Mathematische Propädeutik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und Lineare Optimierung [Reprint 2018 ed.] 9783486795882, 9783486245868

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Mathematische Propädeutik fur Wirtschaftswissenschaftler Lineare Algebra und Lineare Optimierung

Von Universitätsprofessor

Dr. rer. nat. Arno Jaeger und Universitätsprofessor

Dr. rer. oec. Gerhard Wäscher

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Zur Erinnerung an unsere Eltern

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Jaeger, Arno: Mathematische Propädeutik für Wirtschaftswissenschaftler : lineare Algebra u. lineare Optimierung / von Arno Jaeger u. Gerhard Wäscher. München : Oldenbourg, 1998 ISBN 3-486-24586-4 NE: Wäscher, Gerhard:

© 1998 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3-486-24586-4

Inhaltsverzeichnis Vorwort

IX

Kapitel I: Einleitung 1. Lernziele 2. Gebiete und A u f g a b e n der M a t h e m a t i k 3. Abstrahieren und Mathematisieren 4. Modelle von ö k o n o m i s c h e n Gegebenheiten 5. Erste G r u n d b e g r i f f e der Linearen Algebra und Linearen O p t i m i e r u n g . 6. Grundbeispiele linearer Modelle a u s dem betrieblichen Bereich 6.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse 6.2. Grundbeispiel 2: A b s a t z p r o g n o s e 6.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 6.4. Grundbeispiel 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 6.5. Grundbeispiel 5: Mischungsoptimierung 7. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

1 3 3 5 10 12 18 19 24 27 29 31 34 34 35

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme 1. Lernziele 2. Lineare Restriktionssysteme 2.1. Z u r G e o m e t r i e linearer Gleichungssysteme 2.2. Kanonische Gleichungssysteme 2.3. Lösungsneutrale U m f o r m u n g e n für Gleichungssysteme 2.4. Pivotieren 2.5. Modifizierter GAUSS-Algorithmus 2.6. Ergänzende Bemerkungen 2.6.1. Präzisierung des Z u s a m m e n h a n g s zwischen Basisvariablen, kanonischer F o r m , Basislösung und E n t a r t u n g 2.6.2. Der Ü b e r g a n g von einem kanonischen Gleichungssystem zu einem äquivalenten kanonischen Gleichungssystem 2.6.3. Die simultane Bestimmung einer kanonischen F o r m für mehrere Gleichungssysteme mit identischen linken Seiten 3. Vorbereitende Bemerkungen über gemischte lineare Restriktionssysteme 3.1. Z u r G e o m e t r i e gemischter linearer Restriktionssysteme 3.2. Lösungsneutrale U m f o r m u n g e n mit Ungleichungen 3.3. Gleichgerichtete Ungleichungssysteme 3.4. NN-Gleichungssysteme 4. W e i t e r f ü h r u n g der Grundbeispiele 4.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse 4.2. Grundbeispiel 2: A b s a t z p r o g n o s e 4.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 4.4. Grundbeispiel 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 5. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

41 43 44 44 46 52 56 61 68 68 70

72 74 74 81 84 87 93 93 96 96 98 103 103 104

VI

Inhaltsverzeichnis

Kapitel III: Vektoren 1. Lernziele 2. Der Begriff des Vektors 3. Gleichungen und Ungleichungen zwischen Vektoren 4. Einfache Rechenoperationen für Vektoren 5. Innere Produkte von Vektoren 6. Linearkombinationen von Vektoren 6.1. Der Begriff der Linearkombination 6.2. Linearkombinationen und Restriktionssysteme 6.2.1. Linearkombinationen und Gleichungssysteme 6.2.2. Linearkombinationen und gleichgerichtete Ungleichungssysteme 7. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 7.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit in allgemeinen Vektorsystemen 7.2. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit in linearen Gleichungssystemen 8. Vektorraum, Basis und Rang 9. Zur Geometrie der Vektorrechnung 10. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

107 109 109 111 112 116 118 118 121 121 129 131 131 137 142 149 153 153 154

Kapitel IV: Matrizen 1. Lernziele 2. Der Begriff der Matrix 3. Matrizen und Pfeildiagramme 4. Spezielle Matrizen 5. Gleichungen und Ungleichungen zwischen Matrizen 6. Einfache Rechenoperationen für Matrizen 7. Matrizenmultiplikation 7.1. Allgemeine G r u n d l a g e n der Matrizenmultiplikation 7.2. Matrizenmultiplikation mit speziellen Matrizen 7.3. Matrizenmultiplikation und die Ü b e r f ü h r u n g linearer Gleichungssysteme in eine kanonische F o r m 8. Die Inverse einer Matrix 8.1. Der Begriff der Inversen 8.2. Berechnung 9. Der R a n g einer Matrix 10. Orthogonale Matrizen und ihre geometrische Bedeutung 11. F o r t f ü h r u n g der Grundbeispiele 11.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse 11.2. Grundbeispiel 2: Absatzprognose 12. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

159 161 162 164 166 169 171 175 175 186

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte 1. Lernziele 2. Determinanten 2.1. Exkurs: Gerade u n d ungerade Permutation

233 235 236 236

193 198 198 201 208 219 220 220 225 227 228 228

Inhaltsverzeichnis

2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

VII

D e r Begriff d e r D e t e r m i n a n t e Einige Regeln f ü r die B e r e c h n u n g v o n D e t e r m i n a n t e n D e t e r m i n a n t e n spezieller M a t r i z e n E l e m e n t a r e M a t r i z e n o p e r a t i o n e n u n d die D e t e r m i n a n t e einer M a t r i x 2.6. D e r M u l t i p l i k a t i o n s s a t z f ü r D e t e r m i n a n t e n 2.7. Ein Verfahren z u r D e t e r m i n a n t e n b e r e c h n u n g 2.8. Einige Z u s a m m e n h ä n g e zwischen linearer ( U n - ) A b h ä n g i g k e i t , R a n g , I n v e r t i e r b a r k e i t u n d d e r D e t e r m i n a n t e einer M a t r i x 2.9. Die B e r e c h n u n g d e r Inversen einer M a t r i x mit Hilfe v o n Determinanten 3. E i g e n w e r t e 3.1. D a s E i g e n w e r t p r o b l e m 3.2. R e d u k t i o n v o n q u a d r a t i s c h e n F o r m e n 3.3. Definitheit q u a d r a t i s c h e r F o r m e n u n d K o n v e x i t ä t 4. L i t e r a t u r h i n w e i s e Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

244 246 252

263 266 267 270 273 274 274 275

Kapitel VI: Lineare Optimierung 1. Lernzicle 2. K a n o n i s c h e O p t i m i e r u n g s s y s t e m e 3. D e r p r i m a l e Simplexschritt 4. D e r p r i m a l e S i m p l e x a l g o r i t h m u s 5. K ü n s t l i c h e O p t i m i e r u n g s s y s t e m e 6. D i e Z w e i - P h a s e n - S i m p l e x m e t h o d e 7. D e r d u a l e S i m p l e x a l g o r i t h m u s 8. W e i t e r f ü h r u n g der G r u n d b e i s p i e l e 8.1. G r u n d b e i s p i e l 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 8.2. G r u n d b e i s p i e l 5: M i s c h u n g s o p t i m i e r u n g 9. L i t e r a t u r h i n w e i s e Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

279 282 282 287 292 298 310 316 320 320 323 326 327 328

Kapitel VII: Weiterführende und benachbarte Gebiete 1. S t ä r k e n u n d G r e n z e n d e r Linearen A l g e b r a u n d Linearen Optimierung 2. W e i t e r f ü h r e n d e G e b i e t e 3. N a c h b a r g e b i e t e 4. L i t e r a t u r h i n w e i s e

335 337 338 340 341

Anhang 1: L ö s u n g e n zu d e n Ü b u n g s a u f g a b e n

343

Ausgewählte Literatur

375

Sachverzeichnis

379

255 256 259 262

Vorwort Mit dieser Veröffentlichung liegt n u n ein weiterer Text z u r m a t h e m a t i s c h e n P r o p ä d e u t i k in Linearer A l g e b r a v o r . Wer dieses Buch z u r H a n d n i m m t , m a g sich f r a g e n , o b diesem T h e m a ü b e r h a u p t n o c h neue A s p e k t e a b z u g e w i n n e n seien. W i r g l a u b e n d a s s c h o n , neigen d o c h die bisherigen Bücher n a c h unserer A n s i c h t zu zwei Extremen: -

E n t w e d e r h a n d e l t es sich u m k o c h r e z e p t h a f t e Bücher, bei d e n e n d a s n u m e r i s c h e R e c h n e n , etwa im R a h m e n des A n w e n d e n s v o n A l g o r i t h m e n , im V o r d e r g r u n d steht, nicht j e d o c h die Ü b u n g in begrifflichem m a t h e m a t i s c h e n D e n k e n u n d H a n d e l n . D i e Bewältigung eines solchen Textes m a g a u s r e i c h e n , u m eine K l a u s u r zu bestehen, f ö r d e r t a b e r nicht gerade d a s Verständnis des m a t h e m a t i s c h e n H i n t e r g r u n d e s . D a s selbständige A n e i g n e n w e i t e r f ü h r e n d e r Texte erweist sich f ü r die S t u d e n t e n d a n n in d e r Regel als a u ß e r o r d e n t l i c h schwierig.

- O d e r die b e t r e f f e n d e n B ü c h e r sind m a t h e m a t i s c h a n s p r u c h s v o l l , elegant, abs t r a k t , e x a k t . Sie ziehen v o r allem die m a t h e m a t i s c h b e s o n d e r s b e g a b t e n u n d interessierten S t u d e n t e n a n , die g r o ß e M e h r h e i t wird a b e r eher a b g e s t o ß e n . Gleichzeitig wachsen ihre Vorurteile u n d A b n e i g u n g e n g e g e n ü b e r d e r M a t h e m a tik. Mit d e m vorliegenden L e h r b u c h soll ein dritter Weg beschritten w e r d e n . U n s e r e D a r s t e l l u n g wird z w a r ebenfalls exakt sein, d . h . Beweise bzw. B e w e i s a n d e u t u n g e n w e r d e n n u r in ganz wenigen Fällen u n t e r d r ü c k t , m a t h e m a t i s c h e Eleganz steht jed o c h nicht im V o r d e r g r u n d , s o n d e r n vielmehr T r a n s p a r e n z und E i n f a c h h e i t . Schwierige Stellen werden d e s h a l b l a n g s a m entwickelt u n d d u r c h n u m e r i s c h e , den L e h r t e x t u n t e r b r e c h e n d e Beispiele erhellt. Z u r G e w ä h r l e i s t u n g des Lernerfolgs wird der Leser hiermit e r m u n t e r t , die Beispiele „ p e r H a n d " nachzuvollziehen. Eine Vielzahl von Ü b u n g s a u f g a b e n (mit L ö s u n g e n a m E n d e des Buches) sollen d a r ü b e r h i n a u s der E i n ü b u n g des G e l e s e n e n dienen. D u r c h f ü n f ü b e r d a s g a n z e Buch hin entwickelte b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e G r u n d b e i s p i e l e versuchen wir, i m m e r wieder den Z u s a m m e n h a n g zwischen ö k o n o m i s c h e r W i r k l i c h k e i t u n d m a t h e m a t i s c h e n G e g e b e n h e i t e n herzustellen. D a s Buch ist offensichtlich z u n ä c h s t als Begleitlektüre f ü r die m a t h e m a t i s c h e P r o p ä d e u t i k eines S t u d i u m s d e r W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n g e d a c h t . Es ist j e d o c h so a u f g e b a u t , d a ß es a u c h f ü r ein S e l b s t s t u d i u m , e t w a zur V o r b e r e i t u n g auf ein q u a n t i tatives F a c h des H a u p t s t u d i u m s ( U n t e r n e h m e n s f o r s c h u n g , Ö k o n o m e t r i e o . ä . ) o d e r im R a h m e n einer P r ü f u n g s v o r b e r e i t u n g , v e r w e n d e t w e r d e n k a n n . W i r h a b e n d a z u a m A n f a n g eines j e d e n K a p i t e l s die Lernziele u n d an seinem S c h l u ß W i e d e r h o l u n g s f r a g e n z u r S e l b s t k o n t r o l l e a u f g e f ü h r t . Weiterhin dienen U m r a h m u n g e n v o n wesentlichen A s p e k t e n als d e u t l i c h e optische M e r k h i l f e . Im R a h m e n v o n längeren B e w e i s f ü h r u n g e n sind a u ß e r d e m b e d e u t s a m e Z w i s c h e n e r g e b n i s s e d u r c h senkrechte Balken m a r k i e r t . Die wichtigsten R e c h e n v e r f a h r e n sind schließlich u n t e r Berücks i c h t i g u n g aller S o n d c r f ä l l e in F o r m v o n A l g o r i t h m e n beschrieben. Sie k ö n n e n direkt als Vorlage z u r Erstellung v o n e n t s p r e c h e n d e n E D V - P r o g r a m m e n dienen. A b s c h l i e ß e n d m ö c h t e n wir a n dieser Stelle allen d e n j e n i g e n d a n k e n , die u n s bei der Erstellung d e s Buches u n t e r s t ü t z t h a b e n . H e r r D i p l . - Ö k o n o m H e r m a n n Müller h a t alle E n t w ü r f e des Textes kritisch gelesen u n d in vielfacher Weise wertvolle Verbesserungsvorschläge eingebracht. Herr Dipl.-Mathematiker Heinz Schannath hat

χ

Vorwort

das Manuskript einschließlich der Übungsaufgaben sorgfältig geprüft und eine Reihe von Änderungen angeregt. Herr Dipl.-Mathematiker Manfred Meika erstellte verschiedene Abbildungen mit Hilfe eines C o m p u t e r p r o g r a m m e s . Diese drei Herren und Herr cand. oec. Matthias Klein haben sich an dem mühevollen Korrekturlesen beteiligt. Auch Herr Professor Dr. Helmut Reichardt, Frau Dr. Agnes Reichardt, Herr Dipl.-Mathematiker Alfred BischofT und Frau stud. oec. Helga Trojahn gaben dankenswerte Anregungen. Möge unser Buch nicht nur den Studenten der Wirtschaftswissenschaft die Furcht v o r d e r Mathematik nehmen und zum erfolgreichen Bestehen der Examina beitragen, sondern auch die Verbreitung mathematischer Denkweisen im R a h m e n ökonomischer Überlegungen fördern! A. Jaeger G. Wäscher

Kapitel I: Einleitung Gliederung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Lernziele Gebiete und Aufgaben der Mathematik Abstrahieren und Mathematisieren Modelle von ökonomischen Gegebenheiten Erste Grundbegriffe der Linearen Algebra und Linearen Optimierung . . . Grundbeispiele linearer Modelle aus dem betrieblichen Bereich 6.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse 6.2. Grundbeispiel 2: Absatzprognose 6.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 6.4. Grundbeispiel 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 6.5. Grundbeispiel 5: Mischungsoptimierung 7. Literaturhinweise Wiederholungsjragen Übungsaufgaben

3 3 5 10 12 18 19 24 Π 29 31 34 34 35

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

3

Wenn Sie soeben mit einem Studium der Wirtschaftswissenschaft begonnen haben, so w u n d e r n Sie sich vielleicht, d a ß Sie sich in den ersten Semestern nicht nur mit einführenden Vorlesungen über Betriebs- und Volkswirtschaftslehre, sondern auch in einem unerwarteten U m f a n g mit Mathematik beschäftigen müssen, mit der Sie in Lehrveranstaltungen über „Lineare Algebra und Lineare Optimierung", „Analysis", „Statistische Methodenlehre" o . a . konfrontiert werden. Dieses erste Kapitel soll Sie deshalb zunächst in die Beziehungen zwischen Mathematik, insbesondere der Linearen Algebra und Linearen Optimierung, und der Wirtschaftswissenschaft einführen. Wie beginnen mit einigen Bemerkungen über die Gebiete und Aufgaben der M a t h e m a t i k (Abschnitt 2) und gehen d a n n näher auf die Prozesse des Abstrahierens und Mathematisierens ein (Abschnitt 3), die zur Bildung von mathematischen Modellen ökonomischer Gegebenheiten führen (Abschnitt 4). Danach machen wir Sie mit den ersten Grundbegriffen der Linearen Algebra und Linearen Optimierung vertraut (Abschnitt 5). Mit ihnen können in Abschnitt 6 zur Motivation und Veranschaulichung fünf ökonomische Grundbeispiele linearer Modelle vorgeführt werden, die aus Fragestellungen der betrieblichen Praxis gewonnen sind und im Verlaufe des Buches bewältigt werden, sobald jeweils das mathematische Rüstzeug entwickelt ist.

1. Lernziele Wenn Sie dieses Kapital durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, - die Begriffe Realstruktur, Realsystem, Formalstruktur, Formalsystem und ihre Unterschiede zu beschreiben sowie an Beispielen zu demonstrieren, - die Prozesse des Abstrahierens, Mathematisierens und Konkretisierens zu erläutern und in den A u f b a u und die Auswertung von mathematischen Modellen einzuordnen, die Vorteile der Mathematisierung einzusehen, zwischen drei Haupttypen von Modellen zu differenzieren, - die Begriffe lineares Restriktionssystem, Lösung und lineares Optimierungssystem zu definieren und zu erläutern, - Grundbeispiele linearer Modelle aus der betrieblichen Praxis a u f z u b a u e n und zu diskutieren.

2. Gebiete und Aufgaben der Mathematik Seit mehreren Jahrzehnten hat sich die Mathematik in einem M a ß e entwickelt, von dem der Nichtfachmann gewöhnlich k a u m eine Vorstellung besitzt. So führt etwa ein unlängst vom „Zentralblatt für M a t h e m a t i k " und den „Mathematical Reviews" gemeinsam konzipiertes Schema zur Klassifizierung von wissenschaftlichen Veröffentlichungen 3398 Teilgebiete, zusammengefaßt in 61 Gebieten auf. Unter A n l e h n u n g an dieses Schema könnte m a n durch weitere Zusammenfassung etwa die folgenden Obergebiete der Mathematik erhalten: 1. 2. 3. 4. 5.

Allgemeines (einschl. Didaktik und Geschichte) M a t h e m a t i s c h e Logik und Grundlagen Mengen und Relationen Algebra und Zahlentheorie Analysis

4

Kapitel I: E i n l e i t u n g

6. 7. 8. 9.

G e o m e t r i e u n d Topologie M a t h e m a t i s c h e Statistik und Stochastik Allgemeine A n g e w a n d t e M a t h e m a t i k (einschl. m a t h e m a t i s c h e r I n f o r m a t i k ) P h y s i k o m a t h e m a t i k (spezifische M a t h e m a t i k der physikalischen Wissenschaften) 10. S o z i o m a t h e m a t i k (spezifische M a t h e m a t i k der Gesellschaftswissenschaften, insb. Ö k o n o m a t h e m a t i k , also spezifische M a t h e m a t i k der Wirtschaftswissenschaft) 11. B i o m a t h e m a t i k (einschl. M a t h e m a t i k der Medizin) 12. T e c h n o m a t h e m a t i k (spezifische M a t h e m a t i k f ü r Ingenieure, einschl. gewisser systemtheoretischer und kybernetischer Gebiete). Zwischen diesen Obergebieten bestehen j e d o c h vielfältige Wechselbeziehungen und Ü b e r l a p p u n g e n , so d a ß b e d e u t s a m e m a t h e m a t i s c h e (Er-)Kenntnisse häufig in mehreren, z u m Teil weit auseinanderliegenden Gebieten zu erfassen sind. Die Lineare Algebra etwa, mit deren G r u n d l a g e n wir Sie in diesem Buch vertraut m a c h e n wollen, e n t s t a m m t offensichtlich dem Obergebiet 4, d a s in elementaren Teilbereichen für das Lösen von linearen Gleichungssystemen, f ü r (algebraische) Vektoren u n d Matrizen sowie f ü r D e t e r m i n a n t e n zuständig ist. Schon von der Schule und z. B. der geometrischen V e k t o r r e c h n u n g her wissen Sie j e d o c h , d a ß diese T h e m e n k r e i s e auch sehr enge Beziehungen zum Obergebiet 6 besitzen. Von noch größerer Bedeutung ist dieses Obergebiet f ü r die Lineare Optimierung, die m a n nur mit E i n s c h r ä n k u n gen zur Linearen Algebra rechnen kann. Logische u n d g r a p h e n t h e o r e t i s c h e M e t h o den der Linearen Algebra, die in diesem Buche n u r am R a n d e behandelt werden k ö n n e n , weisen a u f wichtige Z u s a m m e n h ä n g e mit den Obergebieten 2 u n d 3 hin. Die Eingliederung des Gesamtstoffes dieses Buches in d a s Obergebiet 10 ist n a t ü r lich bereits definitorisch selbstverständlich. M a n k ö n n t e so f o r t f a h r e n u n d enge Verbindungen der Linearen Algebra mit j e d e m der übrigen Obergebiete herstellen. Sie spielt d a m i t in der M a t h e m a t i k eine universelle Rolle. Die G e g e n s t ä n d e von wissenschaftliehen U n t e r s u c h u n g e n in den g e n a n n t e n Obergebieten (abgesehen natürlich von gewissen Teilen des Obergebietes 1) sind die Eigenschaften der Elemente von Mengen sowie die Beziehungen zwischen ihren Elementen. E t w a s präziser gesagt, geht es u m Mengen von Relationen in einer zugrundegelegten Menge; h i e r f ü r wählen wir die Bezeichnungsweise (mathematische) Struktur. Die gedankliche Z u s a m m e n f a s s u n g einer Menge und ihrer S t r u k t u r nennen wir ein ( m a t h e m a t i s c h e s ) System.11 Es ist also d a n n die S t r u k t u r eines Systems die M e n g e aller (zu betrachtender) Eigenschaften und Beziehungen; und die Grundmetige eines Systems ist diejenige Menge, auf deren Elemente sich die Systemstruktur bezieht. Beispiel 1-1 Die a l g e b r a i s c h e ( G r u n d - ) S t r u k t u r des S y s t e m s der reellen Z a h l e n k a n n wie folgt / u s a m m e n g e f a ß t w e r d e n , s o b a l d die vier G r u n d r e c h n u n g s a r t e n bereits definiert sind: Die Null hat d i e E i g e n s c h a f t 0 + χ = χ f ü r j e d e s reelle x. D i e E i n s h a t die E i g e n s c h a f t 1 · χ = χ f ü r j e d e s reelle x. Die Inverse χ " 1 hat zu χ die B e z i e h u n g χ 1 · χ = 1 f ü r j e d e s v o n N u l l v e r s c h i e d e n e reelle x.

" Es m u ß a l l e r d i n g s d a r a u f a u f m e r k s a m g c m a c h t w e r d e n , d a ß die Sprechweisen „ S y s t e m " u n d „ S t r u k t u r " ' in der diesbezüglichen L i t e r a t u r nicht einheitlich v e r w e n d e t w e r d e n , w a s teilweise a u c h m i t i h r e r begrifflichen N ä h e z u s a m m e n h ä n g t .

K a p i l e l I: E i n l e i t u n g

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E s g e l t e n f ü r a l l e r e e l l e n x, y u n d ζ d i e B e z i e h u n g e n : χ + y = y + χ (Kommutativgcsctz der Addition) χ + (y + z ) = (x + y) + ζ ( A s s o z i a t i v g e s e t z d e r A d d i t i o n ) χ •y = y · χ (Kommutativgesetz der Multiplikation) x · ( y · ζ) = (χ · y ) · 7 χ · ( y + 7) = χ • y + χ · ζ

(Assoziativgesetz der Multiplikation) (Distributivgesetz).

D a s E r k e n n e n v o n S t r u k t u r e n m a t h e m a t i s c h e r S y s t e m e u n d die G e w i n n u n g neuer A u f g a b e der M a t h e m a t i k E r k e n n t n i s s e ü b e r sie k a n n m a n als erste (kognitive) a u f f a s s e n . D a n e b e n bildet d a s E n t w i c k e l n v o n m a t h e m a t i s c h e n M e t h o d e n , z . B . von R e c h e n v e r f a h r e n zur ( n u m e r i s c h e n ) B e a n t w o r t u n g h ä u f i g w i e d e r k e h r e n d e r F r a g e n , im R a h m e n v o n m a t h e m a t i s c h e n Systemen ihre zweite (instrumentelle) A u f g a b e , die g e r a d e in bezug a u f die W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t v o n e n t s c h e i d e n d e r B e d e u t u n g ist. Ein Verfahren, welches eine eindeutige und lückenlose, meist schem a t i s c h e A n l e i t u n g z u m B e h a n d e l n eines genau definierten Typs einer m a t h e m a t i schen F r a g e s t e l l u n g gibt, u n d z w a r u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g aller möglicherweise a u f t r e t e n d e n Fälle, n e n n t m a n einen ( m a t h e m a t i s c h e n ) Algorithmus. Dieser ist Vorstufe f ü r einen C o m p u t e r a l g o r i t h m u s . Wir w e r d e n in diesem Buch eine ganze Reihe v o n A l g o r i t h m e n in allen Details v o r f ü h r e n .

3. Abstrahieren und Mathematisieren „System'" und . . S t r u k t u r " sind I h n e n n a t ü r l i c h w o h l b e k a n n t e V o k a b e l n , die Sie j e d o c h vermutlich bislang n u r in a n d e r e n als m a t h e m a t i s c h e n K o n t e x t e n verwendet h a b e n . Tatsächlich lassen sich unsere D e f i n i t i o n e n u n m i t t e l b a r a u f a u ß e r m a t h e m a tische G e g e b e n h e i t e n ü b e r t r a g e n , i n d e m m a n n o c h zusätzlich a u ß c r m a t h c m a t i s c h e B e d e u t u n g e n f ü r die E l e m e n t e d e r z u g r u n d e l i e g e n d e n M e n g e , d e r e n E i g e n s c h a f t e n u n d d e r e n Beziehungen zuläßt. A u c h f ü r jede a n d e r e W i s s e n s c h a f t , ζ. B. die W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t , lassen sich die beschriebenen kognitiven u n d instrumentellen A u f g a b e n a u f z e i g e n . Im G e g e n s a t z zu d e r a b s o l u t e n begrifflichen S c h ä r f e der M a t h e m a t i k müssen Sie a b e r d a n n wegen dieser zusätzlichen B e d e u t u n g e n - mit m a n g e l n d e r Präzision, mit Einschärfen u n d V e r s c h w o m m e n h e i t r e c h n e n , die d u r c h U n z u l ä n g l i c h k e i t e n in der U m g a n g s s p r a c h e u n d bis zu einem gewissen G r a d e a u c h in den e n t s p r e c h e n d e n F a c h s p r a c h e n bedingt sind. Wir k o m m e n a u f diesen A s p e k t noch z u r ü c k . Z u n ä c h s t wollen wir uns a b e r der F r a g e z u w e n d e n , wie m a n n u n ü b e r h a u p t innerh a l b u n d a u ß e r h a l b der M a t h e m a t i k zu einem wissenschaftlich a n a l y s i e r b a r e n System g e l a n g t . S t a r k vereinfacht k a n n m a n sich die G e w i n n u n g eines Systems mit seiner S t r u k t u r wie folgt vorstellen: A u s einer z u n ä c h s t u n ü b e r s e h b a r e n Fülle v o n E i n d r ü c k e n , die a u f u n s z u k o m m e n , w e r d e n gewisse (ζ. B. i m m e r w i e d e r k e h r e n d e , auffällige, interessante) E i n d r ü c k e herausgefiltert und g e s a m m e l t . M a n läßt sich dabei d u r c h Ä h n l i c h k e i t e n u n d A n a l o g i e n zu bereits b e k a n n t e n S i t u a t i o n e n - a u c h in g a n z a n d e r e n W i s s e n s c h a f t e n u n d K ü n s t e n - leiten. A u f diese Weise k ö n n e n die v e r s c h i e d e n a r t i g s t e n und von P e r s o n zu Person unterschiedliche E r f a h r u n g e n einfließen. Teilaspekte (auch solche, die m a n nicht sehen will o d e r k a n n ) w e r d e n (bew u ß t , u n b e w u ß t o d e r u n t e r b e w u ß t ) vernachlässigt. G e n a u e r gesagt, erfolgt bei ein e m V o r g e h e n wie diesem: ein Weglassen v o n O b j e k t e n , G e g e n s t ä n d e n , D i n g e n ,

6

Kapitel I: Einleitung

- ein Weglassen von Eigenschaften von Objekten (was Weglassen von Teilen ihrer Begriffsinhalte einschließt). - ein Weglassen von Beziehungen und Wechselbeziehungen zwischen den Objekten (was Weglassen von Bedeutungsunterschieden einschließt). Vielleicht die schwerwiegendste Folge ist hierbei ein Verwischen von Unterschieden, wodurch m a n zu einer Gleichsetzung von solchen Objekten, solchen Eigenschaften u n d solchen Beziehungen k o m m t , die es eigentlich (ζ. B. räumlich, zeitlich, sachlich) nicht sind, und eine Vergröberung der Situation bewirkt. Einen Prozeß derartiger und ähnlicher Vereinfachungen und Verallgemeinerungen nennt m a n Abstrahieren und das d a d u r c h gewonnene Ergebnis ein Abstraktum bzw. die Ergebnisse Abstrakta.l) Solche Prozesse sind nun aber keinesfalls eigens zum A u f b a u einer Wissenschaft erfunden worden, sondern treten ja bereits bei all unseren Sinneswahrnehmungen (Sehen, Hören, Riechen, Tasten, Schmecken) auf. Auch die Entwicklung von Begriffssprachen mit den Übergängen zu immer abstrakteren Oberbegriffen durch Einschränkung der Begriffsinhalte und dadurch Erweiterung der Begriffsumfänge geschieht genau auf die gleiche Weise. Beispiel 1-2 D a s S c h w a r z - W e i ß - F e r n s e h b i l d einer realen Situation ist ein (hier technisch erzeugtes) A b s t r a k t u m d e r Wirklichkeit, welches lediglich digitalisierte Schatten zeigt. Es bringt nur einen Teil der Wirklichkeit; die Beschränkungen einerseits auf B i l d p u n k t e u n d andererseits a u f relative Helligkeitsunterschiede (anstatt v o n F a r b e n ) ergeben Vergröberungen, und es treten Verzerrungen von Längenverhältnissen und Winkeln a u f .

Wir wollen nun von einem Realsystem und einer Realstruktur sprechen, wenn ihnen eine (außermathematische) Bedeutung zukommt oder sie im Rahmen einer Realwissenschaft wie der Wirtschaftswissenschaft einen unmittelbaren Realitätsbezug aufweisen. Ihnen stehen innerhalb der Mathematik Formalsystem und Formalstruktur gegenüber. Beispiel 1-3 Es seien fünf P u n k t e A , B, C, D, E durch Strecken wie in f o l g e n d e m D i a g r a m m v e r b u n d e n :

D a d u r c h ist d a s F o r m a l s y s t e m a u c h für j e d e n Laien sofort verständlich als geometrisches System beschrieben. Frage: K a n n m a n in einem Z u g (z. B. in einem Bleistiftzug o h n e A b s e t z e n ) jede Strecke genau einmal e n t l a n g gehen, und w e n n j a , a u f w e i c h e Weise? M a n k a n n z u n ä c h s t folgende e l e m e n t a r e Ü b e r l e g u n g anstellen: Will m a n zu einem P u n k t und wieder von i h m fort, so b r a u c h t man zwei verschiedene mit diesem P u n k t v e r b u n d e n e S t r e c k e n . Will m a n d a s m e h r f a c h tun, so b r a u c h t m a n d a z u eine g e r a d e Zahl v o n entsprec h e n d e n Strecken. Β u n d C sind a b e r E n d p u n k t e v o n je drei, also einer u n g e r a d e n Zahl von S t r e c k e n . Folglich m u ß m a n entweder bei Β oder bei C a n f a n g e n und d a n n zwangsläufig

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D a s Ihnen v e r t r a u t e r e Wort „ A b s t r a k t i o n " ist leider e b e n s o d o p p e l d e u t i g wie das Wort „ P r o d u k t i o n " . E i n m a l k a n n d a m i t der e n t s p r e c h e n d e P r o z e ß u n d ein a n d e r e s M a l das E r g e b n i s dieses Prozesses gemeint sein.

Kapitel I: Einleitung

7

mit C bzw. Β aufhören. Ein möglicher Streckenzug wäre B A E D B C A D C . Angenommen, es gäbe jedoch noch eine zweite Strecke von Β nach C, wie in dem folgenden Diagramm beschrieben: E

D a n n ist jeder Punkt mit vier Strecken verbunden, und man kann von jedem Punkt eine entsprechende Route wählen, die schließlich wieder zu diesem Punkt zurückführt. Die Abkürzung ,,BC" ist dann aber, weil mehrdeutig, nicht mehr erlaubt. Der Vorteil dieser geometrischen Systembeschreibung (wie auch in vielen anderen Fällen bei der Verwend u n g der Geometrie) ist, daß dieses Formalsystem automatisch in ein Realsystem umgedeutet werden kann (wobei hier noch zusätzlich die Mehrdeutigkeit von „ P u n k t " und „Strecke" hilft): Man lege für „ P u n k t " die Bedeutung „Straßenkreuzung" und für „Strekke" die Bedeutung „Straße" fest (und mache die Zusatzannahme, daß Straße DB auf einer Brücke die Straße CA überquert), und schon hat man ein mögliches Problem für einen Straßeninspekteur. Oder aber man lege für „ P u n k t " die Bedeutung „ F l u g h a f e n " und für „Strecke" die Bedeutung „Flugstrecke" fest, und schon hat man ein mögliches Problem für eine Fluglinie. Der Unterschied zwischen Formalsystem und Realsystem ist hier noch sehr subtil, aber die Angelegenheit wird sofort anders, sobald sie vielleicht 100 Punkte und viele Verbindungsstrecken haben, denn dann geht es schlecht mit dem Zeichnen, und Sie sind gezwungen, das geometrische Formalsystem in ein algebraisches zu übersetzen. Ein ganz anderes, aber mit dem gleichen Typ von Diagrammen beschreibbares Problem ist das des Handlungsreisenden·. Dieser soll eine Route wählen, bei der er jeden Ort einmal aufsucht,und zwar unter Zurücklegen der geringstmöglichen Gesamtstreckenlänge. Schon bei einer relativ geringen Anzahl von Orten kann das ein unzumutbar aufwendiges numerisches Problem werden. Geht die Anzahl der Orte in die Hunderte, so ist m a n schon froh, wenn man eine zufriedenstellende Lösung anstatt einer bestmöglichen gefunden hat. Wie d i e G e s c h i c h t e der W i s s e n s c h a f t e n häufig gezeigt hat, bestehen z w i s c h e n beiden S y s t e m a r t e n fruchtbare W e c h s e l b e z i e h u n g e n . 1 ' D a s Erkennen v o n S y s t e m e n der e i n e n Art k a n n zunächst z u m E n t d e c k e n v o n S y s t e m e n der anderen A r t und d a n n z u w i s s e n s c h a f t l i c h e n F o r s c h u n g e n über die letzteren führen, u n d umgekehrt. S o f ü h r t e n s c h o n in d e n Dreißiger u n d Vierziger Jahren erst volkswirtschaftliche, d a n n militärische und schließlich betriebliche Fragestellungen i m m e r m e h r zu F o r m a l s y s t e m e n der Linearen A l g e b r a und Linearen Optimierung, u n d dieses löste erhebliche I m p u l s e zur gezielten Weiterentwicklung der relevanten G e b i e t e der M a t h e m a t i k aus, die n o c h keinesfalls a b g e s c h l o s s e n ist. U m g e k e h r t h a b e n die Ö k o n o men in d e n letzten Jahrzehnten u. a. a u f g r u n d v o n besserer m a t h e m a t i s c h e r Vorbild u n g ζ. B. in Linearer A l g e b r a u n d Linearer O p t i m i e r u n g immer m e h r e r k e n n e n k ö n n e n , d a ß b e i m Konzipieren v o n für Sie interessanten R e a l s y s t e m e n bereits formale „Vorbilder" mit p a s s e n d e n Begriffen, T h e o r e m e n u n d M e t h o d e n zur Verfüg u n g stehen. Sehr begünstigt w u r d e diese wechselseitige B e f r u c h t u n g a u c h durch Persönlichkeiten w i e ζ. B. G e o r g e B. DANTZIG, die gleichzeitig Ö k o n o m e n u n d M a thematiker w a r e n oder ihre B e r u f s a u s b i l d u n g in der einen F a c h r i c h t u n g erhielten,

u

Siehe z.B. den interessanten Zusammenhang zwischen der Entwicklung der Differentialrechnung, der NEWTONschen Mechanik und der LEiBNizschen Monadenlehre.

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Kapitel I: Einleitung

a b e r i h r e B e r u f s p r a x i s in d e r a n d e r n a u s ü b t e n . ( A l s sicherlich e i n m a l i g e r S o n d e r f a l l e r w e i s t sich in d i e s e m Z u s a m m e n h a n g J o h n v o n NEUMANN, d e r d r i t t e n s a u c h n o c h ein s e h r s c h ö p f e r i s c h e r t h e o r e t i s c h e r P h y s i k e r w a r ! ) D e n A b s t r a k t i o n s p r o z e ß v o n e i n e m b e r e i t s e r k a n n t e n o d e r g e d a n k l i c h n o c h vers c h w o m m e n e n R e a l s y s t e m zu e i n e m e n t s p r e c h e n d e n F o r m a l s y s t e m w o l l e n wir Mathematisierenl) nennen. D u r c h das M a t h e m a t i s i e r e n werden F r a g e n oder ganze Komplexe von Fragen (Fragestellungen) der Ö k o n o m i e durch Fragen der Mathem a t i k e r s e t z t , w o b e i selbst i n n e r h a l b d e r M a t h e m a t i k n o c h w e i t e r e A b s t r a k t i o n e n e r f o l g e n k ö n n e n o d e r m ü s s e n . C h a r a k t e r i s t i s c h e r w e i s e w e r d e n bei e i n e m s o l c h e n P r o z e ß - wie b e r e i t s e r w ä h n t - a u f j e d e n Fall d i e d e n E l e m e n t e n , i h r e n E i g e n s c h a f t e n u n d d e n B e z i e h u n g e n z u k o m m e n d e n B e d e u t u n g e n u n t e r d r ü c k t . D a m i t d e r Bez u g zu d e m z u g r u n d e l i e g e n d e n R e a l s y s t e m n i c h t v e r l o r e n g e h t , ist f ü r j e d e d e r in d e m F o r m a l s y s t e m v o r k o m m e n d e n G r ö ß e n die jeweilige B e d e u t u n g zu p r o t o k o l lieren. W e i t e r h i n sollten d i e b e i m A b s t r a h i e r e n z u g r u n d e g e l e g t e n M e ß - u n d Bewertungsvorschriften aufgeschrieben werden. Beispiel 1-4 Ein Student soll von den Professoren Α, Β und C je eine Stunde lang nachmittags um 1 Uhr, 2 U h r und 3 Uhr mündlich geprüft werden. Professor A ist von 13 bis 14 Uhr, Β von 14 bis 15 Uhr und C von 15 bis 16 Uhr verhindert. Welche Möglichkeiten ergeben sich für die Aufstellung des Prüfungszeitplans? Für die Beantwortung dieser Frage braucht man wegen der zugrundeliegenden banalen Situation kein großartiges System aufzustellen, sondern kann wie folgt vorgehen: Man schreibe sich das Schema

A Β C

;

3

*

m

«t I

auf, das sich von selbst versteht, schwärze die „unzulässigen" Kästchen A l , B2 und C3 und suche in dem Schema alle Konstellationen auf, bei denen sowohl jede Zeile als auch jede Spalte jeweils nur in einem Kästchen markiert sind. Beginnt man die Markierung mit A2, so erlaubt die C-Zeile nur noch C l , und zwangsläufig bleibt in der B-Zeile dann nur noch B3 übrig. Wählt man jedoch zunächst A3, so bleibt in der B-Zeile nur noch B1 übrig, und dann ist schließlich nur noch C2 möglich. Es gibt also lediglich die zwei Möglichkeiten A2, B3, Cl und A3, B1 und C2. Hat m a n nun aber etwa 16 Prüfer, zwei Prüfungstage von je acht Stunden und zeitlich unterschiedliche und unterschiedlich lange Verhinderungen, so wird man mit „ C o m m o n Sense" schlecht zurecht kommen, sondern vielleicht nach einigem Nachdenken das folgende Formalsystem aufstellen und seine Lösungen zu bestimmen suchen. Grundmenge der mathematischen Größen Indexmengen I — {A, B, C , . . . } , J — {1, 2, 3 , . . . } , Variablen x¡j e {0,1} für i e I und j e J.

" Die leider häufig für einen derartigen Prozeß gebräuchliche Bezeichnungswcise „Quantifizieren" ist in doppelter Weise irreführend, weil erstens Quantifizierung wesentlich mehr als Zuordnung von Zahlen bedeutet und zweitens die Mathematik noch ganz andere als quantitative Strukturen betrachtet, z.B. die mit Symbolen wie „ < " oder „ g " arbeitenden Ordnungs- und Vergleichsstrukturen.

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Kapitel I: Einleitung Mathematische Struktur X

A1 + XA2 + XA3 + • • · = 1

X

B1 + XB2 +

X

X

B3+-"

=

1

A1 + XB1 + X C 1 + · · · = 1

X

A2 + XB2 + XC2 + · · · = 1

X

A3 + XB3 + XC3 + •·• = !

Bezug zum Realsystem I: Menge der Prüfer J: Menge der zur Verfügung stehenden Stunden x¡j = 1 : Prüfer i wird der Zeitstunde j zugeordnet Xy = 0: Prüfer i wird nicht der Zeitstunde j zugeordnet Wir setzen im vorab x¡j — 0, d.h. lassen diese Variable aus, wenn Prüfer i w ä h r e n d der Zeitstunde j nicht zur Verfügung steht. Entscheidend für den studentischen Leser ist hierbei im Augenblick nicht, d a ß er die Ü b e r t r a g u n g der realen Situation in das mathematische System unverzüglich verstanden hat, sondern d a ß er bereits an diesem Beispiel einsieht, daß man aus dem Formalsystem nicht unbedingt Rückschlüsse auf eine zugrundeliegende Fragestellung ziehen k a n n , ohne d a ß ein Bezug zum Realsystem festgelegt ist. (Die Bestimmung der Lösungsgesamtheit dieses Beispiels kann schon den R a h m e n dieses Buches sprengen, weil die Variablen nur die Werte 1 oder 0 annehmen dürfen. Außerdem ergibt sich aus der realen Fragestellung bereits, d a ß nicht mal eine einzige Lösung zu existieren braucht, wenn nämlich die Konstellation der Verhinderungen zu unglücklich ist.) Realistische Prüfungsplan-Problemc sind wesentlich komplexer, da man nicht nur für einen Studenten, sondern für eine große Anzahl von ihnen gleichzeitig einen solchen Plan aufstellen muß, wobei noch die Prüfer wechseln. D a s R ü c k g ä n g i g m a c h e n e i n e s A b s t r a k t i o n s p r o z e s s e s w o l l e n wir Konkretisieren n e n n e n . H i e r b e i h a n d e l t es sich im w e s e n t l i c h e n u m die I n t e r p r e t a t i o n der E r g e b n i s se einer A n a l y s e d e s F o r m a l s y s t e m s i m H i n b l i c k a u f d a s z u g e h ö r i g e R e a l s y s t e m (.originäres K o n k r e t i s i e r e n ) b z w . d e s R e a l s y s t e m s im H i n b l i c k a u f die reale G e g e benheit (sekundäres Konkretisieren). Anders ausgedrückt: A u s den mathematisch g e w o n n e n e n A n t w o r t e n w e r d e n R ü c k s c h l ü s s e a u f die in d e n R e a l w i s s e n s c h a f t e n b z w . der R e a l i t ä t g e s u c h t e n A n t w o r t e n g e z o g e n . D i e s o e b e n skizzierten g e g e n s e i t i g e n B e z i e h u n g e n z w i s c h e n R e a l i t ä t , R e a l w i s s e n s c h a f t ( i n s b e s o n d e r e hier der W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t ) u n d M a t h e m a t i k l a s s e n sich idealtypisch wie folgt veranschaulichen:

sekundäres Abstrahieren

originäres Abstrahieren Realwissenschaft, hier insb. Ökonomie

Realität sekundäres Konkretisieren

(Mathematisieren)

Mathematik

originäres Konkretisieren

Abb. 1-1: D a s zweistufige Abstrahieren von Realität zu Mathematik, das zweistufige Konkretisieren von M a t h e m a t i k zu Realität

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Kapitel I: Einleitung

Die schon bei grober Sicht offenkundige Zweistufigkeit des Abstrahierens von der Realität zur M a t h e m a t i k bzw. des umgekehrten Vorgangs des Konkretisierens wird sehr oft (bewußt oder unbewußt) vernachlässigt. 1 ' D a s erste (originäre) Abstrahieren hängt vorwiegend von sachlichen Gesichtspunkten, ζ. B. dem Fachverständnis, der Zugehörigkeit zu einer Schule und dem Kenntnisstand des Ö k o n o m e n ab; das zweite (sekundäre) überwiegend von mathematischen Gesichtspunkten, ζ. B. auch erheblich von subjektiven mathematischen Kenntnissen. Jede der beiden Abstraktionsstufen wird nun meist auch nicht unmittelbar erreicht, sondern erst als Ergebnis von hintereinandergeschalteten abstrahierenden Zwischenschritten und unter Anwendung des Prinzips von „trial and e r r o r " . Dabei m u ß nachdrücklich betont werden, d a ß m a n natürlich die beiden Umformungsrichtungen in Abb. 1-1 nicht isoliert voneinander sehen darf, denn sie bedingen und beeinflussen sich wechselseitig· Die Mathematisierung bietet die folgenden Vorteile: - Z w a n g zur Präzision, zur Protokollierung aller Einzelheiten und zur lückenlosen Offenlegung aller Prämissen (einschl. aller vorgenommenen Vereinfachungen), - keine Möglichkeit des Ausweichens durch geschickte, ζ. B. bewußt mehrdeutige Formulierungen und damit auch keine semantische Möglichkeit des Entschuldigens im Nachhinein, - weitgehendes Ausschalten von logischen Fehlschlüssen, - Hilfe f ü r das Aufdecken und Verstehen von verborgenen Zusammenhängen, - Ausnutzen der jahrhundertelangen Erfahrungen des An Wendens der M a t h e m a tik, - Erreichen einer notwendigen Vorstufe zur Benutzung des Computers. Für die fachbezogene Beurteilung des Übergangs zur und (noch mehr) von der Mathematik sind aber möglichst adäquate Mathematikkenntnisse für den Ökonomen unabdingbar, insbesondere Kenntnisse der Linearen Algebra, da man wegen ihrer strukturellen Unkompliziertheit wenn irgend möglich versucht, mit ihr auszukommen.

4. Modelle von ökonomischen Gegebenheiten Ähnlich wie bei den Worten „System" und „ S t r u k t u r " besteht sowohl in den Fachsprachen als auch in der Umgangssprache eine gewisse begriffliche Verwirrung im Z u s a m m e n h a n g mit dem Wort „Modell". Wir wollen im folgenden unter einem Modell ein System verstehen, das mit Hilfe von Abstraktionsprozessen zu einem fachspezifischen Zweck aus einer tatsächlichen oder auch nur gedachten realen, möglicherweise noch recht unstrukturierten Situation gewonnen wurde. Dabei k a n n es sich u m ein Realsystem innerhalb einer Realwissenschaft wie der Wirtschaftswissenschaft oder u m ein Formalsystem innerhalb der Mathematik handeln. Im zweiten Fall, der uns in diesem Buch besonders beschäftigen wird, wollen wir allgemein von einem mathematischen Modell oder fachspezifisch auch von einem ökonomathemalischen Modell sprechen. Dieser Modellbegriff umfaßt auch die zugehörigen Abbildungsvorschriften, also Abstraktions- und Konkretionsvorschriften und insbesondere Bedeutungsfestlegungen für die im Formalsystem auftreten11

Vgl. ζ. B. selbst Jaeger [1972 a ] . Dahintersteckt allerdings noch eine wohl unlösbare Frage: Existieren die realen Strukturen der Welt an sich, sind sie gewissermaßen „gottgeschaffen", oder sind sie vom Menschen der Realität aufgezwungen?

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

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den mathematischen Größen. Dabei kann ein solches Modell alle Zwischenstufen einschließen, von der bloßen Verwendung der Buchstabenrechnung zur Gewinnung von anderen Zahlen, über prinzipiell sehr durchsichtige Situationen mit der einzigen Komplikation sehr großer Datenmengen bis zur Aufdeckung von verborgenen, möglicherweise sehr überraschenden Zusammenhängen und Gesetzmäßigkeiten bei recht undurchsichtiger Situation. Für die Untersuchung von ökonomischen Fragestellungen werden nach ihrem jeweiligen Zweck drei Haupttypen von Modellen unterschieden: - Beschreibungsmodelle Diese Modelle abstrahieren lediglich ökonomische Gegebenheiten, ohne daß sie unmittelbar zur Herleitung von Aussagen vorhersagender oder empfehlender Art beitragen. Mit ihnen können aber an großen Datenbänken numerische Auswertungen vorgenommen und viele neu definierte abgeleitete Größen wie etwa Mittelwerte berechnet werden. Zum Beispiel eignen sie sich dazu, aus Tausenden von Informationen über Güterpreise eine quantitative Aussage über die jährliche Inflationsrate in einer Volkswirtschaft (in der Vergangenheit) zu gewinnen. - Prognosemodelle Diese Modelle dienen zur Voraussage zukünftiger ökonomischer Gegebenheiten. Mit ihnen wird ζ. B. versucht, die spezifischen Absatzchancen eines Produktes oder die Auswirkungen neuer Steuergesetze gesamtwirtschaftlich oder einzelwirtschaftlich zu ergründen. Entscheidungsmodelle Diese Modelle dienen der Auswahl von Maßnahmen zur Gestaltung von ökonomischen Gegebenheiten. In sie gehen in starkem Umfang solche Informationen ein, die vorher aus Beschreibungs- und/oder Prognosemodellen gewonnen wurden. Sie werden in stets wachsendem Maße als Entscheidungshilfe bei Unternehmungen und staatlichen Stellen benutzt. Im ökonomischen Bereich hat man beim Modellbau, der Modellanalyse und der praktischen Verwertung von Modellen mit einer prinzipiellen Schwierigkeit zu kämpfen, die bei naturwissenschaftlich-technischen Modellen eigentlich überhaupt nicht (oder nur in extremen Sonderfällen) auftritt: den vielseitigen, oft schlecht und manchmal gar nicht abzuschätzenden Einflüssen von Seiten des Menschen. Der Aufbau eines anspruchsvollen (und noch nicht allgemein bekannten oder verwendeten) ökonomathematischen Modelles kann bereits deshalb eine große Aufgabe bedeuten, die erhebliche Kenntnisse nicht nur der Wirtschaftswissenschaft und der Mathematik, sondern möglicherweise auch anderer Realwissenschaften wie etwa der Psychologie und der Soziologie erfordert. Wenn irgend möglich, werden erfahrene Modellbauer versuchen, ökonomathematische Modelle zu konstruieren, die aus Grundbausteinen der Linearen Algebra und Linearen Optimierung zusammengesetzt sind, wie sie im Verlaufe dieses Buches in Form von Begriffen, theoretischen Zusammenhängen zwischen diesen Begriffen (Lehrsätzen, Eigenschaften) und präzisierten Verfahrensvorschriften (Algorithmen) skizziert werden. Diese sind nämlich, im Vergleich zu Bausteinen anderer mathematischer Gebiete, sowohl begrifflich besonders einfach als auch besonders leicht zu handhaben. Wir wollen hier in diesem Buch solche Modelle lineare Modelle nennen. Einige ökonomathematische Grundmodelle aus dem betrieblichen Bereich werden noch in diesem Kapitel vorgestellt und in späteren Kapiteln näher behandelt. Sie sollen nicht nur der Motivation dienen, sondern auch immer wieder unterstreichen, daß sich Ökonomen mit Linearer Algebra und Linearer Optimie-

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Kapitel I: Einleitung

rung befassen müssen. Wegen ihrer Ausgereiftheit können diese Grundbeispiele allerdings den irreführenden Eindruck erwecken, die Benutzung linearer Modelle reduziere sich auf eine Verwendung von mathematischen Rezepten oder gar nur der mathematischen Sprache und Symbolik. Modellbau und Modellanalyse sind jedoch keinesfalls Gegenstände dieses Buches. F ü r die Behandlung derartiger Themen eignen sich elementare Einführungen wegen mehrerer Schwierigkeiten nicht: Erstens sind praxisbezogene mathematische Modelle in der Regel sehr umfangreich (viele Elemente) und sehr komplex (viele Zusammenhänge), so d a ß sie bereits aus Zeit- und Platzgründen drastisch vereinfacht werden müssen. A u f g r u n d solcher Vereinfachungen klingen sie d a n n häufig so banal, d a ß beim Uneingeweihten der Eindruck erweckt werden kann, es werde künstlich „Verwissenschaftlichung" betrieben und etwas Einfaches durch etwas Gekünsteltes, sehr Unverständliches ersetzt. Zweitens erfordern solche realistischen Modelle meist erhebliche Sachkenntnisse aus den jeweiligen ökonomischen und möglicherweise außerökonomischen Sachgebieten, die erst mühevoll gewonnen werden müssen, wozu keine Zeit ist und wozu das zusätzliche Hintergrundwissen des Studenten noch gar nicht vorhanden sein kann. Drittens fehlen auch die mathematischen Grundkenntnisse, die - wie hier in Linearer Algebra und Linearer Optimierung - vorher vermittelt werden müssen. Wenn die entsprechenden Kenntnisse vollständig fehlen, k a n n es in der Praxis leicht geschehen, d a ß das geeignetste mathematische Modell nur deshalb nicht akzeptiert wird, weil es dem für die Benutzung Verantwortlichen völlig undurchsichtig erscheint (während die Konkurrenz aus ihrer Benutzung erhebliche Vorteile zieht).

5. Erste Grundbegriffe der Linearen Algebra und Linearen Optimierung Eine mathematische Bedingung a,X! + a 2 x 2 + ... + anxn •

b

mit den (numerisch festgelegten oder noch nicht festgelegten) a j , a 2 , . . . , a n , b, bei der das Quadrat , , • " für eines der Zeichen ,, = " (sprich: (sprich: „ Sì " (sprich: „ < " (sprich: „ > " (sprich:

Größen

„gleich" oder „genau so groß wie), „kleiner gleich" oder „höchstens so groß wie"), „größer gleich" oder „mindestens so groß wie"), „kleiner" oder „echt kleiner" oder „strikt kleiner"), „größer", „echt größer" oder „strikt größer")

steht u n d den Zahlenbereich der Variablen Xj, x 2 , . . . , x n auf solche Zahlenwerte einengen soll, die dieser Einschränkung genügen, heiße lineare Restriktion. Lineare Restriktionen zeichnen sich durch zwei Eigenschaften aus: - Sämtliche Variablen k o m m e n nur in der ersten Potenz vor. - Es k o m m e n keine P r o d u k t e von Variablen vor. Die Konstanten a t , a 2 , . . . , a n bezeichnet m a n als Koeffizienten, oder als rechte Seite der Restriktion.

b a l s absolutes Glied

Beispiel 1-5 Die folgenden m a t h e m a t i s c h e n Formeln R , - R 5 definieren lineare R e s t r i k t i o n e n :

Kapitel I: Einleitung

13

R^ 3xj + 2X2 + 4X3 + 9X4 =220 R2: X2 ^ 0 R3: X5 < - 7 R4: x 3 + x 4 — x6 = 2,25 RS:

x4

+ x6 > 0.

Keine linearen R e s t r i k t i o n e n sind d u r c h R 6 - R 8 gegeben: R6: 2x! + 4x2 +

x3

g 40

R 7 : χ, + X2 · X3

+ X4

R8:

=7

xì

ä 100.

Steht in einer linearen Restriktion das Gleichheitszeichen „ = ", so spricht man natürlich auch von einer linearen Gleichung, ansonsten von einer linearen Ungleichung. Ein weiterer spezieller Restriktionstyp ergibt sich, wenn man für eine Variable x¡ fordert, sie solle ausschließlich nichtnegative Werte annehmen. In diesem Fall schreibt man X; ^

0

u n d spricht von einer Nichtnegativitätsrestriktion Restriktion.

oder auch kurz von einer NN-

Beispiel 1-6 Bei den Restriktionen R ¡ und R 4 a u s dem letzten Beispiel h a n d e l t es sich u m lineare G l e i c h u n g e n , bei R 2 um eine N N - R e s t r i k t i o n .

Restriktionen, bei denen die Zeichen „ < " und ,, > " vorkommen, erweisen sich als rechentechnisch ungünstig, lassen sich jedoch vermeiden. So kann etwa die Ungleichung a

i xi + a 2 x 2 + ... + a n x n < b

durch a , x , + a2x2 + ... + anxn ^ b - e ersetzt werden, wobei ε im R a h m e n der Rechengenauigkeit beliebig klein gewählt werden kann. Die folgenden Betrachtungen beschränken sich deshalb hauptsächlich auf Restriktionen der F o r m ,, = ", , , : £ " , In der Regel sollen Zahlenwerte für die Variablen χ ΐ Ί x 2 , . . . , x n so gesucht werden, d a ß sie gleichzeitig mehreren linearen Restriktionen a 1 1 x l -f- ilj2 a

(1-1) a

X

a

21 1 + 22 2

mlXl +

a

+ alnxn D j b ,

X

+

a

m2X2 + · - · +

a

2nXn Ü 2 b 2

mn

X

n Dm^ni

genügen. In diesem Fall heiße die Zusammenfassung dieser m ( m 2:1) Restriktionen lineares Restriktionssystem. Bei einer Darstellung von linearen Restriktionssystemen des Typs (1-1) gibt normalerweise, wie hier, der erste Index der Koeffizienten a n , a 1 2 , · . · , a m n also die jeweilige Restriktion an, in der dieser Koeffizient steht, der zweite Index die Variable, auf die er sich bezieht. Entsprechend beziehen sich die Indices der Q u a d r a t e D j , Π 2 , · · · , • „ , bzw. die Indices der rechten Seiten b 1 ; b 2 , . . . , b m auf die betreffenden Restriktionen.

14

Kapitel I: Einleitung Beispiel 1-7

RS!:

3x, + 4 x 2 - 5x 3 + 2 x 4 g 1 χ, + χ , — χ , =2

7 x 2 + X3stellt ein lineares Restriktionssystem für die Variablen x , , x 2 , x 3 , x 4 dar.

Steht jedes der Zeichen „ d j " (i = 1, . . . , m ) für das Gleichheitszeichen „ = ", so heiße (1-1) ein (allgemeines) lineares Gleichungssystem. Beispiel Γ-8 Bei folgenden Restriktionssystemen handelt es sich um lineare Gleichungssysteme: RS, RS,

3xj + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 16 2xj — 4x 2 = 2 3x, + 2x2 — x3 =24. X! + x2 = 2. x

RS,

i + x2 + Χι + 2X2 + 4xj + 6X2 + x2 +

3X3 = 2X3 = 8X3 = x3 =

0 0 0 0.

Neben der oben verwendeten ausßihrlichen Schreibweise (1-1) ist für lineare Restriktionssysteme auch die kürzere Summenschreibweise (1-2) gebräuchlich:

(1-2)

Σ a^XjCLbi j=l η Σ a 2 j Xj D 2 b 2 j=i Σ a^Xj • „ b , , j=l

Häufig kürzt man sogar noch knapper das ganze System durch eine Gleichung mit variablem Index i ab: (1-3)

Σ a¡jXj D i b j , j=i

i = 1,2,...,m.

Sind nun χ*, χ*, ·•·, xj? derartige reelle Zahlen, daß sämtliche Restriktionen von (1-1) erfüllt sind, wenn man die Variablen Xj auf die entsprechenden Werte x* fixiert, d.h. die Ersetzung

Kapitel I: Einleitung

15

vornimmt, dann heiße die durch die Numerierung geordnete vertikal oder horizontal geschriebene Zusammenfassung

)

dieser Zahlen x*, χ * , . . . , x * kurz eine Lösung oder ausführlicher ein Lösungsvektor des linearen Restriktionssystems (1-1). Ganz allgemein bezeichnet man nämlich jede solche Zusammenfassung in der durch die Numerierung festgelegten Reihenfolge als η -Vektor oder kürzer als Vektor (siehe Kapitel III, wo Vektoren systematisch eingeführt und behandelt werden). Die Frage, ob bestimmte Zahlenwerte für die Variablen χ t , x 2 , . . . , xn eine Lösung eines Restriktionssystems darstellen, untersucht man gemäß unserer Definition dadurch, daß man diese Zahlen einfach in jede Restriktion des Restriktionssystems einsetzt, die linke Seite numerisch ausrechnet und überprüft, ob das jeweilige Restriktionszeichen • ; zwischen der ausgerechneten Zahl auf der linken Seite und derjenigen auf der rechten Seite tatsächlich Gültigkeit besitzt. Beispiel 1-9 Wir überprüfen, o b (4, 3, 5, 2) eine Lösung des Restriktionssystems R S ! aus Beispiel 1-7 darstellt. Dazu ersetzen wir in diesem Restriktionssystem die Variablen X[, x 2 , x 3 , x 4 jeweils durch die Zahlen 4, 3, 5, 2 und erhalten: Überprüfung für die 1. Restriktion 9

3 · 4 + 4 · 3 — 5 - 5 + 2- 2 ¿ 1 ?

12+

12-

25+

4¿ 1

4 +

3 -

5=2

9

2=2

yy

Überprüfung für die 3. Restriktion 2§o

y

Überprüfung für die 4. Restriktion 9

7 · 3 + 5 — 9 · 2 ¿ 110 21+5-

18 ¿ 110 8 g 110

J

D a s Fragezeichen „ ? " soll deutlich machen, d a ß die Gültigkeit des darunterstehenden Zeichens noch zu prüfen ist. Entsprechend steht ein Haken „ J " neben derjenigen Re-

16

Kapitel I: E i n l e i t u n g s t r i k t i o n , a u s d e r die G ü l t i g k e i t des e n t s p r e c h e n d e n R e s t r i k t i o n s z e i c h e n s k l a r h e r v o r g e h t . Schließlich ist d a s Z e i c h e n , , r V ' wie „ f o l g l i c h " zu lesen.

(4,3,6,-2) ist d a g e g e n keine L ö s u n g d e s R e s t r i k t i o n s s y s t e m s , weil die Z a h l e n w e r t e s c h o n der ersten R e s t r i k t i o n nicht g e n ü g e n : Überprüfung für die 1. Restriktion 9

3 - 4 + 4- 3 — 5 · 6 + 2 · ( — 2 ) ¿ 1 r>

12+

9

12-

30+

( —4)¿ 1

r\ - 1 0 ^ 1. D a s Z e i c h e n ,, sitzt.

besagt d a b e i , d a ß d a s U n g l e i c h h e i t s z e i c h e n „ ä " keine G ü l t i g k e i t be-

Sofern wir in einer Restriktion oder in einem ganzen Restriktionssystem alle auftretenden Variablen Xj mit einem Stern * versehen, meinen wir mit dieser Fixierung der Variablen auf Zahlenwerte x*, daß (χ*, χ * , . ·., x*) eine Lösung sein soll. Insbesondere repräsentieren d a n n Gleichungen mit allseits fixierten Variablen Identitäten und nicht mehr Restriktionen. Im Sinne der Mengenlehre kann m a n die Menge aller Lösungen eines linearen Restriktionssystems (1-1) auch folgendermaßen interpretieren: Es sei J¡f¡ die Menge aller Lösungen der Restriktion mit N u m m e r (präziser: Index) i (i = 1, . . . , m). Die Menge aller Lösungen des Restriktionssystems ergibt sich d a n n als Schnittmenge der Lösungsmengen J¡?¡ (i = 1 , . . . , m):

Ihnen d ü r f t e klar sein, d a ß eine Restriktion und entsprechend auch ein Restriktionssystem durchaus mehrere Lösungen besitzen kann. Wegen dieser Möglichkeit der Existenz mehrerer Lösungen ist es zweckmäßig, die Größen x l 5 x 2 , . . . , x n nicht - wie Sie es aus der Schulmathematik kennen mögen - als U n b e k a n n t e anzusehen, sondern sie vielmehr - wie wir es bereits getan haben - als Variablen (im Sinne der Analysis) aufzufassen, die gewissen Einschränkungen unterliegen. Im übrigen ist dieser Fall aus ökonomischer Sicht von besonderem Interesse, und zwar vor allem im Z u s a m m e n h a n g mit Entscheidungssituationen. Bildet unser Restriktionssystem nämlich die jeweiligen Handlungsmöglichkeiten ab, so folgt daraus, d a ß ein gewisser Handlungsspielraum besteht. Im Wirtschaftsleben zeitigen n u n unterschiedliche Handlungsweisen aber auch unterschiedliche ökonomische Folgen im Hinblick auf angestrebte Ziele, wie die Erzielung eines möglichst hohen Unternehmungsgewinnes, einer möglichst großen Kapitalverzinsung, eines möglichst hohen Umsatzes usw. Es liegt nun nahe, die Auswirkungen der verschiedenen Handlungsmöglichkeiten im Hinblick auf ihre jeweilige Zielerreichung ebenfalls innerhalb des Modells zu erfassen. Bei einem linearen Modell geschieht das durch eine lineare Zielfunktion. Das ist in der Sprechweise der Schulmathematik eine F u n k t i o n (1-4)

x0 = b0 + C i X , + c 2 x 2 + . . . + c n x n ,

mit der unabhängigen Variablen x 0 , hier Zielvariable genannt, und den abhängigen Variablen x 1 ; x 2 , . . . , x n , in diesem Z u s a m m e n h a n g auch Restriktionsvariablen

Kapitel I: Einleitung

17

genannt, die jedem Vektor (xf,xf, ...,x?) von reellen Zahlen xf, x f , . . . , x* (also insbesondere auch jeder Lösung eines linearen Restriktionssystems (1-1)) mit Hilfe des linearen Polynoms b 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n eine Zahl χ* = t>o + c t x ï + c 2 xf + ... + cnx* zuordnet, x* nennt man in diesem Zusammenhang auch den Zielwert (xf,x|, ...,xj).

von

Beispiel 1-10 Durch ! £ \ \ (4, 3, 5 , 2 ) ¡ £ \ \ (3, 3, 4, 5) sind zwei Lösungen f ü r das Restriktionssystem R S , a u s Beispiel 1-7 gegeben. Die Zielfunktion XQ = 10x, + 20X 2 + 10x 3 + 30X 4 ordnet der L ö s u n g

den Zielwert

x 0 = 210 und der Lösung Y " den Zielwert x 0 = 280 zu.

Die Zielvariable wird auch manchmal implizit durch die Zielgleichung (1-5)

x 0 + a 0 1 Xj + a 0 2 x 2 + ... + a 0 n x n = b 0

eingeführt. Dabei ist der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungsformen durch a

01

=

— c

l> a 0 2

=

~~ C2> · · · > a 0 n

=

~

C

n

gegeben. Die (definitorische) Zielfunktion und die daraus abgeleitete Zielgleichung faßt man (zumindest in der hier zu behandelnden elementaren Theorie) nicht als Restriktion auf, sondern betrachtet und schreibt sie bewußt gesondert. Im Rahmen ökonomischer Problemlösungsprozesse sucht man - wie bereits erwähnt - nach ganz bestimmten Lösungen eines Restriktionssystems, nämlich nach solchen, die extrem günstig sind, d.h. zu denen es keine günstigeren gibt. Das sind meistens Lösungen, die in bezug auf eine bestimmte Zielfunktion entweder einen möglichst großen oder einen möglichst kleinen Zielwert aufweisen. Im ersten Fall spricht man von einer Maximierungs-, im zweiten Fall von einer Minimierungsbzw. allgemein von einer Optimierungsaufgabe, und derartige Lösungen nennt man entsprechend optimal. Eine Maximierungsaufgabe (Minimierungsaufgabe) wird gewöhnlich in der Form

18

Kapitel I: Einleitung

(1-6)

Xo = b 0 + Σ Cj • Xj j=i η Σ a¡j · XjDib; j=l x 0 -> max! (min!)

i = 1,. ., m

oder noch kürzer η Xo = t>0 + Σ Cj · Xj

max! (min!)

(1-7) Σ a¡j · XjDib,, j=l

i = 1, . . . , m

aufgeschrieben. Jedes formale System des Typs (1-6) bzw. (1-7), bestehend aus einer Zielfunktion (1-4) oder einer äquivalenten Zielgleichung (1-5), einem System von Restriktionen (1-3) sowie einer Zielvorschrift max!

oder

xn

min!

bezeichnet man als lineares Optimierungssystem. genauer von einem linearen Maximierungssystem, Min im ierungssystem.

Für x 0 -> max! spricht man auch für x 0 -> min! von einem linearen

Beispiel 1-11 Unterstellt sei wieder das Restriktionssystem R S l a u s Beispiel 1-7. G e s u c h t sei eine Lösung dieses Restriktionssystems, deren Ziel wert in bezug auf die in Beispiel 1-10 angegebene Zielfunktion möglichst g r o ß wird. Die entsprechende M a x i m i e r u n g s a u f g a b e k ö n n e n wir d a n n f o l g e n d e r m a ß e n formulieren: XQ = 10x! + 20X 2 + 10x 3 + 30X 4 -> m a x ! 3x, + χ, +

4x2 — 5x3 + x

2

-

2 x 4 Ξ> 1

x3

=2 X

4

2

0

7x 2 +

Die Frage, wie sich für lineare Restriktionssysteme Lösungen und insbesondere möglichst gute Lösungen finden lassen, bildet einen zentralen Punkt in diesem Buch.

6. Grundbeispiele linearer Modelle aus dem betrieblichen Bereich Mathematische und insbesondere lineare Modelle werden Sie in vielen ökonomischen Bereichen vorfinden. Die linearen Modelle in der Volkswirtschaftslehre erfordern jedoch leider eine Reihe ökonomischer Vorkenntnisse, die wir bei Ihnen noch nicht voraussetzen können. Deshalb beschränken wir uns in diesem Buch auf die Vorstellung und Behandlung von sechs Grundbeispielen aus dem betrieblichen Bereich, die Sie auch ohne ökonomische Spezialkenntnisse verstehen werden. Es sei allerdings daraufhingewiesen, daß wir diese Beispiele aus praktischen und didakti-

Kapitel I: Einleitung

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sehen Gründen gegenüber den tatsächlichen Gegebenheiten der Praxis erheblich vereinfacht und verkleinert haben. Dadurch ergibt sich lediglich ein gradueller, jedoch kein wesensmäßiger Unterschied zu den zugrundeliegenden realen Fragestellungen. 6.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse Wie beginnen mit einem abstrakten Beispiel, das seine Entsprechung in der Realität vor allem bei Montageprozessen findet. Auf dieses Grundbeispiel werden wir bereits im nächsten Kapitel im Zusammenhang mit einem Gleichungs- und Ungleichungssystem zurückkommen. Darstellung der Ausgangssituation Betrachtet sei ein zweistufiger Produktionsprozeß, der in Abb. 1-2 vereinfacht dargestellt ist. Einsal/güter

Zwischenprotlukte

FertigProdukte

Abb. 1-2: Vereinfachte D a r s t e l l u n g eines zweistufigen P r o d u k t i o n s p r o z e s s e s

Eine Darstellung, wie sie durch Abb. 1-2 gegeben ist, bezeichnet man in Anlehnung an VAZSONYI ([1962], S. 383) als Gozinto-Graph (eine Verballhornung der Aussprache von „goes into"). Sie besagt hier folgendes: Aus den Einsatzgütern EG 1 und E G 2 werden zunächst die Zwischenprodukte ZPi und ZP 2 gefertigt, aus denen wiederum die Fertigprodukte FP 1 ? FP 2 und F P 3 hergestellt werden. Die Pfeile zeigen jeweils die Produktionsrichtung an. Die Zahlen an den Pfeilen stehen für die Mengeneinheiten eines Einsatzgutes bzw. Zwischenproduktes, die f ü r die Herstellung einer Mengeneinheit (ME) eines nachfolgenden Zwischenproduktes bzw. Fertigproduktes einzusetzen sind. Beispielsweise werden zur Herstellung einer Mengeneinheit von FP 2 4 M E von ZP! und 3 M E von Z P 2 benötigt. Für eine Mengeneinheit von ZP1 sind wiederum 4 M E von E G , und 3 M E von E G 2 einzusetzen. Für einen Planungszeitraum liegen uns in bezug auf den Produktionsprozeß noch die folgenden Informationen vor: Von den Fertigprodukten F P j , F P 2 und F P 3

20

Kapitel I: Einleitung

seien 2 0 , 1 0 bzw. 5 M E herzustellen; Lagerbestände bestehen weder für die Einsatzgüter noch für die Zwischenprodukte und sollen auch nicht gebildet werden. Bei den Zwischenprodukten sei außerdem sowohl ein Zu- als auch ein Verkauf ausgeschlossen. Die Einstandspreise der Einsatzgüter E G t und E G 2 betragen 40 und 60 Geldeinheiten ( G E ) pro Mengeneinheit. Typische Fragestellungen sind nun: - Wie viele Mengeneinheiten der Einsatzgüter sind in einer Mengeneinheit der Fertigprodukte enthalten? - Wie viele Mengeneinheiten der Einsatzgüter sind für das vorgegebene Produktionsprogramm zu beschaffen? - Wie viele Mengeneinheiten der Zwischenprodukte sind herzustellen? - Wie hoch sind die Kosten pro Mengeneinheit der Fertigprodukte, die durch die Einsatzgüter verursacht werden? Vorbemerkung Die Beantwortung der oben gestellten Fragen ist wegen der geringen Anzahl der aufgeführten Produkte natürlich schon anhand von Abb. 1-2 möglich. Wir wollen uns das dadurch klarmachen, daß wir zunächst die für die Herstellung einer Mengeneinheit von F P 2 benötigten Mengeneinheiten von E G ! ermitteln. Zur Herstellung von F P 2 sind die Zwischenprodukte Z P t und Z P 2 einzusetzen, die beide E G ! enthalten, und zwar enthält jede Mengeneinheit von Z P i 4 M E , jede Mengeneinheit von ZP 2 8 M E von E G ^ Für eine Mengeneinheit von F P 2 werden aber 4 M E von ZP¡ und 3 M E von Z P 2 benötigt, insgesamt also ®

• S

+ ( D · \S\ = 4 0 .

In jeder Mengeneinheit von F P 2 sind also 40 Mengeneinheiten von E G i enthalten. In Tab. 1-1 sind die Rechnungen für die übrigen Fertigprodukte und Einsatzgüter enthalten: FP, EG,

@

• ξ

EG2

® • Ξ

+ © · m = 28 @

fp2 • Η + ®

+ © · t a = 2i (D · a

FP 3 • [3] = 40© • \2\ + (D • \2\ = 24

+ (D. m = is φ

• m + (D . g ] = 10

T a b . 1-1: G e h a l t (in M E ) an Einsatzstofien E G ! und E G 2 pro M E d e r F e r t i g p r o d u k t e F P ^ F P 2 und F P 3

Quadrate und Kreise sollen das Typische an der Zusammensetzungsvorschrift verdeutlichen, die in Kapitel IV unmittelbar als Grundlage für die Definition der M a trizenmultiplikation dienen wird. In den Kreisen stehen immer diejenigen M E des Einsatzgutes E G ¡ (i = 1, 2), die pro M E des Zwischenproduktes ZP k (k = 1, 2) einzusetzen sind. Entsprechend geben die Zahlen in den Quadraten an, wieviel M E des Zwischenproduktes ZP k pro M E des Fertigproduktes FPj ( j = 1, 2, 3) benötigt werden. Ganz analog ließen sich die übrigen Fragen beantworten. Es dürfte aber auch klar sein, daß eine solche Analyse bei realen Produktionsprozessen mit einer Vielzahl von Produktionsstufen und vielleicht Hunderten von Einsatzgütern, Zwischen-

Kapitel I: Einleitung

21

u n d E n d p r o d u k t e n nicht m e h r oder n u r in sehr aufwendiger Weise d u r c h f ü h r b a r ist. Wir wollen deshalb versuchen, mit d e m folgenden m a t h e m a t i s c h e n Modell einen anderen Weg zu finden. Mathematische Größen und ihre Bedeutung im Modell F ü r d a s zu erstellende Modell wählen wir die folgenden Symbole mit der jeweils z u g e o r d n e t e n Bedeutung: xt: x2: x3: x4: x5: x6: x7:

zu beschaffende Mengeneinheiten des Einsatzgutes E G t ; zu beschaffende Mengeneinheiten des Einsatzgutes E G 2 ; herzustellende Mengeneinheiten des Z w i s c h e n p r o d u k t e s Z P ^ herzustellende Mengeneinheiten des Z w i s c h e n p r o d u k t e s Z P 2 ; herzustellende Mengeneinheiten des F e r t i g p r o d u k t e s F P t ; herzustellende Mengeneinheiten des F e r t i g p r o d u k t e s F P 2 ; herzustellende Mengeneinheiten des F e r t i g p r o d u k t e s F P 3 .

Modellformulierung Z u n ä c h s t sei lediglich die zweite u n d dritte F r a g e betrachtet, zu deren simultaner B e a n t w o r t u n g wir hier ein Modell formulieren. In bezug auf die beiden anderen F r a g e n wird ein geeignetes I n s t r u m e n t a r i u m erst in Kapitel IV entwickelt. Wir k o m m e n d o r t d a r a u f zurück. Jeder K n o t e n in A b b . 1-2 läßt sich als Darstellung einer Aktivität bei einer gewissen N o r m a l l e i s t u n g interpretieren, die in der Beschaffung bzw. in der P r o d u k t i o n einer Mengeneinheit des in dem jeweiligen K n o t e n g e n a n n t e n G u t e s besteht. - D u r c h den K n o t e n E G j wird beispielsweise die Aktivität zur Beschaffung einer Mengeneinheit des Einsatzgutes E G t repräsentiert. - D u r c h den K n o t e n Z P 2 wird die A k t i v i t ä t zur Herstellung einer Mengeneinheit des Z w i s c h e n p r o d u k t e s Z P 2 repräsentiert. - D u r c h den K n o t e n F P , wird die Aktivität zur Herstellung einer Mengeneinheit des F e r t i g p r o d u k t e s F P t repräsentiert. Derartige Einheitsaktivitäten lassen sich leicht d u r c h Listen beschreiben, bei denen sich jedes Glied auf ein G u t bezieht u n d die M e n g e n a n g a b e n eines hergestellten G u t e s mit positiven, die eines eingesetzten G u t e s mit negativen Vorzeichen versehen sind. D a b e i werden n u r die bei der betreffenden A k t i v i t ä t direkt eingehenden u n d hergestellten G ü t e r m e n g e n betrachtet. F ü r die Aktivität zur Herstellung einer M e n geneinheit von F P 2 , k u r z Einheitsaktivität f ü r F P 2 , ergibt sich beispielsweise:

Tab. 1-2: Liste der Einheitsaktivität für das Produkt F P 2

22

Kapitel I: Einleitung

Faßt man sämtliche Einheitsaktivitäten eines Produktionsprozesses zu einer Tabelle zusammen, so erhält man eine sog. Aktivitätstabelle, die für das Beispiel aus Abb. 1-2 folgendermaßen aussieht: ^ ^ ^ ^ Gut

Aktivität

^ ^ ^ ^ ^ ^

EG, EG2 ZP, ZP2 FP, FP2 FP3

EG, 1

EG 2

ZP,

ZP 2

1

-4 -3 1

-8 -2 1

FP,

FP 2

FP3

-7

-4 -3

-2 -2

1

1

1

Tab. 1-3: Aktivitätstabclle 1 (Einheitsaktivitäten)

Zur weiteren Interpretation einer derartigen Tabelle sei zunächst eine Vergangenheitsbetrachtung vorgenommen. Die in einem vergangenen Planungszeitraum tatsächlich beschafften und hergestellten Gütermengen (Aktivitätsgrade) seien mit Xj, x 2 >..., x 7 bezeichnet. Sie geben an, wie oft in dem betrachteten Planungszeitraum die betreffende Einheitsaktivität durchgeführt wurde. Multipliziert man nun die in der Aktivitätstabelle 1 von Tab. 1-3 gegebenen Einheitsaktivitäten mit dem jeweiligen Aktivitätsgrad, so gelangt man zu einer neuen Aktivitätstabelle (Tab. 1-4): ^ ^ ^ ^ ^ ^ Gut EG, EG2 ZP, ZP 2 FP, FP 2 FP 3

Aktivität

EG,

EG 2

ZP,

ZP 2

LX2

-4X3 -3X3 1*3

— 8X4 — 2X4

1*I

FP,

FP 2

FP 3

-7X5

-4X6 -3X6

-2X7 — 2X7

LX4 lx5

1*6 1*7

Tab. 1-4: Aktivitätstabelle 2 (mit Aktivitätsgraden im Planungszeitraum)

Eine derartige Aktivitätstabelle läßt sich nun auch zeilenweise lesen. Dazu sei die erste Zeile betrachtet. 1X! gibt die insgesamt beschaffte Gütermenge des Einsatzgutes E G , an. Hiervon wurden 4x 3 Mengeneinheiten zur Herstellung von x 3 M E von ZP, und 8X4 Mengeneinheiten zur Herstellung von x 4 ME von ZP 2 verbraucht. Summiert man die Elemente einer beliebigen Zeile der Aktivitätstabelle 2 auf, so bedeutet allgemein - ein positives Ergebnis, daß von dem betreffenden Gut mehr beschafft bzw. produziert wurde, als im gesamten Produktionsprozeß benötigt wurde. Der Überschuß konnte auf Lager genommen oder verkauft werden; - ein negatives Ergebnis, daß von dem betreffenden Gut weniger beschafft bzw. produziert wurde, als im gesamten Produktionsprozeß benötigt wurde. Das Defizit mußte durch Lagerbestandsverringerungen ausgeglichen werden;

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

23

- das Ergebnis Null, daß gerade soviel von dem betreffenden G u t beschafft bzw. produziert wurde, wie im gesamten Produktionsprozeß beschafft wurde. Die Ergebnisse könnte man in einer zusätzlichen Spalte der Aktivitätstabelle 2 festhalten und deren Elemente als rechte Seiten eines Gleichungssystems interpretieren. In dieser Vergangenheitsbetrachtung stellen diese rechten Seiten zunächst Unbekannte dar, die aus den vorgegebenen Aktivitätsgraden zu ermitteln waren. Die oben aufgeworfene Fragestellung beinhaltet dagegen eine Zukunftsbetrachtung, bei der - genau umgekehrt - die rechten Seiten des Gleichungssystems bekannt, die Aktivitätsgrade aber zu ermitteln sind. •

Fertigprodukte Von F P , , F P 2 und F P 3 sind 20,10 und 5 M E herzustellen. Folglich muß entsprechend unserer Bedeutungsfestlegung für die Symbole

x6

= 20 = 10 x7 = 5

gelten. •

Zwischenprodukte Für die Zwischenprodukte Z P t und Z P 2 soll voraussetzungsgemäß weder Lagerbildung noch ein Zukauf möglich sein. Es sind deshalb genau so viele Mengeneinheiten von diesen Produkten herzustellen, wie für die Produktion von x 5 M E von F P 1 ; x 6 M E von FP 2 und x 7 M E von F P 3 benötigt werden. Anders ausgedrückt gilt für Z P ^ Die Differenz zwischen den hergestellten Mengeneinheiten von ZPl einerseits und den zur Produktion von F P 1 ; F P 2 und F P 3 benötigten Mengeneinheiten dieses Gutes andererseits soll genau gleich Null sein: x3

— 7x s — 4x 6 — 2x 7 = 0

Entsprechend ergibt sich für ZP 2 : x4 — •

3x 6 — 2x 7 = 0.

Einsatzgüter Analog müssen von den Einsatzgütern E G j und E G 2 genau soviel Mengeneinheiten hergestellt werden, wie zur Herstellung von Z P t und Z P 2 benötigt werden: Xj

— 4x 3 — 8x 4 X2 — 3X3 —

•

= 0 = 0.

NN-Restriktionen Schließlich sollen negative Werte f ü r die Unbekannten x x , . . . , x 7 ausgeschlossen werden. x

l> x2> X3> X4> X5> x 6' X7 = 0 ·

Diese NN-Restriktionen besagen insbesondere, daß eine Vernichtung vorhandener Lagerbestände an Einsatzgütern, Zwischen- und Endprodukten nicht zulässig sein soll. Dabei steht der zuletzt angeführte Ausdruck als Abkürzung für das Restriktionssystem

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

^ o ^ o

x7 ^ 0 . Wir fassen sämtliche Restriktionen, die ja gleichzeitig erfüllt sein sollen, zu einem Restriktionssystem zusammen: X]

— 4x 3 — 8x 4 X 2 3 X 3 2 x4 X3 x4

Xl,X 2 .

X

3>

X

4'

= =

0 0

- 7 x 5 - 4 x 6 -2x. — 3x b - 2x = 20 x5 = 10 x6 x7 = 5 X

5>

X

6>

X

7 =

0-

Sie sehen, d a ß Tab. 1-3 unmittelbar die Koeffizienten des Systems dieser Gleichungen in ihren jeweiligen Positionen wiedergibt. 6.2. Grundbeispiel 2: Absatzprognose Im Anschluß an das Beispiel aus dem Produktionsbereich wollen wir uns nun näher mit Fragestellungen aus dem Absatzbereich beschäftigen. Es soll zunächst untersucht werden, wie sich der zukünftige Marktanteil eines Anbieters abschätzen läßt. Darstellung der betrachteten Ausgangssituation Es sei ein M a r k t f ü r einen bestimmen Zeitschriftentyp, nämlich Reisemagazine, betrachtet. Wir nehmen an, d a ß monatlich etwa 50000 Exemplare verkauft werden, w o d u r c h das Marktvolumen nahezu ausgeschöpft sei. Die 50000 Exemplare teilen sich vollständig auf drei monatlich erscheinende Magazine Α, Β und C auf. Ihre Marktanteile haben sich bei etwa 20 % , 50 % und 30 % eingependelt. Trotzdem ist zu beobachten, d a ß stets ein Teil der Käufer beim Kauf im folgenden M o n a t zu einem anderen Magazin überwechselt. Die Herausgeber des Magazins A überlegen nun, o b sie nicht auf das Übergangsverhalten Einfluß nehmen sollen, u m so ihren Marktanteil zu vergrößern. So könnte m a n etwa über eine verstärkte Abonnentenwerbung versuchen, einen größeren Teil von K ä u f e r n an ihr Magazin zu binden. D a s von der Marktforschungsabteilung geschätzte neue Übergangsverhalten ist in Abbildung 1-3 auf der folgenden Seite veranschaulicht. Die Zahlen an den Pfeilen geben dabei an, welche Anteile der Käufer der Zeitschrift i (i = Α, Β, C) in dem folgenden M o n a t zur Zeitschrift j ( j = A, B, C) überwechseln. Folgende Fragen sollen - unter der A n n a h m e gleichbleibender Übergangshäufigkeiten - beantwortet werden: - Wie hoch sind die Marktanteile der Zeitschriften im nächsten M o n a t (t = 1)?

Kapitel I: Einleitung Monat t

25

Monat t + 1

Abb. 1-3: Darstellung der (relativen) Übergangshäufigkeiten zwischen den Magazinen Α, Β und C

- Wie hoch sind die M a r k t a n t e i l e der Zeitschriften in den folgenden M o n a t e n ? - Pendeln sich die M a r k t a n t e i l e der Zeitschriften längerfristig bei b e s t i m m t e n Werten ein? Vorbemerkung A u c h im vorliegenden Fall k ö n n e n die gestellten F r a g e n d u r c h einfache Ü b e r l e g u n gen b e a n t w o r t e t werden. So läßt sich der M a r k t a n t e i l des M a g a z i n s A im nächsten M o n a t (t = 1) a n h a n d v o n A b b . 1-3 ausrechnen: x ^ = 0,2 • 0,5 + 0,5 • 0,2 + 0,3 · 0,4 = 0,32. E n t s p r e c h e n d f ü r die übrigen M a r k t a n t e i l e xjj1' u n d x^": x(B1J = 0,2 · 0,2 + 0,5 · 0,6 + 0,3 · 0,3 = 0,43 x^1» = 0,2 · 0,3 + 0,5 · 0,2 + 0,3 · 0,3 = 0,25. A u s g e h e n d v o n diesen Werten lassen sich a n a l o g die neuen M a r k t a n t e i l e x^2), x^2), x^2) f ü r den ü b e r n ä c h s t e n M o n a t (t = 2), d a r a u s wieder die M a r k t a n t e i l e in d e m d a r a u f î o l g e n d e n M o n a t (t = 3) usw. errechnen. D i e Ergebnisse sind in Tab. 1-5, auf zwei Stellen nach d e m K o m m a gerundet, zusammengestellt. N a c h der Periode 3 ä n d e r n sich die M a r k t a n t e i l e k a u m n o c h . In einem Fall wie diesem, in d e m kein Unterschied zwischen den Anteilen in den Perioden t — 1 u n d t m e h r festzustellen ist, wollen wir von einem Gleichgewichtszustand sprechen. M a n erhält im vorliegenden Fall bereits f ü r kleine Werte v o n t N ä h e r u n g s w e r t e f ü r die M a r k t a n t e i l e im Gleichgewichtszustand, der hier existiert. Offensichtlich erweisen sich die dargestellten R e c h n u n g e n als sehr a u f w e n d i g , wenn eine Vielzahl von M a g a z i n e n zu b e t r a c h t e n ist. Es versagt a u ß e r d e m , w e n n kein Gleichgewichtszustand erreicht wird. Wir wollen d e s h a l b ein M o d e l l entwerfen, mit d e m wir feststellen k ö n n e n , o b ü b e r h a u p t ein solcher Gleichgewichtszustand existiert u n d wie er ggf. aussieht.

26

Kapitel I: Einleitung

Anteil von in

A

Β

C

t = 0

0,20

0,50

0,30

t = 1

0,32

0,43

0,25

t = 2

0,35

0,40

0,25

t = 3

0,36

0,38

0,26

t = t

0,36

0,38

0,26

Tab. 1-5: Marktanteile der M a g a z i n e Α, Β und C in den M o n a t e n t = 0 , 1 , 2, 3 , . . . , t.

Mathematische Größen und ihre Bedeutung im Modell x|°: Marktanteil des Magazins i (i = Α, Β, C) in der Periode t (t = 0 , 1 , 2 , . . . , t). Modellformulierung • Gleichgewichtszustand Unter Verwendung der angegebenen Symbole lassen sich unsere Überlegungen zur Entwicklung der Marktanteile von der Periode t — 1 zur Periode t wie folgt formulieren: 0 , 5 x < T + 0,2x8" υ + 0,4xg- " = x 0 , 2 χ Γ »> + 0,6xg - 1 1 + 0,3xg" υ = x8> 0,3χΓ

υ

+ 0,2x8^

u

+ 0,3xg- u = xg>.

Existiert ein Gleichgewichtszustand, dann soll er - ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit - im M o n a t t — 1 eintreten. Für einen Gleichgewichtszustand m u ß aber xf) = xf" 1 )

für

i = A, B,C

gelten. Zur Vereinfachung lassen wir für den Gleichgewichtszustand außerdem die zeitliche Indizierung fort: x i ==xf>

= χΓ1);

i = Α, Β, C .

Somit erhalten wir das Gleichungssystem 0,5X a - 0,2Xb - 0,4x c = 0 - 0,2x A + 0,4Xb - 0,3x c = 0 — 0,3X a — 0,2x B + 0,7x c = 0.

Kapitel I: Einleitung

27

• Gesamtmarkt Die Summe aller Marktanteile m u ß Eins ergeben: xA + xB + x c = 1. • NN-Restriktionen Xb, x c è 0. Zusammengefaßt: Zu untersuchen ist das Restriktionssystem 0,5x a - 0,2x b - 0,4x c = 0 - 0,2x a + 0,4Xb - 0,3x c = 0 - 0,3x a - 0,2x b + 0,7x c = 0 xA +

xB +

xc = 1

XA.

X

X

B,

C = 0·

Hat dieses System keine Lösung, so existiert offensichtlich kein Gleichgewichtszustand unseres Prozesses. Hat es genau eine Lösung, so liegt damit der gesuchte Gleichgewichtszustand mit den jeweiligen Marktanteilen vor. Wir kommen auf dieses System in Kapitel II und IV noch eingehend zurück. 6.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Während die bisher vorgestellten Fallstudien vor allem Fragestellungen aus der Such- bzw. Planungsphase behandelten, betrifft das folgende Grundbeispiel die Kontrollphase. Darstellung der betrachteten Ausgangssituation Wir wollen uns als nächstes einer Fahrradfabrik zuwenden. Neben dem eigentlichen Hauptbetrieb der Radfertigung weist die Unternehmung auf dem Fabrikgelände noch drei Hilfsbetriebe auf, die bestimmte, bei der Radfertigung benötigte Leistungen bereitstellen. Es handelt sich dabei um einen Instandhaltungsbetrieb (I), einen Betrieb zur Dampferzeugung (D) sowie den betrieblichen Fuhrpark (F). Diese drei Hilfsbetriebe geben nun aber nicht nur Leistungen an den Hauptbetrieb, sondern auch untereinander ab. So führt etwa der Instandhaltungsbetrieb Wartungs- und Reparaturarbeiten an den Fertigungsanlagen, aber auch an den Fahrzeugen des Fuhrparks sowie an den Dampferzeugungsanlagen durch. Die Anzahl der in einem ausgewählten Betrachtungszeitraum untereinander und nach außen (d.h. an den Hauptbetrieb) abgegebenen Leistungseinheiten sind für die Hilfsbetriebe in der folgenden Abbildung aufgeführt (vgl. Abb. 1-4).

400

100

Abb. 1-4: Von den Hilfsbetrieben abgegebene Leistungseinheiten

28

Kapitel I: E i n l e i t u n g

Der Dampferzeugungsbetrieb stellte d a n a c h 15 Leistungseinheiten für den Fuhrpark, 10 Leistungseinheiten für den Instandhaltungsbetrieb und 125 für den Hauptbetrieb bereit. D a d u r c h entstanden natürlich gewisse Kosten. So sind an Löhnen und Gehältern, anteiligen Abschreibungen sowie für von außen bezogene Materialien bei der Dampferzeugung 10000 D M , im Instandhaltungsbetrieb 20000 D M und im F u h r p a r k 25000 D M angefallen. Die Abteilung für d a s Rechnungswesen möchte nun eine Kalkulation durchführen, die der Ermittlung der durchschnittlichen Kosten pro Stück der verschiedenen Radtypen dient. In diese (durchschnittlichen) Stückkosten sollen auch sämtliche von den Hilfsbetrieben verursachten Kosten eingehen. Für die verschiedenen Radtypen kennt m a n bereits die jeweils erforderliche Anzahl von Leistungseinheiten der Hilfsbetriebe, die zur Herstellung eines Exemplares erforderlich ist. Das Rechnungswesen hat deshalb die folgende Frage: - Welche Kosten sind p r o Einheit der von den Hilfsbetrieben bezogenen Leistungen anzusetzen? Die Bestimmung dieser Kosten gestaltet sich nicht so einfach, wie es vielleicht auf den ersten Blick erscheinen mag. Sicherlich wäre es falsch, die oben angeführten Kostenbeträge einfach durch die jeweilige, für den Hauptbetrieb bereitgestellte Leistungsmenge zu dividieren. So kommen für jeden Hilfsbetrieb zu diesen Kosten (Primärkosten) noch Kosten für die von den anderen Hilfsbetrieben bezogenen Leistungen (Sekundärkosten) hinzu. Dieser neue Kostenbetrag ist d a n n aber nicht nur auf die an den Hauptbetrieb abgegebenen Leistungen zu verteilen, sondern auch auf diejenigen Leistungen, die von den übrigen Hilfsbetrieben beansprucht werden. Zur Ermittlung der auf einen Hilfsbetrieb entfallenden Sekundärkosten müssen aber die Kosten pro Leistungseinheit der beiden übrigen Hilfsbetriebe schon bekannt sein. Die Kosten des Dampferzeugungsbetriebes lassen sich etwa erst berechnen, wenn die Kosten pro Leistungseinheit des F u h r p a r k s und die Kosten p r o Leistungseinheit des Instandhaltungsbetriebes bekannt sind. Die Kosten des F u h r p a r k s sind gleichermaßen aber wieder abhängig von denjenigen der Dampferzeugung und des Instandhaltungsbetriebes. Diese wechselseitigen Abhängigkeiten verhindern offensichtlich eine sukzessive Berechnung der auf eine Leistungseinheit bezogenen Kosten der Hilfsbetriebe. Wir .werden stattdessen ein Modell formulieren, mit dessen Hilfe sich diese Kosten simultan bestimmen lassen. Mathematische Größen und ihre Bedeutung im Modell Xj: Kosten p r o Leistungseinheit des Hilfsbetriebes j ( j = D, F, I). Modellformulierung • Gesamtkosten eines Hilfsbetriebes Betrachten wir zunächst den Hilfsbetrieb „ D a m p f e r z e u g u n g " . Er hat insgesamt 150 Leistungseinheiten bereitgestellt, so d a ß ein Kostenbetrag in H ö h e von 150 x D D M auf die anderen Hilfsbetriebe und den Hauptbetrieb zu verteilen sind. Dieser Kostenbetrag setzt sich zusammen aus den Primärkosten in Höhe von 10000 D M sowie den Sekundärkosten für die von den übrigen Hilfsbetrieben bezogenen Leistungen in Höhe von 10 x F + 100 x, D M . D a sämtliche Kosten der D a m p f e r z e u g u n g auf die bereitgestellten Leistungen umgelegt werden sollen, m u ß gelten: 150x D = 1 0 0 0 0 + 10 x F + 100 x,.

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

29

A n a l o g ergibt sich f ü r die beiden anderen Hilfsbetriebe 250 x F = 2 5 0 0 0 + 100 χ, + 1 5 x D 600x, = 2 0 0 0 0 +

10xD+ 40Xf.

• Insgesamt umzulegende Kosten Die dem H a u p t b e t r i e b zuzurechnenden Kosten müssen identisch sein mit der S u m m e aller in den Hilfsbetrieben angefallenenen Kosten: 125 x D + 200 x F + 400 x, = 55000. •

NN-Restriktionen Negative Kosten pro Leistungseinheit müssen als K o m p o n e n t e n der L ö s u n g ausgeschlossen werden: x D , x F , χ, ^ 0 .

Z u s a m m e n g e f a ß t : Es m u ß eine Lösung des folgenden Restriktionssystems gefunden werden: 1 5 0 X d — 1 0 x F - l O O x , = 10000 — 15 x D + 250 x F — 100 X[ = 25000 —10 x D — 40 Xp + 600 χ, = 20000 125 x D + 200 Xp + 400 x, = 55 000 xD,

Xp,

χ, ^ 0.

Erstmalig werden wir in Kapitel II auf dieses Grundbeispiel eingehen. Wir k o m m e n d a n n später noch einmal in Kapitel VI d a r a u f zurück. 6.4. Grundbeispiel 4: Produktionsprogrammplanung Beispiele der folgenden Art dienen üblicherweise zur E i n f ü h r u n g in die Lineare Optimierung. Wir k o m m e n dabei noch einmal auf den Ihnen bereits b e k a n n t e n Fahrradhersteller zurück. Darstellung der Ausgangssituation Die F a h r r a d f a b r i k produziert von einem Leichtmetallrad zwei Typen, ein Herrenrad (H) und ein D a m e n r a d (D). Beide Typen unterscheiden sich k o n s t r u k t i o n s m ä ßig im wesentlichen n u r in zwei P u n k t e n , dem R a h m e n u n d der Gangschaltung. Auch der Fertigungsprozeß ist weitgehend identisch. G a n g s c h a l t u n g , Lichtanlage u n d Tretlager sowie verschiedene Kleinteile werden von Zulieferern bezogen, alle übrigen Teile ( R a h m e n , Schutzbleche etc.) selbst hergestellt. Die M o n t a g e , die sich in zwei Stufen gliedert, erfolgt zentral: In einer ersten Werkstatt werden hauptsächlich vorbereitende Tätigkeiten ausgef ü h r t . D e r R a h m e n wird zunächst auf ein f a h r b a r e s Gerüst gespannt. D a n n werden G e w i n d e gebohrt, Leitungen f ü r die Lichtanlage verlegt, die F ü h r u n g e n f ü r die G a n g s c h a l t u n g angebracht usw. Alle diese Tätigkeiten werden Z u g um Z u g hintereinander von einer A r b e i t s k r a f t a u s g e f ü h r t . Sie benötigt d a f ü r bei einem Herrenrad im Durchschnitt etwa 15 M i n u t e n , bei einem D a m e n r a d - a u f g r u n d des anders gearteten R a h m e n s - etwas länger, nämlich 20 Minuten. Insgesamt sind sechs Personen mit solchen vorbereitenden Tätigkeiten betraut.

30

Kapitel I: Einleitung

Zur Durchführung der verbleibenden Montagearbeiten (Anbringen des Lenkers, der Pedale und der Schutzbleche, Einbau der Räder etc.) werden die Gerüste dann in eine zweite Abteilung gerollt. Auch dort übernimmt wieder jeweils eine Arbeitskraft sämtliche anfallenden Montagevorgänge. Im Durchschnitt benötigt sie hierfür - gleichgültig ob es sich um ein Damen- oder um ein Herrenrad handelt - 20 Minuten. Fünf Personen sind in dieser Werkstatt beschäftigt. Gegenwärtig werden die Räder zum Preis von D M 200,— (Herrenrad) bzw. D M 150,— (Damenrad) ausschließlich an Händler - abgegeben. Es stellt sich nun im Rahmen der monatlichen Produktionsplanung die Frage: - Welche Stückzahlen der Radtypen H und D sollen im kommenden Monat (20 Arbeitstage von jeweils acht Stunden) hergestellt werden, damit der Umsatz möglichst groß wird? Dabei ist zu beachten, daß der Rahmenhersteller monatlich höchstens 800 Rahmen für Herrenräder und 2000 f ü r Damenräder liefern kann. Weiterhin soll es wegen der unterschiedlichen Ansprüche an die Qualifikation der Beschäftigten nicht möglich sein, Arbeitskräfte aus der ersten Werkstatt in der zweiten Werkstatt zu beschäftigen und umgekehrt. Wegen der beengten Verhältnisse am gegenwärtigen Standort ist auch keine Lagerung der Fertigprodukte möglich. Somit sind Produktions- und Absatzmengen identisch. Mathematische Größen und ihre Bedeutung im Modell x 0 : zu maximierender Umsatz des Planungszeitraums; x H : zu produzierende Anzahl von Herrenrädern; x D : zu produzierende Anzahl von Damenrädern. Modellformulierung • Zielfunktion und Zielvorschrift Der zu maximierende Umsatz im Planungszeitraum ergibt sich als Summe der mit den jeweiligen Verkaufspreisen multiplizierten Absatzmengen der Fertigprodukte. Damit lauten die Zielfunktion Xq = 200x H + 150X D und die zugehörige Zielvorschrift x 0 —> max! • Restriktionen - Produktion Es m u ß für alle Werkstätten gewährleistet sein, daß für das zu realisierende Produktionsprogramm die jeweils benötigte Personalkapazität die tatsächlich vorhandene Kapazität nicht überschreitet. Letztere beträgt in dem betrachteten M o n a t für Werkstatt 1 ( W J (6 · 8 · 20 = ) 9 6 0 Personenstunden und für Werkstatt 2 (W 2 ) (5 · 8 · 20 = ) 800 Personenstunden. Damit läßt sich formulieren: W,: 74Χη+ 7 3 X D ^ 9 6 0 Die linke Seite jeder Ungleichung gibt für das zu realisierende Produktionspro-

Kapitel I: Einleitung

31

gramm die jeweils benötigte Personalkapazität, die rechte Seite die jeweils vorhandene Personalkapazität an. - Beschaffung Die Beschränkungen bei der Bereitstellung von Rahmen lassen sich wie folgt erfassen: Bj: B2: -

xH

^ 800 X d ^ 2000.

NN-Restriktionen Negative Produktionsmengen ergeben keinen Sinn. Deshalb müssen negative Zahlen als Lösungswerte für die Variablen x H und x D ausgeschlossen werden. N,: N2:

x„

^0 Xd = 0-

Zusammengefaßt erhält man das folgende Optimierungssystem: x 0 = 200x H + 150x D -> 7 . Λ . + V3xd = l X V3XH+ /3 D = xH ^ xD ^ xH, xD^

max! 960 800 800 2000 0.

Damit haben wir zum ersten Mal ein Optimierungssystem entwickelt. Zweck dieses Modells ist, die Auswahl eines - im Hinblick auf die Zielvorstellung „Umsatzmaximierung" - möglichst guten Produktionsprogramms aus der Menge aller möglichen Produktionsprogramme zu unterstützen. Insofern handelt es sich um ein Entscheidungsmodell. Wir kommen auf dieses Optimierungssystem bereits im nachfolgenden Kapitel II zurück. Rechnerisch lösen werden wir die Optimierungsaufgabe aber erst in Kapitel VI. 6.S. Grundbeispiel 5: Mischungsoptimierung Mit dem folgenden Beispiel wollen wir uns schließlich dem Beschaffungsbereich zuwenden. Darstellung der Ausgangssituation Ein Betrieb der Eisen- und Stahlindustrie stelle Rohstahl her, der zur Erfüllung bestimmter Qualitätsansprüche gewisse Grenzen beim Schwefel- und Phosphorgehalt nicht überschreiten, beim Eisen-, Chrom- und Siliziumgehalt nicht unterschreiten soll (vgl. Tab. 1-6 und 1-7). Maximalgehalt in % Schwefel Phosphor

6 4

Tab. 1-6: Gewünschter Maximalgehalt an Schwefel und Phosphor

32

Kapitel I: Einleitung Mindestgehalt in % Eisen Chrom Silizium

50 5 5

Tab. 1-7: Gewünschter Mindestgehalt an Eisen, Chrom und Silizium Z u r Beschickung des H o c h o f e n s werden auf d e m B e s c h a f f u n g s m a r k t mehrere Füllstoffe zu unterschiedlichen Preisen u n d unterschiedlichen v e r f ü g b a r e n M e n g e n a n geboten. A u ß e r d e m unterscheidet sich die A u s b e u t e a n R o h s t a h l p r o eingesetzter T o n n e Füllstoff nach M e n g e u n d Z u s a m m e n s e t z u n g (Tab. 1-8).

Zusammensetzung des Roheisens (in %)

Füllstoff

1

Schwefel Phosphor

5 8

12 0

10 2

6 1

40 8 10

45 1 30

55 6 20

65 3 4

410,

430,--

500,-

620,-

Eisen Chrom Silizium Preis pro Tonne (in DM) höchstens beschaffbare Menge (in Tonnen) Ausbeute Rohstahl pro Tonne Füllstoff (in Tonnen)

5000

2

3

8000

0,7

0,75

10000 0,85

4

8000 0,9

Tab. 1-8: Zusammensetzung des Rohstahls bei Einsatz des Füllstoffes j (j = 1, ..., 4); Preis, HöchstbeschafFungsmenge und Ausbeute je Tonne Füllstoff Insgesamt sollen in d e m betrachteten P l a n u n g s z e i t r a u m 10000 T o n n e n R o h s t a h l hergestellt werden. - Wieviel T o n n e n der einzelnen Füllstoffe sollen beschafft werden, d a m i t die Einsatzstoffkosten möglichst gering sind? L a g e r b e s t ä n d e der Füllstoffe seien im betrachteten Betrieb nicht v o r h a n d e n . Mathematische Größen und ihre Bedeutung im Modell x 0 : zu minimierende Einsatzstoffkosten; Xj: zu beschaffende G ü t e r m e n g e (in T o n n e n ) des Füllstoffes j 0 = 1,2,3,4). Modellformulierung • Z i e l f u n k t i o n u n d Zielvorschrift Die G e s a m t k o s t e n des produzierten R o h s t a h l s ergeben sich als S u m m e der benö-

33

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

tigten Füllstoffmengen bewertet mit den jeweiligen Füllstoffpreisen: x 0 = 410xi + 430x 2 + 500x 3 + 620x 4 x 0 -> min! • Restriktionen - Maximalgehalt an Schwefel und Phosphor im produzierten Rohstahl 0,7 · 0,05x! + 0,75 · 0,12x 2 + 0,85 · 0,10x 3 + 0,9 · 0,06x 4 ^ 0,06 · 10000 0,7 · 0,08Xj + 0,85 · 0,02x 3 + 0,9 · 0,01 x 4 ^ 0,04 · 10000. - Mindestgehalt an Eisen, Chrom und Silizium im produzierten Rohstahl 0,7 · 0,40x! + 0,75 · 0,45x 2 + 0,85 · 0,55x 3 + 0,9 · 0,65x 4 ^ 0,50 10000 0,7 · 0,08x! + 0,75 · 0,01 x 2 + 0,85 · 0,06x 3 + 0,9 · 0,03x 4 ^ 0,05 · 10000 0,7 · 0,10X[ + 0,75 · 0,30X 2 + 0,85 · 0,20X3 + 0,9 • 0,04X 4 ^ 0,05 · 10000. Ergänzung zu 10000 Tonnen Gesamtproduktion 0,7x t +

0,75x 2 +

0,85x 3 +

0,9x 4 = 10 000.

Beschaffungshöchstmenge x

^ g

i

5000 8000

g 10000 x4^ -

8000.

NN-Restriktionen 0.

Xu

Wir rechnen noch die Koeffizienten und die rechten Seiten aus und erhalten folgendes Optimierungssystem: 410xi +

430x 2 +

500jc3 +

0,0350x! + 0,0560x, + 0,2800x! + 0,0560χ; + 0,0700x! + 0,7000x! +

0,0900x 2 +

0,0850X 3 + 0,01 70X3 + 0,4675x 3 + 0,0510X 3 + 0,1700X 3 + 0,8500X 3 +

=

X

0,3375X2 0,0750X2 0,2250X2 0,7500X2

+ + + + +

1 x2 x3

X

1»

x2

X3 »

620x 4 -> min! g 600 ^ 400 ^ 5000 ^ 500 ^ 500 ^ 10000 ^ 5000 g 8000 g 10000 x 4 g 8000 x4 ^ o

0,540X 4 0,0090X 4 0,5850X 4 0,0270X 4 0,0360X 4 0,9000X 4

Mit der Bestimmung einer optimalen Lösung für diese Minimierungsaufgabe befassen wir uns in Kapitel VI.

34

Kapitel I: Einleitung

7. Literaturhinweise Leicht lesbare einführende Texte zur Rolle der Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften finden

s i c h e t w a b e i G A L / G E H R I N G [ 1 9 8 1 , S . 1 - 3 6 ] u n d MÜLLER-MERBACH [ 1 9 7 3 , S. 1 - 2 6 ] .

Dem fortgeschrittenen Leser, der ein wenig tiefer in die wissenschaftstheoretischen Grundlagen eindringen will, sei eine Arbeit von JAEGER [1980] empfohlen. Um die Anwendung der Mathematik in der betriebswirtschaftlichen Forschung und Praxis gab es zum Ende der fünfziger und zu Beginn der sechziger Jahre einen wissenschaftlichen Disput, der heute recht vergnüglich nachzulesen ist, in dem aber auch heute noch verbreitete Mißverständnisse und Fehleinschätzungen zum Ausdruck kommen. Man lese dazu etwa die B e i t r ä g e v o n ISCHBOLDIN [ 1 9 6 0 ] , KLINGER [ 1 9 6 4 ] , MATTESSICH [ 1 9 6 0 ] , KOSIOL [ 1 9 6 4 ] , SCHELLER [ 1 9 6 4 ] u n d WITTMANN [ 1 9 5 8 ] . I n e i n e r n e u e r e n A r b e i t u n t e r s u c h t KISTNER [ 1 9 8 1 ]

die Wirkungen der Mathematik auf die Betriebswirtschaftstheorie. Zur Einführung in die Probleme der Modeltbildung und Modellbenutzung eignen sich etwa d i e T e x t e v o n A D A M / W I T T E [ 1 9 7 5 / 1 9 7 6 ] , GASS [ 1 9 8 5 , S. 3 - 2 2 ] u n d KÖHLER [ 1 9 7 5 ] , Z u r V e r t i e f u n g s e i e n d i e A r b e i t e n v o n DINKELBACH [ 1 9 7 3 ] , GROCHLA [ 1 9 6 9 ] , JAEGER [ 1 9 7 2 ] , [ 1 9 8 0 ] , KOSIOL [ 1 9 6 1 ] u n d ZIMMERMANN [ 1 9 8 0 ] s o w i e d i e B ü c h e r v o n WILLIAMS [ 1 9 7 8 , S. 3 3 5 ] u n d SAATY/ALEXANDER [ 1 9 8 1 , S . 3 - 3 3 u . 1 3 7 - 1 7 5 ] e m p f o h l e n .

Weitere einfache Anwendungsbeispiele bringen zwei Arbeiten von WÄSCHER [1982], [1984] sowie JUDIN/GOLSTEIN [1970] und VAJDA [I960]. Realitätsnähe Fallstudien sind etwa in ARONOFSKY/DUTTON/TAYYABKHAN [1978] zu finden. Eine umfangreiche Bibliographie zu den realen Anwendungsmöglichkeiten der Linearen Optimierung ist in RUNZHEIMER [1983, S. 148-152] veröffentlicht. Einen modernen algebraischen Aspekt der Linearität finden Sie an Beispielen von Produkt i o n s v o r g ä n g e n i n JAEGER/WENKE [ 1 9 6 9 , S. 3 5 u . 1 7 5 - 2 1 0 ] e r k l ä r t .

Wiederholungsfragen 1. Was versteht man unter der Struktur einer Menge, und was versteht man in diesem Zusammenhang unter einem (mathematischen) System? 2. Was ist der Unterschied zwischen Realsystem mit Realstruktur und Formalsystem mit Formalstruktur? Geben Sie Beispiele! 3. Welche Veränderungen könnten im Verlaufe eines Abstraktionsprozesses vorgenommen worden sein, und warum ist dieser i. a. zweistufig, wenn Sie bis zur Mathematik vordringen wollen? 4. Was versteht man unter Mathematisieren, und was sind die Vorteile der Mathematisierung? 5. Was versteht man unter originärem Konkretisieren, und was muß vorher festgelegt bzw. nicht vergessen worden sein, damit man diesen Prozeß vornehmen kann? 6. Was ist hier der Unterschied zwischen System und Modell? 7. Welche Modelltypen kennen Sie? Geben Sie Beispiele! 8. Was versteht man unter einer linearen Restriktion und einer linearen Zielfunktion, und was sind ihre charakteristischen Eigenschaften? 9. Welche Schreibweisen kennen Sie für lineare Restriktionssysteme? 10. Was versteht man unter einer Lösung eines linearen Restriktionssystems?

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

35

11. Wie läßt sich die Grundaufgabe der Linearen Optimierung formulieren? Geben Sie zunächst eine formale mathematische Antwort, und erläutern Sie diese dann verbal!

Übungsaufgaben Aufgabe 1-1 Gegeben sei das folgende lineare Restriktionssystem: 50xj + 40X 2 + 60X 3 + 100x 4 + 30x 5 ^ 3000 - 2 0 x ! - 5X 2 — 25X 3 — 20X 4 — 5 x 5 ^ - 5 0 0 25xj + 30x 2 + 10x 3 + 20X 4 + 30X 5 ^ 1000. Überprüfen Sie, ob durch ( 0, 40, 0, 20, - 2 0 ) ( 20, 40, 10, 0, 100) ( -8, -10,-10,27, 22) ( - 1 5 0 , - 1 0 0 , 110, 0, 120) Lösungen für dieses Restriktionssystem gegeben sind! Aufgabe 1-2 Ein Großkunde einer Molkerei hat Milch von 3,5 Prozent Fettgehalt, lieferbar in 50-Liter-Kanistern, bestellt, die Molkerei stellt aber nur Milch mit 1,8 und 5 Prozent Fettgehalt her. Sie möchte deshalb wissen, wieviel Liter Milch beider Qualitäten miteinander für einen Kanister zu mischen sind. Erstellen Sie ein Restriktionssystem zur Beantwortung dieser Frage! Vergessen Sie nicht, die Bedeutung der verwendeten Größen anzugeben! Aufgabe 1-3 Wie müßte das Restriktionssystem des Grundbeispiels 1 aussehen, wenn abweichend von der ursprünglichen Situation folgendes gelten soll: Beim Einsatzgut EG X ist eine Lagerbestandserhöhung um 120 M E vorgesehen. Der Lagerbestand von E G 2 soll unverändert gleich Null bleiben. Die Lagerbestände von Z P t und ZP 2 sollen um 50 M E bzw. um 60 M E vermindert werden. Aufgabe 1-4 Eine Unternehmung stellt die Endprodukte EP 6 und EP 7 unter Verwendung der Einsatzgüter E G ! und E G 3 sowie der Zwischenprodukte Z P 2 , Z P 4 und Z P 5 her. Die Mengenbeziehungen zwischen den Endprodukten, den Zwischenprodukten und den Einsatzgütern seien durch den folgenden Gozinto-Graph (Abb. 1-5) gegeben, wobei die Zahlen an den Pfeilen angeben, wieviel Mengeneinheiten eines Gutes zur Herstellung eines nachgelagerten Produktes benötigt werden. a) Erstellen Sie eine zugehörige Aktivitätstabelle der Einheitsaktivitäten, wobei Sie als Normalleistung jeweils die Herstellung oder die Beschaffung einer Mengeneinheit des jeweiligen Gutes ansehen! b) Für die kommende Planungsperiode bestehen bereits Lieferverträge über 2000 Mengeneinheiten (ME) von EP 6 und 3000 M E von EP 7 . Die Absatzabteilung

36

Kapitel I: Einleitung

ι ι

Abb. 1-5: G o z i n t o - G r a p h eines Produktionsprozesses

schätzt die darüber hinaus möglichen Absatzmengen auf 4000 bzw. 1000 ME. Eine Lagerung der Endprodukte ist nicht möglich, da es sich um leicht verderbliche Waren handelt, die nach ihrer Herstellung sofort an die Abnehmer geliefert werden. Ebenso ist eine Lagerung der Zwischenprodukte nicht möglich. Von den Rohstoffen können in der betreffenden Planungsperiode höchstens 20000 M E E G ! bzw. 16000 ME E G 2 beschafft werden. Erstellen Sie ein Restriktionssystem, durch das die Menge der zulässigen Beschaffungs- und Herstellmengen für die Güter E G 1 ; E G 2 , Z P 3 , Z P 4 , Z P 5 , EP 6 und EP 7 beschrieben wird! Aufgabe 1-5 Es sei ein Betrieb betrachtet, der grundsätzlich zwei Produkte FP! und FP 2 herstellen und auf dem Absatzmarkt anbieten kann. Die Produktion unterliegt nun gewissen Beschränkungen. So durchlaufen FPi und FP 2 zunächst die Fertigungsanlagen A ! und A 2 • Das Produkt FP¡ wird außerdem einer Nachbehandlung auf der Anlage A 3 unterzogen. Über die zur Herstellung einer Produktmengeneinheit benötigten Bearbeitungszeiten sowie über die Kapazitäten der Maschinen im Planungszeitraum liegen folgende Informationen vor (Tab. 1-9). Bearbeitungszeit (in Stunden) pro M E von FP, A, Λ, A3

1 0,75 2

Periodenkapazität (in Stunden)

FP 2 1 2 0

100 150 120

Tab. 1-9: Bearbeitungszeiten pro Produktmengeneinheil und Periodenkapazität der Maschinen

37

Kapitel I: Einleitung

Von der Beschaffungs- und von der Absatzseite her bestehen dagegen keine Beschränkungen, d . h . die zur Herstellung erforderlichen (und nicht näher betrachteten) Einsatzgüter können beschafft, die hergestellten Produkte sämtlich abgesetzt werden. Der Verkaufspreis beträgt 400 G E für F P t bzw. 300 G E für F P 2 . Sämtliche Informationen sind noch einmal in Abb. 1-6 zusammengefaßt.

FP, Ì 400 GE

FP 2

300 GH

Abb. 1-6: Daten des Produktionsplanungsproblems

Der Betrieb interessiere sich für dasjenige Produktionsprogramm, das den Umsatz im Planungszeitraum maximiert. Erstellen Sie ein entsprechendes Optimierungssystem!

Aufgabe 1-6 Es sei ein Betrieb betrachtet, der in zwei Produktionsstätten PSj und PS 2 Ziegelsteine herstellt. Der Ausstoß betrage in der betrachteten Planungsperiode 130 bzw. 270 Tonnen (Lagerbestände sind nicht vorhanden). In der Planungsperiode ist ein Vertrag zu erfüllen, aufgrund dessen zwei Baustellen BSj und BS 2 mit 150 bzw. 180 Tonnen zu beliefern sind. Die Kosten, die für den Transport einer Tonne Ziegelsteine von der Produktionsstätte PS¡ (i = 1, 2) zur Baustelle BSj (j = 1, 2) anfallen, ergeben sich aus der Tab. 1-10:

^^^nach von ^ ^

BS,

BS 2

PS, PS 2

45 20

30 50

Tab. 1-10: Kosten des Transportes einer Tonne Ziegelsteine von PS; (i = 1, 2) nach BSj 0 = 1,2)

38

Kapitel I: Einleitung

Graphisch läßt sich der Sachverhalt auch folgendermaßen darstellen (vgl. Abb. 1-7):

Es sei angenommen, der Ziegelsteinproduzent will seine Verträge unbedingt erfüllen. Wie ist der Transport vorzunehmen, damit die gesamten Transportkosten minimiert werden? Erstellen Sie ein Optimierungssystem, mit dessen Hilfe sich diese Frage beantworten läßt! Bezeichnen Sie darin mit x¡j die Mengeneinheiten (Tonnen) des Transportgutes, die von der Produktionsstätte PS¡ (i = 1, 2) zur Baustelle BSj (j = 1, 2) zu transportieren sind! Aufgabe 1-7 Ein Betrieb will für das 1. Quartal des kommenden Jahres die optimale Bestellmengenpolitik für ein bestimmtes Einsatzgut ermitteln. Die folgenden Gegebenheiten seien dabei zu berücksichtigen: Der Betrieb kann am Anfang eines jeden Monats einkaufen. Der Einkaufspreis schwankt jedoch saisonbedingt. In der unten angegebenen Tab. 1-11 ist eine Schätzung für den in den einzelnen Monaten jeweils gültigen Preis aufgeführt. Bis zum Verbrauch der Einsatzgüter können diese in benachbarten Lagerhäusern eingelagert werden. Für die einzelnen Monate stehen verschieden große Lagerhäuser zur Verfügung. Je nach Ausstattung dieser Häuser bekommt die Unternehmung unterschiedliche Preise pro gelagerter Mengeneinheit und Monat in Rechnung gestellt (vgl. Tab. 1-11). Lagerzugänge und Lagerabgänge treten nur zum Monatsanfang auf. Zu Beginn des Quartals sei der Lagerbestand Null. Aufgrund bestehender Lieferverträge sind in den einzelnen Monaten bestimmte Einsatzgüter für die Produktion bereitzustellen, die ebenfalls der Tab. 1-11 entnommen werden können:

Monat Einkaufspreis [ D M / S t ü c k ] Lagerkapazität [ S t ü c k / M o n a t ] Kosten f ü r die Lagerung [ D M / S t ü c k ] Einsatzgütermengen [ S t ü c k ]

Januar

Februar

März

10 40 8 80

20 40 8 40

30 60 5 80

Tab. 1-11: Zusammengestellte Informationen über das Beschaffungs- und Lagerungsproblem

K a p i t e l I: E i n l e i t u n g

39

Gesucht sind diejenigen Lagerungs- und Bestellmengen, welche die Summe der Bestellmengen- und Lagerungskosten für das betrachtete Quartal minimiert. Formulieren Sie für diese Fragestellung eine lineare Optimierungsaufgabe. Verwenden Sie dabei die folgenden mathematischen Größen (aus Vereinfachungsgründen seien die drei Monate durchnumeriert): x0:

zu minimierende Summe aus Lagerungs- und Bestellmengenkosten für das Quartal; Xj : im Monat j (j = 1, 2, 3) zu bestellende Mengeneinheiten des Einsatzgutes; x 3 + j: Lagerbestand im Monat j (j = 1, 2, 3)

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme Gliederung 1. Lernziele 2. Lineare Gleichungssysteme 2.1. Z u r Geometrie linearer Gleichungssysteme 2.2. Kanonische Gleichungssysteme 2.3. Lösungsneutrale U m f o r m u n g e n f ü r Gleichungssysteme 2.4. Pivotieren 2.5. Modifizierter GAUSS-Algorithmus 2.6. Ergänzende Bemerkungen 2.6.1. Präzisierung des Z u s a m m e n h a n g s zwischen Basisvariablen, kanonischer F o r m , Basislösung u n d E n t a r t u n g 2.6.2. Der Ü b e r g a n g von einem kanonischen Gleichungssystem zu einem äquivalenten kanonischen Gleichungssystem 2.6.3. Die simultane Bestimmung einer kanonischen F o r m für mehrere Gleichungssysteme mit identischen linken Seiten . . . . 3. Vorbereitende Bemerkungen über gemischte lineare Restriktionssysteme 3.1. Z u r Geometrie gemischter linearer Restriktionssysteme 3.2. Lösungsneutrale U m f o r m u n g e n mit Ungleichungen 3.3. Gleichgerichtete Ungleichungssysteme 3.4. NN-Gleichungssysteme 4. Weiterführung der Grundbeispiele 4.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse 4.2. Grundbeispiel 2: A b s a t z p r o g n o s e 4.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 4.4. Grundbeispiel 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 5. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

43 44 44 46 52 56 61 68 68 70 72 74 74 81 84 87 93 93 96 96 98 103 103 104

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

43

Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht die Betrachtung einer wichtigen Klasse linearer Restriktionssysteme, der linearen Gleichungssysteme (Abschnitt 2). Vor allem wollen wir dabei den Aspekt behandeln, wie sich deren Lösungen bestimmen lassen. Nach dem in erster Linie motivierenden Unterabschnitt 2.1, in dem wir mit Hilfe graphischer Überlegungen an Ihre Kenntnisse aus der Schule a n k n ü p f e n , untersuchen wir zunächst Gleichungssysteme eines ganz speziellen Typs, nämlich sog. kanonische Gleichungssysteme (2.2). Derartige Gleichungssysteme zeichnen sich dadurch aus, d a ß sich ihre Lösungen sofort ablesen lassen. Anschließend gehen wir auf U m f o r m u n g e n ein, die die Lösungen eines Gleichungssystems nicht verändern. Zur Bestimmung der Lösungen eines beliebigen Gleichungssystems bringt man es mit Hilfe einer Folge solcher U m f o r m u n g e n zielstrebig in eine kanonische F o r m und liest dort die Lösungen ab (2.4 und 2.5). D a m i t ist unsere ursprüngliche Frage eigentlich schon beantwortet. Schließlich behandeln wir noch einige Gesichtspunkte, die in den späteren Kapiteln dieses Buches von Bedeutung sind (2.6). In einem weiteren Abschnitt befassen wir uns d a n n mit allgemeinen Restriktionssystemen. Allerdings sind wir an dieser Stelle noch nicht in der Lage, Lösungsverfahren für solche Systeme angeben zu können. Insofern besitzt dieser Teil nur eine Vorbereitungsfunktion für später folgende Teile des Buches. Nach einigen Ausführungen zur Geometrie dieser Systeme (3.1) werden wir auch hier wieder U m f o r mungen angeben, die die Lösungsmenge der betrachteten Systeme nicht verändern (3.2). Schließlich werden noch zwei spezielle Typen von Restriktionssystemen vorgestellt, und es wird gezeigt, wie sich beliebige Restriktionssysteme in solche Systeme überführen lassen (3.3 und 3.4). D a s Kapitel schließt mit der Anwendung der erarbeiteten Kenntnisse auf die Grundbeispiele ab.

1. Lernziele Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, - im Hinblick auf lineare Gleichungssysteme die Begriffe „kanonische F o r m " , „Basisvariable", „Nichtbasisvariable", „Basislösung", „lösungsneutrale Umf o r m u n g " , „Inkonsistenz", „ R e d u n d a n z " und „Freiheitsgrad" zu definieren und zu erläutern, - anzugeben, welche Fälle in bezug auf die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems auftreten können, - verbal den Weg zur Bestimmung der Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems zu skizzieren sowie - die dabei vorzunehmenden lösungsneutralen U m f o r m u n g e n anzugeben, - numerisch die Lösungsgesamtheit zu einem vorgegebenen Gleichungssystem zu bestimmen. Im Z u s a m m e n h a n g mit allgemeineren Restriktionssystemen sollten Sie angeben können, - was gleichgerichtete Ungleichungssysteme und NN-Gleichungssysteme sind, - wie m a n beliebige lineare Restriktionssysteme in derartige Systeme u m f o r m t und - welche lösungsneutralen und welche sonstigen U m f o r m u n g e n dabei von Bedeutung sind.

44

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

2. Lineare Gleichungssysteme 2.1. Zur Geometrie linearer Gleichungssysteme Mit einfachen Spezialfällen linearer Gleichungssysteme haben Sie wahrscheinlich bereits in der Schule zu tun gehabt. Wir wollen an Ihre Erfahrungen aus dieser Zeit anknüpfen und betrachten zunächst ein System von zwei linearen Gleichungen G , und G 2 in zwei Variablen Xj und x 2 : G l : a l l x l + a l 2 X 2 = t>l G2 *

'à-2&22

·

Aus der Analytischen Geometrie wissen Sie, daß sich jede Gleichung (sofern darin mindestens eine Variable mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten auftritt) bzw. genauer: die Lösungen jeder Gleichung als eine Gerade und damit die Lösungen beider Gleichungen durch ein System von zwei Geraden darstellen läßt. Wenn wir die Lage der Geraden zueinander betrachten, lassen sich drei Fälle unterscheiden, die in Abb. II-l dargestellt sind. X,

Xl

X,

Abb. 11-1: Mögliche Fälle für die Lage zweier G e r a d e n zueinander

Fall 1: Lösbarkeit ohne Freiheitsgrade (Eindeutige

Lösbarkeit)

Die Geraden haben genau einen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung (x*, xf). Fall 2: Lösbarkeit mit Freiheitsgraden ( M e h r f a c h e Lösbarkeit) Beide Geraden fallen zusammen. Man hat - grob gesprochen - die Freiheit, für eine der beiden Variablen jede beliebige reelle Zahl annehmen zu können. Es existieren damit unendlich viele Lösungen. Fall 3: Unlösbarkeit (auch: Widersprüchlichkeit,

lnkonsistenz)

Die beiden Geraden sind parallel, aber nicht zusammenfallend, so d a ß es keine Lösung des Gleichungssystems gibt. Nehmen wir dagegen ein System von drei linearen Gleichungen Gj: a11Xi+a12x2 + a13X3=b1 G 2 '· a 21 X! + a 2 2*2 + a 23 X 3 = G 3 : a 31 X l + a 32 X 2 + a 33 X 3 = t>3

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

45

in den drei Variablen x 1 ; x 2 und x 3 , so gibt die geometrische Interpretation folgendes Bild (vgl. im folgenden A b b . II-2): Die Lösungen jeder Gleichung, in der mindestens eine Variable mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten auftritt, bilden eine Ebene. Die drei Ebenen können nun wieder auf verschiedene Weise zueinander angeordnet sein.

Fall 1: Lösbarkeit ohne Freiheitsgrade

Fall 2 a: Lösbarkeit mit einem Freiheitsgrad

Die drei Ebenen haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Die drei Ebenen haben genau eine ( r ä u m liche) Schnittgerade gemeinsam.

Fall 2b: Lösbarkeit mit zwei Freiheitsgraden

Fall 3: Unlösbarkeit

Alle Ebenen fallen zusammen. Abb. H-2: M ö g l i c h e Fälle f ü r die L a g e

Die drei Ebenen haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. dreier Ebenen zueinander

Auch bei drei Variablen ergeben sich also wieder die Fälle „Lösbarkeit ohne Freiheitsgrade", „Lösbarkeit mit Freiheitsgraden" und „Unlösbarkeit". Tatsächlich sind dies auch die Fälle, die wir bei Gleichungssystemen mit noch mehr Variablen unterscheiden können und mit denen wir uns in den folgenden Abschnitten befassen wollen. Eine geometrische Veranschaulichung der Lösungsmengen ist dabei jedoch aus naheliegenden G r ü n d e n im eigentlichen Sinne nicht mehr möglich; üblich ist jedoch auch hier eine durch die Anschauung geprägte Sprechweise wie ζ. B. „n-dimensionale Geometrie", „ H y p e r e b e n e " usw.

46

Kapitel II: Lineare R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

2.2. Kanonische Gleichungssysteme In diesem Abschnitt bilden Gleichungssysteme der Gestalt + a l r + l X r + l + X lr+2 X r+2 + -- - + a ln X n — bl + a 2r + 1 x r + 1 + a 2r+2 Xr + 2 + · · · + 32nxn = ^>2

(II-l)

a

r+

rr+ 1 Xr + 1 + a rr+2 X r + 2 + • • • +

a

rn Xn = ^r

den Mittelpunkt unserer Untersuchungen. Jedes Gleichungssystem, das diese Gestalt hat oder das sich durch eine Vertauschung der Reihenfolge von Gleichungen und/oder Variablen und/oder durch eine Umnumerierung der Variablen auf diese Form bringen läßt, heißt kanonisches Gleichungssystem oder Gleichungssystem in kanonischer Form. Genauer zeichnet es sich dadurch aus, daß in jeder Gleichung (mindestens) eine Variable vorkommt, deren Koeffizienten nur in der entsprechenden Gleichung den Wert Eins, in den übrigen Gleichungen dagegen überall den Wert Null annehmen. Liegt speziell, wie in (II-l), diese Eigenschaft für die ersten r Variablen vor, so sprechen wir auch von einem natürlichen kanonischen Gleichungssystem bzw. einem Gleichungssystem in natürlicher kanonischer Form. Beispiel II-l K a n o n i s c h e G l e i c h u n g s s y s t e m e sind e t w a : x,

Í GS2:

+ 2X 4 — 5X 5 = —2 x2

+

x 4 — 5X 5 =

X 3 + 3X 4

X1

=

=

6 4.

2.

2xt

+

x 3 — 2X 4

=

2

+ 5X 4

=

2

— 3X[ + x2

+ 2X 4 + x 5 = 1 2 . G S [ u n d G S 2 sind s o g a r natürliche k a n o n i s c h e G l e i c h u n g s s y s t e m e . K e i n e k a n o n i s c h e n G l e i c h u n g s s y s t e m e sind dagegen: f x, + x2

+ 2 x 4 = 12

GS4:

2X4 =

L

14

X3-2X4=

x,

Í

+ -x

2

9.

2X4 — 6X5 =

12

+ 4X 4 + 6X 5 = 18 χ3 + 2X 4 - 8x5 = 2 4 .

I GS6

XI

+ 2X 2 — 4X 3 = 4

' I x 2 + x3 = 1. Keinesfalls ist es erforderlich, daß zum Vorliegen der kanonischen Form stets die ersten r Variablen \ i , x 2 , . . . , x r die angeführte Eigenschaft besitzen (vgl. hierzu das Gleichungssystem GS 3 aus Beispiel II-l). Wie leicht einzusehen ist, gelten die später abgeleiteten Aussagen für beliebige kanonische Gleichungssysteme, da sich derartige Systeme stets durch ein Vertauschen der Reihenfolge von Gleichungen und/oder durch eine Umnumerierung der Variablen auf die Form (II-l) bringen lassen. Es ist ebenfalls nicht ausgeschlossen, daß in einer Zeile (oder sogar in mehreren Zeilen) mehrere Variablen mit der geforderten Eigenschaft für die anderen Zeilen vorkommen, was uns später noch zu weiterer Präzisierung zwingen wird.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

47

Beispiel II-2 Das Gleichungssystem Χι + 2X 2 + X3 =1 3x 2 +X4 = 4 läßt eine zweifache Interpretation zu: Es kann sowohl als kanonische Form in bezug auf X! und x 4 als auch als kanonische Form in bezug auf x 3 und x 4 aufgefaßt werden. Deshalb werden wir später immer genau angeben, welche Variablen die kanonische Form definieren sollen. D a s Gleichungssystem (II-1 ) k a n n m a n nun offensichtlich a u c h in der F o r m

(II-2)

a , n x_

xr+2

X[—bt

alr+1xr+1

alr

+ 2

x2 — b2

a 2 r + 1 xr+1

a 2r

A r+ + ?2 + 2Xr

Xr —

a

bf

rr+lxr+l

a

rr + 2 X r + 2

• ·•

a,„xn

···

arnXn

b e t r a c h t e n . M a n sieht sofort, d a ß m a n im Fall η > r die F r e i h e i t hat, den η — r Variablen a u f der rechten Seite der Gleichungen jeweils u n a b h ä n g i g v o n e i n a n d e r beliebige reelle W e r t e t r + j, t r + 2 , . . . , t„ zu erteilen. D a m i t sind d a n n a b e r die W e r t e der Variablen a u f den linken Seiten eindeutig festgelegt, und m a n erhält als L ö s u n g von ( I I - l ) : 'b,

(II-3)

§

+ 2^Γ + 2

alr+ltr+l

3 1Γ

β2_

a2r+

1 tr+ 1 —

a2r+2tr

br-a

r r + 1

t

r r + 2

r + 1

-a

·· -

a,„tn

+2 — ·

tr+2 -

...-a

r n

t

n

t,+ l

t„

Beispiel II-3 Das kanonische Gleichungssystem G S t aus Beispiel II-l stellen wir analog zu (11-2) zunächst wie folgt auf: X! = —2 — 2X 4 + 5X5 x2 =

6 — 1 x 4 + 5x 5

x3 =

4 — 3x4.

Dann ordnen wir den Variablen x 4 und x 5 beliebige Werte zu, etwa x 4 = 1 und x 5 = 2, und finden durch Ausrechnen die entsprechenden Werte für x,, x 2 und x 3 . χ, = - 2 - 2 · 1 + 5 - 2 = 6 x2 = — 6 — 1 · 1 + 5 · 2 = 3 x3=

4 — 3 1 + 0 - 2 = 1.

Eine Lösung von G S t lautet damit: (6,3,1,1,2). Entsprechend formen wir G S 3 aus Beispiel 11-1 um zu

48

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme x2 =

2 + 3x, — 5 X 4

x3 =

2 — 2x! +

x 5 = 12 —

XI

—

2X4 2X4 .

Setzt m a n etwa x¡ = 0 und x 4 = 5, so erhält m a n als eine Lösung von G S 3 ( 0 , - 2 3 , 12,5,2).

Die Variablen x r + u x r + 2 , . . . , x n bezeichnet man aus naheliegenden Gründen auch als freie Variablen bezüglich der zugrundeliegenden kanonischen Form. Ihre Anzahl gibt gewissermaßen den „Grad der Freiheit" an. Auch hat sich für sie die Bezeichnung als Nichtbasisvariablen (abgekürzt: NBV) eingebürgert. Die links stehenden Größen χ,, x 2 , . . . , x r nennt man auch gebundene Variablen oder - aus Gründen, die erst später einsichtig werden - Basisvariablen (BV). Ein rechentechnisch besonders einfacher Weg zum Auffinden einer Lösung von (II-l) ergibt sich, wenn man in (II-3) tr+l = t r + 2 = ... = t n = 0 wählt. Für die Variablen auf der linken Seite findet man dann die Restriktionen Xl = t>! x2 = b 2 xr = br, durch welche die Basisvariablen unmittelbar auf die jeweiligen Werte der rechten Seiten fixiert sind, und somit zwangsläufig als Lösung (hier vorteilhaft als Spalte aufgeschrieben)

Diese spezielle Lösung eines kanonischen Gleichungssystem (II-l), die man also dadurch erhält, daß man sämtlichen freien Variablen den Wert Null zuordnet, bezeichnet man auch als Basislösung für diese spezielle kanonische Form. Basislösungen spielen vor allem im Rahmen der Linearen Optimierung eine große Rolle und werden uns später noch weiter beschäftigen. Beispiel II-4 In G S 1 setzen wir x4 = x5 = 0 und erhalten als eine Basislösung von G S ,

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

49

Analog setzen wir bei G S 3

χ, = x 4 = 0

und erhalten als eine Basislösung von G S 3

(i) Wie sie mittlerweile erkannt haben, kommt den Größen t r + 1 , t r + 2 , . . . , t n in (II-3) eine Zwischenstellung zu: - Einerseits sollen sie deutlich machen, daß man den entsprechenden Variablen feste Werte zugeordnet hat. - Andererseits sollen sie aber auch zum Ausdruck bringen, d a ß man sich noch auf keine bestimmten Werte festgelegt hat. Derartige Größen, die gewissermaßen eine Zwischenstellung zwischen Variablen und Konstanten einnehmen, heißen auch Parameter. Interpretiert man nun die tr + ι » t r + 2. • · · > tn in (II-3) als variabel, so steht (II-3), falls nicht gerade r = η ist und somit gar keine Parameter auftreten, nicht nur f ü r eine Lösung, sondern für eine Beispiel II-5 unendliche Menge von Lösungen von (II-l). Für das Gleichungssystem GS, aus Beispiel 11-1 wird durch - 2 - 2 t 4 + 5t 5 6 - t 4 + 5t s 4 — 3t 4

I , t 4 , t 5 beliebige reelle Zahlen

t4

und für das Gleichungssystem G S 3 durch

2 + 3t, - 5t 4 2 — 2t, + 2t 4 | , t , , t 4 beliebige reelle Zahlen t4 112 — t, — 2t 4 eine Menge von Lösungen dargestellt.

Tatsächlich ist durch den Ausdruck (II-3) sogar eine Darstellung der Menge aller Lösungen eines kanonischen Gleichungssystems (II-l) und nicht nur einer Teilmenge gegeben. Das läßt sich beweisen, indem man zeigt, d a ß sich jede Lösung

50

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

(ü-4)

von (II-1 ) in der F o r m (II-3) darstellen läß. Setzen wir etwa in (II-3)

(II-5)

tr+ 1 — x?+ 1 tf + 2 = X*+ 2

so müssen auch die Gleichungen X* — t>! a l r + ! X*+ ! x* = b 2 — a 2 r + J x*+ χ βr

a

rr+ 1 Xr + 1

1 r + 2χ. +r 2+ 2— . . . — a , χ 2r + 2 Γ+ r +?2— . . . — a2ηΛλ* η — rr + 2 r + 2 ' • · · ä in Xn ·

erfüllt sein. D e n n wie wir oben gesehen haben, sind durch Festlegung der η — r Variablen xr + j , xr + 2 , . . . , x„ in (II-2) auch die Werte der übrigen Variablen x l 5 x 2 , . . . , x r bestimmt, und zwar eindeutig. Setzen wir also die in (II-5) angegebenen Werte jeweils für t r + 1 , t r + 2 , . . . , t n von (II-3) ein, so müssen sich nach Ausrechnen die Werte x f , x f , . . , xf ergeben, es sei denn, (II-4) wäre keine Lösung von (II-l), was aber einen Widerspruch zu unserer A n n a h m e bedeuten würde. Ist also eine Lösung (II-4) eines Gleichungssystems der F o r m (II-1 ) gegeben, d a n n läßt sie sich in der F o r m (II-3) darstellen, nämlich genauer durch die Gleichung

Da wir uns aber nicht festgelegt haben, wie die Lösung (II-4) konkret aussehen soll, sondern vielmehr mit unbestimmten Werten x*, x f , . . . , x* gearbeitet haben, ist die Möglichkeit zur Darstellung gem. (II-3) tatsächlich für beliebige Lösungen von (II-1 ) gegeben. Neben den durch (II-3) dargestellten Lösungen von (II-1 ) können also keine weiteren Lösungen existieren. D a m i t haben wir gezeigt:

51

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

Allgemeine Lösung eines kanonischen Gleichungssystems Durch die Darstellung

(t r + j, t r + 2 , . . . , t n beliebige reelle Zahlen) sind sämtliche Lösungen eines kanonischen Gleichungssystems X

+ a i r + l X r + l + a i r + 2 X r + 2 + - - - + a ln X n

1 X

(JJ.j)

a

2

x

a

X

a

X

+ 2r+1 r+1 + 2r+2 r + 2 + · · · + 2n n X

r + a r r + l X r + l + a r r + 2 X r+2 + - " + a r n X n

= =

bi t>2

=

br

gegeben. M a n bezeichnet (II-3) auch als allgemeine Lösung von (II-l) in Parameterform. Wir betrachten diesen Ausdruck noch einmal etwas eingehender. Offensichtlich besitzt danach ein kanonisches Gleichungssystem (II-1 ) — im Gegensatz zu beliebigen linearen Gleichungssystemen, die wir in Abschnitt 2.1. dieses Kapitels behandelt haben - stets mindestens eine Lösung. In dem Grenzfall r = η hat es dabei keine freien Variablen und geht über in x

i x2

= bj = b2 xr = b r .

Analog zu (II-3) erhält m a n als einzige Lösung dieses Systems, die zugleich eine Basislösung ist,

Dies ist der bereits erwähnte Fall der „eindeutigen Lösbarkeit" bzw. der „Lösbarkeit ohne Freiheitsgrade". Tritt dagegen eine freie Variable xQ mit mindestens einem von Null verschiedenen Koeffizienten apq φ 0

für ein beliebiges ρ e {1, 2 , . . . , r}

auf, so besitzt das kanonische Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. In die-

52

Kapitel II: Lineare R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

sem Fall k a n n m a n nämlich der freien Variablen beliebige Zahlenwerte t q zuordnen und erhält f ü r jeden Wert f ü r x q genau eine Lösung, und zwar jeweils eine andere (Lösbarkeit mit Freiheitsgraden). Wir fassen zusammen: Lösungsvielfalt von kanonischen Gleichungssystemen Ein kanonisches Gleichungssystem hat entweder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

2.3. Lösungsneutrale Umformungen für Gleichungssysteme N u n sind wir zwar in der Lage, auf äußerst einfachem Wege die Menge aller Lösungen eines kanonischen Gleichungssystems zu ermitteln. Leider besitzen aber die in der Praxis v o r k o m m e n d e n Systeme nicht sofort diese Gestalt. Allerdings: Wenn es gelänge, ein solches Gleichungssystem auf ein kanonisches Gleichungssystem umzuformen, ohne dabei dessen Lösungsmenge zu verändern, so wäre unser Problem im Prinzip bewältigt. Wir brauchten dann nur bei dem letzten (kanonischen) Gleichungssystem die Lösungsmenge des ursprünglichen Gleichungssystems abzulesen. Gleichungssysteme, welche die gleiche Lösungsmenge besitzen, wollen wir als äquivalent bezeichnen. Jede U m f o r m u n g , die ein Gleichungssystem in ein äquivalentes Gleichungssystem überführt, wollen wir lösungsneutral nennen. D a r a u s folgt unmittelbar, d a ß die Nichtexistenz einer Lösung des neuen Systems auch zur Nichtexistenz einer Lösung des alten Systems führt u n d umgekehrt. Aus der Schulalgebra sollten Ihnen die folgenden lösungsneutralen U m f o r m u n g e n bekannt sein: L ö s u n g s n e u t r a l e E i n z e l u m f o r m u n g e n bei G l e i c h u n g s s y s t e m e n M nemotechnische Rechenvorschrift

Symbol

Stichwort

Typ

elementare Umformungen

(1) Ersetzen einer G l e i c h u n g Multipliziere die p-te d u r c h ein c-faches von ihr G l e i c h u n g mit c(=t= 0)

M„(c)

(2) Ersetzen einer G l e i c h u n g d u r c h die S u m m e dieser G l e i c h u n g und des c - f a c h e n einer a n d e r e n G l e i c h u n g des Systems

Füge z u r p-ten G l e i c h u n g die i/-te G l e i c h u n g m i t c multipliziert hinzu

I-'P,«»

Transposition

(3) U m s t e l l e n der R e i h e n folge zweier G l e i c h u n g e n

T r a n s p o n i e r e die p-te die q-te G l e i c h u n g

TPq

Nullclimination

(4) A u s l a s s e n einer Nullgleichung

Annulliere die p-te G l e i c h u n g , Np* falls sie eine N u l l g l e i c h u n g ist, und n u m e r i c r e die restlichen G l e i c h u n g e n u m

(c*0)

Dabei wollen wir unter dem c-fachen einer Gleichung G (II-7)

G : a t Xj + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b

und

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

53

die neue Gleichung cG (II-8)

cG: ( c a j x ! + (ca 2 )x 2 + . . . + + (ca n )x n = cb

verstehen. Die Summe G , + G 2 zweier Gleichungen G , und G 2 (II-9)

G j : a n x , + a , 2 x 2 + ... + a l n x n = b ,

(11-10)

G 2 : a 2 1 xl + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2

soll (11-11)

G t + G2: ( a n + a 2 1 ) x i + (a 1 2 + a 2 2 ) x 2 + ... + ( a l n + a 2 n ) x 2 = ^ + b 2

bedeuten. Analog sei die Summe G ! + c G 2 einer Gleichung G 1 und des c-fachen einer anderen Gleichung G 2 durch (11-12)

G i + CG 2 : ( a n + c a 2 1 ) x j + (a 1 2 + c a 2 2 ) x 2 + ... + ( a l n + c a 2 n ) x 2 = b, + cb 2

definiert. Eine Nullgleichung (11-13)

sei schließlich eine Gleichung der F o r m

Ox, + 0 x 2 + ... + 0 x n = 0.

(1) Umformungen des Typs M p (c) Daß eine solche U m f o r m u n g tatsächlich lösungsneutral ist, läßt sich leicht wie folgt einsehen: Liegt eine Lösung (11-14)

(χ*, x*, . . . , x j )

der Gleichung (II-7) vor, dann bedeutet das nichts anderes, als daß - nach Ausrechnen - auf der linken Seite von (11-7) die gleiche Zahl steht wie auf der rechten Seite. Anders ausgedrückt: Das Gleichheitszeichen in der Gleichung (11-15)

a i x * + a 2 x f + ... + a n x ? = b

mit den auf die Zahlenwerte x f , x f , . . . , x* fixierten Variablen Xj, x 2 , . . . , xn ist berechtigt. Was kann man nun aber für die gleiche Lösung in bezug auf (11-16)

( c a j x j (ca 2 )x* + ... + (can)x„* = cb

aussagen? Da in dieser Gleichung nur Zahlen c, a l 5 . . . , a n , x f , . . . , x* vorkommen, können wir auf der linken Seite c ausklammern und erhalten (11-17)

c ( a , x* + a 2 x f + ... + a n x í ) = cb. b (wegen (11-15))

Wir erkennen das Gleichheitszeichen in der Beziehung (11-16) ebenfalls als berechtigt, so d a ß tatsächlich jede Lösung von (II-7) auch Lösung von (II-8) ist. Ersetzen wir also in einem Gleichungssystem eine Gleichung (II-7) durch ein c-faches (c φ 0) von ihr, so erfüllen alle Lösungen des alten Gleichungssystems auch das neue Sy-

54

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

stem. Sind nun aber möglicherweise neue Lösungen hinzugetreten? Wir wenden auf das neue System eine weitere Operation des betrachteten Typs an und ersetzen die bereits umgeformte Gleichung durch das Umformung M p

-fache von ihr. Auch durch diese

könnten allenfalls Lösungen hinzutreten. Da nun aber wieder

das Ausgangssystem dasteht, ändern Umformungen des Typs M p (c) die Lösungsmengen von Gleichungssystemen überhaupt nicht. Beispiel II-6 W i r v e r w e n d e n unsere neuen Erkenntnisse d a z u , d a s Gleichungssystem G S 5 a u s Beispiel II-1 l ö s u n g s n e u t r a l in eine k a n o n i s c h e F o r m zu ü b e r f ü h r e n . I n d e m wir die 2. G l e i c h u n g d u r c h ihr ( — l ) - f a c h e s ersetzen, also die U m f o r m u n g M 2 ( — 1 ) v o r n e h m e n , erhalten wir das ä q u i v a l e n t e Gleichungssystem + 2 x 4 — 6x 5 =

χ,

12

— 4 x 4 — 6x5 = — 18

x2

x3+ 2x4-8x5=

24

und lesen d a r a u s die L ö s u n g s m e n g e dieses und des ursprünglichen Systems ab: 1 2 - 2 t 4 + 6t5 | - 1 8 + 4t4 + 6t5 24 — 2 t 4 + 8 t 5

I,

t 4 u n d t 5 beliebige reelle Z a h l e n .

t4

(2) Umformungen des Typs Fpq (c) Für eine solche Umformung kann man wie folgt schließen: Ist ein Vektor (11-14) Lösung eines bestimmten Gleichungssystems, in dem auch (II-9) und (11-10) vorkommen, so gilt für diese Lösung wieder: (11-18)

a 1 1 x f + a 1 2 x 5 + . . . + a i n x î = b1

(11-19)

a 2 1 xf + a 2 2 x | + ... + a 2 n x? = b 2 .

Nehmen wir nun ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit an, Gleichung (II-9) solle durch die Summe dieser Gleichung und des c-fachen der Gleichung (11-10) ersetzt werden. Dann tritt (11-12) an die Stelle von (II-9). Jede Lösung des alten Systems erfüllt nun auch die neue Gleichung. Setzt man nämlich (11-14) in (11-12) ein, so erhält man zunächst 9

( a , , + ca 2 1 )x* + (a 1 2 + ca 2 2 )xf + ... + (a l n + ca 2 n )xí = b, + cb 2 und durch Ausrechnen a

ll

X

l +

Ca

X

21 * +

a

9 X

l2 2 +

ca

x

a

2 2 2 + · · · + C i „ X? + C a 2 n X? = ^

+ cb2

bzw. nach erneutem Zusammenfassen (aiix* +

a

i 2 x * + ·•· +

bt (wegen (11-18))

a

inxÎ) + c(a2iXÎ

+ a 2 2 x f + ... + a 2 n x j ) = bi + cb 2 . c · b2 (wegen (11-19))

55

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

Das Gleichheitszeichen in der letzten Gleichung erkennt man als offensichtlich berechtigt, so daß jede Lösung des alten Systems auch eine Lösung des neuen Systems ist. Durch Umformungen des Typs F p q (c) gehen also keine Lösungen des Gleichungssystems verloren, es kommen aber auch - wie man sofort sieht - keine Lösungen hinzu. Führt man nämlich eine weitere Umformung des gleichen Typs durch und ersetzt die neue Gleichung (11-12) durch die Summe dieser Gleichung und des ( — c)-fachen der Gleichung (11-10), so könnten erneut allenfalls Lösungen hinzukommen. Da aber nach Durchführung dieser U m f o r m u n g wieder das Ausgangssystem mit der ursprünglichen Gleichung (II-9) (und der ursprünglichen Lösungsmenge) dasteht, ändern Umformungen des Typs F p q (c) die Lösungsmenge überhaupt nicht. Beispiel IJ-7 Wir legen das Gleichungssystem G S 6 aus Beispiel II-l zugrunde und ersetzen die 1. Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und des ( —2)-fachcn der 2. Gleichung, führen also die U m f o r m u n g F, 2 ( — 2) durch. Es ergibt sich das äquivalente Gleichungssystem X!

— 6x 3 = 2 x2 + x3 = 2

und damit

(

2

+ 6I3 V

2 — t3 1 .

'3 /

t 3 beliebige reelle Zahl

als allgemeine Lösung von G S 6 .

(3) Umformungen des Typs T pq D a ß eine U m f o r m u n g dieses Typs die Lösungsmenge eines Gleichungssystems unverändert läßt, bedarf wohl keiner Erläuterung. Man nennt diese Umformungen aber in den meisten Lehrbüchern nicht „elementar", weil sie sich aus Hintereinanderausführungen von Umformungen des Typs F p q (c) (dreimal angewandt) und M p (c) (einmal angewandt), erzeugen läßt. Will m a n etwa in dem Gleichungssystem Gj: a n X i + a12x2 + . . . + alnxn = bj G + a 2Gleichungen 2 : •d21xi 2 x 2 + ... + a vertauschen, 2nxn = b2 die Reihenfolge der so kann man wie folgt vorgehen: - M a n ersetzt zuerst die zweite Gleichung durch die Summe der zweiten und der ersten Gleichung, wendet also F 2 1 (1) an, und erhält das erste umgeformte System: Gj:

ä j j Xi + .

+ a 1 2 x 2 + ...

+ alnxn = bt

G i + G 2 : ( a n + a 2 1 ) x , + ( a , 2 + a 2 2 ) x 2 + ... + (a l n + a 2 n )x n = bi + b 2 . - M a n ersetzt sodann die erste Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und des (—l)-fachen der neuen zweiten Gleichung, wendet also F 1 2 ( — 1) an, und erhält das zweite umgeformte System: — G2: — a21Xj — a22x2— G j + G 2 : ( a u + a 2 1 ) x t + (a 1 2 + a 2 2 ) x 2 +

-

a

2nXn =

- b

2

+ (ain + a 2 n )x n = b 1 + b 2 .

56

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

- M a n ersetzt die jetzige zweite Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und der jetzigen ersten Gleichung und erhält das dritte umgeformte System: — G2: Gl·

— a 2 1 Xi a

X

ll l

— a 22 x 2 a

—

···

x

+ i2 2 + · · •

— a a

2nXn= x

+ ln n =

—

b2 bj.

- Schließlich ersetzt m a n in diesem dritten System die erste Gleichung durch ihr (— l)-faches, wendet also M j (—1) an, und erhält schließlich als viertes System: G2:

a

2i xi

+ a 2 2 x 2 + ...

+a2nxn=

b2

Gl·

a

uxi

+ a 1 2 x 2 + ...

+alnxn=

b^

(4) Umformungen des Typs N p 0 Das Streichen der p-ten Gleichung ist zwar immer möglich, aber keineswegs immer lösungsneutral, ganz im Gegensatz zu den ersten drei Einzelumformungstypen. Schon deshalb pflegt man eine solche U m f o r m u n g nicht „elementar" zu nennen. Es ist aber offensichtlich, daß man Nullgleichungen (11-13) ohne Beeinflussung der Lösungsmenge weglassen kann, da beliebige reelle Zahlen für x l 5 x 2 , . . . , x„ sie erfüllen. Anders ausgedrückt, sie schränken den Zahlenbereich der Variablen überhaupt nicht ein, stellen also keine „echten" Restriktionen dar. 2.4. Pivotieren Im vorstehenden Abschnitt haben wir vier Grundtypen von Umformungen kennengelernt, welche die Lösungsmenge eines Gleichungssystems unverändert lassen. Im Gegensatz zu den Beispielen II-6 und II-7 reicht nun aber gewöhnlich die Anwendung nur einer solchen Umformung nicht aus, um eine kanonische Form für ein Gleichungssystem zu erlangen. Vielmehr m u ß man mehrere Einzelumformungen hintereinander ausführen, um dieses zu erwirken. An dieser Stelle wollen wir zunächst klären, wie man - nachdem man eine Variable zur Basisvariablen einer zu konstruierenden kanonischen Form bestimmt hat - erreicht, daß diese Variable in einer Gleichung den Koeffizienten 1 und in allen übrigen Gleichungen den Koeffizienten Null erhält. Im einzelnen geht man wie folgt vor: - M a n ersetzt eine Gleichung - ζ. B. die p-te Gleichung - , in der die Variable x q effektiv, d.h. mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten a p q , auftritt, durch ihr ( J-faches (a pq φ 0). Dadurch erhält x q in dieser p-ten Gleichung den V a pq/ Koeffizienten 1. Diesen Vorgang nennt man auch Normierung der p-ten Gleichung nach der q-ten Variablen. - M a n ersetzt dann nacheinander jede der übrigen Gleichungen durch die Summe der betreffenden Gleichung (i = 1 , . . . , r; i φ ρ) und des ( — a i q )-fachen der bereits umgeformten p-ten Gleichung. Dadurch erhält in jeder dieser übrigen Gleichungen die Variable x q den Koeffizienten 0. Einen solchen Schritt bezeichnet man auch als Eliminierung der Variablen xq aus der i-ten Gleichung. Wir sehen, daß ausschließlich lösungsneutrale Einzelumformungen angewandt werden. Damit sind sämtliche entstehenden Gleichungssysteme dem ursprünglichen und damit auch untereinander äquivalent.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

57

Beispiel 11-8 Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:

I

x, + 3X 2 — 3X 3 + 2 x 4 = — 2 x2 — x3 — x 4 = — 1 2x, + 4 X 2 — 2x 3 + 4 x 4 = — 2.

Wir bestimmen zunächst x, als Basisvariable. A u ß e r d e m legen wir fest, d a ß die dritte Gleichung nach dieser Variablen normiert werden soll. D a s ist zulässig, da a 3 1 = 2 gilt. 1. Umformung Wir normieren die dritte Gleichung nach der Variablen x,, indem wir diese Gleichung durch ihr (j)-faches ersetzen. Ergebnis: + 3X 2 — 3X 3 + 2 X 4 = — 2 x2 — x3 — x4 = — 1 χ , + 2x 2 — x 3 + 2x 4 = — 1.

XI

2. Umformung Wir eliminieren x, aus der ersten Gleichung, indem wir die erste Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und des ( — 1 )-fachen der (umgeformten) dritten Gleichung ersetzen. Ergebnis: X

2

- 2 X

x2 x! + 2x 2 —

= - 1

3

x3

x4 =

1

x 3 + 2X 4 = — 1 .

Eine weitere U m f o r m u n g ist nicht erforderlich, d a x, bereits in der 2. Gleichung nicht mehr v o r k o m m t .

H a t man eine Variable x q zur Basisvariablen bestimmt und ist sowohl eine Gleichung nach dieser Variablen normiert als auch x q aus allen übrigen Gleichungen eliminiert, so wollen wir auch die Sprechweise benutzen, d a ß das Gleichungssystem nach x q aufgelöst sei. Es sei vollständig aufgelöst, wenn eine maximale Menge von Basisvariablen gewählt ist. Ein Bündel von U m f o r m u n g e n , die erforderlich sind, um ein Gleichungssystem nach einer Variablen aufzulösen, nennt man Pivotschritt u n d die A u s f ü h r u n g eines Pivotschrittes Pivotieren. x q nennt m a n in diesem speziellen Z u s a m m e n h a n g auch Pivotvariable, die p-te Gleichung, die nach dieser Variablen normiert wird, Pivotgleichung. D a s Indexpaar (p, q) bezeichnet m a n als Pivot, den Koeffizienten a p q als Pivotelement. M a n beachte dabei noch einmal, d a ß die Benutzung des Ausdrucks „Pivot (p, q ) " automatisch a p q Φ 0 voraussetzt. Bei der A u s f ü h r u n g von Pivotschritten „per H a n d " erweist es sich als sehr umständlich und unübersichtlich, stets das gesamte Gleichungssystem (d. h. mit sämtlichen Variablensymbolen) vollständig aufzuschreiben. Es empfiehlt sich stattdessen, ein Rechentableau der F o r m au

a

12

' •

aln

a

21

a

22

· •

a

a ri

a

r2

•

2n

a

rn

b, b2 br

58

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

als A b k ü r z u n g zu verwenden. In einem solchen Tableau notiert m a n also Zeile f ü r Zeile lediglich die Koeffizienten der Variablen sowie - hinter einem D o p p e l s t r i c h den zugehörigen Wert der rechten Seite der jeweiligen Gleichung. H ä u f i g t r ä g t m a n n o c h in einer Kopfzeile die Symbole der zu den Spalten g e h ö r e n d e n Variablen sowie „ R S " f ü r „rechte Seite" ein.

X

(Tl)

1

X2

.

•

·

•

a

ln

•

a

2n

bi b2

rn

br

au

a

a

21

a

a

r l

a

12 22

r2

a

·

R S

Xn

Beispiel 11-9 Für das Gleichungssystem G S 7 aus Beispiel II-8 ergäbe sich das folgende Tableau (mit Kopfzeile): "3 1 0 2

3 1 4

-3 -1 -2

x4 2 -1 4

RS -2 -1 -2

Ein derartiges Tableau steht entweder stellvertretend f ü r ein Gleichungssystem vor einem Pivotschritt (Ausgangstableau) o d e r f ü r ein Gleichungssystem nach einem Pivotschritt ( u m g e f o r m t e s Tableau). E i n z e l u m f o r m u n g e n werden dagegen in der Regel nicht d o k u m e n t i e r t . Es sollen n u n die F o r m e l n abgeleitet werden, mit deren Hilfe m a n das d u r c h einen gewählten Pivotschritt u m g e f o r m t e Tableau u n m i t t e l b a r aus d e m A u s g a n g s t a b l e a u berechnen k a n n , o h n e d a ß m a n die zugrundeliegenden U m f o r m u n g s s c h r i t t e jedes M a l im Einzelnen nachvollziehen m u ß . W i r schreiben d a z u zunächst d a s zu irgendeinem Gleichungssystem gehörende R e c h e n t a b l e a u als A u s g a n g s t a b l e a u auf, wobei wir jetzt die einzelnen Tableaufelder zur Verbesserung der Übersichtlichkeit d u r c h Längs- u n d Querstriche voneinander trennen. A u s d e m gleichen G r u n d verzichten wir auf eine gesonderte A u f f ü h r u n g der zweiten und der n-ten Kocffizientenspalte sowie auf die letzten Zeilen des Gleichungssystems. (Siehe Tabelle I I - l . ) Wir n e h m e n weiterhin an, d a ß wir u n s f ü r eine Pivotvariable x q u n d eine Pivotgleic h u n g mit d e m Index ρ entschieden h a b e n , u n d es gelte a p q φ 0. D a m i t steht a p q als Pivotelement fest. Z u r Verdeutlichung des a u s z u f ü h r e n d e n Pivotschritts versehen wir d a s Pivotelement mit einem Kreis. Die der Pivotgleichung entsprechende Zeile des Tableaus sei im folgenden auch Pivotzeile, die zu der Variablen x q g e h ö r e n d e n Koeffizientenspalte auch Pivotspalte g e n a n n t . I m u m g e f o r m t e n Tableau markieren wir als erstes die Pivotvariable x q , indem wir ü b e r die betreffende Koeffizientspalte einen Stern setzen, sowie die Pivotgleichung mit d e m Index p, i n d e m wir links neben die betreffende Koeffizientenzeile ebenfalls einen Stern setzen. D a m i t wollen wir h e r v o r h e b e n , d a ß wir x q zur Basisvariablen für ein zu konstruierendes kanonisches System u n d z w a r in bezug auf die p-te Gleic h u n g bestimmt h a b e n . Die M a r k i e r u n g der Pivotzeile ist nicht allgemein üblich, k a n n a b e r sehr empfehlenswert sein (siehe Beispiel I I - l 1 im folgenden Abschnitt).

Kapitel II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

59

Tab. II-1 : V e r ä n d e r u n g des T a b l e a u s d u r c h einen Pivotschritt mit Pivot (p, q) Pivotspalte q I

ivotzeile ρ

->

gendeine i d e r e Zeile i

an

a 1q

V

Θ

a

irgendeine a n d e r e Spalte j 1

a¡q

ii

i j

b,

apj

bp

ij

b¡

a

a

Ausgangs tableau *

a

i i

—

aιq •

a

pl

a

pq

0

d

ai j - a l q

a

pq

hb i - a„ l q · b— > äpq

nur Nullen ngeformte votzeile ρ

*

a

1

hi a

b^

pq

pq

äpq

nur Nullen ;endeine a n d e r e i g e f o r m t e Zeile i - >

a¡ i

—

aiq ·

aPi apq

0

a - da ¡q a¡j

a

pq

b¡ — a i q · a — pq

u m g e f o r m t e s Tableau Ziel: A u f l ö s u n g des Systems n a c h d e r Variablen x q

In den noch leeren Rahmen des umgeformten Tableaus tragen wir dann zunächst die neuen Koeffizienten der Pivotzeile ρ (also nach der Normierung) ein; sie ergeben sich aus den entsprechend mit ( — I multiplizierten Elementen der Pivotzeile des V W

Ausgangstableaus. An die Stelle des alten Koeffizienten a p j (j = 1 , . . . , n) tritt damit

60

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

a · b der neue Koeffizient ——, bzw. an die Stelle von b p tritt ——. Wenden wir uns nun der a

a

pq

pq

Umformung der ersten Zeile bzw. ihrer Koeffizienten zu. Eliminierung von xq aus dieser Zeile bedeutet, daß der Koeffizient a l q zu Null werden soll. Dazu ist die erste Zeile durch die Summe dieser Zeile und des ( — a t q )-fachen der bereits umgeformten Pivotzeile zu ersetzen. An die Stelle von a ^ (j = 1 , . . . , n) bzw. von bj tritt damit a · a u + ( —a l q ) — a pq oder ^

bzw.

b, + ( - a l q ) ·

bzw.

b1 — a l q ·

a

b

j = l,...,n j = 1 , . . . , n.

P,

Analog ergibt sich für die neuen Koeffizienten der übrigen Zeilen a

ij-a

a ·—

i q

bzw.

b¡-a

i q

b ·—

,

i = 1 , . . . , r; i Φ ρ,

apq

apq

î j-ter Koeffizient in der umgeformten Pivotzeile

Î rechte Seite in der umgeformten Pivotzeile

j = 1 , . . . , η.

Der Koeffizient a iq wird in diesem Zusammenhang auch Eliminationsfaktor Zeile i ( φ ρ) genannt.

für die

Sie brauchen vor den vorstehenden Formeln nicht zu erschrecken, sie sind tatsächlich weniger kompliziert, als sie aussehen. Auch ist es nicht erforderlich, sie auswendig zu lernen. Vielmehr dürften Sie beim Durcharbeiten der Beispiele und der Übungsaufgaben ein Gespür dafür entwickeln, was sie eigentlich besagen. Beispiel 11-10 Ausgehend von dem Gleichungssystem G S 7 aus Beispiel 11-8 demonstrieren wir die Verwendung des Rechentableaus. Dabei soll das umgeformte Tableau schrittweise aufgebaut werden. Als Pivotvariable wählen wir wieder X; und als Pivotelement den Koeffizienten a

31·

Ausgangstableau Xj 1

X2 3

-

0

1

(2)

4

X3 3

X4 RS 2

-2

- 1 - 1

-1

-2

4

-2

Eintragung der umgeformten Pivotzeile in das umgeformte Tableau

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

61

Eintragung der neuen ersten Zeile in das umgeformte Tableau *

X

X

0

1

1

2

1

2

x4

RS

-2

0

-1

-1

2

-1

"3

Eintragung der neuen (unveränderten) zweiten Zeile in das umgeformte Tableau

X

1

0 0 1

1 1 2

x3

x4

RS

-2 -1 -1

0 -1 2

-1 -1 -1

Ergebnis: Das entsprechende Gleichungssystem ist nach x , aufgelöst.

2.5. Modifizierter GAUSS-Algorithmus N a c h d e m wir n u n wissen, welche U m f o r m u n g e n im Hinblick auf die zu konstruierende kanonische F o r m v o r z u n e h m e n sind, wenn m a n eine Variable zur Basisvariablen bestimmt hat, liegt das weitere Vorgehen auf der H a n d : M a n f ü h r t mehrere Pivotschritte n a c h e i n a n d e r durch, wobei der Pivot des nächsten Schrittes jeweils im Schnitt einer n o c h nicht markierten Zeile mit einer noch nicht markierten Spalte gesucht werden m u ß . N a c h Wahl eines solchen neuen Pivots (k, 1) wird der Pivotschritt ausgeführt, die entsprechende Pivotvariable x, in die Menge der bereits ausgewählten Basisvariablen aufgenommen und die k-te Zeile sowie die 1-te Spalte m a r kiert. A u f diese Weise werden jeweils neue, aber äquivalente Systeme berechnet, die nach immer m e h r Variablen gleichzeitig, aber unterschiedlich (d.h. jeweils nach anderen Zeilen) aufgelöst sind. Dieser schrittweise U m f o r m u n g s p r o z e ß endet (spätestens), sobald alle Zeilen markiert sind oder j e d e noch u n m a r k i e r t e Zeile nur Nullen als Koeffizienten enthält. Beispiel 11-11

Ausgehend von dem Gleichungssystem GS, aus Beispiel 11-8 haben wir in Beispiel 11-10 unter Verwendung des Pivotelements a 3 1 das folgende Tableau erhalten: * X

"2

0 0 1

1 1 2

1

*3 -2

O -1

x4 0 -1 2

RS -1 -1 -1

Nun wählen wir a 2 3 = — 1 (also ein Element aus der zweiten Zeile) als Pivotelement aus. Dann ergibt sich:

62

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme *

*

X

X

1

X

2

0 0 0 - 1 1 1

* *

3

0 1 0

RS

x4 2 1 3

1 1 0

Damit ist das Gleichungssystem auch nach x 3 aufgelöst. Jetzt können wir nur noch ein Pivotelement in der ersten Zeile suchen, und es bieten sich a 1 2 ( = — 1) und a 1 4 ( = 2 ) an, wodurch also entweder x 2 oder x 4 als weitere Basisvariable bestimmt würde. Legen wir x 2 als Basisvariable fest, so ergibt sich als umgeformtes Tableau:

X

1

0 0 1

* * *

*2

x

1 0 0

0 1 0

3

RS

x4 -2

- 1

0 1

- 1

5

Damit liegt ein kanonisches Gleichungssystem vor, aus dem wir die allgemeine Lösung 1 — 5t 4 - 1 + 2t 4 0 + t4 0 + t4

t 4 beliebige reelle Zahl

ablesen.

Nicht für jedes Gleichungssystem läßt sich eine kanonische Form so leicht herstellen, wie es in Beispiel 11-11 demonstriert wurde. Zum einen kann sich eine Gleichung der Form Oxj + 0x 2 + ... + 0x„ = b q

(bq φ 0)

bzw. im Rechentableau eine Zeile mit dem Index q der Form 0

0

0

(bq * 0)

ergeben. Für eine solche Gleichung existiert keine Lösung, da mit beliebigen Zahlen für x l 5 x 2 , . . . , x„ der Ausdruck auf der linken Seite stets gleich Null ist und damit die Gleichung nie mehr wahr sein kann. Wenn aber eine solche Gleichung keine Lösung hat, so hat auch das gesamte Gleichungssystem und auch das Ausgangssystem keine Lösung, und Sie können die Suche nach einer Lösung abbrechen (falls Sie es nicht vorziehen, sorgfältig nachzuprüfen, ob Sie nicht einen Fehler beim Aufschreiben oder Rechnen gemacht haben). Beispiel 11-12 Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: GS,

4x t + 6 x 2 + 2 x 3 — 2 x 4 =

6

4x! + 2 x

6

2

+

2X3 + 4 X

6x t + 7 x 2 + 3 x 3

4

=

=10.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

63

Das zugehörige Ausgangstableau lautet: x2

X3

4 4

6

2

6

7

X

1

2

RS

x4

6

- 2

(5) 3

4

6

0

10

Wir pivotieren zunächst unter Verwendung des Pivotelementes a 2 3 = 2, und es ergibt sich: * X

*

*2

x3

G) 1

0

-6

0

1

2

3

0

-6

1

1

0 2

4

0

x4

RS

Als nächstes Pivotelement wählen wir a 1 2 = 4: * * X

* *

1

*2

X3

x4

RS

0

1 0

0 1

3 2 7 2

0

2

0

0

0

0

1

3

Aus der letzten Zeile entnehmen wir, d a ß das Gleichungssystem G S 9 keine Lösung besitzt.

Ein Gleichungssystem, das keine Lösung besitzt, bezeichnet man als widersprüchlich oder inkonsistent. Weniger problematisch ist das Auftreten einer Gleichung (bzw. mehrerer Gleichungen) der Form Oxj + 0x 2 + ... + 0x n = 0. Wie wir bereits gesehen haben, können wir eine solche Nullgleichung auslassen, da sie für den Wertebereich der Variablen keine „echte" Einschränkung darstellt. Später (vgl. Abschnitt 9 von Kapitel IV) wird es sich jedoch empfehlen, Gleichungen dieser Form bzw. Tableauzeilen dieser Form nicht wegzulassen, sondern durch geeignete Vertauschungen an das untere Ende des Systems bzw. des Tableaus zu schieben. Beispiel 11-13 Gegeben sei das Gleichungssystem

GS10:

5x t + 3x 2 — 6 x 3 + 7x 4 = 4 4x t + 8 x 2 - 8x3 + 20x 4 = 4 4xt — 4x 3 =4 6 x j — 8x 2 — x 3 — 21x 4 = 4 6 x

1

+

2 x

2

— 6 X 3 +

4 x

4

=

4 .

Unter Verwendung der jeweils umkreisten Pivotelemente ergeben sich folgende Tableaus:

64

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme x4

X3

*1

RS

5

3

-6

7

4

4 4

8 0

-8 -4

20

4 4

6 6

-8

©

-1

0 -21

4

-6

4

4

*

x3

x2

x4

RS

4

0

3

1

-

-20

0 0

16 - 4

4

-12

0

4

0

-25

-5

3

2

20 2

-

G) 30 3

1-

*

*

x3 0O 0 0 -4 0 1 0 -1 0 5 0 0 1 0 *

*

"l

x4

RS

1

2

4

8

2

1 -1

x4

RS

0 -5

-10

*

0

0

1 -1

0

0

0

0

1

0

0

-1

0 0

0

0 0

0 2

1

2

-2 0

-1 0 -1

Die zweite und die vierte Zeile des letzten Tableaus sind überflüssig und können gestrichen werden: *

*

*

*3

x4

RS

*

0

0

1

-1

-2

*

1

0

0

-1

-1

0

1

0

2

-1

*

D a s verbleibende System liegt in kanonischer F o r m vor, so d a ß m a n als allgemeine Lö-

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

65

sung von G S 1 0 ablesen kann: - 1 + t. — 1 — 2t * I ,

t 4 beliebige reelle Zahl.

— 2 + t^ U

K a n n beim U m f o r m e n von Gleichungssystemen auf die kanonische F o r m eine einzelne Gleichung gestrichen werden, so sagt m a n , die betreffende Gleichung sei redundant. Setzen wir einmal voraus, d a ß es nicht erforderlich ist, d a s U m f o r m u n g s v e r f a h r e n wegen Inkonsistenz abzubrechen, und gehen wir so vor, d a ß wir Nullgleichungen sofort streichen, wenn sie auftreten, d a n n erreichen wir nach spätestens m-maligem Pivotieren eine kanonische F o r m für das Gleichungssystem. Wir benötigen weniger Pivotschritte, wenn zwischendurch Nullgleichungen eliminiert werden, wobei f ü r jede gestrichene Nullgleichung genau ein Pivotschritt weniger erforderlich ist. Beispiel 11-14 Das Gleichungssystem G S 1 0 aus Beispiel 11-13 weist 5 Gleichungen auf. Im Rahmen des Umformungsprozesses traten 2 Nullgleichungen auf, so daß nur 5 — 2 = 3 Schritte zur Erzeugung der kanonischen Form erforderlich waren.

Wir fassen unsere Überlegungen zu folgendem Verfahren zusammen: Algorithmus 1: Verfahren zur Bestimmung einer kanonischen F o r m f ü r ein lineares Gleichungssystem (Modifizierter GAUSS-Algorithmus) Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein allgemeines lineares Gleichungssystem

GS

G2 GM

l 1 X1 + a 1 2 x 2 + . • + a l „ X n = b , a 2 1 Xj + a 2 2 X 2 + · • + a 2 n X n a

II

Gi

a

m l x l + a m2 X 2 + · • + a mn X n = b m

Anfangsschritt (0.1) Setze r < = m ! Schritt 1 (Unlösbarkeit) (1.1) Gibt es eine Gleichung G p in GS, in der alle Koeffizienten gleich Null sind u n d die rechte Seite ungleich Null ist? JA ^ (6.1)! NEIN (2.1)! Schritt 2 (Nullgleichung) (2.1) Gibt es eine Gleichung G p in G S , in d e r alle Koeffizienten u n d die rechte Seite gleich Null sind? JA ^ NEIN

(2.2)! (3.1)!

(2.2) Streiche die Gleichung G p !

66

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

(2.3) N u m e r i e r e die Gleichungen in G S neu durch! (2.4) Setze r == r - 1 ! - (2.1)! Schritt 3 (kanonische F o r m ) (3.1) Ist die A n z a h l d e r bereits m a r k i e r t e n Basisvariablen in G S gleich r? JA -> (6.2)! NEIN (4.1)! Schritt 4 (Auswahl des Pivotelementes) (4.1) W ä h l e eine Gleichung G p , die n o c h nicht m a r k i e r t ist! (4.2) W ä h l e eine Variable x q , die noch nicht als Basisvariable markiert ist, mit a p q Φ 0! Schritt 5 (Pivotschritt) (5.1) Setze a¡j := a¡j - a ¡ q ·

a

pq

b¡ — b: — a i4ü · — Ά a,

f ü r i = 1 , . . . , r, i φ ρ, j = 1 , . . . , η; f ü r i = 1, . . . , r, i Φ ρ; f ü r j = 1 , . . . , n;

- (1-1)! (5.2) M a r k i e r e x q als Basisvariable! (5.3) M a r k i e r e die Gleichung G p ! Endschritt (6.1) „ D a s Gleichungssystem besitzt keine L ö s u n g . " - (6.3)! (6.2) „ D a s Gleichungssystem liegt in k a n o n i s c h e r F o r m v o r . " (6.3) S T O P ! D a s v o r s t e h e n d e Verfahren haben wir als modifizierten GAUSS-Algorithmus bezeichnet. W i r müssen jedoch d a r a u f h i n w e i s e n , d a ß die N a m e n s g e b u n g für dieses Verfahren in d e r Literatur keineswegs eindeutig ist. JAEGER/WENKE [1969, S. 55] bezeichnen es etwa als , . M e t h o d e der schrittweisen Entschlüsselung". SCHWARZE [1978, S. 83] spricht von ,, Vollständiger Elimination". A n d e r e A u t o r e n (etwa BERG/KORB [1976, S. 8ff.] nennen es einfach „GAUSSÍCAÍT Algorithmus". Wieder andere A u t o ren (so etwa BADER/FRÖHLICH [1980, S. 79ff.], OBERHOFER [1978, S. 62]) verstehen d a r u n t e r aber etwas anderes. Wenden wir den modifizierten GAUSS-Algorithmus auf ein beliebiges Gleichungssystem a n , so k ö n n e n zunächst zwei Fälle a u f t r e t e n : Einerseits k a n n sich ein Widers p r u c h ergeben. D a s Gleichungssystem ist d a n n nicht lösbar. A n d e r n f a l l s liegt nach h ö c h s t e n s m Pivotschritten eine kanonische F o r m des Gleichungssystems vor. D a s Gleichungssystem ist d a n n lösbar, wobei - wie wir a u s unseren Ü b e r l e g u n g e n über k a n o n i s c h e Gleichungssysteme wissen - entweder g e n a u eine L ö s u n g (Lösbarkeit o h n e Freiheitsgrad) o d e r aber unendlich viele L ö s u n g e n (Lösbarkeit mit Freiheits-

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

67

graden) v o r k o m m e n können. Damit ergibt sich f ü r allgemeine Gleichungssysteme: Lösungsgesamtheit allgemeiner linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme haben entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Wir benutzen nun - wie wir es zum Teil schon taten und auch in Z u k u n f t tun werden - die folgenden Abkürzungen: m: r: g: n:

Anzahl Anzahl Anzahl Anzahl

der der der der

ursprünglichen Gleichungen; Gleichungen nach Ü b e r f ü h r u n g in eine kanonische Form; bei den U m f o r m u n g e n insgesamt gestrichenen Nullgleichungen; Variablen;

f:

Anzahl der Nichtbasisvariablen (Freiheitsgrad des lösbaren Systems).

D a n n gilt offensichtlich: Freiheitsgrad eines lösbaren Gleichungssystems f=n —r = n—m + g

Beispiel 11-15 F ü r das Gleichungssystem G S 1 0 aus Beispiel 11-13 gilt (vgl. Beispiel 11-14): m = 5 g = 2

r = 3 n = 4.

D a m i t ergibt sich:

f = 4 - 3 = 4 - 5 + 2 = 1. Z u v o r haben wir bereits auf die Wichtigkeit von Basislösungen hingewiesen, da man sie aus kanonischen Gleichungssystemen sofort ermitteln kann. Wir sprechen nun im folgenden auch von einer Basislösung eines linearen Gleichungssystems und meinen damit eine Basislösung eines äquivalenten kanonischen Gleichungssystems, das wir aus dem ursprünglichen System durch schrittweises Pivotieren erhalten haben. Beispie) 11-16

Durch den Vektor (vgl. Beispiel 11-11)

(i) G)

ist eine Basislösung des Gleichungssystems G S 7 aus Beispiel 11-8 gegeben. Der Vektor

stellt eine Basislösung des Gleichungssystems G S 1 0 aus Beispiel 11-13 dar.

68

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

2.6. Ergänzende Bemerkungen 2.6.1. Präzisierung des Zusammenhanges zwischen Basisvariablen, Form, Basislösung und Entartung

kanonischer

Wir haben bereits angedeutet, daß die bisherige Behandlung kanonischer linearer Gleichungssysteme (aus didaktischen Gründen) noch ungenau und zu präzisieren ist. Dies soll nun erfolgen. Insbesondere wollen wir die gegenseitige Abhängigkeit der drei Begriffe Menge der Basisvariablen, kanonisches Gleichungssystem und Basislösung näher untersuchen. Durch die schrittweise Wahl von immer neuen Pivotvariablen als zusätzliche Basisvariablen ist nach dem modifizierten GAUSS-Algorithmus die kanonische Form, abgesehen von der Reihenfolge der Gleichungen, eindeutig bestimmt. Das Umgekehrte braucht dagegen nicht unbedingt der Fall zu sein. Es kann nämlich durchaus sein, d a ß zwei verschiedene Mengen von Basisvariablen zu der gleichen kanonischen F o r m führen. Beispiel 11-17 (vgl. Beispiel II-2) F ü r d a s Gleichungssystem xt +

2X2 + X3

_

1

+ x4 = 4

3X2

f ü h r t die Menge der Basisvariablen { x ^ x j zu der kanonischen F o r m

* *

Xi

x2

x3

x4

RS

1 0

2 3

1 0

0 1

1 4

mit der Basislösung

dagegen die Menge der Basisvariablen { x 3 , x 4 } zu der kanonischen Form

*

1

*

0

"2

*3

*4

2 3

1 0

0 1

RS 1 4

mit der Basislösung

Schlimmer noch: Bei einundderselben Lösung eines Gleichungssystems ist es u. U. möglich, daß sie gleichzeitig als Basislösung zu zwei (oder noch mehr) unterschiedlichen Mengen von Basisvariablen aufgefaßt werden kann.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

69

Beispiel 11-18

1 2 I ist gleichzeitig Basislösung v o n

0,

*3

x4

RS

0 0 1

1 0 0

0 1 2

*

*

*

"l

"3

x4

RS

0 0 1

1 0 0

0 1 2

"l * * *

0 1 0

1 0 0

und von

*

* *

0 1 0

1 0 0

mit d e n Basisvariablenmcngen {χ,, x 2 , x 3 } bzw. { x 1 , x 3 , x 4 } .

Dieser Fall, den m a n auch als Entartung bezeichnet, kann nur d a n n vorkommen, wenn bei einer Basislösung eine Basisvariable den Wert Null annimmt, d. h. in der Tableaudarstellung der kanonischen F o r m in der Spalte RS eine Null steht. Die Möglichkeit des Auftretens des Entartungsfalls wird in der Linearen Optimierung einige S o n d e r m a ß n a h m e n erforderlich machen. Wir sehen also, d a ß durch den Begriff „Basislösung" nicht unbedingt die zu ihr gehörenden Basisvariablen festgelegt sind, sondern es m u ß umgekehrt zuerst die Menge der Basisvariablen gewählt werden, und erst als eine Folge davon ist die Basislösung bestimmt. Abhängigkeiten zwischen Basisvariablen, kanonischer F o r m und Basislösung Basisvariablenmenge kanonisché^Form^ ^

~~Basislösung

Auch aus diesem G r u n d e empfiehlt es sich, die Basisvariablen besonders zu markieren. Das k a n n aber nicht nur dadurch geschehen, d a ß m a n - wie wir es getan haben - über die betreffende Spalte des Rechentableaus einen Stern setzt. Eine andere, häufig benutzte Möglichkeit besteht in der Verwendung eines alternativen, verkürzten Rechentableaus, bei dem die (schon) gewählten Basisvariablen lediglich in einer zusätzlichen linken Randspalte (im folgenden mit BV überschrieben) und zwar in ihrer zugehörigen Zeile aufgeführt sind, während rechts davon nur noch diejenigen Koeifizientenspalten auftreten, die sich nicht auf (schon) gewählte Basisvariablen

70

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

beziehen. Bei diesem alternativen Tableau sind dann weder Zeilen- noch Spaltenmarkierungen erforderlich. Aus einem Tableau dieser Form kann man noch einfacher die allgemeine Lösung ablesen. Beispiel II-19 Die wesentlichen Schritte des Beispiels 11-13 k ö n n e n durch die folgenden verkürzten Rechentableaus wiedergegeben werden: BV -

4

«

-20

*2 BV

"2

30 3

x4

3 16 - 4

1

-

4 0

-12 4

-5 2

20 2

-25 -

x4

RS

-1 -1

-2

2

RS

x3

3

BV

2

*3 Β -4

X

1

-1 5

"2

0

x4

RS

1

2 8 1 -10 - 1

4

0 -5

2

BV

"2

x4 -1 0 -1 0 2

RS

-2 0 -1 0 -1

-1 -1

Allgemeine Lösung:

, t 4 beliebige reelle Zahl.

Anstelle mit der Menge der Basisvariablen zu arbeiten, kann man auch einfach die Menge der zu den Basisvariablen gehörenden Indices verwenden, die manchmal Indexbasis genannt wird. In der Literatur findet man relativ häufig die (saloppe) Sprechweise Basis als Kurzform für „Menge der Basisvariablen". Das kann jedoch mißverständlich sein, da „Basis" in der Linearen Algebra noch etwas anderes, aber verwandtes bedeutet (siehe auch Kapitel III, Abschnitt 8). 2.6.2. Der Übergang von einem kanonischen Gleichungssystem zu einem äquivalenten kanonischen Gleichungssystem Hat man eine erste kanonische Form für ein Gleichungssystem gefunden und existiert noch mindestens eine freie Variable x q , so kann man, wenn man will, natürlich eine weitere Pivotierung vornehmen. Im Gegensatz zu der Situation des schrittweisen Aufbaus eines kanonischen Systems mit Hilfe des modifizierten GAUss-Algorithmus sind wir aber jetzt gezwungen, einen Pivot (p, q) in einer (markierten!) Zeile zu wählen, die ja schon mit einer Basisvariablen, sagen wir x h , belegt ist. Das sieht man unmittelbar bei Verwendung der alternativen Tableauschreibweise, die in dieser Hinsicht ihre Überlegenheit zeigt. Durch den Pivotschritt wird das Gleichungssystem nunmehr (u. a.) nach xq aufgelöst, und wir können xq als neue Basisvariable wählen; die bisherige Basisvariable xh fällt dann jedoch zwangsläufig aus der Basisvariablenmenge heraus, und ihre Markierung muß gelöscht werden. Wir haben also dadurch bei zwei Variablen wechselseitig die Eigenschaft ausgetauscht, Basisvariable oder Nichtbasisvariable zu sein, und deshalb spricht man bei einem solchen

71

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

Pivotschritt auch von einem Austauschschritt. Zwei Basislösungen bzw. zwei Tableaus, die durch einen einzigen Austauschschritt ineinander überführbar sind, nennt man auch benachbart. Natürlich sind vor und nach dem Austauschschritt sämtliche Zeilen markiert, so daß Zeilenmarkierungen unnötig sind, sobald man bereits von einer kanonischen Form ausgeht. Beispiel 11-20 In Beispiel 11-13 entwickelten wir zum Gleichungssystem G S ) 0 die kanonische Form * * * X

1

"2

"3

x4

RS

-1 -1

-2 -1

0

0

1

*

1

0

*

0

0 1

*

0

Θ

BV

x4

RS

x3

-1

X

-1

-2 -1

oder alternativ:

-1

1

2

*2

-1

sowie die allgemeine Lösung / - Í - 2 ¡ 4 \ y\o'· I 2 + t* \

U

beliebige « e i l e Zahl.

V

Wählen wir nun den oben umkreisten Koeffizienten als neues Pivotelement, so erhalten wir durch den Austauschschritt mit Pivot (3, 4) als weitere kanonische F o r m für das Gleichungssystem G S 1 0 *

*

*

*1

"2

*3

x4

RS

0

0 0

*

0

1 2 1 2 1 2

1

*

0 1

0

1

5 2 3 2 — 1 2

*

—

BV x3 oder alternativ:

X

1 x4

*2 1 2 1 2 1 2

RS 5 2 3 2 1 2

woraus man die allgemeine Lösung

I

;

,t2

Ι , t 2 beliebige reelle Zahl

ablesen kann. Die Lösungsmengen ¡ £ \ 0 und £C" 0 sehen auf den ersten Blick voneinander verschieden aus. Tatsächlich wurden aber beim Ü b e r g a n g von der ersten kanonischen F o r m zur zweiten nur lösungsneutrale U m f o r m u n g e n angewendet, so d a ß JíC\0 und ~/AlQ nur verschiedene Darstellungen derselben Lösungsmenge sind.

Sie werden sich möglicherweise fragen, warum man einen solchen Übergang von einer kanonischen Form zu einer benachbarten überhaupt durchführen will, wo man aus der ersten doch bereits sämtliche Lösungen ablesen kann. Beachten Sie jedoch bitte, daß die jeweiligen Basislösungen im allgemeinen voneinander verschieden sind. (Im Entartungsfall stimmen sie möglicherweise überein.)

72

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme Beispiel 11-21

Aus

entnehmen wir die Basislösung

aber aus £ f " 0 die benachbarte Basislösung

Mit Austauschschritten zur Gewinnung von jeweils benachbarten Basislösungen von Gleichungssystemen werden wir uns aber noch eingehender befassen. 2.6.3. Die simultane Bestimmung einer kanonischen Form für mehrere Gleichungssysteme mit identischen linken Seiten Eine dritte ergänzende Bemerkung betrifft den Umstand, daß sich - nach einer leichten Modifizierung - mit Hilfe von Algorithmus 1 gleichzeitig die kanonische Form (und damit auch die allgemeinen Lösungen!) solcher Gleichungssysteme bestimmen lassen, die sich voneinander ausschließlich in den rechten Seiten unterscheiden. Bei der rechentechnischen Durchführung von Algorithmus 1 erweitert man das Tableau T t einfach um je eine zusätzliche Spalte für jede Variante der rechten Seiten. Für k Varianten ergibt sich etwa: X

(T2)

1

X2 a

an 21

12 a22

a

a

a

ml

··

m2

x„

RSj

RS 2

RS k

a

b„ b21

b12 b22

blk b2k

bmi

bm2

b mk

lη 2n

a

a

mn

Durch den Doppelstrich wird - so wollen wir sagen - das Tableau in einen linken Teil und einen rechten Teil getrennt. Jede Umformung führt man nun gleichzeitig in bezug auf sämtliche Spalten RSj, R S 2 , . . . , RS k aus. Das sei in einem Beispiel demonstriert. Beispiel 11-22 Für das Gleichungssystem Ί χ 1 + X 2 + 2X3 =30 GS,,: I 2X 2 + X3 =10 [ χ , + x 2 + x 3 — x 4 = 15

soll die allgemeine Lösung bestimmt werden. Ebenso ist die allgemeine Lösung anzugeben, wenn die rechten Seiten des Gleichungssystems abgeändert werden in b12 = - 1 5 b22= 10

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

73

bzw. in b,3 = b23 =

10

b33 =

10

5

D a s Ausgangstableau T 2 sieht damit wie folgt aus: X

1

"2

x3

x4

RS, 30 10

-15 10

10 5

15

30

10

1

1

2

0

0

2

1

0

1

1

ι

Θ

RS 2

RS 3

Unter Verwendung der umkreisten Koeffizienten als Pivotelemente ergeben sich die folgenden umgeformten Tableaus: *

*

0 ) 0 -1

"3

x4

RS,

1

2 1

0 0

30 10

-15

2 -1

10

10 5

1

-15

-30

-10

-1

*

*

I

1

0

2 0

0

*

RS,

2

0

30

-15

10

CO 1

0

10

10

1

15

-45

5 0

*

*

*

x4

RS,

rs2

rs3

0

0

1 0

0 1

10 10 5

-35 10

0 5 -5

x2 * * *

1 0 0

-3 2 -2

rs2

rs3

x4

*3 *

rs2

rs3

*2

-55

D a r a u s erhält man als allgemeine Lösung für das ursprüngliche Gleichungssystem G S , , : 10 + 312 „ 2 Ι , 10 — 2t 2 5 + 2t2;

t 2 beliebige reelle Zahl,

und als allgemeine Lösung des Gleichungssystems mit den veränderten rechten Seiten RS 2 : — 35 + 3t 2 10 — 2t 2 — 55 + 2 t ,

I > t 2 beliebige reelle Zahl,

74

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

() bzw. mit RS3: 0 + 3t2 5 —

l2 2t 2

t 2 beliebige reelle Z a h l .

- 5 + 2t2

3. Vorbereitende Bemerkungen über gemischte lineare Restriktionssysteme Bisher haben wir uns in diesem Kapitel ausschließlich mit Restriktionen in Form von Gleichungen befaßt. Bei wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen der Linearen Algebra haben wir es allerdings meist nicht mit Gleichungssystemen, sondern mit allgemeineren Systemen zu tun, in denen neben Gleichungen auch Ungleichungen auftreten, vor allem in F o r m von Nichtnegativitätsforderungen für die Variablen. Sobald aber auch nur eine einzige Ungleichung auftritt, führt der modifizierte GAUSS-Algorithmus nicht mehr zwingend zu einer Lösung. Auch gibt es keine einfache Verallgemeinerung des GAUSS-Algorithmus, mit der sich die Fragen nach Redundanz, Inkonsistenz und Gesamtheit der Lösungen sofort beantworten lassen. Im Gegenteil: Die Herleitung derartiger Methoden ist mit einem erheblich größeren Schwierigkeitsgrad verbunden, als wir bisher zu bewältigen hatten. In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels wollen wir deshalb die anstehenden Fragen auch noch nicht im Detail beantworten. Die Ausführungen besitzen vielmehr nur vorbereitenden Charakter. Erst in Kapitel VI kommen wir dann noch einmal auf die Frage nach der Bestimmung von Lösungen f ü r lineare Restriktionssysteme zurück. 3.1. Zur Geometrie gemischter linearer Restriktionssysteme Mit der geometrischen Interpretation von linearen Ungleichungen werden Sie in der Schule nicht unbedingt schon zu tun gehabt haben. Dies ist deshalb in relativ ausführlicher Weise Gegenstand dieses Abschnittes. Wir beginnen - wie gewohnt - mit dem zweidimensionalen Fall und betrachten zunächst die Ungleichung U: a, χ, + a 2 x 2 ^ b, wobei nicht gleichzeitig a j = 0 und a 2 = 0 . Diese spezielle Ungleichung besagt geometrisch, d a ß die Lösungspunkte (x t , x 2 ) entweder auf der durch die Gleichung U: a t X ! + a 2 x 2 = b definierten Geraden oder auf der durch die strikte Ungleichung a ^ ! + a2x2 < b definierten Seite von ihr liegen. Aus der Sicht der Geometrie nennt m a n eine solche Lösungsmenge kurz eine Halbebene oder (unabhängig von der Dimension) einen Halbraum. Die durch 0 definierte Gerade (im folgenden auch als Begrenzungsgleichung bzw. Begrenzungsgerade bezeichnet) kann man relativ einfach zeichnen, wenn man zwei Punkte auf ihr kennt. M a n braucht dann lediglich diese beiden Punkte durch eine Gerade miteinander zu verbinden bzw. diese Gerade ins Unend-

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

75

"ι

liehe zu verlängern. Setzen wir zunächst a! + 0 u n d a 2 Φ 0 voraus, dann bieten sich als derartige Punkte direkt ( b / a 1 ; 0 ) und (0, b / a 2 ) an (vgl. Abb. II-3). Wo liegen nun die weiteren Lösungspunkte von U ? Die richtige Seite findet man praktisch durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebig wählbaren Punktes (der aber nicht auf der Begrenzungsgeraden liegen darf) in die Ungleichung U. Aus rechentechnischen G r ü n d e n empfehlen sich dabei besonders die Punkte (0, 0), (0,1 ), (1, 0), von denen nicht alle drei auf der Geraden liegen können. Ist die Ungleichung erfüllt, befindet m a n sich auf der richtigen Seite, sonst auf der falschen. Die Markierung der Seite, auf der sich die übrigen Lösungspunkte befinden, k a n n etwa durch Schraffierung dieser Seite an ihrem R a n d oder durch einen auf diese Seite weisenden Pfeil (Normale) geschehen (vgl. Abb. II-4).

Abb. II-4: Unterschiedliche Markierungsformen der durch die U n g l e i c h u n g U definierten Lösungspunkte

Beispiel II-23 Gegeben sei die Ungleichung U: 2x, + 4 X 2 5= 20. (0, 5) und ( 1 0 , 0 ) sind zwei Punkte auf der den Lösungsraum begrenzenden Gleichung 0 , die wir damit zeichnen köijnen:

76

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

D u r c h Einsetzen von (0, 0) in U finden wir 2 · 0 + 4 · 0 g 20 0 ä 20

J .

D a m i t müssen die übrigen Lösungspunkte unterhalb der G e r a d e n O liegen. Gilt dagegen etwa a 2 = 0, so geht U über in U': a t x , g b . Die Lösungspunktc von U ' liegen wieder, geometrisch interpretiert, entweder auf der Geraden O': a ^ , = b oder auf der durch atX! < b definierten Seite von ihr. Die begrenzende Gerade Ü' ist d a n n offensichtlich eine Parallele zur Abszisse im A b s t a n d b/a.^ (vgl. Abb. II-5).

Abb. II-5: Den L ö s u n g s r a u m der Ungleichung U' begrenzende Gerade U'

Die „richtige" Seite findet man wieder analog durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes in U'. W i r b e t r a c h t e n n u n ein S y s t e m in z w e i V a r i a b l e n , d a s a u s e i n e r G l e i c h u n g G u n d e i n e r U n g l e i c h u n g U m i t z u g e h ö r i g e r B e g r e n z u n g s g e r a d e n U b e s t e h t . Bei g e o m e t r i s c h e r I n t e r p r e t a t i o n v o n G u n d U s i n d in b e z u g a u f d i e r e l a t i v e L a g e v o n G u n d d e r d u r c h U definierten Begrenzungsgleichung 0 jetzt folgende Fälle möglich: Fall 1: G u n d O s c h n e i d e n s i c h . D i e L ö s u n g s m e n g e d e s S y s t e m s ist e i n e

Halbgerade.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

77

G

Abb. II-6: Lösungsmenge (dick eingezeichnet) des Restriktionssystems (G, U) - Fall 1

Fall 2: Die Gerade G und die Begrenzungsgerade O sind parallel, aber G befindet sich der der „richtigen" Seite von 0 , oder G und U stimmen überein. D a n n ist G die Lösung des Systems, und U ist redundant.

G

Abb. II-7: Lösungsmenge (dick eingezeichnet) des Restriktionssystems (G, U) - Fall 2

Fall 3: Die G e r a d e G und die Begrenzungsgerade 0 sind parallel, aber G befindet sich auf der „falschen" Seite von 0 . D a n n gibt es keinen gemeinsamen Punkt, d . h . das System ist inkonsistent.

Abb. II-8: Leere Lösungsmenge des Restriktionssystems (G, U) - Fall 3

Betrachtet m a n dagegen ein System, das aus zwei Ungleichungen υ ^ auXj + a12x2 U2: a21X! + a 2 2 x 2

b 1 ; nicht a l t = 0 und a 1 2 = 0 b 2 , nicht a 2 1 = 0 und a 2 2 = 0

78

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

besteht, so sind bei geometrischer Betrachtung noch mehr Fälle zu unterscheiden. Mit Ü t und Ό2 wollen wir dabei die zu U j und U 2 gehörenden Begrenzungsgleichungen bzw. im Zusammenhang mit der geometrischen Interpretation die zugehörigen Begrenzungsgeraden bezeichnen.

F a l l 1:

Die Begrenzungsgeraden schneiden sich. Dann kann man die Lösungsmenge des Ungleichungssystems (U 1 ; U 2 ) wie in Abb. II-9 darstellen.

Abb. 11-9: Lösungsmenge (dick bzw. schraffiert eingezeichnet) des Ungleichungssystems ( U , , U 2 ) - Fall 1

Fall 2:

Die Begrenzungsgeraden haben keinen gemeinsamen Punkt (d.h. sie sind parallel und nicht identisch), lassen aber gemeinsame Punkte zu. Dann erhält man als Lösungsmenge von ( U l 5 U 2 ) so etwas wie einen nach beiden Seiten „ins Unendliche gehenden Streifen". X

1

Abb. 11-10: Lösungsmenge (dick bzw. schraffiert eingezeichnet) des Ungleichungssystems ( U „ U 2 ) - Fall 2

Fall 3:

Die Begrenzungsgeraden sind identisch, definieren aber gerade die „entgegengesetzten" Halbebenen. Dann besteht - aus geometrischer Sicht - die Lösungsmenge v o n ( U ! , U 2 ) genau aus den Punkten der durch 0 1 ( = 0 2 ) definierten Begrenzungsgeraden.

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme x

79

i

Abb. 11-11: Lösungsmenge (dick eingezeichnet) des Ungleichungssystems ( U , , U 2 ) - Fall 3

Fall 4: Die Begrenzungsgeraden sind ohne Schnittpunkt, legen aber Halbräume „in der gleichen Richtung" fest. Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ( U j , U 2 ) wird dann definiert durch denjenigen Halbraum, der geometrisch Untermenge des anderen ist (Redundanz 1. Art). *1 II II 2

Abb. 11-12: Lösungsmenge (dick bzw. schraffiert eingezeichnet) des Ungleichungssystems (U„U2) Fall 4

Fall 5: Die Begrenzungsgeraden sind identisch und definieren die gleiche Halbebene, die geometrisch die Lösungsmenge von ( U 1 ; U 2 ) ist. Eine der beiden Ungleichungen (gleichgültig welche) ist überflüssig (Redundanz 2. Art). "1

Abb. 11-13: Lösungsmenge (dick bzw. schraffiert eingezeichnet) des Ungleichungssystems ( U „ U 2 ) - Fall 5

80

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

Fall 6: Die Begrenzungsgeraden haben keinen gemeinsamen Punkt, und die Halbebenen liegen „auseinander". Die Lösungsmenge von ( U l 5 U 2 ) ist leer.

υ Abb. 11-14: (Leere) Lösungsmenge des Ungleichungssystems ( U t , U 2 ) - Fall 6

Geht man zu linearen Ungleichungssystemen oder Mischsystemen aus linearen Gleichungen und Ungleichungen mit drei oder noch mehr Variablen über, so wird die Situation noch viel unübersichtlicher. Wir wollen deshalb lediglich einige wesentliche Aspekte und Begriffe kurz skizzieren. Im dreidimensionalen Fall kann man durchaus noch mit geometrischen Vorstellungen arbeiten: Eine einzelne Ungleichung ajXi + a 2 x 2 + ... + a n x n ^ b, nicht a¡ = 0 für alle i zerfällt in die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b, die eine Begrenzungsebene

definiert, und die Ungleichung

a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n < b . Durch die Begrenzungsebene wird der restliche Raum in zwei Teile zerlegt, und a

l x l + a 2 X 2 + ··· + a n X n < b

ist genau für die in der einen Hälfte liegenden Punkte erfüllt. Für welche Hälfte, kann man wieder einfach durch Einsetzen der Koordinaten von geeigneten Punkten, etwa (0, 0, 0), (1,0, 0), (0,1,0), (0, 0 , 1 ) herausfinden. Die Gesamtheit dieser und der auf der Begrenzungsebene liegenden Punkte bezeichnet man wiederum als Halbraum. Auf dem Papier kann man die dreidimensionale Situation im Prinzip noch perspektivisch darstellen, aber bei mehreren Ungleichungen wird das bereits ziemlich unübersichtlich, so daß wir hier darauf verzichten wollen. Für η ^ 4 sagt man, η Σ äjXj = b definiere eine Hyperebene (manchmal salopp auch nur ,.Ebene" genannt). Sie trennt wiederum den nicht auf der Hyperebene liegenden Teil des Raumes in zwei Teile, und genau einer dieser Teile wird durch

81

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

η

Σ ajXj (2.1)! a

=

bp

(1.2) Ersetze die Restriktion R p durch das System von Ungleichungen a

pi X! + a p 2 x 2 + ... + a pn x n ^ b p

äpiXi + a p 2 x 2 + •·· +

a

pnxn

^ bp.

(1.3) Setze r == r + 1 ! (1.4) Numeriere die Restriktionen neu von 1 bis r durch! - (1.1)! Schritt 2 („falsche" Richtung des Ungleichheitszeichens) (2.1) Gibt es eine Restriktion R p , bei der es sich um eine „^"-Restriktion (bzw. „^"-Restriktion) handelt? JA -> (2.2)! NEIN (3.1)! (2.2) Ersetze die Restriktion R p durch das (—l)-fache von ihr! -

(2.1)!

Endschritt (3.1) „Es liegt ein gleichgerichtetes Ungleichungssystem vor!" (3.2) STOP!

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

87

3.4. NN-Gleichungssysteme Ein weiterer zentraler Typ von Restriktionssystemen, mit dem wir uns später noch eingehend befassen werden, besitzt die Gestalt a

(11-28)

GS:

a

i i x i + a i 2 x 2 + ··· + a l n x n = b t 21 X1 + a,2 X 2 + · · · + ä 2n X„ = b . Ιχι + a „

= bm x„ > 0.

NN:

Dieser Typ zeichnet sich dadurch aus, daß für jede der Variablen eine Nichtnegativitätsrestriktion vorliegt (Teilsystem NN). Darüberhinaus kommen ausschließlich Gleichungen als Restriktionen vor (Teilsystem GS). Derartige Restriktionssysteme wollen wir lineare Gleichungssysteme mit Nichtnegativitätsrestriktionen oder auch kurz: NN-Gleichungssysteme nennen. Wie sich später noch zeigen wird, lassen sich für derartige Restriktionssysteme tatsächlich relativ einfach Lösungen ermitteln. Wie kann man nun aber beliebige lineare Restriktionssysteme so umformen, daß sie die Gestalt eines NN-Gleichungssystems annehmen? Liegt etwa ursprünglich eine Ungleichung . . . + a n x„ ^ b

(11-29)

mit

b > 0

vor, so kann man sie durch das gemischte Restriktionssystem (11-30)

ä J Xj

3-2 X-2 ... + a n x„ + s = b s > 0

ersetzen. Der Übergang von (11-29) nach (11-30) stellt nun jedoch bereits an sich keine lösungsneutrale Umformung mehr dar, denn in (11-29) kommt die Variable s überhaupt nicht vor. Allerdings läßt sich aus jeder Lösung

(11-31)

von (11-30) sofort eine Lösung von (11-29) ableiten, nämlich

(11-32) unterscheidet sich von (11-31) nur dadurch, daß das (n + l)-te Glied ausgelassen ist. s* läßt sich im übrigen auch als M a ß dafür interpretieren, um wieviel bei einer bestimmten Lösung (11-32) von (11-29) die linke Seite der Ungleichung kleiner ist als die rechte Seite. Eine Variable dieses Typs bezeichnet man deshalb in diesem Zusammenhang (vor allem bei b ^ 0) als Schwundvariable. Für eine solche Schwundvariable m u ß natürlich im Hinblick darauf, daß wir eigentlich Lösungen

88

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

für ein Restriktionssystem bestimmen wollen, das die Ungleichung (11-29) enthält, zwingend die Nichtnegativität gefordert werden, denn bei einer Lösung (11-31) von (11-30) mit s* < 0 ist der Ausdruck a ^ f + a 2 x * + ··· + a „ x j größer als b, und damit kann (11-32) keine Lösung von (11-29) sein. Beispiel 11-28 Gegeben sei die Ungleichung U 3 : 2x¡ + 4 X 2 + X 3 S 20. Durch die Einführung einer Schwundvariablen s gelangt man zu folgendem Restriktionssystem: RS6:

2xl + 4x 2 + x 3 + s = 20 s ä

0.

Für RS 6 existiert u.a. die Lösung

Hiervon ausgehend läßt sich sofort eine Lösung für die Ungleichung U 3 angeben, nämlich:

Setzt man diese Lösung in U 3 ein, so stellt m a n durch Ausrechnen fest, daß die linke Seite um 5 kleiner ist als die rechte Seite. Das entspricht genau dem Wert der Schwundvariablen s in der Lösung von RS 6 .

Falls nun eine Ungleichung des Typs (11-33)

a ^ ! + a 2 x 2 + · · · + anxn

b

vorliegt, so ersetzt man sie entsprechend durch das gemischte Restriktionssystem (11-34)

a ^ + a 2 x 2 + ... + a„x n — s = b s ^ 0.

Aus jeder Lösung

(11-35)

()

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

89

von (11-34) läßt sich sofort wieder eine Lösung für (11-33) angeben, nämlich

(11-36)

(11-36) unterscheidet sich von (11-35) wieder lediglich dadurch, daß das (n + l)-te Glied fehlt, s* läßt sich in diesem Zusammenhang als Maß dafür interpretieren, um wieviel bei der vorliegenden Lösung (11-36) die linke Seite von (11-33) größer als die rechte Seite ist. s bezeichnet man hier (vor allem bei b 3: 0) auch als Überschußvariable. Ähnlich wie für eine Schwundvariable muß auch für eine Überschußvariable zwingend die Nichtnegativität gefordert werden, denn bei einer Lösung (11-35) von (11-34) mit s* < 0 ist der Ausdruck a ^ f + a 2 x* + ... + a n x* kleiner als b, und damit kann durch (11-36) keine Lösung von (11-33) vorliegen. Beispiel 11-29 Gegeben sei das Restriktionssystem RS,

χ, > - 2 0 .

Durch die Einführung zweier Überschußvariablen S! und s 2 erhält man als Hilfssystem zu RS 7 : RS!,:

2x, — 3x, -S! =-10 X -j X-i - s 2 = -20

Χι

s,

ê s, >

0 0.

Wir multiplizieren die erste Gleichung von RS^ mit ( — 1 ) und erhalten das zu RS' äquivalente System - 2 X 2 + 3X3+S, 1

RS', :

X! — x2 — x3

=

10

—s2 = —20 S( è 0 s2 ä

0.

Aus dem Gleichungs-(Teil-)System von RS" lesen wir als (Basis-)Lösung von RS" bzw. RS!,

( - 2 0 , 0 , 0 , 10, 0) ab, die auch die NN-Bedingungen für S[ und s 2 erfüllt. Daraus entwickeln wir für R S , die Lösung

( - 2 0 , 0, 0). Beachten Sie bitte, daß die Bestimmung einer Lösung nicht immer so einfach ist, wie im vorstehenden Beispiel. Hat man bei einem Restriktionssystem sämtliche Ungleichungen durch das Einführen von Überschuß- und Schwundvariablen in Gleichun-

90

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

gen v e r w a n d e l t , so k a n n m a n auf diese Gleichungen zwar den GAUSS-Algorithmus a n w e n d e n , dieses Verfahren garantiert a b e r keineswegs, d a ß bei der g e f u n d e n e n k a n o n i s c h e n F o r m die Ü b e r s c h u ß - u n d S c h w u n d v a r i a b l e n auch nichtnegative Werte a n n e h m e n . I m übrigen sei noch d a r a u f hingewiesen, d a ß m a n Ü b e r s c h u ß u n d S c h w u n d v a r i a b l e auch unter d e m Oberbegriff „Schlupfvariahle" zusammenfaßt. Schließlich k a n n es noch v o r k o m m e n , d a ß in einem Restriktionssystem eine Variable x q keiner Nichtnegativitätsrestriktion unterliegt. U m in einem solchen Falle a u f die G e s t a l t eines N N - G l e i c h u n g s s y s t e m s zu k o m m e n , ersetzt m a n sie d u r c h die Differenz zweier nichtnegativer Variablen x q u n d x q : (11-37)

x q = χ ; - χ;'

mit (11-38) A u c h diese U m f o r m u n g ist nicht lösungsneutral, d o c h k ö n n e n wir a u s einer L ö s u n g eines d e r a r t i g g e w o n n e n e n Hilfssystems wieder sofort auf eine L ö s u n g des ursprünglichen Systems schließen, indem wir die U m f o r m u n g (11-37) u n d (11-38) wieder r ü c k g ä n g i g m a c h e n . Beispiel 11-30 Wir gehen von dem System RS" aus Beispiel 11-29 aus und bringen es endgültig auf die Form eines NN-Gleichungssystems, indem wir die nicht vorzeichenbeschränkten Variablen Xj, x 2 und x 3 durch entsprechende Differenzen zweier nichtnegativer Variablen ersetzen. Wir erhalten dann als Hilfssystem zu RS": RS"':

- 2 x 2 + 2x2 + 3 x 3 - 3 x 3 + 5, = 10 χ', — χ, — x'2 + x'2' — x'3 + x'3' — s 2 = — 20 x'i. x'i, x' 2 . x'2' x'3. x'3 s t , s 2 ê 0.

Multipliziert man noch die zweite Restriktionsgleichung mit ( — 1), so erhält man — 2x'2 + 2x2 + 3X'3 — 3x'3' + s t =10 RSvV: — χ, + x'{ + x'2 — x2 + x'3— x'3 + s 2 = 20 XL, x'i, x2, X , x'3, x'3, s,, s 2 g 0 . 2

Daraus kann man etwa die Basislösung (0, 20, 0,0, 0, 0, 10, 0) des GIeichungs-(Teil-)Systems von RS"' bzw. RS7V ablesen, die sogar deren sämtliche NNBedingungen erfüllt. Machen wir die Ersetzung der unbeschränkten Variablen x 1; x 2 und x 3 durch entsprechende Differenzen nichtnegativer Variablen wieder rückgängig, so finden wir die bereits bekannte Lösung von RS" ( - 2 0 , 0 , 0, 10, 0), bzw. als Lösung von RS 7 : ( - 2 0 , 0, 0). D a m i t sind sämtliche Aspekte diskutiert, in d e n e n gemischte Restriktionssysteme v o n N N - G l c i c h u n g s s y s t e m e n abweichen k ö n n e n . W i r fassen z u s a m m e n :

91

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

Algorithmus 3: Überführung eines linearen Restriktionssystems in ein NN-Gleichungssystem Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein lineares Restriktionssystem der Form Rx

a

l 2 X2

• • + a l n x „ EZ11 b t

a

llXl

a

2 1 x l + a 2 2 x 2 + · • + a 2n X n D i t>2

a

m l x l + a m2 x 2 + · • + a«A

AR Rm

Dmbm

NN-Restriktionen für gewisse Variablen wobei „ • ¡ " ( i = 1, . . . , m ) für eines der Zeichen,, = ", „ ; g " oder

steht.

Schritt 1 (unbeschränkte Variable) (1.1) Existiert eine nicht vorzeichenbeschränkte Variable x q ? JA -> (1.2)! N E I N - (2.1)! (1.2) Nimm in jeder Restriktion, in der die Variable xq vorkommt, die Ersetzung Xq

Xq

Xq

vor! (1.3) Führe zwei neue NN-Restriktionen für Xq und Xq ein! -

O l)!

Schritt 2 („ ^ "-Restriktionen) (2.1) Existiert unter den ersten m Restriktionen eine Restriktion R p der Form a

p l x l + a p2 X 2 + · ·· + a pn X n ^ b p ? JA NEIN -

(2.2)! (3.1)!

(2.2) Ersetze die Restriktion R p durch a

p i x i + a p2 x 2 + · · · + a p n x n + Sp = b p !

(2.3) Führe eine NN-Restriktion für s p ein! -

(2.1)!

Schritt3 ( „ ^ " - R e s t r i k t i o n e n ) (3.1) Existiert unter den ersten m Restriktionen eine Restriktion R p der Form a

plXl + ap2X2+-- +apnXn ^ b p ? JA (3.2)! N E I N -» (4.1)!

92

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

(3.2) Ersetze die Restriktion R p durch a p l Xi + a p 2 x 2 + . . . + a pn x„ - s p = b p ! (3.3) Führe eine NN-Restriktion für s p ein! -

(3.1)!

Endschritt (4.1) „Es liegt ein NN-Gleichungssystem vor!" (4.2) STOP! Liegt nun das Teilsystem GS eines NN-Gleichungssystems (11-28) in kanonischer Form vor, so sprechen wir von einem NN-Gleichungssystem in kanonischer Form. Analog dazu verstehen wir unter einer Basislösung eines NN-Gleichungssystems stets eine Basislösung des Teilsystems GS. Eine kanonische Form bzw. die entsprechende Basislösung eines NN-Gleichungssystems heißen speziell zulässig (oder präziser primal zulässig), wenn sämtliche rechten Seiten von GS größer oder gleich Null sind: bj^O

für

i = 1, . . . , m.

Wir wollen damit betonen, daß nicht alle Basislösungen von GS auch Lösungen des NN-Gleichungssystems sind, sondern nur solche, die auch dem Teilsystem N N (den Nichtnegativitätsrestriktionen) genügen. Beispiel 11-31 N e h m e n Sie an, ein Restriktionssystem b e s t ü n d e zusätzlich zu den Restriktionen des Systems R S 7 (vgl. Beispiel 11-29) noch a u s N i c h t n e g a t i v i t ä t s r e s t r i k t i o n e n f ü r die Variablen χ , , x 2 und x 3 : 2x2 — 3x3 g - 1 0 χ , — x 2 — x 3 § —20 χ,,

x2,

x3 ä

0.

A n a l o g zu d e n U m f o r m u n g e n von Beispiel 11-29 erhält m a n d u r c h d a s E i n f ü h r e n von S c h l u p f v a r i a b l e n bzw. d u r c h Multiplikation d e r ersten Restriktion mit (—1): - 2 x 2 + 3 x 3 + s, x, — x 2 — x , X,,

x2,

x3,

=

10

— s 2 = —20 s1;

s2 =

0.

Dieses N N - G l e i c h u n g s s y s t e m liegt in einer k a n o n i s c h e n F o r m vor. Die ausgewiesenc Basislösung ( - 2 0 , 0 , 0 , 10,0) des Systems ist wegen der N N - B e d i n g u n g f ü r Xj j e d o c h nicht zulässig. Eine k a n o n i s c h e F o r m besitzt auch d a s System RS'7V a u s Beispiel 11-30 (Basisvariablcn s ( u n d x','). D i e vorliegende kanonische F o r m sowie die ausgewiesenc Basislösung (0, 20, 0, 0, 0 , 0 , 10, 0) sind zulässig, da sämtliche rechten Seiten des Gleichungs-(Teil-)Systems nichtnegativ sind.

Kapitel II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

93

4. Weiterführung der Grundbeispiele Wir wollen n u n untersuchen, inwieweit das bisher entwickelte I n s t r u m e n t a r i u m verwendbar ist, um die in Kapitel I, Abschnitt 1-6 vorgestellten Fragestellungen zu beantworten. Als erstes betrachten wir die im Z u s a m m e n h a n g mit den G r u n d b e i spielen 1 - 3 aufgestellten Restriktionssysteme. Es handelt sich dabei ausnahmslos um NN-Gleichungssysteme, f ü r die wir bisher n o c h keine Verfahren zur Bestimm u n g von Lösungen kennengelernt haben. Wir k ö n n e n allenfalls versuchen, mit Hilfe des GAUSS-Algorithmus eine Lösung der Gleichungsteilsysteme zu finden. Vielleicht erfüllen diese Lösungen j a sogar die N N - B e d i n g u n g e n , d a n n k ö n n e n wir die gestellten Fragen beantworten. Andernfalls müssen wir später noch einmal auf sie z u r ü c k k o m m e n . Wir weisen aber noch einmal darauf hin, d a ß unser Vorgehen an dieser Stelle mit den bisherigen Kenntnissen lediglich ein ,,trial-and-error"Verfahren darstellt.

4.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse Für das Gleichungsteilsystem des in Kapitel I, Abschnitt 6.1 entwickelten Restriktionssystems bestimmen wir mit Hilfe des GAUSS-Algorithmus zunächst die Lösungsmenge. Simultan untersuchen wir dabei die P r o b l e m v a r i a n t e aus A u f g a b e 1-3. Die jeweils verwendeten Pivotelemente sind - wie üblich - umkreist. x, und x 2 k ö n n e n hierbei gleich zu Beginn und ohne U m f o r m u n g e n als Basisvariablen f ü r die erste bzw. zweite Zeile gewählt und entsprechende M a r k i e r u n g e n v o r g e n o m m e n werden. *

X

*

*

1

1 1

*

X3

x4

-4 -3 1

-8 -2

x7

X5

-7 1

-4 -3

RS,

RS 2

0 0 0 0 20 10 5

120 0 -50 -60 20 10 5

Χ?

RS,

RS 2

1

0 0 10 10 20 10 5

120 0 -40 -50 20 10 5

-2 -2

1 1

*

X

* *

*

*

x4

1

1 1

-4 -3 1

X5

-8 -2 -7 1 1

*

CD

-4 -3

CD

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

X

i

x2

x3

x4

1

- 4 - 3 1

- 8 - 2

1

x5

X6

RSi

xv

- 7 1

CD

1 1

*

X

1

*

x4

RS!

rs

1

- 4 - 3 1

- 8 - 2

0 0 190 40 20 10 5

120 0 140 -20 20 10 5

7

RSX

rs

1

320 80 190 40 20 10 5

-40 -40 140 -20 20 10 5

RS!

rs

X

X

X

1

*

3

*

*

120 0 0 -20 20 10 5

X

*

1

*

2

2

X

1

1

*

0 0 50 40 20 10 5

rs

2

1

*

x

2

ω 1

*

*

X4

X5

1 *

X

6

1 *

X

- 4 - 3

CD 1

*

*

X3

x4

1

1

*

*

X

X

5

6

2

2

*

x7

1 1 1 1 1 1 1

1080 650 190 40 20 10 5

2

520 380 140 -20 20 10 5

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

95

Wir stellen fest: Da die vorliegenden kanonischen Formen keine freien Variablen aufweisen, besitzt jedes Gleichungs-(Teil-)System genau eine Lösung. Die Variablenwerte der für das erste Gleichungssystem gefundenen Lösung sind ausnahmslos nichtnegativ, so d a ß (1080, 650, 190, 40, 20, 10, 5) auch eine zulässige Lösung für das gesamte Restriktionssystem der Grundversion des Beispiels darstellt. Sie ist wie folgt zu interpretieren: Zur Herstellung der gewünschten Endproduktmengen müssen von ZP¡ 190 M E und von Z P 2 40 M E hergestellt bzw. von EG X 1080 M E und von E G 2 650 M E beschafft werden. Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit der Ergebnisse für die Einsatzgütermengen von E G ! und E G 2 , indem Sie die Angaben aus der Tabelle 1-3 mit den entsprechenden Mengen für F P ^ F P 2 und F P 3 multiplizieren und d a n n (zeilenweise) addieren. Für das Gleichungsteilsystem des in Aufgabe 1-3 aufgestellten Restriktionssystems haben wir die Lösung (520, 380, 140, - 2 0 , 20, 10, 5) erhalten. Dieser Vektor ist keine Lösung des gesamten Restriktionssystems, weil er die NN-Bedingung f ü r x 4 verletzt. Im Hinblick auf die zugrundeliegende reale Situation interpretiert, würde damit die Vernichtung von 20 M E des Zwischenproduktes gefordert. D a s haben wir aber gerade bei der Modellformulierung ausschließen wollen. Da es sich bei dem vorliegenden Vektor um die einzige Lösung des Gleichungs-(Teil-)Systems handelt, diese Lösung aber f ü r das Gesamtsystem unzulässig ist, besitzt das betreffende Restriktionssystem überhaupt keine Lösung. Das gewünschte Beschaffungs- und P r o d u k t i o n s p r o g r a m m ist - zumindest unter den gemachten A n n a h m e n - nicht realisierbar. Wir sehen außerdem, daß in den linken Seiten des betrachteten Gleichungsteilsystems die Verflechtungen zwischen Einsatzgütern, Zwischen- und Endprodukten zum Ausdruck kommen. N i m m t man diese Verflechtung als konstant an, so hängt die Realisierbarkeit bzw. Nichtrealisierbarkeit eines geplanten Beschaffungs- und Produktionsprogramms ausschließlich von den darin vorgegebenen Beschaffungsund Produktionsmengen ab. D a s betreffende Gleichungsteilsystem kann m a n d a n n nämlich auf dem bereits demonstrierten Wege nach x l 7 x 2 , . . . , x 7 auflösen, ohne d a ß dabei freie Variablen auftreten. Sofern es zu keinem Widerspruch k o m m t , hat das Gleichungsteilsystem genau eine Lösung, die aber für das gesamte Restriktionssystem unzulässig sein kann. Auf jeden Fall hat das gesamte Restriktionssystem aber höchstens eine Lösung, und deren Existenz hängt nur von den rechten Seiten des Ausgangssystems ab. Was k a n n man nun aber tun, wenn m a n festgestellt hat, d a ß f ü r ein vorgegebenes Beschaffungs- und P r o d u k t i o n s p r o g r a m m keine zulässige Lösung existiert? Eine Möglichkeit besteht darin, ein verändertes P r o g r a m m vorzugeben und die Lösung des entsprechenden neuen Restriktionssystems zu berechnen. Dabei ist es nicht erforderlich, sämtliche Rechentableaus neu zu bestimmen. Wir werden ihnen vielmehr im Z u s a m m e n h a n g mit der Matrizenrechnung einen einfacheren Weg vorstellen. Allerdings garantiert auch diese Vorgehensweise nicht, d a ß m a n sofort eine zulässige Lösung findet. M a n sollte sich dann fragen, ob nicht die Anforderungen an den Produktionsprozeß zu streng formuliert sind. Insbesondere bietet es sich an zu prüfen, ob tatsächlich sämtliche Restriktionen (abgesehen von den NN-Bedin-

96

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

gungen) als Gleichungen formuliert sein müssen. Vielleicht wäre es j a im Hinblick a u f die in Aufgabe 1-3 vorgestellte Ausgangssituation zulässig, nur folgendes zu verlangen: Von den Fertigprodukten F P t , F P 2 und F P 3 sollen nach wie vor genau 2 0 , 1 0 und 5 M E hergestellt werden. Beim Einsatzgut E G t ist eine Lagerbestandserhöhung von mindestens 80, höchstens aber von 140 M E vorgesehen. D e r Lagerbestand von E G 2 soll konstant bleiben, der A b b a u der Lagerbestände bei den Zwischenprodukten soll mindestens 10 M E bei ZP¡ und 2 0 M E bei ZP 2 betragen. Als neues Restriktionssystem erhielte man dann das folgende Mischsystem: \l

— 4x3 — 8x4

^

80

X!

— 4X 3 — 8x4

g

140

=

0

x2 — 3x3 — 2x4 x3

— 7 x 5 — 4 x 6 — 2 x 7 g —10 x4

— 3x 6 — 2 x 7 ^ — 2 0 x5 x6

xi,x2,

x3,

x4,

x5,

x6,

=

20

=

10

x7=

5

x7 ^

0.

Mit diesem Restriktionssystem werden wir uns in Kapitel V I eingehender befassen. 4.2. Grundbeispiel 2: Absatzprognose Auch in bezug a u f das Restriktionssystem des Grundbeispiels „ A b s a t z p r o g n o s e " lassen wir zunächst die NN-Bedingungen außer Betracht und bestimmen allein für das Gleichungsteilsystem eine Lösung. Die Anwendung des GAUSS-Algorithmus liefert nach drei Pivotschritten das folgende bzw. ein äquivalentes Tableau (auf zwei Dezimalstellen gerundet).

0 0 0 1

Xu

xc

RS

0 0 1 0

1 0 0 0

0,26 0 0,38 0,36

Wir lesen daraus die einzige, auch für das gesamte Restriktionssystem zulässige Lösung (0,36, 0,38, 0 , 2 6 ) ab. Sie besagt, d a ß im Gleichgewichtszustand der Marktanteil für die Zeitschrift A 36 Prozent, für Β 38 Prozent und für C 26 Prozent betragen wird. D a s Ergebnis überrascht nicht, hatten wir es doch bereits in Kapitel I mit andersartigen Überlegungen ermittelt. 4.3. Grundbeispiel 3: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Wir wenden den GAUSS-Algorithmus a u f den Gleichungsteil des Restriktionssystems an, das wir im Zusammenhang mit dem Grundbeispiel „Innerbetriebliche

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

97

Leistungsverrechnung" aufgestellt haben. Den Ausgangspunkt bildet das folgende Tableau: XF

X,

RS

10,00 250,00 - 40,00 200,00

-100,00 -100,00 600,00 400,00

10000,00 25000,00 20000,00 55000,00

XD

-

(150,00) 15,00 10,00 125,00

-

U n t e r Verwendung des markierten Koeffizienten als Pivotelement ergibt sich daraus: XD

1,00 0,00 0,00 0,00

F

X]

RS

-0,07 (249,00) -40,67 208,33

-0,67 -110,00 593,33 483,33

66,67 26000,00 20666,67 46666,67

X

Dabei haben wir auf zwei Stellen nach dem K o m m a gerundet. Benutzt man wieder den markierten Koeffizienten als Pivotelement, so folgt dann (ebenfalls auf zwei Stellen gerundet): D

Xf

X]

RS

1,00 0,00 0,00 0,00

0,00 1,00 0,00 0,00

-0,70 -0,44 575,37 575,37

73,63 104,42 24912,98 24912,99

X

Dieses umgeformte Gleichungssystem enthält nun einen Widerspruch. Subtrahiert m a n nämlich - lösungsneutral - die dritte von der vierten Gleichung, so gelangt m a n zu der neuen vierten Gleichung: XD

Xp

X,

RS

0,00

0,00

0,00

0,01

D a r a u s könnte m a n die Schlußfolgerung ziehen, das betrachtete Gleichungs- bzw. das gesamte Restriktionssystem besäße ü b e r h a u p t keine Lösung. Damit wäre aber auch die ursprüngliche Aufgabenstellung der Leistungsverrechnung nicht lösbar. Bei genauer Analyse erweist sich diese Folgerung jedoch als falsch, denn es existiert - wie wir noch sehen werden - tatsächlich eine Lösung. Wie Sie möglicherweise schon selbst festgestellt haben, ist unser Ergebnis auf mangelnde Rechengenauigkeit bzw. Rundungsfehler zurückzuführen. Offensichtlich k a n n das Eintreten eines solchen Falles, bei dem ein lösbares Gleichungssystem als unlösbar (oder ein unlös-

98

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

bares System als lösbar) ausgewiesen wird, in der ö k o n o m i s c h e n Praxis zu schwerwiegenden Fehlentscheidungen führen. Zwar arbeiten C o m p u t e r , auf deren Einsatz m a n bei der A u f l ö s u n g von Gleichungssystemen in der Praxis angewiesen ist, mit einer weitaus g r ö ß e r e n Rechengenauigkeit, letztlich b e h o b e n wird diese Schwierigkeit d a d u r c h j e d o c h nicht zwingend. Tatsächlich sehen sich Anwender entsprechender C o m p u t e r s o f t w a r e gelegentlich solchen Situationen gegenüber. Es gibt deshalb auch eine ganze Reihe von Veröffentlichungen d a r ü b e r , wie m a n im Z u s a m m e n h a n g mit linearen Gleichungs- und Optimierungssystemen Rechenfehler „in den G r i f f " b e k o m m t (vgl. etwa MÜLLER-MERBACH [1970]). In unserem Fall wäre es etwa sinnvoll gewesen, das Ausgangssystem - quasi in einer Vorstufe - auf überflüssige Gleichungen hin zu untersuchen. Ersetzt m a n die vierte Gleichung d u r c h die S u m m e dieser G l e i c h u n g u n d der ersten drei Gleichungen (lösungsneutrale U m f o r mung), so erhält m a n : X

D

150,00 -15,00 -10,00 0,00

X

F

-10,00 250.00 -40,00 0,00

I

RS

-100,00 -100,00 600,00 0,00

10000,00 25000,00 20000,00 0,00

X

Die vierte Gleichung ist nun eine Nullgleichung u n d k a n n weggelassen werden. Wendet m a n a n a l o g zu unserer oben dargestellten Vorgehensweise wieder den GAUSS-Algorithmus an, so erhält m a n nach drei Pivotschritten die folgende kanonische F o r m : X

D

*F

1,00 0,00 0,00

0,00 1,00 0,00

I

RS

0,00 0,00 1,00

103,77 123,55 43,30

X

H ä t t e n wir im übrigen von dem Tableau ausgehend, das den W i d e r s p r u c h enthielt, stur weitergerechnet, so hätten wir d a s gleiche Tableau, allerdings mit einer zusätzlichen Nullzeile, erhalten. Die Rundungsfehler hätten sich damit gegenseitig k o m p e n siert. A u c h d a s m u ß natürlich bei Fragestellungen der Praxis nicht i m m e r so sein. Interpretieren wir abschließend noch das E n d t a b l e a u . D a n a c h sind p r o Leistungseinheit des Dampferzeugungsbetriebes D M 103,77, p r o Leistungseinheit des F u h r p a r k s D M 123,55 und p r o Leistungseinheit des Instandhaltungsbetriebes D M 43,30 als Kosten anzusetzen. 4.4. Grundbeispiel 4: Produktionsprogrammplanung Wir h a b e n Ihnen zwar bisher kein Verfahren vorgestellt, mit dem Sie die Optimier u n g s a u f g a b e aus d e m Grundbeispiel 4 lösen k ö n n e n . Allerdings reichen Ihre Kenntnisse aus, u m dessen Restriktionssystem graphisch zu analysieren. In der A b b . 11-17 ist die d u r c h die Restriktionen W t , W 2 , B 1 ; B 2 , N 1 ; N 2 definierte Lösungsmenge dargestellt. Jeder Punkt innerhalb u n d auf dem R a n d der d u r c h den Streckenzug Ö Ä B C D Ö begrenzten Fläche repräsentiert ein ganz bestimmtes, reali-

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme X

99

H

Abb. 11-17: Durch das Restriktionssystem des Grundbeispiels „ P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g " beschriebene Lösungsmenge (stark umrandet und schraffiert ausgefüllt)

sierbares Produktionsprogramm (x^, xg). Man sieht sofort, daß die Menge dieser Lösungspunkte sich nicht verändert, wenn man die Restriktion W t entfernt. Anders ausgedrückt: Sie ist redundant. Wo liegen nun aber die - im Hinblick auf die unterstellte Zielfunktion - guten oder sogar optimalen Lösungspunkte? In Abb. 11-18 haben wir noch einmal die Lösungsmenge des Restriktionssystems eingezeichnet. Außerdem finden Sie dort zwei

100

Kapitel II: Lineare Restriktionssysleme X

H

Abb. 11-18: Lösungsmenge des Grundbeispiels „Produklionsprogrammplanung" und verschiedene Zielwertgeraden G e r a d e n G u n d G'. G repräsentiert alle P u n k t e ( P r o d u k t i o n s p r o g r a m m e ) , die den k o n s t a n t e n Zielwert ( U m s a t z ) von x 0 = 150000 D M bringen, also auf der d u r c h G : 200x H + 150x D = 150000 definierten G e r a d e n liegen. Natürlich h a n d e l t es sich nicht bei allen P u n k t e n auf dieser G e r a d e n mit k o n s t a n t e m Zielwert, die wir auch eine Zielwertgerade nennen wollen, u m L ö s u n g e n des Restriktionssystem, sondern nur bei solchen, die innerh a l b bzw. auf d e m R a n d der schraffierten F l ä c h e liegen. W i r h a b e n sie dick eingezeichnet. Die zweite, weiter v o m K o o r d i n a t e n u r s p r u n g entfernt u n d parallel zu G verlaufende G e r a d e G ' veranschaulicht diejenigen P u n k t e , welche die G l e i c h u n g G ' : 200x H + 150X d = 300000 erfüllen, also einen h ö h e r e n k o n s t a n t e n Zielwert gewährleisten. D a r a u s läßt sich schließen: - Sämtliche zu einer Zielfunktion g e h ö r e n d e Zielwertgeraden verlaufen parallel. - H ö h e r e Zielwerte repräsentierende Zielwertgeraden liegen f ü r den Fall nichtnegativer Koeffizienten in der Z i e l f u n k t i o n weiter v o m K o o r d i n a t e n u r s p r u n g (in R i c h t u n g größerer Achsenabschnitte) e n t f e r n t als Zielwertgeraden niedrigerer Zielwerte. - D u r c h jeden L ö s u n g s p u n k t läuft genau eine Zielwertgerade.

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

101

Ein Lösungspunkt ist offensichtlich optimal, wenn es zu der durch ihn verlaufenden Zielwertgeraden nur noch weiter vom Koordinatenursprung entfernt liegende Zielwertgeraden gibt, die keine Lösungspunkte mehr aufweisen. Ein solcher optimaler Lösungspunkt ist der (Eck-)Punkt Β mit den Koordinaten xfi = 800 xg = 1600. D a n a c h sollte die Fahrradfabrik in dem betrachteten M o n a t 800 Herren- und 1600 D a m e n r ä d e r herstellen. Der maximale Zielwert (Umsatz) beträgt dann x 0 = 2 0 0 - 8 0 0 + 1 5 0 - 1 6 0 0 = 400000

(DM).

Die Steigung der Zielwertgeraden wird nun - wie Sie sich leicht klarmachen können - durch das Verhältnis der Koeffizienten von x H und x D in der Zielfunktion bestimmt. Was geschieht nun, wenn sich dieses Verhältnis ändert? Nehmen wir etwa an, der Absatzpreis des Damenrades sei auf 200 D M gestiegen. In A b b . 11-19 haben wir wieder die durch das Restriktionssystem beschriebene Lösungsmenge sowie die einen Zielwert in H ö h e von 150000 repräsentierende Ziel wertgerade G: 2 0 0 x „ + 2 0 0 x D = 1 5 0 0 0 0 eingezeichnet.

X

H

Abb. H-19: L ö s u n g s m e n g e d e s G r u n d b e i s p i e l s „ P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g " u n d verschiedene Zielwertgeraden für veränderte Absatzpreise

Wir wissen außerdem, d a ß bessere Lösungspunkte, sofern sie existieren, auf zu G parallelen Zielwertgeraden liegen, die (in Richtung größerer Achsenabschnitte)

102

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

weiter vom Koordinatenursprung entfernt sind. Deshalb verschieben wir G solange parallel nach rechts, wie wir noch Lösungspunkte auf der Geraden finden können. G' markiert die Position, von der an keine weitere Parallelverschiebung mehr möglich ist. Jenseits von G' verlaufen nur noch Zielwertgeraden, zu denen es keine Lösungspunkte mehr gibt. G' fällt nun aber gerade mit der Begrenzungsgleichung einer nicht redundanten Restriktion (nämlich von W 2 ) zusammen. Damit sind sämtliche zwischen Β und C liegenden Punkte, aber auch die (Eck-)Punkte Β und C selbst optimal. Der zugehörige Periodenumsatz beträgt - wie Sie sich durch Einsetzen der Koordinaten eines solchen Punktes in die neue Zielfunktion x 0 = 200x H + 200X D überzeugen können - 480000 DM. Man schließt nun sofort für den zweidimensionalen Fall: N u r wenn das Verhältnis der Koeffizienten der Zielfunktion gleich dem Verhältnis der Koeffizienten einer nicht redundanten Restriktion ist, können mehrere optimale Lösungspunkte vorkommen. (Entsprechende höherdimensionale Situationen sind wesentlich komplizierter zu beschreiben.) Ansonsten existiert stets nur ein optimaler Lösungspunkt, und der ist ein Eckpunkt der Lösungsmenge. Aber auch wenn es mehr als einen optimalen Lösungspunkt gibt, gibt es immer auch einen optimalen Eckpunkt (in unserem Fall Punkt Β bzw. C). (Diese hier nur für den zweidimensionalen Fall demonstrierte Aussage über einen optimalen Eckpunkt läßt sich tatsächlich auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinern.) M a n könnte deshalb auf die Idee kommen, ein Optimierungsproblem dadurch zu lösen, daß man „einfach" die Koordinaten aller Eckpunkte der Lösungsmenge ermittelt (die je durch die Schnittpunkte der zu den Ungleichungsrestriktionen gehörenden Begrenzungsgeraden bzw. durch die zu den jeweiligen Gleichungsrestriktionen gehörenden Geraden festgelegt sind), die zugehörigen Zielwerte ausrechnet und dann die beste Lösung auswählt. In dem vorliegenden Grundbeispiel wären das die Punkte mit den Koordinaten 0 2000 Setzt man diese Koordinaten in die ursprüngliche Zielfunktion ein, dann ergeben sich die zugehörigen Zielwerte 0, 160000, 400000, 380000, 300000, und wir erkennen wieder den Punkt mit den Koordinaten (800,1600) als optimale Lösung des betrachteten Optimierungssystems. Tatsächlich kann bei ökonomischen Untersuchungen der Praxis die Anzahl der Eckpunkte aber so groß werden, daß selbst modernste Rechenanlagen mit ihrer Ermittlung überfordert sind. Wir werden uns später deshalb einem geeigneteren Verfahren zuwenden. Zunächst haben Sie in diesem Abschnitt aber ein Verfahren zur graphischen Bestimmung einer optimalen Lösung eines Maximierungssystems mit zwei Variablen kennengelernt: - Man stellt zunächst die durch die Restriktionen definierte Lösungsmenge graphisch dar. Ist die Menge (bei einem Widerspruch zwischen Restriktionen) leer, so hat das System keine Lösung, und es existiert folglich auch keine optimale Lösung.

103 - Andernfalls zeichnet man als nächstes eine durch die Lösungsmenge verlaufende Zielwertgerade ein, wobei man im Prinzip den jeweiligen Zielwert beliebig vorgeben kann, - Schließlich nimmt man eine Parallelverschiebung der Zielwertgeraden in Richtung größerer Ziel werte so lange vor, wie auf der Ziel wertgeraden noch Lösungspunkte liegen. (Sind die Zielkoeffizienten sämtlich nichtnegativ, geschieht das in Richtung größerer Achsenabschnitte.) Gewöhnlich tangiert die verschobene Zielwertgerade die Lösungsmenge in einem Eckpunkt. Dessen Koordinaten sind die gesuchten optimalen Variablenwerte. Möglicherweise tangiert die Zielwertgerade die Lösungsmenge aber auch in einer Verbindungsstrecke zwischen zwei Eckpunkten. Dann repräsentiert jeder Lösungspunkt dieser Strecke (einschließlich der Eckpunkte) eine optimale Lösung des Maximierungssystems. Minimierungsaufgaben löst man analog, wobei die zunächst eingezeichnete Zielwertgerade lediglich möglichst weit in die entgegengesetzte Richtung verschoben werden muß.

5. Literaturhinweise Weitere bzw. weiterführende theoretische Überlegungen über lineare Restriktionssystemc, insbesondere im Zusammenhang mit Ungleichungen, finden Sie in JAEGER/WENKE [1969, S. 2 5 7 - 2 6 4 ] , G A L E [ 1 9 6 0 , S . 4 2 - 6 9 ] , ZOUTENDIJK [ 1 9 7 6 , S. 1 3 - 1 9 ] , G A L [ 1 9 7 9 , S. 6 2 - 7 5 ] , DÜCK/KÖRTH/RUNGE/WUNDERLICH

[ 1 9 8 0 , S. 2 6 2 - 2 8 2 ] , G A L / K R U S E / V O G E L / W O L F

[1983,

S. 201-230], Numerische Aspekte sind ausführlich in GILL/MURRAY/WRIGHT [1981] behandelt. Einfache betriebliche Situationen, die zu linearen Restriktionssystemen führen, sind in J A E G E R / W E N K E [ 1 9 6 9 , S. 3 2 - 4 1 ]

beschrieben.

Die Gesamtheit aller nichtnegativen Lösungen eines linearen Gleichungssystems, die hier nicht behandelt wird, finden Sie (in spezieller Form) in JAEGER/WENKE [1969, S. 114-127].

Wiederholungsfragen 1. Was versteht man unter einem linearen Gleichungssystem in kanonischer Form? Geben Sie in diesem Zusammenhang auch eine Definition der Begriffe „Basisvariable", „Nichtbasisbariable", „Freiheitsgrad" und „Basislösung"! 2. Welche lösungsneutralen Einzelumformungen für lineare Gleichungssysteme kennen Sie? 3. Welche dieser Einzelumformungen verwendet man beim Pivotieren? 4. Welche Fälle können in bezug auf die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems auftreten? 5. Welche Grundidee liegt dem modifizierten GAUSS-Algorithmus zugrunde? Skizzieren Sie kurz seine Anwendungsvoraussetzungen und seinen Ablauf! 6. Wie erkennt man bei Anwendung des GAUss-Algorithmus, daß ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt? 7. Welche lösungsneutralen Umformungen kennen Sie für lineare Ungleichungssysteme?

104

K a p i t e l II: L i n e a r e R e s t r i k t i o n s s y s t e m e

8. Was versteht man unter gleichgerichteten Ungleichungssystemen bzw. N N Gleichungssystemen? 9. Wie lassen sich beliebige gemischte Restriktionssysteme auf gleichgerichtete Ungleichungssysteme bzw. NN-Gleichungssysteme umformen? 10. Was versteht man in diesem Zusammenhang unter Schlupfvariablen und welche Typen davon kennen Sie?

Übungsaufgaben Aufgabe II-l Gegeben sei das Gleichungssystem 2X1+4X2= 8 5 x , + 2 X 2 = 10

(G,) (G2).

a) Stellen Sie die Lösungen der Gleichungen graphisch dar! b) Welcher der in bezug auf die Lösungsgesamtheit von Gleichungssystemen besprochenen Fälle liegt hier vor? Aufgabe II-2 Gegeben sei das Gleichungssystem Xi

+ 4x 4 + 2X5 = — 2 x2 + 2x 4 — x 5 = — 6 x 3 — 2x 4 + x 5 = 4.

Geben Sie die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems in Parameterform an! Aufgabe II-3 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Gleichungssystems in Parameterform Xj — 2x 3 + x 4 = 6 2x t + x 2 — 2x 3 = 4 x

i

-

x3

+

x5 = - 2 .

Wie lautet die zu der vorliegenden kanonischen Form gehörende Basislösung? Aufgabe II-4 Zeigen Sie, daß die beiden Gleichungssysteme χ,

= 4 -,

, und

x2 = 2 äquivalent sind!

2x, + 4x 2 = 16 Xj +

x2 =

6

Kapitel II: L i n e a r e Restriktionssysteme

105

Aufgabe II-5 Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Gleichungssysteme in Parameterform: a)

4 x : + 2x 2 + x 3 — 6X 4 — 3x 5 =

8

— 3X[ — 4X 2 — x 3 + 2X 4 — 2X 5 = 10, b)

4X] + 4X 2 — 6x3 = 0

2 x j + 8X2

=0

4x 2 + 2X 3 = 0 ! Aufgabe II-6 Gegeben sei das Gleichungssystem 2 x , + 4X 2 + 4 X 3 = 1 X!

+ 2x 3 = 0 + 2X 2 +

x 3 = 0.

Bestimmen Sie f ü r dieses Gleichungssystem sowie für diejenigen Systeme, die sich d a d u r c h ergeben, d a ß m a n die rechten Seiten in b12 = 0 b22 = l b23 = 0 bzw. b13 = 0 b23 = 0 b33 = l verändert, jeweils die allgemeine L ö s u n g (sofern das möglich ist)! Aufgabe II-7 Ü b e r f ü h r e n Sie das Restriktionssystem 2x j - 4X 2 + 8 X 3 + 16X 4 = 160 X! — 2X 2 — x 3 + 4XJ

+8X

3

+

2x1 — 2X 2 — 2X 3 +

4x4 G

80

X4^100

2X4=

40

in ein gleichgerichtetes Ungleichungssystem, das nur Aufgabe II-8 Gegeben sei das Restriktionssystem 2xl + 4 x 2 + -4X!+ X! +

χ,,

X3

^

20

x 2 + 2X 3 + 2X 4 ^ - 40 x 2 — 4X 3

^

10

x3,

x4 ^

0.

-Restriktionen aufweist!

106

Kapitel II: Lineare Restriktionssysteme

Formen Sie dieses Restriktionssystem in ein Hilfssystem vom Typ eines NN-Gleichungssystems um! Aufgabe II-9 Gegeben sei das Restriktionssystem 3x! + 4X2 -

x3 ^ + 2 X

2x1

x2

3

10 ^ - 1 0

^

0.

Bringen Sie dieses Restriktionssystem auf die Gestalt - eines gleichgerichteten Ungleichungssystems, - eines NN-Gleichungssystems! Aufgabe 11-10 Bestimmen Sie graphisch eine optimale Lösung für das in Aufgabe 1-5 aufgestellte Optimierungssystem, und interpretieren Sie diese im Hinblick auf die zugrundeliegende Problemstellung!

Kapitel III: Vektoren Gliederung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Lernziele Der Begriff des Vektors Gleichungen und Ungleichungen zwischen Vektoren Einfache Rechenoperationen f ü r Vektoren Innere Produkte von Vektoren Linearkombinationen von Vektoren 6.1. Der Begriff der Linearkombination 6.2. Linearkombinationen und Restriktionssysteme 6.2.1. Linearkombinationen und Gleichungssysteme 6.2.2. Linearkombinationen und gleichgerichtete Ungleichungssysteme 7. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 7.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit in allgemeinen Vektorsystemen 7.2. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit in linearen Gleichungssystemen 8. Vektorraum, Basis und Rang 9. Zur Geometrie der Vektorrechnung 10. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

109 109 111 112 116 118 118 121 121 129 131 131 137 142 149 153 153 154

K a p i t e l III: V e k t o r e n

109

In diesem Kapitel behandeln wir ein Stoffgebiet, das zunächst völlig von dem bisher Dargestellten losgelöst zu sein scheint. Es handelt sich dabei um die Vektorrechnung, die manchem von Ihnen vielleicht schon aus der Schule bekannt ist und die sich zur Beschreibung von (ökonomischen) Sachverhalten und zu deren genauerer Analyse hervorragend eignet. Wir beginnen damit, d a ß wir zunächst erläutern, was wir hier unter einem Vektor verstehen wollen (Abschnitt 2). Anschließend definieren wir gewisse Relationen zwischen Vektoren (Abschnitt 3). Einfache Rechenoperationen wie Addition und Subtraktion von Vektoren sowie ihre Multiplikation mit Zahlen bzw. Zahlenvariablen sind der Gegenstand des d a n n folgenden Abschnitts 4. Eine komplexere Rechenoperation, die sog. Linearkombination, ergibt sich, wenn bestimmte einfache Rechenoperationen kombiniert werden. Sie wird in Unterabschnitt 6.1 vorgestellt. Mit ihrer Hilfe läßt sich d a n n auch wieder der Zusammenhang zwischen Vektoren und linearen Restriktionssystemen herstellen (Abschnitt 6.2). In den Abschnitten 7 u n d 8 führen wir die Begriffe „lineare (Un-)Abhängigkeit", „Vektorraum", „ R a n g " und „Basis" ein, die zur Charakterisierung von Vektorsystemen herangezogen werden können. Auch hier arbeiten wir wieder die Beziehungen zu linearen Gleichungssystemen heraus. Das Kapitel schließt mit der geometrischen Interpretation einiger ausgewählter Rechenoperationen für Vektoren. D a die Überlegungen dieses Kapitels relativ abstrakt und ohne direkten Anwendungsbezug sind, verzichten wir auf eine Weiterführung der Grundbeispiele.

1. Lernziele Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie angeben können, - was man unter einem „Vektor" versteht und wie man Vektoren abkürzt, - wie man die Rechenoperationen „ A d d i t i o n " , „ S u b t r a k t i o n " , „ N e g a t i o n " , „Multiplikation mit einem S k a l a r " und „ L i n e a r k o m b i n a t i o n " in bezug auf Vektoren definiert und numerisch a u s f ü h r t , - wie man lineare Gleichungssysteme unter Verwendung von Vektoren aufschreibt, - wie man bei unterschiedlichen Restriktionssystemen aus vorgegebenen Lösungen zu weiteren Lösungen gelangt, - wie man für Vektorsysteme „lineare Abhängigkeit", „lineare Unabhängigkeit", „Vektorsystem", „ R a n g " und „Basis" definiert. Außerdem sollten Sie für zahlenmäßig vorgegebene Vektorsysteme mit Hilfe numerischer Untersuchungen Fragen - nach „linearer (Un-)Abhängigkeit", „ R a n g " und „Basis" sowie - nach Möglichkeiten zur Darstellung bestimmter Vektoren als Linearkombination von Vektoren des Systems beantworten können.

2. Der Begriff des Vektors Unter einem Vektor oder Tupel der Dimension m (kürzer: m -Vektor, m-dimensionaler Vektor oder m -Tupel) wollen wir hier einfach eine endliche Folge von m mathematischen Größen, die m a n in diesem Z u s a m m e n h a n g auch Glieder oder (Skalar-)

110

Kapitel III: Vektoren

Komponenten nennt, verstehen. Diese Glieder, bei denen es sich hauptsächlich u m Zahlen oder Variablen handelt, lassen sich auf zwei verschiedene Weisen aufschreiben, nämlich nebeneinander (Zeilenschreibweise) oder untereinander (Spaltenschreibweise), wobei m a n stets zur Verdeutlichung der Zusammengehörigkeit Begrenzungsklammern verwendet:

Bei der Zeilenschreibweise werden manchmal auch die K o m m a t a durch auffällige A b s t ä n d e zwischen den Gliedern ersetzt; verwendet m a n K o m m a t a , so m u ß m a n Dezimalbrüche mit dem (angelsächsischen) Dezimalpunkt schreiben, oder m a n m u ß als Abstandssymbol Semikola benutzen. Innerhalb eines geschriebenen Textes empfiehlt sich aus G r ü n d e n der Platzersparnis die Zeilenschreibweise; im Zusamm e n h a n g mit der im nächsten Kapitel zu behandelnden Matrizenrechnung ist jedoch meist die Spaltenschreibweise erforderlich. A u s diesem G r u n d e nehmen m a n che Autoren automatisch alle auftretenden Vektoren als Spaltenvektoren an; auch bei uns wird d a s meist der Fall sein. Will m a n auf die jeweilige Schreibweise Bezug nehmen, so spricht m a n auch von einem Zeilenvektor bzw. einem Spaltenvektor. Beispiel III-l In den vorstehenden Kapiteln haben Sie bereits ständig mit Vektoren zu tun gehabt. O h n e d a ß wir explizit diesen N a m e n verwendeten, definierten wir Lösungen von Restriktionssystemen als solche.

Zur Vereinfachung der Schreibweise und Konzentration der Betrachtungsweise kürzt m a n häufig Vektoren durch einen einzigen (hier im Text stets fettgedruckten) Buchstaben ab, bei unbestimmten Gliedern in der Regel unter Verwendung des gleichen Buchstabens, wie er auch für die indizierten Glieder angenommen wurde; also beispielsweise

Die besondere Nützlichkeit der Vektorrechnung besteht nämlich darin, daß m a n vektorielle Z u s a m m e n h ä n g e sowohl innerhalb der Mathematik als auch in mathematischen Modellen der Realität kurz und p r ä g n a n t mit einigen wenigen Symbolen beschreiben u n d analysieren kann, ohne dabei zunächst auf formale oder numerische Details (insbesondere bezüglich der Skalarkomponenten) Rücksicht nehmen zu müssen. M a n arbeitet also so lange, wie es geht, mit einem einzigen Symbol pro Vektor oder, wie m a n auch sagt, komponentenfrei. Auch die Vektoren von Variablen, also ζ. Β. χ, stellt man sich dabei gedanklich als ein einziges mathematisches Objekt, eine vektorielle Variable, vor. Erst am Schluß, d . h . nach Abschluß aller allgemeinen mathematischen Überlegungen und den daraus resultierenden U m f o r mungen, setzt m a n die konkreten Zahlen f ü r die Skalarkomponenten ein.

Kapitel III: Vektoren

111

3. Gleichungen und Ungleichungen zwischen Vektoren Zu den einfachsten Formen der Analyse vektorieller Gegebenheiten gehört der Größenvergleich ihrer entsprechenden Glieder. Insbesondere interessiert häufig die Frage, ob die Gleichheitsrelation oder gewisse größenmäßige Ungleichheitsrelationen zwischen betrachteten Vektoren gliedweise erfüllt sind. Dabei wollen wir immer davon ausgehen, d a ß jeder der zu vergleichenden Vektoren die gleiche Dimension besitzt. Wir wollen dann auch sagen, die betrachteten Vektoren seien gleichdimensioniert. Beispiel III-2 Gegeben seien

a, c und d sind gleichdimensioniert, ebenso b, f und g. Dagegen sind a und b nicht gleichdimensioniert.

Die Gleichheitsrelation zwischen Vektoren definieren wir nun wie folgt: ,, = "-Relation zwischen gleichdimensionierten Vektoren (Gleichheit von Vektoren) / ai \

κ a =

/ b . \

d

b

1 \ l \ \

\a

m

/

)

\

\b

m

/

/

:

aj = bj a2 = b2 am = b m .

Einer Gleichung zwischen zwei Vektoren (hier symbolisiert durch ein fettgedrucktes Gleichheitszeichen) entsprechen danach m Gleichungen zwischen ihren Gliedern (und umgekehrt). Sind diese Gleichungen für ein bestimmtes Vektorpaar a und b sämtlich erfüllt, so sagen wir, a und b seien gleich. Beispiel III-3 Die Vektoren a und d aus Beispiel 111-2 sind gleich, a und c sind nicht gleich.

Analog kann man in bezug auf die Definition bestimmter Ungleichungen zwischen Vektoren vorgehen, wobei wir wiederum durch Fettdruck das vektorielle Vergleichen symbolisieren wollen: „ ^ " - R e l a t i o n zwischen gleichdimensionierten Vektoren ( „ ^ " - R e l a t i o n entsprechend)

112

Kapitel III: Vektoren

Hierbei m u ß n o c h d a r a u f a u f m e r k s a m gemacht werden, d a ß in der L i t e r a t u r anstelle v o n bzw. a u c h die Schreibweise , , < " bzw. „ > " üblich ist, in der fortgeschrittenen Theorie j e d o c h definitorische Unterschiede gemacht w e r d e n . Sind f ü r zwei Vektoren a u n d b wieder die „ ^ " - R e l a t i o n e n zwischen sämtlichen „ents p r e c h e n d e n " G l i e d e r p a a r e n erfüllt, so heiße a gliedweise höchstens so groß wie b bzw. b gliedweise mindestens so groß wie a. D e r Hinweis auf die Glieder soll dabei b e t o n e n , d a ß der Größenvergleich sich hier nicht auf die später (vgl. A b s c h n i t t 9 dieses Kapitels) e i n g e f ü h r t e n Längen v o n Vektoren bezieht. Beispiel III-4 Für die Vektoren aus Beispiel III-2 gilt u.a.: -

b g a d b

ist ist ist ist ist

höchstens so groß wie g, mindestens so groß wie b, mindestens so groß wie d, mindestens so groß wie a, höchstens so groß wie f.

4. Einfache Rechenoperationen für Vektoren In diesem A b s c h n i t t wollen wir eine Reihe v o n einfachen R e c h e n o p e r a t i o n e n f ü r Vektoren definieren, nämlich die A d d i t i o n , die S u b t r a k t i o n , die N e g a t i o n u n d die M u l t i p l i k a t i o n mit einer Zahl. Wenn dabei mehrere Vektoren gleichzeitig verwendet w e r d e n , so setzen wir wieder stets voraus, d a ß jeder von ihnen die gleiche A n z a h l v o n Gliedern besitzt. Gelegentlich bringen wir diesen U m s t a n d a u c h d u r c h verbale Zusätze wie „ a d d i e r b a r " u n d „subtrahierbar" z u m A u s d r u c k . Die S y m b o l e f ü r alle diejenigen O p e r a t i o n e n , a n denen ausschließlich Vektoren beteiligt sind, kennzeichnen wir dabei ebenfalls d u r c h F e t t d r u c k . Z u n ä c h s t definieren wir die A d d i t i o n zweier Vektoren a u n d b wie folgt: A d d i t i o n von gleichdimensionierten Vektoren

Es werden also jeweils die „ e n t s p r e c h e n d e n " Glieder addiert. D a es sich bei diesen G l i e d e r n a u s n a h m s l o s u m (bestimmte o d e r unbestimmte) Z a h l e n bzw. um Zahlenvariablen handelt, folgt d a r a u s sofort: Rechengesetze bezüglich der vektoriellen A d d i t i o n Vektoren Kommutativgesetz a + b= b + a Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c)

gleichdimensionierter

Kapitel III: Vektoren

113

Es läßt sich also sofort die S u m m e von m e h r als zwei addierbaren Vektoren bilden, o h n e d a ß dabei Besonderheiten in bezug auf die Reihenfolge der S u m m a n d e n oder in bezug auf die K l a m m e r b i l d u n g zu beachten wären. Insbesondere kann m a n auch das Summenzeichen mit allen d a f ü r geltenden Regeln benutzen. Beispiel III-5 Für die Vektoren b, f und g aus Beispiel II 1-2 gilt etwa

A n a l o g definiert m a n die vektorielle S u b t r a k t i o n : S u b t r a k t i o n von gleichdimensionierten Vektoren

M a n subtrahiert also einen Vektor b von einem Vektor a, indem m a n jedes der Glieder von b jeweils von dem betreffenden Glied von a subtrahiert. Beispiel II 1-6 Für die Vektoren a und c aus Beispiel III-2 ergibt sich etwa

oder

(1

Subtrahiert m a n einen Vektor mit m Gliedern von sich selbst, so ergibt sich - wie m a n aus d e m vorstehenden Beispiel e n t n e h m e n k a n n - ein aus m Nullen bestehender Vektor

Ein derartiger Vektor wird auch (m-)Nullvektor g e n a n n t und mit 0 abgekürzt. I h m k o m m t in der Vektorrechnung die Rolle zu, die die Zahl Null beim Rechnen mit reellen Zahlen einnimmt. Weiterhin sei definiert:

114

Kapitel III: Vektoren

Negation eines Vektors

—a (-a,,,)

Beispiel III-7 In bezug a u f den Vektor b aus Beispiel III-2 gilt

-m

Wie beim Rechnen mit reellen Zahlen erhält man auch für Vektoren: Rechengesetze bezüglich Negation und Nullvektor a + ( —a) = 0 0 a = - a Schließlich betrachten wir als letzte „einfache" Rechenoperation: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar t Multip likation von links

t·a

Multip likation von rechts

a ·t

Das Ergebnis wird auch Vielfaches des entsprechenden Vektors genannt. Wir benutzen hier zur visuellen Verdeutlichung Malzeichen, diese werden jedoch später meist weggelassen. Beachten Sie bitte, daß in manchen Büchern über Vektorrechnung nur die Multiplikation mit einem Skalar von links eingeführt oder betont wird; Unterabschnitt 6.2.1 eröffnet aber erst in Verbindung mit der Multiplikation von rechts einen neuartigen Aspekt linearer Gleichungssysteme. In bezug auf diese Rechenoperationen lassen sich direkt die folgenden Rechengesetze angeben:

Kapitel III: Vektoren

115

Rechengesetze bezüglich der Multiplikation von Vektoren a und b mit Skalaren s und t Kommutativgesetz t ·a = a ·t Assoziativgesetz s · (t · a) = (s • t) • a Distributivgesetze (s + t ) - a = s- a + t- a s ( a + b) = s a + s b Als Spezialfälle erhalten wir insbesondere 1

a =

a

(— 1) · a = — a .

Beispiel III-8 Gegeben seien wieder die Vektoren f und g aus Beispiel II 1-2. Es gilt nun etwa

Sofern man also diese einfachen Rechenoperationen für Vektoren verwendet, hat man lediglich die vom Rechnen mit reellen Zahlen her bekannten Rechengesetze zu beachten. Man m u ß allerdings stets darauf achten, daß man keine Ausdrücke zusammenstellt, die nicht in allen Teilen definiert sind.

116

Kapitel III: Vektoren

5. Innere Produkte von Vektoren W ä h r e n d die bisher vorgestellten Rechenoperationen f ü r Vektoren nicht sonderlich überraschend definiert waren, ergeben sich in bezug auf die Multiplikation von Vektoren neue Aspekte. Das innere Produkt (auch skalares Produkt oder Skalarprodukt genannt) zweier gleichdimensionierter Vektoren a und b ist nämlich wie folgt definiert: Inneres P r o d u k t zweier m-Vektoren in der Vektorrechnung

=

(a l 5 a 2 , . . . , a m ) * (b x , b 2 , . . . , b m ) a^,

+ a 2 b 2 + ... + a m b m

Beachten Sie bitte, d a ß die symbolische Schreibweise für die Bildung des inneren P r o d u k t e s in der Literatur uneinheitlich ist; wir halten es jedoch für zweckmäßig, wegen der G e f a h r der Verwechslung mit der Matrizenmultiplikation (siehe Kapitel IV) hier kein gewöhnliches Malzeichen „ • " zu verwenden. Als Ergebnis der Multiplikation ergibt sich in diesem Fall also kein neuer Vektor, sondern ein Skalar, d.h. eine Zahl. F ü r die Konstruktion des inneren Produktes a * b ist es also nach dieser Definition belanglos, ob es sich bei den F a k t o r e n a und b um Zeilenvektoren, Spaltenvektoren oder beides handelt. Wir weisen aber bereits hier d a r a u f h i n , d a ß es bei Wechsel zur Symbolik der im nächsten Kapitel behandelten Matrizenmultiplikation erforderlich sein wird, a als Zeilen- und b als Spaltenvektor aufzufassen. Beispiel III-9 Wir bilden das innere Produkt aus den Vektoren f und g des Beispiels III-2:

A u f den ersten Blick mag das so definierte Produkt zweier Vektoren für Sie vielleicht keinen Sinn ergeben. Bereits im nächsten Kapitel werden wir aber schon darauf z u r ü c k k o m m e n . Im übrigen möchten wir Sie daraufhinweisen, d a ß m a n das lineare

Kapitel III: Vektoren

117

Polynom C

1 X1 +

C

2X2 + •·· +C„X„

der Zielfunktion eines Optimierungssystems bzw. jede linke Seite einer linearen Restriktion a n Xj + a i2 X2 + • · · + a i n x n als inneres Produkt der Vektoren

interpretieren kann. Wenden wir uns nun den Rechengesetzen für das innere Produkt zu. Hier gilt: Rechengesetze für das innere Produkt von gleichdimensionierten Vektoren a, b und c (s ein Skalar) Kommutativgesetz a *b = b * a

Assoziativgesetz s ( a * b) = ( a * b) s = ( s a ) * b = a * ( b s )

Distributivgesetz a * ( b + c) = a * b +

a*c

Das kommutative Gesetz ergibt sich direkt aus der Gültigkeit des kommutativen Gesetzes für Zahlen bzw. Zahlenvariablen. Die übrigen Gesetze beweist m a n durch Ausrechnen. Beispiel 111-10 Für die Vektoren b, f und g aus Beispiel II 1-2 gilt etwa:

118

Kapitel III: Vektoren

Beachten Sie bitte, daß es mit drei Vektoren a, b, c keine Erweiterung des Begriffs „inneres Produkt" geben kann. Es ist nämlich a • (b * c) ein Vielfaches von a, (a * b) · c dagegen ein Vielfaches von c. Bei praktischen Anwendungen ist es manchmal erforderlich, die Glieder eines Vektors a aufzusummieren. Formal kann man das dadurch bewirken, daß man das innere Produkt von a und einem Vektor 1 ¡= ( 1 , 1 , . . . , 1) bildet, der ausschließlich aus Einsen besteht. Beispiel III-ll Die Elemente des Vektors

sollen aufsummiert werden. Wir bilden

und erhalten das gewünschte Ergebnis.

6. Linearkombinationen von Vektoren 6.1. Der Begriff der Linearkombination Die im Abschnitt 4 dieses Kapitels vorgestellten einfachen Rechenoperationen des Addierens und Skalarmultiplizierens von Vektoren lassen sich nun in naheliegender Weise miteinander kombinieren. Wir gehen aus von einer Folge F von η gleichdimensionierten Vektoren (III-l)

a ( l ) , a < 2 ) ,..., a ( n ) ,

die in der Linearen Algebra auch ein (Zeilen- oder Spalten-) Vektorsystem, ein System von Vektoren oder eine Familie von Vektoren genannt wird. Dieser Sprachgebrauch impliziert dabei stets, daß die Reihenfolge des Aufschreibens der Vektoren wichtig wird und der gleiche Vektor mehrmals auftreten kann! Im Grunde genommen ist ein (endliches) System begrifflich auch nichts anderes als ein Vektor (aber man möchte Sprechweisen wie „Vektor von Vektoren" oder „Vektor von Gleichungen" vermeiden). Exakt wäre hier deshalb zwar die definitorische Abkürzung F : = (a' 1 ', a ( 2 ) , . . . , a ( n ) ), aber wir wollen in Zukunft um der optischen Übersichtlichkeit willen auch Schreib-

Kapitel III: Vektoren

119

weisen wie F: a">, a < 2 ) , . . . , a(n> wählen. Hat man außerdem eine Folge ebenso vieler Skalare (III-2)

sl5 s 2 , . . . , s n

ausgewählt, so kann man die folgende Summe von Vielfachen der Vektoren aus (III-l) bilden: (III-3)

s 1 a ( 1 ) + s 2 a ( 2 > + . . . + s n a S! + a ( 2 , s 2 + . . . + a ( n ) s n .

Diese spezielle Kombination der zwei Folgen (III-l) und (III-2) wird eine Linearkombination der Vektoren (genauer: des Vektorsystems) a ( 1 ) , a ( 2 > , . . . , a ( n ) mit den Multiplikatoren (oder: Gewichten) s ! , s 2 , . . . , s n genannt. Im Falle (III-3) spricht man auch von Linksmultiplikatoren, im Falle (III-4) von Rechtsmultiplikatoren. Speziell ist jeder Vektor a ... + 0 • a ( n ) darstellbar. Beispiel III-12 Wir kombinieren die Vektoren a, c und d des Beispiels 111-2 unter Verwendung von Rechtsmultiplikatoren — 1, 1, 2 und erhalten d a n n durch Ausrechnen

Gewisse Eigenschaften des Systems der Multiplikatoren s l 5 s 2 , . . . , sn führen zu der Unterscheidung wichtiger Typen von Linearkombinationen. Eine Linearkombination (III-3) bzw. (III-4) mit η Σ Sj = ι nennt man normiert. Gilt Sj ^ 0

für j = 1 , . . . , n,

so bezeichnet man die entsprechende Linearkombination als nichtnegativ. Eine Linearkombination, die sowohl normiert als auch nichtnegativ ist, nennt man insbesondere konvex. (Man findet in diesem Falle auch die Sprechweise konvexe Kombination oder Konvexkombination.) Beispiel IH-13 Durch

120

Kapitel III: Vektoren ist eine normierte, durch

•0 eine nichtnegative und durch

•0,5 +

0,25 +

0,25

eine konvexe Linearkombination der Vektoren a, c und d aus Beispiel 111-2 gegeben. E i n e L i n e a r k o m b i n a t i o n ( I I I - 3 ) bzw. ( I I I - 4 ) m i t

Sj = 0

für

j = 1,..., η

heißt trivial. Existiert dagegen mindestens ein q mit sq φ 0

für

q e { 1 , . . . , η},

so heißt die L i n e a r k o m b i n a t i o n

nichttrivial.

Beispiel III-14 Durch

ist die triviale Linearkombination der Vektoren a, c und d aus Beispiel 111-2 gegeben. Jede der Linearkombinationen aus Beispiel I II-13 stellt eine nichttriviale Linearkombination dieser Vektoren dar.

Jeder m - V e k t o r

läßt sich, wie wir s o f o r t sehen werden, als L i n e a r k o m b i n a t i o n der m - V e k t o r e n

schreiben. e ( , ) heiße der i-te (Spalten-) Einheitsvektor. M i t A u s n a h m e des i-ten Gliedes, d a s den Wert Eins a n n i m m t , n e h m e n alle Glieder den Wert Null an.

Kapitel III: Vektoren

121

Kanonische Zerlegung oder Zusammensetzung eines Vektors mittels Einheitsvektoren

a = Σ a;e (i) = Σ 1

i= 1

e

°)ai

Beispiel III-15 Für den Vektor a aus Beispiel 111-2 läßt sich schreiben:

6.2. Linearkombinationen und Restriktionssysteme 6.2.1. Linearkombinationen

und

Gleichungssysteme

Einen wichtigen Zusammenhang zu linearen Gleichungssystemen erkennt man sofort, wenn man als zu kombinierende Vektoren

einführt, wobei sich in a¡j der erste Index i auf die Gliednummer und der zweite Index j auf die Vektornummer beziehen soll, und die Variablen x 1? x 2 , . . . , x n als Rechtsmultiplikatoren nimmt. Nach der Definition (III-4) folgt dann sofort:

Kapitel III: Vektoren

122

(III-6)

a ( I ) x 1 + a(2)x2 + ... + a(n>xn=

x2 + . . . +

'alnXn X

n

' a l l x l + a l 2 x 2 + ... + a l n X n \ a

21 X 1 + a 2 2 x 2 + · · · + a 2n X n

i a m l X l + am2X2 + ··· + a m n X n / Die linken Seiten eines Gleichungssystems lassen sich danach als Linearkombinationen des Systems seiner Koeffizienten (spalten)vektoren mit den Rechtsmultiplikatoren Xj, x 2 , . . . , x„ interpretieren. Führen wir als A b k ü r z u n g f ü r die Spalte der rechten Seiten des Gleichungssystems noch den Vektor 'br b:=

1

b

*

ein, so k a n n m a n ein lineares Gleichungssystems auch wie folgt aufschreiben: (III-7)

a ^ X i + a ( 2 ) x 2 + . . . + a ( n ) x n = b.

D a r a u s folgt sofort: Interpretation der Lösung x* bzw. der Unlösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Die Lösungs(skalar)komponenten x* sind die jeweiligen Rechtsmultiplikatoren für eine solche Linearkombination der Koeffizientenspaltenvektoren, die dem Vektor b der rechten Seiten gleich ist. Unlösbarkeit des Gleichungssystems ist gleichbedeutend damit, d a ß eine solche Linearkombination nicht existiert. Beispiel III-16 Das Gleichungssystem GS 6 :

fx, + 2x,2 — 4x, = 4 3

l

X2 +

X3 = ι

aus Beispiel II-l läßt sich unter Verwendung von Vektoren auch wie folgt aufschreiben:

Kapitel III: Vektoren

123

Die Aufgabe der Ermittlung aller Lösungen eines Gleichungssystems ist gleichbedeutend mit der Bestimmung aller Vektoren

derart, daß in (III-7) die entsprechende Linearkombination der Koeffizientenspaltenvektoren dem Vektor b der rechten Seiten gleich ist. Betrachten wir nun die in (II-3) definierte allgemeine Lösung χ eines kanonischen linearen Gleichungssystems, das nach den Basisvariablen x x , x 2 , . . . , x r aufgelöst ist, und fassen zunächst die Basisvariablen durch Definition zu einem Vektor x B zusammen:

so kann man, den oberen Teil der Formel (II-3) zusammenfassend, für x B vektoriell schreiben: (III-8)

x B = b - a < r + " t r + 1 - a (r + 2 ) t r + 2 - . . . - a) 5 ) == 00

0= 0

y

Überprüfung für die 2. Gleichung 2 ( - 2 5 ) + 1 · 60 + 2 · ( — 5) = 0

0= 0

V

Für allgemeine Gleichungssysteme bilden nur bestimmte Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen des Systems.

128

Kapitel III: Vektoren

L i n e a r k o m b i n a t i o n von Lösungen allgemeiner linearer Gleichungssysteme Jede normierte L i n e a r k o m b i n a t i o n von Lösungen eines linearen Gleichungssystems (111-15)

¿ a i j x j = b¡, j= ι

i = l,...,m

ist wieder eine L ö s u n g dieses Systems. Der Beweis l ä u f t völlig a n a l o g zu d e m vorangegangenen: (III-16)

a *χ = b

(b eine Zahl!)

sei eine der Gleichungen von (III-15), und x * ( l ) , x * ( 2 ) , . . . , x * ( 1 ) seien Lösungen von (III-15). Es gilt also (III-17)

a * x*,j) = b

f ü r j = 1 , . . . , 1.

Setzt m a n die normierte Linearkombination ι ι (III-18)

Σ x*(i)Sj j -1

mit

ZSj = l j=l

in die linke Seite von (III-16) ein, so ergibt sich wieder d u r c h schrittweises Anwenden der Rechenregeln f ü r das innere Produkt: a *( ¿

j=i

x*(j)Sj)= ¿

j= ι

(a*x* x n = 0 und damit die eindeutige Lösbarkeit des homogenen Gleichungssystems (III-34). Vielmehr ist auch ein beliebiger m-Vektor b ( # 0), sofern er überhaupt als Linearkombination des Systems (III-33) darstellbar ist, eindeutig als Linearkombination dieses Systems darstellbar. (111-35)

a(1)x, + a(2,x2 + ... + a(n,xn = b.

U n t e r der Voraussetzung der Lösbarkeit an sich besitzt das Gleichungssystem (III-33) folglich genau eine Lösung. Das kann m a n wie folgt einsehen: Hätte (III-35) bei linearer Unabhängigkeit seiner Koeffizientenspalten (III-33) zwei verschiedene Lösungen x * : = (xf, x f , . . . , χ*) und ·— ΙΛί > x 2 > · · ·> x n

138

Kapitel III: Vektoren

so wäre ihre Differenz χ* — χ** (Φ 0) eine nichttriviale Lösung von (III-34), weil aus den wahren Vektorgleichungen a ( 1 ) x * + a < 2 ) x* + . . . + a < n , x* = b a ( 1 ) x f * + a ( 2 ) x * * + . . . + a < n ) x** = b durch Subtraktion beider Seiten die wahre Vektorgleichung a (l>

. ( χ * _ χ **)

+ a (2)

. ( χ * _ χ **)

+

+ a (n) ( x *

_ χ **)

=

Q

folgt, d. h. (111-33) wäre linear abhängig. Dieser Widerspruch löst sich nur, wenn es keine zwei verschiedenen Lösungen gibt. D a m i t können wir als Zwischenergebnis festhalten: Ein lösbares lineares Gleichungssystem, dessen Koeffizientenspalten (III-33) linear unabhängig sind, hat genau eine Lösung. Der Vektor b der rechten Seiten des Systems ist in eindeutiger Weise als Linearkombination der Koeffizientenspalten darstellbar. W ä r e umgekehrt (111-33) linear abhängig, d. h. existierte eine nichttriviale Lösung u*: = (u*, u*, • · ·, u*) Φ (0, 0, . . . , 0 ) von (III-34), u n d würde χ* = (χ*, x j , . . . , x*) eine Lösung von (III-35) sein, so wäre x* + u* eine von x* verschiedene weitere Lösung von (III-35), denn aus den zwei Vektorgleichungen a ( l ) x * + a ( 2 ) x * + . . . + a ( n ) x* = b a(1)u* + a ".) Sind zwischen zwei Matrizen A und Β sämtliche m · η „ " Relationen erfüllt, so heiße A gliedweise höchstens so groß wie Β bzw. Β gliedweise mindestens so groß wie A. Beispiel IV-9 F ü r die Matrizen aus Beispiel IV-3 lassen sich im Hinblick auf die bisher definierten Relationen lediglich die folgenden als wahr angeben:

E¿ D Eál

oder entsprechend P

I

DäE iE

Kapitel IV: Matrizen

171

6. Einfache Rechenoperationen für Matrizen Zu den einfachen Operationen für Matrizen zählen wir auch hier wieder die Addition, die Subtraktion, die Negation und die Multiplikation mit einer Zahl. Als neue Operation kommt noch das Transponieren hinzu. Für zwei gleichdimensionierte Matrizen ist die Addition - wie zu erwarten - wie folgt definiert: Addition von gleichdimensionierten Matrizen am \ a

A+ B

2n

I

/ bn

b12

, I b21

b22

bmi

bm2

..

b,„ b2„

..

a

n + b n , a 1 2 + b 1 2 , . . . , a l n -f b l n a 2 1 + b 2 1 , a 2 2 + b 2 2 , . . . , a2n + b2n

a

m i + b n ,i. a m 2 + b m 2 , . . . , a m n + b mn

Anders ausgedrückt: Zwei Matrizen werden addiert, indem man sie „gliedweise" addiert. Da es sich bei den Gliedern von Matrizen wieder um Zahlen bzw. Zahlenvariablen handelt, sieht man mühelos die Gültigkeit der folgenden Rechengesetze ein: Rechengesetze bezüglich der Addition gleichdimensionierter Matrizen Kommuta tivgesetz A + B = B +A Assoziativgesetz (A + B) + C = A + (B + C). Die Gültigkeit dieser Gesetze sichert wieder, daß bei einer Summe mehrerer addierbarer, d. h. gleichdimensionierter, Matrizen die Reihenfolge der Summanden und die Klammerbildung keine Rolle spielt und daher auch sofort das Summenzeichen verwendet werden kann. Beispiel IV-10 F ü r die Matrizen D, E und G aus Beispiel IV-3 ergibt sich etwa

( 3

3

0

3

! ) •

Eine Matrix A subtrahiert man von einer gleichdimensionierten Matrix B, indem 1 0

172

Kapitel IV: Matrizen

m a n jedes Glied von Β jeweils von dem „entsprechenden" Glied von A, d . h . von dem Glied in gleicher Position, subtrahiert. Subtraktion von gleichdimensionierten Matrizen

Subtrahiert m a n eine (m χ n)-Matrix von sich selbst, so ergibt sich eine (m χ n)Nullmatrix 0, das ist eine Matrix, die ausschließlich Nullen enthält.

Beispiel IV-11 F ü r die Matrizen A und J aus Beispiel IV-3 ergibt sich etwa

- ( : .;)• Subtrahiert man C von sich selbst, so gelangt m a n zu einer (4 χ 3)-Nullmatrix:

c —c = ι

0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

Rechengesetz bezüglich einer Nullmatrix 0 bei gleichdimensionierten Matrizen 0 + A = A + 0 = A Die Negation

von Matrizen definieren wir wie folgt:

Negation von Matrizen

/ au

a

l2

·

21

a

22

·

\

ml

a

m2

·•·

a

-A -

a

•

M a

, „ \

a»,/

/ - a n , - a 1 2 , .. • ι — a i n \ a a ._ / 2 1, ~ a 2 2 , · · ·> — 2n \ \

—

aml

_a

n i 2 i · · ·, - a m n

/

173

K a p i t e l IV: M a t r i z e n Beispiel IV-12 F ü r die M a t r i x D a u s Beispiel IV-3 gilt e t w a

-D = I

i

0

\

0

2

3

- 4"

0

-2 /

-" 2

ΛI

Als Rechengesetze gelten auch hier: Rechengesetze bezüglich der Subtraktion und Negation von gleichdimensionierten Matrizen A + ( — A) = 0 0 A = —A 0 bezeichnet dabei eine Nullmatrix von gleicher Zeilenanzahl und Spaltenanzahl wie A. Schließlich betrachten wir wie in der Vektorrechnung wieder die Multiplikation mit einem Skalar, d . h . einer mathematischen Einzelgröße, die keine Matrix (und auch kein Vektor) ist. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar t MultijDlikation von links / a„ t· A

a12

j 1

a

21

a

\

a

ml

a

22 m2

...

aIn \

···

a

···

a

mn /

a

ιη \

2n

/t-au,t-a a

1 2

t-aln\

t ' 21> t ' 22> • · · . ' ' a 2n 1

1 ._ / \

1

a

' aml> t ' a m 2 , . . . , t ' a m n /

Multijilikation von rechts

A-t

/ ai ι

a

i2

·•·

a

21

a

22

·• ·

a

\aml

a

·•·

a

/

m2

2n

mn /

/ \

j ._

/

a

a

u · t, a 1 2 · t, . . . , a l n · t \ 21 ' t> a 2 2 ' t, · · · , a 2n ' t 1

\ am 1 '

a

m2

' U . · . , amn ' t

J

Auch hier sind die Malzeichen „ · " zur Verdeutlichung hinzugefügt u n d werden später meist weggelassen. M a n sieht sofort, d a ß nach unserer Definition auch hier wieder ein Kommutativgesetz Gültigkeit hat. Dieses und weitere Rechengesetze für die Multiplikation mit Skalaren sind im folgenden aufgelistet.

174

Kapitel IV: Matrizen

Rechengesetze bezüglich der Multiplikation von Matrizen A und Β mit Skalaren s und t Kommutativgesetz t· A = A-t Assoziativgesetz s · (t · A) = (s · t) · A Distributivgesetz (s + t ) - A = s - A + t- A s · (Α + Β) = s · A + s · Β (bei Gleichdimensioniertheit)

Beispiel IV-13 Gegeben seien wieder die Matrizen aus Beispiel IV-3. Es gilt etwa

0 1 0

0 0

F ü r spätere Zwecke (ζ. B. für die in diesem Buch nicht behandelte Dualitätstheorie der Linearen Optimierung) sei noch eine andere wichtige Operation an einer Matrix, das Transponieren (auch: Spiegeln, Stürzen), eingeführt. D a r u n t e r versteht man, d a ß m a n in einer Matrix A die Spalten mit den Zeilen vertauscht. Diese neue Matrix nennt m a n die Transponierte von A. 1

1

Warnung: M a n beachte allerdings, d a ß der Ausdruck „Transposition" sich auch auf die Vertauschung von zwei Zeilen oder von zwei Spalten beziehen kann, vgl. bereits Unterabschnitt 7.2 in diesem Kapitel und Unterabschnitt 2.1 in Kapitel V.

Kapitel IV: Matrizen

175

W i r w o l l e n sie mit A ' a b k ü r z e n . ( G e b r ä u c h l i c h sind a b e r a u c h d i e A b k ü r z u n g e n A 1 , A T oder A1.

T r a n s p o n i e r e n einer M a t r i x /

a

1

\

l l

a21

a

m l

a

/

MH

l 2

a22

a

m2

a

mn

a a

n

12

/

a21

a

22

·

a2n

·

a

•

ml

am2

\

\

- J

Beispiel IV-14

(! i ;;>·•(! i l ) G i l t f ü r eine q u a d r a t i s c h e M a t r i x A = A',

so nennt m a n A a u c h

symmetrisch.

Beispiel IV-15 Die Matrizen E, F, H, I und J aus Beispiel IV-3 sind symmetrisch.

7. Matrizenmultiplikation 7 . 1 . A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n der M a t r i z e n m u l t i p l i k a t i o n W ä h r e n d die b i s h e r v o r g e s t e l l t e n R e c h e n o p e r a t i o n e n f ü r M a t r i z e n keine b e s o n d e ren Ü b e r r a s c h u n g e n b o t e n , ist die M a t r i z e n m u l t i p l i k a t i o n a u f d e n ersten B l i c k e t w a s u n g e w ö h n l i c h definiert. E r f a h r u n g s g e m ä ß bereitet es S t u d e n t e n d e r W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t e n S c h w i e r i g k e i t e n , diese D e f i n i t i o n s o f o r t z u a k z e p t i e r e n , so d a ß wir z u e r s t einige v o r b e r e i t e n d e A u s f ü h r u n g e n m a c h e n w o l l e n . W i r b e t r a c h t e n z u n ä c h s t d a s S y s t e m v o n m l i n e a r e n F u n k t i o n e n in d e n V a r i a b l e n

Yi = a CTV 7)

y2

:

=

1 1

z,+a

a21 Zl +

1 2

z

2

3 2 2 z2

+ ... + a11z, + ···+

a2izi

oder vektoriell abgekürzt

y = f(z)·

Ym = a m l z ¡ + a m 2 z 2 + . . . + a m l z , N u n w o l l e n w i r die A n n a h m e m a c h e n , d a ß die V a r i a b l e n z¡, z 2 , . . . , z, selbst w i e d e r v o n a n d e r e n V a r i a b l e n x l 5 x 2 , . . . , x n a b h ä n g e n . G e n a u e r gelte:

176

Kapitel IV: Matrizen

Zi = b 1 1 x 1 + b 1 2 x 2 + . . . + b l n x n ζ2 = b 2 1 X i + b 2 2 X2 + · · · + b 2 n x n

(IV-8)

oder wieder vektoriell a b g e k ü r z t z = g(x).

z, = b u Xj + b 1 2 x 2 + . . . + b l n x n Beispiel IV-16 Betrachten Sie bitte noch einmal den in Abb. 1-2 dargestellten Produktionsprozeß des Grundbeispiels „Prozeßanalyse". Es soll zunächst untersucht werden, wie viele Mengeneinheiten y! und y 2 der Einsatzgüter E G , und EG 2 erforderlich sind, um z¡ bzw. z 2 Mengeneinheiten der Zwischenprodukte ZP, und ZP 2 zu erstellen. Diese Frage läßt sich offensichtlich mit Hilfe des folgenden Systems linearer Funktionen untersuchen: y, = 4Z[ +

8Z2

y 2 = 3z, +

2Z2.

F ü r die Untersuchung des entsprechenden Zusammenhanges zwischen den Mengeneinheiten z, bzw. z 2 der Zwischenprodukte und den Mengeneinheiten x l 5 \ 2 bzw. x 3 der Fertigprodukte FP,, FP 2 und FP 3 erhalten wir analog z, = 7x, + 4X 2 + 2x 3 z 2 = Ox, + 3X 2 + 2 X 3 .

Welcher f u n k t i o n a l e Z u s a m m e n h a n g besteht d a n n aber zwischen den Variablen y t , y2, • • •, y m u n d den Variablen x l 5 x 2 , . . . , x n ? A n d e r s gefragt: Wie sehen die Koeffizienten der Variablen Xj in dem Ausdruck f(g(z)) - bekannt im eindimensionalen Fall von der Kettenregel der Differentialrechnung unter d e m Stichwort „Funktion von Funktion" - aus? Z u r B e a n t w o r t u n g dieser Frage müssen wir also in (I V-7) die zs d u r c h die rechts in (IV-8) a u f g e f ü h r t e n A u s d r ü c k e substituieren (eine lineare Substitution v o r n e h m e n ) u n d erhalten - u n t e r Verwendung des Summenzeichens - : π η η ( Z + ^ j X ^ + . - . + a n í Z b,jXj) j=l j=l j=l η η η = a 2 i ( Σ b i j X j ) + a 2 2 ( Σ b 2 j X j ) + · · · + a 2 i ( Σ b,jXj) j=i j=i j=i

Υι = a y2

n

η

π

Υπ,= 3 η ι 1 ( Σ b u X ^ + a ^ í S j=i

j=i

η

b 2 jXj) + · · • + a m ] ( Σ b,jXj). J=i

F ü r die i-te G lηe i c h u n g gilt dabei η Vi = a „

η ( Σ b i j X j ) + a ¡ 2 ( Σ b 2 j X j ) + . . . + a¡, ( Σ b.jXj) j=l j=l j =ι

o d e r n o c h kürzer geschrieben und unter Benutzung der Rechenregel f ü r d a s Vertauschen d e r Reihenfolge bei D o p p e l s u m m e n u m g e f o r m t : I Yi =

=

η

k— 1 1 η

Σ

(Σ

k=1 j = 1 η 1

= Σ ( Σ

j = 1 k=1

b k j Xj) j—1

aikbkjXj) aikbkj)Xj.

177

Kapitel IV: M a t r i z e n

W e n n S i e wollen, k ö n n e n wir an dieser S t e l l e a u c h w i e d e r die g a n z a u s f ü h r l i c h e Schreibweise wählen. W i r erhalten dann: I

I

1

Yi = ( Σ a i k Κ ι ) χ ι + ( Σ a i k b k 2 ) x 2 + ··· + ( Σ aIkbkn)xn k—1 k— 1 k- 1 I I ]

(IV-9)

y2 = ( Σ

a2k

bki)xi + ( Σ

k= 1

k=1

I

I

)Xi+(Z

a m k b k 2 ) x 2 + ... + ( Σ

1

Υ·η = ( Σ

k=1

a

m k

b

k l

a 2 k b k 2 ) x 2 + ... + ( Σ

k=1

k=1

a2kb

kn)xn

amkbkn)xn.

k= 1

Beispiel I V - Í 7 W i r setzen das Beispiel I V - 1 6 analog zu unseren letzten Überlegungen fort und setzen ein: y ι = 4 ( 7 x t + 4X 2 + 2X 3 ) + 8 ( 0 x , + 3 x 2 + 2 x 3 ) y 2 = 3 ( 7 x , + 4 x 2 + 2X 3 ) + 2 ( 0 X , + 3 x 2 + 2 x 3 ) . D u r c h Ausrechnen erhält man weiter y, = 2 8 x t + 40X 2 + 2 4 x 3 y 2 = 2 1 x , + 1BX2 + 1 0 x 3 . D a m i t ist der direkte Z u s a m m e n h a n g zwischen Einsatzgütermenge und Fertigproduktmenge hergestellt. Durch Vorgaben der Fertigproduktmengen x , , x 2 und x 3 lassen sich direkt die dazu benötigten Einsatzgütcrmengen ausrechnen.

D i e s e Ü b e r l e g u n g e n bilden den H i n t e r g r u n d für die f o l g e n d e D e f i n i t i o n d e r M a t r i zenmultiplikation: M a t r i z e n m u l t i p l i k a t i o n e i n e r ( m x 1 ) - M a t r i x A mit einer (1 χ n ) - M a t r i x Β G e g e b e n seien die M a t r i z e n a

A:=

i ι

I iaml

i2

···

!22

··

!21

•··

a ml

a

am2

11 \

a

/ b J

und

B:=

/

(

n

b12

...

bln

^

\t>u

^ b12

...

bln

D a n n ist das P r o d u k t Α · Β wie folgt als ( m χ n ) - M a t r i x definiert: ι

(IV-10)

Α ·Β :=

I

ι

ι

Σ aik^iti, Σ a l k b k 2 , . . · , k=1 k =1

a l k K n Σ k=1

Σ a2kbkl, Σ a 2 k b k 2 , . . . , k= 1 k= 1

¿ a2kbkn k= 1

1

Σ

k=1

I

amkbkl,

^

1

amkbk2,...,

k=1

^

k- 1

a mkbk

n

178

Kapitel IV: M a t r i z e n

Auch bei dem Aufschreiben eines Matrizenproduktes wird später häufig das Malzeichen ,, · " weggelassen. Wir sehen, die Matrix A entspricht der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems (I V-7), die Matrix Β der Koeffizientenmatrix (I V-8) und das M a t r i z e n p r o d u k t Α • Β der Koeffizientenmatrix von (IV-9). Dabei k a n n Α · Β noch in zweifacher Weise anders interpretiert werden: - Erstens: A ist ein Symbol für eine Rechenvorschrift (ein Linksoperator), Β verändert wird.

durch die

- Zweitens: Β ist ein Symbol f ü r eine Rechenvorschrift (ein Rechtsoperator), die A verändert wird.

durch

Diese Interpretationen, welche dem modernen mathematischen Abbildungsbegriff entnommen sind, sind manchmal bei Überlegungen mit Matrizen vorteilhaft, deren Glieder noch nicht näher festgelegt sind. Beachten Sie im übrigen, daß die Anzahl der Spalten der Matrix A unbedingt gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix Β (nämlich gleich 1) sein muß, damit d a s P r o d u k t Α · Β überhaupt definiert ist. Vor allem wenn mehrere Faktoren miteinander multipliziert werden sollen, bietet es sich an, zunächst einmal zu überprüfen, ob f ü r sämtliche vorkommenden Produkte diese Bedingung auch erfüllt ist. Hat m a n festgestellt, d a ß das Produkt Α · Β zweier Matrizen A und Β definiert ist, so berechnet man das Glied, das bei diesem P r o d u k t die Position (i, j) bekommt, nach der Formel

Σ aik bkj Diese Formel bedeutet aber nichts anderes, als d a ß wir das innere Produkt aus der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von Β zu bilden haben. Das Produkt ist also wieder eine Matrix, die genau soviele Zeilen wie A und genau soviele Spalten wie Β aufweist. Die Gestalt des Matrizenproduktes bestimmt sich folglich nach den Anzahlen der „äußeren Indices" und beträgt (m χ η). Für die Berechnung von Matrizenprodukten „per H a n d " kann man das sog. FALK.vcAe Schema verwenden, bei dem die miteinander zu multiplizierenden Matrizen wie auf S. 179 dargestellt aufgeschrieben werden. In den „ Q u a d r a n t e n " links unten trägt m a n also den linken F a k t o r A und in den „ Q u a d r a n t e n " rechts oben den rechten F a k t o r Β ein. Dann berechnet m a n gliedweise das Produkt Α · Β und trägt die Ergebnisse in den „ Q u a d r a n t e n " rechts unten ein. Die Zeile von A bzw. die Spalte von B, aus denen man dabei jeweils zur Berechnung des Gliedes in der Position (i, j) das innere Produkt zu bilden hat, erhält man, indem m a n einfach von der Position (i, j) nach links in die Matrix A bzw. nach oben in die Matrix Β geht. Beispiel I V - 1 8 W i r b e t r a c h t e n die KoefFizientenmatrizen d e r G l e i c h u n g s s y s t e m c in Beispiel IV-16 zur B e s c h r e i b u n g des P r o d u k t i o n s p r o z e s s e s a u s d e m G r u n d b e i s p i e l „ P r o z e ß a n a l y s e " u n d w ä h l e n die f o l g e n d e n A b k ü r z u n g e n :

W i r wollen n u n d a s P r o d u k t Κ · L bilden. Dieses P r o d u k t ist definiert, da d i e S p a l t c n a n zahl v o n Κ m i t der Z e i l e n a n z a h l von L ü b e r e i n s t i m m t . W i r e n t w e r f e n d a z u d a s z u g e h ö r i g e

Kapitel IV: M a t r i z e n

179

FALKsches S c h e m a für d a s A u s r e c h n e n d e s M a t r i z e n p r o d u k t e s Α · Β = : C Spalte j von Β bzw. A

ϊ

}η

Diese zwei

'21 •

„Längen" müssen g l e i c h sein!

J

I a

a

ll

12

•

· •·

a

U

B

b

lj

In

b

2j

>2n

:::

. . . b In

inneres

ll

Produkt mit

m

Zeile i v o n A bzw. Α ·Β

von

a

il

a

i2

a

ml

a

m2· •·

Α

Β

\ a

\

ml

\

c

ij: = ail · b l j

+

ai2 · b 2 j

+

- -+

G l i e d in irgende i n e r Position (i,j) von Α · Β

· blj

FALKsche Schema:

4

8

3

2

7

4

2

0

3

2

Γ L

(


(5.3)!

(5.3)

Vertausche die Zeilen von T 2 solange, bis eine natürliche kanonische Form vorliegt!

(5.4)

„Die Spalten R S ^ R S j , . . . , R S n sind die Spalten der gesuchten Inversen (in dieser Reihenfolge)."

(5.5)

STOP!

9. Der Rang einer Matrix Eine Matrix A mit m Zeilen und η Spalten haben wir bereits mehrfach als ein System

von Zeilenvektoren a ( l ) , a < 2 ) , . . . , a < m ) oder als ein System

(IV-56)

(a ( l ) , a < 2 ) , . . . , a (n) )

von Spaltenvektoren a ( l ) , a < 2 ) , . . . , a ( n ) interpretiert. Bei beiden Vektorsystemen kann man sich wieder (wie in Kapitel III, Abschnitt 8) für ihren R a n g interessieren. Im Z u s a m m e n h a n g mit der Interpretation (IV-55) könnte man von Zeilenrang, im Z u s a m m e n h a n g mit der Interpretation (IV-56) von Spaltenrang sprechen. Zeilenund Spaltenrang einer Matrix werden sich bald als gleich erweisen, so d a ß man in der Regel auch nur von dem Rang der Matrix spricht. Zunächst wollen wir sie aber noch getrennt betrachten und zeigen, d a ß gewisse U m f o r m u n g e n an Matrizen den Zeilenrang bzw. den Spaltenrang nicht verändern. Solche U m f o r m u n g e n , die wir als rangneutral bezeichnen wollen, sind etwa die folgenden, oben bereits eingeführten elementaren Matrizenumformungen: - Ersetzen einer Spalte durch ein c-faches (c φ 0) von ihr. - Ersetzen einer Spalte durch die Summe dieser Spalte und des c-fachen einer anderen Spalte. - Ersetzen einer Zeile durch ein c-faches (c φ 0) von ihr. - Ersetzen einer Zeile durch die Summe dieser Zeile und des c-fachen einer anderen Zeile. Aus naheliegenden G r ü n d e n wollen wir die beiden erstgenannten Operationen auch elementare Spaltenoperationen, die letzten beiden elementare Zeilenoperationen und alle vier zusammen elementare Matrizenoperationen nennen. Wir beginnen mit der Untersuchung in bezug auf den Spaltenrang und benutzen für die Multiplikatoren wieder die Buchstaben x,, x 2 , . . . , x„. Die Antwort auf die Frage, o b das System der Spalten a ( 1 \ a < 2 ) , . . . , a ( n ) einer Matrix A linear unabhängig oder linear abhängig ist, bleibt unverändert, wenn man eine der Spalten, etwa a ( , ) , durch ein c-faches (c φ 0) von ihr ersetzt. Das sieht man wie folgt: Aus jeder Lösung (IV-57)

(xî,xj,...,xq*,...,xn*)

des Systems (IV-58)

a ( 1 ) X! + a ( 2 ) x 2 + . . . + a ( q ) x q + . . . + a ( n ) x n = 0

läßt sich sofort eine Lösung des Systems (IV-59)

^ " x , + a ( 2 , x 2 + . . . + (ca < q ) )x q + . . . + a ( n ) x n = 0

entwickeln, nämlich (IV-60)

(xf, x f , . . . ,

c

...,x*).

H a t nun eines der beiden Systeme nur die triviale Lösung, d a n n hat auch das jeweilige andere System nur die triviale Lösung. Existiert dagegen bei einem der Systeme auch eine nichttriviale Lösung, so besitzt auch das jeweils andere System eine nichttriviale Lösung. Anders ausgedrückt: Entweder sind beide Systeme linear abhängig, oder beide sind linear unabhängig. G a n z Entsprechendes gilt, wenn nur einige Zeilen von A untersucht werden sollen. Im übrigen hätten wir dieses Ergebnis auch abstrakter, aber wesentlich kürzer wie folgt ableiten können: In matrizieller

210

Kapitel IV: M a t r i z e n

Schreibweise gehen die Formeln (IV-58) und (IV-59) über in Α · χ = 0 und A · M (c) · χ = 0. Wegen 0 = A · χ = A · M q ( c ) · ( M q ( c ) ) " 1 · χ ist ( M ( e ) ) - 1 · χ * eine nichttriviale Lösung von (IV-59) dann und nur d a n n , wenn x* eine nichttriviale Lösung von (IV-58) ist. Es gilt aber ( M q ( c ) ) " 1 = M q Q j . Die Antwort auf die Frage, ob das System von Spalten a ( 1 ) , a ( 2 ) , . . . , a ( n ) linear unabhängig oder linear abhängig ist, bleibt auch unverändert, wenn m a n die q-te Spalte durch die Summe dieser Spalte und des c-fachen der p-ten Spalte (ρ φ q) ersetzt. U m das zu zeigen, müssen wir die Lösungen der Systeme (IV-61)

a " ^ ! + . . . + a ( q ) x q + ... + a ( p ) x p + . . . + a ( n ) x n = 0

und (ΓV-62)

a ' 1 ^ ! + . . . + (a ( q ) + ca ( p ) ) x q + . . . + a«" x p + . . . + a ( n ) x n = 0

miteinander vergleichen. Zunächst schreiben wir aber (IV-62) etwas um: (ΓV-63)

a ( l , X ! + . . . + a ( , ) x q + . . . + a ( , 1 ) (x p + cx q ) + . . . + a < n ) x n = 0 .

Aus jeder Lösung (IV-64)

(x*,...,x*,...,x£,...,xn*)

von (IV-61) k a n n m a n sofort auf eine Lösung von (IV-62) bzw. (IV-63) schließen, nämlich auf die Lösung (IV-65)

( x f , . . . , x * , . . . , x* - c x * , . . . , χ*). Î p-tes Glied

Andererseits k a n n m a n von jeder Lösung (IV-64) von (IV-62) bzw. (IV-63) sofort auf eine Lösung von (IV-61) schließen, nämlich auf (IV-66)

( x * , . . . , χ * , . . . , χ* + c * x q , . . . , χ*).

M a n k a n n nun die gleiche Überlegung wie oben anstellen: Hat nun eines der beiden Systeme nur die triviale Lösung, dann hat das jeweils andere System deshalb auch a u f g r u n d von (IV-65) und (IV-66) ebenfalls nur die triviale Lösung, u n d beide sind linear unabhängig. Existiert dagegen für eines der beiden Systeme (IV-61) und (IV-62) auch eine nichttriviale Lösung, d a n n läßt sich a u f g r u n d von (IV-65) u n d (IV-66) auch f ü r das jeweils andere System eine nichttriviale Lösung finden. Beide Systeme sind d a n n linear abhängig. Damit sind entweder beide Systeme linear unabhängig oder beide Systeme linear abhängig. Entsprechendes gilt, wenn nur einige Zeilen von A betrachtet werden. Auch hier hätte man wiederum abstrakter wie folgt schließen können: In matrizieller Schreibweise gehen die Formeln (IV-61) und (IV-62) über in Α · χ = 0 u n d A • F p q (c) · χ = 0. Wegen 0 = Α · χ = A · F p q (c) · ( F p q ( e ) ) - 1 · χ ist ( F p q ( c ) ) " 1 · χ* eine nichttriviale Lösung von (IV-62) d a n n und nur dann, wenn x* eine nichttriviale Lösung von (IV-61) ist. Wir können damit als erstes Zwischenergebnis formulieren: 1

Elementare Spaltenoperationen verändern den Spaltenrang einer Matrix nicht.

Kapitel IV: Matrizen

211

Wir wenden uns nun den elementaren Zeilenoperationen und ihren Auswirkungen auf den Spaltenrang zu. D a s entsprechende Ergebnis folgt jetzt eigentlich noch einfacher, und zwar unmittelbar aus der Tatsache, d a ß elementare U m f o r m u n g e n eines Gleichungssystems lösungsneutral sind; wir wollen aber diese Überlegung noch im Einzelnen im gegenwärtigen symbolischen Kontext verdeutlichen. Zunächst sieht man sofort, d a ß die Antwort auf die Frage, ob das System der Spalten der Matrix A linear unabhängig oder abhängig ist, nicht davon beeinflußt wird, wenn man die p-te Zeile durch ein c-faches (c φ 0) von ihr ersetzt. Die zugehörigen Gleichungssysteme

haben ja stets genau dieselben Lösungen, weil m a n offensichtlich (I V-68) aus (IV67) erhält, indem man die p-te Gleichung durch ihr c-faches (c φ 0) lösungsneutral ersetzt. Entweder sind also beide Systeme linear abhängig oder beide linear unabhängig. Entsprechend kann man argumentieren, wenn man nur einige Spalten von A betrachtet. Das Gleiche zeigt sich in bezug auf das Ersetzen einer Zeile mit Index ρ durch die Summe dieser Zeile und des c-fachen einer anderen Zeile mit Index q. Auch die zugehörigen Gleichungssysteme

und

212

Kapitel IV: M a t r i z e n

(IV-70)

h a b e n j a ebenfalls genau die gleichen L ö s u n g e n , denn (IV-69) läßt sich in (IV-70) d u r c h eine lösungsneutrale elementare U m f o r m u n g (Ersetzen der p-ten G l e i c h u n g d u r c h die S u m m e dieser Gleichung u n d des c-fachen der q-ten Gleichung) ü b e r f ü h ren. Es gilt also auch hier: Entweder sind beide Systeme linear a b h ä n g i g o d e r beide linear u n a b h ä n g i g . Entsprechendes gilt f ü r Überlegungen in bezug auf n u r einige Spalten von A. D a m i t k ö n n e n wir als zweites Zwischenergebnis festhalten: I

E l e m e n t a r e Zeilenoperationen v e r ä n d e r n den S p a l t e n r a n g einer M a t r i x nicht.

Die U n t e r s u c h u n g der W i r k u n g von Zeilen- und S p a l t e n o p e r a t i o n e n auf den Zeilenrang k ö n n e n wir erheblich kürzer fassen. D e r Zeilenrang einer M a t r i x A ist nämlich nichts anderes als der Spaltenrang ihrer Transponierten A'. A u ß e r d e m entspricht jeder elementaren Zeilen- bzw. S p a l t e n o p e r a t i o n in bezug auf A g e n a u eine e l e m e n t a r e Spalten- bzw. Zeilenoperation f ü r A'. Die lassen aber, wie wir gesehen h a b e n , den S p a l t e n r a n g von A' und d a m i t auch den Zeilenrang von A u n v e r ä n d e r t . Folglich gilt:

I

E l e m e n t a r e Zeilenoperationen u n d elementare Spaltenoperationen lassen den Zeilenrang einer M a t r i x unverändert.

Weiterhin folgt direkt, d a ß auch sämtliche O p e r a t i o n e n , die sich aus einer Folge von elementaren Zeilen-/Spaltenoperationen zusammensetzen, insbesondere - d a s Umstellen der Reihenfolge von Zeilen bzw. Spalten, - d a s Ersetzen einer Zeile bzw. Spalte d u r c h eine L i n e a r k o m b i n a t i o n sämtlicher o d e r gewisser Zeilen bzw. Spalten, - die D u r c h f ü h r u n g von Pivotschritten weder den Zeilenrang noch den S p a l t e n r a n g einer M a t r i x verändern. Es soll n u n ein Weg skizziert werden, wie m a n den Zeilenrang einer (m χ n ) - M a t r i x b e s t i m m e n k a n n . D a z u eine Vorübcrlcgung. W i r n e h m e n an, wir hätten bereits eine Basis, bestehend a u s genau r Zeilen, identifiziert. D a n n müssen also die übrigen m — r Zeilen als L i n e a r k o m b i n a t i o n e n dieser Zeilen darstellbar sein. O h n e den R a n g der M a t r i x - der hier natürlich gleich r ist - zu verändern, k a n n m a n n u n d u r c h eine U m s t e l l u n g der Reihenfolge der Zeilen (rangneutrale Zeilenoperationen) die gewissermaßen r e d u n d a n t e n Zeilen nach unten schieben u n d sie d a n n mit Hilfe d e r A d d i t i o n von geeigneten L i n e a r k o m b i n a t i o n e n (rangneutrale Zeilenoper a t i o n e n ) der n u n oben a u f g e f ü h r t e n linear u n a b h ä n g i g e n Zeilen in Nullzeilen überf ü h r e n . Bezeichnet m a n mit 0 die N u l l m a t r i x dieser Nullzeilen, so erhält m a n dad u r c h die folgende Matrix:

Kapitel IV: Matrizen

(

System von r linear ear \ Î ilen 1J, unabhängigen Zeilen

213

r

Spalten umgeformte Spalten von (A, b) M a n erkennt sofort, d a ß der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix (A, b) ist. Wir können damit festhalten:

I

lst ein lineares Gleichungssystem lösbar, d a n n ist der R a n g der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

M a n kann jetzt aber auch die Argumentation in umgekehrter Richtung führen. Wir nehmen an, für ein lineares Gleichungssystem gelte, daß der R a n g von A gleich dem R a n g von (A, b) sei. D a n n m u ß aber b als Linearkombination der Spalten a ( 1 ) , a ( 2 ) , . . . , &(n> von A mit geeigneten Multiplikatoren x 1 ; x 2 , . . . , x n darstellbar sein, was nichts anderes bedeutet, als d a ß (IV-75)

a ( I ) · Xj + a ( 2 ) · x 2 + . . . + a (n> x n = b

lösbar ist. (IV-75) ist aber das untersuchte Gleichungssystem. Als Zwischenergebnis erhalten wir damit:

I

lst der Rang der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems gleich dem R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann ist das Gleichungssystem lösbar.

A u s den letzten beiden Zwischenergebnissen folgt: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem ist d a n n u n d nur dann lösbar, wenn der R a n g der Koeffizientenmatrix gleich dem R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.

D a der R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix nie kleiner sein k a n n als der Rang der eigentlichen Koeffizientenmatrix, ist der letzte Satz äquivalent mit d e m folgenden:

216

Kapitel IV: M a t r i z e n

Unlösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem hat d a n n u n d nur dann keine Lösung, wenn der R a n g der Koeffizientenmatrix kleiner als der R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Wie wir wissen, äußert sich der Fall der Unlösbarkeit durch das Auftreten einer Widerspruchsgleichung der Form OXi + 0 x 2 + . . . + 0x n = bj

mit

b¡ + 0.

Entsprechend enthält die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix eine Zeile der Gestalt ( 0 , 0 , . . . , 0;

b,),

die wir - rangerhaltend - durch ihr (l/b¡)-faches ersetzen können. Wir gelangen zu einer neuen nach der rechten Seite normierten Zeile ( 0 , 0 , . . . , 0;

1).

τ r Koeffizienten rechte Seite Schiebt m a n diese Zeile direkt unter die r-te Zeile und bringt die übrigen Zeilen auf eine kanonische Form, so hat die erweiterte Koeffizientenmatrix - möglicherweise erst nach einer Vertauschung gewisser Zeilen - die Gestalt umgeformte Spalten von A l (IV-76)

die ersten r Zeilen

V \ 0 !! 0 /

In diesem Fall weist die kanonische F o r m keine freien Variablen auf, und das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar. Gilt dagegen, wie in unserer Darstellung (IV-74) eigentlich unterstellt, η > r, d a n n hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

K a p i t e l IV: M a t r i z e n

217

Lösungsvielfalt linearer Gleichungssysteme Ist ein lineares Gleichungssystem lösbar und ist die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix gleich dem R a n g der (erweiterten) Koeffizientenmatrix, dann ist das System eindeutig lösbar. Ist ein lineares Gleichungssystem lösbar und ist die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix größer als der R a n g der (erweiterten) Koeffizientenmatrix, dann besitzt das System unendlich viele Lösungen. Wir wollen nun die in diesem Abschnitt entwickelten Ergebnisse auf ein Beispiel anwenden. Beispiel IV-47 G e g e b e n sei d a s G l e i c h u n g s s y s t e m - X ! + 2 x 2 + 6X 3 + 3X 4 = 2 GS12:

+ 4x, + 2x4 = 4

2x,

+ 2x3 +

x4 = 2.

Es sollen A u s s a g e n ü b e r L ö s b a r k e i t u n d L ö s u n g s v i e l f a l t dieses S y s t e m s hergeleitet werden. D a z u u n t e r s u c h e n wir die erweiterte K o e f f i z i e n t e n m a t r i x

J

/-1

2

6

3

2

0

4

2

\

1

0

2

1

Π

2\

M 4 I h

2 /

im H i n b l i c k auf ihren R a n g . N a c h z w e i m a l i g e m Pivotieren liegt f o l g e n d e M a t r i x v o r

( 0

1

4

2

j

2 \

0 0 0 0 ij 0 I D u r c h Z e i l c n v e r t a u s c h u n g e r h a l t e n wir d a r a u s 1 0 2 1 Ii 2 / 0 I 2 1

0 ,0 Duri

1_ 0 1

2 0

0

; 0,

D e r R a n g d e r K o e f f i z i e n t e n m a t r i x d e s G l e i c h u n g s s y s t e m s G S 1 2 ist gleich d e m R a n g der e n t s p r e c h e n d e n e r w e i t e r t e n K o e f i l z i e n t e n m a t r i x u n d b e t r ä g t zwei. D a s S y s t e m ist l ö s b a r , u n d z w a r besitzt es u n e n d l i c h viele L ö s u n g e n , weil d e r R a n g d e r K o e f f i z i e n t e n m a t r i x gleich 2 und d a m i t kleiner ist als die A n z a h l der S p a l t e n d e r K o e f f i z i e n t e n m a t r i x (vier).

(i

Aus dem vorstehenden Beispiel geht hervor, daß unser Verfahren zur Rangbestimmung nicht sehr überzeugt, wenn m a n - bevor man sich an das Auflösen eines Gleichungssystems macht - zur Reduzierung des Arbeitsaufwandes quasi in einer Voranalyse erst einmal die Frage nach Lösbarkeit und Lösungsvielfalt dieses Systems untersuchen will. H a t man die Koeflizientenmatrix nämlich soweit umgeformt, d a ß m a n diese Frage beantworten kann, d a n n k a n n m a n auch gleich die allgemeine Lösung des Systems angeben. Es gibt nun aber eine Möglichkeit, den Rechenaufwand zumindest etwas zu redu-

218

Kapitel IV: Matrizen

zieren. So ist es zur Rangbestimmung nicht erforderlich, die erweiterte Koeffizientenmatrix vollständig auf die Form (IV-74) zu bringen. Vielmehr reicht es aus, anstelle der Einheitsmatrix im linken oberen Block durch rang- und lösungsneutrale Operationen eine solche (obere oder untere) Dreiecksmatrix zu erzeugen, bei der alle Glieder in der Hauptdiagonalen ungleich Null sind. Aus einer solchen Dreiecksmatrix könnte man ja durch Pivotieren sofort eine entsprechende Einheitsmatrix mit gleich vielen Zeilen/Spalten erzeugen, so daß die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten dieser Dreiecksmatrix den Rang der Matrix angibt. Beispiel IV-48 Wir wenden unser modifiziertes Verfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix

(

-1 2

1

2 0 0

6 4 2

3 ¡J 2 \ 2 114 1 1 l! 2 /

des Gleichungssystems G S 1 2 an und versuchen, im „linken oberen Block" eine obere Dreiecksmatrix zu erzeugen. Durch Vertauschen der ersten und der zweiten Spalte erhalten wir '2

0 ,0

-1 2 1

6 4 2

3 [J 2 2i|4 1 !! 2

) )

Die erste Spalte der angestrebten Dreiecksmatrix liegt bereits vor. Wir addieren nun das ( —l/2)-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:

2 0 0

-1 2 0

I 6 14 -I ι 0

3 jJ 2 2M4 II 0 M 0

Die n u n vorliegende Matrix hat die angestrebte Gestalt. Wir lesen wieder ab, d a ß der R a n g dieser Matrix und damit auch der R a n g der zugrundegelegten erweiterten Koeffizientenmatrix gleich zwei ist. D u r c h Pivotieren unter Verwendung der Koeffizienten in den Positionen (2,2) und (1,1) kann man jetzt - sofern man möchte - sofort die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems bestimmen. Man erhält

( 1

0 ι 4

2 Ν 2 \

0 0

1_ 1 _ 2 _ J_ _ ! ! _2_ I 0 1 0 0 π 0/

sowie als allgemeine Lösung

tj + I

I t4,

t 3 , t 4 beliebige reelle Zahlen.

Sofern Sie unsere Lösung verblüffen sollte: Beachten Sie, d a ß wir zuvor die Spalten der Variablen x, und x 2 vertauscht haben. Beim Ablesen der Lösung müssen wir diese Vertauschung natürlich rückgängig machen.

Sie sehen, letztlich wird auch durch die dargestellte Modifikation der Rechenaufwand nicht entscheidend vermindert. Wenn wir dieses Verfahren trotzdem vorge-

219

K a p i t e l IV: M a t r i z e n

stellt haben, dann deshalb, weil es sich in vielen Lehrbüchern findet, oft allerdings, ohne daß der theoretische Hintergrund beleuchtet wird. Wir hoffen, wir haben Ihnen den Zusammenhang mit den theoretischen Grundlagen vermitteln können.

10. Orthogonale Matrizen und ihre geometrische Bedeutung Eine invertierbare Matrix Ω heißt orthogonal, wenn sie die Eigenschaft (IV-78)

Ω'

= Ω'

besitzt, und entsprechend heißt auch die durch (IV-79)

χ = Ω •χ

definierte Umformung eine orthogonale Transformation bzw. die Zuordnung χ -* Ω · χ eine orthogonale Abbildung. Letztere hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie innere Produkte unverändert läßt, denn es gilt X * y = x' · y = (Ω · χ)' · Ω • y = χ ' · Ω' = χ ' · Ω~1 · Ω · y = χ ' · y = χ * y,

Ω •y

wobei wir von der Vektorschreibweise des inneren Produktes zur Matrizenschreibweise überwechselten und zurück. Geometrisch bedeutet das, daß durch eine orthogonale Transformation rechtwinklige Paare geometrischer Vektoren wieder in rechtwinklige Paare übergehen (woraus sich die griechische Bezeichnungsweise ableitet) und unorientierte Winkel wegen c o s a = cos ( — a) sich nicht verändern, dagegen sich möglicherweise die Winkelrichtung umdreht. (Unter Benutzung der Definition einer Determinante und der Multiplikationsregel für Determinanten, die beide in dem folgenden Kapitel V behandelt werden, kann man darüberhinaus sagen: Der letztere Fall tritt genau dann ein, wenn | Ω | = — 1 ist, es gilt nämlich in jedem Fall | Ω | = + 1 wegen | Ω | 2 = | Ω | · | Ω | = \Ω'\ • | Ω | = | Ω ' · Ω | = | Ω _ Ι · Ω | = | Ε | = 1 . ) Spaltet man eine orthogonale Matrix Ω in ihre Spaltenvektoren ω(,\ ώ ( 2 > , . . . , ω ( η ) auf: Ω = (ω ( 1 ) , ω , 2 ) , . . . , ω ( η ) ), so werden durch den Übergang zu Ω ' die Spalten zu Zeilen, d. h. in sofort einsichtiger Schreibweise

Die Bedingung (IV-78) ist aber völlig gleichbedeutend damit, daß ω ( , ) ' · ω ( ί ) gleich dem allgemeinen Element der Einheitsmatrix ist, oder mit Hilfe der Schreibweise des inneren Produktes geschrieben:

220 (IV-80)

Kapitel IV: M a t r i z e n

f i , wenn i = Ji α>(,) * ω ω = I [0, sonst.

Geometrisch bedeutet das also, daß zwei verschiedene Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix senkrecht zueinander stehen,unddaß jeder solche Spaltenvektor die Länge 1 hat. Ist, wie üblich, mit e (,) der i-te Einheitsvektor (verantwortlich für die Längenmessung entlang der i-ten Koordinatenrichtung) bezeichnet, so rechnet man unmittelbar die Beziehung Ω · e (ì) = ω0> aus, d.h. die Transformation (IV-79) führt wegen (IV-80) in der Tat von einem kartesischen Koordinatensystem zu einem ebensolchen. Geometrisch bedeutet bei orthogonalem Ω die Transformation (1V-79) in zwei oder drei Dimensionen eine Drehung des Koordinatensystems (bei | Ω | = + 1 ) oder eine Kombination von Drehung und Spiegelung (mit Umorientierung gerichteter Winkel, bei | Ω | = - 1 ) .

11. Fortführung der Grundbeispiele 11.1. Grundbeispiel 1: Prozeßanalyse Zu Beginn dieses Kapitels haben Sie gesehen, wie sich Informationen aus einem Pfeildiagramm in eine Matrixdarstellung überführen lassen. Wir benutzen diese neu erworbenen Kenntnisse, um den Produktionsprozeß aus Abb. 1-2 zunächst noch etwas eingehender zu analysieren. Betrachten Sie zunächst nur die erste Produktionsstufe, auf der die Einsatzgüter in Zwischenprodukte überführt werden. Der betreffende Teil der Abbildung ist ein zweistufiges Pfeildiagramm, und wir können die darin enthaltenen Informationen auch in einer Matrix „mit Rand" darstellen:

EG! eg2

ZP t

ZP 2

4 3

8 2

Die Glieder s\l' (i = 1, 2; k = 1, 2) der Matrix S ( 1 >geben an, wie viele Mengeneinheiten des Einsatzgutes EG¡ in eine Mengeneinheit des Zwischenproduktes ZP k eingehen. Definieren wir ν,: für ein bestimmtes Produktionsprogramm von FP l 5 FP 2 und FP 3 einzusetzende Mengeneinheiten von E G j , v 2 : für ein bestimmtes Produktionsprogramm von FP!, FP 2 und FP 3 einzusetzende Mengeneinheiten von EG 2 , ζ ! : für ein bestimmtes Produktionsprogramm von F P t , FP 2 und FP 3 einzusetzende Mengeneinheiten von ZP¡, z 2 : für ein bestimmtes Produktionsprogramm von F P t , FP 2 und FP 3 einzusetzende Mengeneinheiten von ZP 2 und führen wir außerdem die Abkürzungen

K a p i t e l IV: M a t r i z e n

ν:= I \

1 V

ι

und

1

z:=(

2 /

\Z

2

221

| /

ein, dann läßt sich mit Hilfe der Gleichung (IV-81)

v = S · S < 2 ) haben wir in Beispiel IV-18 bereits numerisch berechnet:

EG, EG 2

FP,

FP2

FP3

28 21

40 18

24 10

Anstelle dieser Matrix läßt sich natürlich wieder ein äquivalentes zweiteiliges Pfeildiagramm zeichnen:

222

Kapitel IV: Matrizen

Abb. IV-4: Alternative Darstellung der Mengenbeziehungen zwischen Einsatzgütern und Endprodukten des Grundbeispiels „Prozeßanalyse"

Abb. IV-4 macht die Bedeutung des Matrizenproduktes S ( 1 ) · S ( 2 ) klar: Die Eintragung in der Position (i, j) gibt an, wie viele Mengeneinheiten des Einsatzgutes EG¡ i = 1, 2) zur Herstellung einer Mengeneinheit des Endproduktes FPj (j = 1, 2, 3) einzusetzen sind. Sie können sich von der Richtigkeit unserer Überlegungen und Rechnungen auch d a d u r c h überzeugen, d a ß Sie die Eintragungen des Matrizenproduktes mit denjenigen von Tab. 1-3 vergleichen, die wir durch Rechnen a m Pfeildiag r a m m gewonnen haben. Damit ist die erste Frage, die wir im Z u s a m m e n h a n g mit unserer kleinen Fallstudie gestellt haben, bereits beantwortet. Es ist nun auch leicht ersichtlich, wie m a n die Matrizenrechnung zur Analyse komplexer η-stufiger Produktionsprozesse nutzbar machen kann. M a n ermittelt lediglich auf den einzelnen Stufen die Mengenbeziehungen zwischen den dort jeweils eingesetzten und hergestellten G ü t e r n und faßt die Ergebnisse für jede Produktionsstufe j zu einer Matrix S < j ) (j = 1 , . . . , n) zusammen. Das Matrizenprodukt S

(D.S(2)...S(n)

informiert d a n n über die Mengenbeziehungen zwischen den Einsatzgütern der ersten und den E n d p r o d u k t e n der letzten Stufe. Die Beantwortung der übrigen Fragen ist mit Hilfe der Beziehungen (IV-81) - (IV82) ebenfalls leicht möglich. So ermitteln wir für den Vektor der gewünschten Endproduktmenge ( • )

a u f g r u n d von (IV-83)

(28 40 24V(îoU(l080 \ \ 21

18

10/

y

/

\ 650

f

als Vektor der erforderlichen Einsatzgütermenge und aufgrund von (IV-82)

Kapitel IV: Matrizen

223

als Vektor der erforderlichen Zwischenproduktmengen. Aufgrund des Matrizenproduktes S < ! ) · S ( 2 ) wissen wir jetzt, wie viele Mengeneinheiten der Einsatzgüter in jeweils eine Mengeneinheit der drei Endprodukte eingehen. Wir können diese Information nun ebenfalls ausnutzen, um die hierdurch verursachten Einsatzgüterkosten pro Mengeneinheit von FP¡, F P 2 und F P 3 zu berechnen. Es seien Pi : Beschaffungspreis (in Geldeinheiten) des Einsatzgutes EG¡ (i = 1, 2), q¡: Einsatzgüterkosten (in Geldeinheiten) pro Mengeneinheit des Endproduktes FP¡ (i = 1,2, 3). Außerdem wählen wir die Abkürzungen Ρ = (Ρι> P2)

q = (qi, q 2 , q3)· Dann ergibt sich bei bekanntem ρ der gesuchte Vektor q der Einsatzgüterkosten aufgrund von (IV-84)

q = ρ · S ( , ) · S(2>.

Mit den in der Aufgabenstellung angegebenen Preisen p t = 40, p 2 = 60 berechnen wir dann den Kostenvektor q wie folgt:

Danach betragen die von den zwei Einsatzgütern E G ! und E G 2 verursachten Kosten pro Mengeneinheit von F P j 2380 Geldeinheiten, pro Mengeneinheit von FP 2 2680 Geldeinheiten und pro Mengeneinheit von F P 3 1560 Geldeinheiten. Sie stellen im übrigen fest, daß die Matrix S ( 1 ) · S < 2 ) für die Mengenrechnung (IV-83) von rechts mit einem entsprechenden Spaltenvektor w der Endproduktmengen und für die Preisrechnung (IV-84) von links mit einem entsprechenden Zeilenvektor ρ der Preise zu multiplizieren ist. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Fragestellungen wird in der weiterführenden Literatur im Rahmen der Dualität betrachtet. Kommen wir noch einmal auf das Modell (IV-82) bzw. (IV-83) zur Durchführung der Mengenrechnung zurück und vergleichen es mit dem im wesentlichen für den gleichen Zweck erstellten Restriktionssystem aus Kapitel I, Unterabschnitt 4.1, das von der Gestalt

mit

224

K a p i t e l IV: M a t r i z e n

(unter Weglassen aller Nullen),

war. Beide Modelle unterscheiden sich bereits in formaler Hinsicht. So besitzt etwa die Matrix S ( 1 ) · S < 2 ) 2 Zeilen und 3 Spalten, während A eine quadratische Matrix von der O r d n u n g 7 ist. D a r ü b e r hinaus läßt sich auch ein inhaltlicher Unterschied aufzeigen. Betrachten wir dazu die nur indirekt angegebene Bedeutung der Glieder b¡ (i = 1 , . . . , 7) des Vektors b: b,: b2: b3: b4: b5,

gewünschte Lagerbestandsänderung gewünschte Lagerbestandsänderung gewünschte Lagerbestandsänderung gewünschte Lagerbestandsänderung b b , b 7 wie oben.

beim beim beim beim

Einsatzgut E G , , Einsatzgut E G 2 , Zwischenprodukt Z P t , Zwischenprodukt Z P 2 ,

In (IV-85) k a n n man d a n a c h Lagerbestandsänderungen b , , b 2 , b 3 , b 4 bei den Einsatzgütern bzw. Zwischenprodukten vorgeben. Das ist beim Modell (IV-82) - (IV83) nicht möglich. Hier wird stets unterstellt, d a ß keine Lagerbestandsänderungen bei diesen Gütern möglich sind. Gibt man bei gleichen gewünschten E n d p r o d u k t mengen b 5 , b 6 , b 7 in (IV-85) außerdem für alle Lagerbestandsänderungen den Wert Null vor, also b¡ = b 2 = b 3 = b 4 = 0 , so müssen die aus beiden Modellen ermittelten Ergebnisse übereinstimmen. Setzt man dagegen in (IV-85) auch nur f ü r ein i ( = 1, 2, 3, 4) b¡ φ 0 , so weichen die Ergebnisse beider Modelle voneinander ab. Eine Schwierigkeit, die dabei in bezug auf (IV-85) auftreten kann, wurde bereits in Kapitel II deutlich: Möglicherweise hat man b so gewählt, d a ß (IV-85) keine zulässige Lösung hat. Wir wollen uns abschließend noch kurz mit dieser Schwierigkeit befassen. Dazu betrachten wir das Restriktionssystem noch etwas eingehender. M a n sieht sofort, d a ß es sich bei der quadratischen Koeffizientenmatrix um eine obere Dreiecksmatrix handelt, deren Hauptdiagonale mit von Null verschiedenen Gliedern besetzt ist.

Kapitel IV: M a t r i z e n

225

Die Spalten sind folglich linear unabhängig, und damit ist A invertierbar. Das Gleichungsteilsystem von (IV-85) Α·χ = b besitzt d a n n - unabhängig davon, wie man b vorgegeben hat - eine eindeutige Lösung, nämlich (IV-86)

χ * = A " 1 · b,

wobei Sie sich selbst durch Invertieren von A überzeugen können, d a ß A _ l durch die Matrix 1 4 8 28 40 24 1 3 2 21 18 10 1 7 4 2 1 3 2 A = 1

1/

(unter Weglassen aller Nullen) gegeben ist. Mit Hilfe der Beziehung (IV-86) läßt sich nun leicht für alternative Vektoren b die jeweilige Lösung x* des Gleichungsteilsystems von (IV-85) ermitteln. Erfüllt χ * auch die NN-Bedingung, so ist x* auch eine Lösung des gesamten Systems (IV-85). Andernfalls m u ß man b modifizieren.

11.2. Grundbeispiel 2: Absatzprognose Mit Hilfe der Matrizenrechnung lassen sich die in Kapitel I, Abschnitt 7.2 aufgeworfenen Fragen zum Grundbeispiel „Absatzprognose" leicht mathematisch formulieren. Es sei

x π (j) gilt, so spricht man von dem Auftreten einer Inversion.2 Tritt nun in einem Permutationsergebnis genau eine gerade Anzahl dieser Inversion auf, so nennt man es gerade Anordnung, sonst eine ungerade. Als nächstes nennt man einen Permutationsprozeß π - bzw. seine Permu1

V i e l f a c h wird in der L i t e r a t u r a u c h mit Z e i l e n v e k t o r e n g e a r b e i t e t ; in e i n e m solchen Fall m u ß m a n v o n rechts mit einer P e r m u t a t i o n s m a t r i x a r b e i t e n . Beide M ö g l i c h k e i t e n h a b e n leider ihre Vorteile u n d N a c h t e i l e .

2

Bitte v e r w e c h s e l n Sie nicht „ I n v e r s i o n in einer P e r m u t a t i o n " m i t „ I n v e r t i e r e n einer M a trix"!

238

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

tationsmatrix Π - gerade genau dann, wenn er eine in dem soeben eingeführten Sinne gerade Anordnung wieder in eine gerade und eine ungerade Anordnung wieder in eine ungerade überführt, und ungerade, wenn er gewissermaßen einen Klassenwechsel von „gerade" zu „ungerade" oder umgekehrt herbeiführt. Da die natürliche Anordnung (wie in (V-l)) keine Inversionen enthält und damit gerade ist, formt natürlich ein gerader Permutationsprozeß diese Anordnung in eine gerade Anordnung und ein ungerader Permutationsprozeß in eine ungerade Anordnung um. Der wechselseitige Übergang von Permutationsprozeß zu Permutationsergebnis ändert also nichts an dem Gerade- oder Ungeradesein. Man kann also unmißverständlich von geraden oder ungeraden Permutationen bzw. von ihrem Signum + 1 bzw. —1 sprechen. Beispiel V-2 Aus der natürlichen Reihenfolge gehe durch einen Permutationsprozeß π das Permutationsergebnis, also die neue Anordnung, wie folgt hervor:

Hier gilt nun: 1< 1< 1 < 1< 2< 2< 2< 3< 3< 4
π (2) > π (3) < π (4) > π(5) > π (3) < π (4) < π(5) < π (4) < π (5) > π(5)

(Inversion) (Inversion) (Inversion) (Inversion)

(Inversion)

Der Permutationsprozeß bewirkt also fünf Inversionen. Es liegt damit eine ungerade Permutation vor, und das zugehörige Signum beträgt —1.

Wir betrachten als Nächstes den Zusammenhang zwischen dem Signum und den jeweiligen speziellen Permutationen, bei denen nur ein gegenseitiger Austausch von zwei Objekten bei Festhalten aller übrigen Objekte in ihren jeweiligen Positionen erfolgt, und die Transpositionen heißen. Dies kann man symbolisch so darstellen: in Position

(V-2)

π(ί) = j 7t(j) = i 7i(k) = k für k φ i, k φ j

ΙΩ Position

Π-

Die durch (V-2) beschriebene Veränderung kann man nun auf zweifache Weise deuten:

239

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

Erste Interpretation: Das, was gerade in Position ρ steht, wird vertauscht mit dem, was gerade in Position q steht. Diese Art von Vertauschung wird bewirkt durch Multiplikation des in (V-2) stehenden Spaltenvektors von links mit der entsprechend dimensionierten Transpositionsmatrix T pq (erste Form der Protokollierung). Zweite Interpretation: i und j wechseln ihre Positionen (unabhängig davon, in welchen Positionen sie gerade stehen). Dieser U m f o r m u n g s p r o z e ß wird von uns ab sofort mit [i, j ] unter Verwendung von eckigen K l a m m e r n (zur Unterscheidung von Vektorklammern) abgekürzt (zweite Form der Protokollierung). Beachten Sie also bitte, d a ß [ i , j ] und T pq die gleiche Wirkung haben, wobei in einem Falle die Objekte i, j und im anderen Falle die Positionen p, q symbolisch verwendet werden. Problematisch ist diese mehrfache Interpretationsmöglichkeit ganz unterschiedlicher Zahlenpaare aber nicht, denn lediglich die Anzahl der in den Untersuchungen zu zählenden Transpositionen wird eine Rolle spielen und nicht die Art der Protokollierung. Wir beginnen mit der Bestimmung des Signums einer speziellen Transposition, nämlich einer solchen, bei der zwei in unmittelbar benachbarten Positionen ρ und ρ + 1 befindliche Objekte i und j vertauscht werden: in Position

(V-3)

Tpp+1··

« * · '

in Position

p

p

p + 1

I

i I j, ?o wird die Anzahl der Inversionen um genau eine verringert. In beiden Fällen gibt es also einen Wechsel des Signums, also einen Klassenwechsel. Als Nächstes nehmen wir an, durch die in (V-2) mit π bezeichnete Transposition werden zwei Objekte i und j vertauscht, zwischen denen noch m ( > 0 ) Objekte k 1 ? k 2 , . . , k m stehen. Wenn i die Position ρ hat, d a n n hat j, sobald es unterhalb i steht, also die Position ρ + m + 1, d . h . wir müssen die Wirkung von T p p + m + t untersuchen: in Position

in Position

ρ p+1 (V-4)

Ρ jp-l>Jp>jp+l> · · · > jq - 1) jq> jq+ 1> ···> jn) = ( 1 , 2 , . . . , p - 1, q, p + 1, . . . , q - 1, p, q + 1, . . . , n ) einen S u m m a n d e n bringen, der ein von Null verschiedenes Produkt a i j , a 2 h ··• a nj n liefert, das im jetzigen Falle natürlich gleich Eins ist. Wie wir in Unterabschnitt 2.1 sahen, ist das Signum jeder Transposition gleich minus Eins, also m u ß noch das Vorzeichen ,, —" dazukommen. Insgesamt ergibt sich durch Ausrechnen: Determinanten elementarer Matrizen (V-19)

|E| = 1

|Mp(c)| = c

|Fpq(c)| = l

|Tpql = - l

Als nächstes wollen wir uns überlegen, d a ß die Determinante einer quadratischen Matrix gleich Null sein muß, sobald eine Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile ist. 1. Wir gehen zuerst von der speziellen A n n a h m e aus, d a ß zwei Zeilen einer Matrix A gleich sind. F ü r den Fall der Ordnung 2 ergibt sich unmittelbar durch Ausrechnen IAI = 0. Im Fall der O r d n u n g 3 können wir | A | nach einer „unbeteiligten" (d. h. von den zwei gleich seienden Zeilen verschiedenen) Zeile (oder auch nach irgendeiner Spalte) entwickeln; die beim Entwickeln auftretenden Unterdeterminanten sind von der O r d n u n g 2, haben sämtlich zwei gleiche Zeilen und sind damit sämtlich gleich Null, also folgt insgesamt | A| = 0. Im Falle der O r d n u n g 4 können wir entsprechend IAI nach einer unbeteiligten Zeile entwickeln und Gebrauch von dem soeben erhaltenen Ergebnis, angewandt auf die jetzigen Unterdeterminanten der O r d n u n g 3, machen, u n d wiederum ergibt sich | A| = 0, usw. Dieser - hier ganz vereinfacht dargestellte - Induktionsbeweis führt zu dem behaupteten Ergebnis | A | = 0 f ü r jede O r d n u n g . 2. N u n m e h r gehen wir von der allgemeinen A n n a h m e aus, d a ß eine Zeile das c-fache einer anderen Zeile sei. Dann kann m a n in der Definition (V-10) den Proportionalitätsfaktor c aus der Summe herausziehen. D a d u r c h bleibt hinter dem Summenzeichen der Ausdruck für eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen übrig, und diese ist, wie in Teil 1 gezeigt, gleich Null. U n t e r Verwendung der Tatsache, d a ß entsprechende Ergebnisse auch für den Fall gleicher oder proportionaler Spalten

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

255

gelten, folgt: Matrizen, deren Determinanten gleich Null sind (2) Ist in einer quadratischen Matrix eine Reihe gleich dem Vielfachen einer anderen Reihe (insb. sind zwei Reihen gleich), so ist ihre Determinante gleich Null.

2.5. Elementare Matrizeiloperationen und die Determinante einer Matrix D a wir im Kapitel über Matrizen gesehen haben, d a ß die U m f o r m u n g von Matrizen auf Dreiecksform keine wesentlichen Schwierigkeiten bereitet, bietet es sich an, zur Berechnung der Determinante einer Matrix diese zunächst mit Hilfe von Zeilenu n d / o d e r Spaltenoperationen in eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix umzuformen und schließlich von dieser umgeformten Matrix die Determinante zu berechnen. Wir müssen u n s dann aber fragen, ob und ggf. wie sich die Determinante einer Matrix durch solche Operationen ändert. Wir beginnen unsere Untersuchung mit demjenigen Typ einer elementaren U m f o r mung, bei dem alle Elemente der p-ten Zeile mit einem festen F a k t o r c multipliziert werden, also bei festem ρ jeweils a p j durch ca p j f ü r jedes j = 1 , . . . , η ersetzt wird. Durch Einsetzen dieser Veränderung in (V-10) sieht man sofort, d a ß in jedem Summ a n d e n dieser F a k t o r c und zwar jeweils genau einmal auftritt, man ihn also aus der Summe herausziehen kann. Was übrig bleibt, ist die Definition (V-10) der Determinante der ursprünglichen Matrix. Diese U m f o r m u n g bewirkt also eine multiplikative Veränderung der Determinante u m den F a k t o r c. U n t e r Berücksichtigung von | A'| = | A| gilt die vorstehende Überlegung auch für eine entsprechende Spaltenoperation, so d a ß wir zusammenfassen können:

I

Ersetzt man in einer quadratischen Matrix eine Reihe durch ihr c-faches (Umformungstyp M p (c)), so ändert sich die Determinante multiplikativ u m den Faktor c.

Wir setzen unsere Untersuchung fort mit demjenigen Typ einer elementaren U m formung, bei welcher in einer quadratischen Matrix A zur p-ten Zeile d a s c-fache der q-ten Zeile (ρ φ q) addiert wird. Wir müssen d a n n anstelle von a p j (V-20)

apj + caqj

für dieses feste ρ und jedes j ( = 1 , . . . , n)

schreiben. Die Determinante der neuen Matrix Ä berechnet sich dann wegen (V-10) als (V-21)

| Ä | = Σ (sgn π) • • · a p _ l j p _ , • (a p j p + c a q j p ) · a p + l j p ^ I · · · a q _ l j q _ , · a q j q C) Diese Summe k a n n zunächst in zwei Summen aufgespalten werden, wobei sich in der zweiten Summe der von dem Summationsindex nicht betroffene konstante Faktor c herausziehen läßt. D a d u r c h erhalten wir (V-22)

I Ä| = Σ (sgnπ) · · • a p _ l j p _ , • a p j p · a p + l j p + , • • · a q _ l j q _ , · a q j q · · • (IT)

+ c · Σ (sgnπ) · • · a p _ l j p _ , · a q j p · a p + l j p t , • • · a q _ I j q . , · a q j a · · •. (tl .

256

K a p i t e l V: D e t e r m i n a n t e n u n d E i g e n w e r t e

Beachten Sie bitte, d a ß in der zweiten, durch einen Stern markierten, Summe sowohl a q j [ j als auch a q j i i , d . h . jeweils zwei F a k t o r e n aus der Zeile q auftreten. Genauer besehen, k a n n der Ausdruck * aufgefaßt werden als die Definition (V-10) derjenigen Matrix, die aus A dadurch entsteht, d a ß in ihrer p-ten Zeilenposition anstatt des normalerweise dort stehenden Vektors (V-23)

(apl, ap2, . . . , a p n )

jetzt der Vektor (V-24)

(aql, aq2, ..., aqn)

steht, der ja bereits außerdem in der q-ten Zeilenposition eingetragen ist. Das ist aber eine Matrix mit zwei gleichen Zeilen, deren Determinante gleich Null ist. Damit ist aber auch der Ausdruck * gleich Null, und es ist ü b e r h a u p t keine numerische Veränderung gegenüber (V-21) aufgetreten. Wir halten - wieder unter Berücksichtigung von | A ' | = | A | fest: Ersetzt m a n in einer Matrix eine Reihe durch die Summe dieser Reihe und des cfachen einer anderen Reihe (Umformungstyp F pq ), so ändert sich die Determinante nicht. Es bleibt schließlich noch zu untersuchen, welche Wirkung diejenige U m f o r m u n g hat, bei der zwei verschiedene Zeilen ρ und q vertauscht werden. Das bewirkt bei jedem S u m m a n d e n in (V-10) eine Veränderung der zugehörigen Permutation um eine Transposition, wodurch jedes sgn durch — sgn ersetzt werden muß. Also verändert die Determinante d a n n ihr Vorzeichen. Wegen | A'| = | A| erhalten wir:

I

Vertauscht m a n in einer quadratischen Matrix zwei Zeilen oder zwei Spalten miteinander ( U m f o r m u n g s t y p T pq ), so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

Unter Verwendung der in Kapitel II bzw. IV eingeführten Schreibweise merken wir uns also: Elementare Matrizenoperationen und die Determinante einer quadratischen Matrix A Umformungstyp

Auswirkungen

Mp(c) F pq Τ pq

Multiplikative Veränderung um den F a k t o r c keine Veränderung Veränderung des Vorzeichens

2.6. Der Multiplikationssatz für Determinanten Wir stellen diesmal den zu beweisenden Satz an den A n f a n g , damit Sie im folgenden stets im Auge behalten können, worauf wir abzielen. Nach unseren Vorbereitungen wird er erstaunlich leicht, nämlich ohne großes Herumrechnen, zu beweisen sein.

Kapitel V: D e t e r m i n a n t e n u n d Eigenwerte

257

Determinante eines Matrizenproduktes Die Determinante eines Produktes von quadratischen Matrizen gleicher O r d n u n g ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten: (V-25) bzw. (V-26)

IΑ · ΒI = IAI · IΒI IA, · A 2 · · · A,| = I A, I · | A 2 | · ·· | A,|

für zwei F a k t o r e n für 1 Faktoren

Vergleicht man die Auswirkungen elementarer Matrizenoperationen (hier: Zeilenoperationen) auf eine Determinante mit dem Resultat (V-19), so sieht m a n sofort: I Mp (c) · AI = I M p (c) I · IAI, I Fp *

= 0,

falls

;.¡ φ /.J,

d . h . die gem. (V-67) gebildeten Vektoren « ' " e r f ü l l e n für den Fall λ{ φ den unteren Teil von (V-66).

ebenfalls

Wesentlich schwieriger gestaltet sich der Beweis für den Fall, d a ß zwar i φ j, aber /.¡ = /.j ist (also beim numerischen Zusammenfallen von Eigenwerten). Tatsächlich kann man auch in diesem Falle, aber erheblich umständlicher, cu(i) und ω ϋ ) so konstruieren, d a ß sowohl ω ( , ) * ω ' ° = 1 als auch w ( i ) * ω ϋ ) = 1 als auch ω (ί)

* ωϋ) — o

für /.. = Âj, aber i φ j

gilt. (Wir verzichten hier auf den Beweis.) Auf eine solche, hier nur skizzierte Weise k a n n man schließlich die Spalten der orthogonalen Matrix sukzessiv durch geeignete Eigenvektoren von (V-65) aufbauen. Beachten Sie, d a ß es zur Berechnung der reduzierten F o r m L(y) nicht erforderlich ist, Ω numerisch zu bestimmen. Vielmehr braucht man mit Hilfe des Eigenwertproblems Α χ = /.χ mit A = A' lediglich die Eigenwerte / . ¡ , . . . , /.„ zu bestimmen. 3.3. Deflnitheit quadratischer Formen und Konvexität Wie wir skizziert haben, k a n n eine quadratische F o r m Α (χ) = χ' · Α · χ mit symmetrischer Matrix A in η Variablen x¡ durch eine Koordinatentransformation χ = ß y auf die Gestalt L(y) = Σ ¿¡y? i= 1

mit lauter reellen /.¡, den Eigenwerten von A, gebracht werden. Hieraus kann man folgendes ablesen: Sind alle /.¡ positiv, so wird L(y) für reelles y niemals negativ und gleich Null nur für χ = 0. In diesem Fall nennt m a n die Matrix A und die quadratische F o r m A ( x ) positiv définit. Gilt dagegen nur die schwächere Bedingung /.¡ 0 für alle i = 1 , . . . , n, so wird L (y) zwar ebenfalls niemals negativ, aber falls etwa für den n-ten Eigenwert /.„ = 0 gilt, so folgt d a r ü b e r hinaus durch Einsetzen des von dem Nullvektor verschiedenen n-ten Einheitsvektors e ( n ) = (0, 0, . . . , 1)' in die quadratische F o r m L (y), daß L (e ( n ) )= 0 wird, und aus (V-55) ergibt sich jetzt, d a ß durch Einsetzen von x : = Ωe < n , = ω ( η ) ( Φ 0 ) in Α (χ) auch die Gleichung

274

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

Α (ω ( η > ) = 0 folgt. In diesem Fall nennt m a n die M a t r i x A und auch die q u a d r a t i s c h e F o r m Α (χ) positiv semidefinit. Mit Ü b e r l e g u n g e n aus der Differentialrechnung oder d e r G e o m e t r i e , die wir hier nicht d u r c h f ü h r e n wollen, k a n n m a n n u n beweisen, d a ß die F u n k t i o n L ( y ) bei positiver Definitheit streng konvex u n d bei positiver Semidefinitheit konvex ist. Im ersten Fall tritt also genau ein M i n i m u m (in IR") bei χ = y = 0 u n d im zweiten Fall unendlich viele M i n i m a , die aber d a n n sämtlich g l o b a l e M i n i m a sind, auf.

4. Literaturhinweise Ästhetische Prinzipien, insbesondere Eleganz und Harmonie, haben in der Mathematik oft eine große Faszination auf Mathematiker ausgeübt. Da sie sich besonders gut und einfach auf die Darstellung der Determinanten anwenden lassen, erscheint ein so elementares mathematisches Lehrbuch wie NEISS [1941, S. 19] in seiner ersten Auflage dem Studenten der Ökonomie als etwas schwierig. Eine einfachere Einführung finden Sie in JAEGER/WENKE [1969, S. 251], eine noch andere übrigens in JAEGER [1960, S. 204]. Für leicht verständliche Anwendungsbeispiele im Zusammenhang mit der Vektorrechnung sowie der Behandlung von Funktionen mehrerer Variablen und gewöhnlicher Differentialgleichungen sei auf DIETRICH/STAHI. [1968, S. 4 0 - 4 5 ] verwiesen.

Die Anwendung von Eigenwerten symmetrischer Matrizen in der Geometrie quadratischer Gleichungen (Kegelschnitte und dreidimensionale Verallgemeinerungen) ist ζ. B. bereits in JAEGER [1960, S. 264-285] leicht dargestellt. Eine ausführliche Darstellung von Eigenwertproblemen finden Sie auch in HADLEY [1961, S. 234-284], Eine der wichtigsten ökonomischen Anwendungen beinhalten die auf lineare Verflechtungen innerhalb einer Volkswirtschaft (LEONTIEF) oder einer Unternehmung (PICHLER und WENKE) basierenden Input-Outp u t - M o d e l l e , ü b e r die Sie etwas m e h r in HADLEY [1962, S. 4 8 7 - 5 0 8 ] , GALF, [1960, S. 3 0 1 3 0 6 ] , JAEGER/WENKE [ 1 9 6 9 , S. 2 9 4 - 3 0 2 ] , D Ü C K / K Ö R T H / R U N G E / W U N D E R L I C H [ 1 9 8 0 , I, S. 1 9 5 - 1 9 6 , I I , S. 3 4 0 - 3 6 8 ] n a c h l e s e n k ö n n e n . I n JAEGER [ 1 9 6 0 , S. 2 6 6 - 2 6 9 ] i s t a u c h ein

Beweis für die Existenz eines orthogonalen Ω zur Diagonalisierung der symmetrischen Matrix A, die auch die Beweislücke hier in diesem Buche für den Fall mehrfacher Eigenwerte füllt. Numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertaufgaben werden ausführlich in ZURMÜHL/FALK [1984, Kapitel VI] vorgeführt. Wiederholungsfragen 1. Was versteht m a n unter der D e t e r m i n a n t e einer Matrix? G e b e n Sie eine allgemeine Definition an! 2. Ist es d e n k b a r , d a ß eine Matrix - keine o d e r - mehrere D e t e r m i n a n t e n besitzt? 3. Was versteht m a n in diesem Z u s a m m e n h a n g u n t e r einer U n t e r d e t e r m i n a n t e bzw. u n t e r der zugehörigen A d j u n k t e n (dem zugehörigen K o f a k t o r ) ? 4. Wie lassen sich die Determinaten von (2 x 2)- und (3 χ 3)-Matrizen vereinfacht berechnen? 5. Wie ä n d e r t sich die D e t e r m i n a n t e einer q u a d r a t i s c h e n M a t r i x A, w e n n die folg e n d e n O p e r a t i o n e n an A v o r g e n o m m e n werden: - M u l t i p l i k a t i o n sämtlicher Elemente einer Zeile (Spalte) von A mit d e m F a k t o r t;

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

275

- Multiplikation sämtlicher Elemente von A mit t; - Addition des t-fachen einer Zeile (Spalte) von A zu einer anderen Zeile (Spalte) von A; - Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) von A. 6. Welchen Wert hat die Determinante einer quadratischen Matrix A, wenn (alternativ) - alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind; - wenn zwei Zeilen (Spalten) identisch sind; - wenn eine Zeile (Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) ist. 7. Welchen Wert nimmt die Determinante einer quadratischen Matrix A an, wenn A - eine Dreiecksmatrix - eine Nullmatrix bzw. - eine Einheitsmatrix ist? 8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Determinante einer Matrix und der Determinante ihrer Transponierten? 9. Gegeben sei ein allgemeines Gleichungssystem der Form A x = b mit quadratischer Koeffizientenmatrix A. Welcher Zusammenhang besteht zwischen - der Lösbarkeit des Gleichungssystems, - der Inversen von A, - der Determinante von A, - dem Rang von A, - der linearen Unabhängigkeit der Zeilen (Spalten) von A? 10. Was versteht man unter dem Eigenwertproblem? Definieren Sie in diesem Zusammenhang auch die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor!

Übungsaufgaben Aufgabe V - l Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen (sofern sie existieren):

276

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

I =

Κ =

0 1 0 2

7 4 2 3

0 6 7 2

4 8 6 7

L =

2 0 0 0

6 4 0 0

M =

Aufgabe V-2 Gegeben seien die folgenden Matrizen:

( 1

0

0 V

/ 1 6 \

0 1 Ol, F = I 5 2 I Bestimmen0 Sie0 die1 folgenden Determinanten (sofern sie existieren): / \ 3 4 / -

I A|

-

|B| |A'| I A · B| 14-A| ΙΑ-'-ΒΙ I Α " 1 · Β · C| |D| |D-F|.

Aufgabe V-3 Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: 2 X J + x 2 + 3X 3 = 7 4xj + 2X 3 = 4 3x! + x 2 + 4 X 3 = 2.

3 0 1 0

7 8 2 2

Kapitel V: Determinanten und Eigenwerte

277

a) Besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Beantworten Sie diese Frage unter Bezugnahme auf die Determinante der Koeffizientenmatrix ! b) Was können Sie über - die Inverse der Koeffizientenmatrix, - den Rang der Koeffizientenmatrix, - den R a n g der erweiterten Koeffizientenmatrix und - bezüglich linearer (Un-)abhängigkeit der Zeilen bzw. Spalten der Koeffizientenmatrix aussagen? Aufgabe V-4 Gegeben seien die folgenden Matrizen

a) Bestimmen Sie | A | und |B[. b) Was können Sie aufgrund des Ergebnisses, das Sie unter a) erhalten haben, über die Lösbarkeit der Gleichungssysteme Α·χ = b

und

Β·χ = b

aussagen? Dabei sei b ein beliebiger dreidimensionaler Spaltenvektor.

Kapitel VI: Lineare Optimierung Gliederung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Lernziele Kanonische Optimierungssysteme Der primale Simplexschritt Der primale Simplexalgorithmus Künstliche Optimierungssysteme Die Zwei-Phasen-Simplexmethode Der duale Simplexalgorithmus Weiterführung der Grundbeispiele 8.1. Grundbeispiel 4: P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 8.2. Grundbeispiel 5: Mischungsoptimierung 9. Literaturhinweise Wiederholungsfragen Übungsaufgaben

282 282 287 292 298 310 316 320 320 323 326 327 328

Kapitel VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

281

Wenn Sie die Grundbeispiele in Kapitel I und die dort angegebene Literatur durchgearbeitet haben, ist Ihnen klar geworden, wie viele verschiedenartige Fragestellungen man im Z u s a m m e n h a n g mit ökonomischen Problemen mit Hilfe von linearen Optimierungssystemen untersuchen kann. Möglicherweise wird Ihnen auch aufgefallen sein, d a ß diese Systeme ganz unterschiedliche Strukturen aufweisen. Trotzdem werden wir am Ende dieses Kapitels ein Verfahren entwickelt haben, mit dem sich für jedes dieser Systeme eine optimale Lösung bestimmen läßt, sofern eine solche existiert. Scheinbar im Gegensatz zu dieser Absicht befassen wir uns zunächst einmal mit Optimierungssystemen eines ganz speziellen Typs, den sog. (primal) zulässigen kanonischen Optimierungssystemen (Abschnitt 2). Es handelt sich dabei um Optimierungssysteme, deren Restriktionen ein NN-Gleichungssystem in einer zulässigen kanonischen F o r m bilden. M a n k a n n nun zeigen, d a ß es stets auch eine optimale Basislösung gibt, sofern überhaupt eine optimale Lösung existiert. Wir richten deshalb unser H a u p t a u g e n m e r k auf verschiedene äquivalente kanonische F o r m e n des Optimierungssystems bzw. auf zugehörige Basislösungen. Zunächst zeigen wir, wie sich optimale Basislösungen identifizieren lassen (noch Abschnitt 2). Liegt noch keine derartige Lösung vor, so gehen wir zu einer äquivalenten (primal) zulässigen kanonischen F o r m über, die eine in der Regel bessere, nie aber eine schlechtere Basislösung ausweist. Dies geschieht mit einem speziellen Pivotschritt, der in diesem Z u s a m m e n h a n g als primaler Simplexschritt bezeichnet wird (Abschnitt 3). Der in Abschnitt 4 vorgestellte primale Simplexalgorithmus faßt im wesentlichen die vorausgegangenen Überlegungen zu einem Verfahren zusammen, mit dessen Hilfe man für kanonische Optimierungssysteme eine optimale Lösung bestimmen kann, sofern eine solche Lösung existiert. Andernfalls bricht das Verfahren ab. N u n liegen aber bei ökonomischen Anwendungen, wie Sie auch den Grundbeispielen in Kapitel I entnehmen können, Optimierungssysteme nicht von vornherein in kanonischer F o r m vor. Allerdings haben wir in Kapitel II, Abschnitt 3.4 gesehen, wie sich beliebige Restriktionssysteme in NN-Gleichungssysteme u m f o r m e n lassen. In Abschnitt 5 dieses Kapitels demonstrieren wir, wie Optimierungssysteme mit derartigen Restriktionssystemen (die ja im Gegensatz zu den A n n a h m e n von Abschnitt 2 nicht mehr in zulässiger kanonischer F o r m vorzuliegen brauchen) in zulässige kanonische Optimierungssysteme überführt werden können. Man bedient sich dabei eines Kunstgriffes, der dann auch hier die Voraussetzungen für den Einsatz des Simplexalgorithmus schafft. M a n erweitert dabei das vorliegende Restriktionssystem zu einem Optimierungshilfssystem, einem sog. künstlichen Optimierungssystem, auf das sich der Simplexalgorithmus anwenden läßt. Sofern überhaupt eine (primal) zulässige Basislösung des Restriktionssystems existiert, liefert das Verfahren am Ende eine zugehörige kanonische F o r m des zugrundeliegenden NN-Gleichungssystems. N a c h einer geeigneten Hinzufügung der ursprünglichen Zielgleichung liegt ein kanonisches Optimierungssystem vor, für das man dann wieder, wie in den Abschnitten 2, 3 und 4 beschrieben, eine optimale Lösung bestimmen kann. In Abschnitt 6 fassen wir unsere Überlegungen zur sog. Zwei-Phasen-Simplexmethode zusammen, mit der sich d a n n tatsächlich beliebige Optimierungsaufgaben lösen lassen. In Abschnitt 7 führen wir noch einen anderen, nämlich den dualen Simplexalgorithmus vor, für den andersgeartete Anwendungsvoraussetzungen erforderlich sind. Schließlich wollen wir in Abschnitt 8 die Grundbeispiele weiterführen.

282

K a p i t e l VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

1. Lernziele Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, - anzugeben, was ein kanonisches Optimierungssystem ist bzw. was in diesem Zus a m m e n h a n g primal zulässige und dual zulässige kanonische F o r m e n des Optimierungssystems sind, - Anwendungsvoraussetzungen, Grundgedanken und Ablauf des Simplexalgorithmus verbal zu beschreiben, - mögliche Sondersituationen beim primalen Simplexalgorithmus mit ihren Merkmalen zu nennen, - die Bedeutung und die Konstruktion von künstlichen Optimierungssystemen zu erläutern, - den Ablauf der Zwei-Phasen-Simplexmethode verbal zu skizzieren, - die Unterschiede zwischen dem primalen und dem dualen Simplexalgorithmus zu schildern sowie - konkrete Optimierungsaufgaben numerisch zu lösen.

2. Kanonische Optimierungssysteme Was Optimierungssysteme sind, haben Sie bereits in Kapitel I kennengelernt. Wir wollen uns hier allerdings noch nicht mit solchen allgemeinen Systemen befassen, vielmehr stehen zunächst - wie auch schon bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme - Systeme eines ganz speziellen Typs im Mittelpunkt. Es handelt sich dabei um Optimierungssysteme der folgenden oder einer äquivalenten Gestalt: ZG:

X

+ a 0r + 1 Xr + 1 + a 0r + 2 Xr + 2 + · • · + a 0n Xn = t>0 + a l r + l X r + l + a l r + 2 X r + 2 + -- - + a ln X n = t>i + a 2r + 1 Xr+ 1 + a 2r + 2 X r + 2 + · · · + a 2n X n = ^2

0 X

RG:

1 x

2

(VI-1) X

NN: ZV:

x0

r+ X], X2, . . · , Xr, -> o p t !

a

rr + 1 Xr + 1 + X r+1>

a

rr + 2 Xr + 2 + · • • + a rn Xn X X r+2'···' n = 0

=

wobei opt! entweder für „ m a x ! " oder f ü r „ m i n ! " stehen soll. In unserer Darstellung haben wir bereits hervorgehoben, daß sich das System (VI-1) in vier Teile gliedern läßt: Teilsystem RG Dieses Teilsystem enthält allgemeine Restriktionen in den Variablen Χι, x 2 , · · ·, χ „ . Genauer gesagt, handelt es sich um ein System von Gleichungsrestriktionen, das hier bereits in kanonischer F o r m für eine vorher ausgewählte Menge von Basisvariablen (hier zur Vereinfachung x 1 ; x 2 , . . . , x r numeriert) vorliegen soll. Teilsystem N N Dieses Teilsystem weist ganz spezielle Restriktionen auf, u n d zwar f ü r jede der Variablen x , , x 2 , . . . ,x n , mit Ausnahme von x 0 , eine Nichtnegativitätsrestriktion.

Kapitel VI: Lineare Optimierung

283

Teilsystem ZG ZG enthält nur eine Formel, nämlich die aus der Zielfunktion abgeleitete Zielgleichung. Im Gegensatz zu den in Kapitel I vorgestellten Zielgleichungen seien in Z G hier bereits die Basisvariablen des Teilsystems R G eliminiert, weshalb man Z G auch modifizierte Zielgleichung und die Koeffizienten a o j , j = 1 , . . . , n, modifizierte Zielkoeffizienten nennt. 1 Teilsystem ZV ZV besteht nur aus der sog. Zielvorschrift, die angibt, ob ein möglichst großer Zielwert (ZV : x 0 -» max!) oder ein möglichst kleiner Zielwert (ZV : x 0 min!) angestrebt werden soll. Jedes Optimierungssystem, das diese Gestalt (Vl-1 ) hat oder sich durch eine Vertauschung der Reihenfolge der Gleichungen von RG und/oder der Restriktionsvariablen x¡ (i = 1 , . . . , n) bzw. durch eine Umnumerierung von ihnen auf diese Form bringen läßt, heiße ein kanonisches lineares Optimierungssystem oder auch lineares Optimierungssystem in kanonischer Form. In diesem Buch werden wir gewöhnlich die Qualifikation „linear" weglassen, da keine anderen Optimierungsprobleme behandelt werden. Wir sprechen speziell von einem kanonischen Maximierungssystem, wenn die Zielvorschrift x 0 -> max! lautet bzw. von einem kanonischen Minimierungssystem, wenn die Zielvorschrift x 0 -> min! lautet. Man nennt das Optimierungssystem (Vl-i) primal zulässig, wenn die rechten Seiten von R G sämtlich nichtnegativ sind: b¡^0

für i = 1 , . . , r ,

und sonst primal unzulässig. In elementaren Einführungen in die Lineare Algebra und Optimierung findet man häufig auch nur die Bezeichnungsweise „zulässig". Bei primaler Zulässigkeit erfüllen die Variablenwerte der Basislösung das Teilsystem N N (die Nichtnegativitätsrestriktionen), und man sagt auch, daß in diesem Falle die Basislösung (primal) zulässig und sonst (primal) unzulässig ist. Insbesondere im Verlaufe der Konstruktion einer kanonischen Form werden wir sogar eine einzelne bereits gewählte Basisvariable, nachdem das Gleichungssystem bereits nach ihr aufgelöst ist, (primal) zulässig oder unzulässig nennen, je nachdem o b auf der rechten Seite der zu ihr gehörigen Gleichung eine nichtnegative oder negative Zahl steht. Beispiel VI-1 Das Maximierungssystem x0

+ 6 X 5 = 86 \[

+ 2X 4 + 3X 5 = 12 x2

x3 +

X[, x 2 , x 3 ,

x4 + 4 x 5 =

8

x 4 — 2X 5 =

4

x4,

0

x5 ä

x 0 -» max! 1

Diese Modifikation ändert zwar i.a. den aus Z G bestimmbaren Zielwert eines allgemeinen η-Vektors, aber keineswegs die Zielwerte von Lösungen von R G , da durch den Eliminationsprozeß lediglich eine Linearkombination der Gleichungen von R G zu Z G addiert wird, die f ü r Lösungen von R G erfüllt ist. Vgl. auch Unterabschnitt 2.3 in Kapitel II für diese Art der Argumentation.

284

Kapitel VI: Lineare Optimierung liegt in primal zulässiger F o r m vor. Wir lesen d a r a u s die primal zulässige Basislösung (12, 8, 4, 0, 0) ab. Ebenfalls in primal zulässiger F o r m liegt das Optimierungssystem x0

2x 1 + 2x 3 — 2 x j + x2 - 2 x 3

OS,

= 12

4*i

- 2x 3 + x 4

2x,

— 3x,

5

=

8

+ x 5 = 16 0

gilt, von Null anwachsen lassen. Der Zielwert der zugehörigen Lösung ergibt sich wieder gem. (VI-10). Er wird also günstiger, d.h. kleiner, je größer tq gewählt wird. Sämtliche sich anschließenden Überlegungen stimmen mit denen für Maximierungssysteme völlig überein, so daß wir hier auf sie verzichten wollen. Sofern man Simplexschritte per „ H a n d " durchführen will, empfiehlt sich wieder die Verwendung eines Rechentableaus. Das hier zunächst vorgestellte sog. ausführliche Simplextableau hat die folgende Gestalt: 1

a

0 0

an a21

0

a

oi

rl

a

02

'

a

0n

b0

a

l 2

•

a

ln

a

22

•

a

2n

b, b2

a

r2

rn

br

·

•

a

Dieses Tableau ist von der gleichen Form, die wir in Unterabschnitt 2.4 des Kapitels II einführten. Im Gegensatz zu jener weist es noch eine zusätzliche Zeile mit dem Zeilenindex 0 zur A u f n a h m e der modifizierten Zielkoeffizienten sowie eine zusätzliche Spalte mit dem Spaltenindex 0 f ü r die Koeffizienten der Zielvariablen x 0 auf. Wenn wir im folgenden eine solches Schema mit nicht numerisch spezifizierten Koeffizienten verwenden, dann sei immer unterstellt, daß eine kanonische Form darin verborgen ist. Oft sind in einem solchen Fall die zu den Basisvariablen gehörenden Spalten wiederum durch Sterne markiert. Häufig trägt man in die Kopfzeile noch die zu den Spalten gehörenden Variablen sowie die Abkürzung „ R S " für „rechte Seite" ein. Nicht protokolliert werden dagegen normalerweise die Nichtnegativitätsrestriktionen sowie die Zielvorschrift. Ohne explizit aufgeführt zu sein, stehen sie also quasi hinter dem Tableau. Die zunächst als Pivotvariable und damit als neue Basisvariable gewählte Nichtbasisvariable sowie die im folgenden be-

Kapitel VI: Lineare Optimierung

291

stimmte Pivotgleichung markiert man häufig mit einem Pfeil über der entsprechenden Spalte bzw. rechts neben der entsprechenden Zeile. In der Kreuzung der so bezeichneten Variablenspalte mit dem Index q und der Pivotgleichung mit dem Index ρ steht das zu verwendende Pivotelement a p q . Wie Sie bereits aus Beispiel VI-4 gesehen haben dürften, sind auch die Umformungen, die im Anschluß an die Bestimmung des Pivotelementes beim Übergang von einer kanonischen Form zu einer anderen vorgenommen werden müssen, völlig mit denjenigen identisch, die wir bei der Behandlung von Pivotschritten für lineare Gleichungssysteme kennenlernten. Formal haben wir sie lediglich auf die Zielgleichung zu übertragen. Beispiel VI-5 Für das Maximierungssystem OS 2 aus Beispiel VI-1 wollen wir das entsprechende Tableau „mit Kopfzeile" erstellen (gegenwärtige Basisvariablen durch Sterne, Spalte der Pivotvariablen und Zeile der Pivotgleichung durch Pfeile gekennzeichnet):

I

*

"o

*

*

x4

X5

RS

1

-2

0

2

0

0

12

0 0 0

_2

1 0 0

2 -2 -3

0 1 0

0 0 1

5 8 16

(4) 2

Unter Verwendung des umkreisten Pivotelementes erhält man das folgende umgeformte Tableau *

*o

*

*

RS

x4

*2

1

0

0

1

1/2

0

16

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 -1/2 -2

1/2 1/4 1/2

0 0 1

9 2 12

Wir müssen uns aber nun noch mit dem Fall auseinandersetzen, daß ein primaler Simplexschritt nicht ausführbar ist, weil das auf der rechten Seite von (VI-14) aufgeschriebene Minimum gar nicht existiert, d.h. (VI-12) für jedes positive t q uneingeschränkt gilt. In diesem Fall kann man t q beliebig groß wählen, ohne daß eine N N Bedingung verletzt wird. Folglich wächst dann bei Maximierungssystemen (wegen (VI-9)) bzw. sinkt bei Minimierungssystemen (wegen (VI-19)) der Zielwert gemäß (VI-10) über alle Grenzen. Anders gesagt: Kann man einen Spaltenindex q (r + 1 ^ q ^ n) derart finden, daß für alle i ( = 1 , . . . , r) a iq ^ 0 gilt, so gibt es keine optimale Lösung von (VI-1). Nennt man einen modifizierten Zielkoeffizienten a 0 j sowie die entsprechende Spalte j dual unzulässig, wenn a o j < 0 im Falle eines Maximierungssystems, a 0 j > 0 im Falle eines Minimierungssystems gilt, so kann man sich kurz merken:

292

K a p i t e l VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

Nichtexistenz einer optimalen Lösung Besteht bei einem primal zulässigen kanonischen Optimierungssystem in Tableauform die Spalte unterhalb eines dual unzulässigen modifizierten Zielkoeffizienten lediglich aus nichtpositiven Gliedern, so existiert keine optimale Lösung.

Beispiel VI-6 A u s d e r S p a l t e mit S p a l t e n i n d e x 9 des Minimierungssystems in p r i m a l zulässiger k a n o n i scher F o r m *

x4

*2

"o

*

*

X5

1

-to

-30

0

0

-1

4

0

0

- 2

0

7

2

1

0

- 3

0

0

-4

—3

0

0

0

-3

-4

0

1

- 5

1 1

*6 6

0

*

*8

x9

RS

0

4

22

1

0

-1

0

1

0

0

-2

14

8

0

1

0

10

0

0

-1

8

- 2

-6

liest m a n u n m i t t e l b a r a b , d a ß dieses ( z w a r eine p r i m a l zulässige, a b e r ) keine o p t i m a l e L ö s u n g besitzt.

Ü b e r alle Grenzen wachsende oder sinkende Zielwerte sind bei wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen, bei denen x 0 etwa für Gewinne, Erlöse oder Kosten steht, wohl nicht sehr realistisch. Sollte Ihnen in der Praxis doch so etwas unterkommen, d a n n dürfte dieser Fall wohl darauf zurückzuführen sein, d a ß das aufgestellte System die zu analysierende Situation der Realität falsch wiedergibt (falsches Modell), oder d a ß bei der rechen technischen Behandlung Rechen- oder Rundungsfehler zu einem solchen falschen Ergebnis geführt haben.

4. Der primale Simplexalgorithmus A u s den letzten zwei Abschnitten hat sich ergeben, d a ß in bezug auf ein kanonisches Optimierungssystem bzw. in bezug auf die ausgewiesene Basislösung drei Fälle v o r k o m m e n können, nämlich entweder ist die ausgewiesene Basislösung optimal, oder m a n kann bereits erkennen, d a ß es überhaupt keine optimale Lösung gibt, oder aber es kann ein Simplexschritt durchgeführt werden, der zu einer neuen, in der Regel besseren Basislösung führt. D a r a u s kann m a n mehr oder weniger direkt ableiten: Beschränkung der Suche nach optimalen Basislösungen Existiert f ü r ein kanonisches Optimierungssystem ü b e r h a u p t eine optimale Lösung, d a n n existiert auch eine optimale Basislösung. Es gibt zwar möglicherweise auch Nicht-Basislösungen, die optimal sind, aber da es

Kapitel VI: Lineare O p t i m i e r u n g

293

in der Regel ausreicht, eine optimale L ö s u n g zu kennen, bietet es sich an, sich bei der Suche d a n a c h auf Basislösungen zu konzentrieren. Sie schließen n u n vielleicht daraus, d a ß m a n für ein gegebenes Optimierungssystem nur alle Basislösungen zu konstruieren und von diesen d a n n die beste zulässige L ö s u n g zu nehmen b r a u c h t . Bedenken Sie aber, d a ß die Anzahl der möglichen Basislösungen eines Gleichungssystems R G aus (VI-1)

ist. Bei O p t i m i e r u n g s a u f g a b e n der ö k o n o m i s c h e n Praxis beträgt die Anzahl η der Variablen durchaus schon einmal 15000 u n d die Anzahl r der Gleichungen 10000. Sie können sich leicht vorstellen, d a ß diese Vorgehensweise der vollständigen E n u m e r a t i o n selbst mit d e m Einatz m o d e r n s t e r Rechenanlagen nicht sehr weit führt. D a s Verfahren, das wir nun im Einzelnen beschreiben wollen, macht vielmehr von der Idee G e b r a u c h , von einer primal zulässigen kanonischen F o r m bzw. ihrer Basislösung n u r solche kanonischen F o r m e n anzusteuern, die ebenfalls zulässig sind, aber möglichst bessere Basislösungen ausweisen. Diese Eigenschaft realisierte aber gerade der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellte primale Simplexschritt. Wenn ü b e r h a u p t eine optimale (Basis-)Lösung existiert, dann m u ß m a n auch nach einer endlichen Folge von Simplexschritten zu einer solchen L ö s u n g gelangen. G r u n d sätzlich geht m a n dabei wie folgt vor: - M a n ü b e r p r ü f t , ob bereits auch eine dual zulässige F o r m vorliegt. Ist d a s der Fall, so liest m a n die zugehörige Basislösung als gesuchte optimale Lösung sowie den zugehörigen Zielwert a b und beendet d a s Verfahren. - M a n ü b e r p r ü f t , ob für ein q mit a 0 q < 0 bei einem Maximierungssystem bzw. für ein q mit a 0 q > 0 bei einem Minimierungssystem sämtliche a i q (i = 1 , . . . , r) negativ sind. Ist das der Fall, so gibt es keine o p t i m a l e Lösung, und m a n beendet das Verfahren. - Andernfalls wählt m a n eine gegenwärtige Nichtbasisvariable x q mit a 0 q < 0 bei einem Maximierungssystem bzw. mit a 0 q > 0 bei einem Minimierungssystem als neue Basisvariable. - G e m ä ß Formel (VI-16) legt m a n d a n n eine Pivotgleichung ρ fest. - U n t e r Verwendung des Pivots (p, q) f ü h r t m a n einen Pivotschritt durch. D a m i t gelangt m a n zu einer neuen primal zulässigen kanonischen F o r m und beginnt von vorn. Dabei k ö n n e n jedoch noch drei Z u s a t z f r a g e n auftreten, die wir bisher nicht b e h a n delt h a b e n . So k o m m e n unter den modifizierten Zielkoeffizienten der Nichtbasisvariablen bei einem Maximierungssystem möglicherweise mehrere negative a 0 q (bzw. bei einem Minimierungssystem mehrere positive a 0 q ) vor. Wie soll m a n d a n n fortf a h r e n ? F ü r die Auswahl der Pivotspalte kann m a n n u n auf eine der folgenden Regeln zurückgreifen: - m a n wähle bei einem Maximierungssystem (Minimierungssystem) diejenige Spalte, die beim Maximieren den kleinsten negativen (bzw. beim Minimieren den größten positiven) Koeffizienten a 0 q besitzt. Hierbei h a n d e l t es sich u m die sog. Ό

ANTZ\G-Regel.

294

Kapitel VI: Lineare O p t i m i e r u n g

- M a n wähle diejenige Spalte, die von den negativen (bzw. positiven) Koeffizienten denjenigen mit d e m kleinsten Index aufweist. - M a n lasse einen Zufallsprozeß über die Auswahl einer Spalte a u s der M e n g e der Spalten mit negativen (bzw. positiven) Koeffizienten entscheiden. - M a n wähle diejenige Spalte, die in Verbindung mit dem zugehörigen Pivotelement die größte Verbesserung des Zielwertes bewirkt. Beispiel VI-7 G e g e b e n sei das folgende, bereits in Beispiel VI-6 v o r g e f ü h r t e Simplextableau, d a s allerdings diesmal zu einem p r i m a l zulässigen k a n o n i s c h e n Maximierungssystem gehöre:

i x

o

1 0 0 0 0

-10 -1 (7)20 -4 -3

[

*

*

[

"2

x3

x4

X-5

-30

0

0

-5

0 1 0 0

0 0 0 1

(4)o 2 -3 -4

*

*

"6

"7

"8

x9

RS

6

0

0

4

22

-2 -2 -3 1 1 8 0.0 -6

1 0 0 0

0 0 1 0

-1 -2 0 -1

0 14 10 8

Die Koeffizientenspalten der Basisvariablen sind wieder d u r c h Sterne markiert. Die f ü r einen primalen Pivotschritt geeigneten Pivotspalten sind hier d u r c h Pfeile m a r k i e r t , die sich dabei jeweils e r g e b e n d e n Pivotelemente wie gewöhnlich u m k r e i s t . An diesen umkreisten Elementen h a b e n wir diesmal a u ß e r d e m n o c h die jeweiligen Zielwertverbesserungen v e r m e r k t , die sich n a c h ihrer Verwendung als Pivotelemente f ü r die n e u g e w o n n e n e Basisl ö s u n g ergeben w ü r d e n . Wie m a n sieht, w ü r d e m a n n a c h der DANTZIG-Regel die x 2 - S p a l t c und im Hinblick a u f die g r ö ß t e Zielwertverbesserung die x 5 -Spalte w ä h l e n .

Letztlich garantiert aber keine dieser Regeln, d a ß m a n a u c h wirklich am schnellsten, d . h . mit der geringsten Anzahl von Simplexschritten, zu einer optimalen Lösung gelangt. Zweitens k a n n es in bezug auf die ausgewählte Pivotspalte mehrere Zeilen 1 geben, f ü r die b ' · Jb¡ . n i — = min 1 — , a i q > 0 > a

iq

laiq

J

ist. Was soll m a n d a n n tun? M a n wähle in dieser Situation einfach irgendeine Zeile ρ von diesen gleichgeeigneten Zeilen 1 aus. Schließlich k a n n es zumindest sowohl theoretisch als auch in sorgfältig konstruierten Rechenbeispielen z u m Kreisen des skizzierten Verfahrens k o m m e n . D a m i t bezeichnet m a n den T a t b e s t a n d , daß m a n - ausgehend von einem primal, aber nicht dual zulässigen kanonischen Optimierungssystem - nach einer Folge von den Zielwert nicht verbessernden Simplexschritten wieder zu einer kanonischen F o r m gelangt, die m a n bereits nach einem der vorangegangenen Schritte vorliegen hatte. Wie soll man aus d e m Kreisen h e r a u s k o m m e n ? Dieser Fall ist offensichtlich allenfalls beim A u f t r e t e n einer E n t a r t u n g möglich. E r setzt a u ß e r d e m ein starres Festhalten an einer deterministischen (d. h. nicht zufallsbedingten) Auswahlregel der

295

Kapitel VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

Pivotspalte voraus. Tatsächlich ist es aber selbst beim Vorliegen dieser Bedingungen nur in sehr konstruierten Fällen zum Kreisen des Verfahrens gekommen. Auch k a n n man in C o m p u t e r p r o g r a m m e n durch einfache Zusatzvorschriften das endlose Verharren in einem solchen Kreis verhindern, so d a ß wir uns nicht weiter mit diesem Sonderfall beschäftigen wollen. Beispiel VI-8 W ü r d e n wir in bezug a u f das Simplextableau in Beispiel VI-7 z u r A u s w a h l der Pivotspalte die DANTZIG-Regel v e r w e n d e n , so e r g ä b e sich der in der x 2 - S p a l t e eingekreiste Koeffizient als Pivotelement. D e r sich anschließende Pivotschritt e r b r ä c h t e j e d o c h keine Zielwertverbesserung. In einem solchen Fall k ö n n t e m a n - als Zusatzregel - die A u s w a h l der Pivotspalte wieder r ü c k g ä n g i g m a c h e n u n d z u n ä c h s t erst einmal nach einem a n d e r e n , den Zielwert verbessernden Pivotelement suchen. Derartige Pivotelemente sind die in d e r x r u n d der x 5 - S p a l t e umkreisten Koeffizienten. Als Pivotelement verwendet, f ü h r t j e d e r dieser Koeffizienten zu einem n e u e n T a b l e a u , in d e m die E n t a r t u n g a u f g e h o b e n ist.

Wir fassen unsere Überlegungen zu folgendem Verfahren zusammen: Algorithmus 6: (Primaler) Simplexalgorithmus zur Bestimmung einer optimalen kanonischen F o r m aus einem primal zulässigen kanonischen Optimierungssystem Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein Maximierungs- (bzw. Minimierungs-)System in primal zulässiger kanonischer Form

ZG

X

0 +

a

0 1 X1 +

a

0 2 X 2 + . · · + a Or X r + · · · + ä 0 n X„ — b 0

a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + . . . + a l r x [ + . . . + a l n x n = b1 RG

ZielkoefTizienten bereits modifiziert Ï 0

a 2 1 x , + a 2 2 x 2 -f . . . + a 2 r x r + . . . + a 2 „ x „ = b 2 g 0 a π χ ι + a r 2 x 2 + . . . + a rr x r + . . . + a r„ x„ = b r è 0

NN

X„

ZV

x 0 -> m a x !

Xj, . . . ,

X ,, • • • ,

o d e r alternativ

x

Gleichungssystem bereits in p r i m a l zulässiger F o r m mit r Basisvariablen (hier nicht e r k e n n b a r )

n = 0

x 0 -> m i n !

Die kanonische F o r m ist hier wegen der numerisch noch nicht spezifizierten Koeffizienten als solche nicht erkennbar. Anfangsschritt (0.1) Markiere die r Basisvariablen! Schritt 1 (Optimale Lösung) (1.1) Gilt a 0 j ^ 0 (bzw. a 0 j ^ 0) für alle j = 1 , . . . , n? JA -> (5.2)! NEIN (2.1)!

296

Kapitel VI: Lineare Optimierung

Schritt 2 ( U n b e s c h r ä n k t e r Zielwert) (2.1) G i b t es eine Variable x q mit a 0 q < 0 (bzw. a 0 q > 0) und a i q ^ 0 f ü r alle i = 1 , . . . , r? JA -> (5.1)! N E I N -> (3.1)! Schritt 3 ( B e s t i m m u n g des Pivotelementes) (3.1) W ä h l e ein q mit a 0 q < 0 (bzw. a 0 q > 0)! (3.2) W ä h l e ein ρ mit bp . ib, —^ = min

i = l , . . . , r , a¡ > 0 > !

Schritt 4 (Primaler Simplexschritt) (4.1) Setze a¡j := a¡j - a ¡ q ·

a

b¡ — b¡ — a iQ

a— -

a

pq pq

pj — — a pq

f ü r i = 0 , . . . , r, i + ρ, j = 1 , . . . , η; f ü r i = 0 , 1 , . . . ,r, i φ ρ;

f ü r j = 1 , . . . , η;

pq (4.2) M a r k i e r e die neue Basisvariable x q ! (4.3) Lösche die M a r k i e r u n g für die neue Nichtbasisvariable! -

(1-1)!

Endschritt (5.1) „ D e r Zièlwert des Maximierungs- (bzw. Minimierungs-) Systems ist unbeschränkt." -

(5.3)!

(5.2) „Es liegt eine primal und dual zulässige k a n o n i s c h e F o r m des Maximierungs- (bzw. Minimierungs-)Systems vor. Die ausgewiesene Basislösung ist eine optimale Lösung des Systems ( Z G , R G , N N , Z V ) . " (5.3) S T O P !

D a s vorstehende Verfahren wird üblicherweise a u c h primaler g e n a n n t . Wir wollen es a n einem Beispiel d e m o n s t r i e r e n .

Simplex-Algorithmus

Beispiel VI-9 Gegeben sei das folgende, primal zulässige kanonische Optimierungssystem:

Kapitel VI: Lineare O p t i m i e r u n g - 4 x 2 — 3X3

=

x , + 4 X 2 + 2X3

297

0

=20

2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 12

os. χ,,

x2,

x3,

x4è

0

Als zugehöriges A u s g a n g s t a b l e a u erhält m a n :

"o 1

x4

RS

0

0

2

0

20

2

1

12

*2 0

0

1

0

0

-4

© 2

-3

Offensichtlich ist diese kanonische F o r m noch dual unzulässig, d a noch die Koeffizienten zweier Nichtbasisvariablen kleiner als Null sind. D a m a n aus dem Tableau auch nicht e n t n e h m e n k a n n , d a ß der Zielwert u n b e s c h r ä n k t ist, bereiten wir einen ersten Simplexschritt vor. Z u r A u s w a h l des Pivotelementes wollen wir hier (und auch im folgenden) das DANTZIG-Kriterium verwenden. Das DANTZIG-Kriterium liefert im vorliegenden Fall die x 2 -Spalte als Pivotspalte. Zur Ermittlung der Pivotzeile bilden wir Γ 20 12Ì min < — , - > = 5 . {4 2 j Dieses M i n i m u m liefert der Q u o t i e n t der ersten Restriktionszeile. Somit ergibt sich als Pivot (1,2) bzw. als Pivotelement der in d e m obigen Tableau umkreiste Koeffizient. Die A u s f ü h r u n g des Pivotschrittes führt zu folgendem u m g e f o r m t e n Tableau:

"0 1

1

x2

X3

x4

RS

0

-1

0

20

1/2

0

5

1

2

0

1/4

1

0

-1/2

0

©

Als n e u e Basislösung lesen wir (0, 5, 0, 2) mit dem zugehörigen Zielwert x* = 20 a b . Da der modifizierte Zielkoeffizient der Nichtbasisvariablen x 3 noch negativ ist, k a n n diese L ö s u n g nicht die gesuchte optimale L ö s u n g sein. D a m a n wieder nicht ersehen k a n n , d a ß der Zielwert u n b e s c h r ä n k t ist, bereiten wir einen weiteren Simplexschritt vor. Als Pivotspalte k o m m t n u n lediglich die x 3 -Spalte in Betracht. Zur E r m i t t l u n g der Pivotzeile suchen wir wieder d a s M i n i m u m der entsprechenden Q u o t i e n t e n . ( 5 21 min < — , - > = 2 . [1/2 l j D a s M i n i m u m ergibt sich jetzt in bezug auf die zweite Restriktionsgleichung. D a m i t steht (2,3) als Pivotelement fest. D e r Simplexschritt liefert d a s folgende Tableau:

298

Kapitel VI: Lineare Optimierung

x

o

X

1

1/2

1

3

x4

RS

0

0

1

22

X

2

X

0

1/2

1

0

-1/2

4

0

-1/2

0

1

1

2

D a sämtliche modifizierten Zielkoeffizienten nunmehr nichtnegativ sind, liegt auch eine dual zulässige F o r m vor. Als optimale Lösung d e s Optimierungssystems O S 6 lesen wir (0, 4, 2, 0) mit dem zugehörigen Zielwert x* = 22 ab.

5. Künstliche Optimierungssysteme Offensichtlich kann man bei praktischen Anwendungen nicht erwarten, daß von vornherein ein primal zulässiges kanonisches Optimierungssystem (VI-1) gegeben ist. Wir wollen uns deshalb in diesem Zusammenhang zunächst fragen, wie man, ausgehend von einem Optimierungssystem (RG, N N und ZV) sowie einer Zielfunktion (VI-20)

x 0 = c t X! + c 2 x 2 + ... + c r x r + c r + , x r + 1 + . . . + c n x n + c 0 ,

zu einer Zielgleichung der speziellen Form ZG in (VI-1) gelangt. In Kapitel I haben Sie bereits gesehen, daß man anstelle von (VI-20) auch äquivalent (VI-21)

x 0 - C j X , - c 2 x 2 - ... - c r x r - c r

+ 1xr + 1

-cr

+ 2xr + 2

- ... - c n x n = c0

schreiben kann. Addiert man nun das Cj-fache der ersten, das c 2 -fache der zweiten, . . . und das c r -fache der r-ten Restriktionsgleichung von RG zu dieser Zielgleichung (VI-21) hinzu, so sind die in (VI-1) gewählten Basisvariablen x,, x 2 , . . . , x r daraus eliminiert. M a n erhält eine Zielgleichung der gewünschten Form Z G aus (VI-1) mit

{

0

sowie (VI-23)

- C j + Σ c¡a¡j

für j = 1 , . . . , r

(j = Basisii}dex)

für j = r + 1 , . . . , η

(j = Nichtbasisindex)

b 0 = c 0 + ¿ C; · b¡. i= ι

Nennt man j einen Basisindex bzw. einen Nichtbasisindex je nachdem, ob Xj in einer gerade betrachteten kanonischen F o r m Basisvariable oder Nichtbasisvariable ist, so kann man sofort (VI-22) auf den Fall, wo eine andere Wahl von Basisvariablen als die in (VI-1) vorgenommene getroffen wurde, verallgemeinern (wie rechts in (VI-22) bereits angedeutet). Die Ausführung eines solchen Umformungsschrittes ist sicherlich zulässig, denn für Lösungen von RG sind nur Vielfache von numerischen Identitäten x

* + a ir + 1 Xir + 1 + a ir + 2 Xîr + 2 + • • • + a in Xn

=

t>i

Kapitel VI: Lineare Optimierung

299

zur Zielgleichung addiert worden, und die Addition von gleichen Konstanten auf beiden Seiten einer Gleichung ändert an dem Zusammenhang zwischen der „abhängigen" Zielvariablen x 0 und den „unabhängigen" Variablen x¡ (i = Ι , . , . , η ) nicht das Geringste (vgl. auch eine diesbezügliche Bemerkung bei der Einführung des Teilsystems Z G in Abschnitt 2). Beispiel VI-10 Wir gehen von dem Optimierungssystem O S 4 aus Beispiel VI-1 aus und addieren das 2fache der ersten, das 4-fache der zweiten und das 5-fache der dritten Restriktionsgleichung zur Zielgleichung hinzu und erhalten o χ,

+ 2x 4 + 3x 5 = 12 X-, K 2

— x 4 + 4x 5 = x3 +

x1,x2,x3,

x 4 — 2x 5 =

4

x4,

0

x5 ä

-> m a x . Es liegt nun ein primal und dual zulässiges kanonisches Optimierungssystem vor. Offensichtlich ist es mit dem System O S t aus Beispiel VI-1 identisch.

Hat man also bereits ein System der F o r m (RG, N N ) aus (VI-1) vorliegen, so bereitet die Erstellung der zugehörigen modifizierten Zielgleichung Z G keine großen Probleme. Als weitaus aufwendiger kann sich aber die Erzeugung gerade dieser Form (RG, N N ) aus beliebigen Restriktionssystemen erweisen. Wir haben zwar in Kapitel II ein Verfahren vorgestellt, mit dessen Hilfe man Restriktions- in N N Gleichungssysteme (um ein solches handelt es sich ja gerade bei (RG, N N ) ) überführen kann. Dieses Verfahren reicht aber leider keinesfalls immer aus, um auch eine zulässige kanonische Form des NN-Gleichungssystems zu erzeugen. Beispiel VI-11 Ersetzen wir - analog zu Algorithmus 3 - in dem Optimierungssystem OS 5 aus Beispiel VI-1 die unbeschränkten Variablen x 2 und x 4 durch die Differenz zweier nichtnegativer Variablen x 2 — x 2 bzw. x 4 — x 4 , so erhalten wir das Hilfssystem , + 2x,

+ 4X 4 — 4X 4 = 12

Xj OS's

+ x3 +

2xi+*2~x2 χ,,

x2,

x i — x 4 = 12

— 4X 4 + 4X 4 =

x2,

x3,

xi,

χ

4 ê

5 0

Das Gleichungsrestriktionssystem von OS5 besitzt nun eine primal zulässige, kanonische Form in bezug auf x 2 und x 3 als Basisvariablen. Auf dieses System k ö n n t e also ohne weiteres der Simplexalgorithmus angewendet werden. Betrachten Sie nun das Optimierungssystem x 0 = 200χ ! + 150x 2 OS 7 :

x,+

x 2 g 120

x,+

2x 2 g 180

Xi Χι, xn

max!

â

80

x2 ^

0

300

Kapitel VI: Lineare Optimierung

Wir ü b e r f ü h r e n zunächst die Zielfunktion in eine Zielgleichung x 0 — 200x! — 150x 2 = 0 und wenden d a n n Algorithmus 3 auf die Gleichungen an, die den Blöcken Z G und R G aus (VI-1) entsprechen. Es ergibt sich das folgende Hilfssystem: x 0 — 200x, — 150X2 X[ + xt+

=

x 2 + Sj 2X2

+S2

X! χ,,

x2,

s,,

0

=120

s2,

=180 + s3 =

80

s3 ê

0

- x 0 -> m a x ! Auch dieses System weist eine primal zulässige, kanonische F o r m in bezug auf s ^ s 2 , s 3 als Basisvariablen des Systems der Restriktionsgleichungen auf. F ü h r e n wir in O S 7 nun aber eine zusätzliche Restriktion x 2 g 40 ein, so bekämen wir entsprechend in O S , eine zusätzliche Gleichung der F o r m

sowie eine zusätzliche N N - B e d i n g u n g für s 4 . N u n besitzt O S , jedoch keine kanonische F o r m mehr. (Der Koeffizient von s 4 in der neuen Gleichung ist ( — 1 ).) Durch Multiplikation d e r zuletzt eingeführten Gleichung mit ( — 1) erhalten wir zwar

D a m i t läge zwar eine kanonische F o r m vor, das System wäre jedoch nicht mehr primal zulässig wegen der negativen Zahl auf der rechten Seite der letzten Gleichung, d. h. wegen der primalen Unzulässigkeit der zuletzt eingeführten Basisvariablen s 4 . Entsprechendes gilt im übrigen für d a s Optimierungssystem O S 3 aus Beispiel VI-1.

Wir halten damit als Zwischenergebnis fest, d a ß wir mit Hilfe von Algorithmus 3 beliebige Restriktionssysteme in NN-GIeichungssysteme u m f o r m e n können. Weiterhin können wir ggf. durch Multiplikation gewisser Gleichungen mit (—1) erreichen, d a ß sämtliche rechten Seiten nichtnegativ sind. Das d a n n vorliegende Hilfssystem m u ß aber, wie wir gesehen haben, nicht unbedingt in kanonischer F o r m vorliegen. Die D u r c h f ü h r u n g von Pivotschritten im R a h m e n des modifizierten G A U S S Algorithmus braucht hier auch nicht weiterzuhelfen, weil dieses Verfahren nicht gewährleistet, d a ß sämtliche rechten Seiten nichtnegativ bleiben. M a n m u ß in der Regel damit rechnen, d a ß nach Erreichen einer kanonische F o r m bei der zugehörigen Basislösung mindestens eine Basisvariable einen negativen Wert annimmt, also noch primal unzulässig ist. An dieser Stelle ist deshalb zu untersuchen, wie man für ein solches System, das die Form a i i X i + a 1 2 x 2 + ... + a l n x n = b1 a

21

a

X

^ 0

1 +

a

a

2 2 X2 + · · · + 2 n Xn = b 2 ^ 0

m l X1 + X,,

a

m 2 X 2 + • • · + a imn yvn = b ^m => 0 X2,..., χ > o

(VI-24)

besitzt, eine erste zulässige Basislösung ermittelt, sofern eine solche Lösung überh a u p t existiert. Interessanterweise werden wir dabei wieder auf den Simplexalgorithmus zurückgreifen, nachdem wir das System (VI-24) in geeigneter Weise umge-

K a p i t e l VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

301

formt haben. Sofern das Restriktionssystem (VI-24) zu einem Optimierungssystem gehört, lassen wir die zugehörige Zielgleichung und Zielvorschrift erst einmal völlig außer Betracht. Haben wir eine zulässige kanonische F o r m von (VI-24) gefunden, werden wir diese ursprüngliche Zielgleichung u n d Zielvorschrift wieder aufnehmen. Vergleichen wir zunächst das NN-Gleichungssystem (VI-24) mit dem NN-Gleichungssystem a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + . . . + a l n x n + y1 a

2 1 X1 + a 22 X2 + · · · + a 2n Xn

^ 0 + Y2

= b2 ^ 0

(VI-25) ifmiXi + a m 2 x 2 + . . . + a m n x n χι.

x

2 ' · • ·ι

x„,

+ym = bm^ 0 yi,

y2,

Das neue System (VI-25) geht einfach aus dem System (VI-24) hervor, indem man auf jeder der m linken Seiten additiv eine eigene zusätzliche, nichtnegative Variable einführt. Diese Variablen y t , y 2 , . . . , y m nennt m a n auch künstliche Variablen. Wir wollen uns nun fragen, welche Beziehungen allgemein zwischen den Lösungen (also nicht nur in bezug auf Basislösungen) der Systeme (VI-24) und (VI-25) bestehen. Hat man etwa eine Lösung (VI-26)

(x?,xf . . . , x * )

von (VI-24) gefunden, d a n n kann man sofort auch eine Lösung von (VI-25) angeben, nämlich (VI-27)

(x*, x 2 , . . . , χ*, 0, 0 , . . . , 0).

Wir brauchen also lediglich an den Vektor (VI-26) m Nullen „ a n z u h ä n g e n " . Andersherum läßt sich jedoch leider nicht aus jeder Lösung (VI-28)

(xî,x£,...,xn*,yî,y2,...,y£)

durch „Abschneiden" der letzten m Glieder eine Lösung (VI-26) von (VI-24) konstruieren. Ist nämlich nur ein y* positiv, so folgt daraus ja a

p l X l + a p2 X 2 + •·· + a pnXÍ < b p ,

d. h. der so konstruierte Vektor (VI-26) erfüllt die p-te Gleichung von (VI-24) nicht. Lediglich für solche Lösungen von (VI-25), bei denen sämtliche künstliche Variablen den Wert Null annehmen (also Lösungen der F o r m (VI-27)), liefert das „Abschneiden" der künstlichen Variablen zulässige Lösungen (VI-26) von (VI-24). Wie läßt sich aber nun eine solche Lösung (VI-27) von (VI-25) bestimmen? Da yi.y2, ---ym ^ o vorausgesetzt ist, gilt zunächst, d a ß auch für die Summe der künstlichen Variablen y 1 , y 2 , . . . , y m die Ungleichung gelten muß: y1 + y 2 + . . . + y m ^ 0 . Für die angestrebte Lösung (VI-27) m u ß aber sogar

302 (vi-29)

Kapitel VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

y 1 + y 2 + ... + ym = o

erfüllt sein. Eine Lösung der Gestalt (VI-27) von (VI-25) minimiert folglich die sog. künstliche Zielfunktion (vi-30)

y 0 = Yi + y 2 + · · · + ym

mit der abhängigen Variablen y 0 (die in diesem Zusammenhang auch künstliche Zielvariable genannt wird). Wir können damit zunächst als Aufgabe formulieren:

I

Bestimme eine Lösung von (VI-25), bei der die Summe (VI-30) der künstlichen Variablen minimiert ist.

Nimmt die künstliche Zielvariable y 0 für eine solche minimale Lösung (VI-28) den Wert Null an, d. h. gilt für den künstlichen Zielwert y* = 0 für (VI-28), d a n n muß die Lösung automatisch von der gesuchten Form (VI-27) sein. Ist dagegen der Zielwert y* f ü r die minimale Lösung größer als Null, dann ist auch mindestens eine künstliche Variable größer als Null, und die gefundene Lösung ist nicht von der gesuchten F o r m (VI-27). Sogar mehr noch: Es existiert in einem solchen Falle überhaupt keine Lösung der Gestalt (VI-27) für (VI-25). Wenn aber f ü r (VI-25) nur Lösungen existieren, bei denen mindestens eine künstliche Variable größer als Null ist, dann kann das ursprüngliche System (VI-24) überhaupt keine zulässige Lösung haben. Unsere zunächst nur verbal formulierte Minimierungsaufgabe können wir offensichtlich auch durch das folgende Optimierungssystem mit künstlicher Zielgleichung wiedergeben: yo a

ll

a21

-yi-y2 1 + a l 2 X 2 + ·•• + a l n x n + yi X j + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n + y2

X

• · · - ym = o =

bt

= b2

(VI-31) a

m l X l + a m2 x 2 + ·•• + X2, ...,

a

mn

X

n n'

X

+ ym = bm yi,

y2,

y0

In diesem Zusammenhang bezeichnet man derartig konstruierte Optimierungssysteme (VI-31) als künstliche Optimierungssysteme. Wir stellen sofort fest, daß das Teilsystem der Gleichungsrestriktionen von (VI-31) bereits von kanonischer Form ist, nämlich mit allen künstlichen und keinen anderen Variablen als Basisvariablen. Die zugehörige zulässige Basislösung lautet: (0,0,...,0,

b^b,,...^).

Mit Hilfe der Restriktionsgleichungen lassen sich dann sofort die künstlichen Basisvariablen auch aus der Zielgleichung eliminieren. Als neue und zwar jetzt modifizierte Zielgleichung erhält man dann: m m m Υο + ( Σ a n ) x i + Œ a ¡ 2 ) x 2 + • · · + ( Σ a i n )x„ = 0. i= 1 i— 1 i= 1 Da nach Konstruktion bereits sämtliche rechten Seiten b , , . . . , b m nichtnegativ waren, befindet sich das so aus (VI-31) umgeformte Optimierungssystem in primal

K a p i t e l VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

303

zulässiger kanonischer F o r m , so d a ß man darauf direkt den im vorstehenden Abschnitt 4 dargestellten Simplexalgorithmus anwenden kann. Beispiel VI-12 B e t r a c h t e t sei d a s R e s t r i k t i o n s s y s t e m xt

— x3 +

x 4 = 10

— x2 + 2X3 — 4x4 =

χ1;

χ2,

χ3,

5

χ4 ^ 0

des O p t i m i e r u n g s s y s t e m s O S 3 a u s Beispiel VI-1, f ü r d a s wir eine zulässige L ö s u n g b e s t i m m e n wollen. Es h a n d e l t sich u m ein N N - G l e i c h u n g s s y s t e m , bei d e m s ä m t l i c h e rechten Seiten n i c h t n e g a t i v sind u n d dessen S y s t e m der G l e i c h u n g s r e s t r i k t i o n e n n o c h keine k a n o nische F o r m a u f w e i s t . Als zu a n a l y s i e r e n d e s Hilfssystem erstellen wir d a s f o l g e n d e künstliche O p t i m i e r u n g s s y s t e m : y0

- y i - y

χι

-

χ3+

- x2 + 2X3 - 4 x 4 x1;

x2,

x3,

2

=

x4 + yi x4,

o

=io + y2 =

5

y2 è

o

ylt

y 0 ->• m i n ! M i t Hilfe d e r R e s t r i k t i o n s g l e i c h u n g e n w e r d e n die k ü n s t l i c h e n V a r i a b l e n a u s d e r (künstlic h e n ) Zielgleichung eliminiert. Es e r g i b t sich als m o d i f i z i e r t e Zielgleichung:

y 0 + Xi - x 2 + x3 - 3 X 4 = 15. A u f d a s so u m g e f o r m t e S y s t e m k ö n n e n wir n u n d e n S i m p l e x a l g o r i t h m u s a n w e n d e n .

U m das Prinzip der Konstruktion von künstlichen Systemen zu verdeutlichen, ordneten wir zunächst jeder der m Gleichungen von (VI-24) eine künstliche Variable zu, um überhaupt einmal ein primal zulässiges kanonisches System zu erhalten. Häufig findet sich aber bereits in (VI-24) eine Variable, die in genau einer der Gleichungen einen von Null verschiedenen F a k t o r hat (der d a n n mühelos zu 1 normiert werden kann) und in den übrigen m — 1 Gleichungen ü b e r h a u p t nicht auftritt. In einem solchen Fall k a n n m a n diese Variable unmittelbar zu Beginn aller Überlegungen zur Basisvariablen wählen und braucht d a n n für diese Gleichung keine künstliche Variable mehr. Insbesondere sind sofort alle Schwundvariablen in dieser Weise verwendbar (dagegen die Überschußvariablen wegen des falschen Vorzeichens nicht!). Es lohnt sich also, die Struktur der Koeffizientenmatrix von (VI24) sorgfältig zu prüfen und gleich eingangs so viele Variablen wie möglich als Basisvariablen zu wählen. D a d u r c h läßt sich häufig die Anzahl der künstlichen Variablen kleiner halten als die Anzahl der Gleichungen. Beispiel VI-13 Anstelle des k ü n s t l i c h e n O p t i m i e r u n g s s y s t e m s a u s Beispiel VI-12 h ä t t e n wir a u c h d a s f o l g e n d e System erstellen k ö n n e n : y0

- y2 = X!

— x3 — x4

o

=10

- x2 + 2X3 - 4 X 4 + y2 =

5

y 0 -> m i n ! Mit H i l f e d e r zweiten R e s t r i k t i o n s g l e i c h u n g eliminiert m a n y 2 a u s der k ü n s t l i c h e n Zielgleichung:

304

Kapitel VI: Lineare Optimierung

y0

— x2 + 2 X 3 — 4 X 4

=

5.

D a s so u m g e f o r m t e Optimierungssystem weist ebenfalls eine primal zulässige kanonische F o r m auf.

Bevor wir zur A n w e n d u n g des Simplexalgorithmus kommen, fassen wir zunächst unsere bisherigen Überlegungen zur Konstruktion eines künstlichen Optimierungssystems in primal zulässiger Form zusammen: Algorithmus 7: Konstruktion eines künstlichen Optimierungssystems in primal zulässiger kanonischer F o r m Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein NN-Gleichungssystem der speziellen, noch nicht kanonischen Form: G,

G2

RG

GM

l 2 X 2 + · . + a l n x n = b, È O a 2 1 X1 + a 2 2 x 2 + . • + a 2 n X n = b 2 ^ o

au

a

X

1 +

a

ml X 1 + a m 2 X 2 + · • + a mn X n = b m ^ o

NN

X

X2,...

1

X

n ^ o

Schritt 1 (Vorauswahl von Basisvariablen) (1.1) Gibt es in R G eine Gleichung G p , die keine Basisvariable, aber eine Variable x q enthält, die ohne U m f o r m u n g e n als Basisvariable gewählt werden kann? JA (1.2)! N E I N -ν (2.1)! (1.2) Markiere x q als Basisvariable -

(1.1)!

Schritt 2 (Einführung von künstlichen Variablen) (2.1) Setze s >=0 (2.2) Gibt es in R G eine Restriktionsgleichung G p , in der noch keine Basisvariable vorkommt? JA ->• (2.3)! NEIN (3.1)! (2.3) Setze s== s + 1 (2.4) Ersetze die Restriktionsgleichung G p durch a

plXl +

a

p2X2 + ··· +

a

pn X n + Ys = bp !

(2.5) Führe in N N die Nichtnegativitätsrestriktion ein!

-

(2.2).

K a p i t e l VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

305

Schritt 3 (künstliche Zielfunktion) (3.1) Erweitere das System (RG, N N ) zu einem System (KZF, R G , N N , KZV) mit K Z F : y 0 = yi + y2 + --- + ys K Z V : y 0 -> min! Schritt 4 (modifizierte künstliche Zielgleichung) (4.1) Ersetze K Z F durch KZG: y 0 - y i - y 2 - - - - - y

s

= o.

(4.2) Setze i == 1 (4.3) Enthält die i-te Restriktionsgleichung aus R G eine künstliche Variable? JA (4.4)! NEIN (4.5)! (4.4) Addiere die i-te Restriktionsgleichung aus R G zur künstlichen Zielgleichung K Z G hinzu. (4.5) Ist i = m ? JA -> (5.1)! N E I N -> (4.6)! (4.6) Setze i ··= i + 1 -

(4.3)!

Endschritt (5.1) „Es liegt ein künstliches Optimierungssystem im primal zulässiger kanonischer F o r m v o r ! " (5.2) S T O P ! Wir merken zu diesem Verfahren an, d a ß m a n selbstverständlich auch die künstliche Zielfunktion K Z F : y 0 = - yi - y 2 - · · · - y s mit der Zielvorschrift KZV: y 0 -> max! verwenden kann. Die vorstehenden und die folgenden Überlegungen gelten d a n n analog. Gehen wir nun davon aus, d a ß die Anwendung des Simplexalgorithmus auf ( K Z G , R G , N N , KZV) ein primal und dual zulässiges, kanonisches Optimierungssystem geliefert hat und daß der künstliche Zielwert der dadurch ausgewiesenen Basislösung wie erhofft gleich Null ist. Zunächst sei darüber hinaus angenommen, d a ß keine Entartung vorliege. D a n n müssen die künstlichen Variablen sämtlich Nichtbasisvariablen sein; denn nur diese sind in diesem Falle gleich Null. Weiterhin wollen wir zur Vereinfachung der Diskussion annehmen, d a ß das System der Restriktionsgleichungen dieses optimalen künstlichen Optimierungssystems direkt die folgende Gestalt besitzt:

306

Kapitel VI: Lineare Optimierung x

+ ä l m + 1 x m + 1 + ... + ä l n x n + ä l n + 1 y ! + ... + ä l n

i

+ sys

= Bx ^ 0

+ ä 2 m + ix r a + i + · · · + ä 2 n x n + ä 2 n + 1 y 1 + . . . + ä 2 n + s y s = B 2 ^ 0 (VI-32) x m + ä m m + 1 x m + i + . . . + ä m n x n + ä l n + i y t + .. + ä m n + s y s =

0.

0 äjj (i = 1 , . . . , m ; j = 1 , . . . , n) bezeichnet dabei die im L a u f e der A n w e n d u n g des Simplexalgorithmus u m g e f o r m t e n Koeffizienten, b¡ (i = 1 , . . . , m) die u m g e f o r m t e n rechten Seiten des Gleichungssystems von (VI-31). A u s diesem System (VI-32) läßt sich n u n , wie wir bereits zuvor dargelegt h a b e n , eine zulässige L ö s u n g des zugrundeliegenden N N - G l e i c h u n g s s y s t e m s (VI-24) ableiten, i n d e m m a n einfach v o n der ausgewiesenen Basislösung den Teil der künstlichen Variablen „ a b s c h n e i d e t " : (VI-33)

(ß1,62,...,6m,0,...,0). η — m Nullen

W i r k ö n n e n a b e r a u s (VI-32) noch m e h r e n t n e h m e n , nämlich eine primal zulässige k a n o n i s c h e F o r m f ü r d a s Gleichungssystem von (VI-24). D a in (VI-32) j a d a n n wegen (VI-33) gilt: (VI-34)

m Σ a im+j Yj = 0

für i = 1 , . . . , m ,

j=l

k ö n n e n wir anstelle v o n (VI-32) auch verkürzt schreiben: l

(VI-35)

J

lm + 1Xm+ m +1 + • • • + a l n X n —t>! ^ 0 2 m+ 1 m + 1+ · · · + ä 2 „ x n = b 2 ^ 0

Xm + ämm + 1 Am + 1 Dieses primal zulässige kanonische Gleichungssystem ist äquivalent zu d e m Gleichungsteilsystem von (VI-24), denn es ging d u r c h lösungsneutrale (im R a h m e n der A n w e n d u n g des Simplexalgorithmus v o r g e n o m m e n e ) U m f o r m u n g e n a u s diesem hervor. W i r h a b e n diese U m f o r m u n g e n zwar a u c h in bezug auf zusätzliche (künstliche) Variablen v o r g e n o m m e n , die wir aber, wie sich später herausstellte, a u c h hätten gleich Null setzen u n d d a m i t fortlassen k ö n n e n . Z u s a m m e n mit d e n entsprec h e n d e n N N - R e s t r i k t i o n e n liefert (VI-35) d a m i t die gesuchte, primal zulässige kanonische F o r m f ü r d a s NN-Gleichungssystem (VI-24).

Beispiel VI-14 Wir setzen unsere Betrachtungen aus Beispiel VI-12 zum Optimierungssystem OS 3 fort. Zunächst erstellen wir das folgende Ausgangstableau für die Anwendung des Simplexalgorithmus:

Kapitel VI: Lineare Optimierung

y0

*1

x2

x3

x4

yi

y2

RS

1

1

-1

1

-3

0

0

15

0

®

1

. 0

10

0

1

5

0

0

0

-1

-1

1

2

-4

307

Unter Verwendung des eingekreisten Koeffizienten als Pivotelement erhält man nach einem ersten Simplexschritt: *

*

y0

"l

x2

1

0

-1

0

1

0

0

x3

x4

y,

y2

2

-4

-1

0

5

1

0

10

©

-4

0

1

5

0 - 1 -1

1

RS

Ein zweiter Simplexschritt führt zu einer primal und dual zulässigen kanonischen F o r m des betrachteten künstlichen Optimierungssystems: * *

x4

y0

"l

*2

"3

1

0

0

0

0

1

-1/2

0

-1

0

0

-1/2

1

-2

0

yi -1

y2

RS

-1

0

1

1/2

25/2

0

1/2

5/2

Als optimale Basislösung des künstlichen Systems lesen wir ab: (25/2, 0, 5/2, 0, 0, 0). Die künstlichen Variablen y, und y 2 nehmen d a r i n - w i e g e w ü n s c h t - d e n Wert Null an. Als zulässige Lösung des Restriktionssystems von O S 3 erhält man d a n n durch „Abschneiden" der künstlichen Variablen: (25/2, 0, 5/2, 0). Aus dem letzten Simplextableau entnehmen wir außerdem die folgende zulässige kanonische F o r m des Restriktionssystems von O S 3 : χ, — 1/2x 2

— x 4 = 25/2

-l/2x2 + x3-2x4= χ,,

x2,

x3)

x4 §

5/2 0.

Ein entsprechendes Ergebnis hätte sich natürlich ergeben, wenn wir von dem künstlichen System aus Beispiel VI-13 ausgegangen wären. Überzeugen Sie sich selbst! W i e Sie sicherlich b e m e r k t h a b e n , w a r uns sehr d a r a n g e l e g e n , d e n E n t a r t u n g s f a l l z u n ä c h s t a u s z u s c h l i e ß e n . T u t m a n d a s n ä m l i c h nicht, s o k a n n es g e s c h e h e n , d a ß b e i m Vorliegen einer o p t i m a l e n k a n o n i s c h e n F o r m für d a s k ü n s t l i c h e O p t i m i e r u n g s s y s t e m z w a r der ( k ü n s t l i c h e ) Zielwert N u l l ist, e i n e k ü n s t l i c h e Variable o d e r

308

Kapitel VI: Lineare O p t i m i e r u n g

mehrere künstliche Variablen aber noch Basisvariablen sind (und dabei natürlich den Wert Null annehmen). - Erster Fall: In der p-ten Gleichung, in der noch eine künstliche Variable als Basisvariable steht, existiert eine nicht künstliche (Nichtbasis-)Variable x q (q e { 1 , . . . , η}), d. h. eine der Variablen des zugrundeliegenden NN-Gleichungssystems, mit a p q φ 0. M a n kann d a n n mit Hilfe dieses Elementes einen Simplexschritt durchführen. Das bewirkt, d a ß die betreffende künstliche Variable Nichtbasisvariable und die nicht künstliche Variable x q Basisvariable wird. Da für die rechte Seite der p-ten Pivotzeile E p = 0 gilt, verändern sich dabei die Werte der rechten Seiten nicht. Insbesondere ist auch die neue kanonische F o r m primal und dual zulässig. D u r c h Nullsetzen dieser neuen künstlichen Nichtbasisvariablen k a n n man diese d a n n aus dem System löschen. - Zweiter Fall: In der p-ten Gleichung, in der noch eine künstliche Variable als Basisvariable auftritt, gibt es keine Variable x q , q = 1 , . . . , η mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten. Mit A u s n a h m e dieser einen künstlichen Basisvariablen gibt es in dieser Gleichung jedoch auch keinerlei andere künstliche Variablen mehr mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten; denn eine andere künstliche Basisvariable darf nach Definition gar nicht darin vorkommen, und die künstlichen Nichtbasisvariablen werden sämtlich schon vorher gelöscht. Mit Yi = Y2 = · · · = Yn = 0 stellt dann eine solche Zeile eine Nullzeile d a r und kann deshalb ersatzlos gestrichen werden. Beispiel VI-15 Es soll das N N - G l e i c h u n g s s y s t e m 2X[ + 4 X 2 = 20 GS:

χ, + 2X 2 = 10

χ,,

x2 ä

0

b e t r a c h t e t werden. Beachten Sie bitte, d a ß die beiden Restriktionsgleichungen linear abh ä n g i g sind. Z u r B e s t i m m u n g einer zulässigen kanonischen F o r m f ü r G S erstellen wir d a s f o l g e n d e künstliche Minimierungssystem (in Tableaudarstellung):

y0

"l

X2

Yl

y2

RS

1

3

6

0

0

30

0 0

2 1

4

1 0

0 1

20 10

©

U n t e r V e r w e n d u n g des umkreisten Koeffizienten als Pivotelement ergibt sich n a c h einem Simplexschritt: *

y0

"l

1

0

0 0

0 1/2

*

Yl

y2

RS

0

0

-3

0

0 1

1 0

-2 1/2

0 5

309

Kapitel VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

Es liegt eine o p t i m a l e k a n o n i s c h e F o r m d e s M i n i m i e r u n g s s y s t e m s vor, u n d d e r Zielwert b e t r ä g t Null, y , ist z w a r n o c h nicht N i c h t b a s i s v a r i a b l e , d o c h m i t y , = y 2 = 0 e r g i b t sich als e r s t e R e s t r i k t i o n s g l e i c h u n g : 0 X [ + 0x2 = 0. Eine s o l c h e G l e i c h u n g k ö n n e n wir b e k a n n t e r w e i s e f o r t l a s s e n , so d a ß wir als eine zulässige kanonische F o r m für G S erhalten: l / 2 x t + x2 = 5 Xi,

x2 è 0 .

Unsere Überlegungen zur Entwicklung einer zulässigen kanonischen F o r m für ein NN-Gleichungssystem aus einem entsprechenden künstlichen Optimierungssystem in primal und dual zulässiger kanonischer F o r m fassen wir wie folgt zusammen:

Algorithmus 8: Erstellung einer zulässigen kanonischen F o r m für ein zugrundeliegendes NN-Gleichungssystem aus einem künstlichen Optimierungssystem in optimaler kanonischer F o r m Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein künstliches Minimierungssystem in primal und dual zulässiger kanonischer Form (die wegen der hier numerisch noch nicht spezifizierten Koeffizienten als solche nicht erkennbar ist) mit den künstlichen Variablen

KZG

RG

Yo + a 0 i X i + · • · + a 0 „ x „ + a 0 „ + 1 y ! + . . . + a 0 n + s y s = b 0

G, G2

a , 1 x I + ... + alnx„ + a)n

+ 1yI

a 2 1 x , + ... + a2nxn + a2n

+1

G„,

a m l x , + . . . + a m n x n + a m „ + 1 y, + . . . + a m n + s y s = b m § 0

NN KZV

χι,·.., y0

+ sys

+s

S 0

=

y, + . . . + a 2 n + s y s =

yi,·.·,

alternativ

b b

1

kanonisch aufgelöst nach m protokollierten Basisvariablen

êO 2

i 0

ysêû

oder

min!

a01, ...,a0„

x„,

+ ... + a l n

y0

FOI,

max!

a0„ + s

=

0

Anfangsschritt Setze r — m Schritt 1 (Löschen der künstlichen Zielgleichung) (1.1) Reduziere das Optimierungssystem ( K Z G , RG, N N , KZV) durch Löschen von K Z G und K Z V zu einem NN-Gleichungssystem (RG, NN)!

310

Kapitel VI: L i n e a r e O p t i m i e r u n g

Schritt 2 (Löschen der künstlichen Variablen) (2.1) Gibt es eine künstliche Variable y q (q e {1, 2 , . . . , s}), die in R G Nichtbasisvariable ist? JA - (2.2)! N E I N -> (2.4)! (2.2) Lösche y q mit ihren zugehörigen Koeffizienten a i n + q aus sämtlichen Gleichungen (i = 1 , . . r ) von R G ! (2.3) Lösche in N N die NN-Restriktion f ü r y q ! - (2.1)! (2.4) Gibt es eine Gleichung ρ (p e { 1 , . . . , r}), in der eine künstliche Variable y g (g e { 1 , . . . , s}) als Basisvariable v o r k o m m t ? JA -> (2.5)! NEIN (3.1)! (2.5) Gibt es ein q (q e {1, . . . , n } ) mit a p q φ 0? JA (2.6)! NEIN (2.10)! (2.6) Führe einen Pivotschritt unter Verwendung des Pivotelementes a p q durch ! (2.7) Markiere x q als Basisvariable! (2.8) Lösche y g mit ihren zugehörigen Koeffizienten a i n + g aus sämtlichen Gleichungen (i = 1 , . . . , r) von R G ! (2.9) Lösche in N N die NN-Restriktion f ü r y g ! -

(2-4)!

(2.10) Lösche die Gleichung G p ! (2.11) Lösche y g mit ihren zugehörigen Koeffizienten a i n + g aus sämtlichen Gleichungen (i = 1 , . . . , r, i φ ρ) von R G ! (2.12) Lösche die NN-Restriktion f ü r y g aus N N ! (2.13) Numeriere die Gleichungen von R G neu durch! (2.14) Setze r = = r - l -

(2.4)!

Endschritt (3.1) „Eine zulässige kanonische F o r m des zugrundeliegenden NN-Gleichungssystems liegt vor." (3.2) S T O P !

6. Die Zwei-Phasen-Simplexmethode D u r c h eine geschickte Verbindung der bisher betrachteten Methoden lassen sich nun f ü r beliebige lineare Optimierungssysteme mit Restriktionen des Typs (1-1) optimale Lösungen bestimmen, gleichgültig von welcher Art dabei das jeweilige

Kapitel VI: Lineare Optimierung

311

Restriktionssystem im Einzelnen ist. Als eine Möglichkeit wollen wir die sog. ZweiPhasen-Methode vorstellen. In der ersten Phase versucht man zunächst, eine primal zulässige kanonische F o r m des Systems zu ermitteln. Ist das gelungen, berechnet man - ausgehend von dieser primal zulässigen kanonischen F o r m in einer zweiten Phase eine primal und dual zulässige kanonische Form, sofern eine solche existiert. Interessanterweise kommt dabei in beiden Phasen im wesentlichen nur der primale Simplexalgorithmus zum Einsatz. Im einzelnen geht man dabei wie folgt vor: - M a n trennt die Nichtnegativitätsrestriktionen von den übrigen allgemeinen Restriktionen (AR). - Weist das Optimierungssystem noch eine Zielfunktion auf, dann überführt man sie zunächst in eine Zielgleichung. - Restriktionsgleichungen mit negativen rechten Seiten multipliziert man mit (-1)- Soweit es erforderlich ist, formt man das Restriktionssystem in ein entsprechendes NN-Gleichungssystem um. Ist es dabei notwendig, unbeschränkte Restriktionsvariable durch die Differenz zweier nichtnegativer Variablen zu ersetzen, dann nimmt man diese Umformungen auch in bezug auf die Zielgleichung vor. - Liegt nun schon eine primal zulässige kanonische F o r m des Optimierungssystems vor, so ist Phase 1 damit beendet. - Andernfalls läßt man die Zielgleichung erst einmal außer Betracht und erstellt zu dem vorliegenden Restriktionssystem ein entsprechendes künstliches Optimierungssystem, auf das der primale Simplexalgorithmus angewendet wird. Nimmt der Zielwert des künstlichen Systems im Optimum einen Wert ungleich Null an, so weist das ursprüngliche Restriktionssystem überhaupt keine zulässige Lösung auf, und das Verfahren bricht ab. Ist der künstliche Zielwert dagegen im Optimum gleich Null, dann leitet man aus dem vorliegenden primal und dual zulässigen künstlichen Optimierungssystem eine zulässige kanonische Form des N N Gleichungssystems ab. Anschließend fügt man diesem System die Zielgleichung hinzu und eliminiert daraus die Basisvariablen. Damit ist auch in diesem Fall die Phase 1 beendet. - Ausgehend von dem nun vorliegenden primal zulässigen kanonischen Optimierungssystem berechnet man schließlich in Phase 2 - wieder mit Hilfe des Simplexalgorithmus - eine sowohl primal als auch dual zulässige kanonische F o r m (sofern eine solche existiert). Eine noch etwas präzisere Beschreibung der Zwei-Phasen-Methode ist im folgenden gegeben:

312

Kapitel VI: Lineare Optimierung

Algorithmus 9: Zwei-Phasen-Methode zur Bestimmung einer optimalen Lösung für lineare Maximierungs-(Minimierungs-)Systeme Anwendungsvoraussetzungen Gegeben ist ein lineares Optimierungssystem der Form ZF

AR

x 0 — Cj · X¡ + C2 ' X2 + ... + c„ · x„ + b 0

RX R2

a l l X1

+ a12 X2 +

a21 X1

a22 X2

RM

aml X1

... + A M X„ DI BJ • · · + a 2„ Xn • 2 b 2

+ am2 X2 + • · · + amnXn •

m

NN

NN-Restriktionen für einige Variablen

ZV

x 0 -> max!

bm

oder alternativ

x 0 —• min!

wobei (i = 1 , . . . , m) für eines der Zeichen „ = " , „ ^ " oder „ Sì " steht und alle eventuell vorkommenden NN-Restriktionen schon separat unter N N aufgeführt sind. Schritt 1 (Zielgleichung) (1.1) Ersetze die Zielfunktion Z F durch eine Zielgleichung ZG: Xq + a 0 i X j + a02X2 + ... + a 0 n x n = b 0 mit

a

0 j

==-Cj,

j = 1,..., n!

Schritt 2 (NN-Gleichungssystem) (2.1) Gibt es in A R eine Restriktion R p mit bp < 0? JA NEIN

(2.2)! (2.3)!

(2.2) Multipliziere die Restriktion R p in A R mit ( — 1) -

(2.1)!

(2.3) Handelt es sich bei dem Restriktionssystem ( A R , N N ) um ein N N Gleichungssystem ? JA - » (3.1) NEIN (2.4) (2.4) Gibt es eine unbeschränkte Variable x q ? JA (2.5)! N E I N -> (2.6)! (2.5) Ersetze in der Zielgleichung Z G xq durch xq — xq'! -

(2.4)!

(2.6) Wende Algorithmus 3 auf das System ( A R , N N ) an. Schritt 3 (zulässige kanonische Form) (3.1) Weist das System ( A R , N N ) eine primal zulässige kanonische Form auf?

Kapitel VI: Lineare Optimierung

313

JA (3.2)! NEIN -> (4.1)! (3.2) Sind die Basisvariablen aus der Zielgleichung ZG eliminiert? JA -> (5.1)! NEIN ->• (3.3)! (3.3) Eliminiere die Basisvariablen aus der Zielgleichung ZG! -

(5.1)!

Schritt 4 (Ermittlung einer primal zulässigen kanonischen Form) (4.1) Erstelle zu dem System (AR, NN) mit Hilfe von Algorithmus 7 ein künstliches Optimierungssystem (KZG, AR, NN, KZV)! (4.2) Wende den Algorithmus 6 auf das künstliche Optimierungssystem (KZG, AR, NN, KZV) an! (4.3) Ist der optimale Zielwert von (KZG, AR, N N , KZV) gleich Null? JA - (4.4)! NEIN -> (6.1)! (4.4) Reduziere das System (KZG, AR, NN, ZV) durch Anwendung von Algorithmus 8 zu einem System (AR, NN) -

(3.2)!

Schritt 5 (primal und dual zulässige kanonische Form) (5.1) Wende Algorithmus 6 auf das System (ZG, AR, NN, ZV) an! (5.2) Existiert eine primal und dual zulässige kanonische Form für das System (ZG, AR, NN, ZV)? JA ->• (6.3)! NEIN - (6.2)! Endschritt (6.1) „Es existiert keine zulässige Lösung des Optimierungssystems!" - (6.7)! (6.2) „Der Zielwert des Optimierungssystems ist unbeschränkt!" - (6.7)! (6.3) „Es liegt eine primal und dual zulässige kanonische Form des umgeformten Optimierungssystems mit dem Zielwert x* = b 0 vor!" (6.4) Sofern Schlupfvariablen eingeführt wurden, eliminiere die Werte der Schlupfvariablen aus dem Vektor der optimalen Lösung des umgeformten Systems! (6.5) Sofern unbeschränkte Variablen durch die Differenz zweier nichtnegativer Variablen ersetzt wurden, mache diese Ersetzung in bezug auf den vorliegenden Lösungsvektor rückgängig! (6.6) „Der vorliegende Vektor ist eine optimale Lösung des ursprünglichen Systems (ZF, AR, NN, ZV). Der zugehörige Zielwert ist x*." (6.7) STOP!

314

Kapitel VI: Lineare Optimierung

Mit Hilfe des vorstehenden Verfahrens wollen wir nun eine Optimierungsaufgabe vollständig durchrechnen.

Beispiel VI-16 Es soll zu dem folgenden Optimierungssystem O S 8 eine optimale Lösung bestimmt werden, sofern eine solche Lösung existiert. x0 = 2xj +

x2 + x3

2x, + 3x2 — x3 2x¡ +

OS„

6

x2 + x3 ¡i 4

Xi

á 6

x„

x2,

s

3

iO

x 0 -> min! Zunächst überführen wir die Zielfunktion in eine Zielgleichung, außerdem formen wir das Restriktionssystem durch das Einführen von Schlupfvariablen in ein NN-Gleichungssystem um. D a m i t haben wir das folgende (Hilfs-)Optimierungssystem OSJ, erhalten: x0

x3

= 0

2x! + 3x2—

x 3 — S!

= 6

2x! +

x3

2\1

OSi:

x2 x2 +

= 4 + s3 = 6

X. ,

s.^O

11 Dieses Hilfssystem weist noch keine kanonische F o r m auf. Deshalb lassen wir die Zielfunktion erst einmal außer Betracht und entwickeln aus dem Restriktionssystem ein künstliches Optimierungssystem. Es ergibt sich ' yo

- y i - y 2Xi + 3 x 2 — x 3 — s t 2\t+

OSÖ:

x2 + x3

— s2

X!

=6 + y2 = 4

+s3

x„ x2, - » min!

y0

= °

2

+y¡

x3,

Si,

s2,

s3,

=6 y1;

y

2

S0

Zur Ermittlung einer zulässigen kanonischen F o r m für das Restriktionssystem von OSg wenden wir a u f das künstliche System OSg den Simplexalgorithmus an. Das Ausgangstableau hat die folgende Gestalt:

X

1

X2

x3

1

4

4

0

0 0 0

2 (2) 1

3 1 0

y0

-1 1 0

Sl

s2

S3

yi

y2

RS

-1

-1

0

0

0

10

-1 0 0

0 -1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

6 4 6

Wir wählen die χ , - S p a l t e als Pivotspalte und erhalten den umkreisten Koeffizienten als Pivotelement. Damit ergibt sich nach einem Simplexschritt als nächstes Simplextableau:

315

Kapitel VI: Lineare Optimierung *

*2

y0

x3

1

0

2

-2

0 0 0

0 2 1/2 1 0 -1/2

-2 1/2 -1/2

*

*

s2

s3

y¡

1

0

0

-2

2

-1 Φ 0 -1/2 1/2 0

0 0 1

1 -1 0 1/2 0 -1/2

2 2 4

Sl -1

y2

RS

Unter Verwendung des umkreisten Pivotelementes ergibt sich weiter: *

y0

*

*

*2

x3

Sl

s2

s3

yi

1

0

0

0

0

0

0

0 0 0

0 2 1 3/2 0 -3/2

-2 -1/2

-1 -1/2 1/2

1 0 0

0 1 0 1/2 1 -1/2

1/2

-1

y2

RS

-1

0

-1 0 0

2 3 3

Der Zielwert des künstlichen Optimierungssystems OSg ist gleich Null geworden. Das Restriktionssystem besitzt damit eine zulässige Lösung. Aus dem vorstehenden Tableau erhalten wir nach Aufnahme der ursprünglichen Zielgleichung (und Eliminierung von x, daraus) die folgende primal zulässige kanonische Form unseres (Hilfs-) Optimierungssystems OS^: *

*o

*1

x2

1

0

2

0 0 0

0 3/2 1 3 /2 0

©

*

*

Sl

s2

s3

RS

-2

-1

0

0

6

-2 -1/2 1/2

-1 -1/2 1/2

1 0 0

0 0 1

2 3 3

x3

Das vorliegende System ist noch nicht dual zulässig. Wir ermitteln den umkreisten Koeffizienten als Pivotelement und erhalten nach einem Simplexschritt: *

*

*

*o

"l

*2

X3

Sl

s2

s3

RS

1

0

0

0

0

-1

0

4

0 0 0

0 1 0

1 0 0

-1 1 -1

-1/2 1/2 1/4 - 3 / 4 -1/4 3/4

0 0

1 3/2 9/2

1

Damit liegt nun eine optimale kanonische Form unseres Hilfssystems OS'8 vor. Die ausgewiesene Lösung lautet (3/2, 1, 0, 0, 0, 9/2), und der zugehörige Zielwert beträgt x* = 4. Daraus leiten wir als Lösung unseres ursprünglichen Optimierungssystems OS 8 (3/2,1,0) sowie den Ziel wert x j = 4 ab.

316

Kapitel VI: Lineare Optimierung

7. Der duale Simplexalgorithmus Zur Abrundung unserer Überlegungen über Lineare Optimierungssysteme (sowie nebenbei zur Begründung, warum wir stets auf den Zusatz „primal" Wert legten) soll hier noch ein anderer Simplexalgorithmus kurz skizziert werden, der sich anbietet, wenn die kanonische Form (VI-1) primal noch nicht zulässig, aber dafür bereits dual zulässig ist, d.h. wenn (VI-36)

bei Maximierungssystemen a 0 r + k 2: 0

(VI-37)

bei Minimierungssystemen aOr 0 r ++k k^ -0

erfüllt ist, jedoch für mindestens eine Zeile ρ ( Φ 0) noch (VI-38)

bp < 0

gilt. Beispiel VI-17 Gegeben sei das folgende Optimierungssystem: x

0 — Xl + 2xl

OS9:

+

x

2 3x2 ä 6

2x¡ +

x2 ä 4

Xi, . x 0 = min!

x2 è 0

Nach der U m f o r m u n g der Zielfunktion in eine Zielgleichung, dem Einführen von Schlupfvariablen sowie der Multiplikation der dann vorliegenden Gleichungsrestriktionen mit ( — 1) erhält man das folgende dual, aber nicht primal zulässige Optimierungssystem: =

Xq — Xi — X2 — 2X[ — 3x 2 + S[ — 2x1

Xi,

— x2 x2,

0

= —6

+ s2 = — 4 s1;

s 2 ^ 0.

Bei Vorliegen dieser Situation sehe man sich zunächst die Koeffizienten a p j (j = r + 1, . . . , n) auf der linken Seite der p-ten Zeile (VI-39)

x p + a p r + 1 x r + 1 + ... + a pq x q + ... + a p n x n = b p < 0

an. Sind diese sämtlich positiv, so steht (VI-39) ganz offensichtlich im Widerspruch zu den Nichtnegativitätsbedingungen. Ja, es gilt sogar darüber hinaus: Nichtexistenz einer (primal) zulässigen Lösung Sind in einem linearen Gleichungssystem mit Nichtnegativitätsrestriktionen für alle Variablen in einer Gleichung mit negativer rechter Seite die Koeffizienten nichtnegativ, so existiert keine zulässige Lösung.

Beispiel VI-18 Es liege das folgende Simplextableau eines Minimierungssystems vor:

Kapitel VI: Lineare Optimierung

x

x4

X5

"6

RS

0

0

0

0

-2

1

0

0

-15

2

0

1

0

-

0

0

1

-20

o

X

1

-1

-3

-2

0

-1

-2

1

0

2

0

-2

1 -2

-1

317

5

Das Optimierungssystem weist eine dual, aber nicht primal zulässige kanonische Form auf. Der zweiten Restriktionsgleichung 2x, + x 2 + 2x 3 + 0x 4 + l x 5 + 0x 6 = - 5 entnehmen wir, daß keine zulässige Lösung des Systems existiert, da es keine nichtnegativen Zahlen x , , x 2 , . . . , x 6 gibt, die diese Gleichung erfüllen.

Nehmen wir nunmehr an, daß dieser Fall nicht vorliege, d.h. daß mindestens ein a p j negativ ist. In diesem Fall überlegt man sich als nächstes, daß jeder Pivot (p, q) mit < 0 geeignet ist für einen Pivotschritt mit dem Ziel, die rechte Seite der p-ten Gleichung positiv werden zu lassen. Wir wollen aber die duale Zulässigkeit weiterhin gewahrt lassen, und das bedeutet, daß für die (durch den Pivotschritt) neu modifizierten Zielkoeffizienten beim Maximierungssystem gelten muß: (VI-40)

a 0 j — a 0 q ·a — ^ 0 pq

mit j = 1 , . . . , n.

Wegen a o j Sì 0 für j = 1 , . . . , η und a p q < 0 kann dieser Typ Bedingung nur für die j mit negativen a p j verletzt werden. In diesem Fall ist aber (VI-40) äquivalent mit (VI-41)

a

pj

a

pq

j = l , n , a p j < 0.

Diese Bedingungen sind sämtlich erfüllt, sobald man q so wählt, daß (VI-42) — = max

x0

Xr + J, . . . ,

· . .,x r ,

„^ο

χ

x o - » min!

oder

max! ·

a0r+

Κ

0

1> · · · a0n =

alternativ

aOr

+ 1 ϊ · · •aOn = 0

Anfangsschritt (0.1) Markiere die Basisvariablen! Schritt 1 (Optimale Lösung) (1.1) Gilt bj

0 für alle i = 1,2,..., r?

JA

(5.2) !

NEIN

(2.1)!

Schritt 2 (Keine zulässige Lösung) (2.1) Gibt es eine Gleichung mit Index i mit b¡ < 0 und a¡j Sì 0 für alle j =l,...,n? JA (5.1) NEIN (3.1) Schritt 3 (Bestimmung des Pivotelementes) (3.1) Wähle ein ρ mit b p < 0! (3.2) Wähle ein q mit

= m a x i ^ , j = 1 , . . . , n, aDi < o i

J

(Ai

a P,

(bzw. m i t ^ = min j = Ι,.,.,η, a p j < o l î apq l a pj J Schritt 4 (Dualer Simplexschritt) (4.1) Setze a¡j := a,j - a i q

für i = 0 , 1 , . . r , i + ρ, j = 1 , . . . , η; apq

b .

a

P

,,

j = = —

apq

».

i

apq

für ¡ = 0,1

für j =

1 ..., η;

!. ι « ρ:

Kapitel VI: Lineare Optimierung

319

(4.2) Markiere die neue Basisvariable ! (4.3) Lösche die Markierung der neuen Nichtbasisvariablen! -(1.1)

Endschritt (5.1) „Es existiert keine primal zulässige Lösung." - (5.3) (5.2) „Es liegt eine primal und dual zulässige kanonische Form des betrachteten Optimierungssystems vor. Die ausgewiesene Basislösung ist eine optimale Lösung des Systems." (5.3) STOP!

Beispiel VI-19 Wir wenden den dualen Simplexalgorithmus auf das Optimierungssystem OS 9 aus Beispiel VI-17 an:

X0

Xj 1

X2 -

1

Si

1

-

0

0 0

-2 ÇT) 1 - 2 - 1 0

s2

RS

0

0 (Ausgangstableau)

0 1

-6 -4

S

2

RS

Xo

"l

"2

Sl

1

-1/3

0

-1/3

0

2

0 0

2/3 (-4/3)

1 0

-1/3 -1/3

0 1

2 -2

o

*1

"2

Sl

s2

RS

1

0

0

-1/4 -1/4

5/2

0 0

0 1

1 0

-1/2 1/2 1/4 - 3 / 4

1 3/2

x

(Endtableau)

Das letzte Tableau weist eine primal und dual zulässige kanonische Form aus. Die optimale Lösung des ursprünglichen Systems lautet danach (3/2, 1) mit dem zugehörigen Zielwert x* = 5/2.

321

Kapitel VI: Lineare Optimierung *

*

*

o

XH

xD

Sl

S2

s3

s4

RS

1

0

0

0

450

50

0

400000

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

-1 3 0 -3

1/12 -1 1 -1

0 0 0 1

680/3 1600 800 400

x

*

Als optimale Lösung des umgeformten Systems lesen wir (800, 1600, 680/3, 0, 0, 400) und damit als Lösung unseres ursprünglichen Optimierungssystems (800, 1600) sowie den Zielwert x 0 = 400000 ab. Danach sollten also 800 Herren- und 1600 Damenräder hergestellt werden. Es wäre dann ein Periodenumsatz in Höhe von DM 400000 zu erwarten. Das ist natürlich dieselbe Lösung, die wir auch schon in Kapitel II mit geometrischen Überlegungen ermittelt haben. Das letzte Simplextableau liefert im übrigen eine Reihe weiterer, für ökonomische Entscheidungen bedeutsame Informationen. Es ist Ihnen vermutlich bereits klar, daß in dem vorliegenden Zusammenhang den Schlupfvariablen eine gewisse ökonomische Bedeutung zukommt. s t bzw. s 2 steht für die ungenutzte Kapazität der Werkstatt 1 bzw. 2, s 3 und s 4 für ungenutzte Beschaffungsmöglichkeiten. Würde die Fahrradfabrik versuchen, die ausgewiesene Lösung zu realisieren, wäre damit zu rechnen, daß (wegen Sj = 680/3) die Werkstatt 1 nur zu

-

· 100

76,39 Prozent, die Werkstatt 2 aber voll ausgelastet ist (s 2 = 0). Ebenfalls voll in Anspruch genommen würden die Beschaffungsmöglichkeiten bezüglich der Herrenradrahmen (s 3 = 0), während von den möglichen 2000 Rahmen für Damenräder (wegen s 4 = 400) nur (2000 - 400) = 1600 Stück benötigt würden. Das ist aber noch nicht alles, was wir dem Tableau des optimalen kanonischen Systems entnehmen können. Betrachten wir etwa die Kapazitätsbeschränkung für die vollausgelastete Werkstatt 2 und nehmen an, es stünden (aus irgendwelchen Gründen, die nicht weiter von Bedeutung sind) nicht 800 Stunden, sondern eine Stunde weniger, also nur 799 Stunden zur Verfügung. Wie ändert sich danach die optimale Lösung bzw. der zugehörige Zielwert? Diese neue Fragestellung bedeutet nichts anderes, als daß wir - ausgehend von der optimalen Lösung - die zur Kapazitätsrestriktion der Werkstatt 2 gehörende Schlupfvariable s 2 von ihrem Wert Null auf den Wert 1 wachsen lassen wollen. Wir entnehmen dem oben angegebenen Tableau, daß die neue Lösung einschließlich ihres Zielwertes wie folgt aussieht:

322

Kapitel VI: Lineare Optimierung

Danach sinkt der Umsatz um 450 Geldeinheiten, denn die Anzahl der herzustellenden Damenräder sinkt um 3 Stück. Damit steigt aber auch die ungenutzte Kapazität von Werkstatt 1 um eine Stunde, und die Beschaffungsmöglichkeiten bei den Damenradrahmen werden noch um drei weitere Einheiten weniger genutzt. Allgemein: Soll in einem optimalen Tableau der Wert einer Nichtbasisvariablen von Null auf Eins steigen, so ändern sich die Werte der Basisvariablen um die mit ( —1) multiplizierten Koeffizienten der betreffenden Variablenspalte (sofern nicht gerade eine Entartung vorliegt). Man kann jetzt aber auch „in die andere Richtung" argumentieren, sich also fragen, was geschieht, wenn eine zusätzliche Einheit für die betrachtete Kapazitätsbeschränkung zur Verfügung stünde (wenn also etwa einer der Beschäftigten aus der Werkstatt 2 eine Überstunde ableistete). Man sieht dann analog, daß sich die Werte der Basisvariablen um die jeweiligen Koeffizienten aus der Spalte der zugehörigen Schlupfvariablen s 2 ändern. Es werden dann 3 Damenräder mehr hergestellt, wodurch die ungenutzte Kapazität in Werkstatt 1 um eine Stunde bzw. die ungenutzte Beschaffungskapazität bei den Rahmen für Damenräder um 3 Einheiten sinkt. Aus der Zielgleichung entnehmen wir, daß dadurch wiederum der Umsatz um D M 450 steigt. Eine solche Information ist natürlich im Hinblick auf die Einführung von Überstunden von großer Bedeutung. Sofern - wie im vorliegenden Fall - die Schlupfvariablen für freie Kapazitäten stehen, so kann man allgemein sagen, daß die Zielkoeffizienten der Schlupfvariablen Auskunft darüber geben, welchen zusätzlichen Beitrag zum Zielwert eine zusätzliche Einheit der betreffenden Kapazität bringen würde. Ausgehend von dem vorliegenden optimalen Tableau erhielten wir: Kapazitätsausweitung in Werkstatt 1 Kein zusätzlicher Umsatz (Zielkoeffizient von s, ist gleich Null), denn die Kapazität der Werkstatt 1 ist bei der vorliegenden Lösung sowieso noch längst nicht ausgelastet. Kapazitätsausweitung in Werkstatt 2 Zusätzlicher Umsatz in Höhe von D M 450 (wie erläutert). Kapazitätsausweitung bei der Beschaffung von Herrenradrahmen Es ergibt sich ein zusätzlicher Umsatz von D M 50 (Zielkoeffizient von s 3 ist gleich 50). Kapazitätenausweitung bei der Beschaffung von Damenradrahmen Kein zusätzlicher Umsatz, da die vorhandene Kapazität noch längst nicht ausgelastet ist (Zielkoeffizient von s 4 ist gleich Null). Wir kommen noch einmal auf den dritten Fall zurück und fragen uns, wie sich das Produktionsprogramm ändert, wenn ein zusätzlicher Rahmen für ein Herrenrad

Kapitel VI: Lineare Optimierung

323

beschafft werden kann. Aus dem optimalen Tableau entnehmen wir der Spalte der betreffenden Schlupfvariablen: Die Produktion an Herrenrädern steigt um eine Einheit, während andererseits aber die Produktion an Damenrädern interessanterweise um eine Einheit sinkt. Das muß aber so sein, denn in der Werkstatt 2 stehen nach wie vor nur 800 Arbeitsstunden zur Verfügung, die umverteilt werden müssen, soll ein zusätzliches Herrenrad hergestellt werden. 8.2. Grundbeispiel 5: Mischungsoptimierung Die Bestimmung einer optimalen Lösung für unsere Mischungsaufgabe „per H a n d " wollten wir Ihnen und uns nicht zumuten. Wir haben stattdessen zu diesem Zweck ein kommerzielles Softwarepaket eingesetzt, wie es heute bereits für Personalcomputer erhältlich ist und mit dessen Hilfe durchaus reale Optimierungsaufganame rows η cos t 1 Schwefel 1 phosphor g eisen g chrom g Silizium e produkt 1 xlmax 1 x2max 1 x3max 1 x4max columns xl xl xl xl x2 x2 x2 x2 x3 x3 x3 x3 x4 x4 x4 xl rhsl rhsl rhsl rhsl rhs l endata

mischungsoptimierung

cost phosphor chrom produkt cost e isen s i 1 i ζ i um x2max cost phosphor chrom produkt cost phosphor chrom ρ roduk t

410. . 056 . 056 .700 430. . 3375 . 225 1.0 500. .017 .051 .850 620. .009 . 027 . 900

s c h w e f el eisen s i 1 iζ i um χ lmax s c h w e f el chrom produkt

. 035 . 280 .070 1.0 .090 .075 .750

Schwefel eisen s i 1 i ζ i um x3max . s c h w e f-e 1 eisen Silizium x4max

. 085 .4675 . 170 1.0 . 054 .585 . 036 1. 0

s chwfife 1 eisen s i 1 i ζ i um χ Lraax .\3max

600 . 5000 . 500. 5000. 10000 .

phosphor chrom produk t x2raax x4max

40 0 . 500. 10000 8000 . 8000 .

Abb. VI-1: Eingabedaten des Grundbeispiels 5

324

Kapitel VI: Lineare Optimierung

ben der Praxis - gerade auch aus dem Bereich der Mischungsplanung - gelöst werden können. Mit der folgenden Darstellung wollen wir Ihnen einen kurzen Einblick in den Aufbau und die Arbeitsweise solcher Standardprogrammsysteme geben. In Abb. VI-1 sind die Eingabedaten unseres Grundbeispiels im sog. MPS-Format dokumentiert. Nahezu alle Softwarepakete zur Linearen Optimierung verwenden ein derartiges Format für die Eingabedaten. Bei Großrechnerprogrammen wird in der Regel diese Datenstruktur sogar verlangt, während sie bei PC-Programmen normalerweise nur eine von verschiedenen Möglichkeiten darstellt. Da dieses Format jedoch weite Verbreitung gefunden hat, soll es hier erläutert werden. Mit der ersten Zeile („name") wird zunächst der Datensatz benannt. Unter der Überschrift „rows" folgen dann die Namen der Zeilen unseres Problems, und zwar beginnend mit der Zielfunktion. Der Buchstabe „ n " besagt dabei, daß die betreffende Zeile keinerlei Beschränkungen enthält (Zielfunktion). „1" steht für eine Restriktion des Typs „ ^ ", „g" für „ ^ " und „e" für „ = ". Unter der Rubrik „columns" finden sich die Koeffizienten des Optimierungssystems, spaltenweise aufgelistet und beginnend mit dem jeweiligen Koeffizienten in der Zielfunktion. Koeffizienten, die gleich Null sind, werden nicht protokolliert. Nicht angeführt sind auch die NN-Bedingungen. Sie werden vom Programm als selbstverständlich angesehen, solange nichts anderes angegeben wird. Mit „enddata" ist schließlich das Ende des Datensatzes gekennzeichnet. Auf den so vorbereiteten Datensatz angewendet, benötigte unser Softwarepaket zur Ermittlung einer optimalen Lösung 10 Pivotschritte bei 4 Sekunden Rechenzeit, Es wird Sie nicht unbedingt überraschen, daß der im folgenden erläuterte Computerausdruck keine Rechentableaus in der bisher verwendeten Form enthält. Sie sind offensichtlich zur Dokumentation bei Problemen realer Größenordnungen nicht mehr - oder nur sehr unübersichtlich - auf ein Blatt Papier oder einen Bildschirm zu bringen. Abb. VI-2 enthält zunächst in der Spalte „Activity" die Werte der Variablen x 1 ; x 2 , x 3 , x 4 in der optimalen Lösung. Danach sollten 5000 Tonnen des Füllstoffs 1, 1029,4118 Tonnen des Füllstoffs 3 und 6250 Tonnen des Füllstoffs 4 beschafft und eingesetzt werden. Der Füllstoff 2 kommt überhaupt nicht zum Einsatz. Weiterhin sind in der Spalte „Cost" noch einmal die jeweiligen Kosten pro Tonne des jeweiligen Füllstoffs aufgeführt. Im Kopf der Tabelle ist außerdem der optimale Zielwert, d.h. die Kosten des ermittelten optimalen Beschaffungsprogramms (DM 6439705,88) genannt. Abb. VI-3 beinhaltet eine Analyse der Restriktionen für die ermittelte optimale Lösung. Die jeweilige Beanspruchung (Spalte „Activity") ist der entsprechenden Vorgabe (Spalte „ R H S " ) gegenübergestellt. Außerdem sind noch die betreffenden Restriktionszeichen aufgeführt. Danach weist von den Ungleichungsrestriktionen lediglich die Restriktion für den Maximalgehalt an Schwefel sowie die Beschaf-

File:

Mi s c h o p t

SOLUTION

(Minimized):

I Variable

:

6439705.882

Activity

:

mischungsoptimierung

Cost

! Variable

'·

Activity

Cost

I

xl

5,000.0000

410.0000

:

x2

0.0000

430.0000

I

x3

1,029.4118

500.0000

I

x4

6,250.0000

620.0000

Abb. VI-2: Optimale Lösung des Grundbeispiels 5

325

Kapitel VI: Lineare Optimierung File: Mischopt CONSTRAINTS : œischungsOptimierung ¡Constraint 1

Activity

I Schwefel

RHS

600 0000


5,000. 0000

I

eisen

I

Silizium

750 0000

;

xlmax

5,000 0000

£

x3max

1,029 4 1 1 8

Activity

: Constraint




chrom Produkt

500. 0000

< 5,000. 0000 I I

10,000 0000

RHS

!

=

:

400. 0000 : 500. oooo

:

10,000. oooo

:

x2max

0 0000

< 8,000. oooo

:

x4max

6 , 2 5 0 0000

< 8,000. oooo

:

0.000000

Abb. VI-3: Restriktionen des Grundbeispiels 5

fungsrestriktion für den Füllstoff 1 (xl max) keinen Schlupf auf. Bei der Restriktion „ p r o d u k t " handelte es sich von vornherein um eine Gleichung, die auch genau erfüllt ist. Der in den Abb. VI-4 und VI-5 vorgestellte Output geht bereits über den in diesem Buch behandelten Themenkreis hinaus, wird aber von kommerziellen Softwarepaketen standardmäßig bereitgestellt. Er stellt die Ergebnisse einer Sensitivitätsanalyse dar. Abb. VI-4 bezieht sich auf die Frage, welche Auswirkungen Änderungen der Zielkoeffizienten auf die gefundene optimale Lösung haben. Dabei betrachtet man stets Veränderungen eines Koeffizienten unter Festhalten aller übrigen Koeffizienten auf den ursprünglich gegebenen Werten. Aus dem Feld links unten entnimmt man beispielsweise, daß der Zielkoeffizient der Variablen x 3 (d.h. Preis pro Tonne des Füllstoffs 3) von gegenwärtig D M 500,- unbegrenzt sinken kann, ohne daß sich die oben angegebene optimale Lösung ändert. Steigen kann der Preis pro Tonne dagegen nur auf D M 520,07. Bei einer weiteren Steigerung würde dann x 2 zur Basisvariablen und x 3 (gegenwärtig noch Basisvariable mit x 3 = 1029,41) zur Nichtbasisvariablen (mit dann x 3 = 0). Unter „Reduced Cost" findet sich der modifizierte Zielkoeffizient der Variablen x 3 . Er ist hier gleich Null, denn x 3 ist Basisvariable. Abb. VI-5 gibt schließlich Antwort auf die Frage, welche Auswirkungen Änderungen auf den rechten Seiten des ursprünglichen Restriktionssystems haben. Dabei beschränkt sich die Analyse sinnvollerweise auf solche Restriktionen, die bei der

File: M i s c h o p t COST ANALYSIS: ;

1

Variable

niischungsoptiniierung Stable Cost Range

Variable to Change

: : I I

499.8366 l'pper 410.0000 xl UNBOUNDED Lower Co. Reduced t

xlmax

: : ! 1

Upper x3 · tower Reduced Co

x2

520.0741 500.0000 UNBOUNDED t

Variable 1

Stable Cost Range

0.0000

Upper UNBOUNDED 430.0000 x2 Lower 403.4314 R e d u c e d Coi t

0.0000

Upper x4 Lower Reduced

Abb. VI-4: Kostenanalyse des Grundbeispiels 5

UNBOUNDED 620.0000 556.2353 Co ät

Variable ¡ to : Change i




X3,

x5,

X4,

X6.

0 •

2000

< 6000 X7 > 3000 x 7 < 4000 > 0 =

Aufgabe 1-5 x 0 : zu maximierender Umsatz des Planungszeitraums; x x : zu produzierende Mengeneinheiten des Fertigproduktes F P t ; x 2 : zu produzierende Mengeneinheiten des Fertigproduktes F P 2 . Xq = 400X! + 300x 2 ->· max! A^

lxt +

l x 2 ^ 100

A2:

0,75x!+

2x2gl50

A3:

2xt Xi,

^ 120 x2 è

0.

Aufgabe 1-6 x 0 : zu minimierende Gesamttransportkosten; Xjj! Mengeneinheiten des Transportgutes, die von der Produktionsstätte PS¡ (i = 1, 2) zur Baustelle BSj (j = 1, 2) zu transportieren sind. x 0 = 4 5 x n + 20x 1 2 + 30x 2 1 + 50x 22 -> min! xn +

x12

^ 130 x21 +

Xu x

ll>

+

X12 X 12)

X21

=150

+ X

21>

x 2 2 ^ 270

x 2 2 = 180 X 22 = 0.

Aufgabe 1-7: • Zielfunktion und Zielvorschrift Zu minimieren ist die Summe aus den im gesamten Quartal anfallenden Lagerungs- und Bestellmengenkosten:

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

347

x 0 = lOx! + 20X 2 + 30X 3 + 8X 4 + 8x 5 + 5x 6 x 0 -»• min! •

Restriktionen - Lagerung Die Lagerhauskapazitäten dürfen nicht überschritten werden: x4

^40 g 40

x5

x 6 ^ 60.

- Produktion Die folgenden Restriktionen sind im Sinne der allgemeinen „Lagerformel" zu lesen, nach der für jeden der betrachteten Monate gelten muß: Anfangsbestand + Zugänge — Abgänge = Endbestand bzw. Zugänge + Anfangsbestand — Endbestand = Abgänge. Die Zugänge sind dabei die Bestellungen, die Abgänge die für die Produktion bereitzustellenden Einsatzgütermengen. Der Endbestand im Monat j entspricht dem Anfangsbestand im Monat j + 1. Xj —

x4 x2

+ x

-

= 80

x 4 — x5

3+

= 40

x5-

X 6 = 80.

x5,

x6 ^

NN-Restriktionen Xj,

x2,

x3,

x4,

Zusammengefaßt: x 0 = 10 Xj +

x2 +

x3+

x4+ x4

x5+ X

+

X

2

X

l>

x

2>

x3 x 3>

X

5

4 x4 - x5 + X 4>

x6->min! g 40 ^ 40 X ^ 60 6 = 80 = 40 X = 80 6 X

6^

o

0.

348

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

2. Lösungen zu Aufgaben des Kapitels II Aufgabe I I - l

a)

G,

Abb. VIII-1: Durch das Gleichungssystem der Aufgabe II-l beschriebene Lösungsmenge b) Lösbarkeit ohne Freiheitsgrade. Aufgabe II-2

t 4 , t 5 beliebige reelle Zahlen.

Aufgabe II-3 Die gesuchte allgemeine Lösung lautet: ti 4 - 2tt + 2t3 I6 -

2

-

ti> t 3 beliebige reelle Zahlen.

t, + 2t3 tt+

t3

Die zu der vorliegenden kanonischen F o r m gehörende Basislösung ist entsprechend (0, 4, 0, 6 , - 2 ) . Aufgabe II-4 Durch Anwendung des modifizierten GAUss-Algorithmus auf das zweite Gleichungssystem erhält man (in Tabellenschreibweise): x

RS

i

2

4

16

1

φ

6

Anhang 1 : Lösungen zu den Übungsaufgaben

349

*

θ 1

X

2

RS

o 1

-8

X

*1

6

RS

1

1

0

4

0

1

2

Als einzige L ö s u n g des Gleichungssystems erhält m a n (4, 2), die offensichtlich mit derjenigen des ersten Systems übereinstimmt.

Aufgabe II-5 a) D u r c h Pivotieren nach den in d e n Positionen (1, 3) u n d (2, 1) stehenden Koeffizienten ermittelt m a n 18+

2t2+

4t4 +

5ts

t2 -64— 10t 2

— 10t 4 — 17t 5

I

t 2 , t 4 , t 5 beliebige reelle Zahlen

t4

U b) D u r c h Pivotieren n a c h den in den Positionen (3, 3) und ( 2 , 1 ) stehenden Koeffizienten ermittelt m a n -4t, t2

I , t 2 beliebige reelle Z a h l .

2t 2

Aufgabe H-6 Ausgangstableau: X

1

X

2

X

3

RSt

RS2

RS3

1

0

0

2

4

4

1

0

2

0

1

0

1

2

1

0

0

1

350

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Endtableau:

X

1

X

2

X

RSt

3

*

0

1

0

*

1

0

0

*

0

0

1

rs2

1/4

RS3

-1/2

0

1

2

-1 1/2

0

-1

Lösung des 1. Systems: (—1, 1/4, 1/2) Lösung des 2. Systems: ( 1 , - 1 / 2 , 0 ) Lösung des 3. Systems: ( 2, 0, — 1 ). Aufgabe II-7 Durch Anwendung von Algorithmus 2 erhält man: 2x x - 4 x 2 + 8x 3 + 16x 4 ^

160

- 2 x j + 4 x 2 - 8x3 - 16x 4 ^ - 1 6 0 -

xt+2x2+

-4x1

x3-

4 x 4 ^ — 80

-8x3-

x4^-100

2 x j - 2x 2 - 2 x 3 +

2x4 ^

-2xi +2x2 +2X3-

40

2X 4 ÎÏ — 4 0 .

Aufgabe II-8 Algorithmus 3 liefert: 2xt + 4x2 - 4 x ' 2 ' + — 4Xi +

x3

Xj +

=

+st _ s2

x2 — x2 + 2x3 + 2x4

+ s3=

x2 — x2 — 4x3

1·>

χ

x

2>

2>

X

X

3>

4>

X

S

l>

s2,

s3 ^

Aufgabe II-9 Algorithmus 2 liefert: - 3 x t — 4x2 + 2x t

x3 ^ - 1 0

+2x3^-10 x2

^

0.

Durch Anwendung von Algorithmus 3 erhält man: 3x\ - 3xï + 4x 2 — x'3 + 2x\ - 2x'/ 1>

χ

χ

1,

X3 + Sj

+ 2x'3 - 2x3 x

2>

3>

X

3>

X

= 1 0 - s 2 = - 10

S

l>

S

2 =

20

= - 40

0·

10 0.

A n h a n g 1 : Lösungen zu den Übungsaufgaben

351

Aufgabe 11-10

Abb. VIII-2: Durch das Restriktionssystem der Aufgabe 1-5 beschriebene Lösungsmenge und verschiedene Zielwertgeraden

Es sollten von Typ FP, 60 M E und von FP 2 40 M E hergestellt werden. Dadurch wäre ein Umsatz von 36000 GE zu erzielen. Bei diesem Produktionsprogramm wären die Anlagen A i und A 3 voll ausgelastet. Anlage A 2 hätte dann eine freie Kapazität von 25 Stunden. 3. Lösungen zu Aufgaben des Kapitels III Aufgabe III-l

(!) •Ci)

a+ b =

i+ c =

c — f: nicht definiert. 12 6

352

Anhang 1 : Lösungen zu den Übungsaufgaben

() 0

1

- 4

2

2a + d — e =

3 g - 5g = - 2g =

6 · 2 · m = 12m = m * η = 5. b * f: nicht definiert. f ( g * k): nicht definiert, m * 1 = 4.

Aufgabe III-2 Jede L i n e a r k o m b i n a t i o n

s 1 ; s 2 , s 3 beliebige reelle Zahlen

der gegebenen Vektoren ist wieder eine L ö s u n g des Systems. Mit Si = s 2 = s 3 = 1 ergibt sich etwa die L ö s u n g

Aufgabe III-3 Jede normierte L i n e a r k o m b i n a t i o n

der gegebenen Vektoren ist wieder eine L ö s u n g des Gleichungssystems.

Mit

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

353

Sj = — 1, s 2 = 2 ergibt sich etwa die Lösung

Aufgabe 1II-4 a) Durch Einsetzen und Ausrechnen sieht man, d a ß beide Vektoren Lösungen des betrachteten Ungleichungssystems sind. b) Jede nichtnegative Linearkombination

der beiden gegebenen Lösungen ist wieder eine Lösung des betrachteten Systems. Mit s t = s 2 = 1 ergibt sich etwa

c) Beispielsweise ist

eine normierte Linearkombination der beiden gegebenen Lösungen, aber - wie Sie sich leicht überzeugen können - keine Lösung des Systems. Aufgabe III-5 a) Durch Einsetzen und Ausrechnen findet man, daß beide Vektoren Lösungen des betrachteten Ungleichungssystems sind. b) Jede konvexe Linearkombination

ist wieder eine Lösung des betrachteten Systems. Mit Sj = s 2 = 0,5 ergibt sich etwa

c) Durch Einsetzen und Ausrechnen!

354

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Aufgabe HI-6 Jede konvexe Linearkombination / 0

\

/

\ o h

+

600 \

\

0 )

/

S 2

800

\

/

+

n i 6 0 0 h

400

\

U00/

S

/

*

+

0 \

\ 2000jS5'

5

Σ s¡ = i= ι

s

i = 0

für i = 1 , . . . , 5

der ermittelten Koordinaten ist wieder eine Lösung des Restriktionssystems. Aufgabe III-7 a) fist nicht als Linearkombination der angegebenen Vektoren darstellbar. Ansatz für die übrigen Vektoren (in Tableauform): X

x2

1

X

3

R S

t

r s

r s

2

3

3

1

3

2

1

4

1

2

1

0

2

2

0

1

1

1

-2

- 3

Nach drei Pivotschritten erhält man: x

Xl

2

R S

t

-1

r s

r s

2

- 2

3

0

1

0

1

0

0

4/3

-1/3

-2/3

8

0

0

1

-5/3

5/3

-5/3

Daraus liest man ab in bezug auf

Τ :)-(:) b: c

4,3+

/ 3\

\

ü)(-i,+(i)

•(-5/3)

(íMD(-"3)+(¡H+(D

üMD(-H¡)

8 + /

( i\ )1 /

5/3

Ι· ( - 5 / 3 ) .

b) Die Vektoren sind linear unabhängig! Aufgabe III-8 Da bezüglich des Vektorsystems (a, b, c, d) dreidimensionale Vektoren vorliegen, muß es linear abhängig sein. Wir ermitteln trotzdem die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Gleichungssystems.

355

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Ausgangstableau X

1

X2

-2 1 1

2 0 1

1 2 -3

x4

RS

4 7 5

0 0 0

Durch Anwendung des modifizierten GAUSS-Algorithmus ergibt sich etwa das folgende Endtableau 1

X2

X3

x4

RS

0 1 0

0 0 1

1 0 0

22/15 61/15 80/15

0 0 0

X

bzw. als Lösungsmenge in Parameterform

t4,

t 4 beliebige reelle Zahl.

Daraus entnehmen wir, daß der entsprechende Nullvektor wie folgt als nichttriviale Linearkombination der Vektoren a, b, c und d dargestellt werden kann: 15.

Damit läßt sich aber auch etwa der Vektor d als Linearkombination von a, b und c darstellen:

(22/15).

Aus dem oben angegebenen Endtableau entnimmt man, daß durch (a, b, c) ein linear unabhängiges Vektorsystem gegeben ist. Bezüglich (g, h, 2 h) gilt: Das Vektorsystem

ist linear abhängig, da der dritte Vektor das Zweifache des zweiten darstellt. Offensichtlich gilt etwa:

356

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

( )( 2 4 2 8

2 4 8 3

2.

Das System (j, 1, m) ist linear abhängig, da es aus drei 2-Vektoren besteht. Das System (j, o) ist linear abhängig, da es einen Nullvektor enthält. Es gilt:

Das System (b, c, 2e) untersucht man wieder mit dem entsprechenden homogenen Gleichungssystem. Es ist linear unabhängig. Aufgabe III-9 Ansatz in Tableauform (vgl. Beispiel III-18): S

s2

1

S3

RS,

rs

2

rs

3

1

0

2

0

0

1

3

1

4

1

0

0

- 3

-1

-2

0

1

0

2 -2

- 1

4

-1

5

- 1

-2

-2 -1

1

0

Die Anwendung des GAUSS-Algorithmus liefert die folgende Lösung: Sl

s2

S3

RS,

RS2

-1

- 1

rs

3

1

0

0

0

1

0

2

1

0

0

1

1/2

1/2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

- 3 0

Die erste Gleichung des kanonischen Systems läßt sich als eine Linearkombination des ursprünglichen Systems darstellen, wobei man der ersten Gleichung — 1, der zweiten 2 und der dritten 1 /2 als Multiplikator zuordnen muß. Aus den Spalten RS 2 und RS 3 entnimmt man die entsprechenden Multiplikatoren zur Darstellung der übrigen Gleichungen des kanonischen Systems. Aufgabe 111-10 Aus der Lösung zu Aufgabe III-8 entnimmt man, daß

eine interne Basis des Vektorsystems (a, b, c, d, e) und sein Rang gleich drei ist.

357

Anhang 1; Lösungen zu den Übungsaufgaben

Der Nullvektor des Vektorsystems (j, 1, o) kann nicht zu einer internen Basis gehören. Das aus den verbleibenden Vektoren j und 1 gebildete Untersystem ist linear unabhängig, j und 1 bilden damit eine interne Basis des Systems, dessen Rang zwei beträgt. Der Rang des Vektorsystems (j, k, 1) kann höchstens gleich zwei sein, da es aus 2Vektoren gebildet wird. Er ist genau gleich zwei, da das aus j und 1 gebildete Untersystem - wie bereits ermittelt - linear unabhängig ist. Mit analoger Argumentation findet man, daß der Rang des Systems (j, k, n) gleich zwei ist und etwa (j, k) eine interne Basis von (j, k, n) darstellt. Aufgabe III-ll Da das System aus Vektoren der Dimension drei gebildet wird, kann sein Rang höchstens gleich drei sein. Der Rang ist genau gleich drei, weil sich sofort drei linear unabhängige Vektoren finden, nämlich die drei Einheitsvektoren

Jede interne Basis von VS 4 besteht damit aus drei Gliedern, so daß weder US 1 ( US 2 noch US 6 hierfür in Frage kommen. US 4 ist offensichtlich eine interne Basis. US 3 und US 5 untersucht man auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Es zeigt sich, daß nur US 5 noch eine interne Basis von VS 4 darstellt.

4. Lösungen zu Aufgaben des Kapitels IV Aufgabe IV-1 EGJ

EG 2

EG] EG2

ZP,

ZP 2

4 3

8 2

ZPi ZP 2 FPI FP 2 FP3 (Nullen nicht aufgeführt) Aufgabe IV-2 2A=(4

\l2

(-4)B = (

Λ 10/

-24 -12

- 8 -16

4\ -24/

FP,

FP 2

FP 3

7

4 3

2 2

358

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

A+ D

"(s

I)'

— ( J

:)·

Β + C: nicht definiert. /10 6 \ B' + C = I 4 9 1. \ 8 14/ Α ·Β = /

3

8

-

\ 51

"

32

2 0

V

24 /

Β · A: nicht definiert.

— ( i I 4 C ·Ε = I 2 \ 9

") 3V 5 I . 8/

G · I = (24) (Matrix!). G * I = 24 (Skalar!). I 2 I·G= I 3 \4

4 6

8V 12 I .

8

16/

I * G = 24 (Skalar!).

» - 0 E · F: nicht definiert. Aufgabe IV-3 Richtig sind die Aussagen a), c), f), g) und h). Aufgabe IV-4 Die beiden Faktoren sind quadratische Matrizen gleicher Ordnung und - mindestens eine der MatriA ^ ist eine Nullmatrix, - mindestens eine der Matrizen ist eine Einheitsmatrix bzw. - die beiden Matrizen sind invers zueinander. Aufgabe IV-5 (A + B) 2 = (A + B) · (A + B) = AA + A B + BA + B B = Α2 + Α · Β + Β · Α + Β 2 .

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

359

Da die Matrizenmultiplikation in der Regel nicht kommutativ ist, kann man Α · Β + Β · A nicht zu 2A · Β zusammenfassen. Damit ist aber (Α + B) 2 grundsätzlich auch nicht gleich A 2 + 2Α · Β + Β 2 . Aufgabe IV-6 x o = (200,

max!

150)·

Aufgabe IV-7 Man multipliziert die jeweiligen Matrizen miteinander und findet, daß nur die Matrizenpaare a) und b) invers zueinander sind. Aufgabe IV-8

C - 1 : nicht definiert. D " 1 : existiert nicht. Ε " 1 = E. Aufgabe IV-9 a) a 2 1 φ — 1 _ , _ / - 2 ) A

—

\ a21

2\

1

1 / (2 + 2a 2 1 )

Aufgabe IV-10 AC-

Α= Β·C 1 = B C C "

bzw. B= AC"

1

1

= B E = B.

360

A n h a n g 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Aufgabe IV-11 2A + Α · Β

= C

A-2 + A B

= C

A

= C

rv n* 2

E + A B

A ( 2 E + B)

= C

n* A(2E + B)(2E + B)~1 = C(2E + B)~1 r\ 1

A = C* ( 2 E + B ) ~ (

8

8 ) '(4

/ _ ! \

—2 \

8

θ)

/0

8 /

1/4\

\ 1/2

-1/8/

Aufgabe IV-12 a) (Β — A ) X — X + A X

= C

BX - AX - EX + AX = C (Β — E) X = C X = (B — E ) _ 1 C

:l)-(-\

: ? ) - ( ?

1

(

2

H

1

: î )

'

- ( î

: M " Î

3)

=

(

2

3)·

Aufgabe IV-13

( 1 1

2

-

1 - 1 - 1

2 \

2

5

1

0 -

3

2 -

1

/

) ' (

0 /

\

x2 \ x

3 | χ.

/ - I =

/

(

\ 2

)

V i /

J

: î )

361

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

b) In der Darstellung des Rechentableaus T 3 ergibt sich ω 1 2

1 2 -1

-1 0 -3

-1 2 -1

2 5 0

-1 2 1

1

-1 1 -1

-1 3 1

2 3 -4

-1 3 3

1 -1 -2

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 0 0

-1 1 3

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-2 1

©

-4 3 10

-1 3 5

-4 3 12

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

6 -2 5

4 1/2 5/2

8 -3 6

1 -1/2 1/2

®

-3

c) (8, - 3 , 6, 0, 0)

( d)

/ I1

ι

1

2

- Π

- 1

0 I

2 - 1 - 3 /

/I

= ( 0 \0

0

1

\

/ 1

-1

0\

/

1

0

\ —2

0 \

1

-1/2 )

( 0

1

O l l - l

1 Ο I

0

1/2 /

V0

3

1/

0

/-3 = ( 3/2 \-5/2

2 -1/2 3/2

1 /

I V -1/2). 1/2 /

Aufgabe IV-14 a) r(A) = 3. b) r(A') = 3. c) Das System hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

5. Lösungen zu Aufgaben des Kapitels V Aufgabe V-l I A| = 2- 5 — 3 - 4 = — 2. |B| = 1 - 4 — 2 - 2 = 0. |C| nichtdefiniert. | D | = 2 - 1 - 1 + 6 · ( — l ) - 2 + 5 - 4 - 2 — 2 - 1 - 5 — 2 - ( — l ) - 2 — 1 - 4 - 6 = 0. |E| = 1 . |F| = - 1 6 . | G | = 4 - 5 - 0 + 6 - ( - 1 ) - 3 + ( - 2 ) - 2 - 9 - 3 - 5 - ( — 2) — 9 - ( — 1) - 4 - 0 - 2 - 6 = 12. | H | = 64.

362

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

III = ( —1)2 + 3 · 2 •

(Entwicklung nach der 3. Spalte)

: - 2 - ( - 2 2 ) = 44. — 39 (etwa durch Anwendung von Algorithmus 5) : 2 • 4 -1 - 2 = 16 |L| |K|

2 7 0 2 0 0 0 0

IMI = 0

0 vertauschen

7 2 3 6 4 4 7 0 V vertauschen

2 0 0 0

7 2 0 0

2 6 4 0

7 3 = 112. 4 7

Aufgabe V-2 I A| = 196

A

1

existiert, | A

1

1=

|B| 24. I A'| = 196. IA · B| = IA IBI = - 4 7 0 4 . 4 14 A| = 4 · 196 = 50176.

1 196

24 Ι Α " 1 B| = Ι Α " 1 ! - IB = - — = - 0 , 1 2 2 4 . 196 1 |A- · B · C | = 0 (da | C | = 0 ) . IDI nicht definiert. ID - Fl

•IC : : > • ( ! D

14

28

23

26

=

-

280.

Aufgabe V-3 2 4 3

1 0 1

3 2 4

=-2.

a) Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar! b) Die Inverse der Koeffizientenmatrix existiert; der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich 3; der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist ebenfalls gleich drei; die Zeilen und Spalten der Koeffizientenmatrix sind linear unabhängig; die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix sind linear unabhängig, die Spalten aber linear abhängig. Aufgabe V-4 a) |A| = 106. |B| = 0 . b) Α · χ = b ist eindeutig lösbar; Β · χ = b hat entweder keine oder aber unendlich viele Lösungen.

A n h a n g 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

363

6. Lösungen zu Aufgaben des Kapitels VI Aufgabe VI-1 a) Optimale kanonische Form in Tableaudarstellung: X0

XF

x2

x3

x4

RS

1

2/3

2/3

0

0

80/3

1/3 - 1 / 6 -1/6 1/3

1 0

0 1

10/3 10/3

0 0

Optimale Lösung: (0, 0, 10/3, 10/3), optimaler Zielwert: 80/3. b) Ersetzt man in dem vorstehenden Tableau die Zielgleichung durch die neue Zielgleichung x 0 — x 3 — 4x 4 = 0 und eliminiert man anschließend daraus die Basisvariablen x 3 und x 4 , so erhält man X0

XJ

X2

X3

x4

RS

1

-1/3

7/6

0

0

50/3

0 0

© - 1 / 6 -1/6 1/3

1 0

0 1

10/3 10/3

Das vorliegende Tableau ist noch nicht dual zulässig. Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert 1

x2

x3

x4

RS

1

0

1

1

0

20

0 0

1 0

-1/2 1/4

3 1/2

0 1

10 5

x0

X

Optimale Lösung: (10, 0, 0, 5), optimaler Zielwert: 20. Fügt man dem unter a) aufgeführten Tableau dagegen die Zielgleichung x 0 — 4x 3 — 2X4 = 0 hinzu und eliminiert die Basisvariablen x 3 und x 4 daraus, so erhält man als neue Zielgleichung: x

o 1

1

x2

X3

x4

RS

1

0

0

0

20

X

Die unter a) aufgeführte Lösung ist weiterhin optimal, der Zielwert beträgt nun aber 20. Im übrigen zeigt der modifizierte Zielkoeffizient (0) der Variablen x 2 an, daß jetzt noch eine weitere optimale Basislösung existiert (duale Entartung). Durch einen Simplexschritt, bei dem man x 2 zur Basisvariablen macht, findet man diese Lösung: (0, 10, 5, 0).

364

A n h a n g 1: Lösungen zu den Ü b u n g s a u f g a b e n

Aufgabe VI-2 Eine optimale kanonische Form lautet (in Tableaudarstellung): 1

x2

X3

x4

1

0

0

0

0

0 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

x0

X

X5 -1

RS -4

1/4 - 9 / 2 1/2 1/4 - 1 / 2 1/2 -1/4 3/2 7/2

Daraus liest man die zugehörige optimale Basislösung (1/2, 7/2,1/2, 0, 0) mit dem Zielwert —4 ab. Es existieren noch weitere optimale Basislösungen mit x 4 als Basisvariable (duale Entartung). Aufgabe VI-3 a) Die ausgewiesene Basislösung ist noch nicht optimal, da noch negative Koeffizienten in der Zielgleichung auftreten. b) und c)

x0 1

-15

0

0

0 0

(D2 - 4

0

- 3

- 3

©

6

*

*

x3

x4

X5

0

0

- 1

0

0

- 2

1

0

- 3

- 3

0

0

- 4

0

1

io

2

1 d ?

x6 6 - 2 1 8 - 6

*

*

x7

X8

0

0

RS

x9 0

22

1

0

1

8

0

0

2

14

0

10

0

1

0

0

-1

0

Alle möglichen Pivotelemente sind durch Kreise markiert, an ihnen wurden die jeweiligen Zielwertänderungen notiert. d) Ein Simplexschritt, bei dem man x 9 zur neuen Basisvariablen bestimmt, liefert die neue Basislösung (0, 0, 0, 7, 0, 0, 1, 10, 7) mit dem gleichen Zielwert x* = 2 2 . Aufgabe VI-4 Nach zwei Simplexschritten erhält man: x0

X

1

x3

x4

x5

-8

1

0

0

113

0

0 0 0

0 1 0

0 - 1 -38 0 - 1 / 4 21/2 1 -1 8

1 0 0

x6

RS

41/4 11/4 -3 1 3/4

-1 1/4 1/4

134 20 13 10

A n h a n g 1: Lösungen zu den Ü b u n g s a u f g a b e n

365

Der x 3 -Spalte entnimmt man, d a ß keine optimale Lösung existiert; der Zielwert ist unbeschränkt. Aufgabe VI-5 a) Ausgangstableau x

o

X

1

-3

0 0 0

1

®

1 -1

2

x3

x4

-1

-2

-2

0

0 1 -2

1 0 0

X

1 0 3

2 0 4

X

5

7

RS

0

0

0

0 1 0

0 0 1

2 2 6

X

6

X

U n t e r Verwendung des markierten Pivotelementes erhäl x

o

X

1

x2

x3

x4

*5

X6

x7

RS

1

0

2

4

-2

3

0

0

6

0 0 0

1

1 -1 4

2 -2 6

0

1 -1 1

0 1

0 0 1

2

0 0

6

*7

RS

CD

-2

0

0 8

Der nächste Simplexschritt liefert: x

o

X

1

*2

X

3

x4

x5

X

1

0

0

0

0

1

2

0

6

0

1 0 0

2 -2 2

0 1

1

0 0

1 -1 2

0 1

0 0 1

2 0 8

0

-1 -1

2

mit der optimalen Basislösung (2, 0, 0, 0, 0, 0, 8) und dem optimalen Zielwert xS=6. b) Bereits das zweite Tableau liefert eine optimale Basislösung (gleicher Zielwert wie die im dritten Tableau ausgewiesene Lösung!), diese wird aber noch nicht als optimal erkannt (noch keine duale Zulässigkeit!). D a s Optimalitätskriterium versagt hier also zunächst. Durch weitere A n w e n d u n g des Simplexalgorithmus wird aber schließlich eine optimale Lösung gefunden. Bei genauerem Hinsehen zeigt sich, d a ß die im zweiten und dritten Tableau ausgewiesenen Basislösungen numerisch gleich sind, wobei aber unterschiedliche Variablen als Basis- bzw. Nichtbasisvariablen auftreten. Im übrigen weist das letzte Tableau sowohl eine primale Entartung (die Basisvariable x 4 nimmt den Wert Null an) als auch eine mehrfache duale Entwartung (die modifizierten Zielkoeffizienten der Nichtbasisvariablen x 2 und x 3 sind gleich Null) auf.

366

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Aufgabe VI-6 a) Die ausgewiesene Basislösung (2, 4, 16, 8, 0, 0, 0, 0) ist optimal, da (für das Minimierungssystem) primale und duale Zulässigkeit vorliegt. b) ( 0 , 4 , 1 6 , 1 0 , 2 , 0 , 0 , 0 ) erhält man durch einen Simplexschritt, bei dem man x 5 zur Basisvariablen macht. c) Bezieht sich das Tableau auf ein Maximierungssystem, so ist die vorliegende kanonische Form dual nicht zulässig (modifizierte Zielkoeffizienten von x 6 , x 7 und x 8 sind hier kleiner als Null). Die ausgewiesene Lösung ist nicht optimal. d) Bezieht sich das Tableau auf ein Maximierungssystem, so kann man bereits feststellen, daß keine optimale Lösung existiert. Der Zielwert ist unbeschränkt, denn in der x 8 -Spalte sind sämtliche Koeffizienten aus den Restriktionsgleichungen kleiner oder gleich Null. Aufgabe VI-7 a) x 0 — X ! — 2 x 2 — 4 x 3 xt x

= 0

+S!

i +

*2 + 2X3 3x 2 + 4 x 3

=2 +S2

=4 + s3 = 6 s2, s3

x

x X l> 2> 3> s l 5 x 0 -» max! b) Die Anwendung des Simplexalgorithmus auf das unter a) entwickelte System liefert das folgende optimale kanonische System (in Tableaudarstellung):

x

1

x2

1

0

0 0 0

X

o

X

3

RS

1/2

7

1/2 1 -1/2 0 1/4

1 1 3/2

3

Sl

'2

1/2

0

0

1

1/2 0 1 -1/2 0 3/4

0 0 1

1

-1

0 0

S

Optimale Lösung des Ausgangssystems: (1, 0, 3/2), optimaler Zielwert: 7.

Aufgabe VI-8 a) x 0 - 2 x t -

3x 2 + x'3 - x 3

= 0

X

X 1+ 2 + X 3 ~ X3 + S l =10 2Xi — x 2 — x'3 + x 3 + s2 = 5 - x , + 1/3x 2 +s3= 4 xx, x 2 , x 3 , x 3 , Sj, s 2 , s 3 ^ 0 x0 max!

b) Die Anwendung des Simplexalgorithmus auf das unter a) entwickelte System liefert die folgende optimale kanonische Form:

367

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

1

x2

X

1

0

0

0

0

4

5

0 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 -1

0 0 1

1 1/3 1/3

1 1/3 4/3

x

X

o

3

X

3

S

1

3

RS

12

113

3 0 3

27 5 22

S

s2

optimale Lösung des Ausgangssystems: (5, 27, —22). optimaler Zielwert: 113. = 0 — 22 = — 22. Anmerkung: x 3 * = 0, x 3 * = 22 => Aufgabe VI-9 (1, 0, 3/2) und (2, 2, 0) sind optimale Lösungen mit dem Zielwert 30. Aufgabe VI-10 a) Ja, denn der Simplexalgorithmus, auf ein entsprechendes Hilfssystem angewendet, liefert das folgende optimale System (mit x, und x 2 als Basisvariablen). X X x RS s2 Sl s3 1 2 o 1.00

0.00

0.00

-1.65

-2.58

-0.26

-8.16

0.00 0.00

0.00 1.00

1.00 0.00

-0.26 -0.35

-0.03 -0.42

0.10 0.26

1.55 0.13

b) Nein, denn das umgeformte System ist nun nicht mehr dual zulässig. Aufgabe VI-11 Künstliches Optimierungssystem y0=

y j + y 2 + y3

min!

X

1 - x 3 + 4x 4 + yi =3 2xí-x2 +y2 =3 3x t - 2 X 2 X4 + y3 = 1 x1; x2, x3, x4, y1; y2, y 3 ^ 0 . Ausgangstableau (nach Elimination von y 1 ; y 2 , y 3 aus der künstlichen Zielgleichung): 1

x2

x3

1

6

-3

-1

0 0 0

1 2 3

0 -1 -2

-1 0 0

y0

X

yi

y2

y3

RS

3

0

0

0

7

4 0 -1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 3 1

x4

368

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Optimales Tableau (des künstlichen Optimierungssystems): 1

*2

x3

x4

yi

y2

y3

RS

1

0

0

0

0

-1

-1

-1

0

0 0 0

0 0 1

1/2 3/2 -1/2

0 1 0

1 0 0

0 -1 0

3/2 13/2 1/2

-1 -4 0

7/2 25/2 3/2

y0

X

Bei der Anwendung des Simplexalgorithmus wurde darauf geachtet, daß von den möglichen Pivotelementen stets ein solches gewählt wurde, das eine künstliche (Basis-)Variable zu einer Nichtbasisvariablen macht. Sukzessive gehen dabei x 1 ; x 4 und x 3 (in dieser Reihenfolge) in die Menge der Basisvariablen ein, während y 3 , y i und y 2 zu Nichtbasisvariablen werden. Zulässige kanonische Form des gegebenen Gleichungssystems: l/2x 2 + X 4 = 7/2 3/2x 2 + x 3 = 25/2 x!-l/2x2 = 3/2. Zulässige Basislösung: (3/2, 0, 25/2, 7/2). Aufgabe VI-12 a) Künstliches Optimierungssystem: y0 =

+y1+y2->min! 2x t + 4 x 2 - 4x 3 + y t = 10 5 x 1 - 2 x 2 + 10x 3 + y 2 = 40 Xi,

x2,

x3,

Yi'

Y 0 .

Die Anwendung des Simplexalgorithmus auf dieses künstliche System liefert: y0

χ!

1

0

0 0

1 0

x2

χ3 0

4/5 -3/5

0 0 1

yi -

1

y2 -

1

RS 0

1/4 1/10 13/2 - 1 / 8 1/20 3/4

Als zulässige kanonische Form des ursprünglichen Systems erhält man daraus: x1+4/5x2 =13/2 - 3/5x 2 + x 3 = 3/4 Xl,

X

3 ^

0.

Die entsprechende zulässige Basislösung lautet: (13/2, 0, 3/4). b) Die Anwendung des GAUSS-Algorithmus auf das ursprüngliche Gleichungssystem liefert - unter Verwendung der Pivots (1,1) und (2, 3) - das obenstehende umgeformte System.

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

369

c) Der GAUSS-Algorithmus garantiert grundsätzlich nicht, daß eine zulässige kanonische F o r m erzeugt wird (d.h. möglicherweise kommt es zu negativen rechten Seiten in bezug auf die Restriktionsgleichungen). Aufgabe VI-14 Künstliches Optimierungssystem: y0 =

y1+y2->'min! XJ

+ 2 X 2 — S!

—Xi+ x

i +

x2 x

xl5

+y,

= 9

+s2

= 3

2

-s

x2,

s1;

s2,

+y2 = 5

3

s3,

yl5

y2^0.

Optimale kanonische F o r m des künstlichen Optimierungssystems: y0 1

1

x2

Si

s2

0

0

0

0

X

yi

y2

RS

-1

-1

0

-1

4

s3 0

0

0

1

-1

0

0

0

0

2

1

-3

1

- 2

3

0

0

1

0

1

0

- 2

-1

2

1

1

Zulässige Basislösung des Ausgangssystems: (1, 4). Aufgabe V I - 1 5

x0

Xi

X2

X3

x4

1

0

0

0

7

0

1

0

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

1

1

X

5

*6

RS

25

38

-5 4

- 6

-3 2

7

7

4

1

3

Aufgabe VI-16 Künstliches Optimierungssystem zur Erzeugung einer ersten zulässigen Basislösung des Restriktionssystems: y0 =

yi + y 2

min!

Xj + 2 x 2 + x 3 + Sj, 2χι +

=15

x2

+yi

xt+

x2 + x3

x1?

x2,

x3,

-s Sj,

+ y

2

s2,

y1(

2

=

8

=

8

y2 ^

0.

D e r Simplexalgorithmus (Phase 1) liefert für dieses künstliche System die folgende

370

A n h a n g 1: Lösungen zu den Ü b u n g s a u f g a b e n

optimale kanonische Form: X

1

x2

X3

Sl

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

y0

s2

y2

RS

-1

-1

0

0

-1

7

yi

0

1

1/2

0

0

0

1/2

0

4

0

0

1/2

1

0

-1

-1/2

1

4

Eliminierung der künstlichen Variablen und Aufnahme der ursprünglichen Zielfunktion ergibt: x

x2

3

Sl

s2

RS

0 -3/2

0

0

- 1

12

0

1

1

1/2 1/2

0 0

o

X,

1

0 0 0

0

x

1

1

1

0 0

0 - 1

7 4 4

Die Anwendung des Simplexalgorithmus (Phase 2) ergibt das folgende optimale Tableau: 1

x2

1

0

0

0

0 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

x

o

X

X

3

Sl 3/2

s2

RS

1/2 45/2

1 1 -1/2 -1/2 -1/2 -3/2

7 1/2 1/2

Eine optimale Basislösung des ursprünglichen Optimierungssystems lautet damit (1/2, 7, 1/2). Der zugehörige Ziel wert beträgt 45/2.

Aufgabe VI-17 Optimale kanonische Form 1

x2

1

0

0 0 0

1 0 0

x

o

X

X

3

RS

0

0

12

0 1 0

0 0 1

1 1 2

Das Restriktionssystem (und damit auch das Optimierungssystem als Ganzes) besitzt nur eine Lösung, nämlich (1,1, 2). Zugehöriger Zielwert: 12.

A n h a n g 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

371

Aufgabe VI-18 Nach der Anwendung des Simplexalgorithmus auf ein entsprechendes künstliches Optimierungssystem, der anschließenden Eliminierung der künstlichen Variablen sowie der Aufnahme der ursprünglichen Zielfunktion ergibt sich die folgende kanonische Form: x

o

X

1

χ

2

Sl

s2

RS

1

0

0

-3/4

0

85/2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

-1/4 -1/4 -1/4

0 0 1

55/2 15/2 15/2

Der Zielwert ist unbeschränkt (vgl. Sj-Spalte!). Aufgabe VI-19 Die Anwendung des Simplexalgorithmus auf ein entsprechendes künstliches Optimierungssystem (Phase 1) liefert die folgende kanonische Form (gerundet): 1

x2

Sl

Yi

y2

RS

1

0

0

-0,18

0

-1,47

0,76

0 0 0

1 0 0

0 0 1

0,29 -0,18 -0,06

0 1 0

0,12 -0,47 0,18

2,06 0,76 1,59

y0

X

Der Zielwert ist nicht gleich Null. Deshalb besitzt das Restriktionssystem überhaupt keine zulässige Lösung.

Aufgabe VI-20 Die Simplexmethode liefert das folgende optimale kanonische System: 1

x2

Sl

s2

s3

RS

1

0

0

300

0

50

36.000

0 0 0

0 0 1

1 0 0

1 -2 0

0 1 0

x0

X

-1/2 5/8 1/2

40 25 60

Nach der ausgewiesenen Lösung sollten 60 ME von FPj und 40 M E von FP 2 hergestellt werden. Der zu erwartende Umsatz beträgt dann 36.000 GE. Bei diesem Produktionsprogramm wären die Anlagen A! und A 3 voll ausgelastet, während auf der Anlage A 2 noch 25 Stunden ungenutzt verblieben. Eine zusätzliche Anlagenstunde der Anlage A , würde den Umsatz um 300 GE erhöhen, während eine weitere Stunde von A 3 nur zu 50 GE zusätzlich führt.

372

A n h a n g 1 : Lösungen zu den Ü b u n g s a u f g a b e n

Aufgabe VI-21 Die Simplexmethode liefert folgende optimale Lösung =

Χ*

χ?, = 150

0

x;;=i3o

xi;_

x

50

*=9·400·

Danach sollten die Transporte wie folgt vorgenommen werden:

Abb. V1H-3: Kostenoptimale Transportgütermengen f ü r das Problem aus der A u f g a b e 1-6.

Aufgabe VI-22 a) Nicht optimal, da noch nicht primal zulässig. x0

Xi

X2 x 3

x4

x5

X6

X7

X8

x9

X

1

0

0

0

0

0

0

13

16

0

32

0

1

0

0

0

0

0

0

0

7

1

0

0

0

0

-21

0

0

0

1

0

0

0

-

1

0

0

0

0

1

0

0

-

7

0

-20

1

10

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

-4 3

-

6

Xll

RS

46

6 -5

6

-

8

3

-

4

0

46

-

3

-12

-22

10

16 -

10

3

4

0

14

-

39

7

Θ "

-16

o

-6 1 -3 0 -1

Die möglichen Pivotelemente wurden durch Kreise markiert, die zugehörigen Zielwertänderungen daran vermerkt. Danach ergibt sich die größte Änderung des Zielwertes bei Verwendung des markierten Koeffizienten in der letzten Gleichung. c) Nein, denn es kann nach einem oder mehreren Pivotschritten noch immer eine Gleichung mit einer negativen rechten Seite auftreten, bei der sämtliche Koeffizienten auf der linken Seite nicht negativ sind.

Anhang 1 : Lösungen zu den Übungsaufgaben

373

Aufgabe VI-23 a) x0

X

l

x2

x3

x4

x5

x6

RS

-3

- 2

0

0

0

0

- 2

Θ

1

0

0

-15

1

-1

0

Θ

0

(-2)- -1

- 2

0

1

0

-

0

θ ' °

-2

-1

0

0

1

-20

1 5

1 5

*

x

*

*

5

x3

x4

x5

Xe

RS

0

-1

0

0

15

2

2

-1

0

0

15

0

3

2

- 2

1

0

25

0

2

3

- 2

0

1

10

o

Χι

1

0

0

1

0 0

x2 -1

Das umgeformte System ist primal und dual zulässig. Die ausgewiesene optimale Lösung lautet: (15, 0, 0, 0, 25,

10).

Der optimale Zielwert beträgt 15.

Aufgabe VI-24

x0

Xi

x2

x3

Si

s2

s3

1

3

5

8

0

0

0

0 0 0

1 -1

RS

0

-1

1

1

0

0

0 0

1

0 0

-

-2

0

1

-25

8

0

3

x0

Xi

x2

x3

Sl

s2

s3

RS

1

3

29

0

0

0

8

-200

0

1

2

0

1

0

1

-

33

0 1

0 0

1

0

-

0

-1

14 25

0 0

-1 0

- 2 -3

Θ

(Ausgangstableau)

-14

(Endtableau)

Es existiert überhaupt keine zulässige Lösung (vgl. die erste Restriktionsgleichung!).

374

Anhang 1: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Aufgabe VI-25 X

1

s2

S3

0

0

0

1

0

0

S

1 1

s5

RS

0

0

0

0

0

- 4

1

2

0

-1

-1

0

2

-5

0

1

0

0

0

10

0

5

8

0

0

1

0

0

40

0 0

1 -2

-1 -1

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

1 -6

1

*2

Sl

«2

S3

S4

S5

RS

1

0

0

0

0

0

0

1

-6

0

0

1

- 2

0

0

0

1

2

0

0

0

-12

1

0

0

7

16 14

x

o

X

0

0

0

0

0

0

0

1

0

11 -3 1

0

1

0

-3

0

0

1

2

1

0

0

0

-1

2

O p t i m a l e L ö s u n g des A u s g a n g s s y s t e m s : (2, 2). O p t i m a l e r Zielwert: —6.

(Ausgangstableau)

Ausgewählte Literatur ADAM, Dietrich/WITTE, T h o m a s [1975/1976]: Betriebswirtschaftliche Modelle: A u f g a b e , A u f b a u , Eignung. W I S U , Bd. 4, S. 3 6 9 - 3 7 1 ; S. 4 1 9 ^ 2 3 , Bd. 5, 1 - 5 . ARONOFSKY, J u l i u s S . / D U T T O N , J o h n M . / T A Y Y A B K H A N , M i c h a e l T. [ 1 9 7 8 ] : M a n a g e r i a l P l a n -

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376

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Ausgewählte Literatur

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Sachverzeichnis

Abbildung - lineare 184 - orthogonale 219 Absatzprognose 24ff, 96, 165, 225 ff absolutes Glied 12 Abstand - eines Punktes vom Koordinatenursprung 150f Abstrahieren 6 ff Abstraktion 6 ff Abstraktum 6 Addition - geometrisch 150 - von Matrizen 171 - von Vektoren 112, 150 Adjunkte 250 f Aktivitätsgrad 22 f Aktivitätstabelle 22 Algorithmus - (1) 65 f - (2) 86 - (3) 91 f - (4) 207 f - (5) 260 f - (6) 295 f - (7) 304 f - (8) 309 f - (9) 312 f - (10) 317f - Begriff 5 Alternativbedingung 338 f Annulatormatrix 190 Anordnungsbeziehung 338 Anspruchsniveau 340 äquivalente Gleichungssysteme 52 Assoziativgesetz - bzgl. Matrizen 171, 174, 181 - bzgl. Vektoren 112, 115, 117 aufgelöstes Gleichungssystem 57 Ausgangstableau 58 Austauschschritt 71 Basis 144 - für Menge der Basisvariablen 70 - interne 148 Basisindex 298 Basislösung(en) 48 ff, 67, 68 ff, 71, 92, 283 ff - Anzahl aller 293 - benachbarte 71

- bessere 293 ff - eines linearen Gleichungssystems 67 - künstliche 302 - optimale 286 ff - primal unzulässige 283 - primal zulässige 92, 283 ff - zulässige 92, 283 Basisspalte 146 Basisvariable 48, 68 ff, 145, 285 ff Bedingungen - konjunktive und exakte lineare 337 Begrenzungsebene 80 Begrenzungsgleichung 74 Begrenzungsgerade 74 Beschreibungsmodell 11 Bezugsgröße 165 Bezugsrand 165 Bijektion 236 bipartit 164 Blockdiagonalform 227 Blockzerlegung 227 Boolesche Matrix 227 BV 69 Cosinussatz 152 DANTZIG-Regel 293 ff Datenstruktur 324 ff Definitheit 273 Dekomposition 227, 327 Determinante 236 ff - Begriff 244 Diagonalmatrix 167 Digraph 164 Dimension 109, 147 dist 152 Distributivgesetz - bzgl. Matrizen 174, 181 - bzgl. Vektoren 115, 117 Dreiecksmatrix 169 - normierte 169 - obere 169 - untere 169 Dualität 223 Dualitätstheorie 327 dual zulässig 286ff, 316ff Dünnbesetztheit 227 Ebene für Hyperebene 80 Eigenvektor 267

380

Sachverzeichnis

Eigenwert 267 Eigenwertproblem 266 f eindeutige Darstellbarkeit 137f, 144, 200 Eindeutigkeit der Inversen 200 Einheitsaktivität 21 Einheitsmatrix 168 Einheitsvektor 120, 133 Einsatzgut 19 ff, 93 ff, 176 ff, 220 ff Einzelkriterium 337 Einzelumformungen - lösungsneutrale 53 elementare Matrizenoperationen 193, 209 ff elementare U m f o r m u n g e n 53 Eliminationsfaktor 60 Eliminierung 56 E n t a r t u n g 68 ff, 289, 294, 305, 307 f Entartungsfall 289 E n t f e r n u n g zweier Punkte 152 Entscheidungsmodell 11 Entscheidungssituation 16 Entschlüsselung 66 Entwicklung - einer Determinanten 250 ff erweiterte Koeffizientenzeile 140 Faktor - linker 180 - rechter 180 F A L K s c h e s Schema 178f, 197 Familie von Vektoren 118 F e r t i g p r o d u k t 19 ff, 93 ff, 176 ff, 220 ff Fixierung 14, 16 Form - kanonische 46, 68 ff - optimale kanonische 309 - (primal) zulässige kanonische 299 ff, 304f, 309f, 310ff - quadratische 270 Formalstruktur 6 Formalsystem 6 ff F p q (c) 53, 54f, 187f, 194f Freiheitsgrad 44 f, 51 f, 67 F u n k t i o n von F u n k t i o n 176 Ganzzahligkeitsbedingung 339 GAUSS-Algorithmus - modifizierter 61 ff, 65 ff, 300 gemischtes lineares Restriktionssystem 74 ff geometrische Darstellungen 74 ff, 149 ff gleichdimensioniert 111, 169 Gleichgewichtszustand 25 f, 226 Gleichheitsrelation 111, 169f Gleichung - charakteristische 269 - lineare 13

Gleichungen - zwischen Matrizen 170 - zwischen Vektoren 111 ff Gleichungssystem(en) - äquivalentes 52 - aufgelöstes 57 - homogenes 126 - inhomogenes 126 - inkonsistentes 63 - kanonisches 46 ff - lineares 14, 44 ff, 139 - Lösbarkeit von 44f, 122, 215 - lösungsneutrales 52 - Lösungsvielfalt von 52, 217 - matrizielle Darstellung von 183 - mehrere 72 f - Unlösbarkeit von 44f, 122, 216 - vollständig aufgelöstes 57 - widersprüchliches 63 - zugehöriges homogenes 139 Glied - absolutes 12 - eines Vektors 109 - einer Matrix 162 gliedweise höchstens (mindestens) so g r o ß (klein) 112, 170 G o a l - O p t i m i e r u n g 339 goal p r o g r a m m i n g 339 G o z i n t o - G r a p h 19 G r a p h 164, 340 Grundmenge 4 G r u p p e n e n t s c h e i d u n g 340 Halbebene 74 Halbgerade 76 H a l b r a u m 74, 80 H a u p t d i a g o n a l e 167 Hilfssystem 300 ff Hyperebene 45, 80 identity matrix 168 Indexbasis 70 Inkonsistenz 44, 77 innerbetriebliche Leistungsverrechnung 27, 96 ff inneres P r o d u k t 116, 185 Inverse einer Matrix 198 fT Inversion 237 f Invertierung einer Matrix 207 f kanonische F o r m 46, 68 ff - natürliche 46, 205 - simultane Bestimmung 72 kanonische Zerlegung 121 kanonische Zusammensetzung 121 kanonisches Gleichungssystem 46, 70, 92 - äquivalentes 70 f - natürliches 46

Sachverzeichnis K A R M A R K . A R - A l g o r i t h m u s 340 kartesisch 149 K H A C H I J A N A l g o r i t h m u s 340 Klassenwechsel 239 Knoten - eines Pfeildiagrammes 164 Koeffizient 12 Koeffizientenmatrix 163, 339 - erweiterte 163 Koeffizientenzeile 140 - erweiterte 140 K o f a k t o r 250 f Kombinatorik 236 f K o m m u t a tivgesetz - bzgl. Matrizen 171, 174, 180 - bzgl. Vektoren 112, 115, 117 k o m p a k t 81 Komplexität - mäßige 338 Komplexitätstheorie 340 komponentenfrei 110 Konkretisieren 9 Konvergenzmethode 340 konvex 81, 119, 130, 153, 338 Konvexkombination 119 Koordinatensystem - kartesisches 149 Koordinatentransformation - orthogonale 271 Kreisen 294 K U H N - T U C K E R - T h e o r e m 338 K Z F 305, 309 K Z G 305, 309 KZV 305, 309

Länge eines Vektors 151 lineare Gleichung 13 Lineare (Un)Abhängigkeit 131 ff, 138 lineare Ungleichung 13 lineare Zielfunktion 16 lineares Gleichungssystem 14 lineares Maximierungssystem 18 lineares Minimierungssystem 18 lineares Optimierungssystem 18 lineares Restriktionssystem 13, 41 ff - gemischtes 74 ff Linearkombination(en) - abgeschlossen bzgl. 142 - Begriff der 118ff - konvexe 119, 130 - nichtnegative 119, 129 - (nicht)triviale 120, 132, 206 - normierte 119, 152 - von Gleichungen 124 - von Lösungen 126, 128, 129, 130 - und Gleichungssysteme 121 ff

381

- und gleichgewichtete Ungleichungssysteme 129 ff Linksinverse 206 Linksmultiplikation 190 ff Linksmultiplikator 119 Linksoperator 178 Literaturhinweise 34, 103, 153, 227f, 274, 326 f, 341 f, 375ff Lösbarkeit 44f, 51, 122, 215 - eindeutige 44, 137, 217 - mehrfache 44 Lösung 15 - allgemeine 51, 123, 128 - eines homogenen Gleichungssystems 126, 139 - Nichtexistenz einer optimalen 292 - optimale 17, 286ff, 295 ff, 312ff, 319 - primal zulässige 92, 283 ff . - zulässige 92 Lösungsbereich - abgeschlossener 81 - beschränkter 81 - k o m p a k t e r 81 Lösungsgesamtheit 67 lösungsneutral 52, 81 f, 84 Lösungsvektor 15 Lösungsvielfalt 52, 217 Markierung - des Pivotelementes 58 - der Pivotspalte 58 - der Pivotvariablen 58 - der Pivotzeile 58 M a t h e m a t i k 3 ff Mathematisieren 8 Matrix - addierbare 171 - Begriff der 162 - binäre 227 - BOOLEsche 227 - diagonale 167 - Dreiecks- 169 - dünnbesetzte 246 - Einheits- 168 - elementare 188 - gleichdimensionierte 169 - Inverse einer 199 ff - invertierbare 199 - Invertierung einer 207 f - logische 227 - magere 246 - mit Bezugsrand 165 - nicht singuläre 199 - Null- 172 - orthogonale 219 f, 271 - positiv definite 273 - positiv semidefinite 274

382

Sachverzeichnis

Matrix - quadratische 166 f, 236 - R a n g einer 208 ff - reguläre 199 - Skalar- 167 - Spalte einer 162 - Spaltenrang einer 209 ff - symmetrische 175 - Zeile einer 162 - Zeilenrang einer 209 ff Matrixspiel 341 M a t r i x s t r u k t u r e n 227 Matrizen - Addition von 171 - Linksmultiplikation von 190 ff - Multiplikation von 173 ff - Negation v o n 172 - Rechengesetze bezüglich 171 ff - Rechtsmultiplikation von 190 ff - Relationen zwischen 170 - Subtraktion von 172 Matrizenmultiplikation 20, 175ff - mit speziellen Matrizen 186 ff M atrizenoperation - elementare 209 ff - rangneutrale 209 ff M a t r i z e n p r o d u k t 178 f - Inverse eines 200 f M a x i m i e r u n g s a u f g a b e 17, 285 ff Maximierungssystem 18, 283, 316 Mehrzieloptimierung 339 M e n g e n r e c h n u n g 223 Minimierungsaufgabe 17, 285 ff Minimierungssystem 18, 283, 316 M i n o r 250 f Mischungsoptimierung 3 I f f , 323 ff Modell 11 - deterministisches 338 - falsches 292 - lineares 11 - mathematisches 10 - ö k o n o m a t h e m a t i s c h e s 10 - statistisches 338 Modellformulierung 26 ff M p (c) 53 f, 188, 193 f Multikriteria-Entscheidungstheorie 341 multiobjective p r o g r a m m i n g 339 Multiplikation - einer Matrix mit einem Skalar 173 - eines Vektors mit einem Skalar 114 - von Matrizen 173 ff, 193 ff Multiplikator 119 Nachbartransposition 239 f N a c h m e n g e 164 Nebendiagonale 167 Negation

- einer Matrix 172 - eines Vektors 114 Netzflußanalyse 227 Netzwerk 340 Nichtbasisindex 298 Nichtbasislösung 292 - optimale 292 Nichtbasisspalte 146 Nichtbasisvariable 48, 70, 285 ff, 305 ff Nichtexistenz - einer (primal) zulässigen Lösung 316 - einer optimalen Lösung 292 Nichtnegativitätsrestriktion 13, 87, 282 ff, 299 ff NN-Gleichungssystem 87 ff, 299 ff N N - R e s t r i k t i o n 13, 282 ff, 299 ff N o r m a l e 75 N o r m i e r u n g einer Gleichung 56 N p 0 53, 56, 189f, 196 Nullelimination 53 Nullgleichung 52 Nullmatrix 172 Nullvektor 113 Nullzeile 308 Nutzen theorie - multiattributive 341 n-Vektor 14 Ökonomathematik 4 O p e r a t o r 178 Optimierung - disjunktive 339 - diskrete 339 - dynamische 340 - ganzzahlige 339 - gemischt-ganzzahlige 339 - kontinuierliche 337 - konvexe 338 - mathematische 338 - multiattributive 341 - nichtlineare 338 - parametrische 327, 340 - quadratische 338 - stochastische 340 - unscharfe 340 Optimierungsaufgabe 17 Optimierungssystem, lineares - Begriff 18 - dual zulässiges 286 ff, 316 f - kanonisches 282 ff - künstliches 298 ff, 302 - optimales kanonisches 287 - primal unzulässiges 283 - primal zulässiges 283 ff, 304 f Ordnung - einer Matrix 167 - einer Determinanten 244

Sachverzeichnis Parallelverschiebung 152 Parameter 49 Parameterform - Lösung in 51, 123 Pareto-Optimierung 339 f Permutation 191, 236ff - identische 241 - inverse 241 - (un)gerade 236 f, 240 Permutationsergebnis 236 Permutationsmatrix 190, 237 Permutationsprozeß 236 Pfeilbewertung 164 Pfeildiagramm 164 ff - bewertetes 164 - bipartites 164 - einteiliges 165 - zweiteiliges 164 Pfeilwert 164 Pivot 57, 317 Pivotelement 57, 291 ff, 296, 318 Pivotgleichung 57, 291 ff Pivotieren 56 ff - rangneutrales 213 Pivotmatrix 195, 198 Pivotschritt 57, 59, 289 ff, 317 Pivotspalte 58, 293 3ff, 317 Pivotspaltenindex 289 Pivotvariable 57, 290 ff Pivotzeile 58, 294ff, 317 Pivotzeilenindex 289 Polyeder 81 - konvexes 81 Polygon 81 - konvexes 81 Polytop 81 Position 162 Ρ , , 195 ff, 198 Preisrechnung 223 Primärkosten 28 primal (un)zulässig 32, 283ff, 316ff Problem des Handlungsreisenden 7 Produkt - F a k t o r bei einem 180 - geometrisches 150 - inneres 116, 185 - skalares 116 - von Matrizen 177 ff - von Permutationen 242 - von Transpositionen 242 P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g 29 ff, 98 ff, 320 ff Produktionsprozeß 19 ff Prognosemodell 11 Programmierung - mathematische 326, 338 Prozeßanalyse 19 ff, 93 ff, 176 ff, 220 ff

383

Quadrat - inneres 150 quadratische F o r m - Begriff 270 - einer Matrix 208 f, 214 - eines Systems 147f - positiv definite 273 - positiv semidefinite 274 quantifizieren 8 Randspalte 165 Randzeile 165 R a n g 147 f, 208 ff rangneutrale U m f o r m u n g 209 ff Realstruktur 6 Realsystem 6 Rechengesetze - für das innere P r o d u k t 117 - für Matrizen 171 ff - für Vektoren 112ff Rechentableau 57 - verkürztes 69 rechte Seite 12, 290 Rechtsinverse 206 Rechtsmultiplikation 190 ff Rechtsmultiplikator 119 Rechtsoperator 178 r e d u n d a n t 77 Redundanz - 1. Art 79 - 2. Art 79 Reihe einer Matrix 162 Relation - „= " („g", Relation 111, 170 Restriktion 12 ff - allgemeine 311 - harte 339 - lineare 12 - weiche 339 Restriktionsgleichung 282 ff, 299 ff Restriktionssystem 121 ff, 282ff, 299ff - lineares 13 - gemischtes lineares 74 ff Restriktionsvariable 16, 283 R G 282 ff, 295 f, 304 f, 309 f, 318 R S 290 ff Rückkehrpfeil 166 R u n d e n 339 S A R R U S s c h e Regel 247 Satisfizierung 340 Schlupfvariable 90, 313, 316 schrittweise Entschlüsselung 66 Schwundvariable 87 ff Sekundärkosten 28 Sensitivitätsanalyse 325 Signum 237, 241 ff

384

Sachverzeichnis

Simplexalgorithmus - dualer 316 ff - primaler 292 ff, 295 f Simplexschritt - Begriff 289 - dualer 317 - primaler 289ff Simplextableau - ausführliches 290 simultane Bestimmung einer kanonischen Form 72 Skalarkomponente 109f Skalarmatrix 167 Skalarprodukt von Vektoren 116 Softwarepakete 324 Spaltenbasis 145 Spaltenoperation 192, 209 - elementare 193, 209 ff - rangneutrale 209 ff Spaltenrang 209 ff Spaltenraum 144 Spaltenschreibweise 110 Spaltenvektor 110 Spaltenvertauschung 190f Spiegeln einer Matrix 174 Spieltheorie 340 Struktur 4 Stürzen einer Matrix 174 Substitution - lineare 176 Subtraktion - von Matrizen 172 - von Vektoren 113 Summanden - gemischt-quadratische 271 Summe von Gleichungen 52 Summenschreibweise 14 System 4 - von Vektoren 118 Tableau 57 - benachbartes 71 - linker Teil 72 - rechter Teil 72 - umgeformtes 58 Teilsystem - NN 282 - RG 282 - ZG 283 - ZV 283 T p q 53, 55 f, 188 f Transformation - orthogonale 219 Translation 149 Transponieren von Matrizen 171, 174f Transponierte einer Matrix 171, 174f Transportsystem 327

Transposition - bei einer Permutation 238 - eines Matrizenproduktes 185 - Hintereinanderschaltung 191 - von Gleichungen 53 Transpositionsmatrix 189, 190 Tupel 109 Überschußvariable 89 Umformungen - lösungsneutrale 52 ff, 81 ff, 84 - rangneutrale 209 ff - vom Typ F pq (c) 53, 54f - vom Typ M p (c) 53 f - vom Typ N p 0 53, 56 - vom Typ T pq 53, 55 f Ungleichung - lineare 13 Ungleichungen zwischen Vektoren 111 ff Ungleichungssystem - gleichgerichtetes 84 f, 129 ff - homogenes 126 - inhomogenes 126 Unlösbarkeit 44 f, 122, 216 Unscharfen 338 Unterdeterminante 250 Untermatrix 250 Unterraum 142 - des IR m 142 Variable 12, 16 - binäre 339 - BOOLEsche 339 - freie 48 - gebundene 48 - künstliche 301 ff - logische 339 - nichtnegative 90 ff, 313 - 0-1 339 - unbeschränkte 90 ff, 313 - vek torieile 110 Vektor(en) 15 - addierbare 112 - Begriff 109 ff - charakteristischer 267 - freier 48 - gebundener 48 - gleichdimensionierter 111 - Länge von 151 - Relation zwischen 111 - subtrahierbare 112 Vektoroptimierung 339 Vektorraum 142 ff - abgeschlossener 142 - aufgespannter 142 - erzeugter 142 Vektorsystem 118, 131 ff

Sachverzeichnis Vergangenheitsbetrachtung 22 Vielfaches - einer Gleichung 52 - eines Vektors 114 vollständig aufgelöstes Gleichungssystem 57 vollständige Elimination 66 Vormenge 164 Vorzeichenveränderungsfaktor 261 Wachstum - exponentielles 340 - polynomiales 340 Widersprüchlichkeit 44 Widerspruchsgleichung 216 x B 123

Zeilenoperation 192, 209 - elementare 193, 209 ff - rangneutrale 209 ff Zeilenrang 209 ff Zeilenschreibweise 110 Zeilenvektor 110 Zeilenvertauschung 190f Z F 312f

385

Z G 283ff, 295f, 312f, 318 Zielfunktion - künstliche 302 - lineare 16 Zielgleichung - Begriff 17 - künstliche 302 - modifizierte 283 ff, 301 ff Zielkoeffizient - dual unzulässiger 291 f - modifizierter 283 ff Zielvariable 16 - künstliche 302 Zielvorschrift 18, 283, 301 Zielwert 17, 284 ff - künstlicher 302ff Zielwertgerade 100 Zielwertverbesserung 288 ff, 294 Z u k u n f t s b e t r a c h t u n g 23 zulässig 92, 283 ff Zuordnungssystem 327 ZV 283ff, 295ff, 312f, 318 Zwei-Personen-Null-Summen-Spiel 341 Zwei-Phasen-Simplexmethode 310ff Zwischenprodukt 19 ff, 93 ff, 176 ff, 220 ff

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