Algebren und ihre Zahlentheorie [1 ed.]

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Leonard Eugene Dickson

Algebren und ihre Zahlentheorie

Veröffentlichungen der Schweizerischen Mathematisdnen Gesellsdiaft Publications de la Socie’te' Mathe'matique Suisse Band 1. Charles} Cailler: Introduction geometrique ä 1a mecanique rationnelle. Publie par H. Fehr et

R.Wavre. Geneve 1925. (Georg & Co.) Band 2. Andreas Speiser: Klassische Stücke der Mathe-

matik. Zürich 1925. (Orell Füssli Verlag.) Band 3. Rudolf Fueter: Das mathematische Werkzeug des Chemikers, Biologen und Statistikers, Zürich

1926. (Orell Füssli Verlag.) Band 4. Leonard Eugene Dickson: Algebren und ihre Zahlentheorie. Mit einem Kapitel über Ideal-

theorie von A. Speiser. (Orell Füssli Verlag.) Die Sammlung wird fortgesetzt.

Algebren und ihre Zahlentheorie von

Leonard Eugene Dickson Professor an der Universität Chicago

Mit einem Kapitel über

Idealtheorie V011

Andreas Speiser Professor an der Universität Zürich

ORELL FUSSLI VERLAG ZÜRICH UND LEIPZIG

Die Übersetzung des Manuskriptes stammt von

J. J. BURCKHARDT und E. SCHUBARTH Die erste amerikanische Auflage dieses Buches ist unter dem Titel “Algebras und their Arithmetics” im Verlag “The University of Chicago Press” Chicago erschienen. Das vorliegende Buch ist die Übersetzung eines vollständig umgearbeiteten und erweiterten Manuskriptes.

Alle Rechte vorbehalten

COPYRIGHT 1927 BY ART. INSTITUT ORELL FÜSSLI ZURICH (SWITZERLAND)

lnhaltsverzeidmis ' ‚ Seite

Einleitung. Vorwort .........................

Kapitel I. Körper, Polynome, Matrizen '1. Definition und Beispiele von Körpern .............. 2. Reduzible und irreduzible Polynome .............. 3. Grösster gemeinsamer Teiler von Polynomen in a: . ........ 4.—5. Grösster gemeinsamer Teiler von ganzen Zahlen. . . '. . . . 6. Rationale Funktionen einer Wurzel in Form von Polynomen . 7. Lineare Transformationen .................. 8. Matrizen ......... . . . ............... _ 9. Polynome in einer Matrix m .................. ’10. Charakteristische Determinante und Gleichung einer Matrix . . M. Hauptgleichung einer Matrix . . ................ . Rang ............................ Kapitel II. Einführung in die Algebren Definition einer Algebra in einem Körper ............ Null, Basis und Ordnung einer Algebra ......... Lineare Abhängigkeit in bezug auf einen Körper .......... Transformation der Basisgrössen ................ Haupteinheit. ........................ Vollständige Matrixalgebren .................. Darstellung einer Algebra mittels ihrer Basis ..... ‘ . Äquivalente und reziproke Algebren ............... Zweite Definition einer Algebra ............... I. . Hinzufügen einer Haupteinheit zu einer Algebra ......... Jede assoziative Algebra ist einer Matrixalgebra äquivalent . . . . Charakteristische Matrizen, Determinanten und Gleichungen einer Grösse a: aus einer assoziativen Algebra in K ........... . Invarianz der charakteristischen Determinanten ......... . Hauptgleichung einer Grösse aus einer Algebra ..........

. . . . . . . . . . . .

Kapitel ..III

Divisionsalgebren

27. Einleitung und Zusammenfassung ................ 28.——29. Definition einer Divisionsalgebra ......... _ ..... 30. Divisionsalgebren 1m komplexen Körper ............ ' 31. Divisionsalgebren vom Rang 2 ................. 32. Verallgemeinerte Quaternionen . ................ 33. Herleitung von Divisionsalgebren aus solchen, die bekannt sind. 34. Unendliche Systeme von Divisionsalgebren ............ >35. Algebren vom Typus D . . .................. 36. Plan der allgemeinen Untersuchung .............. _ . 37. Kommutativer Fall ......................

Zwei vertauschbare Erzeugende ................ Divisionsalgebren I' mit p = 2 ................. Divisionsalgebren I' mit p = 3 . . ............... Darstellung von F als Matrixalgebra . . .- ........... Bedingungen dafür, dass eine Algebra vom Typus D eine Divisionsalgebra ist .......................... 43. Beispiele von Divisionsalgebren vom Typus D .......... 44. Allgemeine Algebren I' .................... 38. 39. 40. 41. 42.

Kapitel IV. 45. 46. 47. 48.

Linearsysteme von Grössen einer Algebra

Basis, Ordnung und Durchschnitt von Linearsystemen ....... Summe ........................... Linearsysteme, die in ihrer Summe supplementär sind ....... Produkte von Linearsystemen ................. Kapitel V.

Invariante Teilalgebren, Direkte Summe, Reduzibilität, Differenzenalgebra 49. Teilalgebra ..........................

50. Invariante Teilalgebra. l.................... 51. Direkte Summe, Reduzible Algebren .............. 52. Reduzible Algebren .................. 53. Reduktion nur auf eine Weise möglich. . ............. 54.—56. Difierenzenalgebra .................... 57. Einfache Algebren .............. ' ........ Kapitel VI.

Nilpotente und halbeinfache Algebren; idempotente Grössen 58. Index ............................ 59. Nilpotente Algebren, Radikal .................. 60. Idempotente Grössen . . . .................. 61. Eigentlich nilpotente Grössen . ................ 62. Zerlegung bezüglich eines Idempotents ............. 63.—65. Ausgezeichnete idempotente Grössen ............ 66. Halbeinfache Algebren ....................

67 .—.68 A—N ist halbeinfach

..........

'

. 69.—70. Halbeinfache Algebren als direkte Summe von einfachen 71. Primitive idempotente Grössen .................. 72. Wurzeln der charakteristischen Gleichung von g(a:) ........ 73. Kriterien für eigentlich nilpotente Grössen, Spuren ........ 74. Normalbasis einer nilpotenten Algebra .............. 75. Kriterien für eine Divisionsalgebra ........ i ..... . . . .76. Idempotente Grössen einer Difierenzenalgebra . . . .' ...... Kapitel VII. Struktur der Algebren 77. Direktes Produkt ....................... 78.—79. Struktur der einfachen Algebren .............. 80. Eine direkte Summe von vollständigen Matrixalgebren kommt als Teilalgebra in A vor, wenn sie in A—N vorkommt. ........ 81. Struktur von A, wenn A—N einfach ist

.............

82. Struktur einer beliebigen Algebra ................

VI

128

Seite

83. Divisionsalgebren als direkte Summe von vollständigen Matrixal’gebren . .......................... 84.—85. Hauptsatz für Algebren mit einem einzigen Idempotent . 86. Divisionsalgebren . ......................

87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94.

Kapitel VIII. Algebraische Zahlen Algebraische Zahlen. ..................... 140 Gauss’sches Lemma ...................... 141

E: w = X, y = Y. E heisst die identische oder die Einheitstransformation. Im Gegensatz zur Gleichung t‘lt = t‘t‘1 sind im allgemeinen zwei Transformationen t und 'r nicht kommutativ, t7 #Tt, weil die Aus-

drücke in (4) sich im allgemeinen ändern, wenn die lateinischen und die griechischen Buchstaben vertauscht werden. Das assoziative Gesetz indessen (t7) T = t(1- T)

gilt für irgend drei Transformationen, so dass wir tg-T schreiben 13

können ohne Zweideutigkeit. Denn wenn wir die früheren allgemeinen Transformationen t und -r anwenden und dann

T:

X=Au+Bv,

Y=C_u+D'v‚

so sehen wir, dass sich (t1) T ergibt, indem wir erst f, 17 und dann X, Y eliminieren zwischen den sechs Gleichungen für t, 'r, T; t(-r T) aber ergibt sich, wenn wir erst X, Y und dann E, 27 zwischen denselben Gleichungen eliminieren. Da wir in jedem Falle die gleichen vier Variablen eliminieren, erhalten wir notwendig dieselben Schlussgleichungen, die uns a: und y durch u und v ausdrücken. Die vorigen Definitionen und Ableitungen lassen sich gleichermassen auf lineare Transformationen in einer beliebigen Anzahl p von Variablen anwenden: A

931=a1151+a1252+"'+a11‚5pa

m? = “11151 + “12252 + ' ' ' + am: p’

nur dass die Gleichungen für die Inverse A"1 jetzt komplizierter sind (Q 8).

8. Matrizen. Eine lineare Transformation ist vollständig bestimmt durch ihre Koeffizienten, während es unwesentlich ist, was für Buchstaben für die Ausgangs- und die Endvariablen verwendet werden. Als wir beispielsweise die Gleichungen für t‘1 in ä 7 schrieben, ersetzten wir die Buchstaben a2, y, welche zuerst die neuen Variablen bezeichnen sollten, durch andere Buchstaben X, Y. Die Transformationen t, r und A m S 7 sind also vollständig bestimmt durch ihre Matrizen

m: (c d), „= (N), ............... ‚ ab

aß

a11“12"'a1p

“plap2"'app

deren letzte p Reihen mit p Elementen in jeder Reihe hat. Eine solche p—reibige quadratische Matrix ist eine geordnete Menge von p’ Elementen, deren jedes seinen eigenen Platz im Symbol der Matrix einnimmt. Der Grundgedanke ist derselbe wie bei der Bezeichnung für einen Punkt (w, y) in der Ebene oder für einen Punkt (x, y, z) im Raum, nur dass diese einzeiligen Matrizen nicht quadratisch sind. Die Matrix 14

mß=.

Sind a und b zwei beliebige Zahlen des Körpers K, so gilt .Sa+Sb=Sa+b,

SaSb=Sab-

I

Es besteht also eine ein-eindeutige zuordnung zwischen den skalaren Matrizen und den Zahlen e_ des Körpers K, die bei Addition und Multiplikation erhalten bleibt. iMit andern Worten, die Menge aller skalaren Matrizen bildet einen Körper, der mit K einstufig isomorph ist. Überdies ist ea eb 'a .b Sem = mS, = (ec ed)’ wenn m E (c d)"

Darnach bekommen wir aus jeder Gleichung zwischen zwei Produkten von Matrizen, von denen einige skalar sind, eine richtige Relation, wenn wir jede skalare Matrix Sa durch eine Zahl e ersetzen und die folgende Definition verabreden: em—me— ea eb

—

— ec ed'

Diese Gleichung definiert das skalare Produkt einer Zahl e mit einer Matrix m als diejenige Matrix, in der jedes Element das Produkt von e‘ mit dem entsprechenden Element Von m ist. Im besonderen

ist eE = Ee = Se.

9. Polynome in einer Matrix m. Ist

f(w) =akwk+

+ “160+ G*0

ein Polynom in der Veränderlichen a; und bedeutet m eine n-reihige quadratische Matrix, so ist entsprechend ein Polynom in m definiert durch den Ausdruck . f(m) =akmk+

+a1m + aoE,

der aus f(w) dadurch hervorgeht, dass man das konstante Glied von f(w) mit der n-reihigen Einheitsmatrix E multipliziert undjedes afl' durch mJ' ersetzt. Eine Identität

f(w)g(w) E P(w) 17

zwischen Polynomen in w zieht die folgende Gleichung nach sich:

f(M)g(rn) =p(m)Denn das Glied mit w" in f(w)g(w) ergibt sich, indem man das Glied mit an" von f(w) multipliziert mit dem Gliede mit nah“ von g(w) und über die Produkte für i= 0, 1, . . . , k summiert. Dem assoziativen Gesetz zufolge ist m‘m""'= m7”. Daher ist der Koeffizient von m."

im Produkte f(m)g(m) derjenige von zu" im Produkte f(w) g(w). Ebenso gilt, wenn g (w) Es (w) t(w) ist, die Gleichung g (m) =s (m) t(m) . Aus f(w)s(w)t(w)'5p(w) folgt daher f(m) s(m) t(m) = p(m). So fort-

fahrend erkennt man: aus f1(w)

f„ ((9)5 p(w) folgt f1 (m)

f„ (m) =

p (m)Des assoziativen Gesetzes wegen gilt die Gleichung m'ms = m' m',

Polynome in einer einzigen Matrix m verhalten sich deshalb kommutativ.

10. Charakteristische Determinante und Gleichung einer Matrix. w bedeute eine Variable und m eine n-reihige quadratische Matrix; die Determinante von m — wE heisst die charakteristische Determinante von m; sie ist ein Polynom vom Grade n in w: (7)

f(w)Ec„w”—|—n-+c1w+co,' c„=(—1)”.

Wir nennen f(w) =0 die charakteristische Gleichung von m. Als Beispiel diene:

m= “b c d

’

‚‘(w);

a—w

C

b

d—w

=w2—(a+d)w+ad—bc _ '

Nach S 9 ist das Zugehörige Polynom in m

f(m) = mB—(a—l—d) m+ (ad—bc)E. Dieses verschwindet (ergibt die Matrix 0), wie leicht zu sehen, und das Beispiel ist ein spezieller Fall von

SATZ 7. Jedequadratische Matria: m genügt ihrer charakteristischen Gleichung f(w) = O. Wenn dabei w durch m ersetzt wird, steht an Stelle

des konstanten Gliedes c in f(w) das Glied cE in f(m) .

l

Beweis: Die Elemente der Matrix m—wE sind lineare Funktionen in w, die Elemente ihrer Adjungierten A sind (n—1)-reihige Determinanten und zwar Polynome in w von einem Grade g n—1. Be-

18

zeichnen wir das Element in der im Zeile und j“m Kolonne von A mit Zug-km”, so ist

k

A=Z€01Akwh

Ak=(aijk){‚j=1,...,n-

Wir ersetzen in (61) m durch m—wE ‚ das liefert (8)

(m — wE) A E f(w)E

als identische Gleichung in w. “Daher ist nach (7) n—l

n—l

n

m E Akwk—w Z Akwk E EckwkE. k=0 k=0 k=0

Durch Vergleichung der von w freien Glieder und der Koeffizienten V von w, w”, . . . ‚ 10"“, w" erhalten wir die Gleichungen o

mA1

= coE ,

—Ao

= clE ‚

.................................

Wir multiplizieren diese Gleichungen links bzw. mit E, m, m2 . . . ‚ m"‘1, m” und addieren sie; das gibt 0 = coE+clm+czm2+

+ c„_1m"—1+c„m"5f(m).

SAT Z 8. Sind a1, a2 . . . ‚ 0.„ die Wurzeln der charakteristischen Gleichung f(w) = 0 einer n-reihigen quadratischen Matrix m, deren Elemente einem Körper K angehören, und ist g(w) irgend ein Polynom mit Koeffizienten in K, dann sind g(a1) ,. . ., g(a„) die Wurzeln der cha-

rakteristischen Gleichung der Matrix g(m). Wir setzen g(w) Eß(w —ß1) . . . (w —‚B‚). Wenn K’ der Körper ist, den wir aus K durch Adjunktion von a1, . . .‚ an; [31, . . ., ß, erhalten, und E die n-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, so ist nach S 9

8(Tn) = ß (m—ß1E) . -- (‚n—ßrE) in K'. Zu den Determinanten übergehend erhalten wir

|8(m) I = ß”|m—fi1Ellm—5‚E|= ‚WM/31)." f(ß‚)Da aber f(w) = (“1— w) . . . (“1.— w) ist, so ist ‚(35) = (a1 —ßj) -

(an "—ßj)’

Ehe) = ß(ak—ß1) - - - (“1: —ßr):

und somit ist

(9)

lehrt) I = g(a1) ... 5(a„)19

Sei E eine Variable im Körper K' und schreiben wir h(w, E) anstatt g(w) — E. Dann ist h(m, E) = g(m) —- 5E, und die charakteristische Determinante von g(m) ist die Determinante von h(m, E); man erhält sie aus (9), indem man die Polynome g(m) durch die Polynome h(m, f) ersetzt. Setzt man daher die Funktion

{h(m‚f)| = h(“v f)

h(am f) = [8(a1) — E]

[g(m=ga a=aa m=ca ng

Dann wird

a

a0

(y €> =_ +

00

+ 2. Nach Annahme sind '01 + v2 und 01—02 Wurzeln von quadratischen Gleichungen mit Koeffizienten in K; daher ('01 + ”292 = 71 + 72 + ”1172 + ”291 = “('01 + ’02) + ß

("ä-_va)2 = 71 + 72— ”102—79291 = 74711—712) + 8

4 Dickson, Algebra.

43

wo a, ‚B, y, 8 Zahlen in K sind. Durch Addition erhält man 2 (71 + '72) = (a + ”'01 + (“—7)7’2+ 13+ 8Da aber 1, '01, '02 bezüglich K linear unabhängig sind, ist a. = y = 0. Somit ist '01 v2 + v2 '01 = 21-, wo 7- eine Zahl in K ist. Wir setzen u1 = 2:1, ug = '02 + e01 und erhalten ”1u2 + “aui = ’4’1'02 + ”291 + 2 E’Ui = 2 (7' + €71): was durch passende Wahl von e in K zu Null gemacht werden kann; es ist „ä = 72 + 27-5 + 529/1,

eine Zahl in K. Folglich hat A eine Basis 1, u1‚ u2, ...‚ wo (1)

uä=a,

uä=ß,

u1u2+u2u1=0.

a und ß sind Zahlen #0 in K. Wäre a das Quadrat irgendeiner Zahl y in K, so verschwände das Produkt (ul + 'y)(u1 -— y), obwohl kein Faktor verschwindet, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass A eine Divisionsalgebra sei. Wäre u1u2= Ä+ yul + vuz, wo Ä, p, v Zahlen in K sind, so erhielte man durch linksseitige Multiplikation mit u1 auz = Äul + pa + v(/\ + pul —|- vuz). Weil 1, u1‚ uz linear unabhängig bezüglich K sind, so sind die Koeffizienten von u2 gleich, daher wäre a. = 1(2, im Widerspruch zum vorhergehenden Resultat. Dies beweist, dass u1u2 linear unabhängig von 1,’u1, u2 ist und daher als dritte Basisgrösse u3 genommen

werden kann. So wird mittels (1) _

uiuz—u3‚

.__

u2u1——u3,

uiua = u1u1u2= “um

2....

_

us—u1u2(—u2u1)_—aß‚

usui = —u2u1u1= —au2‚

"zus=_u2u2u1=—ßuia

u3u2=u1u2u2=ßu1.

Die Multiplikationstafel von 1, ul, uz, u3 lautet daher: 511%: a!

uä=ßa

"aus = ““2:

(2)

l

ug=—a:8:

“aui = —au2,

1-u‚=ur-1=u„

u1u2= “37

“zus = —ßu1,

u2u1=—u39

“auz = ßula

(r=1,2,3).

1, ul, uz, ug sind daher die Basisgrössen einer Algebra D, welche assoziativ ist. Während diese Tatsache verifiziert werden kann, indem man alle Produkte von drei gleichen oder ungleichen u,- betrachtet, ist ein direkter Beweis dafür durch den Zusatz zu Satz 10 gegeben. 44

Wir werden sehen, dass ein Spezialfall von D die Algebra der reellen Quaternionen ist; daher wird D eine Algebra von verallgemeinerten Quaternionen genannt. ' u, so Basisgrösse Endlich sei n > 4. Dann enthält A eine fünfte dass u2 = p ist, wo p in K. Der Schluss, den wir oben auf '01 i '02

angewendet haben, ist jetzt zu übertragen auf u8 3|: u (s = 1, 2, 3) und zeigt, dass u5u + uu8 = es, wo eß in K liegt. Dann wird

uu3= uu1u2= (€1—u1ulu2= E11‘21—‘ufl‘2 —u2u) = €1u2—62u1+ “au: und indem wir uu3 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir i

2uu3 = €1u2 —— egu1 + €3-

Multipliziert man rechtsseitig mit us, so erhält man —2aßu— —-ßelu1— (“zu2 + €31,13,

obschon u, ul, u2, us linear unabhängig sind und aß #0 ist. SATZ 4. Die einzigen Divisionsalgebren vom Rang 2 in einem Körper K sind die Algebren der Ordnung 1 und 2, welche den Körpern K und K (W) äquivalent sind, und gewisse Algebren D von verallgemeinerten Quaternionen. i Sei K der Körper aller reellen Zahlen; wir haben bewiesen, dass a nicht das Quadrat irgendeiner Zahl aus K sein kann und folglich negativ ist. Der Beweis überträgt sich auch auf ß. Somit ist a = — p2, ß = —02, wo p und cr reelle Zahlen #0 sind. Schreibt

man U1 = ul/p, U2=u2/a, U3= U1U2, so wird nach (1) U? = Uä = — 1, U1U2 + U2 U1 = 0. Daher sind für den Körper der reellen Zahlen alle Divisionsalgebren (2) denjenigen Algebren äquivalent, für welche a = ß = — 1 gilt. Es ist üblich, i, j, k für u1‚ u2‚ us zu schreiben, wodurch (2) die Form erhält: i2=j2=k2=—1‚ ij=lc, ji=—k‚ ik=—j, ‘ki=j, () ]k=L, k]=—L, 1L=L1=L‚ 1]=]1=], 1k=k1=k. Dies ist die Multiplikationstafel der Basisgrössen 1, i, j, k der Algebral) Q der reellen Quaternionen a + f i + 17] -|— Ck. Nach dem Zu-

satz zu Satz 7 in 532 ist Q eine Divisionsalgebra. 1) Der Verfasser hat gezeigt, dass Q auf natürlichem Wege aus Beziehungen zwischen Algebren und kontinuierlichen Gruppen hergeleitet werden kann; Bull. Amer. Math. 500., 22, 1915, 53—61; Proc. National Acad. Sc. 7, 1921, 109—14.

45

SATZ 5. Die einzigen Divisionsalgebren im Körper aller reellen | Zahlen sind dieser Körper selbst, der Körper der komplexen Zahlen und die Algebra Q der reellen Quatemionen. Für irgendeinen Körper K sei A eine Divisionsalgebra vom Rang r > 2 und der Ordnung n = 3 oder 4. Wenn r = n ist, enthält A eine Grösse a, welche einer Gleichung f(:z:) = O vom Grad n mit Koeffizienten in K genügt, dagegen keiner Gleichung von einem Grade < n. Daher ist f(:r) = 0 irreduzibel in K, so dass nach 56 A dem Körper K (a) äquivalent ist. Es bleibt also nur der Fall n= 4, r= 3 zu untersuchen. Wie vorher enthält A eine Grösse a, welche einer kubischen Gleichung, die in K irreduzibel ist, genügt, und besitzt daher eine Divisionssubalgebra von der Ordnung 3, welche dem Körper K (a) äquivalent ist. Dies widerspricht Satz 2, da 4 nicht durch 3 teilbar ist. SATZ 6. Die einzigen Divisionsalgebren von einer Ordnung g 4 in einem Körper K sind diejenigen, welche Erweiterungen von K äquivalent sind, und gewisse Algebren D von verallgemeinerten Quaternionen.

32. Verallgemeinerte Quaternionen. Die allgemeine Grösse aus D (siehe Satz 6) lautet

'

(4)

9=0+€u1+nu2+lwm

wo 0', f, 11, Z Zahlen in Ksind. Dann sind X = a + fuh Y =* 17 + {ul Zahlen im Körper K1, welcher aus K durch Adjunktion von u1 = 1/3. erhalten wird; u1 = 1/; liegt nicht in K, weil a nicht das Quadrat einer Zahl in K ist. Somit ist q = X + Yug, und aus q = 0 folgt X =„Y = 0. Schreibt man X’ = o-— ful, so wird

1(5) t

(X')' = X,

u2X = X'uz-

Wir betrachten eine andere Grösse r = U + Vu2 in D, wo U und V aus K1 sind, und erhalten (6)

rq=Z+Wu2,

Z= UX+ßVY’,

W= UY+ VX'.

Die Determinante der Koeffizienten von U und V lautet

(7) . 46

X, =XX —-ßYY‚ N-= XY ßY'

sie wird die Norm von q genannt. Ist alSo rq = 0 und r i 0, dann ist N (q) = O. Daher ist D dann und nur dann eine Divisionsalgebra, wenn aus N(q)= O folgt: q = 0. Für Y= O ist N(q)= XX’= 02—4152 dann und nur dann gleich Null, wenn cr= E: 0, und dann ist X = 0, q = 0. Für Y#O ist X/Y eine Zahl Z in K1, und N(q) ist dann ' und nur dann gleich Null, wenn ß = ZZ’ ist. - SATZ 7. Die Algebra D der verallgemeinerten Quaternionen ist dann

und nur dann eine Divisionsalgebra, wenn a nicht das Quadrat einer Zahl in K ist und ß sich nicht in der Form Äz— a [1.2 darstellen lässt, wo Ä und y. Zahlen in K sind.

Diese Bedingungen sind ersichtlich erfüllt, wenn a= ‚B = —1 und K der Körper der reellen Zahlen ist. Zusatz. Die Algebra der reellen Quaternionen ist eine Divisionsalgebra. Bezeichnet man ä= X’-—- Yuz als die Konjugierte von q = X + Yum so ist die Konjugierte von (4) ä=a—Eu1—77u2—Zu3. (8) Wir nehmen in (6) r = ä, so dass U = X', V = ——Y wird, und erhalten äq = N(q) Analog, oder nach Satz 8, ist qä = N(q) Somit genügen q und ä der Gleichung

(9)

m2 — 2cm —|— N(q) = O

(o das skalare Glied von q).

Wenn q#0‚ so lautet jede Inverse von q

(10)

q

—1 _.

N 9'

SATZ 8. Die Konjugierte eines Produktes zweier verallgemeinerten Quaternionen ist gleich dem in umgekehrter Reihenfolge gebildeten Produkt ihrer Konjugierten. Dies folgt aus (6) und A ä? = (X’—-Yu2) (U’——Vu2) = U'X’ + ßV’Y— (UY+ VX')u2. Da N(q) = qä eine Zahl in K ist, ist sie mit jeder Grösse 7 aus D vertauschbar; daher ist

N(rq) = "157 = '79? = N(T) N(q)SATZ 9. Die Norm eines Produktes zweier verallgemeinerten Quaternionen ist gleich dem Produkt ihrer Normen. 47

Da diese Normen Determinanten sind, legt dieser Satz die Möglichkeit eines analogen für die Matrizen nahe, deren Determinanten die fraglichen Normen sind. Zu diesem Zweck vertauschen wir in (7) die Zeilen mit den Kolonnen und lassen die Matrix

“1)

(ß); 2D

der Grösse q=X + Yu2 entsprechen. Dann entspricht r = U + Vuz

die erste Matrix in (12), Während rq = Z + Wu2 in (6) die letzte Matrix in (12) entspricht. Die Multiplikationsregel der Matrizen gibt

(12)

(‚QUV V') (ß); Y') = (135V?)

W0 Z, W dieselben Grössen wie in (6) sind. Die Korrespondenz bleibt also bei der Multiplikation erhalten. Sie bleibt ersichtlich erhalten bei der Addition und der skalaren Multiplikation mit Zahlen aus K. Dies führt zu SATZ 10. Die Algebra D der verallgemeinerten Quaternionen ist der Algebra der Matrizen (11) äquivalent, in welchen X und Y alle

Werte des Körpers K(l/;) annehmen. Die letzte Bemerkung ist eine Folge der Tatsache (S 6), dass sich jede rationale Funktion X von u1= 1/; mit Koeffizienten in K als lineare Funktion a —|— Eul ausdrücken lässt. Da die Multiplikation der Matrizen assoziativ ist, so haben Wir den Zusatz. Die Algebra D ist eine assoziative Algebra. Die Algebra D Wird aus allen Grössen (4) gebildet, in denen 0,. .‚ C Zahlen in K sind. Wir betrachten jetzt die Algebra D1, die aus allen. Grössen (4) gebildet wird, wobei jetzt a, . . ‚C Zahlen aus dem erweiterten Körper K1: K (Va) sind. Die den Matrizen (11) äquivalente Algebra wird aus allen zweireihigen Matrizen, deren vier Elemente Zahlen in K1 sind, gebildet. Denn sind X und X' irgend zwei'Zahlen in K1, so bestimmen die Gleichungen 0+ Eu1=X,

a—fu1=X',

u1= 1/;—

eindeutig 0' und E als Zahlen in K1.

SATZ 11. Die Algebra D1 mit den Basisgrössen 1, ul, um u3 im Körper K1 = K (I’d) ist der vollständigen Matrimalgebra aller zweireihigen quadratischen Matrizen mit Elementen in K1 äquivalent.

48

Zusatz. Die Algebra aller derjenigen Quaternionen, deren Koordinaten komplexe Zahlen sind, ist der Algebra aller zweireihigen Matrizen äquivalent, deren Elemente komplexe Zahlen sind. Die Algebra aller reellen Quaternionen ist hingegen der Algebra aller zweireihigen reellen Matrizen nicht äquivalent. Denn manche Produkte der reellen Matrizen sind Null, obwohl kein Faktor Null ist, wie z. B. 811828 = O ist in 518, während das Produkt zweier reellen Quaternionen, deren keines verschwindet, niemals Null sein kann (Zusatz zu Satz 7).

33. Herleitung von Divisionsalgebren aus solchen, ' die bekannt sind. Es sei y eine positive rationale Zahl, welche nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist, und man setze p = 1/77. Wir betrachten die Algebra Q der Quaternionen q = 0+ Ei + nj + {k im reellen Körper R(p)‚ der aus dem Körper R der rationalen Zahlen durch Adjunktion von p erhalten wird. Weil es zu jedem reellen Quaternion ein inverses gibt, ist Q eine Divisionsalgebra. Da a, ..., l lineare Funktionen von 1 und p mit rationalen Koeffizienten (5 6) sind, ist q eine lineare Funktion von (13)

1! P: i: iP=Pi‚ j, jP=Pja ka kP=Pk

mit rationalen Koeffizienten. Daher können wir Q als eine Algebra A in R mit der Basis (13) betrachten. Wenn allgemeiner K irgendein reeller Körper ist, so dass es eine in K irreduzible Gleichung vom Grad r gibt, die die reelle Wurzel p besitzt, so ist die Algebra der Quaternionen im Körper K (p) eine Divisionsalgebra, welche als Algebra im Körper K mit den 4r Basis-

grössen 1, p, ..., pT—l und ihren Produkten mit i, j, k betrachtet werden kann. Es ist wert zu bemerken, dass es imaginäre Körper K gibt, in welchen die Algebra der Quaternionen eine Divisionsalgebra ist. Ist k eine positive ganze Zahl, dann ist eine Wurzel Q von 62 = 6') — 2k imaginär. Nach Satz 7, W0 man a = ß = — 1 setzt, ist die Algebra der Quaternionen in R(@) eine Divisionsalgebra, wenn sich ——— 1 nicht in der Form Ä2 + ‚L2, wo Ä und p, Zahlen in R(@) sind, dar49

stellen lässt. Weil Ä und y. lineare Funktionen von 0 mit rationalen Koeffizienten sind, können wir die Vier gebrochenen Koeffizienten auf den Hauptnenner d bringen und daher schreiben

dÄ=m+y@,

dp=z'+ WQ,

wo d, m, y, z, w ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler > 1 sind. Die Bedingung — d2 = 41202 + ‚1.2) ist gleichbedeutend mit dem Gleichungspaar —d2= x2+z2—2k(y2+w2),

2(wy+zw) + y2+w2=0.

Danach ist y2 —|— W2 gerade, und d2 + x2 + Z2 muss durch 4 teilbar

sein. Wenn ein gerades oder ein ungerades Quadrat durch 4 geteilt wird, erhalten wir den Rest 0 bzw. 1. Somit sind d, an, z gerade. Dann zeigt die zweite Gleichung, dass y2 + W2 durch 4 teilbar ist, so dass y und w gerade sind. Daher haben d, w, y, z, w den gemeinsamen Teiler 2, im Widerspruch zur Annahme. Die Quaternionen im imaginären Körper R(@) bilden deshalb eine Divisionsalgebral). Kehren wir zum ersten Beispiel der Algebra Q zurück. Wir sehen, dass q = a' + .. ‚ mit i dann und nur dann vertauschbar ist, wenn 7] = Z = 0, und mit j dann und nur dann, wenn f = C = 0 ist.

Daher sind in der Algebra A in R mit der Basis (13) die einzigen mit irgendeiner Grösse aus A vertauschbaren Grössen die linearen Funktionen a von 1 und p mit rationalen Koeffizienten, sie bilden eine Teilalgebra B, welche ein Körper R(p) ist. Wenn A als Algebra in diesem neuen Körper B betrachtet wird, so ist A eine Divisionsalgebra Q von der Ordnung 4. Das letztere liefert ein Beispiel für den folgenden allgemeinen Satz, der in 586 bewiesen werden wird: Alle diejenigen Grössen einer Divisionsalgebra A in K, welche mit jeder Grösse aus A vertauschbar sind, bilden eine Algebra B, welche ein Körper ist. Wenn A als Algebra in diesem weiteren Körper B betrachtet wird, ist seine Ordnung ein vollständiges Quadrat. l) Wir bemerken, dass (9 = ä— ('1 + 1/5), m=1—8k ist. Wenn aber m eine negative ganze Zahl 121d nicht von der Form 1—8k ist, so ist die Algebra der Quaternionen in Rfl/m) keine Divisionsalgebra, wie der Verfasser am Ende seiner Abhandlung Further development of the theory of arithmetics of algebras, Proceedings of the International Math. Congress at Toronto, 1924, gezeigt hat.

50

34. Unendliche Systeme von Divisionsalgebren. Der Rest dieses Kapitels wird vornehmlich einer einfachen Auseinandersetzung von Resultaten gewidmet sein, die neulich vom Verfasserl) gefunden wurden. A sei irgendeine assoziative Divisionsalgebra 1m Körper K, die die Haupteinheit 1 enthält, derart, dass.2) (I) A von der Ordnung n2 ist; (II) A eine Grösse i enthält, welche einer in K irreduziblen Gleichung f(w) = 0 vom Grad n genügt; (III) die einzigen Grössen aus A, welche mit i vertauschbar sind, die Polynome lIl i mit Koeffizienten In K sind;

(IV) alle Wurzeln von f(w) = 0 rationale Funktionen @‚(i) von i mit Koeffizienten in K sind.

Nach Definition wird der Körper K (1,) aus allen rationalen Funktionen von i mit Koeffizienten in K gebildet, und nach 56 ist jede solche Funktion gleich einem Polynom in i. Daher bilden die Polynome in i mit Koeffizienten in K den Körper K (i), welcher eine Divisionssubalgebra von A mit den n Basisgrössen 1, i, i2, . . ., i”—1 ist. Also gibt es nach Satz 2 Grössen 21 = 1, 22, . . ., zn aus A, so dass jede Grösse aus A auf eine und nur auf eine Art in der Form n zk dargestellt werden kann, wo die gk in K (i) liegen. Wir wenden diese Darstellung auf die Grössen zsi aus A an und erhalten

(14)

zsi=äg5kzk ‚9:1

(s=1‚...n), >

wo die g“, in K (i) sind. Es sei G die Matrix, welche g“, als Element in der 8ten Zeile und der km Kolonne hat, und Z die Matrix, welche aus einer einzigen Kolonne von Elementen (von oben nach unten) z1‚ 22, . . ., zn besteht. Dann sind die Gleichungen (14) mit der einzigen 1) New Division Algebras, Trans. Amer. Math. Soc.‚ 28 (1926).

Diese Arbeit

verwendet die Theorie der endlichen Gruppen, welche in der Entwicklung dieses Textes völlig vermieden wird. 2) Die Voraussetzungen I—III schränken ohne Voraussetzung IV die Allgemeinheit der Untersuchung von Divisionsalgebren A nicht ein. Wir zeigten am Ende von €33, dass irgendein A als Algebra der Ordnung n2 in einem gewissen Körper betrachtet werden kann, dessen Zahlen die einzigen Grössen aus A sind, welche mit jeder Grösse aus A vertauschhar sind. Dann werden die Voraussetzungen II und III nach Satz 7 von 5'132 erfüllt. Diese Tatsachen erwähnen wir nur, um die ersten drei Voraussetzungen zu rechtfertigen, sie sind nicht wesentlich für den Text.

51

Gleichung Zi = GZ in Matrizen gleichbedeutend. Durch vollständige Induktion von r——-1 auf r erhält man Z i7: G’Z. Multiplizieren wir dies mit dem Koeffizienten von i’ in irgendeinem bestimmten Polynom h(i) mit Koeffizienten in K und summieren über r, so erhalten wir Zh(i) = h(G)Z. Daher folgt aus h(G) = O, dass zlh = h(i) = O ist. Jetzt nehmen wir h(i) = f(i) = 0 und erhalten f(G)Z = 0. Dies besagt, dass f(G) Null ist. Denn ist f“, das Element in der 8ten Zeile und der kten Kolonne von f(G), so ist f(G)Z eine Matrix, welche eine einzige Kolonne hat, deren Element in der 3ten Zeile E f“, zk = 0 ist. Zuk folge der der Gleichung (14) vorangehenden Bemerkung bedeutet dies, dass jedes in,c = 0, weshalb f (G) = 0 ist. Diese beiden Ergebnisse zeigen, dass die Hauptgleichung f(co) = O von i in K zugleich die Hauptgleichung der Matrix G in K ist. Für irgendeinen Körper, der K enthält, ist das linke Glied der Hauptgleichung von G ein Faktor von f(w) nach dem Hilfssatz von 5 11. Im besondern ist für den Körper K (i), zu welchem alle Elemente von G gehören, jede Wurzel der. Hauptgleichung von G eine Wurzel

von f(w) = 0. Nach Satz 10 von ä 11 hat diese dieselben Wurzeln, abgesehen von ihrer Vielfachheit, wie die charakteristische Gleichung von G. Daher ist jede Wurzel von (15)

(G — wE l = 0

eine Wurzel von f(w) = 0. Sei Q irgendeine Wurzel von (15). Nach IV ist 6 eine rationale Funktion @(i) von i mit Koeffizienten in K.

Schreibt man a= Easzs, wo die a,(s = 1, .. .‚ n) Zahlen in K(i) n sind, so wird mit (14)

0” = Z asgskzlc' :,k=1

Daher ist dann und nur dann ai = 0a, wenn n

Elgskas—Qak=0

(k=1,...,n).

8::

Die Determinante der Koeffizienten von ul, . . ., an ist IG— 6E I, welche Null ist, weil Ü eine Wurzel von (15) ist. Daher gibt es Lösungen a1, ...‚a„, welche nicht alle gleich Null sind. Diese Lösungen sind rationale Funktionen der g“, und der @(i) mit rationalen Koeffizienten und müssen daher Zahlen in K (1,) sein. Folglich ist a in der Algebra A und aiO. 52

Wir werden jetzt beweisen, dass (15) keine mehrfachen Wurzeln 6 besitzt. Wir nehmen das eben gefundene a. als neues zl, erinnern an Bezeichnung in (14) und erhalten

z1i = a

€11 = Q,

€17; = 0

(k > 1)°

Wenn 6 eine mehrfache Wurzel von (15) wäre, könnten wir solche Zahlen a2, . . ., an, die nicht alle gleich Null sind, und ein c in K (L) finden, dass n 11:21:52„ ai=®a+cz1 3:1

ist. Die Bedingungen dafür lauten (16)

c =852a,g,1,

8‘220.” g“, — (9a„ = 0

(k = 2, . . ., n).

In G — wE soll Mw den Minor von gn —— w bedeuten. Da die übrigbleibenden Elemente gn, .. ., g“, der ersten Zeile Null sind, und da 6 eine mehrfache Wurzel von (15) ist, so verschwindet (M0, (, wenn

w = 6. In den Gleichungen (16) ist ausser in der ersten die Matrix der Koeffizienten von a2, . . .‚ an aus M6 durch Vertauschen der Zeilen mit den Kolonnen hergeleitet, so dass ihre Determinante Null ist. Deshalb können diese Gleichungen durch die Wahl der Zahlen a2, .. ., an in K (i), welche nicht alle gleich Null sind, befriedigt werden, daher ist a in A und a i 0. Die Grösse a enthält zl nicht und daher hat

(17)

’

gz1 + ha = 0

zur Folge, dass g = h = 0 ist.

Wenn c = 0 ist, zieht z1i= 67.1 und ai = Qa nach sich, dass a_1z1i = {1—1 Qzl = ia—l 21,

so dass a‘1 zl mit i vertauschbar ist und daher nach III eine Zahl 95(i)‘ in K (L) ist. Durch Induktion nach k findet man ai" = 67%; multipliziert man mit dem Koeffizienten von i7” in (P(i) und summiert über k, dann wird (18)

aÖ(i) = (D(@) a.

Somit widerspricht z1 = ad5(i) = Ö(@)a der Gleichung (17). Daher ist c i 0. Dann ist ß = czl in der Divisionsalgebra A nicht Null und ßi = cz1i= 06h1 = Ücz1 = 6,8, ai = 9a + ß.

Durch Induktion nach k wird ai" = Qka + k @k—1ß. Multipliziert 53

man mit dem Koeffizienten von i7” in f(i) und summiert nach k, so erhält man

0LI‘U) = f(@)a + f'(@)ß‚

0 = f'(@)ß-

Dies ist aber in einer Divisionsalgebra unmöglich, da ß #0, f’ (8) 7E 0 ist und keine mehrfache Wurzel 6 der irreduziblen Gleichung f(co) = 0 auftritt. Dies vervollständigt den Beweis, dass (15) keine mehrfachen Wurzeln hat. Daher fallen die n verschiedenen Wurzeln von (15) zusammen mit den n Wurzeln @‚(i) von f(w) = O, wie in IV gefordert. SATZ 12. Eine Divisionsalgebra mit den Eigenschaften I—I V enthält gewisse Grössen j, (r = 0, 1, . . ., n—1), deren jede von Null verschieden ist, und wo f0 = 1 ist, so dass

(19) jri = 9103]}:

fr‘pU) = “970311)

(T = 1, ..., 71—1)

ist.

Die zweite Gleichung ist die jetzige Form von (18). SATZ 13. Die AlgebraA besitzt die Basis i"j‚ (k, r =0, 1, ..., n— 1). Wären nämlich diese n2 Grössen linear abhängig bezüglich K, so gäbe es Polynome g‚(i) von einem Grad < n in i mit Koeffizienten aus K, die nicht alle gleich Null sind, so dass n—l

Egr(i)jr=0

wäre.

7:0

Wir multiplizieren rechts mit i", wenden (19) an und erhalten n—l

2 [e‚(i)]kg‚(_i)j‚ = o

‘r=0

(k = 0, 1, . . .‚ n—1). ’

Die Determinante A der Koeffizienten der g,(i)j„ nämlich die De-

terminante |[Qr (i)]"|„, ist gleich dem Produkt der Differenzen der' n verschiedenen Wurzeln @‚(i) von f(w) = O und ist deshalb nicht Null. Wir multiplizieren die so erklärte Gleichungl) links mit der Unterdeterminante des Elementes in der (k +1)“1 Zeile und der .(r + 1),Den Kolonne von A, summieren über k = 0, . . ., n—— 1 und erhalten Ag,(i)j„= O. Wenn g‚(i) nicht Null ist, so gibt es dazu eine Inverse in K (i) und es wird j,= 0, was im Widerspruch zu seiner Bildung ist. Daher ist jedes g„(i) =O entgegen der Annahme. 1) Dieser Schritt ist eine Verbesserung des Beweises von Cecioni, Rendiconti Circolo Mat. Palermo, 47 (1923), 209—254. Wir entleihen ihm’ auch Satz 14.

54

Da die Gleichung f[@s(w)] = 0 durch die Wurzel i der in K irreduziblen Gleichung f(w) = 0 befriedigt wird, wird sie nach S 5 auch durch die Wurzel @‚(i) dieser Gleichung befriedigt. Daher ist Q, [6,03)] eine Wurzel @„(i) von f(w) = 0. SATZ 14. Dann ist I'd-3.: c„j„‚ wo 0” in K(i) liegt. Denn nach Satz 13 gibt es solche Zahlen d in K (i), dass n—l

Jr ja : 2 drstjt

t=0

ist. Wir multiplizieren rechts mit i, wenden (19) an und erhalten n —1

@u(7’)]r]s =tgodrst@t(7’)]t'

Wir eliminieren jrj, und erhalten mit Rücksicht auf Satz 13

dm WAL") — 9:07] = 0; daher ist 11”,: 0 für tiu, weil dann @,(i) #@„(i) ist.

Lassen wir die Voraussetzung, dass A eine Divisionsalgebra sei, fallen, so sagen wir, dass eine assoziative Algebra A mit der Haupteinheit 1 in einem Körper K vom Typus B ist, wenn sie die Eigenschaften I, II, IV hat, wenn sie solche Grössen j, ;ä 0 (r = 1, . . ., n—1) enthält, die (191) genügen und wenn endlich jedes cM in Satz 14 von Null verschieden ist. Wir bemerken, dass die Beweise 'von Satz 13

und 14 für eine Algebra vom Typus B bestehen bleiben.

35. Algebren vom Typus D. Wir betrachten den Fall, in welchem die Funktionen 8„(1') die folgenden Eigenschaften haben:

674.10") = Q1 [910)]

(r = 1, ---‚ n—1)‚

6N) = i-

Dann ist nach Satz 14 jrj1= u'1'jr+1

(7': 1’ nun—2):

j„_1j1= “14—1,

wo die a, Zahlen#0 in K (l) sind. Mittels vollständiger Induktion nach k wird

ji=“1“2-Hak—1jk ‚(k

jf=a1...a„_1.

Wir führen “11.2: a1 a2 f3, . . ., a1 . . . a„_2 j„_1 als neue Basisgrössen an Stelle von ‚7.2, ja: - - -, j„__1 ein und erhalten

if=ik

(k=2‚ ...‚n—1)‚ if=8’ 55

wo g in K (l) liegt. Das assoziative Gesetz schliesst in sich, dass j f und ] 1‘ vertauschbar sind, weshalb nach (19) Silo = jkg = g(@k)jk9 g.= 8(6k) (k = 1, -- -‚ 71—1)Somit ist g symmetrisch in den Wurzeln von fix) = 0 und ist daher eine Zahl in K. Wir schreiben j für j1 und erhalten eine Algebra D

in K mit der Basis i‘j"

(20)

f(i)=0‚

(s, k = 0, 1, . . .‚ n—l), wo

ii=@(i)i‚

f”=g

(ginK)-

Obschon es nicht schwer fällt, direkt zu verifizieren, das D assoziativ ist, werden wir einen indirekten Beweis dafür unter Satz 16 geben. Die Bedingungen für g, damit D eine Divisionsalgebra ist, werden wir in 5 42 erhalten. Wenn n— - 2 ist, können wir den zweiten Term aus der quadratischen Gleichung f(i)— 0 entfernen; ihre zweite Wurzel 6(1,) ist dann '— i. Schreiben wir ul und ug für i und j, so sehen wir, dass (20) die Form (1) annimmt, so dass für n = 2 die Algebra D eine Algebra von verallgemeinerten Quaternionen bildet.

36. Plan der allgemeinen Untersuchung. Unter den Iterierten einer Funktion @(i) verstehen wir @2(i) = @[_@(i)], @3(i) = @[@2(i)], ...‚ welche von den Potenzen [@(i)]2, [6(i)]3, . . . von @(i) wohl zu unterscheiden sind. Nach der Algebra D ist der nächsteinfache Fall derjenige, in welchem die n = pq Wurzelnvon f(w)

@;[@f(i)]

(r=0,1, ...‚p—1;k=0,1,...,q—1)

sind, so dass i die q“ Iterierte Qfii) von @1(i) ist und ebenso 6’; (i) = i. Wir wählen, um etwas Bestimmtes vor Augen zu haben: @1[@q(i)] = @q[@1(i)]; dann hat die Algebra die Basis iajll’j;

(a=0,1,...,pq—1)

(b=0‚1,...,q——1) (c:0,1,...,p—1). Die Multiplikationstafel folgt dann leicht mittels des assoziativen Gesetzes aus

121) m 0 j1=g‚ j2=y‚ i.i.=aj.j.‚'j‚i=@‚j„ 56

(t=1‚q)‚

i wo g, y, a in K (1,) liegen. Eine direkte Prüfung zeigt, dass unsere pzq2 Basisgrössen dem assoziativen Gesetz nur dann gehorchen, wenn ein kompliziertes Gleichungssystem mit vier Parametern besteht. Indessen werden wir in ä38 sehen, dass es hinreichend ist, ein viel einfacheres System von Gleichungen mit zwei Parametern zu. erfüllen. Die Methode lässt sich auf irgendeine Algebra vom

Typus B anwenden; sie beruht auf der Anwendung einer Anzahl N von verschiedenen Funktionen @1(i), @q(i), . . . , Erzeugende genannt, deren Iterierte in den Ausdrücken der Wurzeln von f(w)=0 vorkommen. Im obigen Beispiel war N = 2 (die Erzeugenden waren 61 und 6g), während N = 1 ist für jede Algebra vom Typus D. Wir bezeichnen die NteErzeugende mit @q(i)‚ und @k(i) (k=0‚ 1, . . .‚ q—i) seien die Wurzeln, die man als Funktionen der Iterierten der ersten

N ——1 Erzeugenden ausdrücken kann. Was diese (9k betrifft, so wollen wir hier nur die Annahme machen, dass 68 [6,01)] einem gewissen @„(i) mit u 0, r > 0, dann ist

A' = f(@q) akjk: B' = h(6g) A2>A3>

>A"“1 >A“, At= A“(t>a)

ist. a. nennt man den Index von.A. Wir betrachten zum Beispiel die assoziative Algebra A =(u1‚u2):

ui = ”1142 = “2141 = ”ä: ßu1

in einem Körper K, der ß enthält. Wenn ßi 0, dann ist A2: (u1)= A3; für ‚B = 0 ist A2 = O = A3. In beiden Fällen ist A >A2 und A vom Index 2. '

59. Nilpotente Algebren, Radikal. Ist A“ = 0, so nennen wir A nilpotent. Ist im besonderen A2 = 0, so nennen wir A eine Nullalgebra; das Produkt aus irgend zwei Grössen daraus ist Null. Eine Grösse heisst nilpotent, wenn eine Potenz von ihr Null ist. 1) Im folgenden ist in diesem Buche die Multiplikation stets als assoziativ angenommen, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist.

94

Die Algebra im vorhergehenden Beispiel ist dann und nur dann nilpotent, wenn ß = 0 ist. Die Algebra __

.

2—.

_

_

2—.

B—(”1‚’”2)- ”1—1727 ”102—9291—7’2—0 . ist nilpotent und vom Index 3. Eine maximale invariante nilpotente Teilalgebra heisst ein Radikal. SATZ 1. Enthält eine Algebra A ein Radikal N, so ist jede nilpotente invariante Teilalgebra N1 von A in N enthalten. Nach Satz 1 von 5 50 ist N + N1 eine invariante Teilalgebra von A. Um zu beweisen, dass sie eine nilpotente ist, bezeichne N2 den Durchschnitt von N und N1 und P ein Produkt, das aus zwei oder mehr Faktoren N und N1 gebildet ist, das aber keine Potenz von N oder N1 ist. Da N in A invariant ist und als Faktor in P vorkommt, ist P g N. Analog ist P g N1; daher ist P g N2. Somit wird (N+N1)“gN“+N'{+N„‚

0.22.‘

Ist a der grössere der Indizes der nilpotenten Algebren N und N1, _ so haben wir

N“=N:=0‚ (N+N1)“ am, (N+N1)“‘ SNä‘sN“=0‚

so dass N + N1 nilpotent ist. Wir sahen, dass es invariant in A ist, da N aber ein Radikal von A ist, folgt N1 g N.

60. Idempotente Grössen. Gilt für eine Grösse e, die von Null verschieden ist, e2 = e, so heisst e eine idempotente Grösse oder kürzer ein Idempotent. Da jede Potenz von e auf e zurückführt, ist e nicht nilpotent. Die Haupt-

einheit m einer Algebra ist idempotent. SATZ 2. Jede Algebra P, welche nicht nilpotent ist, enthält eine idempotente Grösse. Wir bezeichnen mit a den Index von P, so dass AEP“#O, P“+1 = P” ist. Dann Wird A2 = A und A ist nicht nilpotent. Weil jede Grösse der Algebra A in P liegt, folgt der Satz, wenn wir beweisen, dass A eine idempotente Grösse enthält. Wir werden dies durch vollständige Induktion bewerkstelligen, indem wir annehmen, dass jede nicht nilpotente Algebra, deren Ordnung kleiner als die

95

Ordnung von'A ist, eine idempotente Grösse enthält, und bemerken, dass der Satz gilt, wenn P von der Ordnung 1 ist, weil dann P aus den skalaren Produkten einer Grösse u besteht, so dass u2 = fiu,

ßi 0 ist, weshalb u/ß idempotent ist. Zuerst enthalte A eine Grösse a, so dass Aa= A ist. Dann ist jedes Element y von A 1n Aa enthalten und deshalb als ein Produkt za. aus einer. Grösse z von A und a auf nur eine Art darstellbar. Denn wäre ebenso y = z’a, so hätte man (z —z’) a = 0, also z—z'=0 nach der Umkehrung von Satz 2 _in 5 48, wenn man s = a, a: = z ——z', T = A setzt.

Im besonderen ist die Grösse a von A nur auf eine Form wa darstellbar, wo w in A liegt und w i 0 ist. Weil ist a = wza und daher W2 = w. A enthält also 'die Grösse w. . Zweitens enthalte A keine Grösse a derart, dass

Weise in der w- a = w- wa, idempotente Aa = A ist,

weshalb Am < A für jedes .9: in A ist. Für jedes w ist A a: entweder 0 oder eine Algebra wegen Awk= Aox S Aas.

Wenn A1: weder 0 noch nilpotent ist, enthält An; nach Annahme ein Idempotent e, und e gehört zu A. Wenn aber A a: gleich O oder nilpotent für jedes m in A ist, dann ist (Am)l= O für genügend grosses l. Die Gleichung A2 = A führt, wieder-

holt angewendet, auf

(A 9644),” = (A x)" A,

‚was Null ist für k = l. Ferner ist (AacA)2 = AxAz- mA g AwA.

Daher ist A mA gleich O oder eine nilpotente Algebra und ist ersichtlich invariant in A. Wenn x alle Grössen aus A durchläuft, so bildet die Gesamtheit der Grössen 1n AwA die Algebra A3: A. Für mindestens ein a: ist deshalb AwA nicht Null und daher eine nilpotente invariante Teilalgebra von A. Somit enthält A das Radikal N. Nach Satz 1 ist jedes A mA g N. Wir wissen: die Summe aller AasA ist A, daher ist A g N, obwohl A nicht nilpotent ist. Das ist unmöglich und unser Satz bewiesen. l Zusat z. Eine Algebra ist nilpotent, wenn alle ihre Grössen nilpotent sind. 96

‘61. Eigentlich nilpotente Grössen. Die Algebra A enthalte ein Radikal N, das nach Satz 1 eindeutig bestimmt ist. Wenn a in N liegt, so sind aa: und xa in N und sind daher nilpotent für jedes a: in A, weil N invariant ist. Wir nennen eine Grösse ai 0 von A eigentlich nilpotent in A, wenn am und .z'a für jedes a: in A nilpotent sind. Wir setzen a: = a und sehen, dass a2 und daher a selbst nilpotent ist. Wie Wir oben bemerkten, sind alle Grössen i 0 von N eigentlich nilpotent in A. Ein lehrreiches Beispiel bildet:

_ aß) _(Äe) "__ -a—N, so dass 31 ——N = S ist. Wir erinnern, dass die Grössen von A —N die Klassen [an] modulo N sind, deren jede durch eine Grösse m von A bestimmt ist. Insbesondere sei b eine Grösse von Bl; dann liegt die Klasse [b] in B1 —N‚ weshalb [b]”= [b’] = [O] ist, so dass b” in N liegt. Ist a der Index der nilpotenten Algebra N, dann ist b” = 0 und B1 ist nilpotent im Widerspruch zur Definition von N. Wenn die Algebra A—N keine Haupteinheit enthielte, so wäre sie eine 'Nullalgebra Z der Ordnung. 1 nach Satz 8, weshalb Z2 = 0 wäre. Für irgendeine Grösse a: aus A wäre [51:2] = [w]2= [O], so dass x2 und daher auch an nilpotent wären. während A doch nicht nilpotent sein soll, womit der Satz bewiesen ist. 102

68. SATZ 10. Eine halbeinfache Algebra A, welche‘nicht einfach ist, ist reduzibel.

Beweis: A enthält eine invariante eigentliche Teilalgebra B und eine Haupteinheit nach Satz 8. Daher ist AB = B = BA. Wir setzen .voraus, dass B eine nilpotente invariante Teilalgebra J _S_ B < A enthalte; ersichtlich ist BJ B invariant in A, es ist eine eigentliche Subalgebra, weil B J B g J B g J ist.

Somit ist B J B

Null oder nilpotent. Da A halbeinfach ist, und daher keine nilpotente invariante eigentliche Subalgebra enthält, ist BJ B = 0. . Weil A eine Haupteinheit besitzt, ist AJ A nicht Null und ersichtlich invariant in A, ferner ist AJ A g AB A = B A = B < A. Som1tw1rd (AJA)3=AJA'J'AJA g BJB=O. Daher wäre AJ A eine nilpotente invariante eigentliche Teilalgebra von A, Während doch A halbeinfach sein soll. Dieser Widerspruch beweist, dass B keine nilpotente invariante Teilalgebra enthält. Nach Satz 6 besitzt B eine Haupteinheit und unser Satz folgt jetzt aus 552.

69. Halbeinfachen Algebren als direkte Summe von einfachen. SATZ 11. Eine halbeinfache Algebra A, welche nicht einfach ist, ist eine direkte Summel) von einfachen Algebren, deren keine eine Nullalgebra der Ordnung 1 ist, und umgekehrt. Beweis: A besitzt eine Haupteinheit und ist nach 55 68, 53 eine direkte Summe von irreduziblen Algebren Ar: deren jede eine Haupteinheit enthält (und daher keine Nullalgebra der Ordnung 1 ist). Infolge des Beweises in 568, wo wir B = A,- setzen, ist Ai halb-

einfach. Weil A, irreduzibel ist, ist A1. einfach (5 68). Umgekehrt, wenn jedes A, einfach und keine Nullalgebra der Ordnung 1 ist, dann ist A = A1®A2® . . . halbeinfach; denn A,-

enthält eine Haupteinheit mj. Sei J eine invariante Teilalgebra von

A und a = Eak irgendeine Grösse von J, wo ak in Ak liegt. Dann 1) Diese Summe ist eindeutig bestimmt bis auf die Anordnung der einfachen Algebren (5 53).

103

ist mj a = m,- a7. == a7. in J. Daher liegt a]- in J’- s JAAj, somit ist J=J1®J2® ...

Da

AJ=A1J1+A2J2+

"'

2J

ist, erhalten wir Aj Jj g J7" In gleicher Weise ist JjAj g J5. Daher

ist J7. invariant in der einfachen Algebra AJ- und ist daher Null oder Aj. Wäre nun J nilpotent und vom Index a, dann wäre O = J“ = ZJf, also auch J7. nilpotent, während A,- dies nicht ist. Somit wird jedes J7. = 0 und J = 0.

70. SATZ 12. Ist e eine idempotente Grösse einer halbeinfachen Algebra, A, dann ist eAe halbeinfach. '

Beweis: Wegen (eAe)2 = e'AeA-e g eAe ist eAe eine Algebra, welche eee = e enthält, welches eine Haupteinheit darin ist. Wir setzen voraus, sie sei nicht halbeinfach, sondern enthalte eine nilpotente invariante (eigentliche) Subalgebra N. Weil N in eAe invariant ist und eAe die Haupteinheit e enthält, gilt N veAe = N. Daher ist NAN=Ne-A-eN=N-eAeoN=N2, _ N’AN = Nr’l-NAN= N'+1. Weil A nach Satz 8 eine Haupteinheit besitzt, ist A2 = A. Somit ist (ANA)2 = ANANA = ANZA, (ANA)3 = A-NzAN-A = ANSA und, durch Wiederholung, (A N A)’ = AN’A. Weil N nilpotent ist, sehen wir, dass für hinreichend grosse r (ANA)’: 0 ist. Da A eine Haupteinheit enthält, enthält AN A die Teilalgebra N und ist daher nicht Null. Somit ist ANA eine nilpotente invariante Subalgebra von A. Dies ist unmöglich, weil A halbeinfach und nicht nilpotent ist. Zusatz. Wenn A einfach ist, ist auch eAe einfach. Denn Wäre N invariant in eAe, welches die Haupteinheit e besitzt, dann Wäre eANAe = eAe-N-eAegN < eAe,

ANA < A.

Somit Wäre ANA eine invariante eigentliche Teilalgebra von A, was unmöglich ist, da A einfach ist. 104

71. Primitive idempotente Grössen. Man nennt ein Idempotent e aus einer Algebra A primitiv, wenn es in A kein Idempotent u (uie) gibt, für welches eu = u= ue gilt_

-

Hilf ssatz. Ein Idempotent e aus A ist dann und nur dann primitiv, wenn eAe kein Idempotent i e enthält. Wenn nämlich u = eae i e idempotent ist, wo a, aus A ist, dann ist eu = u = ue, so dass e nicht primitiv ist für A. Umgekehrt,-wenn e nicht primitiv ist, so dass A ein Idempotent uie enthält, für welches eu= ue = u ist, so enthält eAe das Idempotent eue— ui e. Sei zum Beispiel A = (ul, u2), W0 u1=u1, u2— — u2, u1u2—— 0— — u2u1 ist. Wenn a u1 + ß u2 idempotent ist, so ist es gleich seinem Quadrat a2u1+ß2u2‚ weshalb a=0 oder 1, ß=0 oder ‘1. Daher sind u1‚ LL2 und die Haupteinheit m = u1 + u2 die einzigen Idempotenten aus A. Nun ist m nicht primitiv, denn A besitzt ausser der Haupteinheit m die Idempotenten uii m (oder auch, weil mAm = A die Idempotenten uiim besitzt). u1 ist aber primitiv, da u1u2 = 0 i u2, ulm = u,1 i m ist (oder auch, weil ulAu1 = (ul) ausser u1 kein Idempotent besitzt). Analog ist u2 primitiv. Nach 563 ist m das einzige ausgezeichnete Idempotent. SATZ 13. Enthält eine Algebra ein Idempotent, so enthält sie mindestens ein primitives Idempotent. Beweis: Wenn A ein Idempotent e enthält, welches nicht primitiv ist, zeigt der Hilfssatz, dass eAe ein Idempotent uie enthält. Da e eine Haupteinheit für eAe ist, ist eu = ue = u, deshalb wird _ u (e — u) = 0. Dann ist uA < A nach der Umkehrung von Satz 2, 548. Somit ist u-Au g uA < A, weshalb uAu = e-uAu-e < eAe ist. Auch ist uAui 0, weil u3 = uiO ist. Daher ist uAu eine

eigentliche Teilalgebra von eA e. Ist das Idempotent u von A nicht primitiv, so zeigt der Hilfssatz, dass uAu ein Idempotent ’Uiu enthält, so dass (aus dem vorigen Grunde) vAv eine eigentliche Subalgebra von uALL ist. Weil die Ordnungen der Algebren eAe, uA u, vAv, . . . eine Reihe von abnehmenden positiven ganzen Zahlen bilden, endet das Verfahren und führt zu einem primitiven Idempotent von A.

105

Im vorhergehenden Beispiel ist m kein primitives Idempotent, hingegen die Summe von zwei primitiven Idempotenten ul und u2, so dass ulug = O = u2u1 ist. Dies erläutert den folgenden

SATZ 14. Ein nicht primitives Idempotent e von A ist eine Summe von primitiven Idempotenten, deren sämtliche Produkte zu zweien Null sind.

Denn nach dem Beweis von Satz 13 enthält P = eAe ein Idempotent e1‚ welches für A primitiv ist, weshalb e1# e ist. Wir be— lmerken, dass e3 = e in P liegt und eine Haupteinheit für P bildet; somit ist d=e—e1 in P und de1=0, e1d=0. Weil d2: (e—el) d= d ist, so ist d idempotent. Auch ist dAd < P nach dem Beweis von. Satz 13, wo u durch d ersetzt ist. Wenn d (gleich wie e1) für A primitiv ist, ist der Satz bewiesen, da e=e1+d‚ e1d=de1=0 ist. Ist aber d nicht primitiv für A, so zeigt eine Wiederholung des Verfahrens, dass dAd ein Idempotent e2 enthält, welches primitiv für A ist, so dass d1 = d —e2 idempotent, dle2 = 0 = (32d1 und dlAd1 < dAd < P ist. Somit wird e = e1 + e2 + d1. Multiplizieren wir dieses rechts und links der Reihe nach mit d1 und e1 und erinnern ‚ uns daran, dass d1 und e1 in P liegen, welches e als Haupteinheit besitzt, so finden wir, dass d1 = elel1 + d12 oder (31d1 = O, dlel = O, _. 0,6162—— 0 ist. Deshalb sind alle Produkte von e1,e2, d1 zu e2e1— zweien Null. Wenn d1 (gleich wie el und ez) primitiv für A ist, dann ist der Satz bewiesen.

Wenn d1 nicht primitiv ist für A, so wiederholen wir den Schluss mit d1 an Stelle von d, und so fortfahrend kommen wir zu einem Ende, weil die Reihe der Algebren eA e, dA d, dlAdl, . . .. von fallenden Ordnungen ein Ende haben muss. > 2 Idempotente, von welchen Bemerkung. Sind ul, .. ., up, p_ alle Produkte zu zweien Null sind, so ist ihre Summe s idempotent, — u, und u, ist von s veraber nicht primitiv. Denn u,-s= suj— schieden, weil u,- = s nach sich zieht, dass 0 = uiu, = uis = u, (i i j) ist.

SATZ 15. Sind ul, .. .‚ u, (t _2_ 1) primitive Idempotente von A, von welchen alle Produkte zu zweien Null sind, und ist e = Z7 u,z kein ausgezeichnetes Idempotent von A, dann gibt es in A ein ausgezeichnetes

106

Idempotent, welches die Summe von mehr als t primitiven Idempotenten ist, von welchen alle Produkte zu zweien Null sind. '

Nach Satz 4 enthält A ein ausgezeichnetes Idempotent e + v, Wo

'v idempotent und e'v = 've = O ist. Ersichtlich ist eu, = u, = wie, weshalb u,.= eu,e in der Algebra eAe liegt. D'a aber o-eAe: ve-Ae = 0 und analog eAe-v = 0 ist, ist ca, = 0 = uiv. Daher ist der Satz bewiesen, wenn 'u primitiv ist. Ist dies nicht der Fall, so wissen wir nach Satz 14, dass o = '01 + . . . + v, ist, wo '01, . . .‚ v, primitive Idempotente von A sind, deren Produkte zu zweien alle Null sind. Ersichtlich ist vj'o = 05:10:15, weshalb v,- = m2,?) in der

Algebra oAv liegt. Da aber ‘uiovA'u = 0, 'vA'v-ui= 0 ist, weil uiv = 0 = auf, so ist “5171:: 0, vju, = O. Wir verbinden den Fall t= 1 dieses Satzes mit Satz 13 und erhalten den wichtigen Zusatz. Jede Algebra, welche nicht nilpotent ist, enthält ein ausgezeichnetes Idempotent, welches entweder ein primitives Idempotent

oder eine Summe von primitiven Idempotenten ist, von welchen alle Produkte zu zweien Null sind. Im vorigen Beispiel ist m ein ausgezeichnetes Idempotent, das nicht primitiv, sondern die Summe der primitiven Idempotente u1 und uz ist, für welche u1u2 = 0 = uzul gilt. Für die Algebra (1, i)

im reellen Körper folgt aus ez = e, dass e = 0 oder 1 ist, weshalb 1 das einzige Idempotent und deshalb sowohl ausgezeichnet als auch

primitiv ist.

72. Wurzeln der charakteristischen Gleichung von g(m). Sei g(w) irgendein Polynom mit Koeffizienten in K, welches nur dann ein konstantes Glied yi 0 hat, wenn die assoziative AlgebraA in K eine Haupteinheit e besitzt, dann enthält das korrespondie-

rende Polynom g(x) in der Grösse a; aus A das Glied 'ye. SATZ 16. Sind a1, . . ., 0.„ die Wurzeln der ersten (oder zweiten) charakteristischen Gleichung von w, dann sind 3(01), . . ., g(a„) die

Wurzeln der ersten (oder zweiten) charakteristischen Gleichung von g(x). Denn die erste charakteristische Gleichung von 5c lautet IRE —wEl = 0, welches die charakteristische Gleichung der Matrix R” ist und die s

Diekson, Algebra.

-

107

Wurzeln a1, . . . , an hat. Daher sind g (a1), . . . ‚ g (11“) nach Satz 8 von 510, wo m = Rß zu setzen ist, die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Matrix g(R‚). Nach (28) von S 24 sind sie die Wurzeln von ' i IRam—wEl =0: was die erste charakteristische Gleichung von g(z) ist.

73. Kriterien für eigentlich nilpotente Grössen, Spuren. Die Summe der Diagonalelemente der ersten Matrix Rx von z nennt man die Spur von z und bezeichnet sie mit t1. Die erste charakteristische Gleichung von a: lautet IRI —wE|E( —1)"[w”—t nun—1+. ...]:0

Daher ist t“, gleich der Summe ihrer Wurzeln und ist (S 25) deshalb unabhängig von der Wahl der Basis der Algebra. Die Sätze 1n 526 liefern den Zusatz. _Eine Grösse x ist dann und nur dann nilpotent, wenn jede Wurzel jeder charakteristischen Gleichung von x Null ist. Wir sind jetzt in der Lage, folgenden wichtigen Satz zu beweisen: SATZ 17. Eine Grösse a; einer assoziativen Algebra ist dann und nur dann Null oder eigentlich nilpotent, wenn t“ = 0 ist für jedes y in A. Beweis: Zuerst sei a: Null oder eigentlich nilpotent, so dass my nilpotent ist. Dann sind alle Wurzeln der ersten charakteristischen GleiChung von wy Null, nach dem Zusatz, weshalb ihre Summe tx „'Null 1st. Sei umgekehrt t” = 0 für jedes y in A. Da

WW“=ww‚yü=ww“W ist, so ist t, = 0, wo z = (wg/Y für jede positive ganze Zahl r ist. Infolge Satz 16, in dem wir g (w) Ew’ nehmen und a: durch wy ersetzen, sind die Wurzeln der ersten charakteristischen Gleichung von z = (xy)' die ren Potenzen der Wurzeln der charakteristischen Gleichung von xy. Die Summe tz der Wurzeln der ersten ckarakteristischen Gleichung ist Null, wie wir sahen. Daher ist die Summe s der r156m Potenzen der Wurzeln der ersten charakteristischen Gleichung

f(w)= “+Y1w” 1+

im

+7„=0

von acy Null für jede ganze positive Zahl r. Für irgendeinen Körper K gelten die Newtonschen Identitäten

S,- + 7185—1 + 72Sj—2 +- - -+ 75—181 +177" = 0 (I: 1: - - -‚ n). _Da jedes s, = 0 ist, erhalten wir j'yj = 0; daher f (w) am" = 0. Der Zusatz zeigt, dass my für jedes y nilpotent ist, weshalb a: Null oder eigentlich nilpotent ist.

Wir werden den Ausdruck für die Spur 76i von usuj = 27855":nötig haben. Nach Definition ist sie die Summe der Diagonalelcmente der ersten Matrix derjenigen Grössen, die man aus w = Zfiui erhält, wenn man Es durch 7:37-1- ersetzt. Nach 5 23 lauten die Diagonalelemente von R2: p“, = 25,75”; daher ist

.

’

i

1L

(6)

“’85 = E 7m" YikkVi,lc=1 Sei y.= Enjuj eine weitere Grösse aus A. Die Eigenschaften (23) von R, in 523 schliessen in sich, dass (7)

t„=at„ t,+ H=t +ty

_.+2547„u u und t“ =v-„ ist, deshalb erhalten wir aus wy—

„=0_2_31n‚‚E- n,-

(8)

Dieser Ausdruck ist für jedes y ‚1,11.-1A dann und nur dann Null, wenn

(9)

27,„5:0

(j=1,...,n)

ist. Daher ist nach Satz 17 m: 25,u‚.#0 dann und nur dann eigentlich nilpotent in A, wenn die Gleichungen (9) gelten (wo

51, . . .‚ f” nicht alle Null sind). Sei r der Rang der Matrix (7,7.) der Koeffizienten in (9). Wir verletzen unseren Schluss nicht, wenn wir die Gleichungen umordnen

und die E,- so umstellen, dass in den neuen Gleichungen die Determinante der Koeffizienten von EI, . . ., f, in den ersten r Gleichungen nicht Null ist. Dann ergeben diese n

(10)

42:21:” j,

(i=1‚...,r),

j=r+1

wo die a.“ allein durch die 1,-,- bestimmt sind und zu K gehören. Es ist bekannt, dass die letzten n—r Gleichungen (9) in ‚+1, . . ., 5„ zu 109

Identitäten werden, wenn 51, . . ., f, durch ihre Werte aus (10) ersetzt werden. Indem wir dieselben Werte in w: 2' E,- ui einsetzen, erhalten wir w=ZEia

P," =uj +t21a aü u!"

Die p,- (j = r + 1, . . ., n) sind ersichtlich linear unabhängig in bezug auf K und gehören zu A. Wir haben jetzt bewiesen, dass alle eigentlich nilpotenten Grössen von A ohne Wiederholung durch Z ff p, gegeben werden, wenn ,.+1, . . ., 6„ alle Systeme von n —r Werten in K annehmen, die nicht alle Null sind. Dies beweist den SATZ 18. Bezeichne r den Rang einer n-reihigen quadratischen Matrix (1- 9.,) in welcher 7„ die Spur von u, uj ist. Eine assoziative Algebra A der Ordnung n besitzt dann und nur dann keine eigentlich nil-—— n ist. Ist r < n, potenten Grössen (und ist daher halbeinfach), wenn r— so enthält A daher ein Radikal N, die Ordnung von N ist n —— r. Nach (6) hängen die Werte von r nur von den Multiplikationskonstanten 'yük von A ab. Zusatz. Sei A eine assoziative Algebra in K, und K1 irgendein Körper, welcher K als Teilkörper enthält. Betrachten wir die Algebra A1 in K1, welche dieselben Multiplikationskonstanten wie die AlgebraA in K hat, dann ist A1 dann und nur dann halbeinfach, wenn A halb-

einfach ist. Enthält aber A das Radikal N, dann enthält A1 ein Radikal N1, nämlich die Algebra in K1, welche dieselbe Basis wie N hat.

74. Normalbasis einer nilpotenten Algebra. Hilf ssatz. Irgendeine assoziative Algebra A vom Indea: a. in K ist eine Summe von a Linearsystemen Bl, . . . , B“, von welchen keine zwei eine Grösse i 0 gemeinsam haben, so dass B1# 0, ._ . .‚ B„,__1 # 0 und

(11),

Bp Bq SBp+q+Bp+q+1+'

(12)

BqSBa

‘

_

+--Ba (p+q v oder z g v ist, bezeichne (n„ . . .) Null oder eine lineare homogene Funktion von nz, n,+1, . . ., n, mit Koeffizienten in K. Dann haben

Wl'”

b1+...+bp_1'b2’>1dI(1——s‚-). j=1

Dann wird

(17)

f=1

222192212 0, „9,51? = 0 (k = 1,

d; iin J,)‚

weil das Produkt von 803) und 1 —-sk in jeder Reihenfolge Null ist nach (16). Nun liegen s und b“) in den Klassen 2[e(.’.)] und [6021.)], l deren Produkt in jeder Reihenfolge nach (15) Null ist und wo sich die Summation über die Zahlen l im System J bezieht. Daher ist

— [.99], W)? = [29”], (2W —a:d> ——- 2, (18) Wl= [WJ— ' wo z in N liegt. Wenn a der Index von N ist, dann ist N“=0‚ z“ = 0. Ersichtlich ist z mit a?) vertauschbar, während nach (17)

eßflz= 0, zog? = 0 (k: 1,

d; iin J,).

Nach dem binomischen Satz ist

(1+4z)- 2 = 1—__(42)+ „ä (_%)(_%—1)(42)2+.„= = 1 — 2 z + 6 z‘z —

Wir wenden Reihen an, welche mit dem Glied z“"1 aufhören, und schreiben (

19 )e„——2—V—1+—4—z—+—=a‚ (d) 2 “(d)_ 1 (d) (1— 2Z+622—

2

..)+Z—3z +..-

Quadrieren wir den Ausdruck für er? und wenden die letzte Gleichung (18) an, so sehen wir, dass elf) seinem eigenen Quadrat gleich ist. Es ist

nicht Null und liegt in der Klasse [agil] = [51?] i [0], weil (15.025" in der 1) Beim Gebrauch der Abkürzung (1—3) b für b—sb ist nicht gemeint, dass A die Haupteinheit 1 besitzen müsse. 9

Diekson, Algebra.

123

invarianten Teilalgebra .N ist. Daher ist e51? idempotent. Nach (17) und (18) sehen wir jetzt, dass sein Produkt mit 8g]? in jeder Reihenfolge Null ist für k = 1, . . . , d; i in Jk. Dies ergänzt den allgemeinen Schritt im Beweise des Hilfssatzes durch Induktion. Wie im anfänglichen Fall des Hilfssatzes bemerken wir, dass die Klasse [51,1] ein Idempotent eh aus A enthält zufolge (19) mit d = r = 1 oder zufolge Satz 25 von 5 76. Im weiteren Verlauf des Beweises von Satz 7 verwenden wir nur Grössen und Klassen mit einem festen Index k, welchen wir deshalb zur Einfachheit weglassen wollen. Für p i q wählen wir irgendeine Grösse t“ aus der Klasse [am] und schrelben am für e” tM e“. Dann Ist

(20)

eP17 a1W e Q9— =Ma

[a„l = [E„l [€12] [im] = [q], [(11, a—nl — [‘11] [EErll = [‘11] = [e11], nach (15), so dass

[e “11l = [errl

“M“ri -= e11 + zu, “man = err + z2r ist, wo zu. und 4:2„ in N sind. Aus (20) erhalten wir (21)

errang: a’pq’

apqeqq = “pq'

Somit ist eualra,1 = (11,01“, arlalrew = „an, weshalb (22)

alra’rl = 811(1 + zu)!

arla1r= (1 + 22).)8rr'

Nach (21) und (22) ist arl'alra’rl = arl + (1,1111,

an alr'a’rl = an + z27'a1-1'

Da die linken Seiten dieser beiden Gleichungen nach dem assoziativen Gesetz einander gleich sind, ist (23) arlzlr = 7'211’171: anzir = zirariWenn z in N ist, so dass z“ = 0, dann ist das Produkt von a (1 + z) m1t

(1+ z)_1=-1_z+z2'

gleich a. Daher ist nach (23)

_

_

+(_1)a—1zu—1

’

(24) “1-1 (1 + zul—l = (1 + zzr) “1‘771Für r > 1 schreiben wir (25)

124

elr = am

erl = “71 (1 + z11')_l

_Dann erhalten wir mit (221) und dem Fall eual, = a1, von (21) (26) ehe-n = alra11(1_+ zlr)_1 = €11. 311917 = 911-Nun ist 311 von (25) gleich dem zweiten Glied von (24). Daher ist nach dem Fall ane11 = ar1 von (21) und nach (222) (27) erlell = (1 ‘l‘ zzr)—1a11911 = 311 ‚ erlelr = (1 + z2r)—la’-rla1'r = err' Endlich schreiben wir eM für eplelq, wenn p > 1, q > 1, p 7’: q ist. Dies, (262) und (27) geben eia' = eilely‘

(71,]: 1, . . .‚ n).

Hiemit und mit (261) erhalten Wir etjejlc =_ etlelj'eilelk = 351'911'91k = eilelk = eilc' Endlich wird für j ;ä h etjehlc = eueij'eiilelk = eil'eljejj°ehheh1'elk = 02

‚

weil eüehh = 0 ist. Es ist jedes (3)7720, da eijeji = e”;ä0 ist. Die e“sind linear unabhängig nach der ersten ’Fussnote in 578. Führen wir den weggelassenen Index k wieder ein, so schliessen wir, dass

die e35) Basisgrössen einer vollständigen Matrixsubalgebra pk sind, welche Mk äquivalent ist und die Haupteinheit sk besitzt. Für k 9€ t ist skst = O nach (16). Daher ist Mp6: pksk-styt = O. Somit ist 21H.- die direkte Summe der pk, eine Subalgebra von A und zu M

i äquivalent.

I

'

81. Struktur von A, wenn" A—N einfach ist. Nach ä 69 ist eine halbeinfache Algebra entweder einfach oder eine direkte Summe von einfachen Algebren, deren keine eine Nullalgebra der Ordnung 1 ist. Die Struktur jeder solchen Algebra ist durch 578 bekannt. Daher kennen wir die'Struktur aller halb-

einfaehen Algebren. SATZ 8. A sei eine Algebra mit der Haupteinheit a in einem Körper K. die nicht halbeinfach ist und daherein eigentliches Radikal N enthält. Wir setzen voraus, dass A—N einfach ist. Dann ist A das direkte Produkt einer vollständigen Matrixsubalgebral) M in K und 1) Irgend zwei Bestimmungen von M sind nach der letzten Fussnote in 5 78 äquivalent.

125

einer Subalgebra B in K, welche eine Haupteinheit, aber keine weitere

idempotente Grösse besitzt.

Beweis: Nach 578 ist A—N das direkte Produkt [B] X [M] einer Divisionsalgebra [B] und einer vollständigen Matrixalgebra [M], die Haupteinheiten von [B] und [M] fallen mit der Haupteinheit [a] von A—N zusammen. Nach 580 enthält A eine Subalgebra M, welche [M] äquivalent ist. Wir bezeichnen die Basisgrössen von M mit e“. und schreiben e=2ew Dann ist e" = e, ea = e = ae, (e—a)2 = a—e. Durch Induktion wird

(0—0)“ = (—1)“+1(e—a)-

(23)

Dies schliesst in sich, dass e= a, da [e] = [a] ist, so dass e—a in N und daher nilpotent ist. Sei a: irgend eine Grösse aus A; wir setzen

(29)

w“ = Zeipweqi.

Dann ist (30) Ezpqepq— Eeipweqiem— zeppweqq— ewe — axa— w, —-

Psq

man

—

w

———

—

_—

1,19

“neu = antun = eiieipxeqi = cum“, so dass w“ und e“. für alle Werte von p, q, i, j vertauschbar sind.

Der Beweis von Satz 4 zeigt, dass a: mit jedem e“. dann und nur dann vertauschbar ist, wenn x = mue ist. Da aber e = a die Haupt-

einheit von A ist, sind die x11 die Grössen einer Subalgebra B von A, welche aus allen denjenigen Grössen von A besteht, welche mit jedem Element von M vertauschbar sind. Somit besitzt B die Haupteinheit e. , Weil jedes an“ mit jeder Basisgrösse e“- von M vertauschba'r ist, ' gehört es zu B. Daher lässt sich nach (30) jede Grösse von A in der Form ausdrücken:

(31)

2bpq e1741 (bpqin B).

Wenn zwei solche Summen gleich sind, sind sie identisch, denn ihre Differenz kann als solche Summe ausgedrückt werden; sei also (31)

gleich Null. Dann multiplizieren wir (31) links mit e” und rechts mit er, und bemerken, dass b“ mit e57. vertauschbar ist, und erhalten 126

bj, e“ = 0. Wenn wir über i summieren und bemerken, dass e = a ist, erhalten wir b), = O für alle Werte von j und r. Daher ist A = B X M. Ferner haben wir bewiesen, dass B und M dieselbe Haupteinheit a wie A haben. Da [B] eine Divisionsalgebra ist, besitzt [B] keine anderen Idempotente als ihre Haupteinheit nach Zusatz 2 von g 75. Wenn daher e irgendein Idempotent von B_ ist, ist [e] = [a] und e = a, weil (28) gilt. Wenn A halbeinfach ist, enthält A kein Radikal; wir setzen N = 0 und fassen Satz 2 und 8 zusammen in SATZ 9. Besitzt A eine Haupteinheit und ist A—N einfach, wo N das Radikal ist, wenn es existiert, sonst hingegen Null ist, dann ist A das direkte Produkt aus einer Subalgebra B, die eine Haupteinheit, aber keine weiteren idempotenten Grössen enthält, und einer vollständigen Matriwsubalgebra M. Beweis: Die Umkehrung sei wahr. Zum Beweise nehmen wir an, dass B ein nilpotentes Radikal N1 enthalte, da sonst B nach Satz 21 von S75 eine Divisionsalgebra und A einfach Wäre (S 79), weshalb

die Umkehrung mit N = 0 gälte. Die Haupteinheit a von A= B X M ist die Haupteinheit 26e“. von M und ebenso von B (5 77) Jede Grösse von A hat die Form m = 2:3„ 4e“, wo die mm in B liegen. Dann ist ZeiPwt =iTvqxp pqeiPepqt— — mPQZeit— — mPQa— '—' xPQ’

wodurch (29) bewiesen ist. Wenn m in N liegt, dann liegt jedes a: in der invarianten Algebra N und, da es auch in B liegt, in N1 (5 61). Wenn umgekehrt jedes an“ in N1 liegt, so liegt .1; in N. ‘Denn wenn y= 273/“3 e” irgendeine Grösse aus A ist, ist wpqy— — Z'zNers— = t, wo z" = “y" in N1 liegt. Sei Nä‘ = 0; da die z und e vertauschbar sind, ist t“ = O. Daher ist am Null oder eigentlich nilpotent in A und gehört daher zu N. Somit liegt m— — E an” e“ in N. Die beiden Ergebnisse zeigen, dass N= N1 X M ist. Daher ist A —N= (B —N1) X M, B —N1 ist aber halbeinfach (5 67) und sein einziges Idempotent ist seine. Haupteinheit; deshalb

ist B —N1 nach Zusatz 1 in S75 eine Divisionsalgebra. Somit ist A —N nach Satz 3 einfach. 127

82. Struktur einer beliebigen Algebra.. Sei A irgendeine Algebra, welche weder halbeinfach noch nilpotent ist; dann enthält A ein Radikal N. Nach dem Zusatz in 5'71 enthält A ein ausgezeichnetes Idempotent u, welches entweder ein primitives Idempotent ist, wo Wir dann u = u,1 setzen, oder eine Summe von brimitiven Idempotenten ul, . . .‚un, deren Produkte zu zweien alle Null sind.

Die halbeinfache Algebra A ’—N ist entweder eine einfache Algebra (A —N)1 oder die direkte Summe von einfachen Algebren

(32)

(A —N>1‚(A—N>‚.

Nach 5 76 ‘ist das Idempotent [u] von A ——N die Haupteinheit von A ——N und eine Summe von primitiven Idempotenten [u1]‚ . . ., [un] von A —N, deren Produkte zu zweien alle Null sind. Jedes [uk] gehört zu einer der Algebren (32), denn wenn [uk] = 20,. ist, wo 12.,. eine Klasse von (A —N) ist, dann ist

”Wir-0

(iifb

[nie]: [ukl2=21'?’

”45:”?

Daher sind diejenigen der 0„ welche nicht Null sind, idempotent. Wenn aber zwei oder mehr der v, idempotent sind, so kann [uk] nach der Bemerkung in 571 nicht primitiv sein. Die Indizes 1, ., n mögen so gewählt werden, dass

[L61], [upl+ 1], Wir setzen

[um] zu (A -N)1‚ ‚ [upfipg] zu (A —N)2 gehören usw.

l

e1=Iu1+...+upl,62=up1+1+.. .u+ up1+ra""’ et=ur+

+u„,

wo r= p1 + . . . +p„_1 + 1, Dann sind el, . . ., et Idempotente von A, deren Produkte zu zweien alle Null sind und deren Sum'me u ist.. Da [el], . . ., [et] zu den Algebren (32) bzw. gehören und da ihre Summe die Haupteinheit [u] der direkten Summe A —N jener Algebren ist, sind sie die Haupteinheiten jener Algebren (5 21). Ebenso ist

(33) [e.-](A—N)[e‚-]=[e]g(A—N)‚„[e‚-]=0 (ein. 128

In der Zerlegung von A bezüglich u (ä 62) _A=J—|—uB+Bu+uAu,

gehören die ersten drei Linearsysteme zu N nach dem Zusatz in 564, daher ist

(34)

A = N1 + uAu,

N1 g N.

Wir wenden folgende Abkürzungen an: I A” = eiAej,

N5,- = eiNej,

N2 =igiNü.

Nach (33) und der Tatsache, dass N invariant ist in A, erhalten

wir eiAe, g N (i#j), so dass jede Grösse p = eiae, von A“- in N liegt, und deshalb ist eipej = p und A,“- = N„-(i;tj). Daher wird (35)

(36)

uAu = 27A,” = N2 + 2A“,

-

A=N'+Z'Aw

N’=N1+N25N.

Wenn eine Grösse a7. aus AN eigentlich nilpotent für Aia’ ist, so ist sie ebenfalls für A eigentlich nilpotent. Denn nach (36) ist jede

Grösse a: aus A von der Form w’ —|— 22,-, wo x’ in N’ und w, in A“. liegt. Weil AjjAM = O (ji i), ist ajar: = ajm’ + ajxj. Da x’ in der invarianten Teilalgebra N ' von A ist, liegt ajac’ in N, daher ist [11,. x] = [a5 “7J" Da a, eigentlich nilpotent für Aü ist, ist a7. x,- nilpotent, und dasselbe gilt deshalb für die Klasse [ajwj] und daher für [ajz]. Potenzen von ajw mit genügend grossen Exponenten sind Grössen

aus N, weshalb aja: nilpotent ist. Da x in A willkürlich War, ist hiemit bewiesen, dass a,- eigentlich nilpotent für A ist. Wenn ein Element a aus uAu eigentlich nilpotent für uAu ist, ist es auch eigentlich nilpotent für A. Denn nach (34) lässt sich irgendeine Grösse x von A in der Form a: = s + t ausdrücken, wo s in N1 und t in uAu ist. Da as in N liegt, ist [am] = [at] nilpotent. Somit ist am nilpotent, weshalb a eigentlich nilpotent für A ist. N,- bedeute das Radikal von AN“ oder O, je nachdem in AN ein Radikal enthalten ist oder nicht. Wie oben bewiesen, ist N,- g N.

Wenn dann N”. nicht Null ist, ist N5,- eine nilpotente invariante Subalgebra von AN, denn da N in A invariant ist, ist N5]. g N, AiiNH = ej-AejN-e, g eJ-Nej g N”, und ebenso 'iAfi g Nii' Überdies ist AHA N= Nfi. Denn wenn

129

eine Grösse v aus N in Ah- so beschafien ist, so dass v= e,ae,-‚ dann ist e,ve,. = v, und v liegt in NH' Daher ist N“- das obige Radikal N,. Analog ist uN u der Durchschnitt von uAu und N und ist ersichtlich invariant in uA u. Daher ist uN u das Radikal von uAu oder Null, je nachdem darin ein solches Radikal enthalten ist oder nicht. Die Verteilung der Elemente von Aii in Klassen ist modulo N“. dieselbe wie modulo N. Denn wenn a: und y Grössen aus A” sind, welche zur selben Klasse (oder zu verschiedenen Klassen) von A modulo N gehören, ist w —y in A”- und ist (oder ist nicht) in N, und ist deshalb (oder ist nicht) II] NH’ weshalb a: und y zur selben Klasse (oder zu verschiedenen Klassen) von AM modulo Nj, gehören, und umgekehrt. Die Klasse von A modulo N, welche durch eine Grösse eizve, aus Aia' bestimmt wird, lautet

(37)

[e9-] [w] [er]-

Nun liegt [a] in A— N, welches die direkte Summe der Algebren (32) ist. Ebenso ist

[6,-] 2(A _N)t[ej] = [6,-] (A —N)‚-[e‚-l = (A -N)‚'Daher ist (37) eine Klasse von (A —N),. Umgekehrt ist irgendeine Klasse von (A —N), von der Form (37) mit a: in A und ist daher eine Klasse von A modulo N, bestimmt durch ein Element ejxej von AN' Somit ist nach dem vorhergehenden Paragraphen (A—N), äquivalent mit A), —N„-, welches deshalb einfach ist. Wenden wir Satz 9 an, in welchem wir A durch AN ersetzen, so erhalten wir SATZ 10. Sei A irgendeine Algebra, welche weder halbeinfach noch nilpotent ist, und sei N ihr Radikal. A—N ist dann eine direkte Summe von t einfachen Algebren (t g 1), und A enthält ein ausgezeichnetes Idempotent u = e1 + . . . + e„ wo die e,- Idempotenten sind, deren Produkte zu zweien alle Null sind. Dann ist A = N' + S,

wo N' g N und S die direkte Summe der t Algebren ejAe, (j= 1,. . ., t) ist; jedes _ejAe, ist das direkte Produkt einer vollständigen Matrixalgebra und einer Algebra, die die Haupteinheit ej, aber kein weiteres Idempotent enthält. Ferner enthält e,- Aej (bzw. uA u) das Radikal e,- Ne (bzw. uN u) oder keine solche Subalgebra, je nachdem e,- N e (bzw. uN u) nicht Null oder Null ist. Ferner ist N= N’ + 276,. N e

130

Wir erhalten die letzte Formel, indem wir die eigentlich nilpotenten Grössen (für A) von A = N’ + S in zwei Arten einteilen, wo diejenigen in ejAej die Grössen r; 0 von ejNej sind.

83. Divisionsalgebren als direkte Summe von vollständigen Matrixalgebren. SATZ 11. Ist D eine Divisionsalgebra, in einem Körper K, so gibt i es endlich viele Wurzeln von Gleichungen mit Koeffizienten in K, deren Adjunktion zu K einen Körper Klergibt, so dass die Algebra D1 in K1, welche dieselbe Basis wie D hat, eine vollständige Matria'algebra oder eine direkte Summe von vollständigen Matrixalgebren in K1 ist. Ist zum Beispiel D die Algebra der Quaternionen im Körper K aller reellen Zahlen, und ist K1 der Körper aller komplexen Zahlen, so wissen wir nach dem letzten Zusatz 1n S 32, dass D1 die komplexe vollständige Matrixalgebra ist. Beweis: Ist D von der Ordnung 1, so gilt der Satz ersichtlich für K1 =K. Im anderen Fall wählen wir eine Grösse a: aus D, welche nicht das Produkt aus der Haupteinheit m und einer Zahl in K, ist. Nach 524 ist a; eine Wurzel irgendeiner charakteristischen Gleichung und daher einer gewissen Gleichung @(w)=0 von möglichst niedrigem Grad s > 1 mit Koeffizienten in K. Sei K’ der Körper, den man durch Adjunktion aller Wurzeln A1,. . . .‚ A8 von (Nie) = 0 zu K erhält, D’ die Algebra in K’, welche dieselbenIMultiplikationskonstanten wie D hat. Nach S21 können wir für D’ dieselben Basisgrössen wie für D wählen, weshalb diese Grössen linear unabhängig 1n bezug auf K' sind. Somit ist a: nicht

das Produkt von m und einer Zahl A5 aus K’. In D' gilt (x—Älm)

(x—Äsm) = (P(a:)m=0.

Somit ist keines der a: — Ä, m Null und doch ist ihr Produkt Null; daher ist D' keine Divisionsalgebra nach Satz 1 von 528. Die Divisionsalgebra D ist einfach nach Satz 6, daher ist nach dem letzten Zusatz in 573 D' halbeinfach und (5 69) ist entweder einfach oder eine direkte Summe von einfachen Algebren in K'. Jede solche einfache Algebra ist das direkte Produkt einer Divisionsalgebra Di und einer vollständigen Matrixalgebra, deren jede in K’ liegt (5 78). 131

Die Ordnung von jedem D, ist niedriger als diejenige von D’; dies ist klar für den zweiten Fall, in welchem D’ eine direkte Summe

war, und ebenso ‚für den ersten Fall, in welchem D' einfach war,

vorausgesetzt dass der Matrixfaktor von‘der Ordnung > 1 ist; aber der übrigbleibende Fall i= 1, D' = D1 ist ausgeschlossen, da D’ keine Divisionsalgebra ist. Wenn jedes D, von der Ordnung 1 ist, gilt unser Satz für K1: K'. Im anderen Fall verwenden wir eine Erweiterung K” von K', so dass die Algebra in K", welche dieselben n,- (ni > 1) Basisgrössen wie Da besitzt, keine Divisionsalgebra ist. Auf sie wenden wir den eben für D' gemachten Schluss an. i Da die Divisionsalgebren, die auf irgendeiner Stufe eingeführt werden, alle von niedrigerer Ordnung als die der vorhergehenden Stufe sind, endet das Verfahren, so dass wir’eine letzte Stufe .erreichen, auf welcher alle Divisionsalgebren von der Ordnung 1 sind. Jede Divisionsalgebra der vorhergehenden Stufe ist deshalb eine direkte Summe von vollständigen Matrixalgebren. Unser ‘Satz folgt . nun aus Satz 1.

_84. Hauptsatz für Algebren mit einem einzigen Idempotent. .SATZ 121). Ist A eine Algebra in K, welche ein einziges Idempotent enthält, dann kann A in der Form A = B + N ausgedrückt werden, wo B eine Divisionsalgebra und N Null oder das Radikal von A ist. _ Der Satz ist klar, wenn A von der Ordnung 1 ist, da dann A=A+0 und A eine Divisionsalgebra ist. I Um den Satz durch vollständige Induktion zu beweisen, nehmen wir ihn für alle Algebren vom Typus A an, welche‘von niedrigerer Ordnung als A sind. 1) Es gibt einen viel einfacheren Beweis, wenn K der Körper C aller komplexen Zahlen ist. Wir nehmen an, die Ordnung von A sei r > 1. Dann ist A nicht ein-

fach nach dem Zusatz 2 am Ende von 5 78, da eine vollständige Matrixalgebra der Ordnung r > ’1 einige 'idempotente Grössen e“ enthält. Ebenso ist A nicht halbeinfach, da die Haupteinheit jeder sie bildenden einfachen Algebra idempotent ist. Daher hat A ein Radikal N. Nach der ersten Bemerkung unter (II) ist A—N eine Divisionsalgebra, welche hier von der Ordnung 1 ist (S 30). Somit ist N von der Ordnung r—’1. Daher ist A die Summe von N und der Algebra, die durch das einzige Idempotent erzeugt wird.

132 ‘

(I) Wir wollen zuerst beweisen, dass wir N2=O nehmen können. Sei deshalb Nzi 0. Eine Potenz des nilpotenten N ist Null, wes-

halb N2 < N. Wir setzen

(38) A‘=B’+N‚ B’AN=0‚N=N1+N2‚N1/\N2=0. Wegen AN2 = AN-N g N.N und N2A g N2 ist N2 eine invariante

Subalgebra von A. Die Klassenl) (x) von A modulo N2 sind die Grössen von A ——N2. Im besonderen bilden die Klassen (n1), deren jede durch eine Grösse n1 von N1 eindeutig bestimmt ist, das Radikal (N1) EN f-Nz von A --— N2. Wir bezeichnen mit (B') die Menge der Klassen modulo N2, welche durch die Grössen von B' bestimmt sind, dann ist nach (38)

A —N2 = (B') + (N1). Da Nai 0 ist, ist die Ordnung von A ——N2 niedriger als diejenige von A und wir können daher, nach der Voraussetzung, eine . Divisionssubalgebra (B”) von A —N2 so wählen, dass

A —N2 = (B”) + (N1). Wir setzen C = B’ + Nl,‘ dann ist nach (38) A = C + N2, C /\N2 = 0. Diejenigen Grössen c aus C, für welche die Klassen (c) modulo N2 zu (B”) gehören, bilden ein Linearsystem B" von A. Wir wissen aber, wenn entweder (B’) oder (B”) zu (N1) hinzugefügt wird, erhalten wir A ——N2, weshalb (B”) ä(B') modulo (N1) ist. Daher ist B”EB’ modulo N, so dass A = B" + N nach (38). Da (B")2= (B”) ist für A—N2‚ ist B”22B” modulo N2 für A. Da N2 in A invariant ist, gilt (BH + N2)2 g BH + N2,

weshalb A’ sB" + N2 eine Algebra ist, und zwar eine eigentliche Teilalgebra von A, da A’ < B” —|— N = A ist wegen N2 < N. Endlich ist N2 das Radikal von A'. Denn enthielte B" eine eigentlich nilpotente Grösse, so würde (B”) eine eigentlich nilpotente Grösse enthalten, obwohl (B”) eine Divisionsalgebra ist. Daher gibt es nach der Voraussetzung eine. Divisionssubalgebra B von A’, und daher von A, so dass A'= B+ N2;

Es ist aber A' = B"+ N2;

1) Die Bezeichnung (x) betont den Unterschied gegenüber den Klass‘en [a2] modulo 'N.

133

somit B E B" modulo N2 und daher auch modulo N; deshalb schliesst A = B" + N in sich, dass A = B + N ist.

(II)

Es bleibt übrig, den Satz zu beweisen, wenn N2 = 0 ist, eine

Eigenschaft, welche erst am Ende des Beweises benützt wird. Nach 567 ist D = A -—-N halbeinfach und besitzt eine Haupteinheit. D besitzt kein anderes Idempotent, da A ein einziges enthält. Daher ist nach Zusatz 1 von S75 D eine Divisionsalgebra. Nach 583 erweitern wir den anfänglichen Körperzu einem Körper K1, so dass die Algebra D1 in K1, welche dieselben Basisgrössen wie D hat, eine direkte Summe von vollständigen Matrixalgebren ist.

Wir bezeichnen mit A1 und N1 die Algebren in K1, welche dieselben Basisgrössen wie A und N bzw. haben. Nach dem letzten Zusatz in 573 ist N1 das Radikal von A1. Sei T das Linearsystem, welches zu N in A supplementär ist. Bilden t1, ...,tc eine Basis von T, so ist tt =2yüktk+nw wo nü in

N liegt. Wir betrachten die Algebra A' 1n K mit der Basis tf, . . .‚ t„‚ wo fit; = Z Wut}? _ Nach dem' Ende von 554 ist A —N = D zu In

A’ äquivalent. Die Algebra Al' in K1, welche die Basis tf, . . .,.t„’ hat, ist ersichtlich zu D1 äquivalent. Das Linearsystem, das aus den

linearen Funktionen von t1, . . .‚ tc mit Koeffizienten in K1 gebildet wird, ist zu N1 in A1 supplementär. Wie vorher ist A1 —N1 zu

.

el

l

(39)

9

tMe

A; und daher zu D1 äquivalent. Nach 5 80 enthält A1 eine Teilalgebra C, welche zu A1 —N1 äquivalent ist, weshalb A1 = C + N1, C /\ N1 = 0 ist. Sei el, . . ., eo eine .Basis von C. Da A —N von der Ordnung c ist, bilden die Basisgrössen von N (oder N1) zusammen mit gewissen c Grössen a1, . ‚ a6 aus A eine Basis von A (oder A1); daher können wir schreiben aü-‚a+n,

(i=1‚...‚c)‚

wo die n, Grössen aus N1 und die aü Zahlen aus K1 sind, deren Determinante nicht Null ist (denn sonst Würde, wie in 515, eine lineare Kombination von e1, . . ., et, zu N1 gehören, im Widerspruch

mit C AN1 = 0). Wir lösen (39) auf und erhalten‘ (40)

134

a, = _Zlßia‘(ei_ni)

. J:

(i = 1, . . .‚ c),

wo die flü- in K1 sind und ihre Determinante nicht Null ist. “Wir schreiben

(41)

wi=jäßüej -

Da die ej Basisgrössen der Algebra C sind, ist (42)

wiiwk=tä7im9ü

(i,k=1‚...‚c).

Wir können (40) in der Form schreiben

ai=wi+vi (i=1‚...‚c>‚

(43)

wo 11,. in N1 liegt. Da N1 invariant in A1 ist, ist “i‘ll; = ‚‘“iwk + ”im W0 n“, (und nachher ni’k) in N1 sind. Daher ist nach (42) und (43) 0 _

c I

ai“k"'217iuat+nika

I

_

nik" nah—2755:”:-

t=

t=1

Da aber das Produkt ad ab zweier Grössen von -A auf eine und nur auf eine Art als lineare Kombination mit Koeffizienten in K aus den Basi‘sgrössen von A ausgedrückt werden kann, welche aus denjenigen von

N und a1, . . ., a6 zusammengesetzt sind, sind die 31“” Zahlen in K. K1 war aber aus K durch Adjunktion von endlich vielen Wurzeln

einer Gleichung mit Koeffizienten in K hergeleitet worden. Nach Satz 6 von 56 kann irgendeine Zahl aus K1 als Polynom in jenen Wurzeln mit Koeffizienten in K ausgedrückt werden und daher als eine lineare Funktion mit Koeffizienten in K von gewissen Produkten 51, 52, . . . daraus, so dass 1, 51, 52: . . . linear unabhängig in bezug auf K sind. Wir können deshalb schreiben

“w: ”50+ ”c1 51+ Vizgz'l‘ ---‚

wo die vü- in N liegen. Wir setzen zi = a5 + ”im

B =(z1‚ 22? . . .‚ 7.0),

wo ziiin A liegt und B ein Linearsystem von Grössen aus A in K ist; daher ist A = B+ N. Indem wir (43) anwenden, erhalten wir wi:zd+nz’> ”t: —Vi—Vi0=vilfl+ ”5252+ Eingesetzt in (42) gibt c

(zi + "d (Z); + ”k) =t217€kt(zt + "d-

V 135

Da riin,c = 0 ist wegen N? = O, ist die linke Seite die Summe von z; zk (welches in A liegt und daher frei von EI, 62, . . . ist) und der linearen homogenen Funktion Z1: nk —|— ”1'c von EI, 62, . . . .

Ver-

gleichen wir die Teile, die frei von 51, 62, . . . sind, so erhalten wir B

._.

z1:c — EYiktzt:

z=1

2—

B, — B-

Daher ist A die Summe der Algebren B und N. Es wurde oben bemerkt, dass A ——N eine Divisionsalgebra ist; sie ist B äquivalent.

85.

g

HAUPT SATZ 13. Jede assoziative Algebra A in K, welche weder halbeinfach noch nilpotent ist, kann als Summe ihres Radikales N und einer halbeinfachen Teilalgebra F in K, welche keine Nullalgebra der Ordnung 1 ist, ausgedrückt werden. F ist nicht ‚eindeutig bestimmt, hingegen sind irgend zwei Bestimmungen einander äquivalent. -Beweis: Nach 582 besitzt A ein ausgezeichnetes Idempotent u, undeSISt A=N1+uAu,N1;N, denn falls es ein Radikal von uAu gibt, ist es in N enthalten. Daher i wird unser Satz für A folgen, wenn er für uAu, welches die Haupt— einheit u enthält, bewiesen ist.

Es bleibt übrig, den Satz für Algebren A mit einer Haupteinheit zu beweisen. Nach 567 ist A —N halbeinfach und besitzt eine Haupteinheit. Zuerst sei A— N einfach. Nach 5 81 ist A= M X B, wo M eine vollständige Matrixalgebra ist, und B eine Algebra, die eine Haupteinheit, aber keine weitere idempotente Grösse besitzt. Nach 584 ist B=D+ N1, wo D eine Divisionsalgebra und N1 Null oder das Radikal von B ist. Nach dem Ende von 581 ist N= M > 1. Wir führen a. in Gleichung (1) ein und multiplizieren ihre Glieder mit dn‘l; es entsteht bn

_ n—l ———a1b ——a2db 11—2 —...—a„dn—l .

d

Da die rechte Seite der Gleichung eine ganze Zahl vorstellt, muss d = j; 1 sein;

Wir verstehen von jetzt an unter ganzen Zahlen ganze algebraische Zahlen. Die gewöhnlichen ganzen Zahlen erhalten, wo nötig; den Zusatz „rational“; das Wort ganzzahlig gebrauchen wir stets im Sinne von „ganz und rational“.

SATZ 2. Sind a und ß ganze algebraische Zahlen, so gilt dasselbe von a+ ß, a—ß und aß.

Beweis: a bzw. ß sei eine Wurzel der Gleichung A (w) = O bzw. B (x) = 0 vom Grade a bzw. b. Jede dieser Gleichungen habe lauter ganze rationale Koeffizienten und den höchsten Koeffizienten 1. 140

Wir schreiben n = ab. Wir bezeichnen mit ‘01, . . .‚ w” die n Zahlen ajß"(j=0‚1‚ ...,a—1;k=0,1,...,b—1) in irgendeiner bestimmten Reihenfolge. Endlich bedeute f irgend eine der Zahlen a + ß, a —ß, aß. Vermöge A (a) = 0 und B (ß) = 0 können wir a“ und fib aus dem Produkt wif eliminieren und erhalten wif=ci1w1+ +einwn (i= 1, ...,n) mit ganzen Zahlen cü. Bringen wir die Glieder von links auf die andere Seite, so erhalten wir n homogene lineare Gleichungen in w1‚ . . . w". Der erste Schritt zu ihrer Auflösung in Determinantenform führt zu l = 0, ...‚ Dwn = O, mit c1 1 — f 012

D= c”1

..... 01„

I

.....°f‘ff........... . .. I c”2

..... c„„—f !

Also ist D = 0. Indem wir die Entwicklung von D mit (—1)"‚multiplizieren, erhalten wir eine Gleichung f” + . = O mit ganzen rationalen Koeffizienten und dem ersten Koeffizienten 1. Daher ist f eine ganze algebraische Zahl. ' Zusatz. Jedes Polynom f(a, B, ...‚ K) mit ganzen rationalen Koeffizienten in den beliebigen ganzen algebraischen Zahlen (1,19,. . „K ist selber eine ganze algebraische Zahl.

88. Gaussisches Lemma. Wenn das Polynom mit ganzen rationalen Koeffizienten

fix) E x” + a1 zo'n—1 —|— . . . = 0

teilbar ist durch

das

Polynom

g(x)-E w” + c1 z”1 + . . . + c, mit rationalen Koeffizienten 01, . . ., er, so sind diese Koeffizienten ganze rationale Zahlen. Die Wurzeln “t von fix) = 0 sind ganze algebraische Zahlen. Eine Anzahl unter ihnen, etwa a1, . . ., a, sind die Wurzeln von g(:e) = O, so dass

g(x)a(x‚—a1> (so—a2)

(au—a».

‚ Durch Ausmultiplizieren der Faktoren sehen wir, dass die Koeffi-

zienten von g bzw. gleich

i

1, —(a1+a2...+a‚), a1a2+a1a3+...+a‚_1a„ sind. (—1)fa1a2 . . . ar

....

141

Daher sind sie ganze algebraische Zahlen, nach dem Zusatz. Die Koeffizienten von g sind aber rationale Zahlen. Nach Satz 1 sind sie also ganz und rational.

89. Grad eines algebraischen Körpers; . konjugierte Zahlen. Nach seiner Definition besteht der algebraische Körper R(a) aus allen rationalen Funktionen mit rationalen Koeffizienten, deren Argument eine Wurzel a einer algebraischen Gleichung A(x) = O mit'rationalen Koeffizienten ist. Entweder ist A(ac) irreduzibel im .Körper R der rationalen Zahlen oder A(a:) ist reduzibel, dann hat es einen irreduziblen Faktor, welcher für w = a, verschwindet. agenügt also einer in R irreduziblen Gleichung von der Form (1) mit

rationalen Koeffizienten a5. Ihr Grad _n heisst der Grad des Körpers Rl(a). Die Koeffizienten a1, a2, . . .‚ an können wir als Brüche schreiben mit dem gemeinsamen Nenner d, W0 d und die Zähler alle ganz

rational ‚sind. Dann ist

(da)” + da1(da)"‘1 + ... + dnan ='-0. 9 = d a ist Wurzel einer irreduziblen Gleichung ntem Grades fix) =0 mit ganzen Koeffizienten da1, d2a2‚ ..., d"a„ und dem höchsten Koeffizienten {1. (9 ist also eine ganze algebraische Zahl aus dem Körper R(a). Unser Körper ist daher identisch mit R(@). Nach ä 6 kann jede Zahl aus R(@) auf eine und nur eine Weise in der Form

p=ro+r1@+r2@2+...+r„_1@”—1

(2)

dargestellt werden, wo die ri rationale Zahlen sind. 01, . . ., @„_1 seien die übrigen Wurzeln der irreduziblen Gleichung {(w) = 0, welcher ® genügt. Wir führen die Bezeichnungen

SP1 (3)

=ro+r161+ r2@ä.+

+ r„_1@ä‘—1

............................................

iPn—l = To + TIQn—l + Hai—1 + + r —1@::i ein und nennen p, pl, . . ., p„_1 ein System von konjugierten Zahlen. Sie sind die Wurzeln einer Gleichung Q5(y) = 0, deren Koeffizienten 142

symmetrische ‚Funktionen von 0, 01, . . . , 9„ _1 mit rationalen Koeffizienten sind, und sind daher rationale Zahlen. Wir nehmen an, der höchste Koeffizient von @(y) sei 1.

Zum Beispiel sei fix) = O die Gleichung x4 -—3 = O; ihre Wurzeln

sind @=.{/ä, Q1: —@, Q2: i6, @3=——i@. Ferner sei p=%+@2. Dann sind

3

.

—

P=P1=5+V3a

3

'

' -

—

'

P2=P3=5—l/3

die Wurzeln von (P(y) E (3/2 "_3y __34_)2= 0. Sei Ä(y) = 0 die Gleichung mit rationalen Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten 1, welche in R irreduzibel ist und die Wurzel p hat. Dann ist 45(y) eine Potenz von Ä(y). Denn 0(31) ist teilbar durch Ä (y), nach 5 5. Ausser im FallelD E hverschwindet der Quotient q (y) von d5 durch Ä für eine der' konjugierten Zahlen p, p1‚ . . ., pn_1 und daher für p selbst, wie wir zeigen werden. Wenn nämlich q(p,.)=0 ist, so verschwindet q (ro + rlz + r2z2 + . . .) für z = 0,. und hat daher den Faktor f(z); nach dem Satz in 55 verschwindet q (ro + rl’z + ‚ ‚ ) deshalb auch für z = Q, d. h. q(p) = 0J Weiter ist q(y) teilbar durch Ä(y), nach demselben Satze. Der neue Quotient ist entweder 1 oder hat den Faktor My), usw. Wir nehmen jetzt an, dass p eine ganze algebraische Zahl sei, d. h. einer Gleichung ‚u.(y) = 0 mit ganzen rationalen Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten 1 genügt. Nach dem genannten Satze ist dann My) teilbar durch die irreduzible Funktion Ä(y)‚ welche auch für y= p verschwindet. Nach dem Gaussschen Lemma sind die Koeffizienten des Polynoms Ä(y) alle ganz. Dasselbe gilt daher von seinerPotenz Q5(y). Diese Funktion hat die Nullstellen p, ‚01, . . . ‚ p„_1,

das. sind daher ganze algebraische Zahlen. SATZ 3. Irgendwelche n konjugierten Zahlen eines algebraischen Körpers vom Grade n sind die Wurzeln einer Gleichung nie” Grades mit rationalen Koeffizienten, deren linke Seite eine Potenz eines irreduzihlen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Alle Konjugierten zu einer ganzen Zahl sind ganze "Zahlen und genügen einer Gleichung n’a” Grades mit ganzzahligen Koeffizienten und mit dem höchsten Koeffizienten 1.

143

90. Existenz einer Basis für die ganzen Zahlen eines Körpers. SATZ 4. In jedem algebraischen Körper R(@) vom Grade n gibt es n derartige ganze Zahlen ‘01 = 1, w2, . . ., w”, welche keiner homogenen linearen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen, dass jede ganze Zahl p des Körpers auf eine und nur eine Weise in der Form (4)

P:q1w1+°"+qnwn

darstellbar ist mit ganzen rationalen Zahlen (11, . . .‚qn. Man nennt ' wl, . . ., w" eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers. .

Im speziellen Fall n— — 2, Q= i sind, wie wir in 5 92 sehen werden, alle ganzen Zahlen des Körpers R(1‚) gegeben durch a + bi, wo a und b alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen, hier bilden also 1 und 6 eine Basis. Im allgemeinen bilden jedoch 1, 0, . . .‚ 0”"1 keine Basis von R(@), weil es ganze algebraische Zahlen von der

Form (2) gibt, bei denen ro, . . ., r„_1 rational, aber nicht ganz sind. Beispiel: Die komplexen dritten Einheitswurzeln %(—1i V—ä) sind die Wurzeln der Gleichung w2 + w + 1 = 0 und daher ganze

Zahlen von R(V—3). Die Determinante der Koeffizienten von r“, rl, . . ., r,„_1 in (2) und

(3) is"

*1 A '=l 1 l1

o e2 en-ll e, e? ..... (911-1 e _le" 1 ..... er}

Werden irgend zwei der 6, 61, . . ., @„_1 miteinander vertauscht, so geschieht dasselbe mit zwei ‚Zeilen von A, A schlägt in —A um und A2 bleibt ungeändert. Anders gesagt: A2 ist eine symmetrische Funktion mit ganzen Koeffizienten der Wurzeln 6, 61, . . ., @„_1 der Gleichung f(a:) = O, welche ihrerseits ganzzahlige Koeffizienten und den höchsten Koeffizienten 1 besitzt. Daherl) ist A2 eine ganze rationale

Zahl: d. 1) Wer den hier verwendeten feineren Satz über symmetrische Funktionen nicht kennt, sondern nur den gröberen, wonach eine symmetrische Funktion mit rationalen Koeffizienten der Wurzeln einer Gleichung sich rational in den Koeffizienten der Gleichung ausdrücken lässt, schliesse so: Q, . . .‚ @„_1 sind ganze algebraische Zahlen, A2 ist deshalb sowohl ganze algebraische als auch rationale Zahl, daher eine- gewöhnliche ganze Zahl, nach Satz 1.

144

Es ist leicht, die Determinante A in Faktoren zu zerlegen, wobei wir, für den Augenblick, 0, 01, . .. als unabhängige Variable betrachten. Für 0 = 91 werden die beiden ersten Zeilen gleich und ‘A verschwindet, also hat A den Faktor Q —@1. Auf diese Weise und mit Berücksichtigung des Gesamtgrades in 6, 61, . . . erkennen wir, dass A2 das Produkt der Quadrate der Differenzen von @, 61, ...‚ 6„ _1 ist, dass also d mit der Diskriminante von f(ac) = 0 übereinstimmt. Die irreduzible Gleichung f(x) = O hat aber keine mehrfache Wurzel. Daher ist die ganze Zahl d nicht Null. Wir lösen jetzt die Gleichungen (2) und (3) nach der gewöhnlichen Determinantenmethode nach r: auf. Wir bezeichnen mit A: die Determinante, welche aus A hervorgeht, wenn man die Elemente (9’, Qi, . . . in der (s + 1)man Kolonne durch die linken Seiten p, pl, . . . ersetzt. Dann ist Ar, = 4„ also dr, = 44,50,. Nun ist c, eine rationale Zahl dr„ andererseits ein Polynom A A, mit ganzen rationalen Koeffizienten in den ganzen algebraischen Zahlen 6, 61, . . ., '@„_1, p, pl, . . . ‚ p„_1, ist also selber eine ganze algebraische Zähl nach

Satz 2. Aus Satz 1 folgt: c, ist eine ganze rationale Zahl. Aus dr, = c, und (2) ergibt sich

(5)

p=(co+cl@+cz@2+...+c„_l@”—1)/d.

Die ganze rationale Zahl d ist dabei unabhängig von p, denn sie ist durch (*9 allein bestimmt. Wir führen eine Änderung in der Bezeichnung ein, welche die weitere Auseinandersetzung auch auf ein anderes Problem anwendbar macht. Wir schreiben ‘

u1=1,u2=@,u3=@2,

...,u„=@”’1.

Es besteht also keine lineare Gleichung zwischen den u1‚ . . . , u” mit rationalen Koeffizienten. Jede ganze Zahl (5) des Körpers ist dann von der Form

(6)

_ alul +a2u2+ + “nun p———d——

mit ganzen rationalen Zahlen a1, . . .‚ an.

Erster Fall: a2 = 0, . . ., an = 0. Die ganzen algebraischen Zahlen (6) sind rationale Zahlen%—1 und deshalb gewöhnliche ganze Zahlen 145

nach Satz 1. Sie sind also Produkte von w1 = 1 mit ganzen rationalen Zahlen q1‚ haben also die gewünschte Form (4). Zweiter Fall: a2 i 0, a3 = 0, . . ., an = 01). Wir können die Zahlen (6) wie folgt bezeichnen: . i (7)

aul + bug w2=T 7

‚ a’u, + b’u2 — —77 ' („z

„

a"u1 + b"u2

d w 2—— —

,...

Dem Betrage nach sei b die kleinste unter den Zahlen b, b', b”, . . . . Dann ist b ein Teiler von b’, b", .. . . Wäre nämlich „ so Wäre

0 1 teilbar. 4b2 hat demnach den Nenner 1, 2b ist eine ganze Zahl. Wir setzen a =—a, b= —ß (a, ß ganz). Weil 112——111)2 ganz sein soll, muss (1,2—dß2 ein Vielfaches von 4 sein. Wenn d gerade ist, muss auch a2 gerade sein und deswegen ein Multiplum von 4, also auch dßz ein Multiplum von 4. d ist aber nicht teilbar durch die Quadratzahl 4. Also ist ‚32 gerade, u. und ß sind also beide gerade. Das heisst: Bei geradem d ist q dann und. nur dann eine ganze algebraische Zahl, wenn a und b beide ganz sind. Wenn d von der Form 4k + 3 ist, so muss mit a2 —dß2 auch a2 + [32 den Rest O haben bei der Division durch 4. Je nachdem eine ganze rationale Zahl gerade ist oder ungerade, hat ihr Quadrat den Rest O oder 1 (mod'4), a und ß sind daher beide gerade. Wenn d von der Form 4k + 1 ist, so hat mit a2 —dß2 auch a2 ——ß2 den Rest 0 bei der Division durch 4, a. und B sind in dem Fall beide gerade oder beide ungerade. Hier ist q also dann und nur dann eine ganze algebraische Zahl, wenn a und b beide ganz rational 148

oder beide die Hälften ungerader ganzer Zahlen sind. Diese beiden Fälle lassen sich zusammenfassen, indem man q durch die ganze

algebraische Zahl

= “ä" (1 + Vdi)

ausdrückt. Im ersten Fall, wenn a und b ganze Zahlen sind, sind m— - a —b und y— — 2b ebenfalls ganz, und es ist q— — a: + y Ü. Im zweiten Fall, wenn a= %(2r + 1) und b— —— 2(28 + 1) die Hälften ungerader Zahlen sind, 2sind w— — r ——s und y— — 28 + 1 ganze Zahlen und es ist q = a: + y (9. SATZ 5.. Ist d eine ganze rationale Zahl #1 und durch keine Quadratzahl >1 teilbar, so haben die ganzen Zahlen des Körpers R(l/d) eine Basis 1, Q mit 6 = Vd, wenn d E 2 oder 3 (mod 4), hingegen

mit e =_;(1 + 1/3), wenn da 1(mod 4). Irgendeine ganze Zahl [1.: m (p + 9(9) aus RU/d) sei gegeben, W0 die Zahl m positiv ganz, die Zahlen p und q relativ prim und ganz seien; dann finden wir leicht eine Basis für das System S, das aus

allen Produkten von [1. mit ganzen Zahlen aus RÜ/d) besteht. S besteht seiner Definition nach aus allen linearen Kombinationen von p. und n9 mit ganzen Koeffizienten.

Erstens sei 62.— — d. Dann ist ‚1.6— _ m(dq + pQ). Es gibt ganze = 1. ist (S 4). Zahlen r und s, für welche rp + sq— a— -— p2 —dq2. Dann ist (10)'

pp—qp@=ma,

Wir setzen

sy+ry®=m(b+@),

wo b = s p+rdq ganz und rational. Die Determinante der Koeffizienten von y. und ‚1.9 in (10) ist 1. Daher können p. und ‚11.6 und damit alle Zahlen von S dargestellt werden als lineare Kombinationen von ma und m (b + Q) mit ganzen Koeffizienten. Daher hat S eine Basis m |a1, m(b + 9;). Subtrahiert man von irgendeiner ganzen algebraischen Zahl 56+ yQ eine Zahl aus S, so lässt sich die Differenz folgendermassen darstellen:

(11) a+ße

(a=0,1,...,m|a‚l—1;‚B=0,1,...,m—1).

Die Differenz von zweien dieser Zahlen liegt nicht in S. Denn eine solche DiHerenz erscheint in der Form y + 86 (O g 8 < m). Liegt sie in S, so ist 8 ein Multiplum von m, also 8 = 0. Da y numerisch

- kleiner als m )a) ist und zugleich ein Vielfaches von m |a) , ist y= 0. 149

Zweitens sei da1 (mod 4) und

@=%6i Wir bestimmen die ganzen rationalen Zahlen r und s so, dass r(p+q) +sq= 1, und setzen a = p2 + pq —kq2. Dann ist (12)

(p+q)I.L-—qu@=ma,

sp+rp®=m(b+@),

wo b = s p + q ganz rational ist. Weil die Determinante der Koeffizienten von p. und ‚1.0 in (12) gleich 1 ist, können wir hier wie im ersten Fall schliessen. In jedem Falle ist mza die’Norm von p. Zwei ganze algebraische Zahlen e und f nennen wir kongruent modulo n, wenn e — f durch [1. teilbar ist.

SATZ 6. Jede ganze Zahl von RO/d) ist einer und nur einer der Zahlen (11) kongruent modulo p. Daher sagt man, diese |N (‚19| Zahlen. bilden ein vollständiges Restsystem von ganzen algebraischen Zahlen modulo ‚i. < . Es ist nicht schwierig, allgemein zu beweisen, dass es gerade IN (u) I Zahlen gibt in jedem vollständigen Restsystem modulo ‚u von ganzen algebraischen Zahlen irgendeines algebraischen Körpers vom Grade n. Aber der besprochene Fall n = 2 reicht für unsere Anwendungen aus.

93. Quadratische Körper, für welche die Gesetze der Arithmetik gelten. Wir suchen alle quadratischen Körper R (Vd) mit folgender Eigenschaft: Innerhalb des Körpers soll es zu irgend zwei ganzen algebraischen Zahlen a und b (1)5220) zwei ganze Zahlen g und r geben, so dass a=gb+ r wird mit 0 g |N(r)| < |N(b)|. Anders gesagt: die ganzen Zahlen des Körpers lassen ein solches Divisionsverfahren zu, dass die Absolutwerte der Normen der Reste eine abnehmende Reihe bilden. Wir sagen kurz :. die ganzen Zahlen des Körpers besitzen einen euklidischen Algorithmus.‘ Wir setzen s = ab—l. Dann ist lN(s—g)| = |N(rb’1)l < 1 nach (9). Nach 589 (1. Teil) ist jede 'Zahl des Körpers der Quotient zweier ganzen Zahlen a und b. Daher kommt die verlangte Eigenschaft dann und nur dann allen Paaren von ganzen algebraischen Zahlen a und b zu, wenn zu jeder 150

Zahl s des Körpers eine ganze Zahl g im Körper existiert, so dass IN (s —g) I < 1 . 1 und 6 mögen eine Basis des Körpers bilden. Wir setzen s=e+f@,

g=x+y@,

e—x=f, f—yzn,

sr—g = €+n@.

1. Sei d E 2 oder3 (mod 4). Dann ist G = I/d, N(s ——g) = 52 — d7)“. Wir können die ganzen Zahlen .7; und y so wählen, dass sowohl ‚5| als auch |17| 5%. Ist d negativ, so ist 0 g N 5%(1 —d)‚ also

N < 1, wenn ——-d < 3, d. h. wenn d = —1 oder —-2. Ist d positiv, so ist —-N gäd, und dieses ist < 1, wenn d = 2 oder 3, während

N gä

.

2. Sei d E 1 (mod 4). Im entsprechenden Fall beim Beweise von Satz 6 ergab sich N= 62 + 517 —kn2 mit k =1Z(d—1).' Hier ist also 4N = C2 ——dn2‚ C = 2E + 77.1 Wir können die ganze, Zahl y so

wählen, dass i’ll g ä, und ferner die ganze Zahl x so, dass I C} g 1 wird. Ist d negativ, so ist O g 4N „g 1 —-—% d, also 4N < 4, wenn —d < 12,

d. h. wenn —d = 3, 7, 11. Ist d positiv, so ist —4 N gäd < 4, _Wenn' d = 5 oder 13 (die Werte 1 und 9 sind ausgeschlossen nach der Definition von d). SATZ 7. Die ganzen algebraischen Zahlen von RO/d gestatten einen euklidischen Algorithmus einzig in den Fällen d = 2, 3, 5, 13, ——1,—2,—3,—7,—11. Ganze algebraische Zahlen u und" v, von der Beschaffenheit, dass uv = 1 ist, heissen Einheiten. N (u) ist dann eine ganze rationale Zahl, welche in 1 aufgeht, und daher gleich j; 1. Ist umgekehrt u eine ganze algebraische Zahl mit der Norm N (u) = j; 1, so ist u (i u’) = 1, also u eine Einheit. Die einzigen Einheiten von R(i) zum Beispiel sind i 1, j; i.

Zwei ganze algebraische Zahlen a und b eines Körpers mit euklidischem Algorithmus besitzen einen grössten gemeinsamen Teiler d, welcher bis auf eine Einheit als Faktor vollständig bestimmt ist und der sich als lineare Kombination von a und b mit ganzen algebraischen Koeffizienten darstellen lässt (das ergibt sich analog den Ausführungen in den 55 3, 4). Wenn d eine Einheit ist, nennt man d und b 151

relativ prim; notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist die Existenz solcher ganzer algebraischer Zahlen s und t, dass sa+ tb = 1 ist. Durch Multiplikation mit c erkennt man: Sind a und b relativ prim und ist c eine dritte ganze Zahl, so dass bc durch a teilbar ist, so ist c durch a teilbar. ' In einem Körper mit euklidischem Algorithmus nennen wir eine ganze algebraische Zahl p, die keine Einheit ist, eine algebraische Primzahl, wenn sie keine andern Teiler besitzt als 1 und p und ihre Produkte mit Einheiten. Danach ist eine ganze algebraische Zahl b entweder teilbar durch eine algebraische Primzahl p oder sie ist relativ prim zu p. Das vorige Resultat enthält daher für a = p den Satz: Wenn das Produkt bc teilbar ist durch eine algebraische Primzahl p, so ist einer der Faktoren b oder e teilbar durch p. Daraus folgt sofort, dass in einem Körper mit euklidischem Algorithmus jede ganze algebraische Zahl, die weder eine Einheit noch eine Primzahl ist, als Produkt von algebraischen Primzahlen dargestellt werden kann, und zwar nur auf eine Weise bis auf Einheiten als Faktoren (von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen). Die Gesetze der Faktorenzerfällung der ganzen rationalen Zahlen bleiben also bestehen für die ganzen Zahlen des Körpers R(Vd—), wenn deinen der

neun Werte von Satz 7 hat.1)

94. Ganze rationale Zahlen, welche Summen von zwei ganzen Quadraten sind. Die Eigenschaften des Körpers R(i) wollen wir dazu verwenden, die ganzen rationalen Zahlen y zu bestimmen, für welche y= a2 + ß2 ist .mit ganzen rationalen a und ß. Für 3/53 (modulo 4) ist diese Gleichung offenbar unmöglich, da die Quadrate ganzer rationaler Zahlen den Rest 0 oder 1 haben modulo 4. Ist y eine Primzahl, so ist y also 2 oder eine Primzahl n- von der Form 4 y + 1.. Es gibtz) eine ganze Zahl E, so dass 52 + 1 durch 11 teilbar ist. Ein 1) Ebenso bleiben sie bestehen, aus andern Gründen freilich, für d=-—-19,

—43, —67 und für zahlreiche positive Werte von d. Dagegen fehlen sie für =—5 und überhaupt für die meisten Werte von d. 2) Wir können E = (2 p.) ! wählen, nach dem Wilsonschen Satz, dass (11—1)! + ’1 durch 71 teilbar ist. Es gibt verschiedene andere Nachweise der Existenz von

f in der elementaren Zahlentheorie.

152

Faktor E 3|: i ist nicht teilbar durch in, weil E i i = 17 (p + oi) das Folgende: n'a = j: 1 nach sich zöge. Da ar im Produkt (E+i)(f ——-i’) aufgeht, folgt aus einem früheren Ergebnis, dass 11 keine algebraische Primzahl, vielmehr 7r= rs ist, wo keine der ganzen algebraischen Zahlen r und s eine Einheit ist; weiter 71-2: N (r) N (s), wo N (r) und N (s) beide nicht + 1, wohl aber positive ganze Zahlen sind. Daherl) ist 71' = N(r) = N(s). Wir setzen r = a + ßi. 77: (12+ ß2 hat ganze Lösungen. Das Produkt von irgend zwei Summen von zwei ganzen Quadraten ist nach (9) selbst eine Summe von zwei ganzen Quadraten. SATZ 8. Eine ganze rationale Zahl ist dann und nur dann eine Summe von zwei ganzen Quadraten, wenn sie ein Quadrat ist oder ein Produkt aus einem Quadrat mit einer oder mehreren verschiedenen Primzahlen der folgenden Reihe: 2 und der Primzahlen von derForm 4 p. + 1. 1) Daher ist r eine algebraische Primzahl. Ebenso s = a—ßi = r’.-Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren sind 71' = ru-u’ r’ die einzigen Zerlegungen von 11-, wo u eine 'der vier Einheiten i 1, j:i vorstellt. Demnach gibt es gerade vier Systeme von ganzzahligen Lösungen der Gleichung 71' = a2 + ß“. Abgesehen von ihrer Reihenfolge gibt es nur zwei Quadrate, deren Summe eine

bestimmte Primzahl ns’l (mod 4) ist.

153

Kapitel IX.

Zahlentheorie der verallgemeinerten Quaternionenalgebren. Anwendungen auf die Theorie der rationalen Zahlen. 95. Einleitung. Dieses Kapitel ist ein wesentlicher Beitrag zur klassischen Frage nach der Darstellung von Zahlen durch quadratische Formen in vier Variablen. Alle wichtigen Resultate, die die Form 2:2 + y2 —-rz2 —*r W2 mit 7- = —-1, 3|: 3 betreffen, erscheinen hier klar beleuchtet, sie werden in höchst einfacher Weise abgeleitet, ohne Kunstgrifle, wie sie bisher

nötig waren. In gleicher Weise erhält man eine vollständige Theorie für verschiedene andere Formen. Für den Fall einer Summe von vier Quadraten hat A. Hurwitzl) einige der folgenden Ergebnisse aus der Zahlentheorie der Quaternionen hergeleitet, durch ingeniöse, aber weit kompliziertere Methoden. Der Leser braucht zum Verständnis des folgenden das historisch Wichtige Buch von Hurwitz nicht heranzuziehen, weil alle seine Ausführungen (mit Ausnahme einer der letzten über reelle orthogonale Substitutionen in vier Variablen) im vorliegenden Kapitel vollständig behandelt werden. Dieses Kapitel erläutert für typische Algebren die Natur und die Eigentümlichkeiten ihrer Zahlentheorie und gibt eine konkrete Einführung in die allgemeine Theorie, die im nächsten Kapitel entwickelt wird. O

96. Ganze Grössen einer rationalen Algebra. Sei A eine assoziative Algebra mit Haupteinheit (wir bezeichnen sie mit 1) im Körper der rationalen Zahlen. Im Gegensatz zu den Verhältnissen bei ganzen algebraischen Zahlen erhalten wir keinen 1) Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, Berlin 1919. Sie bilden eine nähere Ausführung seiner Abhandlung in den Göttinger Nach-

richten 1896, p. 311—340. 154

3

.

Bereich von lauter „ganzen“ Grössen (Integritätsbereich) aus A, wenn wir für sie einzig die Annahme machen: ‚ (I) Die Koeffizienten der Hauptgleichung, d. h. der Gleichung niedrigsten Grades mit dem höchsten Koeffizienten 1, der irgendeine Grösse des Bereiches genügt, sind sämtlich ganze rationale Zahlen. Beispiel: Die Algebra aller rationalen Quaternionen. Die Hauptgleichungen von i und q— —- g 1 +}5-j sind iz— - —1 und qz— -- — 1. Das Quadrat von q—i ist ————, q— i hat also nicht die Eigenschaft (I).

Dementsprechend machen Wir die weiteren Annahmen: (II) Wenn a und b zum Bereich gehören, so gehören auch a + b, a —b und ab zum Bereich. (III) Der Bereich enthält die Haupteinheit 1. Ein maximaler oder grösster Integritätsbereich ist ein Bereich mit den Eigenschaften (I), (II) und (III), der in keinem umfassenderen .Bereiche enthalten ist, der jenen Forderungen genügt. Im Fall dass ein einziger derartiger maximaler Bereich existiert, nennen wir die Grössen, die ihm angehören, die ganzen Grössen von A. Gibt es aber verschiedene solche maximale Bereiche, so wählen wir willkürlich einen unterihnen aus und nennen die ihm angehörenden Grössen ganz.

97. Ganze verallgemeinerte Quaternionen. Wir betrachten die Algebra aus ä 32 mit a. = —1 im Körper der . rationalen Zahlen; wir schreiben 1- anstatt ß, i anstatt ul, j anstatt uz. Wir erhalten eine Algebra Dt, die von allen Grössen X = a; + y ] gebildet wird, in denen m und y komplexe Zahlen mit rationalen Koeffizienten sind, Während (1)

i2=—1‚

‚(2:71

756:”;‚1

gilt, wobei w’ die zu a: konjugiert komplexe Zahl bezeichnet. Die zu X konjugierte Grösse X wird definiert durch X = m’ —yj (nicht-

x —yj). Die Norm von X ist (2) N(X) = XJ—C = XX = xz’ —7-yy'. 11

Diokson, Algebra.

.

'

155

Wie in 532 gezeigt wurde, ist N(X Y) = N(X) N(Y), und die Konjugierte von X Y ist YX. X und X genügen der quadratischen

Gleichung (3)

w2—26w+N(X)=0,

wo a- den rationalen Teil von a: und somit auch von X bedeutet. (3) ist natürlich die Hauptgleichung von X, wenn X #0. Ist aber X =cr, so ist seine Hauptgleichung w -——o'= 0 und (3) wird zu (w —o)2 = O, welch letztere Gleichung dann und nur dann ganze Koeffizienten hat, wenn o' eine ganze “Zahl ist. In jedem Falle hat X dann und nur dann die Eigenschaft (I), wenn die Koeffizienten in (3) ganze Zahlen sind. Wir wollen für 7- nur ganzzahlige Werte zulassen. Für 7 = —1 erhalten wir die Algebra aller rationalen Quaternionen. Wir betrachten den Bereich J aller Grössen X = a: + yj, in denen .76 und y ganze komplexe Zahlen (d. h. komplexe Zahlen mit ganz-

zahligen Koordinaten) sind. Die Koeffizienten in (3) sind alsdann ganz. Summe und Differenz zweier Grössen aus J sind wieder Grössen aus J. Dasselbe gilt vom Produkt zweier Grössen aus J, wegen X(z+wj) = mz+ryw’+ (ww+ yz’)j. Der Bereich J erfüllt also die Annahmen (I), (II) und (III). _ Wir suchen jetzt alle Bereiche S von Grössen aus Dr zu bestimmen, welche den Annahmen (I) und (II) genügen und welche alle Grössen von J enthalten. Wir setzen

(4)

X=w+yj,

w=a+fi, y=n+{i.

X gehöre zu S. Weil i, j und ] i zu J und damit zu S gehören, gehören nach (II) mit X auch Xi, Xj = 'ry + mj und i zu S; ihre rationalen Teile sind bzw. 0-, —— E, 7-77, —1-C. Die Produkte der letzteren mit — 2 figurieren daher als Koeffizienten in den quadratischen Gleichungen, denen X, . . , Xy i bzw. genügen, sind also ganze Zahlen. Mit andern Worten: 2 w und 273/ sind ganze komplexe Zahlen. Im Falle 7-=—1 setzen wir 2x=u‚ 21y=_..1;_ Dann, ist X=%(u+vj) und nach (2) N(X) =%(uu’ +1,00. Daher muss die Summe uu’ + 'Iw' von vier ganzen Quadraten durch 4 teilbar sein. Diese Quadrate müssen alle gerade oder ungerade sein, weil das Quadrat einer geraden oder ungeraden Zahl bzw. den Rest 0 156

oder 1 gibt bei der Division durch 4. Der grösste Bereich S wird

daher von allen Grössen %(u + '01) gebildet, in denen die vier Ko-

ordinaten der ganzen komplexen Zahlen u und z) alle gerade oder alle ungerade sind. Im zuletzt genannten Falle subtrahieren wir

,

N(X)=71;(uu’-—fi_iww’>.

Das konstante Glied N(X) von (3) muss eine ganze Zahl, also ww’ durch -r teilbar sein. Wir setzen w = a. + ßi; 1- geht dann in u2 + [32 auf, also auch in a und ß nach dem 1. Hilfssatz. Somit ist w = 'r'v und dabei 'v eine ganze komplexe Zahl. Daher ist jede Grösse‘ aus S von der Form X = %(u + 22]") mit ganzen komplexen Zahlen u und 'v. Ebenso muss N(X)": l(uu’ —r'u'v’) eine ganze Zahl sein. 4

Im Falle 1-2 — 1 (mod 4) muss uu' + vv’ durch 4 teilbar sein. Die frühere Erörterung des Falles -r = —1 kann unverändert hierher übertragen werden und führt zum ersten Teil des Satzes 1.

158

Im Falle 1- 51 (mod 4) müssen uu’ und vt’ kongruent sein modulo 4. ' Wir setzen u=x+ Äi, 1): p—l— vi.

Dann wird K2 + ÄEE ‚1,2 + v2

(mod 4). Demnach sind die Zahlen K, Ä, ‚u, v den Zahlen in einer der folgenden sechs Reihen kongruent modulo 2

(7)

(0000), (0110), (0101), (1010), (1001), (1111).

Für die erste dieser Reihen ist X =—;—(u—|—?Jj) von der Form a: + y] , wo x und y ganze komplexe Zahlen sind, X gehört also zum Bereiche J aller dieser Grössen. Die Hälften irgendwelcher komplexen Zahlen sind darstellbar als Summe von geeignet gewählten ganzen komplexen Zahlen a: und äu, wobei u = K + Äi, K = 0 oder 1,)1 = 0 oder 1. Daher ist jede Grösse von S die Summe einer Grösse a; + yj aus J und einer Grösse

H = %(u + vj), in welcher (K, z\, p, v) eine der Reihen (7) ist. S ist also aus J hergeleitet durch Adjunktion einer oder mehrerer der Grössen H2, .. ., H6, die in “(7) bzw. durch die zweite, . . ., sechste Reihe definiert sind. Wir verwenden stets die folgenden Bezeich-

nungen’

h=H„ 1=H„ L=H„'H=H,.

Es sei nun 81 der Bereich, der aus J entsteht, wenn man eine und damit beide Grössen

(a

. '1 . . . . . h=h=5WHLZ=—M=gü+w) 1

adjungiert; ferner S2 der Bereich, der aus J entsteht, wenn man eine und damit beide Grössen

w)

L=M=äa+m‚H=—M=%0+n

adjungiert. Wenn wir zu J sämtliche Grössen (8) und (9) adjungieren, erhalten wir einen Bereich, der die Grösse H + h—j = —;—(1 + i) mit der Normäenthält, die Eigenschaften (I) und (II) also nicht mehr besitzt. Wenn wir zu J die Grösse He =t adjungieren, die in (5) defi-' niert ist, so erhalten wir einen Bereich, welcher t= h + l = H + L

enthält, also sowohl in S1 als auch in 82 enthalten ist. Die einzig möglichen maximalen Bereiche, welche J enthalten, sind demnach 81 und S2. Ihrer Entstehung gemäss besitzen sie die 159

' Eigenschaften (I) und (III), es bleibt nachzuweisen, dass ihnen auch (II) zukommt. Nun hat S1 die Basis 1, i, h, l, denn aus 1, i, 2h, 2l lassen sich j

und ij und damit die Basis von J ableiten. Wegen l: ih+ 1 haben alle Grössen von S1 die Gestalt a: —|— yh mit ganzen komplexen Zahlen w und y. Dass 51 die Eigenschaft (II) besitzt, folgt daher aus den 1 Gleichungen

hi=——1—ih, hure—1).

Jeder Grösse X = a: + y j von D, ordnen wir die Grösse X1=m+ ky zu. Dabei haben wir k= i] gesetzt und es gelten die Gleichungen h2 = i(—ij)j=7-,

km: i-ja:= im’j: w’k.

Der Grösse Z‚= z + wj ist Z1 = z + kw zugeordnet. Nun ist XZ=u+vj mit u=mz+yw’r,

v=xw+yz'.

Dem Produkt XZ ist u —|— kv, d. h. die Grösse ZIX1 zugeordnet. Die Grössen X1 bilden daher eine zu Dt reziproke Algebra. Da jedes X1 in DT liegt, ist die Algebra D, zu sich selbst reziprok. Die Bereiche S1 und S2 sind bei dieser Korrespondenz einer dem andern zugeordnet, weil h und lbzw. den Grössen L und H zugeordnet sind. Der Bereich

S ist sich selber zugeordnet. SAT Z 1. Die Algebra D, ist selbst-reziprok bei einer Korrespondenz, wo m + yj der Grösse a' + ky (mit k = ij) entspricht. FüTTE—1 (mod 4) ist S der einzige maximale Bereich von Grössen aus D„ welcher (I) und (II) genügt und 1, i, j, i ] enthält. Der Bereich S ist selbstreziprok. Er hat die Basis 1, i, j, t. Für TE 1 (mod 4) gibt es genau zwei solche maximale Bereiche .Sl und 52 mit 1, i, h, l bzw. 1, i, H, L als Basis. Die Bereiche Sl und S2 sind zueinander reziprok. Die hier verwendeten Symbole sind durch (5), (8), (9) definiert. Im zweiten Falle können wir nach Belieben S1 oder 82 als denjenigen Bereich wählen, dessen Grössen die ganzen Grössen von D, heissen sollen. Jede Eigenschaft des einen Bereichs überträgt sich auf den andern, dabei muss bloss die Reihenfolge der Faktoren in allen Produkten vertauscht werden. Die Zahlentheorie von DT ist im wesentlichen dieselbe, ob Wir den einen oder andern Bereich ver-

wenden. 160

Die ganzen Grössen X von D, mögen in der Gestalt (6) dargestellt sein. Die Koeffizienten 0-, f, 1;, Z von 1, i, j, i] nennen wir die Koordinaten von X. Sie brauchen nicht ganz zu sein. Ist jedoch X linear ausgedrückt in den Grössen der Basis 1, i, j, t von S oder der Basis 1, i, h, l von Sl oder der Basis 1, i, .H, L von Sz, so nennen wir die vier ganzen Koeffizienten in dieser Darstellung von X die Koeffizienten von X.

98. S AT Z 21). D, ist eine Divisionsalgebra, ausgenommen der Fall 'r = 1.

Nach Satz 7 von S 32 ist D1 eine Divisionsalgebra, wenn 1- nicht die Summe zweier rationaler Quadrate ist. Angenommen, 7- sei die Summe der Quadrate voni und E, wo a, ‚B, y ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler > 1 sind. Dann geht 1- in 'ryg = a2 + ‚82 auf und daher auch in a und in ß nach dem Hilfssatz 1. Wir setzen a = 1-8, ß = 7€, dann ist y2 = 7- (‘82 + E2). Da 7- keinen quadratischen Faktor hat, geht es nicht nur in y2‚ sondern auch in y auf. Als gemeinsamer Teiler von a, ß, y ist 1- -—.- j: 1.

99. Rechts- und Linksteiler, Rechts- und Linksassoziierte, Einheiten, Primgrössen. Gilt zwischen den ganzen Grössen a, b, c die Gleichung a = bc, so sagt man, a habe b zum Linksteiler und c zum Rechtsteiler. Hat weiter c= de den Rechtsteiler e, so hat auch a = bde den Rechtsteiler e. Die ganzen Grössen a und b, sagt man, haben einen grössten gemeinsamen Rechtsteiler d, wenn d ein Rechtsteiler von n und von b und zudem jederBechtsteiler von a und b ein Rechtsteiler von d ist. Dieselben Definitionen sind mit dem Worte links statt rechts zu geben. Zwei ganze Grössen einer Algebra A, deren Produkt gleich der Haupteinheit 1 ist, heissen Einheiten von A. Jedes Produkt von Einheiten ist eine Einheit, denn aus uu1 = 'uvl = ww1 = 1 folgt u'vw-wlvlu1 = 1. 1) -r soll dabei der vor Hilfssatz 1 gemachten Voraussetzung genügen.

161

Zu jeder Einheit u von A gibt es eine weitere ganze Grösse 'v in A derart, dass u'v = 1 ist. Das Produkt der ganzen Zahlen N(u) und N(I0) ist dann 1, also N(u) = j; 1. Dabei gilt stets das Zeichen + bei negativem -r. Für -r = + 3 dagegen ist N(1) = +. 1, N(t) = —1, wobei t durch (5) definier‘t ist. Ist umgekehrt u eine ganze Grösse mit der Norm i 1, so ist ü ganz und u(;|; ü) = 1, d. h. u ist eine

Einheit. Für 1- = —1 und 1' = —3 sind alle Einheiten durch (28) bzw. (20) gegeben. a sei irgendeine ganze Grösse, u irgendeine Einheit. Dann heisst au eine Rechtsassoziierte, ua eine Linksassoziierte von a.

Mit a = bc, uul = 1 zusammen besteht die Gleichung a = buo ul c. Ist also b ein Linksteiler von a, so ist auch jede Rechtsassozzierte von b ein Linksteiler von a. Eine ganze Grösse, die keine Einheit ist, heisst eine Primgrösse, wenn sie nicht als Produkt zweier ganzer Grössen dargestellt werden kann, von denen keine eine Einheit ist. Bezeichnen p eine Primgrösse und u und v irgendwelche Einheiten, so ist upv eine Primgrösse.

Denn wäre es ein Produkt ab, so könnte i p = j; üa-be—J keine Primgrösse sein.

100. Zahlentheorie der Algebra D, für 'r = ——- 1, i3. Anwendungen. Hilfssatz 2. Jede Grösse d von D, kann ausgedrückt werden ‘als Summe einer ganzen Grösse q und einer Grösse r, deren Norm absolut kleiner als 1 ist. _ Für 7- = —_—1 oder +3 haben die ganzen Grössen die Basis 1, i, j, t. Sei K der Koeffizient von i y in d; der Koeffizient von i ] in d— Et ist x——f‚ er kann absolut< = 411gemacht werden durch geeignete Wahl der ganzen Zahl E, weil I2K— f I S—— 2gemacht werden kann.

Wir subtrahieren von d— Et Produkte von 1, i, j mit ganzen Zahlen, die so gewählt wurden, dass die Koeffizienten von 1, i, j in der resultierenden Differenz r sämtlich dem Betrage nach S 1 werden. Wird r in der Form (6) ausgedrückt, so gilt 162

(10)

N(r) =o2+ E2—T(n2+ i2),

Manager s-24% 02n2+cese>2+ 1 aufgeht, so gibt es nach Hilfssatz 4 eine ganze Grösse d, die keine Einheit ist, derart, dass .p = ud, 7r= qd. Hier ist p eine Primgrösse, also u eine Einheit und üu = j: 1. Also ist

:I: üP = d, 7T= :l: qüp, 772 = .lN(Q)l'|N(P)I‚ [N(P)| ää 1. Wäre lN(q)’ = 1, so würden q und v = j: qu beide Einheiten sein, und 17 = v p wäre eine Primgrösse, die zur Primgrösse p assoziiert wäre, im Widerspruch zu Hilfssatz 6. Also ist 7r= |N(q)}= |N(p)[,

:l: rr = pi);

‚

Für den Beweis der Umkehrung bemerke man, dass der Beweis ' von Hilfssatz 6 die Zerlegung 17 = Pd ergab, in der weder P noch d eine Einheit ist. Daraus folgt j: rr= N(P) = N(d). Nach Hilfssatz 7 ist P eine Primgrösse. Für negatives 7- ist 17 = PP. Wenn für 7-: +.3-die Norm N(P) = -——7r ist, so setzen wir p = tP, wo

t durch (5) gegeben und N(t) = —1 ist. Dann ist 1:- = N(p) = pp. SATZ 5. Jede positive ganze Zahl ist in jeder der beiden folgenden Formen darstellbar:

(15)

G=„2+ 62+n2+ {2+ {(a+f+n)‚

M=02+52+772+ C2+UC+ E7). Dabei bedeuten c, . ., Z ganze rationale Zahlen. Jede ganze rationale Zahl "ist in jeder der beiden folgenden Formen darstellbar: (16)

K: 2+52—3n2—Ä2+_Z(0+f—3n)‚

—-K.

Beweis: Für 1- = —— 1 oder + 3 ist jede ganze Grösse von der Form

(17) o+5i+nj+Lt=a+%:+(s+%z)i+(n+—;—-c)j+—ä—zii 166

'

mit ganzen rationalen a, . ., C. Ihre Norm ist

(18)

e+e—m2+‘;’s+z0;

'P(1)=4.

Durch Nachrechnen findet man 1P'(1) = 2P(2) = 4. Wenn'4 nicht in N aufgeht, hat (32) keine Lösung in ungeraden Zahlen, deren Quadrate die Gestalt 8 o + 1 haben. Also ist U (4 w) = O. Mit r= 2, w = 1 wird (34) zu ‘I’(4) = 24—4. Damit ist (37) für die noch fraglichen Fälle r < 3 bewiesen. (33) und (37) fassen wir zusammen in SATZ 26. w sei eine positive ungerade Zahl. Die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung

K2+A2+3M2+3v2=2rw

(38)

beträgt 4(2'+1—3) S, wenn r >0, und 4 S, wenn r= O ist. Hierin

bedeutet S die Summe der positiven Teiler von w, die zu 3 prim sind. Dieser Satz gibt, für r = 3 auf (34) angewendet,

4-13S= 24-35—48— U(8w)‚

U(8w) = 165.

(36) zusammen mit U (4m) = 0 gibt den SATZ 27. w sei eine positive ungerade Zahl. Die Anzahl der Lösungen von (38) in ungeraden Zahlen beträgt 27+IS, wenn r >2, dagegen Null, wenn r g 2 ist.

Falls in der Gleichung (32) N = 2' g 4 ist und K, . . , v einen ge13

Diekson, Algebra.

187

meinsamen Teiler besitzen, so' enthalten sie alle den Teiler 2. Die Quotienten genügen einer Gleichung (32) mit N = 2"‘2. Also ist

1142?) = war-2) + 2((2r), r g 2. Aus (37) folgt X(2') = 3-2”+1 für r g 3, 1(4) = 16. Man findet durch Ausrechnen X(1) = 1(2) = 4. Aus (33) folgt der SATZ 28. e sei eine positive ganze Zahl, prim zu 6. Die Anzahl . der Lösungen der Gleichung V

K2+Ä2+3p2+3v2=27386

in ganzen Zahlen ohne gemeinsamen Faktor > 1 ist Null für s g 2, für s < 2 ist sie gleich dem: Produkt aus 0(6) und 3' 2'“, 16 oder 4, je nach? demr 23, r=20derrg1 ist.

101. Zahlentheorie der Algebra D_7. Anwendungen. Das besondere ‘Interesse dieser Theorie rührt daher, dass die bei einer Algebra Dt mit 7=—1 oder i3 verwendeten Methoden hier nicht mehr gangbar sind, vielmehr eine bemerkenswerte neuel) an ihre Stelle tritt. Es zeigt sich, dass zwei beliebige ganze Grössen einen grössten gemeinsamen Rechtsfaktor besitzen, ‚er kann jedoch nicht durch ein Divisionsverfahren ermittelt werden, welches Reste mit abnehmenden Normen liefert. Nach Satz 2 ist D__7 eine Divisionsalgebra. Nach Satz 1 (für den Fall 1- = —7) lassen sich als ganze Grössen diejenigen des Bereiches 82 ansehen. Die Grössen 1, i, H, L bilden eine Basis (H (und L sind in (9) definiert). Zu beliebig vorgegebenen ganzen Grössen a und b i 0 kann man nicht immer ganze Grössen X und c angeben, die die Bedingungen a=Xb+c, N(c) ist dann und nur dann eine Faktorenzerlegungivon a in Primgrössen von A = B 6—) C, wenn die y, Einheiten der Algebra C sind, deren Produkt mit ihrer Haupteinheit y, und wenn die ß,- Einheiten der Algebra B sind, deren Produkt mit ihrer Haupteinheit ß übereinstimmt. Dann und nur dann gibt es mehr als eine solche Faktorenzerlegung von a in Primgrössen, von Einheitsfaktoren abgesehen, wenn es mehr als eine Faktorenzerlegung von b in Primgrössen von B oder mehr als eine von c in Primgrössen von C gibt. Beweis: Das ausmultiplizierte Produkt ist (b + 'y) (/3 +Wc)‘ = b + c. In ä 109 ist gezeigt worden, dass die Zahlentheorie einer Algebra A = S + N sich von der Theorie von S nicht wesentlich unter-

scheiden kann. Die halbeinfache Algebra S ist entweder einfach oder sie ist die direkte Summe einfacher Algebren Si. Wir haben soeben bewiesen, dass die ganzen Grössen von S die sämtlichen Summen s1 + 82 + . . . ausmachen, in denen s, eine beliebige ganze _Grösse von S, vorstellt, und dass die Gesetze der Faktorenzerlegung von ganzen Grössen aus S sofort aus derjenigen für Sl, S2, . . . folgen. Damit ist das Studium der Zahlentheorie aller Algebren zurückgeführt auf das Studium der Zahlentheorie der einfachen Algebren.

111. Existenz einer Basis für die ganzen Grössen einer rationalen halbeinfachen Algebra. Ein Bereich von Grössen einer Algebra in K soll von der Ordnung n heissen, wenn er n, aber nicht n + 1 in bezug auf K linear unab-

hängige Grössen enthält. Wir nehmen im folgenden als Körper K ' den Körper der rationalen Zahlen. 211

Hilfssatz 4. A sei eine rationale Algebra von der Ordnung n mit einer Haupteinheit. Wenn ein Integritätsbereich S von Grössen aus A ebenfalls die Ordnung n besitzt und die Haupteinheit enthält, so kann man innerhalb S solche Basisgrössen ul, . . ., u” von A angeben, dass

alle Multiplikationskonstanten ganze rationale Zahlen sind und dass u1 mit der Haupteinheit zusammenfällt. Beweis: S enthält n linear unabhängige Grössen 2:1, . . ., Ion, diese kann man als Basis von A nehmen. Ohne die Allgemeinheit einzuschränken, darf man annehmen, v1 sei die Haupteinheit. Es sei also n

12122, = 12,-,

wir), = 1)„

wie, =k21yükvk

(i, ‚7 = 2, . . ., n).

Die y sind rationale Zahlen. Wir bringen die Brüche y auf einen gemelnsamen Nenner 8 und setzen 7671::

’ö’k ; 8 und d1e v Slnd dabel

alle ganze rationale Zahlen. Der Integritätsbereich S enthält ui= 81;; (i> 1). Wir setzen u1 = 01. Dann ist für i > 1, j > 1 uluj= vlövj= 87),: uj, uiu1 = 827,101 = 8 ',.= u‚.‚ 2

1L

n

uiuj = 8 (7’171'171 +k227ijkvk) = övtjlul +1522 ”in uk‘ Die Multiplikationskonstanten von u1, . . . , un sind lauter ganze rationale Zahlen. ' SATZ 8. A sei eine rationale halbeinfache Algebra von der Ordnung n mit einer Haupteinheit, S ein Integritätsbereich n’e” Ordnung von Grössen aus A, welche ganzen Gleichungen genügen, unter ihnen die Haupteinheit. Ein solcher Integritätsbereich besitzt eine Basis w1‚..., w„, wo wl die Haupteinheit. Beweis: Nach Hilfssatz 4 lassen sich innerhalb S solche Basis; grössen u1‚ . . ., u„ von A auswählen, dass u1 die Haupteinheit bedeutet und dass die y in (4)

u‘uj =k—21'Yükuk

(i, j = 1, _ _ _‚ n)

lauter ganze rationale Zahlen sind. Es sei a: = 2 53”; eine beliebige Grösse aus S. 'Der Integritätshereich S enthält xuj. Aus (4) folgt n

zu, = Epijqr l-= 1

212

n

Pii = 2 587’851" |3:1

I

Die erste charakteristische Matrix von a; erhält man, indem man w von jedem Diagonalelement der Matrix (pü) subtrahiert. Abgesehen vom Vorzeichen ist deshalb '

n

n

2 pkk = 2 51%”

k=1 1', k=1 der Koeffizient von w" —1 in der ersten charakteristischen Gleichung von x. Abgesehen vom Vorzeichen erhält man den Koeffizienten c, von w"“1 in der ersten charakteristischen Gleichung der Grösse X = am, aus der vorigen Summe, wenn man darin E,- durch pü ersetzt. Dieser Koeffizient ist also Z Esl’siiwkk = 0,-

(5)

(‚I' = 1, . . .‚ n).

i,k‚s=1

Nach Voraussetzung sind-die Koeffizienten der Hauptgleichung von X ganze rationale Zahlen, ihre Wurzeln sind also ganze algebraische Zahlen. Nach 5 26 sind unter diesen Wurzeln alle Wurzeln der ersten charakteristischen Gleichung von X enthalten. Daher hat auch diese ganze rationale Koeffizienten. Jedes c,- in (5) ist demnach eine ganze rationale Zahl. d‘ bedeute die Determinante der Koeffizienten von 61, . . .‚ 5„ in den n Gleichungen (5). Es ist d5, = d„ wenn d8 diejenige Determinante bezeichnet, die aus d entsteht, wenn die Elemente der 8te“ Spalte durch die konstanten Glieder 01, . . ., c7, ersetzt werden. Setzt man

. d . . die Werte Isvon Es in a: = Zfsu, ein, so kommt (6)

.

a: = d‘l 2 dsus.

Die Elemente von d sind die Summen (6) in 5 73. Dort ist. auch bewiesen, dass d dann und nur dann nicht verschwindet, wenn A halbeinfach ist. Weil die y und c, lauter ganze rationale Zahlen sind, gilt dasselbe von d und den d8. Jede Grösse a; von S hat daher die Gestalt (6). Dabei ist d, unabhängig von der speziellen Grösse w, eine Funktion der y allein. Der Beweis in 5 90 zeigt die Existenz einer Basis wl, ..., wn von S, wie sie in S 106 definiert wurde. Wenn aber eine rationale Algebra nicht halbeinfach ist, so hat kein maximaler Integritätsbereich von Grössen, welche ganzen Gleichungen genügen, eine Basis. Denn einige unter den Basisgrössen von A 213

können eigentlich nilpotent gewählt werden, und nach 5 109 sind die Koordinaten dieser Basisgrössen beliebige rationale Zahlen bei der allgemeinen Grösse eines maximalen Bereiches; es gibt also sicher keine Basisl).

112. SATZ 9. Wenn ein Integritätsbereich S von Grössen einer rationalen Algebra eine Basis besitzt, so genügt jede Grösse von S einer Gleichung mit ganzen rationalen Koeffizienten und höchstem Koeffizienten 12). Nach der Definition der Basis stimmt S überein mit der Gesamtheit der homogenen linearen Funktionen mit ganzen rationalen Koeffizienten von gewissen Grössen 81, . . .‚ sk aus S, zwischen denen keine homogene lineare Gleichung mit rationalen Koeffizienten besteht.

Jedes Produkt sisj gehört zu S und ist deshalb eine lineare Funktion 2 y“. k sk mit ganzen rationalen Koeffizienten. Jede Grösse von S

hat die Gestalt m = Z'Eisi mit ganzzahligen Ei. Mit Rücksicht auf 1) Zur Veranschaulichung kann die Algebra in 5 105 dienen, die die Haupteinheit m und die zweite Basisgrösse n mit n2 = 0 besitzt. Ihre ganzen Grössen sind .1: = am + fin, wobei a ganz und ß beliebig rational zu nehmen ist. Die erste Matrix von a: ist a. a. Die Algebra A aller zweireihigen quadratischen Matrizen mit rationalen Ele-. menten ist einfach (Satz 5 in ä 79), also auch halbeinfach. Satz 8 gilt nicht für diese Algebra, wenn S das System von der Ordnung 2 < n = 4 bedeutet, welches aus allen ersten Matrizen R, mit ganzzahligen a und rationalen ß besteht. Dieses System S ist ein Integritätsbereich von Grössen aus A, welche ganzen Gleichungen genügen. — Die gleichen Verhältnisse findet man beim System S von der Ordnung 3, welches aus allen Matrizen M = (g g) mit ganzzahligen a, 3 und rationalen ß besteht. Man beachte, dass M dann und nur dann der Gleichung (w—a) (w—ö) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten genügt, wenn a. und 3 ganze rationale Zahlen sind. 2) Daher ist jeder Bereich von ganzen Grössen einer rationalen Algebra -—— wenn man die ganzen Grössen nach Hurwitz oder Du Pasquier definiert (5 ’106) . — auch ein Bereich von ganzen Grössen nach der neuen Definition (5 ’103). Aber nur im Falle einer halb-einfachen Algebra von der Ordnung n gilt auch das Umgekehrte (5 ’1'11, Schluss), dass jeder Bereich n'" Ordnung von ganzen Grössen nach der neuen Definition eine Basis besitzt und deshalb einen Bereich von ganzen Grössen nach der Definition von Du Pasquier oder auch nach der von Hurwitz darstellt; man braucht nur die Basis- des Bereichs als Basis der Algebra zu wählen.

214

die rationale Teilalgebra mit der Basis .91, . . ., s,c hat die erste charakteristische Gleichung 8(40) = 0 von x ganze Koeffizienten und den höchsten Koeffizienten 1, weil jeder Koeffizient ein Polynom in den f,- und 7M]; mit ganzen Koeffizienten ist. 3(w) = 0 ist daher die gesuchte Gleichung, welcher x genügt.

1.13. Existenz von ganzen Grössen in jeder rationalen Algebra. Am Ende von 5111 ergab sich, dass eine rationale Algebra, die nicht halbeinfach ist, keine ganzen Grössen besitzt, wenn'man deren Definition nach Hurwitz oder Du Pasquier zugrunde legt. Dieses fatale Vorkommnis wird durch die neue Definition der ganzen Grössen beseitigt. Es gilt nämlich der folgende SATZ 10. Jede rationale Algebra A mit einer Haupteinheit enthält einen maximalen Integritätsbereich von Grössen, unter denen die

Haupteinheit vorkommt und welche ganzen Gleichungen genügen. Beweis: Erstens, A sei halbeinfach und von der Ordnung n. Wir können nach Hilfssatz 4 solche neue Basisgrössen u1‚ . . ., u” von A angeben, dass die neuen Multiplikationskonstanten yük lauter ganze Zahlen sind und dass ul mit der Haupteinheit zusammenfällt. Mit Hilfe dieser normierten Basis lässt sich die Existenz eines maximalen Bereiches leicht nachweisen. Ein solcher Bereich bleibt natürlich ein maximaler, wenn seine Grössen nachträglich wieder durch die ursprünglichen Basisgrössen ausgedrückt werden. Wir betrachten den Bereich J aller homogenen linearen Funktionen von ul, . .'., u„ mit ganzen Koeffizienten. Wegen der Ganzzahligkeit der Yen: ist J ein Integritätsbereich. Jede Grösse von J genügt ihrer ersten charakteristischen Gleichung, d. h. einer Gleichung mit ganzen Koeffizienten und höchstem Koeffizienten 1, wie es im Beweis von Satz 9 angegeben ist. Es sei nun S ein beliebiger Integritätsbereich von Grössen aus A, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen u1‚ .. ., u”

vorkommen. Ein solcher Bereich ist J. Jede Grösse w von S lässt sich in der Gestalt (6) ausdrücken; dabei sind d und alle d, ganze rationale Zahlen, zudem d eine nicht verschwindende ‚Funktion'von 215

71:77; allein, unabhängig von x. Es sei q, der Quotient und rs der Rest der Division von d, durch d, also d8: dq8+ rs,

Dann ISt

x=q+ r:

0 gr, gd—i.

q: Eqsuv

r: Ed—lrsusy

und q liegt in J; S Wird also aus J durch die Adjunktion von einer oder einigen der d” Grössen r gewonnen (vgl. 597). Da die Anzahl der zu adjungierenden Grössen beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Bereiche S. Daher gibt es unter ihnen einen grössten S1- Er ist ein umfassendster unter allen Integritätsbereichen Z von Grössen aus A, welche ganzen Gleichungen genügen und unter“ denen die Haupteinheit vorkommt, weil jedes Z, welches S1 enthält, auch ul, . . .‚ u” enthält und daher mit einem der Bereiche S zusammenfällt. Damit ist der Satz für eine halbeinfache Algebra bewiesen. Zweitens, A sei nicht halbeinfach, dann folgt der Satz aus dem ersten Fall nach den Ausführungen in S 109.

114. Ganze Grössen einer einfachen Algebra. Die Zahlentheorie einer Algebra ist am Ende von 5110 auf die Theorie der einfachen Algebren zurückgeführt worden. Jede einfache Algebra in K ist nach S78 das direkte Produkt P einer Divisionssubalgebra D und einer vollständigen Matrixsubalgebra M mit n2 Basisgrössen ew, deren jede mit jeder Grösse aus D vertauschbar ist. Zudem fällt die Haupteinheit 2 e von M mit den Haupteinheiten von D und P zusammen Jede Grösse p von P kann 1n der Gestalt (7)

P =_21düei9‘

ausgedrückt werden; darin sind dü- Grössen von D. Wir können p als Matrix (dü) ansehen, eine Auffassung, die Wir beim Studium der Zahlentheorie von P noch gebrauchen werden (5 115). Es ist zu wünschen, dass die Matrizen, welche ganz heissen sollen, alle diejenigen umfassen, deren Elemente ganze Zahlen sind, dass also auch die Basisgrössen e“. unter ihnen inbegriffen sind. Wenn D die Ordnung 8 hat, ist P von der Ordnung önz. Wir nehmen K als algebraischen Körper an. 216

SATZ 1 1. Es sei H ein [maximaler] Integritätsbereich von Grössen (7) aus P, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen alle Basisgrössen e” vorkommen; H habe die gleiche Ordnung ‘ön2 wie P. Dann durchlaufen die Grössen dü voneinander unabhängig einen [maximalen] Integritätsbereich S von Grössen aus D, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen die Haupteinheit vorkommt, und S hat die gleiche Ordnung. 8 wie D; und umgekehrt. Kurz gesagt, die ganzen Grössen von D >< M sind die n-reihigen quadratischen Matrizen, deren Elemente lauter ganze Grössen der Divisionsalgebra D sind. Beweis: (i) Es sei H ein Integritätsbereich von Grössen (7), welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen jedes eü vorkommt.

H enthält dann die gemeinsame Haupteinheit m = 27 eh. von M, P und D und enthält eqrpem = dHeqq. Addiert man für q= 1, . . ., n,

so sieht man, dass H die Grösse d„ enthält, dass diese also einer ganzen Gleichung genügt. S” bezeichne den Bereich, der von den Koeffizienten von e„ in den verschiedenen Grössen (7) von H ge-

bildet wird. Er enthält die Haupteinheit m, weil me„= e” in H liegt. Sind d„ und d;, Koeffizienten vone” in zwei Grössen aus H, so gehören, wie eben bewiesen, auch sie zu H, desgleichen ihre Produkte

mit e”. Daher liegen auch draers i drisers,

drs'ddsers

in H, d. h. die Summe, die Differenz und das Produkt von d„ und (1;, liegen in S”. Daher ist S„ ein Integritätsbereich von Grössen aus D, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen die Haupteinheit von D vorkommt. Wenn d„ in S” und damit in H liegt, liegt auch sein Produkt mit eü in H, also d„ in Sü. Also sind die n2 Bereiche S” (r, s = 1, . . ., n) identisch und können mit S bezeichnet werden. H setzt sich somit zusammen aus den Grössen 2' due 1‚ 11'! in denen du voneinander unab-

hängig den Bereich S durchlaufhni Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen, wenn darin die Worte „maximal“ unterdrückt werden. Für den andern Fall folgt der Beweis unter (iii).

(ii) Die Umkehrung. S sei ein Integritätsbereich von Grössen aus D, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen die Haupt217

einheit vorkommt, und S habe die gleiche Ordnung 8 wie D. Mit II sei der Bereich aller Grössen (7) bezeichnet, in denen die du. voneinander unabhängig den Bereich S durchlaufen. Mit einer andern solchen Grösse p' = Z'dwei1 zusammen gelten die Gleichungen (8)

P II: P

= 2 (dü + dalj) eii!

PP

=iädüdjkeik

Somit ist H ein Integritätsbereich, denn S ist ein solcher. Wir bezeichnen mit v den Grad des algebraischen Körpers K, mit D' die rationale Algebra von der Ordnung e = 31/, welche der Algebra D in K zugeordnet ist (S 104). Dem Bereich S ist dann ein anderer S’ von Grössen aus D’ zugeordnet, welche ganzen Gleichungen im Körper R der rationalen Zahlen genügen. S' hat eine Basis wl, . . ., wg,

nach Satz 8, in der wl die Haupteinheit ist. Weil der Bereich H die Basis wkeü (k = 1, . . ., e; i, j = 1, . . .‚ n) besitzt, genügen seine Grössen ganzen Gleichungen in R, nach Satz 9. H enthält jede Grösse ew, weil wl die Haupteinheit ist. Damit ist die Umkehrung des Satzes bewiesen, falls man darin die Worte „maximal“ unterdrückt. Es sei jetzt S unter den Bereichen S ein grösster. Der entsprechende Bereich H ist maximal unter allen Integritätsbereichen von Grössen aus P, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen jede Grösse e“ vorkommt. Denn wenn H1 ein solcher Bereich wäre, der den Bereich H enthielte, Ja noch umfassender als H Wäre, so gehörte der wie in (i) aus H1 abzuleitende Bereich S1 zu den Bereichen S, wäre umfassender als S und enthielte S, was der Annahme wider-

spricht, dass S unter den Bereichen S ein grösster sein sollte. Damit ist die Umkehrung vollständig bewiesen. (iii) Es sei 17* unter den im Satz genannten Bereichen H ein maximaler. Der zugehörige Bereich S' ist ein grösster unter den Integritätsbereichen S (der gleichen Ordnung wie D) von Grössen aus D, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen die Haupteinheit vorkommt. Denn wenn S* in “einem umfassenderen Bereich S1 enthalten wäre, so gehörte der wie in (ii) aus 81 abzuleitende Bereich H1 zu den Bereichen H und Wäre umfassender als 17* 17* sollte aber ein maximaler Bereich sein. Damit ist schliesslich der ganze Satz bewiesen. In dem Falle, wo D den Körper K, aufgefasst als eine Algebra 218

der Ordnung 1, vorstellt, besagt die Umkehrung des Satzes 11: der Bereich aller n-reihigen quadratischen Matrizen, deren Elemente ganze Zahlen aus K sind, ist der grösste unter allen Integritätsbereichen H von Matrizen mit solchen Elementen aus K, dass diese

Matrizen ganzen Gleichungen genügen und dass unter ihnen die n2 Matrizen eü vorkommen. Jeder Bereich H lässt sich durch eine Matrix mit nicht verschwindender Determinante und mit Elementen aus K transformieren in einen Integritätsbereich von Matrizen mit Elementen aus K, welche ganzen Gleichungen genügen. Wenn wir also

nicht auf das Vorhandensein der (5,-,- Wert legen, erhalten wir unendlich viele maximale Bereichel).

' 115. Zahlentheorie gewisser einfacher Algebren.

Matrizen mit ganzen Elementen. Die ganzen Grössen einer einfachen Algebra A in K sind alle n-reihigen quadratischen Matrizen d = (dü), deren Elemente voneinander unabhängig einen maximalen Integritätsbereich S von Grössen einer Divisionsalgebra D in K durchlaufen, welche ganzen Gleichungen genügen und unter denen die Haupteinheit von D vorkommt (ä 114). Als das Produkt dd’ von d mit einer zweiten solchen Matrix (dgj) definieren wir mit Rücksicht auf die Gleichungen (8) diejenige Matrix,

deren Element in der iten Zeile und kten Kolonne n

E d” dir i=1 ist; dieses Produkt bildet man also nach der gewöhnlichen Regel für die Multiplikation von Matrizen, man muss nur darauf achten, die Elemente von d als Linksfaktoren, die von d' als Rechtsfaktoren zu nehmen.

Da die Multiplikation in D im allgemeinen nicht kommutativ ist, kann man nicht von der Determinante der Matrix d sprechen, auch die Theorie der gewöhnlichen Matrizen nicht verwenden. 1) Der Verfasser hat schon seit mehreren Jahren einen Beweis dafür gehabt, aber nicht veröffentlicht, dass, unter K der Körper der rationalen Zahlen verstanden, jeder maximale Bereich, der die Einheitsmatrix enthält, durch Trans-

formation aus dem Bereiche aller Matrizen mit ganzzahligen Elementen hergeleitet werden kann. 15

Diekson, Algebra.

219

In Kapitel IX fanden wir, dass eine jede Algebra D, (-r = — 1 oder j; 3) — eine Algebra von verallgemeinerten Quaternionen — die folgende Eigenschaft besitzt: Sind a und b (b;ä0) irgend zwei Grössen aus S, so bestehen

Glelchungen

a = qb + c,

a = bQ + C

zwischen solchen Grössen q, c, Q, C aus S, dass die Normen von c

und C absolut genommen kleiner sind als die Norm von b. Kurz gesagt: die Grössen von S besitzen einen euklidischen Algorithmus (für die rechts- und die linksseitige Division). Dieselbe Eigenschaft kommt der Algebra D natürlich auch zu, falls sie mit dem Körper R der rationalen Zahlen, aufgefasst als eine Algebra von der Ordnung 1, identisch ist; die Grössen von S sind da die ganzen rationalen Zahlen, eine jede ist ihre eigene Norm. Die folgende Untersuchung wird für diesen Fall ein Studium der Theorie der Matrizen, deren Elemente lauter ganze rationale Zahlen sind. Noch in andern Fällen besitzt die Algebra D die genannte Eigenschaft, wenn sie nämlich zusammenfällt mit dem quadratischen Körper R (1/3") mit d= 2, 3, 5, 13, —1, ——2, ——3, —7‚——11. Vgl. 5 93. Wir nehmen in diesem Abschnitt an, D besitze einen euklidischen Algorithmus. Sehen wir zu, was herauskommt, wenn wir d linksseitig mit gewissen einfachen Matrizen multiplizieren. E bedeute wieder die n-reihige Einheitsmatrix. Infolge der Gleichung W

_

w

ersädweü — >— deieri 5, 7 erhalten wir (E + k e”) d aus d, indem wir in d zu den Elementen der r'Den Zeile die Produkte von k mit den entsprechenden Elementen der 8te“ Zeile addieren. Mit Er”, bezeichnen wir die Matrix, welche aus E hervorgeht, wenn wir das Element 1 in der rten Zeile durch u ersetzen, mit M„(r#‚s) die aus E entstehende Matrix, wenn wir

in E das rt6 mit dem 8ten Element in der rt‘m und ebenso in der 8te“ Zeile vertauschen; für n = 2 zum Beispiel setzen wir ‚

0

E1,u= (ä 1)!

01 1‘412= (10)"

Wir erhalten dann Enud aus d, indem wir in d den Faktor u vor 220

jedes Element in der rten Zeile setzen, und Mn d, indem wir in d die

r“ und die s“ Zeile vertauschen. Sei u eine Einheit von S, d. h. es gibt eine Grösse v von S, für die die Gleichung uv= 1 besteht. Dann bestehen die Gleichungen (9) (E+ kers) (E—kers) = E!

Er‚uEr‚v= E9

MNMH = E

(ritt).

Wenn also k eine Grösse von S ist, so ist jede der Matrizen (10) E+ke ‚8, EM, Mrl (r, s=1, . . ., n; r#s; u eine Einheit von S) eine Einheit der Algebra A. Jedes Produkt p dieser Matrizen ist eine

Einheitl), und d ist linksassoziiert mit pd. ‚ Deshalb sind zwei Matrizen mit Elementen aus S dann linksassoziiert, wenn die eine aus der andern durch sukzessive Anwendung der folgenden drei Operationen hervorgeht: L1. Addition von Produkten, gebildet aus irgendeiner Grösse k von S als Linksfaktor und aus den Elementen einer Zeile, zu den entsprechenden Elementen einer andern Zeile; L2. Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit ein und derselben Einheit von S als Linksfaktor; L3. Vertauschung zweier Zeilen. Das erste Element in der ersten Zeile einer Matrix nennen wir ihr erstes Element. Hilfssatz 5. Jede Matrix mit Elementen aus S ist linksassoziiert mit einer Matrix, deren Elemente unterhalb der Hauptdiagonale alle Null sind. Beweis: Wir leiten zuerst aus der gegebenen Matrix d eine Linksassoziierte d1 her, in welcher alle Elemente der ersten Spalte Null sind, mit Ausnahme allenfalls des ersten Elementes. Falls alle Elemente der ersten Spalte von d Null sind, ist d selbst die gewünschte Matrix d1, im andern Falle geht vermöge L3 aus d eine Linksassoziierte hervor, deren erstes Element nicht verschwindet. (i) Wenn das erste Element du einer Matrix d (mit Elementen aus S) nicht Null und nicht ein Rechtsteiler von jedem Element in der ersten Spalte ist, so ist d linksassoziiert mit einer Matrix (mit

Elementen aus S), deren erstes Element nicht Null ist und eine Norm besitzt, die absolut kleiner als die Norm von du ist. 1) Die Umkehrung bildet den Inhalt von Hilfssatz 9.

22l

Wenn nämlich 11,.1 nicht'd11 als Rechtsfaktor enthält, so lassen ‚sich zwei Grössen q und c in S angeben, für welche

„l,1 = qdn + c und zugleich c i 0, |N(c)| i. Die erste Zeile von -Pq iSt P11911 = a, P11912 = 0: -- -‚ P11 Q1” = 0: 315° i513 pn i 0, q1k= 0 für k > 1. Wir beweisen den Hilfssatz durch vollständige Induktion. Wir nehmen an, es sei q”: 0 für k > j i ist das Element 1n der iten Zeile und km“ Spalte der Diagonalmatrix pq gleich .ZPH (In: P“ 921a '- O

313° (In; = 0:

weil q“, = O ist für ] < i. — Wir merken uns die Gleichungen (M) Pu (In: = “c (i = 1, -- -‚ n). Sei a = E, d. h. jedes a, = 1. Dann sind p“. und q“. ganze Grö‘ssen von D, und zwar Einheiten, da nach (11) ihr Produkt 1 ergibt, und sie sind miteinander vertauschbar. Wir setzen u = (plla ' ' “2 pnn)’

’l) = (qlla ' ' 'a qnn)‘

Dann ist uv = vu = E, also sind u und v Einheiten der Algebra A. Jedes Diagonalelement von p1 = pv ist Eins und jedes Element oberhalb der Hauptdiagonale ist Null. p1 ist rechtsassoziiert mit E, wegen R1. Daher ist p1 ein Produkt aus Einheiten vom Typus (1'0). Dasselbe gilt demnach von p = plu, q, P und Q. Damit haben wir den Hilfssatz 9. Jede Einheit von A ist ein'Produkt aus Einheiten

von der Form (10). 1) Einfacher lässt sich der Satz beweisen, wenn D ein Körper ist, weil man da mit Determinanten operieren kann. Die Adjungierte von p enthält lauter Nullen oberhalb der Hauptdiagonale, dasselbe gilt daher auch von p'1 und q = p'la. .

‚ 227

Wir betrachten eine Diagonalmatrix a = (a1, . . .‚ an) wie im Satz 15, doch sollen alle a1, .. „an von Null verschieden sein. Jedes a, ist sowohl ein Rechts- als auch ein Linksteiler von a,+1, ai+2, . . . . Jede Zerlegung a = pq, sahen wir, ist äquivalent einer solchen, wo die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen in beiden Faktoren p und q verschwinden. Wir untersuchen jetzt den Fall, wo alle Diagonalelemente von q Einheiten u, von D sind, mit Ausnahme von q”, welches eine Primgrösse 71- von D sein möge. Wir setzen Pr=P1I‚E'i, u"

=II'

Zug,

die Produktbildung 1st darin zu erstrecken über die Werte i= 1, . . ., n;

iyfr. Dann ist a: P1913 in q, ist jedes Diagonalelement gleich 1, mit Ausnahme des rten, welches 11' ist. Mit Hilfe von Operationen L1 erreichen wir Q, = U q„ worin U eine Einheit von A und jedes Element von Q, Null ist, ausgenommen die Diagonalelemente 1, . . ., 1, 71, 1, . . .‚ 1 und die Elemente unterhalb 17. Die zuletzt genannten

sind in der jten Zeile und rt‘m Kolonne (12)

yj=q+xj7r

(j=r+1,...,n),

die x9. darin beliebige ganze Grössen von D. Wir setzen P, = p, U-l. Dann ist a— —— P 0,. Die Diagonalelemente von P, sind demnach a1, .. ., a‚_1, b„ a +1, . . ., an, wobei b,11=a‚; das Element in der

j‘en Zeile und rten Spalte ist zj, es genügt der Gleichung (13)

zjrr+ajyj=0.

(j=r+1,...,n);

alle anderen Elemente von P, sind Null. Um zu zeigen, dass Q, eine Primgrösse von A ist, reduzieren wir Q, mit Hilfe von Operationen R1 auf eine Diagonalmatrix M = Q,V = (1, . . .‚ 1, 11-, 1, . . ., 1). Wenn M ein Produkt von zwei Faktoren ist, nehmen wir diese als p und q in Hilfssatz 8. Nach (11) ist p“ 1.‚.= 1(i i r), p„q„= 7r. Die Diagonalelemente' von p oder q sind daher lauter Einheiten von D, und eine davon ist eine Einheit von A, wie im Beweis von Hilfssatz 9.

(I) D sei ein algebraischer Körper K, die Multiplikation also kommutativ. Für j > r enthält a,- den Faktor a, = 12,71, z,- in (13) ist daher eine ganze Zahl aus K. Für jedes r, für welches a, durch 71 teilbar ist, ist Q, ein Rechtsfaktor von a. Es ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir annehmen, dass die algebraische Primzahl 71- eine positive Norm N (n) besitzt.

228

Nach 5 92 gibt es ein System von N(1r) ganzen Zahlen rl, . . .‚ rN‚ deren keine zwei eine durch 71- teilbare Differenz ergeben, und jede ganze Zahl von K unterscheidet sich von einer der Zahlen r, um ein Produkt von 71 mit einer ganzen Zahl. (Falls K der Körper, der ratio-

nalen Zahlen ist, gilt N (11) = 71- und man kann als Zahlen r, ofi’enbar die Zahlen O, 1, .. ., 77——-1 verwenden.) Durch geeignete Wahl der ganzen algebraischen Zahlen xjin (12) können wir jedes yj auf das System r1‚ . . ., rN beschränken. Daher gibt es Nn” Matrizen Qr. k sei der kleinste Index, für den ak durch 7:- teilbar ist, dann kann r die Werte k, . . .‚ n annehmen. Die Anzahl der Unzerlegbaren Ma-

trizen mit der Determinante 7T, welche Rechtsfaktoren von a und von welchen keine zwei miteinander linksassoziiert sind, ist daher 1+N+N2+...+N""°. Um mit der Zerlegung von a in Primgrössen als Faktoren fortzufahren, Wiederholen Wir unsere Ausführungen für P7. Nach (13) ist z, = — b, t), worin tj = yjaj/a, eine ganze Zahl ist. Wir addieren für

j = r + 1, . . .‚ n zur jten Zeile die Produkte der rten Zeile mit t). Wir erhalten die Diagonalmatrix (a1,...,a,_1,b„a‚+1,..., an) und wenden darauf die über a gegebenen Ausführungen an. So finden wir leicht die Gesamtanzahl von Zerlegungen einer Matrix mit ganzen algebraischen Elementen in unzerlegbare Matrizen, wenn wir dabei aus jeder Klasse von Linksassoziierten nur einen Vertreter auswählen. Wir betrachten für n = 2 eine primitive Matrix mit ganzen Zahlen aus K zu Elementen, d. h. eine Matrix, deren Elemente ausser Einheiten keinen gemeinsamen Teiler haben (sie besitzen ja einen grössten gemeinsamen Teiler, da K ein euklidisches Divisionsverfahren zulässt); die algebraische Primzahl 77 soll in der Determinante der Matrix als Faktor enthalten sein. In der äquivalenten Diagonalmatrix (von Satz 15) a = (a1, a2) ist a1 ein Teiler von a2, deshalb kann a1 nicht durch n- teilbar sein. Daher ist jeder Rechts— faktor von a mit der Determinante 71- linksassoziiert mit (1, 71). Daher gibt es im Falle n = 2, abgesehen von Einheitsfaktoren, eine

einzige Zerlegung einer primitiven ganzen Matrix M in unzerlegbare Matrizen, deren Determinanten mit den algebraischen Primfaktoren von [M ) in einer willkürlich, aber fest gewählten Reihenfolge über229

einstimmen. Dieses Ergebnis ist analog zu dem für ganze Quaternionen (Kapitel IX, Satz 9). Für n > 2 hängt jedoch die Anzahl der Zerlegungen einer Matrix

nicht nur von der Anordnung der algebraischen Primfaktoren „ihrer Determinanten ab, sondern auch noch von gewissen Invarianten, welche die einzelnen Elemente der äquivalenten Diagonalmatrix (aus Satz 15) bestimmen. . Die Anzahl der Klassen von linksassoziierten Matrizen, deren Elemente ganze algebraische Zahlen mit der Determinante 71 sind (11- eine algebraische Primzahl), ist 1+N+ +N"_1, worin N=|N(7-r)|. Im speziellen Fall, dass K mit dem Körper “der rationalen Zahlen zusammenfällt, stimmen unsere Resultate mit denen überein, die Du Pasquierl) erhalten hat. (II) D sei eine der Algebren von verallgemeinerten Quaternionen, deren ganze Grössen euklidische Divisionsverfahren zulassen; 71 sei eine Primgrösse von D. Alle ganzen Grössen von D können so in Klassen eingeteilt werden, die sich gegenseitig nicht überdecken,

dass in einer Klasse Ch alle Grössen von der Form k + a: 71 liegen, in der a: alle ganzen Grössen durchläuft. Wir wählen einen bestimmten Vertreter, etwa k, aus jeder dieser Klassen aus. Diese Repräsentanten können als die Werte von y]. in (12) genommen

werden, für jedes j > r. Weil a, den Rechtsteiler a, = b, n' hat, wird zj in (13) nur dann eine ganze Grösse sein, wenn 1:- y]. die Grösse 11' als Rechtsfaktcr enthält, d. h. wenn nyjrr’l eine ganze Grösse ist. Wir beachten, dass 71-(lc + (1:17) 47-1 dann und nur dann für jedes ganze x eine ganze Grösse ist, wenn nkrr-l ganz ist. Daraus ergibt sich: entweder sind alle Grössen einer Klasse durch '17 in ganze Grössen transformierbar oder gar keine. Daher ist die Zahl der Matrizen Q7, von denen keine zwei linksassoziiert sind, gleich der (n—r)“m Potenz der Anzahl der Klassen Cm in denen solche Grössen k vorkommen, dass 7rk7r‘1 ganze Grössen sind. S AT Z 1 6. Für n-reihige quadratische Matrizen, deren Elemente ganze Grössen einer Divisionsalgebra mit euklidischemAlgorithmus sind, lassen sich alle unzerlegbaren Matrizen, von denen keine zwei linksassoziiert sind, und welche Rechtsteiler einer gegebenen Matrix sind, wie oben angeben, und damit auch alle Zerlegungen in solche unzerlegbare Matrizen. 1) Vierteljahrsschrift Naturf. 'Gesellsch. Zürich, 51 (1906), 55—129, 243—248.

230

116. Grösster gemeinsamer Teiler von Matrizen. Mit A (r) bezeichnen wir den absoluten Wert der Norm der De' terminante einer Matrix r.

SAT Z 17. K sei ein algebraischer Körper, dessen ganze Zahlen ein euklidisches Divisionsverfahren zulassen (5 93); a und b seien n-reihige quadratische Matrizen mit ganzen Zahlen aus K als Elementen und die Determinante von b sei von Null verschieden. Dann lassen sich solche Matrizen q und r, deren Elemente ganze Zahlen aus K sind, angeben, dass entweder a = qb oder a = qb —|— r, O < A (r) < A (b) ist. Der Satz folgt unmittelbar für m = ab—l, r = ob aus dem folgenden Hilfssatz 10. Jede Matrix m mit Elementen aus K ist die Summe zweier Matrizen q und c, wobei die Elemente von q ganze Zahlen ausK

sind und c = 0 oder 0 < A (c) < 1 ist. Beweis: Es seien nicht alle Elemente von m ganze Zahlen (andernfalls nehmen wir c = 0). Nach Satz 12 gibt es solche Einheitsmatrizen u und v, deren Elemente ganze Zahlen und deren Determinanten Einheiten von K sind, dass umv= d eine Diagonalmatrix (d1, . . . , dn) ist. Nicht alle d, sind ganze Zahlen. Wir nehmen an, d1, . . ., dk seien ganze Zahlen, dk+1‚ . . . ‚ d” dagegen nicht (unter Umständen ist k = 0).

Für' i > k können wir di= e,- + f, (e, ganz algebraisch, 0< lN(f,-) I < 1) setzen (5 93). Dann ist d= e + f, worin e =(d1—1‚..., dk—1,e‚c+1,...‚e„),

f= (1,

1,f,„+1, ...‚ f”)

gesetzt ist. Also ist 0 < AU) g, j > h. Dann ist g ' h _

rs =i20m(w) y’;EOU‚-(w) y’ + p(w) 9(06, y)Weil p(w) in rs aufgeht, muss der Koeffizient pg(x) 0„(2) von 31"“l im Produkt rs durch p(x) teilbar sein, im Widerspruch zu III.

V. Das Produkt zweier in y primitiver Polynome r(a‚', y) und s(a:, y) ist primitiv in y. 243

Wäre. nämlich rs nicht primitiv in y, so liesse sich ein Faktor 1(50) abspalten, der keine Zahl aus K ist. rs= 7(50) T(m, y) enthielte nach 52 einen in K irreduziblen Faktor p(x). Nach IV müsste also entweder r oder s durch p(a:) teilbar sein, r und s sind aber nach der Annahme in y primitiv. VI. Sind R und S in (3) primitiv in y und ist r teilbar durch s, so ist R durch S und p(a;) durch 0(x) teilbar. Sei r= sq, q= K(.’E)Q(.’L‘, y), Q primitiv in y. Nach V ist SQ primitiv in y. 0K ist somit ein grösster gemeinsamer Teiler der Koeffizienten der Potenzen von y in r = sq = oKSQ; andrerseits ist nach (3) p(w) solch ein grösster gemeinsamer Teiler. Also ist nach I cm: ap, darin a eine Zahl in K und somit R = aSQ. Falls p(w) = 1, sind a und K Zahlen in K. Haben R und S denselben Grad in y, so nehmen wir Q = 1. Damit ist gezeigt:

VII. Sind R und S primitiv in y und ist R durch a(as) S teilbar, dann ist 0' eine Zahl in K und der Quotient ist primitiv in y. Jeder Teiler eines in y primitiven Polynoms ist daher selber primitiv in y. Haben R und S den gleichen Grad in y, so unterscheiden sie sich

nur durch einen Faktor aus K.

I

Wir sind jetzt imstande zu zeigen, dass zwei beliebige Polynome fix, y) und g(x‚ y) einen grössten gemeinsamen Teiler haben. Das geschieht auf die gleiche Art wie in fi3, mit einer kleinen Modifikation freilich, die der Extrafaktor pk in (4) erforderlich macht. Von allen Polynomen l(x‚ y) = uf + vg, die man erhält, wenn u und v voneinander unabhängig alle Polynome in w und y mit Koeffizienten aus K durchlaufen, betrachten wir die von möglichst niedrigem Grade n in y. Sei d = p(w) y" + so ein Polynom, also d— = Uf + Vg. (i1) n > 0. Wegen f= 1--f+ 0--g kommt f selber lIl der Schar l(:1:, y) vor, hat also einen Grad > n in y. Der Grad von f m y ist also eine Zahl n + k — 1 (k positiv ganz). Es gibt zwei Polynome q und r in w und y, für welche ' .

1 als Modul ist (S 123). Unter einem Polynom in einer Unbestimmten x verstehen wir hier ein Polynom mit ganzen rationalen Koeffizienten. Zwei solche Poly249

nome heissen dann und nur dann (identisch) kongruent modulo p, wenn die Koeffizienten gleicher Potenzen von x modulo p kongruent sind (d. h. wenn ihre Differenz durch p teilbar ist).

Ein Polynom h(w) 372 0 heisst vom Grade n modulo p, wenn der

Koeffizient von m" zu p prim ist und die Koeffizienten aller höheren Potenzen von a: durch p teilbar sind. Zu einem beliebigen zweiten Polynom f(.z) lassen sich drei weitere Polynome q, r, s angeben, durch welche die Gleichung

(6)

f(w)=h(w)9(w)+r(w)+P8(W)

befriedigt wird, in der r(:c) entweder 0 oder von einem Grade b, folglich auch [a—b] =0. Sei p die kleinste positive ganze Zahl, für die [p]=0 gilt. Dem distributiven Gesetz zufolge ist [r] [s] = [r] (1 "l’ 1 + - - - s Summanden) = [7'] ‘l‘ [7'] + - - . + [7’] =-" [T8] .

(9)

Ist p zusammengesetzt: p = rs (r > 1, s > 1), so ist [r]# O, [s] # 0, wohl aber [r] [s] = [p] = 0, nach (9). Das widerspricht einer Folgerüng

aus XII in S 122. Somit ist p eine Primzahl. Offenbar ist

(10)

[r] + [8] = [r-l- S]-

Daher ist [2p]=0, allgemein [kp]=0 für jede natürliche Zahl k. Nehmen wir also s=kp in (10), so folgt

(11)

.

[r]=[r+kP].

Die Formeln (9)—(11) lassen erkennen, dass [1], . . ., [p] die Elemente eines Körpers bilden, der mit dem Körper der p Restklassen der ganzen Zahlen modulo p (5 123) einstufig isomorph istz). Wie in 5 29 enthält K solche Zahlen {1: 1, {2, . . ., in, dass jede Zahl von K auf'eine und nur eine Weise in der Form

(12) [a1]z1+"'+[an];n

-

(a1=1‚ - - -‚ P; - --;a„=1‚ - - -‚ P) >

darstellbar ist. Die Ordnung von K ist also p". Die p"—1 von Null verschiedenen Zahlen von K bilden bei Komposition durch Multiplikation eine Gruppe (5, angesichts der folgenden Eigenschaften: (i) das Produkt von irgend zweien dieser Zahlen ist Wieder eine solche Zahl; 1) Dickson, Linear Groups, Leipzig 1901, pp. 13—19. 2) Will man die Übereinstimmung auch in den Bezeichnungen vollkommen zum Ausdruck bringen, so braucht man das Zeichen [m] nur auch für alle negativen ganzen Zahlen a: und für Null einzuführen dadurch, dass man (11) auch für negative ganze Zahlen k fordert. Dann ist [—1] = [p—1] usw. 17

Dickson, Algebra.

251

(ii) es gilt das assoziative Gesetz aß-y=a-ßy; (iii) das System 6 enthält eine Zahl 1, so dass a-1= 1-a= a ist für jede Zahl a aus 6; und (iv) jede Zahl a. von (5 hat eine Inverse in (5. Wir betrachten den Bereich K0, aller Zahlen (O und 1 inbegriffen) von K, welche mit der Zahl «xi 0 in K kommutativ sind. Mit E und 1) kommen auch 5+1] und 5.„ in K“ vor. Sind die Zahlen /\ und p so bestimmt, dass 5+ Ä=0, Ep=1 ist, so hat man a(f—|— Ä)=a-0=O-a=(E—|— Ä)a., fa'p=af-p‚=a=fp.-a.

Wir nehmen E7fi0 an. Dann folgt a/\= Äa, ap=pa, d. h./\ und y. liegen in K“. K0, genügt daher allen Postulaten, die ein QuasiKörper erfüllt. Die Ordnung von K“ ist demnach eine Potenz p"a von p. Genau so beweist man, dass der Bereich C aller Zahlen von K,

die mit jeder Zahl von K vertauschbar sind, einen Körper bildet. Seine Ordnung ist daher eine Zahl p“. Wir beweisen jetzt leicht, dass C mit K zusammenfällt, dass K also ein Körper ist.

Die Fälle p=2, n=6 und p=2k——1, n=2 ausgenommen, gibt es eine Primzahl q, die in p"——1, aber nicht in k—1 (k < n) aufgehtl). Die Gruppe 6 enthält eine Zahl a, von der die q“, jedoch keine niedrigere Potenz 1 ist. Liegt o. in C, so geht q in pc—1 auf (denn das ist die Ordnung der Gruppe, die wir erhalten, wenn wir die von Null verschiedenen Zahlen in C durch Multiplikation komponieren). Dann kann nach der Definition von q nicht c < n sein. Eine andere Möglichkeit gibt es nicht. Denn läge a nicht in C, so wäre K0, nicht so umfassend wie K, also na< n. Weil q in der Ordnung p"ü—1 der multiplikativen Gruppe (5a von K“ aufgeht, hätten wir einen Widerspruch. Um jetzt noch die ausgeschlossenen Spezialfälle zu erledigen, erinnern wir uns daran, dass jede Zahl in K auf eine und nur eine Weise in der Gestalt 71114-1 . ‚+ymzm darstellbar ist, wobei jedes 'y‘ in C liegt (ä 29). Die Ordnung von K ist somit p“”‚ d. h. n=cm. Analog ist im Ausdruck pna für die Ordnung von K“, da K/a den 1) Zsigmondy, Monatshefte Math. Phys., 3, 1892, 283; Birkhoff und Vandiver, Annals of Math., 5, 1903/4, 173; Dickson, Amer. Math. Monthly, 12, 1905, 86 (16, 1909, 153).

252

Bereich C enthält, der Exponent na ein Vielfaches cm“ von c. Nun ist (5„ eine Untergruppe von (5, ihre Ordnung v= p"a——1 daher ein Teiler der Ordnung p”—1 von (5. Wir setzen n= tna+ r(0 g r< n“), dann muss v in p’——1 aufgehen, also r=0 sein. Also ist n teilbar durch nu. Unter den Konjugierten zu a in bezug auf (5 verstehen wir die Zahlen y‘lay, wobei y die Zahlen von (5 durchläuft. Die Anzahl der pc m ___ 1

verschiedenen Konjugierten ist

‚Tum-

‘

Denken wir uns die Zahlen

von (5 in Klassen von Konjugierten verteilt, die sich gegenseitig nicht überdecken, und beachten wir, dass jede der p°—1 Zahlen von C nur zu sich selbst konjugiert ist, dann finden wir pcm__1'

p”m_1=p°—1+Zp_—— 0ma—

Hierin ist m“ ein von m verschiedener Teller von m, andrerseits m>1, wenn C 0 sei und nicht alle Koeffizienten von go verschwinden. Nach Voraussetzung gibt es Zahlen 51,. . .,f„_1 in K, für welche go(51‚ . . .‚ „_1)#0 ist. Für m1=fl‚ . . .‚a:„_1= „_1 wird fein Polynom in der einzigen Unbestimmten x,” welches nach II für eine gewisse Zahl p von K nicht verschwindet. Aber das "widerspricht der Annahme, dass f für das System von n Zahlen 51,. . .‚ f„_1‚ p in K verschwinde. '

255

Sind f, g, h Polynome in den Unbestimmten 21, . . . , x" mit Koeffizienten aus K, welche der Gleichung f—gh: 0 genügen, so gilt diese Gleichung offenbar auch, wenn f, g, h die entsprechenden Polynome in unabhängigen Veränderlichen EI, . . . , E” von K sind. Die Um-

kehrung dieses Satzes ist nach III auch richtig, wenn K unendlich ist. IV. Die Teilbarkeitsgesetze in S 124 gelten auch für Polynome in unabhängigen Variablen eines unendlichen Körpers. Die Polynome f1(w)‚ . . . , fk(w) in einer Unbestimmten x mit Koeffizienten aus einem Quasi-Körper K, sagt man, besitzen einen grössten gemeinsamen Rechtsteiler d(a:) mit Koeffizienten aus K, wenn d ein Rechtsteiler von f1, . . ., fk und wenn jeder diesen Polynomen gemeinsame Rechtsteiler in d als Rechtsteiler enthalten ist. In dieser Definition kann das Wort rechts durch links ersetzt werden. V. Beliebige Polynome f1(x), . . . , fk(a:) mit Koeffizienten aus irgend einem Quasi-Körper K haben einen grössten gemeinsamen Rechtsteiler mit Koeffizienten aus K, deri’bis auf einen Linksfaktor aus K eindeutig bestimmt ist. Er ist in der Form g1f1+-o-+gkfk darstellbar, in der g, Polynome in a: mit Koeffizienten aus K bedeuten. Der Beweis geht wie in S 3, man braucht nur das Wort Teiler durch Rechtsteiler zu ersetzen und zu beachten, dass sich nach dem gewöhnlichen Divisionsverfahren zwei Polynome q(w) und r(:v) finden lassen, so dass f=qd+r ist, dabei r=0 oder von einem Grade 0. Das Polynom R1(w) ist vom Grade 0 in den variablen Koordinaten 52]. einer Grösse aus A2, ebenso R2(w) vom Grade 0 in den Koordinaten 51]. einer Grösse aus A1, also ist D (w) von nulltem Grade in den beiden Koordinatenreihen. Andrerseits ist R1(w) =w’1+clw'1‘1+ . . . ; die Koeffizienten 01, . . . sind homogene Polynome in den 51,- und ver1) Die Determinante f sei ein Produkt von zwei Polynomen g und h. Wir können g als vom Grade 0 in x11, h als vom Grade 1 voraussetzen. Kein Glied in der Entwicklung von f enthält das Produkt von an mit ‚1,1. Daher ist g vom Grade 0 in 39,1, h vom Grade 1. Weil w„x‚.1 in keinem Glied der Entwicklung von gh =f vorkommt, ist g vom Grade 0 in jedem ‚72,.„5

261

schwinden daher, wenn jedes 61,: 0 ist. Da D(w) unverändert bleibt, wenn man 51,-:0 setzt, ist es ein Teiler w‘i von w’l. Das ist aber unmöglich, weil A1 eine Haupteinheit besitzt, 111(00) somit ein konstantes Glied besitzt, das nach dem Zusatz zu Satz 1 nicht identisch verschwindet. Damit ist unsere Annahme ad absurdum geführt und der Satz bewiesen. SATZ 5. Die Rangfunktion ist von der Wahl der Basis unabhängig. Für eine assoziative Algebra A in einem unendlichen Körper K mit den Multiplikationskonstanten 7„- k sei R (w; Ein/i,- k) = 0 die Ranggleiehung, der w= a; genügt, unter w: 275,. u,- eine Grösse aus A verstanden, deren Koordinaten E,- unabhängige Variable in K sind. Für eine neue Basis uf, u2’, . . . gehe a: über in x’= Effu,’ und R in

p(w; 55: 7/5”). Für w= ac’ sind p und R(w;f,’, 94”) Null; ausser wenn sie identisch gleich sind, verschwindet also ihre Differenz auch noch für w= z’. Geht man zur ursprünglichen Basis ul, u2, . . . zurück, so

erhält man eine Funktion von niedrigerem als rtem Grade, die für w= z verschwindet, was der Definition von r widerspricht.

132. SATZ 6. Jede normale Divisionsalgebra A von der Ordnung n2 hat den Rang n. Beweis: A sei in einem Körper K, der kein Modularfeld ist, definiert. a:= Zfiu, sei eine Grösse von A, deren Koordinaten E unabhängige Variable in K sind. R ((9,51, . . ., m) sei die Rangfunktion von A. K’ sei eine Erweiterung von K, und zwar eine solche, dass die Algebra A’ in K’ mit den gleichen Basisgrössen u, wie A zur Algebra aller n-reihigen quadratischen Matrizen M, mit Elementen aus K’, äquivalent ist vermöge einer Transformation der Basisgrössen (5 86). Nach Satz 3 ist die Rangfunktion der letzten Algebra vom Grade n in w, sie ist ein Polynom in w und den n2 Elementen der variablen Matrix M, die in K’ irreduzibel ist. Nach Satz 5 hat die Rangfunktion R’(w;fl’„. . .„ ‚(1) von x’= 25,! u, für A' den Grad n in w, sie ist ein Polynom in w, E , . . ., das in K’ irreduzibel ist. Wegen

0=Ru.ist jedes f,-=0 für alle Wertesysteme 61,62,.. . in K, d. h. 1‘650. Somit ist f,(fl’, . . .)=0 für alle Systeme g;,g;‚ . . . in K’, also 262

R(w;f{, . . .)=0 für w=265ur Nach dem Hilfssatz von S 131 ist mithin R(w ; 6;, . . .) durch R’(w ; 51’, . . .) teilbar. Der Zusatz zu Satz 3 besagt, dass die erste charakteristische Determinante 8(w;E{, . . .) von 26€ u,- für A’ gleich iR’" ist. Dann ist 8 Eö(w;fl,. . .) für A gleich ir”, darin r ein Polynom in w, EI, . . ., das in K' irreduzibel ist und den Grad n in w hat. Angenommen, 8 sei durch zwei verschiedene Polynome g und h teilbar, deren Koeffizienten in K liegen, die in K irreduzibel sind und welche 1 zum Koeffizienten der höchsten Potenz von w haben. Dann ist

g ar", h er”, also g’ Eh". Aus der letzten Identität folgt g Eh, wegen Satz XII von ä 124. Also ist 8 5;]: Pl, worin P in K irreduzibel ist und 1/‚zum Koeffizienten der höchsten Potenz von w hat. R und 8 haben nach Satz 2 die gleichen irreduziblen Faktoren, abgesehen von ihrer Zähligkeit. Die Rangfunktion R einer Divisionsalgebra A in K ist ihrer Definition nach irreduzibel in K. Folglich ist R 5P. Aus den beiden Ergebnissen ösir” und SEiRl, wo r in K’ irreduzibel ist und 1 zum Koeffizienten von w” hat, folgt REr’ in K’. Sei n r=Zc,-cu”", i=0

cO = 1,

c,(i>0) ein Polynom in 51, 52: . . . mit Koeffizienten in K'. Offenbar kommt in r‘ das Glied t(wn)t—1_ ciwn—e': tciwnt—i

vor als das einzige Glied von höchstem Grade in w, das 0.. enthält, während kein Glied von rt vom Grade nt—i in w irgendein c].(j>i) enthält. Der Vergleich der Koeffizienten von zum“ in r‘ und in R zeigt, dass die Summe aus tci und einem Polynom in 01, . . .‚ci_1 mit ganzzahligen Koeffizienten gleich einem Polynom in 51,52, . . . mit Koeffizienten in K ist. Man sieht also der Reihe nach, dass 01,02, . . . Polynome von der letzten Art sind. Also ist r ein Polynom in w,fl‚fg,. . . mit Koeffizienten aus K. Aber R ist irreduzibel in K. Also ist t=1 und R Er. Weil r den Grad n in w hat, ist der Satz bewiesen.

SATZ 7. Jede normale Dioisionsalgebra A von der Ordnung n2 in einem Körper K, der kein Modularfeld ist, enthält eine Grösse q, deren Hauptgleichung vom nt‘" Grade ist. Jede mit q vertauschbare Grösse aus A ist ein Polynom in q mit Koeffizienten in K. 263

Beweis: Den Variablen 6,- im Polynom R(w; EI, . . .‚E„‚) —— welches

in K irreduzibel ist — lassen sich (auf unendlich viele Weisen) solche ganze rationale Werte beilegen, dass R ein in K irreduzibles Polynom in w Wirdl).

Wenn c mit q vertauschbar ist und nicht in K1=K(q) liegt, so wird K1 durch die Adjunktion von c zu einem umfassenderen Körper K2 erweitert. Darausz) kann man auf verschiedenen Wegen, die die Theorie der algebraischen Zahlen zeigt, herleiten, dass K2 eine Zahl d enthält, welche einer in K irreduziblen Gleichung von einem Grade >n genügt. Das widerspricht, weil d in A liegt, dem Satz 6.

133. Verallgemeinerung von Cayleys Algebra 8ter Ordnung. Wir untersuchen die Algebra C aller Grössen q—I—Qe, in denen q‚Q (ebenso r, R weiterlunten) verallgemeinerte Quaternionen mit Koordinaten aus einem Körper K sind (S 32). Die Multiplikation ist definiert durch

(3) (9+QE)(r+Re)=t+Te mit t=qr+fRQ‚ T=Rq+07 (y eine Zahl aus K). Setzt man r=ä, R=—Q‚ so erhält man

"(9+Qe) E(q+Qe)(ä—Qe)=9ä—YQÜ‚

l

die sogenannte Norm von q+Qe. Die Norm des Produktes (3) ist tt—y TT. Man findet dafür den Ausdruck worin

(qä—yQÖ) (rF—yRR‘HwM—L), M=qröR+Taeom L=RqrÖ+QFäF

gesetzt ist. Das zweite Glied in L ist zum ersten konjugiert, ihre I RLR Summe L also eine Zahl In K. Somit ist L=' ‚ und das ist gleich M. Die Norm eines Produkts ist demnach gleich dem Produkt der Normen der Faktoren. 1)Hilbert,. Journ. für Math.,110 (1892), S. 104. 2) Einen anderen Beweis für den letzten Teil des Satzes findet man in der englischen Ausgabe auf Seite 232.

264

Sind r,.R‚ t, T gegeben und soll man (3) nach q und Q auflösen, so „eliminieren wir qr aus t und Tr, ebenso Q; aus T und t7, und finden (4)

pQ= Tr—Rt,

pq=tF—'y1—3T mit pErF—yRTI'.

Beide Arten der Division durch eine Grösse r+Re sind möglich und jede führt zu einem eindeutig bestimmten Quotienten, wenn die Norm . . . . r jener Grösse nicht verschwmdet. Im Falle R#0 setzen WII' z= —; aus R p=0 folgt dann y=z2. Nach S 32 haben wir nämlich z=a+ Eu1+nu2+ C143,

zZ=02—a52—ß1;2+ 11/362.

Mit Hilfe von Satz 7 in 5 32 schliessen wir, dass C dann und nur dann eine Divisionsalgebra ist, wenn a nicht das Quadrat einer Zahl in K

ist, wenn ferner ‚B nicht in der Form aZ—agz und y nicht in dei‘ Form oz—afz—ßn2+ aßlz mit Zahlen o, f, 77, C aus K darstellbar ist. Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn a=ß=y=—1 und K der Körper der reellen Zahlen ist; dann ist. C einer Algebra mit 8 Basisgrössen äquivalent, die Cayley untersucht hat. Dickson fand, dass C dann eine Divisionsalgebra ist, und gab die hier befolgte Methode zu ihrer Behandlung an 1). Die Verallgemeinerung auf Algebren mit drei Parametern a, ß, y ist hier zum erstenmal veröffentlicht. Dickson hat die Zahlentheorie der Cayleyschen Algebra ausführlich auseinandergesetzt 2). Die Algebren C sind nicht assoziativ. Weitere Typen nicht assoziativer Algebren hat Dickson angegebens).

134. Algebren in Quasi-Körpern. In ihrer unveröffentlichten Chicagoer Dissertation definierte Miss E. D. Pepper eine assoziative Algebra A in einem beliebigen 1) Literaturangaben, auch zu Cayley, findet man in Dicksons Linear Algebras, Cambridge 1914, pp. 14—16, sowie in seiner Arbeit über die Geschichte des Problems, das Produkt aus zwei Summen von n Quadraten als Summe von n Quadraten darzustellen, in Annals of Math., 20 (1919), 155—171, 297.

2) Journ. de math. (9) 2 (1923), 319—325. 3) Trans. Amer. Math. Soc , 7 (1906), 370, 514; 13 (1912), 59; 15 (1914), 30;

Bull. Amer. Math. Soc., 14 (1907/08), 167—169; Göttinger Nachrichten, 1905, 358—393, daselbst werden auch endliche assoziative Divisionsalgebren aufgeführt, welche einem, aber nicht beiden distributiven Gesetzen gehorchen. Eine

Zusammenfassung von allem gibt Dickson, Linear Algebras, pp. 69, 71.

265

Quasi-Körper K durch die Postulate I, III, IV von ä 13 und die folgenden:

II'- a= (am, (aa)ß=a(aß)‚ (aa)ß=a(aß)‚ ab-c=a-bc; lll'. d(a+ß)=a‚a+aß,

(a+b)a=aa+ba;

V. A enthält n solche Grössen u1‚. . .‚ um deren jede mit jeder Grösse aus K vertauschbar ist, dass sich jede Grösse a; von A auf eine und nur eine Weise in der Form m=61u1+...+fnu„ darstellen lässt, in der E,- Zahlen aus K bedeuten. Die Postulate II1(aa= aa) und II3 von S 13 werden nicht gefordert. Die Folgerungen in den 55 19, 21 bleiben auch hier gültig, nur treten jetzt zwei Gleichungen an Stelle von (14) sowie von (18). Unter einem linearen System versteht man jetzt die Gesamtheit der linearen Kombinationen mit Koeffizienten aus K von Grössen x1, .. .‚ w” aus A, deren jede mit jeder Zahl aus K vertauschbar ist. Die Ausführungen in Kapitel IV gelten unverändert, einzig im Hilfssatz 1 muss man unter 18,-, „ „w,- solche Grössen verstehen, deren

jede mit jeder Zahl aus K vertauschbar ist. Als Zusatz zu Kapitel V bedarf es nur der folgenden Bemerkungen über Differenzenalgebren (5 54). In Satz 5 haben wir’jetzt zwei Arten von skalarer Multiplikation bei den Klassen: a. [a]: [au] und [a]a= [a a] , und diese Klassen können voneinander unterschieden werden. —— Ein lineares System T hat eine Basis t1, . . .‚ td, wo jedes t, mit jeder Zahl a. aus K vertauschbar ist. Einer jeden Grösse b in einer Algebra B entspricht dann eine andere Grösse b’ = ab a—l, ebenfalls in B, für

welche a(t,.+ b) = (t,+ b') a ist, und umgekehrt; daher ist a[t,-] = [t6] a. Auch was über nilpotente und halbeinfache Algebren, sowie über idempotente Grössen gesagt wurde (55 58—71), lässt sich hierher über-

tragen. Noch allgemeinere Untersuchungen hat M. H. Ingrahaml) angestellt.

135. Weitere Untersuchungen über Algebren. I. Wenn eine Divisionsalgebra A in K eine normale Teilalgebra B enthält, kann A als das direkte Produkt von B und einer andern Algebra C in K dargestellt werden. (Wedderburn, Trans. Amer. Math. Soc.‚ 22 (1921), 132.) 1) Trans. Amer. Math. Soc.‚ 27 (1925), 163-—196.

266

II. Jede Divisionsalgebra von der Ordnung 9 in einem NichtModularfeld ist entweder ein Körper oder vom Typus D in S35. (Wedderburn, ibidem. Weiter ausgeführt in der englischen Ausgabe dieses Buches, Seite 226—235.) III. Der Verfasser hat alle assoziativen Algebren A mit einer Haupteinheit von der Ordnung n und vom Rang n oder 2 in irgendeinem

Nicht-Modularfeld K angegeben, sowie. alle Algebren 2m, 3ter und 4“" Ordnung. Eine Algebra A von Ordnung und Rang n enthält eine Grösse, die einer Gleichung nhell Grades f(w)=0 mit Koeffizienten in K genügt, aber keiner solchen Gleichung von niedrigerem Grade; in diesem Falle ist A dann und nur dann irreduzibel in bezug auf K, wenn f(w) irreduzibel oder eine Potenz eines in- K irreduziblen Polynoms ist. (Dickson, Proc. London Math. Soc.‚ (2) 22 (1923), 143—162.) IV. Eine Reihe A1, . . ., A8 von Algebren, von denen eine jede A, eine maximale invariante eigentliche Teilalgebra der vorangehenden

A‚_1 ist, während die letzte A, einfach ist, heisst eine Komposition:reihe von A1. Die Reihe der einfachen Algebren Al—Aa, Az—Ag‚ ...‚ A‚_1-——A8, Ajr heisst eine Difierenzenreihe von A1.

Sei A= (u1 , u2‚ ua), dabei u? =ui‚ uiuj= ujui=0 (j#i). Diese Algebra hat die Kompositionsreihe A, (ul, u2), (ul), sowie die hieraus durch irgendeine Permutation der Indizes 1, 2, 3 abgeleiteten. Die Reihe der Differenzenalgebren einer jeden der sechs Kompositionsreihen von A setzt sich aus drei Algebren von der Ordnung 1 zusammen, deren jede durch eine idempotente Grösse erzeugt wird. Weil alle derartigen Algebren erster Ordnung äquivalent sind, ist das ein Beispiel für den Satz 1), dass zwei Differenzenreihen von der gleichen Algebra die gleiche Anzahl von Algebren enthalten und dass die Algebren der einen Reihe denen aus der anderen äquivalent sind, wenn man sie geeignet anordnet. Wenn A eine Algebra vom Index a ist und wenn die Ordnung n von A diejenige von A“ um r übertrifft, dann kann man jede Differenzenreihe von A so anordnen, dass ihre ersten r Glieder Nullalgebren erster Ordnung sind. In den Fällen a>1 hat daher A eine invariante Teilalgebra von der Ordnung n—i. V. Eine assoziative Algebra A mit einer Haupteinheit e in einem

Körper K ist dann und nur dann reduzibel in bezug auf K, wenn sie eine idempotente Grösse #6 enthält, die mit jeder Grösse aus A 1) Wedderburn, Proc. London Math. Soe. (2), 6 (1907), pp. 83—84, 89. 16

Diekson, Algebra.

267

vertauschbar ist. (Scheffers, Math. Annalen 39 (1891), 319; Linear Algebras, S. 26—27.) VI. Wenn eine assoziative Algebra A keine Haupteinheit besitzt, dagegen eine invariante Teilalgebra mit einer Haupteinheit enthält, so kann A auf eine und nur eine Weise als direkte Summe einer Algebra B mit einer Haupteinheit und einer Algebra C dargestellt werden, die keine Haupteinheit und keine invariante Teilalgebra mit einer Haupteinheit enthältl). Eine Algebra, die keine Haupteinheit und keine invariante Teilalgebra mit einer Haupteinheit enthält, wird reduzibel, wenn eine Haupteinbeit adjungiert wird. VII. Wedderburn behandelte Algebren ohne endliche Basis. (Trans.

Amer. Math. Soc., 26 (1924), 395—426.) 1) Mitgeteilt von Wedderburn. B ist eine invariante Teilalgebra mit einer Haupteinheit und ist in keiner andern invarianten Teilalgebra mit einer Haupteinheit enthalten. Alsdann ist A = B €90, nach 552.

268

Kapitel XIII.

Idealtheorie in rationalen Algebren. Von A. Speiser.

136. Dieses Kapitel ist eine Überarbeitung einer Abhandlung über die Allgemeine Zahlentheorie, welche ich im 71. Band der Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich (1926, S. 8) publiziert habe. Für die Idealtheori‘e in algebraischen Zahlkörpern seien die beiden Bücher genannt: R. Fueter, Synthetische Zahlentheorie, 2. Aufl., Berlin und Leipzig 1925, wo systematisch der Modul- und Idealbegrifl’ auch für die Theorie der rationalen Zahlen verwendet wird, und E. Hecke, Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig 1923, WO insbesondere die Betrachtung der additiven Gruppe der algebraischen Zahlen die Grundlage bildet. Die hier gegebene Begründung der Idealtheorie unterscheidet sich darin von den bisherigen, dass die Definition der Multiplikation zweier Ideale erst den Schlussstein des Ganzen bildet. Erst nachdem die

Struktur der Restklassen, genommen nach dem Modul eines Ideales, vollständig aufgeklärt ist, ist es im nicht-kommutativen Fall möglich, die Multiplikation einwandfrei zu definieren. Klare Sätze ergeben sich nur, wenn man maximale Integritätsbereiche heranzieht, wie sie von Dickson in Kapitel IX und X dieses Werkes betrachtet worden sind. Von vorneherein beschränken wir uns auf Algebren, deren Radikal nur aus der 0 besteht; aus den Resultaten von Dickson (5109) geht klar hervor, dass dieser Fall die ganze arithmetische Gesetzmässigkeit enthält. Um den Zusammenhang mit der Idealtheorie in algebraischen Körpern möglichst deutlich hervortreten zu lassen, benutze ich die dort üblichen Bezeichnungen. Lateinische Buchstaben bedeuten rationale Zahlen, griechische bedeuten Zahlen der rationalen Algebra, deutsche Lettern stellen Ideale dar. Wir legen eine rationale assoziative Algebra. zugrunde, deren Zahlen in der Gestalt xlwl + x2w2+ . . . + m„w„

269

darstellbar sind, wobei die Koordinaten xl, x2, . . . ‚ x" alle rationalen Zahlen durchlaufen. Die Produkte der Basiszahlen seien durch fol-

gende Gleichungen festgelegt: n

wiwj=20ijlwl

(i,j=1,2‚...‚n)

=1

Hierbei sollen die Grössen 065l rationale Zahlen sein. Sind sie ganze rationale Zahlen, so bezeichnen wir die Gesamtheit der Zahlen, die in der Gestalt w1w1+wzw2+. . .+:1:„w„ mit ganzzahligen Koordinaten x darstellbar sind, als einen Integritätsbereich 3. Im folgenden betrachten wir nur solche Integritätsbereiche, welche die Haupteinheit enthalten.

137. Moduln und Ideale. Definition: Ein System von Zahlen aus S, welches folgenden beiden Bedingungen genügt:

1. Mit zwei Zahlen gehört die Summe und die Differenz mit zum System, . 2. Es gibt n linear unabhängige Zahlen im System, heisst ein n-gliedriger Modul. Man zeigt, genau wie in der algebraischen Zahlentheorie, dass die

Zahlen eines Moduls eine Basis besitzen, d. h. dass das System identisch ist mit der Gesamtheit aller Zahlen, welche sich in der Gestalt darstellen lassen (A)

m1a1+xza2+...+w„a„‚

wobei m1, m2, . . .‚ an alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen. Über-

dies darf man die Zahlen a1, a2, . . ., “n in der Gestalt annehmen 0L1:011‘01’l‘012"-’2‘l‘- ° '+clnwn (1)

0*2:

022 ‘02 +- - ' + 02,1%

Zwei Zahlen von S heissen einander kongruent nach dem Modul A, falls ihre Differenz im Modul enthalten ist. Fasst man alle Zahlen, welche einer und derselben Zahl (mod A) kongruent sind, zu einer Restklasse zusammen, so folgt aus der Darstellung (1) sofort, dass 270

es 011-022HM=D Restklassen gibt. Die Zahl D heisst die Norm des Moduls,cnsie ist bei beliebiger Wahl der Modulbasis gleich der Determinante der Koeffizienten der Basis. Ein Modul A ist in einem zweiten B enthalten, falls alle Zahlen des ersten auch im Zweiten vorkommen. Die Determinante des ersten Moduls ist teilbar durch die Determinante des zweiten. ' Definition: Ein n-gliedriger Modul heisst ein rechtsseitiges (linksseitiges) Ideal, falls mit jeder Zahl auch ihr rechtsseitiges (linksseitiges) Produkt mit einer beliebigen ganzen Zahl aus S im Modul enthalten ist. Wir bezeichnen ein rechtsseitiges Ideal mit [a), ein linksseitiges Ideal mit (a]. Ein Ideal, ‚das gleichzeitig 'rechts- und linksseitiges Ideal ist, heisst ein zweiseitiges Ideal und wird mit (a) bezeichnet. Es ist ein arithmetisches Analogon zu einer invarianten

Subalgebra. Falls die Algebra kommutativ ist, ist jedes Ideal zweiseitig. Aber auch im nicht-kommutativen Fall gibt es solche. So bilden die Zahlen aus 3‘, deren Koordinaten alle Vielfachen der ganzen rationalen Zahl a durchlaufen, ein zweiseitiges Ideal. Wir bezeichnen es mit (a), insbesondere wird S zu (1). Definition: Falls das Ideal [(4) im Ideal [5) enthalten ist (d. h. falls alle Zahlen aus [a) auch im Ideal [5) vorkommen), so sagen wir:

das Ideal [5) ist ein Teiler des Ideals [a). Man beachte, dass die Worte „Teiler“ und „enthalten sein“ nicht

dasselbe bedeuten, sondern reziproke Beziehung haben, entgegen dem Sprachgebrauch bei den ganzen rationalen Zahlen. So sind die Zahlen des Ideals (6) enthalten unter den Zahlen des Ideals (2), aber (2) ist Teiler von (6). Wir beweisen jetzt folgenden

SATZ 1. Jedes Ideal ist Teiler des durch seine Norm gebildeten zweiseitigen Ideals. . Beweis: Eine Basis des Ideales [(1) sei gebildet durch a-=ci1w1+.. ‚0+ 01“ wn

(l=1‚2‚...n)

Die Matrix, bestehend aus den Unterdeterminanten der KoeffizientenMatrix (cm), sei (C‘k). Bilden wir nun die n Zahlen CH1a1+C2a2+u ‚61+

’H’L an

(i=1‚2,...n)

271

so finden wir, dass sie mit

N101, Nw2, . . ., Neun

(N=Norm von [a))

übereinstimmen. Diese Zahlen und der durch sie gebildete Modul,

d. h. das Ideal (N), kommen also in [a) vor, womit der Satz bewiesen ist.

138. Grösster gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches. Die ganze im folgenden dargestellte Idealtheorie beruht auf der Tatsache, dass man für zwei rechtsseitige Ideale in fast zwangsläufiger Weise zwei weitere Ideale angeben kann, und zwar unabhängig von der Reihenfolge, in der man die beiden Ideale nimmt. Definition: Diejenigen Zahlen, welche zwei rechtsseitigen Idealen gemeinsam sind, bilden wiederum ein rechtsseitiges Ideal. Es heisst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Ideale. Definition: Diejenigen Zahlen, welche Summe einer Zahl des rechtsseitigen Ideales [a) mit einer Zahl des rechtsseitigen Ideales [3) sind, bilden wiederum ein rechtsseitiges Ideal. Es heisst der grösste gemein-

same Teiler von [a) und [5) und wird mit [a, ß) bezeichnet. In beiden Definitionen kann man rechtsseitig durch linksseitig oder durch zweiseitig ersetzen. '

Weil sowohl [a) als [5) die Null enthält, so enthält [a, B) die beiden Ideale [a) und [5). ‘ Die beiden eben definierten Begriffe lassen sich auf beliebig viele ' Ideale ausdehnen, immer ist sowohl kleinstes gemeinsames Vielfaches als grösster gemeinsamer Teiler unabhängig von der Reihenfolge der Ausgangsideale. Ein Modul besteht aus gewissen Restklassen genommen modulo seiner Norm. Denn ist a irgendeine Zahl des Moduls, so kommt auch a+Dw‚ wobei D die Norm und w irgendeine Zahl aus (1) bedeutet, im Modul vor. SATZ 2. Damit ein Modul ein rechtsseitiges Ideal ist, ist notwendig und hinreichend, dass das Produkt irgendeines Restes (mod D), der im Ideal liegt, mit irgendeinem Rest (mod D) wieder ein im Ideal liegender Rest ist. 272

Beweis: Wir wählen aus jeder Restklasse (mod D) einen Rest aus p1‚ pz, . . ., pt. Die Reste a1, a2, . . . ‚ aß mögen speziell die im Ideal [a) liegenden Restklassen repräsentieren. Jede Zahl des Ideales [a) hat nun die Gestalt ai—I—Dw, wobei w irgendeine Zahl aus (1) bedeutet. Ferner lässt sich jede Zahl aus (1) auf eine und nur eine Weise in die Gestalt pk+Dw bringen. Das Produkt einer Zahl aus [a) mit einer Zahl aus (1) hat nun folgende Gestalt: (ai—l— Dw) (pk+ Dw') = aipk—I— D (aiw' + wpk-l—Dw w’) .

Die notwendige und hinreichende Bedingung, dass dieses Produkt wieder in [a) liegt, ist die, dass das Produkt der beiden Resten a,und pk (mod D) ein Rest aus [a) ist, d. h. dass die Kongruenz besteht: V

aiPk ='_— al (mod D).

Durch Satz 2 ist die Frage nach den Idealteilern eines Ideales zurückgeführt auf die Untersuchung eines Systems mit endlich vielen Elementen, nämlich des Systems der Reste modulo der Norm, in

bezug auf die Addition und die Multiplikation seiner Elemente. Linksseitige Ideale und zweiseitige Ideale ergeben sich durch Betrachtung des Restesystemes in analoger Weise, wie die rechtsseitigen nach Satz 2. Definition: Restsysteme, deren Klassen ein Ideal bilden, heissen Idealsysteme.

.139. Zerlegung der Ideale. Falls die Norm eines Ideales keine Primzahlpotenz ist, so zerlegen wir sie in zwei teilerfremde Faktoren. Es sei also Nm[a)=ab, wobei a prim zu b sei. Wir bilden jetzt die beiden Ideale [a, a) =[a1) und (a, b) =[a2) und behaupten SATZ 3. Das Ideal [a) ist kleinstes gemeinsames Vielfaches der beiden Ideale [a1) und [a2). Beweis: Jedenfalls ist das Ideal [a) durch beide Ideale [a1) und [a2) teilbar, denn seine Zahlen kommen in beiden Idealen vor. Es

bleibt noch übrig, zu zeigen, dass jede den beiden Idealen gemeinsame Zahl in [a) liegt. Es sei also y sowohl in [61) als in [a2). Dann gelten die Darstellungen: ‘ y=a1+aw1=a2+bw2 (a1 und a2 in [a), wl und ‘02 in (1)).

273

Multipliziert man die erste Gleichung mit b, so findet man, dass by in [a) liegt. Dasselbe gilt für ay. Nun bestimme man zwei ganze rationale Zahlen, welche der Gleichung genügen ra+sb=1.

Dann liegt r-ay+s-by=y in [a), womit der Satz bewiesen ist._ Durch "diesen Satz ist die Bestimmung sämtlicher Ideale zurückgeführt auf die Aufsuchung aller Ideale, deren Norm eine Primzahlpotenz ist. Definition: Ideale, deren grösster gemeinsamer Teiler (1) ist, heissen zueinander oder relativ prim. SATZ 4. Zwei Ideale, deren Normen zueinander prim sind, sind zueinander prim. Beweis: Die beiden Normen seien a und b. Da sie relativ prim sind, so lässt sich die Gleichung ax+by= 1 in ganzen rationalen Zahlen lösen. Aber ax+ by ist eine Zahl des grössten gemeinsamen Teilers, dieser enthält also 1 und damit alle ganzen Zahlen. Definition: Falls zwei Ideale zueinander prim sind, so heisst ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches das Produkt der beiden Ideale. SATZ 5. Die Norm eines Produktes ist gleich dem Produkt der Normen der Faktoren. Beweis: Wir führen den Beweis für zwei Rechtsideale. Es sei also

[a) [B)=[c) und [a, B)=(1). Die Zahlen aus [c) bilden einen Modul. Wir nennen zwei Zahlen kongruent nach diesem Modul, in Formeln aEß(mod c), falls ihre Differenz in [c) liegt. Die Gesamtheit der Zahlen, welche mit einer bestimmten Zahl kongruent sind, bilden eine Restklasse (mod c). Diese Restklassen bilden nach dem Gesetz der Addition eine Abelsche Gruppe G5, deren Ordnung gleich der Norm von [c) ist. Diejenigen Restklassen, welche nur Zahlen aus [a) enthalten, bilden eine Untergruppe S; und die Restklassen mit Zahlen aus [5) bilden eine Untergruppe R. 5,; und R haben keine Restklasse ausser 0 gemeinsam, denn alle Zahlen, welche in [64) und in [5) enthalten sind, gehören zu [c). Nun ist jede Zahl Summe einer Zahl aus [a) und einer Zahl aus [5), denn die beiden Ideale sind relativ prim. Übersetzen wir dies in die Sprache der Gruppentheorie: S? und R haben nur die Einheit gemeinsam und 6 ist das direkte Produkt von 5;) und R. Nun finden wir die Norm von [(4), indem wir alle Zahlen 274

aus [a), d. h. alle Zahlen aus den in 59 enthaltenen Restklassen als Modul nehmen und die Anzahl der Restklassen nach diesem neuen Modul betrachten. Diese ist offenbar gleich der Ordnung von R. Entsprechend ist die Norm von lb) gleich der Ordnung von 59. Nun ist .die Ordnung von (8 gleich dem Produkt der Ordnungen von S? und R, gleichzeitig ist sie aber auch die Norm von [c), womit der Satz bewiesen ist.

140. Idealteiler einer Primzahl p. Wir bezeichnen im folgenden mit R ein System von p” ganzen Zahlen, welche (mod p) betrachtet jeden Rest genau einmal liefern, z. B. die Zahlen w1w1+ w2w2+. . .+w„w„, WO die x, unabhängig voneinander die Zahlen von 0 bis p—1 durchlaufen. Hilf ssatz. Die Gesamtheit aller Reste nach der Primzahlpotenz p m kann in folgender Gestalt gegeben werden:

R +R’p+. . ‚+R(”'-1)p"“1. Hierbei durchlaufen die Systeme R, R’, . . . unabhängig voneinander

sämtliche Reste aus R. Jeder Rest (mod pm) kann nur auf eine Weise in dieser Gestalt dargestellt werden. Beweis: Wir erhalten alle Reste (mod pm) auf eine und nur eine Weise, indem wir in x1w1+x2w2+. . .+a:„w„ die Koordinaten x,unabhängig voneinander alle Zahlen von O bis pm—l laufen lassen. Nehmen wir irgendeine dieser Zahlen, so können wir einen bestimmten Rest aus R angeben, dergestalt, dass die Differenz durch p teilbar wird. Dividieren Wir diese durch p, so können wir Wieder einen Rest aus R angeben so, dass die Differenz durch p teilbar wird usw. Hiermit ist der Hilfssatz in allen Teilen bewiesen. Definition: Ein Ideal, das nur durch sich selbst und durch das

Ideal (1) teilbar ist, heisst ein Primideal. SATZ 6. Jedes Primideal p ist ein. Teiler eines Ideales (p), wo p eine rationale Primzahl bedeutet. Beweis: Wegen Satz 3 ist die Norm von p eine Primzahlpotenz p’". Daher besteht p aus gewissen Restkla'ssen (mod p'”). Diese lassen sich wie oben wiedergeben. Falls nicht p Teiler von (p) ist, so muss 275

(p, p)=(1) sein, denn (p, p) ist dann ein echter Teiler von p. Das lässt sich auch so ausdrücken: Stellt man die Reste von p'”, welche in p liegen, nach dem Hilfssatz dar, so durchläuft das erste jener Systeme, R, alle Reste (mod p). Nun kommt aber in einem Ideal mit jeder Zahl auch ihr p-faches vor, d. h. wir können auch zu R" einen beliebigen Rest aus R addieren. Auch R’ durchläuft daher unabhängig von R alle Reste (mod p) und dasselbe gilt von den übrigen Restsystemen. Daher ist unter unserer Voraussetzung p=(1)‚ was einen Widerspruch ergibt. Das Primideal p ist daher ein Teiler von (p). Aus Satz 6 folgt nun die wichtige Tatsache, dass wir alle Primideale finden, indem wir die Restsysteme nach Primzahlen betrachten. Diese bilden eine Algebra in einem Modularfeld nach der Terminologie von Dickson. Nimmt man Satz 2 hinzu, so erkennt man, dass die Aufsuchung aller Primidealteiler von p auf eine Diskussion dieser endlichen Algebra herauskommt. Ihre Struktur wird durch folgende Sätze aufgedeckt: I. Eine einfache Algebra besteht aus der Gesamtheit der Matrizen eines bestimmten Grades, deren Koeffizienten die Gesamtheit der Zahlen einer Divisionsalgebra durchlaufen (S. 120). II. Eine Divisionsalgebra, welche nur endlich viele Zahlen enthält, ist kommutativ und daher ein Galoisfeld (S. 254). III.‚ Jede Algebra, welche eine von 0 verschiedene Diskriminante I

7L

n

D: E Ecmcm '=1 l=1

besitzt, ist halbeinfach und die direkte Summe einfacher Algebren. In Formeln: S=p1+P2+...+Pl‚ wobei. die Pi Matrixalgebren mit Koeffizienten aus einem Galoisfeld bedeuten, während das Produkt zweier Zahlen aus verschiedenen dieser einfachen Algebren P, stets verschwindet (S. 110 und 103). Verschwindet dagegen die Diskriminante, d. h. ist p ein Diskriminantenteiler, so bestehen kompliziertere Verhältnisse, die wir erst später untersuchen werden. Definition. Ist r eine Zahl aus R und gilt die Gleichung r=r1+r2+...+rl

.Wo allgemein r, in P, liegt, so heisst r, die Komponente von r in Pi. 276

141. Ideale in kommutativen Algebren. Falls das System R für die Multiplikation das kommutative Gesetz zulässt, so dürfen die Matrizen nur vom ersten Grade sein und die einfachen Algebren Pl- reduzieren sich auf Galoisfelder. Die Aufstellung aller Idealteiler von p ist nun überaus leicht. Nehmen wir nämlich irgendeinen Rest r, der im Idealsystem vorkommt, so ist _ auch die Gesamtheit der Reste von rR darin enthalten. Insbesondere kommen auch die Systeme rPi darin vor. Ist die Komponente ri von r in Pi nicht gleich Null, dann ist rPd=P‚„ denn die Zahlen von P,- bilden nach der Multiplikation (mit Weglassung der Null) eine zyklische Gruppe. Falls daher eine Zahl des Idealsystemes in Pi eine von Null verschiedene Komponente besitzt, so kommt das ganze System Pi im Idealsystem vor und dieses ist daher immer eine direkte Summe von einfachen Algebren Pi. Damit haben wir den SATZ 7. Wir betrachten eine kommutat’ive Algebra und eine _Prim'zahl p, welche nicht in der Diskriminante aufgeht. Man erhält dann sämtliche Idealteiler von p, indem man im System R der Reste (mod p) eine beliebige Anzahl der Komponenten Pi herausgreift und ihre direkte

Summe bildet. Der grösste gemeinsame Teiler zweier Idealteiler von p besteht aus der direkten Summe aller Komponenten Pi, welche in beiden Idealsystemen vorkommen, das kleinste gemeinsame Vielfache ist dagegen die direkte Summe derjenigen Komponenten, welche beiden gemeinsam sind. ' SATZ 8. Ist das System R der Reste (mod p) die direkte Summe von l einfachen Algebren Pi, so enthält p genau l verschiedene Primideale. Sie bestehen aus denjenigen Resten, deren Komponenten in einer der l Algebren P1. verschwinden. SATZ 9. Jeder Teiler von p ist ein Primideal oder ein Produkt von verschiedenen Primidealen. Beweis: Wir benützen zur Produktbildung die Definition bei Satz 4. Bezeichnen wir nun mit pi dasjenige Primideal, dessen Kom-

ponente in Pi verschwindet (d. h. das Idealsystem, welches direkte Summe aller P mit Ausnahme von Pi ist), so wird l’cl’k dasjenige Ideal sein, dessen Komponenten in P.Ir und Ph verschwinden. Berücksichtigt man noch Satz 7, so erkennt man, dass jeder Idealteiler 277

von p durch Produkthildung verschiedener Primideale hergestellt werden kann. Wir gehen nun zu den Teilern von Primzahlpotenzen über und beweisen den SATZ 10. Falls das Restesystem (mod p) direkte Summe von l Galoisfeldern ist, so ist auch das Restsystem (mod p”) direkte Summe von l Systemen 0,-, welche den im Hilfssatz beschriebenen Typus haben: Q,.=P,-—I—P,.’p—I—...+P2’”“1)p""*1

(i=1,2,...,l)

Hierbei durchlaufen die m Systeme P5, Pi, . . ., Pßm’l) unabhängig voneinander die Zahlen des Galoisfeldes. Beweis: Jedenfalls ist das System der Reste (mod p'”) die Summe der l Systeme Qi. Man hat nur noch zu zeigen, dass man es so einrichten kann, dass die Produkte von Zahlen aus zwei verschiedenen Systemen Q, und Qk stets verschwinden (mod p’”) . Es sei L eine Zahl, welche (mod p) der Einheit 1„- von Pi kongruent ist. Wir bilden die Potenzen von L und betrachten sie (mod p’”). Niemals wird eine Potenz durch pm teilbar sein, weil sie alle 51,. (mod p) sind. Da es ferner nur endlich 'viele Reste gibt, so muss es eine erste, etwa die rte Potenz geben, welche gleich einer früheren, etwa der sten wird. Dann ist die Folge L", L5“, L‘+2, . . . periodisch mit einer Periode von r—s=t Termen. Bildet man nun t“=K, so findet man K2 = K, weil bereits die Multiplikation mit L‘ nichts ändert. Diese Zahl 1c können wir jetzt als Einheit von P, nehmen und sie ist auch (mod pm) idempotent. Mit allen Komponenten P,- verfahren wir in dieser Weise und multiplizieren die Zahlen

von P; mit K. Das Produkt zweier verschiedener dieser Einheiten verschwindet, denn sei etwa l KK'Ep“p (mod p’") und ‚95.50 (mod p), a