Aufgabensammlung Thermodynamik 9783486857122, 9783486736045

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Frank-Michael Barth Aufgabensammlung Thermodynamik

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Frank-Michael Barth

Aufgabensammlung Thermodynamik

Autor Prof. Dr.-Ing. habil. Frank-Michael Barth FOM Hochschule Leimkugelstraße 6 45141 Essen [email protected]

ISBN 978-3-486-73604-5 eISBN 978-3-486-85712-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data A CIP catalog record for this book has been applied for at the Library of Congress. © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 143, 81671 München, Deutschland www.degruyter.com Ein Unternehmen von De Gruyter Lektorat: Dr. Gerhard Pappert Herstellung: Tina Bonertz Titelbild: photosoup/iStock/Thinkstock Druck und Bindung: CPI buch bücher.de GmbH, Birkach Gedruckt in Deutschland Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706.

Vorwort Theorie ohne Praxis ist leer, Praxis ohne Theorie ist blind. Immanuel Kant (1724–1804) Theorie erlernen – Praxis tun. Theorie ist die Basis für die Praxis. Durch die Anwendung der Theorie in der Praxis werden Erfahrungen gesammelt und mit ihr rückwirkend die Theorie in ihrer Allgemeingültigkeit immer besser verstanden und tiefer verankert. Vorliegende Aufgabensammlung soll neben meinem Lehrbuch „Thermodynamik für Maschinenbauer“ [1] dazu eine weitere Studier-Hilfe sein. Fachwissen ist wichtig, aber noch lange kein Garant für den Erfolg. Es kommt nicht darauf an, hunderte Formeln bis ins Detail zu kennen. Was viel mehr zählt, ist das Wissen über sich selbst. Welcher Problemlösertyp bin ich? Dem Vorwort zu meinem Lehrbuch stelle ich das Popper-Zitat „Alles Leben ist Problemlösen“ voran. Spricht man mit erfolgreichen Ingenieuren, ist man oft überrascht, wie einfach sie beim Problemlösen vorgehen. Erkennbar wichtig ist und bleibt dabei offenbar die fortlaufende Analyse der eigenen Persönlichkeit und die zunehmende Erfahrung, die man bei der Suche des so genannten Keep-itstrictly-simple-Prinzips (auch als KISS-Prinzip von Clarence Kelly Johnson bekannt) beim Problemlösen macht. Wie nach einem „Kochbuch“ wird eine gestellte Aufgabe nach einem „Kochrezept“ gelöst. Ziel ist es, eine einfache Methodik anzuwenden, die einem liegt und die immer wieder quasi unbewusst durchgeführt wird. Die Probleme sind lösbar … … man braucht nur eine Lösungsmethodik. Beispiele gefällig? Hier ist sie, die Aufgabensammlung, bestehend aus über 150 Aufgaben und den zugehörigen kompletten Lösungen. Dem Verlag De Gruyter-Oldenbourg möchte ich für die äußerst angenehme und konstruktive Zusammenarbeit danken. Frank-Michael Barth Leverkusen, Januar 2014

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

Häufig verwendete Formelzeichen

IX

1

Einleitung/Vorbemerkungen

1

2

Grundbegriffe

3

3

Methoden der Thermodynamik

21

4

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

25

5

Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase

163

6

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

215

7

Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

229

8

Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

315

9

Wärmeübertragung und Wärmedämmung

361

Weiterführende Literatur

391

Index

393

Häufig verwendete Formelzeichen a) A B

c

ℎ

Ü

Lateinische Formelbuchstaben Fläche Anergie Anergiestrom Anergie der Wärme Strahlungskoeffizient des schwarzen Körpers spezifische Wärmekapazität spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen Exergie kinetische Energie potentielle Energie Exergiestrom, Strahlungsenergiestrom spezifische Exergie Kraft Gleichgewicht Erdbeschleunigung absolute Enthalpie spezfische Enthalpie Kelvintemperatur Wärmedurchgangskoeffizient molare Masse Masse Massenstrom Molzahl, Teilchenmenge, Polytropenexponent Druck barometrischer Druck Normaldruck Unterdruck Überdruck Wärme Wärmestrom spezifische Wärme spezifischer Wärmestrom spezielle Gaskonstante thermischer Widerstand universelle Gaskonstante Entropie

X

̅ ̅

b)

Häufig verwendete Formelzeichen Entropiestrom irreversible Entropie spezifische Entropie Kelvintemperatur Normaltemperatur Celsiustemperatur absolute innere Energie spezifische innere Energie Volumen Volumenstrom spezifisches Volumen molares Volumen Norm-Molvolumen absolute Arbeit absolute technische Arbeit absolute Arbeit der Druckkräfte (Oberflächenkräfte) absolute nichttechnische Arbeit absolute Arbeit der Reibungskräfte Arbeitsstrom spezifische Arbeit spezifische technische Arbeit spezifische Arbeit der Druckkräfte (Oberflächenkräfte) spezifische nichttechnische Arbeit spezifische Arbeit der Reibungskräfte spezifischer Arbeitsstrom Griechische Formelbuchstaben Wärmeübergangskoeffizient Schichtdicke Emissionskoeffizient thermischer Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine CARNOT-Faktor Wärmeleitkoeffizient Isentropenexponent Dichte

1

Einleitung/Vorbemerkungen

Die vorliegende Aufgabensammlung Thermodynamik bildet mit meinem Lehrbuch Thermodynamik für Maschinenbauer eine Einheit. So wird z. B. die Verwendung der Gleichung (5.3) des Lehrbuches in der Aufgabensammlung mit Gl. (5.3) gekennzeichnet. Analog wird die Tab. 2.4 des Lehrbuches mit T 2.4 in der Aufgabensammlung abgekürzt. Es ist für die Studierenden sicher hilfreich, aber sachlich weder nötig, noch in jedem Falle zweckmäßig, bei der Lösung der Aufgaben von speziellen Formeln des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik auszugehen. Bei der Bearbeitung der Aufgaben ist es vielmehr empfehlenswert, grundsätzlich folgende Schritte durchzuführen: 1. Systemfestlegung (offenes, geschlossenes, abgeschlossenes System, sinnbildlich mit oder ohne Skizze, Festlegung der Systemgrenze, alle stoffstrom- und nicht stoffstromgebundene Energien, die die Systemgrenze überschreiten eintragen und/oder benennen, Zusammenstellung der gesuchten und gegebenen Größen) 2. Bezugssystemfestlegung (ruhendes oder bewegtes Bezugssystem) 3. Modellbildung (z. B. Bilanz der Energien aufschreiben und dabei die Vorzeichenvereinbarung für Wärme und Arbeit berücksichtigen) 4. Lösung der Aufgabe (z. B. Umwandlung der Bilanz der Energien in eine oder mehrere Berechnungsgleichungen, Größen mit Zahlenwert und Einheit in die Lösungsgleichungen einsetzen, Berechnung nur der Einheiten mit den evtl. nötigen Einheitenumrechnungen muss die gesuchte Einheit ergeben, dann erst Berechnung der Zahlenwerte mit sinnvoller, technischer Genauigkeit) Ein System mit ruhendem Bezugssystem an der Systemgrenze über die die Systemgrenze überschreitenden stoffstrom- und nicht stoffstromgebunden Energien festzulegen, ist nicht immer günstig. Vielmehr ist festzustellen, dass die Systemfestlegung mit der Bezugssystemfestlegung im Zusammenhang steht. An Stelle eines offenen Systems mit ruhendem Bezugssystem an der Systemgrenze für eine Strömung in einem Rohr kann ein Masseteilchen als geschlossenes System mit bewegtem Bezugssystem in Bezug zur Rohrwandung (ruhendes Bezugssystem zum geschlossenen System Masseteichen) einfacher zur Lösung führen. Ruhendes oder bewegtes Bezugssystem? Das ist – wie Vieles im praktischen Leben – eine Frage des Betrachters. Bei einem ruhenden Bezugssystem zum Masseteilchen einer Strömung befindet sich der Betrachter auf dem Masseteilchen. Eine Reihe von Aufgaben kann mit dieser Betrachtungsweise relativ einfach gelöst werden. Modellbildung bedeutet Approximation der Realität. Um die Realität abzubilden und um eine Lösung des realen Problems zu finden oder zu beschleunigen, sind Vereinfachungen unumgänglich. Durch diese Vereinfachungen entstehen Näherungslösungen. Das Auflisten dieser Vereinfachungen vor jeder Aufgabenlösung ist wichtig für die Bewertung und den Gültigkeitsrahmen des berechneten Ergebnisses.

2

1 Einleitung/Vorbemerkungen

Zur Lösungsstrategie gehört ebenfalls die konsequente Unterscheidung zwischen wegabhängigen Prozess- und wegunabhängigen Zustandsgrößen. Scheinbar komplizierte Sachverhalte werden so eindeutig über die unterschiedlichen Differenzialoperatoren für Prozessgrößen und für Zustandsgrößen kenntlich gemacht. Auch die nach Prozessgrößen und Zustandsgrößen sortierte Energiebilanzgleichung in differenzieller Schreibweise = (linke Seite: wegabhängige Prozessgrößen, rechte Seite: wegunabhängige Zustandsgrößen) mag zunächst vielleicht kleinlich erscheinen, trägt aber letztlich erfahrungsgemäß zum besseren Problemverständnis bei. Mit dieser Schreibweise sollten alle Arbeiten und Wärmen als Prozessgrößen = ∑ ⋅ +∑ ⋅ bzw. auf der linken Seite und die Energiearten innere Energie , Enthalpie , kinetische Energie und potentielle Energie als Zustandsgrößen auf der rechten Seite von Energiebilanzgleichungen stehen. Die wegabhängige Integration der differenziellen Prozessgrößen ergibt Die wegunabhängige Integration der differenziellen Zustandsgrößen ergibt

=

. =

−

.

Aus der konsequenten Einhaltung dieser Vorgabe ist sofort erkennbar, dass die Summe aller wegabhängigen Zu- und Abfuhren der Prozessgrößen Wärme und Arbeit (linke Seite der Bilanzgleichung) die wegunabhängigen Änderungen der Systemeigenschaften (rechte Seite der Bilanzgleichung) nach sich ziehen. Oder noch einfacher: Ursache (linke Seite der Bilanzgleichung) → Wirkung (rechte Seite der Bilanzgleichung)

2

Grundbegriffe

Aufgabe 2.1 Für folgende thermodynamische Systeme ist festzulegen, ob das jeweilige System bei einem Bezugssystem BZS auf der Systemgrenze offen oder geschlossen ist. Tab. 2.1:

a) b) c)

Systeme Thermodynamisches System Druckbehälter Turbine Pumpe

Gegeben: Systeme entsprechend Tab. 2.1 Gesucht: Systemfestlegungen Lösung 2.1 Zu a) System ist geschlossen Zu b) System ist offen Zu c) System ist offen Aufgabe 2.2 Für einige chemische Stoffe wurden die Atommassen aus dem Periodensystem der Elemente entnommen und tabellarisch wie folgt zusammengestellt. Tab. 2.2A:

Molare Massen (Molmassen)

einiger chemischer Elemente chemisches Element

Wasserstoff Schwefel Sauerstoff Stickstoff Kohlenstoff

Atommasse 01,01 32,06 16,00 14,01 12,01

/ / / / /

4

2 Grundbegriffe

Bestimmen Sie die molaren Massen (Molmassen) folgender Tabelle aufgelistet sind. Tab. 2.2B:

Chemische Formel einiger Stoffe

Stoff a) b) c) d) e) f) g) h)

der Stoffe, deren chemische Formel in

chemische Formel

Kohlendioxid Kohlenmonoxid Methan Propan Butan Wasserdampf Ammoniak Schwefeldioxid

O

Gegeben: Atommassen verschiedener chemischer Elemente entsprechend Tab. 2.2 Chemische Formel verschiedener Stoffe entsprechend Tab. 2.3 Gesucht: Molare Massen (Molmassen) M der in Tab. 2.3 aufgelisteten Stoffe Lösung 2.2 Tab. 2.2C:

Molare Massen (Molmassen)

Stoff a) Kohlendioxid b) Kohlenmonoxid c) Methan d) Propan e) Butan f) Wasserdampf g) Ammoniak h) Schwefeldioxid

der in Tab. 2.3 aufgeführten Stoffe

molaren Massen (Molmassen) 44,01 28,01 16,04 44,11 58,14 18,02 17,04 64,06

/ / / / / / / /

Aufgabe 2.3 In einem Behälter (Volumen 8 ) befinden sich 7 a) Ermitteln Sie das spezifische Volumen, b) die Dichte und c) das molares Volumen? Gegeben: = 8 = 7



(molare Masse

= 14

/

).

2 Grundbegriffe

5

Gesucht:

̅ Lösung 2.3 1.

System: geschlossenes System

Abb. 2.3:

System zur Aufgabe 2.3

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung Zu a) Berechnung des spezifischen Volumens : 1 . (2.5) = = =

m 8 = 7

= 1,14

/

Zu b) Berechnung der Dichte : . (2.5) = =

=

7 8

Zu c) Berechnung des molaren Volumens ̅ : . (2.6) ̅ = / . (2.7) = = ̅ =

=

8 0,5

= 0,875

/

/ =

7 14

= 0,5

/

= 16

/

6

2 Grundbegriffe

Aufgabe 2.4 ) einer Handluftpumpe wird mit einer Kraft = 150 in Der Kolben (Querschnitt 3 einen Zylinder gedrückt. Wie groß ist der auftretende Druck in / , und ? (Dichte bei 0 ° : Wasser 1000 / ). Gegeben: = 150 Gesucht: Druck in /

,

und

Lösung 2.4 1.

System: geschlossenes System Umgebung

F p

2 Abb. 2.4:

1

System zur Aufgabe 2.4

2.

Bezugssystem BZS ruht in Kolbenwand (ruht in Bezug zur Systemgrenze)

3.

Modellbildung Umgebungsdruck wird vernachlässigt Berechnung des Druckes : . (2.7) =



⊥

150 150 = 3 ⋅ 10 3 = 5 = 5 ⋅ 10

=

= 5 ⋅ 10 /

Aufgabe 2.5 In einem mit = 300 komprimierter Luft gefüllten Behälter von = 200 Rauminhalt, siehe Abb. 2.5, wird in einer Höhe von = 6 ein Überdruck von Ü = 0,3 ⋅ 10 gemessen. Der Luftdruck (barometrischer Druck oder atmosphärischer Druck) beträgt = 10 .

2 Grundbegriffe

7

Der absolute Druck der Luft am Boden des Behälters ( = 0 ) und an der Decke ( = 6 ) ist zu berechnen. Die Erdbeschleunigung ist mit = 9,81 / vorgegeben. Gegeben: = 200 = 300 Ü = 0,3 ⋅ 10 = 10 = 6 = 9,81 / Gesucht:

Lösung 2.5 1.

System geschlossenes System

Abb. 2.5:

System zur Aufgabe 2.5

2.

Bezugssystem: BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas Zu a) Berechnung des absoluten Druckes an der Decke . (2.8) = + Ü

=



+

Ü

:

8

2 Grundbegriffe



=





= 10



+

Ü

+ 0,3 ⋅ 10

Zu b) Berechnung des absoluten Druckes am Boden : (Der absolute Druck am Boden ist um die Last der Luftsäule Decke) . (2.8)



=



+ ∙ ∙

∙ ∙



größer als an der



Dichte der Luft

=

300 200

= 1,5





= 1,3 ⋅ 10

+ 9,81





= 1,3 ⋅ 10

+ 88





≈ 1,301 ⋅ 10

. (2.5)

=

/ ⋅6



⋅ 1,5

/

= 130088

Aufgabe 2.6 Eine Uhr wird nach DIN 8310 als „wasserdicht“ bezeichnet, wenn alle Dichtungen in einer Wassertiefe von einem Meter 30 Minuten lang aushalten, also einem Umgebungsdruck nach alter Einheit in von = 1000 standhält. Wie groß ist der Druck in ? Die Dichte von Wasser beträgt = 1000 / . Gegeben: = 1000 = 1000 Gesucht: Druck in /

,

/

und

Lösung 2.6 1.

System: geschlossenes System

Abb. 2.6:

System zur Aufgabe 2.6

2 Grundbegriffe

9

2.

Bezugssystem BZS ruht in Uhrwandung

3.

Modellbildung Der Umgebungsdruck auf die Uhr ist der Druck der Last der Wassersäule . (2.7) =

mit ⊥

Berechnung des Druckes : An der Systemgrenze greift als Oberflächenkraft die nach unten gerichtete Massenkraft an. = ⋅ = ∙ ⋅ ∙ ∆ ∙ ∙ ⋅ ⋅ = = = ∆ = 1000 = 1000 = ∙∆ ∙ = 9,81

⋅ 1

= 9810

⋅ 1000



/

= 9810 1

= 1 2.4

= 9810 1

= 1

2.4

= 1

2.4

= 0,09810 ∙ 10 10 = 0,09810 Aufgabe 2.7 Wie groß ist die Dichte der Luft von 0° und 0,789 Barometerstand in einem geschlossenen Behälter, wenn bei 0° und 1 die Dichte der Luft = 1,293 / beträgt? Gegeben:

= 1 = 0,789 = = 0 ° / = 1,293

Gesucht:

10

2 Grundbegriffe

Lösung 2.7 1.

System: geschlossenes System 2

masseloser Kolben

1

Abb. 2.7:

System zur Aufgabe 2.7

2.

Bezugssystem BZS ruht in Kolbenwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas Berechnung der Dichte

:

. (2.29)



∙ ∙



= = =

∙



∙





⋅





=





=





= 1,021

0,789





⋅ 1,293 1

/

Die Dichte nimmt proportional mit dem Druck ab. Aufgabe 2.8 Ein unendlich dehnbarer Heliumballon wird auf der Erde bei = 0,981 und = 15 ° mit 50 Helium mit = 2,08 /( ) gefüllt. Wie groß ist die Volumenänderung, wenn der Ballon in eine Höhe von 2000 ( = 0,796 , = −30 ° ) steigt? Gegeben: = 0,981 = 15 ° = 0,796 = −30 ° Gesucht: ∆

2 Grundbegriffe

11

Lösung 2.8 1.

System: geschlossenes System

Abb. 2.8:

System zur Aufgabe 2.8

2.

Bezugssystem BZS ruht in Ballonhülle

3.

Modellbildung Helium: ideales Gas Innendruck im Heliumballon stets gleich Umgebungsdruck Berechnung der Volumenänderung ∆ : . (2.21) ∙ ∙ ∙

=

∙

∙

= =

∙ ∙

∙ ∙

∆ =

−

∆ = 50 ∆ = 12,17

=

∙ 2080

∙



∙



∙

−

243

0,796 ∙ 10

−



288 0,981 ∙ 10



Aufgabe 2.9 In einer Gasflasche befinden sich 0,5 Methan mit der speziellen Gaskonstante = 0,5184 /( ) bei einer Temperatur von = 200 ° und einem Druck = 10 . Man öffnet an der Flasche ein Ventil und lässt das Methan ausströmen. Wieviel Methan bleibt in der Flasche, wenn der Zustand in der Flasche gleich dem Umgebungszustand ( = 27 ° , = 1 ) wird?

12

2 Grundbegriffe

Gegeben: = 0,5 = 200 ° = 10 = = 27 ° = = 1 = 0,5184 /(

)

Gesucht:

Lösung 2.9 1.

System: geschlossenes System vor und nach dem Prozess Umgebung System

Abb. 2.9:

System zur Aufgabe 2.9

2.

Bezugssystem BZS ruht in Gasflaschenwand

3.

Modellbildung Methan: ideales Gas Volumen der Flasche ist konst

=

Berechnung der Methan-Restmenge : (2.21) . ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ = ∙ 0,5 ∙ 473 ∙ 1 = 300 ∙ 10 = 0,079 Anmerkung: Man kann natürlich auch erst berechnen ∙ ∙ = = 0,123

2 Grundbegriffe

13

dann ergibt sich =

∙ ∙

=

0,123 0,5184 /(

∙ 1 ) ∙ 300

= 0,123

wie oben. Aufgabe 2.10 Gas mit der Gaskonstante = 0,68 /( ) bei Eine Gasometerglocke fasst 30000 20 °C und einem Barometerstand von = 1 . Die Masse der Glocke ist so bemessen, dass ein Überdruck von 0,03 herrscht. Der Glockendurchmesser beträgt 40 . a) Welche Gasmasse befindet sich in der Glocke? b) Wie groß ist die Masse der Glocke, wenn der Auftrieb des eingetauchten Glockenrandes vernachlässigt wird? Gegeben: 30000 = 20 °C = 1 Ü = 0,03 = 0,68 /(

)

Gesucht:

Lösung 2.10 1. System: geschlossenes System

pi = p + pÜ

Abb. 2.10:

System zur Aufgabe 2.10

2.

Bezugssystem BZS ruht in Behälterwandung

3.

Modellbildung ideales Gas

14

2 Grundbegriffe Zu a) Berechnung der Gasmasse in der Glocke: . (2.8) = + Ü (2.21) . ∙



= 1 + 0,03 = 1,03 = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ 1,03 ∙ 10 / 30000 = = ∙ 0,68 ∙ 10 ∙ 293

= 15500

Zu b) Berechnung der Masse der Glocke , wenn der Auftrieb des eingetauchten Glockenrandes vernachlässigt wird: Die Masse der Glocke muss so groß sein, dass ihr Gewicht den Überdruck Ü erzeugt. . (2.7)

Ü

=

Ü

=

∙



mit =

Ü



4

∙

=



4 =

Ü

∙



0,03 ∙ 10 / ∙ 1256,6 9,81 / = 377000

=

Aufgabe 2.11 Ein Kompressor saugt stündlich 120 Luft an und komprimiert sie auf 16 , wobei sich der Druck von 1 auf 9 erhöht. Wie groß ist die Temperatur der komprimierten Luft, wenn die Ansaugtemperatur 17 ° beträgt? Gegeben: = 120 /ℎ = 16 /ℎ = 1 = 9 = 17 ° Gesucht:

2 Grundbegriffe

15

Lösung 2.11 1. System: Strömungsvorgang, man betrachtet zweckmäßigerweise als System die Luftmenge/Stunde (zeitbezogene Größe) vor und nach dem Verdichtervorgang in einem geschlossenen System

Abb. 2.11:

System zur Aufgabe 2.11

2.

Bezugssystem BZS ruht in den Wandungen des Kompressors

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas Berechnung der Temperatur der komprimierten Luft ∙ ∙ . (2.28) = =



∙

:

∙

∙ 290 ∙ 9 ∙ 16 /ℎ = 1 ∙ 120 /ℎ = 348 = 75 °

Aufgabe 2.12 Am Fuß eines 40 hohen Schornsteins beträgt die Abgastemperatur 270 ° , der Abgasvolumenstrom 5000 /ℎ. Welches Volumen strömt in einer Stunde durch die Schornsteinmündung, wenn je Meter Schornsteinhöhe die Temperatur um 0,5 sinkt? (Der Druck über der Schornsteinhöhe wird als konstant angenommen). Gegeben: = 5000 /ℎ = 270 ° = 543 = 40 = 543 − 40

∙ 0,5

= 523

16

2 Grundbegriffe

Gesucht:

Lösung 2.12 1. System: Strömungsvorgang, man betrachtet zweckmäßigerweise als System die Gasmenge/Stunde (zeitbezogene Größe) vor und nach dem Strömungsvorgang in einem geschlossenen System 2

A1 = A2

c

z

1 Abb. 2.12:

System zur Aufgabe 2.12

2.

Bezugssystem BZS ruht in Schornsteinwandung

3.

Modellbildung ideales Gas über die Höhe soll

=

sein

Berechnung des Volumenstroms an der Schornsteinmündung ∙ ∙ . (2.28) = und bei = gilt

= =







∙ 5000 /ℎ = ∙ 523 543 4820 = ℎ

:

2 Grundbegriffe

17

Aufgabe 2.13 = 4 , Höhe = 4,5 ) soll zu Eine zylindrische Taucherglocke (Innendurchmesser Unterwasserarbeiten verwendet werden. Das von Menschen und Werkzeugen eingenommene Volumen beträgt = 3,5 . Wie weit darf der Boden der Glocke, die bei = 1 und = 15 ° eingelassen wird, unter die Oberfläche abgesenkt werden ( ), wenn das Wasser ( = 4 ° ) nicht höher als = 1,2 über den Boden der Glocke steigen soll? Gegeben: = 4 = 4,5 = 3,5 = 1 = 15 ° = 4 ° = 1,2 Gesucht:

Lösung 2.13 1. System: Luftvolumen als geschlossenes System

z2

z1

z3

di

Abb. 2.13:

System zur Aufgabe 2.13

2.

Bezugssystem BZS ruht in Taucherglockenwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas Luftgewicht vernachlässigbar Volumen der Taucherglocke beim Abtauchen konstant Luft in der Glocke nimmt die Temperatur an

18

2 Grundbegriffe Berechnung der Tauchtiefe

:

∙

. (2.28)

∙

= =

∙ ∙

Luftvolumen in der Glocke an der Oberfläche: = ∙ − Luftvolumen in der Glocke nach dem Absenken: = ∙( − )− Luftdruck in der abgesenkten Glocke: ∙ ∙ = ∙ 1 ∙ 273 ∙ 56,5 ∙ 3,5 = 281 ∙ 41,5 ∙ 3,5 = 1 ∙ 0,962 ∙ 1,4 = 1,34 Es muss ein Kräftegleichgewicht an der Wasseroberfläche in der abgesenkten Glocke herrschen. Der Luftdruck (Kraft pro Fläche) in der abgesenkten Glocke steht im Gleichgewicht mit den Kräften pro Fläche und dem Gewicht der ( − ) hohen Wassersäule ∙ ∙ ( − ): = + ∙ ∙( − ) Damit gilt − = + ∙ 0,34 = 1,2 + 1000 / ∙ 9,81 / = 1,2 + 3,47 = 4,7 Es könnte auch erst die Kräftebilanz aufgestellt werden, um dann den fehlenden Druck der Luft in der abgesenkten Glocke ( ) zu berechnen Aufgabe 2.14 Rauchgase mit = 0,34 /( ) kühlen sich bei konstantem Druck von 1 von 1200 ° auf 250 ° ab. Wie groß ist die auftretende Verminderung des spezifischen Volumens? Gegeben: = 1 = 1200 ° = 250 ° = 0,34 /(

)

2 Grundbegriffe

19

Gesucht: − Lösung 2.14 1. System: Strömungsvorgang, man betrachtet zweckmäßigerweise als System die Gasmenge/Stunde (zeitbezogene Größe) vor und nach dem Strömungsvorgang in einem geschlossenen System

System

Abb. 2.14:

System zur Aufgabe 2.14

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung Ideales Gas = Berechnung der Verminderung des spezifischen Volumens − : . (2.17) ∙ = ∙ ∙ = Mit = und = folgt für die differentielle Änderung des spezifischen Volumens ∙ = Nach der Integration von =

∙

∙(

folgt

−

=



−

=

−

−

0,34 /( 1 = 3,23 /

) )

∙ (1473 − 950 )

Aufgabe 2.15 Wie groß ist das Volumen einer Sauerstoffflasche zu bemessen, die bei 100 und 27 ° eine Sauerstoffmenge aufnehmen soll, die auf 1 und 18 ° entspannt einen Raum von 1 einnimmt?

20

2 Grundbegriffe

Gegeben: = 1 = 100 = 18 ° = 27 ° = 1 Gesucht:

Lösung 2.15 1. System: geschlossenes System Umgebung System

Abb. 2.15:

System zur Aufgabe 2.15

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung der Flasche

3.

Modellbildung Sauerstoff: ideales Gas . (2.28)

∙

=

∙

=

∙

∙ ∙



1 100 = 0,0103 = 1

∙

∙ 300 ∙ 291

3

Methoden der Thermodynamik

Aufgabe 3.1 Beweisen Sie, dass für ideale Gase die folgende Beziehung gilt: ∙

∙

= −1

Gegeben: ∙

∙

= −1

Gesucht:

Lösung 3.1 Modellbildung Zur Feststellung der Richtigkeit der genannten Beziehung werden ausgehend von . (2.17) ∙ = ∙ zunächst die folgenden ersten partiellen Ableitungen gebildet. Für ∙ ( , )= folgt

∙

=−

Für ( , )=

∙

folgt =

22

3 Methoden der Thermodynamik

Für ( , )=

∙

folgt = ∙

∙

= −1

Probe: −

∙

∙

∙

. (2.17) ∙ − ∙

∙

= ∙ ∙

=−

∙ ∙

∙ = −1 =−

∙ ∙

Aufgabe 3.2 Für welches ideale Gas gilt folgende Beziehung? ∙

=

∙

= 3,483

Gegeben: ∙

=

∙

= 3,483

Gesucht: Name des idealen Gases Lösung 3.2 Modellbildung Ausgehend von . (2.17) ∙ = ∙ wird die folgende erste partielle Ableitung gebildet für ∙ ( , )= Damit folgt =

= −1

3 Methoden der Thermodynamik

23

=

∙





=

=

Für

1

∙

( , ) = folgt =

=

∙



=

=

=

=

1

Damit gilt

∙

1 =

∙

1

= 3,483

1 0,2871 = 0,2871

Es handelt sich also offensichtlich um das ideale Gas Luft mit

= 0,2871

2.7 .

4

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Aufgabe 4.1 = 3 beträgt, werden Mit einem System, dessen Gesamtenergie im Anfangszustand 1 folgende Zustandsänderungen durchgeführt: Zustand 1 zum Zustand 2 6 zugeführt Zustand 2 zum Zustand 3 7 zugeführt Zustand 3 zum Zustand 4 15 abgeführt Geben Sie mit Vorzeichen die bei den einzelnen Vorgängen übertragenen Energien, die resultierende Energiezufuhr sowie die Gesamtenergie im Zustand 4 an. Gegeben: = 3 6 zugeführt 7 zugeführt 15 abgeführt = 27 ° = 1 Gesucht:

Lösung 4.1 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.1:

System zur Aufgabe 4.1

26

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung . (4.7)

= =

, ,

− −

, ,

Zustand 1 zum Zustand 2: = 6 Zustand 2 zum Zustand 3: = 7 Zustand 3 zum Zustand 4: = −15 Zustand 1 zum Zustand 4: , , ,

= −2 = , + = 3 − 2 = 1

Aufgabe 4.2 Mit einem System werden drei Zustandsänderungen nacheinander ausgeführt und dabei stets Druck und Temperatur bestimmt: Tab. 4.2

Verschiedene Zustände

°

327 2,3

1

2 581 5,8

3 466 4,2

4 327 2,3

Bestimmen Sie a) die Differenz der Gesamtenergie von Anfangs- und Endzustand b) die resultierende Energiezufuhr Gegeben: verschiedene Zustände und Gesucht: −

−

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

27

Lösung 4.2 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.2:

System zur Aufgabe 4.2

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung (ideales Gas: Sauerstoff) − Zu a) Berechnung der Differenz der Gesamtenergie . (4.7) = , − , −

:

=0

Zu b) Berechnung der resultierenden Energiezufuhr

:

=0



Aufgabe 4.3 Mit einem in einem Zylinder befindlichen Gas wird eine isobare Zustandsänderung (also mit = ) von Zustand 1 zum Zustand 2 durchgeführt. Der Kolben verschiebt sich dabei um ∆ nach oben. Wie groß sind bei unterschiedlichem Bezugssystem die an den Wänden I– IV geleisteten Arbeiten (Vorzeichen beachten)? Wie groß ist jeweils die insgesamt am System geleistete Arbeit? Anmerkung: Die auftretenden Arbeiten sollen auf die jeweils in Betracht kommenden Flächen bezogen werden. Es ist hier nur ein Weg vorhanden, aber die Kraft muss senkrecht zum Weg stehen. Gegeben: Richtung der Arbeiten Gesucht: , , , , ,

,

bis

,

und

,

28

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

∆z

Lösung 4.3 1. System: geschlossenes System

I IV

II

Gas III

Abb. 4.3:

System zur Aufgabe 4.3

2.

Bezugssystem BZS: a) ruhendes BZS b) Schwerpunkt-BZS

3.

Modellbildung (ideales Gas: Sauerstoff)

Tab. 4.3

Verschiedene Bezugssysteme ) , , , , ,

ℎ

)

ℎ

− ∙∆ 0

− ∙ ∆ /2 0

0 0

− ∙ ∆ /2 0

− ∙∆

− ∙∆

Diese Arbeiten sind natürlich auf die jeweiligen zugehörigen Flächen bezogen Aufgabe 4.4 Dem skizzierten adiabaten Gesamtsystem wird durch ein Rührwerk Reibungsarbeit zugeführt. Bestimmen Sie, ob bei Dauerbetrieb des Rührwerks die den Teilsystemen A, B, C zugeführte Wärme und Arbeit positiv, negativ oder gleich Null ist. Es gilt dabei ( > ). Gegeben: Verschiedene den Teilsystemen zu- bzw. abgeführten Prozessgrößen und Tab. 4.4A

Verschiedene zu- bzw. abgeführte Prozessgrößen und ä

A: adiabates Gesamtsystem B: Luft im System A C: Behälter mit Eis − Wasser − Mischung im System A

Gesucht: Vorzeichen der Prozessgrößen und

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

29

Lösung 4.4 1. System: geschlossenes System Wärmeisolation

Luft

Eis

Abb. 4.4:

System zur Aufgabe 4.4

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung des Gesamtsystems

3.

Modellbildung Adiabates Gesamtsystem beinhaltet verschiedene Teilsysteme

Tab. 4.3b

Vorzeichen der zu- bzw. abgeführte Prozessgrößen und ä

A: adiabates Gesamtsystem B: Luft im System A C: Behälter mit Eis − Wasser − Mischung im System A

0 0

>0 >0 =0

Aufgabe 4.5 In der nachfolgenden Aufstellung ist das entsprechende geschlossene System für die Betrachtung einer Zustandsänderung durch Unterstreichen hervorgehoben. Bestimmen Sie jeweils, ob die diesem System zugeführte Wärme bzw. Arbeit positiv, negativ oder gleich Null ist. (Vorzeichenregel: zugeführte Wärme/Arbeit / > 0 und abgeführte Wärme/Arbeit / < 0) a) Ein Gas, das sich in einem Zylinder mit adiabaten Wänden befindet, expandiert bis zum mechanischen Gleichgewicht mit der Umgebung b) Ein geschlossener Behälter mit starren Wänden enthält Dampf mit einer Temperatur von 150° . Er bleibt bis zum thermischen Gleichgewicht in einer Umgebung stehen, deren Temperatur 20° beträgt. c) Ein senkrechter Zylinder enthält eine Mischung von Eis und Wasser / . Nach oben ist der Zylinder durch einen adiabaten Kolben abgeschlossen, der in seiner Lage festgehalten wird. Von unten wird der Zylinder mit einer Flamme beheizt, wodurch ein Teil des Eises schmilzt. d) System wie im Fall c), jedoch soll der adiabate Zylinder nicht beheizt werden, sondern in seinem Innern ein Rührwerk arbeiten, bis ebenfalls ein Teil des Eises geschmolzen ist.

30

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Bei den folgenden Fällen soll der Kolben im Zylinder sich jeweils so bewegen können, dass der Druck in der Eis-Wasser-Mischung / konstant bleibt. Auch hier soll stets nur ein Teil des Eises schmelzen e) Energiezufuhr durch die Flamme f) Energiezufuhr durch ein Rührwerk Gegeben: Verschiedene zu- bzw. abgeführte Prozessgrößen und Tab. 4.5A

Verschiedene zu- bzw. abgeführte Prozessgrößen und

Arbeit W Wärme Q

Gesucht: Vorzeichen der Prozessgrößen und Lösung 4.5 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Systemwandung

3.

Modellbildung

Tab. 4.5B

Arbeit W Wärme Q

Verschiedene zu- bzw. abgeführte Prozessgrößen und

0 0

>0 >0

>0 0

Zu f) ( < , beim Schmelzen wird also ∆ > 0 und ∆ < 0 und nach dem 1. Hauptsatz gilt somit + − = mit > 0, − > 0 folgt > 0, sonst gäbe es kein Schmelzen. Aufgabe 4.6 In einem Zylinder befindet sich komprimierte Luft. Bei der quasistatischen Expansion verschiebt sich der Kolben (Kolbenfläche = 0,1 ) um ∆ = 40 . Wie groß ist die hierbei zu verrichtende nichttechnische Arbeit, wenn der Umgebungsdruck = 1 bar beträgt? Gegeben: = 0,1 ∆ = 40

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

31

Gesucht: ,

Lösung 4.6 1. System: geschlossenes System Umgebung

∆s Abb. 4.6:

System zur Aufgabe 4.6

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas quasistatischer Vorgang Berechnung der verrichteten nichttechnischen Arbeit . (4.19) =− ⋅ ,

,



,

,

:

=−

=− ⋅( − )=− ⋅∆ =− ⋅∆ , = 1 = 10 / ∆ = ⋅ ∆ = 0,06 , = −10 / ⋅ 0,06 = −4 ⋅ 10 = −4 , Aufgabe 4.7 In einem mit Gas gefüllten adiabaten Zylinder dreht sich ein Rührwerk. Das Drehmoment des Antriebsmotors beträgt = 0,5 , die Winkelgeschwindigkeit ω = 50 , die Versuchsdauer 1 . Nach dem Abschalten des Motors wartet man, bis das System homogen ist und misst dann eine Kolbenverschiebung von ∆ = 20 . Die Kolbenfläche beträgt = 0,01 . Wie groß ist ∆ , wenn der gesamte Vorgang bei konstantem Umgebungs= 1 ablaufen soll? druck

32

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

(Bemerkung: Würde man bei dem Versuch die Temperatur messen, so ist es möglich bei Variation des Umgebungsdruckes die thermische Zustandsgleichung = ( , ) für das im Zylinder befindliche Medium aufzunehmen). Gegeben: = 0,5 ω = 50 ∆ = 40 = 0,01 ∆ = 20 Gesucht: ∆ Lösung 4.7 1. System: geschlossenes System Umgebung

∆s Abb. 4.7:

System zur Aufgabe 4.7

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung (adiabate Wände, isobarer Vorgang) adiabate Wände =0 isobarer Vorgang = 0 Berechnung der Änderung der Gesamtenergie ∆ . (4.11) + =

:

= 0 = ∆ Es tritt sowohl Reibungsarbeit ∆



= ,

=

als auch Volumenänderungsarbeit ,

+

,



,

auf:

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

33

Berechnung der Reibungsarbeit ,

=

⋅ ω ⋅ ∆

,

= 0,5

,

= 1500

⋅ 50

⋅ 60



Berechnung der Volumenänderungsarbeit = − ⋅ ∆ , ∆ = − = , = −10 / ,

= −200

⋅ ∆ = 0,002 ⋅ 0,002

∆

=

∆

= 1500

− 200

∆

= 1300



,

+

,



Aufgabe 4.8 = In einem Zylinder herrscht ein Innendruck von = 8 , der Außendruck beträgt 1 . Der Kolben wird verschoben, so dass eine Volumenvergrößerung von ∆ = 0,2 auftritt. Der Innendruck bleibt konstant. Wie groß sind für diesen Vorgang , , , , , ? Gegeben: = 8 = 1 ∆ = 0,2 Gesucht: , , ,

Lösung 4.8 1. System: geschlossenes System Umgebung

pi pU

Abb. 4.8:

System zur Aufgabe 4.8

34

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung (isobare Zustandsänderung) quasistatischer Vorgang isobare Zustandsänderung = 0 Berechnung von

,

,

. (4.24)

,

:

, ,

=

=

,

+

,

,

,

=−

⋅(

−

)=−

,

= −1 ⋅ 10

/

⋅ 0,2

,

= −20 ⋅ 10

,

= −20

. (4.22)

,

=−



,

=− ⋅(

,

= −( −

,

=−

,

= −140 ⋅ 10

,

= −140

,

=

,

= −140

,

= −160

. (4.20)

⋅∆



⋅

⋅(

+ )+

−

− ⋅(

) −

)

) ⋅ ∆

7 ⋅ 10

⋅ 0,2





Volumenveränderungsarbeit: ,

+

,



− 20

Aufgabe 4.9 Der in der Skizze dargestellte Körper mit der Masse = 5,0 wird von der Höhe = 1 auf die Höhe = 2,5 gehoben. Es ist die am Körper durch Oberflächenkräfte verrichtete Arbeit zu berechnen. Gegeben: = 5,0 = 1,0 = 2,5 Gesucht: ,

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

35

z1

z2

Lösung 4.9 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.9:

System zur Aufgabe 4.9

2.

Bezugssystem BZS ruht in Körpermasse

3.

Modellbildung An der Systemgrenze des Körpers greift als Oberflächenkraft die nach oben gerichtete Seilkraft an, die der Massenkraft das Gleichgewicht hält. Berechnung der Arbeit der Oberflächenkräfte . (4.9)

=

⋅

+

:

,



⋅



An der Systemgrenze greift als Oberflächenkraft eine ( = 1) nach oben gerichtete Seilkraft an, die der Massenkraft das Gleichgewicht hält (Arbeiten durch Dreh = 0): momente gibt es nicht, ∑ ⋅ =

=

=

⋅

⋅

,

=





,

=



,

= 5

,

= 73,7

⋅(

−

)=

⋅ 9,81 /

⋅

⋅(

⋅ (2,5

−

)

− 1,0 )

Aufgabe 4.10 In einem senkrechten Zylinder befindet sich komprimierte Luft. Der zunächst arretierte masselose Kolben (Kolbenfläche 0,02 ) wird mit einem Massestück von 5 belastet. Nach dem Lösen der Arretierung verschiebt sich der Kolben durch den quasistatischen Expansi-

36

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

onsvorgang um 0,5 . Wie groß sind technische und nichttechnische Arbeit, wenn der Um= 1 beträgt? gebungsdruck Gegeben: = 5,0 = 0,02 ∆ = 0,5 Gesucht: , ,

Lösung 4.10 1. System: geschlossenes System

m

Abb. 4.10:

System zur Aufgabe 4.10

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatischer Vorgang Berechnung der technischen und nichttechnischen Arbeit . (4.9)

=

⋅

+



⋅

,

,

,

:



An der Systemgrenze greift als Oberflächenkraft die nach unten gerichtete Massenkraft an. = ⋅ Arbeiten durch Drehmomente gibt es nicht:

⋅

= 0 =

=

⋅



4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

37

=

, ,

=

,

= 5

⋅(

− ⋅ 9,81

)=

⋅

⋅ ∆

⋅ 0,5

= −24,5 =− ⋅( − )=− ⋅∆ , ∆ = ⋅ ∆ ∆ = 0,02 ⋅ 0,5 ∆ = 0,01 1 ⋅ 10 =− ⋅ 0,01 , ,

. (4.20)

, ,

= −10 = −10 = −1

Aufgabe 4.11 Zeigen Sie den Unterschied der technischen Arbeit zwischen a) einem in einem Zylinder ablaufenden einmaligen Vorgang und b) einem Strömungsprozess. Gegeben: a) Betrachtung der Oberflächenkräfte in einem offenen System b) Betrachtung der Oberflächenkräfte in einem geschlossenen System Gesucht: Unterschiede der technischen Arbeiten zwischen a) und b) Lösung 4.11 1. System: a) geschlossenes System

pU

p

Abb. 4.11A: System zur Aufgabe 4.11

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwand

3.

Modellbildung Zu a) einmalige Zustandsänderung

38

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

. (4.16) und (4.24)

=−

. (4.19)

=−

,

. (4.21)

,



,

=

,

+

⋅(

−

,

⋅

= −( −

)⋅

=−

+

)

p 2

p2

Zustandsverlauf p = f(v)

2

∫1 δwt p1

1

pU

2

∫ δwnt

1

v v2

v1

Abb. 4.11B: p,v-Diagramm zur Aufgabe 4.11 a)

Zu b) Strömungsvorgang 1. System: Strömungsvorgang (Volumenelemente sene bewegte Systeme zu betrachten

⋅

⋅

und

sind als geschlos-

A2

A1 Abb. 4.11C: System zur Aufgabe 4.11 b)



,

=

⋅

⋅

−



,

=

⋅

−

⋅



=



=

,

,

+ −(

⋅

⋅

,

⋅

⋅

−

⋅

⋅

)

Da in diesem Fall keine Aussagen über die technische Einrichtung gemacht werden kann, ist auch keine weitere Konkretisierung des Ergebnisses möglich.

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

39

Aufgabe 4.12 Für die skizzierte Turbine seien am Ein- und Austritt folgende stationäre Zustandsgrößen bekannt: = 10 = 0,5 = 1

/

= 3,0 / An welchen Teilen der Systemgrenze (I–VII) tritt technische bzw. nichttechnische Arbeit auf? b) Wie groß ist die nichttechnische Leistung am System?

a)

Gegeben: = 10 = 0,5 = 1

/

= 3,0

/

Gesucht: a) Systemgrenzen mit b) ,

,

≠ 0 und

,

≠0

Lösung 4.12 Zu a) 1. System: offenes System, quasistatischer Vorgang I 1

II III

VII VI IV

V 2

Abb. 4.12A: System zur Aufgabe 4.12

2.

Bezugssystem BZS a) ruht in Wandung

3.

Modellbildung

40

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Feststellung, an welchen Wänden technische und nichttechnische Arbeiten auftreten: Tab. 4.12

Systemgrenzen mit

,

≠ 0,

,

≠0

, ,

Zu b) Berechnung der nichttechnischen Leistung am System

,

1.

System: geschlossenes System

2.

Bezugssystem BZS: Strömungsvorgang (Volumenelemente sene bewegte Systeme zu betrachten)

p2

p1

:

und

sind als geschlos-

geschlossenes System

geschlossenes System

Abb. 4.12B: System zur Aufgabe 4.12



,



=

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

,

=



,

= 10



,

= (5 − 3) ⋅ 10

,

= 2 ⋅ 10

,

= 2 ⋅ 10 /

,

= 200

⋅ 0,5

/ − 1 /

⋅

⋅ 3,0

/

/

/ 1

= 1 2.4

1 / = 1 2.4

Aufgabe 4.13 In einem Zylinder befinden sich 0,5 Luft. Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie der Luft ∆ ( / ), wenn gleichzeitig durch Verbrennen von Kraftstoff im Zylinder 5 frei werden, eine elektrische Heizspirale 200 eine Zeitspanne von 3 betrieben und durch Volumenvergrößerung eine Volumenänderungsarbeit | , | = 1500 geleistet wird? (Bei diesem Vorgang gibt es keine Reibungsarbeit).

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

41

Gegeben: |

= 0,5 , | = 1500 = 5 = 200

Gesucht: ∆ Lösung 4.13 1. System: geschlossenes System

QH

AV

QV Abb. 4.13:

System zur Aufgabe 4.13

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatisches System reibungsfreie Zustandsänderung

=0

Berechnung der Änderung der spezifischen inneren Energie ∆ : . (4.11) + = +

=

Bei Vernachlässigung der Reibungsarbeit ∆ = =

,

gilt: + , + ,

= 5 ⋅ 4,19

, = −1500

, ,

∆ ∆

,

1 = 4,19 2.4 + 0,2 ⋅ 180 1 = 1 2.4 = 56,9

1 = −1,5 ⋅ 9,81 = −14,7 = + , = −14,7 + 56,9

= 9,81 2.4

42

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ∆

= ∆ = 42,2 ∆ 42,2 ∆ = = 0,5 ∆ = 84,4 /

Aufgabe 4.14

I

II

Abb. 4.14A: System zur Aufgabe 4.14

Zwei durch ein Ventil miteinander verbundene Gefäße I ( ) und II ( ) befinden sich in einem isolierten Behälter. In beiden Gefäßen herrscht die gleiche Temperatur. Als System wird ein ideales Gas betrachtet, das sich zunächst in I unter einem Druck befindet (II am Anfang evakuiert), dann durch Öffnen des Überströmventils teilweise nach II reibungsfrei überströmt? a) Wie groß ist die Arbeit, die am System vollbracht wird, wenn man das Ventil bis zum Druckausgleich öffnet? (Begründung) b) Wie ändert sich die Gesamtenergie bei diesem Vorgang? c) Welche Aussagen können Sie über die thermischen Zustandsgrößen machen? (Überströmversuch von Gay-Lussac zur Ermittlung der kalorischen Zustandsgleichung). Gegeben:

= =0 Gesucht: ∆ Aussagen zu , , Lösung 4.14 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung quasistatischer Vorgang ideales Gas adiabates System

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

43

Abb. 4.14B: System zur Aufgabe 4.14

Zu a) Berechnung der Arbeit, die am System vollbracht wird, wenn man das Ventil bis zum Druckausgleich öffnet: = , = , + . (4.24) , Da keine technische Einrichtung vorhanden ist, gilt: = 0 , Für die Expansion in das Vakuum gilt: ,

= 0

Somit ist keine Arbeit der Oberflächenkräfte (Arbeit der Druckkräfte, Volumenänderungsarbeit) vorhanden bzw. die Arbeiten legen keinen Weg zurück: = 0 , Zu b) Berechnung der Gesamtenergie ∆ : . (4.54) + + = = + + , + + = ∆ = ∆ + ∆ + ∆ , = 0 adiabat = 0 siehe a) = 0 keine Höhenänderung ∆ = 0 quasistatisch ∆ ∆ = ∆ = 0 Zu c) Aussagen zu den thermischen Zustandsgrößen: , , Die Zustandsgrößen und haben sich im System auf jeden Fall verändert. Da ∆ = 0 ist, bedeuet das, dass für das ideale Gas eine reine Temperaturfunktion sein muss = ( ). Die Temperatur muss also auch wieder den Ausgangswert beider Behälter angenommen haben. Aufgabe 4.15 Einer in einem Zylinder befindlichen Gasmenge (System) wird eine Wärme = 14,4 zugeführt. Außerdem wird eine Volumenänderungsarbeit am System verrichtet. Die insgesamt eingetretene Erhöhung der inneren Energie beträgt 21,3 . Welche technische Arbeit tritt an der Kolbenstange auf, wenn sich der Kolben (Kolbenfläche = 700 ²) um ∆ = 50 reibungsfrei verschiebt (Umgebungsdruck = 1 )? Gegeben: = 14,4 ∆ = 21,3

44

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

= 700 ∆ = 50 = 1

²

Gesucht: ,

Lösung 4.15 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.15:

System zur Aufgabe 4.15

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatischer Vorgang Reibungsfreie Zustandsänderung Berechnung der technischen Arbeit an der Kolbenstange , : . (4.54) + + = = + + = + = 0 keine Höhenänderung = 0 quasistatisch = 0 reibungsfrei + + = + + = ∆ , , , = ∆ − − , = − ⋅ ∆ = ⋅ ⋅∆ , 10 = ⋅ 0,07 ⋅ 0,5 , = 3,5 , , = 21,3 − 3,5 − 14,4 , = 3,4 Die technische Arbeit , wird dem System zugeführt (positives Vorzeichen), Kolben bewegt sich nach innen.

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

45

Aufgabe 4.16 Zwei gleiche, gut isolierte Gefäße enthalten je die gleiche Menge derselben Eis-WasserMischung. Beide Gemische erfahren die gleiche Änderung des Zustandes. Im Gefäß A wird sie durch Zuführung der Wärme von 7,56 hervorgerufen, im Behälter B durch ein Rührwerk, das bei einer Umdrehungszahl von1485 / 40 lang läuft und dabei ein durchschnittliches Drehmoment von 0,864 hat. a) Wie groß ist die im Behälter B vom Rührwerk verrichtete Arbeit ( )? b) Wie groß ist die Erhöhung der Gesamtenergie in den Behältern A und B? Gegeben: = 7,56 = 1485 / = 40 Gesucht: ∆

im Behälter B im Behälter A und B

Lösung 4.16 1. Systeme: A und B sind jeweils geschlossene Systeme a)

Abb. 4.16:

2. 3.

b)

System zur Aufgabe 4.16

Bezugssystem BZS ruht jeweils in Behälterwand Modellbildung jeweils für A und B Behälterwandungen sind adiabat Zu a) Berechnung der vom Rührwerk verrichteten Arbeit . (4.11) + = = 0 = = −

:

46

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik = 0 = = − Zu b) Berechnung der Erhöhung der Gesamtenergie jeweils in den Behältern A und B − : Beide Systeme sollen die gleichen Änderungen des Zustandes erfahren: = = −

=

= 7,56

1 = 4,19 2.4 − = 3,2 ⋅ 10 Anmerkung: Natürlich ist auch die kompliziertere Berechnung mit Hilfe der Angaben für das System B möglich: . (4.9)

⋅

=

+



⋅



Es gibt keine Arbeit der Einzelkräfte: ⋅

= 0

Damit gilt

=



⋅



Es gibt hier nur die Rotation um 1 starre Achse (hier x-Achse), so dass für das Skalarprodukt der beiden Vektoren und gilt =| |⋅| |⋅ ∢( & ) Dabei bedeutet ∢(

&

) der von den Vektoren

&

eingeschlossene Winkel.

Mit =| |= und dem Betrag des Winkelgeschwindigkeitsvekors | | |ω| = und |ω| = ω | = | gilt =

⋅



=

⋅



=

⋅

=∆ =

Nach Integration

folgt für das Produkt aus einem Drehmoment ⋅ ∆ über die Zeitspanne ∆ die Arbeit

⋅∆

mit dem dazugehörigen Drehwinkel

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

47 = ⋅2 ⋅ ⋅∆ = 0,00864 = 3222

⋅ 2 ⋅ 1485

⋅ 40



1 = 9,81 2.4 = 3,2 ⋅ 10 Die Erhöhung der Gesamtenergie ist gleich der zugeführten Energie in A bzw. B: = 3,2 ⋅ 10 ∆ = 7,56 ∆ = 3222 Aufgabe 4.17 Zeigen Sie, dass die Wärmezufuhr an ein System lediglich zur Änderung der inneren Energie führt, wenn man annimmt, dass der Vorgang isochor ( = ) verläuft und keine Reibungsarbeit zugeführt wird. Gegeben: = =0 Gesucht: = Wärmezufuhr an ein System soll lediglich zur Änderung der inneren Energie führen Lösung 4.16 1. System: geschlossenes System Systemgrenze

Umgebung

System: geschlossen

Abb. 4.17:

System zur Aufgabe 4.17

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung =0 =0 Beweis, dass eine Wärmezufuhr an ein System lediglich zur Änderung der inneren Energie führt: . (4.33) + + =

48

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . (4.16) bzw. −

=− =− =0 = 0 da =

=

Aufgabe 4.18 Wie groß ist das Volumen einer in einem Zylinder enthaltenen Gasmenge (spezifische ist bekannt) vom Zustand , , wenn ihr durch ein Rührwerk die Arbeit Wärme , zugeführt wird? (Das System soll mit der Umgebung stets in mechanischem Gleichgewicht stehen und adiabate Wände besitzen). Gegeben: =

also

=0 Gesucht:

Lösung 4.18 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.18:

System zur Aufgabe 4.18

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung adiabate Wände = 0 mechanisches Gleichgewicht ideales Gas

=

=

Berechnung des Volumens nach Zustandsänderung + = ℎ . (4.49) + . (4.48)

,

=

:

∙

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

49

bzw. = ∙ = 0 da = 0 da =0 = ℎ ℎ =

∙ − ℎ . (4.77) ( ) =

ℎ = = , = . (2.27) =

und für

=

= =

∙ ∙ ∙(

∙

=



=



=

∙

−

)

∙

−

∙

gilt schließlich



,

=

∙



,

=

∙



=



=

∙



=

∙

,

∙

∙

−

+1 ,

∙ ∙

+1 ,

∙

+1

Aufgabe 4.19 Durch einen Kolben wird einem vollständig isolierten (adiabaten) System im Zylinder eine Arbeit zugeführt, die größer als | ∙ | ist. Wie groß ist die Änderung der inneren Energie des Gases? Gegeben: =0 >|

Gesucht:

∙

|

50

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.19 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.19:

System zur Aufgabe 4.19

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung adiabate Wände =0 quasistatischer Vorgang Berechnung der Änderung der inneren Energie + + = . (4.54)

: =

+

+

=0

= 0 keine Höhenänderung



= 0 quasistatisch

. (4.16) bzw.

=−

−

+

=− =



>| ∙ | ist, muss Reibungsarbeit aufgetreten sein. Somit beträgt Da die Änderung der (spezifischen) inneren Energie des Systems:

=

−

=

,

+

∙

=

Aufgabe 4.20 In einem Zylinder befindet sich Luft (ideales Gas,

= 0,287

) von

= 1

und

= 300 , der durch eine isochore Zustandsänderung ( = ) eine Wärme von 72 / zugeführt wird. Die Temperatur steigt dabei auf = 400 . a) Wie groß ist die Änderung der spezifischen inneren Energie ? b) Wie groß ist die Änderung der spezifischen Enthalpie ℎ?

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

51

Gegeben: = 0,287 = 1 = 300 = 400 = 72 / = =0 Gesucht: ℎ Lösung 4.20 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.20:

System zur Aufgabe 4.20

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung ideales Gas isochore Zustandsänderung = 0 reibungsfreie Zustandsänderung =0 Zu a) Berechnung der Änderung der spezifischen inneren Energie . (4.35)

−

=− ,

−

∙

+

,

+

= 0

∙

= 0



− = = = 72 /

:

52

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Zu b) Berechnung der Änderung der spezifischen Enthalpie ℎ: + = ℎ . (4.49) + ,

= 0

= ℎ = Berechnung von : . (2.21) ⋅ = ⋅ =

+ ( − ⋅ ⋅ ⋅

=

= . (2.27)

⋅

=

=

⋅ 300

10 ⋅ = ⋅

⋅

=

0,287

=

=

)

/

= 0,861



400 ⋅ 1 = 1,33 300 ℎ = 72 / + 0,861 / ℎ = 100,4 /

/

=

⋅ 0,33 ⋅ 10

/

Die Berechnung der Enthalpiedifferenz ℎ ist auch wie folgt möglich. . (4.31) ℎ = + ( ⋅ ) Nach Integration folgt ℎ=

+ ( ⋅ )

+ ( ⋅ ) ℎ − ℎ = ℎ = ℎ = + ( ⋅ ) ℎ= + ⋅ ℎ = 72

+ 0,287

⋅ 100

ℎ = 100,7 / Aufgabe 4.21 In welcher Zeit können 2 von 500

Wasser (

= 4,23



) mit einem elektrischen Tauchsieder

von 10 ° auf 100 ° erwärmt werden? (Es sollen keine Verluste auftreten).

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

53

Gegeben: = 2 = 500 = 10 ° = 100 ° =0 = 0 isobarer Vorgang Gesucht: ∆ Lösung 4.21 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.21:

System zur Aufgabe 4.21

2.

Bezugssystem BZS ruht in Behälterwand

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderung reibungsfreie Zustandsänderung isobarer Vorgang = 0

=0

Berechnung der Zeit ∆ zur Wassererwärmung: . (4.49) + + + ∙ + ∙ Für = gilt

= ℎ = =0 =0 = =

Mit

=

∙

∙

54

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik gilt

∙

= =

∙

∙∆ =

∙ ∙

∆ =

∆ =

2

∙∆ ∙∆ ∙ 4,23 0,5



∙ 90



∆ = 1522,8 ∆ = 25,36 Aufgabe 4.22 Welche Änderung der spezifischen inneren Energie ∆ erfährt Rauchgas ( und bekannt), das mit der Temperatur einen Schornstein verlässt und damit auf die Temperatur der Umabgesenkt wird. gebung Gegeben:

=0 = 0 isobarer Vorgang Gesucht: ∆ Lösung 4.22 1. System: geschlossenes, druckhomogenes System (Rauchgasteilchen) 2

1

Abb. 4.22:

System zur Aufgabe 4.22

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

55 =0

2.

Bezugssystem BZS bewegt sich mit dem Rauchgasteilchen, damit

3.

Modellbildung (Rauchgas = ideales Gas, Abkühlung isobarer Vorgang Abkühlung: isobarer Vorgang = 0 Rauchgas: ideales Gas

= 0)

Berechnung der Änderung der spezifischen inneren Energie ∆ von Rauchgas bei Abkühlung auf Umgebungstemperatur: Beide Formulierungen des 1. Hauptsatzes können verwendet werden . (4.49) + + = ℎ + ∙ + = ℎ . (4.33) + + =

−

∙

=

+

. (4.31) ℎ =

+

∙

. (4.32) ℎ = + ( ∙ ) ℎ = + ∙ + ∙ =0 = ℎ − ∙ ℎ ℎ . (4.77) = = ℎ = =

∙ ∙ ∙

=

∆ = − gilt Für = , ∆ = − und ∆ = ∆ = Mit . (2.17) ∙ Gilt auch

−

∙ −

∙∆ −

∙∆

∙(

− )−

=

∙

∙ ∙

= =

∙ ∙

−

=

∙(

− )

∆ = ∆ =

∙( ∙(

− )− − )



∙

∙(

∙(

−

)

− )

Aufgabe 4.23 Ein Behälter mit adiabaten Wänden ist durch einen reibungsfrei geführten und mit der Masse belasteten Kolben verschlossen. In dem Behälter befindet sich Luft mit einer Masse von 5 und der spezifischen Wärmekapazität = 1,004 ( ). Wie groß ist die Leistung

56

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

des Rührwerks, wenn innerhalb von 5 die Temperatur der Luft um 40 durch die Heizwicklung noch eine Wärme von 8 zugeführt worden ist? Gegeben: = 5 = 1,004 (

)

∆ = 40 ∆ = 5 (Kolben) = 0 = 0 isobarer Vorgang Gesucht: ,

Lösung 4.23 1. System: geschlossenes, quasistatisches, druckhomogenes System m

Abb. 4.23:

System zur Aufgabe 4.23

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung reibungsfreie Kolbenbewegung =0 druckhomogene Zustandsänderung = 0 Berechnung der Rührwerksleistung , : . (4.49) + + + ∙ + ∙

= ℎ = ℎ =0 = ℎ−

steigt, wobei

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

57

. (4.77)

=

ℎ

ℎ

=

ℎ = =

∙ ∙

=

∙

∙∆ − ∙ ∙∆ − ∙ ∙∆ − ∆



,

= =



,

=



,

=



,

= 0,04

,

0,5

− −

∙ 1,004

300

∙ 40 − 8

Aufgabe 4.24 Wie hoch steigt a) die Temperatur und wie groß ist b) die Wärmezufuhr, wenn 0,5 Luft von 20 ° bei konstantem Druck von 3 eine Arbeit von | , | = 23,5 leisten? Gegeben: = 20 ° = 1,004 /(

)

= 0,5 = = = = −23,5 ,

geleistete (vom System abgegebene Arbeit)

Gesucht:

Lösung 4.24 1. System: geschlossenes, quasistatisches, druckhomogenes System t1

v1

p1= p2 = p Q12 Abb. 4.24:

System zur Aufgabe 4.24

WD,12

58

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung (quasistatischer Vorgang, , r quasistatischer Vorgang Luft: ideales Gas reibungsfreie Zustandsänderung a)

Berechnung der Temperatur + . (4.33) + − ∙ +

= = = − ∙ = − ∙



=− ∙

,



=− ∙(

−

,

+



=−



=−

−23,5 3

)

+ 0,5 1

. (2.28) ∙ ∙ ∙ Für gilt

−23,5 ∙ 10 3 ∙ 10 / = 0,578 = ∙ ∙ = ∙ ∙ = ∙ ∙

=

= =



= ∙

=

= 293 ∙

0,578 0,5

= 338,7 = 65,5 ° b) Berechnung der zugeführten Wärme : + = ℎ . (4.49) + + ∙ + = = 0 ∙ = 0 =

= 10 1 =1 + 0,5

/ 2.4 2.4

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

59

. (4.77)

=

ℎ =

ℎ ∙



=

∙

∙



=

∙

∙(

= =

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

. (2.28) ∙ ∙

=

=

ℎ

=

∙ ∙

−

)

∙(

−



∙ 1



=

3 ∙ 10 0,287

= 10 /

∙ 0,5

∙ 293

) /

2.4 ∙ 1,004

∙ 45,7

= 81,8 Aufgabe 4.25 In einem geschlossenen Gefäß mit konstantem Volumen 20 befindet sich Kohlenmonoxid mit den Werten = 0,2968 /( ) und = 0,743 /( ) von 18 ° unter einem Druck von 3 . Wie hoch steigen Druck und Temperatur, wenn eine Energie (Wärme und/oder Arbeit) von 5 zugeführt wird? Gegeben: = 20 = 0,743 /( ) = 0,2968 /( ) = = = = 18 ° = 3 = 5 , Gesucht:

60

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.25 1. System: geschlossenes, quasistatisches, volumenkonstantes System Systemgrenze

Umgebung

System: geschlossen

Abb. 4.25:

System zur Aufgabe 4.25

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung quasistatischer Vorgang ideales Gas =0 Berechnung von Druck und Temperatur : + = . (4.33) + Die linke Seite der Gl. (4.33) beinhaltet als Prozessgrößen der Energiezufuhren an das System. In der Schreibweise der extensiven Größen folgt daraus + + = Da in der Aufgabe keine Aussage über die Form der Energiezufuhr gemacht wird, kann die gesamte linke Seite wie folgt zusammengefasst werden. = + + Damit entsteht folgende Energiebilanz: = . (4.76)

=

=



=

∙



=

∙

∙

=

∙

∙

=

∙

∙

=

∙

∙(



,

−

)

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

61

. (2.28) ∙ ∙

= =



=



=

∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙



3

∙ 20

0,2968

∙ 291



= 10 / 2.4 1 = 1 2.4 3 ∙ 10 / ∙ 0,02 = 0,2968 ∙ 10 /( ) ∙ 291 = 0,069 1

Endtemperatur-Berechnung

,

=



=



=



∙

∙(



,

0,069 = 365,5 = 113,5 =

∙

∙

∙ ∙

= = =

∙ ∙

∙ ∙



=

∙



=

= 3

)

+

∙

Enddruck-Berechnung . (2.28) ∙



−

∙

5 ∙ 0,743 /(

)

+ 291

=

386,5 291

= 3,97

Aufgabe 4.26 Welche Masse eines Bleistücks (spezifische Wärme des Bleis beträgt im festen Zustand = 0,13 /( ) kann von 27 ° bis auf Schmelztemperatur durch den Aufschlag eines Hammers mit einer Masse von 200 aus 2 Höhe gebracht werden, wenn man annimmt, dass die gesamte Energie des fallenden Hammers dem Blei zugeführt wird? Die Schmelztemperatur des Bleis beträgt 327 ° . (Da der Wert der spezifischen Wärme des Bleis sich im flüssigen Zustand nahezu verdoppelt, soll der Vorgang nur bis kurz vor der Schmelztemperatur von 327 ° ablaufen, so dass die spezifische Wärme während des Prozesses als konstant angenommen werden kann).

62

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Gegeben: = 0,13 /( ) = = = = 27 ° = 327 ° = 200 ∆ = 2 Gesucht:

Lösung 4.26 1. System: geschlossenes, druckhomogenes System Hammer

Blei

Abb. 4.26:

System zur Aufgabe 4.26

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bleiwandung

3.

Modellbildung Blei im thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung =0 quasistatisch =0 Berechnung der Bleimasse werden soll: . (4.63)

=0

, deren Temperatur bis zur Schmelztemperatur erhöht +

+

=



=

+

+

=0 = 0 Blei und Umgebung im thermischen Gleichgewicht =0 = 0 quasistatisch

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

63

. (4.47)

,

= = =



∙ ∙

=0

=

∙ ∙



,

=



,

= 200



,

= 3924

∙∆

∙ 9,81 1

∙2



=1

1 = 1

,

=

ℎ = ,

ℎ

=



=

=

∙

ℎ

= ∙ ∙ ∙ ∙ ∙(

= =





2.4

= 3,9

Bleimasse-Berechnung . (4.77)

2.4

−

)

,

∙(

0,13 = 0,1

−

) 3,9 ∙ (600 − 300 )

Aufgabe 4.27 Ein elektrischer Induktionsofen braucht 153 ℎ zum Einschmelzen von 1 Messing (62 % , 38 % ) mit der spezifischen Wärmekapazität von = 0,38 ( ) und der spezifischen Schmelzwärme1 = 146,5 / . Das Messing wird mit 20 ° in den Ofen eingebracht, seine Schmelztemperatur beträgt 900 ° . a) Welche Wärme ist zum Erhitzen und b) Zum Einschmelzen von 1 Messing erforderlich? c) Welche Wärme wird an die Umgebung abgegeben, wenn man annimmt, dass die gesamte elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird?

1

Die spezifische Schmelzwärme bezeichnet die Energie, die benötigt wird, um einen Stoff von dem festen in den flüssigen Aggregatzustand zu überführen. Dabei werden Bindungskräfte zwischen Molekülen bzw. Atomen überwunden, ohne deren Temperatur zu erhöhen.

64

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Gegeben: = 153 ℎ = 0,38 ( ) = = 20 ° = 900 ° = 10 = 146,5 / =0 Gesucht: = ,

+

,

(Erhitzen + Schmelzen)

,

Lösung 4.27 1. System: geschlossenes, quasistatisches, druckhomogenes System

Abb. 4.27:

System zur Aufgabe 4.27

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung isobarer Vorgang =0 reibungsfreie Zustandsänderung =0 Zu a) Berechnung der erforderlichen Wärme zum Erhitzen von 1 Messing: + = ℎ . (4.49) + = ℎ + ∙ + + ∙ + = = ∙ =0 =

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

65

. (4.77)

=

ℎ = = =

=

ℎ

=

∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙

∙

ℎ

, = ∙ ∙ ∆ , = 10 ∙ 0,38 ( ) ∙ 880 , = 3,34 ∙ 10 Zu b) Berechnung der erforderlichen Wärme zum Schmelzen von 1 Messing , = ∙ , = 10 ∙ 146,5 / , = 1,47 ∙ 10 Berechnung der Gesamtwärmezufuhr aus a) und b): = , + , = 3,34 ∙ 10 + 1,47 ∙ 10 = 4,81 ∙ 10 Zu c) Berechnung der an die Umgebung abgegebenen Wärme , : = − ,

, , ,

= 153

ℎ − 4,81 ∙ 10

= 5,51 ∙ 10 = 7 ∙ 10

− 4,81 ∙ 10

Aufgabe 4.28 Ein Dieselmotor von 136 betreibt einen Generator. Die erzeugte elektrische Energie wird benutzt, um Wasser bei konstantem Umgebungsdruck von 20 ° auf 70 ° in einem adiabaten Behälter zu erwärmen. Welche Wassermenge (in ) kann in einer Stunde erwärmt werden, wenn keine Umwandlungsverluste auftreten sollen? Gegeben: = = 20 ° = 70 ° =0 =0 Gesucht:

66

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.28 1. System: geschlossenes, quasistatisches System

Abb. 4.28:

System zur Aufgabe 4.28

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung (, , ,) adiabater Behälter =0 verlustlose Umwandlung der mechanischen in elektrische Energie Kolbenbewegung reibungsfrei =0 =0 Berechnung des zu erwärmenden Wassermengenstroms : . (4.49) + + = ℎ + ∙ + = ℎ = + ∙ + = ∙ =0 = ℎ ℎ = . (4.77) = ℎ = ∙ = ∙ = ∙ + = ℎ . (4.49) + = ℎ + ∙ + + ∙ + = = ∙ =0 =

∙ ∙

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

67

. (4.77)

ℎ

=

ℎ =

∙



=

∙

∙



=

∙

∙



=



=



=

ℎ

=

∙∆ 136 4,23



∙ 50

1 = 0,736 136 ∙ 0,736 / 4,23



= 1700

∙ 50 /ℎ

Aufgabe 4.29 Berechnen Sie die Differenz zwischen innerer Energie und Enthalpie Umgebungsbedingungen ( = 20 ° , = 735,6 ) für = 1,293 / ) a) 5 Luft ( b)

ein Stahlstück mit der Masse

Gegeben: = 20 ° = 735,6 = 7850 = 1,293

/ /

= 5 = 5 Gesucht: − für Luft − für Stahlstück

= 5

(

= 7850



).

2.4

bei konstanten

68

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.29 Modellbildung Zu a) Differenz zwischen innerer Energie und Enthalpie . (4.31) ℎ = + ∙ = + ∙ ∙ − = ∙ ∙ ∙ − = − − −

=

∙

bei Luft:



∙ 735,6 1,293 / 760 = 1,013 ∙ 10 = 379,2 =

5

Zu b) Differenz zwischen innerer Energie −

− −

und Enthalpie bei Stahl: ∙ 735,6 = ρ 760 = 1,013 ∙ 10 5 ∙ 735,6 = 7850 / = 0,0642

2.4

2.4

Aufgabe 4.30

V/2

V/3

V/6

Abb. 4.30A: System zur Aufgabe 4.30

3 Luft befinden sich bei = 3 und Umgebungstemperatur = 20 ° in nebenstehendem Behälter mit dem Volumen (Volumen der Verbindungsrohre vernachlässigbar klein). Wie groß ist die Enthalpie der Luft in den einzelnen Behälterteilen, wenn (20 ° ) − (0° ) = 16 / ist und (0° ) = 0 / definiert wird? Gegeben: = 20 ° = 3 (20 ° ) − (0° ) = 16 / (0° ) = 0 / Gesucht:

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

69

Lösung 4.30 1. System: geschlossenes, homogenes System

I

II

III

Abb. 4.30B: System zur Aufgabe 4.30

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung ideales Gas quasistatischer Vorgang Berechnung der Enthalpie der Luft in den einzelnen Behälterteilen . (2.28) ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ =

=

3

∙ 0,287



∙ 293

3 1 3

= 10

/

∙ 0,287

∙ 293 3 ∙ 10 / = 0,84

=

Enthalpiefunktion: . (4.31) ℎ =

+ ∙ ∙ +

=

∙

= 16

∙3

= 48

+ 252

= 300



Enthalpie: extensive Zustandsgröße ( = ∑ = = =

2 3 6

+ 3 ∙ 10

/



):

= 150 = 100 = 50

∙ 0,84

2.4

70

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Aufgabe 4.31 Ein bewegtes System mit konstanter innerer Energie wird abgebremst, die Geschwindigkeit verringert sich von 40 / auf 0 / Wie groß ist die Änderung der spezifischen Gesamtenergie? Gegeben: = 40 / = 0 / Gesucht: ∆ Lösung 4.31 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.31:

System zur Aufgabe 4.31

2.

Bezugssystem BZS ist ortsfest, um die Geschwindigkeit beobachten zu können

3.

Modellbildung keine Änderung der inneren Energie

=0

Berechnung der Änderung der spezifischen Gesamtenergie ∆ . (4.54)

+ +

+ +

= =

= =

+ +

: + +

+ + = = 0 = 0 keine Höhenänderung 0 = + = ∆

= =∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

71

oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

= =

=

2

=

∙

= ∙

∙ 2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2 1 = ( − ) 2 0 / − 40 = 2 = −800 /

=

/

1 = ∆ ∆

1

2.4

= −800 / = −0,8 /

Aufgabe 4.32 Gegeben ist ein System (ideales Gas = 2,514 /( ) mit dem eine isobare Zustandsänderung ( = 50 ) durchgeführt wird. Wie groß ist dabei der Unterschied zwischen den Quotienten (∆ /∆ ) = = 1,802 /( ) und (∆ /∆ ) ? Interpretieren Sie das Ergebnis. Gegeben sind zudem die Werte: Gegeben: = 330 ° = 500 ° = 0,05 / = 0,07 / Werte aus dem Aufgabentext: = 2,514 /( ) = 1,802 /( Gesucht: ∆ ∆ − ∆ ∆

)

72

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.32 1. System: geschlossenes, druckhomogenes System

Abb. 4.32:

System zur Aufgabe 4.32

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung kein ideales Gas isobare Zustandsänderung Berechnung der Werte

∆ ∆

=0 und

∆ ∆

:

Enthalpiefunktion: . (4.31) ℎ = + = ℎ − ( ) = ( ℎ) ( ) = ( ℎ) = ( ) = ( ℎ) ℎ = ∆ ∆ ∆ ∆

=

∙ ∙ − ( ∙ ) − ∙ −

−

−

∙

− ∙

∙

∆ ∆

= 2,514 /

− 50 ∙ 10

1 ∆ ∆

= 1,936



= 1,802

∙



Gegeben war

0,02 / 170

1 =

2.4

1 = 1

2.4

= 10

2.4

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

73

d. h.

Der Anstieg

∆ ∆

∆ ∆

−

∆ ∆

= 1,802

∆ ∆

= 1,936

ist also größer als

∆ ∆



− 1,802



= 0,134



, d. h. bei zwei Zustandsänderungen mit

gleicher Temperaturänderung ∆ ist die Erhöhung der inneren Energie bei größer als bei = .

=

Aufgabe 4.33 Ein als geschlossenes thermodynamisches System betrachteter Körper ( = 10 ) wird von 0 / auf 50 / beschleunigt. Wie groß ist die dadurch auftretende Änderung der Gesamtenergie des Körpers? Gegeben: = 10 = 0 / = 50 / Gesucht: ∆ Lösung 4.33 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.33:

System zur Aufgabe 4.33

2.

Bezugssystem BZS ist ortsfest, sonst kann Geschwindigkeitsänderung nicht beobachtet werden

3.

Modellbildung keine Änderung der inneren Energie

=0

74

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Berechnung der Änderung der Gesamtenergie ∆ . (4.54) + + = + +

:

= + + = = 0 = 0 keine Höhenänderung = = =



, − , = ∆ = ∆ Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =

oder als resultierende eindimensionale Kraft

=

=

∙

=

=

∆

=

∆

=

∆

= ∙

2

(

∙

2 −

2

)

( − ) 2 10 = 50 2

−0 1 =

∆ ∆

1

2

=

∙

=

=

2.4

= 12500 = 12,5 /

Aufgabe 4.34 Ein bewegtes System wird während einer Zustandsänderung von 0 / auf 20 / beschleunigt. Die spezifische innere Energie nimmt dabei um 2 / ab. Wie groß ist die Änderung der Gesamtenergie des Systems? Gegeben: = 0 / = 20 /

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

75

Gesucht: ∆ Lösung 4.34 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.34:

System zur Aufgabe 4.34

2.

Bezugssystem BZS ist ortsfest, um Geschwindigkeitsänderung beobachten zu können

3.

Modellbildung Keine Höhenänderung

=0

Berechnung der Änderung der Gesamtenergie ∆ . (4.54) + + =

= + + = = + + = 0 keine Höhenänderung = +

+ +

=



,

:

−

,

+

=∆

=∆ +∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =

oder als resultierende eindimensionale Kraft

=

=

∙

= ∆

=

=

= ∙

2

(

2

=

∙

=

=

−

∙

2 )

2

1

76

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ∆ ∆ ∆

1 = ( 2

)

−

1 =∆ + ( 2 = −2

+

− 20

) /

−0 2

1 = ∆ ∆

= −2

/ 2.4

+ 200

= −1,8 /

Aufgabe 4.35 Wie groß ist die Gesamtenthalpie von Wasser ( = 80 ° ), das mit 20 / ein Rohr durchströmt? Es sei ℎ(0 ° ) = 0 / . Gegeben: = 0 ° = 80 ° c = 20 / ℎ , = ℎ ( ) = 0 / Gesucht: ℎ , =ℎ ( ) Lösung 4.35 1. System: geschlossenes System (Strömungsteilchen)

Abb. 4.35:

System zur Aufgabe 4.35

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung isobare Zustandsänderung

=0

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

77

Berechnung der Gesamtenthalpie ℎ . (4.63)

+

:

,

+

=



=

=

+

+

+

ℎ = ℎ +

+

+

= 0 = 0 keine Höhenunterschiede



ℎ = ℎ + ℎ ℎ . (4.77) = = ℎ=

∙

ℎ =

∙

+

ℎ =

+

∆ℎ =

∙∆ +∆

ℎ

∙∆ +∆



−ℎ

,

,

=

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

= =

=

2

=

∙

= ∙

1

∙

2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2 = 0 1 = ∙∆ + 2 =

∆ ∆ ℎ

,

ℎ

,

ℎ

,

= 4,23 /

1 20 ∙ 80 + ∙ 2

78

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 1 ℎ

,

= 338,4

+ 0,2

ℎ

,

= 338,6





= 1 2.4

Aufgabe 4.36 Ein mit Argon (spezifische Wärmekapazität

= 0,316

) gefüllter Ballon (Gasmasse

= 6 ) steigt um eine bestimmte Höhe. Dabei ändert sich seine Geschwindigkeit von = 2 / auf = 0,5 / und die Temperatur der Ballonfüllung von = 15 ° auf = 14 ° . Berechnen Sie die Änderung der Gesamtenergie des Ballons Gegeben: = 0,316 = 6 = 15 ° = 14 ° =2 / = 0,5 / Gesucht: ∆ Lösung 4.36 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.36:

2.

System zur Aufgabe 4.36

Bezugssystem BZS ruht in Ballonhülle

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 3.

79

Modellbildung Argon = ideales Gas Berechnung der Änderung der Gesamtenergie des Ballons ∆ . (4.54)

+

+



=

=

+

+

= 0 keine Höhenänderung =

+

. (4.76)

=



= = =

∙ ∙

=

∙

∙



=

∙

∙

∆

=

∙

∙(



:

= ∙ + + + −

)+∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= ∆ ∆ ∆

=

=

= ∙

2

= = 6

+3

1

2

=

∙

=

=

∙

2

(

−

)

∙

∙(

−

∙ 0,316

2

)+

∙ (0,25 − 4)

2

(

−

∙ (−1 )

)

80

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 1 = ∆

= −1,896

∆

= −1,907

2.4

− 11,25 ∙ 10

Aufgabe 4.37 Ein Körper ( = 6 ), der im Anfangszustand keine Geschwindigkeit besitzt, durchfällt frei eine Höhe von 50 (reibungsfreier mit der Beschleunigung = 9,81 / = Vorgang, ruhendes Bezugssystem). Wie groß sind ∆ , ∆ sowie die kinetische Energie im Endzustand? Gegeben: = 6 = 9,81 / = ∆ = − = 50 Gesucht: ∆ ∆ Lösung 4.37 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.37:

System zur Aufgabe 4.37

2.

Bezugssystem BZS ist ortsfest

3.

Modellbildung Körper ist inkompressibel = 0, =0 reibungsfreier Vorgang =0 adiabater Vorgang =0 keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit =0 Berechnung von ∆ , ∆ . (4.54)

=0

sowie der kinetischen Energie +

+

=



=

= +

im Endzustand: + +

+

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

81

. (4.76)

=

=



= ∙ = ∙ ∙ = 0 = 0 keine Änderung der inneren Energie bei diesem Vorgang ∆ = 0 Gesamtenergie

=



=

∆

∙

∙∆

= 1

∙ 9,81 /

∙ 50 1 =

∆ Kinetische Energie ∆

2.4

= 490,5

im Endzustand ∆ = ∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

=

∆

= ∙

( − 2 = 0 / =

2∙

∙

2

=

1

2

=

∙

=



=

2

)

∙ 1 =

2.4

82

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Es gilt aber auch ∆ ∆ ∆

=

∙ (2 ∙ ∙ − 0) 2 1 = ∙ 2 ∙ 9,81 / ∙ 50 2 = 490,5

Aufgabe 4.38 Wasser ( = ) durchströmt reibungsfrei ein sich im Durchmesser verengendes Rohr. Im Querschnitt 1 (Durchmesser = 10 ) wird eine Geschwindigkeit von 2 / gemessen. Wie groß ist die Geschwindigkeit im Querschnitt 2, wenn dort der Durchmesser nur = 5 beträgt? Gegeben: = 10 = 5 = 2 / Gesucht:

Lösung 4.38 1. System: offenes raumfestes System

2 1 Abb. 4.38:

System zur Aufgabe 4.38

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung stationäre Strömung Wasser ist inkompressibel = Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

83

Berechnung der Geschwindigkeit im Querschnitt 2: ∙ = ∙ ∙ = . (4.68) ∙ = = = =

∙

4

=



4

=





∙

0,10 0,25

=2

∙

=8



Aufgabe 4.39 Welche kinetische Energie besitzt ein Körper ( = 1 ) beim Auftreffen auf die Erdoberfläche, wenn er von einem 300 hohen Turm, der auf 50° nördlicher Breite steht, fallen gelassen würde? (Erdradius 6378250 ). Die Berechnung soll einmal im ruhenden Bezugssystem und zum anderen im rotierenden Bezugssystem (Erddrehung) erfolgen. Auf 50° nördlicher Breite ist = 9,8101 / . Der Vorgang soll reibungsfrei verlaufen, Luftdruckänderung bleibt unberücksichtigt. Welche Geschwindigkeit besitzt der Körper beim Aufprall (ruhendes Bezugssystem). Gegeben: = 1 = 9,8101 / = 6378250 = 6378250 + 300 =0 Gesucht: für ruhendes ∆ ∆ ∆ ,

=∆

,

und rotierendes Bezugssystem ∆

=∆

,

+

84

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.39 1. System: geschlossenes System

Abb. 4.39:

System zur Aufgabe 4.39

2.

Bezugssystem BZS: a) ruhendes und b) rotierendes Bezugssystem

3.

Modellbildung keine Änderung der inneren Energie reibungsfreier Vorgang =0 Körper ist inkompressibel = 0, Anfangsgeschwindigkeit = 0,

,

=0 =0

=0

adiabater Vorgang Berechnung ∆

=0

für ruhendes Bezugssystem ∆

=∆

Berechnung für rotierendes Bezugssystem ∆ =∆ . (4.54) + + = = + + = . (4.76)

=

+

+

,

,

+∆



=

= ∙ = ∙ ∙ = 0 = 0 Keine Änderung der inneren Energie bei diesem Vorgang ∆ = 0 Beginn des Vorganges = 0

und ,

:

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

85

Gesamtenergie =



=

∙

∙ ∆

= 1

∆

∙ 9,8101

∙ 300 1 =

2.4

= 2943,03

∆

Beim Auftreffen auf die Erdoberfläche beträgt die Gesamtenergie ∆

=∆

=

,

Die Änderung der kinetischen Energie ∆ der Rotation um die Erdachse =∆

∆

−

,

beträgt bei zusätzlicher Berücksichtigung +∆

,



,

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie ∆ kenden Drehmomente =

=

=

∙

= =

,

=

über die am System wir-

,

=

mit den differentiellen Drehgeschwindigkeiten eindimensionales Drehmoment

,

= 2943,03

=

2

=

∙

= ∙

∙

2

2

∙

oder als resultierendes

1





( − ) 2 Die Drehgeschwindigkeiten des Rotationsanteils der kinetischen Energie betragen ∆

,

=

= Dabei ist

⋅



= ⋅ die Winkelgeschwindigkeit =2⋅

⋅

Mit der Anzahl der Umläufe pro Sekunde (Frequenz ) 1 = 24 ⋅ 3600

86

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik folgt ∆

,

∆

,

=

,

∆

,

)

−

( − ) ⋅ ( + ) 2 = 300 = 6378550 1 1 = 4⋅ ⋅ ⋅ (300 ⋅ 12756800 ) 2 24 ⋅ 3600 = 10,12 =

− + ∆

(

2

Rotierendes Bezugssystem =∆ ∆

=∆

+∆

,

= 2943,03

,

Ruhendes Bezugssystem ∆

,

=∆

−∆



∆

,

= 2943,03 − 10,12

∆

,

= 2932,91

,

Der Energieanteil durch Erdrotation liegt damit lediglich bei 0,3 % der Gesamtenergie des Systems. Berechnung der Geschwindigkeit bei Aufprall (ruhendes Bezugssystem) Berechnung der Änderung der kinetischen Energie ∆ kenden Kräfte =

,

über die am System wir-



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

∆

,

=

,

=

,

=

=

∙

= ∙

2

(

2

= ∙

2 −

2

1





)

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

87

Berechnung der Geschwindigkeit des Körpers beim Aufprall (ruhendes Bezugssystem): =0

2∙∆

=

=

,



2 ∙ 2,933 ∙ 10 1 1 =

=

2 ∙ 2,933 ∙ 10

= 76,6

1

2.4





Aufgabe 4.40 Ein im Querschnitt veränderliches Rohr wird reibungsfrei von Luft durchströmt. Im Querschnitt 1 ( = 100 ) beträgt die Dichte = 1,6 / , die Geschwindigkeit = 5 / . Wie groß ist die Dichte im Querschnitt 2 ( = 25 ), wenn dort eine Geschwindigkeit von 40 / gemessen wird? Gegeben: = 100 = 25 = 5 / = 1,6 / Gesucht:

Lösung 4.40 1. System: offenes raumfestes System

2 1 Abb. 4.40:

System zur Aufgabe 4.40

88

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung stationäre Strömung Berechnung der Dichte im Querschnitt 2, : Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung . (4.68) ∙ ∙ = ∙ ∙ =



=

=

=

∙

∙ ∙

5 / ∙ 100 40 / ∙ 25

= 1,6

∙

= 0,8



Aufgabe 4.41 In einem sich im Querschnitt verengenden Rohr (Eintritt strömen reibungsfrei 600 / Flüssigkeit = 0,9 / Geschwindigkeit im Ein- und Austrittsquerschnitt? Gegeben: = 8 = 6 = 600 / = 0,9 / Gesucht:

Lösung 4.41 1. System: offenes, raumfestes System

Abb. 4.41:

System zur Aufgabe 4.41

= 8 =

, Austritt = 6 ) . Wie groß ist die

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

89

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung eindimensionale Strömung jeder Querschnitt senkrecht zur Strömung wird als homogen betrachtet stationäre Strömung inkompressible Flüssigkeit = Berechnung der Geschwindigkeit im Ein- und Austritt und : Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung . (4.68)

∙

∙

=

∙

∙

=

=

=

=

=

∙

= = =



=



4 4∙ = ∙ ∙ 4 ∙ 600 / = 0,9 / ∙8 = 2,21 =





64 36

/ /

= 2,21

∙

= 3,93



Berechnung selbstverständlich auch über 4∙ = ∙ ∙ möglich. Aufgabe 4.42 In einem Reduzierventil wird Pressluft von 7 auf 2 bei konstanter Temperatur von 20 ° gedrosselt. Wie groß sind Ein- und Austrittsquerschnitt des Ventils zu wählen, wenn der Mengenstrom = 18000 /ℎ und die Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Bereich 20 / betragen soll?

90

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Gegeben: = 7 = 2 = 18000 /ℎ = 20 / = Gesucht:

Lösung 4.42 1. System: offenes, raumfestes System

1 Abb. 4.42:

2 System zur Aufgabe 4.42

2.

Bezugssystem BZS ruht in Ventilwandung

3.

Modellbildung stationäre Strömung eindimensionale Strömung in den Querschnitten 1 und 2 Luft = ideales Gas = dazwischen wird sich die Temperatur ändern keine Geschwindigkeisänderung = Berechnung des Austrittsquerschnittes : Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung . (4.68)

∙

∙ ∙

=

∙

∙

=

=

=

∙

= =



4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

91

. (2.21) ∙

=

∙

∙

∙

=

∙

∙ ∙

∙

=

∙

=



=

∙

18000

= 0,6 =

∙

∙ 293

∙

= 2,1 =

=

7 2



0,6 / 20 /

= 0,03 =

∙ 0,287 ℎ 7 ∙ 10 /



= 0,6

=





2,1 / 20 /

= 0,105



Aufgabe 4.43 Wie groß ist die spezifische technische Arbeit einer idealen Pumpe, die Wasser von einem Druck = 1 auf = 80 bringt? Wie groß ist ihre Leistung, wenn der Massenstrom = 1000 /ℎ beträgt? Gegeben: = 1 = 80 = 1000 =0 Gesucht: , ,

/ℎ

92

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.43 1. System: Punktmasseteilchen als geschlossenes System, wird in den Zuständen 1 und 2 betrachtet. Die Punktmasse lässt somit keine ungeordnete Bewegung der Teilchen zu. Keine Zufuhr von Wärme und keine Änderung der inneren Energie.

1 bar

80 bar

1

2

Abb. 4.43:

System zur Aufgabe 4.43

2.

Bezugssystem BZS (Beobachter) bewegt sich mit dem als Punktmasse betrachteten Teilchen vom Querschnitt 1 zu Querschnitt 2.

3.

Modellbildung stationäre eindimensionale Strömung ideale Pumpe =0 Wasser ist inkompressibel = 0 =0

quasistatischer Vorgang

=0

keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit keine Höhendifferenz

=0

Berechnung der spezifischen technischen Arbeit und der Leistung der Pumpe , : Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt + + = = + . (4.63)

+

+

= ℎ = ℎ+

,

und

+ +

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

∙

+

,

+

=

−

+ = − ∙ + . (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form = + ∙ . (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, ergibt

in die differentielle Form der

= ℎ+

+

−



= ℎ+

+

−(



= ℎ−

−

∙

)+

+ +

∙

)

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

93

Mit . (4.32) ℎ =

+ ( ∙ )=

+

∙

+

∙

gilt = ( ∙ )= = ∙ +

ℎ −

+ +

∙

+

∙

Mit = 0 = 0 gilt ∙(



,

=



,

= 10

)

− /

∙ (80 1

− 1 = 10 1 =

,

= 7,9

,

=



,

= 10



,

= 7,9 ∙ 10

) 2.4 2.4



Leistung ∙



,

/ℎ ∙ 7,9 / /

z

Aufgabe 4.44

Abb. 4.44A: System zur Aufgabe 4.44

Welche spezifische technische Arbeit hat eine Pumpe zu verrichten, die Wasser aus einem offenen Behälter (Umgebungsdruck = 1 ) in einem geschlossenen Behälter (Innendruck Ü = 2 ) fördert? Die Einströmgeschwindigkeit in den geschlossenen Behälter beträgt = 2 / , der Höhenunterschied der Wasserspiegel ∆ = 10 . Die Dichte von Wasser beträgt 1000 / .

94

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Gegeben: = 2 = 1 = 0 / = 2 / = 0 = 10 = 1000 =0 =0 ℎ=0

Ü

/

Gesucht: ,

Lösung 4.44 1. System: Bewegtes Punktmasseteilchen als geschlossenes System 2‘

z

2

1

Abb. 4.44B: System zur Aufgabe 4.44

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung Die Betrachtung der Zustände 1 und 2 ist eine Vereinfachung, da im Punkt 2 durch Reibung die Geschwindigkeit von 2‘ ( = 2 / ) bereits teilweise abgebaut ist. Wird jedoch die Punktmasse zwischen 1 und 2‘ betrachtet, so wäre der Druck in 2‘ noch nicht auf den endgültigen Wert Ü = 2 . Dieser Druckunterschied durch die Höhendifferenz ist aber zu vernachlässigen. Die Berechnung müsste also genau genommen für 1 nach 2‘ und 2‘ nach 2 erfolgen, wobei aber nur im ersten Teilbereich Reibungsfreiheit vorausgesetzt werden könnte.

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

95 =0

Stationäre eindimensionale Strömung Wasser ist inkompressibel = 0 =0

=0

keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit

Berechnung der spezifischen technischen Arbeit der Pumpe

:

,

Vom Standpunkt eines in der Rohrwandung postierten Beobachters (bewegtes BZS in Bezug zur Punktmasse) gilt + + = = + + . (4.63)

+

+

= ℎ = ℎ+

+

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

∙

+

+

,

=

−

− ∙ + + = . (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form = + ∙ . (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, er-

in die differentielle Form der gibt

= ℎ+

+

−



= ℎ+

+

−(



= ℎ−

Mit . (4.32) ℎ = gilt

−

)+

+ ( ∙ )=

= ( ∙ )= = ∙ +

ℎ −

∙

+ +

+ +

+ ∙

)

∙

∙ +

+

∙

∙

Spezifische technische Arbeit ∆

=



∆

=





,

=

∙(

−

)+∆



,

=

∙(

−

)+

+∆ ∙(

−

)+∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

96

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

=

∙

1

2

= =

=

∙

∙

2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2

=

∆ ∆

=

∙(

=

,

−

)+

∙(

−

)+

∙

+

1 )+ ∙( 2

−

)

= 0 =0



1 =

=

,

,

=

1

∙(

10

−

∙ (2 − 1)

+ 9,81 1

1 2

,

= 100

+ 98,1

,

= 200,1



∙ 10

= 10 +2

1 + 4 2 2.4

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

97

Aufgabe 4.45 Welche stündliche Wassermenge ist erforderlich, um mit der skizzierten Turbinenanlage = 50 . Die Ge1 Leistung zu erhalten? Die Höhe des zu fördernden Wassers ist schwindigkeit beträgt in dieser Höhe = 5 / . Gegeben: ,

= 1

= 0 / = 5 / = 0 = −50 =0 =0 ℎ=0 Gesucht:

Lösung 4.45 1. System: geschlossenes System (Punktmasse), das sich von 1 nach 2 bewegt

z

1

2

Abb. 4.45:

System zur Aufgabe 4.45

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Behälterwandung

3.

Modellbildung stationäre, eindimensionale Strömung Wasser ist inkompressibel = 0 ideale Turbine =0 keine Anfangsgeschwindigkeit = 0 keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit Berechnung des Wasserstromes

:

=0

98

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . (4.63)

+

+

+

=

+

=

+

+

= ℎ = ℎ+

+



= 0 = 0 ℎ = 0 =

+



Spezifische technische Arbeit ,

=

,

=∆

∆

+

=

+∆ ∙





Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= =

=

=

2 1 = ( 2

∆

,

∙

∙ (

1

2

=

∙

= ∆

=

2

2





)

−

)

−

1 )+ ∙( − 2 = 0 =

∙(

=0

−





,

=



,

= 9,81

∙

1 + ∙ 2



∙ (−50 ) + 25

)

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

99 1 =



,

= −478

,

= = =

∙ ,

2.4

,



,









1 −478 /

= 2,9 ∙ 10 = 7,53 ∙ 10

ℎ



Aufgabe 4.46

z

1

2 Abb. 4.46A: System zur Aufgabe 4.46

a) Nebenstehendes Gefäß sei bis zur Höhe mit Wasser gefüllt. Wie groß ist die Ausströmgeschwindigkeit , wenn die Strömung stationär und reibungsfrei sein soll und wenn angenommen werden kann, dass die Höhe der Wassersäule konstant bleibt? b) Die Höhe beträgt 2 und es wird eine Ausflussgeschwindigkeit = 5 / gemessen. Überprüfen Sie, ob dieser Wert der unter a) aufgestellten Beziehung für entspricht. Wenn nein, begründen Sie die Abweichung. Gegeben: Zu a) Zu b) = 5 / = −2 = 0 =0 =0

100

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

ℎ=0 = =0 Gesucht:

Lösung 4.46 1. System: Wasserteilchen (Punktmasse) als geschlossenes System

z

1

2 Abb. 4.46B: System zur Aufgabe 4.46

2.

Bezugssystem BZS ruht in Behälterwandung

3.

Modellbildung stationäre, eindimensionale Strömung Wandreibungskräfte verrichten infolge Haftbedingung keine Arbeit = = keine Anfangsgeschwindigkeit

=0

Zu a) Berechnung der Ausströmgeschwindigkeit : + + = = + . (4.63) +

+

=0

= ℎ = ℎ+

+ +



= 0 = 0 = 0 ℎ = 0 + 0= 0=∆

+∆



∆

= −∆



∆

=

−

∙(

)

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

101

=



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= =

∙

=

∆ 1 ∙( 2

− 1 ∙ 2

∙

1

2

=

= ∆

=

∙

2

2





( − ) 2 1 = ( − ) 2 =

)=− ∙(

−

)

= − ∙ (− ) = 0 = 0 =2∙ =

Ausströmgeschwindigkeit für Höhe

=

∙

2∙

∙

= 2 2∙

= 6,26

theoretisch nach a)

∙

=

2 ∙ 9,81

∙ 2



Zu b) Untersuchung der Verhältnisse bei gemessener Geschwindigkeit = 5 / : Die in b) angegebene geringere gemessene Geschwindigkeit von = 5 / ist auf Reibung zurückzuführen. Die Reibungsarbeit berechnet sich mit Hilfe

102

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . (4.63)

+ +

+

=

=

+

+

+

= ℎ = ℎ+

+



= 0 = 0 ℎ = 0 = + =

∆

,

=

,

=∆ =

+

+



+∆ ∙(



−

)

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= =

= ∙

1

2

=

∙

=

=

∙

2

2





( − ) 2 1 = ( − ) 2 1 = ∙( − )+ ∙( − 2 =

∆ ∆

,

,

= −19,62

+ 12,5

)



Die Reibungskräfte wirken der Bewegung entgegen (scheinbar „negative“ Reibungsarbeit, die es nicht gibt), deshalb hier der Betrag der Reibungsarbeit. 1 = 1 2.4 |

,

| = 7,12



4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

103

Aufgabe 4.47

Abb. 4.47A: System zur Aufgabe 4.47

Ein Flüssigkeitsstrahl ( = 1 / ) trifft mit der Geschwindigkeit von 5 / auf ein Schaufelrad auf. Welche Leistung kann an der Schaufelradwelle abgenommen werden, wenn die kinetische Energie vollkommen genutzt wird? Gegeben: = 1 / = 5 / =0 =0 ℎ=0 = Gesucht: ,

Lösung 4.47 1. System: geschlossenes System (Punktmasse) vor Arbeitsleistung 1

nach Arbeitsleistung 2

Abb. 4.47B: System zur Aufgabe 4.47

2.

Bezugssystem BZS ortsfest

3.

Modellbildung Geschwindigkeit soll nach Arbeitsleistung vollkommen abgebaut sein reibungsfreier Vorgang =0 stationäre, eindimensionale Strömung =0 keine Höhendifferenzen =

=

Berechnung der Schaufelradleistung

,

:

=0

104

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . (4.63)

+

+

=

=

+

+

+

= ℎ = ℎ+

+ +



= 0 = 0 ℎ = 0 = 0 = ,



=

=∆



Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= =

= ∙

1

2

=

∙

=

=

∙

2

2





( − ) 2 1 = ( − ) 2 1 = ∙ ( − ) 2 =

∆ ∆ ,

∙ ( − ) 2 = 0

,

=

,

=

,

= 0,5

,

= −1250 = −1250

,

= −1250 = −1,25

2

∙ (− ) ∙ −25





4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

105

5m

Aufgabe 4.48

Abb. 4.48A: System zur Aufgabe 4.48

Aus einem offenen Behälter fließt Wasser reibungsfrei durch eine Öffnung im Boden ab. 5 unterhalb des Wasserspiegels, dessen Höhe sich durch ständigen Nachfluss nicht ändern soll, beträgt die Geschwindigkeit 3 / . a) Wie groß ist der Druck an dieser Stelle, wenn der Umgebungsdruck 1 beträgt? b) Wie verändert sich der Druck, wenn 1. der Boden geschlossen ist, 2. die Öffnung vergrößert wird? Gegeben: = 1 = 0 = −5 = 0 / = 3 / =0 =0 Gesucht: zu a) bei Umgebungsdruck 1 zu b) 1. bei = 0 / 2. bei > 3 / Lösung 4.48 1. System: Wasserteilchen (Punktmasse), geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in der Behälterwand

3.

Modellbildung = 0 , = −5

106

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

|z| = 5 m

1 2

Abb. 4.48B: System zur Aufgabe 4.48

stationäre, eindimensionale Strömung reibungsfreier Ausflussvorgang Wasser ist inkompressibel = 0 =0

keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit Geschwindigkeit

=0

Zu a) Berechnung des Druckes : Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt . (4.63)

+

+

=



+

+

= ℎ = ℎ+

=

+

+ +

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

∙ − ∙

+

,

+

+ +

=

−

=



. (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form in die differentielle Form der gibt

=

+

∙

. (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, er-



= ℎ+

+

−



= ℎ+

+

−(



= ℎ−

−

∙

+

)+

)

∙

+

Mit . (4.32) ℎ =

+ ( ∙ )=

+

∙

+

∙

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

107

gilt = ( ∙ )= = ∙ +

ℎ −

+ +

∆

=



∆

=



∙

+

∙

Bei dem reinen Strömungsprozess ist die am oder vom System verrichtete technische Arbeit definitionsgemäß gleich Null = 0 0 = ∙ ( − ) + ∆

+∆

0 = ∙ ( − ) + ∙ ( − ) + ∆ ∙ ( − ) = − ∙ ( − ) − ∆ Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte = oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

= =

=

=

∙

1

2

=

∙

=

∙

2

2





( − ) 2 1 = ( − ) 2 = ∙ ( − ) =

∆ ∆ ∆ ∙(



−

) = −∆

∙(



−

)=

−∆

∙(



−

1 − ) ) + ( 2



=0





=3



108

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik = 0 = −5 1 = − ∙ ∙ (− ) − + 2





=

∙

∙





= 10





= 49050

−



+

2

∙ 9,81





∙ 5

−

− 4500

10 2

∙9

+ 1

+ 1

= 1,45 Zu b) Berechnung der Druckveränderung bei geschlossenem und weiter geöffnetem Boden: 1. Boden geschlossen bedeutet: = 0 / , d.h. die Druckdifferenz wird allein durch die Höhe der Wassersäule bewirkt. 1 ∙ ( − ) = ∙ ( − ) + ( − ) 2 = = 0 ∙ ( − ) = ∙ ( − )



=− ∙



= −10



= 49050

∙



+



∙ 9,81 + 1

∙ (−5 ) + 1

= 1,49 2. Boden weiter geöffnet bedeutet: > 3 / . Je größer die Öffnung, umso mehr sinkt der Druck ab. Für den Behälter ohne Boden ist = . Aufgabe 4.49 Wie groß ist der Einfluss der Erdrotation auf die Arbeit je Wasser, die eine Pumpe verrichten müsste, um auf dem Äquator Wasser auf einen Turm von 300 Höhe bei Berücksichtigung der Luftdruck-Differenzen zu fördern? (Dichte der Luft = 1,29 / ist über der Höhe als konstant anzunehmen, Erdradius = 6378250 ). Gegeben: = 1,29 / = 6378250 = 6378250 Gesucht: ,

+ 300

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

109

Lösung 4.49 1. System: geschlossenes System (Punktmasse) 2

1

Abb. 4.49:

System zur Aufgabe 4.49

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung eindimensionale, stationäre Strömung reibungsfreier Vorgang Geschwindigkeitsänderung durch die Pumpe ist vernachlässigbar Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt + + = = + + . (4.63)

+

+

= ℎ = ℎ+

+

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

∙

+

,

+

=

−

+ = − ∙ + . (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form = + ∙ in die differentielle Form der . (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, ergibt = ℎ+ + −

= ℎ+



= ℎ−

Mit . (4.32) ℎ = gilt ℎ − ∙

−(

+ −

∙

)+

+ ( ∙ )=

= ( ∙ )= = ∙ + = ∙(

−

+ ∙ + )

+

+

)

∙

+ ∙ +

+ ∙

∙

110

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ∆

=



∆

=





,

=

∙( ∙

)+∆

−

+∆

Einfluss der Luftdruckdifferenz ∙(



−

=



−

= 1,29

−

= 3796,5

∙ (

−

)=

−



−

)

∙ 9,81

∙ 300

3796,5

=

= 3,8

10 1 = 1 ∙(

−

) = 3,8



2.4



Berechnung der Änderung der potentiellen Energie ∆ ohne Erdrotationseinfluss und ohne Beachtung der Luftdruckdifferenz: = ∙ ( − ) ∆ = 9,81

∆

Berechnung von ∆

,

∙ 300

∆

= 2943

∆

= 2943



(Erdrotationseinfluss):

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie ∆ kenden Drehmomente

über die am System wir-

,

= =

mit den differentiellen Drehgeschwindigkeiten eindimensionales Drehmoment

=



=

=

∙

∙

oder als resultierendes =

=

2

1



4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

111



,

=

,

=

∙

= ∙

∙

2





2

( − ) 2 Die Drehgeschwindigkeiten des Rotationsanteils der kinetischen Energie betragen ∆

Dabei ist

,

=

= = die Winkelgeschwindigkeit

⋅ ⋅

=2⋅ ⋅ Mit der Anzahl der Umläufe pro Sekunde (Frequenz ) 1 = 24 ⋅ 3600 folgt ∆

,

∆

,

∆

,

=

,

∆

,

(

−

)

( − ) ⋅ ( + ) 2 1 ( − )⋅( + ) = 2 = 300 = 12756800 1 =2⋅ ⋅ ⋅ (300 24 ⋅ 3600 = 10,12 / =

− + ∆

2

⋅ 12756,8

)

Berechnung der technischen Arbeit , mit Erdrotationseinfluss und mit Beachtung der Luftdruckdifferenz: +∆ , = ∙ ( − ) + ∆ ,

,

= 3,8

,

= 2960

+ 2943

+ 10,12



Das Verhältnis der spezifischen kinetischen Energie durch Erdrotation zur spezifischen technischen Arbeit beträgt damit ∆

, ,

=

10,12 2960

= 0,003

Der Einfluss der Erdrotation auf die technische Arbeit beträgt damit lediglich 0,3 %.

112

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Aufgabe 4.50

1

d1

c1

c2

d2

2

Abb. 4.50A: System zur Aufgabe 4.50

Durch ein konisches Rohr strömt reibungsfrei Wasser ( = 10 / = ). Die mittlere Eintrittsgeschwindigkeit im Querschnitt 1 beträgt = 0,2 / , der mittlere Druck im Eintrittsquerschnitt = 0,95 . Bestimmen Sie Druck und Geschwindigkeit im Querschnitt 2. Gegeben: ϱ = 10 kg/m = konst = 0,2 / = 0,95 Gesucht:

1 c1

2

d2

d1

Lösung 4.50 System: offen zwischen den Querschnitten 1 und 2

c2

Abb. 4.50B: System zur Aufgabe 4.50

1.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

2.

Modellbildung Flüssigkeit ist inkompressibel = Stationäre Strömung, d. h. keine Massenänderung im System, rausströmende Masse gleich reinströmende Masse Berechnung der Geschwindigkeit im Querschnitt 2, : Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . (4.68)

∙

∙ ∙

113 = ∙ ∙ = = = = = = = = ∙ = = = =

∙



4



4 ∙

0,10 0,25

= 0,2

∙

= 0,8



Berechnung des Druckes im Querschnitt 2, : 1. System: Systemwechsel! geschlossenes System (Punktmasse) 2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung Flüssigkeit ist inkompressibel = =0 keine Feldkräfte und keine Höhendifferenz ( ∙ = 0 (keine technische Einrichtung)

= 0)

Druck im Querschnitt 2, Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt + + = = + . (4.63)

+

+

= ℎ = ℎ+

+ +

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

∙

+

,

+

=

−

− ∙ + + = . (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form

=

+

∙

114

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik in die differentielle Form der . (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, ergibt = ℎ+ + −

= ℎ+



= ℎ−

Mit . (4.32) ℎ = gilt ℎ −

−(

+ −

∙

)+

+ ( ∙ )=

= ( ∙ )= = ∙ +

+

+

+ ∙ +

)

∙

+ ∙ +

+

∙

∙

= 0 Bei dem reinen Strömungsprozess ist die am oder vom System verrichtete technische Arbeit definitionsgemäß gleich Null = 0 ∙ ∆

= ∙(

)

−

=



0 = ∙ ( − ) + ∆ Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

= =

∆ ∆ − ∙(



−

− ∙(



−

=

2

=

∙

= ∙

∙

2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2 )=∆ 1 ) = ( − ) 2 =

1

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

115



= 0,2





= 0,8



1 =



=− ( 2





= −10





= −600

)+

−

∙ 0,64



− 0,04

+ 0,95

+ 0,95 1





=1

= 10

2.4

= −0,006 + 0,95 = 0,94

Aufgabe 4.51 Durch ein sich verengendes Rohr (Durchmesser des Eintrittsquerschnittes 800 , Durchmesser des Austrittsquerschnittes 600 ) fließen reibungsfrei stündlich 36 Flüssigkeit ( = 900 / ). a) Wie groß ist die Geschwindigkeit in beiden Querschnitten? b) Wie groß ist die Druckänderung in der Strömung? Gegeben: = 0,9 ∙ 10 = 0,8 = 0,6 3

= 36 ∙ 10

/

=

/ℎ

Gesucht:

∆

Lösung 4.51 1. System: geschlossenes System (Punktmasse) 2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Rohrwandung

3.

Modellbildung Flüssigkeit ist inkompressibel =

116

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

1 2 1

Abb. 4.51:

2

System zur Aufgabe 4.51

Stationäre Strömung =0 Keine Feldkräfte und keine Höhendifferenz ( ∙ = 0) = 0 (keine technische Einrichtung) Massenerhaltungssatz für die eindimensionale stationäre Strömung Zu a) Berechnung der Geschwindigkeit in beiden Querschnitten . (4.68) ∙ ∙ = ∙ ∙ =

= = = =



=



=



∙ ∙ 4 4∙ ∙ ∙ 4 ∙ 36 ∙ 10 /ℎ 0,9 ∙ 10 ∙ 0,64 ∙

= 2,21 = =



=



=



= = = =

∙ ∙ 4 4∙ ∙ ∙ 4 ∙ 36 ∙ 10 /ℎ 0,9 ∙ 10 ∙ 0,36 ∙

= 3,93

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

117

Zu b) Berechnung der Druckänderung in der Strömung ∆ : Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt . (4.63)

+

+

=



+

+

= ℎ = ℎ+

=

+

+ +

Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt . (4.37) −

+

∙ − ∙

,

+

+ +

=

−

=



. (4.37) für den reibungsfreine Prozess in der Form in die differentielle Form der gibt

=

+

∙

. (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, er-



= ℎ+

+

−



= ℎ+

+

−(



= ℎ−

−

∙

+

)+

)

∙

+

Mit . (4.32) ℎ =

+ ( ∙ )=

+

∙

+

∙

gilt ℎ −

= ( ∙ )=

+

=

+

∙

+

∙

+

∙

= 0 Bei dem reinen Strömungsprozess ist die am oder vom System verrichtete technische Arbeit definitionsgemäß gleich Null = 0 ∙

= ∙ ∆ =



0 =

∙∆ +∆

∆

Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte

=

118

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

=

=

∙

∙

1

2

=

∙

=

=

2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2 =

∆ ∆

− ∙∆ =∆



1 − ∙∆ = ( 2

−

)



= 2,21





= 3,93



1 = ∆ = ( 2 ∆ =

−

)

0,9 ∙ 10 2

∙ 4,88

− 15,44

∆ = −4752 1 ∆ = −0,048

=1

= 10

2.4

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

119

d1

d2

d1

z2

z1

z3

Aufgabe 4.52

Abb. 4.52A: System zur Aufgabe 4.52

Durch ein Rohr nebenstehender Anordnung ( = 10 ) strömt reibungsfrei Wasser ) ( = 0,1 / , = = 1 a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Höhe der Wassersäule in den drei Röhrchen und dem Flüssigkeitsdruck im Rohr ? b) Erklären Sie das Absinken der Wassersäule über dem verengten Querschnitt c) Die skizzierte Einrichtung ist geeignet, Flüssigkeiten aus tiefer liegenden Behältern zu saugen. Wie groß darf die Entfernung ∆ maximal werden, damit aus dem unteren Behälter noch Quecksilber ( = 13500 / ) abgesaugt werden kann? (Es ist ≫ ).

d1

zS

d1

c1

d2

H2O

pU

Hg

Abb. 4.52B: System zur Aufgabe 4.52

Gegeben: = 0,1 / = = 1 = 10



Gesucht: a) = (∆ ) b) Warum Absinken der Wassersäule über dem verengten Querschnitt c) ∆

120

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Lösung 4.52 1. System: geschlossenes System (Punktmasse)

2 1 Abb. 4.52C: System zur Aufgabe 4.52

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Rohrwandung

3.

Modellbildung stationäre, eindimensionale Strömung Wasser ist inkompressibel = reibungsfreier Vorgang =0 trotz Verengung keine Höhendifferenz annehmbar ( = 0 (keine technische Einrichtung)

= 0)

=0

keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit

Zu a) Funktioneller Zusammenhang = ( ) und . (4.63)

=

= (∆ ):

+

+

=

+

+

= ℎ = ℎ+

+

= 0 = 0 ℎ = 0 = = ,



=∆



Berechnung der Änderung der potentiellen Energie ∆ ∆

=

∙(



−

)

Technische Arbeit zur Berechnung der wirkenden Kräfte . (4.9)

=

∙

oder als resultierende Arbeit =

∙



+ +

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

121

mit den in Gleichgewicht stehenden Kräften = ∙

=

∙(

∙

= ( ) =

∙



) ∙

−

=

= (∆ ) =

∙

∙

∙∆

∙∆

∙



Zu b) Erklärung für das Absinken der Wassersäule über dem verengten Querschnitt: Vom Standpunkt eines zur Systemgrenze bewegten BZS gilt . (4.63)

+

+

=

+

+

= ℎ = ℎ+



=

+

+ +



Vom Standpunkt eines im System Punktmasse postierten Beobachters (ruhendes BZS) gilt mit . (4.37) −

∙

+

,

+

=

−



+ = . (4.37) − ∙ + für den reibungsfreien Prozess in der Form = + ∙ in die differentielle Form der . (4.63) für den reibungsfreien Prozess eingesetzt, ergibt = ℎ+ + −

= ℎ+



= ℎ−

−(

+ −

∙

+

)+

)

∙

+

Mit . (4.32) ℎ =

+ ( ∙ )=

+

∙

+

∙

gilt ℎ −

= ( ∙ )= = ∙ +

+ ∙ +

+

∙

= 0 Bei dem reinen Strömungsprozess ist die am oder vom System verrichtete technische Arbeit definitionsgemäß gleich Null = 0 ∙ ∆

= ∙( =

0 =

−

)

∙(

−

)+∆

122

4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Berechnung der Änderung der kinetischen Energie über die am System wirkenden Kräfte =



oder als resultierende eindimensionale Kraft =

=

∙

=

=

=

2

=

∙

=

=

∙

∙

2

2

( − ) 2 1 = ( − ) 2 =

∆ ∆ − ∙(



−

− ∙(



−

∙(



−

)=∆



1 )= ( 2 1 ) = ( 2

−

)

−

)
0, d. h.

folgt (

>

1



)

−

< 0, d. h.

erklärbar:
0 in Übereinstimmung mit dem 2. Hauptsatz Ergebnis ,

7

Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

Aufgabe 7.1 Es liegt ein reversibler, geschlossener Kreisprozess vor, bei dem dieser in vier Abschnitte unterteilt ist. In den einzelnen Abschnitten werden folgende Wärmen an einen Zylinder mit beweglichen Kolben zu- bzw. abgeführt: 12 = +21 34 = −13 23 = −25 41 = +30 a) Stellen Sie den Kreisprozess qualitativ im T,s-Diagramm dar b) Ermitteln Sie die abgegebene Prozessarbeit (Nutzarbeit des Kreisprozesses). Gegeben: =0 = +21 kJ = −25 kJ = −13 kJ = +30 kJ Gesucht: Zu a) , -Diagramm Zu b) Lösung 7.1 1. System: geschlossenes System

Abb. 7.1A: System zur Aufgabe 7.1

2.

Bezugssystem BZS ruht in der Wandung

3.

Modellbildung

230

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse quasistatische Zustandsänderung reibungsfreier Vorgang Zu a) Darstellung des Kreisprozesses im , -Diagramm, Abb. 7.1B T

2 1

4

3 s B

A

Abb. 7.1B:

, -Diagramm zur Aufgabe 7.1

Zu b) Berechnung der abgegebenen Prozessarbeit (Nutzarbeit des Kreisprozesses) . (7.9) (

) =

+

:

=0

= + . (7.10) − − = + bzw. − =∑ Summe aller zu- bzw. abgeführter Wärmen. Vorzeichen: Zufuhren (+) und Abfuhren (−) −

=

= +21 kJ − 25 kJ − 13 kJ + 30 kJ

= 13 = −13 Es wird bei diesem so genannten rechtsläufigen Prozess Arbeit gewonnen (negatives Vorzeichen für eine abgegebene Prozessgröße). Die gewonnene Arbeit ist betragsmäßig gleich der resultierenden Wärmezufuhr. −

Aufgabe 7.2 Für einen beliebigen Kreisprozess sind bekannt: | = 27 | | = 41 und | Wie groß ist die Prozessarbeit (Nutzarbeit des Kreisprozesses) im reibungsfreien Fall? Gegeben: =0 = +41 = −27 Gesucht:

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

231

Lösung 7.2 1. System: geschlossenes System

Abb. 7.2A: System zur Aufgabe 7.2

2.

Bezugssystem BZS ruht in der Wand des Zylinders

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderung keine kinetischen und keine potentiellen Energieänderungen Berechnung der Prozessarbeit (Nutzarbeit des Kreisprozesses) . (7.9) (

) =

+

:

=0

= + . (7.10) − − = + bzw. − =∑ Summe aller zu- bzw. abgeführter Wärmen. Vorzeichen: Zufuhren (+) und Abfuhren (−) − −

=

= +41 kJ − 27 kJ

= 14 = −14 p

T

wt

q

pU v

s

Abb. 7.2B:

, -Diagramm und , -Diagramm zur Aufgabe 7.2

Im reibungsfreien Fall ist die Fläche für im , -Diagramm. für = ∑

=∑

im , -Diagramm gleich der Fläche

232

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

Für den reibungsbehafteten Prozess würden dagegen folgende Beziehungen gelten: |

|=

∙

−|

|

| |=

∙

−|

|

Aufgabe 7.3 Dem Arbeitsmedium eines reversiblen rechtsläufigen Kreisprozesses wird vom oberen Wärmebehälter eine Wärme von 100 / zugeführt. Die abgegebene Leistung des Prozesses (Nutzleistung des Kreisprozesses) beträgt 10 . Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad und welche Energiemenge wird pro Sekunde an den unteren Wärmebehälter abgeführt? Gegeben: =0 = 100 / = −10 Gesucht:

Lösung 7.3 1. System: geschlossenes System, Zustandsänderungen sollen gedanklich nacheinander in einem Zylinder ablaufen

Abb. 7.3A: System zur Aufgabe 7.3

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderungen reibungsfreie Zustandsänderungen Schaltbild des Prozesses, Abb. 7.3B Berechnung des abgegebenen Wärmestroms . (7.9) (

+

) =

: =0

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

233

oberer Wärmebehälter

Turbine

Verdichter unterer Wärmebehälter

Abb. 7.3B: System zur Aufgabe 7.3

. (7.10) − −

= + = + =− − =−

−

= −(−10

) − 100 / 1

= −90

=1

2.4



Berechnung des thermischen Wirkungsgrades : | | = . (7.12) =

=

|

|

|

|

=

=

10 100

= 0,1

= 10 %

Aufgabe 7.4 Bei einem reversiblen linksläufigen Kreisprozess wird eine Wärme von 50 / aus dem zu kühlenden unteren Wärmebehälter dem Arbeitsmedium zugeführt. Wie groß ist die pro Sekunde aufzubringende Arbeit des Kreisprozesses, wenn an die Umgebung als oberem Wärmebehälter eine Wärme von 70 / abgeführt wird? Gegeben: =0 = +50 / = −70 / Gesucht:

234

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

Lösung 7.4 1. System: geschlossenes System, Zustandsänderungen sollen gedanklich nacheinander in einem Zylinder ablaufen

Abb. 7.4A: System zur Aufgabe 7.4

2.

Bezugssystem BZS ruht in der Wandung

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderungen reibungsfreie Zustandsänderungen Schaltbild des Prozesses, Abb. 7.4B Kondensator

Expansionsventil

oberer Wärmebehälter

Verdichter

unterer Wärmebehälter

Verdampfer Abb. 7.4B: System zur Aufgabe 7.4

Berechnung der Leistung (pro Sekunde aufzubringende Arbeit) des Kreisprozesses . (7.9) (

) =

+

:

=0

. (7.10) − −

= =

+ +

−

=

+

−

= +50

− 70

−

= −20



= +20



Positives Vorzeichen, da diese Arbeit des Kreisprozesses aufzubringen ist, d. h. dem System zugeführt wird (linksläufiger Kreisprozess).

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

235

Aufgabe 7.5 Ein rechtsläufiger reversibler Carnot-Prozess gibt eine Arbeit von 50 / Arbeitsmedium ab. Wie groß ist die spezifische Wärme, die dem Arbeitsmedium im oberen Behälter ( = 800 ) zugeführt werden muss, wenn die Temperatur der Umgebung als unterer Wärmebehälter = 300 beträgt? Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad? Gegeben: =0 = 800 = 300 = −50 / Gesucht:

Lösung 7.5 1. System: geschlossenes System, Zustandsänderungen sollen gedanklich nacheinander in einem Zylinder ablaufen

Abb. 7.5A: System zur Aufgabe 7.5

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderungen reibungsfreie Zustandsänderungen , -Diagramm des Prozesses, Abb. 7.5B T TO wt TU s ∆s Abb. 7.5B:

, -Diagramm zur Aufgabe 7.5

236

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse = −

Berechnung des thermischen Wirkungsgrades . (7.16)

=

: −

=

=1−

=1−

. (7.12) Berechnung der spezifischen Wärme zugeführt wird:

500 800 = 0,625 | | = = =1−

, die dem Arbeitsmedium im oberen Behälter



=



=

|

|



50 0,625

= 80



Aufgabe 7.6 p 2

1

Abb. 7.6A:

3

v

, -Diagramm zur Aufgabe 7.6

Der in der Skizze dargestellte reversible Kreisprozess soll berechnet werden. Der Anfangszu, = 0,2871 ) beträgt = 1,5 , = 30 ° , die stand der Luft ( = 0,718 Endtemperatur der adiabaten Verdichtung = 200 ° . a) Stellen Sie den Prozess im , -Diagramm dar. b) Bestimmen Sie die technische Arbeit des Kreisprozesses. c) Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad? Gegeben: =0 = 0,718 = 0,2871

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

237

= 1,5 = 30 ° = 200 ° Gesucht:

Lösung 7.6 1. System: geschlossenes System, Zustandsänderungen sollen gedanklich nacheinander in einem Zylinder ablaufen

Abb. 7.6B: System zur Aufgabe 7.6

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwand

3.

Modellbildung Zu a) Darstellung des Prozesses im , -Diagramm T 2

3

1 Abb. 7.6C:

s

, -Diagramm zur Aufgabe 7.6

Zu b) Berechnung der spezifischen Kreisprozessarbeit : 1  2 Isentrope (adiabate und reibungsfreie) Verdichtung . (5.24) , = ∙ ( − ) ,

= 0,718

∙ (473 − 303 )

,

= 122,1



238

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse

. (5.17)

=

. (4.85) ( ) =

( )+

. (5.15) = =

=

=

∙

+

= 1,4 ,

, 473 ∙ 303

= 1,5 = 7,13 2  3 Isotherme Entspannung . (5.40)

,

=− ∙

,

=− ∙ =

∙ ∙

= 473

= 7,13 =







= 1,5

,

=− ∙

,

= −0,2871

,

= −210,3



∙

∙ 473 ∙

7,13 1,5



3  1 Isobare Zustandsänderung . (5.67)



,

=− ∙(

−

)

,

=− ∙(

−

)

,

= −0,2871

,

= 48,8

∙ (303 − 473 )



Kreisprozessarbeit . (7.11) −

=

,

+

,

bzw. − =∑ , Summe aller zu- bzw. abgeführter spezifischen Volumenänderungsarbeiten. Vorzeichen: Zufuhren (+) und Abfuhren (−)

7 Anwendung des ersten Hauptsatzes auf Kreisprozesse −

=

,

=

−

=

,

= 122,1

−

= −39,4 = 39,4

,

+

3  1 Isobare

=0 =−

,

,

+

− 210,3

,

+ 48,8



Zu c) Berechnung des thermischen Wirkungsgrades | | = . (7.12) 1  2 Isentrope 2  3 Isoherme

239

:

>0

0

= 1848 = −1104

>0 0 in Übereinstimmung mit dem 2. Hauptsatz :

Zu b) Berechnung des Arbeitsfähigkeitsverlust . (8.49)



=

∙

=

∙

,



= 293 ∙ 0,87 = 254,9

Aufgabe 8.8 Welche Arbeitsfähigkeit hat Luft (ideales Gas:

= 0,7169

,

= 0,2871

) in einem

= 10 , = 100 ° , die in dem System Druckkessel Druckkessel ( = 2 ) bei keine Geschwindigkeit besitzt und keine Höhendifferenzen überwindet? (Umgebungszustand = 1 , = 20 ° ).

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

333

Gegeben: =0 = 2 = 0,7169 = 0,2871 = 10 = 1 = 100 ° = 20 ° Gesucht: ,

Lösung 8.8 1. System: geschlossenes System Systemgrenze

Umgebung

System: geschlossen

Abb. 8.8:

System zur Aufgabe 8.8

2.

Bezugssystem BZS ruht in Druckkesselwandung

3.

Modellbildung reibungsfreie Zustandsänderung =0 keine potentielle und keine kinetischen Energieänderungen

= 0,

Berechnung der Arbeitsfähigkeit der Luft in einem Druckkessel

,

=0

:

Es wird zur Ermittlung der technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. − . (8.37) , =

,

−

,

=

,

=

= −

+

,

2

− ∙(

,

−

−

−

, ,

)+

∙

∙(

∙( −

−

)

)

334

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (8.38)

, ,

=

∙(

− ,

. (8.39)

,

=

−



,

=

−

+ 2 ∙

∙(

+

)−

−

+

∙(

−

)−

−

)+

∙

∙(

∙(

2

) ∙( ∙(

)

− −

)

)

−

∙(

−

) = 0

∙(

−

) = 0



=

,

−

∙(

+

)−

−

∙(

−

)

Für ideale Gase gilt: . (4.76) ( ) = =

∙



=

∙

∙

=

∙

=

∙

∙(

−

)

=

∙

∙(

−

)+

−

=

∙

+

∙

−

=

∙

+

∙

=

∙

∙(

−

)+

∙

∙

− . (5.9)

=

,

,



− . (2.21) ∙



∙

∙(

−

∙( +

−

∙

=

∙ ∙



0,2871

∙ 2 ∙ 373

)

)



1 = 18,68

−

∙

∙

10

∙(



=

=

)−



= 10

2.4

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (2.21) ∙

= =

=

∙ ∙

∙ ∙

335



18,68

∙ 0,2871

∙ 293

1



1

= 15,7 = ∙ ∙( − )+ ∙ ( − )

,

−

2.4

= 10

∙

∙

= 18,68

,

+1 ∙ 0,7169

∙

+

∙ (373 − 293 )

∙ 0,7169 ∙ (2

∙

− 15,7 373 ∙ 293

) − 293 ∙ 18,68 + 0,2871 1

,

= 1070

− 1370

,

= 2000

∙ = 10

∙ 2 15,7 2.4

+ 2300

Aufgabe 8.9 Ein Torpedo mit Gasantrieb wird mit komprimierter Luft (ideales Gas:

= 0,2871

)

angetrieben. Welche Arbeit könnte man günstigstenfalls aus dem Gasdruckbehälter ( = = 200 gewinnen, wenn der Umgebungszustand = 1 , = 0,5 ) mit 15 ° , die Temperatur des Wassers und des Torpedos ebenfalls 15 ° betragen? Die in der Realität auftretende Abkühlung eines Gases bei der Expansion, die die Antriebe von reinen Drucklufttorpedos vereisen lassen kann, wird hier vernachlässigt. Es wird zur Vereinfachung der Rechnung eine isotherme Expansion vorausgesetzt. Gegeben: =0 = 0,5 = 0,2871 = 200 = 1 = =

= 15 ° =

336

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

Gesucht: ,

Lösung 8.9 1. System: geschlossenes System Windkessel System Windkessel Abb. 8.9:

System zur Aufgabe 8.9

2.

Bezugssystem BZS ruht in Windkesselwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas reibungsfreie Zustandsänderung =0 keine potentielle und keine kinetischen Energieänderungen isotherme Zustandsänderung

= 0,

=0

=0

Berechnung der Arbeit, die günstigstenfalls aus dem Gasdruckbehälter gewonnen werden kann (technische Arbeitsfähigkeit) , : Es wird zur Ermittlung der technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. − . (8.37) , =

,

. (8.38)

−

,

=

,

=

−

+

=

∙(

− ,

, ,

=

. (8.39)

,

=

−



,

=

−

+ 2 ∙

2

∙(

−

,

2

∙(

−

,

)+

−

−

, ,

∙(

−

)

∙(

−

)

∙(

−

)

∙

) +

∙(

−

)−

+

∙(

−

)−

−

)+

∙

∙(

∙(

−

)

)

−

∙(

−

) = 0

∙(

−

) = 0



,

=

−

+

∙(

−

)−

∙(

−

)

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (2.21) ∙

337

=

∙ ∙ ∙ = ∙ 200 ∙ 0,5 = 0,2871 ∙ 288 1 = 121

. (2.21) ∙

= =

=

∙ ∙ 121

2.4

= 10

2.4

∙ ∙

∙ 0,2871

∙ 288

1

1

= 100

= 10



Für ideale Gase gilt: . (4.76) ( ) =

− − ,

. (5.8)

=

= =

∙ ∙

=

∙

∙

= ∙ ∙ ( − ) = = = 0 = ∙ ( − ) − ∙ ( − )

−

=

∙

−

∙

−

=

∙

−

∙

=

=

−







=− ∙



,

=

∙(

−

)−

∙

∙(

,

=

∙(

−

)+

∙

∙

− ∙

)

338

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen ,

∙ (0,5

= 1

+288 ∙ 121

− 100 ∙ 0,2871

) ∙ 1

,

= −9950

,

= 43050

200 1 = 10

2.4

+ 53000

Aufgabe 8.10 Ein ideales Gas

: = 4,1243

,

= 10,09

wird kontinuierlich vom Zustand 1

, = 800 ) auf folgendem Weg reversibel in den Zustand 2 ( = ( = 20 10 , = 400 ) gebracht. Man geht isotherm bis zu einem Zustand 1* mit ∗ = und dann isentrop bis 2. (Umgebungszustand ist = 1 , = 300 ). a) Wie groß ist bei diesem Prozess die Änderung der technischen Arbeitsfähigkeit? b) Stellen Sie den Vorgang im , -Diagramm dar. Gegeben: =0 = 4,1243 = 10,09 = 20 = 10 = 1 = 800 = 400 = 300 Gesucht: ∆ Lösung 8.10 1. System: geschlossenes System (Strömungsteilchen) Strömungsteilchen

1

1‘

Abb. 8.10A: System zur Aufgabe 8.10

2

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen 2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung stationäre, eindimensionale Strömung (kontinuierlich) ideales Gas keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energien

339

= 0,

=0

Zu a) Berechnung der Änderung der spezifischen technischen Arbeitsfähigkeit ∆ : Es wird zur Ermittlung der technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. . (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

− ,



,

. (8.38)

− , ,

− =

. (8.39)

,

=

−



,

=

−

+ 2 ∙

2

−

,

2

∙(

−

,

)+

−

∙

−

)

∙(

−

)

∙(

−

)

) ∙(

+

−

)−

+

∙(

−

)−

−

)+

∙

∙(

∙(

∙(

−

, ,

∙(

−

)

)

−

∙(

−

) = 0

∙(

−

) = 0

. (4.32) ℎ = =

+ =

∙( ∙ )= + ∙ +

∙

ℎ=

+

∙



=

+

∙



−

∙(

−

)

−

∙(

−

)

+

∙(

−

)−

,

=

−

∙(

−

)

,

=ℎ −ℎ −

∙(

−

)

,

=ℎ −ℎ −

∙(

−

)

−

= ,

∆

−

=

=

− −

,

−

,

=ℎ −ℎ −

∙(

∙(

−

−

)

)

340

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen Für ideale Gase gilt: . (4.77) ( ) =



ℎ

ℎ=

∙

ℎ=

∙

. (5.9)

−

=



∙(

ℎ −ℎ =

∙

−

=

∙

∆

=

∆

=

∆

) +

∙

=

=

. (4.85) ( ) =

−

∙

. (2.27) =

−

ℎ

=

+ −

,

,

∙

∙

=ℎ −ℎ −

∙(

∙(

−

)

∙

−

=

∙

+

)

−

∙

∙

( )+

= 10,09

+ 4,1243

= 14,21



= 14,21

∙ (800 − 400 ) − 300 ∙

∙ 10,09

∙

800 400



+ 4,1243

∙

∆

= 5640

− 2080

∆

= 3560





Zu b) Darstellung des Vorganges im , -Diagramm, Abb. 8.10B:

10 20

∙

800 400

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen T

1‘

T1

T2

341

1

2

TU

G

Abb. 8.10B:

G Gleichgewichtszustand

s

, -Diagramm zur Aufgabe 8.10

Aufgabe 8.11 Einem mit Luft 10

,

= 1,004

,

= 0,718

gefüllten Zylinder (Zustand 1:

= 400 ) wird bei konstantem Volumen eine Wärme

= 68,5

=

zugeführt

, = 27 ° ). ( = 1 und , im , -Diagramm dar a) Stellen Sie b) Wie groß ist die spezifische Arbeitsfähigkeit im Zustand 2, , ,wenn man mit dem Zylinderinhalt eine einmalige Zustandsänderung durchführt? c) Wie groß ist die Änderung der spezifischen Arbeitsfähigkeit ∆ ? Was kann man über die spezifische Arbeitsfähigkeit , sagen? d) Stellen Sie , im , -Diagramm dar. Gegeben: =0 = 68,5 = 1,004 = 0,718 = 10 = 1 = 400 = 300 Gesucht: ,

∆ ,

342

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

Lösung 8.11 1. System: geschlossenes System

Abb. 8.11A: System zur Aufgabe 8.11

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderung ideales Gas keine Änderung der potentiellen Energie

=0

und der Änderung der spezifischen ArZu a) Darstellung der spezifischen Wärme beitsfähigkeit , im , -Diagramm, Abb. 8.11B: T

2

1

T1

q12 01230

TU

0

3

G

eq12

G Gleichgewichtszustand

s Abb. 8.11B:

und

,

im , -Diagramm

Zu b) Berechnung der spezifische Arbeitsfähigkeit im Zustand 2,

,

:

Es wird zur Ermittlung der technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. Zustandsänderung 2  3  G . (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

−



,

. (8.38)

− , ,

− =

−

,

2

∙( )

,

−

−

−

, ,

)+

∙

∙(

∙( −

−

)

)

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (8.39)

,

=

−



,

=

−

+ 2 ∙

2

∙(

+

,

∙(

−

343

)−

+

∙(

−

)−

−

)+

∙

∙(

∙( ∙(

)

− −

)

)

−

∙(

−

) = 0

∙(

−

) = 0



,

=

−

+

∙(

−

)−

∙(

−

)



,

=

−

+

∙(

−

)−

∙(

−

)



,

=

−

+

∙(

−

)−

∙(

−

)

2  3 Isentrope Zustandsänderung: . (5.5)



(

)∙

−

=

−

=

−

=



−

−

∙



(

=

−

)∙

−

−

∙

3  G: Isotherme Zustandsänderung: = −



=− ∙



Für ideale Gase gilt: . (4.76) ( ) =

−

=

=

∙



=

∙

=

∙(

)

−

Berechnung der Zustandsgrößen in 2:

,

,

1  2: Isochore Zustandsänderung: . (5.53)



= = =

=

∙

( )∙

344

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen )

=

∙(

−

=

+



= 400 +

68,5 0,718



= 500 . (2.27) =

=

=



=

∙



= 10

∙

= 12,5 . (2.27) = = . (4.85) ( ) = =

500 400

= ∙



( )+ −

= 0,2871

= 0,2871 ∙

500 12,5

1

= 0,128



Berechnung der Zustandsgrößen in 3: 2  3: Isentrope Zustandsänderung: . (5.17)

= =



=

∙



=



= 10

2.4

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

345

. (5.15) = , 300 500

= 12,5

∙

= 2,51 Berechnung der Zustandsgrößen in G: . (2.27) = ∙

=

=

∙ ∙

=

=



0,2871

∙ 300



1

1 = 0,96

,



=

−

∙(

,

=

,

= 0,718 +1

,

−

,

)−

−

)+

∙(

∙(

−

)

−

1

= 10

)+

∙

∙

∙ (500 − 300 ) ∙ 0,128

= 137

:

∙(

+

+300 ∙ 0,718

− 83,2

− 0,96 ∙

2,51 1

+ 88,2

= 142



Zu c) Berechnung der Änderung der spezifischen Arbeitsfähigkeit ∆ : . (8.17)

=

∆

=

1− =

2.4



Spezifische Arbeitsfähigkeit im Zustand 2,

= 10



=

1−



− =

−

2.4

346

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen 1  2: Isochore Zustandsänderung: . (5.53)

=

( )∙

=

=





=

∙





=

∙



∆

=

∙

−

∆

=

∙(

∆

= 0,718

−

∙

)−

∙ ∙

= 23,7

∙



∙ (400 K − 300 K)

−300 ∙ 0,718 ∆



500 400

∙



Für die isochore Zustandsänderung 1  2 gilt: ∆ =

−

=

∙

∙(

−

)−



Der 2.Teil der Gleichung ∆

=

ist also im , -Diagramm die Fläche

∙(

∙ −

∙



).

Von 1  2 wird Wärme zugeführt. Die spezifische technische Arbeitsfähigkeit im Zustandspunkt 1 muss also ,

=

,

= 142

,

− ∆

betragen: − 23,7

= 118,3



8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen Zu d) Darstellung der spezifischen technische Arbeitsfähigkeit p p2

TU T1

T2

0

T2 T1

3 G Gleichgewichtszustand

Abb. 8.11C:

im , -Diagramm:

eg,2

p3 pU

,

2

1

p1

347

,

G

TU

v

im , -Diagramm

Aufgabe 8.12 In einer Pressluftleitung (

= 6

) strömt Luft (ideales Gas,

= 0,2871

) mit der

= 2 . Die Lufttemperatur ist gleich der Umgebungstemperatur. Die Geschwindigkeit Leitung ist an einer Stelle undicht und es strömen dort stündlich 0,5 Luft aus. Wie groß ist der Verlust an Arbeitsfähigkeit beim Entweichen der Luft? (Umgebungszustand: = 20 ° , = 1 ). Gegeben: =0 =2 = 0,5

ℎ

= 0,2871 = 6 = 1 = 20 ° = 20 ° Gesucht: Verlust an Arbeitsfähigkeit beim Entweichen der Luft entspricht der Arbeitsfähigkeit am Prozessanfang: ,

348

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

Lösung 8.12 1. System: geschlossenes System (Strömungsteilchen) G

G Gleichgewichtszustand

1

Abb. 8.12A: System zur Aufgabe 8.12

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas = =0 =0

keine Änderung der potentiellen Energie

Berechnung des Verlustes an Arbeitsfähigkeit beim Entweichen der Luft

,

:

Es wird zur Ermittlung der technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. T p1

TU

pU

1

G

G Gleichgewichtszustand

Abb. 8.12B:

s

, -Diagramm zur Aufgabe 8.12

. (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

−



,

. (8.38)

− , ,

− =

−

,

2

∙( )

,

−

−

−

, ,

)+

∙

∙(

∙( −

−

)

)

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (8.39)

,

=

−



,

=

−

∙(

+

,

)−

−

∙(

+

349 ∙(

)−

−

)

−

∙(

−

)

∙( − )+ ∙ ∙( − ) 2 ∙ ∙ ( − ) = 0 . (4.32) ℎ = + ∙( ∙ )= + ∙ + ∙ = = +

ℎ=

+

∙



=

+

∙



− ,

= =

− − ∙(

+

,

=

∙( ∙(

− −

−

−

)− ∙(

−

) )

− −

∙( )+

−

)+

− 2

∙(

2

−

Für ideale Gase gilt: . (4.77) ( ) =

ℎ

ℎ=

∙

ℎ=

∙

ℎ

=



= ℎ − ℎ = 0 − = ∙ (ℎ − ℎ ) = 0 ,

∙ ( − ) 2

∙(

=− =

. (5.35)

−

=− ∙

−

=− ∙

−

=

∙(

−

)+

)=−

−

∙



,

=

∙

∙

∙

+



,

=

∙

∙

∙

+

=0

∙ 2 2



∙(

−

)

∙(

−

)



∙( )

−

)

350

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen



,

=

∙

∙

,

= 293 ∙ 0,5

,

= 75,3

,

= 75,3

ℎ ℎ

∙

+

ℎ

2

∙ 0,2871

+ 0,001

ℎ

∙

∙

6 1

+

0,5 2

ℎ ∙4





Aufgabe 8.13 Aus einem offenen Gasturbinenprozess steht ein Abgasstrom (Abgase = ideales Gas, = 1,26 ) mit = 150 ° , = = = 1 und = 80 zur Verfügung. Welche spezifische technische Arbeit kann aus dem Abgasstrom maximal gewonnen werden, wenn angenommen wird, dass = 20 ° beträgt? Gegeben: =0 = 1,26 = 80 = 1 = 1 = 1 = 150 ° = 20 ° Gesucht: ,

Lösung 8.13 1. System: geschlossenes System (Strömungsteilchen) 2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung maximal mögliche technische Arbeit (technischen Arbeitsfähigkeit) wird über eine reibungsfreie Prozessführung = 0 gewonnen Wärmeübertragung erfolgt bei = = ideales Gas kontinuierliche, eindimensionale Strömung =0 keine Änderung der potentiellen Energie

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen Berechnung der spezifischen technischen Arbeitsfähigkeit

,

351 :

Es wird zur Ermittlung der spezifischen technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. . (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

− ,



,

−

. (8.38)

, ,

− =

. (8.39)

,

=

−



,

=

−

−

,

∙(

2

−

,

)+

−

∙(

−

, ,

∙

)

−

∙(

−

)

∙(

−

)

) ∙(

+

∙(

+

)−

−

)−

−

∙(

−

)

∙( − )+ ∙ ∙( − ) 2 ) = 0

+ ∙

∙(

−

. (4.32) ℎ =

+

=

=

∙( ∙ )=

+

∙

+

∙



ℎ=

+

∙



=

+

∙



− ,

=

−

−

∙(

−

)

=

−

−

∙(

−

)

+

∙(

)−

−



,

=

−

∙(

−



,

=ℎ −ℎ −

∙(

−

−

∙(

−

)+

2

)+

∙( − ) 2 1 )+ ∙( − ) 2

Für ideale Gase gilt: . (4.77) ( ) =

ℎ

ℎ=

∙

ℎ=

∙

ℎ −ℎ =

∙(

=

ℎ

−

∙(

)

−

)

352

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (5.8)

−

−

=

∙

=

=

=

∙

=0

− =





,

=

,

= 1,26

∙(

−

)−

= 163,8

∙

∙

+

2

∙ (423 − 293 )

−293 ∙ 1,26 ,

∙

∙

− 137,4

423 6400 + 293 2 6400 + 2 1 = 1

,

= 28,6

2.4



Aufgabe 8.14 Ein Luftstrom (

= 1,004

,

= 0,2871

) liegt im Zustand 1 (

= 15

,

=

700 ) vor. a) Wie groß ist die spezifische technische Arbeitsfähigkeit , in diesem Punkt, wenn der = 1 gegeben ist? Umgebungszustand mit = 27 ° , b) Mit einem Luftstrom vom selben Zustand 1 wird folgende Zustandsänderung durchgeführt: Die Zustandsänderung wird isotherm bis zu einem Punkt 2 mit = und dann adiabat und reibungsfrei bis zum Umgebungszustand vorgenommen. Wie groß ist die dabei erreichte technische Arbeit ? c) Wie erklären Sie sich den Unterschied zur technischen Arbeitsfähigkeit , ? Wie hätten Sie diesen Unterschied auch noch berechnen können? Gegeben: =0 = 1,004 = 0,2871 = 15 = 700 = 27 ° = 1

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

353

Gesucht: , ,

Lösung 8.14 1. System: geschlossenes System (Strömungsteilchen) geschlossenes System (Strömungsteilchen) Abb. 8.14A: System zur Aufgabe 8.14

2.

Bezugssystem BZS ruht in Rohrwandung

3.

Modellbildung Luft: ideales Gas stationäre Strömung keine Änderung der potentiellen und kinetischen Energien

= 0,

=0

reibungsfreie Zustandsänderungen Prozessführung im , -Diagramm, Abb. 8.14B: T 2

1

T1

TU G Abb. 8.14B:

G Gleichgewichtszustand

s

, -Diagramm zur Aufgabe 8.14

Zu a): Berechnung der spezifischen technischen Arbeitsfähigkeit

,

:

Es wird zur Ermittlung der spezifischen technischen Arbeitsfähigkeit angenommen, dass die Luft eine einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ausführt. . (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

−



,

. (8.38)

− , ,

− =

−

,

2

∙( )

,

−

−

−

, ,

)+

∙

∙(

∙( −

−

)

)

354

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (8.39)

,

=

−



,

=

−

∙(

+

,

∙(

+

)−

−

)−

−

∙(

)

−

∙(

)

−

∙( − )+ ∙ ∙( − ) 2 ) = 0

+ ∙

∙( − m ∙ (c − c ) = 0 2

. (4.32) ℎ =

+

=

=

∙( ∙ )=

+

∙

+

∙



ℎ=

+

∙



=

+

∙



− −

∙( ∙(

− −

) )

+ − − , =

∙( ∙(

− −

)− ∙( )

=ℎ −ℎ −

∙(

−

)

− ,

,

= =

− −

)

−

Für ideale Gase gilt: . (4.77) ( ) = ℎ=

∙

ℎ=

∙

ℎ −ℎ = . (5.8)



ℎ

ℎ

=



∙(

)

−

−

=

∙

−

∙

−

=

∙

−

∙

−

= 1,004

−

= 0,0732 ,



=

∙(

= 1,004

,

,

= 379,6



700 300

∙

− 0,2871

∙

15 1

−

)−

∙(

−

)

∙ (700 − 300 ) − 300 ∙ 0,0732

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen Zu b): Berechnung der spezifischen technischen Arbeit

,

355

für den Verlauf 1  2  G:

1  2: Isotherme Zustandsänderung: = = =− ,

. (5.46) . (5.49) ,

= ∙( − ) = = − ∙ ( − ) = ∙ ( − )

,

= 700 ∙ 0,0732

,

= 51,24





2  G: Isentrope Zustandsänderung: = . (5.30)



,

=ℎ −ℎ =

,

=

,

= 1,004

∙ (300 − 700 )

,

= −401,6



∙(

∙(

−

)

)

−

1  G: ,

=

+

,

= −401,6

,

= −350,36

,

,

+ 51,24





Zu c): Erklärung des Unterschiedes zwischen spezifischer technischen Arbeitsfähigkeit , und spezifischer technischer Arbeit , : Der Unterschied zwischen spezifischer technischer Arbeitsfähigkeit ,

−

,

= 379,6

− 350,36

= 29,24

,

und

,

beträgt:



Diese Differenz ist eindeutig die spezifische technische Arbeitsfähigkeit der Wärme von 1  2, also , . Diese kann auch wie folgt berechnet werden: Spezifische Arbeitsfähigkeit . (8.17)

=

∆

=

,

: 1− =



=

1−



− =

−

356

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen . (5.10)

=

∆

=

∆ ∆

∙ =

1−



=

−

= e = (T − T ) ∙ (s − s ) =

= (700 − 300 ) ∙ 0,0732

= 29,28

Aufgabe 8.15 a) Welche technische Arbeitsfähigkeit besitzt ein Stein von 1 Masse auf einem Turm von 100 Höhe gegenüber dem Erdboden? b) Welche technische Arbeitsfähigkeit besitzt er in dem Moment, da er gerade auf der halben Höhe des Turmes vorbeifliegt? (Vorgang reibungsfrei). Gegeben: =0 = 1 Zu a) = 0

Zu b)

=0 = 100 = 0 =0 =0 = 50 = 0

Gesucht: Zu a) , Zu b)

,

Lösung 8.15 1. System: geschlossenes System Stein (Punktmasse)

50 m

1

50 m

2

G Abb. 8.15:

G Gleichgewichtszustand

System zur Aufgabe 8.15

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen 2.

Bezugssystem BZS ruht in Erdoberfläche

3.

Modellbildung adiabate Zustandsänderung =0 =0 reibungsfreie Zusatandsänderung = = = , d. h. =0

357

=0 Zu a): Berechnung der technischen Arbeitsfähigkeit des Steins von 100 über dem Erdboden , :

Höhe gegen-

1  G einmalige Zustandsänderung bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung . (8.37)

,

=



,

=

,

=

−

+

=

∙(

−



,

−

. (8.38)

, ,

− =

. (8.39)

,

=

−

,



,

=

∙(

−

+

2

∙(

−

,

2

∙(

,

− )+

−

∙(

−

, ,

∙

−

)

∙(

−

)

) +

∙( )+

−

)+

)−

− ∙

∙(

−

)−

∙

∙(

−

)

=

=

∙

=

∙



− = ∙( − 1  G Isotherme Zustandsänderung

)

∙(

Für ideale Gase gilt: . (4.77) ( ) =

−

)

= − = 0 1  G Isochore Zustandsänderung − = 0 Größen für die Berechnung der kinetischen und potentiellen Energien: = 0 = 0 = 100 = 0

∙(

−

)

358

8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

,

=

∙(

+

−

∙(

,

2 = ∙

,

= 9,81

,

)+ )+

− ∙(

∙(

−

)−

∙

∙(

−

)

∙(

−

)

)

−

∙ 1

∙

∙ 100

= 981

= 981

Zu b): Berechnung der technischen Arbeitsfähigkeit des Steins von 50 über dem Erdboden , :

Höhe gegen-

2  G einmalige Zustandsänderung von 2 bis zum Gleichgewicht mit der Umgebung ∙ ∙( − )− ∙( − ) , = ∙ ( − ) + +

2

∙(

−

)+

∙

∙(

)

−

∙( − )+ ∙ ∙ − 2 2 Größen für die Berechnung der kinetischen und potentiellen Energien: ,

=

= 0 = 50 = 0 . (4.65)

,

+

+

,

+

=ℎ −ℎ +

+

=ℎ −ℎ +

,

+

,

− 2 − 2

+

∙(

−

)

+

∙(

−

)

2  G adiabate Zustandsänderung = 0 2  G reibungsfreie Zustandsänderung = 0 , 2  G isobare Zustandsänderung . (4.48)

,

=

∙





,

=

∙



,

= 0 = 0

2  G isotherme Zustandsänderung =



8 Anwendung des zweiten Hauptsatzes auf Energieumwandlungen

359

Für ideale Gase gilt: ℎ

. (4.77) ( ) = ℎ=

∙

ℎ=

∙



ℎ=

∙



+



∙(

ℎ −ℎ =

,

ℎ

=

)

−

ℎ − ℎ = 0 − + =ℎ −ℎ + + ∙ ( − ) , 2 − = ∙ ( − ) 2 =

2 = 0 − = 2

∙ −

∙

∙



2 ,

=



2

2 ∙( − )+ ∙ ∙( − )−

=

+

2

∙

∙(

∙(

−

∙(

∙

)+

∙

∙

∙

∙

−

=

,

=

∙

∙

,

=

∙

∙

,

= 981

2

+

2

−

)

,

2

−

)+



2

∙(

−

)

9

Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Aufgabe 9.1 Eine 2 große und 1 dicke Stahltür verschließt einen geheizten Raum. Auf der Innen= −5 ° . Welche Wärme seite beträgt die Temperatur = 10 ° , auf der Außenseite wird pro Stunde durch die Tür geleitet, wenn der Wärmeleitkoeffizient von Stahl = 58 beträgt? Gegeben: = 2 = 1

= 10 ° , = 283 = −5 ° , = 268 = 58 Gesucht:

Lösung 9.1 1. System: geschlossenes System

ti ta δ Abb. 9.1:

System zur Aufgabe 9.1

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung Oberflächentemperaturen bleiben konstant Stationäre Wärmebertragung

362

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Berechnung des Wärmestroms durch die Tür : . (9.10) =

(

−

)

=

(

−

)

=

∙

=

=

58

= 174

∙ ∙ 2

∙(

)

−

∙ (283 − 258 ) 0,01

= 6,3 ∙ 10

ℎ

Aufgabe 9.2 Eine 5 große Tür eines Kühlraumes besteht aus 3 Schichten, einer 0,5 dicken Stahlschicht ( = 58 ), einer 20 dicken Schicht aus Glaswolle ( = 0,04 ) und erneut aus einer 0,5 dicken Stahlplatte. Wie groß ist die stündlich in den Kühlraum durch die Tür eindringende Wärme, wenn die Oberflächentemperatur auf der Innenseite = −30 ° , auf der Außenseite = 20 ° beträgt? Gegeben: = 5 = 1

= −30 ° , = 243 = 20 ° , = 293 = 58 = 0,04 = 58 Gesucht:

Lösung 9.2 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung Oberflächentemperaturen bleiben konstant

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

363

Stationäre Wärmeübertragung ta ti

δ1

Abb. 9.2:

δ2

δ1

System zur Aufgabe 9.2

Berechnung des Wärmestroms durch die Tür : − . (9.15) = + + −

=

=

=

+ ∙

+ =

∙( +

−

)

+

∙ (293 − 243 ) 0,2 0,005 + + 0,04 58

5 0,005 58

= 50 = 180

ℎ



Aufgabe 9.3 Welche Wärme gibt ein Raum je Fensterfläche a) durch ein einfach verglastes Fenster (Glasstärke = 6 ) b) durch ein modernes doppelt verglastes Fenster (jeweilige Glasstärke schicht = 5 ) nach außen ab? Wie groß sind die Temperaturen auf der Glasoberfläche Folgende Werte sind bekannt: Raumtemperatur = 0,756 −15 ° , Wärmeleitkoeffizient Glas = 0,307 5,82

.

= 3

, Luft-

, in beiden Fällen a) und b)? = 18 ° , Außentemperatur = , Wärmeleitkoeffizient Luftschicht

, Wärmeübergangskoeffizient auf der Innen- und Außenseite jeweils

=

364

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Gegeben: = 6 = 3 = 5

= 18 ° , = −15 ° ,

= 291 = 258

= 0,756 = 0,307 =

=

= 5,82

Gesucht:

, ,

für a) für b)

Lösung 9.3 1. System: geschlossenes System ti

ti

.

.

q1

q2

ta

δD

δE Abb. 9.3:

System a)

δL

δD

System b) zur Aufgabe 9.3

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

3.

Modellbildung Stationärer Wärmeübertragungsvorgang = Reihenschaltung von thermischen Widerständen Zu a) Berechnung der Wärmeabgabe durch einfach verglastes Fenster: . (9.46) =

− 1

+∑

+

1

ta

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung . (9.48)

∆

=

∆ ∆ Tab. 9.3A:

ℎ

1

+

=

∆

=

∆

= ∆

∆





∑ ∆ ∑ = ∙ =

ℎ ∆ = in

in

Ü

Wärmeleitung Wärmeübergang

+

Ergebnisse des thermischen Energietransports bei einfacher Verglasung

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

1

=

= ∆

365

=

1

=

Ü

=

1

∙

Einzeltemperaturen in ° = +18,0

=

1 = 0,172 5,82

16,1

= +1,9

=

0,006 = 0,008 0,756

0,8

= +1,1

=

1 = 0,172 5,82

16,1

= −15,0

= +1,9 ° = 1,1 ° ∆

= 33,0 = 0,352



∑ ∆ ∑ 33,0 = 0,352

=

= 93,75



366

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Zu b) Berechnung der Wärmeabgabe durch doppelt verglastes Fenster: Tab. 9.3B:

Ergebnisse des thermischen Energietransports bei doppelter Verglasung ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

ℎ ∆ = in

in

Ü

=

1

∙

Einzeltemperaturen in ° = +18,0

=

1 = 0,172 5,82

11,0

= +7,0

Wärmeleitung

=

=

0,003 = 0,004 0,756

0,25

= +6,75

Wärmeleitung

=

=

0,050 = 0,163 0,307

10,5

= −3,75

Wärmeleitung

=

=

0,003 = 0,004 0,756

0,25

= −4,0

=

1 = 0,172 5,82

11,0

= −15,0

Wärmeübergang

Ü

=

1

= +7,0 ° = −4,0 ° ∆

= 33,0 = 0,515



∑ ∆ ∑ 33,0 = 0,515 =

= 64,08

=



64,08 / 93,75 /

= 0,684

Lediglich 68,4 % des Wärmestroms eines einfach verglasten Fenster doppelt verglasten Fenster hindurch.

gehen beim

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

367

Aufgabe 9.4 Die Wand eines Kühlraumes besteht aus folgenden Schichten: ),

0,3

Blech ( = 60

25

Isoliermaterial ( = 0,04

25

Ziegelwand ( = 0,7

1

Putzschicht ( = 0,8

),

), ).

= 20 ° und die Temperatur im Kühlraum beträgt Die Außentemperatur beträgt = −10 ° , der Wärmeübergangskoeffizient innen = 6 und außen = 3,5 . a) b)

Zeichnen Sie qualitativ den Temperaturverlauf durch die Wand. Welche Wärme dringt stündlich je m² Wand in den Kühlraum ein?

Gegeben: = 0,3 = 25 = 25 = 1 = 60 = 0,04 = 0,7 = 0,8

= 20 ° , = −10 ° ,

= 293 = 263

=6 = 3,5 Gesucht:

Lösung 9.4 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zur Systemgrenze

368

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung P

Z

I

B P Putzschicht

ta

Z Ziegelwand I Isoliermaterial B Blech

ti Abb. 9.4:

3.

System zur Aufgabe 9.4

Modellbildung Reihenschaltung der thermischen Widerstände stationärer Vorgang Zu a) Qualitativer Temperaturverlauf durch die Wand: Siehe Abb. 9.4 Zu b) Berechnung der stündlich in den Kühlraum eintretenden Wärme : − . (9.46) = 1 1 +∑ + . (9.48)

∆

=

1

+

+

1

=



=

∆

=

∆

= ∆

∆

=

∆

=

∆

= ∙

∆





∑ ∆ ∑

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Tab. 9.4:

Zusammenstellung der Ergebnisse des thermischen Energietransports ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

369

ℎ ∆ = in

in

Ü

=

1

∙

Einzeltemperain ° turen = +20,0

=

1 = 0,167 6

0,7

= +19,30

Wärmeleitung

=

=

0,01 = 0,013 0,8

0,1

= +19,2

Wärmeleitung

=

=

0,25 = 0,357 0,7

1,5

= +17,7

Wärmeleitung

=

=

0,25 = 6,250 0,04

26,5

= −8,8

Wärmeleitung

=

=

0,003 = 0,000 60

0,00

= −8,8

=

1 = 0,286 3,5

1,2

= −10,0

Wärmeübergang

Ü

=

1

= +19,3 ° = −8,8 ° ∆

= 30,0 = 7,073



∑ ∆ ∑ 30,0 = 7,073 =

= 4,24 = 4,24 = 15,3

∙ ℎ∙



370

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Aufgabe 9.5 In einem Behälter mit ebenen Wänden befindet sich Dampf mit einer Temperatur von 99,1 ° . Die Wände des Behälters bestehen aus Stahlblech von 3 Stärke und sind mit einer Isolierschicht von 25 versehen. Die Temperatur der umgebenden Luft beträgt 20 ° . Folgende Größen sind desweiteren gegeben: = 1,16 ∙ 10 = 17,5 = 52,4 .

a) b) c)

= 0,14

Wie groß ist die Wärmedurchgangszahl ? Welche Wärme wird stündlich je m² Oberfläche an die Raumluft abgegeben? Berechnen Sie die Grenztemperaturen der einzelnen Schichten und zeichnen Sie qualitativ den Temperturverlauf zwischen Dampf und Umgebungsluft.

Gegeben: = 0,3 = 25 = 25 = 1 = 60 = 0,04 = 0,7 = 0,8 = 20 ° , = −10 ° , =6 = 3,5 Gesucht:

= 293 = 263

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

371

Lösung 9.5 1. System: geschlossenes System

ti

ta

Abb. 9.5A: System zur Aufgabe 9.5

ti

ta Abb. 9.5B: System zur Aufgabe 9.5

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung stationäre Wärmeübertragung Reihenschaltung von thermischen Widerständen Zu a) Berechnung der Wärmedurchgangszahl : − . (9.46) = 1 1 +∑ + . (9.48)

∆

=

1

+

+

1

=



=

∆

=

∆

=

∆



372

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Tab. 9.5:

=

∆

=

∆

= ∙



∑ ∆ ∑

Zusammenstellung der Ergebnisse des thermischen Energietransports ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

∆

∆

ℎ ∆ = in

in

Ü

=

1

∙

Einzeltemperain ° turen = +99,1

=

1 = 0,0001 1,16 ∙ 10

0,01

= +99,09

Wärmeleitung

=

=

0,003 = 0,00007 52,4

0,01

= +99,08

Wärmeleitung

=

=

0,1 = 0,714 0,14

73,23

= +25,86

=

1 = 0,057 17,5

5,86

= 20,0

Wärmeübergang

Ü

=

1

. (9.47) =

. (9.48)

= =

1 1

+∑

1 1

+

+

1

+

1



= 0,771 1

=



0,771 = 1,3 ∆



= 79,1

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

373

Zu b) Berechnung der Wärme, die stündlich an die Raumluft abgegeben wird, Wärmestrom : ∑ ∆ ∑ 79,1 = 0,771 =



= 102 = 102

∙



= 367

ℎ∙ Zu c) Auflistung der Grenztemperaturen der einzelnen Schichten: = +99,1 = +99,09 = +25,86 = +20,0 Aufgabe 9.6 a) Welche Oberflächentemperaturen stellen sich an der Wandung eines Dampfkessels ein, wenn auf der einen Seite die Dampftemperatur 223 ° und auf der anderen Seite des Kessels die Temperatur der Rauchgase 900 ° betragen? Die Kesselwand wird als eben betrachtet, die Dicke des Kesselbleches ( = 58 ) ist 22 . Der Wärmeübergangskoeffizient beträgt auf der Dampfseite b)

= 9300

, auf der Rauchgasseite

= 35 . Wie hoch steigen die Temperaturen, wenn sich die Wandung auf der Dampfseite mit einer Kesselsteinschicht ( = 1,1 ) von 10 bedeckt?

Gegeben: = 22 = 10 = 58 = 1,1 = 223 °C = 900 °C = 9300 = 35

374

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Gesucht: , für a) , für b) Lösung 9.6 1. System: geschlossenes System

tR

tR Wasserseite

tW Abb. 9.6:

Wasserseite

Rauchgasseite

δB

Rauchgasseite

δK δB

tW

System a)

System b)

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung stationäre Strömung Reihenschaltung von thermischen Widerständen

zur Aufgabe 9.6

Zu a): Berechnung der Oberflächentemperaturen: . (9.46) =

. (9.48)

=



=

∆

− 1

+∑

1 1

+

1

+

+

+

+

1 1

=



=

∆

=

∆

= ∆

∆

=

∆

=

∆

= ∙

∆





∑ ∆ ∑

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Tab. 9.6A:

Ergebnisse des thermischen Energietransports beim Dampfkessel ohne Kesselstein ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

∙ 10

Ü

Wärmeleitung Wärmeübergang

375

=

=

∆ = in

in 1

=

Ü

ℎ

1

=

1 = 285,7 35

665,5

=

0,022 = 3,8 58

8,9

=

1 = 1,1 9300

2,6

∙

Einzeltemperain ° turen = +900 = +234,5

= +234,5

= 223,0

= +234,5 = +234,5 Zu b) Berechnung des Temperaturanstiegs nach Kesselsteinbildung: − . (9.46) = 1 1 +∑ + . (9.48)

=



= =

Tab. 9.6B:

1

+

+

+

+

1 1



Ergebnisse des thermischen Energietransports beim Dampfkessel mit Kesselstein ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

1

∙ 10

Ü

=

ℎ ∆ = in

in 1

=

1 = 285,7 35

507,0

∙

Einzeltemperain ° turen = +900,0 = +393,0

Wärmeleitung

=

=

0,022 = 3,8 58

6,7

= +386,0

Wärmeleitung

=

=

0,01 = 90,9 1,1

161,3

= +225,0

=

1 = 1,1 9300

2,0

Wärmeübergang

Ü

=

1

= +393,0 = +225,0

= +223,0

376

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

Aufgabe 9.7 In einem Kühlraum soll eine Temperatur von −3 ° gehalten werden. Die Wände bestehen dicken Isolierschicht ( = aus 10 dicken Beton ( = 0,2 ) und einer 14,5 0,05

) und haben eine Fläche von insgesamt 400

betragen außen a)

b) c)

= 5,0

, innen

= 2,5

. Die Wärmeübergangskoeffizienten

.

Welche Wärme muss eine Kälteanlage stündlich mindestens aus dem Kühlraum abführen, damit bei einer Außentemperatur von = 27 ° im Kühlraum = −3 ° gehalten werden? Berechnen Sie auch den Wärmedurchgangskoeffizienten und die einzelnen Grenztemperaturen. Die Kälteanlage arbeitet nach einem Carnot-Prozess, dessen unterer bzw. oberer Wärmebehälter der Kühlraum bzw. die Umgebung ist. Wie groß ist die zum Wärmetransport erforderliche Kreisprozessleistung? Stellen Sie den Prozess im , -Diagramm dar.

Gegeben: = 10 = 14,5 = 0,2 = 0,05 = 27 ° , = −3 ° ,

= 300 = 270

=5 = 2,5 Gesucht: , , zu a) zu b)

Lösung 9.7 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung stationäre Wärmeübertragung Reihenschaltung von thermischen Widerständen

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung B

ta

377

I

ti Abb. 9.7A: System zur Aufgabe 9.7

Zu a) Berechnung der von der Kälteanlage abgeführten Wärme gangskoeffizienten und der einzelnen Grenztemperaturen: − . (9.46) = 1 1 +∑ + . (9.48)

=

∆

∆ ∆ Tab. 9.7:

1

+

=

∆

=

∆

= ∆

∆





∑ ∆ ∑ = ∙ =

Zusammenstellung der Ergebnisse des thermischen Energietransports ℎ

Thermische Einzelwiderstände Wärmeübergang

+

=

= ∆

1

, des Wärmedurch-

ℎ ∆ = in

in

Ü

=

1

=

1 = 0,2 5

1,5

∙

Einzeltemperain ° turen = +27,0 = +25,5

Wärmeleitung

=

=

0,1 = 0,5 0,2

3,75

= +21,75

Wärmeleitung

=

=

0,145 = 2,9 0,05

21,75

= ±0,0

=

1 = 0,4 2,5

3,00

= −3,0

Wärmeübergang

Ü

=

1

378

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Grenztemperaturen der einzelnen Schichten betragen: = +27,0 ° = +25,5 ° = +21,75 ° = ±0,0 ° = −3,0 ° 1 . (9.47) = 1 1 +∑ + . (9.48)

1

=

1

=

+

+

1



=

=4 1

=





4 = 0,25 ∆



= 30,0 ∑ ∆ ∑ 30 = 4

=

= 7,5 =



∙ A

= 7,5

∙ 400

= 3000 = 3



Zu b) Berechnung der Kreisprozessleistung der nach dem Carnot-Prozess arbeitenden Kälteanlage: 1. System: geschlossenes System, Zustandsänderungen sollen gedanklich nacheinander in einem Zylinder ablaufen

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

379

Abb. 9.7B: System zur Aufgabe 9.7

2.

Bezugssystem BZS ruht in Zylinderwandung

3.

Modellbildung quasistatische Zustandsänderungen reibungsfreie Zustandsänderungen . (7.13) = = . (7.14)

∙( − )= ∙( − )= ∙( − ) ∙( − ) − |=| −

=

= ∆ = | . (7.10) − |

= |=

+ −| − −|

=

∙ ∆ ∙ ∆

=

∙

= =

∙ ∙

|

|

∆ = = | | |= | | = ∆ ∙ ∆

∆ =

∙( − ) ∙( − )

−

∙ ∆ ∙ ∙∆

∙∆

∆ = 300 − 270 = 30 = −3,0 ° = 270 = 3



380

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

=

∙ 30

3

270



= 0,33



= 0,33



Zu c) Darstellung des Prozesses im , -Diagramm, Abb. 9.7: T 4

3

1

2

Ta

Ti

Abb. 9.7C:

s

, -Diagramm zur Aufgabe 9.7

Aufgabe 9.8 In einer 7

großen Wand (

Glasfenster

= 0,5

,

= 25

= 0,95

,

= 0,85

) befindet sich ein 3

. Die Wärmeübergangskoeffizienten betragen an

= 40 , = 3,5 , an der Außenseite =5 der Innenseite Wie groß ist der thermische Gesamtwiderstand der Wärmeübertragung? Gegeben: = 4 = 3 = 25 = 0,5 = 0,85 = 0,95 = 40 = 3,5 =5 =4

großes

,

=4

.

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

381

Gesucht:

Lösung 9.8 1. System: geschlossenes System Wand Abb. 9.8:

Wand

Glas

System zur Aufgabe 9.8

2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung stationäre Wärmeübertragung Parallelschaltung von thermischen Widerständen Berechnung des thermischen Gesamtwiderstandes der Wand pro 1 1 + + . (9.48) =

=



=



1

+

1 5

= 0,2

1

+ +

0,25

+

0,75

+ 0,33

= 0,78

1 4 + 0,25



Flächenbezogener thermischer Widerstand für die Wand:

=

0,78

= 0,195

4 Thermischer Widerstand für das Glasfenster: 1 + . (9.48) = 1

=

=

1 4

+

+

+ +

1

1

0,05 1

,

+

1 3

382

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

= 0,25

+ 0,05

= 0,63



+ 0,33

Flächenbezogener thermischer Widerstand für das Glasfenster: =

0,63

= 0,210 3 Die beiden flächenbezogenen, thermischen Widerstände sind parallel geschaltet und ergeben wie bei elektrischen Widerständen folgenden flächenbezogenen Gesamtwiderstand: 1 1 =



1

=

1 0,195

= 0,101

+

1 0,210



Aufgabe 9.9 Welcher flächenbezogenen Energiestrom geht von einer ebenen Wand ausgesandten Strahlung aus, wenn das Emissionsverhältnis = 0,6 und die Wandtemperatur 800 ° beträgt und der Strahlungskoeffizient des schwarzen Strahlers mit = 5,670 gegeben ist. Gegeben: = 0,6 = 800 ° = 5,670 Gesucht:

Lösung 9.9 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Wandung

3.

Modellbildung Berechnung des flächenbezogenen Energiestroms :

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung . (9.38) =

383 = ∙

100

= 0,6 ∙ 5,670 = 41,2

1073 100



Aufgabe 9.10 Die 0,5 große Feuerungstür eines Ofens wird 5 Minuten geöffnet. Im Ofen herrscht eine Temperatur von 1300 ° . Welche Wärme wird durch die Öffnung abgestrahlt, wenn das Emissionsverhältnis = 0,6 beträgt und der Strahlungskoeffizient des schwarzen Strahlers mit = 5,670 gegeben ist? Gegeben: = 0,5 = 0,6 = 1300 ° = 5,670 ∆ = 5 Gesucht: Q Lösung 9.10 1. System: geschlossenes System

Abb. 9.10:

System zur Aufgabe 9.10

2.

Bezugssystem BZS ruht in Ofenwandung

3.

Modellbildung =

384

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Berechnung des durch die Öffnung abgestrahlten Energiestroms : . (9.39) =

∙

=

= 0,5

∙ ∙

100

∙ 0,6 ∙ 5,670

1573 100

= 104,1 Berechnung der über die Zeit ∆ = 5 abgestrahlten Wärme : =

∙ ∆

= 104,1 = 31,2 ∙ 10

∙ 300

Aufgabe 9.11 Welche Wärme wird pro Sekunde zwischen zwei parallelen je 10 großen Wänden übertragen, wenn die Wandtemperatur 1100 und das Emissionsverhältnis = 0,7 bzw. 800 und = 0,8 betragen und der Strahlungskoeffizient des schwarzen Strahlers mit = 5,670 gegeben ist? Gegeben: = 10 = 0,6 = 1100 = 800 = 0,7 = 0,8 = 5,670 Gesucht:

Lösung 9.11 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in einer der beiden Wandungen

3.

Modellbildung Berechnung des Wärmeübertrags durch Strahlung den:

zwischen zwei parallelen Wän-

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung . (9.40)

=

1

+

∙ 1

−1

∙

385 −

100

100

Es findet kein Stahlungsaustausch, sondern nur eine Abstrahlung statt

=

10

∙ 5,670 1 1 + −1 0,7 0,8

∙

1100 100

−

800 100

= 356



= 356



Aufgabe 9.12 In einem Ofen befindet sich eine runde Kontrollöffnung (Durchmesser 10 ). Die Innentemperatur des Ofens beträgt = 1300 ° . a) Wie groß ist die durch die Öffnung abgestrahlte Wärme, wenn der Strahlungskoeffizient des schwarzen Strahlers mit = 5,670 gegeben ist? b) Berechnen Sie die Fläche, die die gleichen Wärmeverluste durch Wärmedurchgang verursachen würde und dabei = 230 , = 17 , = 38 und = 0,87

gegeben sind.

Gegeben: = 10 = 1300 ° = 5,670 Gesucht: Q Lösung 9.12 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Ofenwandung

3.

Modellbildung Ofenloch wird als schwarzer Strahler betrachtet

=

= 5,670

(Diese Annahme gilt solange Wand- und Flammentemperatur identisch sind)

386

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung Zu a) Berechnung des durch die Öffnung abgestrahlten Wärmestroms . (9.40)

=

1

∙ 1

+

−1

∙

−

100

:

100

Es findet kein Stahlungsaustausch, sondern nur eine Abstrahlung statt, damit entfällt und es gilt: . (9.39)

=

∙

=

∙

100 = 0,05

∙

= 0,00785



1773 100 = 4,4 Zu b) Berechnung der Fläche , die die gleichen Wärmeverluste durch Wärmedurchgang verursachen würde: − . (9.46) = 1 1 +∑ + = 0,00785

=

∙

−

∆ = =

=

=

∆

∙

Aufgabe 9.13

tW = 10 °C

tL

Abb. 9.13A: System zur Aufgabe 9.13

∙

∙

− 1

+∑

+

1



1

4,4 ∙ 10 1480

= 1,52

∙ 5,670

+

+

∙

1 230

1



+

0,38 0,87

+

1 17



9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

387

Ein gegen Strahlung ungeschütztes Thermometer hängt in der Mitte eines Zimmers und zeigt = 18 ° an. Die Wandtemperatur beträgt = 10 ° . Wie groß ist die die Temperatur tatsächliche Lufttemperatur ? =

Gegeben ist die so genannte Strahlungsaustauschkonstante = 3,19 ∙

der Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion

= 4,99

−

in

.

Gegeben: = 291 = 283 =

1

+

= 3,19 ∙

1

−1

= 4,99

−

Gesucht:

Lösung 9.13 1. System: geschlossenes Gesamtsystem

A1

A2

Abb. 9.13B: System zur Aufgabe 9.13

2.

Bezugssystem BZS ruht in Bezug zum Gesamtsystem

3.

Modellbildung Strahlungsaustauschkonstante

für umschlossene Körper

Berechnung der tatsächlichen Lufttemperatur . (9.40)

=



=

=

: 1

1

+

+

∙ 1

1

−1

−1

∙

100

= 4,99

−

100

sowie

388

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

tW

tL

tW

tL

tL > tW

tL = tW

1

2

Abb. 9.13C: System zur Aufgabe 9.13

Der Wärmestromdurch Strahlung

=

= 4,99

∙

100

−

100

muss gleich sein mit dem Wärmestrom durch Konvektion

=

∙(

−

= 3,19 ∙

= 3,19 ∙

) − −

∙(

−

)

= 3,19 ∙

−

∙(

−

)

= 3,19 ∙

−

∙(

−

Aus = folgt 4,99

∙

100

−

100

37,81 Die Nullstelle der folgenden Gleichung

)

= ( ):

=

−

∙(

−

) − 11,85

liefert = 298,4 = 25,23 ° Die Abweichung zwischen der wahren Lufttemperatur und der am Thermometer angezeigten Temperatur beträgt also ∆ = − ∆ = 298,4 − 291 ∆ = 7,4 Aufgabe 9.14 In einem Raum befindet sich ein Heizkörper aus Gusseisen ( = ∙ = 4,65 ), der eine Oberfläche von 3,25 hat und eine Temperatur von 140 ° aufweist. In dem Raum von 4,5 Länge, 5 Breite und 3,5 Höhe sind Wände, Decke und Fußboden mit Fliesen

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung

389

) ausgelegt, deren Temperatur 25 ° beträgt. Wie groß ist der vom ( = ∙ = 2,79 Heizkörper durch Strahlung übertragene Wärmestrom, wenn der Strahlungskoeffizient des schwarzen Strahlers mit = 5,670 gegeben ist? Gegeben: = 3,25 = 4,5 = 5,0 = 3,5 = 140 ° = 25 ° =

∙

= 4,65

=

∙

= 2,79

= 5,670 Gesucht:

Lösung 9.14 1. System: geschlossenes System 2.

Bezugssystem BZS ruht in Heizkörperwandung

3.

Modellbildung Es soll hier auch die Strahlungsaustauschkonstante für den eingeschlossenen Körper =

∙

mit

=

gelten.

Berechnung des vom Heizkörper durch Strahlung übertragenen Wärmestroms . (9.39) =

∙ ∙

∙

100 Daraus folgt der flächenbezogene Wärmestrom: = = =

1

+ ∙ ∙

∙

1

−1

∙

100

−

100



:

390

9 Wärmeübertragung und Wärmedämmung =

+

∙

−1

+

∙

−1

∙

100

−

100

Mit =



folgt =

∙

= 5,670 =

∙

−

100



100

= 4,65



= 413 = 3,25 =



= 2,79



= 298 = 2 ∙ ( ∙ + ∙ + ∙ ) = 2 ∙ (4,5 ∙ 3,5 + 5 ∙ 3,5 + 4,5 ∙ 5) = 111,5 =



∙

=

+

∙

−1



5,670 5,670

+

4,65 = 4,43

3,25 111,5

∙

5,670

−1

2,79



Der vom Heizkörper abgegebene Wärmestrom beträgt =

∙

=

∙

∙

100 ∙

−

413 100

100 −

298 100

= 3,25

∙ 4,43

= 3,06



Weiterführende Literatur [1]

Barth, Frank-Michael, Thermodynamik für Maschinenbauer, München 2012

[2]

Baehr, Hans-Dieter und Kabelac, Stephan, Thermodynamik, 14. Aufl., Berlin Heidelberg New York 2009

[3]

Hahne, Erich, Technische Thermodynamik, 4.Aufl. München Wien 2004

[4]

VDI-Wärmeatlas, 10. Aufl., Düsseldorf 2006

[5]

Doering, Ernst, Schedwill, Herbert und Dehli, Martin, Grundlagen der technischen Thermodynamik, 6. Aufl., Wiesbaden 2008

[6]

Langeheinecke, Klaus, Jany Peter und Thieleke, Gerd, Thermodynamik für Ingenieure, 8. Aufl., Wiesbaden 2012

[7]

Reimann, Michael, Thermodynamik mit Mathcad, München 2010

[8]

Stierstadt, Klaus, Thermodynamik, Berlin 2010

[9]

Müller, Ingo, Grundzüge der Thermodynamik, 3. Aufl., Berlin 2001

[10] Nickel, Ulrich, Lehrbuch der Thermodynamik, 2. Aufl., Erlangen 2011 [11] Kittel, Charles und Krömer, Herbert, Thermodynamik, 5. Aufl., München 2001 [12] Langbein, Werner, Thermodynamik, 3. Aufl., Frankfurt 2010

Index Ableitung partielle 22 Anergie IX, 279, 320, 321, 322, 329 Anfangs- und Endzustand 26, 143 Arbeitsfähigkeit technische 278, 281, 316, 318, 320, 321, 322, 325, 328, 329, 330, 332, 333, 336, 338, 339, 341, 342, 345, 346, 347, 348, 350, 351, 352, 353, 355, 356, 357, 358 Arbeitsfähigkeitsverlust 322, 328, 332 Barometerstand 9, 13 Carnot-Prozess 235, 251, 254, 255, 256, 265, 271, 275, 299, 300, 302, 376, 378 Carnot-Wirkungsgrad 251, 268, 277, 288, 293 differential 130, 132 Energie innere X, 2, 74, 147, 148, 212 kinetische IX, 2, 80, 83, 103, 147, 193, 195 potentielle IX, 2 Energiebilanz 60 Enthalpie IX, 2, 50, 52, 67, 68, 69, 169, 174, 178, 307, 309, 310 Entropie IX, X, 163, 165, 166, 167, 201, 204, 217, 220, 224, 227, 256, 278, 316, 330 Ericson-Prozess 297, 299, 300, 302, 303 Exergie IX, 315, 318, 329 Expansion 30, 43, 184, 246, 256, 265, 288, 335 Gaskonstante IX, 11, 13, 179 Gesamtenergie 25, 26, 27, 32, 42, 43, 45, 46, 47, 70, 73, 74, 75, 78, 79, 81, 85, 86 Gesamtwiderstand thermischer 380 Geschwindigkeit 70 Gleichgewicht 121 Hauptsatz erster 30 zweiter 221, 227, 279, 332 Idealprozess 275, 277 inkompressibel 80, 82, 84, 92, 95, 97, 106, 112, 113, 115, 120 irreversibel 303 Kreisprozess 229

Nutzarbeit 229, 230, 231, 297, 298, 299, 304, 307 Prozess reibungsfreier 148, 279 Prozessarbeit 229, 230, 231, 251, 254, 257, 268, 269, 275, 279 Prozessgröße 219, 230 Pumpe 91 Reibungsarbeit 28, 32, 33, 40, 41, 47, 50, 101, 102, 132, 166, 190, 201 reversibel 302, 338 Strahlung 382 Strömung stationäre 99, 134, 135, 138, 145, 150 Turbine 3, 39, 97, 129, 130, 138, 140, 141, 208, 209 Verdichter 198 Verdichtung adiabate 201, 202 Volumenänderungsarbeit 32, 33, 40, 43, 174, 176, 177, 179, 180, 181, 183, 187, 189, 191, 193, 194 Wärmeübertrager 277 Wärmeübertragung 140, 219, 227, 271, 277, 282, 286, 302, 303, 317, 350, 361, 363, 371, 376, 380, 381 Winkelgeschwindigkeit 31, 85, 111 Wirkungsgrad thermischer 232, 235, 236, 242, 246, 265, 293, 311 Zeitbereich 219 Zeitpunkt 130 Zustandsänderung adiabate 204, 239, 357, 358 isentrope 194, 244, 249, 252, 261, 263, 267, 270, 305, 306, 343, 344, 355 isobare 27, 34, 71, 72, 76, 173, 176, 222, 224, 326, 358 isochore 241, 343, 346, 357 isotherme 179, 336, 358 polytrope 184, 186 Zustandsgröße 69, 219