Über eine lineare Integrodifferentialgleichung mit Zusatzkern [Reprint 2021 ed.] 9783112502525, 9783112502518

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BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG Klasse

Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

HANS

97 • Heß

7

SCHUBERT

ÜBER EINE LINEARE INTEGRODIFFERENTIALGLEICHUNG MIT ZUSATZKERN

19 5 0

AKADEMIE-VERLAG

BERLIN

Berichtigungszettel Die Abschnittsüberschriften des vierten Kapitels auf Seite 32, Seite 36 und Seite 42 lauten mit richtigen Formelnummern versehen: Seite 32: b) Das Randwertproblem (16,1), Seite 36: c) Das Randwertproblem (16,2), Seite 42: d) Das Randwertproblem (12,16).

BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG M athematisch-naturwissenschaftliche Band

HANS

97 • Heft

Klasse 7

SCHUBERT

ÜBER EINE LINEARE I N T E G R O D I F F E R E N T I A L G L E I C H UNG MIT Z U S A T Z K E R N

1950

AKADEMIE-VERLAG

• BERLIN

Vorgelegt durch Herrn Holder in der Sitzung vom 21. März 1949 Manuskript eingeliefert am 9. August. 1949 Druckfertig erklärt am 7. Juni 1950

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH., Berlin NW 7, Scliiffbauerdamm 19 Lizenz-Nr. 15G • 7204/49 - 9717/49 Satz und Druck Buclidruckcrei Oswald Schmidt GmbH., Leipzig M 118 Bestell- und Verlagsnummer: 2027/97/7 Preis: D M 9 , 2 5

1. E i n l e i t u n g 1 ) 1. Gewisse Aufgaben der theoretischen Aerodynamik [13 b], [16c], [16d], [19b] 2 ) lassen sich auf Integrodifferentialgleichungen der Form h bzw.

a

h

f(z)-h{x)

+ K{x, X')) dx'} (1,2) a zurückführen, wobei die in (1, 1) und (1,2) vorkommenden Integrale als OAUCHYSche Hauptwerte zu verstehen sind. Gegeben sind die Funktionen g(x) und h(x), wobei außerdem h(x) > 0

für

a

d x

' = 8 )

( c - ^ f ^ + *

4

^

(2> i)

= *

0 bringen. Als Näherung rc-ter Ordnung für die gesuchte Funktion f {&) dient das Interpolationspolynom n

Um-^riJJfanJJ^^a^^

(2,3)

^=

(2,4)

(7 = 1

mit

¡1 = 1

fan=fM,

wobei die darin enthaltenen Konstanten fan noch in passender Weise zu bestimmen sind. Alsdann ergibt sich mit Hilfe der bekannten Integrale

71

/ 0

cos # — cos #

71

W

^

¿ V -

hinausläuft. Über die partiellen Ableitungen 1. Ordnung des Zusatzkerns wird absichtlich nichts vorausgesetzt, da sie längs der Hauptdiagonale des Grundbereichs gewöhnlich nicht existieren. 5. Die beiden Integrodifferentialgleichungen (2, 1) und (2, 2) fassen wir als Sonderfälle der allgemeineren Gleichung n

r o m =

m

{

g

w

0

¿

/

S

F

+

K

w

)




x

)

Über eine lineare IntegrodiSerentialgleichung mit Zusatzkern mit

Vo ^ 0

9

(5, 2)

auf und formulieren unsere Problemstellung folgendermaßen: P r o b l e m I : Gesucht sind alle Lösungen f{&) von (5, 1) mit folgenden Eigenschaften: a) Die Funktion f ($) soll im Intervall 0 ^ # n stetig sein und in den Intervallendpunkten verschwinden. b) Ihre Ableitung ^

soll im Intervall 0

)

und zwar konvergiert die im Gebiet r > 1 reguläre Potentialfunktion

rj~rq>(r,

#) für alle & des Intervalls

0

1

+ d2 ^

< 02

— ö2

gleichmäßig gegen ihre Randwerte. Zugleich ist damit die Gültiggezeigt. Die beiden //-Bedingunkeit von (7, 12) für alle •& 4= gen (7, 6) liefert unmittelbar ein an anderer Stelle bewiesener Hilfssatz ([16b]). Um nun die quadratische Integrierbarkeit der Randwerte d

q>(r, &) im Intervall — n

1)

V= 1

'

in das Potential der einfachen Schicht In — n

rifl' yl + r2 — 2rcos (#'—0)

ergibt sich bei Beachtung von (9, 4) und (9, 6) schließlich

K cos + K sin vä\

00

0 (r, 0) = 2 J

i

= V (r,

V= 1

womit (9, 1) bewiesen ist. 10. H i l f s s a t z 4: Ist die Belegungsdichte a(#) des logarithmischen Linienpotentials n

0 ( r , # ) = f a(§') l n - = 2 1 =d& ' J ' Vi + r - 2 r cos

(10,1)

— 71

längs r = 1 beschränkt durch k(#)|=SZ> 6

(10,2)

und integrierbar, so genügt 0 (r, 0) gleichmäßig für alle d und alle r Jg 1 der //-Bedingung \0{r,$

+ t) -0(r,&)\

0)

Yi-

9o 1 r

(19, 10)

Aus der im Gebiet r > 1 gleichmäßig konvergenten Reihe (19, 7) ergibt sich durch den gliedweisen Grenzübergang r 1 die längs r = 1 gleichmäßig konvergente Reihe [

^

~

r >1]

K

&>

d &

'

und erhalten hieraus durch Anwendung der ScHWARZschen Ungleichung bei Beachtung von (22, 4) und (22, 5) n

Ji

^

f [jp

9 (r, #')] K (0, •&') d & ' - J J £ (•&)

— 71

V=

|(25, 3)

1

71

¿ ¿ { ¡ [ w b W - V n W )

Da die im Gebiet r > 1 reguläre Potentialfunktion