Corso di logica modale proposizionale 8843095269, 9788843095261

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STUDI SUPERIORI/ II69 FILOSOFIA

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Eugenio Orlandelli

Giovanna Corsi

Corso di logica modale proposizionale

@

Carocci editore

1"

edizione, aprile 2019 Carocci editore S.p.A., Roma

© copyright 2019 by

Impaginazione: CompoMat srl, Configni (RI) Servizi editoriali: Pagina soc. coop., Bari Finito di stampare nell'aprile 201 9 da Grafìche VD srl, Città di Castello (PG) ISBN 978-88-430-9526-1

Riproduzione vietata ai sensi di legge

(art. 171 della legge 22 aprile 1941, n. 633 ) Senza regolare autorizzazione,

è vietato riprodurre questo volume

anche parzialmente e con qualsiasi mezzo, compresa la fotocopia, anche per uso interno o didattico.

Indice

Prefazione

9

Introduzione

13

l.

Linguaggio modale e semantica

23

l .l . 1.2.

Linguaggio Semantica per .C�p

23 25

Schemi validi e non validi Regole che conservano la validità Che cos'è una logica modale normale ? Chiusura riflessiva e transitiva

28 29 32 33

2.

Corrispondenza e non esprimibilità

37

2. 1 . 2.2.

Risultati di corrispondenza Proprietà non esprimibili

38 44

1 .3. 1.4. 1.5. 1.6.

1.2.1. Strutture relazionali 11.2.2. Modelli l 1.2.3. Verità e validità

2.2.1.

Sottomodelli generati

l 2.2.2.

p-morfìsmi

l 2.2.3.

Pro­

prietà non esprimibili

3.

Logiche modali normali

53

3. 1 . 3.2. 3.3.

La logica K Alcune estensioni di K Validità

53 59 63 5

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

3.4.

Modalità

3.4.1. Modalità nelle estensioni di K l 3.4.2 3.4.3. Modalità in 55

Modalità in 5 4

l

65

4.

Completezza via modello canonico

73

4. 1 . 4.2. 4.3.

Proprietà di insiemi di formule Modelli canonici Completezza via canonicità

75 77 79

s.

Corrispondenza vs completezza e incompletezza

87

5. 1 . 5.2. 5.3.

Incompletezza Strutture generali Incompletezza di KVB

88 89 92

6.

Modelli finiti e decidibilità

95

6. 1 . 6.2.

Nozioni preliminari Filtrazione e modelli finiti

95 97

7.

KW: la logica della dimostrabilità

105

7. 1 . 7.2.

Completezza di KW Modalità in KW e il predicato

1 09 1 12

8.

Diagrammi per estensioni di K4.3

8. 1 .

TeorPA (x)

1 17

Diagrammi finiti per estensioni di K4.3

8.1.1.

Lemmi generali

l 8.1.2.

l 8.1.3. l 8.1.4. Grovigli

1 25

Costruzione iniziale

8.3.

f0, f1 fn Completezza per alcune estensioni di K4.3 8.2.1. K4.3.Z Sulle estensioni di K4.3 che dimostrano T

9.

Sequenti etichettati

149

9. 1 . 9.2. 9.3.

Nozioni introduttive Il calcolo G3. K Alcune estensioni di G3. K

1 50 151 1 54

Costruzione dei diagrammi di base

8.2.

6

. • •

1 38 142

INDICE

9.4. 9.5. 9.6. 9.7 . 9.8.

Elementi base di metateoria Validità e completezza 9.5.1. Validità l 9.5.2. Completezza

Proprietà strutturali Decidibilità Identità e proprietà inesprimibili

1 58 161 170 1 78 1 84

9.8.1. Identità l 9.8.2. Proprietà inesprimibili

Bibliografia

1 89

Indice analitico

191

7

Prefazione

Le logiche modali sono divenute negli ultimi decenni un settore ricco e fiorente della logica, settore che abbraccia tutte le estensioni della logica classica con operatori intensionali. Ci occuperemo solo delle logiche m o­ dali proposizionali; le loro versioni predicative, ancorché estremamente interessanti, esulano completamente dagli scopi di questo libro. La varie­ tà delle interpretazioni degli operatori intensionali ha favorito applica­ zioni in campo filosofico, informatico, matematico. Le logiche aletiche, temporali, dinamiche, epistemiche, doxastiche, deontiche rappresenta­ no alcune delle diverse declinazioni della modalità, ovvero del modo in cui un enunciato viene qualificato: in senso temporale, in senso episte­ mico, in senso aletico, deontico, teorematico. Tipici esempi di enunciati modali sono : È necessario che A È possibile che A Sempre in passato A Talora in futuro A Si crede che A Si sa che A È obbligatorio che A È permesso che A È dimostrabile nell'aritmetica di Peano che A È consistente con l' aritmetica di Peano che A

Dopo ogni esecuzione del programma che termini, A

è vero

Esiste almeno un'esecuzione del programma che termina, ed A è vero

Questo testo non intende in alcun modo offrire al lettore una pano­ ramica delle varie specificazioni delle logiche modali come le troviamo nella letteratura, intende invece offrire al lettore gli strumenti base per affrontare ognuna di queste specificazioni qualora ne abbia curiosità e interesse. La cosiddetta semantica dei mondi possibili, la teoria della cor­ rispondenza e la presentazione assiomatica di alcune logiche modali co9

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

stituiscono un prerequisito imprescindibile per entrare nello spirito dei problemi e dei temi tipici delle logiche modali. Questi temi fanno parte dei primi tre capitoli del libro. Una tecnica metateorica divenuta stru­ mento onnipresente per affrontare il problema della completezza delle logiche modali è la costruzione del cosiddetto modello canonico. A que­ sta tecnica è dedicato il CAP. 4. I CAPP. 5 e 6 mettono a confronto pro­ prietà metateoriche delle logiche modali quali corrispondenza, comple­ tezza, incompletezza, decidibilità, proprietà del modello finito. Il CAP. 7 presenta una particolare logica modale, la logica della dimostrabilità, che detiene un posto tutto speciale nel panorama delle logiche modali e che gode di proprietà metateoriche assai peculiari. Il metodo dei dia­ grammi cui è dedicato il CAP. 8 introduce una tecnica nuova per dimo­ strare la completezza di un'ampia classe di logiche modali caratterizzate da strutture connesse. In opposizione al modello canonico che presenta profonde criticità quando lo si voglia applicare a logiche caratterizzate da strutture connesse, il metodo dei diagrammi sembra essere uno stru­ mento duttile ed efficace e assai sorprendente nella sua semplicità. Il CAP. 9 è dedicato alla presentazione di calcoli di sequenti per le logiche ma­ dali, in particolare ai calcoli di sequenti con etichette. Questi calcoli so­ no entrati assai di recente nella letteratura ed offrono una presentazione assiomatica di un'ampia gamma di logiche modali in modo uniforme at­ traverso l'internalizzazione della semantica nella sintassi delle regole del calcolo. In questo contesto vengono forniti teoremi di validità, comple­ tezza, decidibilità e non esprimibilità di alcune proprietà della relazione semantica di accessibilità. Questo libro è inteso per studenti di filosofia che abbiano seguito solo un corso di logica classica proposizionale e che conoscano il linguaggio del primo ordine. Si è cercato quindi di tenere il formalismo entro limiti ragionevoli, senza utilizzare strumenti matematici avanzati, ma al con­ tempo senza rinunciare a una trattazione rigorosa dei vari argomenti in termini formali. Con una minima familiarità del linguaggio del primo ordine, il libro è scritto, almeno nelle intenzioni degli autori, in modo tale che "si legge e si capisce". Approfondimenti di teoria dei modelli, di teoria della dimostrazione, di teoria della decisione che avrebbero richiesto l'uso di strumentazione matematica più sofisticata sono stati esclusi. In ogni caso il testo fornisce tutti gli strumenti utili per affrontarli nella letteratura cui spesso si ri­ manda. Il metodo dei diagrammi è l'unico tema che non è trattato, a no­ stra conoscenza, nella manualistica in lingua inglese sulle logiche modali

lO

PREFAZIONE

e che è stato invece qui inserito vuoi per la sua valenza innovativa vuoi per la sua valenza teorica. I temi trattati nei CAPP. 1 -7 sono invece dei te­ mi classici che troviamo negli storici manuali di George Hughes e Max­ well Cresswell, lntroduction to Moda! Logic ( 1 963) , A New lntroduction to Moda! Logic ( 1 996) , A Companion to Moda! Logic ( 1 984) , così come nei bellissimi e ricchi trattati di Alexander Chagrov e Michael Zakharya­ schev, ModalLogic ( 1 997), oppure di Patrick Blackburn, Maarten de Ri­ jke e Yde Venema, Moda!Logic (200 1 ) . Uno snello ancorché fondamen­ tale manuale è quello di Robert Goldblatt, Logics ofTime an d Computa­ tion ( 1 987) . Il CAP. 9 si avvale delle metodiche introdotte da Sara Negri nell'articolo ProofAnalysis in Moda! Logic ( 200 5) . La manualistica sulle logiche modali in lingua italiana è pressoché inesistente, fatta eccezione per le traduzioni dei volumi di Hughes e Cresswell e vogliamo pensare che il presente libro colmi una lacuna per troppo tempo trascurata. Percorsi didattici

Si possono prevedere tre diversi corsi da 30 ore: Capitoli 1 + 2 + 3 + 4 Logiche modali presentate in modo assiomatico alla Hilbert e teorema di completezza via modello canonico. 2. Capitoli 1 + 2 + 3 + 8 Logiche modali caratterizzate da strutture lineari e teorema di completezza via metodo dei diagrammi. 3. Capitoli 1 + 2 + 3 + 9 Logiche presentate via calcoli di sequenti etichettati e teorema di completezza via costruzione di alberi saturi. Per un corso da 60 ore si possono avere varie combinazioni, fra cui: 4. Capitoli 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 5. Capitoli 1 + 2 + 3 + 4 + 8 6. Capitoli 1 + 2 + 3 + 4 + 9 l.

Ringraziamenti

Questo libro nasce da un nucleo piccolo e antico relativo

a un corso sulle logiche modali dell'a.a. 2005-06 che

è

stato poi rielaborato

completamente, sviluppato con l'aggiunta di nuovi temi e redatto da Eugenio Orlandelli. Solo il CAP. 8 sui diagrammi

è stato redatto da Giovanna Corsi.

Gli studenti e i colleghi che in vari momenti e in varia misura hanno con­ tribuito con i loro commenti ed osservazioni sono stati tanti, un particolare ringraziamento va a Melissa Antonelli, Erica Calardo, Guido Gherardi, Paolo Maffezioli, Wilmer Ricciotti, Eleonora Signorini, Francesco Spegni, Alessia Tosi, Valeria V ignudelli. Bologna, dicembre 2018

11

Introduzione

Sono moltissime le esperienze che si lasciano descrivere come eventi inseriti in una struttura dotata di un ordine. Si pensi all'ordine determi­ nato dallo scorrere del tempo: c'è un prima e c'è un dopo. Il linguaggio naturale si è dotato dei tempi verbali proprio per esprimere le relazioni temporali: 'ieri sono andata al cinema', 'domani andrò a teatro'. L'evento 'andare al cinema' oppure 'andare a teatro' ha luogo in un preciso ordine temporale. Espressioni come dopodomani, l'altro ieri, infuturo, in passato stabiliscono un ordine tra eventi che può essere schematizzato con un grafo del tip o: --�

o��)o��)o��) o�� domani

dopodomani

ove la relazione temporale prima di è indicata dalla freccia -----+ . L'enunciato 'Da domani smetto di fumare' chiama in causa tutti gli istanti futuri a partire da domani. La logica modale studia quegli enunciati del linguaggio naturale il cui valore di verità non dipende solo dallo stato ( mondo, istante ) in cui l'enunciato è proferito, ma anche da altri stati. 'Eva sposerà Giorgio' è vero nel mondo attuale, se in un mondo futuro rispetto a quello attuale, Eva sposa Giorgio. Mondi alternativi a quello attuale erano già stati autorevolmente evo­ cati per render conto della nozione di necessita; secondo Leibniz, una ve­ rità si dice necessaria se è vera in tutti i mondi possibili. I mondi possibili sono modi in cui il mondo attuale avrebbe potuto essere, alternative possi­ bili del mondo attuale, e il mondo attuale è solo uno ( il migliore ! ) dei mondi possibili. In Leibniz tra i mondi possibili non intercorre alcuna relazione : 13

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

•••• •••• Ciò che li accomuna è che in ognuno di essi si realizzano tutte le verità necessarie. L'analisi dei concetti di necessario, possibile, impossibile, contingen­ te hanno occupato logici e filosofi sin da Aristotele. Basti pensare alle discussioni intorno alle condizioni di verità dei futuri contingenti ('Do­ mani ci sarà una battaglia a Salaminà) oppure alla teoria dei sillogismi modali. Scopo di questa introduzione non è quello di tracciare una storia, an­ corché sintetica, delle logiche modali quanto quello di mostrare la varie­ tà degli ambiti che trovano un'analisi significativa attraverso la metafora dei mondi possibili, ovvero dal considerare simultaneamente insiemi di situazioni, mondi, istanti, stati di cose. Inoltre gli elementi di questi in­ siemi non sono, in generale, costituiti da monadi, bensì sono in relazione fra di loro. Ci occuperemo quindi di strutture relazionali costituite da un insieme W di elementi di base (mondi, istanti ecc.) e da una relazione bi­ naria R che connette questi elementi. R è detta relazione di accessibilita e se il mondo w è relato al mondo v, in simboli w Rv, allora v è detto ac­ cessibile rispetto a w . Una struttura è, pertanto, una coppia Vs 3 t (sRt) ( ==*) Sia s

E

I(p)

W. Definiamo un F-modello M ponendo =

{w E W : sRw}

Allora M l= s D p , da cui M l= s O p, poiché F l= DA esiste un t, tale che s Rt . 39

�

()A; quindi

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

( Vs\ft\fu (sRt A sRu

__.

t Ru

v

uRt

sse

v

t = u)

Dimostrazione ( � ) Siano s , t ed u tali che s Rt e s Ru . Consideriamo un F-modello M in cui

I(p) = {w : tRw}

u

{t}

I(q) = { w : u Rw}

u

{u}

Allora, M F t p 1\ Dp e M F u q 1\ Dq. Poiché F F D(DA A A � B) v D(OB 1\ B � A), in particolare M F s D(Dp 1\ p � q) v D (Dq 1\ q � p). Assumiamo che M F s D (Dp 1\ p � q ) . Allora M F t Dp 1\ p � q e M F t q . Da cui u Rt oppure t = u . Analogamente se M F s D(Dq 1\ q � p). ( ) Procediamo per assurdo. Sia F una struttura debolmente con­ nessa tale che per qualche formula A, B, F 1F D(A 1\ DA � B) v D(OB 1\ B � A) . Allora esiste un F-modello M = VsVtVu (sRt

A

sRu � t = u )

Dimostrazione ( ::::=? ) Siano s , t e u tali che s Rt e s R u . Consideriamo un F-modello M in cui I(p )

=

{u}

Allora M F s ()p, M F s Dp , poiché F F ()A � DA. Quindi M F t p , da cui t = u . ( ç= ) Esercizio. D TE o REMA 2. 1 1

Lo schema F corrisponde allaJunzionalita. F F= OA � DA sse F C> Vs 3 ! t (sRt)

Dimostrazione parziale) . TE OREMA 2. 12

Segue dai Teoremi 2.6 (serialità) e 2. 1 0 (funzionalità D

Lo schema T r i v corrisponde all'isolamento.

F F= A � DA sse F C> V s V t ( s R t � s

Dimostrazione cui

Sia s

E

=

t)

W. Costruiamo il seguente F-modello M in I(p )

=

{s}

Allora M F s p e d i conseguenza M F s Dp poiché F F A � DA. Quindi per ogni mondo t relato ad s , si ha che M l= t p, da cui t = s . ( ç= ) Esercizio. D TE o REMA 2. 13

Lo schema Ve r corrisponde alla cecita. F F= DA sse F C> Vs Vt _, (sRt)

Dimostrazione ( ::::=? ) Se F l= DA, allora F F O_l, quindi nessun mondo può essere relato a qualche altro mondo. ( ç= ) Esercizio. D 42

2. CORRISPONDENZA E NON ESPRIMIBILITÀ

TE OREMA 2.14

mnkj-Lemmon.

Lo schema m n kj-Le m m o n corrisponde alla proprieta

F 1= OmonA � Dk Oi A sse F t> Vs \:/ t \:/ u (sRm t

1\

3 v ( tRn v

sR k u 1\

�

u Ri v ) )

Dimostrazione ( � ) Supponiamo che esistano s , t e d u tali che ( s Rm t 1\ s R k u ). Costruiamo il seguente F-modello M in cui

Allora M Ft on p per def. di I(p) e M Fs Omon p , poiché s Rm t . Poiché F F OmonA � ok OiA, M F $ ok Oi p . Quindi M F u Oi p . Questo implica che esiste u n v , con u RJ v e M F v p, ovvero v E I (p ) , da cui t Rn v . ( �) Esercizio. o FIGURA 2.1

mnkj-Lemmon

Esercizio 2. 1 Mostra che lo schema M V := []A v ODA corrisponde alla proprietà che ogni mondo o è un punto cieco o è relato ad un punto cieco. 43

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONALE

Esercizio 2.2 Mostra che tutte le formule considerate fi n qui, eccetto gli schemi 3 e V e r , sono casi particolari di formule di Lemmon. 2.2 Proprietà non esprimibili

I risultati positivi che abbiamo fin qui esposti, e addirittura generaliz­ zazioni del teorema mnkj-Lemmon quale il teorema di Sahlqvist, non devono indurci a pensare che non esistano proprietà del primo ordine non esprimibili da formule modali. Invero proprietà quali l'irriflessività e l'antisimmetria non sono esprimibili. Per mostrare ciò abbiamo bisogno di introdurre dei concetti nuovi relativi alla trasformazione di modelli, in genere da modelli 'complessi' a modelli più 'semplici' purché conser­ vino certe proprietà modali, in particolare quella di essere 'modalmente equivalenti'. Cominciamo col presentare due tecniche per trasformare modelli o per metterli in relazione con altri che potremmo dire 'simili'. Queste due tecniche prendono il nome di generazione di sottomodelli e p-morftsmo fra modelli. 2.2. 1 . S OTTOMODELLI GENERATI

La costruzione del sottomodello generato nasce dalla constatazione che il valore di verità di un enunciato A in un punto v di un modello dipende esclusivamente da 'ciò che accade' nei mondi raggiungibili a partire da v con un numero finito di R-passi. DEFINIZIONE 2.15 (Sottomodello generato)

Dato un modello

M = (W, R, I)

chiamiamo il seguente modello

sottomodello generato da v E W dove : - wv = { z E W : vR * z }, ove R* è la chiusura riflessiva e transitiva di R; - RV = R n (Wv x wv) ; - IV (p ) = I(p) (ì wv . 44

2. CORRISPONDENZA E NON ESPRIMIBILITÀ

La struttura Fv : = (Wv, Rv ) è la sottostruttura di F generata da v, anche detta struttura con radice v. LEMMA 2 . 16

(W,R)

Dati A E F mq, e z E Wv:

Dimostrazione La dimostrazione è per induzione sulla lunghezza di A E F m q,. Dimostriamo, come esempio, il caso in cui A = 0B, cioè dimostriamo che : Mv

Fz

[].8

sse

M

Fz

DB

( ç= ) Supponiamo M t= z 0B . Consideriamo un qualsiasi u E w v tale che zRv u . Allora zRu vale immediatamente per definizione di Rv in quanto Rv ç R. Per Definizione l. 5 vale M t= u B, da cui, per ipotesi di induzione, ricaviamo M v t= u B . Possiamo così concludere M v t= z OB per Definizione 1 .5. ( =* ) Supponiamo Mv Fz OB, e dunque che per ogni u , (zRv u =* M v f= u B). Dobbiamo far vedere che per ogni u (zRu =* M f= u B ) . Consideriamo un qualsiasi u E W tale che zRu e facciamo vedere che vale zRv u . Infatti vR*z si dà giacché z E w v , ed in più zRu vale per ipotesi. Da questo segue vR* u per la Definizione 2. 1 5 . Questo signifi c a che u E w v . Allora z , u E w v , zRu , e quindi zRv u per definizione di Rv, da cui M v f=u B. Per ipotesi di induzione si ha dunque che M f= u B, possiamo così concludere M F z OB per Defi n izione 1 . 5. D Osservazione 2 Attraverso l'utilizzo di opportuni sottomodelli ge­ nerati mostreremo che le proprietà di convergenza e connessione non corrispondono ad alcuna formula modale. Vedi i Teoremi 2.25 e 2.26. 2.2.2. P-MORFISMI DEFINIZIONE 2.17 (p-morfismo fra strutture) Date due strutture rela­ zionali F1 = (W1 , R1) e F2 = (W2, R2), chiamiamo p-morftsmo tra F1 e F2 2 una funzione f : W1 ---+ W2 che gode delle seguenti proprietà :

2.

Anziché p-morfìsmo, alcuni chiamano questa particolare funzione

limitato (dall'inglese: bounded morphism).

45

morjìsmo

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONALE

l . (jòrth condition) Vw, v E wl (wRl v ==? l (w) R21(v ) ) Questa proprietà è descritta graficamente dalla FIG. 2.2 . FIGURA 2.2

Forth condition

2. ( back condition) Vw E Wl Vy E w2 (l (w)R2y ==? 3v E wl (wRl v 1\ l ( v ) = y ) ) . Questa proprietà è descritta graficamente dalla FIG. 2.3. FIGURA 2.3

Back condition

Osservazione 3 La condizione 2 dice che y è immagine sotto la fun­ zione l di almeno un mondo relato a w. Ovviamente possono esserci altri mondi relati allo stesso w che non vengono mappati sull'elemento y del codominio, come possono esserci mondi di W1 non relati a w che vengono mappati su y . DEFINIZIONE 2. 1 8 (p-morfismo fra modelli)

Dati i modelli M 1 =

ML

l= t

B)

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

Anche in questo caso dimostriamo che Rr è una f-@trazione. Innan­ zitutto (F2) coincide con � . Quanto a (F l ) , sia s Rc t . Allora per ogni []B E r (DB E s � B E t ) . Da questo segue che l s i Rr l t l per il verso ç:: della definizione di massima @trazione.

Se [ e un insiemefinito, allora tinsieme wr e anch'essofinito e contiene al massimo 2 n elementi, dove n e il numero di elementi di r. Quindi un modello M r ottenuto perfiltrazione (a partire da un rfinito) efinito. LEMMA 6.12 (Finitezza di Wr)

Sottolineiamo che di classi di equivalenza possono essercene meno di 2 n . Ad esempio, supponiamo che r contenga tre elementi f = { p , q , p A q } , allora n = 3 e le classi di equivalenza sono al massimo 8, ovvero: l x1 1 l x2 1 l x3 l l x4 1 l x5 1 l x6 1 l x7 l l x8 1

= = = = = = = =

{ w E WL { w E WL { w E WL { w E WL { w E WL { w E WL { w E WL { w E WL

: ML : ML : ML : ML : ML : ML : ML : ML

F= w f= w F= w F=w !F w !F w IFw !F w

p p P P p p P p

e e e e e e e e

ML ML ML ML ML ML ML ML

1F w q !F w q F= w q F= w q !F w q !F w q F= w q f=w q

e e e e e e e e

ML ML ML ML ML ML ML ML

1F w p f= w p !F w p F=w p f= w p !F w p F=w p !F w p

A q} 1\ q } A q} A q} 1\ q } 1\ q } A q} 1\ q }

In questo caso le classi di equivalenza effettive sono meno di 2 n visto che non è possibile ad esempio avere classi di equivalenza come l x7 1 , l x 5 l o l x2 1 . TE OREMA 6. 13 (Lemma della filtrazione) Sia M r = (Wr, Rr , Ir) una r -filtrazione di M L = (W L ' Rc ' I c). Per ciascunaformula B E r eper ogni mondo w E W L, si ha che:

sse

Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione sulla costruzione di B. La base è una conseguenza immediata della definizione di Ir . Si noti bene che, per poter applicare l'ipotesi induttiva, dobbiamo far ricorso alla chiusura sotto sottoformule di f. I casi proposizionali classici sono immediati e vengono lasciati come esercizio. Dimostriamo il caso in cui B = D C. 1 00

6. MODELLI F INITI E DE CIDIBILITÀ

( B)

----+>

[].8

sse F C> R è un ordine dualmente ben fondato.

Dimostrazione

( �) Supponiamo per assurdo che F sia un ordine dualmente ben fon­ dato e che F � W. Questo significa che esiste un F-modello M ed un l.

In letteratura tale logica è spesso chiamata GL o anche logica di Godel-Lob.

105

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

mondo w tale che:

M !Fw D(DB � B ) � []B M l=w D (DB � B ) M !Fw [JB ?J v (w'Rv 1\ M !F v B )

(1 ) (2) (3) (4)

(da 1 ) (da 1 ) (da 3 )

Sia v il mondo la cui esistenza è asserita in ( 4) . Si consideri il seguente n insieme X = {x E W : :J n E N (wR x ) 1\ M if'x B } . X non è vuoto, infatti w, v E X (poiché w R0 w e w R 1 v, rispettivamente) . Dato che F è un ordine dualmente ben fondato, l'insieme X deve avere un elemento massimale; sia esso w* e sia wR k w*, k E N. Allora (poiché w* E X )

(5 ) M !Fw* B (6) M l= w* []B � B (7) M !Fw* [JB (8 ) ?Jz ( w*Rz 1\ M IF z B )

(da 2 poiché w'R k w* e R è transitiva ) (da 5 e 6) (da 7)

Da wRk w* e w*Rz, segue che wRk + 1 z. Allora z E X , ma questo è in contraddizione con l'ipotesi che w* fosse elemento massimale di X . Dunque F F W. ( � ) Dobbiamo mostrare che se F F W allora F è l . priva di R-catene infinite ascendenti; 2. transitiva; 3. irriflessiva. l . Facciamo vedere che F e priva di R-catene infinite ascendenti. Proce­ diamo per assurdo. Sia X una R-catena infinita ascendente e sia w E X . Consideriamo il seguente modello in cui: 'I (p) = { z E W : z � X }

ovvero Poiché w E X e X è infinito allora esiste un v E X , tale che wRv. Per definizione di I, M if'v p, da cui M IFw DP M IF w D(Dp � p ) ?Jx (w'Rx 1\ M l=x Dp

1\

M 1F x p ) 1 06

poiché W è valida su F

7. KW:

LA L O GICA DELLA DIM OS TRABILITÀ

Dal fatto che M lf= x p si ha che x E X . Essendo X una successione in­ finita crescente, deve esistere un y E X tale che x Ry. Per definizione di I( p ) , M lf=y p . Questo è in contraddizione col fatto che M l== x O p . Dunque F è priva di R-catene infinite ascendenti. 2. Facciamo vedere che F e transitiva. Sia data una struttura F tale che F l= W. Fissato w, definiamo un F-modello M = M f= x p) (4) per ogni x (wRx ==> Vy (x R*y ==> wRy ) ) (5) per ogni x e y ( w Rx A x Ry ==> w Ry )

per MP con W (da 2) (da 3, per ( t ) )

Ma ( 5) c i dice che F è transitiva. 3. Ora mostriamo che lo schema W è falso su ogni struttura che con­ tenga un mondo riflessivo. Sia F una tale struttura e w* un tale mondo. Si definisca una interpretazione I tale che: I (p )

=

{v : v # w* }

Si vede facilmente che M lf= w * D ( Dp � p)

�

Dp .

D

Dal Teorema 7.2 segue che : KW è valida rispetto alle strutture irriflessive, transitive e prive di R-catene infinite ascendenti. In particolare KW è valida rispetto alla TE OREMA 7.3

classe degli ordini parziali strettifiniti. TE OREMA 7.4

f-Kw []8

�

DDB

Dimostrazion? (I ) (II ) (III) (IV) (v) (vr) (VII)

f-- K w B � ( ( []B A DOB ) � (B A []B )) f-- K w B � (D (B A []B) � (B A []B)) f-- K w []B � D(D(B A []B) � (B A []B) ) f-- K w D(D(B A []B) � (B A DB) ) � D(B A []B ) f-- K w []B � D(B A []B ) f-- KW []B � []B /\ DDB f-- KW [JB � ITJB

t aut I, K ( l ) , taut RM Ax. W III, IV, t aut v, K( l ) , taut VI, taut D

Altri teoremi di KW :

((DA � A ) 1\ D (DA � A ) ) � A

OT � -. oOT

2. Questa dimostrazione è divenuta standard e si può trovare in Hughes, Cresswell ( 1984, p. 1 0 1 ) . Che ogni struttura per W sia transitiva segue banalmente dal fatto che lo schema 4 è teorema di KW.

108

7. KW:

LA L O GICA DELLA DIM OS TRABILITÀ

OT � Oo..L D.l +--+ DOT

Non sono teoremi di KW DA � A, O T, -. o..L, DO T :

7.1 Completezza d i KW

La dimostrazione del teorema di completezza che qui presentiamo è a nostra conoscenza la più semplice presente nella letteratura e si trova in Cresswell ( 1 983 ) . Sia A una formula data. Poniamo Sf' (A) = { B : B è sottoformula di A} u { -.B : B è sottoformula di A } . (A-modello canonico per KW) Un A-modello canonico per KW è una tripla M:w = a enunciati di PA, tale che : - T (l_) = l_; 1 14

7. KW:

LA L O GICA DELLA DIM OS TRABILITÀ

- r (B � C) = r (B ) � r ( C ) ;

- r(DB) = Teo r Cr(Br ).

TE OREMA 7. 14 (Teorema d i Solovay, 1 976)

f-- K w A sse per ogni traduzione r, PA f-- r (A).

Il teorema di Solovay ( 1 97 6) è molto significativo perché mostra che un frammento di una teoria formale indecidibile può essere studiato per mezzo di una logica modale decidibile, KW. Per una trattazione significativa della logica KW e dei rapporti con PA, cfr. Boolos ( 1 993) e Smorinski ( 1 985).

115

8

Diagrammi p er estensioni di K4 . 3

La costruzione del modello canonico è una costruzione di grande generalità e potenza, uniforme per ogni logica normale, ma spesso di scarsa efficacia quando si voglia dimostrare che una logica è caratte­ rizzata da particolari classi di strutture o da un'unica struttura. Caso tipico di questa situazione è dato dalla classe delle strutture connesse. Qual è la logica dei razionali positivi ordinati da < ? o la logica degli ordini lineari finiti ? Il metodo dei diagrammi qui presentato si applica a logiche caratterizzate da strutture connesse ed è un metodo speculare a quello del modello canonico perché il modello per una data formula viene costruito dal basso. Un diagramma � può essere visto come un insieme di indici linearmente ordinati a ognuno dei quali è associato un insieme di enunciati. Se una formula A è associata ad un indice (punto, mondo) w (cioè la coppia (w,A) E �) il significato inteso è che A è vera in w . Un diagramma è costruito passo dopo passo aggiungendo un nuovo indice (insieme ad una formula) al diagramma costruito fino a quel punto o aggiungendo una formula a un indice già presente nel diagramma. La costruzione è tale per cui alla fine si ottiene un diagramma che non è altro che un modello di Kripke. Con questa tecnica dimostriamo in modo uniforme la completezza delle logiche K4.3, K4.3. D , K4.3. D.Z, K4.3.W, K4.3.Z, 54.3, 54.3. D u m , 54. 3 . G rz, 54.3.C� ( m � 1 ) , 55, 55.Aitn. In questo capitolo con L intendiamo ogni logica L ;;;? K4.3. Il nostro insieme privilegiato di indici è l'insieme Q6 dei numeri razionali positivi, zero incluso, ordinato dalla relazione "minore di", < . DEFINIZIONE 8 . 1

- Un diagramma � è un sottoinsieme di ( Q6 x F m� ) . - S e r ç � , allora r è detto sottodiagramma di � e � è detto sopradiagramma di r. 1 17

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

Esempio Sia Il = { vk se Ak OB per qualche B e (vk ,Ak ) E fl._k

�z

altrimenti

=

- !:l. = Uk EN !:l.k Si mostra facilmente che !:l. è L-saturo.

D

Sia !:l. un diagramma L-saturo. Si definisca il seguen­ te modello indotto da !:l.: M il = (M , R,'I): - M = Supp( !:l.) - w Rv sse w < v DEFINIZIONE 8 . 1 1

- I( p ) = {k : (k, p) E i::l. } Sia !:l. un diagramma L-saturo. Per ogniformula A,

LEMMA 8 . 12

Dimostrazione

D

Esercizio. 1 24

8.

DIAGRAMMI P ER ESTENSIONI DI

K4.3

LEMMA 8.13

K4.3 è completa rispetto alla classe di strutture { b. A w R v, r => u

Co n v Deb

Con vDeb c

w' non nella conclusione

w' non nella conclusione.

Per ConvDebc vale quanto già detto per Euclide . Seguono alcune derivazioni in tali calcoli. l. G3. D f-- ==? w : []A � OA v : A, w Rv, w : 04 ==> w : OA, v : A ---- RO v : A, w Rv, w : 04 ==> w : OA -LO --w Rv, w : OA => w : OA ------ Ser w : DA ==> w : OA--R=> W : 04 - 0A

2.

G3.X f--

==? w

:

ODA � DA

v : A, u : OA, w R u , u Rv, w Rv, w : ODA ==> v : A ---- LO u : oA, w R u , u Rv, w Rv, w : ODA ==> v : A ---- LO w R u , u Rv, w Rv, w : 004 ==> v : A ----DensDeb w Rv, w : 004 ==> v : A --- RD : DA w --==-: DDA => w----==--R -

--

=> w : DOA - 04

3. G3.K2 f--

==? w :

ODA � D OA

w' : A, u Rw', v Rw', w R u , w Rv, u : DA ==>� v : OA, w' : A LO : w' u Rw', v Rw', w Ru , w Rv, u : 04 ==> v : OA, A ---- RO u Rw', vRw', w R u , w Rv, u : DA ==> v : OA Co n v Deb w Ru , w Rv, u : DA ==> v : OA � � LO w Rv, w : ODA ==> v : OA Ro w ____ : ODA ==> w---= : oOA =--,_:_: =-:-:--R ==> w : ODA - oOA

-

-

_

-

_ _

-

--

____,.

Esercizio 9. 3 Si dimostri nel calcolo G3. K2 il seguente teorema ( utiliz­ zando ConvDebc ) : ==> w : D (DA - OA)

1 57

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

Ovviamente possiamo anche considerare i calcoli etichettati ottenibili grazie ad arbitrarie combinazioni delle regole universali ed esistenziali considerate. Ad esempio, il calcolo G3.S4 è ottenuto estendendo G3. K con le regole Rif e Trans. Con G3. L denoteremo un qualsiasi calcolo di sequenti così ottenuto. Per comodità, nelle TABB. 9 .3 e 9 .2 riportiamo, rispettivamente, le regole non-logiche fin qui considerate e gli assiomi modali a cui esse corrispondono. TA B E L L A 9.2

Assiomi modali e regole corrispondenti T

R if

4

Trans

D

Ser

x

DensDeb

5

Euclid e Euclide

B

Sim

2

ConvDeb

Ve r

Ci eca

e

DensDebc

9 .4 Elementi base di metateoria DEFINIZIONE 9.4 Nelle regole delle TABB. 9 . 1 e 9 .3 i multinsiemi f e � sono chiamati contesti; le formule che occorrono nella conclusione e non fanno parte di r' � sono chiamateformule principali; infine, le for­ mule che occorrono nelle premesse, che non fanno parte di r, � e non occorrono nella conclusione sono chiamateformule attive. DEFINIZIONE 9.5

l. La lunghezza (lg) di una formula etichettata è così definita: la lun­ ghezza di un atomo relazionale w Rv è O e la lunghezza di una formula etichettata w : A è uguale alla lunghezza di A. 2. Data una derivazione di r � �, la profondita (h) di tale derivazione è il numero di nodi del suo ramo più lungo meno uno. 1 58

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

TA B E L L A 9.3

Regole non-logiche

Regole universali: w Rw,r � t::. r � �:::.

Rif

v Rw, w Rv, r � t::. w Rv, r � t::.

------

W

A Rv, r � u

Sim

------

w Ru , w Rv, v Ru , f � 1:::. w Rv, v Ru , r � 1:::.

Trans

v Ru , w Rv, w Ru , r � 1:::. w Rv, w Ru , r � 1:::.

Euclid

------

v Rv, w Rv, r � t::. A W R v, r � u

Ci eca

Regole esistenziali: wRw', w'Rv, w Rv , f � 1:::. A W R v, r � u

Euclide

w' non nella conclusione w Rw', r � t::. /:::. f�

DensDeb

v Rw', u Rw', w Rv, wRu, f � t::. A W R v, w R u , r � u

C o nvDe b

Se r

v Rw', w Rv, r � t::. A W R v, r � u

ConvDeb
!:l.', u' : B , w : A w : A, II ==> L ------ Cut v Ru', f, II ==> !:l.', L, u' : B RD f, II ==> !:l. 1 , L, v : [J8

Si noti che la sostituzione [ u '/ u J non può avere effetto su r, D.', w : A (e neppure su v) dato che u non occorre in tale multinsieme e che essa non aumenta la profondità della derivazione dato che la regola di sostituzione è pp-ammissibile. Procediamo in modo analogo se l'ultima regola è una regola non-logica esistenziale. Nel caso (4) procediamo in modo analogo al caso (3) . Infine, nel caso (5) la formula di cesura w : A è principale in entrambe le premesse, dunque essa è o della forma w : B � C o della forma w : 0B . Nel primo caso abbiamo la seguente derivazione : w : B, f ==> !:l., w : C II ==> L, w : B w : C , II ==> L R-. L-+ w : B C , II ==> L f ==> !:l., w : B C Cut r, II ==> !:l., L Possiamo trasformare tale derivazione nella seguente derivazione in cui abbiamo due cesure ammissibili su formule di minore lunghezza : ------------� � ------

II ==> L, w : B w : B, f ==> !:l., w : C Cut f, II ==> !:l., L, w : C w : C , II ==> L � Cut f, II, II ==> !:l., L, L ------ LC,RC r, II ==> !:l., L

-------

Nel secondo caso la formula di cesura è derivazione:

--

w :

0B e abbiamo la seguente

v : B, w : [)8, w Rv, II' ==> L wR u , f ==> !:l., u : B LO RD 1 f ==> !:l., w : [J8 w : [)8, w Rv, II ==> L ------- Cut f, w Rv, II' ==> !:l., L

------

che possiamo trasformare nella seguente derivazione : r ==> !:l., w : DB w : [)8, v : B, w Rv, II' ==> L w Ru , f ==> !:l., u : B Cut [vj u ] w Rv, f ==> !:l., v : B v : B, f, w Rv, II' ==> !:l., L ------- Cut f, f, wRv, wRv, II' ==> !:l., !:l., L ------ LC,RC f, wRv, II' ==> !:l., L

1 77

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

In quest'ultima derivazione ci sono due istanze di cesura che sono en­ trambe ammissibili per ipotesi di induzione : la prima istanza (dall'alto) ha una minore profondità e la seconda ha una formula di cesura di minore lunghezza. D COROLLARIO 9.21

ovvero:

La regola di Modus ponens e ammissibile in G3. L) => w : A => w : A - B => w : B

come mostrato dalla seguente derivazione: => w : A

=> w : A - B w : A => w : B w :B

-----

-------

Lem.9. 18.2

Cut

COROLLARIO 9.22 ( Completezza indiretta) Se una [,if! -formula A e de­ rivabile nel calcolo assiomatico per la logica L) allora laformula etichettata w : A) dove w e un'etichetta arbitraria) e derivabile nel calcolo di sequenti G3. LJ ovvero G3. L 1- => w : A implica

Da questo e dal teorema di completezza per L segue immediatamente che G3. L e completo rispetto alla classe delle strutture per L. Dimostrazione La dimostrazione è per induzione sulla costruzione del­ la dimostrazione di A nel calcolo assiomatico L . Se A è un assioma di L allora la derivabilità di w : A in G3. L segue dagli esempi di derivazioni presentati nei PARR. 9.2 e 9.3. Altrimenti A è stata ottenuta a partire da formule che lo precedono nella derivazione attraverso una tra la regola di necessitazione e la regola di Modus ponens. In questo caso la derivabilità di w : A in G3. L segue dall'ammissibilità di suddette regole nei calcoli di sequenti etichettati, ovvero dai Corollari 9 . 1 7 e 9 .2 1 . D 9.7 Decidibilità

In generale la procedura di costruzione di un L-albero non è una proce­ dura finitaria dato che in alcuni casi essa genererebbe un ramo L-saturo solamente dopo un numero infinito di passi. In particolare sono due i motivi per cui la procedura può andare avanti all'infinito: 1 78

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

l . se al passo m è possibile applicare, dal basso verso l'alto, la regola LO a una coppia di formule w Rv e w : DA, allora tale regola deve essere riapplicata anche al passo m + 1 (e ad ogni passo successivo) dato che tali formule vengono ripetute nella premessa7 ; 2. se un'istanza di una regola non-logica è applicabile a una foglia ot­ tenuta al passo m, allora essa rimarrà applicabile su tale ramo ad ogni passo successivo dato che le formule principali vengono ripetute nelle premesse delle regole non-logiche (le regole Rife Ser non hanno formule principali e, dunque, tali regole sono sempre applicabili) . Possiamo però mostrare, almeno in alcuni casi, che la procedura di co­ struzione di un L-albero può essere trasformata in una procedura di de­ cisione per la derivabilità nella logica L. Ovvero possiamo modificare la procedura in maniera tale che essa termini necessariamente in un nume­ ro finito di passi. Per fare questo, mostreremo che se un sequente è deri­ vabile, allora esiste una sua derivazione minima/e, ovvero una derivazione di profondità minima in cui nessuna regola è applicata più di una volta alle stesse formule principali. Questo comporta che, per alcune logiche, sia possibile imporre nella costruzione di un L-albero che un'istanza di una regola sia applicabile a un ramo al passo m solo se essa non sia già stata applicata su quel ramo a un passo precedente.

Se un sequente f � � è derivabile in G3.L, una sua derivazione minima/e (in tale calcolo) è una sua derivazione di profondità minore o uguale ad ogni altra sua G3.L­ derivazione. DEFINIZIONE 9.23 (Derivazione minimale)

Una proprietà fondamentale delle derivazioni minimali è la seguente. LEMMA 9.24 (Proprietà del sottotermine) Ogni etichetta che occorre in una derivazione minima/e di un sequente r � � in G3.L e un 'etichetta che occorre in r � � oppure e l'eigenvariable di una regola usata in tale derivazione.

Osservazione 9 Che valga la proprietà del sottotermine è banale per i calcoli che non contengono le regole Rif e Ser. Per quelli che le con7 . Analogamente per R O, ma stiamo considerando contenente solo _l, - e D. 1 79

il

frammento del linguaggio

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

tengono, invece, dipende dal fatto che è possibile eliminare le istanze di tali regole con formula attiva, rispettivamente, wRw o w Rw' se w è un'etichetta che né occorre nella conclusione di tale derivazione né è l' eigenvariable di qualche regola applicata in tale derivazione. Dimostriamo ora che è possibile ottenere una procedura di decisione per G3. K. Per fare questo iniziamo mostrando che, se in un ramo di una derivazione la regola LO è applicata due volte alle stesse formule princi­ pali, allora possiamo rendere queste due applicazioni di LO consecutive. Questo, unito alla pp-ammissibilità della contrazione, ci permetterà di mostrare che in una G3. K-derivazione minimale LO non viene mai ap­ plicata più di una volta con le stesse formule principali. Da questo segui­ rà immediatamente che possiamo dare una procedura di decisione per G3. K. È possibile permutare verso il basso un'istanza della regola LO avente come atomo re/azionale principale w Rv rispetto ad ogni istanza delle regole L �, R � e LO e rispetto ad ogni istanza di RO in cui !atomo re/azionale w R v non sia unaformula attiva. LEMMA 9.25

Dimostrazione La permutazione è banale per le regole R �, LO e RO (nel caso in cui la formula relazionale principale nell'istanza di LO non sia la formula attiva dell'istanza di RO in questione) . Ad esempio, per RO abbiamo : v : A, w2 R u , w1 Rv, w1 : oA, r � D., u : B LO : [JA., r � D., u : B w2 Ru , w1 Rv, w1� RO w1 Rv, w1 : [JA., f � D., w2 : []8

--------� -�

-------

e possiamo invertire l'ordine di applicazione di tali regole ottenendo : w2 R u , v : A, w1 Rv, w1 : [JA., f � D., u : B RO v : A,� w1� Rv, w1 : [JA., r � D., w2 : []8 � LO w1 Rv, w1 : [JA., f � D., w2 : []8

--------

--

--------

Nel caso della regola L � la permutazione è possibile grazie alla pp-am­ missibilità della regola di indebolimento LW. Ad esempio, se abbiamo : v : A, w Rv, w : [JA. r � D., u : B L O w Rv, w : [JA., r � D., u : B u : C , w Rv, w : [JA., r � D. ------- L u : B � C, w Rv, w : [JA., r � D.

, ------

1 80

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

prima di permutare le regole dobbiamo applicare LW alla premessa destra della derivazione originale per rendere uguali i contesti, come mostrato dalla seguente derivazione : u : C, w Rv, w : []A, f ==? � ------ LW v : A, wRv, w : []A, f ==? �' u : B u : C, v : A, w Rv, w : []A, f ==? � ------ LV : A, u : B c' w Rv' w : []A, r ==? � ------ LO D u : B ____. C, w Rv, w : []A, f ==? � ____.

COROLLARIO 9.26 Se

f

� è G3. K-derivabile) allora in una sua deri­ vazione minima/e ciascuna coppia diformule dellaforma w R v e w : []A è principale in un'unica istanza di LO ::::;.

Dimostrazione Supponiamo che w : []A e w Rv siano le formule prin­ cipali di due istanze differenti di LO in una G3. K-derivazione minimale di II ::::;. � ovvero che una porzione della derivazione sia: w Rv, w : []A, v : A, f1 ==? �� ------ LO wRv, w : []A, f1 ==? �� w Rv, w : []A, v : A, r ==? � ------w Rv, w : []A, r ==? �

LO

Per il Lemma 9 .25 possiamo permutare verso il basso l'istanza superiore di LO fino a renderla immediatamente successiva all'altra istanza di LO in considerazione. Otteniamo in questo modo la seguente porzione di derivazione avente la stessa profondità : w Rv, w : []A, v : A, f1 ==? �� v : A, v : A, w Rv, w : []A, f ==? � ------- LO (t) v : A, w Rv, w : []A, f ==? � ------- LO w Rv, w : []A, f ==? � A questo punto sarebbe possibile rimpiazzare l'istanza superiore di LO ( quella segnata con t ) con un'istanza della regola di contrazione a sinistra LC ottenendo così una derivazione di profondità minore del sequente II ::::;. �, abbiamo infatti mostrato che la regola LC è pp-ammissibile nel Teorema 9 . 1 9 . Ma questo è in contraddizione con l'ipotesi che la deri­ vazione originale fosse minimale. Dunque in una derivazione minimale la regola LO non può mai essere applicata più di una volta con le stesse formule principali. D

181

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

TE OREMA 9.27

Il calcolo etichettato G3 . K e decidibile.

Dimostrazione È sufficiente mostrare come sia possibile rendere fini­ ta la procedura di costruzione di un K-albero imponendo la seguente restrizione nella procedura data nella Definizione 9. 1 2: - A ciascun passo n della procedura di costruzione di un K-albero un'istanza della regola LO con formule principali w : []A e w Rv è appli­ cabile solo se in nessun passo m < n è stata applicata un'istanza di tale regola avente le stesse formule principali. Che tale restrizione non interferisca con la dimostrazione del teorema di completezza segue dal lemma precedente. Infatti sappiamo che se r � � è derivabile, allora esso ha una derivazione minimale in cui la regola LO non è mai applicata più di una volta con le stesse formule principali. Che tale restrizione assicuri che nella procedura di costruzione di un K-albero non sia possibile generare un albero con rami infiniti segue dalle seguenti osservazioni: - Le regole L � , R � e RD, se lette dal basso verso l'alto, generano formule attive di lunghezza strettamente minore rispetto alla formula principale su cui lavorano. - La regola LO (oltre a generare una formula attiva di lunghezza infe­ riore) riscrive la formula principale []A. Però essa è principale un'unica volta rispetto a ciascun atomo relazionale w Rvi e il numero di tali atomi è limitato dal numero (finito) di atomi relazionali w Rvi che occorrono nella radice dell'albero e dal numero (finito) di atomi relazionali intro­ dotti nel ramo da istanze della regola RD. Dunque, w : []A è principale in un numero finito di istanze di LO. Possiamo perciò concludere che la procedura di costruzione di un K-albero in un numero finito di passi genera o una derivazione o un contromodello finito per il sequente alla sua radice. D Passiamo ora a mostrare la decidibilità dei calcoli G3.T, G3.B e G3. D. Èpossibilepermutare verso il basso un 'istanza della regola LO avente come atomo re/azionale principale wRv rispetto a ogni istanza delle regole non-logiche Rij; Ser e Sim in cui l'atomo re/azionale w Rv non sia una formula attiva. LEMMA 9.28

Dimostrazione La dimostrazione è analoga a quella per la permutazio­ ne di LO con RO nel Lemma 9.25. D 1 82

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

COROLLARIO 9.29 Se [

.D. e derivabile in una delle estensioni di G3. K tramite le regole R if, Ser e Si m, allora in una sua derivazione minima/e cia­ scuna coppia diformule dellaforma w R v e w : []A e principale in un 'unica istanza di LO �

Dimostrazione La dimostrazione è analoga a quella del Corollario 9.26: si fa vedere che se così non fosse, sarebbe possibile rendere le due istanze di LO consecutive e rimpiazzare una delle due con un'istanza del­ la regola di contrazione LC. Ma questo genererebbe una derivazione più corta, contro l'ipotesi che la derivazione originale fosse minimale. D È possibile permutare verso il basso un'istanza di una qual­ siasi tra le regole Rif, Ser e Sim rispetto a ciascuna regola che abbia una diversaformula attiva. Dimostrazione Vedi Lemma 9.28. D LEMMA 9.30

COROLLARIO 9.3 1 Se [ � .D. e derivabile in una delle estensioni di G3. K tramite le regole/e regole R if, Ser e Sim, allora in una sua derivazione mini­ male ciascun atomo re/azionale e attivo in al piu una istanza di una delle regole Rif, Ser e Sim.

Dimostrazione Vedi Corollario 9.29.

D

TE OREMA 9.32 I calcoli etichettati che estendono G3K tramite le regole Rif, Ser e Sim sono decidibili.

Dimostrazione Come fatto nella dimostrazione del Teorema 9 .27, mo­ striamo come rendere finita la procedura di costruzione di un L-albero. Per fare questo aggiungiamo le due seguenti restrizioni nella procedura data: l . A ciascun passo n della procedura un'istanza della regola LO con formule principali w : []A e w Rv è applicabile solo se in nessun passo m < n è stata applicata un'istanza di tale regola avente le stesse formule principali. 2. A ciascun passo n della procedura un'istanza di una delle regole Rif, Ser e Sim è applicabile solo se la formula attiva di tale istanza non occorre già nella foglia in esame. È immediato vedere che queste restrizioni non interferiscono con la dimostrazione del teorema di completezza ( dati i Corollari 9.29 e 9.3 1 ) . 1 83

CORSO DI L O GICA M ODAL E PRO P O SIZIONAL E

Allo stesso tempo è facile vedere che, grazie a tali restrizioni, la proce­ dura di costruzione di un L-albero termina in un numero finito di passi. Infatti, esse assicurano che al più un numero finito di istanze delle regole LO, Rif, Ser e Sim sia applicato dal basso verso l'alto. o

Osservazione l O Abbiamo presentato alcuni dei risultati di decidibili­ tà per i calcoli etichettati presentati in Negri, von Plato (20 1 1 ) . Abbia­ mo considerato solo i casi più semplici, ovvero quelli in cui sia possibile direttamente rendere finita la procedura di costruzione di un L-albero. Non abbiamo considerato i casi di decidibilità in cui occorre, ad esem­ pio, la regola Trans poichè essa assieme a RO potrebbe generare catene infinite di nuove etichette rispetto alle quali sia applicabile la regola LO. Per questo problema e per la sua soluzione rimandiamo il lettore a Negri, von Plato (20 1 1 , pp. 208-9) .

9.8 Identità e pro prietà inesp rimibili 9.8. 1 . IDENTITÀ

Alcuni dei risultati di corrispondenza presentati nel CAP. 2 fanno uso del predicato di identità tra mondi. Facciamo ora vedere come sia possibile estendere il linguaggio etichettato al fine di ottenere calcoli etichettati per logiche modali, quali P F, F, Triv e 3, che corrispondono a proprietà semantiche in cui occorre il predicato di identità. Innanzitutto si estende il linguaggio etichettato aggiungendo atomi di identità tra etichette della forma: W = V

e si impone che tali atomi possano occorrere nell'antecedente, ma non nel succedente, di un sequente. Bisogna poi introdurre delle regole non-logiche che impongano che = sia un predicato di identità tra mondi. Tali regole sono riportate qui di seguito:

w = w, f ::::;. � Rif!d f ::::;. �

1 84

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

Ru ) [vjuJ , w = v, (u1 R u ) [wjuJ , f =? � w = v, (u1 R u2 ) [wjuJ , r ==? �

(u1 2 2 ----- RepRel v : p , w = v, w : p , f =? � ----- RepA t w = v, w : p , f =? �

Mostriamo subito che le regole Riftd e Repld rendono = una relazio­ ne di equivalenza ( tra etichette ) nei calcoli etichettati. Per fare questo, assumiamo di avere sequenti iniziali la cui formula principale sia un ato­ mo di identità tra etichette e mostriamo che = è una relazione riflessiva, transitiva e simmetrica. l . � =? W = W w = : w = w Rifld ;: = w

2. � ==? w = v

1\

v=u

--+

w=u

( w = w 1 ) [ ujw 1] , ( w = w 1 ) [ v /w 1] , v = u � w = u ----(w = w 1 ) [ v j w 1 ] , v = u � w = u LA ( w = w 1 ) [v jw 1] 1\ v = u � w = u ----- R-+ � ( w = w 1 ) [ v /w 1 ] 1\ v = u � w = u

Replld

---�-�-------

3.

� ==? w = v w

--+

v=w �v=

w

w ( w 1 = ) [ v j w 1 ] , ( w 1 = ) [w j w 1 ] , w = v -----( w 1 = w ) [w j w 1 ] , w = v � v = w _ Rif l d _W___ _.::._ ...._ _W_=_V--=-�- V-= R-+

Repld

�w=v�v=w

Inoltre è possibile dimostrare che la regola di rimpiazzamento per formule etichettate di lunghezza arbitraria è ammissibile : v : A, w = v, w : A , r � .6. -----w = v, w : A, r � .6.

Rep

A questo punto possiamo introdurre i seguenti calcoli etichettati: - Il calcolo G3. P F è ottenuto estendendo G3. K con la seguente regola : v = u , w Rv, w Ru , r � .6. -----w Rv, w R u , r � .6.

185

Fu nPar

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- Il calcolo G3. F è ottenuto estendendo G3. K con le regole Ser e FunPar. - Il calcolo G3.T riv è ottenuto estendendo G3.K con le regole Rif e FunPar. - Il calcolo G3.K3 è ottenuto estendendo G3.K con la seguente regola : ==*' � ==*' � ==*' � -----==*' �

v R u , w Rv, w Ru , [

u Rv, w Rv, w R u , [ w Rv, w Ru , r

v = u , w Rv, w R u , [

C o n nl

Facciamo ora vedere che tali regole sono sufficienti a derivare gli assiomi corrispondenti. - G3. P F f-- ::::? w : OA � DA v : A, u = v, w R u , w Rv, u : A � v : A Rep u = v, w Ru , w Rv, u : A � v : A ------ Fu nPa r w Ru , w Rv, u : A � v : A ---- LO w Rv, w : OA � v : A ------ RO w : OA � w : DA ------R� w : OA ---+ DA

------

- G3. F f-- ::::? w : OA � DA - G3.Triv f-- ::::? w : DA � A

Esercizio.

v : A, w = v, w Rw, w Rv, w : A � v : A Rep w = v, w Rw, w Rv, w : A � v : A __;___ FunPa r w : A, w Rw, w : []A � w : A O w Rw, w Rv, w : A � v : A Rif L w Rw, w : []A � w : A wRv, w : A � v : A Rif RO w --= : []A � w : A w : A � w : []A RR---+ A � w : A ---+ []A R A � w� : []A � �=� w : ( DA ---+ A ) A (A ---+ []A ) ----_ _

-

_ _ _ _ _ _ _ _ _

-

-

-

- G3. K3 f-- ::::? w : D(A 1\ DA � B )

v

D(B 1\ DB � A )

Esercizio.

Osservazione 1 1 È immediato estendere i teoremi di validità e comple­ tezza presentati nel PAR. 9.5 ai calcoli con identità tra etichette. L'unica novità è che nella definizione del modello basato su un ramo L-saturo (cfr. Definizione 9. 1 3), l'insieme W sarà costituito non dall'insieme di tutte le etichette occorrenti nel ramo, ma dalle classi di identità di tutte le etichette w, v tali che w = v occorre nel ramo considerato. 1 86

9. SEQ UENTI ETI CHETTATI

Anche i risultati di ammissibilità delle regole strutturali presentati nel PAR . 9.6 si estendono facilmente ai calcoli con identità tra etichette8 . 9. 8.2. PROPRIETÀ INE SPRIMIBILI

Faremo ora vedere come sia possibile utilizzare i calcoli etichettati per mostrare che alcune proprietà della relazione di accessibilità non sono modalmente esprimibili. Per fare questo sarà sufficiente mostrare che la regola che esprime tali proprietà può essere aggiunta a G3. K senza ren­ dere alcun nuovo sequente del tipo ::::? w : A derivabile9 . In particolare considereremo la regola per l' irriflessivita della relazione di accessibilità: -----

w Rw, r � .6.

Ir ref

e la regola per l' intransitivita: w R u , w Rv, v R u , r � .6.

------

l n t rans

e faremo vedere che entrambe le regole sono ammissibili in G3. K . Da questo segue immediatamente l'inesprimibilità modale delle proprietà corrispondenti. LEMMA 9.33

L)i rriflessivita non e esprimibile.

Dimostrazione Assumiamo che ::::? w : A sia derivabile in G3. K + { Irref} . Gli atomi relazionali che occorrono in tale derivazione sono tut­ ti atomi introdotti, dal basso verso l'alto, da un'istanza della regola RD. Dunque essi saranno del tipo w1 Rw2 con w1 =/= w2 e, perciò, non è possibile che in tale derivazione sia applicata la regola Irref Dunque la derivazione di ::::? w : A è una derivazione anche in G3. K . o L)intransitivita non e esprimibile. Dimostrazione Assumiamo che ::::? w : A sia derivabile in G3. K + { lntrans} . Gli atomi relazionali che occorrono in tale derivazione sono LEMMA 9.34

8 . Per dimostrare la pp-ammissibilità della contrazione non serve aggiungere l'istanza contratta delle regole Repld, FunPar e ConnDeb (ovvero il caso in cui si elimina una delle due formule principali identiche) dato che la sua conclusione si può ottenere direttamente dalla premessa (destra nel caso di ConnDeb) applicando la regola Rifld. 9 . Ovvero mostreremo che tali regole sono conservative rispetto alla derivabilità di formule etichettate.

1 87

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tutti atomi introdotti, dal basso verso l'alto, da un'istanza della regola RD. Dunque non è possibile che, in uno stesso nodo, due di essi siano della forma v Rwi e u Rwi , dato che questo vorrebbe dire che in uno dei due casi è violata la restrizione sulle etichette della regola RD. Perciò, non è possibile che in tale derivazione sia applicata la regola lntrans; la derivazione di � w : A è una G3. K-derivazione. o

1 88

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1 90

Indice analitico

alfabeto, 23 aritmetica di Peano, 1 1 2

back condition, 46 calcolo di sequenti G 3 . B, 1 5 5 G 3 . D, 1 56 G 3 . F, 1 8 6 G 3 . K, 1 5 1 G 3 . K2, 1 57 G 3 . K3, 1 86 G 3 . K4, 1 54 G 3 . K5, 1 5 5 G 3 . l, 1 5 8 G 3 . P F, 1 8 5 G 3.T, 1 54 G 3 . T riv, 1 8 6 G3 .Ve r, 1 5 5 G 3 .X, 1 5 6 cesura, 1 7 5 chiusura riflessiva, 33 transitiva, 33 completezza, 73 8, 82 0, 80 G 3 . L, 1 69, 178 K, 80 K4, 8 1 K4.3, 8 3, 1 25, 1 38 K4.3 . D, 1 39 K4.3. D.X, 1 25 K4.3 . D . Z, 1 39

K4.3.W, 1 4 1 K4.3 . Z, 1 42 K5, 8 5 KW, 1 09 m n kj - Le m mon, 86 54, 8 2 5 4 . 2 , 82 54.3, 84, 1 25, 1 43 54.3 . ( � , 1 46 54.3. D u m , 143 54.3 . G rz, 1 46 55, 8 5 , 1 47 55.Aitn, 1 48 T, 8 0 T riv, 8 5 Ver, 8 6 X, 8 1 conseguenza semantica, 27 contrazione, 1 73 corrispondenza, 37 risultati di, 39 decidibilità, 96, 1 78 derivabilità in G3 . L , 1 5 1 i n L , 57 diagramma, 1 1 7 canonico, 1 36 iniziale, 1 30 punti base di, 1 30 L-coerente, 1 1 9 L-saturo, 1 20 massimale, 1 20 ricco, 1 20

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supporto di, 1 1 8 dimostrazione in L, 5 3 filtrazioni, 97 formula, 23 attiva, 1 5 8 etichettata, 1 5 1 principale, 1 5 8 sottoformula di, 24 Jorth condition, 46 g-conseguenza semantica, 90 incompletezza, 8 8 indebolimento, 170 interpretazione, 26 invertibilità, 1 72 L-massimale, 7 5 lemma box-lemma, 78 del modello canonico, 78 di Lindenbaum, 76 diamond-lemma, 78 logica 8, 59 D, 59 G 3 . L, 1 69, 1 7 8 K, 5 3, 8 0 K 4 , 59 K4.3, 59 K4.3 . D, 1 39 K4.3. D.X, 1 2 5 K4.3 . D . Z, 1 39 K4.3 .W, 1 4 1 K4. 3 . Z, 142 K5, 8 5 KGH, 93 KVB, 92 KW, 59, 1 05 m n kj - Le m mon, 86 54, 59 54.2, 59 54.3, 59 54.3 . (� , 1 46 54. 3 . D u m, 1 43

54. 3.G rz, 146 55, 59 5 5 . A i t n , 1 48 T, 8 0 T riv, 59 Ver, 59 X, 59 canonica, 74 caratterizzata, 73 completa, 73 consistente, 7 5 decidibile, 95 fi n itamente assiomatizzabile, 95 fortemente completa, 74 incompleta, 8 8 inconsistente, 7 5 modale normale, 32 lunghezza di una formula, 24 di una formula etichettata, 1 5 8 massimale insieme, 7 5 modalità, 65 modello, 26

F-modello, 26

M -realizzazione, 1 62 canonico, 77 da un ramo L-saturo, 1 68 filtrato, 98 p-morfismo, 45 profondità di una G 3 . L-derivazione, 1 5 8 proprietà di R cecità, 37 connessione, 3 7 connessione debole, 37 convergenza, 3 7 convergenza debole, 3 7 densità debole, 37 euclidea, 37 funzionalità, 37 funzionalità parziale, 37 isolamento, 37 mnkj- Lemmon, 37 192

INDICE A NA LITICO

non esprimibile, 49, 1 87 ordine dualmente ben fondato,

F, 38

G r z, 146 K, 28 KW, 1 05

1 05 riflessività, 37 serialità, 37 simmetria, 37 transitività, 37

Le m m o n , 38

regola

RK_ , 56 RK" , 56 RKdefo ' 56 RM, 5 5 SE , 58

ammissibile in G3. L, 1 59 ammissibile in L, 5 5 d i G 3 . K, 1 52 modus ponens, 29 necessitazione, 30 per l'identità tra etichette, 1 84 pp-ammissibile in G 3 L , 1 59 sostituzione di etichette, 1 60 sostituzione uniforme, 30 relazione di accessibilità, 25 .

saturazione, schema

1 66

2, 38 3, 38 4, 38 5, 38

Al tn , 1 48 B, 38 c�. 146 D, 38 D u m, 63, 143

M V, 43 PF , 38 T, 38 Tr i v, 38 Ve r , 38 X, 38 W, 105 Z, 63, 1 39 sequente, 1 5 1

sostituzione uniforme, 24 sottomodello generato, 44 struttura generale, 89 per L, 63 relazionale, 25 teorema di L, 5 3 d i Solovay, universo,

1 15

25

validità di G3. L, 1 62 su una classe di strutture, su una struttura, 27 teorema di, 63 verità in un modello, 27 in un mondo, 26

1 93

27