Einführung in die theoretische Physik: Band 2 Das elektromagnetische Feld [Reprint 2019 ed.] 9783111363103, 9783111005904

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

77

E I N F Ü H R U N G IN D I E THEORETISCHE P H Y S I K B A N D

DAS

II

ELEKTROMAGNETISCHE

FELD

von

DR.

ING. W E R N E R

DÖRING

o- P r o f e s s o r a n d e r J u s t u s - L i e b i g - H o c h s c h u l e Gießen

Mit

15

Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. v o r m a l s G . J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg R e i m e r • Karl J . T r ü b n e r • Veit & C o m p , B E R L I N

1955

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herateilung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1954 by W A L T E E D E G R U Y T E R & CO Berlin W 35, Genthiner Str. 13

Archiv-Nr. 11 00 77 Satz und Druck: Rudolf Wendt KG.-, Berlin N 65 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis I. Elektrostatik § 1. Grundlegende Erfahrungstatsachen § 2. Die elektrische Ladung und elektrische Feldstärke § 3. Das Coulombsche Gesetz § 4. Das elektrostatische Potential § 5. Die Raumladungs- und Flächenladungsdichte. § 6. Die Quellen des elektrischen Feldes § 7. Die homogen gelädene Kugel § 8. Das elektrische Dipolmoment § 9. Die elektrische Polarisation § 10. Die Verschiebungsdichte § 11. Der Kondensator § 12. Die elektrische Feldenergie § 13. Kräfte im elektrostatischen Feld II. Der elektrische Strom § 14. Die Kontinuitätsgleichung § 15. Das Ohmsche Gesetz § 16. Der Energiesatz in stromdurchflossenen Leitern III. Magnetostatik § 17. Das magnetische Moment und die magnetische Feldstärke .. § 18. Die Gesetze des magnetostatischen Feldes IV. Das Magnetfeld von stationären Strömen § 19. Das Oerstedsche Gesetz § 20. Das Magnetfeld des geradlinigen Stromes § 21. Die Formel von Biot und Savart § 22. Die magnetische Doppelschicht § 23. Das Vektorpotential § 24. Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter V. Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld . § 25. Das Induktionsgesetz § 26. Die Elektronenschleuder § 27. Die Selbstinduktivität VI. Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen . . . § 28. Die Maxwellsche Ergänzung § 29. Die ebene Welle § 30. Der Poynting-Vektor § 31. Das retardierte Potential § 32. Der schwingende Dipol Anhang '. § 33. Der Übergang zu anderen Begriffssystemen Namen- und Sachregister

5 5 6 8 10 12 14 17 19 21 24 27 31 33 37 37 39 44 46 46 50 53 53 56 59 63 67 73 77 77 80 83 87 87 91 95 99 104 112 112 122

Verzeichnis einiger einschlägiger Werke a) Werke fiber das Gesami H . v . H e l m h o l t z : Vorlesungen über theor. Physik (6 Bände). Bd. IV: Elektrodynamik und Theorie des Magnetismus, Leipzig 1907. F. H u n d : Einführung in die theor. Physik (5 kleinere Bände). 2. Bd.: Theorie der Elektrizität und des Hagnetismus, Leipzig 1947. G. J o o s : Lehrbuch der theor. Physik, 8. Aufl., Leipzig 1954. L. P a g e : Introduction to theor. Physics, 3. Aufl., Toronto, New York, London 1952. G. K i r c h h o f f : Vorlesungen über math. Physik. Bd. I I I : Elektrizität u. Magnetismus, Leipzig 1891.

;t der theoretischen Physik M. P l a n c k : Einführung in die Theo~ rie der Elektrizität und des Magnetismus, 4. Aufl., Leipzig 1927 (und 4 weitere Bände). CI. S c h ä f e r : Einführung in die theor. Physik (3 umfangreiche, z. T. mehrteilige Bände). III. Bd., 1. Teil: Elektrodynamik und Optik, 2. Aufl., Berlin und Leipzig 1949. A. S o m m e r f e l d : Vorlesungen über theor. Physik (6 Bände). Bd. I I I : Elektrodynamik,Wiesbaden 1948. W. W e i z e l : Lehrbuch der theor. Physik (2 Bände), Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950.

b) Beitrage in Handbüchern Encyklopädie der math. Wissenschaften, Bd. V, Teil 2 und 3: Elektrizität undOptik, 1902—1925 (viele verschiedene Verfasser). Handbuch der Elektrizität und des Magnetismus (5 Bände). Die Theorie ist enthalten in Bd. IV: Ma-

d Elektromagnetismus (mehrere Verfasser). Handbuch der Experimentalphysik. Bd. 11, 1. Teil: G. Mie: Elektrodynamik, Leipzig 1932. Handbuch der Physik. Bd. X V : Magnetismus, elektromagnetisches Feld, Berlin 1927.

e) Einzelwerke fiber die Theorie des elektromagnetischen Feldes R . B e c k e r : Theorie der Elektrizität. Bd.I: Einführung in die MaxwéUsche Theorie der Elektrizität, 12. u. 13. Aufl., Berlin und Leipzig 1944. Bd. I I : Elektronentheorie, Leipzig und Berlin 1933. E . C o h n : Das elektromagnetische Feld, Leipzig 1900. N. H. F r a n k '. Introduction to electricity und, optics, 2. Aufl., New York, Toronto, London 1950. J . F r e n k e l : Lehrbuch der Elektrodynamik (2 Bände), Berlin 1926 u. 1928.

J . Cl. M a x w e l l : Lehrbuch der Elektrizität (2 Bände, deutsche Übersetzung), Berlin 1883. G. Mie: Lehrbuch der und des Magnetismus, i 1948.

Elektrizität Stuttgart

R. V f . P o h l : Elektrizitätslehre (experimentell), 13. und 14. Aufl., Berlin, Göttingen, Heidelberg 1949. J . C. S l a t e r , N. H. F r a n k : Eleetromagnetism, 3. Aufl., New York, London 1947.

I. Elektrostatik § 1. G r u n d l e g e n d e E r f a h r u n g s t a t s a c h e n Die Elektrostatik ist die Lehre von den ruhenden elektrischen Ladungen. Die älteste Methode, Körper in den elektrisch geladenen Zustand zu versetzen, besteht darin, sie miteinander in innige Berührung zu bringen, was am besten durch Eeiben aneinander bewirkt wird. Sind die Körper chemisch verschieden, so sind sie dann im allgemeinen nach dem Auseinanderziehen elektrisch geladen. Das Vorhandensein elektrischer Ladungen äußert sich an dem Auftreten gewisser Kräfte, die im ungeladenen Zustand fehlen. Die experimentelle Erforschung dieser Kräfte führte zu den folgenden qualitativen Erkenntnissen: 1. Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung, positive und negative. Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab (du Fay, um 1735).

Nach unsern heutigen Kenntnissen enthalten alle Körper positive und negative Ladungen in so großer Menge, daß man sie nicht vollständig voneinander trennen kann. Die dazu erforderlichen Kräfte würden unsere technischen Möglichkeiten bei weitem übersteigen. Im normalen, ungeladenen Zustand enthält ein Körper gerade so viel positive und negative Ladung, daß die Kraft eines anderen, geladenen Körpers auf ihn verschwindet.

2. Die elektrische Ladung besitzt Substanzcharakter, d. h. sie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einem Körper auf den anderen übertragen werden. 3. In groben Zügen kann man die Körper einteilen in Leiter und Nichtleiter (Gray, 1729).'

Durch Nichtleiter oder Isolatoren vermögen elektrische Ladungen nur in sehr geringem Maße hindurchzuwandern, durch Leiter dagegen fast ohne Widerstand. Es gibt aber dazwischen Übergänge.

4. Ebenso wie die Materie besitzt auch die elektrische Ladung eine atomistische Struktur.

Der direkte, experimentelle Beweis dafür wurde 1913 von Millikan erbracht. Indirekt hat man diese Tatsache schon viel früher aus den Gesetzen über die chemischen Umwandlungen beim Durchgang elektrischer Ladungen durch Salzlösungen (Elektrolyte) erschlossen (Faraday, 1834). Die positiv geladenen Elektrizi-

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Elektrostatik

tätsteilchen in den Atomen heißen Atomkerne; die negativ geladenen heißen Elektronen. Wir werden hier auf die Struktur der Atome nicht eingehen. Jedoch benutzen wir die Vorstellung, daß sich alle Ladungen aus sehr vielen kleinen geladenen Teilchen zusammensetzen, die einzeln als punktförmig angesehen werden können.

§2. Die e l e k t r i s c h e L a d u n g u n d e l e k t r i s c h e Feldstärke Um zu einer einwandfreien Definition des Begriffes „elektrische Ladung" zu gelangen, betrachten wir folgenden Versuch : Wir laden einen Körper K elektrisch auf und halten ihn dann in konstanter Lage und unveränderlichem Ladungszustand fest. In die Nähe von K bringen wir nacheinander einige kleine, elektrisch geladene Probekörper an verschiedene Stellen und messen die auf sie wirkenden Kräfte. Davon subtrahieren wir die Kräfte, die im ungeladenen Zustand auf die Probekörper an denselben Stellen wirken. Für die restlichen Kräfte findet man das folgende Gesetz: Die Richtung der elektrischen Kraft auf verschiedene Probekörper am gleichen Ort ist gleich. Das Verhältnis der Kräfte auf zwei Probekörper am selben Ort ist unabhängig vom Ort, hängt also nur von dem Zustand der Probekörper ab. Die atomistische Struktur der elektrischen Ladung macht dieses Resultat plausibel. Wir wollen dabei im Augenblick von der Gesamtheit der positiven und negativen Ladungsteilchen absehen, welche bereits im elektrisch neutralen Zustand im Probekörper vorhanden sind, und nur die zahlreichen identischen Teilchen der überschüssigen Ladung betrachten. Wenn der Probekörper klein genug ist, erfahren diese alle von dem Körper K die gleiche Kraft. Die Gesamtkraft ist also ihrer Anzahl proportional. Das Verhältnis der Kräfte auf zwei verschieden geladene Probekörper, die nacheinander an den gleichen Ort gebracht werden, ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ladungsteilchen. Es ist daher vom Ort unabhängig. Zugleich macht diese Betrachtung deutlich, wann der Probekörper als klein genug anzusehen ist. Die Kraft des Körpers K auf die Ladungsteilchen an verschie-

§ 2. Die elektrische Ladung und elektrische Feldstärke

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denen Stellen des Probekörpers m u ß gleich sein. Makroskopisch zeigt sich das daran, daß sich die Gesamtkraft bei einer Verschiebung des Probekörpers u m eine Strecke von der Größenordnung seiner linearen Abmessungen praktisch nicht ändert. Die obige Erfahrungstatsache kann man folgendermaßen zusammenfassen: Die elektrische K r a f t g auf den Probekörper ist gleich dem P r o d u k t aus einem skalaren, nur von den Eigenschaften des Probekörpers abhängigen F a k t o r q mal einem vektoriellen, n u r vom Ort abhängigen F a k t o r

S = a®. .

(i)

Den F a k t o r q nennt man die elektrische Ladung des Probekörpers. Der F a k t o r ® ist die elektrische Feldstärke, welche der Körper K in seiner Umgebung erzeugt. Selbstverständlich definiert die eine Gleichung (1) nicht die beiden Größen q und 6 . Der geschilderte Versuch zeigt aber, wie man im Prinzip das Verhältnis der Ladungen zweier Körper durch Messung der elektrischen K r ä f t e am gleichen Ort bestimmen kann. Dieses Verfahren, zwei Probekörper miteinander zu vergleichen, definiert eine Eigenschaft dieser Körper, eben ihre elektrische Ladung, welche damit als Grundgröße eing e f ü h r t ist 1 ). In dieser Betrachtung ist wohl zu beachten, daß nach Voraussetzung der Zustand des Körpers K durch den Probekörper nicht verändert werden darf. Das ist im allgemeinen nur erfüllt, wenn die Ladung q des Probekörpers genügend klein ist, so daß die Kraft, mit der sie auf die einzelnen Ladungsteilchen von K zurückwirkt, eine vernachlässigbar geringe Wirkung hat. Aber auch bei sehr kleinem q wird diese Bedingung verletzt, sobald der Abstand der Oberflächen des Probekörpers und des Körpers K mit den Atomabmessungen vergleichbar wird. Wenn z. B. K eine Flüssigkeit ist, so erfährt ein eingetauchter ungeladener Probekörper auch eine Kraft, nämlich den Auftrieb. Diese „mechanischen" Kräfte sind nach unsern heutigen Kenntnissen im wesentlichen ebenfalls elektrische Kräfte und rühren davon her, daß sich die Verteilung der Elektronen und Atomkerne in jedem Körper ändert, wenn er sich anderen Körpern bis auf Entfernungen von der Größenordnung der Atomabmessungen nähert. Sie hängen im allgemeinen auch *) Siehe W. Döring: Einführung in die theor. Physik I, Mechanik, Sammlung Göschen Bd. 76, § 1 und § 15.

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Elektrostatik

noch von der Ladung des Probekörpers ab und können daher nicht eliminiert werden, indem man von der Kraft auf den geladenen Probekörper die Kraft auf den ungeladenen Probekörper am gleichen Ort subtrahiert. Kraftmessungen mit makroskopischen Probekörpern liefern daher nach (1) nur die Feldstärken im Vakuum. Aussagen über die elektrischen Felder im Innern der Materie erhält man durch Extrapolation der Gesetze für die elektrischen Felder im Vakuum auf atomare Probekörper und subatomare Entfernungen. Dieses Vorgehen hat sich an der Erfahrung bewährt. Wenn man sich vorstellt, daß alle Körper aus praktisch punktförmigen Elektronen und Atomkernen aufgebaut sind, erhält man auf diese Weise für das Innere der Körper einen sehr zackigen Verlauf von (5. Das, was man makroskopisch unter der Feldstärke im Innern eines Körpers versteht, ist ein gewisser Mittelwert davon (vgl. § 5 und 6).

§3. Das C o u l o m b s c h e Gesetz Das Kraftgesetz zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wurde experimentell von Coulomb im Jahre 1785 durch Messungen mit Hilfe der Drehwaage gefunden. Es lautet: Die elektrische Kraft g zwischen zwei geladenen Körpern, deren Ausdehnung klein gegen ihren Abstand r ist, hat die Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern. Ihr Betrag F ist den Ladungen Qi und Q2 der beiden Körper proportional und dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional. Man schreibt dies Gesetz heute meist in der Form: CD w e 0 4tnr 2 1 Dadurch, daß der Proportionalitätsfaktor /4ne 0 genannt wird, tritt im Nenner nicht r 2 , sondern die Oberfläche 4 n r 2 einer Kugel vom Radius r auf. Das wird sich nachher als zweckmäßig herausstellen. Die Größe e0 ist eine Naturkonstante mit der Dimension Kjait^Fläche' ^ Zahlenwert hängt von der gewählten Ladungseinheit ab. Die heute am meisten benutzte Ladungseinheit 1 Coulomb wird dadurch festgelegt, daß man den (Coulomb)2 , ., Zahlenwert von e„0 in der Einheit ^ 5- vorschreibt. dyn • cm2

§ 3. Das Coulombsche Gesetz

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Aus Gründen, die wir erst später (§ 29) durchschauen werden, wählt man ihn so, daß e 0 mal dem Quadrat der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 einen mathematisch einfachen Zahlenwert annimmt, nämlich , 102 Coulomb2 107 Coulomb2 g00ß £ —. (vö) 2 in dyn • sek in Newton < sek2' ' c0 hat den Wert c0 = 2,9976 • 10« m/sek. In der Formel (2) ist c 0 eine benannte Größe, keine Zahl! In der theoretisch-physikalischen Literatur wird vielfach noch ein anderer Ladungsbegriff benutzt, der sich von dem in § 2 definierten Grundbegriff Q unterscheidet. Die elektrostatisch definierte Ladung Q t ist eine abgeleitete Größe, die zu Q proportional ist und so definiert wird, daß bei ihrer Verwendung der Proportionalitätsfaktor 4jie0 im Coulombschen Gesetz verschwindet. Sie kann demnach folgendermaßen erklärt werden: Die elektrostatisch definierte Ladung Qs eines Körpers ist gleich der Wurzel aus der elektrischen Kraft auf einen anderen Körper mit der gleichen Ladung im Vakuum, multipliziert mit dessen Abstand. Zwei Körper, bei denen die elektrostatisch definierten Ladungen die Werte Qsi und Qs2 haben, üben aufeinander die Kraft F =

'Q' 2

(3)

aus. Der Vergleich mit (1) ergibt als Zusammenhang zwischen den Größen Q und Qs des gleichen Körpers ]/4 st e0 ^ ^ Ist Q — 1 Coulomb, so erhält man daraus 1 Coulomb Q> = l/lO» Coulomb' = ^ Vd^n • sek= 2,9976 • 10» gV-om^ek-'. \ c02 dyn sek2 Die Größe 1 ]/dyn cm = 1 g c m 3 ' " sek-1 nennt man auch „eine elektrostatische Ladungseinheit". Wir wollen im folgenden den elektrostatischen Ladungsbegriff Q t nicht benutzen, da er anscheinend allmählich außer Gebrauch kommt. In § 33 werden wir einige Formeln auf die anderen, mit Hilfe von Qt definierten Begriffe umschreiben. Da (4) eine Größengleichung darstellt, die von der Wahl der Einheiten unabhängig ist, kann man jede Größengleichung, in der Q vorkommt, in eine

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Elektrostatik

andere Größengleichung umwandeln, in der Qs vorkommt. Für das Formelrechnen ist es also gleichgültig, ob man Q oder Qs benutzt. Diese nahezu triviale Tatsache ist merkwürdiger Weise oft bestritten worden. Beim Zahlenrechnen ist manchmal die Benutzung von Q, manchmal die von Qs bequemer.

§4. Das e l e k t r o s t a t i s c h e P o t e n t i a l Das elektrische Feld einer gegebenen Ladungsanordnung läßt sich auf Grund des Coulombschen Gesetzes unmittelbar hinschreiben. Ein Elektrizitätsteilchen mit der Ladung e,-, dessen Lage durch den Ortsvektor Xj gegeben ist, übt auf eine Probeladung q am Endpunkt des Vektors t eine Kraft aus, welche die Richtung des Vektors t — rj hat und den Betrag 6 '0 r | 2 . Dieses Teilchen erzeugt demnach an dieser Stelle die Feldstärke -. r1 n> •\ Summiert man 4ns0 \x — r3-|2 |r — r,-| diese Ausdrücke über alle N Ladungen des betrachteten Körpers, so erhält man das gesamte Feld 11 & py e = 471 s 0 A ^|r (—t r,f- t i ) . (1) Daraus lassen sich eine Reihe von Eigenschaften des elektrischen Feldes ablesen. Als erstes stellen wir fest: (5 kann als Gradient1) einer skalaren Ortsfunktion 6,

3

1

wirkt. Das hat sieh an der Erfahrung tatsächlich als richtig herausgestellt, d. h. (11) gilt nicht nur als Integralformel für einen makroskopischen Körper, sondern für jedes geladene Teilchen einzeln. Fügt man noch die elektrische Kraft (§ 2; 1) hinzu, so ergibt sich als Kraftformel für ein elektrisch geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

5=

+

(12)

Diese Formel nennt man die Lorentzkraft nach dem holländischen Physiker H. A. Lorentz, der die Elektronentheorie der Körper sehr gefördert hat. V. Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld § 25. Das I n d u k t i o n s g e s e t z Im Jahre 1831 entdeckte Faraday experimentell einen über das Oerstedsche Gesetz hinausgehenden weiteren Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Erscheinungen, nachdem er auf Grund von qualitativen Überlegungen systematisch danach gesucht hatte. Die Feldvorstellung führt in der Tat leicht zu einer Vermutung, wann sich ein Magnetfeld elektrisch bemerkbar machen wird. Wenn in einem Stromkreis die Stromstärke anwächst, nimmt auch der Energieinhalt des magnetischen Feldes in seiner Umgebung zu. Das muß sich als eine Art Widerstand gegen eine Erhöhung der Stromstärke bemerkbar machen. Eine Änderung des Magnetfeldes wird also die Bewegung der elektrischen Ladungen beeinflussen. Faraday fand, daß in einem batterielosen, geschlossenen Stromkreis ein Strom entsteht, wenn man in seiner Um-

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Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

gebung ein veränderliches Magnetfeld erzeugt. Die Größe des induzierten Stromes hängt von dem magnetischen Induktionsfluß 0 durch den Stromkreis ab. D a r u n t e r versteht man das F l ä c h e n i n t e g r a l über die Normalkomponente der Induktion 33 über eine F l ä c h e , die vom Stromkreis berandet wird: (1) Fläche durch den Stromkreis.

Da div 33 = 0 ist, k o m m t es auf die L a g e der F l ä c h e nicht an, nur auf ihre Beraridung. Denn das Integral von B n über eine geschlossene F l ä c h e ist gleich dem Volumenintegral über div 33 und verschwindet daher. F a r a d a y stellte fest, daß das P r o d u k t aus der Stromstärke I und dem Widerstand R des Stromkreises der zeitlichen Änderung von 0 proportional ist. Quantitativ gilt

W i r werden gleich zeigen, w a r u m gerade die K o n s t a n t e y hier auftreten muß. Das negative Vorzeichen bedeutet folgendes : Zu der positiven Normalenrichtung der F l ä c h e durch den Stromkreis, die das Vorzeichen von Bn bestimmt, gehört ein solcher positiver Umlaufssinn, daß F o r t s c h r e i t e n in Normalenrichtung und Umlauf im positiven Sinne eine Rechtsschraube ergibt. Der induzierte S t r o m fließt bei positivem

d&

dem positiven Umlaufssinn entgegen. Das Induktionsgesetz ( 2 ) gilt sowohl bei veränderlichem Magnetfeld als auch bei einer Bewegung des Stromleiters in einem zeitlich konstanten Magnetfeld. I m letzteren F a l l kann es aus der F o r m e l (§ 2 4 ; 1 2 ) hergeleitet werden. Ist t> die Geschwindigkeit des Leiters an einer Stelle, so bewegen sich die L a d u n g s t r ä g e r in ihm nur dann ohne Verschiebung relativ zum L e i t e r mit, wenn die L o r e n t z k r a f t des Magnetfeldes £

— [t>33] durch ein elektrisches Feld kompensiert wird. Zur Erhaltung des stromlosen Zustandes ist also die Anwesenheit eines elektrischen Feldes der Größe

§ 25. Das Induktionsgesetz

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G= -y[t)58]

(3)

notwendig. In Richtung senkrecht zum Draht erzeugen sich die Ladungsträger dieses Feld selbst; sie werden sich seitlich so lange verschieben, bis dieses Feld infolge Aufladung der Seiten des bewegten Drahtes entstanden ist. In Längsrichtung dagegen müßte man, um einen Strom zu verhindern, eingeprägte elektrische Felder der Größe (3) erzeugen. Das Linienintegral von (3) über den geschlossenen Stromkreis ist dann gleich der elektromotorischen Kraft, welche Stromlosigkeit bewirkt. Wenn diese E M K fehlt, entsteht ein Strom, bei welchem wegen ( § 1 5 ; 12) das Produkt aus S t r o m s t ä r k e / und Gesamtwiderstand R diesem Linienintegral entgegengesetzt gleich ist. Wir erhalten also «At

2Ä=$y([ö8]Äl).

(4)

Diese Gleichung ist mit (2) identisch. Ein Stück Ax des Drahtes überstreicht nämlich in der Zeit At eine Fläche mit dem Betrage |[bzlMi]| (vgl. Abb. 12). Wählt man At in Richtung des positiven Umlaufssinnes, so hat der Vektor [bAl] an den Stellen, wo sich durch die Bewegung die Fläche vergrößert, die Richtung der positiven Normalen. Das Teilstück Ax bewirkt also einen Zuwachs zum Induktionsfluß in der Größe A 0

=

(%[bAt])At.

Abb. 12. Zur Berechnung der Flußänderung eines bewegten Stromkreises. Ausgezogen: Lage zur Zeit t. Gestrichelt: Lage zur Zeit t + At. Die Pfeile markieren die willkürlich gewählte positive Umlaufsrichtung. Die zugehörige positive Nor. ( 5 ) malenrichtung ist senkrecht Zeichenebene nach durch auf der hinten gerichtet.

Dividiert man diese Gleichung At, summiert über alle Ai und geht zum Limes unbegrenzter Verfeinerung der Unterteilung des Weges und At—0 über, so erhält man ^

= j> ( » [ » & ] ) = -

j> ( [ » » ] & ) .

Setzt man das in (4) ein, so erhält man (2).

(«)

80 Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld Bei ruhendem D r a h t und veränderlichem Magnetfeld gilt jedoch nach F a r a d a y s Experimenten das Gesetz (2) auch. Dann kann man die E n t s t e h u n g des Stromes nicht als Wirkung der L o r e n t z k r a f t deuten, denn ruhende Ladungsträger vermag ein Magnetfeld nicht in Bewegung zu versetzen. Der Strom muß in diesem Fall von einem elektrischen Feld herrühren, dessen Spannung U¡Mr¡ gleich IR ist, also r 1 A

Mt = - y r (7) In dieser Gleichung kommen die Eigenschaften des Stromkreises gar nicht mehr vor. Es liegt nahe, anzunehmen, daß dieser nur das A u f t r e t e n des elektrischen Feldes anzeigt, daß aber (7) auch dann gilt, wenn er nicht vorhanden ist. Nach dem Stokes'schen Integralsatz ist die linke Seite von (7) gleich dem Flächenintegral über rot (5. Ferner kann man bei festliegendem Rand die zeitliche Ableitung von 0 in (1) auch u n t e r dem Integralzeichen durch partielle Ableitung von Bn bilden: d& rräBn Daher lautet (7) auch

*=JJ~ñAf-

ff{(rotZ)

n +

Y ~ } d f = 0.

(8)

(9)

Wenn das f ü r jede Fläche gilt, muß jede Komponente des Integranden an jeder Stelle gleich null sein. Dann folgt aus (9) rote = - - 5 v(10) y et ' In einem veränderlichen Magnetfeld entsteht demnach ein elektrisches Feld, welches nicht mehr wirbelfrei ist und die E n t s t e h u n g des induzierten Stromes zur Folge h a t . Diese Aussage, die über die unmittelbare E r f a h r u n g des F a r a d a y schen Gesetzes (2) etwas hinausgeht, h a t sich weitgehend bestätigt. § 26. D i e E l e k t r o n e n s c h l e u d e r Das A u f t r e t e n eines elektrischen Feldes in einem veränderlichen Magnetfeld sieht man besonders deutlich an der Elek-

§ 26. Die Elektrononschleuder

81

tronenschleuder (Betatron), welche zur Erzeugung sehr schneller Elektronen dient. In ihr wird in einem evakuierten ringförmigen Gefäß parallel zu dessen Achse ein rotationssymmetrisches magnetisches Wechselfeld erzeugt. Das entstehende elektrische Feld h a t dann kreisförmige Feldlinien um die Symmetrieachse. Schießt man im richtigen Augenblick Elektronen in dieses Feld hinein, so werden sie durch das magnetische Feld auf eine Kreisbahn gelenkt und während der zahlreichen Umläufe durch das elektrische Feld bis zu sehr hohen Energien beschleunigt. Legt man die «-Achse des Koordinatensystems in die Rotationsachse, so ist der Induktionsfluß 0 durch einen Kreis vom Radius R um die z-Achse parallel zur »-//-Ebene wegen der Rotationssvmmetrie gegeben durch R

0=ffBtdf=fBz(£)23i&l 5 =

(1)

0

Der Rand dieser Fläche ist eine elektrische Feldlinie, auf der wegen der Symmetrie der Betrag der elektrischen Feldstärke k o n s t a n t ist. Daher folgt aus (§ 25; 7) f ü r den Betrag von (S bei wachsendem Fluß =

=

(2)

Wenn es gelingt, die Elektronen im Vakuum auf diesem Kreis laufen zu lassen, ändert sich ihr Impuls p in Richtung von © nach der Gleichling e d0 dp ( ) i - = e l®l = W Ä Bei so bewegten Elektronen ist also g

V — 2 n R y ® = konstant = p0.

(4)

p0 bedeutet darin den Impuls in dem Augenblick, in welchem 0=0 ist. Damit das Elektron auf dieser Kreisbahn bleibt, muß es in Radialrichtung eine K r a f t erfahren. Wenn 23 auf dem Bahnkreis genau die Achsenrichtung hat, ist die L o r e n t z k r a f t ß

— [t>S31 gerade radial gerichtet. Man muß dann durch Wahl 7 Ii

P ö r i n g , T h e o r e t i s c h e P h y s i k 11

82

Das elektrisch« Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

von |33| ihre Größe gerade so wählen, daß sie der Radialkomponente des Vektors

gleich ist. Ist Aa der Winkel, den

das Elektron in einer kleinen Zeit At auf seiner Kreisbahn zurücklegt, so ändert sich der Impuls in Radialrichtung um pAa. Also gilt (5> ^radial = IT Die Bedingung, daß die Lorentzkraft das Elektron auf der Kreisbahn hält, lautet also

V ~ = y v B ( R )

(6)

oder p=^B(R).

(7)

Wenn diese Gleichung zu allen Zeiten mit (4) verträglich sein soll, müssen die Elektronen gerade so in das Feld geschossen werden, daß p0 = 0 wird. Außerdem muß gelten R l=o Auf dem Bahnkreis muß also die Induktion B(R) nur eine Komponente in Achsenrichtung bzw. ^-Richtung haben und so groß sein, daß der Mittelwert von Bz über die Fläche des Bahnkreises gerade doppelt so groß wie Bat) ist. Dann wächst die Lorentzkraft bei zunehmendem 39 auf dem Bahnkreis gerade ebenso stark an wie die Zentripetalkraft, welche die Elektronen beim Durchlaufen der kreisförmigen, geschlossenen Feldlinie während der Beschleunigung durch das elektrische Feld erfahren müssen. In der obigen Rechnung wurde der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit nicht benutzt. Die Bedingung für die Kreisbewegung kann demnach auch dann noch erfüllt werden, wenn die Geschwindigkeit des Elektrons der Lichtgeschwindigkeit nahe kommt, so daß p nicht mehr proportional zu ö ist. Wenn man auf diese Weise Elektronen

§ 27. Die .Selbstinduktivität

83

durch sehr viele Umläufe im wachsenden Magnetfeld auf hohe Energien beschleunigen will, muß man natürlich dafür sorgen, daß der Bahnkreis gegen kleine Störungen stabil ist, damit das Elektron nach einer kleinen Ablenkung, etwa infolge Begegnung mit einem Atom des Restgases im Gefäß, wieder auf die richtige Bahn zurückkehrt. Die dazu nötigen Rechnungen würden hier zu weit führen. Es gibt in Deutschland, eine Elektronenschleuder, in welcher die Elektronen während des Anwachsens des Magnetfeldes etwa 500 000 Umläufe ausführen und dabei eine Spannung von etwa 6 Millionen Volt durchlaufen. Das elektrische Wirbelfeld, welches die Teilchen in der Elektronenschleuder beschleunigt, ist auch die Ursache für die Spannung in der Sekundärwicklung eines Transformators. Der Unterschied ist nur der, daß im Transformator die Elektronen nicht durch die Lorentzkraft in ihrer Bahn gehalten werden, sondern durch den Draht, dessen Oberfläche die Elektronen nicht durchläßt. Außerdem legt jedes Elektron wegen der Reibung im Draht nur ein kurzes Wegstück zurück und macht nicht viele Umläufe wie in der Elektronenschleuder. §27. Die S e l b s t i n d u k t i v i t ä t Wenn man an einen Stromkreis, etwa durch eine Batterie, die Spannung U anlegt, steigt der Strom I nicht momentan, sondern allmählich auf seinen Endwert an, weil während des Anwachsens das veränderliche Magnetfeld eine Spannung 1 d0 Um = — — —jjß induziert, welche der angelegten Spannung entgegenwirkt und sich daher wie ein Trägheitswiderstand der Beschleunigung der Ladungsträger widersetzt (vgl. S. 77). Ist R der Ohmsche Widerstand des Stromkreises, so ändert sich I nach der Gleichung o Wenn das Magnetfeld nur von dem Strom in dem betrachteten Stromkreis herrührt und überall 33 proportional zu § 6*

84

Das elektrische Feld in einem veränderlichen Magnetfeld

ist, ändert sieh der Induktionsfluß 0 auch proportional zu I. Setzt man 0=y LI, (2) so folgt aus (1)

Den Koeffizienten L nennt man die Selbstinduktivität des , • , TN• Spannung • Zeit „ Stromkreises. LT hat die Dimension — ^ — . Die geb Stromstarke Volts ek bräuchlichste Einheit ist 1 Henry = 1 —r . J Ampere Ist U eine konstante Spannung, die zur Zeit t = 0 angelegt wird, so ergibt sich aus (3) für das Anwachsen des Stromes von dem Wert 7 = 0 an

^iH1—

Die Größe r = - g - nennt man die Zeitkonstante des Stromkreises. Multipliziert man (3) mit der Stromstärke, so erhält man die Leistungsbilanz j j (5) ÜI= RP+LI-ß-. Bei veränderlichem Strom ist also die Leistung P = UI der Spannungsquelle nicht wie in (§ 16; 11) gleich der Jouleschen Wärme P' = RI2. Hinzu kommt ein weiterer Summand LI

= - ^ j - L 7 2 j, der nach den Ausführungen auf S. 77

vermutlich die Zunahme der magnetischen Feldenergie Wm darstellt. In der Tat ist W, ^ J f J ^ m W = ~ L P .

(6)

oc-Raum

Zum Beweis benutzen wir das Vektorpotential 9t (vgl.

85

§ 27. Die Sulbstinduktivität

§23; 9). Wir setzen SS = rot 91 und beachten die Vektorformel 1 ) (§rot9l) = div[9E£]+(9lrot§). (7) Bei der Integration dieses Ausdruckes kann man das Volumenintegral über div [SlipJ in ein Oberflächenintegral verwandeln. Für einen im Endlichen liegenden Stromkreis verschwindet 91 wegen (§ 23; 9) im Unendlichen wie 1/r, § dagegen wie 1/r 2 . Das Oberflächenintegral von [9l§] über eine sehr ferne Fläche geht also beim Grenzübergang zu unendlich großer Fläche gegen nüll, weil die Fläche nur proportional mit r 2 anwächst, der Integrand aber mit 1 /r 3 abnimmt. Daher ergibt sich aus (6) bei Beachtung von (§ 19; 6)

Wm=

dV=

W f ( 2 ir o t ®

will{m

oo-Raum

dv

'

(8)

Leiter

Diese Integralformel hat den Vorteil, daß in ihr der Integrand nur im Innern der stromdurchflossenen Leiter von null verschieden ist, weil außerhalb @ = 0 ist. Bei dünnen Leitern kann man angenähert 91 als konstant über den Querschnitt annehmen. Bezeichnet man mit Aä ein Wegelement längs des Leiters in Stromrichtung und mit Af den Leiterquerschnitt, so ist ® AsAf = |©| Af-Aä = IAZ. Setzt man das in (8) ein, so folgt angenähert mit Hilfe des Stokes'schen Integralsatzes W = ~ f o t ä § = ^ff(rot2i i/= = \LP. (9) m

V

Stromkreis

Hier zeigt sich zugleich die Gültigkeitsgrenze dieser Beziehung. Wenn man von dem Induktionsfluß 0 durch den Stromkreis spricht, wird stillschweigend vorausgesetzt, daß alle Stromlinien im Leiter den gleichen Induktionsfluß umschließen. Das ist nur der Fall, wenn die Leiter verglichen mit den sonstigen Abmessungen des Stromkreises sehr dünn sind. Nur dann ist 91 über den Leiterquerschnitt praktisch konstant. Für dicke Leiter kann man die Selbstinduktivität L ') Vgl. S. Valentiner: Vektoranalysis, Sammlung Göschen Nr. 354 § 30, Gleichling (4).

SG

B a s elektrische F e l d in einem veränderlichen Magnetfeld

statt durch (2) durch die allgemeinere, aus (6) folgende Gleichung definieren: L=

(10)

Manchmal ist es zweckmäßig, die Induktivität zu unterteilen in den Anteil, der nach (10) von der Feldenergie innerhalb des Leiters selbst herrührt, und den Anteil von der Feldenergie außerhalb. Der erste Teil, die innere Selbstinduktivität, ändert sich bei Deformation eines Stromkreises aus dünnen Drähten gegebener Abmessungen nicht. Als Anwendungsbeispiel für die Beziehung (10) berechnen wir die Selbstinduktivität einer langen dünnen Spule mit der Länge l, dem Querschnitt / und der Windungszahl N. Der Kern habe die Permeabilität u. Wenn man von Randeffekten 1 NI absehen kann, ist in der Spule = j— (vgl. § 21; 8). V 1 Außerhalb kann man das Feld als klein vernachlässigen. Man erhält also oder (11) Die darin vorkommende Konstante hat nach (§ 18; 10) und n Voltsek ( § 1 9 ; 8 ) d e n W e r t ^ = ; M t o = 4 7 r - 1 0 - 7 ^ m p 7 ^ ( v g l . §33; 26). Die Selbstinduktivität einer Spule ist also dem Quadrat der Windungszahl N proportional. Aus (2) folgt anscheinend ein anderes Ergebnis. Der Induktionsfluß durch den Querschnitt der Spule ist ja einfach ßfi0 |ip| • /, ist also NI proportional. Demnach scheint aus (2) eine Proportionalität von L zu N, nicht zu N2 zu folgen. Das ist aber ein Trugschluß. 0 bedeutet nämlich den Fluß durch den Stromkreis. In einer Spule mit N Windungen durchsetzt der Fluß durch den Spulenquerschnitt den Stromkreis N mal, d. h. 0 = N - M ß o |)p|/.

§ 28. Die Ma.vwellschc Ergänzung

87

VI. Di« allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen § 28. Die M a x w e l l s c h e E r g ä n z u n g Bisher haben wir die Differentialgleichungen für die elektromagnetischen Feldgrößen nur unter speziellen Bedingungen betrachtet. Bevor wir uns nun der Frage zuwenden, wie sie im allgemeinsten Fall lauten, wollen wir die Ergebnisse noch einmal zusammenstellen. Für ein zeitlich konstantes elektrisches Feld hatten wir gefunden: rot ® = 0, (1) e 0 div ® = Q . (2a) Darin bedeutete Q die gesamte Raumladungsdichte, welche mit der wahren Raumladungsdichte Qw und der elektrischen Polarisation durch die Gleichung e= ew-div$ (3) verknüpft ist. Mit Benutzung des Vektors 2>=e„(S+$ (4) der Verschiebungsdichte läßt sich (2a) auch in folgender Form schreiben: divS)=£w. (2b) Ein konstantes magnetisches Feld erfüllt bei Abwesenheit von Strömen die Gleichungen r o t £ = 0, (5) div 33 = 0, (6) wobei as = /»öS + 3 (?) der Vektor der Induktion ist ( $ = magnetische Polarisation). Wenn Ströme auftreten, ist (5) zu ersetzen durch die Gleichung y rot § = ©. (8) In einem veränderlichen Magnetfeld ist nach § 25 die Gleichung (1) nicht mehr gültig. Statt dessen gilt y rot —

(13)

Den Summanden - - y - nennt man die Verschiebungsstrom035 dichte. Für den Anteil - r — ist dieser Name völlig berechtigt, Cl denn diese Größe ist gleich der Dichte der Ströme, die von den Ladungsverschiebungen im Innern der Atome und Moleküle bei einer Änderung der Polarisation herrühren. Der auch im Vakuum auftretende Anteil e -0© r r - verdient diesen Namen 0

0t jedoch nicht, denn im Vakuum finden bei Erzeugung eines elektrischen Feldes keine Ladungsverschiebungen statt. Die Maxwellschen Gleichungen können dann in der folgenden, symmetrischen Form geschrieben werden: Y roti0 = ® w + ^ ,

(14)

y rot® = — ^ p

(15)

div (16) d i v » = 0. (17) Aus (14) und (16) ergibt sich die Kontinuitätsgleichung div ©«,+

= 0.

(18)

Zwischen den Feldvektoren und den Polarisationen besteht allgemein der Zusammenhang ® = e o e + $ u n d 8 = yu0©+3. (19) Wenn die elektrische und magnetische Polarisation der Feldstärke proportional ist, gilt S)=ee0eund» = ^^0§. (20) Zu diesen beiden Gleichungen, welche die Materialkonstanten £ und fi enthalten, t r i t t in einem leitenden Medium ohne elektromotorische Kräfte noch das Ohmsche Gesetz

90

Die allgemeinen elektromagnetischen Gleichungen

= *e, (21) welches die Materialkonstante x enthält. Dieser Schreibweise mit 4 Feldvektoren (S, 3), ip, stellen wir eine andere gegenüber, die in der Elektronentheorie bevorzugt wird. In ihr wird nicht zwischen wahren und scheinbaren Ladungen unterschieden, sondern nur die totale Raumladungsdichte Q verwendet. Meist führt man zugleich alle magnetischen Momente auf Molekularströme zurück. Das kommt in den Maxwellschen Gleichungen zum Ausdruck, wenn man 3) und § eliminiert und nur die Feldgrößen (S und 93 benutzt. Dann lauten sie rot 93 =

{

e0divö=e,

+ e0

(22)

rot g = - j

(23)

(24)

div 93 = 0.

(25)

Darin bedeutet

Öl? y ®«of = @W + -^T- + rot ^ und Q = oi fi 0

— div

In %tot t r i t t neben der Dichte % w der wahren Ströme die D i c h t e d e r LadungsVerschiebungen bei Erzeugung einer elektrischen Polarisation und die Dichte

y J* o

rot Sy der Mole-

kularströme auf. Die Materialeigenschaften liefern einen Zusammenhang zwischen Q6tot und g und den Feldvektoren 6 und 93. Diese Schreibweise ist bequem für die Berechnung des Feldes bei gegebener Verteilung der Ladungen, Ströme und Polarisationen. Technisch sind meist nur und qw bekannt, während $ und 3 erst aus den Feldstärken und den Materialkonstanten ermittelt werden müssen. Zu diesen Differentialgleichungen treten an den Oberflächen noch gewisse Randbedingungen, die wir hier der Vollständigkeit halber auch noch nennen wollen. An einer Materiegrenze ist die Tangentialkomponente von © und § stetig. Dort, wo sich die Tangentialkomponente der magnetischen Polarisation unstetig ändert, muß sich daher auch die Tangentialkomponente von 93 sprunghaft ändern. Die

§ 29. Die ebene Welle

91

Normalkomponente von 33 ist immer stetig. Die Differenz der Normalkomponenten von X ist an geladenen Oberflächen gleich der Flächenladungsdichte der wahren Ladungen. § 29. D i e e b e n e W e l l e Als erste Anwendung der Maxwellschen Gleichungen betrachten wir ein Feld, in welchem alle Größen außer von der Zeit t nur von einer Ortskoordinaten x abhängen. Für ein homogenes, nichtleitendes Medium lauten dann die Gleichungen (§ 28; 14 bis 17) in Koordinaten ausgeschrieben ' 8DX

°=-är. 8EZ

8DV

8Hy

8Dz

y 8x

ei-

8BX