Allgemeine Topologie I 9783486595147, 9783486581584

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Allgemeine Topologie I von Dr. René Bartsch

Oldenbourg Verlag München Wien

Dr. René Bartsch studierte Mathematik und Philosophie. Er lehrt derzeit am Institut für Mathematik und an der Fakultät für Informatik und Elektrotechnik der Universität Rostock.

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die meisten menschen glauben an niederlagen. sie siegen nie und glauben, die welt habe also recht. wie albern. ronald. m. schernikau, legende“ ”

Inhaltsverzeichnis Vorwort

XI

1

Mengentheoretische Grundlagen

3

1.1 1.1.1 1.1.2

Mengen, Relationen, Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5

1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einleitende Dar- und Klarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was soll am Begriff Menge“ eigentlich unklar sein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” Die hoffentlich harmlosen 10 Gebote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 16 21 31

1.3

M¨ achtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3

Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Definitionen und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wie viele Ultrafilter gibt es auf einer Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 46 52 58

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2

Das Konzept Topologischer Raum

65

2.1

Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Offener Kern und abgeschlossene H¨ ulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich und Erzeugung von Topologien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abz¨ahlbarkeitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurze Anmerkung u ¨ ber Netze (Moore-Smith-Folgen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 78 84 88 91 98

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3

Einige topologische Konstruktionen

105

3.1 3.1.1 3.1.2

Initiale und finale Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Spurtopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Quotiententopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.1.3

Produkte und Coprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4

Trennungseigenschaften

121

4.1 4.1.1 4.1.2

Die schwachen Trennungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 T0 -R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 T1 -R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2

Hausdorff-R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3

Eine Symmetriebedingung: R0 -R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4

Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5

Kompaktheit

149

5.1 5.1.1

Kompakte R¨ aume und Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Variationen zum Thema Abz¨ ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2 5.2.1 5.2.2

Relative Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Was haben kompakte Teilmengen, was relativ kompakte nicht haben? . . 164 Eine abz¨ ahlbare Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3 5.3.1 5.3.2

Lokale Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Ein Abschweif: E-erzeugte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Ein Ausblick: Funktionenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3

Kompaktifizierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alexandroff-Kompaktifizierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Stone-Cech-Kompaktifizierung ......................................... Wallman-Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 187 190 201

5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4

Metakompakt, parakompakt – voll normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Einige Uberdeckungseigenschaften ..................................... Charakterisierung durch Filterkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Michael & Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Blick zur¨ uck: Metrisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208 208 213 218 224

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6

Zusammenhang

239

6.1

Zusammenh¨ angende R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.2

Wegzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.3

Lokalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.4

Besonders Unzusammenh¨ angendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Inhaltsverzeichnis

IX

Literaturverzeichnis

265

Index

271

eine meiner fr¨ uhen theorien besagt, daß ein spaten als fortbewegungsmittel vielseitiger ist als etwa ein hubschrauber. w¨ ahrend n¨ amlich ein hubschrauber vom erdboden aus im prinzip nur nach links, rechts, vorn, hinten oder oben gelangt, kommt man mit einem spaten nach unten ins erdreich, wo man – mit etwas gl¨ uck – einen hubschrauber finden kann, der einem die restlichen richtungen erschließt. in der zweiten ausbaustufe dieser theorie geht es darum, daß eine fortgeschrittenere zivilisation an dieser theorie naturnotwendig gefallen finden m¨ ußte, woraufhin sie einen (prinzipiell ja m¨ oglichen) mangel an nat¨ urlichen hubschraubervorkommen in unsrer erde durch gezieltes verbuddeln sogenannter trost-hubschrauber beheben w¨ urde ... ;-) marvinius.net

Vorwort Ich kann einen anderen niemals u ¨ berzeugen als durch seine eigenen Gedanken. Immanuel Kant

Um eine Kleinigkeit vorwegzunehmen: dieser Grundkurs beansprucht absolut nicht, zur sogenannten angewandten Mathematik zu geh¨oren. Den Sprachgebrauch eines von mir sehr gesch¨ atzten Kollegen u ¨bernehmend, will ich gern bekennen, ein eher abgewand” ter“ Mathematiker zu sein. Wir werden erfahren, daß gelegentliches Abwenden den Blick ∗ nicht unbedingt einengt. Es ist manchmal regelrecht verbl¨ uffend, wie leicht sich starke S¨atze beweisen lassen, ¨ wenn man erstmal strukturelle Uberladungen einigermaßen geschickt abgeworfen hat, die zuweilen ulkigerweise noch als Zeichen von Modernit¨at angesehen werden. Mein uneingeschr¨ ankter Respekt gilt diesbez¨ uglich insbesondere Felix Hausdorff, auf den das Konzept der topologischen R¨ aume ja wesentlich zur¨ uckgeht. Das Buch heißt Allgemeine Topologie I“ keineswegs deshalb, weil wir uns im Un” gef¨ ahren zu ergehen vorh¨ atten. Sondern im Gegenteil: im Abstrakten. Die Nummer – I – deutet an, daß wir es damit nicht gleich u ¨ bertreiben wollen. Erw¨ahnt werden muß an dieser Stelle unbedingt auch, daß es sich hierbei nicht um algebraische Topologie handelt – so daß wir einstweilen nicht u ¨ber die Gemeinsamkeiten von sehr l¨ochrigen Planeten mit mehrhenkeligen Teetassen reden werden. ∗

Wahrscheinlich kennen das die meisten: Man hat die lieben Freunde & Kollegen zu Besuch und m¨ ochte eine ganz bestimmte Musik-CD vorf¨ uhren, kann just diese aber im CD-Regal partout nicht entdecken. Da hilft es dann manchmal wenig, immer ausgefeiltere MusterungsAlgorithmen auf die m¨ oglicherweise umf¨ angliche Sammlung anzuwenden. Mehr Erfolg hat man zuweilen, indem man sich nach vern¨ unftiger Zeit abwendet und den Gedanken f¨ ur immerhin m¨ oglich h¨ alt, daß der gew¨ unschte Silberling im Arbeits- oder Schlafzimmer liegt – oder daß man ihn gar neulich in Berlin vergessen hat. In letzterem Fall wird man ihn zwar nicht sofort in die Finger kriegen, kann aber wesentlich aussichtsreichere Fahndungspl¨ ane schmieden. Nat¨ urlich bekommt man bei deren Ausf¨ uhrung auch allerhand zu Gesicht, das absolut nichts oder nur sehr wenig mit der begehrten Musik zu tun hat – doch wird man ¨ dabei normalerweise auch nicht gerade d¨ ummer. Ubrigens hat sich gerade kurzfristig vom Haupttext abgewandt, wer diese Fußnote liest :-).

XII

Vorwort

Nat¨ urlich habe ich versucht, diesen Grundkurs so einfach und verst¨andlich zu entwerfen, wie es mir eben m¨ oglich war – und auf diesem Wege leider halbe Lebenswerke wirklich beeindruckender Wissenschaftler ausgelassen. Dies geschah freilich in der Hoffnung, daß sie von interessierten Lesenden fr¨ uher oder sp¨ater doch entdeckt werden. Meiner Meinung nach lauern selbst noch in den hier ausgebreiteten Grundlagen an jeder zweiten Ecke Fragen, denen man getrost sein ganzes weiteres Schaffen widmen k¨onnte, ohne sich Verzettelung vorwerfen (oder gar vorwerfen lassen) zu m¨ ussen. Es wird m¨ oglicherweise an mir liegen, daß ich die B¨ ucher von Harry Poppe, [20], und Gerhard Preuß,[22], ziemlich unersetzlich finde. Leider werden beide nicht mehr verlegt, die alten Auflagen sind vergriffen und kleine Zweifel nagen leise aber beharrlich an meiner Hoffnung, sie w¨ aren in jeder gut sortierten Universit¨atsbibliothek in ausreichender Anzahl vorhanden. Daher bin ich nunmehr der Anregung gefolgt, die ich in den letzten Jahren immer wieder von Studenten meiner Topologie-Vorlesungen erhalten habe, selbst eines zu schreiben. Das hiermit vorliegende Ergebnis ist nat¨ urlich kein kompletter Ersatz f¨ ur die erw¨ ahnten Werke, aber den Einstieg in die Topologie kann es hoffentlich doch etwas erleichtern. Da gerade von B¨ uchern die Rede ist: Auf das Buch Analysis“ von Walter Rudin, [27], ” m¨ ochte ich ebenfalls sehr gern aufmerksam machen. Es gl¨anzt unter anderem durch eine wunderbar instruktive Darstellung wichtiger Begriffe in metrischen R¨aumen und eignet sich daher nicht nur ausgezeichnet zum Selbststudium der Analysis, sondern auch als Vorbereitung zur Lekt¨ ure dieses Buches. Ich habe mich bem¨ uht, den Kurs so aufzubauen, daß man ihm im wesentlichen ohne große Vorkenntnisse folgen k¨ onnen sollte. Lediglich eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit Mengen, Relationen und Abbildungen m¨ochte ich gern voraussetzen d¨ urfen. Daher werden in Abschnitt 1.1 die f¨ ur uns hier grundlegenden mengentheoretischen Werkzeuge noch einmal vorgestellt. Der mit elementarer Mengenlehre einigermaßen vertraute Leser kann ihn getrost u attern. ¨berbl¨ Nicht u attert werden sollte hingegen Abschnitt 1.4, der die f¨ ur uns hier außer¨ berbl¨ ordentlich wichtigen Filter und Ultrafilter vorstellt. ∗ ∗

Auch kurz erw¨ ahnt werden in Abschnitt 2.2.5 die sogenannten Netze (oder Moore-SmithFolgen), die in Sachen topologischer Konvergenzbetrachtungen ein zu den Filtern gleichwertiges Konzept bilden. Daß Netze im vorliegenden Text absolut keine Verwendung finden, hat mehrere Gr¨ unde: einerseits – und das war ausschlaggebend – verleiten sie ob ihrer scheinba¨ ren Ahnlichkeit mit den klassischen Folgen gerade Anf¨ anger ungeheuer leicht zu eklatanten Fehlschl¨ ussen, weil es diesbez¨ uglich Unge¨ ubten erfahrungsgem¨ aß große Schwierigkeiten bereitet, das m¨ ogliche Fehlen der gewohnten Linearit¨ at mitzudenken; andrerseits deshalb, weil sich f¨ ur meinen eigenen Geschmack der Notationsaufwand bei Netzen entschieden zu unhandlich & sperrig gibt, ohne daf¨ ur mir ersichtliche Vorteile mitzubringen.

Vorwort

XIII

In Kapitel 2 werden in Abschnitt 2.1 zun¨ achst ein paar Fakten u ¨ ber metrische R¨aume etabliert. Ohne zu bestreiten, daß metrische R¨aume auch f¨ ur sich genommen ein durchaus faszinierendes Forschungsgebiet abgeben k¨onnen, wollen wir hier damit aber nur zwei Dinge erreichen: einerseits wollen wir aufzeigen, daß sie in mancher Hinsicht auch etwas unbefriedigend sind – und andrerseits Begriffe wie etwa den der offenen Mengen und der Filterkonvergenz ein wenig motivieren. Abschnitt 2.2 liefert dann umgehend diejenigen Strukturen, auf die wir hier hinauswollen und mit denen sich zumindest der in Abschnitt 2.1 angeprangerte Makel metrischer R¨ aume beheben l¨ aßt: die topologischen R¨aume, um die sich der Rest der Veranstaltung dreht. (Der Gerechtigkeit halber wird in Abschnitt 5.3.2 auch gezeigt, daß selbst topologische R¨ aume aus ganz ¨ ahnlichen Gr¨ unden nicht der Weisheit allerletzter Schluß sein sollten. M¨ oglicherweise motiviert das Nachdenken u ¨ber die jeweils beschriebenen Un” zul¨ anglichkeiten“ ja den einen oder anderen Leser dazu, selbst u ¨ ber angemessene Strukturen nachzudenken, was auf jeden Fall eine erfreuliche meditative Vorbereitung auf das Buch [24] und auch auf die durchaus geplante Fortsetzung dieses Kurses sein d¨ urfte.) Das 3. Kapitel beschreibt die Gewinnung neuer topologischer R¨aume aus alten u ¨ber initiale und finale Konstruktionen – einerseits allgemein (initiale & finale Topologien) und andrerseits an wichtigen Beispielen (Unterr¨aume, Produktr¨aume, Quotienten- und Summenr¨ aume). Im 4. Kapitel k¨ ummern wir uns ein wenig darum, zun¨achst die oft leicht anarchistischen Tendenzen topologischer R¨ aume in Sachen Konvergenz durch Einf¨ uhrung eines Plakettensystems f¨ ur mehr oder eben minder vorbildliche innere Sortiertheit zu katalogisieren – es geht um die sogenannten Trennungseigenschaften topologischer R¨aume. Im Zusammenhang damit wird auch eine Symmetrieeigenschaft kurz untersucht. Das 5. Kapitel ist einer ungeheuer n¨ utzlichen topologischen Eigenschaft gewidmet: der Kompaktheit. Auch werden abgeschw¨ achte und lokalisierte Varianten dieses m¨achtigen Begriffes verhandelt: relative, lokale, abz¨ ahlbare Kompaktheit und Kombinationen daraus. Damit werden dann S¨ atze gewonnen, wie z.B. eine starke Version des sogenannten 1. Hauptsatzes der direkten Methoden der Variationsrechnung. Mit Blick auf den zuweilen in der Literatur etwas ungl¨ ucklichen Gebrauch der Bezeichnung relativ kompakt f¨ ur solche Teilmengen eines topologischen Raumes, deren Abschluß kompakt ist, habe ich mir erlaubt, ein Beispiel (5.2.3) f¨ ur einen Hausdorff-Raum anzugeben, der eine in unserem Sinne relativ kompakte Teilmenge enth¨alt, die keine kompakte Obermenge im fraglichen Raum hat. Ein eigener Abschnitt ist den Kompaktifizierungen zugedacht. Behandelt werden dabei ˇ die klassischen F¨ alle: Einpunkt-, Stone-Cechund Wallman-Kompaktifizierung. Im 6. Kapitel schließlich wird der Begriff des zusammenh¨angenden Raumes nebst ein paar Variationen definiert und untersucht. Bei der Lokalisation dieser Eigenschaften gestatten wir uns im Interesse einer einheitlichen Behandlung mehrerer Varianten von Zusammenhangseigenschaften (den Arbeiten von Gerhard Preuß folgend) eine etwas abstraktere Herangehensweise, als sie in Lehrtexten sonst wohl u ¨ blich ist.

XIV

Vorwort

In den Text eingestreut sind hin und wieder Aufgaben von recht unterschiedlicher Schwierigkeit. Ich empfehle nachdr¨ ucklich, jede von ihnen zu l¨osen oder es wenigstens engagiert zu versuchen. Sollte das manchmal nicht gelingen, kann man nachschlagen: Die kleine Nummer, die jedesmal das Wort Aufgabe“ begleitet, ist keine Fuß- sondern ” eine Endnote und verweist auf einen Absatz am jeweiligen Kapitelende, der L¨osungsvorschl¨ age bietet. F¨ ur profunde Aufmerksamkeit, n¨ utzliche Kritiken und wertvolle Hinweise in Bezug auf das Manuskript m¨ ochte ich an dieser Stelle den Kollegen Thomas Arbeiter, Peter Dencker und Thomas Kalinowski sowie den angehenden Kollegen Karsten Evers, Martin Haufschild, Matthias Mauch, Thomas Wrycza und Karsten Sch¨olzel ganz herzlich danken. Ein großes Dankesch¨ on auch an Brunhilde Alm und Ulrike Tauscher f¨ ur penibles Fehlersuchen und -finden∗ , sowie speziell an meinen Verlobten Frank H. Rothe f¨ ur Frohsinn & Fr¨ osche. Den Herren Professoren Harry Poppe, Gerhard Preuß und Alfred Widiger danke ich f¨ ur ihre best¨ andige freundliche Unterst¨ utzung, ohne die es dieses Buch sehr wahrscheinlich gar nicht g¨ abe. Dem Oldenbourg-Verlag, namentlich Frau Margit Roth, danke ich f¨ ur die jederzeit kompetente & freundliche sowie angelegentlich u ¨berraschend unterhaltsame Zusammenarbeit. ¨ Zu guter Letzt vielleicht noch dies: Wer Fehler im Text entdeckt, wem sch¨one Ubungsaufgaben eingefallen sind oder wer sonstige Kritiken und Verbesserungsvorschl¨age zu diesem Buch hat, m¨ oge mir diese bitte via E-Mail ([email protected]) zukommen lassen. †

Ren´e Bartsch,

∗ †

Rostock

An s¨ amtlichen verbliebenen Fehlern sind die Damen g¨ anzlich unschuldig: die gehen ganz allein auf meine Kappe! Hinweis: Die angeblich neue“ Rechtschreibung wird von mir absolut vors¨ atzlich ignoriert – ” die Orthographie betreffende M¨ angelmeldungen sollten sich also auf die sogenannte alte“ ” Rechtschreibung beziehen.

INTERVIEW: OFF: Wer bist du?“ ” m.: marvinius.“ ” OFF: WAS bist du?“ ” m.: Unt¨ atig.“ ” OFF: Soll das heißen, du tust NICHTS?“ ” m.: Nein. Wenn jemand sagt, er sei t¨ atig, m¨ ochte er damit ” ausdr¨ ucken, daß er Taten vollbringt. Indem ich sage, daß ich unt¨ atig bin, m¨ ochte ich ausdr¨ ucken, daß ich Untaten vollbringe.“ OFF: Welche?“ ” m.: Ich verf¨ uhre Menschen dazu, nicht zu glauben.“ ” OFF: DAS soll eine Untat sein? Wir leben schließlich in einer ” s¨ akularen, ungl¨ aubigen Zeit ...“ m.: Glaubst du das?“ ” marvinius.net

1

Mengentheoretische Grundlagen Es gibt keine letzte Wahrheit. Es gibt nur den Krieg darum. Heiner M¨ uller

Im Verlauf dieses Kurses werden wir uns unabl¨assig mit Mengen und Mengenoperationen wie Vereinigung, Durchschnitt, Mengendifferenz auseinanderzusetzen haben. Es kann also nicht schaden, einige Grundkenntnisse aus der Mengenlehre zu Beginn ein wenig aufzufrischen. Selbstverst¨ andlich kommt auch neues hinzu – sonst w¨ar’s ja langweilig.

1.1

Mengen, Relationen, Abbildungen

1.1.1

Mengen und Mengenoperationen

Mit {x| P (x)}“ bezeichnen wir die Menge aller derjenigen x, f¨ ur die P (x) gilt. Dabei ” ist P (x) nat¨ urlich eine Aussageform. Beispiel: K := {x| x ist nat¨ urliche Zahl und 2x − 1 ist Primzahl }. Wie hier bereits zu erkennen, werden wir als Abk¨ urzungen f¨ ur Mengen meistens große lateinische Buchstaben w¨ ahlen. Das Symbol :=“ steht f¨ ur ist definiert als“. Der Aus” ” druck x ∈ M“ steht f¨ ur x ist Element der Menge M“. Ist x nicht Element der Menge ” ” M , so schreiben wir dies als x ∈ M“. ” Ganz wie u ur die logische Konjunktion ( und“-Verkn¨ upfung), ¨ blich steht das Symbol ∧ f¨ ” das Symbol ∨ f¨ ur die Alternative ( oder“-Verkn¨ upfung), ⇒ f¨ ur die Implikation und ⇔ ” ¨ f¨ ur die logische Aquivalenz. Das Zeichen ∀ steht f¨ ur den All-Quantor und das ∃ f¨ ur den Existenz-Quantor. Ein Ausdruck der Form ∀x ∈ M : P (x) bedeutet also F¨ ur alle Elemente x der Menge M ist die ” Aussage P (x) wahr.“, w¨ ahrend etwa ∃y ∈ M : Q(y) zu verstehen ist als Es existiert ” ein Element y der Menge M , f¨ ur das Q(y) wahr ist.“ Mit IN ist stets die Menge der nat¨ urlichen Zahlen gemeint, mit ZZ die Menge der ganzen / die der rationalen und mit IR die Menge der reellen Zahlen. H¨angt ein Zahlen, mit Q / + , IR+ ), so sind jeweils nur die positiven Pluszeichen oben am Symbol dran (IN + , ZZ + , Q nat¨ urlichen, ganzen, rationalen bzw. reellen Zahlen gemeint.

4

1 Mengentheoretische Grundlagen

Zuweilen ist von Intervallen in IR die Rede, dabei gelten folgende Bezeichnungen: (a, b) := {x ∈ IR | a < x < b}, [a, b) := {x ∈ IR | a ≤ x < b}, (a, b] := {x ∈ IR | a < x ≤ b}, [a, b] := {x ∈ IR | a ≤ x ≤ b} . Definition 1.1.1 (1) Seien A und B Mengen. Dann heißt A eine Teilmenge von B (in Zeichen: A ⊆ B) genau dann, wenn ∀x ∈ A : x ∈ B gilt. A heißt gleich B genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A gelten. A heißt echte Teilmenge von B, falls A ⊆ B, aber nicht B ⊆ A gilt. (2) Die Menge {x| x = x} heißt leere Menge und wird mit dem Symbol ∅ bezeichnet. (Offensichtlich ist die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge.) (3) Ist M eine Menge, so heißt die Menge P(M ) := {A| A ⊆ M } die Potenzmenge von M . (4) Ist M eine Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind, dann heißt
(a) M∈M M := {x| ∃M ∈ M : x ∈ M } die Vereinigung u ¨ber alle M ∈ M.  (b) M∈M M := {x| ∀M ∈ M : x ∈ M } der Durchschnitt u ¨ber alle M ∈ M. Hat M wenig Elemente, insbesondere nur 2, so schreibt man auch M1 ∪ M2 bzw. M1 ∩ M2 f¨ ur die Vereinigung bzw. den Durchschnitt (wobei nat¨ urlich M1 , M2 just die Elemente von M sein sollen). (5) Sind A und B Mengen, so nennen wir die Menge A \ B := {x| x ∈ A ∧ x ∈ B} die Mengendifferenz von A und B. (6) Ist M eine Menge und A eine Teilmenge von M , so nennen wir M \ A das Komplement von A in M und bezeichnen es mit AcM . Besteht kein Zweifel dar¨ uber, welche Menge M gemeint ist, schreiben wir auch k¨ urzer Ac f¨ ur das Komplement von A.) (7) Zwei Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn A ∩ B = ∅ gilt.

Proposition 1.1.2 (1) F¨ ur Mengen A, B, C gelten (a) Assoziativgesetze i. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ii. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen

5

(b) Distributivgesetze i. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ii. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (2) Assoziativ- und Distributivgesetze gelten auch f¨ ur beliebige Vereinigungen und Durchschnitte. (3) Seien X eine Menge und M eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind. Dann gelten 
(a) X \ M∈M M = M∈M (X \ M ).
 (b) X \ M∈M M = M∈M (X \ M ). (4) Stets gilt A ⊆ B ⇒ X \ B ⊆ X \ A. Gilt außerdem A ⊆ X und B ⊆ X, so folgt aus X \ B ⊆ X \ A auch A ⊆ B. Definition 1.1.3 (1) Sind x und y irgendwelche Elemente, so nennen wir (x, y) := { {x}, {x, y}} das geordnete Paar aus x mit y. Offensichtlich gilt (x, y) = (x , y  ) ⇔ (x = x ) ∧ (y = y  ). (2) Sind X und Y Mengen, so nennen wir X × Y := {(x, y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y } das Cartesische Produkt (oder auch Kreuzprodukt) von X mit Y .

1.1.2

Relationen und Abbildungen

Definition 1.1.4 (1) Eine Teilmenge R ⊆ X × Y heißt Relation zwischen X und Y . F¨ ur (x, y) ∈ R sagen wir auch x steht in Relation R zu y“. ” (2) Sind R und S Relationen zwischen X und Y , so heißt R feiner als S genau dann, wenn R ⊆ S gilt. Das heißt zwei Elemente, die in Relation R zueinander stehen, stehen erst recht in Relation S zueinander. (3) Sei R ⊆ X × Y eine Relation und seien A ⊆ X sowie B ⊆ Y gegeben. (a) R(A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ A : (x, y) ∈ R} heißt das Bild der Teilmenge A unter R. (b) R−1 (B) := {x ∈ X| ∃y ∈ B : (x, y) ∈ R} heißt das vollst¨andige Urbild der Teilmenge B unter R. (c) Die Relation {(y, x) ∈ Y ×X| (x, y) ∈ R} ⊆ Y ×X heißt inverse Relation zu R und wird mit R−1 bezeichnet.

6

1 Mengentheoretische Grundlagen (4) Sind R ⊆ X × Y und S ⊆ Y × Z Relationen, so ist ihr Kompositum S ◦ R definiert∗ als S ◦ R := {(x, z) ∈ X × Z| ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}. (5) Eine Relation f ⊆ X × Y heißt Abbildung aus X in Y genau dann, wenn aus (x, y1 ) ∈ f und (x, y2 ) ∈ f stets y1 = y2 folgt, d.h. wenn es zu jedem x ∈ X h¨ochstens ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ f gibt. (6) f ⊆ X × Y heißt Abbildung von X in Y (oder auch Funktion von X nach Y ) genau dann, wenn es zu jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ f gibt. Man schreibt dann auch: f : X → Y und nennt X den Definitionsbereich und Y den Wertebereich von f . Statt (x, y) ∈ f schreibt man auch y = f (x) und nennt y das Bild von x unter f . Die Menge aller Funktionen von X nach Y wird mit Y X bezeichnet. (7)

(a) f : X → Y heißt surjektiv genau dann, wenn f (X) = Y gilt. (b) f : X → Y heißt injektiv genau dann, wenn ∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 gilt. (c) f : X → Y heißt bijektiv genau dann, wenn f surjektiv und injektiv ist. (d) Ist die Abbildung f von X nach Y bijektiv, so ist die inverse Relation f −1 ebenfalls eine bijektive Abbildung und wird Umkehrabbildung oder auch inverse Abbildung zu f genannt.

(8) Ist X eine Menge, so heißt die Abbildung 11X := {(x, x)| x ∈ X} die identische Abbildung auf X. (9)

(a) Seien f : X → Y und A ⊆ X gegeben. Dann ist f|A := f ∩ (A × Y ) eine Abbildung von A nach Y und heißt die Einschr¨ankung von f auf A. (b) Ist A ⊆ X und g : A → Y gegeben, so heißt jede Abbildung f : X → Y mit f|A = g eine Fortsetzung von g auf X.

Eine Abbildung f : X → Y ist surjektiv genau dann, wenn f ◦ f −1 = 11Y gilt und sie ist injektiv genau dann, wenn f −1 ◦ f = 11X gilt.† Weiterhin gelten folgende Rechenregeln“ f¨ ur Abbildungen: ” ∗

†

Es ist ein alter, unentschiedener und absolut fruchtloser Streit zwischen Mathematiklehrern, in welcher Reihenfolge R und S bei der Komposition geschrieben werden sollten ... wir haben uns in diesem Kurs mit der hier gegebenen Definition erstmal entschieden :-). Will man die Symbolik S ◦ R“ aussprechen, scheint mir u ¨ brigens die Formulierung S nach ” ” R“ recht instruktiv, dieweil man in gewissem Sinne ja S nach R anwendet“. ” Wir beachten hier, daß die Existenz von f −1 als Relation stets gesichert ist!

1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen

7

Proposition 1.1.5 (1) Seien f : X → Y , A, B ⊆ X und C, D ⊆ Y gegeben. (a) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) (b) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) (c) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) (d) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) (2) Die obigen Regeln gelten auch f¨ ur beliebig viele Komponenten statt zweier. (3) Seien f : X → Y , A ⊆ X, B ⊆ Y gegeben. (a) f −1 (B c ) = (f −1 (B))c (b)

i. f −1 (f (A)) ⊇ A ii. Ist f injektiv, so gilt f −1 (f (A)) = A.

(c)

i. f (f −1 (B)) ⊆ B ii. Ist f surjektiv, so gilt f (f −1 (B)) = B.

Lemma 1.1.6 Seien X, Y Mengen und sei f : X → Y eine Abbildung. (1) f ist genau dann surjektiv, wenn f¨ ur alle e2 : Y → Y aus f = e2 ◦ f stets e2 = 11Y folgt. (2) f ist genau dann injektiv, wenn f¨ ur alle e1 : X → X aus f = f ◦ e1 stets e1 = 11X folgt. Beweis: (1) Sei f surjektiv, dann haben wir: ∀y ∈ Y : ∃x ∈ X : y = f (x) ⇒ e2 (y) = e2 (f (x)) = f (x) = y. W¨ are andrerseits f nicht surjektiv, so existierte also y0 ∈ Y mit y ∈ f (X). Sei ferner y  ∈ f (Y ) beliebig gew¨ahlt, dann setzen wir  y ; y ∈ f (X) e2 : Y → Y : e2 (y) = y  ; y ∈ f (X) Damit gilt dann offensichtlich e2 ◦ f = f , aber e2 (y0 ) = y  = y0 und damit e2 = 11Y . (2) Sei f injektiv. W¨ are nun e1 = 11X , so existierte x ∈ X mit e1 (x) = x und darum f (e1 (x)) = f (x) wegen der Injektivit¨ at von f – im Widerspruch aber zu f ◦ e1 = f . Ist andrerseits f nicht injektiv, so existieren x1 = x2 ∈ X mit f (x1 ) = f (x2 ). Wir setzen dann ⎧ ⎨ x ; x ∈ {x1 , x2 } e1 : X → X : e1 (x) = x2 ; x = x1 ⎩x ; x=x 1 2

8

1 Mengentheoretische Grundlagen

und erhalten f = f ◦ e1 , aber e1 = 11X . Sei X eine Menge (bzw. Klasse). Unter einer indizierten Familie von Elementen aus X wollen wir eine Funktion f : I → X verstehen, wobei I eine Menge (bzw. Klasse) ist. I heißt dann Indexmenge bzw. Indexklasse und f : I → X heißt indizierende Abbildung. Statt f (i), i ∈ I schreibt man oft xi und nennt xi das Glied der betreffenden Familie zum Index i. Anstelle von f : I → X schreibt man oft lieber (xi )i∈I , insbesondere dann, wenn die indizierende Funktion im konkreten Fall uninteressant ist∗ oder unzweifelhaft feststeht. F¨ ur I = IN spricht man auch von einer Folge. Ist X = P(Y ), so nennt man eine Familie von Elementen aus X auch eine Familie von Teilmengen von Y oder ein indiziertes Mengensystem. Jede Menge M von Teilmengen einer Menge Y l¨ aßt sich in einfacher Weise als indiziertes Mengensystem auffassen: wir w¨ ahlen I = M und f := 11M . Unter Verwendung indizierter Mengensysteme finden wir nun eine ebenfalls gebr¨auchliche Schreibweise f¨ ur Vereinigungen und
Durchschnitte wieder: Ist
(Mi )i∈I ein indiziertes Mengensystem, so meinen wir mit i∈I Mi die Vereinigung M∈f (I) M und mit   i∈I Mi den Durchschnitt M∈f (I) M , wobei f die indizierende Abbildung ist. Eine weitere wichtige mengentheoretische Konstruktion ist das allgemeine Cartesische Produkt f¨ ur beliebige indizierte Mengensysteme:

Definition 1.1.7 Sei (Mi )i∈I ein indiziertes Mengensystem. Dann nennen wir  i∈I

Mi := {x : I →



Mi | ∀i ∈ I : x(i) ∈ Mi }

i∈I

das Cartesische Produkt u ¨ ber alle Mi . ur ein Element x ∈ Statt x(i) schreibt man oft xi und f¨ (xi )i∈I oder kurz (xi ), wenn der Bezug klar ist.

i∈I

Mi schreibt man auch

Durch ∀x ∈ i∈I Mi : pj (x) := xj wird f¨ ur jedes feste j ∈ I eine Funktion pj : M → M definiert. Sie heißt die j-te kanonische Projektion und ist offensichtlich i j i∈I surjektiv, sobald ∀i ∈ I : Mi = ∅ gilt. ∗

Wir werden z.B. ¨ ofter der Formulierung Sei (xi )i∈I eine beliebige Familie von Elementen ” aus X“ begegnen.

1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen

9

Definition 1.1.8 Sei X eine Menge. Eine Relation R ⊆ X × X heißt (1) reflexiv genau dann, wenn ∀x ∈ X : (x, x) ∈ R gilt, wenn also jedes Element zu sich selbst in Relation steht. (2) irref lexiv genau dann, wenn ∀x ∈ X : (x, x) ∈ R gilt, d.h. wenn kein Element zu sich selbst in Relation steht. (3) transitiv genau dann, wenn aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R stets (x, z) ∈ R folgt. In Zeichen∗ : ∀x, y, z ∈ X : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (4) symmetrisch genau dann, wenn f¨ ur alle (x, y) ∈ R stets auch (y, x) ∈ R gilt. In Zeichen: ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (5) asymmetrisch genau dann, wenn aus (x, y) ∈ R stets (y, x) ∈ R folgt, d.h. wenn niemals (x, y) und (y, x) zu R geh¨oren.† In Zeichen: ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (6) antisymmetrisch genau dann, wenn ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y gilt, d.h. wenn niemals zwei verschiedene Elemente in beiden Richtungen in Relation zueinander stehen. (7) linear genau dann, wenn ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R gilt, wenn also je zwei Elemente auf jeden Fall in irgendeiner Reihenfolge in Relation stehen. (8) konnex genau dann, wenn ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R ∨ x = y gilt, also je zwei verschiedene Elemente stets in irgendeiner Weise in Relation stehen. ∗ †

Ich halte es f¨ ur sehr wichtig, sich an die Quantorenschreibweise zu gew¨ ohnen! Eine asymmetrische Relation ist also stets auch irreflexiv.

10

1 Mengentheoretische Grundlagen

Definition 1.1.9 ¨ Eine Relation R ⊆ X × X heißt Aquivalenzrelation (auf X) genau dann, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Ein beliebter Trugschluß ist es, anzunehmen, eine Relation R ⊆ X ×X, die symmetrisch und transitiv ist, m¨ usse auch reflexiv sein (was die Forderung nach Reflexivit¨at in der obigen Definition u ussig machen w¨ urde). Zwar folgte sehr wohl f¨ ur alle x ∈ X aus ¨berfl¨ (x, y) ∈ R wegen der Symmetrie sofort (y, x) ∈ R und dann auch (x, x) ∈ R wegen der Transitivit¨ at, doch funktioniert die Folgerung eben nur dann, wenn es tats¨achlich wenigstens ein y ∈ X gibt, zu dem unser fragliches x ∈ X in Relation steht. ¨ Ist R eine Aquivalenzrelation auf X und x ein Element von X, so nennen wir die Menge [x]R := {z ∈ X| (x, z) ∈ R} ¨ die Aquivalenzklasse von x (bez¨ uglich R). Jedes Element y ∈ [x]R heißt ein Repr¨asen¨ tant dieser Aquivalenzklasse.
¨ ur jede Aquivalenzrelation R Offensichtlich gilt wegen der Reflexivit¨ at x∈X [x]R = X f¨ ¨ auf einer Menge X. Weiterhin sieht man leicht, daß f¨ ur Aquivalenzklassen stets entweder [x]R = [y]R oder [x]R ∩ [y]R = ∅ gilt: Sind n¨amlich [x]R und [y]R nicht disjunkt, existiert ja ein z, das Element von beiden ist und darum sowohl (x, z) ∈ R als auch (y, z) ∈ R erf¨ ullt. Wegen der Symmetrie folgt dann (z, y) ∈ R und mit der Transitivit¨ at sogleich (x, y) ∈ R. Daraus wiederum folgt weiterhin wegen der Transitivit¨at, daß f¨ ur alle v ∈ [y]R auch (x, v) ∈ R gilt, was umgehend [y]R ⊆ [x]R liefert. Zudem gilt ja wegen der Symmetrie mit (x, y) ∈ R auch (y, x) ∈ R, woraus analog [x]R ⊆ [y]R folgt. Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge X mit der Eigenschaft, daß je zwei verschiedene ihrer Elemente disjunkt sind und die Vereinigung u ¨ ber alle Elemente von Z die ganze Menge X liefert, nennt man auch Zerlegung der Menge X. Die Elemente von Z ¨ nennt man dann auch Zerlegungskomponenten. Somit liefert also jede Aquivalenzrela¨ tion eine Zerlegung, deren Zerlegungskomponenten gerade die Aquivalenzklassen sind. ¨ Umgekehrt gibt es auch zu jeder Zerlegung eine ihr entsprechende Aquivalenzrelation: zwei Elemente der Menge X stehen in Relation genau dann, wenn sie in derselben Zerlegungskomponente liegen. ¨ Die Menge der Aquivalenzklassen von X bez¨ uglich R heißt Quotientenmenge von X nach R und wird mit X/R bezeichnet. Durch die Vorschrift ∀x ∈ X : ω(x) := [x]R ist in einfacher Weise eine Abbildung ω von ¨ der Menge X auf die Quotientenmenge bez¨ uglich der Aquivalenzrelation R definiert. Sie heißt die nat¨ urliche oder auch kanonische Abbildung bez¨ uglich R (da sie naturgem¨aß stets surjektiv ist, wird sie auch gern kanonische Surjektion genannt).

1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen

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Ist f : X → Y irgendeine Abbildung von X nach Y , so k¨onnen wir durch die Vorschrift ¨ (x1 , x2 ) ∈ Rf :⇔ f (x1 ) = f (x2 ) eine Aquivalenzrelation Rf auf X definieren und zudem eine Abbildung sf : X/Rf → Y durch die Vorschrift sf ([x]Rf ) := f (x). (Man beachte, daß diese Abbildung aufgrund der Konstruktion von Rf wohldefiniert ist!) Dann ist sf injektiv. Ist f selbst surjektiv, so ist sf es nat¨ urlich auch und damit bijektiv.

Definition 1.1.10 Eine Relation  auf einer Menge M heißt reflexive Halbordnung genau dann, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Ist sie zus¨atzlich linear, heißt sie reflexive Ordnung auf M . Eine Relation ≺ auf einer Menge M heißt irreflexive Halbordnung genau dann, wenn sie irreflexiv, transitiv und asymmetrisch ist. Ist sie zus¨atzlich konnex, so heißt sie irreflexive Ordnung auf M . Das Paar (M, ) (bzw. (M, ≺) ) heißt dann entsprechend reflexiv (bzw. irreflexiv) halbgeordnete Menge oder reflexiv (bzw. irreflexiv) geordnete Menge.

Der Sprachgebrauch ist in der Literatur nicht v¨ollig einheitlich. Oft wird bereits eine Halbordnung als Ordnung bezeichnet – man wird immer nachschlagen m¨ ussen, was genau der jeweilige Autor meint. Wird lediglich von einer Ordnung“ gesprochen, so ist ” oft eine reflexive Halbordnung gemeint. Wenn wir hier manchmal einfach nur von einer Halbordnung sprechen, meinen wir eine reflexive. Um zu betonen, daß es sich eben nicht nur um eine Halbordnung handelt, nennt man eine reflexiv geordnete Menge gern auch vollst¨andig geordnet, voll geordnet oder total geordnet und die zugeh¨orige Ordnung dementsprechend eine Vollordnung oder totale Ordnung∗ .

Ist (X, ≤) eine reflexiv halbgeordnete Menge, so mag es durchaus Teilmengen M ⊆ X geben, die bez¨ uglich ≤ (also genaugenommen bez¨ uglich der Relation ≤ ∩(M × M )) total geordnet sind. Solche Teilmengen nennt man auch Ketten in (X, ≤). Die u ¨ bliche kleinergleich“-Relation ≤ ist auf IR beispielsweise eine (reflexive) Vollord” nung, die Inklusionsrelation ⊆ ist auf der Potenzmenge P(M ) einer Menge M mit mehr als einem Element bloß eine (reflexive) Halbordnung. ∗

Als Mathematiker kann man also zuweilen ehrlichen Herzens sagen Wir haben hier eine ” totale Ordnung.“, ohne sein Arbeitszimmer auch nur ansatzweise aufger¨ aumt zu haben ...

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Definition 1.1.11 (1) Sind (M, ) und (M  ,  ) halbgeordnete Mengen, so nennen wir eine Abbildung f : M → M  isoton genau dann, wenn aus x  y stets f (x)  f (y) folgt. (2) Sind (M, ) und (M  ,  ) halbgeordnete Mengen und f : M → M  eine Bijektion derart, daß f und f −1 isoton sind, so heißt f ein Ordnungsisomorphismus. Existiert ein Ordnungsisomorphismus zwischen M und M  , so heißen (M, ) und (M  ,  ) ordnungsisomorph. (3) Sei (M, ) eine halbgeordnete Menge und N ⊆ M . (a) Ein Element a ∈ M heißt obere (bzw. untere) Schranke von N genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ N gilt x  a (bzw. a  x). (b) Ein Element s ∈ M heißt Supremum (bzw. Infimum) von N genau dann, wenn s eine obere (bzw. untere) Schranke von N ist und f¨ ur jede obere (bzw. untere) Schranke a von N gilt s  a (bzw. a  s).∗ (4) Sei (M, ) eine halbgeordnete Menge. Ein Element m ∈ M heißt maximal (bzw. minimal) genau dann, wenn aus x ∈ M und m  x (bzw. x  m) stets x = m folgt. (In einer total geordneten Menge gibt es offensichtlich h¨ochstens ein maximales und ein minimales Element – in halbgeordneten Mengen k¨onnen sie hingegen recht zahlreich auftreten.) (5) Eine total geordnete Menge heißt wohlgeordnet (und die zugeh¨orige Ordnung dann auch Wohlordnung) genau dann, wenn jede ihrer nichtleeren Teilmengen ein minimales Element besitzt. Es ist nicht schwer einzusehen, daß beispielsweise die nat¨ urlichen Zahlen mit der u ¨ blichen ≤“-Relation wohlgeordnet sind, die rationalen und reellen jedoch nicht. ” Ist (M, ) eine wohlgeordnete Menge, so gilt das Prinzip der transfiniten Induktion: Sei E(x) eine Aussageform derart, daß (1) E(m0 ) f¨ ur das minimale Element m0 von M wahr ist und (2) bei beliebigem m ∈ M aus der Wahrheit von E(m ) f¨ ur alle m  m, (m = m) die Wahrheit von E(m) folgt, dann ist E(m) f¨ ur alle Elemente m von M wahr. ∗

Damit wird einfach nur formal ausgedr¨ uckt, daß ein Supremum eine kleinste obere Schranke und ein Infimum eine gr¨ oßte untere Schranke ist.

1.2 Axiomatik

13

Man kann das ganz einfach begr¨ unden, n¨ amlich mit dem Prinzip vom kleinsten Verbre” cher“: w¨ are E(m) nicht f¨ ur alle m ∈ M wahr, so w¨are die Menge aller Verbrecher“ {m ∈ ” M | E(m) falsch} nicht leer und h¨ atte somit ein im Sinne der Wohlordnung kleinstes Element m1 , den kleinsten Verbrecher“ also, das wegen (1) nicht das minimale Element ” von M sein kann. Aus (2) folgt dann freilich, daß auch E(m1 ) wahr ist – Widerspruch.∗

1.2

Axiomatik Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist – und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen k¨ onnen. Andr´e Weil

1.2.1

Einleitende Dar- und Klarstellung

Kaum etwas eint so sehr wie die gemeinsame Abneigung gegen einen Dritten. In Konkretion dieser allt¨ aglichen Beobachtung f¨ uhrt auch die Mathematik so antipodisch sich gerierende Lager wie das technisch-revolution¨ar fortschreitende und das geisteswissenschaftlich-ahnungsvoll ambitionierte zusammen: in den Verkennungen, deren Gegenstand sie abgibt. W¨ ahrend Techniker die Mathematik bestenfalls f¨ ur eine Hilfswissenschaft und eigentlich f¨ ur u ussig halten, sobald sie einen Mathematiker gefunden haben, der langsamer ¨ berfl¨ rechnet als sie selbst, sind kulturell beflissene Gem¨ uter immerhin bereit, den so Gekr¨ankten mit sch¨ onen Beileidsbekundungen ob seines trockenen und unkreativen“ Berufes ” zu salben. Ohne allerdings bei dem Bekenntnis, mit der Mathematik gerade einmal orthographisch vertraut zu sein, auch nur ansatzweise jene Scham zu entwickeln, die sie wiederum einem Techniker abverlangen, der zugibt, keinen Kleist zu kennen. Zugrunde liegt dem allemal die Vorstellung, die Mathematik sei recht besehen eben keine Wissenschaft, gleich gar keine sch¨opferische, sondern eine Art stupider M¨ahdrescher, der – aus ein paar antiken Grundlagen zusammengeschraubt – inzwischen alle halbwegs (weil nat¨ urlich h¨ochstens f¨ ur die Techniker) interessanten Felder abgegrast hat. Mathematiker, die sich kein ordentliches Kreuzwortr¨atsel leisten k¨onnen, knobeln daher vielleicht noch an so Milleniumsproblemen und dergleichen rum, was aber eher dem kurzweiligen Unterfangen gleichkommt, mit besagtem M¨ ahdrescher ein G¨ansebl¨ umchen zu pfl¨ ucken. Jedenfalls ¨ grassiert die Uberzeugung, weil die Mathematik absolut logisch“ ” ∗

Pers¨ onlich ziehe ich es seit meiner Schulzeit vor, statt mit irgendeiner Induktion lieber gleich mit dem Prinzip vom kleinsten Verbrecher zu argumentieren. Das mag daran liegen, daß meine Mathelehrer bei ’ner Induktion immer Induktionsvoraussetzung, -annahme, behauptung, -beweis sowie -schluß ganz penibel aufgeschrieben und als solche kenntlich gemacht haben wollten – was ich freilich nervt¨ otend fand.

14

1 Mengentheoretische Grundlagen

sei, w¨ are alles darinnen restlos und f¨ ur alle Zeiten festgeklopft, frei von Unstimmigkeiten, vollst¨ andig bestimmt und so weiter. Es l¨aßt sich nicht leugnen, daß Mathematiker lange Zeit zu dieser Sichtweise beigetragen haben, die bei ihnen in einem Wunschdenken wurzelt, welches sich an die bereits in der Antike begonnene Wandlung der Mathematik von der beobachtenden zur deduktiven Disziplin kn¨ upft. Insbesondere in der Geometrie hatte man damals ja herausgefunden, daß man all die vielen Gesetzm¨aßigkeiten, die man aus der Erfahrung kannte, aus relativ wenigen und unmittelbar einleuchtenden Grundannahmen logisch herleiten konnte. Die axiomatische Methode war geboren. Faßt man, wie es zun¨ achst ganz nat¨ urlich geschah, die Axiome einer Theorie (z.B. eben der Geometrie) als wahre Aussagen u ¨ ber real erlebbare Sachverhalte auf, so kommen Fragen wie etwa die nach der Widerspruchsfreiheit des Systems u ¨ berhaupt nicht in Betracht: In der Welt kann ein Sachverhalt nicht zugleich mit seiner Negation bestehen. (Daß dahinter die sehr idealistische Gestalt eines g¨ utigen Sch¨opfers“ steht, der uns ” den logischen Verstand nicht deshalb gibt, um selbigen nachher mit Widerspr¨ uchen zu verh¨ ohnen, f¨ allt kaum jemandem auf, bzw. war lange Zeit ohnehin Kanon.) Es stellt sich jedoch bald heraus, daß durchaus nicht widerspruchsfrei sein muß, was uns anschaulich zun¨ achst einleuchtet. Insofern war vielleicht die Genialit¨at eines Euklid, der die ebene Geometrie axiomatisierte, recht hinderlich f¨ ur die Emanzipation des mathematischen Denkens: seine Axiome sind u ¨ beraus evident und gleichzeitig auch nach heutigem besten Wissen und Gewissen widerspruchsfrei, weshalb lange Zeit nicht auffiel, daß das durchaus nicht selbstverst¨ andlich ist. Nachhaltig ersch¨ uttert wurde diese eigenartige Mischung aus Intuition, um nicht von allzumenschlicher Willk¨ ur zu reden (in der Auswahl der Axiome) und logischer Strenge (in der Durchf¨ uhrung der darauf gegr¨ undeten Theorien) erst im 19. Jahrhundert, als ein Einfall Georg Cantors – die abstrakte Mengenlehre – das Gl¨ uck hatte, einige Furore zu machen, bevor unverbesserliche N¨ orgler die Widerspr¨ uche in der doch nach bestbekannter intuitiv-axiomatischer Manier eingef¨ uhrten Theorie aufzeigten. Weil sich bereits andeutete, daß die Mengenlehre einen außerordentlich fruchtbaren Boden f¨ ur nahezu die gesamte Mathematik abgeben k¨onnte, wurde einige M¨ uhe darauf verwandt, die aufgetretenen Mißst¨ande zu beheben. Und siehe da: das ließ sich machen – wenn man dem gesunden Menschenverstand“ bei der ” Begriffsbildung das Heft aus der Hand nahm und die Axiome so geschickt auskl¨ ugelte, ache boten. Nun aber war ein Stein ins Rollen daß sie keiner Antinomie eine Angriffsfl¨ gebracht, man konnte keiner Axiomatik mehr blindlings trauen, nicht einmal der euklidischen; die Mathematik erlebte eine Grundlagenkrise. David Hilbert war es, der auf dem Mathematikerkongreß 1901 mit seinem Programm zur Rettung der Mathematik“ ” ¨ einen Weg zu ihrer Uberwindung weisen wollte. In Erw¨agung, daß sich weite Teile der damaligen Analysis auf die Geometrie, diese unter Umst¨anden auf die Arithmetik, und die wiederum auf das Modell der nat¨ urlichen Zahlen zur¨ uckf¨ uhren ließen, rief er dazu auf, eine axiomatische Theorie zu schaffen, die (1) wenigstens das Modell der nat¨ urlichen Zahlen enthalten, und (2) ihre eigene Widerspruchsfreiheit mit finiten Methoden beweisen k¨onnen sollte. Und Kurt G¨ odel war es, der 1931 zeigte, daß just das nicht geht.

1.2 Axiomatik

15

Was nicht heißt, daß die Widerspruchsfreiheit des arithmetischen Modells der nat¨ urlichen Zahlen nicht bewiesen werden k¨ onnte. Jedoch m¨ ußten dazu als Beweismittel Theorien herangezogen werden, deren eigene Widerspruchsfreiheit (und damit G¨ ultigkeit in unserem doch immer noch sehr anspruchsvoll-idealistischen Sinne) noch unklarer ist als die des fraglichen Modells. So ist also auch die Widerspruchsfreiheit des hier vorgestellten Systems nicht innerhalb dieses Systems beweisbar – immerhin sind aber bislang keine Widerspr¨ uche publik geworden, was zu einem gewissen Zutrauen Anlaß gibt.

1.2.2

Was soll am Begriff Menge“ eigentlich unklar sein? ”

Wir haben ja jetzt schon allerhand Wissenswertes u ¨ ber Mengen zusammengetragen – und dabei immerzu so getan, als w¨ ußten wir, was Mengen eigentlich sind. Dabei ist, denkt man erstmal dr¨ uber nach, noch nicht einmal klar, ob Mengen u ¨berhaupt sind. Immerhin sollten die meisten von uns eine recht griffige intuitive Vorstellung davon haben, daß und was Mengen sind. Beginnen wir also mit der anschaulich sehr einleuchtenden Definition, die Georg Cantor (1845–1918) f¨ ur den Begriff der Menge gab: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohl” unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ So sch¨ on diese Erkl¨ arung ob ihrer Einfachheit erscheint, so wenig mathematisch“ ist ” sie – leider. Einerseits f¨ allt auf, daß hierin der Begriff der Menge durch den ebensowenig mathematisch gefaßten Begriff Zusammenfassung zu einem Ganzen“ erkl¨art werden ” soll. Dar¨ uber k¨ onnte man vielleicht noch hinwegsehen und es damit bewenden lassen, daß schließlich jeder weiß, was damit gemeint ist.∗ Barbiers-Paradoxon: Der Barbier eines Dorfes rasiert genau alle diejenigen M¨anner des Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert sich der Barbier? Nicht so einfach hinnehmen k¨ onnen es Mathematiker, daß die naive“ Cantor’sche De” finition zu unerfreulichen Antinomien f¨ uhrt, die meistens dem schon von den alten griechischen Philosophen bemerkten Barbiers-Paradoxon ¨ahneln: analog st¨ urzt uns n¨amlich auch die – nach der naiven Erkl¨ arung zun¨ achst scheinbar† m¨ogliche – Definition der ” ∗ †

Man k¨ onnte auch, wie es in den Ingenieur- und Geisteswissenschaften oft noch u ¨ blich ist, einfach die Studenten dazu erziehen, den fraglichen Begriff intuitiv richtig zu gebrauchen. Wir wollen zu Ehren Cantors erw¨ ahnen, daß ihm diese Antinomie sehr bald bewußt war, er sich freilich auf den gar nicht so abwegigen Standpunkt stellte, daß just wegen des Auftretens des logischen Widerspruches die Zusammenfassung zu einem Ganzen eben nicht m¨ oglich sei. Damit freilich ist das Problem nur zu der – immerhin dezent in Richtung Axiomatisierung weisenden – Frage umgeschichtet, welche Zusammenfassungen man denn nun als Mengen betrachten solle. Mehr u ¨ ber Cantors Mengenlehre findet sich in [6].

16

1 Mengentheoretische Grundlagen

Menge aller derjenigen Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ in ernste Schwierigkeiten. Und ¨ ahnlich wie zu allen Zeiten findige Sch¨ uler der Philosophie als L¨ osung des Dilemmas vorschlugen, der Barbier k¨onnte doch einfach eine Frau sein, so ahnlich l¨ aßt sich das Problem auch in der Mathematik beseitigen: ein Konstrukt, wie ¨ es oben angef¨ uhrt wurde, ist dann zwar m¨oglich, aber es ist eben keine Menge. Kann man das auch etwas pr¨ aziser fassen? Kann man – und wir wollen das hier ganz kurz skizzieren. Der Preis, den wir daf¨ ur zu zahlen haben, besteht in einem gewissen Verlust an Anschaulichkeit und Greifbarkeit“: wir werden, ausgehend von zwei ge” wissermaßen atomaren“ Grundbegriffen (n¨amlich den Begriffen Klasse“ und ist ” ” ” Element von“) einen Katalog von Regeln (sogenannten Axiomen) aufstellen, nach denen diese beiden Grundbegriffe sich zueinander verhalten sollen. Dabei sind diese Regeln so gestaltet, daß unsere Grundbegriffe – diesen Regeln folgend – eine logisch (hoffentlich) widerspruchsfreie Sprache formen, die das, was uns intuitiv an Mengen und der Element-Beziehung interessiert, wenigstens teilweise abzubilden vermag. Das heißt: Wir einigen uns darauf, daß Mengen diesen Regeln jedenfalls entsprechen (das wird nicht schwerfallen, da die Regeln meistenteils intuitiv sehr einleuchtend sind) und akzeptieren, daß wir u urderhin nur das wirklich sagen k¨onnen, was sich ¨ ber Mengen f¨ aus diesen Regeln logisch ableiten l¨ aßt.

1.2.3

Die hoffentlich harmlosen 10 Gebote

Wir geben hier ein Axiomensystem an, das im wesentlichen auf der Version von BernaysG¨ odel-v.Neumann fußt. Die undefinierten Terme dieser Axiomatik sind Klasse“ und eine bin¨are Beziehung ” ∈“ zwischen Klassen, von der wir voraussetzen, daß f¨ ur je zwei Klassen A, B die Aus” sage A ∈ B entweder wahr oder falsch ist. Ist sie falsch, schreiben wir daf¨ ur auch A ∈ B.

Definition 1.2.1 Eine Klasse A heißt Teilklasse der Klasse B (in Zeichen: A ⊆ B) genau dann, wenn ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B gilt. Die Klassen A, B heißen gleich (in Zeichen A = B) genau dann, wenn A ⊆ B und B ⊆ A gilt.

I. Axiom (Substitution) (x ∈ A) ∧ (y = x) ⇒ (y ∈ A) Dieses Axiom mutet ziemlich selbstverst¨ andlich an, das k¨onnen wir getrost zugeben. Nichtsdestotrotz ist es von beachtlicher (wenn auch eher technisch anmutender) Bedeutung: es gestattet uns immerhin, eine Klassenvariable auf der linken Seite“ einer ”

1.2 Axiomatik

17

Element-Beziehung durch eine andere Klassenvariable zu ersetzen (substituieren), sobald diese die gleiche Klasse bezeichnet. Das klingt trivial, aber wenn wir dieses Axiom nicht h¨ atten, d¨ urften wir so etwas simples eben nicht tun: wir hatten uns ja darauf eingelassen, nur solche Schl¨ usse zuzulassen, die – von den Axiomen ausgehend – ausdr¨ ucklich erlaubt sind. Daß wir auf der rechten Seite“ entsprechend substituieren d¨ urfen, haben ” wir bereits mit der Definition der Klassengleichheit erzwungen: gleich heißen zwei Klassen ja genau dann, wenn sie in jeder Elementbeziehung, in der sie auf der rechten ” Seite“ stehen, gegeneinander ausgetauscht werden k¨onnen, ohne den Wahrheitswert der betreffenden Elementbeziehung zu ver¨ andern. Wir kommen nun zum lang erwarteten Begriff der Menge. Definition 1.2.2 Die Klasse A heißt eine Menge genau dann, wenn es eine Klasse A gibt mit A ∈ A. Mengen sind also spezielle Klassen, n¨ amlich solche, die selbst in irgendeiner andren Klasse als Element vorkommen. Klassen, die selbst nirgendwo als Element vorkommen, folglich keine Mengen sind, werden zuweilen auch Unmengen genannt. II. Axiom (Klassenbildung) F¨ ur jede Aussageform p(x), in der nur u ¨ ber Mengen-Variablen quantifiziert wird und in der die Klassen-Variable A nicht vorkommt, existiert eine Klasse A, deren Elemente genau diejenigen Mengen x sind, f¨ ur die p(x) wahr ist, d.h. (x ∈ A) ⇔ (x ist Menge ) ∧ p(x)

An dieser Stelle ist unser anf¨ angliches logisches Problem behoben: der Barbier ist kein Mann, bzw. die Klasse aller derjenigen Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, ist keine Menge. Wegen Axiom I ist die Klasse A eindeutig bestimmt durch ihre definierende Aussageform p(x). Wir schreiben die durch p(x) bestimmte Klasse auch als A = {x| (x ist Menge) ∧ p(x)} . Zudem gestattet uns Axiom II, die bekannten Operationen A ∪ B (Vereinigung), A ∩ B (Durchschnitt) und A × B (Cartesisches Produkt) und somit auch Begriffe wie Relati” on“ oder Abbildung“ f¨ ur Klassen A, B zu definieren. ” Wir erhalten zudem die universelle Klasse {x| (x ist Menge) ∧ (x = x)} und die leere Klasse ∅ := {x| (x ist Menge) ∧ (x = x)}. Offensichtlich ist ∅ Teilklasse jeder Klasse.

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Die folgenden Axiome sichern, daß wenigstens eine Klasse tats¨achlich eine Menge ist und daß bestimmte Konstruktionen mit Mengen wieder Mengen liefern. III. Axiom (leere Menge) ∅ ist eine Menge. Man mache sich klar, daß dieses Axiom keineswegs u ussig ist – selbst der spontane ¨ berfl¨ Einfall, einfach eine Klasse zu bilden, die ∅ als Element enth¨alt (womit ∅ per Definition zur Menge w¨ urde), bedarf n¨ amlich der Rechtfertigung durch unsre Axiome. Zwar haben wir Axiom II zur Klassenbildung und k¨ onnten durchaus die Klasse {x| (x ist Menge) ∧ x = ∅} bilden, doch ist eben wegen der Forderung x ist Menge“ noch gar nicht klar, ob ∅ ” Element dieser Klasse ist – und hier beißt sich die Katze in den Schwanz. IV. Axiom (Mengenpaare) Wenn A und B verschiedene Mengen sind, so ist A := {x| (x = A) ∨ (x = B)} eine Menge. (Sie wird auch mit {A, B} bezeichnet.) V. Axiom (Mengenvereinigung) Ist A eine Menge, so ist  A := {x| ∃A ∈ A : x ∈ A} A∈A

eine Menge. VI. Axiom (Einsetzung) Ist A eine Menge und f : A → A eine Abbildung, dann ist f (A) eine Menge. VII. Axiom (Schnittmenge) Ist A eine Menge, so ist bei jeder Klasse A auch A ∩ A eine Menge. Daraus folgt, daß f¨ ur eine Menge A und eine Aussageform p, in der h¨ochstens u ¨ber Mengenvariablen quantifiziert wird, die Klasse {x| x ∈ A ∧ p(x)} eine Menge ist. Die Forderung x ∈ A“ macht es hier u ussig, zus¨atzlich zu schreiben x ist Menge“. ¨ berfl¨ ” ” Wir schreiben die oben genannte Menge auch als {x ∈ A| p(x)}.
Ist weiterhin A eine Menge, so ist nach Axiom V auch S := A∈A A eine Menge. Nach obiger Betrachtung ist folglich auch

A := {x ∈ S| ∀A ∈ A : x ∈ A} A∈A

eine Menge.

1.2 Axiomatik

19

Bei der Definition der Potenzklasse m¨ ussen wir nun wieder etwas Vorsicht walten lassen: Da Elemente von Klassen automatisch Mengen sind, d¨ urfen wir nat¨ urlich keine Klasse zu bilden versuchen, die Unmengen als Elemente h¨atte. Die Konstruktion P(A) := {B| B ist Menge ∧ B ⊆ A} ist laut Axiom II aber m¨ oglich und die so erhaltene Klasse heißt die Potenzklasse von A. VIII. Axiom (Potenzmenge) Wenn A eine Menge ist, dann ist auch P(A) eine Menge. Dieses Axiom angewandt, sind wir f¨ urderhin berechtigt, von Potenzmengen P(M ) zu sprechen, sofern die zugrundeliegende Klasse M eine Menge ist. Ist A eine Menge, so ist auch {A} eine Menge. Ist n¨amlich A = ∅, so liefern die Axiome III und VIII, daß {∅} eine Menge ist. Falls A = ∅, so ist nach Axiom IV {A, ∅} eine Menge. Nehmen wir f¨ ur A die Klasse, die durch die Aussageform p(x) := (x = A), definiert wird, so finden wir, daß {A, ∅} ∩ A = {A} eine Menge ist. Das Cartesische Produkt A × B zweier Mengen A und B ist eine Menge: F¨ ur jedes a ∈ A definieren wir die Abbildung fa : B → A × B : fa (b) := (a, b) und erhalten mit Axiom VI, daß alle Bilder fa (B) = {a}
× B, a ∈ A Mengen sind. Dann ist wegen Axiom V aber auch die Vereinigung A × B = a∈A {a} × B eine Menge. Hieraus folgt wiederum mit Axiom VIII, daß P(A × B) ebenfalls eine Menge ist. Mithin ist auch die Klasse 

  ∀a ∈ A : ∃b ∈ B : (a, b) ∈ x und x ∈ P(A × B)  ∀a ∈ A : ∀b, c ∈ B : (a, b) ∈ x ∧ (a, c) ∈ x ⇒ b = c

aller Abbildungen von A nach B eine Menge, die wir u ¨brigens gern und oft mit B A bezeichnen. IX. Axiom (Atome) Jede nichtleere Menge A enth¨ alt ein Element u ∈ A mit u ∩ A = ∅. Dieses zun¨ achst seltsam anmutende Axiom sichert sozusagen, daß jede nichtleere Menge A Elemente enth¨ alt, die nicht selbst wieder aus Elementen der Menge A bestehen – eine Art Atome“ also, aus denen die Menge aufgebaut“ ist. Die Bedeutung dieses Axioms ” ” erschließt sich m¨ oglicherweise leichter anhand zweier wichtiger Folgerungen daraus:

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Proposition 1.2.3 (1) Keine Menge ist Element von sich selbst. (2) F¨ ur zwei Mengen A, B kann nicht A ∈ B und B ∈ A gelten. Beweis: (1) F¨ ur die leere Menge ist das klar; nehmen wir also an, es g¨abe eine nichtleere Menge A mit A ∈ A. Dann w¨ are {A} nach den vorigen Betrachtungen ebenfalls eine Menge, h¨ atte aber keine Atome, da ihr einziges Element A nun einmal ebenfalls A als Element enthielte. (2) Ist mindestens eine von beiden Mengen leer, ist die Behauptung evident. Falls beide nichtleer sind, w¨ are nach Axiom IV {A, B} ebenfalls eine Menge, die aber aus den gleichen Gr¨ unden wie oben keine Atome h¨atte. Ab hier ist dann u ¨ brigens klar, daß es sich bei der Klasse aller Mengen, die sich nicht ” selbst als Element enthalten“ schlicht um die Klasse aller Mengen handelt. X. Axiom (Unendlichkeit) Es gibt eine Menge A mit den Eigenschaften (1) ∅ ∈ A und (2) Wenn a ∈ A gilt, dann auch a ∪ {a} ∈ A.

Dieses Axiom erlaubt uns zu schließen, daß die Klasse der nat¨ urlichen Zahlen (nach dem Peano’schen System definiert) eine Menge ist: Sei A irgendeine Menge mit den im Axiom X genannten Eigenschaften, so betrachten wir die durch B := {B ∈ P(A)| B hat die in Axiom X genannten Eigenschaften }  definierte Teilmenge der Menge P(A) und bilden den Durchschnitt N := B∈B B, der – wie wir ja wissen – ebenfalls eine Menge ist. Es ist unmittelbar klar, daß N ebenfalls die Eigenschaften aus Axiom X hat, da alle Mengen, u ¨ ber die wir den Durchschnitt gebildet haben, diese Eigenschaften besitzen. Schauen wir uns nun die Peano-Axiome f¨ ur die nat¨ urlichen Zahlen an, so m¨ ussen wir nur beschließen, x ∪ {x} den Nachfolger von x ∈ N zu nennen und k¨ onnen leicht einsehen, daß alle Peano-Axiome in N erf¨ ullt sind∗ , indem wir ∅ ∈ N als 0“ bezeichnen, {∅} als 1“, {∅, {∅}} als 2“ usw. ” ” ” ∗

Man beachte, daß N nach Konstruktion keine echte Teilmenge hat, die ebenfalls die beiden Bedingungen aus Axiom X erf¨ ullt.

1.2 Axiomatik

1.2.4

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Das Auswahlaxiom Hoffentlich unterl¨ auft dem Irrtum ein Fehler, dann kommt alles von selbst in Ordnung. Stanislaw Jerzy Lec

XI. Axiom (Auswahlfunktion) Zu jeder
nichtleeren Menge A von nichtleeren Mengen existiert eine Funktion f : A → A∈A A, f¨ ur die ∀A ∈ A : f (A) ∈ A gilt. Salopper gesagt, es existiert eine Funktion, die aus jeder der Mengen A ∈ A ein Element ausw¨ ahlt“. ” Das Auswahlaxiom erregt manche Gem¨ uter. Man m¨ochte dies f¨ ur wunderlich halten, wenn man die obige anschaulich relativ einleuchtende Formulierung betrachtet: Wenn irgendwo eine (beliebig große) Menge von deckellosen und lecker gef¨ ullten Suppent¨opfen aufgereiht herumsteht, kann man sich ja wohl ebensogut einen (beliebig langen) Stock mit genau so vielen Sch¨ opfkellen dran denken, mit denen man aus allen T¨opfen gleichzeitig eine Naschprobe stiebitzen kann. Etwas weniger wunderlich erscheinen die Gem¨ utserregungen, wenn man z.B. den soge¨ nannten Wohlordnungssatz betrachtet, dessen Aquivalenz zum Auswahlaxiom bewiesen wurde und der besagt, daß jede Menge wohlgeordnet werden k¨onne. Hier versagt recht flugs jede Anschaulichkeit, selbst bei so vertrauten Mengen wie etwa der Menge der reellen Zahlen. Oder erst der Satz von Banach und Tarski: das Auswahlaxiom vorausgesetzt, gibt es eine Zerlegung der u ¨ blichen Einheitskugel des IR3 in endlich viele Teile, die sich zu zwei vollst¨andigen Einheitskugeln wieder zusammensetzen lassen. Das ist ganz sicher wunderlich. Und doch werden wir das Auswahlaxiom gelten lassen und dauernd mehr oder minder offen benutzen. Ohne Auswahlaxiom st¨ unden wir n¨amlich auch ziemlich einsam im Wald – selbst viele einfache S¨ atze der klassischen Analysis ließen sich nicht beweisen! Immerhin hat aber derselbe Kurt G¨ odel, der Hilberts Programm zur Rettung der Ma” thematik“ ins Reich der frommen Tr¨ aume schickte, im Jahre 1938 bereits bewiesen, daß wenn das System der Axiome I – X widerspruchsfrei ist, auch das System der Axiome I – XI (also mit Auswahlaxiom) widerspruchsfrei ist. Sollte sich also – was dieser oder jener verh¨ uten m¨oge – eines Tages herausstellen, daß unsre Axiomatik widersp¨ uchlich ist, so wird das Auswahlaxiom daran unschuldig sein! Die Verbrecher tummeln sich dann unter den merkw¨ urdigerweise so gut wie nie attackierten Axiomen I-X. Sehr sch¨ one Erl¨ auterungen dazu finden sich in [51].

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Wir kommen nun zu einigen wichtigen S¨ atzen, die unmittelbar mit dem Auswahlaxiom zusammenh¨ angen und nicht umsonst ziemlich ber¨ uhmt sind: es geht um den Hausdorff’schen Maximalit¨ atssatz, das Zorn’sche Lemma und den Wohlordnungssatz. Satz 1.2.4: Hausdorff ’scher Maximalit¨atssatz Jede nichtleere (reflexiv) halbgeordnete Menge (X, ≤) enth¨alt (mindestens) eine maximale∗ total geordnete Teilmenge. Beweis: Zun¨ achst einmal stellen wir fest, daß jede einelementige Teilmenge von X trivialerweise total geordnet ist. Folglich ist die Menge M aller total geordneten Teilmengen von X nicht leer, weil X nicht leer ist.† Nun mag es Teilmengen von M geben, die selbst total geordnet bez¨ uglich der Mengeninklusion sind. Wenn etwa A ⊆ M eine solche, bez¨ uglich Inklusion total geordnete, Teilmenge von M ist, dann ist auch die
Vereinigung A∈A A total geordnet bez¨ uglich ≤. Sind n¨amlich x und y Elemente dieser Vereinigung, so muß jedes der beiden ja selbst Element eines Elementes von A sein – A ist aber total geordnet bez¨ uglich Inklusion und somit sind beide, sowohl x als auch y, in einem einzelnen Element von A, n¨ amlich dem umfassenderen, enthalten; dieses ist aber wiederum eine total geordnete Teilmenge von X und daher m¨ ussen x und y vergleichbar sein.‡ Diesen Sachverhalt im Hinterkopf, sind wir nun schon ganz gut gewappnet, den Hauptteil des Beweises in Angriff zu nehmen. Der verl¨auft indirekt: angenommen, die Behauptung des Satzes w¨ are falsch – dann h¨ atten wir also eine Menge X, in der s¨amtliche total geordneten Teilmengen (also alle Elemente von M) nicht maximal sind, d.h. zu jeder Teilmenge A ∈ M g¨ abe es eine nichtleere Menge A := {x ∈ X \ A | A ∪ {x} ist bez¨ uglich ≤ total geordnet } von Elementen aus X \ A die wir zu A hinzuf¨ ugen k¨onnten, ohne die Vollordnung zu zerst¨ oren. Dadurch ist die Funktion g : M → P0 (X) : g(A) := A wohldefiniert. Laut Auswahlaxiom gibt es dann freilich eine Funktion f  , die jeder der Mengen A ∈ g(M) ein Element f  (A ) ∈ A ⊆ X \ A zuordnet. Setzen wir f := f  ◦ g, so folgt f¨ ur alle A ∈ M, daß A ∪ {f (A)} wieder total geordnet, also Element von M ist. Wir greifen uns jetzt ein beliebiges Element A0 von M (also eine total geordnete Teilmenge von X) heraus. Das ist einfach. Jetzt wird es wieder ein bißchen verzwickter: Wir hatten ja angenommen, daß mit jedem A auch stets A ∪ {f (A)} zu M geh¨ort, und wir wissen, daß f¨ ur jede per Inklusion total geordnete Teilmenge von M auch deren Vereinigung zu M geh¨ ort – nun betrachten wir mal alle diejenigen Teilmengen B von M, die ∗

† ‡

Mit maximal ist gemeint, daß der fraglichen Teilmenge kein Element der Grundmenge X mehr hinzugef¨ ugt werden kann, ohne die Vollordnung zu zerst¨ oren. Anders gesagt: daß es keine total geordnete Teilmenge gibt, die unsre maximale als echte Teilmenge enth¨ alt. Es wird hier ein bißchen verzwickt, weil wir jetzt bereits u ¨ ber Mengen von Mengen reden ... es kommt aber noch dicker. Ganz in Ruhe nochmal lesen – es ist halb so schlimm, wie es erstmal klingt.

1.2 Axiomatik

23

(1) A0 als Element enthalten, (2) f¨ ur jede per Inklusion total geordnete Teilmenge von B auch deren Vereinigung als Element enthalten und (3) mit jedem A ∈ B auch stets A ∪ {f (A)} als Element enthalten. Eine solche – wohlgemerkt A0 ∈ M als Element enthaltende – Teilmenge von M wollen wir einen Turm ¨ uber A0 nennen. Unsrer Annahme zufolge ist z.B. die Menge aller derjenigen Elemente von M, die A0 umfassen, ein Turm u ¨ber A0 . Wir k¨onnen also sicher sein, daß die Menge B aller T¨ urme u ¨ ber A0 jedenfalls nicht leer ist.∗ Was hilft uns das im Garten? Nun, wir k¨ onnen zum Beispiel den Durchschnitt D aller T¨ urme u ¨ ber A0 bilden und wir k¨ onnen leicht sehen, daß D selbst wiederum ein Turm u ¨ber A0 ist, indem wir die 3 Bedingungen daf¨ ur einmal kurz u ¨ berfliegen. Sch¨ on w¨ ar’s nun, wenn D bez¨ uglich der Inklusion total geordnet w¨are. Warum, werden wir gleich sehen – k¨ ummern wir uns erstmal darum zu zeigen, daß D tats¨achlich per Inklusion total geordnet ist, also daß je zwei Elemente von D in einer Inklusionsrelation zueinander stehen. Dazu betrachten wir ganz unvoreingenommen mal die Menge V aller derjenigen Elemente von D, die mit allen Elementen von D vergleichbar sind: (1) A0 liegt in V, denn die Menge aller derjenigen Elemente von M, die A0 umfassen, ist offensichtlich ein Turm u urme ¨ber A0 – folglich kann der Durchschnitt D aller T¨ auch nur aus A0 umfassenden Mengen bestehen. (2) Ist A ein beliebiges Element aus D und eine beliebige total geordnete Teilmenge T von V gegeben, so sind entweder alle Elemente von T als Teilmengen in A enthalten (und folglich auch ihre Vereinigung) oder mindestens ein Element von T umfaßt A als Teilmenge, so daß auch die Vereinigung aller Elemente von T die Menge A umfaßt. In jedem Fall ist die Vereinigung wieder mit A vergleichbar. Dies gilt f¨ ur alle A ∈ D, folglich ist die Vereinigung wieder Element von V. (3) F¨ ur jedes V ∈ V k¨ onnen wir zeigen, daß die Menge Φ(V ) := {A ∈ D| A ⊆ V ∨ V ∪ {f (V )} ⊆ A} ein Turm u ullt, um die ¨ ber A0 ist: Die Eigenschaften (1),(2) sind offensichtlich erf¨ (3) k¨ ummern wir uns ein bißchen sorgsamer: Wir gehen von A ∈ Φ(V ) aus und wollen A ∪ {f (A)} ∈ Φ(V ) zeigen. F¨ ur A gibt es nach Konstruktion von Φ(V ) folgende 3 M¨ oglichkeiten. (a) V ∪ {f (V )} ⊆ A In diesem Fall gilt nat¨ urlich erst recht V ∪ {f (V )} ⊆ A ∪ {f (A)} und somit A ∪ {f (A)} ∈ Φ(V ). ∗

Ich sagte ja, daß es noch dicker kommen w¨ urde: jetzt reden wir bereits u ¨ ber eine Menge von Mengen von Mengen ... ganz so heftig kommt es so schnell nicht wieder, versprochen ;-).

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1 Mengentheoretische Grundlagen (b) A = V In diesem Fall folgt A ∪ {f (A)} = V ∪ {f (V )} und damit wiederum A ∪ {f (A)} ∈ Φ(V ). (c) A ⊆ V, A = V Da V ∈ V gilt und mit A jedenfalls auch A ∪ {f (A)} in D liegt, muß nach Konstruktion von V entweder A ∪ {f (A)} ⊆ V gelten (womit wir keine Sorgen h¨ atten, da es sofort A ∪ {f (A)} ∈ Φ(V ) impliziert) oder V ⊂ A ∪ {f (A)}, V = A ∪ {f (A)} – was aber nicht sein kann, denn daraus erg¨abe sich ja A ⊂ V ⊂ A ∪ {f (A)} mit A = V = A ∪ {f (A)}, so daß sich A und A ∪ {f (A)} um mindestens zwei Elemente unterscheiden m¨ ußten. Da nun also Φ(V ) f¨ ur jedes V ∈ V ein Turm u ¨ ber A0 ist, folgt D ⊆ Φ(V ) und weil nach Konstruktion von Φ(V ) bereits Φ(V ) ⊆ D gilt, haben wir Φ(V ) = D. Das bedeutet aber, daß wir f¨ ur jedes A ∈ D entweder A ⊆ V und damit erst recht A ⊆ V ∪ {f (V )} haben, oder aber V ∪ {f (V )} ⊆ A, so daß in jedem Falle V ∪ {f (V )} in einer Inklusionsrelation zu A steht. Da dies f¨ ur alle A ∈ D gilt, haben wir V ∪ {f (V )} ∈ V.

Nun ist also gezeigt, daß V ein Turm u ¨ ber A0 ist, woraus sofort D ⊆ V folgt. Da ja V als die Menge aller derjenigen Elemente von D konstruiert war, die mit allen Elementen von D in einer Inklusionsrelation stehen, wissen wir jetzt, daß alle Elemente von D mit allen Elementen von D in Relation stehen, mithin D total geordnet ist. Da D aber auch ein Turm u ¨ber A0 ist, muß nach Bedingung (2) auch die Vereinigung A1 aller Elemente von D ein Element von D sein, und nach Bedingung (3) haben wir auch noch A1 ∪ {f (A1 )} ∈ D, was nat¨ urlich A1 ∪ {f (A1 )} ⊆ A1 und damit f (A1 ) ∈ A1 impliziert. Dies steht nun freilich im Widerspruch zu unsrer Annahme u ¨ber die Funktion f , die ja f (A1 ) ∈ X \A1 erfordert. Folglich ist unsre Annahme falsch, daß es eine solche Funktion g¨ abe – und der Satz ist damit bewiesen. Korollar 1.2.5: Zorn’sches Lemma Sei (X, ≤) eine (reflexiv) halbgeordnete Menge. Wenn jede total geordnete Teilmenge M von X eine obere Schranke∗ in X hat, dann gibt es zu jedem x ∈ X ein in X maximales Element x mit x ≤ x . Beweis: Sei also x ∈ X gegeben. Wir betrachten die Menge M (x) := {y ∈ X| x ≤ y}. Wegen x ∈ M (x) ist sie jedenfalls nicht leer, daher gibt es nach dem Hausdorffschen Maximalit¨ atssatz darin eine maximale total geordnete Teilmenge T , die nach unsrer Voraussetzung eine obere Schranke x in X haben muß. Da aber f¨ ur alle Elemente t von T nach Konstruktion x ≤ t und wegen der Schrankeneigenschaft von x auch t ≤ x gilt, haben wir x ≤ x und folglich x ∈ M (x). Dann muß aber auch x ∈ T gelten, da T sonst nicht maximal w¨ are. Existiert nun irgendein y ∈ X mit x ≤ y, so erhalten wir sofort y ∈ T wegen der Maximalit¨ at von T , daher y ≤ x wegen der Schrankeneigenschaft von x und folglich x = y. Somit ist x maximal in X. ∗

D.h. ein Element s von X mit ∀m ∈ M : m ≤ s.

1.2 Axiomatik

25

Aufgabe1 Eine Teilmenge M ⊆ IR2 heißt stumpf genau dann, wenn je drei beliebige verschiedene Punkte aus M stets ein stumpfwinkliges Dreieck bilden. Gib Beispiele f¨ ur stumpfe Teilmengen an und zeige, daß es bez¨ uglich Inklusion maximale stumpfe Teilmengen von IR2 gibt! Wenngleich das Zorn’sche Lemma hier als Folgerung aus dem Hausdorff’schen Maximalit¨ atssatz daherkommt, ist leicht einzusehen, daß es keineswegs schw¨acher als dieser ist – es gestattet n¨ amlich den Beweis einer sogar noch versch¨arften Form des Maximalit¨ atssatzes: In jeder halbgeordneten Menge (X, ≤) gibt es zu jeder total geordneten Teilmenge T eine maximale total geordnete Teilmenge M von X mit M ⊇ T . (Um das einzusehen, muß man sich nur klarmachen, daß die Menge M der total geordneten Teilmengen von X selbst wiederum per Inklusion halbgeordnet ist, daß die Vereinigung u ¨ ber eine per Inklusion total geordnete Teilmenge von M wiederum total geordnet ist und ein Supremum f¨ ur die vereinigte total geordnete Teilmenge von M darstellt. Den Rest erledigt dann das Zorn’sche Lemma.) Diese beiden Aussagen u ¨ ber Mengen, das Zorn’sche Lemma und der Hausdorff’sche Maximalit¨ atssatz, sind also ¨ aquivalent. Sie sind des weiteren u ¨ brigens auch ¨aquivalent zum Auswahlaxiom, ebenso wie die folgende Aussage: Korollar 1.2.6: Wohlordnungssatz von Zermelo Zu jeder Menge X gibt es eine Wohlordnung ≤ auf X. Beweis: Zun¨ achst ist es nicht schwer, beispielsweise die einpunktigen Teilmengen {x} ⊆ X wohlzuordnen – einfach durch die Relation ≤x := {(x, x)}. M¨oglicherweise sind auch andere Teilmengen D von X bereits durch irgendeine Relation ≤ wohlgeordnete Mengen (D, ≤). Schon wegen der Einpunktmengen ist jedenfalls die Menge W := {(D, ≤)| D ⊆ X, ≤ ist Wohlordnung auf D} aller wohlgeordneten Teilmengen von X nicht leer.∗ Auf W definieren wir nun eine Relation  wie folgt: (D, ≤D )  (E, ≤E ) :⇐⇒ (1) D ⊆ E, (2) x, y ∈ D ⇒ (x ≤D y ⇔ x ≤E y) (anders ausgedr¨ uckt: ≤D = ≤E ∩(D × D) ) und (3) y ∈ E \ D, x ∈ D ⇒ x ≤E y. Es ist leicht nachzupr¨ ufen, daß  eine (reflexive) Halbordnung auf W ist. Laut Maximalit¨ atssatz gibt
es in W also eine bez¨ uglich  maximale total geordnete Teilmenge C. Wir setzen U := (D,≤D )∈C D. Anschließend definieren wir eine Relation ≤ auf U durch x ≤ y :⇐⇒ ∃(D, ≤D ) ∈ C : x ≤D y ∗

Dabei denken wir uns jede Teilmenge, f¨ ur die es eine Wohlordnung u ¨ berhaupt gibt, mit jeder m¨ oglichen Wohlordnung ausger¨ ustet – wir betrachten also wirklich die Paare (D, ≤) aus einer Teilmenge D von X und einer Wohlordnung ≤D darauf als Elemente unsrer Menge W. Zwei unterschiedliche Wohlordnungen ≤ und ≤ auf derselben Teilmenge D liefern also unterschiedliche Elemente von W !

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Da C total geordnet ist, existiert zu je zwei x, y ∈ U stets ein gemeinsames (D, ≤D ) mit x, y ∈ D und jedes (D, ≤D ) ist wohl- also auch total geordnet. Damit ist – unter Beachtung der Eigenschaft (2), die absichert, daß ≤ wohldefiniert ist! – auch U durch ≤ total geordnet. Ja, ≤ ist sogar eine Wohlordnung auf U : Sei n¨amlich ∅ = T ⊆ U gegeben, dann existiert jedenfalls ein (D, ≤D ) ∈ C mit D ∩ T = ∅. Als nichtleere Teilmenge der wohlgeordneten Menge D hat T ∩ D nun ein bez¨ uglich ≤D kleinstes Element d. Dieses ist nun wegen der totalen Ordnung auf C sowie wegen der Eigenschaften (2) und (3) aber auch kleinstes Element in T bez¨ uglich ≤. Schließlich und endlich finden wir U = X. W¨are das n¨amlich nicht so, dann existierte ein y ∈ X \ U und wir k¨ onnten einfach die Wohlordnung ≤ von U erweitern auf U  := U ∪ {y}, indem wir ∀x ∈ U : x ≤ y setzen. Damit w¨are U  offensichtlich wiederum wohlgeordnet und wir h¨ atten U  U  , U = U  , so daß die total geordnete Teilmenge C von W nicht maximal w¨ are, da man ihr einfach (U  , ≤) hinzuf¨ ugen k¨onnte. Wie bereits erw¨ ahnt, ist auch der Wohlordnungssatz ¨aquivalent zum Auswahlaxiom, auch wenn wir hier bislang lediglich eine Richtung des Beweises daf¨ ur angegeben haben. Insofern wir das Auswahlaxiom in seiner intuitiv so sch¨on einleuchtenden Formulierung∗ eben als Axiom setzen, ist die andere Richtung auch nicht von u ¨berbordendem Interesse f¨ ur uns. (Gleichwohl kann man sie sich leicht u ¨ berlegen: Ist eine Menge
A von nichtleeren Mengen gegeben und gilt der Wohlordnungssatz,
so existiert auf A∈A A eine Wohlordnung. Nun k¨ onnen wir als Abbildung f : A → A∈A A einfach diejenige angeben, die jeder Menge A ∈ A ihr kleinstes Element im Sinne der Wohlordnung zuordnet – schon haben wir eine Auswahlfunktion.) Interessierte Leser k¨ onnen einige weitere zum Auswahlaxiom ¨aquivalente Aussagen – in nicht allzu komplizierter Form, aber trotzdem mit Beweisen dargereicht – beispielsweise in [53] finden. Wer bis hierher gelesen hat, wird wohl auch schon einmal von der (erweiterten) Kontinuums-Hypothese geh¨ ort haben. Ein sch¨ oner Artikel dazu findet sich unter [52].

Definition 1.2.7 Sei (X, ≤) eine wohlgeordnete Menge. Eine Teilmenge S ⊆ X heißt ein Schnitt in X genau dann, wenn mit jedem Element von S auch jedes kleinere Element zu S geh¨ ort, d.h. ∀s ∈ S, x ∈ X : x ≤ s ⇒ x ∈ S . Gilt dar¨ uber hinaus S = X, so heißt S auch ein Dedekindscher Schnitt. ∗

Man stelle sich einmal vor, diese einfache Formulierung w¨ are nicht als im wesentlichen erste Fassung aufgetaucht, sondern etwa der – immerhin dazu a ¨quivalente – Wohlordnungssatz! Angesichts des Umstandes, daß man bis heute keine Wohlordnung auch nur auf der Menge der reellen Zahlen explizit angeben kann, w¨ are das Axiom wom¨ oglich verworfen worden und manch wundersch¨ ones Teilgebiet der Mathematik w¨ are nie wirklich erbl¨ uht!

1.2 Axiomatik

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F¨ ur Dedekindsche Schnitte S existiert folglich das kleinste Element s0 von X \ S, so daß sich S als S = {x ∈ X| x ≤ s0 ∧ x = s0 } schreiben l¨aßt. Lemma 1.2.8 Seien (X, ≤) und (X  , ≤ ) wohlgeordnete Mengen, S1 , S2 seien Schnitte in X, S1 , S2 Schnitte in X  und f : S1 → S1 und g : S2 → S2 seien Ordnungsisomorphismen. Dann stimmen f und g auf S1 ∩ S2 u ¨ berein. Beweis: Angenommen, f und g stimmten auf S1 ∩ S2 nicht u ¨berein. Dann existierte ein kleinstes Element s0 von {s ∈ S1 ∩ S2 | f (s) = g(s)}. Sei nun o.B.d.A. f (s0 ) < g(s0 ). Da S2 ein Schnitt und g ein Ordnungsisomorphismus ist, muß dann ein x ∈ S2 mit f (s0 ) = g(x) existieren. Da also g(x) < g(s0 ) gilt, folgt weiterhin x < s0 . Da s0 freilich das kleinste Element von S1 ∩ S2 ist, auf dem sich f, g unterscheiden, folgt f (x) = g(x) = f (s0 ) was im Widerspruch zu x < s0 steht, weil ja f ein Ordnungsisomorphismus ist. Mit a < b ist dabei nat¨ urlich wieder a ≤ b ∧ a = b gemeint. Lemma 1.2.9 Seien (X1 , ≤1 ) und (X2 , ≤2 ) wohlgeordnete Mengen. Dann existiert ein Ordnungsisomorphismus f eines Schnittes in X1 auf einen Schnitt in X2 derart, daß der Definitionsbereich von f gleich X1 oder der Wertebereich von f gleich X2 ist. Beweis: Die Ordnungsisomorphismen zwischen Schnitten sind als Teilmengen von X1 × X2 bez¨ uglich Inklusion halbgeordnet. Die Vereinigung u ¨ ber eine total geordnete Familie von Ordnungsisomorphismen zwischen Schnitten ist offensichtlich wiederum ein Ordnungsisomorphismus zwischen Schnitten. Nach Zorn’schem Lemma existieren also maximale Elemente in der per Inklusion halbgeordneten Familie der Ordnungsisomorphismen zwischen Schnitten in X1 und X2 . Sei f ⊆ X1 × X2 so ein maximales Element. W¨ aren nun beide Mengen A := {a ∈ X1 | {a} × X2 ∩ f = ∅} und B := {b ∈ X2 | X1 × {b} ∩ f = ∅} nicht leer, so existierte in jeder von ihnen ein minimales Element a0 := min(A) und b0 := min(B). Dann aber w¨ aren f −1 (X2 ) ∪ {a0 } und f (X1 ) ∪ {b0 } (Dedekindsche)  Schnitte und f := f ∪ {(a0 , b0 )} ein Ordnungsisomorphismus zwischen diesen – im Widerspruch zur Maximalit¨ at von f . Das vorstehende Lemma ist wichtig und der Beweis unter Verwendung des Auswahlaxioms in Gestalt des Zorn’schen Lemmas sehr sch¨on einfach. Jetzt probieren wir mal,

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1 Mengentheoretische Grundlagen

ob wir das auch ohne Auswahlaxiom schaffen ... Dazu k¨ ummern wir uns erstmal um die Schnitte, die es in einer wohlgeordneten Menge (X, ≤) so gibt. Es geht darum, daß fast alle Schnitte von einem sehr bestimmten Typus sind: initiale Intervalle. Ist (X, ≤) eine wohlgeordnete Menge und a ∈ X so nennen wir die durch X(a) := {x ∈ X| x ≤ a, x = a} erkl¨ arte Teilmenge von X das durch a begrenzte initiale Intervall von X. Zwar sind sowohl X als auch ∅ als Teilmengen einer wohlgeordneten Menge X Schnitte in X, aber X selbst ist kein initiales Intervall (∅ hingegen schon, weil ja X ein minimales Element x0 haben muß, mit dem dann ∅ = X(x0 ) gilt). Mit S(X) bezeichnen wir die Menge aller Schnitte in X und mit I(X) die Menge aller initialen Intervalle in X. Die Mengeninklusion ist nat¨ urlich auch auf der Menge der Schnitte eine reflexive Halbordnung, die wir k¨ unftig stets meinen, wenn von Ordnung auf der Menge der Schnitte die Rede ist. Lemma 1.2.10 Sei (X, ≤) eine wohlgeordnete Menge. Dann gelten: (1) Jede Vereinigung und jeder Durchschnitt von Schnitten in X ist ein Schnitt in X. (2) Ist S(X) die Menge aller Schnitte in X und I(X) die Menge aller initialen Intervalle von X, so gilt I(X) = S(X) \ {X}. Beweis:  (1) Sei M ⊆ S(X).  Aus x ∈ S∈M S und y ≤ x folgt ja ∀S ∈ M : y ∈ S und daher y ∈ S∈M S. Mithin ist dieser Durchschnitt wieder
Element von S(X). Analog haben wir f¨ u r x ∈ und y ≤ x ja sofort ∃Sx ∈ M : x ∈ Sx , also auch S∈M S

y ∈ Sx ⊆ S∈M S. Mithin ist auch S∈M S wieder ein Schnitt in X. (2) Offensichtlich ist jedes initiale Intervall ein Schnitt und weil jedes initiale Intervall X(a) mindestens sein begrenzendes Element a nicht enth¨alt, ist X kein initiales Intervall. Das ergibt I(X) ⊆ S(X) \ {X}. Sei umgekehrt X = S ∈ S(X). Dann existiert ein minimales Element a von X \ S. F¨ ur jedes x ∈ X(a) gilt ja x < a, also x ∈ S, weil ja a minimal in X \ s ist. So folgt X(a) ⊆ S. Andrerseits gilt x ∈ X(a) genau dann, wenn a ≤ x, woraus x ∈ S folgt, weil sonst a ∈ S g¨ alte. Das ergibt S ⊆ X(a). Wir haben also S = X(a) und damit S(X) \ {X} ⊆ I(X).

1.2 Axiomatik

29

Lemma 1.2.11 Sei (X, ≤) eine wohlgeordnete Menge. Dann gelten: (1) Die Abbildung i : X → I(X) : i(a) := X(a) ist ein Ordnungsisomorphismus. (2) Die Menge S(X) der Schnitte in X ist per Inklusion wohlgeordnet. Beweis: (1) Aus a ≤ b folgt trivial X(a) ⊆ X(b), aus a = b ebenso leicht X(a) = X(b), so daß i bijektiv und isoton ist. (2) Aus (1) folgt sofort, daß I(X) per Inklusion wohlgeordnet ist, f¨ ur S(X) folgt das mit Hinzuf¨ ugung von X als dann automatisch maximalem Element zu I(X) aus 1.2.10(2).

Lemma 1.2.12 Sei (X, ≤) eine wohlgeordnete Menge und Σ ⊆ S(X) eine Familie von Schnitten, f¨ ur die (1) Jede Vereinigung von Elementen von Σ ist wiederum Element von Σ. (2) Aus X(a) ∈ Σ folgt stets X(a) ∪ {a} ∈ Σ. gelten. Dann ist Σ = S(X), speziell also X ∈ Σ. Beweis: Wir machen’s mal wieder indirekt und nehmen an, es g¨alte Σ = S(X). Dann existiert wegen 1.2.11(2) ein inklusionsminimaler Schnitt S0 in S(X) \ Σ. Wir unterscheiden jetzt die F¨ alle, daß S0 ein maximales Element hat oder nicht: • Hat S0 ein maximales Element a, so gilt ja S0 = X(a) ∪ {a} und wegen der Minimalit¨ at von S0 haben wir X(a) ∈ Σ, also wegen (2) auch S0 ∈ Σ – im Widerspruch zur Wahl von S0 . • Hat S0 kein maximales Element, so gilt also ∀x ∈ S0 : ∃a ∈ S0 : x < a. Dann
aber folgt S0 = a∈S0 X(a), wobei ∀a ∈ S0 : X(a) ∈ Σ wegen der Minimalit¨at von S0 gilt. Hieraus folgt aber nun wegen (1) sogleich S0 ∈ Σ – im Widerspruch zur Wahl von S0 . Folglich ist die Annahme Σ = S(X) falsch.

30

1 Mengentheoretische Grundlagen

Lemma 1.2.13 Seien (X1 , ≤1 ) und (X2 , ≤2 ) wohlgeordnete Mengen und ϕ : X1 → X2 ein Ordnungsisomorphismus auf einen Schnitt in X2 . Dann gilt f¨ ur jede injektive isotone Abbildung f : X1 → X2 stets: ∀w ∈ X1 : ϕ(w) ≤2 f (w) . Insbesondere existiert h¨ ochstens ein Ordnungsisomorphismus zwischen einem Schnitt S ⊆ X1 und einem Schnitt T ⊆ X2 . Beweis: Angenommen, die Behauptung g¨alte nicht, dann w¨are also die Menge {w ∈ X1 | f (w) ≤2 ϕ(w) ∧ f (w) = ϕ(w)} nicht leer und somit g¨ abe es darin ein im Sinne der Wohlordnung ≤1 kleinstes Element w0 . Einerseits gilt damit f (w0 ) < ϕ(w0 ), so daß wegen des Umstandes, daß ϕ(X1 ) ein Schnitt in X2 sein sollte, auch f (w0 ) ∈ ϕ(W ) gelten m¨ ußte. Das aber kann nicht sein, denn wir haben ϕ(w0 ) = f (w0 ), aus w < w0 folgt wegen der Minimalit¨at von w0 stets ϕ(w) < f (w) < f (w0 ) mit der Isotonie von f und analog freilich aus w0 < w wiederum f (w0 ) < ϕ(w0 ) < ϕ(w) mit der Isotonie von ϕ. Folglich nimmt ϕ den Wert f (w0 ) auf keinem w ∈ X1 an. Sind nun ϕ, ψ irgendwelche Ordnungsisomorphismen zwischen einem Schnitt S ⊆ X1 und einem Schnitt T ⊆ X2 , so folgt aus der gerade gezeigten Eigenschaft solcher Ordnungsisomorphismen ja sowohl ∀s ∈ S : ϕ(s) ≤2 ψ(s) als auch ∀s ∈ S : ψ(s) ≤2 ϕ(s), so daß wir ϕ = ψ erhalten. Jetzt k¨ onnen wir unser (leicht umformuliertes) Lemma 1.2.9 auch ohne R¨ uckgriff auf’s Auswahlaxiom beweisen: Satz 1.2.14 Sind (X, ≤1 ) und (Y, ≤2 ) wohlgeordnete Mengen, dann gilt genau eine der folgenden Aussagen: (1) (X, ≤1 ) und (Y, ≤2 ) sind ordnungsisomorph. (2) (X, ≤1 ) ist ordnungsisomorph zu einem initialen Intervall von Y . (3) (Y, ≤2 ) ist ordnungsisomorph zu einem initialen Intervall von X. In jedem Falle existiert genau ein entsprechender Ordnungsisomorphismus. Beweis: Wir bringen Lemma 1.2.12 in Anschlag und bezeichnen mit Σ die Familie aller derjenigen Schnitte A in X, f¨ ur die ein Ordnungsisomorphismus ϕA auf einen Schnitt in Y existiert. Dieser ist nach Lemma 1.2.13 eindeutig bestimmt und f¨ ur beliebige A, B ∈ Σ

1.2 Axiomatik

31

haben wir ebenfalls nach Lemma 1.2.13 ja ϕA|A∩B = ϕB|A∩B . F¨ ur eine beliebige Teilmen
ge Σ ⊆ Σ ist daher die Abbildung ϕ : S∈Σ S → X : ϕ(w) := ϕS (w), w ∈ S ∈ Σ wohldefiniert und wegen der durch Lemma 1.2.11 gesicherten Inklusions-Vergleichbarkeit aller Schnitte untereinander offenbar auch ein Ordnungsisomorphismus. Das bedeutet, daß unser Σ abgeschlossen gegen beliebige Vereinigungen ist. Gilt nun X ∈ Σ, so gilt damit Aussage (1) oder Aussage (2) des Satzes. Geh¨ort X hingegen nicht zu Σ, so muß wegen Lemma 1.2.12 ein initiales Intervall X(w0 ) in Σ liegen derart, daß X(w0 ) ∪ {w0 } ∈ Σ gilt. Dann aber muß ϕX(w0 ) (X(w0 )) = Y gelten, denn da Y selbst der einzige Schnitt in Y ist, der kein initiales Intervall ist, h¨atten wir sonst ja ϕX(w0 ) (X(w0 )) = Y (y0 ) mit irgendeinem y0 ∈ Y , so daß wir ϕX(w0 ) durch ϕ (w0 ) := y0 leicht zu einem Ordnungsisomorphismus von X(w0 ) ∪ {w0 } auf Y (y0 ) ∪ {y0 } erweitern k¨ onnten – im Widerspruch zu X(w0 ) ∪ {w0 } ∈ Σ. Daß die drei Aussagen einander gegenseitig ausschließen, ist anhand von Lemma 1.2.13 leicht einzusehen. Ebenfalls ist dadurch gekl¨art, daß die jeweiligen Ordnungsisomorphismen eindeutig bestimmt sind.

1.2.5

Ordinalzahlen Manchmal w¨ ußte man wirklich gern, wer das Ganze eigentlich programmiert. Hoimar v. Ditfurth

Im Zusammenhang mit den eben diskutierten Wohlordnungen bietet es sich an, das Konzept der Ordinalzahlen hier kurz zu besprechen. Wir beachten, daß unser Auswahlaxiom in diesem Abschnitt nicht ben¨ otigt wird.

Definition 1.2.15 Eine Menge α heißt Ordinalzahl genau dann, wenn (1) (x ∈ α) ∧ (y ∈ α) ⇒ (x ∈ y) ∨ (y ∈ x) ∨ (x = y) und (2) (x ∈ y) ∧ (y ∈ α) ⇒ (x ∈ α) gelten.

Anhand der schon beim Unendlichkeits-Axiom X besichtigten Mengen ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ... ist jedenfalls klar, daß die nach Klassenbildungsaxiom II formierbare Klasse aller Ordinalzahlen nicht leer ist.

32

1 Mengentheoretische Grundlagen

Lemma 1.2.16 Sei α eine Ordinalzahl. Dann gelten: (1) In jeder nichtleeren Teilmenge A ⊆ α existiert genau ein Element a ∈ A mit ∀x ∈ A : (a ∈ x) ∨ (a = x) , das wir Anfangselement von A nennen. (2) Das Anfangselement von α ist ∅. (3) Jedes Element z von α ist eine Ordinalzahl. Beweis: (1) Laut Axiom IX existiert jedenfalls ein Element a ∈ A mit a ∩ A = ∅. Dies bedeutet ja ∀y ∈ A : y ∈ a und darum wegen 1.2.15(1) auch ∀y ∈ A : (a ∈ y) ∨ (a = y). G¨ abe es noch ein weiteres Element b ∈ A, b = a mit dieser Eigenschaft, so folgte (a ∈ b) ∧ (b ∈ a) im Widerspruch zu Proposition 1.2.3(2). (2) Ist a das Anfangselement von α, so kann kein x ∈ a existieren, weil sonst wegen 1.2.15(2) auch x ∈ α und damit a ∈ x (im Widerspruch zu x ∈ a wegen 1.2.3(2)) oder x = a (im Widerspruch zu x ∈ a wegen 1.2.3(1)) folgte. (3) Seien x, y ∈ z gegeben. Wegen z ∈ α folgt dann sofort x, y ∈ α wegen 1.2.15(2), also wegen 1.2.15(1) auch (x ∈ y) ∨ (y ∈ x) ∨ (x = y). Somit ist 1.2.15(1) f¨ ur die Elemente von z erf¨ ullt. Um nun auch 1.2.15(2) nachzuweisen, sei also (x ∈ y) ∧ (y ∈ z) gegeben. Wegen z ∈ α folgt nach 1.2.15(2) jedenfalls auch x ∈ α und darum muß (x ∈ z) ∨ (z ∈ x) ∨ (z = x) laut 1.2.15(1) gelten. Nun w¨ urde z ∈ x implizieren, daß die Menge A := {x, y, z} ⊆ α kein Anfangselement h¨ atte – im Widerspruch zu (1). Aus z = x wiederum folgte (x ∈ y) ∧ (y ∈ x) im Widerspruch zu Proposition 1.2.3(2). Somit muß x ∈ z gelten.

Lemma 1.2.17 Sind α, β Ordinalzahlen und α = β, so gilt α ⊂ β ⇐⇒ α ∈ β . Beweis: Ist α ∈ β, so folgt aus x ∈ α wegen 1.2.15(2) stets x ∈ β, insgesamt also α ⊆ β. Haben wir andrerseits α ⊆ β mit α = β, so ist β \ α nicht leer, so daß nach 1.2.16(1) ein Anfangselement a von β \ α existiert. Ist nun x ∈ a, so kann weder x = a noch a ∈ x gelten, somit kann x nicht Element von β \ α sein. Weil x aber jedenfalls Element von β ist, folgt x ∈ α. Das ergibt a ⊆ α.

1.2 Axiomatik

33

Haben wir andrerseits x ∈ α, so kann weder x = a gelten (wegen a ∈ β \ α), noch a ∈ x (weil sonst sofort wieder a ∈ α laut 1.2.15(2) gelten w¨ urde). Weil aber sowohl x als auch a Elemente von β sind, haben wir wegen 1.2.15(1) folglich x ∈ a. Das liefert nun α ⊆ a, insgesamt also α = a ∈ β.

Lemma 1.2.18 Sind α und β Ordinalzahlen, so gilt α⊆β ∨ β⊆α. Beweis: Offensichtlich ist jedenfalls α ∩ β eine Ordinalzahl. G¨alten nun α ∩ β = α und α ∩ β = β, dann w¨ are α ∩ β eine echte Teilmenge sowohl von α als auch von β. Mit Lemma 1.2.17 folgt daraus α∩β ∈ α und α∩β ∈ β, also α∩β ∈ α∩β – im Widerspruch zu 1.2.3(2). Es muß also α ∩ β = α oder α ∩ β = β sein, womit die Behauptung des Lemmas bewiesen ist. Mit On bezeichnen wir f¨ urderhin die Klasse aller Ordinalzahlen. Satz 1.2.19 On ist durch Inklusion wohlgeordnet. Beweis: Die Inklusion ist ja ohnehin schon eine reflexive Halbordnung, Lemma 1.2.18 lehrt, daß sie auf On sogar eine totale Ordnung ist. Wir m¨ ussen also nur noch herauskriegen, daß jede nichtleere Teilmenge von On ein minimales Element bez¨ uglich Inklusion hat. Sei also A = ∅ eine Teilmenge von On. Wegen A = ∅ existiert ein α ∈ A. Wir setzen A := α ∩ A . Falls A = ∅, haben wir ∀x ∈ A : x ∈ α ⇔ (x ⊆  α) ∨ (x = α) ⇔ α⊆x, so daß also α inklusionsminimal in A ist. Andernfalls sei a das Anfangselement von A , d.h. ∀x ∈ A : (a ∈ x) ∨ (a = x), woraus mit Lemma 1.2.18 ja sofort ∀x ∈ A : a ⊆ x folgt. F¨ ur alle x ∈ A \ A haben wir freilich ohnehin x ∈ α, also (x ⊆ α) ∨ (x = α), mithin wegen Lemma 1.2.18 sogleich α ⊆ x. Nat¨ urlich gilt wegen a ∈ A ⊆ α auch a ⊆ α. Das   ergibt ∀x ∈ A \ A : a ⊆ x. Insgesamt ist somit a inklusionsminimal in A.

34

1 Mengentheoretische Grundlagen

Satz 1.2.20 On ist keine Menge. Beweis: W¨ are On eine Menge, so folgte aus den Lemmata 1.2.17 und 1.2.18 sogleich, daß On eine Ordinalzahl w¨ are. Das liefert dann freilich On ∈ On im Widerspruch zu 1.2.3(1).

Proposition 1.2.21 F¨ ur alle α ∈ On gilt On(α) := {x ∈ On| x ⊂ α, x = α} = α , so daß On(α) insbesondere eine Menge ist. Beweis: Wegen 1.2.17 haben wir On(α) = {x ∈ On| x ∈ α}, wobei wegen 1.2.16(3) die Bedingung x ∈ On u ussig ist. ¨berfl¨

Korollar 1.2.22 Jede Ordinalzahl α ist eine durch Inklusion wohlgeordnete Menge. Beweis: Laut 1.2.19 ist On durch Inklusion wohlgeordnet, also auch die Teilmenge On(α), die laut 1.2.21 gleich α ist. Wenn von Ordnungen auf Ordinalzahlen die Rede ist, meinen wir daher stets die Inklusion, auch wenn das im Einzelfall nicht noch einmal betont wird.

Korollar 1.2.23 Je zwei verschiedene Ordinalzahlen α = β sind nicht ordnungsisomorph. Beweis: Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit k¨onnen wir α ⊂ β annehmen und finden damit, daß α = On(α) ein initiales Intervall von β ist. Nach Satz 1.2.14 kann somit α nicht ordnungsisomorph zu β sein, da unser α nat¨ urlich bereits ordnungsisomorph zu sich selbst, also eben zu einem initialen Intervall von β ist.

1.2 Axiomatik

35

Lemma 1.2.24 Ist B ⊆ On irgendeine Menge von Ordinalzahlen, so existiert eine Ordinalzahl, die im Inklusionssinne echt gr¨ oßer als alle Elemente von B ist und daher wegen 1.2.19 auch eine kleinste solche. Beweis: Ist B eine Teilmenge von On, so ist offensichtlich β :=



x

x∈B

ebenfalls eine Ordinalzahl. Ebenso leicht sieht man, daß auch β  := β ∪ {β} eine Ordinalzahl ist. Des weiteren ist nat¨ urlich β eine echte Teilmenge von β  und f¨ ur alle x ∈ B haben wir x ⊆ β.

Lemma 1.2.25 Jede nichtaufsteigende Folge (αi )i∈IN , ∀i ∈ IN : αi ⊇ αi+1 , von Ordinalzahlen ist endlich, d.h. ∃n ∈ IN : ∀i ≥ n : αi = αn . Beweis: Wegen 1.2.19 hat {αi | i ∈ IN } ein kleinstes Element, also z.B. αn . Damit folgt aber sofort αn ⊆ αi f¨ ur alle i ≥ n.

Satz 1.2.26 Jede wohlgeordnete Menge (W, ≤) ist ordnungsisomorph zu einer Ordinalzahl α, die auch die Ordinalzahl von (W, ≤) oder der Ordnungstyp von (W, ≤) genannt und mit ord(W, ≤) bezeichnet wird.

Beweis: Angenommen, die Behauptung g¨alte nicht. Dann kann (W, ≤) auch nicht ordnungsisomorph zu einem initialen Intervall irgendeiner Ordinalzahl sein, denn ein solches ist selbst wieder eine Ordinalzahl. Daher bliebe nach Satz 1.2.14 f¨ ur jede Ordinalzahl α nur noch die M¨oglichkeit, daß α ordnungsisomorph zu einem initialen Intervall von (W, ≤) ist. Wegen 1.2.23 ist nun jedes initiale Intervall von W zu h¨ ochstens einer Ordinalzahl isomorph. Bezeichnen wir nun mit W  die Teilmenge aller derjenigen Elemente w von W , zu denen eine Ordinalzahl αw ∈ On existiert, die ordnungsisomorph zum initialen Intervall W (w) ist, so ist folglich die Abbildung σ : W  → On : σ(w) := αw wohldefiniert und es gilt σ(W  ) = On. Laut Axiom VI w¨ are dann freilich On eine Menge – im Widerspruch zu Satz 1.2.20.

36

1 Mengentheoretische Grundlagen

1.3

M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen Mehrere Billionen Trillionen Tonnen superheißer explodierender Wasserstoff-Atomkerne stiegen langsam u ¨ ber den Horizont und brachten es dabei fertig, klein, kalt und etwas feucht auszusehen. Douglas Adams, Das Restaurant am Ende des Universums“ ”

Definition 1.3.1 Sind X, Y Mengen, so heißt X m¨achtiger als Y genau dann, wenn es eine injektive Abbildung f : Y → X von Y in X gibt. In Zeichen |X| ≥ |Y |. Zwei Mengen X, Y heißen gleichm¨achtig genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung g : X → Y gibt. (In Zeichen: X ∼ Y .) Eine Menge X heißt echt m¨ achtiger als die Menge Y genau dann, wenn sie m¨achtiger als Y , aber nicht gleichm¨ achtig zu Y ist. Aufgabe 2 Zeige, daß eine Menge X genau dann m¨achtiger als eine Menge Y ist, wenn es eine surjektive Abbildung g : X → Y von X auf Y gibt! Man m¨ ochte hoffen, daß Gleichm¨ achtigkeit genau dann gegeben ist, wenn sowohl |X| ≥ |Y | als auch |Y | ≥ |X| gilt. Das ist freilich gerade die Aussage des Satzes von BernsteinSchr¨ oder, dem wir uns nun n¨ ahern wollen. Proposition 1.3.2 Sei X eine Menge und T : P(X) → P(X) eine bez¨ uglich Inklusion monotone Abbildung, d.h. ∀A, B ∈ P(X) : A ⊆ B ⇒ T (A) ⊆ T (B) . Dann existiert eine Teilmenge F ∈ P(X) mit T (F ) = F . Beweis: Sei F := {A ∈ P(X)| T (A) ⊆ A}. Diese  Menge F ist jedenfalls nicht leer, da sie zumindest X enth¨ alt. Wir setzen F := A∈F A und w¨ unschen uns nun noch T (F ) = F . Das ist aber leicht: wir haben ja ∀A ∈ F : T (F ) ⊆ T (A) ⊆ A, al   so auch T (F ) ⊆ A = F . Daraus folgt mit der Monotonie von T sogleich A∈F T (T (F )) ⊆ T (F ) und folglich T (F ) ∈ F. Nun ist aber F als Durchschnitt aller Elemente von F nat¨ urlich Teilmenge eines jeden von diesen, insbesondere gilt also auch F ⊆ T (F ).

1.3 M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen

37

Satz 1.3.3: Bernstein-Schr¨oder Seien X, Y Mengen, sowie f : X → Y und g : Y → X injektive Funktionen. Dann existiert eine bijektive Funktion h : X → Y . Beweis: Wir definieren uns eine, zugegeben etwas verschroben wirkende, Abbildung T : P(X) → P(X) durch ∀A ⊆ X : T (A) := X \ (g (Y \ f (A))) und u ufen, daß ¨berpr¨ unser T monoton ist: Sind A, B ∈ P(X) mit A ⊆ B gegeben, so erhalten wir umgehend f (A) ⊆ f (B), daraus Y \ f (A) ⊇ Y \ f (B), woraus g(Y \ f (A)) ⊇ g(Y \ f (B)) und schließlich T (A) = X \ g(Y \ f (A)) ⊆ X \ g(Y \ f (B)) = T (B) folgt. Laut Proposition 1.3.2 existiert also eine Teilmenge F ⊆ X mit T (F ) = F , also F = X \ (g(Y \ f (F ))), d.h. X \ F = g(Y \ f (F )). Nun ist die Funktion h : X → Y , die durch  h(x) :=

f (x) ; x ∈ F g −1 (x) ; x ∈ X \ F

auf ganz X eindeutig definiert ist, offensichtlich bijektiv: h ist injektiv, weil f|F und −1 −1 g|(X\F (X \ F ) = Y \ f (F ) disjunkt ) es sind und weil ihre Bildbereiche wegen g sind. Ferner ist h surjektiv wegen h(F ) = f (F ) und h(X \ F ) = g −1 (X \ F ), also h(X) = f (F ) ∪ (Y \ f (F )) = Y . ¨ Offensichtlich ist ja Gleichm¨ achtigkeit eine Aquivalenzrelation auf der Klasse aller Men¨ gen. Es w¨ are sch¨ on, deren Aquivalenzklassen einigermaßen griffig handhaben zu k¨onnen. So liegt es beispielsweise nahe, die m¨ achtiger“-Relation als eine Relation auf der Klas” ” ¨ se der M¨ achtigkeits-Aquivalenzklassen“ auffassen zu wollen – doch Vorsicht ist gebo¨ ten: wir handeln uns mit diesen Aquivalenzklassen wom¨oglich Unmengen ein, die wir ja keiner Klasse als Elemente hinzuf¨ ugen k¨onnen! Daher ziehen wir uns auf spezielle ¨ Repr¨ asentanten zur¨ uck, die alles leisten, was wir uns vom Umgang mit diesen Aquivalenzklassen w¨ unschen, und die definitiv Mengen sind: Ist X eine beliebige Menge, so sichert der Wohlordnungssatz, daß eine Wohlordnung auf X existiert. Damit ausger¨ ustet, ist unser X dann laut Satz 1.2.26 ordnungsisomorph zu einer Ordinalzahl – und damit nat¨ urlich automatisch auch gleichm¨achtig zu dieser. Verschiedene Wohlordnungen auf X k¨ onnen dabei sicherlich auch verschiedene Ordinalzahlen liefern. Das macht aber nichts, denn unter allen Ordinalzahlen, die zu X gleichm¨achtig sind, muß es wegen Satz 1.2.19 eine kleinste geben, die eben dadurch eindeutig bestimmt ist. Diese nennen wir die Kardinalzahl von X. Die Kardinalzahl einer gegebenen Menge X bezeichnen wir mit |X| oder auch card(X). Nun wird auch deutlich, daß die m¨ achtiger“-Relation im Grunde als eine Relation ” auf der Klasse der Kardinalzahlen aufgefaßt werden kann, was die Bezeichnungsweise |X| ≥ |Y | f¨ ur X ist m¨ achtiger als Y “ und |X| f¨ ur die Kardinalzahl von X ja schon ” andeutet. Daß diese Bezeichnungsweisen tats¨achlich zusammenpassen, u ¨ berlegt man sich leicht: Ist die Kardinalzahl von X gr¨ oßer oder gleich derjenigen von Y , so haben

38

1 Mengentheoretische Grundlagen

wir zun¨ achst Bijektionen bY : Y → card(Y ) und bX : X → card(X). Zudem gilt dann ja card(X) ⊇ card(Y ), wodurch wir anhand der nat¨ urlichen Injektion i von card(Y ) in card(X) die Injektion b−1 X ◦ i ◦ bY : Y → X erhalten, also |X| ≥ |Y |. Existiert andrerseits eine Injektion f : Y → X, so k¨onnen wir durch y1 ≤ y2 :⇔ bX (f (y1 )) ≤ bX (f (y2 )) eine Wohlordnung auf Y definieren, zu der dann ein Ordnungsisomorphismus a : α → Y f¨ ur eine Ordinalzahl α existierte. Gilt nun α ⊇ card(X), k¨onnen wir aus der nat¨ urlichen Injektion j : card(X) → α die Injektion a ◦ j ◦ bX : X → Y basteln, so daß nach dem Satz von Bernstein-Schr¨ oder eine Bijektion zwischen X und Y existiert und somit auch gleich card(X) = card(Y ) folgt. Gilt hingegen α ⊆ card(X), folgt sofort card(Y ) ⊆ card(X), weil card(Y ) ja die kleinste zu Y gleichm¨achtige Ordinalzahl ist. Der Satz von Bernstein-Schr¨ oder sichert insbesondere, daß die m¨achtiger“-Relation ” ¨ ≥ auf den Aquivalenzklassen bez¨ uglich Gleichm¨achtigkeit antisymmetrisch ist. Reflexiv und transitiv ist sie in trivialer Weise, weil die identischen Abbildungen jeder Menge auf sich selbst nat¨ urlich bijektiv sind und weil eine Komposition von Injektionen wieder eine Injektion ist. Daß sie sogar eine Wohlordnung ist, kann man u ¨ brigens auch ohne direkten Bezug auf Ordinalzahlen zeigen: Proposition 1.3.4 Sind A und B nichtleere Mengen, so gilt |A| ≥ |B| oder |B| ≥ |A|. Beweis: Wir betrachten ⎧  ⎫  ∀a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B : ⎨ ⎬  A := F ⊆ A × B  (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a1 , b2 ) ∈ F ⇒ b1 = b2 und ⎩ ⎭  (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a2 , b1 ) ∈ F ⇒ a1 = a2 ( partielle Injektionen“). Diese Menge ist sicherlich nicht leer, denn sie enth¨alt min” ¨ destens die einelementigen Teilmengen von A × B. Uberdies ist die Mengeninklusion nat¨ urlich auch auf A eine Halbordnung. Ist K ⊆ A eine bez¨ u glich Inklusion total ge
ordnete Teilmenge von A, so geh¨ ort offenbar auch H := K∈K K zu A, denn aus (x, y), (u, v) ∈ H folgt wegen der totalen Ordnung durch Inklusion in K sogleich ∃K ∈ K : (x, y), (u, v) ∈ K. Zudem ist H offenbar eine obere Schranke von K in A bez¨ uglich Inklusion. Da eine solche also f¨ ur jede total geordnete Teilmenge von A existiert, sichert das Zorn’sche Lemma die Existenz maximaler Elemente in A. Sei also F0 ∈ A maximal. Wir setzen p1 : A × B → A : p1 (a, b) := a und p2 : A × B → B : p2 (a, b) := b. Angenommen nun, es g¨ alte p1 (F0 ) = A und p2 (F0 ) = B, dann existierten also a ∈ A und b ∈ B mit ({a} × B) ∩ F0 = ∅ und (A × {b}) ∩ F0 = ∅. Dann aber geh¨orte F0 ∪ {(a, b)} zu A – im Widerspruch zur Maximalit¨ at von F0 . Daher gilt p1 (F0 ) = A, so daß F0 eine Injektion von A nach B ist, oder p2 (F0 ) = B, in welchem Falle F0−1 eine Injektion von B nach A ist.

1.3 M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen

39

Proposition 1.3.5 In jeder Menge M von Mengen gibt es ein bez¨ uglich M¨achtigkeit minimales Element. Beweis: Sei M eine Menge von Mengen. Gibt es in M endliche Mengen als Elemente, ist das
langweilig. Seien also alle Elemente von M unendlich. Wir bilden die Menge V  := M∈M M . Auf V  gibt es laut Wohlordnungssatz eine Wohlordnung  . Wir f¨ ugen ein bislang nicht in V  enthaltenes Element max hinzu (beispielsweise k¨onnen wir max := V  w¨ ahlen) und erg¨ anzen die Wohlordnung  zu einer Wohlordnung  :=     ∪ (V × {max}) auf V := V ∪ {max}. Offensichtlich ist V verm¨oge der nat¨ urlichen Injektionen iM : M → V : iM (m) := m m¨ achtiger als jedes M ∈ M. Daher ist K := {k ∈ V | ∃M ∈ M : |M | ≤ |{v ∈ V | v  k}| } nicht leer und besitzt folglich ein bez¨ uglich  minimales Element k0 . Somit existiert ein M0 ∈ M mit |M0 | ≤ |{v ∈ V | vk0 }|. F¨ ur jedes M ∈ M mit |M | ≤ |{v ∈ V | vk0 }| gibt es freilich erstens laut Wohlordnungssatz eine Wohlordnung ≤M und laut Lemma 1.2.9 einen Ordnungsisomorphismus f zwischen Schnitten in M und R := {v ∈ V | v  k0 } derart, daß der Definitionsbereich von f gleich M oder der Wertebereich von f gleich R ist. In letzterem Fall ist sofort klar, daß M gleichm¨achtig zu R ist, im ersten Fall sehen wir das wie folgt ein: Sollte R \ f (M ) nicht leer sein, so sei r0 das kleinste Element von R \ f (M ). Da f (M ) ein Schnitt in R ist, folgt f (M ) ⊆ {v ∈ V | v  r0 } und darum wegen der Wahl von k0 sofort r0 = k0 . Dann aber ist R = f (M ) ∪ {k0 }, also wiederum |f (M )| = |R|, da beide unendlich sind. Mithin sind alle Elemente M ∈ M, f¨ ur die |M | ≤ |R| gilt, sogar gleichm¨ achtig zu R. Daher ist die Kardinalit¨at von M0 minimal in M.

Definition 1.3.6 Eine Menge M heißt unendlich genau dann, wenn sie eine echte Teilmenge M  ⊂ M enth¨ alt, zu der sie gleichm¨ achtig ist, d.h. M  ⊂ M, M  = M und M ∼ M  . Eine Menge, die nicht unendlich ist, heißt endlich. Eine Menge, die zur Menge der nat¨ urlichen Zahlen gleichm¨ achtig ist, heißt abz¨ahlbar unendlich. Eine Menge, die endlich oder abz¨ ahlbar unendlich ist, heißt schlicht abz¨ahlbar.

Proposition 1.3.7 Jede unendliche Menge X enth¨ alt eine abz¨ahlbar unendliche Teilmenge. Beweis: Da X unendlich ist, existiert eine echte Teilmenge M ⊂ X und eine bijektive Abbildung f : M → X. Da M echte Teilmenge ist, existiert x0 ∈ X \ M . Wir setzen nun X1 := M = f −1 (X) und erhalten x1 := f −1 (x0 ) ∈ M \ f −1 (M ), da x0 wegen der

40

1 Mengentheoretische Grundlagen

Surjektivit¨ at von f einerseits ein Urbild in M haben muß, dieses aber wegen x0 ∈ M nicht in f −1 (M ) liegen kann. So definieren wir induktiv weiter: Xn+1 := f −1 (Xn ) und xn+1 := f −1 (xn ) wobei sich analog wie oben stets xn ∈ Xn \ Xn+1 ergibt: f¨ ur n = 0 haben wir das oben gezeigt und gilt erstmal xn ∈ Xn \ Xn+1 , so haben wir nat¨ urlich xn+1 = f −1 (xn ) ∈ f −1 (Xn ) = Xn+1 und andrerseits xn+1 ∈ Xn+2 = f −1 (Xn+1 ), da sonst f (xn+1 = xn ∈ Xn+1 folgte. Damit ist aber f¨ ur n < m ∈ IN stets xm = xn gesichert, so daß die Abbildung i : IN → X : i(n) := xn injektiv ist. Folglich ist die Teilmenge i(X) ⊆ X abz¨ ahlbar unendlich. Wir wissen also jetzt, daß die abz¨ ahlbar unendlichen Mengen sozusagen die kleinsten unendlichen Mengen u ¨ berhaupt sind.

Lemma 1.3.8 Ist ahlbare Familie abz¨ ahlbarer Mengen, so ist auch die Vereinigung
A eine abz¨ A abz¨ a hlbar. A∈A Beweis: Ist A leer oder enth¨ alt nur die leere Menge, so ist nichts zu beweisen. Enthalte also A mindestens eine nichtleere Menge als Element. Da A abz¨ ahlbar ist, existiert eine injektive Abbildung I : A → IN . Ferner sind ja alle A ∈ A abz¨ ahlbar, d.h.
∀A ∈ A : ∃iA : A → IN , iA injektiv. Wir definieren nun eine weitere Abbildung k : A∈A A → IN durch k(a) := min{I(A)| A ∈ A, a ∈ A} f¨ ur alle
a ∈ A∈A A. Diese Abbildung muß noch keineswegs injektiv sein, aber die n¨achste:  A → IN : c(a) := 2k(a) · 3iI −1 (k(a)) (a) c: A∈A


Gilt n¨ amlich c(a) = c(b) f¨ ur a, b ∈ A∈A A, so folgt wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sofort iI −1 (k(a)) (a) = iI −1 (k(b)) (b) und auch k(a) = k(b) =: A, somit iA (a) = iA (b), was wegen der Injektivit¨ at aller iA sofort zu a = b f¨ uhrt. Bemerkung: Ab (sp¨ atestens) hier ist gesichert, daß z.B. die Menge ZZ der ganzen Zahlen abz¨ ahlbar ist – durch eine sehr einleuchtende Injektion von ZZ nach (IN × {+}) ∪ (IN × {−}). Wir machen das jetzt gleich mal ein bißchen allgemeiner, wenngleich nicht ganz so konstruktiv“. ”

1.3 M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen

41

Satz 1.3.9 Ist X eine unendliche Menge, so ist X × X gleichm¨achtig zu X. Beweis: Nach Proposition 1.3.7 wissen wir zun¨achst mal, daß X abz¨ahlbar unendliche Teilmengen hat und Lemma 1.3.8 lehrt, daß f¨ ur alle abz¨ahlbar unendlichen Teilmengen A stets A × A gleichm¨ achtig zu A ist, also eine Bijektion fA : A → A × A existiert. Wir betrachten nun die Menge S := {(S, s)| S ⊆ X, s : S → S × S bijektiv} aller Paare aus Teilmengen S von X, die zu S × S gleichm¨achtig sind und Bijektionen s von S nach S × S. Da mindestens die abz¨ahlbaren Teilmengen solche Paare liefern, ist S nicht leer. Nun definieren wir eine Halbordnung auf S: (S, s) ≤ (T, t) :⇔ S ⊆ T ∧ t|S = s . Es ist nicht schwer zu erkennen, daß es sich tats¨achlich um eine reflexive Halbordnung auf S handelt. Wir wollen das Zorn’sche Lemma anwenden und m¨ ussen daher kurz u ufen, ob jede ¨ berpr¨ total geordnete Teilmenge von S ein Supremum in S hat. Dazu sei also T ⊆ S eine total geordnete Teilmenge. Wir legen T :=

 (S,s)∈T

T und t :=



s

(S,s)∈T

fest.∗ Ist nun x ∈ T gegeben, so existiert ein (Sx , sx ) ∈ T mit x ∈ Sx und f¨ ur jedes (S, s) ∈ T mit x ∈ S gilt wegen der Vollordnung von T entweder S ⊆ Sx und s(x) = sx|S (x) = sx (x) oder Sx ⊆ S und sx (x) = s|Sx (x) = s(x), in jedem Fall also s(x) = sx (x). Mithin ist t als Vereinigung aller s nicht irgendeine Relation, sondern sogar eine Funktion von T nach T × T . Trivialerweise folgt dann f¨ ur alle (S, s) ∈ T auch s = t|S und nat¨ urlich S ⊆ T . Immerhin ist (T, t) somit schon mal eine obere Schranke von T – wenn wir zeigen k¨ onnen, daß (T, t) ein Element von S ist. Dazu m¨ ussen wir nachrechnen, daß t bijektiv ist. Sei dazu (x, y) ∈ T ×T beliebig. Dann existieren (Sx , sx ) und (Sy , sy ) aus T mit x ∈ Sx und y ∈ Sy . Wegen der Vollordnung von T existiert nun (S0 , s0 ) := max{(Sx , sx ), (Sy , sy )} ∈ T und wir haben x, y ∈ S0 , also (x, y) ∈ S0 × S0 , so daß wegen der Bijektivit¨ at von s0 sogleich ∃z ∈ S0 : s0 (z) = (x, y) folgt. Nun ist aber s0 (z) = t(z) – somit ist t surjektiv. Sind andrerseits x = y ∈ T gegeben, so existiert wegen der Vollordnung von T wiederum ein (S0 , s0 ) ∈ T mit x, y ∈ S0 , wobei wir wegen der Injektivit¨ at von s0 dann sogleich t(x) = s0 (x) = s0 (y) = t(y) finden. Also ist t injektiv und wir wissen nun, daß (T, t) ∈ S gilt. Daß es sich dabei um die kleinste obere Schranke von T handelt, ist durch die Konstruktion von (T, t) unmittelbar klar: f¨ ur jede obere Schranke (T  , t ) muß T  alle S mit (S, s) ∈ T und folglich T umfassen; t muß ∗

Wir erinnern uns, daß eine Abbildung f : A → B eine Teilmenge des Kreuzproduktes A × B ist – also ist so ein s, wie es in der Vereinigung hier vorkommt eine Teilmenge von S ×(S ×S), die Vereinigung ist daher sinnvoll definiert.

42

1 Mengentheoretische Grundlagen

auf allen S mit (S, s) ∈ T muß t mit s und folglich auf ganz T mit t u ¨ bereinstimmen – das ergibt aber (T, t) ≤ (T  , t ) f¨ ur jede obere Schranke (T  , t ) von T. Zu jeder der vollgeordneten Teilmenge T ⊆ S existiert also ein Supremum in S, wodurch nun das Zorn’sche Lemma die Existens maximaler Elemente in S sichert. Sei (M, m) ein maximales Element in S. Angenommen, X sei nicht gleichm¨achtig zu X × X. Jedenfalls ist nach Konstruktion von S unser M gleichm¨achtig zu M × M , wobei unser m eine diese Gleichm¨ achtigkeit beweisende Bijektion m : M → M × M ist. Aus diesem Sachverhalt folgt sofort, daß die Vereinigung zweier Mengen, die gleichm¨achtig zu M sind, wiederum zu M gleichm¨ achtig ist.∗ Dann muß folglich X \ M echt m¨achtiger als M sein, denn andernfalls w¨ are ja X = (X \ M ) ∪ M gleichm¨achtig zu M und es folgte die Gleichm¨ achtigkeit von X × X zu M × M , also auch zu M . Da X \ M also echt m¨ achtiger als M ist, existiert eine injektive Abbildung von M in X \ M , also eine zu M gleichm¨ achtige Teilmenge M1 ⊆ X \ M . Offenbar gilt (M ∪M1 )×(M ∪M1 ) = (M ×M )∪(M ×M1 )∪(M1 ×M )∪(M1 ×M1 ) (1.1) und sowohl (M × M1 ) als auch (M1 × M ) und (M1 × M1 ) sind gleichm¨achtig zu M1 ; demzufolge ist – analog zu unsrer obigen Betrachtung – auch die Vereinigung (M × M1 ) ∪ (M1 × M ) ∪ (M1 × M1 ) gleichm¨ achtig zu M1 . Somit existiert eine Bijektion b : M1 → (M × M1 ) ∪ (M1 × M ) ∪ (M1 × M1 ) . Wir setzen f := m ∪ b, also  f : (M ∪ M1 ) → (M ∪ M1 ) × M ∪ M1 ) : f (x) :=

m(x) ; x ∈ M b(x) ; x ∈ M1

was wegen der Bijektivit¨ at von sowohl m als auch b, der Disjunktheit von M und M1 und Beziehung (1.1) wiederum eine Bijektion ist, die zudem auf M mit m u ¨ bereinstimmt. Das liefert (M, m) ≤ (M ∪ M1 , f ) mit M = M ∪ M1 – im Widerspruch zur Maximalit¨at von (M, m). Unsre Annahme, X sei nicht gleichm¨achtig zu X ×X muß also falsch sein. / Bemerkung: Ab jetzt wissen wir also auch, daß die Menge Q der rationalen Zahlen / abz¨ ahlbar ist – verm¨ oge einer naheliegenden Injektion von Q nach ZZ × ZZ .

Korollar 1.3.10 Ist X eine unendliche Menge und A eine Familie von Mengen mit (1) |A| ≤ |X| und (2) ∀A ∈ A : |A| ≤ |X|, ∗

Da M unendlich ist, existieren zwei verschiedene Elemente a, b ∈ M und die erw¨ ahnte Vereinigung zweier zu M gleichm¨ achtiger Mengen ist dann trivialerweise jedenfalls nicht m¨ achtiger als M × {a, b} ⊆ M × M .

1.3 M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen

43

so gilt       A ≤ |X| .    A∈A

Beweis: Wegen (1) existiert eine injektive Abbildung i : A → X und wegen (2) f¨ ur jedes A ∈ A eine injektive Abbildung jA : A → X. Damit ist h:



A × {A} → X × X : h(a, A) := (jA (a), i(A))

A∈A



eine injektive Abbildung von A∈A A×{A} in X ×X und A∈A A ist offenbar h¨ochstens
gleichm¨ achtig zu A∈A A × {A}.

Korollar 1.3.11 Ist X eine unendliche Menge, so ist die Menge E aller endlichen Teilmengen von X gleichm¨ achtig zu X. Beweis: Aufgabe3

Proposition 1.3.12 F¨ ur jede Menge X ist die Potenzmenge P(X) echt m¨achtiger als X, d.h. P(X) ist m¨ achtiger als X und nicht gleichm¨ achtig zu X. Beweis: Aufgabe4 Bemerkung: Ab hier wissen wir auch, daß die Menge IR0+ der nichtnegativen rellen Zahlen echt m¨ achtiger als IN weil jedenfalls nicht weniger m¨achtig als P(IN ) ist. Es ist n¨ amlich mit einigen Grundkenntnissen u ¨ber Folgen und Reihen (ich empfehle immer wieder gerne das Buch [27] von Walter Rudin) leicht nachzurechnen, daß die Abbildung r : P(IN ) → IR0+ : r(H) :=



10−n

n∈H

wohldefiniert und injektiv ist. (Sind H1 , H2 verschiedene Teilmengen von IN , gibt es eine kleinste nat¨ urliche Zahl k, die nicht in beiden vorkommt, also o.B.d.A. in H2 fehlt. Selbst wenn H2 dann alle gr¨ oßeren nat¨ urlichen Zahlen enthielte, w¨are r(H1 ) immer noch echt gr¨ oßer als – und damit jedenfalls verschieden von – r(H2 ).) Wir haben also |IN |
|P(IN )| ≤ |IR0+ |.

44

1 Mengentheoretische Grundlagen

Proposition 1.3.13 Auf jeder unendlichen Menge X gibt es eine Wohlordnung  derart, daß ∀x ∈ X : | {y ∈ X| y  x} | < |X| gilt.

Beweis: Laut Wohlordnungssatz gibt es jedenfalls erstmal eine Wohlordnung  auf X. F¨ ur jedes x ∈ X setzen wir Ux := {y ∈ X| y  x} und betrachten nun die Teilmenge B := {x ∈ X| |Ux | = |X| }. Trivialerweise sind alle Ub , b ∈ B unendlich. Nun kann B als Teilmenge jedenfalls nicht echt m¨ achtiger als X und damit auch nicht echt m¨achtiger als X \ B sein (denn B hat ein bez¨ uglich  kleinstes Element b0 f¨ ur das nach Konstruktion von B ja |Ub0 | = |Ub0 \ {b0 }| = |X| gilt), d.h. es existiert eine Injektion i1 : B → X \ B. Zusammen mit der identischen Abbildung 11X\B : X \ B → X \ B erhalten wir eine Surjektion  s : X → X \ B : s(x) :=

x ; x∈X \B i1 (x) ; x ∈ B

Wir basteln uns daraus jetzt eine neue Wohlordnung  auf X:

x  y :⇔

⎧ ⎨

x=y oder s(x) = s(y) und x ∈ X \ B oder ⎩ s(x) = s(y) und s(x)  s(y)

Nat¨ urlich sollten wir schnell nachpr¨ ufen, ob es sich wohl um eine Ordnung handelt. Reflexivit¨at ist klar. Antisymmetrie: Aus x  y und y  x folgt ja entweder sofort x = y oder zumindest s(x) = s(y) nebst x, y ∈ X \ B und damit auch gleich wieder x = y, da s|X\B = 11X\B – oder wir h¨ atten s(x) = s(y) sowie s(x)  s(y) nebst s(y)  s(x), woraus widerspr¨ uchlicherweise s(x) = s(y) folgen w¨ urde, da ja  eine Ordnung ist. Linearit¨at: F¨ ur x = y ist nichts zu zeigen. Bei x = y haben wir entweder s(x) = s(y) und dann liegt entweder x oder y in X \ B, oder es gilt s(x) = s(y) und dann entweder s(x)  s(y) oder s(y)  s(x), da ja  linear ist. Ferner ist  auch eine Wohlordnung: Ist ∅ = M ⊆ X gegeben, so hat jedenfalls s(M ) ein minimales Element m0 bez¨ uglich  . Dieses hat als m¨ogliche Urbilder bez¨ uglich s lediglich sich selbst und eventuell ein m0 ∈ B. Ist m0 ∈ M , so ist es offensichtlich minimal bez¨ uglich , andernfalls ist es m0 . Sei nun x ∈ X gegeben. F¨ ur x ∈ X \B haben wir |{y ∈ X| y  x} ∩ X \ B| = |Ux | < |X| nach Konstruktion von B. Zudem ist {y ∈ X| y  x} ∩ B verm¨oge der Injektion i1 gleichm¨ achtig zu einer Teilmenge von Ux , also gilt auch |{y ∈ X| y  x} ∩ B| ≤ |Ux | < |X| und somit |{y ∈ X| y  x}| < |X|.

1.4 Filter und Ultrafilter

1.4

45

Filter und Ultrafilter Wenn wir nicht verstehen, sind Berge Berge. Wenn wir anfangen zu verstehen, sind die Berge nicht mehr Berge. Wenn wir richtig verstehen, sind die Berge wieder Berge. Zen

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einer Sorte von mathematischen Objekten befassen, die auf den ersten Blick sehr seltsam erscheinen m¨ogen, deren N¨ utzlichkeit f¨ ur unsre Belange jedoch gar nicht hoch genug einzusch¨atzen ist. Auch wenn es an dieser Stelle vielleicht noch nicht ohne weiteres einzusehen ist, warum wir diese Art von Objekten brauchen, wollen wir sie schon mal ein bißchen vom rein mengentheoretischen Standpunkt aus studieren. ¨ Trotzdem sollen ein paar kurze Uberlegungen zur Motivation unserer Begriffsbildung vorangestellt werden. In der Allgemeinen Topologie befaßt man sich gern und oft mit Konvergenz – ein Begriff, den wir auch schon aus der Analysis des / n ) kennen, vielleicht haben einiIRn (oder meinetwegen auch C ge auch schon einmal etwas u ¨ ber allgemeinere metrische R¨aume geh¨ ort ... Jedenfalls konvergieren dort manche Folgen gegen irgendwelche Punkte. Man k¨ onnte also sagen, Konvergenz ist dort eine Art Relation zwischen Folgen und Punkten. Wann konvergiert nun z.B. eine Folge (an )n∈IN in IR gegen einen Punkt x0 ? Nun, dies ist per Definition genau dann der Fall, wenn ∀ε > 0 : ∃nε ∈ IN : ∀n ≥ nε : an ∈ (x0 − ε, x0 + ε) gilt. Jetzt gucken wir uns einmal die Endst¨ ucken unsrer Folge an, d.h. die Mengen der Form Ak := {an | n ≥ k}, k ∈ IN Offensichtlich k¨ onnten wir die Konvergenzbedingung von oben auch schreiben als ∀ε > 0 : ∃nε ∈ IN : Anε ⊆ (x0 − ε, x0 + ε) undetes Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und betrachten ein auf unsren An begr¨ Mengensystem, also eine Menge von Mengen: ϕ := {B ⊆ IR| ∃n ∈ IN : An ⊆ B} Die Menge ϕ soll also aus all denjenigen Teilmengen von IR bestehen, die irgendeines von unsren Folgen-Endst¨ ucken An umfassen. Nun k¨ onnen wir die Konvergenzbedingung schreiben als ∀ε > 0 : (x0 − ε, x0 + ε) ∈ ϕ

46

1 Mengentheoretische Grundlagen

Das sieht doch schon sehr viel pr¨ agnanter aus! Die Folge (an )n∈IN konvergiert also genau dann gegen x0 , wenn unser aus ihr entwickeltes Mengensystem ϕ alle ε-Umgebungen von x0 enth¨alt. Das Mengensystem ϕ ist durch die Folge eindeutig bestimmt – umgekehrt gilt das freilich nicht, wie man sich leicht u ¨berlegen kann: Viele verschiedene Folgen k¨onnten dasselbe Mengensystem ϕ liefern. Gemeinsam h¨ atten diese Folgen allerdings alle, daß sie samt und sonders gegen x0 konvergieren m¨ ußten! Es ist also gar nicht so abwegig, wenn man nun sagt, das Mengensystem ϕ konvergiert gegen x0 . Nun, das tut man auch. Unser hier aus einer Folge zusammengebasteltes Mengensystem ϕ ist ein Beispiel f¨ ur einen Filter und wir werden uns sp¨ ater in der Tat mit der Konvergenz von Filtern befassen – und das nicht aus ¨ purem Ubermut, sondern weil wir sehen werden, daß Folgen in gewisser Weise einfach nicht ausreichen, um die uns interessierenden Sachverhalte zu beschreiben.

1.4.1

Einige Definitionen und elementare Eigenschaften Je mehr K¨ ase, desto mehr L¨ ocher. Je mehr L¨ ocher, desto weniger K¨ ase. Ergo: je mehr K¨ ase, desto weniger K¨ ase. Mathematiker-Folklore

Definition 1.4.1 Sei X eine Menge. Eine nichtleere Familie ϕ ⊆ P(X) heißt ein Filter auf X genau dann, wenn (1) ∅ ∈ ϕ, (2) A ∈ ϕ ∧ B ∈ ϕ ⇒ A ∩ B ∈ ϕ und (3) A ∈ ϕ ∧ B ⊇ A ⇒ B ∈ ϕ gelten. Die Menge aller Filter auf X bezeichnen wir mit F(X). Ein wichtiges Beispiel f¨ ur Filter haben wir ja gerade schon gesehen – es ist nicht schwer zu u ufen, daß das aus der Folge konstruierte Mengensystem ϕ die Eigenschaften ¨ berpr¨ (1), (2), (3) aufweist. Solche aus Folgen gebildeten Filter nennen wir auch Elementarfilter. Weitere wichtige Beispiele f¨ ur Filter: Ist ∅ = A ⊆ X gegeben, so ist das Mengensystem [A] := {B ∈ P(X)| B ⊇ A}

1.4 Filter und Ultrafilter

47

ein Filter auf X, den wir den von A erzeugten Hauptfilter nennen. Ist die Menge A := {x}, x ∈ X einpunktig, so bezeichnen wir den von {x} erzeugten Hauptfilter auch als den von x erzeugten Einpunktfilter und schreiben statt [{x}] der . K¨ urze halber x. Die Menge F(X) aller Filter auf einer Menge X ist durch Inklusion selbstverst¨andlich halbgeordnet. Weiterhin gilt Proposition 1.4.2 Ist C eine (durch Inklusion) total geordnete Teilmenge von F(X), so ist die Vereini
gung ψ := ϕ∈C ϕ wiederum ein Filter, und zwar das Supremum von C in F(X). Beweis: Um zu zeigen, daß ψ ein Filter ist, m¨ ussen wir ja nur die Bedingungen aus der Definition nachpr¨ ufen. Klar ist, daß ∅ ∈ ψ gilt, da ∅ ja in keinem der vereinigten Filter enthalten war. Sind A, B Elemente von ψ, so muß ja jedes von ihnen in einem der vereinigten Filter enthalten sein, sagen wir A ∈ ϕA und B ∈ ϕB . Nun ist C nach Voraussetzung total geordnet durch Inklusion, so daß wir ϕA ⊆ ϕB oder ϕB ⊆ ϕA haben. In jedem Fall sind A und B beide im gr¨ oßeren der beiden Filter enthalten, daher auch ihr Durchschnitt, der folglich auch in ψ liegt. Analog l¨auft es mit der dritten Bedingung: Ist A ∈ ψ und B ⊇ A gegeben, so muß ja A in einem der vereinigten Filter liegen, sagen wir wieder in ϕA . Dann liegt aber auch B in ϕA und folglich in ψ. Jetzt bleibt zu zeigen, daß ψ das Supremum von C in F(X) ist. Zun¨achst ist klar, daß ψ eine obere Schranke von C ist, da ψ als Vereinigung aller ϕ ∈ C nat¨ urlich gr¨oßer als jedes einzelne davon ist. Wenn wir weiterhin eine beliebige obere Schranke ψ  von C in
F(X) haben, so gilt f¨ ur diese ja ∀ϕ ∈ C : ϕ ⊆ ψ  und folglich ψ = ϕ∈C ϕ ⊆ ψ  . Somit ist ψ kleinste obere Schranke, also Supremum.

Korollar 1.4.3 Zu jedem ϕ ∈ F(X) gibt es maximale (bez¨ uglich Inklusion) Elemente ψ ∈ F(X) mit ψ ⊇ ϕ. Beweis: Die vorige Proposition sichert die Anwendbarkeit des Zorn’schen Lemmas auf F(X).

Definition 1.4.4 Die maximalen Elemente in F(X) nennen wir Ultrafilter auf X. Die Menge aller Ultrafilter auf X bezeichnen wir mit F0 (X). Die Menge aller derjenigen Filter, die einen gegebenen Filter ϕ enthalten, bezeichnen wir mit F(ϕ) und die Menge aller derjenigen Ultrafilter, die den Filter ϕ enthalten bezeichnen wir mit F0 (ϕ). (Diese Filter heißen auch Oberfilter bzw. Oberultrafilter von ϕ.)

48

1 Mengentheoretische Grundlagen

Die einzigen Ultrafilter, die man explizit angeben kann, sind die Einpunktfilter, f¨ ur die auch unmittelbar evident ist, daß sie tats¨achlich Ultrafilter sind. Lemma 1.4.5 Sei X eine Menge und ϕ ∈ F(X). Dann sind ¨aquivalent: (1) ϕ ist ein Ultrafilter. (2) ∀A ⊆ X : (A ∈ ϕ) ∨ (X \ A ∈ ϕ),
n (3) ∀n ∈ IN, A1 , ..., An ∈ P(X) : i=1 Ai ∈ ϕ ⇒ ∃i ∈ {1, ..., n} : Ai ∈ ϕ Beweis: (1)⇒(2)“: Sei ϕ ein Ultrafilter und nehmen wir mal an, (2) w¨ urde nicht gel” ten. Dann g¨ abe es also eine Teilmenge A von X derart, daß A ∈ ϕ und X \ A ∈ ϕ. Nun, wenn X \ A nicht Element von ϕ ist, dann kann auch keine Teilmenge von X \ A es sein (wegen der Abgeschlossenheit von Filtern gegen¨ uber Obermengenbildung). Folglich hat jedes Element P von ϕ einen nichtleeren Durchschnitt mit A – andernfalls w¨are es ja gerade Teilmenge von X \ A. Wir haben also ∀P ∈ ϕ : P ∩ A = ∅. Jetzt betrachten wir die Menge ϕ := {B ⊆ X| ∃P ∈ ϕ : P ∩ A ⊆ B}, die selbst ein Filter ist, wie wir leicht einsehen: ∅ ∈ ϕ gilt, weil ja nur Obermengen der nichtleeren Mengen P ∩ A, P ∈ ϕ zu ϕ geh¨ oren; zu beliebigen U1 , U2 ∈ ϕ muß es nach Konstruktion von ϕ Elemente P1 , P2 von ϕ geben mit P1 ∩ A ⊆ U1 und P2 ∩ A ⊆ U2 , woraus (P1 ∩ P2 ) ∩ A ⊆ U1 ∩ U2 folgt und somit U1 ∩ U2 ∈ ϕ gilt wegen P1 ∩ P2 ∈ ϕ; die Abgeschlossenheit von ϕ gegen¨ uber Obermengenbildung ist anhand der Konstruktion offensichtlich. ϕ ist also ein Filter. Und ϕ enth¨ alt nat¨ urlich A als Element und ϕ als Teilmenge. Damit freilich w¨ are ϕ ein echt gr¨ oßerer Filter (bezgl. Inklusion) als ϕ, was wegen der Maximalit¨ at von ϕ ja nun ein Widerspruch w¨are. (2)⇒(3)“: Es gelte nun (2) und wir nehmen einmal an, (3) g¨ alte nicht. Dann g¨abe
” n es also endlich viele Teilmengen A1 , ..., An von X derart, daß i=1 Ai ∈ ϕ g¨alte und ∀i = 1, ..., n : Ai ∈ ϕ. Laut (2) folgt daraus freilich ∀i = 1, ..., n : (X \ Ai )∈ ϕ und somit n wegen von Filtern auch i=1 (X \ Ai ) =
nder (endlichen) Durchschnittsabgeschlossenheit
n X \ i=1 Ai ∈ ϕ – im Widerspruch zu i=1 Ai ∈ ϕ. (3)⇒(1)“: Angenommen (3) g¨ alte und ϕ w¨are trotzdem kein Ultrafilter. Dann existier” te also ein echt gr¨ oßerer Filter ψ, d.h. wir h¨atten ψ ⊇ ϕ und ∃A ∈ ψ : A ∈ ϕ. Nun ist X = A∪(X \ A) auf jeden Fall Element von ϕ und folglich wegen (3) auch X \ A ∈ ϕ, da ja ausdr¨ ucklich A ∈ ϕ gew¨ ahlt war. Wegen ψ ⊇ ϕ folgt daraus aber auch X \ A ∈ ψ – im Widerspruch zur Filtereigenschaft von ψ und der Annahme A ∈ ψ. Aufgabe5 Zeige: Jeder Filter ϕ auf einer Menge X ist gleich dem Durchschnitt aller seiner Oberultrafilter.

1.4 Filter und Ultrafilter

49

Korollar 1.4.6 Sei X eine Menge und ψ ∈ F(X). Dann sind ¨aquivalent: (1) ψ ist ein Ultrafilter. (2) ∀n ∈ IN, ϕ1 , ..., ϕn ∈ F(X) :

n i=1

ϕi ⊆ ψ ⇒ ∃k ∈ {1, ..., n} : ϕk ⊆ ψ

Beweis: (2)⇒(1)“: folgt direkt aus Lemma 1.4.5, da wir f¨ ur die ϕi ja auch einfach ” Hauptfilter w¨ ahlen k¨ onnen. n (1)⇒(2)“: Angenommen, wir h¨ atten ϕ1 , ..., ϕn mit i=1 ϕi ⊆ ψ, aber ∀i : ϕi ⊆ ψ. ” Dann heißt das ja, daß jedes unsrer ϕi eine
Menge Ai enth¨alt, die nicht in ψ enthalten n n ist: ∀i : ∃Ai ∈ ϕi : Ai ∈ ψ. Andrerseits ist i=1 Ai nat¨ urlich im Durchschnitt i=1 ϕi enthalten (als Obermenge jedes der Ai ) und folglich nach Voraussetzung in ψ. Dann folgte aber nach Lemma 1.4.5, daß mindestens eines der Ai auch in ψ enthalten w¨are – im Widerspruch zur Wahl der Ai .

Korollar 1.4.7 Sei X eine Menge und {ϕ1 , ..., ϕn } eine endliche Familie von Filtern auf X. Dann gilt F0 (

n

i=1

ϕi ) =

n 

F0 (ϕi ) ,

i=1

d.h. die Oberultrafilter eines endlichen Durchschnittes von Filtern ϕ1 , ..., ϕn auf X sind genau diejenigen, die Oberultrafilter eines der ϕi sind. n
n ( i=1 ϕi ) ⊆
i=1 F0 (ϕi ) folgt direkt aus Korollar 1.4.6, Beweis: Die Inklusion F0 n n w¨ ahrend die Inklusion F0 ( i=1 ϕi ) ⊇ i=1 F0 (ϕi ) unmittelbar dadurch gegeben ist, daß jeder Ultrafilter, der eines der ϕi umfaßt, ja erst recht den darin enthaltenen Durschnitt umfassen muß. Insbesondere folgt daraus, daß ein endlicher Durchschnitt von Ultrafiltern nur genau die am Durchschnitt beteiligten Ultrafilter als Oberultrafilter hat – was gelegentlich n¨ utzlich ist. Definition 1.4.8 Eine Familie A ⊆ P(X) von Teilmengen einer nichtleeren Menge X heißt Filterbasis genau dann, wenn die Menge [A]F(X) := {B ⊆ X| ∃A ∈ A : A ⊆ B}

50

1 Mengentheoretische Grundlagen aller Obermengen von Elementen aus A ein Filter ist. Eine Familie B ⊆ P(X) von Teilmengen einer nichtleeren Menge X heißt Filtersubbasis genau dann, wenn die Menge [B]F(X) := {C ⊆ X| ∃n ∈ IN, B1 , ..., Bn ∈ B :

n

Bi ⊆ C}

i=1

aller Obermengen endlicher Durchschnitte von Elementen aus B ein Filter ist. [A]F(X) bzw. [B]F(X) heißen dann die von A bzw. B erzeugten Filter. Ist im jeweiligen Zusammenhang kein Mißverst¨andnis zu erwarten, wird der Index F(X) an den eckigen Klammern auch zuweilen weggelassen. Proposition 1.4.9 Sei X eine nichtleere Menge und A ⊆ P(X). (1) A ist eine Filtersubbasis genau dann, wenn alle endlichen Durchschnitte von Elementen aus A nichtleer sind. (2) A nist eine Filterbasis genau dann, wenn es zu jedem endlichen Durchschnitt Elementen aus A ein Element B = ∅ aus A gibt, i=1 Ai von n so daß B ⊆ i=1 Ai gilt. (3) Sind A und B Filterbasen, so ist A ∪ B eine Filtersubbasis genau dann, wenn ∀A ∈ A, B ∈ B : A ∩ B = ∅, d.h. wenn jedes Element von A mit jedem Element von B einen nichtleeren Durchschnitt hat. (4) Ist A eine Filterbasis auf X und A ⊆ X, dann ist A ∪ {A} eine Filtersubbasis genau dann, wenn ∀P ∈ A : P ∩ A = ∅. Beweis: F¨ ur (1) und (2) ist unmittelbar klar, daß aus der Filterbasis- bzw. Filtersubbasiseigenschaft von A sofort die jeweils postulierte Bedingung folgt – einfach deshalb, weil dann A Teilmenge eines Filters ist. Wir m¨ ussen uns also nur darum k¨ ummern, daß aus den in (1) und (2) postulierten Bedingungen jeweils die Filterbasis- bzw. Filtersubbasiseigenschaft folgt. (1) Da [A] genau aus den Obermengen der endlichen Durchschnitte von A-Elementen n besteht, ist jedenfalls ∅ kein Element von A. Haben wir [A]   A ⊇ i=1Ai und m n m [A]  B ⊇ j=1 Bj mit Ai , Bj ∈ A, so folgt sofort A ∩ B ⊇ i=1 Ai ∩ j=1 Bj und somit A ∩ B ∈ [A]. Daß Obermengen von [A]-Elementen wieder zu [A] geh¨oren steht unmittelbar in der Definition von [A]. Folglich ist [A] ein Filter und daher A eine Filtersubbasis. (2) Zun¨ achst ist wegen der Bedingung, daß nichtleere Elemente B von A unterhalb jedes endlichen Durchschnittes von A-Elementen liegen sollen klar, daß alle endlichen Durchschnitte von A-Elementen selbst nichtleer sind, so daß A laut (1) eine Filtersubbasis ist.

1.4 Filter und Ultrafilter

51

Andrerseits ist dadurch auch klar, daß die Familie der Obermengen endlicher Durchschnitte (die ja nach (1) ein Filter ist) just dieselbe  ist wie die Familie der Obermengen n von A-Elementen, da jeder endliche Durchschnitt i=1 Ai , Ai ∈ A selbst Obermenge eines Elementes B ∈ A ist. (3) Ein endlicher Durchschnitt von Elementen aus A ∪ B ist entweder ein endlicher Durchschnitt von ausschließlich Elementen aus A bzw. ausschließlich Elementen aus B und daher Filterbasis-Eigenschaft von A, B nichtleer, oder er ist von der n wegender m Form i=1 Ai ∩ j=1 Bj mit Ai ∈ A, Bj ∈ B. Dann aber gibt es wegen der Filter basiseigenschaft von A, B ein ∅ = A ∈ A mit A ⊆  ni=1 Ai und m mein ∅ = B ∈ B mit n B ⊆ j=1 Bj und nach Voraussetzung ∅ = A ∩ B ⊆ i=1 Ai ∩ j=1 Bj . (4) Folgt sofort aus (3), da eine einzelne nichtleere Menge A als {A} nat¨ urlich eine Filterbasis f¨ ur einen Hauptfilter bildet. Manchmal braucht man das eben in dieser abger¨ usteten Form, darum wird’s hier erw¨ ahnt. Offensichtlich ist jeder Filter eine Filterbasis und jede Filterbasis ist auch eine Filtersubbasis.

Lemma 1.4.10: Content Detector Sei X eine nichtleere Menge, E ⊆ P(X) und ϕ ∈ F(X). E sei abgeschlossen gegen endliche
n Vereinigungen, d.h. mit je endlich vielen Elementen E1 , ..., En ∈ E ist auch stets i=1 Ei Element von E. Dann gilt: ϕ ∩ E = ∅ ⇐⇒ ∀ψ ∈ F0 (ϕ) : ψ ∩ E = ∅ , d.h. ein Filter enth¨ alt genau dann ein Element von E, wenn jeder seiner Oberultrafilter ein Element von E enth¨ alt. Beweis: Es ist klar, daß mit ϕ nat¨ urlich auch jeder ϕ als Teilmenge umfassende Ultrafilter ein Element von E enth¨ alt (E ∈ ϕ ⊆ ψ ⇒ E ∈ ψ). Wir m¨ ussen uns also nur um die andere Richtung k¨ ummern. Gelte also ∀ψ ∈ F0 (ϕ) : ∃Eψ ∈ E : Eψ ∈ E. Angenommen, ϕ enthielte kein Element aus E. (Woraus automatisch X ∈ E folgt.) Wir betrachten die Menge B := {X \ E| E ∈ E}. Wegen der Abgeschlossenheit von E gegen endliche Vereinigungen ist B abgeschlossen gegen endliche Durchschnitte in B und wir haben ∅ ∈ B wegen X ∈ E. Nach Proposition 1.4.9(2) ist B folglich eine Filterbasis. F¨ ur jedes P ∈ ϕ und jedes B ∈ B haben wir ferner P ∩ B = ∅, da P ∩ B = ∅ ja bedeuten w¨ urde, daß P ⊆ X \ B ∈ E und daher ϕ ∩ E = ∅ folgte. Somit ist laut Proposition 1.4.9(3) die Vereinigung ϕ ∪ B eine Filtersubbasis und laut Korollar 1.4.3 gibt es dann einen Ultrafilter, der den von ϕ ∪ B erzeugten Filter – somit insbesondere sowohl ϕ als auch B – als Teilmenge enth¨ alt. Es g¨abe also einen Oberultrafilter von ϕ, der die Komplemente aller E-Mengen und folglich kein einziges Element von E selbst enth¨ alt – im Widerspruch zu unserer Voraussetzung.

52

1 Mengentheoretische Grundlagen

Das Lemma ist zuweilen sehr n¨ utzlich, wenn man einem bestimmten Filter nachweisen m¨ ochte, daß er Mengen mit dieser oder jener Eigenschaft enth¨alt – es reicht dann, es seinen Oberultrafiltern nachzuweisen, was aufgrund von deren extremen“ Eigenschaf” ten hin & wieder einfacher ist.

1.4.2

Filter und Abbildungen

Seien X, Y nichtleere Mengen, ϕ ∈ F(X), ψ ∈ F(Y ) und eine Funktion f : X → Y gegeben. Dann ist, wie man schnell nachpr¨ ufen kann, die Familie f (ϕ) := {f (P )| P ∈ ϕ} eine Filterbasis in Y . Da wir uns meist eher f¨ ur den von dieser Basis erzeugten Filter [f (ϕ)]F(Y ) interessieren als f¨ ur eine Basis desselben, werden wir im weiteren Verlauf die eckigen Klammern um das Symbol f (ϕ) weglassen und meinen dann mit f (ϕ) bereits den erzeugten Filter {B ⊆ Y | ∃P ∈ ϕ : f (P ) ⊆ B}. Proposition 1.4.11 Seien X, Y nichtleere Mengen, ϕ ein Ultrafilter auf X und f : X → Y eine Funktion. Dann ist f (ϕ) ein Ultrafilter auf Y . Beweis: Sei B eine beliebige Teilmenge von Y . Dann ist nat¨ urlich f −1 (B) eine Teilmen−1 ge von X. Laut Lemma 1.4.5 gilt dann entweder f (B) ∈ ϕ oder X \ f −1 (B) ∈ ϕ. Im ersten Fall folgt sofort f (f −1 (B)) ∈ f (ϕ), also wegen f (f −1 (B)) ⊆ B auch B ∈ f (ϕ). Im zweiten Fall haben wir analog f (X \ f −1 (B)) ∈ f (ϕ), also wegen f (X \ f −1 (B)) ⊆ Y \ B auch Y \ B ∈ f (ϕ). Folglich ist f (ϕ) – wiederum nach Lemma 1.4.5 – ein Ultrafilter auf Y.

Proposition 1.4.12 Seien X, Y nichtleere Mengen und f : X → Y eine Funktion. (1) Ist ϕ ein Filter auf X und B ⊆ Y , dann gilt B ∈ f (ϕ) ⇐⇒ f −1 (B) ∈ ϕ. (2) Sei ϕ1 eine Filterbasis und ϕ2 eine Filtersubbasis auf X. Dann folgt aus [ϕ1 ] ⊇ ϕ2 stets, daß f ([ϕ1 ]) ⊇ [f (ϕ2 )] gilt.∗ (3) Ist(χi )i∈I eine  Familie von Filtern auf X, so gilt f ( i∈I χi ) = i∈I f (χi ). Beweis: (1) Sei B ∈ f (ϕ). Dann existiert also A ∈ ϕ mit f (A) ⊆ B und folglich A ⊆ f −1 (f (A)) ⊆ f −1 (B), so daß f −1 (B) als Obermenge von A auch Element von ϕ ∗

Wir brauchen diesen Sachverhalt meistens nur in der entsch¨ arften“ Fassung, daß ϕ1 , ϕ2 ” beide Filter sind.

1.4 Filter und Ultrafilter

53

sein muß. Die andere Richtung ist trivial. n (2) Sei S ∈ [f (ϕ2 )]. Dann haben wir also S1 , ..., Sn ∈ ϕ2 mit i=1 f (Si ) ⊆ S. nDiese Si liegen wegen [ϕ1 ] ⊇ ϕ2 auch in [ϕ1 ], also auch ihr Durchschnitt. Wegen f ( i=1 Si ) ⊆  n auchS in f ([ϕ1 ]). i=1 f (Si ) ⊆  S liegt demnach −1 (3) A ∈ f ( i∈I χ ) ⇔ f (A) ∈ i∈I χi ⇔ ∀i ∈ I : f −1 (A) ∈ χi ⇔ ∀i ∈ I : A ∈ i  f (χi ) ⇔ A ∈ i∈I f (χi ). Nicht ganz so einfach ist es im allgemeinen mit den (vollst¨andigen) Urbildern von Filtern. Haben wir n¨ amlich einen beliebigen Filter ψ auf Y und eine Funktion f : X → Y gegeben, so ist es keineswegs sicher, daß das (Mengen-)Urbild f −1 (ψ) := {f −1 (S)| S ∈ ψ} auch nur eine Filtersubbasis ist. Das liegt daran, daß f ja nicht surjektiv zu sein braucht und es folglich passieren kann, daß Elemente von ψ vollst¨andig innerhalb von Y \ f (X) liegen. Dann w¨ are deren Urbild unter f die leere Menge und die Hoffnung, eine Filtersubbasis zu erhalten, erstmal im Eimer. Es gilt jedoch: Proposition 1.4.13 Seien X, Y nichtleere Mengen, ψ ein Filter auf Y und f : X → Y eine Funktion. Die Familie f −1 (ψ) := {f −1 (S)| S ∈ ψ} ist genau dann eine Filterbasis auf X, wenn der Durchschnitt von f (X) mit allen Elementen von ψ nichtleer ist. Beweis: Es gelte ∀S ∈ ψ : f (X) ∩ S = ∅. Dann folgt ∀S ∈ ψ : f −1 (S) = ∅. Bedenken wir nun noch, daß ∀S, T ⊆ Y : f −1 (S) ∩ f −1 (T ) = f −1 (S ∩ T ) gilt, k¨onnen wir mit Proposition 1.4.9 sofort auf die Filterbasiseigenschaft von f −1 (ψ) schließen. Ist umgekehrt f −1 (ψ) eine Filterbasis, dann kommt jedenfalls ∅ darin nicht vor, was bedeutet, daß ∀S ∈ ψ : f (X) ∩ S = ∅ gilt.

Lemma 1.4.14 Seien X, Y nichtleere Mengen, ϕ ein Filter auf X, weiterhin f : X → Y eine Funktion und ψ ein Ultrafilter auf Y mit ψ ⊇ f (ϕ). Dann gibt es einen Ultrafilter ϕ0 auf X mit ϕ0 ⊇ ϕ und f (ϕ0 ) = ψ. Beweis: Sei also ψ ∈ F0 (Y ) mit ψ ⊇ f (ϕ) gegeben. Da f (ϕ) – und somit auch ψ – nat¨ urlich f (X) enth¨ alt, ist die Bedingung von Proposition 1.4.13 erf¨ ullt und f −1 (ψ) folglich eine Filterbasis. Seien nun U ∈ ϕ und V ∈ ψ beliebig gew¨ ahlt. Wir wollen zeigen, daß U ∩ f −1 (V ) = ∅ gilt. Dazu u ¨berlegen wir uns, daß ja wegen f (ϕ) ⊆ ψ jedenfalls f (U ) ∈ ψ und daher f (U ) ∩ V = ∅ gelten muß. Mithin existiert ein Element y ∈ f (U ) ∩ V und, da es ja immerhin in f (U ) liegt folglich ein u ∈ U mit f (u) = y. Da freilich y = f (u) auch Element von V ist, folgt u ∈ f −1 (V ), insgesamt

54

1 Mengentheoretische Grundlagen

also u ∈ f −1 (V ) ∩ U , so daß dieser Durchschnitt nicht leer ist. Da das f¨ ur beliebige U ∈ ϕ, V ∈ ψ gilt, k¨ onnen wir laut Proposition 1.4.9(3) schließen, daß ϕ ∪ f −1 (ψ) eine Filtersubbasis ist. Sei ϕ der von dieser Subbasis erzeugte Filter auf X. Es gilt dann offensichtlich ϕ ⊇ ϕ und ϕ ⊇ f −1 (ψ). Nach Lemma 1.4.3 existiert ein Ultrafilter ϕ0 auf X mit ϕ0 ⊇ ϕ . F¨ ur diesen gelten nun erst recht ϕ0 ⊇ ϕ und ϕ0 ⊇ f −1 (ψ). Laut Proposition 1.4.12 folgt daraus f (ϕ0 ) ⊇ f (ϕ) und f (ϕ0 ) ⊇ [f (f −1 (ψ))]. Nun folgt freilich aus dem allgemeinen Umstand, daß f¨ ur Teilmengen B von Y stets f (f −1 (B)) ⊆ B gilt, −1 daß [f (f (ψ))] ⊇ ψ gilt. Damit haben wir also f (ϕ0 ) ⊇ ψ, was wegen der Maximalit¨at von ψ sofort f (ϕ0 ) = ψ impliziert.

Definition 1.4.15 Sei (Xi )i∈I eine Familie nichtleerer Mengen und sei ϕi , i ∈ I jeweils ein Filter auf Xi . Dann nennen wir den von der Subbasis    Pi | Pi ∈ ϕi , Pk = Xk f¨ ur h¨ochstens ein k ∈ I i∈I

erzeugten Filter das Produkt oder auch den Produktfilter der ϕi , i ∈ I, und bezeichnen ihn mit i∈I ϕi . Es ist offensichtlich, daß das Produkt u ¨ ber endliche Familien I schlicht und einfach von den ganz gew¨ ohnlichen Kreuzprodukten beliebiger Elemente der beteiligten Filter erzeugt wird. F¨ ur beispielsweise zwei Filter ϕ auf X und ψ auf Y w¨are das Produkt (in diesem u ¨ bersichtlichen Fall auch als ϕ × ψ“ bezeichnet) der von der Basis ” {P × S| P ∈ ϕ, S ∈ ψ} erzeugte Filter ϕ × ψ := [{P × S| P ∈ ϕ, S ∈ ψ}]F(X×Y ) auf X × Y .

Korollar 1.4.16 Seien X, Y nichtleere Mengen, ϕ ein Filter auf X, F ein Filter auf der Menge Y X aller Funktionen von X nach Y , sowie ψ ein Oberultrafilter von F (ϕ) := [{F (P )| F ∈ F , P ∈ ϕ}]F(Y ) wobei F (P ) := {f (p)| f ∈ F, p ∈ P } gemeint ist. Dann existieren ein Oberultrafilter F0 von F und ein Oberultrafilter ϕ0 von ϕ derart, daß F0 (ϕ0 ) ⊆ ψ gilt.

1.4 Filter und Ultrafilter

55

Beweis: Aufgabe6 (Hinweis: Man betrachte die sogenannte Evaluationsabbildung ω : X × Y X → Y : ω(x, f ) := f (x) und wende Lemma 1.4.14 an.) Hier noch eine kleine Knobelaufgabe, bei der man den Umgang mit Filtern, Ultrafiltern und all dem, was wir schon u ubsch trainieren kann: ¨ber sie wissen, ganz h¨ Aufgabe7 Ist X eine Menge, so bezeichnen wir mit P0 (X) := {M ⊆ X| M = ∅} die . Menge aller nichtleeren Teilmengen von X. F¨ ur x ∈ X sei x := {A ⊆ X| x ∈ A} der von x erzeugte Einpunktfilter. Weiterhin sei A := {f ∈ X P0 (X) | ∀A ∈ P0 (X) : f (A) ∈ A} die Menge aller derjenigen Funktionen von P0 (X) nach X, die jeder nichtleeren Teilmenge A von X irgendein Element von A zuordnen. Gegeben sei nun ein Filter ϕ auf P0 (X) mit der Eigenschaft . ∀f ∈ A : ∃xf ∈ X : f (ϕ) = xf Zeige: Dann ist ϕ ein Ultrafilter∗ auf P0 (X). Wir erarbeiten uns in diesem Abschnitt jetzt noch einen schillernden Satz u ¨ber Ultrafilter, der ein bißchen so aussieht, wie ich mir die Mutter aller Fixpunkts¨atze vorstellen w¨ urde. Um diesen Satz auch bequem beweisen zu k¨onnen, stellen wir zuvor ein freilich ebenfalls recht reizvolles Lemma bereit: Lemma 1.4.17: Zerlegungslemma Sei X eine Menge und f : X → X eine Abbildung von X in sich. Dann gibt es eine Zerlegung X = F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 mit (1) ∀x ∈ F : f (x) = x, ur i = j, (2) Xi ∩ Xj = ∅ f¨ ur i = 1, 2, 3. (3) f (Xi ) ∩ Xi = ∅ f¨ Beweis: Zun¨ achst setzen wir einfach F := {x ∈ X| f (x) = x}. Das ist leicht. Jetzt wird es ein bißchen komplizierter: sei    Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur i = j und ×3 
A := (A1 , A2 , A3 ) ∈ P(X \ F )  . f (Ai ) ⊆ F ∪ j=i Aj f¨ ur i = 1, 2, 3 Da zumindest (∅, ∅, ∅) ∈ A gilt, ist unser A jedenfalls nicht leer. Wir h¨atten gern maximale Elemente in A bez¨ uglich der komponentenweisen Inklusionsrelation ⊆×3 auf A. ∗

Die Frage dr¨ angt sich auf, ob so ein Filter ϕ auch zwangsl¨ aufig selbst ein Einpunktfilter auf P0 (X) sein muß oder nicht ... Vielleicht ist das ja ganz einfach zu kl¨ aren und ich seh’ bloß den Wald vor lauter B¨ aumen nicht – vielleicht ist es auch wirklich hart, keine Ahnung. Diskutiert wurde das Problem u.a. in [55]. Wer eine Antwort beweisen kann, m¨ oge sich bitte bei mir melden, z.B. per E-Mail unter [email protected].

56

1 Mengentheoretische Grundlagen

(Damit meinen wir (A1 , A2 , A3 ) ⊆×3 (B1 , B2 , B3 ) : ⇔ ∀i ∈ {1, 2, 3} : Ai ⊆ Bi .) Deren Existenz sichert das Zorn’sche Lemma, sobald wir zeigen k¨onnen, daß jede total geordnete Teilmenge von A eine obere Schranke in A hat. Sei also B ⊆ A total geordnet bez¨ uglich ⊆×3 . Wir setzen Ci :=



Bi

(B1 ,B2 ,B3 )∈B

f¨ ur i = 1, 2, 3. Hier folgte aus x ∈ Ci ∩ Cj bei i = j sogleich die Existenz von (B1 , B2 , B3 ), (B1 , B2 , B3 ) ∈ B mit x ∈ Bi ∩ Bj also auch x ∈ Bi ∩ Bj oder x ∈ Bi ∩ Bj , weil Bi ⊆ Bi oder Bj ⊆ Bj wegen der totalen Ordnung auf B gilt – im Widerspruch
zur Konstruktion von A ⊇ B. Weiterhin ist v¨ollig klar, daß f (Ci ) ⊆ F ∪ j=i Cj f¨ ur i = 1, 2, 3 gilt, da entsprechendes f¨ ur alle vereinigten Bi gilt. achlich in A liegt und es ist nat¨ urlich eine obere Wir sehen also, daß (C1 , C2 , C3 ) tats¨ Schranke f¨ ur B bez¨ uglich ⊆×3 . Wir k¨ onnen nun das Zorn’sche Lemma anwenden: Sei (X1 , X2 , X3 ) ein maximales Element von A bez¨ uglich ⊆×3 . Wir wollen jetzt nicht mehr lange herumkonstruieren und behaupten keck: X = F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 . Angenommen, dies w¨are nicht so. Dann g¨abe es ein x ∈ X \ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ). Wir bilden O := {f n (x)| n ∈ IN } (wobei wir mit f 0 (x) schlicht x selbst meinen) und unterscheiden folgende F¨ alle: 1. O \ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ) ist unendlich (und damit O ∩ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ) = ∅). Dann setzen wir X1 := X1 ∪{f 2n (x)| n ∈ IN } und X2 := X2 ∪{f 2n+1 (x)| n ∈ IN }, wodurch wir (X1 , X2 , X3 ) ⊂×3 (X1 , X2 , X3 ) ∈ A erhalten – im Widerspruch zur Maximalit¨ at von (X1 , X2 , X3 ). 2. O \ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ) ist endlich. Dann sei m die kleinste nat¨ urliche Zahl, f¨ ur die f m (x) ∈ {f k (x)| k < m} ∪ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ) gilt. Wir unterscheiden jetzt noch ein wenig subtiler: (a) Gilt f m (x) ∈ F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 , so kann f m (x) nach Konstruktion von A in h¨ochstens einem der Xi enthalten sein, so daß wir Xj mit f m (x) ∈ Xj w¨ ahlen k¨ onnen. Dann setzen wir
Xj := Xj ∪ {f m−1 (x)}, finden nat¨ urlich  m f (Xj ) = f (Xj ) ∪ {f (x)} ⊆ F ∪ i=j Xi und immer noch Xi ∩ Xj = ∅ f¨ ur i = j, da ja f m−1 (x) ∈ F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 gilt. Somit haben wir mit Xi := Xi f¨ ur i = j sogleich (X1 , X2 , X3 ) ∈ A – im Widerspruch zur Maximalit¨at von (X1 , X2 , X3 ) jedoch Xj ⊂ Xj . (b) Gilt f m (x) ∈ F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 , so existiert k < m mit f k (x) = f m (x).∗ Wir setzen y := f k (x) und P := {f h (y)| 0 ≤ h < m − k} und finden nat¨ urlich ∗

Eingedenk dessen, daß wir m als kleinste nat¨ urliche Zahl gew¨ ahlt hatten, f¨ ur die f m (x) ∈ k urfen wir sicher sein, daß auch nur ein solches {f (x)| k < m} ∪ (F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 ) gilt, d¨ k existiert.

1.4 Filter und Ultrafilter

57

P ∩(F ∪X1 ∪X2 ∪X3 ) = ∅. Ferner ist m− k ≥ 2, da sonst f m (x) = f m−1 (x) und damit f m−1 (x) ∈ F folgte. Wir setzen nun P1 := {y} P2 := {f 2n (y)| n ∈ IN, 0 < 2n < m − k} P3 := {f 2n+1 (y)| n ∈ IN, 0 < 2n + 1 < m − k} Dann gilt offenbar Pi ∩Pj = ∅ f¨ ur i = j und P1 ∪P2 ∪P3 = P , sowie f (P1 ) ⊆ P3 , f (P2 ) ⊆ P3 ∪ P1 und f (P3 ) ⊆ P2 ∪ P1 . Mit Xi := Xi ∪ Pi , i = 1, 2, 3 finden wir also (X1 , X2 , X3 ) ∈ A und (X1 , X2 , X3 ) ⊂×3 (X1 , X2 , X3 ) – im Widerspruch zur Maximalit¨ at von (X1 , X2 , X3 ). Da wir aus unsrer Annahme in jedem Falle einen Widerspruch erhalten haben, muß u
nscht. Wegen der paarweisen Disjunktheit also X = F ∪ X1 ∪ X2 ∪ X3 gelten wie gew¨ der Xi und Xi ⊆ X \ F sowie f (Xi ) ⊆ F ∪ j=i Xj ⊆ X \ Xi nach Konstruktion von A hat unsre Zerlegung auch tats¨ achlich die angegebene Eigenschaft (3). Streng genommen, haben wir sogar ein bißchen mehr bewiesen als das Zerlegungslemma aussagt: wir haben gezeigt, daß jedes maximale Element unsrer Menge A eine Zerlegung mit den im Zerlegungslemma angegebenen Eigenschaften liefert. Korollar 1.4.18 Sei X eine Menge, f : X → X eine Abbildung und ϕ ein Ultrafilter auf X. Dann gilt entweder (1) ∃F ∈ ϕ : ∀x ∈ F : f (x) = x oder (2) ∃U ∈ ϕ : f (U ) ∩ U = ∅. Beweis: Folgt unmittelbar aus Lemma 1.4.5 und dem Zerlegungslemma 1.4.17.

Satz 1.4.19 Sei X eine Menge, f : X → X eine Abbildung und ϕ ein Ultrafilter auf X mit f (ϕ) = ϕ. Dann existiert F ∈ ϕ mit ∀a ∈ F : f (a) = a. Beweis: Eine Teilmenge U ⊆ X mit U ∩ f (U ) = ∅ kann ϕ wegen f (ϕ) ⊆ ϕ nicht enthalten und muß folglich nach 1.4.18 die somit nichtleere Fixpunktmenge F von f enthalten. Ein bißchen eigent¨ umlich mag es anmuten, daß wir im Zerlegungslemma die Menge X ausgerechnet in 3 Teilmengen X1 , X2 , X3 neben der Fixpunktmenge zerlegt haben, statt etwa in 2, was ja u ur den Beweis von Satz ¨ bersichtlicher zu handhaben w¨are. F¨

58

1 Mengentheoretische Grundlagen

1.4.19 w¨ are es schließlich gleichg¨ ultig. Es ist auch nicht schwer zu sehen, daß die meisten Beweisschritte ebensogut f¨ ur 2 Mengen X1 , X2 funktionieren w¨ urden. Aufgabe8 Gib ein Beispiel daf¨ ur an, daß man im Zerlegungslemma 1.4.17 nicht mit nur 2 Teilmengen X1 , X2 neben der Fixpunktmenge F auskommt und begr¨ unde, an welcher Stelle der Beweis des Zerlegungslemmas nicht mit nur 2 Mengen X1 , X2 funktionieren w¨ urde.

1.4.3

Wie viele Ultrafilter gibt es auf einer Menge?

Wir basteln uns jetzt noch schnell eine Erkenntnis u ¨ ber die M¨achtigkeit der Familie aller Ultrafilter auf unendlichen Mengen zusammen.∗ Proposition 1.4.20 Sei X eine unendliche Menge. Dann gibt es eine Familie M ⊆ P(X) von Teilmengen von X mit 
(1) ∀F, G ⊆ M, F, G endlich: F ∩ G = ∅ ⇒ F ∈F F ⊆ G∈G G und (2) |M| = |P(X)|. Beweis: Wir definieren zun¨ achst zielstrebig ein paar seltsame Mengen: Q := {(E, E)| E ⊆ X endlich , E endliche Familie endlicher Teilmengen von X} und f¨ ur alle A ∈ P(X) dazu QA := {(E, E) ∈ Q| E ∩ A ∈ E} . Jetzt sind wir fast fertig – wir setzen erstmal probeweise N := {QA | A ⊆ X} und pr¨ ufen f¨ ur dieses Mengensystem Bedingung (1) nach. Seien also B, C zwei endliche Teilmengen von P(X) mit B ∩ C = ∅. Wegen B ∩ C = ∅ haben wir ∀B ∈ B, C ∈ C : B = C, so daß wir stets ein xBC ∈ (B \ C) ∪ (C \ B) ausw¨ahlen k¨onnen. Damit bilden wir E := {xBC | B ∈ B, C ∈ C}. Da B und C endlich sind, ist dann auch E endlich. Weiterhin setzenwir E := {E∩B| B ∈ B} und erhalten sofort (E, E) ∈ QB f¨ ur alle B ∈ B, also (E, E) ∈ B∈B QB . F¨ ur alle B ∈ B und C ∈ C haben wir freilich auch E ∩ B = E ∩ C (nach Konstruktion von E!). Nach Konstruktion von E liefert

das ∀C ∈ C : (E, E) ∈ QC , also (E, E) ∈ C∈C QC . Damit haben wir B∈B QB ⊆ C∈C QC , so daß (1) f¨ ur N jedenfalls erf¨ ullt ist. Nun ist die Familie aller endlichen Teilmengen E von X und daher auch die Familie aller endlichen Familien E endlicher Teilmengen von X gleichm¨achtig zu X (wegen Korollar 1.3.10), mithin auch deren Cartesisches Produkt (wegen Satz 1.3.9). Folglich existiert eine Bijektion f : Q → X. Wir setzen M := {f (QA )| A ⊆ X} = f (N) und sehen wegen der Bijektivit¨ at von f leicht ein, daß mit N auch M die Eigenschaft (1) erf¨ ullt und offensichtlich die M¨ achtigkeit |P(X)| hat. ∗

F¨ ur endliche Mengen w¨ are das langweilig – dort sind die Einpunktfilter ja schon alle Ultrafilter und ihre Anzahl daher ganz gut absch¨ atzbar ;-).

L¨osungsvorschl¨age

59

Satz 1.4.21 Sei X eine unendliche Menge. Dann gilt |F0 (X)| = |P(P(X))|. Beweis: Nach Proposition 1.4.20 existiert jedenfalls eine 
Menge M mit |M| = |P(X)| und ∀F, G ⊆ M, F, G endlich: F ∩ G = ∅ ⇒ F ∈F F ⊆ G∈G G. F¨ ur jede Teilmenge N von M stellen wir nun fest, daß BN := N ∪ {X \ G| G ∈ M \ N} eine Filtersubbasis ist: F¨ ur jede endliche Teilmenge U von N und jede endliche Teilmenge V von M \ N gilt ja nach Voraussetzung u ¨ ber M stets

U ⊆

U ∈U



V

V ∈V



ur jedes A ∈ M \ V mit A∈{A} A ⊆ V ∈V V = und außerdem V ∈V V = X, da sonst f¨ X die Bedingung an M verletzt w¨ are und folglich M = V gelten m¨ ußte, so daß M also wie V endlich w¨ are – im Widerspruch dazu, daß ja mit X auch P(X) und damit M unendlich ist. Das liefert nun    



U ∩ (X \ V ) = ∅ . U ∈U

V ∈V

Also ist unser BN tats¨ achlich eine Filterbasis und es existiert ein Ultrafilter ϕN auf X mit ϕN ⊇ BN . Die Abbildung ε : P(M) → F0 (X) : ε(N) := ϕN ist injektiv: Sind n¨amlich N1 , N2 verschiedene Teilmengen von M, so existiert ja o.B.d.A. eine Teilmenge F ∈ N1 \ N2 und wir erhalten sofort F ∈ BN1 ⊆ ϕN1 , aber X \ F ∈ BN2 ⊆ ϕN2 , also jedenfalls ϕN1 = ϕN2 . Daraus folgt |P(P(X))| = |P(M)| ≤ |F0 (X)|. Andrerseits haben wir F0 (X) ⊆ P(P(X)) und folglich |F0 (X)| ≤ |P(P(X))|.

L¨osungsvorschl¨age 1

Beispiele sind schnell bei der Hand: Da es jedenfalls mindestens ein (was f¨ ur eine Unteronnen wir als triviales Beispiel die Menge treibung!) stumpfwinkliges Dreieck in IR2 gibt, k¨ von dessen Eckpunkten heranziehen. Ein nicht ganz so triviales Beispiel ist etwa ein Halbkreis,

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1 Mengentheoretische Grundlagen

dem wir einen seiner Endpunkte wegnehmen. Beide Beispiele sind freilich keineswegs maximale stumpfe Mengen. Um deren Existenz nachzuweisen, wollen wir nat¨ urlich das Zorn’sche Lemma anwenden. Dazu m¨ ussen wir zeigen, daß jede (per Inklusion) total geordnete Teilmenge der Menge aller stumpfen Mengen eine obere Schranke bez¨ uglich Inklusion hat, die ebenfalls stumpf ist: Sei S also A eine bez¨ uglich Inklusion total geordnete Familie stumpfer Mengen. Wir setzen S := A∈A A. Sind nun x1 , x2 , x3 verschiedene Elemente von S, so existieren folglich (nicht notwendig verschiedene) Mengen A1 , A2 , A3 ∈ A mit x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 und x3 ∈ A3 . Nun ist aber A bez¨ uglich Inklusion total geordnet, daher sind A1 , A2 , A3 paarweise vergleichbar, so daß eines unsrer Ai , i = 1, 2, 3 die beiden anderen enthalten muß. Sei dies o.B.d.A. die Menge A3 . Dann folgt aber, daß auch x1 und x2 Elemente von A3 sind, A3 ist eine stumpfe Menge, also bilden ur beliebige 3 Punkte aus S gilt ist S selbst x1 , x2 , x3 ein stumpfwinkliges Dreieck. Da dies f¨ eine stumpfe Menge – und als Vereinigung aller Elemente von A selbstverst¨ andlich eine obere Schranke von A bez¨ uglich Inklusion. Dies wiederum funktioniert f¨ ur jede total geordnete Familie A stumpfer Mengen, so daß das Zorn’sche Lemma anwendbar ist und die Existenz maximaler stumpfer Mengen sichert. 2 Ist Y leer, existiert zwischen beiden Mengen u ¨ berhaupt nur die leere Abbildung und die ist als Funktion von X nach Y betrachtet surjektiv und als Funktion von Y nach X injektiv. Sei also Y nicht leer. Wenn nun X m¨ achtiger als Y ist, existiert also eine injektive Abbildung f : Y → X. Wir w¨ ahlen ein beliebiges y0 ∈ Y aus und setzen j −1 f (x) ; falls x ∈ f (X) g : X → Y : g(x) := ; sonst y0

womit wir offenkundig eine surjektive Abbildung haben. Existiert andrerseits eine surjektive Abbildung g : X → Y , so ist f¨ ur jedes y ∈ Y die Menge g −1 (y) nichtleer, so daß auf der Familie A := {g −1 (y) | y ∈ Y } eine Auswahlfunktion h : A → X mit ∀y ∈ Y : h(g −1 (y)) ∈ g −1 (y) existiert. Nun setzen wir einfach f : Y → X : f (y) := h(g −1 (y)) und rechnen schnell nach, daß unser f injektiv ist: Aus h(g −1 (y2 )) = h(g −1 (y2 )) folgt wegen der Disjunktheit verschiedener Elemente von A und der Auswahleigenschaft von h sogleich g −1 (y1 ) = g −1 (y2 ) und daraus durch Anwendung von g sofort y1 = y2 . Folglich ist X m¨ achtiger als Y . 3

Offensichtlich gilt schon wegen der einelementigen Teilmengen |X| ≤ |E|. ochstens n-elementigen Teilmengen von X Bei allen n ∈ IN gilt nun f¨ ur die Menge En aller h¨ ebenso offensichtlich |En | ≤ |X ×n |, wie man sich anhand einer naheliegenden Surjektion von X ×n auf En leicht u |En | ≤ |X|. Wegen ¨ berlegt. Mit Satz 1.3.9 liefert das schon mal ∀n ∈ IN : S Proposition 1.3.7 haben wir |IN | ≤ |X|, so daß mit Korollar 1.3.10 und E = n∈IN En nunmehr |E| ≤ |X| folgt. 4 Zun¨ achst ist verm¨ oge der offensichtlich injektiven Abbildung s : X → P(X) : s(x) := {x} schnell gekl¨ art, daß P(X) jedenfalls m¨ achtiger als X ist. Angenommen nun, X w¨ are gleichm¨ achtig zu P(X). Dann existierte also eine bijektive Abbildung f : X → P(X). Wir betrachten die Teilmenge A := {x ∈ X| x ∈ f (x)}. Da f bijektiv

L¨osungsvorschl¨age

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ist, muß ein a ∈ X existieren mit f (a) = A. Nun gilt entweder a ∈ A oder a ∈ A. Im Falle a ∈ A wissen wir nach Konstruktion von A, daß a ∈ f (a) = A gilt – ein Widerspruch. Aus a ∈ A = f (a) folgt freilich ebenso nach Konstruktion von A sofort a ∈ A, also ebenfalls ein Widerspruch. Mithin ist unsre Annahme falsch, d.h. X und P(X) k¨ onnen nicht gleichm¨ achtig sein. T T Daß ϕ ⊆ ψ∈F 0 (ϕ) ψ gilt, d¨ urfte klar sein. Zu zeigen bleibt also nur, daß auch ψ∈F 0 (ϕ) ψ ⊆ T ϕ gilt. Angenommen, das w¨ are einmal nicht so. Dann h¨ atten wir also eine Menge A ∈ ψ∈F 0 (ϕ) ψ mit A ∈ ϕ. Dann kann ϕ nat¨ urlich auch keine Teilmenge von A enthalten, mithin gilt f¨ ur alle Elemente P von ϕ stets P ∩ (X \ A) = ∅. Folglich ist, wie man sich leicht u ¨berzeugt, die Menge ϕ := {B ⊆ X| ∃P ∈ ϕ : P ∩ (X \ A) ⊆ B} ein Filter auf X, der zweifellos ϕ als Teilmenge und X \ A als Element enth¨ alt. Laut Korollar 1.4.3 gibt es dann einen Oberultrafilter von ϕ , der folglich ebenfalls X \A als Element enth¨ alt und auch Oberultrafilter von ϕ ist. Dieser kann aber nicht A als Element enthalten und folglich kann A nicht im Durchschnitt aller Oberultrafilter von ϕ liegen. 5

6

Die Evaluationsabbildung ω sei definiert als ω : X × Y X → Y : ω(x, f ) := f (x)

Dann ist offenbar F(ϕ) = ω(ϕ × F), wenn wir unter ϕ × F den von {P × F | P ∈ ϕ, F ∈ F} erzeugten Produktfilter verstehen wollen. Wir haben also einen Filter ϕ × F auf X × Y X , eine Abbildung ω : X × Y X → Y und einen Ultrafilter ψ auf Y , der das Bild des gegebenen Filters unter der gegebenen Funktion ω umfaßt. Somit liefert Lemma 1.4.14 die Existenz eines Ultrafilters U auf X × Y X , der ϕ × F umfaßt und f¨ ur den ω(U) = ψ gilt. Wir m¨ ussen nun noch zusehen, wie wir daraus Ultrafilter auf X bzw. Y X gewinnen. Es bietet sich an, den Ultrafilter U einfach erstmal auf X bzw. Y X zu projizieren – mal gucken, was passiert ... Wir definieren die Projektionsabbildungen pX : X × Y X → X : pX (x, f ) := x und pY X : X × Y X → Y X : pY X (x, f ) := f . ussen nun noch Dann sind ϕ0 := pX (U) und F0 := pY X (U) Ultrafilter auf X bzw. Y X . Wir m¨ zeigen, daß sie die gew¨ unschten Eigenschaften haben. Zun¨ achst einmal gilt ja U ⊇ (ϕ × F) und folglich ϕ0 = pX (U) ⊇ pX (ϕ × F) = ϕ, sowie analog F0 = pY X (U) ⊇ pY X (ϕ × F) = F. Bleibt also nur noch F0 (ϕ0 ) ⊆ ψ zu zeigen. Seien also P ∈ ϕ0 und F ∈ F0 gegeben. Wir haben zu zeigen, daß {f (x)| x ∈ P, f ∈ F } = ω(P × F ) Element von ψ ist. Wegen P ∈ ϕ0 = pX (U) existiert ein U1 ∈ U mit pX (U1 ) ⊆ P ur U := U1 ∩ U2 ∈ U und analog ein U2 ∈ U mit pY X (U2 ) ⊆ F wegen F ∈ F0 = pY X (U). F¨ haben wir also pX (U ) ⊆ P und pY X (U ) ⊆ F . Wegen U ⊆ pX (U ) × pY X (U ) liefert das U ⊆ P × F und folglich ω(U ) ⊆ ω(P × F ). Nun hatten wir ja ω(U) = ψ, also hier auch ω(U ) ∈ ψ, woraus nun wegen der Abgeschlossenheit von Filtern gegen Obermengenbildung auch ω(P × F ) ∈ ψ folgt. Dies gilt f¨ ur alle F ∈ F0 und P ∈ ϕ0 , folglich haben wir F0 (ϕ0 ) = ω(ϕ0 × F0 ) ⊆ ψ. 7 Wir zeigen, daß f¨ ur jede Teilmenge von P0 (X) entweder diese selbst oder ihr Komplement Element von ϕ ist. . 1. Fall: ∃a ∈ X : ∀f ∈ A : f (ϕ) = a Daraus folgt, daß auch eine Auswahlfunktion, die den Punkt a meidet, wo immer das m¨ oglich . ist, unser ϕ auf a abbildet. Dann enth¨ alt ϕ notwendig {{a}}, ist also ein Einpunkt- und damit

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1 Mengentheoretische Grundlagen

Ultrafilter. . . 2. Fall: ∃a, b ∈ X, f, g ∈ A : a = b ∧ f (ϕ) = a ∧ g(ϕ) = b Zun¨ achst folgt f −1 ({a}) ⊆ {A ∈ P0 (X)| a ∈ A} =: A ∈ ϕ und g −1 ({b}) ⊆ {A ∈ P0 (X)| b ∈ . . A} =: B ∈ ϕ (Bem.: nat¨ urlich ist A = a und B = b), also auch C := A ∩ B ∈ ϕ. Somit ist ϕ ein Filter auf C und es reicht zu zeigen, daß jede Teilmenge D von C entweder selbst Element von ϕ ist oder ihr Komplement (in C). Angenommen, dies w¨ are nicht so, d.h. ∃D ⊆ C : D ∈ ϕ∧Dc ∈ ϕ c alt jedes Element (mit D := C \ D). Daraus folgt ∀M ∈ ϕ : M ∩ D = ∅ ∧ M ∩ Dc = ∅. Nun enth¨ von C und damit auch von D und Dc sowohl a als auch b. Folglich existiert eine Auswahlfunktion h ∈ A mit 8 < a; falls M ∈ D h(M ) := b; falls M ∈ Dc : f (M ); falls M ∈ C (Bem.: Die Festlegung h(M ) = f (M ) f¨ ur M ∈ C ist unwesentlich, es muß eben nur irgendeine Wahl getroffen werden – und f (M ) ist wegen der Existenz von f jedenfalls m¨ oglich.) Da alle Elemente von ϕ sowohl D als auch Dc schneiden, folgt h(ϕ) := [{a, b}], was kein Einpunktfilter ist – im Widerspruch zur Voraussetzung. 8 Ein Beispiel ist schnell bei der Hand: Nehmen wir einfach die Menge X := {a, b, c} und die Abbildung f := {(a, b), (b, c), (c, a)}. Dann ist die Fixpunktmenge F leer und wie immer wir urden, stets h¨ atte eine von die dreielementige Menge auch in 2 Teilmengen X1 , X2 zerlegen w¨ beiden mehr Elemente als ihr Komplement. Da es sich um endliche Mengen handelt, k¨ onnte also das Komplement der gr¨ oßeren niemals das Bild derselben umfassen. Im Beweis des Zerlegungslemmas tritt ein Problem erst im Fall 2(b) auf, n¨ amlich wenn der endliche Zyklus P = {f h (y)| 0 ≤ h < m − k} ungerade M¨ achtigkeit hat. Dann n¨ amlich passiert genau dasselbe wie im obigen Beispiel: wollten wir uns mit 2 Mengen begn¨ ugen, h¨ atte f¨ ur eine von beiden die ihr zugeteilte Teilmenge von P mehr Elemente als ihr Komplement in P und wir w¨ urden durch Hinzuf¨ ugen der beiden Teilmengen von P zu den X1 , X2 die f¨ ur den Beweis oren. von Satz 1.4.19 wesentliche Eigenschaft f (Xi ) ∩ Xi = ∅ zerst¨

Der Redakteur langweilt sich und beschließt, nun endlich das Amtliche zu lesen, das seit zwei Wochen in der Brusttasche knistert. Ein Gericht h¨ alt sich ihm vor. Er, der Redakteur, h¨ atte geschrieben, emp¨ ort es sich. Man lebe aber in einem freiheitlichen Rechtsstaat. Der Redakteur muß wohl daran glauben, schreibt man ihm, widrigenfalls er in Verhaft genommen und gebessert w¨ urde. marvinius.net

2

Das Konzept Topologischer Raum Was ich habe, will ich nicht verlieren, aber was ich bin, will ich nicht bleiben, aber die ich liebe, will ich nicht verlassen, aber die ich kenne, will ich nicht mehr sehen, aber wo ich lebe, da will ich nicht sterben, aber wo ich sterbe, da will ich nicht hin: Bleiben will ich, wo ich nie gewesen bin. Thomas Brasch

Wie bereits erw¨ ahnt, befassen wir uns in der Allgemeinen Topologie mit Begriffen wie Konvergenz, Stetigkeit und daraus abgeleiteten Konstruktionen. Was meint nun aber ein Begriff wie Konvergenz? Nun, bei der Konvergenz von Folgen in der reellen oder komplexen Analysis stellen wir uns darunter vor, daß die fraglichen Folgen immer n¨aher, ja recht eigentlich sogar beliebig nah an einen Punkt des betrachteten Raumes heran” kommen“, d.h. daß in jeder beliebig kleinen N¨ahe dieses Punktes alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen. Was aber ist denn nah? Betrachten wir etwa die Menge aller seit 1600 publizierten Musikst¨ ucke – wie nah ist denn dann Alice Coopers Poison“ ” bei Mozarts Requiem“? Seltsame Frage ... und wollten wir darauf beharren, nur die ” Menge der Musikst¨ ucke und gar nichts sonst ins Blickfeld zu nehmen, bliebe sie schlicht nicht zu beantworten. Wir k¨ onnten uns aber auf irgendein Kriterium einigen, daß es uns gestatten w¨ urde, einen Abstand zwischen Musikst¨ ucken anzugeben – dann reden wir freilich nicht mehr nur u ¨ber die gegebene Menge, sondern zus¨atzlich eben u ¨ber unser Kriterium.

2.1

Metrische R¨aume

Metrische R¨ aume gehen nun auf nichts anderes, als den naheliegenden Versuch zur¨ uck, beliebige Mengen sozusagen als vermeßbar“ aufzufassen, Abst¨ande zwischen ihren Ele” menten angeben zu k¨ onnen. Dabei sollen m¨oglichst ein paar der uns vom ganz allt¨aglichen Abstandsbegriff vertrauten Eigenheiten mit¨ ubertragen werden: (1) Die Entfernung von mir selbst zu irgendeinem Ort ist stets eine positive reelle Zahl – mit genau einer Ausnahme: der Abstand von mir selbst zu mir selbst ist null.

66

2 Das Konzept Topologischer Raum

(2) Von Rostock nach Berlin ist es nicht wesentlich weiter als von Berlin nach Rostock. (3) Wenn ich auf dem Weg von Rostock nach Berlin einen Umweg u ¨ber Greifswald mache, darf ich mich nicht wundern, daß der Gesamtweg nicht gerade k¨ urzer wird. Das modellieren wir jetzt einfach formal nach. Definition 2.1.1 Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar (X, d) aus einer Menge X und einer Funktion d : X × X → IR mit folgenden Eigenschaften: (1) ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y (2) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x), (Symmetrie) (3) ∀x, y, z ∈ X : d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (Dreiecksungleichung) Die Funktion d heißt dann eine Metrik auf X. Gilt statt (1) nur (0) ∀x ∈ X : d(x, x) = 0 so heißt d eine Pseudometrik auf X und das Paar (X, d) dementsprechend ein pseudometrischer Raum. Offensichtlich ist jeder metrische Raum auch ein pseudometrischer. Bemerkung: Auch im pseudometrischen Fall folgt nat¨ urlich aus d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x, x) und d(x, y) = d(y, x) sofort ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0, nur k¨onnen wir aus d(x, y) = 0 nicht mehr auf x = y schließen. Beispiele: (1) diskrete Metrik: Sei X eine beliebige Menge, dann ist die durch  d(x, y) :=

0 ; x=y 1 ; x = y

definerte Funktion d : X ×X → IR eine Metrik auf X, wie man leicht nachrechnen kann. Sie heißt die diskrete Metrik auf X.

2.1 Metrische R¨aume

67

(2) euklidische Metrik: Sei X = IRn := {(x1 , ..., xn )| ∀i = 1, ..., n : xi ∈ IR}. Dann heißt die durch   n  d(x, y) :=  (xi − yi )2 i=1

definierte Funktion d : IRn × IRn → IR euklidische Metrik des IRn . (3) Maximumsmetrik: Sei X = IRn . Dann bezeichnen wir die durch d(x, y) := max |xi − yi | i=1,...,n

definierte Funktion d : IRn × IRn → IR als Maximumsmetrik des IRn . Eine solche kann freilich auch auf der Menge C([0, 1], IR) der stetigen reellen Abbildungen des abgeschlossenen Intervalles [0, 1] := {x ∈ IR| 0 ≤ x ≤ 1} betrachtet werden: d(f, g) := max{|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} und heißt dort ebenfalls Maximumsmetrik. ¨ (4) Selbst eine Art Ubertragung der euklidischen Metrik auf die Menge X := C([0, 1], IR) ist m¨ oglich. Die durch   1 d(f, g) := (f (x) − g(x))2 dx 0

definierte Funktion d : X × X → IR ist eine Metrik auf X. Nun, mit einem Abstandsbegriff ausger¨ ustet, sind wir in der Lage, zun¨achst die Konvergenz von Folgen in metrischen R¨ aumen zu erkl¨aren: Definition 2.1.2 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum, (xn )n∈IN eine Folge in X und y ∈ X. Dann sagen wir, die Folge (xn )n∈IN konvergiert gegen y (in Zeichen: xn → y) genau dann, wenn ∀ε > 0 : ∃nε ∈ IN : ∀k ≥ nε : d(xk , y) < ε . Das entspricht v¨ ollig dem Gebrauch, den wir aus der Analysis gew¨ohnt sind. Bemerkung: Ist (X, d) ein pseudometrischer, aber kein metrischer Raum, so existieren x = y ∈ X mit d(x, y) = 0. Dann konvergiert die konstante Folge (xn = x)n∈IN gegen y d

und die konstante Folge (yn = y)n∈IN gegen x. Umgekehrt folgt aus (xn = x)n∈IN → y stets d(x, y) = 0.

68

2 Das Konzept Topologischer Raum

Definition 2.1.3 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum. (1) Sei x ∈ X und ε > 0 eine reelle Zahl. Dann heißt U (x, ε) := {y ∈ X| d(x, y) < ε} die ε-Umgebung von x in X. (2) Eine Teilmenge O ⊆ X heißt offen (bez¨ uglich der (Pseudo-)Metrik d) genau dann, wenn gilt: ∀x ∈ O : ∃εx > 0 : U (x, εx ) ⊆ O , d.h. wenn sie zu jedem ihrer Punkte auch noch irgendeine komplette ε-Umgebung dieses Punktes umfaßt. Proposition 2.1.4 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum, x0 ∈ X und ε > 0 eine reelle Zahl. Dann ist U (x0 , ε) offen bez¨ uglich d. Beweis: Sei x ∈ U (x0 , ε), d.h. d(x0 , x) < ε. Dann ist δ := ε − d(x0 , x) > 0 und es gilt U (x, δ) ⊆ U (x0 , ε), denn aus y ∈ U (x, δ) folgt ja d(x, y) < δ und somit d(x0 , y) ≤ d(x0 , x) + d(x, y) < d(x0 , x) + δ = d(x0 , x) + (ε − d(xo , x)) = ε, also y ∈ U (x0 , ε).

Proposition 2.1.5 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum und sei O ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (1) O ist offen bez¨ uglich d. (2) F¨ ur jede Folge (xn )n∈IN aus X, die gegen einen Punkt von O konvergiert, gilt: ∃n0 ∈ IN : ∀k ≥ n0 : xk ∈ O. Beweis: (1)⇒(2)“: Sei eine Folge (xn )n∈IN gegeben, die gegen y ∈ O konvergiert. ” Dann existiert εy > 0 mit U (y, εy ) ⊆ O und wegen der Konvergenzdefinition folglich n0 ∈ IN mit ∀k ≥ n0 : xk ∈ U (y, εy ), also auch xk ∈ O. (2)⇒(1)“: Es gelte (2). Angenommen, O w¨are nicht offen. Dann g¨abe es also einen ” Punkt y ∈ O derart, daß keine ε-Umgebung von y komplett in O enthalten w¨are. Insbesondere k¨ onnen wir folglich f¨ ur alle n ∈ IN, n > 0 ein Element xn aus U (y, n1 ) \ O ausw¨ ahlen. Nun ist offensichtlich, daß die so entstehende Folge (xn )n∈IN gegen y konvergiert, aber keines ihrer Glieder in O liegt – im Widerspruch dazu, daß ja (2) gelten sollte.

2.1 Metrische R¨aume

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Lemma 2.1.6 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum und sei τd := {O ⊆ X| O offen bezgl. d} die Familie aller offenen Teilmengen von X. Dann gelten: (1) ∅ ∈ τd und X ∈ τd , (2) ∀O1 , O2 ∈ τd : O1 ∩ O2 ∈ τd und
(3) ∀A ⊆ τd : O∈A O ∈ τd . Beweis: (1) gilt trivialerweise nach Definition der offenen Mengen, da ∅ keine Punkte enth¨ alt, mithin auch keine Umgebungen zu umfassen braucht, w¨ahrend X nat¨ urlich alle Umgebungen umfaßt. (2): Sei x ∈ O1 ∩ O2 . Dann existieren also positive reelle Zahlen ε1 , ε2 mit U (x, ε1 ) ⊆ O1 und U (x, ε2 ) ⊆ O2 . W¨ ahlen wir ε := min(ε1 , ε2 ) so folgt sofort U (x, ε) ⊆ O1 ∩ O2 , mithin ist dieser Durchschnitt offen.
(3) Ist x ∈ O∈A O, so ist x Element mindestens eines der Elemente von A, sagen wir
x ∈ Ox ∈ A. Dann existiert also ein ε > 0 mit U (x, ε) ⊆ Ox ⊆ O∈A O.

Definition 2.1.7 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum, x ∈ X und U ⊆ X. Dann heißt U eine Umgebung von x genau dann, wenn es eine offene Teilmenge O ⊆ X derart gibt, daß x ∈ O ⊆ U gilt. Die Familie U (x) := {U ⊆ X| ∃O ∈ τd : x ∈ O ⊆ U } aller Umgebungen, die wegen Lemma 2.1.6 ein Filter auf X ist, heißt Umgebungsfilter von x (bez¨ uglich τd ). Da jede offene Umgebung von x insbesondere eine ε-Umgebung von x umfassen muß, ist es klar, daß die ε-Umgebungen von x eine Basis des Umgebungsfilters U (x) bilden. Proposition 2.1.8 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum. Eine Folge (xn )n∈IN in X konvergiert genau dann gegen y ∈ X, wenn ihr zugeh¨ origer Elementarfilter den Umgebungsfilter U (y) enth¨ alt. Beweis: Das ist genau die Sache, mit der wir zu Beginn von Abschnitt 1.4 das Filterkonzept etwas motivieren wollten! Konvergiert (xn )n∈IN gegen y, so heißt das ja nach Definition: ∀ε > 0 : ∃nε ∈ IN : ∀n ≥ nε : xn ∈ U (y, ε). Setzen wir also allgemein Ak := {xn | n ∈ IN, n ≥ k}

70

2 Das Konzept Topologischer Raum

so folgt ∀ε > 0 : ∃nε ∈ IN : Anε ⊆ U (y, ε). Nun wird der zur Folge geh¨orige Elementarfilter – nennen wir ihn ϕ – gerade von den Ak , k ∈ IN erzeugt, d.h. wir finden ∀ε > 0 : U (y, ε) ∈ ϕ, also auch U (y) ⊆ ϕ, weil ja U (y) just von den U (y, ε) erzeugt wird. Gilt umgekehrt ϕ ⊇ U (y) heißt das insbesondere f¨ ur alle Elemente U (y, ε) von U (y), daß es jeweils ein Basiselement Anε von ϕ geben muß, das unterhalb von U (y, ε) liegt, so daß also f¨ ur alle n ≥ nε eben xn ∈ U (y, ε) gelten muß. Dies f¨ ur alle ε > 0 liefert die Konvergenz unserer Folge gegen y.

Proposition 2.1.9 In jedem (pseudo-)metrischen Raum (X, d) besitzt jeder Umgebungsfilter eine abz¨ahlbare Filterbasis. Beweis: Sei x ∈ X. Betrachte die Familie B := {U (x, n1 )| n ∈ IN, n > 0}, die offensichtlich abz¨ ahlbar ist. Daß B eine Basis von U (x) ist, folgt nun einfach deshalb, weil jedes Element von U (x) eine offene Umgebung von x umfaßt, diese eine ε-Umgebung und diese schließlich eine n1 -Umgebung von x.∗ An dieser Stelle k¨ onnen wir schon mal die im vorigen Kapitel angedeutete Idee ausprobieren, auch Filtern eine Konvergenz zuzuschreiben. Dazu lassen wir uns von Proposition 2.1.8 leiten und definieren: Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum, x ∈ X und ϕ ∈ F(X). ϕ heiße konvergent gegen x genau dann, wenn ϕ ⊇ U (x) gilt. In Zeichen: ϕ → x, ¨ Aquivalente Formulierung: ϕ konvergiert gegen x ¨ Mal gucken, was passiert. Wir versuchen eine Ubertragung von Proposition 2.1.5. Proposition 2.1.10 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum und O ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (1) O ist offen bez¨ uglich d. (2) Jeder Filter ϕ auf X, der gegen ein Element von O konvergiert, enth¨alt O als Element. ∗

Hier profitieren wir von einer archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen: ∀ε > 0 : ∃n ∈ IN : n1 < ε.

2.1 Metrische R¨aume

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Beweis: (1)⇒(2)“: Aus ϕ → o ∈ O folgt per Definition der Filterkonvergenz ϕ ⊇ ” U (o)  O. (2)⇒(1)“: Insbesondere haben wir nat¨ urlich ∀o ∈ O : U (o) → o und folglich wegen (2) ” ∀o ∈ O : O ∈ U (o). Da nun die ε-Umgebungen jedes o ∈ O eine Basis von U (o) bilden, muß O zu jedem seiner Elemente folglich auch eine εUmgebung ganz umfassen und ist somit offen. Wir wollen uns nun noch kurz um den Begriff der Stetigkeit von Funktionen k¨ ummern. Ganz wie wir es aus der Analysis kennen, definieren wir diesen Begriff auch hier: Definition 2.1.11 Seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) (pseudo-)metrische R¨aume. Eine Funktion f : X1 → X2 heißt stetig genau dann, wenn ∀x ∈ X1 : ∀ε > 0 : ∃δx,ε > 0 : ∀y ∈ X1 : d1 (x, y) < δx,ε ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε gilt. Etwas k¨ urzer ausgedr¨ uckt: f ist stetig genau dann, wenn ∀x ∈ X1 : ∀ε > 0 : ∃δx,ε > 0 : f (U (x, δx,ε )) ⊆ U (f (x), ε) . Lemma 2.1.12 Seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) (pseudo-)metrische R¨aume. Eine Funktion f : X1 → X2 ist genau dann stetig, wenn das Urbild f −1 (O) jeder bez¨ uglich d2 offenen Teilmenge O von X2 wieder offen in X1 bez¨ uglich d1 ist. Beweis: Sei zun¨ achst f stetig und O ∈ τd2 . Ist dann x ∈ f −1 (O), so haben wir folglich y = f (x) ∈ O, daher eine Umgebung U (f (x), ε) ⊆ O, weil ja O offen ist. Nun liefert die Stetigkeit die Existenz einer Umgebung U (x, δx,ε ) mit f (U (x, δx,ε )) ⊆ U (f (x), ε) ⊆ O und folglich U (x, δx,ε ) ⊆ f −1 (O). Sei nun f eine Funktion derart, daß das Urbild jeder bez¨ uglich d2 offenen Teilmenge von X2 wieder offen bez¨ uglich d1 in X1 ist. Sind x ∈ X1 und ε > 0 gegeben, so ist ja insbesondere U (f (x), ε) offen bez¨ uglich d2 , mithin laut Voraussetzung f −1 (U (f (x), ε)) offen bez¨ uglich d1 und nat¨ urlich gilt x ∈ f −1 (U (f (x), ε)). Folglich muß ein δ > 0 exi−1 stieren mit U (x, δ) ⊆ f (U (f (x), ε)), woraus sofort f (U (x, δ)) ⊆ U (f (x), ε) folgt. Da dies f¨ ur alle x ∈ X1 und ε > 0 gilt, ist f nach Definition stetig.

Lemma 2.1.13 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum und ∅ = A ⊆ X. Dann ist die Funktion dA : X → IR : dA (x) := inf d(x, a) a∈A

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2 Das Konzept Topologischer Raum (wobei IR mit euklidischer Metrik ausger¨ ustet sei) stetig.

Beweis: Aufgabe1 Bemerkung: Insbesondere gilt das nat¨ urlich f¨ ur einpunktige Teilmengen A := {p}. So weit, so sch¨ on. Wir wollen jetzt ein Beispiel daf¨ ur angeben, warum metrische und selbst pseudometrische R¨ aume und Folgenkonvergenz einen in mancherlei Hinsicht dennoch unbefriedigenden Rahmen zur Behandlung von Konvergenz- und Stetigkeitsfragen bilden. Dazu betrachten wir die Menge IRIR aller Funktionen von IR nach IR und erinnern uns an eine der einfachsten Formen von Konvergenz in R¨aumen von Funktionen – die punktweise Konvergenz: Wir sagen, eine Folge (fn )n∈IN aus IRIR konvergiert punktweise gegen eine Funktion f ∈ IRIR genau dann, wenn ∀x ∈ IR : (fn (x))n∈IN → f (x) gilt, d.h. wenn f¨ ur jede reelle Zahl x ∈ IR die Folge der Bilder, die unsre Funktionenfolge (fn ) an der Stelle x liefert, gegen das Bild f (x) von f an dieser Stelle konvergiert. Entsprechend sagen wir, daß ein Filter F auf IRIR punktweise gegen eine Funktion f ∈ IRIR konvergiert genau dann, wenn ∀x ∈ IR : F (x) → f (x) gilt, wobei nat¨ urlich F (x) := [{F (x)| F ∈ F }]F(IR) mit F (x) := {g(x)| g ∈ F } gemeint ist. (Dabei legen wir der Konvergenz im Bildraum IR die u ¨ bliche euklidische Metrik zugrunde, d.h. den aus der Analysis bekannten Differenzenbetrag als Abstand.)

Lemma 2.1.14 Es gibt keine Pseudometrik auf IRIR , die der punktweisen Konvergenz zugrundeliegt. Beweis: Wir werden wieder einmal indirekt vorgehen. Annahme: Es gibt eine Pseudometrik d auf IRIR derart, daß Konvergenz bez¨ uglich d gleich der punktweisen Konvergenz ist. Nun werden wir in 3 Schritten einen Widerspruch aus unsrer Annahme ableiten. Dabei halten wir uns vor Augen, daß unsre Annahme ja die Anwendbarkeit der bereits gewonnenen Erkenntnisse u ¨ber offene Mengen in pseudometrischen R¨aumen impliziert. Die ersten beiden Schritte betreffen die Gestalt offener Umgebungen einer beliebigen, aber fest gew¨ ahlten Funktion f0 ∈ IRIR . Sei also f0 ∈ IRIR gegeben.

2.1 Metrische R¨aume

73

(1) Alle Mengen der Gestalt HE,ε := {f ∈ IRIR | ∀x ∈ E : f (x) ∈ U (f0 (x), ε)} mit endlicher Menge E ⊆ IR und reellem ε > 0 sind offen bez¨ uglich punktweiser Konvergenz, denn: Seien E = {x1 , ..., xk } ⊆ IR, k ∈ IN , ε > 0 gegeben und sei (gn )n∈IN eine beliebige Folge in IRIR , die punktweise gegen ein Element g von HE,ε konvergiert. Das bedeutet insbesondere ∀i = 1, ...k : ∀IR  δi > 0 : ∃ni ∈ IN : ∀n ≥ ni : gn (xi ) ∈ U (g(xi ), δi ) W¨ ahlen wir nun jeweils δi := ε − |f0 (xi ) − g(xi )|, so erhalten wir ∀i = 1, ...k : ∃ni ∈ IN : ∀n ≥ ni : gn (xi ) ∈ U (f0 (xi ), ε) so daß wir jetzt nur noch n0 := max{n1 , ..., nk } setzen m¨ ussen, um ∀i = 1, ...k : ∀n ≥ n0 : gn (xi ) ∈ U (f0 (xi ), ε) zu erhalten, was freilich nichts anderes als ∀n ≥ n0 : gn ∈ HE,ε bedeutet. Da solches f¨ ur beliebige gegen ein beliebiges Element g von HE,ε konvergierende Folgen gilt, k¨ onnen wir mit Proposition 2.1.5 schließen, daß HE,ε offen bez¨ uglich unsrer angenommenen Pseudometrik d ist. (2) Ist M eine beliebige offene Umgebung von f0 , so existiert eine endliche Teilmenge E ⊆ IR und ein ε > 0 derart, daß HE,ε ⊆ M gilt, denn: Angenommen, dies w¨ are nicht so. Das w¨ urde bedeuten, daß f¨ ur alle endlichen Teilmengen E ⊆ IR und alle ε > 0 stets HE,ε \ M = ∅, also HE,ε ∩ (IRIR \ M) gilt. Nun ist freilich die Familie B := {HE,ε | E ⊆ IR endlich, ε > 0} wegen HE1 ,ε1 ∩ HE2 ,ε2 ⊇ HE1 ∪E2 ,ε mit ε := min{ε1 , ε2 } eine Filterbasis. Somit ist wegen der nichtleeren Durchschnitte mit (IRIR \ M) die Familie B ∪ {IRIR \ M} immerhin noch eine Filtersubbasis. Sei F der davon erzeugte Filter auf IRIR . Nun haben wir f¨ ur jedes x ∈ IR und jedes ε > 0 stets H{x},ε ∈ F und daher U (f0 (x), ε) = H{x},ε (x) ∈ F (x), mithin F (x) ⊇ U (f0 (x)). Das ergibt ∀x ∈ IR : F (x) → f0 (x), also die punktweise Konvergenz von F gegen f0 . Weiterhin haben wir IRIR \ M ∈ F , also M ∈ F , was wegen Proposition 2.1.10 der Offenheit von M widerspricht. Die Annahme, keines der HE,ε sei Teilmenge von M, muß also falsch sein. (3) Da (X, d) ein pseudometrischer Raum sein soll, muß auch f0 laut Proposition 2.1.9 eine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis haben. Sei dies etwa A := {An | n ∈ IN }. Da jede Umgebung Obermenge einer offenen Umgebung ist, k¨onnen wir dann auch eine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis A := {An | n ∈ IN } aus offenen Umgebungen von f0 finden. Wegen (2) gibt es dann aber auch eine abz¨ahlbare Umgebungsbasis der Art E := {HEn ,εn | n ∈ IN } aus offenen Umgebungen vom beschriebenen Typ
HE,ε . Wir bilden jetzt die Vereinigung S := n∈IN En mit den Mengen En , die unsrer Umgebungsbasis E zugrundeliegen. Nun ist eine abz¨ahlbare Vereinigung

74

2 Das Konzept Topologischer Raum endlicher Mengen stets abz¨ ahlbar, IR ist aber u ¨ berabz¨ahlbar. Somit ist IR \ S nicht leer und wir k¨ onnen eine reelle Zahl r ∈ IR \ S ausw¨ahlen. Damit ist nun aber offenbar keines unserer Basiselemente aus E Teilmenge von H{r},1 , obwohl H{r},1 wegen (1) Umgebung von f0 ist – Widerspruch.

2.2

Topologische R¨aume Geburtsakt der Philosophie Erschrocken staunt der Heide Schaf mich an, als s¨ ah’s in mir den ersten Menschenmann. Sein Blick steckt an, wir stehen wie im Schlaf: Mir ist, ich s¨ ah’ zum ersten Mal ein Schaf! Christian Morgenstern

Wir haben im letzten Abschnitt bemerkt, daß sich wichtige Eigenschaften metrischer R¨ aume bereits durch die offenen Mengen darin beschreiben lassen. Um nun zu Strukturen zu gelangen, die den zuletzt erw¨ ahnten Makel und einige andere M¨angel nicht aufweisen, lassen wir uns von Lemma 2.1.6, Proposition 2.1.8 und Proposition 2.1.10 leiten, denn wir haben zwar gesehen, daß man die punktweise Konvergenz in IRIR nicht durch eine Metrik beschreiben kann – doch gegen eine Beschreibung durch Systeme offener Mengen spricht bislang nichts. Nur dagegen, zur Beschaffung der (zur Konvergenzbeschreibung immerhin ausreichenden!) offenen Mengen stets eine Metrik heranziehen zu wollen, sprach unser Beispiel. Immerhin haben wir just am Beispiel der punktweisen Konvergenz in IRIR die offenen Mengen im Prinzip ohne Metrik (n¨ amlich nur mit Bezug auf offene Mengen des Bildraumes) konstruiert. Es bietet sich also geradezu an, statt einer Metrik offene Mengen als Ausgangspunkt der Betrachtung zu w¨ ahlen. Wir ziehen Lemma 2.1.6 als Definition heran: Definition 2.2.1 Sei X eine Menge und τ ⊆ P(X). Die Familie τ heißt eine Topologie auf X genau dann, wenn (1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ , (2) ∀A, B ∈ τ : A ∩ B ∈ τ und


 (3) ∀A ⊆ τ : A∈A A ∈ τ gelten. Das geordnete Paar (X, τ ) heißt dann topologischer Raum. Die Elemente von τ werden offene Mengen (bez¨ uglich τ ) genannt.

2.2 Topologische R¨aume

75

Beispiele: (1) Sei X eine Menge, dann ist die Familie τ := {∅, X} eine Topologie auf X. Man nennt sie die triviale oder auch indiskrete Topologie auf X. (2) F¨ ur jede Menge X ist τ := P(X) eine Topologie auf X. Sie heißt diskrete Topologie auf X. (3) Sei X := {0, 1}. Dann ist τ := {∅, X, {0}} eine Topologie auf X. (X, τ ) heißt in diesem Fall Sierpinski-Raum. (4) Ist X eine Menge und ϕ ein Filter auf X, so ist die Familie τ := ϕ ∪ {∅} offensichtlich eine Topologie auf X – sozusagen die erweiterte und im allgemeinen noch viel abgefahrenere Variante des Sierpinski-Raumes∗ ... (5) Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist die Menge τd aller bez¨ uglich d offenen Mengen laut Lemma 2.1.6 eine Topologie auf X. (6) Ist insbesondere X = IRn und d die u ¨ bliche euklidische Metrik, so nennen wir die erzeugte Topologie τe auch euklidische Topologie. (7) Sei X eine unendliche Menge. Dann bildet die Familie τ := {∅} ∪ {M ⊆ X| (X \ M ) endlich} eine Topologie auf X – die sogenannte kofinite Topologie.†

Proposition 2.2.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und O ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (1) O ∈ τ (2) ∀x ∈ O : ∃Ux ∈ τ : x ∈ Ux ⊆ O Beweis: (1)⇒(2)“: trivial mit Ux := O f¨ ur alle x. ” (2)⇒(1)“: gilt (2), so ist O gleich der Vereinigung aller Ux ∈ τ, x ∈ O, also selbst offen. ” ∗ †

Den Sierpinski-Raum .kann man sich auf ebensolche Weise auf der zweipunktigen Menge {0, 1} mit dem Filter 0 erkl¨ art vorstellen F¨ ur endliches X w¨ urden wir nat¨ urlich auch eine Topologie herausbekommen, n¨ amlich die diskrete.

76

2 Das Konzept Topologischer Raum

Definition 2.2.3 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, x ∈ X und ϕ ∈ F(X). Wir sagen ϕ konvergiert τ gegen x bez¨ uglich τ (in Zeichen: ϕ → x) genau dann, wenn .

ϕ⊇x∩τ , d.h. genau dann, wenn ϕ alle diejenigen τ -offenen Mengen als Elemente enth¨alt, die x als Element enthalten. . Der von x ∩ τ erzeugte Filter U τ (x) := {B ⊆ X| ∃O ∈ τ : x ∈ O ⊆ B} heißt Umgebungsfilter von x bez¨ uglich τ . Besteht u ¨ ber die zugrundeliegende Topologie kein Zweifel, l¨aßt man den Buchstaben τ u ¨berm Konvergenzpfeil und an U (x) auch gern weg. Der Umgebungsfilter, wie er hier definiert ist, stimmt nat¨ urlich im Falle einer durch eine Metrik d erzeugten Topologie τd mit dem f¨ ur den entsprechenden metrischen Raum definierten Umgebungsfilter u ¨ berein. Die Elemente von U (x) heißen auch hier Umgebungen von x. τ Offensichtlich gilt ϕ → x genau dann, wenn ϕ ⊇ U (x), ganz wie in metrischen R¨aumen.

Lemma 2.2.4 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und O ⊆ X. Dann sind a¨quivalent: (1) O ∈ τ (2) ∀x ∈ O, ϕ ∈ F(X) : (ϕ → x) ⇒ (O ∈ ϕ), d.h. jeder Filter, der gegen ein Element von O konvergiert, enth¨alt O. .

Beweis: (1)⇒(2)“: Aus x ∈ O folgt O ∈ x und somit aus ϕ → x nach Definition 2.2.3 ” auch O ∈ ϕ. (2)⇒(1)“: Gelte (2). Insbesondere konvergiert ja stets U (x) gegen x, d.h. wir haben ” ∀x ∈ O : U (x) → x, folglich wegen (2) auch ∀x ∈ O : O ∈ U (x) und somit wegen der Definition der Umgebungsfilter ∀x ∈ O : ∃A


x ∈ τ : x ∈ Ax ⊆ O. Das liefert aber O = x∈O {x} ⊆ x∈O Ax ⊆ O und damit x∈O Ax = O. Als Vereinigung offener Mengen ist O folglich offen. Die Umgebungsfilter eines topologischen Raumes (X, τ ) bilden eine (durch τ eindeutig bestimmte!) Familie von den Punkten von X zugeordneten Filtern (U (x))x∈X . Man kann sich nun fragen, ob irgendein solches den Punkten zugeordnetes System (ϕx )x∈X von Filtern auch eindeutig eine Topologie definiert. Nun, die Eindeutigkeit w¨are durch Lemma 2.2.4 gekl¨ art, wenn u ¨ berhaupt eine Topologie zum fraglichen Filtersystem existierte.

2.2 Topologische R¨aume

77

Satz 2.2.5 Sei X = ∅ eine Menge. Jedem x ∈ X sei ein Filter ϕx ∈ F(X) zugeordnet. Genau dann existiert auf X eine Topologie τ mit der Eigenschaft ∀x ∈ X : U τ (x) = ϕx , wenn (1) ∀x ∈ X : P ∈ ϕx ⇒ x ∈ P und (2) ∀x ∈ X, U ∈ ϕx : ∃V ∈ ϕx : ∀y ∈ V : U ∈ ϕy gelten. Beweis: Existiere eine Topologie τ auf X mit ∀x ∈ X : U(x) = ϕx . Dann folgt (1) trivial nach Definition der Umgebungsfilter und (2) erhalten wir auch ganz einfach: U ∈ ϕx = U (x) ⇒ ∃V ∈ τ : x ∈ V ⊆ U ⇒ ∀y ∈ V : y ∈ V ⊆ U ⇒ U ∈ U (y) = ϕy . M¨ ogen nun also (1) und (2) gelten. Dann definieren wir uns ein Mengensystem τ := {O ⊆ X| ∀x ∈ O : O ∈ ϕx }. Wir pr¨ ufen zun¨achst, daß wir so tats¨achlich eine Topologie erhalten: ∅, X ∈ τ gilt trivialerweise; sind O1 , O2 ∈ τ und x ∈ O1 ∩ O2 , so finden wir O1 ∈ ϕx und O2 ∈ ϕx , also wegen der Filtereigenschaft auch O1 ∩ O2 ∈ ϕx , so daß
O1 ∩ O2 ∈
τ folgt; f¨ ur A ⊆
τ und x ∈ A∈A A folgt ∃Ax ∈ A ⊆ τ : x ∈ Ax , also ϕx  Ax ⊆ A∈A A, folglich A∈A A ∈ ϕx . Seien nun x ∈ X, U ∈ U (x) gegeben. Nach Definition der Umgebungsfilter haben wir folglich ∃V ∈ τ : x ∈ V ⊆ U , nach Konstruktion unsrer Topologie τ folgt aus x ∈ V stets V ∈ ϕx , hier also auch U ∈ ϕx . Das ergibt U (x) ⊆ ϕx . Sei andrerseits x ∈ X, P ∈ ϕx . Wir betrachten Mx := {y ∈ P | P ∈ ϕy }. Wir wollen zeigen, daß Mx offen bez¨ uglich unsrer Topologie τ ist. Sei also y ∈ Mx . Wegen P ∈ ϕy folgt nach (2) sogleich ∃V ∈ ϕy : ∀z ∈ V : P ∈ ϕz , also z ∈ Mx . Das ergibt V ⊆ Mx , also Mx ∈ ϕy . Dies f¨ ur alle y ∈ Mx bedeutet, daß Mx offen bez¨ uglich τ ist und somit Mx ⊆ P ∈ U (x). Das wiederum f¨ uhrt, da es f¨ ur alle P ∈ ϕx gilt, zu ϕx ⊆ U (x).

Definition 2.2.6 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Dann heißt A abgeschlossen genau dann, wenn X \ A ∈ τ , d.h. wenn das Komplement von A offen ist. Offensichtlich folgen aus den definierenden Eigenschaften einer Topologie sofort folgende Aussagen u ¨ ber abgeschlossene Mengen: (1) ∅ und der ganze Raum X sind abgeschlossen. (2) Sind A und B abgeschlossen, so ist auch A ∪ B abgeschlossen. (3) Sind alle Ai , i ∈ I abgeschlossen, so ist auch

 i∈I

Ai abgeschlossen.

78

2 Das Konzept Topologischer Raum

Proposition 2.2.7 Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes (X, τ ) ist genau dann abgeschlossen, wenn ∀x ∈ X : (∀U ∈ U (x) : A ∩ U = ∅) ⇒ x ∈ A ,

(2.1)

d.h. wenn jeder Punkt, dessen s¨ amtliche Umgebungen die Menge A nichtleer schneiden, bereits zu A geh¨ ort. Beweis: Ist A abgeschlossen, so ist X \A offen, folglich Umgebung jedes seiner Punkte, von denen mithin keiner die geforderte Eigenschaft (2.1) erf¨ ullt, w¨ahrend alle Elemente von A dies trivialerweise tun. Gelte (2.1). Dann besteht X \ A ausschließlich aus Punkten, die eine zu A disjunkte, folglich ganz in X \ A liegende Umgebung haben. Somit ist X \ A offen.

2.2.1

Offener Kern und abgeschlossene Hu ¨ lle

Definition 2.2.8 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und ϕ ∈ F(X). Ein Punkt x ∈ X heißt Ber¨ uhrungspunkt (oder Adh¨arenzpunkt) von ϕ genau dann, wenn es einen Oberfilter von ϕ gibt, der gegen x konvergiert. Die Menge aller Adh¨arenzpunkte von ϕ bezeichnen wir mit adh(ϕ). Ist A eine Teilmenge von X, so heißt ein Punkt x ∈ X genau dann Ber¨ uhrungspunkt der Menge A, wenn er Ber¨ uhrungspunkt des Hauptfilters [A] ist, d.h. wenn es einen Filter gibt, der A enth¨ alt und gegen x konvergiert. Die Menge aller Ber¨ uhrungspunkte von A heißt der Abschluß oder die abgeschlossene H¨ ulle von A und wird mit A bezeichnet. Bemerkung: Wenn ein Filter ϕ einen Oberfilter ψ hat, der gegen einen Punkt x konvergiert, so konvergiert erst recht jeder Oberultrafilter von ψ gegen x. Daher ist ein Punkt x genau dann Ber¨ uhrungspunkt von ϕ, wenn ϕ einen Oberultrafilter hat, der gegen x konvergiert. Zuweilen ist es bequemer, mit dieser Eigenschaft zu argumentieren.

Proposition 2.2.9 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A eine Teilmenge von X. Es gilt f¨ ur alle x ∈ X: .

x ∈ A ⇐⇒ ∀U ∈ x ∩ τ : A ∩ U = ∅ , d.h. ein Punkt x geh¨ ort genau dann zur abgeschlossenen H¨ ulle von A, wenn jede offene Umgebung (und damit automatisch jedes Element des Umgebungsfilters) die Menge A nichtleer schneidet.

2.2 Topologische R¨aume

79 .

Beweis: Gilt x ∈ A, so existiert also ein Filter ϕ, der x ∩ τ umfaßt und A enth¨alt, . mithin folgt A ∩ U = ∅ f¨ ur alle U ∈ x ∩ τ aus der Filtereigenschaft von ϕ. . . Gilt umgekehrt A ∩ U = ∅ f¨ ur alle U ∈ x ∩ τ , so ist die Familie (x ∩ τ ) ∪ {A} eine Filtersubbasis, deren erzeugter Filter ϕ offenbar gegen x konvergiert und A enth¨alt. Folglich gilt x ∈ A nach Definition. Aufgabe2 Kann ein konvergenter Filter auf einem topologischen Raum auch Ber¨ uhrungspunkte haben, gegen die er nicht konvergiert?

Definition 2.2.10 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Ein Punkt x ∈ A heißt innerer Punkt von A genau dann, wenn es eine offene Menge U ∈ τ mit x ∈ U ⊆ A gibt, d.h. wenn A Umgebung von x ist. Die Menge aller inneren Punkte von A heißt das Innere oder auch offener Kern von A. (In Zeichen: int(A).)

Proposition 2.2.11 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A eine Teilmenge von X. Dann gelten (1) X \ int(A) = X \ A und (2) X \ A = int(X \ A).

Beweis: (1) Nach Definition liegt ein Punkt x ∈ X genau dann in X \ A, wenn es einen Filter ϕ gibt, der X \ A enth¨ alt und gegen x konvergiert. Ist dies der Fall, kann x keine offene Umgebung haben, die ganz in A enthalten w¨are, denn eine solche w¨are disjunkt zu X \ A, m¨ ußte aber wegen der Konvergenz dennoch Element von ϕ sein – im Widerspruch zur Filtereigenschaft von ϕ. Das liefert X \ A ⊆ X \ int(A). Gilt andererseits x ∈ X \ int(A), so heißt das ja, daß keine offene Umgebung von x ganz in A enthalten ist, daß also jede offene Umgebung von x die Menge X \ A nichtleer schneidet. Damit folgt x ∈ X \ A nach 2.2.9. Dies liefert X \ int(A) ⊆ X \ A. (2) Wir setzen in (1) einfach X \ A anstelle von A ein und erhalten X \ int(X \ A) = X \ (X \ A) = A . Komplementbildung liefert dann int(X \ A) = X \ A.

80

2 Das Konzept Topologischer Raum

Proposition 2.2.12 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, n ∈ IN eine nat¨ urliche Zahl, I irgendeine Indexmenge und A, B, A1 , ..., An sowie Ai f¨ ur alle i ∈ I Teilmengen von X. Dann gelten (1) int(A) ⊆ A (2) int(A) ist die gr¨ oßte offene Teilmenge von A, d.h. 

int(A) =

G.

G∈τ,G⊆A

(3) int(A) ∈ τ und int(int(A)) = int(A) (4) int(A) = A ⇐⇒ A ∈ τ (5) Aus A ⊆ B folgt stets int(A) ⊆ int(B). (6) Es gilt 

 int(Ai ) ⊆ int

i∈I



 Ai

i∈I

f¨ ur beliebige Vereinigungen.∗ (7) Es gilt

 int(Ai ) ⊇ int

i∈I



 Ai

i∈I

f¨ ur beliebige Durchschnitte† (Ai )i∈I . (8) F¨ ur endliche Durchschnitte‡ gilt sogar Gleichheit:  n n



Ai = int(Ai ) . int i=1

i=1

(9) int(∅) = ∅ und int(X) = X ∗ † ‡

Es gilt keineswegs unbedingt Gleichheit! Man kann sich das anhand von IR mit euklidischer Topologie leicht u ahlt. ¨ berlegen, indem man etwa I = IR und ∀i ∈ IR : Ai := {i} w¨ Man mache sich wiederum klar, daß nicht notwendig Gleichheit gilt, z.B. anhand der euklidischen Topologie auf IR, indem man z.B. I = IN + , An := U (0, n1 ) w¨ ahlt. Daß selbst im endlichen Fall die Gleichheit nicht f¨ ur die Vereinigungen gelten muß, kann man sich z.B. am Sierpinski-Raum klarmachen.

2.2 Topologische R¨aume

81

Beweis: (1) Alle Elemente von int(A) sind laut Definition 2.2.10 bereits Elemente von A. (2) Ist G eine offene Teilmenge von A, so ist G eine offene Umgebung
jedes Elementes von G, d.h. jedes Element von G ⊆ A liegt auch in int(A). Das ergibt G∈τ,G⊆A G ⊆ int(A). Gilt andererseits x ∈ int(A), so existiert laut
Definition 2.2.10 eine offene Menge U mit x ∈ U ⊆ A, die also in der Vereinigung G∈τ,G⊆A G enthalten ist. Das liefert
G∈τ,G⊇A G ⊆ int(A). (3) Nach (2) ist int(A) eine Vereinigung offener Mengen, also selbst offen, d.h. int(A) ∈ τ . Daher ist int(A) eine offene Teilmenge von sich selbst, woraus  G = int(int(A)) int(A) = G∈τ,G⊆int(A)

wiederum wegen (2) folgt. (4) Gilt A ∈ τ , so ist A offene Teilmenge von sich selbst und es folgt wiederum  A= G = int(A) G∈τ,G⊆A

nach (2). Gilt andrerseits A = int(A), so ist A offen, weil laut (3) ja int(A) offen ist. (5) Gilt A ⊆ B, so folgt mit (1) sogleich int(A) ⊆ B und laut (3) ist int(A) offen, woraus mit (2) wiederum int(A) ⊆ int(B) folgt.
(6) Sei x ∈ i∈I int(Ai ), dann gibt es mindestens ein i0 ∈ I mit x ∈ int(Ai0 ), d.h.



∃U ∈ τ : x ∈ U ⊆ Ai0 ⊆ i∈I Ai , also x ∈ int i∈I Ai . 

  (7) Sei x ∈ int i∈I Ai , d.h. ∃U ∈ τ : x ∈U ⊆ i∈I Ai , also ∀i ∈ I : x ∈ U ⊆ Ai , mithin ∀i ∈ I : x ∈ int(Ai ) und folglich x ∈ i∈I int(Ai ). n (8) Wegen (7) m¨ ussen wir hier nur noch eine Inklusion  nachweisen: Sei x ∈ i=1 nint(Ai ), n also ∀i = 1, ..., n : ∃U ∈ τ : x ∈ U ⊆ A , folglich U ∈ τ und x ∈ i i i i i=1 i=1 Ui ⊆ n A . i i=1 (9) Sowohl X als auch ∅ ist offen, so daß aus (4) sofort die Behauptung int(X) = X und int(∅) = ∅ folgt. Beispiele: • Sei X = IR mit euklidischer Topologie τe . Dann haben wir unter anderem int([a, b]) = int((a, b)) = (a, b) / ) = ∅. und int(Q

• Im Sierpinski-Raum X = {0, 1}, τ := {∅, {0}, {0, 1}} haben wir int({0}) = {0}, int({1}) = ∅, int({0, 1}) = {0, 1}.

82

2 Das Konzept Topologischer Raum

Proposition 2.2.13 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, n ∈ IN eine nat¨ urliche Zahl, I irgendeine Inur alle i ∈ I Teilmengen von X. Dann dexmenge und A, B, A1 , ..., An sowie Ai f¨ gelten (1) A ⊆ A (2) A ist die kleinste abgeschlossene Menge, die gr¨oßer oder gleich A ist, d.h.

A=

M .

M⊇A,X\M∈τ

(3) A ist abgeschlossen und A = A. (4) A = A ⇔ (X \ A) ∈ τ . (5) Aus A ⊆ B folgt stets A ⊆ B. (6) Es gilt

Ai ⊆

i∈I



Ai

i∈I

f¨ ur beliebige Durchschnitte. (7) Es gilt 

Ai ⊆

i∈I



Ai

i∈I

f¨ ur beliebige Vereinigungen. (8) F¨ ur endliche Vereinigungen gilt sogar Gleichheit n 

Ak =

k=1

n 

Ak .

k=1

(9) X = X und ∅ = ∅. .

.

Beweis: (1) F¨ ur alle a ∈ A gilt A ∈ a und a konvergiert gegen a, so daß ∀a ∈ A : a ∈ A und damit A ⊆ A folgt.

2.2 Topologische R¨aume

83

(2) Aus 2.2.11(2) folgt A = X \ int(X \ A) , mit 2.2.12(2) also  A = X\ G G∈τ,G⊆X\A

A =



(X \ G) und mit M := X \ G haben wir

G∈τ,G⊆X\A

A =



M .

X\M∈τ,M⊇A

(3) Nach 2.2.11(2) haben wir A = X \ int(X \ A) und nach 2.2.12(3) ist int(X \ A) offen, also ist A als Komplement davon abgeschlossen. Wiederum nach 2.2.11(2) gilt A = X \int(X \A), wegen der Abgeschlossenheit von A ist X \A offen und darum nach 2.2.12(4) gleich int(X \A), so daß A = X \(X \A) = A folgt. (4) A = A gilt genau dann, wenn X \ A = X \ A gilt, also nach 2.2.11(2) genau dann, wenn X \ A = int(X \ A) gilt, was laut 2.2.12(4) genau dann der Fall ist, wenn X \ A offen, d.h. A abgeschlossen ist. (5) Gilt A ⊆ B, so enthlt jeder Filter, der A enth¨alt, auch B und seine Konvergenzpunkte liegen folglich ebenfalls in B.   (6) Aus x ∈ i∈I Ai folgt die Existenz eines Filters ϕ mit ϕ → x und i∈I Ai ∈ ϕ, also ∀i ∈ I : Ai ∈ ϕ und folglich ∀i ∈ I : x ∈ Ai .
(7) Aus x ∈ i∈I Ai folgt
∃i0 ∈ I : x ∈ Ai0 und somit die Existenz eines Filters ϕ mit ϕ → x und ϕ  Ai0 ⊆ i∈I Ai .
n (8) Wegen (7) brauchen wir wieder nur eine Inklusion nachzuweisen. Sei x ∈ k=1 Ak .
n Dann existiert also ein Filter, der gegen x konvergiert und k=1 Ak als Element enth¨alt. Sei ϕ irgendein Oberultrafilter eines
solchen Filters. Dann konvergiert ϕ nat¨ urlich erst n recht gegen x und enth¨ alt ebenfalls k=1 Ak . Nach 1.4.5 enth¨alt ϕ dann aber auch min
n destens eines der Ak , nennen wir es Ak0 , woraus x ∈ Ak0 ⊆ k=1 Ak folgt. Wir haben
n
n also k=1 Ak ⊆ k=1 Ak . (9) Folgt aus (4) und der Tatsache, daß sowohl ∅ als auch X offen sind.

84

2 Das Konzept Topologischer Raum

Lemma 2.2.14 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und ϕ ∈ F(X). Mit ϕ bezeichnen wir den von der Menge {P | P ∈ ϕ} der Abschl¨ usse aller Elemente von ϕ erzeugten Filter. Dann gilt adh(ϕ) = adh(ϕ). Beweis: Wegen P ⊆ P gilt offenbar ϕ ⊆ ϕ, daher F0 (ϕ) ⊆ F0 (ϕ) und darum adh(ϕ) ⊆ adh(ϕ). Andrerseits folgt aus x ∈ adh(ϕ) zun¨ achst die Existenz eines Ultrafilters ψ ⊇ ϕ mit ψ → x und daraus wegen der Abgeschlossenheit der P sogleich ∀P ∈ ϕ : x ∈ P . Mit 2.2.9 ergibt das ∀P ∈ ϕ, U ∈ U (x) : P ∩ U = ∅, so daß ϕ ∪ U (x) eine Filtersubbasis ist, deren erzeugter Filter einerseits ϕ umfaßt und andrerseits gegen x konvergiert. Daraus folgt nun x ∈ adh(ϕ), so daß wir insgesamt adh(ϕ) ⊆ adh(ϕ) erhalten. Aufgabe3 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und hτ : P(X) → P(X) : hτ (M ) := M der Operator, der jeder Teilmenge von X ihre abgeschlossene H¨ ulle bez¨ uglich τ zuordnet. Es ist klar, daß h durch τ eindeutig bestimmt ist. Zeige, daß umgekehrt jeder Operator k : P(X) → P(X), der die Bedingungen (1) k(∅) = ∅ (2) ∀M ⊆ X : M ⊆ k(M ) (3) ∀A, B ∈ P(X) : k(A ∪ B) = k(A) ∪ k(B) (4) ∀M ∈ P(X) : k(k(M )) = k(M ) erf¨ ullt, auch eindeutig eine Topologie τ auf X derart definiert, daß hτ = k gilt. ulle bzw. des Aufgabe4 Kann man durch sukzessive Bildung der abgeschlossenen H¨ Komplementes aus einer Teilmenge M eines topologischen Raumes (X, τ ) beliebig viele verschiedene Teilmengen erzeugen?

2.2.2

Vergleich und Erzeugung von Topologien

Definition 2.2.15 Seien τ1 , τ2 Topologien auf einer Menge X. τ1 heißt feiner als τ2 (bzw. τ2 gr¨ober als τ1 ) genau dann, wenn τ1 ⊇ τ2 gilt. In Zeichen: τ2 ≤ τ1 Die so definierte feiner“-Beziehung zwischen den Topologien auf einer Menge X ist ” nat¨ urlich eine reflexive Halbordnung.

2.2 Topologische R¨aume

85

Definition 2.2.16 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge B ⊆ τ heißt Basis f¨ ur τ genau dann, wenn  ∀O ∈ τ : ∃A ⊆ B : O = A A∈A

gilt∗ , d.h. wenn jede offene Menge als Vereinigung von Elementen aus B dargestellt werden kann. Lemma 2.2.17 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und B ⊆ τ . Dann sind ¨aquivalent: (1) B ist Basis f¨ ur τ (2) ∀O ∈ τ : ∀x ∈ O : ∃Bx ∈ B : x ∈ Bx ⊆ O. Beweis: (1)⇒(2)“: Wenn B Basis f¨ ur τ ist, muß jede offene Menge O Vereinigung von ” Elementen aus B sein, womit (2) trivialerweise folgt. (2)⇒(1)“: Gilt (2), so ist jedes O ∈ τ offensichtlich die Vereinigung aller gem¨aß (2) ” existenten Bx ∈ B, x ∈ O mit x ∈ Bx ⊆ O. Damit ist B laut Definition eine Basis von τ.

Korollar 2.2.18 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und B ⊆ τ eine Basis von τ . Dann gilt f¨ ur jede Teilmenge M ⊆ X: M ∈ τ ⇐⇒ ∀x ∈ M : ∃B ∈ B : x ∈ B ⊆ M . Dies bedeutet unter anderem, daß eine Topologie τ durch eine Basis von τ eindeutig bestimmt ist. Satz 2.2.19 Sei X eine Menge, ∅ = B ⊆ P(X) und ∅ ∈ B. Dann sind ¨aquivalent: (1) Es gibt eine Topologie τB auf X derart, daß B Basis f¨ ur τB ist. (2) Es gelten
(a) B∈B B = X ∗

Wir beachten dabei, daß die leere Menge hier f¨ ur A = ∅ erhalten wird.

86

2 Das Konzept Topologischer Raum (b) ∀U, V ∈ B : ∀x ∈ U ∩ V : ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V

Beweis: (1)⇒(2)“: folgt sofort aus Lemma 2.2.17. ” (2)⇒(1)“: Setze ” τB := {



B | A ⊆ B} .

B∈A

ur A := B ist X Element von Dann ist f¨ ur A := ∅ die
leere Menge Element von τB , f¨
τ
B laut (a); sind O
i := B∈Ai B, i ∈ I, Ai ⊆ B Elemente von τ so auch O B

i∈I i = B mit A := A und sind schließlich O := B und O := 1 2 B∈A i∈I i B∈A1 B∈A2 mit A1 , A2 ⊆ B Elemente von τB , so haben wir ∀x ∈ O1 ∩ O2 : ∃B1 (x) ∈ A1 , B2 (x) ∈ A2 : x ∈ B1 (x) ∩ B2 (x) und folglich wegen (b)
auch ∃Bx ∈ B : x ∈ Bx ⊆ B1 (x) ∩ B2 (x) ⊆ O1 ∩ O2 . Das ergibt freilich O1 ∩ O2 = x∈O1 ∩O2 Bx ∈ B. Somit ist τB tats¨achlich eine Topologie auf X, die aufgrund ihrer Konstruktion B als eine Basis hat. Beispiele: • Betrachten wir IR mit euklidischer Topologie τe , so ist die Familie B := {(a, b)| a, b ∈ IR, a < b} der offenen Intervalle eine Basis f¨ ur τe . • Wir betrachten wieder IR und definieren eine Topologie τ1 , indem wir die Familie B := {[a, b)| a, b ∈ IR, a < b} als Basis festlegen. (Gem¨ aß Satz 2.2.19 ist leicht zusehen, daß es tats¨achlich eine Topologie gibt, die B als Basis hat, w¨ahrend die Eindeutigkeit dieser Topologie durch Korollar 2.2.18 gekl¨ art ist.) Dieser Raum (IR, τ1 ) heißt auch SorgenfreyGerade. Offensichtlich ist τ1 echt feiner als τe , weil z.B. die halboffenen Intervalle [a, b) selbst in τ1 offene Mengen
sind, in τe aber nicht, w¨ahrend jedes offene Intervall (a, b) auch als (a, b) := n∈IN + [a + n1 , b) geschrieben werden kann und daher auch in τ1 offen ist. Die Sorgenfrey-Gerade ist ein Beispiel f¨ ur einen nicht trivialen Raum, in dem es außer ∅ und dem ganzen Raum selbst weitere Mengen gibt, die zugleich offen und abgeschlossen
sind, so etwa die halboffenen Intervalle [a, b), denn IR \ [a, b) =
n∈IN [−n, a) ∪ n∈IN [b, n). • Ist X eine beliebige Menge und τd die diskrete Topologie auf X, so ist B := { {x} | x ∈ X} eine Basis f¨ ur τd .

2.2 Topologische R¨aume

87

Definition 2.2.20 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, S ⊆ P(X) eine Familie von Teilmengen von X. Dann heißt S eine Subbasis f¨ ur τ genau dann, wenn die Familie B := {

n

Si | n ∈ IN, Si ∈ S}

i=1

aller endlichen Durchschnitte von Elementen aus S eine Basis f¨ ur τ ist. Satz 2.2.21 Sei X eine nichtleere Menge und S ⊆ P(X) eine Familie von Teilmengen von X. Genau dann gibt es eine Topologie τS auf X, f¨ ur die S eine Subbasis ist, wenn
S = X gilt. S∈S
Beweis: Daß S∈S S = X gilt, sollten die endlichen Durchschnitte von Elementen aus S Basis
einer Topologie sein, ist unmittelbar klar. Sei also S∈S S = X erf¨ ullt. Dann haben wir nur zu zeigen, daß B := {

n

Si | n ∈ IN, Si ∈ S}

i=1

Basis einer Topologie ist, die wir dann getrost τS taufen k¨onnen. Dazu ziehen wir Satz 2.2.19 heran und haben nur noch zu u ufen, daß ¨berpr¨ ∀U, V ∈ B : ∀x ∈ U ∩ V : ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V gilt. Doch das ist klar, denn sind U, V endliche Durchschnitte von Elementen aus S, so ist auch U ∩ V einer und liegt daher selbst in B. Offensichtlich ist jede Topologie τ bereits durch jede Subbasis von τ eindeutig bestimmt – einfach, weil die Menge aller endlichen Durchschnitte eindeutig bestimmt und Basis von τ ist. Infolge der Abgeschlossenheit von Topologien gegen¨ uber endlichen Vereinigungen kann man die durch eine Subbasis S bestimmte Topologie τS auch als die kleinste Topologie, die S enth¨ alt, beschreiben. Weil das so ist, existiert zu einer Familie (τi )i∈I von Topologien auf einer Menge X stets ein Supremum, d.h. eine kleinste Topologie τ , die alle τi , i ∈ I umfaßt. (Zwar ist n¨ amlich im allgemeinen die Vereinigung aller τi , i ∈ I selbst keine Topologie auf X, doch ist sie selbstverst¨ andlich Subbasis einer durch sie eindeutig bestimmten kleinsten Topologie, in der diese Vereinigung enthalten ist.) Da andrerseits der Durchschnitt beliebig vieler Topologien τi , i ∈ I auf einer Menge X selbst wiederum eine Topologie auf X und offensichtlich die gr¨oßte in allen τi , i ∈ I enthaltene Topologie auf X ist, wissen wir jetzt, daß die Familie aller Topologien auf einer Menge X bez¨ uglich Inklusion ein vollst¨andiger Verband ist.

88

2 Das Konzept Topologischer Raum

2.2.3

Abz¨ahlbarkeitseigenschaften

Definition 2.2.22 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. (1) Wir nennen (X, τ ) einen A1 -Raum genau dann, wenn die Umgebungsfilter aller Punkte x ∈ X jeweils abz¨ ahlbare Filterbasen besitzen.∗ (2) Wir nennen (X, τ ) einen A2 -Raum genau dann, wenn τ eine abz¨ahlbare Basis besitzt.† Da die endlichen Durchschnitte von Subbasiselementen eine Basis bilden, folgt mit Korollar 1.3.11 offenbar sofort: Proposition 2.2.23 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Es gelten (1) (X, τ ) ist genau dann eine A1 -Raum, wenn f¨ ur alle x ∈ X der Umgebungsfilter U (x) eine abz¨ ahlbare Filtersubbasis besitzt. (2) (X, τ ) ist genau dann ein A2 -Raum, wenn τ eine abz¨ahlbare Subbasis besitzt. Beispielhaft, ja geradezu musterg¨ ultig gen¨ ugen alle (pseudo-)metrischen R¨aume mit der von ihrer (Pseudo-)Metrik erzeugten Topologie dem ersten Abz¨ahlbarkeitsaxiom (man nehme einfach die n1 -Umgebungen als Basen der Umgebungsfilter). Sie k¨onnen sich jedoch hinsichtlich des zweiten Abz¨ ahlbarkeitsaxioms deutlich quer legen. Generell gilt jedoch Proposition 2.2.24 Jeder A2 -Raum (X, τ ) ist auch ein A1 -Raum. Beweis: Sei B eine abz¨ ahlbare Basis von τ . Umgebungsfilter U (x) sind durch Basen aus offenen Umgebungen definiert; jedes von deren Elementen muß wegen der Basiseigen. schaft von B ein Element von B ∩ x ganz umfassen, somit hat jeder Umgebungsfilter in einem A2 -Raum eine Basis, die Teilmenge der abz¨ahlbaren Menge B und folglich selbst abz¨ ahlbar ist. ∗ †

Man sagt dann auch, der Raum gen¨ ugt dem ersten Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Entsprechend sagt man hier, der Raum gen¨ ugt dem zweiten Abz¨ ahlbarkeitsaxiom.

2.2 Topologische R¨aume

89

Definition 2.2.25 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und sei A ⊆ X. Die Teilmenge A heißt dicht in X genau dann, wenn A = X gilt. Der Raum (X, τ ) heißt separabel genau dann, wenn er eine abz¨ahlbare Teilmenge hat, die dicht in X liegt. Lemma 2.2.26 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge D ⊆ X ist dicht in (X, τ ) genau dann, wenn f¨ ur jede nichtleere offene Teilmenge O ∈ τ gilt O ∩ D = ∅. Beweis: Sei D dicht in (X, τ ) und x ∈ O ∈ τ gegeben. G¨alte nun O ∩ D = ∅, so folgte nach Proposition 2.2.13 x ∈ D, also D = X. Umgekehrt folgt wieder wegen Proposition 2.2.13 aus ∀∅ = O ∈ τ : D ∩ τ = ∅ sogleich ∀x ∈ X : x ∈ D.

Korollar 2.2.27 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und B eine Basis von τ . Eine Teilmenge D ⊆ X ist dicht in (X, τ ) genau dann, wenn f¨ ur jede nichtleere offene Teilmenge O ∈ B gilt O ∩ D = ∅. Beweis: Ist D dicht, folgt O ∩ D = ∅ wegen B ⊆ τ sofort aus Lemma 2.2.26. Gilt hingegen ∀∅ = O ∈ B : B ∩ D = ∅, so folgt sofort ∀∅ = O ∈ τ : O ∩ D = ∅, da jede offene Menge Vereinigung von Basiselementen ist, und damit die Dichtheit von D. Aufgabe5 Gib ein Beispiel f¨ ur einen topologischen Raum (X, τ ), eine Subbasis S von τ und eine Teilmenge G ⊆ X an, die nicht dicht in (X, τ ) ist, aber ∀S ∈ S : S ∩ G = ∅ erf¨ ullt. / Die Menge Q der rationalen Zahlen ist bez¨ uglich euklidischer Topologie z.B. dicht in IR – bez¨ uglich beispielsweise der diskreten Topologie ist sie das nat¨ urlich nicht.

Proposition 2.2.28 Jeder A2 -Raum ist separabel. Beweis: Sei B eine abz¨ ahlbare Basis des topologischen Raumes (X, τ ). Wir k¨onnen dann aus jedem (nichtleeren) Element von B einen Punkt xB ausw¨ahlen und die abz¨ahlbare Menge A := {xB |B ∈ B} bilden. Ist nun x ∈ X beliebig und U ∈ U (x) so muß es ein B ∈ B mit x ∈ B ⊆ U geben. Wegen xB ∈ A ∩ B ⊆ A ∩ U liefert das insbesondere A∩U = ∅. Somit folgt nach Proposition 2.2.13(1) sogleich x ∈ A, insgesamt also A = X.

90

2 Das Konzept Topologischer Raum

Lemma 2.2.29 Sei (X, d) ein (pseudo-)metrischer Raum und sei τd die von der (Pseudo-)Metrik erzeugte Topologie. Der topologische Raum (X, τd ) ist genau dann ein A2 -Raum, wenn er separabel ist. Beweis: Daß jeder A2 -Raum separabel ist, sichert die vorige Proposition. Sei also (X, τd ) separabel und sei A ⊆ X eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge von X. Dann w¨ ahlen wir B := {U (a,

1 )| n ∈ IN + , a ∈ A} n

und sehen leicht ein, daß es sich hierbei um eine Basis von τd handelt, die als Vereinigung abz¨ ahlbar vieler abz¨ ahlbarer Mengen aufgefaßt werden kann und folglich selbst abz¨ ahlbar ist. Man k¨ onnte auf die Idee kommen, daß aus A1 zusammen mit Separabilit¨at stets A2 folgen w¨ urde. Dem ist aber nicht so. ur einen separablen A1 -Raum (X, τ ) an, der nicht das zweiAufgabe6 Gib ein Beispiel f¨ te Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt. Ist X eine Menge und A ⊆ P(X) eine Familie von
Teilmengen von X, so nennen ¨ wir A eine Uberdeckung von X genau dann, wenn A∈A A ⊇ X gilt. Sofern B ⊆ A ¨ ebenfalls eine Uberdeckung von X ist, nennen wir B auch eine Teil¨ uberdeckung von A. ¨ Ist insbesondere (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt eine Uberdeckung A von X ¨ offene Uberdeckung genau dann, wenn A ⊆ τ gilt. Definition 2.2.30 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt Lindel¨of-Raum genau dann, wenn jede offene ¨ Uberdeckung von X eine abz¨ ahlbare Teil¨ uberdeckung von X enth¨alt. Lemma 2.2.31 Jeder A2 -Raum ist ein Lindel¨ of-Raum. ¨ Beweis: Sei (X, τ ) ein A2 -Raum und A ⊆ τ eine offene Uberdeckung von X. Ist ferner B eine abz¨ a hlbare Basis von τ , so existiert ja zu jedem O ∈ A eine Teilmenge BO ⊆ B

mit O = B∈BO B. Setzen wir nun noch C := O∈A BO , so ergibt das zusammen mit ¨ der Uberdeckungseigenschaft von A sogleich  B∈C

B=





O∈A B∈BO

B=

 O∈A

O=X .

2.2 Topologische R¨aume

91

W¨ ahlen wir jetzt noch zu jedem B ∈ C genau ein OB ∈ A mit B ⊆ OB aus, so ist die Menge A := {OB | B ∈ C} h¨ ochstens gleichm¨achtig zu C ⊆ B, also abz¨ahlbar. Andrer¨ seits ist sie offensichtlich eine Uberdeckung von X. Eine interessante Erg¨ anzung zum Thema nicht ganz dichte“ Teilmengen soll hier auch ” noch kurz erw¨ ahnt werden. Definition 2.2.32 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt nirgends dicht in X genau dann, wenn sie bez¨ uglich keiner nichtleeren offenen Teilmenge von X dicht ist, d.h. wenn ∀O ∈ τ \ {∅} : A ⊇ O gilt. Offenbar ist z.B. jede endliche Teilmenge des IRn nirgends dicht in IRn mit euklidischer Topologie. Genau wie z.B. IR1 aufgefaßt als Teilraum des IR2 mit euklidischer Topologie u.s.w. ... Anders verh¨ alt es sich, wenn wir IRn mit z.B. der diskreten Topologie ausr¨ usten: dann ist jede Teilmenge offen, selbstverst¨ andlich dicht in sich selbst und somit haben wir dann gar keine nirgends dichten Teilmengen mehr außer der trivialen leeren Menge. Wir sehen also, daß nirgends dicht etwas mehr bedeutet als einfach nur nicht dicht, denn nat¨ urlich ist gerade in diskreten topologischen R¨aumen jede echte Teilmenge nicht dicht, aber außer ∅ eben keine nirgends dicht. Lemma 2.2.33 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Die Teilmenge A ist genau dann nirgends dicht in X, wenn int( A ) = ∅ gilt. Beweis: Sei zun¨ achst A nirgends dicht in X, d.h. f¨ ur alle ∅ = O ∈ τ gilt O ⊆ A, also hat A keine inneren Punkte, was int(A) = ∅ liefert. Gilt andrerseits int(A) = ∅ und ist ∅ = O ∈ τ gegeben, so folgt O ⊆ A einfach daraus, daß A andernfalls ja innere Punkte h¨ atte, n¨amlich mindestens alle Elemente von O.

2.2.4

Stetigkeit

Wie schon bei der Konvergenzdefinition in topologischen R¨aumen, lassen wir uns auch hier wieder von einer entsprechenden Eigenschaft in metrischen R¨aumen leiten: von Lemma 2.1.12. Definition 2.2.34 Sind (X1 , τ1 ) und (X2 , τ2 ) topologische R¨aume, so heißt eine Funktion f : X1 → X2 stetig genau dann, wenn ∀O ∈ τ2 : f −1 (O) ∈ τ1

92

2 Das Konzept Topologischer Raum gilt, d.h. wenn das vollst¨ andige Urbild jeder offenen Menge offen ist. Die Menge aller stetigen Funktionen von (X1 , τ1 ) nach (X2 , τ2 ) bezeichnen wir mit C( (X1 , τ1 ), (X2 , τ2 ) ) – oder kurz mit C(X1 , X2 ), wenn u ¨ber die jeweils betrachteten Topologien kein Zweifel besteht.

Proposition 2.2.35 Sind (X1 , τ1 ) und (X2 , τ2 ) topologische R¨aume und S eine Subbasis von τ2 so ist eine Funktion f : X1 → X2 genau dann stetig, wenn ∀S ∈ S : f −1 (S) ∈ τ1 gilt. Beweis: Da jede offene Teilmenge von X2 Vereinigung endlicher Durchschnitte von Elementen aus S ist, folgt mit Proposition 1.1.5, daß die Urbilder aller offenen Teilmengen von X2 offen sind.

Satz 2.2.36 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Funktion. Dann sind aquivalent: ¨ (1) f ist stetig (2) F¨ ur jede abgeschlossene Teilmenge B ⊆ Y ist f −1 (B) abgeschlossen in X (3) F¨ ur jede Teilmenge M ⊆ Y gilt f −1 (int(M )) ⊆ int(f −1 (M )) (4) F¨ ur jede Teilmenge A ⊆ X gilt f (A) ⊆ f (A) (5) F¨ ur jeden Filter ϕ auf X, der gegen einen Punkt x ∈ X konvergiert, konτ vergiert der Bildfilter f (ϕ) gegen f (x), d.h. ∀ϕ ∈ F(X), x ∈ X : ϕ → x ⇒ σ f (ϕ) → f (x). Beweis: (1)⇒(2)“: Ist B ⊆ Y abgeschlossen, heißt das ja, daß Y \ B offen ist, folglich ” ist wegen der Stetigkeit von f auch f −1 (Y \B) offen und somit f −1 (B) = X \f −1(Y \B) abgeschlossen. (2)⇒(3)“: Es gilt ja int(M ) ⊆ M und folglich f −1 (int(M )) ⊆ f −1 (M ). Nun ist freilich ” −1 f (int(M )) = X \ f −1 (Y \ int(M )) und damit offen, weil f −1 (Y \ int(M )) laut (2) abgeschlossen ist. Als offene Teilmenge von f −1 (M ) ist f −1 (int(M )) laut Proposition 2.2.12(7) aber auch Teilmenge von int(f −1 (M )). (3)⇒(4)“: Setzen wir M := Y \ f (A), so liefert (3) gerade ” f −1 (int(Y \ f (A))) ⊆ int(f −1 (Y \ f (A))) .

2.2 Topologische R¨aume

93

Nach Proposition 2.2.13(3) gilt nun int(Y \ f (A)) = Y \ f (A). Das ergibt f −1 (Y \ f (A)) ⊆ int(f −1 (Y \ f (A))) , wegen f −1 (Y \ f (A)) ⊆ X \ A also auch f −1 (Y \ f (A)) ⊆ int(X \ A). Mit Proposition 2.2.13(3) haben wir ferner int(X \ A) = X \ A, woraus nun f −1 (Y \ f (A)) ⊆ X \ A folgt. Komplementbildung liefert X \ f −1 (Y \ f (A)) ⊇ A und folglich f (X \ f −1 (Y \ f (A))) ⊇ f (A) . Nun m¨ ussen wir uns nur noch vor Augen f¨ uhren, daß ja X \ f −1 (Y \ f (A)) aus genau denjenigen Elementen von X besteht, deren Bild unter f nicht außerhalb von f (A) liegt, woraus f (A) ⊇ f (X \ f −1 (Y \ f (A))) ⊇ f (A) folgt. (4)⇒(5)“: Sei ϕ → x gegeben. Angenommen nun, es g¨alte f (ϕ) → f (x). Da f (ϕ) gleich ” dem Durchschnitt aller seiner Oberultrafilter ist, kann dann nicht jeder Oberultrafilter von f (ϕ) den Umgebungsfilter von f (x) enthalten (andernfalls enthielte auch f (ϕ) ihn). Daher gibt es einen Oberultrafilter ψ von f (ϕ), der nicht gegen f (x) konvergiert. Nun existiert nach Lemma 1.4.14 ein Oberultrafilter ϕ0 von ϕ mit f (ϕ0 ) = ψ. Selbstverst¨andlich konvergiert ϕ0 ebenso wie ϕ gegen x. Insbesondere bedeutet das ∀P ∈ ϕ0 : x ∈ P , woraus mit (4) sofort ∀P ∈ ϕ0 : f (x) ∈ f (P ) ⊆ f (P ), also ∀P ∈ ϕ0 : f (x) ∈ f (P ) folgt. Nach Proposition 2.2.13(1) gilt dann ∀P ∈ ϕ0 : ∀V ∈ U (f (x)) : V ∩ f (P ) = ∅. Andrerseits sollte ja ψ = f (ϕ0 ) nicht gegen f (x) konvergieren, so daß es eine Umgebung V0 ∈ U (f (x)) geben m¨ ußte mit Y \ V0 ∈ f (ϕ0 ) = ψ und daher ein P0 ∈ ϕ0 mit f (P0 ) ∩ V0 = ∅ – ein Widerspruch. (5)⇒(1)“: Angenommen, f sei nicht stetig. ” Dann existierte ein V ∈ σ mit f −1 (V ) ∈ τ , insbesondere also f −1 (V ) = int(f −1 (V )), so daß also ein Punkt x0 ∈ f −1 (V ) \ int(f −1 (V )) existiert. Da x0 nicht zum Inneren von . . f −1 (V ) geh¨ ort, gilt ∀U ∈ x0 ∩ τ : U ⊆ f −1 (V ), also auch ∀U ∈ x0 ∩ τ : f (U ) ⊆ V . Daraus folgt V ∈ f (U (x0 )). Andrerseits gilt nat¨ urlich f (x0 ) ∈ V und damit V ∈ U (f (x0 )), da V ja offen ist. Folglich haben wir U (f (x0 )) ⊆ f (U (x0 )) im Widerspruch zur Konvergenz von f (U (x0 )) gegen f (x0 ), die laut (5) gelten m¨ ußte. Aus der reellen Analysis kennen wir einen sozusagen eingeschr¨ankten, weil auf einzelne Punkte fokussierten Stetigkeitsbegriff. Den haben wir hier nat¨ urlich auch parat.

Definition 2.2.37 Sind (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, x0 ∈ X und f : X → Y gegeben. Dann heißt f stetig im Punkte x0 genau dann, wenn f (U (x0 )) → f (x0 ) gilt.

94

2 Das Konzept Topologischer Raum

Korollar 2.2.38 Eine Funktion f zwischen zwei topologischen R¨aumen ist genau dann stetig, wenn sie in jedem Punkt des Urbildraumes stetig ist. Beweis: Folgt direkt aus Satz 2.2.36(5). Beispiele f¨ ur stetige Funktionen: • Jede Abbildung irgendeines topologischen Raumes in einen indiskreten topologischen Raum ist stetig. • Jede Abbildung eines diskreten topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist stetig. • Die identische Abbildung 11X einer Menge X auf sich selbst ist stetig genau dann, wenn X als Urbildraum eine feinere Topologie tr¨agt als im Bildraum. • Die stetigen Abbildungen irgendeines topologischen Raumes (X, τ ) in den SierpinskiRaum ({0, 1}, {∅, {0}, {0, 1}}) sind genau die charakteristischen Funktionen  1 ; x∈A χA : X → {0, 1} : χA (x) := 0 ; x ∈ A der abgeschlossenen Teilmengen A von X bez¨ uglich τ . • Alle konstanten Abbildungen sind stetig, unabh¨angig davon, mit welchen Topologien Bild- und Urbildraum versehen sind. • Wie wir bereits gesehen hatten, sind die stetigen Abbildungen zwischen topologischen R¨ aumen, deren Topologien von Metriken induziert sind, genau die im metrischen Sinne stetigen Abbildungen. Damit sind auch alle aus der klassischen Analysis als stetig bekannten Abbildungen im topologischen Sinne stetig. Lemma 2.2.39 Seien (X, τ ), (Y, σ), (Z, ξ) topologische R¨aume, f : X → Y sei im Punkte x0 ∈ X stetig und g : Y → Z sei im Punkte f (x0 ) ∈ Y stetig. Dann ist g ◦ f : X → Z im Punkte x0 stetig. Beweis: Wegen der Stetigkeit von f in x0 gilt f (U (x0 )) ⊇ U (f (x0 )), folglich auch g(f (U (x0 ))) ⊇ g(U (f (x0 ))), wobei aus der Stetigkeit von g in f (x0 ) ja g(U (f (x0 ))) ⊇ U (g(f (x0 ))) folgt, insgesamt also g ◦ f (U (x0 )) → g ◦ f (x0 ).

2.2 Topologische R¨aume

95

Korollar 2.2.40 Seien (X, τ ), (Y, σ), (Z, ξ) topologische R¨aume, f : X → Y und g : Y → Z stetige Abbildungen. Dann ist auch g ◦ f : X → Z stetig. Beweis: Kombiniere Lemma 2.2.39 mit Korollar 2.2.38.

Definition 2.2.41 Sind (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Funktion, so heißt f ein Hom¨oomorphismus zwischen (X, τ ) und (Y, σ) genau dann, wenn f bijektiv und stetig, sowie die inverse Abbildung f −1 ebenfalls stetig ist. Sofern ein Hom¨ oomorphismus zwischen zwei topologischen R¨aumen existiert, werden diese R¨ aume hom¨oomorph (oder auch topologisch ¨aquivalent) genannt. Beispiele: • Der Sierpinski-Raum (X, τ1 ) mit X = {0, 1} und τ1 = {∅, {0}, X} ist offensichtlich hom¨ oomorph zum Raum (X, τ2 ) mit τ2 = {∅, {1}, X}, der daher mit gleichem Recht ebenfalls Sierpinski-Raum genannt werden kann.∗ • Zwei diskrete (indiskrete) topologische R¨aume (X, τ ) und (Y, σ) sind genau dann hom¨ oomorph, wenn X und Y gleichm¨achtig sind. • Der Raum (IR\{0}, τe ) der von null verschiedenen reellen Zahlen mit euklidischer Topologie ist hom¨ oomorph zum Raum (IR \ [0, 1], τe ) derjenigen reellen Zahlen, die kleiner als 0 oder gr¨ oßer als 1 sind mit euklidischer Topologie.† Mit dem Satz 2.2.36 sieht man n¨ amlich leicht ein, daß die offensichtlich bijektive Abbildung  x ; x 0 nebst ihrer inversen Abbildung stetig ist.‡ ∗ †

‡

Um genau anzugeben, welchen man nun meint, spricht man daher auch vom SierpinskiRaum mit offener Null“ bzw. mit offener Eins“. ” ” Wir denken uns τe und τe hier einfach als die von der euklidischen Metrik auf der jeweiligen Teilmenge von IR erzeugte Topologie – zum Begriff der Spurtopologie kommen wir ja erst sp¨ ater. Nat¨ urlich ist ferner IR hom¨ oomorph zu sich selbst, w¨ ahrend {0} keineswegs hom¨ oomorph zu [0, 1] ist. Das f¨ uhrt hier zu der paradoxen Situation, daß wir von ein und demselben Raum zwei nicht ¨ aquivalente R¨ aume abziehen“ und dennoch ¨ aquivalente Reste erhalten. ” Man kann das als strukturellen Mangel topologischer R¨ aume empfinden (der u ¨brigens bei den in [24] beschriebenen Semiuniformen Konvergenzr¨ aumen, aber auch bei den in [31] entwickelten Multifilterr¨ aumen behoben ist), doch m¨ ochte ich immerhin zu bedenken geben, daß dieser Effekt hier lediglich auf den analogen mengentheoretischen Effekt zur¨ uckgeht: {0} und [0, 1] sind einfach nicht gleichm¨ achtig, IR \ {0} und IR \ [0, 1] aber sehr wohl.

96

2 Das Konzept Topologischer Raum • Im Sinne der jeweiligen euklidischen Topologie sind je zwei offene (resp. abgeschlossene) Intervalle (a1 , b1 ) und (a2 , b2 ) (resp. [a1 , b1 ] und [a2 , b2 ]) mit ai < bi hom¨ oomorph. • Im Sinne der euklidischen Topologie ist IR hom¨oomorph zum offenen Intervall (−1, 1), wie man sich z.B. anhand der Abbildung f : IR → (−1, 1) : f (x) :=

x 1 + |x|

klarmachen kann. Topologisch relevante Unterschiede zwischen topologisch ¨aquivalenten R¨aumen (X, τ ) und (Y, σ) reduzieren sich kraft des Vorhandenseins einer in beide Richtungen stetigen Bijektion offenbar auf Unterschiede hinsichtlich der konkreten Bezeichnung der Elemente von X und Y – doch Namen sind ja Schall & Rauch.∗ Konkret: jede Eigenschaft, die durch eine Topologie, d.h. durch offene Mengen beschrieben ist, gilt genau dann in (X, τ ), wenn sie in (Y, σ) gilt, ja mehr noch: eine Teilmenge von X hat solche Eigenschaften genau dann, wenn die via Hom¨oomorphismus korrespondierende Teilmenge von Y sie hat. Just solche Eigenschaften sind folglich Gegenstand der Untersuchung, wenn man sich mit topologischen R¨ aumen besch¨aftigt. Definition 2.2.42 Sind (X, τ ) und (Y, σ) topologische R¨aume, so heißt eine Abbildung f : X → Y offen genau dann, wenn ∀O ∈ τ : f (O) ∈ σ gilt, d.h. wenn die Bilder offener Mengen unter f wieder offen sind. Eine Abbildung f heißt abgeschlossen genau dann, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Teilmenge von X unter f abgeschlossen in Y ist. Die Hom¨ oomorphismen lassen sich somit auch als stetige und offene Bijektionen charakterisieren. Anders als bei B.v.Querenburg (in [25], Seite 32) verlautbart, k¨onnen wir uns bei der ¨ Uberpr¨ ufung der Offenheit einer Abbildung im allgemeinen nicht auf eine Subbasis beschr¨ anken: Beispiel: Wir w¨ ahlen X := {1, 2, 3}, τ := {∅, {1, 2}, {2, 3}, {2}, X} mit der Subbasis S := {{1, 2}, {2, 3}} und Y := {0, 1} mit indiskreter Topologie σ := {∅, Y }. Dann ist die Abbildung  0 ; x=1∨x=3 f : X → Y : f (x) := 1 ; x=2 ∗

Nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Restaurant, in dem ich zuweilen anzutreffen bin, wenn ich mich in Berlin aufhalte ...

2.2 Topologische R¨aume

97

nicht offen, denn das Bild der in X offenen Menge {2} ist ja nicht offen in Y . Allerdings ist das Bild beider Elemente von S jeweils ganz Y , also offen.

Lemma 2.2.43 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Funktion. Dann sind aquivalent: ¨ (1) f ist offen (2) ∀M ⊆ X : f (int(M )) ⊆ int(f (M )) (3) ∀x ∈ X : ∀U ∈ U (x) : ∃W ∈ U (f (x)) : W ⊆ f (U ) Beweis: (1)⇒(2)“: Sei M ⊆ X. Dann haben wir int(M ) ⊆ M und int(M ) ∈ τ . Das ” ergibt f (int(M )) ⊆ f (M ) und wegen der Offenheit von f auch f (int(M )) ∈ σ, also nach Proposition 2.2.12(2) auch f (int(M )) ⊆ int(f (M )). (2)⇒(3)“: Sei x ∈ X und U ∈ U (x). Dann gilt x ∈ int(U ) und folglich f (x) ∈ ” f (int(U )) ⊆ int(f (U )) nach (2). Damit ist W := int(f (U )) ∈ U (f (x)) und nat¨ urlich gilt W ⊆ f (U ) nach Proposition 2.2.12(1). (3)⇒(1)“: Sei O ∈ τ , dann haben wir ∀y ∈ f (O) : ∃x ∈ O : y = f (x), dabei ist ” dann O ∈ U (x) und so liefert (3) sogleich ∀y ∈ f (O) : ∃W ∈ U (y) : W ⊆ f (O), nach . Definition des Umgebungsfilters also auch ∀y ∈ f (O) : ∃Wy ∈ y ∩ σ : y ∈ Wy ⊆ f (O). Damit ist f (O) laut Proposition 2.2.2 offen.

Lemma 2.2.44 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Funktion. Dann sind aquivalent: ¨ (1) f ist abgeschlossen (2) ∀M ⊆ X : f (M ) ⊆ f (M ). Beweis: (1)⇒(2)“: Sei M ⊆ X. Dann haben wir M ⊆ M und folglich f (M ) ⊆ f (M ). ” Wegen (1) ist freilich f (M ) abgeschlossen, so daß mit Proposition 2.2.13(2) sogleich f (M ) ⊆ f (M ) folgt. (2)⇒(1)“: Sei M ⊆ X abgeschlossen. Dann gilt nach Proposition 2.2.13(4) M = M und ” folglich f (M ) = f (M ), mit (2) also f (M ) ⊇ f (M ), w¨ahrend andrerseits f (M ) ⊆ f (M ) nach Proposition 2.2.13(4) sowieso gilt. Das ergibt f (M ) = f (M ), so daß f (M ) wiederum laut Proposition 2.2.13(4) abgeschlossen ist.

98

2 Das Konzept Topologischer Raum

2.2.5

Kurze Anmerkung u ¨ ber Netze (Moore-Smith-Folgen)

Wie im Vorwort schon angedeutet, gibt es eine andere g¨angige Verallgemeinerung des Folgenbegriffes als Filter, die dem einen oder der anderen vielleicht sogar n¨aherliegend scheinen mag. Das sind die sogenannten Netze (oder Moore-Smith-Folgen). Auch sie eignen sich zur Formulierung eines Konvergenzbegriffes – und was dabei herauskommt, ist sogar ¨ aquivalent zu den auf Filter gegr¨ undeten Betrachtungen, soweit es die in diesem Text dargelegten topologischen Angelegenheiten betrifft. Insofern ist es reine Geschmackssache, ob man nun mit Netzen oder mit Filtern arbeitet. Da dies mein Text ist, entscheidet mein Geschmack. Wir werden daher hier nur ganz kurz auf Netze eingehen – und sie im Rest der Veran¨ staltung nicht mehr erw¨ ahnen. Wer m¨ ochte, darf es als eine umf¨angliche Ubungsaufgabe ansehen, alle mit Bezug auf Filter gegebenen Definitionen, S¨atze & Beweise f¨ ur Netze umzuschreiben – und mir meinetwegen per E-Mail mitteilen, ob das wirklich Spaß gemacht hat. Wir erinnern uns kurz, was eine Folge in einer Menge X ist: eine Abbildung h : IN → X der geordneten Menge (IN, ≤) der nat¨ urlichen Zahlen in X. Dabei ist es u ¨blich, statt h(n) eher hn zu schreiben und insgesamt statt h : IN → X lieber (hn )n∈IN . Das hat sich eben so eingeb¨ urgert, da muß man durch. Nichtsdestotrotz ist es ja eine naheliegende Idee, statt der nat¨ urlichen Zahlen irgendeine andere Menge herzunehmen und in X abzubilden. Wollen wir Formulierungen wie hn geht gegen 0 f¨ ur n → ∞“ weiterhin ” gebrauchen k¨ onnen, m¨ ussen wir uns freilich u ¨ berlegen, wie wir den dazu notwendigen Teil f¨ ur n → ∞“ auf unsre andre Menge u ¨bertragen wollen. Es stellt sich schnell heraus, ” daß man dazu eine Ordnungsstruktur auf der fraglichen Menge ben¨otigt. Definition 2.2.45 Sei I eine nichtleere Menge. Eine Relation ≤ auf I heißt Richtung auf I genau dann, wenn sie reflexiv und transitiv ist, sowie der Bedingung ∀x, y ∈ I : ∃z ∈ I : (x ≤ z) ∧ (y ≤ z) gen¨ ugt. Das Paar (I, ≤) heißt dann auch gerichtete Menge. Wir beobachten aufmerksam, daß eine Richtung nicht einmal eine Halbordnung zu sein braucht: Antisymmetrie ist nicht gefordert ... so ist etwa die Allrelation auf jeder nichtleeren Menge eine Richtung. Definition 2.2.46 Sei X eine beliebige Menge und (I, ≤) eine gerichtete Menge. Dann verstehen wir unter einem Netz eine Abbildung x : I → X von I in X. Statt x(i) f¨ ur i ∈ I schreiben wir auch xi und statt x : I → X auch (xi )i∈I . Netze werden zuweilen auch Moore-Smith-Folgen genannt.

2.2 Topologische R¨aume

99

Offenbar erhalten wir die gew¨ ohnlichen Folgen f¨ ur den Spezialfall, daß wir als gerichtete Menge die nat¨ urlichen Zahlen mit ihrer u ¨ blichen Ordnung einsetzen. Konvergenz von Netzen ist ganz ¨ ahnlich wie Konvergenz von Folgen erkl¨art – nat¨ urlich, denn f¨ ur den Spezialfall, daß ein Netz sogar eine Folge ist, soll ja auch das gleiche herauskommen: Definition 2.2.47 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und (xi )i∈I ein Netz in X. Wir sagen, (xi )i∈I konvergiert gegen ein Element y ∈ X genau dann, wenn: ∀U ∈ τ : y ∈ U ⇒ ∃i0 ∈ I : ∀i ≥ i0 : xi ∈ U . .

Die Definition sieht netter aus, wenn man statt ∀U ∈ τ : y ∈ U ⇒“ einfach ∀U ∈ τ ∩ y“ . ” ” schreibt, aber y ist ein Filter, und wenn man u ¨ berhaupt Filter benutzt, dann braucht man keine Netze. Auch die reellen Zahlen IR (ebenso wie Intervalle innerhalb IR) bilden mit ihrer u ¨blichen Ordnung ≤ eine gerichtete Menge. Jede Abbildung von IR in eine Menge X ist daher ein Netz in X. Insofern haben wir hier nebenbei gleich die in der Analysis u ¨bliche Formulierung f konvergiert von links (rechts) gegen y f¨ ur x → x0“ mitdefiniert. ” Definition 2.2.48 Ist (xi )i∈I ein Netz in einer Menge X und (K, ≤K ) eine gerichtete Menge, sowie m : K → I eine monotone Abbildung mit der Eigenschaft ∀i0 ∈ I : ∃k0 ∈ K : ∀k ≥ k0 : m(k) ≥ i0 ,

(2.2)

so nennen wir das Netz (xm(k) )k∈K feiner (bzw. ein Teilnetz) von (xi )i∈I . Wir erinnern uns: (xi )i∈I ist eine Abbildung x : I → X. Unser Teilnetz (xm(k) )k∈K ist dann schlicht die Abbildung x ◦ m : K → X. Hat irgendein Netz (yj )j∈J die Eigenschaft (2.2) in Bezug auf (xi )i∈I , so heißt es konfinal zu (xi )i∈I . ¨ Ubrigens muß ein Teilnetz einer Folge keineswegs eine Folge sein: ist z.B. x : IN → X irgendeine Folge, so ist mit m : IR → IN : m(r) := min{n ∈ IN | n ≥ r} offenbar (xm(r) )r∈IR ein Teilnetz von (xn )n∈IN , aber eindeutig keine Folge. Konvergiert ein Netz in einem topologischen Raum gegen einen Punkt, so wegen (2.2) auch jedes Teilnetz davon. Teilnetze entsprechen sozusagen den Oberfiltern. Und ganz

100

2 Das Konzept Topologischer Raum

ahnlich wie bei Filtern gibt es auch unter den Netzen auf einer Menge so etwas wie ¨ maximale Elemente bez¨ uglich der feiner“-Relation: man nennt sie ultrafeine oder uni” verselle Netze.∗ Ebenso gilt eine Charakterisierung universeller Netze, die uns von den Ultrafiltern her bekannt vorkommt: Ein Netz (xi )i∈I in einer Menge X ist genau dann ein universelles Netz, wenn ∀A ⊆ X : ∃i0 ∈ I : (∀i ≥ i0 : xi ∈ A) ∨ (∀i ≥ i0 : xi ∈ X \ A) gilt, d.h. wenn f¨ ur jede Teilmenge A von X ein komplettes Endst¨ uck“ unsres Netzes ” entweder in A oder in X \ A liegt. Ganz genau so, wie wir es auf Seite 45 bei Folgen gemacht haben, kann man auch jedem Netz in einer Menge X einen Filter auf X zuordnen: Ist (xi )i∈I ein Netz in X, so ist die Familie { {xi | i ≥ i0 } | i0 ∈ I} aller Netz-Endst¨ ucken“ eine Filterbasis auf X, der davon erzeugte Filter sei ϕx:I→X . ” Es ist leicht zu sehen, daß ϕx:I→X in einem topologischen Raum (X, τ ) genau dann gegen ein Element y ∈ X konvergiert, wenn (xi )i∈I gegen y konvergiert. Umgekehrt kann man auch jedem Filter auf X ein Netz in X zuordnen: Ist ϕ ein Filter auf X, so setzen wir Iϕ := {(P, x)| P ∈ ϕ, x ∈ P } und erkl¨ aren darauf eine Richtung durch (P1 , x1 ) ≤ (P2 , x2 ) : ⇔ P1 ⊇ P2 sowie eine Abbildung xϕ : Iϕ → X : xϕ (P, x) := x . Diese Abbildung ist dann ein Netz (xi )i∈Iϕ in X, das genau dann gegen einen Punkt y ∈ X konvergiert, wenn ϕ gegen y konvergiert. Konstruieren wir in der angegebenen Weise aus einem Filter ein Netz und daraus wieder einen Filter, so erhalten wir unsern Ausgangsfilter zur¨ uck. Basteln wir uns andrerseits aus einem Netz ξ := (xi )i∈I einen Filter ϕx:I→X und daraus wiederum ein Netz ν := (xi )i∈Iϕx:I→X , so erhalten wir nicht notwendig wieder unser Ausgangsnetz zur¨ uck – aber † immerhin ist ξ feiner als ν und auch ν feiner als ξ. ∗

†

Maximal kann hier offensichtlich nicht heißen, daß jedes feinere Netz gleich unsrem universellen ist – sondern, daß ein universelles Netz (xi )i∈I selbst auch feiner ist als jedes Netz (yj )j∈J , das feiner als (xi )i∈I ist. ¨ Uberhaupt interessiert man sich ja in Wahrheit eigentlich nur f¨ ur Klassen von Netzen, die

L¨osungsvorschl¨age

101

L¨osungsvorschl¨age 1

Seien x ∈ X und ε > 0 gegeben. Wir setzen δ :=

ε 2

und finden

∀y ∈ U (x, δ) : ∀a ∈ A : d(y, a) ≤ d(y, x) + (x, a) ∧ d(x, a) ≤ d(y, x) + d(y, a) ε ε : d(y, a) ≤ + dA (x) ∧ dA (x) ≤ + d(y, a) 2 2 ε ε : d(y, a) ≤ + dA (x) ∧ dA (x) − ≤ d(y, a) 2 2 ε ε : dA (x) − ≤ d(y, a) ≤ dA (x) + . 2 2 Das liefert dA (x) − ε2 ≤ inf a∈A d(y, a) ≤ dA (x) + 2ε und folglich dA (x) − ε < dA (y) < dA (x) + ε aß Definition 2.1.11 f¨ ur alle y ∈ U (x, δ), also dA (U (x, δ)) ⊆ U (dA (x), ε). Mithin ist dA gem¨ stetig. 2 Ja. Wir k¨ onnen z.B. IR mit euklidischer Topologie τe heranziehen und ein Element i ∈ IR zu IR hinzuf¨ ugen: X := IR ∪ {i}. Dann erg¨ anzen wir noch die Topologie: τ := τe ∪ {X}. In dem erhaltenen topologischen Raum (X, τ ) konvergiert jeder Filter gegen i, da X die einzige offene Umgebung von i ist. Freilich hat z.B. der Hauptfilter [IR] ziemlich viele Ber¨ uhrungspunkte, gegen die er nicht konvergiert. 3 Wir setzen τ := {O ∈ P(X)| k(X \ O) = X \ O}. Zun¨ achst pr¨ ufen wir, daß τ tats¨ achlich eine Topologie ist: Wegen X ⊆ k(X) muß k(X) = X und folglich ∅ ∈ τ gelten. Analog folgt aus k(∅) = ∅ sofort X ∈ τ . Sind U, V ∈ τ , so haben wir k(X \ U ) = X \ U und k(X \ V ) = X \ V , also nach (3) auch k(X \ (U ∩ V )) = k((X \ U ) ∪ (X \ V )) = (X \ U ) ∪ (X \ V ) = X \ (U ∩ V ) und folglich U ∩ V ∈ τ . Ist ferner eine beliebige Familie (Oi )i∈I mit ∀i ∈ I : Oi ∈ τ ge) = X \ Oi . ´F¨ ur jedes j ∈ I haben wir nun geben, so heißt das ja ∀i ∈ I : k(X \ Oi`T T ∗ (X \ O ) ⊆ X \ O , also auch ∀j ∈ I : k (X \ O ) ⊆ k(X \´Oj ) T = X \ Oj und daher i j i i∈I i∈I `T ´ `T T k \ O folgt k (X \ O ) ⊇ i ). Umgekehrt `S i i∈I (X \ Oi ) ⊆ i∈I (X i∈I i∈I (X \ Oi ) direkt ´ S T onnen. aus (2), so daß wir wegen i∈I (X \ Oi ) = X \ i∈I Oi auf i∈I Oi ∈ τ schließen k¨ k = hτ folgt nun einfach daraus, daß eine Menge A ⊆ X nach Konstruktion von τ genau dann abgeschlossen ist, wenn k(A) = A gilt. Mit Proposition 2.2.13(9) ergibt das n¨ amlich T T ∀M ∈ P(X) : hτ (M ) = A⊇M,k(A)=A A, wobei wir sicher M ⊆ A⊇M,k(A)=A A und folglich “T ” T T wegen (2) auch k(M ) ⊆ k A⊇M,k(A)=A A ⊆ A⊇M,k(A)=A k(A) = A⊇M,k(A)=A A haben, ¨ also k(M ) ⊆ hτ (M ). Uberdies ist k(M ) wegen (4) abgeschlossen bez¨ u glich τ und umfaßt M , T woraus sofort hτ (M ) = A⊇M,k(A)=A A ⊆ k(M ) folgt.

∗

in diesem Sinne gleichfein“ sind, schl¨ agt sich aber dauernd mit einzelnen Repr¨ asentanten ” rum. Das ist noch so ein Grund, warum ich pers¨ onlich lieber mit Filtern arbeite. Wie man aus (3) schnell ersieht, folgt aus A ⊆ B stets k(A) ⊆ k(B)!)

102

2 Das Konzept Topologischer Raum

4 Nein, kann man nicht. Es k¨ onnen maximal 14 verschiedene Mengen herauskommen. Das ist ein Ergebnis von Kuratowski, [18], das schon wegen des Auftretens der sonst so zur¨ uckhaltenden Zahl 14 einige Verwunderung ausl¨ ost und bis heute etliche Mathematiker besch¨ aftigt, die sich um Verallgemeinerungen von Kuratowskis Resultat k¨ ummern. Kommen wir aber zum Beweis:

Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum und M ⊆ X eine beliebige Teilmenge von X. Der leichteren Schreibweise wegen verwenden wir hier mal kleine Buchstaben a, c zur Bezeichnung der Operationen Abschluß- und Komplementbildung: a : P(X) → P(X) : B → B und c : P(X) → P(X) : B → X \ B Wir beobachten zun¨ achst, daß wir uns wegen aa = a und cc = 11P(X) auf die Betrachtung strikt abwechselnder Anwendungen unsrer Abbildungen beschr¨ anken k¨ onnen. F¨ ur beliebige Teilmengen B ⊆ X haben wir cac(B) = X \ (X \ B) , also nach 2.2.11(1) cac(B) = X \ (X \ int(B)) cac(B) = int(B)

(2.3)

Inbesondere bedeutet dies cac(B) ⊆ B f¨ ur alle Teilmengen B nach 2.2.12(1), speziell also auch f¨ ur a(M ). Wir haben also cac(a(M )) ⊆ a(M ) , und Abschlußbildung liefert wegen 2.2.13(5),(3): acaca(M ) ⊆ a(M ) , Komplementbildung kehrt die Inklusion um: cacaca(M ) ⊇ ca(M ) , und Abschlußbildung erh¨ alt die Inklusion: acacaca(M ) ⊇ aca(M )

(2.4)

Andrerseits gilt wegen (2.3) nat¨ urlich auch cac(aca(M )) ⊆ aca(M ), woraus durch Abschlußbildung acacaca(M ) ⊆ aaca(M ) = aca(M ) folgt, was zusammen mit (2.4) nun acacaca(M ) = aca(M ) liefert. Die Abbildungen acacaca und aca sind also gleich, d.h. in jeder strikt abwechselnden Anwendungsfolge k¨ onnen wir acacaca durch aca ersetzen, ohne die Wirkung zu ver¨ andern. Demnach k¨ onnen h¨ ochstens noch die Abbildungen 11P(X) , a, c, ac, ca, aca, cac, acac, caca, acaca, cacac, acacac, cacaca, cacacac voneinander verschiedene Bilder liefern, wie man leicht einsieht, da so eine strikt alternierende Anwendungsfolge durch ihre L¨ ange und den Anfangsbuchstaben eindeutig bestimmt ist. Jede Abfolge mit 8 oder mehr Anwendungen w¨ urde unser acacaca enthalten und k¨ onnte daher so lange gek¨ urzt werden, bis weniger als 8 Anwendungen vorkommen, die einzige Abfolge mit 7 Anwendungen, die acacaca nicht enth¨ alt, haben wir mit angegeben und alle k¨ urzeren sowieso. Tats¨ achlich ist die Schranke 14 scharf – sogar in IR mit euklidischer Topologie kann man Mengen angeben, die insgesamt 14 verschiedene Bilder liefern (wobei, wie ja oben ersichtlich

L¨osungsvorschl¨age

103

ist, das Bild unter 11P(X) = cc mitgez¨ ahlt wird). Beispielsweise klappt das mit der Menge j ff j ff 1 9 / | n ∈ IN + ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ ∪ [5, 6] ∪ ( Q ∩ [7, 8) ) , n 2 wie ein jeder gerne nachrechnen kann. (Siehe [28], Beispiel 32.) 5

Wir k¨ onnen f¨ ur (X, τ ) hier IR mit euklidischer Topologie w¨ ahlen. Als Subbasis nehmen wir die Familie S := {(−∞, b), (a, ∞)| a, b ∈ IR} und setzen G := ZZ ⊆ IR. 6 W¨ ahle z.B. X := IR und τ := {∅} ∪ {A ⊆ IR| 0 ∈ A}. τ ist offensichtlich eine Topologie auf IR und ebenso offensichtlich ist {0} = IR, so daß die einpunktige Menge {0} dicht in (X, τ ) liegt. Andrerseits sind auch alle Mengen der Gestalt {0, x} mit x ∈ IR offen, die Mengen {x} f¨ ur x = 0 aber nicht, so daß einer eventuellen Basis von τ alle diese Mengen angeh¨ oren m¨ ussen. Das sind aber schon u ahlbar viele. ¨ berabz¨

Als ich noch etwas kleiner war und meine Zweifel an der M¨ oglichkeit mancher M¨ archen sich mit meiner Belustigung ob realistisch-zerfalteter Tagewerkermienen ungef¨ ahr die Waage hielten, da wollte ich selbst oft der (gern auch b¨ ose) D¨ amon aus diesem oder jenem M¨ archen sein. Nat¨ urlich w¨ urde ich das meiste anders machen. Niemand lockte mich als Dshinn in eine Flasche, die ich nicht selbstt¨ atig wieder verlassen k¨ onnte, als Vampir bewohnte ich wohl kaum eine hohe Burg, in der jeder phantasielose Hobby-Exorzist zwischen Fr¨ uhst¨ uck und Zitronenr¨ ollchen nach mir fahnden w¨ urde, und wozu ben¨ otigte ich als feuriger Tatzelwurm u ¨ berhaupt Prinzessinnen, wo ich doch den ganzen Tag lang Grizzlys grillen k¨ onnte, ohne mich mit d¨ ummlichen Siegfrieden herumzuschlagen? Im gehobenen Dienst schließlich, als Obermagier mit special-effect-permission, als ¨ agyptischer Gott oder als sehr alter, m¨ achtiger Vampir ... na gut. Ein Gott zu sein, ist aber schwer. Man muß z.B. h¨ ollisch aufpassen, daß keiner etwas merkt, sonst wird man eins, zwei, fix in irgendeinen albernen Kult verwickelt, von Priestern verh¨ ohnt und von Gl¨ aubigen mit Unmengen an Opfern beworfen. Dagegen w¨ are nichtmal etwas einzuwenden, wenn sie nicht so unglaublich einf¨ altig vorgingen: sie m¨ ochten gern ein Schaf essen, aber weil sie gleichzeitig finden, daß sie ihrem G¨ otzen ein Opfer bringen sollten, damit es ein bißchen regnet oder Greise wieder fruchtbar werden, reden sie sich ein, der D¨ amon wolle auch ein Schaf essen. Prompt tragen sie eines zum Tempel, w¨ urzen es mit einer Prise Brimborium, verneigen sich und verschwinden. Der D¨ amon, der auf Schafe, Rindviecher und Menschenlebern langsam allergisch reagiert und viel lieber Schach spielen m¨ ochte, h¨ utet sich nat¨ urlich, mit Erdbeben herumzupoltern, denn dann kommen sie sofort wieder und bringen noch mehr Schafe. Nein, der D¨ amon h¨ alt die Schnauze, wringt vielleicht ein paar Wolken aus, und die Priester essen das Schaf. Es ist, wie gesagt, nicht leicht, ein Gott zu sein. Man braucht eine Schafsgeduld. marvinius.net

3

Einige topologische Konstruktionen Phantasie haben heißt nicht, sich etwas auszudenken; es heißt, sich aus den Dingen etwas machen. Thomas Mann

Wir werden uns hier damit befassen, aus vorhandenen topologischen R¨aumen neue zu gewinnen. Implizit haben wir das zuweilen schon gemacht, indem wir etwa Teilmengen der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie betrachtet hatten, obwohl wir die euklidische doch als eine Topologie auf der gesamten Menge IR definiert hatten. Dahinter steckte eine intuitive Vorstellung von Teilr¨aumen, die wir freilich noch nicht zu pr¨azisieren brauchten, da wir uns darauf herausreden konnten, die euklidische Topologie auf einer Teilmenge von IR w¨ urden wir uns einfach als die von der euklidischen Metrik auf der betreffenden Teilmenge erzeugte Topologie vorstellen. Hier werden wir den Begriff des Teilraumes und einige andere wichtige Konstruktionen wie etwa Produkt- und Quotientenr¨ aume im topologischen Sinne behandeln.

3.1

Initiale und finale Topologie

Ich bitte nun um Aufmerksamkeit f¨ ur einen der wesentlichen St¨ utzpfeiler nicht nur der Theorie der topologischen R¨ aume, sondern auch vieler anderer Raum“-Konzepte der ” Allgemeinen Topologie. Definition 3.1.1 Sei X eine Menge, I eine Klasse und f¨ ur jedes i ∈ I sei (Yi , σi ) ein topologischer Raum sowie fi : X → Yi eine Funktion. Dann nennen wir die gr¨obste Topologie τ auf X, f¨ ur die alle fi , i ∈ I stetig sind, die initiale Topologie bez¨ uglich aller (Yi , σi ), fi , i ∈ I. Ist Y eine Menge, I eine Klasse und f¨ ur jedes i ∈ I ein topologischer Raum (Xi , τi ) sowie eine Funktion fi : Xi → Y gegeben, so nennen wir die feinste Topologie σ auf Y , f¨ ur die alle fi stetig sind, die finale Topologie bez¨ uglich aller (Xi , τi ), fi , i ∈ I. Zu gegebenen (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I ist die Familie aller derjenigen Topologien auf X, f¨ ur die alle fi stetig sind, jedenfalls nicht leer: die diskrete Topologie auf X liegt da auf jeden Fall drin. Analog ist bez¨ uglich gegebener (Xi , τi ), fi : Xi → Y, i ∈ I die

106

3 Einige topologische Konstruktionen

indiskrete Topologie auf Y stets eine, f¨ ur die alle fi stetig sind. Außerdem hatten wir im Anschluß an Satz 2.2.21 gesehen, daß jede Familie von Topologien auf einer Menge sowohl ein Infimum als auch ein Supremum besitzt. Das sichert freilich noch nicht, daß dieses Infimum (bzw. Supremum) auch selbst in der Familie derjenigen Topologien auf X (resp. Y ) liegt, bez¨ uglich derer alle fi stetig sind.∗ Wir haben also die Zweckm¨ aßigkeit unsrer Definition 3.1.1 durch einen Existenzbeweis zu untermauern. Erfreulicherweise gelingt sogar eine direkte Beschreibung der initialen und finalen Topologien. Proposition 3.1.2 Zu gegebenen (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I ist genau die von der Subbasis S := {fi−1 (Oi )| i ∈ I, Oi ∈ σi } ∪ {X} erzeugte Topologie die gr¨ obste Topologie auf X, bez¨ uglich derer alle fi stetig sind. Beweis: Zun¨ achst m¨ ussen wir uns um die Subbasiseigenschaft laut Satz 2.2.21 keine Sorgen machen† . Jede Topologie, bez¨ uglich derer alle fi stetig sind, muß S als Teilmenge enthalten (Definition der Stetigkeit!), folglich ist jede Topologie auf X, bez¨ uglich derer alle fi stetig sind, feiner als die von S erzeugte. Andrerseits sind bez¨ uglich der von S erzeugten Topologie offensichtlich alle fi stetig – die Urbilder der offenen Mengen liegen ja schon in S. Mithin ist sie die gr¨ obste dieser Art.

Proposition 3.1.3 Zu gegebenen (Xi , τi ), fi : Xi → Y, i ∈ I ist genau die Familie σ := {O ⊆ Y | ∀i ∈ I : fi−1 (O) ∈ τi } die feinste Topologie auf Y , bez¨ uglich derer alle fi stetig sind. ∗

†

Wir beachten an dieser Stelle kurz, daß wir in der Definition 3.1.1 auch echte Klassen von topologischen R¨ aumen und Funktionen zugelassen haben. Das bedeutet selbstverst¨ andlich nicht, wie von manchen vielleicht erschrocken bef¨ urchtet werden k¨ onnte, daß wir uns wom¨ oglich mit Unmengen von Topologien auf der jeweils mit einer solchen auszur¨ ustenden Menge herumzuschlagen h¨ atten: Die Klasse aller Topologien auf einer Menge X ist als Teilklasse von P(P(X)) n¨ amlich eine Menge und somit erst recht die Teilklasse aller derjenigen Topologien, bez¨ uglich derer alle unsre fi stetig sind. Solange I = ∅ gilt, ist auch die etwas k¨ unstlich anmutende Hinzuf¨ ugung von X zu S u ¨ berfl¨ ussig – in diesem Fall haben wir ja stets X = fj−1 (Yj ), j ∈ I und damit X ∈ {fi−1 (Oi )| i ∈ I, Oi ∈ σi }. Nur bei leerer Indexklasse I brauchen wir diesen Zusatz. Wir erhalten dann die indiskrete Topologie auf X, mithin die absolut gr¨ obste und damit sicher gr¨ obste Topologie auf X bez¨ uglich derer alle Funktionen fi , i ∈ ∅ stetig sind.

3.1 Initiale und f inale Topologie

107

Beweis: Zun¨ achst verifiziert man schnell, daß σ tats¨achlich eine Topologie auf Y ist∗ : ∅ und Y sind wegen fi−1 (∅) = ∅ und fi−1 (Y ) = Xi zweifellos Elemente von σ; sind A, B ∈ σ, so gilt wegen ∀i ∈ I : fi−1 (A ∩ B) = fi−1 (A) ∩ fi−1 (B) auch A ∩ B ∈ σ;

wegen ∀i ∈ I : fi−1 ( A∈A A) = A∈A fi−1 (A) ist zu jeder Teilmenge A von σ deren Vereinigung wieder ein Element von σ. Weiterhin ist nach Konstruktion von σ unmittelbar klar, daß alle fi stetig sind. Zu zeigen bleibt, daß σ die feinste Topologie auf Y mit dieser Eigenschaft ist. Sei also σ  irgendeine Topologie mit dieser Eigenschaft. Da alle fi bez¨ uglich σ  stetig sein sol−1  len, folgt sofort ∀O ∈ σ : ∀i ∈ I : fi (O) ∈ τi und damit ∀O ∈ σ  : O ∈ σ, also σ  ⊆ σ. Ab jetzt d¨ urfen wir also sicher sein, daß eine finale (bzw. initiale) Topologie zu gegebenen R¨ aumen und Abbildungen stets existiert und insbesondere auch eindeutig bestimmt ist. Wir wollen diese Strukturen nun noch durch jeweils eine etwas abstraktere, wichtige Eigenschaft charakterisieren. Lemma 3.1.4 Seien ein topologischer Raum (X, τ ) und seien (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I gegeben. Dann sind ¨ aquivalent: (1) τ ist die initiale Topologie bez¨ uglich (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I. (2) F¨ ur alle topologischen R¨ aume (Z, ξ) und alle Funktionen g : (Z, ξ) → (X, τ ) gilt, daß g genau dann stetig ist, wenn alle Kompositionen fi ◦ g stetig sind. Z

g

....................................

X

fi

.... ............................... ..

Yi

Beweis: (1)⇒(2)“: Daß bez¨ uglich der initialen Topologie alle fi stetig sind, haben wir ” laut Definition. Ist nun noch g stetig, so folgt die Stetigkeit aller Kompositionen fi ◦ g nach Korollar 2.2.40. Seien also umgekehrt alle Kompositionen fi ◦ g f¨ ur gegebenes g : (Z, ξ) → (X, τ ) stetig. Das heißt ja: ∀i ∈ I : ∀Oi ∈ σi : (fi ◦ g)−1 (Oi ) = g −1 (fi−1 (Oi )) ∈ ξ. Das bedeutet aber, daß f¨ ur jedes Element S der Menge S := {fi−1 (Oi )| i ∈ I, Oi ∈ σi } das Urbild g −1 (S) offen bez¨ uglich ξ ist. Nun ist freilich laut Proposition 3.1.2 S eine Subbasis der initialen Topologie τ , so daß g nach Proposition 2.2.35 stetig ist. (2)⇒(1)“: Gelte (2) mit der Topologie τ auf X. Sei dann τ  die initiale Topologie ” auf X f¨ ur die gegebenen (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I. Wir wissen, daß bez¨ uglich der initialen Topologie nach Definition alle fi stetig sind. Wegen (2) ist dann aber auch 11X : (X, τ  ) → (X, τ ) stetig, denn alle Kompositionen fi = fi ◦ 11X sind es. Das ergibt τ ⊆ τ  . Andrerseits ist nat¨ urlich 11X : (X, τ ) → (X, τ ) stetig, daher auch alle Kompositionen fi = fi ◦ 11X . Da jedoch die initiale Topologie τ  die gr¨obste Topologie ist, ∗

In diesem Falle macht auch die leere Indexklasse keine Probleme – wir erhalten dann einfach die diskrete Topologie auf Y , denn es gilt ja f¨ ur jede Teilmenge O ⊆ Y stets ∀i ∈ ∅ : fi−1 (O) ∈ τi .

108

3 Einige topologische Konstruktionen

bez¨ uglich derer alle fi stetig sind, folgt τ  ⊆ τ , insgesamt also τ = τ  .

Lemma 3.1.5 Seien ein topologischer Raum (Y, σ) und seien (Xi , τi ), fi : Xi → Y, i ∈ I gegeben. Dann sind ¨ aquivalent: (1) σ ist die finale Topologie bez¨ uglich (Xi , τi ), fi : Xi → Y, i ∈ I. (2) F¨ ur alle topologischen R¨ aume (Z, ξ) und alle Funktionen g : (Y, σ) → (Z, ξ) gilt, daß g genau dann stetig ist, wenn alle Kompositionen g ◦ fi stetig sind. Xi

f

i .....................................

Y

g

..... ................................ .

Z

Beweis: (1)⇒(2)“: Seien (Z, ξ) und g : Y → Z gegeben. Dann folgt aus der Stetigkeit ” von g die Stetigkeit aller Kompositionen mit den fi wieder ganz einfach aus Korollar 2.2.40. Seien also stattdessen erstmal alle Kompositionen g ◦fi , i ∈ I stetig. Dann haben wir ∀O ∈ ξ : ∀i ∈ I : fi−1 (g −1 (O)) ∈ τi . Nach Proposition 3.1.3 bedeutet das gerade, daß alle g −1 (O), O ∈ ξ Elemente der als final vorausgesetzten Topologie σ sind, so daß g also stetig ist. (2)⇒(1)“: Gelte Bedingung (2) f¨ ur σ und sei σ  die finale Topologie f¨ ur die gegebenen ” (Xi , τi ), fi : Xi → Y, i ∈ I. Bez¨ uglich der finalen Topologie sind alle fi stetig, betrachten wir daher die identische Abbildung 11Y : (Y, σ) → (Y, σ  ), so sind insbesondere alle Kompositionen 11Y ◦ fi = fi stetig, daher wegen (2) auch 11Y bez¨ uglich dieser Topologien. Das liefert σ  ⊆ σ. Andrerseits ist nat¨ urlich 11Y : (Y, σ) → (Y, σ) stetig und somit nach (2) auch s¨ amtliche Kompositionen 11Y ◦ fi = fi bez¨ uglich dieser Topologien. Nun ist freilich die finale Topologie σ  die feinste, bez¨ uglich derer alle fi stetig sind, also σ  ⊇ σ. Wir wollen beachten, daß durch die Lemmata 3.1.4 bzw. 3.1.5 die initialen bzw. finalen Topologien ohne Umweg durch Stetigkeit von Abbildungen beschrieben sind. Das ist ein weiterf¨ uhrendes Motiv, das auch in vielen anderen Strukturen als nur in topologischen R¨ aumen Fr¨ uchte tr¨ agt! Die folgenden – m¨ oglicherweise gel¨ aufigeren oder wenigstens anschaulicheren – Konstruktionen sind Spezialf¨ alle initialer bzw. finaler Strukturen, wie wir sehen werden.

3.1.1

Spurtopologie

Definition 3.1.6 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Dann nennen wir die durch τ|A := {O ∩ A| O ∈ τ }

3.1 Initiale und f inale Topologie

109

beschriebene Topologie auf A die Spurtopologie von τ in A. Der topologische Raum (A, τ|A ) wird dann auch ein Unterraum von (X, τ ) genannt. Proposition 3.1.7 Ist (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X, so ist die Spurtopologie τ|A die initiale Topologie auf A bez¨ uglich der Injektion iA : A → X : iA (a) = a . Beweis: Unter Beachtung des Umstandes, daß f¨ ur jede Teilmenge O ⊆ X stets i−1 A (O) = O ∩ A gilt, folgt die Behauptung sofort aus Proposition 3.1.2. Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, A ⊆ X eine Teilmenge von X und ϕ ein Filter auf A, der im Sinne der Spurtopologie τ|A gegen einen Punkt a ∈ A konvergiert, so konvergiert er∗ wegen der Stetigkeit der kanonischen Injektion nat¨ urlich auch im Sinne von τ gegen a ∈ X. Umgekehrt muß ein Filter auf X, der A enth¨alt und im Sinne von τ gegen ein x ∈ X konvergiert, im Sinne der Spurtopologie durchaus nicht gegen x konvergieren – einfach deshalb, weil ja x außerhalb von A liegen kann; ist freilich das betreffende x auch Element von A, so konvergiert der fragliche Filter notwendigerweise auch im Sinne der Spurtopologie gegen x, wie man sich anhand der offenen Umgebungen von x in (A, τ|A ) ¨ schnell klarmacht. Eine v¨ ollige Ubereinstimmung im Konvergenzverhalten von Filtern auf einem Unterraum mit ihrem Konvergenzverhalten im Gesamtraum besteht folglich genau f¨ ur die abgeschlossenen Unterr¨aume. Proposition 3.1.8 Sind (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, A ⊆ X und f : (X, τ ) → (Y, σ) stetig, so ist auch die eingeschr¨ ankte Funktion f|A : (A, τ|A ) → (Y, σ) stetig. Beweis: Wir haben ja f|A = f ◦ iA , wobei die Injektion iA : A → X : iA (a) = a stetig wegen der Initialit¨ at von τ|A ist. Somit ist nach Korollar 2.2.40 auch obige Komposition stetig. Aufgabe1 Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X. Sei ferner τ die von d auf X erzeugte Topologie. Zeige, daß die von der auf A × A eingeschr¨ankten Metrik d|A×A auf A erzeugte Topologie τ  mit der Spurtopologie τ|A u ¨ bereinstimmt. ∗

Streng genommen, ist der hier gemeinte Filter auf X ein anderer als der auf A, da er z.B. X enth¨ alt, was ein Filter auf A nicht kann, falls nicht grade A = X gilt. Man m¨ oge mir die kleine Unkorrektheit verzeihen, die ich begehe, wenn ich einen Filter auf A ⊆ X mit dem von ihm als Basis erzeugten Filter auf X identifiziere. Es hat n¨ amlich im Rahmen unseres Themas absolut keinen Sinn, zwischen diesen beiden großartig zu unterscheiden. Einige Autoren umgehen das Problem dadurch, daß sie generell mit Filterbasen statt Filtern arbeiten – das macht allerdings etliche Formulierungen sinnlos umst¨ andlich und gef¨ allt mir daher nicht.

110

3 Einige topologische Konstruktionen

Proposition 3.1.9 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume,
n A1 , ..., An sei eine endliche Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit k=1 A
k = X und (Oj )j∈J sei eine beliebige Familie von offenen Teilmengen von X mit j∈J Oj = X. Ferner sei eine Funktion f : X → Y gegeben. Es gelten: (1) f ist genau dann stetig, wenn f¨ ur alle k = 1, ..., n die Einschr¨ankung f|Ak → Y stetig ist. (2) f ist genau dann stetig, wenn f¨ ur alle i ∈ I die Einschr¨ankung f|Oi → Y stetig ist. Beweis: Aufgabe2 Zusatz: Warum kann auf die Endlichkeitsbedingung in (1) nicht verzichtet werden?

Definition 3.1.10 Sind (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, so heißt eine Funktion f : X → Y Einbettung von X in Y genau dann, wenn f : X → f (X) ein Hom¨oomorphismus bez¨ uglich τ und σ|f (X) ist. Aufgabe3 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨aume und f : X → Y eine Funktion. Zeige: f ist genau dann eine Einbettung, wenn f injektiv und τ die initiale Topologie auf X bez¨ uglich (Y, σ), f : X → Y ist.

3.1.2

Quotiententopologie

Definition 3.1.11 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, Y eine Menge und f : X → Y eine Funktion. uglich (X, τ ), f die QuotientenDann nennen wir die finale Topologie σf auf Y bez¨ topologie auf Y bez¨ uglich (X, τ ), f . Sind (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, f : X → Y eine surjektive Funktion und ist σ die Quotiententopologie bez¨ uglich (X, τ ), f , so nennen wir f eine Quotientenabbildung. ¨ Ist (X, τ ) ein topologischer Raum und R eine Aquivalenzrelation auf X, sowie ωR : X → X/R : ω(x) := [x]R ¨ die kanonische Surjektion von X auf die Menge X/R der Aquivalenzklassen von X nach R, so bezeichnen wir die mit der Quotiententopologie τR bez¨ uglich (X, τ ), ωR versehene Menge X/R als Quotientenraum oder schlicht als Quotienten von (X, τ ) (bez¨ uglich R).

3.1 Initiale und f inale Topologie

111

¨ Sind (X, τ ) ein topologischer Raum und R eine Aquivalenzrelation auf X, so ist eine ¨ Teilmenge M des Quotientenraumes (X/R, τR ) (also eine Menge von Aquivalenzklassen bez¨ uglich R) genau dann offen, wenn deren Vereinigung offen in X ist. ¨ Nun wissen wir, daß f¨ ur gegebene Mengen X, Y jede Funktion f : X → Y eine Aquivalenzrelation Rf := {(x1 , x2 ) ∈ X × X| f (x1 ) = f (x2 )} auf X induziert. Damit freilich k¨ onnen wir ein topologisches Analogon zum Homomorphiesatz der Gruppentheorie formulieren:

Lemma 3.1.12 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Quotientenabbildung. Dann ist (X/Rf , τRf ) hom¨ oomorph zu (Y, σ). Beweis: Zun¨achst ist f als Quotientenabbildung surjektiv und σ die finale Topologie auf Y bez¨ uglich (X, τ ), f . Wir definieren die Abbildung s : X/Rf → Y durch ¨ bez¨ uglich s([x]Rf ) := f (x), x ∈ X, was infolge der Beschaffenheit der Aquivalenzklassen Rf als vollst¨ andige Urbilder einzelner Elemente von Y bez¨ uglich f wohldefiniert ist. Da ¨ schon f surjektiv ist, ist es nat¨ urlich auch s. Uberdies ist s injektiv, da zu gleichen Elementen von Y nat¨ urlich dasselbe vollst¨ andige Urbild bez¨ uglich f geh¨ort. Somit ist s bijektiv und folglich ein heißer Kandidat f¨ ur einen Hom¨oomorphismus. Wir sehen leicht, daß f = s ◦ ωRf gilt. Da nun f als Quotientenabbildung (weil also σ final bez¨ uglich f ist) stetig ist, ist s ◦ ωRf stetig, folglich (weil τRf final bez¨ uglich ωRf ist) ist s stetig. Weiterhin folgt aus f = s ◦ ωRf nun sofort s−1 ◦ f = ωRf . Da ωRf immer noch stetig ist, und σ final bez¨ uglich f , muß somit auch s−1 stetig sein.

Lemma 3.1.13 ¨ Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, R eine Aquivalenzrelation auf X, sei ωR die kanonische Surjektion und sei (X/R, τR ) der Quotientenraum bez¨ uglich R. Dann gilt: (1) F¨ ur jeden topologischen Raum (Y, σ) und jede stetige Abbildung f : X → Y , die mit R vertr¨ aglich ist (d.h. ∀(a, b) ∈ R : f (a) = f (b)), existiert genau eine stetige Abbildung f : X/R → Y mit f = f ◦ ωR . (2) Bis auf Isomorphie ist ωR , (X/R, τR ) das einzige Paar aus surjektiver Abbildung und topologischem Raum mit der Eigenschaft (1). Beweis: Aufgabe4

112

3 Einige topologische Konstruktionen

Proposition 3.1.14 Jede surjektive, stetige und offene (bzw. abgeschlossene) Abbildung f : X → Y zwischen topologischen R¨ aumen (X, τ ) und (Y, σ) ist eine Quotientenabbildung. Eine Quotientenabbildung muß aber nicht notwendig offen (bzw. abgeschlossen) sein. Beweis: Aufgabe5 Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Funktion. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt saturiert (bez¨ uglich f ) genau dann, wenn es eine Teilmenge B ⊆ Y gibt, so daß A = f −1 (B) gilt. Proposition 3.1.15 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine Quotientenabbildung. Seien ferner A ⊆ X und B ⊆ Y . Dann gelten (1) B ist genau dann abgeschlossen in Y , wenn f −1 (B) abgeschlossen in X ist. (2) Ist A abgeschlossen und saturiert (bzgl. f ), dann ist f (A) abgeschlossen. Beweis: Zu (1): Aus der Abgeschlossenheit von B folgt die Abgeschlossenheit von f −1 (B) einfach wegen der Stetigkeit von f (Satz 2.2.36). Sei also umgekehrt f −1 (B) als abgeschlossen vorausgesetzt. Dann ist f −1 (Y \B) = X \f −1(B) offen. Nach Proposition 3.1.3 ist dann aber auch Y \ B offen bez¨ uglich der Topologie σ, die ja als final bez¨ uglich (X, τ ), f vorausgesetzt war. Folglich ist B abgeschlossen. Zu (2): Ist A saturiert, existiert also B ⊆ Y mit A = f −1 (B), so daß dieses f −1 (B) abgeschlossen ist. Nach (1) ist dann freilich auch f (A) = f (f −1 (B)) abgeschlossen.

3.1.3

Produkte und Coprodukte

Definition 3.1.16 Sei I eine Menge und f¨ ur jedes i ∈ I sei (Xi , τi ) ein topologischer Raum. Dann nennen wir die durch die Subbasis       S := Oi  (∀i ∈ I : Oi ∈ τi ) ∧ (∃i0 ∈ I : ∀i = i0 : Oi = Xi ) ,  i∈I

also die Familie aller derjenigen Produkte offener Mengen aus den jeweiligen R¨aumen, bei denen h¨ ochstens ein Faktor nicht gleich dem jerweiligen Gesamtraum ist, definierte Topologie i∈I τi die Produkttopologie auf i∈I Xi bez¨ uglich der gegebenen R¨ aume (Xi , τi ).

3.1 Initiale und f inale Topologie

113

Bei endlichen Indexmengen I stimmt das so definierte Produkt nat¨ urlich mit dem in” tuitiven“ u ¨ berein: Eine Basis bilden darin genau die (naturgem¨aß endlichen) Produkte offener Teilmengen der Grundr¨ aume. Offensichtlich sind auch allgemein die endlichen Durchschnitte von Elementen aus S, die ja eine Basis der Produkttopologie formen, gerade diejenigen Produkte offener Teilmengen der Xi , bei denen jeweils nur endlich viele der beteiligten Faktoren vom jeweiligen Gesamtraum verschieden sind. Das hat zuweilen erstaunliche Auswirkungen: Beispiel 3.1.17 Sei das Intervall [0, 1] ⊆ IR ausgestattet mit euklidischer Topologie τ . Wir betrachten die  Menge [0, 1][0,1] aller Funktionen von [0, 1] nach [0, 1] mit  punktweiser Topologie ∼ (Xi , τi ) mit ∀i ∈ [0, 1] : Xi = [0, 1], τi = τ . τp . = i∈[0,1]

Dann ist ([0, 1][0,1] , τp ) separabel. Beweis: Aufgabe6 Lemma 3.1.18 Sei (Xi , τi )i∈I eine Familie topologischer R¨aume und seien  Xi → Xj : pj ((xi )i∈I ) := xj , j ∈ I pj : i∈I

die kanonischen Projektionen des Cartesischen Produktes der Mengen Xi auf die einzelnen Mengen Xj . Dann ist die Produkttopologie i∈I τi genau die initiale bez¨ uglich (Xi , τi ), pi , i ∈ I. Beweis: Wir m¨ ussen nur bemerken, daß f¨ ur jedes j ∈ I das vollst¨andige Urbild einer offenen Teilmenge Oj von Xj die Gestalt p−1 (O ) = j j i∈I Oi mit ∀i = j : Oi := Xi hat, um zu erkennen, daß die definierende Subbasis der Produkttopologie mit der in Proposition 3.1.2 charakterisierten Subbasis der initialen Topologie u ¨bereinstimmt. Selbstverst¨ andlich kann man eine Topologie auf    Oi | ∀i ∈ I : Oi ∈ τi B :=

i∈I

Xi auch durch die Basis

i∈I

definieren, die einem ja zun¨ achst mal in den Sinn kommen k¨onnte, wenn man das Wort Produkttopologie“ h¨ ort. F¨ ur endliche Indexklassen I stimmt die so definierte Topologie ” offensichtlich sogar mit der Produkttopologie u ur unendliche Indexklassen ¨berein – f¨ im allgemeinen nicht. Gleichwohl wird die durch B definierte Topologie auf i∈I Xi

114

3 Einige topologische Konstruktionen

gelegentlich auch untersucht und erh¨ alt daher einen eigenen Namen: Boxtopologie. Die Boxtopologie ist im allgemeinen bei unendlicher Indexklasse I wesentlich feiner als die Produkttopologie. Proposition 3.1.19 Sei (Xi , τi )i∈I eine Familie topologischer R¨aume und seien  pj : Xi → Xj : pj ((xi )i∈I ) := xj , j ∈ I i∈I

die kanonischen Projektionen des Cartesischen Produktes der Mengen Xi auf die einzelnen Mengen Xj . Dann ist f¨ ur jedes j ∈ I die kanonische Projektion pj eine offene Abbildung von i∈I (Xi , τi ) nach (Xj , τj ). Beweis: Die Produkttopologie ist initial bez¨ uglich der kanonischen Projektionen, also die gr¨ obste Topologie, bez¨ uglich derer alle kanonischen Projektionen stetig sind. Sie kann daher wie in Proposition 3.1.2 beschrieben werden. Sei nun O ⊆ i∈I Xi offen im Sinne der Produkttopologie und (xi )i∈I ∈ O. Dann existiert ein Basiselement – also ein endlicher Durchschnitt von Subbasiselementen gem¨aß Proposition 3.1.2 – der Produkttopologie, das (xi )i∈I enth¨ n alt und Teilmenge von O ist, d.h. ∃n ∈ IN, i1 , ..., in ∈ I, Oik ∈ τik : (xi )i∈I ∈ k=1 p−1 ik (Oik ) ⊆ O. Daraus n folgt pj ( k=1 p−1 (O )) ⊆ p (O) f¨ u r alle j ∈ I. F¨ u r j ∈  {i , ..., in } haben wir freilich j 1 ik  ik

n −1 pj Xj ⊆ pj (O) und ansonsten (ebenfalls wegen der Surjektivit¨at k=1 pik (Oik ) =  der Projektionen) pit ( nk=1 p−1 ur t = 1, ..., n. F¨ ur jedes j ∈ J ik (Oik )) = Oit ⊆ pit (O) f¨ umfaßt also pj (O) eine offene Umgebung des Bildpunktes pj ((xi )i∈I ). Da dies f¨ ur alle (xi )i∈I ∈ O gilt, ist also jedes pj (O) offen.

Korollar 3.1.20

Sei (Xi , τi )i∈I eine Familie topologischer R¨aume und seien pj : i∈I Xi → Xj : pj ((xi )i∈I ) := xj , j ∈ I die kanonischen Projektionen des Cartesischen Produktes der Mengen Xi auf die einzelnen Mengen Xj . Dann ist f¨ ur jedes j ∈ I die kanonische Projektion pj eine Quotientenabbildung von i∈I (Xi , τi ) nach (Xj , τj ).

Beweis: Kombiniere die Propositionen 3.1.14 und 3.1.19 unter Beachtung, daß die Projektionen selbstverst¨ andlich surjektiv und wegen der Initialit¨at des Produktes auch stetig sind.

Definition 3.1.21 Sei J eine Menge und f¨ ur jedes
j ∈ J sei (Xj , τj ) ein topologischer Raum. Dann heißt der Raum (X, τ ) mit X := j∈J (Xj × {j}) und der finalen Topologie τ auf X bez¨ uglich aller kanonischen Injektionen ij : Xj → X : ij (z) := (z, j) der Summenraum (oder auch das Coprodukt) der (Xj , τj )j∈J .

L¨osungsvorschl¨age

115

Lemma 3.1.22 Sei X eine Menge und sei τ die initiale Topologie auf X f¨ ur (Yi , σi ), fi : X → Yi , i ∈ I. Ein Filter ϕ auf X konvergiert bez¨ uglich τ genau dann gegen einen Punkt x ∈ X, wenn ∀i ∈ I : fi (ϕ) → fi (x) gilt. Beweis: ... als Aufgabe7 ;-) Aufgabe8 Seien (X, τ ), (Y, σ), (Z, ξ) topologische R¨aume, f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen sowie σ die finale Topologie bez¨ uglich (X, τ ), f . Zeige: ξ ist bez¨ uglich (Y, σ), g genau dann final, wenn ξ final bez¨ uglich (X, τ ), g ◦ f ist.

L¨osungsvorschl¨age 1 Sei O ∈ τ und x ∈ O ∩ A. Dann existiert ja ein ε > 0 mit {y ∈ X| d(x, y) < ε} ⊆ O. Folglich ist insbesondere {y ∈ A| d(x, y) < ε} ⊆ O ∩ A, mithin O ∩ A offen bez¨ uglich d|A×A , weil dies ja f¨ ur beliebige x ∈ O ∩ A gilt. Das ergibt τ|A ⊆ τ  . Sei umgekehrt US∈ τ  , d.h. ∀a ∈ U : ∃εa > 0 : {y ∈ A| d|A×A (x, y) = d(x, y) < εa } ⊆ U . Dann uglich τ ist freilich O := a∈U {y ∈ X| d(x, y) < εa } als Vereinigung offener Mengen offen bez¨ und zudem folgt O ∩ A = U . Mithin ist U ∈ τ|A , was τ  ⊆ τ|A liefert. 2

Daß mit f auch alle Einschr¨ ankungen von f stetig sind, besagt gerade Proposition 3.1.8. Wir haben uns also nur darum zu k¨ ummern, wie aus der Stetigkeit der angegebenen Einschr¨ ankungen die Stetigkeit von f folgt. Zu (1): Sei ϕ ∈ F(X) mit ϕ → x ∈ X gegeben. Wir wollen zeigen, daß dann stets f (ϕ) → f (x) gilt, woraus ja nach Satz 2.2.36 die Stetigkeit von f folgt. Dazu zeigen wir, daß alle Oberultrafilter von f (ϕ) gegen f (x) konvergieren – da ja f (ϕ) gleich dem Durchschnitt aller seiner Oberultrafilter ist, muß dann n¨ amlich auch f (ϕ) den Umgebungsfilter von f (x) enthalten. Sei also ψ ein Oberultrafilter von f (ϕ). Nach Lemma 1.4.14 existiert dann ein Oberultrafilter ϕ0 von ϕ mit f (ϕ0 ) = ψ. Laut Lemma 1.4.5 enth¨ alt nun ϕ0 mindestens eine unserer abgeschlossenen Mengen – nennen wir sie Ak – und als Oberfilter von ϕ konvergiert ϕ0 auch gegen x, so daß ankung f|Ak = f ◦ iAk x ∈ Ak wegen der Abgeschlossenheit von Ak folgt. Da nun die Einschr¨ stetig ist, muß f|Ak (ϕ0 ) → f|Ak (x) = f (x) gelten. Allerdings haben wir wegen Ak ∈ ϕ0 auch f|Ak (ϕ0 ) = f (ϕ0 ) = ψ. Daß auf die Endlichkeitsbedingung hier nicht so einfach verzichtet werden kann, sieht man schnell, wenn man etwa f¨ ur die Ak die einpunktigen Teilmengen von IR mit euklidischer Topologie nimmt. −1 Zu (2): Ist V ∈ σ, so haben wir wegen der Stetigkeit der Einschr¨ ankungen ∀j ∈ J : f|O (V ) = j −1 −1 i−1 (V )) ∈ τ|Oj , d.h. ∀j ∈ J : ∃Uj ∈ τ : f|O (V ) = Oj ∩ Uj , so daß wegen der OfOj (f j S −1 fenheit der Oj , j ∈ J auch alle f|Oj (V ) Elemente von τ sind. Da aus j∈J Oj = X aber

116 f −1 (V ) =

3 Einige topologische Konstruktionen S j∈J

−1 f|O (V ) folgt, ist somit f −1 (V ) als Vereinigung offener Mengen offen in (X, τ ). j

3 Sei zun¨ achst f eine Einbettung. Dann folgt die Injektivit¨ at sofort aus dem Umstand, daß f : X → f (X) bijektiv sein muß. Ist nun (Z, ξ) irgendein weiterer topologischer Raum und g : Z → X eine Funktion derart, daß f ◦ g stetig ist, dann heißt das ja ∀ϕ ∈ F(Z), z ∈ Z : ϕ → z ⇒ f (g(ϕ)) → f (g(z)) ∈ f (X) und daher, weil f nun einmal injektiv und f −1 ebenfalls stetig ist ∀ϕ ∈ F(Z), z ∈ Z : ϕ → z ⇒ g(ϕ) → g(z). Folglich ist g stetig und somit gezeigt, daß τ initial bez¨ uglich (Y, σ) und f ist. Sei nun umgekehrt f injektiv und τ die initiale Topologie bez¨ uglich (Y, σ) und f . Aus der Injektivit¨ at folgt sofort, daß f : X → f (X) bijektiv ist. Ferner betrachten wir die Abbildung f −1 : (f (X), σ|f (X) ) → (X, τ ). Wir finden f ◦ f −1 = if (X) : f (X) → Y , so daß f ◦ f −1 stetig ist, da σ|f (X) ja die initiale Topologie bez¨ uglich (Y, σ), if (X) ist. Wegen der Initialit¨ at von τ bez¨ uglich f muß dann aber auch f −1 stetig sein, so daß f : X → f (X) insgesamt ein Hom¨ oomorphismus ist.

4 (1) Aus f = f ◦ ωR folgt ∀[x]R ∈ X/R : f ([x]R ) = f (x), so daß eine derartige Funktion f , sollte sie existieren, dadurch eindeutig bestimmt w¨ are. Wegen der Vertr¨ aglichkeit ist freilich gerade

f : X/R → Y : f ([x]R ) := f (x) wohldefiniert. Es bleibt nur zu u ¨ berlegen, daß f stetig ist – dies folgt aber unmittelbar aus uglich ωR ist und daß ja f ◦ ωR = f stetig ist. dem Umstand, daß τR final bez¨ (2) Sei ω  : X → Y, (Y, σ) ein Paar derart, daß zu jedem topologischen Raum (Z, ζ) und jeder mit R vertr¨ aglichen stetigen Abbildung g : X → Z genau eine stetige Abbildung g : Y → Z ur (Z, ζ) einfach mal (X/R, τR ) und f¨ ur g einfach ωR mit g = g ◦ ω  existiert, so setzen wir f¨ ein. Wir erhalten, daß genau eine stetige Abbildung ωR : Y → X/R existiert mit ωR = ωR ◦ ω  .

(3.1)

Andrerseits gibt es ja nach (1) auch genau eine stetige Abbildung ω  : X/R → Y mit ω  = ω  ◦ ωR .

(3.2)

Das liefert aber bei Einsetzung ω  = ω  ◦ ωR ◦ ω  und ωR = ωR ◦ ω  ◦ ωR . Nun sind ωR , ω  surjektiv, so daß mit Lemma 1.1.6 sofort ωR ◦ ω  = 11X/R und ω  ◦ ωR = 11Y folgen. Mithin sind (Y, σ) und (X/R, τR ) hom¨ oomorph. 5

Wir haben ja nur zu zeigen, daß σ final bez¨ uglich (X, τ ), f ist. Nach Proposition 3.1.3 wissen wir, daß die finale Topologie σf bez¨ uglich (X, τ ), f genau aus denjenigen O ⊆ Y besteht, uglich τ, σ vorausgesetzt ist, gilt σ ⊆ σf . Ist andrerseits f¨ ur die f −1 (O) ∈ τ gilt. Da f stetig bez¨ urlich ebenfalls f −1 (O) ∈ τ (bzw. f −1 (Y \ A) ∈ τ ), O ∈ σf (bzw. (Y \ A) ∈ σf ), so gilt nat¨ wegen der Offenheit (bzw. Abgeschlossenheit) von f bez¨ uglich τ, σ also auch f (f −1 (O)) ∈ σ −1 at von f freilich f (f −1 (O)) = O (bzw. (bzw. f (f (Y \ A)) ∈ σ). Nun ist wegen der Surjektivit¨ −1 f (f (Y \ A)) = Y \ A)). Das ergibt σf = σ. Um einzusehen, daß eine Quotientenabbildung nicht offen sein muß, betrachten wir z.B. die dreipunktige Menge X := {a, b, c} mit der Topologie τ := {∅, {a}, {b}, {a, b}, X} sowie die ¨ durch die Zerlegung von X in die Klassen K1 := {a} und K2 := {b, c} definierte Aquivalenzrelation R. Die kanonische Surjektion ωR bildet dann a auf K1 , b auf K2 und c auf K2 ab.

L¨osungsvorschl¨age

117

Das Bild der offenen Menge {b} unter ωR ist also {K2 }, doch ist {K2 } hinsichtlich der finalen −1 ({K2 }) = {b, c} nicht Element von τ ist. Topologie bez¨ uglich (X, τ ), ωR nicht offen, da ωR Zum Thema Abgeschlossenheit von f k¨ onnen wir auch den dreipunktigen Raum X = {a, b, c} ¨ betrachten, diesmal freilich mit der Topologie τ := {∅, {a}, {b, c}X}. Die Aquivalenzrelation R sei durch die Zerlegung in die Klassen K1 := {a, b} und K2 := {c} definiert. Dann bildet die kanonische Surjektion ωR den Punkt a auf K1 , den Punkt b auf K1 und den Punkt c auf K2 ab. Das Bild der abgeschlossenen Teilmenge {a} von X unter ωR ist also {K1 }. Nun ist aber uglich (X, τ ), ωR ) auf X/R nicht abgeschlossen, da {K1 } hinsichtlich der finalen Topologie (bez¨ −1 ({K2 }) = {c} ∈ τ nicht offen ist. das Komplement {K2 } wegen ωR 6 Wir brauchen eine abz¨ ahlbare dichte Teilmenge von [0, 1][0,1] , soviel ist ja klar. Meine Wahl f¨ allt auf die Menge der st¨ uckweise konstanten rationalwertigen Funktionen mit rationalen ” / / ∩ [0, 1] und ist abz¨ ahlbar, daher auch ihre Teilmenge A := Q Sprungstellen“: Die Menge Q / / somit nach Satz 1.3.9 auch das Cartesische Produkt B := ( Q ∩ [0, 1]) × ( Q ∩ [0, 1]). Wegen Korollar 1.3.11 ist dann auch die Menge E aller endlichen Teilmengen von B abz¨ ahlbar. F¨ ur jede endliche Teilmenge E = {(x1 , y1 ), ..., (xn , yn )} von B mit x1 < x2 < · · · < xn definieren wir nun 8 ur x < x1 < 0 ; f¨ ur xk ≤ x < xk+1 , 1 ≤ k < n fE : [0, 1] → [0, 1] : fE (x) := yk ; f¨ : ur xn ≤ x yn ; f¨

Als Teilmenge von [0, 1][0,1] w¨ ahlen wir nun die Menge ˛ o n ˛ D := fE ∈ [0, 1][0,1] ˛ E ∈ E, {0, 1} ⊆ E . So eine Funktion fE ist durch die Menge E eindeutig bestimmt, woraus |D| ≤ |E| und damit die Abz¨ ahlbarkeit von DQfolgt. Bleibt zu zeigen, daß D dicht in [0, 1][0,1] liegt – das ist aber nicht schwer: Sei B = { i∈[0,1] Oi | ∀i ∈ [0, 1] : Oi ∈ τi ∧ ∃n ∈ IN, C = {c1 , ..., cn } ⊆ [0, 1] : ∀i ∈ [0, 1] \ C : Oi = Xi } ein Basiselement von τp . Dabei sei o.B.d.A. c1 < · · · < cn . Da / Q dicht in IR ist, existieren nun rationale Zahlen qk f¨ ur k ∈ {1, ..., n} mit 0 ≤ q1 ≤ c1 sowie ck < qk+1 ≤ ck+1 f¨ ur 1 ≤ k < n. Weiterhin existiert aus demselben Grunde f¨ ur alle / . Nun setzen wir k ∈ {1, ..., n} ein sk ∈ Ock ∩ Q E := {(qk , sk )| k ∈ {1, ..., n}} ur jedes Basiselement B gilt, ist D nach Korollar 2.2.27 dicht und finden fE ∈ B ∩ D. Da dies f¨ in [0, 1][0,1] . 7

σ

Konvergiert ϕ gegen x ∈ X, so folgt ∀i ∈ I : fi (ϕ) →i fi (x) laut Satz 2.2.36 einfach daraus, daß bez¨ uglich der initialen Topologie τ ja alle fi stetig sind. σ τ Seien also ϕ ∈ F(X) und x ∈ X mit ∀i ∈ I : fi (ϕ) →i fi (x) gegeben. Um ϕ → x zu erhalten, . m¨ ussen wir ϕ ⊇ x ∩ τ zeigen. Nun gilt f¨ ur jede offene Menge O ∈ τ , die x enth¨ alt: O ist Vereinigung endlicher Durchschnitte von Elementen aus S := {fi−1 (Ui )| i ∈ I, Ui ∈ σi }, da S laut Proposition 3.1.2 eine Subbasis von τ ist. Folglich gibt es insbesondere einen dieser endlichen Durchschnitte, der x enth¨ alt und nat¨ urlich Teilmenge von O ist, d.h. es existieren T −1 n ∈ IN, i1 , ..., in ∈ I, Uk ∈ σik , k = 1, ..., n derart, daß x ∈ n f k=1 ik (Uk ) ⊆ O gilt. Daher gilt ∀k = 1, ..., n : fik (x) ∈ Uk ∈ σik und folglich ∀k = 1, ..., n : Uk ∈ fik (ϕ), da ja die fik (ϕ) jeweils gegen fik (x) konvergieren. Das liefert aber ∀k = 1, ..., n : fi−1 (Uk ) ∈ ϕ und folglich k

118

3 Einige topologische Konstruktionen

Tn

−1 k=1 fik (Uk ) ∈ ϕ. Wegen der Abgeschlossenheit von Filtern gegen Obermengenbildung, haben wir dann aber auch O ∈ ϕ.

8

Anhand von Lemma 3.1.5 wissen wir: ist ξ final bez¨ uglich (Y, σ), g so gilt f¨ ur alle topologischen R¨ aume (K, κ) und Funktionen h : Z → K, daß h genau dann stetig ist, wenn (h ◦ g) stetig ist. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn (h ◦ g) ◦ f stetig ist, da ja σ final bez¨ uglich (X, τ ), f und (h ◦ g) eine Abbildung von Y nach K ist. Mithin ist h genau dann stetig, wenn (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) stetig ist, so daß – wiederum nach Lemma 3.1.5 – ξ final bez¨ uglich (X, τ ), g ◦ f ist. Ist umgekehrt ξ final bez¨ uglich (X, τ ), g ◦ f , so gilt f¨ ur alle topologischen R¨ aume (K, κ) und Abbildungen h : Z → K, daß h genau dann stetig ist, wenn h◦(g ◦f ) = (h◦g)◦f stetig ist, was wegen der Finalit¨ at von σ bez¨ uglich (X, τ ), f und dem Umstand, daß (h ◦ g) eine Abbildung von Y nach K ist, genau dann gilt, wenn h ◦ g stetig ist. Insgesamt ist also h genau dann stetig, wenn h ◦ g es ist und folglich nach Lemma 3.1.5 ξ final bez¨ uglich (Y, σ), g.

Auf Bahnh¨ ofen zu sitzen, hat meist ein bitter-wehm¨ utiges Gef¨ uhl der Heimatlosigkeit zur Folge. Und als Ursache. Es ist der notorische N¨ orgler, der das aus mir sagt, daf¨ ur wird er auch nicht als weltenm¨ ude“, nicht als leidend weise“, sondern eben als ” ” n¨ orglerisch bezeichnet – von dem ungeduldigen und ewig dreij¨ ahrigen Kind in mir, das des N¨ orglers st¨ andiger Widerpart ist, ihn aber langsam satt hat. Es kann das alles nicht glauben. Vergiß es, m¨ ochte es sagen, vergiß alles. Doch im gleichen Moment h¨ alt es sich naiv erschrocken die Hand vor den Mund, weil es gesprochen hat, wie all die Erwachsenen um uns herum: man muß vergessen, weil man sonst vielleicht nicht weiterleben kann. Und man muß doch weiterleben. Hier schweigt der N¨ orgler; er und das Kind sehen sich an, und wissen, daß sie einander brauchen: Wenn man muß, dann hat es doch gar keinen Sinn, dann muß man eben nur, so wie man trinken muß. Warum soll ich nicht nach meinem Wollen suchen? Es ist ja nicht so, daß es immer dasselbe w¨ are mit den Bahnh¨ ofen. Heute zum Beispiel habe ich f¨ ur einige Taler die Wehmut zum Gep¨ ack in ein Schließfach gesperrt und den Bahnhof verlassen. Man kann das. Aber auch so ein Bahnhof merkt oft gar nicht, wenn er verlassen wird. Nun sitze ich draußen auf einer Parkbank und bin nicht mehr sicher, ob ich das wirklich kann: den Bahnhof verlassen. Mir scheint, ich habe ihn mitgenommen. Entweder fehlt er jetzt dort, wo er vorher war – ich kann den Platz von hier aus nicht sehen –, und all die vielen Leute, die darin waren, laufen jetzt ratlos umher, oder alle Welt ist Bahnhof geworden. Das letzte ist wohl wahrscheinlicher, denn Leute sind nie ratlos. Sonst w¨ urden sie doch Fragen stellen. Sie stellen aber keine Fragen, jedenfalls nie die richtigen. Nach der Uhrzeit, nach dem Bahnsteig, nach dem Klo, ja, danach erkundigen sie sich zuweilen. Aber es ist noch nie einer auf mich zugekommen mit der Frage, ob ich ihn liebe. Oder wen denn sonst. Oder ob u ¨ berhaupt. marvinius.net

4

Trennungseigenschaften Wie wird die Welt regiert und in den Krieg gef¨ uhrt? Diplomaten bel¨ ugen Journalisten und glauben es, wenn sie’s lesen. Karl Kraus

Aus der reellen und komplexen Analysis – inzwischen auch von metrischen R¨aumen generell – sind wir es gew¨ ohnt, daß Folgen oder Filter h¨ochstens gegen einen einzigen Punkt konvergieren k¨ onnen. Das entspricht durchaus unsrer allt¨aglichen Erfahrung beim Spazierengehen: Ich kann nicht zugleich dem Strand in Warnem¨ unde und dem Universit¨ atsplatz in Rostock beliebig nahe kommen. In topologischen R¨aumen kann das ganz anders sein∗ , weil wir hier gar keinen Entfernungsbegriff zur Verf¨ ugung haben. Wir haben nur offene Mengen. Die einzige M¨ oglichkeit, zwei Punkte eines topologischen Raumes aus Sicht der jeweiligen Topologie u ¨berhaupt zu unterscheiden, besteht darin, offene Mengen anzugeben, die genau einen der fraglichen beiden Punkte enthalten, die diese Punkte also trennen. Wenn eine Topologie auf einer Menge je zwei beliebige Punkte wenigstens ein bißchen“ zu trennen vermag, macht uns das die Arbeit zumeist leichter ” und solche Topologien werden daher mit – abgestuften – besonderen Bezeichnungen belohnt.

4.1

Die schwachen Trennungsaxiome

4.1.1

T0 -R¨aume

Definition 4.1.1 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt ein T0 -Raum genau dann, wenn es f¨ ur je zwei verschiedene Elemente von X eine offene Menge aus τ gibt, die genau eines der beiden Elemente enth¨ alt. Man sagt dann auch (X, τ ) erf¨ ullt das T0 -Axiom“. Offenbar l¨aßt sich die Bedingung ” der Definition auch formal aufschreiben als: (T0 ) ∗

∀x, y ∈ X, x = y : ∃O ∈ τ : (x ∈ O ∧ y ∈ O) ∨ (y ∈ O ∧ x ∈ O)

So wissen wir ja schon, daß etwa in einem indiskreten topologischen Raum jeder Filter gegen jeden Punkt konvergiert.

122

4 Trennungseigenschaften

oder ¨ aquivalent als ∀x, y ∈ X, x = y : ∃O ∈ τ : ∅ = O ∩ {x, y} = {x, y} .

Proposition 4.1.2 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T0 -Raum, wenn .

τ

.

τ

∀x, y ∈ X : (x → y) ∧ (y → x) ⇒ x = y . Beweis: Ist (X, τ ) ein T0 -Raum und sind x, y Elemente von X, so k¨onnen wir erstmal annehmen, daß x = y gilt, da wir ja sonst sowieso nichts mehr zu zeigen h¨atten. Dann aber gibt es eine offene Menge O ∈ τ , die einen der beiden Punkte, sagen wir o.B.d.A. . den Punkt x enth¨ alt, den anderen aber nicht. Dann haben wir aber O ∈ y und folglich . y → x. . τ . τ Gilt andrerseits ∀x, y ∈ X : (x → y) ∧ (y → x) ⇒ x = y, so folgt aus x = y sofort, . τ . τ . τ onnen. Gilt nun y → x nicht, so gibt es eine offene daß nicht x → y und y → x gelten k¨ . Menge, die x enth¨ alt, aber nicht in y enthalten ist, folglich y nicht enth¨alt; gilt hingegen . τ x → y nicht, so gibt es analog eine offene Menge, die y, aber nicht x enth¨alt.

Lemma 4.1.3 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T0 -Raum, wenn f¨ ur je zwei verschiedene Elemente x, y ∈ X stets {x} = {y} gilt. Beweis: Sei (X, τ ) ein T0 -Raum und seien x, y ∈ X gegeben. Aus {x} = {y} folgt dann . τ . τ {x, y} ⊆ {x} = {y}, also insbesondere x ∈ {y} und y ∈ {x}, folglich y → x und x → y, also nach Proposition 4.1.2 sogleich x = y. Gilt andrerseits {x} = {y} f¨ ur x, y ∈ X, so k¨onnen nicht {x} ⊆ {y} und {y} ⊆ {x} gelten, da ja sonst {x} ⊆ {y} = {y} und analog {y} ⊆ {x} folgte. Somit haben wir . . x ∈ {y} oder y ∈ {x}, also y → x oder x → y, woraus mit Proposition 4.1.2 wiederum folgt, daß (X, τ ) ein T0 -Raum ist. Ist (X, τ ) ein T0 -Raum, so liefert X offensichtlich auch mit jeder Topologie τ  , die feiner als τ ist, einen T0 -Raum. onnen wir den Sierpinski-Raum heranziehen: seine Als Beispiel f¨ ur einen T0 -Raum k¨ beiden Punkte hergenommen, gibt es durchaus eine offene Menge, die den einen enth¨alt, den anderen aber nicht. Wir k¨ onnen uns freilich keineswegs aussuchen, welchen sie enth¨ alt und welchen nicht. Das ist ein bißchen gemein und darum suchen wir uns auch R¨ aume, die uns etwas mehr Wahlfreiheit lassen.

4.1 Die schwachen Trennungsaxiome

4.1.2

123

T1 -R¨aume

Definition 4.1.4 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt ein T1 -Raum genau dann, wenn von je zwei verschiedenen Elementen x, y von X jedes eine offene Umgebung hat, die das andere nicht enth¨ alt. Das ist schon besser als T0 , denn jetzt k¨ onnen wir uns aussuchen, welchen Punkt wir in einer offenen Umgebung haben wollen, die den andern nicht enth¨alt. Es ist klar, daß jeder T1 -Raum auch ein T0 -Raum ist. Die Umkehrung gilt nat¨ urlich nicht, wie das Beispiel des Sierpinski-Raumes lehrt. Proposition 4.1.5 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T1 -Raum, wenn .

τ

. τ

∀x, y ∈ X : (x → y) ∨ (y → x) ⇒ x = y , d.h. wenn die Einpunktfilter nur gegen ihre erzeugenden Punkte konvergieren. .

Beweis: Ist (X, τ ) ein T1 -Raum und haben wir x → y, so folgt sofort x = y, da sonst . . eine offene Menge O ∈ y ∩ τ existierte, die nicht in x liegt, da sie x nicht enth¨alt. Analog . mit y → x. . τ . τ . Gelte nun ∀x, y ∈ X : (x → y) ∨ (y → x) ⇒ x = y. Ist x = y, so folgt daraus x → y und . . . y → x, also ∃O ∈ y ∩ τ : x ∈ O und ∃P ∈ x ∩ τ : y ∈ P .

Lemma 4.1.6 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T1 -Raum, wenn f¨ ur alle x ∈ X die einpunktige Teilmenge {x} abgeschlossen ist. Beweis: Sei (X, τ ) ein T1 -Raum. {x} besteht genau aus den Konvergenzpunkten aller . Filter auf {x}. Der einzige Filter auf {x} ist der Einpunktfilter x, der laut Proposition 4.1.5 nur gegen x konvergiert. Somit haben wir {x} = {x}. ur alle x ∈ X. Dann ist X \ {x} stets offen, womit wir bei Gelte umgekehrt {x} = {x} f¨ verschiedenen Punkten x, y ∈ X die gew¨ unschten Umgebungen sofort zur Hand haben. In T1 -R¨ aumen ist also Konvergenz immerhin f¨ ur Einpunktfilter wieder eindeutig – nicht unbedingt f¨ ur andere Filter, wie wir am Beispiel der nat¨ urlichen Zahlen mit kofiniter Topologie sehen k¨ onnen: Offenbar ist ja τ := {T ⊆ IN | IN \ T ist endlich } ∪{∅} eine Topologie auf IN . Der Raum (IN, τ ) ist ein T1 -Raum, denn zu je zwei verschiedenen Punkten n, m ∈ IN sind IN \ {n}

124

4 Trennungseigenschaften

und IN \ {m} trennende offene Mengen. Nun ist freilich ϕ := τ \ {∅} kurioserweise ein Filter auf IN , der offensichtlich gegen jeden Punkt n ∈ IN konvergiert. ¨ Ubrigens folgt aus Lemma 4.1.6 sofort, daß die kofinite Topologie f¨ ur jede Menge X die gr¨obste T1 -Topologie auf X ist.

4.2

Hausdorff-R¨aume Der Teufel der Algebra und der Engel der Topologie ringen heute um die Seele jedes einzelnen Mathematikers. Hermann Weyl

Machen wir uns nun daran, drastischer f¨ ur Ordnung in den Konvergenzbeziehungen zwischen Filtern und Punkten zu sorgen. Definition 4.2.1 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt ein T2 -Raum oder auch Hausdorff-Raum∗ genau dann, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X disjunkte offene Mengen Ux , Uy ∈ τ gibt mit x ∈ Ux und y ∈ Uy . Als Beispiele k¨ onnen wir alle metrischen R¨aume (X, d) heranziehen: Je 2 verschiedene Punkte x, y ∈ X haben einen positiven Abstand d(x, y) > 0, so daß nach Dreiecksungleichung die offenen 13 d(x, y)-Umgebungen von x und y disjunkt sind. ullt, ist sogar metrisch und erf¨ ullt Weiterhin gilt: ein pseudometrischer Raum, der T0 erf¨ daher auch gleich die T2 -Bedingung.†

Lemma 4.2.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Dann sind ¨aquivalent: (1) (X, τ ) ist ein Hausdorff-Raum. ∗

†

Oft werden solche Bezeichnungen zwecks Ehrung der betreffenden großen Mathematiker eingeb¨ urgert. Dieser Grund ist bei Felix Hausdorff zweifellos gegeben. Es gibt hier aber einen weiteren: Hausdorff, der als einer der ersten ein Konzept topologischer R¨ aume axiomatisierte, hatte die hier diskutierte Trennungseigenschaft in seiner Definition gleich mit eingebaut. Der Beweis ist simpel: Sind x, y ∈ X gegeben und gilt d(x, y) = 0, so gilt ∀ε > 0 : x ∈ Uεd (y) . . und y ∈ Uεd (x), woraus ∀O ∈ τd ∩ x : y ∈ O und ∀O ∈ τd ∩ y : x ∈ O folgt – mit T0 liefert das x = y und schon ist d eine Metrik.

4.2 Hausdorff-R¨aume

125

(2) Die Filterkonvergenz ist in (X, τ ) eindeutig, d.h. τ

τ

∀ϕ ∈ F(X), x, y ∈ X : ϕ → x ∧ ϕ → y ⇒ x = y (3) F¨ ur jeden Punkt x ∈ X gilt {x} =



U

U ∈U (x)

(4) Die Menge ∆X := {(x, x)| x ∈ X} (Diagonale) ist abgeschlossen in X × X bez¨ uglich der Produkttopologie. Beweis: (1)⇒(2)“: Angenommen, es existierten ϕ ∈ F(X), x, y ∈ X mit x = y und ” ϕ → x sowie ϕ → y. Das hieße ja ϕ ⊇ U (x)∪U (y), so daß wegen der Filtereigenschaften von ϕ jede Umgebung von x mit jeder Umgebung von y einen nichtleeren Durchschnitt h¨ atte – im Widerspruch zu (1).   (2)⇒(3)“: {x} ⊆ U ∈U (x) U gilt trivialerweise. Ist andrerseits y ∈ U ∈U (x) U , so ist ” also y im Abschluß jeder Umgebung von x enthalten. Mithin schneidet jede Umgebung von y jede Umgebung von x nichtleer (Proposition 2.2.13(1)). Folglich ist U (x) ∪ U (y) eine Filtersubbasis und der davon erzeugte Filter ϕ konvergiert offensichtlich gegen x und y. Nach (2) folgt somit x = y. (3)⇒(4)“: Die Produkttopologie auf X × X ist ja die initiale bez¨ uglich der kanonischen ” Projektionen p1 : X × X → X : p1 (x, y) := x und p2 : X × X → X : p2 (x, y) := y, die folglich insbesondere stetig sind. Ist also V eine abgeschlossene Teilmenge von X, so −1 sind p−1 1 (V ) = V ×X und p2 (V ) = X ×V und folglich auch V ×V = (V ×X)∩(X ×V ) abgeschlossen in X × X. Angenommen nun, ∆X sei nicht abgeschlossen. Dann existierte (x, y) ∈ ∆X mit x = y. Nun ist ∆X laut Proposition 2.2.13(2) der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von ∆X . Mithin m¨ ußte (x, y) Element jeder abgeschlossenen Obermenge von ∆X sein. Andrerseits folgt aus (3), daß es eine offene Umgebung U von x mit y ∈ U geben muß. Sowohl U als auch X \ U sind dann abgeschlossen in X, folglich ist nach obiger Betrachtung H := U × U ∪ (X \ U ) × (X \ U ) abgeschlossen in X × X und umfaßt offensichtlich ∆X . Andrerseits kann (x, y) nicht Element von H sein, da y ∈ U und x ∈ X \ U . (4)⇒(1)“: Seien x, y ∈ X mit x = y gegeben. Da laut (4) unser ∆X abgeschlossen ist, ” folgt (x, y) ∈ ∆X , daher existiert wegen Proposition 2.2.11 eine offene Teilmenge H von X × X mit (x, y) ∈ H und ∆X ∩ H = ∅. Da H als Element der Produkttopologie Vereinigung von Mengen der Form O1 × O2 mit O1 , O2 ∈ τ ist, existieren somit insbesondere U, V ∈ τ mit (x, y) ∈ U × V ⊆ H, also x ∈ U, y ∈ V , sowie (U × V ) ∩ ∆X = ∅, was sofort U ∩ V = ∅ impliziert.

126

4 Trennungseigenschaften

Die Charakterisierung der Hausdorff-Eigenschaft als Eindeutigkeit von Konvergenz ist auch wieder ein sch¨ ones Beispiel daf¨ ur, daß Folgen bei topologischen Betrachtungen oft einfach nicht ausreichen. Aufgabe1 Gib ein Beispiel f¨ ur einen topologischen Raum an, der kein Hausdorff-Raum ist, in dem aber dennoch die Konvergenz von Folgen eindeutig ist, d.h. wo jede Folge gegen h¨ ochstens ein Element konvergiert. Korollar 4.2.3 Sei (X, τ ) ein Hausdorff-Raum und ϕ ein Filter auf X, der gegen x ∈ X konvergiert. Dann ist x der einzige Ber¨ uhrungspunkt von ϕ. Beweis: Ist y ein Ber¨ uhrungspunkt von ϕ, so heißt das ja, daß ein Oberfilter von ϕ gegen y konvergiert. Nat¨ urlich konvergiert aber mit ϕ auch jeder Oberfilter von ϕ gegen x. Nach Lemma 4.2.2 folgt damit freilich x = y.

Lemma 4.2.4 Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum, (Y, σ) ein Hausdorff-Raum und A eine dichte Teilmenge von X. Sind f, g : X → Y stetige Abbildungen mit f|A = g|A , so gilt f = g. Beweis: Daß A dicht in X ist, bedeutet ja A = X. Folglich gibt es zu jedem x ∈ X einen Filter ϕx , der A enth¨ alt und bez¨ uglich τ gegen x konvergiert. Wegen der Stetigσ σ keit von f und g folgen daraus f (ϕ) → f (x) und g(ϕ) → g(x). Wegen f|A = g|A und σ σ A ∈ ϕ haben wir f (ϕ) = g(ϕ), also f (ϕ) → f (x) und f (ϕ) → g(x). Da nun (Y, σ) Hausdorff-Raum ist, folgt nach Lemma 4.2.2 sofort f (x) = g(x). Da dies f¨ ur alle x ∈ X gilt, haben wir damit f = g.

Lemma 4.2.5 Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum und (Y, σ) ein Hausdorff-Raum. Sei ferner f : X → Y stetig. Dann ist f (als Teilmenge von X × Y ), d.h. der Graph {(x, f (x))| x ∈ X} ⊆ X × Y abgeschlossen bez¨ uglich der Produkttopologie. Beweis: Wir betrachten die Abbildung f2 : X × Y → Y × Y : f2 (x, y) := (f (x), y). Sind pX : X × Y → X : pX (x, y) := x, pY : X × Y → Y : pY (x, y) := y, p1 : Y × Y → Y : p1 (y1 , y2 ) := y1 und p2 : Y × Y → Y : p2 (y1 , y2 ) := y2 die kanonischen Projektionen, so ist nat¨ urlich pX stetig, daher auch f ◦ pX . Damit ist p1 ◦f2 = f ◦ pX stetig. Wegen p2 ◦f2 = 11Y ◦ pY und der Stetigkeit von pY und 11Y , ist auch p2 ◦f2 stetig. Da nun die Produkttopologie auf Y × Y initial bez¨ uglich p1 , p2 ist, folgt die Stetigkeit von f2 . Laut

4.2 Hausdorff-R¨aume

127

Lemma 4.2.2 ist ∆Y = {(y, y)| y ∈ Y } abgeschlossen, daher wegen der Stetigkeit von f2 auch f2−1 (∆Y ) = = = =

{(x, y) ∈ X × Y | f2 (x, y) ∈ ∆Y } {(x, y) ∈ X × Y | (f (x), y) ∈ ∆Y } {(x, y) ∈ X × Y | y = f (x)} {(x, f (x))| x ∈ X} .

Aufgabe2 Zeige, daß jeder unendliche Hausdorff-Raum einen abz¨ahlbar unendlichen diskreten Teilraum hat.

Proposition 4.2.6 Die Eigenschaften T0 , T1 und T2 u ¨ bertragen sich auf beliebige Teilr¨aume: Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und H ⊆ X gegeben. (1) Ist (X, τ ) ein T0 -Raum, so auch (H, τ|H ). (2) Ist (X, τ ) ein T1 -Raum, so auch (H, τ|H ). (3) Ist (X, τ ) ein T1 -Raum, so auch (H, τ|H ). Beweis: (1) Sind x = y ∈ H gegeben, so existiert wegen T0 ein Element O von τ mit x ∈ O ∧ y ∈ O oder y ∈ O ∧ x ∈ O, also auch x ∈ O ∩ H ∧ y ∈ O ∩ H oder y ∈ O ∩ H ∧ x ∈ O ∩ H. Freilich ist O ∩ H Element von τ|H und somit ist also (H, τ|H ) ein T0 -Raum. .

.

(2) Sind x, y ∈ H gegeben mit x → y oder y → x im Sinne der Teilraumtopologie τ|H . . so gilt auch (x → y) ∨ (y → x) bez¨ uglich τ , folglich x = y wegen T1 nach 4.1.5. Dies f¨ ur beliebige x, y ∈ H impliziert T1 f¨ ur (H, τ|H ) wiederum laut 4.1.5. (3) Sind x = y ∈ H gegeben, so existieren wegen T2 offene Mengen Ox , Oy ∈ τ mit x ∈ Ox , y ∈ Oy und Ox ∩ Oy = ∅. Dann folgt sofort x ∈ Ox ∩ H, y ∈ Oy ∩ H und (Ox ∩ H) ∩ (Oy ∩ H) = ∅ – und weil Ox ∩ HOy ∩ H Elemente von τ|H sind, ist somit (H, τ|H ) ein T2 -Raum.

128

4 Trennungseigenschaften

Lemma 4.2.7 Seien I eine Menge und sei f¨ ur jedes i ∈ I ein nichtleerer topologischer Raum (Xi , τi ) gegeben. Sei P := i∈I (Xi , τi ) der Produktraum aller (Xi , τi ), i ∈ I. (1) Genau dann ist P ein T0 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, T0 -R¨aume sind. (2) Genau dann ist P ein T1 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, T1 -R¨aume sind. (3) Genau dann ist P ein T2 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, T2 -R¨aume sind.

Beweis: Ist ein leerer Raum am Produkt beteiligt, wird das Produkt leer – daraus l¨ aßt sich nat¨ urlich nichts u ¨ ber die weiteren beteiligten R¨aume schließen. Sind aber alle Xi , i ∈ I nichtleer, so sei (zi )i∈I ein beliebiges, aber fest gew¨ahltes Element des Produktes i∈I Xi . F¨ ur jedes j ∈ I ist dann der Teilraum i∈I Ai mit Ai := {zi } f¨ ur i = j und Aj := Xj ein zu Xj hom¨ o omorpher Unterraum von i∈I Xi , wie aus der offensichtlichen Bijektivit¨ a t der auf A eingeschr¨ a nkten kanonischen i∈I i Projektion pj : i∈I Ai → Xj : pj ((Xi )i∈I ) := xj sowie ihrer Stetigkeit und Offenheit gem¨ aß 3.1.18 und 3.1.19 folgt. Ist das Produkt nun ein T0 -, T1 - bzw. T2 -Raum, so auch unser Teilraum i∈I Ai und dessen hom¨ oomorphes Bild Xj . Seien nun (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ i∈I Xi mit (xi )i∈I = (yi )i∈I gegeben. Wegen der Ungleichheit der beiden Elemente, muß es einen Index k ∈ I geben mit xk = yk . aume, so auch (Xk , τk ), so daß eine offene Menge Ok ∈ τk Sind alle (Xi , τi ), i ∈ I, T0 -R¨ existiert mit x ∈ O ∧ y ∈  Ok oder xk ∈ Ok ∧ yk ∈ Ok . Dann ist aber das Produkt k k k O := i∈I Hi mit Hi := Xi f¨ ur i = k und Hk := Ok eine offene Teilmenge des Produktraumes und es gilt (xi )i∈I ∈ O ∧ (yi )i∈I ∈ O oder (xi )i∈I ∈ O ∧ (yi )i∈I ∈ O. Somit ist P ein T0 -Raum. aume, so auch (Xk , τk ), so daß eine offene Menge Sind alle (Xi , τi ), i ∈ I, T1 -R¨ Ok ∈ τk existiert mit xk ∈ Ok ∧ yk ∈ Ok . Dann ist aber das Produkt O := i∈I Hi mit Hi := Xi f¨ ur i = k und Hk := Ok eine offene Teilmenge des Produktraumes und es gilt (xi )i∈I ∈ O ∧ (yi )i∈I ∈ O. Somit ist P ein T1 -Raum. aume, so auch (Xk , τk ), so daß offene Mengen O1 , O2 ∈ τk Sind alle (Xi , τi ), i ∈ I, T2 -R¨ existieren mit x ∈ O , y ∈ O2 und O1 ∩ O2 = ∅. Dann sind freilich die Produkte k 1 k Ox := i∈I Hi mit Hi := Xi f¨ ur i = k und Hk := O1 und Oy := i∈I Hi mit Hi := Xi f¨ ur i = k und Hk := O2 offene Teilmengen des Produktraumes mit (xi )i∈I ∈ Ox , (yi )i∈I ∈ Oy und Ox ∩ Oy = ∅. Somit ist P ein T2 -Raum.

4.3 Eine Symmetriebedingung: R0 -R¨aume

4.3

129

Eine Symmetriebedingung: R0-R¨aume Das Gesetz verbietet in seiner majest¨ atischen Gleichheit den Reichen wie den Armen, unter den Br¨ ucken zu schlafen, auf den Straßen zu betteln und Brot zu stehlen. Anatole France

Es ist leicht einzusehen, daß jeder T2 -Raum ein T1 -Raum und jeder T1 -Raum auch ein T0 -Raum ist. Umgekehrt muß etwa ein T0 -Raum keineswegs ein T1 -Raum sein, wie wir am Beispiel des Sierpinski-Raumes gesehen hatten, und auch ein T1 -Raum braucht absolut kein T2 -Raum zu sein, wie die kofinite Topologie auf unendlichen Mengen lehrt. Man kann sich nun fragen, was genau z.B. einem T0 -Raum eigentlich fehlt, der kein T1 -Raum ist. Es stellt sich heraus, daß es ihm an einer gewissen Symmetrie mangelt. Definition 4.3.1 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt ein R0 -Raum (oder symmetrisch) genau dann, wenn .

∀ϕ ∈ F(X), x, y ∈ X : ϕ → x ∧ y ⊇ ϕ ⇒ ϕ → y d.h., wenn jeder konvergente Filter, der in einem Einpunktfilter enthalten ist, auch gegen den erzeugenden Punkt des Einpunktfilters konvergiert. Lemma 4.3.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Dann sind a¨quivalent: (1) ∀x ∈ X, U ∈ U (x) : ∃V ∈ τ : x ∈ V ∧ (X \ U ) ⊆ V .

.

(2) ∀x, y ∈ X : x → y ⇒ y → x .

(3) ∀x, y ∈ X : x → y ⇒ U (x) = U (y) (4) (X, τ ) ist ein R0 -Raum .

.

ur alle U ∈ x ∩ τ existiert nun nach (1) ein Beweis: (1)⇒(2)“: Sei x → y gegeben. F¨ . ” V ∈ τ mit x ∈ V ∧ X \ U ⊆ V . Dann muß y ∈ X \ U ⊆ V gelten, da sonst V ∈ y ∩ τ , . . aber V ∈ x folgte, was der Konvergenz von x gegen y widerspr¨ache. Folglich haben wir . . . ∀U ∈ x ∩ τ : U ∈ y und somit y → x. .

.

.

(2)⇒(3)“: Gelte x → y. Das bedeutet x ⊇ y ∩ τ und folglich – auf beiden Seiten noch. . . . ” mal mit τ geschnitten: x ∩ τ ⊇ y ∩ τ ∩ τ = y ∩ τ . Mit (2) folgt aus x → y freilich auch

130 .

4 Trennungseigenschaften .

.

.

.

.

.

y → x, also analog y ⊇ x∩τ und somit y ∩τ ⊇ x ∩τ . Zusammen ergibt das x ∩τ = y ∩τ , . . so daß auch die von x ∩ τ bzw. y ∩ τ erzeugten Filter U (x) bzw. U (y) gleich sind. .

(3)⇒(4)“: Seien x, y ∈ X, ϕ ∈ F(X) mit ϕ → x und y ⊇ ϕ gegeben. ϕ → x meint ja . ” ϕ ⊇ U (x), so daß hier y → x folgt. Wegen (3) haben wir dann aber U (x) = U (y), also auch ϕ ⊇ U (y) = U (x), mithin ϕ → y. .

(4)⇒(1)“: Seien x ∈ X, U  ∈ U (x) gegeben. Dann existiert U ∈ x mit U ⊆ U  . Sei . . ” nun y ∈ X \ U . G¨ alte nun ∀V ∈ y ∩ τ : x ∈ V , so folgte x ⊇ U (y), da trivialerweise U (y) → y gilt, folgte dann mit (4) sofort U (y) → x, also auch U ∈ U (y) im Widerspruch zu y ∈ X \ U . Daher muß es zu jedem y ∈
X \ U eine Menge Vy ∈ τ mit x ∈ Vy geben. Wir sehen nun leicht ein, daß V := y∈X\U Vy eine offene Menge ist, die X \U umfaßt, aber x nicht enth¨ alt. Selbstverst¨andlich umfaßt V somit auch X \U  . Die Bedingung (2) des Lemmas 4.3.2 macht anschaulich, warum es sich bei R0 um eine Symmetriebedingung handelt.

Korollar 4.3.3 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T1 -Raum, wenn er T0 - und R0 Raum ist.

Beweis: Ein T1 -Raum ist trivialerweise auch ein T0 -Raum. Haben wir in einem T1 . . Raum die Situation ϕ → x und y ⊇ ϕ gegeben, folgt sofort y → x und damit x = y wegen T1 , also auch ϕ → y = x. Daher ist jeder T1 -Raum auch symmetrisch. . Ist andrerseits (X, τ ) sowohl T0 - als auch R0 -Raum, so folgt aus x → y wegen R0 nach . Lemma 4.3.2 stets auch y → x, somit x = y wegen T0 . Mithin ist (X, τ ) dann ein T1 -Raum. Auch Symmetrie u agt sich auf Teilr¨ aume und Produkte: ¨ bertr¨

Proposition 4.3.4 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und H ⊆ X gegeben. Ist (X, τ ) ein R0 -Raum, so auch (H, τ|H ). .

Beweis: Sind x, y ∈ H gegeben mit x → y im Sinne der Teilraumtopologie τ|H so gilt . . . uglich τ , folglich y → x bez¨ uglich τ wegen R0 nach 4.3.2. Da H ∈ y auch x → y bez¨ . wegen y ∈ H gilt, folgt freilich auch in (H, τ|H ) sogleich y → x und damit insgesamt die R0 -Eigenschaft f¨ ur (H, τ|H ) laut 4.3.2.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

131

Lemma 4.3.5 Sei I eine Menge und ur jedes i ∈ I ein nichtleerer topologischer Raum (Xi , τi ) sei f¨ gegeben. Sei P := i∈I (Xi , τi ) der Produktraum aller (Xi , τi ), i ∈ I. Genau dann ist P ein R0 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, R0 -R¨aume sind. Beweis: Daß mit P auch jedes (Xi , τi ), i ∈ I ein R0 -Raum ist, folgt v¨ollig analog zur entsprechenden Teilaussage von 4.2.7. Seien nun also alle (Xi , τi ), i ∈ I, R0 -R¨ aume und x := (xi )i∈I ein Element von i∈I Xi . mit x → y := (yi )i∈I (bez¨ uglich der Produkttopologie) gegeben. Wegen der Stetigkeit aller kanonischen Projektionen pj : i∈I Xi → Xj : pj ((zi )i∈I ) := zj folgt daraus f¨ ur . . uglich τj . Wegen R0 impliziert dies wiederum alle j ∈ I sogleich pj (x) = xj → yj bez¨ . . . f¨ ur alle j ∈ I sogleich yj → xj laut 4.3.2, woraus mit 3.1.22 freilich y → x folgt, da ja ie Produkttopologie laut 3.1.18 initial bez¨ uglich der kanonischen Projektionen ist. Nun liefert wieder 4.3.2, daß unser P ein R0 -Raum ist.

Proposition 4.3.6 Jeder pseudometrische Raum (X, d) ist (hinsichtlich seiner induzierten Topologie τd ) ein R0 -Raum. .

Beweis: Sei x ∈ X mit x → y gegeben. Daraus folgt sofort d(x, y) = 0 und daraus . y → x. Daher ist (X, τd ) nach Lemma 4.3.2 ein R0 -Raum. Analog zu R0 kann man auch eine Symmetriebedingung R1 angeben, die just das fehlende St¨ uck zwischen T1 und T2 ausf¨ ullt. Darauf wollen wir hier aber nicht n¨aher eingehen – es muß reichen, daß Symmetrie immerhin erw¨ahnt wurde.

4.4

Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

Definition 4.4.1 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt T3 -Raum (oder regul¨ar∗ ) genau dann, wenn es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ X und jedem Punkt x ∈ X \ A offene Umgebungen UA , Ux ∈ τ mit A ⊆ UA , x ∈ Ux und UA ∩ Ux = ∅ gibt. ∗

In der Literatur findet man hin & wieder noch einen etwas anderen Gebrauch des Wortes regul¨ ar“: Zuweilen ist damit gemeint, daß der fragliche Raum sowohl T3 - als auch T1 -Raum ” ist. Man wird also immer genau hinsehen m¨ ussen, was der jeweilige Autor meint.

132

4 Trennungseigenschaften

Hatten wir f¨ ur T0 , T1 und T2 noch eine strikt aufsteigende Abfolge von Trennungseigenschaften, von denen jede mit h¨ oherer Nummer alle unteren impliziert, so tanzt T3 hier insofern aus der Reihe, als ein T3 -Raum im allgemeinen nicht einmal ein T0 -Raum zu sein braucht, wie man sich etwa am Beispiel der indiskreten R¨aume mit mehr als einem Element leicht u ¨ berlegen kann. Aufgabe3 Sei (X, τ ) ein T3 -Raum und T ⊆ X. Zeige, daß dann auch (T, τ|T ) ein T3 Raum ist.

Lemma 4.4.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Dann sind ¨aquivalent: (1) (X, τ ) ist ein T3 -Raum. (2) Jeder Umgebungsfilter in (X, τ ) hat eine Basis aus abgeschlossenen Umgebungen. τ

(3) F¨ ur jeden Filter ϕ ∈ F(X) und jeden Punkt x ∈ X folgt aus ϕ → x stets, daß auch der Filter ϕ := [{P | P ∈ ϕ}]F(X) gegen x konvergiert. .

Beweis: (1)⇒(2)“: Sei x ∈ X und U ∈ x ∩ τ . Dann ist X \ U abgeschlossen und ” x ∈ X \ U . Wegen (1) gibt es dann V1 , V2 ∈ τ mit x ∈ V1 , X \ U ⊆ V2 und V1 ∩ V2 = ∅. Nun ist X \V2 abgeschlossen und es gilt X \V2 ⊆ U wegen X \U ⊆ V2 , sowie V1 ⊆ X \V2 wegen V1 ∩ V2 = ∅. Damit ist X \ V2 eine abgeschlossene Umgebung von x unterhalb . von U . Da eine solche also f¨ ur alle U ∈ x ∩ τ existiert, erzeugen diese abgeschlossenen . Umgebungen als Basis denselben Filter wie x ∩ τ , n¨amlich U (x). (2)⇒(3)“: Sei ϕ → x ∈ X gegeben, d.h. ϕ ⊇ U (x). Es folgt ϕ ⊇ U (x). Nun ist einerseits ” nat¨ urlich U (x) ⊆ U (x), andrerseits besagt (2), daß U (x) eine Basis aus abgeschlossenen Mengen enth¨ alt, die dann freilich auch in U (x) enthalten ist, weil der Abschluß einer abgeschlossenen Menge nichts anderes als diese Menge selbst ist. Das liefert U (x) ⊇ U (x), also U (x) = U (x) und somit ϕ ⊇ U (x). (3)⇒(1)“: Sei A ⊆ X abgeschlossen und x ∈ X \ A gegeben. Dann ist X \ A eine offene ” Umgebung von x, die wegen U (x) → x nach (3) auch im Filter U (x) enthalten sein muß. Somit existiert eine offene Umgebung U von x mit U ⊆ X \ A. Ferner ist X \ U offen, umfaßt offenbar A und es gilt nat¨ urlich U ∩ (X \ U ) = ∅. Hier bietet sich die Erw¨ ahnung an, daß jedes (offene, halboffene, abgeschlossene) Intervall in IR und insbesondere IR selbst mit euklidischer Topologie ein T3 -Raum ist. Man kann das leicht daran sehen, daß die abgeschlossenen ε-Umgebungen eines jeden Punktes offenbar eine Basis des jeweiligen Umgebungsfilters bilden.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

133

Lemma 4.4.3 Jeder T3 -Raum ist ein R0 -Raum. Beweis: Sei (X, τ ) ein T3 -Raum. Wir wenden Lemma 4.3.2(1) an. Sei also x ∈ X und . U ∈ U (x) gegeben. Dann existiert U  ∈ x ∩ τ mit U  ⊆ U . Da X \ U  abgeschlossen ist und x nicht enth¨ alt, existieren wegen T3 Teilmengen V1 , V2 ∈ τ mit V2 ⊇ X \ U  und x ∈ V1 , sowie V1 ∩ V2 = ∅, also insbesondere x ∈ V2 . Wegen U  ⊆ U gilt nun auch V2 ⊇ X \ U . Damit ist (X, τ ) nach Lemma 4.3.2 ein R0 -Raum.

Korollar 4.4.4 Jeder topologische Raum (X, τ ), der sowohl ein T3 - als auch ein T0 -Raum ist, ist ein Hausdorff-Raum. Beweis: Sei (X, τ ) sowohl T3 - als auch T0 -Raum. Nach Lemma 4.4.3 ist er symmetrisch und somit nach Korollar 4.3.3 ein T1 -Raum. Folglich sind nach Lemma 4.1.6 die einpunktigen Teilmengen von X abgeschlossen. F¨ ur je zwei Punkte x, y ∈ X mit x = y existieren also wegen T3 offene Mengen U, V ∈ τ mit x ∈ U , {y} ⊆ V und U ∩ V = ∅. Damit ist (X, τ ) ein Hausdorff-Raum. An dieser Stelle dr¨ angt sich die Frage auf, ob es u ¨ berhaupt Hausdorff-R¨aume gibt, die nicht die T3 -Bedingung erf¨ ullen∗ . Wir bemerken zun¨ achst folgendes: Ist (X, τ ) ein T0 -, T1 - oder T2 -Raum und τ  ⊇ τ eine st¨ arkere Topologie auf X, dann ist automatisch auch (X, τ  ) ein T0 -, T1 - bzw. T2 -Raum – je mehr offene Mengen, desto besser f¨ ur diese Trennungeigenschaften, denn getrennt werden sollen ja Punkte voneinander, und die haben sich dabei gar nicht ver¨andert. Bei T3 sieht das etwas anders aus, denn hier wollen wir ja Punkte von abgeschlossenen Teilmengen trennen – aber wenn wir pl¨ otzlich mehr offene Teilmengen haben, dann haben wir auch mehr abgeschlossene und damit m¨oglicherweise ein Problem. Wir probieren einmal aus, wie sich diese Erkenntnisse zur Konstruktion eines Hausdorff-Raumes nutzen lassen, der nicht T3 ist: Beispiel 4.4.5 Wir gehen aus von IR mit euklidischer Topologie τe . Dieser Raum ist sicher T2 , aber auch noch T3 , wie wir wissen. Daher erweitern wir seine Topologie etwas und / } auf IR erzeugte Topologie, wobei bezeichnen mit τQ die von der Subbasis τe ∪ {Q / mit Q die Menge der rationalen Zahlen gemeint ist. Der Raum (IR, τQ ) ist nun ein T2 -, aber kein T3 -Raum. ∗

Zumindest nach endlichen Beispielen brauchen wir nicht zu suchen: jeder endliche T2 -Raum ist trivialerweise diskret und damit nat¨ urlich automatisch auch T3 .

134

4 Trennungseigenschaften

Beweis: Wegen τQ ⊇ τe ist (IR, τQ ) offensichtlich T2 -Raum. Die Umgebungsfilter irrationaler Punkte bez¨ uglich τQ sind dieselben wie diejenigen / bez¨ uglich τe , w¨ ahrend die Umgebungsfilter der rationalen Punkte q ∈ Q etwas feiner / sind: Sie enthalten allesamt zus¨ atzlich Q als Element, so daß sie von Basen der Gestalt / | ε > 0} erzeugt werden.∗ {(q − ε, q + ε) ∩ Q / Die Menge I := IR \ Q ist bez¨ uglich τQ ja abgeschlossen und enth¨alt nicht den Punkt 37. F¨ ur beliebige Mengen U1 , U2 ∈ τQ mit 37 ∈ U1 und I ⊆ U2 muß allerdings U1 eine / Basisumgebung von 37 umfassen, also eine Menge der Gestalt (37 − ε, 37 + ε) ∩ Q mit ε > 0. Freilich existiert stets auch eine irrationale Zahl t ∈ (37 − 2ε , 37 + 2ε ), f¨ ur die wiederum U2 eine Basisumgebung umfassen muß, also eine Menge der Form (t − δ, t + δ) / mit δ > 0. Setzen wir α := min( 2ε , δ), so folgt damit ∅ = (t − α, t + α) ∩ Q ⊆ U1 ∩ U2 . Zwei derartige offene Mengen U1 , U2 k¨ onnen also niemals disjunkt sein, so daß die T3 Bedingung hier nicht erf¨ ullt ist.

Satz 4.4.6 Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum, (Y, σ) ein regul¨arer T0 -Raum, A ⊆ X eine dichte Teilmenge von X und f : A → Y stetig. Ferner gelte, daß f¨ ur alle Filter ϕ auf A aus ϕ → x ∈ X stets die Existenz eines y ∈ Y mit f (ϕ) → y folgt. Dann gibt es genau eine stetige Fortsetzung fˆ : X → Y von f , d.h. genau eine stetige Funktion fˆ : X → Y mit fˆ|A = f . Beweis: Da A dicht in X liegt, haben wir A = X und folglich ∀x ∈ X : ∃ϕx ∈ F(A) : ϕx → x. Nach Voraussetzung folgt daraus ∃y ∈ Y : f (ϕx ) → y. Seien ϕ1 , ϕ2 zwei Filter auf A, die beide gegen x ∈ X konvergieren. Dann ist auch ϕ1 ∩ ϕ2 ein Filter auf A, der gegen x konvergiert. Folglich haben wir y1 , y2 , y3 ∈ Y mit f (ϕ1 ) → y1 , f (ϕ2 ) → y2 und f (ϕ1 ∩ ϕ2 ) → y3 . Als Oberfilter von f (ϕ1 ∩ ϕ2 ) konvergieren nun auch f (ϕ1 ) und f (ϕ2 ) gegen y3 . Da (Y, σ) laut Korollar 4.4.4 ein Hausdorff-Raum ist, folgt y1 = y3 = y2 . Mithin gibt es zu jedem x ∈ X genau ein yx ∈ Y derart, daß ∀ϕ ∈ F(A) : ϕ → x ⇒ f (ϕ) → yx . Also ist fˆ : X → Y durch ∀x ∈ X : fˆ(x) := yx mit ∃ϕ ∈ F(A) : ϕ → x ∧ f (ϕ) → yx wohldefiniert. Anhand der Einpunktfilter auf A ist unmittelbar klar, daß fˆ|A = f gilt. Wir haben uns nunmehr um den Nachweis zu k¨ ummern, daß fˆ stetig ist. Dazu gucken wir uns mal die ˆ Bilder offener Mengen unter f an. Sei O ∈ τ und x ∈ O gegeben. Da ja A dicht in X ∗

Filterkonvergenz ist in (IR, τQ ) daher immer noch sehr leicht zu beschreiben: Gegen einen irrationalen Punkt konvergiert ein Filter ϕ genau dann, wenn er dessen euklidischen Umgebungsfilter umfaßt; gegen einen rationalen Punkt konvergiert ein Filter ϕ genau dann, wenn / er dessen euklidischen Umgebungsfilter umfaßt und Q als Element enth¨ alt.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

135

liegt, existiert dann ein Filter ϕx ∈ F(A) mit ϕx → x. Daraus folgt nach Definition von fˆ nat¨ urlich sofort f (ϕx ) → fˆ(x). Zudem freilich muß O als offene Umgebung von x Element von ϕx sein, so daß O ∩ A ∈ ϕx und folglich f (O ∩ A) ∈ f (ϕx ) gilt. Das ergibt ur beliebiges x ∈ O, also fˆ(x) ∈ f (O ∩ A) f¨ fˆ(O) ⊆ f (O ∩ A); ∀O ∈ τ

(4.1)

Wir zeigen jetzt die Stetigkeit von fˆ anhand der Konvergenz der Bilder konvergenter Filter. Sei ϕ ∈ F(X) mit ϕ → x ∈ X gegeben, d.h. ϕ ⊇ U (x). Nun haben wir ∀U ∈ U (x) : U ∩ A = ∅, da A dicht in X liegt. Somit ist U (x) ∪ {A} eine Filtersubbasis, der erzeugte Filter enth¨ alt A, umfaßt U (x) und heiße ψx . Nat¨ urlich konvergiert ψx somit gegen x, woraus nach Voraussetzung und der Definition von fˆ wiederum . f (ψx ) → fˆ(x) folgt. Ferner haben wir ∀P ∈ ψx : ∃O ∈ x ∩ τ : A ∩ O ⊆ P und folglich f (A ∩ O) ⊆ f (P ), woraus jeweils f (A ∩ O) ⊆ f (P ) folgt. Mit (4.1) ergibt das nun . ∀P ∈ ψx : ∃O ∈ x ∩ τ : fˆ(O) ⊆ f (P ), also fˆ(U (x)) ⊇ f (ψx ) := [{f (P )| P ∈ ψx }]F(Y ) . Jetzt bewirkt die Regularit¨ at von (Y, σ) laut Lemma 4.4.2, daß f (ψx ) gegen fˆ(x) konvergiert, weil f (ψx ) das tut. Es konvergieren dann aber auch fˆ(U (x)) und erst recht fˆ(ϕ) als Oberfilter von f (ψx ) gegen fˆ(x). Die Eindeutigkeit unsrer stetigen Fortsetzung fˆ ist durch Lemma 4.2.4 gesichert. Genau wie T0 , T1 und T2 wird auch T3 auf Produkte u ¨bertragen: Lemma 4.4.7 Sei (Xi , τi ), i ∈ I, eine Familie nichtleerer topologischer R¨aume. Genau dann ist der Produktraum i∈I (Xi , τi ) ein T3 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, T3 -R¨aume sind. Beweis: Ist ein leerer Raum am Produkt beteiligt, wird das Produkt leer – daraus l¨aßt sich nat¨ urlich nichts u ¨ ber die weiteren beteiligten R¨aume schließen. Sind aber alle Xi , i ∈ I nichtleer, so sei (zi )i∈I ein beliebiges, aber fest gew¨ahltes Element des Produktes i∈I Xi . F¨ ur jedes j ∈ I ist dann der Teilraum i∈I Ai mit Ai := {zi } f¨ ur i = j und Aj := Xj ein zu Xj hom¨ o omorpher Unterraum von i∈I Xi , wie aus der offensichtlichen Bijektivit¨ a t der auf A eingeschr¨ a nkten kanonischen i i∈I Projektion pj : i∈I Ai → Xj : pj ((Xi )i∈I ) := xj sowie ihrer Stetigkeit und Offenheit gem¨ aß 3.1.18 und 3.1.19 folgt. Ist das Produkt nun ein T3 -Raum, so auch unser Teilraum i∈I Ai und dessen hom¨ oomorphes Bild Xj . Seien umgekehrt alle (Xi , τi ), i ∈ I T3 -R¨ aume und sei ein Element (xi )i∈I gegeben. Diejenigen Produkte i∈I Oi offener Mengen Oi ∈ τi , xi ∈ Oi , bei denen nur endlich viele Oi vom jeweiligen X i verschieden sind, bilden ja eine Basis des Umgebungsfilters von (xi )i∈I . Ist also U ⊆ i∈I Xi irgendeine offene Umgebung von (xi )i∈I , so existiert eine endliche Teilmenge {i1 , ..., in } von I und zu diesen Indizes offene Teilmengen Uik ∈ τik f¨ ur k = 1, ..., n derart, daß  Hi U  := i∈I

136

4 Trennungseigenschaften

mit Hi := Xi f¨ ur alle i ∈ I \ {i1 , ..., in } und Hik := Uik f¨ ur k = 1, ..., n eine Teilmenge von U (und nat¨ urlich wieder eine offene Umgebung von (xi )i∈I ) ist. Weil freilich unsre (Xik , τik ) s¨ amtlich T3 -R¨ aume sind, existieren dann auch offene Mengen Vik ∈ τik mit xik ∈ Vik ⊆ Vik ⊆ Uik f¨ ur k = 1, ..., n. F¨ ur alle i ∈ I \ {i1 , ..., in } setzen wir Vi := Xi bilden V := i∈I Vi . Nach dieser Konstruktion ist V wiederum eine offene Umgebung von (xi )i∈I und es gilt V ⊆V =



Vi ⊆ U  ⊆ U .

i∈I

Somit bilden die abgeschlossenen Umgebungen ebenfalls eine Basis f¨ ur den Umgebungsfilter von (xi )i∈I und unser Produkt ist laut 4.4.2 folglich ein T3 -Raum.

Definition 4.4.8 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt ein T4 -Raum (oder normal∗ ) genau dann, wenn es zu je zwei abgeschlossenen disjunkten Teilmengen A, B ⊆ X offene Mengen UA , UB ∈ τ gibt mit A ⊆ UA , B ⊆ UB und UA ∩ UB = ∅. Ein T4 -Raum braucht nicht einmal ein T0 -Raum zu sein, wie man sich wiederum am Beispiel der mehrpunktigen indiskreten R¨aume schnell u ¨ berlegen kann. Ein Blick auf den Sierpinski-Raum macht schnell klar, daß wir keineswegs hoffen d¨ urfen, uns mittels T4 auch nur von T0 zu T1 hochhangeln zu k¨onnen: T4 -R¨aume m¨ ussen noch nicht einmal symmetrisch sein. Sobald allerdings T1 zus¨atzlich vorausgesetzt wird, greift T4 durch: Normale T1 -R¨ aume sind sowohl Hausdorff-R¨aume als auch regul¨ar, weil in T1 -R¨aumen die einelementigen Mengen abgeschlossen sind. Immerhin. Nicht einmal die beiden Abweichler unter den Trennungsaxiomen halten so richtig zusammen: aus T4 folgt auch keineswegs T3 , wie derselbe Blick auf den Sierpinski-Raum lehrt. Wenigstens stehen sie einander aber etwas n¨aher als den vorangegangenen Trennungseigenschaften, denn um von T4 auf T3 schließen zu k¨onnen, ben¨otigen wir nicht unbedingt T1 , sondern sozusagen nur die H¨alfte davon: Proposition 4.4.9 Ein topologischer Raum (X, τ ) der sowohl ein T4 -Raum als auch ein R0 -Raum ist, ist auch ein T3 -Raum. ∗

Wie beim W¨ ortchen regul¨ ar“ auch, ist der Sprachgebrauch in der Literatur uneinheitlich: ” Oft ist mit normal“ gemeint, daß der fragliche Raum sowohl T4 - als auch T1 -Raum ist. Hier ” aber nicht. Grunds¨ atzlich ist es netter, in Publikationen, von denen man annimmt, daß sie vielleicht auch von solchen Kollegen gelesen werden, die mit unsrem eigenen Sprachgebrauch nicht vertraut sind, auf die Verwendung der Worte regul¨ ar“ und normal“ zu verzichten ” ” und sich mit den weniger blumigen Bezeichnungen T3 und T4 zu begn¨ ugen.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

137

Beweis: Sei (X, τ ) sowohl R0 - als auch T4 -Raum und seien eine abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X sowie ein Element x ∈ X \ A gegeben. Wir betrachten den Abschluß . {x} : Angenommen, es existierte ein y ∈ {x} ∩ A. Dann h¨atten wir zun¨achst x → y, . . woraus wegen R0 nach Lemma 4.3.2 sogleich y → x folgte – und wegen A ∈ y mit der Abgeschlossenheit von A folglich x ∈ A im Widerspruch zur Voraussetzung. Wir haben also {x} ∩ A = ∅. Wegen T4 existieren somit offene Mengen O1 , O2 mit {x} ⊆ O1 , A ⊆ O2 und O1 ∩ O2 = ∅. Offenbar trennen O1 und O2 nun auch den Punkt x und die Teilmenge A. Da dies f¨ ur beliebige abgeschlossene Teilmengen A und außerhalb von diesen gelegene Elemente x gilt, ist T3 erf¨ ullt. Widmen wir uns einigen Charakterisierungen der T4 -Eigenschaft. Lemma 4.4.10 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T4 -Raum, wenn es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A und jeder offenen Teilmenge U von X mit A ⊆ U eine offene Teilmenge V ∈ τ gibt mit A ⊆ V ⊆ V ⊆ U . Beweis: Aufgabe4 Aufgabe5 Gib ein Beispiel daf¨ ur an, daß Teilr¨aume von T4 -R¨aumen nicht notwendig wieder T4 -R¨ aume sein m¨ ussen. ur jede abgeschlossene Teilmenge A eines T4 -Raumes (X, τ ) der Aufgabe6 Zeige, daß f¨ Teilraum (A, τ|A ) wiederum ein T4 -Raum ist.

Lemma 4.4.11: Urysohn-Lemma Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T4 -Raum, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B ⊆ X eine stetige Funktion f : X → [0, 1] derart gibt, daß A ⊆ f −1 (0) und B ⊆ f −1 (1). (Dabei sei das abgeschlossene Intervall [0, 1] mit euklidischer Topologie ausger¨ ustet.) Beweis: Haben wir f¨ ur zwei abgeschlossene disjunkte Teilmengen A, B ⊆ X eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit A ⊆ f −1 (0) und B ⊆ f −1 (1), so sind f −1 ([0, 13 )) und f −1 (( 23 , 1]) offenbar disjunkte offene Umgebungen von A bzw. B. Sei also (X, τ ) ein T4 -Raum und seien A, B ⊆ X disjunkte abgeschlossene Teilmengen. Sei ferner Z := { 2nm | n, m ∈ IN, n ≤ 2m , 2  |n} ⊆ [0, 1] die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die sich als Bruch mit einer Zweierpotenz im Nenner (Z¨ahler und Nenner teilerfremd) schreiben lassen. Wir zeigen nun induktiv, daß es eine Abbildung h : Z → τ mit (1) ∀z ∈ Z : A ⊆ h(z) ∧ h(z) ∩ B = ∅ und (2) ∀z1 , z2 ∈ Z : z1 < z2 ⇒ h(z1 ) ⊆ h(z2 )

138

4 Trennungseigenschaften

gibt. Wir w¨ ahlen Induktion u ¨ber den Exponenten des Nenners: die einzigen Elemente in Z mit Nenner 20 = 1 (bei teilerfremdem Z¨ahler und Nenner!) sind 0 und 1. Da (X, τ ) ein T4 -Raum ist, haben wir offene Mengen UA ⊇ A und UB ⊇ B mit UA ∩ UB = ∅. Wir w¨ ahlen h(0) := UA und h(1) = X \ B. Dann ist Bedingung (1) offensichtlich erf¨ ullt und Bedingung (2) folgt unmittelbar aus dem Umstand, daß UA ⊆ X \ UB = X \UB ⊆ X \B wegen der Abgeschlossenheit von X \ UB gilt. Ist nun allgemein z ∈ Z mit z = 2nm , 2  |n n+1 ullen unsre Bedingungen. gegeben, so sind ja h( n−1 2m ) und h( 2m ) bereits definiert und erf¨ n−1 n−1 n+1 ) und folglich h( ) Es gilt also insbesondere h( 2m ) ⊆ h( n+1 2m 2m ∩ X \ h( 2m ) = ∅. Daher n+1 existieren laut T4 offene Mengen Oz , Uz ∈ τ mit h( n−1 2m ) ⊆ Oz , X \ h( 2m ) ⊆ Uz und n+1 Oz ∩ Uz = ∅. Das ergibt h( n−1 2m ) ⊆ Oz ⊆ Oz ⊆ h( 2m ) wegen der Abgeschlossenheit von X \ Uz . Wir w¨ ahlen nat¨ urlich h(z) := Oz . Der Induktionsschritt ist damit getan und wir haben die Existenz einer Abbildung mit den gew¨ unschten Eigenschaften (1) und (2) nachgewiesen. Jetzt ¨ andern wir noch h(1), indem wir h(1) := X setzen und dann definieren wir f : X → [0, 1] ganz einfach durch ∀x ∈ X : f (x) := inf{z ∈ Z| x ∈ h(z)} Offensichtlich ist damit zun¨ achst mal A ⊆ f −1 (0), da A ⊆ h(0) gesetzt war und −1 B ⊆ f (1), da f¨ ur alle z ∈ Z außer der 1, deren Bild unter h wir ja grad noch schnell in X ge¨ andert hatten, per Konstruktion h(z) ∩ B = ∅ gilt. K¨ ummern m¨ ussen wir uns also nur noch um die Stetigkeit von f . Sei dazu x0 ∈ X gegeben mit f (x0 ) = y0 , sowie weiterhin ε > 0. Dann ist (y0 − ε, y0 + ε)∩[0, 1] ja eine offene (Basis)-Umgebung von y0 . Ist y0 ∈ {0, 1}, so existieren z1 , z2 ∈ Z mit y0 − ε < z1 < y0 < z2 < y0 + ε (man muß offenbar nur den Exponenten im Nenner der Br¨ uche aus Z groß genug w¨ ahlen). Folglich ist U := h(z2 ) \ h(z1 ) erstens eine offene Menge und enth¨ alt zweitens x0 , da x0 ∈ h(z2 ) wegen y0 = f (x0 ) < z2 und x0 ∈ h(z1 ) wegen y0 = f (x0 ) > z1 gelten m¨ ussen. Zudem haben wir f (U ) ⊆ (y0 − ε, y0 + ε), da aus urlich sofort f (x) ≤ z2 und aus x ∈ h(z1 ) andrerseits f (x) ≥ z1 folgt. F¨ ur x ∈ h(z2 ) nat¨ ugt U := h(z2 ) und f¨ ur y0 = 1 reicht analog U := X \h(z1 ) als Umgebung von y0 = 0 gen¨ x0 mit f (U ) ⊆ (y0 − ε, y0 + ε) ∩ [0, 1]. Somit konvergiert das Bild des Umgebungsfilters von x0 in jedem Fall gegen f (x0 ), also ist f stetig.

Korollar 4.4.12 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein T4 -Raum, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B ⊆ X und jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊆ IR mit euklidischer Topologie eine stetige Funktion f : X → [a, b] derart gibt, daß A ⊆ f −1 (a) und B ⊆ f −1 (b). Beweis: Alle abgeschlossenen Intervalle [a, b] mit a = b sind trivialerweise hom¨oomorph zu [0, 1]. (F¨ ur a = b sind wir mit ’ner konstanten Abbildung dabei.) Den Rest erledigt das Urysohn-Lemma.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

139

Bemerkung: Wir wollen beachten, daß wir die M¨oglichkeit keineswegs ausgeschlossen haben, die eine oder andere der im Urysohn-Lemma vorkommenden abgeschlossenen Mengen k¨ onnte leer sein. Korollar 4.4.13 Jeder metrische Raum (X, d) ist hinsichtlich der von seiner Metrik erzeugten Topologie τd ein T4 -Raum. Beweis: Aufgabe7

Satz 4.4.14: Fortsetzungssatz von Tietze Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so sind ¨aquivalent: (1) (X, τ ) ist ein T4 -Raum (2) Zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ X und jeder stetigen Abbildung f : A → [−1, 1] gibt es eine stetige Fortsetzung fˆ : X → [−1, 1], d.h. eine stetige Funktion fˆ : X → [−1, 1] mit fˆ|A = f . (Dabei sei [−1, 1] mit euklidischer Topologie ausger¨ ustet.) Beweis: (2)⇒(1)“: Seien A, B ⊆ X abgeschlossen und sei A ∩ B = ∅. Dann ist auch ” A ∪ B abgeschlossen und die Funktion  f : A ∪ B → [−1, 1] : f (x) :=

−1 ; x ∈ A 1 ; x∈B

einerseits wegen A ∩ B = ∅ wohldefiniert und andrerseits offensichtlich stetig.∗ Laut (2) existiert somit eine stetige Fortsetzung fˆ : X → [−1, 1] von f . Wir w¨ahlen UA := fˆ−1 ([−1, − 21 )) und UB := fˆ−1 (( 12 , 1]) und haben damit disjunkte offene Umgebungen von A und B. (1)⇒(2)“: Sei A ⊆ X abgeschlossen und f : A → [−1, 1] eine stetige Funktion. Wir be” schaffen uns die gew¨ unschte Fortsetzung wieder u ¨ber einen induktiven Prozeß: Zun¨achst erkl¨ aren wir zwei Folgen (fn )n∈IN und (gn )n∈IN von Funktionen mit folgenden Eigenschaften: ∗

Das Urbild einer offenen Teilmenge von [−1, 1] ist entweder leer, A, B oder A ∪ B – je nachdem, ob die fragliche offene Teilmenge von [−1, 1] weder −1 noch 1, −1 aber nicht 1, 1 aber nicht −1 oder sowohl 1 als auch −1 enth¨ alt; A und B sind im Sinne der Spurtopologie offen in A ∪ B, weil ihr jeweiliges Komplement abgeschlossen ist.

140

4 Trennungseigenschaften n−1

n−1

(1) F¨ ur jedes n ∈ IN sind fn : X → [− 2 3n , 2 3n ] und gn : A → [−( 23 )n , ( 23 )n ] stetig. (2) gn := f −

n

k=0

fk|A

Zu Beginn setzen wir f0 (x) ≡ 0, ∀x ∈ X und gem¨aß (2) folglich g0 := f . Damit sind (1) und (2) f¨ ur n = 0 offensichtlich erf¨ ullt. Seien nun fn und gn , n ≥ 0, derart definiert, daß (1) und (2) gelten. Dann sind An+1 := 2n 2n ]) und Bn+1 := gn−1 ([ 3n+1 , ( 23 )n ]) abgeschlossen in X. Wegen des gn−1 ([−( 23 )n , − 3n+1 2n 2n Urysohn-Lemmas existiert daher eine stetige Funktion fn+1 : X → [− 3n+1 , 3n+1 ] mit −1 −1 2n 2n An+1 ⊆ fn+1 (− 3n+1 ) und Bn+1 ⊆ fn+1 ( 3n+1 ). Wir setzen gn+1 := gn − fn+1|A , womit sicher (2) erf¨ ullt ist. Nun finden wir, daß f¨ ur a ∈ An+1 der Wert gn (a) negativ und 2n ist und folglich die Differenz sicher minimal −( 23 )n ist, der Wert fn+1 (a) genau − 3n+1 n 2 n 2 2 n+1 nicht kleiner als −( 3 ) + 3n+1 = −( 3 ) (und nicht gr¨oßer als 0) wird. F¨ ur a ∈ Bn+1 2n ist gn (a) positiv und maximal ( 23 )n , w¨ ahrend fn+1 (a) genau 3n+1 ist, so daß die Diffe2n renz sicher nicht gr¨ oßer als ( 23 )n − 3n+1 = ( 23 )n+1 (und nicht kleiner als 0) wird. F¨ ur 2n 2n a ∈ A \ (An+1 ∪ Bn+1 ) haben wir |gn (a)| < 3n+1 und |fn+1 (a)| ≤ 3n+1 , folglich gilt 2n 2n |gn+1 (a)| < 3n+1 + 3n+1 = ( 23 )n+1 . Ferner ist gn+1 als Differenz zweier stetiger Funktionen selbst stetig, womit nun auch (1) ganz & gar erf¨ ullt ist. Damit ist der Induktionsschritt komplett und die Existenz unsrer Funktionenfolgen (fn )n∈IN , (gn )n∈IN mit den Eigenschaften (1) und (2) gezeigt. Wir definieren nun fˆ :=

∞ 

fn

n=1

und u ufen schnell, daß das wohldefiniert ist: Wir haben f¨ ur alle x ∈ X und n ∈ IN + ¨ berpr¨ n−1 stets |fn (x)| ≤ 2 3n , also ∞  1 2 |fn (x)| ≤ 2 n=1 3 n=1 ∞ 

n

=

1 ·2 =1 . 2

∞ Somit konvergiert die Reihe n=1 fn (x) f¨ ur jedes x ∈ X sogar absolut und ihr Wert ˆ liegt in [−1, 1]. Daher ist f : X → [−1, 1] wohldefiniert.∗ Offensichtlich gilt auch fˆ|A = f , denn f¨ ur a ∈ A haben wir f (a) − fˆ(a) = limn→∞ gn (a) und folglich f (a) − fˆ(a) = 0, da  2 n stets |gn (a)| ≤ 3 gilt. Zu zeigen bleibt also nur noch, daß fˆ stetig ist. ∗

Wir greifen hier auf einige Kenntnisse u uck, die wir bislang nicht im Vorspann ¨ ber Reihen zur¨ bereitgestellt haben. Es handelt sich aber um wirklich einfache Sachverhalte, die aus der Grundvorlesung Analysis bekannt sein sollten. Ansonsten kann man dar¨ uber auch in dem sehr sch¨ on geschriebenen Buch von Walter Rudin, [27], alles Ben¨ otigte lesen.

4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome: T3 , T4

141

Sei dazu x0 ∈ X, y0 := fˆ(x0 ) ∈ [−1, 1] und eine reelle Zahl ε > 0 gegeben. Wir rechnen ∞ erstmal schnell nach, daß die Reihenendst¨ ucke der Form k=n fk (x) mit n ∈ IN + stets die Bedingung ∀x ∈ X : |

∞ 

fk (x)| ≤

k=n

∞  k=n

∞  1 2 |fk (x)| ≤ 2 3



k

=

k=n

2 3

n−1

∞ erf¨ ullen. Somit existiert ein n0 ∈ IN derart, daß ∀x ∈ X : k=n0 |fk (x)| < haben wir   n0 ∞       ∀x ∈ X : |y0 − fˆ(x)| = y0 − fk (x) − fk (x)   k=1 k=n0 +1     n0 ∞           ≤ y 0 − fk (x) +  fk (x)     k=1 k=n0 +1   n0   ε    < y 0 − fk (x) + .   4

ε 4.

Dann

(4.2)

k=1

.

Nun sind freilich alle fk stetig, so daß es offene Umgebungen O1 , ..., On0 ∈ x0 ∩ τ geben muß mit ε ∀k = 1, ..., n0 : ∀o ∈ Ok : |fk (x0 ) − fk (o)| < . 4n0 n0 Als endlicher Durchschnitt offener Umgebungen ist dann aber auch O := k=1 Ok eine offene Umgebung von x0 und wir finden ∀o ∈ O : ∀k = 1, ..., n0 : |fk (x0 ) − fk (o)|
0 derart, daß (s − ε, s + ε) ∩ [a, b] ⊆ Os . Ferner muß ein Element c ∈ M existieren mit s − ε < c ≤ s, da ja s
Supremum von M ist. Folglich gibt es eine endliche Teilmenge H ⊆ O mit [a, c] ⊆ O∈H O und folglich [a, s + ε) ∩ [a, b] ⊆ M , da dann auch H := H ∪ {Os } endlich ist. W¨ are s < b, so existierte ein Element d ∈ [a, s + ε) mit s < d ≤ b und s w¨are nicht Supremum von M . Folglich muß s = b gelten. Neben der Charakterisierung der Kompaktheit durch Ultrafilter ist die folgende Reduktion der zu pr¨ ufenden Bedingung auf eine beliebige Subbasis ein bedeutendes Werkzeug. Satz 5.1.7: Alexander’scher Subbasissatz Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und S eine Subbasis von τ . (X, τ ) ist genau ¨ dann kompakt, wenn jede Uberdeckung von X mit Elementen aus S eine endliche Teil¨ uberdeckung beinhaltet. ¨ Beweis: Es ist klar, daß jede Uberdeckung durch Subbasiselemente eine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨ alt, wenn (X, τ ) kompakt ist. ¨ Sei also eine Subbasis S von τ gegeben und enthalte jede Uberdeckung mit Elementen aus S eine endliche Teil¨ uberdeckung. Angenommen nun, es sei dennoch (X, τ ) nicht kompakt. Dann m¨ ußte es laut Lemma 5.1.3 einen Ultrafilter ϕ auf X geben, der gegen kein Element von X konvergiert. Dann aber muß es zu jedem Element x ∈ X eine . offene Umgebung Ox ∈ x ∩ τ mit Ox ∈ ϕ geben. Nun ist jede offene Menge Vereinigung endlicher Durchschnitte von Elementen aus S, insbesondere muß jedes Ox also einen endlichen Durchschnitt von Elementen aus S umfassen, der das jeweilige x enth¨alt. Die an diesem Durchschnitt beteiligten endlich vielen Elemente aus S k¨onnen nicht alle Elemente von ϕ sein, da sonst ihr Durchschnitt und damit dessen Obermenge Ox auch zu ϕ geh¨ ußte. Folglich existiert zu jedem x ∈ X ein Sx ∈ S mit x ∈ Sx ∈ ϕ. Das
oren m¨ ergibt x∈X Sx ⊇ X, so daß nach Voraussetzung endlich viele Sx1 , ..., Sxn ∈ S, n ∈ IN
n
n existieren mit k=1 Sxk ⊇ X und folglich k=1 Sxk ∈ ϕ, woraus mit Lemma 1.4.5 wiederum folgt, das eines der Sxk Element von ϕ sein muß – im Widerspruch zu deren Auswahl. Aufgabe:3 Zeige: Ein kompakter topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann maximal kompakt (d.h. es gibt auf X keine echt feinere Topologie τ  ⊇ τ derart, daß (X, τ  ) kompakt w¨ are), wenn die Familie der abgeschlossenen Teilmengen mit der Familie der

5.1 Kompakte R¨aume und Teilmengen

153

kompakten Teilmengen u ¨ bereinstimmt. Aufgabe:4 Zeige, daß jeder unendliche Hausdorff-Raum (X, τ ) eine abz¨ahlbar unendliche Teilmenge enth¨ alt, die nicht kompakt ist.

Lemma 5.1.8 Seien (X, τ ) und (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine stetige Funktion. Ist (X, τ ) kompakt, dann ist f (X) eine kompakte Teilmenge von Y . Beweis: Sei (X, τ ) kompakt, f : X → Y stetig und ψ ein Ultrafilter auf f (X). Dann existiert laut Lemma 1.4.14 ein Ultrafilter ϕ auf X mit f (ϕ) = ψ. Da (X, τ ) kompakt ist, gibt es ein x ∈ X mit ϕ → x, so daß wegen der Stetigkeit von f sogleich f (ϕ) = ψ → f (x) folgt, mithin ψ jedenfalls gegen ein Element von f (X) konvergiert. Da dies f¨ ur jeden Ultrafilter ψ auf f (X) gilt, ist f (X) laut Lemma 5.1.3 kompakt.

Satz 5.1.9: Tychonoff-Satz Das Produkt einer Familie nichtleerer topologischer R¨aume (Xi , τi )i∈I ist genau dann kompakt, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I kompakt sind. Beweis: Jede der kanonischen Projektionen  pj : Xi → Xj : pj ((xi )i∈I ) := xj i∈I

vom Produkt auf einen der R¨ aume (Xj , τj ), j ∈ I ist surjektiv und stetig. Aus der Kompaktheit des Produktes folgt die Kompaktheit aller (Xi , τi ) also nach Lemma 5.1.8. Seien nun alle (Xi , τi ), i ∈ I kompakt und sei ϕ ein beliebiger Ultrafilter auf i∈I Xi . Nach Proposition 1.4.11 sind dann alle pi (ϕ) jeweils Ultrafilter auf Xi f¨ ur i ∈ I. Folglich existiert zu jedem i ∈ I ein xi ∈ Xi mit pi (ϕ) → xi . Wir setzen x := (xi )i∈I ∈ i∈I Xi und erhalten so ∀i ∈ I : pi (ϕ) → pi (x). Nun sichert Lemma 3.1.22, daß ϕ gegen x konvergiert, da ja die Produkttopologie initial bez¨ uglich der kanonischen Projektionen ist.

Satz 5.1.10: Satz von Heine-Borel Eine Teilmenge M des IRn ist genau dann kompakt (bezgl. euklidischer Topologie), wenn sie abgeschlossen und beschr¨ ankt∗ ist. Beweis: Ist M kompakt, so muß M jedenfalls abgeschlossen sein, da IRn Hausdorff’sch ist. Wir u ¨berdecken jetzt M mit offenen Kugeln vom Radius 1 um jeden Punkt von M . ∗

Das heißt hier, daß es eine positive reelle Zahl G gibt, mit der ∀x, y ∈ M : d(x, y) < G gilt, wobei d die euklidische Metrik ist.

154

5 Kompaktheit

Da es hieraus eine endliche Teil¨ uberdeckung geben muß, ist M offensichtlich beschr¨ankt. Sei nun M ⊆ IRn abgeschlossen und beschr¨ankt. Aus der Beschr¨anktheit folgt sofort, daß es a, b ∈ IR geben muß mit M ⊆ [a, b]n . Nun ist [a, b]n nach Proposition 5.1.6 und Satz 5.1.9 kompakt, folglich ist auch M als abgeschlossene Teilmenge laut Proposition 5.1.2 kompakt.

Satz 5.1.11 Sei (X, τ ) ein kompakter topologischer Raum und f : X → IR eine stetige Funktion (bez¨ uglich euklidischer Topologie auf IR). Dann nimmt f auf X ein Maximum (und ein Minimum) an. Beweis: Wegen Lemma 5.1.8 ist f (X) ⊆ IR kompakt und folglich wegen Satz 5.1.10 abgeschlossen und beschr¨ ankt. Wegen der Beschr¨anktheit von f (X) existieren Infimum und Supremum von f (X), die wegen der Abgeschlossenheit von f (X) auch Elemente von f (X) sein m¨ ussen.

Satz 5.1.12 Ist (X, τ ) ein kompakter topologischer Raum, (Y, σ) ein Hausdorff-Raum und ferner f : X → Y eine bijektive stetige Abbildung, dann ist f ein Hom¨oomorphismus. Beweis: Da Bijektivit¨ at und Stetigkeit von f schon vorausgesetzt sind, bleibt nur noch die Stetigkeit von f −1 zu zeigen. Laut Satz 2.2.36 gen¨ ugt daf¨ ur, daß f¨ ur jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X das Urbild (f −1 )−1 (A) = f (A) abgeschlossen in Y ist. Nun ist freilich jede abgeschlossene Teilmenge A von X laut Proposition 5.1.2 kompakt, daher ihr Bild f (A) wegen Lemma 5.1.8 ebenfalls. Laut Proposition 5.1.5 ist f (A) dann auch abgeschlossen, da ja (Y, σ) Hausdorff’sch ist.

Proposition 5.1.13 Jeder kompakte T3 -Raum (X, τ ) ist auch ein T4 -Raum. Beweis: Aufgabe5

Satz 5.1.14 Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal. Beweis: Aufgabe6

5.1 Kompakte R¨aume und Teilmengen

155

Beispiel 5.1.15 Sei α eine Ordinalzahl. Mit [0, α] := {β ∈ On | β ≤ α} ( = α ∪ {α} ) bezeichnen wir dann die Menge (siehe 1.2.21) aller Ordinalzahlen, die kleiner oder gleich α sind. Auf [0, α] erkl¨ aren wir eine Topologie τα durch die Subbasis, die aus allen Mengen (β, α] := {x ∈ [0, α] | β < x} und [0, γ) := {x ∈ [0, α] | x < γ} f¨ ur alle β, γ ∈ [0, α] besteht. Den so erhaltenen topologischen Raum nennen wir auch Ordinalzahlraum [0, α]. Die Topologie τα nennen wir auch Ordnungstopologie auf [0, α]. Wir beobachten, daß die Mengen der Gestalt (β, γ] := { x ∈ [0, α] | β < x ≤ γ }, [0, γ) mit β, γ ∈ [0, α] eine Basis f¨ ur τα bilden. Ist n¨amlich γ  die kleinste Ordinalzahl, die gr¨ oßer als γ ist, so haben wir [0, γ] = [0, γ  ) ∈ τ , (β, α] ∈ τ und (β, γ] = [0, γ]∩(β, α], d.h. (β, γ] ist jedenfalls offen. Endliche Durchschnitte unserer Subbasiselemente sind entweder selbst wieder Subbasiselemente oder haben die Gestalt (β, γ) := {x ∈ [0, α] | β < x < γ} =



(β, x] .

β 0} erzeugte Topologie, wobei mit Cx,y := {(a, b) ∈ IR2 | (a − x)2 + (b − y)2 < y 2 } ∪ {(x, 0)} jeweils der offene Kreis um (x, y) mit Radius y zuz¨ uglich seines Ber¨ uhrungspunktes an der x-Achse“ gemeint ist. ” Diesen Raum (X, τ ) nennen wir Niemitzky-Halbebene.

F¨ ur alle M ⊆ IR ist wegen X \ (M × {0}) = N1 ∪



Cx,1 ∈ τ

x∈IR\M

die Menge M × {0} abgeschlossen in (X, τ ), d.h. es ist jede Teilmenge von N2 abge/ } und I := {(x, 0)| x ∈ schlossen. Allerdings lassen sich die Mengen Q := {(x, 0)| x ∈ Q / IR \ Q } offenbar nicht durch offene Mengen trennen: Die τ -Umgebungen der Elemente (t, 0) von N2 sind ja gerade die Kreise Ct,y – und da sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in IR liegen, muß jede offene Umgebung von Q jede offene Umgebung von I nichtleer schneiden. Die Niemitzky-Halbebene ist also nicht T4 . Um einzusehen, daß die Niemitzky-Halbebene ein T3 -Raum ist, sehen wir uns die Umgebungsfilter an: f¨ ur Punkte (x, y) ∈ N1 wird U ((x, y)) von der Familie der euklidisch abgeschlossenen ε-Kreise um (x, y) mit Radius kleiner als y2 erzeugt – hat also eine Basis aus abgeschlossenen Mengen; f¨ ur (x, 0) ∈ N2 bilden die abgeschlossenen Teilmengen Cx,r := {(a, b) ∈ X| (a − x)2 + (b − r)2 ≤ r2 } eine Umgebungsbasis. Nach Lemma 4.4.2 ist unser (X, τ ) somit ein T3 -Raum.

5.1.1

Variationen zum Thema Abz¨ahlbarkeit

M¨ oglicherweise ist es im Verlauf des Beweises zum Satz von Heine-Borel schon aufgefallen: Wir h¨ atten zur Charakterisierung der abgeschlossenen beschr¨ankten Teilmen¨ gen des IRn nicht unbedingt fordern m¨ ussen, daß alle offenen Uberdeckungen endliche Teil¨ uberdeckungen enthalten – es h¨ atte gereicht, wenn wir uns dabei auf abz¨ahlbare zur¨ uckgezogen h¨ atten. Ebenso h¨ atten wir – wie aus der Analysis bekannt – statt der ¨ Uberdeckungseigenschaft einfach verlangen k¨onnen, daß jede Folge in X eine konvergente Teilfolge haben solle.

5.1 Kompakte R¨aume und Teilmengen

157

Definition 5.1.17 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt abz¨ahlbar kompakt genau dann, wenn jede ¨ abz¨ahlbare offene Uberdeckung von X eine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨alt. Entsprechend heißt eine Teilmenge A ⊆ X abz¨ahlbar kompakt, wenn sie als Teilraum abz¨ ahlbar kompakt ist. Definition 5.1.18 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt folgenkompakt genau dann, wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge hat. Lemma 5.1.19 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann abz¨ahlbar kompakt, wenn jeder Filter auf X, der eine abz¨ ahlbare Filterbasis besitzt, einen in X konvergenten Oberfilter hat. Beweis: Sei (X, τ ) abz¨ ahlbar kompakt und ϕ ein Filter auf X mit der abz¨ahlbaren Basis B ⊆ P(X). Angenommen, alle Oberultrafliter von ϕ w¨aren nicht konvergent in X. Dann m¨ ußten alle Oberultrafilter f¨ ur jedes Element x ∈ X das Komplement einer offenen Umgebung von x enthalten. Nun ist die Familie Ax der Komplemente offener Umgebungen eines x ∈ X stets abgeschlossen gegen endliche Vereinigungen. Nach Lemma 1.4.10 muß folglich auch ϕ selbst zu jedem x ∈ X das Komplement X \ Ox einer . offenen Umgebung Ox ∈ x ∩ τ von x enthalten. Da B eine Basis von ϕ ist, muß es zudem zu jeder dieser Umgebungen Ox ein Bx ∈ B geben mit Bx ⊆ X \ Ox , also wegen der Abgeschlossenheit von X \ Ox auch Bx ⊆ X \ Ox und folglich Ox ⊆ X \ Bx . Setzen wir f¨ ur alle B ∈ B einfach OB := X \ B, so erhalten wir mit {OB | B ∈ B} also ¨ eine abz¨ ahlbare offene Uberdeckung von X, in der nun
freilich eine endliche Teil¨ ubern deckung OB1 , ..., OBn , n ∈ IN enthalten sein muß, d.h. i=1 OBi ⊇ X, was aber gerade n urde – ein Widerspruch zur Filtereigenschaft von ϕ ⊇ B. i=1 Bi = ∅ bedeuten w¨ Sei nun (X, τ ) ein topologischer Raum, in dem jeder Filter mit abz¨ahlbarer Filterbasis ¨ einen konvergenten Oberfilter hat. Sei ferner O ⊆ τ eine abz¨ahlbare offene Uberdeckung von X. Angenommen, in O sei keine endliche Teil¨ u berdeckung von X enthalten. Dann
ist B := {X \ O∈E O| E ⊆ O, E endlich } eine Filterbasis. Da die Familie aller endlichen Teilmengen einer abz¨ ahlbaren Menge selbst wieder abz¨ahlbar ist, ist B sogar eine abz¨ ahlbare Filterbasis, muß also einen konvergenten Oberfilter haben – im Widerspruch dazu, daß sie zu jedem Element x ∈ X das Komplement einer offenen Umgebung von x enth¨ alt. Offensichtlich ist ein topologischer Raum genau dann kompakt, wenn er ein abz¨ahlbar kompakter Lindel¨ of-Raum ist. Aus purer Pedanterie geben wir daher an dieser Stelle auch eine Charakterisierung der Lindel¨ of-Eigenschaft durch Filter an.∗ Dazu erkl¨aren ∗

Das Konzept, den Begriff Kompaktheit dahingehend abzuschw¨ achen, daß man endliche ¨ Teil¨ uberdeckungen nicht mehr in allen offenen Uberdeckungen verlangt, sondern nur noch

158

5 Kompaktheit

wir noch schnell einen Begriff: Ein Filter ϕ heißt abz¨ahlbar vollst¨andig genau dann, wenn der Durchschnitt je abz¨ahlbar vieler seiner Elemente wiederum Element von ϕ (und daher insbesondere nicht leer) ist. Lemma 5.1.20 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann ein Lindel¨of-Raum, wenn jeder abz¨ahlbar vollst¨ andige Filter auf X einen konvergenten Oberfilter hat. Beweis: Sei (X, τ ) Lindel¨ of-Raum und ϕ ein abz¨ahlbar vollst¨andiger Filter auf X. Angenommen, keiner der Oberultrafilter von ϕ w¨ urde in X konvergieren. Dann enthielte – aus denselben Gr¨ unden wie im Beweis von Lemma 5.1.19 angegeben – ϕ zu jedem . x ∈ X das Komplement X \ Ox einer offenen Umgebung Ox ∈ x ∩ τ . Diese Ox bilden ¨ eine offene Uberdeckung von X, die folglich eine abz¨ahlbare Teil¨ uberdeckung enthalten muß. Der Durchschnitt der Komplemente dieser abz¨ahlbar vielen Ox w¨are folglich leer, was der Voraussetzung widerspr¨ ache, daß ϕ abz¨ahlbar vollst¨andig sein sollte, denn diese Komplemente sind Elemente von ϕ. Sei umgekehrt nun (X, τ ) ein topologischer Raum, in dem jeder abz¨ahlbar vollst¨andige ¨ Filter einen konvergenten Oberfilter hat. W¨are nun O ⊆ τ eine offene Uberdeckung von X, die keine abz¨ ahlbare Teil¨ uberdeckung von X enth¨alt, dann w¨are    X\ A | A ⊆ O, A abz¨ ahlbar A∈A

eine Filterbasis auf X und der davon erzeugte Filter ϕ w¨are abz¨ahlbar vollst¨andig, da die Vereinigung abz¨ ahlbar vieler abz¨ ahlbarer Mengen wiederum abz¨ahlbar ist (Lemma 1.3.8). Folglich m¨ ußte es einen konvergenten Oberfilter ϕ von ϕ geben, was dem Umstand widerspr¨ ache, daß schon ϕ – also erst recht ϕ – zu jedem x ∈ X das Komplement . X \ Ox einer offenen Umgebung Ox ∈ x ∩ τ enth¨alt.

Lemma 5.1.21 Jeder folgenkompakte topologische Raum ist abz¨ahlbar kompakt. Beweis: Sei (X, τ ) folgenkompakt und ϕ ein Filter auf X mit abz¨ahlbarer Basis B = {Bi | i ∈ IN } ⊆ ϕ. Wir bilden daraus die ebenfalls abz¨ahlbare Basis   n

Bi | n ∈ IN C := Cn := i=1

in solchen, deren M¨ achtigkeit die Abz¨ ahlbarkeit nicht u aßt sich nat¨ urlich ohne ¨berschreitet, l¨ Schwierigkeiten f¨ ur beliebige Kardinalit¨ aten κ an Stelle der Abz¨ ahlbarkeit umsetzen. Man erh¨ alt dann allgemeiner die Begriffe κ-kompakt und erg¨ anzend κ-Lindel¨ of, die sich analog wie hier die abz¨ ahlbare Kompaktheit sehr sch¨ on durch Filter charakterisieren lassen. Siehe dazu auch [31].

5.1 Kompakte R¨aume und Teilmengen

159

von ϕ und w¨ ahlen dann aus jeder der nichtleeren Mengen Cn ∈ C ein Element xn aus, so daß wir eine Folge (xn )n∈IN erhalten. Diese muß ja nun eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈IN haben. Dann konvergiert aber auch der von der Basis {{xnk | k ≥ i}| i ∈ IN } erzeugte Filter – und er ist offensichtlich ein Oberfilter von ϕ.

Lemma 5.1.22 Jeder abz¨ ahlbar kompakte topologische Raum (X, τ ), der das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, ist folgenkompakt. Beweis: Sei (X, τ ) abz¨ ahlbar kompakt und erf¨ ulle das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom. Sei ferner (xn )n∈IN eine Folge in X. Wir betrachten den von der abz¨ahlbaren Basis B := {Bi := {xi | i ≥ n} | n ∈ IN } erzeugten Filter ϕ. Dieser hat nach Voraussetzung und Lemma 5.1.19 einen konvergenten Oberfilter ϕ , d.h. ∃x ∈ X : ϕ ⊇ U (x). Nun hat nach Voraussetzung U (x) ebenfalls eine abz¨ ahlbare Basis C := {Ci | i ∈ IN }. Wir bilden die abz¨ahlbare Basis k D := {Dk := j=1 Cj | k ∈ IN } von U (x) und erhalten, daß nun auch B ∪ D eine abz¨ ahlbare Filtersubbasis ist. Das bedeutet ∀k, i ∈ IN : Bi ∩ Dk = ∅. Wir k¨onnen also getrost i(0) := 0 und i(k) := min{i ∈ IN | xi ∈ Dk ∧ i > i(k − 1)} f¨ ur k > 0 definieren und sehen damit leicht ein, daß (xi(k) )k∈IN eine gegen x konvergierende Teilfolge von (xn )n∈IN ist. Folgenkompaktheit ist die wohl seltsamere unsrer beiden Variationen, denn w¨ahrend – wie man wohl erwarten m¨ ochte – jeder kompakte Raum nat¨ urlich abz¨ahlbar kompakt ist, braucht ein kompakter Raum keineswegs folgenkompakt zu sein.∗ Beispiel 5.1.23 Sei X := {0, 1} mit diskreter Topologie τd gew¨ahlt. Ferner sei I die Menge aller Teilfolgen der Folge (n)n∈IN . Da (X, τd ) kompakt ist, ist laut Tychonoff-Satz auch das Produkt i∈I (X, τd )i mit ∀i ∈ I : (X, τd )i := (X, τd ) kompakt. Es ist aber nicht folgenkompakt. Beweis: Die Elemente dieses Produktes sind Abbildungen von I nach {0, 1}. Wir definieren eine Folge (fn )n∈IN solcher Abbildungen: ⎧ ⎨ 0 ; n tritt nicht als Bild in der Folge i auf fn (i) := 0 ; n tritt in der Folge i bei geradem Index auf ⎩ 1 ; n tritt in der Folge i bei ungeradem Index auf ∗

Es scheitert daran, daß zwar jeder von einer Folge erzeugte Filter einen konvergenten Oberfilter haben muß – dieser aber keineswegs wieder von einer Folge erzeugbar zu sein braucht. Daher braucht eine Folge selbst in kompakten R¨ aumen nicht unbedingt konvergente Teilfolgen zu haben.

160

5 Kompaktheit

Angenommen, (fn )n∈IN h¨ atte eine konvergente Teilfolge (fkn )n∈IN , dann w¨are ja i0 := (kn )n∈IN ein Element von I. Folglich m¨ ußte gem¨aß 3.1.22 (mit einem kurzen gedanklichen Umweg u ¨ ber Elementarfilter) auch die kanonische Projektion pi0 ((fkn )) in (X, τd )i0 konvergieren. Nun kommen in i0 aber trivialerweise alle Bilder von i0 vor, und zwar alternierend mit geradem und ungeradem Index – mithin ist pi0 ((fkn )) die alternierende Folge in {0, 1}, die bei diskreter Topologie selbstverst¨andlich nicht konvergiert. Folglich kann (fn )n∈IN keine konvergente Teilfolge haben und unser Produkt ist somit zwar kompakt, aber eben nicht folgenkompakt.

5.2

Relative Kompaktheit

Definition 5.2.1 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt relativ kompakt ¨ in (X, τ ) genau dann, wenn jede offene Uberdeckung von X eine endliche
Teil¨ uberdeckung von A enth¨ alt. (Formaler ausgedr¨ uckt: wenn f¨ ur jedes O ⊆ τ aus O∈O O ⊇
n X stets ∃n ∈ IN, O1 , ..., On ∈ O : i=1 Oi ⊇ A folgt. Den uneinheitlichen Sprachgebrauch in der Literatur betreffend, wollen wir uns diesmal nicht mit einer Fußnote begn¨ ugen. Gerade in B¨ uchern und Artikeln, die sich nicht explizit mit allgemeiner Topologie befassen, sondern lediglich einige ihrer Ergebnisse anwenden, werden als relativ kompakt“ oft noch genau diejenigen Teilmengen eines ” topologischen Raumes bezeichnet, deren Abschluß kompakt ist. Das ist eine viel st¨arkere Eigenschaft als diejenige, die wir mit relativ kompakt meinen! Es d¨ urfte unmittelbar klar sein, daß jede kompakte Teilmenge auch relativ kompakt ist und daß jede Teilmenge einer relativ kompakten Teilmenge wiederum relativ kompakt ist. Insofern ist klar, daß alle Teilmengen, deren Abschluß kompakt ist, auch in unserem Sinne relativ kompakt sind. Wir werden aber ein Beispiel f¨ ur einen topologischen Raum und eine darin (in unserem Sinne) relativ kompakte Teilmenge angeben, die ¨ uberhaupt keine kompakte Obermenge in diesem Raum hat. Daf¨ ur ben¨otigen wir aber die bei Kompaktheitsbegriffen typische Charakterisierung durch Ultrafilter f¨ ur unsere relative Kompaktheit . Lemma 5.2.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X ist genau dann relativ kompakt in (X, τ ), wenn jeder Ultrafilter auf A gegen ein Element von X konvergiert. Beweis: Sei A ⊆ X eine relativ kompakte Teilmenge und ϕ ∈ F0 (A). Angenommen, ϕ w¨ urde gegen kein Element von X konvergieren. Dann g¨abe es f¨ ur alle x ∈ X eine offene . ¨ Umgebung Ox ∈ x ∩ τ mit Ox ∈ ϕ. Diese Ox bilden eine offene Uberdeckung von X, in der folglich eine endliche Teil¨ uberdeckung O , ..., O , n ∈ I N von A enthalten sein x x 1 n

muß. Wegen A ∈ ϕ folgt aus A ⊆ ni=1 Oxi freilich sofort ni=1 Oxi ∈ ϕ und daraus nach Lemma 1.4.5, daß bereits eines der Oxi Element von ϕ sein muß – im Widerspruch

5.2 Relative Kompaktheit

161

zur Wahl der Ox . Sei nun A ⊆ X eine Teilmenge derart, daß jeder Ultrafilter, der A enth¨alt, gegen ¨ ein Element von X konvergiert. Sei ferner O ⊆ τ eine offene Uberdeckung von X. Angenommen, O enthielte keine endliche Teil¨ u berdeckung von A. Dann w¨ a re B :=
{A \ O∈E O| E ⊆ O, E endlich } eine Filterbasis auf A und es g¨abe einen Ultrafilter ϕ auf A, der B umfaßt. Nach Voraussetzung m¨ ußte ϕ gegen ein Element x0 von X konvergieren, doch da auch x0 von einem Element O0 ∈ O u ¨ berdeckt wird, enth¨alt B ⊆ ϕ die Menge A \ O0 ⊆ X \ O0 – Widerspruch. Jetzt zum angek¨ undigten Beispiel 5.2.3: f¨ ur einen Hausdorff-Raum (X, τ ) mit einer relativ kompakten Teilmenge X1 , die keine kompakte Obermenge in X hat. Wir betrachten zun¨ achst die Menge X1 := IN mit diskreter Topologie τ1 . Dann definieren wir κ als den kofiniten Filter κ := {IN \ E| E ⊆ IN, E endlich}. Wir u ¨ berlegen uns schnell, daß κ unendlich viele verschiedene Oberultrafilter hat: Nach Satz 1.4.21 und Proposition 1.3.12 ist die Familie aller Ultrafilter auf IN echt m¨achtiger als IN , w¨ ahrend diejenigen Ultrafilter, die κ nicht umfassen notwendig Einpunktfilter sein m¨ ussen, von denen es auf IN aber nur abz¨ahlbar viele gibt.∗ F¨ ur jeden Oberultrafilter ϕ von κ bilden wir nun die Menge aϕ := {ϕ} und setzen X2 := {aϕ | ϕ ∈ F0 (κ)}.† Nun definieren wir X := X1 ∪ X2 und w¨ahlen als Topologie auf X die von der Basis  . (ϕ ∩ aϕ ) τ1 ∪ ϕ∈F0 (κ) .

erzeugte Topologie τ . (Dabei sind die auftretenden Filter aϕ , κ und ϕ ∈ F0 (κ) nat¨ urlich als auf X fortgesetzt aufzufassen!). Offene Basisumgebungen eines Elementes aϕ sind also jeweils die um den Punkt aϕ angereicherten Elemente von ϕ selbst. Nun ist (X, τ ) ein Hausdorff-Raum, in dem X1 relativ kompakt ist, aber keine kompakte Obermenge in X hat. Beweis: Zun¨ achst ist (X, τ ) Hausdorff’sch, denn haben wir x = y ∈ X, so k¨onnen ja nur folgende F¨ alle auftreten: ∗

†

In diesem speziellen Fall kann man sich freilich auch ohne Bezug auf den relativ aufwendig bewiesenen Satz 1.4.21 leicht u ur ¨ berlegen, daß κ unendliche viele Oberultrafilter hat: F¨ jedes n ∈ IN hat die Menge Zn aller derjenigen nat¨ urlichen Zahlen, die durch 2n , aber nicht durch 2n+1 teilbar sind, offenbar mit allen Elementen von κ einen nichtleeren Durchschnitt, folglich ist κ ∪ {Zn } stets eine Filtersubbasis und es gibt daher einen Oberultrafilter ψn von alt; f¨ ur m < n m¨ ussen dann aber auch ψm und ψn verschieden sein, da ψm κ, der Zn enth¨ wegen Zm ⊆ {k ∈ IN | 2m+1  |k} ⊆ IN \ {k ∈ IN | 2n |k} und Zn ⊆ {k ∈ IN | 2n |k} das Komplement eines Elementes von ψn enth¨ alt. Somit hat κ mindestens abz¨ ahlbar unendlich viele Oberultrafilter. Tats¨ achlich hat κ ja sogar u ahlbar viele Oberultrafilter, doch ¨berabz¨ das ist f¨ ur uns hier nicht wichtig. Nicht verwirren lassen: die hier festgelegte konkrete Gestalt der Elemente von X2 ist nicht so wichtig – entscheidend ist nur, daß jedem Oberultrafilter von κ eineindeutig ein Element von X2 entspricht.

162

5 Kompaktheit • x, y ∈ X1 – dann haben wir {x}, {y} ∈ τ • x ∈ X1 , y ∈ X2 – dann haben wir {x}, X \ {x} ∈ τ , weil die Oberultrafilter von κ die Komplemente aller einpunktigen Teilmengen von IN enthalten. • y ∈ X1 , x ∈ X2 – analog • x, y ∈ X2 , d.h. x = aϕ , y = aψ mit ϕ, ψ ∈ F0 (κ). Ist nun ϕ = ψ, so enth¨alt ϕ eine Teilmenge K von IN , die nicht Element von ψ ist – folglich enth¨alt ψ das Komplement IN \ K von K in IN . Dann haben wir freilich K ∪ {aϕ } ∈ τ und (IN \ K) ∪ {aψ } ∈ τ .

Es ist weiterhin schnell zu sehen, daß die Teilmenge X1 relativ kompakt in X ist: Jeder Ultrafilter ϕ auf X1 ist entweder ein Einpunktfilter (und konvergiert folglich gegen seinen erzeugenden Punkt) oder ein Oberultrafilter von κ – dann aber konvergiert er offensichtlich gegen sein aϕ ∈ X. Soll eine Menge M mit X1 ⊆ M ⊆ X kompakt sein, so m¨ ussen ja mindestens diejenigen Ultrafilter auf M , die auch X1 enthalten, innerhalb von M konvergieren. Weil (X, τ ) Hausdorff-Raum ist, folgt daraus, daß so eine Menge M alle aϕ , ϕ ∈ F0 (κ) enthalten muß, d.h. es muß M = X gelten. Freilich ist X selbst nicht kompakt: Da X2 unendlich ist, k¨ onnen wir den kofiniten Filter λ auf X2 durch die Basis {X2 \ E| E ⊆ X2 , E endlich} erzeugen. Dieser hat einen Oberultrafilter ψ, der nat¨ urlich kein Einpunktfilter sein kann. ψ konvergiert offensichtlich gegen kein Element von X1 , aber auch gegen ein Element aϕ von X2 kann ψ nicht konvergieren, denn jedes aϕ ∈ X2 hat offene Umgebungen, die genau ein Element von X2 enthalten (n¨amlich die Mengen K ∪ {aϕ } mit K ⊆ IN, K ∈ ϕ), w¨ ahrend jedes Element von ψ unendlich viele Elemente von X2 enth¨ alt. Jedes aϕ ∈ X2 hat also offene Umgebungen, die nicht Element von ψ sind. Es gilt aber: Lemma 5.2.4 Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, A ⊆ X eine relativ kompakte Teilmenge und ist A als Teilraum T3 , dann ist A kompakt. Beweis: Sei ϕ ein beliebiger Ultrafilter auf A und sei ψ der von der Basis ϕ ∩ τ erzeugte Filter. Wir wollen zun¨ achst zeigen, daß ∀P ∈ ψ : P ∩ A = ∅ gilt. Sei also P ∈ ψ. Da ϕ ∩ τ eine Basis f¨ ur ψ ist, haben wir also eine offene Menge G ∈ ϕ ∩ τ mit G ⊆ P . Da ϕ ein Oberfilter von ψ ist, der A enth¨ alt, folgt G ∩ A = ∅, also ∃x ∈ A : x ∈ G. Hieraus folgt aber sofort G ∩ A = ∅ nach Proposition 2.2.13(1) und folglich P ∩ A = ∅. Mithin ist ψ ∪ {A} eine Filtersubbasis, der davon erzeugte Filter sei χ. Ist nun ρ irgendein Oberultrafilter von χ, so enth¨alt er ebenfalls A und muß daher wegen der relativen Kompaktheit von A gegen ein Element x0 ∈ X konvergieren, daß damit freilich zu A geh¨ ort. Wir werden nun zeigen, daß auch unser urspr¨ unglicher Ultrafilter ϕ gegen x0 konvergiert.

5.2 Relative Kompaktheit

163

 Dazu beobachten wir zun¨ achst, daß aus χ ⊆ ρ und ρ → x0 sofort x0 ∈ B∈χ B folgt. Angenommen nun, es existierte ein P ∈ ϕ derart, daß x0 ∈ P ∩ A. Da A als Teilraum T3 ist, existieren dann offene Mengen U, V ∈ τ mit x0 ∈ U, P ∩ A ⊆ V und U ∩ V ∩ A = ∅. Daraus folgt nat¨ urlich P ∩ A ⊆ V und darum V ∈ ψ, also V ∩ A ∈ χ. Das liefert freilich wegen unserer obigen Beobachtung x0 ∈ V ∩ A, woraus wegen der Offenheit von U nach Proposition 2.2.13(1) wiederum U ∩ (V ∩ A) = ∅ folgt – im Widerspruch zur Wahl von U und V . Folglich muß unsre Annahme falsch sein und wir wissen jetzt, daß . ∀P ∈ ϕ : x0 ∈ P gilt. F¨ ur jede offene Umgebung U ∈ x0 ∩ τ gilt also nach Proposition 2.2.13(1) ∀P ∈ ϕ : U ∩ P = ∅, folglich X \ U ∈ ϕ, also U ∈ ϕ. Das bedeutet aber gerade ϕ → x0 .

Lemma 5.2.5 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, R eine relativ kompakte Teilmenge von X und f : X → Y eine stetige Funktion. Dann ist f (R) relativ kompakt in f (X). Beweis: Ist ψ ein Ultrafilter auf f (R), so existiert nach Lemma 1.4.14 ein Ultrafilter ϕ auf R mit f (ϕ) = ψ. Da R relativ kompakt in X ist, konvergiert ϕ gegen ein x ∈ X. Wegen der Stetigkeit von f konvergiert dann f (ϕ) = ψ gegen f (x) ∈ f (X). Nat¨ urlich ist damit f (R) erst recht relativ kompakt in Y . Auch f¨ ur relative Kompaktheit gilt ein Tychonoff-Satz:

Satz 5.2.6: Tychonoff-Satz f¨ ur relative Kompaktheit R¨aume. F¨ ur jedes i ∈ I sei Ri ⊆ Xi gegeSei (Xi , τi )i∈I eine Familie topologischer ben. Das Cartesische Produkt i∈I Ri ist genau dann relativ kompakt in i∈I (Xi , τi ), wenn f¨ ur jedes i ∈ I die Teilmenge Ri relativ kompakt in (Xi , τi ) ist. Beweis: F¨ ur jedes j ∈ I sei pj : i∈I Xi → Xj : pj ((xi )i∈I ) := xj die kanonische Projektion. Ist i∈I Ri relativ kompakt in i∈I Xi , so ist wegen der Stetigkeit der nat¨ urlichen Projektionen jedes Rj = pj ( i∈I Ri ) nach Lemma 5.2.5 relativ kompakt in Xj . Sei ur jedes i ∈ I. Ist nun ϕ ein Ultrafilter auf umgekehrt Ri relativ kompakt in Xi f¨ R , so ist f¨ u r jedes j ∈ I das Bild p j (ϕ) ein Ultrafilter auf Rj , konvergiert i∈I i also gegen ein xj ∈ Xj . Wegen Lemma 3.1.22 konvergiert dann ϕ gegen (xi )i∈I ∈ i∈I Xi , da ja die Produkttopologie initial bez¨ uglich der nat¨ urlichen Projektionen ist. ¨ Ubrigens gilt auch ein Analogon zum Alexander’schen Subbasissatz f¨ ur die relative Kompaktheit.

164

5 Kompaktheit

Satz 5.2.7 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, R ⊆ X und S eine Subbasis von τ . Genau dann ¨ ist R relativ kompakt in (X, τ ), wenn jede Uberdeckung von X mit Elementen aus S eine endliche Teil¨ uberdeckung von R enth¨alt. Beweis: Aufgabe7

5.2.1

Was haben kompakte Teilmengen, was relativ kompakte nicht haben?

Anhand von Lemma 5.2.2 und Korollar 5.1.4 ist unmittelbar klar, daß eine relativ kompakte und abgeschlossene Teilmenge automatisch kompakt ist. Andrerseits wissen wir, daß kompakte Teilmengen keineswegs abgeschlossen zu sein brauchen. Man kann sich also die Frage stellen, was genau denn eigentlich einer relativ kompakten Teilmenge zur Kompaktheit fehlt. Definition 5.2.8 Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt eine Teilmenge A ⊆ X schwach relativ vollst¨andig in (X, τ ) genau dann, wenn jeder Filter auf A, der gegen ein Element von X konvergiert, einen Oberfilter hat, der gegen ein Element von A konvergiert. Proposition 5.2.9 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Es gelten: (1) A ist genau dann schwach relativ vollst¨andig in X, wenn jeder Ultrafilter auf A, der in X konvergiert, auch in A konvergiert. (2) Ist A abgeschlossen, dann ist A schwach relativ vollst¨andig. (3) Ist A kompakt, dann ist A schwach relativ vollst¨andig. (4) Ist (X, τ ) Hausdorff-Raum, so ist jede schwach relativ vollst¨andige Teilmenge abgeschlossen. (5) A ist genau dann kompakt, wenn A relativ kompakt und schwach relativ vollst¨ andig ist. (6) Schwache relative Vollst¨ andigkeit ist transitiv, d.h. ist A schwach relativ vollst¨ andige Teilmenge in (B, τ|B ) und B schwach relativ vollst¨andig in (X, τ ), so ist auch A schwach relativ vollst¨andig in (X, τ ). Beweis: (1) Ist A schwach relativ vollst¨ andig und konvergiert ϕ ∈ F0 (A) gegen x ∈ X, so muß ϕ auch gegen ein a ∈ A konvergieren, weil ϕ außer sich selbst keine Oberfilter hat.

5.2 Relative Kompaktheit

165

Konvergiere umgekehrt jeder in X konvergente Ultrafilter auf A auch in A, so konvergiert mit einem Filter ϕ auf A auch jeder seiner Oberultrafilter gegen ein x ∈ X, daher gegen ein a ∈ A und ist somit ein wie in der Definition geforderter Oberfilter. (2) Ist A abgeschlossen und konvergiert ein Filter auf A gegen x ∈ X, so folgt x ∈ A. (3) Folgt unmittelbar aus (1) und 5.1.3. (4) Ist (X, τ ) Hausdorff’sch, A schwach relativ vollst¨andig und x ∈ A, so gilt ja ∃ϕ ∈ F(A) : ϕ → x, woraus wegen der schwachen relativen Vollst¨andigkeit ∃ϕ ∈ F(A) : ϕ ⊇ ϕ ∧ ϕ → a ∈ A folgt. Wegen ϕ ⊇ ϕ gilt dann aber auch ϕ → x und folglich wegen der Eindeutigkeit der Filterkonvergenz in Hausdorff-R¨aumen x = a. Das liefert A = A. (5) Aus Kompaktheit folgt trivialerweise relative Kompaktheit und nach (3) auch schwache relative Vollst¨ andigkeit. Ist A andrerseits relativ kompakt, so konvergiert jeder Ultrafilter auf A gegen ein Element von X und daher laut (1) auch gegen ein Element von A wegen der schwachen relativen Vollst¨ andigkeit. (6) Sei A schwach relativ vollst¨ andig in B und B schwach relativ vollst¨andig in X und konvergiere ϕ ∈ F0 (A) gegen x ∈ X. Da ϕ auch Ultrafilter auf B ist, folgt mit (1) ∃b ∈ B : ϕ → b aus der schwachen relativen Vollst¨andigkeit von B in X und hieraus ∃a ∈ A : ϕ → a wegen der schwachen relativen Vollst¨andigkeit von A in B. Wegen der Punkte (2) und (3) in Proposition 5.2.9 ist schwache relative Vollst¨andigkeit also eine gemeinsame Verallgemeinerung von Kompaktheit und Abgeschlossenheit f¨ ur Teilmengen eines topologischen Raumes. Da k¨onnte die Idee aufkommen, wom¨oglich sei jede schwach relativ vollst¨ andige Teilmenge abgeschlossen oder kompakt. Dies ist nicht der Fall: Sei X := IR ∪ {i} mit i ∈ IR, τe sei die euklidische Topologie auf IR und . τ := τe ∪ {U ∪ {i}| U ∈ 0 ∩ τe }. Dann ist die Teilmenge (0, ∞) ∪ {i} schwach relativ vollst¨ andig in X, aber weder kompakt noch abgeschlossen.

Lemma 5.2.10 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und P ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (1) P ist schwach relativ vollst¨ andig in X. ¨ (2) F¨ ur jede offene Uberdeckung A ⊆ τ von P und jedes Element x ∈ X exi. stiert eine offene Umgebung Ux,A ∈ x ∩ τ von x derart, daß A eine endliche Teil¨ uberdeckung von Ux,A ∩ P enth¨alt.

166

5 Kompaktheit ¨ ¨ (3) F¨ ur jede offene Uberdeckung A ⊆ τ von P existiert eine offene Uberdeckung  A von X derart, daß der Durchschnitt O ∩ P jedes Elementes O von A mit P bereits mit endlich vielen Elementen von A u ¨ berdeckt werden kann.


Beweis: (1)⇒(2): Sei A ⊆ τ mit A∈A A ⊇ P gegeben. F¨ ur jedes x ∈ P k¨onnen wir ” dann ein einzelnes Ax ∈ A mit x ∈ Ax w¨ ahlen, dessen Durchschnitt mit P von Ax selbst u ¨ berdeckt wird. Sei also x ∈ X \ P . Angenommen, es g¨alte .

∀U ∈ x ∩ τ : ∀n ∈ IN, A1 , ..., An ∈ A : P ∩ U ⊆

n 

Ai

i=1


n . Dann w¨ are B := {(U ∩P )\ i=1 Ai | U ∈ x∩τ, n ∈ IN, Ai ∈ A} abgeschlossen gegen¨ uber endlichen Durchschnitten und enthielte die leere Menge nicht. Folglich existierte ein Ultrafilter ϕ auf P mit ϕ ⊇ B. Nach Konstruktion von B folgt sofort ϕ → x, so daß es wegen der schwachen relativen Vollst¨ andigkeit von P auch ein p ∈ P geben muß mit . ¨ ϕ → p, also p ∩ τ ⊆ ϕ. Nun ist freilich A eine offene Uberdeckung von P , so daß ein A ∈ A existiert mit p ∈ A und folglich A ∈ ϕ – im Widerspruch zur Konstruktion von B ⊆ ϕ, der zufolge ϕ das Komplement von A enth¨alt. (2)⇒(3): W¨ ahle A := A ∪ {Ux,A | x ∈ X \ P }. ” (3)⇒(1): Sei ϕ ein Ultrafilter auf P mit ϕ → x ∈ X. Angenommen, es g¨abe kein p ∈ P . ” mit ϕ → p. Dann h¨ atten wir ∀p ∈ P : ∃Up ∈ p ∩ τ : X \ Up ∈ ϕ. Offensichtlich ist dann ¨ von P . Nach (3) existiert also eine offene A := {Up | p ∈ P } eine offene Uberdeckung
 ¨ Uberdeckung A von X mit ∀O ∈ A : ∃n ∈ IN, Up1 , ..., Upn ∈ A : O ∩ P ⊆ ni=1 Upi . Aus ϕ → x folgt nun freilich ∃Ox ∈ A : x ∈ Ox ∈ ϕ (speziell bedeutet das auch ∅ = Ox ∩
P ∈ ϕ), so daß laut
(3) also n ∈ IN, Up1 , ..., Upn ∈ A existieren mit n n Ox ∩ P ⊆ i=1 Upi und folglich i=1 Upi ∈ ϕ. Da ϕ Ultrafilter ist, muß dann aber auch ein i ∈ {1, ..., n} existieren mit Upi ∈ ϕ – im Widerspruch zur Konstruktion von A.

5.2.2

Eine abz¨ahlbare Anwendung Theoretisch kann man das auch praktisch anwenden. Ingo Steinke

Wir entwickeln hier kurz eine Fassung des sogenannten Weierstraß-Satzes (den man z.B. in der Variationsrechnung gern benutzt), deren Voraussetzung in Hinblick auf eine Kompaktheitseigenschaft einer gewissen Menge schw¨acher ist als in der anwendungs” orientierten“ Literatur u ¨blich.

5.2 Relative Kompaktheit

167

Definition 5.2.11 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt relativ abz¨ahlbar ¨ kompakt in (X, τ ) genau dann, wenn jede abz¨ahlbare offene Uberdeckung von X eine endliche Teil¨ uberdeckung von A enth¨ alt. Ganz ¨ ahnlich wie die abz¨ ahlbare Kompaktheit und die relative Kompaktheit k¨onnen wir auch die relative abz¨ ahlbare Kompaktheit durch Filterkonvergenz beschreiben. Lemma 5.2.12 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, A ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (1) A ist relativ abz¨ ahlbar kompakt. (2) Jeder Filter auf A, der eine abz¨ ahlbare Basis besitzt, hat einen Oberfilter, der gegen ein Element von X konvergiert. Beweis: Aufgabe8 Nat¨ urlich ist jede abz¨ ahlbar kompakte Teilmenge auch relativ abz¨ahlbar kompakt, eine relativ abz¨ ahlbar kompakte und schwach relativ vollst¨andige Teilmenge ist abz¨ahlbar kompakt und jede Teilmenge einer relativ abz¨ahlbar kompakten Teilmenge ist wiederum relativ abz¨ ahlbar kompakt in X. Auch das Bild einer relativ abz¨ahlbar kompakten Teilmenge unter einer stetigen Funktion f : X → Y ist relativ abz¨ahlbar kompakt in f (X), wie man sich leicht u ¨berlegt. Wir wissen, daß eine Funktion f von (X, τ ) nach (Y, σ) genau dann stetig ist, wenn f¨ ur eine Subbasis S von σ gilt ∀S ∈ S : f −1 (S) ∈ τ . F¨ ur IR mit euklidischer Topologie haben wir speziell die Subbasis {(a, +∞), (−∞, a)|a ∈ IR}, also ist eine Funktion f : X → IR genau dann stetig, wenn ∀a ∈ IR : f −1 ((a, +∞)) ∈ τ ∧ f −1 ((−∞, a)) ∈ τ gilt. F¨ ur einen topologischen Raum (X, τ ) heißt eine Funktion f : X → IR unterhalbstetig genau dann, wenn ∀a ∈ IR : f −1 ((a, +∞)) = {x ∈ X|a < f (x)} ∈ τ . Sie heißt oberhalbstetig genau dann, wenn ∀a ∈ IR : f −1 ((−∞, a)) = {x ∈ X|f (x) < a} ∈ τ . Gilt eines von beiden, heißt die Funktion halbstetig. Im allgemeinen k¨ onnen wir Unterhalb- und Oberhalbstetigkeit v¨ollig analog betrachten – wir beschr¨ anken uns daher auf unterhalbstetige Funktionen. Ein Satz von Z. Frolik, [37], besagt, daß ein Hausdorff-Raum (X, τ ) genau dann abz¨ahlbar kompakt ist, wenn jede unterhalbstetige reellwertige Funktion auf X nach unten beschr¨ ankt ist. F¨ ur relative abz¨ ahlbare Kompaktheit finden wir:

168

5 Kompaktheit

Satz 5.2.13 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent (1) A ist relativ abz¨ ahlbar kompakt in X. (2) Jede unterhalbstetige reellwertige Funktion auf X ist auf A nach unten beschr¨ ankt. Beweis: (1)⇒(2): Sei f : X → IR unterhalbstetig. Offenbar ist Z := {(z, +∞)|z ∈ ZZ } ¨ ¨ eine abz¨ ahlbare offene Uberdeckung von IR, also f −1 (Z) eine abz¨ahlbare offene Uberdeckung von X. Daher existiert eine endliche Teil¨ uberdeckung {f −1 ((z1 , ∞)), · · · , f −1 ((zn , ∞))} von A. F¨ ur z0 := min1≤i≤n zi enth¨alt die Menge f −1 ((z0 , ∞)) die anderen an der endlichen Teil¨ uberdeckung beteiligten Mengen, also auch A. Mithin ist f (A) durch z0 nach unten beschr¨ankt. ¨ ahlbare offene Uberdeckung von X. Wir setzen (2)⇒(1):
Sei B := {Bi |i ∈ IN } eine abz¨ Cn := ni=1 Bi und erkl¨ aren f : X → IR via f (C1 ) := {−1}, f (Cn+1 \Cn ) := {−(n + 1)} f¨ ur n ≥ 2. Nun ist f offenbar unterhalbstetig auf X, also auf A nach unten beschr¨ankt
laut (2). Folglich ∃k ∈ IN : ∀a ∈ A : f (a) ≥ −k =⇒ A ⊆ Ck = ki=1 Bi . Trivialerweise ist ein topologischer Raum genau dann abz¨ahlbar kompakt, wenn er relativ abz¨ ahlbar kompakt in sich selbst ist. Somit folgt Froliks Satz aus dem obigen. Nun k¨ onnen wir eine allgemeine Fassung des Fundamentalsatzes der direkten Metho” den in der Variationsrechnung“ angeben. Satz 5.2.14 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, f : X → IR (oder f : X → IR ∪ {∞}) eine unterhalbstetige Funktion. Wenn ein λ ∈ IR existiert mit (1) Aλ := {x ∈ X|f (x) ≤ λ} = ∅ und ahlbar kompakt in X. (2) Aλ ist relativ abz¨ dann hat f einen minimierenden Punkt x0 in X, d.h. ∃x0 ∈ X : f (x0 ) := inf f (x) . x∈X

Beweis: Nach Satz 5.2.13 ist f auf Aλ nach unten beschr¨ankt, nach Konstruktion von Aλ folglich auch auf X. Daher existiert r := inf x∈Aλ f (x) = inf x∈X f (x). Angenommen, es g¨ alte ∀x ∈ X : f (x) > r. Dann w¨are B := {(r + n1 , ∞)| n ∈ IN + } ¨ eine abz¨ ahlbare Uberdeckung von f (X) mit Elementen der die Unterhalbstetigkeit

5.3 Lokale Kompaktheit

169

definierenden Subbasis

auf IR, so  daß just wegen der Unterhalbstetigkeit von f al¨ so f −1 (B) := {f −1 (r + n1 , ∞) | n ∈ IN + } eine offene Uberdeckung von X sein m¨ ußte. Dann aber existierte nach Voraussetzung (2) eine endliche Teil¨ uberdeckung     f −1 (r + n11 , ∞) , ..., f −1 (r + n1k , ∞) und wir f¨anden mit n0 := maxi=1,...,k ni sofort f (Aλ ) ⊆ (r +

1 n0 , ∞)

im Widerspruch zu r = inf x∈Aλ f (x).

Die verschiedenen Versionen, wie sie etwa in [34], [36] oder [49] angegeben werden, folgen allesamt leicht aus dieser hier. Es ist f¨ ur die G¨ ultigkeit des Satzes 5.2.14 u ¨ brigens unerheblich, ob wir in der Definition der Menge Aλ in Bedingung (1) f (x) ≤ λ“ oder f (x) < λ“ einsetzen. ” ”

5.3

Lokale Kompaktheit Problematisch wird es, wenn echte virtuelle Menschen vernetzte ” K¨ uchenger¨ ate betreiben.“ mutmaßlicher Soziologe am Nebentisch im Heumond“ ”

Man kann nicht immer alles haben: so ist selbst der extrem gutartige Raum IRn mit euklidischer Topologie eben nicht kompakt, abz¨ahlbar kompakt oder ¨ahnliches.∗ Trotzdem hat er ziemlich tolle Eigenschaften – sogar in Hinblick auf Kompaktheit: wenn wir uns auf kleine Teile“ zur¨ uckziehen. ” Definition 5.3.1 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt lokal kompakt genau dann, wenn jeder Umgebungsfilter in (X, τ ) eine Basis aus kompakten Teilmengen hat.

Da im IRn (mit euklidischer Topologie) z.B. die abgeschlossenen beschr¨ankten ε-Umgebungen eines Punktes kompakt sind und offensichtlich eine Basis des Umgebungsfilters bilden, ist IRn mit euklidischer Topologie offenbar lokal kompakt. Freilich wollen wir bemerken, daß auch jeder diskrete Raum lokal kompakt ist – wir d¨ urfen also in Hinblick auf globale Eigenschaften lokal kompakter R¨ aume (wie etwa Existenz globaler Extrema reellwertiger Funktionen) nicht allzuviel erwarten. Dennoch ist lokale Kompaktheit eine Eigenschaft von nicht zu untersch¨ atzender Bedeutung, wie wir fr¨ uher oder sp¨ater sehen werden. Wir geben eine zuweilen ebenfalls gebr¨auchliche Abschw¨achung des Begriffes gleich mit an: ∗

Na gut, ein Lindel¨ of-Raum ist er.

170

5 Kompaktheit

Definition 5.3.2 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt schwach lokal kompakt genau dann, wenn jedes Element von X eine kompakte Umgebung hat. ur Hausdorff-R¨ aume stimmen diese Begriffe freilich u F¨ ur T3 - und f¨ ¨ berein: Proposition 5.3.3 Jeder schwach lokal kompakte Hausdorff-Raum ist regul¨ar. Beweis: Sei (X, τ ) ein schwach lokal kompakter Hausdorff-Raum und x ∈ X gegeben. Dann wissen wir, daß x eine kompakte Umgebung hat, d.h. es existiert eine offene Menge U ∈ τ und eine kompakte Teilmenge K ⊆ X mit x ∈ U ⊆ K. Nun ist K auch als Teilraum kompakt und Hausdorff’sch, also laut Satz 5.1.14 sogar normal und damit (als normaler T1 -Raum) auch regul¨ ar. Folglich hat der Umgebungsfilter von x im Teilraum K eine Basis aus abgeschlossenen Teilmengen, die wegen U ⊆ K und U ∈ U (x) konsequenterweise auch Basis von U (x) ist. Da dies f¨ ur alle x ∈ X gilt, ist (X, τ ) nach Lemma 4.4.2 ein T3 -Raum.

Proposition 5.3.4 Ein T3 -Raum (X, τ ) ist genau dann lokal kompakt, wenn er schwach lokal kompakt ist. Beweis: Daß ein lokal kompakter Raum stets auch schwach lokal kompakt ist, gilt trivial. Sei also (X, τ ) ein schwach lokal kompakter T3 -Raum und x ∈ X gegeben. Dann existieren wiederum U ∈ τ und eine kompakte Teilmenge K ⊆ X mit x ∈ U ⊆ K. Laut Lemma 4.4.2 hat der Umgebungsfilter U (x) eine Basis aus abgeschlossenen Umgebungen, von denen all diejenigen, die unterhalb von U (und damit unterhalb von K) liegen, nat¨ urlich wiederum eine Basis f¨ ur U (x) bilden. Diese Mengen sind als abgeschlossene Teilmengen der kompakten Menge K aber selbst auch kompakt, so daß wir eine Basis aus kompakten Teilmengen haben.

Proposition 5.3.5 Ein Hausdorff-Raum ist genau dann lokal kompakt, wenn er schwach lokal kompakt ist. Beweis: Kombiniere Proposition 5.3.3 mit Proposition 5.3.4.

5.3 Lokale Kompaktheit

171

Bemerkung: Viele Autoren definieren lokale Kompaktheit so, wie wir hier schwache lokale Kompaktheit definiert haben – und betrachten dann ausschließlich HausdorffR¨ aume, in denen diese beiden Begriffe ja u ¨ bereinstimmen. Es scheint mir – im Interesse von Allgemeing¨ ultigkeit der Ergebnisse und einheitlicher Behandlung lokaler Eigenschaften – jedoch ratsam, die beiden Varianten zu unterscheiden, wie es auch Willard in [50] tut. Man wird im allgemeinen nicht erwarten d¨ urfen, daß stetige Bilder lokalkompakter R¨ aume wieder lokalkompakt sind. / Beispiel: Wir betrachten die Menge Q der rationalen Zahlen mit euklidischer Topo/ / logie τe . Dann ist (Q , τe ) nicht lokal kompakt.∗ Freilich ist Q mit diskreter Topologie τd (wie jeder diskrete Raum) trivialerweise lokal kompakt: jeder Umgebungsfilter hat eine Basis aus einer einpunktigen und darum kompakten Menge. Nun ist freilich die / , τ ) → (Q / , τ ) stetig und sogar bijektiv. identische Abbildung 11Q/ : (Q d e

Es gilt aber: Lemma 5.3.6 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und f : X → Y eine stetige, offene und surjektive Funktion. Ist nun (X, τ ) lokal kompakt, dann auch (Y, σ). Beweis: Sei y ∈ Y gegeben. Dann existiert wegen der Surjektivit¨at von f ein x ∈ X . . mit f (x) = y. Da f stetig ist, folgt ∀V ∈ y ∩ σ : f −1 (V ) ∈ x ∩ τ und folglich wegen der lokalen Kompaktheit von (X, τ ) auch ∃U ∈ τ, K kompakt: x ∈ U ⊆ K ⊆ f −1 (V ) und somit auch y ∈ f (U ) ⊆ f (K) ⊆ V . Wegen der Offenheit von f ist dabei f (U ) ∈ σ und wegen der Stetigkeit von f ist f (K) kompakt. Mithin finden wir unterhalb jeder offenen Umgebung von y auch eine kompakte Umgebung von y, also bilden die kompakten Umgebungen eine Basis des Umgebungsfilters. / , τ ) ebenfalls ablesen k¨ Wie wir am Beispiel (Q onnen, brauchen Unterr¨aume lokal kome pakter R¨ aume nicht unbedingt lokal kompakt zu sein. Immerhin gilt das aber f¨ ur offene und f¨ ur abgeschlossene Unterr¨ aume.

Lemma 5.3.7 Sei (X, τ ) ein lokal kompakter topologischer Raum. (1) Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X, so ist (A, τ|A ) lokal kompakt. ∗

/ Man muß sich nur u ja f¨ ur ¨ berlegen, daß eine kompakte Umgebung eines Elementes r ∈ Q / umfassen muß. Darauf gibt es aber allerhand irgendein ε > 0 die Umgebung (r −ε, r +ε)∩ Q / u Ultrafilter (sogar schon Folgen!), die in Q ¨ berhaupt nicht konvergieren, dieweil sie in IR gegen irrationale Zahlen konvergieren.

172

5 Kompaktheit (2) Ist O ∈ τ , so ist (O, τ|O ) lokal kompakt.

Beweis: (1) Sei A ⊆ X abgeschlossen und a ∈ A. Dann hat der Umgebungsfilter von a in X eine Basis aus kompakten Teilmengen von X. F¨ ur jede kompakte Umgebung U von a in X ist dann U ∩ A eine Umgebung von a in A und zudem als abgeschlossene Teilmenge (weil A abgeschlossen ist) der kompakten Menge U kompakt. Weil die Familie aller derartigen U ∩ A offensichtlich eine Basis des Umgebungsfilters von a in A bildet, ist A als Teilraum lokal kompakt. (2) Sei O ∈ τ und x ∈ O. Da jede offene Umgebung von x in O auch offene Umgebung von x in X ist, w¨ ahlen wir als Basis des Umgebungsfilters in O einfach die Familie aller derjenigen kompakten Umgebungen von x in X, die unterhalb von O liegen.

Satz 5.3.8

Das Produkt i∈I (Xi , τi ) einer Familie (Xi , τi )i∈I topologischer R¨aume ist genau dann lokal kompakt, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I lokal kompakt sind und h¨ochstens endlich viele der (Xi , τi ) nicht kompakt sind.

ur n ∈ IN, I1 := {i1 , ..., in } seien Beweis: Seien alle (Xi , τi ), i ∈ I lokal kompakt und f¨ auch alle (Xi , τi ), i ∈ I \ I1 kompakt. Ist nun x ∈ i∈I (Xi , τi ) und U := i∈I Oi mit Oi ∈ τi , i ∈ I \ I2 : Oi = Xi eine offene Basisumgebung von x, so gibt es f¨ ur j ∈ I1 ∪ I2 zu pj (x) kompakte Umgebungen Uj ⊆ Xj mit Uj ⊆ Oj f¨ ur j ∈ I2 . Dann ist i∈I Ci mit Ci := Xi , i ∈ I \ (I1 ∪ I2 ) und Ci := Ui f¨ ur i ∈ I1 ∪ I2 eine kompakte Umgebung von x, die unterhalb von U liegt. Sei umgekehrt i∈I (Xi , τi ) lokal kompakt. Da alle kanonischen Projektionen pj :



Xi → Xj : pj ((Xi )i∈I ) := xj

i∈I

f¨ ur j ∈ I stetig, offen und surjektiv ussen laut Lemma 5.3.6 alle (Xi , τi ), i ∈ I, sind, m¨ lokal kompakt sein. Ist nun x ∈ i∈I (Xi , τi ) und U eine kompakte Umgebung von x, dann m¨ ussen nat¨ urlich alle pi (U ), i ∈ I, kompakt sein, da alle pi stetig sind. Weil aber U eine offene Umgebung von x umfaßt, muß dann auch pi (U ) = Xi f¨ ur alle bis auf h¨ ochstens endlich viele i ∈ I gelten.

Satz 5.3.9 Ist (Xi , τi )i∈I eine Familie topologischer R¨aume, so ist ihr Summenraum genau dann lokal kompakt, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, lokal kompakt sind. Beweis: Aufgabe9

5.3 Lokale Kompaktheit

173

Satz 5.3.10: Satz von Baire Sei (X, τ ) ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und (Dn )n∈IN + eine Folge offener  dichter Teilmengen von X. Dann ist D := n∈IN + Dn dicht in X. Beweis: Sei ∅ = O ∈ τ . Wir definieren induktiv eine Folge offener Mengen. Dazu setzen wir O0 := O. Sei On bereits definiert. Weil Dn+1 dicht in X ist, haben wir ∅ = Dn+1 ∩ On und weil sowohl On als auch Dn+1 offen sind, ist auch Dn+1 ∩ On offen. Wegen der lokalen Kompaktheit von (X, τ ) existiert folglich eine kompakte Umgebung Kn+1 eines Punktes x ∈ Dn+1 ∩ On mit Kn+1 ⊆ Dn+1 ∩ On . Weil Kn+1 Umgebung von x ist, gilt On+1 := int(Kn+1 ) = ∅ und wir finden On+1 ⊆ Kn+1 = Kn+1 ⊆ Dn+1 ∩On . (Weil Kn+1 als kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes abgeschlossen ist.) Zudem ist On+1 als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge wiederum kompakt. Wir erhalten also eine Folge nichtleerer offener Mengen (On )n∈IN derart, daß ∀n ∈ IN + : On ⊆ Dn ∩ On−1 gilt und alle On abgeschlossene Teilmengen der kompakten Menge O1 sind. Offenbar haben wegen ∀n ∈ IN + : ∀i ∈ IN, i < n : ∅ = On ⊆ Oi je endlich viele Glieder der Folge (On )n∈IN + einen nichtleeren Durchschnitt. Da es sich dabei s¨ amtlich um abgeschlossene  Teilmengen der kompakten Menge O1 handelt, muß laut Lemma 5.1.3(4) auch ∅ = n∈IN + On gelten. Weil ferner O1 ⊆ D1 ∩ O und ∀n ∈ IN + : On⊆ Dn nach Konstruktion unsrer Folge gelten, erhalten wir ∅ = n∈IN + On ⊆ O ∩ n∈IN + Dn = O ∩ D, also O ∩ D = ∅. Da dies f¨ ur jede offene Menge ∅ = O ∈ τ gilt, liegt D dicht in X. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht, d.h. aus dem Umstand daß jeder abz¨ahlbare Durchschnitt offener dichter Teilmengen eines topologischen Raumes wieder dicht ist, k¨ onnen wir nicht auf lokale Kompaktheit schließen. Topologische R¨ aume, in denen jeder abz¨ ahlbare Durchschnitt offener dichter Teilmengen wieder dicht ist, werden auch Baire’sche R¨aume genannt.

5.3.1

Ein Abschweif: E-erzeugte R¨aume

Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und E eine Eigenschaft, die f¨ ur Teilmengen von (X, τ ) definiert ist. Irgendeine Abh¨ angigkeit dieser Eigenschaft E von der unterliegenden Topologie ist nicht erforderlich. (So mag E etwa Abz¨ahlbarkeit oder Endlichkeit meinen ... gleichwohl erscheinen mir topologisch definierte Eigenschaften zweifellos interessanter.) Die Familie aller Teilmengen von X mit der Eigenschaft E bez¨ uglich τ bezeichnen wir mit E(X, τ ).∗ ∗

Wenngleich eine Abh¨ angigkeit der Eigenschaft E von τ nicht gefordert ist, bleibt sie doch zul¨ assig und so wird τ eben als Parameter ber¨ ucksichtigt. Etwas pr¨ aziser: so ein E ist eine

174

5 Kompaktheit

Definition 5.3.11 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt E-erzeugt genau dann, wenn ∀A ⊆ X :

(∀E ∈ E(X, τ ) : A ∩ E ∈ τ|E )

⇒

A∈τ .

Offensichtlich k¨ onnen E-erzeugte R¨ aume dual durch abgeschlossene Teilmengen beschrieben werden: ein topologischer Raum (X, τ ) ist E-erzeugt genau dann, wenn eine Teilmenge A von X mit abgeschlossenem Durchschnitt A ∩ E (bez¨ uglich τ|E ) f¨ ur alle E ∈ E(X, τ ) abgeschlossen in (X, τ ) ist. Ist mit E Kompaktheit gemeint, so bezeichnet man die E-erzeugten R¨aume auch als kompakt erzeugt bzw. als k-R¨ aume.

Definition 5.3.12 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt schwach lokaler E-Raum genau dann, wenn jedes Element von X eine τ -Umgebung mit der Eigenschaft E hat, d.h. ∀x ∈ X : U (x) ∩ E(X, τ ) = ∅ . Bemerkung: (X, τ ) heißt lokaler E-Raum genau dann, wenn jeder Umgebungsfilter eine Basis in E(X, τ ) hat – ganz analog zur lokalen Kompaktheit, die offensichtlich einen Spezialfall hiervon bildet. Nat¨ urlich ist generell jeder lokale E-Raum ein schwach lokaler E-Raum. Lemma 5.3.13 Jeder schwach lokale E-Raum ist E-erzeugt. Beweis: Sei (X, τ ) schwach lokaler E-Raum und A ⊆ X mit ∀E ∈ E(X, τ ) : A∩E ∈ τ|E gegeben. Sei a ∈ A beliebig aber fest gew¨ ahlt. Wegen der schwachen E-Lokalit¨at von (X, τ ) existiert ein E ∈ E(X, τ ) ∩ U (a). Nun ist laut Voraussetzung A ∩ E ∈ τ|E , d.h. ∃O ∈ τ : A ∩ E = O ∩ E. Wegen a ∈ A ∩ E = O ∩ E haben wir nun auch O ∈ U (a) und folglich O ∩ E = A ∩ E ∈ U (a). Wegen der Abgeschlossenheit von Filtern gegen Obermengenbildung folgt A ∈ U (a). Weil dies f¨ ur alle a ∈ A gilt, folgt mit Lemma 2.2.4 sogleich A ∈ τ . Eine bei k-R¨ aumen gern benutzte Charakterisierung stetiger Funktionen gilt ebenso ganz allgemein f¨ ur E-erzeugte R¨ aume: Abbildung der Klasse aller topologischen R¨ aume in die Klasse aller Mengen, die der Bedingung gen¨ ugt, daß f¨ ur jeden topologischen Raum (X, τ ) das Bild E (X, τ ) eine Teilmenge von P(X) ist.

5.3 Lokale Kompaktheit

175

Lemma 5.3.14 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, (X, τ ) sei E-erzeugt und f ∈ Y X . Genau dann ist f stetig, wenn alle Einschr¨ ankungen f|E von f auf Elemente E ∈ E(X, τ ) stetig sind. Beweis: Daß alle Einschr¨ ankungen stetig sind, sobald f stetig ist, folgt trivial aus Korollar 2.2.38. Sei also f ∈ Y X derart gegeben, daß f¨ ur jedes E ∈ E(X, τ ) die Einschr¨ankung −1 f|E stetig ist. F¨ ur V ∈ σ haben wir dann ∀E ∈ E(X, τ ) : f|E (V ) = f −1 (V ) ∩ E ∈ τ|E −1 und folglich wegen der E-Erzeugtheit von (X, τ ) sofort f (V ) ∈ τ .

Satz 5.3.15 Die Eigenschaft E werde von stetigen Abbildungen bewahrt.∗ Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, (X, τ ) sei E-erzeugt und f : X → Y eine Quotientenabbildung. Dann ist auch (Y, σ) E-erzeugt. Beweis: Sei H ⊆ Y mit ∀K ∈ E(Y, σ) : H ∩ K ∈ σ|K . Da f eine Quotientenabbildung ist, ist H offen in Y , wenn f −1 (H) offen in X ist. Sei E ∈ E(X, τ ), also auch f (E) ∈ E(Y, σ) und folglich f (E) ∩ H ∈ σ|f (E) . Weil f stetig −1 (f (E) ∩ H) ∈ τ|E . Freilich ist, ist auch die Einschr¨ ankung f|E stetig, also haben wir f|E −1 −1 (f (E)) = E und wir finden somit f|E (f (E) ∩ H) = E ∩ f −1 (H) ∈ τ|E . Dies gilt ja f|E gilt f¨ ur alle E ∈ E(X, τ ), also ist f −1 (H) offen im E-erzeugten Raum (X, τ ), mithin ist H offen in Y und folglich ist (Y, σ) ebenfalls E-erzeugt.

Definition 5.3.16 Eine Eigenschaft E heißt innertopologisch genau dann, wenn f¨ ur jeden topologischen Raum (X, τ ) gilt ∀A ⊆ X :

A ∈ E(X, τ )

⇐⇒

A ∈ E(A, τ|A ) .

Beispielsweise ist Kompaktheit eine innertopologische Eigenschaft† – aber auch Abz¨ahlbarkeit ist eine. Relative Kompaktheit beispielsweise ist nicht innertopologisch. ∗ †

D.h. f¨ ur je zwei topologische R¨ aume (X, τ ), (Y, σ) und jede stetige Abbildung f : X → Y gilt ∀E ∈ E (X, τ ) : f (E) ∈ E (Y, σ). Streng genommen m¨ ußten wir hier nat¨ urlich wieder von derjenigen Abbildung der Klasse aller topologischen R¨ aume in die Klasse aller Mengen reden, die jedem topologischen Raum die Menge seiner kompakten Teilmengen zuordnet. Das ist aber ebenso unbequem wie hier auch unn¨ otig.

176

5 Kompaktheit

Satz 5.3.17 Sei E eine innertopologische Eigenschaft und (X, τ ) ein topologischer Raum mit  X= E. (5.1) E∈E(X,τ )

Wenn (X, τ ) ein E-erzeugter Raum ist, dann ist (X, τ ) Quotientenraum eines schwach lokalen E-Raumes. Beweis: Wir konstruieren direkt einen schwach lokalen E-Raum, der (X, τ ) als einen Quotientenraum hat. Dazu bilden wir erstmal den Summenraum:  Z := ({E} × E) E∈E(X,τ )

mit der zugeh¨ origen Topologie τZ : U ∈ τZ :⇔ ∀E ∈ E(X, τ ) : ∃O ∈ τ|E : U ∩ ({E} × E) = {E} × O . ∼ ({E} × E, τZ| Weil E innertopologisch ist und offenbar (E, τ|E ) = ) f¨ ur alle E ∈ {E}×E E(X, τ ) gilt, haben wir ∀E ∈ E(X, τ ) : {E} × E ∈ E(Z, τZ ). Offenbar ist (Z, τZ ) somit ein schwach lokaler E-Raum (beachte, daß alle {E} × E in Z offen sind!), folglich laut Lemma 5.3.13 auch E-erzeugt. Daher ist die Abbildung g : Z → X : g(E, x) := x offen und nat¨ urlich stetig. Wegen (5.1) ist g zudem surjektiv, also eine Quotientenabbildung (siehe Proposition 3.1.14, Seite 112) und offensichtlich ist just (X, τ ) der Quotientenraum von (Z, τZ ) bez¨ uglich g. Aus Lemma 5.3.13 und den S¨ atzen 5.3.15, 5.3.17 erhalten wir nun eine Verallgemeinerung eines Satzes von D. E. Cohen u ¨ber k-R¨aume: Korollar 5.3.18 Sei E eine innertopologische Eigenschaft, die von stetigen Abbildungen bewahrt wird, und sei (X, τ ) ein topologischer Raum, der (5.1) erf¨ ullt. (X, τ ) ist E-erzeugt genau dann, wenn (X, τ ) Quotientenraum eines schwach lokalen E-Raumes ist. Eine Anmerkung u ¨ber E-Erweiterungen. Was, wenn ein topologischer Raum (X, τ ) nun nicht E-erzeugt ist? Nat¨ urlich ist f¨ ur jede offene Menge O ∈ τ und jedes E ∈ E(X, τ ) auch O ∩ E offen in (E, τ|E ) – die Spurtopologie ist ja gerade so erkl¨ art. Andrerseits mag es Teilmengen A ⊆ X geben, f¨ ur die alle Durchschnitte mit Elementen von E(X, τ ) offen in der jeweiligen Spurtopologie sind,

5.3 Lokale Kompaktheit

177

die aber selbst trotzdem nicht offen in (X, τ ) sind. Dann k¨onnen wir unsre Topologie τ nat¨ urlich einfach um diese Mengen erweitern:

τ E := {A ⊆ X|∀E ∈ E(X, τ ) : A ∩ E ∈ τ|E } . achlich eine Topologie auf X ist. Wir nennen sie Es ist leicht nachzurechnen, daß τ E tats¨ die E-Erweiterung von τ . Da wir nun aber die Topologie ver¨andert haben, m¨ ussen wir darauf gefaßt sein, daß sich auch bei den E-Mengen etwas getan hat. Wir interessieren uns nun kurz einmal daf¨ ur, ob E(X, τ ) = E(X, τ E ) gilt. Lemma 5.3.19 Ist E eine innertopologische Eigenschaft und (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum, so gilt E(X, τ E ) = E(X, τ ). Beweis: Weil E innertopologisch ist, haben wir A ∈ E(X, τ ) ⇐⇒ A ∈ E(A, τ|A ) E E ), wegen τ|A = τ|A , ⇐⇒ A ∈ E(A, τ|A E ⇐⇒ A ∈ E(X, τ ) wiederum deshalb, weil E innertopologisch ist. Gleichwohl folgt aus E(X, τ ) = E(X, τ E ) nicht, daß E innertopologisch ist:

Beispiel 5.3.20 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, τ E die E-Erweiterung von τ , wobei E relative Kompaktheit in X meint. Eine Teilmenge R ⊆ X ist genau dann relativ kompakt in (X, τ E ), wenn sie in (X, τ ) relativ kompakt ist. Beweis: Wegen τ ⊆ τ E ist erstmal jede bez¨ uglich (X, τ E ) relativ kompakte Teilmenge auch relativ kompakt bez¨ uglich (X, τ ). Sei also R ⊆ X relativ kompakt bez¨ uglich (X, τ ), also .

∀ϕ ∈ F0 (R) : ∃x ∈ X : x ∩ τ ⊆ ϕ .

(5.2)

Ist nun ψ ein beliebiger Ultrafilter auf R, so wollen wir zeigen, daß er bez¨ uglich τ E gegen ein x ∈ X konvergiert. Nach (5.2) wissen wir jedenfalls .

∃x0 ∈ X : ψ ⊇ x0 ∩ τ . .

(5.3)

Sei nun U ∈ x0 ∩ τ E eine beliebige offene Umgebung von x0 bez¨ uglich τ E . Wir setzen   R := R ∪ {x0 } und bedenken, daß mit R auch R relativ kompakt in (X, τ ) ist. Folglich

178

5 Kompaktheit

muß nach Definition der E-Erweiterung ∅ = {x0 } ⊆ R ∩ U ∈ τ|R gelten. Dann aber existiert U  ∈ τ mit R ∩ U  = R ∩ U , so daß wegen (5.3) sogleich U  ∈ ψ folgt. Nun ist aber auch R als Obermenge von R Element von ψ, also auch R ∩ U = R ∩ U  ∈ ψ und .

.

τE

damit U ∈ ψ. Da dies f¨ ur alle U ∈ x0 ∩ τ E gilt, haben wir ψ ⊇ x0 ∩ τ E , also ψ → x0 . Solches wiederum finden wir f¨ ur jeden Ultrafilter auf R, also ist R relativ kompakt bez¨ uglich (X, τ E ).

5.3.2

Ein Ausblick: Funktionenr¨aume

¨ Wir driften hier ein ganz klein wenig ins Kompliziertere – unter der Uberschrift Aus” blick“ darf man das ... ;-) Bereits im Abschnitt u aume hatten wir uns kurz mit einem Funktio¨ber metrische R¨ nenraum besch¨ aftigt, d.h. mit einer Menge von Funktionen zwischen zwei metrischen R¨ aumen, auf der wir eine Struktur erkl¨ art hatten – n¨amlich die punktweise Konvergenz. Wir hatten gesehen, daß die punktweise Konvergenz sich jedenfalls nicht durch eine Metrik beschreiben ließ. Inzwischen f¨ allt es uns leicht, eine Topologie anzugeben, durch die die punktweise Konvergenz beschrieben wird – sogar dann, wenn der Bildraum kein metrischer, sondern ein topologischer Raum ist. Nun ist die punktweise Konvergenz – wen wundert’s – nicht die einzig m¨ogliche Konvergenzstruktur auf Mengen von Funktionen. Wir erkl¨aren hier sogleich eine wichtige Klasse von Topologien auf Mengen von Funktionen zwischen topologischen R¨aumen. Die Mengen-offenen Topologien. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und H ⊆ Y X eine Menge von Funktionen von X nach Y . Sind ferner A ⊆ X und B ⊆ Y Teilmengen von X bzw. Y , so bezeichnen wir mit (A, B)H := {f ∈ H| f (A) ⊆ B} die Teilmenge aller derjenigen Elemente von H, f¨ ur die alle Bilder von Elementen aus A in B liegen. Besteht u ¨ ber die Wahl von H kein Zweifel, wird H als Index auch gern weggelassen und wir schreiben einfach (A, B). Definition 5.3.21 Sei X eine Menge, A ⊆ P(X) eine Familie von Teilmengen von X und (Y, σ) ein topologischer Raum. Dann nennen wir die von der Subbasis {(A, O)| A ∈ A, O ∈ σ} erzeugte Topologie auf Y X (oder irgendeiner Teilmenge davon) die von A erzeugte Mengen-offene Topologie oder kurz A-offene Topologie. Wir bezeichnen diese Topologie mit τA .

5.3 Lokale Kompaktheit

179

Es ist leicht zu sehen, daß wir hier als Spezialfall unter anderem wieder diejenige Topologie erhalten, die die punktweise Konvergenz beschreibt: wir w¨ahlen als A einfach die Familie aller einpunktigen (oder aller endlichen) Teilmengen von X. Man nennt diese Topologie auch Topologie der punktweisen Konvergenz und bezeichnet sie schlicht mit τp , wenn klar ist, um welche Urbild- und Bildr¨aume es sich handelt. Es ist in der Definition ja gut erkennbar, daß X keineswegs ein topologischer Raum sein muß – besonders interessant sind gleichwohl meist die F¨alle, in denen die Urbildmenge X eben doch mit einer Topologie versehen ist. Eine herausragende Rolle spielt dann diejenige Mengen-offene Topologie, die wir erhalten, wenn wir f¨ ur A die Familie aller kompakten Teilmengen von X w¨ ahlen. Die so erzeugte Topologie heißt auch kompaktoffene Topologie und wird meist mit τco bezeichnet. Mit F(X)A bezeichnen wir die Menge aller derjenigen Filter auf X, die eine Basis aus Elementen von A ⊆ P(X) haben. (Diese Filter nennen wir auch A-erzeugt. In dem wichtigen Spezialfall, daß mit A die Familie aller kompakten Teilmengen eines topologischen Raumes gemeint ist, nennen wir die Filter mit einer Basis aus kompakten Mengen auch kompakt erzeugt.) Lemma 5.3.22 Sei X eine Menge und (Y, σ) ein topologischer Raum. Ferner sei A ⊆ P(X), F ∈ F(Y X ) und f ∈ Y X . Dann gilt τ

A F −→ f ⇐⇒ ∀ϕ ∈ F(X)A : F (ϕ) ⊇ f (ϕ) ∩ σ .

τ

A Beweis: Sei F −→ f und ϕ ∈ F(X)A gegeben. F¨ ur jedes W ∈ f (ϕ) ∩ σ existiert ein P ∈ ϕ ∩ A mit f (P ) ⊆ W , da ja ϕ ∈ F(X)A gilt. Daraus folgt f ∈ (P, W ) ∈ τA und τA darum wegen F −→ f auch (P, W ) ∈ F . Aus P ∈ ϕ und (P, W ) ∈ F folgt nun sofort W ∈ F (ϕ). Wenn umgekehrt ∀ϕ ∈ F(X)A : F (ϕ) ⊇ f (ϕ) ∩ σ gilt und f ∈ (A, O) mit A ∈ A und O ∈ σ ist, so w¨ ahlen wir den Hauptfilter [A] f¨ ur ϕ und erhalten ∃F ∈ F : F (A) ⊆ O, woraus sofort (A, O) ∈ F folgt. Dieses f¨ ur alle A ∈ A und O ∈ σ mit f ∈ (A, O) ergibt τA nun F −→ f.

Nun ist die Zeit f¨ ur eine schockierende Mitteilung reif: Topologische R¨aume sind nicht das Ende der Geschichte! ¨ Ahnlich wie etwa die punktweise Konvergenz sich nicht durch eine Metrik beschreiben l¨ aßt, findet man – gerade bei der Besch¨ aftigung mit Konvergenz auf Funktionenmengen – naheliegende und wichtige Konvergenzstrukturen, die sich im allgemeinen nichtmal durch eine Topologie beschreiben lassen. Was ist denn nun schon wieder eine ’Konvergenzstruktur’, h¨a?“, begehrt das Publikum ” zu wissen – und da antworte ich:

180

5 Kompaktheit

Definition 5.3.23 Ein verallgemeinerter Konvergenzraum ist ein geordnetes Paar (X, q) aus einer Menge X und einer Relation q ⊆ F(X) × X zwischen Filtern auf X und Elementen von X. Man nennt q dann auch eine verallgemeinerte Konvergenzstruktur oder schlicht (verallgemeinerte) Konvergenz auf X. Gilt (ϕ, x) ∈ q so sagt man auch, der Filter ϕ q konvergiert (bez¨ uglich q) gegen x und schreibt zuweilen ϕ → x daf¨ ur. Das W¨ ortchen verallgemeinert“ tritt in der Definition deshalb auf, weil man sich in ” den allermeisten F¨ allen mit solchen Konvergenzstrukturen befaßt, die noch ein paar erfreulichen Zusatzbedingungen gen¨ ugen∗ – nur manchmal kann man deren G¨ ultigkeit eben nicht absichern und muß daher noch weiter verallgemeinern, n¨amlich so, wie es die obige Definition beschreibt. Ist z.B. (X, τ ) ein topologischer Raum, so erhalten wir in naheliegender Weise eine Konvergenzstruktur .

qτ := {(ϕ, x) ∈ F(X) × X| ϕ ⊇ x ∩ τ } τ

onnen wir nun die ¨ aquivalente Formulierung (ϕ, x) ∈ qτ schreiben. auf X. Statt ϕ → x k¨ Die stetige Konvergenz. Wir kommen nun zu einer sehr wichtigen, doch im allgemeinen nicht durch eine Topologie beschreibbaren Konvergenz. Definition 5.3.24 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume. Dann nennen wir die Relation qc := {(F , f ) ∈ F(Y X ) × Y X | ∀(ϕ, x) ∈ qτ : (F (ϕ), f (x)) ∈ qσ } die Struktur der stetigen Konvergenz auf Y X . F¨ ur (F , f ) ∈ qc sagen wir auch F ” c konvergiert stetig gegen f“ und schreiben zuweilen F → f . Etwas aufgebr¨ oselt und ent-technisiert besagt unsre Definition, daß ein Filter F auf der τ Funktionenmenge Y X genau dann stetig gegen f ∈ Y X konvergiert, wenn aus ϕ → x σ stets F (ϕ) → f (x) folgt. ∗

Beispielsweise m¨ ochte man doch hoffen d¨ urfen, daß wenigstens die Einpunktfilter gegen ihre erzeugenden Punkte konvergieren. Auch ist es sch¨ on, sich darauf verlassen zu k¨ onnen, daß jeder Oberfilter eines konvergenten Filters ϕ mindestens gegen diejenigen Punkte konvergiert, gegen die auch ϕ schon konvergiert. Sind beide W¨ unsche in einem verallgemeinerten Konvergenzraum (X, q) erf¨ ullt, so ehren wir ihn dadurch, daß wir das W¨ ortchen verallge” meinert“ weglassen und ihn in aller Freundlichkeit nur als Konvergenzraum“ anreden. ”

5.3 Lokale Kompaktheit

181 .

Wenn wir erwarten wollen, daß wenigstens die Einpunktfilter f auf unsrem Funktionenraum stetig gegen ihr erzeugendes Element f konvergieren, stellt sich anhand obiger Definition ganz schnell heraus, daß dieses f dann eine stetige Funktion von X nach Y sein muß.∗ Es wird also vern¨ unftig sein, unsere Betrachtungen auf die Menge C(X, Y ) aller stetigen Funktionen von X nach Y einzuschr¨anken. (Die Struktur der stetigen Konvergenz auf C(X, Y ) erhalten wir dann einfach als Spur der oben definierten Relation qc auf F(C(X, Y )) × C(X, Y ) oder ganz einfach dadurch, daß wir in Definition 5.3.24 den Term Y X durch C(X, Y ) ersetzen.) Doch auch auf C(X, Y ) muß sich stetige Konvergenz nicht notwendig durch eine Topologie beschreiben lassen.

Beispiel 5.3.25: daf¨ ur, daß die stetige Konvergenz auf C(X, Y ) nicht immer durch eine Topologie beschrieben werden kann: Sei X := IR und τ := τe ∪ P(IR \ {0}), wobei τe die euklidische Topologie meint. Weiterhin sei Y := {0, 1} mit σ := {∅, {0}, Y } der Sierpinski-Raum. Dann gibt es keine Topologie, die die stetige Konvergenz auf C((X, τ ), (Y, σ)) beschreibt. Beweis: In topologischen R¨ aumen gilt trivialerweise, daß ein beliebiger Durchschnitt von Filtern, die allesamt gegen ein und dasselbe Element konvergieren, ebenfalls gegen dieses Element konvergiert. Wir geben nun eine Menge von Filtern auf C((X, τ ), (Y, σ)) derart an, daß diese Filter allesamt stetig gegen ein und dieselbe stetige Funktion konvergieren, ihr Durchschnitt aber nicht. Sei zun¨ achst  f0 : X → Y : f0 (x) :=

0 ; x ∈ (−1, 1) 1 ; x ∈ (−1, 1)

die charakteristische Funktion von X \ (−1, 1), wobei (−1, 1) das (euklidisch) offene Intervall {x ∈ IR| − 1 < x < 1} ist. f0 ist offensichtlich stetig. . F¨ ur jede offene Menge U ∈ τ ∩ 0 mit 0 ∈ U ⊆ (−1, 1) und jede endliche Menge E ⊆ (−1, 1) \ U setzen wir nun AE U := {g ∈ C(X, Y )| ∀x ∈ U ∪ E : g(x) = 0} E Wegen f0 ∈ AE ur endliche MenU haben wir stets AU = ∅ und wir sehen leicht, daß f¨ E1 E2 E1 ∪E2 gilt. Folglich ist die Familie gen E1 , E2 ⊆ (−1, 1) \ U stets AU ∩ AU = AU {AE ur jedes feste U eine Filterbasis; der erzeugte Filter U | E ⊆ (−1, 1) \ U, E endlich} f¨ heiße jeweils FU . c

ur alle x ∈ X F¨ ur jedes U ∈ τ mit 0 ∈ U ⊆ (−1, 1) zeigen wir FU → f0 , indem wir f¨ τ σ und alle ψ ∈ F(X) mit ψ → x nachrechnen, daß FU (ψ) → f0 (x) gilt: ∗

So l¨ aßt sich z.B. der Name stetige“ Konvergenz auch motivieren. ”

182

5 Kompaktheit • F¨ ur x ∈ (−1, 1) ist nichts zu rechnen, da schlichtweg jeder Filter in (Y, σ) gegen f0 (x) = 1 konvergiert. • Seien x ∈ (−1, 1) und ψ → x gegeben. F¨ ur x = 0 folgt U ∈ ψ und wir erhalten ur x = 0 und x ∈ U haben wir analog wegen A∅U ∈ FU sofort {0} ∈ FU (ψ). F¨ ur x ∈ (−1, 1) \ U {x} ∈ ψ und mit A∅U ∈ FU folgt ebenfalls {0} ∈ FU (ψ). F¨ {x} haben wir gleichfalls {x} ∈ ψ und finden mit AU wiederum {0} ∈ FU (ψ).

Nun sei F :=



FU .

U ∈τ,0∈U ⊆(−1,1)

Wir wollen zeigen, daß F nicht stetig gegen f0 konvergiert. Dazu w¨ahlen wir uns den Umgebungsfilter U (0) von 0 in (X, τ ) aus – das ist derselbe wie in der euklidischen Topologie, wie aus der Definition von τ hervorgeht. Sei U ein beliebiges Element von U (0) und A ein beliebiges Element von F . • Ist U ⊆ (−1, 1), so haben wir sofort A(U ) = {0, 1} wegen f0 ∈ A, 0 ∈ U und f0 (0) = 0 sowie ∀x ∈ IR \ (−1, 1) : f0 (x) = 1. • Ist U ⊆ (−1, 1), so umfaßt U nach Definition von τ eine ε-Umgebung von 0 im Sinne der euklidischen Metrik und es existiert die echt kleinere offene 2ε Umgebung U1 ∈ τe ⊆ τ : 0 ∈ U1 ⊂ U , die unendlich viele Elemente von U nicht enth¨ alt. Zudem ist FU1 an dem F konstituierenden Durchschnitt beteiligt, folglich gilt A ∈ FU1 . Daher existiert nach Konstruktion von FU1 eine endliche Menge E ⊆ (−1, 1) \ U1 mit AE U1 ⊆ A. Da E endlich ist, U \ (U1 ∪ E) aber sicher nicht, existiert x0 ∈ U \ (U1 ∪ E) und die Funktion  g : X → Y : g(x) :=

0 ; x = x0 1 ; x = x0

ist zweifellos stetig und Element von AE U1 ⊆ A. Das liefert wiederum A(U ) = {0, 1}. Wir erhalten also ∀A ∈ F , U ∈ U (0) : A(U ) = {0, 1} und damit F (U (0)) = [Y ], freilich konvergiert der triviale Hauptfilter [Y ] nicht gegen 0 = f0 (0). Da also ein Durchschnitt von s¨ amtlich stetig gegen f0 konvergierenden Filtern nicht stetig gegen f0 konvergiert, kann die stetige Konvergenz auf unsrem C(X, Y ) nicht durch eine Topologie beschrieben werden. Zumindest k¨ onnen wir jedoch einige Mengen-offene Topologien mit der stetigen Konvergenz vergleichen“, d.h. wir vergleichen nat¨ urlich die von der betreffenden Topologie ” induzierte Konvergenzstruktur mit der Struktur der stetigen Konvergenz.

5.3 Lokale Kompaktheit

183

Lemma 5.3.26 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und A eine Familie kompakter Teilmengen von X. Dann gilt qc ⊆ qτA auf Y X . Beweis: Sei (F , f ) ∈ qc . Wir haben zu zeigen, daß F auch im Sinne der A-offenen Topologie τA gegen f konvergiert, d.h. daß f¨ ur alle A ∈ A und O ∈ σ aus f ∈ (A, O) stets (A, O) ∈ F folgt. Seien also A ∈ A und O ∈ σ mit f ∈ (A, O) gegeben. . F¨ ur jedes x ∈ A haben wir f (x) ∈ O; wegen (F , f ) ∈ qc muß ja F (U (x)) ⊇ f (x) ∩ σ  O . gelten. Daher existieren ein Ux ∈ x ∩ τ und ein Fx ∈ F mit Fx (Ux ) ⊆ O. Wegen der Kompaktheit von A gibt es
n nunter allen Ux , x ∈ A nun endlich viele Ux1 , ..., Uxn mit A ⊆ i=1 Uxi . Mit F := i=1 Fxi ∈ F finden wir dann aber F (A) ⊆ O, also auch (A, O) ∈ F .

Lemma 5.3.27 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und E eine Eigenschaft, die f¨ ur Teilmengen topologischer R¨ aume definiert ist. Ist (X, τ ) ein lokaler E-Raum, so gilt mit A := E(X, τ ) stets qτA ⊆ qc auf C(X, Y ). Beweis: Sei (F , f ) ∈ qτA gegeben. Wir haben zu zeigen, daß F dann auch stetig gegen f konvergiert, d.h. daß f¨ ur alle Filter ϕ auf X, die gegen einen Punkt x ∈ X konvergieren, stets F (ϕ) ⊇ f (x) ∩ σ gilt. Sei also ϕ ∈ F(X) mit ϕ → x ∈ X gegeben. Das bedeutet ja ϕ ⊇ U (x). Nun ist U (x) wegen der E-Lokalit¨ at von (X, τ ) aber ein E(X, τ )-erzeugter Filter, mithin folgt aus (F , f ) ∈ qτA nach Proposition 5.3.22 sofort F (ϕ) ⊇ F (U (x)) ⊇ f (U (x)) ∩ σ und wegen . der Stetigkeit von f haben wir f (U (x)) ∩ σ ⊇ f (x) ∩ σ. Folglich gilt F (ϕ) → f (x). Da dies f¨ ur alle (ϕ, x) ∈ qτ gilt, erhalten wir (F , f ) ∈ qc . Hier nun der Grund, warum dieser kleine Ausblick auf die Welt der Funktionenr¨aume im Abschnitt u ¨ ber lokale Kompaktheit untergebracht ist.

Korollar 5.3.28 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume. Ist (X, τ ) lokal kompakt, so stimmt die stetige Konvergenz auf C(X, Y ) mit der von der kompakt-offenen Topologie τco induzierten Konvergenz qτco u ¨berein.

Insbesondere bedeutet dies, daß die stetige Konvergenz bei lokal kompaktem Urbildraum durch eine Topologie beschrieben wird. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, d.h.

184

5 Kompaktheit

man kann aus dem Umstand, daß die stetige Konvergenz durch eine Topologie beschrieben werden kann, noch nicht schließen, daß (X, τ ) lokal kompakt sein m¨ usse.∗ Unter gar nichtmal allzu starken Zusatzbedingungen freilich ist ein solcher Schluß durchaus m¨ oglich – man kann das z.B. in [20] nachlesen. Eine Verallgemeinerung der Mengen-offenen Topologien und wieder ein Vergleich mit stetiger Konvergenz. Wir hatten mit Lemma 5.3.22 schon eine recht h¨ ubsche Beschreibung des Konvergenzverhaltens von Filtern bez¨ uglich Mengen-offener Topologien gefunden. Dort trat eine Bedingung f¨ ur A-erzeugte Filter auf, wobei A diejenige Mengenfamilie ist, die unsre jeweilige Mengen-offene Topologie τA definiert. Wie w¨are es nun, auf den Umweg u ¨ber Mengenfamilien A einfach zu verzichten und eine Konvergenzstruktur z.B. auf der Menge C(X, Y ) aller stetigen Funktionen zwischen zwei topologischen R¨aumen direkt durch Bezugnahme auf irgendeine Familie von Filtern – ansonsten freilich analog zu Lemma 5.3.22 – zu erkl¨ aren? Wir probieren das gleich mal aus: Definition 5.3.29 ˜ ⊆ F(X) irgendeine Familie von Filtern Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume und A auf X. Dann nennen wir die durch ˜ : F (ϕ) ⊇ f (ϕ) ∩ σ} qA˜ := {(F , f ) ∈ F(C(X, Y )) × C(X, Y )| ∀ϕ ∈ A ˜ auf C(X, Y ) definierte Konvergenzstruktur die A-stetige Konvergenz. Wegen Lemma 5.3.22 stimmt die von einer Mengen-offenen Topologie τA auf C(X, Y ) induzierte Konvergenz qτA mit der entsprechenden F(X)A -stetigen Konvergenz u ¨ berein. ˜ Um einige interessante Vergleiche A-stetiger Konvergenzen mit der stetigen Konvergenz gewinnen zu k¨ onnen, k¨ ummern wir uns zun¨achst ein wenig um eine Eigenschaft von gewissen Filtern auf topologischen R¨ aumen. Definition 5.3.30 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Ein Filter ϕ ∈ F(X) heißt kompaktoid genau dann, wenn ∀ϕ0 ∈ F0 (ϕ), P ∈ ϕ : ∃x ∈ P : ϕ0 → x gilt, d.h. wenn jeder Oberultrafilter von ϕ auf jedem Element von ϕ konvergiert. Die Menge aller kompaktoiden Filter auf X bez¨ uglich τ bezeichnen wir mit C(X, τ ). ∗

So ist z.B. bei einelementigem Y ja auch der Funktionenraum C(X, Y ) einelementig und es gibt darauf folglich u ¨ berhaupt nur eine einzige (nichtleere) Konvergenzstruktur“. Daraus ” kann man selbstverst¨ andlich ganz & gar nichts (X, τ ) betreffendes schließen.

5.3 Lokale Kompaktheit

185

Offensichtlich sind z.B. kompakt erzeugte Filter sowie die Umgebungsfilter einzelner Elemente eines topologischen Raumes stets kompaktoid. Aufgabe10 Zeige: Ist (X, τ ) ein topologischer Raum und ϕ ein Filter auf X, so sind ¨aquivalent: (1) ϕ ist kompaktoid. (2) In jeder Familie offener Mengen, deren Vereinigung Element von ϕ ist, existiert eine endliche Teilfamilie, deren Vereinigung ebenfalls Element von ϕ ist.

Proposition 5.3.31 Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, f : X → Y eine stetige Funktion und ϕ ∈ C(X, τ ). Dann gilt auch f (ϕ) ∈ C(Y, σ). Beweis: Sei ψ ∈ F0 (f (ϕ)). Nach Lemma 1.4.14 existiert ein Oberultrafilter ϕ0 von ϕ mit f (ϕ0 ) = ψ. Da ϕ kompaktoid ist, konvergiert ϕ0 auf jedem Element von ϕ, so daß wegen der Stetigkeit von f wiederum ψ = f (ϕ0 ) auf jedem Element von f (ϕ) konvergiert.

Lemma 5.3.32 ˜ ⊆ F(X) gegeben und bezeichne qc die Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische R¨ aume, A Struktur der stetigen Konvergenz auf C(X, Y ). ˜ kompaktoid, d.h. A ˜ ⊆ C(X, τ ), so gilt qc ⊆ q ˜ . (1) Sind alle Elemente von A A ˜ alle Umgebungsfilter von Elementen aus X enth¨alt, d.h. {U (x)| x ∈ (2) Falls A ˜ dann gilt q ˜ ⊆ qc . X} ⊆ A, A ˜ ⊆ C(X, τ ), dann gilt q ˜ = qc . (3) Falls {U (x)| x ∈ X} ⊆ A A ˜ und V ∈ f (ϕ) ∩ σ. Ist weiterhin ψ0 irgendein Beweis: (1) Sei (F , f ) ∈ qc , ϕ ∈ A Oberultrafilter von F (ϕ), so existieren nach Korollar 1.4.16 Ultrafilter ϕ0 ⊇ ϕ und F0 ⊇ F mit F0 (ϕ0 ) ⊆ ψ0 . Nun haben wir f −1 (V ) ∈ ϕ und ϕ ist kompaktoid, also ∃x0 ∈ f −1 (V ) : ϕ0 → x0 . Das impliziert F0 (ϕ0 ) → f (x0 ), da ja F und folglich auch F0 nach Voraussetzung stetig gegen f konvergiert. Unser vorgegebenes V ist freilich eine offene Umgebung von f (x0 ), daher haben wir V ∈ F0 (ϕ0 ) ⊆ ψ0 . Da dies f¨ ur alle Oberultrafilter ψ0 von F (ϕ) gilt, folgt V ∈ F (ϕ) und weil dieses wiederum f¨ ur alle V ∈ f (ϕ) ∩ σ gilt, haben wir F (ϕ) ⊇ f (ϕ) ∩ σ, also (F , f ) ∈ qA˜ .

186

5 Kompaktheit

(2) Ist (F , f ) ∈ qA˜ und (ϕ, x) ∈ qτ , so haben wir ja ϕ ⊇ U (x) und folglich F (ϕ) ⊇ ˜ Konvergenz von F gegen f und {U (x)| x ∈ F (U (x)) ⊇ f (U (x))∩σ wegen der A-stetigen ˜ (nach Proposition 5.3.22). Aus der Stetigkeit von f folgt weiterhin f (U (x)) ⊇ X} ⊆ A . . . f (x) ∩ σ, also F (ϕ) ⊇ f (x) ∩ σ ∩ σ = f (x) ∩ σ und daher (F (ϕ), f (x)) ∈ qσ . Da solches f¨ ur alle (ϕ, x) ∈ qτ gilt, haben wir (F , f ) ∈ qc . (3) Folgt unmittelbar aus (1) und (2).

5.4

Kompaktifizierungen Saying that cultural objects have value is like saying that telephones have conversations. Brian Eno

Es scheint ein der menschlichen Natur“ innewohnendes Verlangen zu bestehen, denken ” zu d¨ urfen, daß eine heftige Konzentration (von Verstand, Macht oder Motten ...) immer auch ein Ziel haben m¨ usse. So sollten also wenigstens maximal konzentrierte“ Filter, ” also unsre Ultrafilter, unbedingt konvergieren. Und wenn nicht, werden sie eben dazu gen¨ otigt. Kompaktheit, soviel d¨ urfte inzwischen jedenfalls klar geworden sein, ist eine ziemlich famose Eigenschaft. Manchmal ist es recht bedauerlich, daß dieser oder jener topologische Raum nicht kompakt ist. Dann k¨ onnten wir uns freilich bem¨ uhen, ihn kompakt ” zu machen“. Dabei wollen wir lieber nicht allzusehr an seiner Topologie herumspielen, sondern eher zusehen, daß wir vielleicht einen kompakten Raum finden, der unsren nicht so kompakten als Unterraum hat. Unter einer Kompaktifizierung“ wollen wir eine stetige, offene und injektive Abbil” dung eines topologischen Raumes (X, τ ) in einen kompakten Raum (Y, σ) verstehen. Dabei soll (Y, σ) nicht u ¨ bertrieben groß werden – wir wollen ja eigentlich doch nur den urspr¨ unglichen Raum (X, τ ) untersuchen, versprechen uns freilich ein paar technische Vorteile, wenn wir ihn in einem kompakten Raum unterbringen. Ist nun f : X → Y so eine stetige, offene und injektive Abbildung in den kompakten Raum (Y, σ), so ist nat¨ urlich auch schon f (X) als abgeschlossene Teilmenge von Y kompakt und es ist nicht wirklich n¨ otig, den ganzen – m¨ oglicherweise sehr viel gr¨oßeren und reich ornamentierten – Raum (Y, σ) zu betrachten, wenn wir nur mal eben (X, τ ) als Teilraum irgendeines kompakten Raumes sehen wollten. Es ist also vern¨ unftig, von einer Kompaktifizierung zu erwarten, daß sie unsren Raum (X, τ ) stetig, offen und injektiv auf einen dichten Teilraum des kompakten Raumes (Y, σ) abbildet.

5.4 Kompaktif izierungen

187

Zuweilen nennen wir u ¨brigens statt der Abbildung auch einen kompakten Raum (Y, σ), der eine zu (X, τ ) hom¨ oomorphe dichte Teilmenge enth¨ alt, eine Kompaktifizierung von (X, τ ). Eine brutale Variante der Kompaktifizierung, die u ¨ blicherweise allenfalls zur Konstruktion einfacher Gegenbeispiele bei gar zu waghalsigen Vermutungen∗ taugt, k¨onnte man als Campingplatz-Kompaktifizierung“ beschreiben: ” Wir erkl¨aren alle Filter zu Motten und stellen ein Licht auf, zu dem sie dann alle konvergieren m¨ ussen. Pr¨ aziser: Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum. Sei ferner ♥ ein Element irgendeiner Obermenge von X, das nicht Element von X ist.† Dann bilden wir X  := X ∪ {♥} und τ  := τ ∪ {X  }. Somit ist X  die einzige Umgebung von ♥ und nat¨ urlich ist X   Element jedes Filters – insbesondere jedes Ultrafilters – auf X , so daß diese allesamt gegen ♥ konvergieren. Folglich ist (X  , τ  ) kompakt, es gilt X ⊆ X  und X = X  . Zudem ist die kanonische Injektion i : X → X  : i(x) := x trivialerweise stetig, offen und injektiv. Wir haben es also mit einer Kompaktifizierung zu tun – wenn auch mit einer zumeist wohl herzlich unbrauchbaren: So haben wir uns beispielsweise damit so ziemlich aller Trennungseigenschaften beraubt, die (X, τ ) m¨oglicherweise gehabt haben mag: von T1 bis T4 funktioniert in (X  , τ  ) meist einfach gar nichts mehr.‡ Wir m¨ ussen uns schon ein bißchen mehr M¨ uhe geben. Aufgabe11 Gib ein Beispiel f¨ ur einen lokalkompakten Raum (X, τ ) mit einer kompakten Teilmenge K ⊆ X an, die als Teilraum (K, τ|K ) nicht lokalkompakt ist.

5.4.1

Alexandroff-Kompaktifizierung

Andrerseits ist die Idee gar nicht so schlecht, sparsam beim Hinzuf¨ ugen von Elementen zu sein und erstmal zu probieren, ob wir nicht mit einem einzigen neuen Element auskommen k¨onnen. Es m¨ ussen ja nicht gleich alle Filter gezwungen werden, dagegen zu konvergieren – es w¨ urde doch schon reichen, wenn’s diejenigen Ultrafilter tun, die bislang noch nicht konvergieren. ∗

† ‡

So k¨ onnen wir damit z.B. leicht einen kompakten (und damit schwach lokal kompakten) Raum angeben, der nicht lokal kompakt ist, indem wir das Verfahren auf die mit euklidischer / Topologie versehene Menge Q anwenden. So etwas gibt es stets: z.B. die Menge X selbst. T0 klappt nat¨ urlich, falls (X, τ ) ein T0 -Raum war. T3 und T4 funktionieren nur, wenn (X, τ ) indiskret (und damit ja selbst schon kompakt) ist. Ein T1 - oder gar T2 -Raum wird unser (X  , τ  ) bei nichtleerem X nie.

188

5 Kompaktheit

Definition 5.4.1 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Sei ∞ Element irgendeiner Obermenge von X, das nicht Element von X ist.∗ Sei ferner X ∗ := X ∪ {∞} und τ ∗ := τ ∪ {X ∗ \ A| A ⊆ X, A abgeschlossen und kompakt in (X, τ )} . Dann nennen wir (X ∗ , τ ∗ ) die Alexandroff ’sche Einpunkt-Kompaktifizierung von (X, τ ). Es ist leicht zu sehen, daß τ ∗ tats¨ achlich eine Topologie auf X ∗ ist. Um den Gebrauch des Wortes Kompaktifizierung“ in dieser Definition zu rechtfertigen, m¨ ussen wir uns ” nat¨ urlich noch u ¨berlegen, daß (X ∗ , τ ∗ ) wirklich kompakt und (X, τ ) hom¨oomorph zu einem Unterraum davon ist. Als Abbildung w¨ ahlen wir wiederum die kanonische Injektion i : X → X ∗ : i(x) := x. Deren Offenheit folgt unmittelbar aus τ ⊆ τ ∗ . Stetig ist sie, weil auch f¨ ur O ∈ τ ∗ \τ ja gilt ∗ −1 ∃A ⊆ X, A abgeschlossen in (X, τ ) : O = X \ A und folglich i (O) = X ∩ (X ∗ \ A) = ¨ X \ A ∈ τ . Schließlich ist (X ∗ , τ ∗ ) kompakt, weil jede offene Uberdeckung von X ∗ ins∗ besondere das Element ∞ u ¨ berdecken, also ein O ∈ τ \ τ enthalten muß. Dann bleibt freilich mit X ∗ \ O ⊆ X nur noch eine kompakte Teilmenge von X zu u ¨ berdecken. Ist bereits (X, τ ) kompakt, so erhalten wir {∞} ∈ τ ∗ , so daß dann X nicht dicht in X ∗ liegt. Freilich h¨ atten wir dann auch gar nicht erst ∞ hinzuzuf¨ ugen brauchen, um zu einem kompakten Raum zu gelangen. War freilich (X, τ ) nicht kompakt, so schneidet nach Definition jede offene Umgebung von ∞ unser X, es gilt also X = X ∗ . Die Frage dr¨ angt sich auf, ob es denn u ¨ berhaupt nichtleere Teilmengen von X gibt, die sowohl abgeschlossen als auch kompakt sind. Anderenfalls landen wir n¨amlich bloß wieder bei der eingangs erw¨ ahnten Campingplatz-Kompaktifizierung“! Nun, beruhi” gend d¨ urfte sein, daß zumindest in T1 -R¨aumen schon mal alle endlichen Teilmengen sowohl abgeschlossen als auch kompakt sind. Richtig n¨ utzlich wird die AlexandroffKompaktifizierung freilich erst in Hausdorff-R¨aumen, wo ja jede kompakte Teilmenge abgeschlossen ist. Aufgabe12 Gib ein Beispiel f¨ ur einen T0 -Raum (X, τ ) an, der keine nichtleeren Teilmengen hat, die sowohl abgeschlossen als auch kompakt sind! ∗

Aufmerksame Leser m¨ ogen sich fragen, warum hier dauernd diese umst¨ andliche Formulierung mit der Obermenge steht, wo doch z.B. sei xyz nicht Element von X“ das gleiche zu ” bedeuten scheint. Tut es freilich nicht, denn diese laxere Formulierung w¨ urde es gestatten, f¨ ur xyz eine Unmenge einzusetzen, die wir der Menge X ja nicht als Element hinzuf¨ ugen k¨ onnten. Wir wollen das aber k¨ onnen.

5.4 Kompaktif izierungen

189

Lemma 5.4.2 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Seine Alexandroff-Kompaktifizierung (X ∗ , τ ∗ ) ist genau dann ein T2 -Raum, wenn (X, τ ) ein lokal kompakter T2 -Raum ist. Beweis: Zun¨ achst ist ja (X ∗ , τ ∗ ) kompakt, also erst recht schwach lokal kompakt. Ist ∗ ∗ (X , τ ) zus¨ atzlich ein T2 -Raum, so wegen Proposition 5.3.5 auch lokal kompakt. Folglich ist auch (X, τ ) als offener (weil die einpunktige Menge {∞} im Hausdorff-Raum (X ∗ , τ ∗ ) abgeschlossen ist) Teilraum ein T2 -Raum und lokal kompakt. Sei nun (X, τ ) lokal kompakter T2 -Raum. Um die Punktetrennung innerhalb von X ⊆ X ∗ brauchen wir uns keine Sorgen zu machen, da ja (X, τ ) schon als Hausdorff’sch vorausgesetzt ist und τ ⊆ τ ∗ gilt. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß jedes Element aus X auch von ∞ durch disjunkte offene Umgebungen getrennt werden kann. Sei also x ∈ X beliebig. Wegen der lokalen Kompaktheit von (X, τ ) existiert dann eine offene Teilmenge U ⊆ X und eine kompakte Teilmenge K ⊆ X mit x ∈ U ⊆ K. Dann haben wir freilich ∞ ∈ X ∗ \ K ∈ τ ∗ und U ∩ (X ∗ \ K) = ∅. Bemerkungen urlich auch (X ∗ , τ ∗ ) lokal kompakt, sobald (X, τ ) (1) Als kompakter T2 -Raum ist nat¨ lokal kompakt und T2 ist. Im Lemma kommt es darauf an, daß die lokale Kompaktheit von (X, τ ) schon f¨ ur die T2 -Eigenschaft von (X ∗ , τ ∗ ) notwendig und im Zusammenspiel mit der T2 -Eigenschaft von (X, τ ) auch hinreichend ist. (2) wegen Proposition 5.3.5 h¨ atte es selbstverst¨andlich gereicht, schwache lokale Kompaktheit zu fordern. Will man durch Hinzunahme eines einzelnen Elementes einen nicht kompakten (aber notwendigerweise lokal kompakten) T2 -Raum in einen kompakten T2 -Raum einbetten, so ist die Alexandroff-Kompaktifizierung die einzige M¨oglichkeit (bis auf Hom¨oomorphie). Lemma 5.4.3 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und seien (X1 , τ1 ) sowie (X2 , τ2 ) kompakte Hausdorff-R¨ aume, die beide jeweils (X, τ ) als Unterraum haben und gelte Xi \X = {∞i }, i ∈ {1, 2}. Dann ist  x ; x∈X f : X1 → X2 : f (x) := ∞2 ; x = ∞1 ein Hom¨ oomorphismus. Beweis: Jedenfalls ist f offensichtlich bijektiv. Wir zeigen, daß f eine offene Abbildung ist. Gelingt das, ist leicht einzusehen, daß aus denselben Gr¨ unden – spiegelverkehrt“ ” angewandt – die Offenheit von f −1 , also die Stetigkeit von f folgt.

190

5 Kompaktheit

Sei nun O ∈ τ1 . Falls O ⊆ X, folgt f (O) = O ∈ τ und darum f (O) ∈ τ2 , weil X in X2 offen ist, denn {∞2 } = X2 \ X ist als einpunktige Teilmenge des Hausdorff-Raumes (X2 , τ2 ) abgeschlossen. Falls ∞1 ∈ O gilt, ist jedenfalls X1 \ O ⊆ X abgeschlossen in X1 und somit kompakt. Zudem haben wir nach Definition von f dann ja f (X1 \ O) = X \ O, was als kompakte Teilmenge des Hausdorff-Raumes (X2 , τ2 ) in X2 abgeschlossen ist. Mithin ist f (O) = f (X1 \ (X1 \ O)) = X2 \ (X2 \ f (O)) offen in X2 .

5.4.2

ˇ Stone-Cech-Kompaktifizierung Wenn Leute nicht glauben, daß Mathematik einfach ist, dann nur deshalb, weil sie nicht begreifen, wie kompliziert das Leben ist. John von Neumann

ˇ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung geht auf den Einfall zur¨ uck, den fraglichen Raum u ¨ berhaupt erstmal in einen – nun ja – naheliegenden“ kompakten Raum einzubet” ten und darin dann einfach den Abschluß zu bilden. Was die Verst¨andlichkeit dieses naheliegend“ betrifft, haben alle diejenigen einen Vorteil, die sich an das Prinzip der ” Dualr¨ aume (und insbesondere der Einbettung in den 2. Dualraum) aus der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis zu erinnern verm¨ogen :-). Wir hatten eben gesehen, daß wir durchaus ein paar Forderungen an einen topologischen Raum stellen m¨ ussen, damit die Existenz einer halbwegs geeigneten Kompaktifizierung durch einen einzelnen Punkt gew¨ ahrleistet werden kann. Unter geeignet“ hatten wir ” dabei insbesondere verstehen wollen, daß die Hausdorff-Eigenschaft ggf. auch f¨ ur die gesuchte Kompaktifizierung gelten m¨ oge und prompt herausbekommen, daß wir uns dann auf lokal kompakte R¨ aume beschr¨ anken m¨ ussen. Bei der folgenden Konstruktion versuchen wir gar nicht erst, mit einer Erg¨anzung durch einen einzelnen Punkt auszukommen. Gleichwohl w¨ unschen wir uns, daß die HausdorffEigenschaft im Fall der F¨ alle erhalten bleiben m¨oge. Wiederum werden wir also an den zu kompaktifizierenden Raum ein paar Forderungen stellen m¨ ussen. Dazu beobachten wir erst einmal folgendes: Ist (Y, σ) ein kompakter T2 -Raum, so ist er laut Satz 5.1.14 auch ein T4 -Raum. Zudem folgt aus T2 auch T1 , also sind die einpunktigen Mengen abgeschlossen, so daß wegen des Urysohn-Lemmas 4.4.11 sogleich folgt: zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A von Y und jedem Element y ∈ Y \ A existiert eine stetige Funktion f : Y → [0, 1] mit f (y) = 0 und f (A) ⊆ {1}. Dies ist nun offensichtlich eine Eigenschaft, die sich – anders als T4 – zwangsl¨ aufig auf Teilr¨ aume vererbt.∗ Es handelt sich um eine weitere ∗

Ist (X, σ|X ) ein Teilraum von (Y, σ), A ⊆ X abgeschlossen bez¨ uglich σ|X und x ∈ X \ A, so

5.4 Kompaktif izierungen

191

Trennungseigenschaft und sie erh¨ alt auch einen eigenen Namen: Definition 5.4.4 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt vollst¨andig regul¨ar (bzw. T3 12 -Raum) genau dann, wenn es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ X und jedem Element x ∈ X \ A eine stetige Abbildung f : X → [0, 1] ([0, 1] mit euklidischer Topologie) gibt mit f (x) = 0 und f (A) ⊆ {1}. Ist (X, τ ) zus¨ atzlich ein T1 -Raum, so nennen wir ihn auch einen Tychonoff-Raum. Es sollte klar sein, daß jeder vollst¨ andig regul¨are Raum (X, τ ) auch ein T3 -Raum ist.∗ Wenn wir also einen topologischen Raum als Teilraum in einem kompakten T2 -Raum (der ja wegen Satz 5.1.14 und Lemma 4.4.11 ein Tychonoff-Raum ist) unterbringen wollen, so muß er als Teilraum eines Tychonoff-Raumes selbst schon ein TychonoffRaum sein. Aus Lemma 5.4.2 erhalten wir somit unmittelbar: Korollar 5.4.5 Jeder lokal kompakte T2 -Raum ist ein Tychonoff-Raum. Wir untersuchen nun, ob es vielleicht zu jedem (nicht notwendig lokal kompakten) Tychonoff-Raum (X, τ ) eine Kompaktifizierung mit Hausdorff-Eigenschaft gibt.† Zun¨ achst g¨ onnen wir uns etwas Vorbereitung. Lemma 5.4.6: Einbettungslemma Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, (Yi , σi )i∈I eine Familie topologischer R¨aume und (fi : X → Yi )i∈I orige Familie stetiger eine zugeh¨ Abbildungen. Sei ferner die Abbildung f : X → i∈I Yi (mit Produkttopologie i∈I σi ) definiert durch f (x) := (fi (x))i∈I d.h. ∀i ∈ I : pi ◦ f = fi , wobei pj : i∈I Yi → Yj : pj ((yi )i∈I ) := yj f¨ ur alle j ∈ I die kanonischen Projektionen sind. Dann gelten

∗

†

muß es eine bez¨ uglich σ abgeschlossene Teilmenge A ⊆ Y geben mit A = X ∩ A , so daß  auch x ∈ A folgt. Die demnach existierende stetige Funktion f : Y → [0, 1] mit f (x) = 0 und f (A ) ⊆ {1} k¨ onnen wir dann einfach auf X einschr¨ anken. Ist A eine abgeschlossene Teilmenge und x ∈ X \A, dann existiert ja eine stetige Funktion f : onnen als trennende offene Umgebungen X → [0, 1] mit x ∈ f −1 (0) und A ⊆ f −1 ({1}), wir k¨ also z.B. f −1 ([0, 13 )) und f −1 (( 23 , 1]) w¨ ahlen. Sofern wir (X, τ ) als z.B. offenen Teilraum einbetten k¨ onnten, w¨ urde daraus nat¨ urlich sofort wieder die lokale Kompaktheit von (X, τ ) folgen. Das haben wir aber nicht vor.

192

5 Kompaktheit (1) f ist stetig. (2) Falls es zu je zwei verschiedenen x1 , x2 ∈ X ein i ∈ I mit fi (x1 ) = fi (x2 ) gibt, so ist f injektiv. (3) Falls es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ X und jedem Element x ∈ X \ A ein i ∈ I gibt mit fi (x) ∈ fi (A), dann ist die Abbildung f : X →  f (X) : f (x) := f (x) offen (im Sinne der Spurtopologie auf i∈I (Yi , σi )).

Beweis: (1) Trivial, weil die Produkttopologie initial bez¨ uglich der kanonischen Projektionen ist und die Verkettungen von f mit eben jenen nach Voraussetzung alle stetig sind. (2) Sind x1 , x2 ∈ X mit x1 = x2 gegeben, so existiert nach Voraussetzung i ∈ I mit pi (f (x1 )) = fi (x1 ) = fi (x2 ) = pi (f (x2 )), also f (x1 ) = f (x2 ). (3) Sei O ∈ τ mit ∅ = O = X gegeben. (F¨ ur ∅ und X ist nichts zu beweisen.) Wir wollen zeigen, daß f (O) im Sinne der Spurtopologie auf i∈I Yi offen ist, d.h. daß zu jedem x ∈ O eine offene Menge Umgebung .

Vx ∈ f (x) ∩



σi

i∈I

existiert mit Vx ∩ f (X) ⊆ f (O). Sei also x ∈ O gegeben. Dann ist nat¨ urlich A := X \ O abgeschlossen mit x ∈ A. Nach Voraussetzung haben wir also ein i ∈ I mit fi (x) ∈ fi (A). alt f (x) (weDann ist Vx := p−1 i (Yi \ fi (A)) offen (wegen der Stetigkeit von pi ) und enth¨ gen pi (f (x)) = fi (x) ∈ Yi \fi (A)). Außerdem haben wir ∀y ∈ f (X)∩Vx zun¨achst einmal ∃z ∈ X : y = f (z) wegen y ∈ f (X) und ferner pi (f (z)) = fi (z) ∈ fi (A) = fi (X \ O) wegen y ∈ Vx . Das ergibt jedenfalls z ∈ X \ O, also z ∈ O und folglich y = f (z) ∈ f (O). Somit erhalten wir Vx ∩ f (X) ⊆ f (O).

Definition 5.4.7 Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum. Mit C(X) := C(X, [0, 1]) bezeichnen wir die Menge aller stetigen Abbildungen von X in das mit euklidischer Topologie versehene Einheitsintervall.∗ Nun sei  [0, 1]f [0, 1]C(X) = f ∈C(X)

(wobei f¨ ur alle f ∈ C(X) mit [0, 1]f das Intervall [0, 1] mit euklidischer Topologie gemeint sein soll) die Familie aller Abbildungen von C(X) nach [0, 1], welche wir mit ∗

Hier beginnt die Analogie zum Dualraum-Konzept ...

5.4 Kompaktif izierungen

193

Produkttopologie (= Topologie der punktweisen Konvergenz) versehen.∗ Jetzt ordnen wir jedem x ∈ X die Abbildung hx : C(X) → [0, 1] : hx (f ) := f (x) zu, die wir auch als ω(x, ·) schreiben k¨ onnen, wenn ω : X ×[0, 1]X → [0, 1] die u ¨bliche Auswertungsabbildung ist. Diese Zuordnung ist offenbar eine Abbildung von X in [0, 1]C(X) , wir bezeichnen sie mit eX , eX : X → [0, 1]C(X) : eX (x) := hx . Laut Tychonoff-Satz ist der Raum [0, 1]C(X) kompakt, weil [0, 1] es ist. Mit β(X) := eX (X) bezeichnen wir den Abschluß des Bildes eX (X) in [0, 1]C(X) , der folglich auch ˇ kompakt ist und in dem eX (X) dicht liegt. Wir nennen β(X) die Stone-Cech† Kompaktifizierung von (X, τ ). Um die Rede von Kompaktifizierung in dieser Definition zu rechtfertigen, m¨ ussen wir uns nur noch u arte Abbildung eX : X → [0, 1]C(X) injektiv, stetig ¨berlegen, daß die darin erkl¨ und als Abbildung von X nach eX (X) offen ist. Dieses sichert aber gerade unser voriges Einbettungslemma 5.4.6: f¨ ur jedes x ∈ X haben wir ja offenbar eX (x) = (g(x))g∈C(X) , so daß unser eX just so gebildet ist, wie die Funktion f im Einbettungslemma, wobei I := C(X) und fg := g, g ∈ C(X) gew¨ ahlt ist. Demzufolge ist eX zun¨achst einmal stetig laut 5.4.6(1). Da die einpunktigen Mengen in (X, τ ) abgeschlossen sind und es sich auch noch um einen vollst¨ andig regul¨ aren Raum handelt, gibt es zu je zwei verschiedenen Elemente x1 , x2 ∈ X eine stetige Funktion g ∈ C(X) mit g(x1 ) = 0 und g(x2 ) = 1, also ist eX injektiv nach 5.4.6(2). Zudem haben wir f¨ ur jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X und jedes Element x ∈ X \ A wegen der vollst¨andigen Regularit¨at auch ein g ∈ C(X) mit g(x) = 0 und g(A) ⊆ {1}, also jedenfalls g(x) ∈ g(A) ⊆ {1} = {1}. Daher ist eX als Abbildung von X nach eX (X) auch offen, laut 5.4.6(3). Bemerkung: Wegen Lemma 3.1.22 ist der Produktraum [0, 1]C(X) ein HausdorffRaum, daher ist β(X) als Teilraum davon wiederum ein Hausdorff-Raum, also wegen seiner Kompaktheit auch ein Tychonoff-Raum. Aufgabe13 Sei (X, τ ) bereits ein kompakter Hausdorff-Raum. Bestimme β(X) \ eX (X). ∗ †

Damit haben wir unsre Analogie zum 2. Dualraum. Wir sind also nah am Ziel :-). Streng genommen, m¨ ußten wir die Bezeichnung β(X, τ ) statt einfach nur β(X) w¨ ahlen, ˇ denn nat¨ urlich h¨ angt die Stone-Cech-Kompaktifizierung eines Raumes auch ein klitzekleines bißchen von seiner Topologie ab. Es d¨ urfte freilich in den allermeisten F¨ allen nur jeweils eine Topologie auf X im Gespr¨ ach sein und es hat sich daher eingeb¨ urgert, einfach nur β(X) (manchmal auch nur βX“) zu schreiben. ”

194

5 Kompaktheit

ˇ ¨ Ahnlich wie die Alexandroff-Kompaktifizierung zeichnet sich auch die Stone-Cech-Kompaktifizierung durch eine gewisse Einzigartigkeit aus: jede stetige Abbildung f unsres Tychonoff-Raumes (X, τ ) in einen kompakten Hausdorff-Raum (Y, σ) hat genau eine stetige Fortsetzung“ auf β(X) – und jede Kompaktifizierung von (X, τ ), die auch stets ” genau eine stetige Fortsetzung gestattet, ist hom¨oomorph zu β(X). ˇ Satz 5.4.8: Satz von Stone-Cech Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum. Dann gelten: (1) F¨ ur jeden kompakten Hausdorff-Raum (Y, σ) und jede stetige Abbildung f : X → Y existiert genau eine stetige Funktion F : β(X) → Y mit f = F ◦ eX .

(X, τ ) e

f

.. ........................... ....

(Y, σ)

..... .. .. . . ... .. . .. . . . .. . ... X .... . .. ... .. . ... ........ . ... ..

F

β(X) (2) Ist (X  , τ  ) ein kompakter Hausdorff-Raum, und existiert ein Hom¨oomorphismus e : X → X  auf einen dichten Teilraum e (X) von X  derart, daß f¨ ur jeden kompakten Hausdorff-Raum (Y, σ) und jede stetige Funktion g : X → Y genau eine stetige Funktion G : X  → Y mit g = G ◦ e existiert, dann ist (X  , τ  ) hom¨ oomorph zu β(X).∗ (3) Ist ein T2 -Raum (X  , τ  ) Kompaktifizierung von (X, τ ), dann ist (X  , τ  ) ein Quotientenraum von β(X). Beweis: (1) Sei (Y, σ) ein kompakter Hausdorff-Raum. Aus Aufgabe 13 wissen wir, ˇ daß jedenfalls Y ∼ oomorphismus aus der zugeh¨origen Stone-Cech= β(Y ) gilt, der Hom¨ Kompaktifizierung heiße eY , also eY : Y → j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j mit eY (Y ) abgeschlossen in j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j . Alle Funktionen j ◦f mit j ∈ C(Y, [0, 1]) sind stetige Abbildungen von X nach [0, 1], d.h. Elemente von C(X, [0, 1]). Wir k¨ onnen also das Produkt j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j◦f nehmen und unser g∈C(X,[0,1]) [0, 1]g darauf verm¨oge P :

 g∈C(X,[0,1])

∗

[0, 1]g →



[0, 1]j◦f : P ((kg )) := (kj◦f )j∈C(Y,[0,1])

j∈C(Y,[0,1])

D.h. β(X) ist bis auf Hom¨ oomorphie die einzige Kompaktifizierung von (X, τ ) mit der Eigenschaft (1).

5.4 Kompaktif izierungen

195

bzw. ¨ aquivalent ausgedr¨ uckt P : [0, 1]C(X,[0,1]) → [0, 1]C(Y,[0,1]) : P (h)(j) := h(j ◦ f ) abbilden. (D.h. an der j-Komponente des Bildes steht genau die j ◦ f -Komponente des Urbildes. Dabei kann es durchaus auftreten, daß f¨ ur verschiedene j1 , j2 zuweilen j1 ◦ f = j2 ◦ f gilt. Dann kommt die Komponente kj1 ◦f im Bild eben doppelt vor.) P ist stetig, denn sind qt : g∈C(X,[0,1]) [0, 1]g → [0, 1]t : qt ((kg )g∈C(X,[0,1]) ) := kt die kanonischen Projektionen aus g∈C(X,[0,1]) [0, 1]g und sind pi : j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j◦f :→ [0, 1]j◦f : pi ((kj◦f )j∈C(Y,[0,1]) ) := ki◦f , so erhalten wir als Komposition von P mit jeder der Projektionen pi : pi ◦P ((kg )g∈C(X,[0,1]) ) = pi ((kj◦f )j∈C(Y,[0,1]) ) = ki◦f = qi◦f ((kg )g∈C(X,[0,1]) ) , also pi ◦ P = qi◦f mit i ◦ f ∈ C(X, [0, 1]) – und die Projektion qi◦f ist nat¨ urlich nach Definition des Produktes stetig. Wir wollen nun sehen, wie P auf eX (X) wirkt. F¨ ur jedes x ∈ X finden wir P (eX (x)) = P (hx ) = P ((g(x))g∈C(X,[0,1]) ) = (j ◦ f (x))j∈C(Y,[0,1]) = (j(f (x)))j∈C(Y,[0,1]) (wobei mit hx die in Definition 5.4.7 erkl¨ arte Abbildung gemeint ist). Nun ist f¨ ur f (x) = y aber (j(f (x)))j∈C(Y,[0,1]) = (j(y))j∈C(Y,[0,1]) und das ist nichts anderes als eY (y). Wir haben also ∀x ∈ X : P (eX (x)) = eY (f (x)). Das ergibt P ◦ eX = eY ◦ f . −1 Wegen der Injektivit¨ at von eY folgt e−1 Y ◦ P ◦ eX = f und offensichtlich ist eY ◦ P stetig. Wir setzen also

F := (e−1 Y ◦ P )|β(X) und erhalten F ◦ eX = f . Daher ist F die gesuchte Fortsetzung. Die Eindeutigkeit dieser Fortsetzung ergibt sich nun schlicht aus Satz 4.4.6. (2) Wir w¨ ahlen f = e und g = eX . Dann existiert nach Voraussetzung eine stetige Abbildung G : X  → β(X) mit e X = G ◦ e

(5.4)

und laut (1) existiert eine stetige Abbildung F : β(X) → X  mit e = F ◦ eX .

(5.5)

196

5 Kompaktheit

Einsetzen von (5.4) in (5.5) liefert e = F ◦ G ◦ e und Einsetzen von (5.5) in (5.4) liefert eX = G ◦ F ◦ eX . Wegen der Injektivit¨at von sowohl e als auch eX folgen daraus 11eX (X) = (G ◦ F )|eX (X) und 11e (X) = (F ◦ G)|e (X) . Freilich ist sowohl G ◦ F als auch F ◦ G als Komposition stetiger Abbildungen wiederum stetig und darum stetige Fortsetzungen von 11eX (X) auf β(X) bzw. von 11e (X) auf X  . Weil aber auch 11β(X) bzw. 11X  solche stetigen Fortsetzungen sind und es nach Voraussetzung bzw. (1) davon jeweils nur eine geben kann, erhalten wir G ◦ F = 11β(X) und F ◦ G = 11X  . Wegen der Stetigkeit von F und G, sind sie somit beide Hom¨oomorphismen zwischen β(X) und X  . (3) Sei (Y, σ) ein kompakter Hausdorff-Raum und f : X → Y ein Hom¨oomorphismus zwischen X und f (X), sowie f (X) dicht in Y . Dann existiert nach (1) eine stetige Abbildung F : β(X) → Y mit f = F ◦ eX . Da β(X) kompakt ist, ist auch F (β(X)) kompakt, daher im Hausdorff-Raum (Y, σ) abgeschlossen. Andrerseits gilt nat¨ urlich F (β(X)) ⊇ f (X), also F (β(X)) = F (β(X)) ⊇ f (X) = Y . Folglich ist F surjektiv. Ist nun A eine abgeschlossene und folglich kompakte Teilmenge von β(X), dann ist auch F (A) kompakt, also abgeschlossen im Hausdorff-Raum (Y, σ). Somit ist F auch eine abgeschlossene Abbildung. Laut Proposition 3.1.14 ist F daher eine Quotientenabbildung. Aufgabe14 Sei IN ausgestattet mit diskreter Topologie. Zeige, daß dann die Stoneˇ Cech-Kompaktifizierung β(IN ) mindestens die M¨achtigkeit von [0, 1][0,1] hat. (Hinweis: beachte Beispiel 3.1.17.) ˇ An diesem Beispiel sehen wir, daß die Stone-Cech-Kompaktifizierung absolut nicht zimperlich im Hinzuf¨ ugen von Punkten ist: so kann offenbar die Menge der hinzugef¨ ugten Punkte in ihrer M¨ achtigkeit die Ausgangsmenge erheblich u ¨berschreiten. Wie m¨achtig β(IN ) genau ist, werden wir im n¨ achsten Abschnitt herausfinden. Hier wollen wir ledigˇ lich noch erw¨ ahnen, daß die Stone-Cech-Kompaktifizierung bereits bei sehr vertrauten R¨ aumen nicht mit einer naheliegenden“ Kompaktifizierung u ¨bereinstimmt. Beispiels” ˇ weise lehrt uns Satz 5.4.8, daß das abgeschlossene Intervall [0, 1] nicht die Stone-CechKompaktifizierung des halboffenen Intervalles (0, 1] ist, da z.B. die auf (0, 1] stetige Funktion f : (0, 1) → [0, 1] : f (x) := sin( x1 ) keine stetige Fortsetzung auf [0, 1] hat.

Kurze Einordnung von T3 12 als Trennungseigenschaft. Da wir in diesem Abschnitt mit T3 12 eine neue Trennungseigenschaft erkl¨art haben, wollen wir sie auch noch ein bißchen weiter untersuchen. Ganz analog zu 4.4.9 finden wir: Lemma 5.4.9 Ein topologischer T4 -Raum (X, τ ) ist genau dann ein T3 12 -Raum, wenn er auch R0 Raum ist.

5.4 Kompaktif izierungen

197

Beweis: Ein T3 12 -Raum ist ja automatisch ein T3 -Raum und folglich laut 4.4.3 auch ein R0 -Raum. Sei nun (X, τ ) ein R0 - und T4 -Raum. Seien darin eine abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X und ein Punkt x ∈ X \ A gegeben. Dann gilt zun¨achst {x} ∩ A = ∅ – existierte n¨amlich . y ∈ {x} ∩ A, so hieße dies ja, daß der Einpunktfilter x gegen y ∈ A konvergiert, woraus . . wegen R0 sofort y → x folgt. Da freilich A abgeschlossen ist und A ∈ y gilt, folgte x ∈ A im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher gibt es laut Urysohn-Lemma 4.4.11 eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f ( {x} ) = {0}, speziell also f (x) = 0, und f (A) = {1}. Somit ist (X, τ ) ein T3 12 -Raum. Daß sich T3 12 auf Teilr¨ aume u agt, hatten wir bereits eingesehen – gucken wir mal ¨bertr¨ nach, wie es um Produkte bestellt ist: Lemma 5.4.10 Sei (Xi , τi ), i ∈ I, eine Familie nichtleerer topologischer R¨aume. Genau dann ist der Produktraum i∈I (Xi , τi ) ein T3 12 -Raum, wenn alle (Xi , τi ), i ∈ I, T3 12 -R¨aume sind. Beweis: Da alle Xi , i ∈ I, nichtleer sind, hatten wir bereits beim Beweis von 4.4.7 gesehen, daß jedes (Xi , τi ), i ∈ I, hom¨ oomorph zu einem Teilraum von (X i , τi ) ist. i∈I Aus der vollst¨ andigen Regularit¨ at von i∈I (Xi , τi ) folgt somit die vollst¨andige Regularit¨ at aller (Xi , τi ), i ∈ I. aume und seien eine abgeschlossene Teilmenge Seien nun alle (Xi , τi ), i ∈ I, T3 12 -R¨

 A ⊆ i∈I (Xi , τi ) sowie ein Element (xi )i∈I ∈ i∈I (Xi , τi ) \ A gegeben.

 Wegen der Abgeschlossenheit von A ist das Komplement i∈I Xi \ A offen, so daß ein Basiselement  Oi O := i∈I

mit ∀i ∈ I : Oi ∈ τi und  i1 , ..., in ∈ I : ∀j ∈ I \ {i1 , ..., in } : Oj = Xj existiert,

∃n ∈ IN, f¨ ur das (xi )i∈I ∈ O ⊆ \ A gilt. Dann ist f¨ ur alle k = 1, ..., n jeweils Xik \ Oik X i i∈I abgeschlossen und enth¨ alt xik nicht, so daß wegen der vollst¨andigen Regularit¨at der (Xik , τik ) jeweils eine stetige Funktion fk : Xik → [0, 1] mit fk (xik ) = 0 und fk (Xik \ Oik ) ⊆ {1} existiert. Wir definieren nun  Xi → [0, 1] : f ((yi )i∈I ) := max fk (yik ) f: i∈I

k=1,...,n

198

5 Kompaktheit

und sehen sofort, daß f ((xi )i∈I ) = 0  

ur alle i ∈ I gilt. Ist ferner (yi )i∈I ∈ i∈I Xi \ i∈I Oi gegeben, so kann ja nicht f¨ die Komponente yi in Oi liegen – außerhalb kann sie aber nur im Falle Oi = Xi liegen, so daß wir (mindestens) ein l ∈ {1, ..., n} haben mit yil ∈ Xil \ Oil . Dann aber gilt laut Wahl von fl nat¨ urlich fl (yil ) = 1 und somit auch f ((yi )i∈I ) = 1. Das liefert also       f ⊆ {1} . Xi \ Oi i∈I

i∈I





Wegen i∈I Oi ⊆ i∈I Xi \ A haben wir auch i∈I Xi \ i∈I Oi ⊇ A und folglich f (A) ⊆ {1}. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von f : sei ein beliebiges Element (zi )i∈I ∈ i∈I Xi gegeben und sei ϕ ein Filter auf i∈I Xi , der gegen (zi )i∈I konvergiert. Dann konvergieren insbesondere seine Bilder unter den kanonischen Projektionen  Xi → Xik : pk ((yi )i∈I ) := yik pk : i∈I

auf den Xik jeweils gegen zik f¨ ur k = 1, ..., n. Ist nun ε > 0 gegeben, so existieren wegen der Stetigkeit der fk folglich offene Mengen Uk ∈ τik mit Uk ∈ pk (ϕ) und fk (Uk ) ⊆ (fk (zik ) − ε, fk (zik ) + ε) ∩ [0, 1] .

(5.6)

Freilich bedeutet n Uk ∈ pk (ϕ) ja, daß jeweils ein Qk ∈ ϕ existiert mit pk (Qk ) ⊆ Uk . Wir setzen Q := k=1 Qk und finden ∀k = 1, ..., n : pk (Q) ⊆ Uk , also nach (5.6) auch ∀k = 1, ..., n : fk (pk (Q)) ⊆ (fk (zik ) − ε, fk (zik ) + ε) ∩ [0, 1] und somit f (Q) ⊆ (f ((zi )i∈I ) − ε, f ((zi )i∈I ) + ε) ∩ [0, 1]. Daher konvergiert f (ϕ) gegen f ((zi )i∈I ), woraus nun die Stetigkeit von f folgt. Was wir jetzt noch brauchen k¨ onnten, w¨ar’ ein Beispiel f¨ ur einen T3 -Raum, der kein T3 12 -Raum ist – um sicherzugehen, daß diese Begriffe nicht u ¨bereinstimmen.

Beispiel 5.4.11: f¨ ur einen T2 - und T3 -Raum, der nicht vollst¨andig regul¨ar ist Wir legen X := (IR × [0, 1]) ∪ {a+ , a− } fest∗ und definieren darin erstmal ein paar spezielle Mengen: F¨ ur r ∈ IR sei Vr := {(a, b) ∈ X | b = |a − r|} , ∗

Wie immer: mit zwei voneinander verschiedenen Elementen a+ , a− irgendeiner Obermenge von IR × [0, 1], die nicht Elemente von IR × [0, 1] sind.

5.4 Kompaktif izierungen

199

f¨ ur n ∈ IN sei On := {a− } ∪ {(a, b) ∈ X | a ≤ −n} und Un := {a+ } ∪ {(a, b) ∈ X | a ≥ n} . Dann legen wir auf X die Topologie τ durch die Subbasis {Vr \ E, On , Un | n ∈ IN, r ∈ IR, (r, 0) ∈ E endlich } ∪ P(IR × (0, 1]) fest. Damit sind f¨ ur alle Elemente (a, b) von IR × (0, 1] die Einpunktmengen {(a, b)} offen, f¨ ur alle Elemente (r, 0) bilden die Vr \ E mit endlichem E  (r, 0) eine Umgebungsbasis und f¨ ur a− bzw. a+ die Familien der On bzw. Un . Unser Raum (X, τ ) ist offenbar ein T2 -Raum: Sind x, y ∈ X verschieden, gibt es sowieso kein Problem, wenn beide in IR×(0, 1] liegen, denn dann sind die zugeh¨origen Einpunktmengen offen; ist a− oder a+ beteiligt, m¨ ussen wir nur n groß genug w¨ahlen und haben dann mit On bzw. Un eine Umgebung, zu der es eine disjunkte Umgebung des anderen Punktes gibt; ist x = (r, 0) und y = (s, 0) mit r = s, so schneiden sich Vr und Vs in h¨ ochstens einem Punkt z ∈ IR × (0, 1] – dann aber sind Vr \ {z} und Vs \ {z} trennende Umgebungen. Folglich sind insbesondere die Einpunktmengen abgeschlossen, so daß f¨ ur alle x ∈ IR×(0, 1] die Menge {{x}} eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Teilmengen ist. Auch die Mengen Vr \ E mit endlichem E  (r, 0) sind abgeschlossen, denn offenbar kann kein Filter auf Vr \ E gegen ein Element von IR × (0, 1] \ (Vr \ E) konvergieren, da das nur die entsprechenden Einpunktfilter tun. Auch gegen a− oder a+ kann ein solcher Filter nicht konvergieren, denn f¨ ur n > |r| + 2 kann er On bzw. Un nicht enthalten. Ferner ist auch klar, daß f¨ ur r = s ein Filter auf Vr \ E niemals gegen (s, 0) konvergieren kann, da – wie gesagt – unser Vr \ E eine Umgebung Vs \ E  in h¨ ochstens einem Punkt z schneidet und unser Filter dann jedenfalls Vs \ (E  ∪ {z}) nicht enthalten kann. Somit sind auch die Mengen Vr \ E abgeschlossen, wodurch jeder Punkt (r, 0) eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Teilmengen hat. ur F¨ ur n ∈ IN haben wir On+2 ⊆ On , wie man sich anhand von Vr ∩ On+2 = ∅ f¨ r > −n leicht u ¨ berlegt. Analog gilt Un+2 ⊆ Un , so daß auch a− und a+ Umgebungsbasen aus abgeschlossenen Teilmengen haben. Laut 4.4.2 ist (X, τ ) also ein T3 -Raum. Jetzt beweisen wir sogar noch etwas mehr als den Umstand, daß (X, τ ) nicht vollst¨ andig regul¨ ar ist: Wir wollen zeigen, daß f¨ ur jede stetige Abbildung f : X → IR stets f (a− ) = f (a+ ) gilt.∗ ∗

Daraus folgt dann ja, daß z.B. a+ nicht durch eine stetige reellwertige Funktion vom Komplement einer seiner offenen Basisumgebungen getrennt werden kann, dieweil da stets a− drin liegt.

200

5 Kompaktheit

Sei also f : X → IR stetig und ε > 0 eine reelle Zahl. Wir setzen f¨ ur beliebiges positives δ ∈ IR Hδ :=

!

 " x ∈ X  δ > |f (x) − f (a− )|

!

 " x ∈ X  δ ≥ |f (x) − f (a− )| .

und Cδ :=

Aus der Stetigkeit von f folgt, daß alle Hδ offen sind und daß es ein n0 ∈ IN gibt mit On0 ⊆ Hε , speziell also (−∞, −n0 ] × {0} ⊆ Cε . Wir geben uns ein beliebiges n ∈ IN + vor und vergr¨obern die obige Aussage etwas, indem wir feststellen, daß h¨ochstens abz¨ahlbar viele Elemente von (−∞, −n0 ] × {0} 1 liegen. nicht in Cε liegen, also auch h¨ ochstens abz¨ahlbar viele nicht in Hε+ 2n 1 eine offene Umgebung Wegen der Offenheit von Hε hat jedes Element (r, 0) ∈ Hε+ 2n Vr \ Eε,r (mit endlicher Teilmenge Eε,r von X, die (r, 0) nicht enth¨alt), die ganz in 1 enthalten ist. Hε+ 2n

F¨ ur jedes (s, 0) mit n0 < s ≤ −n0 + 12 schneidet Vs u ¨ berabz¨ahlbar viele Vr mit 1 r ≤ −n0 ; da nur abz¨ ahlbar viele (r, 0) nicht in Hε+ 2n liegen, schneidet so ein Vs 1 . Wegen der Endlichkeit der immer noch u ahlbar viele Vr mit (r, 0) ∈ Hε+ 2n ¨ berabz¨ Eε,r kann es freilich nur endlich viele s ∈ (−n0 , −n0 + 12 ] geben, f¨ ur die Vs mit allen von den Vr \ Eε,r , (r, 0) ∈ Hε , einen leeren Schnitt hat. Ja, mehr noch: f¨ ur jedes k ∈ IN kann es nur endlich viele s ∈ (−n0 , −n0 + 12 ] geben, f¨ ur die Vs mit h¨ochstens 1 , keinen leeren Schnitt hat – andernfalls g¨ k von den Vr \ Eε,r , (r, 0) ∈ Hε+ 2n abe es 1 eine abz¨ ahlbar unendliche Teilmenge solcher s ∈ (−n0 , −n0 + 2 ], deren zugeh¨orige Vs 1 , zusammengenommen immer noch h¨ ochstens abz¨ahlbar viele Vr \Er,ε , (r, 0) ∈ Hε+ 2n nichtleer schneiden, so daß u ahlbar vielen Vr \ Er,ε alle Schnittpunkte von Vr ¨ berabz¨ mit diesen Vs fehlen m¨ ußten – im Widerspruch zur Endlichkeit der Er,ε . Da dies f¨ ur alle k ∈ IN gilt, kann es insgesamt h¨ochstens abz¨ahlbar viele s ∈ 1 ur die Vs mit nur endlich vielen unsrer Vr \Er,ε , (r, 0) ∈ Hε+ 2n (−n0 , −n0 + 21 ] geben, f¨ einen nichtleeren Schnitt hat. Das heißt: f¨ ur alle außer h¨ochstens abz¨ahlbar viele s ∈ (n0 , n0 + 12 ] hat jede Umgebung Vs \ E von (s, 0) einen nichtleeren Schnitt mit 1 . einer Umgebung Vr \ Er,ε , (r, 0) ∈ Hε+ 2n Ist nun s ∈ (−n0 , −n0 + 12 ] gegeben, so existiert wegen der Stetigkeit von f eine offene Umgebung Vs \ Es,n (mit endlicher Menge Es,n , die (s, 0) nicht enth¨alt) von 1 (f (s, 0)) gilt. Hat nun Vs \ Es,n einen nichtleeren (s, 0), f¨ ur die f (Vs \ Es,n ) ⊆ U 2n 1 , so folgt nach Dreiecksungleichung in IR Schnitt mit einem Vr \ Er,ε , (r, 0) ∈ Hε+ 2n sogleich (s, 0) ∈ Hε+ n1 . Somit erhalten wir, daß h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Elemente von (−n0 , −n0 + 12 ]×{0} nicht in Hε+ n1 liegen. Dies gilt aber f¨ ur alle n ∈ IN + , so daß auch nur h¨ochstens

5.4 Kompaktif izierungen

201

abz¨ ahlbar viele Elemente von (−n0 , −n0 + 12 ] × {0} nicht im Durchschnitt

Hε+ n1 = Cε n∈IN +

enthalten sind. Dies erlaubt uns nun induktiv zu schließen, daß f¨ ur jedes k ∈ IN nur h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Elemente von (−∞, −n0 + 12 k] × {0} nicht in Cε liegen, woraus sofort folgt, daß h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Elemente von IR × {0} nicht in Cε liegen. Das wiederum liefert ∀n ∈ IN : ∃r ∈ IR : r > n ∧ (r, 0) ∈ Cε , woraus a+ ∈ Cε folgt. Freilich ist Cε als Urbild einer in IR abgeschlossenen Menge unter der stetigen Funktion f abgeschlossen in X, also gilt a+ ∈ Cε = Cε und darum |f (a+ ) − f (a− )| ≤ ε. Dies f¨ ur alle ε > 0 ergibt f (a+ ) = f (a− ).

Weitere sch¨ one Beispiele finden sich in [28]: Beispiele 90 ( Tychonoff-Korkenzieher“), ” 91 und das auf Hewitt, [12], zur¨ uckgehende famose Beispiel 92 f¨ ur einen regul¨aren Hausdorff-Raum, auf dem jede stetige reellwertige Funktion konstant ist. Als Beispiel f¨ ur einen T3 12 -Raum, der nicht T4 ist, k¨onnen wir wiederum auf 4.4.16 zur¨ uckgreifen (Produkt der Sorgenfrey-Geraden mit sich selbst), denn dort hatten wir gesehen, daß die Sorgenfrey-Gerade T4 - und T1 -Raum ist, also nach 5.4.9 auch ein Tychonoff-Raum. Wegen 5.4.10 und 4.2.7 ist dann auch ihr Produkt mit sich selbst ein Tychonoff-Raum, aber eben nicht T4 , wie wir bei 4.4.16 gezeigt hatten.

5.4.3

Wallman-Kompaktifizierung

Man kann die Kompaktifiziererei auch einmal eher direkt mit Blick auf m¨oglicherweise nicht konvergierende Ultrafilter angehen. Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, den wir durch Hinzuf¨ ugen von Elementen kompaktifizieren wollen, so m¨ ussen wir uns um diejenigen braven“ Ultrafilter, die bereits in X konvergieren, zun¨achst gar nicht weiter ” k¨ ummern. Es sind stattdessen wie so oft die Sorgenkinder, die die meiste Aufmerksamkeit erhalten ... Ist ϕ ein Ultrafilter auf X, der nicht konvergiert, so w¨are diesem traurigen Zustand ja leicht dadurch abzuhelfen, daß wir einfach h¨ochstens all denjenigen offenen Mengen, die er immerhin enth¨ alt, ein neues Element, nennen wir es xϕ , hinzuf¨ ugen (damit f¨ ugen wir es nat¨ urlich insbesondere X hinzu). Die Topologie auf dem so ver¨anderten Raum besteht dann zun¨ achst aus allen offenen Mengen der alten Topologie und zus¨atzlich aus den nunmehr leicht vergr¨ oßerten. Es ist leicht zu sehen, daß die kanonische Injektion unsres Ursprungsraumes in den neuen damit offen (bezogen auf den X entsprechenden Teilraum) und stetig ist – injektiv ist sie ja sowieso. Und unser Sorgenkind ϕ konvergiert nun gegen xϕ !

202

5 Kompaktheit

So weit, so sch¨ on. Wir sollten freilich daran denken, daß wir vorl¨aufig nur einem Ultrafilter zur Konvergenz verholfen haben. Außerdem sollten wir das oben so lax hingeschriebene h¨ ochstens“ u ¨berdenken – damit landen wir n¨amlich, wenn wir das u ¨ bertreiben, ” direkt wieder bei der Campingplatz-Kompaktifizierung. Die hatten wir schon, die wollen wir nicht mehr. F¨ ugen wir das neue Element m¨ oglichst vielen – eventuell sogar allen – offenen Mengen hinzu, die Element von ϕ sind, so verschaffen wir dem neuen Element ein paar mehr offene Umgebungen und d¨ urfen eher hoffen, vielleicht einige Trennungseigenschaften von (X, τ ) zu retten. Wenn wir allerdings tats¨ achlich f¨ ur jeden bislang nicht konvergenten Ultrafilter ϕ ein eigenes neues Element xϕ hinzunehmen, bl¨ahen wir den neuen Raum wom¨oglich absolut unn¨ otig auf und riskieren dabei, auf dem so entstehenden Raum neue Ultrafilter zu erhalten, die wom¨ oglich wieder nicht konvergieren ... Es kann doch aber sein, daß f¨ ur zwei verschiedene bislang nicht konvergente Ultrafilter ϕ1 , ϕ2 vielleicht ϕ1 ∩ τ ⊆ ϕ2 ∩ τ gilt – dann w¨ urde es gen¨ ugen, den offenen Elementen von ϕ1 ein xϕ1 hinzuzuf¨ ugen, gegen das dann ϕ2 fr¨ ohlich mitkonvergieren w¨ urde.∗ Es ist also naheliegend, nach nichtkonvergierenden Ultrafiltern ϕ zu suchen, f¨ ur die ϕ∩τ ¨ minimal ist.† Ja, so etwas sollten wir tun. Um bei den daf¨ ur erforderlichen Uberlegungen auf mengentheoretisch vertrautere Denkfiguren zur¨ uckgreifen zu k¨onnen, gehen wir freilich zu einer dualen“ Formulierung u ¨ ber. ” Mit Cl(X, τ ) bezeichnen wir die Familie aller nichtleeren abgschlossenen Teilmengen des topologischen Raumes (X, τ ). (Besteht u ¨ ber die Topologie kein Zweifel, schreiben wir der K¨ urze halber lieber nur Cl(X) daf¨ ur.) Nun ist leicht einzusehen, daß f¨ ur einen Ultrafilter ϕ ∈ F0 (X) die Familie ϕ ∩ τ genau dann minimal ist, wenn ϕ ∩ Cl(X) maximal ist. Es bietet sich also an, just solchen maximalen Familien α abgeschlossener Teilmengen mit der Eigenschaft, daß endliche Durchschnitte von Elementen aus α wieder in α liegen jeweils ein eignes neues Element zuzugestehen.‡ Bislang war das alles nicht sehr pr¨ azise und diente eher der Motivation und Bef¨orderung intuitiven Erfassens unsres Vorhabens. Werden wir nun lieber genauer. ∗ † ‡

Bek¨ ame der Ultrafilter mit mehr offenen Mengen auch noch ein eigenes Element zuerkannt, d¨ urften wir z.B. nicht mehr hoffen, einen Hausdorff-Raum zu erhalten ... D.h. f¨ ur jeden Ultrafilter ψ folgt aus ψ ∩ τ ⊆ ϕ ∩ τ sofort ψ ∩ τ = ϕ ∩ τ . Eine solche Familie ist eine Filterbasis und daher in solchen Ultrafiltern ϕ enthalten, f¨ ur die ϕ ∩ Cl(X) maximal ist. Ist umgekehrt f¨ ur einen Ultrafilter ϕ die Familie α := ϕ ∩ Cl(X) maximal, so ist wegen der Ultrafiltereigenschaft von ϕ dieses α offenbar eine maximale Familie abgeschlossener Teilmengen mit der oben genannten endlichen Durchschnittseigenschaft“. ”

5.4 Kompaktif izierungen

203

Vorbemerkungen: (1) Ist X eine Menge und M ⊆ P(X), so sagen wir, M habe die endliche Durchschnittseigenschaft genau dann, wenn zu je zwei Elementen A, B von M auch deren Durchschnitt A ∩ B Element von M ist.∗ (2) Die Familie aller derjenigen Teilmengen von Cl(X), die die endliche Durchschnittseigenschaft haben, ist durch Inklusion halbgeordnet. Ganz analog zu Proposition 1.4.2 und Lemma 1.4.3 folgt daraus, daß zu jeder Familie α ⊆ Cl(X) mit endlicher Durchschnittseigenschaft eine maximale Familie α ⊇ α mit endlicher Durchschnittseigenschaft existiert.† (3) Ist (X, τ ) ein R0 -Raum, so ist f¨ ur jedes x ∈ X die Familie {A ∈ Cl(X)| x ∈ A} eine bez¨ uglich der endlichen Durchschnittseigenschaft maximale Teilmenge von Cl(X). (Diese Familie enth¨ alt ja {x} und jede abgeschlossene Teilmenge von X, die x nicht enth¨ alt, ist wegen R0 zu {x} disjunkt.) Definition 5.4.12 Sei (X, τ ) ein topologischer R0 -Raum und Cl(X) die Familie aller nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen von X. Mit w(X) bezeichnen wir die Familie aller derjenigen Teilmengen von Cl(X), die die endliche Durchschnittseigenschaft haben und diesbez¨ uglich maximal sind. Wir erkl¨ aren eine Abbildung ϕ : X → w(X) durch ϕ(x) := {A ∈ Cl(X)| x ∈ A} . (Diese Abbildung ist nach Vorbemerkung (3) wohldefiniert, aber nicht notwendig injektiv.) F¨ ur jede offene Menge O ∈ τ setzen wir O∗ := {α ∈ w(X)| ∃A ∈ α : A ⊆ O} . Nun sei τ w die von der Subbasis S := {O∗ | O ∈ τ } erzeugte Topologie auf w(X). Wir vergewissern uns einiger Eigenschaften unsrer eben definierten Objekte. ∗

†

Darauf aufbauend kann man zu einer gegebenen Teilmenge A ⊆ P(X) sogenannte A-Filter auf X definieren: als diejenigen Teilmengen von A, die die endliche Durchschnittseigenschaft haben, die leere Menge nicht enthalten und zu jedem ihrer Elemente auch alle diejenigen Obermengen enthalten, die Elemente von A sind. Unsre herk¨ ommlichen“ Filter sind dann ” also P(X)-Filter. So eine maximale Familie ist dann ein Cl(X)-Ultrafilter.

204

5 Kompaktheit

Proposition 5.4.13 Ist α ∈ w(X), A, B ∈ Cl(X) und gilt A ∪ B ∈ α, so gilt (A ∈ α) ∨ (B ∈ α). Beweis: Angenommen, A ∈ α. Wegen der Maximalit¨at von α muß dann ein Element M ∈ α existieren mit M ∩ A = ∅, da wir sonst A zu α hinzuf¨ ugen k¨onnten, ohne die endliche Durchschnittseigenschaft zu verletzen. Dann muß aber ∀N ∈ α, N ⊆ M : N ∩ B = ∅ wegen A ∪ B ∈ α gelten. Wegen ∀N ∈ α : (N ∩ M ∈ α) ∧ (N ∩ M ⊆ M ) folgt daraus sofort ∀N ∈ α : N ∩ B = ∅, so daß wegen der Maximalit¨ at von α nun B ∈ α gelten muß. Eine wichtige Eigenschaft von Ultrafiltern gilt also auch f¨ ur Cl(X)-Ultrafilter. Proposition 5.4.14 Ist (X, τ ) ein T1 -Raum, so ist die Abbildung ϕ : X → w(X) aus Definition 5.4.12 injektiv. Beweis: Die Einpunktmengen {x}, x ∈ X, sind abgeschlossen und somit folgt aus x = y sofort {x} ∈ ϕ(x), aber {x} ∈ ϕ(y).

Proposition 5.4.15 (1) F¨ ur jedes O ∈ τ ist w(X) \ O∗ = {α ∈ w(X)| X \ O ∈ α}. (2) F¨ ur O1 , O2 ∈ τ gelten (a) (O1 ∩ O2 )∗ = O1∗ ∩ O2∗ und (b) (O1 ∪ O2 )∗ = O1∗ ∪ O2∗ . Beweis: (1) Die Definition von O∗ angewandt, erhalten wir w(X) \ O∗ = {α ∈ w(X)| ∀A ∈ α : A ⊆ O}, also w(X) \ O∗ = {α ∈ w(X)| ∀A ∈ α : A ∩ (X \ O) = ∅}, woraus wegen der Abgeschlossenheit von X \ O und der Maximalit¨at von α sogleich die Behauptung folgt. (2)(a) Laut (1) haben wir α ∈ w(X) \ (O1 ∩ O2 )∗ ⇔ (X \ (O1 ∩ O2 )) ∈ α ⇔ (X \ O1 ) ∪ (X \ O2 ) ∈ α, folglich nach Proposition 5.4.13 α ∈ w(X) \ (O1 ∩ O2 )∗ ⇔ ((X \ O1 ) ∈ α ∨(X \ O2 ) ∈ α, was nach (1) wiederum bedeutet α ∈ w(X)\ (O1 ∩O2 )∗ ⇔ α ∈ (w(X) \ O1∗ ) ∪ (w(X) \ O2∗ ) ⇔ α ∈ w(X) \ (O1∗ ∩ O2∗ ), also w(X) \ (O1 ∩ O2 )∗ = w(X) \ (O1∗ ∩ O2∗ ) und daher (O1 ∩ O2 )∗ = O1∗ ∩ O2∗ . (b) analog zu (a): vertausche ∩ mit ∪ und ∨ mit ∧. Aus (2)(a) folgt u ¨brigens, daß die in Definition 5.4.12 erkl¨arte Subbasis S von τ w sogar w eine Basis von τ ist.

5.4 Kompaktif izierungen

205

Lemma 5.4.16 Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so ist (w(X), τ w ) kompakt.

Beweis: Wir benutzen den Alexander’schen Subbasissatz. Angenommen, (w(X), τ w )
w¨ are nicht kompakt. Dann g¨ abe es eine Familie O ⊆ τ derart, daß O∈O O∗ = w(X),
aber w(X)\ ( O∈E O∗ ) = ∅ f¨ ur alle
endlichen Teilfamilien E ⊆ O
gilt. Nach Proposition 5.4.15 haben wir dann w(X)
\ ( O∈E O∗ ) = {α ∈ w(X)| X \ O∈E O ∈ α} = ∅. Insbesondere bedeutet
das X \ O∈E O = ∅, da kein α die leere Menge enth¨alt. Demnach enth¨ alt A := {X \ O∈E O| E ⊆ O, E endlich} die leere Menge nicht und hat offensichtlich die endliche Durchschnittseigenschaft. Folglich gibt es ein α0 ∈ w(X) mit α0 ⊇ A. Dann muß auch α0 in irgendeinem unsrer O∗ , O ∈ O enthalten sein: ∃O0 ∈ O : α0 ∈ O0 , was nach Definition von O0∗ ja gerade ∃A ∈ α0 : A ⊆ O0 – im Widerspruch zur endlichen Durchschnittseigenschaft von α0 , denn nach Konstruktion enth¨alt α0 ja X \ O0 .

Lemma 5.4.17 Ist (X, τ ) ein T1 -Raum, dann ist die Abbildung ϕ : X → w(X) : ϕ(x) := {A ∈ Cl(X)| x ∈ A} stetig und als Abbildung von X nach ϕ(X) auch offen. Außerdem liegt ϕ(X) dicht in w(X).

Beweis: Es gen¨ ugt, die Offenheit der Urbilder der Basiselemente von τ w unter ϕ zu zeigen, um die Stetigkeit von ϕ zu beweisen (Proposition 2.2.35). Sei also O ∈ τ gegeben. Dann haben wir x ∈ ϕ−1 (O∗ ) ⇔ ϕ(x) ∈ O∗ ⇔ x ∈ O (denn da (X, τ ) ein T1 -Raum ist, ist {x} abgeschlossen, also {x} ∈ ϕ(x)). Das ergibt freilich ϕ−1 (O∗ ) = O ∈ τ . w Umgekehrt haben wir analog ϕ(O) = {ϕ(x)| x ∈ O} = O∗ ∩ ϕ(X) ∈ τ|ϕ(X) . ∗ ∗ Sei ∅ = O ∈ τ . Dann haben wir ∅ = ϕ(O) = O ∩ ϕ(X). Da die O , O ∈ τ eine Basis von τ w bilden, schneidet somit jede nichtleere offene Menge aus τ w unser ϕ(X), folglich liegt ϕ(X) dicht in w(X).

Korollar 5.4.18 Ist (X, τ ) ein T1 -Raum, so ist (w(X), τ w ) eine Kompaktifizierung von (X, τ ).

Beweis: Kombiniere Proposition 5.4.14 und die Lemmata 5.4.16, 5.4.17.

206

5 Kompaktheit

Lemma 5.4.19 Ist (X, τ ) ein T4 -Raum, so ist (w(X), τ w ) ein T2 -Raum. ussen wegen der Maximalit¨at beiBeweis: Sind α1 , α2 ∈ w(X) mit α1 = α2 , so m¨ der bez¨ uglich der endlichen Durchschnittseigenschaft Elemente A1 ∈ α1 , A2 ∈ α2 mit A1 ∩ A2 = ∅ existieren. Wegen T4 existieren also offene Umgebungen O1 , O2 ∈ τ mit A1 ⊆ O1 , A2 ⊆ O2 und O1 ∩ O2 = ∅. Nach Proposition 5.4.15(2)(a) ergibt das O1∗ ∩ O2∗ = ∅ und nat¨ urlich gilt α1 ∈ O1∗ und α2 ∈ O2∗ .

Lemma 5.4.20 Sei (X, τ ) ein T1 -Raum und (Y, σ) ein kompakter Hausdorff-Raum, sowie f : X → Y stetig. Dann existiert genau eine stetige Funktion F : w(X) → Y mit f = F ◦ ϕ. Beweis: Wir benutzen Satz 4.4.6 und m¨ ussen also die G¨ ultigkeit von dessen Voraussetzungen absichern: Als kompakter Hausdorff-Raum ist (Y, σ) zweifellos auch ein regul¨arer T0 -Raum, ϕ(X) liegt dicht in w(X) laut Lemma 5.4.17 und da ϕ ein Hom¨oomorphismus zwischen X und ϕ(X) ist, folgt die Stetigkeit von f ◦ ϕ−1 aus der Stetigkeit von f . Zu zeigen bleibt also lediglich, daß f¨ ur jeden Filter χ auf ϕ(X), der gegen ein α ∈ w(X) konvergiert, auch ein y ∈ Y derart existiert, daß f (ϕ−1 (χ)) gegen y konvergiert. Sei also χ ∈ F(ϕ(X)) mit χ → α ∈ w(X) gegeben. Da (Y, σ) kompakt ist, konvergiert jedenfalls jeder Oberultrafilter von f (ϕ−1 (χ)) in Y . Angenommen, es existierten zwei Oberultrafilter ν1 , ν2 von f (ϕ−1 (χ)) und y1 = y2 ∈ Y derart, daß ν1 → y1 und ν2 → y2 . Da (Y, σ) als kompakter Hausdorff-Raum ja auch regul¨ ar ist, existieren dann V1 , V2 ∈ σ mit y1 ∈ V1 , y2 ∈ V2 und V1 ∩ V2 = ∅. Wir setzen A1 := V1 , A2 := V2 und haben also A1 ∩ A2 = ∅ f¨ ur die abgeschlossenen Teilmengen A1 , A2 von Y . Aus ν1 → y1 folgt A1 ∈ ν1 und aus ν2 → y2 folgt A2 ∈ ν2 . Laut Lemma 1.4.14 existieren Oberultrafilter ψ1 , ψ2 von χ mit f (ϕ−1 (ψ1 )) = ν1 und f (ϕ−1 (ψ2 )) = ν2 , die beide nat¨ urlich gegen α ∈ w(X) konvergieren, weil χ das tut. Zudem erhalten wir ϕ(f −1 (A1 )) ∈ ψ1 und ϕ(f −1 (A2 )) ∈ ψ2 . Daraus folgt α ∈ ϕ(f −1 (A1 )) ∩ ϕ(f −1 (A2 )) .

(5.7)

Andrerseits folgt aus A1 ∩ A2 = ∅ sogleich f −1 (A1 ) ∩ f −1 (A2 ) = ∅. Das liefert (X \ f −1 (A1 )) ∪ (X \ f −1 (A2 )) = X (X \ f −1 (A1 ))∗ ∪ (X \ f −1 (A2 ))∗ = w(X)



 w(X) \ (X \ f −1 (A1 ))∗ ∩ w(X) \ (X \ f −1 (A2 ))∗ = ∅ .

(5.8)

5.4 Kompaktif izierungen

207

Da f stetig ist und somit f −1 (A1 ), f −1 (A2 ) abgeschlossen sind, sind (X \f −1 (A1 ))∗ , (X \ f −1 (A1 ))∗ wohldefiniert als offene Teilmengen von w(X). Mithin sind w(X) \ (X \ f −1 (Ai ))∗ , i = 1, 2 abgeschlossen in w(X). Freilich beobachten wir x ∈ f −1 (Ai ) ⇒ x ∈ X \ f −1 (Ai ) ⇒ (X \ f −1 (Ai )) ∈ ϕ(x) ⇒ ϕ(x) ∈ (X \ f −1 (Ai ))∗ ⇒ ϕ(x) ∈ w(X) \ (X \ f −1 (Ai ))∗ , also ϕ(f −1 (Ai )) ⊆ w(X) \ (X \ f −1 (Ai ))∗ , woraus wegen der Abgeschlossenheit der ur i ∈ {1, 2} w(X)\ (X \ f −1 (Ai ))∗ in w(X) sofort ϕ(f −1 (Ai )) ⊆ w(X)\ (X \ f −1 (Ai ))∗ f¨ folgt. Zusammen mit (5.8) ergibt das freilich ϕ(f −1 (A1 )) ∩ ϕ(f −1 (A2 )) = ∅ im Widerspruch zu (5.7). Folglich muß unsre Annahme falsch sein, d.h. alle Oberultrafilter von f (ϕ−1 (χ)) konvergieren gegen ein und dasselbe Element y ∈ Y , woraus wiederum f (ϕ−1 (χ)) → y folgt. Daher ist Satz 4.4.6 anwendbar, es existiert also genau eine stetige Funktion F : w(X) → Y mit F|ϕ(X) = f ◦ ϕ−1 , d.h. f = F ◦ ϕ.

Korollar 5.4.21 Ist (X, τ ) ein normaler T1 -Raum, dann ist seine Wallman-Kompaktifizierung hom¨ooˇ morph zu seiner Stone-Cech-Kompaktifizierung, d.h. w(X) ∼ = β(X). Beweis: Kombiniere Satz 5.4.8 mit Lemma 5.4.19, Korollar 5.4.18 und Lemma 5.4.20. Diese Kenntnis nutzen wir nun, um etwas genauer als auf Seite 196 zu sehen, wie ˇ großz¨ ugig die Stone-Cech-Kompaktifizierung im Hinzuf¨ ugen von Punkten ist: Korollar 5.4.22 Ist (IN, τd ) der Raum der nat¨ urlichen Zahlen mit diskreter Topologie, so gilt |β(IN )| = |P(P(IN ))| . Beweis: Als diskreter Raum ist (IN, τd ) trivialerweise ein normaler T1 -Raum, so daß laut Korollar 5.4.21 β(IN ) ∼ = w(IN ) und damit insbesondere |β(IN )| = |w(IN )| folgt. Da in (IN, τd ) nun alle Teilmengen abgeschlossen sind, sind die maximalen Familien abgeschlossener Mengen mit endlicher Durchschnittseigenschaft genau die Ultrafilter auf IN , d.h. w(IN ) = F0 (IN ), woraus mit Satz 1.4.21 sofort |w(IN )| = |P(P(IN ))| folgt.

208

5.5

5 Kompaktheit

Metakompakt, parakompakt – voll normal Es wird immer noch ein bißchen komplizierter. Martin Wohlgemuth

Wir gehen hier noch ganz kurz auf ein paar Begriffe ein, die ebenfalls den der Kompaktheit abschw¨ achen und die gerade im Zusammenhang mit einigen Anwendungen (Metrisation etc.) des ¨ ofteren auftreten.

5.5.1

¨ Einige Uberdeckungseigenschaften

Definition 5.5.1 Sind α, β ⊆ P0 (X) Familien von Teilmengen der Menge X, so heißt α feiner als β (in Zeichen: α  β) genau dann, wenn ∀A ∈ α : ∃B ∈ β : A ⊆ B ¨ gilt. Sind α, β insbesondere Uberdeckungen von X, nennen wir dann auch α eine Verfeinerung von β. ¨ ¨ Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt eine Uberdeckung α von X offene Uberdeckung genau dann, wenn α ⊆ τ gilt. Wir wollen beachten, daß die feiner“-Relation zwar reflexiv und transitiv, aber im ” allgemeinen keineswegs antisymmetrisch ist, wie man sich an einfachen Beispielen leicht klar machen kann. Sie ist also im allgemeinen keine Halbordnung. Definition 5.5.2 Sei X eine Menge und α ⊆ P0 (X), sowie x ∈ X. Dann nennen wir die Teilmenge st(x, α) :=



A

A∈α,x∈A

den α-Stern an x. Sind α, β Teilmengen von P(X) und gilt st(β) := {st(x, β)| x ∈ X}  α , so heißt β eine baryzentrische Verfeinerung von α. Nat¨ urlich kann man auch etwas gr¨ oßere Sternchen betrachten: st(B, β) :=

 b∈B

st(b, β) =

 C∈β,C∩B=∅

C

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

209

Gilt nun f¨ ur Familien α, β ⊆ P(X) sogar β ∗ := {st(B, β)| B ∈ β}  α , so heißt β eine Stern-Verfeinerung von α. Mindestens in diesem Kapitel werden wir Verfeinerungen eigentlich nur mit Bezug auf ¨ Uberdeckungen verwenden. Es kann aber ja nicht schaden, die Definition etwas allgemeiner zu halten und f¨ ur beliebige Teilmengenfamilien α, β ⊆ P(X) offen zu halten.

Proposition 5.5.3 ¨ Sei X eine Menge und seien α, β, γ ⊆ P0 (X) Uberdeckungen von X derart, daß (1) st(α)  β und (2) st(β)  γ gelten, dann gilt auch (3) α∗  γ, d.h. eine baryzentrische Verfeinerung einer baryzentrischen Verfeinerung von γ ist eine Stern-Verfeinerung von γ. Beweis: Aufgabe15

Definition 5.5.4 Eine Familie α ⊆ P0 (X) heißt punktfinit genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ X die Teilmenge α(x) := {A ∈ α| x ∈ A} endlich ist. Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt eine Familie α ⊆ P0 (X) lokal endlich genau dann, wenn jedes Element x ∈ X eine offene Umgebung U derart hat, daß die Menge U −α := {A ∈ α| A ∩ U = ∅} endlich ist. ¨ Jede lokal endliche Uberdeckung ist nat¨ urlich erst recht punktfinit. Beispiele: • Nehmen wir etwa den Raum IR der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie, so ist offenbar die Familie α := {(z − 1, z + 1)| z ∈ ZZ } eine sowohl punktfinite als ¨ auch lokal endliche offene Uberdeckung von IR.

210

5 Kompaktheit ¨ • Wiederum in IR mit euklidischer Topologie betrachtet, ist die Uberdeckung β := { {x} | x ∈ IR} zwar punktfinit, aber nicht lokal endlich (und auch nicht offen).

Bemerkung: Die Begriffe punktfinit und lokal endlich k¨onnen wir nat¨ urlich ohne Umschweife auch f¨ ur beliebige unendliche Kardinalit¨aten κ ausweiten: Sei κ eine unendliche Kardinalzahl. Eine Familie α ⊆ P0 (X) heißt punktal κ-beschr¨ankt genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ X die Teilmenge α(x) := {A ∈ α| x ∈ A} h¨ochstens die M¨achtigkeit κ hat. Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt eine Familie α ⊆ P0 (X) lokal κ-beschr¨ankt genau dann, wenn jedes Element x ∈ X eine offene Umgebung U derart hat, daß die Menge U −α := {A ∈ α| A ∩ U = ∅} h¨ ochstens die M¨achtigkeit κ hat. Als eine Versch¨ arfung von Proposition 2.2.13(6) finden wir: Lemma 5.5.5 Sei α eine lokal endliche Familie von Teilmengen eines topologischen Raumes (X, τ ). Dann gilt f¨ ur jede Teilfamilie A ⊆ α stets 

A=

A∈A



A

A∈A

usse ist wiederum lokal endlich. und die Familie {A| A ∈ A} aller Abschl¨

Beweis: Aus 2.2.13(6) wissen wir, daß jedenfalls A∈A A ⊆ A∈A A gilt. Sei nun also
x ∈ A∈A A. Wegen der lokalen Endlichkeit von A hat x nun eine offene Umgebung . ochstens endlich viele Elemente von A nichtleer schneidet. Wegen U ∈ x ∩ τ , die h¨

x ∈ A∈A A existiert ein Ultrafilter ϕ, der A∈A A
enth¨alt und gegen x konvergiert, also auch U enth¨ alt – da nun der Schnitt
von A1 := A∈A∧A∩U =∅ A mit U naturgem¨aß leer ist, folgt A1 ∈ ϕ und darum A2 := A∈A∧A∩U =∅ A ∈ ϕ, wegen A1 ∪ A2 ∈ ϕ. Nun ist freilich A2 Vereinigung endlich vieler
Elemente von A, d.h. ∃A3 ∈ A : A3 ∈ ϕ nach Lemma 1.4.5. Das aber liefert x ∈ A3 ⊆ A∈A A. Die lokale Endlichkeit von {A| A ∈ A} folgt aus der von A einfach dadurch, daß jede offene Umgebung, die ein A nichtleer schneidet, auch das zugeh¨orige A nichtleer schneidet.

Definition 5.5.6 Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt metakompakt genau dann, wenn jede offene ¨ Uberdeckung von X eine punktfinite offene Verfeinerungs¨ uberdeckung hat. ¨ Der Raum (X, τ ) heißt parakompakt genau dann, wenn jede offene Uberdeckung von X eine lokal endliche offene Verfeinerungs¨ uberdeckung hat. ¨ Der Raum (X, τ ) heißt voll T4 genau dann, wenn jede offene Uberdeckung von X eine offene Stern-Verfeinerungs¨ uberdeckung hat. Ist ein voller T4 -Raum zus¨atzlich T1 , so heißt er voll normal.

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

211

Im Lichte von Proposition 5.5.3 w¨ are es zur Definition von voll T4“ offenbar ¨aquivalent, ” wenn wir statt der Existenz offener Stern-Verfeinerungen nur die Existenz baryzentrischer Verfeinerungen fordern w¨ urden. Wir werden daher f¨ urderhin nach Belieben die einen oder die anderen f¨ ur diesen Zweck verwenden – wollen wir z.B. die Eigenschaft voll T4“ nachweisen, wird es vielleicht bequemer sein, die Existenz von baryzentrischen ” Verfeinerungen zu beweisen, w¨ ahrend es bei Folgerungen aus der vollen T4 -Eigenschaft m¨ oglicherweise n¨ utzlich ist, die Existenz von Stern-Verfeinerungen zu benutzen. Daß die Wahl der Bezeichnung voll T4 (bzw. voll normal) einigermaßen sinnvoll gew¨ahlt ist (schließlich klingt es deutlich nach einer Versch¨arfung der T4 -Bedingung), sollten wir uns vielleicht erstmal schnell u ¨ berlegen: Aufgabe16 Zeige, daß jeder volle T4 -Raum ein T4 -Raum ist und gib ein Beispiel an f¨ ur einen T4 -Raum, der nicht voll T4 ist. ¨ Daraus, daß jede lokal endliche Uberdeckung auch punktfinit ist, folgt sofort, daß jeder parakompakte Raum auch metakompakt ist. ¨ Trivialerweise ist jeder kompakte Raum auch parakompakt: zu jeder offenen Uberdeckung gibt es dort ja eine endliche Teil¨ uberdeckung, die selbstverst¨andlich eine Verfei¨ nerung der urspr¨ unglichen Uberdeckung darstellt und als endliche Familie naturgem¨aß auch lokal endlich ist. Andrerseits ist keineswegs jeder parakompakte Raum auch kompakt – sonst w¨are die neue Begriffsbildung ja auch albern: man nehme beispielsweise IN mit diskreter To¨ pologie τdis ; dort ist die Uberdeckung { {n} | n ∈ IN } eine offene Verfeinerung jeder ¨ Uberdeckung – und sie ist wegen {n} ∈ τdis , n ∈ IN , lokal endlich. Freilich enth¨alt ¨ gerade diese Uberdeckung keine endliche Teil¨ uberdeckung. Die Eigenschaft voll T4“ f¨ allt hier ein bißchen aus dem Rahmen, denn tats¨achlich muß ” ein kompakter Raum keineswegs voll T4 sein, wie man am Beispiel der nat¨ urlichen Zahlen mit kofiniter Topologie leicht einsehen kann: dieser Raum ist offensichtlich kompakt (sobald wir eine nichtleere offene Menge hernehmen, bleiben ja nur noch endlich viele Elemente zu u ¨berdecken), aber nicht einmal T4 , denn schlichtweg alle Paare nichtleerer offener Mengen darin haben einen nichtleeren Durchschnitt. Bei Hausdorff-R¨ aumen klappt’s aber wieder, wie wir anhand des Satzes von Michael & Stone bald sehen werden. In der Literatur (z.B. [26], [28]) findet man hin und wieder den Satz, daß ein topologischer Raum genau dann kompakt ist, wenn er abz¨ahlbar kompakt und metakompakt ist. Das ist absolut korrekt, wiewohl es ein wenig wunderlich erscheint, denn von Seite 157 wissen wir ja schon, daß kompakt = Lindel¨of + abz¨ahlbar kompakt“ gilt. Nun gibt ” es freilich sowohl Lindel¨ of-R¨ aume, die nicht metakompakt sind, als auch metakompak-

212

5 Kompaktheit

te R¨ aume ohne Lindel¨ of-Eigenschaft, w¨ ahrend andrerseits sowohl Metakompaktheit als auch Lindel¨ of-Eigenschaft aus der Kompaktheit folgen. Die Sache kl¨ art sich dadurch, daß eine gemeinsame Verallgemeinerung von Metakompaktheit und Lindel¨ of-Eigenschaft gen¨ ugt, aus abz¨ahlbarer Kompaktheit richtige Kompaktheit zu machen: Wir nennen einen topologischen Raum (X, τ ) einen Meta-Lindel¨of-Raum genau dann, ¨ wenn jede offene Uberdeckung von X eine punktal abz¨ahlbar beschr¨ankte offene Verfeinerungs¨ uberdeckung hat. Es d¨ urfte unmittelbar klar sein, daß jeder Lindel¨of-Raum ebenso wie jeder metakompakte Raum ein Meta-Lindel¨ of-Raum ist. Lemma 5.5.7 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt, wenn er sowohl MetaLindel¨ of-Raum als auch abz¨ ahlbar kompakt ist. Beweis: Daß aus Kompaktheit sowohl Meta-Lindel¨of-Eigenschaft als auch abz¨ahlbare Kompaktheit folgen, sollte klar sein. K¨ ummern wir uns also um die Gegenrichtung: Sei (X, τ ) sowohl abz¨ ahlbar kompakt als auch Meta-Lindel¨of. ¨ Sei nun α eine beliebige offene Uberdeckung von X. Wegen der Meta-Lindel¨of-Eigenschaft existiert dann eine punktal abz¨ahlbar beschr¨ankte offene Verfeinerungs¨ uberdeckung β  α. ¨ Angenommen, β enthielte keine endliche Uberdeckung von X. Dann w¨ ahlen wir ein beliebiges x0 ∈ X und danach induktiv weiter xn ∈ An := X \

n−1 

st(xi , β) .

i=0

Offenbar gilt nun ∀n ∈ IN : ∅ = An+1 ⊆ An . (Die Inklusion ist klar – und w¨are eines der An leer, so hieße das ja, daß eine endliche Vereinigung u ¨ ber abz¨ahlbare Vereinigungen∗ von Elementen aus β schon ganz X u ¨ berdeckte, so daß dann wegen der abz¨ ahlbaren Kompaktheit auch eine endliche Teil¨ uberdeckung existierte.) Der von der Folge (xn )n∈IN erzeugte Elementarfilter hat nat¨ urlich eine abz¨ahlbare Basis; wegen der abz¨ ahlbaren Kompaktheit von X existiert daher ein Ultrafilter ϕ auf X, der diesen Elementarfilterenth¨ alt und gegen
∞ ein a ∈ X konvergiert. Zudem sind alle An abgeschlossen, ∞ so daß a ∈ i=1 Ai = X \ i=0 st(xi , β) folgt. D.h. a ist in keinem Element von β ent¨ alt. Andrerseits ist β eine Uberdeckung von X, halten, das irgendeines unsrer xi enth¨ ∗

Die Sterne st(xi , β) werden wegen der punktalen Abz¨ ahlbarkeit von β ja nur aus abz¨ ahlbar vielen Elementen von β gebildet!

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

213

d.h. es existiert eine offene Umgebung B ∈ β mit a ∈ B und B ∩ {xi | i ∈ IN } = ∅. Da nun ϕ gegen a konvergiert, muß B ∈ ϕ gelten – im Widerspruch zu {xi | i ∈ IN } ∈ ϕ, weil ja ϕ ein Oberfilter des von (xi )i∈IN erzeugten Elementarfilters ist. ¨ Daher muß β eine endliche Uberdeckung von X enthalten – und darum enth¨alt auch α eine, was unmittelbar aus β  α, d.h. ∀B ∈ β : ∃A ∈ α : B ⊆ A, folgt. Korollar 5.5.8 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt, wenn er metakompakt und abz¨ ahlbar kompakt ist. Beweis: Jeder kompakte Raum ist in trivialer Weise sowohl metakompakt, als auch abz¨ ahlbar kompakt. Andrerseits ist jeder metakompakte Raum erst recht ein MetaLindel¨ of-Raum, so daß zusammen mit abz¨ ahlbarer Kompaktheit aus Lemma 5.5.7 die Kompaktheit folgt. Korollar 5.5.9 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt, wenn er parakompakt und abz¨ ahlbar kompakt ist. Beweis: Jeder kompakte Raum ist in trivialer Weise sowohl parakompakt, als auch abz¨ ahlbar kompakt. Andrerseits ist jeder parakompakte Raum erst recht metakompakt, so daß zusammen mit abz¨ ahlbarer Kompaktheit die Kompaktheit aus 5.5.8 folgt.

5.5.2

Charakterisierung durch Filterkonvergenz

Um auf die naheliegende Frage einzugehen, wie man denn Metakompaktheit und Parakompaktheit durch Filterkonvergenz beschreiben k¨onne, m¨ ussen wir wieder ein bißchen ausholen und zun¨ achst f¨ ur Familien von Teilmengen unsres Grundraumes X eine Art komplement¨ arer Eigenschaften zu punktfinit“ und lokal endlich“ erkl¨aren. ” ” Definition 5.5.10 Sei X eine Menge und α ⊆ P0 (X). Die Familie α heißt punktdominant genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ X die Teilfamilie . α \ x (= {A ∈ α| x ∈ A}) endlich ist. Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so heißt die Familie α stark lokal dominant genau dann, wenn jedes x ∈ X eine offene Umgebung U hat, f¨ ur die die Teilfamilie {A ∈ α| U ⊆ A} endlich ist.

214

5 Kompaktheit

Wir beobachten die folgenden simplen Zusammenh¨ange f¨ ur beliebige Mengen X bzw. topologische R¨ aume (X, τ ): • Eine Familie α ⊆ P0 (X) ist genau dann punktdominant, wenn die Familie der Komplemente {X \ A| A ∈ α} punktfinit ist. • Eine Familie α ⊆ P0 (X) ist genau dann stark lokal dominant, wenn die Familie der Komplemente {X \ A| A ∈ α} lokal endlich ist. Originellerweise∗ gilt ein Analogon zu Lemma 5.5.5 auch f¨ ur punktdominante Familien: Proposition 5.5.11 ur Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und α ⊆ P0 (x) punktdominant. Dann gilt f¨ jede Teilmenge A ⊆ α 



A=

A∈A

A.

A∈A

Beweis: Wir brauchen wegen 2.2.13(6) wiederum nur
Sei also x ∈ A∈A A. Wir unterscheiden zwei F¨alle: (1) ∃A0 ∈ A : x ∈ A0 : Dann folgt x ∈ A0 ⊆


A∈A


A∈A

A⊆


A∈A

A zu zeigen.

A trivial.

(2) ∀A ∈ A : x ∈ A: Dann ist A wegen der Punktdominanz von α notwendigerweise
n endlich, also A = {A1 , ..., An } und es existiert ein Ultrafilter ϕ mit i=1 Ai ∈ ϕ, der gegen x konvergiert. Nach
Lemma 1.4.5 existiert dann auch ein i ∈ {1, ..., n} mit Ai ∈ ϕ, woraus x ∈ Ai ⊆ A∈A A folgt. In jedem Fall haben wir also x ∈


A∈A

A

Korollar 5.5.12 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und α ⊆ P0 (X) stark lokal dominant oder punktfinit. Dann gilt f¨ ur jede Teilfamilie A ⊆ α stets  int



A∈A ∗

 A

=



int(A) .

A∈A

Man beachte, daß die Eigenschaften lokal endlich und punktdominant einander bei unendlichen Familien ausschließen – die Sache schreit geradezu nach Verallgemeinerung ...

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

215

Beweis: Wenn α stark lokal dominant (bzw. punktfinit) ist, so ist σ := {X \ A| A ∈ α} lokal endlich (bzw. punktdominant), folglich gilt nach 5.5.5 (bzw. 5.5.11) 

X \A=

A∈A



X \A ,

A∈A

also auch X\



X \A=X \

A∈A



X \A ,

A∈A

woraus mit 2.2.11(2) zun¨ achst int(X \





X \ A) = X \

A∈A

X \A

A∈A

folgt. Anwendung von 1.1.2(3) liefert  



int A = (X \ X \ A) , A∈A

A∈A

woraus wiederum mit 2.2.11(2) sogleich  



int A = int(A) A∈A

A∈A

folgt. Bemerkung: In den einzigen Literaturquellen ([16] und [19]), die ich zum Thema Beschreibung von Meta- und Parakompaktheit durch Filterkonvergenz mit den Suchworten +metacompact +filter“ bei www.google.de oder im Zentralblatt Mathematik ” bislang finden konnte, wird nun definiert: Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Ein Filter ϕ auf X heißt vom Typ M genau dann, wenn jede punktdominante Teilmenge α ⊆ ϕ einen konvergenten Oberfilter ψ ⊇ α hat. Der Filter ϕ heißt vom Typ P genau dann, wenn jede stark lokal dominante Teilmenge α ⊆ ϕ einen konvergenten Oberfilter ψ ⊇ α hat. und anschließend die ungl¨ ucklicherweise falsche (und dort auch als unbewiesenes Lemma angegebene) Behauptung aufgestellt, diese definierenden Bedingungen ließen sich etwas entsch¨ arfen“, indem man sich auf Familien abgeschlossener Teilmengen zur¨ uckzieht, ” d.h. ein Filter ϕ w¨ are genau dann vom Typ M (bzw. P), wenn jede punktdominante (bzw. stark lokal dominante) Familie α ⊆ ϕ abgeschlossener Teilmengen einen konvergenten Oberfilter hat. Daß das nicht stimmt, sehen wir an folgendem

216

5 Kompaktheit

Beispiel 5.5.13 Sei IN mit der Topologie τ := { {n ∈ IN | n < n0 } | n0 ∈ IN } ∪ {IN } versehen. Sei ferner ϕ der kofinite Filter auf IN . Abgeschlossen sind hier also genau die Mengen der Gestalt {n ≥ n0 } mit n0 ∈ IN und nat¨ urlich ∅. Jede Teilfamilie α des kofiniten Filters ϕ, die aus abgeschlossenen Teilmengen besteht und punktdominant ist, muß also endlich sein. Daher hat jede solche Teilfamilie einen nichtleeren Durchschnitt und somit Einpunktfilter als konvergente Oberfilter. Andrerseits ist die Familie β := {{IN \ {k}| k ∈ IN } offensichtlich punktdominant (bzw. stark lokal dominant) – aber jeder Filter auf IN , der β umfaßt, umfaßt auch den kofiniten Filter ϕ, konvergiert also offensichtlich nicht. Dasselbe Beispiel lehrt auch gleich, daß der aus dem (unbeweisbaren, weil falschen) Lemma durchaus korrekt abgeleitete Satz 1 aus [16] (bzw. [19]) falsch ist, der besagt, daß ein topologischer Raum genau dann metakompakt (bzw. parakompakt) sei, wenn jeder Filter von Typ M (bzw. P) auf X einen konvergenten Oberfilter hat. Unser Raum (IN, τ ) ist n¨ amlich eindeutig nicht metakompakt (damit erst recht nicht parakompakt), ¨ wie man sich anhand der offenen Uberdeckung τ \{IN } leicht u ¨ berlegt. Allerdings haben alle Filter χ vom Typ M (bzw. P) hierin konvergente Oberfilter: .

.

(1) Gilt ∃x ∈ IN : χ ⊆ x, so ist x ein trivialerweise konvergenter Oberfilter von χ. .

(2) Gilt ∀x ∈ IN : χ ⊆ x, so folgt sofort, daß χ die stark lokal dominante (und damit erst recht punktdominante) Familie β := {{IN \ {k}| k ∈ IN } umfaßt, die keinen konvergenten Oberfilter hat, so daß unser χ dann eben nicht vom Typ M (bzw. P) ist. In Hinblick auf unser Lemma 2.2.14 sehen die fehlerhaften Lemmata aus [16] und [19] freilich zun¨ achst sehr einleuchtend aus – der Witz ist allerdings, daß im allgemeinen der Abschlußfilter [α] des von einer Familie α ⊆ ϕ erzeugten Filters nicht gleich dem von der Familie α := {A| A ∈ α} erzeugten Filter [α] sein muß (sofern α nicht etwa eine Filterbasis ist), sondern durchaus echt feiner sein kann. Das bedeutet keineswegs, daß die Autoren schlechte Mathematiker w¨aren – jeder macht mal Fehler ... es bedeutet aber, daß man Aussagen, die man f¨ ur die eigene Arbeit verwenden m¨ ochte, nicht einmal aus offizieller Fachliteratur“ ∗ ungepr¨ uft u ¨ bernehmen, ” sondern stets deren Beweise nachrechnen sollte. Immerhin ist das fragw¨ urdige Lemma nicht wirklich erforderlich, um eine Charakterisierung von Metakompaktheit bzw. Parakompaktheit durch Filterkonvergenz zu erhalten – man nehme einfach das, was die Autoren damit etwas illegal erzwingen wollten, als definierende Bedingung und schon geht ihr Beweis fast identisch durch: ∗

Grunds¨ atzlich spricht es f¨ ur ein solides Maß an Seriosit¨ at, wenn ein Beitrag z.B. im Zentralblatt referiert wird.

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

217

Definition 5.5.14 Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Ein Filter ϕ auf X heißt meta-komplettierbar (bzw. para-komplettierbar) genau dann, wenn jede punktdominante (bzw. stark lokal dominante) Familie α ⊆ ϕ, die aus abgeschlossenen Teilmengen besteht, einen konvergenten Oberfilter hat.∗ Schon erh¨ alt man† : Lemma 5.5.15 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann metakompakt, wenn jeder metakomplettierbare Filter auf X einen konvergenten Oberfilter hat. Beweis: Sei (X, τ ) metakompakt und ϕ ein Filter auf X, der keinen konvergenten Oberfilter hat. Dann konvergiert insbesondere kein Oberultrafilter von ϕ, d.h. jeder von ihnen enth¨ alt zu jedem Punkt x ∈ X das Komplement einer offenen Umgebung von x. Da die Familie der Komplemente offener Umgebungen eines Punktes abgeschlossen gegen¨ uber endlichen Vereinigungen ist, enth¨alt somit nach Lemma 1.4.10 auch ϕ zu je. dem x ∈ X das Komplement einer offenen Umgebung Ox ∈ τ ∩ x. Mithin ist die Familie ¨ α := {Ox | x ∈ X} eine offene Uberdeckung von X, die wegen der Metakompaktheit eine punktfinite offene Verfeinerung β hat. Demnach ist die Familie β  := {X \U | U ∈ β} der zugeh¨ origen Komplemente punktdominant und besteht aus abgeschlossnen Teilmengen. ¨ Uberdies gilt β  ⊆ ϕ, denn jedes Element U von β ist in einem Element von α enthalten, so daß das entsprechende Element X \ U von β  Obermenge von dessen Komplement und somit in ϕ enthalten ist. Allerdings hat β  keinen konvergenten Oberfilter, da darin nun einmal f¨ ur jedes x ∈ X das Komplement einer offenen Umgebung enthalten ist. Somit ist ϕ nicht meta-komplettierbar. Habe nun jeder meta-komplettierbare Filter auf X einen konvergenten Oberfilter. ¨ ¨ Ist O eine offene Uberdeckung von X, die keine endliche Uberdeckung enth¨alt (welche ja automatisch punktfinit w¨ are), so betrachten wir den von der Basis {X \



O| E ⊆ O, E endlich }

O∈E

erzeugten Filter ϕ und sehen leicht ein, daß ϕ keinen konvergenten Oberfilter haben kann, dieweil ϕ selbst schon zu jedem Element von X das Komplement einer offenen Umgebung enth¨ alt. Unserer Voraussetzung folgend, ist ϕ daher nicht meta-komplettierbar ∗

†

Die Worte meta-“ bzw. para-komplettierbar“ r¨ uhren daher, daß man den entsprechenden ” ” Filtern die Durchschnitte u ugen kann, ohne die ¨ ber die fraglichen Mengenfamilien hinzuf¨ Filtereigenschaft zu zerst¨ oren – sie klingen freilich auch wunderlich, das geb’ ich zu und wir k¨ onnen uns da ja auch noch was einfallen lassen ... aber Typ M“ oder ¨ ahnliches sagt nun ” so gar nix aus. Man“ waren in diesem Fall: Thomas Arbeiter, Thomas Kalinowski und meine Wenigkeit. ”

218

5 Kompaktheit

und muß somit eine punktdominante Teilmenge D ⊆ ϕ enthalten, die aus abgeschlossenen Mengen besteht und auch keinen konvergenten Oberfilter hat. Da die Komplemente der endlichen Vereinigungen von Elementen aus O eine Basis f¨ ur ϕ bilden
und D ⊆ ϕ gilt, existiert zu jedem D ∈ D eine endliche Familie BD ⊆ O mit X \ O∈BD O ⊆ D, also  X \D ⊆ O. (5.9) O∈BD


ur alle D ∈ D und bilde M := D∈D M(D). Setze M(D) := {O ∩ (X \ D)| O ∈ BD } f¨ Offenbar sind alle Elemente von M offen und nach Konstruktion der M(D) jeweils in einem Element von O enthalten. Mithin haben wir schon mal M ⊆ τ und M  O. Daß ¨ M eine Uberdeckung von X ist, sehen wir daran, daß ja # $    (X \ D) ∩ M= O M∈M

D∈D

O∈BD

gilt, woraus mit (5.9) sogleich   M= (X \ D) M∈M

(5.10)

D∈D .

folgt. G¨ abe es nun ein x ∈ X, das in allen Elementen von D enthalten ist, so w¨are x ja ein konvergenter
Oberfilter von D – einen solchen gibt es aber nicht, so daß wir aus (5.10) nunmehr M∈M M = X erhalten. Zu zeigen bleibt nur noch, daß M punktfinit ist. Sei dazu x ∈ X beliebig gew¨ ahlt. Da D punktdominant ist, ist die Familie {X \ D| D ∈ D} jedenfalls punktfinit. Aus x ∈ M ∈ M folgt ja ∃D ∈ D : M ∈ M(D) ∧ x ∈ X \ D. Freilich sind alle M(D) endlich und es existieren nur endlich viele D ∈ D mit x ∈ X\D.

Lemma 5.5.16 Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann parakompakt, wenn jeder para-komplettierbare Filter auf X einen konvergenten Oberfilter hat. Beweis: Aufgabe17

5.5.3

Der Satz von Michael & Stone

Lemma 5.5.17 Jeder parakompakte topologische T2 -Raum (X, τ ) ist regul¨ar. Beweis: Sei A ⊆ X abgeschlossen und b ∈ X \ A gegeben. F¨ ur jedes a ∈ A existiert wegen T2 eine offene Umgebung Ua mit b ∈ Ua . Wir setzen

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

219

¨ α := {Ua | a ∈ A} ∪ {X \ A}, was eine offene Uberdeckung von X ist, die wegen der Parakompaktheit eine lokal endliche offene Verfeinerung β hat. Wir setzen U := st(A, β). Nat¨ urlich ist unser U offen und umfaßt
A. Ferner finden wir wegen der lokalen Endlichkeit von β nach Lemma 5.5.5 U = V ∈β,V ∩A=∅ V . Wegen β  α existiert nun zu jedem
V ∈ β mit V ∩ A = ∅ ein Ua ∈ α mit V ⊆ Ua . Das liefert U ⊆ a∈A Ua , also b ∈ U und somit b ∈ X \U ∈ τ . Somit sind U und X \U trennende offene Mengen f¨ ur A und b.

Proposition 5.5.18 ¨ Sei (X, τ ) ein T3 -Raum, in dem zu jeder offenen Uberdeckung eine (nicht notwen¨ dig offene) lokal endliche feinere Uberdeckung existiert. Dann gibt es auch zu jeder ¨ ¨ offenen Uberdeckung eine lokal endliche feinere Uberdeckung, deren Elemente abgeschlossen sind. ¨ Beweis: Sei α eine offene Uberdeckung von X. Zu jedem x ∈ X existiert also ein Ax ∈ α mit x ∈ Ax . Wegen der T3 -Eigenschaft gibt es dann auch eine offene Umgebung Bx von x mit Bx ⊆ Ax . Die Familien β := {Bx | x ∈ X} und β := {Bx | x ∈ X} sind ¨ ¨ dann Uberdeckungen von X mit β  β  α. Da β zudem eine offene Uberdeckung ¨ ist, existiert nach Voraussetzung eine lokal endliche Uberdeckung γ mit γ  β. Nach ¨ Lemma 5.5.5 ist dann aber auch γ := {C| C ∈ γ} eine lokal endliche Uberdeckung, die aus abgeschlossenen Mengen besteht und f¨ ur die offenbar γ  β  α gilt.

Lemma 5.5.19 ¨ Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und O eine offene Uberdeckung von X, zu der es ¨ eine lokal endliche, feinere Uberdeckung aus abgeschlossenen Teilmengen gibt. Dann hat O auch eine baryzentrische offene Verfeinerungs¨ uberdeckung. ¨ Beweis: Sei A eine lokal endliche Uberdeckung aus abgeschlossenen Mengen mit A  O. F¨ ur jedes x ∈ X k¨ onnen wir also ein Ax ∈ A mit x ∈ Ax und dazu wiederum ein Ox ∈ O mit Ax ⊆ Ox ausw¨ ahlen. Nun setzen wir f¨ ur jedes x ∈ X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

 Oy ⎠ \ ⎝ Ay ⎠ . Vx := ⎝ y∈X,x∈Ay

y∈X,x∈Ay

der lokalen Endlichkeit ist A Da die Familie {y ∈ X, x ∈ Ay } endlich   ist (denn wegen nat¨ urlich erst recht punktfinit), ist y∈X,x∈Ay Oy offen und wegen der lokalen End
lichkeit von A ist y∈X,x∈Ay Ay nach Lemma 5.5.5 abgeschlossen – damit ist als deren urlich Teilmenge des Elementes Ox von O. Differenz dann jedes unserer Vx offen und nat¨ Da wir bei der Konstruktion unsrer Vx nur solche Oy geschnitten haben, die x enthalten und nur solche Ay abgezogen haben, in denen x nicht enthalten ist, gilt nat¨ urlich x ∈ Vx ¨ f¨ ur alle x ∈ X, folglich ist die Familie V := {Vx | x ∈ X} eine Uberdeckung.

220

5 Kompaktheit

Zudem ist V eine baryzentrische Verfeinerung von O: sei dazu x0 ∈ X gegeben und Vy ∈ V mit x0 ∈ Vy . Daraus folgt insbesondere y ∈ Ax0 , dieweil ja sonst bei der Konstruktion von Vy die Menge Ax0 und damit speziell der Punkt x0 entfernt worden w¨are. Das bedeutet wiederum, daß wir bei der Konstruktion von Vy den Durchschnitt auch u ur alle Vy ∈ V mit x0 ∈ Vy ¨ber Ox0 gebildet haben, so daß Vy ⊆ Ox0 folgt. Da dies f¨ gilt, haben wir auch st(x0 , V) ⊆ Ox0 . Aus den Lemmata 5.5.17, und 5.5.19 zusammen mit Proposition 5.5.18 folgt nun unmittelbar Lemma 5.5.20 Jeder parakompakte T2 -Raum (X, τ ) ist voll normal. Die Umkehrung gilt auch, und die wollen wir uns nun erarbeiten. Definition 5.5.21 Eine Familie α ⊆ P(X) heißt σ-lokal-endlich genau dann,
wenn es abz¨ahlbar viele lokal endliche Familien αn ⊆ P(X), n ∈ IN gibt mit α = n∈IN αn . ¨ Dabei brauchen die beteiligten lokal endlichen Familien αn keineswegs Uberdeckungen zu sein – selbst wenn α eine ist. Lemma 5.5.22 ¨ Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, in dem jede offene Uberdeckung eine σ-lokal¨ endliche offene Verfeinerungs¨ uberdeckung besitzt. Dann hat auch jede offene Uberdeckung eine (nicht notwendig offene) lokal endliche Verfeinerungs¨ uberdeckung. ¨ Beweis: Sei α eine offene Uberdeckung von X. Dann existieren nach Voraussetzung

lokal endliche Familien βn ⊆ τ , n ∈ IN mit β := ¨ berdeckte Teil von X) und n∈IN βn  α. Wir setzen Xn := B∈βn B (der von βn u dann weiter C0 := X0  n−1   n   Cn = Xk \ Xk k=0

k=0

f¨ ur alle n ∈ IN . Nun bilden wir noch schnell γ := {Cn ∩ B| n ∈ IN, B ∈ βn } urlichen Zahlen k, f¨ ur die x ∈ Xk Es sei x ∈ X gegeben und nx die kleinste aller nat¨ gilt. Dann folgt x ∈ Cnx und somit, weil x ja Element eines Elementes aus βnx sein

5.5 Metakompakt, parakompakt – voll normal

221

muß, wenn es in deren Vereinigung Xnx liegt, sogleich ∃Bx ∈ βnx : x ∈ Bx . Das aber ¨ liefert x ∈ Bx ∩ Cnx ∈ γ. Da dies f¨ ur alle x ∈ X gilt, ist γ eine Uberdeckung von X. Wir wollen nun noch zeigen, daß unser γ auch lokal endlich ist. Sei dazu wiederum x ∈ X gegeben. Da ja jede unserer Familien βn lokal endlich ist, existiert zu jedem n ∈ IN eine offene Umgebung Un von x, die nur endlich viele Elemente von βn (und damit auch von Elementen der Form B ∩ Cn mit B ∈ βn ) nichtleer schneidet. Wiederum seinx die kleinste aller nat¨ urlichen Zahlen k, f¨ ur die x ∈ Xk gilt. nx Wir setzen Ux := Xnx ∩ k=0 Uk , was nat¨ urlich offen ist. Zudem schneidet U erst recht h¨ ochstens endlich viele Elemente von βk f¨ ur k = 0, ..., nx . F¨ ur k > nx haben wir hingegen Ux ∩ Ck = ∅ wegen Ux ⊆ Xnx , so daß es insgesamt nur endlich viele Elemente der Form B ∩ Cn mit B ∈ βn – also von γ – geben kann, die Ux nichtleer schneiden. Da dies f¨ ur alle x ∈ X gilt, ist γ lokal endlich.

Lemma 5.5.23 ¨ Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, in dem zu jeder offenen Uberdeckung eine lokal endliche Verfeinerungs¨ uberdeckung aus abgeschlossenen Teilmengen existiert, so ist (X, τ ) parakompakt.

¨ Beweis: Sei α eine offene Uberdeckung von X. Dann existiert also eine lokal endliche Verfeinerungs¨ uberdeckung β aus abgeschlossenen Teilmengen, d.h. zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung Ux , die h¨ ochstens endlich viele Elemente von β nichtleer schnei¨ det. Die Familie {Ux | x ∈ X} ist dann wiederum eine offene Uberdeckung von X, zu der also wiederum eine lokal endliche Verfeinerungs¨ uberdeckung γ aus abgeschlossenen Teilmengen existiert. F¨ ur jedes B ∈ β definieren wir B  := X \



C .

C∈γ,C∩B=∅

¨ von X, weil schon β eine ist. Die Familie β  := {B  | B ∈ β} ist dann eine Uberdeckung Zudem besteht β  aus offenen Teilmengen, da wegen Lemma 5.5.5 die Vereinigungen u ¨ ber beliebige Teilfamilien von γ abgeschlossen sind. Wir brauchen nur noch zu zeigen, daß β  lokal endlich ist: Sei dazu x ∈ X gegeben. Wegen der lokalen Endlichkeit von γ existiert eine offene Umgebung Ox von x, die h¨ ochstens endlich viele Elemente C1 , ..., Cn von γ nichtleer schneidet. F¨ ur ein Element B  von β  folgt nun aus y ∈ Ox ∩ B  = ∅ sofort y ∈ Ox und ∃C ∈ γ : y ∈ C ∧ C ∩ B = ∅, also y ∈ Ox ∩ C und darum C ∈ {C1 , ..., Cn }. Nun ist jedes Element von γ nach Konstruktion in einem Ux , x ∈ X enthalten, das wiederum nur endlich viele Elemente von β schneidet. Daher k¨ onnen auch nur endlich viele Elemente von β  unser Ox nichtleer schneiden. Nun gilt ja β  α, d.h. wir k¨ onnen zu jedem B ∈ β ein A(B) ∈ α mit B ⊆ A(B) w¨ ahlen und sehen leicht ein, daß dann {A(B) ∩ B  | B ∈ β} eine offene lokal endliche Verfeinerungs¨ uberdeckung f¨ ur α ist.

222

5 Kompaktheit

Lemma 5.5.24 Jeder volle T4 -Raum (X, τ ), der auch ein R0 -Raum ist, ist parakompakt. Beweis: Sei (X, τ ) als voll T4 und symmetrisch. Dann wissen wir bereits, daß er erst recht T4 und damit nach Proposition 4.4.9 auch T3 ist. K¨ ummern wir uns mit diesem Wissen um die Parakompaktheit. ¨ von X. Zun¨achst existiert auf α0 laut WohlordSei dazu α0 eine offene Uberdeckung nungssatz eine Wohlordnung ≤. uberdeckung von αn−1 f¨ ur Wir w¨ ahlen nun induktiv αn als offene Stern-Verfeinerungs¨ n ∈ IN + . .

ur alle i ∈ IN und Dann definieren wir Bi,A := {x ∈ X| ∃V ∈ x ∩ τ : st(V, αi ) ⊆ A} f¨ A ∈ α0 . Nun ist f¨ ur alle i ∈ IN die Familie {Bi,A | A ∈ α0 } offenbar eine Verfeinerung von α0 . Ferner haben wir x ∈ Bi,A ∧ y ∈ Bi+1,A ⇒ ∀M ∈ αi+1 : {x, y} ⊆ M

(5.11)

f¨ ur beliebige x, y ∈ X. (Andernfalls, wenn ein M ∈ αi+1 mit {x, y} ⊆ M existierte, so folgte die Existenz eines H ∈ αi mit x, y ∈ st(M, αi+1 ) ⊆ H, weil ja αi+1 eine Stern-Verfeinerung von αi ist. Wegen x ∈ H folgte dann f¨ ur jede Umgebung V von x insbesondere H ⊆ st(x, αi ) ⊆ st(V, αi ), aus x ∈ Bi,A wissen wir aber, daß es immerhin eine Umgebung V von x gibt mit st(V, αi ) ⊆ A und damit h¨atten wir st(M, αi+1 ) ⊆ A, was ja y ∈ Bi+1,A implizieren w¨ urde.) Jetzt setzen wir Ci,A0 := Bi,A0 \



Bi+1,A

A