Analytische Geometrie der Ebene [2nd rev. ed.] 9783111721200, 9783111005010

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August Baumeister dem hochverdienten Schulmann de;m B e g r ü n d e r d e s d e u t s c h e n h ö h e r e n S c h u l w e s e n s in den Reichslanden

in Dankbarkeit und Verehrung

gew i d m e t .

Sammlung Göschen

Analytische

Geometrie der Ebene von

Max Simon Strassburg i. E. Mit 57 A b b i l d u n g e n

Zweite; verbesserte Auflage

Leipzig G. J. Göschen'sche Verlagshandlung 1900

Alle Rechte, insbesondere das U e b e r e e t z u n g e r e e h t , von der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n .

Inhaltsverzeichnis, I. Abschnitt. Koordinaten und Punkt § § § §

1. 2. 3. 4.

S, für kleiner o; in III ist < o; y < o; in IV ist > o, y < o. Nach dem sogenannten D r o b i s c h'schen Prinzip der Umkehrbarkeit eindeutiger Zuordnungen (das aber schon früher von M ö b i u s aufgestellt ist) sind diese Sätze umkehrbar. Die hier zur Ortsbestimmung verwandten Koordinaten heissen P a r a l l e l k o o r d i n a t e n , auch nach Descartes (Cartesius), der 1637 in „La geometrie" das erste Werk über analytische Geometrie veröffentlichte, C a r t e s i a n i s c h . Uebrigens kannten schon die Hell e n e n die Methoden der analytischen Geometrie und F e r m a t hat unabhängig von Descartes und mit weit grösserer Klarheit sich ihrer bedient. § 2. Polarkoordinaten. Durch einen Punkt 0, den N u l l p u n k t oder Pol (griechisch, so viel wie Drehpunkt), zieht man einen Strahl OA (Fig. 3), die P o l a r a x e (auch A e schlechtweg); dann bestimmt irgend ein Punkt P durch seine Lage die Länge von OP und den Winkel AOP zwischen der OA und OP. Dieser Winkel wird als durch Drehung im positiven Sinne (cf. § 1), durch positive Drehung, erzeugt betrachtet, und dieser Sinn wird,

14

· Abschnitt. Koordinaten und Punkt.

wenn nichts besonderes festgesetzt ist, stets vorausgesetzt, so dass z. B. AOP undPOA zusammen4Rechte sind. Lässt man, wie meistens, zu, dass der sich drehende Strahl die Ebene beliebig oft bedeckt, so ist Winkel AOP durch die Lage von P nur bis auf beliebige Vielfache von 4 Rechten bestimmt. Der Strahl OP heisst L e i t s t r a h l oder r a d i u s v e c t o r , auch bloss radius oder bloss vector des Punktes P, und ebenso

Fig. 3.

wird die absolute Länge von OP genannt und meist mit r bezeichnet. Der W i n k e l AOP w i r d n i c h t in G r a d - , s o n d e r n in B o g e n m a s s gemessen. [ E r k l ä r u n g v o n B o g e n m a s s : Da der Winkel sich zur Ebene verhält, wie jeder Bogen zwischen seinen Schenkeln, dessen Centrum im Scheitel liegt (Centriwinkel), zum Vollkreis, so hat man die Proportion ^^ = ooU

, wo

die Zahl der Grade des Winkels,

§ 2. Polarkoordinaten.

15

l den Bogen, r den Radius, n die Ludolph'sche Zahl bedeuten: also l/r = φ π/180, l/r wird als arcus φ (abgek rzt arc φ) bezeichnet und giebt das Bogenmass des Winkels. Man geht also vom Gradmass zum Bogenmass (besser a b s o l u t e n Mass) des Winkels ber, wenn man die Gradzahl mit π/180 multipliziert, umgekehrt vom absoluten zum Gradmass, indem man mit 180 — multipliziert. Dabei ist f r jede Minute 1leo°i f r jede Sekunde -^—^ bU . ou

zu setzen, so dass also ein

Winkel von 20° 11' und 3" die Gradzahl φ T = 20+χκ t>U 3 ~f" firt /.n hat, dem rechten Winkel entspricht im Bogen\_7 » UvJ

mass — , dem flachen Winkel π. —] ύ

Der in Bogenmass gemessene Winkel A O P wird meist mit & bezeichnet und heisst P h a s e , A m p l i t u d e oder R i c h t u n g s b o g e n des Punktes P. Die letztgenannte Bezeichnung r hrt davon her, dass, wenn man l r

φ it

in der Proportion — = —-±. f r r die L ngeneinheit w hlt (in der Fig. 2 der Centimeter), arc φ die Masszahl des zum Centriwinkel λ on ψ° geh rigen Bogens im Kreise mit dem Radius l ist, und daher mit diesem Bogen identifiziert wird. Hier ist sofort klar, dass, wie der Punkt r und & — letzteres abgesehen von Vielfachen von 2 Λ — bestimmt, 'so umgekehrt r und £ den Punkt bestimmen, sie sind daher nach Definition in § l Koordinaten und heissen: P o l a r k o o r d i n a t e n .

16

I. Abschnitt. Koordinaten und Punkt.

Da Koordinaten und Punkt aich gegenseitig bestimmen, so müssen die Parallel- und Polar-Koordinaten desselben Punktes sich gegenseitig bestimmen. Bei gemeinsamem 0 und wenn -f-X zugleich die Polaraxe, ist: rsin(w — genommen werden darf Diese Festsetzung deckt sich mit der, dass # der Winkel sein soll, der entsteht, wenn man OA im e n t g e g e n , g e s e t z t e n S i n n e des U h r z e i g e r s sich so lange drehen lässt, bis es mit OP zusammenfällt. Ist w = 90°, so ist: r

J

^7 v

;r J

* w

· v

9

O f

J l

% 3. Punkte. Gegeben ein Parallelkoordinatensystem, Axenwinkel w (Fig. 4). Sei A ein Punkt mit den Koordinaten Xj und yt, oder kurz sei A der Punkt (xlt y x ), indem man eine symbolische Gleichung ansetzt: Punkt A |(Xj, yj, gelesen A äquivalent (x1} yt), was nichts anderes heissen soll, als dass der Punkt A und die "Werte x, yt der Koordinaten sich gegenseitig bestimmen. Sei B |(x„ ya) ein zweiter Punkt, dann ist sofort der Abstand d der Punkte A und B, die Streckenlänge AB, gegeben,

§ 3. Punkte.

17

Bowie der "Winkel «, um welchen man den durch A zu -f- X gezogenen Parallelstrahl (positiv) drehen damit er in die Lage AB komme. Es ist dann 2) d 2 =(x 2 —χ ) 8 ~i~(y2 — 7ι) 2 ~Ι~2; χ, — x.) (y„—y ) sin a v —v = ^—ii. Ist w = 90°, so ist: sin(w — a) x2 — Xi

2*) d'^fr-xj'+iy.-y,)'; t ga =

Fig. 4.

F r den Inhalt J des Dreiecks OAB ergiebt sich 2 ) J = + V8 "a w (x! ya — X2 Yi ) > ^enn z^en*man ^θ Huf8· linie O M (Fig. 5), so ist 2 Δ A M B = Parallelogramm A M B F ; 2 Δ Ο Μ Β = Parallelogramm M B G H ; 2 Δ O-M A = Parallelogramm K M A L , mithin 2J = OGFL — OHMK;2J=x 1 y s t sinw— s^y^inw. Sei M{(^/T?) die Mitte von AB, dann ist nach dem Satz von der Mittellinie im Paralleltrapez: b

3) ^ - - ( 8 i m o n. Analytische Geometrie der Ebene.

18

I. Abschnitt. Koordinaten und Punkt.

Die Gleichung 3 gilt, wie alle bisherigen, allgemein, d. h. welche Werte auch χ und y haben, bezw. in welchen Teilen der Ebene die Punkte A und B liegen m gen. — Ist £ = 0, so liegt M auf der Y-Axe · ist »7 = 0, so liegt M auf der X-Axe, sind | und η beide 0, so f llt M auf 0. Sei z. B. A BCD ein Parallelogramm, die Aufeinanderfolge so, dass man beim

κ Fig 5.

Umgang von A nach B, B nach C etc. stets das Feld der Figur zur Linken hat. W hlt man die Axen so, dass + X parallel AB und -\-Y parallel A D , und seien die Koordinaten der Ecken xx yl etc., so ist die Mitte M von A C {(^ (x, + x3) -^(y.+y,)) und die Mitte N von B D ist {(-l (x2 + xj -l (y, -f y4))· ist aber x =

=

Es

somit ΜΞΝ

§ 3. Punkte.

19

(= Zeichen für: i d e n t i s c h ) , d. h. die Diagonalen dess Parallelogramms halbieren sich gegenseitig. Ist P (Fig. 4) irgend ein Punkt auf A B zwischen A und B, und teilt P die Strecke AB im Verhältnis

0

Fig. 4.

:: l, d. h. so dass A P : B P — ;Z, so ergeben die Sätze vo)m Trapez, bezw. ergiebt die Aehnlichkeit der Dreieclke A P Q und ABC, seine Koordinaten

Sei z. B. A B O ein Dreieck. Die Mitten At ; B1( ; Cj ; der Seiten B C, C A, AB sind dann resp.

Die Punkte, welche A.A^ BBj; CG, von den Ecken auis im Verhältnis 2 : l teilen, seien S, ; S8; S3, dann ist: •

— c*

—u

I V a "

20

I. Abschnitt. Koordinaten und Punkt.

also Sj^S 8 ^S 3 , d. h. die 3 Mittellinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkte und im Verhältnis 2: 1. Teilt Q^f 1 !«? 1 ) die Strecke AB ausserhalb im Verhältnis , d. h. so, dass absolut genommen AQ:BQ = : l ist, so ergiebt sich

Ist , = , so bilden die Punkte A B P Q ein harm o n i s c h e s P u n k t s y s t e m , geschrieben [AB, PQ], A und B bilden das eine Paar, P und Q das andere Paar konjugierter Punkte. Eliminiert man zwischen den Gleichungen für | und bezw. für und , so erhält man 4) fr + *,)($ + $) =20^ (Yi + 7>) (l + l) = 2 (yx Weiss man, dass A B P Q auf derselben Geraden liegen, so ist jede der beiden Relationen 4) die nötige und hinreichende Bedingung dafür, dass die 4 Punkte ein harmonisches System bilden,· d. h. dass P die Strecke A B innerhalb im selben Verhältnis teilt wie Q ausserhalb. Man sagt auch A und B sind durch P und Q h a r m o n i s c h g e t r e n n t und beweist mittelst der einfachsten Sätze aus der Lehre von den Proportionen, dass dann auch P und Q durch A und B harmonisch getrennt sind. — Die Strecken AP und BP sind entgegengesetzt gerichtet, AQ und BQ dagegen gleichgerichtet; um diesen Unterschied zu kennzeichnen, wollen wir sagen, P teile die Strecke AB im Verhältnis — :1, d. h. wir wollen als T eilungs Verhältnis auch n e g a t i v e (ge-

§ 4. Definition der Kurvengleichung.

2l

strichene) Z a h l e n zulassen, und wissen, dass diese nur Punkten i n n e r h a l b AB zukommen, alsdann ist

(7*1—>**a p \ΓΊ=Λ

oder

allgemein f r jeden Wert des λ (oder f*), und es entspricht nicht nur jedem Punkt auf AB ein bestimmter Wert des 2, sondern auch umgekehrt, jedem Wert des λ ein bestimmter Punkt auf AB. Eliminiert man also ΙΛ, in 3b), so erh lt man 5) ' ξ — χ, x2 — x, als n tige und hinreichende Bedingung daf r, dass P in die Gerade AB f llt, und man sieht, dass die die Lage von B beschr nkende Bedingung : auf der Geraden AB zu liegen, sich umsetzt in die Gleichung 5 zwischen den Koordinaten | und η von P, welche ebenfalls die freie Ver nderlichkeit einschr nkt, da nach Wahl z. B. von | durch 5) der Wert der Koordinate η bestimmt ist. Man sieht leicht ein, dass 5) nichts anders aussagt, als die charakteristische Eigenschaft der Geraden in allen ihren Teilen gleiche Richtung zu haben. § 4.

Definition der Kurvengleiclmug und der Koordinaten- oder Analytischen-Geometrie.

Kurve bedeutet eigentlich: krumme Linie, im Gegensatz zur Geraden, aber man braucht es 'gleich« bedeutend mit Linie, indem man die Gerade als Grenzfall der krummen Linien, als Linie mit .der Kr mmung 0 ansieht. Die Kurven, welche die Geometrie 'betrachtet, sind fast ausschliesslich sogenannte- geometrische Orte, d.h. Inbegriffe (Komplexe, Gesamtheiten, Mannig-

22

I. Abschnitt. Koordinaten und Punkt.

faltigkeiten) aller Punkte, denen eine bestimmte Eigenschaft zukommt (proprietas specifica nach Fennat). Z. B, ist die Mittelsenkrechte (oder Syinmetrieaxe) der Ort der Punkte, welche von 2 gegebenen Punkten gleichen Abstand haben, der Kreis der Ort der Punkte, welche vom Centrum den Abstand des Radius haben. Diese spezifische Eigenschaft kann auch durch die Mechanik gegeben werden, z. B. der Inbegriff aller Lagen (Orte) des Schwerpunktes eines Geschosses oder die Bahn eines Punktes eines rollenden Rades, die Kraftlinien eines magnetischen Feldes etc. Die bestimmende Eigenschaft erzeugt die Kurve [wieder] und giebt damit die Koordinaten ihrer Punkte, sie beschränkt, heisst dies, die Veränderlichkeit eines Punktes, der an und für sich in der ganzen Ebene liegen kann, auf die bestimmte Kurve, und damit die Veränderlichkeit der Koordinaten auf die jener Punkte. Eine solche Beschränkung äussert sich aber (man vergleiche die Gleichung 5 am Schluss des vorigen Paragraphen) in Form einer Gleichung zwischen den Koordinaten, wie f(x, y) = 0; y(r, ·#) = (), welcher die Koordinaten aller Punkte der Kurve genügen. Die Zeichen f, und ähnliche, z, B. F, etc. heissen F u n k t i o n s - oder A b h ä n g i g k e i t s z e i c h e n , sie sagen uns, dass zwischen und y, bezw. r und · eine Gleichung besteht, welche diese Grossen gegenseitig bindet, d. h. die Aenderung der einen an die der anderen bindet. Wegen der Aequivalenz zwischen einem Punkt und seinen Koordinaten liegen umgekehrt die Punkte, deren Koordinaten dieser Gleichung genügen, wieder auf der Kurve. Die bestimmende Eigenschaft der Kurve und

§ 4. Definition der Kurvengleichung.

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damit diese selbst lässt sieb, also in eine Gleichung zwischen den Koordinaten umsetzen, und umgekehrt diese Gleichung wieder in jene Kurve, in derselben Weise wie wir ein Tonstück in Noten und die Noten wieder in das Tonstück umsetzen. Das W e s e n der a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e (oder Koordinatengeometrie) b e s t e h t also d a r i n : Die G e s e t z m ä s s i g keit geometrischer Gebilde in Gleichungen zwischen den Koordinaten u m z u s e t z e n , mit diesen nach den Regeln der Algebra zu r e c h n e n u n d d i e g e f u n d e n e n R e s u l t a t e geometrisch zu deuten. Wie also der Punkt äquivalent gesetzt wird einem Wertsystem x, y seiner Koordinaten, so wird die Kurve äquivalent gesetzt einer Gleichung f(x, y) = 0 zwischen den Koordinaten, wobei allerdings noch hervorzuheben ist, dass wir Gleichungen von der Form f(x, y) = 0 und cf(x, y) = 0, wo c eine von 0 verschiedene festgegebene Zahl ist, als identisch ansehen, weil sie durch dieselben Wertsysteme von und y erfüllt werden.

II. Abschnitt. Die gerade Linie. § 5. Die Gerade sei bestimmt a) d u r c h 2 P u n k t e , b) d u r c h l P u n k t und d i e R i c h t u n g . In § 3 ergab sich die Gleichung der Geraden, welche durch 2 gegebene Punkte A {(x,|y,) und B {(X2172) geht. Insofern der Punkt P jeder beliebige

24

Π. Abschnitt. Die gerade Linie.

Punkt der Geraden sein kann, nennt man ihn beweglichen oder l a u f e n d e n Punkt, und bezeichnet ihn (genauer seine Koordinaten) mit χ | y. Dann ist 5) 7Π?ι = Ζι=Α[ X

- Xi

X 2

-Xl L

X

2

X

t - X2.

Die Gleichung 5 l sst sich umformen: man schafft die Nenner weg , streicht auf beiden Seiten x, y, und reduziert auf 0; das giebt abgek rzt D = 0.

Die Bedeutung dieser Form tritt

hervor, wenn man die Gleichung mit — sin w multipli2 ziert (w bezeichnet den Koordinatenwinkel). Man sieht dann, dass nach 2b) -~- sinw(x 1 y 2 — x 2 y t ) der Inhalt des Dreiecks 0 A B ist und — D sin w nichts anderes als Λ

der Inhalt des Dreiecks A B P. Die Gleichung 5a ( quivalent mit 5) sagt also aus, dass wenn P auf der Geraden AB liegt, der Inhalt des Dreiecks A BP verschwindet, ist also wieder die Ueberaetzung einer charakteristischen Eigenschaft der Geraden in die Sprache der Algebra. Umgekehrt ist ebenso klar, dass, wenn Dreieck APB keinen Fl cheninhalt hat, der Punkt P in der Geraden AB liegt. Ist A {(a | o) und B {(o | b), d. h. liegt A in der xAxe und B in der y-Axe, so geht 5) nach leichter Umformung ber in

§ 5. Bestimmungen der Geraden.

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das ist die sogeo. A x e n g l e i c h u n g der Geraden, oder auch A x e n f o r m (der Gleichung) der Geraden; schafft man die Nenner fort, so erhält man xb-f~ya = ab, und daraus (nach Multiplikation mit sin w) den bekannten Satz von der Gleichheit der Ergänzungsparallelogramme; und umgekehrt ist 6) die TJebersetzung dieses Satzes in die Koordinaten-Sprache. y —- y sin et In S — -- - = —r—r -0 3 ergab sich allgemein & ° x2 — Xj sm(w — a) und für ein rechtwinkliges System war dies tg a. Der *

Quotient - —7 -- r bezw. tga heisst der R i c h t u nög sö ^ sin(w — a) f a k t o r der Geraden und werde mit bezeichnet. Eine Vertauschung von (xt |y,) mit (x2 \ y2) bewirkt nur eine Veränderung von um 2 Rechte, ändert also den Wert von nicht, so wenig wie die Vertauschung von xz | ya mit xt \yl· Durch Einführung von geht die Gleichung der Geraden über in v =ir x

y— i ( — *»)· •

Die Gleichung = —- bestimmt dann 0 tg ö - zr cos w die beiden um 2 R. verschiedenen Winkel, welche die von (xjyj ausgehenden Strahlen der Geraden 7) mit -f-X. bilden. Der Parallelismus zweier Geraden ist äquivalent der Gleichheit ihrer Richtungsfaktoren. Ist (Xj |y t ) = (0|b), so erhält man aus 7 7a) y — r x — b = 0. Die linke Seite dieser Gleichung 7a bezeichnet man als Form L der Geraden , indem man y — rx — b^L setzt. Für die Punkte der Geraden nimmt die Form

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IT. Abschnitt. Die gerade Linie.

den Spezialwert 0 an , w hrend f r jeden Punkt P {xpjyp), der nicht auf der Geraden liegt, der „ o r t s f r e m d " ist, die Form Lp = y p — τχ ρ — b von Xull verschieden ist. Die beiden Gleichungen G und 7a sind dadurch ausgezeichnet, dass sie die Gerade nur durch 2 Konstanten, d. i. fest gegebene Zahlen bestimmen. Durch alle Werte von a und b, ausgenommen 0, bezw. von τ und b, ausgenommen + , ist eine und nur eine Gerade bestimmt; umgekehrt bestimmt jede Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, ein Wertsystem von a und b , und jede Gerade mit Ausnahme der Y-Axe und ihrer Parallelen ein Wertsystem von τ und b. Mit der angegebenen Einschr nkung sind also a und b, bezw. τ und b Koordinaten der geraden Linie im Sinne der Definition, es sind L i n i e n k o o r d i n a t e n . Die s a m t l i c h e n G l e i c h u n g e n , w e l c h e f r eine G e r a d e a u f g e s t e l l t s i n d , s t i m m e n d arin b e r e i n , d a s s sie in χ und y vom e r s t e n G r a d e sind. Umgekehrt ist j e d e G l e i c h u n g vom e r s t e n G r a d e in χ und y: ax.-\- y — y = 0 (abgek rzt: U = 0) die Gleichung einer Geraden. Denn wenn γ jj 0 , so kann 'man U durch γ dividieren und γ

γ

erh lt,1 wenn man — =a und — =b setzt: a β

.

d. h. die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte (a | o) und (o | b) geht. Dividiert man U durch /?, und setzt man al = — r, so erh lt man L = y — rx — b = 0, d. h. die Gleichung der Geraden, welche durch den

§ 5. Bestimmungen der Geraden.

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Punkt (o ] b) geht und den Richtungsfaktor τ hat. Diese b Gleichung giebt f r y = 0, x = — = a, woraus die T Identit t der Geraden A = 0 und L = 0 hervorgeht. Ist in U die Grosse y = 0, so wird durch β dividiert; ist β auch gleich 0, so hat man x=~0 und dies ist die Gleichung der Y-Axe, wie y = 0 die Gleichung der X-Axe ist. Da also jede Gleichung ersten Grades eine gerade Linie darstellt, so ist es gerechtfertigt, die Gleichungen ersten Grades lineare zu nennen, da linea urspr nglich nur die Gerade bedeutet. So stellt z. B. die Gleichung 2x — 3y — l — 0 die Gerade dar, welche die Strecke — von -{-X und die Strecke -— von — Υ abschneidet j Δ ο 2

der Richtungsfaktor τ ist -^-, wird w als 60° angeo nommen, ao ist α = 23° 24' 47". Die Gleichung 10x-f-4y — 6=0, identisch mit 5x + 2 y — 3 = 0, stellt die Gerade dar, welche die Strecke 0,6 von-|-X und die Strecke 1,5 von +Y abschneidet, der Richtungsfaktor τ ist —2,5 d. h. f r w = 30° ist a = 47°0'51". Ist τ = l, so ist sin α = sin (w—a), also d a w nicht gleich 2 Rechten sein kann, a = w/2 bezw. w/2 + 180. Die Gerade y — x = 0 halbiert also den Koordinatenwinkel und seinen Scheitelwinkel. Ist τ = — l, so ist sin a== — sin(w—a), also a = w/2 + 90 bezw. w/2 + 270. Die Gerade y-f x = 0 halbiert also den Nebenwinkel von w. Die Gleichungen y — χ — b = 0 und y + x — b'=0 stellen stets zwei Gerade dar, welche den "Winkel-

28

. Abschnitt.

Die gerade Linie.

halbierenden des Axenkreuzes parallel sind, also aufeinander senkrecht stehen. Ist w = 90, so teilen die beiden Scharen von Geraden, welche man erhält, wenn man b und b' alle möglichen ganzzahligen Werte giebt, die Ebene in kongruente Quadrate mit der Diagonale 1. § 6. Kombination zweier Geraden. Die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden Uj = 0 und TJ2 = 0 sind durch die Forderung, beiden linearen Gleichungen zu genügen, eindeutig bestimmt. Seien z . B . L, = y — 1 — bt = 0 und L2 = y — 2 — b2 = 0 gegeben, so werden die Koordinaten des Schnittpunktes S{(xs|ys) bestimmt durch die beiden Gleichungen

Es ergiebt sich: xs = -1— -* und ys =

'*'

'—·

S ist also völlig bestimmt, ausser für ra = *i· In diesem Falle werden xs und ys beide unendlich, der Punkt S existiert im Endlichen nicht, man sagt seit D e s a r g u e s 1639, S l i e g e im U n e n d l i c h e n , und findet in ^2 = ^ die schon bekannte Bedingung für den Parallelismus von L-t und L2 wieder. Man nimmt also auf jeder Geraden einen un eigentl i c h e n Punkt zu ihren Punkten h i n z u , den unendlich fernen. Lässt man in der Gleichung y— —b = 0 sowohl y als über jedes Mass wachsen, so nimmt der Quotient y^x^ den Grenzwert an. Der unendlich ferne Punkt ist also der Richtung nach völlig bestimmt,

§ 6. Kombination zweier Geraden.

29

und da b ganz verschwindet, so kann man seit Desargues sagen: P a r a l l e l e h a b e n i h r e n u n e n d l i c h fernen (uneigentlichen) Punkt gemeinsam. Man lege eine Gerade durch zwei unendlich ferne 5 3 Punkte, etwa in den Richtungen =—;. ^ = —, dann können wir setzen y t =5w, x , = 4 w und y2 = 3w, x2 = 7 w, wo w eine über jedes Mass grosse Strecke beY 5w 2 zeichnet. Wir erhalten nach 5) -.— = ^- und ' —4w 3 daraus würde folgen 5/4 = — 2/3, ausser wenn y und selbst unendlich, dann kann der Quotient links jeden beliebigen Wert, also auch —2/3, annehmen, d. h. aber; Jede G e r a d e , w e l c h e z w e i P u n k t e im Une n d l i c h e n v e r b i n d e t , liegt ganz im Unendl i c h e n , und wir können ferner annehmen: Alle unendlich fernen P u n k t e o d e r E b e n e liegen in Einer Geraden, der unendlich fernen Geraden. Diese Gerade ist selbst ebenso eine uneigentliche Gerade der Ebene, wie jeder ihrer Punkte auf der Ge. raden, in deren Richtung er liegt. Sie hat unzählig viele Richtungen, entsprechend der Annahme der gewöhnlichen Geometrie, dass sie als Kreis mit unendlich grossem Radius um einen Punkt im Endlichen zu denken sei. Ist b1:b2 = T1:r2, so ist ys = 0, d. h. S liegt auf der X-J&.XQ, ist b1 = bi, so liegt S auf der Y-Axe, was a priori aus der Bedeutung von b klar ist. Nächst dem Schnittpunkt interessiert der "Winkel #, den L, mit L, einschliesst. Um hier die Zwei-

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Π. Abschnitt. Die gerade Linie.

deutigkeit auszuschliessen , verstehen wir darunter den Winkel, um welchen man die Gerade L, im positiven Sinne drehen muss, damit sie in die Richtung von L2 gelange. Also ist dieser Winkel & gleich a2 — a,. F r w = 90° ist tg#— -γΫ~~-· Ist τι= Γ 2 > so ist * = 0, bezw. 2 Rechte. Ist # = 90°, so ist 14- ΓιΓ2 = 0, und umgekehrt ist 8) Γ ι τ 2 + 1 = 0 f r rechtwinklige K o o r d i n a t e n die B e d i n g u n g daf r, dass z w e i Geraden auf e i n a n d e r senkr e c h t stehen. Ist w \ 90°, so erh lt man tg#= —-j-r-^-γ—-.—r und daraus als Bedingung & --

des Senkrechtstehens 2 l Beispiele: 1) Lt = y -- ~-x -- T= ^' L2 = y — 2x — 3 = 0 xs = — 2, ys = — l, wie sofort dadurch zu verifizieren ist, dass man diese Werte f r χ und y in beide Gleichungen einsetzt.

2) Ll= y — 2 x + l = 0 i L.2 = y +

-x-l=0, w

sei 90°, dann ist 1-f r i r 2 =0, also # = 90°·, xs = 0,8,

ya = 0,6. Die Gleichung U3 = λ U, -J- f* U2 = 0, wo λ und ^ beliebige Konstanten sind, ist linear und stellt eine Gerade dar, welche durch den Schnittpunkt S der Geraden Uj = 0 und Us = 0 hindurchgeht.

§ 6. Kombination zweier Geraden.

31

U m g e k e h r t ist j e d e G l e i c h u n g U8 = 0 einer G e r a d e n , w e l c h e d u r c h d e n Schnittp u n k t S der G e r a d e n TT,=0, TJ2 = 0 h i n d u r c h g e h t , von d e r F o r m ^U 1 + ^*U2 = 0. Der einfachste Beweis dieses Satzes, der Methode nach, w re es, in die Gleichung (7) U3 = y — y s — τ (χ — x3)=;0 der Geraden, welche durch S geht, f r xs und ya ihre Werte einzusetzen; man erh lt dann durch etwas Rechnung TJ3 — (/?2 τ-f «2) U, — (0, * + «J U2. Man sieht aber auch ohne Rechnung, dass, falls TJ, und TJ2 die Formen verschiedener Geraden sind, jede lineare Form TJj=ax + iffy — γ sich in die Gestalt ^Uj+^Oj-l-c bringen l set, wo die Gleichungen a = Λαι-{-μα,ι und β — λβ^-\-μ,βζ die Zahlen λ und μ bestimmen, und c von χ und y unabh ngig ist. U3 — 0 stellt eine Gerade dar; soll sie durch S hindurchgehen, so muss TJ3 f r (xs j ye) gleich 0 sein, d. h. wenn U, und U2 beide gleich 0 sind, muss TJ3 = 0 sein, d. h. c = 0. Man kann die Relation zwischen 3 Geraden, welche durch denselben Punkt gehen, auch in die Form bringen:

9) Ί.υ,+Λ,υ,+Λ.π,^Οί

sie ist symmetrisch und folgt aus der Identit t von f(x|y) = 0 mit cf(x|y) = 0 (Schluss von § 4). Kombiniert man eine Gerade L = y — rx— b = 0 mit einem ortsfremden Punkt P{(x p |y p ) (Fig. 6), so interessiert zun chst der Abstand PQ. Es ist PB = PC — B C = yp —BC. BC ist =rx p + b, also PB = yp — rxp — b = Lp, wo Lp den Wert bedeutet, den die Form L f r die Werte x = xp und y = yp annimmt. Lp ist also der in der Richtung von y gemessene Abstand des Punktes P von der Geraden, wenn er positiv

II. Abschnitt. Die gerade Linie.

32

genommen wird, falls er die Richtung von — y hat, und negativ, falls er die Bichtuog von -}- y hat; speziell ist L0 =— b. Für die absolute Länge von P Q erhalten wir hier + Lp sin (a — w). Damit P Q, der Anstand im engern Sinne, immer das Zeichen von Lp habe, setzen wir ihn = Lp j sin (w — a) i, wenn wir nach Weierstrass den absoluten Betrag irgend einer Zahlengrösse z mit l z j bezeichnen.

Fig. 6.

Die Gleichung der Geraden P Q ist (7 und 8) für rechtwinkliges Koordinatensystem:

10) y—y p = — — (x-xp). Ist w

90°, so ist l -fp

COS W (X —Xp).

r-f-cosw Für die Parallele durch P zu L gilt bei beliebigem w die Gleichung

II. Abschnitt. Die gerade Linie.

33

§ 7. Die Hesse'sche oder Normalform der Geraden. Gegeben ein Parallel-Koordinatensystem mit dem Koordinatenwinkel w (Fig. 7). Sei 0' ein beliebiger

r Fig. 7.

Punkt, die Mitte von 00' sei Μ{(Λ|^) und OM = p. Alsdann ist O'{(2^|2^). Sei P {(x|y) ein Punkt, der von 0 und 0' gleichen Absitand hat, alsdann ist nach 2) l+ / *cosw)+y(^+^cosw)— p* = 0. Da aber Λ:ρ = sin/3 : sinw; μ, : p = sin α : sinw, ferner sin : == sin (w — o) und sin a = sin (w — )t so folgt S i m o n , Analytische Geometrie der Ebene. 3

34

II· Abschnitt. Die gerade Linie.

b) cos -f- y cos — p = 0 und nebenbei: c) cos/3 = cos(w — a); cos a = cos (w — ß). Da b) linear in und y, so ist analytisch bewiesen, dass d e r O r t d e s P u n k t e s P e i n e g e r a d e L i n i e ist, die durch M geht. Da mit Benutzung von a) sofort ersichtlich, dass OM*-fMP 2 =OP 2 ist, so steht HP auf OO' senkrecht. Da nun zu jeder Geraden der Gegenpunkt O' in Bezug auf 0 konstruiert werden kann, so ist b) die Gleichung aller Geraden, wenigstens aller, für die 0 M in I liegt. Damit b) für alle Geraden gelte, setzen wir fest: 1) dass a, im positiven Sinne gezählt, gleich oder grosser als 0 und kleiner als n sei; 2) dass p positiv oder negativ genommen werde, je nachdem der Strahl OM selbst Schenkel des Winkels ist, oder seine Verlängerung über 0; 3) dass den "Winkel misst, um den man den beweglichen Schenkel von a im positiven Sinne drehen muss, damit er auf -{-Y fällt. Danach gilt b) allgemein für j e d e s P a r a l l e l k o o r d i n a t e n s y s t e m und j e d e G e r a d e HP, und wir haben in der linken Seite von b) die Hesse'sche ( G o e p e l ) oder N o r m a l f o r m der Geraden,1 wir werden sie mit bezeichnen, so dass also 11) H=xcosa+ycos0—p = 0 die allgemeine Gleichung der geraden Linie ist. Die Form H enthält die beiden Richtungsfaktoren cos a und cos/3, zwischen denen die Relationen c) bestehen, 1

Die Festsetzungen weichen von denen Hesse's ab, der p stets positiv nimmt und von o bis 2 zählt.

§ 6. Koordinaten zweier Geraden.

35

und dazu noch den Abstand p, sie h ngt also nur von 2 Konstanten ab, sie gilt auch noch, wenn p = 0 ist. Da von 0 auf alle Geraden, welche untereinander parallel sind, nur Eine senkrechte Gerade geht, so haben parallele Gerade gleiche Richtungsfaktoren, und unterscheiden sich nur durch die verschiedenen Werte des p. Sind χ cos α -j- y cos β—p = 0 und χ cos α -f- y cos β — p' = 0 oder k rzer H=0 und H' = 0 die Gleichungen zweier paralleler Geraden, so misst pt — p den Abstand der Parallelen H' von H; derselbe ist p o s i t i v oder n e g a t i v , je n a c h d e m die R i c h t u n g eines von H ' n a c h H gef l l t e n L o t h e s d e r R i c h t u n g d e s S t r a h l e s O M e n t g e g e n g e s e t z t o d e r g l e i c h is t. Die Gleichung der Parallelen H' kann geschrieben werden χ cos α H-y cos 0—p = d. Giebt man hierin d alle Werte von —co bis-J-x», so gen gt jeder Punkt P{(x p j yp) einer dieser Gleichungen und dp = xpcos«-|-ypcos/?—p misst den Abstand PQ des Punktes P von der Geraden H, wenn man PQ positiv oder negativ nimmt, je nachdem der Strahl PQ dem freien Schenkel des Winkels α entgegengesetzt oder gleichgerichtet ist. Die Gerade H erscheint hier als der Ort der Punkte, welche von ihr den Abstand d=0 haben. Die H e s s e ' s c h e F o r m hat 3 V o r z ge, sie gilt 1) f r a l l e K o o r d i n a t e n w i n k e l , 2) f r a l l e G e r a d e n , 3) g i e b t sie f r j e d e n ortsf r e m d e n P u n k t durch E i n s e t z u n g seiner K o o r d i n a t e n in die Form den Abstand.

36

II. Abschnitt. Die gerade Linie.

Der TJebergang von der allgemeinen Form U zur Hesseschen Form Ξ vollzieht sich folgendermassen. SeiU=ax-|-by— γ eine beliebige lineare Gleichung, und ^TJ^H, wo i* eine Konstante, so stellen TJ = 0 und H = 0 dieselbe Gerade dar (Schlass von § 4). Es muss dann 0, so ist auch cosc>0, [* hat das Zeichen von a, ist tgaiUa ein harmonisches System, und TJ^ TJ l ,j U,— Λ1!!1,; T^-f^U 1 ein zweites, welches mit dem ersten Einen Strahl, hier TTj gemeinsam hat. Es iet: und da ΙΓ,ΞΞΤΙ^, so heisst dies: D i e 4 h a r m o n i s c h e n S t r a h l e n p a a r e s c h n e i d e n sich a u f e i n u n d derselben. G e r a d e n .

42

II. Abschnitt. Die gerade Linie.

Da ferner: U4— U^U 1 ,— U8 Uj^EU^, so l i e g e n a u c h die S c h n i t t p u n k t evon U4 und U1,, U1, und U3, U2 und Q1^ U, U\ (letzteres = Uj) auf E i n e r G e r a d e n . Dies ist der Satz vom vollständigen Yierseit, und zwar in der übersichtlichen Fassung:

tfig. 9-

Durch j e d e Ecke eines v o l l s t ä n d i g e n Y i e r seits g e h e n 3 Strahlen, die b e i d e n Seiten und e i n e D i a g o n a l e , d e r z u r D i a g o n a l e zugeordnete4. harmonischeStrahlistdieGerade, welche die Ecke mit dem S c h n i t t p u n k t der beiden nicht durch diese Ecke gehenden Diagonalen verbindet. Von diesen 4. harmonischen Strahlen ist in der Fig. 8 nur der Strahl SQ gezeichnet. Beim ersten Beweis ergiebt sich durch ergleich von U4{y + ^x und U 4 {AC—C'A 1

§ 8. Gerade durch denselben Punkt, härm. Beziehung. 43

=-(- --H---) \a

a1/ \ c c1/ AA 1 .SC.SC 1

CG 1 . SA. S A 1 ' Da nach § 8 gleich dem (mit bestimmten Vorzeichen versehenen) Verhältnis der Abstände des Punktes Q von Uj und U2 ist, so ist + /l = AQsina: CQsiny, wo den Winkel S A Q und den Nebenwinkel von SCQ bezeichnet, Nach dem Sinussatz ist sin a: sin y = SC:SA,

AQ SO

AQ A A1 ' S C 1 der somit ± = CG" " SÄI ° AA'.SO'.CQ SA 1 .CC 1 .AQ~ 1 * Wir haben den Satz des M e n e l a o s (98 p. Chr.): W e r d e n die 3 Seiten e i n e s D r e i e c k s von einer Geraden (Transversalen) geschnitten, so sind die P r o d u k t e der W e c h s e l a b s c h n i t t e gleich. Geht man von TJ3 aus, so findet man, dass entweder -}- oder — auch gleich dem Verhältnis der Abstände des Punktes P von S A und S C ist, woraus sich ergiebt:

AA 1 .SC 1 .CP SA^CC^AP Dies Resultat ist auch eine unmittelbare Folge von 13), wenn man bedenkt, dass A P : C P = — AQ:CQ ist.

44

. Abschnitt. Die gerade Linie.

Wir haben damit den Satz des Ceva (1699): S c h n e i d e n sich drei E c k t r a n s v e r s a l e n e i n e s D r e i e c k s in e i n e m P u n k t , s o s i n d d i e P r o d u k t e der W e c h s e l a b s c h n i t t e e i n a n d e r gleich. Beide Sätze, Menelaos und Ceva, sind umkehrbar, und darin besteht ihre Bedeutung. Also: L i e g e n 3 P u n k t e auf den 3 Seiten e i n e s D r e i e c k s so, d a s s d i e P r o d u k t e d e r W e c h s e l a b s c h n i t t e g l e i c h s i n d , s o liegen d i e S P u n k t e in E i n e r G e r a d e n . Liegen 3 P u n k t e auf den Seiten eines D r e i e c k s s o , dass die P r o d u k t e der Wechselabschnitte entgegengesetzt gleich sind, so s c h n e i d e n sich die 3 zugehörigen Ecktransversalen in Einem Punkte. Man sieht, dass so bald man einen Teilungspunkt einer Dreieckseite durch seine harmonischen (in Bezug auf die Ecken) ersetzt, die Gleichungen des Menelaos und Ceva in einander übergehen, es g e h ö r e n also i m m e r 4 Sätze z u s a m m e n , als eine G r u p p e , welche durch Vertauschung eines Punktes, zweier Punkte, dreier Punkte, mit ihren harmonischen auseinander folgen. Es mag auch bemerkt werden, dass der Satz vom vollständigen Vierseit eine unmittelbare Folge des Menelaos und Ceva ist. Von beiden Sätzen giebt es zahlreiche Anwendungen, so lassen sich z. B. die Sätze über die Winkelhalbierenden des Dreiecks, der Satz über das Schneiden der 3 Höhen, der 3 Mittelsenkrechten etc. ohne Mühe miitelst des Ceva beweisen. Unmittelbar

§ 9. Die Gleichung des Punktes.

45

klar ist, dass die 3 Schwer- oder Mittellinien sich in einem Punkte schneiden. Ebenso leuchtet der Satz ein: Die L i n i e n , welche die Ecken eines Dreiecks mit den B e r ü h r u n g s p u n k t e n des Inkreises v e r b i n d e n , s c h n e i d e n sich im selben Punkt. Denn die Tangenten von einem Punkt an einen Kreis sind gleich. Aus diesem Satz folgt sofort, indem man alle 3 Berührungspunkte durch ihre harmonischen Punkte ersetzt, der Satz: Die 3 B e r ü h r u n g s s e h n e n des I n k r e i s e s s c h n e i d e n die Gegenseiten in 3 P u n k t e n , w e l c h e auf E i n e r G e r a d e n liegen. Analoge Sätze gelten für die Ankreise. Das harmonische System, welches sich am natürlichsten darbietet, ist das System 1', H 2 ; H,— H 2 j Hj-f-H 2 i in welchem den Wert l hat; nach der Festsetzung der Bedeutung von in § 8 ist klar, dass Ht — H3; Hj4-H3 die Geraden sind, welche die 4 Winkelfelder zwischen H, und H2 halbieren. Also: Zwei sich schneidende Geraden und die beiden Halbierungslinien ihrer Winkel bilden ein harmonisches Strahlenbündel, sowie die Umkehrung (die beiden Winkelhalbierenden stehen auf einander senkrecht, was auch analytisch sofort durch Gleichung 8 gezeigt werden kann). Wenn von vier harmonischen Strahlen das eine Paar auf einander senkrecht steht, eo halbieren diese den Winkel zwischen dem ändern Paare.

46

D. Punkt als Träger d. sich in ihm schneidenden Geraden.

III. Abschnitt.

Der Punkt als Träger der sich in ihm schneidenden Geraden. § 9. Die Gleichung des Punktes. Seien cos , cos , p die Koordinaten einer Geraden, wo nach c) cos/J=cos(w—et), also wenn w = 90° cos2a-|-cos2/?= l ist; haben cosa, cos/?, p feste Werte, so bestimmen sie eine Gerade H { cos u-\- y cos — p = 0, wo und y, als veränderlich und als Punktkoordinaten aufgefasst, alle Punkte dieser Geraden H liefern. Sei P{(X, |y t ) ein bestimmter unter ihnen, so dass xt cos a -\- yt cos — p = 0, so sieht man, dass, wie auch cosa; cos und p sich ändern, wenn nur die Relation c) bestehen und die Gleichung x, coscc-j-y^os/?— p erfüllt bleibt, diese stets eine der unzähligen Geraden darstellt, welche durch den Punkt P |(Xj |y t ) hindurchgehen. Bezeichnet man cos«, cosß, p als variabel mit u, v, w, und Xj und yt als Konstante mit A, B, so liefern die sämtlichen zulässigen Wertsysteme von u ? v, w a l l e Geraden und nur die Geraden, welche durch den Punkt P < (A | B) hindurchgehen, und dieser erscheint als Träger der unzähligen Geraden, welche die Gleichung darstellt: 1) A u - f B v — w=0. Diese Gleichung heisst die G l e i c h u n g d e s P u n k t e s P{(A|B) in (Normal) - L i nie nko o rd i n a t e n . Es l i e g e n a l s o a l l e L i n i e n , d e r e n K o o r d i n a t e n 1) g e n ü g e n , auf Einem P u n k t ,

§ 1.0, Punkte auf derselben Geraden.

47

gerade wie alle Punkte, welche der Gleichung H = 0 genügen, auf Einer Geraden. Es tritt hier das zuerst von Poncelet formulierte wichtigste Prinzip der modernen Geometrie, d a s D u a l i t ä t s p r i n z i p , scharf zu Tage, wonach zu jedem Satz über Punkte und Gerade (in der Ebene), dual ein zweiter durch Vertauschung der Elemente: Gerade und Punkt abgeleitet wird. Die Sätze von der harmonischen Teilung, Menelaos und Ceva, waren schon Beispiele dieses Gesetzes. Gehen wir von der speziellen Form U = ax-h/?y—l aus, so bedeuten (cf. § 5, 6) und die reciproken Werte der Abschnitte, welche die Gerade U auf den Axen bildet. Bezeichnet man dann die Grossen a und ß , insofern jede E i n z e l n e von ihnen unbeschränkt veränderlich gedacht wird, mit n und v , so ist au-j-bv—1=0 die Gleichung jeder Geraden, welche durch den Punkt PJ(a|b) hindurch geht, und nur dieser, somit ist N = au + bv — l die Gleichung des Punktes P in Linienkoordinaten. Die Form N (die linke Seite der auf 0 gebrachten Gleichung) heisst die N o r m a l f o r m (der Gleichung) des Punktes, sie ist von der allgemeineren Form M = au-f-bv — c = 0 nur dadurch verschieden, dass in N der Punkt in Punktkoordinaten bestimmt ist durch P{(a[b), während er in M durch die Koordinaten a/c und b/c bestimmt ist; die Linienkoordinaten u und v haben iu beiden Formen die gleiche Bedeutung. Man sieht, dass es nur von

48

D· Punkt als Träger d. sich in ihm schneidenden Geraden.

der Auffassung abhängt, ob eine Gleichung ersten Grades zweier Variabein (lineare) eine Gerade oder einen Punkt darstellt. § 10. Punkte auf derselben Geraden. Seien Wj=0; W2 = 0 die Gleichungen zweier Punkte P, und P2. Sei P { W ein dritter Punkt. W kann als lineare Gleichung (cf. § 6) die Form erhalten ^ "Wt + /12 W2 + >?3, wo die Konstanten. Für diejenige Gerade des Punktes P, welche durch Pt geht, ist ausser W auch Wj = 0, für die, welche durch P2 geht, ist ausaer W auch W2 = 0, fallen beide Gerade zusammen, so müssen alle drei W zugleich verschwinden, d. h. muss =0 sein, wenn der Punkt P auf der Geraden , 2 liegt, und umgekehrt. Also ist ^1"W1+>12"W2 die Gleichung jedes Punktes, der auf der Geraden liegt, welche die Punkte Pt { Wx und Pa | ~W8 (oder kürzer die Punkte W1 und W2) verbindet. Man hätte auch wörtlich den Gang von § 6 befolgen können, d. h. die Linienkoordinaten u3 und v3 der Verbindungsgeraden aus W, = 0 und W2 = 0 berechnen können. Man würde wörtlich bis auf Vertauschung der Worte Punkt und Gerade, die §§ 5 und 6 wiederholen können, und z. B. die Gleichung des Punktes P der auf zwei gegebenen Linien (ujvj und (u2|v2) liegt, würde lauten:

Allgemein ist Wt die Bedingung dafür, dass drei Punkte W,, "W2, W8

§ 10. Punkte auf derselben Geraden.

49

in einer Geraden liegen (cf. § 6, 9). Nach der Bemerkung vom Schluss des § 4 l sst sie sich auch auf die Form bringen : wobei wieder festgesetzt wird , dass f r λ = oc, W= W2 ist. Setzt man in die Form der Gleichung eines Punktes N{au-|-bv — l die Koordinaten ue und νθ einer ortsL f H n fremden Geraden L, so ist Ne^O, aber Ne{l ~7~ wo ft, (cf. § 6 Schluss) nur von ue und ve, d. h. von L abh ngt; d. h. N β ist, abgesehen von dem f r dieselbe Gerade konstanten Faktor ^*, der A b s t a n d des P u n k t e s N von d e r G e r a d e n L. Das Zeichen des Abstandes bestimmt sich nach der in § 7 gegebenen Regel, aus der folgt, dass f r 2 Punkte, welche auf derselben Seite von L liegen, bezw. f r Geraden, welche die Verbindungsstrecke beider Punkte nicht schneiden, die Abst nde dasselbe Zeichen haben, und im entgegengesetzten Falle entgegengesetztes. Es sei f r eine Gerade ue, νβ:Ν"ι ,β-ΚΝ2,β = 0, alsdann ist, wenn wir ue und v als, Einzeln betrachtet, beliebig variabel (u und v) ansehen: N = N1 + Na = 0 1) die Gleichung eines Punktes; 2) eines Punktes auf der Geraden, welche P^Nj mit P2{N2 verbindet; 3) eines Punktes, dessen Geraden von Pt und P8 entgegengesetzt gleichen Abstand haben, d. h.: N1 + N2 = 0 ist d i e G l e i c h u n g der M i t t e M von P, P2. Sei N = Nl — N2 = 0, so ist dies die Gleichung eines Punktes, der auf P,Pa liegt, und dessen Geraden von P, S i m o n , Analytische Geometrie der Ebene, 4

50

D. Punkt als Tr ger d. sich in ihm schneidenden Geraden.

und P2 gleichen Abstand haben, d. h. aber N |NX — N2 ist d e r U n e n d l i c h f e r n e P u n k t aufP1P2. Man kann das leicht nachpr fen, da in der Form ΝΞΞΝΧ — N2 das konstante Glied 0 ist, d. h. aber der Punkt N = /lu + /*v = 0 hat die Punktkoordinaten Λ:0; |t*:0 id est oc. Seien N.^0, N2 = 0, N3 = 0 die Gleichungen der 3 Ecken A, B, C eines Dieiecks, dann ist N2-|-N3 {der Mitte A1 von BC; ebenso w hrend die unendlich fernen Punkte auf BC, CA, AB darstellen. Es ist nun: d. h. (nach 9): Die u n e n d l i c h f e r n e n P u n k t e liegen auf Einer Geraden, der unendlich fernen Geraden. Ferner: d. h.: Die V e r b i n d u n g s l i n i e der M i t t e l p u n k t e zweier Seiten ist der d r i t t e n parallel. Es ist W=N 1 + N2 + N S =0 die Gleichung eines Punktes P (als lineare Gleichung in Linienkoordinaten) kurzP{N 1 + N2 + N3, da aber auch WEE so Hegt P auf der Geraden, welche A {N, mit verbindet. Da aber "W auch =N 2 -f-(N 1 --N 3 ) und ΞΞΝ,+ ^ + Ν,), so heisst dies: Die 3 M i t t e l linien eines Dreiecks s c h n e i d e n sich in E i n e m Punkte.

§11. Harmonische Punkte.

51

Die Höhenfusspunkte haben die Gleichungen N 2 cot^ + N 3 coty; N^oty + NiCota; N,cota+N 2 cot/?, somit Bchneiden sich die drei H ö h e n in dem Punkte. H = ^ cot a-f N2 cot/3 + N8 cot j = 0. § 11. Harmonische Punkte. Es seien A und C zwei Punkte, Nt und N2 ihre Normalformen, alsdann ist die Gleichung eines Punktes P auf der Verbindungslinie von A und C, der innerhalb AG liegt, wenn negativ, und wo ^ = 1^:^ für alle seine Geraden k o n s t a n t und somit gleich demTeilungsverh ä l t n i s v o n A P : P C ist, da zu den Geraden des Punktes P auch die in P auf AC Senkrechte gehört. Dasselbe gilt, wenn positiv, nur dass dann P ausserhalb liegt. Ist Q ein Punkt ausserhalb, also {N, — /*N2, wo [* positiv, und ist /*-}~ = 0, so sind nach dem Vorhergesagten die Punkte A, C, P, Q harmonisch, also sind Die Gleichungen eines harmonischen Punktsystems A C P Q oder [A'OPQ], wo A und C das eine Paar konjugierter Punkte, P und Q das andere bilden, oder A und C durch P und Q h a r m o n i s c h g e t r e n n t w e r d e n . Es ist üblich, die Punkte in der Reihenfolge zu nennen, dass der die Strecke der beiden ersten innerhalb teilende an dritter Stelle genannt wird,

52

D. Punkt als Träger d. sieb in ihm schneidenden Geraden.

Man könnte immer die Rechnungen und Betrachtungen des § 8 wörtlich wiederholen und würde mit VertauBchung der "Worte: Punkt und Gerade zu deu dualen oder reciproken Sätzen gelangen, wobei zu bemerken, dass Menelaos und Ceva schon dual sind, da wir beim Beweis schon den Dualismus zwischen harmonischem Strahl, und Punktsystem benützt haben; indessen sei noch einiges ausgeführt. Zunächst ist, wenn Nt — 2 mit W3, Nj + ^ N j mit W4 bezeichnet werden, wo N,o und N,4 die Kormalformen der Punkte P und Q [ ist hier negativ]; alsdann folgt

oder W, = N3 d. h. also W3 und W4 werden durch "Wj und W2 eben. falls harmonisch getrennt und das Teilungsverhältnis der Strecke PQ ist abgesehen vom Zeichen -= -- -. —l

Es werde nocb der duale Satz zum Hauptsatz über die harmonischen Strahlen S. 39 direkt abgeleitet, er lautet: Wird ein Punkt mit einem harmonischen P u n k t s y s t e m v e r b u n d e n , so e n t s t e h t ein harmonisches Strahlensystem.

§ 11. Harmonische Punkte.

53

Sei [ACPQ] das harmonische System, und S der Punkt. Es werde die Distance eines Punktes, z. B. a auf SA, von einer Geraden, z.B. S P, mit d bezeichnet. p Dann ist d : d längs des Strahles SA konstant p q c c (cf. § 8) und sei gleich c, ebenso d : d längs SO konstant und gleich c' a c d d a

Ä

_°_

P

q__

°''~Y°d ~ p ist auch noch M|(0|0), d. h· fällt M mit 0 zusammen, so ist: 2) K = x 2 +y 3 — r s =0 die M i t t e l p u n k t s g l e i c h u n g . (Form M.) Die Gleichung des Kreises ist vom 2. Grade (quadratische Form), aber nicht jede Gleichung 2. Grades ist die eines Kreises. Sei f(x, y) = 0 eine solche, so muss sie der Form K äquivalent sein, d. h. sie kann sich nur durch einen konstanten Faktor von K unterscheiden, der durch Division beseitigt werden kann. Demnach muss f(x, y) die Form annehmen: Q = x s 4-y 2 +2sxy — 2 p x — 2 q y + n = 0. Die Vergleichung ergiebt 1) s muss < l sein, denn es muss s = cosw sein, 2) es muss: a-)-bcosw = p, b-f-acosw = q sein, und hieraus: 2 8

>

l _ g-2 '

— 2pqcosw r = -- :—s- — n. sin w Ist Punkt A{(p/sinw), — (q/sinw), so ist r 2 = OA 2 — n. D a m i t also e i n e b e l i e b i g e q u a d r a tische F o r m Q die Form eines Kreises sei, ist n ö t i g , d a s s 1) die K o e f f i c i e n t e n von xa und ya b e i d e g l e i c h ; 2) n a c h D i v i s i o n mit d i e s e n K o e f f i c i e n t e n der K o e f f i c i e n t von 2xy k l e i n e r als l i s t , 3) der P u n k t A ausserh a l b des K r e i s e s bezw. OA ! >n sei. Ist w=90°, so muss der Koefficient s von xy gleich 0 sein, und q*-H?«>n,

60

V. Abschnitt. Der Kreis.

Um die Gleichung des Kreises aus der Form Q in die Form K zu transformieren, ist eine Koordinatentransformation durch Drehung erforderlich und in den Formeln 4) w'=90, a = 0 und 0 = 90° zu setzen, da ja K gütig bleibt für jede beliebige Richtung der X-Axe. § 15. Kreis und Gerade. Sei 1) x'-fy 2 — r 2 = 0 ein Kreis K. Sei g eine Gerade bestimmt durch den Punkt P { x0 und ihre Richtung, so ist, wenn R den Abstand des laufenden Punktes von P bezeichnet, x = x 0 -J-Rcosa; y = y 0 -j-Rsina.

Setzen wir diese Werte in 1) ein, so erhalten wir für die Abstände der Schnittpunkte des Kreises und der Geraden von P die Gleichung 2) R 2 +2R( X o cos« + y 0 sina) + K(x 0 y 0 ). Aus den bekannten Sätzen über die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, S. G. 47 S. 113, folgt 1) Ein Kreis und eine Gerade haben nicht mehr als 2 Schnittpunkte: A und B. 2) R 1 R 2 = P A . P ß = K(x 0 y 0 ) = MP 2 —r 2 . Der P o t e n z s a t z : Das Produkt der Abs c h n i t t e aller K r e i s s e h n e n , welche d u r c h denselben P u n k t P gehen, ist konstant und g l e i c h der P o t e n z des K r e i s e s in P. 4) Ist der Koefficient von R in 2) gleich 0, so liegt der Punkt P in der Mitte der Sehne und es ist tgcc = — x 0 :y 0 » d.h. die M i t t e n a l l e r p a r a l l e l e n S e h n e n l i e g e n a u f e i n e m D u r c h m e s s e r . Jede Sehne durch das Centrum M wird in ihm halbiert.

§ 15. Kreis und Gerade.

61

Aus der Gleichung 2) fliessen mühelos alle aus der Elementargeometrie bekannten Sätze über die Beziehung zwischen Kreis und Gerade. Es ist R1+H9 = 2l3 Nach § 12, 9 ist sin (L t) = ^+ ^^_ 2

_(ua+v°b-l)2 V , ^. sm (t, b J j ) = SF 3 =(|— a)2+(i? — b) 2 ; somit geht die Gleichung sin2 (t, SF) = e 2 sin 2 (Lt) oder

nach Multiplikation mit (ua-}-v2) ber in 2) (Y-Yo-a^' + Oio— u-b^)»=(u

§ 18. D. Kegelschnitte als Kurven 2. Grades u. 2. Klasse. 75 Die Gleichung 2) enthält 5 Konstanten, und ist daher mit der allgemeinen Gleichung 2. Klasse identifizierbar. Es soll nun gezeigt werden, dass die Kurven 2. Grades mit denen 2. Klasse zusammenfallen. Sei P{(xly) ein Punkt der Kurve C{ Gleichung 1) und g{ux-f-vy — 1=0 (oder g {(u v)) eine Gerade durch P. Eliminiert man zwischen 1) und der Gleichung für g die Grosse y, so erhält man für die Schnittpunkte von C und g

yv(av— üb) wo und die alte Bedeutung haben. Entsprechend ist die Gleichung für y, nur dass u mit v, a mit b vertauscht wird, wobei in — übergeht; 3) ist eine quadratische Gleichung, welche 2 Lösungen für giebt, zu denen dann g das zugehörige y liefert. Giebt man 3) die Form: 3^ -\-2 .-\- =0} so ist (Schubert, Arithmetik S. 113): o2 — (>*>0 die Bedingung dafür, dass 3) zwei reelle Lösungen hat, dass also g die Kurve C wirklich schneidet; ist — ^r=0, so fallen beide Lösungen in eine zusammen , die Gerade g < (u l v) ist eine Tangente der Kurve C; und IB 2 — (>* l , d.h. a l s o 6 b e i d e r H y p e r b e l , g i e b t es z w e i S c h a r e n v o n G e r a d e n , b e s t i m m t d u r c h s i n w = +—, w e l c h e θ

dieKurve imEndlichen nur in Einem Punkt schneiden; unter ihnen sind zwei, welche selbst den C h a r a k t e r v o n T a n g e n t e n h a b e n , o die b e i d e n , f r w e l c h e auch^r-^—^-—;-: - =0 ' (u J +v')(u 0 '+V)v ist, u n d v o n d e n e n m a n s a g e n k a n n , d a s s s i e die K u r v e im U n e n d l i c h e n ber h r e n ; sie heissen: Asymptoten. Damit also die Gerade (u|v) Tangente sei, muss 2 σ —ρτ — Q sein; man sieht sofort, dass Λ 8 (ν 0 —v) 2 sowohl in σ9 als in ρ τ vorkommt, also herausf llt, und der Ausdruck sich dann durch γ dividieren l sst; die Glieder, welche dann noch γ enthalten, geben zusammengefasst sofort y(ua-|-vb— l) a , die brigen, wenn man geschickt zusammenzieht, z. B. 2 ^ 2 v b mit S A v b u (v0—v), fast ebenso m helos die linke Seite von 2), also: Die Gleichung 2 ist die G l e i c h u n g d e r K e g e l s c h n i t t e i n L i n i e n k o o r d i n a t e n , oder auch: D i e K u r v e n 2. G r a d e s s i n d K u r v e n 2. K l a s s e . Bei der fast v lligen Symmetrie der Gleichungen 1) und 2), sowie der der Geraden und des Punktes beweist man ganz ebenso umgekehrt: Die Kurven 2. Klasse sind Kurven 2. Grades, also: Die K e g e l s c h n i t t e s i n d die e i n z i g e n K u r v e n 2. Grades und 2.Klasse·

§ 19· D. Gleichung d. Tangente n. d. Berührangssehne. 77

§ 19. Die Gleichung der Tangente und der Berührungssehne. Die fundamentale Eigenschaft der Tangente: den "Winkel zwischen ihrem Brennstrahl auf der Leitlinie und dieser selbst in konstantem Verhältnis zu teilen — führt sofort zu dem Satz: Der B r e n n s t r a h l n a c h d e m B e r ü h r u n g s p u n k t steht auf dem Brennstrahl nach dem Leitlinienpunkt der Tangente senkrecht (oder: das Stück der Tangente zwischen Kurve und Leitlinie erscheint vom Brennpunkt aus unter rechtem Winkel). Es ist nämlich (Fig. 12) PF = ePA nach 1) und das Loth von P auf S F nach 2) auch gleich e P A = P F. Der Satz ergiebt eine sehr einfache Konstruktion der Tangente, wenn P, L und F gegeben sind. Ferner: Die L e i t l i n i e , SF; u n d d i e b e i d e n Tang e n t e n v o n S a n d i e K u r v e b i l d e n e i n harm o n i s c h e s Büschel. Ist S, der Schnittpunkt zweier Tangenten, nicht auf L, und wird L von der Tangente SP1 (Fig. 13) in S, und von der Tangente SP2 in S.2 geschnitten, BÖ folgt aus 2) sofort, dass S von St F und Sa F gleichen Abstand hat, und somit auf der Linie liegt, welche den Winkel St F S2 halbiert, da nun, wie eben gezeigt, S : FP t und S a FP a rechte Winkel sind, also gleich, so folgt: D e r B r e n n s t r a h l n a c h dem S c h n i t t p u n k t z w e i e r T a n g e n t e n h a l b i e r t d e n W i n k e l zwis c h e n d e n B r e n n s t r a h l e n n a c h d e n Berühr-

78

VI. Abschnitt. Die Kegelschnitte.

u n g s p u n k t e n , oder auch: der Schnittpunkt hat von den Ber hrungsbrennstrahlen gleichen Abstand.

Fig. 13.

Seien u und v die Koordinaten einer Tangente, xx und y, die des Ber hrungspunktes, so dass also u und v der Gleichung 2) gen gen, so geht 3) nach Multiplikation mit ρ, weil σ2 = ρ r ist, ber in (χ ρ -f- o)2 = 0 also ist x1 ρ-{-σ—0; da ρ in u0, v 0 ; u, v symmetrisch, so ist y 1 £+ff 1 =0, wo σ1 aus σ durch Tausch von U0 mit v0, u mit v, a und b hervorgeht, also A\ _ _

l> ( VQ—v) + γ v (a v—u b) + γ u] 2

—y (U 2 + V a )

λ*-γ (u2 + v2)

§ 19. D. Gleichung d. Tangente u. d. Berührungssehne. 79 h i e r m i t s i n d Xj und jt d u r c h u und v a u s g e d r ü c k t . Beachtet man, dass nach : 4a) xt u + Ji v—l

= 0 ist, so ist

tt_JL V

V

= ~ uo ~ q !?i ) + (*i —a) ^_ Ve

y-lq(Xi!Vi)_(yi_b)

z U

wo q(x|y) oder q(xy) = u 0 x-f v 0 y — l ist. Also ist u = zf, v = n f , wo f durch 4a) bestimmt wird. Da _ — der Richtungsfaktor der Taugente, so ist ihre Gleichung

-(x!-a) (x-a)-(7l-b) (y-h) ^ Die rechte Seite ist aber nichts anderes als die auf 0 gebrachte Gleichung 1) der Kurve, also ist d i e Gleichung der Tangente e2 ) u « + v P F , ob P a u ss er halb der Kurve oder innerhalb liegt, sie fällt mit der Tangente zusammen im Grenzlall, wo P auf der Kurve. 2) Gleichung 7) ist symm e t r i s c h in Bezug auf u n d (xy). Wir haben den wichtigen Satz: Liegt ein P u n k t Q auf der P o l a r e von P, so g e h t die P o l a r e von Q d u r c h P. Oder: D r e h t sich eine G e r a d e u m e i n e n f e s t e n P u n k t P, so b e w e g t s i c h i h r Pol P auf e i n e r G e r a d e n , der P o l a r e n von P. Wir haben dadurch ein Mittel, um jedem Punkte dual eine bestimmte Gerade zuzuordnen: seine Polare in Bezug auf einen beliebigen Kegelschnitt als G r u n d o d e r P o l a r i s a t i o n s k u r v e ; jeder Kurve n. Grades, d. h. deren Gleichung in und y zusammen vom n. Grade, oder was dasselbe ist, jeder Kurve, die von einer Geraden in n Punkten (reell oder imaginär) geschnitten wird, entspricht eine Kurve n. Klasse, d. h. solche, bei der durch jeden Punkt n Tangenten gehen.

§ 20. Pol und Polare

83

Den Kegelschnitten, und nur diesen, entsprechen wieder Kegelschnitte, die Grundkurve entspricht sich selbst; zu jedem Satz, der aussagt, dass p Gerade sich in Einem Punkt schneiden, gehört sofort dual der Satz, dass p Punkte, die Pole jener Geraden, auf einer Geraden, der Polaren jenes Punktes, liegen und v. v. Die linke Seite der Gleichungen der Polaren und der Tangente verschwindet für alle Punkte A der Leitlinie L, die rechte ist dem Kosinus des "Winkels zwischen den Brennstrahlen nach dem Pol und nach dem beliebigen Punkt (x | y) proportional, somit ist Satz l des § 18 S. 77 durch Rechnung bewiesen und zugleich seine Erweiterung: Der B r e n n s t r a h l nach dem Pol steht auf dem Brennstrahl nach dem Leitlinienpunkt d e r P o l a r e n s e n k r e c h t u n d ferner: "Wenn d e r P o l a u f L l i e g t , g e h t d i e P o l a r e d u r c h F, d. h. der B r e n n p u n k t ist Pol der zugehörigen Leitlinie.

Die Analogie mit dem Kreis führt auf die harmonischen Eigenschaften der Polare. Sei P j (l 117) der Pol, g l (u | v) eine beliebige seiner Geraden und schneide die Kurve 1) in dtm Punkten C ( fe | yj und D { (x 2 1 y a ) reell oder imaginär, alsdann gilt für die Koordinaten des Schnittpunktes die quadratische Gleichung 3), und es ist wieder 2 -|-2 + = 0, also: (Schubert S. 113)

84

VI. Abschnitt. Die Kegelschnitte.

Fragt man nach dem Punkt Q l (ξ1\ -jyj, der mit P die Punkte C und D harmonisch trennt, so ist nach §3. S. 19

oder

ft + *,)(! + &) = 2 fr *. + *&)

wo nach 3): ρ = λ*— y(u 2 -f- v2) ; a= Λ(νο~ v) y u ( v b — 1); t = (v0— v)2 — yv 2 a 2 — y(vb — l)2, also geht 7a) ber in ?b) (l Λ + v0 -v) (ξ, λ + v0-v) = y [v2(£-a) (ft-a) + (ξ u + vb-1) (ft u + v b— 1)]. Da /I = u 0 v — Y O U und (durch g) sowohl £u — l = — ην als f j u — 1 = — ηι ν, so haben wir 7') V 2 (|UQ + η V0-l) (ξ, U 0 + ,t V0-l) = V 2 y [(^

—a) (^i —a) + 0? — b)^!"^)] woraus nach (erlaubter) Division mit v3 wieder: 7) q (ξ *?) q (l, ^) = y [ (sf-a) (ft -a) + fo-b) f^-b)] d. i. aber die Gleichung der Polaren. Damit ist der H a u p t s a t z der K e g e l s c h n i t t s l e h r e erwiesen: Die K e g e l s c h n i t t s p u n k t e e i n e r b e l i e b i g e n Sehne w e r d e n d u r c h e i n e n P o l a u f d e r S e h n e und s e i n e P o l a r e harmonisch g e t r e n n t . Der Satz gilt v llig allgemein, gleichg ltig, ob der Pol innen oder aussen, ob die sich um den Pol drehende Sehne die Kurve K schneidet, ber hrt, oder nicLt schneidet (d. h. die gemeinsamen L sungen der Gleichungen 1) und der Sehne imagin r sind). -—· Wir haben in diesem Satz ein Mittel, um von einem Punkt P (ausserhalb) die Tangenten an K zu ziehen und zwar mit alleiniger Hilfe des Lineals. Man hat nur n tig (Abschnitt l § 8), die Figur des vollst ndigen Vierseits herzustellen. Man zieht also

§ 20. Pol und Polare.

85

von P die beiden Sekanten P l, 2, P 3, 4, wo l, 2, 3, 4 Punkte der Kurve sind, zieht l, 3 und 2, 4, schneiden sich in Q, und l, 4 und 2, 3 schneiden sich in R, so ist RQ die Polare von P. Verbindet man die Punkte A und C, in denen RQ die Kurve K schneidet, mit P, so sind P A und P C die Tangenten. Die Punkte PQR bilden ein sogen. Tripel, da PQ die Polare von R und PR die Polare von Q ist, das D r e i e c k PQR e n t s p r i c h t sich also bei Polarisation durch die Kurve K selbst. Zieht man von Q eine Tangente an die Kurve, so liegt also der Berührungspunkt auf PR; Wir haben die Sätze: Das Stück j e d e r d r i t t e n T a n g - e n t e z w i s c h e n zwei festen T a n g e n t e n wird d u r c h den eignen Berührungspunkt und die Polare desSchnittp u n k t s d e r f e s t e n T a u g e n t e n h a r m o n i s c h get e i l t , und In jedem Tangentendreieck schneiden sich d i e E c k t r a n s v e r s a l e n n a c h d e n gegenü b e r l i e g e n d e n B e r ü h r u n g s p u n k t e n in Einem P u n k t und liegen die 3 S c h n i t t p u n k t e der Tangenten mit den nicht zugehörigen P o l a r e n in E i n e r G e r a d e n . Ebenso einfach ergiebt sich aus der harmonischen Eigenschaft des vollständigen Vierseits der Satz: Die Diagonalen des einem Kegelschnitt eingeschriebenen V i e r e c k s und die des zug e h ö r i g e n u m g e s c h r i e b e n e n V i e r e c k s schneid e n s i c h in E i n e m P u n k t . (Die Seiten des Einen sind Polaren zu den Ecken des anderen Vierecks.1»

8G

VI. Abschnitt. Die Kegelschnitte.

§ 21. Selmenscliar und Durchmesser in Konjunktion. Rückt der Pol P ins Unendliche, d. h. werden die Geraden, die auf ihm liegen, parallel, so rückt der zu ihm harmonische auf jeder Sehne in die Mitte der Sehne, also: Die Mitten aller p a r a l l e l e n Sehnen liegen auf E i n e r G e r a d e n , der Polaren des in der Richtung der Sehneuschar unendlich fernen Punkts. Polaren, deren Pol unendlich fern, h e i s s e n D u r c h m e s s e r . Der einzelne heisst der Sehnenschar, die er halbiert, k o n j u g i e r t (zugeordnet). Der Durchmesser selbst schneidet die Kurve in zwei (reellen oder imaginären) Punkten; die Tangenten in diesen Punkten gehören mit zu seiner Sehnenschar, es sind also die Tangenten zu je zwei parallel, und es ist jetzt leicht, eine Tangente von gegebener Richtung zu konstruieren. Dieselbe Konstruktion, welche zum. Pol P die Polare liefert, gieot auch den zur Sehnenschar konjugierten Durchmesser, nur sind 12 und 34 parallel; also: D i e V e r b i n d u n g s g e r a d e n der E n d p u n k t e p a r a l l e l e r S e h n e n s c h n e i d e n sich a u f dem k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r und: Die Tangenten in den E n d p u n k t e n einer Sehne s c h n e i d e n sich auf dem k o n j u g i e r t e n Durchmesser. Der Schnitt m zweier Durchmesser ist harmonisch zu zwei Punkten im Unendlichen, also liegt seine Polare ganz im Unendlichen; es ist eine unendlich ferne Gerade, dsren Koordinaten u = 0 v = 0 sind, und da wir gene-

§ 21. Sehnenschar u. Durchmesser in Konjunktion. 87 raliter völlige Aequivalenz zwischen der Geraden und ihren Koordinaten haben, so müssen wir auch zu u = 0 v = 0 nur E i n e Gerade zuordnen, somit ist die Polare von M d i e unendlich ferne Gerade, und da sie jeden Durchmesser im Unendlichen schneidet, so m u s s M die M i t t e aller D u r c h m e s s e r sein. Der P u n k t M ist also der M i t t e l p u n k t o d e r das C e n t r um des K e g e l s c h n i t t s , d. h. ein Punkt, welcher jede durch ihn gehende S e h n e h a l b i e r t ; M kann auch ins Unendliche rücken oder, was dasselbe ist; die Durchmesser können parallel sein. Da es zu jeder, also auch zur unendlich fernen Geraden, nur Einen Pol giebt, so giebt es auch nur Ein Centrum. Wir wollen nun diese Resultate durch die Rechnung bestätigen. Es sei P l ( \ } ein unendlich ferner Punkt, d. h. also und oder doch eins von beiden über jedes Mass gross, alsdann ist sicher entweder l : | oder l: = 0 und die Gleichung des Punktes P ist: u -j- vi? = 0 u « d. h. — — = ---·, der Richtungsfaktor aller Geraden v ° durch P ist konstaut, die Geraden von P sind parallel, wie an und für sich klar. Es geht dann 7) über in: 8) * q (x l y) = r [ (x-a) v— (y-b) u] wo wieder u 0 v—v 0 u ist: Da 8) in und y linear, BÖ ist 8) i einer Geraden , 8) hängt aber nur von u: v ab, und bleibt daher für alle parallelen Geraden, oder w. d. s., für alle Geraden von P, u n g e ä n d e r t . Ist G l (u|v) eine bestimmte von ihnen, welche die Kurve K in fo y t ) und (x 2 y a ) schneidet, so ist ihr Richtungs-

88

VI. Abschnitt. Die Kegelschnitte.

faktor - = ——— d. h. es iat erlaubt, in 8) für y X.J— xx > J u zu setzen ys — yt und für v — (x2 — xj. Weil aber (acjvj) und (x s |y a ) die Gleichung l der Kurve erfüllen, so wird 8) erfüllt, wenn 2x = x 1 -J-x ; 2y = y 1 +y, gesetzt wird, d. h. die Gerade 8, d i e Polare von P, geht durch die M i t t e j e d e r G e r a d e n von P d. h. sie h a l b i e r t die S c h a a r p a r a l l e l e r S e h n e n , d e r e n R i c h t u n g s f ak t o r — u : v ist. Sei jetzt 1 konjugiert zu ( — u1 : v1) ein zweiter Durchmesser, so ist für den Schnittpunkt M sowohl n = 0 als 1 = 0 und somit —a v - ( —" b u n v— v u

u„ v1-^ u 1

aber

Q

11

= —- oder (x — a) =#.u n : fy — b) = ^ y— b vo ° ' folglich ergiebt 8) für die Bestimmung von #, da # = [(x — a) v— (y— b)u] : ist: 8 - l + a u + v b = £; d. h.

*—

K 2 + v02) (e'-l) und (x— a) = ^ u0 ; (y— b) = ^v 0 ; x = a-|-^uo; y = b + £ v0 d. h. aber aus d e n K o o r d i n a t e n v o n M s i n d sow o h l u und v als a u c h u1 und v1 v ö l l i g v e r s c h w u n d e n , sie h ä n g e n n u r v o n d e n K o n s t a n t e n d e r K u r v e a b , d e r P u n k t M i s t also für alle Durchmesser derselbe. Ist e = l, so ist # und damit und y unendlich, d. h. also : b e i d e r Parabel lie g t d a s C e n t r u m im U n e n d l i c h e n , i h r e D u r c h m e s s e r s i n d parallel.

§ 21. Sehnenschar u. Durchmesser in Konjunktion 89 ;

No. 8 l sst sich auch schreiben 9) x(^u 0 —vy)+yUv 0 + u y ) — ( Λ — y a y + y b u ) = 0 oder xa + yjJ—n = 0; ea sind also (Λη 0 —vy):n und (^v 0 -f-uy):n die Koordinaten U und V dea Durchmessers; welcher der Richtung (u j v) konjugiert ist und — ai ist sein Richtungsfaktor. F r die Parabel ist — «:0 = — T O : U OJ d. h. nach § 12 S. 53. Die D u r c h m e s s e r der Parabel stehen auf der L e i t l i n i e senkrecht. Da f r die Parabel das Centrum als Pol auf seiner Polaren Hegt, so sagt man, dass die P a r a b e l von d e r u n e n d l i c h f e r n e n G e r a d e n b e r h r t wird. Man zeigt umgekehrt, dass die Polare (* von M i (£ii?) die unendlich ferne Gerade ist. Es ist q (ξ η) = γ #, also wird 7) nach Division mit γ &

q (χ l y) = U—a) u0 4- (y—b) v0 Σ (u0-u0) + y (v0-v0)- (l + a u0 + b v0) = 0 d. h. aber p hat die Koordinaten 010 oder μ ist d i e unendlich f e r n e Gerade. Es ist ebenfalls sofort zu verifiziren, dass M a u f j e d e m D u r c h m e s s e r l i e g t , daTJ|-}-Vi7 = l oder w. d. i. α ξ-\- β η = η ist, man braucht nur die Gleichung £ (u02 -{- v 0 8 —γ) = — (u a + v b—1) zu benutzen; dass dann M die Mitte jedes Durchmessers ist, folgt sofort daraus, dass sein 4. harmonischer im Unendlichen, wird aber auch direkt mit Benutzung von ^T

=

(§ 19 S. 83) nachgewiesen und ohne

jede M he, wenn man den Koordinatenanfangspunkt nach !P verlegt d. h. η = Λ setzt. Unter der Sehnenschaar (u | v) welche der Durch-

PO

VI. Abschnitt. Die Kegelschnitte.

messer (U | V) halbiert, ist Eine, welche durch M geht, also selbst ein Durchmesser (U 1 V1) ist, zugeordnet der 'Richtung (u1 v1). Aus den Gleichungen 9) folgt dann n 1 U1 = Alu0—v1 γ = va \il ν* = ^ 1 v 0 -}- u1 y = v v und hieraus U1 = c(^u 0 —vy); v':=c(;iv 0 + uy) ul U j k l c. h. aber: —r= -^ry lalso: Yι

Geh rteinDurchmesserzurSehnenschaar eines anderen, so geh rt der andere z u r S e h n e n s c h a a r des ersten. Solche Durchmesser heisseu k o n j u g i e r t . Diese Zuordnung ist f r die P a r a b e l g e g e n s t a n d s l o s , weil nur die unendlich ferne Gerade als durch M gehend und dem Durchmesser nicht parallel angesehen werden kann, bezw. da alle Durchmesser parallel sind, jeder sich selbst konjugiert ist. Da der 2. Schnittpunkt des Durchmessers der Parabel mit der Kurve im Unendlichen liegt, so geht die Kurve m i t t e n z w i s c h e n P o l u n d P o l a r e h i n d u r c h , u n d dies ist die charakteristische Eigenschaft der Parabel. Ist M im Endlichen gelegen, so kann der Durchmesser auf seiner Sehnenschaar senkrecht stehen, die Bedingung daf r ist (§ 12 S. 53) u U + v V =0, d. h. aber: λ

K u + vo v) = ° Ist λ identisch 0 d. h. ist u0 = 0 und v0 = 0, so s i n d alle k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r a u f e i n a n d e r s e n k r e c h t , dann ist aber die Leitlinie die unendlich ferne Gerade, d. h. die Kurve ist der K r e i s , und wir treffen hier eine wohlbekannte Eigenschaft des

§ 22 Gestalt der Kurve.

91

Kreises wieder. Ist nicht identisch 0, so haben wir nur die Lösungen u: v = u 0 : v0 oder u : v = — (v 0 : u0), beide Lösungen ergeben ein e i n z i g e s P a a r k o n j u g i e r t e r D u r c h m e s s e r , welche aufeinander senkrecht stehen: der D u r c h m e s s e r p a r a l l e l der Leitl i n i e u n d d e r a u f i h r s e n k r e c h t e . Diese D u r c h m e s s e r r heissen die Axen der c e n t r a l e n Kegelschnitte: Ellipse und Hyperbel. Aus 8} folgt, dass Eine der beiden, die auf L senkrechte, d u r c h den B r e n n p u n k t g e h t , diese Axe heisst die H a u p t a x e , die andere bei der Elipse k l e i n e — bei der Hyperbel N e b e n a x e . Auch bei der Parabel giebt es einen Durchmesser, der seine Sehnenschaar unter rechtem Winkel halbiert, der, dessen Schaar die Richtung der Leitlinie hat. Da für diesen = 0, so geht auch er durch den Brennpunkt und heisst die Axe der P a r a b e l . Oft nennt man die Axen gemeinsam H a u p t a x e n .

VII. Abschnitt.

Die Parabel. § 22. Gestalt der Kurve. Die Parabel ist der Kegelschnitt für den e — l, d. h. sie ist der Ort der Punkte, welche von einer festen Geraden, — der Leitlinie (L) — und einem festen Punkt — dem Brennpunkt (F) — gleichen Abstand haben, bezw. ist sie die Kurve, welche von der Gesamtheit aller der Geraden umhüllt wird, welche L so

92

VII. Abschnitt. Die Parabel.

schneiden, dass sie den Winkel zwischen L und dem Brennstrahl nach dem Schnittpunkt halbieren, oder, was dasselbe ist, sie ist der Ort der Symmetrieaxen aller Strecken, welche von F nach L gezogen werden können (Fig. 14). Den Berührungspunkt B selbst er-

Fig. U.

hält man, wenn man in dem zugehörigen Punkte der Leitlinie auf ihr das Loth errichtet (Fig. 15). Ausgezeichnet ist die Tangente, welche L parallel ist, sie geht durch die Mitte S des von F auf L gefällten Lothes FG. Punkt S heisst: S c h e i t e l der Parabel,

§ 22. Gestalt der Kurve,

93

die Tangente in S: die S c h e i t e l t a n g e n t e , die Gerade G F ist nach Definition die A x e der Parabel. Die Senkrechten auf L, welche die Berührungspunkte liefern, sind die D u r c h m e s s e r . Sie haben mit der Kurve zwar auch nur einen Punkt gemeinsam, aber ihr Schnittpunkt im Unendlichen kann als Parabelpunkt gelten, weil das Verhältnis P F : P A sich mit wach-

Flg. 15.

sender Entfernung des Punktes P mehr und mehr der Einheit nähert Man sieht, die Kurve liegt ganz auf der Seite von L, bezw. der Scheiteltangente, auf der F liegt. Die Axe teilt L und damit die Kurve in zwei symmetrische Teile, die Tangenten drehen sich von der Scheiteltangente oberhalb und unterhalb fort. Während nach der zu, bis sie in unendlicher Entfernung von S untereinander und der "Axe parallel

94

VII. Abschnitt. Die Parabel.

werden, und die Axe der Kurve und einander im unendlich fernen Punkt der Parabel treffen. Alles dies ist leicht durch die Rechnung zu bestätigen. "Wählt man S zum Anfangspunkt, die Axe zur X-Axe, die Scheiteltangente zur Y-Axe, nennt die Länge von FG kurz p, und setzt als -j~3£ den Strahl SF fest, so ist: u0 = —2/p; v0 = 0; a= 1 / 2 P5 b= 0; e = l und damit gehen 1) und 2) des § 18 über in 1) y * = 2 p x ; 2) v 2 + 2 u p - i = 0 wir haben also dieselbe Erscheinung wie beim Kreis. Die Parabelgleichung enthält in Punkt wie in Linienkoordinaten nur die eine Konstante p, von der die Gestalt der Kurve abhängt, sie heisst der P a r a m e t e r , Grenzfälle sind p = 0— dann artet die Kurve in die (doppelt zu denkende) X-Axe aus — und p = 00, dann geht die Kurve in die unendlich ferne Gerade über. Da in Folge von 1) y = + y 2 p x , dagegen a y x=ö—

völlig bestimmt ist, so folgt, dass die X-Axe Jp d. h. die Kurvenaxe für die Kurve eine Symmetrieaxe ist, ferner dass auf jeder Seite der Axe die Punkte der Kurve sich von beiden Seiten fortwährend entfernen, aber so, dass die Abstände von der X-A_xe sich immer schwächer und schwächer ändern, so dass die Kurve im Unendlichen als der X-Axe parallel angesehen wird. Zu x=4-oo gehört zwar auch y = -j-oo und y = —ÖD , aber da wir die Gerade als im Unendlichen geschlossen denken, so können wir diese beiden Punkte (x|-j-oo) und (x| — oo) als zusammen-

§ 22. Gestalt der Kurve.

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fallend ansehen und im verschwindenden Abstand von der X-Axe, weil j/äT gegen verschwindet, wenn über jedes Mass gross, so dass wir die Kurve als im Unendlichen geschlossen denken und den unendlich fernen Punkt in der Richtung der Axe. Es hindert ferner nichts, anzunehmen, dass zu j e d e m y ausser dem x, welches l liefert, noch der Wert = oo gehört, entsprechend der Thatsache des vorigen Paragraphen, wonach alle Durchmesser (deren Gleichung y = c ist) die Kurve im unendlich fernen Punkte schneiden. Die Gleichung v a +2up— 1 = 0 zeigt a), dass zu jedem u zwei gleiche und entgegengesetzte v gehören, d. h. dass zu jedem Punkt der X-Axe zwei symmetrisch gegen die Axe gelegene Tangenten gehören, die reell sind für alle negativen u, d. h. für alle Punkte auf dem Strahl S G, für S selbst fallen beide v zusammen. Zu jedem v gehört nur ein u, es giebt scheinbar durch jeden Punkt der Y-Axe, d. h. der Scheiteltangente, nur Eine Tangente, dazu kommt aber wieder die Lösung u = oo, d. h. die Scheiteltangente selber. Die Gleichung 2 giebt eine bequeme Erzeugung der Kurve aus ihren Tangenten. Die Gleichung ve -J- 2 u p—1 = 0 ist hervorgegangen aus o·' — des § 18, wir entnehmen daraus den Satz: Eine Gerade schneidet die Parabel, b e r ü h r t sie, s c h n e i d e t sie nicht, je n a c h d e m der G e g e n p u n k t des Brennp u n k t s in B e z u g auf die G e r a d e auf

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VII. Abschnitt. Die Parabel.

die B r e n n p u n kt s se i t e d e r L e i t l i n i e , a u f d i e L e i t l i n i e , o d e re n t g e g e n g e s e t z t fällt.

Die Gleichungen der Tangente und der Polare folgen aus 7) und 8) des § 21. 3) yy'^ptx+x 1 ) bezw. 3a) yi? = p(*+£). [Berührungspunkt {(x' | y') ; Pol { (|· | *?)]. Aus 3) bezw. 3a) folgt, dass wenn y = 0, so x =—x'(bezw.— ), d. h. die T a n g e n t e ( P o l a r e ) s c h n e i d e t die Axe so, dass der Scheitel in der Mitte zwischen dem Schnitt und dem Fusspunkt der O r d i n a t e des B e r ü h r u n g s p u n k t s (Poles) liegt. Aus 3) erhellt die für die Parabel charakteristische Thatsache, dass die K o n s t r u k t i o n s f i g u r ABF d e r F i g u r 15 s i c h zu d e r B a u t e A B F T vervollständigen (Fig. 16) lässt, sowie der Satz: A l l e P a r a b e l t a n g e n t e n (bezw. P o l a r e n ) w e r d e n z w i s c h e n K u r v e (Durchmesser) und Axe von der S c h e i t e l t a n g e n t e halbiert. Die Senkrechte auf der Tangente im Berührungspunkt heisst bei allen Kurven N o r m a l e , das Stück der X-Axe zwischen dem Fusspunkt der Ordinate und dem Schnittpunkt T der Tangente heisst S u b t a n g e n t e das Stück zwischen dem Fusspunkt und dem Schnitt der Normale N heisst die Subnormale. Aus der Kongruenz der Dreiecke T A G und FB/?; G A F und /?BN folgt:

§ 22. Gestalt der Kurve.

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Die S u b t a n g e n t e ist d o p p e l t so lang als die A b s c i s s e und was wichtiger: Die S u b n o r m a l e i s t k o n s t a n t u n d g l e i c h dem Parameter. Schlägt man um F mit dem Brennstrahl FB den

Fig. IG.

Kreis, so trifft er die Axe in T und N und liefert Tangente und Normale zugleich. Da die Tangente die Symmetrieaxe zu FA, so ist es leicht, von irgend einem Punkt P an die Parabel die Tangenten zu konstruieren. Man hat nur um P mit P F einen Kreis zu schlagen, der (wenn P ausserhalb, d. h. P F > P C ) (Fig. 17) die Leitlinie in den Punkten A und A! schneidet5 die Symmetrieaxeu zu FA bezw. FA, sind S i m o n , Analytische Geometrie der Ebene. 7

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!I. Abschnitt. Die Parabel.

dann die Tangenten und B und Bt die Berührungspunkte. Da die Tangente den Winkel A B F halbiert, so halbiert die Normale den Nebenwinkel, d. h.: Alle S t r a h l e n , w e l c h e von F her die Kurve treffen, werden in d e r R i c h t u n g d e r A x e zur ü c k gO e w o r f e n ,/ u n d a l l e S t r a h l e n *, w e l c h e i n

Fig. 17.

der Richtung der Axe von innen kommend die Kurve treffen, werden im Brennpunkt gesammelt. Diese Eigenschaften, von denen der Brennpunkt seinen Namen hat, machen die parabolischen Spiegel so wichtig für Optik, Wärmelehre und Elektricität. Die Parabel hat ausserdem noch Bedeutung für die Mechanik als W u r f l i n i e , Grenzfall der K e t t e n l i n i e und für die Astronomie als Kometenbahn.

§ 23. Weitere Brennpunktseigenschaften.

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§ 23. Weitere Brennpnnktseigenschaften. Vervollständigt man Fig. 17 dadurch, dass man F mit B und Bj verbindet und zu A Aj die Axe zieht, welche durch P geht, lässt dagegen A, F weg, so entsteht Fig. 19. A!PF ist als Centriwinkel doppelt

Fig. 18.

BO gross als der Peripheriewinkel Al A F, welcher gleich AB P ist, weil beide den Winkel BAF zu 90° ergänzen; somit ist