Einführung in die theoretische Physik: Band 2 Das elektromagnetische Feld [3., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111367392, 9783111010328

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Einführung in die theoretische Physik

von

Dr.-Ing. Werner Döring o. P r o f . a n d e r U n i v e r s i t ä t H a m b u r g

Ii

Das elektromagnetische Feld Dritte, verbesserte Auflage M i t 16 A b b i l d u n g e n

Sammlung Göschen Band 77a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1968 vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp,

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: I. Mechanik II. Das elektromagnetische Feld III. Optik IV. Thermodynamik V. Statistische Mechanik

(Band 76) (Band 77) (Band 78) (Band 374) (Band 1017)

Zur Schreibweise der Formeln: Alle Formelbuchstaben dieses Buches bedeuten physikalische Größen, also Produkte aus Zahlenwert und Einheit, die von der Wahl der Einheit unabhängig sind. Vektoren sind durch Fettdruck gekennzeichnet, a • b bedeutet das skaJare Produkt der Vektoren d und b. a / b bedeutet das Vektorprodukt der Vektoren a und b. Bei den Hinweisen auf Formeln bedeutet die erste Ziffer den Paragraphen, die zweite die Nummer der Formel innerhalb dieses Paragraphen. Bei Hinweisen auf Formeln der anderen Bände dieser Gesamtdarstellung ist die Bandnummer nach obiger Liste als römische Ziffer vorangestellt.

© Copyright 1968 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / ,T. Guttentag Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7740681. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Verzeichnis einiger einschlägiger Werke

5

I. Elektrostatik

7

§ 1. Die elektrische Ladung und die elektrische Feldstärke. . . . § 2. Das Coulombsche Gesetz § 3. Das Feld einer gegebenen Ladungsverteilung § 4. Die Integralbeziehungen des elektrostatischen Feldes

7 11 12

. . .

§ 5. Die Differentialgleichungen des elektrostatischen Feldes. . .

16 19

§ 6. Die homogen geladene Kugel

23

§ 7. Dipolmoment und Quadrupolmoment

25

§ 8. Der polarisierte Körper

32

§ 9. Leiter und Isolatoren. . .

35

§ 10. Der Kondensator

41

§ 11. Die elektrische Feldenergie

45

II. Der elektrische Strom

48

§ 12. Die Kontinuitätsgleichung

48

§ 13. Das Ohmsche Gesetz

54

I I I . Magnetostatik

58

§ 14. Das Feld des magnetisierten Körpers

58

§ 15. Das Magnetfeld von Strömen

64

§ 16. Die allgemeinen Gesetze des magnetostatischen Feldes . . .

71

§ 17. Methoden zur Berechnung des Magnetfeldes von stromdurchflossenen Leitern

82

§ 18. Die Kraftdichte des magnetischen Feldes

90

I V . Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld § 19. Das Induktionsgesetz

101 101

§ 20. Die Elektronenschleuder

104

§ 21. Die Selbstinduktivität

107

1*

4

Inhaltsverzeichnis V. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen . . .

m

§ 22. Die Maxwellsche Ergänzung

111

§ 23. Die ebene Welle

113

§ 24. Der Poynting-Vektor

116

§ 25. Das retardierte Potential

119

§ 26. Der schwingende Dipol

124

Anhang

132

§ 27. Der Übergang zu anderen Begriffssystemen

132

Namen- und Sachregister

141

Literatur

5

Verzeichnis einiger einschlägiger Werbe a) W e r k e ü b e r das G e s a m t g e b i e t der t h e o r e t i s c h e n P h y s i k und T e i l e von H a n d b ü c h e r n Berkeley Physics Course (5 Bände). Vol. 2: E. M. Purcell: Electricity and Magnetism. New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney 1965. G. Bruhat: Cours de Physique Générale (5 Bände). Électricité 6. Aufl., vollständig überarbeitet von G. Goudet. Paris 1956. Feynman-Leighton-Sands: Lectures on Physics (3 Bände). Vol. I I : The electromagnetic Field. Reading (Mass.)-Palo Alto-London 1965. S. Flügge: Lehrluch der theoretischen Physik, (5 Bände). Band I I I : Klassische Physik II. Das Maxwellsche Feld. Berlin-GöttingenHeidelberg 1961. Handbuch der Physik (herausgegeben von S. Flügge) (Viele Verfasser). Bd. X V I : Elektrische Felder und Wellen. Berlin-Göttingen-Heidelberg 1958. F. Hund: Theoretische Physik (3 Bände). 2. Band: Theorie der Elektrizität und des Lichts. Relativitätstheorie. 3. Auflage Stuttgart 1957. G. Joos: Lehrbuch der theor. Physik. 10. Aufl. Frankfurt 1959. L. D. Landau, E. M. Lifshitz: Lehrbuch, der theor. Physik (9 Bände, Orig. russ.). Band I I : Klassische Feldtheorie; Band V I I I : Elektrodynamik der Kontinua. Berlin 1967. G. W. Macke: Lehrbuch der theor. Physik (6 Bände): Elektromagnetische Felder. 2. Aufl. Leipzig 1963. W. Pauli: Vorlesungen (6 Bände). Elektrodynamik. 3. Aufl. Torino 1958. Cl. Schäfer: Einführung in die theor. Physik (3 z. T. mehrteilige Bände). 3. Band, 1. Teil: Elektrodynamik und Optik. 2. Aufl. Berlin 1950. A. Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik (6 Bände). Band I I I : Elektrodynamik. 4. Aufl. (revidiert von F. Bopp und J . Meixner) Leipzig 1964. W. Weizel: Lehrbuch der theor. Physik. (2 Bände). I. Band: Physik der Vorgänge. 3. Aufl. Berlin-Göttingen-Heidelberg 1963.

6

Literatur b) E i n z e l w e r k e ü b e r d i e T h e o r i e des E l e k t r o m a g n e t i s m u s

R. Becker: Theorie der Elektrizität (Herausgeber F. Sauter. 3 Bände). 1. Band: Einführung in die Maxwellsehe Theorie. Elektronentheorie, Relativitätstheorie. 18. Aufl. Stuttgart 1964. B. I. Bleaney, B. Bleaney: Electricity and Magnetism. 2. Aufl. Oxford 1965. G. Eder: Elektrodynamik. Mannheim 1967. J . D. Jackson: Classical Electrodynamics. New York, London 1962. D. S. Jones: The Theory of Electromagnetism. Oxford-LondonNew York- Paris 1964. J . Cl. Maxwell: A Treatise on Electricity and Magnetism. (2 Bände). 3. Aufl. 1891, nachgedruckt Dover 1954 (deutsche Übersetzung der 2. Aufl. Berlin 1883). K. F. Novobatzky, Th. Neugebauer: Theoretische Elektrizitätslehre und Wellenoptik. Berlin 1957. W. K. H. Panofsky, M. Phillips: Classical Electricity and Magnetism. Reading (Mass.) 1956. J . A. Stratton: Electromagnetic Theory. New York, London 1941.

I. Elektrostatik §1. Die elektrische Ladung und die elektrische Feldstärke Die Elektrostatik befaßt sich mit den ruhenden, elektrisch geladenen Körpern. Die älteste Methode, Körper in den elektrisch geladenen Zustand zu versetzen, besteht darin, sie miteinander in innige Berührung zu bringen, was am besten durch Reiben aneinander geschieht. Chemisch verschiedene Körper sind dann nach dem Auseinanderziehen in der Regel elektrisch geladen. Der elektrisch geladene Zustand äußert sich an dem Auftreten gewisser Kräfte, die im ungeladenen Zustand fehlen. Die experimentelle Erforschung dieser elektrischen Kräfte führte im 18. Jahrhundert zu der Erkenntnis, daß es zwei qualitativ verschiedene, elektrisch geladene Zustände gibt, die man als positiv und negativ geladen bezeichnet. Ungleichartig geladene Körper ziehen sich an, gleichartig geladene Körper stoßen sich ab (du Fay, um 1735). Ferner kann man die Körper in groben Zügen in Leiter und Nichtleiter einteilen (Gray, 1729). Verbindet man einen ungeladenen und einen geladenen, leitenden Körper mit einem Leiter, so geht der erste nahezu momentan in den geladenen Zustand über. Durch einen (idealen) Nichtleiter oder Isolator findet eine solche Übertragung des geladenen Zustandes nicht statt. Es gibt keine vollkommen isolierenden Körper. Langsam entladen sich die Körper auch durch Isolatoren hindurch. Die quantitative Behandlung der elektrischen Erscheinungen beginnen wir nun mit der Definition der Größe „elektrische Ladung". Sie kann qualitativ als Maß für die Stärke des elektrisch geladenen Zustands charakterisiert werden. Wir betrachten zu diesem Zweck irgendeinen elektrisch geladenen Isolator K und halten ihn in fester Lage und unveränderlichem Ladungszustand fest. In seine Nähe denken wir uns nacheinander verschiedene kleine, elektrisch

8

Elektrostatik

geladene und vollkommen isolierte Probekörper gebracht und die auf sie wirkenden Kräfte gemessen. Von ihnen subtrahieren wir die Kräfte, die im ungeladenen Zustand auf die Probekörper wirken. Die restlichen, elektrischen Kräfte F von K auf die Probekörper lassen sich als Produkte aus einer skalaren, nur vom Probekörper abhängigen Größe q und einem vektoriellen, nur vom Ort abhängigen Faktor JE schreiben: F = qE. (i;i) Das ist gleichwertig mit der Aussage: Die elektrische Kraft von K auf verschiedene kleine Körper hat am gleichen Ort immer die gleiche Richtung. Das Verhältnis der Beträge der Kräfte auf zwei Probekörper am gleichen Ort ist vom Ort unabhängig. Den skalaren Faktor q in (1; 1) nennt man die elektrische Ladung des Probekörpers, den vektoriellen Faktor E die elektrische Feldstärke. Experimentell läßt sich zwar (1; 1) niemals exakt als richtig bestätigen, weil es keine vollkommenen Isolatoren gibt. Aber aufgrund unserer heutigen Einsicht in die Struktur der Materie kann an der Gültigkeit dieses Gesetzes unter idealen Bedingungen kaum ein Zweifel bestehen. Wenn man von den instabilen Teilchen in der Strahlung der radioaktiven Körper und der großen Beschleuniger absieht, besteht die gesamte Materie aus drei Sorten von Elementarteilchen, welche Elektronen, Protonen und Neutronen genannt werden. Die Neutronen sind elektrisch ungeladen, die Elektronen sind negativ, die Protonen positiv geladen. Die Kraft eines geladenen Körpers auf ein Proton ist sehr genau entgegengesetzt gleich der Kraft auf ein Elektron am gleichen Ort. Betrachten wir also einen Probekörper, der N+ Protonen und N_ Elektronen enthält und so klein ist, daß die Kraft f von K auf ein Proton an verschiedenen Punkten innerhalb des Probekörpers praktisch gleich groß ist, so hat die gesamte elektrische Kraft auf den Probekörper die Größe F = f W

+

- N _ ) .

(i;2)

§ 1. Die elektrische Ladung und die elektrische Feldstärke

9

Bei einem isolierten Probekörper, durch dessen Oberfläche Protonen und Elektronen weder ein- noch austreten können, ist N+ — N_ eine von Ort und Zeit unabhängige, für den Zustand des Probekörpers charakteristische Konstante, während f außer von dem Zustand des Körpers K nur vom Ort abhängt. (1; 2) hat also genau die in (1; 1) behauptete Form. Selbstverständlich definiert die eine Gleichung (1; 1) nicht die beiden Größen elektrische Ladung q und elektrische Feldstärke JE. Aus den obigen Betrachtungen ergeben sich vielmehr nur die folgenden Festsetzungen: 1. Die Ladung eines Körpers ist eine Zustandsgröße, die bei einem ideal isolierten Körper von seiner Lage und der Zeit unabhängig ist. 2. Das Verhältnis der Ladungen zweier kleiner Körper ist gleich dem Verhältnis der elektrischen Kräfte eines dritten, geladenen Körpers auf sie am gleichen Ort. 3. Die Ladung eines ausgedehnten Körpers ist gleich der Summe der Ladungen seiner einzelnen Teile. Dadurch ist das Verhältnis der elektrischen Ladungen zweier beliebiger Körper eindeutig definiert. Bei der Größe Ladung selbst bleibt ein für alle Ladungen gemeinsamer Faktor unbestimmt. Über diese Unbestimmtheit verfügen verschiedene Physiker verschieden: 1. Die meisten Experimentalphysiker und Elektrotechniker verstehen unter der elektrischen Ladung eine Größe neuer Größenart, die kein Vielfaches einer mechanischen Größe ist. Der Ladung eines Einheitskörpers, dessen Festlegung wir in § 2 erörtern werden, erteilt man den Namen 1 Coulomb und gibt alle anderen Ladungen als Vielfache dieser Einheitsladung an. Im Sinne der in Bd. I1) erläuterten Ausdrucksweise bedeutet das: Man betrachtet die Ladung als Grundbegriff und läßt die Unbestimmtheit, die in der Definition eines Grundbegriffes durch Angabe eines Meßverfahrens steckt, bestehen. ') W. Döring, Einführung in die theoretische Physik, Bd. I Mechanik, Sammlung Göschen Bd. 76, 3. Auflage, § 1.

10

Elektrostatik

2. Viele theoretische Physiker bevorzugen es, über die Unbestimmtheit so zu verfügen, daß die Größe Ladung eine Zahl oder eine durch Längen, Zeiten und Massen ausdrückbaie Größe wird. Man kann z. B. auch die Zahl N+ — N_ als Ladung q' bezeichnen. Ist q die Ladung eines Körpers im ersten Sinn und e die Ladung des Protons im gleichen Sinn (Elementarladung), so ist q' = N

+

- N _ = - f .

(1;3)

In vielen Büchern über theoretische Kernphysik wird unter Ladung diese Zahl q' verstanden. Sie wird meist eingeführt mit den Worten: Wir benutzen die Protonenladung als Einheit. Das soll, präziser ausgedrückt, bedeuten: Über die Unbestimmtheit in der Definition des Begriffes Ladung wird so verfügt, daß die Ladung des Protons gleich der Zahl 1 wird. Im nächsten Paragraphen werden wir eine weitere zu q proportionale Größe, die elektrostatische Ladungsgröße qs kennenlernen, die in anderen theoretischen Lehrbüchern viel benutzt wird. Ob man der Größe neuer Art q, der Zahl q' oder der elektrostatischen Größe qs den Namen Ladung gibt und in Formeln und Berechnungen verwendet, ist im Prinzip völlig gleichgültig, da sich diese Größen nur durch Naturkonstanten als Faktoren unterscheiden, so daß jede aus jeder anderen eindeutig berechnet werden kann. Da aber in jedem Fall die elektrische Feldstärke nach (1; 1) als Quotient aus Kraft und Ladung definiert wird, hat die verschiedene Festlegung des Begriffes Ladung Unterschiede in dem begrifflichen Inhalt des Wortes Feldstärke und aller weiteren damit definierten Begriffe zur Folge. Das ist die Ursache für die sog. Unterschiede in den Maßsystemen. Im folgenden verstehen wir unter Ladung stets die durch mechanische Größen nicht ausdrückbare Größe q. Die Umrechnung auf andere Größen behandeln wir im Anhang (§ 27). Zum Schluß dieser grundlegenden Betrachtungen sei noch darauf hingewiesen, daß (1; 1) nur gilt, wenn der Zustand des Körpers K durch den Probekörper nicht verändert wird. Diese

11

§ 2. Das Coulombsche Gesetz

Bedingung ist nur erfüllt, wenn der Probekörper genügend klein ist und von allen Teilen von K einen im Vergleich zu den mittleren Atomabständen großen Abstand hat, dagegen nicht im Innern der Materie. Kraftmessungen mit makroskopischen Probekörpern liefern daher nach (1; 1) nur Aussagen über die elektrischen Felder im Vakuum. Die Gesetze, denen die Felder im Innern der Materie genügen, erhält man durch Extrapolation der im Vakuum gültigen Gesetze auf atomare Probekörper und subatomare Entfernungen. Dieses Vorgehen hat sich an der Erfahrung bewährt. Wenn man alle Protonen und Elektronen als punktförmig ansieht, erhält man für das Innere der Körper einen sehr zackigen Verlauf von E. Das, was man makroskopisch unter der elektrischen Feldstärke im Innern eines Körpers versteht, ist ein Mittelwert davon (vgl. § 3 bis 5).

§2. D a s C o u l o m b s c h e G e s e t z Das grundlegende Gesetz für die Kraft zwischen ruhenden geladenen Körpern wurde experimentell von Coulomb im Jahre 1785 durch Messungen mit Hilfe der Drehwaage gefunden. Es lautet : Die elektrische Kraft F zwischen zwei Körpern, deren Ausdehnung klein gegen ihren Abstand r ist, hat die Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern. Ihr Betrag | - F | = F ist den Ladungen q1 und q2 der beiden Körper proportional und dem Quadrat ihres Abstand umgekehrt proportional. Den Proportionalitätsfaktor nennt man heute meist 1/(4 ns 0 ) : * - ¿ T T Die Größe e 0 ist eine Naturkonstante der Größenart (Ladung) 2 /(Kraft • Fläche). Ihr Zahlenwert hängt von der gewählten Ladungseinheit ab. Die Ladungseinheit 1 Coulomb (abgekürzt 1 C = 1 Ampère • sek = 1 As) wird heute dadurch festgelegt, daß man den Zahlenwert von e 0 vorschreibt. Aus Gründen, die wir erst später (§ 15) durchschauen werden, wählt man ihn so, daß 4TZE mal dem Quadrat der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 einen einfachen Zahlenwert annimmt, nämlich 0

f!2

tee»cl = 100

dyn

,g2

A2

= 1 0 ' ( 2 ;

2)

12

Elektrostatik

(1 N = 1 Newton = 10 5 dyn). D a CQ = 2,99793 • 10 8 m/s ist, folgt daraus eo

=8,85417-10-"

(2; 2a)

In der theoretisch-physikalischen Literatur wird vielfach über die in § 1 erläuterte Unbestimmtheit bei der Definition der Ladung so verfügt, daß in (2; 1) der F a k t o r 4jie0 nicht a u f t r i t t , d. h. an Stelle von q wird die zu q proportionale Größe

eingeführt. Mit dieser elektrostatisch definierten Ladungsgröße qs lautet (2; 1) F =

(2; 4)

Die Umrechnung aller anderen Größen auf die mit Hilfe von qs definierten Größen des sog. elektrostatischen Begriffssystems wird in § 27 weiter erörtert werden. § 3. D a s F e l d e i n e r g e g e b e n e n L a d u n g s v e r t e i l u n g In diesem Buch sollen die Eigenschaften der betrachteten Felder stets auf drei verschiedene Weisen beschrieben werden. Erstens soll das Feld als Summe oder als Integral über die Beiträge der felderzeugenden Körper angegeben werden. Das bezeichnet man als die quellenmäßige Darstellung des Feldes. Zweitens werden wir Aussagen über gewisse Linien- u n d Flächenintegrale über die Feldgrößen machen. Diese integralen Beziehungen sind f ü r die technischen Anwendungen besonders wichtig. Drittens werden wir Differentialgleichungen f ü r die Feldgrößen ableiten. In manchen Fällen, insbesondere bei zeitlich veränderlichen Feldern, findet man zunächst diese Differentialgleichungen u n d m u ß daraus die quellenmäßige Darstellung erst erschließen. Wir werden stets so viele Differentialgleichungen bzw. so viele Integralbeziehungen angeben, daß die Felder

§ 3. Das Feld einer gegebenen Ladungsverteilung

13

bei Benutzung gewisser plausibler Randbedingungen für das Verhalten der Felder im Unendlichen daraus eindeutig folgen. In diesem Sinne sind alle drei Beschreibungsweisen physikalisch gleichwertig. Wir betrachten jetzt einen Körper K aus N ruhenden, geladenen Teilchen mit den Ladungen e,-. Jedes Teilchen soll als punktförmig angesehen werden können und sich am Ende des Ortsvektors befinden. Wir fügen nun zu dem Coulombschen Gesetz (2; 1) noch die Annahme hinzu, daß sich die Kräfte aller Teilchen auf eine Probeladung der Größe q einfach addieren. Die Kraft des ?-ten Teilchens auf eine Probeladung am Ort r hat den Betrag

rj-

«w\> \r

rj\

und bei gleichem Vorzeichen von ej und q die Richtung des Einheitsvektors ( r — r , ) j \ r — r,-1. Die Summe aller dieser Kräfte auf die Probeladung, dividiert durch q, ist die Feldstärke E, welche der Körper K am Endpunkt von r erzeugt: N

Das ist bereits die quellenmäßige Darstellung des elektrostatischen Feldes. Sie läßt sich aber einfacher schreiben. Der j'-te Summand ist der negative Gradient1) der skalaren Funktion — pr- r ¡- , sofern man r (und nicht r,-) als den 4^01 — j\ variablen Ortsvektor betrachtet. Das ist in Koordinaten leicht nachzurechnen. Also gilt E = - grad

a a.

(6; 4)

§ 7. Dipolmoment und Quadrupolmoment

25

Bei der Integration im Gebiet r < a und r > a treten je 2 Integrationskonstanten auf, welche aus den folgenden 4 Randbedingungen folgen: 1.

ist stetig bei r = a, weil das elektrostatische Potential immer stetig ist. 3. Er = — ist nach (5; 10) bei r = a stetig, weil dort keine Oberflächenladung vorhanden sein soll. 4. q> 0 für r ->• oo. Das ist die übliche Normierung der unbestimmten Konstante beim Potential. So erhält man schließlich wieder das Ergebnis (6; 2). Hier führt wegen der besonderen Symmetrie offenbar die Benutzung der Integralbeziehungen am raschesten zum Ergebnis. Das kann in anderen Fällen anders sein. § 7. Dipolmoment und Quadrupolmoment Das Feld einer beliebigen Ladungswolke mit einer Dichte g(r'), die nur innerhalb einer Kugel mit dem Radius r 0 um den Ursprung von null verschieden ist, soll jetzt in großer Entfernung, also für r > r0, untersucht werden. Dieser Fall interessiert besonders bei der Betrachtung der Felder einzelner Atome und Moleküle. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß keine geladenen Oberflächen vorhanden sind, weil diese in Molekülen nicht vorkommen. Man kann die folgenden Ergebnisse trotzdem auch für allgemeinere Ladungsverteilungen benutzen; dann muß man die Flächenladungen nur durch sehr dünne Schichten mit einer entsprechend gewählten Raumladung ersetzen. Die allgemeine Formel (3; 5) lautet dann r' Im ganzen Integrationsgebiet \r'\ < r0 ist in diesem Fall r — \r\ p r' = \r'\. Daher kann man l/\r—r'\ durch die ersten Glieder seiner Potenzreihe in den Komponenten von r' ersetzen: 1 I r r' 3 (r • r'f — r* • r'2

26

Elektrostatik

Dann treten in (7; 1) die folgenden Integrale auf: 1. Die Gesamtladung

Q=fffg(r')dV.

(7; 3)

2. Der Vektor des Dipolmomentes

P=JJfr'e(r')dV.

(7; 4)

r'

3. Die Komponenten g^ des Tensors des Quadrupolmomentes

= Y f f f (3z,-V

-

djk r

>

(r')dV.

(7; 5)

r'

Dabei wurden die Komponenten von r' mit rr/, x2', x3' bezeichnet. djic ist das Kronecker-Symbol djk = 1 für j = ö]k = 0 für j =J= k. Mit diesen Abkürzungen lautet (7; 1) ? = ¿

T

+

-¿i

0 l

?

L

+

k,

+ • • • (7; 6)

Der erste Summand ist das Feld einer Punktladung der Größe Q im Koordinatenursprung. Das zweite Glied wird als das Potential eines Dipols bezeichnet, weil die einfachste Ladungsanordnung mit Q = 0 und p =(= 0 aus zwei entgegengesetzt gleichen Punktladungen ± e im Abstand l besteht. Dann hat p den Betrag \p\ = eb und die Richtung des Vektors von der negativen zur positiven Punktladung. Wenn Q =)= 0 ist, gibt es einen Bezugspunkt, für den das Dipolmoment verschwindet. Denn das Dipolmoment p' für einen beliebigen Bezugspunkt a beträgt, analog zu (7; 4)

P'=Jffe^)(r'-a)dV = ff f e(r')r'dV-aQ =p-aQ .

(7; 7)

§ 7. Dipolmoment und Quadrupolmoment

27

p' verschwindet also, wenn man a = p/Q setzt. Den Endpunkt dieses Vektors a nennt man den elektrischen Schwerpunkt. Das Feld einer Ladungswolke mit nicht verschwindender Gesamtladung ist also in großem Abstand in erster Näherung gleich demjenigen einer Punktladung im elektrischen Schwerpunkt. Die Abweichung davon wird in nächster Näherung durch den dritten Summanden in (7; 6), durch das Quadrupolmoment gegeben. Das Feld einer Ladungswolke mit verschwindender Gesamtladung ist in großem Abstand in erster Näherung gleich demjenigen eines Dipols. Das Dipolmoment ist in diesem Fall nur von der Ladungsverteilung abhängig und nicht von der Wahl des Bezugspunktes. Das Feld eines Dipols ist rotationssymmetrisch um die Richtung des Dipolmomentes. Bezeichnet man mit •& den Winkel zwischen r und dem Dipolmoment, so gilt 1

p-r

pe os»

r3

=

.

= 4 ^ '

.

-v) =

(7; 13)

welcher formal das skalare Produkt aus dem Vektor p und dem Nabla-Operator V (5; 7) darstellt, schreibt man diese Formel in Vektorform F=-V)E.

(7; 14)

30

Elektrostatik

Für das Drehmoment erhält man bei Berücksichtigung des Gliedes E(0) allein M = p X E(0).

(7; 15)

Bei einer Ladungswolke, deren Gesamtladung nicht verschwindet, Q =j= 0, kann man durch Verschieben des Koordinatenursprungs in den elektrischen Schwerpunkt p = 0 machen. Demnach läßt sich auch bei der Berechnung von Kraft und Drehmoment eines äußeren Feldes die Ladungswolke in erster Näherung durch eine Punktladung der Größe Q im elektrischen Schwerpunkt ersetzen. Dann verschwindet also das Drehmoment in bezug auf diesen Punkt. Ist dagegen Q = 0, so ist das Drehmoment in erster Näherung unabhängig vom Bezugspunkt gleich dem Vektorprodukt p x E. Die Kraft hängt dann nach (7; 14) von den Differentialquotienten der Feldstärke ab, also davon, wie rasch sich E in Richtung von p mit dem Ort ändert. Die nächsten Glieder der Entwicklung, deren Anfang (7; 14) und (7; 15) darstellen, enthalten die Komponenten des Quadrupolmomentes. Zunächst findet man als nächsten Summanden in (7; 12) für Ft den Ausdruck Ä m f f f *r' " ' ' « ^ Nun ist zu beachten, daß das äußere Feld in dem Raum der betrachteten Ladungswolke den Gleichungen eines Vakuumfeldes genügt. Es ist also der negative Gradient eines Potentials, welches der Gleichung div grad

J>

Wegen rot E = 0 ist aber aB 3

j =l

oxk

SA

=

0

J

-g-

**'} dV • J

(7'18)

.

(7;19)

Multipliziert man diesen Ausdruck m i t — \ f f f r ' 2 e( r ')dV uwl

r'

addiert ihn zu Mlt so erhält man

M, = p2 E3 (0) - pa E2 (0) + -J- J Lk - g ^ - q3k Ä . (7; 20) ft = 1 \ Je k ' Versteht man unter dem Symbol ( q • v ) einen Vektoroperator, **

der durch skalare Multiplikation des Tensors q mit dem Nabla-

/«.

\

Operator V entsteht und die Komponenten q ' V i =

3

8

besitzt, so kann man die obige Formel mit den entsprechenden für die anderen Komponenten zu der folgenden Vektorformel zusammenfassen 2 M = p x E(0) + t ( q - V ) x E (7; 21) Betrachtet man speziell einen gestreckten Quadrupol in Richtung der a;3-Achse, dessen Komponenten q33 = q, qu = g22 = — jj, ¿2 qik = 0 für % =)= k sind, so erhält man unter Ausnutzung der Beziehung rot E = 0

Elektrostatik

32 =

=

= 0

(7; 22)

Dann ist also das Drehmoment den Ableitungen der Feldstärke in Richtung der Quadrupolachse proportional.

§8. D e r p o l a r i s i e r t e K ö r p e r In einem ungeladenen, aber polarisierten Körper hat jedes der N Moleküle die Gesamtladung Q = 0, aber ein von null verschiedenes Dipolmoment p. Ist Tj der Ortsvektor zum j-ten Molekül, so gilt für einen Ortsvektor r außerhalb des Körpers

Hier kann man nun, genauso wie in § 3, bei den Summanden aller Moleküle aus einem makroskopisch kleinen, aber noch viele Moleküle umfassenden Volumen A V die relativ kleinen Unterschiede von (r — r,-) vernachlässigen. Die Summe im Zähler ist dann proportional zuAV: Zpi

= PAV.

(8; 2)

Alle Moleküle in AV

Der durch diese Gleichung definierte Vektor P heißt elektrische Polarisation. Er beschreibt die Verteilung der Dipolmomente der Moleküle in makroskopischer Näherung. Natürlich kann P noch von dem Ortsvektor r' von AV abhängen. Die Summe über alle AV kann man nun durch ein Integral ersetzen und erhält m

^

f

f

f

^

f

i

t

v

.

(8; 3)

r'

Dieses Integral läßt sich in bequemere Gestalt bringen. Offenbar ist Der Strich am Gradienten soll dabei andeuten, daß bei der Differentiation die Komponenten von r' als Variablen anzu-

§ 8. D e r p o l a r i s i e r t e K ö r p e r

33

sehen sind, nicht diejenigen von r. Der Integrand von (8; 3) kann daher in folgender Form geschrieben werden: (8; 5) Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (5; 3) ergibt sich nun aus (8; 3)

r'

r'

Der Vergleich dieser Formel mit (3; 5) liefert die Aussage: Das Feld eines elektrisch polarisierten Körpers ist identisch mit demjenigen einer Raumladung der Dichte Qs = — d i v P im Innern des Körpers und einer Oberflächenladung der Dichte as = P„ auf seiner Oberfläche. Diese Raumladungen und Oberflächenladungen eines polarisierten Körpers bezeichnet man als scheinbare Ladungen, weil man sie früher für vorgetäuscht hielt. Heute wissen wir, daß sie ebenso wie alle elektrischen Ladungen von überschüssigen Protonen oder Elektronen herrühren. Sie unterscheiden sich von anderen Ladungen durch ihre Entstehungsweise. Während die sogenannten wahren Ladungen durch Transport von Elektronen oder Ionen über große Strecken im Vergleich zum mittleren Atomabstand entstehen und daher in der Regel nur in elektrischen Leitern auftreten, entstehen scheinbare Ladungen durch winzige Teilchenverschiebungen innerhalb der Moleküle, vor allem in Isolatoren. Zur Veranschaulichung dieses Vorganges betrachten wir einmal die Verteilung aller Protonen und Elektronen eines Körpers getrennt. Beide erzeugen eine Raumladung der Dichte Q0 bzw. —Q0, die jede technisch herstellbare Ladungsdichte weit übersteigt. Im unpolarisierten und ungeladenen Zustand sind sie aber in jedem Punkt genau entgegengesetzt gleich und erzeugen daher kein Feld. Zur 3 D ö r i n g , Einführung in die theoretische Physik II

Elektrostatik

34

Erzeugung einer Polarisation denken wir uns nun alle Elektronen um die gegen die Atomabmessungen sehr kleine Strecke b verschoben. Die dadurch entstandene Polarisation ist P = — qJ). Aus einem Volumen V im Innern des Körpers wandert bei dieser Verschiebung an einem kleinen Stück AS der Oberfläche mit dem nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor« diejenige negative Ladung heraus, die sich vorher in einer Zone der Breite b„ = (b • n) befand, bzw. hinein, wenn bn negativ war. Diese Ladung beträgt —p0bnAS. Da vorher die Gesamtladung in dem betrachteten Volumen null war, ist die Ladung in dem Volumen nach der Verschiebung die negative Summe dieser Ausdrücke über alle Oberflächenstücke, also nach dem Gaußschen Integralsatz §oabndS

=fffdiv(

Oberfläche von V

e o

b)dV.

V

Das entspricht einer Raumladungdichte div Q0b = — div P. An der Oberfläche entsteht dort, wo die Komponente bn = b -n in Richtung der äußeren Normalen positiv ist, eine negativ geladene Schicht der Dicke bn mit der Flächenladungsdichte Pn = — g0bn, wie es (8; 6) behauptet. Manchmal erlaubt diese Betrachtung unmittelbar die Berechnung des Feldes eines polarisierten Körpers. Das Potential des Feldes eines homogen in -f- x-Richtung polarisierten Körpers mit der Polarisation JP ist demnach gleich der Summe der Potentiale zweier homogen entgegengesetzt geladener Körper mit der Raumladung g0 bzw. —g0 und gleicher Form, die gegeneinander um die Strecke 6 = Plg0 in Richtung verschoben sind. Ist z)~9o(x

+ l>y,z)~

—

Speziell für eine Kugel vom Radius a erhält man mit Hilfe des in (6; 2) erhaltenen Potentials a nennt man die eingeprägte elektrische Feldstärke. In einem homogenen Leiter ist E{e> = 0. In einem idealen Isolator sind keine geladenen Teilchen vorhanden, die sich über längere Strecken bewegen können. In ihm kann daher die elektrische Feldstärke im Gleichgewicht beliebige Werte annehmen. Das Feld bewirkt aber stets kleine Verschiebungen der Elektronen in den Atomen und erzeugt daher eine elektrische Polarisation P. In Wirklichkeit gibt es keine idealen Isolatoren. Einige wenige, über weite Strecken bewegliche Ladungsträger gibt es in jeder Substanz. Ihre Anzahl und Beweglichkeit ist jedoch in guten Isolatoren so gering, daß in einem Feld nur sehr schwache Ströme fließen, und dann dauert es lange, bis sich in ihnen überall der wirkliche, durch (9; 1) charakterisierte Gleichgewichtszustand eingestellt hat. Wir idealisieren im folgenden die Verhältnisse durch die Annahme, daß in den Isolatoren in Strenge gar keine Ströme fließen können, in den Leitern dagegen bei nur kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtsbedingung (9; 1) so große, daß das Gleich-

§ 9. Leiter und Isolatoren

37

gewicht in sehr kurzer Zeit schon vor Beginn unserer Betrachtungen erreicht wurde. Daraus ergeben sich eine Reihe von Aussagen über die Felder im Gleichgewichtszustand. Wir betrachten nacheinander zunächst das Innere von Leitern, dann das Innere von Isolatoren und schließlich die Mediengrenze zwischen verschiedenen Substanzen. Die Gleichgewichtsbedingung (9; 1) für das Feld im Innern eines Leiters ist bei beliebiger Verteilung der chemischen Inhomogenitäten gar nicht erfüllbar. Da im elektrostatischen Feld stets rot E = 0 bzw. =j= 0 ist. Wenn die Leiter mehrfach zusammenhängend sind, d. h. wenn es in den Leitern geschlossene Linienzüge gibt, die nicht auf einen Punkt stetig zusammengezogen werden können, ohne die Leiter zu verlassen, so ist die Bedingung rot JE = 0 nicht hinreichend. Dagegen genügt die Forderung, daß auf jedem geschlossenen

Linienzug

im

Leiter

£

X

jy

(16; 3)

r' über K

Der Dipol erzeugt nach (14; 4) am Ort r ein Feld

„, ,

1

, m•r (16; 4)

Das Drehmoment der Kraft dieses Feldes auf einen geladenen, mit der Geschwindigkeit v bewegten Körper, bezogen auf den

§ 16. Die allgemeinen Gesetze des magnetostatischen Feldes 73 Koordinatenurspiung, beträgt nach (15; 1) q[r x [v xßH(r)]]. Einsetzen von (16; 4) und Summation über alle geladenen Teilchen in K liefert für das auf K wirkende Drehmoment Mk

ff/

=

4tzju0

dV.

r liber K

(16; 5)

Dabei wurden die Drehmomente weggelassen, welche von der magnetischen Wechselwirkung der bewegten, geladenen Teilchen in K aufeinander herrühren, denn diese heben sich bei Berechnung des Drehmomentes auf den ganzen Körper fort. Deshalb wurde auch in (16; 5) nur das Feld des magnetischen Dipols berücksichtigt, nicht das von K selbst erzeugte Feld. Bei der folgenden Umformung soll nun angenommen werden, daß j an der Oberfläche von K in einer Zone von sehr geringer, aber endlicher Breite in differenzierbarer Weise auf null absinkt und an den im Vakuum gelegenen Integrationsgrenzen überall verschwindet. Der singuläre Punkt r = 0 in (16; 5) soll außerhalb des Integrationsvolumens liegen. Um (16; 5) mit (16; 3) vergleichen zu können, formt man den Integranden um unter Benutzung der Vektorformel 1 ) a x [b x c} = b(a • c) — c (a • b).

(16; 6)

Dann lautet der Integrand von (16; 5) j (r) (m • r)

+ (r • grad

j-

[ß- + (m • r) grad -i-) ( j • r).

Nun gilt (,.grad^)=--,

(16; 7)

sowie 3 ^

rrrnA jX• .grad -l = -

/liir ( ^ \+I 1 d i v i . div

(16; 8)

Da der Vektor grad i - parallel r ist, gilt weiter ( j • r) grad ^

= r (> • grad I . ) = , (div ( i ) -

') S. Valentiner, § 12.

. (16; 9)

Magnetostatik

74

Setzt man das in (16; 6) ein und beachtet, daß für stationäre Ströme div 7 = 0 ist, so erhält man

-r(--r)dlT(i)}jV.

(16:1

°>

Den letzten Summanden formt man in Komponenten weiter um. Bezeichnet man die Komponenten von r mit x 2 , x3, so lautet die fc-te Komponente des 3. Summanden im Integral (16; 10) -

xkJZ

~

« ,

p

£

(-Jf) =

1

-

fi

(xtm,x,

±

l

Jedes Integral über eine vollständige Ableitung nach einer Koordinate xp verschwindet aber, weil j an den Integrationsgrenzen gleich null ist. Da m nicht von r abhängig ist, verschwindet also das Integral über den 2. Summanden im Integral (16; 10) und dasjenige über den ersten Summanden von (16; 11). Somit erhält man dV r über K

m y . [ j y . r]

(16; 12)

47lfl„ r aber K

Die Integrale in (16; 12) und (16; 3) sind gleich. Die Drehmomente M g und Mßipoi sind also nur dann entgegengesetzt gleich, wenn ß = ¡i0 ist, wie vorn behauptet wurde. Man kann zeigen, daß dann auch die Drehmomente und die Kräfte zwischen einem beliebig magnetisierten Körper und einem stromdurchflossenen Körper das Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung erfüllen. F ü r die magnetische Feldstärke H im Vakuum bei Anwesenheit von magnetisierbaren und stromdurchflossenen Körpern ergibt sich also aufgrund von (16; 1) durch Addition von (14; 7) und (15; 4) die Formel

§ 16. Die allgemeinen Gesetze des magnetostatischen Feldes 75

(16; 13) r'

Dabei wurde der Einfachheit halber in (14; 7) das Oberflächenintegral über Jn fortgelassen. Wenn man annimmt, daß J an den Mediengrenzen nicht unstetig springt, sondern sich dort nur in einer sehr schmalen Übergangszone zwar rasch, aber stetig und differenzierbar mit dem Ort ändert, so ist das Oberflächenintegral von (14; 7) in dem obigen Volumenintegral enthalten. Die Formel (16; 13) kann nun als Definition der makroskopischen Feldstärke Wim Innern von magnetisierten und stromdurchflossenen Körpern angesehen werden. Das ist aber ohne Zweifel recht unbefriedigend. In den anderen Fällen, wo wir analog vorgegangen sind, konnte man die entsprechende Definition der Feldgröße im Innern der Materie mit Hilfe einer Integralformel stets durch eine einfachere allgemeine Vorschrift ersetzen. Im elektrostatischen Feld kann die durch (3; 5) definierte Größe E im Innern der Materie als die wirbelfreie Fortsetzung des Feldes im Vakuum gekennzeichnet werden. Eine quellenfreie Fortsetzung ist in diesem Falle nicht möglich. Denn wenn div E überall null wäre, müßte das Flächenintegral über En über jede geschlossene Oberfläche verschwinden, und das ist nach dem Coulombschen Gesetz bzw. nach (4; 2) bei geeignet gewählten Flächen im Vakuum nicht der Fall. Das Induktionsfeld B im Innern von stromdurchflossenen Leitern, welches durch (15; 4) definiert wird, kann auch als die quellenfreie Fortsetzung des Feldes imVakuum erklärt werden. In diesem Falle ist eine wirbelfreie Fortsetzung nicht möglich. Denn wenn rot B überall null wäre, könnte nach dem Stokesschen Integralsatz nicht §B • dr auf einem geschlossenen Wege ungleich null sein, und das ist nach (15; 16) für manche Wege im Vakuum der Fall. Das Feld eines magnetisierten Körpers kann dagegen so-

76

Magnetostatik

wohl quellenfrei als auch wirbelfrei ins Innere der Materie fortgesetzt werden, denn das Linienintegral von H über einen geschlossenen Linienzug im Feld eines magnetisierten Körpers verschwindet nach (14; 9) stets und desgleichen das Flächenintegral über eine geschlossene, ganz im Vakuum liegende Fläche, weil auf ihr überall J = 0 ist. Die Integralformel (16; 13) besagt, daß derjenige Anteil von H , welcher von der Magnetisierung herrührt, wirbelfrei ins Innere der Materie fortgesetzt wird, der Anteil, welcher von Strömen herrührt, dagegen quellenfrei. Im allgemeinen können diese Anteile aber nur rechnerisch getrennt werden. Man kann an den Eigenschaften und der Verteilung eines magnetischen Feldes innerhalb eines begrenzten, einfach zusammenhängenden Volumens im Vakuum nicht feststellen, ob es von Strömen oder magnetisierten Körpern herrührt. Daher erscheint diese Vorschrift zur Definition von H im Innern der Körper als wenig glücklich. Sie ist sicherlich nur deshalb üblich, weil man vor Oersteds Entdeckung das Magnetfeld formal genauso zu behandeln pflegte wie das elektrische Feld. Viel übersichtlicher werden die Formeln, wenn man statt dessen die quellenfreie Fortsetzung des Feldes im Vakuum ins Innere der Materie einführt. Das pflegt man bei der Induktion B zu tun. Selbstverständlich ist das nicht zwingend notwendig. Man kann ebenso gut die quellenfreie Fortsetzung von H betrachten, nur muß man dann diesen Feldvektor im Innern der Materie wohl von dem durch (16; 13) definierten Vektor H unterscheiden. Da jedoch im Induktionsgesetz, wie wir in § 19 sehen werden, nur ein quellenfreier Vektor vorkommen kann und dieses Gesetz bei Benutzung des durch (15; 1) im Vakuum definierten Vektors B besonders einfache Gestalt annimmt, bevorzugt man hier den Vektor B. Die Anhänger des magnetostatischen Begriffssystems machen es jedoch im Prinzip anders. Nicht nur im Vakuum, sondern auch innerhalb der Materie benutzen sie statt H den Vektor H m = H ^ATI/JL^ und statt B einen quellenfreien Vektor Bm, der im Vakuum mit Hm identisch ist. In § 27 soll das weiter ausgeführt werden.

§ 16. Die allgemeinen Gesetze des magnetostatischen Feldes 77 Zur Bestimmung der quellenfreien Fortsetzung des Vektors B = ¡u0H im Vakuum berechnen wir die Divergenz des durch (16; 13) definierten Vektors H im Innern der Materie. Der zweite Summand in (16; 13) ist stets quellenfrei. Der erste ist in allen Körpern, in denen J an der Oberfläche stetig auf null absinkt, also J n = 0 ist, mit dem durch (14; 7) definierten Vektor identisch und hat daher auch dieselbe Divergenz. Daher gilt die zweite der Gleichungen (14; 9) auch für das Magnetfeld H von magnetisierten und stromdurchflossenen Körpern allgemein: d i v ^ o H + J) = 0. " (16; 14) Die quellenfreie Fortsetzung von B ins Innere der Materie ist also B=MoH + J. (16; 15) Bevor wir die quellenmäßige Darstellung dieses Vektors B berechnen, untersuchen wir zweckmäßig seine Rotation. Bildet man die Rotation von (16; 13), so fällt der erste Summand fort, da jeder Gradient wirbelfrei ist. Der zweite Summand ist bis auf den Faktor fi 0 mit (15; 4) identisch. Also folgt daraus genauso wie in § 15 rot H = j .

(16; 16)

Wenn man über die in (14; 1) enthaltene Vieldeutigkeit in der Definition von H so verfügt, daß die Konstante /u0 in (14; 4) gleich der durch (15; 2) definierten Induktionskonstante wird, fällt also die Proportionalitätskonstante in obiger Formel (16; 16) fort. Gerade das war die Absicht der Physiker, welche dieses heute vorzugsweise benutzte Begriffssystem einführten. Benutzt man statt dessen die früher viel beliebteren magnetostatisch definierten Größen, so verschwindet die Konstante in (14; 4), und statt dessen tritt eine andere in (16; 16) auf. Die Gründe, welche in der Literatur für die eine oder andere Entscheidung vorgebracht werden, erscheinen alle ziemlich fadenscheinig und nicht stichhaltig. Mit der Wahl der Einheiten haben sie offenbar gar nichts zu tun, obwohl das sehr oft behauptet wird. In diesem Buch wurde deshalb die Wahl einfach so

78

Magnetostatik

getroffen wie bei der Mehrheit der Benutzer. Die anderen Systeme werden in § 27 behandelt werden. Für die Wirbel von B ergibt sich nun aus (16; 15 und 16)

rot B = fi0j + rot J .

(16; 17)

Daraus ergibt sich nun leicht die quellenmäßige Darstellung des durch (16; 15) definierten Vektors B in magnetisierter und stromdurchflossener Materie. Man hat nur den bereits auf S. 23 benutzten Satz zu beachten, daß ein im Unendlichen genügend rasch gegen null gehendes Vektorfeld durch seine Quellen und Wirbel eindeutig gegeben ist. Die Quellen von B verschwinden definitionsgemäß auch in magnetisierter Materie. Die Formel für die Rotation von B in magnetisierter, stromdurchflossener Materie (16; 17) geht aus derjenigen für unmagnetisierte Materie (15; 14) dadurch hervor, daß man j durch j + — rot J ersetzt. Also erhält man die quellenmäßige Darstellung des allgemeinen Induktionsfeldes durch die entsprechende Ersetzung in (15; 6): ß - r o t m i t =

™ (16; 18)

r' Die Integralformeln für B und H sowie die Randbedingungen an den Materiegrenzen ergeben sich nun leicht aus den erhaltenen Resultaten. Aus div B = 0 folgt mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes

$BndS = 0

(16; 19)

und aus (16; 16) mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes

= - r i

= ü

§ 21. Die Selbstinduktivität

107

nicht mehr zu v proportional. Wenn man auf diese Weise Elektronen durch sehr viele Umläufe im wachsenden Magnetfeld auf hohe Energien beschleunigen will, muß man natürlich dafür sorgen, daß der Bahnkreis gegen kleine Störungen stabil ist, damit das Elektron nach einer kleinen Ablenkung, etwa infolge Begegnung mit einem Atom des Restgases im Gefäß, wieder auf die richtige Bahn zurückkehrt. Die dazu nötigen Rechnungen würden hier zu weit führen. Es gibt heutzutage Elektronenschleudern, in welchen die Elektronen während des Anwachsens des Magnetfeldes über eine Million Umläufe ausführen und dabei Spannungen von vielen Millionen Volt durchlaufen. Das elektrische Wirbelfeld, welches die Teilchen in der Elektronenschleuder beschleunigt, ist auch die Ursache für die Spannung in der Sekundärwicklung eines Transformators. Der Unterschied ist nur der, daß im Transformator die Elektronen nicht durch die Lorentzkraft in ihrer Bahn gehalten werden, sondern durch den Draht, dessen Oberfläche die Elektronen nicht durchläßt. Außerdem legt jedes Elektron wegen der Reibung im Draht nur ein kurzes Wegstück zurück und macht nicht viele Umläufe wie in der Elektronenschleuder. §21. Die S e l b s t i n d u k t i v i t ä t Wenn man an einen Stromkreis, etwa durch eine Batterie, die Spannung U anlegt, steigt der Strom I nicht momentan sondern allmählich auf seinen Endwert an, weil während des Anwachsens das veränderliche Magnetfeld eine Spannung d0 Uind induziert, welche der angelegten Spannung entgegen wirkt und sich daher wie ein Trägheitswiderstand der Beschleunigung der Ladungsträger widersetzt (vgl. S. 101). Ist R der Ohmsche Widerstand des Stromkreises, so ändert sich I nach der Gleichung =

(21; 1)

108

Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

Wenn das Magnetfeld nur von dem Strom in dem betrachteten Stromkreis herrührt und überall B proportional zu H ist, ändert sich der Induktionsfluß 0 auch proportional zu 1. Setzt man (21; 2) so folgt aus (21; 1)

RI

(21; 3)

Den Koeffizienten L nennt man die Selbstinduktivität des Stromkreises. L hat die Größenart (Spannung • Zeit)/Stromstärke. Die gebräuchlichste Einheit ist 1 Henry = 1 H = 1 Vs A ' Ist U eine konstante Spannung, die zur Zeit t = 0 angelegt wird, so ergibt sich aus (21; 3) für das Anwachsen des Stromes von dem Wert I = 0 an

Vi

I

=

R.\

1 - e - ^ J -

(21; 4)

Die Größe r = L/Ä nennt man die Zeitkonstante des Stromkreises. Multipliziert man (21; 3) mit der Stromstärke, so erhält man die Leistungsbilanz

(21; 5)

UI^RP+LI~.

Bei veränderlichem Strom ist also die Leistung P — TJI der Spannungsquelle nicht gleich der Jouleschen Wärme RP. Hinzu kommt ein weiterer Summand

LI

— ^ LI2j,

der nach den Ausführungen auf S. 101 vermutlich die Zunahme der magnetischen Feldenergie W m darstellt. In der Tat ist

Wm=ffßB-HdV=±LP. oo-Raum

(21; 6)

§ 21. Die Selbstinduktivität Zum Beweis setzen wir B = rot Vektorformel1)

109 und beachten die

H • rot A = div [A x H] + A • r o t f f .

(21; 7)

Bei der Integration dieses Ausdruckes kann man das Volumenintegral über div [A X f i ] in ein Oberflächenintegral verwandeln. Für einen im Endlichen liegenden Stromkreis verschwindet A wegen (15; 6) im Unendlichen wie 1/r, H dagegen wie 1/r2. Das Oberflächenintegral von [A X H ] über eine sehr ferne Fläche geht also beim Grenzübergang zu unendlich großer Fläche gegen null, weil die Fläche nur proportional mit r 2 anwächst, der Integrand aber wie 1/r3 abnimmt. Daher ergibt sich aus (21; 6) bei Beachtung von (16; 15) W m =

i f f f

( A

oo-Raum

'

r o t H )d v =

U f f

( A

Leiter

' j')dv

•

(21;

8)

Diese Integralformel hat den Vorteil, daß in ihr der Integrand nur im Innern der stromdurchflossenen Leiter von null verschieden ist, weil außerhalb j = 0 ist. Bei dünnen Leitern kann man angenähert A als konstant über den Querschnitt annehmen. Bezeichnet man mit Ar ein Wegelement längs des Leiters in Stromrichtung und mit AS den Leiterquerschnitt, so \stjAV = \j\A8Ar = IAr. Setzt man das in (21; 8) ein, so folgt angenähert mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes

= $ (ßA • dr = yJJ{^tA)nds

=

=\ LP. (21; 9)

Stromkreis

Hier zeigt sich zugleich die Gültigkeitsgrenze dieser Beziehung. Wenn man von dem Induktionsfluß 0 durch den Stromkreis spricht, wird stillschweigend vorausgesetzt, daß alle Stromlinien im Leiter den gleichen Induktionsfluß umschließen. Das ist nur der Fall, wenn die Leiter verglichen mit den sonstigen Abmessungen des Stromkreises sehr dünn ») Vgl. S. Valentiner, § 28, Gleichung (4).

110

Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

sind. Nur dann ist A über den Leiterquerschnitt praktisch konstant. Für dicke Leiter kann man die Selbstinduktivität L statt durch (21; 2) durch die allgemeinere, aus (21; 6) folgende Gleichung definieren: 2W £ = J£rL(21; 10) Manchmal ist es zweckmäßig, die Induktivität zu unterteilen in den Anteil, der nach (21; 10) von der Feldenergie innerhalb der Leiter selbst herrührt, und den Anteil von der Feldenergie außerhalb. Der erste Teil, die innere Selbstinduktivität, ändert sich bei Deformation eines Stromkreises aus dünnen Drähten gegebener Abmessungen nicht. Als Anwendungsbeispiel für die Beziehung (21; 10) berechnen wir die Selbstinduktivität einer langen, dünnen Spule mit der Länge l, dem Querschnitt 8 und der Windungszahl N. Der Kern habe die Permeabilität uT. Wenn man von NI Randeffekten absehen kann, ist in der Spule | f f | = - j (vgl. 17; 5). Außerhalb kann man das Feld als klein vernachlässigen. Man erhält also

oder

N"S L = firfi0- —j— .

(21; 11)

Die Selbstinduktivität einer Spule ist also dem Quadrat der Windungszahl N proportional. Aus (21; 2) folgt anscheinend ein anderes Ergebnis. Der Induktionsfluß durch den Querschnitt der Spule ist ja einfach /ur/u0 \ H ¡S, ist also NI proportional. Demnach scheint aus (21; 2) eine Proportionalität von L zu N, nicht zu N2 zu folgen. Das ist aber ein Trugschluß. 0 bedeutet nämlich den Fluß durch den Stromkreis. In einer Spule mit N Windungen durchsetzt der Fluß durch den Spulenquerschnitt den Stromkreis N mal, d. h. 0 = N-MrMo\H\S.

§ 22. Die Maxwellsche Ergänzung

111

V. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen. §22. D i e M a x w e l l s c h e E r g ä n z u n g Wir wollen jetzt untersuchen, wie die Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes im allgemeinsten Fall lauten. Dazu stellen wir zunächst die bisherigen Resultate zusammen. Für das elektrische Feld einer zeitlich konstanten Ladung der Dichte q gilt: rot I i = 0 (22; 1) und e 0 div I i = g .

(22; 2)

Für die Verteilung der Induktion, welche von der zeitlich konstanten Magnetisierung J und Stromverteilung der Dichte j erzeugt wird, erhielten wir r o t B = / j , a j + rot J (22; 3) und div B = 0 . (22; 4) In zeitlich veränderlichen Magnetfeldern ist (22; 1) nach § 19 zu ersetzen durch rotE = - - ^ - .

(22; 5)

Es fragt sich nun, ob die anderen Gleichungen in beliebig veränderlichen Feldern gültig bleiben können. Das ist für (22; 3) offenbar zu verneinen, denn die Divergenz jeder Rotation verschwindet, div j aber nach (12; 7) nur, wenn dg/dt = 0 ist. Bildet man also die Divergenz von (22; 3), so ergibt sich an Stellen mit veränderlicher Raumladungsdichte ein Widerspruch. Man kann aber leicht erraten, wie (22; 3) abzuändern ist, damit die Gleichung allgemein gültig sein kann. Aus (12; 7) und (22; 2) folgt nämlich div

j + Yf

=

div

(/ +

(22; 6)

Diese Beziehung veranlaßte Maxwell erstmalig zu der Vermutung, daß in (22; 3) im allgemeinen Fall j durch den 8E quellenfreien Vektor j + e 0 - ^ - z u ersetzen sei: rot B = f i a j + r o t / + s0/Lt0

8E

.

(22; 7)

112

Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

Selbstverständlich ist däs kein Beweis für die Gültigkeit dieser Gleichung. Sie hat sich aber an der Erfahrung bewährt. Der Zusatzterm e 0

8E

wird als Maxwellsche Ergänzung

bezeichnet. In leitenden Medien macht er sich kaum bemerkbar, weil seine Amplitude in periodisch veränderlichen Feldern bei normalen Werten der Leitfähigkeit erst für die Frequenzen des sichtbaren Lichtes mit derjenigen von j vergleichbar wird. In Nichtleitern aber hat die Ergänzung zur Folge, daß sich alle Feldänderungen mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Bei technischen Anwendungen pflegt man die Maxwellschen Gleichungen meist etwas anders zu schreiben. Man unterscheidet bei der Raumladungsdichte q die wahre Eaumladungsdichte qw von der scheinbaren qs = — div P, welche das Feld bei Erzeugung der Polarisation P hervorruft. In veränderlichen Feldern muß man entsprechend die Dichte der wahren Ströme jw und die Dichte

SP

der Ströme

infolge Veränderung der Polarisation unterscheiden. Führt man dann in (22; 2 und 7) den Vektor der dielektrischen Verschiebung D = e 0 E - \ - P ein und in (22; 7) außerdem statt B die magnetische Feldstärke H mittels B = /x0H + J, so erhält man d i v D = qw; rotJFi = ja +

(22; 8)

d i v ß = 0; rotJS = —

(22; 9)

Man beschreibt dann die Eigenschaften der Substanzen durch Angabe des Zusammenhangs zwischen B und H sowie zwischen D und E in Isolatoren undja, und E in Leitern. In nichtferromagnetischen und nichtferroelektrischen Substanzen gilt in guter Näherung: B = firfi0H;

In Leitern gilt

D = ere0E .

jw = x{E +

>),

(22; 10)

(22; 11)

113

§ 23. Die ebene Welle e

wobei die eingeprägte elektrische Feldstärke E< > in homogenen Leitern verschwindet. Zu diesen Gleichungen treten noch gewisse Randbedingungen, auf deren Wiederholung hier verzichtet sei. Für allgemeine Betrachtungen ist es zweckmäßiger, die gesamte Raumladungsdichte (22; 12) e = e „ - d i v P und die totale Stromdichte

(22;13)

Jtot = Jn + ^+y^otJ

einzuführen, also die Summe aus der wahren Stromdichte

SP

j w , der Stromdichte der scheinbaren Ströme und der Dichte der inneratomaren Ströme, welche als Ursache der Magnetisierung angesehen werden. Dann lauten die Maxwellschen Gleichungen, in etwas anderer Zusammenfassung als oben, unter Benutzung von (15; 20) r o t ß - ^ - ^ = i a 0 i ( 0 ( ; d i v E = - ^ ; (22; 14) rot E +

= 0; divB = 0 .

(22; 15)

§23. Die ebene Welle Als erste Anwendung der Maxwellschen Gleichungen betrachten wir ein Feld, in welchem alle Größen außer von t nur von einer Ortskoordinate x abhängen. Für ein homogenes, nichtleitendes, nichtferromagnetisches und nichtferroelektrisches Medium erhält man dann wegen jw = 0 und qw = 0 aus (22; 8 bis 11) in Koordinaten

8EX . 8EX . 8HX , 8HX =

und

=

n

_ 8HZ _ £r£ 8Ey 8Ey _ ~~ 8x ~ » 8t ' 8x - —Wo dt '

8 D ö r i n g , Einführung in die theoretische Physik II

,„„ ,, 23 1 i

; )

114

Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen 8x

8i

'

8x

~

W o

8t

•

Die 4 ersten Gleichungen besagen, daß Ex u n d Hx zeitlich u n d räumlich konstant sind. Diese konstanten Felder wollen wir hier als uninteressant außer Betracht lassen. Aus (23; 2) folgt durch Differentiation der ersten Gleichung nach t u n d der zweiten nach x = ^

(23; 4)

mit der Abkürzung c 2 = — - — . (23; 5) e r/Wo Die Gleichung (23; 4) bezeichnet m a n als die Differentialgleichung der Saitenschwingung, da sie auch f ü r den Ausschlag einer dünnen, gespannten Saite gilt. Ihre allgemeinste Lösung lautet Ey = F(x — et) + G{x + et). (23; 6) F u n d G sind darin zwei Funktionen des einen Argumentes x — et bzw. x + et, deren Verlauf von der Anfangsverteilung des Feldes u n d den Randbedingungen an den Grenzen des betrachteten homogenen Mediums abhängt. Bei b e k a n n t e m Ey erhält m a n Hz aus (23; 2) bis auf eine belanglose Konstante eindeutig:

E

'

=

ci

{

F(x ~

)-

23; 7

G(x

-

+

4• < )

Wir diskutieren hier zunächst eine Lösung, bei der G = 0 ist. Bei ihr ist das Verhältnis von Ey/Hz eine Konstante. Ferner verschiebt sich bei ihr die räumliche Verteilung der Felder ohne Deformation mit der Geschwindigkeit c in xRichtung. Denn wenn m a n t u m ¿lí vergrößert u n d zugleich x u m cAt, so ändert sich das Argument x-ct von F nicht und daher auch Es und Hz nicht, falls G = 0 ist. Entsprechend liefert G allem eine Feldverteilung, die sich in — ¡r-Richtung mit der Geschwindigkeit c verschiebt. D a die Gleichungen (23; 3) aus (23; 2) hervorgehen, indem man Ey durch Ez und É¡¡ durch — Hy ersetzt, ergeben sich daraus f ü r E¡¡

§ 23. Die ebene Welle

115

und — H y ebensolche Formeln wie (23; 6 und 7). Insgesamt erhalten wir also: In einem homogenen, nichtferromagnetischen und nichtferroelektrischen Nichtleiter kann jedes Feld, das außer von t nur von einer Ortskoordinaten x abhängt, als Überlagerung von zwei Verteilungen dargestellt werden, die sich ohne Deformation mit der Geschwindigkeit c in + x bzw. — a-Richtung verschieben. Im Vakuum hat diese Geschwindigkeit c den Wert (23; 8) Daß diese Konstante gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit ist, wurde schon vor der Entdeckung Maxwells um 1850 von Weber aus statischen Messungen ermittelt. Damals benutzte man vorzugsweise als magnetische Feldstärke die Größe Hm = H Vi7i/z0 (vgl. 14; 5) und als elektrische Ladung die Größe q, = q/YATIS0 (vgl. 2 ; 3). Dementsprechend bezeichnete man als Stromdichte den Vektor j, =j/ (/ 4TZ£0. Mit diesen Größen lautet (16; 16) rot Hm = ijt Ye^t0 j> • (23; 9) Wenn man also alle Formeln mit den Größen des elektrostatischen und magnetostatischen Begriffssystems schreibt, treten zwar s0 und fi0 in ihnen nicht mehr auf, wohl aber die Geschwindigkeit l//e 0j M 0 , und zwar in allen Formeln, welche elektrische und magnetische Größen miteinander verknüpfen. Daß diese sog. kritische Geschwindigkeit ungefähr gleich der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum ist, war seit etwa 1825 bekannt. Jedoch zeigte erst Maxwell 1865, daß sich elektromagnetische Felder mit dieser Geschwindigkeit ausbreiten und schloß daraus, daß Licht eine elektromagnetische Welle sei, was H. Hertz alsdann experimentell als richtig nachwies. In einem Medium, in welchem erfiT größer als 1 ist, hat die Ausbreitungsgeschwindigkeit den Meineren Wert c = 8*

(23; 10)

116

Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeiten c0 und c im Vakuum und in einem durchsichtigen Medium nennt man in der Optik den Brechungsindex. Daher ist (23; 11) Diesem Resultat schienen die Experimente zur Zeit Maxwells zu widersprechen. Heute wissen wir, daß das an der Frequenzabhängigkeit von e r und ¡JLT liegt, also an dem Einfluß der Massenträgheit der Ladungsträger in der Materie. e, und ¡j,r mißt man meist im Frequenzbereich bis höchstens 1 MHz, n dagegen für Licht, also für Frequenzen im Bereich von 1013 bis 1016 Hz. Wenn man er¡xr und n bei der gleichen Frequenz mißt, wird (23; 11) vom Experiment gut bestätigt. §24. Der P o y n t i n g - V e k t o r Wir haben bereits in§13 festgestellt, daß das elektrische Feld in der Batterie eines geschlossenen Stromkreises Energie von den Ladungsträgern aufnimmt und in den anderen Teilen des Stromkreises wieder abgibt. Jetzt wollen wir näher untersuchen, wie dieser Energietransport im Feld vor sich geht. Wir gehen dazu von den Maxwellschen Gleichungen (§ 22; 8 bis 10) aus, schließen also ferromagnetische und ferroelektrische Substanzen aus. Wir multiplizieren die Gleichung für rot f f skalar mit E und diejenige für rot E mit —H und addieren sie. Dann erhält man links die Divergenz1) des Vektors E x H. Daher erhalten wir E • rot H — H • rot E = — div E b • +i EtE0cE • 8 E = E-J

tt +, Firfi0H•

x H 8 H

•

(24;!)

Das Vektorprodukt E X H nennt man den PoyntingVektor S = E x H . (24; 2) ' ) Vgl. S. Valentiner § 28.

§ 24. Der Poynting-Vektor

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Integriert man jetzt (24; 1) über ein beliebiges Volumen V mit der Oberfläche 0 , so erhält man bei Anwendung des Gaußschen Integralsatzes

o

V

(24; 3)

Das Integral im zweiten Summanden rechts ist die gesamte elektrische und magnetische Feldenergie W in dem Volumen V. Der erste Summand auf der rechten Seite von (22; 3) ist nach (13; 12) die Leistung des elektrischen Feldes an den bewegten Ladungsträgern in V. Die WachstumsdW geschwindigkeit der Feldenergie plus der Leistung des Feldes an den Ladungen in Firniß aber nach dem Energiesatz gleich dem Energiestrom sein, der in das Volumen V hineinströmt. (22; 3) besagt demnach: Das Integral O Sndf o ist die Energie, die durch das elektromagnetische Feld in der Zeiteinheit aus dem Volumen V heraustransportiert wird. Deshalb nennt man den Poynting-Vektor ¿"auch den Vektor der Energiestromdichte. Die im vorigen Paragraphen betrachtete ebene Welle illustriert diese Tatsache anschaulich. Wenn nur die Funktion F in (23; 6) von null verschieden ist, hat der PoyntingVektor des Feldes nur eine «-Komponente mit der positiven Größe 8x = EyE1=

1 / — F\x — d),

entsprechend

der

Tatsache, daß dieses Feld in + x-Richtung fortschreitet. Ist nur die Funktion G(x + et) von null verschieden, so hat S eine negative «-Komponente. Der Poynting-Vektor weist also immer in die Fortschreitungsrichtung der Welle. Ein zweites Beispiel möge die Bedeutung des Vektors S noch weiter erläutern. Wir betrachten einen Stromkreis, in welchem ein Gleichstrom aus einer Stabbatterie durch eine

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Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

praktisch widerstandslose Doppelleitung zu einem energieverbrauchenden Widerstandskörper und zurück fließt. Die Stabbatterie möge so aufgebaut sein, daß die eingeprägte elektrische Feldstärke in ihr homogen ist. Der Strom fließt in der Batterie vom negativen zum positiven Pol, im Widerstandskörper umgekehrt, wie es die Pfeile j in Abb. 14 andeuten. Das Magnetfeld umschließt die Strombahn in der durch die Pfeile H angedeuteten Richtung, so daß ein Umlauf in Feldrichtung und ein Fortschreiten in Stromrichtung eine Rechtsschraube ergibt. In Abb. 14 ist also E

Abb. 14. Die Verteilung der Felder E und H und des Poynting-Vektors S in der Umgebung einer Stabbatterie, einer langen Doppelleitung und eines Widerstandskörpers (etwas schematisiert).

H zwischen den Leitern überall von vorn nach hinten gerichtet. Die elektrischen Feldlinien führen von dem positiven zum negativen Leiter, also innerhalb der Stromkreisfläche von oben nach unten. Im Innern der Batterie ist E praktisch konstant. H ist dagegen nach (17; 3) dem Betrage nach proportional zum Abstand von der Achse. S ist also dort senkrecht auf der Achse und von innen nach außen gerichtet. | nimmt proportional mit dem Abstand von der Achse zu. Dort entspringt also der Energiestrom, den das Feld transportiert, und fließt radial nach außen ab. Längs der Doppelleitung zwischen der Batterie und dem Widerstand ist der Poynting-Vektor

§ 25. Das retardierte Potential

119

parallel zu den Leitungen und hat die Richtung von der Batterie zum Widerstand. In letzterem liegen die Verhältnisse umgekehrt wie in der Batterie. S hat wieder radiale Richtung, ist aber von außen nach innen gerichtet, und sein Betrag nimmt mit abnehmendem Abstand von der Achse ab. Dort versinkt also der Energiestrom bzw. dort wird Energie an die Ladungsträger abgegeben, welche sie ihrerseits an die Atome des Widerstandskörpers abgeben und ihn dadurch erwärmen. Man erkennt an dieser Betrachtung, daß die Energie, die von einem elektrischen Strom übertragen wird, nicht in dem stromführenden Draht strömt, sondern neben dem Draht in den elektrischen und magnetischen Feldern, die ihn umgeben. Dieser Umstand macht es verständlich, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Feldänderungen längs widerstandsloser Drähte nicht von den Materialeigenschaften der Drähte, sondern nur von denen des umgebenden Mediums abhängt. Auf den Beweis dieser Aussage müssen wir hier verzichten. Ferner versteht man daraus anschaulich, warum hochfrequente Ströme nur in einer dünnen Haut an der Oberfläche der Leiter fließen (Skin-Effekt). Hochfrequente Felder werden nämlich in Leitern sehr stark absorbiert. Da aber die Energie von außen in den Leiter hineinströmt, vermag das Feld nur sehr wenig tief einzudringen. Daher werden auch die Ladungsträger nur in einer dünnen Außenhaut vom Feld in Bewegung gesetzt. Grundsätzlich handelt es sich dabei um denselben Vorgang wie bei einer Lichtwelle, die auf die Oberfläche eines absorbierenden Mediums trifft und in einer dünnen Oberflächenschicht absorbiert wird. §25. Das r e t a r d i e r t e P o t e n t i a l Wir wollen jetzt die quellenmäßige Darstellung der Felder E und B einer beliebigen, auch zeitlich veränderlichen Verteilung von Ladungen, Strömen und Polarisationen berechnen. Der Einfachheit halber wollen wir aber annehmen, daß sich alle Größen an der Materiegrenze zwar beliebig schroff, aber noch stetig ändern. Alle geladenen^Ober-

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Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

flächen sollen durch schmale, mit Raumladung erfüllte Schichten endlicher Dicke ersetzt werden. Dann darf man die grundlegenden Differentialgleichungen (22; 14 und 15) überall als gültig annehmen. Besondere Randbedingungen an Materiegrenzen sind nicht mehr zu beachten. Es soll lediglich angenommen werden, daß g ( r , t ) undjtot ( r , t ) nur innerhalb eines endlichen Volumens ungleich null sind und daß E und B für \r\ ->oo gegen null gehen. Da div B auch noch in zeitlich veränderlichen Feldern verschwindet, ist nach wie vor der Ansatz

B = rot A

(25; 1)

für das Vektorpotential möglich. Damit folgt aus (22; 5) rot [ E +

= 0.

(25; 2)

Nach dem Stokesschen Integralsatz verschwindet daher das Linienintegral über E + d A / d t längs eines geschlossenen Weges bei fester Zeit t . Das negative Linienintegral über E + S A / d t aus dem Unendlichen bis zu einem Punkt mit dem Ortsvektor r ist also eine eindeutige Funktion des Ortes r und der Zeit. Dieses Integral bezeichnet man als das skalare Potential mit Benutzung der Vektorgleichung (15; 12) die folgenden Differentialgleichungen: v M

- - ^ i r

-Srad(divA + 7llf)=

AWtot.(25;4)

Bei gegebenem Induktionsfeld B ist aber das Vektorpotential A durch (25; 1) nicht eindeutig bestimmt, denn nur

§ 25. Das retardierte Potential

121

wenn von einem Vektorfeld die Quellen und die Wirbel gegeben sind, ist es bis auf eine Konstante festgelegt (vgl. S. 22). Über diese Willkür in A verfügen wir so, daß div A +

= 0

(25; 6)

ist. Diese Festsetzung nennt man die Lorentz-Konvention. Wenn sie erfüllt ist, erhält man aus (25; 4 und 5) V2A —

1

8 2A -¿p- = — Mtou

(25; 7)

Das sind 4 gleich gebaute Gleichungen für die 3 Komponenten Ax, Ay, Az von A und