Über dreifache Flächensysteme und Ermittelung von Flächen, deren Minimalkurven durch Quadraturen bestimmt sind [Reprint 2019 ed.] 9783486756098, 9783486756081

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Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften Mathematisch - naturwissenschaftliche Abteilung XXXI. Band, 4. Abhandlung

Über dreifache Flächensysteme und Ermittelung von Flächen, deren Minimalkurven durch Quadraturen bestimmt sind von

Aurel Voss

Vorgelegt am 5. Februar 1927

München 1927 Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des Verlags R. Oldenbourg Manchen

Teil I.

Über dreifache Flächensysteme. § i.

Der einfache Fall «1 = 1. In einem allgemeinen dreifachen Flächensystem gehen durch jeden Punkt P eines gewissen räumlichen Gebietes, dessen rechtwinklige Koordinaten x, y, z Funktionen von drei unabhängigen Variabein u, v, w sind, drei Kurven, je nachdem u, v, w je a l l e i n als variabel betrachtet werden. Dies sind die K u r v e n u, v, w, welche zugleich die T a n g e n t e n e b e n e n vw, uw, uv der durch P gehenden Flächen durch die von P ausgehenden Tangenten jener Kurven bestimmen. Die Flächen selbst mögen durch (uv), (uw), (vw) bezeichnet werden, so daß z. B. der Fläche (uv) die Kurve w entspricht. Dabei ist das Q u a d r a t des L ä n g e n e l e m e n t e s ds" = tj du1 + el dv' + e\ dw' + 2 f , du dv -(- 2/", du dw + 2 ft dv dw mit 2 Xu , fi —

Cj

Xu X9,

Xv ,

f3

/ j - £ Xu Xtc. /1 =

£.Xtc, £xd Xlr

und die

U

i t ^ £y sind die In cosinus Gebietes

£^

*

u_

^^

Cosinus der W i n k e l zwischen den Kurven u, v; u, tv; v, w. dem besonderen Falle, wo alle e, (t = 1, 2, 3) gleich E i n s sind, sind die f diese selbst. In diesem e i n f a c h e n F a l l e entsteht eine r h o m b i s c h e T e i l u n g des von überall g l e i c h e r Kantenlänge. Auf ihn kann das Längenelement ds3 = U* du* -t- V2 dw* + Ws dw2 +2

/ , du dv+2f2

du dw+2ft

dv dw

mit U, V, W als abhängig je a l l e i n von u, v, w durch Transformation zurückgefühlt werden. Im allgemeinen sind die e, f als Funktionen von h, v, tv anzusehen; dem Falle £ t = e2 = £s entspricht die allgemeine rhombische Teilung. Die vorhin gebrauchten ^ Z e i c h e n sollen, wo kein Mißverständnis möglich ist, überall fortgelassen werden, beziehen sich daher immer auf die g l e i c h z e i t i g e S u m m a t i o n nach x, y, e in Bezug auf den d o p p e l t vorkommenden Index u, v, w, so daß einfach f j = xl,

f3 = x» x, usw. für x„ x, + yu y, -(- ¡¡u z% usw.

gesetzt wird. l*

4 Aus den Gleichungen 1 ) X» ^iin

=

^in

=

•Ttf «T|f fi

—

0,

Xh

— 0,

x99

0 , 0 ,

Xtr X y i

—

0 ,

—

0 »

Xu Xf,m

0,

—

0 ,

—

0 «

¿ T t f X f f ,e

folgt 1) £„, = y«.

(yu z, — y , x „ „

t „ — fi, o fi,W 1 f i, U /"s,to) =

0.

Diese Differentialgleichung könnte sogar an jeder Stelle eines Gebietes erfüllt sein, z. B. wenn fi,w gleichzeitig Null sind, aber auch in anderen Fällen, z. B. wenn K, f2tV, fs.w = 0 , / i „ = f i „ ist, doch kann man hieraus weitere Schlüsse ohne Betrachtung der Integrabilitätsbedingungen a), nicht ziehen. §

Allgemeine Theorie der dreifachen Systeme. Es soll hier zuerst ein allgemeiner Satz hergeleitet werden, der sich von den zahlreichen weitläufigen Beziehungen, die von anderen, z. B- C o d a z z i aufgestellt sind, durch Einfachheit, wie ich glaube, auszeichnet. E r b e z i e h t s i c h a u f d i e R i c h t u n g s c o s i n u s d e r B i n o r m a l e n d e r S c h n i t t k u r v e n u, v, w; z. B. u g e g e n die N o r m a l e n d e r zu u g e h ö r i g e n T a n g e n t e n e b e n e n d e r F l ä c h e n , hier also der Flächen (uw), (uv) mit der Schnittkurve u. Der Krümmungsradius der Kurve u, deren Bogenlänge für einen Augenblick durch o bezeichnet sei, ist 1 Ql

wobei cos a =

da

—

, cos ß =

"I / Yd c o s a \ 2 (dcosß\* * V da ) + V da ) da

cos r = - j * . da

ein, so ist und man hat

da du

/d c ö s ^ y + V da ) '

Führt man an Stelle von a die Variable u

8 l

1)

V 2{xuuy

-

ei


— . ( £ ( £ ) - » . COS I 6) cos COS I

Sie ist dadurch bemerkenswert, daß die V e r h ä l t n i s s e dieser C o s i n u s von den K r Q m m u n g s r a d i e n der S c h n i t t k u r y e n u n a b h ä n g i g sind. Der einfache Fall e, == ES = e, = 1 liefert ein weiteres Resultat; denn es wird cos (B u , Nuv) = e, Da mit ß , , ß 2 ,

9U VT=n'

= , cos (Bu, Nuu)

=

9U

VT=f\

Winkel der Schnittkurven /", = cos ß , ,

= cos ß 2 ,

fs = cos ß ,

wird, so erhält man: cos (-B„, JVul)) = — i>, oder

aß,

cos (-Bu, iVuu>) = — ßj

cos (Bu, Nuv) cos (Bu, Nuw)

3ß 3u

9ÛS 3ß2'

so dafi diese V e r h ä l t n i s s e gleich dem V e r h ä l t n i s der Ä n d e r u n g e n d e r K o o r d i n a t e n w i n k e l beim F o r t s c h r e i t e n auf j e d e r S c h n i t t k u r r e sind. Für o r t h o g o n a l e Systeme endlich erhält man cos (Bu, Nuv) = —g, ei,„ : e1 e 2 , cos (Bu, NUV!) — — ß , ei, w : es usw. Abh. d. math.-naturw. Abt. XXXI. Bd. 4. Abb.

2

10 Die Formeln dieses Paragraphen verlieren teilweise oder ganz ihren Sinn, wenn eines der e oder alle gleich Null sind. In letzterem Falle haben übrigens, wie eine einfache Rechnung zeigt, auch die Binormalen die Richtungen von Minimalgeraden. 8 3.

Erste Gruppe der Fundamentalgleichungen für dreifache Flächensysteme. Bei der allgemeinen Betrachtung dreifacher Systeme ist es zweckmäßig, an Stelle der i in § 1 drei andere Ausdrucke Hl, Ht, Ht einzuführen, die durch die Gleichungen 1)

2xvwxu = Hi, 2 Xu id xv — Bg , ^ ®te —

definiert Bind.

^^^ 2)

Man hat dann 2 Xv te Xu — — ( 2 Xv Xu w == fs,ic » 2 Xv w Xu -(- 2 Xy; X„ v = /ä, t; , 2 Xu v Xfo ~2 xv Xu ic — fy,vi Hi -f- Hi = fstK'< 2 H\ = -f- ft,v — fi,u, Ht -f~ Hi ••= fa „; 2 Ht = fSiW -j- /i, u — /ä,», Hì -f" Hs = fi, u ; 2 H$ = fi%u fi, v — fi,u> •

Auch hier wird man sich leicht an die Bezeichnung OCf) to — ^ Xf) io » wobei das 2 Zeichen wie im § 2 sich auf die Summation nach den x, y, e bezieht, gewöhnen. Ohne diese Abkürzungen würden die folgenden Formeln von unerträglicher Weitläufigkeit werden. Es handelt sich jetzt um die Integrabilitätsbedingungen des § 1, deren Anzahl im ganzen 27 beträgt. Es läfit sich aber zeigen, daß diese sich immer auf 6 reduzieren, die ftlr f l = f s = f s = 0 den 6 Gleichungen von Lamé entsprechen; dies beruht einerseits auf den unter 2) definierten Abkürzungen, andererseits auf den Eigenschaften der H. Dabei ist nun überall a) Xu Xv /i, %V> = = fll &V> == /l, = = Xu = %v fu £«• Aus den Identitäten a) entspringt die folgende erste Gruppe von Gleichungen, wobei Bj) Xu %uu == U fbt U £ 1 £ 1, V i X\C %UU /i, U Cl,UJ i = a8) Xu %V v ft, v — ® 2 i 2, u, Xv xvv 2 2 , vi Xw Xvv = fitV £j ¿2,tot =

&$)

e

e

%uno == fi,a ®8 6a, «1 c Xv X\ov> ' ' fi,to 8, t?» Xu Xtcw ®3 f8,toi

von denen beständig Gebrauch zu machen ist.

11 Die Integrabilitätsbedingungen erhält man durch die folgende ganz Rechnung, deren Anfang esplicite ausgeführt ist. J^US

iTy tCuu

€ 1 £|aUf

iDuui} "H Xvu folgt durch Subtraktion ^l) i» (^HNO ^OBK) AUS -Bl)

Xv Xuu

==

iTit ^Dlf —

=

— (il

l,vt

Xv ^d«

===

^2 €2,m»

Xv XUuv - f - xvv X»u = / s , u v — («1 e l , e ) » i £«>uu + ( « e « ) ' = ( « 2 « 2 , « ) » ®t> (®uut> — ®tm«) = fa, uv — («I «l,r)ti — («2 «2,«)« + (®e«)* — Xuu Xvv Endlich aus Xyj Xuu

/i!,M fil ^],u? i =

fi,uv

=S

A.«t>

Xfp xuuv 4" %wv Xuu Cj)

C^g)

El C] tu

«^tutt "i"

0. £

A. w

elementare

iTtO (-e»«»

•"««»)

iCit ¿1,10)01

x%c xvuu

folgt

— €l £ ]( tM -f~ Xvtu x^u — Sz^uì

oder

(®1 ®l,«o)t> ®«HI Xuu "I" Xtcu XVU — St,u-

Auf dieselbe Art erhält man Xu Xvv = ft,v— «J £i,u, XuXuv = «I il,t, xu xVVu + xuu xvv = f&tvu — («2 «2,«)«, xu xuvv + (¡e»®)* == («i ei,«)«, also aru (a; uor — «„,,„) = — ft,vu + («2 «2,»)» + («1 «i,t>).> + xuu xvv — («»»)*, 3?t> (^uvii ^tJü«) === 0, Xw (Xuvv Xvvu) = = ftf« Xvv Xtov "I" -fil^tJ "4" (¿2 et,tt)n fl.vu'

In derselben Weise kann man fortfahren; es ist aber nicht nötig, diese sich stets wiederholenden Rechnungen auszuführen, da hierzu einfache V e r t a u s c h u n g s p r i n z i p i e n in Bezug auf die -4,), i?,), C,) ausreichen. Vertauscht man nfimlich u und v, so bleiben e ( , ft und H3 ungeändert, während e t in e 2 , fi in ft, Ht in Hs übergehen. Bei der Vertauschung von u> mit v bleiben ft und Hl ungeändert, während f2 in fs, eg in e s , Ht in Ht übergehen. Es ist trotzdem fast bequemer, die Rechnungen direkt in der Art, wie es bei At), BJ, Ct) und At), i?2), Ct) geschah, zu entnehmen, da die beständigenVertauschungen lästig sind und zu Schreibfehlern Veranlassung geben. Solche Vertauschungen gebraucht selbstverständlich auch Lamé; aber durch seine Methode der Differentialparameter wurde er veranlaßt, seine fast 80 Seiten erfordernden Formeln zu entwickeln, die in Wirklichkeit kaum 2 Seiten beansprucht hätten. Auf diese Weise entsteht die folgende T a b e l l e von 18 G l e i c h u n g e n , die hier zusammengestellt ist:

I I I

A^)

Xu {Xuuv

J?,) O^

Xv (xUuv — Xvuu) + xvv Xuu — (iut) 1 = ft,uv — («1 £l,t>)r ~ (¿2 «2,»)«. Xw (Xuuv Xvuij) -f- Xuu Xvl0 Xwu Xvu fi,uv -^8,» I £|ttt)t>; == Xu (Xvvu Xuvv) "t" Xvv Xuu (^ut)1 ft,uv — 1 el,t>)e — ( e 2 ®I,u)u,

Aj)

xVUu) — 0,

Bt) Xv (xvvu — Xuvv) = 0, Cg) Xw (xvvu Xuvv) Xvv Xwu A^) Xu (Xuuw Xujuu) " •®j) Xv (Xuuio Xtcuu) "H XUu Xvw C,) Xw {Xuuw XWuu) "I" Xuu Xtcto

XVtv XUv = = = fl,uv

Xvu Xwu = = fi,uu> (ü«»)' ft,uv> —

(e2

Hl,u ff,u)u

c

2,w)ui

C|,v)u>i ^l,»)»;

12

1

-^-4)

cu

•Ö4)

I

A)

^4)

ä'utrir)

^»M *£ictc

(^teioji

%uku:) "I" ^tctt? v

(^pe»

3?u>t>r)

^tr (^iricu

***utctc) —

(^WU;)* === f^wu äCvtc %uw

t? &VJV %uv %vtc

0 ;

(¿8

(¿1 ,«?)tc?

/*!,tcu

/l.r«?

¿3, t)tc £2,u)u>

-ff2,K»

-öl, n

B s) ^5)

c x^tc = 0, ir &vv (^ruf)* = = /"l.rir v (x rv,c — x Ktv) (^rt'tc ^iccr) 2,w)u? (¿3 x == (p&tctcv $vw\c) #ut> ^tcic uu) fl%vv> (®8 ^8,«)t> -^1,«» == (^MJiou ^rtcte) "I" ^ür #wtc /*!,«?© (CS £3,«)© (^2 £2,«o)tiM Cj) (%icicv %vtctc) — 0. Den Integrabilitatsbedingungen zufolge müssen nun alle diese 18 Gleichungen erfüllt sein, wenn man die ersten links stehenden Glieder fortläßt. Umgekehrt sind dann aber auch die Integrabilitatsbedingungen erfallt, so lange A ^ 0 ist. Von den 18 Gleichungen scheiden nun sogleich als identisch erfüllt aus

Aj,

Bs); AJ, C4); BJ,

Ct).

Ferner fallen die Gleichungen Bt) und At), C\) und . 4 J , C5) und Bt) zusammen. Auch von den noch flbrig bleibenden sechs Bedingungen As), C s ); At), Bt); C,), Bt) fallen je zwei zusammen, wie man sofort erkennt. Es ist z. B. xvv x„w — xuv xvlD = f»,VK — (e-j «2,„)w — HilC nach At), x»v Xuw — Xvw — fi,vu — («2 £2,ic)u — Ha,v nach Ct). Nach den Gleichungen für die H dieses Paragraphen ist 2 H. It v = fs.WV "h fi,v V /"l,UtM 2 I, = fl.ut! + fl, V v — fi.vti und daraus folgt Hi, o — Hz,» = fa,vtc — f\,ao, so da& A J und C2) nicht verschieden sind. Ebenso ist es in den beiden anderen Fällen. D a m i t sind die 18 G l e i c h u n g e n der e r s t e n G r u p p e auf 6 v e r s c h i e d e n e r e d u z i e r t . Sie seien in dieser Gestalt hier nochmals kurz zusammengestellt. A) E r s t e G r u p p e xev xuu —(xuv)* =/»,„„ — («i «i,»)» —(«* e2iU)„, XHU Xwiß (Xuto)' === fi,vw £3,u)u £l,ie)»oi == £ Xww%vv — /l,»u> 2,tc)w (f3 ^3,c)ü• B) Z w e i t e G r u p p e xuu xwv —xwuxvu — /i iU „ — («i ei,«,)» — H»,u = — («i ei,v)v> — H^u, xvv Xwu — Xvv> Xuv = fl,uv — («2 «2,u))u — -Sj.t) == fa,vw ~ («2 «¡,u>)u — jffl.tJi 'Aric Xvu Xwy .T((. u f]ttru (^3 C3,t?)u Ht,u> I== f%v>v (^8 Cs,u)v Hl tU) . Es ist jetzt z w e i t e n s zu untersuchen, ob die Forderung der Unabhängigkeit der d r i t t e n Ableitungen nach den u, t>, tc von der Reihenfolge derselben, die bisher noch n i c h t ausgedrückt ist, nicht weitere Bedingungen zwischen den e, f hervorruft. Hierzu dienen die folgenden Betrachtungen.

IS Man erhält aus =

in« X» Xvwu

S )

®t« — -

3?«« i i » —

Xg« = t j

Xvwu)

(®1 £|,t>)«>

f

«j Äd«

£ r u = «2 «?,«, Zv (Xvuw

i

H\

H',ut

^vvu)

(Xvuw

Aus

=

-(- XUu Xj)W

't,«)»

-ffi,it-

folgt

0

und aus xa

-J-

XKVJ XVu (?)

==

xvu

XK Xvuw

X|o (a?VUU)

S t ,

Xvtou)

Xu, xVV3

_HjiUJ,

=

Xw XVwu

Xw

Xyitc Xvu

Xyju Xvw

=

€i Cj,t)i

Xu Xuw

^

Xrw

u

et cj,®t (eg £3,0)111

= =

tc

(i|

lg,«)«'

Ferner hat man aus Xu Xuv

•^i)

x v (Xuvto

aus

0;

xUwv) xv

xuv

=

Xv Xuvw

st es,u,

xv xuu)

—(— Xvio XVu =

( f 2 £-Jtu)v>i

"I- Xvv

Xv Xuwv

=

Hi,

Xuu> — -ZZi,tM

also Xv (Xuvw

-Z?i)

" f - Xvu

^iiuii)

XVVJ

Xvv

Xwu

=

( f 2 £2,117)»

und aus Xuvw

^ir Xuv ^TlOt/l Xuv

Xto (%uvvj

Xuwv)

^K?

==

J'« i j c8tm == ^tC ^MtCt* ~"f~ ^UJtJ J'ttlu ¿S,1l)tM

-ff^Uil

also CJ

~f~

Xujuj Xuv

H^u

Xwv Xuw

(fij £s,u)vi

endlich auf dieselbe Weise Xu (Xwuv

XVVu)

('tcou

Bjj)

Xv

Cg)

Xw(XwVU

— Xwuv) Xwuv)

Xuv Xwu

XUU XWV

"I- XUv Xmv =

XVv Xwu

^1,10)0 =

Hitui

(®2 ¿2,10)11 — 21-2,

0.

Hierdurch sind aber sämtliche Permutationen der u, v, tc erschöpft. Unter Ausscheidung Ton 27), -4,), C 2 ), die identisch erfDllt sind, hat man zusammenfassend

[

Xuw Xuv == ®uw ^111) iil,«

(C1 ¿1,®)«) (¿1 61,10)0

[-Bj) ®et XWu Xvu Xwv — S i t V I -®l) Xuw — XVu Xvw = = Hi,v

( i j £g,te)ut (fii £i,«)i«)

•4) ^HH Xvw ! ^uu ^rw

jjj

l

0 )

Xww Xuv

Xwv Xuw —

HitW

(€3

£s,v)wi

== Cj) Xww Xuv Xwv Xuw Hs,to (®J £j,u)r) von welchen Gleichungen je zwei untereinander stehende identisch sind. Endlich zeigt sich, daß die Bedingungen II) bereits unter den B) (S. 12) enthalten sind. Denn aus

%uw Xuw

Xuw X9W

X,i)u

27*],w,

14 folgt H i K

H^y, = /i,»,.

Dies ist aber nach den Gleichungen 2 H i = /¡,, + f%' — /i,«> 2 Ht — fitU -f" h,* — ft,»

eine Identität. Und ebenso ist es in den beiden anderen Fällen, die hier nicht noch einmal geprüft werden sollen. Hiermit ist nun die Existenz der 6 Fundamentalgleichungen als notwendig und hinreichend erwiesen und man wird sie als eine Folge von der besonderen Zusammensetzung der 6 Koeffizienten anzusehen haben. Die charakteristischen 6 Bedingungen der ersten und zweiten Gruppe lassen sich jetzt in der folgenden Weise zusammenfassen: I) X„ Xmu — («,«)* = fs,«. — («1 «i,»), — («2 62,«)«. X«« xww — (xuJf = ftiWm — (es es,.)« — (ei ei,»)K, xw» x f > — (x,«)* = ft,»» — (¿» «2,»)» — («s es,,),; II) x«« x t , — x„« x«, = fltM, — («i «i,«)t — Üb,« = /s,«« — (ei ei,t)„ — HifU = Hi,u — (ei ei.t)«, x „ x«. — x,„x«, = f\ ea et,» Ht

fi

0 e2 «2,. r-2 ej p . («;«; - fi) + «» «8,« fi rt es «8.« r 1 «2 «2,1 31 31 «; / . ft fi «; h

0 «2 «2, v «» «S,l «2 «2,« «! f\ «s «8,1 f\ «» «2 «2,1» «8 «8,f Hl

2

Dies ist die e r s t e G r u p p e der Grundgleichungen für die e, f. Auf der r e c h t e n Seite stehen dabei immer A u s d r ü c k e , die den K r i l m m u n g s m a f i e n der F l ä c h e n (uv), (uw), (vw) p r o p o r t i o n a l sind. In derselben Art ergibt sich die zweite Gruppe der G r u n d g l e i c h u n g e n , falls zur AbkQrzung ß) gesetzt wird, in der Gestalt

Q* = ^»1 ZfWr Qs ^ %WW ätmw %MW %vu>

16 0 A*

1')

Qi M

- /!) +

Pi

Pi

A

fi el

«s c^f fi ei.« Pi Pi =

fi

4

fi

II')

fi

«s «a,»

et

fi

m

•

•

4

•

•

•

A*

u

AU

fi

ej

fi

Hi • •

ei «i,» e» es,« •

•

•

•

r

e» «a,« i f i

u fi

H» «i «i,,

Ht

el

e» «J.«

fi

fi el

eg 62,«

«ì Ci,«

•

m

m

•

•

•

•

•

0 —

Ci Ci., H

H,

e\

e» «a,»

fi

«t e*,« «1 ei,. —

0 •"i ri Qs W 4 - f i ) + «ì «ì,. fi c« «»,« fi el

III')

—

e« c2,« Hi

«i «ì,» et e»,« Ht —

0 il ii el — f i ) = ci «1.« e\ f> Ci «8.« f i ei

Sì Ci,, il 23 =

Si

0

fi el

Ht

ei «2,»

•

•

•

•

•

•

•

•

0 —

H,

C-2 «2.»

«8 vertauscht werden. Ähnlich wird man bei I) von ausgehen und entsprechend vertauschen. ') Für den Fall von Lamé, wo alle f — 0 sind, erhält man aus den Gleichungen der zweiten Gruppe z. B. die folgende

17 § 5.

Bestimmung dreifacher Systeme. Es handelt sich jetzt um die Frage, wie man vermöge der Gleichungen des § 4 aus den Werten der e, f die zugehörigen Flächensysteme, d. h. die x, y, z als Funktionen der u, v, w finden kann. Dazu mögen einige allgemeine Formeln zur Berechnung der zweiten Ableitungen der x, //, z nach den u, v, w vorausgeschickt werden. Man kann sie allerdings aus den Gleichungen a j , a2), as) des § 3 entnehmen, zu denen noch die für 2xuxuv, Zxvxuv ... usw. hinzu zu nehmen sind. Aber dabei ergeben sich unübersichtliche quadratische Ausdrücke in den ersten Ableitungen der x, //, z. Man kann dies durch die folgende Betrachtung vermeiden. Setzt man zur Abkürzung die rechten Seiten der «j), a2), a g ) gleich p1, p2, p3; q|, qa, qs: r , . r„, ra, so hat man aus 4 4 » -1- yu ijua -t- Su = in, xv xUH -f- yv yuu 1- g, z„„ = pu Xm Xu„. 4- y,o y-u-u f x« Z«,U = PS, n xuu ß yu u -(- y znu ==

1)

wobei die a, ß, y willkürliche Zahlen sind, durch Multiplikation der verschwindenden Determinante dieser vier Gleichungen mit der Determinante A, welche durch Zufügung einer letzten Reihe 0, 0, 0, 1 zu einer vierreihigen gemacht ist, £

|

i fi f2 Zxua

/s

/s fl «3

Pi Pi PS

Z xv a Zxwa

S\

fl

Q

wobei Zxn a = x„ a y„ ß z'uy, usw. Je nachdem man nun a = 1, ß — y = 0; a = y = 0, /? = 1 etc. setzt, erhält man

2)

Xuu &

«i h fs Pi E f% 1 fl Ps + 1 fs fl «S Pi I ^V 0

0

und diese Gleichung gilt auch für y, z, wenn man die letzte Reihe in yu, yv, yw\ zu, zv, zw verwandelt. Um die entsprechenden Formeln für xvv, xww . . . zu erhalten, hat man nur die letzte Kolonne in 2) durch q1, q2, qs; r t , r2, r3 zu ersetzen. die für sj = Ht,

s2 — H2, e3 = H3 in die Gleichung von Lamé (S. 76 1. e.)

_32 = 3 Hz J_ 3J^ 3 gi 3 g3 3q3 £f2 3o2

d Jk Hs 3q2

d

Jk 3qs

und auf demselben Wege aus der ersten Gruppe auch die entsprechende Gleichung von Lamé.

J_SHiSBL

3 /_J_ 3JIA

+

J _ ( L Uh)

welche vollständig zu wiederholen hier wohl überflüssig war. Determinantenrelationen abgeleitet. Abh. d. math.-naturw. Abt. XXXI. Bd. 4. Abh.

=

o

Hier sind sie durch ganz elementare 3

18 Zieht man noch die Gleichungen1) 2xu xvv = H\ = Pu ZXv Xvio — e-2 «2,10 = P-2, Zx,c XV1D = Es Ej, C = Ps und die entsprechenden für

Qs, Qt; Rt, Rit R, hinzu, so hat man tf ft U P, U f» fi ?t = o d* + U U * Zu c0

3

>

und diese Gleichungen 3) gelten auch für y, s bei entsprechender Vertauschung der u> mit u, w . . . Man kann die Formeln 2), 3) und ihre analog gebildeten durch die kürzere Darstellung ersetzen:

*+fr ? J3)=*«js+fr * :s)= \*tt

^tc/

V'H *V •&W/

da der Kern der vierreihigen Determinanten beständig derselbe bleibt, und die Gleichungen I) gelten dann unverändert auch für y und e. Sind nun, wie schon früher vorausgesetzt werden mußte, für die «, f analytische Funktionen der u, v, w ermittelt, so kann man aus I) die Ableitungen bis zu einer beliebigen Ordnung und zwar als unabhängig von der Reihenfolge in Bezug auf die u, v, w durch lineare Ausdrücke in den ersten Ableitungen der x, y, z erhalten. Diese letzteren sind aber für eine willkürliche Stelle P u des Raumes, wo A 0, durch die Gleichungen 4)

€i f1

2 Xn Xu ,

2 Xr

,

£3

Xu l'v, /g = ^ xn XK, fj

—

' Xic Xic, 2 Xv X ft

für w0, v0, w0 bis auf eine orthogonale Transformation, die ganz unwesentlich ist, da ds* dabei ungeändert bleibt, gegeben. Man kann also alle Ableitungen fUr P 0 bis zur Ordnung n angeben und so Taylorsche Entwicklungen bis zu dem entsprechenden Restv w gliede für die Zuwachse + vai w o aufstellen. Sind die w|, , \w hinreichend klein, so erhält man eine approximative T e i l u n g des Raumes durch ein dreifaches System, das bis zu einem vorgeschriebenen Grade der gesuchten Teilung sich annähert. Um zu beweisen, daß bei fortgesetzter Entwicklung die letztere entsteht, müßte aber die Konvergenz der Taylor-Entwicklung bei wachsendem » bewiesen werden. Dies ist mir nicht gelungen, da die beständig wachsende Komplikation der Rechnung, bei der nicht nur die x„, yu, eu, . . ., sondern auch der Kern der Determinanten bei I) ') Diese Pt. Pj, Pf sind nicht mit den in § 4 eingeführten Pt, Pt, P 3 zu verwechseln; sie sind nur A b k ü r z u n g e n für die links stehenden Werte, die für den Augenblick gelten sollen.

19 zu behandeln ist, die üblichen Hilfsmittel der Majorantenbildung mit Erfolg nicht zur Anwendung bringen läßt. Man kann mit Hilfe der n a t ü r l i c h e n G l e i c h u n g e n d e r S c h n i t t k u r v e n d e s S y s t e m s , d. h. der Bestimmung ihrer Krümmungs- und Torsionsradien als Funktionen der u, v, w mittels der aus D zu bestimmenden Produkte der zweiten Ableitungen die R i c c a t i s c h e n Differentialgleichungen aufstellen, durch deren Lösung sich die Koordinaten x, / / . z für das System der drei durch einen willkürlichen P u n k t P des Gebietes gehender Schnittkurven in Funktion der u, v, w und so das ganze System sich ergeben. Sind die e, f analytische Funktionen der u, v. w, die den 6 Grundgleichungen genügen, so erhält man nach den Formeln I) zl3 2 (xuuf

+

A*z{xvvy

5)

Vi Ps] (Pl \P i PS P j

+ (

9 1

3s

1 1,

iJ

denen man ebenso auch die analogen für As Zxuu xuw, A2 2xuu xvw, . . . hinzufügen kann. Aus ihnen findet man den Krümmungs- und Torsionsradius g, T der Schnittkurven durch die bekannten Formeln a)\

1

x1 W^uu} = 2,

c j v 1 ,u) ),

b)i \

l

•Xu w u

1

" 1 Xtt u

2\

Xu

die hier nur in Bezug auf die Kurve u angegeben sind. Der Ausdruck a) folgt unmittelbar aus § 2, 1. Multipliziert man b) mit A, so folgt > /y» ¿-J

A_

e?

/y»

-y« /y» /y* V, 1 /y>^^'MMMl "-"W '"UUU

£ 1 £ 1, U e

i

^

U ^ ffiu u

/*3

fs

zugleich ist aber 2 XU XuUU

1 £ 1, u)u

{Xuu)^y

sl S I, »)M • e l, w)i

•

2x„

und ebenso kann man die übrigen Krümmungswerte g2, T< gs, T_% erhalten. Geht man nun von einem willkürlichen Punkte P 0 aus, für den un0 , t\ w0 die W e r t e der u, v, w sind, während die Anfangs werte der x„, yu, z„ für den Index 0 den Gleichungen für die e, f mit demselben Index genügen, aber A0 nicht Null ist, so kann man bei unverändertem v0, w0 vermöge einer R i c c a t i s c h e n Gleichung die Koordinaten x, y, z der von P 0 ausgehenden Kurve u des Systems bis zu einem Punkte P t fortsetzen, von demselben bei ungeändertem w dann durch Änderung des v bis zu einem Punkte P ä , endlich durch Änderung von w auf dieselbe Weise bis zu einem beliebigen Punkte P 3 des Gebietes fortschreiten, vorausgesetzt, daß keine Stelle A = 0 dabei überschritten wird, was bei hinreichend kleiner Ausdehnung stattfindet. Hieraus aber lassen sich nun die drei durch P 3 gehenden Kurven des Systems bestimmen mit Hilfe des Linienzuges P 0 P l t P1 P2, P 2 P33*

20 Diese Lösung ist allerdings sehr weitläufig, da sie die Lösung mehrerer (im ganzen 5) R i c c a t i s c h e r Gleichungen verlangt. Eine einfachere Lösung erhält man durch direkte Betrachtung der Gleichungen 4) für die x, y, z. Dividiert man die 2x1, 2 xi-, 2"x' c durch die e*, ej, so erhält man durch die Substitution 6)

—

f

==

s* •

11

fjn

Ii V > ~ H

--

V> V%

-

1) £! + vi + Ci = 7)

1;

2) £ + 1?; + sl = 1; 3) « + ! » ; + fä = 1;

, -ip

et

'iC, f»,

-

'»S f 3'

=

4) $ i "»2 +

'/.. >h +

Ci C. = « 3 ,

•»3 - r >li Vi si i j = "ti 5) t 6) -3 •»3 + Vt Vi + = Ol

Bei der Beschränkung auf r e e l l e Z a h l e n sind die a , , a 2 , a , die cosinus der Winkel zwischen den Schnittkurven, und die Determinante t •m h

•>!

h

fj

Ii

f» *1» £t die nur um einen Faktor von A verschieden ist, ist nicht Null; zugleich ist 1 a3

J? =

a.

A

"1 3 a„ a , 1

eine reelle positive Zahl. Aus den Gleichungen 7) 1, 4, 5 hat man jetzt 1 «?, f , I 8)

f , J , =

0, I,, f . i ,

£ 1 ">1 Vi £ s ^ «3 Vi

I 1 f , C, | JJ, J , =

—

I O,

I «2 n% fJ I

f,

I «2 fs fs I

¿5 Vs

und diese Gleichungen befriedigen die genannten Gleichungen 7). Hieraus folgt: fi ¿i +

9)

ViP

— 6tp

£ii

— C, 3

= A ,

+ C,r

= 2?,

+ fi^i =

c,

wenn man P — as f» — 1 = r

a

2

aSTli—a2Tl!i

= ®S fs — «S Cs,

= B = £

— s

(

^s S—t3£s
f i ist gleich J , (JJ + p 1 + 2* + r s ), verschwindet also unter den gegebenen Voraussetzungen nicht, so daß die v,. durch die Irrationalität ,; V,

0,

F, = '

d VdW

U+W.

Ebenso hat man aus a) " und aus b)

&X

_ 3 F(u, w) du '

3'a- _ dudw

= 0, so daß F(u, w) = Ul +

38 F (u, «••) dudW

Wt wird.

Hiernach folgt in etwas anderer Schreibart * = L\ + F, + y=U,+ V.+ r% -r

Wit W„ wt.

Demnach hat man den Satz: Sind alle e( = 1 (oder auch 0) und die Hi = F l ä c h e n 2) des S y s t e m s ein T r a n s l a t i o n s s y s t e m . Dieser Satz läßt sich auf mehr Variable erweitern. unter der Annahme, daß alle

H2 =

die

Zunächst etwa auf 4; u, v, w, t,

X* v , Xn h, X9V\ Xut t Xgtj Xtr t Null sind, wie auch die für y, z. Man hat dann -f 0,(v,w,

Ht = 0, so bilden

1)

x = Ft(u,w,t)

2)

x = Fs (w, v, t) -I- 0«, (w, v, t),

t),

3)

x = Fs (v, u, t) + 0 , (w, u, t).

23 4) 5) 6)

x = Fk (m, w, v) + i>4 {t, w, vj, x = (t;, «;, «) + 4>s(t,w,u), x = F,(w,v,u) + , s, = F 3 , x,c = W,, y„ - W2l z„ = Ws den etwas einfacheren

us - 0, F, = 0, TF, = 0

zu betrachten, bei dem die Determinante

* = - (U^W,

+ Wt Vt Ut)

nur fllr besondere Wertsysteme der Funktionen U, F, W Null sein kann. Setzt man jetzt

xH - cos (, yu = 0, Zu = sin f , x, = 0, y, = cos t], yv = sin 7], £a, = cosf,

y„ = sinC,

Z,r = 0 ,

so erhält man Et

=

— sin f 0 cos f cos f 0 sin £ £'u = cos t] £u, 0 cos t) sin rj

0 — sin tj cos rj 0 sin £ rj'e = cos f cos i G> = 0 cos t] sin t]

;

und ebenso £•«== — sin £ Cic,

Gs = — sin C £«; Cr,

= — cos C = sin JJ

Dies sind Werte, die nur unter besonderen Voraussetzungen für die Werte der von u, v, iv beziehlich abhängigen Funktionen f, t], £ Null werden, so daß auch hier in räumlichen Gebieten keine der Flächen abwickelbar wird. Abb. d. math.-naturw. Abt. XXXI. Bd. 4. Abh.

4

26 D r i t t e n s . D r e i f a c h e S y s t e m e , d e r e n S c h n i t t k urven H a u p t t a n g e n t e n k u r v e n in den z u g e h ö r i g e n F l ä c h e n sind. Wenn zwei Flächen sich in einer Haupttangentenkurve schneiden, so werden sie „im allgemeinen" sich längs derselben berühren. Der Beweis dieses Satzes wird, so weit mir bekannt, mit Hilfe der Theorie der konjugierten Richtungen auf einer Fläche geführt. Es ist aber einfacher, ihn ganz direkt zu erkennen. Sind nämlich die Koordinaten x, y, z durch zwei Variable it, v so ausgedrückt, daß die Linie v — konst. Haupttangentenkurve ist, so muß X U U

= 0

Xu X.

sein.

Nennt man die Unterdeterminanten der letzten Reihe p, q, r, so ist px„

-j-

q y . +

rz„

p x ,

+

qy,

rz,

+

=

0,

= 0 ;

daraus folgt aber, daß die p, q, r den cosinus der Normale proportional sind, die zugleich sich auf die Binormale der Kurve beziehen. Ein dreifaches System dieser Art ist offenbar u n m ö g l i c h , ausgenommen in dem Falle, wo die p, q, r Null sind. Dann aber ist die Binormale ganz unbestimmt, also die S c h n i t t k u r v e eine g e r a d e L i n i e ; man sieht zugleich, daß der eben geführte Beweis nur voraussetzt, daß an einer Stelle die Flächen sich in einer ihnen gemeinsamen Haupttangente schneiden. Die Untersuchung eines derartigen dreifachen Systems verlangt daher die Betrachtung der Gleichungen 1)

Xhu

—

Xu ,

Xv

—

IX Xv

y«u

—

ly*,

yv,

=

jxy,,

Znu

=

Zvt

-

v

Xw

,

Hi —

yv,o

—

V

Xw

v y

¿ti-ic —

a

,

,

VZ,0.

Diese Gleichungen verlangen eine weitergehende Behandlung; wird aber vorausgesetzt, daß die ej, ej, e\ b e z i e h l i c h von den u, v, w u n a b h ä n g i g sind, so folgt aus 1) Xuu

—

0,

x,, =

0,

zxw

=

0

und dieselben Gleichungen gelten auch für y und z. Es ist daher jedes x, y, z in den Variabein u, v, w eine lineare Funktion und man hat also I)

x =

Aluvto

y —

A

z

=

Aa

t

- f - B1uw

u v w

uv

w

Clvw

B,uw

-(-

Bt«

w

+

C2vw

+

Ct v

+

Dxuv

+

D,uv

w -J- D,

u v

+

a t u

- f - ßtv

+

a„ t* +

-J- a s u -j-

ßsv ßs

-(-

y1u>

-(-

ytu>

t> + yt

w

+

A,, hg,

+ As;

die A, B, C, D, a, ß, y, h sind dabei sämtlich irgend welche Konstanten. Die Gleichungen I) hätten sich übrigens ganz unabhängig von der Eigenschaft der Haupttangentenkurven ergeben. Setzt man nämlich voraus, daß die Kurve w Haupttangentenkurve in den beiden Flächen («w) und (u v) ist, so müssen xu

M

y«u

zuu

Xu

y«

Z„

X,

•V.

e.

Xuu und

!)u«

Zuu

Xu

y»

Zu

Xu

y,c

Z«

27 gleich Null sein. Multipliziert man diese Bedingungen mit A 4= 0, so ergeben sich unter der Voraussetzung, daß «1 e 1, • = 0 zwei Gleichungen für die Ausdrücke Zxmux,, Zxnux„, deren Determinante gleich A1 ist, so dai, da auch 2xu* xu — 0 notwendig ist, wieder xUu = 0, yuu = 0, sUM = 0 usw. folgt. Setzt man zunächst voraus, d a i die a, ß, y alle Null sind, also in I) lineare Glieder in u, v, iv nicht auftreten, und zieht die Qbrigen Eonstanten in die x, y, z hinein, so ist die Determinante ~ ,, . *« y« sm A = x, y, z, X10 // IC

Zw

zu betrachten. Sie erhält nach einfacher Umformung die Gestalt der 7 reihigen Determinante 0 0 0 A

-

VW

0 0 0 uw

V

0 M

0

IV

w

A, A„

0 0 0

C, A D. c . C s A 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 —1 B.,

s

s

UV

-

1

0 0 0

u

0 V

Sie ist daher nur von vierter Ordnung in den u, v, w und ist Null für u = 0 ; v = 0; iv = 0, muß also den Faktor uvw enthalten, so daß der Obrige Bestandteil eine lineare Funktion der u, v, w wird. Dies sieht man auch schon daraus, daß die 3 reihigen Determinanten aus den drei ersten Kolonnen sämtlich den Faktor uvw enthalten; da auch der Wert von A, insoweit er von dritter Ordnung ist, gleich !1 B, 1 D,1 C,1 uvw D2 C0 ;

b ]

D ,

cj

ist, so ist überhaupt A = uvw (Au

Bv + Dw)

und kann nur für singulare Stellen des Gebietes Null sein. Jetzt gebe man der Variabein w einen konstanten Wert wa in I); so hat man x = uv(Atw0 -f DJ + wa(Blu y = «»(il2M;„ + Dt) + w0(Bsu z = uv(Aiw0 + Ds) + wn(Bsu

+ C». -+- Csv), -+ C3v).

Multipliziert man diese Gleichungen mit Faktoren p,, qt, rl, so daß p.B,

+ qxB2 + rB,

PiC, +

=0,

+ r , C s = 0;

und in analoger Weise mit Faktoren ps, q2, r s ; pit q3, rs, so erhält man xPi + Vi 1 + = uvL, + Vis + ers = vM, xPs + .V3 s + » r * = u N >

28 wo L, M, N irgend welche Konstanten sind, da die A, B, C, 1) ^anz willkürlich geblieben waren. Damit folgt durch Elimination der 11, v die Gleichung der Fläche w — w0 NM(xpj

-I- i/qx + erj

= L {xps -r yq, -r e rs)

t!/?,+

fs).

D a s ist a b e r die G l e i c h u n g e i n e s h y p e r b o l i s c h e n P a r a b o l o i d s , dessen Erzeugende in der unendlich fernen Ebene unmittelbar zu ersehen sind; bei reellen A, B, C, D ist es sicher reell. Für den Fall, wo die a, ß, y nicht Null sind, wird die Determinante A sich nicht mehr so einfach ausdrücken lassen; gleichwohl bleibt das allgemeine Resultat bestehen. Setzt man nämlich für w eine Eonstante w0, so hat man x

— yiwo =

+

w

w

V — 7i a = uv(Asw0 w

Z — y$ o =

u v

Us

- t « ( - B ^ o + «i) -1-

+ Dt) + u(Bs o w

o + A)

+

M

wg + /?,),

a

+ s) + v(C2w0

W

a

(-Bs 0 + s) +

V

+

ßs),

W

(°S

0 + ßs)
u = vyw, ¿w ic '' //u

erhält man die Gleichungen A)

fs,u

E l f l , « = / ä - — f i , u — €| i],ir = fi —— , El El

fl.,

/> 13.»

/» £->«2,u=/3 -£_) •-)

/. /1, »

„ / 2, ro

,, £3. tf £.1 «3,« = / 2 f:|

£_> «ä.n. = fl

,

y. £3,ir e : i « 3 , . = / l £3 •

Durch Elimination der Ableitungen der fl% f2, fs erhält man 1)

(«2i2,«).. — (fi f i , . ) . = fi,» «j,»

2)

(«3 £3,«)u — (ei t" 1.n)w = «1,« £3,1. ~ — «3,1» e 1,10 1 + fs [ ( — ) — ( ] ], «s VA «1 ]