Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt: II Elementare und klassische Algebra : vom modernen Standpunkt [Reprint 2011 ed.] 9783111361796, 9783111004549

Citation preview

SAMMLUNG GÖSCHEN BAND933

ELEMENTARE UND KLASSISCHE ALGEBRA DR.WOLFGANG KRULL o. Professor an der Universität Bonn

II

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G J. Göschen1 sehe Verlagshandlung · J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer · Karl J. Trübner · Veit & Comp.

B E R L I N 1959

Copyright 1959 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. — Alle Hechte, einschl. der Hechte der Herateilung von Photokopien und MiTrrofilmen. von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110933. — Satz und Druck von Mercedes-Druck. Berlin SW 01. — Printed in Germany.

Inhalt Seite

Literatur Vorbemerkungen Abschnitt I: Gruppentheorie, insbesondere Theorie der Abbildungsgruppen S § § ! 5 5 ! § S §

1. Mengen und Abbildungen. Gruppen 2. Isomorphismen und Automorphismen 3. Invariante Untergruppen Isomorphiesatze 4. Homomorphismen von Eingen 5. Zyklische und Abelsche Gruppen 6. Metazyklische Gruppen 7. Permutationsgruppen 8. Endliche PennutationsgrupDen. Die Gruppen S^3^ und ©(0 . . . 9. Die alternierende Gruppe 5( ·) = ®w 10. Matrizengruppen

4 6

7 11 16 19 22 24 27 29 31

Abschnitt II: Galoissche Theorie. Reintranszendente Körper 5 § § 5 f § § §

11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

Automorphismengruppen von Mengenverbänden Galoissche Theorie Metazyklische Korper . . Eine Verallgemeinerung der Galoisschen Theorie Teilbarkeitstheorie Z.P.E.-Ringe Endliche Korpererweiterungen. Transzendenzgrad Automorphismengruppen reintranszendenter Korper Einfach transzendente Körper

. . . . .

. . . .

37 41 48 60 51 65 67 59

Absjhnitt III. Berechnungsprobleme und Homomorphiesätze § ä § § §

19. 20. 21. 22. 23.

Berechnung mit endlich vielen Schritten Berechnung von Galoisgruppen Die Diskriminante. Polynome 4. Grades . Homomorphiesatze für Galoisgruppen Endliche Korper. Galoisgruppen ganzzahliger Polynome

. . . .

64 69 72 76 79

Abschnitt IV: Affine und projektive Darstellungen. Gleichungen 5. und 6. Grades § 24. Galoisvektoren und Galoisräume 82 § 25. AnWendung auf die Darstellungen Ga(x) 87 § 26. Fundamentalpolynome. Problem der algebraischen Lösbarkeit. Normalkorper mit vorgegebener Gruppe 80 5 27. Projektive Darstellungen . . . . . . . . 97 5 28. Projektive Darstellungen 1. Grades. Die Ikosaederglelchung . . . 104

Abschnitt V: Bizyklische Gruppen und reelle Radikalkörper § § S S

29. Bizykllsche Gruppen 111 30. Metazyklische Gruppen und Polynome von Primzahlgrad . . . . lie 31. Bizyklische und Kummersche Korper . . . . . . . . . 119 3 2 , Reelle Radlkalkörper . . . . . . . . . . .123

Sachverzeichnis

isi

Aus dem Inhalt von Band I der Darstellung (Slg Göschen Band 930): Formales Rechnen / Nullstellen und Zerlegung von Polynomen / Auflösung der Gleichungen ersten bis vierten Grades / Höhere Gleichungstheorie / Kreisteilungstheorie / Metazyklische und Radikalkörper / Der Fundamentalsati der Algebra.

Literatur 1. L. Baumgartner, Gruppentheorie. Sammlung Göschen Nr. 837. 3. Aufl. 1958. 2. L. Bieberbach —G. Hauer, Algebra. Leipzig, Teubner 1928. 3. H. Hasse, Höhere Algebra. I. Lineare Gleichungen. Sammlung Göschen Nr. 931. 4. Aufl. 1968. 4. H. Hasse, Höhere Algebra. II. Gleichungen höheren Grades. Sammlung Göschen Nr. 932. 4. Aufl. 1968. 6. H.Hasse und W. Klobe, Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Sammlung Göschen Nr. 1082. 2. Aufl. 1952. 6. 0. Haupt, Einführung in die Algebra. 2 Bde. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft 2. Aufl. 1952/64. 7. F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 6. Grade. Leipzig, Teubner 1884. 8. 0. Perron, Algebra. 2 Bde. Berlin, Walter de Gruyter & Co. Göschens Lehrbücherei, Bd. 8 u. 9. 3. Aufl. 1951. 9. G. Pickert, Einführung in die Höhere Algebra. Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht 1951. 10. B. L. van der Waerden, Algebra I. Grundlehren d. Math. Wiss. 33. Springer-Verlag, 4. Aufl. 1955.

Vorbemerkungen Das vorliegende Buch bildet zusammen mit dem ersten Teil (Sammlung Göschen 930, im folgenden kurz mit I. zitiert) ein geschlossenes Ganzes. In L wurde der Leser vorwiegend an Hand der elementaren algebraischen Probleme des 16. und 17. und der frühklassischen des 18. Jahrhunderts an die „höhere Algebra" im üblichen Lehrbuchsinne herangeführt. Gleichzeitig wurde er mit den Grundgedanken der modernen Ring- und Körpertheorie im Sinne von Dedekind und Steinitz vertraut gemacht. Im zweiten Teil werden hauptsächlich Ergebnisse der klassischen Algebra des 19. Jahrhunderts behandelt, und zwar auf der einen Seite die Galoissche Theorie und ihre nächsten Anwendungen, auf der anderen die darstellungstheoretische Lösung des Normalformenproblems bei nichtmetazyklischen Gleichungen, deren Grundgedanken auf Felix Klein (1849—1925) zurückgehen. Dabei wurde inhaltlich und in der Form der Darstellung eine Überschneidung mit den bekannten großen Algebralehrbüchern (vgl. das Literaturverzeichnis von S. 4) soweit wie möglich vermieden, so daß auch der Leser, der eines dieser Werke schon kennt, in dem vorliegenden Büchlein neue Anregungen und Gesichtspunkte finden dürfte. Die Darstellung ist von vornherein durchaus „modern". Vor allem handelt es sich darum zu zeigen, wie wichtig es ist, systematisch mit Abbildungen beliebiger Mengen und mit Isomorphismen und Automorphismen von algebraischen Strukturen (Gruppen, Ringen, Vektorräumen) zu rechnen. In diesem Sinne werden schon in Abschnitt I die Grundlagen der Gruppentheorie aufgebaut, wobei Endlichkeitsvoraussetzungen nur dort gemacht werden, wo man sie wirklich braucht. Entsprechend wird in Abschnitt II die übliche Galoissche Theorie in eine Galoissche Theorie beliebiger Mengenverbände eingeordnet, um so dem Leser deutlich zu machen, wie einfach und weitreichend die Grundgedanken sind. In Abschnitt III tritt der moderne Standpunkt am deutlichsten bei der Formulierung der Homomorphiesätze von § 22 hervor, Bei der Behandlung der Kleinschen Beiträge zur algebraischen Gleichungstheorie in Abschnitt IV dürfte wohl auch der Kenner neue Gesichtspunkte finden. Denn hier war ein auch nur lockeres Anknüpfen an die Originalarbeiten von Klein ausgeschlossen, einerseits, weil der Platzmangel zur äußersten Sparsamkeit im Detail zwang, andererseits deshalb, weil vom modernen Standpunkt aus eine All-

6

Vorbemerkungen

gemeinheit und Ausnahmslosigkeit der Ergebnisse angestrebt werden mußte, die Klein bei der Schöpfung der Ikosaedertheorie der Gleichungen 5. Grades völlig fernlag. In Abschnitt V wurde der Sonderfall der bizyklischen Gruppen und Körper benutzt, um dem Leser klarzumachen, wie man die Galoissche Theorie praktisch anzuwenden hat, wenn es darauf ankommt, tiefere Einblicke in den Bau der metazyklisehen Nonnalkörper zu gewinnen. Es ergab sich so die Gelegenheit, in einem einfachen Beispiel das fundamentale Erweiterungsproblem der Gruppentheorie zu behandeln. Vor allem aber konnte im Schlußparagraphen gezeigt werden, wie ziemlich subtile gruppentheoretische Überlegungen nötig sind, um eine Frage vollständig zu beantworten, die beinahe schon zu Cardanos Zeit hätte gestellt werden können, nämlich die nach einer genauen Charakterisierung der reellen Radikalkörper von Frimzahlgrad.

I. Gruppentheorie, insbesondere Theorie der Abbildungsgruppen § 1. Mengen und Abbildungen. Gruppen Wenn wir es im folgenden mit Mengen zu tun haben, so handelt es sich stets um konkret gegebene Mengen, etwa um bestimmte endliche Mengen, um die Menge aller ganzen positiven Zahlen, um die Menge aller Elemente eines vorgelegten Körpers usw. Mit der Problematik des allgemeinen Mengenbegriffs brauchen wir uns daher hier nicht auseinanderzusetzen1), a E M bedeutet die Zugehörigkeit des Elementes a zu der Menge M, während M er N, N ? M besagt, daß M Untermenge (Teilmenge) von N, also N Obermenge von M ist. Soll die Möglichkeit M = N ausgeschlossen werden, so wird M M geschrieben. M ist der Durchschnitt von M und Nt also die Menge aller gleichzeitig zu N und M gehörigen Elemente; M = 0 bedeutet, daß der Durchschnitt leer ist. M U N ist die Vereinigungsmenge aller Elemente von M und N. Von einer Abbildung A der Menge M auf die Menge M' sprechen wir, wenn jedem a e M eindeutig ein a'e M' zugeordnet ist (in Zeichen: a A = a' oder auch a ->- a'), und zwar so, daß jedes a' e M' „Bild" mindestens eines „Urbildes" ist. Besitzt jedes a' genau ein Urbild a, sind also die Elemente von M und M' umkehrbar eindeutig einander zugeordnet, so heißt A umkehrbar oder eineindeutig. Eine umkehrbare Abbildung von M auf sich selbst wird als Permutation bezeichnet, entsprechend der bereits in I bei einer endlichen Menge {l, 2,..., w} benutzten Terminologie. l

) Vgl. hierzu etwa E. Kamke, Mengenlehre, Goschen. Nr. 999/999a.

8

I. Gruppentheorie

Sind Alt Az Permutationen von M, so definieren wir eine Permutation Az = A^ · Az von M durch die Festsetzung a AS = (a J.j) Az (a E M). Oder ausf hrlicher: c = a A^ wenn c = δ Α2, δ = a Av — Da A3 eine Permutation ist, folgt daraus, da zu jedem c e M bzw. δ e M genau ein δ bzw. a mit c = δ Az bzw. δ = α AI existiert. Im brigen besitzt das System G aller Permutationen einer festen Menge M folgende vier Eigenschaften: 1. Aus Ai e G (i = l, 2) folgt A1 · A2 E G. — 2. (A^ · A)· AI = A! * (J.2 · A) — „assoziatives Gesetz". — 3. Es gibt ein eindeutig bestimmtes E e C?, derart, da E · A = A-Et r alle A E G. — 4. Zu jedem A eG gibt es in G ein eindeutig bestimmtes Jr1 mit A'1 · A = A · A-1 ri

*~~ £j *

Beweis: 1. Bereits erledigt. 2. Wenn a A = Z», δ A = c> c A = d, dann α (A · Az) A = c A3 = d, (a J.x) (Az - A3) = 6 (AZ · A9) = d. 3. E ist die „identische Permutation": a E = a f r alle a e M. 4. Jr1 ist definiert durch a' Jr1 = a, falls a A = a' (Vertauschung von Bild und Urbild). Man bezeichnet nun allgemein eine Menge G von Elementen A, Bt Γ,... als Gruppe, wenn jedem Paar Alt Az aus G eindeutig ein drittes Element A% = A1 - Az zugeordnet ist, und wenn dabei f r die Verkn pfungsoperation, die i. a. als „Multiplikation" bezeichnet wird, die Bedingungen 1. bis 4. erf llt sind. E ist das „Einheitselement", kurz die „Eins" von V>' (&Ί» -» &',), ·« folgt- N ^ bzw. 2V" ^L wird im Falle eines Horn. A als homomorphes Bild von N bzw. homomorphes Urbild von N' bezeichnet (N c Jf, tf' c M'). Der Horn. ,d von M auf Ji' wird Isomorphismus (Is.) genannt, wenn .4 umkehrbar ist und wenn dabei auch r ckw rts aus φ' (a'lt... ..., a'T), ψ' (&Ί,..., &'r), ... stets 9? (a1}..., r), ψ (&!,..., &,),... folgt. Ein Is. von M auf sich selbst (M = M', φ = φ',ψ — ψ', .,.) hei t Automorphismus (k rz Aut.). Im folgenden kommen Horn., Is. und Aut. bei uns vor allem in drei F llen vor:

1. M und M' sind Gruppen mit · als Verkn pfung. — Hier haben wir in M und M' nur eine einzige, dreistellige Relation φ = φ', wobei φ (α1} α2, α3) bzw. φ (αΊ, α'2, α'3) die G ltigkeit der Gleichung a3 = αχ · α2 bzw. α'3 = α\ · α'ζ bedeutet. Die Homomorphiebedingung lautet daher: Aus at· A = a'i (i = l, 2, 3), a3 = fl^ · az folgt stets a'3 = a\ - a'z. — Man beachte: Jeder umkehrbare Horn, ist ein Is. Denn bei einem umkehrbaren Horn. A mu sich aus a'3 = a\- a'z f r eindeutig bestimmte Urbilder a»· = a't A1- (i = l, 2, 3) stets «j' a2 = a3 ergeben, weil wegen der Homomorphie sicher (a-^ · a2) A = a\ · a'z = a'3. 2. M und M' sind Abelsche Gruppen, und zwar hat M die Verkn pfung ·, dagegen M' die Verkn pfung +. Hier lautet die Homomorphiebedingung offenbar: aus a{ A = a't· (i = l, 2, 3), a3 = ax · az folgt stets a'3 = a\ + a'2. 3. M und M' sind Ringe. Hier haben wir in M undM' 2 zwei dreistellige Relationen φ = φ', γ = y;', und es bedeutet φ (α1? α2, α3) bzw. y (&1} &2> &3) soviel wie α3 = αχ + α2 bzw. J3 = J x . J2. Die Homomorphiebedingung ist also: aus a< 4 = a't, & 4 4 = l\ (i = l, 2, 3) folgt a\ + a\ = o'„ &'? · Z>'? = &'3. (F r den Spezialfall eines K rpers vgl. I, § 24.) Wie bei

§1. Mengen und Abbildungen

11

den Gruppen sieht man, da jeder umkehrbare Horn, ein Is. ist. Wir erl utern noch an einem weiteren Beispiel die sinnvolle Anwendung unserer allgemeinen Definitionen auf einen speziellen Fall. Es sei £0 der K rper der rationalen Zahlen, £ = ®0 (/ 2). Gefragt wird nach s mtlichen Aut. von ®, wobei wir ® in verschiedener Weise als Menge mit Struktur auffassen, a. Wir achten nur auf die Addition, hinsichtlich deren $ eine Abelsche Gruppe bildet. Dann folgt leicht aus der Tatsache, da jedes a e $ eindeutig in der Form α = α + δ · 1/2 (α, δ e 0) dargestellt werden kann: Setzt man 1A = ax + \ · V~2, \/ 2 A = az + \ · ]Λ2, (α + δ · J/~2) A = α·ίΑ-{-1'γ2Α, wobei αχ δ2 — αζ δχ Φ Ο, so entsteht ein Aut. von iff, und es kann umgekehrt jeder Aut. von SB auf die angegebene Weise gewonnen werden. — b. Wir beachten Addition und Multiplikation, fassen also $ als K rper auf. Hier mu a A = a sein f r jedes α e £0, undj r ]/ 2 A haben wir wegen, y~Zz = 2 nur die beiden M glichkeiten J/~2 A = J/ϊί, I/~2 A = — J/~2. Au er dem identischen Aut. E gibt es also nur den einen Aut.: (a + l · J/ 2) A = a — δ · |/2. — c. Wir beachten, da ®0 (/2) als Unterk rper des K rpers aller reellen Zahlen geordnet ist, da also neben ax + «2 = %' &i' ^2= &s eine dritte, zweistellige Relation Cj > c2 existiert. Dann ist au er den gew hnlichen K rperaut.-Bedingungen von einem Aut. noch zu fordern, da aus ^ A — c',· (* = l, 2) Cj > c^stets c\ > c*2 folgt. Wegen }/~2 > 0 mu also diesmal auch |/ 2^4 > 0 A = 0 gelten, d. h. es bleibt nur dieM glichkeit γ~2~Α =γ%, Α= Ε. Als geordneter Korper besitzt somit ® nur den identischen Aut.

§ 3. Invariante Untergruppen. Isomorphiesatze Sei G eine Gruppe mit den Elementen a, l,... und der Eins e. Sind KI, K2 Untermengen von G, so bedeutet K! · Kz die Menge aller Produkte % · az («t E Kt (i = l, 2)). Besteht K! (K2) nur aus einem Element a, so schreibt man auch α · Kz (.K,. · a). Aus (flj · a2) · a3 = % · (fl2 · a3) folgt sofort (K^ - K2) ' KZ = K! · (K2 · K3). —

Eine U n t e r m e n g e H von G ist dann und nur dann eine U n t e r g r u p p e , wenn aus «j- e H (i = l, 2) stets ax · az~l E H folgt.

12

I. Gruppentheorie

Beweis: Die Bedingung ist notwendig nach Axiom 1. und 4. von § 1. Ist sie erf llt, so folgt: e = a · a-1 e H (a e H), a-1 = e · a-1 e H (a e ff), ax · az = αχ · («2""1)"1 e ff (%> «a e fi). Es gen gt also, da 2. f r ganz G gilt, ff den Axiomen 1. bis 4. von § 1. — Ist H Untergruppe von G, so wird wegen Axiom 1. und 3. stets H - Ξ = H. Dar ber hinaus gilt: Eine endliche Untermenge H von Q ist sicher Gruppe, wenn E · H c H. Beweis: Ist a e ff, so folgt aus H · S c S schrittweise 2 a e H, a? e E,..., also a n e H f r alle «. "Wegen der Endlichkeit von H mu einmal an = an+m = an · am werden, und daraus folgt e — am durch Multiplikation mit a~n = (er1)". Wir haben also e e ff, or1 = α"*-16 ff. F r αχ, α2 e ff ergibt sich nun a^1 e ff, a^ - a^1 e ff wegen H · H ^ H. Sind ffj und ff a Untergruppen von (?, so ist es auch B! n ff2. Dagegen braucht ffx · ffa keine Untergruppe zu sein, denn es wird sich i. a. nicht jedes Produkt AJ · A2•AVA'a (hi, h'i G Hf (t = 1,2)) in der Form AVA" 2 (A'Veffj, A" 2 effa) darstellen lassen. F r F lle, in denen ffx · ff2 sicher Untergruppe ist, vgl. weiter unten. Unter den Rechts- (Links-)Nebenscharen der Untergruppe ff von C? versteht man die Mengen ff · α (α · ff) mit α e . Ist ff · a Φ ff · δ (α ff Φ δ · ff), so ist ff · a Π ff · δ = 0 (α · ff Π δ · ff = 0). Ist n mlich etwa A! · α = A2 · δ (AIf A2 e ff), so ist α = (Α^1 · Α2) · δ e ff · δ, b = (hz~l · Aj) · •a e ff · a, ff · a = ff · δ. — Jede Untergruppe ff von i? liefert also zwei Zerlegungen von G in paarweise elementefremde Untermengen. Bei einer endlichen Gruppe G bezeichnen wir mit o (G) die blicherweise Ordnung von 6? genannte ElementezaTil. Ist ff eine Untergruppe von G, so ist bei jeder Nebenschar ff · a ( a - H ) die Elementezahl gleich o (ff), da z. B. aus A! · a = A2 · a sofort Aj = (7^ · a) · r1 = (A2 · a) · a"1 = A2

§2. Isomorphismen und Automorphismen

13

folgt. Es ist also sowohl die Anzahl der Links- als auch die der Rechtsnebenscharen von H gleich o(G):o (H); die Ordnung der Untergruppe H ist demnach ein Teiler der Ordnung der Gesamtgruppe. Den Quotienten i (G:H) — o (G) :o(H) nennt man den Index von H in G. Für jedes feste c e G wird durch a 16 = c-1 - a - c (a G G) ein Aut. Ic von G definiert. Man beachte: Für e £r, a = c· • · e-1 wird = c-1 · a - c\ es wird also G durch Ie auf ganz G abgebildet. Aus alc = b folgt eindeutig a = c-b-er1. Ist a{10 = &t- (i = l, 2), so ist (% · a2) 7C = c-1 · ax · aa · e = c-1 · «]_ · c · (r1 · (Z2 * c = ;' az Ic· Die Aut. /„ werden als innere Aut. von G bezeichnet. Die Untergruppen H Ic = c-1 · · c, die aus einer Untergruppe H von G durch Anwendung der inneren Aut. entstehen, heißen zu H in G konjugiert. Ist H Ic = H für alle Ic, also c'1 · H · c = £f, H · c = c - H für alle c e(?, so wird Hin G invariant oder invariante U n t e r g r u p p e von G genannt. Man beachte: H ist schon dann in G invariant, wenn c-1 · H · c c H für alle c e G. Denn wir haben dann c~l · II - c c. H\ c · H · C"1 = (c-1)-1 · ff · c-1 c ff, ff c c-1 -ff · c, # = c-1 · H · c für alle c e Cr. — Aus der letzten Bemerkung folgt sofort: Der Durchschnitt beliebig vieler invarianter Untergruppen von G ist selbst eine invariante Untergruppe. Das gleiche gilt für den Durchschnitt aller der Gruppen, die zu einer festen Untergruppe Hin G konjugiert sind. — Andererseits hat man den Satz: Ist J eine invariante, H eine beliebige Untergruppe von 6r, so ist J · H = H · J wieder Untergruppe von G und es ist sicher J · H in G invariant, wenn J und H beide in G invariant sind. Beweis :J-H = H-J folgt aus c · J = J · c für alle c G H. — Sind in e J, hneH (n = l, 2), so haben wir: (^ · AI)· 1 1 1 1 1

• (*2 · Äa)- = (H · AI) · (Ar · v ) = h · (A! · A-j- ) · i,- = (H-

14

I. .Gruppentheorie

• i,) · (Ä! -h2-l)eJ wegen (Ax · V1) · J = J · (Äx · V1)» (A! ·fta"1)· v1 = i3 · (Ä! · Ag"1) (ta J). — Für die Invarianzbehauptung beachte man: c~l - (J · H) · c = (c~l - J - c)· • (c-1 - H > c ) . Die für die Invarianz von J in G charakteristische Bedingung C'J = J - c ( c G G ) läßt sich auch so formulieren: J ist dann und nur dann in G invariant, wenn die Rechtsnebenscharen von J in G mit den Linksnebenscharen zusammenfallen, so daß man von Nebenscharen schlechthin reden kann. Man beachte, daß bei einer Abelschen Gruppe G wegen c-1 · H · c = H · c-1 · c = H alle Untergruppen invariant sind. — Das Produkt (a · J) · ( · J) zweier Nebenscharen einer invarianten Untergruppe ist selbst eine Nebenschar, (a · J) - ( · J) = (a - ) · J. Dabei gilt das assoziative Gesetz [(«! · J) · (a2 · J)] · (a3 · J) = (0^ · J) · [(az · J] - (o, · J)], es ist J - (a · J) = (a · J} - J = a · J für alle · J, und man hat stets (a- J) - (er1 · J) = (er1 · J) · (a - J) = J. D.h. aber: Die Menge aller Nebenscharen einer invarianten Untergruppe J von G bildet eine Gruppe, die Faktorgruppe oder Quotientengruppe G/J von G nach J. (Zur Bezeichnung „Quotientengruppe" beachte man, daß bei endlichem G stets o (G/J) = o (G):o(J) wird — vgl. weiter oben). Die Zuordnung a A = a - J definiert einen Horn. A von G auf G/J. Es sei ferner ein Horn, a A — ä von G auf eine beliebige Gruppe G «v gegeben, e sei die Eins von G. Die Urbildmenge e A1- von möge als Kern des Hom. A bezeichnet werden. Dann hat man- e E e A1- wegen a A· e A = e A' a A = (a- e) A = aA für alle a E G, ur1 A = (a A)-1 wegen a A · a-1 A = e A = e, und aus at- e e A1- (i = l, 2) folgt % · a^1 e e A1- wegen ( ! · «a"1) A = aj_A' «2"1 A — ^ · "1 = e · e = e\ schließlich ergibt sich c~l · a · c e e A1- für alle c e G aus a e e A1- wegen (c-1 · a · c) ^4 = c A'1 · a A- c A = (c A)-1 · c A = e. D. h. aber: Der Kern e A*- bildet eine invariate Untergruppe J

§ 2. Isomorphismen und Automorphismen

15

von G. Weiter haben wir f r b A = b dann und nur dann &! A = b, also &j el A1-, wenn (Zr1 · &J J. = (δ ^)-χ - &! A = e, also δ"1 · δχ e J, δ χ ε δ - J. D. h. also: Die Nebenscharen δ · J werden umkehrbar eindeutig auf die b e G abgebildet. Diese Zuordnung ist offenbar ein Is. Im ganzen haben wir also : H o m o m o r p h i e s a t z r ^ / s i J eine invariante Untergruppe von G, so definiert a A = a - J (a e G) einen kanonischen Horn. f*

von G auf G/J. δ) Ist A ein Horn, von G auf G, so istff e A1- = J eine invariante Untergruppe von G, und es wird G durch die Vorschrift l = A1- isomorph auf G/J abgebildet.

(Mit k a n o n i s c h bezeichnen wir wie immer einen Hom. (Is., Aut.), der durch die Natur des betrachteten Problems in zwangloser Weise eindeutig bestimmt ist.)

TJntergruppensatz: Die Untergruppen (invarianten Untergruppen) H von G/J = G entsprechen umkehrbar eindeutig den J umfassenden Untergruppen (invarianten Untergruppen) H von G, und es kann im Invarianzfall G/H mit G/H identifiziert werden. Beweis: a) Eine Untergruppe H Ξ> J von G ist die Vereinigungsmenge H gewisser Nebenscharen von J. Durch a Α = a· J wird E auf H abgebildet und aus der Definition des Hom. folgt sofort, da H Untergruppe von G. F r HI Ξ? J (i = l, 2), Z?! Φ Hz wird offenbar H1 Φ Hz. Ist andererseits H Untergruppe von G und A der kanonische Hom. von G auf G, so wird ersichtlich H ~ H A1- eine J umfassende Untergruppe von G. b) Da aus c~l · H · c er H f r c = c A stets c~l · H - c c H folgt und umgekehrt, ist unmittelbar klar. Die Identifizierung von G/H und G/H ergibt sich, wenn wir die Nebenscharen von H in G nicht als Untermengen von G,

16

I. Grnppentheorie

sondern als Untermengen von G auffassen. (Jedes α = α · J e G ist ja eine Untermenge von G.)— Es sei jetzt H eine beliebige Untergruppe von G. Dann ist J · H die kleinste J umfassende Untergruppe von G, die H enth lt, es ist J in J · E invariant, und es gilt

Isomorphiesatz: ( J ' H ) I J H/(J Π H).

ist kanonisch isomorph

Beweis: Da jede inJ-H = H'J liegende Nebenschar von J die Gestalt · J (heH) hat, wird durch AH = A · J (h E H) ein Horn. AH von H auf (J · H)/J definiert. Dabei hat man h AH = J dann und nur dann, wenn h e J, d. h. h E H Π J. Sind Π und J, also auch J · H, endlich, so ist o (H) — o (Hj(H Π J)) · ο (Π Π J) also nach dem Isomorphiesatz o (H) = o((E· J)/J) · ο (Η Π J). Da weiter o ((# · J/JJ) = o (#· • J) : o (J), ergibt sich die Ordnungsformel o (H · J)· • o (5 Π J) = o (H) · o (J). Setzen wir zwei innere Aut. 7a, lb von G zusammen, so ergibt sich Ia · Ib = Ia . wegen (a · δ)-1 · G · (a · 6) = δ-1· • a"1 · (7 · a · δ. Die 7a bilden also eine Gruppe Gj mit der Eins /e, und aA = Ia definiert einen Horn. A von G auf G/. Dabei wird a A = Ie dann und nur dann, wenn a"1 · c · a=cy c - a = a · c f r jedes c G G. Der Kern I6 A*- von J. ist also gleich der (Abelschen) Gruppe Z aller der α e G, die mit allen c E G vertauschbar sind, und es ist C?/ zu G/Z isomorph. Z hei t das Z e n t r u m von G. % 4. Homomorphismen von Ringen Wir betrachten Ringe 9t, 9t,... im Sinne von I § 1. Dabei bedeutet 0 bzw. l (0 bzw. l, ...) das Null- bzw. Einselement von 9t (9t,...); es soll stets Ο Φ l (Ο Φ 1),...) sein. Nullteiler sind zun chst zugelassen. Jeder Ring 9t bildet hinsichtlich der Addition eine Abelsche Gruppe. Soll diese Tatsache be-

§4. Homomorphismen von Ringen

17

tont werden, so schreiben wir 9l+ statt 9l. Ein Horn, r A = r von 9l auf 9l im Sinne von § 2 ist gleichzeitig ein Horn, von /•v + + 9l auf 9l , Aus dem Homomorphiesatz von § 3 folgt daher bei bergang von der multiplikativen zur additiven Schreibweise : Der Kern A1- = α ist eine additive Untergruppe von 9l, und zwar Φ 9l, weil ο Φ l in 9l Die Elemente a e 9l entsprechen umkehrbar eindeutig den Nebenscharen r + α t* **** (r G 9l) von a. Da ferner - r = δ f r alle r G 9l, ergibt sich weiter: Der Kern α gen gt der Bedingung: Ist α e a, so ist auch r · a e α f r jedes r e 3d. Wir wollen nun, einer nur historisch.zu verstehenden, aber allgemein blichen Terminologie folgend, jede additive Untergruppe α Φ 9l von 9l mit der zuletzt formulierten Eigenschaft als ein Ideal bezeichnen. Bei einem Ideal α kann man neben der schon bekannten Addition eine Multiplikation der hier Rest kl aasen genannten Nebenscharen c -f α eindeutig definieren durch die Vorschrift : (cj + a) · (cz + a) = cx · cz -f a. Ist n mlich ct + α = e'i + a, also c'i = GI + a< mit a f e α (i = l, 2), so wird c'x · e'z — Ci · cz + («! · c2 + «2 · ci + αι · a*)> UQd aus den Idealeigenschaften folgt a^ · cz + az · ct + % · a2 e a, cx · ca + a = c'i · e'jj + o. Nach Einf hrung der Multiplikation bildet die Menge der Nebenscharen c -f α ersichtlich einen Ring, den Restklassenring 9ί/α von 9l nach α (mit der Null 0 + α = α und der Eins l + a), und man erhalt sofort: f**S

Homomorphiesatz der Ringe: a) /si a ein Ideal aus 9l, so definiert c A = c + a (ce9t) einen Horn, von 9l auf ****

9l/a. δ) Ist A ein Horn, von 9l auf 9l, so ist δ A1- = a ein Ideal aus 9l und es wird 9l dwrc c I = c A1- isomorph auf 91/d abgebildet.

Ein Ideal α = p hei t Primideal, wenn 9l/£ nullteilerfrei ist. Aus der Tatsache, da p die Null von 9l/p und da c + $ Φ p gleichwertig mit c £ p, ergibt sich sofort: p ist dann 2 Krull, Elementare u. klass. Algebra II

18

I. Gruppentheorie

und nur dann Primideal, wenn aus cf φ $ (i = l, 2) stets \' cz Φ $ folgt. — Gleichzeitig mit r mu ein Ideal α nach Definition^den ganzen Komplex r · 9l (also alle Produkte r · a (a e 9l)) enthalten. Ist nun r in 9l Einheit, d. h. gibt es ein r-1 e 9l mit r · r-1 = l, so wird r · 9l = 9l, es gibt also kein Ideal α mit r E a. Ist andererseits r Nichteinheit, so wird r - Sft das kleinste r enthaltende Ideal. Die Zugeh rigkeit von α e 91 zu r · 9Ϊ ist gleichwertig mit einer Gleichung a = r · b (&G91), d.h. mit der Teilbarkeit von a durch r in 9l (vgl. § 15). p - 9l ist dann und nur dann ein Primideal, wenn p ein Primelement im Sinne von § 15 ist. Das Nullideal 0·91 definiert den identischen· Aut. a A — a von 9l. Es besitzt 9l dann und nur dann keinen Horn, auf einen echten Restklassenring 9ΐ/α Φ 9l, wenn au er 0 · 9l kein Ideal in 9l existiert, wenn also jedes r Φ 0 in 9l Einheit ist, d. h. wenn 9l einen K rper darstellt. Bei einem K rper $ ist daher nach dem Homomorphiesatz jedes homomorphe Bild & zu ® isomorph. Weiter beweist man analog wie in § 3: Untergruppensatz f r Ringe: Die Ideale von 9l/d entsprechen umkehrbar eindeutig den Idealen c Ξ5 α von 9l. Es ist also dann und nur dann in 91/d das Nullideal das einzige Ideal, wenn α = m ein maximales Ideal in 9l ist, d. h. wenn in 9l kein Ideal c ^ d existiert. Daraus und aus den fr heren Bemerkungen ergibt sich unmittelbar: 9l/a ist dann und nur dann ein K rper, wenn α = m in 9l maximal ist. c

Zur Veranschaulichung betrachten wir speziell den Fall, da 9l = 9Ϊ0 den Ring der ganzen Zahlen darstellt. Ist hier α φ Ο · Sft,, ein Ideal, so sei w Φ 0 eine Zahl aus a, bei der der Absolutbetrag | n \ minimal ist. F r beliebiges m ε α gilt nun in 9t0 eine Gleichung m — z · n = m1 (| n \ > \ m^ \ ^ 0), und aus m e α folgt m^ e o. Wegen der Minimaleigenschaft von | n \ mu nun mx = 0 sein, d. h. jedes Ideal α Φ 0 · 9t0 a-us 5R0 besitzt die Gestalt n · 3Ϊ0 mit passendem n > 0. (Beachte, da mit n e o auch — n e a!) — Die gleichen

§ 6. Zyklische und Abelsche Gruppen

19

Überlegungen zeigen, daß sogar jede additive Untergruppe von 9t/ die Gestalt n · £R0 haben muß. Denn schon jede solche Gruppe muß hier mit m, n auch m — l · n enthalten, da l · n durch Z-fache Addition von n entsteht. — Der Ring 9i0/w · 9i0 besteht aus den n Klassen * + n · SRo (fc = 0, l,..., n - 1), d. h. S^/n · 31«, ist einfach der Restklassenring von 9 0 nach der Zahl n in der üblichen Terminologie. n - 9 0 ist dann und nur dann ein Primideal, wenn n = p eine Primzahl ist. In diesem Falle wird 9i0/p · 310 der bereits in L, § 8 betrachtete Korper ftp. — Fast genau so leicht läßt sich der Fall behandeln, daß Sft = £ [z] der Polynomring in einer Unbestimmten über einem Körper ft ist. Hier wird o = a ( ) - 9 , wobei ( ) ein Polynom niedrigsten Grades aus ist, und es stellt = p dann und nur dann ein Primideal dar, wenn a (z) = p (x) über ft unzerlegbar ist. fR/p (a;) · SR ist in diesem Fall einfach der schon in L, untersuchte Restklassenkörper ft [x]/p (x).

§ 5. Zyklische und Abelsche Gruppen Sind a» (i = l,..., n) Elemente der Gruppe G, so bedeutet («i,..., a„) die kleinste Gruppe H mit (i = l,..., n); die aj· heißen ein Erzeugendensystem von H. Eine Gruppe H = (a) mit einer einzigen Erzeugenden wird zyklisch genannt. (%,..., a„) besteht offenbar aus allen Produkten atl«i · al2*2 ·... · alN*N (N = l, 2,...; l ^ ik ^ n; efc = ± 1)· Im Abelschen Fall hat man es einfacher: (al5..., a„) = (ai) * («2)' ··· · (an) (Reihenfolge der Faktoren gleichgültig). Es besteht also, da die zyklische Gruppe (a) ersichtlich von den sämtlichen Potenzen a1 (l — 0, ± l, ± 2,..., ° = e) gebildet wird, die Gruppe (alt..., a„) aus allen Potenzproduksen »j/i · a 2 '2..... a„l» (lk = 0, ±1, i 2,...). Dabei hat man towohl im Abelschen wie im allgemeinen Fall zu beachten, daß formell verschiedene Produkte der l, so wird durch diese Vorschrift zu einer Abelschen Gruppe mit der Eins ~e = δ^ ·... *^· Fn°, es stellt *^ *^ ^^ die Menge B, aller Produkte δχ° -... · δ^0 · δ/ · δί+1° ·... · δ η ° (k = 0,1,...) eine zyklische Gruppe der Ordnung rf dar, und es wird B = Bi 0 ... 0 Bn. Ist ferner B = (δ1α ..., δη) eine beliebige Abelsche Gruppe und ο (δ,) = rf (i = l,..., «), so /v Λ* ** wird durch die Festsetzung (δ^ι ·... · b„k*)A = δ^ι ·... · • δη*» homomorph auf abgebildet. Aus dieser Bemerkung folgt insbesondere: Die Ordnung o (B) von B = (δΐ5..., δη) ist ein Teiler von ο (δα) ·... · ο (δη). Es ist dann und nur dann o (B) = (?/ = (e) Kr. von G, so ist r = r', und es gibt eine Permutation i -* kt von {l,..., r) derart, daß G^Gi und G'^-^G'ki jeweils isomorph werden. Die Gruppe G heißt metazyklisch, wenn bei einer und damit bei jeder Kr. G = G0 => ... => Gr = (e) alle Glieder Gi--JGt primzyklisch,d. h. zyklisch von Primzahlordnung

24

L Gruppentheorie

sind. Aus der Zusammensetzbarkeit zweier Kr. von G/J und J und dem Satz von Jordan-Holder folgt: Ist J eine invariante Untergruppe von G, so ist G dann und nur dann metazyklisch, wenn G/J und J metazyklisch sind. Darüber hinaus gilt: Jede Untergruppe H =f= (e) einer metazyklischen Gruppe G ist metazyklisch. Beweis: Es sei 6i1 eine maximal invariante Untergruppe von G und fft = Gt . Da unsere Behauptung für den Fall einer primzyklischen Gruppe, also einer Gruppe mit eingliedriger Kr. richtig ist, und da Gt eine Kr. mit um l kleinerer Gliederanzahl hat als G, dürfen wir nach Induktionsprinzipien annehmen, daß ffx metazyklisch ist. Für ffj =4= ff ist ff! (wegen der Invarianz von G1 in G) in ff invariant, es ist GI- H = G, und es wird ff/ffi zu G/Gt isomorph, also primzyklisch. Es muß daher auch ff," ebenso wie Hlt metazyklisch sein. — Wir bemerken noch: Jede endliche Äbelsche Gruppe ist metazyklisch. Die Behauptung folgt aus der Tatsache, daß eine Äbelsche Gruppe wegen der Invarianz aller Untergruppen dann und und nur dann einfach ist, wenn sie überhaupt keine echte Untergruppe (e) enthält. Denn eine Gruppe ohne echte Untergruppe (e) muß offenbar primzyklisch sein. § 7. Pennutationsgruppen Eine Gruppe von Permutationen der Menge M (im Sinne von §1) nennen wir kurz Permutationsgruppe von M. Die Gruppe G „als Permutationsgruppe von M darstelle n" heißt soviel wie „eine zu G isomorphe Permutationsgruppe von M angeben". Satz 1: Jede Gruppe G läßt sich in kanonischer Weise als Permutationsgruppe der Menge G darstellen.

§7. Penmitationsgruppen

25

Man ordne jedem α e G die Abbildung u Aa = u - a von G auf sich selbst zu. Dann ist jedes Aa eindeutig umkehrbar (u = r - er1, falls u Aa = r!), und aus Aa — Aa, folgt a = a' wegen e .40 = a, e ^0/ = a'. Ferner hat man (u Aa) Ab = M (Aa · Ab) = (u - a) - 1 = u - (a · δ), d. h. es ist J.e · Ab = Aa. b. Die Menge der Aa stellt daher eine Permutationsgruppe P* von C? dar, die durch Aa