Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven eines Linienkomplexes [Reprint 2019 ed.] 9783111560021, 9783111189376

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters in Heidelberg.

Universitätsbuchhandlung

Im, Verlag von Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin erschienen:

Abteilung A. Mathematisch-physikalische Wissenschaften. 1.

J a h r g a n g 1922. Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen. Reichsmark 0"30 P E R R O N , O S K A R . Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen. Reichsmark 0 60 BALDTJS, R I C H A R D . Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven. Reichsmark 0'50 J a h r g a n g 1923. DEECKE, W . MitteleuropäischeMeeresströmungen der Vorzeit. Reichsmark 0 ' 6 0 LIEBMANN, H E I N R I C H . Die LIE'sche Cyklide und die Inversionskrümmung. Reichsmark 0*40 PEBRON, OSKAB. Über Gleichungen ohne Affekt. Reichsmark 0 ' 4 0 LIEBMANN, H E I N R I C H . Beiträge zur Inversionsgeometrie III. Reichsmark 0 4 0 K R A T Z E R T , J. Beitrag zur Kenntnis des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 0 50 J a h r g a n g 1924. T H . C U R T I U S und A . BERTHO. Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stickwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische KohlenwasserstoffeReichsmark Ö-50 LIEBMANN, H E I N B I C H . Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Reichsmark 0P60 SALOMON, W I L H E L M . Die Itensitäten alluvialer und diluvialer geologischer Vorgänge und ihre Einwirkung auf die pliocäne Rumpffläche des Kraichgaues und Odenwaldes. Reichsmark 1'20 H E I T T E R , L. Zur absoluten Geometrie. Reichsmark 0'60 VAN W E R V E K E , L. Über die Entstehung der lothringischen Lehme und des mittelrht inischen Lößes. Reichsmark 150 KRULL, WOLFGANQ. Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe. Reichsmark 0-50 ROESEB, E R N S T . Übergang von der nichteuklidischen Streckentrigonometrie zur Winkelmessung. Reichsmark 0 30 WELLSTEIN, J U L I U S . Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven. Reichsmark 1'50 EWAT.D R U D O L F . Die geodynamischen Erscheinungen des kiystallinen Odenwaldes als Beispiel einer geoisostatischen Ausgleichsschwingung. Reichsmark 1'50 VOELCKER, ILSE. Über eine ganz junge Verwerfung bei Rauenberg im Kraichgau. Reichsmark 0 3 0 LIEBMANN, H E I N R I C H . Die Aufschließung von Differentialinvarianten. Reichsmark 0-50 ¡Fortsetzung siehe 3. UmeeJilagsseite.J PERRON, O S K A R .

2.

3. 1. 2. 3. 4.

5. 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7.

8. 9. 10. 11.

Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Wiiiters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind' nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch - naturwissenschaftliche J a h r g a n g 1928.

Klasse

9. A b h a n d l u n g .

Die Sätze von Lie und Gambier Uber Kurven eines Linienkomplexes Von

Heinrich Liebmann in H e i d e l b e r g

Vorgelegt in der Sitzung vom '28. Juni 1928

Berlin

und

Leipzig

1928

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l J, T r ü b n e r / V e i t & C o m p .

Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven eines Linienkomplexes. S O P H D S L I E hat zuerst bewiesen, daß alle von einem Punkt ausgehenden Kurven eines linearen Komplexes die Nullebene des Punktes daselbst zur gemeinsamen Schmiegungsebene haben und dieselbe Torsion besitzen.1) Geht man zu nichtlinearen Linienkomplexen über und betrachtet alle Komplexkurven, die von einem Linienelement ausgehn, so haben sie zwar noch die Schmiegungsebene gemein (die Tangentialebene des dem Punkt zugeordneten Komplexkegels längs der Erzeugenden, der das Linienelement angehört), nicht aber, wie LIE vermutete, die Torsion. Soll dies überall gelten, dann muß der Kegel eine Ebene, der Komplex also ein Nullsystem sein.

Diese Ergebnisse hat neuerdings Herr GAMBIER 2 ) ganz wesentlich ergänzt, er gibt eine sehr schöne differentialgeometrische Konstruktion an, die Torsion und Krümmung der von einem Linienelement ausgehenden Komplexkurve in einfachster Weise mit der Torsion der von demselben Linienelement ausgehenden Kurven des berührenden linearen Komplexes und der sehr zweckmäßig hier eingeführten „Kegelkrümmung" des Komplexkegels verbindet. Die folgenden Zeilen sind der Aufgabe gewidmet, auf analytischem Weg das GAMBIER sehe schöne Ergebnis zu beweisen. Der erste Beweis geht von spezieller Lage und spezieller Wahl der Linienkoordinaten aus, gewährt daher die einfachste analytische Einsicht; der zweite ist den doch recht oft gegen solche „spezielle Wahl" aus Gründen der Strenge oder der Eleganz ausgesprochenen Einwänden nicht ausgesetzt, aber die nachträgliche Deutung erscheint ziemlich unvermittelt. ') Vgl. SOPHUS LIE, Gesammelte Abhandlungen I I I , Abhandlungen zur Theorie der Differentialgleichungen, herausgegeben von Friedrich Engel (Leipzig 1922), Seite 560—562 sowie Seite 770. ' ) B . GAMBIER, Courbure et torsion des courbes d'un complexe linéaire ou non linéaire. Bulletin des sciences mathématiques L, 1826, 1, p. 43—50.

4

HEINRICH

§ 1.

LIEBMANN:

Erster Beweis.

Als eine Nullebene des linearen Komplexes wählen wir die xyEbene, die Gerade x = s = 0 soll eine Komplexgerade sein. Dann hat der Komplex die Gleichung xz' — z = a (xy' -y)-\- bs, er ist in sogleich genauer anzugebender Weise „berührender linearer Komplex" für alle Komplexe, deren Gleichung „in aufgelöster Form" durch 1( xz' — s = a (xy' — y) + M -\-Aan ( in den fv festzuhalten sind, die sechs partiellen Differentialquotienten sind konstant. D a die von demselben Linienelement ausgehenden K u r v e n des Berührungskomplexes u n d des allgemeinen Komplexes betrachtet werden, kann später die K o p f m a r k e 0 fortgelassen werden, ohne daß ein Mißverständnis d r o h t ; (4), (5) zeigt, daß die K u r v e n H a u p t n o r m a l e und Binormale gemein haben. Alo gilt f ü r die K u r v e des linearen Komplexes u n d daher

M i t Rücksicht auf (5) ist d a n n i i (6) — = -

, +

(3(S9?

wobei das Vorzeichen nicht allgemein festgelegt werden kann, weil (5) zur Bestimmung nicht ausreicht. D e r Zähler k a n n auch geschrieben werden ds

ds a X

y ds

ds

ds ß n

ds

ds

ds 7 v

ds

Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven eines Linienkomplexes.

Wir wenden uns jetzt der Kegelkrümmung x zu. kegel in x, y, 2 hat die Gleichung f(£-x,

tj-y,

£-z,

ty

- rjZ, & - 'Qx, i]X-£y)

7

Der Komplex= 0

Die Tangentialebene längs der Mantellinie g0, nämlich ist aus (1) durch gegeben, und die Kegelkrümmung x längs g0, d. h. der Grenzwert des Winkels der Tangentialebenen längs g0 und einer benachbarten Mantellinie g, dividiert durch den Winkel dieser Mantellinien — für den Fall, daß g in g0 übergeht, durch df±df

7)

x =

2 3a dv da

2df±df da dv da

d lY l^dü da)

2 © ° (2(1)?

Bei dieser Differentiation ist

2dal d

^dv = 0

Man kann mit Rücksicht auf (4) also da du

setzen, was mit zusammenzuhalten ist.

j dß * /f« dv

dy

' dv'

da _ l dß _m dv ~ r' ds~ r'

dy _n ds~ T

Man sieht jetzt, daß die Beziehung gilt

dfr , /Jo "T"

dft ds

dft y ds

1 d r dv

Wir bilden sodann Z 2 und erhalten v/^aA

¿U

D a aber

2

2

2's

dv da

\

CIO

j ».w A

dv da

0

[dvdaj

2-£-o

8

HEINRICH LIEBMANN : D i e Sätze von Lie und Gambier.

und

2dv— da^ ^4- ^X

aber auch

da

r, - - n dv da ~ V

>

so ist also

=

— r* ^^df-y

( d i iB) ~~ ( 2 Xdv Fa) } r x f - ^ Y ^ { K V ^ s d i ^ d f y x \