Einführung in die theoretische Physik: Band 2 Das elektromagnetische Feld [2., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111613260, 9783111237459

Citation preview

SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

77

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE P H Y S I K von DR.-ING.

W E R N E R

D Ö R I N G

o. Prof. an der Justus-Lieblg-Univeraitllt Gießen

II DAS

E L E K T R O M A G N E T I S C H E

F E L D

Zweite, verbesserte Auflage Mit 15 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormnle G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1962

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: (Band 76) (Band 77)

I. Mechanik III. Optik

(Band 78)

IV. Thermodynamik

(Band 374)

V. Statistische Mechanik

(Band 1017)

© Copyright 1962 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag Verlagsbuchhandlung / Georg Keimer / Karl J. Trübner / Veit & Comp., Berlin W 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110077. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W SO. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

I. Elektrostatik § § § § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1011. 12.

Die elektrische Ladung und die elektrische Feldstärke . . . Das Coulombsche Gesetz Das elektrostatische Potential Die Raumladungs- und Flächenladungsdichte Die Quellen des elektrischen Feldes Die homogen geladene Kugel Das Feld einer kleinen Ladungswolke Der polarisierte Körper Die Verschiebungsdichte Der Kondensator Die elektrische Feldenergie Kräfte im elektrostatischen Feld

II. Der elektrische Strom § 13. Die Kontinuitätsgleichung § 14. Das Ohmsche Gesetz § 15. Der Energiesatz in stromdurchflossenen Leitern

III. Magnetostatik § 16. Das magnetische Moment und die magnetische Feldstärke . § 17. Die Gesetze des magnetostatischen Feldes

IV. Das Magnetfeld von stationären Strömen § § § § § §

18. 19. 20. 21. 22. 23.

Das Das Die Die Das Die

5 5 9 11 13 15 19 21 24 28 31 35 37

41 41 44 49

52 52 55

59

Oerstedsche Gesetz Magnetfeld des geradlinigen Stromes Formel von Biot und Savart magnetische Doppelschicht Vektorpotential K r a f t auf einen stromdurchflossenen Leiter. * . . . . .

59 62 65 68 73 79

V. Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

84

§ 24. Das Induktionsgesetz § 25. Die Elektronenschleuder § 26. Die Selbstinduktivität 1*

84 87 90

4

Inhaltsverzeichnis Seite

VI. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen . . . . § § § § §

27. 28. 29. 30. 31.

Die Die Der Das Der

Maxwellsche Ergänzung ebene Welle Poynting-Vektor retardierte Potential schwingende Dipol

Anhang § 32. Der Übergang zu anderen Begriffssystemen

94 94 98 103 106 111

120 120

Literaturverzeichnis

129

Namen- und Sachregister

131

I. Elektrostatik § 1. Die e l e k t r i s c h e L a d u n g u n d die elektrische Feldstärke Die Elektrostatik befaßt sich mit den ruhenden, elektrisch geladenen Körpern. Die älteste Methode, Körper in den elektrisch geladenen Zustand zu versetzen, besteht darin, sie miteinander in innige Berührung zu bringen, was am besten durch Reiben aneinander geschieht. Chemisch verschiedene Körper sind dann nach dem Auseinanderziehen in der Regel elektrisch geladen. Der elektrisch geladene Zustand äußert sich an dem Auftreten gewisser Kräfte, die im ungeladenen Zustand fehlen. Die experimentelle Erforschung dieser elektrischen Kräfte führte im 18. Jahrhundert zu der Erkenntnis, daß es zwei qualitativ verschiedene, elektrisch geladene Zustände gibt, die man als positiv und negativ geladen bezeichnet. Ungleichartig geladene Körper ziehen sich an, gleichartig geladene Körper stoßen sich ab (du Fay, um 1735). Ferner kann man die Körper in groben Zügen in Leiter und Nichtleiter einteilen (Gray, 1729). Verbindet man einen ungeladenen und einen geladenen Körper mit einem Leiter, so geht der erste nahezu momentan in den geladenen Zustand über. Durch einen (idealen) Nichtleiter oder Isolator findet eine solche Übertragung des geladenen Zustandes nicht statt. Es gibt keine vollkommen isolierenden Körper. Langsam entladen sich die Körper auch durch Isolatoren hindurch. Die quantitative Behandlung der elektrischen Erscheinungen beginnen wir nun mit der Definition der Größe „elektrische Ladung". Sie kann qualitativ als Maß für die

6

I. Elektrostatik

Stärke des elektrisch geladenen Zustands charakterisiert werden. Wir betrachten zu diesem Zweck irgendeinen elektrisch geladenen Isolator K und halten ihn in fester Lage und unveränderlichem Ladungszustand fest. In seine Nähe denken wir uns nacheinander verschiedene kleine, elektrisch geladene und vollkommen isolierte Probekörper gebracht und die auf sie wirkenden Kräfte gemessen. Von ihnen subtrahieren wir die Kräfte, die im ungeladenen Zustand auf die Probekörper wirken. Die restlichen, elektrischen Kräfte g von K auf die Probekörper lassen sich als Produkt aus einer skalaren, nur vom Probekörper abhängigen Größe q mal einem vektoriellen, nur vom Ort abhängigen Faktor 6 schreiben: 5 = 3®.

(1)

Das ist gleichwertig mit der Aussage: Die elektrische Kraft von K auf verschiedene kleine Körper hat am gleichen Ort immer die gleiche Richtung. Das Verhältnis der Beträge der Kräfte auf zwei Probekörper am gleichen Ort ist vom Ort unabhängig. Den skalaren Faktor q in (1) nennt man die elektrische Ladung des Probekörpers, den vektoriellen Faktor S die elektrische Feldstärke. Experimentell läßt sich zwar (1) niemals exakt als richtig bestätigen, weil es keine vollkommenen Isolatoren gibt. Aber auf Grund unserer heutigen Einsicht in die Struktur der Materie kann an der Gültigkeit dieses Gesetzes unter idealen Bedingungen kaum ein Zweifel bestehen. Wenn man von den instabilen Teilchen in der Strahlung der radioaktiven Körper und der großen Beschleuniger absieht, besteht die gesamte Materie aus drei Sorten von Elementarteilchen, welche Elektronen, Protonen und Neutronen genannt werden. Die Neutronen sind elektrisch ungeladen, die Elektronen sind negativ, die Protonen positiv geladen. Die Kraft eines geladenen Körpers auf ein Proton ist sehr genau entgegengesetzt gleich der Kraft auf ein Elektron am gleichen Ort. Betrachten wir also einen Probekörper, der N + Protonen und N_ Elektronen enthält und so klein ist, daß die Kraft f von K auf ein Proton an verschiedenen Punkten innerhalb

§ 1. Die elektrische Ladung und die elektrische Feldstärke

7

des Probekörpers praktisch gleich groß ist, so h a t die gesamte, elektrische K r a f t auf den Probekörper die Größe g = f (N+ -N_).

(2)

Bei einem isolierten Probekörper, durch dessen Oberfläche Protonen u n d Elektronen weder ein- noch austreten können, ist N+ — N_ eine von Ort und Zeit unabhängige, f ü r den Zustand des Probekörpers charakteristische Konstante, während f außer von dem Zustand des Körpers K nur vom Ort abhängt. (2) h a t also genau die mit (1) behauptete Form. Selbstverständlich definiert die eine Gleichung (1) nicht die beiden Größen elektrische L a d u n g q und elektrische Feldstärke Aus den obigen Betrachtungen ergeben sich vielmehr nur die folgenden Festsetzungen: 1. Die Ladung eines Körpers ist eine Zustandsgröße, die bei einem ideal isolierten Körper von seiner Lage und der Zeit unabhängig ist. 2. Das Verhältnis der Ladungen zweier kleiner Körper ist gleich dem Verhältnis der elektrischen K r ä f t e eines dritten, geladenen Körpers auf sie am gleichen Ort. 3. Die Ladung eines ausgedehnten Körpers ist gleich der Summe der Ladungen seiner einzelnen Teile. Dadurch ist das Verhältnis der elektrischen Ladungen zweier beliebiger Körper eindeutig definiert. Bei der Größe Ladung selbst bleibt ein f ü r alle Ladungen gemeinsamer F a k t o r unbestimmt. Gegenüber dieser Unbestimmtheit verhalten sich verschiedene Physiker verschieden: 1. Die meisten Experimentalphysiker u n d Elektrotechniker verstehen unter der elektrischen Ladung eine Größe neuer " Größenart, die kein Vielfaches einer mechanischen Größe ist. Der Ladung eines Einheitskörpers, dessen Festlegung wir in § 2 erörtern werden, erteilt man den Namen 1 Coulomb u n d gibt alle anderen Ladungen als Vielfaches dieser Einheitsladung an. I m Sinne der in Bd. I 1 ) erläuterten *) W. Döring, Einführung in die theoretische Physik, Bd. I Mechanik Sammlung Göschen Bd. 76. 2. Auflage § 1.

8

I. Elektrostatik

Ausdrucksweise bedeutet das: Man betrachtet die Ladung als Grundbegriff und läßt die Unbestimmtheit, die in der Definition eines Grundbegriffes durch Angabe eines Meßverfahrens steckt, bestehen. 2. Viele theoretische Physiker bevorzugen es, • über die genannte Unbestimmtheit so zu verfügen, daß die Größe Ladung gleich einer durch Längen, Zeiten und Massen ausdrückbaren Größe wird. Man kann z. B. auch die Zahl N+ — N_ als Ladung q' bezeichnen. Ist q die Ladung eines Körpers im ersten Sinn und e die Ladung des Protons im gleichen Sinn, so ist q' = N+ - N_ = . * e In vielen theoretischen Büchern über Kernphysik wird unter Ladung diese Zahl q' verstanden. Sie wird meist-eingeführt mit den Worten: Wir benutzen die Protonenladung als Einheit. Das soll, präziser ausgedrückt, bedeuten: Über die Unbestimmtheit in der Definition des Begriffes Ladung wird so verfügt, daß die Ladung des Protons gleich der Zahl 1 wird. Im nächsten Paragraphen werden wir eine weitere zu q proportionale Größe, die elektrostatische Ladungsgröße qs kennenlernen, die in anderen theoretischen Lehrbüchern viel benutzt wird. Ob man der Größe neuer Art q, der Zahl q' oder der elektrostatischen Größe qs den Namen Ladung gibt und in Formeln und Berechnungen verwendet, ist im Prinzip völlig gleichgültig, da sich diese Größen nur durch Naturkonstanten als Faktoren unterscheiden, so daß jede aus jeder anderen eindeutig berechnet weirden kann. Da aber in jedem Fall die elektrische Feldstärke nach (1) als Quotient aus Kraft und Ladung definiert wird, hat die verschiedene Festlegung des Begriffes Ladung Unterschiede in dem begrifflichen Inhalt des Wortes Feldstärke und aller weiteren damit definierten Begriffe zur Folge. Das ist die Ursache für die sog. Unterschiede in den Maßsystemen. Im folgenden verstehen wir unter Ladung stets die durch mechanische Größen nicht ausdrückbare Größe q. Die Umrechnung auf andere Größen behandeln wir im Anhang (§ 32).

§ 2. Das Coulombsche Gesetz

9

Zum Schluß dieser grundlegenden Betrachtungen sei noch darauf hingewiesen, daß (1) nur gilt, wenn der Zustand des Körpers K durch den Probekörper nicht verändert wird. Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn der Probekörper genügend klein ist und von allen Teilen von K einen im Vergleich zu den mittleren Atomabständen großen Abstand hat, dagegen nicht im Innern der Materie. Kraftmessungen mit makroskopischen Probekörpern liefern daher nach (1) nur Aussagen über die elektrischen Felder im Vakuum. Die Gesetze, denen die Felder im Innern der Materie genügen, erhält man durch Extrapolation der im Vakuum gültigen Gesetze auf atomare Probekörper und subatomare Entfernungen. Dieses Verfahren hat sich an der Erfahrung bewährt. Wenn man alle Protonen und Elektronen als punktförmig ansieht, erhält man für das Innere der Körper einen sehr zackigen Verlauf von (£. Das, was man makroskopisch unter der elektrischen Feldstärke im Innern eines Körpers versteht, ist ein Mittelwert davon (vgl. § 4 und 5). § 2. D a s C o u l o m b s e h e

Gesetz

Das Kraftgesetz zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wurde experimentell von Coulomb im Jahre 1785 durch Messungen mit Hilfe der Drehwaage gefunden. Es lautet: Die elektrische Kraft ^ zwischen zwei geladenen Körpern, deren Ausdehnung klein gegen ihren Abstand r ist, hat die Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern. Ihr Betrag F ist den Ladungen und Q2 der beiden Körper proportional und dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional. Den Proportionalitätsfaktor nennt man heute meist 1/4 ne0: F

4ne0

r2

'

w

Die Größe e0 ist eine Naturkonstante der Größenart (La(lung) 2 /Kraft • Fläche. Ihr Zahlenwert hängt von der gewählten Ladungseinheit ab. Die Ladungseinheit 1 Coulomb wird heute dadurch festgelegt, daß man den Zahlenwert von e 0 vorschreibt. Aus Gründen, die wir erst später (§ 18 und 32) durchschauen werden, wählt man ihn so, daß Ane0

10

I. Elektrostatik

mal dem Quadrat der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 einen einfachen Zahlenwert annimmt, nämlich 4

^ 0

2

= 100

Coulomb2

= 10'

Coulomb2

y •

(2)

Da CQ = 2,99792 • 10 8 m/sek ist, folgt daraus

In der theoretisch-physikalischen Literatur wird vielfach über die in § 1 erläuterte Unbestimmtheit bei der Definition der Ladung so verfügt, daß in (1) der Faktor 4jie0 verschwindet, d.h. an Stelle von Q wird die zu Q proportionale Größe

eingeführt. Damit lautet (1)

F = QsijQsi ™.

(4)

Die elektrostatisch definierte Ladungsgröße Qs eines Körpers kann demnach definiert werden als die Wurzel aus der elektrischen Kraft zwischen dem betrachteten und einem gleichgeladenen Körper multipliziert mit dem Abstand. Ist Q = 1 Coulomb, so ergibt sich aus (2) und (3) Qa = - j j |/dyn~ sek = 2,99792 • 1 0 y / . cm3/, sek" 1 . Die Größe 1 |/dyn cm = 1 gVi cm'/i sek - 1 nennt man auch „eine elektrostatische Ladungseinheit". Die Lehrbücher, in denen Qs als elektrische Ladung bezeichnet wird, schreiben in der Regel vor, daß alle Größen zahlenmäßig als Vielfaches eines Potenzproduktes der Einheiten Zentimeter, Gramm und Sekunde auszudrücken seien. Daher wird das System der Begriffe aus der Elektrostatik, welches auf Qs als Ladung aufbaut, als das elektrostatische egs-,System bezeichnet. Man beachte aber, daß alle obigen Gleichungen, auch (3) und (4), Größengleichungen sind, die unabhängig von der Wahl der Einheiten gelten.

§ 3. Das elektrostatische Potential

11

§ 3 . Das e l e k t r o s t a t i s c h e P o t e n t i a l Das elektrische Feld einer gegebenen Ladungsanordnung läßt sicli auf Grund des Coulombschen Gesetzes unmittelbar hinschreiben. Ein Elektrizitätsteilchen mit der Ladung e,-, dessen Lage durch den Ortsvektor rgegeben ist, übt auf eine Probeladung q am Endpunkt des Vektors t eine Kraft aus, welche die Richtung des Vektors r — r, hat und den Betrag . meQ | r

r 2 . Dieses Teilchen erzeugt demnach an dieser tj |

Stelle die Feldstärke -.

— -

T

- — .

Summiert man

diese Ausdrücke über alle N Ladungen des betrachteten Körpers, so erhält man das gesamte Feld ^ ¿ l l ^ C r - r , . ) .

(1)

Daraus lassen sich eine Reihe von Eigenschaften des elektrischen Feldes ablesen. Als erstes stellen wir fest: 6 kann als Gradient 1 ) einer skalaren Ortsfunktion r' ist, und sonst gleich r' — r. Die Integration über r' ist dann einfach und liefert -f— • -- , falls r > b, 3e„ r = eo@+?ß

(4)

hat also nur dort Quellen, wo wahre Raumladungen sitzen: div 'S) = Qw.

(5)

Entsprechendes gilt an den Oberflächen. Aus (2) und (§ 5; 8) folgt (n®)s-(n®)x=ff11). (6) Den Vektor ® nennt man Verschiebungsdichte. Dieser Name ist etwas unglücklich gewählt, denn nur Sß beschreibt eine Ladungsverschiebung in den Molekülen, nicht e 0 6. Der Name stammt aus einer Zeit, in der man sich die elektrischen Felder im Vakuum durch mechanische Spannungen in einem Äther zu veranschaulichen suchte. Man beschreibt das Verhalten eines isolierenden Materials im elektrischen Feld durch Angabe der Beziehung zwischen iß oder ® und 6. In den meisten Stoffen ist proportional zu 6. Man schreibt dann Die dimensionslose Proportionalitätskonstante f heißt elektrische Suszeptibilität. Aus (7) folgt $ = ee0(S mit e = £ + 1 .

(8)

e heißt Dielektrizitätskonstante des Mediums, e ist eine Zahl, hat also nicht die Größenart von e 0 . An Oberflächen, wo sich e ändert, erleiden die elektrischen Feldlinien eine Brechung. Denn beim Fehlen wahrer Ladungen ist die Normalkomponente von ® stetig: Dm

—

Dgn

(9)

I. Elektrostatik

30

und nach (§ 5; 10) die Tangentialkomponente von 6 : E 1 tang =

E 2 tang.

(10)

Bezeichnet man mit und a 2 die Winkel der Feldvektoren mit der Oberflächennormalen auf beiden Seiten der Mediengrenze (vgl. Abb. 5), so folgt durch Division von (9) und (10) das Brechungsgesetz für die elektrischen Feldlinien: tg«l £

=

tgOj

^

s 1 2 Auf der Seite mit der größeren Dielektrizitätskonstanten ist also auch der Winkel a größer. Wenn die Dielektrizitätskonstante räumlich veränderlich ist, ist selbst bei bekannter Lage der wahren Ladungen die BeAbb. 5. Brechung einer elektrischen rechnung des Feldes im Feldlinie. allgemeinen recht schwierig, denn 6 hängt nicht nur von den wahren Ladungen, sondern auch von den scheinbaren ab, und deren Verteilung ist ihrerseits wieder von 6 abhängig. Ein einfacher Fall ist die Kugel mit der Dielektrizitätskonstanten e in einem Feld, welches bei Abwesenheit der Kugel homogen gleich (£„ sein würde. Die Annahme, daß die Polarisation iß im Innern der Kugel konstant und proportional zu (&a ist, führt in diesem Fall zur Lösung. Denn nach (§ 8; 8) ist dann das Feld im Innern der

Kugel gleich ©0 — oder

o e0

_3f_

3+i

Also folgt aus (7)

B(«~l) e + 2

e0(Sa.

§ 10. Der Kondensator

31

Das Potential lautet in diesem Fall, bis auf eine belanglose Konstante £ — 1

b3

l,

für r < 6.

Man kann sich leicht davon überzeugen, daß an der Kugeloberfläche das Brechungsgesetz (11) erfüllt ist.

§10. Der K o n d e n s a t o r Unter einem Kondensator versteht man im einfachsten Fall zwei gegeneinander isolierte Leiter, zwischen denen ein elektrisches Feld erzeugt wird. Die komplizierteren Verhältnisse bei mehr als zwei isolierten Leitern wollen wir hier nicht betrachten. Im Gleichgewicht muß im Innern jedes homogenen Leiters die elektrische Feldstärke 6 verschwinden. Denn sonst würden sich dort die Ladungen in Bewegung setzen. Alle Punkte eines homogenen Leiters besitzen also im Gleichgewicht gleiches Potential. Wegen (§ 5; 6) verschwindet auch die Raumladungsdichte im Innern. Ein Leiter kann also im Gleichgewicht nur auf seiner Oberfläche Ladungen tragen. Da die Tangentialkomponente der Feldstärke stetig ist, müssen die Feldlinien auf der Oberfläche eines Leiters senkrecht einmünden. Zwischen dem Betrag der elektrischen Feldstärke an der Oberfläche und der Flächenladungsdichte besteht nach (§5; 8) der Zusammenhang ff = £ 0 |(S|.

(1)

Grenzt der Leiter nicht ans Vakuum, sondern an einen Isolator, so ist die wahre Ladung auf der Leiteroberfläche um den Faktor e größer (vgl. § 9; 6): dV- v

§ 15. Der Energiesatz in stromdnrchflossenen Leitern

51

Durch dieselbe Zerlegung des Integrationsvolumens wie oben kann man mit Benutzung von (§ 14; 10) zeigen, daß für einen Widerstand R,a P' = Rai2

(5)

ist. Diese Größe nennt man die Joulesche Wärme. Wenn elektromotorische Kräfte fehlen, ist wegen (§ 14; 1) P = iü

= P' = RaP.

(6)

Für das Innere einer Batterie gilt das aber nicht. Dort erzeugen die Ladungsträger auch eine Joulesche Wärme, nämlich P' = J J f^®2dV

= RfP.

(7)

Batterie

Aber die Leistung P, die ihnen das Feld zuführt, ist negativ. Denn in der Batterie ist © entgegengesetzt zu 6 gerichtet, also ((£©) < 0. Die an das Feld abgegebene Leistung — P und die Joulesche Wärme wird den Ladungsträgern in der Batterie von den elektromotorischen Kräften zugeführt. Deren Leistung ist f f f(&&)dV Batterie

= J J f^&2dV Batterie

- f J J(m)dV.

(8)

Batterie

In dem geschlossenen Stromkreis gibt insgesamt das elektrische Feld weder Energie ab noch nimmt es welche auf: f f f ( m ) d V = 0.

(9)

Stromkreis

Das ergibt sich mathematisch aus der Vektorgleichung1) div ( a liefert y (fiügdi

= y • 2rcRE

= I,

(1)

§ 19. Das Magnetfeld des geradlinigen Stromes

63

also H

~ 2ny

tt)

"li-

Ist R kleiner als a, so umschließt der Integrationsweg nur noch den Bruchteil Ä 2 /a 2 des ganzen Stromes. Daher ergibt sich für das Innere des Drahtes y • 2tiRH oder

= - t / I 2jiy'

(3) R o2'

(4)

Auf der Drahtachse verschwindet also die Feldstärke. Als zweites Beispiel sei der endliche gerade stromdurchflossene Draht behandelt. Selbstverständlich kann ein stationärer Strom an den Drahtenden nicht aufhören. Es soll deshalb angenommen werden, daß der Draht in ein unendlich ausgedehntes, homogenes, leitendes Medium eingebettet sei, durch welches der Strom von dem einen Drahtende zum anderen zurückgeleitet wird. Der Einfachheit halber sei der Draht als sehr dünn vorausgesetzt, bzw. wir berechnen das Magnetfeld nur in Abständen, die groß gegen den Drahtradius sind. In diesem Fall hat das Feld dieselbe Rotationssymmetrie um die Drahtachse wie im vorigen Fall. Auf den Feldlinien, welche Kreise um die Achse sind, ist H konstant. Zur Berechnung von H nach dem oben benutzten Verfahren muß zunächst die Stromverteilung in dem umgebenden Medium ermittelt werden. Da die Leitfähigkeit räumlich konstant sein sollte, ist nach (§ 14; 14) div © = 0 und rot © = 0. Die Stromlinien entspringen alle an dem einen Drahtende und laufen zu dem anderen. © erfüllt daher dieselben Bedingungen wie das elektrische Feld von zwei entgegengesetzt gleichen Punktladungen an den Drahtenden im Vakuum. Es unterscheidet sich von ihm nur durch einen Faktor. Dieser folgt daraus, daß der Gesamtstrom I im Draht dem Flächenintegral von © über eine geschlossene Fläche um das eine Drahtende gleich sein muß, sofern man dabei nur den kleinen

IV. Das Magnetfeld von stationären Strömen

64

Drahtquerschnitt ausläßt. Daher erhält man für das Gebiet außerhalb des Drahtes

(5) Darin bedeuten und r 2 die Vektoren von den Drahtenden zum Aufpunkt (vgl. t Abb. 7). Die Länge des Drahtes sei l. "Wir benutzen ein Koordinatensystem, dessen z-Achse dem Draht parallel ist und seinen Ursprung in der Mitte des Drahtes hat. Dann gilt für einen Punkt im Abstand £ von der z-Achse

Abb. 7. Zur Berechnung des Magnetfeldes eines endlichen, geraden Stromstückes.

rx = | (z - 1/2)* f2 und r2 = l i ( z ~ ~ + l ß F + £ 2 . In einer Höhe z oberhalb des oberen Drahtendes erhält man bei Anwendung von (§ 18; 4) auf eine Feldlinie von Radius R n

= f f O

y-2nRH

t

d f = ^ f

Kreis vom Radius R

g—Z/2 f f

z+l/2]

df.

{ = 0

Da der Integrand nur von f abhängt, kann man df setzen und erhält nach kurzer Zwischenrechnung H

=

1 i z+lj 4nyR\\/(z+lßY

2 + R?

z — 1/2 /(0—J/2) 2 + Ä2

(6)

Bei der entsprechenden Rechnung für eine Höhe z zwischen z = + Z/2 und z = —1/2 muß man zu dem Flächenintegral über @ noch den Strom I im Draht hinzufügen, weil dann die Kreisfläche auch diesen Strom noch schneidet. Zugleich muß

§ 20. Die Formel von Biot und Savart

65

man beim Einsetzen der Grenzen beachten, daß dann z — 1/2 negativ ist, die Wurzel |/(z — Iß)3 + £2 aber immer, auch an der unteren Integrationsgrenze £ = 0, positiv genommen werden muß. Beide Änderungen heben sich gegeneinander fort. Daher ist (6) für alle 2 gültig. Die Formel wird einfacher bei Einführung der Winkel a x und a 2 , welche die Verbindungslinien zwischen dem Aufpunkt P und den Drahtenden mit der Drahtachse einschließen (vgl. Abb. 7). Sie lautet dann cos a 2 — cos •1 (?) R § 20. Die F o r m e l von B i o t u n d S a v a r t Wir betrachten eine beliebige, geschlossene, stromdurchflossene Drahtschleife aus sehr dünnem Draht in einer nicht magnetisierbaren Umgebung. Zur Gewinnung einer Integralformel für das Magnetfeld in einem Punkte außerhalb des Drahtes denken wir uns den Stromkreis in viele kleine Stücke der Länge As zerschnitten. Der Strom in jedem Teilstück werde so wie im vorigen Paragraphen durch Einbettung in ein umgebendes leitendes Medium geschlossen. Bei Addition der Stromverteilungen aller Teilstücke heben sich die räumlich ausgebreiteten Ströme in dem umgebenden Medium fort, denn bei einer geschlossenen Drahtschleife ist jede Schnittstelle als Ende des einen und Anfang des nächsten Teilstückes zugleich Eintritts- und Austrittsstelle für denselben Gesamtstrom I. Da die magnetische Feldstärke linear vom Strom abhängt, erhält man bei Addition der Felder aller Teilstücke das Magnetfeld der stromdurchflossenen Drahtschleife, ohne die räumlich verteilten Ströme in der Umgebung. Zur Durchführung der Rechnung hat man die Formel (§ 19; 7) auf ein Drahtstück der sehr kleinen Länge l = As zu spezialisieren und auf Vektorform umzuschreiben. Wir bezeichnen mit s die Bogenlänge längs der z-Achse in Abb. 7 und zählen sie von einem beliebigen Anfangspunkt in Stromrichtung positiv. Dann ist a eine Funktion von s. Für 5

D ö r i n g , Theoretische Physik II

66

IV. Das Magnetfeld von stationären Strömen

kleines As ist cosa 2 — cosaj ^

d (cos a) , . d a . ^ — A s = sin

sin2 a . ... = — ( 1 )

.

(r = Abstand des Aufpunktes P von Drahtstückchen). Da R = r sin a ist, erhalt man dann aus (§ 19; 7) sin a

As. (2) 4 ny Der Vektor § steht senkrecht auf der Drahtrichtung und dem Vektor t vom Draht zum Aufpunkt. Unter A§ sei ein Vektor in Stromrichtung mit der Länge As verstanden. Dann ist also § parallel zum Vektorprodukt [Zl§r]. Da x der Winkel zwischen A§ und r ist, lautet (2) demnach vektoriell J _ [48t] (3) v r3 ' H =

Summation dieser Ausdrücke über alle A§ und Grenzübergang zu beliebig feiner Unterteilung liefert die folgende Integralformel für das Magnetfeld einer beliebig geformten stromdurchflossenen Drahtschleife aus sehr dünnem Draht: [¿8t]

(4)

Das ist die Formel von Biot und Savart. Als Anwendungsbeispiel berechnen wir das Magnetfeld eines kreisförmigen Drahtringes vom Radius a in einem Abb. 8. Zur Berechnung des Punkt auf seiner Achse im AbMagnetfeldes eines stromdurchflossenen Drahtringes in einem stand x vom Ringmittelpunkt Achsenpunkt P . (vgl. Abb. 8). Für einen solchen Aufpunkt P steht r überall senkrecht auf A§. Ein Teilstück As liefert daher zum Feld einen Beitrag AIQ mit dem Betrag 4ny ' r2

4 ny

As a?+a?'

(5)

§ 20. Die Formel von Biot und Savart

67

bei Summation aller Vektoren A!q heben sich ihre KomBonenten senkrecht zur Achse aus Symmetriegründen fort. Die Komponente in Achsenrichtung erhält man aus (5) durch Multiplikation mit dem Sinus des Winkels zwischen r und der , a ist. Für den Betrag der ya2 + x2 Feldstärke im Punkte P erhält man daher

Achse, welcher gleich

f ads I_ uJ (/ä2~+~x23 ~ 2V ]/ a2 + x 2 3 " I Im Zentrum des Drahtringes (x = 0) ist H = ^

.

jj

~~

.

Durch Summation über viele Drahtringe kann man aus (6) leicht eine Formel für das Feld auf der Achse einer geraden Spule mit kreisförmigem Querschnitt ableiten. Ist l die Spulenlänge und N die Windungszahl, so ist die Anzahl der Windungen im Abstand zwischen x und x + Ax vom AufNA x punkt gleich —j—. Ist x0 der Abstand des Aufpunktes von der Spulenmitte, so erhält man demnach *o+i/2

=

x = x0- Iß IN_ f _(x0+l/2)__ 2 V l V «2 + (x„ + Ißf

_(x0-l/2)

A

17a" +"(x„ - Z/2)2J "

Ist l groß gegen den Radius a, so ergibt sich für Achsenpunkte im Spuleninneren, also (x0 4 ; 1/2)2 a2,

Für das Spulenende x0 = 1/2 ergibt sich bei einer langen Spule (l > a) gerade die Hälfte des Wertes in der Spulenmitte. Die Feldstärke fällt an den Enden der Spule auf einer Strecke der Größenordnung 2 a von dem Wert im Spuleninnern auf sehr kleine Werte ab. 5'

68

IV. Das Magnetfeld von stationären Strömen

Die Formel von Biot und Savart gilt nur für Punkte außerhalb des stromdurchflossenen Leiters in Abständen, die groß gegen die Dicke des Drahtes ist. Von dieser Bedingung kann man sich frei machen, wenn man den Strom in „Stromfäden" unterteilt. Zu diesem Zwecke denke man sich an beliebiger Stelle einen Querschnitt durch den Strom gezeichnet und in viele kleine Teilquerschnitte unterteilt. Durch alle Randpunkte eines Teilquerschnittes zeichnet man die Stromlinien, d. h. Kurven, deren Tangenten überall parallel zur Stromdichte © sind. Sie umhüllen einen Stromfaden. Ist Af sein Querschnitt an einer beliebigen Stelle, so ist der in ihm fließender Teilstrom gleich | © | Af. Er ist längs des Stromfadens konstant, weil durch die Mantelfläche kein Strom hindurchfließt. Bei Anwendung von (4) auf diesen Teilstrom kann man die Stromstärke unters Integralzeichen ziehen und durch | © \Af ersetzen. Nun ist zu beachten, daß A§ die Richtung von © hat, also | © | A§ = QbAs. Ferner ist AsAf = A V das Volumen des Abschnittes As des betrachteten Stromfadens. Bei Summation über alle Stromfäden und Grenzübergang zu unbegrenzter Verfeinerung der Unterteilung erhält man daher

Darin bedeutet r den Ortsvektor vom Volumenelement dV zum Aufpunkt P. Man kann beweisen, daß dies eine allgemein gültige Formel ist für das Magnetfeld einer beliebigen stationären Stromverteilung bei Abwesenheit magnetisierbarer Substanzen, also eine Lösung der Gleichungen y rot § = ©, div § = 0 mit der Nebenbedingung, daß © und § im Unendlichen genügend rasch gegen null gehen und div ® = 0 ist. § 21. D i e m a g n e t i s c h e

Doppelschicht

Eine weitere Methode zur Berechnung des Magnetfeldes einer dünnen stromdurchflossenen Drahtschleife erhält man beim Vergleich ihres Feldes mit dem eines passend gewählten

§ 21. Die magnetische Doppelschicht

69

magnetisierten Körpers. Außerhalb des Leiters und des magnetisierten Körpers gilt rot § = 0 und div ip = 0 . Im Feld eines magnetisierten Körpers gilt für jeden geschlossenen Weg im Außenraum =

(1)

Bei einem stromdurchflossenen Leiter im Vakuum gilt das jedoch nicht, wenn der Weg den Strom umschließt. Wir können aber die Gültigkeit von (1) im Außenraum erzwingen, indem wir aus dem Raum außerhalb des Stromleiters eine dünne Schicht S ausschneiden, deren Rand von dem stromdurchflossenen Leiter gebildet wird. Wenn dieses lamellenförmige Volumen nicht mit zum Außenraum gerechnet wird, gibt es im Außenraum keine geschlossenen Wege um den Strom herum. Das Linienintegral über das Magnetfeld des Stromes P(r)

-f$dx

= jsek Die willkürlich gewählten Einheiten Q0 und M0 fallen heraus. Die drei Zahlenwerte würden bei einer exakten Messung ~ 3 • 10 8 ergeben, also gerade den Zahlenwert der

102

VI. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in m/sek. Das ist der Inhalt der obigen Aussage. Praktisch wären die angedeuteten Messungen zwar nur sehr ungenau ausführbar, aber auf einem anderen, im Prinzip ähnlichen Weg wurde schon vor Maxwell das implizite Vorkommen der Lichtgeschwindigkeit in den elektromagnetischen Beziehungen bemerkt (vgl. § 32). Die Erkenntnis, daß elektromagnetische Felder im Vakuum sich gerade mit der Lichtgeschwindigkeit c0 ausbreiten, veranlagte Maxwell zu der Hypothese, daß Licht eine elektromagnetische Welle sei, was dann später von Hertz experimentell bestätigt wurde. In einem Medium, in welchem e/x größer als 1 ist, hat die Ausbreitungsgeschwindigkeit c nach (6) den kleineren Wert (13)

yen

Periodisch veränderliche Felder der Frequenz v ergeben in einem solchen Medium Wellen der Wellenlänge X = e/v, welche kleiner als die Vakuumwellenlänge

= ~ zu der-

selben Frequenz ist. Das Verhältnis von beiden, ^

= ]/7ji = n

(14)

nennt man den Brechungsindex n des Mediums. In nichtferromagnetischen Substanzen ist \x fast gleich 1. Für ferromagnetische und ferroelektrische Stoffe gelten die obigen Überlegungen nicht. Wenn man von diesen Stoffen absieht, erhält man also: Der Brechungsindex n eines nichtleitenden Mediums ist gleich der Wurzel aus seiner Dielektrizitätskonstanten. Auch diese Beziehung verdankt toian Maxwell. Bei der experimentellen Prüfung ihrer Gültigkeit muß man beachten, daß infolge der Massenträgheit der Ladungsträger e und n im Bereich des ultraroten und sichtbaren Lichtes frequenzabhängig sind. Die Beziehung gilt deshalb gar nicht für Wasser, wenn man den für kleine Frequenzen gültigen Wert s = 81 und den für sichtbares Licht gemessenen Brechungsindex n = l,33_einsetzt.

§ 29. Der Poynting-Vektor

103

§29. Der P o y n t i n g - V e k t o r Wir haben bereits in § .15 festgestellt, daß das elektrische Feld in der Batterie eines geschlossenen Stromkreises Energie von den Ladungsträgern aufnimmt und in den anderen Teilen des Stromkreises wieder abgibt. Wir wollen jetzt näher untersuchen, wie dieser Energietransport im Feld vor sich geht. Wir gehen dazu von den Maxwellschen Gleichungen (§ 27; 14 und 15) aus und setzen außerdem die Gültigkeit von (§ 27; 20) voraus, schließen also der Einfachheit halber ferromagnetische und ferroelektrische Substanzen aus. Wir multiplizieren die Gleichung 3 GS y r o t § = ®„ + ee 0 -gj (1) skalar mit ($ und die Gleichung y rot (g =

(2)

skalar mit —§ und addieren sie. Auf der linken Seite entsteht dann die Divergenz eines Vektors1), nämlich y {(

Im folgenden benutzen wir ein Koordinatensystem mit einer z-Achse parallel zum Vektor des Dipolmomentes, dessen Ursprung in der Mitte zwischen den beiden Ladungen liegt. Den Winkel zwischen dem Radiusvektor r zum Aufpunkt und der «-Achse bezeichnen wir mit •&. F ü r Abstände, die groß gegen a sind, gilt dann (vgl. Abb. 14) Abb. 14. Zur Berechnung des Potentials eines schwingenden Dipols.

— v

r

a cos

2 ^ ri + also auch

f

r

5- cos $ •

1

\ 1

(3)

und e{t — r^/cg) =

e{t

= e (t —

r

i/ c o) +

de

+

Jt de

rjc0)

dt

+

(4)

Setzt man das in (1) ein und vernachlässigt alle in a quadratischen Glieder, so erhält man ae

f

4 7t(

{t —

rjco)

+•

de IT

cos §

(5)

§ 31. Der schwingende Dipol

113

Nun führen wir den Vektor des Dipolmomentes p in 2-Richtung mit dem Betrage p = ea ein und führen den Grenzübergang 0 bei festem p durch. Dann fallen die oben vernachlässigten Glieder streng fort. Ohne Benutzung von Koordinaten lautet dann (5)

Dabei wurde bei r1 der Index fortgelassen, weil r1 und r 2 für a = 0 gleich dem Betrag des Ortsvektors r sind. Das Vektorpotential hat nur eine 2-Komponente, weil Ströme nur in dieser Richtung fließen. Integriert man in (§ 30; 20) über den Querschnitt des unendlich dünn gedachten Stromleiters zwischen den Punktladungen, so ergibt sich + 0/2 A

ßo

=

4

f r

I ( t —

r(z)/c0)

n y z = — o/2

m

Darin ist für große Abstände angenähert r(z) = r — z cos & zu setzen. Entwickelt man den Integrand nach Potenzen von z, so heben sich bei der Integration die in z linearen Glieder fort. Die in z quadratischen Glieder geben Beiträge proportional a2, die beim Grenzübergang 0 fortfallen. Daher folgt A 1

Wegen a l = a übergang

J ^ I J t z l h } 4 n y r

a

. . .

+ 1

( 8 ) v

'

= -^y entsteht daraus nach dem Grenz-

0 die Vektorformel A

y

r

dt

'

W

Bei der Berechnung der Felder aus den Potentialformeln (6) und (9) ist zu beachten, daß für p stets der Wert in dem Zeitpunkt t — r/c0 einzusetzen ist. Es kommen also auch noch in p die Ortskoordinaten vor. 9t hat nur eine z-Komponente, die allein von r = \!x% + y2 + z 2 abhängt. Daher 8

D ö r i n g , Theoretische P h y s i k I I

114

VI. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

findet man für die Komponenten des Magnetfeldes Hx

1 (SA, =

i»0 V

8A, Ii 8z ,

• 8y ' 8AX

8At'

1

=

8A, 8r

fo

)="

, 8z

8x ,

Vo '8Ay dx

8AX