Elementare Moduln über wilden erblichen Algebren

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Elementare Moduln ¨ ber u wilden erblichen Algebren

Inaugural–Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der Heinrich-Heine-Universit¨at Du ¨sseldorf

vorgelegt von

Frank Lukas aus M¨onchengladbach

Du ¨sseldorf 1992

Inhaltsverzeichnis Einleitung

2

Notationen

4

1 Grundbegri↵e aus der Darstellungstheorie 1.1 Darstellungen von K¨ ochern . . . . . . . . . 1.2 Darstellungstyp und quadratische Formen . 1.3 Auslander-Reiten K¨ ocher . . . . . . . . . . 1.4 Resultate f¨ ur wilde erbliche Algebren . . . .

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5 5 7 9 12

2 Orthogonale Kategorien 2.1 Grundlagen der Kipptheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Orthogonale Kategorien, Einpunkt-Erweiterungen . . . . . . . . . . . 2.3 Kipptheorie wilder erblicher Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Wachstumszahl und Hochschild-Cohomologie wilder erblicher Algebren

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15 15 17 19 21

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 26

3 Das 3.1 3.2 3.3

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charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix einer Das Coxeter-Polynom ist reziprok . . . . . . . . . . . . . . . Bedeutung der Koeffizienten des Coxeter-Polynoms . . . . . Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Elementare Moduln 4.1 Definition und grundlegende Eigenschaften elementarer Moduln . . . . . 4.2 Eine Endlichkeitsbedingung f¨ ur elementare Moduln . . . . . . . . . . . . 4.3 Elementare Moduln und ⌧ -Aufrichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Kanonische Algebren als Einpunkt-Erweiterungen erblicher Algebren mit ren Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . elementa. . . . . .

29 29 31 34 36

5 Einpunkt-Erweiterungen – Kippalgebren 5.1 Ein Zeichen in der Orthogonal-Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Einpunkt-Erweiterungen wilder erblicher Algebren mit regul¨aren Moduln . . . . . 5.3 Wann sind Einpunkt-Erweiterungen Kippalgebren? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 40 42

6 Anwendungen der Theorie 6.1 Elementare Steine in wilden erblichen Unterraum-Algebren . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dominierendes Verhalten der Unterraum-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Das Coxeter-Polynom als Entscheidungshilfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 44 48 49

Literaturverzeichnis

50

1

Einleitung Die Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren ist ein stark expandierendes Teilgebiet der Algebra. Mit modernen Methoden untersucht sie teils klassische Probleme der Mathematik; zwei Beispiele f¨ uhre ich stellvertretend f¨ ur viele an: 1. Gegeben seien zwei endlich-dimensionale Vektorr¨aume V und W . Auf welche Normalformen lassen sich n lineare Abbildungen (fi : V ! W )1in gleichzeitig durch Wahl geeigneter Basen von V und W bringen? 2. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Welche grunds¨atzlich verschiedenen M¨oglichkeiten gibt es, ein System von n Unterr¨aumen U1 , . . . , Un von V auszuw¨ahlen? Hierbei seien zwei Tupel (V, U1 , . . . , Un ) und (V˜ , U˜1 , . . . , U˜n ) isomorph, wenn es einen Isomorphismus f : V ! V˜ gibt mit U˜i = f (Ui ) f¨ ur 1  i  n.

In §1.1 werden wir sehen, daß sich diese Probleme auf die Klassifikation von Moduln u ¨ber endlichdimensionalen erblichen Algebren zur¨ uckf¨ uhren lassen. Die Idee hierzu lieferte P. Gabriel, indem er einem orientierten Graphen Q und einem K¨orper k eine Algebra, die sogenannte Wegealgebra kQ zuordnete. Jede Wahl eines Tupels (V, W, f1 , . . . , fn ) in Problem 1 kann als ein Modul u ¨ber der . a a . Wegealgebra des K¨ ochers n. interpretiert werden. Ich setze in der gesammten Arbeit stets voraus, daß k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper ist. Dies garantiert, daß jede zusammenh¨ angende endlich-dimensionale erbliche (Basis-) Algebra isomorph zu einer Wegealgebra ist. Die Klasse der endlich-dimensionalen Algebren wird in §1.2 in Algebren vom endlichen Darstellungstyp, in zahme und in wilde Algebren unterteilt. Eine Algebra A ist genau dann vom endlichen Darstellungstyp, wenn es nur endlich viele Isomorphieklassen endlich erzeugter unzerlegbarer AModuln gibt. Die Bezeichnung zahm“ entstand aus der Erwartung, daß hier eine vollst¨andige ” Bestimmung der Modulkategorie m¨ oglich ist, im Gegensatz zum wilden Fall. Kommen wir auf die beiden anfangs erw¨ahnten Probleme zur¨ uck. F¨ ur n = 2 f¨ uhrt Problem 1 zu einer zahmen Algebra. Bereits 1890 wurde dieses Problem von L. Kronecker in [35] gel¨ost. F¨ ur n = 4 ist Problem 2 zahm, eine vollst¨ andige L¨osung gelang L. A. Nazarova 1967 in [38]. F¨ ur n 3 (n 5) f¨ uhrt Problem 1 (Problem 2) zu einer wilden erblichen Algebra.

Ist A eine erbliche Algebra vom unendlichen Darstellungstyp, also entweder zahm erblich oder wild erblich, so lassen sich die unzerlegbaren A-Moduln grob in drei Klassen unterteilen; die pr¨ aprojektiven, die pr¨ ainjektiven und die regul¨aren Moduln. Die pr¨aprojektiven und die pr¨ainjektiven Moduln sind sowohl f¨ ur zahme als auch f¨ ur wilde erbliche Algebren vollst¨andig konstruierbar. Bei der Untersuchung der regul¨ aren Moduln betrachtet man zuerst eine Teilklasse der regul¨aren Moduln, die sogenannten quasi-einfachen Moduln. Jeder regul¨are Modul M besitzt eine Filtrierung M = Ml

Ml

1

...

M1

M0 = 0

von regul¨ aren Untermoduln, so daß Mi+1 /Mi quasi-einfach ist f¨ ur alle 0  i  l 1. Ist A zahm erblich, so l¨ aßt sich diese Filtrierung in der vollen Unterkategorie der regul¨aren Moduln nicht weiter verfeinern. Ein Modul X u ¨ber einer zahmen erblichen Algebra ist genau dann quasi-einfach wenn er folgende Eigenschaft erf¨ ullt: (E)

X ist ein von Null verschiedener regul¨arer Modul und nicht Mittelterm einer kurzen exakten Folge von Null verschiedener regul¨arer Moduln.

Erf¨ ullt ein Modul X Eigenschaft (E), so nenne ich ihn einen elementaren Modul. Ist A eine wilde erbliche Algebra, so ist die Klasse der elementaren Moduln eine echte Unterklasse der Klasse aller quasi-einfachen Moduln. Ausgangspunkt meiner Arbeit ist die Frage, welche Eigenschaften elementare Moduln u ¨ber wilden 2

erblichen Algebren besitzen und welche Bedeutung dieser Klasse von Moduln zukommt. Die Eigenschaften elementarer Moduln werden in Kapitel 4 untersucht. Als erste Gemeinsamkeit von elementaren Moduln u ¨ber zahmen erblichen und elementaren Moduln u ¨ber wilden erblichen Algebren erhalte ich (siehe 4.2.1): Es existieren nur endlich viele Coxeter-Bahnen von Wurzeln, die als Dimensionsvektoren elementarer Moduln auftreten. Anhand eines Beispiels zeige ich, daß die Beweisidee hierzu auch hilfreich f¨ ur die Berechnung der Coxeter-Bahnen von elementaren Moduln ist. Ist A zahm erblich und X ein elementarer Modul mit Ext1 (X, X) = 0, so ist X nicht aufrichtig. Auch hierzu gibt es ein entsprechendes Verhalten im wilden Fall: Ist X ein elementarer Modul mit Ext(X, X) = 0 u ¨ber einer wilden erblichen Algebra A und ⌧ die Auslander-Reiten Verschiebung in mod A, so existiert eine Zahl n 2 ZZ, so daß ⌧ n X nicht aufrichtig ist. Es gibt allerdings auch wesentliche Unterschiede zwischen der zahmen und der wilden Situation: Jeder unzerlegbare regul¨ are Modul X u ¨ber einer zahmen erblichen Algebra, besitzt genau eine absteigende Kette X = Xl Xl 1 . . . X1 X0 = 0 von Untermoduln, so daß die Faktormoduln Xi+1 /Xi elementar sind f¨ ur 0  i  l 1. Ist A wild erblich, so gibt es unzerlegbare, regul¨ are Moduln X, die verschieden lange Ketten von Untermoduln besitzen, so daß die Faktormoduln elementar sind. In Kapitel 5 untersuche ich die Beziehungen zwischen elementaren Moduln und bekannten Techniken, um aus einer gegebenen Algebra neue Algebren zu konstruieren. Diese Techniken sind in Kapitel 2 kurz geschildert, es sind dies die Kipptheorie, orthogonale Kategorien und EinpunktErweiterungen. Sei A eine wilde erbliche Algebra und X ein quasi-einfacher Modul mit Ext1A (X, X) = 0. Die volle Unterkategorie von mod A, deren Objekte Y die Bedingungen HomA (X, Y ) = 0 und Ext1A (X, Y ) = 0 erf¨ ullen bezeichne ich mit X ? . Die Kategorie X ? besitzt einen minimalen projektiven Generator Q, und mit C = EndA (Q) liefert der Funktor H = HomA (Q, ) : X ? ! mod

C

¨ eine Aquivalenz. Ist M ! X ein irreduzibler Epimorphismus, so ist der Modul H(M ) nach 5.1.1 elementar in mod C. Die Einpunkt-Erweiterung C[H(M )] ist eine Kippalgebra vom Typ A. Dies stellt einen Zusammenhang her zu der Frage, wann die Einpunkt-Erweiterung einer wilden erblichen Algebra C mit einem von Null verschiedenen regul¨aren Modul X eine Kippalgebra ist. Theorem 5.3.1 besagt f¨ ur einen von Null verschiedenen regul¨aren Modul X, daß C[X] h¨ochstens dann eine Kippalgebra ist, wenn X elementar ist. Da mit X auch ⌧ n X elementar ist f¨ ur n 2 ZZ, kann man zus¨ atzlich fragen, ob mit C[X] auch C[⌧ n X] eine Kippalgebra ist. Satz 5.2.4 und Korollar 5.3.2 geben hier¨ uber Auskunft. Einpunkt-Erweiterungen mit elementaren Moduln sind nicht notwendig Kippalgebren. Notwendige Bedingungen hierf¨ ur lassen sich aus der Wachstumszahl und der Hochschild-Cohomologie der Algebra ableiten. Das dritte Kapitel zeigt, daß das charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix beide Konzepte in sich vereinigt. Nach Satz 3.2.1 ist dim H 1 (A) dim H 0 (A) gleich der Spur der Coxeter-Matrix von A. Insbesondere besteht ein Zusammenhang zwischen der Wachstumszahl und der Hochschild-Cohomologie der Algebra, den Lemma 3.3.1 in Form einer Ungleichung beschreibt. Eine in §3.2 ge¨ außerte Vermutung kann ich nur teilweise beweisen. Sie zeigt an, daß der Graph des dominierenden Verhaltens wilder erblicher Algebren sehr viel Information in sich birgt. Die in den Kapiteln 3–5 hergeleiteten Zusammenh¨ange werden in Kapitel 6 benutzt, um alle Algebren zu bestimmen, die eine n-Unterraum Algebra unmittelbar dominieren. Hierzu werden in §6.1 alle ⌧ -Orbits elementarer Moduln X mit Ext(X, X) = 0 bestimmt. Im letzten Paragraphen dieser Arbeit gebe ich einen Algorithmus an, der Aussagen u ¨ber das dominierende Verhalten wilder erblicher Algebren macht. Meinem Lehrer Prof. Dr. O. Kerner bin ich zu großem Dank, nicht nur f¨ ur mathematische Hilfestellungen, verpflichtet. Die Begeisterung, mit der er in seinem Fach arbeitet, u ¨bertrug sich und gab mir so die Grundlage f¨ ur eigene mathematische Forschung. Ich danke W. W. Crawley-Boevey, der mich auf die Klasse der elementaren Moduln aufmerksam machte. Die Hartn¨ackigkeit und Ausdauer, mit der er mathematische Probleme angreift, beeindruckt mich sehr. Der Deutschen Forschungsgesellschaft danke ich daf¨ ur, daß sie mir 6 Monate lang hervorragende Arbeitsbedingungen an ihrem Sonderforschungsbereich 343 Diskrete Strukturen der Mathematik“ erm¨oglichte. ” 3

Notationen In dieser Arbeit verstehe ich unter einem Modul stets einen endlich-erzeugten Rechtsmodul, falls es nicht ausdr¨ ucklich anders vermerkt wird. Ebenso ist das Wort Algebra“ reserviert f¨ ur eine ” endlich-dimensionale zusammenh¨ angende Basisalgebra. Der K¨orper k ist stets ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper. Einige h¨ aufig benutzte Symbole erkl¨are ich tabellarisch: k Q, Q⇤ kQ n(A) S(a) P (a), I(a) mod A A mod add T X? D rad (A) khX, Y i soc M (A) ⌧ ,⌧ X(n) [n]X IP1 (k) tr M CA , A h, i q A

%(A), H i (A)

algebraisch abgeschlossener K¨orper Q = (Q0 , Q1 , s, e) bezeichnet einen K¨ocher, Q⇤ den dualen K¨ocher Wegealgebra des K¨ ochers Q Anzahl der Punkte des K¨ochers von A Einfacher Modul, der zum Punkt a des K¨ochers korrespondiert ¨ Projektive Uberlagerung von S(a), injektive H¨ ulle von S(a) Kategorie der endlich erzeugten A-Rechtsmoduln Kategorie der endlich erzeugten A-Linksmoduln Klasse aller Moduln, die isomorph zu einer endlichen direkten Summe von direkten Summanden von T sind rechts-orthogonale Kategorie von X D = Homk ( , k), Funktor von mod A nach A mod und umgekehrt Jacobson-Radikal von A freie assoziative Algebra in X und Y u ¨ber k Sockel eines Moduls M Auslander-Reiten K¨ ocher von A Auslander-Reiten Verschiebung und ihr Inverses regul¨ arer Modul mit quasi-L¨ange n und quasi-Sockel X regul¨ arer Modul mit quasi-L¨ange n und quasi-Top X 1-dimensionaler projektiver Raum u ¨ber k Spur einer Matrix M Cartan- und Coxeter-Matrix von A homologische Bilinearform: hx, yi = xCA t y t quadratische Form q : ZZ n ! ZZ, q(x) = hx, xi Coxeter-Polynom der Algebra A Wachstumszahl von A, i-te Hochschild-Cohomologiegruppe von A

4

Kapitel 1

Grundbegri↵e aus der Darstellungstheorie Dieses Kapitel vermittelt keinen ¨ Uberblick u ¨ber die Grundlagen der Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren. Es soll allerdings die Grundbegri↵e bereitstellen, die sp¨ater gebraucht werden. Aus diesem Grunde werden hier, wie auch im Kapitel 2, Beweise nur dann skizziert, falls dies f¨ ur das Verst¨andnis der Kapitel 3–6 notwendig ist.

1.1

Darstellungen von K¨ ochern

Ein K¨ ocher Q = (Q0 , Q1 , s, e) wird gegeben durch zwei Mengen Q0 ,Q1 und zwei Funktionen s, e : Q1 ! Q0 . Die Elemente von Q0 heißen Punkte des K¨ ochers, die von Q1 Pfeile von Q. Die Funktion s (bzw. e) ordnet jedem Pfeil seinen Startpunkt (bzw. Endpunkt) zu. Mit Q⇤ bezeichnet man den dualen K¨ ocher von Q, der definiert ist durch Q⇤ = (Q0 , Q1 , e, s). Ein K¨ ocher Q heißt ein endlicher K¨ ocher, falls Q0 und Q1 endliche Mengen sind. Ein Weg w = (a | ↵1 , . . . , ↵r | b) der L¨ ange r von a nach b in Q ist eine Folge von r Pfeilen ↵1 , . . . , ↵r mit s(↵1 ) = a, e(↵r ) = b und s(↵i+1 ) = e(↵i ) f¨ ur i = 1, . . . , r 1. F¨ ur a 2 Q0 bezeichne (a | | a) den Weg der L¨ ange 0. Ein Weg (a | ↵1 , . . . , ↵r | b) heißt ein orientierter Zyklus, falls a = b und r 1 gilt. F¨ ur einen K¨ ocher Q definieren wir die Wegealgebra kQ folgendermaßen: Der zugrundeliegende Vektorraum habe als Basis die Menge der Wege in Q. Sind w1 w2

= =

(a | ↵1 , . . . , ↵r | b) (c | 1 , . . . , s | d)

zwei Wege in Q, so definieren wir das Produkt w1 · w2 als ⇢ (a | ↵1 , . . . , ↵r , 1 , . . . , s | d) falls b = c w1 · w2 = . 0 sonst P Ist Q0 endlich, so hat kQ das Einselement 1 = a2Q0 (a | | a). Die Wegealgebra ist endlichdimensional, falls Q ein endlicher K¨ ocher ohne orientierte Zyklen ist. In diesem Fall ist kQ eine endlich-dimensionale erbliche Algebra, wobei eine Algebra erblich heißt, falls sie eine der folgenden aquivalenten Bedingungen des n¨ achsten Satzes erf¨ ullt. ¨ Satz 1.1.1 Sei A eine endlich-dimensionale Algebra. Dann sind folgende Eigenschaften von mod A¨ aquivalent: (i) Jeder Untermodul eines projektiven Moduls ist projektiv. (ii) Jeder Faktormodul eines injektiven Moduls ist injektiv. (iii) F¨ ur alle X, Y 2 mod

A gilt ExtiA (X, Y ) = 0, falls i

2 ist.

Das (Jacobson-) Radikal rad kQ berechnet sich als ulle der Wege der L¨ange 1. Die Q lineare H¨ halbeinfache Algebra kQ/rad kQ ist isomorph zu a2Q0 k. Wir nennen eine endlich-dimensionale Algebra A, f¨ ur die A/rad A ein Produkt von Schiefk¨orpern ist, eine Basisalgebra. Der n¨achste Satz wurde in [16, 8.4] bewiesen und zeigt, wie groß die Klasse der Algebren ist, die wir als Wegealgebren endlicher K¨ ocher erhalten k¨ onnen. 5

Satz 1.1.2 Jede endlich-dimensionale Basisalgebra u orper ¨ber einen algebraisch abgeschlossenen K¨ k ist von der Form kQ/I f¨ ur einen eindeutig bestimmten K¨ ocher Q und ein zweiseitiges Ideal I mit (rad kQ)n ⇢ I ⇢ rad kQ f¨ ur ein n 2. Interessiert man sich f¨ ur die Modulkategorie einer Algebra, so ist die Voraussetzung Basisalge” bra“ keine Einschr¨ ankung, da jede Algebra zu einer Basisalgebra Morita-¨aquivalent ist (A heißt 0 Morita-¨ aquivalent zu A , falls die zugeh¨origen Modulkategorien ¨aquivalent sind). F¨ ur eine endlichdimensionale erbliche Basisalgebra A erhalten wir einen K¨ocher Q mit kQ ⇠ = A folgendermaßen: Wir w¨ ahlen ein maximales System S1 , . . . , Sn paarweise nicht isomorpher einfacher (Rechts-) Moduln Si , setzen Q0 = {1, . . . , n} und dimk Ext(Si , Sj ) Pfeile von i nach j f¨ ur 1  i, j  n. Hat ein maximales System paarweiser nicht isomorpher, einfacher A-Moduln genau n Elemente, so setzen wir n(A) = n. Ist kQ/I eine beliebige endlich-dimensionale Basisalgebra, so k¨onnen wir in kQ ein endliches Erzeugendensystem des Ideals I w¨ ahlen, z.B. I = h p1 , . . . , pr i und stellvertretend f¨ ur die Algebra kQ/I das Paar (Q, {p1 , . . . , pr }) betrachten. Wir nennen dieses Paar einen K¨ ocher mit Relationen. F¨ ur einen K¨ ocher Q definiere ich nun die Kategorie der Darstellungen u ¨ber Q. Wir betrachten den K¨ ocher als Kategorie und nennen einen Funktor von Q in die Vektorraumkategorie mod k eine Darstellung von Q. Entsprechend bezeichnen wir einen Morphismus in der Funktorkategorie als einen Homomorphismus zwischen Darstellungen. Ist p eine Relation, dargestellt als LiPr nearkombination von Wegen p = (a | ↵1i , . . . , ↵si i | b), so sagen wir, daß eine Darstellung i i=1 ((va )a2Q0 , (f↵ )↵2Q1 ) der Relation p gen¨ ugt, falls r X

i f↵i1

. . . f↵is = 0 i

i=1

gilt. In [15, 1.4] skizzierte P. Gabriel folgenden Zusammenhang zwischen der Kategorie der Darstellungen von Q und der Wegealgebra kQ: Satz 1.1.3 F¨ ur einen endlichen K¨ ocher Q ohne orientierte Zyklen ist die Funktorkategorie [Q ! mod k] ¨ aquivalent zur Modulkategorie mod kQ. Beweisskizze: Einer Darstellung, L gegeben durch Vektorr¨aume (Va )a2Q0 und lineare Abbildungen (f↵ )↵2Q1 , k¨ onnen wir den Modul ur ein v 2 Va , a 2 Q0 a2Q0 Va mit der Multiplikation, die f¨ definiert ist durch 8 < f↵r . . . f↵1 (v) falls b = a und r 1 v b = a und r = 0 v · (b | ↵1 , . . . , ↵r | c) = : 0 b 6= a

zuordnen. Ist umgekehrt M ein kQ-Modul, so definieren wir (Va = M · (a | | a))a2Q0 und ordnen einem Pfeil ↵ : a ! b die lineare Abbildung zu, die der Multiplikation mit dem Element (a | ↵ | b) der Algebra entspricht. Aus dem Beweis sieht man nun, daß Moduln, die ein zweiseitiges Ideal I = hp1 , . . . , pr i in ihrem Annulator haben, Darstellungen entsprechen, die den Relationen {p1 , . . . , pr } gen¨ ugen. Die Kategorie derjenigen Darstellungen, die den Relationen {p1 , . . . , pr } gen¨ ugen, ist somit ¨aquivalent zu mod (kQ/I). Beispiel Sei Q ein endlicher K¨ ocher ohne orientierte Zyklen und A die Wegealgebra von Q. F¨ ur ein a 2 Q0 sei S(a) die Darstellung ⇢ k falls x = a Vx = . 0 sonst Dann ist jeder einfache A-Modul zu einem S(a) isomorph f¨ ur genau ein a 2 Q0 . Als Darstellung der ¨ projektiven Uberlagerung P (a) von S(a) w¨ahlt man f¨ ur ein b 2 Q0 als Vektorraum Vb den freien Vektorraum, der von den Wegen von a nach b aufgespannt wird. Einem Pfeil : b ! c ordnen wir die lineare Abbildung zu, die einem Weg (a | ↵1 , . . . , ↵r | b) die Komposition (a | ↵1 , . . . , ↵r , | c) zuordnet. Ist X ein A-Linksmodul, so tr¨ agt D X = Homk (X, k) eine Struktur als A-Rechtsmodul. Der ¨ kontravariante Funktor D = Homk ( , k) liefert eine Aquivalenz zwischen mod A und A mod. Aus diesem Grunde ist die Konstruktion der injektiven H¨ ulle I(a) von S(a) dual zur Konstuktion 6

von P (a). F¨ ur einen beliebigen K¨ ocher Q nennen wir ein Paar von Bijektionen f = (f0 , f1 ) mit f0 : Q0 ! Q0 und f1 : Q1 ! Q1 einen Automorphismus von Q, falls s(f1 (↵)) = f0 (s(↵)) und e(f1 (↵)) = f0 (e(↵)) f¨ ur alle ↵ 2 Q1 gilt. Ein Automorphismus eines K¨ochers Q legt einen Automorphismus der Wegealgebra kQ auf der Basis fest. Wir nennen diese Algebren-Automorphismen K¨ ocherAutomorphismen.

1.2

Darstellungstyp und quadratische Formen

In diesem Abschnitt definiere ich den Darstellungstyp von endlich-dimensionalen Algebren. Die Definition l¨ aßt sich an konkreten Algebren nur schwer nachpr¨ ufen. Im Falle von erblichen Algebren wird uns die Tits-Form helfen, s¨ amtlichen Wegealgebren endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen ihren Darstellungstyp zuzuordnen. Man sagt, eine Algebra A sei vom endlichen Darstellungstyp, falls es nur endlich viele Isomorphieklassen unzerlegbarer endlich erzeugter A-Moduln gibt. Andernfalls spricht man vom unendlichen Darstellungstyp und unterscheidet hier die beiden folgenden F¨alle: (1) A heißt zahm, wenn es f¨ ur jede Dimension d > 0 endlich viele A-k[X]-Bimoduln Mi gibt, die frei sind als k[X]-Moduln, so daß jeder unzerlegbare A-Modul der Dimension d isomorph ist zu Mi ⌦k[X] N f¨ ur ein i und einen einfachen k[X]-Modul N . (2) A heißt wild, wenn es einen endlich erzeugten khX, Y i-A-Bimodul M gibt, der frei ist als khX, Y i-Modul und der Funktor F =

⌦khX,Y i M : mod

khX, Y i ! mod

A

Unzerlegbarkeit respektiert und Isomorphie erkennt. Folgendes Theorem wurde von A. Drozd in [14, §4, Theorem 2] bewiesen: Theorem 1.2.1 Sei A eine endlich-dimensionale Algebra vom unendlichen Darstellungstyp. Dann ist A entweder zahm oder wild. Sei Q ein endlicher K¨ ocher ohne orientierte Zyklen mit n Punkten. Die Tits-Form1 q : ZZ n ! ZZ von Q ist definiert als n X X q(x1 , . . . , xn ) = x2i xi xj . i=1

↵:i!j

Die Definition ist unabh¨ angig von der gew¨ahlten Orientierung. Eine quadratische Form q : ZZ n ! ZZ heißt • positiv definit, falls q(x) > 0 ist f¨ ur alle x 2 ZZ n \ {0}. • positiv semi-definit, falls q(x)

0 gilt f¨ ur alle x 2 ZZ n .

• indefinit, falls es ein x 2 ZZ n gibt mit q(x) < 0 und ein x0 2 ZZ n mit q(x0 ) > 0. P. Gabriel bewies in [15] Teil (a) des n¨achsten Satzes. Teil (b) und (c) sind in [10] und in [39] bewiesen worden. Satz 1.2.2 Sei Q ein endlicher K¨ ocher ohne orientierte Zyklen und q die Tits-Form von Q. Dann gilt f¨ ur die Wegealgebra A = kQ von Q: (a) A ist vom endlichen Darstellungstyp, wenn q positiv definit ist. (b) A ist zahm, wenn q positiv semi-definit aber nicht positiv definit ist. (c) A ist wild, wenn q indefinit ist. K¨ ocher mit positiv definiter Tits-Form heißen Dynkin-Diagramme, solche mit positiv semi-definiter aber nicht positiver Tits-Form Euklidische Diagramme. Die folgende Abbildung zeigt s¨amtliche Dynkin- und euklidische Diagramme im Falle eines algebraisch abgeschlossenen K¨orpers. Der K¨ ocher A˜n muß so orientiert sein, daß er keine orientierten Zyklen hat. Ansonsten ist der Darstellungstyp unabh¨ angig von der gew¨ahlten Orientierung, ich habe deshalb Linien statt Pfeilen verwendet. 1 Zur

Namensgebung siehe [15, 1.5]

7

An =

Dn =

c c c

c

...

@

c

A˜n =

c

...

c

E6 =

c

c

c

E7 =

c

c

c

E8 =

c

c

c

˜n = D

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c @ c c

@

c c c

...

...

c

c

... c c

˜6 = E

c

c

c

˜7 = E

c

c

c

˜8 = E

c

c

c

Dynkin-Diagramme

c @

c

c

@ c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

Euklidische Diagramme

Im folgenden allgemeineren Rahmen wird der Zusammenhang zwischen der Tits-Form und der Modulkategorie deutlich. F¨ ur einen Modul M u ur die Isomorphie¨ber einer endlich-dimensionalen Algebra stehe [M ] f¨ klasse von M . Sei F die freie abelsche Gruppe mit der Menge aller Isomorphieklassen endlichdimensionaler A-Moduln als Basis. Sei U die Untergruppe von F , die erzeugt wird von den formalen Summen [M ] [M 0 ] [M 00 ], wobei f¨ ur M, M 0 , M 00 eine kurze exakte Folge 0 ! M 0 ! M ! M 00 ! 0 existiere. Die Faktorgruppe K0 (A) = F/U heißt die Grothendieck-Gruppe von A. Es gibt noch einen anderen Weg, diese Gruppe zu beschreiben: Jeder Modul M 2 mod A besitzt eine Kette von Untermoduln M = Ml

...

M1

M0 = 0,

so daß Mi+1 /Mi ein einfacher Modul ist f¨ ur alle 0  i  l 1. Eine solche Kette nennen wir Kompositionsreihe von M , die Faktormoduln Mi+1 /Mi entsprechend Kompositionsfaktoren. Der Satz von Jordan-H¨ older besagt, daß l unabh¨angig von der Wahl der Kompositionsreihe ist und die Kompositionsfaktoren bis auf Reihenfolge und Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Sei nun S(1), . . . , S(n) ein maximales System paarweise nicht isomorpher einfacher A-Moduln. Wir definieren eine Abbildung dim : mod A ! ZZ n , indem wir jedem Modul M denjenigen Dimensionsvektor zuordnen, dessen i-te Komponente gleich der Anzahl der zu S(i) isomorphen Kompositionsfaktoren von M ist. Diese Abbildung liefert eine Isomorphie K0 (A) ! ZZ n . Ein Tupel x 2 ZZ n , f¨ ur das ein unzerlegbarer Modul X mit x = dim X existiert, nennen wir eine Wurzel. ¨ Ist P (i) die projektive Uberlagerung von S(i), so ist die i-te Komponente von dim M gleich dimk Hom(P (i), M ). In der j-ten Spalte der n ⇥ n-Matrix CA = (dimk Hom(P (i), P (j)))1i,jn steht also dim P (j)t (ich schreibe Dimensionsvektoren als Zeilenvektoren). Wir nennen diese Matrix die Cartan-Matrix von A. Hat A endliche globale Dimension, so ist CA ganzzahlig invertierbar. In diesem Fall definiert h , i : QI n ! QI hx, yi = xC t y t

(x, y 2 QI n als Zeilenvektoren geschrieben) 8

eine (i.a. nicht symmetrische) Bilinearform. Diese hat nach [39] folgende homologische Interpretation: Satz 1.2.3 Sei A eine Algebra endlicher globaler Dimension. Dann gilt: (a) F¨ ur zwei Moduln X, Y 2 mod

A gilt:

hdim X, dim Y i =

X

( 1)i dimk ExtiA (X, Y )

i 0

(b) Ist A = kQ f¨ ur einen endlichen K¨ ocher Q ohne orientierte Zyklen und sind S(1), . . . , S(n) die einfachen Moduln zu den Punkten 1, . . . , n, so gilt hdim S(i), dim S(j)i =

i,j

dimk Ext1 (S(i), S(j)) (1  i, j  n).

Insbesondere gilt q(x) = hx, xi.

Im folgenden setze ich f¨ ur eine Algebra endlicher globaler Dimension q(x) = hx, xi.

1.3

Auslander-Reiten Ko ¨cher

In diesem Paragraphen wird der Auslander-Reiten K¨ocher (A) einer endlich-dimensionalen Algebra A definiert. Die Existenz von gen¨ ugend vielen Auslander-Reiten Folgen garantiert, daß (A) ein lokal endlicher K¨ ocher ist, d.h. an jedem Punkt im K¨ocher starten und enden nur endlich viele Pfeile. Im Fall einer erblichen Algebra haben wir eine funktorielle Auslander-Reiten Verschiebung, ¨ die Anderung der Dimensionsvektoren wird durch die Coxeter-Matrix der Algebra beschrieben. F¨ ur einen endlichen K¨ ocher Q ohne orientierte Zyklen beschreibe ich am Ende dieses Paragraphen (kQ) vollst¨ andig. Als Vorbereitung f¨ ur die Definition definiere ich zuerst rad(X, Y ) f¨ ur zwei Moduln Lr von (A)L s X, Y 2 mod A. Sind X = X , Y = Y Zerlegungen von X und Y in unzerlegi j i=1 j=1 bare Moduln, so k¨ onnen wir jede Abbildung f : X ! Y als Matrix (fi,j )i,j von Abbildungen fi,j : Xi ! Yj schreiben. Der Untervektorraum rad(X, Y ) von Hom(X, Y ) bestehe aus allen Homomorphismen f = (fi,j )i,j , f¨ ur die alle fi,j nicht invertierbar sind. Ist X ein unzerlegbarer Modul, so stimmt rad(X, X) mit dem (Jacobson-) Radikal von End(X) u ¨berein. Mit rad2 (X, Y ) seien alle Abbildungen f 2 rad(X, Y ) bezeichnet, f¨ ur die es einen Modul M gibt, so daß f = h g ist f¨ ur ein g 2 rad(X, M ) und ein h 2 rad(M, Y ). Den Faktorraum rad(X, Y )/rad2 (X, Y ) bezeichnen wir mit Irr(X, Y ). Sind X und Y unzerlegbar, so nennen wir einen Homomorphismus f 2 rad(X, Y ) \ rad2 (X, Y ) irreduzibel. Irreduzible Abbildungen sind entweder injektiv oder surjektiv. Der Auslander-Reiten K¨ ocher (A) einer Algebra A ist nun folgendermaßen definiert. Seine Punkte sind die Isomorphieklassen unzerlegbarer A-Moduln. Sind [X] und [Y ] zwei Punkte in (A), und ist (bi )i2I eine Basis von Irr(X, Y ), so nehmen wir I als Menge der Pfeile von [X] nach [Y ]. Es ist u upft mit der Exi¨berraschend, daß (A) ein lokal endlicher K¨ocher ist. Dies ist eng verkn¨ stenz von Auslander-Reiten Folgen. Hierbei versteht man unter einer Auslander-Reiten Folge eine kurze exakte Folge f g 0 !X !Y !Z !0 f¨ ur die gilt:

(↵) Die Folge zerf¨ allt nicht. ( ) Die Moduln X und Z sind unzerlegbar. ( ) F¨ ur jeden Homomorphismus h : Z 0 ! Z, der kein zerfallender Epimorphismus ist (d.h. h ist nicht surjektiv oder falls h surjektiv ist, so existiert kein Homomorphismus u : Z ! Z 0 mit h u = 1Z ), existiert ein h0 : Z 0 ! Y mit h = g h0 . Ist Z (bzw. X) ein unzerlegbarer projektiver (bzw. injektiver) Modul, so kann es keine AuslanderReiten Folge geben, die in Z endet (bzw. in X startet). Ist jedoch 0 !X !Y

!Z !0

eine Auslander-Reiten Folge, so ist jede andere Auslander-Reiten Folge, die mit X beginnt (bzw. Z endet), bereits isomorph zu dieser. Folgendes Theorem wurde von M. Auslander und I. Reiten in [4, 4.3] bewiesen2 : 2 In

[4] wird die Bezeichnung fast zerfallende Folgen“ f¨ ur Auslander-Reiten Folgen“ benutzt. ” ”

9

Theorem 1.3.1 Sei A eine endlich-dimensionale Algebra. Dann existiert f¨ ur jeden unzerlegbaren nicht-projektiven Modul Z eine Auslander-Reiten Folge 0 !X !Y

! Z ! 0,

die in Z endet. F¨ ur jeden unzerlegbaren, nicht-injektiven Modul X existiert eine Auslander-Reiten Folge, die in X startet. Die lokale Endlichkeit von (A) ergibt sich nun folgendermaßen: Ist (fi )

0 !X !

r M i=1

(gi )

Yi ! Z ! 0

eine Auslander-Reiten Folge, wobei der Mittelterm als direkte Summe unzerlegbarer Moduln dargestellt ist, so ist jeder unzerlegbare Modul M mit Irr(X, M ) 6= 0 (bzw. Irr(M, Z) 6= 0) isomorph zu einem Yi . Die Restklassen der Funktionen fi : X ! Yi (bzw. gi : Yi ! Z) bilden eine k-Basis von Irr(X, Yi ) (bzw. Irr(Yi , Z)). Aus Theorem 1.3.1 folgt also f¨ ur jeden unzerlegbaren, nichtprojektiven (bzw. nicht-injektiven) Modul Z (bzw. X), daß in (A) nur endlich viele Pfeile in [Z] enden (bzw. [X] starten). Ls Ist P ein unzerlegbar-projektiver Modul, rad P = j=1 Yj eine Zerlegung des Radikals von P in Ls unzerlegbare Moduln, so induziert die Inklusion (gj ) : j=1 Yj ,! P in gleicher Weise wie oben alle Pfeile in (A), die in [P ] enden. Faktorisiert man einen unzerlegbaren injektiven Modul I nach seinem einfachen Sockel, so erh¨ alt man alle Pfeile in (A), die in [I] starten, durch die Projektion (fi ) : I ! I/soc I. Ist Z ein unzerlegbarer nicht-projektiver (bzw. nicht-injektiver) Modul, so ist der Anfang (bzw. das Ende) der Auslander-Reiten Folge, die in Z endet (bzw. Z startet) bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen diesen Modul mit ⌧ Z (bzw. ⌧ Z). Der Auslander-Reiten K¨ocher (A) bekommt mit ⌧ eine zus¨ atzliche Struktur. Sind [Y ], [Z] 2 0 (A) und ist Z nicht-projektiv, so ist die Anzahl der Pfeile von [Y ] nach [Z] gleich der Anzahl der Pfeile von [⌧ Z] nach [Y ]. Ist eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von (A), so nennen wir das Paar ( , ⌧ ) einen Verschiebungsk¨ ocher. Sei C eine Zusammenhangskomponente von (A), die keine orientierten Zyklen enth¨ alt. Dann heißt C eine pr¨ aprojektive (bzw. pr¨ ainjektive) Komponente von (A), falls f¨ ur jeden Modul Z 2 C ein n 2 IN0 existiert, so daß ⌧ n Z ein projektiver (bzw. ⌧ n Z ein injektiver) Modul ist. Eine M¨ oglichkeit f¨ ur einen unzerlegbaren, nicht projektiven Modul Z den Modul ⌧ Z zu konstruieren liefert einen Funktor ⌧ : mod A ! mod A, die umgekehrte Fragestellung einen Funktor ⌧

: mod

A ! mod

A.

Ich definiere zuerst die Kategorien mod A und mod A, deren Objekte identisch mit denen von mod A sind. F¨ ur zwei Moduln X, Y seien folgende Untervektorr¨aume von Hom(X, Y ) definiert: P (X, Y ) I(X, Y )

= =

{f 2 HomA (X, Y ) | 9P projektiv mit f 2 Hom(P, Y ) Hom(X, P )} {f 2 HomA (X, Y ) | 9I injektiv mit f 2 Hom(I, Y ) Hom(X, I)}

Mit Hom(X, Y ) (bzw. Hom(X, Y )) seien die Morphismen in mod A (bzw. mod Y bezeichnet. Dann ist Hom(X, Y ) = Hom(X, Y )/P (X, Y ) Hom(X, Y ) = Hom(X, Y )/I(X, Y ) .

A) von X nach

F¨ ur zwei Morphismen f¯ : X ! Y , g¯ : Y ! Z in mod A (bzw. mod A) erh¨alt man durch g¯ f¯ = g f eine wohldefinierte Verkn¨ upfung. In [4, §3] bewiesen M. Auslander und I. Reiten: Theorem 1.3.2 Die Funktoren ⌧ , ⌧

¨ liefern eine Aquivalenz zwischen mod

0 !X !Y

A und mod

A. Ist

!Z !0

eine Auslander-Reiten Folge, so gilt ⌧ Z ⇠ ur zwei Moduln X, Y gilt die = X und ⌧ X ⇠ = Z. F¨ sogenannte Auslander-Reiten Formel Ext1A (X, Y ) ⇠ = D Hom(Y, ⌧ X) ⇠ = D Hom(⌧ Y, X). 10

Ist A eine erbliche Algebra, so ist mod A (bzw. mod A) ¨aquivalent zu der vollen Unterkategorie von mod A, deren Objekte keinen projektiven (bzw. injektiven) direkten Summanden haben. Hier sind ⌧ , ⌧ die Funktoren ⌧ = D Ext1A ( , A) , ⌧

= Ext1A (D

, A).

Sei A eine Algebra endlicher globaler Dimension und CA die Cartan-Matrix von A. Die Matrix A

=

CA t CA

nennen wir Coxeter-Matrix von A. In [2, 2.2] wurde gezeigt: Satz 1.3.3 Sei A eine erbliche Algebra. Dann gilt f¨ ur jeden Modul X ohne projektive direkte Summanden dim ⌧ X = (dim X) A . Zum Schluß dieses Paragraphen beschreibe ich f¨ ur einen endlichen K¨ocher Q ohne orientierte Zyklen den Auslander-Reiten K¨ ocher (kQ). Hierzu definiere ich zuerst den K¨ocher ZZQ. Als Punktmenge hat dieser K¨ ocher die Menge ZZ ⇥ Q0 . Jeder Pfeil ↵ : a ! b in Q1 liefert die Pfeile (z, ↵) (z, ↵)0

: :

(z, a) ! (z, b) (z, b) ! (z + 1, a)

in (ZZQ)1 . Ist I ein (endliches oder unendliches) Intervall von ZZ, so bezeichne IQ den vollen Teilk¨ ocher von ZZQ mit den Punkten {(x, a) | x 2 I, a 2 Q0 }. Ist G eine Untergruppe der Gruppe aller Automorphismen eines K¨ochers , so k¨onnen wir den Bahnenraum /G von G bilden, d.h. denjenigen K¨ocher, dessen Punkte (bzw. Pfeile) die Bahnen der Punkte (bzw. Pfeile) von unter G sind. Ist zum Beispiel A1 der K¨ ocher A1 = ! ! ! . . . und tn der Automorphismus von ZZA1 mit (x, a) 7! (x + n, a), so hat der Bahnenraum A1 /n = A1 /(tn ) die Gestalt einer R¨ ohre“. K¨ocher der Form ZZA1 /G werden quasi-serielle K¨ ocher ge” nannt. Das folgende Theorem zeigt, daß die projektiv-unzerlegbaren Moduln einer erblichen Algebra alle in einer pr¨ aprojektiven Komponente liegen. Entsprechend liegen alle injektiv-unzerlegbaren Moduln in einer pr¨ ainjektiven Komponente. Komponenten, die weder injektive noch projektive Moduln enthalten, nennen wir regul¨ are Komponenten. Ist ein Modul eine direkte Summe unzerlegbarer Moduln, die in einer regul¨ aren (bzw. pr¨ aprojektiven, pr¨ainjektiven) Komponente liegen, so nennen wir diesen Modul einen regul¨ aren (bzw. pr¨ aprojektiven, pr¨ ainjektiven) Modul. Teil (a) des n¨ achsten Satzes ist im wesentlichen in [7] ausgearbeitet worden, Teil (↵) in [13]. C.M. Ringel bewies in [40] den wilden Fall ( ). Theorem 1.3.4 Sei Q ein zusammenh¨ angender endlicher K¨ ocher ohne orientierte Zyklen. Dann gilt: (a) Ist kQ vom endlichen Darstellungstyp, so ist (A) ein pr¨ aprojektiver und ein pr¨ ainjektiver K¨ ocher. Er ist ein endlicher, voller, konvexer und zusammenh¨ angender Teilk¨ ocher von IN Q⇤ . (b) Ist kQ vom unendlichen Darstellungstyp, so bestehen die Zusammenhangskomponenten von (A) aus einer pr¨ aprojektiven Komponente der Form IN Q⇤ , einer pr¨ ainjektiven Komponente ⇤ der Form IN Q und aus regul¨ aren Komponenten. Ist kQ (↵) zahm, so lassen sich die regul¨ aren Komponenten u ¨ber IP1 (k) parametrisieren und sind von der Form ZZA1 /n f¨ ur nat¨ urliche Zahlen n. Es gibt jedoch h¨ ochstens drei regul¨ are Komponenten, f¨ ur die n > 1 gilt. ( ) wild, so sind alle Komponenten von der Form ZZA1 . Es gibt unendlich viele regul¨ are Komponenten. Wie n¨ utzlich die Kenntnis von (A) sein kann, l¨aßt sich an folgender Konstruktion aufzeigen. F¨ ur einen Teilk¨ ocher von (A) sei die Wegekategorie von wie folgt definiert: Die Punkte von bilden die unzerlegbaren Objekte der Wegekategorie. Jedes Objekt ist direkte Summe unzerlegbarer Objekte. Sind a, b 2 0 , so bildet der freie Vektorraum u ¨ber der Menge aller Wege in von a nach b die Morphismenmenge M or(a, b). Die Komposition von Morphismen wird auf dieser Basis beschrieben durch die Komposition der zugeh¨origen Wege. Ist = ( 0 , 1 , ⌧ ) ein Verschiebungsk¨ocher, so bezeichnen wir mit 01 die Menge der Pfeile 11

↵ : a ! b in f¨ ur die b nicht projektiv ist. Eine injektive Abbildung : 01 ! 1 , die einem Pfeil ↵ : a ! b einen Pfeil (↵) : ⌧ b ! a zuordnet, nennen wir eine Polarisierung von . Ist f¨ ur einen Verschiebungsk¨ ocher eine Polarisierung gew¨ahlt, so nennen wir das Ideal, das von den Elementen X X mz = ↵ (↵) (z 2 ⌧ ( 0 )) y2z

↵:y!z

(z sei die Menge der Punkte y, f¨ ur die ein Pfeil y ! z existiert) in der Wegekategorie erzeugt wird, das Maschenideal zu ( , ). Die Wegekategorie faktorisiert nach dem Maschenideal nennen wir die Maschenkategorie. Unterschiedliche Polarisierungen liefern a¨quivalente Maschenkategorien. Wir nennen eine Standardkomponente, falls die Maschenkategorie von a¨quivalent ist zur vollen Unterkategorie von mod A, deren Objekte direkte Summen von Moduln X mit [X] 2 0 sind. Beispiele f¨ ur Standardkomponenten sind: (1)

(A), falls A eine erbliche Algebra vom endlichen Darstellungstyp ist

(2) pr¨ aprojektive und pr¨ ainjektive Komponenten (3) die regul¨ aren R¨ ohren zahmer erblicher Algebren Die regul¨aren Komponenten wilder erblicher Algebren sind keine Standardkomponenten. Im n¨achsten Paragraphen werde ich deshalb u ¨berwiegend Abbildungen zwischen regul¨aren Moduln beschreiben.

1.4

Resultate fu ¨ r wilde erbliche Algebren

In diesem Paragraphen beschreibe ich die Abbildungen zwischen unzerlegbaren A-Moduln, wobei A stets eine wilde erbliche Algebra sei. Da wir uns dabei auf unzerlegbare Moduln beschr¨anken k¨ onnen, gen¨ ugt es, die Homomorphismen zwischen pr¨aprojektiven, regul¨aren und pr¨ainjektiven Moduln zu untersuchen. Sei X ein pr¨ aprojektiver Modul. Gilt f¨ ur einen unzerlegbaren Modul Y Hom(Y, X) 6= 0, so ist Y pr¨ aprojektiv. Somit bilden regul¨are und injektive Moduln nur trivial in pr¨ aprojektive Moduln ab. Entsprechend gilt, daß zwischen pr¨ainjektiven und regul¨aren Moduln nur die Nullabbildungen existieren. F¨ ur eine erste approximative Beschreibung des Abbildungsverhaltens sei A die Coxeter-Matrix von A und %(A) = max{| | : 2 C I ist ein Eigenwert von A } die sogenannte Wachstumszahl von A. In [12, Prop. 1] wurde gezeigt, daß %(A) ein Eigenwert von A ist und %(A) > 1 gilt. Eine in [8] bewiesene Verfeinerung3 eines Ergebnisses in [12, Prop. 2] besagt: Satz 1.4.1 Seien P, P 0 , R unzerlegbare von Null verschiedene Moduln. Sind P, P 0 projektiv und ist R regul¨ ar, so gilt p n %(A) = limn!1 p dimk Hom(P, ⌧ n P 0 ) p n = limn!1 dimk Hom(P, ⌧ n R) = limn!1 n dimk Hom(P, ⌧ n R) .

F¨ ur Abbildungen zwischen regul¨ aren Moduln bewies D. Baer in [6, 3.1] Teil (a) und O. Kerner in [28, 1.1] Teil (b) des folgenden Satzes. Satz 1.4.2 Seien R und R0 zwei von Null verschiedene regul¨ are Moduln. Dann gilt: (a) Es existiert eine Zahl N1 2 ZZ mit Hom(R, ⌧ n R0 ) 6= 0 f¨ ur alle n

N1 .

(b) Es existiert eine Zahl N2 2 ZZ mit Hom(R, ⌧ n R0 ) = 0 f¨ ur alle n N2 . p Bemerkungen (1) Es gilt sogar limn!1 n dimk Hom(R, ⌧ n R0 ) = %(A) (siehe z.B. Anhang in [34]). Dar¨ uberhinaus existiert eine Zahl N3 2 ZZ (siehe [37, 2.3]), so daß Hom(R, ⌧ n R0 ) eine injektive Abbildung enh¨ alt f¨ ur alle n N3 . (2) Es gibt Algebren, die unzerlegbare regul¨are Moduln X besitzen, f¨ ur die eine Zahl s 2 existiert mit Hom(X, ⌧ s X) 6= 0 und Hom(X, ⌧ s+1 X) = 0 (siehe [31]). Einen unzerlegbaren regul¨ aren Modul X nennen wir quasi-einfach, falls es keinen irreduziblen Monomorphismus U ! X gibt f¨ ur einen von Null verschiedenen Modul U . Ist R eine regul¨are Zusammenhangskomponente von (A), so ist R nach 1.3.4 von der Form 3 Eine

Beweisskizze ist im Anhang von [34].

12

... ZZA1 =

c

... c

✓ @ R @ ✓

. . . c c

@ R @ ✓ @ R @

c c

✓ @ R @ ✓

. . . c c

@ R @ ✓ @ R @

c c

✓ @ R @ ✓

. . . c c

@ R @ ✓ @ R @

c

✓ @ R @

c

✓

. . . c c

@ R @ ✓ @ R @

c... c...

Die irreduziblen Abbildungen, die von links unten nach rechts oben verlaufen sind injektiv, die u ¨brigen surjektiv. Somit sitzen quasi-einfache Moduln in (A) am unteren Rand ihrer Zusammenhangskomponente. Ist X quasi-einfach und X ! X(2) ! . . . ! X(s) eine Kette irreduzibler Monomorphismen, so nennen wir s die quasi-L¨ ange und X den quasi-Sockel von X(s). Ist X ein quasi-einfacher Modul und s 2 IN , so gibt es bis auf Isomorphie genau einen Modul X(s) mit quasi-Sockel X und quasi-L¨ange s. Betrachten wir die irreduzibeln Abbildungen in der obigen Kette als Inklusionen, so bilden die kanonischen Projektionen X(s) ! X(s)/X ! . . . ! X(s)/X(s

1)

eine Kette irreduzibler Epimorphismen. Es gilt X(s)/X(i) ⇠ ur 1  i  s 1. Der = ⌧ i X(s i) f¨ ⇠ Modul X(s) ist durch seinen quasi-Top X(s)/X(s 1) = ⌧ (s 1) X und durch seine quasi-L¨ange bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und wird auch mit [s]⌧ (s 1) X bezeichnet. Das Problem, alle Abbildungen zwischen unzerlegbaren regul¨aren Moduln X, Y zu bestimmen, l¨aßt sich nach folgendem, in [40, 4.1] bewiesenen Satz auf den Fall X, Y quasi-einfach zur¨ uckf¨ uhren. Satz 1.4.3 Sei X ein quasi-einfacher Modul und 0 = X(0) ,! X = X(1) ,! X(2) ,! . . . ,! X(s) eine Kette irreduzibler Monomorphismen f¨ ur s

2. Dann gilt f¨ ur jeden unzerlegbaren Modul S:

(a) Ist S nicht isomorph zu X(i)/X(i 1) f¨ ur 1  i  s 1, so l¨ aßt sich jeder Homomorphismus X ! S zu einem Homomorphismus X(s) ! S fortsetzen. (b) Ist S nicht isomorph zu X(i)/X(i 1) f¨ ur 2  i  s, so l¨ aßt sich jeder Homomorphismus S ! X(s)/X(s 1) zu einem Homomorphismus S ! X(s) liften.

Einen Modul X mit End(X) ⇠ ur quasi-einfache Ziegel wurde in [30, = k nennen wir einen Ziegel. F¨ 1.2] folgende Verbesserung von 1.4.2(b) bewiesen: Lemma 1.4.4 F¨ ur einen quasi-einfachen Ziegel X gilt Hom(X, ⌧

n

X) = 0 f¨ ur alle n 2 IN .

Bemerkung Die Voraussetzung quasi-einfach“ ist notwendig, andernfalls ergibt schon eine Kom” position irreduzibler Abbildungen ein Gegenbeispiel. L¨aßt man die Voraussetzung Ziegel“ fallen, ” so kann man (siehe [32, 3.1]) zeigen, daß f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl N ein quasi-einfacher Modul X mit Hom(X, ⌧ N X) 6= 0 existiert. Einen unzerlegbaren Modul X mit Ext(X, X) = 0 nennen wir einen Stein. Das folgende in [22, 4.1] bewiesene Lemma zeigt, daß jeder Stein ein Ziegel ist. Lemma 1.4.5 Sei f : X ! Y eine von Null verschiedene Abbildung zwischen unzerlegbaren Moduln. Gilt Ext(Y, X) = 0, so ist f injektiv oder surjektiv. Die Tits-Form des Dimensionsvektors eines Steins X berechnet sich somit als q(dim X) = dimk Hom(X, X)

dimk Ext(X, X) = 1.

Ein Ergebnis4 von V. Kac besagt, daß die Isomorphieklasse eines unzerlegbaren Moduls X bereits eindeutig durch dim X festgelegt ist, falls q(dim X) = 1 gilt. Aus diesem Grunde gebe ich sp¨ater oft nur dim X an, wenn ich von einem Stein X spreche. Beispiele f¨ ur Steine sind alle unzerlegbaren pr¨ aprojektiven und pr¨ ainjektiven Moduln. In [39, 3.2] wurde bewiesen, daß eine wilde erbliche Algebra A mit n(A) = 2 keine regul¨ aren Steine besitzt. F¨ ur Algebren mit n(A) > 2 gilt nach [42, §1] jedoch: 4 Einen

¨ Uberblick u ¨ber die Orginalarbeiten, die dieses Ergebnis enthalten liefert [26].

13

Lemma 1.4.6 Sei A eine wilde erbliche Algebra mit n(A) > 2. Dann gibt es eine kurze exakte Folge 0 ! A ! T1 ! T 2 ! 0 mit regul¨ aren Moduln T1 , T2 . F¨ u r T = T1

T2 gilt Ext(T, T ) = 0.

M. Hoshino bewies in [25, 2.6], daß f¨ ur die quasi-L¨ange s eines regul¨aren Steins stets s  n(A) 2 gilt. Unter Ausnutzung von 1.4.4 konnte in [30, 1.6] dar¨ uberhinaus auch die Lage regul¨arer Steine innerhalb ihrer Auslander-Reiten Komponente bestimmt werden. Satz 1.4.7 Sei X ein quasi-einfacher Modul und m > 1. Dann sind ¨ aquivalent: (i) X(m) ist ein Ziegel (ii) X(m

1) ist ein Stein

(iii) F¨ ur zwei verschiedene Zahlen i, j mit 0  i, j,  m

1 gilt Hom(⌧ i X, ⌧ j X) = 0.

Ich schließe diesen Paragraphen mit einem von L. Unger in [44, 1.3] bewiesenen Lemma, das f¨ ur einen Spezialfall die Aussage von 1.4.5 verst¨arkt, ab. Lemma 1.4.8 Seien X und Y zwei nicht isomorphe Steine mit Hom(X, Y ) 6= 0 aber Hom(X, ⌧ Y ) = 0. Dann sind alle von Null verschiedenen Abbildungen f : X ! Y injektiv oder surjektiv und es gilt: (a) Ist f injektiv, so ist der Cokern Q von f unzerlegbar und dimk Hom(X, Y ) = 1+dimk Ext1 (Q, Q). (b) Ist f surjektiv, so ist der Kern K von f unzerlegbar und dimk Hom(X, Y ) = 1+dimk Ext1 (K, K).

14

Kapitel 2

Orthogonale Kategorien F¨ ur sp¨ ater stelle ich noch weitere Techniken bereit. Gemeinsam sind ihnen Anwendungen f¨ ur orthogonale Kategorien, dies gab dem Kapitel seinen Namen. Obwohl sich die Kipptheorie in einem sehr allgemeinen Rahmen formulieren l¨aßt (verallgemeinerte Kippmoduln, Kippfunktoren als ¨ Aquivalenzen derivierter Kategorien, . . .), habe ich mich im ersten Abschnitt auf das Notwendigste beschr¨ ankt und zu große Allgemeinheit vermieden. Die Bildung von orthogonalen Kategorien ist nur f¨ ur erbliche Algebren geschildert, da sich hier ein gut u ¨berschaubarer Beweis skizzieren l¨ aßt. Als ersten Zusammenhang zwischen orthogonalen Kategorien, Kipptheorie und EinpunktErweiterungen verweise ich auf Lemma 2.2.5.

2.1

Grundlagen der Kipptheorie

Die Darstellung der Kipptheorie st¨ utzt sich in diesem Abschnitt auf die gemeinsame Arbeit [22] von D. Happel und C. M. Ringel, in der auch s¨amtliche Beweise nachgelesen werden k¨onnen. Im folgendem bezeichne A eine endlich-dimensionale Algebra endlicher globaler Dimension. Zuerst m¨ ochte ich an den Begri↵ Torsionstheorie“ erinnern. Sind F und T zwei volle Unterkategorien ” von mod A f¨ ur die gilt (↵) Ein Modul X ist genau dann in T enthalten, wenn HomA (X, F ) = 0 gilt f¨ ur alle F 2 F. ( ) Erf¨ ullt ein Modul Y die Bedingung Hom(T, Y ) = 0 f¨ ur alle T 2 T , so gilt Y 2 F. so heißt das Paar (F, T ) eine Torsionstheorie. Die Klasse T heißt Torsionsklasse, F entsprechend torsionsfreie Klasse. Die Torsionsklasse ist abgeschlossen gegen Erweiterungen, direkte Summen und epimorphe Bilder. Jede Klasse T von Moduln mit diesen Eigenschaften heißt Torsionsklasse. Durch sie wird eine Klasse F eindeutig bestimmt, so daß (F, T ) eine Torsionstheorie bilden. Eine Torsionstheorie (F, T ) induziert einen Torsionsfunktor t : mod A ! T , indem einem Modul X 2 mod A der eindeutig bestimmte gr¨oßte Untermodul tX, der in T liegt, zugeordnet wird. Wir nennen t auch das Torsionsradikal von (F, T ). Definition Ein Modul T 2 mod (i) proj.

A heißt partieller Kippmodul, falls gilt

dim T  1

(ii) Ext1A (T, T ) = 0. Gilt zus¨ atzlich noch (iii) Es existiert eine exakte Folge 0 ! A ! T1 ! T2 ! 0 mit T1 , T2 2 add T , so sprechen wir von einem Kippmodul. Folgendes Lemma wurde von K. Bongartz bewiesen: Lemma 2.1.1 Zu jedem partiellen Kippmodul X gibt es einen Modul M , so daß T = X Kippmodul ist.

M ein

Der Zusammenhang zwischen partiellen Kippmoduln und Torsionstheorien wird hergestellt durch: Lemma 2.1.2 Ist T ein partieller Kippmodul, so ist G = Gen(T ) eine Torsionsklasse. 15

Ist TA ein Kippmodul mit B = End(TA ), so tr¨agt T eine B-A-Bimodul-Struktur und wir k¨onnen folgende Kippfunktoren definieren: F = HomA (T, ) F 0 = Ext1A (T, ) G = ⌦B T G0 = T or1B ( , T ) Die von T in mod

mod mod mod mod

A A B B

! mod ! mod ! mod ! mod

B B A A

A induzierte Torsionstheorie (F, G) l¨aßt sich auch schreiben als: F G

In mod

: : : :

= =

{X 2 mod {X 2 mod

A | F (X) = Hom(T, X) = 0} A | F 0 (X) = Ext(T, X) = 0}

B haben wir die Torsionstheorie (Y, X ) mit Y X

= =

{X 2 mod {X 2 mod

B | G0 (X) = T or1B (X, T ) = 0} B | G(X) = X ⌦B T = 0} .

Mit dieser Notation k¨ onnen wir nun das Theorem von Brenner-Butler formulieren: Theorem 2.1.3 Sei TA ein Kippmodul mit End(TA ) = B. F¨ ur die oben definierten Funktoren F, F 0 , G, G0 gilt G0 F = GF 0 = 0 und F 0 G = F G0 = 0. Die Kategorien G und Y sind ¨ aquivalent unter der Einschr¨ ankung der Funktoren F und G, die Kategorien F und X sind mittels der Einschr¨ ankungen von F 0 und G0 ¨ aquivalent. Nach Voraussetzung ist die globale Dimension von A endlich. Die globale Dimension von B l¨aßt sich dann absch¨ atzen durch gldim B  gldim A + 1. Insbesondere sind die Coxeter-Matrizen von A und B dann definiert. Satz 2.1.4 F¨ ur einen Kippmodul TA mit B = End(TA ) gibt es eine Isomorphie K0 (B) von Vektorr¨ aumen, die definiert ist durch (dim M ) = dim F (M ) Die Coxeter-Matrix

B

dim F 0 (M ).

von B berechnet sich aus der Coxeter-Matrix B

=

·

A

·

: K0 (A) !

1

A

von A durch

.

Als direkte Folgerung aus diesem Satz und 2.1.1 erhalten wir: Lemma 2.1.5 Ein partieller Kippmodul in mod A ist genau dann ein Kippmodul, wenn er n(A) paarweise nicht isomorphe, unzerlegbare direkte Summanden hat. Ln Beispiel Sei A eine zusammenh¨ angende erbliche Algebra und A = k=1 P (k)nk eine Zerlegung in unzerlegbare, paarweise nicht isomorphe Moduln P (k). Ist P (k0 ) ein einfacher Modul, so bezeichnen wir den Kippmodul M T k0 = P (k) ⌧ P (k0 ) k6=k0

als Auslander-Platzek-Reiten Kippmodul (kurz APR-Kippmodul). Es ist m¨oglich, die Moduln P (k) so zu numerieren, daß Hom(P (i), P (j)) 6= 0 nur f¨ ur i  j vorkommt. Bei einer solchen Nummerierung ist P (1) ein einfacher Modul und A(1) = End(T1 ) eine erbliche Algebra. Der K¨ocher von A(1) entsteht aus dem K¨ ocher von A, indem wir alle Pfeile, die in der Senke 1 enden, umdrehen. Jeden Orientierungswechsel eines K¨ ochers, den wir durch eine endliche Folge solcher Senken” Reflektionen“ erhalten nennen wir einen zul¨ assigen Orientierungswechsel. Der Kippfunktor A ! mod

Hom(T1 , ) : mod

A(1)

sei mit F1 bezeichnet. Der Modul F1 (P (2)) ist in mod A(1) einfach projektiv, wir k¨onnen also so fortfahren. Wir erhalten erbliche Algebren A(k) = End(Tk ) (wir setzen A(0) = A) als Endomorphismenring der APR-Kippmoduln Tk , die zu den einfach projektiven A(k 1) -Moduln Fk 1 . . . F1 (P (k)) korrespondieren f¨ ur 2  k  n. Die in 2.1.4 angegebene Isomorphie k 1 : K0 (A(k 1) ) ! K0 (A(k) ) berechnet sich als ⇢ Pn xk + j=1 dimk Ext(Sj , Sk ) · xj f¨ ur i = k ( k 1 (x))i = xi sonst 16

f¨ ur x 2 ZZ n und k = 1, . . . , n. Da nach [3, 3.7] A(n) ⇠ = A und Fn . . . F1 ⇠ = ⌧A gilt, haben wir somit eine neue M¨ oglichkeit f¨ ur die Berechnung von dim ⌧ X f¨ ur einen Modul X ohne projektive direkte Summanden gefunden. Dies und das duale Verfahren zur Berechnung von dim ⌧ X wende ich in Kapitel 6 ausgiebig an. In [7] wurde das Verfahren unter dem Namen Coxeter-Transformationen ausgearbeitet.

2.2

Orthogonale Kategorien, Einpunkt-Erweiterungen

Sei A eine endlich-dimensionale k-Algebra und X ein partieller Kippmodul in mod A. Die (rechts-) orthogonale Kategorie von X (i.Z. X ? ) sei die volle Unterkategorie von mod A f¨ ur deren Objekte Y Hom(X, Y ) = 0 und Ext1 (X, Y ) = 0 gilt. Die orthogonale Kategorie von X ist eine exakte abelsche Unterkategorie und ¨aquivalent zu einer Modulkategorie u ¨ber einer endlich-dimensionalen Algebra [18, 3.2 & 3.9]. Ich skizziere den Beweis f¨ ur den Spezialfall, daß A eine erbliche Algebra ist und X ein Stein in mod A. Satz 2.2.1 Sei A eine erbliche Algebra und X ein Stein in mod A. Dann ist X ? ¨ aquivalent zu einer Modulkategorie mod C u ur die ¨ber einer endlich-dimensionalen erblichen Algebra C. F¨ R¨ ange der Grothendieck-Gruppen gilt rk K0 (C) = rk K0 (A) 1. Beweisskizze: Ohne Einschr¨ ankung k¨ onnen wir davon ausgehen, daß X kein projektiver Modul ist. Ist n¨ amlich X ⇠ ur ein Idempotent e von A, so ist X ? ¨aquivalent zu mod (A/AeA). = eA f¨ Zuerst konstruiere ich einen projektiven Generator in X ? mit Hilfe der sogenannten BongartzKonstruktion. Sei l = dimk Ext1 (X, A) und (Ei : 0 ! A ! Mi ! X ! 0)1il eine k-Basis von Ext(X, A). Ll Bildet man die direkte Summe i=1 Ei und das Pushout entlang der Summenabbildung l

⌃ : A ! A , (a1 , . . . , al ) 7!

l X

ai ,

i=1

so erh¨ alt man folgendes kommutative Diagramm: 0 0

! !

Al # ⌃ A

! !

Ll

i=1

Mi

# M

! !

Xl k Xl

!

0

!

0

Die untere Folge heißt universelle kurze exakte Folge, da f¨ ur sie der Verbindungshomomorphismus : Hom(X, X l ) ! Ext(X, A) surjektiv ist. Benutzt man dies, so erh¨alt man M 2 X ? und Ext1 (M, Y ) = 0 f¨ ur alle Y 2 X ? . Da sich jeder Homomorphismus A ! Y auf M fortsetzen l¨aßt, ? falls Y 2 X gilt, ist M ein projektiver Generator in X ? . Der Modul M X ist ein Kippmodul in mod A. Nach 2.1.5 besitzt M somit n(A) 1 paarweise nicht isomorphe unzerlegbare direkte Ln(A) 1 Summanden N1 , . . . , Nn(A) 1 . Sei Q = i=1 Ni und C = EndA (Q). Dann ist Q ein minimaler projektiver Generator in X ? und der Funktor H = HomA (Q, ) : X ? ! mod

C

¨ liefert eine Aquivalenz. Die Algebra C ist endlich-dimensional und eine Basisalgebra, da Q minimaler projektiver Generator war. Man u uft leicht, daß C erblich ist. ¨berpr¨ Bemerkung Sei A eine erbliche Algebra und X ein Stein in mod A. Ist ein minimaler projektiver Generator Q von X ? gew¨ ahlt und C = EndA (Q), so bezeichne ich im folgendem den C-Modul HomA (Q, Y ) mit H(Y ) f¨ ur alle Y 2 X ? . Ist A eine zusammenh¨ angende Algebra, so h¨angt es im allgemeinen von der Wahl des partiellen Kippmoduls X ab, ob X ? ¨ aquivalent ist zu einer Modulkategorie u ¨ber einer zusammenh¨angenden oder einer unzusammenh¨ angenden Algebra. Folgender Satz hierzu wurde von H. Strauß in [43, 6.2, 6.5] bewiesen. Satz 2.2.2 Sei A eine zusammenh¨ angende erbliche Algebra vom unendlichen Darstellungstyp. Ist X ein quasi-einfacher regul¨ arer Stein und X ? ⇠ = mod C, so gilt: (a) Die Algebra C ist eine zusammenh¨ angende Algebra.

17

(b) Die Algebra C ist genau dann wild (zahm), wenn A wild (zahm) ist. Sind A und A0 zwei zusammenh¨ angende Algebren, so sagen wir A dominiert A0 , falls es einen partiellen Kippmodul X in mod A gibt mit X ? ⇠ uberhinaus rk K0 (A0 ) = = mod A0 . Gilt dar¨ 0 rk K0 (A) 1, so sagen wir A dominiert unmittelbar A . F¨ ur Algebren, deren K¨ ocher keine orientierte Zyklen haben, sind Einpunkt-Erweiterungen eine n¨ utzliche Technik. Sei A eine endlich-dimensionale Algebra endlicher globaler Dimension. F¨ ur einen Modul M 2 mod A ist die Einpunkt-Erweiterung A[M ] von A mit M definiert als die Algebra  k M A[M ] = 0 A mit der Multiplikation 

m1 a1

1

0

·



2

0

m2 a2

=



1 2

1 m2

+ m1 a2 a1 a2

0

,

f¨ ur a1 , a2 2 A ,m1 , m2 2 M und 1 , 2 2 k. Die Kategorie mod A[M ] ist ¨aquivalent zu folgender Kategorie: Die Objekte sind Tripel (V! , V0 , ) mit V! 2 mod k, V0 2 mod A und einer k-linearen Abbildung : V! ! HomA (M, V0 ). Ein Morphismus von (V! , V0 , ) nach (W! , W0 , ) ist ein Paar (f, g) von einer k-linearen Abbildung f : V! ! W! und einer A-linearen Abbildung g : V0 ! W0 , f¨ ur das folgendes Diagramm kommutiert: V! # f

W!

! !

HomA (M, V0 ) # Hom(M, g)

HomA (M, W0 )

Im folgendem identifiziere ich mod A[M ] mit dieser Kategorie. Die Kategorie mod wir dann mit dem Bild der vollen exakten Einbettung mod

A ,! mod

A[M ] , V0 7! (0, V0 , 0)

identifizieren. Zur Vereinfachung der Notation schreibe ich | dieser Vereinbarung schreibt sich ein anderer Funktor als ¯: mod

A ! mod

A k¨onnen

| f¨ ur den Funktor HomA (M, ). Mit

A[M ] , X 7! (|X|, X, 1|X| ) , f 7! (|f |, f ).

Dieser Funktor ist ebenfalls eine volle Einbettung, im allgemeinen jedoch nicht exakt. Folgender Satz zeigt die Bedeutung, die diesem Funktor zukommt. f

Satz 2.2.3 Sei 0 ! X ! Y

g

! Z ! 0 eine Auslander-Reiten Folge in mod

¯ 0 !X eine Auslander-Reiten Folge in mod

(1|X| ,f )

A. Dann ist

(0,g)

! (|X|, Y, |f |) ! Z ! 0

A[M ].

Der K¨ ocher von A[M ] entsteht aus dem K¨ocher Q0 von A durch Hinzunahme einer Quelle !. '$ Y H ..H b Q0 . ! ⇡ &% Ist S(a) der einfache Modul zu a 2 Q0 , so zeichnen wir

dimk Ext1A[M ] (S(!), S(a)) = dimk HomA (M, S(a)) Pfeile von ! nach a. Der K¨ ocher muß eventuell danach noch mit (zus¨atzlichen) Relationen (die in ! starten) versehen werden. Die Cartan- und Coxeter-Matrix von A[M ] berechnet sich nach [41, 2.5(10)] aus der Cartan- und Coxeter-Matrix von A wie folgt: Satz 2.2.4 Sei A eine Algebra endlicher globaler Dimension, CA die Cartan- und Matrix von A. Sei M ein A-Modul und m = dim M . 18

A

die Coxeter-

(a) Die Cartan-Matrix von A[M ] berechnet sich als  CA CA[M ] = 0

mt 1

.

(b) Die Coxeter-Matrix von A[M ] lautet A[M ]

=



A

m

A

CA t mt q(m) 1

.

Eine Algebra B heißt eine Kippalgebra vom Typ A, wenn es eine erbliche Algebra A gibt, die einen Kippmodul TA besitzt mit EndA (T ) ⇠ = B. Die Algebra A ist bis auf einen zul¨assigen Orientierungswechsel eindeutig (siehe [41, §4.2]). Einen in [27, §1] beobachteten Zusammenhang zwischen orthogonalen Kategorien und EinpunktErweiterungen notiere ich als Lemma, da ich sp¨ater h¨aufig hiervon Gebrauch machen werde. Lemma 2.2.5 Sei A eine wilde erbliche Algebra, X ein quasi-einfacher Stein in mod A und Q ein minimaler projektiver Generator in X ? . Mit A0 sei der Endomorphismenring von Q bezeichnet und M sei der A0 -Modul H([2]X). Dann gilt EndA (X Der Modul X

Q) ⇠ = A0 [M ].

Q ist ein Kippmodul, insbesondere ist A0 [M ] eine Kippalgebra vom Typ A.

Beweis: Aus dem Beweis von 2.2.1 folgt, daß X Q ein Kippmodul ist. Der Endomorphismenring berechnet sich als  EndA (X) HomA (Q, X) ⇠ EndA (X Q) = . HomA (X, Q) EndA (Q)

Da Q 2 X ? ist, gilt Hom(X, Q) = 0. Der Endomorphismenring des Steins X ist nach 1.4.5 isomorph zu k. Wenden wir den Funktor Hom(Q, ) auf die Auslander-Reiten Folge 0 ! ⌧ X ! [2]X ! X ! 0 an, so erhalten wir den A0 -Isomorphismus M = HomA (Q, [2]X) ⇠ = HomA (Q, X).

2.3

Kipptheorie wilder erblicher Algebren

F¨ ur eine erbliche Algebra A, einen Kippmodul TA mit B = End(T ) ist (B) vollst¨andig bekannt. Das Problem, die Auslander-Reiten Folgen in mod B zu bestimmen, konnte in [5, 22, 24] als Problem in mod A formuliert werden. Ist A darstellungsendlich oder zahm, so ist mod A vollst¨ andig bekannt. Dies erm¨ oglichte es die Kippalgebren vom endlichen und zahmen Darstellungstyp vollst¨ andig zu beschreiben (siehe [41]). Da zu diesem Zeitpunkt u ¨ber wilde erbliche Algebren nur ¨ wenig bekannt war, herrschte die Uberzeugung, daß in naher Zukunft hier keine L¨osung zu erwarten sei. C.M. Ringel konnte f¨ ur wilde erbliche Algebren in [42] zeigen, daß, mit Ausnahme der Verbindungskomponente, jede regul¨ are Komponente von (B) quasi-seriell ist. H. Stauß zeigte in [43], daß (B) sowohl eine pr¨ aprojektive als auch eine pr¨ainjektive Komponente besitzt. Ein von O. Kerner in [28] entwickelter Reduktionsalgorithmus“ erlaubte es, sich ohne Einschr¨ankung ” der Allgemeinheit auf Kippmoduln T ohne pr¨ainjektive direkte Summanden zu beschr¨anken. F¨ ur einen Kippmodul T ohne pr¨ ainjektive direkte Summanden zeigte er, daß alle regul¨aren Komponenten in Y(T ) von der Gestalt ZZA1 sind. Nachdem er in [29] f¨ ur Algebren A mit n(A) = 3 den K¨ ocher (B) vollst¨ andig beschreiben konnte, l¨oste er das allgemeine Problem in [30]. ¨ Da die Beschreibung der vollst¨ andigen L¨osung den Rahmen dieses Uberblicks sprengen w¨ urde, beschr¨ anke ich mich auf die Beschreibung der regul¨aren Komponenten. Ebenso u ¨bergehe ich den Reduktionsalgorithmus“, der in dieser Arbeit nicht ben¨otigt wird. ” Eine Torsionstheorie (F, T ) in mod A heißt eine zerfallende Torsionstheorie, wenn jeder unzerlegbare Modul X 2 mod A in F [ T enthalten ist. F¨ ur den Rest dieses Paragraphen bezeichne A eine erbliche Algebra, TA einen Kippmodul mit B = End(T ). F¨ ur die von T in mod B induzierte Torsionstheorie (Y(T ), X (T )) gilt nach [22, 6.3]: Theorem 2.3.1 Die Torsionstheorie (Y(T ), X (T )) ist eine zerfallende Torsionstheorie in mod B. 19

Die unzerlegbar-projektiven B-Moduln sind isomorph zu direkten Summanden von F (T ). Die unzerlegbar-injektiven B-Moduln erh¨ alt man folgendermaßen: Sei Ti ein unzerlegbarer direkter Summand von T . Ist Ti nicht projektiv, so ist ⌧ Ti 2 F(T ) und ¨ F 0 (⌧ Ti ) injektiv in mod B. Ist Ti = P (a) eine projektive Uberlagerung eines einfachen Moduls S(a) und I(a) eine injektive H¨ ulle von S(a), so ist F (I(a)) injektiv. Auf diese Weise erh¨alt man bis auf Isomorphie alle unzerlegbar injektiven B-Moduln. Ist I(a) unzerlegbar injektiv und P (a) nicht zu einem direkten Summanden von T isomorph, so wird die Auslander-Reiten Folge in mod B, die in F (I(a)) startet, durch das in [22, 6.2] bewiesene Verbindungslemma beschrieben. Lemma 2.3.2 Ist I(a) injektiv und P (a) nicht zu einem direkten Summanden von T isomorph, so ist 0 ! F (I(a)) ! F (I(a)/soc I(a)) F 0 (rad P (a)) ! F 0 (P (a)) ! 0 eine Auslander-Reiten Folge in mod

B.

Die in 2.3.2 angegebenen Auslander-Reiten Folgen heißen Verbindungsfolgen. Alle unzerlegbaren Moduln, die in Verbindungsfolgen vorkommen, liegen in einer Zusammenhangskomponente von (B), die Verbindungskomponente (bzg. (A, TA )) genannt wird. Folgendes Theorem wurde in [22, 6.5] bewiesen: Theorem 2.3.3 Sei 0 !X !Y

!Z !0

eine Auslander-Reiten Folge in mod B. Dann sind entweder alle Moduln X, Y, Z in Y(T ), alle in X (T ) oder die Folge ist eine Verbindungsfolge. Ich beschr¨ anke mich auf die Beschreibung der Komponenten in Y(T ), die Beschreibung der Komponenten in X (T ) ist dual. Der n¨ achste Satz folgt unmittelbar aus den Arbeiten [5, 24]. Auf die Methoden, die f¨ ur seinen Beweis benutzt wurden, gehe ich hier nicht ein. Satz 2.3.4 Sei A eine wilde erbliche Algebra, TA ein Kippmodul mit B = End(TA ) und t das Torsionsradikal von (F(T ), G(T )). Ist X 2 G(T ) ein unzerlegbarer Modul und F (X) nicht projektiv in mod B, so gilt: (a) Der Modul t⌧A X ist unzerlegbar. (b) Ist f

0 ! ⌧X ! Y eine Auslander-Reiten Folge in mod 0 ! F (t⌧A X) eine Auslander-Reiten Folge in mod

g

!X !0

A, so ist F (t(f ))

! F (tY )

F (t(g))

! F (X) ! 0

B.

Bevor ich mich auf wilde erbliche Algebren beschr¨anke, m¨ochte ich noch folgendes von H. Stauß in [43, 7.7] bewiesene Theorem notieren. Theorem 2.3.5 Jede Kippalgebra hat mindestens eine pr¨ aprojektive und eine pr¨ ainjektive Komponente. Sei von nun an A eine wilde erbliche Algebra. Nach 1.4.6 gibt es regul¨are Kippmoduln, falls n(A) > 2 gilt. F¨ ur einen regul¨ aren Kippmodul T ist die Verbindungskomponente in mod B eine regul¨ are Komponente. Ist Q der K¨ ocher von A, so ist sie von der Form ZZQ⇤ . Die m¨oglichen Formen aller u aren Komponenten wurden in [42, §3] bestimmt: ¨brigen regul¨ Theorem 2.3.6 Sei A eine wilde erbliche Algebra, TA ein Kippmodul mit B = End(TA ). Dann sind, mit Ausnahme der Verbindungskomponente, alle regul¨ aren Komponenten in (B) quasiseriell. F¨ ur einen unzerlegbaren Modul X bezeichnen wir mit (! X) (bzw. (X !)) alle Vorg¨anger (bzw. Nachfolger) von [X] in der Zusammenhangskomponente des Auslander-Reiten K¨ochers, die [X] enth¨ alt. Die folgende Argumentation entnehme ich aus [28, §2]. F¨ ur einen Kippmodul TA ohne pr¨ ainjektive direkte Summanden gibt es nach 1.4.2(b) f¨ ur jeden quasi-einfachen Modul RA eine Zahl N 2 IN mit Ext(T, ⌧ n R) ⇠ = D Hom(⌧ n R, ⌧ T ) = 0, 20

f¨ ur alle n N . Unter Benutzung von 1.4.3 erh¨alt man (! ⌧ N R) ⇢ G(T ). Nach 2.3.4 ist also N F (! ⌧ R) = (! F (⌧ N R)). Setzen wir voraus, daß [F (⌧ N R)] in einer regul¨aren Komponente liegt, die von der Verbindungskomponente verschieden ist, so muß diese Komponente also nach 2.3.6 von der Form ZZA1 sein. Die Menge der regu¨aren Komponenten von (B), die in Y(T ) enthalten sind und einen Kegel F (! ⌧ R) enthalten, sei mit Rc bezeichnet. Nach [28, 2.3] gilt: Satz 2.3.7 Sei TA ein Kippmodul ohne pr¨ ainjektive direkte Summanden. Dann ist jede regul¨ are Komponente in Y(T ) bereits in Rc enthalten. ¨ Ein ebenfalls in [28] entwickelter Reduktionsalgorithmus“ beschreibt, welche Anderungen sich ” ergeben, falls T pr¨ ainjektive direkte Summanden enth¨alt. Obwohl ich diesen Algorithmus hier nicht angebe, beschr¨ anke ich mich im folgendem auf Kippmoduln TA ohne pr¨ainjektive direkte Summanden. Sei T = Tp T1 eine Zerlegung von T , so daß F (Tp ) pr¨aprojektiv in mod B ist und F (T1 ) keinen pr¨ aprojektiven direkten Summanden enth¨alt. Mit dieser Bezeichnung gilt nach [30, Theorem 1]: Theorem 2.3.8 Sei A eine (zusammenh¨ angende) wilde erbliche Algebra, T = Tp T1 ein Kippmodul ohne pr¨ ainjektive direkte Summanden, B = End(T ) und C = End(Tp ). Dann existiert f¨ ur jede Komponente C in Y(T ), die verschieden von der Verbindungskomponente ist, ein unzerlegbarer Modul Z 2 C, so daß (Z ! ) in mod C ist. F¨ ur die genaue Beschreibung der Komponenten, die projektive Moduln, die nicht pr¨aprojektiv sind, enth¨ alt, verweise ich auf Theorem 2 in [30].

2.4

Wachstumszahl und Hochschild-Cohomologie wilder erblicher Algebren

F¨ ur eine wilde erbliche Algebra A und einen quasi-einfachen Stein XA haben wir in 2.2.2 gesehen, daß X ? ⇠ ur eine wilde erbliche Algebra C gilt. A-priori wissen wir bis jetzt nur, daß = mod C f¨ n(C) = n(A) 1 gilt. Als weitere notwendige Bedingung f¨ ur C wurde in [27, 2.2] bewiesen, daß f¨ ur die Wachstumszahlen %(A)  %(C) gelten muß. Ich werde einer Beweisidee von O. Kerner folgen, die auf Theorem 2.3.8 aufbaut. Anschließend definiere ich die Hochschild-Cohomologie endlich-dimensionaler Algebren. Im Falle einer erblichen Algebra lassen sich die Dimensionen der Hochschild-Cohomologie Gruppen nach [20] kombinatorisch aus dem K¨ ocher der Algebra berechnen. In Abschnitt 3.2 werden wir dann sehen, daß die Hochschild-Cohomologie eine weitere notwendige Bedingung f¨ ur C liefert. Sei A eine wilde erbliche Algebra und XA ein quasi-einfacher Stein. Im Beweis von 2.2.1 haben wir einen projektiven Generator M von X ? konstruiert. F¨ ur C = End(M ) gilt X ? ⇠ = mod C. Nach Konstruktion ist T = X M ein Kippmodul ohne pr¨ainjektive direkte Summanden. Ich bezeichne wie u uft leicht, daß F (M ) ¨blich End(T ) mit B und den Kippfunktor Hom(T, ) mit F . Man u ¨berpr¨ pr¨ aprojektiv in mod B ist, nicht jedoch F (X). Die unzerlegbar injektiven B-Moduln I sind entweder in X (T ) enthalten, oder sie liegen in Y(T ) und sind Bestandteil der Verbindungskomponente. Ist U 2 Y(T ), so gilt also HomB (I, U ) = 0 falls I 2 X (T ), ansonsten HomB (U, I) = 0. F¨ ur zwei Moduln U, V 2 Y(T ) gilt also Hom(U, V ) = Hom(U, V ). Die Isomorphie ⌧ : Hom(U, V ) ! Hom(⌧ U, ⌧ V ) liefert somit die Ungleichung dimk Hom(U, V ) dimk Hom(⌧B U, ⌧B V ). Sei nun C eine regul¨are Komponente in Y(T ). Nach 2.3.8 gibt es einen quasieinfachen Modul Y 2 C mit (Y !) ⇢ mod C. F¨ ur diesen Modul existiert nach 2.3.7 eine Zahl N 2 IN , so daß f¨ ur ⌧BN Y = F (Z) gilt F (! Z) = (! F (Z)). Die Ungleichung |HomA (Z, ⌧An Z)| = |HomB (⌧BN Y, ⌧Bn+N Y )|  |HomB (⌧B n Y, Y )| = |HomC (⌧C n Y, Y )| liefert bei Grenz¨ ubergang n ! 1 die Absch¨atzung %(A)  %(C) (siehe Bemerkung (1) nach 1.4.2). Satz 2.4.1 Sei A eine zusammenh¨ angende wilde erbliche Algebra, X 2 mod A ein quasi-einfacher Stein. Ist X ? ⇠ = mod C, so gilt %(A)  %(C). Als n¨ achstes Hilfsmittel definiere ich die Hochschild-Cohomologie endlich-dimensionaler Algebren. Ich orientiere mich hierbei an [9]. Bezeichne A⇤ die Oppositalgebra von A. Das Tensorprodukt Ae = A⇤ ⌦ k A 21

bekommt mittels

(a ⌦ b) · (a0 ⌦ b0 ) = (a0 a) ⌦ (bb0 )

a, a0 2 A⇤ , b, b0 2 A

eine Struktur als Algebra. Diese Algebra nennt man die einh¨ ullende Algebra von A. Einen A-ABimodul A XA k¨ onnen wir als Ae -Modul schreiben, indem wir f¨ ur x 2 X und a 2 A⇤ , b 2 A x · (a ⌦ b) = a · x · b definieren. Die Gruppe ExtiAe (A, A) bezeichne ich kurz mit H i (A). Sie heißt die i-te HochschildCohomologie Gruppe von A. Die 0-te Hochschild-Cohomologie Gruppe von A ist isomorph zum Zentrum der Algebra A. Ist A eine zusammenh¨angende erbliche Algebra, so ist H 0 (A) somit als Vektorraum isomorph zu k. Sei nun Q ein (nicht notwendig zusammenh¨angender) endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen. Ist ↵ : a ! b ein Pfeil in Q, so bezeichne ich die Dimension von s(↵)Ae(↵) mit ⌫(↵). Mit dieser Notation gilt nach [20, §1.6]: Lemma 2.4.2 Sei Q ein K¨ ocher ohne orientierte Zyklen, der n Punkte hat und in d Zusammenhangskomponenten zerf¨ allt. Dann berechnen sich die Dimensionen der Hochschild-Cohomologie Gruppen der Wegealgebra kQ als 8 i=0 < Pd d n + ↵2Q1 ⌫(↵) i = 1 . dimk H i (kQ) = : 0 i 2 Ist Q ein zusammenh¨ angender K¨ ocher ohne orientierte Zyklen, so entnimmt man der Formel sofort, daß H 1 (A) = 0 genau dann gilt, wenn Q ein Baum ist.

22

Kapitel 3

Das charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix einer Algebra In diesem Kapitel zeige ich, daß das charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix einer Algebra, im folgendem kurz mit Coxeter-Polynom bezeichnet, eine n¨ utzliche Invariante ist. Aus den Koeffizienten des Coxeter-Polynoms einer zusammenh¨angenden erblichen Algebra k¨onnen wir die Hochschild-Cohomologie ablesen. Der dritte Paragraph zeigt, daß diese linearen Hilfsmittel bereits eine gute Vorstellung des dominierenden Verhaltens vermitteln.

3.1

Das Coxeter-Polynom ist reziprok

Die Ergebnisse dieses Paragraphens sind allgemein bekannt. Lemma 3.1.1 Sei A eine endlich-dimensionale Algebra endlicher globaler Dimension mit n = n(A). Dann gilt f¨ ur das charakteristische Polynom (x) = det(xE ) der Coxeter-Matrix von A die Gleichung (x) = xn (x 1 ). Beweis: Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung xE

=

x (x

1

1

E

)

die Determinantenfunktion an, so erhalten wir (x) = ( x)n · det

·

1

(x

1

) = xn ·

1

(x

1

),

wobei die letzte Gleichung ausnutzt, daß det = det ( C t C 1 ) = ( 1)n mit der Cartan-Matrix C ist. Die Behauptung folgt nun aus der Gleichung t = C 1 1 C, die zeigt, daß (x) und 1 (x) identisch sind. Ein Polynom f , das wie ein Coxeter-Polynom der Gleichung f (x) = xdeg f f (x 1 ) gen¨ ugt, nennen wir ein reziprokes Polynom. Aus der Definition folgt sofort, daß ein Produkt reziproker Polynome ebenfalls reziprok ist. Pn Lemma 3.1.2 Sei f (x) = k=0 ak xk ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad n. Dann sind folgende Eigenschaften aquivalent: ¨ (i) f ist ein reziprokes Polynom. (ii) Es gilt ak = an u ¨r k = 0, . . . n.

k

f

(iii) Ist ↵ 2 C I eine Wurzel von f , so ist ↵

1

eine Wurzel von f gleicher Vielfachheit.

Beweis: Die Gleichung xn f (x

1

)=

n X

k=0

23

an

kx

n

zeigt, daß (i) und (ii) ¨ aquivalent sind. Seien nun ↵1 , . . . , ↵k die paarweise verschiedenen Wurzeln von f mit der Vielfachheit d1 , . . . , dk . Die Implikation (i) ) (ii) folgt dann aus der Gleichung k Y

(x

↵i )di = f (x) = xn

i=1

k Y

1

(x

↵ i ) di =

i=1

k Y

( ↵i )di (x

↵ i 1 ) di

i=1

Gilt (iii) so l aßt sich f als Produkt der reziproken Polynome ¨ (x

↵ i 1 ) di

↵i )di (x

schreiben, ist also reziprok.

3.2

Bedeutung der Koeffizienten des Coxeter-Polynoms

Der n¨ achste Satz stellt einen Zusammenhang zwischen der Spur der Coxeter-Matrix und der Hochschild-Cohomologie der Algebra her. Satz 3.2.1 Sei Q ein K¨ ocher ohne orientierte Zyklen mit n Punkten. Ist kQ (t)

= tn + a 1 t n

1

+ . . . + an

das Coxeter-Polynom der Wegealgebra kQ, dann gilt a1 = dimk H 0 (kQ)

dimk H 1 (kQ).

Beweis: Wir f¨ uhren den Beweis durch vollst¨andige Induktion nach der Anzahl n der Punkte des K¨ ochers. F¨ ur n = 1 ist H 0 (k ·) = 1, H 1 (k ·) = 0 und somit die Aussage richtig, da = ( 1) also (t) = t + 1. Sei nun Q ein K¨ ocher mit n + 1 Punkten und ! eine Quelle in Q. Den vollen Unterk¨ocher von Q mit den Punkten Q0 \ {!} bezeichnen wir mit Q0 . Der K¨ocher Q hat somit folgende Gestalt '$ ↵1 YH H .. b Q0 . ! ⇡ &% ↵r wobei ↵1 , . . . , ↵r die Pfeile bezeichnen, Lrdie in ! starten. Das Radikal M = rad P (!) l aßt sich dann schreiben als M = ¨ i=1 P (e(↵i )), und die Wegealgebra kQ ist isomorph zur Einpunkt-Erweiterung kQ0 [M ]. Nach 2.2.4 berechnet sich die Coxeter-Matrix von kQ aus der Coxeter-Matrix 0 von kQ0 als  t 0 C 0 mt = , 0 m q(m) 1 mit m = dim M und C 0 als Cartan-Matrix von kQ0 . Somit gilt a1

= =(1) =(2) = =

tr 0 q(m) + 1 dimk H 0 (kQ0 ) dimk H 1 (kQ0 ) q(m) P +1 dimk H 0 (kQ0 ) (dimk H 0 (kQ0 ) n + ↵2Q0 ⌫(↵)) q(m) + 1 1 P q(m) n+1 ↵2Q01 ⌫(↵) P dimk H 0 (kQ) (dimk H 0 (kQ) (n + 1) + ( ↵2Q0 ⌫(↵) + q(m))), 1

wobei (1) nach Induktionsannahme und (2) nach 2.4.2 gilt. Es bleibt zu zeigen, daß X X ⌫(↵) + q(m) = ⌫(↵) ↵2Q01

↵2Q1

ist. Dies ist richtig, da sich q(m) berechnet als Lr 1 q(m) = dim Pr k Hom( i=1 P (e(↵i )), M ) + dimk Ext (M, M ) = Pi=1 dimk Hom(P (e(↵i )), M ) r = i=1 dimk Hom(P (e(↵i )), P (!)), 24

wobei wir bei der letzten Gleichung benutzt haben, daß Homomorphismen P (e(↵i )) ! P (!) in das Radikal M von P (!) abbilden. Der Vektorraum HomA (e(↵i )A, !A) ist kanonisch isomorph zum Vektorraum !Ae(↵i ) mittels der linearen Abbildung, die ein Element !ae(↵i ) auf die A-lineare Abbildung schickt, die e(↵i ) auf !ae(↵i ) abbildet. Wie mir D.P Happel inzwischen mitteilte, hat er allgemeiner f¨ ur eine Algebra A endlicher globaler Dimension i2IN0 ( 1)i H i (A) = tr A gezeigt. Nun sind wir in der Lage, einen Satz, der von Happel in [21, 1.10] bewiesen wurde, wesentlich elementarer zu beweisen. Korollar 3.2.2 Sei A eine wilde erbliche Algebra, X ein quasi-einfacher Stein in mod minimaler projektiver Generator in X ? mit A0 = EndA (Q). Dann gilt

A und Q

dimk H 1 (A0 ) = dimk H 1 (A) + dimk Ext1 ([2]X, [2]X). Beweis: Mit M bezeichnen wir den Modul H([2]X) in mod A0 . Die Einpunkt-Erweiterung A0 [M ] ist nach 2.2.5 eine Kippalgebra vom Typ A, also ist die Coxeter-Matrix von A nach 2.1.4 konjugiert zu der Coxeter-Matrix von A0 [M ]. Diese berechnet sich nach 2.2.4 als  CA0t mt A0 A0 [M ] = m A0 q(m) 1 aus der Cartan-Matix CA0 und der Coxeter-Matrix A0 von A0 , wobei m = dim M der Dimensionsvektor von M in mod A0 ist. F¨ ur die Koeffizienten a1 , c1 der Coxeter-Polynome A (t) A0 (t)

tn + a 1 tn 1 + . . . + a n tn 1 + c 1 tn 2 + . . . + c n

= =

1

von A und A0 gilt also c1 = a1 (1 q(m)). Da [2]X ein Ziegel ist, erhalten wir 1 dimk Ext1 ([2]X, [2]X). Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.2.1. Folgende Verallgemeinerung des obigen Korollars liegt nun nahe: Sei A eine wilde erbliche Algebra, X ein quasi-einfacher Stein in mod f¨ ur 1  i  r und X ? ⇠ = mod A0 . Wie oben seien A (t) A0 (t)

tn + a 1 tn 1 + . . . + a n tn 1 + c 1 tn 2 + . . . + c n

= =

q(m) =

A mit Ext1 ([i]X, [i]X) = 0

1

die Coxeter-Polynome von A und A0 . Gilt cr = ar dimk Ext1 ([r + 1]X, [r + 1]X) ? Obwohl bisher alle Beispiele darauf hinweisen, daß diese Vermutung richtig ist, kann ich sie bisher nur f¨ ur r = 2 beweisen. Satz 3.2.3 Sei A eine wilde erbliche Algebra, X 2 mod A ein quasi-einfacher Stein mit Ext([2]X, [2]X) = 0. Sei Q ein minimaler projektiver Generator in X ? , A0 = EndA (Q) und seien A (t) A0 (t)

tn + a 1 tn 1 + . . . + a n tn 1 + c 1 tn 2 + . . . + c n

= =

1

die Coxeter-Polynome von A und A0 . Dann gilt c1 = a1 und dimk Ext1A ([3]X, [3]X)

c2 = a2

F¨ ur den Beweis ist folgendes Lemma hilfreich: Lemma 3.2.4 Sei M = (mi,j )1i,jn eine n ⇥ n-Matrix mit mn,n = 0 und sei N = (ni,j )1i,jn definiert durch ⇢ 0 i = n oder j = n ni,j = mi,j sonst Dann gilt f¨ ur die charakteristischen Polynome det (tEn det (tEn von M und N : c1 = a1 und c2 = a2

M) N) Pn

= =

1 k=1

tn + a 1 tn tn + c 1 t n

mn,k mk,n .

25

1 1

+ . . . + an + . . . + cn

Beweis: Da mn,n = 0 gilt, ist a1 = [17, IV,§5]) zeigt, daß 2a2 = tr M 2 daß

tr M = tr N = c1 . Das Verfahren von Faddejew“ (siehe ” a21 gilt und entsprechendes f¨ ur c2 . Es gen¨ ugt also zu zeigen,

tr M 2 = tr N 2 + 2

n X1

mn,k mk,n

k=1

gilt. Hierzu schreiben wir M als M = N + B mit B = M

N . Dann gilt

tr M 2 = tr N 2 + 2tr (N B) + tr B 2 , und man sieht leicht, daß tr N B = 0 und tr B 2 = 2

Pn

1 k=1

mn,k mk,n gilt.

Beweis von 3.2.3: Der A0 -Modul M = H([2]X) ist quasi-einfach in mod

A0 und es gilt

Ext1A ([3]X, [3]X) ⇠ = Ext1A0 ([2]M, [2]M ) ⇠ = Ext1A0 (⌧A0 M, M ). Die Einpunkt-Erweiterung A0 [M ] ist eine Kippalgebra vom Typ A, die Coxeter-Matrizen und A sind also konjugiert zueinander nach 2.1.4. Die charakteristischen Polynome von und A sind identisch. Nach 2.2.4 berechnet sich A0 [M ] als A0 [M ]

=



A0 [M ]

CA0t mt q(m) 1

A0

m

A0 [M ]

A0

mit m = dim M , A0 als Coxeter- und CA0 als Cartan-Matrix von A0 . Diese Matrix erf¨ ullt die Bedingungen von 3.2.4, da q(m) 1 = 0 ist, und es gilt f¨ ur das euklidische Standard-Skalarprodukt ( m

3.3

A0 ,

CA0t mt )

= = = =

hdim ⌧A0 M, M i (dimk HomA0 (⌧A0 M, M ) dimk ExtA0 (⌧A0 M, M ) dimk ExtA ([3]X, [3]X)

dimk ExtA0 (⌧A0 M, M ))

Anwendungen und Beispiele

In diesem Paragraphen definiere ich den Graphen des dominierenden Verhaltens wilder erblicher Algebren. Bisherige Ergebnisse liefern erste Aussagen u ¨ber seine Struktur und zeigen seine Aussagekraft. Im zweiten Teil leite ich eine Ungleichung her, die einen Zusammenhang zwischen der Wachstumszahl und der Hochschild-Cohomologie liefert. Ein Beispiel zeigt, daß es verschiedene K¨ ocher mit identischen Coxeter-Polynomen gibt. Das dominierende Verhalten wilder erblicher Algebren veranschauliche ich durch folgenden Graphen . Die Punkte von seien die Isomorphieklassen (zusammenh¨angender) wilder erblicher Algebren. F¨ ur zwei Punkte [A], [A0 ] gebe es einen Pfeil [A] ! [A0 ], falls A die Algebra A0 unmittelbar dominiert. Bemerkung Der entsprechende Graph f¨ ur zahme erbliche Algebren ist in [18, §10] abgebildet. Auf¨ fallend ist hier eine Ubereinstimmung mit dem Degenerations-Schema f¨ ur einfache Singularit¨aten di↵erenzierbarer Abbildungen (vgl. z.B. mit [1, Seite 76]). Erste Eigenschaften des Graphen (1) In §1.4 haben wir gesehen, daß eine wilde erbliche Algebra A genau dann regul¨are Steine besitzt, wenn n(A) > 2 gilt. Somit ist ein Punkt [A] genau dann eine Senke in , falls n(A) = 2 gilt. (2) Sei c die reelle Nullstelle des Polynoms X 3 X 1. In [45] bestimmte Ch. Xi alle wilden erblichen Algebren A mit %(A) < c. Es sind dies die Wegealgebren der K¨ocher ˜ ˜7 = c E

c

T2,3,n = c

c

c

c

c

1

c

c

c

c

c

...

2

c c

n-1

26

c

(n

8) .

˜˜ ) < c gilt und %(kT Bereits in [46] ist gezeigt worden, daß %(k E ur n 8. Dar¨ uber hinaus 7 2,3,n ) < c f¨ zeigte Y. Zhang, daß %(kT2,3,n ) < %(kT2,3,n+1 ) gilt f¨ ur n 8 und limn!1 %(kT2,3,n ) = c ist. Mit Hilfe von 2.4.1 sieht man nun leicht, daß die Algebren kT2,3,n f¨ ur n 8 Quellen in sind. (3) Ist [A] ! [A0 ] ein Pfeil in , so gilt n(A0 ) = n(A) 1 nach Definition und dimk H 1 (A0 ) dimk H 1 (A) aufgrund von 3.2.2. Lemma 2.4.2 zeigt, daß diese beiden Bedingungen nur von endlich vielen Algebren erf¨ ullt werden k¨ onnen. Somit enden in jedem Punkt von nur endlich viele Pfeile. (4) Gilt dimk Ext([2]X, [2]X) 6= dimk Ext([2]X 0 , [2]X 0 ) f¨ ur zwei quasi-einfache Steine X und X 0 so 0? ⇠ sind die Algebren C, C 0 mit X ? ⇠ mod C, X mod C 0 nach 3.2.1 nicht isomorph. In [34] = = wurde gezeigt, daß eine wilde erbliche Algebra A mit n(A) > 2 f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl N einen quasi-einfachen Stein X mit dimk Ext([2]X, [2]X) N besitzt. Somit starten in jedem Punkt von , der keine Senke ist, unendlich viele Pfeile. (5) Am Ende von §2.4 haben wir bemerkt, daß ein K¨ocher Q genau dann ein Baum ist, falls H 1 (kQ) = 0 gilt. Als Folgerung konnte D. Happel, nachdem er 3.2.2 bewiesen hatte, somit notieren, daß ein Vorg¨ anger von einem Baum stets ein Baum ist. ¨ (6) Folgende Uberlegung verdeutlicht die Information, die in unserem Graphen steckt. Sei A ! A0 ein Pfeil in und seien A (t) A0 (t)

tn + a 1 t n 1 + . . . + a n tn 1 + a01 tn 2 + . . . + a0n

= =

1

die Coxeter-Polynome von A und A0 . Nach Definition existiert ein quasi-einfacher Stein X in mod A mit X ? ⇠ ur diesen Stein gilt nach 3.2.2 = mod A0 . F¨ dimk Hom(X, ⌧ 2 X) = dimk Ext([2]X, [2]X) = a1

a01 .

Gilt a1 = a01 , so schließen wir mit 3.2.3 dimk Hom(X, ⌧ 3 X) = dimk Ext([3]X, [3]X) = a2

a02 .

Dieser Pfeil liefert uns somit die Existenz von quasi-einfachen Steinen mit einem bestimmten Abbildungsverhalten. Existiert kein Pfeil A ! A0 in , so daß a1 = a01 und a2 = a02 gilt, so k¨onnen wir umgekehrt sofort aus 3.2.3 Ext([3]X, [3]X) 6= 0 f¨ ur jeden quasi-einfachen Stein X 2 mod A schließen. W¨ are die in §3.2 ge¨ außerte Vermutung f¨ ur alle r 2 IN bewiesen, so w¨ urde uns mehr Information u ¨ber die Existenz von quasi-einfachen Steinen mit einem vorgegebenem Abbildungsverhalten liefern. Folgende Ungleichung zeigt einen Zusammenhang zwischen der Wachstumszahl und der HochschildCohomologie einer wilden erblichen Algebra. Lemma 3.3.1 Sei A eine zusammenh¨ angende wilde erbliche Algebra. Dann gilt ⇢ 2 1 1| 1 falls n gerade ist n · |dimk H (A) %(A) > . 2 n+1 1 · |dim H (A) 1| · falls n ungerade ist k n 1 n 1 Beweis: Seien

1, . . . ,

n

die Nullstellen von n X

i

= tr

A.

A

Nach 3.2.1 gilt

= dimk H 1 (A)

1.

i=1

Sei U die Menge aller i 2 {1, . . . , n} mit | i | = 1 und V ⇢ {1, . . . , n} die Menge der i mit | i | > 1. Da A ein reziprokes Polynom ist und V 6= ; ist, gilt die Absch¨atzung n X i=1

| i| =

X i2U

Dies kombiniert mit

1+

X

i2V

| i| + | n X i=1

| i|

1 i

|
r 3, was eine gute Absch¨atzung f¨ ur den tats¨achlichen Wert p r2 + r r2 4 1 %(A) = 2 (siehe [8]) darstellt. Das Coxeter-Polynom einer zusammenh¨angenden wilden erblichen Algebra A enth¨alt sowohl die Information u ¨ber die Wachstumszahl, als auch u ¨ber die Hochschild-Cohomologie von A. Trotzdem ist ein K¨ ocher mit n Punkten im allgemeinen nicht eindeutig durch sein Coxeter-Polynom bestimmt. Dies zeigt folgendes Beispiel. Pn Beispiel Sei n 1 und (r1 , . . . , rn ) ein Zahlentupel mit ri 2 IN f¨ ur 1  i  n und ⇠ = i=1 ri2 4. F¨ ur die Wegealgebra A des K¨ ochers e e r1 ... . ??.. . e r2 . . 66 . rn ... e lautet das Coxeter-Polynom nach [8]: A (t)

= (t + 1)n

1

· (t2 + (2

⇠)t + 1)

Die Wegealgebren von K¨ ochern, die zu verschiedenen Zahlentupeln geh¨oren, haben also das gleiche Coxeter-Polynom, falls die Quadratsummen der Tupel gleich sind.

28

Kapitel 4

Elementare Moduln In diesem Kapitel definiere ich eine neue Klasse von Moduln, die Klasse der elementaren Moduln. Diese Moduln sind die regul¨ aren Bausteine“, aus denen alle regul¨aren Moduln bestehen. Moduln ” ¨ im ⌧ -Orbit eines elementaren Moduls sind ebenfalls elementar. Uberraschenderweise gibt es nur endlich viele Coxeter-Bahnen von Wurzeln, die als Dimensionsvektoren elementarer Moduln auftreten. Paragraph 4 erweitert nicht nur die Menge der Beispiele f¨ ur elementare Moduln, sondern weist auch auf einen Zusammenhang zwischen Einpunkt-Erweiterungen und elementaren Moduln hin, der Gegenstand von Kapitel 5 ist.

4.1

Definition und grundlegende Eigenschaften elementarer Moduln

Sei R ein regul¨ arer Modul u ¨ber einer erblichen, wilden oder zahmen Algebra. Sei U die Menge aller echten, regul¨ aren Untermoduln U von R, so daß R/U regul¨ar ist. Wir w¨ahlen einen maximalen Untermodul R1 aus U . Fahren wir nun mit R1 so fort, so erhalten wir eine absteigende Kette R = R0

R1

...

Rl

Rl+1 = 0

von regul¨aren Untermoduln von R. F¨ ur 1  i  l + 1 hat der Modul X = Ri Eigenschaft: (E)

1 /Ri

folgende

X ist ein von Null verschiedener regul¨arer Modul und nicht Mittelterm einer kurzen exakten Folge von Null verschiedener regul¨arer Moduln.

Besitzt ein Modul X die Eigenschaft (E), so nenne ich ihn einen elementaren Modul. Es folgt sofort aus der Definition, daß ein elementarer Modul quasi-einfach ist und alle Moduln im ⌧ -Orbit eines elementaren Moduls ebenfalls elementar sind. W¨ahrend f¨ ur zahme erbliche Algebren jeder quasi-einfache Modul elementar ist, gibt es im wilden Fall stets quasi-einfache Moduln, die nicht elementar sind. Ist A wild erblich, so gibt es zum Beispiel quasi-einfache Moduln, deren Endomorphismenring nicht trivial ist. Diese Moduln k¨onnen, wie ich noch zeigen werde, nicht elementar sein. Folgendes in [33] bewiesene Lemma wird uns helfen, andere Charakterisierungen elementarer Moduln zu finden. Lemma 4.1.1 Sei Y ein von Null verschiedener regul¨ arer Modul. Dann existiert eine nat¨ urliche Zahl N , so daß der Kern jeder Abbildung ⌧ n Y ! R in einen regul¨ aren Modul R regul¨ ar ist f¨ ur alle n N. Beweis: Nach 1.4.1 existiert eine Zahl N 2 IN , so daß dimk ⌧ n P > dimk R gilt f¨ ur alle n N und f¨ ur alle von Null verschiedenen projektiven Moduln P . Ist f¨ ur n N ein von Null verschiedener Homomorphismus f : ⌧ n Y ! R in einen regul¨aren Modul R gegeben, so k¨onnen wir ⌧ n auf die kurze exakte Folge 0 ! ker f ! ⌧ n Y ! Im f ! 0 anwenden und erhalten, daß ⌧ n ker f ein Untermodul von Y ist. Dies ist aus Dimensionsgr¨ unden aber nur m¨ oglich, wenn ker f regul¨ ar ist. Definition Sei X ein von Null verschiedener regul¨arer Modul. Die Menge O+ (X) = {⌧ n X | n 2 IN0 } 29

heißt ein regul¨ arer Mono-Orbit, falls f¨ ur jeden regul¨aren Modul R der Vektorraum Hom(⌧ n X, R) nur aus injektiven Abbildungen und der Nullabbildung besteht f¨ ur alle n 2 IN0 . Entsprechend dual nennen wir die Menge O (X) = {⌧ n X | n 2 IN0 } einen regul¨ aren Epi-Orbit, falls f¨ ur alle regul¨ aren Moduln R die Menge Hom(R, ⌧ n X) nur aus Epimorphismen und der Nullabbildung besteht f¨ ur alle n 2 IN0 . Bemerkung Wir h¨ atten in der obigen Definition weniger verlangen k¨onnen. Sei X 6= 0 ein regul¨ arer Modul, so daß Hom(X, R) nur aus injektiven Abbildungen und der Nullabbildung besteht f¨ ur jeden regul¨ aren Modul R. Die surjektive Abbildung ⌧ : Hom(X, R) ! Hom(⌧ X, ⌧ R) u uhrt Monomorphismen in Monomorphismen. F¨ ur jeden regul¨aren Modul ⌧ R besteht also die ¨berf¨ Menge Hom(⌧ X, ⌧ R) nur aus der Nullabbildung und Monomorphismen. Entsprechend zeigt man dies f¨ ur ⌧ n X f¨ ur alle n 2 IN . Dies zeigt, daß die Menge O+ (X) ein regul¨arer Mono-Orbit ist. In [33] wurde folgender Zusammenhang zwischen elementaren Moduln und regul¨aren Mono-Orbits gezeigt: Satz 4.1.2 Sei A eine wilde erbliche Algebra. Folgende Bedingungen f¨ ur einen von Null verschiedenen regul¨ aren Modul X sind gleichwertig: (i) X ist ein elementarer Modul. (ii) F¨ ur jeden regul¨ aren Untermodul U 6= 0 von X ist X/U pr¨ ainjektiv. (iii) Es gibt eine nat¨ urliche Zahl N , so daß O+ (⌧ N X) ein regul¨ arer Mono-Orbit ist. Beweis: Ein Modul, der in einem regul¨aren Mono-Orbit enthalten ist, ist elementar. Aus Bedingung (iii) folgt unmittelbar, daß ⌧ N X elementar ist. Dann ist aber auch X elementar, aus (iii) folgt (i). Die Implikation (i) ) (ii) ist trivial. Sei nun (ii) erf¨ ullt. Nach 4.1.1 k¨onnen wir eine nat¨ urliche Zahl N finden, so daß der Kern von Abbildungen ⌧ n X ! R in regul¨are Moduln R regul¨ar ist. W¨ are eine von Null verschiedene Abbildung f : ⌧ n X ! R nicht injektiv, so w¨ urde sie u ¨ber den pr¨ ainjektiven Modul ⌧ n X/ker f faktorisieren, Widerspruch. Ist X ein elementarer Modul, so folgt aus dem letzten Satz, daß X ein Ziegel ist, da End(X) ⇠ = End(⌧ N X) ⇠ ur eine nat¨ urliche Zahl N gilt, die Bedingung (iii) in 4.1.2 erf¨ ullt. Am Anfang = k f¨ dieses Paragraphen haben wir gesehen, daß jeder regul¨are Modul R eine absteigende Kette R = R0

R1

...

Rl

Rl+1 = 0

regul¨ arer Untermoduln besitzt, so daß Ri 1 /Ri elementar ist f¨ ur 1  i  l + 1. Ist A zahm erblich und R unzerlegbar regul¨ ar, so ist diese Kette eindeutig bestimmt. Im wilden Fall gibt ist dies nicht richtig, das folgende Beispiel zeigt sogar, daß es unterschiedlich lange Ketten mit dieser Eigenschaft geben kann. Beispiel F¨ ur r 2 bezeichne Kr den K¨ocher 1 r ... 2 . Sei A = kK3 und B = kK2 . Eine Darstellung von K2 k¨onnen wir als eine Darstellung von K3 au↵assen, indem wir den zus¨atzlichen Pfeil mit der Nullabbildung versehen. Dies liefert eine Einbettung mod

B ,! mod

A,

die jedoch weder voll noch abgeschlossen gegen Erweiterungen ist. In mod Diagramm h

1 0

i

k2 h

1 01 1 0 0

i

k h

? k3

0 1

i

h

? k3

E3

h

11 00 1 010 1

30

i

1 0 0

i

,

B zeigt folgendes

daß der projektive B-Modul PB (2) injektiv in den unzerlegbaren regul¨aren B-Modul RB hinein abbildet. Der Cokern dieser Abbildung ist isomorph zum injektiven B-Modul IB (1). Betrachten wir nun die kurze exakte Folge 0 ! PB (2) ! RB ! IB (1) ! 0 in mod A. Als A-Moduln sind die Modul PB (2) und IB (1) regul¨are Moduln und sogar elementar. Somit ist 0 ⇢ PB (2) ⇢ RB eine absteigende Kette regul¨arer Untermoduln von RB mit elementaren Faktormoduln. In mod B ist RB ein unzerlegbarer regul¨arer Modul der quasi-L¨ange 3. Die irreduziblen Monomorphismen in mod B liefern in mod A eine absteigende Kette regul¨arer Untermoduln von RB mit elementaren Faktormoduln. Diese Kette ist l¨anger als die vorher konstruierte. Abschließend gebe ich noch zwei Beispiele f¨ ur elementare Moduln. Beispiele (1) Sei Q ein K¨ ocher ohne orientierte Zyklen, der zwei Punkte a, b besitzt, so daß mehr als ein Pfeil von a nach b geht. Zus¨ atzlich gehen wir davon aus, daß a eine Quelle in Q ist. Dann gibt es unendlich viele unzerlegbare Moduln R mit Dimensionsvektor ⇢ k i = a oder i = b R(i) = . 0 sonst Ein solcher Modul R ist regul¨ ar, und sein einziger nicht-trivialer Faktormodul ist injektiv. Somit ist O+ (R) ein regul¨ arer Mono-Orbit, insbesondere ist R elementar. (2) Sei A die Wegealgebra des K¨ ochers d .. d .. d . .

Q=

r

s

mit r, s 2. Dann ist jeder unzerlegbare Modul X mit dim X = (1, 1, 1) ein ⌧ -aufrichtiger (d.h. X ist regul¨ ar und ⌧ n X ist aufrichtig f¨ ur alle n 2 ZZ) elementarer Modul. Beachte, daß 1 dimk Ext (X, X) = r + s 2 2 gilt.

4.2

Eine Endlichkeitsbedingung fu ¨ r elementare Moduln

Im letzten Paragraphen haben wir gesehen, daß es unendlich viele ⌧ -Orbits geben kann, die elementare Moduln enthalten. F¨ ur die Coxeter-Bahnen der Dimensionsvektoren elementarer Moduln gilt jedoch: Theorem 4.2.1 Sei A eine wilde erbliche Algebra. Dann existieren nur endlich viele CoxeterBahnen von Wurzeln, die als Dimensionsvektoren von elementaren Moduln auftreten. Beweis: Wir w¨ ahlen einen regul¨ aren Modul R aus, so daß ⌧ n R aufrichtig ist f¨ ur alle n 0 (siehe 1.4.1). Nach 1.4.2 k¨ onnen wir im ⌧ -Orbit eines elementaren Moduls stets einen Modul X finden mit Hom(R, X) = 0, aber Hom(⌧ R, X) 6= 0. F¨ ur eine von Null verschiedene Abbildung f : ⌧ R ! X bezeichne U (bzw. K, C) das Bild (bzw. den Kern, den Cokern) von f . Wir haben also die zwei kurzen exakten Folgen 0 0

! !

K U

! !

⌧ R X

! !

U C

! !

0 0.

Wenden wir auf die zweite Folge den Funktor Hom(R, ) an, so erhalten wir die exakte Sequenz . . . ! Hom(R, X) ! Hom(R, C) ! Ext(R, U ) ! . . . . Da Hom(R, X) = 0 ist gilt dimk Hom(R, C)  dimk Ext(R, U ). Anwenden des Funktors Hom(R, ) auf die erste kurze exakte Folge ergibt . . . ! Ext(R, ⌧ R) ! Ext(R, U ) ! 0 und somit dimk Ext(R, U )  dimk Ext(R, ⌧ R). Die zwei Ungleichungen zeigen, daß die Dimension von Hom(R, C) beschr¨ ankt ist durch die Dimension von Ext(R, ⌧ R). Da X elementar ist, muß C nach 4.1.2 pr¨ ainjektiv sein. Sei C=

n M M

(⌧ i I(j))li,j ,

i2IN0 j=1

31

wobei I(1), . . . , I(n) die injektiven H u ¨llen der n einfachen Moduln sind und die li,j nur f u ¨r endlich viele i von Null verschieden sind. Die Ungleichung dimk Hom(R, C)  dimk Ext1 (R, ⌧ R) l¨ aßt sich nun schreiben als n X X

li,j dimk Hom(R, ⌧ i I(j)) =

i2IN0 j=1

n X X

li,j (⌧

i2IN0 j=1

i

R)j  dimk Ext(R, ⌧ R).

Die Komponenten P der Dimensionsvektoren von ⌧ i R wachsen exponentiell f¨ ur i ! 1. Die Menge n aller i 2 IN0 mit j=1 li,j 6= 0 ist aus diesem Grunde endlich. Da weiterhin alle (⌧ i R)j 6= 0 sind f¨ ur alle (i, j), ist jedes li,j kleiner oder gleich dimk Ext(R, ⌧ R). Insgesamt erhalten wir eine a-priori Absch¨ atzung f¨ ur den Dimensionsvektor von C und damit auch f¨ ur den Dimensionsvektor von X. Beispiel Sei A die Wegealgebra des K¨ochers Q = 1 2 3 . Mit Hilfe der Beweisidee von 4.2.1 werden wir alle Coxeter-Bahnen elementarer Moduln in mod A bestimmen. Zuerst jedoch stelle ich ein paar Daten u ¨ber diese Algebra zusammen. Bezeichne CA die Cartan-Matrix von A, so gilt: 2 3 2 3 1 2 2 1 0 0 1 0 5. CA = 4 0 1 1 5 , CA t = 4 2 0 0 1 0 1 1 Die homologische Bilinearform (y1 , y2 , y3 ) als: 2 1 hx, yi = x 4 2 0

h , i : ZZ 3 ! ZZ berechnet sich f¨ ur x = (x1 , x2 , x3 ) und y = 3 0 0 1 0 5 y t = (x1 1 1

2x2 ) · y1 + (x2

x 3 ) · y2 + x 3 · y3 .

Die folgende Abbildung zeigt das Ende der pr¨ainjektiven Komponente von (A): ...

(2,3,3)

(0,1,0)

✓ @ . . . (6,11,8)

@ R @ (2,4,3)

(0,0,1)

✓ @

@ R @ (0,1,1)

✓

✓ ✓@ @ ✓ ✓@ @ ✓ ✓ @ @ @ @ R @ R @ R @ R @ . . . (9,6,12) (3,6,4) (1,2,2) Pr¨ ainjektive Komponente von

(A)

Die folgenden beiden Coxeter-Bahnen elementarer Moduln sind leicht zu erraten: ... ...

(5, 10, 6) (1, 2, 1)

(3, 4, 4) (1, 1, 1)

(1, 2, 0) (1, 1, 0)

(3, 2, 2) (3, 2, 1)

(5, 6, 6) (7, 5, 1)

... ...

Dem Beweis von Theorem 4.2.1 folgend w¨ahlen wir nun einen regul¨aren Modul R. Sei R unzerlegbar mit dim R = (1, 1, 0). F¨ ur n 2 IN ist ⌧ n R aufrichtig, nicht jedoch R selbst. Ich werde sp¨ater auf den Unterschied, der sich daraus ergibt, zur¨ uckkommen. Seien nun U, K, X und C wie im Beweis von 4.2.1 definiert. Der Modul U ist Untermodul des elementaren Moduls X und epimorphes Bild von ⌧ R. Wir k¨ onnen ohne Einschr¨ ankung davon ausgehen, daß U unzerlegbar ist. F¨ ur X gilt Hom(R, X) = 0, also gilt auch Hom(R, U ) = 0. Tabelle 1 enth¨alt 16 Kandidaten f¨ ur dim U . 1. 2. 3. 4.

(3,2,1) (3,2,0) (3,1,1) (3,1,0)

5. 6. 7. 8.

(2,2,1) 9. (2,2,0) 10. (2,1,1) 11. (2,1,0) 12. Tabelle

32

(1,2,1) (1,2,0) (1,1,1) (1,1,0) 1

13. 14. 15. 16.

(0,2,1) (0,2,0) (0,1,1) (0,1,0)

Ich habe in Tabelle 1 alle Dimensionsvektoren, die kleiner oder gleich dim ⌧ R sind, aufgez¨ahlt mit Ausnahme der Vektoren (u1 , u2 , u3 ) mit u2 = 0. Diese Tripel k¨onnen nicht als Dimensionsvektoren des regul¨aren Moduls U auftreten. Die Vektoren Nr. 13 und Nr. 14 kommen nicht in Frage, ansonsten w¨are U zerlegbar. Moduln, deren Dimensionsvektoren u ¨bereinstimmen mit Vektor Nr. 15 oder Nr. 16 in Tabelle 1, sind pr¨ainjektiv. Ebenso scheiden die Dimensionsvektoren Nr. 2,3,4,6 und Nr. 10 aus, da K sonst von Null verschiedene pr¨ ainjektive direkte Summanden h¨atte, ein Widerspruch zu K ⇢ ⌧ R. Der Modul K kann auch keinen von Null verschiedenen regul¨aren direkten Summanden enthalten, sonst w¨are U⇠ ainjektiv. Somit scheiden auch die Kandidaten Nr. 7 und Nr. 8 aus. = ⌧ R/K nach 4.1.2 pr¨ F¨ ur den Dimensionsvektor Nr. 9 ergibt hdim R, (1, 2, 1)i = 1 den Widerspruch Hom(R, U ) 6= 0. Dimensionsvektor Nr. 12 k¨ onnen wir mit folgender Argumentation ausschließen: Der Modul K w¨ are in diesem Fall unzerlegbar, also isomorph zu P (3). Da dimk Hom(P (3), ⌧ R) = 1 ist, gibt es genau einen Untermodul von ⌧ R, der isomorph zu P (3) ist. Der Faktormodul ist dann aber isomorph zu R. Wir erhalten erneut den Widerspruch Hom(R, U ) 6= 0. Insgesamt bleiben folgende drei Kandidaten f¨ ur dim U u ¨brig: (3, 2, 1), (2, 2, 1), (1, 1, 1) Als n¨ achstes bestimmen wir dim C. Im Beweis von 4.2.1 erhielten wir die Ungleichung dimk Hom(R, C)  dimk Ext(R, U ). Versuchen wir also dimk Ext(R, U ) zu berechnen. Wenden wir den Funktor Hom(R, ) auf die kurze exakte Folge 0 !K !⌧ R !U !0 an, so erhalten wir die exakte Folge . . . ! Hom(R, U ) ! Ext(R, K) ! Ext(R, ⌧ R) ! Ext(R, U ) ! 0. F¨ ur Ext(R, ⌧ R) gilt 1 = hdim R, dim ⌧ Ri = dimk Hom(R, ⌧ R)

dimk Ext(R, ⌧ R),

also nach 1.4.4 dimk Ext(R, ⌧ R) = 1. Ebenso k¨onnen wir dimk Ext(R, K) bestimmen, da, wieder nach 1.4.4 (beachte K ⇢ ⌧ R), Hom(R, K) = 0 gilt. Ist dim K = (k1 , k2 , k3 ), so gilt dimk Ext(R, K) =

hdim R, dim Ki = k2

k1 .

In Abh¨ angigkeit von dim U erhalten wir somit: ⇢ 1 f¨ ur dim U = (3, 2, 1) dimk Hom(R, C)  0 f¨ ur dim U 2 {(2, 2, 1), (1, 1, 1)} ¨ Kommen wir nun auf die Anderung zur¨ uck, die sich aus Hom(R, I(3)) = 0 ergibt. Dies hat zur Folge, daß wir keine obere Schranke f¨ ur die Anzahl der zu I(3) isomorphen direkten Summanden von C angeben k¨ onnen. Ist dim X = (x1 , x2 , x3 ), so gilt allerdings x3  x2 , da X unzerlegbar und nicht isomorph zu I(3) ist. Tabelle 2 gibt nun alle Kandidaten f¨ ur dim X an: 1. (3,2,1) 2. (3,2,2) 3. (4,4,3)

4. (4,4,4) 7. (3,3,1) 5. (3,3,2) 8. (5,5,4) 6. (3,3,3) 9. (5,5,5) Tabelle 2

10. (2,2,1) 11. (2,2,2) 12. (1,1,1)

Nehmen wir an, daß dim X = (5, 5, 5) gilt. Dann besitzt ⌧ X den Dimensionsvektor (5, 5, 0), ist also ein Modul in der vollen Unterkategorie mod (k a a ) von mod A. In dieser vollen, exakten Unterkategorie ist ⌧ X ein unzerlegbar regul¨arer Modul der quasi-L¨ange 5. Er ist somit nicht elementar in mod (k a a ) und damit auch nicht elementar in mod A. Mit diesem Argumentationsschema k¨ onnen wir die Kandidaten Nr. 4,6,9 und Nr. 11 ausschließen. Nehmen wir nun an, daß dim X = (5, 5, 4) gilt. Die Isomorphieklasse von X werde durch folgende Darstellung repr¨ asentiert: f1

k5

k5 f2

33

g

k4

Wir zeigen zuerst, daß X einen unzerlegbaren Untermodul U mit dim U = (1, 1, 0) besitzt. Hierzu unterscheiden wir folgende zwei F¨ alle: 1. Fall: Die Abbildung f1 oder die Abbildung f2 ist nicht injektiv. Sei ohne Einschr¨ankung ker f1 6= 0. Ist V ein 1-dimensionaler Untervektorraum von ker f1 , so gilt f2 (V ) 6= 0, da X unzerlegbar ist. Somit ist der Modul U , der der Darstellung 0

f2 (V)

V

0

0

f2 |V

entspricht, ein unzerlegbarer Untermodul von X mit dim U = (1, 1, 0). 2. Fall: Die Abbildungen f1 und f2 sind Isomorphismen. Wir identifizieren f1 mit der Identit¨at. Die verschiedenen M¨ oglichkeiten f¨ ur f2 werden durch die Jordansche Normalform beschieben. Wir ben¨ otigen nur, daß f2 einen Eigenwert 2 k besitzt. Sei v 2 k 5 mit f2 = · v. Dann entspricht die Darstellung id

kv

kv

0

0

f2 |kv

einem unzerlegbaren Untermodul U von X mit dim U = (1, 1, 0). Sei nun U ein regul¨ arer Untermodul von X mit dim U = (1, 1, 0). Der Faktormodul X/U hat den Dimensionsvektor (4, 4, 4). Dieser Dimensionsvektor ist nicht Summe von Dimensionsvektoren, die zu unzerlegbar pr¨ ainjektiven Moduln korrespondieren. Somit ist X/U nicht pr¨ainjektiv. Dies ergibt mit 4.1.2 einen Widerspruch zu X elementar. Mit diesem Argumentationsschema lassen sich die Kandidaten Nr. 3,5,7,8 und Nr. 10 ausschließen. Man beachte jedoch, daß hierf¨ ur die algebraische Abgeschlossenheit von k entscheidend war. Ist zum Beispiel k = IR, so entspricht der Darstellung id

k2

k2

"1

k

f2

genau dann ein elementarer Modul, wenn f2 keinen 1-dimensionalen stabilen Untervektorraum besitzt, d.h. wenn das charakteristische Polynom von f keine Nullstelle in IR besitzt. Es sind nun noch die Dimensionsvektoren (3, 2, 1), (3, 2, 2) und (1, 1, 1) u ¨brig. Diese drei Vektoren sind in den anfangs notierten Coxeter-Bahnen elementarer Moduln enthalten. Dies zeigt, daß es (f¨ ur k algebraisch abgeschlossen) genau zwei Coxeter-Bahnen elementarer Moduln gibt. Bemerkung Es gibt unendlich viele wilde erbliche Algebren, die die Eigenschaft haben, daß jeder elementare A-Modul bereits ein Stein ist (siehe [33]). Nach [26] sind unzerlegbare Moduln X, Y mit dim X = dim Y isomorph, falls q(dim X) = 1 gilt. Theorem 4.2.1 besagt somit f¨ ur diese Algebren, daß es nur endlich viele ⌧ -Orbits elementarer Moduln gibt.

4.3

Elementare Moduln und ⌧ -Aufrichtigkeit

Das letzte Beispiel von §4.1 zeigt, daß es auch ⌧ -aufrichtige elementare Moduln gibt. Die Bestimmung dieser Moduln erweist sich meist als sehr schwierig. In einem Beispiel in Kapitel 6 gen¨ ugt es, eine vollst¨ andige Liste s¨ amtlicher ⌧ -Orbits elementarer Steine anzugeben. Das folgende Theorem zeigt, daß hier die Berechnung leichter ist. Theorem 4.3.1 Sei X ein ⌧ -aufrichtiger elementarer Modul. Dann hat X nicht-triviale Selbsterweiterungen, es gilt sogar dimk Ext(X, X) 2. F¨ ur den Beweis ben¨ otige ich folgende Verfeinerung von 1.4.8: Lemma 4.3.2 Seien X und Y zwei nicht isomorphe Steine mit Hom(X, Y ) 6= 0 und Ext1 (Y, X) = 0. Sei weiterhin X oder Y ein ⌧ -aufrichtiger Modul. Dann sind alle von Null verschiedenen Abbildungen f : X ! Y injektiv oder surjektiv und es gilt: (a) Ist f : X ! Y injektiv, so ist der Cokern C von f unzerlegbar regul¨ ar. (b) Ist f : X ! Y surjektiv, so ist der Kern K von f unzerlegbar regul¨ ar. 34

Beweis: Zuerst beweise ich Teil (a) und Teil (b) unter der Voraussetzung, daß Y ⌧ -aufrichtig ist. (a) Nach 1.4.8 ist nur zu zeigen, daß der Cokern C von f regul¨ar ist. Hierzu wenden wir den Funktor Hom( , Y ) auf die kurze exakte Folge 0 !X !Y

!C !0

an. Wir erhalten die exakte Folge 0 ! Hom(C, Y ) ! Hom(Y, Y ) ! Hom(X, Y ) ! Ext(C, Y ) ! 0. Nehmen wir an C ist nicht regul¨ ar, d.h. C ist ein von Null verschiedener unzerlegbar-pr¨ainjektiver Modul. Dann ist Hom(C, Y ) = 0, da Y regul¨ar ist und Ext1 (C, Y ) 6= 0. Somit gilt dimk Hom(X, Y ) > 1. Nach 1.4.8 gilt aber auch dimk Hom(X, Y ) = 1 + dimk Ext1 (C, C), was den Widerspruch Ext(C, C) 6= 0 ergibt. (b) Wir wenden den Funktor Hom( , Y ) auf die kurze exakte Folge 0 !K !X !Y

!0

an und erhalten die exakte Folge 0 ! Hom(Y, Y ) ! Hom(X, Y ) ! Hom(K, Y ) ! 0. Die Annahme, daß K ein von Null verschiedener pr¨aprojektiver Modul ist, f¨ uhren wir wie oben zum Widerspruch. Ist X ein ⌧ -aufrichtiger Modul so zeigt die Dualit¨at D = Homk ( , k), daß auch dann Teil (a) und Teil (b) g¨ ultig sind. Beweis des Theorems: Wir nehmen zuerst Ext(X, X) = 0 an. Da X ⌧ -aufrichtig ist, enth¨alt X ? nur regul¨ are Moduln, insbesondere ist der projektive Generator, der als Mittelterm der universellen kurzen exakten Folge r M 0 !A ! Mi ! X l ! 0 i=1

auftritt, regul¨ ar. Hieraus folgt Hom(Mi , X) 6= 0 und somit auch Hom(Mi , [2]X) 6= 0 nach 1.4.3. Der Modul [2]X ist also aufrichtig in X ? . W¨ahlen wir nun einen Untermodul U von [2]X, der einfach in X ? ist, so erhalten wir das Diagramm

0

!

⌧X

!

0 # U # [2]X # C # 0

!

X

!

0,

wobei C der Cokern von U ,! [2]X ist. Die Komposition U ! [2]X ! X ist eine von Null verschiedene Abbildung, andernfalls w¨ urde U in ⌧ X hinein abbilden im Widerspruch zu U 2 X ? . Somit sind die Voraussetungen von 4.3.2 erf¨ ullt. Ist die Komposition U ! [2]X ! X injektiv, so ergibt die kurze exakte Folge 0 ! U ! X ! X/U ! 0 einen Widerspruch dazu, daß X elementar ist. Ist die Abbildung U ! X surjektiv, so ist dim ⌧ X > dim C. Wir w¨ahlen einen Faktormodul S von C, der einfach in X ? ist, und bekommen mit der Komposition [2]X ! C ! S das Diagramm

0

!

⌧X

!

0 # K # [2]X # S # 0 35

!

X

!

0

mit K als Kern der Abbildung [2]X ! S. Die Komposition ⌧ X ! [2]X ! S ist von Null verschieden, ansonsten w¨ urde die Abbildung [2]X ! S u ¨ber [2]X ! X faktorisieren. Wieder k¨onnen wir 4.3.2 anwenden, diesmal allerdings tritt der Fall (b) ein, da dim ⌧ X > dim C dim S ist. Erneut erhalten wir einen Widerspruch dazu, daß X elementar ist. Es bleibt noch zu zeigen, daß sogar dimk Ext(X, X) 2 gilt. Nach 4.1.2 k¨ onnen wir ohne Einschr¨ankung davon ausgehen, daß O+ (X) ein regul¨arer Mono-Orbit ist. Sei X ! ⌧ X injektiv mit Cokern C. Anwendung von Hom(X, ) auf 0 ! X ! ⌧X ! C ! 0 ergibt die exakte Folge 0 ! (X, X) ! (X, ⌧ X) ! (X, C) ! Ext(X, X) ! Ext(X, ⌧ X) ! 0, die rechts exakt ist, da C nach 4.1.2 pr¨ ainjektiv ist. G¨alte dimk Ext(X, X) = 1, so w¨are Hom(X, X) ⇠ = ⇠ Hom(X, ⌧ X) und Ext(X, X) = Ext(X, ⌧ X). Dies implizierte Hom(X, C) = 0, ein Widerspruch dazu, daß X ⌧ -aufrichtig ist.

4.4

Kanonische Algebren als Einpunkt-Erweiterungen erblicher Algebren mit elementaren Moduln

Sei n = (n1 , . . . , nt ) f¨ ur t 2 eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen und = ( 3 , . . . , t ) eine Parameter-Folge paarweise verschiedener Elemente aus k \ {0}. F¨ ur dieses Paar (n, ) definierte C.M. Ringel in [41, §4.8] die kanonische Algebra ⇤ = ⇤(n, ) vom Typ (n, ) als die Wegealgebra des K¨ ochers ...

a11

↵ Q=

a1n1

...

a21

a2n2

0 . . .

A K A A

KA A A @ I @ ! ,

. . . ↵ ...

at1

atnt

faktorisiert nach dem zweiseitigen Ideal, das erzeugt wird von den Relationen ↵i = ↵2

i↵

1

f¨ ur i = 3, . . . , t.

Hierbei bezeichne ↵i den Weg, der von ! nach 0 u ¨ber die Punkte aij (1  j  ni ) verl¨auft. Sei Q0 der volle Unterk¨ ocher von Q mit den Punkten Q0 \ {!}. Dann k¨onnen wir die kanonische Algebra ⇤(n, ) als Einpunkt-Erweiterung von kQ0 mit dem Modul

k

...

k

k

...

k

"1

↵

"2

M = k2

A "2 K A A

. . .

. . .

t "1

...

k

36

k

au↵assen. Ist kQ0 eine Algebra vom endlichen (bzw. zahmen, wilden) Darstellungstyp, so ist ⇤ entsprechend eine verkleidete zahme (bzw. tubulare, wilde kanonische) Algebra. Die zahmen ver¨ kleideten Algebren wurden in [23] vollst¨andig klassifiziert, die tubularen Algebren in [41]. Uber wilde kanonische Algebren gibt [36] Auskunft. Satz 4.4.1 Sei kQ0 die Wegealgebra des K¨ ochers

↵

a11

...

a1n1

a21

...

a2n2

Q0 = 0 A K A

. . .

. . .

A ...

at1

atnt

,

wobei n = (n1 , . . . , nt ) so gew¨ ahlt sei, daß kQ0 darstellungsunendlich ist. Sei M folgender unzerlegbare Modul:

k

...

k

k

...

k

↵1

↵

↵2

M = k2

A ↵t K A A

. . .

. . . ...

k

k

Dann sind ¨ aquivalent: (i) Die Algebra kQ0 [M ] ist eine kanonische Algebra. (ii) F¨ ur 1  i, j  t mit i 6= j gilt ↵i (k) + ↵j (k) = k 2 . (iii) Der Modul M ist ein elementarer Modul. Beweis: Aus der Definition kanonischer Algebren ( 3 , . . . , t paarweise verschiedene Elemente aus ¨ k \ {0}) folgt sofort die Aquivalenz von (i) und (ii). Ich zeige nun die Implikation (ii))(iii). Hierf¨ ur verwende ich folgendes Argumentationsschema: F¨ ur ein i 2 {1, . . . , t} mit ni 2 sei Q00 der volle Unterk¨ocher von Q0 mit den Punkten Q00 \ {aini }. Ist die Restriktion M 0 von M auf den K¨ocher Q00 ein regul¨arer Modul in mod kQ00 , so ist ⌧kQ0 ⌧kQ00 M 0 = M (siehe 2.2.3), also ist dann M auch regul¨ar in mod kQ0 . Zuerst zeige ich, daß M ein regul¨ arer Modul in mod kQ0 ist. Ist t = 3, so k¨onnen wir aufgrund ˜6 , E ˜7 oder E ˜8 obiger Argumentation ohne Einschr¨ ankung davon ausgehen, daß Q0 von der Form E ist. In allen drei F¨ allen zeigt die Liste in [10], daß M regul¨ar ist. F¨ ur t 4 ist q(dim M ) = 4 t  0, also hat M nicht-triviale Selbsterweiterungen, ist also insbesondere regul¨ar. Nun ist noch zu zeigen, daß f¨ ur jeden unzerlegbaren regul¨aren Untermodul U 6= 0 von M der Faktormodul M/U pr¨ ainjektiv ist. Dies gilt, da f¨ ur jeden unzerlegbar regul¨are Untermodul U 6= 0 von M U (0) = k 2 gilt, also M/U sogar injektiv ist. Sei nun M ein elementarer Modul. Seien nach eventueller Umnumerierung ↵1 (k) = . . . = ↵r (k) und ↵i (k) + ↵j (k) = k 2 f¨ ur alle 1  i  r < j  n: Dann gilt r  t 2, da M unzerlegbar ist. 37

Insbesondere ist f¨ ur t = 3 Eigenschaft (ii) bereits klar. Sei nun t 4. Wir nehmen an, daß (ii) nicht erf¨ ullt ist und zeigen, daß der unzerlegbare Untermodul U von M mit ⇢ k i = 0 oder i 2 {akj(k) | 1  k  r , 1  j(k)  nk } U (i) = 0 sonst und der unzerlegbare Faktormodul M/U regul¨ar ist. Aufgrund der obigen Argumentation gen¨ ugt es, dies f¨ ur die Wegealgebra des K¨ ochers 0 Ut =

✓@ I @ 1 ... t

zu zeigen — eine kurze Rechnung.

38

(t

4)

Kapitel 5

Einpunkt-Erweiterungen – Kippalgebren Der erste Paragraph dieses Kapitels zeigt folgenden Zusammenhang zwischen dem dominierenden Verhalten wilder erblicher Algebren und elementaren Moduln: Ist X 2 mod A ein quasi-einfacher Stein, Q ein minimaler projektiver Generator in X ? und C = EndA (Q) so ist der Modul M = H([2]X) ein elementarer Modul in mod C. Nach 2.2.5 ist C[M ] eine Kippalgebra vom Typ A. In Paragraph 3 werden wir sehen, daß f¨ ur einen regul¨aren Modul R die Einpunkt-Erweiterung A[R] h¨ ochstens dann eine Kippalgebra sein kann, wenn R elementar ist. Dieser technisch aufwendige Beweis ben¨ otigt Vorbetrachtungen, die Teil des zweiten Paragraphens sind.

5.1

Ein Zeichen in der Orthogonal-Kategorie

In diesem Abschnitt benutze ich ¨ ofters die folgende Tatsache: Ist X ein quasi-einfacher Stein und U ein Modul in X ? , der von X coerzeugt wird, so ist U projektiv in X ? . Um dies einzusehen, wenden wir f¨ ur einen beliebigen Modul Y 2 X ? den Funktor Hom( , Y ) auf eine kurze exakte Folge 0 ! U ! Xr ! C ! 0 an und erhalten die exakte Folge . . . ! Ext(X r , Y ) ! Ext(U, Y ) ! 0. Da Ext(U, Y ) f¨ ur alle Y 2 X ? verschwindet, ist U projektiv in X ? . Dual gilt hierzu, daß ein Modul U injektiv in X ? ist, wenn er in X ? enthalten ist und von ⌧ X erzeugt wird. Sei nun X ein quasi-einfacher Stein in mod A. Nach 1.4.2(a) existiert eine kleinste Zahl r 2 IN mit Hom(X, ⌧ r+1 X) 6= 0. Sei Q ein minimaler projektiver Generator in X ? und C = EndA (Q). Die folgende Abbildung zeigt, welche Moduln, die in dem Fl¨ ugel mit Spitze ⌧ r X(2r) enthalten ? sind, auch in X liegen. b ⌧ r X(2r) Rb b✓ @ b✓

b✓ Rb b✓ @

b✓

r

⌧ X

b✓

b✓

b

b✓ Rb b✓ @ ⇢ X? ...

@ Rb b

@ Rb

b✓

b✓

@ Rb

@ Rb

⇢ X?

@ Rb

@ Rb 2

@ Rb

⌧ X

@ Rb

b

@ R b✓

⌧X

[2]X

b✓

b

X

39

b✓

@ Rb

b✓

b✓

⌧ X

@ Rb Rb b✓ @

b✓

b✓ b

@ Rb Rb b✓ @ ⇢ X? ...

@ Rb b

@ Rb

@ Rb ⌧

r+1

X

Es gibt eine Kette von irreduziblen Abbildungen zwischen unzerlegbaren Moduln in X ? , die [2]X mit ⌧ r X(2r) verbindet. Somit sind die Moduln H([2]X) und H(⌧ r X(2r)) in der gleichen Zusammenhangskomponente von (C). Der Modul H(⌧ r X(2r)) ist ein Ziegel mit Ext(H(⌧ r X(2r)), H(⌧ r X(2r))) 6= 0 und damit regul¨ ar in mod C. Somit ist auch H([2]X) ein regul¨arer Modul in mod C. Satz 5.1.1 Sei X ein quasi-einfacher Stein in mod X ? , und es gilt:

A. Dann ist [2]X ein elementarer Modul in

(i) O+ (⌧X ? [2]X) ist ein regul¨ arer Mono-Orbit. (ii) O (⌧X ? [2]X) ist ein regul¨ arer Epi-Orbit. Beweis: Ich zeige nur Teil (i), der Beweis von (ii) ist dual. Sei 0 ! Y ! [2]X ! R ! 0

eine kurze exakte Folge in X ? und R ein regul¨arer Modul in X ? . F¨ ur den weiteren Gang der Argumentation betrachten wir das folgende Diagramm:

0

!

⌧A X

!

0 # Y # [2]X # R # 0

!

X

!

0

Sei nun Y 0 ein von Null verschiedener direkter Summand von Y . Y 0 bildet in [2]X nicht-trivial hinein ab, aber nicht in ⌧A X. Somit gibt es eine von Null verschiedene Abbildung Y 0 ! X. Nach 1.4.5 ist diese Abbildung injektiv oder surjektiv. Nehmen wir an, die Abbildung f : Y 0 ! X ist surjektiv. Dann ist dim Y 0 > dim X und deshalb dim ⌧A X > dim R. Sei nun R0 ein unzerlegbarer direkter Summand von R. Aufgrund von Hom(X, R0 ) = 0 folgern wir, daß Hom(⌧A X, R0 ) von Null verschieden ist. Erneut besagt 1.4.5, daß jede von Null verschiedene Abbildung ⌧A X ! R0 ein Monomorphismus oder ein Epimorphismus ist. Das letztere m¨ ußte hier der Fall sein, da dim ⌧A X > dim R

dim R0

gilt. In diesem Fall w¨ are R0 aber ein injektiver Modul, ein Widerspruch. Wir haben bis jetzt gezeigt, daß jeder direkte Summand von Y ein Untermodul von X ist, insbesondere ist Y projektiv in X ? . n Sei nun f : ⌧X aren Modul ? [2]X ! R ein von Null verschiedener Homomorphismus in einen regul¨ n R f¨ ur n 1. Mit K bezeichnen wir den Kern von f und wenden den Funktor ⌧X ? auf die kurze exakte Folge n 0 ! K ! ⌧X ! Im f ! 0 ? [2]X an. Wir erhalten die kurze exakte Folge

n n 0 ! ⌧X ? K ! [2]X ! ⌧X ? Im f ! 0. n Die vorherige Argumentation zeigt, daß ⌧X ? K ein projektiver Modul in X ? ist. Dies ist aber nur m¨ oglich, falls K der Nullmodul ist. Die Abbildung f ist somit injektiv.

5.2

Einpunkt-Erweiterungen wilder erblicher Algebren mit regul¨ aren Moduln

In diesem Paragraphen untersuche ich zuerst den Zusammenhang zwischen dem Isomorphietyp von A[M ] und dem Isomorphietyp des Moduls M . Definition Sei : A ! A ein (Algebren-) Automorphismus. Mit ⌃ sei folgender Funktor von mod A nach mod A bezeichnet: F¨ ur einen Modul M 2 mod A sei ⌃(M ) die Gruppe M versehen mit der A-Struktur, die definiert ist durch m ⇤ a = m · (a) f¨ ur m 2 M und a 2 A. Einem Homomorphismus f : M ! N wird durch ⌃(f ) = f eine A-lineare Abbildung ⌃(f ) : ⌃(M ) ! ⌃(N ) zugeordnet. 40

Lemma 5.2.1 Sei A eine endlich-dimensionale Algebra. Ist M 2 mod A, so gilt A[M ] ⇠ = A[⌃(M )].

: A ! A ein Automorphismus und

Beweis: Ich zeige, daß folgende Abbildung ein Algebrenisomorphismus ist:   ✓ ◆  k M k ⌃(M ) m ˆ: ! ˆ = 0 A 0 A 0 a 0 Die Abbildung ist eine Bijektion. F¨ ur alle a1 , a2 2 A, ✓  ◆ ✓ m1 m2 1 2 ˆ · = ˆ 0 a1 0 a2  1 =  0 1 = ✓0 = ˆ

m 1 (a)

2 k und m1 , m2 2 M gilt ◆ 1 2 1 m2 + m1 a2 0 a1 a2 2 1 m2 + m1 a 2 1 (a1 a2 ) 1 (a2 ) 2 1 m2 + m1 ⇤ 1 1 (a ) (a 1 2 ◆ ✓ ) ◆ m1 m2 1 2 ·ˆ . 0 a1 0 a2 1,

2

Dies zeigt, daß ˆ ein Algebrenhomomorphismus ist. Bezeichne !M das primitive Idempotent !M =

✓

1 0

0 0

◆

von A[M ]. Der Automorphismus ˆ , der im Beweis von 5.2.1 konstruiert wurde, hat die Eigenschaft ˆ (!M ) = !M . Beschr¨ anken wir uns auf Isomorphismen mit dieser Eigenschaft, so erhalten wir folgende Umkehrung von 5.2.1: Lemma 5.2.2 Seien M1 , M2 zwei A-Moduln mit A[M1 ] ⇠ = A[M2 ]. Existiert ein Isomorphismus f : A[M1 ] ! A[M2 ] mit f (!M1 ) = !M2 , so gibt es einen Automorphismus

von A mit M1 ⇠ = ⌃(M2 ).

Beweis: Ich identifiziere A (bzw. Mi ) in A[Mi ] mit der Matrizenmenge   0 0 0 Mi ( bzw. ) 0 A 0 0 f¨ ur i = 1, 2. Die Voraussetzung f (!M1 ) = !M2 impliziert f (A) = f ((1

!M1 )A[M1 ]) = (1

!M2 )A[M2 ] = A

und entsprechend f (M1 ) = M2 . Die Einschr¨ankung f|A : A ! A sei mit bezeichnet. Die Einschr¨ ankung von f auf M1 liefert eine Abbildung von M1 nach ⌃(M2 ), die A-linear ist. Korollar 5.2.3 Sei A eine erbliche Algebra und seien M1 , M2 2 mod A zwei nicht-projektive Moduln mit A[M1 ] ⇠ = A[M2 ]. Dann existiert ein Automorphismus : A ! A mit M1 ⇠ = ⌃(M2 ). Satz 5.2.4 Sei A0 eine wilde erbliche Algebra und R 2 mod regul¨ arer Modul. (a) In mod

A0 ein von Null verschiedener

A0 [R] existiert ein Kippmodul T mit EndA0 [R] (T ) ⇠ = A0 [⌧A0 R].

(b) Ist A0 [R] eine Kippalgebra vom Typ A, so ist auch A0 [⌧A0 R] eine Kippalgebra vom Typ A. Beweis: (a) Ich benutze einen Trick, den C.M. Ringel in [41, 4.7(4)] verwendet hat. Sei P (!) der projektive A0 [R]-Modul mit rad P (!) = R. Man u ¨berzeugt sich leicht davon, daß der Modul T = P (!)

⌧A0 [R] A0

ein Kippmodul in mod A[R] ist. Da jeder Homomorphismus ⌧A0 [R] A0 ! P (!) bereits in R = rad P (!) hinein abbildet, gilt HomA0 [R] (⌧A0 [R] A0 , P (!)) ⇠ = HomA0 [R] (⌧A0 [R] A0 , R). 41

Mit Hilfe von 2.2.3 erhalten wir HomA0 [R] (⌧A0 [R] A0 , R) ⇠ = HomA0 (⌧A0 A0 , R) ⇠ = ⌧A0 R. Beachtet man weiterhin, daß EndA0 [R] (P (!)) ⇠ = k gilt, da der K¨ocher von A0 [R] keine orientierten Zyklen enth¨ alt, so erh¨ alt man   End(P (!)) HomA0 [R] (⌧ A0 , P (!)) ⇠ k ⌧A0 R End(T ) ⇠ = A0 [⌧A0 R]. = = 0 End(⌧ A0 ) 0 A0 (b) Ist A0 [R] eine Kippalgebra vom Typ A, so existiert ein Kippmodul T in mod A mit EndA (T ) = B⇠ = A0 [R]. Bezeichne F den Kippfunktor Hom(T, ). Der Modul T besitzt eine Zerlegung T = X T0 , so daß X unzerlegbar ist und F (T0 ) pr¨aprojektiv in mod B ist mit End(T0 ) ⇠ = A0 . Der Endomorphismenring von T berechnet sich als   End(X) Hom(T0 , X) ⇠ k Hom(T0 , X) End(T ) ⇠ , = = 0 End(T0 ) 0 A0 wobei Hom(T0 , X) = rad F (X) eine A0 -Struktur tr¨agt. Nach 5.2.3 existiert ein Automorphismus : A0 ! A0 mit ⌃(rad F (X)) ⇠ = R. In mod B ist der Modul F (X) ⌧B F (T0 ) ein Kippmodul, der ganz in Y(T ) enthalten ist. Wenden wir auf diesen Modul den Kippfunktor G = ⌦B T an, so erhalten wir den A-Kippmodul T 0 = G(F (X) ⌧B F (T0 )). Nach 2.2.3 ist ⌧A0 [R] A0 ⇠ = ⌧A0 A0 , und somit gilt EndA (T 0 )

⇠ = ⇠ =

EndB (F (X) ⌧B F (T0 )) ⇠ = EndA0 [R] (F (X) A0 [⌧A0 rad F (X)] .

⌧A0 [R] A0 )

Dies zeigt, daß A0 [⌧A0 rad F (P )] eine Kippalgebra vom Typ A ist. Da ⌃(rad F (X)) ⇠ = R gilt, ist A0 [⌧A0 rad F (X)] nach 5.2.1 isomorph zu A0 [⌧A0 R]. Ist A0 [R] eine Kippalgebra, so ist noch ungekl¨art, ob dann auch A0 [⌧ R] eine Kippalgebra ist. Der n¨ achste Paragraph wird diese Frage beantworten.

5.3

Wann sind Einpunkt-Erweiterungen Kippalgebren?

Genauer formuliert lautet die Leitfrage dieses Paragraphens: Sei A0 eine wilde erbliche Algebra und R 6= 0 ein regul¨ arer Modul. Welche Bedingungen sind notwendig und hinreichend daf¨ ur, daß A0 [R] eine Kippalgebra ist. Eine teilweise Antwort gibt folgendes Theorem: Theorem 5.3.1 Sei A0 eine wilde erbliche Algebra und R 2 mod A0 ein von Null verschiedener regul¨ arer Modul. Ist A0 [R] eine Kippalgebra, so ist O+ (⌧A0 R) ein regul¨ arer Mono-Orbit. Beweis: Nach Voraussetzung existiert eine wilde erbliche Algebra A und ein Kippmodul TA mit B = End(T ) ⇠ = A0 [R]. Sei F der Kippfunktor HomA (T, ). Der Modul T besitzt eine Zerlegung T = X T0 , so daß F (T0 ) pr¨ aprojektiv in mod B ist und End(T0 ) ⇠ = A0 gilt. Der Modul X ist unzerlegbar. Nehmen wir an, daß X pr¨ainjektiv in mod A ist. Sei f : X ! I(a) eine von Null verschiedene Abbildung in einen unzerlegbaren injektiven Modul. Dann ist F (f ) : F (X) ! F (I(a)) eine von Null verschiedene Abbildung im endlichen Radikal, also ist F (X) in der Verbindungskomponente, ein Widerspruch. Da X auch nicht pr¨aprojektiv in mod A sein kann, ist X regul¨ar. X ist sogar quasi-einfach, ansonsten w¨ aren einige Summanden von T0 in dem Fl¨ ugel mit Spitze X enthalten. Sei Q ein minimaler projektiver Generator in X ? , C = EndA (Q) und M = H([2]X) 2 mod C. Satz 5.1.1 besagt, daß O+ (⌧C M ) ein regul¨arer Mono-Orbit in mod C ist. In mod B gilt HomB (F (X), F (T0 )) = 0, da F (T0 ) pr¨aprojektiv ist, nicht jedoch F (X). Dann gilt HomA (X, T0 ) = 0 und wir erhalten T0 2 X ? . Aus Ranggr¨ unden folgt nun mit Hilfe von 2.1.5, daß H(T0 ) ein Kippmodul in mod C ist. Da End(H(T0 )) eine erbliche Algebra ist, muß der Kippmodul H(T0 ) nach [19, §5.6] entweder pr¨aprojektiv oder pr¨ainjektiv sein. Wendet man den Funktor Hom(T0 , ) auf die Auslander-Reiten Folge 0 ! ⌧ X ! [2]X ! X ! 0

42

an, so erh¨ alt man ExtA (T0 , [2]X) ⇠ = ExtC (H(T0 ), M ) = 0. In mod C ist H(T0 ) ein Kippmodul, somit erzeugt H(T0 ) den Modul M . Der Modul M ist regul¨ar in mod C, somit muß H(T0 ) pr¨ aprojektiv in mod C sein. F˜ sei der Kippfunktor HomC (H(T0 ), ) : mod

C ! mod

A0 .

Der Funktor F˜ ergibt f¨ ur zwei regul¨ are C-Moduln R1 , R2 eine Bijektion HomC (R1 , R2 ) ! HomA0 (F˜ (R1 ), F˜ (R2 )), die injektive Abbildungen in injektive Abbildungen u uhrt. Somit ist O+ (F˜ (⌧C M )) ein regul¨arer ¨berf¨ ˜ Mono-Orbit in mod A0 . Die Algebren A0 [R] und A0 [F (M )] sind isomorph, da  Hom(X, X) Hom(T0 , X) A0 [R] ⇠ = B = EndA (X T0 ) ⇠ = 0 Hom(T0 , T0 ) ⇠ Hom(T0 , [2]X) gilt wir also mit der Aquivalenz ¨ wobei Hom(T0 , X) = H = Hom(Q, ) : X ? ! mod C den Isomorphismus   Hom(X, X) Hom(T0 , X) ⇠ k Hom(H(T0 ), M ) ⇠ = = A0 [F˜ (M )] 0 Hom(T0 , T0 ) 0 Hom(H(T0 ), H(T0 )) erhalten. Nach 5.2.3 existiert ein Automorphismus O+ (⌧A0 R) ein regul¨ arer Mono-Orbit.

: A ! A mit ⌃(F˜ (M )) ⇠ = R. Somit ist

F¨ ur jeden elementaren Modul R gibt es eine Zahl N 2 IN , so daß O+ (⌧ n R) kein regul¨arer Mono-Orbit ist, f¨ ur alle n N . Insbesondere ist dann A0 [⌧ n R] keine Kippalgebra. Ist A0 [R] eine Kippalgebra, so besagt 5.2.4(a), daß A0 [⌧ n R] zumindest eine iterierte Kippalgebra ist f¨ ur alle n 2 IN . Korollar 5.3.2 Sei A0 eine wilde erbliche Algebra und R 6= 0 ein regul¨ arer Modul. Dann existiert eine Zahl N 2 IN , so daß A0 [⌧ n R] keine Kippalgebra ist f¨ ur alle n N .

43

Kapitel 6

Anwendungen der Theorie Im ersten Paragraphen dieses Kapitels bestimme ich f¨ ur die n-Unterraum-Algebra kUn (n 5) alle ⌧ -Orbits elementarer Steine. Dieses Wissen erm¨oglicht es in §2 alle Algeben zu bestimmen, die kUn (n 5) unmittelbar dominieren. Im dritten Paragraphen setze ich voraus, daß f¨ ur eine wilde erbliche Algebra C gen¨ ugend viele Coxeter-Bahnen elementarer Moduln“ bekannt sind. Ein dort ” beschriebener Algorithmus liefert eine endliche Menge M von Polynomen. Dominiert eine wilde erbliche Algebra A die Algebra C unmittelbar, so gilt A 2 M.

6.1

Elementare Steine in wilden erblichen Unterraum-Algebren

In diesem Paragraphen bestimme ich f¨ ur die Wegealgebra des K¨ochers 0 ✓@ I (n 5), @ 1 ... n die sogenannte n-Unterraum–Algebra alle ⌧ -Orbits elementarer Steine. Mit W sei die Menge derjenigen Steine bezeichnet, deren Dimensionsvektoren in der Menge Un =

1 I { ✓@ @ , wobei 2  x1 . . . xn

n X i=1

xi  n

3, xi 2 {0, 1} f¨ ur 1  i  n } ,

enthalten sind. Man u ¨berzeugt sich leicht (siehe Abbildung 1), daß W nur regul¨are Moduln enth¨alt. Da diese Moduln nur injektive Moduln als echte Faktormoduln haben, ist W eine Menge elementarer Steine. Nach [11] ist jeder regul¨ are Stein in mod kUn (n 5) bereits quasi-einfach.

44

1

n-2

@ @ 1 0 ... 0

@ @ 0 1 ... 1 @

✓ ⌘ ⌘

3Q ⌘⌘ Q

...

...

⌘ ⌘

@ @ 1 0 ... 0

✓

3 ⌘⌘

regul¨are

1 n-1 . . ⌘ ⌘ . . @ @ @ @ . . Q Q 3 ⌘ ... ... 0 0 1 1 ⌘ Q Q ⌘ Q Q ⌘ QQ QQ @ @ ✓ s⌘ s @ @ R @ @ R 1 n-2 45

AA@ @ 0 ... 0 1

0

@ @ 0 1 ... 1

@ ✓ @ Q 3 3 ⌘⌘ ⌘⌘ R @ Q ⌘ ⌘ Q ⌘ ⌘ QQ n-1 1 . . s ⌘ ⌘ . . @ @ @ @ . . Q Q 3 ⌘ ... ... n-2 n-2 Q 1 1 ⌘ Q ⌘ Q Q ⌘ QQ Qs @ @ ✓ s⌘ Q @ @ R @ R @ 1 0

✓

@ R @ Q QQ s

1

Komponenten

AA@ @ ... 1 ... 1 0

AA@ @ 1 ... 1 0

...

Abbildung 1: Der Auslander-Reiten K¨ocher von mod

kUn f¨ ur n

AA@ @ 0 ... 0 1

4

F¨ ur ein i mit 2  i  n

2 sind folgende Dimensionsvektoren ein Teil der Dimensionsvektoren eines ⌧ -Orbits: (Die ⌧ -Richtung gehe von rechts nach links.) Beachte, daß die Werte an den Stellen 1, . . . , i der K¨ ocher u ¨bereinstimmen. i-1

...

...

n-3 ⇥⇥ @ @ n-3 n-3 n-4 ... n-4

⇥ B @ @ i-2 ... i-2 i-1 ... i-1

1

n-i-1

@ @ ⇥ ⇥ @ @ 1 ... 1 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 1 F¨ ur i = 2 ergibt sich insbesondere:

1

1

n-3

@ @ @ @ @ @ 0 0 1 ... 1 1 1 0 ... 0 0 0 1 ... 1 Abbildung 2: ⌧ -Orbits elementarer Steine in mod kUn (n

n2 -(i+3)n+2i+1 ⇥ B @ @ n-i-1... n-i-1 n-i-2... n-i-2

...

n2 -5n+5 @ @ n-3 n-3 n-4 ... n-4 5)

...

Nehmen wir an, daß zwei verschiedene Moduln X, Y aus W in der gleichen ⌧ -Bahn liegen. Ist Y = ⌧ n X f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n, so gilt n 3 (siehe Abbildung 2). Aus [31, 4.3] folgern wir, daß es keine Ausnahmekomponente in mod kUn gibt. Somit gilt Hom(X, ⌧ Y ) 6= 0. Es existieren also zwei injektive Abbildungen X ! Y und X ! ⌧ Y . Die Dimensionsvektoren von Y und ⌧ Y zeigen aber, daß dies unm¨ oglich ist. Ziel dieses Paragraphen ist es, folgenden Satz zu beweisen: Satz 6.1.1 Sei A die n-Unterraum–Algebra kUn f¨ ur n 5. Dann ist jeder elementare Stein von mod A im ⌧ -Orbit genau eines Steins von W enthalten. Sei X 2 mod kUn ein elementarer Stein. Nach 4.3.1 gibt es ein z 2 ZZ und ein i0 2 {1, . . . , n}, so daß Hom(P (i0 ), ⌧ z X) = 0 ist. Sei f : Un ! Un der Automorphismus von Un , der auf den Punkten definiert ist durch 8 falls i = i0 ist < n i0 falls i = n ist f (i) = : i sonst

und : kUn ! kUn der zugeh¨ orige K¨ ocher-Automorphismus. Dann gilt Hom(P (n), ⌃(⌧ z X)) = 0. Ich zeige, daß jeder elementare Stein Y mit Hom(P (n), Y ) = 0 im ⌧ -Orbit eines Moduls aus W enthalten ist. Da W abgeschlossen ist gegen die oben konstruierten K¨ ocher-Automorphismen, gen¨ ugt dies, um 6.1.1 zu beweisen. Im folgenden identifiziere ich mod kUn 1 mit der vollen Unterkategorie von mod kUn , die aus den Moduln Y mit Hom(P (n), Y ) = 0 besteht. Sei Y ein elementarer Stein in mod kUn . Gilt Hom(P (n), Y ) = 0, so ist Y entweder pr¨aprojektiv, pr¨ainjektiv oder elementar in mod kUn 1 . Folgendes Lemma kl¨ art die beiden F¨ alle, in denen der Stein pr¨aprojektiv oder pr¨ainjektiv ist. Zur Vereinfachung der Notation bezeichne ich die Unteralgebra kUn 1 mit B. Lemma 6.1.2 Die pr¨ aprojektiven und die pr¨ ainjektiven Moduln in mod mod A sind, liegen in ⌧ -Orbits von Moduln aus W.

B, die elementar in

Beweis: Ich zeige die Aussage f¨ ur pr¨ aprojektive Moduln. Der Beweis f¨ ur pr¨ainjektive Moduln verl¨ auft analog. Ein Vergleich der Dimensionsvektoren pr¨aprojektiver B-Moduln und pr¨aprojektiver A-Moduln (siehe Abbildung 1) ergibt, daß die Moduln ⌧B P (i) f¨ ur 1  i  n 1 regul¨ar in mod A sind, jeder echte Vorg¨ anger einer dieser Moduln jedoch nicht. Diese Moduln sind also elementar in mod A, und es gilt f¨ ur den unzerlegbaren A-Modul M mit Dimensionsvektor ⇢ 1 j 2 {0, i, n} M (j) = 0 sonst ⌧A M = ⌧B P (i) f¨ ur 1  i  n 1. Das Lemma ist somit bewiesen, wenn wir noch zeigen, daß BModuln der Form ⌧B l P (i) nicht elementar in mod A sind f¨ ur alle l 2 und alle i 2 {0, . . . , n 1}. F¨ ur l 2 zeigt die Auslander-Reiten Folge 0 ! ⌧B1 l P (1) ! ⌧B l P (0) ! ⌧B l P (1) ! 0, daß der Modul ⌧B l P (0) in mod A nicht elementar ist. Nun zu den Moduln der Form ⌧B l P (i) mit l 2 und i 2 {1, . . . , n 1}. Wir w¨ ahlen ein j 2 {1, . . . , n 1} mit j 6= i. Da Hom(P (j), ⌧B P (i)) von Null verschieden ist, aber Hom(P (j), P (i)) = 0 gilt, k¨onnen wir 1.4.8 auf eine von Null verschiedene Abbildung P (j) ! ⌧B P (i) anwenden und erhalten eine exakte Folge unzerlegbarer Moduln 0 ! P (j) ! ⌧ P (i) ! C ! 0. Aufgrund seines Dimensionsvektors ist C regul¨ar in mod

B. Die exakte Folge

0 ! ⌧B1 l P (j) ! ⌧B l P (i) ! ⌧B1 l C ! 0 zeigt, daß ⌧B l P (i) nicht elementar in mod

A ist f¨ ur l

2.

Beweis von Satz 6.1.1: Nach der Vorbereitung durch 6.1.2 gen¨ ugt es zu pr¨ ufen, ob alle elementaren B-Moduln, die auch in mod A elementar sind, bereits in den ⌧ -Bahnen von Moduln aus W vorkommen. Da der Fall n = 5 nach der Liste in [10] bereits klar ist, k¨onnen wir voraussetzen, daß der Satz f¨ ur kUn 1 bereits bewiesen ist. Zuerst werden wir die Existenz folgender Sequenzen unzerlegbarer B-Moduln beweisen: n-5 @ 0 ! ⇥ B @ n-5 n-5 n-5 n-6 . . . n-6

n-4 ⇥ @ ! ⇥ @ n-4 n-4 n-5 . . . n-5 46

1 !

@ ⇥ @ . 1 1 0 1 .. 1

!0

(n-1)2 -5(n-1)+5

n-3

(n-1)2 -6(n-1)+7

@ ⇥ ! ! ⇥ B @ @ ⇥ ⇥ B @ n-4 n-4 n-5 . . . n-5 n-5 n-5 n-6 n-5 1 1 1 0 1 ... 1 Die Existenz der ersten kurzen exakten Folge sieht man folgendermaßen ein: 0 !

B @ !0 B @ n-6 . . . n-6 Der Modul

n-4

1

@ @ = ⌧B @ @ . . . n-5 . . . n-4 n-4 n-5 0 0 1 1 bildet in den injektiven Modul I(3) hinein ab, aber nicht in ⌧B I(3), da 1

⌧B

1 @ = @ . @ @ 0 0 1 ... 1 1 1 0 ... 0

Nach 1.4.8 erhalten wir einen Epimorphismus 1

0

@ @ 0 0 1 ... 1

!

@ ⇥ @ 0 0 1 0 ... 0

mit unzerlegbarem regul¨ aren Kern. Verschieben wir diese kurze exakte Folge um ⌧ , so erhalten wir die erste der beiden obigen Folgen. F¨ ur die zweite Folge k¨ onnen wir analog argumentieren, indem wir einen Monomorphismus von einem pr¨aprojektiven Modul in den Mittelterm der zweiten Folge betrachten, der die Voraussetzungen von 1.4.8 erf¨ ullt. Verschiebt man nun die erste Folge in ⌧ -Richtung und die zweite in ⌧ -Richtung, so sieht man, daß im ⌧ -Orbit (siehe Abbildung 2) von 1 @ @ 1 1 0 ... 0 nur folgende Moduln auch elementar in mod 1

A sind: 1

@ @ 0 0 1 ... 1

,

@ @ 1 1 0 ... 0

n-4 ,

A@ A@ 0 ... 0 1 1

Anhand von Abbildung 2 sieht man schnell, daß diese Moduln in den ⌧ -Orbits von Moduln aus W liegen. Nun sind noch die u ¨brigen ⌧ -Orbits elementarer Steine zu untersuchen. Auch hier beweist man ahnlich die Existenz kurzer exakter Folgen. Bei den beiden folgenden kurzen exakten Folgen haben ¨ die Mittelterme an den Punkten 1, . . . , i (3  i  n 3) die gleichen Werte (i 2 bzw. n i 2): i-2 0!

i-1

@ ⇥ B @ i-3 . . . i-3 i-2 . . . i-2

n-3

!

@ ⇥ B @ i-2 . . . i-2 i-1 . . . i-1

1 !

A @ !0 @ A 1 ... 1 0 1 ... 1

(n-1)2 -(i+3)(n-1)+2i+1 (n-1)2 -(i+4)(n-1)+2i+3 @ @ ! ! !0 ⇥ B @ ⇥ B @ n-i-2... n-i-2 n-i-3... n-i-3 n-i-3... n-i-3 n-i-4... n-i-4

A @ A @ . . . 1 1 0 1 ... 1 Ein Vergleich mit Abbildung 2 zeigt auch hier, daß alle Moduln in den verbleibenden ⌧ -Orbits, die elementar in mod A sind, in den ⌧ -Orbits von Moduln aus W enthalten sind. 0!

47

6.2

Dominierendes Verhalten der Unterraum-Algebren

Mit Ur,s,t bezeichne ich den folgenden K¨ocher: s+2

Ur,s,t

r+s+2

@ R .@ = r . . ✓ r+s+1

- ...

1

- s+1

.. .t I @ @ r+s+t+1

F¨ ur eine Bipartition (r, t) von n mit 2  r, t  n 2 dominiert B = kUr,1,t unmittelbarer A = kUn . Dies sieht man folgendermaßen: ˜ Der einfache B-Modul S(1) ist regul¨ ar, da er bereits Ln in dem Unterk¨ocher der Form Ds+4 ?regul¨ar ist [10]. Wir setzen X = ⌧B S(1) und w¨ahlen i=2 P (i) als projektiven Generator in X . Man sieht nun, daß X ? ⇠ = mod A gilt. Satz 6.2.1 Die wilde erbliche Unterraum-Algebra A = kUn (n 5) wird, bis auf einen zul¨ assigen Orientierungswechsel, nur von den Algebren kUr,1,t mit r + t = n, 2  r, t  n 2 unmittelbar dominiert. Beweis: Es gen¨ ugt zu zeigen, daß Einpunkt-Erweiterungen von A mit elementaren Moduln, die Kippalgebren ergeben, nur Kippalgebren vom Typ kUr,1,t ergeben f¨ ur eine Bipartition (r, t) von n mit 2  r, t  n 2. Ist B eine wilde erbliche Algebra, die einen quasi-einfachen Stein X besitzt mit X ? ⇠ = mod A, so gilt nach 3.2.2 Ext([2]X, [2]X) = 0, da H 1 (kUn ) = 0 ist. Es gen¨ ugt, Einpunkt-Erweiterungen von A mit elementaren Steinen zu betrachten. Nach 6.1.1 und 5.2.4(b) sind wir fertig, falls die Einpunkt-Erweiterungen mit unzerlegbaren Moduln, deren Dimensionsvektoren in der Menge 1 I { ✓@ @ wobei 2  x1 . . . xn

n X i=1

xi  n

3, xi 2 {0, 1} f¨ ur 1  i  n }

liegen, Kippalgebren vom Typ kUr,1,t ergeben. F¨ ur r, t mit r +t = n und 2  r, t  n 2 betrachten wir in mod kUr,1,t den unzerlegbaren Modul X = ⌧ S(1) mit Dimensionsvektor 1 dim X =

Der Modul [2]X hat in mod

kUr,1,t

0 @ R @ .. r-1 - r-1 ... t . I @ @ ✓

.

r

1 den Dimensionsvektor

0

1 @ R @ .. r . ✓

dim [2]X =

und somit in mod onsvektor

0 r

. - r-1 .. t I @ @

1 0 Ln A (bzgl. des minimalen projektiven Generators i=2 P (i)) den Dimensi1

0

@ R @ . r . r-1 . ✓ 1

.. . t = dim ⌧A I @ @ 0

1 ✓ ⇤⌫ ⇤ 0 ... 0

OC @ I C @ 1| .{z . . 1} t-St¨ uck

.

Mit Lemma 5.2.1 sehen wir nun, daß die Einpunkt-Erweiterungen von A mit Moduln aus W Kippalgebren vom Typ Ur,1,t ergeben.

48

6.3

Das Coxeter-Polynom als Entscheidungshilfe

Sei A1 , . . . , As eine Liste wilder erblicher Algebren, die eine gegebene wilde erbliche Algebra C unmittelbar dominieren. Im vorangegangenen Paragraphen haben wir gesehen, daß man mit Hilfe elementarer Moduln die Vollst¨ andigkeit (bis auf zul¨assigen Orientierungswechsel) dieser Liste pr¨ ufen kann. Dieser Paragraph stellt zuerst notwendige Bedingungen zusammen, die erf¨ ullt sein m¨ ussen, falls eine wilde erbliche Algebra A mit n(A) = n(C) + 1 die Algebra C unmittelbar dominiert. Zuerst berechnet man die Coxeter-Polynome A (t) C (t)

= =

tn + a 1 tn 1 + . . . + a n , t n 1 + c 1 tn 2 + . . . + c n

1

von A und C. Diese ganzzahligen Polynome lassen sich zum Beispiel mit dem Verfahren von ” Faddejew“ (siehe [17, IV,§5]) sehr gut berechnen. Da A , C reziproke Polynome sind, gen¨ ugt es a1 , . . . , a[ n+1 ] und c1 , . . . , c[ n2 ] zu berechnen. Die Coxeter-Polynome m¨ ussen nach 3.2.2, 3.2.3 und 2 2.4.1 folgende Bedingungen erf¨ ullen: (↵) dimk H 1 (A) = 1

a1  1

( ) Gilt a1 = c1 , so muß a2

c1 = dimk H 1 (C) c2 erf¨ ullt sein.

( ) F¨ ur die Wachstumszahlen gilt %(A)  %(C). Dominiert A unmittelbar C, so gibt es nach 2.2.5 einen Modul R in mod C, so daß C[R] eine Kippalgebra vom Typ A ist. Nach 5.1.1 ist R ein elementarer Modul. Die Coxeter-Matrix von C[R] berechnet sich wie in Satz 2.2.4 angegeben aus dim R. Nach 2.1.4 sind die Coxeter-Matrizen von A und C[R] zueinander konjugiert, und somit die Coxeter-Polynome A und C[R] identisch. Seien (Ri )i2I alle elementaren Moduln in mod C. Nach Theorem 4.2.1 sind die Dimensionsvektoren (dim Ri )i2I in endlich vielen Coxeter-Bahnen enthalten. Das folgende Korollar besagt, daß die Menge { C[Ri ] | i 2 I} nur endlich viele Coxeter-Polynome enth¨alt. Korollar 6.3.1 Sei C eine wilde erbliche Algebra und R 6= 0 ein regul¨ arer Modul. Dann gilt f¨ ur alle n 2 ZZ: C[R] = C[⌧ n R] . Beweis: Nach 5.2.4(a) ist C[⌧ R] eine Kippalgebra von C[R]. Satz 2.1.4 besagt

C[R]

=

C[⌧ R] .

F¨ ur 1  i  s seien ri 2 ZZ n(C) Dimensionsvektoren elementarer Moduln Ri , d.h. ri = dim Ri . Die Menge {r1 , . . . , rs } erf¨ ulle folgende Bedingung: (B) Ist R ein elementarer Modul in mod C mit dimk Ext(R, R)  dimk H 1 (C), so existiert ein i0 2 {1, . . . , s} und eine Zahl N 2 ZZ mit dim R = ri0 N . Dann gilt: Dominiert eine Algebra A unmittelbar die Algebra C, so ist A enthalten in der Menge M = { C[Ri ] | 1  i  s}. Die Menge M kann unter Ber¨ ucksichtigung der Kriterien (↵), ( ) und ( ) eventuell noch verkleinert werden.

49

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