Einführung in die Determinantentheorie: Einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten [Reprint 2020 ed.] 9783112342442, 9783112342435

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Einführung in die

Determinantentheorie einschließlich der unendlichen und der Fredholmschen Determinanten

von

Dr. Gerhard Kowalewski, P r o f e s s o r an der U n i v e r s i t ä t

Bonn.

Leipzig V e r l a g von V e i t & Comp. 1909

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig

Vorwort Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ioh während meiner mehr als zehnjährigen Lehrtätigkeit in Leipzig, Qreifawald und Bonn gehalten habe. Dem entspricht die Begrenzung des Stoffs und die Art der Darstellung. Es soll hier eine E i n f ü h r u n g in eine große und wichtige Disziplin geboten werden, die in neuester Zeit durch Übertragung des Determinantenbegriffs ins abzählbar und ins kontinuierlich Unendliche noch erheblich angewachsen ist. Die F B E D H O L M sehen Determinanten, die für die linearen Integralgleichungen dieselbe Bedeutung haben, wie die gewöhnlichen Determinanten für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten, habe ich in der H I L B E K T sehen Weise durch Grenzübergang aus gewöhnlichen Determinanten abgeleitet. Auf diesem Wege ergeben sieb auch sehr einfach die FBEDHOLMsehen Minoren und die Relationen zwischen ihnen, auf denen F E E D H O L M S Auflösung der linearen Integralgleichungen beruht. In dem Kapitel über unendliche Determinanten ist bei der Betrachtung der linearen Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten auch die schöne Theorie dargestellt, die E B H A R D SCHMIDT für diese Systeme begründet hat. Ebenso wird am Schluß des Buches E. SCHMIDTS Behandlung der linearen Integralgleichungen in ihren Hauptpunkten entwickelt. Dieser Teil des Buches kann daher zur Einführung in das Studium der Integralgleichungen dienen, die sich unter den Händen H I L B E R T S zu einer der umfassendsten und bedeutsamsten mathematischen Theorien entwickelt haben.

Vorwort

IV

Auf Seite 541 ff. findet der Leser die hauptsächlichsten Literaturnachweise. Wünscht er eine vollständigere Bibliographie, so verweisen wir ihn auf den Artikel von E. N E T T O im ersten Band der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften oder auf das Werk von T. Munt: The theory of determinants in tbe historical order of its development, London 1906. B o n n , im April 1909. Gerhard Kowalewski

Inhalt Seite

1. Kapitel: Historische Bemerkungen 2. ,, Definition der ra-reihigen Determinante . . . 3. „ Einfachste Eigenschaften der Determinanten . . . . 4. „ Unterdeterminanten 5. „ Systeme linearer Gleichungen 6. „ Multiplikation von Matrizen und Determinanten . . . . 7. „ Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind . 8. „ Symmetrische Determinanten . . ' 9. „ Schiefsymraetrische Determinanten 10. „ Orthogonale Determinanten . 11. ,, Resultanten und Diskriminanten 12. „ Lineare and quadratische Formen . . . . . 13. „ Einiges aus der Elementarteilertheorie 14. „ Funktionaldeterminanten 15. „ WRONSKI sehe und GRAM sehe Determinanten . . . . 16. „ Einige geometrische Anwendungen der Determinanten . . 17. „ Determinanten von unendlicher Ordnung 18. „ Die linearen Integralgleichungen 19. „ Dio HiLBEBTSchen Eigenfunktionen eines reellen symmetrischen Kerns Literaturnachweise und Anmerkungen Sachregister

1 8 23 32 45 6$ 78 III • 182 159 178 210 258 289 320

337 369 455 505 541 545

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkungen. § 1.

Die Determinanten bei Ltrasiz.

LEIBNIZ kam auf die Determinanten bei Behandlung der Aufgabe, aus n + 1 linearen Gleichungen mit n Unbekannten xl, rt, . .., zn diese Unbekannten zu eliminieren. Er führte eine sehr zweckmäßige Bezeichnungsweise ein, die im wesentlichen auch heute noch in der 'Determinantentheorie benutzt wird. Er schrieb nämlich die n + 1 Gleichungen in folgender Weise: 10 + 11 •xl + 12-x 2 + . . . + \n-xn

= 0,

20 + 21 • x, + 22 • xt +• . . . + 2 « • xn = 0, 30 + 31 • x¡ + 32 •

+ . . . + 3w • xn = 0,

Jeder Koeffizient ist hier durch zwei Indizes symbolisiert, von denen der erste die Gleichung, der zweite die Stelle innerhalb der Gleichung anzeigt. Im Falle n s l findet man als Eliminationsresultat 10-21 -

11 -20 = 0 ,

im Falle n — 2 10 • 21 • 32 + 11 • 22 • 30 + 12 . 20 • 31 - 10 • 22 • 31 -

11 • 20 • 32 -

12 . 21 • 30 = 0

und so fort. LEIBNIZ gelangte durch Induktion zu einem allgemeinen Theorem, das er in einem Brief an den Marquis DE L'HOSPITAL (vom 28. April 1693) ausspricht: „Datis aequationibus quoteunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quae simplicem gradum non egrediuntur, pro aequatione prodeunte primo sumendae sunt omnes combinationes possibiles, quas ingreditur una tantum coefficiens uniuscunque aequationis; secundo eae combinationes opposita habent sigua, si in eodem p r o KowALK\vsKr, Determlnanton 1

2

Die Determinanten bei Leibnix

deuntis aequationis latere ponantur, quae habent tot coefficientea communes, quot sunt unitates in numéro quantitatum tollendarum unitate minuto; caeterae habent eadem signa." Es seien beliebig viele Gleichungen gegeben, die zur Elimination der den ersten Grad nicht überschreitenden Unbekannten ausreichen. Um die resultierende Gleichung zu erhalten, hat man zunächst alle möglichen Kombinationen zu bilden, in die aus jeder Gleichung nur ein Koeffizient eingeht. 1 Bringt man dann in der resultierenden Gleichung alles auf eine Seite, so haben diejenigen Kombinationen entgegengesetzte Zeichen, die so viele gemeinsame Koeffizienten enthalten, als es Einheiten in der um 1 verminderten Zahl der zu eliminierenden Unbekannten gibt. a Die übrigen haben dieselben Zeichen. Wenn zwei Produkte 3 und

lr0 • 2 f j . . . » + 1, ru 1 «0 • 2 «j . . . » + 1, sn

n — 1 gemeinsame Faktoren haben, so entsteht s 0 , s 1( . . sn aus r0, f j , ... ., ru durch eine T r a n s p o s i t i o n , d. h. durch Vertauschung zweier Glieder. Das nach der LEIBNIZ sehen Vorschrift gebildete Eliminationsresultat lautet also Die Summation erstreckt sich über alle (n + 1)! Permutationen r0, . . rh der Indizes* ß, 1, . .., n, und e ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem r 0 , ry, . . rn aus 0, 1, . . ., n durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Tran&positionen hervorgeht. 2« • lr0 • 2rt . . . n+ 1, rn ist das, was wir heutzutage eine (n + l)-reihige D e t e r m i n a n t e nennen. Es war ein glücklicher Gedanke von LEIBNIZ, zur Bezeichnung der Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems Doppelindizes zu benutzen. In dem zitierten Brief finden wir folgende Bemerkung über die Bedeutung einer guten Bezeichnungsweise: 1 Gemeint sind die Produkte 1 r„ • 2 r, . . . n + 1, r„, wobei r0, r,, . . ., r„ eine Permutation von 0, 1, . . n ist. » d. h. n - 1. • «„, ..., r„ ist wie r 0 , r,, . . r M eine Permutation von 0, 1, . . . , » .

Die Determinanten bei Oramer

3

„Une partie du secret de l'analyse consiste dans la charactéristique, c'est à-dire dans l'art de bien employer les notes dont on se sert, et vous voyez, Monsieur, p a r ce petit échantillon, que Viète et Descartes n'en ont pas encore connu tous les mystères."

§ 2.

Die Determinanten bei

CEIKER.

L E I B N I Z fand nicht die Zeit, um seine Erfindung, von deren großer Tragweite er bei verschiedeneu Gelegenheiten spricht, weiter, zu verfolgen. So geriet sie denn ganz in Vergessenheit. Als G A B R I E L CBAMEB, der Verfasser der „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750), sich mit Systemen linearer Gleichungen beschäftigte, stieß er g a n z u n a b h ä n g i g v o n L E I B N I Z noch einmal auf die Determinanten. Im Anhang seines großen Werkes zeigt er, wie man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Determinanten auflöst. W y xi + A»y z 8 -- A3 y xi zi y * x * - ¿5« Y*X* - z 5 y je 3 + z* Y3XI + z* YIX* - z3 Y^X* '

I Y -

X' - Z'I'R - Z'I'P + Z*A3XL + Z*AXX* - Z*A% X1 ¿ i Y'X* - zx Y*x* - z»y x 3 + ä» y jf"1 h- z* Y'x> - z> Y*XL '

z

_

z» y

21

yjf» -

- ¿i p i ' z1

p j » + i » y A> + z% y A* - £ 3 y j. 1

Y*X*- - z* y -X3 + z* Y^X1 + z* y x* - z3

y i

1

Die Prüfung dieser Formeln liefert folgende allgemeine Regel. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten sei n. Man findet dann den Wert jeder Unbekannten, indem man n Brüche bildet, deren gemeinsamer Nenner ebenso viele Glieder hat, als es verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Qingen gibt. Jedes Glied setzt sich aus den Buchstaben z, r, x,

v, . . .

zusammen. Sie werden immer in derselben Reihenfolge geschrieben. Man erteilt ihnen aber als Exponenten die » ersten Ziffern in allen möglichen Reihenfolgen. So hat, wenn drei Unbekannte da sind, der Nenner 1 . 2 3 = 6 Glieder; sie sind zusammengesetzt aus den drei Buchstaben Z, Y, X, die der Reihe nach die Exponenten 123,

182,

213,

231,

312,

321

erhalten. Man gibt diesen Gliedern die Zeichen + oder — nach folgender Regel. Wenn auf einen Exponenten in demselben Gliede mittelbar oder unmittelbar ein kleinerer Exponent folgt, so will , ich dies ein D e r a n g e m e n t nennen. Man zähle nun bei jedem Gliede die Derangements. Ist ihre Anzahl gerade oder Null, so erhält das

Die Determinanten bei Oramer

5

Glied das Zeichen -f, ist sie ungerade, so erhält das Glied das Zeichen —. Z. B. gibt es in dem Gliede Z1 Y*X*

kein Derangement. Glied

Dieses Glied erhält also das Zeichen 4-- Das

z8 r1 x9

hat auch das Zeichen + , weil es zwei Derangements aufweist; 3 vor 1 und 3 vor 2. Dagegen erhält das Glied Z3

Y2X\

das drei Derangements aufweist, 3 vor 2, 3 vor 1 und 2 vor 1, das Zeichen —. Nachdem so der gemeinsame Nenner gebildet ist, erhält man den Wert von z, indem man diesem Nenner einen Zähler gibt, den man dadurch bildet, daß man in allen Gliedern Z in A verwandelt. Der Wert von y ist ein Bruch, der denselben Nenner hat und als Zähler eine Größe, die sich ergibt, wenn man in allen Gliedern des Nenners Y in A verwandelt. In ähnlicher Weise findet man den Wert der übrigen Unbekannten. Allgemein zu reden ist das Problem bestimmt. Aber es kann besondere Fälle geben, wo es unbestimmt bleibt und andere, wo es unmöglich wird. Das geschieht, wenn man den gemeinsamen Nenner gleich Null findet; d. h. bei nur zwei Gleichungen, wenn Z1 Y* — Z2 Y1 =

0,

bei drei Gleichungen, wenn Y»X*-Zl

Y*Xi-Zi

YlX9+Z9

Y9X1 + Z3 F»A'a-Z3 1

9

s

T^'-O

ist usw. Sind alsdann die Größen A , A , A ,. . . so beschaffen, daß auch die Zähler gleich Null sind, so ist das Problem unbestimmt, denn die Brüche -¡}, die die Werte der Unbekannten geben müßten, sind unbestimmt. Wenn dagegen die Größen A\ Ai, A9,. . . so beschaffen sind, daß, während der gemeinsame Nenner gleich Null ist, die Zähler oder einige von ihnen nicht Null sind, so ist das Problem unmöglich oder es sind wenigstens die unbekannten Größen, die es lösen können, alle oder zum Teil unendlich. Hat man z. B. die beiden folgenden Gleichungen

so findet man

2 = 3 * - 2y, 5 = 6z — 4y,

* - i» y = ü •

6

Paarungen zwischen xice.i Systemen von n Dingen

% und y sind also unendliche Größen, die Bich zueinander verhalten wie 2 zu 3. Rechnete man die Unbekannten nach den gewöhnlichen Methoden aus, so käme man auf die sinnlose Gleichung

! = *• Denn die erste Gleichung gibt *

und die zweite

=

* =

Also hat man + $ =

!?/ +

%y

+ i

•§-

+

! •

oder

f=6-,

was ein Unsinn ist, wenn * und y endliche Größen sind. Wenn sie aber unendlich sind, so kann man ohne Sinnlosigkeit sagen, daß * = i-y

und gleichzeitig

+1

* = } y + 3ist. Denn die endlichen Größen | und \ sind im Vergleich zu den unendlichen Größen x und \y nichts. Die beiden Gleichungen * =

+ |

und

s = !«/ + -!

reduzieren sich also auf * = i°J>

eine Gleichung, die nichts Widersprechendes hat."

Zweites Kapitel.

Definition der n-reihigen Determinante. § 3.

Paarungen zwischen zwei Systemen von n Dingen.

Wir betrachten zwei Systeme von n Dingen. Der Leser stelle sich, um ein anschauliches Beispiel zu haben, n Herren und n Damen vor, die auf einem Balle sind. Wenn jedes Ding des einen Systems mit einem Ding des andern Systems verbunden wird, also in unserem Beispiel jeder Herr eine Dame nimmt, so wollen wir das eine P a a r u n g zwischen den beiden Systemen nennen. Eine solche Paarung kann man in folgender Weise bewirken. Man läßt die Herren in einer bestimmten Reihenfolge wählen. Der erste Herr hat dann die Auswahl unter n Damen, der zweite unter

Umpaarimgen und Inversionen

7

n — 1 und so fort Der letzte Herr muß die zuletzt übrig gebliebene Dame nehmen. Man sieht hieraus, daß es »! = 1 • 2 . . . « P a a r u n g e n z w i s c h e n den b e i d e n S y s t e m e n gibt. So sind z. ß. zwischen den drei Herren Karl, Paul, Fritz und den drei Damen Anna, Marie, Luise folgende sechs Paarungen möglich: (Karl, Anna),

(Paul, Marie),

(Fritz, Luise);

(Karl, Anna),

(Paul, Luise),

(Fritz, Marie);

(Karl, Marie),

(Paul, Anna),

(Fritz, Luise);

(Karl, Marie),

(Paul, Luise),

(Fritz, Anna);

(Karl, Luise),

(Paul, Anna),

(Fritz, Marie);

(Karl, Luise),

(Paul, Marie),

(Fritz, Anna).

§ 4.

Umpaarungen und Inversionen.

Den Ubergang von einer Paarung zu einer neuen wollen wir als eine U m p a a r u n g bezeichnen. Die einfachsten Umpaarungen sind solche, wo nur zwei Paare abgeändert werden, also nur zwei Herren ihre Damen austauschen. Umpaarungen dieser Art nennen wir T r a n s p o s i t i o n e n . J e d e U m p a a r u n g läßt s i c h durch eine R e i h e von T r a n s p o s i t i o n e n herbeifahren. Will man von der Paarung $ zu der Paarung gelangen, so fasse man einen Herrn und eine Dame ins Auge, die bei aber nicht bei iß ein Paar bilden. Sie befinden sich also bei in verschiedenen Paaren. Ändert man nur diese beiden Paare ab, so ist wenigstens schon eins von den neuen Paaren gewonnen. Sind noch nicht alle neuen Paare da, so setzt man das Verfahren fort Nach höchstens n — 1 Schritten hat man die Paarung s4$ erreicht. Um z. B. von der Paarung (Karl, Anna),

(Paul, Marie),

(Fritz, Luise)

(Paul, Anna),

(Fritz, Marie)

zu der Paarung (Karl, Luise),

zu gelangen, geht man zuerst von (Karl, Anna),

(Paul, Marie),

(Fritz, Luise)

8

Umpaartmgm und Inversionen

zu (Karl, Luise),

(Paul, Marie),

(Fritz, Anna)

(Paul, Anna),

(Fritz, Marie).

über und dann zu (Karl, Luise),

Dabei hat man zwei Transpositionen vorgenommen. Wir wollen die Damen mit 1, 2 , . . . , » numerieren und zwei bestimmte Herren betrachten. Diese seien bei $ mit den Damen r und s, bei Sß mit den Damen r bzw. s gepaart. Wenn die Differenzen r — s und f — s entgegengesetzte Zeichen haben, so wollen wir sagen, daß die betrachtete Herrenambe beim Übergange von ^ zu ^ eine I n v e r s i o n erfährt Um zu wissen, wie viele Inversionen bei einer Umpaarung stattfinden, muß man jede der £ » ( « — 1) Herrenamben darauf untersuchen, ob sie eine Inversion erleidet oder nicht. Bezeichnen wir z. B. Anna als die erste, Marie als die zweite und Luise als die dritte Dame, so erleiden beim Übergänge von der Paarung (Karl, Anna), (Paul, Marie), (Fritz, Luise) zu der Paarung (Karl, Luise), die Herren Karl und Paul,

(Paul, Anna),

(Fritz, Marie)

(r == 1, f = 3; s = 2, 3 = 1 )

ebenso die Herren Karl und Fritz eine Inversion.

(r = 1, r = 3; s = 3, s = 2)

Dagegen findet bei den Herren

Paul und Fritz

(r = 2, r = 1; s = 3, s = 2)

keine Inversion statt Bei der betrachteten Umpaarung treten also im ganzen. zwei Inversionen ein. seien drei beliebige Paarungen. Bei der Umpaarung tßü1 gebe es a , bei der Umpaarung gebe es ß Inversionen. Wie viele Inversionen gibt es dann bei der Umpaarung qjj, Sß3? ä sei die Anzahl der Herrenamben, die sowohl bei als auch bei eine Inversion erfahren. Offenbar treten dann bei der Umpaarung Sßj, ¡a-S)

+ (ß-S)

=

Inversionen ein. ' D. h. beim Übergänge von

so

a

+

ß-2S

Umpaarungen und Inversionen

« Inversionen.

9

Dann ist 1 a ==

+ «a + . . . + am.

(mod 2)

Jetzt wollen wir annehmen, daß die m Umpaarungen Sß^, Transpositionen sind. Dann sind alle u^ ungerade. E s gilt nämlich folgender Satz: Bei einer Transposition findet immer eine ungerade A n z a h l von I n v e r s i o n e n s t a t t Besteht die Transposition in der Austauschung der Damen r und s (r < s), so erleiden folgende Herrenamben Inversionen: 1. Die Herren der Damen r und s, 2. die Herren der Damen k und r, sowie die Herren der Damen k und s, wenn r < k < s ist. Außerdem finden keine Inversionen statt. Die Gesamtzahl der Inversionen ist somit 1 + 2 (s - r - 1). W e n n wir also annehmen, daß die m Umpaarungen Transpositionen sind, so haben wir: 1

Sß^+i

{(i = 1, 2, . . . , m),

mithin al + a t + . . . + u m = m

(mod. 2)

und auch u ==m

(mod. 2).

a und m sind demnach entweder beide gerade oder beide ungerade. Damit haben wir folgenden Satz gewonnen: W e n n e i n e U m p a a r u n g s i c h d u r c h w» T r a n s p o s i t i o n e n bewirken läßt, so ist m gerade oder ungerade, je nachdem die U m p a a r u n g eine g e r a d e oder u n g e r a d e A n z a h l von Inversionen hervorbringt. Wir haben, um die Inversionen zu zählen, die D a m e n mit Nummern versehen' und auf die Herrenamben geachtet. Ebensogut 1

Man liest diese Formel: „« kongruent 2«

20 CAUCHY

benutzt für die Determinante ° n ui2 • • a 21 «23 ' ' • «2« a

,n

das Symbol 2

±

«„» • • • Ö

LI A 2Z * • "

Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte nur ein Element von Null verschieden ist, so reduziert sich die Determinante auf ein einziges Glied, nämlich das Produkt jener Elemente mit dem zugehörigen Vorzeichen. Z. ß. ist öu 0 . . . 0 i 0 «2, . . . 0 0 0 § 9.

. . . cfii ,ii i

Andere Fassungen der Definition.

Man kann die Glieder der n-reihigen Determinante in der Form /I 2 . . . n \ Vi r2 ' ' ' rJ' ^^

schreiben. Nun wissen wir aus § 6, daß

a2r

' ' ' ' a"r"

/ 1 2 . ..n \ gleich + 1 oder — 1 ist, je nachdem die Permutation gerade- oder ungerade ist. Man kann daher die n-reihige Determinante auch definieren als die über alle Permutationen von 1, 2, . . n erstreckte Summe 2 s g n ( r l f r 3 , . . rj-atria2r,. . . «»,„. Dabei soll 9 n r £ ( l> r2> • • •» O gleich + 1 oder — 1 sein, je nachdem rx, rt, . . . . rn eine gerade oder ungerade Permutation ist r 1> rt, .... rn ist eine gerade oder angerade Permutation, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Derangements aufweist. Diese Definition der Determinante ist genau die von LEIBNIZ (vgl. §1). Nur benatzt er eine andere Regel zur Bestimmung von

21 sgn(r,, r2, . . ., rj. Vertauscht man' in rJt r„, . . so wechselt die Paarung

ihre Klasse.

rn zwei Glieder,

s g n ( f j , r2, . . ., r j geht also über in - sgn(rj, r 3 , . . ., r j .

Hieraus entspringt die IiEiBNizsche Regel, daß zwei Produkte air,«2r t • • • «nr n

und

a,,,

. . . a„,a,

die n — 2 gemeinsame Faktoren haben, in der Determinante mit verschiedenen Zeichen auftreten. Mau kann die Glieder der w-reihigen Determinante auch in folgender Form schreiben sgn

fr, r„ . . . r \ (i 2 . . . » h '

1 9

"

2

- ' ^ -

Die Paarung

ist gerade oder ungerade, je nachdem ' i . V • • •» rn eine gerade oder ungerade Permutation ist (vgl. § 6). Die reihige Determinante läßt sich also delinieren als die über alle Permutationen von 1, 2, . . n erstreckte Summe 2 (ri > r t Das ist die Definition von § 10.

O • ör, 1 flr,2 . . . Or„» • (vgl. § 2).

GRAMER

Zweireihige und dreireihige Determinanten.

Im Falle n = 2 gibt es zwischen den Zeilen und Spalten nur die beiden Paarungen

(l 2)

und

(2 l) '

Die erste ist gerade, die zweite ungerade. Zu der ersten gehört das Glied zu der zweiten das Glied in der Determinante.

22

Zweireihige und dreireihige Determinanten Man hat also a2l a!2

Die Regel zur Berechnung einer zweireihigen Determinante können wir durch nebenstehende Figur veranschaulichen. Die starklinig verbundenen Glieder geben ein Produkt, vor welches das Zeichen + , die punktiert verbundenen Glieder ein Produkt, vor welches das Zeichen — zu setzen ist Im Falle n = 3 gibt es sechs Paarungen zwischen den Zeilen und Spalten, nämlich folgende: (1 2 3\ (l 2 8 / '

/I 2 3\ \1 3 2)'

(1 2 3\ 3 1J'

[1 2 3\ \2 1 3 j '

(1 2 3\ 13 1 2 / '

/ I 2 3\

Wir haben sie so aufgeschrieben, daß zwei benachbarte durch eine Transposition auseinander hervorgehen, mithin verschiedenen Kbs-en angehören. Für die dreireihige Determinante gilt also folgende Formel: °11 °M a3S + ®12 ®23 a31 + °13 °U a 3t n "V V / * \ v Fig. 3.

die Glieder stark verbunden, deren Produkt das Zeichen H- erhält, und die Glieder punktiert verbunden, deren Produkt das Zeichen — erhält. § 11.

Beispiele.

Der Leser zeige durch Ausrechnen, daß -a und

1 a 1

= 1 + a3

Veriausckung der Zeilen mit den Spalten 1 e -b — c 1 a = 1 + a* + b* + e* b -a 1 ist. &

verifiziere ferner, daß Oj —1 0

1 0 a, 1

, dividiert durch

- 1 a„

-1

a.

gleich

+ ist Endlich beweise er die Formeln «i + a8

und + «, ai

0

a

t

- ^ s ß + i + i)

°2

ist, so wird el Xy + c, Xt + • • • + C„ gleich der Summe von c

und

i S-i + ca Z/2 + • • • + CnVn

e

ih + e»*2 + ••• + «. *» Satz 6. W e n n a l l e G l i e d e r d e r k Z e i l e B i n o m e sind, so l ä ß t s i c h die D e t e r m i n a n t e a l s S u m m e z w e i e r D e t e r m i n a n t e n s c h r e i b e n . Man e r h ä l t den e i n e n S u m m a n d e n d u r c h Streichung der ersten, den andern Summanden durch S t r e i c h u n g der zweiten B e s t a n d t e i l e j e n e r Binome. Ein ähnlicher Satz gilt, wenn die Glieder der Zeile oder die der Jtten Spalte (vgl. g 12) Summen von p Zahlen sind. Beispiel. Die Determinante ! aa'+bb\ ac'+bd' i c a'+ iib', ce'+

dd'

ist nach Satz 6 gleich aa' ca'+db'

ac' cc'+dd'

bb' ea'+db'

bd'

I

cc'+dd'\

28

Die Determinante als Funktion der Elemente einer Zeile

Jede dieser beiden Determinanten läßt sich aber wieder nach Satz 6 zerlegen. Man findet also fiir die ursprüngliche Determinante aa > a e bb' bd' bv bd': aa' ac' + + + ì ea' cc' co' ce' db' dd' db' dd' I' /

Unter Benutzung von Satz 5 läßt sich diese Summe so schreiben: ! a'e' \ | b'd' b'd' j ae + a d iIbi ' d !: + b o Ila •» Bir.azr, • • • anr„,

wobei rx, r2, . . rn Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . »!(n-m)!j

^ j von ihnen sind Hauptminoren. Komplementäre Minoren. ,er

M sei ein Minor m Ordnung von A. Wenn man in A die Zpilen und Spalten streicht, denen die Elemente von M angehören, so entsteht ein Minor N von (« — »t)ter Ordnung. Zwei solche Minoren wie M and N nennt man k o m p l e m e n t ä r und jeden das K o m p l e m e n t des andern. Z. B. sind in der Determinante «1 % «3 a i b, b.2 h d

i

die Minoren

d

2 d3

b

i

d

i

b, und d2 ds d4

komplementär, ebenso die Minoren und

h

h

d

z d*

Die Elemente von M mögen in den Zeilen r

i» V • • •» rm

(n < r 2 < 4 . . < >J

und in den Spalten s

i> •••»«„ K < s2 < . . . < »J liegen, die Elemente von N in den Zeilen r m + 11 rm + 2> Kowalbwski, Determlnauteo

r.

(r« + l < r « + 2 < • • • < » • „ ) 3

34

Komplementäre Minoren

und in den Spalten S

m+1>

S

m 4- i > • ' "> Sn

(S,a + 1
3• • V3> 0 auf die n — 3 Werte 0, 1, . . ., n - 4 beschränkt. Usw. Es bleibt somit nur das Wertsystem = » - 2, ps = » - 3 , . . . , va_2 = 1 übrig, und Vn ist gleich _»-2 _»-8 . . . 1 ®1 a l n - 3 _n-2 ... 1 v

v

„«-2 „«-3 . . 1 d.h. gleich F b _j. Wir haben also folgende Relation V

u= ~ Un) a» ~ %) • • • ( V i - » n Denn der Koeffizient von bt wird fr, An + a,t A,-Jt + ... + o,« A,„

r

'

ist also nach Satz 15 gleich Null, wenn i ^ r , und nach Satz 14 gleich 1, wenn t = r ist. Wir sehen, daß das System (1) die Lösung (I) hat und außerdem keine.

+

k k .

entsteht aus a

dadurch, daß man durch 6j, b2, ..bn Daraus ergibt Induktion gefunden

i , J i , + a*.An.+

••• + « „ , 4 H

die Elemente der s ten Spalte der Reihe nach ersetzt. sich folgende Regel, die von Cbameb durch worden ist (vgl. § 2):

Cratnersche

47

Regel

Man ersetze die E l e m e n t e der s**" S p a l t e von A der Reibe nach durch bx, bt, .. ., bn und bezeichne die so ents t e h e n d e D e t e r m i n a n t e mit At. D a n n l a u t e t die L ö s u n g des Systems (1): =

= '"'' T ' b2, . . . , bn alle gleich Null sind, so hat jede der

~ T >

Wenn blt Determinanten

Alf

T '

At,

. . .,

An

eine Spalte mit lauter Nullen. Es ist daher = «2 = 0, «„=0. Satz 16. Aus «tl

X

l +

a

*nX»

«»3 *t + • • +

"m «i + «,s »i + • • • + « • «

und

«11 «12 • «21 a22 • folgt

•

a

=

=

0

i» * 0

°«1 Xl = 0,

X2 - ü ,

«„=0.

Beispiele.

Um die Gleichungen a

aufzulösen, hat man in

...,

i

x

+ \ y =

c

i

>

und die Lösung unserer Gleichungen lautet:

Cramersche

48 x —

V

Regel

c b

ll

1 können wir auch sagen, daß k e i n s d e r Systeme eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n der a n d e r n ist. Im Falle m = 1 hat die lineare Unabhängigkeit den Sinn, daß d a s einzige v o r h a n d e n e System ¡«llJ ^121 • • ? x In

n i c h t aus l a u t e r Nullen b e s t e h t . Wenn die Systeme (1) n i c h t unabhängig sind, so auch, daß zwischen ihnen eine l i n e a r e R e l a t i o n Damit meinen wir dann, daß die Gleichungen (2) sich Wertsystem i j , X2, . . befriedigen lassen, das nicht Nallen besteht. Ist l h ungleich Null, so sagen wir, daß wähnten linearen Relation das System

sagen wir besteht. 1 durch ein aus lauter in der er-

X

h\> Xh2i • • •> Xhn

vorkommt. Satz 16. Die Systeme (1) sind d a n n und n u r d a n n l i n e a r u n a b h ä n g i g , wenn d e r R a n g der M a t r i x (1) gleich m ist. Für m = 1 ist der Satz offenbar richtig. Wir können uns also auf m > 1 beschränken. Wenn die Systeme (1) nicht unabhängig siDd, so ist in der Matrix (1) eine Zeile eine lineare Kombination der andern. Wir dürfen diese Zeile streichen, ohne daß der Rang der Matrix sich 1

Diese Redeweise wenden wir nur im Falle tn > 1 an. 4*

52

Lineare

Unabhängigkeit

ändert (vgl. § 23 Nr. 6). Der Rang einer (m — l)-zeiligen Matrix ist aber höchstens gleich m — 1, also kleiner als 0 können wir durch Vertauschung der Zeilen bewirken, daB in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reibige Determinante steht. Es lassen sich dann n — r Hilfssysteme ^r + M> fr+1.2' ' ' " fr + l.rt fr+2.1' ff + 2.2» ' ' Ur+ 2.71 yHl'

f>'

' '

*

yan

so bestimmen, daß die Determinante x

\l

X

•

.

•

.

fr+1.1 "

X

• Vt

+1.»

* f/»n ungleich Null ist. Man wählt in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r reihige Determinante, setzt die Hauptelemente ihres Komplements gleich 1 und die übrigen y alle gleich Null. Dann reduziert sich die LAPLACEsche Entwickelung nach den r ersten Zeilen auf ein Glied, das abgesehen vom Vorzeichen gleich jener »•-reihigen Determinante ist. Wenn wir nun auf die Gleichungen 1 yn i

Aj x

u

+

. . .

+

x

r

x

+

r l

;

-

v + 1

Jir

+ l i l

+

. .

.

+

)>;ynl

=

X

h x

,

K 2« + • • • + K X n + >V + 1 f r + 1.2 + • • • + Kt/.i = *M ' '•1*1«+ • • • + K T r* + 'v+1 fr + l.n + • • • + Kv„ n = XKn die Cramebsehe Regel (§ 22) anwenden, so erhalten wir ) 1

) - Ä

I L i

~

D

'

2

~

1)

> -iL» '

""

h ist eine der Zahlen r + 1, . . ., m.

» ~~

D "

Lineare

Unabhängigkeit

Dt (a = 1, 2, . . n ) entsteht aus D, indem man in D die durch

53 Zeile

X

hl« ^ 2 > • • V Xk„

ersetzt Z»r + j, Dr+2, enthalten daher r + 1 Zeilen der Matrix (1). Da alle (r + l)-reihigen Determinanten in (1) gleich Null sind, weil der Rang r sein soll, so gibt die LiAPLAOEsche Entwickelung nach jenen r + 1 Zeilen ¿> r+1 = 0 , I ? r + i = 0, . . . , D n = 0 . Ar + 1, Xr+t, . . s i n d also gleich Null, und man hat für h = r + 1, . . n Gleichungen von der Form = ¿ i ^ I + • • • + kXT 1» 'hu —

x

n + • • • + K xrs > 1 . + ••• +

KXrn'

Jede Zeile der Matrix (1) ist demnach eine lineare Kombination der r ersten Zeilen. Damit haben wir auch den zweiten Teil von Satz 16 bewiesen. Wir können unser Resultat auch so formulieren: Satz 17. W e n n d e r R a n g d e r M a t r i x (1) gleich r ist (r > 0), so l a s s e n sioh u n t e r den S y s t e m e n (1) r, a b e r n i c h t mehr unabhängige auswählen. H a t man r unabhängige ausg e w ä h l t , so ist j e d e s d e r S y s t e m e (1) eine l i n e a r e Komb i n a t i o n von i h n e n . Wir beweisen im Anschluß hieran noch folgenden Satz: Satz 18. W e n n i n e i n e r M a t r i x e i n e von Null v e r s c h i e dene r - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e v o r h a n d e n ist (r > 0), d e r e n (r + l ) - r e i h i g e S u p e r d e t e r m i n a n t e n 1 a l l e g l e i c h N u l l s i n d , so ist d e r R a n g d e r M a t r i x g l e i c h r. Wenn eine Determinante ein Minor einer anderen ist, so nennt man diese andere eine S u p e r d e t e r m i n a n t e von jener. Wir wollen annehmen, daß in der Matrix (1) die Determinante «11 X12 • , x l r x n Xt2 • ' X2r *rl

X

r2 •

* Xrr

1 Damit diese Superdeterminanten sich bilden lassen, muß man eventuell Zeilen und Spalten mit lauter Nullen hinzufugen.

54

Lineare

Unabhängigkeit

ungleich Null ist, während alle (r + l)-reihigen Superdeterminanten von ihr gleich Null sind. Da die Matrix •ril

X

£l

• ' ' Xr 1

X

X

X

ii

- X

X

\i

X,

X,1 T i r

' '

r2

. . . -Xrr

hl

h2

(i = r + l , . . , m; s = r + l , . . , » ) X. kr

den Rang r hat und in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt, so ist nach Satz 17 die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten. Wir sehen, daß in der Matrix x,„ . . . x.„ (h = r +

• • -, n)

die n — r letzten Spalten lineare Kombinationen der r ersten sind. Wir dürfen also nach § 23 die n — r letzten Spalten streichen, ohne daß der Rang der obigen Matrix sich ändert. Dieser Rang ist daher gleich r und aus Satz 17 folgt, daß die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten ist. Dies gilt für i = r - f 1 , , . , « , und wir dürfen deshalb in der Matrix (1) die m — r letzten Zeilen streichen, ohne daß der Rang dieser Matrix sich ändert. Die Matrix (1) hat also den Rang r. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren, um den Rang einer Matrix zu bestimmen. Man sucht ein von Null verschiedenes Element auf. Gibt es kein solches, dann ist der Rang der Matrix gleich Null. Ist ein von Null verschiedenes vorhanden, so muß man seine zweireihigen Superdeterminanten betrachten. Sind sie alle gleich Null, dann hat die Matrix den Rang 1. Andernfalls muß man unter jenen Superdeterminanten eine nicht verschwindende heraussuchen und ihre dreireihigen Superdeterminanten prüfen. Sind sie alle gleich Null, dann ist der Rang der Matrix gleich 2. Andernfalls muß man unter ihnen eine von Null verschiedene auswählen und ihre vierreihigen Superdeterminanten betrachten usw.

Systeme von linearen homogenen Gleichungen

§ 25.

55

Systeme vom linearen homogenen Gleichungen.

Eine lineare homogene Gleichung mit n Unbekannten xv x2, hat die Form «1

+ a2 X2 + •••

...,xn

=

Wir wollen ein System von m solch E Q Gleichungen betrachten, «1» = 0 fx = an xt + a12 xt 4- . = a21 ^ + aa X2 + • «Sn Xn - 0 (1)

u u= «•1*1 +

amiX2

+•

•

+

•

+

•

+

Xn

= 0

und soine Lösungen bestimmen, d. h. diejenigen Wertsysteme Xp

. . . . x„,

die allen Gleichungen (1) genügen. Es kommt, wie wir sehen werden, darauf an, welchen Rang r die Matrix au

a13 . • am

aii

«¿2 •

"ml «W

•

°sn

. am n

hat, die man die M a t r i x des S y s t e m s (1) nennt. Ist r = 0, d. h. Bind alle ä gleich Null, so ist jedes Wertsystem a^, xt, . . xn eine Lösung von (1). Im Falle r > 0 können wir die Gleichungen (1) in einer solchen Reihenfolge schreiben, daß in den r ersten Zeilen von (2) eine von Null verschiedene r-reihige Determinante auftritt. Sollte m > r sein, so sind nach § 24 die m — r letzten Zeilen in (2) lineare Kombinationen der r ersten. Man hat also für h =t r + 1,

. . n a

*l =

«11 + Kl

akt

= Kl

+ Ki

Uhn

= K\ «In+^M

an

+ • • • + Kr °rl '

«2S

+

• * * +

Kr

ari

S» + • • • +"Kr

Multipliziert man der Reihe nach mit xlt r2, .. dann, so ergibt sich fh =

k + h* U + • • . + Kr fr'

welche Werte auch die x haben mögen.

> «r» •

xn und addiert

56

Die Lösungen

des reduzierten

Systems

(3) auch eine Lösung von (1) ist. Beide Systeme haben also dieselben Lösungen. Sats 19- H a t ein S y s t e m l i n e a r e r homogener Gleichungen d e n R a n g r ( > 0), so k a n n man sich bei der B e s t i m m u n g der L ö s u n g e n auf r G l e i c h u n g e n des S y s t e m s b e s c h r ä n k e n , in d e r e n M a t r i x eine von Null v e r s c h i e d e n e » - r e i h i g e Determinante vorkommt Man nennt die m Gleichungen (1) l i n e a r u n a b h ä n g i g oder kurz u n a b h ä n g i g , wenn ihre .Koeffizientensysteme, d. h. die Zeilen der Matrix (2), im Sinne von § 24 unabhängig sind. Im Falle m > 1 bedeutet dies, daß keine Gleichung aus den Übrigen durch lineare Kombination hervorgeht. Im Falle m = 1 kommt die Unabhängigkeit darauf hinaus, daß nicht alle Koeffizienten Null sind. Der obige Satz läßt sich hiernach auch so formulieren: H a t ein System l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n den R a n g r, so k a n n man sich bei d e r B e s t i m m u n g der L ö s u n g e n auf r u n a b h ä n g i g e G l e i c h u n g e n des Systems b e s c h r ä n k e n . Diese r unabhängigen Gleichungen wollen wir d a s r e d u z i e r t e S y s t e m nennen. §26.

Die Lösungen dés reduzierten Systems.

Durch eine geeignete Numerierung der Unbekannten können wir bewirken, daß in dem reduzierten System «ii xi + ols

+ alnxn X

= 0 ,

«21 *1 + «22 ^ + • • • + %n n = arix1

+ ar2x2+

. . . +aTnxn

0

»

= 0

die Determinante a

=

«11 «12 • • • a l r a. • «21 Hi

von Null verschieden ist. Im Falle r = » liefert die CBAMEB sehe Regel x1 = 0, x2 =• 0, . .., xn « 0 als einzige Lösung.

Die Lösungen des reduzierten Systems Satz 20. W e n n d e r R a n g e i n e s S y s t e m s l i n e a r e r h o m o gener Gleichungen gleich der Anzahl der U n b e k a n n t e n ist, 1 so m u ß m a u , um d a s S y s t e m zu b e f r i e d i g e n , a l l e Unb e k a n n t e n g l e i c h Null s e t z e n . Im Falle r < n können wir xr + l , .. xu beliebige Werte beilegen und dann auf die Gleichungen s, + .. . + alr xr = - («J>r + 1 xe + l + . . . + alu «*!*,+

...+

*, + ...+

a

2r

+ 1 Xr +1 + •••+«,«

« -

arr xr = - (ar

r+1

«J, *») -

* r + 1 + . . . + aru x j

die CnAMEBSche Regel anwenden. Bezeichnen wir mit Att die Determinante, die aus A entsteht, wenn man die ste Spalte durch

rt ersetzt (< «= r 4- 1, . . . , n), so iat nach der Caamebsehen Regel: 2 «1 = — - j i - ^ l . r + X

+ 1 "+• • • • + 4 »

- j K . r + l *r + l + • • • + A n T J > *r " ~ T ^ ' . ' + l *r+l + " • ' + 4-» «JDiese Gleichungen besagen, daß eine lineare Kombination der folgenden n — r Lösungen ist: -^l.r+l

4i,r + l

4,r +2

^2, r + 2

m Ä'~

'

4 , r +1

,

r+3

> "1

—

Ärn X

»

. n 1, u, ..

ri u,

o, 1, . . . . 0 ,

• • •>

1

1 Wir kannten aueb sagen: „Wenn ein System linearer homogener Gleichungen so viel unabhängige Gleiehungen enthält als es Unbekannte gibt, usw." ' Wir wenden zugleich Sate 5 and 6 an.

58

Methode von Frobenius xur Bestimmung eines Fundamentalsystems

Diese n — r Lösungen sind u n a b h ä n g i g (vgl. § 24) und j e d e L ö s u n g u n s e r e s S y s t e m s i s t eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n von ihnen. Umgekehrt ist j e d e lineare Kombination von ihnen eine Lösung unseres Systems. Wenn wir p beliebige Lösungen hinschreiben, so sind darunter höchstens n — r unabhängige. Ftigen wir nämlich noch die obigen n — r Lösungen hinzu, so wird dadurch die Anzahl der ^unabhängigen Lösungen nicht vermindert Da aber die p ersten Lösungen lineare Kombinationen der n — r letzten sind, so haben wir jetzt genau n — r unabhängige. n — r unabhängige Lösungen besitzen hiernach immer die Eigenschaft, daß jede Lösung eine lineare Kombination von ihnen ist. Nehmen wir nämlich zu n — r unabhängigen Lösungen irgend eine (n — r + l) te hinzu, so besteht zwischen ihnen eine lineare Relation, in der diese (n — r -f l) te vorkommen muß (vgl. § 24), weil sonst die n — r ersten nicht unabhängig wären. Die (n — r + 1)M ist also eine lineare Kombination der n — r ersten. Uan nennt ein System von unabhängigen Lösungen, aus denen sich jede Lösung durch lineare Kombination ergibt, ein F u n d a mentalsystem. Satz 21. W e n n der H a n g r eines S y s t e m s l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n k l e i n e r als die A n z a h l n der Unb e k a n n t e n ist, so gibt es F u n d a m e n t a l s y s t e m e von n — r Lösungen. Um ein solches Fundamentalsystem zu erhalten, braucht man nur n — r unabhängige Lösungen zu suchen.

§ 27.

Methode von FBOBENICS zur Bestimmung eines Fundament&lsystems.

Um ein Fundamentalstem von Lösungen f&r r unabhängige lineare homogene Gleichungen x

i + «i* + «M t\

a

a

n

+ar2

• •

+ainXn = o , +ai«Xn = 0,

• + »r«

zu finden (r < n), kann man so verfahren.

= 0

Methode von Frobenius zur Bestimmung eines Fundamentalsysiems 59 Man fügt zu 0„ ffoo . . • (i, 2» n — r neue Zeilen a

r+l,l a r +1,2 * 1 ' ®r+l,n r + 3,1 flr+2,2 " • "

a

«L,

• • O—

derart hinzu, daß die Determinante n a„ .

a

a

22 •

D = a

ux a„2 •

nicht verschwindet Daß dies möglich ist, wissen wir aus § 24. Bezeichnet man nun mit Aht das algebraische Komplement von aht in D, so sind die Wertsysteme "Aa f+l,l> A r + 1,2' ' ' - A""r + l,«' 4-+J.1' 4+2,2» • ' '» 4 + S,n>

(2)

n1 '

4 . ,/»2 . >

''

A

n«

Lösungen von (1). Das folgt aus Satz 15 in § 20. Wenn wir noch zeigen, daß sie unabhängig sind, so wissen wir, daß sie ein Fundamentalsystem bilden. Aus den Gleichungen K4 + ;

+

4+2,1 + ••• + * „ - r 4 a = 0 >

'l 4+1,2 + ^ 4 + 2 , 2 + • • • + V r 4 , ä =

K 4+1,« + h 4+2,» + • • " + *»-r4» = folgt aber, wenn man der Reibe nach mit ahl, [h = r + 1, . . ., ») multipliziert und dann addiert, \_rD

= 0

( A - r + 1,

Alle ?. sind also gleich Null. der Lösungen (2) bewiesen.

0

ah2, . . . , ahn

«).

Damit ist die Unabhängigkeit

60

n — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten

§ 28.

» — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten.

Bei n— 1 u n a b h ä n g i g e n Gleichungen «u °äi

*i + «ii *i+a3*

+ ••• + „ 2+ •••+«%,

*n = 0 , = °>

x

«„-1,1 + «»-1,2 x i + • • • + 0.-1,.*« = 0 besteht ein Fundamentalsystem aus einer einzigen Lösung, die von 0, 0, . . 0 verschieden ist. Bezeichnet man mit Dt diejenige Determinante der Matrix 22

die durch Streichung der Spalte entsteht, FKOBENnrsache Methode die Fundamentallösung Dlt — DJt . . (-l)"*1^. Das algebraische Komplement von ant in

so liefert die

«II«!»"-0!! «Jl «22 . . O.i n ist nämlich Streicht man den gemeinsamen Faktor (—l)"" 1 , so iindet man die angegebene Lösang. Jede andere Lösung hat die Form XDlt -XD„ (-1 r u ß . . Beispiel.

Aus «1 xl + «2 X» + a» XS ~ 0 > b1x1 + bixi + b3xs « 0

folgt

a

i «s

oder, anders geschrieben, xJ:xt:x3

=

m

fr,fr,

°1 fl8 h ¿3

«1 fl2¡ h \

fr. fr,

»2 °3

«3 «1 fr3 frl

2 fr2

Beliebige lineare Gleichungssy»lerne

61

Vorausgesetzt wird dabei, daß die drei Determinanten auf der rechten Seite nicht alle gleich Null sind. § 29.

Beliebige lineare Gleichungssysteme.

Wir wollen jetzt ein System von m linearen Gleichungen betrachten, die nicht alle homogen sind. Ein solches System lautet a

n »21

(i;

+ a ia + • • • + «i» x» =* bi + attxt+ ...+ «an X„ = b2,

x a,ml x.1 +1 ahl£ ,,.x..i -f• • • • +' 3 2 • ! - . • • + in »+bi

«„+1 = 0 , b

«„1^1 + «„2*1 + ' " ' + « . . . * , + mXn+l = 0 " Ist umgekehrt x x l> x2> • n> Xn + l eine Lösung von (2) und xn+l von Null v e r s c h i e d e n , so ist _ x, _ x, x x n +1' ' n+1 eine Lösung von (1). Wir linden also alle Lösungen von (1), wenn wir alle Lösungen von (2) aufsuchen, bei denen xn + 1 von Null verschieden ist. Es sind nun zwei Möglichkeiten vorhanden. Entweder erfüllt jede Lösung von (2) auch die Gleichung •

•!

oder es gibt Lösungen von (2), die dieser Gleichung n i c h t geniigen. Im zweiten Falle hat das System (1) eine Lösung, im ersten Falle dagegen nicht. Wir müssen also feststellen, ob die Systeme (2) und «11 + a it X i + ®2i "h + an xi +

+ at»*. + hx.+i

-o»

(2)

«I + • » « « » + • • • + dieselben Lösungen haben oder nicht.

+

"

0

»

62

Beliebige lineare

Gleichungssysteme

Hat (2) denselben Rang wie (2), so ist jedes Fundamentalsystem von (2) auch ein Fundamentalstem von (2), d. h. (2) und (2) haben dieselben Lösungen. Hat (2) den Rang r und (2) den Rang r + 1, so bestehen die Fundaiaentaiaystemo von (2) aus n — r + 1, die von (2) aber aus n — r Lösungen. Es gibt also Lösungen von (2), die nicht Lösungen von (2) sind. Wenn nun die Matrix a

ii a i2 • • • «i» bi n " n • • • %« K

a

&tal« dm2 . . . dmn bm

0 0 ... 0 1 den Rang r -f 1 hat, so gilt dasselbe von der Matrix «11 «12

.aln0

21 «22 " • • «2» 0

0 0 Dann hat aber

• «»„o mn . . o 1.

«Ii «i» . . a. «11 «28 . . a.3»

den Rang-r, also denselben Rang wie «11 «IS • • • «in

b

l

«81 «28 * * * «în h

+ «m » — mK «1 xi + «»a xi + h a t d a n n und n u r d a n n eine L ö s u n g , wenn die M a t r i z e n

Beliebige lineare Glekkungssyetemc «11 "12 • • • « I n

«11 «13 • • • « 1 » bl

an ttja . . . aiK ml

fli-s

«21

und

«M

" * * «2» K

«ml « » 2 • • • « * »

mn

K

von g l e i c h e m R a n g e sind. Man kann diesen Satz noch einfacher beweisen, indem man sich direkt auf § 24 stutzt. Wenn das System (1) eine Lösung hat, so bedeutet dies, daß eine lineare Kombination von a a

w ii>

•

•> « » i

•

«12 » « 2 2 ' • •

. . . .' a mn

a

in'a»n

ist.

Dann hat aber nach § 23 (Bemerkung 6) die Matrix «11 «21

(Sj denselben Rang wie

•

«In«*» «11 «»1

•

« U «M

• • ««2 •

l»«2»

(B) denselben Rang wie

«-1

\ \

• K

«11 ° 1 J

•

•

«»1 «12

•

•

««1

)

. . amn

fl

also auch

• « « !

«12 «M

(4)

•«!„ « » »

mi • • •

a

«11 «15

(?)

««2

...alubi

«21 «42 • • • « 2 » «„1 «„2

2

fc

. . . am n bm

(vgL § 2 3 , Bemerkung 1). Wenn (3) und (4) beide vom Range r sind und man wählt in (3) r unabhängige Zeilen aus, so ist nach § 24 jede andere Zeile

64

Beliebige lineare

Gleichungssysteme

in (3) und in (4) eine lineare Kombination von ihnen. Also ist b1,bi,,..,bn eine lineare Kombination der Zeilen von (3). Dies bedeutet aber, daß das System (1) eine Lösung hat. Wie viele Lösungen hat nun das System (1), wenn überhaupt Lösungen vorhanden sind? ac1', x2\ . .x^ sei eine bestimmte Lösung und x1,xi,...,xn eine beliebige Lösung von (1). Setzen wir = + Vi > X1 = xt + Vi' • •> Xn = < + so ergibt sich durch Subtraktion der Gleichungen und

°M T1 +

n

h'l Xl + ' • • + ahnXn = bk * * *

die Gleichung

+

%n

•xn= « = 3, 4, . .

br'2 , b T8 = ßr,

»),

ßs3 ßä* • • • ßsn ßii ßi* • • • ß*„

(2)

ß»3 ßn\ ' ' ' ßnn

Formel (1) liefert aber, angewandt auf die Determinante «12 «1. ll (r, s = 3, 4 , . . ., n), = «21 «22 «2. «rl r2 r. die Gleichung a

a

a

b

22 h.

ßr..

so daß (2) folgende Gestalt annimmt: C

C

C

33 3* •• * 3»

b

ì t 3 B ~ a "7 2

C

au+J
2 • • • aft»-j»»

a

Vn

Vi2

yp\

yP2

nach den p letzten Zeilen, so findet man .. + «j, + n-»+1+. a

yu. » u • - • yut Vi»

ei't

• • % > « p

+«

• • * aei «n-p • * • ae»On-p

• • • y3.,

I'VHVP* •

•

e»-P«i ae*-p°*

a

Geränderte Determinanten

92

Sj, st, . . ., 8^ (sj < s2 < . . . < sp) sind p Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . ., n und 2 zusammen gleich 1 1 Im Folle n = 2 ist Ä,, = 1 jni setzen. Im Falle n < 2 gibt es kein 1 13 Glied! das von den % frei ist.

93

Oeränderte Determinanten yu, yi„ iß«, y-2„

£r«l 2V, 2

Um die übrigen Glieder zu finden, entwickeln wir nach den beiden letzten Spalten und lassen alles fort, was mit keinem z behaftet ist Da finden wir zunächst

außerdem aber noch eine Summe von Gliedern, die nur ein einziges % enthalten. Will man z. B. die Glieder finden, die xn und kein anderes x als Faktor enthalten, so "braucht man nur in B2 diese andern % gleich Null zu setzen und in der eo entstehenden Determinante an . .

X

ll

a

m • • • a»nX»l Vn • • • Vi »*n u Vn • • •Vzn 0 0 das algebraische Komplement von xu aufzusuchen. Dieses lautet, mit z n multipliziert, X an . }2 x11

«nly% i •

.

ann xm 0

Die Summe der Glieder, die z 22 und kein anderes % als Faktor enthalten, ist «ii • . a,1 nxn . a«in Xnl Vn • • • Vm

0

Die Glieder, die x,2 bzw. x31 und kein anderes x als Faktor enthalten, geben zusammen an

«11 ' «12

««1 •

bzw. •

« „ »

0

"ln^i

®»i »n • • »i« »ii

0

94

Geränderte Determinanten

Die vier letzten Determinanten können wir nach der letzten Zeile und letzten Spalte entwickeln und erhalten dann bezüglich 2 X

4»

x

ri Vis'

A X

~ 22^2 r, rl

Vi.'

+ * » 2 4 . xn y2.> + * 2 l 2 4 . 2 V 3 ifl . • Diese vier Aasdrücke haben eine Summe, die sich so schreiben läßt

o 2 4 Vi, *2\

X

2i

Setzen wir statt Art der Gleichförmigkeit halber 4> so ergibt sich für R^ folgende Entwickelung: 0

xrl

xrg

x

n Vit 2\ X22

0

0

0

0

Xrx \ Xftl z

J/ij, .Vi.,

X

n

x

2,, yi,t «21 x2i

, Hiernach kann man voraussagen, wie die Entwickelung von R p aussehen wird. Sie wird lauten: o "1P

Rp = A

+

i Up» xpi

0

0

Xrxi...XriP

0

0

Xr,l...XrtP

yi.. yiH*n

Im Falle 1 zu setsen.

i/i. %

2 4

PP

*rt

+ . . .

•••xi,

ist fikr

+ 2 4 * 1 ,«r< «l«i«»

0 0 0

ye^r-Vr*,*,i

. -¿1 1

0 0 0-0 0 0

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av.iav,i» • • äVjP av,!.

•

Geränderte

95

Determinanten

Die in der Entwicklung von R p auftretenden geränderten Determinanten sind Null, sobald ihre Reihenzahl größer als 2p ist. Setzen wir «II »12 «21 ^'22 * *• Z2p x S t p-> •

so wird 0

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usw.

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Hiernach ist

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+ •••

Die r, s sind Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . . , n, die g,