Geschichte der Elementarmathematik: Band 4 Ebene Geometrie [3rd. rev. ed.] 9783111621500, 9783111244457

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GESCHICHTE DER

ELEMENTARMATHEMATIK IN SYSTEMATISCHER DARSTELLUNG MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER FACHWÖRTER VON

DR. JOHANNES TROPFKEf VIERTER BAND

EBENE G E O M E T R I E DRITTE, VERBESSERTE UND V E R M E H R T E A U F L A G E B E S O R G T V O N DR. K U R T V O G E L

BERLIN 1940

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. VORMALS G. J. GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG / J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG / GEORG REIMER / KARL J. TRÜBNER / VEIT & COMP .

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten Copyright 1940 by W a l t e r d e G r u y t e r & Co. vormals G.J.Göschen'scheVerlagshandlung—J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner —Veit & Comp., Berlin W 35, Woyrschstraße 13 Printed in Germany / Druck von Metzger & Wittig in Leipzig Archiv-Nr. 12 28 40

Vorwort. Das Erscheinen des vorliegenden Bandes: „Ebene Geometrie" steht im Zeichen tiefster Trauer. Unser unvergeßlicher, väterlicher Freund JOHANNES TBOPFKE weilt nicht mehr unter uns, er wurde plötzlich abgerufen nach einem an wissenschaftlichen Erfolgen überreichen Leben, mitten heraus aus der Arbeit, die ihm ans Herz gewachsen war und die er nicht entbehren konnte. Galt es doch, sein überall anerkanntes, einzig dastehendes Werk, seine „Geschichte der Elementarmathematik" zum dritten Male der wissenschaftlichen Welt zu unterbreiten. Noch erlebte er die Freude, daß ihm das neue Deutsche Reich in Anerkennung seiner besonderen Verdienste die Silberne Leibnizmedaille verlieh und ihm auch Mittel für den Neudruck des vorliegenden Bandes zur Verfügung stellte. Mit größter Hingabe hat er in oft mühevollster Kleinarbeit auch diesen 4. Band vorbereitet und bereits die ersten Korrekturen gelesen, da nahm ihm der Tod die Feder aus der Hand. Durch Mithilfe des Verlags, sowie von J. E. HOFMANN, W. LOREY und J. RUSKA ist es gelungen, den Band ohne große Verzögerung zu Ende zu bringen, wenn auch dem seit Ende August von der Heimat abwesenden Herausgeber bibliographische Hilfsmittel nicht mehr zur Verfügung standen. Der Umfang des Bandes ist gegenüber der 2. Auflage wesentlich vermehrt, da alle neueren Arbeiten berücksichtigt wurden und manche Stellen eine vollständige Umarbeitung erfuhren. Die am Schlüsse beigegebenen Vergleichstafeln werden das Benützen der Personenund Sachverzeichnisse im VII. Band der 2. Auflage ermöglichen. Mit aller Kraft wollen wir Jüngeren nun ans weitere Werk gehen, um dem großen Meister nachzustreben in exakter und erfolgreicher Arbeit. Das soll unser Dank an JOHANNES TBOPFKE sein! K r i e g s w e i h n a c h t e n 1939. K U R T VOGEL.

Inhalt. Ebene Geometrie. A. Allgemeiner Teil 1. Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Elementargeometrie 2. Die Sprache der Geometrie. Figuren 8. Definitionen, Axiome, Postulate. — Allgemeine Fachausdrücke

S«ite

3— 61 3— 18 18— 27 27— 61

B. Besonderer Teil 1. Die gerade Linie. Der Winkel 2. Das Dreieck. — Die Kongruenz 3. Die Konstruktionsaufgaben 4. Das Viereck. Allgemeine Vielecke 5. Der Kreis 6. Flächenberechnung und Flächenvergleichung 7. Die Lehre von der Ähnlichkeit 8. Die regelmäßigen Polygone 9. Die Kreis berechnung

62—310 62— 80 80—100 100—116 116—131 131—172 172—209 209—238 239—260 260—310

Vergleichstafel der Seiten- und Anmerkungezahlen der zweiten und dritten Auflage

311—316

EBENE GEOMETRIE.

TROPFKE, Geschichte.

IV. 3. Aufl.

1

Α. Allgemeiner Teil. I. Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Elementargeometrie.

Zwei Jahrtausende auf- und ab wogender Geschichte haben an dem System der Elementargeometrie nicht zu rütteln vermocht. Was der Alexandriner EUKLID um 325 vor unserer Zeitrechnung schrieb, ist auch heute in Inhalt und Form der eiserne Bestand der Schulmathematik; ja, sein Lehrbuch wird, wenigstens in England, noch zuweilen unmittelbar dem Unterricht untergelegt. Nur wenige Zusätze und Fortsetzungen sind dem Euklidischen System eingegliedert, mehreres Unnötige ist ausgeschieden worden. Was der junge Grieche, der erwartungsvoll an die Tür mathematischer Weisheit klopfte, durchdenken, lernen und üben mußte, das arbeitet mit gleicher Andacht in der heutigen Zeit der strebsame Quartaner und Tertianer durch. Welch bewunderungswürdiges Genie, einzig in der Geschichte der Mathematik, muß EUKLIDS Hand geführt haben, da er ein solches Meisterstück, wie aus einem Gusse, zu schaffen vermochte! Solche Fragen staunender Anerkennung drängten und drängen sich jedem seiner Jünger unwillkürlich auf. Der Geschichtsforscher ist kritischer. Nie ist eine Geistestat unvermittelt in die Welt getreten, sondern Forscher auf Forscher trugen, jeder nach seiner Kraft, das ihrige dazu bei, bis das Werk im Glänze dastand. Ist der, der es schließlich krönte, der Baumeister? Griechische Mitteilungen verweisen selbst den Ursprung der Geometrie in das Land der Nilanwohner, nach Ägypten. Die Erzählung, daß bei diesen die Geometrie allmählich durch die stets zu wiederholenden, von den jährlichen Überschwemmungen bedingten Landvermessungen entstand, ist bei HERODOT 1 als Hypothese, bei 1

HERODOT,

ed. H.

Historiae, lib. I I , cap. 109, ed. DIETSCH, Leipzig 1882, S. 168. 2. Aufl., I, Leipzig 1892, S. 181.

KALLENBERG,

1*

4

Allgemeiner Teil.

Späteren 3 als Tatsache überliefert wordeD. Der Anblick der majestätischen Pyramiden- und Tempelbauten (bis 4000 v. Chr. zurück), ihre genaue Durchforschung in Bauart, Ausschmückung und Inschriften, die wissenschaftliche Durchsicht der gefundenen Papyrusrollen, besonders des unter dem Namen „Rechenbuch des AHMES" bekannt gewordenen Papyrus Rhind 1381 (1788—1580 v. Chr.), wie des aus derselben Zeit stammenden Papyrus Moskau111135 geben überraschende Aufschlüsse über ägyptische Kenntnisse in der Geometrie. Ziemlich genaue Versuche in der Kreisquadratur, schwierigere Flächenberechnungen, wie am gleichschenkligen Dreieck und gleichschenkligen Trapez durch genaue Formeln, Zerlegung von Figuren in leichter zu berechnende, ja Anfänge einer Ahnlichkeitslehre bilden den Gipfelpunkt der gefundenen Resultate. 3 Eine selbständige Geometrie kannte der alte Ägypter allerdings noch nicht.4 Die von ihm benutzten Berechnungsvorschriften waren empirisch gefunden und wurden dadurch erhärtet, daß sie erfahrungsgemäß zutreffende Resultate ergaben. Beweise für ihren geometrischen Inhalt, wie sie im Papyrus Rhind 1 3 8 1 bei den arithmetischen Aufgaben fast stets gegeben wurden (ssmt; vgl. Bd. I, S. 151) erschienen noch nicht erforderlich. Die Geometrie war nur eines von den vielen Anwendungsgebieten, die den Rechenaufgaben zugrunde gelegt wurden. W i e weit aber diese empirische Wissenschaft vordrang, sieht man aus dem Papyrus Moskau111135, der eine richtige Volumenberechnung für den quadratischen Pyramidenstumpf 11123a bringt (vgl. Bd. V I I , Stereometrie). Aber auch aus der babylonischen Mathematik, die in der sumerischen Periode älter als die ägyptische zu sein scheint (3. Jahrh. v. Chr.), flöß viel geometrischer Stoff nach Griechenland ab. Die Entzifferung mathematischer Keilschrifttexte, die mit dem Papyrus Rhind etwa gleichzeitig sind, zeigt, daß man Flächenberechnungen von Dreiecken und Trapezen behandelte. Beim Kreis wird Umfang und Fläche mit π = 3 berechnet, auch Sehne und Bogenhöhe. Die sexagesimale Kreiseinteilung ist bekanntlich (vgl. 2 H E R O N , Def. 136, Opera 4I64S, S. 108; Geometrica, cap. 2, 23, Opera 4, S. 176, Z. 3f., S. 398, Z. 3f. PBOCLUS 1 1 389, S. 64, Z. 16ff. STRABONIS Geographica, lib. 16, cap. 2, § 24, ed. M Ü L L E R - D I D O T , I I , Paris 1877, S . 644, Ζ. 48—56, lib. 17, cap. 1, § 3 , S. 699, Ζ. 54 bis S. 670, Ζ. 7. E Ü D E M I Fragmenta quae supersunt, ed. L . SPERGEL, 1. Aufl. Berlin 1866, 2. Aufl. Berlin 1870, S . 113. DIODORI Bibliotheca Historica, I, 81, ed. D I N D O R F F - V O G E L , Bd. I, Leipzig 1888, S . 136. — 3 O . NEUGEBAUER, Die Geometrie der ägyptischen mathematischen Texte. Qu. u. Stud. ζ. Gesch. d. Math., Astron. u. Physik Β 1, 1931, S. 413—441. — * Vgl. P. L U C K E Y , Was ist ägyptische Geometrie? Isis, 20, 1933, S . 15—52.

Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Elementargeometrie.

5

Bd. I , S. 51 ff.) auch babylonisch. Die Stärke der babylonischen Mathematik — die natürlich auch empirischen Ursprungs ist — liegt in der Algebraisierung. Es werden Aufgaben gebildet, die wir als Gleichungen ansetzen, sogar als quadratische (vgl. Bd. III, S. 52f.), und diese werden richtig gelöst auf Grund von Rechenvorschriften, die unserer modernen Formel gleichkommen. Die Algebraisierung ist sogar so weit fortgeschritten, daß entgegengesetzt dem Dimensionsprinzip Flächen und Linien addiert werden (vgl. Bd. ΙΠ, S. 54). Wenn auch in der Mathematik Ägyptens und Babylons sich schon in der älteren Zeit eine Erstarrung bemerkbar macht, so mag doch bis zu einem Jahrtausend später, als Fühlung mit Griechenland eintrat, so manches Neue hinzugekommen sein, auch in der festen Form der Darstellung, dem gelehrten Fachstil, der Terminologie, wofür uns die alten Texte nur Anfänge geben. Jedenfalls war aber das, was die Griechen übernahmen, zumeist nicht Geometrie, sondern Arithmetik, auch etwas babylonische Algebra, 5 und daher war auch die älteste griechische Mathematik in erster Linie arithmetisch. PYTHAGOBAS' Hauptweisheit war: Alles ist Zahl! Ihren Ausgang nahm diese Wissenschaft im 6. Jahrh. v. Chr. von der musikalischen Intervallenlehre. Sie stand vor einer die Grundlagen erschütternden Krise bei der Entdeckung des Irrationalen (vgl. Bd. II, S. 82 ff.) in geometrischen Anwendungen, wie bei der Berechnung der Diagonale eines Quadrats aus der Seite. Die Geometrie kam so in das Vordertreffen und blieb im Siege, auch nachdem es EUDOXOS (410—356 v. Chr. — vgl. Bd. II, S. 84 f.) gelungen war, den Zahlbegriff dem Irrationalen anzupassen. Was in der Arithmetik und Algebra geleistet oder von Ägypten und Babylon übernommen war, wurde in geometrische Form umgewandelt; dadurch verschwand der scharfe Riß zwischen rationalen und irrationalen Größen. Nach zwei Richtungen bearbeitete der griechische Geist den zufließenden Stoff. Dank einer tiefen Veranlagung zur Systematisierung faßte er die empirisch gefundenen Sätze, Rechenvorschriften usw. zu Stoffgebieten zusammen und hob das Gemeinsame heraus. Mit strengen gründlichem Forschungstrieb wurde dann noch die Richtigkeit des geometrischen Inhalts geprüft und mit Beweisen versehen. Und nicht an e i n e m Orte, zu e i n e r Zeit, an e i n e r Schule wurde diese große Arbeit geleistet. THALES von Milet (um 6 2 4 — 5 4 0 v. Chr.) wirkte an der Küste Kleinasiens, PYTHAGOBAS (um 5 8 0 — 5 0 1 v. Chr.) 6

0 . NEUGEBAUEE, Zur geom. Algebra1119,

S. 247 ff.

6

Allgemeiner

Teil.

in Unteritalien. Hier hatte auch um 100 Jahre später ABCHYTAS von Tarent (430—365 v. Chr.) seine Schule gegründet. Beide Schulen wurden oft als ,Pythagoreer' zusammengefaßt; aber schon ARISTOTELES (383—322 v. Chr.) trennte die Schule des ABCHYTAS als ,sogenanntef Pythagoreer wieder ab.6 Dann aber wurde Athen der geistige Vorort mit PLATONS (429—348 v. Chr.) Akademie; schließlich wuchs Alexandria zum Kristallisationszentrum (EUKLID, um 325 v. Chr.) heraus. Die Entwicklung der griechischen Mathematik war eine meteorartige. In rund 300 Jahren wurde der glänzende Aufstieg vollzogen. Man hat diesen Siegeszug immer angestaunt. Erst in jüngster Zeit fand man Einblick in die vorgriechische Mathematik Ägyptens und Babylons und erkannte, welch großer Tatbestand bereits angesammelt war und den griechischen Gelehrten zu ihrer wissenschaftlichgeometrischen Durchdringung zur Verfügung stand. Natürlich fand sich bei dieser Umwandlungsarbeit auch neuer Stoff in Fülle ein. Das Streben nach übergroßer Schärfe auch in den kleinsten Beweisschritten, die dadurch bedingte unübersichtliche und schwülstige Darstellungsform, die Höhe der Abstraktion, das Fernhalten aller Anwendungsgebiete aus dem streng mathematisch philosophischen System der Geometrie bedingte den Verfall schon vom zweiten vorchristlichen Jahrhundert an, besonders seit Alexandrias Schule in der Römerzeit die alte Höhe nicht halten konnte. Unendlich schwer, viel zu schwer war es für die Epigonen, sich in die alten Handschriften hineinzuarbeiten, unmöglich fast, zu weiteren Fortschritten vorzudringen. In der Araberzeit, in der Renaissance gelangen solche Vorstöße; aber erst die Neuzeit hat sich zu der Erkenntnis der bewundernswürdigen Höhe des antiken Geometriesystems hindurchgerungen und vermochte weiteren Aufbau zu leisten. Verfolgen wir die Entstehung der griechischen Geometrie nunmehr im einzelnen. Bestimmte Überlieferungen,7 die aber sicher auf schwachen Füßen stehen, verknüpfen mit dem Namen des THALES den Lehrsatz von der Gleichheit der Scheitelwinkel und der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke, die Halbierung des Kreises durch den Durchund die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923, S. VII. — (410 n. Chr. Byzanz — 485 Athen) gibt in seinem Kommentar zu EUKLID 2 historische Erläuterungen, die er der Geschichte der Geometrie des EUDEMOS (um 334 v.Chr.; vgl. S. 9) entnommen hat. Zu T H A L E S vgl. PROCLI DIADOCHI in primurn EUKLIDIS JElementorum librum commentarii, ed. G. FRIEDLEIN, Leipzig 1873, 299, 3—4; 250, 20ff.; 157, 10ff.; 352, 14ff. 6 7

EBICH FRANK, PLATO

PROKLOS

Überblick über die geschichtliche

Entwicklung

der Elementargeometrie.

7

messer, die Kongruenz zweier Dreiecke bei Übereinstimmung in einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln. Viel weniger bestimmt sind die Angaben über die Verdienste des PYTHAGORAS um die Geometrie. Die spätere Uberlieferung ist oft allzu leicht geneigt, ihm Entdeckungen zuzuschreiben, die seinen Schülern, selbst späteren, zukommen. Schon zu ARISTOTELES' Zeit waren die Leistungen des PYTHAGORAS von denen seiner Schüler nicht mehr zu trennen. Die Überschätzung des Meisters hält scharfer Kritik nicht stand.8 2 0 Jahre nach dem Tode des PYTHAGORAS hat OINOPIDES (um 490 v. Chr.) eine genaue Konstruktion für die Aufgabe, von einem Punkte auf eine Gerade ein Lot zu fällen, gegeben.9 Wie kann da dem PYTHAGORAS die Entdeckung des Irrationalen, die geometrische Konstruktion der fünf regelmäßigen Körper zugeschrieben werden, ja auch nur der Quadratensatz am rechtwinkligen Dreieck in seiner theoretischen Reinheit? Die Benutzung von Proportionen muß man ihm zuschreiben, auch die Kenntnis regelmäßiger Körper hat er besessen, aber wohl nur auf Grund ihrer technischen Herstellung, nicht in Verbindung mit tieferen geometrischen Wahrheiten. Auch die Quadrateigenschaft 3 2 + 4 2 = 5a, selbst am rechtwinkligen Dreieck, vielleicht auch noch andere ähnliche Zahlen wird er gekannt haben. Erst der Schule des Meisters verdankt die Mathematik, als reine selbständige Wissenschaft von der steten Verbindung mit der Praxis losgelöst, die hauptsächliche Förderung. Diese Schule beherrschte die Lehre von den Parallellinien, die Winkelsätze des Dreiecks, die Kongruenz und Flächengleichheit von Dreiecken und benutzte diese zu den sogenannten Anlegungs- und Verwandlungsaufgaben. Erst sie fand den Pythagoreischen Lehrsatz in seiner allgemeinen Form und die stetige Teilung. Von HIPPOKRATES (um 440 v. Chr.), der mit der Pythagoreischen Schule in Verbindung stand, stammt die älteste uns erhaltene griechische mathematische Schrift, die Abhandlung über die Möndchen,10 die vielleicht einen Versuch der Kreisquadratur bezweckte. HIPPOKRATES ist bereits die Lehre vom Kreise und den Winkeln im Kreise völlig geläufig. Seine Beweisart ist allerdings noch altertümlich. Die Beweise bis zu seiner Zeit waren mehr Erfahrungsbeweise, zerlegt in viele einzelne Sonderfälle. Die vielgerühmte griechische Strenge setzt erst mit HIPPOKRATES selbst 8

Bibl. math. 93, 1908/09, S. 65 ff. Oer Bericht des SIMPLICIÜS über die Quadraturen des ANTIPHON und des HIPPOKRATES 1379 ; daselbst S . 79 weitere Literatur. 0 . B E C K E R , Zur Textgestaltung des eudemiscken Berichts über die Quadratur der Möndchen durch Hippokrates von Chios, Qu. u. Stud., Math., Β 3,1936, S. 411—418. —

Vgl. H. 9

VOGT,

PROCLUS7,

Die Geometrie des

S. 283.

—

10

PYTHAGOBAS,

RUDIO,

8

Allgemeiner Teil.

ein. In peinlicher Genauigkeit wird die Voraussetzung gefaßt, mit ängstlicher Erwägung aller nur möglichen Einwürfe die Konstruktion der entsprechenden Figuren entworfen, auf jeden Hilfssatz beim Beweis mit breiter Umständlichkeit eingegangen, da man seine Kenntnis bei dem Zuhörer nicht voraussetzen durfte. Diesem äußerst fühlbaren Mangel aller Vorkenntnisse half HIPPOKRATES selbst ab, indem er zum erstenmal „Elemente" zusammenstellte. 11 Ihre Abfassung wird wohl n a c h seiner Möndchenschrift erfolgt sein, da er sich in letzterer trotz mehrfacher Gelegenheit nicht auf sie bezieht. Gegen Ende des Jahrhunderts, fast 100 Jahre nach dem Tode des Meisters, wird in der Pythagoreischen Schule eine folgenschwere Entdeckung gemacht, die des Irrationalen: daß es nämlich Strecken gebe, denen keine Zahl zukomme. 12 (Vgl. Bd. II, S. 83f.) Dem Lehrer PLATONS, THEODOROS VON KYRENE (um 4 1 0 v. Chr.), gelang der Nachweis der Irrationalität für |/2, ]/3 bis ]/Ϊ7 und damit induktiv für alle Wurzeln aus Nichtquadratzahlen. Den weiteren Ausbau der neuen Lehre vollführte PLATONS Altersgenosse THEAITET (um 390 v. Chr.) und sein Schüler EUDOXOS (410—356 v. Chr.). PLATON selbst (429—348 v. Chr.)13 kam erst ziemlich spät zur Mathematik; die erste Andeutung einer Beschäftigung mit ihr findet sich im Dialog Gorgias,14 den er im 30. Lebensjahr schrieb. Dann aber nahm sie ihn ganz gefangen: 15 er fand in ihr die Verwirklichung seiner philosophischen Gedankengänge, 16 rein durch logische Schlüsse der Wahrheit, unter Zugrundelegung von Begriffen und Axiomen nachzugehen, mit Fernhaltung sinnlicher Anschauung und aller Anwendung auf das Praktische. Besonders packte ihn die neue Lehre des Irrationalen, die er durch THEODOROS und THEÄTET kennenlernte. In ihr sah er echteste Mathematik, erhaben über jede Sinnfälligkeit in reinster Abstraktheit. Und so widmete er sich mit besonderem Eifer der Grundlegung und der Methodik der S. 66, 7. — 1 2 Vgl. Gr. J U N G E , Wann haben die Griechen das Irrationale entdeckt? Novae Symbolae Joachimicae. Halle 1907. — 1 3 SETH D E M E L , P L A T O N S Verhältnis xur Mathematik. Forschungen z. Gesch. d. Philos. u. d. Pädag. 4, Leipzig 1929, S. 15. — 1 4 Gorgias 508A. — IB PLATO sagt, die Mathematik sei offenbar reinigend und erhebend für die Seele (PLATO, lies publica 525C. P H O C L U S 7 , S. 29, Z. 2 6 f f . ; H E R O N , Op. 4 1 8 " , S. 110, Ζ. 19—20. ARISTOTELES: Jene, welche die Kenntnis der Mathematik verachten, haben nie ihre Freuden gekostet (Eth. NICOM. 1176 b , 19, coli. I l 7 3 b , 16. P R O C L U S 7 , S. 28, Z. 2 0 f f . ; H E R O N , Op. 4 1 5 4 3 , S. 110, Ζ. 3—4. — ™ GL J D N Q E , BesonderheitenI813, Jahresb. D. Μ. V. 35, 1926, S. 72ff.; ferner auch J. L. H E I B E R G , Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum, München 1925, Handbuch 11

PEOCLUS7,

Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Elementargeometrie. 9 Mathematik und drückte ihr für immer seinen Stempel auf,17 Indem er jeden Satz auf Vordersätze zurückführte, gelangte er schließlich zu den Definitionen, Axiomen und Postulaten. Ihm wird der Ausbau der analytischen Methode wie der indirekten Beweisform zugeschrieben;18 besondereSätze, die einen Fortschritt im geometrischen System bilden, werden nicht auf ihn zurückgeführt. Einer seiner Schüler, L E O N (um 370 v. Chr.), stellte zum zweitenmal Elemente zusammen,19 da die des H I P P O K R A T E S inzwischen reichlich veraltet sein mochten; etwa drei Jahrzehnte später (um 340 v. Chr.) geht 20 T H E U D I O S wiederum an diese Arbeit. Die Entwicklung der Mathematik hatte solch energischen Verlauf genommen, daß auch ein historischer Überblick nötig wurde. E U D E M O S (um 334 v. Chr.), ein älterer hervorragender Schüler des A R I S T O T E L E S , verfaßte eine Geschichte der Mathematik2, die uns durch Auszüge späterer Gelehrter21 in kleinen Bruchstücken erhalten ist. Alles bis dahin Geleistete trat aber in. den Schatten, als E U K L I D (geb. etwa 365 v. Chr., Lehrer in Alexandria) sein großes Werk [στοιχεία, Elemenia)22 der Öffentlichkeit übergab (etwa zwischen 330 und 320 v. Chr.). Aus der vollendeten Form, in der er seine Zusammenstellung ausführte, ist zu erklären, daß die Werke seiner Vorgänger innerhalb der nächsten Menschengenerationen verschwanden und kaum die Namen ihrer Verfasser übrig blieben. E U K L I D ist ό στοιχειώτης, der Elementenschreiber κατ' έξοχη vi Die neue Lehre vom Irrationalen, bisher nur im geistigen Besitz der führenden Mathematiker, mußte in das allgemeine System hineingearbeitet und in die Elemente aufgenommen werden. E U K L I D kam diesem Bedürfnisse nach; die Anordnung seiner Elemente spiegelt den geschichtlichen Verlauf, den gewaltigen Einfluß der jüngsten Entdeckungen deutlich wieder.23 Die alte Proportionslehre mit dem bisherigen Zahlbegriff war unhaltbar geworden. E U K L I D vermied sie daher in den ersten Büchern grundsätzlich; wo bis dahin Beweise mit Hilfe von Proportionen üblich gewesen waren — so beim Quadratensatz im rechtwinkligen Dreider Altertumswissenschaften V, 1. Abt., 2. Hälfte, S. 7. — 17 T. SOLMSEN, Piatos Einfluß auf die Bildung der mathematischen Methode, Qu. u. Stud. Gesch. Math. B l , 1929, S. 9 3 — 1 0 7 . — « PROCLUS7, S. 211, 18 b i s 212, 4. — 1» PROCLUS7, S. 66, 19FF. — 2 0 PROCLUS7, S. 67, 12. — 2 * PBOKLOS (410 Konstantinopel — 485 Athen), EÜTOKIOS und SIMPLICIÜS (beide in der ersten Hälfte des sechsten Jahrhunderts), zusammengestellt durch L. SPENGEL2. — 2 2 EUCLIDIS Opera omnia, ed. J. L. HEIBERG und H.MENGE, Leipzig 1 8 8 3 — 1 8 9 5 ; J. L. HEIBERG, Literargeschiehtliche Studien über EUCLID, Leipzig 1882. — 2 3 Nach PAUL TANNERY, La g&om&trie greeque, Paris 1887; Gr. JUNGE, Rexension xu JE. Hoppe1 S8S, Bibl. math. 12Β, 1911/12, S. 354/57.

10

Allgemeiner

Teil.

eck — erfand er neue, rein geometrische Beweise. Die Bücher I, II, III, IV, VI dürften die geometrischen Resultate der Arbeiten in der Pythagoreischen Schule, die Bücher VII—IX deren arithmetische Untersuchungen wiedergeben. Die strenge neue Proportionslehre des EUDOXOS, die wegen ihrer Schwierigkeit in der Aufstellung des allgemeinen Größenbegriffes und der Benutzung des sogenannten archimedischen Axioms nicht an den Anfang paßte, brachte er erst im V. Buch. Mit weiterer Benutzung der arithmetischen Bücher "VII—IX steigt er dann auf zur eigentlichen Lehre vom Irrationalen, die er, wohl in Anlehnung an THEAITET, im X. Buch auseinandersetzt; in diesem Buche werden wir auch den größten Teil der selbständigen Arbeiten EUKLIDS ZU suchen haben. Anderseits kann man nicht behaupten, daß der Inhalt der ersten neun Bücher zielbewußt nur für das X. Buch zugerichtet sei. Wichtige Bestandteile der damaligen Mathematik, wie der Satz von der unbegrenzten Menge der Primzahlen und die Berechnung der vollkommenen Zahlen finden sich im IX. Buch (S. 20 und 36), ohne als Voraussetzung zu Ableitungen im X. Buche erforderlich zu sein. Buch XI und XII sind stereometrisch; das letztere trägt den Stempel der Exhaustionsmethode, die auf EUDOXOS zurückgeht. Buch ΧΠΙ, das eudoxische und theätetische Bestandteile enthält, knüpft an das IV. Buch an und handelt von den regelmäßigen Vielecken und Vielflachen. Was EUKLID im einzelnen den älteren Elementenzusammenstellungen entnommen hat, ist bei dem Mangel jeder früheren Literatur schwer festzustellen. Geringe Anhaltspunkte kann man aus den Schriften des ARISTOTELES, der ungefähr 20 Jahre älter als 24 EUKLID ist, entnehmen. Bei ARISTOTELES finden sich viele Stellen, an denen er auf mathematische Sätze, die anscheinend aus älteren Lehrbüchern genommen sind, Bezug nimmt; es sind meist Sätze, die ihrem Inhalte nach zum Stoff der ersten drei Euklidischen Bücher gehören. Auch Proportionslehre wird erwähnt, Stereometrie nur selten. EUKLID hat aber auch nicht alles aufgenommen, was an elementarmathematischen Sätzen zu seiner Zeit bekannt war; so unterdrückte er u. a. den Satz von den Lunulae des HIPPOKRATES, wohl in Erkenntnis seiner NichtVerwendbarkeit bei der Kreisquadratur, ferner den Satz von der Außenwinkelsumme im Dreieck.26 Solche nicht aufgenommene Sätze, deren elementarer Charakter jedoch feststand, nannte die Folgezeit στοιχΐίώδη (elementenartig).26 2

* J. L.

1904,

S.

HEIBEBG,

18ff.

—

Mathematisches 2 5 HEIBEBG,

%u ARISTOTELES, Abb. Gesch. Math. 1 8 , Leipzig, Math. %u A R I S T . 2 4 , S . 2 6 . — 2 6 P R O C L U S 7 , S . 7 2 .

Überblick über die geschichtliche Entwicklung

der Elementargeometrie.

11

Die schnelle Verbreitung und ausschließliche Anerkennung des Euklidischen Werkes wurde oben erwähnt. Alle auf uns gekommenen griechischen Handschriften bis auf eine einzige27 haben als gemeinsamen Ausgangspunkt eine Bearbeitung des THEON von Alexandria (um 865 n. Chr.), der an der ursprünglichen Fassung Änderungen durch Einfügung von Zusätzen, kleinen Erläuterungen usw., nicht immer zum Besten des Ganzen, vornahm.28 Auch einige arabische Handschriften gehen auf einen älteren Text zurück.29 Dasselbe Gebiet wie die Elemente behandeln auch die Data30 EUKLIDS. Der Stoff ist umgewandelt in eine Form, die die Durchführung einer Konstruktion, aber auch eine Berechnung erleichtert. Von einer gegebenen Größe aus, einem Datum, wird auf eine zweite geschlossen, von dieser auf eine dritte u. s. f., so daß eine ganze Kette von Folgerungen entsteht. Vgl. als Beispiel Bd. III, S. 63—64, Data Nr. 86, wo die Lösung einer quadratischen Gleichung gezeigt wird. Auch die Data sind von THEON neu herausgegeben worden, allerdings in verkürzter Form; die ursprüngliche Form war aber auch später verbreiteter als die neue Ausgabe.31 Eine kleine Elementarschrift EUKLIDS über Zerlegungen (περί διαιρέσεων) von Dreiecken, Vierecken, Kreisfiguren ist nur arabisch erhalten.32 Die Wichtigkeit solcher Zusammenfassungen pflegt darin zu liegen, daß hinterher die systematisierte, in ihrem Bestand gefestigte Wissenschaft einen ungeahnten Aufschwung nimmt. Man denke an die glänzenden Leistungen des ein Halbjahrhundert nach EUKLID lebenden ABCHIMEDES (287—212 v. Chr., Syrakus), die in einer Reihe einzelner, hochwichtiger Abhandlungen verteilt sind. Seine Quadratur des Kreises, der Ellipse und der Parabel, die erschöpfende Aufstellung der halbregelmäßigen Körper, die Kubatur der Kugel und anderer Rotationskörper zeugen von einer Gewandtheit, die in der damaligen Zeit und noch heute geradezu bewunderungswürdig erscheint. Man vergleiche ferner die Erfolge seines jüngeren Zeitgenossen APOLLONIOS von Perge (zwischen 250 und 200 in Alexandria, dann in Pergamum), des Verfassers der Κωνικά, jenes großen Fundamentalwerkes über die Kegelschnitte, und man wird ermessen 27

Vatikanhandschrift Nr. 190. Vgl. EUCLIDIS Opera, ed. H E I B E B G 2 2 , I, S. V und H E I B E B G 2 2 , S . 177f. — 2 8 Vgl. J . L . H E I B E B G , StudienS. 174f. — 2 » Daselbst 16 1149 S . 1 7 8 . — 3 ° EUCLIDIS Opera β, ed. M E N G E " * . — 31 J. L . H E I B E B G , Geschichte , S . 20. — 3 2 EUCLIDIS Opera 8 , ed. H . MENGE und J . L. H E I B E B G , Leipzig 1916. Fragmenta S. 227—235. Vgl. J. L. HEIBERG, StudienS. 13—15.

12

Allgemeiner Teil.

können, welch hohe Stufe der Entwicklung die Mathematik auf Euklidischer Grundlage erreichte. Mit H E R O N yon Alexandria (erstes Jahrh. ν. Chr.), dem Vertreter der praktischen und technischen Geometrie (vgl. Bd. I I I , S. 50F.) wird der Gipfelpunkt griechischer Mathematik überschritten; wir erwähnen von ihm nur jene bekannte Vorschrift, den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seiten zu berechnen, der neben vielen anderen Berechnungs- und Ausmessungsregeln zum erstenmal in seinem Werke zu finden ist, aber auf A R C H I M E D E S zurückgeht. H E R O N S Schriften sind schon im Altertum in vielfach abweichender Form verbreitet gewesen. Von den unter seinem Namen erhaltenen Schriften sind die Metriea und die Dioptra1308 als echt anzusehen. Unverdächtig dürften auch die ,Druckwerke und Automaten* sein. 33 Von den übrigen Schriften nimmt man an, daß es sich meistens um Nachschriften seiner Vorlesungen handelt^ die sich von Generation zu Generation in seinen Schülerkreisen vererbten. Sie wurden oft benutzt und weiter abgeschrieben, vielfach Unterrichtskursen für Feldmesser zugrunde gelegt und verflachten dabei entsprechend dem wissenschaftlichen Verfall. So, wie uns ζ. B. die Definitionen1· HERONS 1 5 4 3 jetzt vorliegen, stammen sie frühestens aus dem Ende des 6. Jahrh. n. Chr.; 34 noch übler sind die Geometrica: „sie sind nur eine ausgeführte Beispielsammlung für Vermessungsarbeiten, wie sie etwa im 7. und 8. Jahrhundert an griechischen Schulen möglich war, an denen praktische Landmesser ausgebildet wurden". 36 H E R O N hat aber auch eine Bearbeitung der euklidischen Elemente verfaßt, vielleicht gerade im Sinne des Praktikers: sie ist uns leider nicht erhalten; aber P R O K L O S . ( 4 1 0 bis 7 4 8 5 n. Chr.) und der Perser Α Ν Ν Α Ι Ε Ϊ Ζ Ϊ (F 9 2 2 / 8 ) Π 4 0 0 bringen verschiedentlich Zitate aus diesen heronischen Elementen. Nach dem Beginn unserer Zeitrechnung werden die Namen bedeutenderer Vertreter der Geometrie immer seltener. Nur MENELAOS von Alexandria (um 98 n. Chr.), dem wir in der Geschichte der sphärischen Geometrie wiederbegegnen werden — er soll nach arabischen Gelehrten auch ein Buch über die Elemente der Geometrie verfaßt haben 3 6 — ferner CLAUDIUS PTOLEMAEUS (beobachtete zwischen 33

Heronis Alexandrini opera quae super sunt omnia, 1. Herons von Alexandria Druckwerke und Automaten, griechisch und deutsch, herausg. von W. SCHMIDT, Leipzig 1899. — 3 4 E . H O P P E , Ist Heron der Verfasser der unter seinem Namen herausgegebenen Definitionen und der Geometrie? Philologus 75, 1918, S. 202 bis 216. H O P P E bringt die einschlägige Literatur S. 202 f. — 3 5 Daselbst 36 S . 226. — Nach A L B I R U N I , S. H . S U T E K , Sehnenbuch111*31, Bibl. Math. L L 3 ,

Überblick über die geschichtliche Entwicklung

der Elementargeometrie.

13

125 und 151 n.Chr. in Alexandria), dessen Hauptverdienste auf dem Gebiete der Astronomie liegen, und schließlich P A P P O S (Ende des dritten Jahrhunderts n. Chr., Alexandria), der in der Hauptsache eine kompilatorische Tätigkeit entwickelte, vermochten ihre Namen in der Geschichte der Geometrie in Erinnerung zu halten, wie die nach ihnen benannten Lehrsätze beweisen. Griechenlands Blüte war vorbei. Auf einen Nebenzweig in der Entwicklung der Geometrie haben wir in Bd. III, S. 50 ff. aufmerksam gemacht. Es handelt sich um eine Art Rückschlag, der wieder zur Algebra hinführt — sei es, daß die alte babylonische Wissenschaft in Resten sich der Geometrisierung entzog, sei es, daß eine Rückübersetzung der Geometrie den alten algebraischen Kern wieder herausschälte. Diese Neugeburt einer Algebra führt über H E R O N und D I O P H A N T , aber auch direkt von E U K L I D ZU den Arabern, die ihrerseits dem Abendlande die enstandene Gleichungslehre übermittelten. Jedenfalls wußten die Römer als Erben der großen griechischen Entwicklung das Überkommene nicht zu bewahren, geschweige denn fortzubilden. Bedauerlich schwach ist das Verständnis, das in den Kreisen römischer Agrimensoren Heronischer Feldmeßkunst entgegengebracht wurde. 36a Der erste lateinische Schriftsteller, der 37 E U K L I D wenigstens erwähnt, ist C I C E R O (55 v. Chr.). Eine vollständige lateinische Übersetzung der Elemente stammt erst von 38 B O E T H I U S (480? — Pavia 524 n. Chr., Staatsmann); sie ist nur in 39 Bruchstücken erhalten. Daß der gebildete Römer E U K L I D S Elemente, wenigstens die einfacheren Abschnitte, in der Ursprache studierte, erkennt man aus den Zitaten bei M A R T I A N U S C A P E L L A De nuptiis1640 (um 470 n. Chr.).40 Zu besserer Entwicklung gelangte ein anderer Ausläufer griechischer Geometrie, der in Indiens fruchtbarem Boden Wurzeln schlug. 1910/11, S. 31,

Aufg. 1.

—

36A

CICERO

selbst spricht seinen Landsleuten Wissen-

schaftlichkeit in der Mathematik ab, „At nos metiendi ratiocinandique utilitate huius artis terminavimus modurn". (Nur mit bezug auf die Nützlichkeit der

Messungen und Berechnungen nehmen wir ein Maß für die Beschäftigung mit dieser Wissenschaft. Tuscul. I , 2, § 5. — Scripta X I I I , ed. M. POHLENZ, Leipzig 1 9 1 9 , S . 2 1 9 , Z . 1 1 — 1 2 . — " De oratore, lib. I I I , cap. 3 3 , § 1 3 2 , Scripta I I , 1, ed. GL FRIEDRICH, Leipzig 1 9 0 2 , S . 1 9 6 , Z . 2. — 3 8 Nach CASSIODORUS ed. MIGNE 7 0 , 2 , Paris 1 8 6 5 ; De geometria, Sp. 1 2 1 3 , Ζ. 2 v. u. Vgl. auch EUCL., Op. 5, ed. HEIBERG, Leipzig 1 8 8 8 , S. X C I X , Z . 26ff. — 3 9 Arithmetical™, ed. FRIEDLEIN, S. 373—389. Vgl. J . L . HEIBERG, Studien™, S . 2 1 7 , Übet die neugefundene Bearbeitung der euklidischen Elemente, Buch I — I V durch BOETHIUS vgl. E. JÖRG, Forschungen u. Fortschr. 9, 1 9 3 3 , S. 2 7 5 . — 4 0 J . L . HEIBERG, Studien™, S. 106—203.

EUCL., Op. 5, S . X C I X .

14

Allgemeiner

Teil.

Es ist viel gestritten worden, ob die indische Mathematik griechische Bestandteile aufweist, ob sie aus sich allein entstanden ist, oder ob sie sogar überschüssige Kraft nach Alexandria hat abfließen lassen. Die neuere abendländische Forschung glaubt nicht an ü b e r w i e g e n d indische Leistungen. 41 — Man hat zwischen einer älteren und jüngeren Periode der indischen Mathematik zu unterscheiden. In der letzteren, deren mathematische Untersuchungen eingeschaltete Kapitel in den großen astronomischen Werken ÄRYABHATAS (geb. 1109 4 7 6 n. Chr.) , BKAHMAGUPTAS (geb. 5 9 8 n. Chr.)1111, MAHÄYIRAS (um 8 3 0 n. Chr.)1114, BHÄSKARAS (geb. 1 1 1 4 n. Chr.)1111 bilden, ist griechischer, im besonderen Heronischer Einschlag unverkennbar.42 Einen anderen Charakter hat die altindische Geometrie, die mit dem strengen altertümlichen Opferkultus zusammenhängt. Diese Eitualvorschriften gehen in ihrem Inhalt auf sehr frühere Zeiten zurück, nach Versicherung von indischen Gelehrten bis ins 8. Jahrhundert v. Chr. Von diesen Regel- und Vorschriftensammlungen für den Bau von Altären, den sogenannten Sulba-Sütras,43 sind unter den älteren die wichtigsten die der Verfasser BAUDHÄYANA, A P A STAMBA und KÄTYÄTANA. Von 4 0 0 n. Chr. an stellen sich eine große Zahl von Kommentaren ein, die um die richtige Auslegung der alten Regeln und Konstruktionen bemüht sind. Der Stoff der 5ttZ6a-£wira-Geometrie betrifft fast ausschließlich Flächenlehre und Konstruktion eines Quadrates über einer gegebenen Seite, Quadratur des Kreises, Zirkulatur des Quadrates, Vervielfachung von Quadraten. Stillschweigend vorausgesetzt wird die Teilung einer Strecke in η gleiche Stücke, Teilung von Quadraten und Rechtecken durch Diagonalen und Mittellinien. Behandelt werden außer Quadraten und Rechtecken noch gleichseitige Paralleltrapeze mit vorgeschriebener Neigung. Bei der Summierung zweier ungleichen Quadrate wird der pythagoreische Lehrsatz benutzt. Zur Verwandlung von Flächen erscheint der Satz vom Ergänzungsparallelogramm. Rationale Rechtecke sind nur in beschränkter Zahl vorhanden, eine allgemeine A. B U R K , Das Äpastamba-Üulba-Sütra,11998 55, 1901, S. 573f. — G. R. K A Y E ; vgl. Bd. I, S. 23ff., Bd. II, Anm. 999; Bd. III, S. 26f., 70f. — 4 2 E U K L I D S Elemente selbst sollen erst ziemlich spät nach Indien gekommen sein und zwar durch Vermittlung der Araber. So soll von A L - B I B U N I (973—1048) eine Ubersetzung ins Sanskrit begonnen sein (um 1030). Die älteste Bezugnahme auf E U K L I D in einem indischen Werk wird auf 1658 n. Chr. angegeben. Vgl. B. D A T T A , The Scope and Developement of the Hindu Ganita,I3n, S. 501. — 4 3 B . D A T T A , The science of the iSulba. A study in early Hindu Geometry. Calcutta 1932. — Eeferat yon CONHAD M Ü L L E E in Jahrb. Fortschr. Math. 58, 1932 (1937), S. 21—24. Vgl. auch C. M Ü L L E E . Die Mathematik der Sulvasütra, 1930 II6S1 . 41

Überblick über die geschiohtliche Entwicklung der Elementargeometrie. 15 Formel scheint zu fehlen. F ü r Quadratwurzeln wie j/2, γ ό werden Summen von Brüchen angegeben (vgl. Bd. II, S. 172). Der Begriff der Irrationalität ist nicht vorhanden. Ähnliche Dreiecke sind bekannt, aber nicht quadratische Gleichungen. Wenn in der Tat diese Kenntnisse schon im 8. Jahrh. v. Chr. in Indien nachzuweisen sind, dann wären allerdings die indischen Leistungen vorgriechisch; aber damit ist noch nicht gesagt, daß sie Selbständigkeit zeigen, sie können ja — und werden wohl bestimmt aus der babylonischen Mathematik übernommen sein. Wir werden ζ. B. sehen (S. 189f.), daß der pythagoreische Lehrsatz dort schon am Ende des 3. Jahrtausends v. Chr. bekannt ist. Grundverschieden ist auch die indische und griechische Betrachtungsart. Dem Inder fehlt die systematische Auffassung, der Aufschwung zu abstrakter Theorie. Der Inder kennt nicht das Zurückgehen auf Definitonen, Axiome usw. Was ihm an Spekulation fehlt, ergänzt er durch die Anschauung, so daß bei gar nicht leichten Sätzen das einzige Wort „Siehe!", das der anschaulich gezeichneten Figur beigefügt ist, den ganzen Beweis für die ausgesprochene Behauptung ersetzen kann, ein Verfahren, unmöglich f ü r strenge, griechische Geometrie! Dem Inder ist eine glückliche Induktion genügend für Aufstellung eines Lehrsatzes. Sein Quadratensatz, den er übrigens nicht am rechtwinkligen Dreieck, sondern am Rechteck aufstellte, wurde an mehreren, im Anschauungsverfahren gefundenen Zahlenbeispielen entdeckt: er wird sofort allgemein ausgesprochen; nach einem streng deduktiven Beweis, in dem der griechische Geist gipfelt, fragt die indische Mathematik nicht. — Ein zweites, für die Mathematik der Inder charakteristisches Hilfsmittel ist die algebraische Behandlung geometrischer Probleme, die den Vorzug besitzt, ihre anerkannte Meisterschaft in der algebraischen Analysis auf ein ihnen weniger genehmes Gebiet übertragen zu können. Wirkliche Erweiterungen des Bestandes der Elementargeometrie sind in der jüngeren indischen Mathematik nicht zu verzeichnen; nur auf eine Verallgemeinerung der Heronischen Dreiecksformel für Sehnenvierecke wird aufmerksam zu machen sein. Seltener werden wir in der Geschichte der Elementargeometrie auf spätere Zeiten verweisen müssen. Die Araber pflegten griechische und indische Kenntnisse mit großem Interesse. Ihre Erfolge in der Geometrie der Kegelschnitte gehören indes nicht mehr der Elementargeometrie an; für diese finden wir nur in der graphischen Lösung kubischer Aufgaben, in der Theorie der Vielflache und der Konstruktionsaufgaben erwähnenswerte Resultate. E U K L I D S Elemente

16

Allgemeiner Teil.

kamen schon im 8 . Jahrhundert unter dem Kalifen AL-MANSÜR ZU den Arabern.44 A L - H A J J A J IBN J Ü S U F (9. Jahrh.) übersetzte die Elemente sogar zweimal, einmal unter dem Kalifen HÄRÜN, später in verbesserter Form, nach griechischer Vorlage, unter dem Kalifen AL-MA'MÜN. Eine in Leiden aufbewahrte Handschrift ist im Druck erschienen: sie erhält nur die Bücher I—VI und den Anfang von VII. 45 Am Ende des 9 . Jahrhunderts wurde durch ISHAK IBN H U S S E I N eine neue Übersetzung veranstaltet, die dem griechischen Text besser folgte und dann noch von TÄBIT IBN QUBBA ( 8 2 6 — 9 0 1 , Bagdad) überprüft wurde. Eine letzte arabische Bearbeitung verdankt man dem persischen Astronomen NASIB EDDIN Tüsi ( 1 2 0 1 — 1 2 7 4 ) ; sie erschien 1 5 9 4 zu Rom im Druck. Was das Abendland unmittelbar aus dem Altertum durch Vermittlung von BOETIUS ( 4 8 0 Rom — 5 2 4 Pavia; Staatsmann und Gelehrter) und GERBERT ( 9 4 0 Auvergne — 1 0 0 3 Rom; seit 9 9 9 Papst Sylvester II) übernahm, ist herzlich wenig und beschränkt sich auf Auszüge aus E U K L I D und auf Stoffe aus der praktischen, ausmessenden Geometrie, wie sie die römischen Agrimensoren schon dürftig genug aus H E B O N S Schriften entlehnt hatten. Erst über arabische und auch jüdische Autoren hinweg gelangte griechische Geometrie in reinerer Form zum Abendlande. Direkte lateinische Übersetzungen griechischer Mathematiker gibt es bis zur Renaissance nur sehr wenige; die vereinzelt vorhandenen waren nur auf kleine Ländergebiete, wie Unteritalien, und selbst dort auf seltene Handschriften beschränkt. Von Euklidübersetzungen kennt man Bruchstücke aus dem vierten Jahrhundert;4® andere Abschnitte enthalten, wie schon erwähnt (S. 1 3 ) die Schriften des BOETIUS ( 4 8 0 ? bis 524 n. Chr.); dritte Reste (aus dem zehnten Jahrhundert) wurden von M. CUBTZE 47 gefunden und veröffentlicht. Eine weitere uns bekannt gewordene Übersetzung, von J. L. H E I B E R G nachgewiesen,48 wurde von ATELHABD von Bath (um 1 1 2 0 n. Chr.) bei seiner Übersetzung eines arabischen Euklidtextes benutzt, sie Hegt vielleicht auch der lateinischen Bearbeitung des JOHANNES CAMPANUS von Navarra (um 1 2 7 0 ) zugrunde, die 1 4 8 2 in Augsburg (RATDOLT) als 44

Euclidis Opera 5 ΙΙ1ϊβ , S. XCVI. Vgl. auch A. G. K A P P , Arabische Übersetzer und Kommentatoren Euklids, Isis 22, 1934, S. 150—171. — K A P P zählt (S. 156) 45 arabische Autoren auf, die sich mit EuKijD-Ausgaben beschäftigen. — 46 Codex Leidensis 399,1, libri I—IV Elementor-um Euclidis, ed. R. 0. B E S T HORN et J . L . H E I B E R G 1900—1910; Liber V—VI, ed. Gr. J U N G E , J . RAEDER, 4 6 4 7 W . THOMSON, Hauniae 1932. — CANTOR, L 3 , S . 565. — ANARITIÜS, ed. 11400 4 8 CUBTZE , S. XIV ff. — J . L. HEIBERG, Beiträge %ur Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Ztschr. Math. Phys. 35, 1890, S. 48 ff.

Oberblick über die geschichtliche Entwicklung der Elementargeometrie.

17

Erstdruck erschien. Eine sehr umfangreiche Üb ersetz ertätigkeit nach direkten Quellen entwickelte 1 2 6 9 / 7 0 W I L H E L M VON MOERBECKE (Dominikaner; 1 2 7 8 — 1 2 8 1 , Erzbischof von Korinth), der lateinische Handschriften von ARCHIMEDES, EUTOKIOS, HERON, PTOLEMAEUS herstellte. Lateinische Übersetzungen aus dem Arabischen sind ungleich verbreiteter, so von E U K L L D , PTOLEMAEUS, ARCHIMEDES U. a. durch G E R H A R D von Cremona ( 1 1 1 4 — 1 1 8 7 Toledo), von der Sphärik des THEODOSIOS durch PLATO von Tivoli (um 1 1 2 0 ) u. a. Fast ausschließlich aus diesen schöpfte die abendländische Wissenschaft. Hätte sich nicht ATELHARD von Bath — und Gleiches ist für die Euklidübersetzung GERHARD von Cremonas nachzuweisen 49 — an eine direkte Übersetzung angelehnt, die die griechischen Fachwörter zumeist beibehalten hatte, so würde der jetzige Sprachschatz viel weniger griechische, weit mehr lateinische Ausdrücke besitzen. 50 Die erste griechische Druckausgabe der euklidischen Elemente erfolgte 1 5 3 8 in Basel durch SIMON G R T N A E U S (F 1 5 4 1 in Basel). 51 Auch in der Geometrie wie in anderen Gebieten der so weiten Mathematik muß LEONARDO von Pisa ( 1 2 2 0 , Practica geometriaeI694) und ganz besonders JORDANUS NEMORARIUS (F 1 2 8 7 ? , De triangulis1TL469) wegen der zusammenfassenden Behandlung des von ihren Vorgängern übernommenen Stoffes genannt werden. Ihre arabischen Quellen sind erst zum Teil bekannt; so hat LEONARDO den Liber embadorum1485 des SAVASORDA (um 1 1 0 0 n. Chr., Barcelona) in der lateinischen Übersetzung des PLATO von Tivoli ( 1 1 4 5 ) ausgiebig benutzt. Die erste in deutscher Sprache geschriebene Geometrie stammt aus dem Ende des vierzehnten Jahrhunderts und ist unter dem Namen der Geometria Oulmensis bekannt. 52 Der unbekannte Verfasser, der zu ihrer Niederschrift von dem Hochmeister K O N R A D VON J U N G I N G E N ( 1 3 9 3 — 1 4 0 7 ) angeregt wurde, fugte der ursprünglich lateinischen Ausarbeitung eine ziemlich freie deutsche Übersetzung bei. Der Inhalt ist rein feldmesserischer Natur und nur dazu bestimmt, die Regeln und Vorschriften der damals sehr handwerksmäßig betriebenen Feldmeßkunst zusammenzufassen. Während die Arbeiten P E U R B A C H S ( 1 4 2 3 — 1 4 6 1 , Universität Wien) und REGIOMONTANS ( 1 4 3 6 Königsberg in Oberfranken — 1 4 7 6 Α. A. B J Ö R N B O , Gerhard von Cremonas Übersetzung11 372, S. 242—248; C A N T O R , l , S. 908. — B J Ö R N B O , Archiv f. d. Gesch. d. Nat. u. d. Technik, Bd. I, 1909, 51 S . 385ff. — Zur weiteren Textgeschichte vgl. M A X S I M O N , Euclid und die sechs planimetrisehen Bücher, Leipzig 1901, S . 8 f. — J. L. H E I B E R G , Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum, München 192516, auch 52 Eucl. Opera 5 , S . X C V I I I ff. — Geometria CulmensisΙ31β.

4 9

3

6 0

Ι Π 2 9

TROPFKE, G e s c h i c h t e .

IV.

3. Aufl.

2

18

Allgemeiner Teil.

Rom; Wien, Ungarn, Italien, Nürnberg) ein eifriges Studium guter lateinischer und griechischer Quellen verraten, zeigen die geometrischen Kapitel des W I D M A N sehen Rechenbuches von 1 4 8 9 1 2 0 0 nur Spuren indirekter 63 Beschäftigung mit den römischen Agrimensoren. Wurde auch allmählich der alte Bestand wiedergewonnen, so blieb doch das Tempo in der Weiterbildung ein sehr langsames. Erst das sechzehnte und besonders das siebzehnte Jahrhundert brachte einen wesentlichen Fortschritt. V I E T A S ( 1 5 4 0 — 1 6 0 3 ) Schriften, auf die in der Algebra so oft hinzuweisen war, sind auch hier zu nennen. 96 DESCARTES' Geometrie ( 1 6 3 7 ) n verband die Geometrie mit der Algebra und schuf in der analytischen Geometrie (siehe deren Geschichte Bd. VI) ein fruchtbares Mittel, das der Mathematik zu ungeahnten Triumphen verhalf. Infinitesimalbetrachtungen, deren erste Verwendung, aufgebaut auf Archimedischen Leistungen, uns in K E P L E R S Stereometria doliorum von 1 6 1 5 1 1 4 8 2 und in C A Y A L I E B I S Geometrien indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota von 1 6 3 5 entgegentreten, vereinigten sich mit der analytischen Geometrie, um schließlich als köstliche Frucht die Differential- und Integralrechnung zu zeitigen. Aber auch auf dem Wege der antiken Geometrie lernte man weiterwandern, und in der projektiven Geometrie wurde eine neue Wissenschaft geschaffen, die die tiefsten Einblicke in das Wesen der Raumlehre erschloß. Das neunzehnte Jahrhundert brachte die kritische Durcharbeitung der Grundlagen 54 und in den sogenannten nichteuklidischen Geometrien entstanden allgemeine, von den besonderen Eigenschaften unseres Raumes unabhängige geometrische Systeme, die heute auch in der Physik eine Rolle zu spielen begonnen haben. N

2. Die Sprache der Geometrie.

4 8 4

Figuren.

Im Gegensatz zu der Algebra ist die Ausdrucksweise, deren man sich in der Geometrie bedient, wenig ausgebildet; sie ist auf der Stufe stehen geblieben, in der sich die Algebra von der Zeit DIOPHANTS bis zum Auftreten V I E T A S befand (vgl. Bd. II, S. 6 — 9 ) . Die Beweise werden in mehr oder minder breiten Auseinandersetzungen vorgeführt, unter Benutzung abkürzender Zeichen, stellen53

Vgl. Gr. ENESTBÖM, Bemerkung zu 2: 234, Bibl. math. 83, 1907—1908, S. 197. — 6 4 Sehr gute Überblicke mit Literaturangaben in der Encykbpädie der Elementarmathematik von H . W E B E R U. F . W E L L S T E I N , I I . Elementargeometrie, Leipzig 1905, 2. Aufl. 1907, 3. Aufl. 1915; ferner W . KILLING und H . HOVESTADT, Handbuch des mathematischen Unterrichts, Bd. 1, Leipzig 1910.

Die Sprache der Geometrie.

19

Figuren.

weise unterbrochen von algebraähnlichen Rechnungen. Das Ideal einer symbolischen Geometrie, das mannigfach angestrebt wird, dürfte sich kaum erreichen lassen. Die Algebra geht bei ihren Rechnungen immer wieder auf die wenigen Grundoperationen zurück, deren Anwendung fast stets ohne weitere Einschaltung eines begleitenden Textes aus den Rechnungsresultaten selbst klar ist; bei komplizierteren Operationen genügt die Anführung der gerade benutzten Formel. Anders in der Geometrie. Die Zusammenziehung vieler Schlüsse in eine Denk- oder Anschauungsoperation, die Formulierung von Lehrsätzen, die stete Berufung auf bereits bewiesene Sätze, die nicht in der durchsichtigen Gestalt einer Formel uns entgegentreten, machen es vielfach unmöglich, ohne erläuternden Wortlaut auszukommen. Die beigefügten Zeichnungen können zwar erheblich zur Kürzung des Beweises beitragen; doch bedürfen auch sie zumeist einer Beschreibung, da verwickeitere Figuren über den Verlauf der vorgenommenen Konstruktion nur wenig unmittelbar verraten. Hierin tritt aber gerade der außerordentliche Vorteil algebraischer Formeln klar zutage. F i g u r e n 5 5 kannte bereits die babylonische und ägyptische Mathematik, so das altägyptische Rechenbuch des A H M E S 56 (siehe S. 4). In ihm begegnet dem Leser u. a. die Figur eines gleichschenkligen Dreiecks, das eigentümlicherweise nicht auf der Basis stehend, wie wir es gewöhnt sind, sondern liegend, mit der Spitze nach rechts, gezeichnet ist und an seinen Seiten die betreffenden Maßzahlen trägt. Es ist festgestellt worden, daß diese Lagerung der Figuren ihren allgemeinen Grund hat.57 Ebene Figuren werden von dem ägyptischen Rechner stets liegend gezeichnet, stereometrische aber aufrecht. Ein stehendes Dreieck bedeutet also eine Pyramide oder einen Kegel. Die Längen von Strecken werden außerhalb der Figur an die betreffenden Seiten herangeschrieben. Innerhalb der Figur befindliche Zahlen geben den Inhalt an. Im Papyrus Moskau111135 ist weder Zirkel noch Lineal benutzt; im Papyrus Rhind sind die geradlinigen Figuren so exakt, wie es ohne Lineal kaum möglich ist. 58 Das Hineinschreiben der Maßzahlen finden wir auch bei dem griechischen Feldmesser H E R O N (erstes Jahrhundert v. Chr.); es be55

Uber die Entstehung von Figuren bei primitiven Völkern vgl. E. FETTWEISS, Ober die erste Entstehung der einfachen geometrischen Formen, Arch. Gesch. Math. Nat. Techn. 12; Leipzig 1929, S. 113—120, und derselbe, Gerade Linien, Richtung, Parallelen und Kreis auf niederen Kulturstufen. Archeion 11, Rom 1929, S. 366—374. — 66 EISENLOHR1381, Papyrus Rhind, S. 125. — 5 7 Papyrus Moskau"I135, STRUVE, S. 1 5 1 — 1 5 5 . — 5 8 0 . NEÜGEBAUER, Geom. ägypt. math. TexteIVS, S. 414, Anm. 2\ 2*

20

Allgemeiner

Teil.

stärkt dies den Geschichtsforscher darin, die HERON sehe Sammlung als aus ägyptischen Quellen stammend aufzufassen. Bei den Griechen hatte sich, vielleicht seit der Zeit der Pythagoreer, die Gewohnheit herausgebildet, die Ecken der Figuren mit Buchstaben zu bezeichnen. EUDEMOS (um 334 v. Chr.) gibt in seiner Geschichte der Mathematik Ableitungen des HIPPOKRATES (um 440 v. Chr.), die sich auch in Sprache und Form eng dem älteren Original anlehnen. Während EUKLID in seinen Elementen το κ (sc. σημείον), ή AB (sc. εν&ΰα) = das κ, die AB, sagt, drückt sich HIPPOKRATES, oder wenigstens EUDEMOS aus: το έφ' ω κ — der (Punkt), bei welchem * (steht); ή έφ' tj AB = die (Gerade), bei welcher AB steht. 59 Solche altertümlichen Bezeichnungen sind auch noch bei ARISTOTELES (384—322) zu finden.60 Man kann daher vermuten, daß EUKLID selbst die kürzere Ausdrucksweise eingeführt hat. Bei EUKLID (um 325 v. Chr.) ist auch der Buchstabe Jota, I, in der Figurenbezeichnung grundsätzlich ausgeschlossen, wohl um Verwechslungen mit einem einfachen Strich zu vermeiden. In jenen altertümlichen Bruchstücken, die man auf HIPPOKRATES zurückführt, ist dies noch nicht der Fall. Bei ARCHIMEDES steht wieder 7 . 6 0 A Die griechische Sitte, Buchstaben an die Ecken zu schreiben, drang nicht nach Indien; hier begnügte man sich, Maßzahlen an die Seiten zu schreiben. Sie wurde aber später von den Arabern übernommen, deren Buchstabenfolge a, b, g, d dieselbe ist wie im griechischen Alphabet. Die älteren abendländischen Mathematiker, wie REGIOMONTANUS (1436 —1476), wählten häufig noch statt a, b, e, d usw. die Reihenfolge a, b, g, d und verraten damit oft arabische Quellen. Einen gewissen Abschluß fand diese Auswahl der Buchstaben, wenigstens für Dreiecke, im achtzehnten Jahrhundert, indem nach dem Vorgang von EULER die Ecken bzw. Winkel ständig mit A, B, C, die gegenüberliegenden Seiten mit a, b, c gekennzeichnet wurden; die zugehörige Winkelbezeichnung α, β, γ ist nicht vor Beginn des neunzehnten Jahrhunderts allgemein üblich geworden (vgl. Bd. V, Ebene Trigonometrie, B. 5).61 Ist es nötig, für eine gewisse Gruppe von Punkten einer Figur eine gemeinsame Eigenschaft äußerlich durch die Bezeichnung an59

C. A. BRETSCHNEIDER, Die Geometrie und die Geometer vor EUKLIDES, Leipzig 1870, S . 114, Note 2; F. R U D I O , Bericht des SIMPLICIUS 1 0 , S. 52, 147, 148. — 11478 6 0 J . L . H E I B E R G , Math. %u A R I S T O T E L E S " , S. 1 7 . — 6 ° A Ζ . Β . I , S. 99 u. ö. 61 — Der englische Mathematiker RICHARD RAWLINSON (zwischen 1655 und 1668) schlug vor, die Winkel eines Dreieckes mit a, b, c, die gegenüberliegenden Seiten mit A, B, G zu bezeichnen, also gerade umgekehrt wie E U L E R . F L . CAJORI Eist. Math. Not., S. 212, Fig. 95.

Die Sprache der Geometrie.

Figuren.

21

zudeuten, so bedient man sich heute eines und desselben Buchstabens unter Hinzufügung von Indizes, wie sie zuerst F. V A N SCHOOTEN 1649 und in modernerer Form L E I B N I Z 1675/76 benutzt hatten (vgl. Bd. II, S. 62—63). Vorher mußte man sich in solchem Falle damit begnügen, denselben Buchstaben mehrfach zu setzen. 62 Nicht unzweckmäßig ist das Verfahren, das SIMON S T E V I N (1548 Brügge — 1620 Leiden; Kaufmann, später im Staatsdienst als Ingenieur) befolgt, wenn er bei Gelegenheit des trigonometrischen Fundamentalfalles b, β, γ die Doppeldeutigkeit des Punktes Β dadurch hervorhebt, daß er die sich ergebenden Punkte B, mit Β, Β bezeichnet. 63 Man könnte hierin übrigens auch die ersten Anfänge von Buchstaben mit Indizes erkennen. Z e i c h e n für o f t w i e d e r k e h r e n d e W ö r t e r finden sich bereits in alten Handschriften, wie in einem Manuskript der Heronischen Dioptra: V für Dreieck, ^ für Parallelogramm, • für Rechteck, 64 oder in einer PAPPUS-Handschrift: Ο für Kreis, = für parallel, • für τετράγωνον, Δ oder V für τρίγωνον;66 auch in mittelalterlichen Handschriften treten sie zuweilen auf. In der Übersetzung des Liber embadorum von SAVASOBDA (1100 n. Chr.; Barcelona, jüdischer Gelehrter) durch P L A T O von Tivoli (1145) wird der Bogen abc mit abc bezeichnet. 66 Eine systematische Verwendung solcher Zeichen, wie sie in der Neuzeit anzutreffen ist, bleibt aber dabei ausgeschlossen. Hatte das ausgehende fünfzehnte, vor allem das sechzehnte Jahrhundert eine symbolische Schreibart in der Algebra — wir verweisen auf die Geschichte der Coß (Bd. II, S. 49 f.), auf die Fortführung durch V I E T A (Bd. II, S. 53f.) — geschaffen, so beginnt das siebzehnte Jahrhundert auch in der Geometrie Versuche anzustellen, die aneinander zu fügenden Schlüsse, die Beweise und Gedankengänge nicht mehr in voller Breite und ausführlichem Wort62

So bei GREGORIUS VON ST. VINCENTIUS, Opus geometrieum, Antwerpen 1 6 4 7 1 1 1 4 S 1 , S . 27 u. öftere. BL. PASCAL ( 1 6 2 3 — 1 6 6 2 ) , (Euvres, ed. FAUGÄRE (Hachette) Bd. I I I , Paris 1 8 8 2 , S. 3 7 0 — 4 4 6 ; JOHANN BERNOULLI ( 1 6 6 7 — 1 7 4 8 ) , Acta Eruditorum, Mai 1697, Tafel IV; Opera omnia11197, Lausanne-Genf, 1742, I, S. 192; Figurentafel I X , Nr. 3 7 , 2 ; JOH. WALLIS ( 1 6 1 6 — 1 7 0 3 ) , De sectionibus conicis, 1 6 5 5 1 1 Ϊ 0 4 , Opera math., I, 1 6 9 9 Π Ϊ Μ , S . 303FF. — 63 Les (Euvres math, de SIMOM STEVIN, 1 6 3 4 I A 3 , I I , S. 15. Vgl. auch Bd. I I , Anm. 3 5 1 . — 6 4 j. H . VINCENT, Extraits des manuscripts, relatifs a la geometrie pratique des Greos, S. 1 5 7 — 4 2 6 (S. 173 Tableau des abbreviations). Notices et extraits des Manuscrits de la Biblioth£que imp£riale, Bd. 19, Paris 1858, S. 173. — 65 p Ä P P I collectiones, ed. F. HULTSCH 119 , Bd. III B , Anhang S . 1 2 9 — 1 3 2 . Vgl. auch HERON, Op. 4 I 6 4 S , 1 485 S. 174, 1 7 5 ; EUCL., Op. Ö 1 "* 9 , S. 1 0 8 — 1 0 9 . — 66 Ed. CURTZE , Bibl. math. 13, 1 9 0 0 , S. 3 2 5 .

22

Allgemeiner Teil.

laut, sondern in symbolischer Kürze niederzuschreiben. Am meisten wurde die Behandlung der geometrischen Aufgabe und die Trigonometrie davon getroffen; am wenigsten Erfolg hatte man, wie auch noch heute, in der reinen Geometrie. Aus der in immer gedrängterer Form erfolgenden Behandlung der geometrischen Aufgaben entwickelte sich die algebraische Geometrie und schließlich die analytische Geometrie. In demselben Jahr 1681, in dem der Engländer TH. HARRIOT (1560—1621, Oxford) in seiner Ärtis analytieae praxis1166 die algebraische Schreibart auf einen Höhepunkt hob, der sich von dem modernen Stand kaum mehr unterscheidet, schreibt sein Landsmann W . OUGHTRED (1574—1660), ein bescheidener Landpfarrer, aber ein in seinem Jahrhundert führender Mathematiker, eine Einleitung in die Algebra, kurz Clavis (,Schlüssel· zur ganzen Mathematik) genannt1680, in der er in einem von Auflage zu Auflage wachsenden Anhang geometrischer Aufgaben zeigt, wie man ihnen mit der neuen Waffe zu Leibe gehen kann; es ist verständlich, wenn die damaligen jüngeren englischen Zeitgenossen, wie J. WALLIS (1616—1703), ihre Landsleute HARRIOT und OUGHTRED

über DESCARTES stellten, der gleichsam nur den letzten Stein dem Baue hinzugefügt habe. OUGHTRED beherrscht die Leistungen seiner Zeit. Er führt die Unbekannten Α und Ε (unser χ und y) VIETAS ein, nennt ihre Summe Z(= χ + y), ihre Differenz X{—χ — y). Schließt das Ζ mit einem Schnörkel, so bedeutet es χ2 + y2, das ebenso geänderte X die entsprechende Differenz χ2 — y2. Liegt der Schnörkel am Anfang, so handelt es sich um x3 + y3, bzw. x3 — y3. OUGHTRED übernimmt das KECORDEsche Gleichheitszeichen = (Bd. I I , S. 31), prägt neu das uns ungewohnte Multiplikationszeichen χ (Bd. II, S. 26), schafft sich die genaue Proportionsform a-bwc-ä (jetzt a:b = c:d) (Bd. I I I , S. 13). Die Flächengleichheit zweier Rechtecke deutet er an mit AB X AC = AD χ AF. Unser Δ BCE~ Δ BEF schreibt er tri:BCE, BEFsim. An anderer Stelle hat er aber auch unser Dreieckszeichen Δ ; für das .Rechteck gilt Q. Neu sind Zeichen für ,größer' »kleiner' (vgl. Bd. II, S. 33). Mit Hilfe weiterer Zeichen für kommensurabel, inkommensurabel, rational, irrational u. a. bringt er das so überaus schwierige X . Buch EUKLIDS in wenigen Seiten zur vollen Klarheit. Eine vorgelegte geometrische Aufgabe wird mit einigen Hieben algebraisch zugestutzt und algebraisch gelöst; es ist ein Genuß zu sehen, wie weit er sich von seinen Vorgängern abhebt, denen er die Aufgabe entnimmt. Die Trigonometrie konnte direkt auf VIETA fortbauen. GIRARD

Die Sprache der Geometrie.

Mgurm.

23

(gest. 1632), OUGHTBED und seine geistigen Schüler NOBWOOD und W A B D sind Männer, die uns eingehend in der Geschichte der Trigonometrie beschäftigen werden. Der Franzose PIEBBE HEBIGONE arbeitet gleichzeitig nach anderer Richtung weiter: er zwingt 1634 in seinem Cursus matkematiaus141 die geometrische Beweisform EUKLIDS in das algebraische Prokrustesbett. Seine Ausdrucksweise ähnelt auch in der äußeren Anordnung, der Trennung von Voraussetzung, Behauptung, Beweis, außerordentlich der modernen Form. Die Lehrsätze sind doppelsprachig, lateinisch und französisch abgefaßt; die Durchführung des Beweises bedarf dessen nicht, da seine Zeichensprache allgemein verständlich ist. Ein Beispiel aus seinem Werke, 67 dem wir die moderne Form rechts beifügen, wird das Verfahren H£RIGONES am besten erläutern. (Die Figur ist ein Parallelogramm mit den Eckenbuchstaben AGDB und der Diagonale CB.) Lib. I, Theor. XXIII, Schol. I. Ein Viereck, in dem die GegenOmne quadrilaterum habens latera oppofita aequalia, est seiten paarweise gleich sind, ist ein Parallelogramm. parallelogrammum. Tout quadrilatere qui a les coftez oppofez 6gaux, est Parallelogramme. Hypoth. Vor. AB = CD ab2\ 2 cd ac2\2bd

l.p. 1 hyp. hyp· 8. 1 8. 1 27. 1 β. 29. 1

concl. 67

AC =

BD

Req. π. demonstr. Beh. A B C D Q ad est Bew. Zum Bew. verbinde man Β mit C, Präparatio dann ist bc est 1. AB = CD (nach Vor.) Demonstratio 2. BC = BC (jede Größe ist sich ab2\2cd selbst gleich) bc est commun. 3. AC = BD (nach Vor.) ac2\2bd Δ ABC^ Δ DGB (S.S.S.)68 < abc 2 2 bed, a 3zABC = -$zBCD (hom. Stücke) < bca2\2cbd, β BGA = 3z GBD (hom. Stücke) ab = cd AB II CD (an gleichen Wechselw.) ac = bd A0|| BD (an gleichen Wechselw.) abcd est t^]

Bd. I, S. 43147. —

68

S.S.S. ist eine heute öfter gebrauchte Abkürzung für

Allgemeiner Teil.

24

Die hier auftretenden Zeichen H E B I G O N E S sind: 2 1 2 für gleich (vgl. Bd. II, S. 33), < für Winkel, ^ für Parallelogramm, für gerade Linie, = für parallel, π. für ad (der Proportionslehre entnommen). Req. it. dem. heißt requisitum ad demonstrandum, d. hBehauptung. Die am linken Rand stehenden Vermerke sind Hinweise auf die benutzten Sätze. Andere Zeichen H J 6 B I G O N E S sind: _L Lot, . Punkt, _] rechter Winkel, © Kreis, η Bogen, Δ Dreieck, • Quadrat, • Rechteck. Nicht festzustellen ist, wer die heute übliche Schreibart AB für die Verbindungsstrecke der Punkte Α und Β angewandt hat. 6 9 W A L L I S ' Schüler J . C A S W E L L (1655—1712, Oxford), von dem eine kurze trigonometrische Schrift 7 0 der großen Algebra 1682 seines Lehrers angehängt war, treibt die Kürzung noch weiter. Ζ er ist ihm nach Vorbild von O U G H T B E D die Summe zweier Seiten, Xcr ihre Differenz, Ζ z_ £_ Summe zweier Winkel, X Z_ L· ihre Differenz. Mit b ( = base) bezeichnet er die dritte Seite des Dreiecks, mit s oder σ die Oberfläche eines Körpers, mit c Umfang, mit r Radius eines Kreises. Unsere Definition für den sphärischen Exzeß ξ = α -1-/9 + / — 1 8 0 lautet bei C A S W Ü L L : L· L· L. — 2 _ | .

Indem er unter π den Inhalt des größten Kugelkreises, unter G die Kugeloberfläche, unter Β den Kugelradius versteht, schreibt er den Inhalt Δ eines sphärischen Dreiecks kurz und bündig folgendermaßen hin: 2π Δ = EG = 2R%E, RE.'31 schließt sich 1699 der Deutsche Δ =

An H E B I G O N E SAMUEL REYHEE an; die Zeichen werden etwas geändert, neue hinzugefügt. Das 72

die Berufung auf den Kongruenzsatz: „Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen" (analog: S.W.S. — W.S.W. — etc.) — vorgeschlagen von dem am 4 . III. 1 8 9 5 verstorbenen Grymnasialprofessor WORPITZKY (Friedrieb-Werderscbes Gymn. zu Berlin). — 6 9 F L . CAJORI behauptet nb tieff aber bicf. — 2 9 3 Hedjenpüdjletit 198 , Oppenheim 1518, S. 28, 280

Z. 21, 13. —

29

« VorlesungenI414,

1747, S. 529. 4*

52

Allgemeiner Teil.

wie 6te rolle leibhaftige ^igur (KEPLER 1616), 6er Seicfynam295 (HAESDÖRFFER 1 7 6 1 651), 298 ein incites Stucf BURKHARDT Y. PIRCKENSTEIN 1698). 297 Das Wort k ö r p e r l i c h bildet D Ü E E E 1525; 2 8 8 dies Wort fehlt übrigeng bei KEPLER (1616) ganz, es wird ersetzt durch räumlich, leibhaft, volleibig. 299 Erst aus dem neunzehnten Jahrhundert stammen Wortbildungen wie E a u m g r ö ß e n (C. F. A. JACOBI 3 0 0 1 1 1 2 1 9 1834 ) , R a u m f o r m e n (A.TELLKAMPF 1829) und zuletzt R a u m gebilde. Das Wort G r ö ß e geht auf das Aristotelische μέγε&ος (lat. magnitude) zurück (vgl. Bd. II, S. 68). Für F l ä c h e gebrauchen die Pythagoreer χροιά ( = Haut, Farbe); PLATON ( 4 2 9 — 3 4 8 v. Chr.) hat nur έπίπεδον, bald für Fläche, bald für E b e n e . Bei ARISTOTELES kommt Επιφάνεια hinzu. EUKLID scheidet streng zwischen έπίπεδον = Ebene und Επιφάνεια = Fläche. Die eine Stelle (XI def. 11), in der EUKLID Επιφάνεια für Ebene sagt, scheint altertümlich zu sein; die betreffende Definition ist vielleicht eine Entlehnung aus einer früheren Elementenzusammenstellung. 301 Das Wort Ιπιπεδικός = zweidimensional ist eine sehr späte Bildung (SIMPLICIUS, erste Hälfte des 6. Jahrhunderts n. Chr.).308 F ü r Επιφάνεια tritt im Lateinischen superficies, für έπίπεδον planum ein (MAETIANUS CAPELLA 4 7 0 n. Chr.).303 Planum tritt übrigens schon

bei dem Feldmesser BALBUS (um 1 0 0 n. Chr.) 304 auf, bei dem sich auch das seltene summitas für Fläche, summitas plana für Ebene vorfindet. 305 BOETIUS und GERBERT benutzen ganz gelegentlich planities.30e Das deutsche Wort F l ä c h e treffen wir in mathematischem Sinne bei WIDMAN von Eger ( 1 4 8 9 , Rechenbuch), 307 E b e n e 1477 in einer deutschen Ubersetzung des Traäatus quadrantis des ROBERTUS ANGLICUS. 3 0 8 In einer deutsch geschriebenen feldmesserischen Schrift um 1400 wird statt Ebene gesagt r>elt oder fledjt 295 Holländisch

heißt heute noch

der

mathematische Körper

lichaam. —

296 Nach FELIX MÜLLER, Abh. Gesch. Math. I X , Leipzig 1899 , S. 330. — 297 Handgriffe des Zirckels und Lineals, Außerwählter Anfang xu den mathematischen Wissenschaften, Augsburg 1698, S. 191. — 298 Dnberroeyfung1320, ος, eigentlich εϋ&εϊαι παρ'

άλλήλας

ήγμέναι,

nebeneinander

gezogene G e r a d e n ;

paralleli)

wird in dreifacher Weise aufgestellt. E U K L I D (I, def. 3 5 nach LORENZ' Übersetzung) sagt: „Parallel sind gerade Linien in einer Ebene, die, so weit man sie auch an beiden Seiten verlängern mag, doch an keiner Seite zusammentreffen." 542 Auf dasselbe kommt es hinaus, wenn gefordert wird, daß die Linien sich nicht schneiden, daß sie sich im Unendlichen treffen oder daß sie im Unendlichen einen Punkt gemeinsam haben. Den letzteren Fassungen begegnen wir erst vom siebzehnten Jahrhundert an. So hatte J . K E P L E R ( 1 5 7 1 — 1 6 3 0 ; Graz, Prag, Linz, Ulm) gelegentlich (1609) die parallelen Geraden als solche bezeichnet, die sich im Unendlichen schneiden. 543 Endgültig führt den unendlich fernen Punkt erst G. DESARGTJES ( 1 5 9 3 — 1 6 6 2 ; Lyon, Paris, Baumeister) 1639 ein; 5 4 4 wieder aufgenommen hat ihn NEWTON ( 1 6 4 3 — 1 7 2 7 ; Cambridge, London) in seinen Principia von 545 16 8 7, in größerem Umfange verwendet ihn 1 8 3 2 J . STEINER (1796 Schweiz — 1863 Berlin). 546 Die Verallgemeinerung auf die unendlich ferne Ebene erfolgt 1 8 2 2 durch J . D. PONCELET ( 1 7 8 8 537

§ 4961417.

Elemens de geometric (1. ed. L'an II, 1 7 9 4 ) 2E ed. Paris VIII, 1 7 9 9 , Trigon. S. 3 7 2 . Deutsche Übersetzung von A. L. CRELLE, Berlin 1 8 2 2 (nach der 11. Aufl. LEGENDRES); 2. Aufl. 1 8 3 3 (nach der 1 2 . Aufl. LEGEN1 iu 31S DRES). — 6 3 9 PH. NAUDE, Meßkunst , § 1 6 6 , S. 6 0 . — 540 SEGNER, Vorlesungen , 14 XIV, § 4 4 . — 841 Lehrb. d. Elementarmath. ·™, III, 1 8 2 4 , S. 1 7 7 . — 542 EUKLID, I, def. 33, ed. HEIBERG82, 1, S. 8, Z. 3—5: ΙΙαράλληλοί είσιν εν&εΐοα, αϊτινες έν τω αντω έπιπέδω ονσαι καΐ εζβαλλόμεναι εις άπειρον εφ' έχάτεαα τά μέοη επί μηδέτερα σνμπίπτονσιν άλλήλαις. — 5 4 3 Paralipomena in Vitellionem I V , 4 , KEPLERS Werke 12β4 , II, S. 186 unt. — 544 POTJDRA»481, I, S. 105. — 545 Principia113™, Lib. I, Lemma 2 2 , S. 8 7 , Z. 1 7 — 1 8 : Lineae parallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. — 546 STEINER, Systematische Entwicklung33s, cap. 1, 334 § 2. Gesammelte Werke , Berl. 1 8 8 1 — 8 2 , I, S. 2 4 1 . —

5 3 8

Die gerade Linie.

Der Winkel.

78

bis 1867; Paris).517 — Die zweite Erklärung hebt hervor, daß die beiden Linien, die man parallel nennt, immer dieselbe Richtung haben oder, besser ausgedrückt, mit einer Transversalen gleiche Winkel bilden. Zum erstenmal findet sich diese Fassung bei N . MERCATOR 16 7 8 547a und dann P. VARIGNON ( 1 6 5 4 — 1 7 2 2 , Paris) in seinen nachgelassenen, 1 7 3 1 im Druck erschienenen Elementen; 548 sie ist von späteren Verfassern oft wiederholt worden. — Sehr anschaulich ist die Definition, die die Konstanz des Abstandes zwischen den beiden Geraden hervorhebt; allerdings verlangt sie, um vollwertig zu sein, noch den Beweis, daß die parallele Linie wirklich eine Gerade ist. Von POSIDONIUS 549 ( 1 2 8 — 4 4 v. Chr., Rhodos) bereits vorgeschlagen, von GEMINOS 550 (zweite Hälfte des ersten Jahrhunderts n. Chr.) weitergegeben, von 551 den heronischen Definitionen übernommen, von dem arabischen Kommentator EUKLIDS ALNAIRIZI (um 900 n. Chr.) in lateinischer Übersetzung durch GERHARD von Cremona (zwölftes Jahrhundert) mitgeteilt,552 ist sie doch nicht vor dem sechzehnten Jahrhundert in die Lehrbücher eingedrungen. Sie ist zuerst wieder enthalten in der Geometrie des PETRUS RAMUS ( 1 5 1 5 — 1 5 7 2 , Paris)553 und von dieser aus dann in eine größere Anzahl von Lehrbüchern des sechzehnten bis achtzehnten Jahrhunderts eingedrungen; vor allem gelangte sie durch VON WOLFES Elemente ( 1 7 1 3 ) zu weiterer Verbreitung. 554 D a s f ü n f t e P o s t u l a t des e r s t e n B u c h e s EUKLIDS (früher unrichtig als elftes Axiom bezeichnet) sagt aus, daß zwei gerade Linien, die von einer dritten so geschnitten werden, daß die beiden inneren an einer Seite liegenden Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, sich hinreichend verlängert auf eben derselben Seite schneiden.555 Schon die Schöpfer der Grundlagen der Geometrie, deren Resultate EUKLID, wie wir betonten, nur zusammenfaßte,556 547 —

Tratte des proprietes projectives des figures, Paris 1822, S. 373 (2. ed. 1865—66). Elemental, def. 11, S. 2. — 5 4 8 Klemens de mathematiques1139ä, Amstel.

547«

5 4 9 PROCLÜS7, S- 1 7 6 , Z . 6 f f . — 550 P R O C L U S T , S . 1 7 7 , 1543 551 HERON, Op. 4, S . 48, Z . 9 — 1 0 ; S. 176, Z . 26—28. — 5 5 2 A N A -

1 7 3 4 , II, S. 17, d e f . V . Z.

21—25. —

RITIUS"400, S .

—

26, Z. 12f.;

S.

66, Z. 27ff. —

553

pETBI

KAMI,

geometriae septem et viginti, Basileae 1569; a LAZARO

Arithmetieae libri duo, recogniti, Frank-

SCHONERO

furt! 1599, beide Ausgaben S. 12 der zweiten Paginierung.

RAMUS

verweist auf

Elementa Matheseos universaeI494, Teil I , Geom. § 78. — 5 5 5 EUKLID 22 , ed. HEIBERG, 1, S . 8, Z. 15—19: Και εάν εις δυο ευθείας εΰ&εΐα εμπίπτουσα τάς εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο όρ&ών ελάσσονας •Jioifj, εχβαλλομένας τάς δυο εύ&είας έτι άπειρον συμπίπτειν, εφ' α μέρη είσϊν αί των δυο όρίϊών ελάσσονες. — 5 5 6 Andeutungen der Parallelentheorie bei voreuklidischen Schriftstellern, besonders bei ARISTOTELES, sammelte E. RUFINI, Lapreistoria POSIDONIUS. — 5 5 4 CHR. V . W O L F F ,

74

Besonderer

Teil.

mußten die Unmöglichkeiten eines Beweises für diesen Satz eingesehen haben; sonst hätten sie ihn nicht an die Stelle gesetzt, wo wir ihn heute finden. Aber zu allen Zeiten hat es Gelehrte gegeben, die sich mit der Entdeckung seines Beweises abquälten. Den Reigen der uns bekannten Bearbeiter eröffnete PTOLEMÄUS557 (beobachtete zwischen 125 und 151 n. Chr. in Alexandria), dem vermeintlichen Ziele am nächsten kam L E G E N D R E (1752—1833, Paris). 558 zeigte, daß, wenn zwei innere entgegengesetzte Winkel an zwei von einer dritten geschnittenen Geraden zusammen zwei Rechte betragen, dann dies auch auf der anderen Seite der Schneidenden der Fall sein müsse. Liegt demnach auf der einen Seite ein Schnittpunkt, so muß auch auf der anderen Seite ein solcher liegen, d. h. die beiden Geraden müßten zusammenfallen, was nicht eintritt. Dieser Ptolemäische Beweis ist neuerdings 560 (L. B E R T B A N D , 1 7 7 8 ; 5 6 9 THIBAUT, 1831) wieder von der Elementargeometrie aufgenommen worden und wird oft in den Schulen so behandelt, daß man die Deckungsmöglichkeit der beiden von den Parallelen eingeschlossenen, ebenen Streifen links und rechts von der Schneidenden anschaulich zu machen sucht. PBOKLOS gibt erstmalig die Fassung, die in den modernen Lehrbüchern am meisten gebraucht wird: Ov γαρ έσται τις άλλη παρά την εν&εϊαν η δι' αντοϋ φερομένη παράλληλος (Es gibt keine zweite zu einer Geraden durch einen Punkt gezogene Parallele). 561 PTOLEMÄUS

delle parallele e il postulate 7

di EUCLIDE. Period, di mat. 34, 1923, S. 11—17. —

557 PROCLUS , S. 3 6 2 , Z. 12 ff.; ANARITIUS 1 1 4 0 0 , S . 6 5 f . 2. Aufl. der Siemens,

—

558

LEGENDRE IV538 ,

1 7 9 9 (1. Aufl. Paris 1 7 9 4 ) , Geometrie Note 2 und Mem. Ac. de Paris Bd. X I I , 1 8 3 3 , S. 365FF. Es hat sich durch Untersuchungen E. BELTRAMIs (Un precursore italiano di LEGENDRE e di LOBATSCHEFSKIJ, Atti della Reale Accademia dei Lincei, 1889, Serie IV, Vol. V, S. 441—448) herausgestellt, daß die Sätze LEGENDREs wie auch eine Anzahl der Resultate von N. J. LOBATSCHEFSKIJ und J. BOLYAI schon einmal in einem Werke des Jesuiten G. SACCHERI ( 1 6 6 7 — 1 7 3 3 , Turin, Pavia), EUCLIDES ab omni naevo vindicatus, Mediolani 1733, abgeleitet wurden. Vgl. hierzu und überhaupt für die Geschichte der Parallelentheorie: P. STÄCKEL und FR. ENGEL, Die Theorie der Parallellinien von EUKLID bis GAUSS, Leipzig 1 8 9 5 . R. BONOLA, Die nichteuklidische Geometrie, historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung, dtscli. v. H . LIEBMANN, Leipzig 1 9 0 8 , 2. Aufl. 1 9 2 0 . W . KILLING U. H . HOVESTADT54 1, § 2 , S . 25ff. Ein Teil der von SACCHERI entwickelten Gedanken findet sich schon bei dem Araber ALHAJJÄM ( 1 1 2 3 / 4 , Bagdad). Vgl. D . E . S M I T H , Euclid, Omar Khayyäm and Saccheri, Scripta math. 3, 1935, S. 5—10. — 5 5 9 Developpement nouveaulliil&, Bd. II, prop. VII, S. 17. — 6 6 0 Grundriß d. reinen Math.111*3, 3. Aufl., S . 2 0 3 ; noch nicht in der 1. und 2. Aufl. 1801, 1 8 0 9 , — 5 6 1 PROCLUS7, S. 3 7 6 , Z. 8 — 1 0 .

Die gerade Linie.

Der

75

Winkel.

Schon das Altertum (PROKLOS) hatte den inneren Zusammenhang des fünften Postulats mit dem Satze von der Winkelsumme im Dreiecke erkannt. Hierauf baute LEGENDRE weiter und wies nach558, — in aller Strenge nur, wenn die unendliche Länge der Geraden vorausgesetzt werden darf — daß die Winkelsumme nicht größer als 180° sein kann, und daß, wenn die Winkelsumme bei einem Dreiecke 180° beträgt, dies dann bei jedem der Fall sei. Der fehlende Nachweis, daß die Winkelsumme auch nicht kleiner als 180° sein könne, konnte ihm, ebenso wie allen seinen Vorgängern, nicht gelingen. Man hatte einen Ausweg aus der schwierigen Lage darin zu finden gesucht, daß man das Parallelenaxiom fallen ließ und andere Forderungen dafür aufstellte, 562 ein Mittel, durch das man indes nichts besserte, sondern nur die Schwierigkeit auf ein anderes Gebiet übertrug. So ersetzte J. WALLIS (1616—1703, Prof. der Geometrie in Oxford) das fünfte Postulat durch die Forderung, daß sich zu jedem Dreieck ein ähnliches in beliebig großem Maßstabe zeichnen lasse; 863 diesen Gedanken nahmen CARNOT und LAPLACE, in neuester Zeit J.DELBCEUF wieder auf.564 Auch LEGENDRE (1823)565 machte einen derartigen Vorschlag und nahm an, 566 daß, wenn innerhalb eines Winkelraumes irgendein Punkt gegeben ist, es stets möglich sei, durch ihn eine Gerade zu ziehen, die die beiden Schenkel des Winkels schneidet; er hatte aber auch hierin in J. H. LORENZ (1791)567 schon einen Vorgänger. Überall vergebliches Bemühen! Die Lösung brachte K. F. GAUSS (1777—1855, Göttingen). Ihm war es (seit 17 92) 567a zur Gewißheit 562

Vgl. die Zusammenstellung bei HEATH, EUCLID Ι " 8 , I S , S. 2 2 . — 5 6 3 De postulato quinto et definitione quinta lib. 6 ETJKLIDIS disceptatio geometrica. Opera, Bd. II 1682 , S. 6 6 5 - 6 7 8 . Vgl. A . PRAG, JOHN WALLIS, Qu. u. Stud. B L , 1930, S. 402 11605 . — 5 6 4 LAPLACE, Exposition du systeme du monde, 5°, 6d., Paris 1 8 2 4 , L . V , chap. 5 , note. J . DELB A E D . B U B N O W 17S, S. 69, Z. 1—2. — 82 < e Pract. geom.169i, II, S. 2. — 8 2 1 F R Y F F 1600 695 , SCHOTT 1674 I479 . — 82 '« Qeometria tyroniea11™, S. 34, 35.

Die Konstruktionsaufgaben.

errichten hunderts

und f ä l l e n

sind

seit Beginn

105

des neunzehnten

Jahr-

fest. 8 2 1 h

Einen mächtigen Aufschwung nahmen die geometrischen Konstruktionsaufgaben unter der Macht griechischer Abstraktion. nur

gebraucht,

um

dem

bedächtig

in

seinen

Zuerst

Schlußfolgerungen

vorwärts schreitenden Mathematiker die nötige Sicherheit und Gewißheit von dem Vorhandensein

der abstrakten Begriffe zu geben,

wie

der mit ihnen die Existenz

wir

es bei

EUKLID

Halbierungspunktes

sehen,

auf einer

raden usw. dartut, werden

sie

Strecke,

eines Lotes

zu

schließlich Selbstzweck.

sich eine Theorie ihrer Behandlung heraus, die unter bis 348 Y. Chr., Athen)

Händen

ihre Vollendung

eines

einer Es

bildet

PLATONS

empfing.

zwei Richtungen setzte dieser bedeutende Philosoph ein.

Ge(429 Nach

E r baute

als fruchtbares Werkzeug für die Erfindung d i e a n a l y t i s c h e

Me-

t h o d e aus 8211 und begrenzte anderseits den Umfang des Gebietes durch die Bevorzugung von Z i r k e l u n d L i n e a l . PLATONS

I n der Akademie

fand ferner die Festlegung der äußeren F o r m statt, in der

wir heute noch geometrische Konstruktionsaufgaben behandeln.

An

die Spitze tritt die Stellung der Aufgabe und zwar in der πρότασις (vgl, S. 50) allgemein gefaßt, in der 'έκ&εσις mit Bezug auf die vorliegende bestimmte Figur. als bekannt

Die άνάλνσις (analysis) setzt die Lösung

voraus und versucht,

rückwärtsgehend,

Schlüsse

zu

ziehen, die ein Zurückführen auf bekannte Konstruktionen bezwecken. Ist dieses erreicht, so kann nunmehr auf entgegengesetztem W e g e in der κατασκευή {praeparatio) die eigentliche Lösung gegeben werden, deren Richtigkeit dann in der άπόδειξις {demonstratio) nachgewiesen I n den meisten Fällen könnte die ώνάλνσις zur Erledigung

wird.

der Aufgabe genügen; die synthetische Behandlung in der άπόδειξις bringt dann nur das Gefundene in umgekehrter Reihenfolge noch einmal.

I n dem Bewußtsein aber, daß die analytische Methode auch

zu nicht passenden Nebenlösungen

kommen

kann, da nicht jeder

Schluß umkehrbar ist, verlangt die strenge griechische Behandlung jederzeit den synthetischen Beweis hinterher. I n der Hand geschickter Mathematiker hat diese PLATONsche Methode die größten Erfolge gehabt und eine Mannigfaltigkeit der Aufgaben gezeitigt, von denen uns wohl nur der geringste T e i l überliefert ist.

Die Konstruktionsaufgaben bildeten einen Hauptstoff für

die griechische Mathematik, und jeder werdende Mathematiker mußte sich in ihrer Lösung Gewandtheit verschaffen. Eine Sammlung vor821B MEINERT

1790®",

TELLKAMPF

18291453.

—

8 2 , I

PROCLUS7,

S . 211.

106

Besonderer

Teil.

bereitenden Übungsstoffes war in dem Τόπος ώναλνόμενος (Sammelwerk analytischer Natur) aus den Arbeiten ABISTAIOS' des Älteren (um 320 y. Chr., Athen), EUKLIDS (Elemente, um 330—320 y. Chr., Alexandria) und APOLLONIOS' von Perge (zwischen 250 und 200 v. Chr. in Alexandria, dann in Pergamum) niedergelegt, ist aber leider nicht auf uns gekommen. Erhalten ist eine Sammlung von PAPPOS (Ende des dritten Jahrh. n. Chr.), in der die zum Verständnis und Gebrauch notwendigen Sätze zusammengestellt sind.821k Zweierlei Errungenschaften flössen aus der Anwendung der analytischen Methode. Erstens gab sie Gelegenheit zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die gestellte Aufgabe lösbar ist. Diese Frage war von PLATON zuerst angeregt,8211 dann von seinem Schüler LEON (um 370 v. Chr.) in ihrer Notwendigkeit erkannt worden, so daß seitdem der Behandlung der geometrischen Aufgabe noch ein διορισμός (determinatio) folgte. In diesem διορισμός liegen die Keime einer Theorie der Maxima und Minima (siehe Bd. V I ) ; APOLLONIOS ist der erste, der solche Untersuchungen als „würdig, auch ihrer selbst wegen vorgenommen zu werden", bezeichnet. Zweitens hat sich der Begriff des g e o m e t r i s c h e n O r t e s , i n d e m der moderne Funktionsbegriff versteckt liegt, beim Gebrauch der analytischen Methode in der Platonischen Schule allmählich entwickelt. Das Wort τόπος kommt zwar schon bei ARCHYTAS (um 430—365,

Tarent)

vor,

wie

uns

EUTOKIOS

(geb.

480

n. Chr.

zu

Askalon) aus der Geschichte der Mathematik, die EUDEMOS (Ehodos, um 334 v. Chr.; Schüler des ARISTOTELES) verfaßt hatte, überliefert, 822 hat aber bei ihm noch nicht den W e r t eines anerkannten Fachausdruckes. Seit PLATON unterschieden die Alten drei Arten geometrischer Orter, 823 deren Trennung natürlich heute nicht mehr aufrecht erhalten wird: 1. τόποι έπίπβδοι (ebene Orter): Gerade und Kreis, 2. τόποι στερεοί (körperliche Orter): Kegelschnitte, 3. τόποι γραμμικοί

Wort

(PLATON: γραμμαι

Ort,

beziehentlich

μικταί8241):

höhere Kurven. D a s deutsche

geometrischer

CHR. VON WOLFF in seinen Anfangsgründen

von

Ort

bringt

zuerst

1710. 8 2 5

Als ein weiteres Verdienst PLATONS in der Theorie der Konstruktionsaufgaben wurde oben erwähnt, daß er bei ihrer Ausführung 82U PAPPUS, Συναγωγή, lib. VII, ed. HULTSCH113, II, S.

634ff. —

»2U I N e i n e r besonderen Aufgabe im Menon 86 c. Vgl. E. HOPPE, Mathematik und Astronomie 283 im klassischen AltertumI , S. 147—148. — 822 ARCHIMEDES1939, ed. HEIBEBO, 3*, S. 84, Z. 30. — 823 Nach PAPPUS113, V I I , cap. 22, 29, ed. HULTSCH, S. 662, Z. 6—7, S. 672, Z. 6ff. Diese Einteilung noch bei FERMAT, 16361"9·IIU4. — 824 PROCLUS7, Ιβ4 S. 104. — 825 s. 22 1 24. Vgl. auch Mathematisches Lexicon, 1716 , S. 812.

Die

Konstruktionsaufaaben.

107

möglichst nur L i n e a l u n d Z i r k e l zulassen wollte. Die Benutzung des Lineals beim Zeichnen dürfte uralt sein, weniger die des Zirkels, dessen Erfindung die griechische Sage dem TALOS, Neffen des DAI826 DALOS, zuschreibt. Im altägyptischen Rechenbuch des AHMES (zwanzigstes bis siebzehntes Jahrh. v. Chr.) finden sich Figuren (vgl. S. 19) bei denen man erkennen kann, daß sie mit Benutzung des Lineals, aber ohne die eines Zirkels gezeichnet sind. Wenn PLATON die genannte Forderung aufstellte, so wandte er sich gegen die Zulassung der Kegelschnitte sowie höherer Kurven und gegen die Anwendung der sogenannten instrumentalen oder Bewegungsgeometrie, aber wohl mehr um eine Stoffgrenze der elementaren Mathematik gegen die höheren Kapitel festzulegen, 827 als ein absolutes Verbot auszusprechen. PLUTARCH überliefert zwei Stellen 828 in denen PLATON ein Hinausgehen über Zirkel und Lineal tadelt, „weil so der Vorzug der Geometrie verdorben und aufgehoben werde, sofern man sie wieder auf den sinnlichen Standpunkt zurückführe, statt sie in die Höhe zu heben und mit ewigen körperlosen Bildern zu beschäftigen". 829 Trotz dieser Überlieferung muß aber angezweifelt werden, daß gerade PLATON diese Forderung aufgestellt habe, da er selbst für das Problem der Würfel Verdoppelung nach EUTOKIOS 830 eine Lösung (siehe unten), die auf Bewegungsgeometrie beruht, angegeben hat. Mag dem sein, wie es will, nach PLATON ist die Forderung nach möglichst alleiniger Benutzung von Zirkel und Lineal da und wird nach Kräften befolgt, wie uns ARISTOTELES 831 und vor allem 832 EUKLIDS Elemente (besonders im 10. Buch bei der Behandlung der Irrationalitäten) zeigen. Die scharfe Forderung n u r mit Zirkel und Lineal konstruieren zu dürfen, wird auch von keinem späteren griechischen Mathematiker glatt ausgesprochen. PAPPUS formuliert den Standpunkt der griechischen Geometrie: Konstruktionsaufgaben sind mit Zirkel und Lineal zu lösen; nur wenn die Unmöglichkeit ausschließlicher Benutzung feststeht, dürfen höhere Hilfsmittel herangezogen werden. 833 Metamorphos., VIII, 247—249. — 8 2 7 Vgl. A . D . S T E E L E , Über die Rolle von Zirkel und Ldneal in der griechischen Mathematik. Qu. u. Stud. Gesch. Math., Astr. u. Physik Β 3, Berlin 1936, S. 287—369. — 0 . TOEPLITZ, Oer derzeitige Stand der Forschung in der Geschichte der griechischen Mathematik. Sem.-Bericht Bonn Münster 6, 1935, S. 12 ff. — 8 2 8 PLUTARCH, Quaestionum convivalium lib. VIII, cap. 1, ed. DÜBNER-DIDOT, Vol. IV, Moralia, Bd. II, Paris 1890, S. 876, Z. 9—12 und Vita MARCELLI, cap. 14, § 5, ed. DÜBNER-DIDOT, Vol. I, Vitae. I, S. 364, Z . 46 ff. — 8 2 9 HANKEL" 188, S. 155—156. — 8 3 0 A R C H I M E D E S 1 9 3 9 , ed. 2 831 HEIBERG, 3 , S 56, Z. 13 bis S. 65. — Vgl. STEELE 8 4 7 , S . 336f. — 8 3 2 Daselbst 833 S. 337f. — Daselbst S. 343. 826

OVID,

108

Besonderer Teil.

In moderner Auffassung umfaßt die sogenannte Forderung P l a t o n s alle die geometrischen Konstruktionsaufgaben, die, analytisch umgeformt, auf Gleichungen ersten und zweiten Grades führen oder auf solche höhere, die sich mit quadratischen Gleichungen lösen lassen 834 .

Unter B e w e g u n g s g e o m e t r i e versteht man eine Lösungsmethode, in der ein oder mehrere Lineale durch Probieren, teils gleitend, teils drehend, in eine solche Stellung geschoben werden, daß sich ein Schnittpunkt irgendwie bestimmter Art ergibt. Das älteste uns überlieferte Beispiel dieses Lösungsverfahrens wird, wie eben erwähnt, von Eutokios als Platonisch mitgeteilt. 830 Die hierzu nötige Vorrichtung besteht aus einem festen rechten Winkel MZN und einem beweglichen, rechtwinkligen Kreuz B, VW, PQ. Zwei weitere Lineale E S und T U dürfen nur senkrecht zu den Schenkeln di e Literatur bei J. SOMMER, Encycl. d. math. Wiss.111284, III Α Β 8, Leipzig 1 9 1 4 , S . 7 0 3 und M . ZACHARIAS, daselbst, III A B 9, Leipzig 1 9 2 1 , S . 1 0 9 2 — 1 0 9 3 .

83Φ VGL

Die Konstruktionsaufgaben.

109

des rechten Winkels verschoben werden. Auf dem Kreuz sind feste Punkte G und A so anzunehmen, daß GB = α und BA = b vorgeschriebene Längen sind. Nunmehr ist durch Bewegen des Kreuzes, dessen Punkte Α und G aber auf den Schenkeln Μ Z, bzw. Ν Ζ verbleiben müssen, und Verschieben der beiden Lineale BS und TU der Apparat in eine solche Lage zu bringen, daß ein Rechteck A D E Ζ entsteht, durch dessen drei Ecken A, D, Ε die Schenkel BW, Β Q, Β V des Kreuzes hindurchgehen. Eine solche Anordnung ist stets möglich. Ist sie gelungen, so ist α: χ = χ: y = y: b, woraus, wenn etwa b = 2 a, χ 3 = 2a 3 gefolgert werden kann, so daß sich χ als Kante des Würfels ergibt, der das doppelte Volumen des Würfels α 3 besitzt (vgl. Bd. III, S. 126). 834a Noch zwei andere, zu gleichem Zwecke ersonnene Apparate werden uns aus dem Altertum mitgeteilt. Der Erfinder des einen ist E B A T O S T H E N E S (276 Kyrene — 194 v. Chr., Alexandria), 835 der des anderen H E E O N (erstes Jahrh. v. Chr.). 836 Zur Bewegungsgeometrie gehören auch die sogenannten E i n s c h i e b u n g e n : eine Strecke wird durch passendes Verschieben (νενσις) so zwischen zwei gegebene Kurven, etwa Kreis und Gerade, gebracht, daß ihre Endpunkte auf je einer Kurve liegen, ihre Verlängerung aber durch einen vorbestimmten Punkt hindurchgeht. 837 Auf diesem Wege können höhere Aufgaben gelöst werden, die mit Zirkel und Lineal allein nicht zu erledigen sind. Es scheint, daß die Benutzung solcher Einschiebungen in der griechischen Mathematik methodisch ausgebaut war, aber eben seit P L A T O N als nicht immer zulässig hingestellt wurde. 838 In den ältesten uns erhaltenen Bruchstücken einer mathematischen Schrift, der kleinen Abhandlung des H I P P O KRATES (um 440 v. Chr.) über die Möndchen wird eine solche Einschiebung ohne Bedenken benutzt 838 ® Die Einschiebung einer der 834» a u f (j e m gleichen Gedanken fußendes, zeichnerisch brauchbares Verfahren hat NICOLAUS CUSANÜS 1450, Opera ed. F A B E R STAPULENSIS, Paris 1514, lib. 2, fol. 42 v°. — 8 3 5 Vgl. Anm. 830; ferner P A P P U S 1 1 3 , Συναγωγή, III, cap. 23, ed. HULTSCH, I, S . 56, Z . 18ff.; Iii, cap. 21, S . 54, Z . 31; VITEUVIUS, De architectura 836 libri decern11313, ed. ROSE, MÜLLER-STRÜBING, Leipzig 1867, S . 217, Ζ. 6. — "ΙΓρωνοζ Κτησιβίου βελοποιικά in Veterum matkematicorum ATHENAEI, BITONIS, APOLLODORI, 113 HERONIS, PHILONIS et aliorum opera, Paris 1693, S . 143ff.; ferner PAPPUS , III, 837 cap. 26—27, ed. H U L T S C H , Bd. I, S. 62 — 64. — = νενει (nach einem bestimmten Punkte sich hinneigt) PAPPUS113, VII, S. 670, Z. 4. — 8 3 8 Eine Aufgabe des PAPPUS113, VII, S. 782, die mit Einschiebung gelöst werden kann, will E. HOPPE1"456, Mitt. Math. Ges. Hamburg 5, 1911—1920, S. 290, auf 1 9 HERAZLIT (um 500 v. Chr.) zurückführen. — 8 3 8 1 R U D I O , Bericht " , S. 58, Z. 8—11. Gerade diese Einschiebungslösung würde 100 Jahre später durch

110

Besonderer

Teil.

Länge nach gegebenen Strecke zwischen die Schenkel eines Winkels ist auch bei A R I S T O T E L E S ( 3 8 4 — 3 2 2 ) angedeutet. 830 Wir wissen aber, daß auch nachplatonische Mathematiker dieser mechanischen Konstruktionsart großes Interesse entgegengebracht haben. Der Wahlsatz 8 des A R C H I M E D E S (siehe Bd. III, S. 1 2 1 ) liefert auf diesem Wege eine Lösung der Winkeldreiteilung. 840 APOLLONIOS hat eine besondere, leider nicht erhaltene Schrift περί νζνσζων verfaßt, 841 in der er die Einschiebungen allgemein durch Anwendung von Kegelschnitten zu ersetzen suchte: 842 es gelang ihm auch, wenn als Grundkurven selbst Kegelschnitte gewählt wurden. P A P P O S (Ende des dritten Jahrhunderts n. Chr.) zeigt nur die Einschiebung bei geraden Linien. 843 Auch in späteren Zeiten hat man dieser instrumentalen Geometrie Interesse entgegengebracht. Aus arabischen Schriften können Beispiele angeführt werden; so treffen wir in einer geometrischen Abhandlung der sogenannten „Drei Brüder" (um 865n.Chr., Bagdad), dem Liber trium fratrum de geometria,844

wiederum auf die bewegungs-

geometrisch gelöste Winkeldreiteilungsaufgabe, bei deren Lösung der Archimedische Wahlsatz etwas abgeändert wird. Sogar der Name Bewegungsgeometrie {Geometrie mobile) ist arabischen Ursprungs; er findet sich zum erstenmal in einer Abhandlung des A S - S I G Z I (um 972 n. Chr.). 845 Aus dem Liber trium fratrum oder einer anderen arabischen Quelle 846 entnimmt J O B D A N U S NEMORAKIUS (f 1 2 3 7 ? ) die Winkeldreiteilung. 847 Auch EEGIOMONTANUS ( 1 4 6 4 ) , 8 4 8 V I E T A ( 1 5 9 3 ) 8 4 9 und N E W T O N ( 1 7 0 7) 8 5 0 finden an dem alten Problem Gefallen (vgl. als unzulässig verworfen werden, da sie auch durch Zirkel und Lineal ausführbar ist. Vgl. STEELE8", S. 316, TOEPLITZ 827 , S. 10—11, 13 u. — 839 Vgl. E. HOPPE1 283 , S. 301. — 8 4 0 Eine Zusammenstellung der bei ABCHIMEDES vorkommenden νενσεις siehe bei T . L. HEATH, The works of Δ . 1 1 1 , Übersetzung von F . KLIEM111, S. 94 ff. — 841 Der Bericht bei PAPPUS, ed. HÜLTSCH113, VII, S. 6T0 ist überaus dürftig. — 8 4 2 Vgl. H. Gr. ZEUTHEN, Qesehichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter. Deutsche Übersetzung von FISCHEB111464 BENZON11147, 1896, S. 8 0 — 8 2 ; F . ENRIQUES, Fragen der Elementargeometrie II, 111454 8 113 S. 2 0 6 ; vgl. auch F . KLEIN, Vorträge . — « Ed. HÜLTSCH , IV, 38, S. 274. Die Literatur des Altertums, in der Einschiebungen benutzt, erwähnt oder vermutet werden, bespricht E. HOPPE111455, S. 2 8 9 — 3 0 4 . — 8 4 4 Nova acta Leop. Car1*72, 49, S. 1 5 5 — 1 5 6 . H . SUTEB1 1088 , Bibl. math. 3 S , 1902, S. 270. — 845 Ualgebre D'OMAB ALKAYYAMI, ed. WOEPCKE 11 1009 , Abhandlung Ε : Traite de la triseetion de Tangle rectiligne par . . . ALSIDJZI, S. 120, Z. 2. — 8 4 6 Vgl. G. ENESTBOM, Bibl. math. 6 S , 1905, S. 2 1 4 — 2 1 5 . — 8 4 7 JORDANUS NEMOEABIUS, De triangulis111 4β9, IV, 2 0 ; ed. CUBTZE, S. 3 8 — 3 9 . — 8 4 8 Briefwechsel1833% ed. CUBTZE, S. 258. — 8 4 9 Supplementum geometriaelitw, Prop. IX, 15B, 16V — 850 Arithm. univ.u Sil. Appendix de aequationum construetione lineari. Vgl. Enriques II111454, S. 243. PLATON

Die

Konstruktionsaufgaben.

Ill

Bd. III, S. 124—125). Der Archimedische Wahlsatz wird zum erstenmal in ein Schulbuch durch VAN SWINDEN (1816) aufgenommen. 851 Die sogenannte Forderung PLATONS, nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren, kann noch weiteren Beschränkungen unterworfen werden. So kann erstens verlangt werden, nur m i t d e m L i n e a l z u z e i c h n e n , zweitens, a u s s c h l i e ß l i c h d e n Z i r k e l zu b e nutzen. Die alleinige Verwendung des Lineals regte bereits 1774 J. H. LAMBERT au 3 9 1 ; sie wurde eine Forderung, die sich in der französischen Schule L. Ν . M. CAENOTS ( 1 7 5 3 — 1 8 2 3 ) , des Verfassers der Geometrie de position (Paris 1 8 0 3 ) , einstellte. Es leuchtet ein, daß nur solche Aufgaben damit ausführbar sind, die, in Gleichungen umgesetzt, auf rationale Ausdrücke für die Unbekannte führen. In einer Abhandlung CH. BEIANCHONS ( 1 7 8 3 — 1 8 6 4 , Paris) von 1 8 1 8 8 5 2 werden viele Fälle gezeigt, in denen man mit dem Lineal auskommt. BBIANCHON selbst legte Wert darauf, zu betonen, daß seine Methode gerade für Vermessungsarbeiten praktische Bedeutung besitzt. Parallelen lassen sich bei ausschließlicher Benutzung des Lineals nur ziehen, wenn von einer gegebenen Strecke der Halbierungspunkt bekannt ist. Die zweite Forderung, ausschließlich mit dem Zirkel zu zeichnen, erfüllte zuerst der Däne GEOBG MÖHR (geb. 1 6 4 0 in Kopenhagen) in seinem Euclides Danicus von 1672. 8 5 3 Sämtliche planimetrischen Aufgaben der ersten 6 Bücher der euklidischen Elemente wurden allein mit dem Zirkel gelöst. Sein Werk ist verschollen gewesen und wurde erst 1 9 2 8 wieder entdeckt. Bis dahin galt L. MASCHEEONI ( 1 7 5 0 — 1 8 0 0 ; Pavia, Paris) als erster Vertreter dieser Zeichenmethode. Auch dieser hatte in seiner Geometria del compasso von 1797 8 5 4 gezeigt, daß alle euklidischen Aufgaben nach seiner Methode lösbar sind. MASCHEEONI geht aber noch weiter und legt dar, wenn er es auch nicht klar ausspricht, daß überhaupt a l l e Aufgaben, die 851

Deutsche Übersetzung von JACOBI 1 1 1 2 1 Β , S . 1 6 8 . — 8 5 2 Applications de la theorie des transversales, Paris 1 8 1 8 . — 8 5 3 EUKLIDES Danicus, Amsterdam 1 6 7 2 . Neu herausgegeben durch die Kgl. Dan. Gesellschaft der Wissenschaften, Kopenhagen 1 9 2 8 . Vgl. auch den Bericht von M . ZACHARIAS, Jahrb. d. math. Yereinigg. 3 9 , 1 9 3 0 , Abt. 2 , S . 7 — 1 0 . — 8 5 4 LORENZO MASCHERONI, La geometria del compasso, Pavia 1 7 9 7 , französisch von CARETTE, id. I , Paris 1 7 9 8 , ed. I I , Paris 1 8 2 8 ; Nuova ed. da G . FAZZARI, Palermo 1 9 0 1 . Deutsch von GRÜSON (Gebrauch des Zirkels, Berlin 1 8 2 5 ) ; vgl. E . J. HÜTT, Die MASCHERONI sehen Konstruktionen, 2. Aufl., Halle 1 8 8 0 ; A . ADLER, Zur Theorie der MASCHERONI sehen Konstruktionen, Wiener Berichte 1890; Archiv Math. Phys. 33, 1902, Anhang S. 2 6 — 2 8 . —

ENRIQUES-FLEISCHER 111 4 5 4 I I , S . 1 2 0 .

112

Besonderer Teil.

mit Zirkel u n d Lineal lösbar sind, auch mit dem Zirkel allein geschafft werden können. Dieser Nachweis wird dadurch geführt, daß MASCHERONI die drei Fundamentalkonstruktionen des Zeichnens mit Zirkel und Lineal auch ohne Lineal schafft: den Schnittpunkt 1. zweier Geraden, 2. eines Kreises und einer Geraden, 3. zweier Kreise zu finden, wobei eine Gerade durch zwei ihrer Punkte definiert ist. C R E L L E (1826) nimmt erstmalig Aufgaben dieser Art als Übungsmaterial in ein Elementarbuch auf. 856 Ist bei dem Zeichnen m i t d e m L i n e a l n o c h e i n e i n z i g e r f e s t e r K r e i s zugestanden, so sind, wie J. V. P O N C E L E T (1788—1867, Paris) bemerkt, 856 auch alle Quadratwurzelausdrücke konstruierbar. In der P O N C E L E T sehen Arbeit fehlt es an systematischer Durchführung des Prinzips. In dieser Beziehung vollendet ist eine Arbeit des großen deutschen Geometers J. S T E I N E R (1796—1863, Berlin), die selbst Schülern zugänglich gemacht werden kann. 857 Verschiedene der von S T E I N E R angegebenen Konstruktionen sind schon in L A M B E R T S Freyer Perspektive (1774) enthalten. Wird neben dem Lineal, ohne Kreis, noch ein beweglicher rechter Winkel gestattet, so kann man nicht nur alle geometrischen Aufgaben zweiten Grades, für die, wie schon DESCARTES erkannte, Zirkel und Lineal ausreichen, sondern auch die dritten und vierten Grades lösen. 858 Eine letzte Möglichkeit ist noch die, das Lineal zu gestatten, den Z i r k e l a b e r m i t u n v e r ä n d e r l i c h e r S p a n n w e i t e anzunehmen. Mit solchen Konstruktionen beschäftigten sich zuerst die Araber. Unter ihnen muß auf A B U ' L W A F Ä (940 Persien — 998 Bagdad) aufmerksam gemacht werden. Ist auch kein eigenes Werk über unseren Gegenstand von ihm auf uns gekommen, so hat sich doch eine Nachschrift seiner Vorlesungen, die einer seiner Schüler in persischer Schrift verfaßt hat, erhalten, Bueh der geometrischen Konstruktionen,869 und in dieser sind eine ganze Reihe 855

Lehrbuch der Elemente11678, I. Anhang, S. 492 (vgl. § 390, IV). — 8 5 6 J. V. PON547 CELET, Traite , Sect. III, chap. I, Nr. 351—357, S . 186—190. — 8 5 7 J. STEINER, Geometrische Konstruktionen334, 1833; S T E I N E R S Werke 334 , Bd. I, S. 461ff. 111 477 A . MITSCHERLING, Das Problem der Kreisteilung , S. 21 f. ADLER 858 , S. 121 f. — 858 FÄRBER, Oer bewegliehe rechte Winkel, Zeitschr. math. nat. Unterricht 47, 1916, S. 178. A . A D L E R , Theorie der geometrischen Konstruktionen, Leipzig 1906, Sammlung SCHUBERT 52, S . 123, 259; A. MIETSCHERLING 111 S. 7Iff. Vgl. auch W. B R E I D E N B A C H , Der Hechte Winkel und das Einschiebelineal, Zeitschr. math. nat. Unterr. 56, 1925, S. 4 — 1 3 . — 8 5 9 F . W O E P C K E 8 0 1 , Journal Asiatique, S6r. V, Tome V, Paris 1855, S. 224—230, 312. Vgl. auch W . M. KUTTA, Zur Geschichte der Geometrie mit konstanter Zirkelöffnung,

Die

118

Konstruktionsaufgaben.

solcher Zeichnungen vorgeführt. Zu einer ganz besonderen Liebhaberei bildete sich das Konstruieren mit konstanter Zirkelöffnung gegen das Ende des fünfzehnten und in der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts bei den italienischen Mathematikern heraus. Auch namhafte Künstler und Architekten, wie LEONARDO DA VINCI 1320 ( 1 4 5 2 — 1 5 1 9 ) 8 6 0 und ALBRECHT D Ü R E R ( 1 4 7 1 — 1 5 2 8 , Nürnberg) suchen mit Erfolg, das gerade für die Praxis geeignete Prinzip in ihrem Fache zu verwenden. Die von D Ü R E R wiedergegebene angenäherte Fünfeckskonstruktion mit festem Zirkel muß in Baukreisen weitverbreitet gewesen sein; sie kommt schon in der ©eometria ieutfcfy,801 dem ältesten geometrischen Druck (um 1483) vor. Weiter beschäftigte sich mit solchen Aufgaben SCIPIONE DEL F E R R O ( 1 4 6 5 bis 1526, Professorin Bologna), der glückliche Entdecker der ersten Lösung kubischer Gleichungen, dann N. TARTAGLIA ( 1 5 0 0 — 1 5 6 7 ; Brescia, Venedig), und vor allem L. F E R R A R I ( 1 5 2 2 — 1 5 6 5 , Bologna), der Bezwinger der biquadratischen Gleichung. Konnte TARTAGLIA alle Konstruktionsaufgaben E U K L I D S mit wenigen Ausnahmen mit einem festen Zirkel ausführen, so machte sich F E R R A R I anheischig, auch die Richtigkeit der Lehrsätze E U K L I D S auf diesem Wege anschaulich nachzuweisen. 862 Unabhängig von beiden behandelte G. B E N E D E T T I ( 1 5 3 0 — 1 5 9 0 ; Schüler TARTAGLIAS) die Euklidischen Konstruktionen und veröffentlichte seine Resultate in einem 1553 zu Venedig gedruckten Werke Resolutio omnium EUCLIDIS prohlematum etc. 863 Geometrische Konstruktionen stellen, wie wir sahen, ein Hauptarbeitsfeld der griechischen Mathematik dar. Alles, was uns überliefert ist, betrifft aber nur ihre t h e o r e t i s c h e Ausführung. 864 Schwierigkeiten im praktischen Zeichnen werden nirgends erwähnt, etwa, wie man sich zu behelfen hat, wenn die Zeichenebene nicht ausreicht, wenn Schnittpunkte sehr schwach zueinander geneigter Geraden zu bestimmen oder die Verbindungslinien sehr eng aneinander befindlicher Punkte zu finden sind u. a. Erst in der Literatur des siebzehnten Jahrhunderts werden solche K o n s t r u k t i o n e n in N o v a A c t a Leopold., Bd. 7 1 , 1 8 9 7 , Nr. 3 , S. 7 1 — 1 0 1 . Ferner H . SUTEK, Das Buch der geometrischen Konstruktionen des ABÜ'L WAFÄ5 809 , S. 95 und 96. — 860 KUTTA 859 , S. 7 8 f . — 861 Inkun. Nr. 1876, Berlin 2 3 7 , S. 3, Z. 3 : mit unüerrücftem ^trfel. — 8 6 2 Vgl. FEBBARI und TARTAGLIA, Cartelli e risposte, 1 8 7 6 von GIORDANO neu herausgegeben, Seconda risposta ( 1 5 4 7 ) , S. 1 5 — 1 8 (TARTAGLIA), Quinta cartello (1547), S. 25—38 (FERRARI)·, TARTAGLIA, General trattato159, parte V , Venedig 1 5 6 0 , lib. I I I , Bl. 63v°. KUTTA 8 8 9 , S . 8 0 — 9 1 . — 859 863 KUTTA , S. 9 1 — 9 3 . — ß 6* Vgl. aber S . 1 0 2 eine A u f g a b e HERONS bei ANARITIUS 1 1 4 0 0 , S . 5 4 , Z . 2 9 . TROPFKE,

Geschichte. 1Y.

3.

Aufl.

8

114

Besonderer

Teil.

u n g ü n s t i g e r Lage besonders beachtet. W. SCHMID (1539), Das erfie Sud} 6er Geometria 865 löst gelegentlich sehr geschickt die Aufgabe: (£in fcr lange fcfyetfcrecfyte Iini mit eine furzen £ineal 5U stehen. D. SCHWENTER (1585—1626, Altdorf) scheint der erste zu sein, der diese Aufgabengruppe in größerer Zusammenstellung bringt. Seine 866 Geometria practica von 1618 behandelt folgende Fälle: 1. Eine Strecke ρ zu halbieren, a) deren untere Seite unzugänglich ist, b) wenn der Zirkel nur über \p, bzw. nur unter ±p spannt, c) wenn sie übermäßig lang ist. 2. Ein Lot im Endpunkt einer Strecke zu errichten. 867 3. Ein Lot auf eine zu kurze Strecke zu fällen. 4. Eine Parallele durch einen sehr nahen Punkt zu ziehen. 5. Den Schnittpunkt schwach geneigter Geraden zu bestimmen, baf fte ftcfy bey bem Punct rpeit mit einanöer fcfjletffen / tmnb man alfo 6as Punct ηίφί tool mercfen fann. 6. Den Umkreis für drei Punkte zu bestimmen, die zu nahe oder fast geradlinig liegen. 7. Den Berührungspunkt an einem flachen Kreis zu finden. Die letztere Aufgabe findet sich schon bei A. DÜBER (1525).868 Durch SCHWENTER war das Interesse geweckt. Ein anonym erschienenes Buch von M. GLOSKOWSKI (Krakau 1643)869 mit dem Titel 870 Geometriaperegrinans, F. VAN SCHOOTEN (1657),871 PIRCKENSTEIN (1689, Handgriffe des Zirckels und Lineals)297 u. a. wiederholen diese Aufgaben oder bringen einige neue hinzu. Von besonderem Gewicht ist erst das Auftreten JAKOB STEINERS (1796—1863)872 gewesen, der bei Lösung jeder Konstruktionsaufgabe sorgfältige Beachtung forderte, ob die Zeichnung „bloß mit der Zunge" oder wirklich auf dem Reißbrett mit dem Zeichenzeug auszuführen sei. Sehr verdienstvoll sind die neueren einschlägigen Veröffentlichungen von P. ZüHLKE 1906 874 und 1913 87°, in denen er neben eigenen Konstruktionen eine Übersicht der bisher gefundenen Verfahren und der vorhandenen Literatur (ohne SCHMID und SCHWENTER) gibt. 865 s . 86, Nr. VI" 1 9 5 . — 866 Oeometriam9i, 1. Aufl. (1618—1627), S. 30—49, 104 bis 1 0 5 5 2 . Aufl., 1641, S. 25—55, 411—112. — 8 6 7 Schon bei P R O C L U S 7 , S. 281, Z. 6 ff. — 868 Dnbertüeyfung, Fig. 25 1 3 2 0 . — 869 g i e h e T. ZEBBAWSKI Bibliograf ja pismiennictua polskiego % dxialu matematyki i fixyki. Krakau 1873, S. 259—260; vgl. S. D I C K S T E I N , Bibl. math. 3 2 , 1889, S. 49. — 8 7 0 p . Z Ü H L K E , Konstruktionen in begrenxter Ebene, Math. Bibl. 11, Leipzig 1913, S. 38. — 87T Exercitationum mathematicarum libri V 1 860 , Lugd. Bat. 1657, lib. II. — 872 Qe. sammelte Werke 834 , I , 509—510. — 874 Ausführung elementargeometrischer Konstruktionen bei ungünstigen Lageverhältnissen, Leipzig 1906. Weitere Literatur bei M . Z A C H A R I A S , Eneykl. d. math. Wiss. III, Α Β 9, Leipzig 1921, S. 1112.

Die

Konstruktionsaufgaben.

115

In der Neuzeit hat sich von Frankreich ausgehend eine interessante Konstruktionslehre herausgebildet, die G e o m e t r o g r a p h i e , die sich fast wie ein Sport ausgebreitet hat. E . LEMOINE ging 188 8 875 von dem an sich richtigen Standpunkt aus, daß eine Zeichnung um so genauer ist, je weniger Handgriffe sie verlangt. Um Einfachheit und Genauigkeit zahlenmäßig zu prüfen, bezeichnet er die Grundoperationen mit Zeichen: Einsetzen der Zirkelspitze in einen bestimmten Punkt = C1 Einsetzen der Zirkelspitze in einen unbestimmten Punkt einer Geraden = C3 Schlagen des Kreises = C3 Anlegen des Lineals an einen Punkt = Rt Ziehen der Geraden = R2. Er zählt nun die Operationen: R1 +12.

R2 ^ I3. C, +1,·

C2 +15·

C,,

und nennt Einfachheitsgrad die Summe ^ + l2 + ls + + l6, Genauigkeitsgrad die Summe ^ -f l3 -fSpäter hat LEMOINE sein Prinzip auch auf stereometrische Aufgaben ausgedehnt. In Deutschland hat die Geometrographie tüchtige Mitarbeiter in K. GÜNTSCHE, 876 J. REUSCH, 8 7 7 K. H A G G E 8 7 8 u.a. gefunden. Es überrascht, daß fast sämtliche seit Jahrtausenden üblichen Konstruktionen durch neuere, günstigere und einfachere ersetzt werden konnten. Die klassische Lösung der stetigen Teilung hat einen Einfachheitsgrad von 29, die geometrographische Lösung einen solchen von 13. Die Aufgabe, die vier gemeinsamen Tangenten an zwei Kreise zu legen, wurde von 92 auf 34 herabgedrückt, das Apollonische Problem von 356 (Lösung von Ε . E. BOBILLIER und J. D. GERGONNE) auf 1 5 2 (MOREAU). Die LEMOINE sehe Methode hat zwei Nachteile. Sie beachtet nicht die Schwierigkeiten bei ungünstiger Lage; anderseits sind die Lösungen oft so konzentriert, daß sie unterrichtlich wegen zu geringer Übersicht schlecht verwertbar sind.879 875

Comptes rendus, 16. VII. 1888. Courte note; L E M O I N E , Geometrographie ou art des constructions giometriques. Collection Scientia, Phys. Math. No. 18, Paris 1902. — 8 7 8 Üßer Geometrographie, Unterr.bl. f. Math. 8, 1902, S. 61—64; Eine einfache Lösung des Apollonischen Berührungsproblems in der Ebene, Archiv Math. Phys. 3S, 1902, S. 189—190; daselbst: Beiträge %ur Geometrographie I, S. 191—194; II, Archiv Math. Phys. 6 8 , 1904, S. 133—146. — 8 7 7 Planimetrische Konstruktionen in geometrischer Ausführung. Progr. ßealschule Thann, Leipzig 1904. — 8 7 8 Zeitschr. math. nat. Unterr. 38, 1907, S. 328—330; 39, 1908, S . 586—588; 40, 1909, S . 494—502. Vgl. auch H . B O D E N S T E D T 34, 1903, S . 32 bis 35; 35, 1904, S. 299—305; 37, 1906, S. 89—103. — 8 7 9 Vgl. auch über die 8*

116

Besonderer

Teil.

Den exakten Konstruktionen, die bei der wirklichen Durchführung doch immer eine gewisse Ungenauigkeit besitzen, stehen die N ä h e r u n g s k o n s t r u k t i o n e n gegenüber, die von vornherein darauf verzichten, den gesuchten Punkt selbst zu finden und sich mit einem möglichst eng benachbarten begnügen. Infolge ihrer geringeren Anzahl von Zeichenoperationen sind sie oft sogar den exakten überlegen. Näherungskonstruktionen sind bei Beschränkung auf Zirkel und Lineal unvermeidbar, wenn es sich um höhere als quadratische Aufgaben handelt, wie bei der Würfelverdoppelung, der Winkeldreiteilung, der Kreisteilung (ζ. Β. η = 7, 9, 11, 13, 19 usw.) und der Kektifikation des Kreises. Einige wichtigere Konstruktionen dieser Art sind bei den einzelnen Aufgaben angeführt. 880 Von den Kunstwörtern sind L i n e a l und Z i r k e l schon sehr alt. Beide sind im ältesten geometrischen Druck, der ©eometrta öeutfcfy (um 1 4 8 3 ) 2 3 7 nachzuweisen. Bei C H E . YON W O L F F findet sich 1716 P a r a l l e l l i n e a l . 8 8 1 Das Fremdwort K o n s t r u i e r e n tritt mit dem achtzehnten Jahrhundert in die deutsche Sprache. L. CHE. 882 S T U E M ( 1 7 0 7 ) hat construction, C H E . YON W O L F F ( 1 7 1 0 ) con883 1320 struieren, D Ü E E E ( 1 5 2 5 ) sagte reifen oder aufreifen, H O L T Z M A N N 884 (1562) befcfyreiben. Heute sagt man wieder häufiger ,zeichnen' statt konstruieren. V e r l ä n g e r u n g soll eine Wortbildung J. H. 885 L A M B E E T S sein, aber höchstens in dieser Substantivform: als Verbum v e r l ä n g e r n kennt es nach A D E L U N G ( 1 7 8 0 ) 2 3 2 schon LUTHEE.

886

4. Das Viereck.

Allgemeine Vielecke.

In der ägyptischen Mathematik, so weit sie uns die recht knappe Überlieferung bietet, kommen bei Flächenberechnung Quadrate und Rechtecke vor, ferner gleichschenklige und rechtwinklige Paralleltrapeze. 887 Finden wir hier nur Anfänge einer Algebraisierung bei Aufgaben, die zwischen solchen Figuren Beziehungen aufstellen, so weist die babylonische Mathematik schon in ältester Zeit außerordentliche Fortschritte auf, wie wir sie in der Gleichungslehre (Bd. III, S. 23 f.) sehen. Hierzu gehören auch Aufgaben, in denen Genauigkeit geometrischer Konstruktionen. — E. HAENTZSCHEL, Arch. Math. Phys. 10 8 , 1906, Anhang S. 54. — 8 8 0 Vgl. die neuere Literatur bei M. ZACHARIAS, Encykl. d. math. Wiss. III, Α Β 9, Leipzig 1921, S. 1 1 1 3 — 1 1 1 8 . — 8 8 1 Math. Lexikon164 — 8 8 2 Kurtxer Begriff1™, I, S. 168. — 8 8 3 Anfangsgründe124 I, 885 S. 185. - SM Die 5i&is < Ε Φ 23iid?er EUCLIDIS162, S. 63. — W. BÜSCH318, 11944 888 S. 33. Es findet sich 1765: Beyträge I S. 31, Ζ. 1 v. u. — 5. Mose 17, 3 21 und 32, 47. — 8 8 ? 0 . NEUGEBAUER, Die Geometrie , S. 4 1 7 — 4 2 0 .

Das

Viereck.

Allgemeine

Vielecke.

117

rechtwinkliche Dreiecke durch mehrere Parallele zu einer Kathete in Trapeze zerschnitten werden.888 EUKLID (Elemente, 3 3 0 — 3 2 0

v. Chr., Alexandria) teilte die Viel-

ecke nach den Seiten ein in τρίπλενρα, τετράπλευρα, πολύπλευρα (I, Def. 19), Wortbildungen, die ihm vielleicht eigentümlich sind, da sie bei PLATON und ARISTOTELES noch nicht gefunden werden.889 Wohl aber wird πολύγωνον (Polygon) schon von ARISTOTELES benutzt. 890 Die Vierecke werden bei EUKLID (I, Def. 3 0 — 3 4 ) nach den Seiten und Winkeln untergeteilt: 1. Quadrat (τετράγωνον), 2. Rechteck έτερόμηκες oder ορθογώνιου [rectangulum oblongum, altera 890A parte longior, tetragonus longus), 3 . Rhombus (ρόμβος) und 4 . Rhomboid (ρομβοειδές), denen er als fünfte Klasse die allgemeinen Vierecke, bei ihm τραπέζια (mensulae) genannt, hinzufügt. Für die ersten vier Gruppen hat er in späteren Sätzen (zuerst I, 34) das gemeinsame Wort παραλληλόγραμμον, das ihm von PROKLOS als neue Wortbildung sogar zugeschrieben wird.891 Das Wort ρόμβος ist älter: es hängt mit ρέμβεσ&αι ^drehen' zusammen und bedeutete alles, was sich dreht, so Spindel, Kreisel. Die vollbewickelte Spindel892 brachte 893 ARCHIMEDES ZU seiner Definition des Doppelkegels , ρόμβος στερεός, dessen Längsschnitt dann unsere planimetrische Figur ist. PROKLOS 8 9 4 läßt den Rhombus durch Rotation eines Quadrates um eine Diagonale entstehen, wobei dann 895 das Quadrat längs dieser Diagonale zusammengedrückt wird, — stark gekünstelt, wie so vieles bei PROKLOS.

Der Einteilung E U K L I D S folgt ARCHIMEDES, der insbesondere auch die τραπέζια896 noch nicht unterteilt, allerdings es auch immer Babylon. Math.111137, Quell, u. Studien. Β . 1 , S. 6 7 , 7 8 . — 890 8 8 9 H E I B E R G 2 * , Math, χu ARISTOTELES, S. 15. — De sensu 4; Akademie16 b 11400 ausgabe , Sp. 442 , 20. — 8 9 0 « ANARITIUS S. 23, Z . 31. — 891 P R O C L U S 7 , S. 392, Z. 20— 23: "Έοιχεν xai αύτο το ονομα των παραλληλογράμμων ο στοιχειωτής σνν&εΐναι την άφορμην λαβών άπό τον προειρημένου -θεωρήματος . . . (Es scheint, als ob der Verfasser der Elemente die Veranlassung zu der Bildung des Namens „Parallelogramm" von dem oben angeführten Satz genommen habe). Für die Vermutung des PROKLOS spricht auch, daß das Wort Parallelogramm bei EUKLID noch kein fester, anerkannter Kunstausdruck ist; wenigstens wird es in keiner Definition erwähnt oder erklärt, sondern tritt im 34. Satz des ersten Buches unvermittelt zum erstenmal auf (vgl. E U C L . I 2 2 , S. 80, Z . 24). — 8 9 2 Brieflich von V. KOMMERELL. — 8 9 3 ARCHIMEDES, Opera, ed. HEIBERG I 1 1 4 7 8 S. 6 , Def. 6 . — Vgl. auch J. Η . T . MÜLLER, Beiträge xur Terminologie der griechischen Mathematik, Leipzig 1860, S. 20. — 8 9 4 P R O C L . 7, S. 171, Z . 1 — 4 . — 8 9 5 Daselbst 11478 Z . 21—25. — 8 9 6 ARCHIMEDES, Opera I , S. 278, Z . 9, 10 u. ö. — Nach A N A 11400 RITIUS , S. 24, Z . 30 hat EUKLID in seiner Schrift über die Teilungen unter τραπέζια immer die gleichschenkligen Paralleltrapeze verstanden. 8 8 8 O . NEUGEBAUER,

118

Besonderer Teil.

nur mit Paralleltrapezen zu tun hat; ähnlich auch PAPPUS. P O S I DONIOS hat nach dem Bericht des PROKLOS 897 die Vierecke von vornherein in Parallelogramme und Nichtparallelogramme unterschieden; dann wurden die Parallelogramme nach der Gleichseitigkeit und Rechtwinkligkeit untergeteilt. Nichtparallelogramme mit einem Paar parallelen Seiten heißen τραπέζια, ohne parallele Seiten τραπεζοειδή. PBOKLOS und die heronischen Definitionen schließen sich dieser Einteilung an. Bei ANABITIUS heißen die Parallelogramme: superficies aequidistcmtes; 898 ähnlich wie PBOKLOS macht sich ANABITIUS den Rhombus klar: 899 rhombus, que est sicut quadratum a duabus partibus compressum (Rhombus, wie ein an zwei Ecken zusammengedrücktes Quadrat). E U K L I D S Wort für Quadrat, τετρώγωνον (wörtlich: Viereck), hatte seine geometrische Bedeutung schon bei den Pythagoreern mit der arithmetischen als zweite Potenz geteilt (vgl. Bd. II, S. 133). Bei ARISTOTELES 900 scheint es nur selten Viereck zu bedeuten. Für Rechteck benutzt E U K L I D einmal — nur in der Definition — έτερόμηκες (sc. τετράγωνον), sonst ständig όρ&ογώνιον, während ARISTOTELES έτερόμηκες wiederholt gebraucht. Auch in όρ&ογώνιον scheint danach vielleicht ein neues Euklidisches Kunstwort vorzuliegen, mit dem E U K L I D allerdings weniger Glück gehabt hat, da ihm nur APOLLONIOS folgt, H E R O N und PAPPOS aber das alte Wort έτερόμηκες wieder aufnehmen. Q u a d r a t u m ist ein echt lateinisches Wort (quadrum = Ebenmaß; quadrare = in volles Ebenmaß bringen). Bei V I T R U V 9 5 8 901 ( 1 5 v. Chr.), den Feldmessern und bei B O E T I U S 9 0 2 ( 4 8 0 — 5 2 4 n. Chr.) hat es bereits mathematische Fachbedeutung. R e c t a n g u l u s (nicht vor BOETIUS, bei dem sich zuerst die Form rectiangulus findet) heißt anfangs nur rechtwinklig; reetangulum = Rechteck bildet sich erst im Mittelalter. Für Rechteck haben MABTIANUS CAPELLA (um 4 7 0 n. Chr.),903 904 CASSIODOBUS ( 4 7 5 — 5 7 0 n. Chr.), P S E U D O - B O E T I U S 1 73, PLATO 905 906 von Tivoli (um 1 1 4 5 n. Chr.), LEONARDO von Pisa ( 1 2 2 0 ) und 13 ff. — 8 9 8 A N A R I T I U S 1 1 4 0 0 , S . 70, Z . 9 . — 8 9 9 Daselbst S . 2 4 , Z . 16. — P B O K L O S sagt noch vom Rhombus τετράγωνον σαλεν&έν ( = ein erschüttertes Quadrat) und vom Rhomboid κεχινημένον ετερόμηχες (ein verschobenes Rechteck). P B O C L . 7 , S . 171, Z . 17 und Z . 1 8 . — 9 0 0 A R I S T O T E L E S , Werke, Akademieausg. 1 Sp. 1 0 5 4 B , 2 , nach H E I B E R G , Math, xu A R I S T O T E L E S * 4 , S . 15. 901 Rom. Feldmesser1462 I, sehr häufig quadratus ager, selten tetragonus ager. Schon H O R A Z , Ep. I , 1 , 1 0 0 , stellt rotundus und quadratus gegenüber. — Iß40 173 9 0 2 Ed. FRIEDLEIN , S. 1 1 2 , 1 9 ff. — 9 0 3 Denuptiis , VII, S. 7 5 5 , — 9 0 4 £d. 1719 I485 MIGNE , S. 1215, Ζ. 1. — 905 cmbadorum , S. 7 4. — 9 °6 Practica 1694 geom. , S. 56 f. 897

PKOCL.7,

S.

170,

Z.

Das Viereck.

Allgemeine Vielecke.

119

viele Euklidübersetzungen 907 parte altera longior; GERHARD von Cremona (zwölftes Jahrhundert), 908 ATELHART von Bath (um 1120), 9 0 9 ΠΙ8Δ CAMPANÜS in der ersten Euklidausgabe (um 1 2 7 0 ) und TARTAGLIA 159 (15 6 0 ) benutzen tetragonus longus. In J. H . ALSTEDS Enzyklopädie von 1620, dem ersten Druckwerk dieser Art, 9 1 0 wird oblong, wie heute noch in England, gebraucht; in M. MERSENNES ( 1 5 8 8 — 1 6 4 8 ) De la verite des sciences heißt es rectangle, das in Frankreich üblich bleibt. 911 Einen erheblicheren Unterschied zeigt die Bedeutung des Wortes T r a p e z bei E U K L I D und POSIDONIUS (vgl. oben S. 118), nach dem die späteren Mathematiker sich zumeist richten. Die Verallgemeinerung des Wortes Trapez auf alle Nichtparallelogramme scheint E U K L I D S Eigentum zu sein: das läßt sich wenigstens annehmen, wenn man die bestimmte Fassung in der Definition eines Quadrats, Rechtecks, Rhombus und Rhomboids: „Unter den vierseitigen Figuren h e i ß t diejenige ein Quadrat, welche gleichseitig und rechtwinklig ist, etc." mit der Erklärung der Trapeze: „Alle übrigen vielseitigen Figuren s o l l e n Trapeze heißen" vergleicht. 912 Wahrscheinlich herrschte vor E U K L I D S Zeiten große Verwirrung in dieser Bezeichnung. Anscheinend entspricht τραπέζια einem ägyptischen Fachwort für Paralleltrapez oder trapezähnliches Viereck, eine Vierecksform, die der allgemein üblichen Näherungsformel α+c _ Lt

in der ägyptischen Meßkunde für den Flächeninhalt L·!

zugrunde lag. Der griechische Geist will diese unklare Gruppe nicht, und so kommt E U K L I D auf den Ausweg, τραπέζια für alle unregelmäßigen Vierecke zu gebrauchen, POSIDONIUS aber zu der Unterscheidung zwischen τραπέζια (Paralleltrapez) und τραπεζοειδή (unregelmäßiges Viereck), den wir heute auch angenommen haben. Vollständig streng führen die heronischen Schriften, Definitionen und Geometrie, diese Trennung nicht durch. Bald wird τραπέζια als Paralleltrapez 9 1 3 definiert und folgerecht τραπεζοειδή als all907

ζ . B. Zamberti

(1505) 11188 , Commandino (1572)"' 9 6 .

—

908 A n a r i t i ü s

11400

,

S. 23. — 909 H. Weissenborn, Die Übersetzung des Euklid aus dem Arabischen in das Lateinische durch Atelhakd von Bath, Abh. Gesch. Math 3, Leipzig 1880, S. 148, Z. 2—3. — 910 J. H. A l s t e d , Encyclopaedia, Libris 27 compleetens . . ., Herboreae Nassuviorum 1620, lib. IX, Sp. 858, Z· 9 v. u. — 911 Nach M. Chasles, Apercu historique deutsch von L. A, Sohncke111 7SÖ, Halle 1839, Note XII, S. 468, Anm. 94. — 912 φζ,ρ fä τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν έστιν, δ ίσύπλενρόν τέ έστι xai ο od-αγώνων . . . τά δέ παρα ταΰτα τετράπλευρα τραπέζια χαλείσδω; ed. H e i b e r g , ed. H e i b e r q 1 5 1 3 , 4, S. 44.

1 2 a , S. 6, Ζ. 15 ff. —

913 j ) e f . Nr. 60,

Hekon,

120

Besonderer Teil.

gemeines Viereck, 914 zuweilen aber ist τραπέζια allgemeines Viereck, 918 hinwiederum mit dem Zusatz όρϋ-ογώνιον,916 Ισοσκελές,911 918 άμβλνγώνιον ein Paralleltrapez, dann an anderer Stelle τραπέζιον όξνγώνιον,919 τρ. ανισον920 ein allgemeines Viereck. Die meisten mittelalterlichen Mathematiker von BOETIUS ab schließen sich dem Vorbild EUKLIDS an, so daß Trapez bei ihnen gleichwertig mit unregelmäßigem Viereck ist. 921 Selten, 922 häufiger erst im achtzehnten Jahrhundert, nahm man die Einteilung des POSIDONIOS von neuem auf. Während v. W O L F F ( 1 7 1 7 ) 1 4 9 4 , KÄSTNER ( 1 7 6 4 ) 1 3 9 6 , KLÜGEL ( 1 7 9 8 ) 1 1 1 3 3 9 BUGGE-TOBIESEN ( 1 8 0 0 ) 1 1 0 2 9 das Euklidische Trapezium allein kennen, hat Trapez bei J . JUNGE ( 1 6 2 7 ) 4 9 6 . MAROLOYS-GIRARD (16 2 9 ) 5 0 4 , NAUDÜ ( 1 7 0 6 ) 3 1 5 , L . CH. STURM ( 1 7 0 7 ) 1 4 1 3 , KARSTEN ( 1 7 6 7 ) 1 3 1 3 , MEINERT ( 1 7 9 0 ) 2 4 1 , LEGENDRE ( 1 7 9 4 ) 5 3 8 , THIBAUT (1801)11123

die neue Bedeutung. Eine Mittelstellung nimmt v. SWINDEN ( 1 8 1 6 ) ein, der zwischen Trapez (dem Heronischen Trapezoid) und dem P a r a l l e l t r a p e z unterscheidet. Das letztere Wort, das noch gelegentlich in der heutigen Mathematik gebraucht wird, ist der Überrest des alten Zwiespaltes. — 111219

Die jetzt üblichen Fachwörter treten in die deutsche Sprache sehr ungleichmäßig ein. V i e l e c k : W. SCHMID(1539) 923 t>on 6en anbeten otlecfeten,S. JACOB (156 5) 924 Seiten eines DÜecfs. CHRISTIAN YON W O L F F sagt in seinem Mathematischen Lexicon von 1716 164 , Sp. 613: d a s Viel-ecke; S. 979: e i n e Achtecke; S. 1015 = e i n e Vier-Ecke. P o l y g o n : Geometria Culmensis (um 1400). . . fyeyfen poltgonie,925 926 MAROLOYS-GIRARD ( 1 5 2 9 ) bas poltgon. 914 Daaelbst Def. Nr. 62. — 9 ' 5 H E R O N , Geometrica, ed. HEIBERG 1543 , 4, S. 330. 1 643 — 9 1 6 H E R O N , Geometrica, cap. 1 6 , 1 — 1 5 ; Opera 4 , ed. HEIBERG , S. 3 0 0 — 3 0 8 . 9,7 1643 9 8 — Daselbst cap. 16, 17—29; Opera 4 , S. 308—318. — > Tg. άμβλνγώνιον kommt nur zweimal vor, 1. in der unklaren Aufzählung der Vierecksarten, Geom. cap. 1, 23; Operalbi3, 4, S. 180, Z. 21, 2. in einem Beispiel, cap. 16, 33, S. 320, das sicher ein Paralleltrapez ist, da es durch vier Stücke, die Seiten 16, 10, 7, 17 bestimmt wird. — 9 1 9 Auch τρ. όξνγώνιον erscheint nur zweimal, 1. vgl. Anm. 918, Nr. 1; 2. in einer Figur, Geom. cap. 16, 31; Opera 1643 , 4, S. 318f., bei der alle vier Seiten 5, 6, 12, 13 und die kleinere Diagonale 5 gegeben ist, die demnach ein unregelmäßiges Viereck sein muß. Es ist nicht einzusehen, warum H E R O N dieses Viereck τρ. όξνγώνιον, das in Anm. 918 άμβλνγώνιον nennt. — 9 2 9 Daselbst, Geom. cap. 16, 3 4 f , S. 322 f. — 9 2 ' Die Enzyklopädie von GEORG VALLA, De rebus expetendis et fugiendis, Romae 1 5 0 1 , gibt lib. X , cap. 5 2 beide Einteilungen. — 9 2 2 Euklidausgabe von COMMANDINUS 1 1 1 8 6 , 1 5 7 2 , Bl. 5 v°. — (geometria11195, S. 18, Ζ. 1. - 92 * RechenbuchIU86, S. 294. — 925 S. 5613'9. 604 92 6 S. 64 .

Das

Viereck.

Allgemeine

Vielecke.

121

V i e r e c k : Geom. Culm, (um 1400) EYRT mrecfidjt geuil&e,927 SCHMID (15B9) merortfj, merecf.928 Die (geometria öeutfd?929 (um 1483), DÜRER (1525) und viele andere sagen fterung; 930 so noch 1700 MALC0NETUS. 9 3 1

P a r a l l e l o g r a m m : PETRUS APIANUS ( 1 5 2 7 ) , öas felbtg parallele* gramum. 9 3 2 Q u a d r a t : Geometria Culm, (um 1400) ein quafcrat aöir ein mer= e002 P R O C L U S 7 , S. 383, Z. 2—3.

128

Besonderer

Teil.

selten, da ihnen EUKLIDS Vorbild fehlt; sie finden sich bei HOLTZ1003 MANN ( 1 5 6 2 , beide Innenwinkelbeweise), H . HOFFMANN ( 1 6 5 3 ) , 1 0 0 4 1 0 0 8 RAMUS (15 6 9 ) , 1 0 0 5 BOBELLI (1658), in Form einer Formel Χ . 1 8 0 ° - 3 6 0 ° oder (x - 2 ) · 1 8 0 ° bei G. F. HILDEBBANDT ( 1 7 8 5 ) , 1 0 0 7 GILBEST ( 1 7 9 8 ) N 7 3 9 und von nun ab öfter. Siehe auch den THIBAUTschen Beweis S. 89. Einen Ausdruck für die A n z a h l der D i a g o n a l e n e i n e s W-Ecks stellte A. J . LEXELL ( 1 7 4 0 — 1 7 8 4 ; Upsala, Petersburg) in den Petersburger Akademieberichten von 1774 auf. 1008 Eine Erweiterung erfuhr die Viereckslehre in der sog. neueren Geometrie. Hier führte L. Ν. M. CABNOT (1753—1823) den Ausdruck quadrilatere

complet ein (1803), 1009 der im deutschen mit ,vollständiges

Viereck* wiedergegeben wurde. J . STEINEB ( 1 8 3 2 ) unterschied streng zwischen ,vollständigem Vierseit' und ,vollständigem Viereck'.1010 V i e r e c k e mit e i n s p r i n g e n d e m W i n k e l werden schon im Altertum erwähnt; der für sie vorhandene Ausdruck κοιλογώνιον (hohlwinklig) stammt nach PBOKLOS von ZENODOBOS (um 1 8 0 v. Chr.), der ihn in seiner Abhandlung über isoperimetrische Figuren benutzt habe. 1011 Die älteste Bezeichnung τρίγωνον ώχιδοειδές (spitzbartähnliches Dreieck) bekämpft PBOKLOS1012; es handele sich nicht um ein Dreieck, sondern um ein Vierseit. Eine ähnliche Figur bezeichnet LEONABDO von Pisa in der Practica geometriae ( 1 2 2 0 ) mit dem Namen ,Figura barbata'.1013 Die Bezeichnung ,einspringende Winkel· kommt erst seit SWINDEN ( 1 8 3 4 ) zu größerer Verbreitung1014; vorher hieß es ,einwärts gehende Winkel· ( 1 8 0 0 , GBÜSON 1015 ). Die dritte mögliche Form von Vierecken sind die sogenannten ü b e r s c h l a g e n e n Vierecke. Die Einteilung der allgemeinen Vierecke in diese drei Formen und damit die erste Erwähnung der überschlagenen Vierecke (quadrangle croise) findet sich (1608) bei dem holländischen Mathematiker STEVIN (1548 Brügge — 1620 Leiden; Kaufmann, später Ingenieur im Staatsdienst).1016 ALBERT GIBABD 1003 Euklidübersetzung 162 , S. 20. — '004 fceutfd^r (guclibes248, V, § 2, S. 69. — 2,S 1 0 0 6 Qeometria V I , 4 (1569) » S , S . 46—47. — 1 0 0 6 E Ü C U D E S restitutus , S . 44. m — 1007 Handbuch ", I, § 352. — 1008 Novi Comm. Ac. Petrop. 19, 1774 (1775); De resolutione polygonorum rectilineorum, § 27, S. 231—233. — 1 0 0 9 Geometrie de position435, cap. 103, S. 120, Z. 20/21. — 101° System. Entwicklung 338; Werke I , S. 288. — 1 0 " P R O C L U S 7 , S. 165, Z. 24. Commentaire de THISON d'Älexandrie, ed. H A L M A 1 2 8 1 , I , S. 43, letzte Zeile. — 1012 PKOCL. 7 S. 165, Z . 22 ff; S. 328, Z. 11 bis S. 329, Z. 7. — «N» Scritti I I 1 6 9 4 , S. 83, Z. 12 v. u. — 1111 9 1 0 , 4 SWINDEN 111219 , § 99, S . 57; aber schon in ROSENTHALS Encyclopädie * , IV, 17S 0 6 1896, S . 96. — 1015 Qrundriß , Bd. I I , Halle 1800. — > ' STEVIN, Hypomnemata mathematical Lugd. Batav. 1605—1608, nach A. VON BRAUNMÜHL, Vor-

Das

Viereck.

Allgemeine

Vielecke.

129

(gest. 1632; Niederlande), der eine französische Ausgabe der Werke STEVINS vorbereitete (erst 1 6 3 4 erschienen), übernahm die STEVINsche Einteilung und erweiterte sie in der Einleitung zu seinen trigonometrischen Tafeln (1626)1017 auch auf Fünf- und Sechsecke. Seine Einteilung der Vierecke beruht auf dem Yerhalten der Diagonalen, je nachdem sie beide in das Viereck hineinfallen oder nur eine innerhalb, die andere außerhalb oder beide außerhalb verlaufen. Erst in neuerer Zeit hat man die Aufzählung der einzelnen Gruppen bei allgemeinen Vielecken durchzuführen versucht. Der auch um die Geschichtsforschung in der Mathematik verdiente Schweizer Astronom K. WOLF1018 fand 1847 induktiv die Anzahl aller möglichen 2 «-Ecke in dem Ausdruck (ra2 — 1) und die aller möglichen (2 η + 1)-Ecke in (w2 + η — 1), wenn als Einteilungsgrund das Schneiden der Seiten gewählt wird. Einen Beweis für diese Formeln suchte 1 8 7 5 K R U S E zu geben, jedoch nicht mit vollem Erfolg. 1018a Die Gruppen aller möglichen Fünfecke würden ζ. B. auf folgende Figuren führen (n = 2, also Anzahl = 5), wobei 2 a , 2B, 3A, 4A nur als Abarten zu betrachten sind:

Enthalten sind unter diesen Gruppen natürlich auch die sog. S t e r n v i e l e c k e (ζ. B. Nr. 2b), die zu allen Zeiten, von der Pythagoreischen Schule an, die Aufmerksamkeit auf sich lenkten. 1019 lesungen, l n 1212, S. 228. Les ceuvres mathematiques de STEVIN123, II, S. 21. Die F i g u r des überschlagenen Vierecks findet sich bereits 1503 in der Introductio geometriae C H . DE BOUVELLES, Auszug von F A B E R Stapulensis10M, Fol. 61 r°, Fig. 18. — 1017 Tabulae Sinvvm, Tangentivm, db Seecmtivm ad radivm 100 OOO19". Holländische Ausgabe, s'Gravenhage 1629. Französische Ausgabe schon 1626. — 1018 R , W O L F , Die Lehre von den geradlinigen Gebilden, Bern 1841; 2. Aufl., Bern 1847, S . 13. Vgl. auch Handbuch Bd. I, 1890111250, S . 148f. — 1018a F. K R U S E , Elemente der Geometrie, Berlin 1875 (nach R . WOLF1018). — 1 0 , 9 Vgl. S . GÜNTHER, ho sviluppo storieo della teoria dei poligoni stellati nelf antichita e nel medio TROPFKB, Geschichte.

IV.

3. Aufl.

9

Besonderer

130

Das

regelmäßige

bekannt.

In

Sternfünfeck

Teil. war

bereits

seiner Euklidübersetzung 3 8 6

PANUS von N o v a r r a

den

Pythagoreern

schließt JOHANNES CAM-

(um 1270 n. Chr.; R o m , Paris) bei dem Satze

von der W i n k e l s u m m e im Dreieck die Betrachtung des Sternfünfecks an und

berechnet

seine

Winkelsumme

ebenfalls

zu

2 R.

Weiter

geht THOMAS BRADWARDINUS {um 1 2 9 0 — 1 3 4 9 ; Oxford, London), der Sternvielecke

mit

höherer

Eckenanzahl

betrachtet,

unter

gleicher

Eckenzahl mehrere Ordnungen unterscheidet und auch ihre W i n k e l summe berechnet. 1 0 2 0 hunderts

stammt

Sternfünfecks

eine

A u s der ersten H ä l f t e des fünfzehnten Jahranonyme

berechnet. 1 0 2 1

Abhandlung,

die

den

Inhalt

des

REGIOMONTANUS (1436 — 1476) hatte in

seiner A b s c h r i f t der Euklidübersetzung des CAMPANTJS den V e r m e r k über das Sternfünfeck auf alle Sternvielecke in

einer

Anmerkung

erweitert und auch Berechnungen angestellt, gewiß unabhängig von BRADWARDINUS, da die benutzten Fachwörter sich beiderseits unterscheiden. 1 0 2 2 auf

Ähnliche

nichtregelmäßige

scheint, 1 0 2 3

Betrachtungen, Figuren,

worauf

vielleicht eine

mit

Figur

Erweiterung hinzudeuten

stellte CH. DE BOUVELLES (1470—1553, N o y o n )

A u c h von KEPLER ( 1 5 7 1 — 1 6 3 0 ) wurden

gelegentlich

an. 1 0 2 4

Sternvielecke

betrachtet. 1 0 2 5 evo. Bull. Bibl. stor. sc. mat. e fis. [Boncompagni] 6, 1873, S. 313—340; ferner Verm. Untersuchungen xur Geschichte der math. Wissenschaften, Leipzig 1876: Die geschichtliche Entwicklung der Lehre von den Sternpolygonen und Sternpolyedern in der Neuzeit, Kapitel I, S. 1—92. — 1 0 2 0 Qeometria speculativa thome brauardini recolligens omnes conclusiones geometricas studentibus artium et philosophiae aristotelis talde necessarias simul cum quodarn tractatu de quadratura circuli nouiter ediio. Bl. A i j : Breve compendium artis geometriae ex libris euclitis boecii et campani peroptime compilatum et divisum in quatuor tractatus. Am Schluß steht: . . . . bene revisa a petro sanchex ciruelo .... impressa parisiis in campo gaillardi Anno dei 1495 die 10 maij. — Bl. A i j r°, ganz unten: Figura egredientium circulorum. Bl. Aiiij r° ßand: pentagonos; v° oben links heptagonus primi ordinis, darunter octogonus, Mitte octogonus secundi ordinis . . nonagonus secundi ordinis, nonagonus tertii ordinis, decagonus tertii ordinis, duodecagonus tertii ordinis. — 1 0 2 1 M. CURTZE 667, Abh. Gesch. Math. 8, 1898, S. 47. — 1022 M. CÜBTZE11178, Ztrlbl. f. Bibliothekswesen 16, 1899, S. 263. — 1023 CANTOR 24, S. 380. — 1 0 2 4 Geometriae introductionis libri sex, herausgegeben von JACOBUS F A B E R STAPULENSIS, Paris 1503101e, Sammelband Fol. 49 bis 84. Sternsechseck Fol. 66 v°; Sternfünfeck Fol. 71 r°, Fig. 1. In der französischen Ausgabe: CHARLES DE BOUVELLES, Geometrie practique, Paris 1551, S. 22 v° Nr. 42 Sternfünfeck (pentagon saillant ou egredient); S. 25, S. r°; Sternsiebeneck S. 27 r° und v°, Nr. 62 (heptagon saillant ou egredient) und eine zweite Art S. 27 y° Nr. 63 (plus egredient que le premier). In der Epitome872 von 1507, Bl. F, wird allgemein definiert: Egrediens vero (sc. figura) quae mutuo secantibus sese lateribus clauditur (eine ausspringende Figur, die von gegenseitig sich schneidenden Seiten eingeschlossen wird). — 1025 1619, Earmonices

Der Kreis.

131

Eine gründliche Bearbeitung der allgemeinen Vieleckslehre verdankt man A. L. F. MEISTER ( 1 7 2 4 — 1 7 8 8 , Göttingen); 1026 er stellt den allgemeinen Begriff des Vielecks auf, unterscheidet die Ufer der Umfangseiten beim Durchlaufen mit Schraffierung und kennt dadurch positive und negative Flächenteile. Selbständig stellt A. F. MOEBIÜS ( 1 7 9 0 — 1 8 6 8 , Leipzig) 1027 noch einmal den Begriff des Vielecks und seiner Fläche auf, von ihm rührt die Festsetzung des Vorzeichens 1028 des Flächeninhalts je nach der Bichtung des Umlaufs her. L. POINSOT ( 1 8 1 0 ) betrachtete hauptsächlich die regelmäßigen Vielecke. 1029 Von neueren Arbeiten 1030 sind zu nennen die v o n CHR. WIENER ( 1 8 6 4 ) 1 0 3 0 A u n d M.BRÜCKNER ( 1 9 0 0 ) . 1 0 3 1 .

5. Der Kreis.

Der Kreis (κύκλος, circulus, orbis) gehört zu den ältesten geometrischen Figuren. Er wird auch in der ägyptischen 1032 und babylonischen 1033 Mathematik behandelt. Seine Herstellung durch ein gespannt zu haltendes Seil, dessen eines Ende an einem festen Stabe befestigt ist, lehren die Wörter κέντρον (centrum·, eigentlich = Stab) für den Mittelpunkt und περιφέρεια (von itεριφέρειν = herumtragen) für den Umfang. ist ein sehr altes Fachwort; HIPPOKRATES (um 440 v. Chr.), aus dessen Schriften über die Möndchen uns einige Bruchstücke als älteste Literatur griechischer Mathematik erhalten sind, benutzt es als ganz festen Terminus. 1034 Es wird im Lateinischen als centrum schnell heimisch. 1035 Circulus ist ein altlateinisches Wort. Lrvius spricht vom äußeren Bing der Mauer (circulus muri exterior);1036 1031 CICERO übersetzt damit das griechische κύκλος. Rein matheΚέντρον

mundiu8ei Opera ed. FRISCH1264, V, S. 104. — 1 0 2 6 Novi Commentarii Got. I, 1769—70: Oeiieralia de genesi figurarum planarum et independentibus earum affeetionibus. — «27 Ges. Werke43*, II, S. 475ff. — » 02 8 Daselbst I, 39ff., 200, Anm. zu. § 165. — 1 0 2 9 Memoire sur les polygones et les polyedres, J. d. l'ecole polyt. cah. 10, Τ. IV, Paris 1810, S. 16—46. — 1° 3 ° Auch GAUSS hat sich mit dem Inhalt derjenigen Vielecke beschäftigt, deren Umfange sich schneiden. V g l . P . STÄCKEL, GAUSS als

GeometerΙΙΒ89,

S. 6 4 — 6 5 . —

GAUSS, W e r k e 8,

Funda-

mente der Geometrie, Göttingen 1900, S. 399 (Brief an OLBERS, 30. X. 1825). — 1030a CHR. WIENER, Über Vielecke und Vielflache, Leipzig 1 8 6 4 . — 1 0 3 1 M . BRÜCKNER, Vielecke und Vielflache; Theorie und Geschichte, Leipzig 1900. — 1032 0 . NEUGEBAUER, Geometrie ägypt. Texte3, S. 421—423. — 1 0 3 3 0 . NEUGEBAUER, Geometrie des Kreises in Babylon480. — 1 0 3 4 KUDIO, Urkunden10, S. 58, Z. 5 u. ö. — 1 0 3 5 PLINIUS II, 13 (15), ed. MAYHOFF I, S. 147, Z. 2: Terra centrum caeli est. — 1°36 36, 9, § 12. — Η>3? De nat. deorum, II, cap. 18, § 47.

Besonderer

132

Teil.

matisch finden wir es bei BALBÜS (um 1 0 0 n. Chr. 1038 und MABTIANUS 1039 CAPELLA (um 4 7 0 n. Chr.). Περιφέρεια bezeichnet ursprünglich nur ein Bogenstück, wird aber früh auch von dem Umfang an sich gebraucht; 1040 später trat für den Vollkreis περίμετρος ein. 1041 Der Durchmesser heißt διάμεζ-ρος;1042 der Halbkreis ήμικύκλιον104*9 (semicirculus1044). Im Lateinischen wird gebraucht: circumferentia (MABTIANUS CAPELLA, 4 7 0 n. Chr.) 1 0 4 5 cireum ferens, lineae cireumferentes (Rom. Feldmesser), 1 0 4 6 GERBERT, um 9 8 0 — 9 8 2 , 1 0 4 7 linea circumducta (BOETIUS, 4 8 0 — 5 2 4 , 1 0 4 8 CASSIODORUS ( 4 7 5 — 5 7 0 ) , circuitio (Codex Arcerianus, sechstes Jahrhundert), 1049 linea circumdans (GERHARD von CremoDa, f 1 1 8 7 ) . 1 0 5 0

C e n t r u m wird bei punctum

MARTIANUS

CAPELLA 10bl

circuli oder circuli media nota.

umschrieben

durch

D i a m e t r u s geht glatt als

Fremdwort hinüber, so schon bei VITRUV (um 15 v. Chr.),1052 den Feldmessern und im Mittelalter; selten findet sich dimetiens (VIETA, vgl. S. 135). In deutschem Text findet sich Dyameter zuerst um 1400 in d e r Geometria

Culmensis.1053

Einen F a c h a u s d r u c k f ü r H a l b m e s s e r (Radius) kennt das Altertum überhaupt nicht; nirgends läßt sich ein Wort wie ήμιδιάμετρος nachweisen; stets wird bei einem angelegten Kreis die Umschreibung ή ίκ τον κέντρου sc. εύ&εϊα (die Gerade aus dem Mittelpunkt) genommen, 1054 die sich noch weit ins Mittelalter hinein 1038 Böm.

S. 377. — 1° 3 9 De nuptiis1640 6, 710—711. — vgl. RUDIO, UrkundenΙ37Β, S 50, 2 ; 52, 5 ; 56, 4 ; 58, 9 = Bogen;

Feldmesser™«*,

1040 HIPFOKRATES; 70, 4 = Umfang. Bei PLATON kommt περιφέρεια als Fachwort nicht vor, bei ARISTOTELES und EUKLID in beiden Bedeutungen, ζ. B. EUCL. I I I , 20, 21, ed. HEIBERG I " , S. 218, Z. 20 u. 2 1 ; S. 220, Z. 25 u. S. 222, Ζ. 1 dicht neben-

einander. Als Bogen treffen wir es bei AUTOLYKOS (viertes Jahrh. v. Chr.). De sphaera quae movetur Uber, de ortibus et occasibus libri duo*1*, S. 6, Z. 9 u. ö., aber auch noch später bei PTOLEMÄUS (zweites Jahrh. n. Chr.) und P A P P O S (Ende des dritten Jahrh n. Chr.). — 1041 So zuweilen schon ARCHIMEDES, Opera11478, 1 1*, S. 10, Z. 10, 13; S. 234, Z. 3, 16 u. ö., P A P P O S ; vgl. RUDIO, Berieht ™, S. 1 2 4 , Z. 7. —

1 0 4 2 Ζ . B . EÜCLID I " ,

def.

1 7 , e d . HEIBERG I , S . 4 . —

1043

Da-

selbst I , def. 18. — 1044 BALBÜS (um 100 n. Chr.), Rom. Feldmesser1™, I, S. 105, Z. 12. — 1046 De nuptiis1™, § 713. — 1046 Ed. BLUME etc., ItM S. 99, 101, Z. 13. — 1047 Ed. BÜBNOW172, S. 64, Ζ 15 im Sinne von Kreisbogen. — 1048 Ed. II68 F R I E D L E I N 1 7 3 , S. 375. — 1049 M. CANTOR, Agrimensoren , S. 214. — 1050 jäher 1272 trium fratrum ed. CCTRTZE, S. 146 neben circumferentia. — 1051 De nuptiis1**0, § 712. — 1052 VITRUV, I V , 1 8 ; ed. KROHN1678, Lips. 1912, S. 79, Z. 10. — 1819 1053 S. 66, 67 ; bei KEPLER 16 1 611483 ist es noch häufiger als seine Verdeutschungen Durchzug und Querlinie, GÖTZE 8e, S. 39 f. —1054 g 0 BEI HIPFOKRATES (um 440 v.Chr.), R U D I O 1 3 7 9 , Urkunden S. 58, Z. 10 u. ö. — EUKLID benutzt διάστημα nur, wenn er einen Kreis schlägt: es bedeutet bei ihm „Spitzenabstand des Zirkels". Es kommt an vielen Stellen vor, wo eben diese Operation

Der

Kreis.

133

bei getreuen Nachahmern der griechischen Elemente wiederfinden läßt. 1055 Die Griechen sahen eben den Durchmesser als wichtigste Abmessung im Kreise an und bezogen alle Sätze, sei es der Lage oder des Maßes auf ihn. In einer Handschrift des elften Jahrhunderts, die als Ars geometriae dem B O E T I U S untergeschoben wurde, erscheint zuerst das Wort semidiameter, 1056 ohne daß man in der griechischen Literatur, auf die die Bildung des Wortes hinweist, eine Bezugsquelle entdecken kann. Allein bei indischen Mathematikern ist ein Fachwort „Halbmesser" (ardha vishkamba) bekannt, 1057 das aus dem ganzen Durchmesser {vishkamba) sich ebenso abgelöst hat, wie ardha-jyä (= sinus) aus jyä ( = Sehne) abgeleitet ist. Schon die Babylonier, von denen die indische Mathematik beeinflußt war, faßten den Eadius als Hauptstrecke am Kreise auf. Dies ergibt sich unmittelbar aus dem Zusammenhang ihres Sexagesimalsystems mit der Kreisteilung (vgl. Bd. I, S. 52 ff.). Nicht dem Durchmesser? sondern dem Radius weisen sie die Grundzahl 60 zu; in seinen Sechzigsteln werden die Sehnen gemessen, wie es H I P P A E C H von vorgenommen wird. Im Vergleich dazu ist die Wendung ή ex τον κέντρου selten: sie wird nur benutzt, wenn der Kreis fertig vorliegt; selbst dann ist die Präposition nicht fest: Elem. I, def. 15, Opera l 2 2 , S. 4, Z. 11 wird άηό benutzt. 'Έχ τον χέντρον kommt in Opera 1 vor: s. S. 166, 26; 214, 12; 230, 12238, 13; 318, 2; fiir die Kugel Op. 411745, S. 324, Z. 10. Sehr lehrreich ist die Stelle in den DataII49ia, Op. 6, S. 52, Z. 22, wo ein Kreis geschlagen, also διάστημα benutzt wird, drei Zeilen weiter wird an dem soeben gezeichneten Kreis eine Aussage gemacht, sofort wechselt der Ausdruck und es heißt εχ τον χέντρον• Unser Wort radius verwischt beide Bedeutungen. — Bei ARCHIMEDES kommt διάστημα viel seltener vor als ή εχ τον χέντρον: man hat den Eindruck, daß das letzte nuDmehr ein erstarrtes Fachwort ist. In diesem Sinne findet es sich danach bei APOLLONIOS (ZW. 250 u. 2oO in Alexandria), ed. H E I B E R G 1 1 4 9 2 ® , Leipzig I, 1890, II, 1893; I, S. 122, Z. 17 u. Ö., bei PTOLEMÄÜS (zweites Jahrhundert n. Chr.), Μεγάλη σννταξις, I, ed. HEIBERG1"2, S. 33, Z. 15—16; häufig selbst noch bei T H E O N von Alexandrien (zweite Hälfte des vierten Jahrh. n. Chr.) im Kommentar zu P T O L E M Ä Ü S 1 2 8 2 . — 1 0 5 6 So in der dem BOETIUS (480—525) zugeschriebenen Euklidübersetzung39: lineae a centro duetae, ed. FRIEDLEIN173, S. 379, Z. 13; ferner in den ältesten deutschen Bearbeitungen, wie in der Oeometria Oulmensis1319 (um 1400 n. Chr.), wo S. 65 statt Eadien gesagt wird: alle Itnien, by con bem centrum gejocjen tuerbett bys att beit r»mtnefn)evff (Umschweif = Peripherie); so definiert JOHANNES W I D M A N (1489) 1200 : mittel puneft ift, con ©eichen all lini auf geftreeft ρ if an citcüfereti3 tjletd; fey (Blatt € 4*), und SIMON J A C O B sagt im Eechenbuche von 15 6 5 111240 : bet fyalbe Diameter ober bie £tni fo auf} bem centro jur circumferentj exogen rotrb. — 1 0 5 6 BOETIÜS, ed. 1057 F R I E D L E I N 1 7 3 , S. 424, Z. 3 u. 5. — L. R O D E T , Lemons de caleul D'Äryabhatta 1109 , a S . 398, VII . B. D A T T A , The Jaina School1560, 1929, S . 142 und weist Halbmesser bei UMÄSVÄTI ( 1 5 0 v. Chr.), ja sogar in den nach seiner Annahme noch älteren Apastamba-Sulba-Sütra11998 nach.

134

Besonderer Teil.

babylonischen Astronomen lernte. Daß die Araber 1 0 6 8 eine besondere Bezeichnung, die sich mit unserem „Halbmesser" deckt, besaßen, nimmt nicht wunder, da wir sie oft als gute Schüler indischer Wissenschaft kennenlernten. Aus arabischen Schriften drang sie in die abendländische Literatur ein: P L A T O von Tivoli (erste Hälfte des zwölften Jahrhunderts), der das astronomische Werk De motu stellarum des Ostarabers A L B A T T Ä N I (+ 9 2 9 ; Ar-Rakka am Euphrat) übersetzte, schrieb zwar noch medietas diametri oder dimidium diametri; 1059 auch G E R H A R D von Cremona (T 1 1 8 7 ) übersetzt im arabischen Liber trium fratrum mit medietas dyametri oder lineae, quae protractae sunt ab exlremitatibus eius ad centrum,1060 aber bei L E O N A R D O von Pisa ( 1 2 2 0 , Practica geometriae) und J O R D A N U S N E M O 1061 HARIUS (t 1 2 3 7 ? ; De triangulis) steht semidyameter, bzw. semi-

diameter, 1062 ebenso in einer anonymen Abhandlung aus dem Ende des dreizehnten Jahrhunderts, 1 0 6 3 bei P E U R B A C H 1 0 6 4 ( 1 4 2 3 — 1 4 6 1 ; Wien) und R E G I O M O N T A N U S 1 0 6 5 ( 1 4 3 6 — 1 4 7 6 ; Wien, Italien, Nürnberg), während L U C A P A C I O L I ( 1 4 9 4 , Summa) das altgriechische linee rede producte dal centro a la periferia wieder aufnimmt. 1066 MAUROLYCUS 1069 ( 1 5 5 8 ) , 1 0 6 7 T A R T A G L I A 1 0 8 8 ( 1 5 6 0 ) und P E D R O N Ü N E S ( 1 5 6 7) verwenden semidiameter. Nunmehr aber erscheint mit einemmal ein neues Wort: radiusl Das älteste Buch, in dem sich radius finden ließ, sind die Scholae mathematicae ( 1 5 6 9 ) von P E T R U S R A M U S . 1 0 7 0 R A M U S , der auf philologischem Gebiete seinerzeit als erste Autorität galt, beruft sich bei Einführung des neuen Wortes ohne genaueren Nachweis auf P L A T O N und CICERO. Yon R A M U S entlehnt das Wort schon bei MUHAMMAD IBN M U S Ä ALHWÄBAZMI (Anfang des neunten Jahrh.). Vgl. J . R U S K A 1 1 3 7 , S. 1 0 6 , Z . 1 6 — 1 7 : Hälfte des Durchmessers der Kreislinie nrsf-qutr almudawwira, bzw. häufiger bei anderen nisf-qutr addaira. — 1059 Ed. SCHÖNER1318, Nürnberg 1537, S. 6 u. 9, auch im Liber embadorum des 148S SAVASORDA , 1145 von PLATO von Tivoli übersetzt, ed. CÜRTZE, Bibl. math. l s , 1900, S. 327, Z. 10 dimidium diametri (unmittelbar davor semicirculus). — 1 0 6 0 Ed. CÜRTZE, I V 1 2 7 2 . — ' 0 6 1 Z . B . LEONARDO PISANO, Scritti I I 1 6 9 4 , S. 85, neben dimidium diametri II, S. 86, Z. 19. — 1 0 6 2 De triangulis111469, ed. CÜRTZE,

1 0 5 8 GO

III, S. 23, Z. 8/9. — 1063 E d . CÜRTZE1466, Bibl. m a t h . 1 3 , 1900, S. 355, Z. 13 v . u .

neben medietas diametri, S. 362, Z. 7, 8 u. ö. — 1 0 6 4 Super propositiones529. — 1065 £>e triangulis1567 (14 64, gedr. 1533). — 1°66 Summa118 II, Bl. 1", Z. 2 v. u. — 1 0 6 7 MAUROLYCI Sieuli sphaerieorum lib. III, Messanae 1558, I, def., S. 45b. In der Archimedesausgabe des MAUROLYCUS (Entstehungszeit des Werkes über die Schwerpunkte 1548), Panormi 1685 kommt S. 176 das Wort radius zweimal vor, öfters aber semidiameter; wahrscheinlich durch Schuld des Herausgebers I59 MAUROLYCUS + 1575). — 1 ° 6 8 General trattato , Parte III, S. 56, Z. 3 v. u. — 1176 1 0 6 9 Libro de Algebra, Anvers 1567 . — 1 ° ™ P E T R U S RAMUS163®, lib. VI, S. 155, Z. 5; Geometria, IV, 4 (1569) 553, S. 20, Z. 25.

Der Kreis.

135

radius ΤΗ. FINK in seiner Geometria rotundi ( 1 5 8 8 ) , 1 0 7 1 einem trigono-

metrischen Werke von Bedeutung, das große Verbreitung fand. In einem anderen trigonometrischen Handbuch, das PHILIPP VON LANSBERGE zum Verfasser hat (1591), ist es bereits ein so gebräuchlicher Fachausdruck geworden, daß sogar semiradius gebildet wird. 1078 Sehr interessant ist das Auftreten von radius bei VIETA ( 1 5 4 0 bis 1603; Paris, franz. Staatsbeamter). Als gut geschulter Philologe benutzt er fast ausschließlich semidiameter, nur ganz gelegentlich, und gleich wieder verbessert, entschlüpft ihm das handlichere radius.10"1'3 In dem Variorum de rebus mathematieis responsorum liber VIII ( 1 5 9 3 ) 1 0 7 4 bespricht er aber einige mathematische Fremdwörter, wie μεσόγραμμον, δύναμις usw., und dabei wird auch ein kleiner Abschnitt dem Worte radius gewidmet.

Radius elegans est verbum,

quo dimidium

dimetiens

ärculi significatur, sagt er anerkennend und bemüht sich nun, für das ihm anscheinend gefallende neue Fachwort Belege aus dem Altertum anzugeben. Einige aus OVID und VERGIL genommene Zitate passen nicht, da in ihnen radius die Bedeutung Strahl, bzw. Speiche eines Rades besitzt. Anders liegt es scheinbar mit einer von ihm angeführten Stelle aus CICERO, De universo: 1075 [Mundum) globosum fabricatus est (deus) quod σφαιροειδές Graeei vocant, cuius omnis extremitas paribus a medio radiis attingitur (Gott schuf die W e l t

in Kugelform, die die Griechen ein Sphäroid nennen, dessen gesamte Oberfläche von gleichen strahlenförmigen Geraden von der Mitte aus getroffen wird). CICEEO aber denkt gar nicht daran, hier mit radius einen mathematischen Fachausdruck zu benutzen; dazu war er selbst viel zu wenig mathematisch durchgebildet. Er will nur sein Original, das er in der betreffenden Schrift zu übersetzen sucht, den tiefphilosophischen, schwer verständlichen Dialog PLATONS Timäus, in recht leicht faßlichen, klaren Worten wiedergegeben, um ihn seinem Publikum näher zu rücken. Die betreffende Platonische Stelle 1076 διό και σφαιροειδές

hx μέσον πάνττ} προς τάς τελευτάς ϊσον

άπεχον,

κνκλοτερές αντο έτορνενσατο [darum verlieh er ihr (der Welt) die kugelige, vom Mittelpunkt aus in allen Endpunkten gleich weit abstehende, kreisförmige Gestalt] enthält ebenfalls kein mathematisches Kunstwort für unsern Begriff. Wie sollte also CICERO ZU einem Geometriae rotundi libri X I I I , Basel 1 5 8 3 , S . 5 , Z . 6. — 1072 Triangulorum geometriae libri quatuor13ii, Lugd. Bat. 1591, S. 6. — 11127 1073 Opera , S. 301, Probl. I: Positio X radio seu semidiametro circuit, Β subtensa anguli subseeandi, Ε subtensa segmenii . . . — ,074 Opera111'", 111112 S . 3 5 1 (cap. IV) . — '78 Vgl. A . G Ö T Z E 8 6 , S. 39 ff. — 1079 Boetrinae sphaer. libri F 531 , lib. V, 1593; Ausg. Amsterdam 1632, 1080 S . 92 ff. — PITISCUS, Trigonometria sive de solutione iriangulorum traetatus brevis et pempicuus, Anhang zu A B R A H A M SCÜLTETI Sphaerieorum libri tres, Heidelberg 1595. Umfassende Neubearbeitung, Augsburg 1600 (Frankf. 1608, 1612). — >°81 Qeometria11194 ( I 6 I 8 1 , S . 9, Ζ . 1. — 1°82 CHR. H U Y G E N S , De cireuli magnitudine inventa, Lugd. Bat. 1654. — 1°83 P H . DE L A H I K E , Sectiones corneae in novem libros distributae, Paris 1685. — 1 0 8 4 Lexicon mathematicum, astronomicum et geometricumiib, Paria 1668, S. 420; 2. Aufl. 1690, S. 726. — 1085 Lib. Ii*", cap. III, Art. III, Nr. 8, S. 5. — 1 0 8 6 Handbuchm", § 215. — 1087 Übersetzung von C L A I R A Ü T S Anfangsgründen, 5. Aufl., Hamburg 1790. Vorbericht des Übersetzers, auch S . 6, Z . 7 u. ö. ( C L A I R A U T , Elemens de geomitrie, Paris 1741).

Der Kreis.

187

Eine ähnliche Geschichte verknüpft sich mit dem Worte S e h n e . Das Altertum besitzt kein entsprechendes Fachwort; entweder heißt es βώσις του τμήματος (Grundlinie des Segments) oder häufiger ή έν τω κύκλω (sc. εύ&εϊα γραμμή).1088 Wieder sind es die Inder, auf die unser „Sehne" zurückgeht. ÄRYABHATA (geb. 4 7 6 n. Chr.) hat das gleichbedeutende Wort jyä1089 (oder jiva; jyd-ardha oder ardhajyä halbe Sehne = sinus), dessen wörtliche Übersetzung wir bei den Arabern 1090 und über diese bei abendländischen Gelehrten (in chorda) antreffen. BOETIUS (480 Rom — 5 2 4 Pavia) hat weder chorda noch subtensa (das dem klassischen ή ύποτείνονσα — S. 83f. — entspräche), sondern nur reetae lineae in circulo.1091 Zum erstenmal findet sich corda bei PLATO von Tivoli (Anfang des zwölften Jahrhunderts) in der Übersetzung der A LB ΑΤΤ,ΑΝΪ sehen Schrift De motu stellarumI318. 1092 LEONARDO von Pisa (Practica geometriae, 1220) sagt bald corda, 1093 bald linea subtendens; bei JORDANUS NEMORARIUS (t 1237?) wechselt corda mit subtensa ab. 1094 Ihnen folgen sämtliche lateinisch schreibenden Mathematiker des Mittelalters; erst bei FINK (1583, Geometria rotundi)1095 wird inscripta (sc. recta) neugebildet, womit er freilich ohne Nachahmung blieb. Auch das Wort P f e i l für die Höhe eines Bogens ist indisch. 1096 Der Grieche sagt κά&ετος τμήματος κύκλου, der Araber aber nach indischem Vorbild sahrn ( = Pfeil). Der Begriff der Segmenthöhe ist in der babylonischen Mathematik vorhanden, 1097 aber kein Fachwort, das mit ,Pfeil' irgendwie Ähnlichkeit hat. Der K r e i s a b s c h n i t t hieß bei EUKLID (325 v. Chr.) τμήμα (segmentium,portio circuit),1098 der K r e i s a u s s c h n i t t τομενς (sector).1099 In dem Berichte des EUDEMOS, der Abschnitte aus der MöndchenIII, 1 4 , ed. HEIBERO I 22 , S . 202, Z . 4 — 6 : Έν κνχλω αι ϊσαι εύΰεΐαι ϊσον απέχουσιν από τον κέντρου (Im Kreise stehen gleiche Gerade gleich weit vom Mittelpunkt ab) — oder ausführlich I, S. 168, Ζ. 18: 'S επί τα σημεία έπιζευγννμένη, die die (Kreis-) Punkte verbindende (Gerade). T H E O N von Alexandria (Kommentar zu PTOLEMÄUS) 1 m sagt ή την ήμίσειαν της αντής περιφερείας νποτείνονσα für „die Sehne des halben Bogens" oder kürzer ή vno την γ' für „die Sehne von 3°" ed. H A L M A , I , S. 1 9 0 ) . — , 0 8 9 R O D E T I 1 0 9 , IX b . — 109° Vgl. Bd. Y , Trigonometrie, das Wort sinus. — « Μ B O E T I Ü S 1 7 3 , S. 379, Ζ . 1. — 1 0 8 8 EOKLID

1092 Scritti II 1694, S. 85. — ">93 Daselbst, S. 92, Z. 10 u. ö. — Ι4ΒΒ

angulis"

,

109

4 De tri-

19, lib. III, S . 1. — 1095 F I N K , S . 11, Z. 12, 8, 6 v. u. — 1 1 0 9 6 C O L E B H O O K E 1 1 1 1 , S . 89, 309. Vgl R U S K A , Älteste arab. Algebra ™, S . 106. 483 86 K E P L E R 1616" sagt Boltx-, G Ö T Z E S . 34. — 1 ° 9 7 O . NEÜGEBAUER, Geometrie des KreisesiS0, Qu u. Stud. B l , S . 91. — 1 0 9 8 EUKLID, lib. III, def. 6; ed. H E I B E B O , I 2 2 , S. 1 6 4 . Portio circuli bei B O B T I U S 1 7 3 , GEKHAED von Cremona 11400 (ANARITII comment.) und LEONARDO von Pisa 1694 . — 1°99 EUKLID, lib. I I I , 1071

S.

d e f . 1 0 ; e d . HEIBERO, I 2 2 ,

S.

166.

138

Besonderer

Teil.

abhandlung des HIPPOKRATES (um 440 v. Chr.) wiedergibt, heißt τμήμα noch jeder Teil eines Kreises, ob Segment, Sektor oder Möndchen.1100 In den heronischen Definitionen1101 (600 Jahre n. Chr.) werden 3 Arten des τομεύς unterschieden: 1. wie EUKLID und PAPPUS: ein von zwei Radien gebildetes Kreisstück; 2. ein von zwei Sehnen, die sich in einem Peripheriepunkt treffen, begrenztes Kreisstück; so auch AliARITIUS; 1 1 0 2 PAPPUS nennt diese Figur τρίγραμμον\11{>3 3. ein von zwei Geraden, die von einem beliebigen Innenpunkt aus zur Kreisperipherie geführt sind, gebildetes Kreisstück. Auch in späteren Scholien zu EUKLID kommen alle drei Arten vor; die dritte Art heißt τ ομοειδή σχήματα.1104' Der P e r i p h e r i e w i n k e l wurde bei EUKLID — wie noch in Elementarbüchern des achtzehnten Jahrhunderts, so bei KARSTEN ( 1 7 6 7 ) 1 3 1 3 — als „Winkel im Abschnitt" [t] hv τμήματι γωνία),1105 der S e h n e n t a n g e n t e n w i n k e l als „Winkel des Abschnitts" (ή τμήματος γωνία)1106 gekennzeichnet. Für das Berühren eines K r e i s e s durch eine Gerade wurde in der Regel έφάπτεσϋ-αι1101 {ή Εφαπτομένη sc. εύ&εΐα γραμμή = tangens recta linea = Tangente) benutzt. Ψανειν βπι-ψαύειν) kommt bei THEODOSIUS (um 155 v. Chr.; Sphaericorum libri III) nirgends, bei EUKLID (um 325 v. Chr.) selten, öfters bei ARCHIMEDES vor und wird hauptsächlich von Ebenen gesagt. 1107a Unsere jetzt üblichen Fachwörter haben folgende Anfangsgeschichte in der deutschen Sprache. Kreis tritt bereits in den ältesten mathematischen Belegen auf, so um 1349 in MEGENBUBGS Sphaera mimdi: t»on 6en Kraiffen.1108 Die Geomelria Culmensis (um 1400) sagt: cirfeluelt,1109 die Geometrie 6cutfd? (um 1483): runöer H t £ , m o DÜBER(1525): CtrMini. 1111 Zirkel ist bis zum achtzehnten Jahrhundert häufiger als Kreis. KEPLER (1616) unterscheidet zwischen Dmbfretf und Circfelfelö.1112 tireifp linic erscheint erstmalig bei G.PH. HARSDÖRFFER (1651),1113 Kreis1100 RUDIO, URKUNDENJ^ S^RTB. — «OL DEFIN.HZ O P . L ^ L T Ä I ,

»02

ANAEITIUS

— «04

1110

E Ü C L . Op.

°, S.

1 1 2 , Z. 19.

—

5, S. 260, Z. 11. —

«03 »05

ρ ΑΡΡυ8

Γ,

1 5 ^ e(j. R U I T S C H

EUKLID, lib. I I I , d e f

ΖΓΐ^ΒΓ— 1, S.

344f.

8; ed. HEIBEEG I22,

S. 166. — »06 Daselbst I I I , def. 7. — «07 Das Simplex απτεσ&αι heißt mathematisch: herankommen, zusammentreffen (also schneiden, und nicht berühren). _ 1107» v g l . J . Η . T . M Ü L L E E 8 9 3 , S . U . — » 0 8 D I E M K E , Kleine Beiträge xur älterem, deutsehen Sprache und Literatur, Note IV. Wiener Sitzungsber., phil.-hist. Klasse, 1851, 7; S. 82 uon den Kratffen, S. 83 non ben Kraiä^en. — 1109 s 65 1 3 1 9 . — «10 s . 4 — «11 Bl. 212 v° 1 S 2 0 . — «12 ifleffefunft 1148s , Bl. 113 v°. 3 — «I G . P H . H A E S D Ö K F F E E , Der matfyematifdjen uttb pfyiloföpbifdjen (Erquicfftunben ^tneiter (Ceti. Delieiae physico-mathematicae, 2 Teile, Nürnberg 1651. Deliciae philosophieae et mathematicae. Der Pfyilofopfyifdjen unb JTtatfjemattfdjen €rquirfftunben Dritter Teil, Nürnberg 1653, S. 161, Z. 2.

Der Kreis.

139

f l ä c h e in der Archimedesübersetzung von J. CH. STURM (1670),1114 U m f a n g (Pmbfang) bei H. HOFFMANN (1653).1115 Die Geometria Oulmensis (um 1400)1116 sagt ymmeftDeyf1055 P e r i p h e r i a wird 1694 von PIRCKENSTEIN 1117 ins Deutsche übernommen, mit deutscher Endung P e r i p h e r i e erscheint es erst 1710 in VON WOLFFS Anfangsgründm.1118 H a l b k r e i s bildet 1670 J. CH. STURM (Ceutföer 2lrd?imei>es),im ebenso H a l b m e s s e r und D u r c h m e s s e r ; für den letzteren hatte W . SCHMID (1539) Durdföug oder ZHittelrif gesagt.1119 R a d i u s nimmt 1699 S. RETHER in seine Euklidübersetzung auf, 1120 gleich darauf 1707 L . CH. STURM in seinem Kursen Begriff öcr gefamten ZHatfyefts.1121 B o g e n 1 1 2 2 hat auch schon die Geometria Culmensis (1400),1123 bei einer beliebigen Kurve erst KEPLER (1616).1124 K r e i s b o g e n bildet J. CH. STURM (1670)1114, M i t t e l p u n k t HEYNFOGEL (1519),1125 DÜRER (1525); 1126 Q u a d r a n t als Viertelkreis findet sich ebenfalls bei DÜRER1127 (vorher der Quadrant als Meßinstrument), S e h n e (Senne) in W. SCHMIDs (Seometrta (1539).1128 S e k a n t e ist das lateinische secans (circulum secans linea in der Euklidübersetzung des BOETIUS, 489 — 524 n. Chr.)1129 und erscheint in geometrischem Sinn bei H. HOFFMANN (1653) als Sefantlini; 1130 ebendaselbst erscheint Cangent? Hut und T a n g e n t e 1 1 3 1 (in alten lateinischen Übersetzungen von GERHARD von Cremona, 1114—1187, contingentes;1132 so noch im sechzehnten Jahrhundert ζ. B. DE BOUVELLES 150 7).1133 KEPLER sagt 1616 N 4 8 S Durchschneidende bzw. Anstreichende.1134 B e r ü h r e n und P u n k t der B e r ü h r u n g wählt HOLTZMANN (1562)11S4A als deutsche Übersetzung für die lateinischen, bzw. griechischen Fachwörter; PIRCKENSTEIN (1694) zieht zusammen in B e r ü h r u n g s punkt. 1 1 3 5 B e r ü h r u n g s w i n k e l findet sich bei v. WOLFF. 1136 S e g m e n t ist seit SIMON MARIUS' Euklidübersetzung (1610)1137 heute 1114 VORBERICHT 1 6 1 1 ; ARCHIMEDES 1117

1667

—

—

»20

S. 4 "

—

Sphera

—

249 ,

"23

S.

711319

materialist",

»28

S . 4,

Z.

(EUCLIB 248 , S . 108. 8. I L L ,

Z . 17.

FRIEDLEIN173,

$ I : secantes, SETZUNG 1 6 2 ,

_

1124

—

IN —

contingentes.

"18 I , _

IHEFFEFUNFT

»26

»29

S.

»22

—

ÜBER

11483,

S. 651319.

1,16

«19

DES —

, KARSTEN ( 1 7 6 0 ) 2 1 4 , DE L A

CAILLE ( 1 7 6 2 ) 3 8 5 ,

BERTBAND

(1778)111216,

MEINERT

(1790)241,

GILBEST ( 1 7 9 8 ) 1 1 7 3 9 , BUGGE-TOBIESEN ( 1 8 0 0 ) 1 1 0 2 9 , LEONHARDI ( 1 8 1 0 ) 2 1 7

u. a. Abweichend schlägt TELLKAMPF ( 1 8 29) 1 1 7 7 um Μ einen Kreis mit doppeltem Radius und um Α einen solchen mit AM] die Verbindungslinien ihrer Schnittpunkte mit Μ liefern die Tangentenberührungspunkte. Sehr interessant ist eine Lösung ohne Benutzung des Zirkels, die WOLDECK W E L A N D (1614—1641, Hamburg) in einer kleinen Abhandlung 1640 1178 gibt. Vom gegebenen äußeren Punkte aus werden zwei Sekanten durch den Kreis, die eine durch den Mittelpunkt, gelegt. Die durch die Schnittpunkte der Sekanten bestimmten Seiten des entstehenden Kreisvierecks werden bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Die Verbindungslinie desselben mit dem Schnittpunkte der Diagonalen gibt auf der Kreisperipherie die gesuchten Berührungspunkte. Wir haben hier den bekannten Tangentensatz aus der Polarentheorie erstmalig vor uns, den man früher dem GREGOBIus von St. Vincentius (1647) zuschrieb. Die Ver130, Z. 3ff. — » 7 3 E U C L . Op. 6 I I 4 9 2 a . S. 176. — » 7 4 skmentale geometricum ex EUCLIDES geometria, 1. Aufl. 1528; Aufl. Witteb. 1536, Elementa geometriae II, 7, Bl. 21 v u . — »75 Ausg. v. 1590, Coloniae»82, III, prop. 31, Scholium S. 167. — »76 Basel 1583 l o n , lib. II, § 8 , S. 32. — «77 Vorschule1 45s , § 263, 3. — »78 WOLDECKIUS WELANDUS, Strena mathematiea sive elegantiorum problematum triga, Lugd. Bat. 1640.

1172

A N A E I T I Ü S

1 1 4 0 0

,

S .

Der Kreis.

145

bindungslinie ist die Polare, der gegebene Punkt außerhalb des Kreises der Pol. W E L A N D tritt einen ausführlichen Beweis an, aber immer mit der Voraussetzung, daß die eine Sekante Durchmesser ist, wovon sich ST. YINCENTIUS allerdings auch nicht frei machte; die Anregung zu seiner Schrift schreibt W E L A N D seinem Lehrer JOACHIM JUNGE ( 1 5 8 7 — 1 6 5 7 , Gießen, Rostock, Hamburg) zu. Bei GREGOBIUS von St. Yincentius fehlt auch die Anwendung auf die Tangentenkonstruktion. Den Satz, daß die beiden Tangentenstücke zwischen dem gegegebenen Punkt und den Berührungspunkten einander gleich sind, führt E U K L I D nicht an, gewiß als unnötig für die späteren Sätze seines Systems. Daß er ihn kennt, sieht man aus El. I I I , 4, wo der einem Dreiecke eingeschriebene Kreis konstruiert wird. Bei ABCHIMEDES ( 2 8 7 — 2 1 2 v. Chr.) wird er gelegentlich verwendet.1179 Der Euklidkommentator ΑΝΝΑΙΕΪΖΪ (um 9 0 0 n. Chr.) schreibt den Satz dem HERON (um 1 0 0 n. Chr.) zu.1180 Unabhängig hiervon tritt er in der neueren Zeit auf, wenn auch nur bei einzelnen Autoren, so HOLTZMANN ( 1 5 6 2 ) , 1 1 8 1 RAMUS (1569), 1 1 8 ! Ä SIMON MABIUS ( 1 6 1 0 ) , 1 1 8 3 ARNAÜLD ( 1 6 6 7), 1 1 8 4 PARDIES ( 1 6 7 1 ) , 1 1 8 5 MEINERT (1790). 1 1 8 6

Die bei E U K L I D fehlende Umkehrung, wonach der Mittelpunkt des Kreises auf der Halbierungslinie des Tangentenwinkels liegt, holt PAPPOS im siebenten Buch seiner Συναγωγή1181 nach, ebenso eine noch weitere mögliche Umkehrung.1188 An zwei Kreise die gemeinsame Tangente zu ziehen, wurde für den Fall der äußeren Tangenten von CARDANO ( 1 5 0 1 — 1 5 7 6 ) 1 1 8 9 erledigt; seine Zeichnung, die von der unsrigen abweicht, übernahm CLAVIUS ( 1 5 3 7 - 1 6 0 2 , Bamberg) 1 5 7 4 . 1 1 9 0 G . CEVA ( 1 6 7 8 ) 1 1 " 1 behandelt auch die inneren Tangenten; für beide begnügt er sich, Kvxl. μετρ., prop. I , Werke, ed. HEIBERG, L 2 1 1 4 7 8 , S . 234, ed. N I Z Z E ' 1 1 , S . 110. In EUCLIDS Phaenomena (prop X X I V , ed. GREGOBIUS, Oxoniae 17U3, S . 618) ist er auch angedeutet. — T 1 8 ° A N A R I T I U S 1 1 4 0 0 , S . 130, Z. 2 2 - 2 5 . — »81 Euklidübersetzung1 βϊ, S. 93, Z. 8. — 1182 Geom.™ X V , prop. 17, Nr. 1. — 1183 Euklidübersetzung85, S. 91, Z. 4—5. — »84 Ausgabe von

1179

ARCHIMEDES111,

Z . 9;

169011028;

»86

Nouv. Elemens IX, pr. II. —

Lehrbuch™1,

S. 822,

I I , § 135. — »87

Z. 5 ff. —

»88

»85

PAPPUS 113 ,

PAPPUS 113 , V I I ,

Eiemens596,

L.

IV, §

7, S . 25.

—

V I I , prop. 97, ed. HULTSCH, § 159,

prop.

112,

ed. HULTSCH,

S. 842.

—

1189 Opus novum de proportionihus1164ϊ, prop. 212, Scholium, S. 245. Vgl. G. W E R T H E I M , Bericht über M . SIMON, E U C L I D U. d. ersten 6 plan. Bücher 51 , Ztschr. math.-nat. Unterr. 32, Leipzig 1901, S. 113. — » 8 ° Euklidausgabe11193, III, 17, Scholium; Coloniae 1590, S. 147. C L A V I I Opern1630, S. 1 2 7 — 1 2 8 . — »91 De lineis rectis se invieem seeantibus statiea construction Mailand 1678, II, pr. 16, Lemma VI, S. 52. TROPFKE, Geschichte.

IV.

3. A u f l .

10

146

Besonderer

Teil.

die Lage ihres Schnittpunktes auf der Zentralen durch Proportions berechnung festzulegen. Die späteren Mathematiker bringen auch nicht einmal die äußeren Tangenten. Erst 1765 behandeln V. RICCATI und H. SALADINI1192 beide Fälle wieder rechnerisch und konstruieren dann den erhaltenen algebraischen Ausdruck mit Hilfe beliebiger paralleler Radien, womit sie der Theorie der Ahnlichkeitspunkte vorgreifen. MEIER HIRSCH1193 gibt 1805 die Entfernungen des

Tangentenschnittpunktes

durch

^

r·

?

r

r'

an. Eine geometrische Konstruktion für beide Tangenten zeigt CRELLE (1826),1194 aber wiederum nicht nach der modernen Art, sondern mit Hilfe von Ähnlichkeitsstrahlen; ebenso verfährt 1829 TELLKAMPF. 1195 Für diese Zeichnung hatte schon GREGORIUS von St. Vincentius (16 4 7)1196 die erforderlichen geometrischen Beziehungen abgeleitet, ohne aber die naheliegende Folgerung für eine Konstruktion zu ziehen. Erst D. C. L. LEHMUS (1818)1197 und J. A. GRUNERT (1834)1198 haben die heute gebräuchliche Figur. Den Satz von dem r e c h t e n W i n k e l zwischen der T a n g e n t e und dem B e r ü h r u n g s r a d i u s setzt ARCHYTAS von Tarent (um 4 3 0 — 3 6 5 v. Chr.) gelegentlich bei seiner Konstruktion der Würfelverdoppelung1199 voraus. HIPPOKRATES (um 4 4 0 v. Chr.) benutzt in seiner Schrift von den Möndchen1200 den allgemeinen Satz vom P e r i p h e r i e w i n k e l und Z e n t r i w i n k e l auf gleichem B o g e n ; EUKLID behandelt (III, 20) ihn in der uns geläufigsten Form durch Zerlegen mittels eines Durchmessers von der Spitze des Peripheriewinkels aus und Zurückführen auf den Satz vom Außenwinkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Beweis wird in den beiden Fällen geführt, daß der Kreismittelpunkt zwischen den Schenkeln des Peripheriewinkels oder außerhalb von ihnen liegt. Den ganz speziellen Fall, daß er auf einem der Schenkel liegt, übergeht EUKLID als selbstverständlich; HERON1201 kommt aber auf ihn zu sprechen. Ebenso holt HERON die Erörterung des Falles nach, daß der Peripheriewinkel stumpf, also der Zentriwinkel konvex

1192 1193

Institutiones analyticae, Bononiae 1765, I, 9, § 12—14, S. 78—79. — Sammlung geometrischer Aufgaben, 2 Teile, Berlin 1805—1807, II, § 27 a

— 1194 LehrbuchΙΙβ78, I, Anhang, S. 504, § 398/9. — 1,95 VorschuleI453, § 270, 10. — « 3 6 Opus Geometricum11 U 3 1 , I I I , 1, prop. 24, S . 183. — 1197 Lehrbuch*2, Berlin 1818, § 228, S. 128—129. — 1199 Lehrbuch der Mathematik für mittl. Klassen111132, Brandenburg 1834, I I . Eb. Geometrie § 236. — 1 1 9 9 ARCHIMEDES,1983 III 2 , S. 84 ff. — 1200 R Ü D I 0 ) Bibl. math. 3311248, 190 2, S. 46 ; derselbe, Bericht10, S. 53. — 1201 ANARITIUS11400, S. 130, Z. 26 bis S. 131, Ζ. 1.

Der

Kreis.

147

ist.1202 Die Umkehrung, daß die Scheitelpunkte gleicher Winkel über derselben Strecke einen Kreisbogen als geometrischen Ort bilden, war sicher im Altertum bekannt; vielleicht wurde sie von APOLLONIOS an die Spitze seiner verlorenen Schrift über die ebenen Örter gestellt. Tatsächlich finden wir sie erst bei CLAVIUS in der Euklidbearbeitung (1574) eingefügt.1203 I I I , 21 bringt EUKLID den Satz, daß Peripheriewinkel über demselben Bogen gleich sind. Den Satz vom Sehnenviereck beweist EUKLID in I I I , 22, indem er die Diagonalen AC und DB zieht und darauf aufmerksam macht, daß die Winkel BD C und Β AC, ebenso die Winkel BD Α und BGA gleich sind, daß man also, statt die Winkel A DC und ABC zu addieren, auch die drei Winkel Β AC und Β CA und ABC zusammenlegen könne; als Winkel eines Dreiecks betragen diese aber zusammen zwei Rechte. Der heute zumeist übliche Gang des Beweises, demgemäß der Mittelpunkt des Kreises Μ mit Α und C verbunden und die beiden entstehenden Zentriwinkel mit den Peripheriewinkeln ADC und ABC in Verbindung gebracht werden, setzt voraus, daß der Satz vom Zentriwinkel und Peripheriewinkel über gleichem Bogen auch auf konvexe Zentriwinkel ausgedehnt werde. Dies ist in E U K L I D S Elementen noch nicht geschehen, sondern wird erst durch HEKON (erstes Jahrh. v. Chr.) nachgeholt, bei dem wir dann auch den zweiten Beweis vom Sehnenviereckssatz zuerst antreffen.1204 Den Satz vom S e h n e n t a n g e n t e n w i n k e l beweist E U K L I D (III, 32), wie wir heute auch, mit Hilfe eines vom Berührungspunkte ausgehenden Durchmessers, durch den Komplementwinkel entstehen; hier gibt er auch sofort die Verallgemeinerung auf den stumpfen Sehnentangentenwinkel und im Anschluß daran die K o n s t r u k t i o n , ü b e r einer Sehne einen Kreis zu z e i c h n e n , der einen gegebenen P e r i p h e r i e w i n k e l f a ß t (EUKLID I I I , 33). Die U m k e h r u n g des S a t z e s vom Sehnenviereck und vom S e h n e n t a n g e n t e n w i n k e l ist im Altertum nicht anzutreffen. /

1202 Daselbst S. 132. — S. 132. —

12

12

'

°3 III, 21, Scholium"195, Opera omnia 16121030, I,

04 ANABITII Comm.1™0,

S. 133. 10*

148

Besonderer Teil.

Wiederum ergänzt sie CLAVIUS (15 7 4), 1205 die erstere hatte allerdings schon vorher gelegentlich KEGIOMONTAJSTUS 1206 in einem Briefe ( 1 4 6 4 ) erwähnt; die zweite behandelt VIETA ( 1 5 4 0 — 1 6 0 3 ; Paris, franz. Staatsbeamter) im Pseudo-Mesolabium von 1 5 9 5 1 2 0 7 noch einmal ausführlich. Sehr alt ist der Sonderfall des Peripheriewinkelsatzes, daß der W i n k e l im H a l b k r e i s ein R e c h t e r ist. Mit ziemlicher Sicherheit können wir jetzt behaupten, daß er schon den ßabyloniern in ältester Zeit bekannt war. 1208 — Diesmal ist es nicht PROKLOS, sondern eine Geschichtsschreiberin zur Zeit NEROS, PAMPHILE, 1 2 0 9 die ihn als von THALES herrührend mitteilt. Das Anekdotenhafte der Erzählung geht schon aus dem unvermeidlichen Opfer eines Stieres hervor, zu dem sich der Entdecker aus Freude aufgeschwungen haben soll. Unmöglich ist es jedoch nicht, daß die besondere Eigenschaft des Winkels im Halbkreis der Zeit des THALES, vielleicht schon der vor THALES geläufig war, nachdem es sich als nicht unwahrscheinlich herausgestellt hat, daß der Satz von der Β Ε C Winkelsumme im Dreieck vorpythagoreisch Fig. 14. ist. In EUKLIDS Beweis (III, 31) wird der Scheitel des Winkels Α mit dem Kreismittelpunkt Ε verbunden und ein Schenkel BA verlängert. Dann ist ^ f z A 1 = ^f.Bxi ebenso ·$ζΑ2 = als Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, daraus Andererseits ist als Außenwinkel, sonach -$zBAC und ZAG Eechte als Nebenwinkel. Vielleicht ist diese ansprechende Beweisform tum EUKLIDS. ARISTOTELES, der etwa 20 Jahre älter war, anscheinend diesen Beweis noch nicht. Wenigstens benutzt legentlich 1210 eine umständlichere Beweisform; er greift den

gleiche Eigenkannte er gebeson-

1206 EÜCL.11199, prop. 22, scholium u. prop 32, scholium; Elemente Col. 1590, S. 154, 168; Opera1630, 1, S. 133, 145. — '206 Briefwechsel, ed. C U R T Z E 1 8 3 3 * , S. 247. — 1207 P AR I S ΐ59ΉXASI^ Adjuncta capitula, prop. I I ; Opera, ed. S C H O O T E N " S . 275 bis 276. — '208 o . NEUGEBAUER, Über die Geometrie des Kreises in Babylonien480, Qu. u. Stud. Bd. 1, S. 9L; Derselbe, Mathem. Keilschrifttexte™ 145b, Qu. u. Stud. Α. 3, Berlin 1935, I, S. 180. — 1209 DIOGENES L A E R T I Ü S " 0 , I, 24, § 3, S. 6, Z. 26 bis 27. — '210 ARISTOTELES, ed. B E C K E R 1 6 , 94", Z. 28 f.; 1051*, Z. 26f. Vgl.

Der

Kreis.

149

deren Peripheriewinkel im Halbkreis heraus, dessen Schenkel gleich laDg sind, fällt das Lot vom Scheitel zum Mittelpunkt, so daß zwei kleine rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke entstehen, deren Basiswinkel je 45° sind, und sich der ganze Peripheriewinkel zu 90° ergibt. Von diesem schließt er nach dem allgemeinen Peripheriewinkelsatz auf jeden Winkel im Halbkreis. Die Umkehrung findet sich bei JORDANUS NEMOEARIUS (T 1237?), De triangulis.12U Das Wort Z e n t r i w i n k e l (EUKLID: ή προς τω κίντρω γωνία, angulus ad centrum, Winkel am Mittelpunkt) bildete L. CHE. STUBM (1707).1212 Es wurde bald so gebräuchlich, daß es in WOLFFS Mathem. Lexikon von 1734 1 6 4 aufgenommen ist (noch nicht im Text von WOLFFS erster Auflage von 1716, sondern nur im Register mit Verweis auf den Artikel ,Angle de cercle')164. Die Bezeichnung M i t t e l p u n k t s w i n k e l , die PIRCKENSTEIN schon 1 6 9 4 m 101 anwendet, greifen GL FE. HILDEBRANDT (1785),1213 J. J. A. IDE (1803) 1214 und A. L. CRELLE (1826) 1215 gelegentlich auf. CREiiLE bringt auch Umfangswinkel. 1 2 1 6 Leider sind Zentriwinkel und P e r i p h e r i e w i n k e l (EUKLID: ^ hv τω τμήματι γωνία, angulus in peripheria,1217 Winkel im Abschnitt)1218 wie seit J. FR. HAESELER (1777) 1219 dieser Winkel genannt wird, heute noch viel zu viel in Übung. Das deutsche Wort A b s c h n i t t s w i n k e l wird von 1220 CHE. v. WOLFF im Mathem. Lexikon von 1716 schon aufgeführt. 1221 Es wird erst seit KAMBLT (1855) bekannter. Sehnent a n g e n t e n w i n k e l scheint eine ganz moderne Wortbildung zu sein; 1222 doch sagt EAMUS (1569) schon angulus seeantis et contiguae1223 (Winkel der Sekante und Tangente). Bei EUKLID kann, da der Tangentenstreckensatz (vgl. S. 1 4 5 ) fehlt, natürlich auch nicht der Satz vom T a n g e n t e n v i e r e c k Math, xu A R I S T O T E L E S S . 2 1 . — 1211 Ed. CÜBTZE I I I 4 E 9 , S . 1 , 1 9 / 2 0 : In omni triangulo, si ab opposite angulo ad medium basis dueta linea dimidio eiusdem equalis fuerit, erit ille angulus rectus (Wenn die von einer Ecke eines beliebigen Dreiecks zur Mitte der Gegenseite gezogene Gerade gleich deren Hälfte ist, so ist der Winkel ein Rechter). — 1 2 1 2 Kurier Segriff 1413 , II, 65. — 1213 Handbuch der reinen Größenlehre111", I, § 331. — 1 2 1 4 Anfangsgründeua, II, Berlin 1803, § 115, 119. — 2 2 2 In HOFFMANNS Math. Wörterbuch™5, Bd. IV, 1 8 6 4 ist es noch nicht aufgeführt. W. KILLING und HOVESTADT, Handbuch des math. Unter richts54 (I, 1912, S. 230) verwerfen das Wort zugunsten von Abschnittswinkel; es klebt aber schon so fest, daß sie es S. 277, Z. 6 v. u. noch selbst gebrauchen. 653 — I 2 2 3 KAMDS , S. 1 1 9 , Satz 2 0 ; Ausgabe 1 5 6 9 , S. 1 1 9 — 1 2 0 . HEIBEKG,

150

Besonderer Teil.

gesucht werden, der aussagt, daß die Summen je zweier Gegenseiten einander gleich sind. Vor dem dreizehnten Jahrhundert ist sein Auftreten nicht nachzuweisen; erst bei JORDANUS NEMORARIUS (t 1287?) wird er abgeleitet. 1224 JORDANUS fügt hinzu, daß das einem Kreise umgeschriebene Parallelogramm gleichseitig ist. Die Umkehrung des allgemeinen Satzes wird erst im neunzehnten Jahrhundert ausgesprochen (DURRANDE, 1815).1225 Die Sätze vom Tangenten· und vom Sehnenviereck entsprechen einander und werden daher im heutigen Unterricht oft nebeneinander behandelt; so verfährt schon 1618 B . BRAMER. 1 2 2 6 Vierecke, die zugleich Sehnen- und Tangentenvierecke sind, sogenannte b i z e n t r i s c h e V i e r e c k e , werden erst seit dem Ende des achtzehnten Jahrhunderts untersucht. Sind r und ρ die betreffenden Kreisradien, m die Zentrale der beiden Kreise, so ist ζ. B. nach N. Fuss (17 98): 1227 (r2 _ m t f : 2 (>2 (r2 + m 2 ). Weitere geometrische Sätze und Maßbeziehungen geben PONCELET 1228 ( 1 8 22) und VAN SWINDEN-JACOBI ( 1 8 8 4 ) . G - . DOSTOR findet 1 8 6 8 1230 }lab cd als Inhalt aus den vier Seiten. Eine V e r a l l g e m e i n e r u n g des T a n g e n t e n v i e r e c k s a t z e s auf S e c h s e c k e usw. ist durch den französischen Mathematiker Η . PITOT ( 1 7 2 5 ) erfolgt, 1231 desgleichen für den W i n k e l s a t z im S e h n e n s e c h s e c k 1 8 0 3 durch CARNOT ( 1 7 5 3 — 1 8 2 3 ) . 1 2 2 9

1 2 3 2

Als historisch wichtig, wenn auch dem Stoff nach nicht hergehörig, sei die Geschichte der erst nach langem Mühen gelösten A u f g a b e , a u s v i e r S e i t e n a, b, c, d ein S e h n e n v i e r e c k zu k o n s t r u i e r e n , hier eingeschaltet. Wir verbinden damit auch sofort einen Bericht über die Berechnung der Stücke eines Sehnenvierecks, wie der Diagonalen e und /", des Radius des Umkreises R und des 1224

De triangulis1114β9, IV, 5, S. 30: Omnis quadrilateri circa circulum descripti duo quaelibet latera opposita sunt equalia reliquis pariter acceptis.—1225 DDRRANDE, Ann. math. p. appl. 6, 1815/16, S . 49. Vgl. auch S T E I N E R , Über das dem Kreise umschriebene Viereck, J. r. a. Math. 32, 1846, S. 305; Werke 2 334, S. 383. — 1 2 2 6 H . S Ü T E R , A L B I R Ü N I S Buch ton der Auffindung der Sehnen111 S. 70. — 1241 Vgl. Bd. V, Geschichtlicher Uberblick. — Genauer, J . T R O P F K E , ARCHIMEDES und die Trigonometrie11149 Δ CAXD a: β = d:x. Die Hilfsstrecken AYG — χ und B1D = % sind sonach aus den gegebenen Sehnen a, b, c, d leicht zu berechnen und zu konstruieren. Durch ED || CJ51 ist und aus Δ DAE^ Δ CBE folgt

e: e1 = {d + *): d et:ft =d:b;

. . . .

also ist Ähnlich ergibt sich

e:f1={d-\-z):b f:fr={b + x):b

Mithin erhält man schließlich

e:f=(d

+ z)-(b + x),

woraus das Verhältnis e: f wiederum leicht zu berechnen und zu konstruieren ist. — Prop. IV und V führen die gefundene Konstruktion nunmehr aus, Prop. VI zeigt die Berechnung an dem Beispiel SIMON JAKOB'S.

—

In Prop. VII setzt nun PRAETORIUS sein Verfahren auseinander, Sehnenvierecke mit rationalen (numeris explicabiles) Seiten, Diagonalen und Umkreisdurchmesser aufzufinden. Von dem Inhalt des Viereckes ist wieder keine Rede. Seit Veröffentlichung eines ersten Beispiels durch S . J A K O B sind 3 2 Jahre verstrichen: vielleicht ist PRAETORIUS aber doch abhängig von ihm. In seiner Einleitung drückt er sich sehr gewunden aus! Die folgende Darstellung ist modernisiert, da die Behandlung im Original an großer Schwülstigkeit leidet. Zwei Sätze werden vorausgesetzt: 1. (Mit Berufung auf DIOPHANT): Ist α eine gegebene, b eine beliebige Zahl, so sind drei Zahlen a

P* - b» ~~2Ϊ"

b2 ~ ~ 2 b ~

Der Kreis. Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

161

So liefern

a = 5, b = 2 die Werte 5, a = 5 , b = 3 die Werte 5,

-ψ f , -ψ.

Die beiden Dreiecke sind unter Erweiterung auf ganze Zahlen (Fig. 21): a = 68, b = 87, Cl = 32, c2 = 63, e = 95, hc = 60. α = 255, δ = 136, c1 = 225, c2 = 64, c = 289, hc= 120. Aus solchen rechtwinkligen Dreiecken kann man (S. 151) nun rationale schiefwinklige Dreiecke bilden. — 2. Ein gegebenes Quadrat α2 kann immer, wenn Brüche zugelassen sind, in zwei Quadrate zerlegt werden, wie die leicht beweisbare Formel zeigt: ( 2 ab y , / 2aZ>* \s 2 β - ( ϊ γ τ τ ) + ( F T T " a) · ABC (Fig. 22) sei ein solches rationales schiefwinkliges Dreieck (Satz 1). Nach Satz 2, kann man AG2 = u2-j-v2 bilden. Die Strecke u Fig. 21. trage man sich als EF senkrecht zu ΒC ab und mache FG = v. Dann ist EG2 = u2 + v2 = AC2. Die Kreise um Α mit BG und um C mit BE geben den Schnittpunkt H. A

\ \

E / / / / /

1

1

\u I

/

2/1

90°\F

ha D

\ \

Fig. 22.

Nach der Zeichnung ist Δ AHC^A GBE, also = und + = 2B; mithin ist AHCB ein Sehnenviereck. Seine Seiten, die Höhe ha und pa = BD sind rational, ebenso u und υ; da BF:pa = u:ha, wird auch BF rational sein, ferner noch AH = BG = ν — BF. BA war von vornherein rational, also auch TROPFKE, Geschichte. IV. 3. Aufl.

11

162

Besonderer Teil.

BE = — τ — A l l e vier Seiten des Sehnenvierecks sind rational: ha da die eine Diagonale A C rational war, muß nach dem ptolemäischen Lehrsatz auch B E diese Eigenschaft haben. Der Umkreisradius um ABC war ebenfalls von vornherein rational; er ist zugleich Umkreisradius von AB GH. Die Aufgabe ist also geleistet. PBAETORIUS führt fünf Beispiele an. Nr. 1 ist das von S. JAKOB gegebene1253 (vgl. S. 157, Anm. 1248), Nr. 2: a = 60, b = 39, c = 52, d = 25 1254 wird nicht vorgerechnet: er hat sich diese Zahlen auf anderem Wege, als seine Methode in Prop. YII auseinandergesetzt, verschafft. Er stellt einfach zwei rechtwinklige Dreiecke 25, 60, 65 und 89, 52, 65 mit der Hypotenuse 65 zu einem Viereck zusammen. -$zA und sind Rechte; also muß AB CD ein Sehnenviereck sein. Die zweite Diagonale ist 63. Vertauscht man übrigens in diesem zweiten Beispiel 60 und 39, so erhält man das Sehnenviereck von

BBAHMAGUPTA.

Nun kommen drei nach seiner Methode hergestellte Beispiele, die eingeklammerten Lösungswerte werden nicht vorgerechnet. 3. a = 52, b = 56, c = 39, d= 33 1255 (e= 60, f= 64f, i= 1938,2 r = 65) 12Be fa= 2 9 , b = 2 6 \ , c = 21f, d= 25 4 Ια = 116, 6 = 105, e = 87, d= 106 (e= 143, f= 144, i= 10296, 2r= 145. 1256 _ (a = 20, 65, c = 1 9 ^ , d= S0& {α = 340, b = 1105, c = 330, d = 1365 (e= 1275, ^=1271, i = 381300, 2r = 690|). LUDOLPH VAN CEULEN ( 1 5 4 0 Hildesheim — 1 6 1 0 Leiden, Prof. der Kriegsbaukunst) hinterließ eine Sammlung kleiner Schriften in holländischer Sprache, De arithmetische en geometrische Fondamenten, die W I L L I B E O D SNELLIUS ( 1 5 8 0 — 1 6 2 6 ; Leiden) 1 6 1 5 in lateinischer 1257 Sprache herausgab. Als erstes der Problemata1258 behandelt v. CEULEN die Konstruktion eines Sehnenvierecks aus den Seiten 6, 1254

v°, Z. 6 1 , M .

—

12

66 I) 4>

VO} M I T T E .

_

1256 X)4J

vo;

1. 1 u n d 10. —

1257 Fundamenta Arithmetiea et Oeometrica cum· eorundem usu in variis problematis-geometricis, partim solo linearum ductu, partim per numeros irrationales, et tabulas sinuum et Algebram solutis authore LUDOLFHO A CEVLEN Hildesheimmsi e vernaculo in Latinum translata. Lugd. Bat. 1615 (Pr. Staatsbibl. Da 90). S. 185—240 Abhdlg.: Problematum miseellanorum Liber IV. Eine zweite Ausgabe der Übersetzung erschien Lugd. Bat. 1619; daselbst Probl. misc. S. 135—190; sie ist um 2 Abhandlungen verstärkt (Pr. Staatsbibl. Da. 4741). — ' « β S. 185 f. (S. 135 f.)126'.

Der Kreis.

168

8, 9, 18. Wieder eine Neuerung (Fig. 23)1269: AD und BC werden bis zum Schnittpunkt F verlängert um die Strecken DF — χ und CF = y. Es ist alsdann AABF~A CDF ΙΑ: FB: AB = FC·.FD: DC {d + x): (b + y): a = y : χ : c I. {d + x)x = {b + y)y\ II· {d x)c = ay; IIa. y = {d + c III. (b + y)c = ax\

II s . in I eingesetzt: a2x = (ai + de + xc) · c (a — c2)x = abc + de2 ab + cd x = —i rc 2

a* — c 2

und ähnlich y* =

αώ "12 + be Γa c ·

a — e χ und y sind bekannt, daher Δ DFC konstruierbar und berechenbar. Ist dies geschehen, so braucht man nur FD und d und FC und b zu verlängern, um das gesuchte Sehnenviereck zu haben. Es folgt ein sehr komplizierter Beweis der letzten Behauptung. Der Übersetzer und Herausgeber, W. SNELLITJS, selbst ein hervorragender Mathematiker, begleitet die Untersuchung VAN CEULENS mit Zusätzen und bringt Verbesserungen an. Vorzüglich ist ζ. B. seine Ableitung der Formel für das Verhältnis β: f,1260 in moderner Form dargestellt: 126

9 1615, S. 190f.; 1619, S. 140 1257 . —

12

6« 1615, S. 189; 1619, S. 138 l i 6 7 .

11*

Besonderer Teil.

164

Δ AKB— A DKC gibt AK: DK = AB·. DG = KB: KG, Δ BKC—- Δ AKD gibt BK: AK = BC: AD = KC:KD. Mit Hilfe dieser Proportionen wird nachgewiesen, daß für die Stücke der Diagonalen die folgenden Verhältnisse bestehen: I DK : = (DC-DA):{DA

II III IV AK : BK : KG · AB):{AB · BC)-.{BC · CD).

Addiert man nun AK + KG — e und BK + KD — f , so ist II e:f=[{DA'AB) = (d · a

IV ΙΠ I + {BC· CD)] :[{AB - BG) + {DC - D A)]. + be) : [ab + cd)

Die Konstruktion erleichtert er sich durch Einführung der mittleren Proportionalen für die einzelnen Produkte a · d = x2 b · c = y2

ab = u2 cd = v2

ao = p2 bd = q2

dann wird e: f = {x2 -f y2): [u2 + α2), und weiter, wenn x2 + y2 = %2\ u2 + v2 = w2; p2 + q2 = r2] j =

Also

Nach dem Ptolemäischen Satz ist e · f — ac + bd = p2 + q2 = r2, 2 e 2 = *„i · r

w

rn

f^ =

W* r X' '

9

e= j.

f =

*'r

w

Wr

Äußerst fein, aber die Darstellung im Original überaus beschwerlich. — Und jetzt eine Überraschung! Der nun folgende Absatz 3 1 2 6 1 lautet: „Aus derselben Analysis kann man aber eine weit klarere geometrische Methode ableiten, in der wir die Stereometrie vierdimensionaler Gebilde in der Darlegung benutzen und, obgleich wir hierfür kaum geeignete Anschauungsformen besitzen, verspreche ich bei einer neuen Auflage so klar wie möglich mit größerem Fleiß die Anschauu/ngsform zu beschaffen."· ,,7mr Berechnung der Fläche eines Sehnenvierecks haben wir noch das folgende scharfsinnige Theorem:1262 Wenn von der halben Summe der Vierecksseiten je die einzelnen Seiten abgezogen werden, so ist die 1615, S. 189; Z. l l f f . 1619, S. 139, Z. 11 ff. — 1262 Daselbst Z. 8 v. ü. Si de dimidio collectorum laterum dati quadranguli in circulum inscripti latera sigillatim subducantur, latus continue a quatuor differentiis facti erit area.

Der Wurzel aus dem Produkt vierecks

165

Kreis.

der vier Differenzen

die Fläche des

Sehnen-

Das ist unsere Formel i — |/(s — a) (s — b) (s — c) (s — d), zum ersten Male wieder seit der Zeit der Inder und Araber (vgl. S. 156)! SNELLITJS macht sofort die Probe mit dem Viereck a = 9, 6 = 6, c = 8, d = 18. Er rechnet a = 2 0 i i2 = 5210|£, i = "|/52TÖI| nach seinem neuen Theorem, dann die Inhalte der beiden Dreiecke BCD und BAD einzeln; die Summe stimmt mit dem ersten Wert. 1263 „Je mühevoller dieser alte Weg zur Flächenberechnung ist, um so angenehmer wird hoffentlich unsere neue Vorschrift dem geneigten Leser sein. 1263a

Mit diesem Satz legt er auch seine Priorität fest. Aber der Beweis fehlt ihm, auch noch in der zweiten Auflage von 1619! Er hat die neue Formel erraten, durch Induktion und Probieren, wie die Inder (vgl. S. 154), aber nicht beweisen können. Wäre eine Quelle aus der Araberzeit im Spiele, dann hätte sie doch sicher bei REGIOMONTANUS auftreten müssen; aber dieser behilft sich auch nur mit der Addition der zwei Teildreiecke (vgl. S. 157). SNELLIUS hat sich übrigens auch an anderer Stelle eingehend mit der heronschen Dreiecksformel befaßt.1263b Der Wortlaut der beiden Formeln zeigt schon seinen Versuch beide unter einen Hut zu bringen. Man vergleiche Anm. 1262 mit: „Si de dimidio collectorum laterum dati trianguli latera sigillatim subducantur latus continue facti e dimidio et reliquis est area trianguli."'

Auch in seinem Zusatz zum Problem 35 1263 c spricht er von einer stereometria planoplanorum, um die man den Leser herumführen müsse. Von der Richtigkeit seines neuen Satzes war er natürlich fest überzeugt, da die Rechenprobe mit 2 von einer Diagonalen gebildeten Dreiecke immer stimmte. — Die Kenntnis der Formel verbreitete sich schnell; schon 1618 bringt sie BENJAMIN BBAMEK, der sie wohl von BÜEGI erfuhr,1264 dessen kleine Aufgabensammlung er in einer Druckschrift behandelte. 1 6 2 6 bringt ALB. GIBAED ( 1 5 9 5 — 1 6 3 2 , Leiden) die E'ormel in seiner Trigonometrie, 1265 aber immer noch ohne Beweis. Neu ist bei ihm die Tatsache, daß aus 4 Sehnen a, b, c, d durch deren Ver1263 1615, S. 194; 1619, S. 144 wird aus a = 10, b = 4, e = 6 , d = 8, e = 1 / 1 0 8 ^ , f = V^HT» aber i = j / 4 1 0 - 8 . 6 = ]/l92Ö berechnet. 1 2 63» 1615, S. 190; 1619, S. 140, Z. 3—5, Quanto operosior est haee vulgata ad investigandam arearn via, tantum hoe nostrum, theorema benevolo lectori futurum speramus. — 1263b V CEULEN 1257 1 6 1 9, S . 70, Problema 35 in der Abhandlung: De figurarum transmutatione et sectione. — 1263c Daselbst S. 71, Z. 16. — 1 2 6 4 Quaestiones532, 1265 484 Marburg 1618. — Vgl. H. BOSMANS , La trigonomitrie D'ALB. GIKARD, L a H a y e 1626. Mathesis 40, 1926, S. 337—439.

166

Besonderer Teil.

tauschung drei gleichgroße Vierecke gebildet werden können, von denen immer je 2 eine Diagonale gemeinsam haben. Statt 6 Diagonalen gibt es also nur 3. Heißen diese e, f, g, so gilt nach GIRARD die Beziehung

(r der Umkreisradius); ferner ist nach ihm 2 ~V(ab + cd) (ae + bd){ad + bc) _ * V(s - a) (s - b) (s - cY(s- d) In den nächsten 100 Jahren wird der Inhaltssatz sehr selten angeführt, so bei OZANAM 1 6 9 7, 1266 gleichsam als hätten die Mathematiker eine Scheu zu gestehen, daß eine anscheinend so einfache Beziehung, von deren Richtigkeit man sich durch Proben stets überzeugen konnte, immer noch nicht allgemein hatte bewiesen werden können. — Endlich, 1727, gelingt ein Beweis 1287 dem jüngeren PHILIPP NAUD:6 ( 1 6 8 4 — 1 7 4 7 ) , dessen Vater gleichen Namens ( 1 6 5 4 bis 1729) Religionsschwierigkeiten wegen mit seiner Familie aus Frankreich nach Berlin geflüchtet wax; beide waren nacheinander Mathematiklehrer am Joachimsthalschen Gymnasium und Mitglied der Berliner Akademie. 1740 veröffentlicht er einen zweiten Beweis; 1268 im ersten ( 1 7 2 7 ) wird bewiesen Ϊαβοώ = + b + c — d) [a + b — c + ct)(a — b + c + d)(— a + b + c+d) im zweiten (1740) wird auf die heronsche Formel für ein Dreieck zurückgegriffen und gezeigt: ^ ABC D = ißAD + ^BCD > 1269 EDLER gibt 1 7 5 0 einen dritten Beweis; dabei spricht er aus, „daß ein Beweis an sich nicht schwer sei, wenn Analysis zu Hilfe genommen werden kann', aber die, die nach geometrischer Methode arbeiten wollen, finden die größten Schwierigkeiten. NAUKß hat nicht wenig in dieser Richtung gearbeitet und einen doppelten Beweis in der Mise. Berol. beigebracht. Beide sind nicht allein sehr verzwickt und mit einer großen Menge von Hilfslinien Überhäuft, so daß man nur mit größter Aufmerksamkeit folgen kann, enthalten aber auch ziemlich starke Spuren der Analysis— EULERS Beweis ist bereits erheblich einfacher, benutzt die Analysis 1266 Cours de maihimatiques, Tome III 4 , Paris 1697, S. 147. — 1 2 6 7 Demonstratio trium Theorematorum, Mise. Berol. T. III, 1727, S. 259—270. — 1268 Problema geometricum de maximis in figuris plants. Misc. Berol. Τ. VI, 1740, S. 217—285. — 1 2 6 9 Variae demonstrationes geometrieae. Nov. Comm. Petrop. I ad 1747 et 1748, Petersb. 1750" 1 , S. 49, § 12.

Der

Kreis.

167

aber auch noch ergiebig. Handelt es sich um das Sehnenviereck AB CD, so verlängert er AB und CD bis zum Schnittpunkt F. iBFC und iADE kann er mit der heronschen Formel einzeln berechnen, der Unterschied ist i^BCD• — Wiederum einfacher ist der Beweis von L h u i l i e b (1782), 1 2 7 0 der auf die Figur Y i e t a s (S. 158) geschickt zurückgreift. Besonders klar werden die. Ableitungen durch die Einführung trigonometrischer Funktionen, wie sie N. Fuss 1797 erstmalig benutzt, vorbildlich bis auf die Gegenwart (Fig. 25).1271 Aus o2 + b2 - 2 ab cos β

AG=

= c2 + d2 +

folgt cos/9 =

2cdcoüß

ο2 + V - c* - cP 2 (ab + cd)

Fig. 25.

Durch Einsetzen von cos rß,' wird dann A& = 4 (c + dι* - (a - i) 2(β - o)fs 1 — COS β

=

2 (ab + cd) (a + bγ - je - df 2 (ab + cd)

1 + cos β = also siD/92 = ( l - cosß)(l+co*ß) = Durch AC — 2 r sin β wird (2 rf

=

AXf smß2

+ 6abβ) +- iac! + cd

2 (s - c)(s - d) (ab + cd) b

(ad + bc\(ac + bd) (ab + cd)

^

ferner

b)

(ab + cd)

-

bd)

(Fuss benutzt statt s)1271a

k

(s — a)(s — b) (s — c) (s — d).

(ab + cd)4 4 (s - a)(s - b)(s ~ c)( s - d) '

ι / M T cd) (ac + bd) (ad + bc) 4 lf ( s - a) (s — b)(s — c)(s — d) Ferner ist Δ ABC = \ ab sin β und Δ AD C = \ de sin(180 - ß). Mithin die Summe iABCD = V(« — «)(* — b ) ( s — G ) ( s — «*)·

Wenig unterschiedlich ist L e g e n d b e s Ableitung (1799). Für die Summe der vier Seiten führt er 2 p ein.1272 Neu ist bei ihm - a) (s - b) c) (s -d) 1270 j)e relatione mutua capacitatis et terminorum figurarum. Varsavia 1782, S. 19 ff. — 1271 De quadrilateris, quibus circulum tarn inscribere quam circumscribere licet. Nov. act. Petr. X, Peterab. 1792 Math. S. 103—125. — 1271 * S. 105, Ζ. 3: Denotante Κ semisummam omnium laterum. — 1272 Clements de geom.53s. 2. Aufl. Paris, an. VIII, Note VI, Probl. 2, S. 334—335.

168

Besonderer

Teil.

(1826) 1273 fällt wie V I E T A von einer Ecke (ζ. Β. B) aus die Lote BE und BF auf die gegenüberliegenden Seiten. Durch Benutzung des allgemeinen pythagoreischen Satzes vermeidet er die Trigonometrie, wird aber dadurch unübersichtlicher. E . W . G R E B E 1 2 7 4 (1831) bringt nur die Formeln für i, r und die GiEARD sehen Ausdrücke der bei Vertauschung der Seiten möglichen drei Diagonalen, ohne Beweise. V. SwiNDEN nm9 , sonst so reichhaltig, bringt nur die Formeln für die Diagonalen e - f und e: f, aber nicht die große Inhaltsformel. 0 . SCHLÖMILCH (1849) 1276 leitet sie an der Figur 23 VON C E U L E N S (vgl. S. 163) ab. J . F I E D L E R (1849) 1276 ist historisch gut orientiert; in seinem Beweis für die Wurzelformel schließt er sich dem Gedankengang E U L E R S an. Ihm folgt wieder CRELLE

1851

C.

L.

A.

KUNZE.

1277

BALTZER

(1862) 1278

lehnt sich an C R E L L E an, H . GRASSMANN (1865) 1279 an Fuss. E. M A R X (1874) 1280 sucht einen neuen Weg: Entsprechend dem arabischen Beweis der drei Brüder für die heronsche Dreiecksformel konstruiert er für das Sehnenviereck die 4 angeschriebenen Kreise und benutzt die durch sie gebildeten Seitenstrecken. Der Beweis ist aber keineswegs einfacher als die oben aufgeführten. E. HAMMER bietet in seinem Lehrbuch 1897 nichts Neues; 1281 in der Encyklopaedie VON W E B E R U. W E L L S T E I N 5 4 I I wird die Aufgabe anders gefaßt: „Ein Viereck bilden aus den vier Seiten und der Summe zweier gegenüberliegender Winkel" 1282 (Fig. 26). Die gegebenen Seiten heißen a, b, c, d und die Winkelsumme sei α + γτ der Flächeninhalt i. Dann ist gegeben 1. e2 = α2 + b2 — 2abcosce = c2 + d2 — 2edcos/, 2. ι (α2 + b2 — e2 — d2) = ab cos a — cd cos γ 1 die Quadrate von 2. 3. 2 i = ab· sin a + cd sin γ J und 3. werden addiert. Lehrbuch der Elemente11™, Bd. I, § 178, S. 146 f. — 1 2 7 4 De quadrilatero cireulari observationes quaedam, Marburg 1831. — 1 2 7 5 Grundxüge einer toissenschaftlichen Darstellung des Maßes, I. Planimetrie und ebene Figuren. 1. Aufl. 1849, 4. Aufl., Eisenach 1868. — 1 2 7 6 Ober einige merkwürdige Eigenschaften des Sehnenvierecks. Progr. Gymn. Leobschütz, Neustadt 1849. — 1 2 7 7 Lehrbuch der Geometrie. I. Planimetrie. Jena 1851. — 1 2 7 8 Bd. II, 1. Aufl. 1860/62 1 1 1 2 4 — 1 2 7 9 H. GBASSMANN, Lehrbuch der Trigonometrie f. höh. Lehranstalten, Berlin 1865, S. 70. — 1 2 8 0 Dreieck und Sehnenviereck, Progr. Gymnas. Friedland, Friedland 1874. — 1281 Lehrbuch der ebenen u. sphär. Trigonometrie. 2. Aufl., Stuttgart 1897, § 29. — 1 2 8 2 Bd. II, 1905, S. 329. 1273

Der

169

Kreis.

4. 4 i 2 + l (α2 + b2 - c 2 - d2)2 = a2b2 + c2d2 -2abcd

cos (« + / ) .

Nun ist α2δ2 + e3d2 = (αδ + cd)2

-

also 4i2 + ι (a2 + b2-c2-d2)

= [ab + cdf - 2abcd-2abcdcos(a 2

= (αft+ cd) — 2abod(l

+ γ)

+ cos[> -f y])

und weiter 16i 2 = [(α + δ)2 - (c - ώ)2] [(α - δ)2 + (c + a3, rmbe bes yft gar tmredjt. (Ich habe viel Laien messen sehen, die das Messen nicht konnten, sondern sie wollten immer eine liegende Seite (Grundlinie) eines Dreiecks multiplizieren in eine halbe, die daran stößt. Und das ist ganz falsch.) — 1 3 5 2 Allein Def. 1 von Buch II 1311 deutet auf den Inhalt eines Rechtecks hin.

177

Flächenberechnung und Flächenvergleichung.

bücher gegeben haben, die die praktische Seite, die Geodäsie, wie man im Gegensatz zur Geometrie seit ARISTOTELES 1353 sagte (S. 46), behandelten; außer den echten und unechten Sammlungen des Alexandriners HEBON (erstes Jahrhundert v. Chr.) ist indes nichts auf uns gekommen. Erschöpfend ist bei HEBON die Behandlung von Berechnungsaufgaben geradliniger Flächen. In den Geometrica, die unter dem Namen H E B O N s nur in einer schwächlichen kompilatorischen Überarbeitung eines späteren theoretisch wenig geschulten byzantinischen Schriftstellers erhalten sind,1354 wird methodisch mit dem Quadrat, dessen Fläche und Diagonale aufgesucht werden, begonnen;1355 bei dem Rechteck erledigt der Verfasser dieselben Fragen, bestimmt aber noch umgekehrt aus dem Inhalt und der einen Seite die andere. 1356 Nun kommt das rechtwinklige Dreieck an die Reihe. Er nimmt zwei Seiten als gegeben an, berechnet damit die dritte Seite und den Inhalt, geht aber auch vom Inhalt und einer Kathete aus, während er den Fall, daß Hypotenuse und Inhalt bekannt sind, übergeht. Insbesondere weiß er, daß man den Inhalt durch das halbe Produkt der beiden Katheten finden kann.1357 Beim gleichseitigen Dreieck wird aus der Seite Inhalt und Höhe gefunden, wobei abgerundete Wurzelwerte (siehe Bd. I I , S. 169 f.) benutzt werden.1358 Die entsprechenden Aufgaben, Inhalt und Höhe aus den Seiten zu finden, erscheinen auch beim gleichschenkligen Dreieck. 1359 Beim allgemeinen Dreieck wird, wenn die drei Seiten gegeben sind, erst die Höhe und dann der Inhalt gesucht oder aber die sogenannte Heronische Formel unmittelbar angewendet.1360 Nunmehr folgen wieder Vierecksberechnungen. Aus einer Seite und einer Diagonale ergibt sich beim Rhombus die andere Diagonale1361 und als halbes Produkt der Diagonalen der Inhalt.1362 Neue Rechtecksaufgaben schließen sich an, wobei oft die Rechtecke in verschiedenartige Teile zerschnitten werden.1363 Der Inhalt allgemeiner Parallelogramme wird aus den Seiten und einer Diagonale bestimmt, indem erst wie beim Dreieck eine Höhe gesucht und dann jedes Teildreieck berechnet oder das Parallelogramm durch Senkrechte in drei Teile, ein Rechteck und zwei Metaphys. II, 2, Berl. Akademieauag. 16 , Bd. II, 1831, S. 997 rechts, Z. 26—27, 32. — 1 2 5 4 Vgl. E. HOPPE, Ist HEBON der Verfasser . . .m279.

1353 ARISTOTELES,

— 1355 HEBON, Geometrica, Op. 4 I54S , ed. HEIBEBG, S. 200—207. — 1 3 5 6 D a selbst S. 207—210. — , 3 " S. 210 — " 5 8 g. 222—223. — 13B9 S. 228—233. — 1 3 6 0 S. 234ff.; Heronische Formel angewendet z . B . S. 248. — 13 6' S. 268—274. —

I3 62

S. 270, Z. 4—5. —

TROPFKE, Geschichte.

IV.

,3 63

3. Aufl.

S. 274-286. 12

178

Besonderer Teil.

rechtwinklige Dreiecke, deren Flächen einzeln ausgewertet werden, zerschnitten wird. 1364 Bei Paralleltrapezen wird nach der Formel · h verfahren, aber auch von Zerlegungen vielfältiger Gebrauch gemacht. So werden bei einem rechtwinkligen Paralleltrapez vier Wege eingeschlagen: zuerst erscheint die oben angeführte Formel, dann wird die ganze Figur in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck, zuletzt durch jede der beiden Diagonalen in zwei Dreiecke zerlegt.1385 Bei gleichschenkligen Trapezen wird nach Berechnung der Höhe ähnlich vorgegangen.1366 Das Zerschneiden allgemeiner Vierecke paßt sich ihrer Form an; besondere Aufmerksamkeit wird auf etwa vorhandene rechte Winkel gerichtet1367. In der Darstellung vollendeter, vielfach durch Beweise der gegebenen Eechenvorschriften an Zahlenbeispielen erläutert, tritt uns die Heronische Flächenmessung in der erst 1903 veröffentlichten, ihm sicher zuzuschreibenden Vermessungslehre (Metrika)1368 entgegen. Wir beschränken uns auf einen Auszug der hierher gehörigen Kapitel aus dem ersten Buch der Metrika. HEBON beginnt mit der Beschreibung der erforderlichen Maßeinheiten und begründet, warum quadratische Maße gewählt werden. Dann lehrt er die Berechnung eines Rechtecks mit der heute noch üblichen Zerlegung in Maßquadrate durch entsprechende Parallelschnitte. Er zeigt, daß das rechtwinklige Dreieck (Beispiel: Katheten 3, 4) die Hälfte eines Rechtecks ist, ebenso das gleichschenklige Dreieck (Beispiel: 10, 10, 12). Bei beiden benutzt er den Pythagoreischen Lehrsatz. An dem ungleichseitigen Dreieck prüft er mit Hilfe von . Der Beweis HERONS (um 100 v. Chr.) ist der gleiche.1472 Daß EUKLID die geometrische Beweisform, die erst GREGORIUS von St. Yincentius (1647)1473 bringt, nicht gekannt hat, ist unwahrscheinlich; es muß Absicht vorliegen, daß er diesen mehr rechnerischen Beweis gebracht hat, und diese Absicht kann man dadurch erklären, daß das ganze zweite Buch der Elemente eigentlich eine Zusammenstellung algebraischer Operationen in geometrischer Einkleidung ist, wie es Bd. II, S. 119f. geschildert wurde. Sehr verschieden ist die Form, die diesem verallgemeinerten Pythagoreischen Lehrsatz später von den einzelnen Schriftstellern gegeben wird. Bei HERON (erstes Jahrhundert v. Chr., Alexandria) tritt er auf in der Berechnung der Abschnitte, in die eine Seite durch die zugehörige Höhe zerlegt wird. Fällt diese Projektion der Nachbarseite auf die Dreieckseite selbst, so rechnet HERON nach der Vorschrift: „ _ 62 + ~ c ' -ι«* p i ~ "

2α

liegt die Höhe aber außerhalb des Dreiecks, so ist das betreffende durch „ = ft' + o ' - Q ' 1475 2a S. 154—157, Π, 12, f. stumpfwinkliges Dreieck; S. 159—161, II, 13, f. spitzwinkliges Dreieck. — 1 4 7 2 ANARITIUS 1 1 4 0 0 , S. 108, Z. 11—12: Yrinus ... dixit figuram esse probandam eo modo, quo eam probavit EUKLIDES. — 1 4 7 3 Opus geometrieumllim, I, 2, prop. 44 u. 45, S. 31—32. — 1 4 7 4 H E R O N , Metriea, Ι8ϋβ Opera 3 , S. 12; Geometriea, Opera 4 1 5 4 3 , ed. HEIBERG S. 220, Z. 5—15; S. 234, 1—17; S. 238, Z. 9 bis S. 239, Z. 7 u. ö. — 1 4 7 5 HERON, Metriea, Opera 3 1 3 0 8 , S. 14; Geometriea, Opera 4IM8, ed. HEIBERQ, S. 250, Z. 16ff.

200

Besonderer

Teil.

zu bestimmen. Später (pseudoheronische Geometrie) stellen sich die Fachwörter άποτομή (praeeisura; auch casus)14,7 e und έκβλη&εϊσα 1477 [ejeetura) für pi bez. pa ein. Wie H E R O N verfuhren einerseits die römischen Agrimensoren1478 (erstes und zweites Jahrhundert n. Chr.) und die aus ihnen schöpfende, dem B O E T I U S untergeschobene Geometriehandschrift (elftes Jahrhundert n. Chr.),1479 anderseits aber

auch die indischen Mathematiker wie B B A H M A G Ü P T A (geb. 5 9 8 n. Chr.) und B H Ä S K A E A (geb. 1 1 1 4 n. Chr.).1480 1481 M A H Ä V I E I ( 8 5 0 n. Chr.) rechnet

/

¥

-

h = ]/δ2 - ρ2

= -j/c2 -

q2 .

PAPPOS 1482 (Ende des dritten Jahrhunderts n. Chr., Alexandria)

kennt die Form: b2 — c2 = p2 — q2,

die auch bei dem Westaraber ( X Ä B I B LBN A F L A H (um 1145, Sevilla) nachzuweisen ist. 1483 Der älteste Araber, von dem uns geometrische Leistungen bekannt sind, A L H W Ä R A Z M I (um 820 n. Chr.), führt in den geometrischen Kapiteln seiner Algebra die Inhaltsberechnung eines Dreiecks mit den Seiten 13, 14, 15 algebraisch durch.1484 Ist der Liber embadorumli6i, S . 5 0 , 23; von ihm entlehnt das Wort 1694 LEONARDO von Pisa, Seritti II , S . 35. — 1 4 7 7 M . JUNIUS NIPSUS (zweites Jahrh. n. Chr.), Schriften der römischen FeldmesserI462, I, S. 297. Gefälschte BOETIUS Geometrie (Handschrift aus dem elften Jahrhundert) BOETIUS 1 7 3 , S . 407, 20. — 1 4 7 8 Vgl. CANTOB L 3 , S . 554f. — 1 4 7 9 BOETIUS, Ars. geom.173, ed. FRIEDLEIN S . 407, Z . 10ff.; S . 414, Z. 22ff. — > 4 8 0 BBAHMAGUPTA, Ganita, ch. XII, 22, ed. COIEBROOKE 1 1 1 1 , S . 297; BHÄSKAEA, Lllävatl, ch. VI, 163—166, S . 69—72. — 1481 ed. RANGÄCÄRYAi1u, S. 197, Nr. 49. — 1 4 8 2 Συναγωγή113, lib. VII, prop. 120, § 186, ed. HULTSCH, Bd. II, S . 854, Z . 5ff. — 1 4 « 3 Nach H . SUTEB, Zur Geschickte der Trigonometrie, Bibl. Math. 72, 1893, S. 7, Anm. 2. — 1 4 8 4 Ed. ROSEN«37*, S. 79—81.

1 4 7 6

SAVASOBDA,

Flächenberechnung und Flächenvergleichung.

201

kleinere durch die Höhe erhaltene Abschnitt der Seite 14 gleich x, so erhält er für diese Höhe h h1 = 152 — x2

h2 = 152 — (14 — x)2,

und

die Gleichsetzung führt zu χ = 5, hieraus ergibt sich h = 12 und der Inhalt gleich 84. — Nach Mitteilung des arabischen Astronomen 1485 A I J B I R Ü N I (1086, Buch der Auffindung der Sehnen im Kreise) hat schon A K C H I M E D E S (275—212 v. Chr., Syrakus) in einer uns heute unbekannten Schrift solche Berechnungen durchgeführt und zwar nach der Formel: b2

c2

-

4- a

a Pi =

2

(um 1 1 0 0 η. Chr. Barcelona, jüdischer Gelehrter) rechnet nach der Doppelformel: SAVASOKDA

a Vi, α —

.

b2 — C2

2~ ±

I486

2a

Dieselbe Vorschrift wird in einer anonymen Abhandlung aus der Mitte des fünfzehnten Jahrhunderts befolgt. 1487 L E O N A R D O von Pisa (Practica geomeiriae, 1220) 1476 hat: b + c f b + c

=

\

2

Η

\

η , a + y

2 daneben noch die Heronische und Archimedische Formel; die letztere hielt er für die beste. 1488 Dann kennt er auch die Berechnung für den Fall, daß die Höhe außerhalb des Dreiecks fällt; auf geometrische Beweise legt er großes Gewicht. In der Essenz der Rechenkunst des Persers B E H Ä E D D I N ( 1 5 4 7 bis 1622) 1489 tritt uns die Fassung:

a entgegen. Die deutschen Mathematiker ziehen Proportionsform vor, so R H A E T I C U S (1514—1576, Wittenberg): 1490 a:{c + b) = {c-by.(a111431

2 g,),

I486 H. SUTER , Bibl. math. 113, 1910—1911, S. 37. — Liber embadorumI48S, S. 62, Nr. 17. — 1 4 8 7 Ed. CURTZE,1468, Abh. Gesch. Math. 7, Leipzig 1895, S. 41, Z. 13 — 16. — 1 4 8 8 Et hie videtur mihi actior reliquis (und diese erscheint mir handlicher als die übrigen). — 1 4 8 9 Arabisch und deutsch von NESSELMANN1884, Berlin 1843, cap. VI, Meßkunst, Abschn. 1, deutsch S. 31. — 1490 RHAETICUS, De triquetris reetarum linearum in planitie, S. 102 nach

202

Besonderer

VESTA

matieus (1612):

Teil.

Paris, franz. Staatsbeamter) im Canon matheund P. CBÜGEB in der Synopsis trigonomeiriae

(1540—1603; (1579)1491 1492

a: (c + b) = (e -

b): (p. -

q.).

Die letztere Form kommt übrigens auch bei J O B D A N U S N E M O B A B I U S (t 1237 P) vor. 1 4 9 3 Zum Beweis benutzt schon J O B D A N U S den allgemeinen Sekantensatz, indem er um Α mit b den Kreis beschreibt. In der von A L B E R T G I B A B D (1628) deutsch herausgegebenen Geometrie des M A B O L O T S lautet die entsprechende Formel: die schon N E P E B (1614) 1 4 9 6 als bekannt voraussetzt. Im Ceutfdjcn es von H . H O F F M A N N (1653) steht für das rechtwinklige Dreieck {BA J_ CA) die Fassung: fe2: c 2 = p:q

.1496

Es braucht nicht erwähnt zu werden, daß bei allen diesen Schriftstellern die angeführten Formeln nicht in Buchstaben, sondern in langatmigen Sätzen oder nur in Zahlenrecbnungen vorgeführt werden. Die U m k e h r u n g des P y t h a g o r e i s c h e n L e h r s a t z e s für spitz- und stumpfwinklige Dreiecke holt E U K L I D S arabischer Kommentator Α Ν Ν Α Ι Β Ϊ Ζ Ϊ nach 3 4 9 7 (um 9 0 0 v. Chr.), die erstere Umkehrung schreibt er H E B O N ZU. 1 4 9 8 Im Abendland erledigt erst CLAVIUS in seiner Euklidbearbeitung 1574 das Thema. 1499 D e r S a t z vom H ö h e n q u a d r a t , das gleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist, wird von E U K L I D (II, 14) in einer Konstruktionsaufgabe benutzt, eine gegebene geradlinige Figur in ein Rechteck zu verwandeln. Der eingeschlagene Beweis ist, wie beim allgemeinen Pythagoreischen Lehrsatz, mehr algebraisch als geometrisch und beruft sich auf II, 5. H E B O N geht denselben Weg, wie A N A B I T I U S mitteilt. 1500 Der Satz gehört sicher der pythagoreischen Schule; vor E U K L I D ist er indes erst bei P L A T O N (429—386, Athen) nachweisbar, der ihn zu seiner bewegungsgeometrischen Lösung der Würfelverdoppelung benutzt (vgl. S. 109). CH. F E . PFLEIDERER, Ebene Trigonometrie111419,

S. 9 0 und 3 7 3 . — 1 4 9 1 Canon mathematieus seu ad triangula cum appendicibusI1C97, Lutetiae 1 5 7 9 (1589, 1 6 0 9 Titelauflagen) 5 Unwersalium inspectionum Uber, S. 28 (unrichtig 33 paginiert). — ' « 2 SynopsisΙ34β, cap. VI, Nr. X I X , S. 162. — ' « 3 £)e iriangulis111*69, IV, 25 ed. CURTZE, S. 4 5 . — 1 4 9 4 Theorem VIII, S. 64 M 4 . — 1 4 9 5 DescriptioΙΙ10β, Π, 2, prop. 6, S. 27; auch BRIGGS, Arithmetiea logarithmica11 M S , 1614, cap. XVIII, S. 48, N r . 2. — 1499

Η "

V, § 25, S. 75

—

I 4 9 ' ANARXXIUS«4"0, S. 1 0 9 — 1 1 0 .

—

Daselbst, S. 110, Z. 6 ff. — ' 4 9 9 II, 13. Scholion" 193 , Opera1 eso , 1612, S. 98.

1500 ANARITIUS 11400 , S. 110, Z. 27.

Flächenbereohnwng

und

Flächenvergleichung.

208

Die g e o m e t r i s c h e B e h a n d l u n g der F o r m e l : (α + δ)2 = α2 + 2αδ + δ3 steht in EUKLIDS Elementen im zweiten Buche, Satz 4 ; die Umkehrung bringt ΑΝΝΑΙΒΪΖΪ. 1 5 0 1 Bei beiden vermißt man die entsprechende Durchführung der Formel (a — Vf. Sie fehlt auch noch in der so gewissenhaften und reichhaltigen Euklidbearbeitung des CiiAVius ( 1 5 7 4 ) 1 1 1 9 3 , ferner in den Elementarbüchern des achtzehnten Jahrhunderts. Sie erscheint im Euclides reformatus von ANGELO DE' MABCHETTI ( 1 7 0 9 ) , 1 5 0 2 dann wurde sie von LEGENDBE ( 1 7 5 2 — 1 8 3 3 , Paris) in die Elemente1503 (17 9 4) aufgenommen. Der jüdische Gelehrte SAVASOBDA (um 1 1 0 0 n. Chr., Barcelona) gibt allerdings in seinem Liber embadorumIiei ( 1 1 4 5 von PLATO von Tivoli übersetzt) die Regel O2 + b2 = (Α = bf + 2ab als Zusatz zu EUKLID I I , 7 ; 1 5 0 4 sein Werk ist aber im Mittelalter nur so weit bekannt geworden, als LEONABDO von Pisa ( 1 2 2 0 ) es in seiner Qeometria practica1694 ausnutzte. Den fraglichen Satz hat LEONABDO gerade nicht übernommen. — Der geometrische Satz (a + b)(a — b) = a% — b2 erscheint ebenfalls bei ANGELO DE' MABCHETTI ( 1 7 0 9 ) . 1 5 0 5 Gegen die Aufnahme solcher mehr algebraischer Sätze in die Geometrie wendeten sich ausdrücklich J . CHB. STUBM ( 1 6 7 0 ) , 1 5 0 6 GILBERT, 1 6 0 7 CBELLE ( 1 8 3 3 ) 1 5 0 8 u. a. (vgl. B d . I I , S. 124).

Für die Größe der S e i t e n h a l b i e r e n d e n ta gilt die Formel: +

=

2(|)2+2*α2.

In EUKLIDS Elementen sucht man einen entsprechenden Satz vergeblich. Erst PAPPOS (Ende des dritten Jahrhunderts v. Chr., Alexandria) fügt ihn dem Bestand der Elementarmathematik als Ergänzung hinzu. 1609 Auf ihn beruft sich CLAVIUS (1574) in seiner Euklidausgabe. 1510 DESCABTES hat erstmalig einen algebraischen Ausdruck für die Seitenhalbierende hingeschrieben: -\vq

+

\μq,

wo λ, μ, ν die Größen der Seiten sind, Xq = λ2, vq — vz, μq = μ2 bedeutet. 1511 In Lehrbüchern kommt der Satz sehr selten vor, abANARITIÜS"400, S. 9 3 — 9 4 . — '502 Nach M. SIMON, EÜCLID und die sechs planimetrischen BücherS. 71. — 1 5 0 3 Clements638, III, Satz 9. — 1 5 0 4 Ed. 1488 CURTZE , S. 42, Z. 15—22. — «OB Vgl. Anm. 1502. — 1 5 0 6 Archimedesübersetzung1811, S. 45f. — 1 5 0 7 Geometrie I " 789 , Buch III, Lehrsatz 11, Anm. 288. _ 1608 Übersetzung der LEGENDREsehen Elemente 111624b , 2. Aufl. 1833, S. 73 Anm. — « 5 0 9 Σνναγωγή113, lib. VII, prop. 122, § 188, ed. H U L T S C H , Bd. II, S. 856—858. — «ΙΟ Ii, 1311m r e gula VII. Opera1630, 1612, I, S. 101. — 1611 (Euvres de DESCARTES, ed. ADAM et TANNERY 1 0 Ι Μ Ϊ , S. 2 9 2 . Exeerpta matke1501

Besonderer Teil.

204

gesehen von der neueren Zeit, so bei L. PUISSANT (1801), 1 5 1 2 MEIER HIRSCH (1807), 1 5 1 3 J . A. GRUNERT (1834). 1 5 1 4 TERQUEM findet 1 8 4 2 : 3(o2

+

b2 +

eaj

_

4{ta2

+

t*

+

^1515

Berechnung von Winkelhalbierenden finden sich sehr spärlich, nur bei ganz begeisterten Rechnern wie LUDOLPH VAN CEULEN (1619), 1 5 1 6 der auch die Stücke berechnet, in die sich die drei Winkelhalbierenden durch ihren Schnittpunkt zerschneiden. Den Namen S a t z des PAPPOS1517 trägt noch heute ein Satz, der ähnlich, wie der Pythagoreische Lehrsatz Quadrate addieren lehrt, so Parallelogramme zu einem neuen Parallelogramm zusammenzusetzen zeigt. PAPPOS hatte ihn seiner Sammlung am Anfang des vierten Buches eingereiht. 1518 Auch in der neueren Zeit wird dieser Satz nur zuweilen aufgenommen, ζ. B. von CLAVIUS (1574),1519 GILBERT (17 9 8),1520 TELLKAMPE (1829),1521 VAN SWIN1522 DEN-JACOBI (1834\ Interessant ist folgender, heute in den Elementen nicht mehr benutzter Satz: Wird durch die Spitze C eines gleichschenkligen Dreiecks eine beliebige TransFig. 42. versale CD gelegt, so ist das Produkt der Basisstücke vermehrt um das Quadrat der Transversalen, gleich dem Quadrat des Schenkels, also uv + t2 = α2. 1523 EUKLID führt diesen Satz in den Data 67 in einer Weise an, daß man ihn als ganz bekannten Satz ansprechen muß, etwa aus vor euklidischen Elementen. Derselbe Satz wird auch bei ALBIRÜNI matica. Die Schrift stammt aus der Zeit vor der Geometrie ( 1 6 3 7 ) . DESCABTES benutzt die ältere von CLAVIÜS entlehnte Schreibart für die zweite Potenz. Vgl. CEuvres 1 0 1 8 4 2 , S . 2 4 7 , Anm. b. — 1 5 1 2 Recueil de diverses propositions de geometrie resolues par Γ analyse algebrique (2. Ausg. 1 8 0 9 ) , Paris 1 8 0 1 , § 2 4 , S. 24. — 1513 Sammlung geometrischer Aufgaben1198, 1IT, Berlin 1807, § 264. — ml3i '514 Lehrb. f . mittl. Kl. , IIb Geometrie § 174. — 5 , 5 Considerations sur le triangle reetiligne. Nouv. Ann. d. math. 1, Paris 1842, S. 87. — 1516 Fundamenta . . . 1 8 5 7 , 2 . Aufl., 1 6 1 9 , De xetematum geometricorum epilogismo, S . 8 5 bis 1 3 4 ; 1 0 , Zetema, S . 1 0 2 . — 1 5 1 7 Vgl. H . WIELEITNEK, Mathem. Quellenbücher I I 1 1 1 4 0 9 , S . 1 2 — 1 4 . - 1518 Lib. I V , § L 1 1 3 , ed. HULTSCH, Bd. I , S . 1 7 6 — 1 7 8 . 1630 _ 1519 ΧΙΙΙΒ3) PJ-OP. 4 7 - Opera , I , 1 6 1 2 , S . 7 9 mit Bezugnahme auf PAPPOS. 11 9 1520 Geometrie ™ , I , Buch I I I , S . 1 5 ; S . 2 9 8 mit Bezug auf CASTILLON, Propositions de geometrie et de trigonometrie elementaire. M6m. Ac. Berlin 1766, S . 3 5 4 . — '521

— '523 Opera

Vorschule1*63, 6»«

2A

,

§ 273,

S . 1 2 4 , Z.

3f.

1 ohne Namensnennung.

—

'522 S.

13IIM9.

Flächenberechnung und Flächenvergleichung.

205

(973—1048, Afghanistan) benutzt an einer Stelle, die offenbar aus ARCHIMEDES entnommen ist. 1824 Der Beweis, den A L B I R Ü N I hier gibt, stimmt überein mit dem eines Data-Scholiasten1525. Aus E T J K L . El. II. 5 (vgl. Bd. III, S. 57) folgt: uv + DE1 = EB2, woraus sich durch Addition von h2 auf beiden Seiten sofort ergibt: uv + t2 = a2, da DE2 + h2 = t2 und KB2, + h2 = a2 ist. Es ließe sich noch eine größere Anzahl weiterer Flächensätze aus den Schriften der verschiedenen Autoren sammeln und hier anführen. Sie haben indes in den Elementen zu selten einen Platz gefunden, als daß wir hier näher auf sie einzugehen brauchen. Wir beschränken uns auf Erwähnung des ganz allgemeinen Satzes (P. G E R W I E N , 1 8 3 3 ) , daß zwei f l ä c h e n g l e i c h e , g e r a d l i n i g begrenzte F i g u r e n sich durch H i l f s l i n i e n s t e t s so in E i n z e l s t ü c k e z e r s c h n e i d e n l a s s e n , daß je einem Stück der einen F i g u r ein k o n g r u e n t e s Stück der anderen F i g u r e n t s p r i c h t und also die zweite Figur aus den Teilfiguren der ersten Figur unmittelbar zusammengesetzt werden kann.1526 Eine derartige Zerschneidung ist S. 194—195 für den Pythagoreischen Lehrsatz angegeben worden. Derselbe allgemeine Satz gilt auch für sphärische Figuren, läßt sich aber nicht auf volumengleiche Körperstücke übertragen (vgl. Stereometrie). Eine sehr bedeutende Neuerung, die die Lehre von der Flächengleichheit A. F. M O E B I U S (1790—1868, Leipzig) verdankt, ist die s t r e n g e U n t e r s c h e i d u n g zwischen einem positiv und einem negativ zu nehmenden I n h a l t (vgl. S. 64), je nachdem der Umfang der betreffenden Figur in dem einen oder anderen Sinne durchlaufen wird.1627 Schon vor M O E B I T J S hatte C E E L L E (1826) in einer Druckschrift auf die Notwendigkeit dieser Unterscheidung aufmerksam gemacht; er hatte aber nicht den Umlaufsinn zu Hilfe genommen, sondern seine Betrachtungen unmittelbar an der Formel ab (Inhalt eines Rechtecks) angestellt. 15273 Vgl. F. TROPFKE, ARCHIMEDES und die Trigonometrie"Ι49ϊ, S. 438. — IM92a 1 5 2 5 Opera 6 , S. 296. — 1 5 2 6 P. G E H W I E N , Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren in die selben Stücke. J. r. ang. Math. 10, 1833, S. 228—234; für sphärische Figuren S. 235—240; vgl. femer Δ. GÖPEL, Über Teilung und Verwandlung einiger ebener Figuren; Arch. Math. Phys. 4, Greifswald 1844, S. 237. H. VOGT, Über Gleichheit und Endlichgleichheit von Prismen und Pyramiden, Progr. Friedr.-Gymn. Breslau 1904, bringt S. IV, Anm. 1 weitere Literatur. W. KILLING U. H . H O V E S T A D T 5 4 , 1, § 5, S. 7öff. Die ältere Literatur bei M. SIMON, Z. math. nat. Unt. 19, 1888, S. 401 bis 408. — 1 5 2 7 A . F . MOEBIUS, Der barycentrische Calcül434, Leipzig 1827, Abschn. I , cap. 2, § 17; Werke, I« 4 , S. 39—40. — «27· Elemente11™, I, § 168, S. 132f. 1524

206

Besonderer Teil.

Die ersten Untersuchungen über den F l ä c h e n i n h a l t ü b e r s c h l a g e n e r V i e l e c k e enthält eine Abhandlung des Göttinger Professors FE. MEISTER (1724—1788), Generalia de genesi figurarum planarum et independentibus earum affectionibus (17 6 9).1628 Eine für alle Arten von Figuren passende Flächenberechnungsformel stellte GAUSS (1777—1855, Göttingen) auf. 1539 Ausführlich geht MOEBIUS auf diesen Gegenstand ein. 1530 Das Ηauptauwendungsgebiet der Flächensätze lag bei den Alten in den F l ä c h e n v e r w a n d l u n g s - und F l ä c h e n t e i l u n g s a u f g a b e n . Es scheint bereits in der Schule des PYTHAGOEAS (sechstes bis fünftes Jahrhundert v. Chr.) die V e r w a n d l u n g e i n e s b e l i e b i g e n P o l y g o n s i n e i n Q u a d r a t (EUKLID I I , 14), wie die H e r s t e l l u n g e i n e r F i g u r , die einer g e g e b e n e n F i g u r ähnlich, zugleich aber e i n e r z w e i t e n F i g u r f l ä c h e n g l e i c h i s t (EUKLID V I , 25), geleistet worden zu sein. So beruft sich ANTIPHON (um 430 v. Chr.) bei seiner Kreisquadratur, die er geometrisch durch ein sich dem Kreise möglichst eng anschmiegendes regelmäßiges Polygon zu erreichen suchte, darauf, daß man ein solches Polygon in ein Quadrat zu verwandeln bereits in den Elementen lerne. 1531 Sehr wahrscheinlich aber geht diese Aufgabengruppe noch viel weiter zurück, bis in die altbabylonische Zeit. Sind uns doch Zerlegungen von Flächen, wie rechtwinkliger Dreiecke in Parallelstreifen unter bestimmten Bedingungen aus der Zeit um 2000 v. Chr. bekannt. 1532 Dadurch läßt sich auch leicht die Kenntnis altindischer Mathematiker in der Flächenzerlegung erklären. 1533 Einesteils bot diese Aufgabengruppe an und für sich durch die an den Bearbeiter gestellte Anforderung großer Gewandtheit im

1528 Novi comment. Gotting., Bd. I für die Jahre 1769—1770 (1771), S. 144—180. — 1529 Zusätze zu CARNOTS Geometrie der Stellung435, übersetzt von SCHUMACHER, Altona 1810, II, S. 362, nach K. BALTZER, Elemente111 Bd. II, 3. Aufl., Leipzig 1870, B u c h I V , § 9, 10, A n m . , S. 69.

V g l . P . STAECXEL, GAUSS als

Materialien, B d . 5, Leipzig 1918, S. 94—95. — CalculiU, Abschn. II, cap. 4, § 165, Anm.;

Geometer11689

MOEBIUS, Der barycentrisohe Ges. Werke, I, S. 200—201. —

1530

ftuDio 1 " 9 , Berieht, S. 283, 15: Ήαντι δέ πολνγώνφ ίσον τετράγωνον δννάμε&α &έσ&αι, ώς έν τοΐς στοιχείοις παρελάβομεν (Jedem Polygon können wir ein Quadrat gleich setzen, wie wir in den Elementen gelernt haben). — 1632 O. NEUOEBAUEB, Zur Geschichte der babylonischen Mathematikm,ST, Qu. u. Stud. Β. 1, S. 67—79. — « 3 3 β . DATTA, Contributions11™, S. (7). Zeitangaben, wie 3000 v. Chr. werden aber kaum für indische Mathematik zu beweisen sein. 1631

Flächenberechnung und Flächenvergleiehung.

207

Konstruieren eine ungemeine Fülle von Anregung. Von E U K L I D ist eine ganze Schrift allein über Teilungsaufgaben verfaßt worden, die uns leider nur in arabischen Auszügen bekannt ist.1534 Sie enthielt alle die Aufgaben, die noch im heutigen Schulpensum bevorzugt werden, Dreiecke, Trapeze, Parallelogramme und allgemeine Vierecke durch eine Gerade, die durch einen vorgeschriebenen Punkt geht, sei es einen Endpunkt oder einen Punkt auf dem Umfange, innerhalb oder außerhalb desselben, in gleiche Teile zu zerlegen oder ein Flächenstück bestimmter Größe abzuschneiden, und verwendet nur Vorkenntnisse, die in den Euklidischen Elementen enthalten sind. Andernteils aber muß man annehmen, daß gerade dieser Teil der Geometrie den Griechen ein Mittel in die Hand gab, Aufgaben geometrisch einzukleiden, denen die Mathematik erst allmählich wieder auf algebraischem Wege beizukommen sich gewöhnte. Eine derartige alFig. 43. gebraisch-geometrische Verwendbarkeit weisen die meisten Sätze des zweiten Buches E U K L I D S auf (siehe Bd. II, S. 119f.); ja man kann aus den Aufgaben II, 4, 5, 6; VI, 28, 29 eine altbabylonische Methode zur Behandlung quadratischer Gleichungen herauslesen (siehe Bd. III, S. 51 f.). Wählt man in diesen Sätzen Rechtecke statt der Parallelogramme, so wird verlangt, an eine gegebene gerade Linie AB = α eine gegebene Fläche b2 so als Rechteck ACED anzutragen [παραβάλλειν], daß es nicht AB direkt als Seite besitzt, sondern ein Quadrat CBFE übrig läßt(£ÄAe< xfjig), beziehentlich um ein solches zu groß ist (υπερβολή). Wählt man die heute übliche algebraische Schreibweise, so erhält man die Gleichungen: αχ + χ2 = δ 2 , deren reelle und positive Wurzel die gesuchte Strecke GB liefert. E U K L I D fugte der geometrischen Aufgabe eine Determination bei, b
54» CANTOB L3, S. 108. — 1381

The Rind Mathematical Papyrus sprung auf 1 Elle Erhebung.

1549

EISENLOHB1381, S. 135; Τ . E. PEET, 1549a

, S. 98. — 6kd iat eine Strecke = RückVgl. auch Bd. III, S. 4. Ein babylonischer

Ausdruck Sä,-gal ist mit — ctg α wiederzugeben. Vgl. 0 . NEUGEBAUEB, Vorl. I M

189

%

S. 167. — 0 . NEUGEBAUEB, Die Geometrie der ägyptischen mathematischen Texte3, Qu. u. Stud. Β 1, § 8, S. 435 f. TROPFKE, Geschichte. IV. 3. Aufl.

14

210

Besonderer

Teil.

metrie). Der Winkel bleibt konstant, wenn der Wert des skd derselbe ist; diesen Wert mußte daher nicht nur der Baumeister für die Anlage des ganzen Baus kennen, sondern auch der Steinmetz zur Behauung der Bekleidungssteine, die in die rechtwinkligen Stufen des Rohbaues passend einzufügen waren. Wiederum sind hier Keime einer Ähnlichkeitslehre enthalten, wenn man will, sogar einer Trigonometrie, ohne daß freilich sich die Technik der besonderen Wissenschaft bewußt war. Viel klarer tritt die Ähnlichkeitslehre in der alten Babylonischen Mathematik zu Tage. Keilschrifttexte 1550 zeigen Rechnungen an Figuren — rechtwinklige Dreiecke, die parallel zu einer Kathete in Streifen geschnitten werden —; nach moderner Ausdrucksweise wäre das eine Schar von Parallelen, die von zwei nicht parallelen Geraden geschnitten werden: Der Babylonier hat genaue Kenntnis der Proportionalität der Teilstrecken. Da er zumeist mit rechtwinkligen Dreiecken arbeitet, an denen er sogar den pythagoreischen Lehrsatz auch bei irrationalen Maßzahlen beherrscht, sind ihm sicher auch Proportionen wie a:b = b:c geläufig.1551 Gute griechische Überlieferung weist für die Entstehung der Proportionslehre geradezu auf Babylon hin. (Vgl. Bd. III, S. 4—5.) Noch nicht einmal so viel wie aus Ägypten und Babylon wissen wir von den Anfängen einer Ähnlichkeitslehre in Griechenland. Nicht anzunehmen ist, daß T H A L E S von Milet (um 624 Milet — 548 Athen) bei seinen Höhenmessungen, die er durch Vergleichung der Schattenlänge eines bekannten Gegenstandes mit der des zu messenden (siehe IV 2 S. 74—75) vornahm, theoretische Kenntnisse der zugrunde liegenden Proportionssätze hatte — unsicher, wie weit die Forschungen der Pythagoreer, für die die Flächensätze von der Verwandlung eines Rechtecks in ein Quadrat (II, 14), sogar die Flächensatzformulierung der stetigen Teilung und damit die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks in Anspruch zu nehmen sind, aus der Flächenlehre zu einer Ähnlichkeitslehre gelangten und wie weit sie die Übertragung der ihnen geläufigen Zablenproportionen auf geometrische Verhältnissätze vollzogen. Fest steht erst, daß HIPPOKBATES von Chios (um 440 v. Chr.) Kenntnisse einer wissenschaftlichen Ähnlichkeitslehre besaß, da wir ihn gelegentlich1552 aus der Übereinstimmung zweier gleichschenkliger Dreiecke in dem Basiswinkel auf die Proportionalität der Seiten schließen sehen. Erheblich größer ist der Be1550 o. NEUGEBAUER 111137, S 67—80. —1551 0. NEÜGEBAUEB, Über die Approximation irrationaler 1552

Quadratwurxeln,

HANKEL1188, S. 113.

Arch. f. Orientforschung11985, 7, 1981, S. 96. —

211

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

stand an Sätzen, den wir bei ARCHYTAS von Tarent (430—865 τ. Chr.), einem verdienstvollen Förderer der Proportionslehre (siehe Bd. III, S. 6), nachweisen können; dieser zieht bei seiner Lösung des Würfelverdoppelungsproblems1553 die Proportionaleigenschaft der Abschnitte sich schneidender Sehnen heran und zeigt damit auch seine Kenntnis des allgemeinen Satzes von der Ähnlichkeit der Dreiecke aus der Gleichheit der Winkel, den er übrigens für rechtwinklige Dreiecke bei demselben Problem auch mehrfach unmittelbar benutzt. PLATONS (Athen, 429—348 v. Chr.) Lösung des Würfelverdoppelungsproblems (siehe S. 108—109) lehrt, daß er in den Proportionalitätssätzen am rechtwinkligen Dreieck bewandert war, da er wiederholt von dem Satze Anwendung macht, daß die Höhe die mittlere Proportionale zwischen den Hypotenusenabschnitten ist. Die Ergebnisse, die die älteren Pythagoreer in der Lehre der Ähnlichkeit und der Proportionen erworben hatten, wurden schwankend, als in ihrer Schule die Entdeckung des Irrationalen gemacht wurde und sich ergab, daß die Begriffe Strecke und Zahl nicht übereinstimmten. Man half sich, indem man einmal die bisher mit Proportionen behandelten geometrischen Sätze, ζ. B. den Quadratensatz am rechtwinkligen Dreieck, auf Flächensätze zurückführte, das andere Mal, indem man die Proportionslehre von neuem und allgemein aufbaute (EUDOXOS von Knidos, um 408—355 v. Chr.). Den Stand der griechischen Mathematik nach dieser Umwälzung geben uns die Elemente E U K L I D S . Das fünfte Buch, das die neue Proportionslehre enthält, geht auf EUDOXOS zurück. Das sechste Buch ist eine Sammlung, Überarbeitung und Ergänzung der seit der Zeit der Pythagoreer vom Orient übernommenen oder allmählich aufgefundenen Sätze nach dem neuen Gesichtspunkte. Hier hat E U K L I D selbst wohl auch eingegriffen. Vieles, was in E U K L I D S Elementen nicht enthalten ist, kann bei nach euklidischen Mathematikern, besonders in den Schriften des ARCHIMEDES, nachgewiesen werden, ohne daß es darum zur Zeit E U K L I D S (um 325 v. Chr.) unbekannt gewesen zu sein braucht. Wir haben des öfteren bemerkt, daß bei E U K L I D Sätze der Elementarmathematik fehlen, deren Aufnahme ihm nicht nötig erschien, deren Kenntnis er aber sicher besessen haben muß. Das deutsche Wort ä h n l i c h wird seit dem sechzehnten Jahrhundert üblich (1539, W. SCHMID: 1554 Stmilis öas ift in artfy υπ 1663 N a c h EUDEMOS 2 1 , v o n EUTOKIOS überliefert; ARCHIMEDES, ed. H E I B E R G 1 8 8 8 , 3 1 , S. 84 ff. — 1554 Euklidübersetzung"i 0 5 , S. 28, Z. 20. 14*

212

Besonderer

Teil.

geftalt αίηΐΐφ). Sehr häufig wurde gleichförmig gesagt.

Gut ist das

heutige formgleich (vgl. S. 96).

D e f i n i t i o n des B e g r i f f e s ä h n l i c h e r Figuren 1 5 5 5 deckt sich mit der unsrigen: Ähnliche geradlinige Figuren sind solche, die, einzeln verglichen, gleiche Winkel und an diesen gleichen Winkeln proportionierte Seiten haben (VI, def. l). 155e 1556 E U K L I D beginnt in VI, l mit dem Satz: Dreiecke und Parallelogramme von gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grundlinien. Den Fundamentalsatz der Ähnlichkeitslehre, daß eine P a r a l l e l e zu einer D r e i e c k s s e i t e die beiden a n d e r e n in p r o p o r t i o n a l e S t ü c k e s c h n e i d e t (VI, 2), leitet E U K L I D (oder vielmehr EUDOXOS) nicht wie wir aus jenem Satze, der der bekannten Konstruktion der Teilung einer Strecke in η gleiche Teile zugrunde liegt, ab, sondern er beruft sich auf den vorausgeschickten Satz VI, 1. Beide Sätze sind schon in der voreuklidischen Literatur, bei ARISTOTELES, 1 6 5 7 nachweisbar. Eine ganze Reihe hieraus abzuleitender Sätze vermißt man bei E U K L I D . Mehrere stellen sich als von ARCHIMEDES benutzt heraus, so der Zusatz, daß die P r o p o r t i o n a l i t ä t auch b e s t e h t , wenn die s c h n e i d e n d e G e r a d e nicht die Seiten des D r e i e c k s s e l b s t , sondern i h r e V e r l ä n g e r u n g e n trifft, 1 6 5 8 und die Erweiterungen, d a ß zwei G e r a d e von m e h r e r e n P a r a l l e l e n 1 5 5 9 und zwei P a r a l l e l e n von m e h r e r e n aus demselben S c h n i t t p u n k t kommenden Geraden 1 5 6 0 e b e n f a l l s in p r o p o r t i o n a l e Teile z e r s c h n i t t e n werden; ferner der Satz, daß die G r u n d linie sich zu einer von den N a c h b a r s e i t e n b e g r e n z t e n p a r a l l e l e n S t r e c k e v e r h ä l t wie eine ganze N a c h b a r s e i t e EUKLIDS

1555 Über die Entwicklung der modernen Auffassung des Ahnlichkeitsbegriffes und die entsprechende Literatur vgl. M . ZACHARIAS, Eneykl. d. math. W. I I I , 1556 Α Β 9, Leipzig 1914, S . 890—899. — Ed. HEIBEEG, 2 171i , S . 72: "Ομοια σχήματα εν&νγραμμά έστιν, οσα τάς τε γωνίας ϊσας έχει κατά μίαν και τας περί 1557 τα ς 'ισας γωνίας πλευράς άνάλογον. — HEIBEEG44, Mathematisches %u 1 5 5 8 ARISTOTELES, S. 22. — ARCHIMEDES, ΰερί σφαίρ. κ. κνλ. I , 21, ed. H E I B E E G 1 1 1 , l 2 , S . 88, Ζ. 3; Περί ελίκων, prop. V u. V I I ; ed. H E I B E R G 1 22, S. 20, Z . 2, S. 24, Z. 5 f. — '659 ARCHIMEDES, "Έπιπ. ισορρ. I I , 4; ed. HEIBEEG 111 , 2s, S. 176, Z. 2. — HBQI κωνοειδ. I I , ed. H E I B E E G 1 1 1 , I s , S. 298, Z. 24. — 1 5 6 0 ARCHIMEDES, Τε τραγ. παραβ. V u. X V I , ed. HEIBEEG111, 2 s , S. 272, Ζ. 2 — 4 ; S. 296, Ζ. 9 f. —

Der Satz wird erst von CLAVIUS allgemein aufgestellt (Euklidausg.111 es , 1574» Scholium zu V I , 10; Opera1630 1 6 1 2, S . 254. — ARCHIMEDES benutzt auch an dieser Figur den Satz, daß die entstehenden Paralleltrapeze im Verhältnis der zugehörigen Stücke jeder Parallele stehen. Μερί κων. κ. σφ. 4, ed. H E I B E E G 1 1 1 , l 2 , S. 278, Z . 8 f , und Τετρ. παρ. 14 bzw. 16 ed. HEIBEEG1 l l , 2 2 , S. 286, Z. 2 7 f . ;

S. 296, Z. 9 f.

218

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

zu ihrem nach der D r e i e c k s s p i t z e zu g e l e g e n e n Abschnitt. 1 6 6 1 Einiges holt P A P P O S (drittes Jahrhundert n. Chr.) nach; so beweist er (nebst Umkehrung), daß, wenn man die Endpunkte einer Parallelen zur Grundlinie wechselseitig mit den Endpunkten der letzteren verbindet und durch den Durchschnittspunkt dieser Verbindungsgeraden und die Gegenecke eine Transversale legt, dann die von der Parallelen nicht getroffene Seite durch diese Transversale halbiert wird.1562 Die Verallgemeinerung, daß eine Schar von Parallelen auf sich in einem Punkt schneidenden Geraden proportionale Stücke abschneidet, wird erst in der neueren Zeit, und da auch noch selten, ausgesprochen, s o v o n RAMUS ( 1 5 6 9 ) 1 6 6 3 u n d BOKELLI ( 1 6 5 8 ) . 1 5 6 4

STEVIN

(1605)1565

benutzt diese Satzgruppe, um eine gegebene Strecke AB in η gleiche Teile zu teilen: Auf einer Parallelen zu AB werden nebeneinander von A1 aus η gleiche, aber beliebig große Stücken abgetragen; den letzten Punkt B1 verbinde man mit B, ebenso den ersten A1 mit A. Die Geraden von dem Schnittpunkt {BBy — AAJ nach den Teilpunkten auf A1B1 schneiden die gegebene Gerade AB in η gleiche Teile. In Satz 4—7 des sechsten Buches der E U K L I D sehen Elemente werden' die vier A h n l i c h k e i t s s ä t z e — darunter auch der sogenannte vierte in seiner vollen Allgemeinheit (siehe S. 98) — gegeben. Die moderne Schulmathematik benutzt bei den Beweisen der vier Ähnlichkeitssätze den Satz, daß in jedem Dreieck eine zu der Grundlinie gezogene Parallele ein dem gegebenen ähnliches Dreieck abschneidet; ihn stellt CLAVIUS ( 1 5 7 4 ) zuerst auf. 1588 Bezugsstellen auf die Ähnlichkeitssätze vor E U K L I D finden sich bei 1567 A R I S T O T E L E S für W.W. und S.W. S. In den Data1568 gibt E U K L I D verschiedene, nicht ganz leichte Beispiele zur Einübung von Ähnlichkeitsbeweisen, so Nr. 45: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen in einem Winkel cc und dem Verhältnis seiner Gegenseite zu der Summe der einschließenden 1661 Vgl. J. L. HEIBERG969, Ζ. M. Ph. 24, 1879, Suppl. S. 178, Nr. 4; vgl. diese Abhandlung auch für die Anm. 1558—1566. — 1 5 6 2 PAPPUS, Συναγωγή, VII, 132, ed. HULTSCH113, II, S. 87rt, § 200. — «63 R A M U ^ QeomHriae lib. V, pr. 13, Ausg. 1569, S. 44; ed. SCHONERÜS 1599563, S. 43. — 1 5 6 4 EÜCLIDES restitutus *12, IY, prop. II, Scholium. S. 166. — 1 5 6 5 Tomus V Mathematicorum Hypomnematum de geometrica praxi1016, Lugd. Bat. 1605, I, S. 125, propr. 1. _ 1666 Euklidausgabemes, VI, Theor. 4 corrol., Opera I1 IM0 , S. 44. — 1567 ARISTOTELES 1 6 , S. 876 links, Ζ. 27 ff. nach H E I B E R G 1 2 4 , Mathematisches %u 11492 a ARISTOTELES, S. 22—23. — '568 y g i . EUCLID, Opera 6 , S. 82f.; S. 84 f.S. 152f.; S. 154f.

Besonderer

214

Seiten, kurz («;

Teil.

so Nr. 46: (a;

Nr. 79: {ß-, 6:Äe);

2

Nr. 80: (/?; ac:ft ). Satz 10, 11 und 12 des sechsten Buches E U K L I D S bilden ebenfalls eine zusammengehörige Gruppe. Satz 10 löst die Aufgabe, eine S t r e c k e in gegebenem V e r h ä l t n i s zu t e i l e n , Satz 11 lehrt die K o n s t r u k t i o n der d r i t t e n P r o p o r t i o n a l e n (α:δ = δ:χ), Satz 12 die der v i e r t e n (a:b = e:x), jedesmal unter Anwendung des oben erwähnten Hauptsatzes. Ein Zusatz des Alexandriners P A P P O S ist die heute noch übliche K o n s t r u k t i o n der i n n e r e n und ä u ß e r e n T e i l u n g einer S t r e c k e nach v o r g e s c h r i e b e n e m V e r h ä l t n i s : die gegebenen Verhältnisstrecken werden an den Endpunkten der zu teilenden Strecke parallel zueinander angetragen, die kleinere nach beiden Seiten; die Verbindungslinien der drei Endpunkte miteinander liefern die gesuchten Teilpunkte.1569 Die P r o p o r t i o n s s ä t z e am r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k , in dem eine Höhe gefällt ist, werden von E U K L I D in VI, 8 nicht ausdrücklich ausgesprochen, sondern er sagt nur, daß die Teildreiecke und das ganze Dreieck einander ähnlich seien, und beweist dies durch die Winkelgleichheit. Erst in einem Porisma wird der Höhensatz selbständig gefaßt. Ein Zusatz, der auch den Kathetensatz noch bringt, ist spätere Einschiebung (nach T H E O N ) . E U K L I D wiederholt diese Proportionssätze am rechtwinkligen Dreieck, wiederum in Flächenform, X, 3 2 ( L E M M A ) . 1 5 7 0 Daß die Höhe mittlere Proportionale zwischen den Hypotenusenabschnitten ist, spricht A B C H I M E D E S SO aus: Jede Senkrechte von einem Kreispunkt auf den Durchmesser ist mittlere Proportionale zwischen den Durchmesserabschnitten.1571 Die K o n s t r u k t i o n der m i t t l e r e n P r o p o r t i o n a l e n erfolgt (VI, 13) mittels des Höhensatzes. Die andere Anordnung der Konstruktion mit dem Kathetensatz zeigt erst P A P P O S . 1 5 7 2 Eine eigenartige Konstruktion für die mittlere Proportionale stammt von T H O M A S S T E O D E , der sie in einem Brief vom 3 . Nov. 1573 1 6 8 4 an W A L L I S mitteilte. Sind die Strecken α und b gegeben, so mache man (Fig. 44) AB = a, BG — AD = b und schlage um G und D mit b Kreise. Daß EB die mittlere Proportionale ist, 1569 P A P P U S 1 1 3 , III, 9—11,

ed. HÜLTSCH, I, S. 74—77, § 34—36. — El. Opera 3» 3 9 9 , S. 96, Z. lOf. — 1 5 7 1 A B C H I M E D E S 1 1 1 22, S. 288, Z. 27f.; H E I B E R G 9 · * , Ζ. M. P h . 2 4 , 1 8 7 9 , S . 181, N r . 16, S . 2 9 8 , Z. 2 2 , S . 3 1 0 , Z. 1 5 f . —

I I I , 6, ed. HÜLTSCH, 1, S. 72, Nr. 31. —

8. 299—301.

1573

WALLIS,

TB72

Opera math. Ι1

PAPPOS1'3, ΙΒΒΊ

, 1693,

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

geht aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AEB hervor.

215 und ECB

(W.W.)

Der Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes durch die Seitenverhältnisse ist bei EUKLID VI, 31 nur angedeutet; er begegnet uns erst, wie schon S. 192 hervorgehoben, erheblich später in indischen Schriften, so in der Vlja ganita des BHÄSKABA (geb. 1114) 1438 , und etwa gleichzeitig auch im Abendland bei LEONARDO von Pisa (1220) Practica geometriae)1440; arabische Schriftsteller werden hier die Brücke bilden. Die Umkehrung des Höhensatzes liegt in der Bemerkung des PAPPOS,1574 daß, wenn das Höhenquadrat kleiner als das Bechteck Ε by

'

/ \ / \

\x

A

'i

a

\

B

Fig. 44.

aus den Abschnitten der zugehörigen Seite ist, dann der gegenüberliegende Winkel stumpf, wenn größer, dann spitz ist. Als selbständigen Satz hat ihn erst BORELLI 1658 seiner Euklidbearbeitung eingegliedert.1575 PELETIEE holt in seiner Euklidausgabe von 1557 die Aufgabe nach, eine Strecke a so zu teilen, daß eine zweite gegebene

Strecke

mittlere Proportionale

zwischen

den

Teilen sei. 1676 Die Sätze von dem F l ä c h e n v e r h ä l t n i s ä h n l i c h e r D r e i ecke und ä h n l i c h e r P o l y g o n e sind bei EUKLID im sechsten Buche unter 19 und 20 eingereiht. EUKLID VI 23 sagt aus: Gleichwinklige Parallelogramme haben zueinander ein Verhältnis, das aus dem der Seiten zusammengesetzt ist. PAPPUS bringt diesen Satz nicht nur für Parallelogramme1577 sondern auch für Dreiecke 1678 nebst den Umkehrungen. 157* PAPPOS113, VII, 203, ed. HÜLTSCH, 2, S. 952, Nr. 273. — « 7 6 EUOLIDEB

restitutusSlt, IV, prop. IX, Scholium S. 174. — ' " 6 Opera CLAVII1680, 16 1 2, I, S. 248. — '577 Συναγωγή, VII, 172, ed. HULTSCH113, § 241, S. 928. — « ™ Daselbst VII, 146; ed. HULTSCH118, §214, S. 894—896; Umkehrung VII, 190; ed. HÜLTSCH118, ö. 944.

216

Besonderer

Teil.

Mit dem Satz VI, 24: ,In jedem Parallelogramm sind die Parallelogramme um die Diagonale sowohl dem ganzen, als einander ähnlich', wird dann die Konstruktion VI, 25 geleistet: ,Eine Figur zu konstruieren, die zugleich einer gegebenen geradlinigen Figur ähnlich und einer anderen gleich ist. VI, 27, 28, 29 bringen dann die bekannten Sätze, die mit den quadratischen Gleichungen (Bd. III, S. 56 ff.) und den Kegelschnitten (siehe diese) in Zusammenhang stehen. Die Beziehungen, die zwischen den A b s c h n i t t e n zweier sich s c h n e i d e n d e r Sehnen eines K r e i s e s bestehen, drückt EUKLID durch einen iiächengeometrischen Satz (III, 35) aus; 1679 er dürfte uns damit die altertümliche Form aufbewahrt haben, in der spätestens 1580 ARCHYTAS (430—365 v. Chr.; Tarent) ihn schon kannte. Der Beweis erfolgt mit dem algebraisch-geometrischen Satz III, 5, der bei Lösung der quadratischen Gleichungen eine so große Rolle spielte (Vgl. Bd. III, S. 57 ff.). Den Fall, daß die Sehnen sich in ihren Verlängerungen schneiden, übergeht EUKLID, wahrscheinlich, weil der in III, 36 enthaltene Satz von der Tangente und Sekante (Umkehrung III, 37) eine besondere Behandlung überflüssig macht. 1581 CLAVIUS (1574) holt den Sekantensatz nach, eben als Folgerung aus dem Tangentensatz ohne besonderen Beweis. Er gibt auch die Umkehrung des Sehnen- 1682 und des Sekantensatzes,1583 während EUKLID nur den Tangentensatz umkehrt (ΙΠ, 37). CLAVIUS benutzt ferner den Tangentensatz zur Konstruktion einer mittleren Proportionalen;1683 den allgemeinen Sekantensatz erwähnt (ohne Beweis) übrigens auch JOKDANUS NEMOEABIUS (F 1237?); 1584 wahrscheinlich war er bei den Arabern, an die sich JOBDANUS anlehnt, ganz bekannt. Der durchsichtigere Ahnlichkeitsbeweis für die Sehnensätze ist dem Altertum vielleicht nicht unbekannt gewesen, EUKLID mag ihn aus historischer Treue nicht aufgenommen haben; in der Literatur des Altertums tritt er indessen nirgends auf. Erst im sechzehnten Jahrhundert ist er nachweisbar. F I N K teilt in seiner Geometria 1585 rotundi (1583) mit, daß VÖGELIN (f 1549; Universität Wien) den Sehnensatz in Proportionsform aufgestellt und bewiesen hat, bevorzugt aber selbst die Euklidische Beweisform.1686 Der Engländer 1679 Vgl. H . WIELEITNEB, Math. Quellenbücher II 1 1 1 4 0 9 , S. 7—10. — >580 A R C H I 1 2 MEDES, ed. H E I B E R G 1 9 3 9 , 3 , S 84FF. — «81 Opera ™, 1 6 1 2 , 1 , S. 147. — « 8 2 Da-

selbst S. 146. — 1683 Daselbst S. 148. — «84 £>e triangulismi™, IV, 25, ed. 1071 CÜBTZE, 1, 45, Z. 11—12. — « 8 5 Geometria rotundi , II, 9, S. 32, Z. 4 v. U. 376 S — 1B86 jt VÖGELIN, Elementale geometricum , IV, 7; Ausg. Paris 1530, Bl. 30 , Ausg. Venetiis 1539, Bl. 31".

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

217

OUGHTRED (1574—1660) benutzt den Ähnlichkeitsbeweis sowohl für das Schneiden der Sehnen innerhalb als auch außerhalb des Kreises. 1587 Auch die deutschen Elementarbücher des achtzehnten Jahrhunderts verwerfen den Euklidischen Beweis, geben aber zugleich dem Satz die Proportionsform. 1588 Bei KABSTEN (1760, Mathesis theoretica)1589 werden alle drei Sätze in einen zusammengefaßt; an Stelle des Ähnlichkeitsbeweises tritt im Falle der Tangente die einfache Überlegung, daß die Tangente als Sonderfall einer Sekante aufgefaßt werden kann, also ein besonderer Beweis unnötig ist. In der heutigen Fassung des Sehnensatzes wird vielfach der Fachausdruck w i e d e r k e h r e n d p r o p o r t i o n a l ' gebraucht; dieser geht auf J. CHE. STURMS Archimedesübersetzung von 1670 zurück.1590 Das neunzehnte Jahrhundert kehrt zu der Euklidischen Produktform, aber unter Beibehaltung des Ähnlicbkeitsbeweises, zurück; für den Wert dieses Produktes, der sich nur mit der Lage des Schnittpunktes ändert, führte J. STEINER ( 1 7 9 6 — 1 8 6 3 , geb. Schweizer; Berlin) den Kunstausdruck P o t e n z des P u n k t e s in b e z u g auf den K r e i s ein. 1591 Man betrachtete dann den geometrischen Ort aller derjenigen Punkte, für die die Potenz in bezug auf zwei Kreise immer dieselbe Größe besitzt; die sich ergebende gerade Linie wurde von L . GAULTIER (1812), der auf ihre Eigenschaften zuerst aufmerksam machte, axe radicale, 1592 von J. V.PONCELET (1822) gemeinschaftliche Sehne (reale oder ideale),1593 von STEINER1591 Linie der gleichen Potenzen, von J. PLÜCKER1594 ( 1 8 0 1 — 1 8 6 8 ; Bonn) Chordale der beiden Kreise genannt. G. MONGE ( 1 7 4 6 — 1 8 1 8 ; Paris) hatte zuerst bemerkt, 1595 daß es für drei Kreise im allgemeinen nur einen Punkt gleicher Potenz (Potenzzentrum) gibt, daß in diesem sich die gemeinschaftlichen Sehnen, bzw. Tangenten schneiden und er zugleich Mittelpunkt desjenigen Kreises ist, der die drei gegebenen Kreise rechtwinklig schneidet. Die Verallgemeinerung auf 1687 Claris mathematieaeΙβ80, cap. X V I I I , theor. 16, Ausg. v. 1667, Oxoniae, S. 69 (noch nicht in der Ausgabe von 1631). — 1588 Z. B. v. WOLFF, 1717, Elementa Matheseos1 i9i, Geometria, § 317. — 1589 § 203, COROLLAR414; ihm folgt MEINBRT 1790, Lehrbuch d. Math.24\ § 164, beweist aber den Tangentensatz besonders. — «90 Daselbst Vorbericht1911. — 1591 J. r . ang. Math. I1293, 18 2 6, S. 164—165. — «92 J. d. l'flc. polyt. 9, cah. 16 (1813), in einer Abhandl. vom 15. VI. 1812: Mimoire sur les moyens gineraux de construire graphiquemmt un cercle determine par trots conditions et sphere de/erminee par quatre conditions § II, S. 146—158. — 1593 Sect. I, chap. 2, § 56, S. 30 847. — 'ß» 4 J. PLÜCKER, Analytisch-geometrische Entwickelungen, Essen 1828—31, Bd. I, § 93, S. 49. — 1596 VGL. PONCELET, Tratte d. pr. pr.bi7, Sect. I, chap. II, § 71, S 40 Anm., ferner CARNOT, Gtomitrie de position*35, Paris 1803, S. 347, Nr. 305.

218

Besonderer Teil.

die Kugel nahm A. F. MOEBIUS (1857)1596 vor, die analytische Darstellung gab 0 . HESSE. 1697 In der Lehre von den Transversalen im Dreieck nehmen die Mittellinie, die Höhen und die Winkelhalbierenden auch geschichtlich eine besondere Stelle ein. Das Wort T r a n s v e r s a l e (von transversus, altlateinisch = obliquus, schräg)1598 ist nicht so alt wie man denken könnte. Bei H . MEISSNER (1695), 1 5 9 9 J . G. LEÜTMANN (17 2 5), 1 6 0 0 J . FB. HAESELER (1777) 1 6 0 1 ist es noch nicht spezialisiert; es werden von ihnen

die schrägen Linien bei Beschreibung von Maßstäben so genannt. A. L. CRELLE wählt 18 1 6 1602 nicht schlecht Scheitellinie für Ecktransversale, L. Ν. M. CARNOT sagt endlich 1 8 0 6 les transversales1603 im modernen Sinne, dann A. L. CRELLE (1826) 1 6 0 4 und A. TELL1605 KAMPF (182 9) deutsch Transversalen. In unserem heutigen Fachsinne ist M i t t e l l i n i e für Seitenhalbierende (vgl. S. 91) noch jünger. Im gleichschenkligen Dreieck spricht die Geometria Oulmensis (um 1400) von myttelbrebapm1606 (drebavm = Gerade). iniltet=£ini prägt 1607 J . CHR. STURM (1670) in seiner Archimedesübersetzung für Achse, J . MALCONETUS (1700) 1608 nennt 2Ttütel=£ime den Durchmesser eines Kreises; erst bei A. L. CRELLE (1826) 1809 gewinnt das Wort unsere Bedeutung, wird aber vorerst nur für die Symmetrielinie im gleichschenkligen Dreieck benutzt. Allgemein für alle Dreiecke wird es durch K. F. L. WOLFE, wohl schon nach mündlicher Gewohnheit 1838, eingeführt.1610 Für das Trapez benutzt C. KOPPE (1836) 1611 das Wort in dem jetzt üblichen Sinne. Schwerpunkt erscheint zuerst bei J . CHR. STÜRM in der für neue Fachwörter so ergiebigen Archimedesübersetzung von 1 6 7 0 . 1 6 1 2 H . MEISSNER greift es in ts96

Ges. Werke43i, II, S. 319. — 1 5 9 7 Vorlesungen aus d. anal. Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene, 1. Aufl., Leipzig 1865, 12. Vorlesung, S. 147 ff. (4. Aufl. 1906). — 1 5 9 8 Die neueste Verdeutschung ist ,Quere' also E c k q u e r e statt Ecktransversale, M i t t e n q u e r e statt Mittelpunktetransversale, Untbl. Math. Nat. 41, 1935, S. 229. — ' 6 " Geometria tyronica1113s, S. 32: transoerfaUSinien. — 1 6 0 0 Geometrische Grundlehrenass, cap. II, § 15, S. 45. Z. 10. — 1601 AnfangsgründeI540, II, S. 603. — 1 6 0 2 Über Eigenschaften des geradlinigen Dreiecks, Berlin 1816, § 2. — 1 6 0 3 Schon im Titel Sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans Cespace, suivi d'un essai sur les transversales. Paria 1604 11 β78 1806. — Lehrbuch , I, Überschrift zu § 211, S. 174, Von den Transversalen. — '605 Vorschule1*53, § 246. — I 6 °6 S. 256ä. — 1607 Vorbericht1 e n . — 1608 Selbstlehrende Geometrie™. — 1609 Lehrbuch der Elemente™™, I, S. 41. — 1610 K. F. L. W O L F F , Lehrbuch der Geometrie116S, § 210 „ . . . nennt man Mittellinie." — 16,1 Anfangsgründe11™, S. 71, § 186. — '612 Vorbericht 1611 ; 5d)n)äre»puncFt.

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

219

seiner Geometria tyronica von 1695 auf, 1613 empfiehlt aber außerdem noch sehr treffend (ßetmcfytsmiitel. Verwunderlich ist, daß J. H. LAMBERT, der sonst Doppel substantive bevorzugte, dauernd Mittelpunkt der Schwere sagte. 1814 Der Satz von den S e i t e n h a l b i e r e n d e n (das Wort vgl. S. 92) kommt bei EUKLID nicht vor. A.BCHIMEDES(287 —212 v. Chr.; Syrakus) wußte, daß der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierenden den Schwerpunkt κέντρον τον βάρεος centrum gravitatis) des Dreiecks bildet,1615 '613 s . 2 27 1 1 1 3 6 : p u n f t ber Sd?n>äre. — '614 Beyträge II, 2 I 7 e s , S. 440, VII, § 74 und sehr oft. — 1 6 , 6 ABCHIMEDES, D e planorum aequilibribus I, Satz 14) Opera 2 i i u , S. 158, Z. 8—10: ΙΙαντος τριγώνου κέντρον εστί τοΰ βάρβος τα σαμείον, χα&\ δ συμη ίπτοντι τον τριγώνου at ix ταν γωνιαν επί μέσας της πλευράς αγά μεν at svfreiai (Jedes Dreiecks Schwerpunkt ist der Punkt, in dem die aus den Ecken des Dreieckes nach der Mitte der Seiten gezogenen Geraden zusammenfallen). — In Satz 9 beweist ABCHIMEDES, daß der Schwerpunkt eines jeden Parallelogrammes auf der Geraden liegt, die die Mitten zweier gegenüberliegenden Seiten des Parallelogrammes miteinander verbindet. Daraus folgt Satz 10: Der Schwerpunkt jedes Parallelogrammes ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Satz 13 lehrt, daß der Schwerpunkt jedes Dreiecks auf der Mittellinie liegt, und f ü h r t zu dem oben angegebenen Satz 14. Damit ist dann der Schwerpunkt eines jeden Polygons bestimmbar, insbesondere liegt nach Satz 15 der Schwerpunkt eines Paralleltrapezes mit den Parallelseiten α und b auf der Verbindungslinie der Mitten dieser Grundlinien und teilt sie so, daß der Abschnitt an der Grundlinie α sich zum Abschnitt an der Grundlinie b verhält wie a + 2 b zu 2 a + b. Deutsche Übersetzung von A . CZWALINA, OSTWALDS Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 203, Leipzig 1923. S. 39 bis 46. Vgl. auch W . S T E I N , Der Begriff des Schwerpunktes bei ABCHIMEDES, Qu. u. Stud. Β 2, 1930, S. 221—244. — Im zweiten Teil seiner Abhandlung wird gezeigt (Satz 8, Opera 2 s , S. 186, Z. 30ff.; CZWALINA S. 53): Der Schwerpunkt eines Parabelsegmentes teilt den Durchmesser im Verhältnis 2 : 3 so, daß der am Scheitel des Segments liegende Abschnitt der größere ist. — Über die Geschichte höherer Schwerpunktsbestimmungen, besonders von Körpern, vgl. H. W I E L E I T N E R (1929/30), Das Fortleben der Archimedischen Infinitesimalmethoden bis xurn Beginn des 17. Jahrh., insbesondere über Schicerpunktsbestimmungen1116S4, S . 201—220. ABCHIMEDES erwähnt noch den Schwerpunkt eines Segmentes des Eotationsparabolids (wie er sagt: parabolisches Konoid (Op. 2 s , S. 317ff, ζ. B. S. 350) und in seiner Methodenlehre 1 1 4 7 6 den des Kegels, der Halbkugel und des Kugelsegments. MAUBOLICO (1547—1548) 1067 f ü g t den archimedischen Kenntnissen hinzu die Schwerpunkte des Parallelepipeds, des dreiseitigen und allgemeinen Prismas und des allgemeinen Oktaeders mit parallelen Gegenflächen der dreiseitigen und allgemeinen Pyramide, schließlich des Kemels. Den Schwerpunkt des letzteren kannte rund 50 J a h r e vorher schon LEONABDO DA V I N C I (1452—1519), aber ohne mathematische Ableitung. Von F . COMMANDINO711899 (1515) wird der Pyramiden-, Kegel- und Paraboloidstumpf behandelt, von L U C A VALERIO (1^04) noch das Segment des zweischaligen Hyperboloids und die Stümpfe von paraboloiden und hyperboloiden Körpern, ferner das Sphäruid und sein Segment. Die allgemeine Kegel f ü r

220

Besonderer Teil.

und wußte demnach auch, daß die dritte Mittellinie ebenfalls durch diesen Punkt hindurchgeht. Dadurch gesellte sich zu dem Mittelpunkt des umgeschriebenen und dem des eingeschriebenen Kreises, die bereits die Pythagoreer betrachteten, der Schnittpunkt der Mittellinien als dritter merkwürdiger Punkt im Dreieck. Auch das Schnittverhältnis der Mittellinien, deren Abschnitte sich wie 2 : 1 verhalten, kann ARCHIMEDES nicht fremd gewesen sein, da er bei der Berechnung des Schwerpunktes eines Paralleltrapezes den Satz benutzt, daß die durch den Schwerpunkt zu einer Dreiecksseite gezogene Parallele {FG) auf einer anderen Seite genau ein Drittel abschneidet {BF = \BÄ)1616 und daß 5 der Halbierungspunkt dieser Parallelen FG ist. 1 6 1 7 Tatsächlich ausgeA sprochen werden diese Eigenschaften der Mittellinien erst durch HERON von Alexandria (erstes Jahrhundert vor Chr.) in seiner Mechanik,1618 Daselbst wird nicht nur der Schwerpunkt von Dreiecken, sondern auch der von Vierecken und Fünfecken bestimmt. JB C Auch in den Metrica behandelt Fig. 45. er diesen Punkt, aber als solchen, dessen Verbindungslinien mit den Ecken drei flächengleiche Dreiecke entstehen lassen. 1619 Im Mittelalter bespricht LEONARDO von Pisa (1220, Practica geometriae)1620 das Schnittverhältnis der Mittellinien zuerst. Sein Zeitgenosse JORDANTTS NEMORARIUS (F 1 2 3 7 ? ) kommt im zweiten Buch seines Werkes De triangulis auf den Schnittpunkt der Mittellinien ebenso wie HERON in den Metrica zu sprechen. 1821 In den späteren Lehrbüchern trifft man den Satz von den Mittellinien nur selten, wie SIMON JACOBS Rechenbuch von 1 5 6 5 1 1 1 8 6 ; b e i CLAVIUS ( 1 6 0 4 ) , 1 6 2 2 LTJDOLPH VAN CEULEN ( 1 6 1 5 ) , 1 6 2 3

MAROLOYS-

Schwerpunktsbestimmungen, die auf unsere moderne Formel hinausläuft, fand 1646. — 1 6 1 6 ABCHIMEDES, Έπιπ. taoQQ., I , 15, ed. H E I B E R G 1 1 1 , 2®, S. 160, Z. 14, vgl. dazu den Kommentar des EUTOKIOS, A R C H I M E D E S 1 9 3 9 , 32, S. 276; ferner 'Έηιτί. ίσορς., I I , 5, ed. H E I B E R G 1 1 1 , 24, S. 176, Z. 26. — ' 6 " ARCHIMEDES, Τετραγ. παραβ., 6, ed. H E I B E R G 1 1 1 , 2*, S . 274, Z. 2 f. — ' 6 1 8 Opera 2 111 , ed. Nix u. SCHMIDT, Leipzig 1900, S. 188—191. — '6659 Das Dictionarium befindet sich am Schluß der Universae Qeometriae Mixtaeque Mathematicae Synopsis, Paris 1644. Vgl. D. E . SMITT, Changes in elementary mathematical termes, Scr. Math. 3, 1935, S. 293, 294. — 1 6 6 0 C. G. REUSCHLB, Programm Gymn. Stuttgart 185311S1, S. 18. — 1661 Der Apoll. Kreis kommt schon bei ABISTOTELES vor. Vgl. R . C . ABCHIBALD, Centers of similitude of circles and certain theorems attributed to Monge were they known to the Greeks? Ann. Math. Monthl. 22, 1915, S. 6—12; Historical note on centers of similitude of Circles, daselbst 23, 1916, S. 159—161. S.

Die Lehre von der Ähnlichkeit.

225

selbst (zwischen 250 und 200 v. Chr. in Alexandria, dann in Pergamon)1662 als geometrischer Ort aller derjenigen Punkte definiert, deren Entfernungen von zwei gegebenen Punkten ein konstantes Verhältnis haben. In moderner Form behandelt N E W T O N ( 1 6 4 3 — 1 7 2 7 ; Cambridge, London) diesen Ort in seinen Vorlesungen.1683 Es ist hier die Gelegenheit, von den merkwürdigen P u n k t e n des D r e i e c k s und ihren Eigenschaften im Zusammenhang zu sprechen.1664 Im Altertum fanden diese Punkte noch nicht die Berücksichtigung, die man ihnen heute zuteil werden läßt. Bei der Konstruktion des ein- und umgeschriebenen Kreises zieht E U K L I D (VI, 4, 5) nur zwei Winkelhalbierende, bzw. Mittellote; daß die dritte Linie gleicher Art durch denselben Punkt hindurchgeht, wird als selbstverständlich nicht erwähnt, geschweige denn als merkwürdig betont. Auch A B C H I M E D E S faßte den Satz, daß der Schwerpunkt im Schnittpunkt der drei Mittellinien liegt, nicht als besonderes geometrisches Theorem auf (siehe S. 219). Der Satz vom Höhenpunkt wird kaum mehr als gestreift (S. 221). Aus der Zeit des Mittelalters können nur wenige Notizen beigebracht werden, weil E U K L I D S Elemente die Elementarmathematik so ausschließlich beherrschen, daß nur selten die Aufmerksamkeit auf Sätze, die nicht in seinem Werke enthalten sind, gelenkt wird. Ganz gelegentlich berechnet B B A M E E (1618) den Abstand der Mittelpunkte des umund eingeschriebenen Kreises.1665 Erst im Anfang des achtzehnten Jahrhunderts begann man das bis dahin vernachlässigte Thema selbständig in Angriff zu nehmen. 17 2 3 1666 wurde die Aufgabe angeregt, aus der Lage des Schwerpunktes S, des Mittelpunktes I des eingeschriebenen Kreises und des Höhenschnittpunktes Η das zugehörige Dreieck zu konstruieren. Die sehr umständlichen Rechnungen führten zu nicht nennenswerten Resultaten. E H L E B (1707 bis 1783; Petersburg, Berlin, Petersburg) löste endlich die Aufgabe 1765, 1667 indem er sich von der entgegengesetzten Folge ausgehend Buch der Ebenen Örter des APOLLONIOS, nur auszugsweise durch P A P P O S überliefert. P A P P Ü S 1 1 8 , VII, ed. HÜLTSCH, II, S . 666, Z. 18—19. — 1 6 6 3 N E W T O N S Vorlesungen (1673—1683) wurden von einem Zuhörer W I L L I A M W H I S T O N 1707 unter dem Namen Arithmetica universalis veröffentlicht 11541 . Ar. 1664 univ., S . 151—152, probl. 26. — Vgl. hierzu J. L A N G E , Geschichte des FEUERBACH sehen Kreises, Programm Nr. 114, Berlin 1884. Die neuere Literatur stellt M. SIMON zusammen, Entwicklung 1906 U 0 9 , S . 124—130. — 1 6 6 5 6): i>5 r: ρ6 r2: ^ (r 2 -C> 2 5 ): Q\ t V Ps S : 5 V5

= 9 : 4> = 5: 4, = 25:16, 9:16, 3: 4 = > 3: 2 = '

d

-h·

Vi>5=tÄl· j — 5 »2 5 — τs5 ·

Das Resultat ist i s = 166|-. Mit diesem Ergebnis ist HEBON nicht recht zufrieden. In der % CT Tat gibt die genaue moderne Rechnung: in = — · ctg-^- • wo ccn der Zentriwinkel an der Spitze des Bestimmungsdreieckes ist, also i6 = L . 1 , 8 7 6 3 8 · 4 =

1 , 7 2 0 5 · s25,

wo

HEBON

»6 =

1 , 6 6 6 7 · s*5

hat.

1840

Er fügt daher hinzu: „Wenn wir aber eine andere Quadratxahl, die in größerer Annäherung das Fünffache einer zweiten Quadratxahl ist, nehmen, so werden wir seinen Inhalt genauer finden" Eine solche genauere Formel findet sich nun in den pseudoheronischen Qeometrika,1841 die sich bei allen andern Polygonberechnungen i6 bis iu auf das einfache Anschreiben der Resultats« 3 7 SUIDAS, ed. BEBNHABDY, Bd. I, Halle 1853, S . 1 1 2 0 , Z. 11. — « 3 8 PBOCLUS7, ed. FEIEDLEIN, S. 68, Z. 8 - 9 . — « 3 9 Opera 3 1 3 0 8 , S. 50, Z. 1—15. — 3 1 M 8 , S. 53, Z. 17—19. — 1841 Opera 4 1 5 « S. 382, Z. 1 7 - 2 1 .

1840

Opera

250

Besonderer

Teil.

berechnung ohne jede Ableitung beschränkt.1842 Das Beispiel1841 hat s5 = 35 und rechnet 35-35 = 1225; 1225-12 = 14700; f l 4 7 0 0 = 2100, d.i. die Formel i5 =-i^s;? = 1,714 s*, also erheblich genauer als der altheronische Wert i.5 — 1,6667·s*. Woher diese bessere Vor» 5 schrift stammt, verrät die Uberlieferung nicht. Das r e g e l m ä ß i g e Sechseck 1 8 4 3 (se = 10) ist das Sechsfache des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite 10. War oben (vgl. S. 248) i9 = j / 1 0 0 0 0 · ^ , so ist jetzt der Radikand noch mit 6 2 zu multiplizieren: i6 = ]/l00U0.-V- = ]/67 500 259. — Die moderne Rechnung weicht nicht viel ab, eine Folge der Güte des Näherungswertes ]/3~-f-f = 1,733 (statt 1,732). Der Inhalt des r e g e l m ä ß i g e n Siebenecks läßt sich mit Wurzelgrößen nicht berechnen; hier sind trigonometrische Kenntnisse nötig. H E B O N beruft sich auf einen Hilfsatz: 1844 s7 ^ o6. Einen Gewährsmann nennt er nicht; diese Größenähnlichkeit von s7 und ρβ muß daher damals allgemein bekannt gewesen sein; vielleicht hat man sie durch Ausprobieren gefanden, vielleicht stammt sie von A B C H I M E D E S ( F 212 v. Chr.), der sich eingehend mit dem Siebeneck beschäftigt hat (vgl. Bd. III, S. 127).1845 H E R O N rechnet nun folgendermaßen : ρβ ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite se = rt also = Für ψ ΐ wird der nicht sehr gute Wert ( = 1,750, während oben )/y ^ -f-| = 1,733 war) benutzt, also Daraus folgt: r : *7 =

8: 7, 1846

r : i s 7 = 16:7, r2:\s*

=

16a: 72,

= ( 1 6 2 - 7*):7 2 , ρΊ:$8Ί = 4 3 : 2 1 , = 43:21, V i * ? = 43:21,

i, = - f f * ; = 358*.

1842 Opera 4 1 643, S. 382, Z. 22 ff. Die Metrika müssen damals doch wohl noch bekannt gewesen sein; wenigstens dem Hörensagen nach. Der byzantinische Feldmesser sagt ausdrücklich: In einem anderen Buche HEBONs wurde es so gefunden! . . . — 1843 Opera S1308, S. 52, Z. 15FF. — 1 8 4 4 Daselbst, S. 54, Z. 7f. — 1845 J, TBOPFKE, ABCHIMEDES und die Trigonometrie111492, Arch. Gesch. Math. Nat. Techn. 10, Leipzig 1928, S. 451 ff. Die Araber scheinen auch dieser Ansicht gewesen zu sein, vgl. C. SCHOT, Qraeeo-arabische Studien111 t9t, Isis 8, 1928, S. 22 u. A n m . —

IM»

Opera 3 I 3 0 E , S. 54, Z. 21 bis S. 55, Z. 17.

Die regelmäßigen

Polygone.

251

Die wiederholt vorgenommenen Annäherungen machen die Lösung unscharf; der genaue Wert ist 363,6. Sehr gewandt ist die Behandlung des Achteckes. Im Bestimmungsdreieck DKE (Fig. 49) ist der Zentriwinkel u = 45°. Man trage \a — 22-L° an KD in D an, dann ist Δ DMK gleichschenklig. Ebenso ist ADLM gleichschenklig, da -^z DML = Ab0. In dem letzteren ist DM* = 2 ·ΜΪ?\ also, wenn DM: ML =

17 :12,

KM: ML

= 17 :12 .

{KM+ ML): ML = 2 9 : 1 2 , Ce: 2 s s = 2 9 : 1 2 , ρβ: sä = 2 9 : 2 4 , i9:

sl

= 2 9 : 6,

= (genau 482,8).

Wie beim Siebeneck geht der Charakter der Flächenberechnungsaufgabe beim Neuneck 1 8 4 7 über den quadratischen hinaus. HEBON beruft sich auf ein trigonometrisches Werk Περί των έν κύκλω εύΰ-ειών ( = Uber die Sehnen im Kreise), dessen Verfasser nicht genannt wird. Es muß HIPPABCH gewesen sein, älterer Zeitgenosse (um 1 5 0 v. Chr.) yon HERON (um 1 0 0 v. Chr.), dessen Schrift allen Fachmännern der Zeit ganz bekannt war (vgl. Bd. V, Trigonometrie). In dieser sei der Nachweis geführt, daß in großer Annäherung (ώς Χγγιστα)18** 3 -sa = 2r ist. »847 Opera 3 1 308, S. 58, Z. 13 f. — « « g. 58) z. 20.

252

Besonderer

Teil.

ELZ (Fig. 50) sei das Bestimmungsdreieck des Neunecks. Verlängert man EL bis M, so ist Δ MZE rechtwinklig und doppelt so groß wie das Bestimmungsdreieck. Da EM — 2r = 3sg, so ist MZ2 = ME2 - EZl

woraus bei ]/8

folgt MZ: s9 MZ>s9: Α ELZ·,

te:9

= = = =

=8

sl,

17: 6. 17: 6, 17:24, 2 17:24; i = -5_L o — 6371

Genau wäre 618,18. ebenso wie Für die Berechnung des Ζ ehnecksInhaltes 1849 wird beim Achteck — der Winkel an den Schenkel EM in Ε (Fig. 51) u

Μ

Sil Fig. 52.

angetragen, so daß Δ Ε ΧΜ gleichschenklig ist. Da EXN = 36 0 und ^ X E N = 54° ist, gilt die bei der Fünfecksberechnung aus dem vorausgeschickten Hilfssatz abgeleitete (vgl. S. 252) Beziehung EX:XN= EX:EN XN):EX MN: EX MN: EN

5:4.

5:3, 9:5, (EX+ 9:5, 3:1, Ä = 3:2, ClO ' 10 Y^lo'Clo' Sio = 3 : 4 , - 15:2 Genau wäre "10 = 769,4. 1308 «« Opera 3 , S. 60, Z. 8 ff. Hieraus folgt:

= = = =

ho = Ψ'Κο

=

750

·

Die regelmäßigen Polygone.

253

Bei dem E l f e c k 1 8 5 0 muß wieder eine Anleihe bei HEPPABCHB Schrift „Über die Geraden im Kreise" gemacht werden. Dort wird gezeigt, daß in größter Annäherung (ώς 'έγγιστα) 2 r:su =25:7 ist Hieraus folgt (Fig. 52| XH:su =24:7, ^ « „ • M : » ; , = 12:7, und, da

Δ ΖΠΧ:β\Λ

-y'AZHX

i

=

12:7,

· o2 _

=in 11.19 r

,; — _6_g. +

«7

6

s»

(ALKARHI,

bei

um 1010),1863

JORDANUS

NEMORARIUS

1237?)1864 als indisch angeführt wird und die auch REGIOMONTAN aus arabischer Quelle kennt 1865 Erst aus dem dreizehnten Jahrhundert n. Chr. ist eine Schrift zu erwähnen, in der unsere Lehre mit Erfolg in Angriff genommen wurde. Es ist die eben angedeutete Abhandlung De triangulis von JORDANUS NEMORARIUS. Bezeichnen wir den Inhalt und Umfang des eingeschriebenen w-Ecks mit in bzw. u n , den des umgeschriebenen Polygons entsprechend mit In und Un, so lassen sich die Sätze dfes JORDANUS, die in dem vierten Buch der genannten Schrift enthalten sind, durch folgende Formeln ausdrücken:

(F

1

· 2·

Buch IV, Satz 8, 1886 daselbst," Satz 9,'

V »2« = Sn· In iη : τη> η : uτη', wenn η > m ΓI · I

= Ό · U

)

; % W»e n nΛ η I daselbst, Satz 11. Um > -ζ, ι > m J Ganz selbständig wird JORDANUS ZU diesen Sätzen nicht gekommen sein; wahrscheinlich dienten ihm arabischen Quellen, die wir 3.

1862 COLEBROOKE1111, S. 94, § 213. Ableitungsversuch von SUTER, Verhandl. 3. Int. Math.-Kongr. Heidelberg 1904, Leipzig 1905, S. 5 5 6 — 5 6 1 . — Al Käß fil 1114M 1m 1864 Hisäb, hrsgeg. von HOCHHEIM , II, S. 26. — De triangulis , ed. CURTZE, S. 4 2 — 4 3 . Die Formel ist genau für η = 3, 4, 6. — 1 8 6 6 Vgl. M. CUBTZE875, Ztschr. Math. Phys. 42, 1897, hist.-lit. Abt. S. 1 5 0 — 1 5 2 . — 1 8 6 6 De triangulis111"9, ed. OURTZE, S. 3Iff. Der Wortlaut für Formel 1 lautet z.B.: Inter quaslibet duas figuras poligonias equilateras et similes, et quarum una in circulo inscripta, alia circumscripta fuerit, proporcionalis consistit, que duplo plurium laterum existens infra eundem circulum desnribitur (Zwischen zwei beliebigen, gleichseitigen und ähnlichen Polygonen, von denen das eine dem Kreis eingeschrieben, das andere ihm umgeschrieben ist, ist dasjenige Polygon (mittlere) Proportionale, welches mit der doppelten Seitenzahl demselben Kreis eingeschrieben wird). Beweis für η = 3 und 4.

256

Besonderer Teil.

nicht näher kennen, als Vorlage. Zu einer wirklichen Kreisquadrafcur nutzte JORDANUS seine Sätze nicht aus. In der Regel werden bei späteren Schriftstellern Sätze über regelmäßige Polygone nur zu diesem Zwecke abgeleitet. Verschiedene, eigentlich hierher gehörende Polygon formein werden deshalb auch erst in der Geschichte der Kreis quadratur angeführt werden, damit doppelte Erwähnungen unterbleiben. Die erste Formel des JORDANUS ist ihrer Wichtigkeit wegen oft wiederholt worden. So ist sie im Algorismus proportionum von N. ORESME (um 1 3 2 3 — 1 3 8 2 ; zuletzt Bischof von Lisieux) anzutreffen; 1867 unabhängig stellte sie W. SNELLIUS ( 1 5 8 1 — 1 6 2 6 , Leiden) in der Oyelometria 1621 noch einmal auf. 1868 Sie erscheint ferner — mit Beweis für η = 3 — in der Geometria theorica et practica des 1869 J O H . ARDÜSER (1627), dann in der Geometrie des MAROLOYS (1628), deutsch herausgegeben von GIRARD.1870 Die Formel: ΛΗ

^ (ί2Η

-ζ»)

oder in anderer Form: ΛA

2 ΛΛ» 2 η ~~ Τ J- i '

Τ

nach welcher Ι2η das harmonische Mittel zwischen iin und In ist, stammt von dem englischen Mathematiker JAMES GREGORY (1638 bis 1675, Edinburgh), der sie 1667 in der Schrift Vera ärculi et hyperbolae quadraiura1871 ableitete; in LEGENDRES Elementen (Paris 1794) 1872 nimmt sie die Gestalt an: 4b

•

Eine ähnliche Beziehung, wie die Formel zwischen den Inhalten angibt, besteht auch — nach SNELLIUS' (1621) Oyelometria — für die Umfänge: 5. U2 0 „: η W„In„ = u9J „: η uη . Den bei SNELLIUS fehlenden Beweis holt CHR. HUYGENS (1654) nach. 1873 Algwismus proportionum,19", ed. CÜRTZE, S. 11, Anm. 6. — 1 8 6 8 Oyelometria, Lugd. Batav. 1621, prop. 9. — 18,59 Buch VII 502 , Satz 29, S. 185 verso. — 1870 s. 64, Theorem VII S04 . — 187 ' Vera circ. et hyp. quadr. Padua 1667, abgedruckt in HUTGENS' Opera Varia, Vol. I I , Lugd. Bat. 1724, S . 407—462; die angeführte Formel, S. 418, prop. V. — 1 8 7 2 Übersetzung v. CRELLE 5 3 8 , 2. Aufl., Berlin 1833, Buch IV, S . 13. — 1 8 7 3 HUYGENS, De circuit magnitudine ««wto l ü 8 ? , 1654, Satz X I I I , Opera varialsn, Vol. I I , S. 351—387.

1867

Die regelmäßigen

257

Polygone.

Durch diese Formeln ist die Berechnung von Inhalt und Umfang aller der regelmäßigen Polygone ermöglicht, deren Seitenzahl ein Produkt einer Potenz von 2 mit den Euklidischen Grundzahlen 2, 3, 5 und 15 ist, und zwar nur mit Hilfe von Quadratwurzeln, wie bei geometrischer Ausführung nur Winkelhalbierungen nötig sind. Bis zum Schluß des achtzehnten Jahrhunderts hielt man damit den Bestand der konstruierbaren, bzw. mit Quadratwurzeln berechenbaren regelmäßigen Vielecke für erschöpft. In allen Lehrbüchern des achtzehnten Jahrhunderts wird für die übrigen w-Ecke die Anwendung des Winkelmessers, mit dem die leicht zu ermittelnden Zentriwinkel eingetragen werden sollen, vorgeschrieben. So sagt noch 1798 KLÜGEL,1874 nachdem er die Konstruktion des Sechsecks, Vierecks und Fünfecks gezeigt hat: „Außer diesen Vielecken kann man keine geometrisch verzeichnen, sondern nur mechanisch." Zu dieser Zeit (1796) hatte aber bereits GAUSS ( 1 7 7 7 — 1 8 5 5 , Göttingen) sein großes Werk Disquisitiones arithmeticae in Angriff genommen, das eine Fortführung und Erledigung der Untersuchung über konstruierbare regelmäßige Polygone bringen sollte.1875 GAUSS zeigte hierin,

1876

daß der Kreis dann und nur dann in η gleiche Teile, allein mit Zirkel und Lineal, geteilt werden könne, wenn η eine Primzahl von der Form 2m + 1 ist. Es läßt sich leicht einsehen, daß m hier eine Potenz von 2, etwa m = 2fc, sein muß. Wäre nämlich m = wo eine ungerade Zahl sei, so m 2/t ist 2 + 1 = (2 ft + 1 eine Summe, die nach bekannten Sätzen durch 22" + 1 teilbar, also keine Primzahl ist. Setzt man k = 1, so ergibt η = 5 das Fünfeck, dessen Zeichnung bereits bekannt war. k = 2 liefert hingegen einen neuen Fall, da η = 17 eine Primzahl ist. Daß das regelmäßige Siebzehneck konstruiert werden könne, war vollständig neu. Die wirkliche geometrische Durchführung 1874 Anfangsgründe, S. 114111339. — Abschn. 365; Werke 1 Ι7ββ , S. 461. —

1875 1B76

Disquisitiones arithmeticae 1801 Ill5T , In dem Tagebuch von Gauss — vgl.

F . K l e i n , Math. A n n . 57, 1903, S. 6, z u 1 ;

J. S t ä c k e l ,

G a u s s als

Geometer,

Materialienπβ89, Bd. V, Leipzig 1918, S. 96 — wird der Satz am 30. März 1796 vermerkt. In einem Brief an Gerling vom 6. I. 1819 erzählt Gauss, daß er die Entdeckung am Morgen des 29. III. 1796 gemacht habe (Opera 10, I, Leipzig 1917, S. 125). Die erste Veröffentlichung fand im InteüigenxblaH der Allg. Literaturxeitung (Jena) Nr. 66 vom 1. Juli 1796 statt. Hinweise auf die Gauss sehe Entdeckung drangen sofort in die Elementarbücher ein, so in Lacroix' Anfangsgründe der Geom., 1806, Berlin, Übersetzung von Ε. Μ Hahn 1 ' 97 , S. 127, § 148.

V g l . A . M i t z s c h e r l i n g , Problem

d. Freistellung111477,

S. 12 f., u n d f ü r

den ganzen Stoff S. 30—45. Tropfke, Geschichte. IV. 3. Aufl.

17

Besonderer

258

Teil.

gaben CH. F. v. P F L E I D E E E R ( 1 8 0 2 ) , 1 8 7 7 M. G . v. PAUCKER (1814) 1 8 7 8 und ERCHINGEB (182 5), 1 8 7 9 durch Rechnung n a h m LEGENDRE zum erstenmal die Siebzehnteilung vor. 1 8 8 0 Eigenartig ist die geometrische Behandlungsweise bei CHR. Y. S T A U D T (1842) 1 8 8 1 und H . S C H R Ö T E R (187 3), 1 8 8 2 da sie sich auf Benutzung des Lineals und e i n e s festen Kreises beschränken. Mit dem Zirkel allein gelang 1 8 9 6 L. G E R A R D 1 8 8 3 und 1898 Gl·. MULSOW1884 eine Lösung. D i e geometrographische 1885 Konstruktion gab R. GÜNTSCHE (19 03), auch eine solche m i t dem Zirkel allein (1905). 1 8 8 6 Sehr elementar ist die Lösung von R. LOHNSTEIN. 1887 B e i dem D e n k m a l in Braunschweig ist GAUSS' Statue auf ein Siebzehneck gestellt. 1 8 8 8 F ü r k — 3 ist η = 257, also wiederum eine Primzahl. D i e zugehörige Polygonkonstruktion hat 1 8 3 2 F . J . RICHELOT ( 1 8 0 8 — 1 8 7 5 , Königsberg) bearbeitet. 1 8 8 9 Auch k — 4 führt auf eine Primzahl Η = 65537. D i e sehr schwierigen Untersuchungen der auftretenden Irrationalitäten hat J. HERMES in Angriff genommen; ihre ErgebC . F . G A U S S ' Werke, herausgeg. Ges. d. Wies. Göttingen. 1 2 Bände, Leipzig 1870ff. Bd. XI, XII in Vorbereitung. — Bier Werke X t , 1917, Ö. 120. — 187B M. G. v. PAUCKER, De divisione geometriea peripheriae circuli in XVIIpartes aequales, 1814. Derselbe, Die ebene Geometrie der geraden Linie und des Kreises I, Königsberg 1 8 2 3 . Vgl. die Anzeigen von GAUSS in den Gött. gel. Anzeigen von 1 8 2 5 ; G A U S S ' Werke, 2 1 " 6 , S. 1 8 6 — 1 8 7 . — ' 8 7 9 ERCHINGER, Geometrische Konstruktion des regelm. Siebxehneeks 1 8 2 5 . Vgl. ß . GOLDENRING, Die elementargeometr. Konstruktionen des regelm. Siebxehneeks, Leipzig 1915 (daselbst Literatur S . 6 7 — 6 9 ) . — 1 8 8 0 Elemente der Trigonometrie538, Anhang VII; 111522b C R E L L E S Übersetzung , 1 8 3 3 , S . F20FF. — 1 8 8 1 Konstruktion des regulären Siebenxehneckes, J. r. ang. Math. 24, Berlin 1 8 4 2 , S. 2 5 1 . — 1 8 8 2 Zur v. STAUDTschen Construction des regulären Siebzehneckes, J. r. ang. Math. 75, Berlin 1872, S . 1 3 — 2 4 . — 1 8 8 3 Construction du polygene regulier de 17 cotis au moyen du seul compas, Math Ann. 4 8 , 1 8 9 7 , S. 3 9 0 . — 1 8 8 4 MASCHERONISEAE Konstruktionen, Programm Gymn. Schwerin 1 8 9 8 , nach M. BRÜCKNER, Vielecke und Vielflache1031, S. 21. — 1 8 8 5 Geometrische Sieb Kehnteilung, Sitzgeber. Berl. Math. Ges. 1903, S. 1 0 — 1 6 . — 1 8 8 8 Beiträge xur Geometrographie III, Arch. Math. Phys. 9 3 , 1905, S. 257. — 1 8 8 7 Die Siebxehnteilung des Kreises in elementar geometrischer Herleitung, Z. math. nat. Unt. 49, 1918, S. 303 312. — 1 8 8 8 Ein Mißverständnis ist, daß GAUSS selbst auf seinem Grabmal die Figur des Siebzehneckes gewünscht habe. W O L F G A N G BOLYAI schrieb kurz nach GAUSS' Tode an K R E I L , 1877

2

7t

die Gleichung für cos - ^ Y - könnte allein seinen Grabstein zieren. 1889

L . SCHLESINGER,

Deutsche Literaturxeitung, Bd. 1924, Sp. 1299. — De resolutions algebraica aequationis xti7 — 1 sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequahs commentatio coronata, J. r. ang. Math. 9, 1832, S. 1—26, 146—161, 209—330, 3 3 7 — 3 5 6 . Vgl. K . H A G G E , Einfache Behandlung der 257-Teilung des Kreises, Z. math. nat. Unt. 41, 1910, S. 448—458.

Die regelmäßigen Polygone.

259

nisse sind jedoch nicht veröffentlicht worden. 1890 Daß die Form n = 22k + 1 nicht ausschließlich Primzahlen liefert, zeigt k = 5. In diesem Fall ist η = 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 und kann in 641 - 6 7 0 0 4 1 7 zerlegt werden. 1891 Nichtprimzahlen ergeben sich ferner noch für k = 6, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, so weit man bis jetzt weiß. 1892 Näherungskonstruktionen der regelmäßigen Vierecke, die nicht den euklidischen Grundzahlen entsprechen, sind zu allen Zeiten versucht worden. 1893 Wie ein roter Faden zieht sich durch die Jahrtausende die Näherung s7 ^ ρβ (= ss), deren Genauigkeit nicht schlecht ist, da sich der Zentriwinkel = 51° 19' (statt 51° 25', 7) ergibt. JORDANUS NEMORARIÜS bezeichnet sie als indisch. 1894 Es kennt sie der Perser ABU'LWAFÄ' (940—998, Bagdad); 1895 es kennt sie aber auch schon der Alexandriner HERO (um 100 v. Chr.), vgl. S. 250, ja, er verwendet sie ohne Beweis, so daß noch ältere Herkunft anzunehmen ist. Vielleicht geht sie zurück auf ARCHIMEDES (F 212, Syrakus), der sich mit dem Siebeneck viel beschäftigt hatte. Wir finden die Zeichnung des Siebenecks wieder bei LEONARDO da Vinci (1452—1519), 1 8 9 6 bei REGIOMONTAN (1436—1476), 1 8 9 7 in einer anonymen Geometriehandschrift aus dem Anfang des fünfzehnten Jahrhunderts, 1898 in der (Beometria öeutfcfy (um 148 4), 1899 in DÜRERS Dnöermeyfung 5er meffung mit öem 5trcfel urti> ndjifcfyeyt von 1525, 1 9 0 0 in SCHWENTERS Geometriapractica (1641), 1901 bei PIRCKENSTEIN (1698) 1902 und anderen. Genauere Zeichnungen werden durch Bewegungsgeometrie geliefert. Eine arabische lehrt JORDANUS NEMORARIÜS (F 1237?); 1903 in der neuesten Zeit beschäftigte sich FÄRBER1904 mit solchen. Zeichnungen von Neunecken und höheren Vielecken gaben Handschriftlich im Seminar von Güttingen, nach F E L I X K L E I N , Vor träge über Elementargeometrie, 1895111454, S . 13. — 1 8 9 1 E U L E B , Observationes de. theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibun, Comm. Ac. Petr. 6, 1732/33 (1738), S. 104. Vorgelegt 26. 9. 1732. — Opuscula analytica I 1 4 9 , Petrop. 1783, S. 244. — 1892 y g l . Encycl. sc. math.1Mi, I, Vol. 3, fasc. 1, Paris-Leipzig 1906, S . 51/52; K B A I T C H I K , Theorie des Nombres, Paris 1922, S . 22 u. W. LORES·, Der Mathematiker und das numerische Rechnen, Norsk Mat. Tideskrift 1933, S. 15. — 1 8 9 3 Eine genauere Darstellung bei A. M J T Z S C H E E L I N G 1 1 1 4 7 7 , 1894 S . 56 ff. — De triangulis1114e9, ed. C U B T Z E , S . 4 3 — 4 4 . — 1 8 9 6 F . W O E P C K E , Constructions geomitriques, Journ. Asiatique, Paris 1855, 5 B 801 , S. 329 und 332. — 2 i89 I® 9 ® CANTOR 2 , S . 298. — 7 Vgl. M. CÜRTZE« 76 , Z. Math. Phys. 42, Leipzig 1897, 898 hist.-lit. Abt., S. 150. — l M. CÜRTZE607, Abh. z. Gesch. d. math. Wies. VIII, 99 1898, S. 55 unten. — I» Aufg. 3 273 . — 1 9 °0 Bl. (£ 11II Y « ^ _ 1901 B u c h IV, 2611194, Ausg. 1618, S . 179; Ausg. von 1641, S . 202. — 1 " 2 Vgl. W . LIETZMANN 1 8 0 \ Math. nat. Blätter 6/7, 1909—10, S. 60. — 1 " 3 De triangulis111***, IV, 23, ed. M. C Ü B T Z E , S . 42. — I 9 0 4 Eine einfache Konstruktion des regulären Siebeneckes, Ztschr. math. nat. Unterr. 47, 1916, S. 179. 1890

17*

260

Besonderer Teil.

auch LEONARDO da Vinci und D Ü R E R , ferner VIETA (1595). 1 9 0 5 Eine Neuneckskonstruktion D Ü R E R S und eine Fünfeckskonstruktion1906 von. ihm „mit unverrücktem Zirkel" war in damaligen Baukreisen allgemein bekannt, wie ihr Vorkommen in einer älteren Nürnberger Handschrift, 1907 bzw. in der (Seometria öeutfcf}237 beweist. Allgemeine Kreisteilungsverfahren geben bei vorgeschriebenem Radius C. R E N A L 1908 D I N I (1668), bei vorgeschriebener Vielecksseite L E CLERO ( 1 6 6 9 ) . 1 9 0 9 9. Die Kreisberechnung. 1910

Bereits die ältesten mathematischen Überlieferungen enthalten Versuche, die Kreisfläche, bzw. die Kreislinie durch bekannte Maße auszudrücken. In jenem altehrwürdigen Rechenbuche des Ägypters AHMES1381, das aus dem zwanzigsten bis siebzehnten Jahrhundert v. Chr. stammt und, eigener Angabe des Verfassers nach, auf noch ältere Schriften sich stützt, wird zum erstenmal eine Quadratur des Kreises vorgenommen.1911 Die dort gegebene Vorschrift, welche 8 / 9 des Durchmessers als Seite eines gleich großen Quadrates wählt, entspricht einem Werte % = (-L6-)2 = 3,1605, ist also von geradezu überraschender Genauigkeit. Leider sind wir vollständig im unklaren, wie die ägyptischen Gelehrten zu dieser Annahme gekommen sind. Man vermutet, daß die Regel mittels wirklicher Ausmessungen des Inhalts zylindrischer Gefäße durch Hohlmaße abgeleitet wurde.1912 Klarer ist die Entstehung des Wertes η = 3, der uns in einer biblischen Stelle erhalten ist. 1913 Bei der Beschreibung des Salomoni1905 Pseudo-Mesolabum1251, Paris 1595; Operan™, 1646, S. 2 8 3 — 8 5 . — , 9 0 6 Eine Prüfung ihrer Genauigkeit durch Ausrechnung der Winkel nimmt 1580 GIANme BATTISTA BENEDETTI vor. Diversae Speculationes , Taurini 1585 (1. Aufl. 1580), miW S. 369. Vgl. H. WIELEITNEB, Math. Quellenbücher >, Bd. II, Geometrie und Trigonometrie, Berlin 1927, S. 4 4 — 4 8 . — 1 9 0 7 Vgl. E. PANOFSKY, DÜKERS Kunsttheorie, Berlin 1915, S. 93; H. WIELEITNER, Eine Näherungskonstruktion des Neunecks bei DÜRER, Z. math, naturw. Unterr. 48, Leipzig 1917, S. 328. — 1 9 0 8 De resolutione & eompositione mathematica libriduo, Patavii 1668, S. 3 6 7 — 6 8 . Vgl. G. ENESTRÖM, Bibl. math. 7A, 1 9 0 6 — 1 9 0 7 , S. 298. — 1 9 0 9 Pratique de la giomitrie sur le papier et sur le terrain, Paris 1669, vgl. LIETZMANN11194. — 1 9 , 0 Vgl. hierzu F. RUDIO, ARCHIMEDES, HUYGENS, LAMBERT, LEGENDRE — 4 Abhandlungen über die Kreismessung, Leipzig 1892. — 19,1 Aua. EISENLOHR1381, S. 117, 124 u. δ. Vgl. O. NEU3 GEBAUER, Die Geometrie der ägyptischen mathematischen Texte , S. 4 2 2 — 4 2 3 . — 191 S8I 2 Κ. VOGEL (Mitt. Gesch. Med. Nat. 27 (1928)I , S. 381, Anm. 19), gibt eine annehmbare Erklärung: „Nimmt man die Quadratseite gleich 9 und sehneidet man ein 8-Eck ab, nachdem man die Quadratseite in 3 μΐβϊοΐιβ Teile geteilt hat, so wird der Inhalt des Achtecks, der ,intuitiv' dem Kreisinhalt gleich erscheinen kann, 3·3

sein: 92 — 4 · —— = 81 — 18 = 63; die Seite eines dem Kreis gleichen Quadrates J ist also 1/63 ~ 8 entsprechend der ägyptischen Formel". — '913 j Könige 7, 23:

Die

Kreisberechnimg.

261

sehen Tempelbaus wird ein großes Waschgefäß, Ehernes Meer genannt, erwähnt, dessen Durchmesser auf 10 Ellen und dessen Umfang auf 30 Ellen angegeben wird. Hier liegt offenbar eine einfache Multiplikation mit 3 und nicht das Ergebnis einer Messung vor. Wäre tatsächlich eine Schnur zur Messung herumgelegt worden, so hätten sich fast 32 Ellen ergeben. Nimmt man an, daß mit dem Maß von 10 Ellen die Entfernung der inneren Ränder gemeint ist, was durchaus nicht unwahrscheinlich ist, so wäre die Länge der Schnur noch größer geworden. Übrigens wird die Multiplikation mit 3 durch eine Talmudstelle: „Was im Umfang drei Handbreiten hat, ist eine Hand breit", bestätigt.1914 Ganz verfehlt ist es, zu behaupten, wie scharfsinnige Bibelerklärer des achtzehnten Jahrhunderts es getan haben, daß das eherne Meer in Wirklichkeit sechseckig gewesen sein müsse.1915 Wie der Hauptbestandteil der biblischen Sagen ist auch der Wert π = 3 von Babylon ausgegangen. Es ist statt des Kreises der Umfang des eingeschriebenen Sechsecks gewählt, dessen Konstruktion daselbst seit den ältesten Zeiten bekannt war. Keilschrifttexte aus etwa 2000 v. Chr.1916 zeigen an mehreren Stellen die Benutzung von π ~· 3. Aus dem Durchmesser d wird der Umfang u = 3d berechnet und umgekehrt. Bei der ringförmigen Umwallung einer Stadt wird die Kreisfläche, aber auch eine Ringfläche berechnet. Charakteristisch ist die Beziehung i = -jju2, zwischen Fläche und Umfang, die 3 Fachwörter für Durchmesser (UR — DAM) verrät statt i — 4 und Kreisumfang (Kippatun = GrAM) beweisen die Vertrautheit mit Kreisaufgaben. Aber an keiner Stelle kommt ein genauerer Wert als π rs 3 in der babylonischen Mathematik vor. Kenntnis des ägyptischen viel genaueren ist bis jetzt noch nirgends nachzuweisen, wohl aber umgekehrt das Auftreten von %,—'3 in Ägypten, merkwürdigerweise gerade bei einer Aufgabe, die auch die Und er machte ein Meer, gegossen, zehn Ellen weit, von einem Rand zum anderen, rund umher, und fünf Ellen hoch, und eine Schnur 30 Ellen lang war das Maß ringsum. Ebenso I I . Chronika 4, 2. Vgl. H I L F B E C H T 1 1 , The Babylonian Expedition, S. 38. — 1914 Vgl. M. CANTOR, Berichte, Z. Math. Phys. 20, Leipzig 1815, Hist.-lit. Abt. S. 162—165 und 23, Leipzig 1878, Hist.-lit. Abt. S. 9 0 . — 1 9 1 5 K Ä S T N E R S Anfangsgründe, 2. Aufl. 17 64 1 396, I , S. 276 Anm.: Dieser Unterschied von dem Maße, das die Schrift angibt, rührt ohne Zweifel daher, weil das eherne Meer keinen kreisförmigen Umfang gehabt hat, mit Berufung auf W I E D E B U R G , 1730, Mathesis biblica Septem speeiminibus comprehensa, 19,6 I V , Qu. X I und J A C . SCHMIDT, Biblicus Mathematicus, 1736, S. 160. — 0. NEU90 GEBAUER und W. STRUVE, Über die Geometrie des Kreises in Babylon* , Qu. u. Stud. Β 1, S. 84 ff.

Besonderer Teil.

262

Beziehung i = J^m2 benutzt,1917 so daß die babylonische Quelle vielleicht nicht ausgeschlossen ist. Für viele Zwecke der Praxis, die nur eines rohen Überschlages bedürfen, genügt heute noch der Wert π = 3. Wir können uns daher nicht wundern, wenn wir ihn oft im Altertum benutzt sehen, obgleich man genauere Vorschriften kannte. In der echtheronischen Schrift Metrika (um 100 v. Chr.), in der A R C H I M E D E S oft zitiert wird, tritt nur dessen Wert Π ^ 3 1 auf; es wird aber darauf hingewiesen, daß die „Alten" (οί ώρχεΐοι) den Umfang des Kreises dreimal so groß annahmen als seinen Durchmesser (την περίμετρον τον κύκλου νττολαμβάνονσι της διαμέτρου).1913 Auch in den später unter dem Namen H E B O N S umlaufenden Feldmesserschriften wird π = 3-ϊ- bevorzugt; nur in einer von diesen, den Mensurae,1919 begnügt sich der Verfasser handwerksmäßig mit TT ι—•> 3. Im praktischen Gebrauch des einfachen Feldmessers wird % ι—j 3 fast immer ausreichen, so bei V I T K U V (um 15 v. Chr.) — vgl. S. 277 — und in zwei griechischen Papyrushandschriften aus dem 3 i92o u n ( j 4 i92i Jahrhundert n. Chr. Auch in altindischen1922 und altchinesischen1923 Schriften können wir ihn nachweisen. Mit der Inangriffnahme des Problems der Kreisquadratur durch die griechischen Mathematiker beginnt in seiner Geschichte eine t h e o r e t i s c h e Periode, 1 9 2 4 während man die vorangegangene Zeit als e m p i r i s c h e P e r i o d e auffassen kann. A N A X A G O R A S von Klazomenai (um 4 9 9 — 4 2 8 v. Chr., Lampsakus) hat, wie von P L U T A R C H erzählt wird,1925 sich zuerst unter den Geometrie ägypt. Texte3, S. 4 4 1 oben und Geometrie des Kreises in Babylon™, S. 86 oben. — '«8 HERON, Op. 3 1 3 0 8 , S. 7 2 , Ζ. 2 9 ; S. 73, 1917

O. NEUGEBAUER,

Ζ. 4 — 6 . —

1919

HERON, Opera

4 I 5 4 S , S . 3 3 2 , Z. 4 ; S . 3 3 4 , Z. 12 U.: π = 3 | ;

De

ΠΒ3Β

mensuris, Opera 5 , Leipzig 1914, § 3, 7, 13, 14, 15, S. 164, 166, 170: π = 3; vgl. auch W . SCHMIDT1884, Bibl. math. 1 3 , 1 9 0 0 , S . 2 9 9 . — » 9 2 ° W . SCHMIDT, Über den griechischen Mathematiker DIONYSIDOROS, Bibl. math. 4S, 1903, S. 323, 113 Z. 9. — 1 9 2 1 K . VOGEL, Eine stereometrische Aufgabensammlung , S. 34. — 1922 Q-. THIBAUT, On the Suryaprajhapsi, Journ. of the Asiatic Society of Bengal, 4 9 , 1 8 8 0 , I, S. 120, Note, vgl. CANTOR L3, S. 6 4 3 , ferner Η . VOGT" 821 , Bibl. math. 7 3 , 1 9 0 6 — 1 9 0 7 , S. 16. C. MÜLLER, Die Mathematik der Sülvasutra"6Ϊ1, S. 189 Mitte. Auch späteren indischen Mathematikern ist π ~ 3 noch geläufig, s o MAHÄVIBÄ (850 n. Chr.) ed. RANGÄCÄRYA1114, S. 1 8 9 , N r . 19. — « 2 3 Y . MIKAMI 1 " 5 ,

Abh. Gesch. math. Wiss. 30, 1913, S. 8 u. öfters. - 1 9 2 4 Über die moderne Auffassung der Längenbeziehungen zwischen einer Kurve und einer Geraden v g l . M. ZACHARIAS, Encykl. d. math. TFISS. I I I , A B 9, L e i p z i g 1914, S . 9 2 8 — 9 3 2 . — 1925 PLUTARCHÜS, De exilio, cap. 17, ed. DÜBNER-DIDOT, Moralia, Bd. I, Paris

1885, S. 734, Z. 24: Άλλ' "Αναξαγόρας μεν έν τω δεσμωτηζίω τον τον χνχλον τετραγωνισμό? έ'γραφε (ANAXAGORAS beschrieb — zeichnete? — im Gefängnis die Quadratur des Kreises).

Die Kreisberechnung.

263

Griechen mit der Kreisquadratur beschäftigt; er soll sich die Zeit seiner Gefangenschaft (um 434 v. Chr.) mit Betrachtung dieser Aufgabe, die er vielleicht auf seinen ägyptischen Reisen kennengelernt hatte, vertrieben haben. Zu welchen Ergebnissen er gekommen war, wird nicht mitgeteilt. Jedenfalls hat er das große Verdienst, das vielumworbene Problem angeregt und die Jahrtausende hindurch fortgesetzten Versuche eingeleitet zu haben. Bald wurde die neue Aufgabe in den Kreisen des gebildeten Griechenlands bekannt, ähnlich wie die Probleme der Dreiteilung des Winkels und der Verdoppelung des Würfels, und ABISTOPHANES dürfte in seinen „Vögeln" (zum erstenmal 414 v. Chr. in Athen aufgeführt) seinen Zuhörern ein Wortspiel zumuten, das sich auf die Kreisquadratur bezieht.1926 Drei Wege sind es, die die griechischen Mathematiker zu beschreiten versuchten. Ihre erste Methode verlangt geometrische Konstruktion eines flächengleichen Quadrates allein mit Zirkel und Lineal, die zweite läßt mechanisch konstruierbare Kurven zu, die dritte, die nach unserem heutigen Wissen allein richtig ist, begnügt sich mit angenäherten Berechnungen. Die moderne Zeit hat die Erkenntnis gebracht, daß der erste Weg überhaupt unmöglich ist; dadurch wurde endlich all den Bemühungen ein Ende gemacht, die ehrgeizige Erfinder zu allen Zeiten angestellt hatten, um den Ruhm zu erwerben, eine Aufgabe, die bis dahin der Anstrengung der größten Mathematiker gespottet hatte, zu lösen. Zur g e o m e t r i s c h e n A u s f ü h r u n g der Kreisquadratur geht ANTIPHON (um 430 v. Chr.), vielleicht auf Grund Pythagoreischer Untersuchungen, von den eingeschriebenen Polygonen aus. Nach der Überlieferung1927 zeichnete er eines der konstruierbaren regelmäßigen Vielecke, etwa das Quadrat, dann das mit doppelter Seitenzahl, das Achteck, Sechzehneck usw., und setzte die Konstruktionen so lange fort, bis das regelmäßige Vieleck von dem Kreise nicht mehr zu unterscheiden war; nunmehr berief er sich darauf, daß in den Elementen der Geometrie gelehrt werde, wie man jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln könne. Verfahre man danach, so komme man schließlich zu einem Quadrat, das dem Kreis flächengleich sei. 1926

Die angebliche Kreisquadratur bei ARISTOPHANES, Bibl. math. 83, f.; RUDIO, Berieht1379, S . 9 0 — 9 1 . — EÜDEMI fragm.S. 121. Diese und die folgenden Angaben entstammen einem Kommentar des SIMPUCIÜS (sechstes Jahrhundert v. Chr.) zur Physik des ARISTOTELES, SIMPLICIUS in ABISTOTELIS Physicorum libros quattuor priores, ed. D I E L S , Berlin 1882, S. 54 bis 6 9 . Vgl. die Übersetzung und Erläuterung von RUDIO, Bibl. math. 3 8 ΙΙ,4β , I 379 1 9 0 2 , S . 7 — 6 2 und RUDIO, Bericht . BUDIO,

1907—08,

S. 21

264

Besonderer

Teil.

Nach anderer Überlieferung1928 habe ein Zeitgenosse, BBYSOX aus Heraklea, ebenso auch die umgeschriebenen regelmäßigen Vielecke herangezogen. In der Annahme, daß der Kreisumfang das arithmetische Mittel zwischen entsprechenden eingeschriebenen und umgeschriebenen Polygonen sei, ging er natürlich fehl. In anderer Weise, freilich mit noch weniger Erfolg, suchte HIPPOKEATES von Chios (um 440 v. Chr.) zu einer Lösung zu gelangen. Seine scharfsinnige Abhandlung über die Möndchen1929 ist uns in Bruchstücken erhalten aus einem Bericht des SIMPLTCIUS1930 (erste Hälfte des sechsten Jahrhunderts), der sie bei Erläuterung einer mathematischen ABISTOTELES-Stelle wörtlich aus der ihm noch vorliegenden, heute verloren gegangenen Geschichte der Geometrie des EUDEMOS (älterer Schüler des ABISTOTELES) entnimmt. EUDEMOS hatte sich seinerseits, wie man aus der altertümlichen Sprache und aus inneren Gründen schließen darf, wörtlich an das Original gehalten, so daß uns hier das älteste Schriftstück griechischer Mathematik — anderthalb Jahrhunderte vor EUKLID — vorliegt. HIPPOKRATES sucht Flächenstücke, die von zwei Kreisbogen begrenzt sind, sogenannte Möndchen, mit geradlinig begrenzten Figuren zu vergleichen. Es gelingt ihm dies in vier Sonderfällen. Bei dem einfachsten konstruiert er über den Katheten eines dem Halbkreise eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks Halbkreise; es ist dann klar, daß jeder der entsprechenden Monde {μηνίσκοι, lunulae) dem halben Dreieck gleich ist, daß also für diese krummlinige Figur die Quadratur geleistet wird (vgl. S. 197). Bei einem zweiten Fall ist der äußere Kreisbogen größer, bei einem dritten kleiner als ein Halbkreis, der zugehörige andere Kreisbogen aber in ganz bestimmter Weise gewählt. Bei einem vierten Fall stellt er die Summe eines gewissen Möndchens und eines Kreises als geradliniges Flächenstück dar. HIPPOKEATES ist sich aber sehr wohl bewußt, daß er nicht allgemein jedes Möndchen quadrieren kann und daß also das wohl ursprünglich erstrebte Ziel nicht erreicht wurde. Neuere Untersuchungen haben übrigens außer den drei einzelnen Möndchen, die HIPPOKEATES behandelte, nur noch zwei Sonderarten, die mit Zirkel und Lineal quadrierbar sind, 1931 zutage gefördert. Ein anderes 1928 Vgl. C. A. BRETSCHNEIDEB69, S. 126 ff. — 'S 2 9 Mit dem Flächeninhalt von Möndchen, allerdings einfachster Art, beschäftigten sich schon die Altbabylonier. Vgl. 0 . NEUOEBADEE, Keilschrifttexte111145b, S. 141—142. — 1 9 3 0 RUDIO11448, Be1 richt ™. 0 . TOEPLITZ, Der derzeitige Stand der ForschungM7, S. 8 ff. — A. D. STEELE827, Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik, S. 314FF. — O. BECKEB, Textgestaltung10, S. 411—419. — "31 D. WIJNQUIST, Aboae, 1766, Dissertatio gradualis lunulas quasdam circulares quadrabiles

Die

Kreisberechnung.

265

Möndchen, dessen Flächenberechnung auf eine Gleichung dritten Grades führt, hat VIETA (1593) betrachtet. 1932 Die allgemeine Lösung ist transzendenter Natur. 1 9 3 3 Einen wichtigen Fortschritt in dem Aufbau der Kreislehre verdankt man dem HLPPOKBATES in dem Beweis des Satzes, daß sich K r e i s f l ä c h e n wie die Quadrate ihrer D u r c h m e s s e r verh a l t e n ; daß HIPPOKBATES diesen Satz bewiesen hat, berichtet 1934 EUDEMOS (um 3 3 4 v. Chr.). Der von EUKLID, Elem. X I I , 2 1 9 3 5 gegebene Beweis kann nicht der Hippokratische sein, da hier die Exhaustionsmethode 1936 benutzt wird, die nach dem Zeugnis des ABCHIMEDES jünger ist und von EUDOXOS (408—355 v. Chr.), dem Freunde PLATONS, stammt. 1 9 3 7 Wenigstens erwähnt ARCHIMEDES dieses Verdienst des EUDOXOS für die Sätze, daß die Pyramide (der exhibens (von M . J . W A L L E N I U S 1766 zur Promotion benutzt; vgl. J . E . HOFMANN 1 4 6 ° ) ; dann L. EULEB, Calculationes cyclometrieae, Novi Comm. Petrop. 16, 1771 (1772), vorgelegt 4. VII. 1771, S . 160—170. Vgl. auch T H . C L A U S E N , Vier neue mondförmige Flächen, deren Inhalt quadrierbar ist, Journ. f. Math. 21, 1840, S. 875 bia 376 und E. L A N D A U , Über quadrierbare Kreisbogenxweiecke, Arch. d. Math, und Phys. 4„, 1908, Anhang S. 1—6; ENRIQUES, Fragen der Elementar geometric, Bd. II, deutsche Ausgabe von FLEISCHER111464, Art. VIII, § 9, S. 304. — '932 V I E T A , Variorum de rebus mathematicis responsorum lib. VIII, Turoni 159311 l u 2 , S. 19a—20*. Opera11197, S. 375—381. — 1333 Eine Zusammenstellung des gesamten Stoffes mit reicher Literaturangabe gibt W I E L E I T N E B - H O F M A N N 1 4 6 0 . — 1934 R U D I O 1 8 7 9 , Bericht S . 48, Z. 7—11: . . . δτι τον αυτόν ίόγον εχει τά τε ομοια των κύκλων τμήματα προς αλληλα καΐ αί βάσεις αντών δυνάμει, τούτο Öe εδείκνυεν ex τον τάς διαμέτρους δεΐξαι τον αντον λόγον εχονσας δυνάμει τοις κνχλοις ... (Ahnliche Kreisabschnitte haben dasselbe Verhältnis wie die Durchmesser im Quadrat. Dieses bewies er, indem er zeigte, daß die Quadrate der Durchmesser dasselbe Verhältnis besitzen wie ihre Kreisflächen). O. TOEPLITZ 8 2 7 „ Der derzeitige Stand ... 1935, S. 7f. — 1 9 3 5 EUKLID, Opera 4, ed. J. E. H E I B E B G 1 1 7 4 5 , S. 140, Z. 20/21. — «36 Vgl. HANKEL1188, S. 121 ff. — G. J U N G E , Besonderheiten der griechischen MathematikI81s, Jhrsb. D. Math. V. 35, 1926, S. 150—172. — H . W I E L E I T N E B , Math. Quellenbücher IV, Infinitesimalrechnung, Math. Nat, Techn. Bücherei, Bd. 24, Berlin 1929, S. 6—14. Die klassische griechische Mathematik hat keinen Fachausdruck für diese Methode. Erst SIMPLIKIOS (Anf. 6. Jahrh. n. Chr.) verwendet bei dem Eintragen von Vielecken in einen Kreis mit immer größerer Seitenzahl das Wort δαπαναν (aufzehren, aufbrauchen, erschöpfen): Die Vielecke erschöpfen den Kreis. Vgl. R U D I O 1 8 7 9 , S. 28, Z. 11; S. 30, Z. 6. — Das Wort exliaurire (= erschöpfen) kommt in diesem Sinne zum erstenmal in dem Opus geometricum des GBEGOBIUS von St. Vincentius111431 (1647), Antwerpen, S. 739, Z. 20 v. u.: Parallelepipeda ilia ita posse multiplieari ut corpora ipsa, quibus inscribuntur exhauriant (Jene Parallelflache können so vervielfacht werden, daß sie jene Körper, denen sie eingeschrieben werden, erschöpfen). Vgl. C . R . W A L L N E B , Über die Entstehung des Orenxbegriffes, Bibl. math. 48, 1903, S. 246—259. — , 9 3 7 i n der Einleitung zu der Schrift über Kugel und Zylinder, ABOHIM. Opera I11478, S. 4, Z. 2 ff.

266

Besonderer

Teil.

Kegel) der dritte Teil eines Prismas (eines Zylinders) von gleicher Grundfläche und Höhe ist ( E U K L . , El. XII, Satz 7 und 1 0 ) ; hier ist aber dasselbe neuartige Be weis verfahren verwendet. In diesem Buch XII seiner Elemente bringt E U K L I D eben solche Sätze, deren direkter Beweis ohne den Begriff des Unendlichkleinen nicht möglich ist, so z.B. noch den Satz XII, 18: Kugeln verhalten sich wie die Kuben ihrer Durchmesser. Die ältere griechische Mathematik hatte mit dem Unendlichen ohne Bedenken gearbeitet, aber dabei böse Erfahrung gemacht, die sich in den Sophismen des ZENON widerspiegeln. Solchen gefährlichen Beweisversuchen tritt P L A T O scharf entgegen und verlangt Beweise, die in einer endlichen Zahl von Schlüssen die Begründung liefern. Wenn jetzt die klassische griechische Mathematik eine unklare Verwendung des Unendlichen mit vollem Bewußtsein vermeidet, so leistet sie dasselbe wie die moderne Mathematik mit ihrer „Epsilontik". Besonders bei der Invention von Sätzen war ein solches Verfahren in Gebrauch, nur mußte noch ein absolut einwandfreier Beweis nachgeholt werden. Wir werden solche Gedankengänge bei den stereometrischen Arbeiten ARCHIMEDES' in ausgedehntem Maße finden. Ein uns so naheliegender Grenzvorgang, daß die Reihe der einem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Vielecke mit fortgesetzt gedoppelter Seitenzahl η dem Kreise — sei es Umfang oder Inhalt — von innen ebenso zustrebe, wie die entsprechend konstruierten umgeschriebenen Vielecke von außen, wird bei E U K L I D nirgends angedeutet,1938 wenn man auch genau merkt, daß er diesen Gedankengang hat. faßt den Fundamentalsatz der Exhaustionsmethode in X, 1 der Elemente folgendermaßen: Nimmt man von den größeren von zwei ungleichen Größen mehr als die Hälfte weg, von dem Rest wieder mehr als die Hälfte usw., so kommt man einmal auf einen Rest, der kleiner als die kleinere Größe ist. Der Unterschied der Exhaustionsmethode in antiker und moderner Auffassung (seit GBEGOBIUS) 1 9 3 6 besteht darin, daß die letztere den Grenzwert durch eine unendliche konvergierende Reihe festlegt, jene aber die Reihe im Endlichen, genügend fortgesetzt, abbricht und durch einen indirekten Beweis zeigt, daß der Restbetrag außer Betracht bleiben EUKLID

Wohl aber bei dem Praktiker H E B O N , Metrika, Opera 3 1 308, S. 4 8 , Z. 2 0 bis 22: Im folgenden werden wir über die gleichseitigen und gleichwinkligen geradlinigen Figuren bis zum Zwölfeck schreiben, da dieses sich mehr dem Umfang des Kreises annähert (επειδή τοντο συνεγγίζει μάλλον τον χνκλον πεξίφβζβίφ).

1938

Die

267

Kreisberechnung.

kann. 1939 — In der Literatur wird die Methode erstmalig von 1940 ARISTOTELES ( 3 8 4 — 3 2 2 ) erwähnt. Etwa ein Jahrhundert nach HIPPOKBATES fallen die Versuche des DEINOSTEATOS (um 335 v. Chr.), mittels m e c h a n i s c h e r K u r v e n das Kreisproblem zu zwingen. Er bediente sich einer transzendenten Kurve, die HIPPIAS von Elis (um 420 v. Chr.) zur Dreiteilung des Winkels erfunden hatte und die von nun ab den Namen Quadratrix {τετραγωνίζουσα)

erhielt. 1941

Diese Kurve 1942 {x •= y ctg ^ j stellt den geometrischen Ort der Schnittpunkte zweier Geraden EF und A Q dar, von denen die

eine sich gleichförmig, ihrer Anfangslage DC[ = a) immer parallel, bis AB bewegt

=

die zweite von AD aus sich um Α mit

konstant bleibender Winkelgeschwindigkeit bis zur Endlage AB dreht 90° \ φ = - — ; χ = y ctg φ I. Die Teilung eines Winkels wird durch die Proportion DA: DR = Bogen Di?:Bogen DG auf die Teilung der Strecke DA zurückgeführt; die Rektifikation des Kreisquadranten DGB wird dadurch geleistet, daß AB die mittlere Proportionale zwischen AP' und dem Kreisquadranten ist. Die Beweisführung des DEINOSTEATOS für diese letztere Eigenschaft ist ziemlich verwickelt; sie 1939 —

Vgl. auch M. ZACHARIAS, Encykl. d. math. Wiss.586, III, Α Β 9 , S. 9 4 2 — 9 4 3 . 16 1 9 4 0 Abademieausgabe , I, S. 2 6 6 , rechts, Z. 2 , vgl. H E I B E R G , Math, xu

ARISTOTELES2*, S. 23. — 19« 1942 PAPPUS HANKEL1188,

1 13

,

PROCLUS7, S. 272, Z. 7—10^ S. 356, Z. 11.

Συναγωγή IV, § 4 5 — 5 0 , Bericht S .

S . 1 5 1 FF.; R U D I O 1 0 ,

S. 250, 115FF.

Z . 33FF.

(Beweis

S. 256);

—

vgl.

268

Besonderer

Teil.

bildet den ersten i n d i r e k t e n B e w e i s , den uns die griechische Literatur überliefert. Ist die Länge des Kreisumfangs gefunden, so ergibt sich der Inhalt des Kreises als Hälfte desjenigen Rechtecks, dessen Höhe der Radius und dessen Grundlinie der Umfang des Kreises ist. So scharfsinnig die gegebenen Herleitungen und Beziehungen sind, so wenig brauchbar ist die gefundene Quadratur, da die dazu nötige Kurve nur punktweise konstruierbar ist. Es dauerte wiederum rund 100 Jahre, ehe die Aufgabe einen neuen Bearbeiter fand; dies χ war ABCHIMEDES (287—212 v. Chr., Syrakus). Sein mathematisches Genie ist ebenso bewunderungswürdig, wie seine außerordentliche Rechenfertigkeit höchste Anerkennung verdient. Nur der Schwierigkeit des Stoffes ist es zuzuschreiben, wenn auch ι \ ihm nur eine geringe Annäherung, die sich, modern ^ α ausgedrückt, nicht einmal bis zu der dritten Dezimale erstreckt, gelang. Jedenfalls erfordert die Bedeutung seiner Abhandlung,194,3 daß wir uns Fig. 55. ihre Herleitungen eingehender ansehen. Ihre nicht einwandfreie Anordnung ist auf mangelhafte Überlieferung zu schieben. Es scheint auch nur ein Auszug seiner Schrift vorhanden zu sein. Die drei Hauptsätze, die ABCHIMEDES aufstellt, lauten: 1. Jeder Kreis ist einem rechtwinkligen Dreieck inhaltsgleich, wenn der Radius gleich der einen der den rechten Winkel einschließenden Seiten, der Umfang aber gleich der Basis ist. 2. Der Kreis hat zum Quadrat seines Durchmessers nahezu ein Verhältnis wie 11:14. 3. Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als i , aber um mehr als ^ des Durchmessers.1944 /

1943 ARCHIMEDES,

ed.

HEIBERG 1 1 4 7 8 ,

Is,

S. 2 3 2 — 2 4 3 ;

ed.

NIZZE,

S.

110ff.

—

ARCHIMEDES, ed. S. 232, Z. 2—4: Häg χνχλος ίσος βστί τςιγώνφ όξ&ογωνίω, ον ή μεν ix τον κέντρου ίση μια των itsoi τψ όζ&ήν, ή δέ HEIBERG 1 1 4 7 8 ,

Is,

Die

269

Kreisberechnimg.

Satz 1. wird indirekt bewiesen; für 2. wird 3. benutzt. In 3. sucht sich A R C H I M E D E S durch die PolygonbetrachtuDgen A N T I P H O N S obere und untere Grenzen in folgender Weise zu verschaffen. Es sei AC der Radius des Kreises, Α sein Mittelpunkt, Β Β die Seite 2r Se = α des umgeschriebenen Sechsecks. Da S6 = > 80 AC:BG

V3 wird ausgerechnet gewählt, wodurch

1945

= ]/3:l.

und der etwas zu kleine Wert f-ff 1 9 4 6

AC-.BC > 2 6 5 : 1 5 8

und 571:153

(AC + 2BC):BC>

wird, das heißt: (AC + AB) :BC > 571:158. Wird nun -^zBAG durch DA halbiert, so bestehen die Proportionen: AB: AG = BD

:DG,

(AB + AC): AC = (BD + AC:DC I)

= (AB +

AG:DC>

571

DC):DC, AG):BC, :153.

Um zum Verhältnis AD: DC an dem umgeschriebenen Zwölfeck übergehen zu können, wird der Pythagoreische Lehrsatz herangezogen. Aus AC2: DC2 > 5712 :153 2 und AC* + DC* . DC* ^

349450 1532

περίμετρος τι) βάσει; S. 234, Ζ. 19 — 20: Ό κύκλος προς το άπο της διαμέτρου τετράγωνον λόγον Ι'χει δν ιοί προς ι δι; S. 236, Ζ. 8 — 11: Παντός χνχλον ή περίμετρος της διαμέτρου τριπλασίων εστί, xal έτι υπερέχει ελάσσονι μεν η εβδόμω μέρει της διαμέτρου, μείζονι δέ η δέκα εβδομηχοστομόροις. J. Ε. HOFMANN regt die Fraiie an, ob nicht ARCHIMEDES, wie bei verschiedenen anderen seiner Resultate, den Wert zuerst induktiv gefunden und den endgültigen, formgerechten Nachweis erst hinterher gegeben hat. H. gibt einen Weg an, wie ARCHIMEDES vielleicht auf 3-J- gekommen ist. Unterrichtsbl. Math. Naturw. 4 1 , 1 9 3 5 , S . 3 7 — 4 0 . — 1 9 4 6 C . MÜLLEK, Wie fand ARCHIMEDES die von ihm gegebenen Näherungswerte von ]/ΙΓ, Qu. u. Stud., Gesch. Math., Astr., Phys. Β 2, 1932, S. 2 H 1 — 2 8 5 ; O . TOEPLITZ, Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit von C . MÜLLE», daselbst S . 2 8 6 — 2 9 0 . K . VOGEL, Die Näherungswerte des ARCHIMEDES für "|/3> Jb. d. M. Vgg 4 1 , 1932, S. 1 5 2 — 1 5 8 . J. E . HOPMANN, Über die Annäherung von Quadratwurzeln bei ARCHIMEDES und HERON, Jhrber d. D. Math. Ver. 4 3 , 1 9 3 3 / 3 4 , S. 187—210. — W «

V g l . B d . V I , A 4 , K e t t e n b r ü c h e (bei J/I).

270 erhält

Besonderer ARCHIMEDES

II)

Teil.

durch gleichzeitiges Radizieren: AD:DC>

5911

:

153.

Das Halbieren des Winkels DAG liefert weiter: AD: AG =

DE:EC

und (AD + AC):DC=

AG:EC.

Durch Addition von I) und II) kann dieses Verhältnis ausgerechnet werden; es ergibt sich: (AD + AG): DC > 1162-L:153, also III)

AG:EC>

1162^:153

für das Verhältnis des Radius zur halben Seite des umgeschriebenen Vierundzwanzigecks. Dieses Verfahren setzt ARCHIMEDES mit immer

etwas zu klein gewählten Quadratwurzelwerten bis zum Sechsundneunzigeck fort. Für dessen Umfang stellt er die angenäherte Proportion auf: ί79β: 2r < 14688:46731-< 3 | : 1, die die obere Grenze der Kreisperipherie liefert. Um eine untere Grenze zu bestimmen, nimmt er seinen Ausgangspunkt vom eingeschriebenen gleichseitigen Dreieck. Von diesem steigt er wiederum durch Winkelhalbieren zu höheren Polygonen auf. Der folgende Bericht beschränkt sich auf den Übergang vom eingeschriebenen Sechseck zum Zwölfeck.1947 Vgl. die allgemeinen Herleitungen bei J . T K O P F K E , ARCHIMEDES und die Trigonometrie111 « 8 , Archiv Gesch. Math. Nat. Techn. 10, 1928, S. 441 f. — Eine Modernisierung bei T H . W E I T B B E C H T , ARCHIMEDES redivivus, Aus Unterr. u. Forsch., Korrespbl. höh. Schulen Württ. 1, 1929, S. 156—173. 1947

Die

271

Kreisberechnung.

Ist CB (Fig. 56) die Sechseckseite s 6 , die gleich dem Radius MG = r ist, so verhält sich: AB:BC

d. i. annähernd r

ü

=

V3:l,

unter Benutzung

des

etwas größeren

Wertes

780

AB:BG
8 | f : l ist die gesuchte untere Grenze. In moderne Formelsprache übertragen, 1948 sucht A k c h i m e d e s wiederholt ctgi-a; und cosec-^a; aus ctg« und cosec 2; durch Beziehungen zu gewinnen, die sich mit ctg = ctg χ + cosec χ , 2 (cosec ^ x) = (ctg-La)2 + 1 1948

J . TROPFKE

1947

.

s. 442 f.,

Formel

A)

und B).

272

Besonderer

Teil.

decken. Er geht aus von c t g ^ = l/3 und c o s e c = 2 und findet: 6 ' D ,

71

^

cte — > S

46734·

96

153

7T

,

^

20174-

cosec —
Halbkreis: _ r + [h — r) · — hat die oben erwähnte hebräische Feldmesserschrift2120 sowie A L H W Ä 2121 B A Z M I S Geometrie, die vielleicht aus einer Quelle fließen; diese Formeln sind in der griechischen und indischen Literatur nicht zu finden, erst wieder bei ALKARHI 2 1 2 2 und SAVASORDA. 2123 In ihnen steckt die Sektorformel2124 \br. Inhaltlich scheint diese bereits im vierten Jahrhundert n. Chr. bekannt gewesen zu sein. Bei D E I N O S T B A T O S (um 335 n. Chr.)2125 wenigstens wird diese Beziehung ohne Beweis wie selbstverständlich angenommen. Ein strenger Beweis liegt in der Ableitung, die A R C H I M E D E S für den Kreisinhalt gibt. Rechnerische Verwertung ist bei den griechischen Mathematikern, soweit die Überlieferung reicht, nicht nachzuweisen. P T O L E M A E U S (Mitte des zweiten Jahrhunderts n. Chr.) beDutzt einmal die Proportion u:b = i: S: „es verhalten sich die Kreise zu den Bogen wie die Kreisflächen zu den Flächen der von den Bogen überspannten Sektoren."2126 Im Liber trium fratrum1272 (Verfasser sind die Perser M U H A M M E D , A H M E D und HASAN, erste Hälfte des neunten Jahrhunderts n. Chr.; Bagdad) wird unsere Formel neben der Ptolemäischen Proportion2127 ausdrücklich aufgenommen.2128 Wird hierbei vielleicht versehentlich 11

2 1 " MAHÄVIBA (um 830 n. Chr.) ", S. 195, Nr. 43. 2118 Daselbst S. 203, Nr. 70i.

Sie fehlt bei BEAHMAQUPTA. — — 2119 ß . DATTA, The Jaina School1650, S. 145.

— 2120 GRANDZ1S7e, S . 5 0 , 5 1 . —

2121 RUSKA 1187 , S . 1 0 7 . —

S . 24, Z. 18. — 2123 E d . M. CCBTZE

1488

2122 ALKÄFI 1131 , I I ,

, I V , 12, S . 104, 105, b z w . I V , 13, S. 1 0 4

bis 107. — 2124 Kreissektorförinige Ziegelsteine zum Ausbau eines Brunnens bebandelt schon ein all babylonischer Keilschrifttext aus etwa 2000 v. Chr. Vgl. 0 . NEUGEBAUER, Math. Keilschrifttexte» 1146b , Qu. u. Stud. A 3, 1935, S. 177 bis 178, § 10. — 2125 PAPPUS 1 1 3 , Coll. IV. prop. 26, ed. HULTSCH, 1, S. 257f.; vgl. E . HOPPE, Math, u, Asir. im klass. Altertum1™, S. 185—186. — 2126 Σννταξις VI, 7 1 1 0 2 . Übersetzung von MANITIUS, S. 387, Z. 6 — 9 . — 2127 Übersetzung von GEBHABD VON CEEMONA1"2, ed. CORTZE S. 19, Z. 5 ff. — 2128 Ed. CUBTZE 1272 , S . 1 2 3 : Est

embadum

huius

trianguli

(!), quam

eontinet 20*

iste

areus

308

Besonderer

Teil.

der Ausdruck Dreieck (siehe den Wortlaut in Anm. 2 1 2 8 ) benutzt, so faßt SAVASORDA (jüdischer Gelehrter, um 1 1 0 0 n. Chr.; Barcelona) mit Bedacht den Sektor als Dreieck auf, dessen Grundlinie der Bogen und dessen Höhe der Eadius ist. 2129 Unsere Formel kennt natürlich immer nur inhaltlich, ferner LEONABDO von Pisa ( 1 2 2 0 ) ; 2 1 3 0 aber auch die Ptolemäische Proportion u:b = i:S ist bei ihm nachzuweisen,2131 ebenso wie in einer anonymen Abhandlung aus der ersten Hälfte des fünfzehnten Jahrhunderts2132. Die Sektorberechnung wird auch in der Folgezeit, bis auf die neuesten Lehrbücher, nicht allzu häufig vorgenommen (FINK, 1 5 8 8 , 2 1 3 3 STEVIN, 1 5 8 5 , 2 1 3 1 NAUD£,

1706).2135

Die B e r e c h n u n g einer R i n g f l ä c h e zwischen zwei konzentrischen Kreisen ist in griechischen Schriften anzutreffen.2136 Charakteristisch ist der für King gewählte Ausdruck ϊτυς ( = Schildrand);2137 an anderer Stelle wird στεφάνη (Kranz) benutzt.2138 — Schon die alte babylonische Mathematik kannte Kingaufgaben. So handelt es sich in einem Keilschrifttext2139 um die ringförmige Befestigung einer Stadt: es sind 3 konzentrische Kreise gezeichnet und 2 aufeinander senkrecht stehende Durchmesser; Ringbreite ist 5. Der Umfang eines Grabens wird berechnet — Gelegentlich beschäftigen sich auch indische Mathematiker mit Ringflächen, so 2140 MAHÄVIBÄ. — Der Araber A H M E D ΪΒΝ Ό Μ Α Β AL-KABÄBISI (Ende 10. Jahrh. n. Chr.) hat ihnen eine ganze Schrift gewidmet, deren erster Teil die ebenen Ringe nach euklidischer Art behandelt, und die dann im zweiten Teil auch körperliche Ringe untersucht, wie sie durch Rotation eines Kreises oder eines Quadrats entstehen, allerdings et due liwae, que protracte sunt ab extremitatibus eius ad centrum, illud, quod fit ex mulHplicacione rnedietatis dyametri circuli in medietatem areus assumpti ex eo (Es handelt sich um den Inhalt des Dreiecks (!) das der Bogen und zwei von seinen Endpunkten nach dem Mittelpunkt gezogene Geraden begrenzen5 ihn erhält man aus der Multiplikation des halben Durchmessers mit der Hälfte des betreffenden Bogens). — 2 1 2 9 Liber embadorumI48S, 1145 von PLATO von Tivoli übersetzt, ed. CÜBTZE, S. 104, Z. 3 — 5 . — 2 , 3 0 Practica geometriae, Scritti II 16 ® 4 , S. 100, Z. 12. — 2131 Daselbst, S. 100, Z. 18. — 2 , 3 2 CÜBTZE667, Abh. Gesch. Math. 8, 1898, Nr. 5, S. 37. — 2 1 3 3 Geometria rotundi1071 VIII, 5, S. 121. — 2 , 3 4 STEVIN, (Euvres ed. GIRARD123, 16 34, II, Livre de la geomitrie, prop. 13, S. 378. — 2 « 5 Gründe der Meßkunst316, 1706, § 384, S. 121. — 16 2 3 2 3 > 6 HERON, Op. 4 «, ed. HEIBEBG, S. 374, §21. — > ' Ebendaselbst, Z. 24. 1308 In den Metrica I 26, ed. SCHÖNE , S. 68, leitet HERON die Formel ·4· (2ρ + b)b ab, wo ρ der innere Radius, b die Breite des Ringes ist. — 2 , 3 8 HBBON, Op. 4 1 6 4 3 ed. HEIBEBG, S. 36, Z. 21, das. 37. —

d. Kreises in Babylon, S. 85. — S. 205 Nr. 80 f

2140

2139

O. NEÜGEBAUEB480,

Geom.

ed. RANGICÄRYA1114, S. 186, 188 Nr. 17;

Die Kreisberechnung.

309

nicht sehr exakt, da hierzu die Kenntnis der Elemente E U K L I D S nicht ausreicht. 2141 Ebene Kreisringe werden auch von ΑΧ,ΗΑΚΗΪ (um 1010 n. Chr.) berechnet. 2142 — Neuere Lehrbuchverfasser berücksichtigen selten die Ringflächen, erst seit der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts wird auf ihre Berechnung wieder eingegangen, so v o n KÄSTNER 1 7 6 4 , 2 1 4 3 2145

HILDEBEANDT

1793, MÖNNICH 1 8 0 0 , GTRUNERT 1 8 3 4 . 2 1 4 9

2146

17 85,2144

THIBAUT 1 8 0 1 ,

2147

CLAIRAUT-BIEELING

LEHMUS

1818,2148

Das deutsche Wort K i n g führt KEPLER (1616) ein. 2150 Die Enzyklopädie von ROSENTHAL benutzt 1 7 9 5 noch K r a n z . 2 1 6 1 Das zwei sich schneidenden Kreisen gemeinsame Flächenstück berechnet bereits 2152 PTOLEMAEUS in der Σύνταξις (Kapitel über die Sonnenfinsternisse). Ihm folgt REGIOMONTANUS ( 1 4 3 6 — 1 4 7 6 ) in einem Brief an BIANCHINI aus dem Jahre 1 4 6 4 2 1 5 3 und der Verfasser einer anonymen Abhandlung aus dem fünfzehnten Jahrhundert. 2154 In der letzteren wird auch die Fläche zwischen drei sich berührenden Kreisen berechnet 2156 , sogar das um diese drei Kreise konstruierte Tangentendreieck und alle Flächenstücke, die den diesen umschriebenen Kreis bilden. 2156 Angenäherte Kreisquadraturen, bzw. -Rektifikationen sind in großer Zahl, mehr oder weniger gute, gefunden worden. Wir lernten S. 2 8 4 eine solche von VIETA kennen (vgl. auch KOCHANSKY, S. 287). Interessant und für Bogen nicht zu großer Winkel von annehmbarer Genauigkeit ist eine einfache Zeichnung von HUYGENS (16S4) 2 1 5 7 , die heute noch viel verwendet wird. Ist AB' der zu streckende Bogen, so verlängere man den Durchmesser A C um r bis D, dann schneidet 2141

E. BESSEL-HAGEN und O. SPIES, Das Buch über die Ausmessung der Kreisringe des AHMED IBN 'OMAB AL-KABÄBISI, QU. U. Stud. Gesch. Math. Asir. Physik, Β. 1, 1931, S. 502—523. — 21« Käß fi'l hisabim, II, S. 28: Ringinhalt =

Ui

U

* (rt - r%\ das ist π ( V - V ) . —

2143

Anfangsgründe1™,

I, 2, S. 282.

u

— 2t44 Handbuch der reinen Größenlehre11199, I, § 440. — 2 , 4 5 Übersetzung von CLAIBAUTS Anfangsgründen durch BIERLING 1087, 5. Aufl. III, Nr. VIII. — 2 1 4 6 Handbuch d. Math.1119*, I, S. 246, NR. 314. — 2 , 4 7 Grundriß11 M , S. 242. — 2 ' 4 8 Lehrbuch d. Geom.82, Berlin, S. 173, Z. 291. — 2 , 4 9 Lehrbuch d. Math. f . rnittl. Klassen111™, II, Eb. Geom. § 433. — 2 1 5 0 Messekunst11i83, 611. Vgl. GÖTZE86, S. 148. — 2'51 Enc. II, 1795111 l i 9 , S. 125. — 2 1 5 2 VI, 7. Übers, von MANITIUS1102, S. 386. —

2

« 3 Ed. CÜRTZEISSSA, S. 257 ff., 288 ff. D i e A u f g a b e war v o n BIAN-

CHINI gestellt: S. 238, Nr. 6. Für zwei gleichgroße Kreise vgl. S. 332k. — 2 4 « S. 442182. — 2 , B S Daselbst, S. 48. Solche Berechnung führte schon der Inder

MAHÄVIBÄ (um

830 n. Chr.) aus, 2

ed. RANGACARYA1114, S. 194 Nr. 39,

S. 206 Nr. 83|, S. 207 Nr. 84£. — 156 Daselbst 2132 , S. 5 2 - 5 4 . — circuit magnitudine108ϊ, Lehrsatz XIII.

2

«7 De

310

Besonderer

Teil.

die Verbindungslinie ΏΉ auf der Tangente in Α die Strecke 2158 AB = 2LTCÄB' ab. Die HUTGENS sehe Zeichnung gebt auf die Näherungsformel des CUSANUS zurück. Andere Konstruktionen sammelt C. F. A. JACOBI

L

Fig. 58.

(1834) in seiner Übersetzung der SWINDEN sehen Elemente.21B9 Für das neunzehnte Jahrhundert gibt M. SIMON (1906) eine Zusammenstellung.2160 2158 Noch besser (in bezug auf Genauigkeit und Platzbeanspruchung) iat eine Geradstreckung von L. BDRMESTER, Angenäherte Gradstreckung der Kreisbögen, Sitz.-Ber. Ak. Wiss. München, 1919, S. 431 f. — 2>B9 S. 225« 1219 . — 2«60 Elementar-Geometrie im 19. Jahrhundert1*"*, S. 64—69.

Seitenzahlen von Band IV.

311

Zusammenstellung der S e i t e n z a h l e n und Anmerkungsnummern für Band IV der z w e i t e n und dritten A u f l a g e zur Ausnutzung der Namen- und Sachverzeichnisse im Schlußband (Band VII) der zweiten Auflage. Die angegebenen S e i t e n z a h l e n können sich selbstverständlich nicht völlig decken; sie geben aber zur Auffindung der gesuchten Stelle in der dritten Auflage des Band IV genügend Anhalt. Die A n m e r k u n g s z a h l e n decken sich genau.

I. Seitenzahlen von Band IV. 2.Aufl. 3.Aufl. 2. Aufl. 3. Aufl.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5

1 41 2 2 3 3 4-5 5-7 7—8 6 9—10 7 10—11 8 11—13 9 13—15 50

57 58 58 59 59—61 61- 62 62- 63 63- 64 64—«6 6 6 - 67 67- 68 68- 69

15—16 16—17 17—18 18—20 20—21

69707172737476777879-

6 21—22

7 8 9 20

22—23 23—24 8 24—25 9 25—26 «0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 30

26—27 27-29 29-31 31—3« 36—38 39 bis 45

Ί> 2 3 4 5 6 7 8 9 40

6 7 8

9 70

2. Aufl. 3. Aufl.

2. Aufl. 3. Autt.

2. Aufl. 3. Aufl.

-10ή 121 149—150 161 216- -217 201 268—269 -10« 2 217- -21η 2 269—270 2 150—151 -107 3 3 219- - 2 2 0 3 270—271 151 -108 4 220- -221 4 271—272 4 bis -109 5 2 2 1 - -222 5 272—273 5 172 -111 6 222- -223 6 273—274 6 -112 7 223- -225 7 274—275 7 172—175 8 225- -226 8 275—277 8 1 1 2 - •113 8 175—176 9 226- -227 9 277 9 113- - 1 1 4 9 176—177 90 114- -115 130 177—17S 170 227- - 2 2 8 210 2 7 7 - 2 7 8

81 2 3 4 5 6 7

104105106107108109111-

-70 1 -71 2 -72 3 -73 4 -74 5 -76 6 •77 7 -78 8 -79 9 80 100

115116117118119120-

80- 81 1 81- 83 2 83- 84 3 84- 85 4 85- 86 5 86—87 6 87—88 7 88- 89 8 89- 90 9 91- 92 110

9245-46 9446-47 9547—49 9649—50 9750—52 9852—53 9953—54 8 1 0 0 54—56 9 10156—57 80 103-

2. Aufl. 3. Aufl.

1 -93 2 -95 -96 3 4 -97 -98 5 6 -99 -100 7 8 -101 -103 9 -104 120

-116

-117 -118

-119 -120 122 122- -123 123- -124 124- -125 125- -1'26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 140

178-179 179-180 180-182

182-184 184 185—18« 186—187 187—188 188—189 189—191

1 2 3 4 5 6 7 8 9 180

228

1 229 2 229- 2*0 3 230- 231 4 231231— 232 232- 233 5 6 233- 234 7 234- 235 235- 23« 8 9 236- 237 237- 238 220

278—279 280—281

281 282—283 283—284 284—285 285—286 286—287 287—288 288—289

1 2 6 - 127 127— 128 128— 129 1 2 9 - 130 130— 131 131 - 132 132— 134 1 3 4 - 135 135— 136 136— 137 150

191-

1 2 3 4 5 6 7 -202 8 9 2 0 2 - -203 203- 204 190

238—239 1 239—240 2 3 240—242 4 242—243 5 243—245 245 6 246—247 7 247—248 8 248—254 9 2=14—255 230

289—290 290 - 291 291—292 292—293 293—294 294—295 295—297 297—298 298—299 29«—300

1 2 3 4 5 6 7

204206207208209210211-

255 — 256 256—257 257—258 258—259 259—260

1 2 3 4 5 6 7 8

300—301 301—302 302—303 303—304 305 306-308 308—309 309—310

137138140141142143144145146148-

-138 -139 -141 -142

-143 -144 -145 -146 -147 -149

192193195 196198199201-

-192 -19 ι -194 19« -198 -199 -201

-20ο 1 -207 2 -208 3 -209 4 -210 5 -211 6 -212 7 8 8 2 1 2 - -214 9 9 214- -215 160 215- -216 200

2*0-261

261—263 263—264 264—267 267—268

Anmerkungsxahlen

von Band IV.

A n m e r k u n g s z a h l e n v o n B a n d IV. die ti nmem der 2. Auflage und zwar oben ihre Einerziffern; nks die Hunderter- und Zehnerziffern.) 8

1 1 18 41 60 72

2 19 62 73

20 46 63 74

82 94 109 138 144

83 95 110 151

85 96 112 152

201 218 230 241 252

202 231 242 257

268 280 293 306 317

8

7 22 48 65 76

23 49 66 77

9 24 50 67 78

10 25 52 68 79

88 98 139 177 186

89 99 139 178 187

90

138 179 191

91 101 138 180 198

211

212

232 243 258

233 244 259

223 234 246 260

213 224 235 247 261

214 225 236 248 262

215 226 237 249 263

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210

100

7 !

8

Anmerkungsxahlen

313

von Band IV.

Fortsetzung. 0

1

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Anmerkungszahlen von Band IV. Fortsetzung. ι

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315

Anmerkung sxahlen von Band IV.

Fortsetzung.

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1955 1966 1975 1986 1997

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2006 2018 2029 2039 2049

2007 2019 2030 2040 2050

2008 2021 2031 2041 2052

2009 2022 2032 2042 2053

140 1 ο

!

ο

1

2

2026 2036 2046 3

4

5

6

7

8

1801 1819 1859 1869 1880

194.4

9

316

Anmerkungsxahlen

von Band IV.

Fortsetzung. I

0

1

2

3

4

5

6

160 1 2 3 4

2054 2066 2076 2086 2099

2055 2067 2077 2087 2100

2058 2068 2078 2088 2101

2059 2069 2079 2089 2102

2060 2070 2080 2090 2103

2061 2071 2081 2091 2104

2062 2072 2082 2092 2105

5 6 7 8 9

2125 2135 2149

2126 2136 2152

2127 2137 2153

2128 2138 2154

2129 2143 2155

2130 2144 2156

0

1

3

3

4

5

I

7

8

9

2063 2073 2083 2092Λ 2106

2064 2074 2084 2098 2107

2065 2075 2085

2131 2145 2157

2132 2146 2158

2133 2147 2159

2134 2148 2160

6

7

8

9

2108