Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: Band 2 Einführung in die Theorie der Flächen [Reprint 2020 ed.] 9783112383124, 9783112383117

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ANWENDUNG DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG AUF

GEOMETRIE VON

Dß. GEORG SCHEFFERS, O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHÜLE ZU DARMSTADT.

ZWEITER BAND. EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER FLÄCHEN.

LEIPZIG, VEKLAG VON V E I T & COMP. 1902

EINFÜHRUNG IN DIE

THEORIE DER FLÄCHEN VON

DR. GEORG SCHEFFERS, O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU DARMSTADT.

MIT VIELEN FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG, V E R L A G VON V E I T & COMP. 1902

Druck yon Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Diesem zweiten, abschliessenden Bande der Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie seien zunächst einige Bemerkungen über die Art der Benutzung des Buches durch Lernende vorausgeschickt. Der Inhalt des ersten Bandes wird als bekannt vorausgesetzt. Es ist aber auch möglich, dass man unmittelbar mit diesem zweiten Bande beginne, sobald man nur die wichtigeren Sätze der Curventheorie anderswo schon kennen gelernt hat. Zwar ist es am besten, die vier Abschnitte, in die dies Buch zerfällt, der Reihenfolge nach durchzunehmen; aber der dritte, schwierigste, Abschnitt braucht nur zum Teil vor dem vierten studiert zu werden.

Man findet die

nötigen Hinweise darüber an den betreffenden Stellen im Buche und im Inhaltsverzeichnis.

Der vierte Abschnitt ist überdies zum

grössten Teil von dem dritten unabhängig, kann also gleichzeitig mit diesem begonnen werden. Damit die Theorie deutlicher hervortrete, sind die Beispiele, wenn sie nicht ganze Paragraphen umfassen, in kleineren Lettern gedruckt worden.

Ist es auch nicht

unbedingt nötig, dass der Leser alle Beispiele beachte, so muss er doch dessen gewärtig sein, dass ihre Ergebnisse später zuweilen in der allgemeinen Theorie benutzt werden.

Ausserdem ist zu be-

denken, dass gerade die Beispiele dem Anfänger die beste Gelegenheit zur Übung in der Anwendung der Theorie geben.

Vorwort.

VI

Der Umfang des Buches möge den Anfänger nicht erschrecken, denn nur bei entsprechendem Räume ist es möglich, die Dinge so ausführlich zu behandeln, dass sie vollkommen verständlich werden. Jedenfalls habe ich aufs Ernsteste nach leichter Verständlichkeit des Buches gestrebt. — Es sei mir gestattet, mich noch hinsichtlich einiger Punkte den Fachgenossen gegenüber zu äussern: Dem Haupttitel des Werkes entsprechend habe ich auch in diesem Bande grundsätzlich rein

die analytische Methode benutzt und

geometrische Betrachtungen

nur

zum Erleichtern

des Ver-

stehens, bei der Andeutung weiterer Ausblicke, ferner da, wo sie besonders interessant sind, und endlich noch hin und wieder da, wo ihre rechnerische Wiedergabe auf der Hand liegt, eingefügt. Aber die Tendenz des Ganzen ist doch eine geometrische, indem ich solche Probleme aus der Flächentheorie ausgewählt habe, die in erster Linie von geometrischem Interesse sind.

Man wird daher

manche schöne Anwendung der Analysis auf die Geometrie vermissen, möge aber bedenken, dass das Gebiet der Flächentheorie so gross ist, dass dem Verfasser eine individuelle Auswahl daraus wohl gestattet ist.

Manches, was andere elementare Lehrbücher

bringen, fehlt hier; andererseits bringe ich manches, was andere Bücher nicht haben. Herstellung

Ich erwähne z. B. die Anwendung auf die

geographischer

Karten,

das

Congruenzproblem

für

Flächen und die geodätische Abbildung. Am besten wird man aus dem ausführlichen Sachregister am Schlüsse dieses Bandes erkennen, welche einzelnen Probleme der Flächentheorie behandelt worden sind. Probleme, die nicht eigentlich einzelne Flächen als vielmehr Flächenscharen betreffen, wurden überhaupt beiseite gelassen. Zwei grundsätzliche Abweichungen von den sonstigen elementaren Lehrbüchern sind hier diese:

Erstens die beständige Mit-

VII

berücksichtigung des Imaginären, zweitens die infolge hiervon unabweisliche Mitberücksichtigung derjenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, da auf diesen Flächen z. B. die EuLEii'sche Krümmungstheorie nicht gilt.

(Vgl. den „zweiten spe-

cialen Fall" von S. 113 an.) Eine Hauptschwierigkeit für den Anfänger in der Flächentheorie ist die Fülle der Formeln und der stehenden Bezeichnungen.

In

Hinsicht auf das Eine habe ich die Sache durch den Anhang von Formeltafeln zu erleichtern versucht, in Hinsicht auf das Andere dadurch,

dass ich nur ziemlich wenige stehende Zeichen,

aber beständig, benutzt habe.

diese

Ich denke, ein Kenner der Flächen-

theorie wird beim Blättern in diesem Buche überall orientiert sein, sobald er nur weiss, dass u, v die Parameter auf der Fläche, E, F, G und L, M, N ihre Fundamentalgrössen, X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormale, Rv

i?2 die Hauptkrümmungsradien, K

das GAussische Krümmungsmaass und H die mittlere Krümmung bedeutet.

In Tafel XXIV findet man übrigens eine vergleichende

Zusammenstellung der Bezeichnungen bei verschiedenen Autoren. Noch muss ich hervorheben, dass ich es für ausgeschlossen halte, dem A n f ä n g e r

die Flächentheorie

als Invariantentheorie

zweier quadratischer Differentialformen beibringen zu wollen. kann er später aus den grossen Werken, wie z. B. aus

Das

BIÄNCHI'S

Differentialgeometrie, lernen; für den Anfang bietet die Geometrie der Flächen selbst schon fast zu viel des Neuen und Ungewohnten. Bezüglich

der litterarischen Hinweise, die übrigens in den

„Berichtigungen und Zusätzen" einige Ergänzungen erfahren haben, muss ich wie beim ersten Bande um Nachsicht bitten.

Ich möchte

überhaupt, um mich nicht zu wiederholen, auf das Vorwort zum ersten Bande verweisen. Nach der freundlichen Aufnahme, die dem ersten Bande seitens der Kritik, so weit ich davon Kenntnis erhalten habe, geworden

YIXI

Vorwort.

ist, habe ich einige Zweifel, ob dieser zweite Band, der etwas knapper im Texte und doch bedeutend umfangreicher ausgefallen ist, eine ähnliche anerkennende Beurteilung erfährt.

Der Verfasser

selbst ist ja am wenigsten geeignet, sich über die Aufnahme seines Buches eine richtige Vorstellung zu machen. Es ist mir schliesslich eine angenehme Pflicht, der Verlagshandlung für ihr bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche und für die musterhafte Drucklegung, die das Corrigieren der Bogen wesentlich erleichterte, hier zu danken. D a r m s t a d t , im Januar 1902.

Georg Scheffers.

Inhalt. E r s t e r Abschnitt. Das Bogenelement der Fläche. § § § g § § § § § § §

1, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Analytische Darstellung von Flächen > Die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf einer Fläche . . . Tangentenebenen einer Fläche Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte aus . . . . Flächentreue Abbildung von Flächen Flächentreue Abbildung der Rotationsflächen Isothermen auf einer Fläche Bestimmung der Isothermennetze auf einer Fläche Conforme Abbildung von Flächen Conforme Abbildung der Kugel auf die Ebene Beliebige punktweise Abbildungen von Flächen

Seite

1 13 19 27 36 40 54 61 67 75 90

Zweiter Abschnitt. Die Krümmung der Fläche. §

1. Die Krümmung der Flächencurven und die Fundamentalgröasen zweiter Ordnung § 2. Normalschnitte und Hauptkrümmungsrichtungen § 3. Hauptkrümmungen bei einer Rotationsfläche § 4. Haupttangenten § 5. Die Indicatrix eines Flächenpunktes § 6. Veranschaulichung der Krümmungen in einem Flächenpunkte . . § 7. Conjugierte Richtungen § 8. Unendlich benachbarte Normalen . § 9. Krümmungscurven und Haupttangentencurven § 10. Systeme von conjugierten Curven § 1 1 . Berührung zwischen Flächen § 1 2 . Die sphärische Abbildung und die Krümmung der Flächen . . . § 13. Geradlinige Flächen § 14. Die mittlere Krümmung der Flächen § 15. Minimalflächen

101 109 120 127 133 144 151 158 173 185 200 204 216 229 241

Dritter Abschnitt. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie. § 1. Die höheren Differentialquotienten der rechtwinkligen Coordinaten § 2. Die drei Fundamentalgleichungen

261 265

X 3. Verbiegung einer Fläche auf eine andere 4. Verbiegung von Flächen auf Rotationsflächen 5. Verbiegung von Flächen constanter Krümmung 6. Differentialinvarianten einer Fläche 7. Richtungscosinus eines begleitenden Dreikants 8. Unbeschränkt integrabele totale Differentialgleichungen . . . . 9. Endliche Gleichungen einer Fläche mit gegebenen Fundamentalgrössen § 10. Merkmale für die Congruenz zweier Flächen § 11. Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation verbunden sind § 12. Functionen des Ortes auf der Fläche

§ § § § *§ *§ *§

Vierter

Seite-

272; 289297 302' 310321 331 341 354 37fr

Abschnitt.

Curven auf der Fläche. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Geodätische Curven Geodätische Abbildung von Flächen Orthogonale Trajectorien geodätischer Curven Systeme von geodätischen Parametern Centraflächen Geradenscharen, die als Normalenscharen aufgefasst werden können Krümmung und Torsion einer Flächencurve

396 415 432 441 45» 469 475

Anhang. Formeln für die Fundamentalgrössen erster Ordnung und für die Richtungscosinus der Normalen 492 XII. Formeln für die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und für die Krümmung 493 X I I I . Formeln für die Darstellung % — f(x, y) der Fläche . . . 496 XIV. Sphärische Abbildung einer Fläche 497 „ XV. Parallelflächen einer gegebenen Fläche 49» XVI. Die zweiten Differentialquotienten der rechtwinkligen Punkt„ coordinaten einer Fläche 498 „ XVII. Die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie . . 499 „ XVIII. Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Minimalcurven sind 500 X I X . Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Krümmungscurven sind 501 X X . Differentialparameter 502 X X I . Geodätische Curven 502 „ X X I I . Centraflächen 508 „ X X I I I . Flächencurven 505 „ XXIV. Bezeichnungen 506 Sachregister . 50S Berichtigungen und Zusätze 517

Tafel

XI.

* Vorläufig überschlagbar, vgl. die .Anm. zu S. 310.

Erster Abschnitt.

Das Bogenelement der Fläche. § l.

Analytische Darstellung von Flächen.

Die einfachste analytische Darstellung einer Fläche ist die durch eine Gleichung zwischen den drei rechtwinkligen Punktcoordinaten x, y, z des Raumes: F(x,y,z)

0)

= 0

vgl. I S. 162. 1 Insbesondere benutzt man gern die Auflösung der Gleichung nach einer der drei Coordinaten, namentlich die nach z\

(2)

z

=

f[x,y)-

Bei der Darstellungsweise (2) einer Fläche haben sich Bezeichnungen für die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von z nach x und y eingebürgert, die wir gelegentlich benutzen wollen und daher hier angeben. Man pflegt zu setzen:

Allerdings muss man diese Abkürzungen da vermeiden, wo z. B. schon eine Bogenlänge s oder ein Radius r oder ein Parameter t auftritt. B e i s p i e l e zur Darstellung einer Fläche mittels einer Gleichung (1) zwischen den Coordinaten x, y, x sind: die Gleichung einer E b e n e Ax + By + Cx + D = 0 und die Gleichung einer K u g e l (x - a)2 + {y - bf + (x - c)"- = »•«. 1

Die Zahl I soll den ersten Band bezeichnen.

SCHEFFERS,

Geom. Diffr. II.

1

2 Die Darstellungsform (2) ist unmöglich, wenn die Gleichung (1) der Fläche von z frei ist: F[x,y)=

0.

Diese Gleichung wird zunächst von den Punkten (x, y) einer gewissen Curve in der xy-Ebene erfüllt, dann aber auch von allen denjenigen Punkten, deren Projectionen auf die xy-Ebene gerade auf jener Curve liegen; mit anderen Worten: die Gleichung stellt einen C y l i n d e r dar, dessen Mantellinien der z-Axe parallel sind. (Vgl. I S. 161.) Die bequeme Darstellungsform (2) ist demnach nicht erschöpfend, da sie jene Cylinder nicht mit umfasst. Dies thut nun zwar die Darstellungsform (1), aber diese ist wiederum nicht sehr bequem. Wir wollen daher die Flächen auf eine andere Art analytisch darstellen. Zu dieser anderen Art werden wir geführt, wenn wir einen Rückblick auf einige im ersten Bande betrachtete Flächen werfen: Die T a n g e n t e n f l ä c h e e i n e r Curve mit dem Parameter t wurde durch drei Gleichungen gegeben: (4)

X=»).

£

=

(«.")•

§ 2.

Die Fundamentalgrössen

erster Ordnung auf einer Fläche.

13

J e d e definiert eine Schar von oo 1 Curven, nach Satz 4. Mithin definiert die Gleichung (20) zwei Scharen von je oo 1 Curven auf der Fläche. Die Differentialgleichungen (21) der beiden Scharen finden wir auch, wenn wir die linke Seite von (20) in ihre hinsichtlich d u und dv linearen Factoren zerspalten: [Adu

+ (B + ]/.B2-AC)dv]

[Adu

+ (£ — yW^ÄC)

dv]

=0.

E s sind dann die beiden Gleichungen: Adu+(B

±

dv = 0.

2

Nur wenn _Z? — A C = 0, d. h. die linke Seite von (20) ein vollständiges Quadrat hinsichtlich d u und d v ist, fallen beide Differentialgleichungen zusammen. E s gilt der Satz 5: Z w e i S c h a r e n v o n j e oo 1 C u r v e n a u f e i n e r F l ä c h e m i t d e n P a r a m e t e r n u, v k ö n n e n s t e t s d u r c h e i n e i n du u n d dv q u a d r a t i s c h e h o m o g e n e G l e i c h u n g A{u,v)dui + 2 B{u, v)dudv + C(u,v)dv2 = 0 d e f i n i e r t w e r d e n . D i e s e G l e i c h u n g l ä s s t sich iß zwei gew ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n e r s t e r O r d n u n g in u und v zerspalten: A du + (£ ± 11£2 - AC) dv = 0. N u r d a n n , wenn die linke S e i t e j e n e r q u a d r a t i s c h e n Gleic h u n g e i n v o l l s t ä n d i g e s Q u a d r a t i s t , w e n n a l s o i? 3 — AC=0 ist, fallen beide Curvenscharen zusammen. Z. B. die Gleichung dudv = 0 definiert die beiden Scharen von Parameterlinien. § 2. Die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf einer Fläche. Werden die Punkte der E b e n e durch rechtwinklige Coordinaten x, y bestimmt, so wird das Quadrat des Bogenelementes ds, d. h. das Quadrat der Entfernung zweier unendlich benachbarter Punkte (x, y) und (ar + dx, y + dy) von einander gegeben durch die Formel: rfs2 = dx"' +

dy\

In der Formel (6), I S. 109, fanden wir den Ausdruck von d s 2 für ein bestimmtes Parametersystem u, « in der Ebene, wobei x =qp («,»), y = xp(u, v)

14

Erster Abschnitt:

Das Bogenelemmt

der

Fläche.

war, in der Form: d>2 = ( ß -) "V t du ' r '

XJ8x/V = V + —71 v, —du ' r

wenn 1, m, n die Richtungscosinus der Hauptnormale, r den Krümmungsradius der Gratlinie bedeuten. F e r n e r : dx 8v

_

dy _ "öF - P '

8x ~ d j ~

r

'

sodass nach I I (A): E = 1 + -1,

F = 1,

0=1,

D*

und also: ds2 = [ i + Ii] du2 + 2dudv ist.

+ dt

Dies steht in Einklang mit Formel (6) in I S. 263.

§ 3.

Tangentenebenen einer Fläche.

Für den Fall, dass eine Fläche durch eine Gleichung zwischen x, y, z gegeben ist: F(x,y,z)

=

0,

haben wir in I S. 230 den Begriff und den analytischen Ausdruck ihrer Tangentenebenen aufgestellt. Wir wollen jetzt für den Fall, dass die Fläche mittels zweier Parameter u und v in der Form: (1)

X =

qp (m,

V)

,

y = X 0 , v),

z = ip (u, v)

vorgelegt ist, ihre .Tangentenebenen bestimmen. Gehen wir von dem Punkte (u, v) der Fläche zu einem unendlich benachbarten Punkte (u + du, v + dv) über, so wachsen .r, y, z um die Differenziale: , öx , , d x , ax = j - f l « + ou dv

, dy , dy = -du du

, dy , + / ¿ t . dv /

, dx,, dz = ^ d u du.

, dx , + ^—dv. 8v

Die Coordinaten wachsen also proportional den endlichen Grössen (2)

dx du

dx 8v

dv du '

dy du

dy 8v

dv du '

dx, du

dz dv dv du 2*

20

Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

Daher hat die Gerade vom Punkte (u, v) zum Punkte (w + d u, v + dv) in den laufenden Coordinaten x, t), j die Gleichungen: dx Jtt 8y

(3)

dxx dv \ v du) ' dy ^ 8 du) ' 8 x dv' d v du,

mit dem Parameter t. Ist (u, v) ein ganz bestimmt gewählter Punkt der Fläche, so haben hierin die Grössen x, y, z und ihre Ableitungen nach u und v bestimmte Werte. Ausser t ist also rechts nur noch dv.du veränderlich. Je nachdem wir dies Verhältnis der Incremente von u und v wählen, erhalten wir verschiedene Geraden (3) vom Punkte (u, v) aus nach unendlich benachbarten Punkten der Fläche. Nach I S. 232 sind diese oo 1 Geraden die T a n g e n t e n des Punktes (w, v) der Fläche. Setzen wir dv du

t =

T,

so geben also die Gleichungen:

l c (4)

=

x

9=y i" — Z

dx

dx

8y + du 8z t + -ITdu +

dv

T + ~du 5— * + oT" v >

1

wenn in ihnen t und r b e l i e b i g gelassen werden, alle oo 2 Punkte ( j , t), }) aller oo 1 Tangenten der Stelle («, v) oder (.r, y, z). Da die Elimination von t und r aus diesen drei Gleichungen die in j , t), j l i n e a r e Gleichung

(5)

V—x

dx du

dx 8v

9-y

8y du

dy dv

dx du

d» dv

= 0

liefert, so folgt, dass die oo 1 Tangenten des Flächenpunktes (u, v) eine Ebene erzeugen. Wir haben also hiermit auf anderem Wege als in I S. 232 nachgewiesen, dass die Tangenten eines Flächenpunktes im allgemeinen eine Ebene, die T a n g e n t e n e b e n e oder

§ 3.

Tangentenebenen einer

Fläche.

21

T a n g e n t i a l e b e n e des Punktes {u, v) bilden, von der man sagt, dass sie die Fläche in dem betreffenden Punkt b e r ü h r t . Man erkennt nun, dass der obige Schluss nur dann gilt, wenn für den betrachteten Punkt (x, y, z) weder die drei ersten partiellen Ableitungen der Coordinaten nach u noch die nach v gleich Null sind. Denn wenn für den betrachteten Punkt zunächst nur: ÖS ov

dy_ = öv

Q

8x = a 8v

'

ist, so giebt die Keihenentwickelung: dx — ^-du du und dieselbe Da du2 und sind, so hat nung wie du

x & j j . S« j • + + ( d i aJ tr2 +. r2> & —du dv + j- dv i V du* dudv o v%

Formel gilt, wenn x durch y oder z ersetzt wird. dudv von höherer Ordnung unendlich klein als du man dann anzunehmen, dass dv2 von derselben Ordist, sodass bleibt: dx

~~ [du

+

1 7

dv2

(dv? du

Jetzt sind die Gleichungen der Tangente, die zu einem endlichen Werte k von (dv)2:du gehört, diese: . dx du

, . d2x , j 2 dv2

r

kt, , d % . , , d'x . ^ 2 dv* mit dem Parameter t. Da die Gleichungen in t und k t linear sind, so erfüllen die Tangenten auch jetzt noch eine Ebene: l ~

x

9- y ä-

z

8x du dy 8u dz du

d2x dv» d*y dv2 d'x. dv3

= 0.

Wenn nun aber für den betrachteten Punkt sowohl:

also auch

dx = 0, du

dy = 0, du

ö% = 0 du

— = u0 > dv

dy = 0, dv

d% = 0 dv

22

Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

ist, so kommt zunächst: d*x 82x dx = ì-4-^r du2 + -•> a du dv + 12 d v2 + 2 du* ouov dv1

...,

und diese Formel gilt auch, wenn x durch y oder 2 ersetzt wird. Geben wir du und dv unendlich kleine Werte von derselben Ordnung, so können wir uns auf die Glieder beschränken: dx = 1

dv ^x dudv ~dü

8uQ

j d'x 'dv\z 1 ~dv* . du ,

+

2

Die zugehörige Tangente hat daher, wenn dv = k du gesetzt wird, die Gleichungen in den laufenden Coordinaten j , g, 3: r

-

- 4-

(1

+

J l ^

t, _ „ + (1 PJL ++ 9 - y + ^y a*' 8u§vlt 0

\2 du1

k

+ +4

.1 » dv2 2

dudv

kAt

1-

A

dv*

t )'> )

mit dem Parameter t. Geben wir k alle beliebigen Werte, so stellen diese Gleichungen mittels der beiden Parameter t und k die Fläche dar, die von allen Tangenten des Punktes (x, y, z) gebildet wird. Die Elimination von t und k liefert die in £ — x, t) — y, j — z homogene q u a d r a t i s c h e Gleichung: E—

x

9 - y h

—

2

x

uv

x

w

x

uu

uv E —

x

x

x

!fuv

Vw • Vuu Vuv *>-y

i

Z

UV

vv

Z

uu

Z

uv

Z

uu E —

-

x

x

Vuu Z

UU

w

2

v™ i ~~

Z

=°>

Z

vv

die einen Kegel zweiter Ordnung mit der Spitze y, z) bedeutet. In dem vorliegenden Falle heisst daher der Punkt (x, y, z) s i n g u l ä r (vgl. Satz 32, I S. 281). Dadurch, dass aiich höhere Ableitungen von x, y, z nach u und v gleich Null werden können, was wir soeben stillschweigend ausgeschlossen hatten, können übrigens noch stärkere Singularitäten eintreten: Der Tangentenkegel kann von höherer als zweiter Ordnung werden. Hierauf gehen wir jedoch nicht ein. Wenn die ersten Ableitungen von x, y, z nach dem einen Parameter, nicht aber auch die nach dem anderen gleich Null sind, so kommt dem Punkte (x, y, z) zwar nach Obigem eine Tangentenebene zu. Jedoch hat ihre Gleichung nicht die Form (5). Allgemeine

23

Betrachtungen, bei denen die Form (5) benutzt wird, sind also nicht ohne weiteres auf solche Punkte anwendbar. Wir setzen deshalb fest: Ein P u n k t (x, y, z) der F l ä c h e soll auch dann singulär h e i s s e n , wenn für ihn die e r s t e n A b l e i t u n g e n nach einem der beiden P a r a m e t e r alle drei g l e i c h Null sind. Von solchen Punkten sehen wir grundsätzlich ab, und wir brauchen dies deshalb später nicht mehr immer zu erwähnen. Bemerkt sei nur nochmals: Die Tangenten der Fläche verhalten sich an einer solchen singulären Stelle nur dann singulär, wenn die Ableitungen von x, y, z nach beiden Parametern gleich Null sind. Die sonstigen singulären Punkte sind, kann man sagen, nur in Hinsicht auf das gerade benutzte Parametersystem singulär. Denn man kann durch Einführung neuer Parameter leicht ihre Singularität vernichten. . .• Nicht-singuläre Punkte gemeiner Lage sind regulär.

heissen

regulär.

Punkte

all-

B e i s p i e l : Ein Kreis drehe sich um eine Secante. Dadurch entsteht eine R i n g f l ä c h e , die in ihren Schnittpunkten mit der Secante singulär ist, weil dort die Tangenten des Kreises Rotationskegel beschreiben.

Wir kehren zur Betrachtung der Fläche an einer r e g u l ä r e n Stelle [x, y, z) zurück. Dort ist (5) die Gleichung der Tangentenebene. Ordnen wir sie nach den laufenden Coordinaten £, tj, j, so hat sie die Form: A l + B^ + Ci^D, worin A, B, C, I) nach (5) Functionen von x, y, z; xu, yu, zu; xv, yv, zv, d. h. nach (1) Functionen von u und v sind. Die Coefficienten der allgemeinen Gleichung einer Tangentenebene enthalten also zwei willkürliche Parameter u und v, sodass wir sagen können: E i n e F l ä c h e hat h ö c h s t e n s oo 2 T a n g e n t e n e b e n e n . Aber sie kann auch weniger haben, denn eine abwickelbare Fläche hat ja nur oo 1 Tangentenebenen (vgl. z. B. Satz 15, I 8, 293). Dies führt uns zu einer umgekehrten Fragestellung: Es sei eine stetige Schar von unendlich vielen Ebenen gegeben. Es wird dann gefragt, ob es eine Fläche giebt, die alle diese Ebenen berührt. Da die Schar der Ebenen höchstens von zwei willkürlichen Grössen u und v abhängen darf, so wird sie durch eine Gleichung von der Form zu geben sein: (6)

A(u, v) i + B(u, v) ^ + C(u, v)i = D («, v).

24

Erster Abschnitt:

Das Bogenelement der Fläche.

Wenn nun von den drei V e r h ä l t n i s s e n der vier Grössen A, B, C, B zwei von einander unabhängige Functionen von u und v sind, so enthält die Schar (6) sicher oo 2 Ebenen. Andernfalls liegen nur oo 1 Ebenen vor, und wir wissen, dass oo 1 Ebenen die Tangentenebenen einer abwickelbaren Fläche sind, vgl. § 5, I S. 289 u. f. Da dieser Fall schon erledigt ist, setzen wir voraus, dass zwei der Verhältnisse der Grössen A, B, G, I) von einander unabhängig seien. Sollen nun die oo 2 Ebenen (6) die Tangentenebenen einer Fläche sein, so mus8 jede der Ebenen einen Punkt {x,y,z) der fraglichen Fläche enthalten. Da eine Ebene aus der Schar (6) durch Angabe der Werte von u und v charakterisiert wird, so werden die Werte x, y, z auch Functionen von u und v sein. Wären sie bekannt, so läge die Fläche in Parameterdarstellung vor. Nun ist zu fordern, dass die zum Wertepaar u, v gehörige Ebene (6) alle Tangenten (4) des Punktes (x, y, z) enthalte, d. h. dass 1 S A{x + x j +

xvT)

= B

sei für alle Werte von u, v und von t, r, also einzeln: S Ax = B,

Sdxu

= 0,

SAxv

= 0.

Da die erste Gleichung die durch Differentiation nach u oder v hervorgehenden Gleichungen: $Aux

+ $Axu

= BU>

SAvx

+ SAxv

= BV

nach sich ziehen würde, so lassen sich die zweite und dritte Gleichung ersetzen durch: SJux

= BU,

SAvx

=

BV.

Mithin finden unsere Forderungen in den drei Bedingungen (7)

S Ax = B,

$AüX

= BU,

S AvX = BV

für x, y, z ihren vollständigen Ausdruck. Die Discussion dieser Bedingungen teilt man zweckmässig in zwei Fälle: Da von den Verhältnissen von A, B, C, B zwei von einander unabhängig sind, so scheiden wir so: Entweder sind die Verhältnisse von A, B, C allein (ohne B) von einander abhängig oder nicht. Im ersten Fall sind A, B, C, abgesehen von einem gemeinsamen Factor, von einander abhängig. Da wir den gemeinsamen Factor durch Division entfernen können, so können wir dann annehmen, 1

Das Sammenzeichen bezieht sich hier natürlich auch auf cyklische Vertausehung von A, B, 0.

§ 3.

Tangentenebenen einer Fläche.

25

dass A, B, C alle drei Functionen e i n e r Function co{u, v) seien, sodass die Gleichung (6) so lautet: A{a>)i + B (®) t) + C(a) i = D(u, v). Alsdann darf aber I ) nicht eine Function von m allein sein.

Die

Bedingungen (7) sind hier:

Die beiden letzten Gleichungen widersprechen einander, da die Functionaldeterminante von a> und I ) von Null verschieden ist. E s giebt also hier k e i n e Lösung unserer Aufgabe. Im vorliegenden F a l l e sind alle oo 2 Ebenen der gegebenen Schar den Ebenen A{w)i

+ B{w)\) + C(ÜJ)J = 0

durch den Anfangspunkt parallel. Diese letzteren sind aber nur oo 1 Ebenen, die also einen K e g e l umhüllen. In dem anderen Falle, dass die Verhältnisse von A, B und C allein von einander unabhängig sind, gilt dies auch von den Verhältnissen der Coefficienten von j , t), j, sobald wir die Gleichung (6) durch Division mit T) auf die Form (8)

Az + Bt) +

Ch=l

gebracht haben. Diese ßeduction ist übrigens unmöglich, wenn D = 0 ist, d. h. alle oo 2 Ebenen die Ebenen durch den Anfangspunkt sind. Jetzt haben die Gleichungen (7) die F o r m : (9)

SAx=l,

SAux

= 0,

SAvx

=

0.

Ihre Determinante hinsichtlich x, y, z ist, wie man durch Ausrechnung sieht, gleich der Funtionaldeterminante von A: C und B: C (vgl. I S. 81), multipliciert mit C3. Wäre sie gleich Null, so wäre entweder C = 0 , was wir aber dadurch ausschliessen können, dass wir die Coordinaten vertauschen, denn zwei der drei Grössen A, B, C sind j a von Null verschieden, oder aber es wären A: C und B: C gegen die Voraussetzung von einander abhängig, nach Satz 54, I S. 82. Also sind die Gleichungen (9) nach x, y, z auflösbar. Sind zwei der Functionen x, y, z von u und v, die sich aus (9) ergeben, von einander unabhängig, so stellen die Auflösungen eine F l ä c h e in den laufenden Coordinaten x,y,z, ausgedrückt mittels der Parameter u und v, dar, und die oo 2 gegebenen Ebenen sind ihre Tangentenebenen. Wenn dagegen die drei Lösungen x, y, z von einander abhängige Functionen von u und v sind, so stellen sie eine

26

Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

C u r v e dar (vgl. S. 4), die von den oo 2 gegebenen Ebenen berührt wird. Sind endlich die drei Lösungen x, y, z Constanten, so ergeben sie einen P u n k t , durch den alle oo 2 gegebenen Flächen hindurchgehen. Das Gleiche liefert der Fall D = 0. Unser Ergebnis ist somit, wenn wir in dem zweiten Hauptfall wieder von der speciellen Form (8) zur allgemeinen (6) zurückkehren : Satz 7: L i e g t e i n e S c h a r von oo 2 E b e n e n in d e n l a u f e n den C o o r d i n a t e n t), j vor: A (u, v) S + B{u, v)\) + C{u, v) § = D (w, v), a u s g e d r ü c k t m i t t e l s z w e i e r P a r a m e t e r u u n d v, so g i e b t es d a n n und n u r d a n n eine F l ä c h e , die alle diese E b e n e n b e r ü h r t , wenn die Auflösung der drei Gleichungen: Ax

+ By

+ Cz = B ,

Ky

¿u* + + = A ' A v x + B v y + C v z = Dv n a c h x, y, z m ö g l i c h i s t , u n d z w a r s t e l l e n die L ö s u n g e n die F l ä c h e i n d e n l a u f e n d e n C o o r d i n a t e n x, y, z, a u s g e d r ü c k t m i t t e l s d e r P a r a m e t e r u u n d v, d a r . D i e s e F l ä c h e r e d u c i e r t s i c h auf e i n e C u r v e , w e n n die L ö s u n g e n x, y, z von e i n a n d e r a b h ä n g i g e F u n c t i o n e n von u u n d v s i n d , u n d a u f e i n e n P u n k t , w e n n die L ö s u n g e n C o n s t a n t e n sind. I s t d i e A u f l ö s u n g d e r G l e i c h u n g e n u n m ö g l i c h , so s i n d a l l e oo 2 F l ä c h e n d e n T a n g e n t e n e b e n e n e i n e s K e g e l s parallel. Da parallele Ebenen in der Auffassung der projectiven Geometrie (vgl. I S. 327 Anm. u. I S. 339) eine unendlich ferne Gerade gemein haben, so ist der letzte Fall der, dass je oo 1 Ebenen der Schar eine Gerade im Unendlichfernen gemein haben, sodass es in der unendlich fernen Ebene eine Curve giebt, die von den oo 2 Ebenen berührt wird, nämlich die Schnittcurve des erwähnten Kegels mit der unendlich fernen Ebene. Reduciert sich der Kegel auf eine Gerade, so reduciert sich die unendlich ferne Curve auf einen Punkt. Das Hauptergebnis unserer Betrachtungen ist dies: E i n e S c h a r v o n oo 2 E b e n e n u m h ü l l t im a l l g e m e i n e n e i n e F l ä c h e . (Vgl. I S. 140.)

§ 4.

§ 4.

Fortschreitungsrichtungen

von einem Flächenpunkte

aus.

27

Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte aus.

Wir kehren zur Betrachtung der Tangentenebenen einer gegebenen Fläche: (1)

x = cp {u, v),

y =

z = y (u, v)

{u, v),

zurück, deren Bogenelement ds durch die Formel: (2)

ds2 = Edu2

+ 2 F d u dv+

G dv2

ausgedrückt sei. Wir haben gesehen, dass die Tangentenebene des Flächenpunktes (u, v) in den laufenden Coordinaten f , t), j die Gleichung hat (vgl. (5), S. 20): S( ) 3

x

xu

^ - y

yu

i ~

Z

u

Z

v

X

=

yv

0.

v

Z

Die Gerade, die im Berührungspunkt (u, v) auf der Tangentenebene senkrecht steht, heisst die N o r m a l e der F l ä c h e im P u n k t e (w, v). Ihre Richtungscosinus sind nach (3) den drei Grössen:

proportional. Da die Summe der Quadrate dieser drei Grössen nach (14), S. 18, gleich B2 oder HG - F2 ist, so sind: \ (4) iA

ay =

y*

~

y* ,

x rv = — »-

x

* , y

« y»- y»x»

x

die R i c h t u n g s c o s i n u s X, Y, Z d e r N o r m a l e n . Dadurch, wir D und nicht — B geschrieben haben, ist der Normale im Fall eines reellen Flächenpunktes mit reellen Parameterwerten ein p o s i t i v e r S i n n beigelegt worden. Wir merken hier einige öfters anzuwendende Formeln an. nächst ist augenscheinlich: S X 2 = 1,

ferner:

S U

S Xxu = 0,

(5)

u

= 0,

8 2 I „ = 0,

8 I x t = 0.

Ferner ist nach (4): u — z y u = r,{^u+zu)xo

Yz

- (y„y„ +

u v)xJ-

z z

Zu-

28

Erster Abschnitt:

Das Bogenelement der Fläche.

Wenn wir in der grossen Klammer x*xv hieren, so kommt nach (7), S. 15: Yz u - Z yJ u =

addieren und subtra-

Exv - Fxu D

Analog ergiebt sich überhaupt die Reihe von Formeln: Exv - Fxu D (6) -

=

Yz 1)— ZyJ V

Eyv - Fyu ü Exr — F zu D

Zx

- Xz

XyJv -

=

=

Fxv - Oxu D Fy,

-

D F%r — Oxu Yx v = D

Auch folgt: X

X

v

X

Vu Z

yv

Y

z..

Z

u

(7)

=

B

wenn man die Determinante nach der letzten Reihe entwickelt und die Werte (4) benutzt. Die Formeln (4) für die Richtungscosinus der Flächennormale enthalten D im Nenner und sind daher nicht brauchbar, wenn D gleich Null ist. Ist dies in einem Flächenpunkte (u, v) der Fall, so hat dort die Tangentenebene (3) eine solche Gleichung: in der Ä2 + B2 + Ca = 0 ist. Die Normale zu dieser Ebene hat keine Richtungscosinus und ist daher eine Minimal g e r a d e (vgl. I S. 142). Nach Satz 48, I S. 339, ist die Tangentenebene folglich zugleich Tangentenebene des Kegels von Minimalgeraden, die durch den betrachteten Flächenpunkt gehen, d. h. der N u l l k u g e l des Punktes. Die Fläche wird also in denjenigen Punkten, in denen D = 0 ist, von den zugehörigen Nullkugeln berührt. Fragen wir nach denjenigen Flächen, auf denen überall D = 0 ist. Sie müssen überall von den zugehörigen Nullkugeln berührt werden. Da nun alle Nullkugeln durch Schiebung aus dem Kegel der Minimalgeraden durch den Anfangspunkt hervorgehen (vgl. I S. 336), so sind die Tangentenebenen aller Nullkugeln den Tangentenebenen dieses einen Kegels parallel. Nach dem letzten Absatz des Satzes 7, S. 26, giebt es keine Fläche, die alle diese Tangentenebenen berührt. Hieraus folgt, dass eine Fläche, auf der überall D = 0 ist, nur oo 1 Tangentenebenen hat, die zugleich Tangenten-

§ 4.

Fortsehreilungsrichtungen

von einem Flächenpunkte aus.

29

ebenen von Nullkugeln sind. Nach Satz 15, I S. 293, ist die Fläche mithin eine abwickelbare Fläche. Ihre Gratlinie wird überall von der zugehörigen Nullkugel berührt und ist daher eine Minimalcurve. Die Gratlinie kann sich auf einen Punkt reducieren, dann ist die Fläche selbst eine Nullkugel; insbesondere gehören auch die Cylinder von Minimalgeraden hierzu. Also haben wir gefunden: Satz 8: Die G r ö s s e l)i = EG - F2 ist n u r an solchen S t e l l e n e i n e r F l ä c h e g l e i c h Null, in d e n e n die F l ä c h e von d e r z u g e h ö r i g e n N u l l k u g e l b e r ü h r t wird. Satz 9: Die F l ä c h e n , auf denen ü b e r a l l D* = EG — F* g l e i c h Null ist, sind die T a n g e n t e n f l ä c h e n der M i n i m a l c u r v e n , i n s b e s o n d e r e die N u l l k u g e l n u n d die C y l i n d e r von Minimalgeraden. Dass bei der Kugel auf S. 18 die Grösse D in den Polen (m = + i n) gleich Null ist, giebt deshalb nicht zu einer Folgerung im Sinne des Satzes 8 Anlass, weil diese Pole bei der gewählten Parameterdarstellung nach S. 6 überhaupt aiiszuschliessen sind. Nebenbei sei bemerkt, dass D = 0 die Bedingung dafür ist, dass das Quadrat des Bogenelementes als vollständiges Quadrat (yid u + ytr d vf geschrieben werden kann. — Nach dieser Einschaltung kehren wir zur allgemeine Betrachtung zurück. Auf der gegebenen Fläche (1) lassen wir den Punkt (u, v) sich dadurch bewegen, dass wir nur u ändern, während v seinen Wert behalten soll. Dann beschreibt der Punkt eine Parameterlinie (v). Die Richtungscosinus ihrer Tangente sind proportional den Ableitungen xu, yu, zu von x, y, z nach u. Da die Summe der Quadrate dieser Ableitungen gleich E ist — nach (7), S. 15 —, so sind ^

yTXu'

YeVu'

yTZu

die Richtungscosinus selbst. Ebenso hat die Tangente der durch den Punkt (u, v) gehenden Parameterlinie (m) dort die Richtungscosinus: l l l (9) yo*" W2'"' Wir nennen im r e e l l e n Fall diejenigen Richtungen der Tangenten positiv, für deren Cosinus die Q u a d r a t w u r z e l n ' a u s den positiven Grössen E und G p o s i t i v sind, d. h. diejenigen Richtungen, längs deren u bez. v zunimmt. (Vgl. I S. 168).

30

Erster Abschnitt:

Das Bogenelement der Fläche.

Erinnern wir uns daran, dass die Linien (v) und (u) nach S. 9 die natürliche Verallgemeinerung der Geraden y = Const. und x = Const. in der xy-Ebene sind, so liegt es im reellen Fall nahe, in der Tangentenebene diejenige Drehung als positiv zu bezeichnen, vermöge deren die Tangente der Linie (i>) in die der Linie (w) übergeht. Siehe Fig. 5. Wir behaupten, dass diese Drehung, sobald man sie von der positiven Seite der Normalen aus betrachtet, in demselben Sinn stattfindet, wie die Drehung in der x »/-Ebene von der .r-Axe zur y-Axe, sobald man die Fi g- 5xy-Ebene von der positiven z-Axe aus betrachtet. Wenn wir nämlich für den Augenblick das Axenkreuz durch eine Bewegung in eine solche Lage (j, t), j) bringen, dass der Flächenpunkt der Anfangspunkt, die positive Tangente der Curve (v) die f-Axe und die positive Normale die j-Axe wird, so werden sich M, G und B = ^EG — F2 dabei nach Satz 6, S. 16, nicht ändern, während £, t), 3 jetzt solche Functionen von u und v sein müssen, für die die Richtungscosinus (8) im betrachteten Punkte die Werte 1, 0, 0 und die Richtungscosinus (4) die Werte 0, 0, 1 haben. Bei dieser Annahme ist deshalb im Flächenpunkt

Si-y-

I i = 0, öu

Ii = JL, dv

Ye'

^8 u = 0, I i = 0,

dv

sodass die Richtungscosmus (9) die Werte bekommen: l 'dS D -^f 0. Vg

yE]/G

dv

In der neuen j ty-Ebene — der Tangentenebene — liegt mithin die Tangente der Curve (u) so, dass sie mit der positiven j-Axe einen Winkel a> — im Sinne der Drehung von der j- zur t)-Axe — bildet, für den l—= —^ öi , . CO = —r^—rr D cos co = — Sin ya

dv

und daher sin co positiv ist.

yEyo

Folglich liegt co zwischen 0 und n,

£ •/. Fortsc.hreitungsriohtungen von einem Flächenpunkle aus.

31

was eben aussagt, dass die Drehung, durch die wir die Tangente der Curve (u) in die der Curve (u) überführen, gerade im Sinne der Drehung der j-Axe zur tj-Axe hin stattfindet. Abgesehen davon also, dass der Winkel der Parameterlinien im Punkte (u, v) kein rechter ist, sind jetzt die Tangente der Curve (v), die Tangente der Curve (u) und die Normale gerade so gegen einander orientiert, wie die neuen Coordinatenaxen und also auch gerade so wie die alten Coordinatenaxen. Die Formel (10)

sin® = ———— Ye yo

gilt nach Satz 6, S. 16, auch im alten .Coordinatensystem (x, y, z), zu dem wir jetzt zurückgreifen. Der Wert von cos a> kann als Summe der Producte der Richtungscosinus (8) und (9) direct berechnet werden: 1 1 o —— cos oj = S x —==. x y'E " VG " oder nach (7), S. 15: F (11) cos m _ ,_.. v y ysya Geht der Punkt (w, v) in den Punkt (u + du, v) über, so legt er das Bogenelement zurück: (12)

dus = -]/J:du,

geht er dagegen in den Punkt (•«, v + dv) über, so legt er das Bogenelement (13)

dvs = -\/Gdb

zurück. Sind du und dv positiv, so bilden die alsdann positiven Elemente d.s und ds den (*•) iuiäuj Winkel m mit einander. Die vierte Ecke des durch beide Elemente bestimmten Parallélogrammes (siehe Fig. 6) wird erreicht, wenn sowohl u um du als auch v um dv (vt dv) zunimmt. ' Die Richtung, die der •M Punkt (u, v) auf der Fläche oder auf seiner Tangentenebene einschlägt, wenn u und v um Incremente du und dv wachsen, deren Verhältnis dv.du = h g e g e b e n ist, finden wir daher

32

Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

so: Auf den positiven Tangenten der Parameterlinien (v) und (a) des Punktes (u, v) tragen wir von diesem Punkte aus Strecken ab, die sich wie TjEdu zu )/Gdv oder also wie j/i? zu k^ G verhalten, und vervollständigen das durch diese beiden Strecken bestimmte Parallelogramm, dessen Diagonale dann die gesuchte Richtung giebt. J e nachdem dabei d u positiv oder negativ angenommen wird, wird diese Richtung im Sinne vom ursprünglichen Punkt (u, v) zur Gegenecke oder im entgegengesetzten Sinn, also nach rückwärts über den Punkt. (u, v) hinaus, eingeschlagen. Nehmen wir zwei Werte k und x für dv.du an, so gehören zu ihnen zwei Tangenten des Punktes (u, v). Längs der ersten ist dann =.{xu + kxv):{yu + kyv):{zu + kzv), dx-.dy.dz und die Summe der Quadrate der Klammern rechts ist nach (7), S. 15, gleich: E + 2 Fk + G k2, sodass wir durch Division der Klammern mit der Quadratwurzel hieraus die Richtungscosinus der Tangente (k) erhalten. Wird die Wurzel positiv gewählt, so ist die Fortschreitungsrichtung diejenige, bei der d u positiv ist. Entsprechendes ergiebt sich bei der zweiten Tangente. Für den Winkel a beider ist also: 3 (Xu+ k xv) (vu + x x,i) lUo Cc — \'(K + 2Fk + Ok2)(E + 2 Fx+Gx*)

Nach (7), S. 15, kommt daher: Satz 10: Auf e i n e r F l ä c h e mit den P a r a m e t e r n u u n d v h a t d e r Cosinus d e s j e n i g e n W i n k e l s a , den zwei vom P u n k t e (u, v) a u s g e h e n d e T a n g e n t e n (d v : d u = k) u n d {dv.du = x) m i t e i n a n d e r b i l d e n , den W e r t : COS u =•

E + F(k + x) + Gkx •)/(£+ 2Fk + Ok1)(E+ 2Fx + Ö*2)

und zwar ist die Q u a d r a t w u r z e l im r e e l l e n F a l l p o s i t i v a n z u n e h m e n , wenn bei b e i d e n F o r t s c h r e i t u n g s r i c h t u n g e n du positiv ist. Stehen die beiden Richtungen auf einander senkrecht, so ist cos a — 0. Dies tritt ein, wenn (14)

E+ F{k + x) + Gkx = 0

§ 4.

Fortschreitungsrichtungen

von einem Flächenpunkte

aus.

33

ist, vorausgesetzt dass der Nenner in der Formel für cos u nicht auch gleich Null ist. Aber wenn etwa auch (15)

E + 2Fk

+ Gk2 = 0

wäre, so gäbe die Elimination von k aus beiden Gleichungen: Fx + Gx2) =

D(E+2

0,

also entweder D = 0 oder E+

2 Fx + Gx2 = 0 .

Wäre letzteres der Fall, so wäre hiernach und nach (15): Ä,

,

_

+ x —

2

F ^ ,

. _ E ftx — -Q-,

sodass die Substitution dieser Werte in (14) doch D = 0 ergäbe. Also können wir sagen: Satz 11: Zwei F o r t s c h r e i t u n g s r i c h t u n g e n (A) u n d (x) d u r c h e i n e n F l ä c h e n p u n k t (u, v) sind zu e i n a n d e r s e n k r e c h t , wenn E + F{k + x) + G k x = 0 i s t , v o r a u s g e s e t z t , d a s s d a b e i D — ^'EG — F2 n i c h t g l e i c h N u l l ist. Da eine Differentialgleichung Ä(u, v) d u2 + 2 B(u,

v) du dv + C(u, v)dv2

= 0

1

nach Satz 5, S. 13, zwei Scharen von je oo Curven auf der Fläche definiert, so können wir uns fragen, unter welchen Bedingungen diese beiden Scharen einander überall senkrecht schneiden oder also, wie wir sagen (vgl. I S. 110), ein O r t h o g o n a l s y s t e m bilden. Die Differentialgleichung giebt, als quadratische Gleichung für dv.du aufgefasst, für jeden Punkt (u, v) der Fläche die Fortschreitungsrichtungen (k) und {x) der durch den Punkt gehenden Curven der beiden Scharen. Daher ist k + x = -

kx =

~ -

Setzen wir diese Werte in die Orthogonalitätsbedingung des Satzes 11 ein, so kommt: Satz 12:

Die d u r c h die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g

A(u, v)du2

+ 2B{u,

v)dudv

definierten beiden Scharen SCHEFFEBS, Geom. Diffr. II.

+ C(u, v)dv2

= 0

von j e oo 1 C u r v e n auf 3

einer

34 F l ä c h e mit den P a r a m e t e r n u und v bilden, vorausgesetzt, d a s s D = yH G — F% n i c h t g l e i c h N u l l i s t , ein O r t h o g o n a l system dann und nur dann, wenn 2 F ß + GA = 0

EC-

f ü r b e l i e b i g e W e r t e von u u n d v ist. Da insbesondere dudv = 0 die Differentialgleichung der Scharen von Parameterlinien ist und hier also Ä = C = 0 zu setzen wäre, so folgt: Satz 13: D i e P a r a m e t e r l i n i e n (u) u n d (v) e i n e r F l ä c h e , auf d e r D = yEG — ~F* n i c h t g l e i c h N u l l i s t , b i l d e n ein O r t h o g o n a l s y s t e m , w e n n F f ü r b e l i e b i g e W e r t e von u u n d v g l e i c h N u l l ist. Ist F nicht überall gleich Null, so giebt die Forderung F= 0 als Gleichung zwischen u und v nach Satz 3, S. 11, im allgemeinen eine Curve, in deren Punkten die Parameterlinien einander senkrecht schneiden. Diese Curve kann sich auf einen Punkt reducieren, ja es kann vorkommen, dass F nirgends gleich Null ist. Beispiel:

Auf der K u g e l

x — r cos u cos v, ist F nach S. 18 gleich Null. Meridiane einander senkrecht.

y = r cos u sin v,

x = r sin u

In der That schneiden die Breitenkreise und

Wählen wir auf der Fläche eine Schar von oo 1 Curven ganz beliebig, etwa so, dass sie die Differentialgleichung du

= l v(w, v) '

erfüllen, so können wir die Differentialgleichung der zu dieser Schar orthogonalen Schar leicht aufstellen. Hätte sie die Form dv

.

.

so müssten eben X und fi nach Satz 11 die Bedingung: E + F{1 + n) + Gin

= 0

erfüllen. Hieraus aber lässt sich die Function ¡i (u, v) berechnen. Der unendlich kleine Inhalt dJ des in Fig. 6, S. 31, dargestellten Parallelogramms mit den Seiten dus und dvs ist (vgl. I S. 118) d J = d Us - Vd s • sin a>,7

§ 4.

Fortschreitungsrichtungen

von einem Flächenpunkte

aus.

35

mithin nach (10), (12) und (13) (16)

dJ=

D du

dv.

Also: Satz 14: D i e G r ö s s e D = ] / E G — ist, m ultipliciert m i t du u n d dv, g l e i c h d e m I n h a l t d e s P a r a l l e l o g r a m m s d e r v i e r P u n k t e {u, v), (w + du, v), (u, v + dv), (u + du, v + dv) auf der Fläche. Insbesondere: Satz 15: D a s v o n u n e n d l i c h b e n a c h b a r t e n P a r a m e t e r c u r v e n (w), (u + s), (u + 2e) . . . bez. («), (v + e), (v + 2e) . . . geb i l d e t e C u r v e n n e t z auf e i n e r F l ä c h e b e s t e h t d a n n u n d n u r d a n n aus l a u t e r gleich grossen P a r a l l e l o g r a m m e n , wenn D = ^E G — ~F2 auf d e r F l ä c h e c o n s t a n t ist. B e i s p i e l : In der xx-Ebene sei eine Gerade im Abstander parallel zur s-Axe gelegt. Sie werde um die x-Axe gedreht, sodass sie einen R o t a t i o n s c y l i n d e r erzeugt. Da derjenige Punkt der Geraden, der zuerst die s-Coordinate u hat, bei der Drehung, sobald der Winkel » zurückgelegt ist, in den Punkt x = r cos v ,

y — r sin v ,

% = u

übergegangen ist (siehe Fig. 7), so sind diese drei Gleichungen eine Parameterdarstellung des Rotationscylinders. Hier ist ¿ 7 = 1 , F=0, Q — r*, daher D = r. Die Sätze 13 und 15 werden hier bestätigt.

Unter den FortschreitungsrichFig. 7. tungen (dv.du) von einem Flächenpunkte (u, v) aus sind auch zwei enthalten, für die das Quadrat des Bogenelementes : ds2

= Edu2

+ 2 Fdudv

+

Gdv2

gleich Null ist. Dies kann natürlich nur für imaginäre Fortschreitungsrichtungen der Fall sein, was analytisch auch daraus folgt, dass auf einer reellen Fläche mit reellen Parametern u und v die Grösse E G — F2 nach S. 18 nie negativ ist. Die Differentialgleichung : Edu2

+ 2 Fdudv

+ Gdv2

= 0

definiert also zwei imaginäre Scharen von je oo 1 Curven auf der Fläche, längs deren überall das Bogenelement gleich Null ist, also zwei Scharen von M i n i m a l c u r v e n (vgl. I S. 164). Diese beiden

36 Scharen fallen nur dann zusammen, wenn die Differentialgleichung auf die F o r m : {ccdu + ßdvf = 0 gebracht werden kann, d. h. wenn EG — F2 = 0 ist. Daher nach Satz 9, S. 29:

(Vgl. S. 29.)

Satz 16: J e d e F l ä c h e e n t h ä l t z w e i S c h a r e n v o n j e oo 1 M i n i m a l c u r v e n , d i e n u r d a n n in e i n e S c h a r , n ä m l i c h in e i n e S c h a r von M i n i m a l g e r a d e n , z u s a m m e n f a l l e n , wenn die F l ä c h e die T a n g e n t e n f l ä c h e einer M i n i m a l c u r v e ist. D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e r M i n i m a l c u r v e n auf d e r F l ä c h e ist: Edu2+ 2 Fdudv + Gdv2 = 0 . Insbesondere sind die Parameterlinien selbst die Minimalcurven, wenn diese Differentialgleichung die F o r m du dv = 0 hat. Also: Satz 17: D i e P a r a m e t e r l i n i e n (u) u n d (v) e i n e r F l ä c h e sind d a n n u n d n u r d a n n i h r e M i n i m a l c u r v e n , w e n n das Q u a d r a t des B o g e n e l e m e n t e s die F o r m hat: ds2 = 2

Fdudv,

2

d. h. v o n d e n G l i e d e r n i n du u n d dv2 f r e i ist. Natürlich gehören dann zu reellen Punkten der Fläche imaginäre Werte der Parameter. § 5. Flächentreus Abbildung von Flächen. Liegt irgend eine Fläche vor: (1)

x =

),

y = x («, »),

z = if> [u, v),

so kann man sie auf unendlich viele Weisen P u n k t f ü r P u n k t a u f d i e E b e n e a b b i l d e n , d. h. man kann auf unendlich viele Weisen jedem P u n k t (w, v) der Fläche einen P u n k t (f, t)) einer Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten £ und t) gesetzmässig zuordnen. Dies geschieht einfach dadurch, dass man 5 und t) irgend wie als Functionen von u und v giebt: (2)

£=«!(«,»),

t)=W(u,v).

Nur muss man noch ausmachen, dass und W von einander unabhängige Functionen sein sollen. Denn sonst wäre etwa W eine Function von allein: (3)

V=m(®),

§ 5.

Flächentreue Abbildung von Flächen.

37

sodass die Bildpunkte (y, 9) der Flächenpunkte nach (2) an die Gleichung 9 = ®(S) gebunden wären, geometrisch ausgesprochen: auf einer C u r v e lägen. Dann wären also alle oo 2 Punkte (u, v) der Fläche vermöge der Formeln (2) als die oo 1 Punkte einer Curve in der Ebene abgebildet. J e oo 1 Punkte der Fläche hätten denselben Bildpunkt, nämlich jedesmal solche c o 1 Punkte (u, v), für die oder V für gewisse Werte von u und v Unbestimmtheiten darbieten. E s kann also immerhin bei einer nicht ausgearteten Abbildung doch ausgeartete Stellen (Punkte oder Curven) geben. W i r müssen uns auf einen solchen Teil (u, v) der Fläche beschränken, für den