Wirtschaftsmathematik in Beispielen: Grundlagen - Finanzmathematik - Lineare Algebra - Lineare Optimierung - Analysis - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Versicherungsmathematik 9783486782103, 9783486202960

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Wirtschaftsmathematik in Beispielen Grundlagen - Finanzmathematik Lineare Algebra - Lineare Optimierung Analysis - Wahrscheinlichkeitsrechnung Versicherungsmathematik Von

Professor Dr. Horst Zehfuß

173 vollständig durchgerechnete Beispiele mit 25 Bildern

2., erweiterte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Zehfuss, Horst: Wirtschaftsmathematik in Beispielen : Grundlagen Finanzmathematik - lineare Algebra - lineare Optimierung - Analysis - Wahrscheinlichkeitsrechnung Versicherungsmathematik / von Horst Zehfuss. 2., erw. Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 1987. ISBN 3-486-20296-0

© 1987 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

ISBN 3-486-20296-0

INHALT 1. G R U N D L A G E N

7

1.1 M e n g e n , S u m m e n und Mittelwerte 1.2 N i c h t l i n e a r e Algebra

7 14

2. FINANZMATHEMATIK

24

2.1 Z i n s e s z i n s r e c h n u n g 2.2 R e n t e n r e c h n u n g 2.3 T i l g u n g s r e c h n u n g

24 26 31

3. LINEARE ALGEBRA

35

3.1 D e t e r m i n a n t e n 3.2 M a t r i z e n 3.3 L i n e a r e Gleichungssysteme

35 39 50

4. LINEARE OPTIMIERUNG

62

4.1 Ungleichungen 4.2 O p t i m i e r u n g s a u f g a b e n

62 65

5. ANALYSIS

70

5.1 5.2 5.3 5.4

70 76 86 89

Funktionen Differentialrechnung Integralrechnung Differentialgleichungen

6. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

91

6.1 K o m b i n a t o r i k 6.2 W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n

91 92

7. VERSICHERUNGSMATHEMATIK

99

7.1 S t e r b e t a f e l , K o m m u t a t i o n s w e r t e und B a r w e r t e 7.2 P r ä m i e n b e r e c h n u n g 7.3 R e s e r v e n b e r e c h n u n g

99 104 107

8. A N H A N G

112

8.1 T a b e l l e n zur F i n a n z - u n d V e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k 8.2 M a t h e m a t i s c h e Zeichen 8.3 Sachverzeichnis

112 115 118

VORWORT [zur zweiten Auflage] Die zweite A u f l a g e w u r d e vor allem durch einen Abschnitt mit Beispielen aus der V e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k ergänzt. Die Beispiele sind aus Ü b u n g s - und P r ü f u n g s a u f g a b e n zu gleichnamigen Fach, das der V e r f a s s e r seit m e h r e r e n J a h r e n l e h r t , hervorgegangen.

VORWORT [zur ersten Auflage] M a t h e m a t i s c h e M e t h o d e n haben in viele B e r e i c h e d e r Wirtschaftswissenschaften E i n g a n g g e f u n d e n . E i n e gründliche m a t h e m a t i s c h e A u s b i l d u n g d e r S t u d i e r e n d e n ist d a h e r von g r o ß e r B e d e u t u n g . Diese kann e r f a h r u n g s g e m ä ß nur durch das selbständige Lösen von A u f g a b e n erreicht w e r d e n . Die vorliegende Beispielsammlung soll dabei eine Hilfe sein. A u s w a h l und Schwierigkeitsgrad d e r Beispiele o r i e n t i e r e n sich an den L e h r i n h a l ten, die für die Fachrichtung Betriebswirtschaft v o r g e s e h e n sind. N e b e n einigen G r u n d l a g e n w e r d e n die Stoffgebiete F i n a n z m a t h e m a t i k , lineare A l g e b r a , lineare O p t i m i e r u n g , Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung b e h a n d e l t . I m A n h a n g sind einige T a b e l l e n zur F i n a n z m a t h e m a t i k b e i g e f ü g t . Die Schreibweise der mathematischen zeichen erfolgt in A n l e h n u n g an D I N 1302: M a t r i z e n sind g e m ä ß D I N 5486 geschrieben. D i e Bezeichnungen in der F i n a n z m a t h e m a t i k sind nicht einheitlich. Wegen d e r hier v e r w e n d e t e n Symbolik wird auf den A n h a n g verwiesen.

1. G R U N D L A G E N 1.1 Mengen, Summen und Mittelwerte 1. Man gebe die Elemente folgender Mengen an: a) Die Menge aller positiven ganzzahligen Teiler der Zahl 30. IM =

{ l ; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 } .

b) Die Menge der Buchstaben des Wortes "WIRTSCHAFTSMATHEMATIK" . M=

{ A; C; E ; F; H; I; K; M; R ; S; T ; W } .

c) Die Menge aller Primzahlen unter 20. M=

{ 2 ; 3; 5 ; 7 ; 11; 13; J7; 1 9 } .

d) Die Menge aller geraden Quadratzahlen unter 100. IM =

{ 0 ; 4; 16; 36; 6 4 } .

2. Gegeben sind folgende Mengen: A =

{ 4 ; 3; 2; 1 } ;

B =

{ 1 ; 3; 5; 6; I i } ;

C=

{ 14; 5; 3; 8; 1 2 } ;

ID =

{ 2 1 ; 17; 6; 5; 1 0 } .

Man schreibe in aufzählender Form a) ( A U B ) D C = { 3; 5 } ; b) ( B O I D ) U A = c)

{ l ; 2; 3; 4 ; 5 ; 6 } ;

C \ ( A O B) = { 5 ; 8; 12; 1 4 } ;

d) (IDn C) \ B = 0 . 3. Man prüfe für die Mengen aus Beispiel 2 nach: a) 3 €

AflC

richtig;

b) 7 i

ID \ B

richtig;

c) d)

AC

( B n C) U ID

falsch;

ID) n ( B \

falsch.

C) = 0

8

/

Grundlagen

4. Gegeben sind die Mengen: A = {3; 6; 10; 25} ; IN A 25 < n 2 < 100 } ;

B = {nl n € C=

| n I n = 2m A m € IN };

D = {xlx2-6x + 8 =0 A x £

R };

IE = { n I n ist positiver ganzzahliger Teiler der Zahl 24 } ; IF = { n I 5 < n < 40 A n ist P rimzahl} . Man prüfe folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit: a)

IFc C

falsch;

b) - 4 € IE

falsch;

c) 5 (£ B

richtig;

d)

ID C IE

richtig;

e)

A D IF = 0

richtig;

f)

IB \ IE = { 7; 9: 10 }

richtig;

g) C U

| n I n = 2m + 1 A m € HST } = IN

falsch.

5. Für die Mengen in Beispiel 4 bestimme man: a)

A O B = { 6, 10 } ;

b)

D n IF = 0;

c)

B U D = { 2: 4; 6; 7; 8; 9; 10 } ;

d)

ku

¥ = {3; 6: 7; 10; 11; 13; 17; 19; 23; 25; 29; 31; 37} ;

e)

A \

C = {3; 25} ;

f)

IN \ C = j n | n = 2m - 1 A m € IN } ;

g)

IE \ B = { 1; 2; 3: 4; 7: 9; 10; 24 } ;

h)

C \ D = | n l n = 2m + 4 A m € IN };

i)

AX

B=

|(3;6); (3:7); (3;8); (3;9): (3:10); (6;6); (6;7); (6 ;8); (6;9); (6:10); (10 ;6); (10 ;7); (10 ;8); (10 ;9); (10;10); (25 ;6); (25 ;7); (25;8); (25;9); (25:10) } .

1.1 Mengen, Summen

und

Mittelwerte

6. Ein Autohändler hat in einem J a h r 163 Wagen eines Typs mit 3 v e r schiedenen Sonderausstattungen verkauft und zwar 63 Wagen mit Schiebedach und Radio, 35 Wagen mit Schiebedach und mit 4 Türen, 40 Wagen mit Radio und mit 4 Türen sowie 29 Wagen mit allen 3 Sonderausstattungen. Insgesamt wurden 92 Wagen mit Schiebedach, 78 mit Radio und 53 Wagen mit 4 Türen verkauft. Wieviele Wagen wurden ohne oder mit nur einer Sonderausstattung geliefert? Aus dem nebenstehenden Mengendiagramm liest man ab: 49 23 4 7

Autos Autos Autos Autos

ohne Sonderausstattung; nur mit Schiebedach; nur mit Radio; nur mit 4 Türen.

7. Man berechne folgende Summen: a)

7 7 2 ( 4 k + 7) 2 = Z ( 1 6 k 2 + 5 6 k + 49> k=0 k=0 7 7 7 = 16 • £ k 2 + 56 • Z k + 49 • Z 1 k=l k=l k=0 = 16 • 7

,, b)

x

C)

d)

8

o

' 1 5 + 56 • ^

® 2k - 1 2 P T i k=l 1 ^ 2 ü k=l

Z k=0

,

k + 1 2

k +1

=

+ 49 • 8 = 4200;

2

1 3 5 5 + 8 + 13 1

1 l

+

+

1 1 6 + 24 2 2

+

3 5

+

+

+

7 2Ö 1 120

+

9 29~

+

4 lö =3"

1 720

1,6200;

=

1237 ~720 **

;

9

10

I.

Grundlagen

8. Man schreibe mit Hilfe des Summenzeichens: 11

a) 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 1] =

£ k=4

4 2 ( 2 k - 1); k=-l

b) - 3 - 1 + 1 + 3 + 5 + 7 =

1 * „ o , 1 1 1 c) 4 + 2 + l + - + v + ^ + -- - + tt^t: = 4 8 1024 2

, d)

. 1 1 1 1 1 1 1 ^ r i T r ^ r r

. 2 3 4 5 6 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + -"-

21

6)

n

i " 9

+

A 16 " 25

+

k=-2

~r ; ok ' z

(-l)k+l

J 2

k=l k = 2 ¥ 7 ! k=2

A L _ Y 36 " " ' " 121 ~

(-i)k-k2 (k + 2)2 '

9. Man berechne die Summe aller ganzen Zahlen von - 123 bis +456. S = £ • (aj + a n ) = ^ Ct

¿t

• (-123 + 456) = 290 • 333 = 96570

oder

•-(?) •..•(;) •MI0) •

1.2 Nichtlineare Algebra 19. Man berechne (2x - 3y) 5 : (2x - 3y)5 = (2x) 5 + ( \ ) • (2x) 4 • (-3y) + (

• (2x) 3 • (-3y) 2

+ ( 3 ) • (2x) 2 • (-3y) 3 + ( 4 ) • (2x) • (-3y) 4 + (-3y)5 = 32x 5 - 240x4y + 720x 3 y 2 - 1080x 2 y 3 + 810xy 4 - 243y 5 .

1.2 Nich

tlineare

A Igebra

15

20. Man gebe die ersten 4 Glieder der binomischen Entwicklung für den Ausdruck (1 +

an.

»•f-GK-GMfl'-CMf)'*„ + .9 +— 28 x oJ + . . . . = ,1 + 3x

21. Man gebe das 5. Glied der binomischen Entwicklung von / 3x 2 \ y

y3 \ +42

11

an.

*/

Das 8. Glied lautet /11\

/3x2\7

/y3,4

y /

\ 2x /

3

\4 )

7.xl4.y12

24

• y7 • x 4

11 • 10 • 9 • 8 3? 1f) x l u • y3 1-2-3-4 24

=

360855 c ln —• xIU • y3.

22. Mit Hilfe der binomischen Entwicklung berechne man näherungsweise a) f)

0,984 5 ,

b)

— U , 1,0454

c) 9,73 3 ,

d)

V84,

e)

V8^6,

_ 2,064 VT~6~,96

Bricht man die binomische Entwicklung nach dem 2. Glied ab, so erhält man (1 ± x) n » 1 ± n x. Für die gesuchten Näherungen ergibt sich dann a)

0,984 5 = (1-0,016) 5 « 1 - 5-0,016 = 0,92; exakter Wert *): 0,9225.

b)

j - j ^ p = (1 + 0,045)- 4 ~ 1 - 4-0,045 = 0,82; exakter Wert *): 0,8386.

*) g e r u n d e t auf 4 b z w . 2 Stellen n a c h d e m K o m m a .

16

1. Grundlagen

c)

9 , 7 3 3 = (10 - 0,27)3

=

10

3 (! .

0,027)

3

1 0 3 (1 - 3-0,027) = 919;

«

e x a k t e r W e r t *): 9 2 1 , 1 7 . 1

d)

V 8 4

= V s T ^ V s i «

V l T J

=3(1 + 1 )

4

^ 3 - ( l

+

| - i )

3,9278;

exakter W e r t * ) :

3,0274. 1

e)

3

v

r

p 6

= V F ^ W «

= V I T - V

= 2 • (1 + 0,07)3 « 2 • (1 + i - 0 , 0 7 )

W

2,0467

e x a k t e r W e r t *):

4

Vl6,96 «

2,0456.

vr16

V T Ö 6

8 • (1 + 4-0,03) •(1 - | - 0 , 0 6 ) »

exakter W e r t * ) :

8,8256;

8,8739.

2 3 . M a n s c h r e i b e i n d e r F o r m a • exp(bx): a)

2,18 • 30,25x-0,67= «

b)

2 ; 1 8

.

e x p

(In 3 • ( 0 , 2 5 x - 0 , 6 7 ) )

2 , 1 8 - e x p ( - 0 , 7 3 6 1 ) - exp(0,27x) «

4,23 • lo-l,37x40,45

=

A

23

,

e x p

(ln

10

1 , 0 4 - exp(0,27x);

. (-i^x+o^s))

sb 4 , 2 3 • exp ( 1 , 0 3 2 6 ) • exp ( - 3 , 1 5 x ) » c)

3,78 • 5 ° >

45x+0

>

76

=

11,88 • exp(-3,15x);

3 ) 7 8 . exp (In 5 • ( 0 , 4 5 x + 0 , 7 6 ) )

« 3 , 7 8 • e x p ( 1 , 2 2 3 2 ) • exp ( 0 , 7 2 x ) «12,84-exp d)

9 , 3 1 • (0,8)!, 25x+3,94

=

9,31 .

« 9 , 3 1 • exp «3,86e)

(0,72x); ex

p (In 0 , 8 • ( l , 2 5 x + 3 , 9 4 ) )

(0,8792) • e x p ( - 0 , 2 8 x )

exp(-0,28x);

4 2 , 6 8 x - 0 , 2 6 . 7 l , 9 8 - 3 , 59x =

ex

p (In 4 • ( 2 , 6 8 x - 0 , 2 6 ) ) • exp(ln 7 • ( l , 9 8 - 3 , 5 9 x ) )

« e x p ( - 0 , 2 6 - I n 4 + 1 , 9 8 - I n 7 ) - e x p ( ( 2 , 6 8 - l n 4 - 3 , 5 9 • I n 7)x) « 3 2 , 8 7 • exp ( - 3 , 2 7 x ) . *) g e r u n d e t a u f 4 b z w . 2 S t e l l e n n a c h d e m K o m m a

1.2 Nichtlineare

A Igebra

17

24. Man bringe in die Form 10 a x + ' 3 : a)

3,4 • exp(-0,3x) = l&S M . 1 0 lg e • (-0,3x) ^

b)

4,71 • 5 0,22x+0,36 =

c)

2 -0,67x+0,16. 1 9 l,31x-7,18 = 1Q lg

1 0 0,53-0,13x.

lg 4,71 . 1 0 l g 5 • (0,22x40,36)»

10

10 0,15x+O,92.

2 • (-0,67x+0,16) . 1Q lg 19 • (l,31x-7,18)

„ jol^x-S.lS^ 25. Man bestimme die folgenden Logarithmen: 3125

^

w

419«

b)

log 2 34 =

c)

log 3 5 = ^

d)

1Og

e)

logo >4 5 3,72 =

f)

logg 0,25 =

0,6

10

!g

55

5-lg 5

« 5,0875; » 1,4650;

=

-4'5076;

ig. 3 72

=

1,6452; "31g~2~ ~ ~ ¥

3 1 g 2

26. Man vereinfache folgende Ausdrücke: 11

n j = £ lg i - 2 • lg v - - • lg w; i=l

:

a)

lg

b)

/ u \ 3/2 In M

c)

log

v2 •

y

3 = --(lnu-lnv);

V ( u v) 3 = | • (logy u + 1).

27. Für die Wachstumsfunktion y = y 0 • exp (kt) liegt folgende empirisch gewonnene Tabelle vor t 0 6 12 18

y

1,31 1,66 1,93 2,28

t

y

t

24 30 36

2,82 3,21 3,89

42 48 54

y

4,48 5,51 6,46

/. Grundlagen

18

Mit Hilfe von logarithmischem Papier bestimme man die Wachstumskonstante k. Durch Logarithmieren der Funktion ergibt sich lg y = lg y 0 + k • t • In 10. lg y hängt also linear von t ab. Trägt man die empirischen Werte von lg y über t auf, so ist - falls eine Exponentialfunktion vorliegt - ein annähernd geradliniger Verlauf zu erwarten. Man kann also eine Ausgleichsgerade einzeichnen, aus deren Steigung sich die Wachstumskonstante k bestimmen läßt. Dazu wird ein Steigungsdreieck gezeichnet. Durch Messung ergeben sich die Katheten a = 24mm; b = 34mm. Dann gilt unter Beachtung der Maßstabsfaktoren =-

MJJ

und My = 90

k =:

•

l n 10 =

24-5-ln 10 34-3-90

0,03. Ig »

:

?4(tim t

34 m•

1

1 i 6 12 18 24 3 0 3 6 4 2 4 8 54 » 28. Für die folgenden Gleichungen bestimme man die Lösungen in der Grundmenge G = 1R. a)

2x 2 + l,8x - 1,04 = 0

Mit Hilfe der Auflösungsformel ergibt sich x

-1,8 ± y/l,82 - 4 • 2 • (-1,04) l;2

=

2 • 2

-1,8 i Vll,56 _ -1,8 ± 3,4 4 " 4 Xl

= 0,4;

x 2 = - 1,3.

Also ist (L = { x | x = 0,4 V x = - 1,3 } .

1.2 Nichtlineare

Algebra

1 + 2 . 9 x + ° , 5 = 5,5 - 3 *

b)

M i t 3 X = u erhält man 1 + 6u 2 = 5,5 u 6u 2 - 5,5u + 1 = 0 u

l;2

=

5,5 + \/5,5 2 - 4 • 6 • 1 12 5,5 + 6,25 12

_ 5,5 ± 2,5 12 '

2 1 1 = 3; "2 = 4 ~ „, , Ii 1 U D a n n folgt wegen x = - — In 3 U

ln3 _ In 2 - In 3 X l

" In 3

In 3

% - 0,3691 und X2

ln 4 In 1 - I n 4 " In 3 " 3

ln 4 ln3 " "

In 2 In~3

1,2619. Demnach ist IL = { x l x w - 0,3691 V x « -1,2619 } . c)

exp (x) + 2 • exp (-x) = 5

Mit u = exp (x) folgt aus dieser Gleichung 2 . u + — = 5. u D a für alle x € IR u ^ 0 ist, kann die Gleichung mit u multipliziert werden. u2 + 2 = 5 u u 2 - 5u + 2 = 0 u

i;2

_ 5 +V52 - 4 - 1 - 2 2 "

Uj % 4,5616;

_ 5 + \/l7 2

u 2 as 0,4385.

5 + 4,1231 2

19

20

1. Grundlagen

Aus x = In u folgt dann x x « 1,5177 und x 2 » -0,8244 und es wird IL = { xl x as 1,5177 V x » -0,8244 } . d)

lg x + In (3x) = 4

Zunächst geht man vom natürlichen zum dekadischen Logarithmus über. lg x + In 10 • lg (3x) = 4. Dann wird lg (3x) zerlegt und umgeordnet. lg x + In 10 • (lg 3 + lg x ) = 4 lg x • (1 + In 10) = 4 - In 10 • lg 3 Auflösen nach lg x ergibt 4 • In 10 • lg 3 = 1 + In 10 "°'8785Daraus erhält man x « 1 0 0 ' 8 7 8 5 «s 7,5596 und es ist IL = { x « 7,5596 }. %

e)

/3\

2x+1

Ii)

/8\3x"2

= (s,

Logarithmiert man beide Seiten der Gleichung, so ergibt sich ( 2 x + l ) . l g | = ( 3 x - 2) - lg |

.

Durch Umordnen folgt x.(2-lg|-3.1g|)=-(2.1g|+lg-|) und nach dem Vereinfachen der Logarithmen 6 • lg 2 - 2 • lg 3 + lg - 3 - 2 • lg 2 2 - l g 3 - 4 -lg 2 - 9 - l g 2 + 3 - l g 3

und daraus

Also ist

IL = j x ss 0,4758 }.

1.2 Nichtlineare

Algebra

29. Mit dem HORNERschema stelle man eine W e r t e t a b e l l e f ü r das P o l y nom P 3 (x) = 0,5x 3 - l , 5 x 2 - 3x + 4 im Intervall [ - 3 , 5] auf.

0,5

-1,5

-3,0

4,0

-1,5

9,0

-18,0

0,5

-3,0

6,0

-14,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

-1,0

5,0

-4,0

0,5

-2,5

2,0

0,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

-0,5

2,0

1,0

0,5

-2,0

-1,0

5,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

0,5

-1,0

-4,0

0,5

-1,0

-4,0

0,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

1,0

-1,0

-8,0

0,5

-0,5

-4,0

-4,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

1,5

0,0

-9,0

0,5

0,5

-1,0

0,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

2,0

2,0

-4,0

0,5

0,5

-1,0

0,0

0,5

-1,5

-3,0

4,0

2,5

5,0

10,0

1,0

2,0

14,0

X = -3

X = -2

X = -1

X =1

X - 2

X =3

X =4

X =5 0,5

21

22

1. Grundlagen

Die Wertetabelle lautet also X

P3W

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-14

0

5

4

0 -4

-5

0

14

30.Gegeben sind 3 Polynome o P2(x) = x + x + 1, P 3 (x) = x 3 - 4x - 3 und P 4 (x) = x 4 - 2x 3 + 3x - 5. Man berechne das Polynom P(x) = (P2(x) + P3(x)) • P4(x). P(x) = ((X2 + x + 1) + (x 3 - 4x - 3)) • (x 4 - 2x 3 + 3x - 5) = (x 3 + x 2 - 3x - 2) • (x 4 - 2x 3 + 3x - 5) = x 7 + x6 - 3x 5 - 2x 4 - 2x 6 - 2x 5 + 6x 4 + 4x 3 + 3x 4 + 3x 3 - 9x 2 - 6x - 5x3 - 5x 2 + 15x + 10 = x 7 - x 6 - 5x 5 + 7x 4 + 2x 3 - 14x2 + 9x + 10.

31. Man gebe ein Polynom mit den Nullstellen x i = 1,8; X2 = 0,5 und Xg = - 3,2 an. Das Polynom kann als Produkt von 3 Linearfaktoren geschrieben werden. P 2 (x) = (x - 1,8) • (x - 0,5) • (x + 3,2) = (x2 - 2,3x + 0,9) • (x + 3,2) = x 3 + 3,2 x 2 - 2,3 x 2 - 7,36 x + 0,9 x + 2,88 = x 3 + 0,9 x2 - 6,46 x + 2,88. Jedes Polynom P ^ x ) = a • P 3 M mit a G (R \ { 0 } hat dieselben Nullstellen.

32. Man gebe das Polynom mit den Nullstellen x j = -3; X2 = 1 und X3 = 2 an, dessen graphische Darstellung die y-Achse bei y = 3 schneidet. Der Ansatz P 3 (x) = a(x - xi) • (x - x 2 ) • (x - X3) = a(x + 3) • (x - 1) • (x - 2)

1.2 Nichtlineare

Algebra

= a(x 2 + 2x - 3) • (x - 2) = a(x 3 - 7x + 6). Wegen P3(0) = 3 ergibt sich a = i und damit f ü r das gesuchte Polynom 1 •} 7 P 3 (x) = - x 3 - - x + 3.

33. Man bestimme die Nullstellen des Polynoms P 3 (x) = 7 x 3 - x 2 - 21 x + 3. Die Nullstellen sind die Lösungen der algebraischen Gleichung 7 x 3 - x 2 - 21 x + 3 = 0. Durch Probieren findet man xi = i . 7 Das HORNER-Schema ergibt 7

-1

-21

3

0-21

7

0 2

Aus der quadratischen Gleichung 7 x - 2 1 = 0 erhält man die Lösungen X2 = V^3

un

d

X3 = - > / 3 .

Also ist die Menge der Nullstellen IM = {x | x = y V x = y/3 V x = -

V3}-

34. Man gebe den Quotienten der Polynome P 5 (x) = x 5 - 2 x 3 + 4 x 2 - x + 6 und

P 2 (x) = x 2 - 6 an.

(x 5 - 2 x 3 + 4 x 2 - x + 6) : (x 2 - 6) = x 3 + 4 x + 4 -x5

(-) 6 x 3 4 x3 + 4 x2 - x -4 x3

(-) 24x 2

4 x + 23x + 6 -4 x 2

(-) 24 23 x + 30

5

3

2

x - 2x +4 x - x +6 q „ „ 23 x + 30 ¡5— = x J + 4 x + 4+ s x2 - 6 xl - 6

23

2. FINANZMATHEMATIK Bemerkung: Im Anhang sind Tabellen mit den Potenzen der Auf- und Abzinsungsfaktoren sowie der Endwerte vorschüssiger Prämien und der Barwerte nachschüssiger Renten enthalten.

2.1 Zinseszinsrechnung 35. Eine Schuld kann nach 10 Jahren mit einer Zahlung von 24 000.-DM abgelöst werden. Wie groß ist der Barwert, wenn der Zinssatz 5 1/2 % p . a . beträgt ? Mit v =

= 0,94787 ergibt sich

KQ = v n • K n = 0,94787 1 0 • 24000 « 14050,33. Der Barwert beträgt demnach 14050,33 DM.

36. Ein Kapital von 30000.-DM wird mit p j = 4% p . a . verzinslich angelegt. Nach 3 Jahren steigt der Zinsfuß auf pg = 5% p . a . . Welche Summe steht nach 8 Jahren zur Verfügung ? n

Das Endkapital ergibt sich aus der Formel K n = KQ • r j wobei r i = 1 + Pi

l

n2 • r2

,

und n = n j + n2- Demnach wird

K 8 = 30000 • 1,12486 • 1,27628 « 43069,09. Nach 8 Jahren steht die Summe 43069,09 DM zur Verfügung.

37. Ein Kapital werde n j = 4 Jahre lang mit p i = 6% p . a . und weitere n2 = 3 Jahre lang mit P2 = 6,5% p . a . verzinst. Welcher gleichbleibende Zinsfuß p erbringt bei 7-jähriger Verzinsung das gleiche Endkapital? Der gesuchte Zinsfuß wird aus der Beziehung

^•r-HKo-r^.rA

2.1 Zinseszinsrechnung

25

mit n = n j + n2 b e s t i m m t . Aus n r" = rj

n

l

n? • i"2 ^

folgt r =

7

V / 1 ^ 0 6 4 • 1,0653 «

1,062.

A l s Zinsfuß ergibt sich demnach p s» 6,2% p . a . .

3 8 . B e i welchem Zinssatz wächst ein Kapital in 12 J a h r e n von 3 6 0 0 . - D M auf 5 0 0 0 , - D M a n ? Aus

Daraus ergibt sich der Zinssatz i = r - 1 « 0,028, d . h . p » 2,8% p . a . .

3 9 . E i n Kapital von 1 5 6 0 0 . - D M wird zu 8% p . a . v e r z i n s l i c h angelegt. Nach wieviel J a h r e n ist ein Guthaben von 5 7 7 0 0 . - D M vorhanden? Aus K n = KQ • r 11 folgt durch Logarithmieren lg K N - lg KQ _ 0 , 5 6 8 1 _ lg r ~ 0,03342 ~

'

Das Guthaben von 5 7 7 0 0 . - D M ist also nach 17 J a h r e n vorhanden.

4 0 . E i n e Anlage im Anschaffungswert von 1 8 0 0 0 . - D M wird mit einem B e trag von 30% des Buchwertes j ä h r l i c h abgeschrieben. W e l c h e r Buchwert liegt nach 5 J a h r e n v o r ? Die vorliegende d e g r e s s i v e Abschreibung entspricht e i n e r Abzinsung mit dem F a k t o r 0 , 7 . Mit Buchwert B 0 = 1 8 0 0 0 . - D M zum Anschaffungszeitpunkt ergibt sich Bg = 0 , 7 5 • 18000 « 3 0 2 5 , 2 6 . D e r Buchwert nach 5 J a h r e n beträgt 3025,26 DM.

4 1 . E i n e Anlage vom Anschaffungswert B 0 = 8 6 0 0 0 . - D M soll j ä h r l i c h mit 25% vom Buchwert abgeschrieben werden. Nach wieviel J a h r e n ist ein Schrottwert von 11 0 0 0 . - D M e r r e i c h t ?

26

2.

Finanzmathematik

Der Buchwert nach n J a h r e n ist B n = 0,75 n • B 0 . Die Laufzeit n ist so zu bestimmen, daß die Ungleichung B n < 11000 erfüllt ist. Aus B 0 • 0,75 n < 11000 folgt nach Logarithmierung n • lg q < lg ^ ^ ^ . Wegen lg q < 0 erhält man 86000 also f ü r n die Ungleichung g

^

11000 86000

-0,8931 „

3000

^

_

Die Rentenhöhe beträgt demnach 5926,24 DM.

47. Der und 12.

Eine Rente R = 1300.-DM wird 12 Jahre lang vorschüssig eingezahlt. Zinssatz beträgt zunächst 5% p . a . , nach 3 Jahren fällt er auf 4% p . a . vier Jahre später steigt e r auf 6% p . a . . Welche Summe ist am Ende des Jahres vorhanden?

Wenn alle Zahlungen auf das Ende des 12. J a h r e s datiert werden, ergibt sich K = R-((sgj

• 1,04 + s^j

) • 1,06° + sg]

)

= 1300-((3,3101-1,16986 + 4,4163)-1,33823 + 5,9753)^ 22187,65. Die angesparte Summe beträgt 22187,65 DM.

48. Eine 10 Jahre lang vorschüssig zahlbare Rente von 2000,-DM soll so umgewandelt werden, daß 5 Jahre lang die Rente R und anschließend 5 Jahre lang 60% dieser Rente zu zahlen sind. Wie hoch ist R, wenn mit 5% p . a . verzinst wird?

28

2.

Finanzmathematik

Aus der Relation 2000 aföl= R • a5j+ 0,6 • R • ag) -v ö folgt wegen a„i = r • a ^ afÖl ajjj

R = 2000

1 l+0,6v5

2000- 7,7217 4,3295-(l + 0,6-0,78353)

»

2426,35.

Die Rentenhöhe beträgt 2426,35 DM.

49. Eine Rente R von 1800. - DM wird 16 J a h r e lang vorschüssig eingezahlt. Am Beginn des 4. Jahres werden einmalig 7000.-DM und vom 12. bis 15. J a h r jeweils 3000.-DM zusätzlich vorschüssig eingezahlt. Wie hoch ist die Zeitrente R * , die bei einer Verzinsung mit 4% p . a . vom Beginn des 20. Jahres an 12 J a h r e lang gezahlt werden kann? Alle Zahlungen werden auf den Beginn des 20. Jahres datiert. 31 - •

Dann ergibt sich R • sfg] • r

3

30- - R*

+A•r

16

+ s|j • B • r

4

= aj2]

R*

und daraus _ R • sfß| • r 3 + A • r 1 6 + B • S4I -r4 R* = a

12l

_ 1800- 22,6975 -1,12486 + 7000 • 1,94790 + 3000-4,4163 -1,16986 9,3851 • 1,04

20 - • R " 19- - R * 18- 17- 16- -

«7693,39.

15 - - R 14 - - R+B

Die Zeitrente R*

hat den Betrag 7693,39 DM.

13 - - R - B 12 - - R + B 11 • - R + B 10- - R 9"" R 8 - - R 7 - - R 6- - R 5 - R 4 - - R 3--R+A 2--R 1 - - R O-L R

2.2

Rentenrechnung

29

50. Eine Schuld soll durch 8 vorschüssige Jahresraten getilgt werden. Die 1. Rate beträgt R = 4 000.-DM ; die folgenden Raten steigen jeweils um 5%. Mit welcher Zahlung kann die Schuld sofort abgelöst werden, wenn als Zinssatz 6% p . a . vereinbart werden? Die Raten bilden eine vorschüssige Zeitrente mit geometrisch steigenden Beträgen. Für den Barwert erhält man (VA)—, = R + R • q • v + R • q 2 • v2 + . . . + R • q " " 1 • v n " 1 = R • 1 " (q ' v ) " . n l 1- q •v Mit q = 1,05 und v = 0,94340 ergibt sich dann 4000

1 - (1,05-0,94340)8 1 - 1,05 • 0,94340

» 3 0 963,53. Die Schuld kann durch eine Zahlung von 30963,53 DM sofort abgelöst werden.

51. Die Schuld aus Beispiel 50 soll durch 8 Jahresraten getilgt werden, die jährlich um einen festen Betrag steigen. Man bestimme die jährliche Steigerung der Raten, wenn der Zinssatz ebenfalls 6% p . a . beträgt? Die Raten bilden eine arithmetische Folge. Mit der Differenz D ergibt sich f ü r den Barwert dieser Zeitrente (IA)j^| = R + (R + D) • v + (R + 2 D) • v 2 + . . . + (R + (n - 1) • D) • v n " 1 = R • (1 + v + v 2 + . . . + v"" 1 ) + D • (v + 2 v 2 + 3 v 3 + . . . + (n - 1) • v"" 1 ) = R a

n+fr^

=R

n + f -( a ni - n - v 1 1 - 1 ) .

a

• (v'aHl " n-vn).

Auflösen nach D ergibt D = i . ( I A ) ^I ~ R " a "l . ajj] - n . v n " 1 Mit dem Barwert (IA)g] = 30 936,53 DM gemäß Beispiel folgt wegen agj = v • ag] = 1,06 • 6,2098 = 6,5824 für die Differenz '

'

30 963,53 - 4000 • 6,5824 6,5824 - 8-0,66506

»220,33. Für die jährliche Steigerung der Raten ergibt sich 220,33 DM.

30

2.

Finanzmathematik

52. Eine Summe von 36 900.-DM soll in 4 Raten gezahlt werden. Jede Rate soll 80% der vorangegangenen betragen. Man bestimme die Höhe der einzelnen Raten. Die Raten bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten q = 0,8 und der Summe S = a j + ajq + ajq2 + ajq^. Aus der Summenformel S = ai •

1 - q4 1- q folgt ai = S • - — M i t l-q J-q^

a«1 = 36900

4 q = — ergibt sich 5

l-45 125 — = 36900 • — = 12500,-DM. 256 369 "625

Somit erhält man 12500.-DM + 10000.-DM + 8000.-DM + 6400,-DM = 36900,-DM.

53. Eine Schuld soll durch 5 Zahlungen in Höhe von 1200.-DM jeweils am 1.1.1978, 1979, 1982, 1983 und 1984 getilgt werden. Später wird vereinbart, daß die Rückzahlung durch 3 gleichbleibende Raten am 1.1.1979, 1980 und 1981 erfolgen soll. Wie hoch müssen die neuen Raten festgesetzt werden, wenn 6% p . a . Zinsen berechnet werden? Man bestimmt für beide Zahlungsweisen den Barwert am 1.1.1978. Durch Gleichsetzen der Barwerte erhält man eine Formel für die gesuchte Ratenhöhe R * . Zahlungsweise 1: B j = R • (1 + v + v 4 + v 5 + v 6 ) Zahlungsweise 2: B 2 = R * - (v + v2 + v3) = R*-a5|. Aus B j =

ergibt sich 1.1.1984 - - R

t,* l + v + v4+v®+v® R* = a 3] 1 + 0 94340 = (-^6730

+

_ ,1+v • R =( «3l

°'83962) '

1200

*

q, _ + v"3) • R 1.1.1983 - - R

188°.°°-

1.1.1982 • - R

Die Raten müssen also 1880, -DM betragen.

1.1.1979 - - R

1.1.1978 - 1 - R

R

2.3 TUgungsrechnung

2.3 Tilgungsrechnung 54- Ein Darlehen von 14 0 0 0 . - D M soll in 12 J a h r e n getilgt werden. Welche j ä h r l i c h e n nachschüssigen Zahlungen sind bei 6% p . a . Zinsen zu l e i s t e n ? A A TT . ..., . K 14000 Aus A • afgH = K e r h a l t man A = — = 8,3838 0nl

1669,89.

Die jährlichen Zahlungen b e t r a g e n 1669,89 DM. 55. F ü r ein Darlehen von 3 0 0 0 0 . - D M sind 8% Zinsen und 2% Tilgung v e r e i n b a r t . Man stelle einen Tilgungsplan auf. Jahr

Restschuld

Am Ende des J a h r e s zu zahlende

k

zu Beginn des Jahres DM

Zinsen

Tilgung

DM

DM

1 2 3 4 5

30000 29400 28752 28052 27296

2400 2352 2300 2244 2184

600 648 700 756 816

6 7 8 9 10

26480 25598 24646 23618 22507

2118 2048 1972 1889 1801

882 952 1028 1111 1199

11 12 13 14 15

21308 20013 18614 17103 15471

1705 1601 1489 1368 1238

1295 1399 1511 1632 1762

16 17 18 19 20

13709 11806 9750 7530 5132

1097 944 780 602 411

1903 2056 2220 2398 2589

21

2543

203

2543

Am Ende des 21. J a h r e s wird demnach eine Zahlung in Höhe von 203 DM + 2543 DM - 2746 DM fällig.

31

32

2.

Finanzmathematik

56. Bei der Tilgung des Darlehens in Beispiel 55 werde der Zins zu Beginn des 12. J a h r e s auf 10% p . a . heraufgesetzt. Wie ändert sich die Tilgungsdauer bei gleichbleibender Annuität? Die Schuld von V] j = 20013 DM kann als neues Darlehen aufgefaßt werden. Dann gilt Vn=A-affl. Man berechnet Vn 20013 « = —r" = ^ r = 6,6710. A 3000 ' Aus der Relation l-v 11 aiil = v l - v

l-vn i

kann n so bestimmt werden, daß a=

l-v 1 1 i

wird. Man erhält wegen l - v n = i a über v n = 1 - i o durch Logarithmieren "

_ - lg(l - i g ) lg r

- l g ( l - 0,1 • 6,6710) _ 0,4777 _ lg 1,1 ~0,04139 ~

' •

Die Tilgungsdauer erhöht sich demnach um 2 J a h r e .

57. Bei der Tilgung des Darlehens in Beispiel 55 wird zu Beginn das 5. Jahr e s eine außerordentliche Tilgung von 8 000, -DM geleistet. Um wieviel J a h r e wird die Tilgungsdauer verkürzt? Wegen der außerordentlichen Tilgung beträgt die Schuld zu Beginn des 5. Jahr e s 19 296 DM. Wie in Beispiel 56 bildet man v 4 19 296 °t = ~ r = = 6,4320 A 3 000 '

und erhält n

_ - lg (1 - 0,08-6,4320) ^ 0,3139 " lg 1,08 ~ 0,03342 ^

' '

Durch die außerordentliche Tilgung wird die Tilgungsdauer um 8 Jahre verkürzt. 58. F ü r die Tilgung einer Hypothek werden als Anleihezins 8% p . a . und als Tilgungssatz 3% vereinbart. Man bestimme die Tilgungsdauer der Hypothek.

2.3 Tilgungsrechnung

Aus den Relationen K = A • a ^ und A = (i + j) • K folgt 1 = (i + j) n

l-v l-v man für arn = v = ' l-v 1 Vn - 11

1

11

=J

1+]

33

Setzt

, so erhält man durch Auflösen nach v n r.

1+3

Durch Kehrwertbildung wird daraus 1 +i rn _ j Nach dem Logarithmieren folgt wegen r = 1 + i =

lg(i + j) - lg j lg(l + i) '

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt n =

lg 0,11 - lg 0,03 lg 1,08

-0,9586 - (-1,5229) 0^0334

Die Tilgungsdauer beträgt demnach 17 Jahre.

59. Eine Hypothek in Höhe von 40 000, -DM wird mit einer Annuität von 8000,-DM getilgt. Mit welcher Summe kann die Hypothek zu Beginn des 4. J a h r e s abgelöst werden, wenn ein Zinssatz von 9% p . a . vereinbart i s t ? Man stellt einen Tilgungsplan bis zum Beginn des 4. J a h r e s auf: Jahr k

1 2 3 4

Schuld Vk-1 40000 35600 30804 25576

Zinsen Z

k

3600 3204 2772

Tilgung R

k

4400 4796 5228

Das Darlehen kann zu Beginn des 4. Jahres durch eine Zahlung von 25576.-DM abgelöst werden. Mit der Formel V k _ j = V j - R j - igTi) ergibt sich V 3 = 40000 - 4400 • 3,2781 «s 25576,36.

60. Für ein Darlehen von 25000,-DM werden 7% p . a . Zinsen und eine Annuität von 3000.-DM vereinbart. Man bestimme die Tilgungsdauer.

34

2.

Finanzmathemalik

Aus der Relation A • ajj] = K kann n bestimmt werden, indem man den Quotienten a = - r bildet und n aus Tabelle 4 so bestimmt, daß ajj) < a < ön+TlA

Analog kann n aus der Tilgungsformel Vk = V0 • rk - A •

= V 0 - R j • ä jü

bestimmt werden durch die Ungleichung V0 « n l < R ^ < sHTll • Im vorliegenden Beispiel wird « = ^ - 8 , 3 3 3 3 . 3000 Aus Tabelle 4 entnimmt man a 12] = 7 > 9 4 2 7 u n d

a13l

= 8,3577.

Die Tilgungsdauer beträgt demnach 13 Jahre.

3. LINEARE ALGEBRA 3.1 Determinanten 61. Determinantenberechnung 1 1 2

a)

2

2 -2 1

1

-3 1 2

=

0 -1 1

0 -2 1

= -3

-1 1

l . Z + 3.Z • (-2) Entw. nach der l . Z -3 • (-1 - 1 - 1 (-2)) = - 3 b)

2 3 16

1 2 5

2 -1 1

8 3 19

=

0 -1 0

1. Z + 2 .Z • 3. Z + 2 .Z 39 = 8 • 7 - 5 • 19 c)

9 2 -6

-6 2 18

3 - 12 - 12

9 38 30

=

Entw. nach der 3.Sp.

- 6

= 3

-22 - 6

2. Z + 1 Z • 3. Z + 1 Z • = 3 • (38 • (-6)

19

38 30

-22 -6

Entw. nach der 3. Sp.

30 • (-22)) =

62. Nach der Regel von SARRUS berechne man die Determinante 7 -4 -3

D= -1

Man bildet ein Zahlenschema aus den Elementen der Determinante und ihren ersten beiden Spalten

5 -2 - 1

3

7

X X

-4 -

3

X 3

X

\

8 1

3

\

5 -2

36

J. Lineare

Algebra

Der Wert d e r Determinante ergibt sich dann gemäß D = 3 • (-2) • (-3) + 5 • (-4) • (-1) + 7 - 8 - 3 - 7 • (-2) • (-1) - 3 • (-4) - 3 - 5 • 8 • (-3) = 348. 63. Man bestimme den Wert der Determinante -7 2

D=

- 1

-11 3 - 1

1

9

a) durch Entwicklung nach Unterdeterminanten b) durch Nullenerzeugung. a) Entwickelt man alle vorkommenden Determinanten nach der 1. Zeile, so ergibt sich 3 1 5 2

-7 -11 2 3 -1 -1 1 9

-8 2 5 = 3 • -1 2 1 1 4 i

3 -1 9

5 2 4

-(-7) •

1 5 2

3 -1 9

5 2 4

1 5 2

2 -1 1

5 2 4

-(-8) •

1 5 2

2 -1 1

3 -1 9

-11-

-1 3 - 2

+7 -11

+ 8

= + + = =

2

9

4

-1

2

9

4

-1

2

1

4

-1

-1

1

9

-1 -3 •

-3 • -2 •

-2 •

1

4

5

2

2

4

5

2

2

4

5

-1

2

-1

2

9

+5 •

1 5

+5 • -5 •

2 5 2 5

+3•

2

3-[2 • ((-1) -4 - 9 • 2) - 3 • ((-1) • 4 - 1 • 2) + 5 • ((-1) - 9 - 1 • (-1)) | 7-[((-1) • 4 - 9 • 2) - 3 • (5 - 4 - 2 • 2) + 5 • (5 -9 - 2 • (-1))) ll-[((-l) • 4 - 1 • 2) - 2 • (5- 4 - 2 -2) + 5 • (5 • 1 - 2 • (-1))] 8 [((-1) - 9 - 1 -(-1)) - 2 - (5 - 9 - 2 -(-1)) + 3 - (5 • 1 - 2 - (-1)) 1 3 • (2 • (-22) - 3-(-6) + 5 • (-8)) + 7 • (-22 - 3 • 16 + 5 • 47) 11 • (-6 - 2 • 16 + 5 • 7) + 8 • (-8 - 2 • 47 + 3 • 7) 3 • (-66) + 7 • 165 - 11 • (-3) + 8 • (-81) = 342.

J. 1

Determinanten

b)

D

3

-7

-11

-8

-52

4

-11

-30

1

2

3

5

16

-1

3

11

5

-1

-1

2

0

0

-1

0

2

1

9

4

47

-8

9

22

1. Sp + 3. Sp • 5 2.Sp + 3.Sp • (-1) 4.Sp + 3.Sp • 2 52

4

-30

12

4

16

-1

11

0

-1

0

47

-8

22

-81

-8

-66

Entw. nach 3 . Z

14

l . S p + 2.Sp -16 3.Sp + 2.Sp • 11

12

14

-81

-66

=

-6 •

6

7

27

22

= - 6 -(132 - 189) = 342.

64. Man berechne den W e r t der Determinante

D

4,368

11,114

1,768

-2,134

-9,306

-2,009

7,216

5,135

-0,413

Nach der SARRUSschen Regel ergibt sich D =

4,368 • (-9,306)

(-0,413)

+ 11,114 • (-2,009)- 7,216 +

1,768 • (-2,134)

5,135

+ (1,768 • (-9,306) • 7,216 +

4,368 • (-2,009) • 5,135 11,114 • (-2,134)

(-0,4131)

-9,714.

65. Man bestimme x 6

D =

IR so, daß die Determinante

2

0

0

5

1

0

-1

0

0

3

X

3

3

1

-2

0

den W e r t Null hat.

37

38

D=

.?. Lineare

0 0 3 1

0 1 0 0

Algebra

2 -1 x 1

5 0 3 0

l . Z - 2.Z • 2 4. Z - 2.Z • 3 -2 3 - x 0

=- 1

Entw. nach der 1. Sp 2 x 1

5 3 0

= - ( - D - l1 - ö2 - X

l.Sp - 2.Sp

5

O

Entw. nach der 3

= - 2 • 3 - (3 - x) 5

- 21 + 5 x. 21

Demnach hat die Determinante f ü r x = — den Wert Null. 5 66. F ü r welche Werte von k hat die Determinante D=

1 2+k

2-k -7

den Wert Null? D = (2 - k) • (2 + k) + 7 = 4 - k 2 + 7 = 11 - k 2 k 2 - 1 1 = 0 ergibt k1 = V ^ «

3,3166 und k 2 = - v^TT « -3,3166.

67. Man löse die Gleichung 1 X 2

x -1 3

2 X 1

= 13

Zunächst berechnet man die Determinante durch Entwickeln nach der 1. Zeile -1 3

X 1

-X •

X 2

X 1

+ 2 •

= - 1 - 3x - x • (x - 2x) + 2 • (3x + 2) = - 1 - 3x - x 2 + 2x2 + 6x + 4 = x 2 + 3x + 3 Wegen x 2 + 3x + 3 = 13 ist die quadratische Gleichung x2 + 3x - 10 = 0 zu lösen.

X 2

-1 3

3.2 Matrizen

39

E s ist x j = 2; X2 = - 5 . Die Einsetzprobe bestätigt 1

2

2

-1

2

3

= 13

und

Die Lösungsmenge lautet daher

-5 -1 3

2

-5 1

= 13.

IL = j (xj;x2) | (xi;x2) =(2;-5)}

3.2 Matrizen 68. Für die einspaltigen Matrizen a und b bestimme man Summe, Differenz und Skalarprodukt sowie die Linearkombination C = 3 a - 4 b . a)

a • b = 1 - 0 + 4 - 3 + 1 - 6 + (-2) • 7 + 5 • (-11) = -51; /3 - 1 /3 4 C =[ 3 1 \ 3 • (-2) \3 • 5

-4-0 -4-3 -4-6 - 4- 7 - 4 • (-

40

3. Lineare

Algebra

a • b = 2 - 3 + (-3) • 7 + 1 • (-4) = - 19; 3•2 3 • (-3) 3• 1

c)

a

b = 5- 4 + ( - 2 ) - 8 + 1 - (-9) + 6 • 2 = 7 ; -1 -38 39 10

3• 5 C =

3- (-2)

3 •1 3•6

69. Man prüfe nach, ob die gegebenen einspaltigen Matrizen linear unabhängig sind.

a)

Man berechnet den Wert der Determinante, deren Spalten aus den Elementen der einspaltigen Matrizen gebildet werden. Dann wird 1 3 2 -1 1 2

3 -8 7

=

0 0 -1

5 3 2

10 6 7

=

5• 3'

0 0 -1

1 1 2

2 2 7

= 0,

1.Z + 3.Z 2.Z + 3.Z • 2 da die Determinante 2 gleiche Zeilen hat. Also liegt lineare Abhängigkeit vor.

3.2

b)

4!)

3

Hier wird 3

-1

0

-1

-1

3

8

3

-4

1

-1

1

= - (-1)'

l . S p + 2.Sp • 3

-1

Entw. nach der 1. Z

3.Sp + 2.Sp = - ( 8 • 1 - (-1) • 5) = - 69. Demnach sind die 3 einspaltigen Matrizen linear unabhängig.

c)

Die Determinante lautet jetzt

2

-5

8

8

0

1

8

0

14

-6

-3

0

14

-6

-1

3

0

2

-1

3

0

7

9

1

19

0

30

1

1. Z + 3. Z • 2 4. Z + 3. Z •7

(-1) •

8

1

8

-3

14

-6

19

30

1

=

0 - 115

1

0

14

-118

221

30

-239

-

Entw. nach

l . S p + 2.Sp - (-8)

der 2.Sp

3.Sp + 2.Sp • (-8)

-115

-118

115

118

-221

-239

221

239

= - (115 - 2

- 221

118) = - 1407.

Die 4 einspaltigen Matrizen sind linear unabhängig.

Matrizen

41

42

3. Lineare

Algebra

70. Man bestimme a so, daß a • b = 0. a)

a • b = a - 5 + 2 -13 + 3 ' 3 = 5 a + 35 5 a + 35 = 0 a =- 7 b)

a b

= 4 • ( - a ) + (-5) - (-2) + 2 a • 5 + 1 • (-7) = - 4 a + 10 + 10 a -7 = 6 a +3 6 a +3 = 0

71. Man bestimme a so, daß die einspaltigen Matrizen a , b und c linear abhängig sind:

;

"" (4) " Lineare Abhängigkeit liegt vor, wenn die Determinante, deren Spalten aus den 3 einspaltigen Matrizen gebildet werden, den Wert Null hat. Für die Determinante D=

1 -a 2

2 5 -3

-7 -4 21

= 1 • 5 • 21 + 2 • (-4) • 2 + (-7) • (- a ) • (-3) + 2 • ( - a ) • 21 + (-7) - 5 - 2 ) = 105 - 16 - 2 1 a - (-42 a -70 + 12) = 147 + 2 1 a . Also folgt aus der Forderung 147 + 21 a

(1 " (-4) • (-3)

= 0 der gesuchte Wert

3.2 Matrizen

72. Für die Matrizen

\ 1

und

7 - 9 /

/ 10 1 \-l

B =

2 -5 3

4\ 2 I 8/

bestimme man die Summe A + B und das Produkt A • B . Die Matrizen werden elementweise addiert und man erhält A + B =

/ 14 -4 \ 0

4 -2 10

1\ 8 . -1 /

Für die Elemente Cjj der Matrix C = A • B gilt 3 = Z k=l

a

i k ' b kj •

Zur praktischen Berechnung ist eine schematische Anordnung von Vorteil 10 1 -1

2 -5 3

4 2 8

45 -53 26

-11 -7 -60

-4 34 -54

B =

A =

-4 -5 1

2 3 7

-3 6 -9

Jedes Element von C ist dann das Skalarprodukt der Zeile von A und der Spalte von B, in deren Kreuzungspunkt es steht. So wird beispielsweise c 1 2 = - 4 - 2 + 2 • (-5) + (-3) • 3 = - 1 1 .

73. Matrizenmultiplikation

43

44

J. Lineare

d)

4

\

2

.(1

Algebra

-13

5) =

9 /

/4

-32 -16 -72

2

\9

20 10 45

74. Für die Matrizen aus Beispiel 72 bestätige man die Relation (A • B ) T = B T • A T Nach Beispiel 72 ist

(AB)T =

/ 45 -11 \

-4

-53 -7 34

26 -60 - 54

Wegen ( 10 BT

= | l

2

4

1 -5 2

"1\ 3 8/

und

A

T

=

/4

\-3

-5 3 6

6 -3 1

-11 0 9

2

wird ( 45 B T . A T = | -11 \ -4

-53 -7 34

26 \ -60 -54 / ,

womit die Relation bestätigt ist.

75. Für die Matrizen

B

1 2 4

C = bestätige man die Gültigkeit des distributiven Gesetzes (A + B) • C = A • C + B • C und des assoziativen Gesetzes der Mulitplikation (A • B) • C = A • (B • C). Wegen

A +B =

/4 0 \ 8

5 2 3

-4\ 4 3/

J. 2 Matrizen

-13 -13 54

1 21 -26

0 26 42

und B

C =

/ 68 -20 ( 3-11 \ -9 3

64\ -14 19/ .

Die Addition der beiden Matrizen bestätigt das obige Ergebnis. Aus 29 24 V -16

28 -23 12

30 58 -98

1 138 ( A - B ) - C =| -157 i l 332

-28 -3 -120

339 -122 114

-20 -11 3

64 -14 19

/

A B = ergibt sich

und aus / 68 B

C =

3

\ -9

nach Multiplikation von links mit A erhält man dasselbe Resultat. 76. Gegeben ist die Koeffizientenmatrix 2 -1 0 0

-1 2 -1 0

0 -1 2 -1

0 0 -1 2

und die einspaltige Matrix für die rechten Seiten

45

46

3. Lineare

Algebra

Man bestimme die Lösung x des Gleichungssystems Ax = r. 9 2xi " x 2 - x j + 2x2 " x 3 = "9 = -X2 + 2x3 " 0 - X3 + 2x4 = 11. Durch Einsetzen ergibt sich aus den ersten 3 Gleichungen X2 = 2 x i - 9 x 3 = - X 1 + 2 (2xi - 9) + 9 = 3xi - 9 x4 = -X2 + 2x3 = -2xi + 9 + 2 (3xi - 9) = 4xi - 9. Mit Hilfe der letzten Gleichung erhält man daraus -X3

+ 2x4 = - 3xi + 9 + 2 ( 4 x l - 9) = 5xi - 9 = 11.

Das ergibt 4 Xj = 4, x 2 = - 1,

X3 = 3,

x 4 = 7 und als Lösung x = 7

77. Man schreibe das Gleichungssystem 3 x i + 2 x 2 = 40 x i - 5 X2 = -15 in Matrizenform und bestimme die Lösungen mit Hilfe der Kehrmatrix.

Aus

folgt mit

3.2 Matrizen

78. Man löse die Matrizengleichung AX + X = B für ^

( 3

=

5)

Und

( 8

B =

9^

Und

bestätige

durch Matrixmultiplikation. (A + E) X = B X = (A + E ) " 1 • B . Mit „

„

( 5 3

A + E =

6 6

erhält man mit det (A + E) = 12

( A + E ) - 1

=

_6 / 12

_6 ~12 \

_3 " 12

_5 ) 12

[

1 =

/

2

1 2

\

1 4

A 12

Daraus ergibt sich die Lösung

X=(l

jM 8

4

12

Zur Probe bildet man

12

und bestätigt

2

9) =

9

12

-9-

2

das

Er

gebnis

47

48

3. Lineare

Algebra

79. Mit Hilfe der CRAMERschen Regel berechne man die Kehrmatrix X der Matrix A = aus der Matrizengleichung A- X = E . E s sind 3 Gleichungssysteme zu lösen, deren rechte Seiten durch die Spalten der Einheitsmatrix gebildet werden. Zunächst wird die Nennerdeterminante D bestimmt: 1 1 2

D = det A =

1 1 4

-2 -1 -5

=

1 1 4

0 0 2

-2 -1 -5

2.Sp + l.Sp • (-1)

=

-

2

1

-2

1

-1

- 2 • (1- (-1) - 1 - (-2)) = - 2

Entw. nach der 2. Sp Die 1. Spalte der Kehrmatrix erhält man aus dem Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix A und der 1. Spalte der Einheitsmatrix als rechter Seite. Nach der CRAMERschen Regel ergeben sich als Zählerdeterminanten

-2

-1 -5

Di

-1 -5

=

1 • (-5) - 4 . ( - 1 ) = - 1

Entw. nach der l.Sp D2 =

- (1 - (-5) - 2 •(-!)) = 3 Entw. nach der 2.Sp

D3 =

1 1 2

1 1 4

1 0 0 Entw. nach der 3.Sp

1-4-2-1 =2

3.2 Matrizen

49

Also erhält man X 1 1 =

Dl -1 D" = Z2 2 D

_ 3 -2

D X

21

=

X

31

=_

D

D

1 = I

=

3 =

3 " 2 5

=

2 Z2

;

=

, '1-

In gleicher Weise werden die beiden anderen Spalten der Kehrmatrix bestimmt. Sie lautet

X = A-1

1 2

3 2

1 " 2

3 "2

1 2

1 2

-1

1

0

80. Man bestimme den Rang folgender Matrizen. Durch Nullenerzeugung unter der Hauptdiagonale bildet man ranggleiche Matrizen, deren Rang direkt ablesbar ist. a)

Man erhält nacheinander folgende Matrizen ' 3 1 , 3

-1 0 0

4 11 33

' 3 1

-1 0 0

4 11 0

3 . Z + 2.Z • (-3)

3 1 0

4 11 0

Vertauschen der 1. und 2. Spalte

v 0 -1 0 0

2.Z + l . Z • 2 3.Z + l . Z • 2

Da det A verschwindet, aber

-1 0

/ 0 ist, hat die Matrix A den Rang 2.

50

3. Lineare

Algebra

b) ,-9 -2 3 V 4

14 5 1 7

e r erhält man -24 -8 0 -8

9 3 0 3

5 2 1 4

l.Sp + 3.Sp • (-3) 2.Sp + 3.Sp • (-1)

0 0 0 -8

0 0 0 3

-7 -2 1 4

1.Z + 4.Z • (-3) 2.Z + 4 . Z • (-1)

-8 0 0 0

3 0 0 0

4 -2 1 -7

Vertauschen der 1. und 4. Zeile

Die vorliegende Matrix hat demnach den Rang 2. c) A =

/ 5 6

1 -8

4 3

\ 2

-2

1

Durch ranggleiche Umformung ergibt sich die Matrix -3 0 0

9 -2 0

4 3 1

l.Sp + 3.Sp • (-2) 2.Sp + 3.Sp • 2

Also ist der Rang der Matrix 3.

3.3 Lineare Gleichungssysteme 81. Durch Elimination bestimme man in der Grundmenge ® = (R3 die Lösungen des Gleichungssystems x i + X2 X 1 +x2 " 2xi+ 4x2" ' 2x2-

2x3 = 3 x 3 =4 5x3 = 9 x3 = - 1 x3 = 3

1. Gl - 2. Gl 3. Gl - 1. Gl • 2

Lineare

Gleit-hungssysteme

51

Daraus erhält man X3 = 1 und x2 = 3. Durch Einsetzen in die 1. Gleichung folgt x i = 3 - 3 + 2 - 1 = 2 IL = { ( x l ; x 2 ; x 3 ) | (xj; X 2 ; x 3 ) = (2; 3; 1) } .

82. Man löse das Gleichungssystem 3 XJ + 2 x2 + X3 = 6 x i - X3 + x 3 = 5 - 2 x j + 4 X2 - x 3 = -10 in der Grundmenge (E = R 3 mit Hilfe der CRAMERschen Regel.

D =

3 1 -2

2 -1 4

1 1 -1

1 -1 -2

=

6 3 4

0 0 -1

1.Z + 3.Z 2. Z + 3.Z 6 D, = 5 -10

2 -1 4

1 1 -1

6 3 4

3 1 -2

6 5 -10

1 1 -1

-4 -5 -10

0 0 -1

3 1 -2

2 -1 4

6 5 -10

5 0 2

=

2 -1 4

Dl D

-18

-9

2:

=

1 -1

16 0 10

-4 = -(l-(-5)-(-l)-(-4))=9 -5

D2 "d~

16

10

= -(5-10-(2-16))=-18

Entw. nach der 2. Z

l . S p + 2.Sp 3.Sp + 5 • 2.Sp xi

= -(-4-3-(-5)-6)=-18

Entw. nach der 3.Sp

1.Z + 3.Z 2.Z + 3.Z Do =

= - (l-3-(-1)-6)=-9

Entw. nach der 3.Sp

1 -1 -2

=

1 -1

0I 0 -1

1.Z + 3.Z 2.Z + 3.Z d2 =

-1

Entw. nach der 3.Sp

-4 -5 -10

=

=

-9

= -1;

Do

-18

xq = — = — -Q = 2 -9 D -

Damit wird die Lösungsmenge IL = { ( x i : x 2 ; x 3 ;) | ( x i ; x 2 ; x 3 ) = (2; -1; 2) } .

52

J. Lineare

Algehra

83. Man bestimme die Inverse der Matrix

\-5

6

4/

mit dem Austauschverfahren nach STIEFEL *). Man führt 3 Austauschschritte durch, wobei die Elemente der Hauptdiagonale nacheinander Drehelement (Privotelement) sind. Es ergibt sich folgendes Schema:

1. Schritt:

2. Schritt:

3. Schritt:

Also wird A-1 =

(

~5

\

-10

-10 23 -47

-1 \ 2 -4 /

84. Das Gleichungssystem 2 xj X

X2 +

X3 = 0

1 + 2 X2 -

X3 = - 2

-3xj +

X2 - 2 X3 = - 2

* ) vgl. E . S t i e f e l , E i n f ü h r u n g in die n u m e r i s c h e M a t h e m a t i k , S. 1 6 f f .

3.3 Lineare Cleichungssysteme

53

soll mit dem Austauschverfahren nach STIEFEL gelöst werden, wobei die Diagonalelemente nacheinander als Drehelement (Pivot) genommen werden sollen. Dazu wird das Gleichungssystem in der Form Y1 = 2 X] y2 =

x2 +

x3 - 0

xx + 2 x2 -

X3 + 2

y3 = - 3 x ! +

x 2 - 2 x3 + 2

geschrieben mit den Hilfsvariablen y{. Durch 3 Austauschschritte werden nacheinander y j und x j , y 2 und x 2 sowie y 3 und x 3 ausgetauscht. Dazu bildet man folgendes Schema

1 -3

-1 3 1

1 -1 -2

0 2 2

Für den 1. Austauschschritt wird a j j als Drehelement gewählt und es ergibt sich

Die beiden folgenden Austauschschritte liefern dann

54

3. Lineare

Algebra

Nach 3 Austauschschritten lautet das System x

3 1 11 . i = 4 y i + 4y2 + 4 y 3 - 1

x

5 1 3 , 2 = - ¿ y i + 4 y2 - ^ y 3 + 1

Durch Nullsetzen der Hilfsvariablen yj erhält man die Lösung des Gleichungssystems IL = { ( x j ; x 2 ; x 3 ) | (xir X 2 ; x 3 ) = ( - 1 ; 1; 3 ) } .

85. Gegeben ist das Gleichungssystem xj - 2 x2 = -4 3 xi -

=

3

a) Man löse das System rechnerisch und zeichnerisch . b) Wie ändern sich die Lösungen, wenn die 2. Gleichung 3xi " ®x2

=

3

lautet? c) Welches Ergebnis erhält man, wenn anstelle der 2. Gleichung das Dreifache der 1. Gleichung genommen wird ? a) Nach der CRAMERschen Regel ergibt sich D

°1

=

1 3

\\

|~3

-il g

= ! • ( - ! ) -3 -(-2) =5

=

"4 '

(1)

" 3'("2)

= 10

= 1 • 3 - 3 • (-4) = 15

3.3 Lineare Gleichungssysteme

Im xix2-Koordinatensystem wird durch jede Gleichung eine Gerade festgelegt, nämlich X2 = g X 1

+

2

und x2 = 3x! - 3

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden geben die Lösungen des Gleichungssystems an. b) Das Gleichungssystem lautet X 1 " 2x2 = 3 x j - 6x 2 = 3

Für die Nennerdeterminante ergibt sich hier D

1

-2

3

-6

= 1 • (-6) -3 • (-2) = 0

Das Gleichungssystem ist demnach nicht lösbar. Die Geraden laufen parallel und haben keinen Schnittpunkt.

55

56

3. Lineare

c)

Algebra

X j - 2x2 = - 4 - 6X 2 = -12

3x1

Beide Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar. Die Koordinaten aller Punkte der Geraden sind Lösungen des Gleichungssystems.

86. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x l + X2 + X1

X3 = u

x2

x3

" + = v 2x x + x 2 - X3 = w x i - x 2 - 3x 3 = 1

Durch Elimination der Variablen x j bis X3 bestimme man w als Funktion von u und v. 1. Gl + 2. Gl 1. Gl - 3. Gl 1. Gl + 4. Gl

2 x j + 2X3 = u + v - x i + 2x3 = u + w 2x^ " 2x3 = u + 1

3xi = v - w 4xj = 2 u + v + 1 v-w ~3~ v

"

2u +v +1 4 3 /

=

w

=

4 (u + v + l ) 3 4

3 4

3 4

w = - 7 (3 u + v + 3)

87. Man prüfe nach, ob folgende Gleichungssysteme eindeutig lösbar sind: a)

xi 7xi -5xi 19xi

- 2x2 + 5x 3 + 3x4 = 23 + x 2 ~ 2x3 - X4 = 14 " 5x2 + 12x3 + 5x4 = 31 " x 2 " 1 6 x 3 " 3 x 4 = -35

3.3 Lineare Gleichungssysteme

1 7 -5 19

-2 1 -5 -5

5 -2 12 -16

-37 26 -100 19

3 1 5 -3

0 0 0 -1

37 -18 92 -16

9 -2 20 -3

1 . Z + 4 . Z • (-2) 2.Z + 4.Z 3. Z + 4 . Z - ( - 5 )

-37 26 -100

37 -18 92

9 -2 20

Entw. nach 2. Sp 0 8 8

37 -18 92

0 0 -8

9 -2 20

l . S p + 2. Sp

9 18 > 20

2. Z + 3. Z 9 18

37 74

= - (-8)

37 74 92

Entw. nach l . S p = 0,

= 8-37-9

b)

also nicht eindeutig l ö s b a r .

3xi - x2 + X3 = 6 x j + 5x2 - 13 X3 = - 2 7 x3 = 7 4 x j + 2x2 -

D =

3 1 4

-1 5 2

1 -13 -7

=

0 16 10

-1 5 2

0 -8 -5

l . S p + 2.Sp • 3 3 . S p + 2. Sp

= - (-D •

16

10

Entw. nach 2 . S p

= 0, also nicht eindeutig l ö s b a r .

57

58

.?. Lineare

c)

Algebra

x j + 2x2 -

X3 = «2 + x 3 = - 3 5 x j + x2 + = -16 2x->

1 2 5

D=

1 1 3

2 -1 1

1 3 8

=

2 1 7

-1 0 0

2.Z + l . Z 3.Z + l . Z 3 = - 13, also eindeutig lösbar.

= (-D Entw. nach 3. Sp

88. Man bestimme a , ß

und 7 so, daß die Beziehung

gilt. Die gesuchten Werte a, ß und 7 müssen das folgende Gleichungssystem erfüllen: 6a 5a -q

- 20 + 90 +80 460 490

+ 37 +10 7 - 47 - 217 - IO7

= 34 = 37 = -35 = -176 =-138

(1.G1 + 3.Gl • 6) ( 2 . G l + 3.Gl- 5)

Mit der CRAMERschen Regel folgt daraus -

176 138 46 49

-21 -10 - 21 -10

46 49 46 49

-176 -138

1138 569

(-176) (-10) - (-138) • (-21) 46 - (-10) - 49 • (-21)

und 7 =

-21

46 • (-138) - 49 • (-176) 569

2276 569

-10

Durch Einsetzen in die 3. Gleichung erhält man a = 35 + 8 - (-2) - 4 - 4 = 3 .

= 4

,i..f Lineare Gleielumgssysii'nie

59

89. Gegeben ist das homogene Gleichungssystem 3x1 - x 2 + x j + 2x2 " a x j - 7x2 +

x2 = 0 ®x3 = ® 13x3 =

Man bestimme a e R so, daß das System auch nichttriviale Lösungen b e sitzt und gebe die Verhältnisse der Lösungen zueinander an. Zunächst wird der Wert für a bestimmt, für den die Koeffizientendeterminante verschwindet. D=

-1 2 -7

3 1 a

1 -5 13

0 7 a-21

=

-1 2 -7

0 -3 6

7

-3

a-21

6

= - (-D

= 7 • 6 - ( - 3 • (a -21)) = 42 + 3a - 63 = 3a - 21 Aus D - 0 folgt 3a = 21 bzw. a = 7 . Nach Division durch x-j lautet das Gleichungssystem 3 1 +2

Ü? XI

+

« = 0 Xj

x2

x3 - 5 — =0 X1 X1

7 - 7-- + 1 3 ^ xi xi

=0.

x2 x3 Mit dem Bezeichnungen u = — und v = — lauten die ersten beiden Gleichungen X1 X1 3 - u +v =0 1 4 2u - 5v = 0

mit den Lösungen u = ^

und v o

=--. o

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist demnach IL - { ( x i : x 2 : x 3 )| (xy, x 2 : x 3 ) = (3X; 1 6 X ; 7 X ) A X G IR } . 90. Mit dem GAUSSschen Algorithmus löse man das lineare Gleichungssystem 7,21 x j + 2,66 x 2 - 8,47 x 3 = 10,51 3,42 x i - 0,86 x 2 4 3,77 x 3 = 18,62 - 1 , 87 x j 4 1,41 x 2 4 4,93 x 3 = - 5 , 4 3 in der Grundmenge G = IR 3 . Aus den Koeffizienten und den rechten Seiten wird ein Rechenschema aufges t e l l t . In der 5. Spalte werden die Eliminationsfaktoren notiert. Zur Rechen-

3. Lineare

60

Algebra

kontrolle w e r d e n in Spalte 6 die Z e i l e n s u m m e n m i t g e f ü h r t . Die 7. Spalte dient d e r Z e i l e n s u m m e n p r o b e . Z u r Vermeidung von Rundungsfehlern wird eine Schutzstelle angefügt; bei Quotienten werden 4 Stellen nach dem Komma mitgenommen. Die Elimination ergibt

(1)

(2)

(3)

(4)

-8,470

7,210

2,660

10,510

3,770

3,420

-0,860

18,620

-3,770

3,209

1,184

4,678

4,930

-1,870

1,410

-5,430

-4,930

4,197

1,548

6,629

(6)

(5)

11,910

0,000

24,950

0,000

5,301

0,000

-0,960

0,000

6,118

6,933

0,000

0,324

23,298

30,251

0,000

2,327

2,958

0,688

5,973

0,000

- 2,327

-0,114

-8,178

-10,618

0,001

2,844

-7,490

-4,645

0,001

-8,470

'

4,930 "-8,470 ~ ° < 5 8 2 1

- l ' Z -

0

'

3

*

1 0

Die Elimination l i e f e r t also das gestaffelte Gleichungssystem -8,470 x x + 7,210 x 2 + 2,660 x 3 » 10,510 6,629 x 2 + 0,324 x 3 as 23,298 2,844 x 3 « -7,490 F ü r die Unbekannten e r h ä l t man d a r a u s xo «s J X

2 ^

xi *

(7)

- 7,490 r - 1 — s » -2,6336; 2,844 ' 23,298 - 0,324 • (-2,6336) „ „,„„ ! 6 ^ ^ 3'6443; 10,510 - 7,210 • 3,6433 - 2,660 • (-2,6336) ! 1 * 1,0334.

Die Rundung auf 2 Stellen nach dem Komma ergibt als Lösungsmenge IL = { ( X l ; X 2 ; x 3 ) I ( x i ; X 2 ; x 3 ) = ( » 1 , 0 3 ; » 3 , 6 4 ; « - 2 , 6 3 ) } .

J.J Lineare

Gleichuiigssysteme

61

91. Von einer F i r m a liegen folgende Umsatzzahlen in Mio. DM vor: Jahr 1970 Umsatz 33

1971 58

1972 67

1973 72

1974 85

1975 106

1976 119

Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimme man eine Ausgleichsgerade u = c^t + C2 (1970 = t =0), die die Umsatzentwicklung wiedergeben soll. Setzt man die Wertepaare (t^; Uj) in die lineare Funktion u ein, so erhält man das überbestimmte lineare System der Fehlergleichungen C2 C

2 3 4 5 6

1

cj cj cj cj cj

+

c

33 = v j =

2 "

+ c2 + C2 + C2 + c2 + Cg

-

67 72 85 106 119

v

2

= v3 - V4 = V5 = V6 = vy

In Matrizenschreibweise lautet das System A• c - u =v Durch Multiplikation mit der transponierten Matrix AT ergibt sich daraus das System der Normalgleichungen 91 ci ^ 21 C2 = 1992 21 c i + 7 c 2 = 540. Nach der CRAMERschen Regel werden dann 1992 540

21 J7

121

7]

91 21 91 21

1992 540 21 7

Tin

2i|

1992 - 7 - 540 - 21 91 • 7 - 212

und 91-540 - 21 • 1992 91 • 7 - 21 2

Als Ausgleichsgerade erhält man also u = 13,3 t + 37,3.

4. LINEARE OPTIMIERUNG

4.1 Ungleichungen 92. Für die folgenden Ungleichungen soll die Erfüllungsmenge in der Grundmenge 5 ixl

Es müssen die beiden Ungleichungen ^ > 5 und

> 5 erfüllt sein, also

x < -1 und, x > - -1 . Damit wird

Die linke Seite muß negativ sein. Also muß 4 x + 1 < 0 bzw. x < Durch Multiplikation der Ungleichung mit 4 x + 1 folgt 1 > - 3 ( 4 x + 1). Auflösen nach x ergibt 1 x>-3Die Erfüllungs menge wird dann

c)

3 x +8< 7 - 5x .

Wegen 8 x < - 1 erhält man

1

sein.

4.1 Ungleichungen

d)

63

12 x - 6 l < 11 - 3 x.

Die Ungleichung ist für alle x erfüllt, die den Ungleichungen 2 x - 6 < 11 - 3 x und - (2 x - 6) < 11 - 3 x genügen. 17 Aus der e r s t e n Ungleichung folgt x < — , aus der zweiten x < 5. 5 Also ergibt sich iE = | x | x < 17 - A x € >R } . e)

2-0,5x
6, d . h . o

E = { x | x > 6 A x e « } .

9 3 . Ein Verlag stellt von einem Buch eine Auflage von 8 000 Stück h e r . Die Herstellungs- und Vertriebskosten betragen 96 0 0 0 , - D M . Wie groß muß der Ladenverkaufspreis p sein, wenn 2% der Auflage als Werbeexemplare abgegeben werden und ein Gewinn von 32 0 0 0 , - D M erzielt werden s o l l ? p wird aus der Ungleichung 0 . 9 8 - 8 000 p > 96 000 + 32 000 b e s t i m m t . E s wird 7 840 p >

128 000 und

128000 P > — ^ ^ 7 840

1

_

16,33. '

Der Ladenverkaufspreis muß demnach mindestens 16,33 DM betragen.

64

4. Lineare

Optimierung

94. Man skizziere die Erfüllungsmengen für die folgenden Ungleichungssysteme: a)

x i - 3 X2 < 6 4 x i + X2 < 3

b)

2 x i - X2 < 2 3 x j + 2 X2 < 5 x1 > 0 x2 > 0

c)

- 2 xi + 6 X2 > 3 5 xi + 2 X2 < 12 2 xj > 1 x2 < 2

- XI + 2 x 2 < 1 3 x j + 4 x2 < 6 " X1 - 3 x 2 < 3

4.2 Optimierungsaufgaben 95. Man bestimme zeichnerisch und rechnerisch das Maximum der Zielfunktion Z = 2 x j + X2 unter den Nebenbedingungen - 2 xi xi xj 2 xj

+ 2 X2 < + 2 X2 < - 2 x2 < - X2
0

x2 > 0

66

4. Lineare

Optimierung

Der zulässige Bereich für x^ und X2 kann als Erfüllungsmenge der Nebenbedingungen graphisch ermittelt werden. F e r n e r wird die Gerade Z = 0 eingezeichnet. Die Parallele zu dieser Geraden, die den größten Abstand vom Ursprung hat und mindestens 1 Punkt des zulässigen Bereichs enthält, gibt das Maximum der Zielfunktion. Der Schnitt1 9 punkt der Geraden X2 = - ^ x j und X2 = 2 x j - 5 ist demnach der optimale ¿t

¿t

Punkt.

Das Ausgangstableau für die Simplex-Methode *) lautet X

1

3 x4

-2 1

x

x

5 x 6

x

ch.Q.

2

0) 2

2 2 -2 -1

5 9 1 5

+2

+1

0

9 1 5 2

* ) vgl. L. C o l l a t z u n d W. W e t t e r l i n g , O p t i m i e r u n g s a u f g a b e n , S. 2 5 f f .

4.2 Optimierungsaufgaben

x x

3 x4 X x

x

1 6

3

x4

5

x

ch.Q.

2

2 -1 1 -2

-2 4 -2 (2)

7 8 1 3

-2

+5

2

x

x

5

2 3

CD

9

27 2

4 "3

4

12 T

3

i "3

2 3

A

2

2 3

1 3

4 '3

5 3

x

ch.Q.

6

x

3

2 "5

6 5

37 5

x

5

3 5

4 "5

12 5

X

1

1 's

2 5

19 5

2

2 's

1 5

13 5

4 5

3 5

51 5

x

1

2 3

1

x4

2

ch.Q.

6

X

67

F ü r x j = — = 3,8 und X2 = — = 2,6 e r r e i c h t die Zielfunktion demnach ihren 51 maximalen Wert von Z = — = 10,2.

68

4. Lineare

Optimierung

96. Zwei Erzeugnisse werden auf drei Maschinen gemäß folgender Tabelle bearbeitet: Maschine 1 Erzeugnis 1 Erzeugnis 2

Maschine 2

16 min. 8 min.

12 min. 16 min.

Maschine 3 4 min. 24 min.

Der Verkaufspreis beträgt 10 DM für das Erzeugnis 1 und 25 DM für das Erzeugnis 2. Welche Produktionszahlen müssen bei einer wöchentlichen Arbeitszeit von 40 Stunden gewählt werden, wenn der Erlös maximal werden soll? Es ist das Maximum der Zielfunktion Z = 10 x i + 25 X2 mit den Nebenbedingungen 16 x j + 8 x 2 12 x i + 16 x 2 4 x j + 24 X2 xi X2

< < < > >

2400 2400 2400 0 0

gesucht. Die Simplex-Methode ergibt dann

X

x

+ 10

+25

X

x

5

1

44 3

3

2 +

ch.Q.

2

8 16

2400 2400 2400

300 150 100

0 ch.Q.

5 1 3

1600

1200 11

2 "3

800

1200 14

1 6

1 24

100

600

35 ~6

25 " 24

2500

x4 x

x

16 12 4

x 3 x4 x

1

4.2 Optimierungsaufgaben

x

x4

x5

11 7

5 7

2400 7

1

3 28

1 14

600 7

2

1 56

3 56

600 7

5 ~8

5 "8

3000

3

A

x

69

ch.Q.

Es ist demnach x j = X2 =

85,7. Für die ganzzahligen Produktionszah-

len erhält man durch Runden Erzeugnis 1: 86 Stück Erzeugnis 2: 85 Stück. Der Erlös wird dann 2985.- DM. Durch Einsetzen überzeugt man sich davon, daß bei anderer Rundung die 3. Nebenbedingung verletzt wird.

5. ANALYSIS 5.1 Funktionen 97. F ü r die folgenden Funktionen gebe man die maximal mögliche Definitionsmenge D und die Wertemenge W an und skizziere den Funktionsverlauf. a) y = ^ x - 1; D = R; W = R;

b) y = x 2 - x - 2; D = R; \W = {y | - 2.25 < y < o o A y € R ) ;

5.1 Funktionen

c)

y = x 3 - I x3 - 1 I : Y

ID = [R: \W = I y I -oo
x N

Kommutationswerte

x-Nx+n Dx

'x+l 'x

=

. I . r

Nx+1

= D

~ N x +nerhält x+1

m a n

~Nx+n , j Dx+1

Daraus folgt wegen D x = l x • v x und r • v = 1 nach Multiplikation mit D x die Gleichung Nx ~~ N X + n

=

Nx+1

Nx_)_n + D x , woraus sich die Gültigkeit ergibt.

_

1 5 3 . Man bestimme den Barwert einer n-jährigen Risikoversicherung, bei der die Versicherungssumme jährlich um ^ fällt.

D e r zu bestimmende Barwert | n A x wird durch die Äquivalenzgleichung D

x"lnAx

n-Cx + ( n - l ) - C x + i +

+ 2• C x + n _ 2 + 1 • C x + n _ !

bestimmt. Ausführlich aufgeschrieben erhält man D

x'lnAx

= cx + cx+l +

+ cx+n-2 +

+ Cx + C x + i +

+Cx+n_2

+ CX + C X + 1 + CX = Mx -

Mx+n

+ Mx-M

+ M

x

x + n

-M

+ Mx-M

_i

x + 2

x +

i

und daraus D x • lnÄx = n • Mx - (Rx -

Rx+n)

A l s o lautet der Barwert x '

_ x

n

Mx-(Rx-Rx+n) d 7 ~ •

•

c

x+n-l

104

7.

Versicherungsmalhemalik

7.2 Prämienberechnung 154. Ein 29-j ähriger schließt eine lebenslängliche Todesfallversicherung mit abgekürzter Beitragszahlung bis zum 60. Lebensjahrab. Man berechne den ausreichenden Jahresbeitrag für die Versicherungssumme 25000, - DM. Kosten: a = 35%, ß = 3%, y = 4%. Aus den Barwerten A29 = 316,969%., a29 = 23,4508 und a29:3TI = 19,6479 ergibt sich a Px

_ 316,969 + 35 + 4-23,4508 0,97-19,6479

23 390/

'

°°-

Der ausreichende Jahresbeitrag wird dann JB = 25 • 23,390 = 584,75 DM.

155. Man berechne die ausreichende Einmalprämie und die ausreichende Jahresprämie in Promille für eine gemischte Versicherung mit dem Eintrittsalter 34 und dem Endalter 65. Kosten: a = 35%>, ß = 3%, y = 5%o. Es gilt A ^ / J f ] = A34.3YI + a + Y a 34:3ll

Mit A

A34:1T1 = 440,458%

und

834.Jf| = 19,2110 erhält man

f4:3Tl = 440,458 + 35 +5-19,2110 = 571,513% und 571

P

34:3T1 = 0,97-19,2110

=30 669%o

-

-

156. Für eine Risikoversicherung mit dem Eintrittsalter 27 und der Dauer 8 bestimme man den ausreichenden Jahresbeitrag in Promille. Kosten: a = 35%, ß = 2%, 7 = 3,5%. Aus der Formel P a (18A27) = I8A27 + » + 7 ' a27:8l ' 0-ß)-327:81

erhält m a n mit

18^27 = 15,726% und a27:8l = 7,1774 den gesuchten Beitrag

15 726

'

0,98-7,1774

=

10 783%

'

°'

7.2 Prämienberechnung

105

157. Ein 41-jähriger will eine vom 65. Lebensjahr an zahlbare lebenslängliche Leibrente von jährlich vorschüssig 6000, - DM versichern. Welcher Jahresbeitrag ist während der Aufschubsfrist zuzahlen? Kosten: a = 20%o, ß = 2%, y = 15%0. Die Formel für die Bruttoprämie lautet p a (24l a 4l) = — 2 4 l a 4 1 + Y a 41 (1-a-ß)-a4i:24l Mit den Barwerten 24^41 = 3,4864, a4i = 19,6087 und 34i : 24| = 16,1224 . u a ergibt sich p =

(]

3,4864 + 0,015-19,6087 _ ^ _Q^ ^ ^

^ =0,242994 und damit

JB = 6000 • 0,242994 = 1457,96DM.

158. Ein Versicherter zahlt für seine gemischte Versicherung mit dem Eintrittsalter 32 und der Dauer 33 in den ersten 10 Jahren nur die Hälfte des Beitrags, der anschließend zu zahlen ist. Man bestimme den ausreichenden Jahresbeitrag in Promille. Kosten: a = 35%o, ß = 2%, y = 4%0. Für den gesuchten Beitrag JB macht man den Ansatz \ ' J B ' 332:101 + J B • 101332:231 = A32:331 + a + JB • ß • ( ^ • 332:101 + 10la32:23l) + + y • a32:33], wobei der aufgeschobene temporäre Rentenbarwert als 10la32 23l = J B =

^ ^u A

32

zu nehmen ist. Auflösen nach JB ergibt

32:33l + a + Y • a 32:33l

( l - ß ) - ( \ -332:101 + 101332:231) Als Zshlenwerte erhält man A32 : 33l = 417,703%, 332:331 = 19,9922, 332:101 = 8,6900 und I0la32:23l = 11,3022 und als Jahresbeitrag JB

_ 417,703 + 35 + 4-19,9922 _ " 0,98-(0,5-8,6900+ 11,3022) ~

34 738/

'

~"

159. Man gebe eine formelmäßige Darstellung für den Nettojahresbeitrag einer Termfixversicherung über die Summe S mit einer Sterberente R bis zum Ablauf der Versicherung bei vorzeitigem Tod der versicherten Person. Der Barwert des Kapitalanteils der Versicherung lautet A7j"| = S • v n . Für den Barwert der Sterberente ist a s = s^] - 3 X :nl anzusetzen. Damit erhält man für den Nettojahresbeitrag die Darstellung P =

S v + Ra ( a j — a x : n | ) x:nl

106

7. Versicherungsmathemalik

160. Ein Versicherter zahlt monatlich 62,58 D M für seine Risikoversicherung mit dem Eintrittsalter x = 28 und der D a u e r n = 10 J a h r e . Wie hoch ist die Versicherungssumme, wenn bei monatlicher Beitragszahlung ein Ratenaufschlag von 5% kalkuliert wird? Kosten: J0/b-

Somit erhält man für die Summe s =

JB

=

pa

7153) , 1 0 0 0

= 75000

D M

9,536

161. Ein 48-jähriger will seinen Lottogewinn in H ö h e von 21398,50 DM als Einmalbeitrag f ü r eine lebenslängliche Todesfall Versicherung verwenden. Welche Summe kann er versichern? Kosten: a = 35%o, y = 4%o. Mit A4g = 508,946% und a4g = 16,8595 ergibt sich für den ausreichenden Einmalbeitrag A | 8 = A 4 8 + a + y - a 4 g = 508,946 + 35 + 4 • 16,8595 = 611,384%». Aus der Beziehung EB = A | g • S erhält man für die Versicherungssumme S=

21398 5

• 1000 = 35000,- DM.

162. Ein Versicherter erhält bei Ablauf seiner gemischten Versicherung am 65. Geburtstag einschließlich Gewinnbeteiligung 73458, — DM. Er möchte diese Summe zum Kauf einer lebenslänglichen Leibrente mit 3-jähriger garantierter Rentenlaufzeit v e r w e n d e n . Welche R e n t e kann ihm die Versicherungsgesellschaft zahlen? Kosten: a = 25%o, ß = 2 % , y = 15%o. Der Nettoeinmalbeitrag ist hier a3] + 3^65 = 2,9135 + 7,1418 = 10,0553. ^ r, • • •JJ , a Der Bruttoemmalbeitrag wird demnach ag5

=

=

10,0553 + y a 6 5 —-—^ = 10,0553 + 0,015-9,9477 1 -0,025 -0,02 =

10

^5356-

Die Rentenhöhe ergibt sich dann als Quotient des zu zahlenden Einmalbeitrags und des Bruttoeinmalbeitragszu R =

- J ^ f c = 6874,64 DM. 10,685356

7.3 Reservenberechnung

107

163. Welche Rentenhöhe kann ein 36-jähriger vom 60. Lebensjahr an erhalten, wenn er während der Aufschubfrist jährlich den Bruttobeitrag 1800,— DM einzahlt? Kosten: a = 20%», ß = 2%, y = 8%o. Mit den Barwerten 241336 = 4,7544,

~ 21,3472 und a36:24l = 16,5928

erhält man für den ausreichenden Jahresbeitrag pa(9,ia^= "

24l a 36 + V' a 36 (1-a-ß)-336:241

=

4,7544 + 0,008-21,3472 _Q3(ßm (1 - 0,020 - 0,02)• 16,5928 U > 3UV194 '

1800 Die Rentenhöhe bestimmt man wegen JB = R • P a zu R = q 309^94

= 5821

-59

DM

-

164. Man leite eine formelmäßige Darstellung für die Nettojahresprämie einer aufgeschobenen lebenslänglichen Leibrente her, bei der im Todesfall des Versicherten während der Aufschubsfrist die bis zum Tod eingezahlten Beiträge erstattet werden. Die Versicherung beinhaltet eine aufgeschobene Leibrente und eine Risikoversicherung mit steigender Todesfallzahlung. Die Nettojahresprämie ergibt sich aus dem Ansatz F " a x:nl = nlax + ? " IiAe, wobei der Barwert der Risikoversicherung aus Beispiel 153 durch Vorzeichenumkehr gewonnen werden kann. Somit erhält man für den gesuchten Beitrag •p _

a

nl a x x:nl - (Rx - Rx+n ~ n ' M x + n ) '

7.3 Reservenberechnung Bemerkung: Zur Berechnung der Bruttoreserve ist a = 35%o zu nehmen. Der Stornofaktor ist f = 0,95. 165. Welche Bruttoreserve ist bei einer lebenslänglichen Todesfallversicherung mit dem Eintrittsalter x = 31 und der Versicherungssumme 45000,— DM bei jährlicher Beitragszahlung nach 14 Jahren zu stellen? Die Bruttoreserve berechnet sich nach der Formel j4V§i = (1 + a) • 14V32 - a mit der Nettoreserve 1 4 v 3 1 = A 4 5 - P 3 1 • 3 4 5 = 4 7 3 , 4 9 0 - 1 4 , 5 6 0 • 1 8 , 0 7 6 8 = 210,292%o.

108

7.

Versicherungsmathematik

Also wird 14 v !h = 1

• 210,292 - 35 = 182,652%. und die gesamte Reserve

Res = 182,652 • 45 = 8219,34 DM.

166. Man bestimme die Bruttoreserve für eine Risikoversicherung mit dem Eintrittsalter 38 und der Dauer 10 nach 6 Jahren in Promille. Bei der Risikoversicherung ist das Bruttodeckungskapital nach der Formel k v x = kV x - — • (1 a x:nl

P

nu+ k ) a x+k:rT^kl zu berechnen, wobei x

i A kV x = I n - k ^ x + k ~ ta M " • a x+k:nHcl ist. x:nl Es folgt demnach 6V38 = 14A44 - l ^ i j j • a44:4] = 19,184 - 4,030 • 3,8018 = 3,863%» und damit 6 V |

8

= 6V38 -

"( 1 "

>•M4:4l -

3,863 -

• ( 1 - 0,820) • 3,8018

= 1 , 0 9 4 %o.

167. Für eine Rentenversicherung mit dem Eintrittsalter 38, der Aufschubsfrist 27 und der Jahresrente 3000, - DM soll das Nettodeckungskapital nach 15 Jahren bestimmt werden. Das Nettodeckungskapital einer aufgeschobenen Leibrente ist durch die Formel kvx = n-klax+k~

a

x:nl

" ax+kinHcl •

Somit folgt 15V38 = 12la53 " - ¡ ¡ j ^ • a53:12l = 5,3566 - - M g L • 9,4062 = 3,6599. Insgesamt erhält man 3,6599 • 3000 = 10979,70 DM für das Nettodeckungskapital.

168. Für eine lebenslängliche Todesfallversicherung mit dem Eintrittsalter 26 und der Beitragszahlung bis zum 60. Lebensjahr berechne man die Verwaltungskostenreserve bei v = 3% nach 25 Jahren in Promille.

7.3 Reservenberechnung

k u x = Y • (a x +k -

Es gilt

= Y (a51_

'

109

ax+kimHcl)

^fel'

3 5 1

^

24 2292 = 3 • (15,6060 - 2 0 ' ^ ' 7,6581) = 20,0193%o

169. Ein Versicherter kauft eine mit 28 Jahren abgeschlossene lebenslängliche Todesfallversicherung nach 29 Jahren zurück. Welchen Rückkaufswert kann er bei jährlicher Beitragszahlung erhalten? Wegen 29V28 = A57 - P28 • 357 = 618,653 - 13,035 • 13,0929 = 447,987%o wird 2 9 V | g = 1,035 • 447,987 - 35 = 428,667%« und RV = 0,95 • 428,667 = 407,234%».

170. Jemand hat mit 24 Jahren eine gemischte Versicherung mit der Versicherungssumme 2 5 0 0 0 , - DM und dem Endalter 60 abgeschlosen. Nach 19 Jahren kann er die Beiträge nicht mehr aufbringen. Wie hoch ist die beitragsfreie Summe? Kosten: y = 3%o. Nach der Formel für das Nettodeckungskapital wird 19 v 24 = A 43:17l ~ p 24:36l' a43 : i7l = 625,004 - 17,468• 12,8749 = 400,105%«. Das Bruttodeckungskapital ergibt sich 19^4

=

379,109%o

zu

und die beitragsfreie Summe

S* = f -A— _ J 9 , V ^ 4 = r S= 43:T7l + Y • a43:17l

J79',10!. • 25000 = 14281,67DM. 625,004 + 3 • 12,8749

171. Ein Versicherter will eine mit 28 Jahren abgeschlossene gemischte Versicherung über 30000,- DM mit dem Endalter 65 nach 23 Jahren in eine lebenslängliche Todesfallversicherung gegen Einmalbeitrag umwandeln. Wie hoch ist die Todesfallsumme? Kosten: y = 4%o. Für die erste Versicherung gilt die Reserveformel 23V28 = A 5 i ; i 4 l - P28:37l" a 51:Ül mit P28-37] =

Ä28: a

i ^ = 17,551%«, A 5 1 . i 4 l =689,651%« und 28:37l

a5i : i4l = 10,6553.

110

7.

Versicherungsmathematik

Die Nettoreserve wird dann 23V28 = 689,651 - 17,551 • 10,6553 = 502,640%o und daraus die Bruttoreserve 23Vlg = (1 + a ) 2 3 V 2 8 - a = 1,035• 502,640 - 35 = 485,232%o. Als Rückvergütung der ersten Versicherung erhält man somit RV = f • 23Vf 8 = 0,95 • 485,232 = 460,970%». Der Einmalbeitrag für die zweite Versicherung beträgt - ohne neue Abschlußkosten A

f l = A51 + Y • a 5 i = 545,457 + 4 • 15,6060 = 607,881%o.

Als Todesfallsumme ergibt sich zu S* = ^

A

• S= 51

46 ° ' 9 7 ° 30000 = 22749,68 DM. 607,881

172. Man zerlege den Jahresbeitrag einer lebenslänglichen Todesfallversicherung mit dem Eintrittsalter 26 und der abgelaufenen Dauer 23 in den Risikoteil und den Sparteil. Für den Risikoteil und den Sparteil der Prämie gelten dieFormeln p

? + k = 1x+k • v • (1 -

k

+lvx)

Es sind demnach zunächst 23^26

undP un

£ + k = v • k + l v x - kvx-

d 24^26 z u bestimmen. Dafür erhält man

2 3 v 2 6 = A 49 - p 2 6 ' a49 = 521,031 - 12,146 • 16,4446 = 321,295%« und 2 4 v 2 6 = A 50 -

p

2 6 ' »50 = 533,213 - 12,146 • 16,0263 = 338,558%».

Mit q49 = 7,389%o ergibt sich daraus P49 = 7,389 • 0,970874 • (1 - 0,338558) = 4,745%o und P | 9 = 0,970874 • 338,558 - 321,295 = 7,402%». R Die Kontrolle P25 = P x + k dritten Dezimale.

+

S P x + k z e ' S t e ' n e Abweichung von einer Einheit in der

173. Eine Versicherungsgesellschaft stellt bei einer Versichertengesamtheit fest, daß die Sterblichkeit der Versicherten 2% unter der rechnungsmäßigen Sterblichkeit liegt. Ferner beträgt der von der Gesellschaft tatsächlich erzielte Zins 6,5%. Für eine lebenslängliche Todesfallversicherung gegen Einmalbeitrag mit dem Eintrittsalter 42 ermittle den innerhalb von 5 Jahren entstehenden Überschuß in Promille.

7.3 Reservenberechnung

111

Es gilt kV42 = A 4 2 + k und für das Deckungskapital mit den tatsächlichen Rechnungsgrundlagen r* = 1,065 und = 0,98 • q x gilt die Rekursionsformel k+lV£=

1

* ( r * - k V x - q i + k ) ™ t o V j [ = oVx- qx+k

Die Berechnung ist in der Tabelle wiedergegeben, wobei die Gewinnentwicklung aus der letzten Spalte zu entnehmen ist. Alle Werte sind in Promille angegeben. k

qx+k

qx+k

0 1 2 3 4 5

3,897 4,184 4,520 4,928 5,422

3,819 4,100 4,430 4,829 5,314

vSi

kV x

439,689 466,230 494,462 524,496 556,446 590,439

439,689 450,739 462,010 473,490 485,158 496,985

kV£ -

k

vx

0,000 15,491 32,452 51,007 71,288 93,454

8. ANHANG 8.1 Tabellen zur Finanz- und Versicherungsmathematik Tabelle 5 A l l g e m e i n e D e u t s c h e Sterbetafel 1960/62 Männer m o d i f i z i e r t 3% X

•x

Dx

Nx

Mx

20

93869

51972,99

1328473,51

13 2 7 9 , 6 2

21

9 3 6 4 8

50340,42

1276500,52

13

22

9 3 4 2 3

48756,77

1226160,10

13043,39

23

93202

47224,69

1

177403,33

12931,41

24

9 2 9 8 8

45

1

130178,64

12826,14

25

92782

44313,20

1084434,70

26

92579

42928,40

1040121,50

12633,62

27

92

41588,02

997193,10

12543,58

28

92179

40289,30

955

605,08

12456,16

29

9 1 9 8 0

39031,38

915

315,78

12371,72

30

91779

37

876284,40

12288,91

31

91577

36629,63

838472,66

12208,11

32

9 1 3 7 2

35

801843,03

12128,50

33

91162

34370,47

766359,89

12049,32

34

90945

33

731989,42

11969,89

35

90719

32240,03

698699,46

11889,57

36

90484

31219,92

666459,43

11808,49

37

9 0 2 3 8

30228,20

635

239,51

11726,08

38

8 9 9 7 8

29263,20

605

011,31

11641,52

39

89703

28324,05

575

748,11

11554,69

40

89411

27409,56

547424,06

11465,18

41

89103

26519,55

520014,50

11373,51

42

88777

25

493

43

88431

24808,70

467842,01

11

44

88061

23985,34

443

11081,46

379

743,94

811,74

483,14

289,96

652,94

494,95

033,31

160,82

12727,75

11279,31 182,24

8.1 Tabellen zur Finanz- und

X

Versicherungsmalhematik

Nx

Mx

Ix

Dx

45

87663

23181,49

419047,97

10976,21

46

87231

22895,39

395 866,48

10865,30

47

86758

21625,20

373 471,09

10747,40

48

86237

20869,25

351845,89

10621,32

49

85 664

20 126,79

330976,64

10486,69

50

85 031

19 396,18

310849,85

10342,30

51

84329

18675,77

291 453,67

10186,83

52

83550

17 964,32

272777,90

10019,33

53

82685

17260,52

254813,58

9838,76

54

81727

16563,63

237553,06

9644,60

55

80667

15 872,62

220989,43

9436,03

56

79498

15 186,99

205116,81

9212,71

57

78213

14506,32

189929,82

8974,38

58

76807

13 830,63

175 4 2 3 , 5 0

8721,20

59

75 275

13 159,96

161 592,87

8453,37

60

73616

12 495,07

148432,91

8171,78

61

71829

11836,66

135937,84

7877,30

62

69918

11186,16

124101,18

7571,56

63

67885

10 544,57

112915,02

7255,77

64

65 737

9913,51

102370,45

6931,84

65

63480

9294,32

92456,94

6601,39

66

61120

8688,14

83 162,62

6265,92

67

58664

8096,13

74474,68

5926,97

68

56116

7518,92

66378,35

5585,57

69

53481

6957,15

58859,43

5242,79

70

50760

6410,86

51902,28

4899,13

71

47955

5880,19

45 4 9 1 , 4 2

4555,18

72

45 067

5365,11

39611,23

4211,37

73

42101

4866,03

34246,12

3868,56

74

39068

4 383,96

29380,09

3 528,22

113

114

8.

Anhang

Mx

Ix

Dx

75 76 77 78 79

35987 32884 29788 26725 23721

3920,61 3478,21 3058,97 2664,49 2296,11

24 996,13 21075,52 17597,31 14538,34 11873,85

3 192,56 2864,35 2546,42 2241,04 1 950,26

80 81 82 83 84

20804 18006 15 362 12905 10665

1955,10 1642,87 1 360,80 1109,86 890,50

9577,74 7622,64 5979,77 4618,97 3509,11

1676,13 1 420,84 1 186,63 975,32 788,29

85 86 87 88 89

8660 6899 5 380 4096 3036

702,03 542,98 411,10 303,87 218,67

2618,61 1916,58 1373,60 962,50 658,63

625,75 487,15 371,08 275,82 199,47

90 91 92 93 94

2188 1536 1050 699 454

153,00 104,28 69,21 44,73 28,21

439,96 286,96 182,68 113,47 68,74

140,17 95,91 63,88 41,42 26,20

95 96 97 98 99

288 178 108 64 37

17,37 10,42 6,14 3,53 1,98

40,53 23,16 12,74 6,60 3,07

16,19 9,75 5,77 3,34 1,89

100

21

1,09

1,09

1,06

X

Nx

8.2 Mathematische

Zeichen

8.2 Mathematische Zeichen

Zeichen

: oder

< > < >

V

lal sgn(a)

loga lg = log io In = iog e exp n!

(") n z

k=l lim

d d

A, IN R 0 0, wenn x = 0 -1, wenn x < 0 Logarithmus zur Basis a dekadischer Logarithmus natürlicher Logarithmus Exponentialfunktion n- Fakultät Binomialkoeffizient Summe von k = 1 bis k = n Limes, Grenzwert gegen unendlich Zeichen für gewöhnliche Ableitung Zeichen für partielle Ableitung Mengen /A, B Menge aller natürlichen Zahlen Menge aller reellen Zahlen Grundmenge Definitionsmenge Wertemenge Lösungs menge E rfüllungsmenge

115

116

8.2 Mathematische

a G R a R {x|...} AC B AHB AUß /A \ B AX B A a

det A AT A-l P i r V Ko

Kn an]

anl snl sn| . .. n'

. .. A j Z^ Rk V^

Zeichen

a ist Element von R a ist nicht Element von R Menge aller x, für die . . . gilt A ist echte Teilmenge von B Schnittmenge von/A und B Vereinigungsmenge von/A und B Differenzmenge vonA und B Produktmenge von/A und B Matrix einspaltige Matrix Determinante der Matrix transponierte Matrix von Kehrmatrix (inverse Matrix) von Zinsfuß Zinsrate Aufz insungsfakto r Abzinsungsfaktor Anfangskapital Endkapital Barwert einer vorschüssigen Zeitrente Barwert einer nachschüssigen Zeitrente Endwert vorschüssiger Prämien Endwert nachschüssiger Prämien Barwert einer vorschüssigen Zeitrente mit arithmetisch steigendem Betrag Barwert einer vorschüssigen Zeitrente mit geometrisch steigendem Betrag Annuität Tilgungsrate am Ende des Jahres k fällige Zinsen am Ende des Jahres k fällige Rückzahlung Restschuld nach k Rückzahlungen

8.2 Mathematische

d X

Px nPx qx InQx nRx •x dx n m

k Dx Cx Nx Mx Rx a x a x:nl nax Ax Ax:nl In^x n^-x An Px kVx kUx JB EB BS RV f a ß Y

Zeichen

Diskontrate Eintrittsaiter Wahrscheinlichkeit, daß ein x-jähriger noch 1 Jahr lebt Wahrscheinlichkeit, daß ein x-jähriger noch n Jahre lebt Wahrscheinlichkeit, daß ein x-jähriger im Alter x bis x + 1 stirbt Wahrscheinlichkeit, daß ein x-jähriger im Alter x bis x + n stirbt Wahrscheinlichkeit, daß ein x-jähriger im Alter x + n bis x-l-n+1 stirbt Anzahl der Lebenden des erreichten Alters x Anzahl der Toten zwischen den Altern x und x + 1 Versicherungsdauer Beitragszahlungsdauer abgelaufene Versicherungsdauer Diskontierte Lebende des Alters x Diskontierte Tote des Alters x Summe der diskontierten Lebenden Summe der diskontierten Toten Doppelsumme der diskontierten Toten Barwert einer lebenslänglichen Leibrente der H ö h e 1 Barwert einer temporären Leibrente der Höhe 1 Barwert einer aufgeschobenen Leibrente der H ö h e 1 Barwert einer lebenslänglichen Todesfallversicherung der S u m m e 1 Barwert einer gemischten Versicherung der Summe 1 Barwert einer Risikoversicherung der Summe 1 Barwert einer Erlebensfallversicherung der Summe 1 Barwert einer Termfixversicherung der Summe 1 Jahresbeitrag bzw. Jahresprämie Reserve bzw. Deckungskapital nach k Jahren Verwaltungskostenreserve nach k Jahren Jahresbeitrag Einmalbeitrag Beitragsfreie Summe Rückvergütung Stornofaktor Abschlußkostensatz Inkassokostensatz Verwaltungskostensatz

117

118

8.3

Sachverzeichnis

8.3 Sachverzeichnis A b h ä n g i g k e i t , lineare 42 A b s c h r e i b u n g 25 A b l e i t u n g , siehe D i f f e r e n z i e r e n A d d i t i o n s s a t z f ü r Wahrscheinlichk e i t e n 93 A n f a n g s b e d i n g u n g 89ff A n n u i t ä t 32ff A n s c h a f f u n g s w e r t 25 A u s g l e i c h s g e r a d e 18, 61 A u s t a u s c h s c h r i t t 52ff A u s t a u s c h v e r f a h r e n 52ff B a r w e r t einer Z e i t r e n t e 24ff - einer L e i b r e n t e lOlff - einer Kapitalversicherung lOlff B i n o m i a l k o e f f i z i e n t e n 91ff B i n o m i a l v e r t e i l u n g 95ff B i n o m i s c h e r S a t z 14ff B r u t t o d e c k u n g s k a p i t a l 107ff B r u t t o r e s e r v e 107ff B r e a k - E v e n - P o i n t siehe G e w i n n schwelle B u c h w e r t 25ff C R A M E R s c h e Regel 48, 51, 54, 58,61 D a r l e h e n , Tilgung von 31ff D e c k u n g s k a p i t a l 107ff D e f i n i t i o n s m e n g e 70ff D e t e r m i n a n t e n 35ff D i f f e r e n t i a l , totales 84 D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 89ff D i f f e r e n z i e r e n , f o r m a l e s 76ff - , partielles 79 D r e h e l e m e n t 52ff E n i m a l b e i t r a g 104ff E n i m a l p r ä m i e 104ff E l i m i n a t i o n 56, 60 E l i m i n a t i o n s f a k t o r e n 59 E n d k a p i t a l 24 E n t w i c k l u n g , binomische 14ff - , e i n e r D e t e r m i n a n t e 35ff

Erlebenswahrscheinlichkeit 99,100 E r l ö s f u n k t i o n 74ff E x t r e m u m 80ff Fehlergleichung 61 Folge, arithmetische 13 - , g e o m e t r i s c h e 13 Funktion 70ff E x p o n e n t i a l - 1 6 , 7 2 , 7 4 , 80 - , lineare 38,70ff - , logarithmische 73 - , logistische 81 q u a d r a t i s c h e 70 G A U S S s c h e r 59ff Gleichung, algebraische 23 - , E x p o n e n t i a l - 1 9 , 80 logarithmische 20 - , quadratische 18,38,81,85 Gleichungssystem, h o m o g e n e s 59 - . l i n e a r e s 46,50ff G e w i n n f u n k t i o n 74, 75, 84ff Gewinnschwelle 74, 84ff G r e n z k o s t e n f u n k t i o n 86 G r e n z w e r t 74ff H O R N E R s c h e m a 2 1 , 2 3 , 80 H y p o t h e k 32ff Integral, b e s t i m m t e s 8 7 f f I n t e g r a t i o n , durch Substitution 86ff - , partielle 87ff Inverse siehe K e h r m a t r i x J a h r e s b e i t r a g 104ff J a h r e s p r ä m i e 104ff Kartesisches P r o d u k t 8 K e h r m a t r i x 46ff Koeffizientenmatrix 45,48 K o m b i n a t i o n 92ff Kosten 84 K o s t e n f u n k t i o n 74ff, 84ff

8.3 Sachverzeichnis

L e b e n s d a u e r , wahrscheinliche 101 L e b e n s e r w a r t u n g 101 L e i b r e n t e , lebenslängliche 106,107 - , a u f g e s c h o b e n e 105 L i n e a r f a k t o r 22 Linearisierung 78ff L i n e a r k o m b i n a t i o n 39 logarithmisches Papier 18 L o g a r i t h m u s 17 Matrix 39ff t r a n s p o n i e r t e 44, 61 Matrizengleichung 46ff M a t r i z e n m u l t i p l i k a t i o n 43ff Menge 7ff M e t h o d e der kleinsten Q u a d r a t e 61 Mischpreis 13, 83ff Mittelwert 13ff Multiplikationssatz f ü r Wahrscheinlichkeiten 93 N ä h e r u n g 15ff,78ff N e b e n b e d i n g u n g 65ff N e n n e r d e t e r m i n a n t e 48 N e t t o d e c k u n g s k a p i t a l 107ff N e t t o r e s e r v e 107ff Normalgleichung 61 N o r m a l v e r t e i l u n g 82 Nullstelle 22ff, 80 P e r m u t a t i o n 91 Pivotelement siehe D r e h e l e m e n t Polynom 21ff P O I S S O N v e r t e i l u n g 98 R a n g e i n e r Matrix 49ff R e i h e 11 ff R e n t e , B a r w e r t e i n e r 26ff - , mit steigenden B e t r ä g e n 29 R e s e r v e 107ff R e s t m e n g e 7ff Restschuld 31 Risikoversicherung 103, 104,106 Risikoteil 110 R ü c k k a u f s w e r t 109 R u n d u n g s f e h l e r 60

119

Sättigung 74, 89 S A R R U S s c h e Regel 35, 37 S c h n i t t m e n g e 7ff Schrottwert25 Schutzstelle 60 S i m p l e x m e t h o d e 66ff Simplextableau 66ff Skalarprodukt43 Sparteil 110 Steigung 80 Sterbenswahrscheinlichkeit 9 9 , 1 0 0 S t e r b e r e n t e 105 S t ü c k k o s t e n f u n k t i o n 86 Substitution siehe Integration S u m m e 9ff beitragsfreie T e i l m e n g e 7ff T e r m f i x v e r s i c h e r u n g 105 Tilgung 31ff - , a u ß e r o r d e n l t i c h e 32 Tilgungsdauer 32ff Tilgungsformel 34 Tilgungsplan 31 Tilgungssatz 32 T o d e s f a l l v e r s i c h e r u n g , lebenslängliche 104,106 T r e n n u n g der V e r ä n d e r l i c h e n 89 U n a b h ä n g i g k e i t , lineare 40 U n g l e i c h u n g 62ff - Systeme von 64ff - von T S C H E B Y S C H E F F U n t e r d e t e r m i n a n t e 35ff V e r e i n i g u n g s m e n g e 7ff V e r s i c h e r u n g , gemischte 104ff V e r w a l t u n g s k o s t e n r e s e r v e 108 V e r z i n s u n g , effektive 26 kontinuierliche siehe stetige Verzinsung - , stetige 2 6 , 9 0 - , u n t e r j ä h r i g e 26 Wahrscheinlichkeit 92ff W a c h s t u m s f u n k t i o n 17,80

120

8.3

Sachverzeichnis

W e n d e p u n k t 80ff W e r t e m e n g e 70ff Z ä h l e r d e t e r m i n a n t e 48 Z e i l e n s u m m e n p r o b e 60 Z e i t r e n t e siehe R e n t e

Z i e l f u n k t i o n 65ff Z i n s f u ß , 24ff Ä n d e r u n g des 3 4 , 2 7 , 3 2 - , e f f e k t i v e r 26 Zinsintensität 90 Zinssatz siehe Z i n s f u ß

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