Einführung in die Puls-Code-Modulation 3486396013

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Karlheinz Tröndle/ Reinhold Weiß

Einfuhrung in die Puls-Code-Modulation Grundlagen und Anwendung

‚Einführung Tr eT- Nachrichtentechnik

R. OLDENBOURG

MÜNCHEN

WIEN

er

Busrmeyer

Einführung in die Nachrichtentechnik

Herausgeber: Alfons Gottwald

Unserem

verehrten Lehrer

Herrn Professor Dr.-Ing. Hans Marko

gewidmet.

Einführung in die Puls-Code-Modulation Grundlagen und Anwendung

von Dr.-Ing. Karlheinz Tröndle, Akademischer Rat

und Dr.-Ing. Reinold Weiß,

wiss. Assistent am Institut für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München

Mit 63 Bildem und 3 Tabellen

UT

Ki

\

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1974

© 1974 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege sowie der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Werden mit schriftlicher Einwilligung des Verlags einzelne Vervielfältigungsstücke für gewerbliche Zwecke hergestellt, ıst an den Verlag die nach $ 54 Abs. 2 UG zu zahlende Vergütung zu entrichten, über deren Höhe der Verlag Auskunft gibt.

ISBN 3-486-39601-3

Inhalt

Geleitwort Vorwort 1.

9

on

....

Coon

Theorie der Pulscodemodulation

11

..............

13

1.1 1.1.1 1.1.2

rene Einleitung . ..: 2:2 come oe :: 2 ren. Einteilung der Signale ...... Nachrichtenübertragungssysteme ....... 2.2...

13 13 16

1.2 1.2.1

.......::22020. Abtastung und Bandbegrenzung : renn. er 20er :.: Bandbegrenzung ......

18 18

1.2.2

Abtastung

1.2.3

Direkte Anwendung des Abtasttheorems

1.3

Quantisierung und Amplitudenbegrenzung. .....

...:

voor.

19

zur analo-

gen Übertragung zeitdiskreter Abtastwerte

26

..... .

30

1.3.1 1.3.2

: .. nur. 2: 222 Amplitudenbegrenzung .. Quantisierung . .. 2: Como

31 33

1.3.3

Berechnung des Quantisierungsfehlers

33

1.4

Kompandierung (Kompression und Expansion). - ..

1.5

Codierung

1.6

Signalumsetzung (Modulation)

1.7

Übertragungskanal

.:.:

2 ccm

........

onen

22200. 2:2.. ...

...: 2 co ce.

38 46

52

56

1.7.1 1.7.2 1.7.3

Signalregeneration und Regenerativverstärker ... Störungen und Störabstand ........ 2222000. Störungen durch weißes Rauschen ...........

56 63 69

1.8

Decodierung, Synchronisierung und Signalrückgewinnung . 22 2 mv.

72

6

Inhalt

... 2 2220er.

77

1.9

Übertragungsqualität

1.10

Zeitmultiplexverfahren

1.11

Informations- und systemtheoretische Erörterung der PCM. ....:2.2 20er eeenen. Nachrichtenmenge ...... 2220er .......222200000. Banderweiterungsfaktor

86 86 91

PCM im Vergleich zu anderen Modulationsverfahren ... 2:2 oo onen

98

1.11.1 1.11.2

1.11.3 1.12

1.12.1 1.12.2 1.12.3 1.12.4 1.12.59

2.

222002000.

......

Informationsfluß (Signalfluß)

...-..

2222020.

80

91

Einteilung der Modulationsverfahren.......... een Störminderung. .... 2:2 cur

98 99

Verzerrungen ....: 2220er Bündelung und Flexibilität. ....:.... 222200. een Zusammenfassung ..... 222er

101 103 104

.............

105

Technik der Pulscodemodulation

2.1

Technik

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2

110 110 111 11l

2.2.2.3

Technik der Codierung .... 2... 222er. Codes .. 222 onen Technischer Aufbau von Codierern .......... Der Zählcodierer ......:: 22m rer. Der nichtlineare Wägecodierer (Bewertungscodierer) 2 Core rer. Codierung mit der "Codierröhre". ...........

2.3

Der Übertragungskanal

125

2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3

Technische Lösungen der Basisbandregeneration. Empfangsfilter, Gleichstromwiedergewinnung. .. Amplituden- und Zeitregenerator ......:.... Aufbau eines PCM-Basisband-Regenerativver-

130 131 140

StäarKers.

144

2.3.1

der Abtastung

.....: 2:22 2er.

....

2:

ccm

nn

Übertragungsmedien und Signalumsetzer ......

.

0

0 00.

106

115 123

126

Inhalt

7

2.4.3

Technik der Decodierung, Aufbau von Decodiee ern EIN Der Zähldecodierer ..... 2222er .........:..2.. Der Decodierer nach Shannon ........ Der nichtlineare Bewertungscodierer

2.5

Technik der

. ..........

155

2.6

2.. 2:2.. Zeitmultiplextechnik er ... .:

157

2.4 2.4.1 2.4.2

Literatur

moon

. 2: oo

Symbolverzeichnis Sachregister

..

Signalrückgewinnung

.....: 22:20

m eo meer

2.2.2: 2:2 00 meer

149 149 150

153

160

164 170

Geleitwort

Die Pulscodemodulation bereits im Jahre

1939

(Kurzzeichen: PCM) erfunden

wurde von Reeves

(franz. Patent 852

183).

Sie hat

ihre weitreichende Bedeutung aber erst in den 60er Jahren erlangt. Dies lag daran, daß erst mit der Entwicklung elektronischer Rechenanlagen digitale Halbleiter-Bauelemente sowie integrierte Baugruppen verfügbar wurden, die eine wirtschaftliche Realisierung der relativ komplexen Schaltungen von Coder, Decoder und Regenerativverstärker ermöglichten. Seitdem befindet sich die digitale Übertragungstechnik und insbesondere die Pulscodemodulation in stetem Vordringen. Sie ersetzt heute bereits in vielen Anwendungsfällen die analoge Übertragungstechnik, wie z.B. die Trägerfrequenztechnik. Für den europäischen Bereich wurde vom CCITT (Comite Consultatif International Telegraphique et Telephonique) 1968 das PCM-Grundsystem mit 30 Kanälen und einer Übertragungsrate von 2,048 Mbit/s standardisiert. Damit wurde der Beginn einer Entwicklung eingeleitei, die, ähnlich wie seinerzeit die Trägerfrequenztechnik, zu immer höheren Kanalkonzentrationen (Hierarchiestufen) führen wird. Bereits heute existieren

Versuchssysteme von einigen hundert Mbit/s Übertragungsge-

schwindigkeit, die zeigen, daß eine wirtschaftliche Realisierung digitaler Weitverkehrssysteme möglich ist. Das Endziel ist das voll digitale Netz, bei dem im Zeitmultiplexverfahren sowohl übertragen als auch vermittelt wird. Hierbei können verschiedene Nachrichtenarten wie Sprache, Bildinformation und Daten in einfacher Weise kombiniert und gemeinsam behandelt werden. Bis dahin ist noch ein langer Weg. Jedoch zeigt das Beispiel von

Japan,

wo die digitale Übertragungstechnik schon sehr weit ent-

wickelt ist und die Zahl der jährlich produzierten digitalen Kanäle

10

Geleitwort

bereits die der analogen zu übersteigen beginnt, liche Bedeutung dieser neuen Technik zukommt.

welch

wirtschaft-

Es ist daher notwendig, daß in den technischen Schulen, den Fachhochschulen und den technischen Universitäten die Pulscodemodulation in den normalen

Lehrstoff für Nachrichtentechniker

mit ein-

gebaut wird. Eine Einführung in dieses Gebiet zu vermitteln ist der Zweck dieses Buches. Im ersten Teil werden die theoretiSchen Grundlagen behandelt, und es werden die wichtigsten Systemparameter wie Bandbreite und Störabstand diskutiert. Hierbei werden vereinfachende Annahmen gemacht und komplizierte Rechnungen vermieden.

Der zweite Teil bringt die Prinzipschaltungen und deren wichtigste Varianten für Abtastung, Codierung, Decodierung und Übertragung. Hierbei führt die Darstellung auf eine Realisierung mit modernen Halbleiterbausteinen hin. Beide Teile vermitteln einen gut fundierten und auf dem heutigen Stand der Technik basieren-

den Überblick über das Gebiet.

So wird dieses Buch für jeden, der die Pulscodemodulation nach Theorie und Praxis kennenlernen will, ein wertvoller Wegweiser

X Ka München,

den 27.5.1974

(Prof.Dr. -Ing.

H. Marko)

Vorwort Modulationsverfahren spielen in der Nachrichtentechnik eine be-

deutsame Rolle,

da sie überall dort angewendet werden,

wo die

Signale der Nachrichtenquelle nicht direkt übertragen werden kön-

nen.

Es ist deshalb ihre Aufgabe,

die Signale gleicher oder ver-

schiedener Nachrichtenquellen so umzuformen, rigem

daß sie bei nied-

Störeinfluß und geringem Aufwand gemeinsam über einen

Nachrichtenkanal übertragen werden können.

Der planende Ingenieur steht dabei vor dem Problem, den sich z.T.

widersprechenden

zwischen

Forderungen und den vielen verzu fin-

schiedenen Realisierungsmöglichkeiten einen Kompromiß den,

der für seine spezielle Aufgabenstellung optimal ist.

Die Pulscodemodulation dungsmöglichkeiten

- mit ihren vielen verschiedenen Anwen-

- ist eine der prinzipiellen Methoden

zur

Lö-

sung dieser Aufgaben.

Dieses Buch soll deshalb mit ihren Methoden,

den Ingenieur der Nachrichtentechnik

Eigenschaften und technischen Realisierungs-

formen bekannt machen und behandelt dazu in zwei Kapiteln ihre Theorie und praktische Realisierung.

Kapitel 1 ist absichtlich von mathematischem

Aufwand freigehal-

ten und soll den Leser möglichst anschaulich mit den der PCM

erundeliegenden theoretischen Prinzipien vertraut machen.

zu-

Die

Behandlung des Systems folgt dabei dem Signalfluß von der Quelle bis zur Senke,

wobei jeder charakteristischen und abgegrenzten

12

Vorwort

Funktionseinheit auf der Sendeseite ein getrennter Abschnitt ge-

widmet wurde (siehe Abschnitt 1.2 bis 1.7 und Blockschaltbild 2b). Da sich die prinzipiellen Signalumwandlungen der Sendeseite auf der Empfangsseite

holen,

in umgekehrter Richtung noch einmal wieder-

wurden im Abschnitt 1.8; Decodierung,

Synchronisierung

und Signalrückgewinnung nur die Besonderheiten des PCM-Empfän-

gers zusammengefaßt. tät; 1.10:

In den Abschnitten 1.9: Übertragungsquali-

Zeitmultiplexverfahren;

1.11: Informations- und system-

theoretische Erörterung der PCM und 1.12: PCM

im Vergleich zu

anderen Modulationsverfahren wird das System jeweils als Ganzes behandelt. Kapitel 2 zeigt - ebenfalls dem Signalfluß folgend - einige grund-

sätzliche Verfahren zur Realisierung eines PCM-Systems.

Aus

der großen Zahl von möglichen Realisierungsformen wurden vereinfachte Beispiele ausgewählt, daktischem

Wert

die entweder von besonderem di-

oder technisch besonders

aktuell sind.

einen

Bei der gebotenen Kürze der Darstellung wurde versucht,

eroßen Teil der Information in Form von Abbildungen zu vermit-

teln; so wird beispielsweise die Wirkungsweise der komplexeren Schaltungen anhand detaillierter Signalfunktionen erläutert.

Karlheinz

Tröndle

Reinhold Weiß

1.

Theorie der Pulscodemodulation

1.1

Einleitung

Eine wichtige Aufgabe der Nachrichtentechnik ist die Übertragung von Signalen von einem Sende-

zu einem Empfangsort.

Ein Signal

oder eine Signalfunktion ist die Darstellung einer Nachricht durch eine oder mehrere

physikalische

Gruppe von Signalen,

Größen.

Eine besonders

wichtige

mit deren Übertragung sich dieses Buch be-

schäftigt, sind die Zeitfunktionen. Für die Übertragung solcher Signale - insbesondere über größere

ausschließlich elektrische Signale,

Entfernungen - werden fast

wie Spannungen u(t),

i(t) oder Feldstärken,

verwendet.

nichtelektrischer Art,

werden sie in elektrische

Ströme

Sind die ursprünglichen Signale Signale oder

Zeit-

funktionen umgewandelt.

1.1.1 Einteilung der Signale Die Signale können sowohl bezüglich ihres Wertes,

tude,

z.B.

der Ampli-

als auch bezüglich der Zeit kontinuierlich oder diskret sein.

Dementsprechend

gibt es vier grundsätzlich verschiedene

Signal-

arten oder Signalfunktionen (siehe Bild 1). Amplitudenkontinuierliche

- zeitkontinuierliche Signale

Die Signale dieser Gruppe haben einen kontinuierlichen Amplitudenverlauf (Bild 1).

Die Signalfunktion u(t) kann zu beliebigen Zeiten

14

l. Theorie der Pulscodemodulation

beliebige Amplitudenwerte annehmen. funktionen auch als Analogsignale.

Man bezeichnet diese Signal-

Ein Beispiel für ein Analogsig-

nal aus der Übertragungstechnik ist die Amplitudenmodulation (AM), bei der die Amplitude einer Trägerschwingung

mit einem nieder-

frequenten Signal moduliert wird (gestrichelte Hüllkurve in Bild 1). 1

Beispiel

ul Amplituden -

kontinuierlich

f UV

n

Amplituden

r

PPM N

1

N

|

ı

ıt

r

t

}

1;

I

Yy

r

hi

u"

ii

PAM

I

]

|

'

1)

r

dıskret

Beispiel

—f

UV

Bersspiel

|

AM

N

1!

it

1

Fi

4,

N

r

lı

|

|

Beispiel

PCM

I

19097100

—

—

h

kı

|

1

71

+

Zeitkontinuierlich

Zeitdiskret

Bild 1: Klassifizierung von Signalen, dargestellt am Beispiel der Amplitudenmodulation AM, der Pulsamplitudenmodulation PAM, der Puisphasenmodulation PPM, und der Pulscodemodulation PCM

Amplitudenkontinuierliche

Signale

zeitdiskreten Signal ändert sich die Amplitude

Bei einem bestimmten bige Werte

- zeitdiskrete

Zeitpunkten. an,

Die Signalfunktion u(t) nimmt

nur zu

zwar belie-

bleibt jedoch zwischen zwei Sprungstellen konstant.

Ein in der Übertragungstechnik auftretendes Signal dieser Art ist das in Bild 1 gezeigte pulsamplitudenmodulierte Signal (PAM).

entsteht,

Es

wenn man einem Analogsignal (gestrichelte Hüllkurve) in

bestimmten Abständen Amplitudenproben

entnimmt.

].1 Einleitung

15 U]

- zeitkontinuierliche Signale

Amplitudendiskrete

Die Amplitude eines solchen Signals kann nur diskrete Werte, eine bestimmte

Zahl von Stufen annehmen.

nen sich die Amplitude

ändert,

Die Zeitpunkte,

sind dagegen

d.h.

zu de-

beliebig.

Ein Beispiel aus der Übertragungstechnik stellt die Pulsphasenmodulation (PPM) dar. eines Analogsignals

Bei diesem Verfahren wird die Amplitude

durch die zeitliche Lage

(Phase) eines ampli-

tudendiskreten Signals bezüglich einer Referenzphase dargestellt. ist in Bild 1 gestrichelt eingezeichnet.

Die Referenzphase

Amplitudendiskrete

- zeitdiskrete Signale

Diese Art von Signalen nennt man digitale Signale. ändert sich nur zu bestimmten

Zeitpunkten und kann nur eine be-

stimmte

Zahl von

Signale,

die nur zwei verschiedene Amplitudenwerte

Stufen

Ihre Amplitude

oder Werten

zeichnet man als Binärsignale,

annehmen.

annehmen,

dreistufige als Ternärsignale,

bevier-

stufige als Quaternärsignale usw. Digitale

Signale kommen

z.B.

bei der Pulscodemodulation

vor oder treten als Ausgangssignale

(PCM)

von Rechenanlagen und als Te-

legraphiesignale auf (siehe Bild 1). Ein zeitdiskretes,

periodisches

Signal mit konstanter Amplitude

bezeichnet man - in Anlehnung an den menschlichen Puls - als (unmodulierten) Puls , Im Gegensatz

ges zeitdiskretes Zeit merklich

Signal,

von Null

dazu ist ein Impuls

dessen Amplitude abweicht.

ein einmali-

nur für beschränkte

16

1. Theorie der Pulscodemodulation nn

En

MEERE

1.1.2 Nachrichtenübertragungssysteme

Die Aufgabe eines Übertragungssystems besteht darin, möglichst originalgetreu zu übertragen. nale auf dem

Signale

Veränderungen der Sig-

Übertragungsweg charakterisiert man durch die

Übertragungsverzerrungen und Störungen, die zwangsläufig auf jedem Übertragungskanal auftreten. Ein Modell eines Nachrichtenübertragungssystems

mit den wich-

tigsten Funktionseinheiten zeigt Bild 2a. Nachrichtenquellen sind z.B.

anlagen oder Meßgeräte.

der Mensch,

Datenverarbeitungs-

In vielen Fällen sind die Signale dieser

Quellen nichtelektrischer Art,

wie z.B.

Druckschwankungen der

Luft oder der Schwärzungsgrad eines Films. Vor der Übertragung werden solche Signale deshalb durch einen Signalwandler in elektrische Nachrichtensignale UN

umgewandelt.

Die Aufgabe des Senders besteht dann darin, Signale so umzuformen,

diese elektrischen

daß sie möglichst ohne Verfälschung über

den Übertragungskanal gelangen,

d.h. er muß die Signale an den

jeweiligen Übertragungskanal anpassen. Der Empfänger soll anschließend das zum Teil gestörte Empfangssignal möglichst fehlerfrei wieder in das ursprüngliche wandeln.

"Nachrichtensignal" zurück-

Der Signalrückwandler schließlich hat die Aufgabe,

elektrische Nachrichtensignal in die Form umzuwandeln,

das

die der

Empfänger der Nachricht (Nachrichtensenke) wünscht,

Nach Art der Ausbildung von Sender,

Empfänger und Übertragungs-

kanal unterscheidet man die einzelnen Übertragungsverfahren.

Die

Pulscodemodulation ist eine von vielen Methoden für die Übertra-

gung von Analogsignalen.

Sie beruht auf der modulierten Übertra-

gung der Analogsignale in Form von codierten,

digitalen Impulsen.

Nochricht | |

NochrichtenSıgnal u, |

em

Sıgnalwandier

SendeSgnal Uc |

EmpfongsSignal us |

|

Empfangenes Nachrichten Signal U,

|

_,

Ubertrogungs-| kanal

Sender

Empfongene Nachricht Ä

|

| Signatruck wandler

Empfa

Storung V

Bild 2a: Grundsätzlicher Aufbau eines N achrichtenübertragungssystems

t

I

regenerativer Übertragungskanal

fü

mem

Tene= ee TTTTTT

J

PCM-Sender -=-=---------_21712--2:2----211-2 ---.--| j

N

l

u

Ablostung

&_lQuentiserung

U

2 _IKompression

u

LK _ICodier

u

=]

Stonal-

lu.

ı-[[[_[[_[ _ _________________

- -- - ------12--12------ -- -- - --

II

----

Sıqnal -

habe

ruckumsetzung

äunnapag

---

Bild 2b: Blockschaltbild eines PCM-Übertragungssystems

LI

PCM - Empfanger

18

1. Theorie der Pulscodemodulation

Da eine Folge von Impulsen Puls genannt wird, der Name dieses Verfahrens:

Um

dem

erklärt sich auch

"Pulscodemodulation"

Leser die Orientierung zu erleichtern,

oder kurz PCM.

werden auf Bild 2b

die wesentlichen Funktionseinheiten eines PCM-Systems

Blockschema dargestellt und die Symbole für die Signale,

schen den Blöcken auftreten,

1.2

in einem

die zwi-

angegeben.

Abtastung und Bandbegrenzung

In diesem Abschnitt wird die erste charakteristische Einheit eines PCM-Systems

gemäß

Blockschaltbild 2b behandelt.

Zunächst fol-

gen jedoch einige Bemerkungen über das zu übertragende Nachrich-

tensignal bzw.

seine Aufbereitung.

1.2.1 Bandbegrenzung

Soll ein Signal Information übertragen, sein,

was bedeutet,

eine Kontinuierliche Spektrums bestimmten

so darf es nicht periodisch

daß sein Spektrum abhängig von der Frequenz Funktion darstellt.

Der Betrag des Amplituden-

und damit auch seine Energie nimmt aber oberhalb einer Frequenz

ab und nähert sich allmählich Null,

die gestrichelte Kurve von Bild 3a zeigt.

Soll ein solches Signal

weitgehend verzerrungsfrei übertragen werden, am Frequenzband mit der wesentlichen Energie, Bandbreite erforderlich. gen,

gestellt werden,

so daß ein Teilstück des Signalspektrums,

darf.

so wäre,

gemessen

eine relativ große

In den meisten Fällen sind die Anforderun-

die an die Übertragung

gie enthält,

wie das

mit Hilfe eines geeigneten

aber weniger streng,

das nur noch geringe

Ener-

Filters unterdrückt werden

19

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung

um

+ -28,

- JB,

-Buy

+ ZB

Bn

f—.

Bild 3: a) Spektrum eines ideal bandbegrenzten Nachrichtensignales; b) Periodische

Fortsetzung eines ideal bandbegrenzten Spektrums

Für die Einsparung an Bandbreite muß allerdings eine geringe Verzerrung des Empfangssignals

nommen werden.

(Bandbegrenzungsfehler)

in Kauf ge-

Bei Sprachsignalen wirkt sich beispielsweise eine

Bandbegrenzung auf 3, 4 kHz kaum auf die Verständlichkeit der SpraDie subjektiven Merkmale

che aus.

Bandbegrenzung allerdings

des Sprechers

werden durch die

erheblich verändert.

1.2.2 Abtastung Im folgenden wollen wir uns mit der Darstellung und Interpolation von Signalen befassen. Stoff zu erleichtern,

dem

Um das Verständnis für den dargebotenen

soll zunächst an einigen vergleichbaren und

Leser bekannten Beispielen der grundsätzliche

läutert

Sachverhalt er-

werden.

Polynom

Für die exakte analytische Beschreibung eines Polynoms Ordnung benötigt man

mindestens

n+1l Kurvenpunkte,

n-ter

Setzt man

20

1. Theorie der Pulscodemodulation

diese Punkte (t; u) un. (1) ein,

u(t) = a, + a,t

(t; u) in die Polynomgleichung + a,t. +...+

so sind die Konstanten a or

formeln bestimmbar.

lauf durch

A

at a über Interpolations-

Das bedeutet,

daß der gesamte Kurvenver-

n+l bekannte Funktionswerte (Probensatz) eindeutig

festgelegt ist und beliebige berechnet werden können.

Zwischenwerte über die Gleichung (1) Für die vollständige Beschreibung des

gesamten Kurvenverlaufs benötigt man also nur einen Probensatz von

n+1l beliebigen Kurvenwerten.

Sinusfunktion

Sinusfunktionen besitzen zwar eine andere

als Polynome, ten darstellbar.

von Kurvenpunkten

oder Abtastwer-

Die Gleichung einer Sinusfunktion lautet:

ult)=A_- Sin

+ 9)

Dabei bedeuten T, die Periodendauer des Signals,

tude und

(ug;

to).

pP

(us;

Struktur

sind aber ungeachtet dieses Unterschiedes eben-

falls durch einen Probensatz

(2)

mathematische

die Anfangsphase.

A, die Ampli-

Setzt man Wertepaare (u,; t.),

t.)in die Gl. (2) ein, so ergeben sich drei Bestim-

mungsgleichungen für To so ist der gesamte

Signalverlauf

mung der Konstanten drei Abtastwerten.

Au

(T.

A

Po

Sind diese Konstanten bekannt, u(t) berechenbar.

Für die Bestim-

v_) senügt also ein Probensatz von

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung

Periodische,

bandbegrenzte

21

Funktionen

Nach Fourier läßt sich eine periodische Funktion u(t) der Periode T,

durch eine Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen,

was auf die folgende komplexe +00

(3)

ut)=

Form führt:

j2 vn

5

cye

°

Ist die periodische Funktion außerdem bandbegrenzt,

zahl m (m = Voayx”

V min) der Summanden endlich.

so ist die An-

Die Parameter

(T 0’ c,) dieser Sinus- und Cosinusfunktionen lassen sich analog zum vorangegangenen Beispiel aus einer Menge von

m+1

Abtast-

werten bestimmen.

Aus diesen ihrer Art nach sehr

sehen, ist,

daß eine Funktion,

verschiedenen

Beispielen ist zu er-

deren "mathematische Struktur" bekannt

durch eine Anzahl von Abtastwerten vollständig,

aller Zwischenwerte, Im Gegensatz

einschließlich

beschrieben werden kann,

zu den Beispielen

1 und

2 handelt es sich im letz-

ten Beispiel um eine Klasse von Funktionen (periodische und bandbegrenzte Funktionen), sind.

die durch eine Fourierreihe darstellbar

Gibt man die Forderung der Periodizität auch noch auf,

erhält man eine erweiterte Klasse,

so

nämlich die bandbegrenzten

Funktionen (siehe Abschnitt 1.2.1).

Nichtperiodische,

bandbegrenzte

Funktionen

Auch die Zeitfunktionen dieser Klasse kann man,

de Ableitung zeigen wird,

wie die folgen-

durch eine Anzahl diskreter Abtastwer-

22

1. Theorie der Pulscodemodulation

te beschreiben,

wenn sie durch ein Filter der Bandbreite B\ ideal

bandbegrenzt sind. Die zu dem komplexen

Spektrum nach Bild 3a gehörige

Zeitfunktion

erhält man über die Fouriertransformation: +Bı

(4)

ut)=

| uneltitar Bu

Da das Spektrum U(f) außerhalb der Bandgrenzen + B,, Null sein soll,

Kann es über die Frequenzachse periodisch fortgesetzt wer-

den.

Die so entstandene periodische Funktion

3b) kann man aber,

U er ®)

(siehe Bild

wie jede andere periodische Funktion,

Bedingungen für eine Fourierzerlegung erfüllt,

die die

durch eine Fourier-

reihe darstellen:

+00

(5)

U er)

=

-]jV55+1

2.

cye

v=- © Diese Beziehung erhält man in Analogie zu Gl.

(3),

riable t durch

ZB

-v

ersetzt

f, die Periodendauer

T,

durch

und

v durch

wird.

Innerhalb der Bandgrenzen + B\

stimmt das periodische

U, er) mit dem bandbegrenzten Spektrum Gl.

wenn die Va-

(4) U(f) durch

U er)

U(f) überein,

ersetzt werden kann,

Spektrum

so daß in

ohne daß sich da-

durch am Ergebnis etwas verändert:

+ Bn (6)

U er)

[

u(t) = _

B

+ Bu ıo

N

large

2.

1

= _

B

N

vV--oO

nt cvye

N

‚ejetitge

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung

Vertauscht man Integration und Summation,

+00 (6)

u(t) =

evor

>‘ V=-0

Wenn

man beachtet,

+Bn

jw(t -

f

e

2Bn

23

so erhält man:

dw

"Br

daß die diskreten Werte

c,

durch die diskre-

ten Amplituden der Zeitfunktion ersetzt werden können (u(a2— ) = cy '2B N)» so führt die Berechnung des Integrals nach Gl. 6) N uf die BezZiehung:

0

sin|n(2B,t-v )| N

Damit wird deutlich,

n(2B t-v)

daß die bandbegrenzte

Zeitfunktion u(t) ein-

deutig durch die diskreten Werte (Abtastwerte) u(5B-)=u(v T A} darstellbar ist.

Dabei muß

für den zeitlichen Abstand T,

einanderfolgender Abtastwerte

(8)

zweier auf-

gelten:

1 T,S— A 2B\

Daß T A auch kleiner als 1/2 B\_ sein darf,

man beachtet,

daß das bandbegrenzte

Frequenz |f|>B,,

wird deutlich,

wenn

Spektrum auch bei einer

periodisch hätte fortgesetzt werden können,

N ne daß sich dabei am Ergebnis etwas geändert hätte.

oh-

Für Gl.

(7) 1äßt sich nun mit Hilfe der si-Funktion (si(x) = sin) )

und dem

zeitlichen Abstand

schreiben:

T \ zweier Abtastwerte

vereinfacht

24

1. Theorie der Pulscodemodulation +OD

0)

WW)=N V

uWwT,)- siln- -v)

= (V)

Bild 4 zeigt zwei

und U,, punkt

A

si(t)- Funktionen mit den Maximalamplituden U,

die um ST A gegeneinander verschoben sind. t=3T y

aM dem die Maximalamplitude

U

Zum

auftritt,

Zeitist der

Funktionswert der zweiten si-Funktion mit der Maximalamplitude

Null.

ir

Da auch alle übrigen si-Funktionen,

auftreten könnten,

die nach Gl.

an dieser Stelle Null sind,

(9) noch

wird der Funktions-

wert ut) an der Stelle 3T A ausschließlich durch die Maximalamplitude U, bestimmt.

Dasselbe gilt für den Funktionswert beit = 6T \

und alle übrigen Funktionswerte,

für die

t ein ganzzahliges Viel-

faches von T A ist. Bild 4: Zeitverlauf zweier si(t)-Fuktionen mit den Maximal-

f

amplituden U, und U,

uft)

/

|

U,

|

———e

DU

! ——

OU

Der Inhalt der Gl.

U

/

—

OST

/

/

IN

N

Up \\

/

EU

\

\\

——=

OTTO

”

—y

9,

—

|

(9) wird durch das folgende Abtasttheorem in

Worten ausgedrückt:

Eine bandbegrenzte Signalfunktion,

deren Spektrum U(f)

für alle Frequenzen { >B\r Null ist, wird durch ihre dis-

kreten Abtastwerte im Abstand T AS 1/2 Bn exakt bestimmt.

Die Abtastfrequenz Bandbreite

sein:

muß demnach

größer oder gleich der doppelten

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung

Die Forderung,

25

daß der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfol-

gender Abtastwerte kleiner sein soll als der Reziprokwert der doppelten Bandbreite,

soll nun an einem Beispiel veranschaulicht wer-

den (siehe Bild 5).

Nachrichten Sıqnale

usfl)

uff)

UNNA!

_PINTZEMN zunhiuunudeuhi

L__.

By=7tg

Bn=h

Frequenz

Un,

notwendige

4f9 4 »2BB,,,=1=14f

(= 2Bu= = 200

Abtastireqwenz A

verwendele Abtostfrequenz

aa

fı

A

=

0

m

ad

fı

|

A

=81

ME

0

united

obgetastele Sıgnale

rekonsiruierte

Sıqnole

Bun

|

N

Bild 5: Zum Zusammenhang zwischen Bandbreite By und Abtastfrequenz f, beim Abtasttheorem

26

1. Theorie der Pulscodemodulation

Zwei Sinussignale u, und Un mit den Frequenzen {

mit derselben Abtastfrequenz f AT

und 7f 9 sollen

Si 9 abgetastet werden.

In bei-

den Fällen erscheint am Ausgang des Abtasters dieselbe Impulsfolge.

Aber nur das Signal u, wird richtig rekonstruiert,

die Bedingung des Abtasttheorems Das nach Gl.

erfüllt ist: f AT

da hier

öf > 2, =2B\-

(9) rekonstruierte Signal ug stimmt dagegen nicht

mehr mit dem ursprünglichen Signal überein, die Bedingung des Abtasttheorems

weil in diesem

nicht erfüllt ist: £ A”

Fall

8f < 14f u”

2B\r-

Für die Übertragungstechnik ist das Abtasttheorem von fundamentaler Bedeutung,

da es nach seiner Aussage genügt,

wenn von

einem bandbegrenzten Signal in äquidistanten Zeitabständen T A die Amplitude abgetastet und übertragen wird (Diskretisierung in der

Zeit). Der Empfänger kann aus den empfangenen Abtastwerten das Nachrichtensignal rekonstruieren,

indem er zu jedem Abtastwert

die zugehörige si(t)- Funktion herstellt und die Summe über alle empfangenen si(t)- Funktionen bildet.

1.2.3 Direkte Anwendung des Abtasttheorems zur analogen

Übertragung zeitdiskreter Abtastwerte Abweichend von dem Konzept des Blockschaltbildes

einmal diskutiert werden,

2b soll zunächst

welche Möglichkeiten das Abtasttheorem

für die Übertragungstechnik eröffnet hat.

Pulsamplitudenmodulation

(PAM)

Ein erstes naheliegendes Verfahren für die Übertragung der Abtastwerte besteht darin,

die Amplituden UnAM

einer Impulsfolge so

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung

groß zu machen wie die Amplituden der Abtastwerte u A

27

Bild 6b

zeigt ein auf diese Weise pulsamplitudenmoduliertes Signal Una? für das gilt:

11)

pam

ia uft) '

WM

Im

m

=

m

Ze

id NM |

®

|

|

|

'

|

|

a

1

|

7 =

44

urn] ©,

t

|

I|:

|

|

|

|

1

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

[li [I

|

l

l

|

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| |

|

f ——-

At ‘

urom

u

he-

'

|

|

Il

j 1 l

ks-

FE

|

fr]! 1

Ih 17

I! nn

5

|

t

|

%

Bild 6: Analoge Übertragungsverfahren der Abtastwerte, a) Abgetastetes Signal;

b) PAM-Signal; c) PPM-Signal; d) PDM-Signal

Nach der Übertragung hat der Empfänger die Aufgabe,

aus dem mo-

dulierten Puls das ursprüngliche Analogsignal wiederherzustellen

(Signalrückgewinnung).

Aus der Systemtheorie ist bekannt,

daß am

Ausgang eines Filters mit einer idealen Rechteck-Tiefpaß-Charakte-

28

1. Theorie der Pulscodemodulation ru,

ristik G(f) (auch Küpfmüller-Tiefpaß genannt) ein si(t)-Impuls erscheint,

wenn an den Eingang ein unendlich steiler,

6(t) (Diracstoß) angelegt wird. sammenhang.

kurzer Impuls

Bild 7 veranschaulicht diesen Zu-

Wenn der Tiefpaß die Bandbreite Br besitzt,

liegen

die Nulldurchgänge des si(t)-Impulses um die Zeitspanne

(12)

AT

1 2Br

a

auseinander,

Bild 7: Übertragungsverhalten des Rechtecktiefpasses

Wird die Impulsbreite der PAM-Impulse

Upam

daß sie durch einen Diracstoß annäherbar sind, te PAM-Signal UnAM (9) verlangt,

kann das modulier-

nach Bild 6b durch ein solches Rechteckfil-

ter demoduliert werden. das Gl.

°° klein gewählt,

Am Ausgang des Filters entsteht dann, wie

eine Folge von sich überlagernden si(t)-Funk-

tionen. Wählt man außerdem die Bandbreite B,, SO, spanne

AT gleich dem Abtastintervall T A wird,

daß die Zeit-

so gehen die sift)-

Funktionen genau in die Interpolationsfunktionen nach Gl.

Daraus folgt,

daß das Filterausgangssignal UN

(9) über. +)

- abgesehen von

einem konstanten Faktor - mit dem zu übertragenden Analogsignal

+) Die Amplituden der si(ft)-Funktionen am Ausgang des Filters sind allerdings stark gedämpft, da ein wesentlicher Energieanteil der steilen Impulse oberhalb der Grenzfrequenz B,, liegt

und somit keinen Beitrag zur Entstehung der si(t)- Funktionen liefert.

1.2 Abtastung und Bandbegrenzung UN übereinstimmt.

Es ist somit gelungen,

PAM-Folge das Nachrichtensignal ut) Dieses

29

empfangsseitig aus der

wiederherzustellen.

Ergebnis beinhaltet noch eine andere wichtige Aussage.

Be-

trachtet man das gefilterte Ausgangssignal zu den diskreten Abtast-

zeitpunkten t=vT,;

v=0,

+1, +2,

... ), so wird deutlich,

daß

die Signalamplitude dieser Zeitpunkte jeweils nur von der Maximal-

amplitude einer einzigen si(t)-Funktion bestimmt wird, ren sift)-Funktionen hier eine Nullstelle besitzen.

sache kann man den folgenden Satz ableiten,

da alle ande-

Aus dieser Tat-

der in der Literatur

als I. Nyquist-Kriterium bekannt ist:

Wird ein modulierter Puls der Folgefrequenz f „=! /T A über ein ideales Rechteck-Tiefpaßsystem der Bandbreite Br übertragen,

so sind die Impulsamplituden am Aus-

gang exakt wiederherstellbar,

wenn die Grenzfrequenz

Br des Tiefpasses der halben Folgefrequenz

des Pulses

entspricht (Br = a! 2). Dieser Satz ist von großer Wichtigkeit für die Übertragung von di-

gitalen Signalen.

Wir werden ihn demzufolge für die Behandlung

des Übertragungskanals (Kap. 1.7) benötigen.

Pulsphasenmodulation (PPM)

Ein zweites Verfahren für die Übertragung der Abtastwerte verändert die zeitliche Lage (Phase) eines Pulses,

wobei die Phasen-

abweichung proportional zur Größe der Abtastwerte

(Bild 6c). (13)

Ay=K

gemacht wird

30

I. Theorie der Pulscodemodulation

«uülkır

Pulsdauermodulation (PDM) Eine dritte Möglichkeit ist die Modulation der Impulsdauer,

Dabei

wird die Breite eines Pulses proportional zur Amplitude der Ab-

tastwerte verändert (siehe Bild 6d).

(14)

Mt=K

Im unmodulierten Zustand beträgt die Pulsdauer T Mu 2. Der Empfänger verwandelt

oder puls-

in der Regel die pulsphasen-

dauermodulierten Signale wieder zurück in eine pulsamplitudenmo-

aus der dann das ursprüngliche Nachrichtensignal

dulierte Form,

zurückgewonnen wird.

1.3 Quantisierung und Amplitudenbegrenzung Prinzipiell ist es nicht möglich,

exakt zu übertragen,

die Amplituden der Abtastwerte

da bei realen Übertragungskanälen immer

Störungen oder Verzerrungen auftreten und Veränderungen der Impulsamplituden, se verursachen.

ringern bzw.

der zeitlichen Lage oder der Dauer der ImpulMan kann jedoch den Einfluß der Störungen ver-

bestimmte Störkomponenten eliminieren,

die zeitdiskreten,

wenn man

aber in der Amplitude kontinuierlichen Abtast-

werte quantisiert und dann in geeigneter Weise überträgt.

Dabei werden alle Abtastwerte, intervalls

AU

liegen,

die innerhalb eines Amplituden-

einem einzigen Amplitudenwert zugeordnet,

so daß bei der Übertragung nur noch eine endliche Anzahl verschiedener Amplitudenwerte,

te,

auftreten.

die sogenannten

quantisierten Abtastwer-

Die Zuordnung zwischen den kontinuierlichen und

1.3 Quantisierung und Amplitudenbegrenzung

31

den quantisierten Abtastwerten muß eindeutig sein und so vorge-

nommen werden,

daß der entstehende Amplitudenfehler (Quanti-

sierungsfehler)durch geeignete Wahl der Quantisierungsintervalle möglichst Klein wird.

Die quantisierten Abtastwerte bilden, Sicht,

die Symbole

aus nachrichtentechnischer

eines endlichen Alphabetes,

steht man dabei die Menge aller Symbole, kannte Alphabete sind z.B.

Unter Alphabet ver-

die auftreten dürfen.

das lateinische Alphabet mit seinen 26

Symbolen (Buchstaben) oder das Morsealphabet, Symbolen

"kurz",

Be-

"lang" und "Pause" besteht.

eines solchen endlichen Nachrichtenalphabetes

das aus den drei Da die Übertragung eine klassische Auf-

gabe der Theorie der Informations- und Nachrichtenübertragung ist,

werden bei der folgenden Behandlung von PCM,

zipien betrifft,

was die Prin-

viele Parallelen zur Telegraphie auftreten.

Zunächst soll aber gezeigt werden,

welche Schritte und Maßnah-

men die Quantisierung der Abtastwerte erfordert.

1.3.1 Amplitudenbegrenzung In vielen Anwendungsfällen ist der Signalbereich exakt begrenzt,

etwa bei der Messung und Übertragung eines Füllstandes, Signalamplitude u,,

wo die

proportional zur Füllhöhe eines Behälters N

Da der Behälter im Extremfall nur leer oder voll sein kann, nie eine Signalamplitude Un auf,

de U,

(Zustand "leer") bzw.

(15)

oberhalb der Grenzamplitude U, (Zu-

des Signalbereichs wird hier durch die Beziehung

U=U

tritt

die unterhalb der Grenzamplitu-

stand "voll") liegt. Die Größe

ist.

32

l. Theorie der Pulscodemodulaltion

festgelegt.

In diesem

Fall kann der gegebene

Signalbereich unmit-

telbar als Quantisierungsbereich verwendet werden.

Es gibt aber auch Anwendungen,

bei denen der Signalbereich nicht

eindeutig durch Grenzamplituden markiert werden kann,

z.B.

bei

der Übertragung von Sprache oder Musik. Da für die Quantisierung jedoch ein abgegrenzter Amplitudenbereich benötigt wird (Quanti-

sierungsbereich),

müssen in diesen Fällen die Grenzamplituden U,

und U, nach anderen Gesichtspunkten festgelegt werden. meinen wählt man die Grenzamplituden so, tudenverlauf nur selten Werte auftreten, über-

bzw.

die Grenzamplitude

Tritt ein Abtastwert auf,

schreitet,

U

daß im zeitlichen Ampli-

die die Grenzamplitude

U

unterschreiten.

2

der den Quantisierungsbereich U, über-

so wird seine Amplitude auf U, bzw. U, begrenzt (Bild 8).

Durch diese Einengung des Signalamplitudenbereichs

tisierungsbereich U, entsteht ein systembedingter senannte

Im allge-

auf den Quan-

Fehler,

Amplitudenbegrenzungstfehler.

„|

Begrenzung

Bıld 8: Amplitudenbegrenzung eines Abtastsignals u A

——\-

der so-

1.3 Quantisierung und Amplitudenbegrenzung

33

not-

Eine Amplitudenbegrenzung ist nicht nur bei PCM

Anmerkung:

wendig,

ren,

sondern auch bei anderen Modulationsverfah-

bei denen z.B.

eine zu große Momentanamplitude

die Modulationseinrichtungen übersteuern kann.

1.3.2 Quantisierung Für die Quantisierung wird der Quantisierungsbereich U

in s glei-

che Amplitudenstufen (Intervalle) der Breite AU unterteilt:

16)

U s=—

AU

Im Beispiel von Bild 9 wurden 8 Stufen eingezeichnet und durchnumeriert,

außerdem

sind die Stufenmittelwerte strichpunktiert eingezeich-

net. Für die Übertragung der zeitdiskreten Abtastwerte wird nun bei PCM

im Gegensatz zu PAM

nicht die Abtastamplitude

sondern derjenige Stufenmittelwert,

tastwert liegt.

in dessen Intervall der exakte Ab-

So wird durch die Quantisierung erreicht,

tragungseinrichtungen nur noch die U, unterscheiden müssen.

s verschiedenen

daß die Über-

Stufenmittelwerte

Die Anzahl der Stufen (Intervalle)

die der Quantisierungsbereich eingeteilt wird, Symbolmenge,

selbst gesendet,

s,

in

bestimmt somit die

die das Nachrichtenalphabet umfaßt.

Anstelle des

exakten Abtastwertes u A wird der jeweilige Stufenmittelwert U; übertragen,

wodurch der schon erwähnte

systembedingte Quantisie-

rungsfehler entsteht.

1.3.3 Berechnung des Quantisierungsfehlers Zur Charakterisierung dieses Fehlers kann man die ursprüngli-

chen Abtastamplituden u A in quantisierte Amplituden ug und in

Störamplituden

Yg zerlegen (siehe Bild 9):

34

(17)

1. Theorie der Pulscodemodulation

u

Uug+

vg

Häufig wird die mittlere Leistung der Zeitfunktion vg® titativen Bestimmung

der Quantisierungsverzerrung

zur quan-

oder des Quan-

%

|

LtT

tisierungsgeräusches benutzt.

Ps

Bild 9: Quantisierung der Abtastwerte; a) Zeitlicher Verlauf eines Nachrichtensignals un, der dazugehörigen Abtastwerte u, und der quantisierten Abtastwerte ug;

ug

b) Vergrößerte Darstellung der Störamplituden guy

Die Störleistung,

wertes entsteht, möglichen

+)

die bei der Quantisierung eines einzelnen Abtast-

beträgt vo

Störamplituden vg

+) . Unter der Voraussetzung, im

Intervall

AU mit gleicher Häufig-

In der Übertragungstechnik ist es üblich,

Einheitswiderstand von 1 Ohm

daß alle

anzugeben.

die Leistungen am

1.3 Quantisierung und Amplitudenbegrenzung ee

ee

keit auftreten, men,

kann man die mittlere Geräuschleistung No bestim-

indem man über alle Störanteile des Intervalls integriert und

dann durch

die Intervallbreite

N.=

19)

No=75

Q

l

a8)

I

AU

[

AU dividiert:

G

+A

2 v2 dv Q

AU3

Q

" 1282

Liegen die Grenzamplituden U

und U, symmetrisch

punkt (gleichstromfreies Signal),

20)

U

nehmen

9 Usry 5; = in diesem

+5

1

AU,

Setzt man voraus,

so gilt:

une.

U) des quantisierten Signals

Fall die folgenden Werte an:

3 +5 AU,

+5

d

AU,

..... ‚457

so ist die mittlere Leistung

des quantisierten Signals durch Summation

(22)

AU

daß alle diese diskreten Amplituden mit glei-

cher Häufigkeit im Signal auftreten, vision durch

zum Null-

U

Die Stufenmittelwerte U, (U,

(21)

39

die Anzahl

der Summanden

aller Anteile und Di-

s bestimmbar:

8g- [215 au) + 2(SAU)" + (AU) +... + 2(5=A0)"] (s geradzahlig)

36

l

(23)

24)

Theorie der Pulscodemodulation

SQ = 3

2

[1° + 32 + 52 +. .Hs-1)°]

1.2

8%°75

Ss 8 -1

Un

%

2

Zur quantitativen Charakterisierung der Quantisierungsverzerrungen bildet man den Quotienten aus der Leistung °Q des quantisierten Signals und dem Quantisierungsgeräusch

(Verzerrungsleistung

No): (25)

Qa 2 —=-=s

Ng

-1

Dieser Quotient wird Geräuschabstand genannt und sagt aus,

um

welchen Faktor die Signalleistung die Geräuschleistung überwiegt. Bei den verschiedenen technischen Anwendungen kann dieses Ver-

hältnis in einem relativ großen Zahlenbereich liegen,

weshalb der

Geräuschabstand meist in einem logarithmischen Maßstab angegeben wird:

Q.

(26)

Q

S Q = 10 le -——dB

No

oder Q,

,

S Q = In ——

Die Kurve SYNg

Ng

Np

von Bild 10 zeigt den Quantisierungsgeräuschab-

stand als Funktion der Stufenzahl für ganzzahlige Werte von

s. Obwohl dieses Verhältnis nur

s definiert ist,

Verbindungslinie eingezeichnet,

wurde gestrichelt eine

um zu zeigen,

wie stark die Geräusch

1.3 Quantisierung und Amplitudenbegrenzung

37 non

leistung Ng (nach Gl.

(19)) mit wachsender Stufenzahl abfällt bzw.

das Verhältnis SYNg

ansteigt.

sammenhang

Die Kurve %

zeigt denselben Zu-

in einer logarithmischen Darstellung.

1So

0

1

No

/

413.0°

/

/

//

/

/

/

/

504

dB “04

/ /

12 0°

00

_.--

_

/

/

107

/

.

30 | /

so

‚“

/

40%/

|/

I;I!

4[

|

_7

10

oo

__4-/

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20

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„

Po.

Fu

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‚’

/

VE

u

7

_. =

T

T

—

'

50

——

ei

00

Y

’

T

r

150

r——

”-r”

200

Ss —ı

Bild 10: Quantisierungsgeräuschabstand als Funktion der Stufenzahl S

Eine Übertragung mit 30 - 60 Stufen (Störabstand 30 - 35 dB) lie-

fert eine durchschnittliche Übertragungsqualität, tisierungsgeräusch nicht mehr sehr störend, deutlich wahrnehmbar

ist.

bei der das Quan-

aber trotzdem noch

Bei Sprachübertragung liefert sogar eine

zweistufige Übertragung gerade noch verständliche

Ausgangssignale,

wenn auch die Quantisierungsgeräusche das Signal stark überdecken (Geräuschabstand 4, 75 dB).

bindung,

wie z.B.

Für eine hochwertige Nachrichtenver-

eine Musikübertragung,

benötigt man allerdings

38

1. Theorie der Pulscodemodulation ebay

N

eine wesentlich größere Stufenzahl von s = 300 - 2000,

was einem

Geräuschabstand von ca. 40 - 65 dB entspricht. Wird der zu übertragende Amplitudenbereich in Stufen gleicher Brei-

te

AU eingeteilt,

wie das hier angenommen wurde,

ten die quantisierten Amplituden,

mit gleicher Häufigkeit auf, einen maximalen

Tre-

so spricht man von "Linearer Quantisierung".

so liefert die lineare Quantisierung

Geräuschabstand.

1.4 Kompandierung (Kompression und Expansion) Im vorigen Abschnitt haben wir die lineare Quantisierung betrachtet,

bei der alle Quantisierungsstufen gleiche Breite besitzen.

allgemeinsten Fall sind jedoch alle

verschieden,

s Intervalle

wie dies Bild 11 veranschaulicht.

nichtlineare Stufung läßt sich z.B. rung und einen vorgeschalteten

Im

AU; voneinander

Eine derartige

durch eine lineare Quantisie-

(oder nachgeschalteten) nichtlinea-

ren Vierpol mit einer stetigen Kennlinie realisieren. Für die Übertragung von typischen Nachrichtensignalen muß diese nichtlineare

Kennlinie meist so geartet sein, werden.

daß große Amplituden verkleinert

Aus diesem Grunde werden der nichtlineare Vierpol Kom-

pressor und seine Kennlinie u, = f (u A) Kompressorkennlinie genannt (siehe Bild 12a). Eine verzerrungsfreie

jedoch voraus,

Übertragung eines Nachrichtensignals

setzt

daß die gesamte Übertragungscharakteristik im

Nutzfrequenzband linear ist, was bedeutet, Signalverzerrung des Kompressors

gängig gemacht werden muß.

daß die nichtlineare

im Empfänger wieder

rück-

Dies geschieht durch einen ebenfalls

39

1.4 Kompandierung (Kompression und Expansion) FEED

uummhi

—

Bild 11: Kompression der Abtastwerte

nichtlinearen Vierpol,

den Expander (siehe Bild 2b und Bild 13).

Werden das Quantisierungsgeräusch und die Störungen vernachlässigt,

so erhält man am Eingang des Expanders ein Signal,

das

mit dem kompandierten Signal übereinstimmt:

(27)

u,zu K

K

Mit dieser Näherung läßt sich die Expanderkennlinie un = e(u,,) als die inverse

(23)

u

Funktion der Kompressorkennlinie bestimmen:

lu

ug

Das gesamte Verfahren der nichtlinearen Vorverzerrung und empfangsseitigen Entzerrung wird Kompandierung

Welche Form die Kompressorkennlinie haben muß,

genannt.

hängt wesent-

lich von den Forderungen ab, die man an die Übertragung stellt.

j

40

1. Theorie der Pulscodemodulation

u

Kompressor

! r

w/;

|

|

rt

i

“ Wird z.B.

.rT

|,

|

un,

=

B

| Lrr

.&u

gefordert,

Bild 12a: Zerlegung der nichtlinearen Quantisierung in eine Kompression und eine lıneare Quantisierung

daß der absolute Fehler,

tisierung der einzelnen Abtastwerte auftritt, von + AU/2 nicht überschreiten darf,

der bei der Quan-

einen Maximalwert

so muß eine lineare Stufung

ohne Kompandierung gewählt werden (Stufenhöhe AU,

siehe Bild 9).

Demgegenüber wird bei der Übertragung:von Meßwerten die Kenn-

linie oft so ausgelegt,

daß der maximale

relative Fehler

e inner-

halb aller Quantisierungsintervalle etwa denselben Betrag hat.

1.4 Kompandierung (Kompression und Expansion)

Kurve

41

q,

Ux

#1

Kurve

b,

& 8

3. 4: 3.

1

$

-—

32

203

|

[2 2 2,

3

%2

Un

'

Unl2

4% 8 _2

8

4 A

4

-£

G

Bild 12b:

Beispiel für Kompressorkennlinien; Kurve a) u-Kennlinie (a = 80);

Kurve b) 13-Segmentkennlinie

Kompressor

Bild 13: Kompandierung

Storung

Mit den Bezeichnungen von Bild 11 kann man unter der Annahme, daß die quantisierten Amplituden U; in der Mitte der Quantisie-

rungsintervalle schreiben:

AU, liegen,

für den größten relativen Fehler

42

I. Theorie der Pulscodemodulation

(29)

E=

Soll !el

werden,

AU, / 2

U

durch eine nichtlineare Quantisierung konstant gehalten

telwert verändert

(30)

AU, proportional zum Stufenmit-

so muß die Stufenhöhe werden:

...,

i=1,

AU, =2e U,

s ganzzahlig

Für die Größe der quantisierten Amplitude U, eilt dann:

(31)

Ersetzt man

(30),

(32)

„+

U, = U.

AU, und

in dieser Beziehung

durch die Gl.

so erhält man: 1 +e

1-e

U

vı

Hat die erste Stufe (i = 1) die Größe U, te Amplitude

(32) berechnet werden:

) (4t uw1-e i

Zusammen

so kann die quantisier-

U; einer beliebigen Stufe i durch mehrmalige An-

wendung der Gl.

3)

AU._,

i-1

mit der Gl.

„u

1

(30) findet man somit für die Größe des

i-ten Quantisierungsintervalls:

(34)

_

l+e

AU, =2Ee(7-)

Für U,=-1V und

i-1

e=-OQ,1ist

.- U

1

AU, =0,2 V und

AU,

= 0, 032 V,

1.4 Kompandierung (Kompression und Expansion) iii

43

ki‘

u

während die quantisierte Amplitude für i = 10 den Wert U0° hat. Daraus

ist ersichtlich,

kleiner wird,

(Siehe Gl.

daß die Intervallgröße

AU, sehr schnell

wenn sich der Betrag von U, dem Wert Null nähert.

(33) und (34)). Dies bedeutet,

lel= const.

-0,16 V

daß die Forderung

durch eine unterschiedliche Intervallbreite nur nähe-

rungsweise

realisiert werden kann; für sehr kleine Amplituden ist

sie prinzipiell nicht erfüllbar. Im folgenden soll untersucht werden,

gehalten werden kann,

ob der relative Fehler konstant

wenn man vor einen linear gestuften Quantisie-

rer einen Kompressor schaltet (Bild 12a). Die Eingangsstufenhöhe

AU, soll hierbei durch die Kompressorkenn-

linie gerade so groß gewählt stufenhöhe

AU

e= const.

klein gegenüber U,

(35)

werden,

du

u

du,

du,

gilt.

Sind die Stufenhöhen

AU, und

Ar

so ist näherungsweise:

AU AU

Ersetzt man in dieser Gleichung U. durch u a,

daß bei konstanter Ausgangs-

AU,

durch die Beziehung (30) und

SO erhält man nach einer Integration für die Kompres-

sorkennlinie:

(36)

AU

„= f{u,)= I .

du,

K

A

oder

(37)

u, =

AU

2E

-Inlu,|

+ const.

Wie man leicht erkennen kann,

ist auch diese Kennlinie,

wie die Quantisierung nach Gl.

(34), bei U.= O nicht realisierbar.

Aus diesem

Grunde

ähnlich

wird sie im Bereich kleiner Amplituden durch

44

1. Theorie der Pulscodemodulation

eine Gerade

Für die vollständige Kompressorkennlinie

ergänzt.

(„-Kennlinie oder Ideale Kennlinie) kann man dann nach einer Normierung auf den Quantisierungsbereich

U, schreiben:

YA “x”

u,)=-

1+lny

7

für

"4 U/2

1

(38) UA

H- U/2

ug = fu, ) = In

U

5

ul

fürosı ae

Bild 12b zeigt diese Kennlinie zusammen

Segmentkennlinie,

;

mit der sogenannten

13-

die sich aus mehreren Geradenstücken zusam-

mensetzt und die bei den PCM-Systemen

der europäischen

Fern-

sprechnetze eingesetzt wird. Bisher wurde der Fehler der einzelnen Abtastwerte

oder Momen-

tanwerte abhängig von der Kompressorkennlinie betrachtet. len Fällen ist es jedoch sinnvoller, so gewählt wird,

wird.

wenn die Kompressorkennlinie

daß der zeitliche mittlere Fehler ein Minimum

So wäre es z.B.

so zu wählen,

In vie-

nicht sinnvoll,

eine Kompressorkennlinie

daß der relative Fehler ungefähr konstant bleibt

(was eine große Zahl von Stufen im Bereich kleiner Amplituden

verlangen würde),

wenn das zu übertragende Signal vorwiegend

große Amplituden enthielte.

Ein besseres Optimierungskriterium

für die Bestimmung der Kompressorkennlinie

ist daher das Ver-

hältnis von mittlerer Signalleistung zu mittlerer Quanlisierungs-

leistung.

Unterliegt die Amplitude

chen Schwankungen,

eines Nachrichtensignals

großen zeitli-

so fällt bei einer linearen Stufung,

bei der

45

14 Kompandierung (Kompression und Expansion)

die Quantisierungsleistung Ng von der Amplitude ist,

(19)) konstant und unabhängig

(Gl.

im Bereich kleiner Amplituden und damit

kleiner Signalleistung der Störabstand Qo

stark ab.

Vergrößert

man jedoch die kleinen und verkleinert man die großen Amplituden durch eine geeignete Kompressorkennlinie, in dem der Störabstand ag

lere Bereich,

nahezu unabhängig ist,

so wird der miitt-

von der Signalleistung

erweitert (siehe Bild 14). Dies wird vor

allem bei der Übertragung von Sprachsignalen angestrebt, verhindern,

um zu

daß zwischen sogenannten "Laut"- und "Leise"-Spre-

chern ein wesentlicher Qualitätsunterschied auftritt.

Bild 14 zeigt

den Quantisierungsgeräuschabstand als Funktion der Signalleistung

für eine linear und eine nichtlinear quantisierte (kompandierte) Übertragung mit übereinstimmender

zu entnehmen,

daß bei Kompandierung der Störabstand bei kleinen

Signalamplituden amplitude die

gerenze), lers

siehe

rung,

wesentlich verbessert

Grenze

des

amplituden

ab

(dasselbe

gestrichelte

fällt

er

aber

wird.

Erreicht die Signal-

Quantisierungsbereichs gilt

Kurve

des

infolge

so fällt der Störabstand

schnell

Den Kurven ist

Stufenzahl.

auch

von

ebenfalls

für

die

Bild

ab,

Begrenzungsfeh-

lineare

Bei

14).

weil

(Aussteuerungs-

hier,

Quantisie-

kleinen

Signal-

verglichen

Bild 14: Quantisierungsgerauschabstand bei linearer und nichtlinearer Quantisierung 5

00: 0-19 N dB 0

nıchtiineare _— Quanlısierung Iıneare

Quantisierung

Begrenzung Go mın 4

46

1. Theorie der Pulscodemodulation

uubliuter

mit

der

stufen

Signalamplitude,

noch

groß sind.

deststörabstand Qu,

min

auch

Verlangt

die verkleinerten

man

einen

Quantisierungs-

bestimmten

als untere Qualitätsgrenze,

man dasjenige Verhältnis der Aussteueramplituden,

dingung gerade noch erfüllt,

Min-

so bezeichnet das diese Be-

als Dynamik (siehe Bild 14). Durch ge-

eignete Kompandierung wird also erreicht,

daß z.B. bei einer

Sprachübertragung die Silbenverständlichkeit und die Natürlichkeit

der Sprache auch bei schwankender Signalleistung noch gut sind. Bei gleicher Qualität (Quantisierungsgeräuschabstand) entsprechen

bei einer Sprachübertragung etwa 128 kompandierte Amplitudenstu-

fen einer linearen Übertragung mit s = 1000 Stufen, so daß man auch sagen kann,

durch die Kompandierung kann die Stufenzahl und

somit der technische Aufwand verringert werden. Die hier behandelten Kompandierungen gehören in die Gruppe Momentanwert-Kompandierungen.

Die Kompressor-

bzw.

der

Expan-

derausgangsspannung ist dabei nur von der momentan anliegenden Eingangsspannung abhängig.

Die Momentanwertkompander

arbei-

ten im Gegensatz zu den Silbenkompandern praktisch trägheitslos.

1.5 Codierung Mit Hilfe der Quantisierung ist es gelungen,

die analogen Abtast-

werte in ein endliches Alphabet von Nachrichtensymbolen,

quantisierten Abtastwerten,

umzuwandeln.

sollen nun Sendesignale gefunden werden, Nachrichtensymbole

In diesem Abschnitt denen verschiedene

eindeutig zugeordnet werden können.

(1. Codierung) zeigt einen ersten Versuch,

d.h.

Bild 15

für ein Alphabet von

47

1.5 Codierung

die alle voneinander abwei-

acht Symbolen Sendesignale zu finden,

so daß der Empfänger in der Lage ist,

chende Merkmale aufweisen, sie zu unterscheiden.

Da jedem Sendesignal nur ein einziger quan-

tisierter Abtastwert zugeordnet ist und außerdem vorausgesetzt wird,

daß der Empfänger diese

der Lage,

Zuordnung kennt,

aus der Folge der ankommenden

tisierten Abtastwerte

Stufen

\ Nr

|

=)

6

= |--1--1--|--[wF-tAt

| 5

F-]==]|==]2=== 1=%

3

--

2

=[=1;

=>

Sinai

_

7

L

Sendesignale die quan-

zu rekonstruieren.

Zeitverlauf uylt)

nn

l Codierung |

72125,

ti 24)>

----)-

-1_ 171

111

Au |

101

[fl

100

I

2a |

|

/\

NN

N

Il

001

I

te

000

|

Gesamtes Sendesignal I Codierung

Folge

””"3 coded de

deten

Cod

bol

Gesomles Sendesignal 2 Codierung

Bild 15: Beispiele für die Codierung quantisierter Signale

Aus diesem Beispiel ist zu ersehen, auf ein endliches Nachrichtenalphabet baren Zusammenhang lösen,

daß es durch den Übergang gelungen ist,

den unmittel-

zwischen Nachrichten- und Sendesignal zu

wobei jedes Nachrichtensymbol

durch ein frei wählbares

Sendesignal ersetzbar ist. Das Nachrichtensignal u,,

damit nur noch die Reihenfolge,

|

7]

|Folge der gesendeten Stufennummern

it»

Ö

DL

010

|

4

010 \orr\1o0l100|100| 110 |rrr|smoloorlooo|

|

091

| O

I]

me

-XH—)

2131j14|4),4|6|7|6 | 1 |

2

Sana r Codierung

|

0-1 -1--1--1-- 11/8

NIT

g

315515315358]

U-1I--1------1-

u!

|Codeworte | 2 Codierun |

777 |

\--|--|- -1-- |-- |- -|- - 4-1 -| Al

‚

ist er auch in

bestimmt

N in der die Sendesignale übertra-

48

Il. Theorie der Pulscodemodulation

gen werden.

Diese können also so gewählt werden,

daß sie opti-

mal an den Übertragungskanal angepaßt sind, was eine gute Frequenzbandausnützung bei großer Störsicherheit bedeutet,

Diese

Anpassungsmöglichkeit ist einer der wesentlichen Vorteile der Pulscodemodulation.

Für eine technische Realisierung sind die Sendesignale unseres

Beispiels

(Bild 15,

1. Codierung) allerdings ungünstig,

gleichzeitig in Amplitude,

da sie sich

Frequenz und Phase unterscheiden,

so

daß nur ein sehr komplizierter Empfänger diese Signale erkennen

(detektieren) und auswerten kann. Aus diesem Grunde befolgt man bei der Dimensionierung solcher Nachrichtensysteme

meist die

folgenden Richtlinien: 1. Die zeitliche Ausdehnung der Sendesignale muß für alle Symbole gleich groß sein und darf den Abstand T A

zweier Abtastwer-

te nicht überschreiten.

2. Die Sendesignale sind so auszuwählen,

Übertragungskanal angepaßt,

daß sie,optimal an den

gut unterscheidbar und damit

möglichst unempfindlich gegen Störungen sind. 3. Damit eine einfache Auswertung der Sendesignale im Empfän-

ser möglich ist,

dürfen die signifikanten Unterschiede für alle

Symbole nur in einem Parameter

tude,

Frequenz

Besonders

enthalten sein,

der Ampli-

oder Phase.

einfach wird die Realisierung,

aus einer Anzahl von

mengesetzt werden.

z.B.

n Codesymbolen

Sollen z.B.

wenn die Sendesignale

oder Codeelementen

zusam-

s = 100 Nachrichtensymbole

Quantisierungsstufen übertragen werden,

so kommt

oder

man im Dezi-

malsystem (Basis b = 10) mit 10 verschiedenen Codesymbolen aus, von denen je zwei zu einem Codewort zusammengefaßt werden.

1.5 Codierung

49 >

Bezeichnet man die zehn Codesymbole mit den Ziffern O0...

9, so

entsprechen alle aus zwei Codesymbolen bestehenden Kombinatio-

nen den Zahlen 00 bis 99 (00, 01,

02, 03,

...,

09,

10,

11,

...,

98, 99). Auf diese Weise gelingt es, das Problem der Auswahl von übertragungstechnisch günstigen Sendesignalen in zwei Teilaufgaben zu zerlegen,

wobei die erste Aufgabe den Zusammenhang

dem Alphabet der Codeelemente

wird.

s Nachrichtensymbole und dem Alphabet der

die die beiden Alphabete miteinan-

nennt man Code; eine Folge von

zeichnet man als Codewort. designale umzusetzen,

die Codesymbole

die für die Übertragung besonders

in Sen-

geeignet

Diese Aufgabe wird im nächsten Abschnitt behandelt.

Allgemein kann man mit

39)

n Codesymbolen be-

Die zweite Teilaufgabe wird allgemein

Signalumsetzung genannt und besteht darin, sind.

b

oder Codesymbolie herstellt und Codierung genannt

Die Zuordnungsvorschrift,

der verknüpft,

zwischen

b Codesymbolen

s=b"

Quantisierungsstufen oder Nachrichtensymbole

bestehen die Codeworte aus je n Codesymbolen. le und eine Codewortlänge von

umcodieren.

Dabei

Für 10 Codesymbo-

n = 2 erhalten wir als maximal

dierbare Anzahl von Nachrichtensymbolen bzw.

co-

Quantisierungsstu-

fen:

s = 10° = 100 Für viele technische

len,

Probleme

ist aber die Zahl von 10 Codesymbo-

die im letzten Beispiel benutzt wurden,

Störsicherheit der Übertragung,

bereits zu groß,

da die

wie wir später noch sehen werden,

mit wachsender Anzahl von Codesymbolen abfällt.

50

1. Theorie der Pulscodemodulation

Bei den heutigen PCM-Systemen wird deshalb meist eine binäre Codierung angewandt,

d.h.

das Code-Alphabet dieser Systeme besteht

die mit '"'0" (Null) und "1" (Eins) (gelegentlich auch mit "0" und "L'") bezeichnet werden. Für die zeichneaus b = 2 Codesymbolen,

rische Darstellung der beiden Symbole wollen wir annehmen,

daß

dem Symbol "0" eine Amplitude von Null Volt und dem Symbol "1" eine Amplitude von +A,

entspricht,

Für das Beispiel nach Bild 15

Nachrichtensymbo-

(2. Codierung) mit 8 Quantisierungsstufen bzw.

len (s = 8) benötigen wir bei einer binären Codierung Codeworte der Länge n = 3 (2°

= 8),

so daß die folgenden acht Codeworte ent-

stehen:

000,

001,

010,

Oil,

100,

101,

110,

111.

Die Zuordnung zwischen den Codeworten und den quantisierten Ab-

tastwerten ist prinzipiell willkürlich.

Allerdings kann der Einfluß

der Übertragungsstörungen von der Wahl dieser Zuordnung abhängig sein.

Für die folgenden Überlegungen wollen wir annehmen,

daß dem

niedrigsten Stufenmittelwert das Codewort 000 zugeordnet wird und daß den weiteren Stufen die Codeworte

in der Reihenfolge ihres

steigenden Wertes zugeordnet werden (Dualcode).

Unter dem Wert

eines Codewortes verstehen wir dabei denjenigen Zahlenwert, sich ergibt,

der

wenn wir das Codewort als eine Zahl mit der Basis

b = 2 interpretieren.

Für die binäre und die dazugehörige äqui-

valente dezimale Darstellung der Codeworte gilt z.B.:

10121. 220.211. 20-5 Man kann das Nachrichtensignal von Bild 15 (2. Codierung) bei etwa gleichen Quantisierungsverzerrungen

auch

mit einem

ternä-

1.5 Codierung

Hl

der

ren Code (b = 3) codieren.

In diesem Fall sind für 9 Stufen nur

Codeworte der Längen=2(9

der Nachrichtensymbole

= 3°) notwendig.

Diese Codierung

mit den Stufennummern O....

8 zeigt

die nachfolgende Tabelle 1: Tabelle

1: Beispiel für eine ternäre Codierung der quantisier-

ten Abtastwerte Wert

Sstufennummer

0.310. 3° 0.3l+1.3° 0.31 ,2. 30 1.31,0. 3° 0 1 1.3141.3 1.31.92. 30 2.31,0. 3° 9.3l,ı. 3 0 1 9.3112.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Codewort

00 01 02 10 11 12 20 91 92

Wie wir bei der Erörterung der Quantisierung festgestellt haben, benötigt man für die Übertragung von Sprache 100 oder mehr Amplitudenstufen,

in guter Qualität

Dementsprechend benötigt man

bei Verwendung eines binären Codes (b = 2) mindestens 7 Codesymbole pro Codewort,

mit deren Hilfe 128 Quantisierungsstufen

codiert werden können.

Wird ein ternärer Code verwendet,

nen mit 5 Codeelementen

werden (b=3,

n=5,

maximal

s = 243),

so kön-

243 Quantisierungsstufen codiert

52

1. Theorie der Pulscodemodulation

1.6 Signalumsetzung (Modulation) Die Signale, die am Ausgang des Codierers auftreten und die einzelnen Codeelemente

repräsentieren,

direkte Übertragung nicht geeignet,

sind in der Regel für eine

so daß meist eine Signalum-

setzung notwendig ist. Die Aufgabe dieser Signalumsetzung ist es, die Signale des Codierers so umzuwandeln,

daß sie in Form und

Frequenzbereich gut an den Übertragungskanal angepaßt sind. In den Beispielen a bis e von Bild 16 ist die charakteristische

Größe für die Symbole amplitude,

"0" und "1" je eine bestimmte Sendesignal-

weshalb diese Signalumsetzung Amplitudenumtastung

genannt wird,

In technischen Systemen unterscheidet man zwei

Varianten der Amplitudenumtastung, re Umtastung. Amplitude

net,

A

+2

die bipolare und die unipola-

Bei der bipolaren wird dem Codesymbol

"1" die

und dem Symbol

zugeord-

"0" die Amplitude

As

- 2

d.h. die Amplitude des Sendesignals wird symmetrisch zur

Nullinie getastet,

was zur Folge hat,

daß das Sendesignal

gleichstromfrei ist, wenn man voraussetzt,

Uc

daß die Codesymbo-

le "1" und "0" mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Bild 16a zeigt eine Folge von bipolaren und Bild 16b von unipolaren Codesymbolen, + A

und dem

bei der dem

Symbol

Codesymbol

"1" die Amplitude

"0" die Amplitude 0 zugeordnet wird; dieses

S Signal enthält prinzipiell einen Gleichstromanteil.

Geht die Amplitude während der Symboldauer

Grundwert

"0" zurück,

Tg nicht auf den

so spricht man von einem

Zero"-Signal (NRZ-Signal,

siehe Bild 16a und b).

"Non Return to

93

1.6 Signalumsetzung (Modulation) Folge der gesendeten Codesymbole

0

;

2

ut

AMPLITUDENUMTASTUNG

|

a) bipolares Sıgnal

A

'

{no Return to Zero NRZ}

A

| —_

As

b) unpolares Sıgnal {NRZ}

nt

! WEGE

As r—

c} Return to Zero

- Sıgnatl {RZ}

J

L

7 dj} bipolares Sıqnal mil

Cosınus - Quadrat Form INRZ)

|

_

? ‘5 e} amplıtudenmodufiertes

7

Sıgnal

/

]

44

|

-$)

—t

|

t ]

\

+7A

f

N

n u

fl} FREQUENZUMTASTUNG

a A

7

IV

n

N

nf

—t

9} PHASENUMTASTUNG

A. A

Rh} DIFFERENTIELLE PHASENUMTASTUNG

7

v a

J

Va

\f

N

Bun

7 Bild 16: Möglichkeiten der Signalumsetzung von Codesymbolen

W

ın Sendesignale

J

54

I. Theorie der Pulscodemodulation

Fällt die Amplitude während der Dauer T S auf den Grundwert 0

zurück,

so spricht man von einem "Return to Zero"-Signal (RZ-

Signal, siehe Bild 16c).

Die Impulsbreite dieses Sendesignals

ist kleiner als diejenige der

NRZ-Signale,

außerdem ist die Anzahl der Amplitudenübergänge

von O nach A,

und von A, nach 0 größer,

nalbandbreite

S

so daß die benötigte Ka-

nahezu doppelt so groß ist wie bei NRZ-Signalen.

Dieser Nachteil der RZ-Signale

wird bei manchen Anwendungen

durch die leichtere technische Realisierbarkeit dieses Verfahrens wieder ausgeglichen. Der Rechteckimpuls

ist nicht die einzige Impulsform,

Übertragung von digitalen Signalen in Frage kommt.

die für die

Häufig wer-

den auch die folgenden Impulsformen verwendet (Bild 17):

u(t) = Ac' cos(21-) S

(40)

a) Cosinus-Impuls

(41)

) (21 cos“ Ay. = uft) s pul -Im rat uad s-Q inu b) Cos S t .2

(42)

u(t) = Ag e

c) Gauß-Impuls

nm)

S

Bild 16d zeigt eine Folge von bipolaren Codesymbolen, Signalform ein Cosinus-Quadrat-Impuls un!

Ac

un!

I —e

a} Cosınus - Impuls

Bild 17: Impulsformen

—el

«——

b}

gewählt wurde.

As

T

wobei als

un}

“

—

Cosınus-Quadrat - Impuls

As

T

-——--—

c}

Gauß - Impuls

|

—!

1.6 Signalumsetzung (Modulation)

59

Die Amplitudenumtastung ist eine einfache und oft angewandte

Übertragungsart bei PCM.

Da bei dieser Übertragungsart keine

weitere Modulation stattfindet,

bezeichnet man sie als Basisband-

übertragung der PCM-Signale.

Moduliert man die Signale von Bild 16a - d, so wird das PCMBasisband je nach Wahl des Trägers umgesetzt. tes Signal,

in eine andere Frequenzlage

Bild 16e zeigt ein Beispiel für ein amplitudenmodulierbei dem der Träger mit einem unipolaren NRZ-Signal

100 %ig moduliert wurde, Eine zweite Art der Signalumsetzung ist die Frequenzumtastung,

bei der dem Codesymbol

"0" eine Frequenz f,

(Kennfrequenz des

1. Trägers) und dem Symbol "1" eine Frequenz fo (Kennfrequenz

des 2. Trägers) zugeordnet wird.

Bild 16f zeigt einen Ausschnitt

aus einer frequenzumgetasteten Symbolfolge.

Aus den Kennfrequenzen f, und der Frequenzhub

und fo können die Mittenfrequenz fy

Af des frequenzmodulierten Signals bestimmt

werden: f_

44)

1

+f

2

At=Ilt,-t,) 22

1

Da sich durch das Einschwingen des Signals von der einen Frequenz auf die andere das Spektrum verbreitert, die praktisch benötigte Kanalbanddbreite: (45)

B*

1 2 (Af + T,

gilt näherungsweise für

56

1. Theorie der Pulscodemodulation

Bild 16g zeigt eine weitere Signalart,

die Phasenumtastung,

bei

der eine "0" der Trägerphase 0° und eine "1" der Trägerphase

180° entspricht. Phasenlage

Durch die Einschwingvorgänge,

zur anderen überleiten,

die von einer

verbreitert sich auch hier

das Spektrum des phasenmodulierten Signals.

Bei Phasenumtastung werden die Symbole nur dann richtig erkannt, wenn dem Empfänger die Anfangsphase der Trägerfrequenz des Sen-

ders bekannt ist (Referenzsignal). ger-Referenzfrequenz

um

des Senders verschoben,

Ist z.B.

die Phase der Empfän-

180° gegen die Phase der Trägerfrequenz

so wird die inverse Information empfangen

("O" und "1" werden vertauscht).

Diese Schwierigkeit wird durch die

Anwendung der Differenzphasenumtastung umgangen. dulationsart dient nicht die Phasenlage des Trägers

für die Demodulation der gesendeten Information,

Bei dieser Moals Kriterium

sondern die Pha-

senänderung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Symbolen. kann man folgende

werden,

Zuordnung wählen:

soll eine binäre

so ändert man die Phasenlage

Dabei

"0" gesendet

gegenüber dem vorhergehen-

den Zeichen um 180°, bei einer binären "1" wird die Phase beibehalten (siehe Bild 16h).

Eine "0"-Folge wird dann abwechselnd durch

die Phasenlagen 0 und 180° dargestellt.

1.7

Übertragungskanal

1.7.1 Signalregeneration und Regenerativverstärker

Das Signal u,, am Ausgang des Übertragungsmediums, Kabels,

diums

z.B. eines

wird durch den Frequenzgang Gy f ) des Übertragungsme-

in der Amplitude und Phase verzerrt (siehe Bilder 18,

19 und

97

1.7 Übertragungskanal Über fragungsmedium mu

m

mn —n

Regener atiwverstarker

ı

|

TITTEN ı

|

|

us

|

Empfangsfilter nn

=

mm

'

TTTTTT

|

I

1

6, {ft} impuisformer

l

|

ILL

|

|

I

Storung

L______

t

!

|

I

Amplıtuden|

Zeil Regenerolor

Regeneralor

|

|

|

Toklaus sıebu

)

I

J

I

ie

|

U-__-----1112--__11_L____-_-_

_J

Bild 18: Ausschnitt aus dem Übertragungskanal: Übertragungsmedium und Regenerativverstärker ut)?

J

Il

a)

ah

5

b)

|

_

u

_

_

c)

d)

e) rIS

| %

|

| |

|

Bild 19: Signalverläufe im Regenerativverstärker

I——.

—

l. Theorie der Pulscodemodulation

58

20). Außerdem enthält dieses Signal eine Störspannung Vıp

die in

den Kanal eingedrungen ist und sich dem Nutzsignal überlagert.

Zur

Wiederherstellung oder Regeneration des gesendeten Signals wird

u,.

einem Regenerativverstärker

M einem Entzerrer,

einem

sen zur Amplituden-

zugeleitet.

Dieser besteht aus

Filter zur Impulsformung und Einrichtun-

und Zeitregenerierung.

Der Enitzerrer hat die

Aufgabe,

die Dämpfungs- und Phasenverzerrungen des Übertragungs-

mediums

auszugleichen.

Im Idealfall gilt:

Gy) - Gulf) = const.,

(46) d.h.

der Frequenzgang des Entzerrers verläuft invers zum Frequenz-

gang des Übertragungsmediums.

Ist)ı|

[6 (f)} |

Bild 20:

Übertragungsfunktionen des Kanals und des Empfangsfilters

< - - -I6yl I6el

IG, {Hl

—

-

1.7 Übertragungskanal

Ist diese Forderung erfüllt,

so bedeutet das,

nur noch durch die Störungen unterscheiden,

daß sich U,

und Uc

Im folgenden Filter

G(f) wird dann die gewünschte Impulsform (z.B.

u,(t) erzeugt,

99

cos“-Impuls)

und es werden die höherfrequenten (u.U. auch nie-

derfrequenten) Störanteile unterdrückt,

die außerhalb des Frequenz-

bereichs des Nutzsignals liegen. Für die gesamte Übertragungsfunktion von Kanal und Empfangsfilter eines Übertragungssystems gilt:

47)

GM =G

Hat GE)

EM: GH)» Gi)

Tiefpaßcharakter,

so gilt für die Bandbreite des Über-

tragungssystems:

(48)

B

>=

Nach dieser Bandbreitendefinition bezeichnet man Bı als die äquivalente Rauschbandbreite

Sie ist

des Übertragungssystems.

identisch mit der Bandbreite eines idealen Rechtecktiefpasses,

an

dessen Ausgang dieselbe Rauschleistung auftreten würde wie beim realen Filter,

wenn am Eingang eine Rauschquelle

mit weißem

Spektrum liegt.

Wenn die Übertragung nur geringen Störeinflüssen unterliegt, kann man die Bandbreite Be. groß wählen, sang des Impulsformers

so daß die Signalform am Aus-

der Sendesignalform

sehr ähnlich wird.

Bei stärkeren Störungen ist dies jedoch nicht sinnvoll, Störeinfluß mit steigender Bandbreite zunimmt.

versucht man, ren,

um damit

weil der

In diesem

Fall

die Bandbreite Bo, 59 weit wie möglich zu reduzieauch die Störleistung N, am Ausgang des Impuls-

60

1. Theorie der Pulscodemodulation

zu verringern.

formers

wählt,

Wird die Bandbreite aber zu niedrig ge-

so können Einzelsymbole des Signals ul nicht voll ein-

schwingen (siehe Bild 19). Im Amplitudenregenerator wird u, mit verglichen,

einer festen Schwellenspannung Usn

die oberhalb von Un

Amplituden,

eine logische

liegen,

allen Amplituden unterhalb eine logische

wobei allen

"1" und

"0" zugeordnet wird

(siehe Bild 19c und d). Werden die Amplituden infolge der zu geringen Bandbreite verkleinert,

so reichen Störamplituden entspre-

chend geringerer Größe aus, um einen Übertragungsfehler zu verursachen, große

Zwischen den Extremfällen,

Bandbreite und geringe

Störleistung bei zu kleinen Amplitu-

den von ur durch zu kleine Bandbreite, breite,

zuviel Störungen durch zu gibt es eine optimale Band-

bei der der Einfluß der Störungen am geringsten ist und im

Ausgangssignal des Amplitudenregenerators von falschen Symbolen auftritt.

Unter diesem

es nicht nur eine optimale Bandbreite, Impulsform,

die geringste Anzahl Gesichtspunkt

gibt

sondern auch eine optimale

bei der der Einfluß der Störungen gegenüber anderen

Impulsformen bei gleicher Bandbreite am geringsten ist. Eine anschauliche Darstellung dieses

"Augenmuster" empfangenen

schoben,

Impulse ist.

das man erhält,

einer langen Symbolfolge,

übereinander zeichnet,

graphen möglich

ster",

("eye-pattern"),

Sachverhaltes

wie das z.B.

liefert das

wenn man die jeweils um T, ver-

mit einem Oszillo-

Bild 21 zeigt drei verschiedene

"Augenmu-

die sich in der Bandbreite und Impulsform unterscheiden.

Es ist zu erkennen,

daß die vertikale Augenöffnung U

außer

Aug e von der Bandbreite auch noch von der gewählten Impulsform hängig ist.

Bei geeigneter Impulsform und relativ kleiner Band-

breite kann man noch eine recht große Augenöffnung U

chen,

wenn man in Kauf nimmt,

nung t Auge

ab-

verkleinert,

Auge

errei-

daß sich die horizontale Augenöff-

Dies bringt jedoch den Nachteil mit sich,

61

1 7 Übertragungskanal iur

daß

geringe

zeitliche

Verschiebungen

des Abtasttaktes

durch

Stö-

rungen (Jitter genannt) zu einer bedeutend größeren Fehlerrate führen,

Bild 21: Augenmuster (,‚eye-pattern‘‘) bei verschiedenen Bandbreiten; a) kleine Bandbreite; b) große Bandbreite; c) veränderte Impulsform

62

l. Theorie der Pulscodemodulation

Die Taktaussiebung hat die Aufgabe, des Impulsformers

aus dem

ein Taktsignal U,

Signal am Ausgang

ZU erzeugen,

dessen Vor-

derflanke genau mit den Impulsmitten des Signals U, überein-

stimmt.

Im Prinzip kann dies mit einem Schmalbandpaßfilter ge-

schehen,

dessen Mittenfrequenz

möglichst genau auf die Folge-

frequenz der Symbole u, am Ausgang des Impulsformers stimmt

ist.

Im allgemeinen wird dies aber umso

abge-

schwieriger,

je

größer die zeitliche Schwankung des Signals u,(t) bei der Schwellenspannung ist,

so daß bei einer Impulsformung mit einem Augen-

muster nach Bild 21c aufgrund der größeren Empfindlichkeit gegen Taktschwankungen auch noch die Schwierigkeiten bei der Erzeugung eines genauen Taktes hinzukommen.

Daraus

geht hervor,

daß bei

der praktischen Realisierung eines Regenerativverstärkers

Impulsform und die Bandbreite B_,

die

so gewählt werden müssen,

G bei mittlerer Störleistung und mittlerer Augenöffinung U Auge zeitliche Öffnung des Auges t Auge

daß

die

nicht zu klein wird und somit der

technische Aufwand für die Taktaussiebung in Grenzen gehalten werden kann.

Im Zeitregenerator soll das Ausgangssignal u,

2

des Ampli:

tudenregenerators,

dessen Impulse in der Breite zeitlich schwanken,

so geformt werden,

daß alle Symbole wieder die Solldauer T

haben.

Dazu wird das Signal ut)

Impuls auslöst,

wobei jede "1" einen

dessen Dauer mit Hilfe des Taktsignals Ur auf den

Sollwert To gebracht wird.

Da die Sendeimpulse etwa in der Sym-

bolmitte des jeweiligen Impulses

nen,

abgetastet,

s“ Is

am Amplitudenregenerator begin-

ist das Sendesignal gegenüber u,(t) um T/ 2 verzögert.

Genauigkeit der zeitlichen Lage des Ausgangssignals

sentlich von der Genauigkeit des Taktsignales Um

Die

ist also we-

abhängig.

63

1.7 Übertragungskanal

1.7.2 Störungen und Störabstand Bei jeder Nachrichtenübertragung treten Störungen auf, der im System selbst entstehen,

die entwe-

wie das thermische Rauschen,

die von außen in den Kanal eindringen,

z.B.

oder

Niederfrequenzstörun-

gen oder Signale von räumlich oder zeitlich benachbarten Kanälen (Nebensprecher).

drücken,

Teile dieser Störungen lassen sich zwar unter-

wenn man die Bandbreite

Bo

optimal wählt.

Völlig ver-

meiden kann man sie jedoch meist nicht.

Zur Charakterisierung der effektiv wirksamen

Störung bildet man

aus den Signalen am Ausgang des Empfangsfilters den Quotienten von Signalleistung zu Störleistung, wird.

man die Amplitude

Bezeichnet

am Ausgang des Empfangsfilters

tude (einfacher

der kurz Störabstand genannt (Spitze-Spitze) des Signals ur

mit A, und die maximale

Spitzenwert) mit V, max’

S =f(A,,

B..)

Störampli-

5° gilt für die Leistungen:

(Signalleistung)

(49) N, = hV7

max ’ B.}

(Störleistung;)

Die Funktion f7 wird bestimmt durch die Form der Sendeimpulse,

die Flanke des Empfangsfilters (Impulsform) und die Häufigkeit der "1" im Signal.

Die Funktion h, wird bestimmt durch die Form

der nach dem Empfangsfilter auftretenden (deterministischen) Störungen.

Zur Vereinfachung

Impulsformen

sollen im folgenden einige ideale

und einige idealisierte deterministische Störsigna-

le angenommen

werden.

Sind die Funktionen fj und hj bekannt, rechnet

werden:

so kann der Störabstand be-

64

1 Theorie der Pulscodemodulation

S AA), Bo) N) hV, max Ba) .

(50)

oder Q,

= 10

I] (m

lg

daB

Aus Bild 21 geht hervor,

daß Störamplituden V, max ’ die kleiner

sind als die halbe Augenöffnung U Auge’

fehler verursachen,

wenn die Schwellenspannung U Sch und der Ab-

tastzeitpunkt optimal gewählt werden.

dies,

Für den Störabstand bedeutet

daß eine Übertragung sicher störungsfrei ist,

abstand

oberhalb

sn

S 3)

liegt.

sicher keine Übertragungs-

or

des

_

wenn ihr Stör-

Grenzwertes

f Mn (A,

B.)

Be U yuge/2> Bo)

(Der Einfachheit halber soll angenommen werden,

daß die

Übertragung auch dann noch störungsfrei ist, wenn der tatsächliche Störabstand mit dem Grenzstörabstand übereinstimmt.)

Ein Übertragungssystem ist also gegen ein bestimmtes Störsignal umso

störunempfindlicher,

Setzt man voraus,

je kleiner sein Grenzstörabstand

daß die Signale u, am Ausgang des Empfangs-

filters näherungsweise voll einschwingen, nung U Auge

ist.

so kann die Augenöff-

durch Ar ersetzt werden.

Tabelle 2 zeigt den Grenzstörabstand für einige einfache Signal-

formen,

wobei angenommen wurde,

daß die Wahrscheinlichkeit

für das Auftreten einer "1" und einer "0" gleich groß ist. Die berechneten

Zahlenwerte zeigen,

daß bei gleicher Signalleistung und

1.7 Übertragungskanal

65

2: Grenzstörabstand verschiedener Impulsformen bei periodischen Störungen und Nebensprechstörungen

Tabelle

PCM-Kanäle

durch benachbarte

1 Bipolares Rechtecksignal ur

sonatem Sıgnallastung

A

2 Ar

5

(A)er

Unipolares Rechteck signal

uf

KEIF 5; =

Grenzstorabstand

r MM

Sr?

1

——

Sıqnal

|

Z

ur

a

A“

5

Q, /dB

Bipolares Cosınus -Quodral -

(# Vor

i

=

Er

A

|

.

5

Gr/dB

T

5;

®) Gr

QrldB

3

0,55

z

-1,25

+

Sagezahn - Storung

uf A

Aloe

3

4,8

6

7,8

_1y2

Nr= 3'Imax

t

r

r

|

Sinus - Slorung

uf ( \

max

2

3

3sw max

L

I

6

}

t

!

4

Unipolare Slorung

N

]

|

I

nox

2

7

L

8

3

-125

2

-4,25

2

N; “7 vr MAX

4

—t

4

+

4

Bipolale Storung

„ 7

|

| Vimox

1

0

2

3

Nr = V{max

gleicher Störeinwirkung die Störleistung bei einer unipolaren Übertragung nur halb so groß sein darf wie bei einer bipolaren.

ist verständlich,

wenn man berücksichtigt,

nale einen Gleichstromanteil enthalten,

Dies

daß die unipolaren Sig-

der zur Unterscheidung

I. Theorie der Pulscodemodulation

66

der übertragenen Information keinen Beitrag leistet.

den Formeln von Tabelle 2 unschwer erkennt,

Wie man an

ist für gleiches Ar

die Signalleistung des unipolaren Signals doppelt so groß,

die cosinusquadratförmigen

Signale nur 3/8 der Leistung der bi-

polaren Rechtecksignale benötigen, um 4, 25 dB niedriger liegt.

während

so daß ihr Grenzstörabstand

Die geringste Signalleistung benöti-

gen sehr schmale bipolare Nadelimpulse,

deren Impulsbreite

ge-

genüber der Symboldauer To sehr klein ist. Trotz des sehr geringen Grenzstörabstandes

sind solche Symbolformen aber für die

Übertragung nicht geeignet, nötigen,

da sie eine sehr große Bandbreite be-

was ein starkes Anwachsen der Störleistung zur Folge hat.

Außerdem

reicht bei dieser Signalform eine geringe zeitliche Ver-

schiebung des Abtasttaktes bereits aus, zu stören.

Im Grenzstörabstand werden diese

lerdings nicht berücksichtigt, fert,

um die Übertragung total Zusammenhänge

al-

da er nur eine Aussage darüber lie-

wie gut eine bestimmte Signalform in der Lage ist,

eine cha-

rakteristische Störung zu unterdrücken.

Von den Störungen her gesehen zeigt sich, gen Störungen am

"gefährlichsten"

sind,

daß die sägezahnförmid.h.

daß sie für eine feh-

lerfreie Übertragung bei gleicher Störleistung und vergleichbaren Übertragungsbedingungen

eine größere Signalleistung erfordern als

die übrigen behandelten Störungen.

An zweiter bzw.

dritter Stelle

folgen die sinusförmigen und die unipolaren Störungen,

während

sich die bipolaren Störsignale als relativ unkritisch erweisen.

So

darf z.B. bei einer Übertragung mit bipolaren Rechtecksignalen die Störleistung nahezu genauso groß sein wie die Signalleistung.

Bei einer bipolaren Übertragung mit cosinusquadratförmigen Signalen darf die Störleistung sogar nahezu um den Faktor 8/3 über der Signalleistung liegen.

67

1 7 Übertragungskanal

Bild 22 zeigt ein Beispiel für die Übertragung eines quaternären Sendesignals us(t) mit den Sendesymbolen "0", (b = 4).

"1",

"2" und "3"

(b ist die Stufenzahl oder Wertigkeit des digitalen Signals.

Sie gibt an, wieviele verschiedene Sendesymbole die Übertragung umfaßt.) Der Regenerator tastet den Signalverlauf u,(t) am Ausa)

Sendesymbole

Gesendele Symbolfoige

b}

Quaternares Sendesignal

ur

Sendesgnal

|

+

Ak

759 +—

|

2|

| 3

"13]2]0o]3]/7]2]o]

[0]

ne

-1-

—

|

EEE Ei

=

|

I

— Io

--

ui

4-

- 1

—|-

-

BER |

-

-

|)

-ı-

- I

17

| |

|

- -I---r=- — 4

r

_

—

- -

- +

-I-

3

rem om ge en In

-1—-

- 1

Symbol

—i-Ä -— .t -

=

— 4

+

-

-

- 7 --

2

— Ä

1

ijpei

-

_ .!_ As

--J

-

-!__L_[_ | A

_—-”T - + - —

Nach dem Empfangstiiter auftretende Storung

d}

Quaternares Sıgnal mit uberlagerter Sınusstorung Symbol mon

u

Sıgnal Empfangsfıller

- - Hr + - TOT SH ht rent - ---H-+4+--+--;--+--1---[1--4 + - u - -1--+--4. 3 - -K--IL_-.:-L_ı_4_-___L ----4 .n nt |

| Ä | + - -1-- -,--7-7-

Uschtk>f

40-

e})

- - -ı

Vergleich

Detektierte Symbolfoige | O | FIF

_.ı

—_

|

| rn

der gesendeten und empfangenen Tv

4

|

+

3)

|

210) |

' |

‚„1— 0070

NM 4 -_L_1_11122[1- -|- --r - bo Symbolfolge

g—

FE

1 | 3!2!|0|13|(:7|21I10|113|2

Gesendele Symbolfoige | 1 | 2| Fehlerhafte Symbole

| | | + -1-

Die Einstel-

daß die einzel-

nen Symbole auch bei Störungen möglichst gut unterscheidbar sind

(siehe Tabelle 3). 3:

Tabelle

Einstellung der Signalen

Schwellwerte bei quaternären

Amplitudenbereiche

empfangenes

u< Ugcnı Usenı "73°

ev

Uscn *%“ Uscny’ Uscng * 9)

1

A Usen2 U < Ugceng’ Useng * +7)

tan

Uschs*%

3

_

Ist dem

——

2

empfangenen Signal eine Störung überlagert,

so detektiert

der Amplitudenregenerator die Signale nur dann richtig, maximale höhe:

(52)

VL max

2(b-1)

Für den Grenzstörabstand

(53)

gilt dabei:

5,

fa,

‚B.)

N)

=

A

'or.

h ı‘ 36-17

>

B )

wenn die

kleiner bleibt als die halbe Stufen-

Störamplitude V I, max




4 2

nach Gl.

(50) ersetzen:

5=—)]=5[1-ert(—-1. 10 10920, |

1 - erf (

I

v2

Bild 23 zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeit nach Gl. tion des Störabstandes

(59) als Funk-

Qr-

1.8 Decodierung, Synchronisierung und Signalrückgewinnung Auf der Empfangsseite werden im wesentlichen alle Signalumfor-

mungen und Operationen der Sendeseite noch einmal wiederholt, wobei die Signale die einzelnen Stufen in der umgekehrten Reihenfolge durchlaufen.

Wegen

der funktionellen Analogie der sende-

und empfangsseitigen Einrichtungen können wir uns hier also auf eine geraffte Darstellung beschränken. wird das

Empfangssignal

Nach der Regenerierung

uc(t) umgesetzt

in das

codierte PCM-Sig-

nal Un (t). Auf die Signalrückumsetzung

folgt dann die Decodierung,

ankommende PCM-Signal Uc

wieder in ein pulsamplitudenmodu-

liertes (PAM)-Signal Ur (t) rückverwandelt. dierer jeweils alle Codesymbole,

nen,

die das

Dabei muß der Deco-

die zu einem Wort gehören,

ken-

ehe er den entsprechenden PAM-Wert abgeben kann (Serien-

Parallel-Wandlung).

Der Empfänger

muß zu diesem

Zweck fest-

73

1.8 Decodierung, Synchronisierung und Signalruckgewinnung

stellen können,

welches

Symbol aus der ankommenden

Folge

(Bit-

strom) jeweils den Anfang eines Wortes darstellt. Wenn ihm z.B. bekannt ist,

welche Stelle im PCM-Wort

Symbol einnahm,

das erste übertragene

so kann er mit Hilfe einer Zählschaltung die La-

ge aller anderen Symbole bestimmen.

jedoch nur begrenzt anwendbar,

Praktisch ist diese Methode

da jeder Zählfehler zur Folge hal,

daß alle folgenden Codeworte falsch decodiert werden. re Möglichkeit zur Lösung dieses Problems

Eine ande-

ist die Blocksynchroni-

Bei diesem Verfahren werden im Sender beispielsweise 31

sation.

Codeworte zu einem Block zusammengefaßt,

der bei einer Code-

wortlänge von 8 bit aus 248 Symbolen besteht.

An jedem Blockein

anfang werden nun noch einige Codesymbole hinzugefügt (z.B.

Wort mit 8 Symbolen und zwar bei jedem Blockanfang), die Symboldauer To

für alle Symbole

Die zusätzlichen Symbole, Empfänger

Zählschaltung,

die jedes Codesymbol

Fall,

wer-

Ihre Aufgabe besteht darin,

den Blockanfang zu markieren.

mationssymbolen prüft, kannten

etwas verkürzt werden muß.

die dem Empfänger bekannt sind,

den Synchronisierkombination genannt. dem

wodurch

Dieser enthält eine

erfaßt und nach den 248 Infor-

ob die folgenden Symbole

Synchronisierkombination übereinstimmen.

mit der ihm beIst dies der

so wird die Prüfung der Synchronisierkombination erst wie-

der nach 248 Symbolen wiederholt.

Entsprechen die ersten 8 Code-

symbole am Blockanfang jedoch nicht der Synchronisierkombination,

so prüft der Empfänger alle Symbole systematisch durch,

er eine Symbolfolge findet,

die der Synchronisierkombination

spricht und einen neuen Blockanfang markiert.

ge,

bis der Empfänger

ent-

Zeigt die Überprü-

fung der Synchronisierkombination am folgenden Blockanfang, auch diese Spur falsch ist,

bis

daß

so wiederholt sich der Vorgang so lan-

die richtige Synchronisationsspur

gefunden

l. Theorie der Pulscodemodulation

74

hat.

Ist der Synchronismus

so kennt der

erst einmal hergestellt,

Decodierer aufgrund des Zählerstandes den Anfang der Codeworte

und kann so die entsprechenden PAM-Werte Ux erzeugen. War das Nachrichtensignal kompandiert,

so folgt auf den Decodie-

rer ein Expander mit der inversen Kompressorkennlinie, an dessen

Ausgang das expandierte PAM-Signal Un auftritt. Die Quantisierung der Abtastwerte kann selbstverständlich nicht

mehr

rückgängig gemacht werden,

da der Empfänger keinerlei In-

formation über die tatsächliche Größe der ursprünglichen Abtast-

werte besitzt,

weshalb es auf der Empfangsseite kein Gegenstück

zur Quantisierung gibt. Das Nachrichtensignal UN

muß deshalb aus

den empfangenen Abtastwerten rekonstruiert werden,

wozu (ebenso

wie bei der direkten Übertragung der PAM-Werte nach Abschnitt 1.2) ein Tiefpaß verwendet werden kann.

tastimpulse sehr schmal,

Impulse

Im Idealfall sind die Ab-

so daß sie näherungsweise durch Dirac-

5(t) beschrieben werden können,

wie das auch für die Dar-

stellung im Abschnitt 1.2 angenommen wurde. der Annahme

aus,

pulse der Breite

Geht man jedoch von

daß die Abtastwerte durch schmale RechteckimAT=«a-T A dargestellt werden,

so gilt für das

Abtastsignal:

(61)

ro u, (t) = >,

A,

& ' silnva)e

janv£f,t

- ul)

vV=-0o

Der erste Teil dieses Ausdrucks beschreibt einen unmodulierten

Puls nach Bild 24a,

während der zweite die Höhe der jeweiligen

Abtastimpulse bei einer Modulation angibt (Bild 24b). Wird z.B. ein Sinussignal

75

1.8 Decodierung, Synchronisierung und Signalrückgewinnung

a}

e

Unmodulierter Puls -

ar

Li

Ir

Z—ıl

5

SH Sn In In -2u I b}

Bu

Ir

Ah

Sa

Eu

ge

Rh

m

Lu

1

u

5%

IL

Y

Y

Ih

su

Su

6

z

SNnıx

JIu

6

I ——

Tm

DL

I

-Iu 2a

-h

r

Mn

moduilıerten

Pulses

_

“

m

BEE] -I6

Spektrum

modulierten

Ä

Tr.'

tx

ll!

If

ti Ai

-2%

ı

jıl

|

|

ı

|

|:

r

|

eınes

Pulses

a

Pe

y\

\

„RT. t

N

NN

|

N:

N

N

N

N

-

N_\NUN\ AN ZTRNINUNURAN I N

_

!

hl

|

Ir

Il

HE

|

2

y:

Spektrum eınes sınusformig

rt:

d}

Y

Modulierter Puls 1

c)

sungen

3%

2b

N\

A

|

-En

N

N

Br

Aa

|

NN

20

Jh

I —e

Bild 24: Pulse und ihre Spektren

(62)

un = An®

übertragen,

jan, t

wobei die Quantisierungsverzerrungen und die Über-

16

I. Theorie der Pulscodemodulation

tragungsstörungen vernachlässigbar klein sein sollen,

am Ausgang des Decodierers

(oder Expanders) ein Signal der Form:

+00 u, (t) =,

(63)

v=-00

.& + si(lnva)e

AA,

so erscheint

jart(vf Ar!

Bild 24c zeigt das Amplituden-Spektrum dieses Signals; es enthält

außer bei + f, trallinie.

N

auch noch bei den Frequenzen

vf at en je eine Spek-

Ersetzt man die Sinusschwingung des Nachrichtensignals (Gl. durch ein ausgedehntes

Spektrum,

trum des modulierten Pulses

hier deutlich zu erkennen,

so erhält man das Gesamt-Spek-

entsprechend

Bild 24d.

Es ist auch

daß die einzelnen Seitenbänder nur dann

mit dem Spektrum des Nachrichtensignals men,

(62))

(0... B) übereinstim-

wenn die Bedingung I, 2 ar

erfüllt ist, da sich sonst die Seitenbänder überlappen, ge hätte,

daß die einzelnen Spektralanteile nicht mehr getrennt wer-

den könnten (siehe Gl.

(10)). Wird der modulierte Puls mit einem

Tiefpaßfilter demoduliert, wählt werden,

daß am

so muß seine Grenzfrequenz

Abhängig vom Tastverhältnis

überlagert sich dem Spektrum des Nachrichtensignals

eine si-Funktion, fluß.

a

Br so ge-

Filterausgang nur das Nachrichtensignal

(nulltes Seitenband) erscheint.

kleiner

was zur Fol-

«a

aber noch

die die hohen Frequenzen zusätzlich dämpft.

gewählt wird,

Je

desto geringer wird dieser störende Ein-

Leider wird mit fallendem Tastverhältnis auch gleichzeitig

die gesamte Amplitude des Nachrichtensignals Ur kleiner,

a nicht beliebig klein gemacht werden kann (siehe Gl. (63)).

so daß

Läßt

1.9 Übertragungsqualität

717

man die Übertragungsfunktion des demodulierten Tiefpasses jedoch mit wachsender

Frequenz

Funktion der Gl.

(63) die Amplituden dämpft,

in dem die si-

so kann damit die li-

die durch die endliche Breite des Abtastimpul-

neare Verzerrung,

ses entsteht,

in dem Maße ansteigen,

kompensiert werden (Preemphase).

1.9 Übertragungsqualität Die Quantisierungsgeräusche,

vollkommene

zur Folge,

die Übertragungsfehler und die un-

Realisierung der einzelnen Stufen eines Systems haben

daß das empfangene Nachrichtensignal UN (t) von dem ge-

sendeten ut)

abweicht.

Ein geeignetes Kriterium zur Charakteri-

sierung dieser Abweichung ist der quadratische Fehler oder die

Störleistung N. des Differenzsignals: (64)

’

N

7

| u,dt) - mu,ft - 7)

Ss m T,

dt

g

bezeichnet dabei die gesamte Übertragungsdauer,

Faktor

m

sichtigt. stems.

eine Verstärkung oder Dämpfung des Systems berückT,

ist die gesamte

Zusammen

Signallaufzeit des Übertragungssy-

mit der Signalleistung

Systems kann aus der Störleistung N

(65) berechnet

während der

Qu

=10

Sn 1g 5,

werden.

N

dB

S,,

4

N

am Ausgang des

der Störabstand

18

1. Theorie der Pulscodemodulation _

Sind mit Ausnahme

der Quantisierungsgeräusche alle übrigen Stör-

einflüsse vernachlässigbar,

so ist der Störabstand QL mit dem

Quantisierungsgeräuschabstand

Qu

identisch:

"0

Für eine "ideal" kompandierte Übertragung mit n = 7 bit pro Abtastwert kann in diesem Fall der Störabstand über die Gl. werden:

Ur

67)

Q

stimmt

(25) be-

8 8N - 16383 2 42,14 dB Q

Der Einfluß der Übertragungsstörungen ist z.B. behandelt.

Für den Störabstand am Ausgang des

man dabei die einfache

Formel

in 11] und

112]

Systems findet

(ausschließlicher Einfluß der Über-

tragungsstörungen):

(68)

QL

- 10 1g Ha,

Auf eine Ableitung dieser Beziehung soll hier verzichtet werden.

Gl.

(68) ist gültig für einen gewöhnlichen Binärcode (siehe Ab-

schnitt 1.5),

dessen Codeworte alle mit gleicher Wahrscheinlich-

keit auftreten. gung ein binäres

p ist die Wahrscheinlichkeit, Symbol gestört wurde.

daß bei der Übertra-

Sie läßt sich bei weißem

Rauschen und bekanntem Kanalstörabstand mit Hilfe der Gl.

(59)

bestimmen.

Für Vergleiche verschiedener Modulationsverfahren

mit unter-

schiedlicher Übertragungsbandbreite ist der auf B,, bezogene StörN abstand

Q„

(69)

ST

B

79

Sr

B G

Ba

U g ————

= 1lllg ———N

1.9 Übertragungsqualität

Bn

N,

Ba

== B\

gg Q, +10 1

By

besser geeignet als die Störabstandsdefinition Q, nach Gl. es bei Systemvergleichen darauf ankommt,

QN

weil

(50),

den Ausgangsstörabstand

bei konstantem Verhältnis der Signalleistung S zur Rauschlei-

stungsdichte N, zu vergleichen. mensionslos wird,

Damit das Verhältnis S,/ N,

di-

multipliziert man den Nenner zweckmäßiger-

weise mit einer Frequenz,

z.B.

Br

deren Wert bei allen zu

vergleichenden Systemen übereinstimmt.

Bild 25 zeigt den Störabstand Q, am Ausgang des PCM-Systems als Funktion des normierten Kanalstörabstandes Qn für verschie-

dene Codewortlängen

n. Bei sehr schwachen Störungen (große

Werte von Qn} wird Qu

geräusch bestimmt,

im wesentlichen durch das Quantisierungs-

was zur Folge hat, daß Qx in diesem Bereich

unabhängig von Q,, ist und konstant bleibt DR 2 ao) eines charakteristischen Wertes, nennt,

fällt der Störabstand

Qu

Unterhalb

den man Schwellenstörabstand jedoch steil ab.

Man erkennt,

ein Betrieb weit unterhalb des Schwellenstörabstandes

daß

(3 dB- Schwel-

le) nicht sinnvoll ist, da in diesem Fall mit einer kleineren Codewortlänge

n bei geringerer Bandbreite Ba

und geringerem tech-

nischem Aufwand ein größerer Störabstand Qu Systems

erreicht werden Könnte.

am Ausgang des

80

1. Theorie der Pulscodemodulation 55 dB

45

!

{

v0

|

|

!

t

B

22

I5

2 E

0

5

o

8 23

Bild 25: Störabstand QN am Ausgang eines PCM-Systems als Funktion des normierten Kanalstörabstandes Op

1.10 Zeitmultiplexverfahren In den vorangegangenen Abschnitten wurde die grundsätzliche Wir-

kungsweise der PCM-Übertragung für den einfachsten Fall, nämlich die Übertragung eines einzigen Nachrichtensignals,

erläutert.

1.10 Zeitmultiplexverfahren DU

öl

Er

ONE

Die Übertragungstechnik hat aber auch noch die sehr wesentliche

Aufgabe der Bündelung und gleichzeitigen Übertragung mehrerer Nachrichtenkanäle. ren AM

und FM

Bei den kontinuierlichen Modulationsverfah-

geschieht dies meist mit Hilfe des

Frequenzmulti-

piexverfahrens.

Bei dieser Methode (Bild 26) werden z.B. die Frequenzbänder

A,

der einzelnen analogen Nachrichtenkanäle mit Hilfe der Einseitenbandmodulation in andere

Frequenzbereiche umgesetzt und als

breitbandiges Gesamtsignal über ein Nachrichtensystem der Bandbreite

i=k

(70)

Ba >>

übertragen.

> i=1

A,

Auf der Empfangsseite wird das Signal mit Hilfe von

Bandpässen der Bandbreite Ai, wieder in die einzelnen Kanäle auf-

geteilt.

Bei den Pulsmodulationsverfahren und PCM

ist zwar die

Frequenzmultiplextechnik prinzipiell auch anwendbar,

eine andere

Art der Bündelung,

ist hier aber

in den meisten Konal

6 wo U

nämlich die Zeitmultiplextechnik,

Fällen günstiger.

Bandbegrenzung

Frequenzumselzung

Bandpoffıllerung

Ba

-

4;

Frequenzruckumselzung

Kanal

‚

%

u)

7

Gemeinsames

. It,

Kuno,

Übertrogungssysiem

| „

Al,

\

dr,

dA;

Bo

Al,

Ing

/

Br,

fr

Bild 26: Blockschaltbild eines Frequenzmultipiex-Übertragungssystems

bon

Kz

82

1. Theorie der Pulscodemodulation

Die Zusammenfassung von

k diskreten Nachrichtenkanälen im Zeit-

multiplexverfahren geschieht durch die zeitliche Aneinanderreihung der einzeinen

Kanäle.

Bild 27 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines solchen PAM-Zeitmultiplexsystems, Kanal

das im folgenden näher beschrieben werden soll.

Band-

begrenzung

Mulliplexer

Demuftiplexer

(Abtoster}

Telpan -

Kanal

fılterung

ET Gemeinsarnes Übertragungssysiemn fur k Konole

IF

|

I

Du

N?

K

?

Ir

ng

3

IP,

Peiner

Kunı

! |

| I

|

| l

Synchronisserter Takigeneralor

Bild 27: Blockschaltbild eines PAM-Zeitmultiplex-Übertragungssystems

Zuerst werden die Kanäle RK, bis K, zeitlich nacheinander abgetastet,

bandbegrenzt und anschließend

d.h.

kurzzeitig an den gemeinsa-

men Übertragungskanal gelegt. Das einfachste Beispiel einer periodisch arbeitenden Abtasteinrichtung oder eines Multiplexers dieser

Art ist ein mechanischer Drehschalter,

dessen Kontaktarm mit der

Winkelgeschwindigkeit Zr

mn

(71)

I

anti,

rotiert und während des Zeitintervalls schen der gemeinsamen

stellt. K

Leitung und den einzelnen Kanälen her-

Die Kontaktbank trägt

zugeordnet

sind.

AT n eine Verbindung zwi-

k Segmente,

die den Kanälen K, bis

Die parallel anliegenden Analogspannungen der

1.10 Zeitmultiplexverfahren einzelnen Kanäle

tig abgetastet,

(Bild 28a bis d) werden auf diese Weise

wodurch

eine serielle,

zeitgestaffelte,

8J sendesei-

amplituden-

modulierte Impulsfolge (PAM-Zeitmultiplex) gemäß Bild 28e ent-

steht, die über die gemeinsame Übertragungsleitung übertragen werden kann.

Die Impulsdauer beträgt ge

ui

he

AT,

Feen

|

c)

da)

e)

Unk-1-

1

u

>

|

| "

KR —

#4

.-n

! = N? F ------

“c

f}

|

Im P-

Konal K,;

N

|

Kanal K,

(Synchronisier-

Rx |

oe N

mulliplex vor Codierung

- ZeitPCM

ranm------

mn pa

[|

PAM- Zeil -

on... -

In

l

|

N

N

um

muiltiplex

IH

um

N

N

|

Kandı Kr

t Bas:

-T7” 1

7

T

> >

Ta _

_

Pa

.

|

ef

Kanal K>

|

|

4

na

_

nn

a

ah Decodierung

N

|

TIL

u

JJ

nn

PAM - Zeit -

t

1}

a

kanal)

\

g)

|

>.

I}

-

——

—.

-

1

——

|

!

—

|

_

_-

—

T

mn

I

—

Bild 28: Signale eines PAM- und PCM-Zeitmultiplexsystems

nu

_

>

I Sn

Kanal N

Kur

84

1. Theorie der Pulscodemodulation

Im Empfänger wird die ankommende zum Sendedrehschalter

PAM-Impulsfolge durch einen

identischen Drehschalter wieder auf die ent-

sprechenden Kanäle K,ı-K, aufgeteilt (Bild 28h bis j). Eine anschlieBende Tiefpaßdemodulation stellt die analogen Nachrichtensignale wieder her (gestrichelte Hüllkurve). Der sende- und der empfangs-

seitige Drehschalter müssen während der Übertragungszeit sowohl in der Frequenz als auch in der Phase synchron miteinander laufen. der Kanal K,

wird z.B.

Damit dies möglich ist,

Synchroni-

mit einem

sierzeichen beschaltet, das dem Empfänger Aufschluß über die Stel-

lung des sendeseitigen Drehschalters

gibt (siehe Bild 27).

Bei einem PCM-Zeitmultiplexsystem

nach Bild 29 geht man von der

zeitlich gestaffelten PAM-Impulsfolge

u, am Ausgang des Multiple-

In den PCM-Einrichtungen werden die Amplituden der

übertragen und dann decodiert,

nur daß hierbei sämtliche Einrich-

tungen k-mal so schnell arbeiten müssen. gangssignal Un des PCM-Codierers

K,

u,

m

PT

-—- -——--—-.-

Ablaster

|

NL

|

|

Ku

Uni K,

Tp OÖ

|

]

M

(ler

| |

+ Abtaster mt |

| ILL.

L

J

|

u

Quantısıerer BACH Kompressor

.

|

Codıerer

.

a

--

|

Jaklgenerator

»—-

Jar

'

.

| |

um

für ein Zeitmultiplexsystem

JaUaßay

0000

Mulfiplexer

Bild 28f zeigt das Aus-

jDuoysBundo,njusgn

mit k Kanälen. kml

codiert,

wie bei einem Einkanalsystem quantisiert,

PAM-Impulse

|

xers aus.

u

Storquelie

|

K,

Sı9anol-

: Ku}

K,

Up| ,O

o

IDemultipleser

Um -

Exrponder

ruch a

— {1

/oktgeneralor

|

ur | SıgnalruckDecodierer Mei umselzer

F

1

Rahmensynchronisation | YPehronisierter

U HHe—

“—

Bitsynchronisation

Bild 29: Blockschaltbild eines PCM-Zeitmultiplexsystems

|

1.10 Zeitmultiplexverfahren

89

Die zeitliche Aufteilung des Abtastintervalls ist aus folgendem Beispiel zu ersehen, bei dem k = 32 Nachrichtenkanäle übertragen wer-

den ("PCM-Grundsystem").

Jeder Nachrichtenkanal (Fernsprechka-

nal) mit einer höchsten zu übertragenden Frequenz von Br = 4 kHz wird entsprechend dem Abtasttheorem

mit f AT

8 kHz abgetastet.

Damit beträgt der Abstand T A der Abtastwerte (man nennt T „ auch die Länge des Pulsrahmens):

(72)

T

A

1

AI,

= 125

us

Für den zeitlichen Abstand zwischen zwei PAM-Impulsen

gilt dem-

nach bei k = 32 Kanälen

(73) Tn

T)

== us =3,91 us

entspricht der Dauer

die PAM-Impulse

eines PCM-Kanals.

codiert werden.

In dieser

Zeit müssen

Bei einer binären "Non Return to

Zero"(NRZ)-Übertragung mit n = 8 Codesymbolen pro Codewort beträgt dann die Dauer eines Codesymbols:

(74)

mM. A.

AT

1

-489 ns

AT m nennt man die Dauer eines PCM-Symbols.

Der Kehrwert von

AT a ist die Symbolfolgefrequenz oder "Bitrate":

5)

6

Symbole/s 10° . k=2,048 £ m =I-=t,-nA AT m

Die theoretisch notwendige Bandbreite, besitzen muß,

die der Übertragungskanal

beträgt nach dem I. Nyquist-Kriterium

86

(76)

1. Theorie der Pulscodemodulation

f B.=2%=1,024 . 10° Hz G

Das Prinzip des

Zeitmultiplexverfahrens

kann auch auf die zeitli-

che Verschachtelung von mehreren PCM-Zeitmultiplexsystemen

Systemen höherer Ordnung ausgedehnt werden. vier 32-Kanal-Systeme sen.

zu einem

Z.B.

zu

ist es möglich,

128-Kanal-System zusammenzufas-

Die Dauer der einzelnen PCM-Symbole

muß dabei gegenüber dem

Grundsystem auf ein Viertel reduziert werden,

wodurch die Symbol-

folgefrequenz auf dem Übertragungskanal auf das Vierfache ansteigt.

1.11

Störabstand und Bandbreite bei PCM

Eine ausführliche informationstheoretische

Betrachtung der Pulsco-

demodulation würde die Einführung von Begriffen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfordern.

Um

dies zu vermeiden,

genden Betrachtung von der vereinfachenden Annahme

wird bei der fol-

ausgegangen,

daß der Übertragungskanal nur durch deterministische Störungen (z.B. Störungen nach Tab.

2) der maximalen Amplitude

VL max

gestört wird,

so daß sich alle Größen erheblich vereinfacht darstellen lassen, daß dabei die wesentlichen

Zusammenhänge

ohne

verändert werden,

1.11.1 Nachrichtenmenge Als Nachrichtenmenge

Binär-Symbole,

eines Signals bezeichnet

man die Anzahl der

die zu seiner Darstellung notwendig sind.

Beträgt

1.11 Informations- und systemtheoretische Erörterung der PCM

871

die gesamte Dauer eines auf [\ bandbegrenzten Nachrichtensigso benötigt man für seine Darstellung mindestens

nals Ty:

T

ZN =T,

(77)

__N

Abtastwerte.

_

= Tr

Wird

fa

“

=

Tg

®

jeder Abtastwert

Ay quantisiert und durch binä-

n dargestellt,

re Codeworte der Länge

so gilt für die Nachrich-

tenmenge:

-Tyon

L.,=2.,.:'n=2f

(78)

Löst man Gl.

(39) nach

n auf und setzt b = 2 (binäre Codierung),

so kann man für die Nachrichtenmenge auch schreiben (s = Anzahl

der Quantisierungsstufen): (79)

I =2

Diese wichtige

20.

T,

Beziehung

lds

bit

geht auf Hartley

wieviele binäre Codesymbole

[3]

zurück.

Sie gibt an,

zur Darstellung eines bandbegrenzten

und quantisierten Signals mindestens benötigt werden, Sie gilt auch dann,

wenn der duale Logarithmus von

s keine ganze

Zahl ist. Die Dimension von Ir ist 1 (dimensionslos).

Zur Kenn-

zeichnung des benutzten dualen Logarithmus wird aber meist die Hinweis-Einheit bit hinzugefügt. Nach Gl.

(79) haben zwei quantisierte

fenzahlen, gleiche

Signale verschiedener

Stu-

verschiedener Bandbreiten und verschiedener Dauer

Nachrichteninhalte,

ßen übereinstimmt.

wenn das Produkt

aus diesen drei Grö-

88

1. Theorie der Pulscodemodulation

Durch Speicherung und Umcodierung muß es also möglich sein,

ein gegebenes quantisiertes Signal ug

in ein anderes un zu über-

führen,

ohne daß dabei Information verloren geht

deutet,

daß das ursprüngliche Signal ug

nal Un

vollständig rekonstruiert werden kann.

licht diesen Zusammenhang,

mit den Seiten Tr

(I, = L,): was be-

auch aus dem neuen SigBild 30 veranschau-

wobei I als Volumen eines Quaders

In und 2 »- ld s dargestellt wird.

const-Oo = 2id sl

Bild 30: Darstellung eines Signals u',

mit dem Nachrichteninhalt I}; durch ein ande-

res Signal ug mit demselben Nachrichteninhalt I

Geht man davon aus,

daß das quantisierte Signal aus einem Ana-

logsignal hervorgegangen ist,

so kann man die dritte Quadersei-

te 2 - \Ids auch als Geräuschabstand

(25) und (26) für s>>1 gilt:

(80)

2 lds=51

lg

2.1 s x"gr

interpretieren,

10,,0,_.1 wein

_02

da nach Gl.

1.11 Informations- und systemtheoretische Erorterung der PCM

89

Umfaßt das Alphabet der über einen Kanal übertragenen Signa-

le b verschiedene Codesymbole,

so ist im Mittel jedes übertra-

gene Symbol durch ld b binäre Zeichen darstellbar. Während der Übertragungszeit T.. ist somit die Nachrichtenmen-

ge

81)

T..

1 wen

ldb

S

bit

übertragbar (T, = Dauer eines Codesymbols). Nach dem Nyquist-Kriterium können die Amplituden eines digita-

len Signals am Ausgang des Übertragungskanals wieder vollständig hergestellt werden,

wenn die Symbolfolgefrequenz fo -1 [Ts

kleiner oder gleich der doppelten Bandbreite Ba des Übertragungskanals ist,

(82)

so daß für die übertragene

I;; = 2B.

. Tı

Wird der Kanal durch

gestört,

-Idb

Nachrichtenmenge auch güt:

beit

Störungen der maximalen

Amplitude

V, ‚ max

so muß bei störungsfreier Übertragung die Sufenzahl

b

die Ungleichung

(83)

bs

Ivy

Ä

I

IL max

erfüllen (siehe Gl.

— +1

(52)).

Bezeichnet man die größte Stufenzahl,

diese Ungleichung gerade noch erfüllt, Nachrichtenmenge

I: max’

mit D ax ‚ so gilt für die

die dieser Kanal in der Zeit T,, maxi-

mal übertragen kann: (84)

I..

die

=2.B,-T.-

1ldb

bit

90

1

Theorie der Pulscodemodulation

Stufenzahl Dax’

Die größte

die der Empfänger

rungsfrei unterscheiden kann,

gerade noch stö-

ist demnach ein Maß für das Ampli-

tudenauflösungsvermögen des Kanals und steht über Gl. sammenhang

(53) in Zu-

mit dem Grenzstörabstand.

Aus den obigen Beziehungen geht hervor,

daß die Übertragungszeit,

die Kanalbandbreite

B..) und das Amplituden-

(gesamte Bandbreite

auflösungsvermögen des Kanals bei einem gegebenen Übertragungsproblem untereinander austauschbar sind. Satz: Die Nachrichtenmenge,

gen kann,

die ein Übertragungskanal

maximal übertra-

wird durch den gegenseitigen Austausch von Bandbreite,

Übertragungszeit und Amplitudenauflösungsvermögen (b

verändert,

ax? nicht

solange das Produkt aus diesen drei Größen konstant ist.

Soll ein Übertragungskanal die Informationsmenge I übertragen können,

(85)

so muß

Is

S

gelten:

1,

Bei optimaler Dimensionierung,

d.h.

gleich der halben Symbolfolgefrequenz

Übertragungskanal voll ausgenützt, einstimmen.

Macht

wenn die Kanalbandbreite und b = D aX

was bedeutet,

ist,

Bo

wird der

daß In und I; über-

man das Amplitudenauflösungsvermögen des Ka-

nals ebenso groß wie die Stufenzahl des quantisierten Signals

(b nax =S

so erhält man den Sonderfall einer (quantisierten) PAM-Übertragung, für die bei optimaler Dimensionierung gilt: (86) Diese

[iv

IT" Ba'

Beziehung ist das

Ta rK Zeitgesetz der elektrischen Nachrichtentech-

nik in der Fassung von K. Küpfmüller

[6]. Es besagt,

daß das Produkt

1.11 Informations- und systemtheoretische Erörterung der PCM

aus der Übertragungszeit T

91

einer Nachricht und der benötigten Ka-

nalbandbreite B_., für jeden Nachrichtenkanal eine Konstante (K) ist, die bei optimaler Dimensionierung

(In = 1.) mit dem Produkt aus Sig-

nalbandbreite und Signaldauer übereinstimmt.

1.11.2 Banderweiterungsfaktor

Zur Charakterisierung des Bandbreitenaufwandes einer Übertragung benutzt man häufig das Verhältnis von Kanalbandbreite zu Signalband-

breite (Banderweiterungsfaktor): (87)

J=

Ba f

N

Bei optimaler Dimensionierung (In = 1.) findet man für J:

(88)

J =

T,

las

T.

+ ldb

u

Für s = Dax

max

ist der Banderweiterungsfaktor gleich dem Verhält-

nis von Nachrichtendauer T,_ zu Übertragungszeit T,,, was bedeutet, daß durch eine lange Übertragungszeit T

Kanalbandbreite

eingespart

daß kurze Übertragungszeiten breitbandi-

werden kann und umgekehrt, gsere Kanäle erfordern.

1.11.3 Informationsfluß (Signalfluß) Die pro Sekunde erzeugte oder übertragene net man

(89)

als Informationsfluß.

I.

x*

_ ÜL[_ = T. =2 Bo ]..

bit Sec »

ldb

Informationsmenge

bezeich-

09

I. Theorie der Pulscodemodulation

bzw.

I

*

90)

IN =mo=2t, N

bit —_—

lds

Sec

Bezieht man diesen maximalen Informationsfluß auf die dazugehörige

Bandbreite,

so erhält man eine Kanalkonstante,

die von der Störungs-

stärke abhängig ist und deren Größe etwas über die Qualität des Übertragungskanals

aussagt: 1X

A)

br

2

Der normierte Informationsfluß (1,

) gibt an, wieviele Nachrich-

teneinheiten (bit) ein Übertragungskanal pro Sekunde und pro Hz Kanalbandbreite bei optimaler Dimensionierung übertragen kann. Binärkanäle

*%

(92)

Für

gilt z2.B.:

bit

"2 m-sec

Bei sehr vielen Übertragungsproblemen, z.B. auch bei PCM, wird die Übertragungszeit T,, so gewählt, daß sie mit der Nachrichtendauer

Ty

übereinstimmt: T.

formationsflüsse

IN

und I:

= Tı . In diesen

überein.

Fällen stimmen

Für den Banderweiterungs-

faktor ergibt sich unter diesen Voraussetzungen: ld s

J= Tab oder

(93)

s-b

=b

;

s,b

die In-

ganzzahlig und größer 2

1.11 Informations- und systemtheoretische Erörterung der PCM

03

Age

nd

Ersetzt man s durch den Quantisierungsgeräuschabstand, diese Beziehung folgende Form an (siehe Gl. S

(94)

Q

= p2I -1

für

s>2,

so nimmt

(25)): S

ganzzahlig bzw.

>

Q

3

Da wir hier von deterministischen Störungen ausgegangen sind, Störabstand über dem Qy

am Ausgang des Systems

Q

N

liegt,

wird der Störabstand

ausschließlich durch die Quantisierungs-

so daß die linke Seite dieser Gleichung mit

geräusche bestimmt,

N N

Grenzstörabstand

deren

übereinstimmt.

Für J >1 wird die Übertragungsbandbreite

gegenüber der Bandbreite

des Nachrichtensignals gedehnt und für J< I gepreßt, eine Verringerung des Störabstandes

in Kauf nimmt,

d.h.,

wenn man

kann man Band-

breite einsparen.

Diese Tatsache führt uns auf folgenden Satz:

Die Bandbreite und der Störabstand eines Übertragungskanals sind bei einem gegebenen Übertragungsproblem gegenseitig austauschbar. Ausgehend von Gl.

(94) können wir auch den Zusammenhang

Störungen auf dem

Übertragungskanal herstellen,

male Ausnutzung des Übertragungskanals

Grenzstörabstand ersetzen. mittlere

wenn wir eine opti-

annehmen und

Wie sich leicht zeigen läßt,

b durch den

kann die

Signalleistung eines b-stufigen Signals mit rechteckiger

NRZ-Impulsform‘nach

5)

mit den

der folgenden Gleichung berechnet werden:

A, 2 S=-(—) » [1%43°%45%,...+(b-1)2],

b gerade

94

1. Theorie der Pulscodemodulation

oder

2

b+l

I °h-1°

A 12

Wird der Übertragungskanal z.B. durch ein Sinussignal der Leistung 1

y2

N, =3 VI max gestört,

(0)

so gilt nach Gl. S

_

I

“

S

(52) und (95) für den Grenzstörabstand: S

.

I

1,

2 /Lmax

2

‘2(b

-3b°_2

_2

I

2

-1)

max

i

/

dB

/

/

100

x

Q% = 101g SH 807

4

N

ING

INS

) /