Grundriss der Elemente der reinen Mathematik: [Band 1] Grundriss der Elemente der reinen Mathematik innerhalb der Grenzen, welche durch die allerhöchsten Verordnungen für die Prüfungen zum Portepeefähnrich und Officier bestimmt sind [Reprint 2021 ed.] 9783112442562, 9783112442555

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Grundriß bet

Elemente der reinen Mathematik innerhalb der Grenzen, welche

durch die

Allerhöchsten

Verordnungen

für

die

Prüfungen zum Portepeefähnrich und Ofstcier

bestimmt sind.

Von

Alexander Freiherrn von Forstner, Lieutenant im 22ften Infanterie - Regiment, Mitglied der OberMilitär-ExaminatienS-Commission. und Lehrer der Mathematik und Physik heim Cadetten « Corps.

Mit fünf Kupfertafeln.

Berlin, 1826. Gedruckt

bei

G.

und

verlegt

Reimer.

Seinem

Freunde Wilhelm von Felgcrmann Premier - Lieutenannt im Kaiser Franz Grenadier Regiment

widmet

d ie s e n

Grundriß

der

Verfasser.

>Newiß ist es eine nicht ganz leichte Aufgabe, ein Elementarwerk einer so umfassenden Wissenschaft wie die Mathematik es ist, innerhalb gewisser Grenzen zu bearbeiten, und um so mehr wird die Ausführung schwierig, wenn diese Grenzen bedingt werden durch äußere Bestimmungen. Und doch soll, dem Titel gemäß, diese Aufgabe durch gegen­ wärtiges Buch gelösek werden. — Zuerst ließe sich Mellich nach der Veranlassung fragen, ein solches Buch dem Publikum, und zunächst dem militärischen zu übergeben; wenn nicht die Beantwortung dieser «zrage, in der Rechtfertigung der Behauptung: daß .bige Bedingungen gemacht und erfüllt werden können, zugleich mit enthalten wäre, weil sich bei der Ausführung Schwierigkeiten zeigen, welche dies Buch möglichst beseitigen soll. Abgesehen davon, daß der Nuhen der Mathema« für den Officier langst erkannt, wenn auch seltener

VI

Vorrede.

von seiner richtigen Seite gewürdigt ist; so erscheint eö einerseits, mit Recht ganz unn öthi g, andererseis in der Ausführung unmöglich, von jedem Officier

die Kenntniß, selbst nur der reinen Elementarmathe­

matik zu verlangen, denn allein diese Elemente wür­

den zu ihrer Erlernung, mehrfach die Zeit in Anspruch nehmen, welche dem mathematischen Vortrage, neben so manchen anderen Vorträgen, doch nur gewidmet

werden kann, dann auch, weil schon die Elemente manche Theile enthalte», die, wenn kein ausschließliches Stu­

dium der Mathematik für die Folge erwartet wird, vereinzelt dastehen würden.

Daher mußten Grenzen

gesteckt werden; wie weit sie gesteckt sind, kann hier

als bekannt voranögefeht werden, und das Buch zeigt

sie deutlich; ob sie weiter oder enger zu stecken ge­ wesen waren, mag hier unerörtert bleiben; denn, wenn

gleich diese Frage von Wichtigkeit ist, so ist ihre Be­ antwortung hier, ganz außer dem Zwecke dieser Vor­

rede. — Aber: ist auch eine Grenze zu stecken, wie viel man sich in jenen Grenzen nur bewegen soll? Al­

lerdings kann dies geschehen, und ist es in den Ver­ ordnungen geschehen, durch die Benennung der einzel­

nen Theile, deren Kenntniß bei -en Prüfungen, ohne

Nachsicht verlangt wird.

Wo aber in diesen einzelnen

Theilen und deren Theile, die Grenzen sind; das kann

nur durch ein Buch selbst bestimmt oder angedeutec werden, das die Wissenschaft im Zusammenhangs in

dem Umfange vorträgt, wie minhestens die Kenntniß

der verschiedenen Theile, bei den Prüfungen erwartet wird.

Nicht also um eine Gleichförmigkeit in der

Vorr e'b e.

VH

Methode zu erlangen, nicht auch um dem Lernbegie­ rigen Grenzen zu zeigen, über die Hinaue zu gehen

man von ihm nicht weiter erwartet, ist der Grundriß geschrieben; sondern um der, bei den Prüfungen sich

so oft zeigenden Ungewißheit: was beim nun eigent­ lich das mindestens Erwartete ft»', und um den, der aus diesem Buche sich zu den Prüfungen, sey es an der Hand des Lehrers oder für sich allein, vorbereiten

will, alles das zu geben, was ihn auch tüchtig macht das Verlangte genügend zu leisten, wurde das Werk bestimmt. — Und da zeigte sich die Schwierigkeit:

nirgend zu verkürzen, wo das Fehlende der Klar­

heit Schaden thut, nirgend zu erweitern, wo das Uebersiüfsige, a!s solches, nichts helfen kann.

Nur

dem unbefangenen Beurkheiler steht es zu, nach die­

sem rein wissenschaftlichen Maaßsiabe daö Niederge­

legte zu prüfen.

Dieser Maaßstab war der Führer

deS Verfassers, der streng an ihm sich haltend, in Fällen die zweifelhaft blieben, mehr für die Erweite­

rung als für die Verkürzung ist, werde das zu Sa­ gende auch nur in Andeutungen genannt. — Dadurch vielleicht ist das Buch starker geworden,

von einem Grundrisse,

als man

in solchen Grenzen wie die

hier bestimmten sind, erwarten mag; aber die rein

wissenschaftliche Ausführung, war unbedingt terVorsah.

Uitb so soll der folgende Vortrag, jedes

gründliche Weirersiudium der Mathematik befördern,

und nicht nur dem künftigen Militär, sondern jedein

dem eö Ernst um daö ernste Studium dieser Wissen­ schaft ist, zu ^hr den Weg zcigcn.

Vorrede,

VIII

Durch Verordnungen ist die Grenze für die erste Prüfung,

nemlich zum Portepeefähnrich, wiederum

bestimmt,

Sie geht in der Arithmetik bis zur Voll­

endung des zweiten Kgpitels im dritten Hauptstücke

(also bis Seite 262,), in der Geometrie aber bis zur Vollendung des zweiten Hauptstücks (also bis Seite

580.),

Wenn diese Grenzen auch reiflich erwogen

sind, so ist in der Arithmetik, doch ein zusammenhän­ gender Vortrag dieses ersten Theils nicht ganz leicht,

vorzüglich wegen, der Trennung in der Potenzlehre und der dazwischen fallenden Proportionö-echnung, von welcher letzteren jedoch die Kenntniß der zusammenge­ setzteren Rechnungen (von §, ng, bis §. 122.), erst in der zweiten Prüfung (zum Officier) verlangt wer­

den; diese Rechnungen nicht sogleich als Fortsetzung

der einfacheren Rechnungen, dort vorzutragen, schien eine unnütze Zerstückelung, und wird es nicht stöhren, wenn der zum ersten Examen sich Vorbereitende, sie bei seinem Studium zuerst übergeht.

Ist es auch

in der Quantität der größere Theil, was in der Arith­

metik und Geometrie, zur ersten Prüfung verlangt

wird, und bleibt dieser Theil selbst etwas größer, wenn die zur zweiten Prüfung noch verlangte Trigonometrie berücksichtigt wird; so ist dennoch die Vertheilung

nicht unrichtig, wxnn man bedenkt, daß zur zweiten

Prüfung, noch eine völlige Kenntniß des Früheren erwartet, und ein neues Feld zu erlernen ist, das so manche Uebungen nöthig macht, die sich nicht nach Regeln, wie vielleicht die früheren Uebungen, erlernen

lassen, also für diese Prüfung schon eine höhere

Vorrede«

ix

Bildung neben der weiteren Kenntniß,

ver»

langt wird, und daß die Zeit des Weiterstudirens

von der ersten zur zweiten Prüfung, auch von neuen

Wissenschaften in Anspruch genommen wird, die in der ersten Prüfung noch nicht erwartet werden. — Auch der Ingenieur und Artillerist, braucht, auöge-

nommen die Körperlehre, die von ihm noch verlangt wird, nur die Elemente der Mathematik, wje

sie hier gelehrt werden, zur zweiten Prüfung, wenn auch eine größere Gewandtheit in der Behandlung und Anwendung dieser ^Elemente, von ihm verlangt wird.

Daß die, an guten mathematischen Elementar» werken wol nicht ganz arme- deutsche Literatur, kein Buch hat,

was dem hier aufgestellten Zwecke ent­

spricht, setzte ich bei dem Vorsätze, dieses Buch zu

schreiben, voraus-

Der zweite Abschnitt (die Geo­

metrie) ist nur ein, möglichst gedrängter Auszug aus dem ersten Abschnitte des zweiten Bandes meines

Lehrgebäudes der Mathematik; die Arithmetik hinge­ gen völlig neu bearbeitet, da manche Lehren hier ganz

anders begründet werden mußten,

als es im ersten

Bande des Lehrgebäudes geschah, und viele daselbst

vorgetragene Theorien, hier ganz wegbleiben mußten. Nur im Anfang der Arithmetik, wird die Ähnlichkeit

mit jenem größer« Werke, jedoch mit wesentlichen

Verkürzungen, sichtbar seyn, so wie in der Methode

des Vortrags, bei einzelnen der späteren Theorien,

Die Trigonometrie ist hier so vorgetragen, wie

sie sich für ein größeres rein wissenschaftliches Werk

Vorrede.

X

nicht eignen würde, und war es vielleicht gerade hier nicht leicht, nur durch Hülfe der, in dem früheren

eine mathemati-

' Vortrage niedergelegten Elemente,

fche Disciplin vorzutragen, die sich für eine rein ana­ lytische Behandlung, so schön eignet. Ob eS möglich ist, in der, auf den Divisions­

schulen dem mathematischen Vortrage gewidmeten Zeit

(vorausgesetzt wöchentlich 8 Stunden),

in dem Um­

fange die Elemente der Mathematik vorzutragen, wie sie dies Buch — bas überdies auf die so nothwendi­

gen Uebungen immer nur verweiset, ohne sie mehr

als andeutend vorzunehmen — behandelt ? — ist eine wichtige Frage.— Wenn es aber die Erfahrung von der Möglichkeit dieser Leistung auch nicht selbst wäre, die mich berechtigt: mit Ja jene Frage zu be­

antworten; so würde eS ein genauer Ueberschlag schon nachweisen, daß bei lernbegierigen Zuhörern, die ge­

machte

Forderung

nicht übertrieben ist.

Für die

Uebungen ist an den verschiedenen Stelle» des Bu­

ches,

auf Beispielsammlungen verwiesen,

da eine

Fertigkeit in der Behandlung des Erlernten, nicht

genug zu empfehlen ist. Berlin, im August i8»6«

v. Forsiner.

Kurze Uebersicht des Inhalts

Einleitung in die Elemente der Mathematik-

e«t«i

L Elemente der Arithmetik. ErsteSHauptstück. Die einfachenRrchnungarten mit besonderen und allgemeinen Zeichen.

Erstes Kapitel. Grundbegriffe der Arithmetik §. i bis Zweites Kapitel. Von den einfachen Rechnung, arten mit ganzen Zahlen in beiden Eigen­ schaften / -. • Drittes Kapitel.

8 S. 33

9 — 37—41

Die einfachen Rechnungar-

ten mit Buchstaben

-

-

-

-

§- 38 —

Viertes Kapitel. Ueber einige bei den ganzen Zahlen vorkommenden Erscheinungen -

49 —

83

50 —

65 — 106

Fünftes Kapitel. Die einfachen Rechnuvgarten mit Brüchen. Einiges von den Ketten­ brüchen r 5 §. 66 —

85 — 131

Von den Dezimalbrüchen §. 86 —

94 — *57

Sechstes Kapitel.

Zweites Hau ptstück. portionen.

Bon

den Pro­

Erstes Kapitel. Ueber Verhältnisse im Allge­ meinen; im Besonderen von den arithmeti­ schen Proportionen - §. 95 — 102 — 174

Inhalt.

XII

Zweites Kapitel. Von den geometrischen Pro­ portionen « t - $. 103 bis 114 S, 184 Drittes Kapitel. Don den ProportionSrechnungen in benannten Zahlen » » §115 — 132 — 204 Drittes Hauptstück. Von den Po tenz en und Logarithmen! Erstes Kapitel. Einleitung; ferner vom 2su5/ ziehen der Wurzeln aus Buchstabenauödrükken, wenn die Exponenten nur ganze posi­ tive Zahlen sind » §. 123 — Zweites Kapitel. Vom Wurzelausziehen aus Zahlen / , * s f» 130 —* Drittes Kapitel. Weitere Ausführung der Po­ tenzlehre. Vom Rechnen mit irrationalen und imaginären Zahlen * * > tz6 — Viertes Kapitel. Von den Logarithmen im All­ gemeinen = $.148 — Fünftes Kapitel. Von den gemeinen Logarith­ men und dem Gebrauch der Logarithmentafelns. 159 —

129 — 222

135 — 240

147 — 263

158 — 290 162 — 305

Viertes Hauptstück. Elemente der Al­ gebra oder der Theorie der Glei­

chungen. Erstes Kapitel. Einleitung. Auflösung der , Gleichungen vom ersten Grade mit einer.und mehreren unbekannten Größen $ ff*163 — — 319 Zweites Kapitel. Auflösung der Gleichungen vom zweiten Grade oder der quadratischen Gleichungen = ff. 171 — 179 — 343 UM Kapitel. Von den Exponential, oder logarithmischen Gleichungen §. 180 — 183 — 360

Fünftes Hauptstück. Von denProgresf i 0 n e n. Erstes Kapitel. Von den arithmetischen Pro­ gressionen i - §. 184 — iLS — 364 Zweites Kapitel. Von den geometrischen Pro­

gressionen

-

-

-

-

-

- ff. 18Y — 194 — 373

xia

Inhalt.

11. Elemente berGeometrie der Ebenen. Erstes Hauptstück. Von derKongruenz und Gleichheit der Ebenen.

Erstes Kapitel. Grundbegriffe der Geometrie §. i bis n

387

Zweites Kapitel. Eiatheilung der Linien, der Flächen und der Geometrie. Don den Win­ keln, nebst verschiedenen hierher gehörigen Sätzen • - §. 12 —

33 — 393

Drittes Kapitel. Don der Kongruenz, den Seiten und Winkeln der Triangel * iS» 34 —

73 — 4TO

Viertes Kapitel. Die Theorie der Parallelen und die Lehre von den Winkeln der geradlüügten Ebenen / • §• 74 — i°3 — 449 Fünftes Kapitel. Don den Parallelogrammen §. 104 — 124 — 469 Sechstes Kapitel. Don der Gleichheit des Flächenraumö geradlinigter Ebenen - §. 125 — 150 — 482 Zweites H auptstück. Kreise,

Die Lehre vom

Erstes Kapitel. Von den geraden Linien beim e Kreise.» Von berührenden und schneidenden Kreisen t * » 151 — 182 — 5°8 Zweites Kapitel. Von den Winkeln beim Kreise §. l8Z —• *94

537

Drittes Kapitel. Von den geradlinigten Fi­ guren beim Kreise » • » §. ig5 — 220 — 55°

Drittes Hauptftück. Don den Propor­ tionen derGeometrie und derAehnlichkeit derFiguren.

Erstes Kapitel. Don den Proportionen bei Linien, Triangeln und Parallelogrammen §.22r —- 239 — 581

Zweites Kapitel. Don der Ähnlichkeit der geradlinigten Ebenen und den hieraus fol­ genden Proportionen - §.240 — 259 — 6°° Drittes Kapitel. Von den Proportionen beim Kreise und den hierauf beruhenden Theo­ rien - 5-200 — 285

s,l9

-V

Inhalt.

viertes Hauptstück. Von her Anwen­ dung der Arithmetik auf die Geo/ metrie. Erstes Kapitel. Von ben Berechnungen bei geometrischen Größen im Allgemeinen, be­ sonders von der Kursberechnung $ §. 286 bis 398 S. 65$ Zweites Kapitel. Ueber die Anwendung der Algebra auf die Geometrie - §.299 30a — 671

1H. Elemente derTrigonometrie. Erstes Kapitel. Grundbegriffe der Lrigonometrie, und von den trigonometrischen Ta­ feln ' $ 5. i ** io *7» 68$ Zweites Capitel. Berechnung der fehlenden Stücke eines Triangels aus denen, den Tri­ angel bestimmenden Stücken - §. u — 16 — 705 Drittes Kapitel. Ueber einige Anwendungen der Trigonometrie auf rein mathematische Fülle * 3 • ♦ • » 23 —* 7M

Ein-

Einleitung

in die Elemente der Mathematik.

da- was einer Vermehrung und Verminderung fähig ist, heißt eine Größe. Wenn man die Gesetze kennt, nach welchen bei et, «er Größe die Vermehrung und Verminderung geschieht, so ist es möglich zu bestimmen, auf welche Weise aus ei­ ner Größe eine andere Größe die mit jener in einer, durch jenes Gesetz bestimmten Verbindung steht, entsteht. Die Wissenschaft deS gegenseitigen Entstehens der Größen auS einander nach bekannten Gesetzen, ist die Ma­ thematik. Wenn jene Gesetze bereits bekannt find, und man beim Vortrage den Zusammenhang derselben unter einander so herleitet, daß man von bekannten zu neuen bisher noch unbekannten Gesetzen fortfchreitet; so nennt man die-: die synthetische Methode deSVortragS. Sollenaber die Gesetze des Zusammenhanges der Größen unter einan­ der erst gesucht werden, und man geht von unbekannte» Gesetzen aus, um ihren Zusammenhang mit bekannten Ge­ setzt« erst zu entdecken; so ist dieS: die analytische Methode deS Vortrag-. Leide eben geaannte Mr, Forstner'S Grundriß. I

s

Einleitung.

Hoden ober Wege, mit einander ab.

wechseln in der Mathematik,

häufig

Doch ist der Vortrag überwiegend

der synthetische, die Aufsuchung des Zusammenhanges der Gesetze aber, überwiegend der analytische Weg. Ist

dieser Zusammenhang gefunden, so kann er, auf symhetifchem Wege dargestellt oder gelehrt werben. — Da man bei der mathematischen Behandlung der Dinge (Größen) diese nehmen muß, wie man fie vorfindrt, sie aber in be­ liebigen Zusammenhang — wenn dieser an sich möglich ist

— bringen kann, nachdem dieser aber bestimmt ist, der Erfolg von den Umständen abhängt die durch jenen Zu, sammenhang bedingt sind; so ist der Erfolg zu ent­ decken, jene Umstände (Verknüpfungen) aber zu erfin­

den. Die in der Mathematik aufgestellten Wahrheiten, die allgemein Sätze heißen, find im synthetischen Vor­ trage, Erfolge, also entdeckt, die Beweise aber er­ funden, da diese nur den Zusammenhang der beliebig gewählten Verknüpfungen mit dem hierdurch entdeckten Da dieser Zusammenhang auf mancherlei Weise zu zeigen ist, so können die Beweise auch mannigfach seyn, einer ist aber schon genügend. Dec analytische Weg ist vorzüglich geeignet, die Beweise zu er­

Erfolge (Satz), zeigen.

finden, da jener Zusammenhang sich oft dem ersten An, blicke entzieht, d. h. nicht einfach ist, um sogleich synthe­ tisch dargestellt werden zu können. Die Größen erscheinen uns mit mannigfaltigen Be­

ziehungen unter einander, /o wie mit besonderen Eigen­ schaften für sich. Obes aber für sie überhaupt nur eine Eigenschaft und eine Beziehung giebt; —

ist zu

untersuchen nicht die Sache der Mathematik. Jede Ei­ genschaft die der Mathematiker entdeckt, ist ihm gleich­ sam Anfang einer Reihe von U-tterfuchungen, die er durch erfundene Verknüpfungen verfolgt; und so unendlich mannigfaltig beides erscheint, so unendlich groß ist auch

das Gebiet der Mathematik.

3

Einleitung.

In derMathematik läßt sich nur lehren, was ge­

funden ist, und zuweilen nachwelsen, wie dies gefunden wurde; aber wle zu finden ist, ist unlehrbar. Die Wege die hierbei einzuschlagen sind, können nur durch Uebung erlernt, und in dem bereits Gefundenen die Mittel nachgewlesen werden, durch deren Gebrauch daS

Gesuchte zu finden ist. Hier ist jedoch das Verfahren eia rein künstlerisches, ohne welches niemand die Mathe­ matik mit Erfolg lernen kann. — Schon die einfachste« Wahrheiten sind oft hinreichend, durch sie die schönste« Gesetze zu entdecken, und diese Wahrheiten find daS el-

gentliche Gebiet der Elemente der Wissenschaft, oder des

zu Lehrenden. So ist es denn auch die Sache dieses Bu­ ches, die Elrm enteder Mathematik in ihrer Rei­ hefolge zu lehren, uiib auf die Wege aufmerksam zu ma­ chen, die zu Entdeckungen führen können. In diese Rei­ henfolge kommen jedoch auch mancherlei Anmerkungen Hin­ ein, die bloß zur Verknüpfung der gefundene« Wahrhei­ ten dienen, und die, wenn sie einen Begriff für sich beSo werden die verschiedene« dingen, auch Satz heißen.

Sähe, einzelne Denkakte, die in verschiedenen Forme« erscheinen, von denen die wichtigsten hier folgen mögen.

I.

i.

Ueber die Sätze der Mathematik.

Die Erklärung.

Der Begriff welcher in Hin­

sicht seiner Verknüpfung mit andere« Begriffen in der Mathematik zu betrachten ist, muß vorher so bestimmt aufgestellt, also begrenzt seyn, daß jede Eigenschaft die vc« ihm ausgesagt wird, in ihm begründet liegt. Jene Auf­

stellung geschieht nun durch die Erklärung. — Es lie­ ßen sich eigene Untersuchungen über die Erklärung an sich, anstelle«, wenn hier der Ott dazu wäre. — Was sie uns geben soll, ist gesagt, wie sie das erfüllt, hängt von dem erklärten Begriffe ab. Dennoch ist nöthig folgendes z«

merke«. — Di« Erklärung muß der erste unter den Sät-

i*

4

Einleitung,

zen seyn, da man offenbar von einem Dinge nur bann et« was mit Gewißheit anssagen kann, wenn man das Ding selbst innerhalb seiner Grenjen kennt. Da man aber diese Grenzen nicht eher feststellcn kann, bis man auch weiß, was der erklärte Begriff leisten soll und kann, so ergieb. sich: wie die Erklärung dem der sie zuerst giebt, das Resultat, dem der sie zuerst empfangt aber, der Anfang der Wissenschaft ist. — Wer eine befondere Wis­ senschaft erlernen will, bringt schon eine Menge Begriffe mit, an die sich der Lehrende allein halten kann, um über­ haupt einen Austausch der Gedanken möglich zu machen, und durch die Worte werden diese Begriffe bezeichnet. Soll aber ein Begriff das in der besondern Wissenschaft Betrachtete seyn, das Wort welches ihn bezeichnet also gleichsam technisch werden; so dienen wol wiederum Worte dazu den Begriff zur Anschauung zu bringen, aber dann kann seine, vielleicht gebräuchliche Bedeutung im gemeinen Leben, nicht mehr für die wissenschaft­ liche genügen. So lange jedoch ein Wort diese techni­ sche Bedeutung nicht hat, ist es erlaubt, dasselbe ohne vor­ hergehende Erklärung zu brauchen. So begannen wir z. B. diese Zeilen mit der Erklärung der Größe und der Mathematik; beide Begriffe sind, mit einigen anderen, bis hierher schon technisch geworden, und dürfen sie, da wo sie in der Wissenschaft als solche erscheinen, keine en­ gere oder weitere Bedeutung haben als die erklärte; aber eS wurden auch manche Wörter bisher schon in der, all­ gemein im Leben bekannten Bedeutung gebraucht, die in der Folge erst eine wissenschaftliche Bedeutung er­ halten werden. Dies darf man also im vorkommenden Falle für keinen Mangel halten. Eine gute Erklärung er­ fordert, daß nur so viele Merkmale des zu erklärenden Begriffs angegeben werden, als nöthig sind, den Begriff innerhalb seiner Grenzen ganz zu erkennen, und daß kein Merkmahl da- andere bereits in sich schließt. Sollte ein

Einleitung.

5

Begriff mehrer« Erklärungen zuksssen, so muff -ezetzf werden, wie jede derselben die andere zuläßt oder schon, bedingt, sonst wäre leicht unter ihnen ein Widerspruch möglich. Wen» die Erklärung zeigt, wie das Ding, wel­ ches sie erklärt, entsteht, so nennt man sie auch wol eine g e n e t i sch e Erklärung. Solche Erklärungen könn­ ten aus der Mathematik ganz wegbleiben, sie sind abeV nicht unerlaubt, und in gewissen Fällen selbst nützlich.^ 2. Der Grundsatz. Wenn wir die aufgestellte Behauptung als unmittelbar in sich selbst bw gründet ansehen müssen, so daß keine Zurückführuag auf frühere Sätze möglich ist, als auf Erklärungen; so heißt sie: ein Grundsatz. Dieser Satz ist also auch nicht zu beweisen, sondern höchstens zu erläutern, da ntmlich, wo der Zusammenhang der Behauptung mit einer früheren Erklärung, oder die Behauptung selbst als in sich gegründet, nicht sogleich erkanut werden sollte. Ob es überhaupt Grundsätze geben kann, oder ob das, was wir für einen solchen halten, noch weitere Begründungen zuläßt; gehört zu untersuchen nicht in die Mathematik. So viel ist aber gewiß, daß: wenn alle Satze Grundsätze wären, eine systematische Folge von Sätzen, nicht vorhan­ den seyn könnte, sondern die Sätze gleichsam neben ein, ander ständen. Man führt die verschiedenen Grundsätze am besten da an, wo sie zuerst erscheinen und gebraucht werden; wenn sie aber in ihrer Anwendung durch die ganze Wissenschaft gehen, kann man sie, sobald sie nur als wahr erkannt werden können, auch der allgemeinen Ein­ leitung schon beifügen. 3. Der Lehn faß. Die Grüßen befinden sich in gewissen Zuständen, die wir, als ihnen eigenthümlich er, kennen, so, daß es gleichsam eine Erfahrung ist, die sich nicht weiter zurückführen läßt, durch welche jener btt sondere Zustand erkannt wird, der späteren kehren zum Grunde liegt. Der Satz welcher «ine solche Beschaffen*

6

Einleitung.

Helt nennt, ist ein Lehrsatz. Er wird auch nicht weiter bewiesen, unterscheidet sich jedoch wesentlich vom Grund­ sätze, welcher letzterer, unabhängig von der bloßen Erfah­ rung, nur das Resultat eines Vernunftfchluffes ist. Der Lehrsatz wird auch wol zuweilen mit dem Hülfssatz alS gleichbedeutend gebraucht, welcher aber kein besonderer Denkakt ist, indem er ein solcher Satz seyn soll, der einem anderen Theile der Wissenschaft oder dem gemeinen Leben «»gehört, und nur hier als nöthig zur Hülfe erscheint. War er früher gelehrt, so erscheint er nur wie jeder an­ dere Satz, auf den man sich beruft. 4. Der Lehrsatz. Dieser Satz stellt eine Be­ hauptung auf, welche an sich noch in keinem früheren Satze enthalten ist, wenn gleich ihre Richtigkeit durch Hülfe der früheren Satze dargethan, d. h. bewiesen wird. Wenn beim Lehrsätze Bedingungen gemacht werde», unter welchen die Behauptung wahr ist, so heißen diesel­ ben: die Voraussetzung oder Hypothese, dagegen das, unter dieser Voraussetzung Behauptete: die Be­ hauptung oder Thesis heißt. Oft verbirgt sich beim Ausspruche des Lehrsatzes d'e Hypothese dem ersten An­ blicke, es ist aber leicht nachzuweisen, daß sie immer vor, Handen ist, wenn fle auch nur ein Lehnsatz wäre. Uebrigens ist es erl u t, eine ganz wkllkührliche Hypothese zu machen, deren Wahrheit noch ganz unbekannt, ja selbst zweifelhaft ist, nur gilt alsdann die Thesis auch erst, ,wenn jene Voraussetzung sich als wahr, irgend wodurch be­ währt. Sollte dirs jedoch nicht dargethan werden, so wäre auch ein soll er Lehrsatz, ganz unstatthaft für einen streng wissenschaftlichen Vortrag, daher hier auch solche Lehrsätze, deren Hypothese nicht sogleich als statthaft sich bewährt, ganz wegbleiben müssen. 5. Der Zusatz. Jede, kn einem vorhergehenden Satze bereits enthaltene Behauptung, ist ein Zusatz zu die­ sem Satze. Es werben also in demselben besondere

Einleitung.

7

Fälle jenes Satzes (den man in dieser Beziehung Hauptsatz nennen könnte) genannt, die in dieser besonderen Form kn der Folge erscheinen. Es wäre völlig überflüssig die Zusätze besonders aufzustellen, (zuttial ihre Anzahl im­ mer so groß ist), da alles was in einem genannten Satze liegt, sich auch mit ihm von selbst versteht; wenn nicht die besondere Form wie der Zusatz den Hauptsatz modificirt, oft schwer zu finden ist, und wenn in der Folge auf diese besondere Form berufen wird, dann ein unnöthiger Auf­ enthalt verursacht würde. Die Häufung der Zusätze, ist an sich auch nicht rathfam, sondern, ohne zu weltläuftkg aber auch nicht zu kurz zu werden, stelle man nur solche Zusätze auf, die in der Folge nothwendig gebraucht werben*). Oft erkennt man in einem besondere »Fall, eine völlige Allgemeinheit einer Behauptung, und dann ist es wiederum der Zusatz, der Diese Allgemein­ heit nennt, wenn der Hauptsatz den besonderen Fall nannte. — Ist der Zusammenhang des Zusätze- mit dem Haupt­ satz« nicht sogleich klar, so muß allerdings der Zusatz auch besonders bewiese» werden. Folgert man mehrere Zusätze aus einem Satze, so kann man sie alle in einem Para­ graph nennen, auch wol gleich dem Hauptsatze in demsel­ ben §. beifügen. 6. Die Aufgabe. Der Beweis eines Satzes, so wie die Behauptung selbst, knüpfen sich oft an gewisse Verrichtungen die erst vorgenommen werden mässen oder sollen, ehe der Satz erkannt werden kann. Sind diese Verrichtungen so einfach, daß sie durch eine bloße Ent­ lehnung **) erkannt werden, so nennt man sie Forde­ rungen, beruht aber die Ausführung auf früheren Leh­ ren selbst, so heißen sie: Aufgaben, die Erfüllung des *) Der synthetische Vortrag erfordert für den Vortragenden, «ine Bekanntschaft mit dem Folgenden. *♦) Siehe Lohnsatz.

s

Einleitung.

Verlangten selbst aber: die Auflösung, und die Richtlgkeit der Ausführung, zeigt wiederum der Beweis. Die Art wie man durch die verschiedenen Verrichtungen daS Verlangte leistet, heißt: die Construction. Man macht die Aufgabe zu einem besonderen Satze, da sie et­ was in fich geschlossenes ist, und in der Folge als etwas Besonderes gebraucht wird. — Bei Vergleichung der Auf­ gabe mit dem Leh satze, wird man bald finden, wie blos durch die Aenderung der Form dieser Sätze, jeder die Form des andern annehmen kann, und die Entscheidung: ob ein Satz als Aufgabe oder als Lehrsatz erscheinen soll: findet man darin: ob der Satz in brr Folge zu Constructionen dient, also alS ein Verlangtes vorkömmt, oder vb er als Behauptung (Lehrsatz"», s. w.) erscheint; im ersteren Falle wird er zur besonderen Aufgabe. — Daß ein Verlangen auch so geschehen kann, daß man es auf keine Weise ju erfüllen im Stande ist; bedarf keiner Er­ läuterung, und dann heißt die Aufgabe: eine unmög­ liche; die Unmöglichkeit kann aber wiederum in einem Widerspruche an fich liegen, den das Verlangte bedingt, dann ist sie Unsinn, ober die Unmöglichkeit beruht auf einem Widerspruche gegen frühere Lehren, und bann muß auch fie bewiesen werden. In dem systematischen Vor, trage ter Mathematik, kommen nun zwar nie unmögliche Aufgaben vor, aber da wo man Anwendungen des theo­ retisch Erlernten machen will, können sie erscheinen, und eS ist wichtig — jedoch nicht immer leicht — sie zu er­ kennen. Die nicht unmöglichen Aufgaben heißen mög­ lich, wenn man anch noch nicht immer die Mittel sie aufjul.'sen ke nk. Bei diesen Aufgaben »'ruerscheidrt man wiederum: die bestimmten Aufgaben, wenn nemiich der Erfolg bt" Auflösung nur einer seyn kann; ist aber der Erf 9 auf eine in sich n'cht begrenzte mannigfaltige Weise möglich, so ist die Aufgabe unbestimmt. Hängt eS also von der Beschaffenheit einer gewissen Gattung von Auf-

Einleitung.

9

\

gaben ab, daß z. B. immer f«ch- Größen als Re­ sultat er schetuen mä ssen, so ist sie eine bestimmte Aufgabe, denn diese sechs nothwendigen Größen, machen nur einen Erfolg. Den, oft unendlich mannigfalligen Erfolg der unbestimmten Aufgaben, beschrankt man zuweilen durch gewisse Bedingungen, wenn nicht die Natur der Sache schon selbst Beschränkungen nothwendig macht, und dann steht die Aufgabe gewissermaßen zwischen den be­ stimmten und unbestimmten Aufgaben, so daß es noch auf die Art, wie die Aufgabe an sich gestellt ist, ankommt, ob sie bestimmt oder unbestimmt ist; hierüber entscheidet der jedesmalige Fall. Sind bei einer Aufgabe Größen gege­ ben, die durch die Bedingungen zu verknüpfen sind, so nennt man dieselben: die Stücke Malis) der Aufgabe. Wie viele derselben gegeben werben mässen, hängt von der Art der Aufgabe ab, und ist nicht allgemein vor­ her zu bestimmen, sondern bel den besonderen Aufgaben zu untersuchen. Eben so läßt sich kein allgemeines Mittel angeben, jede (mögliche) Aufgabe zu lösen, sondern es bleibt dem Geiste des Lösers überlassen, wie er die bekann­ ten Sätze zur Erreichung des verlangten Zweckes zu ge­ brauchen weiß; alles was man lehren kann, sind nur ei­ nige Wege die man allgemein angiebr, auf denen man nach dem Resultate zn suchen Hat, wo nun der analy­ tische Weg vorzüglich fruchtbar ist. Dies gilt am mei­ sten von solchen Aufgaben, die nicht in den wissenschaft­ lichen Vortrag als eigene Sätze besonders hinein gehören (denn deren Auflösun- erfolgt immer gleich dabei), son­ dern die auf Anwendung der theoretischen Lehren abzwekken, und daher ein vorzügliches Mittel darbieten, zu un­ tersuchen, in wiefern jemand die theoretischen Lehren sich wirklich angeeignet hat, und Geist besitzt, sie möglichst anzmv-nden. — Der nöthigen Uebung wegen, sammelt man dergleichen Aufgaben in besonderen Supplementen, die den Lehrbüchern zur Seite gehen.

ia

Einleitung,

7» Der Wahlsatz. Sollen wissenschaftliche ttn# kersuchungen allgemein verständlich seyn, und ist es noth­ wendig die Begriffe durch Bezeichnungen darzustellen; so muß man sich über die Zeichen vereinigen, und liegt es nicht nothwendig in der Beschaffenheit eines Dinges, es gerade so und nicht anders zu bezeichnen, so muß man eine Bezeichnung Wahlen, und mit einem solchen Zei­ chen *) bekannt zu machen, geschieht durch einen: Wahl­ satz, der um so mehr ein besonderer Satz seyn muß, wenn die Wahl der Zeichen selbst gleichsam rin System bildet; außerdem aber kann ein solches Zeichen auch bei­ läufig bei einem Satze, wo es nemlich zum ersten Male gebraucht wird, angeführt werden. Der Wahlsatz heißt auch zuweilen: willkührlicher Satz. Ob die getrof­ fene Wahl die möglichst beste ist, kann sich in der Folge erst bewahren, uud oft sieht man — leider zu spat — daß eine andere Wahl wol zweckmäßiger gewesen wäre, welcher Mangel anfänglich nicht erschien, da unmöglich bei neuen Begriffen immer sogleich alles erkannt werden kann, was sie je leisten können. Es ist aber immer sehr gewagt, eine allgemein angenommene Wahl zu andern, da nothwendig Mißverständnlsse, wenigstens Anfangs, sich hierdurch ergeben werden. 8. Die Anmerkung. Der Vortrag einer Wissen­ schaft kann unmöglich so rein gehalten werden, daß der Lernende gerade nur das was gelehrt wird, und dieses auch immer sogleich recht, auffaßt. Beziehungen mancherlei Art lassen sich an das Vorgetragene anknüpfen, dle theils das Genannte mehrseitig betrachten, also aufhellen, theils aufAbwege führen können, wenn vor die­ sen nicht gewarnt wird. Es würde unrecht seyn, selbst bei dem am strengsten rein wissenschaftlichen Vortrage, der♦) In dem allgemeinen Begriffe der Zeichen,

nahme gewisser Maaße u. dgl.

liegt auch die An­

Einleitung.

ii

gleichen Bemerkungen vermeiden zu wollen. Werden sie durch den Vortrag (auch wenn er schriftlich ist) Herbeigeführt, und man will sie anführen, so geschieht dies in ei­ ner Anmerkung, die man in der Regel dem Satz selbst beifügt, bei dem sie sich darbot. Aber sie kann, vorzüg­ lich wenn sie allgemeine Betrachtungen, die jbei Verknü­ pfungen verschiedener Satze sich darbieten, veranlaßt, zu einem besonderen Satze werden und einen eigenen §. bil­ den. Sie muß aber dennoch immer so beschaffen seyn, daß sie, ohne Nachtheil des ganzen Zusammenhanges, weg­ bleiben könnte. Z. B. Anmerkung.

Jene 8 Sätze sind nicht nothwendig die einzigen

Formen unter denen eine mathematische Wahrheit erscheinen kann,

doch sind sie die bedeutendsten und zureichend für den Vortrag. So streng auch die Scheidung unter ^ihnen dem Begriffe nach ist, so schwierig ist es oft in besonderen Fällen, einen Satz zu classi-

ficiren, und es können leicht verschiedene Ansichten über die Art

eines Satzes herrschen. Aber der Wissenschaft als solcher kann dadurch nie gefährdet werden; worüber das Weitere jedoch nicht hierher gehört»

!H.

Ueber die Beweise in der Mathematik.

Beweis ist die Herleitung einer Behauptung, aus früher erkannten Wahrheiten durch Vernunftfchlüsse. Eine Theorie der Beweise, ist Gegenstand der Logik, und der Mathematiker, indem er beweiset, erkennt bereits die Nich­ tigkeit der logischen Schlüsse an, wendet daher nur die Gesetze derselben auf die Größen, die den Gegenstand seiner Forschungen ausmachen, an; in sofern ist also rln Beweis eigentlich nie ein mathematisch er Beweis, son­ dern immer rein logisch. -- Zu den Hauptformen der Be­ weise, wie sie in der Mathematik angewendek werden, ge­ hören folgende: i. Der direkte oder ostensiveBeweis. Wenn man von einer bereits anerkannten Wahrheit ausgeht, und durch richtige Folgerungen zu der behaupteten Wahrheit

12

(Einleitung,

kommt; so war der Beweis ein direkter. Die, rein vernünftige, Ueberzeugung: daß man von Wahrheit aus» gehend, durch Wahrheit (richtige Schlüsse) immer nur zu Wahrheiten gelangen kann; liegt hierbei zum Grunde. DaS, was ein zu beweisender Satz voransfrht (die An­ nahme), ist entweder schon bewiesene Wahrheit, oder vor­ läufig nur als solche angenommen, und daß sür diesen letzteren Fall die Behauptung, auch nur in sofern jene Annahme wahr ist, bewiesen ist, wurde bereits früher (beim Lehrsatz) bemerkt. 2. Den indirekte oder apagogifcheBeweis. Ist es möglich, daß außer der Behauptung auch «loch andere Fälln unter den angegebenen Umständen denkbar sind, die Menge der überhaupt möglichen Fälle sich aber angeben lässt, und es ist unter den besonderen Umstanden der Behauptung ein Fall nothwendig; so ist dec Fall den di«!Behauptung in sich schloß, wahr, wenn man zeigen kann, daß alle jene übrigen Fälle nicht wahr sind. — £>'ie Richtigkeit dieses Ausspruches nachzuweisen, liegt wiederum außerhalb der Mathematik, eben so ist es rein logisch zu zeigen, daß: wenn man von einer Annahme ausgeht, und mittelst richtiger Schlüsse auf eine anerkannte Unwahrheit stößt, die Annahme selbst unwahr ist. Und hierin liegt die Art des indirekten Beweises. Man nimmt alle, außer der behaupteten Wahrheit noch mögliche Fälle an, und zeigt, daß sie auf Unwahrheiten führen, wonach bann die Behauptung selbst wahr ist, wenn rin Fall nothwendig ist.

Jede weitere Ausführung der vorstehenden Erklärun­ gen, Vergleichungen beider Brweisformen, Bemerkungen über sie u.s. w.; würde die Grenzen eines Grundrisses überschreiten. Dagegen dürfen, wenn der Anfänger nicht oft auf Schwierigkeiten stoßen will, deren Beseitigung von Seiten der Mathematik nicht geschieht, sondern die rein

Einleitung.

15

logischer Art sind, folgende Bemerkungen nicht Übergängen werden. a. Wird ein Satz behauptet, der unendlich vielt Falle unter sich begreift, d. h. ist die Behauptung allgemein, so kann es nicht genügen, wenn man einen oder mehrere Falle zeige, in denen die Behauptung richtig ist,, sondern der Beweis muß allgemein geführt werden. Wie dies in der Mathematik geschieht, wird in der Folge gelehrt werben. b. Wird behauptet: daß eine Aussage nur in ge­ wissen Fällen wahr in anderen aber unwahr sey; dann ist der Beweis hinlänglich, der einen oder ei nige Fälle durch Beispiele anfährt, wo der Ausspruch gilit und dann auch wo er nicht gilt. c. Oft kann man zeigen, daß eine Behauptung nur eine gewisse Menge Fälle enthält; dann ist bk Behaup­ tung bewiesen, wenn man jeden einzelnen Fall besonderbeweiset. d. Wird bei einem Salze die Behauptung zur Vor, aussetzung, und diese zu jener gemacht; so ist der hierdurch erhaltene neue Satz, der umgekehrte Satz des erste­ ren. Daß ein Satz der wahr ist, nicht umgekehrt wahr zu seyn braucht, es aber seyn kann; läßt sich durch Beispiele leicht zeigen. Wird daher ein Satz in der Ma­ thematik bewiesen, und man behauptet den umgekehrten Satz; so muß auch dieser bewiesen werden. e. Wenn bewiesen ist: daß bei einer gewissen Dor, aussetzung, eine Folge stet- eintritt; so ist auch dabei so­ gleich bewiesen, daßr wenn jene Folge nicht wahr ist, auch jene Voraussetzung nicht stattfinden kann (denn fände sie statt, so müßte ja dem Ersteren zufolge, die Folge eintreten, was nicht seyn soll) *). — Die- halte man für keinen umgekehrten Satz.

*) Die- ist ein apag »gisch er Beweis de» oben gemachten Lu5-4__ 3-7-4-3-S 5 “ 5

i 5

— 252,

oder sogleich 3.7.3.4 = 252.

9. Man kann sagen: ein Bruch entsteht aus der Drucheinheit (§. 5, 5.), indem man dieselbe mir dem Zäh, ler vervielfältiget und dann das Vielfache durch den Nen­ ner theilt, ober: indem man die Brucheinheit durch den Nenner theilt, und das Resultat mit dem Zähler verviel­ fältiget.

Denn: ^- = ^=a.-^. b

b

b

Urberhaupt ist eS

a b allgemein einerlei, ob man bei erst » durch b ver­ vielfältigt und dann durch c theilt, oder ob man erst theilt (die eine Zahl) und dann den Lhrll vervielfältiget. Dies kann beim Rechnen zuweilen auf bedeutende Abkür-

Kapitel II.

Hauptstück I.

62

jungen fuhren.

Z. B.

24-36_ _ 04 8 ~ tT ♦ 36 = 3.36= io8,

statt 10. Gleiche Größen durch gleiche Zahlen getheilt, giebt gleiche Resultate. (Vergl. §. 16, 2.; die Sätze Nr. 3. und 4. daselbst, sind hier leicht analog zu übertragen.) 11. Auch die Theilung kann fortgesetzt werden, d. h. das Resultat der Theilung zweier Zahlen, kann von Neuem, dies Resultat wieder u.s w. getheilt werden. Wollte man die- anbeulen, so müßte man durch längere Striche die a

jT

neuen Theiler immer gehörig absenbern; z. B. -£-u. f.ro. _24_ ES würde also z. B. geben —— = | = 2. Man fleht leicht, daß hierbei Fälle vorkommen können, die bis jetzt _2_ noch nicht leicht zu beurtheilen und zu lösen find, z.B. u. dgl. m., daher diese Formen näher zu beleuchten, noch vorbehaltrn bleibt. Daß übrigens hierbei alle Zahlen un­ benannt seyn müssen, oder höchstens die eine zuerst zu »heilende benannt seyn darf, ist aus dem Früheren zur Genüge klar. Eben so: daß hierbei die Ordnung der ver, schiedenen Tahlcn nicht gleichgültig ist (vergl. §. 16, 6. und 7.).

-f-

12. Der Theil wird so viel mal vergrößert (ver, vielfältiget) oder verkleinert (getheilt), alS man die zu theilende Zahl vergrößert oder verkleinert*). Denn: wenn

= c, so ist ^=^-.n = c.n; nennt man aber

a=p.q,

.

a

p. q

p

p

c

so Ist - = ^ = -.q = c, also - = -

♦) Dies sind zwei verschiedene, nende Behauptungen.

wol von einander -u tren­

V. d. einfachen Rechnungarten mit ganzen Zahlen.

63

(Nr. 10.), d. h. wenn man a (oder p.g) 4mal verkleinert, so ist der neaeTheils, auch 4mal kleiner, alS der frühere c. 13. Der Theil wird so vlelmal vergrößert oder verkleinert, alS man den Theiler verkleinert oder

vergrößert.

n. m gesetzt wird -£• — 7—=

und (Nr. 10.)

wenn

c, so ist, wenn b--

Denn: es sey cr

also (Nr. 6.) a — n.m.c,

c. in (die erste Behauptung).

Ferner

— c, also a = b. c, so ist a.d — b.c.d (§.16,

2.), und hiernach ~ = c = ^.d = c, daher

—

(Nr. 10.), welches die zweite Behauptung ist. 14. Es wird daher der Theil ungeandert blei­ ben, wenn die zu theilende Zahl und der Theiler beide gleich vielmal vergrößert, oder beide gleich, vielmal ver­ kleinern werden.-(Liegt unmittelbar in Nr. 12. und 13.) Anmerk

i.

Die Sätze Nr. 12. und 13., so wie einige der frü­

heren Satze, sind fast indem man sie nennt sogleich deutlich, ti wurden aber jene Beweise mit Buchstaben hier noch angegeben,

um früh an sie zu gewöhnen.

15. Man nennt eine Zahl gerade oderPaarznhl, wenn sie durch 2 getheilt keinen Rest läßt; bleibt aber 1 zum Rest, so heißt sie ungerade oder Unpaarzahl. An merk. 2. Wenn der Theiler oder die zu theilende Größe Null werden, so soll das Resultat in der Folge untersucht werden«

§. 22. Aufgabe. Die Rechnungen §.9, §. 13. und §. 18, mrt benannten Zahlen zu vollziehen. Auflösung. Es bedarf hier nicht mehr als der bloßen Andeutung, indem die vorigen Paragraphen be reits alles vorbereitet haben. Nach §. 10, 5. müssen die zusammenzuzählenden oder von einander abzuziehenden be­ nannten Zahlen, nicht nur gleichartig, sondern auch gleich-

64

Hauptstück I.

Kapitel II.

benannt seyn; sind sie dies letztere noch nicht, so muß man sie mit der, für jeden besonderen Fall zu entlehnenden

Reductlonszahl, erst auf gleiche Benennung bringen, wozu man gewöhnlich die kleinere Benennung wählt, so daß durch Vervielfältigung (§. 13.) der größeren Be­ nennungen mit der Reductlonszahl, die kleinere, als die gemeinschaftliche erscheint; will man kleinere Benennungen auf größere bringen, so muß man mit der Reductlonszahl

elneThetlung (§. 18.) vornehmen, wobei aber die Bruch­ form häufig erscheint, die unter allen Umständen zu be­ handeln, erst später gelehrt wird. Bemerkungen mancher­

lei Art lassen sich hier anstellen,

die jedoch der Rechner

bald selbst macht. Der besondere Fall muß scharf gefaßt, und das was er bedingt, gleichsam in die mathematische (hier arithmetische) Sprache übertragen werden; die Ver­ knüpfung der gegebenen Größen richtig zu bewirken, bleibt aber auch hier dem Rechner für jeden Fall Vorbehalten. (Dergl. Einleitung I., über die Aufgabe.) Ein Beispiel mag hier genügen. ES hat jemand an einem Orte 4 Thaler 14 Slbrgr.,

an einem andern Orte

9 Thlr. 2i Sgr. zu empfangen,

aber an einem dritten

5 Thlr. 27 Sgr. zu zahlen. Er bestimmt, daß das, was er hierdurch überhaupt erhält, dreimal genommen (tt er»

dreifacht) und dann unter fünf Personen zu gleichen Theilen vcrtheilt werden soll. Wie viel erhalt jede Persons 9Th!r.' 2lSqr'! zusammengezählt, giebt 13 Thlr. zzSgr. oder, da 30 Sgr. — i.Thl.,

i4Thlr. 5 Sgr. Hiervon 5 Thlr. 27Sgr. abgezogen, muß iThlr. beidemi4ten Thaler wieder geborgt werden, d. h. man hat von einander abzuzlehen, bleibt

8Thlr. 8Sgr. Dies verdreifacht, giebt 24Thlr. 24Sgr-, und hiervon der ;te Theil, ist

V. d. einfachen Rechnungarten mit ganzen Zahlen»

65

—4 Thlr. — Sgr. ---4Thlr. + f Thl. + 4Sgr. + f Sgr. 5

-- 4 Thlr. 4-

5

Sgr. + 4 Sgr. +

Pfrnnlge

— 4 Thlr. + -4 Sgr. + 4 Sgr. + V Pfennige — 4 Thlr. 28 Sgr. yPf. 4*1 Pfg., was man auch schreibt 4 Thlr. 28 Sgr. 9;-Pfg. Anmerk. Die §. io., Anmerk., genannten Junkerschen Rechen­ tafeln, haben Beispiele in Menge hierfür.

§. 23. Erklärung. Addirrn heißt: eine Zahl, daS Aggregat ge­ nannt finden, welche aus der Vereinigung zweier oder meh­ rerer Zahlen, entsteht. §. 24. Aufgaben 1. Zwei Zahlen zu addiren. Auflösung. In der Erklärung des vorigen §. liegt ganz allgemein, daß die zu addirenden Zahlen zwar von gleicher Art seyn müssen, aber doch von ungleicher Eigenschaft seyn können, denn entgegengesetzte Zahlen können eben sowol vereinigt werden, als Zah­ len von derselben Eigenschaft. Nur liegt im Begriffe der Vereinigung und der entgegengesetzten Größen (also auch entgegengesetzter Zahlen) daß entgegengesetzte Größen sich in einander t tlg en (Einleitung VI., gter Grundsatz), also, im Fall sie ungleich groß (ohne Rückstcht auf ihre Ei­ genschaft) find, die kleinere von der größeren abgezogen werden muß, so wie man sie zusammenzuzählen hat, wenn sie dieselbe Eigenschafthaben. Demnach ist z. B. 4-6 und, 4~10 unb,4*5 und, —2 und, — n und 4-8 — 4 —8 —7 4-rr 4-14 4-6 —3 —9 o 2. Jede beliebige Menge von Zahlen zu addlren. Auflösung. Da das gesuchte Aggregat das Ganze, die zu vereinigenden Zahlen aber die Theile Forsinrr'S Grundriß. 5

66

Hauptstück I.

Kapitel II.

sind, die erst in der Vereinigung da-Ganze barstellen; so ist die Ordnung der zu addlrenbtn Zahlen gleichgültig. Man zähle also erst die Zahlen, von denselben Eigenschaf­ ten zusammen, und nachher vereinige man von neuem die beide» Summen- Z. D. — 7) — ?) — 14

+ 4r “ sr 4~12 4- 8>addirt, ist gleich — 2) = 3 aW Aggre-

— 5\

+ 4l + 8)

— 2] Anmerk. len,

gat-

Uebungaufgaben für das Addiren entgegengesetzter Zah­

findet man Tafel i. bis 3. meiner,

genannten Sammlung,

schon §. 10. Anmerk,

welche Sammlung immer gemeint ist,

wenn künftig Uebungaufgaben ohne weitere Bemerkung wo sie zu

finden sind, citirt werden.

§. 25. Grund- und Zusätze. 1. Gleiche Zahlen zu gleichen Znhlbn abdlrt, giebt gleiche Zahlen. (Siehe Einleitung Nr.Hl., und vergl. §. 11, 2. Die Addition ist eine Rechnungart, welche das Zusammenzählen und Abziehen voraussetzt. 3. Als Regel, d. h. als kurze Angabe wie man bas Aggregat erhalt, ist bas, in Nr. 2. des vorigen §. angegebene Verfahren zu nehmen.

§. 26. Erklärung. Subtrahiren heißt: eine Zahl die Differenz genannt, finden, welche zu einer gegebenen Zahl, die der Subtrahendus heißt, addirt, eine andere gegebene Zahl, den Minuendus genannt, erzeugt. §. 27. Aufgabe. Zwei Zahlen von eknanderzu subtrahiren. Auflösung. Man nenne den Minuendus M, den Subtrahendus aber 8, die zu suchende Zahl, d. h. die Differenz aber D. Da nun kn der Erklärung des vorigen §.

V, d. ein fache« Rechnungarten mit ganzen Zahlen.

67

ganz allgemein vonZahlen geredet wird; so könnt« die zu subtrahirenden Größen (wenn ste auch der, laut Erklärung vorzunehmenden Addition wegen, gl« lchartig seyn müs­ sen) von beliebigen Eigenschaften unter einander seyn. Man setze daher den MinuenduS als + M*), den SubtrahenduS aber als + 8, und weil die Eigenschaft der Diffe­ renz auch noch nicht entschieden ist, fetz« man fte + D. Nun verbinde man diese drei Größe« laut Erklärung §. 26.; so soll seyn: + S addirt mit + D =+ M. Will man also, was doch der Zweck ist, + D haben, so addire man zur Summe aus: + S addirt mit + D, den Werth + 8 entgegengesetzt, welches man durch + 8 andeuten kann (d. h. indem man das Zeichen + umgekehrt setzt), so verschwindet 8 durch daS gleich große entgegengesetzte ±S; damit man aber die bedingte Gleichheit mit + M nicht verliert, so addire man jenes + 8 auch ju + M (§. 25, 1.) und man erhält + D = +M addirt mit +.S.

Somit ist die Aufgabe allgemein, also für jede» besonde­ ren Fall erfüllt, und als Regel wird man hiernach er­ halten : Um die Differenz zu finden, addire man de« Subtrahend«s, nachdem man ihm die entge, gengesetzte Eigenschaft gegeben hat, zum Mtnurndus; das Aggregat ist bann die ge­ suchte Differenz. Als Beispiele mögen hier stehen: Minuenden ) —14, +8, +10, — 7, 4-io, — 8 Subtrahend. )-f- 6, —4, —i?, +n, 4-16, —10 Man fetze die entgegengesetzten Zeichen der Subtrahenden,

*) Ueber die Bezeichnung + sehe man Nr, VL der Einleitung. 5'

Hauptstück I.

68

KnpitrL II.

über die ursprünglichen *), und versah« mit dem nuymrhr geänderten Eubtrahenbus, nach §. 24,1., so erhält man: —14> 4-8, 4-10, — 7, +>o, — 8 + 6, +4, +15, dh 16, +10 Differenj«» —so, 4-12, +s;, — ig, — 6, 4- 3 Anmerk.

Tafel 4 die 6 meiner Sammlung haben die Uebung­

aufgaben hierüber.

§. 28. Grund- und Aufätze. 1. Von gleichen Zahlen gleiche Zahlen sübtrahirt, giebt gleiche Differenzen (vrrgl. §. 25, i.). 2. Mehrere Zahlen von leinander subtrahiren, hat keinen anderen Sinn, als: von der Differenz zweier be­ reits subtrahirter Zahlen, eine dritte, von der neuen Differenz eine vierte, u. s. w. Zahl zu subtrahiren. Die Ausführung dieser Bedingung,, ist auS dem vorigen §. deutlich. 3. Die Subtraktion ist eine Addition mit der entge­ gengesetzten Eigenschaft des Subtrahendus, zum unge'änderten Mknuendus. 4. Man kann-eben so gut sagen: zwei fund ähnlich bei mehreren) Zahlen addirrn, giebt dasselbe Aggregat, als die Differenj wird, wenn man eine der zu addlrenden Zahlen mit der entgegengesetzt genommenen Eigenschaft, von der ungeänderten anderen Zahl su b t r a h i r t. Hiernach sagt man auch wol: Addition und Subtraktion seyen en t, gegengesetzte Rechnungarten. 5. Soll man Zahlen addiren, so setzt man sie, ohne weiteres Zeichen für die Addition neben einander, nachdem man die Zeichen ihrer Eigenschaft vor sie gesetzt hat. Z. B. 4-8 —5 —7, heißteS soll 4*8 mit —5 und —7 adbirt werden; das Aggregat, hier —4 ergiebt sich nach §. 24, 2. *) Wenn man sich an tiefe Ordnung gewöhnt, ist man weniger dem Irrthum unterworfen das ursprüngliche Zeichen wieder zu erken­

nen, das alsdann immer daS untere ist.

V. d. einfachen Rechnungarren mit ganzen Zahlen. 69 6. Sollen zwei Zahlen von einander fubtraMrt wer« den, so setzt man denSubtrahendus mit 'dem entgegen­ gesetzten Zeichen, an den MlynrnduS; z. B. vdn — 4 soll — 9 fubtrahkrt wevdW, so ist dies —4+9; diese Bezeich­ nung gilt nach Nr,5. für dieÄddÄkm, von —4 und +9, wonach + 5 als Resultat erscheint. Daß die gesuchte Differenj von — 4 und — 9 dasselbe Nesulsgt ist, folgt nun­ mehr einfach auS Nr. 3> 7. Hat man also allgemein +a+ b, so kann dies heißen: soll +I> additt, oder von £fa soll ±b subtrahirt werden. Rach Nr. z. und 4. giebt jede Leseart dasselbe Resultat.

8. Wan hat zum-Zeichen der Addition, das Zeichen 4-, und zum Subtraktionszeichen das Zeichen — gewählt. Aus dem bisher Gesagten ergirbt sich, wie die Wahl der­ selben Zeichen", fürGrößdn und Derrkcht'irngen, den­ noch keinen Irrthum weiter erzeugen kann. Matt nehme nemjich tttt, daß bas erste Zeichen welches einer Größe folgt, die Verrkchtung (Rechnung), das zweite Zei­ chen aber die Eigenschaft andeute; so heißt 4-«4—j-d so viel als 4-a-j-b (Nr.5.) - ^ä—b (9lr. 5.) ----- i» 4-a —4-b ♦ — b (Nr.z. U. 6.) - ^a-j-b (Nr.z. u. 6.) LjZa------ b ♦ Nun heißt 4^ a + b so viel äW : iu +a addirt 4-b (Nr.5.) ferner # +a * —b (Nr. 5») HH a — b , s » +a » — b, oder subtrahirt —b - + b (Nr. 4) «= +a # 4-b oder subtrahirt 4^ a-f-b - — b (Nr. 4.) Wird demnach die Rechnungart und die Eigenschaft der Zahlen sogleich berücksichtigt, so kann man mit ei, nem Zeichen, das Resultat anbeuten; was «S vollzog

/u

, Jjüup£|tuct. 1.

jlupitel 11.

gen, d h. als Ganzes wird, hängt von der besonde­ res Eigenschaft der ah. (Veril Nr. 7.) 9. Wie die Bedeutung bei mehreren, mit den Zeichen und — neben einander stehenden Größen ist, erhellet nunmehr sogleich,, bet Vergleichung mit Nr. 5. u. 2.

rb. Es ist jetzt auch deutlich, warum das Zeichen des Zusammenzählens -f-, und das des Abtiehrns — ist; denn: soll man -j-a-J-b nach $.9, 1. suchen, so erhält man dasselbe Resultat, als. in der Bedeutung h. 23, und eben so giebt a—b nach §. 9, r. (tpo a > b seyn muß), dasselbe Resultat als «och §. 23, wie §. 24, 1. zeigt. Das Abziehen der b von a, ist. also ein einzelner Fall der Subtraktion (dje häufig ein Jusammrnzählen ist, wie §. 27. lehrt), und das Zeichen der Subtraktion für den be­ sonderen Fall zu gebrauchen, ist kein Fehler. 11. Wenn man den MInuendus und Suhtrahendus mit einander vertauscht, d. h. statt + M + S setzt + S + M; so erhäst man dieselbe Differenz als Zahl» mit dem eptgegengesetzten Zeichen. Man kann sich so, gleich hiervon überzeugen« wenn man die vier Fälle, welche die obigen Differenzen im Allgemeinen darstrllen, einzeln betrachtet» denn gab (nach §. 27.) T) subtrahier +M-S, so giebt I^^subtr.-s-8-iVl

, -S-M

S) ±s|

*

+M+S, ,

-

3) +8 }

-

-M-S, ,

-

-

4-S+M

4) Zs!

*

-M4-S, .

, Zm! -

-S+M

±£|

R«n ist leicht zu sehen, daß wenn: beim isten Falle 4-M—S=+D war, nun 4-8—M=+D ist, - sten - -i-M4-S=-j-D * - —s—M=—D -

- Zten ♦ 4ttn

- —M—S=—D - —M4-S=+D

-

- 4-5'+M=+D - —S-j-M=+D -

V. d. einfachen Rechnungarten mit ganzen Zahlen. 71 (War beim ersten Falle S, so wurde-j-M - S=4-D, also ist auch bei 4-3 —lVl, 8 < M, also -J- 3 — M=— D, und eben so del dem 4tenFalle; berate und zte sind ein« fach klar.)

12. Wenn mehrere Zahlen nach Nr. 5. addirt wer­ den sollen, und daher neben einander gesetzt werden, so giebt man der ersten, im Falle sie positiv ist, kein Zei­ chen; z. B. a +b = -|-a ^b. Dies kann weiter keinen Irrthum veranlassen, denn wenn mit entgegengesetzten Zahlen gerechnet wird, so hat jede vorkommende Zahl eine von beiden Eigenschaften, und es kann daher nicht die Meinung entstehen, als habe bei a+ t>, die a noch keine besondere Eigenschaft. Das jenes Weglassen des Zeichens nur zur Abkürzung dient, also nicht wesentlich ist, versteht sich von selbst. 13. Leicht einzusehen ist die Behauptung: Wen« zu einer der, zu addirenden Zahlen, eine beliebige Zahl ad­ dirt wird, so Ist dies so gut, als wär« sie zum Aggregate selbst addirt. Daher ein Aggregat auch ungeändert bleibt, wenn man zu einer Zahl eine beliebige Zahl zu ei­ ner anderen aber jene Zahl entgegengesetzt, d. h. + z ad­ dirt. Es kann oft Vortheil bringen zu setzen a 4-b — b=a, indem 4-b —b = o und a-|-o = a ist.

14. Eben so einleuchtend ist die Behauptung: wird zum Mlnuendus eine Zahl addirt, so ist sie auch zur Dif­ ferenz addirt; addirt man sie zum Subtrahendus, so ist sie zur Differenz entgegengesetzt addirt; daher bleibt eine Differenz ungeändert, wenn man zum Mlnuendus und Subtrahendus gleich viel addirt lz. B. +7 —n = +4/ addirt man zum Minuendus der 4-7 ist, - 4, so wird er 4-3, und da der Subtrahendus 4-" ist, so giebt 4-11—4 = 4*7/ subtrahirt man also von 4-3 die 4-7, d. h« 3 —7, so ist der Rest wieder 4~4; welches Beispiel zur Uebung im richtigen Beurtheilen der Eigenschaften der

72

Hauptstück L

Kapitel II.

Zahlen und der Bedeutung der angejeigten Verrichtungen hier steht). : 15. Man bedient sich auch häufig statt Aggregat, des Wortes Summe, und nennt die ju addtrendcn Zah­

len die Summanden; eben so sagt man statt Differ.enz, oft Rest. Wie diese Begriffe sich unterscheiden, ist auö §. 9, im Vergleiche mit §. 23. und §. 27. deutlich. Irrthümer beim Rechnen kann diese Übertragung des Wortes für den eingeschränkteren Begriff auf den allge­

meineren, hier nicht weiter veranlassen; den« wenn auch z. B. nicht einzusehen ist, wie man beim Subtrahlren der —10 von —4, den Rest -s-6 (——4 + 10) erhalten soll, wenn dies Wort nach §.9,2. genommen wird, so kann, nachdem diese Begriffe In ihrer strengen Bedeutung geschieden und festgestellt sind, ein Irrthum weiter nicht

entstehen, wenn man jene Differenz-j-6, Rest nen­ nen will. (Vergleiche §. 37.) §. 29. Erklärung. Multipliciern heißt: eine Zahl finden, die bas Product genannt wird, welche auf eben die Weise aus einer gegebenen Zahl, die der Multiplicandus heißt,

entsteht, wie eine andere gegebene Zahl; der Multipli­

kator genannt, aus +1 entsteht. —

Die zu multipiici-

rendeffZahlen heißen gemeinschaftlich die Factor en, und verbindet man sie durch einen Punkt, als Zeichen der Multiplicatlon mit einander. §. 30. Grund- und Zusätze. 1. Die Multiplikation bedingt also stets, daß die Faktoren positiv oder negativ sind, denn der Multiplika­ tor soll auS 4~1 entstehen, gegengesetzten Größen hier diese Entgegensetzung durch Multlplicandus übertragen.

also liegt der Begriff der ent­ schon zum Grunde, und wird die Erklärung, auch auf den Welche Eigenschaft übrigens

jeder der beiden Faktoren hat, hängt von den besonderen Fällen ab.

V. h. einfachen Rechnungarten mit ganzen Zahlen. 73 s« Um das Product zu finden, hat man also einmal «ine Zahl, und zweitens deren Eigenschaft zu fin­ den. Die Erklärung §. 29. ließ es ganz gleichgültig, ob die zu multiplicireoden Zahlen ganze Zahlen oder Brüche find. Was also die zu findende Zahl (d. h. ohne noch auf ihre Eigenschaft zu sehen) anbetrifft, so hat man auf das Entstehen des Mulkiplicators aus 1 zu sichen; ist er eine ganze Zahl, also ein Vielfaches aus 1 (§. 5, 1.), so wird das Product (als Zahl) ein Vielfaches vom Multipllcandus, ist aber jener Factor ein Bruch, so braucht baS Product durchaus kein Vielfaches vom Mult.'plicandus zu seyn; hierbei ist §. 21, 9. besonders zu berücksichtigen. 3. Der Multiplikator ist stets unbenannt, weil -f-r es ist, das Product aber ist mit dem Multiplicanbus stets gleichbenannt, da es aus ihm entsteht, kann aber mit ihm von verschiedener Eigenschaft seyn. 4. Es braucht also das Product kein Vielfaches vom Multiplicanbus zu seyn (Nr. 2. und 3.), daher Multiplkciren auch nicht mit Vervielfältigen einerlei ist. An merk. Man vergleiche mit diesen Sätzen, §. 14, so wie Nr. VI. der Einleitung.§. 31. Aufgabe. Zwei Zahlen mit einander zu mnltipliriren. Auflösung. Wir habe« nur die Eigenschaft des Produktes, in Hinsicht der Eigenschaften der Factoren zu untersuchen, denn die Zahl des Produktes zu finden, hängt von den Factoren als Zahlen dergestalt ab, daß man den besonderen Fall nur noch zu berücksichtigen hat. In Hinsicht der Eigenschaften find vier Fälle zu unterscheiden, i. ES soll daS Produkt aus -f-m.-j-a gesucht wer­ den *). Da -j-v aus -l-i entsteht, indem man nach Ent­ stehung der Zahl n aus i, daS Zeichen + (d. h. die ♦) Dt« inerft, also vor dem Puncte stehende Zahl, ist der Mutti« plicandus; dasselbe gilt bei den anderen Fallen.

74

Hauptstück I.

Kapitel II.

positive Eigenschaft) beibehalten hat, so muß man auch (nach §. 29.), nachdem man das Product, daS als Zahl p heißen mag, aus m hat entstehen lassen, das Zei­ chen der +m beibehalten. Also ist Has Product -f-p, t>« h. r|r.ni♦ -f- n — -f-p» s. Man suche -f-m.— n. Die—n ist aus -f-a entstanden,-indem man brr Zahl -f-n die entgegengesetzte Eigenschaft gab, also indem man -f-n aus -f- c entstehen ließ, und dann der -f-n dix entgegengesetzte Eigenschaft giebt. Man lasse also die Zahl des Produktes» d. h. p eben so aus -f-m entstehen, welches -f-p giebt, und gebe dem -f-p die entgegengesetzte Eigenschaft, so erhält man —p zum Product. Also-f-—p.

3. Es ist —in.-f-n zu finden. Es entsteht -f-a aus -f-i indem man der Zahl n, nachdem fie auS i " ent­ standen ist, die positive Eigenschaft laßt. Nachdem also die Zahl p aus m entstanden ist, lasse man die Eigenschaft der — m, d. h. die negative Eigenschaft, der Zahl des Prvductts, welches daher —p ist, d. h. — m.4-n = — p.

4. Endlich soll —m. — n gesucht werden. Es ent­ steht die — n aus -f-1, indem man die Eigenschaft der -f-n die zuerst aus +1 entsteht, entgegengesetzt nimmt; also nehme man auch die Eigenschaft der Zahk der Pro­ ducts, Welche Zahl, als aus —m entständen, zuerst — p ist, entgegengesetzt, so hat man das Product-f-p—— m.— n. Anmcrk. 1.' Als Beispiel diene: man sucht daS Product aus — 4.— d. h. zweier negativen Brüche, deren Bedeu­ tung nach §.20,4. und §. 2i, 9. bekannt ist. Die Eigenschaft des Productes ist nach Nr. 4. die positive; um die Zahl zu finden, sage man: | entsteht auS 1, indem man 1 durch 5 theilt, tinb den Theil, der | ist, dreimal nimmt (§.21, 9.); also theile man auch £ durch 5, das giebt & und nehme diesen Theil Zmal, das giebt (§. 21, 12. u. 13 ); also — | —Daß daS Product hier keine Vervielfältigung des Factors — 4 ist, ist auö drei Ursachen klar ist als Zahl < die po­ sitive Größe kann nie ein Vielfaches der negativen

V. v- elnfache» Rechnungarten mit ganze» Zahlen.

75

Zahl —K seyn; und endlich muß bet der Vervielfältigung, d ie Größe welche vervielfältiget eine ganze Zahl und ohne Eigen­ schaft seyn. Vergl. §. 14.) In anderen Fällen, selbst z. B. bei —1.4-5 = —2, ist — L das Fünffache von — | d. h. — f $ mit 5 vervielfältigt. An merk. 2. Auch braucht man zur Verbindung ter Factoren, daß Zeichen x (vergl. §. i6z 8.).

§. 32* Zusätze. 1. Gleiche Größen mit gleichen Zahlen multkpsicirt, geben gleicheProbucte. Wie bleS bei gleichen mit ungleichen Factoren seyn wird, ergiebt sich aus Einleitung III. 2. Die Regel bei der Multiplikation, aus jenen vier Fällen des vorigen §. hergelritet, ist: sind die Zeichen der beiden Factoren dieselben (also beide -s- oder beide —), so ist das Product positiv, bet entgegengesetzten Zeichen aber, wird es negativ. 3. Mehrere Zahlen mit einander multipliclren, heißt, das Product aus zweien, mit einer dritten Zahl, daS neue Product mit einer vierten Zahl u. s. w. multipliclren. Das Zeichen des Productes zu finden, kann nunmehr nach Nr. 2, wenn man nach und nach die Multiplikation vollzieht, nicht mehr unbekannt seyn. Also auch hier hangt daS Pro­ duct von den Factoren auf zwiefache Weise ob, nemlich: von den Zahlen und den Eigenschaften der Factoren. 4. Das Zeichen eineS Produktes bei einer beliebigen Menge Factoren, wird das positive oder das nega, tive seßa, je nachdem die Menge der negativen Fqctoren eine gerade oder eine ungerade Menge ($.si, 15.) ist. Denn: nach Nr. 3. u. 2. ist leicht einzusehen, wie zwei negative Factoren, das Product positiv, der dritte negative Factor «S wieder negativ u.s.w. macht, ohne darauf zu achten, ob, und wieviele positive Factoren da, zwischen vorhanden sind, denn diese ändern bas negative Product nicht. Z. B. —a.-j-d. —v. — d.—v.-j-t.—g;

Hauptstück I.

76

Kapitel II.

zurrst ist —a.4-b = — n (die Zahl desProductes heiße n)z< bann —n. — c==-J-m, bann 4-ip. —d = —p# ferner — p.—e=+q, -j-q.+f=+kz 4-k.—g = —t;

die Menge der negativenFactoren war fünf. WaS also bas Zeichen des Productes anbetrifft, so sieht man, daß die Ordnung berFaetoren ganz glekchgältlg ist. 5. Das Product zweier Factoren wird dasselbe auch tu der Zahl, wenn man beide Factoren miteinander verwechselt. Denn: sind beide ganze Zahlen, so ist dies nach §. 16, 5. klar, indem alsdann bas Product, daS Vielfache beider Zahlen' ist. >

Sucht man aber p. c,

so

ist nach der Erklärung §. 29. und den Sätzen des h. 21,

besonders Nr. 12. u. 13. *), das Product ~, und — » multiplickrt mit -j-m — n giebt dasselbe Product. Nach §.28, 11. und dem so eben Gesagtem, ist dies sogleich klar, denn bet beiden Factoren werden nur die Zeichen verwechselt; z. 85. 9 — 7 multlplicirt mit 3 — 8, ist 2.-5 = —10, so viel alS 7 — 9 mit 8—3 6. 6.^—10 = — s.4-5. 8. Wir man bei mehreren Factoren zu verfahren hat, wenn das Product ganz dasselbe bleiben soll; ist aus dem Vorigen leicht zu beurtheilen, und ergiebt sich einfach in vorkommenben Fällen. 9. Das Multipliciren ist eine Rechnung, die das Vervielfältigen und Theilen voraussetzt. Dies liegt höchst einfach in den Mitteln, deren man sich zur Vollziehung der Multiplicatlon bedient. 10. Ist ein Factor auch nur Null, so ist das Pro­ duct Null (vergl. §. 17. Zusatz i. mit §. 30, 2.); das Null kein Zeichen hat, ist schon Einlrlt. VI. erwähnt. §. 33» Erklärung. Dividiern heißt: eine Zahl, der Quotient ge­ nannt, finden, welche eben so auS einer gegebenen Zahl, den Divdendus genannt, entsteht, wie aus einer e«de­ ren gegebenen Zahl, die der Divisor heißt, 4-r ent, steht. Man trennt die zu dividirendrn Zahlen *) durch *) Sie haben keinen Namen gemeinschaftlich; man würde sie zweck­ mäßig: DivisionS-Factor en nennen können.

78

Hauptstück I.

Kapitel IT.

das Zeichen: so baß der Dividend«- vor (links), der Di, vlsor nach dem Zeichen steht. §. 34. Grund, und Zusätze. Bet Vergleichung der Sätze kn §. 30., wirb e- leicht seyn, folgende Aussagen zu verstehen. 1. Die Diviston setzt Zahlen voraus, dle im Gegen­ satze bereits befindlich find, d. h. der Division liegt der Begriff der entgegengesetzten Grüßen zum Grunde. 2. Um den Quotienten ju finden, hat man die Zahl und die Eigenschaft desselben zu suchen. Indem man den besonderen Fällen gemäß, die Zahl des Quotienten bestimmt, wollen wir im folgende« §. das Zeichen des, selben zu bestimmen suchen. 3. Der Divisor ist stetS unbenannt. Der Quotient mit dem Dividendus gleichbenannt, kann aber mit ihm verschiedene Eigenschaft haben. 4. Da die zu divldirenden Zahlen ganze Zahlen ober Brüche seyn können, so ist schon, wie auch aus der Er­ klärung §.33. folgt, deutlich, daß Dividiern ketnThet, len zu seyn braucht. Anmerk. Vergleiche diese Sätze mit §. 19. und Einleit. Nr.VI.

§.35. Aufgabe. Zwei Zahlen durch einander zu dividkren. Auflösung. Durch §.31. dazu vorbereitet, können wir uns sogleich zu den auch hier nur möglichen vier Fällen wenden. i. Es soll-j-a r-j-b *) gesucht werden. Man nenne bte Zähl des Quotienten g. Hat man nun, dem beson­ deren Falle gemäß, aus 4-b die 4-i entstehen lassen, so ist hierbei das Zeichen + der -j-l> beibehalten; also lasse man auch aus die g entstehen, indem man das Zei, chen der +« beibehält; d. h. man erhält-f-g—-f-u:-j-b. ') Ausgesprochen 4-a dividirt durch 4-b.

V. d. einfachen Rechnungarten mit ganzen Zahlen-

79

2. Es ist — u:-l-k> zu suchen. Nun hat -j-i das­ selbe Zeichen alS +b/ daher auch der Quotient dieselbe Eigenschaft als —a, d. h. man erhält —q —-^a:4-b 3. Soll +a: — b gefunden werden. Da zunächst aus — d auch nur —1 entsteht, und man dieser —-1 bas entgegengesetzte Zeichen noch zu geben hat, um laut Er­ klärung die 4-i i« erhalten; so muß man auch der zuerst aus 4-a entstehenden Zahl 4- m

angenommen, fo wie (biS jetzt noch) vorausgesetzt wirb, daß n und m ganze positive Zahlen find. Bet m>n, •) Et ist nicht zu übersehen, daß nach der Erklärung §. 40, 4. d Leselben Factoren-u einer Potenz gehören, also— —rft’ keine Potenz ist.

Hauptstück l.

90

i- D. p, erhält man

Kapitel III.

, wie die Aenderung des Aus­

drucks —— nach §. 36, 7. einfach zeigt. ppppp

5. Ja Verbindung mit Nr. 2, kann mau also z. B. die Zahl n, darstellen als i.u1. 6. Potenzen erhält man durch wiederholte Multipli­ kation. Soll daher eine Complexion potenzirt werden, wo man zur Bezeichnung den Exponenten außerhalb der Pa­ renthese (§. 40, 2.) setzt, als z. B. (n — pd-f-a)’, so kann die Vollziehung erst nach der Kenntniß der Mulli, plication der Complexlonen geschehen (stehe §. 45.). Ist aber tin Product zu pvtcnziren, so schließe man eö in Parenthese, und setze wikderum außerhalb derselben den Exponenten, z. B. (abc)f. Dann ist aber deutlich daß, dem Begriffe §. 40, 4. gemäß, diese Bezeichnung aufgelöset abc abcabc abc = aaaabbbbcccc {§. 17.) giebt, welches wieder als a4 M cA gesetzt, die Regel giebt: daß jeder Factor zu der gemeinschaftlichen Potenz zu er­ heben, und das Product dieser so erhaltenen Botenzen zu nehmen ist. Man verwechsele daher die Bezeichnung z.B. nma, wo nur ma mit '» zu multipliciren ist, nicht mit btt (um)a = r.a ma. Wie die Vollziehung der Potenjirung der Quotienten ist, wird sogleich klar seyn, wenn die Multiplikation derselben erst bekannt ist. §. 42. Aufgabe. Zusammengesetzte Duchstabenausdräcke zu addiren und zu subtrahiren. Auflösung. Sind einzelne Glieder in den gegebe­ nen Complexlonen, in den Buchstaben dieselben, ' also nur verschieben (oder auch gleich) in den Coefficientrn und Zeichen; so vereinige man nach $.41, 1. diese Glieder, fetze sie daher, der besseren Uebersicht wegen, wenn sie einzeln gegeben werden, sogleich unter einander. Geht diese Vereinigung nicht an, sobald die Buchstaben verschie.

Die einfachen Rechnungarcen mit Buchstaben.

91

den sind, so stelle man die ju vereinigenden Glieder mit ihren Zeichen neben einander, d. h. man deute die Ad» dition blos an, bis man Mittel hat, auch hier vielleicht noch eine Vereinigung zum Theil zu vollziehen. (Siehe §♦ 46, am Ende daselbst.) Also z. B.

— yab —5anm+4pt-4-3 36, 5. daß der Di-

visor mit dem Quotienten multiplicirt,

den Dividendus

giebt; so ist es, wenn man einen Ausdruck finden kannder sür die beiden gegebenen Größen dies erfüllt, in vkes len Fällen eine bedeutende Abkürzung, diesen Ausdruck für

den Quotienten zu nehmen; z. B. ionb — 5db4~l5bpd — 3o p b u 5b—>5pb Der allgemeinen Bedeutung gemäß, kann man diesen Aus-

druck auch so setzen10nb — 3op bn . i5bpd — 5 die beiden Zahlen, so dividlre man mit der kleineren in die größere, mit dem Reste in den vorigen Divisor, und so immer von Neuem mit dem Reste in den letzten Divisor. Da die Reste im, wer kleiner als die Divisoren find, so müssen die Reste stets kleiner und kleiner werden; sey dies auch nur im­ mer um Ein S, so muß doch endlich einmal Null zum Reste bleiben, d. h. die Dlviflon aufgehen. Der letzte Divisor ist dann da« größte gemeinschaftliche Maaß der gegebenen Zahlen, diese also Primzah­ len gegen einander, wenn 1 dieser letzte Divisor seyn sollte. Will man diese Verrichtung, des Beweises wegen, all­ gemein darstellen, so sey folgende Annahme bei a und b, wo a b seyn mag. a [ b | c ac

d [ a | n dn r | d | m rm ’ “Flr I 4 p

rr «o K

s-25 70#— 70 -If 56* —168 4*4° > =~ 5^80

I2OJ 48

weil geborgt

^58 O

7*A8ö werden muß.

193j daher

-4IH

die gesuchte Differenz ist.

Anmerk. Zur Uebung im Addiren von Brüchen dient Tafel 7. und 8«, im Subtrahiern Tafel n. und 12,

§. 74« Aufgabe. Brüche mit einander zu multipliciren. Auflösung. Da die Bestimmung derEigenschaft des Produktes aus den Eigenschaften der Faktoren nach ) Man hebe hier nicht, um nachher sogleich die gleichen Nenner zu haben.

142

Hauptstück I.

Kapitel V.

§. Z2, 2. bis 4. sich immer leicht ergiebt, so hat man hier nur noch die Zahl des Productes, sie heiße P, zu su­ chen. Es seyen also allgemein die Brüche und + —

mit einander zu multipliciren, so urtheile man, ohne wei­ tere Rücksicht auf die Eigenschaft*): es soll P aus +-£-

entstehen, wie + £ «uö

1 (§. 29.). Nun entsteht zuerst

aus 1, indem man, 1 mit n vervielfältigt und durch m theilt (§. 2i, 9.); zuletzt bas Zeichen gehörig bestimmt, giebt das Entstehen des Bruchs aus -j-i; es muß also auch

zuerst mit n vervielfältigt und bann

durch m getheilt werden, welches nach einander — m und zu Resultaten giebt (h. 69,1.), wonach dann das Zei­ chen der Zahl (des Bruches

daß das Product also + Anmerk. i.

zu bestimmen ist, so

wird.

Man vergleiche §. 31. Anmerk.' 1. wo ein solches

Beispiel in Brüchen schon einmal durchgeführt ist, wie denn über­

haupt diese Aufgabe weniger hier steht um etwas ganz Neuttz zu lehren, als der, sogleich zu nennenden,

allgemeinen Regel,

und der Ordnung in den Bruchrechnungen wegen.

Anmerk. 2.

Uebungbeispiele findet man Tafel 15. und 16.

§ 75- 3 usatze. 1. Als Regel, die Zahl beS Productes zu finden, erhält man nach der Auflösung des vorigen man vervielfältige die Zähler beider Brüche, und die Nen­ ner ebenfalls, durch einander, so ist das Resultat bei den •) Vergl. §. Zi. Auflösung. duS und

Auch hier ist + •£-

der Multiplikator.

der Multiplican-

Die einfachen Rechnungärten mit Brüchen.

145

Zählern der Zähler, und das der Nenner, derNenner

des Productes.

Ist ein Factor die ganze Zahl a,

nenne man sie

(§. 68, 1.), um diese Regel anzuwenden.

2.

so

Die sämmtlichen Satze des §. 32. sind höchst ein­

fach hier für die Brüche zu übertragen, und wird dies alS

geschehen angenommen. Eben so vergleiche man §. 30, 3. Hat einer der Faktoren oder beide, noch Ganze bei sich, so verwandle man solchen Factor zuerst in einen unechten Bruch, der kürzeren Rechnung wegen. Z. B. oI

24 ♦ 3 3

_ 9 , ___ 9-1°___ 5- 10___ 30______ T 4 ♦ Io , „ . 4 72*

4*

4

Die weitlauftigere Rechnung wäre gewesen:

(2 + l)(3 + l) = 6 + — 6 4- 1'2 4~

ä 4" is

— 6-j- ii' — 6-F hi — 7$.

Der Rechner wird Rechenvorkhetle in Menge auch hier leicht entdecken. 4. Das Product zweier echten Brüche,

ist immer

kleiner als jeder Factor (wo nur auf die Zahl des Pro­ ducts Rücksicht genommen ist). Denn bei der Multipll-

cation mit 1, wird das Resultat der andere Factor, ist aber p-mr erstere Factor ein echter Bruch, also klei­ ner als i, so wird der Zähler jenes ersteren Resultats

mit weniger vervielfältigt als es der Nenner wird, da­ her fällt der Werth des Productes gegen jenen ersten Factor.

©0 i(t 4.1 = 4, aber 44=^=

(vergl.

32, 6.). , 5. Ist der eine Factor ein echter der andere aber

ein unechter Bruch,

so wird daö Product größer als

der echte, aber kleiner als der unechte Factor. Dage­ gen ist Vas Product zweier unechten Brüche, stets größer als jeder der Factoren. — Bei diesen Sätzen (Nr. 4. u. 5.) zeigt sich, wie Multiplikation nicht immer ein Ver­ größern ist.

Hauptstück I.

»44

Kapitel V.

6. Es ist Sprachgebrauch gu sagen: von einer Größe — (j. B. |, 4 u. dgl.m.) zu nehmen, was

bann immer so viel heißt, als: die Zahl mit ~ multi-

pliclren, nicht aber-- von ihr

abziehen.

Z. B.

es soll 4 von $ genommen werden; dies giebt also = 3|; man sage nur: es soll das Viertel von 5 drei­ mal genommen werden, so zeigt sich der Grund je­ nes Sprachgebrauchs. 65 — | würde 4s gegeben- haben.) §. 76. Aufgabe. Brüche burd) einander zu t»lvidkren. Auflösung. Auch hier ist (wie§.74.) nur noch die Entstehung des Quotienten als Zahl zu berücksichtigen, da dessen Eigenschaft nach §. 36,2. bestimmt wird. Man h _ p habe also 4- -r: 4- — und der Quotient sey Q. Nun K 1 h soll nach §. 33» 2 aus +— entstehen, wie +1 aus

+ —. Es entsteht zuerst 1 (ohne Rücksicht auf die Eigenq schäft) aus indem man mit q vervielfältiget und E5. = p btird) p theilt, denn bann erhalt man — = 1; q h qp daher ist auch, zuerst mit q zu vervielfältigen,

und dann

durch p zu theile»/

Resultat wird.

wodurch

daS

Nach Bestlmtnüng des Zeichens ist daher

das Resultat 42tnm er E. 1. Man vergleiche §. 35. Anmerk., wo ein ähnlicher Beispiel schon durchgeführt war. An merk. 2. Die Uebungbeispiele findet man Tafel 19. und so.

§- 77- Zusatze. i. Die Regel für die Division zweier Brüche durch einander ist hiernach: man vervielfältige den Zähler deS Divi-

Die einfachen Rechnungarten mit Brüchen.

145

Dividendus mit dem Nenner des Divisors, so ist bas Resultat der Zähler des Quotienten; der Nenner desQuo, tienten, ist das Vielfache deS Nenners vom Dividendus und deS Zählers vom Divisor. Ist eine der beiden zu dividirenben Zahlen eine ganze Zahl, so setze man sie als Bruch mit dem Nenner 1. 2. Da also nach Nr. l. allgemein 4 : — ==^, so b

bn' ’

m

kann man alS Regel auch sagen: man kehre den Divisor um (d. h. nehme statt , und multiplicire mit die­

sem umgekehrten Bruche den Dividendus; denn

b

n

bn

(§. 75, l. )« 3. Die Sätze §. 36. sind einfach auf die Division der Bräche zu übertragen, was hier als geschehen angenom­ men wird. Auch §. 34. ist zu vergleichen. 4. Ist einer ober sind beide durch elnander zu dlvidirende Bräche, vermischte Brüche, so nimmt man die Verwandelung auch zuvor vor. Z. B. 4^: 14 = “:| = ^|- =

= 2||.

Sonst würde die Ausführung seyn:

(4+7):(HI).= 7^T + 7jT = (4:j) + (|:y=¥+A — 2 5-4-5 , — 2$° 4-Ä — 2"2T-

5. Es ist leicht den Grund zu finden, weshalb der Quotient größer oder kleiner als der Dividendus ist, sobald nemlich der Divisor ein ech ter oder ein unechter Bruch ist (vrgk. $.75, 4. und 5.)

6. Wenn zwei Bräche gleich find, z. D. b d so sind sie auch umgekehrt gleich d. h. —. aus ■£■=■£ folgt

Denn

(Nr. 3. u. §. 36,1.) d.ss.

— — —. Man sieht hieraus soglekch, dass elu Bruch tu A C i blvibirt, den umgekehrten Divisor zum Quotienten giebt. Torstner's Grundriß, IO

Hauptstück I.

146

7. wird,

Kapitel V.

Da g immer kleiner wird, je größer a

so ist offenbar

g- so klein als möglich d. h. 0,

wenn a so groß als möglich d. h. unendlich groß oder oc wird, also — — 0, oc

Eben so fallt —, a

wenn der

Zahler immer mehr fallt, ist daher o, wenn der Zahler o wird, d. h. 8.

0.

Da ~ immer mehr wachst, je mehr a fallt, so

muß — unendlich groß werden, wenn Ä unendllch

klein d. h. 0 ist; also Anmerk. Siehe §. 21. Anmerk. 2. — Eine Rechnung worin eine Größe o ist, muß mit der größten Behutsamkeit ausgeführt, nicht aber unbedenklich so behandelt werden, als wenn statt o eine Größe gegeben wäre, die einen Werth hat. Auch rechtfer­ tiget nichts den Ausspruch: das was von einer Größe gilt so lange sie ist, auf diese Größe überzutragen wenn sie nicht mehr ist. Soll, wenn eine Null vorkommr, ein Erfolg erscheinen, so muß derselbe aus den Bedingungen unter welchen o erscheint, von neuem hergeleiret werden, wie cs eben geschah und sich auch §. 16, 9. einfach fand. Eben so kann man leicht einsehen, daß z B. 140 c n ist. Wie würde man z. B. irren, wenn man aus dem Satze 6. o — 8 . o (denn beides ist o, §. 16, 9.) herleiten wollte, daß nun zufolge §. 21, 10. auch

—d. h. 6 —

8 sey! Eine Menge widersinnige Erscheinungen lassen sich auf diese Weise leicht erzeugen. Besonders behutsam muß der An­ fänger bei dem Ausdrucke g seyn, den man gern für 1 hält, da ein Quotient 1 ist, wenn Zähler unb Nenner gleich sind. Den­ noch ist der Ausdruck g keineswegs ohne Sinn, im Gegentheile macht seine Betrachtung einen wesentlichen Theil" d^e höheren Mathematik aus. — So viel in diesen Elementen über diesen wichtigen Gegenstand. — (Vergl. hier Einleitung IIL den Absatz auf Seite i8 )

§. 78. Aufgabe. EInengebrochenenBruchaufz »lösen (§67,5.)

Die einfachen Rechnungarten mit Brüchen-

147

Auflösung. Nach der Division der Bräche durch einander, kann die fortgesetzte Division derselben keine Schwierigkeit haben. AIS einfachste Formen gebrochener a

Brüche, mögte man die Darstellungen-^-, m

a

und m

ansehen können, deren Resultate nach §.77,1. oder 2. diese t

sind:

a am — =— , n n m

a n a — —— m nm

a

. V und — —— . n cn

Merkt man

m

bei diesen Formen, wie die elnjelnrn Zahlen der gegebenen Formen in den Resultaten erscheinen, so ist eS überaus einfach, die zusammengesetzteste Form zu entwickeln, wenn man nach und nach diese einfachen Formen aufsucht und sie auf gewöhnliche Brüche zurückführt. Es ist nur das richtige Erkennen der, durch längere und kürzere Striche stets getrennten Bruchzahlen zu merken. ES sey z. B. diese Form gegeben: nll

1

Diese Verwandelungen sind leicht auS der Umwandelung der genannten drei einfachen Formen, und dieser besonde­ ren zusammengesetzten Form, herzuleiten. Vor der Voll­ ziehung der Multiplikation im Zahler und Nenner des Resultats, können dle möglichen Hebungen gegenseitig noch vorgenommen «erden, deshalb man auch gut thut, wen« Ziffern statt der Buchstaben gegeben stad, die einzelnen 10*

Hauptstück I.

148

Kapitel V.

Rechnungen, «he man zum Resultate gelangt, nur anzu, beuten, und dl« Rechnung zuletzt erst auszuführen. Z. B. 7

jl n - ]! 4- n 1

1

7

J

7 2-1

7 5-5-3

2 | 5.3 T|

2

2

7

1 1 ___ 7___ 7.2.2 5-5-3-7 — 5,5.3.7 Ji = 2.2

j

2.2

5-5-3

Sollten statt der einzelnen Zahlen, vlellelcht ganze Formen von Bruchverbindungen gegeben seyn, so führe man diese erst besonder- aus, b. h. bi- man lauter ein­ zelne Zahlen hat, wo denn das eben genannte Verfahren eintritk. Z. B.

21 »54-3 5|-4?

_

L £1 2* 5 27 5 5 ' 2

15.12.10 .5.2 6.13.77. 27-3

13 6

13.1#

£3 12

6. 13

77 10

10

27-5 5.2 2^10.5.2 77.27-3

77

27-3 5 r

13.12.10 6.13.77 27.3

S-2

200 6257*

Wenn einzelne Zahlen des gebrochenen Bruchs die positive und negative Eigenschaft haben, so kann man während der Rechnung die Berücksichtigung der Zeichen ganz unterlassen, und das Zeichen des Resultats dadurch bestimmen, daß dies positiv ist, wenn die Anzahl der negativen Zeichen gerade, negativ aber, wenn diese Menge ungerade iss Hiervon kann man sich durch §. 53, io und $.32,4. überzeugen. Denn: man nehme an, die Menge der negativen Zahlen sey gerade, so kön­ nen fie im Resultate, wo sie doch alle bet den Faktoren

Die einfachen Rechnungarten mit Brüchen.

149

Vorkommen, nur so stehen: alle lm Zähler (also nur positive Fahlen im Nenner), alle lm Nenner (daher im Zähler nur positive Zahlen), oder im Zähler so wie lm Nenner eine gerade Menge derselben, oder end­ lich lm Zähler so wie im Nenner eine ungeradeMcnge derselben» In jedem dieser Fälle, wird der Quotient (b. h. bas Resultat) positiv, da Zähler und Nenner beide positiv, oder (wie im letzteren Falle) beide negativ sind (§. 36, 2.). Ist aber die Menge der negativen Zah­ len ungerade, so können diese nur erscheinen: alle lm Zähler, alle lm Nenner, eine gerade Menge lm Zähler und dann ist §ine ungerade Menge lm Nen­ ner, oder eine ungerade Menge im Zahler und dann ist eine gerade Menge im Nenner. In allen diesen vier Fällen wird nur der Zähler oder der Nenner, ne­ gativ, daher dieS auch das Resultat wird (§. ;6,2.). An merk. Tafel 23. und 24. enthalten die Aufgabe« zur Uebung im Auflösen der gebrochenen Druchformen.

§. 79. Aufgabe. Die Bruchrechnungen mit Buchstaben zu vollziehen. Auflösung. Es kann hier nichts Neues gesagt werden, da die Ausführung solcher Rechnungen nichts, als das bei den Brüchen überhaupt zu Berücksichtigende, nebst dem über die Buchstabenrechnung Gesagte, vereint anzuwendrn erfordert. Die Hauptsache ist, baß bei der Addition und Subtraction der allgemeinen (durch Buch­ staben gegebenen) Brüche, die Nenner durch Aufsuchung elneS Generalnenners, auf denselben Nenner gebracht, dann die Zähler aber addlrt oder subtrahirt werden. Emen solchen Generalnenner bei Buchstabenausdrücken zu finden, ist selbst in einzelnen Fällen einfacher alS bei bestimmten Zahlen, indem die Factorrn sogleich erscheinen, hat aber auch in keinem Falle bemrrkenswerthe Schwierigkeiten. ES sey z. B.

Kapitel V.

Hauptstück I.

150

von

ab — y+~ju subtrahlren JB i___ b~c • d ~ p(n —m)

* h‘

Sucht man den gemeinschaftlichen Nenner für beide |u subtrahlrenbe Complexlonen, so ist dieser offenbar adp(n—m)h, daher die gegebenen Größen:

MinuenduS:

a2bdpb(n— n>) — snap h(n — m) +(a-(-b) adph adpb (n —m)

eatminb.: »■■^4^; fin, 9 9+“ det sich aber — — ? negativ, so findet daSGegenq q-t-m theil statt. Nun ist allgemein (§. 79.) Auflösung.

Die einfachen Rechnungarten mit Brüchen. P q

p+n p(q+n) —g(p+n) q+n q(q-f-n) pn — qn n ( p — q ) q(q + n) q,q + nj‘

151

pq + pn —qp —qn q(q + ")

Leicht ist ersichtlich wie alles davon abhängt, ob p—oder ■8,25941)

9. Nach Nr. 8. ist aber auch das Addiren und Subtrahiren der Dezimalbrüche, ohne Schwierigkeit zu

vollziehen, wobei nur die Sätze

23. bis §. 28-, so wie

aus dem vorigen Kapitel §. 73. zu merken ist.

AlS Bei,

spiel diene: — 0,4105) subtra+6'157»!ab6irlZ4,'527ifSa' + 71,2649) Hirt — 42,13 ’ 4-20,12 > y>rr — 35,8721 — Ag. — 81,647 — Dif- +70,8544 — Difgregat. ferenz. ferenz. Anmerk. Wie leicht also dieseRechnungenmitDezimalbrüchen zu vollziehen stnd, leuchtet ein, indem die oft mühsame AufsuForstner'S Gruudntz.

II

i6a

Hauptstück I.

Kapitel \ L

chung der Generalnenners ganz wegfällt. Zu, Uebung im Addircn diene Tafel y. und io., im Subtrahiren Tafel 13. und 14.

§. 89.

Aufgabe.

Einen Bruch in einenDejimalbruch zu ver­ wandeln. Auflösung. Wir nehmen hier zunächst einen gege, denen echten Bruch an, denn ist er unecht', so sucht

man die Ganzen heraus, und verwandelt blos den beige­ fügten echten Bruch, wonach man dem nunmehr erhalte­ nen Dezimalbruche, die Ganze wieder versetzt. Ist aber der gegebene Bruch in Form eines gebrochenen Bruches, Kettenbruches u. dgl. m. gegeben, so verwandele man nach §. 78. und §. 82. diese Formen erst in einen gewöhnlichen

Bruch, und verfahr« mit diesem, wie nunmehr naher zu

zeigen ist. Nichts ist leichter als

die gesuchte Verwandelung.

Ein Bruch ist eine ««vollzogene Theilung (§. 20, 4 ). man also z. B. f, so setze man dafür ^°, oder

Hat rc.

und erinnere stch nur, daß wenn man j-tzt die mögliche Theilung vollzieht, das Resultat 10mal, oder 100mal rc. z u groß wird, daher es wieder iomal, oder 100mal rc. kleiner gemacht werben muß, damit es alsdann nicht mehr zu groß ist. Da nun ^^ = 625, so wird

ÄVö — 0,625 — | seyn, d. h. £ ist in den Dezimalbruch 0,625 verwandelt. Die allgemeine Regel Ist hier schon deutlich: man hänge an den Zähler des gegebenen Bru­ ches so viele Nullen, bis die Theilung aufgeht, und ver, kleinere das Resultat um so viele Stellen (§. 88, 3.), als Nullen gebraucht sind. Dirs Anhängen der Nullen sahn

man aber auch nach und nach verrichten, und wenn man sogleich die Stelle der ersten bei der Theilung erhaltenen Ziffer richtig bestimmt, folgen die übrigen Ziffern wie bei einer gewöhnlichen Theilung (§'. 18.) und sind sogleich De­

zimalstellen. Dies ist ohne weitere Auseinandersetzung deutlich, und mag nur durch rin Beispiel erläutert werden.

Von den Dezimalbrüchen.

165

Man soll Hs verwandeln 786 | 2450 | 0,311 u. s. W. 2358 920 786 1340 786 554 Man hätte noch weiter mlt dem Anhängen der Nullen fortfahren können, indem man sie sich als im Dividendus vorhanden, und'heruntergeholt vorstellt. Das Komma ist sogleich bestimmt, indem man entweder sagt 786 in 245 ist o Ganze mal enthalten, aber 786 in geht — o,z mal, oder wenn man sagt — 3 welches aber T% — 0,; werden, wonach sich die anderen Stellen einfach ergebend Begnügt man sich mit einigen Stellen, ohne die Theilung bis zum Aufgehen — wenn dies überhaupt statt­ findet — fortjufrtzen, so macht man einige Puncte hinter die letzte Ziffer, welche anzeigen, daß der Bruch nicht ge­ nau ist; also Hs = 0,311... In den meisten Fallen wird bestimmt, wie viele Stellen bei dem gesuchten De, zimalbruche verlangt werden, wenn nicht schon weniger Stellen die Verwandelung genau erfüllen.

Selten aber wird eine solche Verwandelung genau erfolgen, und die dann erhaltenen Dezimalbrüche bieten folgende merkwürdige Erscheinung dar. §. 90.

Lehrsatz.

Wenn ein Bruch in einen Dezlmalbruch verwandelt wird, so ist es nicht Immer noth, wendig, daß man einen genauen, jenen Bruch darstellenden Dezimalbruch erhält; dann keh­ ren aber gewisse Ziffern bei der fortzusetzenden Division, lm erhaltenen Quotienten, stetS In derselben Ordnung wieder. 11 *

164

Hauptstück I.

Kapitel VI.

Beweis. Der erste Theil der Behauptung zeigt sich sogleich an einigen Beispielen *), wahrend wir im vorigen §. schon gesehen haben, daß auch ein genaues Resultat erfolgen kann. Man habe j. B. zu verwandeln die Brüche tz, M und so ist (§. 89.) 3 1 2,0 | 0^666 Hl 165 | 106,0 | 0,642... 18 990 20 700 660 18 400 20 18 330 2 70 333 1 | 0,528«.«* 7 1 20 1 0,285714» ♦♦ 1665 *4 950 60 666 56 40 284° 2664 35 176 5° 49 10 7 30 28 a Belm ersten Beispiele steht man, daß schon bei der zweiten Division derselbe Dividendus 20 wie bei der er­ sten Division erscheint; beim zweiten Beispiele kommt durch den Rest 70, wenn die 0 herangehängt wird, derselbe Dividendus 700 wie bei der zweiten Division; beim drit­ ten Beispiele wird der vierte Dividendus 1760 ganz wie der erste eS war, und beim vierten Beispiele wirb 20 der siebente Dividendus, wie der erste es auch war. Man

Von den Dezimalbrüchen.

165

sieht also, daß, da der Dividendus wiederkehrt welcher schon einmal ein solcher war, auch bei dem stetS sich gleich bleibenden Divisor, derselbe Quotient wieder­ kehren muß, wie bei jener früheren Division, wo derselbe Dividendus war; daß aber nunmehr, indem die Verrich­ tung selbst immer dieselbe bleibt, auch die neuen Reste stetS in derselben Ordnung wiederkehrrn müssen, durch stete An­ hängung einer Null, dieselben Dividenden, und mithin auch dieselben Ziffern im Quotienten ohne Aufhören wiederkeh­ ren müssen, wie sie in der Ordnung auf einander folgten von da an, wo jum ersten Male der Dividendus war, der nunmehr wlederkehrt, und nun die Wiederkehr aller folgenden Dividenden in der früheren Ordnung, bedingt. W. j. b. w. Zusatz. Diese stets wiederkehrenben Ziffern, nennt man die Periode eines Dezimalbruches.

§. yr.

Zusätze.

Aus dem im vorigen §. begründeten Gesetze, daß stets eine Periode erfolge, wenn ein, schon einmal vorhanden gewesener Rest wiederkehrt, ergeben sich einfach folgende Sätze. 1. Die Wiederkehr eines schon einmal vorhanden gewesenen Restes, muß spätestens nach so vielen Divi­ sionen erfolgen, als der Divisor Einheiten hat weniger 1. Denn da die Reste alle kleiner als der Divisor sind, so können auch nur so viele verschiedene Reste bleiben, als Einheiten weniger eine, im Divisor waren. Bleiben nun wirklich alle diese mögliche verschiedene Reste, so muß der hierauf folgende Rest, ein irgend wo schon einmal ge­ wesener Rest seyn, Und die Periode beginnt. Das vierte Beispiel jum vorigen §. ist rin Belag dazu, daß wirklich alle nur mögliche Reste erst bleiben können, ehe die Pe­ riode beginnt. 2. Eine Periode kann früher anfangeu als nach a — i Divisionen (a sey ncmiich der Divisor). Hiervon zeigen die drei ersten Beispiele des vorigen §.

Haupkstück I.

166 3.

Kapitel VI.

Eine Periode kann höchstens a — 1 Ziffern haben,

aber auch eine, oft bedeutend geringere Menge. Dies liegt deutlich in Nr. 1. und 2., und zeigen eS die Bei,

und zr im vorigen §.

spiele

4.

Eine Periode kann von Anfang an wiederkehren,

wie daS erste, dritte und vierte Beispiel deS vorigen §. zeigen; es können ihr aber auch noch andere, nicht zur

Periode gehörige Ziffern vorhergrhen, wie beim. zweiten Beispiel, wo 0,6424242... der Dezimalbruch, d. h. 42 die Periode war. 5. Daß eine Periode nur «Ine Stelle haben kann, zeigt das erste Beispiel, und ist natürlich eine Stelle die geringste Stellenmcnge einer Periode. 6.

Ist der in einen Dezimalbruch zu verwandelnde

Bruch ein unechter Bruch;

so kann man die Menge

der, bis zur nothwendigen Wiederkehr eines schon einmal da gewesenen Restes, e, forderlichen Divisionen (Nr. 1.), auch nur von da an zählen, wo die Nullen anfangen her­ untergeholt (angebängt) zu werden, wie z. B. beim Bruche 5p = 132,57142g... wo 571428 die Periode ist; oder

bei —9- — 85,333... wo 3 die Periode ist, u. s. w.

Auch

kann schon mit den Ganzen selbst die Periode beginnen, z. B. 7“- = 36,3636... wo die Periode 36 ist; u. dgl. m.

7.

Wenn man die Periode eines Dezimalbruchs kennt

(indem man sich auch mit weniger Stellen als bis zur Periode, begnügen kann) so schreibt man sie in der Regel nur einmal hin, und macht einen Strich über dieselbe; dann können die Puncte am Ende desselben (§. 89.) weg, fallen,

indem die Periode schon zeigt,

folgen.

Also z. B. 4.2687? odet 26,753 u. s. w.

8.

Einen solchen

daß noch Ziffern

periodischen Dezimalbruch,

nennt

man auch einen unendlichen Dezimalbruch, dessen Werth man durch neue Stellen zwar immer genauer, aber

doch nie ganz genau angeben kann.

Von den Dezimalbrüchen.

167

Anmerk. i. Nunmehr können die Uebungbeispiele Tafel 27, zur Verwattbelung von Brüchen in Dezimalbrüche gelöset werden. An merk 2. Mancherlei hier anzustellende Untersuchungen, ob ein zu verwandelnder Bruch einen Anendlichen (also auch periodischen) Dezimalbruch giebt oder nicht; mögten die Grenzen dieses Grund­ risses überschreiten.

§. 92.

Aufgabe.

Einen gegebenenDezimalbeuch in einen ge­ wöhnlichen Bruch zu verwandelnAuflösung. Har man einen endlichen Dezimal­ bruch, so schreibe man ihn als einen gewöhnlichen Bruch, und hebe diesen, wenn ein gemeinschaftliches Maaß für Zähler und Nenner vorhanden ist (wie §.88,6.), ist dleS nicht vorhanden, so muß die Form ungeandert bleiben, wenigstens ist keine bequemere Form vorhanden, z. B. 0,7 = io, wo zK, u. s. w. offenbar weniger günstige

Formen seyn würden.

Ist aber der gegebene Dezimal­

bruch unendlich, ohne daß man feine Periode kennt, z. B. soll 0,416... verwandelt werden; so ist der Bruch i%iö6o = i5tz auch nur so weit genau zu nennen, als der

gegebene Dezimalbruch selbst es war. Da der periodische Dezimalbruch ein unendlicher (§. 91, 8.) ist, dessen Werth man nicht genau kennt; so ist eS desto merkwürdiger, daß man, wenn die Periode bekannt

Ist, solchen Bruch stets genau in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln kann. Die allgemeine Auflösung dieser

interessanten Aufgabe ist nun folgende.

Man zahle die

Ziffern der Perivdt, ihre Menge sey p, rücke das Komma um p Stellen zur Rechten, so ist der Bruch um 1 (p) mal vergrößert, wenn 1 Cp) «ine 1 mit p Nullen bedeutet (§.

88, 2.) *).

Unter diesen neuen Dezimalbruch, schreibe man

den gegebenen so, daß er vom vergrößerten abgezogen werden kann (§. 88,8») Dann ist der Rest das so viel») Vergleiche §. 2. Anmcrt., wo von dieser Bezeechnung schon lie Rede war.

168

Hauptstück L

Kapitel VI.

fache des gegebenen Bruches, alS jene r(p) malige Der, größcrung weniger i anzeigt; wqr also die Vergröße­

rung io fach, so ist der Rest 9 fad), war sie 100 fach, so ist der Rest 99 fach tu f. to. *). Theilt man also das Resultat (jenen Rest) durch die Zahl die bas Vielfache angikbt**), so erhalt man wieder das Einfache, d. h. den gegebenen Dezlmalbruch selbst, Id Form eines gewöhn, lichen Bruches, mit dem man nach den Umständen Ver­ änderungen

vornehmen kann.

Z. D. es

soll 0,25346

(wo 46 die Periode ist) In einen gewöhnlichen Bruch ver­

wandelt werden. Nad) obiger Vorschrift erhalt man: . 25,3464646.. (das 100fache von 0,2534646...) 0,2534646... (das Einfache des gegebenen Bruches) 25,093

(daS 99fache des gegebenen Bruches)***),

also ^22? das Einfache,

oder

der

gegebene Bruch

99 selbst, den man, um aus dem Zähler die Bruchform ver,

schwinden zu lassen, alS

setzen kann (§. 69,2.).

Alles kommt hier darauf an »V. -eigen, daß durch die

vorgeschrlebene Verrichtung, der Rest sich auf lauter Nul­ len endigt, denn könnten hier andere Ziffern folgen, so

könnte man sie nicht weglassen,'und wäre ihre Menge un­ endlich, so wurde die genaue Verwandelung doch nicht erfolgt seyn; wie j. B. wenn man das Komma um eine Stellt nur gerückt hätte, so wäre

2.53464646.. . (das lofache) 0,25346464.. . (das ifache)

2.28118182.. . (das 9fache)

also L'.28|q8|q1

u< s, w, der einfache gegebene Bruch,

*) Leichr ersichtlich ist, daß der Rest immer daS so vielfache des gegebenen Bruches ist, als x Neunen darstellen (das y oder 99 oder 999 u. s. w. fache). **) Nach §, 20, 4. *♦*) Nach §. 8s, 4. sind die Nullen die hier folgen weggelassen.

Von den Dezimalbrüchen.

169

dessen Zähler selbst noch unendlich «äre.

Man hat

daher zu beweisen, daß durch die angegebene Verrichtung, fortwährend in beiden von einander abzuziehenden Zahlen, Periode unter Periode zu stehen kommt, was be­

wiesen ist, sobald nur dies Untereinanderstehen bei der er­

sten Periode nothwendig erfolgen muß, denn dann folgen die anderen Perioden ohne Aufhören dieser Ordnung. Nun nenne üian die Menge der vom Komma abwärts bis zum Anfang der ersten Periode stehenden Ziffern, die also gleichsam derselben vorhergehen, v *) und wle vorher die Menge der Ziffern der Periode p,

so

hat man

v+p

Ziffern vom Komma bis zum Ende der ersten Pe­ riode; wird also das Komma (laut gegebener Regel) um p Stellen zur Rechten gerückt, so bleiben noch v-j-p — p — v Ziffern bis zum Ende der ersten Periode übrig, und

unter diese Ziffern, kommen dann die v Ziffern des ge­ gebenen DezimalbruchS genau zu stehen, so daß nunmehr

die erste Periode auch hier beginnt, die genau unter die zweite Periode feneS vergrößerten Bruches zu stehen kommt. Nun folgt stets Periode unter Periode, wie eS seyn muß. — Sollte die Periode schon in den Ganzen beginnen, z. B. 367,5675... so find die Ziffern die von ihr zu den Dezimalstellen gehören, wie hier die 5, als jene

v Ziffern anzusehtn, und die Anwendung des bestimmten Verfahrens, ist ohne Schwierigkeit; man erhält hiernach, besonders wenn man der Kürze wegen die Ganzen sogleich absondert, und nur den Bruch betrachtet, also 367 + 0,5675, wegen der drei Ziffern in der Periode diese Auflösung: 567,5675.». 0,5675

567 also 367^5 zum Resultate, wo man die Hebung,

wenn

♦) v kann auch Null seyn, wenn die Periode von dem Komma an schon beginnt.

170

Hauptstück I

Kapitel VI.

sie möglich ist, nie versäumen darf, daher frier 367II noch durch die Hebung durch 27, zu erzeugen ist. Anmerk. Man sieht wie leicht es ist, einen gewöhnlichen Bruch zu bilden, der, in einen Dezimalbruch verwandelt, eine beliebig bestimmte Form hat, wie diese Formen in §. 89. und 90. ver­ schieden erscheinen. Uebungbeispiele hierfür findet man Tafel 28. Auch können nunmehr die Beispiele 8 bis 14 auf Tafel 29 gelöset werden, indem man erst den gemeinen Bruch sucht und die­ sen in einen Kettenbruch verwandelt. (Siehe §. 85- Anmerk.)

§. 93. Aufgabe. Dezlmalbrüche zu multipliciren. Auflösung. Ohne hier die Zeichen der Faktoren -zu betrachten, die nach §. 32, 2. über die Eigenschaft des Produktes entscheiden; haben wir es wiederum blos mit der Zahl des Produktes zu thun*). Nun stelle man sich beide zu mnltiplicirende Dezimalbrüche in Form ge­ wöhnlicher Brüche geschrieben vor, so ist das Product nach §. 75, 1. sogleich zu finden. Da hierbei die Zähler mit einander multiplicirt werden und eben so die Nenner, so wird der Nenner des Products eine Eins mit so vie­ len Nullen, als beide Faktoren zusammen in den Nennern Nullen, d. h. so viele Dezimalstellen sie'beide zusammen haben. Alfs hat man vom Produkte beider Zähler (wel­ ches das Product beider Dezimalbrüche ohne Rücksicht auf das Komma ist) so viele Stellen abzustretchen, als jener Nenner des Products bedingt, oder als in den Faktoren zusammen Stellen waren. Z. D.

o,245 - 7,68 = ?oVö = 10-000S = 1,88160 = 1,8816. Besteht das Product auS mehr als zwei Facivren, so kann die Vollziehung keine Bedenklichkeit mehr haben. (Vergl. §. 32, 3. u. 4-) Anmerk. i. Zur Uebung dienen Lasel 17. u. 18. ’) Vergl. §. 74.

Von den Dezimalbrüchen.

171

Anmerk. 2. Haben die Factoren viele Dezimalstellen, so ist er­ sichtlich, daß die letzten Stellen im Producte nur einen geringen Werth bekommen ♦), den man, nach Befinden der Umstände, viel­ leicht außer Acht lassen kann. Um aber dann schon eine kürzere Rechnung zu haben, die sogleich im Resultate solche Stelle von geringem Werthe fehlen läßt, giebt es ein Verfahren, nemlich das der sogenannten abgekürzten Multiplikation, wor­ über hier weiter nichts erwähnt wird, da sie nur in wenigen Fällen practischen Werth hat. In §. 114. meines Lehrgebäudes ist diese Rechnungart angeführt.

§. 94. Aufgabe. Dezimalbrüche zu btvtdiren. Auflösung. Auch hier haben wir uns nur um die Zahl des Quotienten zu bemühen, das Zeichen bestimmt sich nach §. 36, e. Schreibt man nun die zu dkvibirendea Dezimalbrüche wie gewöhnliche Bräche, so ist nach §.77, 1. der Quotient leicht zu finden. Z. B 2,7888:0,042 = 3 7 fl R fl . 42 Toööo • I obo

___ 278J8.IOOO____ 2781« TOOO ___ ZCAz: — 42-1O(lo(, — ~42-'- loboö — 000

1

___ —

— 66,6. Man sieht In diesem Beispiele ganz allge­ mein, daß man die beiden gegebenen Dezimalbrüche, ohne Rücksicht auf das Komma, wie zwei gewöhnliche Zahlen durch einander zu dividlrrn, und vom Quotienten so viele Stellen abjustreichen hat, als der Dividendus mehr Stellen wie der Divisor hat; haben beide gleich viele Stellen, so bleibt der Quotient die ganze Zahl wie man sie erhalt, und hat der Dividendus wenig er Stellen als der Divisor, so muß der Quotient so oft zehnmal vergrö­ ßert werden, als jene Stellrnmenge geringer als diese

war. Z. B. 23,184:0,276 = 84> denn

= 84

(vrgl. §. 88,2.), ober *£0" - tWö—^-7— — ”?■!* — 84

Ferner

wirb

567,6:0,172 =

5676.IOO

---------- = 33. ico = 3300. >72 ') Bergt, tz. 75, 4-

• i’öVö ,e

= ,e,

Am kürzesten verfahrt man,

172

Hauptstück I.

Kapitel VI.

wenn man auS dem Divisor und Dividendus baS Komma sogleich dadurch wegschafft, daß man beiden Brüchen

gleich viele Stellen, also dem welcher die.wenigsten hat, durch angehängte Nullen (§.88,4.), so viele als der andere hat, giebt, und dann bas Komma aus beiden Brüchen wrgläßt (§.21,14.). So geben die 3 obigen Bei­ spiele nunmehr, mit Beachtung der Satze §. 89. bi-gi: I. 2,7888:0,042=2,7888:0,0420=27^88:420 = 66,6. II. 23,184:0,276 = 23184:276 = 84 III. 567,6: o, 172=567,600: o, 172=5676001172=3300.

Selten aber wird die Division ohne Rest aufgehen, aber dann ist das Anhängen von Nullen im Dividendus

ein einfache- Mittel, die Division entweder so lange fort# zusetzen bis sie aufgeht,

ober bis man genug Stellen im

Quotienten hat; denn leicht ist ersichtlich, daß, wenn man daS Komma aus beiden durch einander zu dividirenden

Zahlen weggeschafft hat, nunmehr ganz derselbe Fall ein­ tritt wie §.89. ihn auflösete, d. h. man hat einen ge­

wöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln, wo man natürlich wiederum eine Periode erhält, wenn man die Division gehörig fortsetzt (§.92.) u. dgl. m. Nur rin Beispiel möge hier folgen.

gesucht.

Es wird 0,076:4,85

Setzt man dafür 0,076:4,850 = 76:4850, so

hat man nur in einen Dezimalbruch zu verwandeln, also 4850 | 76,00 | 0,0156... 48 so 27500 24250 32500 29100

34°° Das Komma ist sogleich bestimmt wenn man sagt 4850 in 7600 geht i mal, aber 76 = 7o°o°/ d. h. 1 ist 100 mal

zu groß, daher es nur Jö =o,oi werben kann u. s. w.

Von den Dezimalbrüchen.

173

Zusatz. Hiermit ist also die Aufgabe: „jede zwei Zahlen durch einander zu blvidlren, und wenn der Quo­ tient nicht genau zu finden ist, sich ihm beliebig zu nähern und das Resultat sogleich in Form eines DezimalbruchS zu erhalten," zugleich gelöfet. Abkürzungen für besondere Falle, sind auch hier bald zu finden. Die mannigfaltig vorzunehmenden Verwandeiungen der Brüche in einander, können unter verschiedenen Bestimmungen nunmehr ohne Anstoß vollzogen, und jede Bruchrechnung in eine Rechnung mit Dezimalbrüchen verwandelt werden. Anmerk. i. Tafel 21. und 22. enthalten Uebungbeispiele für die DLpisieu der Dezimalbrüche durch einander, wo aber die Divi­ sionen sämmtlich aufgehen, indem es dort auf die Bestimmung des Kommas im Quvtienteo besonders ankommt. Die Tafeln 30. bis 32. enthalten vermischte Uebungen bei Brüchen, worunter auch Beispiele Vorkommen, wo Divisionen von Dezimalbrüchen auf eine bestimmte Stellenmenge zu vollziehen, verlangt wird.

An merk. 2. Es giebt auch eine abgekürzte Division von Dezi, malbrüchen durch einander, ähnlich wie bei der Multiplication (§. 93. Anmerk. 2.). Sie bleibt wiederum hier weg, befindet sich aber auögrführt, 119» des Lehrgebäude-.

Zweites Hauptstück. Von den Proportionen Erstes Kapitel.

Ueber Verhältnisse im Allgemeinen; im Besondern von den arithmetischen Proportionen-

§. 95. Erklärungen. 1. + b-j-q) —(o-j-n-j-t)-^(d-f-m-j-k) stnd, die daher eine arithmetische Proportion ist. An merk. i.

Der Zusammenhang zwischen Len Sätzen §. ioo. u.

joi. so wie mit ihren Zusätzen, ist besonders für den Anfänger zu beachten sehr nützlich.

Anmerk. 2. tionen,

Wir gehen nun zu den geometrischen Propor­

von denen das in diesem Kapitel Gesagte, als bekannt

vorausgesetzt wird;

auch werden sie blos Prop0rtionige-

nannt (§. 97, 3.),

Zweites Kapitel.

Die geometrischen Proportionen. §. 10?. Aufgaben *). 1. Eine allgemeine Form für die (geome­ trischen) Proportionen zu finden. *) Vergl. diese Aufgaben mit §. 99.

Di? geometrischen Proportionen.

185

Auflösung. Ist das erste Glied a, der Exponent e , so ist das zweite Glied a e (§. 96, 5.); nennt man nun das dritte Glied b, so muß, der gleichen Verhältnisse wegen (§.97, 2.), auch e der Exponent des zweiten Ver­ hältnisses, das vierte Glied also be seyn. Daher ist a : ae = b:be die gesuchte allgemeine Form. Anmerk. WaS also in den folgenden Sätzen von bei? Propor­ tionen behauptet wird, ist bewiesen, wenn es von dieser allgemei­ nen Form bewiesen ist. 2. Aus drelGliedern einerProportlon das vierte zu finden. Auflösung. Man suche bei dem Verhältnisse wo z tvel Glieder gegeben sind, de« Exponenten (§♦ 96,6.) und durch denselben bei dem andern Verhältnisse, das fehlende Glied (§. 96,5.). Man nenne x das fehlende Glied, e aber stets den Exponenten, so ist z. B. bei a;b = c:x, für das erste Verhältniß der Exponent

e = ”,

daher

x = c. — — —. Oder bei a

x;a = p:q,

hältniß

v — —, p

a

ist für das zweite Ver­ daher

p

Eben so hätte man daS zweite ober dritte Glied finde« kön­ nen, wenn es im besonderen Falle unbekannt gewesen wäre. 3. Wenn nur zwei Glieder die nicht zu demselben Verhältnisse gehören und der Ex­ ponent gegeben sind, die beiden unbekannten Glieder zu finden. Auflösung. Nach §. 96,5. ergeben sich «nmittel, bar die folgenden beiden Glieder. I. B. x : n = m : y;

186

Haupkstück II.

Kapitel II.

Der bekannte (laut Aufgabe) Exponent c, giebt x — — e und y — m e. Anmerk. Daß auch hier die, vielleicht gegebenen, Zahlen ent­ gegengesetzt seyn können, ist bekannt ($. 96, 6.); nach §. 51. und §. 35. ist die Auflösung sogleich zu 'vollziehen. Tafel 76. hat Uebungbeispiele hierfür. In den folgenden Sätzen werden wir die Glieder der betrachteten Proportionen immer, ohne die Eigenschaft besonders anzugeben annehmen, indem die Uebertragung auf entgegengesetz teGrößen, einfach nach den längst bekannten Regeln geschieht. §. 104. Lehrsatz. Bringt man die Glieder jedes Verhältnis­ ses einerProportion auf gleicheBenennungen, so kann man die Namen gänzlich wtglassen, und die vier unbenannten Zahlen bilden eine Proportion von demselben Exponenten. Beweis. Gesetzt man habe in einem Verhältnisse benannte Zahlen/ der Name sey allgemein A (j.B. Pfund, Thaler u. dgl. m.), die Zahlen aber a und b, also daS Verhältniß a A : bA; so ist der Exponent des Verhält­

nisses y (§.2l, 4.);

aber beim Verhältnisse der unbe,

nannten Zahlen a: b, erhält man denselben Exponenten; also hat man die Proportion aA :bA — a:b (vergl. §. 96, 5. und §. 97/ i. u. 2.). Ist nun ferner ein anderes Verhältniß zweier benannten Größen/ die von ganz anderer Art als die Art A ist, seyn können, gegeben, 95. n B: mß, so hat mah aus demselben Grunde wie vorher n B ; m B = n ; in. Gesetzt nun die Proportion ist gegeben: a a : b A = nB : mß, so ist nach dem eben Gesagten einfach zu zeigen: a: b = n: m (Vergl. h. 98, 3.) Dies war der behauptete Satz. — Sollten die Benen­ nungen beider Glieder in jedem der Verhältnisse noch nicht

Die geometrischen Proportionen.

gleich seyn,

187

so hat man sie vorher noch gleich zu ma­

chen, ehe man wie oben gezeigt, verfährt. Z. D. »Loth : zPfund — 5 Slbgrsch.: 8Thaler, so viel als

2 Loth : 96 Loth — 5 Slbrgrsch.: 240 Slbrgrsch.; da hier 48 der Exponent ist, d. h. man eine richtige Proportion

hat, kann man fetzen 2:96 — 5:24c. Zusatz. Wie man nun auch, wenn man eine Pro­ portion unbenannter Zahlen hüt, den Gliedern Be­

nennungen geben kann, Ist gewiß deutlich, und mit Hälfe von $. 103,2. ist leicht zu finden, wie, wenn drek Glieder

einer Proportion

benannter Zahlen gegeben

find, durch eine bloße Rechnung in unbenannten Zahlen, das unbekannte Glied entwickeln wird.— Hier­

in liegt fast alle Anwendung, Me man von den Propor­ tionen im practischen Leben machen kann, begründet; doch

soll hierüber im folgenden Kapitel besonders geredet wer­ den, da noch manche Sätze welche die Rechnungen, erleich­

tern, vorher zu nennen sind. — Bemerkt sey nur, daß in den folgenden Sätzen fast immer nur die Rede von Un­ benannten Zahlen seyn wird,

da die Urbertragung

auf benannte Zahlen, im vorkommenden Falle dann

leicht zu machen ist. Einige Andeutungen hierbei sollten ebenfalls schon in diesem Kapitel gegeben werden.

§. 105. Lehrsatz. Bei einer Proportion ist das Product der äußeren

Glieder,

gleich dem Produkte der

mittleren Glieder. Beweis. Man nehme die allgemeine Proportion

(§. 103, 1.)

a : a e = b : b e,

so sind jene Product« ab« und aeb, welche nach §. 32,

6. einander gleich sind. W. z. b. w. Zusatz i. Ist die Proportion stetig (h.97,8), so

muß man die zweite Potenz (§. 40,4.) des mittleren Glie­ des nehmen, denn

188

Hauptstück 11.

Kapitel II.

a : b : f, ist so viel als a:b = b:f 97, 8.), also nach dem eben Bewiesenen af — b . b — b2. Zusatz 2. Hat das eine Verhältniß benannte, das andere unbenannte Zahlen; so steht nichts der Volljirhung der Multiplikation entgegen; wenn aber kn beiden Verhältnissen benannte Zahlen vorkommen, geht die Multiplikation nicht an (§. 30, 3.), sondern man hat beide oder doch eins der Verhältnisse, nach §. 104. auf unbenannte Zahlen zurückzuführeo, oder sich die (glei­ chen) Benennungen wegzudenken. Z. D. bei 7 Loth: 21 Loth = 8Thaler: 24Thaler hat man 7.24—21.8 — 168, oder 7 Loth x 24 = 21 Loth x 8 = 168 Loth, oder 7.24 Lhlr. = 21.8 Thlr. = 168 Thaler. §. 106. Lehrsatz. Stellt man vier unbenannte Zahlen neben einander, und es findet sich, daß dasProduct der betdey äußeren, gleich dem Produkte der beiden mittlern ist; so bilden diese vier Zah­ len eine Proportion. Beweis. Man nehme an bei den vier Zahlen n m p q nq = mp; so ist zu beweisen, daß sey gegeben n : m — p : q* richtig sey Beim Verhältniß n:m sey brr Exponent e Q= — J; wäre er nun auch e beim Verhältniß p: q, so ist die hauptete Proportion richtig. Die Annahme von e, dingt, daß m = n e (§. 96, 5.) ist. Da nun gegeben nq —mp, so hat man auch bei Substitution der ne für m, nq = nep, also wieder q = pe ($. 36, I.) b. h. p:q = p:pe,

be­ be­ ist: der

Die geometrischen Proportionen. oder e ist auch Exponent beim zweiten Verhältniß,

199 also

findet statt die Proportion n : m = p : q. W. z. b. w. Zusatz. Es ist leicht zu finden, wie dieser Satz sich einschranken würde, wenn statt der unbenannte »Zah­

len, benannte Zahlen gegeben waren (vrgl. S. 104.). §. 107.

Zusätze.

Wie die Sätze §. 105. und §. 106., denen Sätzen §. ico. und §. 101. des vorigen Kapitels analog find, ist bet

der Vergleichung sogleich klar. Eben so kann man nun auch die Zusatze zu jenen Paragraphen, hier einfach über­

tragen, und sie ähnlich für die geometrischen Propor­ tionen erläutern, wie dies für die arithmetischen ge­ schah. Da diese Satze wichtig für die gegenwärtige Lehre sind, so sollen sie hier kurz genannt, dem Leser aber die vielleicht nöthigen Erläuterungen überlassen werden.

1.

Wild von vier Zahlen behauptet:

sie stehen ln

Proportion, und man findet die Producte der äußeren und mittleren Glieder ungleich; so hat man keine

richtige Proportion (vrgl. h. 100. Zusatz.) 2. Sind bei jenen vier Zahlen (Nr. r.) die Pro, ducke der mittleren und äußeren Glieder gleich, so hat

man eine richtige Proportion (vrgl. §.102, 1.).

3. Nach Nr. 2. kann man nun das fehlende Glied einer Proportion -noch auf eine andere Art als nach

103,2. finden.

Denn: fehlt rin äußeres Glied, so dlvt-

dire man das Product der beiden mittleren Glieder, durch das andere äußere GlieH, und fehlt ein mittleres Glied,

so ist der Quotient, wenn das Product der äußeren Glie­ der durch das andere mittlere Glied dividirt wird, das fehlende Glied (vrgl. §. 102, 2.). Ist die Proportion aber

stetig, so wird bas Mittel, das etwa fehlende mitt­ lere Glied zu finden, erst im ersten Kapitel des folgen­ den Hauptstückü gelehrt werden, wahrend das Finden des äußeren Gliedes, wie bei einer getrennten Proportion ge.

190

Hauptstück II.

Kapitel II.

schkeht; z. D. bei x:n:m, Ist x= — — —, kommen m m benannte Zahlen bei den gegebenen Größen vor, so ist die Beurlheliung nach §. 104. auch nicht schwierig; doch wird dieser Fall uns im folgenden Kapitel besonders beschäftigen. (Siehe $. 116.) 4. Hat man zwei gleiche Produkte, (0 kann man aus den Faktoren auf verschiedene Weise eine Pro­ portion bilden, wenn man die Faktoren des einen Pro, duktes nur zu äußeren und die des anderen Produktes alsdann zu mittlerenGliedern macht (vrgl. §. 102, 3.).

Hat man zwei gleiche Brüche, z. B.

so folgt

daraus a m = n c, also a ♦ n = c ; m , oder a : c = n; m u.s.w., was man leicht in Worte übertragen kann, wie bei der zweiten Form: die Zahler verhalten sich wie die Nenner u, dgl. m.

5. Die vier Glieder einer Proportion können, wenn sie gleichbenannte Größen, also auch wenn sie unbenannte Zahlen sind, im Ganzen in acht ver­ schiedenen Formen als Proportion dargestrllt werden, die ganz analog den Formen in §. 102,4. auseinander zu bil­ den sind. Auch finden hier dieselben Benennungen die §. io2, 5. erklärt sind, statt, so wie die Anmerkung §. 102, 4., daß von diesen 8Formen nur eine bewiesen zu wer­ den braucht, um jede der anderen als richtig zu erkennen. Bei den geometrischen Proportionen in benannten Zah­ len, ist wol zu merken, daß, wenn die Arten der Grö, ßen in beiden Verhältnissen verschieden find, kein Ver­ wechseln der mittleren Glieder stattfindet, denn sonst wür­ den ungleichartige Größen in ein Verhältniß kom­ men, was gegen §. 96,1. streitet. Also mindert sich für diesen Fall, die Menge der Formen, auf vier, die man leicht finden wird.

Die geometrischen Proportionen.

191

6. Hat man z* D- p — nm, so ist dies noch §. 41, j. so viel alS i .p==nm, also nach Nr.4. dis Proportion n: p = 1: m, oder auch (vergl. Nr. 5.) p: n = m: i u dgl. m. Vergleicht man nun diese Bedeutung nach §. 95, 3. und §.97,6., wo sie heißt: aus n soll entstehen p wie aus i entsteht m, oder aus p soll entstehen n wie aus m entsteht 1, mit den Erklä Gingen der Muitiplication (§.?'.) und Division (§. 3'5.); so zeigt sich ein­ fach, wie schon früh die Idee des Verhältnisses und der Proportion verborgen lag. 7. Wenn zwei Proportionen drei gleichnamige Glieder (§.97,4) gleich haben, so sind auch die andern Glieder gleich. Denn hat man z. Ba : b = c : d und a: b = p: d, so ist bc = ad = b p, also auch c = p. Anmkrk.

Auch die Sätze 6. 7. und 8- des §. 102.,

können hier

analog übertragen werden, es ist aber zweckmäßiger sie in beson­

deren Sätzen zu nennen.

§. 108. Lehrsatz. Eine Proportion bleibt richtig, wenn man die Glieder eines Verhältnisses, oder einPaar der homologen Glieder, mit derselben Zahl multiplicirt, oder durch dieselbe Zahl dididirt *). Beweis. Hat man a:b = c:d, und multiplicirt oder dividlrt die Glieder a und b, oder c und d, oder a und c, oder b und d, mit derselben Zahl t, so ist leicht eknjusehen, daß die Producte der äußeren und mittleren Glieder wiederum gleich sind, die geänderte Proportion also richtig bleibt (§. 106.). Z. B. *) Beide Bedingungen könnten auch hier in die eine der Multiplication zusammengefaßt werden, da Divibiren hier so viel als

mit einem Bruche multiplicirt ist.

192 da so auch

Hauptstück II.

Kapitel II.

ad = b c ($. 105.) adz = bcz (§.Z2, i.), also a:b = ce:dz (§. 107, 4.); oder aus

a d = b c folgt (§. 36,1.) - — -, d. h. - - -. b — Z : b == — L : d; u.bgl.m. W. j. b. w. Zusatz. LVie höchst mannigfaltig diese Aenderungen vorzunehmen sind, und in wiefern der Exponent der neuen Proportion, gleich oder verschieden von dem der ge­ gebenen Proportion ist; wird leicht zu finden seyn; eben so, daß man diese Verrichtung bei allen vier Glie­ dern, oder bei je zwei und zwei der im Satze genannten mit verschiedenen Zahlen hatte vornehmen können, also z. c d B. setzen a z: b a = —: — u. dgl. m., ist wrederum

daher

ohne besondere Erläuterung klar. §. 109. Zusatze. Der vorige §. giebt Mittel zu manchen wichtigen Sätzen und Aenderungen bei den Proportionen. Und zwar: 1. Zwei Brüche von gleichen Nennern, verhalten fich wie ihre Zähler. Setzt man nemlich solche Brüche, a b die allgemein — und — sind, mit sich selbst in Proportion (§♦ 98, i.), so hat man a * b ab n n 11 * n ’ multkplicirt man die Glieder des zweiten Verhältnisses mit n, so har man (§. ic>8.) —: — = a: b, wie behauptet ward, n n 2. Man kann einfach das Verhältniß zweier Brüche, auf das Verhältniß zweier ganzen Zahlen zurückfüh» ren, was deshalb besonders wichtig ist, weil das Ver­ hältniß zweier Brüche oft schwer zu übersehen ist. Die allgemeine Verrichtung hierzu ist:

Die geometrischen Proportionen.

ab

ab

n *m

n

193

m *

also wenn man die Brüche im zweiten Verhältniß auf gleiche Nenner bringt (§. 71.) und dann nach Nr. 1. für sie das Verhältniß ver Zähler setzt, hat man a b am bn —: — — — : — =2 am; b n* n m nm mn

Wie dies Verhältniß am:bn, sogleich aus dem Verhält­ niß der Brüche zu finden ist, ist bald zu erkennen. Also z. B. 4-z — 4-9'7«5 — 36:3$« 3. Hat man Bräche von gleichen Zählern, so ver­ halten sie sich wie ihre Nenner umgekehrt, d. h.

—: — = n :m.

m

n

Denn nach Nr. 2. hat man —: — — m

n

an : am; dlvldirt man also die Glieder des zweiten Ver­ hältnisses durch a , so hat man a

a

ni

n

—: — — n : m*

4. Aus einer Proportion lassen sich die Brüche, in welchen Gliedern sie auch erscheinen mögen, leicht weg­ schaffen. Z. B. b = £:-^, wo man erhält a:bn = cp ; dm, vdep am;bp = nc:d u. dgl. M. Die Mittel hierzu liegen einfach im vorigen §.

5. Auch kann man ein äußeres Glied mit einer be, lleblgen Zahl multipliciren und das andere äußere durch dieselbe Zahl dividiren; z- D. wenn atb = c;d, so ist auch

—; b = c : dn, n

indem hierdurch das Product der äußeren Glieder wie­ derum ad, also die Proportion richtig bleibt (§. 106). Dasselbe kann mit den beiden mittleren Gliedern vorgenomiiien werden. Dieser Satz ist wiederum reichhaltig in der Menge der möglichen neuen Formen, die mau aus eiFerstner'- (SviinDiif;. I 'X

194

Hauptstück II.

Kapitel II.

nrr Proportion herlekten kann, und Ußt sich auch dadurch aus dem vorigen §. unmittelbar herleiten, wenn man setzt: ist p: 4 — d: k, so auch px:4 — hx:k, und hieraus

wieder

p: — — hx: k.

6. Sind die Glieder eines Verhältnisses gleich, so faßt man: die Glieder verhalten sich wie Ein- zu LinS, indem man für setzen kann a : a = i: i. Bei solchen Verhältnissen ist auch der Exponent i, so wie die Glieder eineS Verhältnisses gleich sind, wenn i Ex­ ponent ist Nun steht man leicht ein, haß, wenn man bet einer Proportion weiß, di« Glieder eines Verhältnis­ ses sind gleich, auch die des anderen Verhältnisses gleich seyn, d.h. sich wie t:i verhalten müssen. Auch laßt sich jede Proportion auf die Form i: i = i: i zurückführen; denn bet der allgemeinen Proportion (§. ivg, i.) a: ae — b : be, erhält man nach dem vorigen §. i:« — i:also wieder i: i — i :i. 7. Ist der Exponent eines Verhältnisses rin ungehodener Bruch (eigentlicher oder uneigentlicher, echter oder unechter) wenn man ihn aus den beiden Gliedern dos Verhältnisses unmittelbar herleitet, so kann man das Ver­ hältniß unbeschadet seiner Richtigkeit, auf kleinere Iahten zuräckfährrn, und zwar auf die möglichst kleinsten wenn man den Exponenten nach §. 70. hebt. Z. B. 9:15---n: M, hier ist daher 3:5 — n: m, indem die beiden Glieder deS ersten Verhältnisses durch 3 dlvkdirt sind. Dies kann Erleichterungen beim Rechnen gewähren; sucht man z. B. das unbekannte Glied x, so baß sich verhalten soll: 1:7 = 33:44, so sage man *:7 — 5:4/ also 4X — 7*3 Und x = y = ^ = 5j.

Die geometrischen Proportionen.

195

Auch kann die Hebung mit den homologen Gliedern vor­ genommen werden', wenn der besondere Fall es zuläßt, wie unmittelbar auS dem vorigen §. folgt. Eben so kön­ nen auch wiederholte Hebungen mit Gliedern desselben Verhältnisses und mit homologen Gliedern vorgenommen werden. Z. B. $ : 45 = x: n; zuerst hat man i:9 = x: 12, dann i: 3 = x: 4, daher x = i|. Anmerk. Sind die Glieder eine- Verhältnisses Primzahlen gegen einander, geht also die eben genannte Verkleinerung nicht an; so dienen die Kettenbrüche dazu, ein, wenn auch uichr ganz genaues, doch durch die möglichst kleinsten Zahlen möglichst genaues annähernd richtiges Verhältniß anzugeben. Dies näher darzustellen, gehört aber zuvor eine ausführlichere Theorie der Kettenbrüche, als wir diese am Ende des fünften Kaptt-lü im vorigen Hauptstücke kennen lernten (vrgl§. 275, 8- u. 9. in meinem Lehrgebäude). Doch wird der auf, merksame denkende Leser selbst finden können, in wiefern das Auf­ suchen der Näherungwerthe (§. 84.) des Kettenbruchs, welcher dem Exponenten eines solchen Verhältnisses gleich ist, zu jenem Zwecke dient, und wie ein Näherungwerth aus einer unpaa­ rig en Gliedermenge, ein zu großes Verhältniß (§. 97, io.) giebt, wenn seine Glieder (Nenner zum Zähler) jenes Verhältniß an­ nähernd darstellen sollen, wie dies aber umgekehrt, bei einem Nä­ herungswerthe aus einer paarigen Glledermenge stattfindet. (Vergl. 83 )

§. iio, Lehrsätze. Bei einer Proportion verhält sich*):

1. Die Summe (ober Differenz) der Glie­ de rde-ersten Verhältnisses, zur Summe (oder Differeuj) der Glieder des zweiten Verhält­ nisses; «le ein Paar der homologen Glieder. *) AuS der bloßen Nennung beider Sitze dieses §. ist sogleich klar, daß sie nur wahr seyn können, wenn alle Glieder gleich­ artig, also auch wenn sie unbenannte Zahlen sind.

iq6

Hauptstück II.

Kapitel II.

Beweis. Aus a;ae = b :be (§. 103, 1.) soll laut Behauptung folgen a + ae:b + be — a:b ober*) = a e : b e. gut a 4Z a c = b + b e, setze man nur a(i +e):b(i+ e), so wird man die Richtigkeit der Proportion a(i + e):b(i + e) = a:b = ae;be sogleich einsehen (vrgl- §. zog.), denn man hat nur atb=a:b = a:b, wo bei zwei dieser Verhältnisse, die Glieder mit derselben Zahl (1+ e) ober e multiplicirt sind. W. z. b. w. 2. Die Summe (oder Differenz) der ho­ mologen vorderen Glieder, verhält sich zur Summe (oder Differenz) der homologen hin­ teren Glieder; wie die Glieder eines der Ver­ hältnisse. Beweis. Aus a;ae = b:be, soll wieder fol­ gen: a + b:ae + be = a:ae obet = b:be. Nun fetze man nur ffir at> + be, e(a + b), um sogleich zu sehen, daß bei den Verhältnissen a + b:e(a 4^b), a: ae, b:be, Gleichheit stattfindet, indem die zweiten Glieder nur das «fache der ersten find. Anmerk. Wie hätte wol mittelst §. 107,5 , aus dem ersten Satze, der zweite, oder aus dem zweiten, wenn er zuerst bewie­ sen worden wäre, der erste hergeleitet werden könne? Auch hätte man die Richtigkeit beider Sätze unmittelbar nach §. 107,2. bc, weisen können; wie wol?

Zusatz. Es sind der Herleitungen neuer Propor­ tionen aus einer gegebenen, sehr viele nach den eben ge­ nannten Sätzen möglich; auch können sie im vorkommenden Falle nie Schwierigkeiten veranlassen, zumal man, wenn der Zusammenhang der Herleitung nach den eben genannten Sätzen nicht sogleich deutlich seyn sollte, durch die beiden Prufungmlttel der Richtigkeit einer Proportion ’) D. h. das erste Verhältniß soll nicht nur gleich dem Verhält­ niß a ; b, sondern auch gleich dem ae : de seyn.

Die geometrischen Proportionen.

197

($• 97, t. u. $, 107,2..), fich sogleich von der Wahrheit überzeugen kann. So folgt z. B. auS p:g — h:k k —q:h —p = q:p, denn man setze die ge­ gebene Proportion nur so: k:h = q:p (§. 107, 5.) um nach dem zweiten Sätze, wenn man die Differenz wählt, die Nichtigkeit sogleich elnzuschen. Uebcrhaupt be­ dingt jeder der genannten Satze, vier verschiedene, also beide 8 verschiedene Proportionen, welche 64 verschiedene Formen geben (§. 107, 5.) §. ui.

Zusätze.

1. Hat man mehrere gleiche Verhältnisse, so schreibt man diese fortgesetzt so: a: b = c: d = f: g = h: k = p: q = 2C. und kann alsdann natürlich jedwede zwei dieser Verhält­ nisse für sich betrachtet, in eine gewöhnliche Proportion zusammenstellen, z. B. p: q = c: d u. dgl. m. Dergleichen gleiche Verhältnisse pflegt man auch wol der Kürze wegen blos so zu schreiben: atc;f: h: p = b: d: g: k: q, too auf der einen Seite des Gleichheitszeichens alle erste Glieder der Verhältnisse, auf der andern Seite alle zweiten Glieder stehen. Solche Darstellung spricht man denn aus: » zu 0 zu k zu h u. f. w. wie b zu d zu g zu k u. s. w. Man kann dann wieder von beiden Seiten, zwei beliebige der glelchliegenden Glieder, (d. h. in Beziehung vom Anfang zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens, gleich weit entfernte Glieder) hrrauswahlen, um sie in ein Ver­ hältniß zu stellen, um so beliebige Proportionen zu bil­ den. Dies ist einleuchtend aus dieser gewählten Be­ zeichnung.

193

Hauptstück 11.

Kapitel II.

2. De! glelchenVerhaltnlsfen, verhält slch dte Summe aller ersten Glieder, zur Summe aller zweiten-Glieder, wie die Glieder eines der Verhältnisse. Diese Behauptung liegt unmittelbar in Nr. a. des vo­ rigen §., wenn man die eben genannte Bezeichnung beräckfichtkgt. Denn hat man die gleichen Verhältnisse a:b = c: d = n : m == r : s u.s.w., so ist, weil a: b = c: d, auch a-s- lb-s-ck^-old (§.110,2.), da aber c:d = n:m, so auch (§. Y8, 2.) a-|-c:b_|-d _ n;m. also t>ot» gjeuem a-f-c-f-nib-j-d-f-m — n:m, für n;m setze man r:s, und es Wird a-j-L-j-n:b-j-d-j-m — r:s; wieder nach §. ho, 2. geschlossen, steht man, baß a-f-c-}-n-(-r:b-|-d-|-in-J-«sr:s obst =a a: b = c: d K. das Resultat wird, was bei jeder beliebigen Menge solcher gleichen Verhältnisse, ganz ähnlich, d. h. wie der Satz es ausspricht, erfolgen muß. 3. Ungemein wichtig wird dieser Satz bei feiner An­ wendung auf benannte Größen, worüber im folgenden Kapitel das Nähere gesagt werden wird. Hier mag nur folgende rein arithmetische Aufgabe auf ihn zurückgeführt werden. Eine gegebene Zahl F in $ Theile zu thei­ len, die sich verhalten wie die Zahlen a, b, V, n und m *). Diese Aufgabe kann nicht ander- gedeutet werden, als: fünf Zahlen zu suchen, welche vorläufig heißen mö­ ge» x, y, z, p und q, so, daß folgende Verhältnisse statt­ finden: a:x=b:y = c:8Än:p = m:q, oder (Nr. I.) a: t>: c: n: »n = x: y: z: p:q, und wo ferner x + y + ^+p + q = F, d. h. die gesuchten Zahlen zu« •) Diese Zahlen nennt man aiich wol B er h äl tnißzah le n, welche Benennung bezeichnend nst.

Die geometrischen Proportionen.

199

fammen, gleich der zu theilenden Zahl sind. Nach dem Satze Nr.2, muß bann aber auch seyns-j-b-s-c-s-n-j-m-x-s-y-j-L-s-y-s-^ — a: x (Hier siehe» eigentlich die obigen, ein Der— b:y hältnlß bildenden Summen, deren wieder— c:z holtes Hersetzen der Kürze wegen, unterlas» = n :p sen wird.) = m: : n" = 5:7 (bei gleichem Inhalte)

r”: n' — g : 4 (bei gleichen Dichtigkeiten) n : n1 = 15 : 28. Aus der bewiesenen Proportion n: n = ab:»' b',

nun

y;Y=b:b'

(§. zog.),

folgt

oder

na': an'= b : b'.

Hier sagt man: die Größen b und b', sind im zusammen, gesetzten Verhältnisse, des geraden Verhältnisses n: n' und des verkehrten Verhältnisses a: a', denn dies letz­ tere muß umgekehrt werben, damit n : n' und a'; a, als na': n' a zusammengesetzt, dem Verhältniß b : b' gleich sind.

Eben. so folgt- auch aus n : n — ab : a'b',

nn

r

.

ii

.

r

f

—: —=a : a oder n b : b n = a : a, b b was giebt: das Verhältniß a: a' ist zusammengesetzt aus dem geraden Verhältniß n:n' und dem verkehrten b: b'. So erhalt man beim vorigen Beispiele einfach:

das Verhältniß der Dichtigkeiten zweier Körper,

ist im

zusammengesetzten Verhältnisse der geraden Gewichte

(des geraden Verhältnisses der Gewichte) und der ver­

kehrten Inhalte (des Verhältnisses der Inhalte um­ gekehrt). Oder auch: das Verhältniß der Inhalte zweier Körper, ist zusammengesetzt aus dem geraden Verhält­ niß der Gewichte und dem verkehrten der Dich­ tigkeiten. Wie solche drei Sätze immer zusammenge-

hören, wenn ein Verhältniß durch zwei verschiedene Be­ ziehungen bestimmt ist, ist leicht cinzusehen.

Eben so fährt man fort, die Verhältnisse, gerade und verkehrte, zusammenzusetzen, wenn es eine jede beliebige

Hauptstück II.

218

Kapitel III.

Menge Verhältnisse sind, von welchen irgend ein besondereVerhältniß abhangt. Ist z. B. bei jwei Dingen D und 1/ das Verhältniß a zu a', abhängig von den Verhält« Nissen b : b', . : c', d:d' (u. s. w.), und man weiß, daß

daö Verhältniß a

«' mit den anderen Verhältnissen ein­

zeln verglichen, in lauter geraden Verhältnissen sieht; so hat man eben so a • a' = b c d ; b' c' d'.

Reinlich es werben zwei Hülfgrößen D" und v " gewählt, die in der zu vergleichenden Beziehung, mit den Größen D und D' verschieden sind, so daß ihnen also im ge#

wählten Falle, die Größen a" und a'" zukommen, die an­

deren Bczichungen aber giebt man ihnen so, daß D" hat >c und d, dagegen D"' hat b', c' und d, damit, wie bei der solgenden Zusammensetzung sich zeigen wird,

gehöriges Tilgen gegenseitig

entsteht.

man also dies Schema: D a b D" a" b'

c o

D'" /a"' D' Z a'

b' b'

ein

Uebersichtlich Hat

d d

c'

d

c'

d'

Nun verhält sich: Beim Vergleich bet D und D", a:a" = b: b'i der übrk# , » v' und a":a"' — e: e kgenGleich. # , ■ I)'"undD', a' = d:d')betten we,

-------------- —'_____________ -fttn

daher man bei der Zusammensetzung erhält: a : a' = b c d : b' c' d'.

Auch hieraus find die Verhältnisse und Proportionen: *

cd c: c

=

f ir f j =: ac d :a cd. '

= ab'd': abd

und

d : d — -—: —7 = ab c : a bc, bc b c ’

leicht herjulriten, und in Worte einfach zu übertragen..

Proportionsrechnungen in benannt. Zahlen.

219

2tnmerk. i. 2tlS Beispiel mag hier stehen: zwei eiserne Kugeln von 3 Pfuud und 5 Pfund, werden durch zwei Kräfte, die sich verhalten wie die Zahlen 7:9, während zwei Seiten, die erste während 4, die andere während 5 Secunden bewegt; wie ver­ halten sich die Räume (hier Linien) die beide unter diesen Um­ ständen durchlaufen? — Die Räume r und r, stehen offenbar im geraden Verhältniß derKräfte, im geraden derZeiten, aber im verkehrten der Gewich te *); man hat daher r : r = 7.4.5 : 9.5.3 (durch 5 gehoben) r : r c= 7.4 : g . 3 C= 28:27 So ist nun auch wieher die Bestimmung jedes der anderen Ver­ hältnisse leicht, wenn die übrigen gegeben sind, sey eö in be­ stimmten Zahlen oder nur in allgemeinen Größen. 2tn m erk. 2. Auch in der Geometrie werden dergleichen Zusam­ mensetzungen vorkommen.

Zusatz. AuS dem gezeigten Verfahren erglebt sich nun auch, wie für drei oder mehrere Größen, die fortlaufenden Verhältnisse in einer bestimmten Beziehung, zu finden sind, wobei daS in §.119. Gesagte, auch ost zur Anwendung kommt. So verhalten sich bei drei Kör­ pern die Gewichte g, / und g", wenn die Dichtigkeiten d, d' und d", die Inhalte aber i, V und 1" find: g : - : g = d ♦ 1 : (i . 1 : d . 1 ; woraus man die fortlaufenden Verhältnisse der Dichtig­ keiten, oder die der Inhalte, nach den bekannten Regeln, leicht bestimmen kann. Aamerk. 3. Der Zusammenhang der Betrachtungen dieses §. mit 117., wird man leicht finden.

§. 121. Aufgabe. Eine Größe zu theilen, wenn die Verhält­ nisse der Theile, von mehreren Verhältnissen abhängen. Auflösung. Durch allgemeine Untersuchungen dar­ auf vorbereitet, mag sogleich ein Beispiel folgen. Unter drei Invaliden A, B, C, soll man 200 Thaler, nach Ver*) Je schwerer die Kugel ist, je kleiner wird der Raum, den sie unter übrigens gleichen Umständen, zurücklegt.

sco

Haupistttck 11.

Kapitel 111.

hältniß ihres Altere, ihrer Dienstzeit und ihrer noch mög­ lichen Erwerbsfähigkeit vertheilen. A diente 35 Jahr, ist 55 Jahr alt und verdient wöchentlich 2 Thaler, B diente 28 Jahre, ist 60 Jahr alt, und verdient (in derselben Zeit) I5 Thaler; € endlich diente 25 Jahr, ist 44 Jahr alt und verdient 2s Thaler. Wie viel erhalt jeder? Es mögen die näheren Untersuchungen hier dahinge­ stellt bleiben, ob folgendes Urtheil völlig begründet ist; oder es sey die Bestimmung, daß die Dertheilung geschehen soll: nach geradem Verhältniß des Alters, nach geradem Verhältniß der Dienstzeit und nach verke h rtemVerhältniß der noch möglichen Erwerbsfähigkeit. Man hat nun die drei Verhaltnißzahien zu suchen, nach welchen laut §. n8. die Dertheilung dann geschehen kann. Den beiden ersten Rücksichten gemäß, muß offenbar die Vertßcilung nach den Zahlen geschehen, welche durch Zusammensetzung der Zahlen des Alters und der Dienstzeit entstehen, d. h. nach dem der Zahlen 35.55:28-60:25.44, ober ge­ hoben 7.55:28.12:5.44. Die Zahlen welche die Erwerbsfähigkeit bestimmen, sind 3, >|, 2|, oder ■$- $ also das Verhältniß 4: z: 5. Die Dertheilung soll aber nach ihnen, verkehrt geschehen, und leicht sieht man rin, daß die Zahlen 5:3:4 keineswegs den Antheilen in dieser Beziehung entsprechen*), denn es sollen sich die Antheile in dieser Beziehung verhalten: der des A : dem des B --: 2 — 3 :4 der des B : dem des 0 = 2$: ij = 5.- 3 der des A : dem des C = 2J: 2 = 5: 4**). Hier hat man nun zwei getrennte Verhältnisse, nemllch A : B = 3:4 ________ B : C = 5 : 3, ♦) Bei zwei Zahlen wäre diese Umkehrung hinreichend, wie man sogleich sehen wird. ♦♦) Dies letzte Verhältniß ist aus den beiden ersten schon bestimmt; wodurch wol?

Proportionörechnungcn in benennt. Zahlen.

221

dle man nach §. 119. in das fortlaufende A:B:C = 3.5:4.5:3.4

= 15 : 20 : i2 bringt. Diese Zahlen also, find mit den vorher bereits gefunde­ nen zusammrnzusetzen,

daher die Zahlen nach denen die

2co Thaler zu theilen sind, endlich seyn werden „

.. . .

, . ,

/ zusammengesetzt

7.55.3.5 : 28.12.4.5 ; 5,44.3.4, durch 3.5)

7.55-28.4-4-44.4,

(gehoben

also

385-448-176. Nunmehr ist die Theilung selbst ohne Schwierigkeit nach §. 118. zu vollziehen.

§. i22. Anmerkung. Dies wogten die Grundzüge sey», welche bei den practischen Proportionsrechnungen besonders zu bemerken sind.

Die zusammengesetzte

Propsrtionsrech-

nung (§. 117.) und die Gesellschaftrechnung (§. ii8.), wiederholen sich in allen hierüber zu gebenden

Aufgaben, wiewol mannigfaltig unter einander verknüpft; dem denkenden Leser mögte nach jener Vorbereitung, wol keine Aufgabe Vorkommen , die hierher gehörend, feine Kräfte überstiege.

Freilich kommen Benennungen dabei

vor, als Zins,, Rabatt», Renten,, Vermischung- rc. Rechnungen, die nvlhlgrnfalls erst zu erläutern sind, ehe nur die Aufgabe verstanden werden kann. Die nöthige

Uebung hierin kann aber nur durch Beispiele, die leicht zu finden sind, erlangt werden.

Drittes Hauptstück.

Von den Potenzen und Logarithmen Erstes Kapitel.

Einleitung; ferner vom Ausziehen der Wurzeln aus Buchstabenausdrücken, wenn die Exponenten nur ganze positive Zahlen sind-

§. 123.

Anmerkung.

Erklärung der Potenz und die Bezeichnung der Potenzgrößen, ist bereits §. 40, 4 gegeben; eben so die einfachen Rechnungarten mit Poten.zgrößen, im dritten Kapitel des ersten Hauplstücks bereits gelehrt, und kann daher hier als bekannt vorausgesetzt werden. Ferner ist schon $. 41, 6. gesagt, daß man die Potenzen der Produkte erhalte, wenn man jeden Factor zu der Petrnz erhebt, zu der das Product erhoben werden soll, und was am Ende jenes §. angedeutet wurde, daß man die Potenzen der Quotienten auch durch Multiplication erhält, sey dadurch hier ausgesühri, daß man, wenn ein Quotient z. B.

zur nten Potenz zu erheben ist, ihn

in Parenthese schließt, und außerhalb derselben den Expo­

nenten setzt, also z. B.

schreibt.

Nun ist bleS nichts

Hptst.III. Kap.I. VomAuSziehen d. Wurzeln rc-

anderes (der Bedeutung gemäß) als

225

4. 4*4-4..«.

(so oft als n Einheiten hat) oder—(§. 75,1.11.2.)

—

d. h. man muß Zahler und Nenner zu der ange­

gebenen Potenz erheben. Endlich har die Potenzirung der Complexioncn nach §. 42. keine Schwierigkeit weiter, wenn in ihr auch Glieder vorkommen sollten, die selbst Potenz, größen find. Dies Vorausgesetzte macht nun die Grund­ lage der folgenden Lehren und Aufgaben.

§. 124. Erklärung. Soll man aus einer Zahl a, eine andere unbekannte Zahl x entwickeln, so, daß di? x zu einer bestimmten Po­ tenz, z. B. zur x ten Potenz erhoben, wieder die a erzeugt; so sagt man: es soll aus a die -re Wurzel gezo­ gen (oder extra Hirt) werden. Dirs deutet man so an V"», indem man die Zahl * unter das Zeichen V (Radix oder Wurzelzeichen), die » aber in die obere Oeffnung setzt. Nur für den Fall daß » — 2 ist,

läßt man die Ziffer gewöhnlich weg, daher V~a=zVa ist. Der ganze Ausdruck heißt nun eine Wurzelgröße, n der Wurzelexponent, und die gesuchte Zahl dieWur-

z e l. Auch sagt man beim Ausdrucke V» , es werde die Wurzel vom > ten Grade (von der nun Ordnung u. dgl. m.) aus a gesucht. Anm erk. i. Die zweite Wurzel nennt man auch wol die Qua­ dratwurzel und die dritte die Cubikwurzel (vrgl. hiermit § 40 Anmerk.). Anmerk. 2. Von Wichtigkeit ist es, daß man nur aus unbe­ nannten Zahl en Wurzeln ziehen kann, so wie auch nur solche zu Potenzen erhoben werden können, wie dies in §. 30, 3. liegt, wenn man bedenkt, daß Potenzen Producte lauter gleicher Fac Loren seyn sollen, und dasselbe beim Ausziehen der Wur­ zeln bedingt ist. Man redet daher auch besser bei den Potenzen

Hauptstück ILL

2C4

Kapitel 1.

immer von Zahlen als von Größen. — Wie diese wichtige Bemerkung sich mit den Anwendungen der Lehren von den

Potenzen und Wurzeln im practischen Leben oder in der Wissenschast verträgt, muß am gehörigen Orte erläutert werden.

1.

125. Grundsätze. In der eben gehabten Erklärung (§. 124.) liegt

unmittelbar, daß, wenn V"a = x ist, wiederum a = x11

seyn muß. Man sicht hieraus, daß beim Ausdrucke V«, die a als eine Potenzgröße betrachtet werden kann, denn sie ist gleich der Potenzgröße x11 (vrgl. hierüber §. 40, 4). s. Eben so folgt der bloßen Bedeutung nach, aus der Annahme pn=

oder oder < bb, aaa >- ober ■< bbb u. s. w. d. h. bn >• oder ■< b“. 3. Gleiche Größen zu ungleichen Potenzen er­ hoben, geben ungleiche Größen *). Denn ist « — b» so ist aa = bb, a a a — bbb U. s. W., welche Gleichheit aber gestört wird,

sobald bei einem der Produkte, der

gleichen Faktoren mehr als beim anderen sind, d. h. wenn an und bm, wo n ungleich m ist, genommen wird.

4.

Aus gleichen Größen gleich große Wurzeln

(Wurzeln von gleichem Grade) gezogen, giebt gleiche

Wurzeln.

Denn ist a = b, und man sucht V'a unb V~b, n

n

so muß, wenn V"a = x und Vb = y gesetzt wird, a — xn und b — y“ seyn (§. 125,1.); da nun a = b, so auch xn= y“, daher kann X nicht ungleich y, muß

ihm also gleich seyn (Nr.2.). 5. Aus gleichen Größen ungkelche Wurzeln ge­

zogen, giebt ungleiche Größen**).

Denn sucht man

*) Die Zahl 1 ausgenommen (vrgl.,§. 125, 5,).

*♦) Wiederum die 1 ausgenommen.

T-orrtn?r’i Grnndrisr.

I?

Hauptslück Ui.

2->.6 m

h

Va und V"a,

Kapitel L

n und es Ware Va = x also a = x", und

Va = y also a = ym; so müßte, wenn x = y Ware, xn ungleich ym seyn (Nr.z.) d. h. eS wäre a ungleich a. Also ist x ungleich y. 6.

AuS ungleichen Größen gleiche Wurjeln ge, n

n

zogen, giebt ungleiche Größen. Also Va ungleich Vb n

n

wenn aUNgleichbist. Denn Ist Va—X, und Vb=y, also a = xn und b = yn (§. 125,1.), so müßte bei der Annahme x --- y, auch xn = yn seyn (Nr. 1.), d. h. eS märe a = b, waS wider die Voraussetzung ist. Daher < n A ist x ungleich y, d.h. Va ungleich Vb.

7. Ungleiche Größen zu ungleichen Potenzen erhoben, oder aus ungleichen Größen ungleicheWur, zein gezogen, kann auf gleiche Größen führen, doch wird dies sehr selten seyn. So ist z. B. 4» —8*— 64 und auch Vg=\r27 = 3. Fälle wo das Gegentheil stattfindrt, brauchen gewiß nicht erst angeführt zu werden.

8. Wird eine Zahl die größer als 1 ist (also auch eine vermischte Zahl) potenzirt, so werden die Potenzen immer größer und größer, je mehr der Exponent wächst. (Dies ist ohne Erläuterung deutlich.) 9. Wird ein echter Bruch potenzirt, so werden die Potenzen immer kleiner, je grrößer der Exponent wird. Dies folgt unmittelbar aus der Pokenzirung eineS Bruches (§. 123. und $.75,4.). So ist (|)2=|, und (i/= ,V/ «der f > 5V10. Wird auS einer Fahl die größer alS 1 ist, eine Wurzel gezogen, so wird das Resultat um so kleiner, je größer der Wurzelexponent ist, bleibt aber doch stet­ größer alS 1. Dies folgt unmittelbar auS Nr. 8, Nr. 9. und 125, 5.

Ausziehen der Wurzeln aus Buchstabenausdr. ?c.

227

ir. Aus einem echten Bruche eine Wurzel gezogen, wird das Resultat umso größer, je größer der Wur­ zelexponent ist, doch bleibt es stetS kleiner a lS 1. Auch dieser Satz folgt einfach aus Nr.y, Nr. 8. und §. 125,5, 12. Ist eine Potenzgröße z. B. pm noch einmal zu potenziren, so schließt man ste ln Parenthese und fetzt au­ ßerhalb derselben den neuen Exponenten, also (p”jn, wenn nemlich n der Grad ist, zu dem pm zu erheben ist. Leicht einzusehen ist nun, daß (pm)n=pmn ist, d. h. daß man bei der Auflösung der Parenthese, die Exponenten nur zu multiplicirea, und das Product zum Exponenten derselben Wurzel p, zu setzen hat. Denn- die Bedeutung von z. B. (p3)2 ist, ppp soll zweimal als Factor gesetzt, also das Resultat ppp.ppp=p6 = p1,3 erzeugt werden. Daß dies für jeden besonderen Werth der beiden Expo. Renten gilt, ist nun wol deutlich *). Eben so verfahrt man, wenn die Potenzirung noch öfter wiederholt werden soll, also z. B. [(qa)c]n= qacn u. dgl. m. Man kann daher auch einen Exponenten, wenn eS sonst angeht, in Factoren zerlege», und die Potenzrrhebung alS eine wie, verholte Potenzirung anfehen. Z. B. a8 = a4-«=: (a4)a — (a8)4, woraus man zugleich sieht, wie man bei einer wiederholten Potenzirung, die verschiedenen Exponenten unter einander verwechseln kann, als [(an)m]c= [(ac)n]m — u. f. w., ohne dem Werthe deS Ausdrucks zu schaden. 13. Soll auS einer Potenzgröße eine Wurzel gezogen c

werden, z. D. V"pa, und es findet sich, daß c ein Maaß

von a ist,

A

C

—

so daß —= n ist; so ist V"pa= pc= pu.

•) Dies Zeigen eines allgemein behaupteten Satzes an einem besonderen Beispiele und dar Schließen hiervon auf den all­ gemeinen Satz, ist für dergleichen Behauptungen leicht als richtig einzusehen. In obigem Falle wäre der allgemeine Beweis der, haft (pm)n=ppp*«. x ppp... x ppp... x„.=pnra ist

15*

fis8

Haupcstück 111.

Kapitel 1.

3

Denn z. D. V"p8 heißt: eine Größe finden, die zur 2ten Polen; erhoben, ps giebt (§. 124.); also erhält man of­ fenbar pA, zum Resultate, da nach Nr. 12, (p4)3 — p4-2 = p* ist. Wie dieser Satz allgemein gilt, was auch Ex­ ponent und Wurzelexponent für Zahlen seßn mögen (nur letzterer ein Maaß des ersteren), ist wiederum ein­ leuchtend. Findet die hier gemachte Bedingung nicht statt, wie z. B. bet V~a’, so wird die Untersuchung dieses Ausdruckes im dritten Kapitel gegenwärtigen Hauplstäcks vorkommen *).

14. Ist aus einem Produkte die Wurzel zu ziehen, so schließt man eS in Parenthese und setzt das Zeichen V davor, ober macht es lang genug, damit das Product un­ ter ihm ganz steht; z. B. V"(abcd) = V'Tbcd. Steht nur Vab, so könnte dies die Bedeutung haben V"a mit b multiplicirt, waS man aber, um Irrthum zu vermeiden, lieber bVa schreiben würde. Soll nun die Ausziehung vollzogen werden, so muß man aus jedem Factor die «te Wurzel ziehen. Dies folgt sogleich aus $.41,6., indem die Potenzirung zur nten Potenz, wieder auf ab cd füh­ ren muß (§. 155, 1.), hierbei aber jederFactor zu po, tenzlrcn ist. Sind daher die einzelnen Factoren keine Po, tenzgrößen, so deutet man auch blos die Extrahirung an, sind sie, einige oder alle, Potenzgrößen, so verfährt man mit diesen nach Nr. 13., was auch eben so geschieht, wenn Zahlenfactoren dabei Vorkommen. Also B.

V~(g a3 b6 c4) = 3 a b3 c2; ober V"(a6 c’) = a3V"cs u. dgl. m., wo wieder (3 ab3 c3)$ = 9a3b6c4 wird, u. f.w. ♦) Daß die Form /a5 eine, schon hier deutliche Bedeutung hat, ist klar, kommt sie also vor, so kann man sie auch unverändert sie« ben taffen.

Ausziehen der Wurzeln auSBuchstabenauSdr. rc. 15.

229

Ist aus einem Bruche eine Wurzel zu ziehen, a a

so ist die Bezeichnung diese

bei der Vollziehung,

Daß

ober

aus Zähler und Nenner dle nte p

Wurzel zu ziehen ist, der Ausdruck also

wird, lst wie in

/q Nr. 14., bei Berücksichtigung der Regel für die Poten»

zirung eines Bruches (§. 12z.) sogleich deutlich. .

5R

jf/«6 b* — /»"b-__ “ b r ßh“

3 __ /ßh“

2h*

u. dgl. m.

Also

Laßt sich die

Division vorher vollziehen, oder der Bruch heben, so kann

dies natürlich geschehen, und bringt oft Vortheile; z. D-

16.

Soll aus einer Wurzelgröße noch einmal eine

Wurzel gezogen «erden, so ist die Bedeutung deutlich, und m n

die Andeutung diese Wh.

mn

Die Vollziehung giebt Vh.

Denn es sey Vh = x so ist Wh = Vx, (§.126,4.) m

in ix

m1

und setzt man Vx = y, so lst Wh = Vx = y.

Nach

Nr.jl. und §. 125, i. folgt weiter Vh = x = y“, und

eben danach wieder h=xn=(ym)n = ymn (Nr. 12.), also mn

m n

auch Vh = y (§. 126, 4.); da nun auch y = Wh «ar, mn

m n

so ist Vh — VVh,

Dieser Satz findet seine Anwen-

düng besonders, wenn ein Wurzelexponent sich in Faktoren

zerlegen läßt, indem man nun nur nach und nach die klei­ neren Wurzeln, wo die Wurzelexponenten dle einzelnen Fa­ ktoren sind, statt der großen Wurzel auszuzlehen hat, was 6

zuweilen Vortheile gewähren kann.

V"a = Wa u. dgl. m.

Also z. D. Va =

Wie dies auch bei jeder 6t#

Lgc»

Hauptstück IH.

Kapitel J.

llebigen Menge wiederholter Wurzelausziehungen stattfinc a ii

can

bet, ist nun wol deutlich, also z. B. VV"V"p = V"p. Auch hier sieht man, wie ohne Nachtheil die verschiedenen Wur­ zelexponenten unter einander verwechselt werden können, ii m a

man

j. B. WVh — WVb — u. s. w. ist,

denn all«

diese Formen sind — V'h. 17. Da nach $.41,3. eine gerade Menge nega­ tiver Faktoren, stets eine positive Zahl geben, so kann man auch, wenn eine Wurzel von einem gerade » Grade (die ste, 4te, 6te u. s. w.) gesucht wird, nicht blos die Wurzel alS positiv ansehen, sondern sie ist auch nega­ tiv, übrigens alS Zahl (also ohne auf die Eigenschaft zu sehen) betrachtet, von derselben Größe, wie sie als po­ sitive Wurzel Ist. So ist also z. B- Va1 = -|-a aber auch — a, welches man so bezeichnet (+)a, wobei die Parenthese anzeigt, daß die Wurzel stetS in beiden Eigenschaften vorhanden ist, also nicht -p oder — a, sondern 4- unb — a zu lesen ist. Hat man dage­ gen auS einer positiven oder negativen Zahl eine ungerade Wurzel zu ziehen, so leuchtet rin, daß sie wie, derum positiv (bei positiver Potenz) oder negativ (bei negativ er Potenz) seyn muß; also $♦ V"a1 = a(

Y"— a«= — a u.bgl.m. WaS man erhält, wenn auS einer negativen Zahl «ine gerade Wurzel gezogen werden foil, bleibt zu untersuchen dem dritten Kapitel überlassen, so wie manche hierher gehörenden Untersuchun, gen dort erst verfolgt werden können. iS- Wie eine Complexlon zu potenziren sey, ist §. 41, 6. und §. 45. erwähnt, und sind einzelne Glieder selbst Potenzgrößen, so ist nach den Rechnungen mit Potenzgrößeu, wie solche bisher gelehrt sind, dabei keine neue Schwierigkeit zu beseitigen. Man sieht darau- deutlich,

Ausziehen der Wurzeln aus Duchstabenauedr. rc.

»z 1

baß die Potenz mehr Glieder, als nur die Potenzen der einzelnen Glieder der Complexion hat; so ist z. B. (a — b)‘ = aa—sab-j-b2« Hierin liegt aber der Satz: daß, wenn aus einer Complexion eine Wurzel gezogen werden

soll, welches man durch V*'(a + b—c + d)=Va + b—c+, eben weil sonst (a4~b)a s= aa4-t>a seyn müßte, was nicht der Fall ist. Wir werden uns nun sofort mit der Ausziehung der Wurzeln aus Complexionen beschäftigen, indem die bisher gehabten Sätze und Formumwandelungen, alS Grundlage dieser AuSziehung dienen. Anmerk.

Im dritten Kapitel werden noch neue Potenz - und

Wurzelformen erklärt werden; die bisher vorgetragenen genügen für unseren ersten Zweck.

§. 127. Aufgabe. AuS einer Complexion von Buchstabengrö­ ßen, die eine vollkommene Potenz ist, die zweite Wurzel zu ziehen *). Auflösung. Alle Wurzelausziehungen beruhen auf den Betrachtungen, welche sich bei der Potenzirung einer jweilhelllgen Größe (eines Binoms; §. 40, 1.), zu der Potenz von demselben Grade, als der Grad der Wurzelausziehung bestimmt, ergeben. Erhebt man nemllch (A-|-B) juc 2ten Potenz, sucht also (A-f-B)4, so giebt der Weg der Multiplication (§. 45.) sogleich (A + B)a = Aa4-S A B 4-Ba. Indem hierbei A, den ersten Theil, und B eben so den zweiten Theil bedeutet, das Zeichen -f- aber nur die Addition der beiden Theile A und B bezeichnet **), er­ hält man in Worten den Satz*) Siehe §. 129, 3. *♦) Daher auch A so wie B negativ sey» kennen. (Vrgl. di« ein­ zelnen Sätze in §. 28.)

2Zs

Hauptsiück III.

Kapitel I.

die zweite Potenz (das Quadrat) einer zwektheiligen Größe, besteht aus der zrveltenPotenz des ersten Theils (A3), dem Producte beider Theile doppelt genommen (2AB) und der zweiten Potenz des zweiten Theils (B3). Sind die einzelnen Theile Producte, Quotienten oder selbst Potenzgrößen; so ist die Potenzirung derselben, ihre Multiplication u. dgl. m., bereits bekannt, so wie in §.41, 3. schon gezeigt war, daß eine negative Zahl zur zweiten (einer paarigen) Potenz erhoben, ein positi­ ves Resultat giebt. Hat man also z. B. die Größe — 3a3b4-5n3d3 zur zweiten Potenz zu erheben, so er­ halt dem eben genannten Satze zufolge, weil jenes A (erste Theil) hier = —3a3b, das B (zweiterTheil) aber 5 n’ d3 ist: A3 = (— 3a3 b)3 — -j-ya^b3 ($.41,6.11« §. 126,12.) 2 A B —2. — 3a3b«5n’d3 = — 10a3 bn3 d3 und Bs= (5 n3 d3)3= 25 n6 d4; also (—3a3 b —5 n3 d3)3 —ya4 b3 — ioa3 bn3 d3-j-2Z n6 d4; wo man also steht, daß daö doppelte Product negativ, die beiden Quadrate (zweite Potenzen) der einzelnen Theile aber, wie es auch scyn muß, positiv erscheinen. Eben so findet man z. B. (2n3 b — 4 n3 ad3)3— 411*b3 — 16n* ad24-16n4a* d* und auch (-gab3 — 5 p3 b3)3 = 4-9»3 b4-}-30 ab5 p3 4-1$p6 b6« Soll nunmehr aus einer Complexkon von drei Gliedern, die Quadratwurzel gezogen werden, so ist erforderlich, wenn die gegebene Größe ein vollständiges Quadrat seyn soll, daß man jene drei Theile in der gegebenen Complexlon findet, und das ist leicht zu untersuchen, wenn man sieht, ob zwei vollständige Quadrate*) darin enthal­ ten find, und findet man solche (§. 126, 14.), so mache *) Deren jede« daß positive Zeichen haben muß.

Ausziehen der Wurzeln ausBuchstabenauSdr. rc.

£53

man das doppelte Product ihrer Wurzelnr ist dieses bas dritte Glied der gegebenen Complexlon, so sind jene beiden Wurzeln die Theile der gesuchten Wurzel; ist das doppelte Product negativ, so werden beide Theile (jene Wurzeln) mit dem Zeichen — verbunden, wobei man je­ den der Theile alS positiv und bann den anderen als negativ ansehen kann; ist aber jenes doppelte Product positiv, so sind die Theile auch beide positiv oder beide negativ, wie man beim Vergleich von §.126,17. und §.28, 11. sogleich findet. Also y'(n24-snm4-nia)=4-n4-ni und —— n— m, so wie V~(n2—2nm-j-m3)=4-n — m und ——n-j-m ist. Merkt man diese zwiefachen Werthe, so ist es im vorkom­ menden Falle hinreichend, nur eine der beiden stets vor­ handenen Wurzeln anzugeben, «0 man dann in der Regel setzt: V'(p14-2p i+q1) = p+t*

2t

>8t’p4—24tsp2ten Grade gefunden werden, so suche man den Ausdruck (A 4- B)n, wo also n Immer eine bestimmte Zahl ist, und behandele den Ausdruck, wie In den vorigen Paragraphen geschah. Ist der Wurzelexponent n in Faktoren zerlegbar, so können die Erleichterungen ein­ treten, die §. 126, 16. gelehrt find. Wer hierin Uebung erlangen will, kann Beispiele leicht selbst finden. 2. Ist eine Complexion keine vollständige Potenz, so kann man dennoch daS Verfahren der früheren Paragra, phen anwenden, wenn eine Wurzel auszuziehen ist. Denn, soll eine solche Complexion als Potenz angesehen werben, so muß Ihre Wurzel denselben Gesetzen «nttrwprfea seyne

Hauptstück II. Kapitel in.

240

tose die Wurzel einer Potenz überhaupt. Die Wurzel be­ kommt dabei aber die Form einer unendlichen Reihe, (welche auch §. 48. bet denen Divisionen erfolgte, die nicht ge­ nau zu vollziehen waren). Zur Uebung ist es gut, einige dergleichen Wurzeln zu suchen. Z.D. eine zweite Wurzel m6 V”(n2 — m2) I n — — 'm4 I 2n "*8^ ”76^**4* _________ TXl2 2L-------2n

' 4n2 m2 m4 I m4 2 n—-----------------------n 8n3| 4n2 'm4 4112

in6 Hi3 8n4^" 64 n6

m2 m4 m6 I m6 m8 2 n — -— — — —----- ---------------- - ---- n 4n3 i6n5| tzn4 64 n6

U. s. w. 3. Die mannigfaltigen Formen in denen die Complexlonen so wie die einzelnen Glieder noch erscheinen kön­ nen, werden ohne Anstoß zu behandeln seyn, wenn die im dritten Kapitel noch zu erläuternden Formen, erst bekannt sind.

Zweite- Kapitel. Vom WurzelauSziehen aus Zahlen. §. 130. Aufgabe. AuS einer vollkommenen Quadratzahl die Quadratwurzel zu ziehen. Auflösung. Beim Wurzelausziehen 'auS Zahlen, wird die Kenntniß der, §. >25, 6. angegebenen Wurzel­ tafel vorausgesetzt, die man, wenn die Ausziehung höhe­ rer Wurzeln als der dritten Wurzel verlangt wird, leicht

Vom Wurzelausziehen aus Zahlen.

241

leicht fortsetzen kann. Hier nehmen wir also als bekannt an, daß fürQuabratzahlen, deren Wurzel nicht über 10 geht, diese Wurzel sogleich angegeben werden kann, wo­ mit unmittelbar zusammenhängt, daß man für alle Zahlen die zwischen solchen Quadrotzahlen liegen, diejenige Wur, zel angeben kann, deren Quadrat jener Zahl am näch­ sten kommt; so ist z. D. V"8i = 9, V64 = 8, also V70 > g und < 9, d. h. fle ist 8 4- einem echten Bruch, den naher zu bestimmen, Gegenstand dieses Ka­ pitels ist. Ehe wir jedoch solche unvollkommene Quadratzahlen betrachte», mag die Ausziehung der Wur­ zel aus den.vollkommenen Quadratzahlen, wo die Wurzel m eh rziffrig ist, im gegenwärtigen §. vorhergehen. Nimmt man daher zuerst eine zweiziffrige Zahl, und untersucht ihr Quadrat; so ist deutlich, daß, wenn man solche Zahl, z. B. 24, als auS den beiden Theilen 20+4 bestehend annimmt, auch (204-4)’, ganz wie das Qua­ drat eines Binoms zu finden ist, denn nun ist 20 4-4 wirklich zweitheilig dargestellt. Nun ist so2 — 400 (= a’)

2.20.4 = 160 (= 2 ab ) 4’ — 16 (jb2), also 20’4-2.20.4'4-4’ — 576 — (20-|-4)4 — Ö44. Warr nun V 576 zu suchen, und Man hätte hierfür 7^(4004-1604-16) geschrieben, so würde wiederum die Wurzelauszlehung, ganz rotf §. 127. zu vollziehen seyn. In der gegebenen Zahl 576, find aber diese Theile des Quadrates vereiniget, und eine Zerlegung in dieselben würde, wenn man die Wurzel nicht kennt, — was doch der Fall ist wenn diese erst zu suchen ist — eigene Schwie­ rigkeiten haben. Und so wird es denn nöthig, noch einige Betrachtun­ gen und Untersuchungen vorauszuschicken, die gehörig bei höheren Potenzen übertragen, auf gleiche Weife zur Aus­ ziehung höherer Wurzeln als der zweiten, führen. Fnrstnrr's ®rrtfit>rie 16

s^r

Hauptstück 1H.

Kapitel II.

1. Die zweite Potenz einer i mit einer gewissen Menge Nullen, ist immer eine i mit doppelt so vielen Nullen. So ist ioo3 — roooo, u. dgl. m. Dies wollen wir so andeuten i(n)2 = 1(2«), Die Wahrheit dieses Satzes ergiebt sich aus der Multiplicatkon; auch Ist die eben gewählte Bezeichnung, schon aus §. 2. Anmerk, und andern Orten, bekannt. — Also ist auch wieder — i(n); so ist V1000000 = 1000 u. dgl. m. 2. Jede mit n-j-i einziffrigen Ziffern geschriebene Zahl, liegt zwischen einer 1 (n) und einer i(n-J-i). Dies ist aus dem decadischen?Numerirsysteme sogleich ein­ leuchtend; z. B. die sechszlffrige Zahl 84271a (bet der also u-j-i — 6, daher n —5 ist), liegt zwischen 102000 und 1000000, d. h. zwischen 1(5) und 1 (6). 3. Daher liegt das Quadrat Q einer jeden »4-1 ziffrigen Zahl, zwischen dem Quadrate von 1 (n) und dem von i(n4-i); d. h. jenes Q ist größer als i(o)1 und kleiner als i.(n + i)2, also größer als 1(20) und kleiner als i(sn-j-2) (Siehe Nr. i.). Also ist z. B. 5946^ > i(6) und < r(8). 4. Indem eine i(») die niedrigste Zahl ist welche mit 14-n Ziffern geschrieben wird *); so muß das Qua­ drat einer n-j-i ziffrigen Zahl, wenigstens 1 +211 Ziffern, kann aber nie 1+20 + 2 d. h. 3 + 2n Ziffern haben (SieheNr.3.). Zwischen den 1 + 20 und 3 + 211 ziffrigen Zahlen, liegen aber noch die 2 + 20 ziffrigen Zah­ len, und baß das Quadrat einer r> +1 ziffrigen Zahl, in der Ziffermenge 211 + 2 Ziffern haben kann, ist durch eine wirkliche Quabrirung sogleich zu zeigen; denn z. D. 581“ = 337561, d. h. das Quadrat einer dreijiffrlgen Zahl (3 = +1, also n = 2), kann eine sechsziffrige Zahl (20+2—2.2+2 — 6) zum Quadrate haben*) Ist wol sogleich deutlich; z, SB. 1000 die Niedrigste vierfiffrige Zahl u. s. w.

Vom WurzelauSjiehen aus Zahlen-

245

«ährend man auch leicht sieht, baß eine dreiziffrige Zahl, z. B. 195, im Quadrat nur die fänfziffrlge Zahl 38025 hat, wie man denn bald findet, was im Allgemeinen die Bedingungen sind, wann eine n-J-i ziffrige Zahl, im Qua­ drate nur Ln-s-i, oder wo sie 204-2 Ziffern hat. 5. Indem in Nr.4. das Gesetz liegt- daß eine Zahl z quadrirt, höchstens doppelt so viele Ziffern imQua, drateO haben kann als z selbst Ziffern hat, wenigstens aber doppelt so viele Ziffern weniger einer, in O als in z vorhanden seyn mässen; so laßt sich umge­ kehrt sogleich beurtheilen, wie viele Ziffern eine Quadrat, wurjel haben muß, wenn man die Ziffermenge des Qua­ drats kennt; nemlich, hat Q eine paarige Ziffermenge, so hat z = VO, genau halb so viele Ziffern *) als Q, und hat Q eine unpaarige Menge Ziffern, so thue man eine dazu, und nehme auch hiervon die Hälfte, welche dir Ziffermenge der V"Q angfebt. Eo Hal also V46572, drei Ziffern/ V"2716 aber nur zwei Ziffern (4)

in der Wurzel, eben weil eine dreiziffrige Zahl quabrat höchstens sechs Ziffern haben kann, aber wenigstens fünf Ziffern haben muß, u. s- w. 6. Schreiben wir die einziffrigen Ziffern mit Buch­ staben, so baß z. B, a bcd eine vierziffrige Zahl bedeu­ tet (also nicht wie üblich- ein Product aus den Fa­ ktoren a, b u. s. w.), so können wir sie zerlegen in: a b c d = a 000 + b 00 “j“ c o —|— d Macht matt das Quadrat dieser Complexion, so erhält man außer den Quadraten der einzelnen Glieder, noch die dop­ pelten Produkte auS je zwei und zwei Gliedern **). Das *) Wol zu merken, daß hier nur vsn vollkommenen Quadrat­ zahlen die Rede ist, oder von den Ziffern der Ganzen in der Wurzel, wenn die Q kein vollkommenes Quadrat ist. **) Vergl» §. 126, 18, oder man mache das Quadrat irgend einer Comxlen'on, um sich davon zu überzeugen.

16*

944

Hauptstück HI.

Kapitel II.

Quadrat von jedem Gliebe, ist aber das Quadrat der er­ sten Ziffer (d. h. der a oder b oder c u. f.w.) und dop­ pelt so vielen Nullen, als daS Glied Nullen hat, wie auS der Quadrirung solcher Zahl fich sogleich ergießt*). Voll­ ziehen wir die Quadrirung, und begleiten sie mit einem Beispiele in Zahlen, so erhält man z. B. für 42161 = (4000 + 200+ iq + 6)1 (wo as=4, b = 2, c=i und d — 6 ist) diese Darstellung: (aooo)a = 40001 — 160c 0000 2. a 000. b 00 — 2.4000.200 — 1600000

2 ♦ a oo. c o — 2♦ 4000. 10 LchSOO.ck — 2.4000.6 (boo)a =

2OO2

2obOO.ro — 2.200. IO . 1 , S.boo.d — 2.200.6 (co)a = IO1

2. CO. d = 2. 10.6 d* == 62

— =

= = =2 —

goooo 48000 /

40000*1

g 5

-E ß w

~

4000 /

I « M 2400 L Sjg I°O*U S

= 120 —________ 36*7^5

42161 — 17774656 Stellt man fich diese Zahl, von der Rechten gegen die Linke in Klassen zu zwei Ziffern getheilt vor, setzt dies also so; i7|77l46|56, so erhält man nach Nr. 5. so viele Klassen, als Zif­ fern in der Wurzel vorhanden sind, wo aber die Klaffe zur Linken, auch nur eine Ziffer (in besonderen Fällen) zu haben braucht. Nun zeigt dies Beispiel, und die vor­ hergehenden Betrachtungen überzeugen leicht von der All­ gemeingültigkett der Behauptung: daß das Quadrat jeder einzelnen Ziffer der Wurzel, in der eben so vielten Klasse der Quadratzahl steckt, als die Stelle der Ziffer in der Wurzel, ebenfalls von der Rechten gegen die Linke ') Allgemein also [a(n)p= a3(2n), der angenommenen Be­ zeichnung gemäß.

Vom Wurzelausziehen aus Zahlen.

s45

gezählt, anzeigt; also z. B. baS Quadrat der dritten Ziffer (der 'n), d. h. 4 — 2*, steckt in der dritten Klasse, d. h. in der Zahl 77. Aber außer diesen Qua­ draten, stecken auch noch andere Ziffern in den Klassen *)♦ Hierüber nun noch folgende Betrachtung. 7. Die Klasse zur Linken (17 im vorigen Beispiele)' kann durch jene, nach Nr. 6. noch (vielleicht) hinzukom­ mende Zahl, nie so bedeutend anwachsen, daß die ihr zu­ nächst kommende Quadratzahl, in der Wurzel, schon eine Einheit mehr, alS die linke Ziffer der Wurzel hat. Denn, endigt eine Wurzel in ihrer höchsten Stelle (Ziffer zur Lin­ ken) z. B. auf n, und folgt dieser n selbst eine 9 (alS höchste einziffrige Zahl); so kann (09)* doch noch nicht so viel als («-j-1) 0 quadrirt, geben sweil(n-s-i)o >"9 ist); da nun (n-j-i)o quadrirt, (n4-i)3oo giebt, so muß (09)* weniger geben, d. h. weniger alS eine Zahl, deren Quadrat ln der Klasse zur Linken, schon daS Quadrat einer, gegen n um 1 erhöhten Zahl hat. Die­ dlent, um sogleich zu beurtheilen, welche Ziffer die höchste der Wurzel lst; denn man darf nur die Quadratzahl suchen, welche der Klasse zur Linken am nächsten komme, so ist die zugehörige Wurzel, die höchste Stelle der Wurzel; im Beispiele Nr. 6. also ist, 4 die höchste Stelle der Wurzel, weil der Zahl 17 (Klaffe zur Linken), daQuadrat 16 am nächsten kommt, und V 16=4 ist. Eben so wird V(7946ia) in der höchsten Ziffer eine 8 haben, da der 79 das Quadrat 64 am nächsten kommt, und V64 = 8 ist **). Der mögliche Einwand als sey vielleicht *) Wenn die Wurzel viele Nullen als Ziffern hat, so sieht man, daß, indem jene doppelten Produkte der Glieder der Wur­ zel auch Null geben, jene andere Ziffern selbst Null werden; z. D. 40012 c= 16008001 wo also in dec linken Klaffe nur 42 — 16 steckt. **) Wäre 9 die höchste Stelle, so müßte mindestens 81 die Klaffe zur Linken seyn.

sch6

Hauptstück III.

Kapitel II.

die Wurzel des zunächst kommenden vollkommenen Qua-

drarcs, zu groß, so daß z. V- bei der eben genannten Zahl 79461s, die höchste Ziffer der Wurzel nur 7 sey; ist durch dieselbe Betrachtung widerlegt, da das Quadrat ei­ ner Zahl, die 7 zur höchsten Stelle hat, noch nicht 64 er­ reichen , viel weniger also übertreffen ld. h. 79 erreichen) kann. 8-

Nicht so ist es aber bei den folgenden Klassen»

Z. B. aus der zweiten Klasse (von der Linken), welche 77 im Beispiele Nr. 6. ist, kann man nicht schließen, daß,

weil das Quadrat 64 der Zahl 77 am nächsten kommt, auch V~ö4 = 8 die zweite Ziffer der Wurzel (der höchste« folgend) sey, denn die doppelten Producte der zweiten Stelle der Wurzel, mit den theils höheren theils niedri­ geren Ziffern dec Wurzel, so wie die doppelten Producte der höheren mit den niedrigeren Stellen der Wurzel, kön­ nen noch manche Resultate geben,

deren Stellen sich mit

dem Quadrate jener zweiten Ziffer vereinigen, und so eine bedeutend höhere Ziffer in der zweiten Klasse ge­

ben, als das Quadrat der zweiten Ziffer allein geben würde.

Das Beispiel in Nr. 6. zeigt dies auch bei den

folgenden Klassen zur Genüge. Und nun ist es eine ganz einfache Verrichtung die Quadratwurzel zu finden. Man nehme zuerst eine Zahl, deren Wurzel nur zweitheilig ist. Z. D. V"84i. Nach Nr. 6. ist bekannt, daß wenn man diese Zahl in die Klas­ sen 8I41 theilt, die erhaltenen zwei Klassen anzeigen, daß die zweite Wurzel zwetjiffrig ist.

Rach Nr. 7. sind die

Zehner der Wurzel, 2, also die Wurzel 20-s-b, wo b die noch unbekannten Einer anzeigt, 20 aber der erste Theil a des Binoms »-j-d ist. Soll also (20-(-b)3 = 4004-2.20. b-|-b3= 841 seyn, so giebt das Verfahren

in §. 127. angewandt, diese Rechnung - 841 —4°° *= 44*> als 2.20. b -j- b3 = 40. b 4- h3 = (404- b) b enthaltend. Da nun b eine einziffcige Zahl ist, so dividire man mit

Vom Wurzelauöziehen aus Zahlen.

247

40+b in 441; aber well man b nicht kennt, nur mit 40

in 441.

Der Quotient 11 welcher sich ergiebt, kann als

zwriziffrige Zahl nicht die g'suchteZahl b seyn, braucht es aber auch nicht zu seyn, da er mlt 40 multiplicirt, nicht allein 441 geben, sondern da (40+b) mit b multiplicirt, oder 41. b mit b3 addirt 441 erzeu,

gen soll, und dann ist b — n zu viel, weil (404- 11) 11 = 4o.n + n3 = 440 +121 = 561 >-441 ist. Eben so kann b nicht 10 seyn; geht man aber zur 9, so findet man 40.9 + 9* = 3604-81 =441, also ist b —9, folg­

lich 20+9 — 29 die gesuchte Wurzel. ganze Ausführung nun so setzen

Man kann diese

V"(8|4i)|2o(=a)i 4oo(=2o3) l Also Wurzel — 20+9—29 (2s--)4o,44i l9(-b)

)

(2ab )/36o\ addlrt (b3= =)UJ

(2ab-j-b3—) 441 Hat man die Richtigkeit dieses Verfahren- ekngesehen, so sind nunmehr die wesentlichen Abkürzungen bei der Aus­ führung diese: man setze nur die erste Ziffer a der Wur­ zel (2) ohne die Null dahinter, fubtrahire das Quadrat derselben, von der ersten Klasse (zur Linken), hänge an den Rest (4) die zweite Klasse (41) an (also 441), nehme a doppelt, dtvidireDiit 2a (int Beispiele 4) in jenen Rest,

wobei man sich die Stelle zur Rechten (die i) wegdenkt (also mit 4 in 44); mit dem gefundenen Quotienten b, welcher der zweite Theil der Wurzel ist, multlplitire 2a,

und addire dann zu 2ab noch b3, die Summe von 2ab + b3 fubtrahire von jenem Neste; bleibt Null zum Rest, so war jene- b richtig, bleibt ein anderer Rest, so ist es möglich, daß b zu klein genommen ist*), daher

') Aehnlich wie bei der gemeinen Theilung (§. 20, 5.).

Hauptstück HI.

248

Kapitel II.

man es um i (und das so ost wiederholt wie derselbe Er,

folg kommt) vergrößert, und mit diesem neuen jweiten Theile, dieselbe Verrichtung wie vorher vornimmt. Kann man aber jene Summe 2a b-p,2 nicht subtrahiren, so ist dies wiederum eine Anzeige, daß b zu groß war, eben weil, wenn b richtig ist, das Gefundene a2-s-2a b-s-d2, nicht zu groß seyn darf. Aber es kann auch ein Rest

bleiben,

und die Vergrößerung der b um 1 (oder um

mehr als 1) geht doch nicht an, was sich ergiebt, wenn nach der vorgenommenen Vergrößerung 2ab-|~b2 nicht fubtrahlrt werben kann; dies zeigt bann deutlich, daß die gegebene Zahl keine vollkommene Quabratzahl war, ihre

Wurzel daher zwischen zwei ganzen Zahlen liegen muß,

von denen die kleinere, die gefundene Zahl ist. Die Wur­ zel solcher Zahl näher zu bestimmen, rolrb §. 132,1. gelehrt werben. Dieser Regel zufolge kann man also die Rech­

nung kurz so setzen:

V(77l44)|88 64 161 1344 .).

') Die Auflösung der Form («4-b)n mit dem allgemeinen Ex­

ponenten n, gehört hier nicht her; Binomische Lehrsatz.

diese Auslösung lehrt der

Hptst.lll. Kp HI. Vom Rechnen mit irrat. rc.

263

Drittes Kapitel.

Weitere Ausführung der Potenzlehre.

Vom Rech«

nen mit irrationalen und imaginären Zahlen.

§. 156. Einleitung. Der Zweck beim Rechnen ist stets: aus bekannten Größen (hier Zahlen) andere unbekannte zu finden, die mit jenen in einer bestimmten, durch die besondere Rechnuiigart bedingten Verbindung stehen (§ 7,1. u. 2.). Werfen wir einen Blick auf den Inhalt des ersten Haupt­ stücks zurück, und nehmen wir zwei bekannte Zahlen alS gegeben an*), nennen sie kurz a und b, die zu findende Zahl aber x; so kann man, wenn a und b ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahlen bedeu­ ten, die Verrichtungen in jenem Hauptstücke, auf die zwei Formen a-|-b = x und a.b=x zurückführen. — Diese Behauptung laßt sich, beim Ver­ gleiche mit jenen vier Verrichtungen (§. 37, » und 2.) und den so eben gemachten Annahmen, leicht einsehen. Fragen wir: ob der Zweck bei der Porenzlehre, sich auf ähnliche Weise auf allgemeine Formen zurückführea lasse; so sind auch diese bald zu finden. Bleibt a, b und x, in der jo eben gemachten Bedeutung; so ist klar, daß nach der ersten Erklärung der Potenzen, eine drei­ fache Verbindung der Größen a, b und x sich «rgiebt; nemlich es soll seyn ab= x, oder ax= b, oder xa = b. Die Forderung bei den Wurzelgrößen, läßt eben so eine dreifache Verbindung zu, die, wenn man in den eben gebildeten drei Gleichungen **), die Exponenten zu Wur♦) Indem bei mehreren bekannten Zahlen,

auf zwei, stets stattsindet. **) Siehe Einleitung V, i.

die Zurückführung

Hauptstück III

264 zelrxponenten

macht,

*

b

Kapitel llf.

sich sogleich ergebe»;

x

nemllch

a

Va = x, oder Va = b, ober Ki = b. Diese letzteren drei Formen, hangen aber genau mit den

ersten dreien, also auch jene mit diesen, zusammen; nem»

b lich:

wenn seyn soll ab = x,

so soll auch seyn a= Vx

(§. 126,1» und §. 125, 4.; und nach jenen Sätzen eben so ;),

soll seyn ax= b, so soll auch seyn a = Vb, und wenn seyn soll xa = b, so soll auch seyn x = Vb. Daß diese b x a Formen Vx, Vb und Vb, dasselbe darstellen als die a

x

1)

obigen drei Formen Vx, Va und Va; Ist wol kaum noch anzuführen nöthig, da es nur aus die Verbindung der bekannten und unbekannten Zahlen, nicht aber auf a und b selbst, ankommt, indem j. B. die Form ab, hier dasselbe als ba u. f. w. bedeutet. Von jenen Formen sind nun bis jetzt erst zwei, und auch diese nur unter gewissen Bedingungen als stets vollziehbar, bekannt werden; nemlich die Form: I. , au= x, wenn n eine ganze positive Zahl ist*), a mag seyn positiv oder negativ, ganz oder gebrochen. II.

Va = x, wenn » wiederum eine ganze po­

sitive Zahl ist, a aber jede Form haben kann.

Diese zweite Behauptung ist der Inhalt des ganzen vorigen Kapitels, und es ist hierbei ganz gleichgültig,, ob

x genau oder nur annähernd zu finden ist; dies letz­ tere betrifft nur den Zahlwerth in besonderen (wenn auch kn den meisten) Fällen, und selbst in diesen Fällen

•) Daß hier n statt b steht, kann wiederum nicht befremden; n bedeutet wie b, eine bekannte Zahl. Dergleichen Annah­ men werden also künftig ohne Erinnerung deutlich seyn.

Rechnen mit irrationalen u- imaginären Zahlen.

«65

11

lst der Werth von Va eln völlig bestimmter, ntm* lich (laut Erklärung §. 124.) ein solcher, welcher zur ntea Potenz erhoben, a giebt. Daß die Form in Nr. I., im­ mer ausführbar Ist, liegt in der Erklärung der Potenz­ größe, und über die Ausführung, so wie über das Resul­ tat in den besonderen Fallen (bei den besonderen Werthen von a), sind die Sätze bereits angeführt. (Siehe§.41,;.

u. a. a. O.) Aus diesen beiden, unter den genannten Einschränkun­ gen zu vollziehenden Formen, auch die beiden Formen: III.

V""x = a

und

folgt nun wiederum, daß

IV.

xn = a ,

zu vollziehen

sind, d. h. x zu finden ist, wenn nemlich n eine ganze positive Zahlest, daß a aber eine Zahl von beliebiger Form seyn kann, weil man nemlich die Frage: was x bei n

der Bedingung V~x = a sey; auf die Frage: was ist x bei der Bedingung x = au? (und ähnlich bei der anderen Form) zurückfähren kann. — Die Vollziehung dieser For­

men für jeden Werth von n, so wie die Betrachtung X der beiden Formen ax= b und Va = b; soll nunmehr folgen.

§. 137.

Aufgaben und Zusätze. n

i. deln,

Die

wenn

Form Va™ allgemein

umzuwan­

n und m ganze positive Zahlen

find. Auflösung.

Nach dem vorigen §.(FormIV.)giebt

es ein x, so daß xn= a ist.

Dieses x nehme man als

gefunden an, so Ist V~am= V-(xn)m=V"xnm (§. 126,12.). Da nun n ein Maaß vom Exponenten n m ist, so ist wien

11m

n

der Vxnm = x^r — x« (§. 126,13.) = V~am.

Nach der

Annahme xn= a, lst aber auch x)= V*a, d. h. x ist ei«

266

Hauptstück III.

Kapitel III.

ner der gleichen Factoren, die in derMenge n, die Polen; a bilden*); die Form xm aber bedeutet: man habe jener gleichen Factoren, wiederum in derMenge m genommen. Daher ist xm offenbar so viel, als: u>mal der nte Theil (also

§. 75,6.) der

Menge derjenigen gleichen Factoren, welche In der Menge 11, a als Potenzgröße (vom i ttn Grade und der Wurzel x) bilden; und diese Bedeutung in einer Form dargestrllt,

giebt xm= (xJ,)n= a n = Vam ♦*), ganz angemessen der Form der Potenzgrößen bezeichnet.

Jst^ —c, d. h.

m gleich einer ganzen Zahl, so wixd aü= ac, wie schon §. 126, 13. gelehrt ist,

und nur für

als eigentlicher

Bruch (§.67,2.), ist die Form neu. Diese Form der Druchexponenten erleichtert nun sehr das Rechnen mit den Wurzelgrößen, indem man allgemein den Satz daraus herleitet: eine Wurzel aus einer Potenzgröße gezogen, giebt immer jene Größe aus der die Wurzel zu ziehen ist, erhoben zu einer Potenz, wo der Exponent ein Bruch ist, bei welchem der Zähler der Exponent der Potenzgröße, der Nenner aber der Wurzelexponent ist. — Sucht man also

z. D. V"Pi so ist p = px (§.41,4.), also lTpssp”. Daß c a eben so immer p^ = V"pc zu setzen ist; liegt zugleich mit kn eben genanntem Satze, welcher beide Formen als die­ selbe Bedeutung habend, nannte. s. Hierdurch hat also auch die Form V"a, für den Fall daß b ein Bruch ist, «ine bestimmte Bedeutung. ♦) Diese Erklärung der Ausdrucks y"a = x, ist völlig gemäß der Erklärung der Wurzelgrdße in §. 124. •*) Weil vorher schon x">= y~am gezeigt war.

Rechnen mit irrationalen u- imaginären Zahlen.

267

n m*

Denn sucht man Va, und setzt das Resultat = *,

so

soll seyn a — xni — Vxn, daher am= x«, d. h. es lst ein x zu suchen, bas zur nten Potenz erhoben, am giebt;

oder daraus wieder Vam= x hergeleitet, sieht man, wie 11 in

n

Va = Vam wird, was leicht in Worte zu übertragen, n

und auch daraus herzuleiten ist, I n

m

m daß man setzt Va =

n

am= an = Vam, indem man mit dem Bruchexponenten —, wie in Nr. i., mit einem Exponenten verfährt, der m

eine ganze Zahl ist. Wie man also auch Vx = a, für den Fall daß n ein Bruch ist, zu deülen hat, ist ohne weitere Erinnerung deutlich. Somit stad also die For­

men a"— x, Va = x, und die damit zusammenhängen, Fn den Formen Vx --- a nnd x"--- a, für n als positivenBruch, immer zu vollziehen, und erscheint einer die­ ser Brüche als gebrochener Bruch oder sonst in einer zu, sammengefetzteren Form, so ist die Zurückführung auf ei­ nen einfachen Bruch, leicht gemacht. 3. DieForm^ allgemein umzuwandeln*), wenn n und in ganze positive Zahlen find. Auflösung. Man nehme an, daß bei derForm a~c, der negative Exponent ganz wie ein positiver Exponent zu behandeln sey; so ist jene Form vollkommen brauchbar, wenn sie auf richtig erkannte Resultate führt, und man hat nur nöthig eine bekannte Form zu suchen, ♦) In §. 41,4. ist die Umwandelung für den Fall, daß n >m ist, bereitS.gezeigt.

Hauptstück Ilf.

' s68

Kapitel III.

die unter allen Umständen dasselbe, wie jene neue Form

erzeugt, um auch die Bedeutung derselben zu kennen, die nicht aus der allgemeinen Erklärung der Potenzen (§.40, 4.) stch ergiebt. Soll nun a~c mit ar, reo r > v, und zwar r—c= d sey, multlplicirt werden, so hat man nach der eben gemachten Annahme, zufolge §. 41,4., a-c+r= ar-c= ad (indem man nemlich den Exponenten —c, nach den Gesetzen behandelt, die für einen positiven Exponen­

ten bekannt sind).

Multlplicirt man aber —mit är, so ist ac

—, nach §. 41, 4. bestimmt — ar~c = ad, ac

Hieraus

sieht man, daß ~ = ^~c zu setzen ist, wo ~ eine ganz bekannte Bedeutung hat. Denkt man sich bei einer Potenz mit einem negativen

Exponenten also nichts weiter, als einen Bruch, dessen Zahler 1 und dessen Nenner dieselbe Potenzgröße mit je­ nem Exponenten als positiv genommen ist; so vertritt jene Form, diese; aber auch unter allen Umständen werden beide Formen dasselbe Resultat geben, eben weil die neu« Form a~c, keine weitere oder engere Bedeutung

hat, als den Werth ~ darzustellen. — Hiernach kann man setzen, denn: ist auch m>n, also

NUN allgemein

n—m z. B. — —d, so fcat man pn-m= p-d.

Auch

pn ist ^=7^- (J* 69, -.)

(§. 41/ 4-) = ^/ t>. h»

Pn man kommt durch Umwandelungen, von der Form

dieselben Werthe p-d und der z. D.

, auf

Wie nun auch immer wie­

zu setzen ist; liegt lm eben Gesagten.

Rechnen mit irrationalen u. imaginären Zahlen. 269 4.

Dle Form Za = x, giebt a = n

also

n

axu= i und x"——; daher x-l/- — ^ (§.126,15.) a

»

a

11

z»

=s^—♦ Da aber X—Za war, so ist Za, und Za Za eS Ist nun auch deutlich, auf welche der bisher bekannten Formen, ein negativer Wurzelexponent fährt. — Es sind also wiederum die beiden Formen an= x und "Za — x, auch für x als negative Zahlen zu voll,

ziehen, womit die Bedeutung der Formen Zx = a und x,l= a, für solche Annahme von n zugleich erhellet.

5.

Aber n kann in jenen Formen an, Za, x11 und

Zx, auch ein negativerBruch seyn. —11

z.B. a

0

— —1

am

n

Denn hat man ——

n

so setze man------- — r, so ist a m = mm

/ !LV“1

*= Vam/

'

'

i

——, und man sieht, baß auch der ne,

am galive Bruchexponent, wie ein negativer Exponent über, Haupt (Nr. 3.) behandelt wird.

6. Den Werth der Form a° suchen. Man setze für o, n — n; so ist a° = a11-11'.

Nach

Nr. 3. ist ——an-n; da nun auch — = i, so wird wieder a11

a11

a° = i; woraus der Satz folgt: jede Größe zur Nullten Potenz erhoben, ist gleich Eins. (Man nehme a als Bruch, auch negativ an, der Erfolg je, ner Substitution und Umwandelung, wird stets 1 seyn.) Dieser Satz ist wichtig, da man bei Umwandelungen von Potenz- und Wurzelformen, häufig auf das Resultat a° stößt, auch wol i als a° zu setzen hat. (Daß man säe

Kapitel III.

Hauptstück III.

270

i, dke Form a° immer setzen kann, liegt nemllch kn dem

genannten Satze.)

7.

Endlich sind nun auch die beiden Formen ax=b

und V~a = b, stets zu vollziehen, indem nach Befinden

der Umstände, x ei n Bruch oder eine ganze Zahl, positiv oder negativ ist. So ist für 2X= 4, x —2, für 4X= 2 aber x =

denn 44=V~4—2; für 2X=|,

ist x — —2, denn 2“*=3, so wie für (|)x= 2,

» — — 2 ist, totU(i)-i=^ = ^=j = 2l(lu.b8l.m.

Natürlich hat x in den meisten Fallen einen irrationa­ len Werth,

wie z. D. bei 2X= 3 offenbar x zwischen 1

und 2 liegt (denn 21 erst — 2, 22 schon = 4). Wie X aber möglichst genau zu finden ist, wird §. 139. ge­ lehrt, es auf dem kürzesten Wege zu finden, bleibt dem 5ten Capitel des gegenwärtigen Hauptstücks, zu un­ tersuchen überlassen; genug wenn hier schon dargethan ist, daß auch in diesen Formen, x bestimmt irgend einen Werth hat, indem so die Allgemeingültigkeit der, §. 136. genannten einfachen Formen, für jeden Werth brr bekann­ ten Größen welche bei den Botenz- und Wurzelgrößea

erscheinen, vollständig einzusehen ist.

8. Der für die Anwendung besonders wichtige Satz: „es ist für das Resultat gleichgültig, ob man eine Zahl

erst zu einer Potenz erhebt und dann eine Wurzel aus­ zieht, oder erst die Wurzel auSzieht und diese dann potenzirt;" ergiebt sich durch Hülfe der Bruchexponentrn, 11

sehr einfach.

m

i

/ 2_\m

Denn: V*am= a »= a nm:=(a

,=(V'a)m

§. 138. Zusatz. Die Erscheinung der Bruch- und negativen Ex­ ponenten, und ihre Behandlung in gleicher Art wie die früheren Lehren es für die ganzen und positiven Ex­

ponenten zeigten;

giebt den Potenz - und Wurzelformrn,

271

Rechnen mit irrationalen u. imaginären Zahlen.

besonders in ihrer gegenseitigen Verknüpfung unter ri'nan« der, einen bedeutend größeren Umfang, und gewährt oft eine überaus leichte Behandlung dieser Formen. Je nach­ dem die Umstände es verlangen, oder willkührlich, bedient

man sich der einen oder der anderen Form, und alle frü,

her, nur für ganze positive Exponenten genannte Rech­ nungen, sind jetzt auch mit diesen neuen Formen zu voll­ ziehen. Die Resultate können natürlich hierdurch auch in

mannigfaltigen Formen erscheinen, die vortheilhafteste un­ ter diesen zu finden, bleibt dem Rechner, den Umstanden angemessen zu wählen, überlassen. Alles was hierbei an­ zuführen wäre, muß also für die Uebung bleiben, die der Leser sich selbst verschaffen kann.

Es wlrd also nunmehr

vorausgesetzt als bekannt:

1. Die verschiedenen Umwandelungen der Potenzund Wurzelformen, in sofern sie allein (als Monom, § 40, 1.) Vorkommen; besonders die Cätze $. 126, wenn die Ex­

ponenten gebrochen oder negativ sind. An merk. i.

beispiele.

Die Tafeln 63. bis 67. haben blos hierfür Uebung­ Manche, für die Folge schnell zum Resultate führende

Regel, wird der aufmerksame Rechner, sich dabei leicht selbst ab-

strahiren können.

Unter anden

n m L JL _n_ _L_ 1 V»V'*= an Äm — anm anm — (am)nm (an)nm — (aman)llra =

nm nm V^n=V~am-bn •

also z. B.

3 6 y'3Vr3 = V"35

6

n m nm Eben so V'1 V"b — V »mb» (was man durch die ähnlichen Umwandelungen findet) u. dgl. m.

Leicht sind solche gleiche For­

me«, als besonder« Satze in Worte zu übertragen.

s. Die einfachen Rechnungarten mit allgemeinen Po­ tenzgrößen unter beliebigen Formen der Exponenten, wie jene Rechnungen schon unter den beschrankten Formen der

Exponenten, im dritten Kapitel deü ersten Hauptstücks ge­ lehrt sind. Anmerk. 2.

Nur die, am Ende von §. 126,17. erwähnten Grö­

ßen, könnten in ihrer Behandlung noch Schwierigkeit veranlassen,

2?2

Hauptstück III,

Kapitel III.

welche nach den Lehren von 141. bis §. 744. ober sogleich verschwinden. §. 139. Aufgabe. In der Form a*= b, für bestimmte Zahlen den Werth von x zu finden *). Auflösung. Eine Auflösung an einem bestimmten Beispiele, wird hier sogleich das ganze Verfahren für je­ den anderen besonderen Fall deutlich machen. Gesetzt man suche x für den Fall, wo » — io und b —2 ist; also soll seyn iox= 2. Offenbar i|l x>o und < 1, denn io°= i ($.137,6.) und io’=i, d. h. o als x gesetzt, giebt zu wenig, und 1 für x zu viel. Man nenne

den echten Bruch, der hiernach x darstellt, —, also I X x = —, so soll seytn ioy= 2, also ($.126,1.)

10 — sy,

und man untersuche nur waS y ist, um

und mithin x

zu haben. Nun zeigt sich bald, daß y = 3 gesetzt, 2’ = 8, also zu wenig, y — 4 gesetzt aber, 24= 16 d. h. zu viel gegen 10 giebt, daher y zwischen 3 und 4 liegt. also 3+ einem echten Bruche ist,

wollen.

den wir

nennen

Man hat also * 10 = 2i+z = 2’.2z (Vrgl.$.4i, 4. u. $. 138.1.)

= 8.2Z,

wonach wird

V =£ — 2Z. Daher (nach $. 126,1.) (J)«= 2, wo nun wieder der Werth für z zu suchen ist. Setzt man » = 3, so ist Q)’ — Ei» wenig gegen 2, aber z = 4 gesetzt, giebt (Ä4—Zsi- schon zu viel gegen 2, weshalb wiederum z zwischen 3 und 4 liegt, d. h. —

zu 3 noch kommenden echten Bruch

) Vergl. §. i37, 7-

Rechnen mit irrationalen und imaginären Zahlen, Bruch bedeutet.

275

Fährt man nun ganz mit denselben

Schlüssen wie vorher fort, indem man setzt:

(a)3+*=2,

also

(