Analisi di strutture esistenti in muratura nella pratica ingegneristica [v.7.3.0 ed.]

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Indice 1. Consigli per l’approccio alla modellazione di strutture esistenti in muratura 2. Panoramica sui metodi di analisi di murature maggiormente utilizzati 3. Orientarsi nel tipo di analisi 4. I modelli costitutivi di materiale per lo studio agli Elementi Finiti di murature 5. Modello Strumas: inserimento parametri in MIDAS/Gen e MIDAS/Civil 6. Parametri meccanici di riferimento per le murature Appendice 1: Meccanismi di collasso parziale per chiese e palazzi Appendice 2: Cenni essenziali della teoria del Modello Strumas Appendice 3: Parametri meccanici di murature e singoli componenti

“Analisi di strutture esistenti nella pratica ingegneristica” a cura di: ing. Paolo Segala, ing. Luigi Griggio 1a edizione Febbraio 2008 CSP Academy ( www.csp-academy.net ) CSPfea s.c. via Zuccherificio 5/d

Per informazioni sui prodotti MIDAS: www.cspfea.net [email protected]

Analisi Murature

35042 Este (PD)

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1. Consigli per l’approccio alla modellazione di

Oggi tale problema è affrontabile grazie agli strumenti

strutture esistenti in muratura

software di calcolo come MIDAS e ad una buona

1.1. Premessa

letteratura (referenze nel settore sono, tra i molti, Pande,

La procedura per la valutazione della vulnerabilità di una

Lourenço, Rots, Tassios, Tomazevic, Faella, Modena,

strutura ai carichi statici e sismici è stata approfondita in

Lagomarsino, Magenes) che ha affrontato casi pratici.

molte pubblicazioni da quando le più recenti normative

Anche le normative attuali guidano l‟ingegnere fornendo

hanno focalizzato la necessità di valutare la vulnerabilità

concreti suggerimenti.

sismica delle strutture mediante classificazione delle strutture

per

priorità,

valutazione

del

livello

di

1.1. Informazioni sulla muratura

conoscenza e del livello di intervento. Gli strumenti

Non deve spavntare la carenza di informazioni rispetto

odierni per trattare le strutture esistenti in muratura sono

alla progettazione di nuovi edifici. Aspetti salienti

l‟Ordinanza 3274 (e successive mod.), le Linee Guida

dell‟analisi sono (P.B. Lourenço, “Linee guida per l‟ana-

per il patrimonio culturale (cfr. Biografia), l‟Eurocodice

lisi di strutture storiche in muratura”, 2002):

6. Il presente volume intende focalizzare l‟aspetto della

Dati geometrici scarsi o mancanti;

modellazione

Inesistenti informazioni sul nucleo delle strutture

numerica

con

software

di

calcolo,

delegando ad altre pubblicazioni il problema dei livelli di

massiccie;

conoscenza, gli obblighi di intervento, i coefficienti di

La caratterizzazione meccanica dei materiali usati è

sicurezza. Tali argomenti sono trattati ampiamente in

difficile e costosa;

numerose pubblicazioni alcune delle quali sono riportate

Vasta variabilità delle proprietà meccaniche dei

in bibliografia.

materiali influenzata dalla artigianalità della costruzione e dall‟uso di materiali “naturali”;

1.2. Analizzare edifici esistenti: differenze con l’analisi di

Cambi significativi nei nuclei e nelle costituzioni

edifici nuovi

degli elementi strutturali a causa della lunga durata

L‟ingegnere strutturista affronta quotidianamente la

dei periodi di edificazione;

modellazione strutturale di edifici nuovi, in fase di pro-

Sequenza di costruzione sconosciuta;

gettazione costituiti da materiali classici quali acciaio,

Danni esistenti nella struttura sconosciuti;

cemen-to armato e legno. Per tali materiali, in fase di

Regolamenti e Leggi spesso non applicabili.

normal-mente un approccio “a telaio”, con eventuali

1.2. Giustificare la scelta di un metodo di analisi

elemeti bidimensionali (“shell”) per muri e solette, è

Diversi metodi di analisi sono attualmente disponibili

sufficiente. L‟analisi sismica principale è l‟analisi

grazie a differenti teorie, principalmente provenienti

dinamica lineare (analisi modale con spettro di risposta).

dagli autori sopra citati. MIDAS implementa un buon

L‟analisi di murature esistenti richiede un approccio

numero di tali teorie: la scelta di quale adottare dipende

diverso per il quale è necessaria una diversa sensibilità

da alcune considerazioni che riportiamo citando ancora

da parte dello strutturista, non ultimo il fatto che la

una volta Lourenço. I metodi si differenziano per livello

struttura è esistente e il nostro modello numerico deve

di complessità (da sistemi grafici fino a formulazioni

superare l‟esame di simulare quello che già esiste nella

matematiche complesse), capacità e sensibilità dell‟in-

realtà.

gegnere analista (da quello dello studio professionale

Analisi Murature

progetto, sono sufficienti le ipotesi di linearità elastica e

3

fino a quello dell‟Ente di Ricerca), tempo disponibile

complessa qualora la si voglia modellare numericamente.

per l‟analisi (da qualche minuto a più ore di elabora-

Si tratta infatti di un materiale composito le cui

zione) e, non ultimo, dal budget a disposizione per l‟ana-

caratteristiche meccaniche, che sono influenzate da un

lisi. Ci si deve aspettare che differenti metodi di analisi

vasto numero di fattori, generalmente non sono ben note.

diano differenti risultati anche se questo non è motivo

Nella pratica ingegneristica molti progettisti adottano

sufficiente per preferire un metodo ad un altro. Piuttosto

analisi elastiche per valutare il comportamento strutturale

gli aspetti che devono giustificare la scelta di un metodo

delle murature, inserendo valori arbitrari per i parametri

sono:

elastici e di resistenza. Tali analisi danno risultati errati e

adeguatezza tra lo strumento software di analisi e le

portano a conclusioni altrettanto errate: non sono in

informazioni a disposizione sulla muratura;

generale applicabili alle murature le semplificazioni

strumenti software a disposizione dell‟ingegnere

ipotizzate nel calcolo di strutture in acciaio e cemento

(l‟”engineering” disponibile sia “compatibile” con lo

armato.

strumento software usato);

MIDAS/Gen

Costi, risorse finanziarie disponibili e requisiti di

dell‟analisi strutturale delle murature in diversi modi che

tempo.

permettono, a vario titolo, di discostarsi dall‟analisi

e

MIDAS/Civil

affrontano

il

tema

Lourenço conclude il citato lavoro con alcune rac-

meramente elastica lineare, con gradi di accuratezza via

comandazioni che qui sintetizziamo. E‟ opportuno

via miglior in funzione dei dati sperimentali a dispo-

validare il modello con osservazioni in situ (fessurazioni,

sizione.

schiacciamenti, spostamenti, disloca-zioni della struttura,

E‟ utile premettere che la ricerca nel campo delle

test, etc.). L‟analisi nonlineare non è uno strumento per

strutture murarie è tutt‟ora molto attiva e che molti

tutte le strutture e per tutti gli ingegneri, tuttavia è di

Dipartimenti di Ingegneria preferiscono ancora non

regola necessaria per comprendere il comportamento ed

sbilanciarsi circa il prevalere di un metodo di analisi

il danneggiamento di strutture storiche complesse,

rispetto ad un altro. Questo manualetto vuole essere una

richiedendo altresì una consulenza ingegneristica specia-

semplice guida attraverso alcuni motodi che appaiono,

lizzata. Si preferisca la semplicità alla complessità e si

alle

adotti uno strumento software che possa essere validato e

praticabili, con complessità via via crescenti in funzione

compreso dall‟utente.

del grado di conoscenza della struttura in esame e del

Infine alcuni consigli generali sulla modellazione:

livello di accuratezza richiesto dalla comittenza. E‟

conoscenze

odierne,

più

ingegneristicamente

preferire la modellazione strutturale di parti piuttosto

necessario sottolineare che il buon senso ingegneristico,

che le strutture complete;

la conoscenza approfondita della materia devono sempre

non entrare in modelli completamente tridimensionali

restare la guida di verifiche e valutazioni di vulnerabilità.

a meno che non sia necessario;

Il consiglio ulteriore è quello di crearsi una base di

evitare calcoli lineari elastici per costruzioni storiche;

conoscenza mediante la lettura di alcuni (per la verità

2. Panoramica sui metodi di analisi di murature

numerica delle strutture murarie. In coda al presente

maggiormente utilizzati

manualetto sono citati alcuni testi dei quali si consiglia la

La muratura utilizzata in strutture (edifici e ponti)

lettura (anche solo dei singoli Capitoli indicati)

esistenti, sebbene sia un materiale utilizzato per secoli

L‟argomento al centro dell‟attenzione negl ultimi anni è

nelle costruzioni, è una composizione estremamente

la valutazione di vulnerabilità sismica delle trutture

Analisi Murature

pochi) testi che approfondiscano il tema dell‟analisi

4

murarie. Vogliamo citare alcun passi di un interessante

propone di introdurre tratti rigidi alle estremità delle aste

lavoro di Faella et al. (2007) che ci pare chiaro nel

(Magenes 2000, Magenes et al. 2000). Per i maschi

tratteggiare il quadro dei metodi di analisi numerica in

murari propone di assumere un comportamento elasto-

questo settore.

plastico con soglia di resistenza corrispondente ad una

“La sicurezza sismica delle costruzioni in muratura può

delle modalità di collasso ipotizzate, mentre per lo

essere valutata sia utilizzando modelli ad elementi finiti,

spostamento ultimo riprende la proposta contenuta in

oramai consolidati se supportati da adeguati dati

(Magenes et al. 1997) basata su di un limite in termini di

sperimentali sui materiali, sia impiegando modelli

deformazione angolare. Nell‟estensione a strutture

semplificati (Lourenço 2002, Penna et al. 2004,

tridimensionali, infine, la continuità di due pareti

Lagomarsino et al. 2004, Magenes 2006). La maggior

ortogonali è riprodotta attraverso ulteriori bracci rigidi

parte

posti alla quota degli impalcati.

di

questi

ultimi

opera

nell‟ambito

della

macromodellazione e consente l‟analisi di intere costru-

Modelli ad aste di quest‟ultimo tipo si stanno sempre più

zioni con un onere computazionale ridotto, sebbene a

diffondendo (Kappos et al. 2002, Salonikios et al. 2003),

scapito di una lettura precisa dei meccanismi di

sebbene la maggior parte delle assunzioni di base sia

deformazione e di danneggiamento della struttura mu-

tradizionalmente relativa al calcolo sismico di strutture in

raria.

altri materiali. La metodologia è quindi inevitabilmente

Risale al 1978 la proposta di Tomazevic concernente il

affetta da diverse approssimazioni, di cui sembra

metodo POR, messo a punto per intervenire sulle

necessario valutare la portata. Tali approssimazioni sono

costruzioni murarie della Slovenia a seguito del

di natura topologica e meccanica nella modellazione

terremoto del 1976, e basato sull‟impiego di un modello

degli elementi murari (maschi, fasce di piano, elementi

ad aste. Come è noto, il metodo ha validità solo per la

cordolo, ecc.) e comportano incertezze nella simulazione

tipologia di strutture per le quali era stato ideato (edifici

della tridimensionalità della costruzione muraria (con-

tozzi con pareti poco forate, fasce di piano rigide e

nessioni tra pareti e tra pareti e solai, comportamento

resistenti, significativi carichi verticali) ed opera sotto

fuori piano delle pareti, comportamento degli impalcati e

numerosissime ipotesi semplificative. Nonostante questi

della copertura). L‟estensione spaziale del modello

limiti, il metodo è stato assorbito da alcune normative

richiederebbe inoltre una formulazione tridimensionale

nazionali ed è stato a lungo lo strumento più utilizzato,

del comportamento degli elementi murari, mentre, invece,

talvolta impropriamente, per la valutazione della

si assumono comportamenti indipendenti per ciascun

sicurezza a collasso delle strutture murarie.

piano di inflessione, modificando al più le corrispondenti

Molti dei metodi elaborati dopo il POR lo hanno assunto

lunghezze deformabili dei maschi murari” (NB: per i

come punto di partenza, cercando di eliminarne alcuni

riferimenti bibliografici, per brevità non riportati, si con-

punti deboli. Nel 1982 Braga e Dolce rimuovono

fronti l‟articolo originale).

l‟ipotesi di fasce infinitamente resistenti, portano in conto la variazione della forza assiale nei maschi ed

pressoflessione (Braga et al. 1982). La schematizzazione “a telaio” delle pareti murarie è successivamente ripresa

In figura:confronto tra modello a telaio equivalente e

da Magenes, il quale, per riprodurre l‟elevata rigidezza e

analisi FEM di un opificio in muratura (Faella et Al.,

resistenza dei pannelli di intersezione tra maschi e fasce,

Op.Cit.)

Analisi Murature

assumono che questi ultimi possano collassare anche per

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Tab. 1: Guida rapida alle analisi di murature Necessità Analisi per effetti di carichi statici

Note Quando la muratura è danneggiata (invecchiamento, cedimenti del terreno, etc.) o quando i carichi attuali sono diversi da quelli di progetto.

Analisi per valutazione della sicurezza sismica

Quando la muratura esistente, non necessariamente in crisi per i carichi statici, deve essere verificata alle aggiornate normative sismiche.

Analisi lineari, elastiche e statiche

Le murature si discostano dal comportamento elastico lineare maggiormente rispetto ale strutture in CA o acciaio. L‟analisi elastica lineare, con MIDAS, è consigliata per una verifica della bontà del modello agli elementi finiti: condizioni di vincolo, qualità geometrica degli elementi finiti, carichi corretti, proprietà di base dei materiali, etc.

Analisi nonlineari statiche

Consentono di valutare in maniera più realistica (anche se non esatta) la redistribuzione delle tensioni a causa di comportamenti nonlineari della muratura (es. per fessurazioni); considerano le proprietà plastiche e dissipative (grazie ad una certa duttilità) delle costruzioni in caso di carichi eccezionali quali il sisma per il quale una resistenza in campo elastico è spesso impensabile. MIDAS consente analisi nonlineari statiche (con modelli a telaio o ad elementi finiti) e dinamiche (“time history”).

Bibliografia Riportiamo alcuni Capitoli di libri e articoli scientifici che riteniamo utili per un approfondimento sul tema. Per ogni supporto sulla bibliografia contattate [email protected] Approfondimenti su murature D. Benedetti, L. Binda, E. Carabelli, R. Nova, A. Franchi, et al., Comportamento statico e sismico delle strutture murarie, Clup, Milano, 1982. Capitoli: 1, 3.4, 4 T. Tassios, Meccanica delle murature, Liguori Editore, 1988. Capitolo: 5 L. Boscotrecase, Francesco Piccarreta, Edifici in muratura in zona sismica, Flaccovio, 2006. Capitolo: 14 L. Santoro, Rischio sismico e patrimonio monumentale, Linee Guida, Flaccovio, 2007. Capitoli: 7, 8, 9, 10 I.V. Carbone, A. Fiore, G. Pistone, Le costruzioni in muratura, Hoepli, 2001. Capitoli: 3, 6 Normative di riferimento

consolidamento” Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri n. 3274/2003, Allegato 2 “Norme Tecniche per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici” Decreto 14 Settembre 2005, “Norme Tecniche per le costruzioni” DPCM 23/2/2006, “Linee guida per la valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale con

Analisi Murature

DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro

6

riferimento alle norme tecniche per le costruzioni ed all’applicazione dell’Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri del 20.03.2003 n. 3274 e ss.mm. e ii.”, pubblicato in Gazzetta Ufficiale della Repubblica italiana del 7 marzo 2006, n.55 Articoli di riferimento J. S. Lee, G. N. Pande, et al. (1996) Numerical Modeling of Brick Masonry Panels subject to Lateral Loadings, Computer & Structures, Vol. 61, No. 4. Tomaževič M. (1999) Earthquake-resistant design of masonry buildings, Series on Innovation in Structures and Construction, Vol. 1, Imperial College Press, London. Calderini, C., Lagomarsino, S., A micromechanical inelastic model for historical masonry, Journal of Earthquake Engineering (in print), 2006 Magenes G., A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand, 2000 Faella G., Giordano A., Guadagnuolo M., Modelli sempliicati per la valutazione della sicurezza sismica di opifici in muratura, 2nd WonderMasonry 2, Lacco Ameno 2007 (http://www.dicea.unifi.it/wondermasonry ). Lourenço P.B. (2002). Computations on historic masonry structures, Progress in Structural Engineering and Materials, n.4: 301-319. Luciano R., Sacco E. (1997). Homogenization technique and damage model for old masonry material, Int. J. Solids

Analisi Murature

and Structures. Vol. 34 (24), pp: 3191-3208.

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3. Orientarsi nel tipo di analisi

disponibili con i prodotti offerti da CSPfea, in particolare

La vasta bibliografia sulle murature è difficilmente

i Prodotti MIDAS, mentre il Flow Chart 2 indica le

riassumibile. Per orientare lo strutturista alle prese con

procedure

una analisi strutturale di murature esistenti possiamo

vulnerabilità sismica.

schematizzare i metodi utilizzabili con riferimento alle

Nel caso di modellazione agli elementi finiti del continuo

possibilità di calcolo offerte dai programmi commerciali

è possibile individuare due approcci: un primo modello

ed in particolare da MIDAS.

tende a considerare la reale struttura del paramento

In caso di edifici di nuova costruzione in muratura si

murario assumendo una discretizzazione coincidente con

tende ad adottare modelli linearmente elastici con un

i blocchi e i giunti di malta. Un secondo approccio

controllo sulle resistenze nel quale la resistenza limite è

considera la muratura come un continuo omogeneo da

data da una combinazione delle resistenze caratteristiche

discretizzare in modo classico con elementi finiti il cui

dei singoli comonenti, malta e blocchi. Diversa è la

materiale costituente dovrà essere “equivalente” nel

situazione in caso di edifici esistenti, nei quali si

senso di rispettare la reale composizione a blocchi,

ricercano i limiti di capacità porante rispetto a

l‟anisotropia, etc. E‟ il caso dei modelli agli Elementi

determinati Stati Limite e Condizioni di Carico, tra le

Finiti con leggi costitutive di Mohr-Coulomb o Drucker-

quali diventa oggi fondamentale la condizione di sisma.

Prager, disponibili nei prodotti MIDAS.

Diventa infatti necessario entrare nel campo nonlineare

Un approccio intermedio, proposto da Pande, prevede

sia nei casi statici (dove in genere sono predominanti i

una schematizzazione del continuo in termini di elementi

carichi gravitazionali) che in caso sismico dove invece

finiti, senza necessità di rispettare blocchi e giunti, con

diventano critici i carichi orizzontali. In tali casi è

una formulazione equivalente del materiale valutata da

possibile orientarsi su modelli del continuo o su modelli

una originale teoria che richiede in partenza la

a telaio equivalente.

descrizione delle dimensioni medie di blocchi e giunti e

Il Flow Chart 1 mostra schematicamente le opzioni

delle rispettive caratteristiche medie meccaniche.

in

caso

di

valutazione

di

Analisi Murature

disponibili

8

Flow Chart 1: Metodi di analisi di strutture in muratura. Le soluzioni MIDAS.

Modelli agli Elementi Finiti

Modelli a Telaio Equivalente

Analisi sismiche Soluzione consigliata: (Pushover), MIDAS/Gen - /Civil Collasso globale, Analisi: Nonlineare Statica con cerniere Rapidità, plastiche secondo Norme Tecniche, Semplificazione

OPCM, EC8 (Metodo “SAM”, Prof. Magenes)

Tipologie di modelli numerici 3D per murature

Micromodellazione (blocchi e

Macromodellazione (materiale

Macromod. “Strumas”

giunti)

omogeneo isotropo, criterio di

(materiale anisotropo,

rottura Mohr-Coulomb)

omogeneizzato secondo Pande)

Soluzione consigliata:

Soluzione consigliata:

Soluzione consigliata:

MIDAS/FEA

MIDAS/Gen - Civil

MIDAS/Gen - Civil

Legge costitutiva:

Legge costit.:

Legge costitutiva: Strumas

Smeared crack

Mohr-Coulomb, Drucker-

con caratteristiche meccaniche

Prager con caratteristiche

come da da Flow Chart 3

Analisi statiche (gravità), Analisi

Analisi statiche (gravità), Analisi

Analisi statiche e sismiche

dettagliate (fessurazione).

dettagliate (fessurazione).

(Pushover)

Richiesta conoscenza di molti

Richiesta conoscenza di:

Analisi dettgliate

parametri inclusa

, c, E della muratura

(fessurazione).

l’Energia di frattura Gf

ogeneizzazione dei dati

Richiesta conoscenza di: fmt, fbt, Em, Eb, dimensioni blocchi e corsi di malta

Analisi Murature

meccaniche come da Flow Ch.3

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Flow Chart 2: Valutazione di vulnerabilità sismica di un edificio. Le soluzioni MIDAS Strutture schematizzabili a telaio

Strutture continue (NON schematizzabili a telaio)

eseguire Analisi lineare (statica o dinamica)

Si

Edificio resistente?

Verificato

Analisi Nonlineare Statica (“pushover”)

Analisi Nonlineare Statica (“pushover”) agli Elementi

a Telaio Equivalente

Finiti con materiali Strumas, Mohr-C., Drucker-P.

Utilizzare:

Utilizzare:

Cerniere plastiche per CA (FEMA, EC8), Acciaio (FEMA, EC8),

Leggi costitutive per Muratura anisotrope (“Strumas”)

Muratura (maschi e fascie di piano con Ordinanza 3274).

o isotrope (Mohr-Coulomb o Drucker-Prager).

Controllare: Curva di capacità

Controllare: Curva di capacità

Obiettivo: Aumentare la Curva di capacità

Obiettivo: Aumentare la Curva di capacità

Metodi: migliorare la Resistenza delle sezioni e/o

Metodi: migliorare la Resistenza e la Duttilità dei

la Duttilità delle cerniere.

maschi e delle fascie di piano.

Tecniche: FRP, Beton plaquè, Tiranti,

Tecniche: FRP, Beton plaquè, Tiranti,

Chiodature, Catene, nuovi setti, etc.

Chiodature, Catene, nuovi setti, etc.

Utilizzare:

Utilizzare:

Cerniere plastiche con diagrammi M-f migliorati

Elementi di rinforzo (beam) per simulare interventi

dagli interventi (p.es. con FRP).

di FRP, tiranti, chiodi etc.

Controllare: il miglioramento della Curva di

Controllare: il miglioramento della Curva di

capacità

capacità

Analisi Murature

No

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Flow Chart 3: I modelli costitutivi per le murature. Le soluzioni MIDAS/Gen e MIDAS/Civil Modello costitutivo e ipotesi di base Mohr-Coulomb: materiale omogeneo, isotropo, ed elastico-plastico associato al criterio di rottura di M-C

Parametri

Note

Emurat, murat, cmurat,

Il criterio di M-C è normalmente esteso in campo plastico con una legge di scorrimento plastico “associata”, tipica però di materiali metallici. La rottura per fessurazione mostra un aumento di volume per permettere lo scorrimento. L’aumento di volume è legato all’angolo di dilatanza che risulta in molti softwares scelto pari a . Il fenomeno di dilatanza è matematicamente più evidente per materiali con angoli di attrito elevati, ma non viene fisicamente riscontrato nelle murature (tranne in caso di confinamento). Qualora sia necessario modificare la legge associata (dilatanza diversa da angolo di attrito) si dovrà utilizzare MIDAS/GTS.

murat

(i parametri richiesti riguardano la muratura nel suo complesso)

Drucker-Prager: materiale omogeneo, isotropo, ed elastico-plastico associato al criterio di rottura di D-P

Emurat, murat, cmurat,

Il criterio di D-P permette a volte una migliore convergenza

murat

(i parametri richiesti riguardano la muratura nel suo complesso) Strumas: materiale scomposto nei suoi 3 componenti (blocco, malta orizzontale, malta verticale), anisotropo, rottura a trazione di tipo elasto-plastico, linearmente elastico a compressione

Eblocco, blocco, ftraz.blocco, Emalta, malta, ftraz.malta e dimensioni geometriche di blocchi e giunti di malta

Il metodo Strumas prevede una omogenezzazione dei parametri meccanici a partire dai parametri dei singoli componenti e dalle loro dimensioni geometriche. Il modello è lineare elastico. MIDAS ha implementato Strumas con un criterio di rottura elasto-plastica a trazione secondo la formulazione di In Ho Cho. Non è considerata la rottura a compressione, ipotesi ritenuta spesso valida per comuni applicazioni ingegneristiche. Il modello identifica i punti Gauss dove si verifica la rottura a trazione con delle crocette (“yeld point”), permettendo di valutare l’andamento delle fessurazioni.

Vulnerabilità sismica di una torre medievale in Abruzzo. Analisi con modello di Mohr-Coulomb. (ing. G. Camata, ing. E. Spacone)

Analisi Murature

Per ogni approfondimento sui modelli costitutivi dei materiali si consiglia la lettura del Manuale Teorico di MIDAS/Gen e MIDAS/Civil

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4. I modelli costitutivi di materiale per lo studio agli

“Determinazione della resistenza caratteristica a taglio in

Elementi Finiti di murature

base alle caratteristiche dei componenti”. In sostanza il Decreto impone tg

pari a 0,4 e

0

pari a fvk0 . Numerosi

E‟ importante notare che i prodotti MIDAS consentono

lavori in letteratura utilizzano il criterio di Mohr

di combinare sempre ogni tipologia di materiale, dai

Coulomb. I parametri utilizzati sono riportati nei

materiali linearmente elastici (utilizzabili in genere per

prossimi capitoli.

legno, metalli, cemento armato, etc.) a quelli nonlineari,

Il criterio di Drucker-Prager permette una più agevole

permettendo quindi di modellare ogni tipologia di

convergenza richiedendo analoghi parametri al criterio di

struttura composta da qualsiasi materiale sia in fase di

Mohr-Coulomb.

progetto (struttura nuova o estensione di struttura esistente) o di verifica (struttura esistente).

4.2 Modello “Strumas”

MIDAS/Gen e MIDAS/Civil implementano come scritto

MIDAS implementa un modello di materiale omogeneo

numerosi modelli per l‟analisi di murature esistenti

equivalente definito ”micro-macro” (Luciano et al.,

mediante una analisi agli Elementi Finiti. Nel Flow Chart

1997) in quanto, partendo dalla definizione di un volume

3 vengono riportate alcune note e l‟elenco dei parametri

elementare rappresentativo e da differenti legami

per la definizione del materiale.

costitutivi per i tre costituenti (blocchi, giunti di malta orizzontali e verticali), attraverso una omogeneizzazione perviene al legame del materiale muratura da utilizzare viene

nell‟analisi al continuo equivalente. La tecnica di

elastica-

omogeneizzazione è quella proposta da Pande (Pande et

perfettamente plastica. Superata la rottura, secondo la

al. 1989) e basata sull‟eguaglianza dell‟energia di

legge di Mohr-Coulomb, il materiale si deforma in modo

deformazione. Le due ipotesi di base per la costruzione

perfettamente plastico. Il materiale è inoltre assunto

delle proprietà del materiale equivalente riguardano i

omogeneo e isotropo. Il modello è ben noto agli

blocchi ed i giunti di malta, considerati solidali, ed i

ingegneri essendo utilizzato per descrivere materiali

giunti di malta verticali e orizzontali, considerati

disomogenei ed anisotropi (terreni, rocce, calcestruzzo,

continui.

etc.) e fornisce di solito una risposta più che accettabile

Nel suo lavoro Pande assunse che la fessurazione a

dal punto di vista ingegneristico (Benedetti et al.,

trazione è la più importante nonlinearità che caratterizza

Op.Cit.). La stessa opera citata indica alcune critiche al

le murature.

modello tra le quali una stima “ottimistica” della

Il modello prevede in compressione un comportamento

resistenza a trazione, la forzatura alla isotropia del

indefinitamente elastico e ad ogni incremento di forze

materiale e i problemi connessi alla legge di scorrimento

risale dai valori delle tensioni e delle deformazioni

plastico associato.

all‟interno del volume elementare di riferimento a quelle

Ciononostante un importante “riconoscimento” al criterio

dei costituenti. La procedura resta lineare in ogni passo,

di Mohr-Coulomb, nell‟applicazione alle murature, è

ma se la tensione principale di trazione in un costituente

dato dal DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la

supera la resistenza, il suo contributo alla nuova matrice

progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in

di rigidezza del materiale omogeneizzato è ridotto o

muratura e per il loro consolidamento”, Par. 2.3.2.1.

annullato. La riduzione dipende da un parametro di

Il

criterio

implementato

di

rottura su

una

di legge

Mohr-Coulomb costitutiva

Analisi Murature

4.1 Mohr-Coulomb e Drucker-Prager

12

abbattimento della rigidezza, riducibile a valori prossimi

muratura. L‟utente di MIDAS potrà inoltre rendersi

allo zero, cui corrisponde un comportamento pressoché

conto della estrema rapidità e stabilità di convergenza del

elasto-plastico (Lee et al., 1996).

modello, che richiede bassi oneri computazionali e non

Le proprietà del materiale equivalente dipendono, quindi,

necessita di approfondite esperienze in problemi di

dalla dimensione media di blocchi, giunti verticali e

convergenza.

orizzontali, oltre che dalle relative caratteristiche

Un importante riconoscimento al modello Strumas è

meccaniche E e .

riportato in Faella et al. (Op. Cit.) con un confronto con

Il Modello strumas presenta l‟indubbio vantaggio di

un modello di materiale smeared crack presente nel

richiedere parametri fisici facilmente reperibili, evitando

codice di calcolo Abaqus.

di dover interpretare l‟angolo di attrito descrivere

il

comportamento

anisotropo

della

B3

doppio uni

ca doppio B4

uni

B1

Muratura listata

B2 ca

Presidio Ospedaliero S.Pellegrino, Castiglione delle Stiviere. Progetto di adeguamento sismico (ing. Guido Camata, ASDEA, www.asdea.net)

Analisi Murature

di

e consentendo

13

5. Modello Strumas: inserimento parametri in MIDAS/Gen e MIDAS/Civil Una volta creata la mesh con elementi finiti a 8 nodi (brick), la muratura è definita in pochissimi passaggi: 1.

Definizione della legge costitutiva da associare agli elementi finiti a 8 nodi: “Masonry” (Add/Modify Plastic Material)

2.

Definizione delle caratteristiche dei blocchi di muratura (Brick)

3.

Definizione delle caratteristiche meccaniche dei corsi di malta orizzontali (Bed Joint)

4.

Definizione delle caratteristiche meccaniche dei corsi di malta verticali (Head Joint)

5.

Definizione delle misure geometriche medie dei blocchi e degli spessori di malta Parametri meccanici medi da letteratura [MPa] Ebr 5÷15.000

br

0,1÷0,2

fbr,t 1,0÷5,0

Em 1÷10.000

m

0,1÷0,2

fm,t 0,1÷1,0

1

2

3

Analisi Murature

4

14

6. Parametri meccanici di riferimento per le murature Una vasta letteratura riporta valori per i parametri meccanici necessari alla definizione dei modelli numeici di strutture in muratura. La recente normativa aggiornata (Ordinanza OPCM 3274 e succ.mod.), nonchè il Decreto Ministeriale 20/11/87 sulle murature, già citato, forniscono delle indicazioni pratiche ed importanti in quanto sono recepite in un quadro legale. Tuttavia la Scienza delle Costruzione non obbedisce alle Leggi di uno Stato e gli studi scientifici, nonchè numerosi casi applicativi documentati e pubblicati forniscono informazioni preziose. Si riportano in questo Capitolo alcune informazioni tratte da letteratura. In Appendice 3 si riportano invece una collezione di valori dei parametri meccanici adottati in numerosi studi, ricerche ed applicazioni pubblicate.

6.1 Resistenza a Trazione di murature (Tassios, Op.Cit.) A seconda della lesione sulla muratura la resistenza a trazione, fwt , varia. In caso di sollecitazione a trazione ortogonale ai letti di malta si ha circa: fwt = 2/3 fmt Nel caso di resistenza a trazione della muratura in direzione orizzontale le cose si complicano coinvolgendo la resistenza a trazione dei blocchi. Questa variabiltà di fwt rende incerta ogni teoria che valuti la resistenza a taglio delle murature su un valore fisso di fwt. Prove sperimentali di rottura a taglio su pannelli di buona qualità i muratura non armata hanno dato i seguenti valori di resistenza a trazione dei pannelli: (Blume 1967, Mayes 1975)

fwt = 0,90 ÷ 1,90 MPa

(Brochelt, 1970)

fwt = 1,80 ÷ 3,70 MPa

ottenuti con leganti (malte) con

fmc = 5 ÷ 25 MPa

6.2 Modelli alla Mohr Coulomb per murature (Tassios, Op.Cit.) Sebbene Tassios avvisi che il modello che considera il meccanismo di pseudo attrito e pseudo aderenza risulti inadeguato a descrivere l‟interazione di un modello non omogeneo ed anisotropo, un modello che valuti la rottura della muratura alla Mohr-Coulomb

c

tg

) è molto utile.

Valori del coefficiente di pseudo attrito per murature variano nel seguente range (Hendry, 1981): tg

= 0,3 ÷ 0,8

con una pseudo-coesione pari a: c = fwt Ricordiamo che il DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro consolidamento”, Par. 2.3.2.1. riporta un valore di angolo di attrito per murature nuove pari a tg

6.3 Resistenza a Compressione e Modulo di Young di Murature a Venezia (Insula, Muri di sponda veneziani, Quaderni, 2000) Si riportano valori tratti da letteratura per le murature storiche veneziane sia per mattoni che per murature nel loro complesso.

Analisi Murature

= 0,4

15

2

Materiali Mattoni originari Muratura originaria Mattoni originari e nuova malta di calce pozzolanica Nuova malta di calce pozzolanica

2

fc [N/mm ] 14,0 - 22,0 2,5 - 5,0 4,5 - 6,5

E [N/mm ] 5000-9000 1000-2500 2500-4000

2,5

-

6.4 Caratteristiche meccaniche di Murature a Venezia (Zago, Riva, Proprietà fisico-meccaniche e comportamento della muratura del centro storico di Venezia, Atti Istituto Scienza d.Costr., IUAV, 1981-82) Si riportano valori tratti da letteratura per le murature storiche veneziane, i mattoni sono suddivisi secondo tre livelli di resistenza a compressione poichè dal lavoro citato non emergono evidenti variazioni di qualità nel corso dei secoli . Caratteristiche dei mattoni: Materiali Mattoni originari f=16 MPa Mattoni originari f=22 MPa Mattoni originari f=28 MPa

2

Eb [N/mm ] 6500 8100 9800

2

Eb [N/mm ] 6500 8100 9800

fb [N/mm ] 16 22 28

2

Caratteristiche delle murature: Materiali Mattoni originari f=16 MPa Mattoni originari f=22 MPa Mattoni originari f=28 MPa

fb [N/mm ] 16 22 28

2

6.4 Caratteristiche meccaniche di blocchi in tufo napoletano

CATEGORIA Tufi con lieve resistenza (< 2MPa) Tufi di mediocre resistenza (23MPa)

Tufi di media resistenza (3-4MPa) Tufi di buona resistenza (45MPa) Tufi di forte resistenza (5-7.5MPa) Tufi di elevata resistenza (>7.5MPa)

Varietà Tufo arenoso Tufo fino comune molle Tufo fracido Tufo cima di monte Tufo turrunello mezzano Tufo turranello fino Tufo tunnarello pomicioso Tufo tunnarello tostarello Tufo selvaiuolo Tufo fino comune a pomici miste e non scarse Tufo biancolillo Tufo fino comune a pomici piccole e poco abbondanti Tufo fino propriamente detto Tufo duro grossolano

fbm [MPa] 1.91 1.69 1.26 2.52 2.64

Tufo duro a grana fina Tufo ferrigno

9.1 12.1

2.99 2.16 2.87 3.00 3.58 3.18 4.78 4.68 5.39

Analisi Murature

Si riporta la Resistenza a compressione di alcune varietà di tufo giallo napoletano.

16

La resistenza a trazione uniassiale fbtm varia in genere tra 0.5MPa e 5.0MPa . La resistenza a trazione risulta in genere di un ordine di grandezza inferiore rispetto a quella a compressione. Prove sperimentali hanno mostrato che i moduli elastici variano da 800 a 3000MPa; con valori più frequenti (l‟80% dei casi) compresi fra 1000 e 2000MPa. Nella successiva Tabella si riassumono alcune proprietà fisico-meccaniche delle principali varietà di tufo desunte dalla letteratura tecnica. Tabella. Proprietà fisico-meccaniche delle principali varietà di tufo d

Cavalieri di S.B. Clericetti Breymann Salmoiraghi Russo Ciappi Guerra Stabilini Nicotera Lucini

Pellegrino Di Pasquale Koening

3

[kN/m ] (1) 12.1÷13.0 (1) 17.4 (1) 12.5 (1) 12.2÷13.0 (1) 12.2÷13.0 (1) 17.0 (1)12.5÷17.0 (1)12.0÷16.0 (2)14.6÷15.3 (3)15.0÷15.9 (2)15.6÷17.5 -

fbm [MPa]

fbtm [MPa]

E [GPa]

4.7÷5.8 4.7 5.6 4.7÷5.8 4.7÷5.8 16 3.0÷17.5 (1) 3.0÷7.0 2.5÷6.0 12.1÷14.7 11.6÷16.6 3.5÷7.5 (1) 3.0÷7.0

0.8 (1) 0.8 0.7÷1

3÷15 1÷3 3÷15

Analisi Murature

(1) Tufo grigio campano; (2) Tufo giallo napoletano; (3) Tufo verde napoletano

17

6.5 Caratteristiche meccaniche di blocchi in tufo napoletano Da uno studio di Gambarotta e Lagomarsino, si riportano i parametri meccanici di una muratura in mattoni pieni di un edificio realizzato a Genova nel secondo dopoguerra. E [MPa] 2500

cmr [MPa]

mr

[MPa]

0,15

cmr e cbr sono le coesioni di malta e mattone, mentre

0,1 mr

e

cbr [MPa] 1,0

br

br

[MPa] 3,0

sono le resistenze a compressione degli stessi.

Analisi Murature

Verifica dello stato fessurativo di una arcata con modello costitutivi Strumas

18

6.6 Caratteristiche meccaniche secondo normativa OPCM 3274 e 3431 In mancanza di altri dati sperimentali la normativa suggerisce i valori delle caratteristiche meccaniche da adottare, come

Analisi Murature

dalle due tabelle seguenti.

19

20

Analisi Murature

Analisi Murature

APPENDICI

21

Appendice 1: Meccanismi di collasso parziale per chiese e palazzi (Fonte: “Linee guida per la valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale con riferimento alle norme tecniche per le costruzioni ed all‟applicazione dell‟Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri del 20.03.2003 n. 3274 e ss.mm. e ii.”. – DPCM 23/2/2006, pubblicato in Gazzetta Ufficiale della Repubblica italiana del 7 marzo 2006, n.55) 2. MECCANISMI NELLA SOMMITÀ DELLA FACCIATA

3. MECCANISMI NEL PIANO DELLA FACCIATA

4 - PROTIRO - NARTECE

5 - RISPOSTA TRASVERSALE DELL’AULA

6 - MECCANISMI DI TAGLIO NELLE PARETI LATERALI (RISPOSTA LONGITUDINALE)

7 - RISPOSTA LONGITUDINALE DEL COLONNATO

8 - VOLTE DELLA NAVATA CENTRALE

9 - VOLTE DELLE NAVATE LATERALI

10 - RIBALTAMENTO DELLE PARETI DI ESTREMITÀ DEL TRANSETTO

Analisi Murature

ABACO DEI MECCANISMI DI COLLASSO DELLE CHIESE 1. RIBALTAMENTO DELLA FACCIATA

22

12 - VOLTE DEL TRANSETTO

13 - ARCHI TRIONFALI

14 - CUPOLA - TAMBURO / TIBURIO

15 – LANTERNA

16 - RIBALTAMENTO DELL’ABSIDE

17 - MECCANISMI DI TAGLIO NEL PRESBITERIO O NELL’ABSIDE

18 - VOLTE DEL PRESBITERIO O DELL’ABSIDE

19 – ELEMENTI DI COPERTURA: AULA

20 - ELEMENTI DI COPERTURA: TRANSETTO

Analisi Murature

11 - MECCANISMI DI TAGLIO NELLE PARETI DEL TRANSETTO

23

22 - RIBALTAMENTO DELLE CAPPELLE

23 - MECCANISMI DI TAGLIO NELLE CAPPELLE

24 - VOLTE DELLE CAPPELLE

25 - INTERAZIONI IN PROSSIMITA’ DI IRREGOLARITÀ PLANO-ALTIMETRICHE

26 - AGGETTI (VELA, GUGLIE, PINNACOLI, STATUE)

27 - TORRE CAMPANARIA

28 - CELLA CAMPANARIA

Analisi Murature

21 - ELEMENTI DI COPERTURA: ABSIDE

24

25

Analisi Murature

26

Analisi Murature

27

Analisi Murature

28

Analisi Murature

29

Analisi Murature

Appendice 2: Cenni essenziali della teoria del Modello Strumas 1. Tecniche di omogeneizzazione in strutture murarie Le strutture murarie possono essere numericamente analizzate se una accurata relazione tensioni-deformazioni viene descritta per ogni componente della muratura stessa. Tuttavia una analisi tridimensionale di murature che coinvolga un modello anche geometricamente semplice richiede un gran numero di elementi finiti rendendo l‟analisi nonlineare ingestibile sotto molti punti di vista (convergenze, tempo di calcolo, controllo risultati). Al fine di superare queste difficoltà computazionali alcune proprietà ortotrope dei materiali come definite da Pande et al.1,2 possono essere introdotte nel modello della muratura e rendere il materiale “omogeneo equivalente” con un criterio basato sulla equivalenza dell‟energia di deformazione. i dettagli della procedura sono riportati nel Manuale Teorico di Strumas tuttavia è bene ricordare le assunzioni di base di questa teoria: 1. perfetta aderenza tra malta e mattoni 2. giunti di malta verticali e orizzontali sono da considerare continui La seconda ipotesi è necessaria nella procedura di omogeneizzazione ed è stato dimostrato 3 che l‟assunzione di continuità in luogo di una certa discontinuità, così come appare in molti casi pratici, non ha significativi effetti sullo stato tensionale dei materiali costituenti la muratura. Vengono richiesti: 1. Dimensioni dei mattoni, lunghezza, altezza e profondità 2. Modulo di Young e Poisson per i mattoni 3. Modulo di Young e Poisson per i corsi di malta 4. Spessore dei corsi di malta

Si noti che data la geometria della muratura riportata in Fig. 1, il modello FEM deve essere costruito avendo chiaro l’orientamento degli assi locali x,y (nel piano della muratura) e z (ortogonale al piano della muratura. Di fatto conviene mantenere la direzione gravitazionale (asse globale Z, di solito) parallela all‟asse locale y.

G. N. Pande, B. Kralj, and J. Middleton. Analysis of the compressive strength of masonry given by the equation

fk

2

3

K fb

fm

. The Structural Engineer, 71:7-12, 1994.

G. N. Pande, J. X. Liang, and J. Middleton. Equivalent elastic moduli for brick masonry. Comp. & Geotech., 8:243-265, 1989.

R. Luciano and E. Sacco. A damage model for masonry structures. Eur. J. Mech., A/Solids, 17:285-303,1998.

Analisi Murature

1

30

Fig.1 Sistema di coordinate usato nei pannelli murari

2.

Criteri di rottura dei costituenti

La rottura delle murature può basarsi su criteri micromeccanici. Ad ogni step di carico mentre gli equivalenti stresses/strains nella muratura sono calcolati, gli stresses/strains dei materiali costituenti possono essere derivati. Lo stress principale massimo viene quindi calcolato in ogni elemento costituente (mattone, malta verticale, malta orizzontale) e comparato alla specifica resistenza a trazione definita dall‟utente. Quando la tensione principale massima supera la resistenza a trazione allo step i-esimo di carico il contributo alla rigidezza dato da quel costituente all‟intero elemento viene portata ad un livello trascurabile. Per la nonlinearità dei costituenti può essere simulata una condizione fino ad elastica-perfettamente plastica. Se l‟utente setta lo „Stiffness Reduction Factor‟ ad un valore molto piccolo, il modello di muratura reagirà nonlinearmente e sarà possibile valutare un comportamento globale nonlineare della struttura muraria. Se invece lo „Stiffness Reduction Factor‟ viene imposto a valore unitario, il modello di muratura si comporterà elasticamente (cfr. Fig.2).

In questa seconda modalità, una rottura locale può venire identificata. Si confronti Lee et al.(1996) per approfondire il concetto di “equivalent nonlinear stress-strain relationship”. Nel momento in cui una fessurazione avviene in qualsiasi dei costituenti l‟effetto è “spalmato” nei vicini materiali equivalenti ortotropi attraverso una nuova omogeneizzazione. A seguito del raggiungimento della tensione di frattura a trazione, la posizione delle fessure può essere tracciata in

Analisi Murature

Fig.2 Stress-Strain di un singolo costituente della muratura

31

sede di post processing con gli “yeld point” nella finestra di “Solid Stresses”.

3.

Importanza delle analisi nonlineari per le murature

Al fine di apprezzare l‟importanza del modello nonlineare nelle murature un muro in muratura a due piani come da Fig. 3 viene analizzato linearmente e nonlinearmente. Come suggerito da Magenes4, il muro con finestre e aperture è soggetto a un semplice carico di pushover applicato parallelamente al piano della parete. Il modello ha le dimensioni di 6 x 6.5 m ed è meshato con elementi finiti solidi a 8 nodi. In una prima fase si setta lo stiffness reduction factor ad 1 e l‟analisi resta lineare. successivamente per un comportamento nonlineare lo stiffness reduction factor è ridotto ad un valore trascurabile di „1.e-10‟, il che porta ad un comportamento elasto-perfettamente plastico. le forze orizzontali sono caricate con 10 step, e la parete deformata e fessurata al passo 8 viene riportata in Fig 4 I punti marcati da crocette rappresentano i punti di fessurazione e il contour delle tensioni è basato sugli stress effettivi (omogeneizzati) “effective stress results”.

Fig.3 Facciata a due piani

Fig.4 Fessurazione e deformata allo step di carico 8

In entrambi i casi i due modelli hanno ricevuto la stessa procedura di omogeneizzazione con la sola differenza che nel modello nonlineare all‟apertura di una fessura l‟omogeneizzazione è stata riformulata sulla base della riduzione della rigidezza del solo costituente che è amdato in crisi. Dalla Fig.5 si comprende come il comportamento globale sia diverso tra il modello lineare e il modello nonlineare. La deformata è estratta dagli spostamenti del nodo in alto a destra. Con riferimento alla Fig. 6, il significativo contributo della nonlinearità risulta molto più convincente qando si considerano i taglianti di base dei maschi murari del modello in questione. In asse delle ascisse riportiamo la posizione dei tre maschi murari e in ordinata riportiamo il taglio alla base rapportato al taglio totale.Nel maschio murario di sinistra la forza agente in caso di comportamento nonlineare è circa

Al contrario nel maschio di sinistra accade l‟inverso. A conclusione di ciò possiamo affermare che gli sforzi di

4

Guido Magenes, Masonry Building Design in Seismic Areas: Recent Experiences and Prospects from a European Standpoint, First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology, Paper Number: Keynote Address K9, Geneva, Switzerland, 3-8 September, 2006.

Analisi Murature

metà di quanto calcolato con il modello lineare di muratura.

32

taglio dopo la fessurazione non sono ripartiti in base alla rigidezza ma in base alla resistenza di ciscun maschio murario come suggerito da Magenes(2006).

Fig.5 Diagrammi Forza-Deformazione

Comparazione tra analisi Lineare e Nonlineare (modello Strumas) 9 8

7

Step di carico

6 Nonlinear

5

4 Linear

3 2 1

Dx[m]

0 0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

Fig.6 Distribuzione dei taglianti alla base dei tre maschi murari

Nonlinear

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Linear

Left Pier

Mid Pier

Right Pier

Analisi Murature

T/Ttotale [%]

Confronto tra Lineare e Nonlineare

33

Appendice 3

Analisi Murature

Parametri meccanici di murature ricavati da citazioni in letteratura

34

PARAMETRI PER STRUMAS E PER SINGOLE COMPONENTI LINEARI ISOTROPE

bibl.

Tipo

mat

Ebr

Lineare isotropo br

fbr,t

Em Mpa

kN/m3

Mpa

-

Mpa

m

-

fm,t

fbr,c

fm,c

Ew

Mpa

Mpa

Mpa

Mpa

-

3150

0,1

Muratura

con paramenti in blocchi di Calcare di Noto, malta di calce idraulica

17,6

9475

0,1

1,8

1,47

20,6

10,3

Muratura

con paramenti in blocchi di Pietra Serena, malta di calce idraulica in blocchi di calcare di Noto in blocchi di pietra Serena in blocchi irregolari in pietra calcarea della facciata di S.Chiara a Cagliari, XIII sec

25,7

18218

0,19

5,4

1,47

104,2

10,3

9300

0,1

500

0,2

18800

0,1

500

0,2

Muratura

Mira(10)

Muratura

Mira(10)

muratura

Pani(11)

Provini di muratura

DeLo(14)

Analisi numeriche di muratura

Pena(15)

muratura di mattoni pieni e malta (M1-M4)

DelP(20)

Campioni di muratura di nuova costruzione

Bric(21)

in blocchi calcarei sedimentari in generici mattoni pieni (italiani) e malta ordinaria

18-24

2070

0,950,32

24,59,8

7800

4,1 (*) 1

10,5

5000

0,1

muratura di nuova realizzazione

1500020000

0,100,20

mattoni e malta cementizia mattoni e malta di calce

1545 1545

1500

1000100(*)

0,1

0,100,01

25

3,00,3

800016000

0,150,25

0,10,8

5-80

2-25

0,117

5381

0,12

0,117

309

0,1

2-8

w

Note fw,c

fw,t

Mpa

Mpa 1,8

rispettivamente valore secco e valore saturo (per l'igroscopicità del materiale). Il valore di E della muratura è stato ottenuto dal 75% del valore dei blocchi (*)misurato a flessione (*)differenziato tra letti orizzontali e giunti verticali di malta. (**) rispettivamente per blocchi, letti e giunti verticali. (***)Ex, Ey, xy, yx Resistenza a compressione malta: M1=20, M2=10, M3=5, M4=2,5 Mpa

Analisi Murature

Strumas Descrizione

35

Descrizione

bibl.

Tipo

fbr,t

Em

Campioni di muratura esistente in Olanda

Plui(22)

mattoni in argilla

16700

0,28

2

2300

Campioni di muratura esistente in Olanda Ponte in muratura inglese, 1755 Muretti testati presso Univ. Di Tessalonica in Grecia

Plui(22)

mattoni in silicato di calcio

13400

0,2

2

1375

Midd(23)

9000

0,2

11,5

4000

Igna(24)

6000

0,15

1,55

3000

mat

Ebr

Lineare isotropo br

fm,t

fbr,c

fm,c

0,15

0,9

22,7

22,7

0,2

0,7

9

3

m

Ew

w

Note fw,c

fw,t

con spessori del giunto orizz di 1-7 cm e verticali di 3 cm

Analisi Murature

Strumas

36

PARAMETRI PER MURATURA OMOGENEA-ISOTROPA ALLA MOHR-COULOMB

Descrizione

Mohr-Coulomb/DrukerPrager Ew Cw w w

bibl.

Tipo

materiale eterogeneo ("sacco") con frammenti di calcare di Noto usato tra due pareti della muratura qui sopra

Mira(10)

mur

1880

0,15

23°30°

0,58

materiale eterogeneo ("sacco") con frammenti di pietra serena usato tra due pareti della muratura qui sopra

Mira(10)

mur

1328

0,15

33°36°

0,33

mur

2100

0,15

10°

1,7

mat

Lineare isotropo Ew

w

fw,c

fw,t

VALORI PER MOHR-COULOMB

muratura in blocchi di pietra calcarea di una fabbrica a Campobasso (XIX sec)

Spin(16)

24

660

0,15

30°

0,1

muratura della chiesa di Monte Oliveto Maggiore (SI), XV sec.

Bell(17)

18

8000

0,15

30°

0,6

2100

0,15

0,3

Analisi Murature

materiale eterogeneo ("sacco") usato tra due pareti della muratura in Calcare di Noto

37

PARAMETRI PER MURATURA COME LINEARE-OMOGENEO-ISOTROPO Lineare isotropo

Muratura a due teste

bibl. Tom(1)

Tipo

mat

Ew

w

Note fw,c

fw,t

blocchi pietra calcarea, malta magra di calce, rurale

1950

0,4

0,02

blocchi di pietra calcarea, arenaria, ardesia, malta di calce, urbano

390

0,28

0,08

blocchi di pietra calcarea, arenaria, ardesia, malta di calce, omogeneo urbano

0,12

blocchi di pietra calcarea irregolare, malta di calce magra, rurale abitativo

muratura, Torino, XIX sec

Pist(2)

2600

0,82

0,05

blocchi di pietra calcarea irregolare, malta di calce magra, edifici pubblici

0,07

blocchi pietra calcarea, malta magra di calce, rurale

0,06

muratura dopo inforzo dei corsi con malta cementizia

blocchi di pietra calcarea, arenaria, ardesia, malta di calce, urbano

0,12

muratura dopo inforzo dei corsi con malta cementizia

blocchi di pietra calcarea, arenaria, ardesia, malta di calce, omogeneo urbano

0,16

muratura dopo inforzo dei corsi con malta cementizia

blocchi di pietra calcarea irregolare, malta di calce magra, rurale abitativo

0,09

muratura dopo inforzo dei corsi con malta cementizia

blocchi di pietra calcarea irregolare, malta di calce magra, edifici pubblici

0,17

muratura dopo inforzo dei corsi con malta cementizia

blocchi di mattoni

18

2000

blocchi di granito

28

55000

calcestruzzo romano, Villa Adriana, Tivoli, II sec.

Abru(3)

mur

20

20000

muratura a mattoni pieni del Campanile del Duomo di Monza, XVI sec.

Gent(5)

mur

muratura a mattoni pieni e blocchi di tufo della Torre medievale dei Capocci a Roma (Piazza S.Martino ai Monti)

Abru(6)

mur

18

40000

0,18

muratura della torre medievale Febonio a Trasacco, Fucino, AQ

Caru(7)

mur

18-20

25005000

0,18

0,3

2

15001800

valori tarati con modello FEM sulle prove nondistruttive

3

0,05

Analisi Murature

Descrizione

38

muratura della facciata della Basilica S.Maria di Collemaggio, XV sec. Muratura a mattoni

Anto(8)

mur

15,7

2940

muratura del campanile di S.Stefano a Venezia, sec.XV-XVI

Mode(9)

mur

18

400028005000

Diferenziato per parte bassa e alta del campanile. Ultimo valore dei sostegni datati XX sec.

Muratura storica di mattoni pieni ricostruita in scala

Capo(13)

66387440

Modulo E orizz e E vertic

calcestruzzo romano (opus caementitium) del Tempio di Venere (Roma)

Gonz(18)

10000

muratura in blocchi di granito, alternati a mattoni e riempimento del nucleo in calcestruzzo romano. Acquedotto romano di Merida, Spagna muratura di mattoni

Gara(19)

Blocchi granito

25,9

4660

4

mattoni

22,8

4480

2,8

calcestruzzo

26,28

5000

2,5

muratura di nuova realizzazione

5600

0,19

1,8

calcestruzzo costituito da malta e sabbia Modulo G=2350 Mpa

Analisi Murature

9,7

39

BIBLIOGRAFIA Rif#

Tomazevic in "Structural Analysis of Historical Construction", (Ed.) Modena, Lourenco, Roca; 2005

1

Pistone, Re in "Structural Analysis of Historical Construction", (Ed.) Modena, Lourenco, Roca; 2005

2

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Analisi Murature

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