Determinanten [Reprint 2019 ed.] 9783486772845, 9783486772838

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Heinrich Dörrie

Determinanten

München und B e r l i n 1940

Verlag von R . O l d e n b o u r g

C o p y r i g h t 1940 by R . O l d e n b o u r g , M ü n c h e n u n d Berlin Druck von R.Oldenbourg, München P r i n t e d in G e r m a n y

Vorwort. In allen Zeiten ist es das Bestreben der Mathematiker gewesen, zur Lösung ihrer Probleme passende Hilfsmittel zu schaffen, die ihre o f t mühsame Arbeit erleichtern können. Eins der wichtigsten und wertvollsten dieser Hilfsmittel ist die Lehre von den Determinanten. Die Vorzüge dieses Rechenverfahrens sind in der Tat erstaunlich: Die Leichtigkeit seiner H a n d h a b u n g läßt nichts zu wünschen übrig. Die mit ihm verbundenen Beweise sind fast ausnahmslos elementar. Die zum Ziele führenden Wege sind im Gegensatz zu anderen zweckdienlichen Methoden angenehm und kurz, oft von faszinierender Kürze. Trotz dieser unzweifelhaft bestehenden Vorzüge ist die Determinantenlehre immer noch weit davon entfernt, Gemeingut aller mathematisch interessierten Kreise zu sein, gilt sie sogar vielfach noch als trocken. Dieses Vorurteil zu entkräften, ist eine der beiden Aufgaben dieses Buches; die andere besteht darin, den Studierenden der Mathematik, sowie jeden, der für die Schönheit mathematischen Denkens empfänglich ist, so bequem wie möglich mit der Wirksamkeit der Determinantenmethode v e r t r a u t zu machen und ihn zu eigener Arbeit auf diesem Felde anzuregen. Dieses erstrebenswerte Ziel suchte der Verfasser durch Beachtung der folgenden drei Gesichtspunkte zu erreichen: 1. Die theoretischen Entwicklungen wurden, um nicht von vornherein durch zu starken U m f a n g abschreckend zu wirken, in mäßigen Grenzen gehalten, ohne jedoch wesentliche Dinge auszulassen. 2. Auf einfache und übersichtliche Darstellung der Beweise wurde besonderer Wert gelegt. 3. Zahlreiche Anwendungen — sie füllen mehr als die Hälfte des Buches — setzen Notwendigkeit und Nutzen des Determinantenkalküls in helles Licht. Die Auswahl der Anwendungen erfolgte nach dem Grundsatz, ein möglichst vielseitiges und abwechslungsreiches Bild von der K r a f t der Determinantenmethode zu geben. Dem Zaudernden aber, dem Ungläubigen ist zu raten, sich durch den Vergleich mit den langatmigen anderen Methoden, wo die Wege 1*

—

4

—

so oft unübersichtlich, die Schwierigkeiten bisweilen unüberwindlich sind, von der Eleganz und Überlegenheit des Determinantenverfahrens zu überzeugen. Er wird zur Erkenntnis kommen, daß es trotz Euklid Königswege in der Mathematik gibt. Den Anstoß zur Niederschrift dieses Buches verdanke ich der Tatkraft und dem hohen wissenschaftlichen Interesse meines Freundes Dr. med. et ehem. Hugo Heiß. Es gereicht mir zu großer Freude, ihm auch an dieser Stelle meinen Dank aussprechen zu können. Nicht minder bin ich zu Dank verpflichtet Herrn Wilhelm von Cornides, der das Erscheinen meiner Arbeit im Verlag R. Oldenbourg, München, trotz der schwierigen Zeitlage ermöglichte. W i e s b a d e n , im Frühjahr 1940. Heinrich Dörrie.

Inhaltsverzeichnis. Theorie. Seite,

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. § 13. § 14. § 15. §16. § 17. §18. §19. § 20. § 21.

Permutationen und Inversionen Begriff der Determinante Entwicklung nach Adjunkten Säumung Die Vertauschungssätze Der Additionssatz Der Satz von Laplace Der Multiplikationssatz Matrizen L a n g p r o d u k t und Kurzprodukt R a n g einer Matrix Cramers Regel Der Satz von Rouche-Capelli Homogensysteme Lösungssysteme D e r Verhältnissatz Ableitung einer Determinante Die Reziproke Symmetrie Schiefe Symmetrie und Schiefe Der Satz von Hadamard

7 9 15 18 21 24 28 32 35 45 50 55 57 62 65 74 77 83 85 89 93

Anwendungen. Arithmetische § 22. § 23. §24. § 25. §26. §27. § 28. §29. § 30. §31. § 32. § 33. §34. §35. § 36. §37.

Anwendungen.

Kubische und biquadratische Gleichungen Hermites Minimumaufgabe Rationalisator Algebraische Zahlen Newtonsummen Die Resultante Die Diskriminante Cauchys Mittelwertsatz Die Funktionaldeterminante Satz von der linearen Abhängigkeit Lineartransformationen Orthogonaltransformationen Linearformen Quadratische Formen Verwandlung quadratischer Formen in Quadratsuininen Die Säkulargleichung

97 100 104 107 110 112 122 127 129 136 139 144 151 154 159 164

—

6

—

Geometrische Anwendungen. °

§38. §39. § 40. § 41. §42. §43. § 44. §45. §46. §47. §48. §49. § 50. §51. § 52. § 53. §54. § 55.

Der Dreiecksinhalt Die Cosinusrelation Die Vierpunktrelation Ähnlichkeitsachsen Der Mongekreis Kegelschnitt als Geradenpaar Steiners Problem Tangentialgleichung der Kegelschnitte Winkelbeziehungen Abstand windschiefer Geraden Der Bckensinus Der Tetraederinhalt Der Cosinussatz des Tetraeders Fläche zweiten Grades als Ebenenpaar Zylinder zweiten Grades Kegel zweiten Grades Gleichung des Ellipsoids Die Hauptachsengleichung

„ Seite

170 174 177 179 181 183 185 188 189 192 192 195 201 202 205 208 210 211

Theorie. § 1. Permutationen und Inversionen. Bekanntlich lassen sich aus den n. »Elementen« 1, 2, 3, ..., //, n ! Permutationen von der Form P ^ f j e.i e3... cH bilden, in der ev e 2 ,.... cn die vorgelegten Elemente 1, 2, 3, ..., n in irgendeiner Reihenfolge sind. Die Permutation P0 = 1 2 3 ... „, in der jedes Element, an seinem natürlichen Platze steht, heißt, H a u p t permutation. Befindet sich in der Permutation P das Element i (wie in P0) an ¿l('r Stelle, so sagt man: »das Element i stellt an seinem natürlichen Platze«; befindet es sich an einer anderen Stelle, so heißt das Element v e r d r ä n g t oder d e p l a c i e r t . In der Permutation 1 4 3 5 2 der 5 Elemente 1, 2, 3, 4, 5 stehen die Elemente 1 und 3 an ihren natürlichen Plätzen, während 2, 4 und 5 deplaciert sind. Vertauscht man in der Permutation P nur zwei Elemente, etwa r und es, miteinander, so sagt man: »man wendet auf P die T r a n s p o s i t i o n (er es) an« oder auch: »man transponiert das Element er an die s t e Stelle«. Jede Permutation läßt sich durch eine Reihe sukzessiver Transpositionen aus P0 gewinnen oder auch in P0 überführen. Um z. B. die Permutation P in P0 zu verwandeln, transponiere man in P zunächst das Element 1 an die erste Stelle, in der entstehenden Permutation das Element 2 an die zweite Stelle usw., bis man P0 erhält. Von zwei in der Permutation P stehenden Zahlen e„ und e„ sagt man: sie bilden eine I n v e r s i o n , wenn die größere der beiden Zahlen in der Permutation der kleineren vorausgeht. Die Permutation 5 2 4 1 3 der 5 Elemente 1, 2, 3, 4, 5 z. B. hat die 7 Inversionen 52, 54, 51, 53, 21, 41, 43. Eine Permutation heißt g e r a d e (auch p o s i t i v ) oder u n g e r a d e ( n e g a t i v ) , je nachdem ihre I n v e r s i o n s z a h l , d. i. die Anzahl der in ihr vorhandenen Inversionen, gerade oder ungerade ist. Zwei Permutationen heißen g l e i c h a r t i g , wenn sie beide gerade oder beide un-

—

8

—

gerade sind; sie heißen u n g l e i c h a r t i g , wenn eine von ihnen gerade, die andere ungerade ist. V o n W i c h t i g k e i t ist folgender Satz. Inversionssatz

1.

Vertauscht man zwei Elemente einer P e r m u t a t i o n mite i n a n d e r , so ä n d e r t s i c h d i e I n v e r s i o n s z a h l u m e i n e u n gerade Zahl. B e w e i s . Die beiden zu vertauschenden Elemente seien x und ?/, x stehe links v o n y. Zunächst ist klar, daß diese Vertauschung hinsichtlich der Elemente, die n i c h t z w i s c h e n x und y stehen, keinerlei Inversionsänderung bewirkt. Von den z w i s c h e n x und y stehenden m Elementen mögen v o r der Vertauschung r Stück mit x Inversionen, die übrigen Q ( = m — r)Stück mit x keine Inversionen bilden, ebenso s Stück mit y Inversionen, die übrigen a ( = m — ,s)Stück mit y keine Inversionen bilden. N a c h der Vertauschung bilden die Zwischenelemente dann q Inversionen mit x, a Inversionen mit y. Hinsichtlich der Zwischenelemente hat sich also durch die Vertauschung die Inversionszahl um (q — r) + (er — s) vergrößert. Dies ist aber eine gerade Zahl 2 g, da (q — r) + (CT — s) =

(m. — 2 /•) +

(m — 2 s) = 2 (/» — r —s ) == 2 g.

Eine weitere Inversionszahländerung, und zwar um 1, tritt dadurch ein, daß entweder x und y vor der Vertauschung eine Inversion, nach ihr keine Inversion bilden oder umgekehrt erst nach der Vertauschung eine Inversion, v o r ihr keine bilden. Durch die Vertauschung ändert sich also die Inversionszahl um die ungerade Zahl 2 g = F 1. A u s Inversionssatz 1 folgt sofort der Die

aus d e n

Elementen

mutationen

umfassen

Permutationssatz:

1, 2, 3, ..., « g e b i l d e t e n ebensoviel

gerade

wie

n!

Per-

ungerade

Permutationen. Vertauscht man nämlich in allen n ! Permutationen die beiden Elemente 1 und 2 miteinander, so entstellen wieder alle n! Permutationen, nur in anderer Reihenfolge. Durch die Vertauschung gehen aber die geraden Permutationen in ungerade, die ungeraden in gerade über. Mithin muß die A n z a h l der geraden Permutationen ebenso groß sein wie die der ungeraden. Eine zweite wichtige Eigenschaft der Inversionszahl einer Permutation erhalten w i r durch Zerlegung der Permutation in zwei Gruppen und 33, von denen die erste, linke Gruppe die Elemente au a2, ..., «,, die zweite, rechte Gruppe die Elemente /J,, />2, ..., />„ umfassen möge. In der Permutation =

9158 =

« i cr2 a 3

• • •

ar

. . . bs

haben wir dann dreierlei Inversionen zu beachten:

—

9

—

1. Inversionen der a unter sich, 2. Inversionen der b unter sich, 3 . Inversionen, die die a mit den b bilden, und deren Anzahl // sei. Auf die B e s t i m m u n g von /t k o m m t es an. Die kleinste der Zahlen a sei die zweitkleinste x2 usw. bis Nun bildet =

A z + 2 J 2 J i x s r

r

xs

Csr.

Unser Ergebnis lautet: D i e m i t x1; x2, Determinante

Säumungssatz: ..., xn\ x1, x2, ..., \c\ A =

...

xn

und

2

gesäumte

—

gestattet

die

21

—

Entwicklung i. n

X, A:

x1 x*

Cn

X.

xn

z

Cr

xa.

xr

Dabei durchlaufen r und s unabhängig voneinander alle natürlichen Zahlen von 1 bis n, und Cf. bedeutet die Adjunkte von c® in der Determinante A.

§ 5. Die Vertauschungssätze. I. Der Transpositionssatz. V e r t a u s c h t m a n in e i n e r D e t e r m i n a n t e z w e i P a r a l l e l r e i h e n m i t e i n a n d e r , so g e h t d i e D e t e r m i n a n t e i n d e n entgegengesetzten Wert über, Wir führen den Beweis für Spaltenvertauschung (die Zeilenvertauschung läßt sich genau so erledigen). Um bequemes Schreiben und gute Übersicht zu haben, bezeichnen wir die sukzessiven Spalten bzw. Zeilen der vorgelegten Determinante b durch die sukzessiven Buchstaben des lateinischen Alphabets bzw. Zahlen der natürlichen Zahlenreihe, so daß b=

;

%

i

a2

Cj (i, Ci A . . . b2 c2 d2

e2 /2

• • • •

Die Aufstellung der Glieder von b nehmen wir so vor, daß wir die Buchstaben in ihrer natürlichen Reihenfolge schreiben und nur ihre Zeiger permutieren. Ein beliebiges Glied g von b sieht dann so aus: g = j a„

bß cy du

e£ . . .,

wobei das Zeichen g + oder—ist, je nachdem die Permutation « ß y ö e ... gerade oder ungerade ist. Wir vertauschen jetzt etwa die Spalten c und e in b und erhalteil die neue Determinante ® =

ax

b±

d±

c: f1

...

a2

¿ 2 e2

d2

c2 f2

... •

Um aber im Einklang mit der obigen Verabredung zu bleiben, ersetzen wir e durch C, c durch E und jeden andern kleinen lateinischen Buchstaben durch den gleichnamigen großen, so daß ® =

1 Aj

B1

I A2

B

C\ 2

C

2

D1 D2E2F2...

E1F1... •

—

22

—

Wir b e h a u p t e n : jedes Glied von ® findet sich in b, jedes Glied von b in n u r jedesmal m i t umgekehrtem Vorzeichen. I n der Tat, sei G = 8 Aa Br; C, D» E. irgendein Glied von 55.

...

Da

Aa Bß Cr Ds Er . . . — aa bß ey d$ ce . . . = a« b-i cr du e-, . . . ist, finden wir es — vom Vorzeichen abgesehen — in b unter der Form aa bß ct: d,f ey . . . . Da aber die Permutationen x ß y ö e . . . und » ß s d y ... ungleichartig sind [die zweite entsteht durch die Transposition (y s) aus der ersten], so sind die Vorzeichen 3 und j' entgegengesetzt. Ähnlich zeigt man, daß das Glied g von b mit umgekehrtem Vorzeichen in 3) vorkommt. Aus der bewiesenen Behauptung ergibt sich die Richtigkeit des Transpositionssatzes unmittelbar. Der Transpositionssatz führt sofort auf den folgenden Nullsatz: E i n e D e t e r m i n a n t e , in d e r z w e i P a r a l l e l r e i h e n s t i m m e n , i s t N u l l . Z. B. a b c d a b' c' d' A= =0. a o c a a" b" c" d"| Nach dem Transpositionssatze übereinstimmenden Reihen a b a! b' a b !a" b" folglich

überein-

wird nämlich durch Vertauschung der c c' c c"

d \ d' j d I d" \

^ '

/J = — d und somit A = 0. Der Transpositionssatz liefert noch einen zweiten Nullsatz: Das P r o d u k t einer beliebigen Reihe einer D e t e r m i n a n t e m i t d e r zu e i n e r a n d e r n p a r a l l e l e n R e i h e g e h ö r i g e n A d j u n k t e n r e i h e ist Null. I n der D e t e r m i n a n t e \c\c\ c).Cl + 4 C l +

. . . c^ ist z. B. . . . + c? Q = 0,

r + e,

-

23 —

cj C'l + cf C'j + . . . + c* C'l = 0,

5 +

Zum Beweise z. B. der ersten Gleichung bedenke man, daß sich die Adjunkten der £>ten Zeile der Determinante nicht ändern, wenn man diese Zeile durch ..., c" ersetzt. Dadurch geht aber nach dem ersten Nullsatze die Determinante in Null über, während sie nach dem auf die o t e Zeile angewandten Entwicklungssatze den Wert c\ Cl -f- c\ Cf, + . . . + c" C™ bekommt, woraus dann der zweite Nullsatz unmittelbar resultiert. Man kann diesen zweiten Nullsatz als A n n e x z u m E n t w i c k l u n g s s a t z bezeichnen. Man kann aber auch Entwicklungssatz und Annex zu einer e i n z i g e n Formel zusammenfassen, was in vielen Fällen zu einer bequemeren Schreibweise führt. Dazu dient das sog. K r o n e c k e r s y m b o l |J,, das die positive Einheit oder Null bedeutet, je nachdem die Zeiger ¡j, und v einander gleich sind oder nicht 1 ). F ü r p — v ist also

= 1,

für ¡jl^=v ist

= 0.

Mit Benutzung des Kroneckersymbols lassen sich Entwicklungssatz und Annex zum Entwicklungssatz in die e i n e Formel zusammenziehen : c\ C}, Cr (J}, -f- ... C™ C™ — • A bzw. Ci C'l + d Cl + . . . + cl C°n = Ii' • A Wir nennen diese Formel die E n t w i c k l u n g s f o r m e l . II. Der Permutationssatz. P e r m u t i e r t m a n d i e Z e i l e n (Spalten) e i n e r D e t e r m i n a n t e , so i s t d i e n e u e D e t e r m i n a n t e d e r a l t e n g l e i c h o d e r e n t g e g e n g e s e t z t g l e i c h , je n a c h d e m die P e r m u t a t i o n g e r a d e oder u n g e r a d e ist. In Zeichen: ar br cr . . . as bs cs •••!__ o-i bt ct ...

at b1 c, . . . c j a2 2 •• • ' a3 b3 c3 . . .

Beweis. Der Abwechslung halber beweisen wir diesen Satz für Zeilenpermutierung. (Der Beweis für Spaltenpermutation verläuft genau so.) Kronecker schrieb allerdings

=

d

/S, \ J' F?„ R„

,än J !

• • •

R„

sein aus Elementen des konjugierten Streifens ment j /-i I^v [ \J p,

aufgebautes Komple-

• • • J p,

J•Pv p!,

• • •

J~i

sein algebraisches Komplement iR +

d' =

s

ö

mit R =

R1

+

-fi2 +

•••

+

Rn,

S =

+

S2

+

... +

Sn.

Wir bilden das Produkt P =

dd'.

Bei der Ausmultiplikation von d mit d' tritt jeweils ein Glied /Si 7 S2 r\" r2

CC

TSn " T ..

i I ß ——

\

«^2 " * "

rj 7*o . . . T~

von d mit einem Gliede £ =

e . J 2 J :

:

. . . JZ

L \

= QlQ2

•••Gr'

von d zusammen, so daß das entstehende Glied von P p =

ist.

lR

+

s

x

£

Offenbar läßt sich aus den Elementen /S, TS, TSn 1 1 n J T(h

ja,

J«v

ein Glied q der gegebenen Determinante A bilden, das Glied q =

E3%\

J ^ . - . J p l - J l

JZ

mit ß __

S

1 S2 • • • Sn Ol ff2 ' ' \av_

rir2

q:p

• • - rnQ

1q2

.

. . . qv

Wir vergleichen q mit p. Die Beträge dieser beiden Glieder sind gleich, so daß der Quotient den Wert i 1 bat. Wir bestimmen das Vorzeichen.

—

31

—

Nach dem zweiten Inversionssatze (§ 1) ist die Inversionszahl der Permutation r1r2... rn qxq2... q,. gleich der Summe der Inversionszahlen r von r1r2... rn und q von £>x g 2 . . . o,,, vermehrt um die Summe n + 1 r i + r2 + • • • + rn = und vermindert um N = n- ^ • Ebenso ist die Inversionszahl der Permutation s1s2 ... sna1a2 ••• wenn wir die Inversionszahlen von sxs2 ••• sn und a ^ j . . . er,, s und er nennen und bedenken, daß sx + s2 + • • • + sn = S ist, s + a + S — N. Hieraus ergibt sich & ß ==lr + s + o + a + R + S_ Anderseits ist

e = ir+s, e = is + a. Daher wird der Quotient q:p gleich -f 1, d. h. q = p. Jedes Glied des ausmultiplizierten Produkts P liefert also genau ein Glied der Determinante A. Nehmen wir statt d einen andern Maior b des Streifens , + ß2xl,

+ ß3x„

ß1yl

y1y;.+y2y.„

+ ßtyl,

+ y3yr

y i ^ + y ^ + yaz.-

dxXi + ^ X a + d ^ , .

d1y^

+ ö3y„

0 ^ + ö

+ S2y,l

+ ß2z!, + ß3z„ z , .

z

+ Yih+Yih'

+ ö2t„

Yak +d3t,

Diese Determinante ist aber nichts anderes als das Kurzprodukt der beiden Matrizen x

„

y„

und

und als solches (§ 10) gleich Null, womit unser Rangsatz bewiesen ist.

—

53

—

Der Satz bietet beim Aufsuchen des Ranges einer gegebenen Matrix folgenden Vorteil. H a t man eine nicht verschwindende etwa v-reihige Determinante A der Matrix ermittelt, so braucht man nicht s ä m t l i c h e (v + l)-reihigen Determinanten der Matrix hinsichtlich ihres Verschwindens oder Nichtverschwindens zu prüfen; man k o m m t mit denen aus, die aus ,1 durch Säumung hervorgehen. In der Matrix

z. B. ist die dreireihige

1

3

5

7

9 \

2

4

6

9

14 \

4

9

16

13

17

3

5

7

IL

19 /

I

Determinante J =

1

3

5

2

4

6

4

9

16

=

— 4,

so daß der R a n g jedenfalls nicht k l e i n e r als 3 ist. U m festzustellen, ob er größer als 3 ist, brauchen wir nach Rangsatz I I nur die beiden Gesäumten 1 2

O o

5

7

4

6

9

4

9

16

13

3

5

7

11

1 und

^ 4 3

•)

O

5

9

4

6

14

9

16

17

5

7

19

von A zu prüfen; eine Prüfung der anderen vierreihigen Determinanten 1

3

7

9

1

5

7

9

3

14

, 4

5

7

9

2

4

9

14

2

6

9

6

9

14

9

13

17,'

4

16

13

17.'

9

16

13

17

13

5

11

19 |

3

7

11

19

5

7

11

19

:

14

unserer Matrix ist nicht nötig. Die beiden Gesäumten verschwinden, folglich auch die andern drei Determinanten. Der R a n g ist 3. W i r entwickeln noch zwei wichtige Sätze über den R a n g e i n e s P r o d u k t s zweier Matrizen. W i r betrachten das P r o d u k t P aus der mz-Matrix L und der znM a t r i x A. Das in Zeile r und Spalte s stehende Element v o n L bzw. A sei lsr bzw. Asr. Der R a n g eines Faktors sei % = 3, der R a n g des andern sei unbestimmt. W i r bilden irgendeinen (% l)-reihigen Minor von P : a \

aß

ay

ad \

Tß

by

b~6

c oc

cß

cy

cd

ds — ^n ^n — Qn %n

v . ~ ns . nn ^s ' — • ^ni

ausführlich •

—

Cn • ^n •

Cn n

und haben den Satz

I:

Die eigentlichen U n b e k a n n t e n eines v o l l s t ä n d i g e n Homogensystems mit nicht verschwindender Determinante v e r h a l t e n s i c h w i e die A d j u n k t e n d e r l e t z t e n Z e i l e d e r Systemdeterminante. I m Ausnahmefalle, wo a l l e A d j u n k t e n der Schlußzeile verschwinden, m a c h e n wir eine andere Zeile von ( / / ) zur letzten und verfahren wie eben. Sollten aber sämtliche ( n — l ) - r e i h i g e n Minoren von A verschwinden, so kann der R a n g / von Koeffizienten- und S y s t e m m a t r i x höchstens n — 2 sein. Im Falle y_ — n — 2 sind z w e i U n b e k a n n t e , etwa xnl und xn willkürlich wählbar. W i r wählen sie + 0 und bestimmen dann aus den ( n — 2) Ranggleichungen des Systems (H) nach Cramers Regel die gebundenen U n b e k a n n t e n x1: x2, ..., xn...2 als Linearkomposita von xn_ 1 und xn, womit die b e h a u p t e t e eigentliche L ö s u n g gefunden ist usf. Als zweites Beispiel betrachten wir das f a s t v o l l s t ä n d i g e H o m o g e n s y s t e m , d. h. ein S y s t e m , in dem die Anzahl der Gleichungen u m 1 kleiner ist als die Anzahl der U n b e k a n n t e n , also mit v = ri— 1, das S y s t e m 0 C1 1 pcy pd,) in der Entwicklung von A (V

' '

K

hPa«*PbftbPcYhPd.)

Es wird nützlich sein, diesen Koeffizienten auch als Determinante zu schreiben. Er geht offenbar aus A durch Streichung der Zeilen und Spalten hervor, die die Elemente pa,:, pb/i, pcy, pd,) enthalten. Wir nennen den entstehenden Minor M t und haben ä-

ö4zl

ö P„JPb^

Pc,ö

pdl1

u

wo e den uns noch fehlenden Zeichenfaktor bedeutet. Um diesen zu bekommen, vollziehen wir den Übergang von A zu Mi allmählich: Wir streichen zuerst die Zeile sowie Spalte, die pau enthält, nennen den entstandenen Minor M^ den zugehörigen Zeichenfaktor e x und haben ö A a+ „ r, .1/, (mit e, =/, ' ). Pa a Dann streichen wir in Mx die Zeile sowie Spalte, die pbfl enthält, nennen den verbleibenden Minor M 2 , den zugehörigen Zeichenfaktor e2 und haben ö HU dP

b,-i

öM ÜPaJPbrl

So fahren wir fort und erhalten noch die beiden Gleichungen ö 3/2 ö Ms . =£3J/3 und -°=£4J/4. dPcy ÖPä,lcn Grades. Die gesuchte Entwicklung lautet daher D = xn + H1 xn~1 + H2 xn~2

+

Hn,

wo der Koeffizient H,, die Summe aller i'-reihigen Hauptminoren von A bedeutet, deren letzter, A selbst ist. Ist im besonderen für jedes Zeigerpaar (r, s) cr -f- cs — 0, so stellt D die schiefe Determinante dar, die nach Potenzen von x entwickelt werden sollte. In der Entwicklung ist der Koeffizient //,. die Summe aller »»-reihigen Hauptminoren der schiefsymmetrischen Determinante C] C\ ... C'j i 1 r c,•" I I ''n • •• j die als ebenfalls schiefsymmetrische Determinanten bei ungeradem v Null, bei geradem v positiv sind. Mithin ist auch ihre Summe H,. bei

—

93

—

ungeradem v Null, bei geradem v positiv. erhält schließlich die Form D = xn + H2 xn~2

Die gesuchte Entwicklung

zn-4

+Ht

+ ...

mit nur positiven Koeffizienten. Wir erkennen noch: Eine schiefe Determinante H a u p t d i a g o n a l e l e m e n t e n ist nie Null werden).

mit stets

gleichen positiven p o s i t i v (kann also

§ 21. Der Satz von Hadamard. Im J a h r e 1893 stellte der französische Mathematiker Jacques H a d a m a r d im X V I I . Bande (2. Serie) des Bulletin des Sciences mathematiques eine obere Schranke f ü r den Betrag einer Determinante auf. Da eine w-reihige D e t e r m i n a n t e / ) aus n\ Gliedern besteht, von denen jedes ein P r o d u k t von n Determinantenelementen ist, mithin kein F a k t o r eines derartigen Produkts, absolut genommen, den Betrag g des absolut größten Elements übersteigen kann, so ist \D\ < n! gn, womit natürlich schon eine obere Schranke für \D\ angegeben ist. Hadamard h a t das Verdienst, diese Schranke tiefer gelegt zu haben: er senkte sie von n! gn a u f ] «" gn herab, wobei er sich vermutlich von der bekannten Ungleichung }I nn 2 gilt, entsteht so: Es ist 1. n —n 2. (n— 1) > n 3. (n — 2)>n («—1). 2 n. 1

>n = n.

Die Multiplikation dieser n Zeilen gibt w!2 > H a d a m a r d s Satz lautet also: Bedeutet g den einer n-reihigen

B e t r a g des a b s o l u t g r ö ß t e n D e t e r m i n a n t e D , so i s t

Elements

—

94

B eweis. :e\ \e\ D =

e\ 4

ei

e2

• . . e? . .. e» ••

el

sei die gegebene Determinante, deren Elemente der Allgemeinheit wegen als beliebige komplexe Zahlen vorausgesetzt werden. Die zu e® konjugiert komplexe Zahl sei e®, die zu D konjugiert komplexe A, so daß c

•

A =

„-1 c..

i

•• •

c

2 c.,

. . .

c t.>

c

i

n

Wir bilden das Langprodukt der beiden Matrizen el

e?, ...

- \i

,

| e.'- er, . . . e"

unc[

d. h. die Determinante il

a..=1

Ir

72

n li • • • n ! /I 72 /•• /f

,

v < n,

•••

deren Element lsr den Wert lr

er Es -f- e'r £'s -f- . . . -p cr s s

hat. Aus dem Anblick von l* folgt, daß lr zu lrs konjugiert und lrr positiv ist. Nach dem Satze vom Langprodukt (§ 10) ist d,. die Summe aller P r o d u k t e homologer Maioren der beiden Matrizen: ..

d,. = I

62

•

e?:

..

ell er'- . • • erj

• •

.* B

e*> . • • «2 ••


C=& 0 + &if +

+ . .. +bn_1Cn~1

mit rationalen Koeffizienten b,,. Auch diese Gleichung multiplizieren wir mit C und bekommen ähnlich (III)

PC2 = c0+ClC

+ c2^+

...

+cn_1Cn~1

usw., bis wir auf diese Art n Gleichungen zusammengebracht haben. Darauf wird die n-reihige Determinante A =

a0 b0

aj b1

a2 . . . a n _ x b2 ... bn_j ;

C0

c!

C.2

...

C-n—i

eingeführt. Mit den Adjunkten yl0, B0, CQ, ... ihrer ersten Spalte multiplizieren wir bzw. die Gleichungen (I), (II), (III), . . . und addieren die entstehenden n Zeilen. Das gibt links P(A0 + 5 0 £ + C0£2+ ...), rechts als Freiglied «o^o + b0Bo + c0C0 + ...

=A

und als Koeffizient von f (§ 5) a,. A0 + by Bn 4- cy C0 - ( - . . . — 0.

— 107 — Unser Ergebnis lautet P(A0 + B0C + C0l:2+

...) = A.

In Worten: Der R a t i o n a l i s a t o r von P i s t R = A0 + B0C + C0C2 +

•••;

d a s P r o d u k t RP h a t den r a t i o n a l e n W e r t A. Unser Verfahren paßt natürlich auch auf nichtnumerische algebraische Irrationalitäten. Um z. B. 4 >: r" ~ P = a + b] x +cyx + d \ x3 zu rationalisieren, setzen wir j' x = £ und haben P PC P£* P?

=a +b f + =dx+a c+ = cx + dxC + = bx + cx£ +

Die zugehörige Determinante ist |a ^ \dx cx bx

b a dx cx

c + b £2 + c£ 3 , a C° + bC3, dxt'2 + at3. c b a dx

d c b ' a\

Sind A, B, C, D die Adjunkten ihrer ersten Spalte, so heißt der Rationalisator A + Bt + C£* + Dt3.

§ 25. Algebraische Zahlen. Eine a l g e b r a i s c h e Z a h l ist eine Zahl, die eine algebraische Gleichung xn + C i Xn"x + C xn~2 + ... + cn = 0 2

befriedigt, in der der Koeffizient der höchsten Potenz (xn) der Unbekannten Eins ist und die übrigen Koeffizienten cl5 c2, ..., cn rational sind. Die algebraische Zahl heißt im besonderen g a n z , wenn die Koeffizienten c1; c2, ..., cn g a n z e rationale Zahlen sind. Und sie heißt vom n t e n Grade, wenn sie keine Gleichung mit rationalen Koeffizienten von niedrigerem als /i ten Grade befriedigt. s —

Die Zahl 7 — 5 2 ist z. B. eine ganze algebraische Zahl dritten Grades, da sie die kubische Gleichung x3 — 21 x2 + 147 x — 93 = 0 befriedigt, eine lineare oder quadratische Gleichung mit rationalen Koeffizienten dagegen nicht.

—

108

—

Uns interessieren hier die beiden wichtigen Sätze I. D i e S u m m e , d i e D i f f e r e n z u n d d a s P r o d u k t v o n z w e i (ganzen) a l g e b r a i s c h e n Z a h l e n i s t w i e d e r e i n e (ganze) a l g e b r a i s c h e Zahl. II. J e d e W u r z e l d e r

Gleichung

xn + « x11-1 + ß xn~2 +

. . . + /. =

0,

d e r e n K o e f f i z i e n t e n oc, ß, ..., 1 (ganze) a l g e b r a i s c h e s i n d , i s t e i n e (ganze) a l g e b r a i s c h e Z a h l .

Zahlen

Der Beweis dieser Sätze beruht auf dem L e m m a : S i n d ti, t 2 , b e l i e b i g e G r ö ß e n , die a b e r n i c h t s ä m t l i c h v e r s c h w i n d e n , und ist das oj-fache j e d e r d i e s e r G r ö ß e n ein L i n e a r k o m p o s i t u m 0 ) f . = f t

1

, f

1

+ Ä S f

2

+

...

+ k U g

d e r G r ö ß e n m i t (ganzen) r a t i o n a l e n K o e f f i z i e n t e n k\, k2s, . . . , k a s , so i s t co e i n e (ganze) a l g e b r a i s c h e Z a h l v o n h ö c h s t e n s gtem G r a d e . Der Beweis dieses Lemma folgt sofort aus dem Satze von Bezout. Das g-reihige Gleichungssystem (k\ — co) Xj + kf x2 + . . . + k\ x1 (k'l — co) x.2 -f- . . . + kl

xt +

kl k?2

xg — 0, xg = 0,

Xv + . . . + (kag — co) xg = 0

besitzt zufolge der für die f angegebenen Bedingung die eigentliche Lösung xx = Ci, x2 = f 2 , •••> xg = 'Qg. Daher muß die Systemdeterminante verschwinden: : ril

CO

kl

rt±

...

/Cj

k\ —co... Äp

M,

0.

. • . hg — CO

Dies ist aber eine Gleichung g ten Grades für die »Unbekannte« co mit (ganzen) rationalen Koeffizienten, in der der Koeffizient der höchsten Potenz (cog) der Unbekannten ist. Mithin ist oj eine algebraische Zahl von höchstens g t e m Grade, und zwar eine g a n z e algebraische Zahl, falls die k® g a n z rational sind. Die Beweise der Sätze I und II erledigen sich nun recht einfach. B e w e i s zu I. Da •) * » » > usw. Dadurch verwandelt sich die 2. Zeile des unteren Streifens in o, ar 0 ,

2t2, . . . 2i,vi, o, o,

....

—

118

—

So fahren wir fort. Schließlich addieren wir zur m ten Zeile des unteren Streifens: das A0-fache der m. Zeile des oberen Streifens, » hx- » » 1). Zeile des oberen Streifens, » h2- » » (m -f- 2). » » » » , usw. Sie verwandelt sich dadurch in Folglich wird

0, 0, . . . , . 2i0,

. . . , 31*.

: ÜQ ÖJ (1% ••• d m a 0 «i «2 • • «m UF = 2l 0

2l2 %> 9Ti »2 •

21M 21M

und diese Determinante enthält außer Nullen nur die oben links beginnende M • (m -+- 1)-Raute der Koeffizienten a0, a 1; ..., am und die sofort daran anschließende unten rechts endigende m • (M + 1)-Raute der Koeffizienten 2l0, 2i1? ..., ist daher nichts anderes als S a t z III.

ü% = f,F + v f . S i n d / (x), g (x) u n d cp (rr) b e l i e b i g e P o l y n o m e , so

ist /g.

ferner B e w e i s . Es sei

mit mit

=

>

ff. / g = f , f • • • • i y* u n d in der rechten unteren Ecke die aus Einsen bestehende n • 1-Raute. Um einzusehen, daß diese Determinante gleich /, 95 ist, wenden wir Laplaces Satz auf sie an, wobei wir sie in einen Tlf-zeiligen oberen und einen n-zeiligen unteren Streifen zerlegen. Der untere Streifen enthält nur einen nichtverschwindenden Maior. Da dieser in der Hauptdiagonale nur Einsen, im übrigen nur Nullen enthält, hat er den W e r t 1. Sein algebraisches Komplement im oberen Streifen ist der Maior /, — 4 a c.

seiner Ableitung

2

B e i s p i e l 2. Diskriminante der kubischen Gleichung a x 3-\-bx2-\-cx-\-d s

= 0. 2

Die Resultante der Polynome ax + bx + ex ist a c d b c 0 a b R = 3 a 2b c 0 c 0 3 a 2b 0 3 a 2b 0

+ d und 3 ax 0 d 0 0 c

die reduzierte Resultante 1 b c 0 a b 3 2b c 0 3 a 2b 0 3a 0 2 2 27 a d — 18 a b c d + 4 a c 3

d c 0 c 21

0 d 0 0 c

=

+ 4 bz d — b°~ c 2 ,

die Diskriminante also D = 18 a b c d + b2 c2 - 4 a c3 - 4 bz d - 27 a 2 rf2.

§ 29. Cauchys Mittelwertsatz. / (x) und y (a;) seien zwei reelle Funktionen des reellen Arguments x, die in jedem P u n k t e des von x = a bis x = b reichenden Intervalls eine bestimmte Ableitung besitzen. (In den Intervallenden braucht diese Ableitung nicht vorhanden zu sein.) Wir betrachten die Determinante f(x) A(x)=f(a) ;f(b)

• • • "T" Dn

Bewirken wir die Multiplikation der beiden Klammern in xr

= (cr ifx + Cr Uz + • • • + cr Un) " (cr !/l ~T cr>J-i+ • • in der Weise, daß wir jedes Glied der linken Klammer mit jedem der rechten Klammer multiplizieren, so wird der Koeffizient von (yH von links, ?/,, von rechts) in der Summe x'j -)- x\ + • • • +

• + c" 1Jn) Gliede y • y,. x\

Cj Cj -p C'2 c2 4" . . . -(- cn cn. Da dieser für /u, + v verschwinden, für pb = v gleich 1 sein muß, so lautet die B e d i n g u n g f ü r O r t h o g o n a l i t ä t d e r S u b s t i t u t i o n : (I)

c[ c\ -f- C-2 c.z -f- ...

~r cw cn ~ |