} (— l)2. a 2 , . . . (— l)n · an ist h chstens gleich n; sie ist dann und nur dann genau gleich n, wenn niemals zwei aufeinanderfolgende Glieder at, at+1 gleichzeitig 0 sind, und wenn f r at+1 = 0 die Glieder a t , α ί+2 stets entgegengesetzte Vorzeichen haben. Aus dieser Bemerkung und dem Descartesschen Satz ergeben sich sofort zwei wichtige Folgerungen: Hat die Gleichung f(x) = xn -\- a^xn~^ + · · · + an = 0 (an φ 0) lauter reelle Wurzeln, so ist die Anzahl der positiven izw. negativen Wurzeln von f(x) genau gleich der Zahl der Zeichenwechsel m der Folge l, ava2, .. an bzw. l, — aly (-1)2 · « a , . . . (- l}n ' an. Sind in f(x) = xn + α±χη~ι -\- · · · -f an (an =)= 0) «zwei aufeinanderfolgende Beiwerte a,,«i+1gleichO,oderistam = 0, wahrend at und a t+2 gleiches Vorzeichen haben, («0 = 1), so besitzt /(#) mindestens ein Paar komplexer Wurzeln. Abschnitt ΠΙ. Aufl sung der Gleichungen ersten bis vierten Grades. § 15. Gleichung 1. und 2. Grades. Die Losung einer linearen und einer quadratischen Gleichung m einer Unbekannten setzen wir als bekannt voraus.

46 Abschn. III. Auflosung d. Gleichungen ersten bis vierten Grades Insbesondere sei nur darauf hingewiesen, da bei einer quadratischen Gleichung (1) p(x) = a0x* + Oja; + Og = 0 (OB Φ 0) fur die Diskriminante (2) d = af — 4a0 az des Polynoms p(x) der Satz gut: d verschwindet dann und nur dann, wenn die beiden Nullstellen von p(x] zusammenfallen. Sind a„, Oj, a2 reell, so ist d> 0 oder d < 0 je nachdem ob die beiden Nullstellen von p (x) reell oder konjugiert komplex sind.

In entsprechender Weise setzen wir voraus, da der Leser mit der Losung von zwei oder drei linearen Gleichungen oder auch mit der Losung eines Gleichungssystems (3) x* + y2 + anx + at2y + a,3 = 0 (i = l, 2) von der Schule her vertraut ist. An einer Stelle (in § 21) werden Determinanten dritten Grades ohne vorherige Entwicklung der einschlagigen Theorie benutzt. Dagegen soll noch in zwei einfachen Spezialfallen auf einen praktisch sehr wichtigen Zusammenhang zwischen homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen etwas ausfuhrlicher eingegangen werden. Bei einem linearen inhomogenen System (4) e*r» + ««y-r· «« = 0 (ι = 1*2) gilt bekanntlich der Satz. Ist D = an - α 22 — α12 · αζι φ 0, so hat (4) genau eine Losung. Ist aber D — 0, so hat (4) entwede*r gar keine oder unendlich viele Losungen. An Stelle dieses Theorems, das wegen des Auftretens zweier M glichkeiten im Falle D = 0 nicht voll befriedigt, erhalten wir ein einfacheres, wenn wir statt (4) das homogene System (5) atlΧι + al2z2 + a(3 x3 = 0 (i = l, 2) betrachten und einerseits die triviale Losung x1=x2=x3=Q von der Betrachtung ausschlie en, andererseits zwei proportionale Losungen als nicht wesentlich verschieden ansehen: Vom Ausnahmefall au : a^ : al3 = αη : α 2 2 : α23, in dem unendlich viele wesentlich verschiedene Losungen existieren, abgesehen, besitzt (5) im wesentlichen genau eine Losung.

§ 15. Gleichung 1. und 2. Grades

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Der Beweis kann angesichts der unmittelbar folgenden Betrachtungen dem Leser überlassen werden. — Wenden wir uns zur Untersuchung einer linearen und einer quadratischen Gleichung, so erscheint es nach dem Bisherigen zweckmäßig, mit einem homogenen System t(&L, #2» ^3) = #i#i + ß2#2 + ^S^S ~

(6) q On #2, X3) = 6U a;} + 2 612 ^ z2 + Z>22 z* + 2613 ^ X3 zu beginnen, wobei wir voraussetzen, daß weder alle a, noch alle 6}Ä gleich 0 sind. Ist etwa a3 0, so können wir q(x11 OJ2, x3) hinsichtlich der Veränderlichen x3 durch l(xlt x2, x3) im Sinne von §3 ausdividieren: (7) q(xlt X2, x3) = l(x» X2, (6) ist dann gleichwertig mit dem System:

(8)

r fo, xj = dn x\ + 2d12 xl x2 + d22 x\ = 0 ;

Wie bei (5) sind nun zwei Hauptfalle zu unterscheiden: a) dn = d12 = d2? — 0, q(xli x2t x3) ist teilbar durch Z (xj,^,^). Unendlich viele wesentlich verschiedene Losungen, da xlt x2 willkürlich wahlbar, b) Nicht alle dlk gleich 0. Zwei Unterfalle: a) djl — dud22 = 0. Zwei wesentlich verschiedene Losungen x± = £tl, x2 = £,2 (i = l, 2), zu denen jeweils eindeutig x3— —a^ («i^u + a2£»i) tritt. (Falls dn = d22 = 0, d12 0, muß entweder = 0 pder x2 = 0 sein, und es kann £n = 0, £ia = l, £21 = l, £22 = 0 gesetzt werden. Ist aber etwa du 0, so wurde x2 = 0 sofort xt = x3 = Q nach sich ziehen, und man kann von r(x±, x2) = 0 wegen x2 0 zur quadratischen Gleichung r(x1· x~'lt 1) = 0 übergehen, die wegen