Analytische Geometrie [2., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111370842, 9783111013893

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 65/65a

ANALYTISCHE GEOMETRIE von

DR. K A R L

PETER

GROTEMEYER

o. Professor für Mathematik an der Freien Uoiversität Berlin

2., erweiterte Auflage

Mit 73 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen 1 ecfae Verlagshandlung • J. Gattentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1962

© Copyright 1962 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Goschen'sehe Verlagshandlung / J . G u t t e n t a g Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner / Veit & Comp., Berlin W 30. Genthiner Str. 13. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110065. Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin SW 61. — Printed in German y.

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis I. Einleitung

G 7

II. Die Vektoralgebra X. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Definition der gebundenen und freien Vektoren Die Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Subtraktion von Vektoren Beispiele Der Begriff der linearen Abhängigkeit Das innere Produkt (skalares Produkt) . Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) Das Spatprodukt Das dreifache Vektorprodukt Mehrfache Produkte

7 9 9 10 12 16 17 20 22 24 25

III. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel 2. Das Rechnen mit Spaltendarstellungen 3. Anwendungen und einfache Beispiele

26 28 30

IV. Geraden und Ebenen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die Hessesche Normalform Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Ebene durch Punkt und Gerade Schnitt von Ebene und Gerade Schnitt zweier Ebenen Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel Winkel zweier Ebenen Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Windschiefe Geraden Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Das hyperbolische Paraboloid Projektion auf eine Ebene Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene

32 35 35 36 37 38 40 41 42 44 40 50 51

V. Kugeln 1. 2. 3. 4. 5.

Die Kugelgleichung Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten Die Potenz eines Punktes für die Kugel Der Schnitt zweier Kugeln Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

52 53 54 55 58

Inhaltsverzeichnis VI. Der Matrizenkalkül

Seite

1. Definition u n d Multiplikation von Matrizen 2. Die Addition von Matrizen, Multiplikation einer Matrix m i t einer Zahl 3. Die Nullmatrix, die Einheitsmatrix, das Transponieren 4. Determinante einer Matrix, adjungierte Matrix, inverse Matrix 6. Einige Folgerungen 6. Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen 7. Abriß über lineare Gleichungen

60 64 65 60 67 68 71

VII. Affine Abbildungen 1. 2. 3. 4.

Die Parallelverschiebung Definition der affinen Abbildung Einfache Eigenschaften der Affinität Weitere Eigenschaften der A f f i n i t a t , Determinante der Abbildung, ausgeartete Affinitaten, Scherungsaffinitaten 5. Bestimmung einer Affinitat durch Original- und Bildpunkte 6. Die Parallelprojektion 7. Die affine Gruppe

74 75 78 70 81 82 83

VIII. Bewegungen 1. Definition und Eigenschaften 2. Der Orthogonalisierungsprozeß, Konstruktion Matrizen 3. E i n f ü h r u n g eines neuen Koordinatensystems 4. Fixelemente von Bewegungen 5. Eigentliche Bewegungen 6. Uneigentliche Bewegungen (Umlegungen) 7. Tabellarische Übersicht 8. Die Gruppe der Bewegungen

orthogonaler

85 87 87 89 92 94 96 97

IX. Ähnliche (äquiforme) Abbildungen 1. Definition der ahnlichen Abbildung 2. Einfache Eigenschaften der ahnlichen Abbildung

98 99

X. Die Flächen 2. Ordnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Definition der Ft Klassifikation und Aufzahlung der F-t Kurze Beschreibung der Schnitt von Gerade und Quadrik, Tangentialebene, Doppelpunkt Diametralebenen (Durchmesserebenen) einer Quadrik Mittelpunkte und Mittelpunktsquadriken Die Hauptachsentransformation Das charakteristische Polynom Eigenwerte und Eigenvektoren D u r c h f u h r u n g der Hauptachsentransformation Beispiele Der B a n g orthogonal äquivalenter Matrizen Die Diskriminante Kennzeichnung der Quadriken durch Invarianten

100 101 105 110 112 113 115 116 118 120 122 124 125 126

Inhaltsverzeichnis Seite 15. Spezielle Quadrikenklassen; Diametralebenengesamtheit Quadrik 16. Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik 17. Ebene Schnitte einer Quadrik 18. Die Kreisschnittebenen einer Quadrik 19. Das System konzyklischer Quadriken 20. Geschichtliches über die Quadriken

einer

134 136 138 143 151 152

XI. Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Homogene P u n k t - und Ebenenkoordinaten, der projektive R a u m Das Dualitatsprinzip Kollineationen, Korrelationen Die Projektive Geometrie, einfache Invarianten Der H a u p t s a t z der Projektiven Geometrie Die linearen Gebilde des P 8 und projektive Koordinaten derselben Einstufige Gebilde, das Doppelverhaltnis Weitere Eigenschaften des Doppel Verhältnisses; harmonische Punktepaare 9. Involutionen

155 158 162 163 165 167 168 173 175

X I I . Behandlung der' Quadriken im Rahmen der Projektiven Geometrie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Flachen zweiter Ordnung u n d Flachen zweiter Klasse Das singulare Gebilde einer Ft bzw. Fz\ der R a n g Tangente, Beruhrungsebene, Berührungspunkt Konjugierte Elemente in bezug auf ein Quadratisches Gebilde . Pol u n d Polarebene Reziproke Polaren Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S T E I N E R Die projektive Erzeugung von Quadriken nach MAGNUS Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S E Y D E W I T Z . . Der Tragheitssatz f ü r quadratische Formen Die projektive Einteilung der Ft bzw. F1

X I I I . Ergänzungen 1. Vektorraume 2. Lineare Abbildungen u n d Matrizen 3. Dualer R a u m , inneres P r o d u k t 4. Tensorprodukt, äußere P r o d u k t e 5. Normierte Vektorraume 6. K L E I N s c h e R ä u m e , Erlanger P r o g r a m m

Namen- und Sachverzeichnis

177 177 179 182 184 186 187 189 192 193 195 196

200 200 204 207 208 211 212

215

Literaturverzeichnis Das folgende Verzeichnis gibt nur eine Auswahl deutschsprachiger Lehrbücher der Analytischen Geometrie. 1. Ludwig Bieberbach, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. Aufl., Bielefeld 1950. 2. Wilhelm Blaschke,Analytische Geometrie, 2. Aufl., Basel 1953. 3. Gerrit Bol, Elemente der Analytischen Geometrie, Teil 1 und Teil 2, Göttingen 1948 und 1949. 4. Lothar H e f f t e r , Lehrbuch der Analytischen Geometrie, Berlin 1933. 5. Lothar H e f f t e r , Grundlagen und analytischer Aufbau der Geometrie, Leipzig 1950. 6. Karl Kommerell, Vorlesungen über Analytische Geometrie der Ebene, des Raumes, 2 Bände, Leipzig 1949. 7. Gerhard Kowalewski, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. verbess. Aufl., Berlin 1953. 8. Max Lagally, Vorlesungen über Vektorrechnung, 3. Aufl., Leipzig 1945. 9. Fritz Neiss, Analytische Geometrie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950. 11. Günter Pickert, Analytische Geometrie, Berlin 1955. 12. Artur Schoenflies und Max Dehn, Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes, 2. Aufl., Berlin 1931. 13. Emanuel Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra, 2 Bände, Göttingen 1948.

Formelverweise: Es bedeutet beispielsweise V1H. 5. (16): Kapitel VIII, daraus Abschnitt5 und darin Formel(16). Fehlt die römische Ziffer, so handelt es sich um das laufende Kapitel.

I. Einleitung Die Hauptaufgabe der Analytischen Geometrie besteht darin, Methoden und Verfahren anzugeben, mit deren Hilfe man geometrische Aufgaben durch Rechnung lösen kann. Obwohl schon in der Antike erste Ansätze in dieser Richtung vorlagen (schon die Ägypter benutzten bei der Landmessung Zahlen zur Festlegung von Punkten; auch A r c h i m e d e s von Syrakus (—287 212) bediente sich rechtwinkliger Koordinaten) und die Geometrie als erste Wissenschaft unter dem Einfluß P i a t o n s (—429 348) aromatisiert wurde, konnte die eigentliche Analytische Geometrie erst nach dem weiteren Ausbau der Algebra entstehen 1 ). Diese beginnt daher erst, wenn auch in einer viel primitiveren Auffassung als heute, mit R. D e s c a r t e s (1596—1650) und P. de F e r m a t (1601 bis 1665)2). II. Die Vektoralgebra3) 1. Definition der gebundenen und freien Vektoren Vektoren dienen uns zur Festlegung der gegenseitigen Lage von Punkten. Wir definieren deshalb: Ein Vektor wird durch ein geordnetes Punktepaar bestimmt, durch seinen Anfangspunkt und seinen Endpunkt. Demgemäß können wir einen Vektor v e r a n s c h a u l i c h e n durch eine gerichtete Strecke E A (Fig. 1). Die in einem Endpunkt befestigten Vektoren heißen g e b u n d e n e Vektoren oder Ortsvektoren. Sieht man von der speziellen Lage im Raum ab, so spricht man von f r e i e n Vektoren oder kurz von Vektoren. Bei freien Vektoren wird also von allem außer Länge und Richtung abgesehen. 1 ) Die systematische geometrische Deutung der einfachsten algebraischen Operationen geht auf F E . VIETE (1540—1603) zurück. Die Methoden VIETES finden sich heute noch im elementargeometrischen Unterricht der Mittelstufe. a ) Hinsichtlich weiterer historischer Bemerkungen sei auf die im Literaturverzeichnis genannten Lehrbucher von W. BLASCHKE und G. BOL verwiesen. s ) Die Bezeichnung „Vektor" wurde um 1846 von W. E . HAMILTON (1805 bis 1865) eingeführt. Die Vektorrechnung selbst wurde von H. GEASSMANN (1809 bis 1877) und HAMILTON entwickelt.

8

Die Vektoralgebra

Ein solcher Vektor erscheint daher als Klasse aller gleich langen und gleichgerichteten Strecken. Jede dieser gerichteten Strecken kann zur D a r s t e l l u n g des Vektors Verwendung finden. Zwei

£ Fig. 1. Vektor als geordnetes Punktepaar E, A: gebundene Vektoren; drei gleiche (freie) Vektoren

gerichtete Strecken gleicher Länge und Richtung bestimmen denselben Vektor. Zum Gleichheitsbegriff f ü h r t also eine gewisse logische Abstraktion. Genauer wollen wir definieren: Zwei Vektoren sind gleich (Zeichen =), wenn sie durch eine Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. Wir wollen Vektoren und Ortsvektoren durch kleine F r a k turbuchstaben bezeichnen. Die Länge eines Vektors a heißt B e t r a g des Vektors und wird mit | a | bezeichnet. Der Vektor der Länge Null heißt N u l l v e k t o r , wofür man o schreibt. Besitzt ein Vektor die Länge 1, so spricht man von einem E i n h e i t s v e k t o r . Um den Gegensatz zwischen Vektoren und Zahlen zu betonen, werden die letzteren jetzt auch S k a l a r e genannt. Der Vektor ist ein neues geometrisches Hilfsmittel, das dazu dienen kann, viele physikalische Größen (z. B. Geschwindigkeiten, Kräfte, Feldstärken) zu kennzeichnen, bei denen es nicht genügt, ihre Intensität durch eine einzige Zahl anzugeben, sondern bei denen auch die Angabe ihrer Richtung notwendig ist. In der Geometrie selbst liefert die Vektorrechnung erhebliche Vereinfachungen bei Auffassung u n d Darstellung der Erkenntnisse.

Die Addition von Vektoren

9

Für die Kombination von zwei und mehr Vektoren werden neue Rechenregeln festgesetzt. Da diese mit den gewohnten Rechenregeln für Zahlen gewisse Analogien zeigen, so wollen wir auch die Worte Addition, Subtraktion, Multiplikation und ebenso die Zeichen + , — benutzen. Jedoch erhalten diese Begriffe neue Bedeutung bei den Vektoren bzw. Ortsvektoren. 2. Die Addition von Vektoren

Legen wir die beiden Vektoren a und b so aneinander (Fig. 2), daß der Endpunkt von b mit dem Anfangspunkt von a zusammenfällt, dann wird durch den Anfangspunkt von b und den Endpunkt von a der Vektor a + b erklärt. Um die Komm u t a t i v i t ä t dieser Addition, d. h. um das Gesetz a + b = = b + a nachzuweisen, hat man lediglich die Figur der drei Vektoren a, b, a + b zu ergänzen durch die in Fig. 2 dünn gezeichneten Vektoren a und b. Dann liefert die Figur sofort die Behauptung. Die Gültigkeit des Assoziativgesetzes a + (b + c) = (a + b) + c für drei beliebig gewählte Vektoren folgt unmittelbar aus der Figur 3. Auf Grund dieser Regel können wir alle Klammern auflösen.

Fig. 2. Addition von Vektoren, Kommutativitat

Fig. 3. Das Assoziativgesetz

3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Ist a eine positive Zahl1), so versteht man unter a a einen Vektor, der die gleiche Richtung wie a besitzt und a-mal so lang ist: | a a | = a | a |. *) Alle auftretenden Zahlen sollen, wenn nichts anderes gesagt ist, stets r e e ] 1 sein.

10

Die Vektoralgebra

Unter —a wollen wir den Vektor verstehen, der gleiche Länge wie a, aber entgegengesetzte Richtung zu a aufweist: \ - a | = ! a !. Jetzt können wir auch leicht - « a mit a > 0 erklären, nämlich als Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung von a weist und den a-fachen Betrag von a besitzt: | — a a | = a | a |. Fig. 4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Offensichtlich gilt für den Nullvektor o stets a 0=0. Ferner gilt für die Zahl 0 stets 0 a = 0. Aus Bequemlichkeit wollen wir auch festsetzen h a = a h. Wir geben die einfachen Rechenregeln für die Multiplikation mit Skalaren an, die man sich leicht an Figuren klar macht: 1.

n (a + 6)

= n a + n b,

2.

(n + m) a

= n a + m a,

3.

n(m a)

= (n m) a ,

4.

1a

=

a.

Bemerkung: Ist a 4= 0 ein Vektor, so ist -—. a = ein Ein|a| |a[ heitsvektor. Man spricht dann auch von einem normierten Vektor. 4. Subtraktion von Vektoren Wie kann man a — b am einfachsten definieren ? Nach 3. wird man sofort schreiben: a — b = a + (— 1) b = et + (— b). Damit haben wir schon die Subtraktion durch Zurückführung auf die Addition erklärt. (Vgl. Fig. 5.) Die zeichnerische Ausführung erläutert die Figur 6.

Die Subtraktion von Vektoren

Fig. 5. Definition der Subtraktion von Vektoren

11

[Fig. 6. Ausführung der Subtraktion

Wir wollen jetzt noch die Frage prüfen, ob die so eingeführte Subtraktion vernünftig ist, d. h. ob die Regel

-S

(a +

b) — b =

a

Fig. 7.

richtig ist. Um die Gültigkeit dieser Formel einzusehen, braucht man nur die Figur 7 zu betrachten. Bemerkung 1: Die Vektoren bilden gegenüber der Addition eine Gruppe.1) Damit faßt man die folgenden Eigenschaften zusammen. Zunächst ist je zwei Vektoren durch die Addition wieder ein Vektor zugeordnet. Dazu kommt I. die Gültigkeit des Assoziativgesetzes; II. es gibt einen Vektor o (Nullvektor), so daß für jeden Vektor a gilt o + a = a; III. zu jedem Vektor a gibt es den Vektor — a so daß a 4- (— a) = o gilt. Da die Addition kommutativ ist, so spricht man auch von einer kommutativen oder abelschen 2 ) Gruppe. Bemerkung 2: Abstrahiert man von der Bedeutung der Größen a, b, c ... und fordert nur, daß sie, wie eben beschrieben, eine abelsche Gruppe SB hinsichtlich der Addition bilden, so wird man unmittelbar auf den Begriff des abstrakten Vektorraumes geführt. Sind a, b, c ... ') Das Fachwort „Gruppe" ist 1830 von E. GAXOIS (1811-1832) eingeführt worden. ! > Nach N. H. ABEL (1802—1829).

12

Die Vektoralgebra

Elemente eines Körpers K (z. B. rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen), so hat man zu fordern, daß a a stets wieder ein Element der Gruppe 83 ist. Sind dann noch die Formeln 1., 2., 3., 4. von Nummer 3 ausnahmslos gültig, so heißt $ Vektorraum über K. 5. Beispiele a) Mittelpunkt einer Strecke. Die Strecke AB läßt sich durch die Ortsvektoren (bezüglich des Nullpunktes N) a und b ihrer Endpunkte beschreiben. Für den Ortsvektor m des Mittelpunktes findet man aus der Figur 8 sofort m = a + — (b — a) = Lt

¿t

(a + b).

b) Gerade, gegeben durch Punkt und Richtung. Ist a der Ortsvektor des gegebenen Punktes bezüglich des Nullpunktes N und e ein Vektor in Richtung der Geraden, so muß sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Geraden (vgl. Fig. 9) darstellen lassen

N Fig. 8. Mittelpunkt einer Strecke 1

m = — (a + 6)

Fig. 9. Gerade gegeben durch Punkt und Richtung

als Summe des Ortsvektors a und eines geeigneten Vielfachen t e des Vektors e: j = a + t e. Lassen wir f alle reellen Zahlen durchlaufen, so beschreibt j alle Punkte der Geraden. Die Variable t heißt P a r a m e t e r der Geraden, und die vorstehende Gleichung nennt man Parameterdarstellung der Geraden. Schon an der Herleitung der Parameterdarstellung der Geraden zeigt es sich, wie durch die Vektorrechnung der geometrische Sachverhalt außerordentlich plastisch zum Ausdruck kommt.

Beispiele

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c) Gerade, gegeben durch zwei Punkte. Sind a und b die beiden Ortsvektoren der beiden Punkte, und ist j der Ortsvektor des laufenden Punktes der Geraden, so ist die Parameterdarstellung der Geraden gegeben durch j = a + t (t> - a ) ; denn b — a ist ein Vektor in Richtung der Geraden (vgl. Fig. 10).

Fig. 10. Gerade, gegeben durch zwei Punkte

d) Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Richtungen. Es sei a der Ortsvektor des gegebenen Punktes, und e, f seien zwei Vektoren, die nicht parallel sind. Wie aus der Figur 11 zu entnehmen ist, läßt sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Ebene, die durch den „Punkt" 0 geht und von den Vektoren e und f „aufgespannt" wird, darstellen in der Form j = a + ie + r f . Lassen wir die Parameter t , T unabhängig die reellen Zahlen durchlaufen, dann beschreibt j alle Punkte der Ebene. Damit haben wir eine Parameterdarstellung der Ebene gefunden.

Fjg. 11. Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Richtungen

Fig. 12. Ebene, gegeben durch drei Punkte

14

Die Vektoralgebra

e) Ebene, gegeben durch drei Punkte. Sind a, b, c die Ortsvektoren der drei gegebenen Punkte, dann sind die Vektoren b — a und c — a sicher nicht zueinander parallel, wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen. Da b — a und c — a, an a angeheftet, die Ebene „aufspannen", so folgt nach d) die gesuchte Parameterdarstellung: 5

=

a

+ t (b — a) + r (c -

a).

f) Beweis eines einfachen Satzes über das Parallelogramm. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Wir wollen diesen Satz beweisen. In der Bezeichnungsweise der Figur 13 lauten die Parameterdarstellungen der beiden Diagonalen: (1) j = t (o + b) und (2) i, = a + r (b - a ) .

Fig. 13 Einfache Eigenschaft des Parallélogrammes

Dabei sind j und t) die laufenden Punkte. Da der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sowohl auf (1) als auch auf (2) liegt, so gilt § = = 0 oder = 0. Damit ist der Satz aber schon bewiesen. 8. Das äußere Produkt (vektorielles Produkt)1) Das äußere Produkt [o b] zweier Vektoren a und 6 soll ein Vektor sein mit den Eigenschaften: Vj) [ a b ] steht senkrecht auf a und b. 7 2 ) | [a b] | = | a [ • | b [ sin

0. Q finden wir aus (ET) = Q ; = (c [b c] [c [bc]]). Nach dem Vertauschungssatz gilt: = = . ') Nach E . MOHE, ZAMM 31 (1951), 155.

Mehrfache Produkte

25

Also o — . Jetzt wird (1) skalar mit c* multipliziert: = A , und wiederum auf Grund des Vertauschungssatzes folgt daraus: = A , = A c] [b c]>, d. h. = L Vertauscht man b und c, so liefert eine analoge Betrachtung ¡u= — = < a a > < b 6 > - < a 6 > 2 Zur Berechnung von [[a b] [c b]] setzen wir t) = [a b] und finden wieder unter Benutzung des Entwicklungssatzes: [c b]] = c - b . Daraus ergibt sich durch Einsetzen des Wertes von t) die Formel: (2X) [[a b] [c b]] = c (a b b) - b (a b c). l ) fi kann auch so gefunden werden: Multiplikation von (1) mit a liefert 0 = A + D, = 0.

Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel

39

Wir bilden dann den Ausdruck Ex ( j ) + X E2 (?) = 0, von dem man leicht erkennt, daß dieser eine Ebene darstellt: (1)

E, (E) + XE2 (S)=

+ d1 + X d2 = 0.

Diese Ebene geht durch die Schnittgerade von E1 = 0 und E2 = 0; denn setzt man die Ortsvektoren der Punkte dieser Geraden ein, so ist wegen E1 = 0 und E2 -.= 0 auch E1 + X E2 = 0 f ü r alle diese Punkte. Sind E1 = 0 und E2 = 0 zwei parallele Ebenen, so ist auch Ex + X E2 = 0 eine dazu parallele Ebene; denn dann besitzen u x , u 2 und Uj + X u 2 parallele Richtungen. F ü r jedes X erhalten wir eine andere Ebene, und alle diese Ebenen gehen durch dieselbe Gerade. Man nennt daher diese Gesamtheit von oo 1 vielen Ebenen ein E b e n e n b ü s c h e l . Die gemeinsame Gerade aller dieser Ebenen heißt T r ä g e r des Büschels.

Fig. 32. Ebenenbüschel

Wir wollen uns jetzt überzeugen, daß jede Ebene, die durch die Trägergerade des Büschels geht, sich in der Form (1) schreiben läßt, d. h. daß diese Ebene zum Büschel gehört. Dazu betrachte man einen beliebigen P u n k t q der gegebenen Ebene, welcher nicht auf der Trägergeraden des Büschels liegt. Die Ebene E1 (j) + X E2 (j) •---= 0 geht sicher dann durch q, wenn £ t ( q ) + Ai;2(q) = 0 gilt. D a q nicht in beiden Ebenen Ex = 0 und E2 = 0 liegt, so läßt sich aus dieser Gleichung sofort X bestimmen. (Man hat evtl. den Wert X = o o zuzulassen.)

40

Geraden und Ebenen

Da zu jedem Wert von X eine eindeutig bestimmte Ebene des Büschels gehört, und auch umgekehrt zu jeder Ebene des Büschels ein eindeutig festgelegter Wert von X gehört, so lesteht zwischen den Werten von X (einschließlich X = oo) und den Ebenen des Büschels eine eindeutige Beziehung. Es sei (2) 9= a+ tb eine beliebige Gerade. Dann läßt sich jede Ebene, die diese Gerade enthält, in der Form (3) < ( E — a) e> = 0 mit = 0 darstellen. Läßt man jetzt den Vektor e variieren, wobei nur = 0 erfüllt sein soll, dann stellt (3) alle Ebenen des Büschels mit der Geraden (2) als Träger dar. Bemerkung: Ist etwa p ein beliebiger Punkt, der nicht auf (2) liegt, dann stellt = 0 die Ebene des Büschels dar, welche denPunkt p enthält. Es ist [(p — a) b] 4= o, weil p kein Punkt der Geraden (2) ist. In 3. wurde diese Ebene in Parameterdarstellung angegeben. Die Gesamtheit aller Ebenen durch einen Punkt heißt E b e n e n b ü n d e l . Ist a ein Punkt, so stellt bei beliebiger Wahl von e = 0 ein solches B ü n d e l von Ebenen dar. Man nennt hier den gemeinsamen Punkt a aller Ebenen den T r ä g e r des Bündels. Die Begriffe des Büschels und des Bündels von Ebenen werden uns in ihrer vollen Bedeutung erst in der Projektiven Geometrie bekannt werden. 7. Winkel zweier Ebenen

Fig. 3S. Winkel zweier Ebenen

Es seien = 0, = 0 die Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen. Der Winkel zwischen den (normierten) Stellungsvektoren Ui und u2 ist dann der Winkel, den die beiden Ebenen miteinander bilden (siehe

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Fig. 33).

Bezeichnen COS« =

wir diesen , S i n « =

41

Winkel mit tx, so gilt | [ U j U a ] |.

Durch beide Gleichungen ist = 0.

N a c h 5. l ä ß t sich sofort die S c h n i t t g e r a d e dieser E b e n e n a n geben : (2)

j = p +ff[u1u2],

Bemerkung 1: Es ist stets [u, u 2 ] =t= o; denn aus der linearen Abhängigkeit der beiden Vektoren Uj und u 2 folgt nach (1) das Zusammenfallen beider Ebenen. Dann können aber die Geraden g x und g 2 nicht windschief sein, da sie einer Ebene angehören. Unter den gemachten Voraussetzungen gibt es also stets die Schnittgerade (2). W i r wollen j e t z t die P u n k t e der G e r a d e n (2) e r m i t t e l n , in welchen die G e r a d e g, u n d die G e r a d e g 2 g e t r o f f e n w e r d e n . D a z u b r a u c h e n wir n u r den S c h n i t t p u n k t v o n g-L m i t d e r E b e n e < ( j — p) u 2 > = 0 bzw. den S c h n i t t p u n k t v o n g 2 m i t d e r E b e n e < ( j — p) u x > = 0 zu b e s t i m m e n (siehe F i g . 36). F ü r die P a r a m e t e r w e r t e t0 bzw. r 0 dieser S c h n i t t p u n k t e f i n d e t m a n (vgl. 4.): < 6 ^ 2 ) t0 + = 0 bzw. 2 — öi)}, wobei die Richtungen der Geraden durch t)x + s (ü2 — t^) gegeben sind. Das hyperbolische Paraboloid enthält also zwei

Fig. 38. Ausschnitt eines hypeibolisclien Paraboloids mit Erzeugenden beider Kegeischaren

48

Geraden und Ebenen

sich kreuzende Geradenscharen. Allgemein können wir die Darstellung eines hyperbolischen Paraboloids in der Form (2) 5 = r„ + t t x + s r 2 + ts r 3 angeben, worin t, s Parameter sind. Jeder Punkt der Flache liegt durch Angabe von t und s fest. Betrachtet man die Gerade f = t0 (s läuft), so wird diese von jeder Geraden der anderen Schar geschnitten. Der Schnittpunkt mit der Geraden s = s0 ist gerade der Punkt mit den Parameterwerten t0, s„. Bemerkung 1: Innerhalb der Theorie der Flächen 2. Ordnung werden wir auch später dem hyperbolischen Paraboloid wieder begegnen. Aus (2) läßt sich übrigens noch eine andere Gleichungsform dieser Fläche herleiten, die mit der späteren Darstellung der Flächen 2. Ordnung in engster Beziehung steht. Dazu bilden wir die Spatprodukte:

((E - t 0 ) t x t 2 ) = ((S - t 0 ) t 2 r3) = 1 ((S - tffl) ts ti) = s

t 2 r 3 ). (*i'*2 *3), (ti t 2 r3).

Daraus folgt nach Elimination von i und s:

(3) ( ( s - r 0 ) t 2 r 3 ) • ( ( s - t 0 ) t 3 t i ) - ( ( i - r 0 ) r i t 2 ) • O W s ) = 0. Wir betrachten jetzt ein Vierseit, dessen vier Eckpunkte nicht alle in einer Ebene liegen. Ein solches Vierseit wollen wir windschief nennen, denn es sind in dem Vierseit gegenüberliegende Seiten zueinander windschief. Wären diese nämlich parallel oder würden sie sich schneiden, dann ließe sich durch diese beiden Seiten eine Ebene legen. In dieser würden dann entgegen der Voraussetzung alle vier Eckpunkte des Vierseits liegen. Es seien p2, p3, p4 die Eckpunkte eines windschiefen Vierseits. Nun soll ein hyperbolisches werden, welches in das Vierseit eingespannt

Paraboloid bestimmt ist. D a z u b e t r a c h t e n

wir difi beiden Geraden t)i = Pi + t (p 4 -

PO,

t)a = p 3 + r (p 3 — p 2 ).

Jetzt muß die Zuordnung der Parameter t u n d r so eingerichtet werden, daß dabei (siehe Fig. 39) die Punkte und p, sowie p4 und p 3 einander entsprechen. Verbinden wir dann entsprechende Punkte von t^ und t)2 durch Geraden, dann ent-

Das hyperbolische Paraboloid

49

steht ein hyperbolisches Paraboloid, welches alle vier Seiten des Vierseits als Erzeugende besitzt. Wählen wir t = r, so ist dem Punkt t = 0, d. h. der Punkt r = 0, d. h. p 2 , zugeordnet. Aber auch für t = r = 1 entsprechen sich dann die Punkte p 4 und p 3 . Die Darstellung des gesuchten Paraboloids lautet daher, wenn man gleich nach t, s,t s ordnet: (4) E = Pi + t (p 4 -

pj) + s (p2 -

F ü r t = 0 liegt die Seite p2, für t = 1 die Seite p 3 , p 4 , für s = 0 die Seite p x , p 4 und für s = 1 die Seite p 2 , p 3 auf dem Paraboloid. Damit ist die gestellte Aufgabe gelöst. Auf die Frage der Eindeutigkeit wollen wir nicht eingehen. Die hier gewonnene Darstellung des hyperbolischen Paraboloids zeigt die völlige Gleichberechtigung der beiden Geradenscharen t = const. und s = const.

p x ) + ts

-

p2+p3-p4).

Fig. 39. Windschiefes Vierseit, in das ein hyperbolisches Paraboloid eingespannt werden soll

Wir wollen jetzt der bisher betrachteten Erzeugungsweise des hyperbolischen Paraboloids noch eine andere Form geben. Zu diesem Zweck bestimmen wir diejenige Ebene durch p x und p2j die von p 3 und p 4 den gleichen mit Vorzeichen versehenen Abstand besitzt. Die Ebene besitzt eine Darstellung der Form (5)

= 0.

D a p 2 in dieser Ebene liegt, so gilt (6)

= 0.

Ferner ist =

,

weil p3 und p 4 den gleichen Abstand von der Ebene besitzen sollen. Also gilt (7)

= 0.

4 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

50

Geraden und Ebenen

Aus (6) und (7) läßt sich aber der Vektor e bestimmen: fü\ „ [fri ~ P») (P» ~ *>«)] n { ) ~ I [(Pi — Pa) (p3 — Pi)] r j Damit ist uns die gesuchte Ebene vollständig bekannt. Jetzt wird der Abstand des Punktes j des hyperbolischen Paraboloids (4) von dieser Ebene (5) berechnet. Man findet (9)

! — p 2 ) (p 3 — p 4 )] |

Daraus erkennt man, daß der Abstand aller Punkte der Geraden t = const. von der Ebene gleich groß ist; die Gerade muß also zur Ebene parallel sein. Es sind daher insgesamt alle Erzeugenden der einen Schar des Paraboloids zu der Ebene (5) parallel. Da alle diese Geraden die beiden Geraden s = 0 (Gerade durch pj und p4) und s = 1 (Gerade durch und p3) der anderen Schar von Erzeugenden treffen müssen, so gilt: Fig. 40. Erzeugung eines hyperbolischen Paraboloids durch eine Gerade, die sich parallel zu einer Ebene bewegt und sich dabei auf zwei windschiefe Geraden stützt

Das hyperbolische Paraboloid kann von einer Geraden erzeugt werden, die sieh parallel zu einer Ebene bewegt und sich dabei auf zwei windschiefe Geraden stützt. (Vgl. Fig. 40.) 12. Projektion au! eine Ebene

Für manche Probleme ist es nützlich, die Parallelprojektion auf eine Ebene zu kennen. Die Projektionsrichtung sei durch den Vektor l gegeben. = 0 sei die Darstellung der Ebene, auf die *) Die Vektoren — $>2 und p 3 — p 4 sind linear unabhängig, weil die Punkte Pi. P2. Pa. tU em w i n d s c h i e f e s Vierseit bilden.

Projektion auf eine Ebene

51

wir projizieren wollen. Bezeichnet man mit j den Bildpunkt des Punktes j , so gilt (siehe Fig. 41) und da j auch in der Ebene liegt, so wird = 0. Aus beiden Gleichungen finden wir den Wert von fi\ + (i = 0. Wir sehen, daß wir nur im Falle * 0 eine eindeutige Projektion des Punktes j erhalten; d . h . die Projektionsrichtung t darf nicht parallel zur Ebene sein. Für die Abbildung gilt also im Falle 4= 0: 1 = £•

-I.,

Fig. 41. Projektion auf eine Ebene

Fig. 42. Spiegelung an einem Punkt

IB. Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene a) Spiegelung am Funkt a: x* sei der Spiegelpunkt bezüglich a des Punktes j . Es gilt dann (siehe Fig. 42): (a - s) = (l* - a) und daher l* = 2 a - j . Damit ist schon die Spiegelung bestimmt. b) Spiegelung an der Geraden g = a + t b: Wir fallen von j das Lot auf die Gerade, j sei der Fußpunkt desselben. Es ist dann ( i - l ) = ( S * - 8). d.h. s* = 2 j - E . Jetzt braucht nur noch 3 bestimmt zu werden. Zunächst haben wir j = a + i 0 6. Aus der Bedingung der Oithogonalität von b und 3 — j finden wir = 0. Daher ergibt sich t0 aus 4*

52

Geraden und Ebenen

< ( a - E) b> + «o = : 0, womit der Punkt j bestimmt ist. Die Abbildung lautet daher E* = 2 a + 2

B-t.

c) Spiegelung an der Ebene = 0, | e | = 1. Wir fällen auch hier das Lot von j auf die Ebene, f sei der Fußpunkt (siehe Fig. 44). Dann gilt für den Spiegelpunkt j* von j (f — j) = (j* — f), d. h. s* = 2 f - j.

Fig. 43. Spiegelung an einer Geraden

Fig. 44. Spiegelung an einer Ebene

Zur Bestimmimg des Punktes f haben wir die Gleichungen f= I + r e und = 0. Woraus + r = 0 folgt. Die Spiegelung lautet daher E* = i + 2 e. V. Kugeln 1. Die Kugelgleichung Die Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte j, die von einem festen Punkt m, dem Mittelpunkt, eine feste E n t fernung r besitzen. Die Gleichung der Kugel lautet demnach (1) - r« = 0 oder auamultipliziert (2)

— 2 + -

r 2 = 0.

Wird jetzt eine Gleichung der Form (3) + 2 + « = 0

Die Kugelgleichung

53

vorgelegt, so liefert der Vergleich mit (2) die Beziehungen: m = — a, a = — r2, d. h. r2 = — a. Nur im Fall — a > 0 liegt daher eine reelle Kugel vor. Ist — a = 0, so spricht man von einer P u n k t - oder Nullkugel; denn sie enthält nur einen einzigen reellen Punkt. Für — a < 0 nennt man die Kugel n u l l t e i l i g . Eine solche Kugel besitzt keinen reellen Punkt. 2. Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten

Es soll jetzt der Schnitt der Kugel — r2 = 0 mit der Geraden j = p + t u bestimmt werden. Für die gemeinsamen Punkte muß dann gelten: (4) - r2 + 2 t + /2 = 0. Da #= 0 ist, so gibt es stets zwei Schnittpunkte, deren Parameterwerte auf der Geraden sich aus dieser quadratischen Gleichung berechnen lassen. Sind die Wurzeln dieser Gleichung reell, dann gilt auch dasselbe für die Schnittpunkte. Sind tx und i2 die beiden Wurzeln, die auch gleich sein können, dann lassen sich die zugehö- Fig. 45. Schnitt von Gerade und Kugel rigen Schnittpunkte und §2 angeben: h = P + ii". § 2 = P + / 2 U. Wir wollen jetzt den Fall betrachten, in welchem p auf der Kugel liegt. Es gilt dann — r2 = 0. Die quadratische Gleichung (4) erhält jetzt die Form t { t + 2 } = 0. Die Wurzel t = 0 derselben liefert den Punkt p . Soll auch der andere Schnittpunkt der Geraden mit der Kugel in den Punkt p fallen, so muß (5) = 0

54

Kugeln

sein. Eine solche Gerade, f ü r welche beide Schnittpunkte mit der Kugel zusammenfallen, wollen wir T a n g e n t e nennen. (5) gibt daher die Bedingung f ü r die Gerade

z= p+ tu

(6)

an, damit diese im Punkte p Tangente an die Kugel ist. Aus (5) und (6) folgt jetzt (7)

) ( » > - nt)> = 0

f ü r alle Punkte j die auf einer T a n g e n t e der Kugel in p liegen. (7) stellt aber die Gleichung einer Ebene durch den Punkt p der Kugel dar. Der Stellungsvektor dieser Ebene ist , , durch ebene an die

Cp — tn) (p — m) , _. _ -j-^—m[ = r — gegeben. Diese T a n g e n t e n in p ist also der geometrische Ort aller Tangenten in p Kugel.

Bemerkung: Der Leser mache sich die analytisch gewonnene Tangentenbedingung (5) sowie die Lage der Tangentialebene geometrisch klar. 3. Die Potenz eines Punktes für die Kugel1) Wir legen durch einen beliebig gewählten P u n k t p eine Gerade, die die Kugel reell treffen möge: g = p + t e, | e | = 1.

(8)

( t mißt wegen | e | = 1 die Länge auf der Geraden.) Schneiden wir diese Gerade mit der Kugel (1), dann erhalten wir wie in 2. (9)

_ r» + 2 < + i2 = 0.

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sollen mit i x , L bezeichnet werden. Ihre geometrische Bedeutung als Länge von p bis zu den Schnittpunkten der Geraden mit der Kugel ist aus der Figur 46 ersichtlich. Auf Grund des Wurzelsatzes von Y i e t a erhalten wir nach (9)

(10)

tx • i, = < ( p - m ) ( p - m)> - r2. Diese Bezeichnungsweise s t a m m t von J . S T E I N E R (1796 — 1863).

Die Potenz eines Punktes für die Kugel

55

Dieses Produkt hängt nur von der Lage des Punktes p hingegen n i c h t vom Vektor e, d. h. von der Richtung der Geraden ab 1 ). Man nennt diesen Ausdruck (11) P (p, K) = - r 2 die Potenz

des Punktes K=

p für die

-r*

= 0.

Liegt p innerhalb der Kugel, so gilt offenbar P (p, K) < 0. Ist p jedoch außerhalb gelegen, so gilt P (p, K) > 0. Wählt man die Gerade durch p so, daß sie Tangente ist, d. h. ist ty = t2, so ist P (p, K) gerade das Quadrat der Tangentenstrecke zwischen p und dem Berührungspunkt. F ü r alle Tangenten von p an die Kugel sind also die Tangentenstrecken gleich lang, was aus der elementaren Geometrie bekannt ist. 4. Der Schnitt zweier Kugeln Es ist anschaulich klar, daß der Schnitt einer Kugel mit einer reellen Ebene, die die Kugel trifft, ein reeller Kreis ist. Ebenso einfach ist die analytische Durchführung dieser Aufgabe. Wir begnügen uns mit einer Andeutung derselben. Wir denken uns eine Ebene in der Form S = a + x ex + y e2, | e x | = 1, | e 2 1 = 1, = 0 M Dieses war schon den alten Griechen bekannt. ARCHYTAS ( — 430 —- 345).

56

Kugeln

vorgelegt. (x, y sind dann kartesische Koordinaten in dieser Ebene.) Bringt man diese Ebene mit der Kugel (1) zum Schnitt, so ergibt sich sofort die allgemeine Kreisgleichung.

Fig. 47. Schnitt von Ebene und Kugel

Betrachten wir jetzt zwei Kugeln mit verschiedenen Mittelpunkten rrtj 4= tti2: (12) « S - m O f e - m ^ - r i ^ O , (13) rt2)> — r 2 2 = 0. Für ihren Schnitt müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Subtraktion von (12) und (13) liefert: (14) 2 - 2 Es' toj \ 0 0 I 31 [/ Aus den drei Gleichungen Ei' h>i = | 811, Ei'tt>2= 0, E/ toa = 0 läßt sich j j bestimmen. Zunächst ist Ei = ^ [w2 m3] auf Grund der beiden letzten Gleichungen1). Wegen (M17) folgt dann aus *) SindTO,und lüi linear abhängig, so setzt man Ei = o. Dieser Vektor erfüllt dann wegen ] 91 | = (IUi 1d2 lu3i =» 0 auch die erste Gleichung.

Der Matrizenkalkül

70

der ersten dieser drei Gleichungen A = 1. Analog finden wir Ea = [tos toi], j 3 = [toj to2]. Daher ist to21"3: to3 toj toj to2 Wegen 1 91 = | 911 © stellt 3E die zu 91 adjungierte Matrix dar, die ja im Falle | 911 4= 0 eindeutig bestimmt ist. (Vgl. 4). Wir wollen daher für eine beliebige quadratische dreireihige Matrix 91 festsetzen (auch im Fall | 911 = 0): to2 too 9H = to3 toj ' | , wenn 91 = {toj to2 to3} ist; (M20) toi to. oder

i

(M21)

= {[b 2 ü 3 ] [ö, öx] [«! tt2]} , wenn 91 = j ö / J ist.

(Man überzeugt sich leicht, daß "&A nach (M 21 ) die Bedingung 91 %A = | 911 • ® erfüllt.) Bemerkung 1: Die Gesamtheit - aller n-reihigen quadratischen Matrizen mit nicht verschwindender Determinante (sog. nichtsinguläre Matrizen) bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe: Je zwei Matrizen 91 und SB der genannten Menge ist eindeutig die Matrix 9158 zugeordnet. Weiter gilt I. Das Assoziativgesetz für irgend drei Matrizen der Menge: 91 (83 ©) = (9183) 6 . II. Die Existenz der Linkseinheit: Es gibt eine Matrix © der Menge, so daß für alle Matrizen 91 der Menge Gc 91 = 91 gilt. III. Die Existenz eines Linksinversen: Die Matrizengleichung iE 91 = © besitzt für jedes 91 der Menge eine Lösung. Nach 4. ist nämlich 3£ = 9l _1 zu setzen. Wegen dieser letzten Gruppeneigenschaft mußten wir uns auf die nichtsingulären Matrizen beschränken; denn nur im Fall | 911 =t= 0 besitzt die Matrix 91 eine Inverse. Ist R der Körper der reellen Zahlen, so wird diese Gruppe mit GL (n, R) bezeichnet. ') Wenn nicht alle Vektorprodukte [tB! tuaL [to, tu,], [10, tos] verschwinden, so Ist 36 keine Nullmatrix.

Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen

71

Bemerkung 2: Sind a und b zwei (Spalten)Vektoren, dann liefert (Ms) mit a' b das innere Produkt dieser beiden als Spalten dargestellten Vektoren. Weil a' b eine Zahl sein soll (einzeilige und einspaltige Matrix), so ist, wie schon früher bemerkt, nach (M7) a ' b = (o' b)' = b' ct. Man beachte aber, daß a b' eine dreireihige quadratische Matrix darstellt! (Die Anzahl der Zeilen von b' stimmt mit der Anzahl der Spalten von a überein. Daher läßt sich dieses Produkt bilden.) Derartige Matrizen, die manchmal auch Dyaden genannt werden, lassen sich häufig mit Vorteil verwenden: So ist beispielsweise a = o (V c). Wegen der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes können wir auch schreiben: et = a (b' c) = (et b') c. Natürlich gilt ebenfalls a ( k > = a (c' b) = (a c') b, da b' c = c' b ist. Hier sei ausdrücklich bemerkt, daß beim Umschreiben eines solchen oder ähnlichen Ausdrucks wie a in Matrizenform unbedingt darauf geachtet werden muß, daß der entstehende Ausdruck ein Matrizenprodukt wird, da sonst das Assoziativgesetz seine Gültigkeit verlieren kann! Würde man etwa im Ausdruck a die Vektoren a b, c durch ihre Spaltendarstellungen ersetzen, so entstände daraus (b' c) a. Das ist kein Matrizenprodukt, da die Spaltenzahl von (b' c) nicht mit der Zeilenzahl von a übereinstimmt; also gilt auch nicht das assoziative Gesetz. Um den Ausdruck doch als Matrizenprodukt zu schreiben, kann man entweder wie oben verfahren, d. h. man schreibt a = a = a (b' c), oder aber wir wählen für a die Zeilendarstellung: et' = (V c) a' = b' (c a'). Jetzt liegt tatsächlich ein Matrizenprodukt vor, und wir haben das Assoziativgesetz angewendet. Man beachte den Unterschied: Oben hatten wir den Vektor a als Spalte und hier haben wir ihn als Zeile geschrieben. 7. Abriß über lineare Gleichungen Es sei 91 eine dreireihige quadratische Matrix. Wir wollen jetzt die Gesamtheit aller Lösungsvektoren der homogenen Gleichung (1) 2t S = o

72

Der Matrizenkalkül

untersuchen. Diese Gleichung besitzt stets die Lösung j = o. Nun sei | 311 =t= 0. Dann existiert 9t" 1 . Weiter sei I ein Lösungsvektor von (1): 911 = o. Linksmultiplikation mit 9l _ 1 läßt daraus I = o folgen. Im Falle | 911 4= 0 besitzt die homogene Gleichung (1) nur die Nullösung j = o. Damit (1) noch andere Lösungen besitzt, muß also notwendig | 911 = 0 sein. K l Wir wollen jetzt die Matrix 91 in der Form 9t = jt) 2 '| schreiben. (1) nimmt dann die Form an (1')

» i ' S = 0, ö a ' s = 0, 6 s ' E = 0.

Versteht man unter dem Rang (91) die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von 91, so können wir die Fälle unterscheiden: 1. Bang (91) = 3. Dann sind die drei Zeilenvektoren von 91 linear unabhängig, und es ist | 9t | 4= 0. (Vgl. (M17) und II.9.) Nach dem Gesagten ist j = 0 die einzige Lösung von (1). 2. Rang (91) = 2. Jetzt sind nur zwei linear unabhängige Zeilenvektoren vorhanden, etwa 0/ und t>2'. Es ist daher [o1 ü 2 ] =1= 0. Aus (1) erkennt man sofort, daß $ = A [öj t>2], wo A eine beliebige Zahl ist, die Gesamtheit aller Lösungen darstellt. 3. Rang (91) = 1. Jetzt ist mindestens ein Zeilenvektor, etwa Di', kein Nullvektor und die beiden anderen lassen sich durch ihn linear ausdrücken. Nach (1') müssen alle Lösungsvektoren j auf ö j senkrecht stehen. Die Gesamtheit aller dieser Vektoren läßt sich aber mit Hilfe zweier Vektoren und f 2 so darstellen: S = v [fi ttj + 11 [f, ö j . Dabei sind die Zahlen v, fi beliebig, und die Vektoren f l t f 2 brauchen nur so gewählt zu sein, daß (f x f 2 bj) =t= 0 ist. 4. Rang (91) = 0. Die Matrix 9i ist die Nullmatrix und alle Vektoren 5 sind Lösungsvektoren von (1) oder (1'). Allgemein gilt der folgende Satz, den wir hier nur für n = 3 vollständig bewiesen haben: Besitzt die n-reihige quadratische Matrix 9t den Rang r, so besitzt die homogene Gleichung 91 J = 0 ( j ist jetzt eine n-reihige Spalte) genau n—r linear unabhängige Lösungsspalten. Wir wollen uns jetzt wieder dem Fall n = 3 zuwenden und die i n h o m o g e n e Gleichung (2) 9t s = b

Abriß über lineare Gleichungen

73

untersuchen. Dabei ist b ein Spaltenvektor. Zunächst sei | 311 =1= 0. Dann existiert St - 1 und durch Linksmultiplikation mit 3t _ 1 folgt aus (2) sofort die Lösung dieser Gleichung: t = 3t" 1 b. (3) (Diese Auflösung der Gleichung (2) ist nichts anderes als das in Matrizenform geschriebene Verfahren der „Cramerschen Regel".) Wie steht es jetzt mit den Lösungen der Gleichung (2) im Falle | 3t | = 0 ? Zur Beantwortung dieser Frage denken wir uns jetzt einmal die Matrix 31 mit Hilfe der Spalten dargestellt (siehe (M15)): 31 = {tüj tt>2 to3}. Setzt man noch j = | a ; 2 | , dann schreibt sich (2) W

in der Form (2') IDJ % + tt>2 x2 + tt>3 x3 = b. Aus dieser Darstellung lesen wir sofort ab: Wenn eine Lösung j existiert, so ist b Linearkombination der tt>2, to3. Umgekehrt gibt es auch eine Lösung j , wenn Ii sich durch die Wj, fo2, tt>3 linear darstellen läßt; wenn nämlich c1 + to2 c2 + to3 c3 = b gilt, so ist die Spalte

eine Lösung von (2') oder (2).

Damit haben wir das Ergebnis gefunden: Die inhomogene Gleichung 3t j = b besitzt dann und nur dann Lösungen, wenn sich die Spalte b als Linearkombination der Spalten der Matrix 31 schreiben läßt. Ist | 3t | =t= 0, so sind die Spalten der Matrix 31 linear unabhängig, und j e d e r Vektor b läßt sich durch diese Spalten darstellen. Daher besitzt (2) oder (2') in diesem Fall stets eine Lösung, was wir auch bereits oben gesehen haben. Wenn | 3t | = 0 ist, dann sind die Spalten von 31 linear abhängig, und nicht jeder Vektor b läßt sich in der genannten Weise darstellen. Wir wollen jetzt, nachdem wir ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung (2) oder (2') haben, die Gesamtheit aller Lösungen einer solchen Gleichung untersuchen. Nehmen wir etwa an, in j 0 hätten wir eine Lösung von (2) gefunden. Ist j eine beliebige andere Lösung dieser Gleichung, so gilt 3t Jo = b, 3t j = b und daher 3t ({ — j0) = o. Also ist j — j 0 Lösung der zu (2) gehörigen homogenen Gleichung 3t g = o. Zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung unterscheiden sich nur um eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

74

Affine Abbildungen

Stelltdahert) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung S( 3 = 0 dar, so erhalten wir mit (4) S = io + i> die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung 91 j = b. j 0 ist dabei eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung. Da die homogene Gleichung zu (2) im Fall | 911 4= 0 nur die NuUösung besitzt, so stellt (3) in diesem Fall tatsächlich die einzige Lösung dar. VII. Affine Abbildungen Bei der Untersuchung von kongruenten Dreiecken, bei der Behandlung der Ähnlichkeit, bei Fragen der Perspektive, immer handelt es sich um geometrische Figuren, die aufeinander bezogen sind, oder besser gesagt, die aufeinander a b g e b i l d e t sind. Diese Abbildung (in den genannten Beispielen wird sie durch eine „Bewegung", „Ähnlichkeit", „Perspektive" geliefert) überträgt Eigenschaften der einen Figur auf die andere. Wir wollen hier unter einer Abbildung eine Zuordnung verstehen, die jedem Punkt des Raumes einen Bildpunkt zuordnet. Eine solche Abbildung heißt im Raum eindeutig. Entspricht jedem Bildpunkt nur ein Original, so nennt man die Abbildung eineindeutig. Die Abbildung ist im allgemeinen nicht auf die Punkte einer bestimmten Figur beschränkt, wenn dieses nicht ausdrücklich gesagt wird. Es ist bequem, den Original- und Bildraum „aufeinander" zu legen, so daß man von einer Abbildung des Raumes in sich reden kann. Alle oder gewisse Punkte und Figuren des Raumes besitzen dann Bildpunkte und Bildfiguren, die stets wieder im gleichen Raum liegen. 1. Die Parallelversehiebung Ist j der Ortsvektor eines beliebigen Punktes bezüglich des Nullpunktes N, so wollen wir die Abbildung (1) E- E= I + c ') Affine Abbildungen treten um 1748 bei L. E U L E B (1707 — 1783) auf.

Die Parallelverschiebung

75

betrachten, wo c ein fester Vektor ist. Dem P u n k t j wird dadurch der P u n k t j = j + c zugeordnet. Wie lautet bei dieser Abbildung der Punkte (Ortsvektoren) das Abbildungsgesetz f ü r Vektoren ? Ein beliebiger Vektor t> ist durch seinen Anfangspunkt t j und seinen E n d p u n k t t 2 festgelegt: t> = t x — r 2 . Nun ist t i -> i i — r x + c, t 2 -»• f 2 = t 2 + c. Daher gilt 0 - ^ - 6 = 0. Vektoren bleiben also bei der Abbildung (1) ungeändert. Aus diesem Grunde nennt man die Abbildung (1) gemäß der Definition eines Vektors (II. 1.) eine Parallelverschiebung. Besitzen j , j , c bezüglich {A7; e15 e 2 , e 3 } die Spaltendarstellungen

„

£

lXl\ IA 5 == I 1, j = I ®21, c = / / so lautet die Abbildung (1) in dieser Schreibweise (1')

ßi\ |4J

¡x i + l a * + /* bezüglich der Basis. Weiter sei »->0*. Nach I I I . 1. (4) und auf Grund der

76

Affine Abbildungen

gegebenen Definition der affinen Vektorabbildung erhalten wir nun 3

(2)

3

3

t > = . £ i > l e i - > 2 , ! > , e,* = ö* = 2 , v i * e j .

Wir stellen jetzt die Vektoren e{*, d. h. die Bildvektoren von e,- (i = 1, 2, 3), in der genannten Basis dar: (3)

s /«ii\ ti* = Z a k i t k , (¿ = 1 , 2 , 3 ) , e i * = ( a 2 i .

\aj

Aus (2) folgt dann 3

i>* = ¿7e,* Vi ¿=1 Damit haben wir die Darstellung von t>* gefunden: o* = {e x * e 2 * e 3 *} U I W Ö* =

«n«l2«i3\ ¡Vi\ «21 «22 «23 I I «2 I • ^31 ^32 ^33 / \ '

Also

oder kurz (4)

vs = v3*l

a

k

\vj

t>* = 21 b.

wobei gilt (5)

«={ei*e,*e,*}.

Kennt man die Darstellung der drei Bildvektoren e^*, e 2 *, e 3 * von ej, e2, e3 bezüglich der Basis {iV; e 1; e2, e 3 j, so kennt man nach (5) die Matrix der affinen Vektorabbildung.

Definition der affinen Abbildung

77

Wir wollen jetzt versuchen, von dieser affinen Vektorabbildung zu einer solchen für die Punkte (Ortsvektoren) des Raumes zu gelangen. Es seien j und t zwei Punkte des Raumes. Wir wollen dann ihre Bilder j * und t* geeignet bestimmen. Durch die Vektorabbildung allein lassen sie sich sicher nicht festlegen. Zweckmäßig dürfte es sein, die Punkte j * und t* so zu wählen, daß j * — t* der Bildvektor von j — r bei dei Vektorabbildung (4) ist: j* _ x* = 31 (E _ t), d. h. S* = 9t s + t* — 911. Gibt man jetzt die Punkte x und t* nach beliebiger Wahl fest vor, so stellt (6)

5* = 9 t j + c mit 0 = 1* — 9tt

eine Abbildung der Punkte j des Raumes auf die Punkte j * dar, während sich die Vektoren des Raumes nach (4) abbilden 1 ). Wir haben also gesehen, daß die affine Punktabbildung bei Vorgabe der affinen Vektorabbildung bis auf eine Parallelverschiebung bestimmt ist. Die Parallelverschiebung wurde dann durch Vorgabe eines Punktes und seines Bildes festgelegt. Fassen wir die gewonnenen Ergebnisse zusammen: Eine affine Abbildung der Vektoren (alfine Vcktorabbildung) liegt fest durch Angäbe der Spalten der Bildvektoren e ^ , e2*, e3* bezüglich der Basis {N; elt e2, e3}. Es gilt dann für jeden Vektors: (¿0

»*=«»;

«={e1*e1*e,*}.

Gibt man noch den Punkt r und seinen Bildpunkt t* willkürlich aber festgewählt vor, so gewinnt man in (40

i* = 9 l s + c, c =

r*-9tr

eine zu (A^) gehörige affine Abbildung der Punkte Punktabbildung).

(affine

') Man kann sofort einsehen, daß aus der Punktabbildung (6) umgekehrt für Vektoren die Abbildung (4) folgt, da sich jeder Vektor als Differenz zweier Ortbvektoren schreiben läßt.

78

Affine Abbildungen 8. Einfache Eigenschaften der Affinität

Auf Grund, der Definition und der vorstehenden Untersuchung ist klar, daß bei einer Affinität des Raumes Punkte in Punkte und Vektoren in Vektoren abgebildet werden. Man zeigt dasselbe leicht auch für Geraden bzw. Ebenen: a) Eine Affinität

bildet jede {

au Geradel w^er f e^ne {c?eraife} ab. Wir beweisen diesen Satz nur für den Fall der Geraden, da sich der entsprechende Satz für die Ebene analog nachweisen läßt. Es sei die Gerade

(!)

S = j q r ä { l > i + Al) I }

vorgelegt. Dabei bedeutet X gemäß II.B.g) das Teilverhältnis der drei Punkte p2, j. Unterwerfen wir jetzt diese Gerade der Affinität (A2), dann ist p2* = S l p 2 + c . S * = 9 I j + c , p / ^ a ^ + c , Nun ist nach (1) «E»-.^

¿{sth+astb}.

Also gilt und

s* -

c

= r h

{pi* -

c

+

Da pj* und p2* zwei feste Punkte sind, so durchläuft mit j auch %* wieder eine Gerade. Weiter erkennen wir: Das Teilverhältnis A der drei Punkte fo, p2, $ ist gleich dem Teilverhältnis (nämlich ebeufalls X) der drei Punkte p2*, S*b) Das Teüverhältnis dreier Punkte einer Geraden bleibt bei einer affinen Abbildung invariant.

Insbesondere wird also der Mittelpunkt einer Strecke durch eine Affinität stets abgebildet auf den Mittelpunkt der Bildstrecke. Aber auch die Schwerlinien eines Dreiecks (II. 5. h)) oder Tetraeders werden abgebildet auf die Schwerlinien der Bildfigur. Die Eigenschaft einer Geraden, Schwerlinie zu sein, ist also eine affininvariante Eigenschaft.

Einfache Eigenschaften der Affinität

79

Eine andere Eigenschaft der Affinität ist diese: c) Durch eine Affinität werden parallele Geraden (Vektoren) abgebildet auf parallele Geraden (Vektoren). Q-L = d j + i u x , g2 = a 2 + T u 2 mit = a « 2 stellen bei variablem t und r zwei parallele Geraden dar. Bei der affinen Abbildung ( d j (A2) gilt dann: Q* = 91 flj + c, a t * = 31 dj + c und u t * = 91 u}.

Daher gilt für das Spatprodukt (2)

(u* b* to*) = | 911 (u b »).!

Ist | 911 > 0, so stimmt die Orientierung der drei Vektoren u, b, w mit der von u*, b*, tb* überein. Ist dagegen | 9t | < 0, so wird durch die Affinität (-Aj) aus jedem Rechtssystem ein

80

Affine Abbildungen

Linkssystem und umgekehrt. Für den Inhalt J eines Spates mit den Kantenvektoren it, t>, w gilt also bei der affinen Abbildung (3) J * = | | 911 | • J. Man nennt nun eine affine Abbildung mit der Matrix 91 a u s g e a r t e t oder s i n g u l ä r , wenn | 911 = 0 ist. Wie (2) zeigt, passiert es in diesem und nur in diesem Fall, daß drei linear unabhängige Vektoren als Bildvektoren drei linear abhängige besitzen. Mit Hilfe der Darstellung der Matrix 91 (2. (5)) kann man leicht die Typen der ausgearteten Affinitäten übersehen; denn aus | 911 = 0 folgt die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren ej*, e2*, e3*. Es sind jetzt die folgenden Fälle möglich: 1. Alle drei Vektoren ej*, e2*, e3* sind Nullvektoren. Dann ist die Matrix 91 die Nullmatrix. 2. Es ist nur einer der drei Vektoren, etwa ex* kein Nullvektor. Dann wird jeder Punkt $ abgebildet auf j* = 91 £ + c = Xj e / + c. Es liegen also alle Bildpunkte auf einer Geraden. 3. Es ist Cj* 4= o, e2* 4= o jedoch e3* = o. Für die Bildpunkte j* gilt dann j* = x1 + x2 e2* + c. Ist [Cj* e2*] =t= o, so liegen die Bildpunkte alle in einer Ebene. Ist dagegen [ej* e 2 *] = o, so gilt wegen e2* = q ex* S* = Oi + Q xz) + c, d. h. alle Bildpunkte liegen auf einer Geraden. 4. ej* =1= o, e2* =t= o, e3* * o. Wegen (ex*, e2*, e3*) = 0 ist dann «j C]* + a 2 e2* + a 3 e3* = o, wobei nicht alle a, verschwinden. Es ist weiter j* = ej* + x2 e2* + x 3 e3* + c. Nun sei etwa a 3 =t= 0. Also ist und damit

Im Fall [ej* e2*] =t= o liegen alle Bildpunkte in einer Ebene und im Fall [ex* e 2 *] = o in einer Geraden.

Weitere Eigenschaften der Affinität, usw.

81

Betrachten wir jetzt zwei Spate. Der eine habe den Inhalt Jx4= 0 und der andere den Inhalt J 2 . Für die Inhalte J f und J3* der Bilder der Spate bei der Affinität (A^) gilt nach (3) Daraus folgt aber: d) Der Quotient "y- der Inhalte zweier Spate (J x 4= 0) ist gegen•'l vier allen nichtausgearteten Affinitäten invariant. Von besonderem Interesse sind manchmal die inhaltstreuen Affinitäten ( S c h e r u n g s a f f i n i t ä t e n ) , die alle Rauminhalte invariant lassen. Nach (3) muß dann | | 911 | = 1, d. h. | 911 = = ± 1 sein. Genauer nennt man eine Affinität mit | 911 = + 1 eigentlich und eine solche mit | 911 = — 1 uneigentlich inhaltstreu. Aus (3) folgt ferner sofort: e) Für eigentliche Scherungsaffinitäten ist das Spatprodukt eine Invariante. 5. Bestimmung einer Affinität durch Original- und Bildpunkte

Geben wir die vier Punkte p0, p2, p3 vor, die nicht in einer Ebene liegen, dann sind die drei Vektoren «i = Pi — Po, «2 = f 2 — Po, «3 = P3 — Po sicher linear unabhängig, d. h. es ist (ux u2 it3) =t= 0. Es soll jetzt die Matrix 91 einer Affinität so bestimmt werden, daß Po*) Pi*> P2*. Ps* die vier zugehörigen Bildpunkte sind. Setzt man Ul* = Pi* - Po*, "2* = p2* - Po*, "3* = P3* - Po*, so muß Uj* = 9i ux, u2* = 9t u2, u3* = 9t u3 sein. Daraus erhält man weiter { u ^ u , * ^ * } = {21% 9t u2 9t u3} oder nach VI. 6. (Mls) {uj* u2* u3*} = 9t {ui u2 u3}. Wegen ( u ^ u , , ) 4=0 existiert {uiu 2 xt 3 } -1 (vgl. VI. 6. (M17j, (Mao)). Daher gilt 9t = {ux* U 2 * U 3 * } { u j U 2 U 8 } - 1 . 6 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

82

Affine Abbildungen

Hierdurch ist die Matrix 91 in eindeutiger Weise bestimmt. Setzt man noch p0* — 91 p0 = c, so stellt j* = 9i j + c die gesuchte Abbildung dar. Daß diese Abbildung wirklich p0, p2, P3 in Po*> Pi*> p2*> P3* überführt, kann man leicht bestätigen. Es ist z. B. u t * = 2( Uj, d. h. p* - p„* = 91 (p, - p0) oder = 91 p1 + c. Zusammenfassend gilt: Eine Affinität j * = 91 £ + c ist durch Vorgabe von vier Punkten p0, p!, p3, die nicht in einer Ebene liegen, und durch Vorgabe ihrer Bildfunkte p0*, pj*, p2*, p3* eindeutig bestimmt. Es ist 91 = {ili* a 2 * u3*} { u x u2 u 3 } - 1 mit u{ = pi — p0, «i* = — p0*, (i = 1, 2, 3) und c= W - s i i v Als einfache Folge ergibt sich aus diesem Satz: Bleiben bei einer Affinität des Raumes vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, fest, so ist die Affinität die Identität,' d. h. alle Punkte des Raumes bleiben fest. In diesem Falle ist nämlich = Uj, (i = 1, 2, 3), d. h. 31 = (5. Wegen p0 = p0* ist auch c = p0* — 91 p0 = p0—E p 0 = = o. Also j * = j. Bemerkung: Aus dem obigen Satz folgt übrigens auch, daß zwei beliebige Tetraeder stets durch eine nichtausgeartete affine Abbildung auseinander hervorgehen. Im Rahmen der affinen Geometrie (vgl. 7.) sind daher alle Tetraeder als gleichberechtigt anzusehen. Jedes Tetraeder kann als Repräsentant hinsichtlich der affinen Eigenschaften für die Gesamtheit aller Tetraeder betrachtet werden. Es gibt in der affinen Geometrie, abgesehen von der Lage, nur ein Tetraeder. 6. Die Parallelprojektion Eines der wichtigsten Hilfsmittel der Darstellenden Geometrie ist die Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene. In IV.12. haben wir bereits die Abbildungsformel der Parallelprojektion in Richtung I auf die Ebene = 0 (t) ist der laufende Punkt der Ebene) hergeleitet. Es errechnete sich der Bildpunkt j des Raumpunktes j aus (1)

Die Parallelprojektion

83

Bezeichnet man noch den Winkel zwischen der Projektionsrichtung I und der Projektionsebene mit a, dann ist = sin a. Nur im Fall 4= 0, d. h. 0, so spricht man von einer e i g e n t l i c h e n Bewegung und im Fall | 8 | < 0 von einer U m l e g u n g oder uneigentlichen Bewegung. (Der Fall | ® | = 0 kann, wie wir sehen werden, nicht eintreten.) Soll (1) eine Bewegung sein, so muß 33 gewisse Eigenschaften aufweisen, die wir jetzt herleiten wollen. E s muß für alle Punkte (2) (p, - p 2 y ( P l - p 2 ) = (p* - p*y fr,* - p 2 *) gelten. Nun ist PI* -

P2* =

® (PI -

fc)

und (px* -

p*)'

=

(PI-P2)'S3'.

Aus (2) folgt daher (2') ( p 1 - p 2 ) ' ( a 3 ' ® - ® ) ( p 1 - p 2 ) = ü. Da diese Gleichung für jede Wahl der Punkte p x und p2 gelten muß, wenn (1) eine Bewegung sein soll, so muß (3)

93' 99 = ©

Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872. Diese grundlegende Schrift bezeichnet man auch kurz als das „Erlanger Pro

gramm".

86

Bewegungen

gelten1). Aus (3) folgt nun sofort S3' = S3-1 und daher auch S3 93' = (£. Man nennt nun eine Matrix S3, die die Eigenschaft S3' S3 = © besitzt, orthogonal2). Aus (3) folgt weiter wegen | S3 | = | S3' | 8 |2 = 1, d. h. (4) I » | = ± 1. Schreiben wir (5) S3 = {Bx - p) = 0. Wegen (7) wird daraus (9) p' 9t t) + ci' (p + i>) + «oo = 0. Diese Gleichung hängt nicht mehr von u, d. h. von der speziell gewählten Tangentenrichtung ab. Sie gilt daher f ü r alle P u n k t e t) der Tangenten im P u n k t e p. F ü r variables t) stellt (9) die Gleichung einer Ebene durch den P u n k t p dar, die den Stellungsvektor p' 9t + n' besitzt. Diese Ebene, die von der Gesamtheit der Tangenten im P u n k t e p an die Quadrik gebildet wird,heißt Tangentialebene,und (9) ist die Gleichung derselben. I m Fall 9t p + a -= o ist die Tangentialebene im P u n k t e p unbestimmt. Nach (9) ist dann auch a' p + a00 = 0. Die Gleichung (9) wird von jedem P u n k t des Raumes erfüllt; d. h. jede Gerade durch p ist in diesem Fall Tangente. Einen solchen P u n k t wollen wir Doppelpunkt oder singulären Punkt nennen. Die Doppelpunkte einer Quadrik (1) finden wir aus den Gleichungen: (10') 9t p + a = o, (10") a' p + aoo = 0.

112

Die Flachen 2. Ordnung

Bemerkung: (10") bedeutet für einen Punkt p, der (10') erfüllt, daß dieser auf der Quadrik liegt. Das bestätigt man leicht durch Einsetzen in (1). 5. Diametralebenen (Durchmesserebenen) einer Quadrik Schneiden wir eine Quadrik (1) mit der Geraden j = q + t u, so erhalten wir eine quadratische Gleichung in t. (Vgl. 4. (5).) und seien die Wurzeln derselben. Die Schnittpunkte sind also (11) = q+ u, §2 — q + t2 u. Es soll jetzt der Punkt q so gewählt werden, daß q die Mitte der Sehne ist: (12)

q=

«,)•

Damit wir von einer Sehne sprechen können, müssen wir wieder die Voraussetzung (6) machen, da sonst die Anzahl der Schnittpunkte sicher von zwei verschieden ist. Aus der Forderung der Lage für q folgt aus (11) und (12) tx + t2 = 0. In der quadratischen Gleichung, die tL und i2 als Wurzeln besitzt, muß daher das; n t lineare Glied verschwinden: (13) q' 91 u + a' u = 0. Wegen (6) ist stets 9i u =|= o. Läßt man den Punkt q variieren, so stellt (13) eine Ebene dar, und j = q + t u sind bei veränderlichem q p a r a l l e l e Geraden. Damit haben wir den Satz bewiesen: Der Ort der Mitten aller Sehnen mit der Richtung u einer Quadrik (1) (u' St u 4= 0) ist eine Ebene (13). Diese Ebene heißt Diametral- oder Durchmesserebene. Man nennt diese Ebene zur Richtung u konjugiert. Bemerkung 1: Kann der Vektor u zu seiner konjugierten Diametralebene parallel sein? In diesem Fall müßte der Stellungsvektor 91 u der Diametralebene (13) senkrecht zum Vektor u sein, d. h. es müßte u' 91 lt = 0 sein. Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung (6). Jede Gerade der Richtung u hat daher, wenn (6) erfüllt ist, mit der zu u konjugierten Diametralebene einen Punkt (den Mittelpunkt der Sehne) gemeinsam. Der Fall u' 91 u = 0 wird später noch genauer untersucht werden. (Vgl. 16.)

Mittelpunkte und Mittelpunktsquadriken

113

Bemerkung 2: Auch im Fall u' 91 u = 0 wollen wir (13) als Diametralebene bezeichnen. Natürlich muß dann 9t u + o sein, damit (13) überhaupt eine Ebene darstellt.'Allerdings können wir, wie schon oben bemerkt, in diesem Fall nicht davon sprechen, daß diese „Diametralebene" geometrischer Ort von Sehnenmitten der Quadrik (1) ist. 6. Mittelpunkte und Mittelpunktsquadriken Wir unterwerfen jetzt die Quadrik (1) einer Parallelverschiebung j = j + c. Man erhält : (14) f 91 f + 2 (o' + c' 91) Ì + c' 91 c + 2 a' c + a ^ = 0. Wann läßt sich die Spalte c so bestimmen, daß das zweite Glied in (14) verschwindet? Offenbar muß dazu c der Gleichung (15) 91 c + a = o genügen. Es sei etwa m ein Lösungsvektor dieser Gleichung. Dann ist nach (14) wegen j = j — m: (16) (E — 91 ( j — m) + «„0 = 0 mit (16') ä m = m' 31 m + 2 a' m + am. Bemerkung: Wegen 9t rrt + a = o läßt sich äm auch so schreiben : (16") äw = a' m + «„„. Nach IV. 13. a) ist è = 2 m — j der S p i e g e l p u n k t von j am Punkt m. Aus (16) erkennt man, daß wegen ( j — m) = = — ( j — m) auch j ein Punkt der Quadrik ist. Die Quadrik geht also bei Spiegelung an m in sich über. Aus diesem Grunde nennt man die Punkte, die sich als Losungen aus (15) ergeben, • Mittelpunkte der Quadrik. Ist | 911 =|= 0, so gibt es genau einen Mittelpunkt (17) :tt = — 9t _1 o. Für | 9t | = 0 besitzt die Quadrik gemäß (15) dann und nur dann Mittelpunkte, wenn sich a durch die Spalten von 9t darstellen läßt (vgl. VI. 7.). Eine Quadrik mit genau einem Mittelpunkt, d. h. eine Quadrik (1) mit | 9t | 4= 0, heißt Mittelpunktsquadrik. Außer diesen Mittelpunktsquadriken gibt es nach dem eben Gesagten noch solche, die 1.) gar keine, 2.) eine ganze Gerade, 3.) eine ganze Ebene von Mittelpunkten besitzen. 8 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

114

Die Flächen 2. Ordnung

Wir beweisen jetzt den Satz: Ist m ein Mittelpunkt der Quadrik (1), so gehen alle Diametralebenen dieser Quadrik durch den Punkt m. Setzt man den Ortsvektor m in die Gleichung j ' 91 u + a' u = 0 der Diametralebene ein, welche zur Richtung u konjugiert ist, so wird m' 9t u + a' u = 0. Gemäß der Voraussetzung über m gilt nämlich 91 m + a = o oder transponiert m' 91 + a' = o. Durch Rechtsmultiplikation mit der Spalte u folgt aber daraus die Behauptung; denn u ist beliebig gewählt. Jetzt wollen wir noch die Quadriken bestimmen, auf denen Doppelpunkte liegen. Die Gleichungen (10') und (10"), aus denen sich die Doppelpunkte bestimmen lassen, besagen, daß 1.) jeder Doppelpunkt auch Mittelpunkt sein muß (nach (10') und (15)), und daß 2.) jeder Doppelpunkt ein Punkt der Quadrik sein muß (nach (10") und der Bemerkung in 4.). Ist also m ein Doppelpunkt der Quadrik, so können wir die Gleichung der Quadrik nach (16) und (16') so schreiben: (18) (E - m)' 91 (E - m) = 0. Es läßt sich jetzt leicht zeigen, daß die einzigen Quadriken, die sich so darstellen lassen, d. h. die Doppelpunkte besitzen, entweder Kegel ©, © oder Ebenenpaare ®, ® und ® sind. Ist nämlich j ein beliebiger Punkt der Quadrik (18), so ist mit variablem t t) = m + t ( j — m) die Verbindungsgerade von j und m. Aus (18) folgt aber weiter (18') (t) - m)' 91 (t) — m) = 0. Es liegen daher mit jedem Punkt auch alle Punkte der Verbindungsgeraden dieses Punktes mit dem Doppelpunkt auf der Quadrik. Wenn [ 911 4= 0 ist, so hat die Quadrik (18) nur einen Doppelpunkt und ist deshalb ein Kegel mit der Spitze m: Eine Mittelpunktsquadrik mit Doppelpunkt ist notwendig ein Kegel. Ist dagegen [ 911 = 0, so hat die Quadrik (18) im Fall Rang (91) = 2 eine ganze Gerade, bestehend aus Doppelpunkten (Flächentypen ® ) ; für Rang (91) = 1 besitzt (18) eine ganze Ebene aus Doppelpunkten und ist daher eine Doppelebene ® .

Die Hauptachsentransformation

115

7. Die Hauptachsentransformation In den nächsten A b s c h n i t t e n wollen wir den Beweis des schon in 2. b e n u t z t e n Ergebnisses erbringen, wonach d u r c h A u s f ü h r u n g einer Bewegung (oder Wechsel des K o o r d i n a t e n systems) (19) £ = @ E*, b'. Wegen 9t = 91' ist ferner tt> b' = » to'. Durch Multiplikation von rechts mit b folgt dann to (b' b) = b (tu' b). Unter Beachtung von b =(= o gilt alsott>= Q b. Damit ist 9t = Q b b'.

.(41) Ferner ist noch (42)

Sp 9t = Q b' b.

Wir unterscheiden jetzt wie unter II) die beiden Fälle I I I « ) und I I I ß), je nachdem die Quadrik keinen oder eine ganze Ebene von Mittelpunkten besitzt. Letzteres tritt ein, wenn a sich durch die Spalten von 9t linear kombinieren läßt, d. h. wenn a = r b oder [a b] = o ist. Ist jetzt b ein beliebiger Mittelpunkt der Quadrik, so gilt nach (16) unter Beachtung von (41) : (i - b)' e b (S — b) + «oo = o. «oo = a' b + «,„,. Bemerkung: Auch hier hängt ä^ von der speziellen Wahl des Mittelpunktes b nicht ab. Die obige Gleichung läßt sich auch so schreiben: (43)

e ( ( S - b ) ' b ) a + doo=0.

Nach (42) ist wegen b' 0 > 0 das Vorzeichen von Q gleich dem Vorzeichen von Sp 9t. (43) stellt daher für um Sp 9t 0 ein reelles und für dm Sp 91 > 0 ein komplexes Paar paralleler Ebenen dar, die den Stellungsvektor b besitzen. Ist äm = 0, so stellt (43) eine reelle Doppelebene dar, die durch den Punkt b geht.

Die Flächen 2. Ordnung

134

Ist dagegen [a c] 4= 0, so besitzt die Quadrik keinen Mittelpunkt und stellt, wenn man sich 91 auf Diagonalform transformiert denkt, wie schon früher bemerkt (vgl. 2.), einen parabolischen Zylinder ® dar. Dieses sieht man vielleicht noch schneller ein, wenn man ö zur e 3 -Richtung des Koordinatensystems macht. Wir stellen auch hier die einzelnen Fälle in einer Tabelle zusammen: Bang (91) = 1: Parabolischer Zylinder, Ebenen Fall III oc)

III ft)

III ft)

O Quadrikenlyp ^

parabolischer Zylinder

[ « t>]

«oo s P®t

=1= 0

reelle parallele ® Ebenen

= 0

0

reeUe ® ^ Doppelebene

= 0

= 0

15. Spezielle Quadrikenklassen; Diametralebenengesamtheit einer Quadrik a) Besitzt die Matrix St der Quadrik (1) drei gleiche Eigenwerte / i i = f t = /ij=|= 0, so gilt 91* = /¿j g und nach (20) 91 = 6 . Die Quadrik ist dann nach V. 1. eine Kugel (reell, nullteilig, Punktkugel). b) Stimmen zwei nicht verschwindende Eigenwerte überein: = 4= 0, so ist die Quadrik eine Rotationsfläche. Die Richtung der Rotationsachse wird durch den Eigenvektor zum dritten Eigenwert ^ angegeben.

Spezielle Quadrikenklassen; Diametralebenengesamtheit

135

c) Man nennt eine Quadrik (1) gleichseitig, wenn Sp 31 = 0 ist. Für gleichseitige Quadriken müssen die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen besitzen. Gleichseitig können also nur die beiden Hyperboloide © , der reelle Kegel © , das hyperbolische Paraboloid © , der hyperbolische Zylinder ® und das reelle Ebenenpaar ® sein. Beispielsweise besitzt ein gleichseitiger Kegel (oder einschaliges Hyperboloid) die charakteristische Eigenschaft, daß es zu jeder Erzeugenden zwei zu dieser und zu sich senkrechte Erzeugende gibt. d) Ist Sp 2H = 0, 1 Si | =t= 0, so spricht man von einer dual gleichseitigen Quadrik. Diese Eigenschaft können die Hyperboloide sowie der reelle Kegel besitzen. Eine solche Quadrik besitzt die Eigenschaft, daß es zu jeder Tangentialebene zwei zu dieser und zueinander senkrechte Tangentialebenen gibt. Wir wollen jetzt die Struktur der Gesamtheit der Diametralebenen der Quadriken untersuchen: Alle Flächen des Hauptfalls I) besitzen genau einen Mittelpunkt, der in allen Diametralebenen der jeweiligen Quadrik liegt. Für Quadriken dieses Falles I) bilden daher die Diametralebenen ein Ebenenbündel. Im Hauptfall II) besitzt die Matrix 21 einen Eigenvektor zum Eigenwert Null: SC r = o. Da 91 u der Stellungsvektor der zur Richtung u konjugierten Diametralebene ist, so folgt aus x' St u = 0, daß in diesem Fall alle Diametralebenen zur Richtung r parallel sind. Da die Quadriken der Fälle 11/Sj) und II ß2) eine Gerade, bestehend aus Mittelpunkten, besitzen (diese Gerade hat die Richtung t), so bilden die Diametralebenen dieser Flächen ein Büschel mit dieser Geraden als Trägergeraden. Schließlich besitzt Si im Fall III) zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert Null. Dann sind alle Diametralebenen zueinander parallel. In den Fällen HI/jj) und lllß2) bilden die Mittelpunkte eine ganze Ebene. Daher besitzen die Quadriken dieser Klassen jeweils nur eine Diametralebene, nämlich die Ebene der Mittelpunkte.

Die Flächen 2. Ordnung

136

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Diametralebenengesamtheit in den einzelnen Fällen: Fall

Diametralebenengesamtheit

I)

Ebenenbündel

IIa)

Alle Diametralebenen sind parallel zu einer Oeraden

n w n w

Ebenenbüschel

in«)

Schar paralleler Ebenen

nift) IHft)

eine Ebene

16. Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik

Die Asymptotenrichtungen einer Hyperbel sind bekanntlich dadurch gekennzeichnet, daß dieselben mit ihren bezüglich der Hyperbel konjugierten Richtungen zusammenfallen. Wir stellen jetzt die analoge Frage für Quadriken. Wann ist die zur Richtung b konjugierte Diametralebene der Quadrik (1) parallel zu ö ? Da St t> der Stellungsvektor der betreffenden Diametralebene ist, so muß in diesem Fall D zu diesem Vektor senkrecht sein: (44) b' 31 tj = 0. (In 4. und 5. hatten wir diesen Fall ausgeschlossen!) Wir betrachten jetzt die Gesamtheit aller Geraden durch den Punkt p und fragen unter all diesen Geraden nach denjenigen, die parallel sind zu ihren konjugierten Diametralebenen bezüglich der durch (1) dargestellten Quadrik. Ist t) der laufende Punkt einer solchen Geraden durch den Punkt p, so muß nach (44) (45) (t, - p)' 9t (tj - p) = 0

Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik 137 gelten. Bei variablem t) und festem p stellt (45) einen Kegel mit der Spitze in p dar (vgl. 6.), was sich auch direkt aus der Konstruktion ergibt. Die Erzeugenden dieses Kegels, der natürlich ausarten kann (das tritt f ü r | 911 = 0 ein), sind Geraden durch p, welche zu ihren bezüglich (1) konjugierten Diametralebenen parallel sind. Dieser Kegel heißt Richtkegel der Quadrik (1).

Fig. 63. Emsohaliges Hyperboloid (2) mit Asymptotenkegel

Zu jedem P u n k t des Raumes können wir einen Richtkegel der Quadrik (1) konstruieren. Man erkennt leicht, daß alle Richtkegel durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen : j = j — q + P läßt den Richtkegel mit der Spitze in p übergehen in den Richtkegel mit der Spitze in q. Ist | 311 =|= 0, so besitzt die Quadrik (1) genau einen Mittelpunkt m. Der Richtkegel mit der Spitze in m : (46) ( j - m)' « ( s - m) = 0 heißt Asymptotenkegel der Mittelpunktsquadrik.

Die Flächen 2. Ordnung

138

Um zu erkennen, für welche Mittelpunktsquadriken der Asymptotenkegel oder die Richtkegel reell sind, denkt man sich die Matrix 21 auf Diagonalform transformiert. Gemäß der Tabelle der Mittelpunktsquadriken besitzen nur die beiden Hyperboloide © , © reelle Asymptotenkegel. Der reelle Kegel © fällt natürlich mit seinem Asymptotenkegel zusammen. Für die Quadriken mit [ 8t | = 0 zerfallen die Richtkegel, und zwar im Fall II) (Rang (91) = 2) in ein sich schneidendes Ebenenpaar und für den Fall III) (Rang (81) = 1) in eine Doppelebene. Man spricht in diesen Fällen besser von Richtebenen bzw. Asympiotenebenen.

Wann sind die Richtebenen reell ? Auch hier liefern wieder die Tabellen die Ergebnisse: Von allen Quadriken des H a u p t Fig. 64. Hyperbolischer Zylinder falles II) besitzen das hyperbo® mit Asymptotenebenen lische Paraboloid © , der hyperbolische Zylinder © und natürlich das reelle Ebenenpaar ® reelle Richtebenen. Im Hauptfall III) besitzen der parabolische Zylinder ® und die trivialen Fälle © , ® , ® reelle Richtebenen. I) Richtkegel

II) Riehtebenen

(sich schneidendes Ebenenpaar) reell für

© © ©

reell für

© ® ®

III) Riehtebenen

(Doppelebene) reell für

® © ® ®

17. Ebene Schnitte einer Quadrik Es soll jetzt der Schnitt der Quadrik (1) mit der Ebene (47) i' u + d = 0

Ebene Schnitte einer Quadrik

139

(u ist normiert) untersucht werden. Wir unterwerfen Ebene und Quadrik einer Bewegung j = © j, die u in den Vektor e3 überführt. Die Gleichung der bewegten Ebene lautet dann aS3 = const.. Setzt man dieses in die Gleichung der bewegten QuadrikTein, so erhält man als Gleichung des Schnittes in + 62 + 63 = 0. «ii + 2 2 = 0, so folgt nach Subtraktion beider Gleichungen (cr2 — (Ti) tt)2' Wj = 0. Wegen a y 4= a 2 ist dann t u / iDj^ = 0, wie b e h a u p t e t warde. Genau wie in 9. folgt auch hier aus der Orthogonalität der iDi, W2 f ü r ai 4= o2, daß die Wurzeln der quadratischen Gleichung (51) stets reell sind. (Ti, a2 sind gerade die Eigenwerte der von der Ebene (47) aus dir Quadrik (1) ausgeschnittenen Kurve 2. Ordnung. Das erkennt m i n etwa dadurch, d i ß m m die Quadrik und die Ebsne der Bewegung j = 3? j unterwirft, wo 9i = {tüi

u}

142

Die Flächen 2. Ordnung

eine orthogonale Matrix ist (it, h^, it>, sind hier natürlich normiert). Die Matrix 81 = 91' 919i der bewegten Quadrik erhält jetzt unter Beachtung von (52') und der Orthogonalität der Vektoren hj a , to2, u die Form

Da der Vektor u bei dieser Bewegung j = 9i j auf den Vektor c3 =

abgebildet wird, so lautet die Ebenengleichung der

bewegten Ebene: X

3

+

d

=

0 ,

und

o-j Xj2 + cr2 4 2 + 2 cx x1 + 2 e., x 2 + c3 = 0 ist die Gleichung des ausgeschnittenen Kegelschnittes. Daraus folgt unmittelbar die behauptete Eigenschaft der Größen a

2

.

Bemerkung 4: Durch Wahl der Vorzeichen von tUj und tt>2 ist e s stets möglich, es so einzurichten, daß die drei Vektoren IÜD fo2, u in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Bemerkung 5: Falls man den Einheitsvektor lUj nach (52) bestimmt hat, so kann man tt>2 direkt angeben durch h>2 = [u tOj]. Bemerkung 6: Wir sind hier auf den Fall der Doppelwurzel 0, p j und variablen // 0 , ¡i l 4= 0,0 die Verbindungsgerade der Punkte p0 und dar. Dualisieren wir, d. h. fassen wir j , p0, als Ebenen auf, so stellt (4) die Gesamtheit von Ebenen dar, die dem Ebenenbüschel angehören, welches durch die Ebenen p 0 und aufgespannt wird. (4) stellt also die Gesamtheit der Ebenen dar, die durch die Schnittgerade der beiden Ebenen p 0 und pi gehen. Eine Gerade im P3 kann mit gleichem Recht als „Träger" einer Punktreihe wie auch als „Träger" eines Ebenenbüschels angesehen werden. Ersetzt man in der folgenden Tabelle die links stehenden Begriffe durch die rechts stehenden, so erhält man zu jedem Satz, der sich auf die Lagebeziehungen bezieht, einen dualen Satz, der nicht mehr bewiesen zu werden braucht. Übrigens kann sich auch ein Satz selbst entsprechen. Punkt Gerade (Verbindung zweier Punkte) verbinden Punktreihe usw.

Ebene Gerade (Schnitt zweier Ebenen) schneiden Ebenenbüschel usw.

A's Beispiel wollen wir das duale Gebilde eines ebenen n-Ecks aufsuchen. Den n Eckpunkten in einer Ebene entsprechen dual n Ebenen, die durch einen Punkt gehen. Als duales Gebilde erhalten wir eine w-flächige Ecke («-Flach). Bemerkung 1: Das Dualitätsprinzip ist nur aui Sätze anwendbar, die Lagebeziehungen befceffen. Maßbegriffe wie Länge, rechter

160

Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes

Winkel, Flächen- oder Rauminhalte gibt es in der Projektiven Geometrie nicht. Bemerkung 2: Wenn man beachtet, daß das Axiomensystem der projektiven Geometrie selbst dualen Charakter besitzt, so erscheint das Dualitätsprinzip bei näherer Betrachtung als selbstverständlich. So gelten unter anderen die „Axiome" der vereinigten Lage: a) Zwei verschiedene Punkte a') Zwei verschiedene Ebenen bestimmen genau eine Gerade bestimmen genau eine Gerade (Verbindungsgerade). (Schnittgerade). b) Drei Punkte, die nicht einer b') Drei Ebenen, die nicht durch Geraden angehören, bestimdieselbe Gerade gehen, haben men genau eine Ebene. genau einen Punkt gemeinsam. Bemerkung 3: Es sei F (j) = 0, 5' = (z„ % z2 z3) eine homogene algebraische Gleichung in z0, z15 z2, z3. Im P3 können wir dieser Gleichung zwei Deutungen geben: Entweder faßt man j als Punkt auf, dann stellt F (3) = 0 eine algebraische Fläche als Träger der Gesamtheit der Punkte dar, die dieser Gleichung genügen. Oder aber man deutet j als Ebene ; dann entsteht ebenfafls eine (im allgemeinen andere) algebraische Fläche, erzeugt durch die Gesamtheit ihrer Tangentialebenen 3 als Enveloppe. Im ersten Fall handelt es sich um eine Fläche als Punktort (Träger von Punkten), im zweiten dagegen um eine Fläche als Ebenenort (Träger von Ebenen). Sind zwei algebraische Flächen F (5) = 0, O (j) = 0 in Punktkoordinaten im P 3 gegeben, so erhält man die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Flächen durch Auflösung der beiden vorstehenden Gleichungen. Handelt es sich dagegen um Flächen, die in Ebenenkoordinaten gegeben sind, so liefert die Lösung der beiden Gleichungen diejenigen Ebenen, die gemeinsame Tangentialebenen beider Flächen sind. Ist H (j) = 0 eine algebraische Fläche in homogenen Punktkoordinaten, dann ist

Es ist

Das Dualitätsprinzip

161

mit den laufenden Punkten t) die Gleichung der Tangentialebene im Punkte 5 der Fläche. Setzt man (5) u = HS (S), i) so ist u die Spalte der Tangentialebene an der Stelle j , und es gilt u ' j = 0. Natürlich hätten wir links in (5) noch einen Proportionalitätsfaktor hinzufügen können. Im allgemeinen wird sich nun die Gleichung (5) nach j auflösen lassen (nämlich dann, wenn die Fläche H (j) = 0 nicht abwickelbar ist): E=f(»0. Durch Einsetzen erhält man dann die Gleichung der gegebenen Fläche in Ebenenkoordinaten: 7/(f(H)) = L(w) = 0. Kurz gesagt, erhält man aus II (j) = 0 und (5) durch Elimination von j eine Gleichung in it, welche die gesuchte Darstellung liefert. Man nennt den Grad von Ii (j) die Ordnung und den Grad von L (u) die Klasse der Fläche. Diese beiden Zahlen brauchen nicht übereinzustimmen. Zum Schluß geben wir noch ein einfaches Beispiel, wie man eine Fläche in Punktkoordinaten auf Ebenenkoordinaten umrechnet: Vorgelegt sei die Fläche 3. Ordnung: x1 x2 x 3 — x03 = 0. Man findet nun

\

X

X

1 2/

In den Ebenenkoordinaten besitzt die Fläche die Darstellung % «2 «3 + 27 wo3 = Sie ist also von der dritten Klasse. 1

) Punkte, für die S^ = 0 ist. heißen „Doppelpunkte" der Flache.

11 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

162

Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes 3. Eollineationen, Korrelationen 1)

Wir führen jetzt den Begriff der projektiven Abbildung im P3 ein: Es sei © eine vierreihige, quadratische Matrix mit | © 1 4= 0. Eine Abbildung (6)

ä*=@S

der Viererspalten j, j* des P3 heißt projektive Abbildung des P3. Sind g und ä* beides Punkte oder beides Ebenen, so spricht man von einer Kollineation. Sind dagegen die 3 Punkte und die j* Ebenen oder umgekehrt, so nennt man die Abbildung eine Korrelation. Da die vierreihigen quadratischen nicht singulären Matrizen gegenüber der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, so kann man sagen: Die Gesamtheit aller projektiven Abbildungen des P3 (ä. Ii. die Gesamtheit aller Kollineationen und Korrelationen) bilden eine Gruppe; desgleichen bilden auch alle Kollineationen des P3 eine Gruppe. Die Korrelationen für sich bilden jedoch keine Gruppe. Wir wollen jetzt feststellen, wie bei einer Kollineation (7) % = E e* (j, j* seien Punkte), die Ebenen des P3 abgebildet werden. Bei Anwendung von (7) geht aus der Ebenengleichung u'i=0 die Gleichung der Bildebene u' G t = 0 hervor. Hier ist u* = (Tu die Spalte dieser Ebene. Bei der Kollineation (7) werden also die Ebenen tt durch (7') u = (T- 1 u* abgebildet. Da die Matrix E'" 1 zu 6 kontragredient heißt (vgl. VI. 5. (MI3)), so nennt man auch diese Abbildung (7') so: Bei einer Kollineation werden Punkte und Ebenen zueinander kontragredient abgebildet. 1 } Die Fachwörter Kollineation und Korrelation hat MOEBITJS um 1827 ein gefuhrt.

Kollineationen, Korrelationen

163

Betrachten wir jetzt eine Korrelation (8) die jedem Punkt j eine Ebene u* zuordnet. Unterwirft man die Ebene u mit der Gleichung u'j = 0 der Korrelation, so erhalten wir daraus die Gleichung die den Punkt

u ' f u * = 0, i* = f ' u

darstellt. Also wird bei der Korrelation (8) die Ebene u abgebildet durch (8') u=f'-1S* auf den Punkt j*. Somit gilt: Bei einer Korrelation transformieren sich ebenfalls die Punkte und Ebenen zueinander kontragredienl. Bemerkung: Eine Korrelation vermittelt das Dualitätsprinzip und verwandelt jede Figur in eine dazu duale. 4. Die Projektive Geometrie, einlache Invarianten Gegenstand der Projektiven Geometrie (P. G.) ist es, solche Eigenschaften der Figuren zu untersuchen, die bei projektiven Abbildungen, d. h. bei Kollineationen und Korrelationen invariant sind. Es gehört ein Satz dann der Projektiven Geometrie an, wenn Voraussetzung und Behauptung aus projektiv invarianten Eigenschaften bestehen. Nur solche Sätze lassen sich dualisieren, was schon durch Anwendung einer Korrelation geschieht. Statt von einem neuen Satz zu sprechen, ist vielleicht genauer zu sagen, daß in dem Satz und seinem Beweis den auftretenden Yiererspalten duale Bedeutung beigelegt wird. Lediglich die geometrische Deutung erfährt eine Änderung, während der Beweis ungeändert bleibt. Wie wir in 1. sahen, wird die gegenseitige Lagebeziehung von Punkten bzw. Ebenen zueinander durch die Maximalzahl n*

164

Einführung in die Projektive Geometrie des Baumes

linear unabhängiger unter den Spalten klassifiziert. Wir zeigen jetzt, daß diese Zahl eine projektive Invariante ist: Es seien fo, j2,... Viererspalten (Punkte oder Ebenen des P3). Vermöge der projektiven Abbildung (6) I® I* 0 ä * = ® a, sind den j2,... die Viererspaltcn ä2*,... (Punkte oder Ebenen) zugeordnet. Dann ist die Maximälzahl linear unabhängiger unter den g2, ••• gleich der Maximalzahl linear unabhängiger unter den fa*, j2*,.... Es sei etwa r die Maximalzahl linear unabhängiger unter den fa, .... Durch eine evtl. Umbenennung können wir dann erreichen, daß die ..., $ r linear unabhängig sind. Wir zeigen jetzt, daß dann auch die jj*, j2*> ..., gr* linear unabhängig sind. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würde «l i* + ai zwei linear unabhängige Spalten eines linearen Gebildes 1. Stufe, das wir so darstellen können: (5) S = ¿o So + Siund äi sollen nicht dem quadratischen Gebilde (1) j ' 2t g = 0 angehören. Aus der Gleichung (6) ergeben sich die projektiven Koordinaten derjenigen Spalten von (5), die dem quadratischen Gebilde (1) angehören. Diese beiden Spalten rufen auf dem linearen Gebilde (5) eine Involution hervor, deren Fixelemente gerade diese beiden Spalten sind: (lü)

_

AM

So'2T s„ j0'2TJ

UJ-

Offenbar ist nach dem Gesagten diese Involution genau dann parabolisch, wenn die Trägergerade von (5) Tangente des quadratischen Gebildes (1) ist. (Vgl. auch 3. (7) und die folgende Fallunterscheidung.) Man nennt jetzt zwei Spalten von (5), die durch die Involution (10) einander zugeordnet sind, konjugiert bezüglich des quadratischen Gebildes (1). Nun besitzt j 0 auf (5) die Spalte und läßt sich durch ^ J darstellen. Aus (10) erkennt man nun durch Einsetzen dieser Spaltendarstellungen, daß j 0 und ^ genau dann konjugiert bezüglich (1) sind, wenn (11) So' 2t Si = 0 ist.

Konjugierte Elemente in bezug auf ein quadrat. Gebilde

183

Halten wir j 0 fest und lassen ^ variieren, so daß (11) erfüllt ist, dann erhalten wir alle zu j 0 konjugierten Spalten, die ein lineares Gebilde 2. Stufe bilden, wenn 21 g0 4= o ist, d. h. wenn 5o nicht dem singulären Gebilde von (1) angehört. Zusammenfassend stellen wir fest: F pl 91 j = 0 ist, trägt in bezug auf diese eine aus konjugierten (Punkten , , , . ... , „. /punkte ,. , \ Ebenen 9eoildete Involution, deren Fixdie von der

i

Geraden getragenen {gj^^ dw sind- Der geometrische Ort „ (einem Punkt , • • , (Punkte . , leine Ebene [einer Ebene \Ebenen ™ \ ein Punkt (^°J,ßre^eneJ ¿ier Gleichung 9t g = 0. Dabei soll ^ iF nicht dem singulären Gebilde der jp\ angehören. Aus den vorangegangenen Betrachtungen folgt unmittelbar: Der Punkt e ....or , , IF,, Idie ,.. . Die Ebene 9 "- t genau dann der {pl an, wenn K^ zugehörige (Polarebene Tangentialebene , (F2 . , \Pol Berührungspunkt der \F2 Da sich zwei konjugierte Spalten von (5) bezüglich (1) durch die Involution (10) entsprechen, so können wir unter Benutzung des Ergebnisses von XI. 9. die zu j 0 bezüglich (1) konjugierten Spalten folgendermaßen kennzeichnen: Legt man durch die Spalte ä0 ein lineares Gebilde erster Stufe (5), so ist die vierte harmonische Spalte zu j 0 und den beiden gemeinsamen Spalten des linearen Gebildes (5) und des quadratischen Gebildes (1) gerade die zu j 0 konjugierte Spalte. Bemerkung 1: Legt man durch alle möglichen linearen Gebilde 1. Stufe, so ist der geometrische Ort der vierten harmonischen Spalten zu $0 und den beiden gemeinsamen Spalten jedes linearen Gebildes durch g0 mit dem quadratischen Gebilde (1) gerade das lineare Gebilde (11).

184

Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie 5. Pol und Polarebene

Es sei jetzt die F2 vorgelegt: (12)

p' 91 p =

0.

Zum Punkt £ des P 3 gehört dann die Polarebene s'«P = 0

(13)

bezüglich der F2 (12). (13) ist nur dann eine Ebenengleichung, wenn 91 j #= o ist, d. h. wenn 5 nicht dem singulären Gebilde von (12) angehört. (13') U = «E ist die Spaltendarstellung der Polarebene (13). Setzen wir jetzt voraus, daß die Quadrik (12) kein singulares Gebilde besitzt, d. h. daß | 9t | 4= 0 ist. Man kann dann (13') als (nicht singuläre) Korrelatipn ansprechen. Diese ordnet jedem Punkt j die Polarebene u zu. Jetzt wollen wir die Gleichung p' 91 p = 0 der Quadrik in Ebenenkoordinaten schreiben. Zu jedem Punkt p der F2 gehört nach vorstehendem eine Tangentialebene 0 = 91p. Bemerkung 1: Diese Darstellung der Tangentialebene ergibt sich natürlich auch sofort auf Grund der allgemein gültigen Formel (6) aus XI.2.: H (p) = p' 91 p = 0, Hp = 2 9Í p .

Weiter gilt dann ¡p = 91"1 ö. Aus der Darstellung (12) der F2 wird dann (12')

ö' 9I- 1 B = 0 oder ö' 91^ 0 = 0.

Damit ist gezeigt: Jede F2 p' 91 p = 0 mit | 911 =t= 0 ist auch eine F2 mit der Gleichung d' 9t" 1 ü = 0. Die Tangentialebenen derF2 p' 9t p = 0 sind die Ebenen der F2 ü' 9l - 1 ö = 0, die Berührungspunkte der F" ö' 9t - 1 ö sind die Punkte der F2 p' 9t p = 0. Die Erzeugenden leider Flächen sind identisch.

Pol und Polaiebene

185

Man erkennt jetzt weiter: u = 91 je ist die Polarebene von j bezüglich p' 91 p = 0 und j = 91"1 u ist der Pol von u bezüglich ö' 91"1 b = 0. Daraus folgt, daß u = 91 j eine involutorische Korrelation ist: Wenn j in u übergeht, so geht u in j über (vgl. dazu XI. 3. (8) und (8')). Diese Eigenschaft der Korrelationen ist wesentlich durch die Symmetrie der Matrix 91 bedingt. Eine Quadrik p' 91 p = 0 oder b' 9l _1 D = 0 ohne singulares Gebilde bewirkt also eine „Paarung" aller Punkte des P3 mit allen Ebenen des P3 in dem Sinn, daß jeder Punkt Pol einer bestimmten Ebene und diese seine Polarebene ist. Man nennt zwei derartig zusammengehörige Elemente des P3 polar. Insgesamt sprechen wir auch von der Polarität zwischen Punkten und Ebenen des P3, welche von der Quadrik als „Kernfläche" erzeugt wird. Über die Lage von Pol und Polarebene zueinander erhält man an Hand folgender Überlegung leicht Auskunft: Wir legen durch den Punkt j alle Tangenten an die Quadrik p' 91 p = 0. Diese bilden, wie in 3. gezeigt wurde, einen Kegel mit der Gleichung p' 93 p = 0, wobei ® = (Í'91S)91-9ÍSÍ'9Í ist. Wir suchen jetzt alle Berührungspunkte der Tangenten durch j an die Quadrik; d. h. wir suchen diejenigen Punkte p, für die sowohl p' SS p = 0 als auch p' 91 p = 0 gilt. Für diese Punkte muß dann p' s f f í i ' 91 p = 0, d . h . p' 911 = 0 sein. Es liegen demnach alle Berührungspunkte der Tangenten durch j an die Quadrik p' 9Í p = 0 in der Polarebene zu j. Eine andere Möglichkeit, sich die gegenseitige Lage von Pol und Polarebene zu veranschaulichen, liefert die Bemerkung 1 aus 4. Hiernach können wir sagen: Zieht man vom festen Punkt % aus alle möglichen Sekanten zur Quadrik p' 91 p = 0, so ist der geometrische Ort der vierten

186 Behandlung d. Quadriken i. Kähmen d. Projektiven Geometrie harmonischen Punkte zu j und den beiden Schnittpunkten jeder Sekante mit der Quadrik die Polarebene j ' 91 p = 0 zu j. Bemerkung 2: Man vergleiche die 1. Bemerkung von XI.8. und dazu den Abschnitt X.5. über die Diametralebenen. 6. Reziproke Polaren Zu den Punkten der Punktreihe (14) S = A„io + k l x wollen wir die Polarebenen bezüglich der Quadrik (12) aufsuchen. u = SC j ist die Spaltendarstellung der Polarebene zu j. Aus (14) folgt daher (14') u = A0u0 + A 1 u 1 mit u„ = 2t So, Uj. = 2t 5].. Dies ist die Darstellung des von den Polarebenen dei Punkte j der Punktreihe (14) gebildeten Ebenenbüschels. Umgekehrt hat jeder Pol einer Ebene des Büschels (14') in bezug auf die Quadrik ö' 2I"1 b = 0 nach 5. die Darstellung (14). Man bezeichnet die beiden Trägergeraden der Büschel (14) und (14') als reziproke Polaren an die F2 p' 21p = 0 oder an die F 2 ö ' 2 i - 1 ü = 0. Unser Ergebnis läßt sich so aussprechen: Bewegt sich ein Punkt j auf einer Geraden, so dreht sich seine Polarebene u in bezug auf eine F2 oder F2 um eine zweite Oerade und umgekehrt. Diese beiden Geraden sind reziproke Polaren. Eine andere Formulierung ist die folgende: Der geraden Punktreihe (14) ist ein Ebenenbüschel (14') projektiv zugeordnet, dessen Trägergeraden die reziproke Polare des Trägers der Punktreihe ist. Bemerkung 1: Schneidet eine Gerade die Quadrik, so ist ihre reziproke Polare die Schnittgerade der beiden Tangentialebenen in den Schnittpunkten. Lassen sich andererseits Tangentialebenen an die Quadrik durch eine Gerade legen, so ist die reziproke Polare die Verbindungsgerade der Berührungspunkte. Bemerkung 2: Im allgemeinen sind zwei reziproke Polaren g-L und g2 windschief. Wenn sie sich im Punkte j 0 schneiden, so geht die Polarebene von j 0 — als Punkt von betrachtet — durch g2. Da

Reziproke Polaren

187

j 0 auch Punkt von g2 ist, so liegt j 0 in seiner Polarebene. Das kann aber nur dann eintreten (vgl. 4.), wenn j 0 zur Quadrik gehört und die Polarebene Tangentialebene ist. Zwei reziproke Polaren schneiden sieh folglich nur dann, wenn sie Tangenten in demselben Punkt der Quadrik sind. Bemerkung 3: Wann fallen zwei reziproke Polaren zusammen? Die Trägergeraden von (14) und (14') fallen offenbar dann zusammen, wenn jede Ebene des Büschels (14') die Punktreihe (14) enthält, d. h. wenn für alle A0, gilt u' j = 0. Wegen u = 91 p ist das genau dann der Fall, wenn alle Punkte j der Quadrik p' 2i B = 0 oder alle Ebenen u der F 2 B' 9 l - 1 b = 0 angehören. Damit gilt: Fällt eine Gerade mit ihrer reziproken Polaren zusammen, so liegt sie auf der Quadrik. 7. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach Wir betrachten eine Korrelation im (15)

u =

STAUDT1)

P3:

» s

und wollen diejenigen Punkte j aufsuchen, die mit ihren Bildebenen, welche ihnen nach (15) zugeordnet sind, vereinigt liegen. F ü r diese Punkte j gilt: u ' s = 0, woraus nach (15) sofort folgt (16)

j ' SB i = 0.

Wir schreiben jetzt noch SB als Summe einer symmetrischen und einer schiefen Matrix: SB = ~

( 8 + 83') + ~ (SB -

SSO-

F ü r jede Spalte x gilt nun t ' (83 — SB') t = 0. E s ist nämlich t ' (33 — SB') x als einzeilige und einspaltige Matrix symmetrisch (r' (SB -

SB') i ) ' = t ' (SB — SB') r.

Ausgerechnet ergibt das t ' (SB' -

SB) x = r ' (SB -

SB') x,

d. h. es ist r ' (SB — SB') x = 0, wie oben behauptet wurde. >) K . G. Chr. V. STAUDT (1798—1867) gab eine Ton E U K L I D völlig unabhängige Begründung der projektiven Geometrie. Seine „Geometrie der Lage" (Nürnberg 1847) enthält weder Figuren noch Rechnungen.

188

Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie

Hiernach können wir (16) mit Hilfe der symmetrischen Matrix 33 + in der Form (17) i'(58+S')E = 0 schreiben. Damit haben wir aber bereits die von STAUDT angegebene projektive Erzeugung einer F2 gewonnen, wonach die Punkte je, die bei einer Korrelation mit ihren Bildebenen vereinigt liegen, eine Quadrik bilden. Mit der Korrelation (15) kann man natürlich auch eine Fverbinden. Dazu wird (15) von links mit 2H multipliziert: (15') l 33 | j = 334 u. Wir suchen jetzt diejenigen Ebenen auf, die mit ihren Bildpunkten j vereinigt liegen. Man erhält für diese Ebpuen die Gleichung u' 33^ u = 0. Genau wie oben wird auch hier wieder 33^ in einen symmetrischen und schiefen Bestandteil zerlegt. Der schiefe Anteil liefert wieder keinen Beitrag zur vorstehenden Gleichung, die daher die Form (17') u' (33^ + 33M) u = 0 erhält. Der Ort der gesuchten Ebenen ist demnach ^ine F2. Insgesamt ist damit bewiesen: Bei einer Korrelation u = 83 £ liegen diejenigen Urbildpunkte j, die mit ihren Bildebenen u vereinigt liegen, auf einer F2: ic' (33 + 33') j = 0. Die Ebenen u, die mit ihren Bildpunkten j vereinigt liegen, bilden eine F2: vi' (33^ + 33'^) u = 0. Bemerkung 1: Nur im Fall einer involutorischen Korrelation S3 = ± 33' fallen beide Quadriken zusammen. Vgl. XI.3. (8) und (8'). Bemerkung 2: Im Falle einer involutorischen Korrelation u = 33?, wobei 33 = — 33' ist, erhält man keine Quadrik; denn alle Punkte bzw. Ebenen des P3 erfüllen die Gleichung (17) bzw. (17'). Bemerkung 3: Es lassen sich leicht alle involutorischen Ko-relationen kennzeichnen: Die Korrelation u = 355 j, | 28 | #= 0 ist genau dann involutorisch (d. h. ergibt, zweimal angewendet, die Ruhatibildung), wenn SB' = ± SB ist. Durch u = SB j ist nämlich jedem Punkt j eine Ebene u zugeordnet. Nach XI.3. wird diese Ebene u

Die projektive Erzeugung von Quadiiken nach STAUDT

189

durch t) = SB' - 1 u in einen Punkt t) abgebildet. Genau dann, wenn j und t) denselben Punkt darstellen, d. h. wenn t) = q j ist, dann ist die Korrelation involutorisch. Daraus folgt q @ = 2B' _ 1 SB oder q 28' = SB. Durch Transponieren erhält man auch q SB = SB' und damit q2 = 1, q = ± 1. Damit ist die Behauptung bewiesen. Im Falle SB = + SB' nennt man die involutorische Korrelation Polarität; und im Fall SB = — SB' spricht man von einem Nullsystem. 8. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STEINER 1 ) E s seien zwei E b e n e n b ü s c h e l (18) u = (T„u0 + 0 + fr Bj vorgelegt, die d u r c h

0 = a u 0 + e u x , tDi = 6 u 0 + d Un e r h ä l t m a n daher (18') u = fr tt>0 + fr WiDie beiden E b e n e n b ü s c h e l (18') u = fr lu0 + fr tüx u n d (19) ö = fr ö 0 + fr ö j sind j e t z t d u r c h g l e i c h e W e r t e der p r o j e k t i v e n K o o r d i n a t e n aufeinander p r o j e k t i v bezogen. W i r suchen n u n die P u n k t e j der Schnittgeraden a u f , in welcher sich einander entsprechende E b e n e n der beiden Büschel (18') u n d (19) schneiden. F ü r diese P u n k t e j m u ß gelten: j ' u = 0 u n d j ' ö = 0, d.h. /¿oi' »0 + f i \ i « 1 = 0 , (21) i*0 i »0 + /«i E' »1 = 0 und daraus (S' »0) (£' öi) - (%' ö 0 ) ( i ' Wi) = 0. ') J. STEINER (1796—1863). Hat In Deutschland sehr anregend gewirkt auf die Fortentwicklung der projektiven Geometrie.

190 Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie Diese Gleichung läßt sich in der Form (22)

j ' 0 „ b / — ö0 to/)

E

= 0

schreiben. Natürlich gibt auch hier wieder der schiefe Teil der Matrix tn0 d / — »0 t o / keinen Beitrag zur vorstehenden Gleichung. Mit Hilfe der symmetrischen Matrix (23)

21 = tn0

+ bx w 0 ' — D0 tUi' — lDj t>0'

können wir die Gleichung (22) in der Form (24)

j ' 21 j = 0, 21 = 21'

schreiben, wodurch bereits die von S T E I N E R angegebene projektive Erzeugung der Quadriken gewonnen ist: , , , I Ebenen I Schneidet . , emander \ Verbindet man Sprechende [PunMe zweier .,.. , . , , (Ebenenbüschel so erzeu en projektiv aufeinander bezogener \punidreihen ' 9 diese Geraden eine \pl. Man bezeichnet eine solche Geradenschar als Regulus

(vgl. IV. 11.) oder Regelschar 2. Ordnung.

Bemerkung 1: In IV. 11. haben wir bereits eine spezielle Fläche zweiter 0) dnurig im Rahmen der euklidischen Geometrie nach der STEINERschen Methode erzeugt. Bemerkung 2: Gibt es eine Ebene, die beiden Büscheln angehört und sich selbst bei der Projektivität beider Büschel entspricht, so zerfällt die Quadrik (23) in ein Ebenenpaar. Zum Beweis nehmen wir etwa an, daß die Ebene ü0 beiden Büscheln angehört. Im Büschel (19) besitzt sie die Spaltendarstellung

j. Soll b0 im Büschel (18')

sich selbst zugeordnet sein, so muß sie in diesem Büschel ebenfalls die Spaltendarstellung

j besitzen. Daraus folgt aber D 0 = g tt>0

mit q =t= 0. Daher erhält (22) die Gestalt: d. h.

l' W„ (ö/ - Q KV) E = 0 ,

(S'Wo) • ( ? ' ( » ! -