Dynamikk: fysikk for ingeniører 8276341322

Citation preview

Harald Næser

Dynamikk Fysikk for ingeniører

NBR-DEPOTBIBLIOTEKET POSTBOKS 278 - 8601 MO

HøyskoleForlaget N OR WE GI AN

ACADEMI C

PRESS

©

Harald Næser H øyskoleforlaget AS 1998

ISBN 82-7634-132-2

Det må ikke kopieres fra denne boka i strid m ed åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått m ed Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Printed in N orway 1998

Formgivning og omslag: Trykking og innbinding:

Bilder: Kap. 1 Kap. 2 Kap. 3 Kap. 4 Kap. 5 Kap. 6 Kap. 7 Kap. 8 Kap. 9 Kap. 10 Kap. 11

H øyskoleforlaget Grafisk Produksjon, Kristiansand PD C Grafisk Produksjon as, Aurskog

Golfspiller Bilvrak Piruett (Foto: N orsk Telegrambyrå) Tacoma Narrow Bridge (Foto: Associated Press, trykt med tillatelse fra NTB) Kirkeorgel (Foto: Norsk Telegrambyrå) G raf Foss Båt på fjorden (Foto: Olav Breen, Kristiansand) Utnitt av kartbladet Salten, Statens Kartverk, nr. LAS71013-RY3970 M odellforsøk (Foto: SINTEF, Vassdrags- og havnelaboratoriet) Varoddbrua (Foto: Trygve Skramstad, Fædrelandsvennen)

Utgitt av: H øyskoleforlaget AS - Norwegian Academic Press Postboks 39 Dronningensgt. 67 N-4601 Kristiansand S. Norway Telefon: Telefaks: E-post: Internett:

(+47) 38 10 50 00 (+47) 38 10 50 01 post@ hsforlag.no http ://w w w. hsforl ag .no/

Innhold

F o ro rd

1

..................................................................................................................................9 G r u n n le g g e n d e m a t e m a t ik k ........................................................................ 13 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2

Innledning.................................................................................................. 13 Definisjon av en vektor............................................................................. 13 Addisjon og subtraksjon av vektorer...................................................... 14 Enhetsvektoren...........................................................................................15 Skalarproduktet (prikkproduktet)............................................................16 Vektorproduktet (kryssproduktet)............................................................18 Bruk av vektorer i fysikken......................................................................20 Derivasjon.................................................................................................. 23 Integrasjon.................................................................................................. 25 Oppgaver.................................................................................................... 28

T r a n s la s jo n ...........................................................................................................33 2.1 Innledning.................................................................................................. 33 2.2 Fart og akselerasjon som deriverte......................................................... 35 2.3 Fart og posisjon som integraler............................................................... 39 2.4 Newtons lover............................................................................................ 41 2.5 Bevegelse i rom m et.................................................................................. 48 2.6 Sentripetalakselerasjon og sentripetalkraft............................................51 2.7 Relativ bevegelse...................................................................................... 53 2.8 Bevegelsesmengden................................................................................ 56 2.9 Tyngdepunktet til en homogen p la te ..................................................... 61 2.10 Arbeid og kinetisk energi.........................................................................63 2.11 Potensiell energi og energibevaring........................................................ 67 2.12 E ffekt......................................................................................................... 70 2.13 Benevninger og nøyaktighet...................................................................72 Oppgaver....................................................................................................74

Innhold

6

3

Rotasjon ...................................................................................................................... 85 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

Harmoniske svingninger 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

5

133

Innledning.............................................................................................. 133 Frie svingninger.....................................................................................134 Elastiske svingninger............................................................................. 139 Energibetraktninger............................................................................... 141 Pendelsvingninger.................................................................................144 U-rørssvingninger...................................................................................149 Torsjonssvingninger............................................................................... 151 Dempede svingninger........................................................................... 153 Evungne svingninger............................................................................. 159 Oppgaver................................................................................................ 165

Innføring i bølgeteori.......................................................................................175 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

6

Innledning................................................................................................ 85 Rotasjonskinematikk...............................................................................86 Konstant vinkelhastighet......................................................................... 90 Momentet (Kraftens m om ent)............................................................... 92 Kinetisk en erg i........................................................................................ 95 Beregning av treghetsm om entet............................................................97 Spinnsatsen............................................................................................ 104 Stive legemers s p in n ............................................................................. 108 Mekanikkens bevaringslover................................................................116 O ppgaver................................................................................................ 122

Innledning.............................................................................................. 175 Generell bølgeteori.................................................................................176 Harmoniske bølger.................................................................................179 Bølger på en streng.................................................................................183 Stående bølger........................................................................................ 186 Diverse bølgefenomener....................................................................... 190 Oppgaver................................................................................................201

Hyperbolske funksjoner...................................................................... 207 6.1 6.2

Definisjoner............................................................................................207 Derivasjonsregler.................................................................................. 208 Oppgaver............................................................................................... 210

Innhold

7

Litt h y d r o d y n a m ik k ............................................................................................213 7.1 7.2 7.3

8

Generell innføring.................................................................................. 251 Potensialteori for vannbølger................................................................. 252 Oppgaver..................................................................................................255

D im e n s jo n s lø s e t a ll........................................................................................... 257 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

11

Innledning................................................................................................ 225 Kinematiske forutsetninger................................................................... 225 Gravitasjonsbølger.................................................................................. 232 Energi og energiforplantning i gravitasjonsbølger.............................. 237 Formeloversikt........................................................................................ 242 Oppgaver..................................................................................................246

Litt p o t e n s ia It e o r i............................................................................................... 251 9.1 9.2

10

Innledning................................................................................................ 213 Kontinuitetsligningene for en inkompressibel v æ sk e ........................ 214 Bernoullis lig n in g .................................................................................. 216 Oppgaver.................................................................................................. 221

V a n n b ø lg e r .......................................................................................................... 225 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

9

7

Innledning................................................................................................257 Froudes ta ll..............................................................................................259 Reynolds tall............................................................................................261 Machs t a l l ................................................................................................262 Strouhals tall............................................................................................263 Oppgaver..................................................................................................264

H y d ro d y n a m is k e k re ft e r..................................................................................267 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Innledning................................................................................................267 Krefter fra en konstant strøm .................................................................268 Krefter fra en akselerert strøm ...............................................................270 Morisons lig n in g .................................................................................... 271 Strømfeltet rundt en sylinder basert på potensialteori........................ 273 F ø ft........................................................................................................... 277 Virvelavløsning......................................................................................281 Oppgaver................................................................................................. 284

8

innhold

Stikkordregister ....................................................................................................... 289 Tabeller Personregister Fasit

292

......................................................................................................... 293 295

Forord

Margen er laget primært for å ha et sted å plassere figurer og utfyllende stoff. Det står dessuten en del tekst her som ikke er ment som pensumstoff, men som er tatt med for å pirre interessen til en del av dere. I tillegg er en del stoff fra videregående skoles pensum repe­ tert her.

Denne boka tar for seg de klassiske emnene innen translasjon, rotasjon, svingninger og bølger og fortsetter med å anvende dem på en del utvalgte emner i vann- og luftdynamikk. De siste emnene er tatt med fordi mange ingeniører får arbeidsoppgaver innen bygge-, havne-, skips- og offshoreindustrien. De bør der­ for ha et visst kjennskap til denne delen av dynamikken. I til­ legg er det en god del studenter som fortsetter å studere til sivilingeniør. Mange av dem får da behov for litt kjennskap til den “våte” delen av dynamikken.

Ligningene er nummerert fra (1) og oppover i hvert avsnitt. Ved henvisning til ligninger fra andre avsnitt brukes for­ men (3.2.1), som betyr ligning 1 i avsnitt 3.2 (i kapittel 3).

Boka er basert på at Newtons lover anvendt på stive legemer med konstant akselerasjon er kjent fra før, dvs. emner som behandles i videregående skoles fysikkpensum. Ettersom New­ tons andre lov er en differensialligning, er det en fordel for stu­ dentene at differensialregningen er gjennomgått før de begynner på dette stoffet, men for fullstendighetens skyld er derivasjon og integrasjon kort oppsummert. Også andre matematiske emner gjennomgås etter behov.

Oppgavene er nummerert slik at første tall korresponderer med avsnittsnummeret i kapitlet.

Jeg har stort sett valgt å holde meg til todimensjonale problem­ stillinger. Overgangen til tre dimensjoner volder ofte betydelige matematiske problemer hvor innsatsen i liten grad i står i for­ hold til det man får igjen i form av fysisk forståelse. Innenfor en slik ramme har jeg valgt å ta med utledningen av de fleste lig­ ningene slik at det er mulig å forstå hvorfor de er som de er, og hvorfor de i mange tilfeller har begrenset gyldighet. Samtidig bruker utledningene ofte stoff fra tidligere kapitler. På den måten fungerer de som repetisjon av tidligere gjennomgått stoff. I tillegg til at det er oppgaver til de fleste avsnittene, er teksten supplert med en rekke eksempler. Disse er fortrinnsvis formet som oppgaver. De gir dermed både utdypning av teksten og vei­ ledning i hvordan oppgaver kan løses.

10

Forord

Man forstår ikke tingene skikkelig før man kan forklare det man vet på en slik måte at andre kan forstå det. Jens S. Sneedorff

Store deler av boka - tekst så vel som oppgaver - har vært utprøvd før denne utgivelsen. Takket være studentene har jeg derfor et godt håp om at de aller fleste feil og uklarheter er luket ut. Men finner du noen, setter jeg pris på å få vite om dem slik at de kan bli rettet i neste opplag.

Grimstad, 1997

Harald Næser E-post: [email protected]

Grunnleggende matematikk

l .i

Matematiske symboler er skrevet i kur­ siv: m, i motsetning til tall og benevnin­ gen 30 m. For å unngå forvirring står det en parentes rundt benevninger når de står inne i regnestykker (kg). Vektorer er skrevet med fete typer: a

1 .2

^ 135 m

1

In n le d n in g

En forutsetning for å ha utbytte av denne boka er at matematik­ ken er forstått. Bortsett fra de vanlige regnearter som bnnes på enhver kalkulator, må du kunne brøkregning, vektorregning, derivasjon og integrasjon. Vi innleder derfor med en gjennom­ gang av de viktigste delene av vektorregningen. Deretter følger en rask oppsummering av reglene for derivasjon og integrasjon. Hvis du er usikker i brøkregning, må du bnne hjelp andre steder.

D e fin isjo n a v en v e k to r

En serie størrelser i fysikken angis med retning i tillegg til en verdi. Kaster du en ball, vil du ofte være tilfreds med å vite at du kastet den 30 m. Spiller du golf, er det ikke bare antall meter golfballen kommer, som er avgjørende. Retningen du slo den i, er minst like viktig. At den kom nøyaktig så langt den skulle, er av liten interesse hvis den havnet i et vann. Vi er altså ofte inter­ essert i både avstand og retning. Disse opplysningene angir vi med en posisjonsvektor. På figur 1.2 er den tegnet som en pil som begynner i origo og har pilspissen på ballen. Vektorer brukes ikke bare til å beskrive posisjoner. Efnderveis har ballen en hastighet som gjeme uttrykkes ved hjelp av et antall m/s og en retning som kan være målt med en vinkel i for­ hold til det koordinatsystemet som er valgt. Øst brukes ofte som referanseretning. I tillegg påvirkes ballen av krefter som hver for seg har en størrelse og en retning. Kreftene er altså også vektorer, og de medfører akselerasjoner som også kan uttrykkes ved størrelse og retning, dvs. som vektorer.

FIGUR 1.2

14

Kap itte l 1

G runnleggende m atem atikk

Alle vektorer kan tegnes som en linje. Positiv retning angis ved en pilspiss. Hvis to vektorer er like lange og peker i samme ret­ ning, er vektorene like. De to vektorene a og b på figur 1.3 er like fordi de er like lange og har samme retning. Hvor de er teg­ net, har altså ingen betydning for vektorenes størrelse!

a

FIGUR 1.3 a = b

1 .3

A d d isjo n og su b tra k s jo n a v v e k to re r Vi skal returnere til golfspilleren. For at han skal få ballen i hul­ let, må han slå ballen en gang til. Vi lar c betegne den distansen og retningen han ønsket å slå ballen, mens den distansen og ret­ ningen han slo den i, betegnes a . For å få ballen i hullet ser vi da at han i neste slag må slå ballen en distanse og i en retning som er angitt med vektoren b på figur 1.4. Ettersom dette kan oppfattes som en addisjon, defineres vektoraddisjon slik at a +b = c.

f\b c/ \

FIGUR 1.4 b = c- a

Sammenlignet med de vanlige regnereglene for + og - viser eksemplet med golfspilleren at b = c - a . Av figur 1.4 ser vi at b uttrykker forskjellen mellom det spilleren ønsket å få til, og det han fikk til. I motsetning til vanlige lengdemål, får vi nå informasjon om feil retning, ikke bare feil avstand.

b \\ FIGUR 1.5 a = -b

På figur 1.5 er a = - b . Dermed blir a + b = 0. Spesielt gjelder at en vektor uten lengde også er en vektor, nemlig 0 , uten at det har så stor betydning her. Så lenge alle tre vektorene har samme retning, får vi samme svar enten vi bruker vektorer eller ei. Dermed følger det også at a + a = 2a som vist på figur 1.6. Vi ser altså at tall som ganges med en vektor, øker vektorens lengde uten at retningen endres.

\

a \

\

+ a \

FIGUR 1.6

\

= 2a \

1 .4 Enhetsve kto ren

15

Ut ifra dette er sum og differens mellom vektorer klart nok defi­ nert for vårt behov. Vi har også sett at vi kan gange en vektor med et tall, og at et minus medfører at vektoren skifter retning. Men ønsker vi å gange to vektorer med hverandre, må vi gå for­ siktigere frem fordi det er to måter å gange på. Disse behandles i avsnittene 1.5 og 1.6.

T .4

E n h e tsv e k to re n

Når vi tegner en vektor som en pil, kan vi måle oss frem til stør­ relse og retning. På figur 1.7 er vektoren 4 cm i x-retningen og 3 cm i y-retningen. For å kunne skrive dette på en grei måte inn­ føres enhetsvektorene i, j og k slik at a = 4i + 3 j . Enhetsvek­ torene har alle lengden 1 (i den enheten vi arbeider med). Dessuten er retningen langs henholdsvis x-, y- og z-aksen. (Det er også vanlig å bruke ex , e y og e . .) Vil vi beskrive hastigheten til noe som beveger seg i 40 km/h i x-aksens retning, så kan dette skrives u = 40 (km/h) i. FIGUR 1.7 a = 4i + 3j

EKSEMPEL 1.4.1

Anta at a = 4i + 5 j - 3k og b = 2i - 3 j + k . Beregn a + b , a - b og 3a - 2b. Løsning:

a + b = (4 + 2)i + (5 - 3)j + ( - 3 + l ) k = 6i + 2j - 2k a - b = (4 - 2)i + (5 - ( - 3) ) j + ( - 3 - l ) k = 2i + 8 j - 4 k 3 a - 2 b = 3 ■4i + 3 ■5 j + 3 ■( - 3) k - ( 2 • 2i + 2 • ( - 3) j + 2k) = (12 - 4)i + (15 + 6)j + ( - 9 - 2)k = 8i + 21 j - 11 k

16

Kapittel 1

Grunnleggende m atem atikk

Komponentformen viser at vektorer kan oppfattes som tre tall. Når vi derfor regner med vektorer, kan vi godt tenke på dem som om de var vanlige tall, bare vi husker de spesielle egenska­ pene de har når de kommer til anvendelse. I mange tilfeller er det uhensiktsmessig å bruke kartesiske koor­ dinater. Da kan sylinderkoordinater som vist på fig u r 1.8 være et alternativ. Det er da vanlig å definere lokale enhetsvektorer som vist på figuren. Dermed kan f.eks. hastigheten på stedet angis med to lokale komponenter, en bort fra origo og en vin­ kelrett på denne. Enhetsvektorene blir da kalt er , e0 og . Av disse peker e_ ut av papiret som før. Som oftest er kartesiske koordinater lettest å bruke, men begge deler vil bli brukt etter behov.

1.5

S k a la rp ro d u k te t (p rik k p ro d u k te t) En skolar er en størrelse uten retning, med andre ord et vanlig tall. Resultatet av et skalarprodukt av to vektorer er derfor, som navnet antyder, et tall. Det kalles også prikkproduktet. fordi vi bruker en prikk • som gangetegn. Prikkproduktet er definert ved ligningen a b = a b[ cos(|)

( 1)

Eier er (j) vinkelen mellom vektorene, mens a er lengden av a og ib er lengden av b . Er det lengden og retningen til vekto­ rene som er kjent, kan vi altså beregne skalarproduktet ved hjelp av denne formelen. Men ofte er det komponentene som er kjent. Da kan skalarproduktet beregnes uten å tenke på cosinus i det hele tatt, noe som blir forklart i eksemplet under. Vær opp­ merksom på at på samme måte som for vanlige tall er faktor­ enes orden i prikkproduktet uten betydning. Dette i motsetning til vektorproduktet, som behandles i neste avsnitt.

17

1.5 S k a la rp ro d u k te t (p rik k p ro d u k te t)

EKSEMPEL 1.5.1

Beregn skalarproduktet av vektorene a = Ai + 5 j b - 2i + 5 j .

og

Løsning:

a b = (4i + 5j) • (2i —3j ) = 8i i - 15j j + ( 1 0 - 12)1 j I første ledd er i skalarmultiplisert med seg selv. Da er cos([) = 1 . Det samme gjelder for andre ledd. I det tredje leddet derimot står de to enhetsvektorene vinkelrett på hver­ andre slik at costj) = 0 . Dermed forsvinner det siste leddet slik at a b

= 8 - 1 5 + 0 = -7

Vi får altså et tall til svar slik vi skulle. Legg merke til at det er tilstrekkelig å gange sammen a-komponentene og y-komponentene (og eventuelt z-komponentene) og summere resultatet. Ingen av de andre leddene bidrar med noe som helst: å b = 4 • 2 + 5 • ( -3) = 8 - 1 5 = - 7

Når man skal beregne skalarproduktet av to vektorer som er gitt på komponentform, beregnes produktet av .a-komponentene, produktet av y-komponentene og produktet av z-komponentene hver for seg. Summen av disse tre produk­ tene gir skalarproduktet.

18

Kap itte l 1

G runnleggende m atem atikk

V e k to rp ro d u k te t (k ry ssp ro d u k te t) Som navnet vektorprodukt tilsier, skal vi nå få en vektor som resultat, og gangetegnet er her er et kryss: x . Vektorproduktet er definert som følger: a x b = |a||b| sinc|) eab

Høyrehåndsregelen bestemmer retningen til a x b .

( 1)

hvor enhetsvektoren eab står vinkelrett på både a og b . Hvis a og b er tegnet på et papir, står altså eab vinkelrett på papirplanet. Her er det viktig å få riktig retning på den nye enhets­ vektoren. Til det brukes høyrehåndsregelen. Vi lar begge vektorene starte i samme punkt. Legger du da håndbaken på den første vektoren og krummer fingrene opp mot den andre, slik som vist på figur 1.9, så peker tommelen i den nye vektorens retning. (For at dette skal bli riktig, må hånden legges på den siden hvor vinkelen mellom vektorene er mindre enn 180°.) Når vi bruker et tredimensjonalt koordinatsystem, er det alltid et såkalt høyrehåndssystem som brukes. Det er slik at i x j = k , mens j x i = - k . For å få et høyrehåndssystem må vi altså passe på at z-aksen peker i riktig retning i forhold til de to andre slik som vist på figur 1.10

x

FIGUR 1.10 Det kartesiske koordinatsystemet er et høyrehåndssystem når z-aksen står som vist her i forhold til de to andre aksene.

H uskeregel I et høyrehåndssystem kan figur 1.11 brukes som huskere­ gel. Hvis enhetsvektorene i kryssproduktet kommer i pile­ nes retning, får vi et positivt svar, ellers blir svaret negativt, (j x k = i, k x j = - i)

k

FIGUR 1.1 1

j

Er to vektorer a og b gitt på komponentform, brukes en deter­ minant til å beregne vektorproduktet. Neste eksempel viser hvordan dette gjøres.

19

1 .6 V e k to rp ro d u k te t (k ry ssp ro d u k te t)

EKSEMPEL 1.6.1

Gitt vektorene a = 3i + 4 j - 3 k Beregn vektorproduktet.

og b = 2 i - j + 5k.

Løsning:

Denne beregningen gjøres lettest med et regneskjema som kalles determinant:

axb

i j k 3 4-3 2-15

Determinanten er bl.a. laget for at det skal være lett å beregne vektorproduktet. I øverste linje står enhetsvektor­ ene, og i de to linjene under står de tilsvarende komponen­ tene til vektorene. Det er viktig at komponentene står i riktig rekkefølge. For å beregne determinanten er det lettest å skrive opp de to venstre kolonnene en gang til og tegne linjer på skrå. Da blir skjemaet seende slik ut:

Nå multipliseres tre og tre ledd på skrå. Det er tre linjer som er trukket nedover til høyre, og tre som er trukket nedover til venstre. Determinanten beregnes ved å summere produk­ tet av tallene langs hver av de tre første linjene, og trekke fra produktet av tallene langs hver av de tre siste: a x b = [i • 4 • 5 + j • (-3) • 2 + k • 3 • (-1)] - [ k - 4 - 2 + i ■( - 3) - ( -1) + j - 3 - 5 ] = [ 2 0 i - 6 j - 3 k ] - [ 8 k + 3 i + 15 j] = 17i —21 j —l i k

20

Kap itte l 1

Grunnleggende m atem atikk

EKSEMPEL 1.6.2

Sett ^-komponentene lik 0 i vektorene fra eksempel 1.6.1, og beregn vektorproduktet a x b . Løsning:

Det blir vesentlig enklere når vektorproduktet mellom to vektorer i xy-planet skal beregnes. Settes k-komponentene lik 0 i determinanten i forrige eksempel, blir i j k axb

V

0

(3(—1) —4 • 2)k = - l i k

0

Hvis de to vektorene tegnes med samme utgangspunkt, dan­ ner de to sider i et parallellogram. Arealet av dette parallel­ logrammet er lik tallverdien til vektorproduktet. Produktet er negativt i dette eksemplet fordi a er til venstre for b .

1 .7

B ru k a v v e k to re r i fy s ik k e n Som en avslutning på omtalen om vektorer skal vi foregripe litt av det som kommer i de neste kapitlene for å vise hvordan vek­ torene brukes. Vi har sett at posisjonen til et punkt i rommet kan beskrives ved posisjonsvektoren r = xi + vj + ck

(1)

1.7 B ru k a v v e k to re r i fy sik k e n

Fart og hastighet I dagligtalen brukes disse ordene om hverandre. I fysikken er det derimot vanlig å skille mellom dem, slik at has­ tigheten er en vektor, mens farten er en skalar. Dermed blir farten lengden av hastighetsvektoren. Det er allikevel vanlig å betegne bølgers fart forplantningshastighet.

21

Men det er ikke bare posisjonen som kan uttrykkes med en vek­ tor. Også hastighet og akselerasjon, og størrelser som avledes av disse, kan beskrives ved hjelp av vektorer. Her skal vi bare vise hastighet v = u\ + vj + vvk

(2)

og akselerasjon a = a xA + aA + a,z k yJ

(3)

I denne sammenheng er det viktig å være klar over at regnere­ glene for vektorer er de samme uansett hva slags størrelse vek­ torene beskriver. Vi kan altså summere hastighetsvektorer på samme måte som vi summerer posisjonsvektorer. Dette er vist i eksempel 1.7.1. Vi tegner ofte forskjellige slags vektorer på samme tegning. Disse vektorene kan ikke summeres fordi de har forskjellige benevninger. Derimot har enkelte av produktene av slike vekto­ rer viktige betydninger.

EKSEMPEL 1.7.1

Lille Lotte reiser med tog. Hun kaster en ball rett opp i luf­ ten. Ballens fart er 10 m/s i forhold til henne. Togets fart er 20 m/s. Hvor stor er ballens fart V i forhold til en observatør utenfor toget? Løsning:

Hastighetsvektorene må summeres som vist på figuren. Lengden av resultantvektoren beregnes ved hjelp av Pythagoras:

20 m/s

-----------►

V = J 102 + 202 m/s = 22 m/s Retningen bestemmes av vinkelen (f): 10 m/s

tan =

10 20

slik at $ = tan Y L = 27°

22

K a p itte l 1

Grunnleggende m atem a tikk

Vektorproduktet mellom en posisjonsvektor og en kraftvektor er mye brukt. Det er dette vi kaller kraftens moment. Det vil bli utførlig behandlet i kapittel 3. Her skal vi bare gjennomgå den matematiske behandlingen av vektorproduktet av de to vekto­ rene. På figur 1.12 er det en partikkel som befinner seg i en posisjon gitt ved r. Partikkelen utsettes for en kraft F som også er vist på figuren. Momentet er da gitt som M = rxF

(4)

Vanligvis er det bare skalarverdien av momentet som interesse­ rer. Innsetting fra ligning (1.6.1) gir da M| = |rj|F|sin(j) = |F |(|r| sincj)) og (p - fl - gresk bokstav (th) med to skrivemåter

(5)

Sammenligner du ligning (5) med figur 1.12, ser du at M kan beregnes som et vanlig produkt av kraftens skalarverdi og avstanden fra momentpunktet til en linje gjennom kraftvektoren. Skalarproduktet blir først og fremst brukt i forbindelse med beregning av arbeid. Arbeidet som en konstant kraft F gjør på et legeme, er definert som W = F •s

(6)

hvor s er strekningen som legemet har tilbakelagt. Av ligning (1.5.1) ser vi at hvis vinkelen mellom kraften og bevegelsesret­ ningen er (j), blir W = |F| |s| cos