Einführung in die analytische Geometrie [4., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111687032, 9783111299723

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Prof. Dr. Gerhard Kowalewski Einführung in die Analytische Geometrie

Einführung in die Analytische Geometrie Von

Prof. Dr. Gerhard Kowalewski f

Vieiie, verbesserte Auflage Mit 112 Figuren

Walter de Gruyler & Co. vorma?s G. J. Göschen'sche Verlagshandlung J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veil & Comp.

Berlin

1953

Alle Hechle, einschließlich der Hechle der Herstellung von Pholokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung J. Guüentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. Berlin W 35, Genlhiner Str. 13

Archiv Nr. 121753 Satz und Druck: VEB Deutsche Weripapier-Druckerei, Leipzig, 111/18/185 Druckgenehmigungsnummer 722/78/50 Printed in Germany

Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus meinen Universitätsvorlesungen in Leipzig, Greifswald und Bonn entstanden. Die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes wird gewöhnlich in einem vierstündigen Semesterkolleg erledigt. Will man nicht ganz in den Elementen stecken bleiben, so muß man an manchen Stellen etwas schneller vorgehen. Da die Zuhörer von der Schule her schon eine ganze Menge analytisch-geometrischer Kenntnisse mitbringen, hat dies keine Gefahr. Eine große Schwierigkeit in der analytischen Geometrie ist die exakte Behandlung des Imaginären. Bei einer ersten Einführung ist es aber vielleicht zu verzeihen, wenn man in dieser Beziehung etwas zu wünschen übrig läßt. Die Hörer können sich diese Dinge in einem besonderen Kolleg über „Geometrie im komplexen Gebiet" aneignen, wie es Herr E. STUDY, der größte Meister der genannten Disziplin, in Bonn zu halten pflegte. Freilich wird eine solche Vorlesung anderswo selten geboten. P r a g , den 15. Oktober 1910. Gerhard Kowalewski

Vorwort zur vierten Auflage Das Buch ist einer gründlichen Revision unterzogen worden. An verschiedenen Stellen sind Zusätze gemacht. Ich weise besonders auf den dritten Beweis des Pascalschen Satzes hin. Möchte das Werk auch diesmal eine so freundliche Aufnahme finden, wie bei den früheren Auflagen! G r ä f e l f i n g bei München, November 1949. Gerhard Kowalewski

Inhalt Seite

1. Kapitel: Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel 2.

.

1

„

Punktkoordinaten

17

3.

„

Geometrie auf der Geraden

34

4.

„

Die P u n k t e und Geraden der Ebene

58

5.

,,

K u r v e n in der Ebene

111

6.

,,

Kurven zweiter Ordnung und Kurven zweiter Klasse vom projektiven Standpunkt

144

7.

,,

Klassiiikation der Kurven zweiter Ordnung nach der Affinität und nach der Kongruenz

218

8.

,,

Einiges über Kreise

267

9.

„

Punkte, Ebenen und Gerade des Raumes

293

10.

„

Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse

Sachregister

.

.

353 362

Erstes Kapitel

Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel § 1. Strecken im Räume

Eine S t r e c k e ist ein endliches Geradenstück, bei dem man A n f a n g s p u n k t und E n d p u n k t unterscheidet. Der Anfangspunkt sei A, der Endpunkt B. Dann sprechen wir von der Strecke A B. Der erste Punkt gibt also den Anfangspunkt an, der zweite den Endpunkt. Auch einzelne (und zwar große deutsche) Buchstaben werden wir zur Bezeichnung von Strecken benutzen. In den Figuren markieren wir (wenn dies nötig ist) den Endpunkt durch eine Pfeilspitze (vgl. Fig. 1). A Die Gerade A, B heißt der T r ä g e r der Fig. l. Strecke A B, die Entfernung der Punkte A und B (gemessen mit der zugrunde gelegten Längeneinheit) die L ä n g e der Strecke AB. Eine Strecke von der Länge 1 wird als E i n h e i t s s t r e c k e , eine Strecke von der Länge 0 als N u l l s t r e c k e bezeichnet. Als Symbol für eine Nullstrecke benutzt man die 0.

Fig. 2.

Fig. 3.

Strecken mit parallelen Trägern heißen p a r a l l e l . Sie können g l e i c h s i n n i g sein (vgl. Fig. 2) oder g e g e n s i n n i g (vgl. Fig. 3). Zwei Strecken A1B1 und A2B2 werden als gleich (oder äquivalent) betrachtet, wenn die eine aus der andern durch eine Parallele Verschiebung (Translation) entsteht. Man schreibt in solchem FallAiB^ KOWALEWSKI, Analytische Geometrie

=A2B, 1

2

1. Kapitel.

Strecken

und

Winlcel

Gleiche Strecken sind zunächst parallel. Ferner haben sie gleiche Länge. Endlich sind sie gleichsinnig. I n Fig. 3 sind A1B1 und A2B2 zwar parallel und gleich lang, aber nicht gleichsinnig. Der Leser muß sich daran gewöhnen, daß bei der obigen Definition der Gleichheit eine Strecke allen Parallelverschiebungen unterworfen werden darf. Man k a n n dadurch ihren Anfangspunkt a n eine beliebige Stelle des Raumes bringen und h a t immer noch die gleiche Strecke. § 2. Addition von Strecken 2i und 33 seien zwei Strecken. Nehmen wir irgend einen P u n k t P, so läßt sich ein zweiter P u n k t Q derart wählen, daß PQ

= 21

ist. Ferner läßt sich ein dritter P u n k t R derart wählen, daß QR

= %3

ist.

' Die Strecke PR definieren wir als die S u m m e der Strecken 2i und 33. Diese Summe wird mit 31 + 33 bezeichnet. Es ist also PR

= 21 + 3 3 .

F ä n g t m a n die Konstruktion mit irgend einem anderen P u n k t e P' an, d. h. bestimmt m a n Q' und R' in der Weise, daß P ' Q ' Q ' R '

— 33

ist, so wird offenbar P'R'

—

PR.

Es k o m m t also immer die gleiche Strecke heraus, wie m a n auch den Ausgangspunkt P wählen mag. Um die Strecke 33 + 21 zu erhalten, muß m a n nach der obigen Regel zuerst Q so wählen, daß PQ — 33 wird, und d a n n R so, d a ß QR = 21 wird. Man sieht aus Fig. 4, daß die P u n k t e R und R zusammenfallen, daß also (1) ist.

21 + 33 = 33 + 21

3

§ 2. Addition von Strecken

Nehmen wir noch eine dritte Strecke © hinzu und wählen den Punkt iS derart, daß RS

=(£

ist, so wird (21+33) + © =PR

+ RS =

PS

und 31 + (35+

©) = PQ + QS

=PS,

also (21 + 33) + © = 21+(33 + ©).

(2)

Für die Streckenaddition gilt also nicht nur d a s k o m m u t a t i v e Gesetz (1), sondern auch das a s s o z i a t i v e Gesetz (2), gerade so wie bei der Addition von Zahlen. S t a t t ( S t + 3 3 ) + © schreibt man einfach 2 1 + 3 3 + ©. 2L, der Summe der n Strecken Was unter 2lj + 81, 2t l5 2l 2 , . . . , 2l„ zu verstehen ist, bedarf jetzt keiner weiteren Erklärung. Um diese Summe zu konstruieren, geht man von einem beliebigen Punkte P0 aus und wählt die Punkte P1, P2, . . . , Pn der Reihe nach so, daß P0*l=«l,

PlP*

=9*2, •••, P«-lPn

=2ln

ist, dann hat man 2 i 2 + ••• + 2l„ =P0Pn. Wenn 2 i + 2i' = 0 ist (also 2 1 + 21'eine Nullstrecke), so heißen die Strecken 21 und 21' e n t g e g e n g e s e t z t . Ist PQ = 21, QR = 2t' und 2 1 + 2 t ' = PR= 0 , so bedeutet dies, daß die Punkte P und R zusammenfallen. 2t' ist also gleich Q P . Für 2T pflegt man zu schreiben — 2t. Die Strecken 21 und — 2t sind gleich lang und parallel, aber gegensinnig (vgl. Fig. 3). 21—33 wird definiert als die Summe der beiden Strecken 2i und — 33 21 -

33 = 2 1 + ( - 33).

Ist (vgl. Fig. 5) PQ

= 21,

P i ? = 33,

so wird RQ

= 21 - 3 3 .

Dies läßt sich aus der Figur entnehmen oder aus der Gleichung RQ

=RP+

PQ

=PQ+

( -

PR).

2t — 33 ist also hier gleich der Strecke, die von dem Endpunkt von 33 nach dem Endpunkt von 91 führt.

4

1. Kapitel.

Strecken

und

Winkel

§ 3. Parallelstrecken zu einer orientierten Geraden

Auf einer Geraden g kann man in zwei verschiedenen Richtungen fortschreiten. Hat man die eine als die positive (die andere als die negative) festgesetzt, so ist g, wie man zu sagen pflegt, o r i e n t i e r t . Die positive Richtung markieren wir durch einen beigesetzten Pfeil. Alle Strecken, die auf der orientierten Geraden g liegen, zerfallen in zwei Klassen. Durchläuft man eine solche Strecke von ihrem Anfangspunkt bis zu ihrem Endpunkt, so schreitet man entweder in der positiven oder in der negativen Richtung von g fort. Im ersten Falle sprechen wir von einer p o s i t i v e n , im zweiten Falle von einer n e g a t i v e n Strecke. In Fig. 6 ist P1Q1 eine negative, P2Q2 eine positive Strecke. A,

J3,-t

A,

Fig. 6.

Da man jede Strecke, die zu g parallel ist, durch Translation auf g bringen kann, so bezieht sich diese Klassifikation auf alle Parallelstrecken zu g. In Fig. 6 ist z. B. A1B1 eine negative und A2BZ eine positive Strecke. Wenn die Strecke AB zu g parallel ist und die Länge l hat, so wollen wir ihr die M a ß z a h l 1 oder —l beilegen, je nachdem es eine positive oder negative Strecke ist. Wir bezeichnen die Maßzahl von A B mit AB. Offenbar sind die Maßzahlen von A B und BA entgegengesetzt gleich. Es ist also ~ÄB + BÄ

= 0.

Eine Nullstrecke hat die Maßzahl 0. A B ist durch seine Maßzahl vollkommen bestimmt. Wenn A'B', eine andere Parallelstrecke zu g, dieselbe Maßzahl hat wie A B, so ist A B — A' B'. In der Tat sind beide Strecken gleich lang, parallel und gleichsinnig. Ist m, eine beliebige reelle Zahl, so gibt es immer Parallelstrecken zu g mit der Maßzahl m. Um eine solche Strecke zu erhalten, nehme man auf g einen Punkt P und trage von ihm aus,

§ 4. Charakterisierung

der Strecken

durch

Zahlentripel

5

je nachdem m > 0 oder m < 0 ist, in der positiven oder negativen Richtung ein Stück von der Länge | m \ ab. 1 P, Q, R seien drei beliebige Punkte auf g. Dann ist P Q + Q R

+

RP

=

0.

Zunächst bemerken wir, daß PQ + QR + RP bei einer beliebigen Vertauschung der Punkte P, Q, R höchstens sein Zeichen ändert. Vertauschen wir z.B. P mit Q, so ergibt sich Q P + PR + RQ = — (PQ + QR + RP). PQ und QP haben nämlich entgegengesetzt gleiche Maßzahlen, ebenso QR und RQ sowie RP und PR. Gelingt es uns, für irgendeine Permutation P', Q', R' von P, Q, R zu beweisen, daß PQ' + (TR7 + KP7 = 0 ist, so folgt daraus PQ + QR + RP = 0. Nun läßt sich aber die Permutation P', Q', R' derart wählen, daß P'Q', P'R' und Q'R' positive Strecken sind, daß man also von P' aus der positiven Richtung auf g folgend zuerst nach Q' und dann nach R' gelangt. P'Q', P'R' und QR' sind jetzt einfach die Längen von P'Q', P'R', Q'R'. Die Strecke/ 5 '/?' ist offenbar so lang wie P'Q' und Q'R' zusammen, d. h. man hat oder PQ' + ( f R 7 + W F = 0. Setzen wir PQ ^ 31, QR = 23, so wird PR = 2I + S3, und die Formel ~PR = PQ +QR besagt, d a ß d i e M a ß z a h l v o n 21 + S3 g l e i c h d e r S u m m e d e r M a ß z a h l e n v o n 21 u n d SS i s t . PlT

+QrR'

=WQ'

§ 4. Charakterisierung der Strecken durch Zahlentripel

Durch einen Punkt 0 des Raumes denke man sich drei Gerade gl, g2, ga gezogen, d i e a b e r n i c h t in e i n e r E b e n e l i e g e n d ü r f e n . 21 sei eine beliebige Strecke. Wir bringen sie durch Translation mit ihrem Anfangspunkt nach 0 . Ihr Endpunkt falle dabei nach P. Es sei also O P = 21. Jetzt konstruieren wir das in Fig.7 angedeutete Parallelepipedon, indem wir durch P Parallelebenen zu den drei Ebenen g2, g3 und g3, gx und g1} g2 legen. Dann ist OP=Q 1

Pi

+

PiQa

+Q*P

\ m \ ist der absolute Betrag von m ;> 0 oder m „

OP =OPj, + 0P2

+

0P3.

O P ist au! diese Weise als Summe von drei Strecken dargestellt, die zu g1 bzw. g2 bzw. g3 parallel sind. Diese drei Strecken nennt man die K o m p o n e n t e n von 21 in bezug auf g x , g2, g3. Durch ihre Komponenten 2l l5 2I2, 2i3 ist offenbar die Strecke 21 vollkommen bestimmt. Wir wollen uns 21 wieder in einer beliebigen Lage A B vorstellen, nicht gerade mit dem Anfangspunkt in 0 . Legen wir durch A und B Parallelebenen zu der Ebene g 2 , g 3 , so entstehen auf gx die Schnittpunkte A1 bzw. BX. Die Strecke AIB1 nennt man die P r o j e k t i o n von A B auf glt parallel zur Ebene g 2 , g 3 . Unterwerfen wir A B und die beiden durch A und B gelegten Ebenen einer beliebigen Translation, so bleibt die Projektion A1BI die gleiche. Da wir nun insbesondere AB in OP überführen können, ist A1B1 = OP1 =2I X . Ebenso ist 2I2 gleich der Projektion von 21 auf g2, parallel zu g3, g1 und 2l3 gleich der Projektion von 21 auf g3, parallel zu g1, g2. Ziehen wir durch A und B Parallelen zu g1, so entstehen in der Ebene g2, g3 die Schnittpunkte AX' bzw. B{. Die Strecke 2?/ heißt die P r o j e k t i o n von 2i auf die Ebene g2, g3 parallel zu g1. Bei einer Translation der Strecke A B und der durch A und B gezogenen Geraden bleibt die Projektion AI BY' die gleiche. Da wir AB n a c h O i 5 bringen können, so folgt A{B^ = OQX. Nun ist aber OQ1 = OP3+

P3QX

= 2l 2 + 2*3, a l s o

BX' = 2l 2 + 2I 3 .

Ebenso

wird die Projektion von 21 auf die Ebene g3, gx (parallel zu g2) gleich 2l3 + 2ix und die Projektion auf die Ebene gx, g2 (parallel zu g3) gleich « i + 81,. Jetzt wollen wir die drei Geraden g l 5 g 2 , g3 orientieren (vgl. Fig. 8). Dann hat 2I2 in bezug auf gx eine Maßzahl xx, ebenso 2I2 in bezug auf g2 eine Maßzahl x2 und 2(3 in bezug auf g3 eine Maßzahl x3. Durch Fig. 8. diese drei Maßzahlen sind 2l l5 2l2, 2i3 bestimmt, folglich auch21. xlt x2, x3 nennen wir die K o o r d i n a t e n von 21 in bezug auf die drei orientierten Geraden gi,g 2 ,g3. Die Koordinaten einer Nullstrecke sind alle gleich 0.

§ 5. Definition des Winkels zwischen zwei Geraden

7

W e n n x1, x2, x3 die K o o r d i n a t e n v o n 2t und ylt y2, y3 die K o o r d i n a t e n v o n 33 sind, wie l a u t e n d a n n die K o o r d i n a t e n v o n 21 + SS ? E s sei AB = BC = 33. Bedeuten B u Cx die P r o j e k t i o n e n v o n A, B, C auf gx (parallel zur E b e n e g2, g3), so h a t m a n mithin A1C1

= 9.tx +

asa.

At Cj, ist a b e r die P r o j e k t i o n v o n A C = 91 + 33. W i r sehen also, daß die P r o j e k t i o n der S u m m e zweier S t r e c k e n gleich d e r S u m m e i h r e r P r o j e k t i o n e n i s t . A u s § 3 wissen wir, d a ß Ä~C[

+ BjTx

= x

±

+

y i

ist. D i e P r o j e k t i o n e n v o n 21 + 33 auf g2 (parallel zur E b e n e g 3 , g i ) und auf g3 (parallel zur E b e n e g 1 ? g2) h a b e n a u s d e m s e l b e n G r u n d e die M a ß z a h l e n x2+ y2 bzw. x3+y3. D i e K o o r d i n a t e n v o n 2 1 + 3 3 l a u t e n also i

x

+

Vi

>

i

x

+

Vi

>

3

x

+

Vi •

Die K o o r d i n a t e n einer S t r e c k e n s u m m e sind g l e i c h den K o o r d i n a t e n s u m m e n d e r e i n z e l n e n S t r e c k e n . Jedesmal w e r d e n die g l e i c h n a m i g e n K o o r d i n a t e n s u m m i e r t . W e n n 2t + 33 = 0 ist, so wird xx + y1 = x2 + y% = x3 + y3 = 0 . Die S t r e c k e — 2i h a t also die K o o r d i n a t e n — ® 15 — x2, — x3. D i e S t r e c k e 21— 33 h a t die K o o r d i n a t e n xx—y1, x2 — y2, x3—y3. § 5.

Definition des Winkels zwischen zwei Geraden

g und h seien zwei o r i e n t i e r t e G e r a d e , die d u r c h den P u n k t 0 h i n d u r c h g e h e n . E s e m p f i e h l t sich, n u r die p o s i t i v e n H ä l f t e n v o n g und h zu z e i c h n e n , d. h. die H a l b g e r a d e n , die der P u n k t 0 b e s c h r e i b t , w e n n er auf g oder h in der p o s i t i v e n R i c h t u n g f o r t s c h r e i t e t . Diese H a l b g e r a d e n s c h n e i d e n wir noch bis zur L ä n g e 1 a b , so d a ß die b e i d e n E i n h e i t s s t r e c k e n OG und OH ü b r i g b l e i b e n . W i r wollen OG in der E b e n e OGH u m den P u n k t 0 d r e h e n , wie m a n einen U h r z e i g e r d r e h t . D a s g e h t n a c h zwei v e r s c h i e d e n e n R i c h t u n g e n . D i e eine s e t z e n wir als die p o s i t i v e fest und m a r k i e r e n sie d u r c h einen Pfeil. D e r W e g , den der E n d p u n k t G z u r ü c k l e g t , sei a . D a n n sagen wir, d a ß es sich u m die D r e h u n g a oder — a

8

1. Kapitel.

Strecken und

Winkel

handelt, je nachdem in positiver oder negativer Richtung gedreht wird. So hat jede Drehung ihre M a ß z a h l . Die Drehung 2 n ist eine vollständige Umdrehung, 1 die in positiver Richtung vor sich geht. Der Zeiger wird also dabei in der positiven Richtung einmal ganz herumgedreht, n\2 ist eine Drehung in positiver Richtung um einen rechten Winkel, — n/2 eine Drehung in negativer Richtung, aber ebenfalls um einen rechten Winkel. Jetzt können wir erklären, was unter dem W i n k e l GOH oder (gh) zu verstehen ist. Das ist eine Drehung, die g in h überführt, oder vielmehr die Maßzahl einer solchen Drehung. Man sieht sofort, daß es unendlich viele Drehungen gibt, die g nach h bringen, Fig. 9. daß also der Winkel (gh) etwas unendlich Vieldeutiges ist. Wenn wir g im positiven Sinne drehen, so wird es nach einer gewissen Drehung q> eine erste Koinzidenz mit h geben. Drehen wir g weiter im positiven Sinne, so müssen wir einmal ganz herumdrehen, um wieder eine Koinzidenz mit h herbeizuführen. Die positiven Drehungen, die g nach h bringen, sind also folgende cp,

+ i n ,

ßit Yi sind die Richtungskosinus von Ox', ebenso a2, ß2, y 2 die von Oy' und a 8 j ßzi Ys die von Oz'in bezug auf das alte System. a n «2» + B cos q> — B + b'. Wir wollen versuchen, A, B so zu wählen, daß ß / = £>/= 0 wird, d. h. A (cos q> — 1) + B sin cp + a'= 0 , — A sin cp + B (cos cp — 1) + b' = 0 .

§ 12. Zwei rechtwinklige

Achsensysteme

27

Das sind zwei lineare Gleichungen mit den beiden Unbekannten A, B. Wenn die Determinante cos q> — 1, sin = (cos 95— l) 2 + sin2 tp = 2 (1 — cos x'a>), aber sie schreibt sich einfacher.

5*

68

4. Kapitel. Die Punkte und Geraden der Ebene

Macht man dasselbe bei dem Punkt (x) oder dem Punkt (0), so tritt zu allen £ ein gemeinsamer Faktor hinzu. Diese Koordinaten Ed Es sind also nur bis au! einen Faktor bestimmt. Sie sind homogene Koordinaten. Die Punkte 1, 2, 3 nennt man die F u n d a m e n t a l p u n k t e . Die Koordinaten £ lauten bei ihnen 1, 0, 0 ;

0, 1, 0 ;

0, 0, 1 .

Dem Punkte (0) entsprechen lauter gleiche £. Seine Koordinaten £ können wir also gleich 1, 1, 1 setzen. Deshalb heißt (0) der E i n h e i t s p u n k t . Die £ sind offenbar lineare Formen in den x. Ausführlich geschrieben lauten sie so: _ (2, 33) + ¿1 — _ X l (3,1») + EÜ r

(I)

(2, 3,) + (2,3,) _ v 3) (0 in 92 in ~~ ¿ j (3„ l t ) + s 8 (3t l g ) _

>

(0 3 1 )

_ « , ( l t 2 , ) - 4 - « 1 (l 3 2 1 ) + x 3 (li2 a ) _ v-j Ea [072) 2j

C'X'-

(rgsa) bedeutet hierbei die Determinante rgs„ — sera, und r l 5 r 2 , r 3 sind die Koordinaten des Punktes (r). Die Determinante der a, b, c, also (abc) ist u n g l e i c h N u l l . Multipliziert man sie nämlich mit (0 2 3) (0 3 1) (0 1 2) (1 2 3 ) , so kommt (0 2 3) (0 3 1 ) (0 1 2) (1 2 3)

=

(abc)

(3, Ii)

(2i 3 t ) (3 X 1.)

Ii 2i

1, 2a

1, 23

(1 3 2X)

(Ii 2,)

3i

32

3S

( 1 2 3)

0

0

0

( 1 2 3)

0

0

0

( 1 2 3)

(2, 3 S )

(2, 3 t )

(3,13) (1.2.)

=

d. h. man hat

=

(1 2 3 ) 3 ,

(l 2 3)2

(abc) =•(0 2 3) (0 3 1) (01 2) * S e t z t m a n £ 1? £ 2 , £3 g l e i c h d r e i

av xv,

^ bv xv,

Linearformen

cv Xv

§ 28. Projektive

Punktkoordinalen

in der

Ebene

69

m i t n i c h t v e r s c h w i n d e n d e r D e t e r m i n a n t e (abc), so s i n d d i e £ p r o j e k t i v e K o o r d i n a t e n in dem oben definierten Sinne. Durch j 2 = £3 = 0 ist nämlich ein Punkt (1), durch £3 = £1 = 0 ein Punkt (2) und durch = £2 = 0 ein Punkt (3) bestimmt. Die Koordinaten x dieser Punkte können wir so ansetzen: (1)

(b2c3),

(&3C1),

(&icg);

(2)

(c2a3),

(Cgax),

(Cifltg);

(3)

(a2bs),

{aab1),

(aA); 1

Ihre Determinante (12 3) ist gleich (abc) 2 , also ungleich Null. (1), (2), (3) liegen also nicht auf einer Geraden. Die Gerade 2 a r x y = 0 ist mit (x 2 3) = 0 identisch. Daher können sich die linken Seiten ihrer Gleichungen nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Es ist also h = o , { x 2 3) und aus demselben Grunde l2

= a2(x

3 1),

£3

= a3 (x l

2).

Um die Proportionalitätsfaktoren a zu bestimmen, betrachten wir den Punkt (0), für welchen alle % gleich sind. Wir wollen sie alle gleich 1 setzen. Dann ergibt sich CTi = 1 : (0 2 3), und daher

= 1 : (0 3 1),

a.2

oz

= 1 : (0 1 2)

_ («23)

_

(#31)

_

(x!2)

~

~

(0 3 1 ) '

~

(01 2)'

(0 2 3 ) '

Die homogenen cartesischen Koordinaten x1, x2, x3 sind ein Spezialfall der projektiven Koordinaten. Die Fundamentalpunkte (1), (2), (3) sind hier die Punkte 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1. Die beiden ersten sind die unendlich fernen Punkte der z-Achse und ?/-Achse. Der letzte ist der Anfangspunkt. Der Einheitspunkt •>101 hat die Koordinaten 1, 1, 1, also die inhomogenen Koordinaten 1, 1. In Fig. 25 sind die Fundamentalpunkte (1) 13) und der Einheitspunkt der carteFig. 25. sischen Koordinaten angedeutet. Die Punkte (1), (2) muß man auf den Achsen ins Unendliche rücken lassen, um sie in die richtige Lage zu bringen. 1

Vgl. meine „ E i n f ü h r u n g in die Determinantentheorie", § 102.

70

4. Kapitel.

Die Punkte

und Geraden der Ebene

Man pflegt das Dreieck, das die Fundamentalpunkte bilden, das F u n d a m e n t a l d r e i e c k zu nennen. Bei den cartesischen Koordinaten besteht es aus den beiden Achsen und der unendlich fernen Geraden. Jetzt wollen wir noch einen anderen Spezialfall der projektiven Koordinaten betrachten. 2a,,x,

= 0,

2byx,

= 0,

Zc,x,=

0

seien drei eigentliche Gerade, in der HESSEschen Normalform geschrieben. Es sei also af

+

a22

=

V

+ b22

=

Cl

2

+ c22 = 1.

Ist (x) ein eigentlicher P u n k t , so verhalten sich £ l 5 j 2 , j 3 zueinander wie Za,x,

Zb y Xy ^jCy Xy

#3 #3 d. h. wie die Abstände des Punktes von den drei Geraden. Die Abstände werden bei jeder Geraden in der einen Halbebene positiv, in der andern negativ gerechnet. Man kann die positiven Halbebenen nach Belieben auswählen und braucht nur eventuell die Zeichen der a oder der b oder der c umzukehren. Als Einheitspunki figuriert hier der P u n k t , dessen Abstände '/LI

10)

(!)

Fig. 26.

12,

Fig. 27.

von den drei Geraden gleich sind (inkl. Vorzeichen). Vgl. Fig. 26 und Fig. 27. In Fig. 27 b) muß man den P u n k t (0) auf der Geraden (1), (0) ins Unendliche rücken lassen, um ihn in die richtige Lage zu

29. Die Gerade

in projektiven

Koordinaten

71

bringen. Der P u n k t (3) muß in Fig. 27 auf (1), (3) ins Unendliche fortrücken. § 29. Die Gerade in projektiven Koordinaten Wir wollen die projektiven Koordinaten (I)

%i = 2 a , x „

Z2 = 2 b

v

x

v

,

j3=

Zc,xv

(abc) =j= 0 einführen. Zwei P u n k t e (x') und (x") fallen, wie wir wissen, dann und nur dann zusammen, wenn die x' zu den x" proportional sind. Wenn die x' und x" proportional sind, so gilt dasselbe von den j ' und j " . Das Umgekehrte ist aber auch der Fall. Denn die Gleichungen (I) lassen sich nach a^, x2, x3 auflösen und diese Auflösungen l a u t e n 1 (II)

= 2avic„,

=

xa =

2!c,zf.

Dabei ist (abc) (abc)

=

1.

Die P u n k t e (£') und (%") fallen also dann und nur dann zusammen, wenn die £' zu den j " proportional sind, d. h. wenn in der Matrix £i ~ >> ¿1

£2 — " ¿2

£3 — !t ¿3

alle zweireihigen Determinanten verschwinden. Eine Gerade 2 u , x „ = 0 hat in den projektiven Koordinaten j eine Gleichung von der Form Setzt man nämlich für die x die Ausdrücke (II) ein, so wird Umgekehrt stellt jede lineare Gleichung ^ u v s , = 0 eine Gerade dar. Natürlich nehmen wir an, daß nicht alle Koeffizienten gleich Null sind. Setzt man für die 5 die Ausdrücke (I) ein, so wird in der Tat X u„ = 2 ur xy. Die Verbindungsgerade der P u n k t e (£'), (£"), die wir als verschieden voraussetzen, hat die Gleichung ( j j ' j " ) = 0 . Denn diese Gleichung ist linear in den £ und sie ist erfüllt, wenn man (j) durch ( f ) oder ( f ) ersetzt. D i e P u n k t e ( f ) , ( f ) , (3:'") l i e g e n d a n n u n d n u r d a n n auf e i n e r G e r a d e n , w e n n (j' j " j'") = 0 i s t . 1

A u s (II) sieht man, daß die Koordinaten j (ebenso wie x ) nie alle gleich Null sind.

72

Kapitel.

Die Punkte

und Geraden der

Ebene

Sind (£'), ( j " ) zwei verschiedene P u n k t e der Geraden g, so lassen sich die Koordinaten jedes andern Punktes von g in der Form (*) = S« = * E.'+ Ss = * S » ' + E s " schreiben. Aus diesen Formeln folgt nämlich .tj —- ^ICj — — | jti 3 / j

9

^

=

^

—-

IM j »Tg )

=

A

—

f~

0C§

,

und umgekehrt. Jetzt können wir übrigens noch einmal die Bedeutung von / , ¡JL ableiten, die wir schon in § 27 ermittelt haben. Wir wählen als Fundamentaldreieck die Gerade g, eine dazu senkrechte Gerade h und die unendlich ferne Gerade 1 . Zum Einheitspunkt mache man einen P u n k t , der von h und g die E n t f e r n u n g 1 hat. Dann sind En E2> E3 homogene cartesische Koordinaten in bezug auf die Achsen g und h. Wir richten es so ein, daß £2 = 0 die Gerade g ist. Auf dieser Geraden sind j 3 homogene cartesische Koordinaten. Die Formeln (*), die sich auf (**) Ei = ^ E i ' + ^ E i " ) E3 = ^ E 3 ' + ^ E 3 " reduzieren, zeigen uns, daß A, ¡1 sich linear durch j 3 ausdrücken lassen. Sie sind also wirklich projektive Koordinaten auf g. Den Fall, daß g die unendlich ferne Gerade ist, haben wir in § 27 erörtert. Auch dann sind A, fi projektive Koordinaten (Doppelverhältniskoordinaten) auf g. Wir wollen hier noch die folgende Bemerkung machen: Auf jeder Seite des Fundamentaldreiecks j„ = 0 sind die beiden andern £ projektive Koordinaten. Setzen wir j x '= 0, j 2 ' = l , 0 E a ' = 0 ; E i " = ° > £ 2 " = ° » E s " = l > so ist auf der Seite Ei = Ei = E2 Ei + E3 Ei 1 E2 = E2 E2 + E3 E2 1 E3 Daraus geht das Behauptete hervor.

=

E2 E3 + E3 E3 •

§ 30. Eine Eigenschalt der projektiven Koordinaten Wir sind von den homogenen cartesischen Koordinaten x zu den projektiven Koordinaten j gelangt, indem wir _ (£23) _(*3i) _(x!2) ( 0 2 3 ) ' i2 (031)' 4 3 (012) setzten. 1, 2, 3 sind die Fundamentalpunkte und 0 ist der Einheitsp u n k t . Von diesen vier Punkten liegen keine drei auf einer Geraden. Sonst sind sie keiner Beschränkung unterworfen. w

tl_

1

Dies geht nur, wenn g eine eigentliche Gerade ist.

§ 31. Projektive

Abbildungen

einer

Ebene

auf eine andere

73

Was kommt heraus, wenn wir dasselbe Verfahren auf die projektiven Koordinaten anwenden ? Es seien jetzt gx, j 2 , g3 projektive Koordinaten (nicht gerade dieselben wie j,) und (ji°>), (g«1»), (ä(2)), (ä(3)) vier Punkte, von denen keine drei in gerader Linie liegen. Die g drücken sich linear durch die cartesischen Koordinaten aus in der Form ä, = 2 X

e

V

(» = 1 , 2 , 3 )

e

Entsprechend sei für k = 0, 1, 2, 3 ä. w = ^ 0 r i ® f ( l > , (v = l , 2, 3) a> l2> m d. h. wir wählen eben die x"", x , x , x so, daß diese Gleichungen gelten. Wollen wir aus den g nach dem Prinzip des § 28 neue Koordinaten herleiten, so müssen wir setzen S1

(i m ä(2) ä(3))' Nun ist aber z. B.

2

(ä,0) ä'3' 8(1))'

3

a m i a ) il2>)'

(5ä5(3>) = Ä ( x x ^ x ™ ) , wobei A die Determinante der are bedeutet. Wir finden also, wenn wir die Punkte r (3') in der Ebene Y werden dann dieselbe Eigenschaft haben. Setzen wir

und

-1

_(x2 —

3)

(0 2 3)'

_(x31)

(0 3 1)'

_ (x 1 2)

(01 2)

§ 32. LinienJcoordinaten ^

__ (y 2' 3') (0' 2' 3')'

;2

_ (y 3' 1') (0' 3' 1')'

;3

75

_ (y 1' 2') (0' 1' 2')'

so sind J j , J 2 , J 3 projektive Koordinaten von (x) in der Ebene X und tjj, , projektive Koordinaten von (y) in der Ebene Y. Aus § 30 wissen wir ferner, daß die £ zu den ty proportional sind. Es kommt aber hier auf einen Proportionalitätsfaktor nicht an, und wir können schreiben (HI)

9i = Ei>

=

=

B e i d e r A b b i l d u n g (I) s i n d a l s o i m m e r s o l c h e P u n k t e der E b e n e n X und 7 z u s a m m e n g e o r d n e t , die ü b e r e i n stimmende projektive Koordinaten haben. Es g i b t eine und nur eine p r o j e k t i v e A b b i l d u n g von X auf Y, d i e v i e r P u n k t e n , v o n d e n e n k e i n e d r e i in g e r a d e r Linie liegen, vier vorgeschriebene P u n k t e derselbenArt zuordnet. Setzt man J 3 = 0, so sind projektive Koordinaten auf dieser Geraden. Da t)x = t)2 = J 2 ist, so hat der entsprechende Punkt auf der Geraden t)3 = 0 dieselben projektiven Koordinaten. D i e b e i d e n G e r a d e n s i n d also p r o j e k t i v a u f e i n a n d e r a b gebildet. Das Fundamentaldreieck in der Ebene X können wir nach Belieben wählen. Daher gilt die obige Bemerkung für je zwei entsprechende Gerade. Sie sind immer projektiv aufeinander abgebildet. Wir hätten dies auch so zeigen können. Wenn (x') und (y'), ebenso (x") und (y") durch die Gleichungen (I) verbunden sind, so gilt dasselbe von (A x'-\- fi y') und (A x"+ (i y"). [i sind aber projektive Koordinaten auf den beiden Geraden. § 32. Linienkoordinaten En Eg> £3 seien projektive Koordinaten. Eine Gerade wird, wie wir aus § 29 wissen, durch eine lineare Gleichung zwischen diesen Koordinaten dargestellt, also durch eine Gleichung von der Form (1)

ltx Ei + u 2 J2 + u 3 £3 = 0. Sobald man die Koeffizienten u dieser Gleichung hat, ist die Gerade bestimmt. Es kommt sogar nur auf die Verhältnisse der u an. Hierdurch wird es nahe gelegt, die drei Koeffizienten u als K o o r d i n a t e n der Geraden einzuführen. Sie heißen p r o j e k t i v e

76

4. Kapitel.

Die Punkte

und Geraden

der

Ebene

L i n i e n k o o r d i n a t e n . C a r t e s i s c h e (homogene) Linienkoordinaten hat man, wenn die £ homogene cartesische Koordinaten sind. I n der Gleichung (I) treten die u und die £ in genau derselben Weise auf. Die linke Seite bleibt ungeändert, wenn man die u mit den entsprechenden £ vertauscht. Will man dieser Symmetrie Rechnung tragen, so empfiehlt es sich, (1) als den Ausdruck für die v e r e i n i g t e L a g e des Punktes(£) und der Geraden (u) zu bezeichnen. Hält man (u) fest und betrachtet (£) als veränderlich, so ist (1) die Gleichung der Geraden (u) in Punktkoordinaten. Hält man (£) fest und betrachtet (u) als veränderlich, so ist (1) d i e G l e i c h u n g d e s P u n k t e s (£) in L i n i e n k o o r d i n a t e n . In der T a t wird (1) von allen Geraden (u) erfüllt, die durch den Punkt (£) hindurchgehen. Der Punkt erscheint hier aufgefaßt als der Inbegriff der hindurchgehenden Geraden, ähnlich wie die Gerade als der Inbegriff ihrer Punkte angesehen wird. Alle durch einen Punkt hindurchgehenden Geraden bezeichnet man als ein G e r a d e n b ü s c h e l , ebenso alle Punkte auf einer Geraden als ein P u n k t b ü s c h e l oder eine P u n k t r e i h e . Wenn wir in einem P u n k t b ü s c h e l zwei v e r s c h i e d e n e Punkte (£') und (£") nehmen, so läßt sich jeder andere Punkt des Büschels in der Form (/i £' + ¡x £") darstellen. Der T r ä g e r desPunktbüschels, d. h. die Gerade, auf der alle seine Punkte liegen, hat nämlich die Gleichung ( £ £ ' £ " ) = 0 . Genügt £ dieser Gleichung, so gibt es eine von 0, 0, 0 verschiedene Lösung l, m, n für das System m

0

.

(v

= 1, 2, 3)

Da (£'), (£") verschieden sind, kann l nicht verschwinden. Setzt man aber m:l = — A, n:l = — fi, so wird =

+

(" = 1 , 2 , 3 )

Die Gleichung des Punktes (^ £ ' + ¿t £") lautet

W = 2 z , ' u , = 0 und 5ß" = i J i / ' u , = 0 sind die Gleichungen der Fundamentalpunkte 1 (£'), ( j " ) . Ganz ähnlich ist es nun bei einem G e r a d e n b ü s c h e l . Nehmen wir zwei v e r s c h i e d e n e Gerade (u') und ( u " ) in dem Büschel, so läßt sich jede andere Gerade des Büschels in der Form (/lu' + // u " ) darstellen. Der Träger des Büschels, d. h. der Punkt, durch den 1

Sie sind die Fundamentalpunkte der projektiven Koordinaten A, /i.

§ 33. Doppelverhältnis

von vier Geraden

eines Büschels

77

alle seine Geraden hindurchgehen, hat nämlich die Gleichung ( u u ' u " ) = 0 . Genügt (u) dieser Gleichung, so gibt es eine von 0, 0, 0 verschiedene Lösung l, m, n für das System i U„ + m t t / + n u / ' = 0 .

(v = 1, 2, 3)

Da (u') und (u") verschieden sind, kann l nicht verschwinden. Setzt man aber m:l = —A, n:l = — f i , so wird u, = Au;+t*uv".

Die Gleichung der Geraden 2

(v =

1, 2, 3)

lautet

(Au'+ßVi")

Pu,") £V = A ® ' + A t

©"=0.

= = 0 und ® " = 2 X " £ v = 0 sind die Gleichungen der Fundamentalgeraden (u'), (u"). Die Analogie zwischen den beiden obigen Betrachtungen über die Punktreihe und das Geradenbüschel ist eine vollkommene. Man gelangt von der einen zur andern, indem man „ein £ für ein it macht" und umgekehrt ein u für ein Welche Bedeutung haben A, ¡x in dem Geradenbüschel ? § 33. Doppelverhältnis von vier Geraden eines Büschels

Wir betrachten das Geradenbüschel (1)

A ® ' + f i ® " = 0.

© ' " = 0 sei eine Gerade, die nicht dem Büschel angehört. Wir führen die neuen Koordinaten 3i = © " , 8. = ~ 5. = ein. Sie sind wie die j projektive Koordinaten. Die Gerade (1) hat in diesen neuen Koordinaten die Gleichung h i — n i = Ihr Schnittpunkt mit der Geraden g3 = 0 hat die Koordinaten gx = A, fo = H, h = 0 . Auf der Geraden j 3 = 0 sind aber g1? projektive Koordinaten. D e r S c h n i t t p u n k t v o n A ©' + fi © " = 0 und © " ' = 0 h a t also auf der G e r a d e n © " ' = 0 die p r o j e k t i v e n K o o r d i n a t e n A, ¡i. Die vier Geraden Ar®'+fir&"=

0

(r =

l , 2, 3, 4)

schneiden auf der Geraden © " ' = 0 vier Punkte Pr aus mit den projektiven Koordinaten Ar, also mit dem Doppelverhältnis tD D D D\

(^1 Ps) i»4> to) ( W

78

4. Kapitel.

Die Punkte

und Geraden

der

Ebene

Dieses Doppelverhältnis ist, wie man sieht, nur abhängig von den vier Geraden des Büschels, die man gewählt hat, aber absolut nicht von der Geraden @"' = 0, mit der man die vier Geraden zum Schnitt gebracht h a t . Dieser Satz heißt das Theorem von PAPPUS. Wir wollen ihn so formulieren (vgl. Fig. 28). Man habe zwei Gerade g und h und einen P u n k t S, der keiner von beiden angehört. P r o j i z i e r t m a n 1 v i e r P u n k t e d e r G e r a d e n g v o n S a u s a u f d i e G e r a d e A, so b l e i b t i h r D o p p e l verhältnis erhalten. Wird jedem P u n k t von g seine Projektion auf h (von S aus) zugeordnet, so sagt man, daß die beiden Punktreihen p e r s p e k t i v aufeinander bezogen sind. Sie sind dadurch nach dem Satze des PAPPUS projektiv aufeinander abgebildet.

Hat man zwei Punktreihen g und h, die projektiv aufeinander abgebildet sind, so kann man sie immer in perspektive Lage bringen. Man nimmt einen P u n k t G0 auf g und seinen Bildpunkt H0 auf h und ändert die Lage von h derart, daß H0 mit G0 zusammenfällt, ohne daß jedoch g und h zusammenfallen (vgl. Fig. 29). Nun verbindet man zwei andere P u n k t e G x , Ga von g mit ihren Bildpunkten Hi, H2 und bringt diese Verbindungslinien in S zum Schnitt. Dann liegen je zwei entsprechende P u n k t e G und H mit S in gerader Linie. H ä t t e H eine andere Lage H', so wäre, weil es sich um eine projektive Abbildung handelt, (GG0G1G2) =

(H'H0H1H2).

Andererseits ist aber nach dem Satz des PAPPUS (GGqG^Z)

=

( 7 7 / /

Also müßte sein (HHÜH1H2) 1 d. h. verbindet Schnitt mit h.

= (H'H

0

2

HiH

) . 2

).

man sie mit S und bringt diese Verbindungslinien zum

§ 33. Doppelverhältnis

von vier Geraden

eines

Büschels

79

H und H' haben also übereinstimmende Doppelverhältniskoordinaten (vgl. S. 39). Daher können sie nicht verschieden sein. Jetzt ist die in § 20 benutzte Bezeichnung „projektive Abbildung" gerechtfertigt. Bei geeigneter Verlegung der beiden Geraden läßt sie sich durch Projektion von einem Punkte S aus realisieren. Wir kehren nun zur Betrachtung von vier Geraden eines Büschels zurück. Nach dem Satz des PAPPUS schneiden sie eine in dem Büschel nicht enthaltene Gerade g in vier Punkten mit einem konstanten Doppelverhältnis. D. h. das Doppelverhältnis bleibt ungeändert, wenn wir die Gerade g verschieben. W i r k ö n n e n d i e s e s D o p p e l v e r h ä l t n i s als das der vier G e r a d e n d e f i n i e r e n . Dann haben also die Geraden XT © ' + ¡ir © " = 0 (r = 1, 2, 3, 4) das Doppelverhältnis (^¡«3) (A2im4) : Werden die vier Geraden mit glf g2, g3, g4 bezeichnet, so schreiben wir hierfür auch (gigzgsgi)-

Wir wollen zuerst den Fall betrachten, daß der Träger S des Geradenbüschels ein eigentlicher Punkt ist. Wir führen neue Koordinaten ein und zwar homogene cartesische. Als Fundamentaldreieck benutzen wir die Gerade © ' = 0 , eine durch S gezogene Senkrechte zu ihr, § ' = a © ' + ß © " = 0 und die unendlich ferne Gerade 0. Der Einheitspunkt sei von ©'= 0 und 0 um 1 entfernt. Wir denken uns fe' und S ' mit solchen Konstanten multipliziert, daß für ihn ©'= § ' = S ' ist. Dann können wir setzen xt

= ©',

x2 =

x3 =

ST

und xx, x2, x3 sind homogene cartesische Koordinaten in bezug auf die Koordinatenachsen ©' = 0, § ' = 0. Aus Xl

= ®\

x2=

=

«©'+/?©"

entnimmt man ©'=3!,

%"=axy

+

Die Gerade X ©'+

n ©"=

0

hat also jetzt die Gleichung X xx +

[i (a xx +

b x2)

=

0

fi'x2

=

0,

oder (*)

K x

l

+

wobei /'=

A + ¡ia,

n' =

gesetzt ist. Aus § 19 wissen wir, daß

fxb

bx2.

80

4. Kapitel.

Die

Punkte

und Geraden

der

Ebene

(V/V) (V 4 ' ) ( V / V )

ßiPi)

(hh)

ist. Wir brauchen uns also nur mit dem Ausdruck ß/*3)

Pt)

zu beschäftigen. Die Gerade (*), die wir orientieren und mit g bezeichnen wollen, bilde mit der Achse x2 = 0 oder der x-Achse1 den Winkel (xg) = i £ i + &2E2 + f>3?3, =

C1

£1 ~r C2 ?2 +

C3

•

(abc) =|= 0 .

86

4. Kapitel. Die Punkte und Geraden der Ebene

Multiplizieren wir mit b 1 ; b 2 , b3 und addieren, so ergibt sich 2

Die Gerade

öv ^ = 2

(a,

+ b, b2 + c, b3)

.

= 0 wird also in den alten Koordinaten

dargestellt durch die Gleichung + b,b2+cvb3)£v = 0. Ihre Koordinaten u x , u 2 , u 3 in dem alten System sind also folgende = + i>j b s + b8 , u 2 = a 2 bx b2 b2 + c22 b;3 1

(2)

u

u3 = a3 b r

b 3 b2

c3 b 3 .

In (2) treten dieselben Koeffizienten wie in (1) auf, nur sind die Zeilen zu Spalten geworden und umgekehrt. Man beachte, daß in (1) links die neuen Punktkoordinaten stehen, in (2) dagegen links die alten Linienkoordinaten. Löst man die Gleichungen (2) nach den b auf, so findet man öi = 2 i i u i + 9 i 2 u 2 + 2I 3 u 3 , (2')

b2 = 33 1 lt 1 + a3 2 u 2 -f 583U3, b3 = ©1U1+ 6 2 u 2 + 63

Die 21, 93, (£ sind die algebraischen Komplemente der a , b , c in der Determinante f>t Ci

a2 f>2 c2

03 63 C3

aber noch dividiert durch diese Determinante. Den u' mögen vermöge der Gleichungen (2') die Werte b' entsprechen, den u " die Werte b " , den u ' " die Werte b ' " , endlich den u * die Werte b*. Dann ist ( u u " u ' " ) = (abc) ( b b " b " ' ) , ( u * u " u ' " ) = (abc) ( b * b " b ' " ) , usw.

also

(B B" B'") u, = (B* b" B'"j'

(B 0' b") (B b"' B') U, = (b* t)'" B')' Uo = (B* B' &")'

oder, wenn wir die Geraden (b*), (b'), (b"), (ü'") kurz mit 0 , 1 , 2 , 3 bezeichnen, (b 2 3) (» 1 2) it, = (Ö~23)' U, = (0 3 i ) ' n , = (0 1 2)-

§ 35. Die

Verhältnisse

der projektiven

Punkt-

und

Linienkoordinaten

87

Es ist ganz gleich, welche Koordinaten man rechts benutzt. Man kann z. B. cartesische Koordinaten anwenden. Die u drücken sich genau so durch die b und durch die Koordinaten der Fundamentalgeraden und der Einheitsgeraden aus, wie die j durch die t) und durch die Koordinaten der Fundamentalpunkte und des Einheitspunktes. In dem Punkte u 3 = 0, d . h . in dem Geradenbüschel, dessen Träger er ist, sind u l 5 u 2 projektive Koordinaten. Das geht daraus hervor, daß die Gleichung einer Geraden dieses Büschels so lautet: u i E i + u 2i2 = 0- Vgl. S. 82. Ebenso sind u 3 , itx projektive Koordinaten im Punkte u 2 = 0 und u 2 , u 3 im Punkte Uj = 0 . § 35. Die Verhältnisse der projektiven Punkt- und Linienkoordinaten, ausgedrückt durch Doppelverhältnisse

Hat der Punkt P die Koordinaten £ / , £ 2 ', j 3 ', so werden seine Verbindungslinien mit den Ecken des Fundamentaldreiecks dargestellt durch die Gleichungen E2

— E3E2 — 0 >

E3 Ei — Ei E3 — 0,

Ei E2 — E2 Ei — 0.

Sie mögen der Reihe nach Ax, h2, h3 heißen. Die Verbindungslinien des Einheitspunktes mit den Ecken werden ausgedrückt durch E2-ES=0,

E 3 - E I = 0,

E I - E 2 = 0-

Sie nennen wir der Reihe nach et, e2, e3. Die Seiten des Fundamentaldreiecks, also die Geraden Pj £i = 0> Sa = 0, ? 3 = 0 bezeichnen wir wie früher mit 1, 2, 3 (vgl. Fig. 35).

F i g . 35.

F i g . 36.

Dann ist (vgl. S. 82) (A1c12 3) = it', (h2e2 3 1) = Es': E/, (A 3 e 3 1 2) = : j 2 '.

88

4. Kapitel.

Die Punkte und Geraden der Ebene

Hat die Gerade g die Koordinaten u/, lt2', u3', so werden ihre Schnittpunkte mit den Seiten des Fundamentaldreiecks dargestellt durch die Gleichungen u

2

u 3 —

u

3

u

2

'= 0,

u

3

u / —

u

t

u3' = 0 ,

u

2

'— u

2

Ui'=

0.

Sie mögen der Reihe nach P1, P2, P3 heißen. Die Schnittpunkte der Einheitsgeraden mit den Seiten des Fundamentaldreiecks wollen wir Elt E2, E3 nennen (vgl. Fig. 36). Sie werden dargestellt durch die Gleichungen u2 — u3 = 0,

u3 — ux = 0,

Uj— u2 = 0.

Die Ecken des Fundamentaldreiecks, also die Punkte Ux = 0, u2 = 0, u3 = 0 bezeichnen wir wie bisher mit 1 , 2 , 3 . Dann ist 1 ( i V E i 2 3) = u , ' : u,', {PtE23 l ) = u 3 ' : u 1 ' , ( P 3 £ , 1 2 ) = u i ' : u 22' .* § 36. Projektive Abbildungen ausgedrückt in Linienkoordinaten oder in Punkt- und Linienkoordinaten Wir betrachten eine projektive Abbildung der Ebene X auf die Ebene Y. In § 31 schrieben wir eine solche Abbildung in cartesischen Punktkoordinaten. Die Gleichungen (I) in § 31 behalten ihre Form, wenn wir irgendwelche projektiven Punktkoordinaten benutzen, z. B. in X die Koordinaten £, in Y die Koordinaten ty. Die Gleichungen lauten =

(1)

^2

=

=

1 + a 2 2 b2 + o 3 2 1) 3 , u 3 = Qis öi + a 2 3 b2 + a S3 b 3 .

Sie sagen uns, welche Gerade (u) in der Ebene X der Geraden (b) in der Ebene Y entspricht. (1) und (2) sind nur zwei verschiedene Ausdrücke für dieselbe Abbildung. Das eine Mal haben wir sie in Punktkoordinaten, das andere Mal in Linienkoordinaten ausgedrückt. Die Betrachtungen in § 31 lassen sich auf (2) übertragen nach der Methode, daß man für jedes x ein u schreibt. Man nennt dieses Übertragungsprinzip das P r i n z i p der D u a l i t ä t . Wir werden ihm noch mehrfach begegnen. E s ergibt sich dann, daß bei der Abbildung (2) einem Geradenbüschel stets ein Geradenbüschel entspricht (was wir schon wissen), ferner, daß diese beiden Geradenbüschel projektiv aufeinander bezogen sind. Auch können wir bemerken, daß es eine und nur eine projektive Abbildung gibt, die vier Geraden, von denen keine drei durch einen Punkt hindurchgehen, vier vorgeschriebene Gerade derselben Art zuordnet. Sehr bequem läßt sich eine projektive Abbildung schreiben, wenn man in der einen Ebene Punktkoordinaten, in der andern aber Linienkoordinaten benutzt. Der Punkt (1)), der dem Punkte (£) durch die Abbildung (1) zugeordnet wird, hat die Gleichung

Setzt man hier für die t) die Ausdrücke (1) ein, so ergibt sich (3)

2 flr« Ör

= Oi

Diese eine Gleichung leistet genau dasselbe wie die drei Gleichungen (1) oder die drei Gleichungen (2). Ist (j) gegeben, so stellt sie die Gleichung des Punktes dar, der dem Punkt (j) bei der Abbildung entspricht. Ist (ü) gegeben, so stellt sie die Gerade dar, aus der die Gerade (ti) bei der Abbildung (1) hervorgeht. § 37. Projektive Abbildungen einer Ebene auf sich selbst Wir lassen jetzt die Ebenen X und Y, die projektiv aufeinander abgebildet werden, zusammenfallen. Dann entsteht eine projektive Abbildung der Ebene X auf sich selbst, und zwar wird dem Punkt (j) der Punkt

90 (1)

4. Kapitel.

Die Punkte

und Geraden der Ebene

2 a„ u r E» = 0

zugeordnet. Einen Punkt, der sein eigener Bildpunkt ist, bezeichnet man als D o p p e l p u n k t (oder auch Fixpunkt) der Abbildung, (j) ist offenbar dann und nur dann ein Doppelpunkt, wenn die Gleichung (1) denselben Punkt darstellt wie die Gleichung (2)

also die linken Seiten beider Gleichungen sich um einen Faktor unterscheiden: a r iSi + OnS« + o,«Sa = (r = l , 2, 3). Diese drei Gleichungen lauten, anders geschrieben, so: (3)

(«11 + 3 = 0 wegen (2) folgen würde Ei = j 2 = J 3 = 0. Die homogenen Koordinaten sind aber nie alle gleich Null. (3) ist eine Gerade in der Ebene Y. J e d e m P u n k t (j) i n d e r E b e n e X w i r d a l s o e i n e G e r a d e (b) in d e r E b e n e Y zug e o r d n e t . Nach welchem Gesetz dies geschieht, zeigt sich, wenn man die Ausdrücke der J durch die E aufschreibt: f i = a u Ei + a 12 e2 + a 13 e 3 , (4) t>2 = ß2l El + «22 E2 + °23 Es > = O3I El °32 E2 + ®33 E3 • J e d e r Geraden (b) in der Ebene Y entspricht vermöge (4) ein Punkt (E) in der Ebene X. Sind nämlich die b gegeben, so lassen sich die Gleichungen (4) nach den e auflösen, weil die Determinante (2) von Null verschieden ist. Die P u n k t e der Ebene X und die G e r a d e n der Ebene Y sind hier also miteinander gepaart. Nehmen wir einen bestimmten Punkt (t)) in der Ebene Y, so stellt (1) eine Gerade (u) in der Ebene X dar, und zwar die Gerade Ui = «ii th + a211)2 + a311)3, (5) u 2 = a 12 + a221)2 + a321)3, . u 3 = a 13 t)i + a231)2 + a 33 1) 3 . Es sind also auch die G e r a d e n der Ebene X mit den P u n k t e n der Ebene Y gepaart. Bei einer Kollineation waren die Punkte mit den Punkten und die Geraden mit den Geraden gepaart. Lösen wir die Gleichungen (5) nach den i) auf, so ergibt sich t)i = 2l n u x + 3llg u 2 + 9l13 u 3 , t)2 =

9l21 Ui +

9l22 u

2

+

Sl23

u

3

,

2l32 u2 -f 9l33 u 3 . 7*

100

4. Kapitel.

Die Punkte

und Geraden der Ebene

Dabei ist St rs das algebraische Komplement von a r J in der Determinante (2) (noch dividiert durch diese Determinante). Die Gleichung des Punktes (ty), der mit der Geraden (u) gepaart ist, lautet bj + t>2ty2+ ö-1)* = 0 oder, wenn man für die t) ihre Ausdrücke einsetzt (i')

2;§Uii s t> r = o.

Diese Gleichung liefert bei gegebenem (u) die Gleicnung des mit (u) gepaarten Punktes (t)), bei gegebenem (ti) die Gleichung des mit (b) gepaarten Punktes (j). Sie leistet also genau dieselben Dienste wie (1). Sie drückt in Linienkoordinaten aus, was uns (1) in Punktkoordinaten sagt. Wir wollen die Punkte (£) und (t)) k o n j u g i e r t nennen, wenn sie der Gleichung (1) genügen. Ebenso sollen die Geraden (u) und (b) konjugiert heißen, wenn sie der Gleichung (1') genügen. Dann können wir die bisher festgestellten Beziehungen so ausdrücken: Hält man von zwei konjugierten Punkten den einen fest, so beschreibt der andere eine Punktreihe, und beschreibt der eine eine Punktreihe, so bleibt der andere fest* Hält man von zwei konjugierten Geraden die eine fest, so beschreibt die andere ein Geradenbüschel, und beschreibt die eine ein Geradenbüschel, so bleibt die andere fest. (£')> (?") seien zwei verschiedene Punkte von X. Wir setzen Dann sind ©'= 0

bzw.

@"= 0

die Geraden, die zu (j') und (%") gehören. Die zu [ A i ' + m " ) gehörige Gerade wird offenbar dargestellt durch die Gleichung A ©' + /*©" = 0. Die Punktreihe (Ag + p %") und das Geradenbüschel A ©' + 11 = 0 sind hier projektiv aufeinander bezogen, d. h. entsprechende Quadrupel haben gleiches Doppelverhältnis. Jede Punktreihe in der Ebene X wird also durch die Korrelation projektiv bezogen auf ein Geradenbüschel in der Ebene Y. Jedes Geradenbüschel in der Ebene X wird projektiv bezogen auf eine Punktreihe in der Ebene y . Wir wählen jetzt in der Ebene X nach Belieben vier Punkte 0, 1, 2, 3 aus, von denen keine drei in gerader Linie liegen. 0', 1', 2', 3' seien die entsprechenden Geraden in der Ebene Y. Wir machen 1, 2, 3 zu Fundamentalpunkten in X und 1', 2', 3' zu

§ 39. Korrelationen

zwischen zwei Ebenen

101

Fundamentalgeraden in Y, ferner 0 zum Einheitspunkt in X und 0' zur Einheitsgeraden in Y. Wie drückt sich die Korrelation (1) in den neuen Koordinaten aus ? Wir markieren die neuen Koordinaten durch Überstreichen. Da die £ lineare Formen in den £ und die t) lineare Formen in den t) sind, so wird sich (1) in eine Gleichung von derselben Gestalt verwandeln, etwa in (1) = Die Gleichungen (4) lauten jetzt öi = ä u S i + ä 1 2

+ ö 13 J 3 >

ö« = äüx^+äüüEü-!- ä 2 3 i 3 , ö3 = ö s l j i + ä 32 & + ä 33 j 3 . Es soll nun dem Punkte 1, d. h. 1, 0, 0 die Gerade 1', d. h. 1 , 0 , 0 entsprechen. Daraus ersehen wir, daß ä 2 i, ä 31 verschwinden müssen. Es soll aber auch dem Punkt 0, 1, 0 die Gerade 0, 1, 0 und dem Punkt 0, 0, 1 die Gerade 0 , 0 , 1 entsprechen. Daraus ersehen wir, daß auch äi 2 , ä 32 sowie ä 1 3 , ä 2 3 verschwinden müssen. Endlich soll dem Punkt 1, 1, 1 die Gerade 1 , 1 , 1 entsprechen. Daraus ersehen wir noch, daß ct n , ct22, ä 33 einander gleich sind. Die Gleichung (1) reduziert sich also auf (1)

Siiji + Eiiji + Siiji = ° Die Gleichungen (4) lauten

(4)

üi = Si,

ö2 = J 2 ,

ö3=E3,

und die Gleichungen (5) (5)

üi=^i,

ü2 = ^ 2 ,

üs = ^ s -

Man sieht, daß es immer eine und nur eine Korrelation gibt, die vier Punkten der Ebene X, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, vier vorgeschriebene Gerade der Ebene zuordnet, von denen keine drei durch einen Punkt gehen. Man kann auch verlangen, daß vier Geraden der Ebene X, von denen keine drei durch einen Punkt hindurchgehen, vier vorgeschriebene Punkte der Ebene Y entsprechen sollen. Es gibt immer eine und nur eine Korrelation, die das Verlangte leistet. Wenn wir die Gleichung einer Korrelation auf die kanonische Gestalt (1) bringen, so besteht sie ganz einfach darin, daß immer Punkte und Gerade mit übereinstimmenden Koordinaten einander zugeordnet werden.

102

4. Kapitel. Die Punkte und Geraden der Ebene

Setzen wir £3 = 0 (also auch b3 = 0), so können wir j 2 als projektive Koordinaten in der Punktreihe j 3 = 0 und b n b2 als projektive Koordinaten in dem Geradenbüschel b3 = 0 betrachten. Wir sehen dann wieder, daß die Punktreihe und das Geradenbüschel durch die Korrelation projektiv aufeinander bezogen sind. Es gibt eine einfache Figur, der bei einer Korrelation eine gleichartige Figur entspricht. Diese Figur besteht aus einem P u n k t und einer G e r a d e n in v e r e i n i g t e r . L a g e (Fig. 38). Wir nennen diese Figur Fig. 38. m i t g 0 P H U S l i e ejn Linienelement. Ist (£) der Punkt und (ü) die Gerade eines Linienelements in der Ebene X, so hat man ü i i i + Ü2 h + Ü3 J 3 = 0 . Aus den Gleichungen (4) sieht man, daß dann auch öi

+ b2 f 2 + b31)3 = 0

ist.

Einem Linienelement in X entspricht also immer ein Linienelement in Y. Die Korrelation paart die Linienelemente der einen mit den Linienelementen der andern Ebene.

§ 40. Korrelationen in einer Ebene Wir lassen jetzt die Ebenen X und Y zusammenfallen und benutzen in beiden dieselben Fundamentalpunkte und Einheitspunkte. Die Gleichung (1) iX.EA = 0 ist dann eine Korrelation in der Ebene X. Sie ordnet jedem Punkt (£) eine Gerade (b) der Ebene X zu und jeder Geraden (u) einen Punkt (t)). Nach welchem Gesetz dies geschieht, sagen uns die Formeln »r = Orl El + «72X2+ Grs Es, (r = l , 2, 3) t)T = 2i r ! Ui + 9Ir2 u 2 + 2I r 3 u 3 . (r = 1, 2, 3)

Dabei ist 2l r , das algebraische Komplement von a „ in der Determinante

§ 40. Korrelationen

An °21 >»31

81 =

in einer

°is 22 "32

103

Ebene

«13 ®83 aa "33

a

noch dividiert durch 21 selbst. Wenn die Korrelation dem Punkte (j) die Gerade (b) zuordnet, und der Geraden (b) den Punkt (•$), so werden (j) und (§) im allgemeinen verschieden. Fallen (j) und (j) immer zusammen, so nennt man die Korrelation i n v o l u t o r i s c h oder auch ein P o l a r s y s t e m . Wann ist die Korrelation (1) involutprisch ? Offenbar dann und nur dann, wenn aus den Gleichungen »r = i n Ei + a r2 j 2 + a r 3 1 3 und ( r = l , 2 , 3) stets folgt Nun ist

h

=

e h ,

h =

h =

1>,

eh-

>,t

»

Soll also

j. = 2l rl tix + 9Ir2 b2 + ( r = l , 2, 3)

= g j r sein, so muß 2

sein, sobald t Sg r, und

®r. 0«, =

0

t

2Wr.a.r i

=

Q-

Nun folgt aber aus der Bedeutung der 2l rJ , daß ist, sobald t ^ r, und


0, für alle Punkte der anderen Ax+ By + C < 0. Wir haben das in § 25 gesehen. Dort zeigten wir nämlich, daß Ax + By

a

+ C

VA2 + B2

die Entfernung des Punktes x, y von der Geraden angibt, und zwar positiv oder negativ, je nachdem der Punkt in der einen oder der anderen Halbebene liegt. Bei den beiden Asymptoten (8) liegt die positive rr-Achse in der positiven, die negative x-Achse in der negativen Halbebene 1 . Die Hyperbel ist also in den beiden Winkelräumen der Asymptoten enthalten, in denen sich die x-Achse befindet. Aus Gleichung (5) ergibt sich

Im Fall x2 < a2 ist y nicht reell. Zwischen den beiden Geraden % = ± a gibt es also keinen Hyperbelpunkt. Die Hyperbel liegt ganz außerhalb des von diesen Geraden begrenzten Streifens. Die Entfernung des Punktes x, y (x > 0, y > 0) von der Asymptote

— y = 0 ist gleich bx — a y Va2

+

oder, wenn man für y den Wert ~ j/x 2 — a 2 einsetzt, gleich b{x — ]/z2 — o2) Va2 + b2

Multipliziert man im Zähler und Nenner mit x + j/a;2 —

a2,

so ergibt sich für P P' (vgl. Fig. 48) öo2 Va2 + ö2 (x + 1

J/*2"«2)'

Man sieht das, wenn man y = 0 und x > 0 oder x < 0 setzt.

§ 43. Zwei Aufgaben, die auf Kurven zweiter Ordnung führen

119

Läßt man x unbegrenzt zunehmen, so nimmt die Entfernung •N P P' beständig ab und kann durch Vergrößerung von x beliebig klein gemacht werden. Sie strebt, wie man zu sagen pflegt, bei unendlich zunehmendem x dem G r e n z w e r t Null zu (konvergiert nach Null). Man muß die Hyperbel als eine geschlossene Kurve ansehen. Um sie ganz zu durchlaufen, geht man von A in der Richtung des Pfeils ins Unendliche, bis zu dem unendlich fernen Punkt der A s y m p t o t e = 0.

Dann kommt man von diesem Punkt

wieder ins Endliche zurück nach B und geht von dort wieder ins Unendliche, bis zu dem unendlich fernen Punkt der Asymptote — —%• = 0 . Dann kommt man von hier über P wieder nach A a b

B

0\

\

A

Fz

Fig. 48.

zurück. Da beim Durchlaufen der Kurve nie Null wird, so dürfen wir in (6) durch Xj 2 dividieren und diese Gleichung so schreiben

'-för+för-

Wir können q> so wählen, daß b "> xl w

wird. Der Punkt

a,

sin 9?, — b sin e," b„ =

b„.

Die Berechnung der Determinante der brt gestaltet sich wie folgt. Setzen wir (4)

2aeaßer=C

,„,

S

so können wir schreiben br. = 2 a

Cr

(r = l , 2, . . . , » )

yr = 2yrsZ. «

(r = 1, 2 , . . . ,

«

und dann n),

so hat man dasselbe erreicht, wie wenn man gleich gesetzt hätte *r=iX. V

(r = 1, 2, . . . , n).

Dabei ist x T X f Die Koeffizienten sind q u a d r a t i s c h e F o r m e n der p-reihigen Minoren der T r a n s f o r m a t i o n s d e t e r m i n a n t e . Weil wir uns i m m e r auf lineare T r a n s f o r m a t i o n e n m i t nicht verschwindender D e t e r m i n a n t e b e s c h r ä n k e n , lassen sich die T r a n s f o r m a t i o n s f o r m e l n xr = (r = • • n) n a c h d e n y auflösen. Die Auflösung l a u t e

s

y, =

Eßt.x.-

Man n e n n t dies die U m k e h r u n g der vorigen T r a n s f o r m a t i o n . Sie f ü h r t £bT,yTy, wieder in 2aT,xrx, über. Man h a t also

D a h e r d r ü c k t sich a u c h jeder p-reihige Minor in der D i s k r i m i n a n t e v o n ^ a , , x t x , linear aus d u r c h die p-reihigen Minoren der Disk r i m i n a n t e von Xbr,yTy,. Die K o e f f i z i e n t e n sind q u a d r a t i s c h e F o r m e n der p-reihigen Minoren in der D e t e r m i n a n t e der ßrt. Aus der hier festgestellten Beziehung zwischen den p-reihigen Minoren der a l t e n u n d der n e u e n D i s k r i m i n a n t e folgt, d a ß beide denselben R a n g h a b e n . H a t die D i s k r i m i n a n t e v o n £ a T i x T x a den R a n g q, d. h . gibt es in ihr einen v o n Null verschiedenen (¡r-reihigen Minor, aber keinen v o n Null verschiedenen m e h r als g-reihigen, so gibt es a u c h in der D i s k r i m i n a n t e v o n J]br8yryt keinen m e h r als g-reihigen v o n Null verschiedenen Minor. Aber es m u ß in der n e u e n D i s k r i m i n a n t e wenigstens ein g-reihiger Minor v o r h a n d e n sein, der nicht v e r s c h w i n d e t . Sonst w ü r d e n n ä m l i c h a u c h in der a l t e n D i s k r i m i n a n t e alle §-reihigen Minoren v e r s c h w i n d e n . Die D i s k r i m i n a n t e e i n e r q u a d r a t i s c h e n F o r m b e h ä l t bei allen linearen T r a n s f o r m a t i o n e n i h r e n R a n g . K e h r e n wir n u n wieder zu den K u r v e n zweiter O r d n u n g zur ü c k . E i n e lineare T r a n s f o r m a t i o n der p r o j e k t i v e n K o o r d i n a t e n k ö n n e n wir a u f f a s s e n als d e n Ü b e r g a n g zu n e u e n p r o j e k t i v e n K o o r d i n a t e n . Aus d e m obigen Satze sehen wir, d a ß der R a n g der Dis-

§ 49. Eigensysteme

einer quadratischen

Form

149

kriminante gar nicht davon abhängt, w e l c h e projektiven Koordinaten man zugrunde legt. Fassen wir die lineare Transformation als eine projektive Abbildung (Kollineation) auf, so können wir sagen, daß bei allen Kollineationen die Diskriminante einer Kurve zweiter Ordnung ihren Rang bewahrt. Der Rang der Diskriminante ist eine p r o j e k t i v e I n v a r i a n t e . Wenn die Diskriminante einen bestimmten Rang hat, so ist das eine p r o j e k t i v e E i g e n s c h a f t , d. h. diese Eigenschaft bleibt bei allen Kollineationen erhalten. § 49. Eigensysteme einer quadratischen Form Wir brauchen im folgenden einen Satz über die Wurzeln der sogenannten Säkulargleichung. Darunter versteht man eine Gleichung von der Form öj! (1) wobei

A,

a12

«21

5 «22

®nl

1

,

«In

^l

' >

i

' 5

«n2

«2 n "„

X

«11 «12 • ' «1» «21 «22 ' • «2 n «Kl « n 2 ' ' • «nn eine s y m m e t r i s c h e Determinante mit r e e l l e n Elementen ist. Die ar, sind also reelle Zahlen und are ist immer gleich a,T. Der Satz, den wir beweisen wollen, lautet: Die S ä k u l a r g l e i c h u n g hat lauter reelle Wurzeln. Um die Formeln bequemer schreiben zu können, bezeichnen wir die Elemente der Matrix 1 0

0 ... 1 ...

0 0

0

0 ...

i

mit Eln

£11

£12

' ' '

e21

e22

' ' " e2n

150

6. Kapitel. Kurven

2. Ordnung und 2. Klasse vom projektiven

Standpunkt

Dann nimmt die Gleichung (1) die Form an — Aen,

«21 — Ae 2 1 ,

a i 2 — Ae 1 2 , A s22, #22

an i —

a«2

u

a

Ae n 2 ,

• • •> «In~ ¿«In a2n A Ean • •i • •i

«n —n

A = A' + iA" sei eine Wurzel von ihr. Dann haben die linearen Gleichungen (2)

2

("re -¿era)x,

= 0

(r =

l,...,n)

8

eine von 0, 0, . . . , 0 verschiedene Lösung X-y

= Xi

l x^

,

. . .,

xn = xn

i xn

.

Die Gleichungen (2) lassen sich ausführlicher so schreiben: 2

aIS (»/ +

ixB") = (A' +

iA") «

(r = 1, ...,

n)

+

ixr").

8

Multipliziert man sie der Reihe nach mit x^ — ix^', ..., xn' — und addiert sie dann, so kommt (3)

2 a„ (xr' r, «

geht

ixT") «

+

¿ x . " ) = (A' +

iA") £

(*/» +

ixn"

xr"*).

Die linke Seite ist reell. Ersetzt man nämlich i durch — i , so 2ara(xr' r, 8

über in 2ara

-

IX")

(«/ +

(x,'+ix,")

ixr") = 2d,r

r, 8

(x/ -

ix,") «

+

ixr").

T, 8

Vertauscht man in der letzten Summe die gleichberechtigten Indizes r und s, so wird sie mit der ersten identisch. Da die linke Seite von (3) reell ist, so muß es auch die rechte Seite sein, d. h. es muß ¿"2(xr'*

+ xr"*) = 0

sein. Nun können aber xr', x" (r = 1 , . . . , n) nicht alle verschwinden, weil das System xx' + ixy", ..., x„' + ix„" gerade von 0, . . . , 0 verschieden ist. Also folgt A" = 0 , d. h. A ist reell. Wir wollen eine Wurzel der Gleichung (1) einen E i g e n w e r t der quadratischen Form 2 a T > x r x > nennen. Eine reelle quadratische Form hat also nur reelle Eigenwerte.

§ 49. Eigensysteme

einer quadratischen

Form

151

Ist X ein Eigenwert von arS xr xs > s o lassen sich die Gleichungen (2) derart befriedigen, daß xu x2, ..., xn alle reell und nicht alle gleich Null sind. Ein solches Wertsystem möge ein zu dem Eigenwert X gehöriges E i g e n s y s t e m der quadratischen Form ^ a T ) x T x , heißen. Wenn X = X' eine p-fache Wurzel von S (X) = 0 ist, so ist h = 0 eine p-fache Wurzel der Gleichung

Si (h) =

a'n — h, a'21 ,

a'm a\n

ö 12 l a'22 — h,

a'm a'n2 , • .., Dabei haben die a'T, folgende Bedeutung

a'„„ — h

a ' „ = «rs — t' e rs(r, s = l , 2 , Es ist also a'r, = a',r und die a're sind reell. Nun multiplizieren wir iSj (h) mit a'n

+h

a

Sx (-h)

21

=

= 0

...,n)

a' i„ a' 2n

a 12 i a'a +h,

ß • •, a'„„ + h a'm »2 l und zwar nach Zeilen. Dabei ergibt sich, wenn wir zur Abkürzung

a'r2 a'»2 + . . . + a'rn a'.n = c't.

a'n a'.i setzen, cn Sl (h) S^-h)

=

C

h?, 21 ,

c 12 , c 22 h1 i

••i ••l

c

In C 2n

2 »1 i °r' n 2 ? • • i C'° n n— Ä" Die Summe der m-reihigen H a u p t minoren in derDeterminante

r' ^

C'12 • • c'i» C 22 • • C 2 n c/

werde mit am

n2 • • c' n n bezeichnet. Es soll also Cr r

...

Cr

I

152

6. Kapitel.

Kurven

2. Ordnung

und 2. Klasse

vom projektiven

Standpunkt

sein (rx < r 2 < . . . < rm). Nun ist aber 1 cr'

c

•• •

v .

l

a'r, 1

'i'i» /

! c'

C

mrm

ü'. =

ü

r

'rml

a

.

r,sm

a

• • • 2

2

• ü

a

rms,

2

a \ »

• ••

rmn

( S i < S

2

< .

rmsm

Man sieht hieraus, daß am der Quadrats umme a l l e r m Minoren von a'n a 12 "' - f f l ' l » a'% i a 22 ' ' -ffl'sn a'n

i

f a n 2"

gleich ist. Hat diese Determinante also den Rang n —q, so ist -JbL-

_ i

• • •)

® n

'

Vm =

Vn

5

§ 50. Das Trägheitsgeselz

der quadratischen

159

Formen

so verwandelt sich (1) in (2)

y S + ' - '

Offenbar geht J>]aT,xrxa lineare Transformation £ir V\ . Xr

~

+ y l - y l + i

yl-

direkt in (2) über, wenn man die reelle , (prVv

vk

| Sj> + i> r1Jp+\

Vh

. +

v ^ r ,

" '

+

r Vm v-^n

"t" fm + 1» r y + x — • • •

z2mi.

Dann soll bewiesen werden, daß p = p' ist. Dies geschieht in der Weise, daß man aus der Annahme p < p' einen Widerspruch herleitet. Von den y zu den z gelangt man durch die lineare Transformation Ihre Gleichungen mögen lauten yr = £ r E,. Die beiden ersten Typen nennt man n i c h t a u s g e a r t e t e Kurven zweiter Ordnung. Die Kurve (I)

Zi2 +

x i

+

x f

= 0

hat k e i n e n r e e l l e n P u n k t , weil xt, x2, x3 als homogene Koordinaten nicht alle drei verschwinden dürfen. 1 Wenn m a n will, kann m a n die x als homogene cartesische Koordinaten betrachten.

§ 51. Einteilung

(II)

der Kurven zweiter Ordnung usw.

x f + x22 -

163

x32 = 0

ist eine r e e l l e K u r v e , d. h. sie hat unendlich viele reelle Punkte. F a ß t man die x als homogene cartesische Koordinaten auf, so stellt (II) einen Kreis vom Radius 1 dar. Die anderen Typen nennt man a u s g e a r t e t e Kurven zweiter Ordnung. Die Kurve (III)

x, 2 + x 2 2 = 0

hat nur den einen reellen Punkt Xj = 0 , x 2 = 0 4 Sie besteht, da + ®22 =

+

(^1 — i x 2 )

ist, aus den beiden k o n j u g i e r t i m a g i n ä r e n x,+ix

2

= 0

und

Geraden

x t — ¿x 2 = 0 ,

die ßich in dem reellen Punkt 0, 0, 1 schneiden. (IV)

xx2 — x22 = 0

ist ein r e e l l e s G e r a d e n p a a r , bestehend aus den Geraden Xi — x%

Endlich stellt

= 0

(V)

und

Xj + x 2 = 0 .

x12 = 0

eine D o p p e l g e r a d e dar, nämlich die doppelt zählende Gerade

xx = 0.

Natürlich können wir bei den einzelnen Typen die kanonische Gleichung auch anders wählen. Z. B . können wir die Gleichung (II) so schreiben x^

— (x3

+ x 2 ) (£3 — x2) = 0 .

Setzen wir £3

X2 = X-y ,

Xg

Xg — X3 ,

Xi = Xg ,

was nichts anderes als eine reelle Kollineation ist, so verwandelt sich (II) in (II')

x / x 3 ' - x2'2 = 0.

(IV) wird durch die reelle Kollineation Xi

X2

=

Xj ,

Xi -f" Xg = Xg , X3 = X3

11»

164

6- Kapitel.

Kurven

2. Ordnung und 2. Klasse

vom projektiven

Standpunkt

in das Geradenpaar (IV') übergeführt. Wenn man auch lineare Transformationen mit komplexen Koeffizienten zuläßt, so gibt es nur drei Typen, nämlich xx8 + x82 + #32 = 0 (nichtausgeartete Kurve) xx2 + x22 — 0 (Geradenpaar), xx2 = 0 (Doppelgerade). Der Rang ist hier die einzige Invariante. § 52. Projektive Erzeugung der reellen nichtausgearteten Kurven zweiter Ordnung ^ ^ X% ^ Xq S616I1 homogene cartesische Koordinaten. Wir wissen, daß eine reelle nichtausgeartete Kurve zweiter Ordnung durch eine reelle Kollineation in den Kreis

Xj^

X22

* 2/j- — 0

überführbar ist. Nimmt man auf diesem Kreise zwei verschiedene Punkte P, Q und ordnet in den Geradenbüscheln mit den Trägern P und Q immer die beiden Geraden einander zu, die P und Q mit demselben Punkte R des Kreises verbinden, so sind die beiden Büschel projektiv aufeinander bezogen. Verbindet man also P und Q mit vier Punkten A, B, C, D des Kreises, so entstehen zwei Geradenquadrupel mit gleichem Doppelverhältnis. Aus dem Satz vom Peripheriewinkel folgt, daß die beiden Büschel sogar kongruent sind. Man kann sie so aufeinanderlegen, daß entsprechende Gerade sich Fig. 65. decken. Wir können aus dieser Eigenschaft des Kreises schließen, daß bei jeder reellen nichtausgearteten Kurve zweiter Ordnung projektive Geradenbüschel entstehen, wenn man zwei Punkte P, Q der Kurve mit den andern Punkten verbindet und immer die Geraden einander zuordnet, die von P und Q nach demselben Kurvenpunkte R laufen. Im Anschluß hieran entsteht folgende Frage: Gegeben sind zwei projektiv aufeinander bezogene reelle Geradenbüschel mit v e r s c h i e d e n e n Trägern P, Q. Man sucht den Ort der gemeinsamen Punkte je zweier entsprechender Geraden. Die Gerade P, Q gehört beiden Büscheln an. Entspricht sie sich nicht selbst, so bestimmt sie zwei Gerade P, R und Q, R, so

§ 52.

Projektive

Erzeugung

der reellen

nichtav ¡gearteten

Kurven

usw.

165

daß P, Q und Q, R, ebenso Q, P und P, R zusammengehören. PQR machen wir zum Fundamentaldreieck. Nehmen wir noch ein drittes Paar zusammengehöriger Geraden, so können wir ihren Schnittpunkt S als Einheitspunkt wählen. Dann entsprechen sich folgende Gerade: Büschel P

Büschel Q

J2 = 0 . . . . = 0 . . . . = 0 . . . .

Ei = 0 &=0 =

Daraus können wir schließen, daß der Geraden ¿£2 + ^ 3 = 0

die Gerade

(A, j« 4= 0, 0)

+ = 0 entspricht 1 . Diese beiden Geraden haben nur einen Punkt gemein und er genügt der Gleichung (1) Z i h ~ h 2 = 0. Wenn umgekehrt ein Punkt (5) diese Gleichung erfüllt, so ist er der Schnittpunkt von zwei zusammengehörigen Geraden der beiden Büschel. Die Gleichungen .Aj2 + Jwj3 = 0, A^ + ju^ — 0 lassen dann nämlich eine von 0, 0 verschiedene Lösung zu. Da £2, £3 nicht alle drei verschwinden, so ist durch jene Gleichungen das Verhältnis A:/i eindeutig bestimmt. Nun müssen wir noch den Fall erörtern, daß P, Q sich selbst entspricht. Dann gehören schon alle Punkte von P, Q zu dem gesuchten geometrischen Ort. Wir nehmen noch zwei andere Paare von zusammengehörigen Geraden: P, R und Q, R, P, S und Q, S. Dann entsprechen sich folgende Gerade: Büschel P

h 1

~

Büschel Q

h = 0

.

h

= 0

.

h

=

0

.

. .

. .

.

. .

. .

£2 = 0 £i = 0 J, - & = 0.

Durch drei Paare ist eine Projektivität bestimmt (vgl. S. 48).

1 6 6 fi- Kapitel.

Kurven

2. Ordnung

und 2. Klasse

vom projektiven

Standpunkt

Wir können also schließen, daß der Geraden +

= 0

=|=0,0)

die Gerade * h + ti Si = 0 entspricht. Liegt (j) auf beiden Geraden, so wird St(Si -

h) = 0 .

Umgekehrt ist jeder Punkt (5), der dieser Gleichung genügt, ein gemeinsamer Punkt von zwei zusammengehörigen Geraden der beiden Büschel. Der Ort der gemeinsamen Punkte entsprechender Geraden ist hier ein reelles Geradenpaar, bestehend aus den beiden Geraden P, Q und R, S. Die beiden Büschel befinden sich hier, wie man sagt, in p e r s p e k t i v e r L a g e . Entsprechende Gerade schneiden sich immer auf der Geraden R, S. Das Ergebnis ist also folgendes. Zwei reelle projektive 1 Geradenbüschel mit verschiedenen Trägern erzeugen, wenn sie sich nicht in perspektiver Lage befinden, eine nichtausgeartete reelle Kurve zweiter Ordnung als Ort der gemeinsamen Punkte entsprechender Geraden. Befinden sich die Büschel in perspektiver Lage, so ist der Ort der gemeinsamen Punkte entsprechender Geraden ein reelles Geradenpaar; die eine Gerade des Paares verbindet die Träger des Büschels.

§ 53. Kurven zweiter Ordnung bestimmt durch fünf Punkte In der Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung gibt es sechs homogene Koeffizienten, nämlich (1)

flll>

°22»

ß33>

a 23>

°31»

»

Verlangt man, daß die Kurve durch fünf gegebene (verschiedene) Punkte hindurchgehen soll, so sind das fünf lineare homogene Gleichungen für die sechs Unbekannten (1). Ihre Verhältnisse sind also dadurch bestimmt, vorausgesetzt, daß die Gleichungen unabhängig sind. Bezeichnen wir die fünf Punkte mit (p),

(?),

(r),

(s),

(/),

so kommt es auf den Rang der folgenden Matrix an 1

D. h. projektiv aufeinander bezogene.

§ 53. Kurven zweiter Ordnung, bestimmt durch fünf Punkte

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PeP.

ffeff