Differentialgleichungen - Symmetrien und Lösungsmethoden 3860253166

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Anschrift des Autors: Prof. Hans Stephani Friedrich-Schiller-Universität Theoretisch-Physikalisches Institut Max-Wien-Platz 1 07743 Jena

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Stephani,Hans: Differentialgleichungen: Symmetrien und Lösungsmethoden ; mit 2 Tabellen / Hans Stephani. - Heidelberg ; Berlin ; Oxford : Spektrum, Akad. VerI., 1994 ISBN 3-86025-316-6 © 1994 Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg . Berlin . Oxford

Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in fremde Sprachen, sind vorbehalten. Kein Teil des Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages photokopiert oder in irgendeiner anderen Form reproduziert oder in eine von Maschinen verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. Lektorat: Gisela Sauer, Berlin Produktion: Karin Kern Satz: Satz + Grafik - Studio Stephan Meyer, Dresden Druck und Verarbeitung: Franz Spiegel Buch GmbH, Ulm

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Inhalt

Vorwort

13

1.

Einführung

15

I.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

19

2. Punkttransformationen und ihre Erzeugenden 2.1 Einparametrige Gruppen von Punkttransformationen 2.2 2.3 2.4 2.5

3.

und ihre infinitesimalen Erzeugenden Transformationsgesetze und Nonnalfonnen von Erzeugenden Die Erweiterung von Transfonnationen und ihrer Erzeugenden Transformationsgruppen mit mehreren Parametern und ihre Erzeugenden Aufgaben

Lle-Punkt-Symmetrien gewöhnlicher Differentialgleichungen: Definitionen und Eigenschaften

3.1 Die Definition einer Symmetrie: erste Formulierung 3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen und lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

3.3 Die Definition einer Symmetrie: zweite Formulierung

21 21 25 28 31 33

35 35 39 42

3.4 Zusammenfassung 3.5 Aufgaben 4.

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Die Bestimmung der Lie-Punkt-Symmetrien einer gewöhnlichen Differentialgleichung Bemerkungen zum allgemeinen Vorgehen Der atypische Fall: die Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungen höherer Ordnung. Die allgemeine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Aufgaben

44

45 46 46 47 49

54 57

5.

Wie benutzt man Lie-Punkt-Symmetrien: Differentialgleichungen mit einer Symmetrie 5.1 Differentialgleichungen erster Ordnung 5.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung 5.3 Aufgaben

59 59 62 68

6. Einige grundlegende Eigenschaften von Lie-Algebren 6.1 Die Erzeugenden einer mehrparametrigen Gruppe

69

und ihre Lie- Algebren Beispiele von Lie-Algebren Untergruppen und Unteralgebren Realisierungen von Lie-Algebren. Invarianten und Differentialinvarianten Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit mehrparametrigen Symmetriegruppen: ein Ausblick Aufgaben

69 72 75

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7.

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Wie benutzt man Lie-Punkt-Symmetrien: Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit einer G2 Klassifizierung der auftretenden Fälle und mögliche Integrationsstrategien Erste Integrationsstrategie: Normalformen der Erzeugenden im Raum der Variablen Zweite Integrationsstrategie: Normalform der Erzeugenden im Raum der ersten Integrale Zusammenfassung: Rezept für die Integration von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die eine Gruppe G: gestatten Beispiele Aufgaben

77 82 83 85

85 88 93 97 98 102

8.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit mehr als zwei Lie-Punkt-Symmetrien

8.1 Das Problem: Gruppen die keine G 2 enthalten 8.2 Wie löst man eine Differentialgleichung mit einer G 3 IX? 8.3 Beispiel 8.4 Aufgaben

9.

Differentialgleichungen höherer Ordnung mit mehr als einer Lie-Punkt-Symmetrie

9.1 Einige allgemeine Bemerkungen zur Aufgabenstellung 9.2 Erste Integrationsstrategie: Normalformen der Erzeugenden im Raum der Variablen

104 104 105 107 108 110 110 111

9.3 Zweite Integrationsstrategie: Normalform der Erzeugenden im Raum der ersten Integrale

9.4 Dritte Integrationsstrategie: Differentialinvarianten 9.5 Beispiele 9.6 Aufgaben

10. Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 10.1 Die Formulierung als lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung und die Symmetriebedingungen

10.2 Beispiel: das Keplerproblem 10.3 Systeme mit einer Lagrangefunktion: Symmetrien

114 118 120 125

126 126 130

und Erhaltungssätze 10.4 Aufgaben

131 134

11. Symmetrien allgemeiner als Lie-Punkt-Symmetrien 11.1 Warum sollte man Punkttransformationen und Punkt-

136

11.2 11.3 11.4 11.5

12.

symmetrien verallgemeinern? Wie verallgemeinert man Punkttransformationen und Punktsymmetrien? Berührungstransformationen Wie fmdet und benutzt man Berührungssymmetrien einer gewöhnlichen Differentialgleichung? Aufgaben

Dynamische Symmetrien: die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften

12.1 Was ist eine dynamische Symmetrie? 12.2 Beispiele dynamischer Symmetrien

136 139 140 143 146

147 147 149

12.3 Die Struktur der Menge der dynamischen Symmetrien 12.4 Aufgaben

151 153

Wie findet und nutzt man dynamische Symmetrien für Systeme mit einer Lagrangefunktion?

155

13.

Dynamische Symmetrien und Erhaltungssätze 2 2 Beispiel: L = (i + y2)/2 - a( 2y 3 + x y), a 0 Beispiel: das Keplerproblem Beispiel: Die Geodäten eines Riemannschen Raumes Killingvektoren und Killingtensoren 13.5 Aufgaben

13.1 13.2 13.3 13.4

14.

*"

Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit einem Fundamentalsystem von Lösungen

155 157 160 162 167

168 168 169 172

Die AufgabensteIlung Die Antwort Beispiele Systeme mit einem Fundamentalsystem von Lösungen und lineare Systeme 14.5 Aufgaben

175 178

11.

Partielle Differentialgleichungen

179

15.

Lie-Punkt-Transformationen und -Symmetrien

181

15.1 15.2 15.3 15.4

Einführung Punkttransformationen und ihre Erzeugenden Die Definition einer Symmetrie Aufgaben

181 182 186 188

16.

Wie bestimmt man Punktsymmetrien partieller Differentialgleichungen?

189

14.1 14.2 14.3 14.4

16.1 Differentialgleichungen erster Ordnung 16.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 16.3 Aufgaben

17.

Wie benutzt man Lie-Punkt-Symmetrien partieller Differentialgleichungen I: Erzeugung von Lösungen durch Symmetrietransformationen

17.1 Die Struktur der Menge der Erzeugenden 17.2 Was können wir von den Symmetrietransformationen erwarten?

189 196 203

204 206 206

17.3 Die Erzeugung von Lösungen durch endliche Symmetrietransfonnationen 17.4 Die Erzeugung von Lösungen (linearer Differentialgleichungen) durch Anwendung der Erzeugenden 17.5 Aufgaben

18.

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5

19.

19.1 19.2 19.3 19.4

Wie benutzt man Lie-Punkt-Symmetrien partieller Differentialgleichungen 11: Ahnlichkeitsvariable und Reduktion der Zahl der Veränderlichen Das Problem Ähnlichkeitsvariable und wie man sie findet Beispiele Bedingte Symmetrien Aufgaben Wie benutzt man Lie-Punkt-Symmetrien partieller Differentialgleichungen 111: mehrfache Variablenreduktion und Differentialinvarianten Mehrfache Reduktion der Variablenzahl Schritt für Schritt Mehrfache Reduktion der Variablenzahl unter Verwendung von Invarianten Einige Bemerkungen zu gruppeninvarianten Lösungen und ihrer Klassifizierung Aufgaben

207 211 213

214 214 215 219 225 228

229 229 234 237 238

20.

Symmetrien und Separabilität partieller Differentialgleichungen 20.1 Die Aufgabenstellung 20.2 Einige Bemerkungen zur üblichen Separation der Wellengleichung 20.3 Die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen und erste Integrale in Involution 20.4 Quadratische erste Integrale in Involution und die Separabilität der Wellengleichung und der Hamilton-Jacobi-Gleichung 20.5 Aufgaben

21. 21.1 21.2

Berührungstransformationen und Berührungssymmetrien partieller Differentialgleichungen Die allgemeine Berührungstransformation und ihre infinitesimale Erzeugende Berührungssymmetrien partieller Differentialgleichungen und ihre Bestimmung

239 239 241 242 246 248

249 249 252

21.3 Einige Bemerkungen zur Reduktion der Variablenzahl mit Hilfe von Berührungssymmetrien 21.4 Aufgaben

22. 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5

Differentialgleichungen und Symmetrien in der Sprache der Formen Vektoren und Formen Äußere Ableitung und Lie-Ableitung Differentialgleichungen in der Sprache der Formen Symmetrien von Differentialgleichungen in der Sprache der Formen Aufgaben

23. Lie-Bäcklund-Transformationen 23.1 Warum sollte man allgemeinere Transformationen und Symmetrien untersuchen? 23.2 Verallgemeinerungen endlicher Ordnung gibt es nicht 23.3 Lie-Bäcklund-Transformationen und ihre infmitesimalen Erzeugenden 23.4 Beispiele von Lie-Bäcklund-Transformationen 23.5 Lie-Bäcklund- und Bäcklundtransformationen 23.6 Aufgaben 24. Lie-Bäcklund-Symmetrien und ihre Bestimmung 24.1 Die grundlegenden Defmitionen 24.2 Bemerkungen zur Struktur der Menge der Lie-BäcklundSymmetrien 24.3 Wie findet man Lie-Bäcklund-Symmetrien: einige allgemeine Bemerkungen 24.4 Beispiele von Lie-Bäcklund-Symmetrien 24.5 Rekursionsoperatoren 24.6 Aufgaben 25. Wie benutzt man Lie-Bäcklund-Symmetrien? 25.1 Die Erzeugung von Lösungen durch endliche Symmetrietransformationen 25.2 Ähnlichkeitslösungen von Lie- Bäcklund-Symmetrien 25.3 Lie-Bäcklund-Symmetrien und Erhaltungssätze 25.4 Lie- Bäcklund-Symmetrien und Erzeugungsmethoden 25.5 Aufgaben

254 256

258 258 261 263 266 271

272 272 276 278 280 282 284

285 285 287 289 291 296 299

301 301 303 305 307 308

Literatur Hinweise zu einzelnen Kapiteln Weiterführende Literatur

310

Lösungen einiger etwas schwierigerer Aufgaben

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Sachwortregister

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310 313