Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Diffenrentialgleichungen [3., durchges. u. verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111659688, 9783111275277

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SAMMLUNGGÖSCHENBAND

1059

AUFGABENSAMMLUNG ZU DEN GEWÖHNLICHEN UND PARTIELLEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VOIl

DR. G U I D O

HOHEISEL

o. Professor der Mathematik an der Universität Köln

Dritte, durchgesehene und verbesserte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp»

BERLIN

1958

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthlner Str. 13. Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1 1 1 0 59. Satz: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 3 5 . Druck: Paul Funk, Berlin W 35. P r i n t e d in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

Kapitel I. § § § § § §

Differentialgleichungen

erster

Ordnung.

1. 2. 3. 4. 6. 6.

Die einfachsten Integrationsmethoden Ergänzungen zur Theorie. Weitere integrable Typen . . Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung Singulare Lösungen Berührungstransformationen Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Verlauf im Großen § 7. Singulare Punkte

Kapitel II. D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n § § § §

1. 2. 3. 4.

5 10 14 19 28 33 41

h ö h e r e r Ordnung

Nichtlineare integrable Typen Lineare Gleichungen. Operatorenmethode Integration durch Reihen Vermischte Aufgaben I. Lineare Differentialgleichungen II. Nichtlineare Differentialgleichungen I I I . Gleichungstypen IV. Reihenentwicklungen. Operatoren V. Aufgaben zur Theorie VI. Existenzsätze V I I . Oszillationssätze. Randwertaufgaben Lösungen

Kapitel I I I . A u f g a b e n zu d e n p a r t i e l l e n gleichungen

50 64 71 76 76 78 80 81 81 84 85 86 Differential-

I. Pfaffsche Gleichungen II. Allgemeine partielle Differentialgleichungen ersterOrdnung mit zwei unabhängigen Variablen I I I . Integrable Gleichungen in n Veränderlichen IV. Systeme von partiellen Differentialgleichungen V. Mongesche Gleichungen Lösungen

113 113 114 114 114 115

Abkürzungen G. D. = Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Sammlung Göschen, Bd. 920. 5. Aufl. 1956. P. D. = Hoheisel, Partielle Differentialgleichungen. Sammlung Göschen, Bd. 1003. 3. Aufl. 1953.

Literatur E. Kamke, Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. 2 Bde. Leipzig, Akad. Verlag. Gaston Julia, Exercices d'analyse. Bd. I I I u. IV. Paris, GauthierVillars, 1935.

Kapitel I. Differentialgleichungen erster Ordnung § 1. Die einfachsten Integrationsmethoden Eine Differentialgleichung erster Ordnung, linear in y', ist entweder in der Form (1) P(x,y) + Q(x,y)-y' = 0 oder in der Form (1') P-dx+Q-dy = 0 gegeben. Die letzte Form bevorzugt keine Koordinate. Lösung heißt jede Kurve x = x(t), y = y(t), für die P(x(t),y(t))-^

+ Q(x(t),y(t))-

J

identisch Null ist. Bei Einführung neuer Koordinaten ist die zweite Form zumeist bequemer und dürfte daher fast immer zu bevorzugen sein. Zu erkennen, ob eine vorgelegte Differentialgleichung zu einem integrablen Typus gehört, ist Sache der Übung. Die Differentialgleichung bzw.

ix2 • y' + y + 3x = 0 (y + 3x) dx + 4.x2 • dy = 0

wird vielleicht in der zweiten Form nicht sofort als lineare Differentialgleichung erkannt. Doch dürfte in der Gleichung (2x — 7 + y5 — 2i/3) • y' + 4 — y3 + y = 0 bzw. ( 2 x — 7 + y5— 2y 3 ) • dy + ( 4 — y3 + y) • dx = 0 die zweite Form leichter erkennen lassen, daß für x als Funktion von y eine lineare Differentialgleichung vorliegt. Es ist daher zweckmäßig, sich an beide Formen gleichermaßen zu gewöhnen. Will man nun eine Gleichung (1), (1') integrieren,

6

Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

so überzeugt man sich zunächst, ob sie linear oder ob sie homogen ist. Man muß im zweiten Fall beachten, daß P und Q selbst nicht homogen zu sein brauchen, sondern nur ihr Quotient. Ein grobes Beispiel dafür ist sin (x + y) (3? — 4 y 3 ) dx -f(xiy — Ii? + 3 x y 2 ) • sin (x + y) dy =

0.

Nach Division durch sin (x + y) ist diese Gleichung homogen. Zu den Lösungen gehören nicht nur die Lösungen der homogenen Gleichung, sondern auch (als singulare) die Geraden z + y = n '7i. Ist die vorgelegte Gleichung weder linear noch homogen, so prüft man, ob sie eine totale Differentialgleich ung ist, das heißt, ob

= — ist. dy

Ist auch das

dx

nicht der Fall, so wird man vielleicht auf Grund der besonderen Gestalt der Gleichung eine spezielle Operation anwenden, die das Problem erleichtert, z. B. Einführung neuer Variabler. Eine feste Methode gibt es hierbei nicht. Als methodischer Ansatz bleibt noch übrig, einen integrierenden Faktor zu suchen. Man weiß, daß diese Methode dann aussichtsreich ist, wenn es eine Funktion von x oder y allein gibt, die integrierender Faktor ist. Das läßt sich noch verallgemeinern. Wenn (1') einen integrierenden Faktor ¡x hat, der nur von einer Größe v(x, y) abhängt /j, = ¡x{v (x, y)), dann ist wegen dy (2)

ju'(v) • (P-v„

dx

— Q-vx)=fj,(v)-

(Qx -

Py).

Damit es eine solche Funktion gibt, muß offenbar (3)

{ P

.

V y

- Q .

V x )

,

{

Q

x

-

P y )

eine Funktion von v allein sein. Ist das der Fall, dann ist ¡x aus der linearen Differentialgleichung (2) sofort zu bestimmen. In besonderen Fällen wird es möglich sein zu erkennen, für welche Funktion v der Ausdruck (3) nur von v abhängt. Für

Die einfachsten Integrationsmethoden

7

v = x und v = y ergeben sich die schon bekannten Bedingungen (G. D. S. 13). Für v — x-y, x2 + y2, xjy usw. erhält man eine Reihe neuer, übersichtlicher Bedingungen. Die nun folgenden Beispiele sollen an die verschiedenen Integrationsmethoden erinnern. 1)

J y L + * J L . , = 0. cos2 x cos2 y In Form (1') setzen. Trennung der Variablen möglich: dx , dy b

-

=

0;

tg x • cos2 x tg y- cos2 y log tg x + log tg y = c t g s - t g y = {e? =) C. 2) y cos (x — y)dx = (y cos (x — y) + sin (x — y)) dy. Die Gestalt der Gleichung legt es nahe, v = x — y an Stelle von x als Veränderliche zu wählen. y • cos v • d(v + y) — (y • cos v + sin v) • dy = y • cos v • dv — sin v • dy = 0 . Trennung der Variablen ergibt neben y e 0 log sin v — log y = c, y~x • sin (x — y)=zC x = y + arc sin (C • y). 3) (3xY-y)-dx + x-dy = 0. Die Form läßt erkennen, daß eine Bernoullische Gleichung vorliegt (G. D. S. 19): y' — x~13/ + 3xi/2 = 0; z = y~x\ z'x~lz—3a: = 0; 1 2 2 = cx— + x . 4) (a?y — 2y*)-dx+{fx — 2tii)-dy=0. Homogene Diffgl. z — y:x{y = Q, x = 0 Lösungen) (2 — 2g4) dx + (a3 — 2) (xdz + z dx) = 0 dx _ z3 — 2 T ~ z - (gä + i ) Die rechtsseitige Quadratur erfordert Faktorenzerlegung des Nenners. Aus dem Ansatz

Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

2® — 2 « , ß yz + d ' ~ T . , . + 2 2- (Z® + 1) 2 2+ 1 2 — 2+1 ergibt sich etwa durch Koeffizientenvergleich: (x, y)=c das allgemeine Integral einer Diffgl. M dx + N dy = 0, ist ferner [x(x, y) ein integrierender Faktor, so ist auch ¡x • w(rp) ein solcher, wobei w eine willkürliche differenzierbare Funktion einer Variablen bedeutet. Beweis: 3 3 3 O w( 2 gilt eine ähnliche Betrachtung. Das Wort „Spitze" muß dann durch „mehrfacher P u n k t mit gemeinsamer Tangente" ersetzt werden. Geometrisch kann das natürlich von dem Bilde der Spitze abweichen. Zu achten ist übrigens noch auf die P u n k t e der Integralkurve, wo p = 00 wird. Man transformiert y = x, x = y. E s wird p = je - 1 ; man bildet die p-Diskriminante und rechnet sie für gewöhnlich zur pDiskriminante der nichttransformierten Gleichung. „ t - . - - , o2 o 2

1. Beispiel: x • p — « ^ = 0 ; x • ay = e und

p=-\

D

~~ x

dy

; — = y

dx

+—; x

—- = e. x Geraden durch Nullpunkt und Hyperbeln. F = x2p2 — y2 = 0, Fp = 2 p x2 = 0 f ü h r t zu y = 0. Das ist eine singulare Lösung. Aber auch x = 0 ist eine singulare Lösung, wie aus der Symmetrie ersichtlich ist. Schreibt man x2 •— p2- y2 = 0, so ist y = x = 0 in der p-Diskriminante enthalten. Weder x — 0 noch y = 0 ist Einhüllende; beide Kurven sind vielmehr zweifach als Lösung zu zählen. (xp + y = 0 ; xp — y = 0). 2. Beispiel. F = p> — ixyp + %y2 = 0; Fp = 3p 2 — 4 xy = 0 .

22

G e w ö h n l i c h e Differentialgleichungen 1. Ordnung

y2 • (3 • ]/?>y — 2x\/x) = 0. y = 0 ist eine singulare Lösung, da F% + • p0 an der Stelle x beliebig, y0 = 0, p0 — 0 Null ist. 27 y = 4 x 3 ist ebenfalls eine Lösung. Das allgemeine Integral der Gleichung — wir zeigen sogleich, wie man es findet — ist y — c- {x — c)2. Die c-Diskriminante einer Kurvenschar 0(x, y, c) — 0 ist die Gesamtheit der Punkte 0 = 0e = 0. In unserem Falle (x — c)2 — 2c • (x — c) = 0, c • (x — c)2 — 2/ = 0 . Für x — c = 0 folgt y = 0, die schon oben erhaltene singulare Lösung. Aus x — 3c = 0 ergibt sich 21 y = 42?, die andere singuläre Lösung. Daß sie Lösungen sind, ist ge32 0 maß G. D. S. 35 sicher (weder 0X = 0y noch ^ ist Null). Wie integriert man die Gleichung p3 — 4xy • p + 8y 2 = 0 ? Die Gestalt der Gleichung läßt die Möglichkeit offen, durch Multiplikation mit einer Potenz von y eine Vereinfachung zu erzielen. Mit yx multipliziert, ergibt sich p3ya — 4xp • yx+1 + 8yx+2 = 0. (« + 2) • p • y^1 ist Ableitung von y«+z. Soll die Substitution z = y x + 2 eine Vereinfachung bringen, so wird p3 y« = 2 '3 s e j n müssen (bis auf einen konstanten Faktor). Das heißt 3« + 3 = « , « = — 3/2. Die ursprüngliche Glei_ 3. chung nimmt nach Multiplikation mit y 2 und Substitution 2-3.

z = y 2 = ]/y die Gestalt an z' 3 • 8 — 8® • z' + 80 = 0; die Gleichung ist linear in z und x. (Clairaut) z — xz' + s' 3 = 0. Das übliche Verfahren führt zu dem angegebenen allgemeinen Integral. 3. Beispiel. F = p3 — 3i/2 = 0; Fp = 3p 2 = 0, p = 0. p-Diskriminante: y = 0 ; längs dieser Kurve ist Fx-\- Fy- p = 0. y = 0 ist eine singuläre Lösung. Allgemeines Integral:

9 y = (x+

c)3\

Singulare Lösungen

23

y — 0 ist im allgemeinen Integral nicht enthalten. Man zeichne das Kurvenbild. — c-Diskriminante: aus 0 = (x + c) 3 —9y = 0, 0t = 3 • (x + c)2 = 0 folgt y = 0. 4. Beispiel. F = (6 y2 — 1 4 y + 6) 4 • p4 — 256 y(y— • (2 — y)3 = 0. Es fehlt x. Als allgemeines Integral ergibt sich: 0 (;x + c)4 — ys (y — l ) 2 (2 — y) = 0. p-Diskriminante:

l)2 =

j? p = 4 p » . (6«/2 — 1 4 « / + 6 ) 4 = 0 ; i" = 0. Aus p = 0 folgt: Die Geraden y = 0, y = 1, y = 2 gehören zur p-Diskriminante. Sie sind auch Lösungen, wie man aus F = 0 erkennt. Im allgemeinen Integral sind s ie nicht enthalten. Es ist für sie Fx-{-Fv-'p = 0 erfüllt. 6y2— 1 4 i / + 6 = 0 erfüllt nicht F — 0. Man kann diese beiden Geraden aber zur p-Diskriminante rechnen; sie gehören nämlich zur #-Diskriminante der Gleichung F^x, y,q)=gi • F(x, y, q'1). — c-Diskriminante:

0e = 4 • (x — cf = 0, 0=0. Es ergibt sich y = 0, y = 1, y = 2, also dieselben Geraden wie vorher; freilich in anderer Vielfachheit. Wie sieht das allgemeine Integral aus ? Die Integralkurven sind geschlossene Ovale, die in 0 ^ y 1 oder 1 iS y 5S 2 liegen und diese Geraden berühren. Die Geraden y = 0, y = 1, y = 2 sind Einhüllende. Die beiden Geraden 6y2 — 1 4 y + 6 = 0 sind Punkte, in denen sich zwei verschiedene Integralkurven berühren. Sie sind keine Lösungen, da der Pfeil des Kichtungsfeldes (p = oo) senkrecht zu ihnen steht. Diese Beispiele zeigen schon, wie mannigfaltig die geometrischen Beziehungen zwischen allgemeinem Integral, p- und c-Diskriminante sind, wie mannigfach damit auch die Beziehungen zwischen allgemeinem und singulärem Integral. Auf eine Tatsache sei noch vor allem hingewiesen. Neben dem allgemeinen Integral 0(x, y,c)= 0 einer Differentialgleichung F(x, y, p) = 0 und den singulären Integralen

24

Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

(p-Diskriminante) kann es noch eine kontinuierliche Schar anderer Integrale geben, die sich stückweise aus Kurvenstücken des allgemeinen Integrals und singulärer Integrale zusammensetzen. In der Tat nehmen wir an, daß es eine singulare Lösung gibt, die Einhüllende einer Lösungsschar ist. Wir verfolgen eine spezielle Kurve der Lösungsschar bis zu ihrem Berührungspunkt P* der Enveloppe, gehen diese Enveloppe ein Stück lang, etwa bis P** und wandern nunmehr wieder die spezielle Kurve der Lösungsschar weiter, die in P** die Enveloppe berührt. Die so beschriebene Kurve ist offenbar eine Lösung der Differentialgleichung, denn sie besitzt überall eine stetige Tangente, die in das Richtungsfeld paßt. Besonders anschaulich wird diese Tatsache im Falle der Clairautschen Gleichung. Aufgaben Man stelle die zugehörige Differentialgleichung auf und diskutiere p- und c-Diskriminante. 4/1 u.2) 2c • (y — 2cx2) —1=0; (y + c)2 = x2 — 2?. 4/3) Wie findet man die c-Diskriminante, wenn das allgemeine Integral in Parameterform x = x(t, c), y = y(t, c) gegeben ist? 4/4) (2a: — pf + x (y — x2)2 (2x — p)+(y — x2)3 = 0 . Man integriere und diskutiere p- und c-Diskriminante. 4/5) y — a?y2 — x — p2 (1 — 2a? y)2 + 6a;2 y2 p 2

• (1 — 23? y) — 9a;4 if + - ^ ( 1 - 2 a ? y f — 6p2 (1 — 2a? yf x2 y2 + 18a^ f (1 — — 18a;6 i/6 = 0.

2xsy)p

Lösungen 4/1) Durch Elimination von c aus 3> = 0 und 0x -f- y • p — 0 ergibt sich F s xp2 — 2 y p + ix = 0. Es ist Fp = 2xp — 2y = 0.

25

Singulare Lösungen p-Diskriminante:

x

(—\

+ 4x = — —- + 4x = 0.

— 2y -

\ X J

X

X

Geradenpaar ix2—y~ — 0. Ferner x = 0 zur p-Diskriminante (p = oo). c-Diskriminante: i> c = 2 • (y — 2es 2 ) — 4x2e = 2y — 8x 2 c = 0 ergibt c = Aus 3> = 0 wird ( y - ~ 1 = ^ — 1 = 0; 6 4x a 2x 2 \a 2 ) 4x 2 x = 0 gehört auch zur c-Diskriminante, wenn man c = oo zuläßt. Alle drei Geraden x = 0, y = ± 2a; sind singulare Lösungen. Für y — ± 2x ist auch in der Tat Fx + Fy p = 4 — p 2 = 0. Das allgemeine Integral sind Parabeln, die bei wachsendem positivem c immer näher an die positive ?/-Achse rücken, während ihr Scheitel auf dieser Achse immer näher an den Nullpunkt rückt. Die Geraden y = ±2x sind Einhüllende dieser Schar, zu der man sie aber auch hinzurechnen kann (c = 0). 4/2) Durch Elimination von c aus — x1 = 0, d. h. zu x = 0 und x = 1. Nicht kommt hier vor 2 2 x = — ; auf x = 5 berühren sich immer je zwei Integralkurven, o o x = 0 ist Ort von Knotenpunkten. (In F = 0 keine Besonderheit.) 4/3) x = (t, c) sei das allgemeine Integral. Eine nicht parametrige Darstellung des Integrals ergibt sich so: Es sollen nicht beide Ableitungen

dt

~ ~ Null sein, etwa - § r 4= 0. dt

dt

läßt sich l = %{x, c) schreiben und 0(x,

y,c)

= y

ist das allgemeine Integral. —

0c

=

~ oc

• y>t +

V

T

=

—

y>(x(x,

e), e) =

Dann

0

Die c-Diskriminante ist zu finden.

y>t • (— —) \ tpt j

+

y

c

=

t

—

xa),

in dem yx(t), y2(t) beliebige in der Richtung /(x0, y0) in den Punkt (x0, y0) einmündende differenzierbare Funktionen bedeuten können, soll für x -* x0 + 0 nicht gegen (— 00) gehen. Die Voraussetzung A ist offenbar erfüllt, wenn (8) gefordert wird, nicht umgekehrt. (A) ist also noch schwächer als (8). Unter den Voraussetzungen (A) und (B) gilt dann: Die Differentialgleichung y' = f(x, y) kann für x'2ixü nur eine durch (s0, y0) gehende Integralkurve haben. Zur Erläuterung der Voraussetzung sei p = y,+ =Max(y>, 0); q=zy>-= — Min(y,0)^0 gesetzt. Es ist dann für x0 < x
0, so wäre für große t etwa l>tQ P{x{t\y{t))>\P{Atf) und daher t x{t) - x(t0) = / P(x( r), y{ r)) dr>i(t-10) • P(A f), «0 also gewiß nicht lim x(t) = x" entgegen der Annahme. Entt=

CO

sprechendes gilt bei Q 4= 0. Wir nehmen nun an, daß die Menge ÜDl der Häufungspunkte der Kurve E : x=x (t), y=y(t) für t ->oo keinen singulären Punkt und keinen Randpunkt enthält. Als erste Möglichkeit ersieht man sofort: £ ist eine geschlossene Integralkurve, die also für t = oo sich selbst als Häufungsmenge 2K hat. Was gibt es sonst noch für Möglichkeiten ? Die Antwort lautet: 9K ist eine geschlossene Integralkurve, an die sich die Kurve 6 spiralenförmig anschließt (eine sog. „Grenzzykle"). Wir wollen den Beweis als Aufgabe stellen und ihn in die folgenden Hilfssätze zerlegen. 6/3) Ein Punkt R aus SD? sei ein Punkt von ß. Dann ist SDÍ = 6 und (5 ist eine geschlossene Kurve. Es sei 3)1 =)= P ein Punkt von SDt, der nicht zu S gehört, ©'sei die durch P gehende Integralkurve. Dann wird behauptet:

Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Verlauf im Großen

39

6/4) ß ' ist in 9JI enthalten; also alle Punkte von sind Häufungspunkte von (5. 6/5) Die Häufungsmenge W von ß ' gehört zu E'. Daraus folgt gemäß 3), daß ß ' eine geschlossene Integralkurve ist. Lösungen

6/1) Es ist

X

y0{x) = Y(x); y^x) = y0 + f f(t, 2/oW) dt,... yn = y0 + / i{t, yn—1(0)

dt.

X»

Nun ist

= 2 / 0 + / /( « + / fA(t,Y(t))d

reo)« < i

x0

Entsprechend folgt durch Induktion

|

Y(x)-y„(x)\ 1 — das allgemeine Integral. Die Substitution (13) führt zu

r \ = y — YZTb

x;

^=

x

rj = c • ¡¡\

wozu die Differentialgleichung dr)_

r]

l gehört, die von der Art 9') ist. Wir haben also das Ergebnis: Die allgemeine Differentialgleichung , _ ax + by V ocx+ ßy r

(boc — ßa 4= 0) läßt sich durch reelle lineare Substitutionen auf eine der drei Formen 9'), 9"), 9 " ' ) bringen. Die Differentialgleichung

Singulare Punkte

43

dy = ax + by + rj^x, y) dx 1 zurück durch X2 st2 Vertauschung der Bezeichnungen x und y. Daher sei weiterXi = a > 1. Wir wollen auch hier die Invarianz zeigen. hin Das — Richtungsfeld der Gleichung ay + % x + Vi wird in einer Umgebung des Nullpunktes im wesentlichen dasselbe sein wie das der Gleichung x Das Ikurvenbild für a > 1 zeigt in der Tat auch einen Knoten, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: Vi(x y)

«) ßi)

'

\yi(xi,y)

— Vi(x2>y)\ l ! ) aus zwei Zweigen; der eine läuft in Richtung der «/-Achse durch den Nullpunkt, der andere in Richtung der x-Achse. Auch das folgt fast unmittelbar aus («). Der Radius unseres Kreissektors läßt sich bei festem

Singulare Punkte

45

8 noch so verkleinern, daß kein Punkt von 6 * auf einem Randstrahl liegt. In P0 ist also sign ((y/x)') = sign 1/. Also kann bei fallendem x keine Integralkurve aus dem Sektor heraustreten. Sei jetzt P0 irgendein Punkt des Sektors. Die Integralkurve durch P0 bleibt im Sektor und ist also als Funktion y(x) definiert für 0 < x x0. Wenn für x ->- + 0 von einem gewissen x° an die Integralkurve keinen Punkt von ß * trifft, so ist sign ((y/x)') für 0 sein. Sei das der Fall: F = F 1 - y i n ) ( x ) + F 2 ; Es sei O ^ x , y , y ' , . . . t/'"- 1 )) = f F x ( x , . . . y abhängige Größe bestimmt. Es ist / = F

zugleich mit dx F exakt oder nicht exakt, enthält aber nur x , y , . . . , Mit / verfährt man so wie mit F . Nach höchstens w Schritten hat man festgestellt, von welchem Ausdruck 0 ( x , y , . . . , y i n ~ l ) ) das gegebene F totale Ableitung ist oder aber, daß F nicht exakt ist. Beispiel: 2 x y y ' y " — y 2 y " -f x y ' 3 — y y ' 2 — 2 yy' + 2 x s = F F 1 = 2 x y y ' ~ y 2 - , 0 1 = x y y ' 2 - y * y ' ; F - - -d 01 - = 2 ® ;

Schreibt man die Differentialgleichung F = F 1 y ' - n ' > + F t = 0 als ein System: y ' t = y i + 1 ( i = l , . . . , n — 1), yv y „ ) y ' n + F 2 ( x , y v . . . , y n ) = 0, so ergibt Exakt( d0\ heit von .Fl = — j unmittelbar ein Vorintegral: 0 { x , y v . . . , y n ) = c (s. P. D. S. 8). Doch ist die konstruktive Herleitung eines Vorintegrals bei einem allgemeinen Simultansystem erster

Nichtlineare integrable Typen

55

Ordnung nur ausnahmsweise möglich. Für den hier wichtigen Zusammenhang zwischen dem vollständigen Integral einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung und dem Integral des zugehörigen gewöhnlichen Simultansystems, des sog. Charakteristikensystems, wird auf P. D. S. 10,14 verwiesen. für yi geschrieben. Es wird t an Stelle von x und •! -~rr — fn{xi, • • -Xn) "'dt ' In ist das System für die unbekannten Funktionen x ^ t ) , . . . , xn(t). Die / enthalten also nicht t. Übrigens läßt sich jedes System auf diese Form bringen, indem t als neue Veränderliche x n + i bezeichnet wird. Das allgemeine Integral von (14) läßt sich entweder explizit aufschreiben

(«) x1 = ^ ( t ; cx c„); . . .; x„ = y>„(i; c 1 ; . . . , c„) (dabei bedeutet etwa Ci den Wert von Xi für t = 0) oder in impliziter Form 08) • • Xn) = Gv . . 0 n - i { x 1 xn) = C „ _ i . Die implizite Darstellung ist für alle Anwendungen wichtiger; aber natürlich kann man aus der einen die andere gewinnen. In der Tat ist in ( ß ) , da ja die unabhängig sein müssen, falls wirklich das allgemeine Integral vorliegen soll, eine (»—l)-reihige Funktionaldeterminante verschieden von Null, also etwa 3(0lt...,$„_!) d{x1,...,xn_1) ' Mithin lassen sich die x l t . . . , a;„_i als Funktionen von xn und den C darstellen

«i = O i , • • •> C„_i) (t = 1 , . . . , n — 1 ) . Dazu fügen wir xn = t-f- cn; setzen C» = 0 i ( c v . . . , c„) und erhalten so

56

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Xi = und stelle es als Summe von drei Quadraten dar mit Koeffizienten linear in G und K. (Formel von Picone.) u und v bedeuten (nicht identisch verschwindende) Integrale der Gleichung

^(K2v')-G2.V

{K^u')

— G1 • w = 0;

= 0.

129) Man schließe aus der vorigen Formel: Zwischen zwei Nullstellen einer Lösung u liegt immer eine Nullstelle einer Lösung v, wenn man ausschließt, daß G1 = G2, K, = K2 ist in irgendeinem Teilintervall. 130) Weitere Anwendung der Piconeschen Formel: Voraussetzung. Für die Lösungen u{x), v(x) sei u(a) = txv u'(a) =a.[; v(a) =