Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten [2., verk. Aufl. Reprint 2020] 9783111668369, 9783111283661

Citation preview

Einführung in

d i e

Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten Von

Dr. Gerhard Kowalewski o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden

W a l t e r

d e

G r u y

t e r

v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e

&

Co. /

B e r l i n

u n d

L e i p z i g

V e r l a g s h a n d l u n g / I. G u t t e n t a g V c r l a g s b u c h -

h a n d l a n g / G e o r g : R c i m e i ' / K a r l J . T r ü b n e r / V e i t & C o m p.

A l l e R e c h t e , i n s b e s o n d e r e das Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , von d e r vorbehalten.

C. G. Röder G. m. b. H., Leipzig. 878624..

Verlagshandlung

Meinem hochherzigen Freunde und Gönner

Herrn Prof. Alexander Ziwet an der Hochschule Ann Arbor Mich. U . S. A. in Dankbarkeit gewidmet

Vorwort. Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ich während meiner mehr als zehnjährigen Lehrtätigkeit in Leipzig, Greifswald und Bonn gehalten habe. Dem entspricht die Begrenzung des Stoffs und die Art der Darstellung. Es soll hier eine E i n f ü h r u n g in eine große und wichtige Disziplin geboten werden, die in neuester Zeit durch Übertragung des Determinantenbegriffs ins abzählbar und ins kontinuierlich Unendliche noch erheblich angewachsen ist. Die F r e d h o l m s c h e n Determinanten, die für die linearen Integralgleichungen dieselbe Bedeutung haben, wie die gewöhnlichen Determinanten für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten, habe ich in der H i l b e r t schen Weise durch Grenzübergang aus gewöhnlichen Determinanten abgeleitet. Auf diesem Wege ergeben sich auch sehr einfach die F r e d h o l m schen Minoren und die Relationen zwischen ihnen, auf denen F r e d h o l m s Auflösung der linearen Integralgleichungen beruht. In dem Kapitel über unendliche Determinanten ist bei der Betrachtung der linearen Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten auch die schöne Theorie dargestellt, die E r h a r d S c h m i d t für diese Systeme begründet hat. Ebenso wird am Schluß des Buches E. S c h m i d t s Behandlung der linearen Integralgleichungen in ihren H a u p t p u n k t e n entwickelt. Dieser Teil des Buches kann daher zur Einführung in das Studium der Integralgleichungen dienen, die sich unter den Händen H i l b e r t s zu einer der umfassendsten und bedeutsamsten mathematischen Theorien entwickelt haben. Am Schlüsse findet der Leser die hauptsächlichsten Literaturnachweise. Wünscht er eine vollständigere Bibliographie, so verweisen wir ihn auf den Artikel von E. N e t t o im ersten Bande der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften oder auf das groß angelegte, ausgezeichnete Werk von T. M u i r : The theory of determinants in the historical order of its development, London 1906. B o n n , im April 1909.

Gerhard Kowalewski.

Vorwort zur zweiten Auflage. Nachdem ein anastatisclier Neudruck meines Buches vergriffen ist, hat die Verlagsbuchhandlung die Herstellung einer zweiten Auflage beschlossen, die sie jedoch nicht in erweiterter, sondern in verkürzter Forin wünschte. Ich habe deshalb starke Streichungen vorgenommen. Z. B. ist das 13. Kapitel (Elementarteilertheorie) fortgefallen, das in modernisierter Form einen noch größeren Raum beansprucht hätte, das 16. Kapitel (Unendliche Normaldeterminanten), ebenso das 19. Kapitel, das sich zu sehr in die Einzelheiten der Theorie der Integralgleichungen verlor. Auch im 18. Kapitel ( F r e d h o l m s c h e Theorie) ist vieles gestrichen. Die Eigenart meines Buches, das von der Kritik seinerzeit sehr freundlich aufgenommen wurde, hat durch die vorgenommenen Änderungen keinerlei Einbuße erlitten, und ich hoffe, daß es auch in der jetzigen Gestalt, insbesondere den Studierenden, gute Dienste leisten wird. D r e s d e n , Mai 1924.

Gerhard Kowalewski.

Inhalt. Seite

1. Kapitel: Historische Bemerkungen •>, .. Definition der w-reihigen Determinante ;5. Einfachste Eigenschaften der Determinanten 4. „ Unterdeterminanten 5. Systeme linearer Gleichungen 6. „ Multiplikation von Matrizen und Determinanten 7. „ Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind 8. „ Symmetrische Determinanten f). .. Schiefsymmetrische Determinanten 10. „ Orthogonale Determinanten 11. „ Resultanten und Diskriminanten 12. „ Lineare und quadratische Formen 13. ,, Funktionaldeterminunten 14. ,, W r o n s k i s c h e und G r a m s c l w Determinanten 15. Einige geometrische Anwendungen der Determinanten Jfi. ,, Die linearen Integralgleichungen Literaturnachweise und Anmerkungen Sachregister

. . . .

1 6 21 29 41 59 71 101 121 144 160 169 200 223 232 254 299 i>02

Erstes

Kapitel.

Historische Bemerkungen. § 1. Die Determinanten bei Leibniz. L e i b n i z kam auf die Determinanten bei Behandlung der Aufgabe, aus n-f 1 linearen Gleichungen mit n Unbekannten a^, x2, • • ., xn diese Unbekannten zu eliminieren. Er führte eine sehr zweckmäßige Bezeichnungsweise ein, die im wesentlichen auch heute noch in der Determinantentheorie benutzt wird. Er schrieb nämlich die n + 1 Gleichungen in folgender Weise: 10 + 11 • x1 + 12 • + . . . + In • x„ = 0 , 20 + 21 • xt + 22 • x2 + . . . + 2n • x,, = 0 , 30 + 31 • x1 -+- 32 • x2 + . . . + 3n • x» ^ 0 , Jeder Koeffizient ist hier durch zwei Indizes symbolisiert, von denen der erste die Gleichung, dor zweit« die Stelle innerhalb der Gleichung anzeigt. Im Falle n = 1 findet man als Eliminationsresultat im Falle n = 2

10-21 - 11 • 20 — 0 ,

10 • 21 • 32 + 11 • 22 • 30 4- 12 • 20 • 31 - 1 0 - 2 2 - 3 1 - 11 - 2 0 - 3 2 - 1 2 - 2 1 - 3 0 = 0 und so fort. L e i b n i z gelangte durch Induktion zu einem allgemeinen Theorem, das er in einem Brief an den Marquis do 1 ' H o s p i t a l (vom 28. April 1693) ausspricht: „Datis aequationibus quoteunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quae simplicem gradum non egrediuntur, pro aequatione prodeunte primo sumendae sunt omnes combinationes possibiles, quas ingreditur una tantum coefficiens uniuscunque aequationis; secundo eae combinationes opposita habent signa, si in eodem prodeuntis aequationis latere ponantur, quae habent tot coefficientes communes, quot sunt unitates in numero quantitatum tollendarum unitate minuto; caeterae habent eadem signa." K o w a l e w s k i , Determinanten.

1

2

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkungen.

Es seien beliebig viele Gleichungen gegeben, die zur Elimination der den ersten Grad nicht überschreitenden Unbekannten ausreichen. Um die resultierende Gleichung zu erhalten, hat man zunächst alle möglichen Kombinationen zu bilden, in die aus jeder Gleichung nur ein Koeffizient eingeht [d. h. die Produkte l r 0 • . . . n + 1, rn ]. Bringt man dann in der resultierenden Gleichung alles auf eine Seite, so haben diejenigen Kombinationen entgegengesetzte Zeichen, die so viele gemeinsame Koeffizienten enthalten, als es Einheiten in der um 1 verminderten Zahl der zu eliminierenden Unbekannten gibt. Die übrigen haben dieselben Zeichen. Wenn zwei Produkte 1 r0 • 2rl . . . n + 1, r„ und 1 «o • 2st . . . n -j- 1, sn n — 1 gemeinsame Faktoren haben, so entsteht s 0 , s x , . . ., s„ aus r 0 , r1, . . ., rn durch eine T r a n s p o s i t i o n , d. h. durch Vertauschung zweier Glieder. Das nach der L e i b n i z s c h e n Vorschrift gebildete Eliminationsresultat lautet also • lr0- 2rx . . . n+ 1, ru = 0 . Die Summation erstreckt sich über alle (»-(-1)! Permutationen r 0 , r l t . . ., rn der Indizes 0, 1, . . ., n, und e ist gleich -)- 1 oder — 1, je nachdem r0, r1, . . ., r„ aus 0, 1, . . ., n durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen hervorgeht. • lr0 • 2rt. . . n + 1, rn ist das, was wir heutzutage eine {n -j- l)-reihige D e t e r m i n a n t e nennen.

§ 2. Die Determinanten bei Cramer. L e i b n i z fand nicht die Zeit, seine Erfindung, von deren großer Tragweite er bei verschiedenen Gelegenheiten spricht, weiter zu verfolgen. So geriet sie ganz in Vergessenheit. Als G a b r i e l C r a m e r , der Verfasser der „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750), sich mit Systemen linearer Gleichungen beschäftigte, stieß er g a n z u n a b h ä n g i g v o n L e i b n i z noch einmal auf die Determinanten. Im Anhang seines großen Werkes zeigt er, wie man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Determinanten auflöst. Wir wollen die kurze Note hier vollständig wiedergeben:

3

§ 2. Die Determinanten bei Cramer.

„Man habe mehrere Unbekannte 2 , y, x, und ebenso viele Gleichungen A1 = ZH + Yly + A2 = Z2z + Y2y + A3 = Z3z + Y3y + A* = Z'z -;- YUj + Dabei sollen die Buchstaben A\

v, . . . X^x X2x X3x Xix

+ -j+ -f

F1» V2v V3v F4w

A2, A3, A*,

+ + + +

. . ., .. . . ., ..

...

nicht wie gewöhnlich die Potenzen von A bedeuten, sondern die als bekannt vorausgesetzte linke Seite der ersten, zweiten, dritten, vierten,. . . Gleichung. Ebenso sind Z\ Z*, . . . Y2,

die Koeffizienten von z,

Y\

die von y,

X>, X\

... ...

die von x,

V\ V*, ... die von v, . . ., in der ersten, zweiten, . . . Gleichung. Diese Bezeichnungsweise vorausgesetzt hat man, wenn nur Gleichung mit e i n e r Unbekannten z vorliegt,

eine

A Sind zwei Gleichungen und zwei Unbekannte z und y da, so findet man A'Y2 und

_ZlA*-Z*Al ~ ZVY2 - Z2Y'

y

'

Sind d r e i Gleichungen und d r e i Unbekannte z, y und x da, so findet man

A1Y2X3-A1Y3X2-A2YiX3 + A2Y3X1 + A3Y1X2-A3Y2Xl 1 2 3 1 3 2 2 s 2 3 1 3 1 2 ZYX — Z Y X - Z Y* X + Z Y X -i-Z Y X — Z3Y2X1 3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 i 3 2 3 1 ZAX •— Z A X -Z A X + Z A X -f Z A X — ZZA2X1 2 1 3 + Z2Y3X1 + Z1Y2X3 — Z1Y3X2 -Z Y X Z3Y1X2 -Z3Y2X1 3 2 -Z2Y1A3 + Z2Y3A1 + Z3YlA2--Z3Y2Ai Z1Y2A3 -Z^Y A 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 ZY X —ZYX — Z Y X + Z Y X 4- Z Y X2 — Z3Y2X1 1*

4

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkungen.

Die Prüfung dieser Formeln liefert folgende allgemeine Regel. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten sei n. Man findet dann den Wert jeder Unbekannten, indem man n Brüche bildet, deren gemeinsamer Nenner ebenso viele Glieder hat, als es verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Dingen gibt. Jedes Glied setzt sich aus den Buchstaben ¿1, j , -X,

V,

...

zusammen. Sie werden immer in derselben Reihenfolge geschrieben. Man erteilt ihnen aber als Exponenten die n ersten Ziffern in allen möglichen Reihenfolgen. So hat, wenn drei Unbekannte da sind, der Nenner 1-2-3 = 6 Glieder; sie sind zusammengesetzt aus den drei Buchstaben Z, Y, X , die der Reihe nach die Exponenten 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3 , 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 erhalten. Man gibt diesen Gliedern die Zeichen oder — nach folgender Regel. Wenn auf einen Exponenten in demselben Gliede mittelbar oder unmittelbar ein kleinerer Exponent folgt, so will ich dies ein D e r a n g e m e n t nennen. Man zähle nun bei jedem Gliede die Derangements. Ist ihre Anzahl gerade oder Null, so erhält das Glied das Zeichen -)-, ist sie ungerade, so erhält das Glied das Zeichen —. Z. B. gibt es in dem Gliede Z^Y^X3 kein Derangement.

Dieses Glied erhält also das Zeichen -f-. Das Glied Z3 Y1 X2

hat auch das Zeichen -f-, weil es zwei Derangements aufweist. 3 vor 1 und 3 vor 2. Dagegen erhält das Glied Zs F2

X\

das drei Derangements aufweist, 3 vor 2, 3 vor 1 und 2 vor 1, das Zeichen —. Nachdem so der gemeinsame Nenner gebildet ist, erhält man den Wert von z, indem man diesem Nenner einen Zähler gibt, den man dadurch bildet, daß man in allen Gliedern Z in A verwandelt. Der Wert von y ist ein Bruch, der denselben Nenner hat und als Zähler eine Größe, die sich ergibt, wenn man in allen Gliedern des Nenners Y in A verwandelt. In ähnlicher Weise findet man den Wert der übrigen Unbekannten. Allgemein zu reden ist das Problem bestimmt. Aber es kann besondere Fälle geben, wo es unbestimmt bleibt, und andere, wo es unmöglich wird.

5

§2. Die Determinanten bai Cramer.

Das geschieht, wenn man den gemeinsamen Nenner gleich Null findet; d. h. bei mir zwei Gleichungen, wenn Z^Y2

2

- Z

Y

1

= 0 ,

bei drei Gleichungen, wenn IZ1 Y2X3

- Z1 Y3X2

- Z2 YLX3

-f- Z2 Y3X1 1

--j- Z3 Y1X2

2

- Z

3

Y

2

X

l

= 0

3

ist usw. Sind alsdann die Größen A , A , A , . . . so beschaffen, daß auch die Zähler gleich Null sind, so ist das Problem unbestimmt, denn die Brüche 9-, die die Werte der Unbekannten geben müßten, sind unbestimmt. Wenn dagegen die Größen A1, A2, A3, . . . so beschaffen sind, daß, während der gemeinsame Nenner gleich Null ist, die Zähler oder einige von ihnen nicht Null sind, so ist das Problem unmöglich oder es sind wenigstens die unbekannten Größen, die es lösen können, alle oder zum Teil unendlich. Hat man z. B. die beiden folgenden Gleichungen: 2 ^ oz — 2y, 5 6z - iy, so findet man

z

= b

y=

3•

z und y sind also unendliche Größen, die sich zueinander verhalten wie 2 zu 3. Rechnete man die Unbekannten nach den gewöhnlichen Methoden aus, so käme man auf die sinnlose Gleichung 2 -

":t "

Denn die erste Gleichung gibt

*

r,

u '

«s.yu — • »

und die zweite Also hat man

=

i-y

-i-1-

i ? / - r t = £-2/+ i! oder

| = f,

was ein Unsinn ist, wenn z und y endliche Größen sind. Wenn sie aber unendlich sind, so kann man ohne Sinnlosigkeit sagen, daß und gleichzeitig

1

S» z =

v

3

|

f y "" ir ist. Denn die endlichen Größen | und f sind im Vergleich zu den unendlichen Größen z und | y nichts. Die beiden Gleichungen s = f 2/ ~ r f reduzieren sich also auf

und z

z

=.|y-i-5

= !». eine Gleichung, die nichts Widersprechendes hat."

6

Zweites Kapitel. Definition der w-reihigen Determinante.

Zweites

Kapitel.

Definition der n-reihigen Determinante. § 3. Paarungen zwischen zwei Systemen yon n Dingen. Wir betrachten zwei Systeme von n Dingen. Der Leser stelle sich, um ein anschauliches Beispiel zu haben, n Herren und n Damen vor, die auf einem Balle sind. Wenn jedes Ding des einen Systems mit einem Ding des anderen Systems verbunden wird, also in unserem Beispiel jeder Herr eine Dame wählt, so wollen wir das eine P a a r u n g zwischen den beiden Systemen nennen. Eine solche Paarung kann man in folgender Weise bewirken. Man läßt die Herren in einer bestimmten Reihenfolge wählen. Der erste Herr hat dann die Auswahl unter n Damen, der zweite unter n — 1 und so fort. Der letzte Herr muß die zuletzt übriggebliebene Dame nehmen. Man sieht hieraus, daß es , „ n! = 1 • 2 . . . n Paarungen

z w i s c h e n den b e i d e n

Systemen

gibt.

§ 4. Umpaarongen und Inversionen. Den Übergang von einer Paarung zu einer neuen wollen wir als eine U m p a a r u n g bezeichnen. Die einfachsten Umpaarmigen sind solche, wo mir zwei Paare abgeändert werden, also nichts weiter geschieht, als daß zwei Herren ihre Damen austauschen. Umpaarungen dieser Art nennen wir T r a n s p o s i tionen. J e d e U m p a a r u n g l ä ß t sich d u r c h e i n e R e i h e v o n T r a n s positionen herbeiführen. Will man von der Paarung ^ß zu der Paarung iß gelangen, so fasse man einen Herrn und eine Dame ins Auge, die bei ^ß, aber nicht bei ein Paar bilden. Sie befinden sich also bei iß in verschiedenen Paaren. Ändert man nur diese beiden Paare ab, so ist wenigstens schon eins von den neuen Paaren gewonnen. Sind noch nicht alle neuen Paare da, so setzt man das Verfahren fort. Nach höchstens n — 1 Schritten hat man die Paarung ^ß erreicht. Wir wollen nun die Damen mit Rangnummern 1, 2, . . ., n versehen und zwei bestimmte Herren betrachten. Diese seien bei mit den Damen

§ 4.

r und s, bei

l'mpaarungen und Inversionen.

7

mit den Damen f bzw. s gepaart. Wenn die Differenzen und

r — s

f — s

entgegengesetzte Zeichen haben, so wollen wir sagen, daß die betrachtete zu Sß eine I n v e r s i o n erfährt. Um Herrenambe beim Übergange von zu wissen, wie viele Inversionen bei einer Umpaarung stattfinden, muß man jede der ^ n (n — 1) Herrenamben darauf untersuchen, ob sie eine Inversion erleidet oder nicht. seien drei beliebige Paarungen. Bei der Umpaarung '¡P1, d. h. beim Übergange von ^ zu gebe es 2

+ ••• + bn ^i» •

Der Koeffizient von xt wird nämlich «Ii -¿IS + «21 A^s T • • • i ant Ans und ist nach Satz 15 gleich Null, wenn und nach Satz 14 gleich A , wenn t—s ist. Aus den Gleichungen (1) folgen also die Gleichungen (i)

g, = M l . + Mi.+

••• +KAn,

A

(a==1>

2

^

n)

Das Umgekehrte gilt aber auch. Multiplizieren wir in (1) die s te Gleichung mit a r s und addieren dann alles, so erhalten wir ®>"1®1 "I- ® T 2 2 Denn der Koeffizient von bt wird a;

• • • ~f" arn%n = bt .

a

rl-Ati + «r2^rnAtn A ist also nach Satz 15 gleich Null, wenn und nach Satz 14 gleich 1, wenn t = r ist. Wir sehen, daß das System (1) die Lösung (I) hat und außerdem keine. ¿IS + K AZs + • • • + bn Ans

entsteht aus

2s • • • ans Ans ten dadurch, daß man die Elemente der « Spalte der Reihe nach durch bx , b2, ..., bn ersetzt. Daraus ergibt sich folgende Regel, die von Cramer durch Induktion gefunden worden ist (vgl. § 2): Man e r s e t z e die E l e m e n t e der s1*® S p a l t e von A der R e i h e n a c h d u r c h bx, b2, ..., b„ und b e z e i c h n e die so e n t s t e h e n d e D e t e r m i n a n t e m i t As. Dann l a u t e t die L ö s u n g des S y s t e m s (1): a

A-i 1 — J^ )

X

Wenn

_ 2—

X

)

• • •)

An n— •

x

,b2, . . . , b„ alle gleich Null sind, so hat jede der Determinanten i -^2 i

• • • >

§ 22. Cramersche Regel.

eine Spalte mit lauter Nullen. Es ist daher x1 = 0 , x2 = 0 , xn = 0 . Aus a a ll X1 ~t~ ai2 X2 ~T~ • r m — 0 , O/nn Xti ' • • -!- «2». = o , i

und

®n 2X2

• !'" ®»re

a

—0

«in

°11 l2 #21 ^22

+ 0

a

ni an2 • • ®M

folgt

,

a:„ = 0 .

Beispiele.

Um die Gleichungen

a1x + b1y = c1, atx + b2y = c2

aufzulösen, hat man in

a2 b, einmal die erste Spalte, ein zweites Mal die zweite Spalte durch c i c2 zu ersetzen. Dadurch ergeben sich die Determinanten C

1 bi C2 h

»

«1 Ol «2 C2

und die Lösung unserer Gleichungen lautet: C h Ol x = 1 c2 h «2 h yVorausgesetzt wird, daß

«1 C1 «2 C2

«1 h o2

a

i bi; a>2 1*21

von Null verschieden ist. Will man die Lösung des Systems a1x + b1y + c1z = dl, a2x + b2y + c2z = d2, aax + b3y + c3z = dt

44

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

finden, so hat man in

bj

ax

Cj

«2 b2 a3

C

2

b3

c3

einmal die erste, ein zweites Mal die zweite, ein drittes Mal die dritte Spalte durch ®i d2 d ,

zu ersetzen.

Dadurch entstehen die Determinanten Cl di h «1 h dl ®1 di Cl d2

c2

K

a2

?

h C3 und die gesuchte Lösung lautet: d3

a3

di

x

y

z

=

=

=

c

h

d2

C

d3

c3

«2 «3

bi

i

c2

a2

b2

a

b3

¿2

h

d3

h

c3 c

«i

di

a2

dz

«3

d3

C

3

i 3

h

di

U

h

d2

a3

ba

d3

2

2 J

:

h

d2

h

d3

Cl c2 c3

1 können wir auch sagen, d a ß k e i n s d e r S y s t e m e eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n der a n d e r n ist. Im Falle m = 1 hat die lineare Unabhängigkeit den Sinn, d a ß d a s einzige v o r h a n d e n e System X

11 »

i • • • > xln

nicht aus lauter Nullen besteht. *) Die Sätze 3 bis 6 gelten auch für die Spalten

§ 24. Lineare Unabhängigkeit.

47

Wenn die Systeme (1) n i c h t unabhängig sind, so sagen wir auch, d a ß z w i s c h e n i h n e n eine l i n e a r e R e l a t i o n b e s t e h t * ) . Damit meinen wir dann, daß die Gleichungen (2) sich durch ein Wertsystem , , . . . , >1« befriedigen lassen, das nicht aus lauter Nullen besteht. Ist Xh ungleich Null, so sagen wir, daß in der erwähnten linearen Relation das System •^h 1 i 2 i • • • i n vorkommt. S a t z 16. Die S y s t e m e (1) s i n d d a n n u n d n u r d a n n l i n e a r u n a b h ä n g i g , w e n n der R a n g der M a t r i x (1) g l e i c h m ist. Für m = 1 ist der Satz offenbar richtig. Wir können uns also auf m > 1 beschränken. Wenn die Systeme (1) nicht unabhängig sind, so ist in der Matrix (1) eine Zeile eine lineare Kombination der andern. Wir dürfen diese Zeile streichen, ohne daß der Rang der Matrix sich ändert (vgl. § 23 Nr. 6). Der Rang einer (m — l)-zeiligen Matrix ist aber höchstens gleich m — 1, also kleiner als m. Damit ist ein Teil des Satzes 16 schon bewiesen. Nehmen wir jetzt an, daß der Rang r der Matrix (1) kleiner als m ist. Im Falle r = 0 sind die Systeme (1) sicher nicht unabhängig. Sie bestehen alle aus lauter Nullen. Jedes ist also eine lineare Kombination der andern. Im Falle r > 0 können wir durch Vertauschung der Zeilen bewirken, daß in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante steht. Es lassen sich dann n — r Hilfssysteme y r +1,1 7 2/r+ 1,2, • • Vr-y1,» Vt+2, 1, 2/r+ 2, 2 7 •••• Vr+ 2,n Vn 1: Vn 2 7 so bestimmen, daß die Determinante xu

Vnn

zrl • • xrn 3/r -f- 1,1 •• • Vr + l,n Vn 1

• Vtin

ungleich Null ist. Man wählt in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante, setzt die Hauptelemente ihres Komplements gleich 1 und die übrigen y alle gleich Null. Dann reduziert sich die L a p l a c e s c h e Entwicklung nach den r ersten Zeilen auf ein Glied, das abgesehen vom Vorzeichen gleich jener r-reihigen Determinante ist. *) Diese Bedeweise wenden wir im Falle m > 1 an.

48

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

Wenn wir nun auf die Gleichungen*) «11 +

A, xrl

• • •+

+

K + 1 Vr + 1,1 +

• • • + Ä» Jfoi =

,

«12 + • • • + Af xt2 + Ar + 1 ^r+1,2 + • • • + ^ Vn2 = xh2 , x

ln

~r • • • ~T h

~T~ A, + 1 Vt +1, n T

x

rn

•••

4" A* Vnn ~

x

hn

die Cramersche Regel (§ 22) anwenden, so erhalten wir j _

^ , ja 2- -

d

, ..., i

-I>-

Ds (« = 1, 2, . . . , n) entsteht aus D, indem man in D die x

hi

j xh2 y • • • i

Zeile durch

«ftn

ersetzt. D r + 1 , X>r+21 • •, A i enthalten daher r -f-1 Zeilen der Matrix (1). Da alle (r + l)-reihigen Determinanten in (1) gleich Null sind, weil der Rang r sein soll, so gibt die Laplacesche Entwickelung nach jenen r + 1 Zeilen D r + i = 0,

D r + 2 = 0 , . . . , Dn = 0.

X,+ i , % +2> • • Änsind also gleich Null, und man hat für h = r -f- 1,.., n Gleichungen von der Form x

hi =

Ai xii

x

x

x

«1»+

h2 ~ hn—

• • • + K xri •>

12 "T • • • 4" Ar xr2 t . . . -f- Ar xrn •

Jede Zeile der Matrix (1) ist demnach eine lineare Kombination der r ersten Zeilen. Damit haben wir auch den zweiten Teil von Satz 16 bewiesen. Wir können unser Resultat auch so formulieren: Satz 17. Wenn der Rang der Matrix (1) gleich r ist (r > 0), so lassen sich unter den Systemen (1) r, aber nicht mehr unabhängige auswählen. Hat man r unabhängige ausgewählt, so ist jedes der Systeme ( l ) e i n e lineare Kombination von ihnen. Wir beweisen im Anschluß hieran noch folgenden Satz: Satz 18. Wenn in einer Matrix eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorhanden ist ( r > 0 ) , deren ( r + 1 ) reihige Superdeterminanten**) alle gleich Null sind, so ist der Rang der M a t r i x gleich r. *) h ist eine der Zahlen r + 1, . . ., m. * * ) Damit diese Superdeterminanten sich bilden lassen, muß man eventuell Zeilen und Spalten mit lauter Nullen hinzufügen.

§ 24. Lineare Unabhängigkeit.

49

Wenn eine Determinante ein Minor einer anderen ist, so nennt man diese andere eine S u p e r d e t e r m i n a n t e von jener. Wir wollen annehmen, daß in der Matrix (1) die Determinante X11 X12 X21 x22 xn

xr

• • xlr • • X2T

2 • • xrr

ungleich Null ist, während alle (r + l)-reihigen Superdeterminanten von ihr gleich Null sind. Da die Matrix x12 x2i

XU X21

• • • xrl xhl • • • xt 2 xh2

xir

• • • xrr

(A=r+l,...,»»;« = r+l,..., X

1

x2r

s

x2s

• • •

X

T3

»)

xhr

xhs

den Rang r hat und in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt, so ist nach Satz 17 die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten. Wir sehen, daß in der Matrix X11 X12 X21 x22

• • • xin ' ' ' x2 n

( A = r + 1 , . . . , n)

xt1 xr 2 • • • xrn xhl xh2

• • • xhu

die n — r letzten Spalten lineare Kombinationen der r ersten sind. Wir dürfen also nach § 23 die n — r letzten Spalten streichen, ohne daß der Rang der obigen Matrix sich ändert. Dieser Rang ist daher gleich r und aus Satz 17 folgt, daß die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten ist. Dies gilt für A = r + 1 , . . . , m , und wir dürfen deshalb in der Matrix (1) die m — r letzten Zeilen streichen, ohne daß der Rang dieser Matrix sich ändert. Die Matrix (1) hat also den Rang r. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren, um den Rang einer Matrix zu bestimmen. Man sucht ein von Null verschiedenes Element auf. Gibt es kein solches, dann ist der Rang der Matrix gleich Null. Ist ein von Null verschiedenes vorhanden, so muß man seine zweireihigen Superdeterminanten betrachten. Sind sie alle gleich Null, dann hat die Matrix den Rang 1. Andernfalls muß man unter jenen Superdeterminanten eine nichtverschwindende heraussuchen und ihre dreireihigen Superdeterminanten prüfen. Sind sie alle gleich K o w a l e w ß k i , Determinanten.

4

50

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen,

Null, dann ist der Rang der Matrix gleich 2. Andernfalls muß man unter ihnen eine von Null verschiedene auswählen und ihre vierreihigen Superdeterminanten betrachten usw.

§ 25. Systeme linearer homogener Gleichungen. Eine lineare homogene Gleichung mit n Unbekannten xu x2, ..., hat die Form . , , . o, a^ + a2 x2 + ... + an xn = 0 .

xn

Wir wollen ein System von m solchen Gleichungen betrachten, r / l = o u x1 + a12 x2 + . • 4" «l» — 0 , = 0, h= «21 X1 4" «22 Xt 4" • • 4" «21» (1)

L=

ml X1 4" «ro2 x2 4" • • "I «ron^n — 0 ,

a

und seine Lösungen bestimmen, d. h. diejenigen Wertsysteme ®11 ^21 • • • I ®B I die allen Gleichungen (1) genügen. Es kommt, wie wir sehen werden, darauf an, welchen Rang r die Matrix «u «12 • •• «in «21 a n .. • «2tl (2) .«ml amt- • «Will hat, die man die M a t r i x des S y s t e m s (1) nennt. Ist r = 0, d. h. sind alle a gleich Null, so ist jedes Wertsystem xt, * * *9 6111G Lösung von (1). Im Falle r > 0 können wir die Gleichungen (1) in einer solchen Reihenfolge schreiben, daß in den r ersten Zeilen von (2) eine von Null verschiedene r-reihige Determinante auftritt. SollteTO> r sein, so sind nach § 24 die m — r letzten Zeilen in (2) lineare Kombinationen der r ersten. Man hat also für A = r + 1, . . . , n «Ai = Äfti a u + ¿A2 «21 + • • • + Äftr «ri » «A2 = an + «22 + • • • + far «r2 , «An = fai «in +

«2n + • • • + far «rn •

Multipliziert man der Reihe nach mit z1, x2, ...,

x und addiert dann, so

^ fh = hl fi + AfcS fi + • • • + hr fr > welche Werte auch die x haben mögen. Hieraus ist zu entnehmen, daß jede Lösung des Systems (3) /i = 0 , /¡¡ = 0 , . . . , f , = 0

§ 26. Die Lösung des reduzierten Systems.

51

auch eine Lösung von (1) ist. Beide Systeme haben also dieselben Lösungen. S a t z 19. H a t ein S y s t e m l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n den R a n g r ( > 0 ) , so k a n n m a n s i c h bei der B e s t i m m u n g der L ö s u n g e n auf r G l e i c h u n g e n des S y s t e m s b e s c h r ä n k e n , in deren M a t r i x eine v o n N u l l v e r s c h i e d e n e r - r e i h i g e D e t e r minante vorkommt. Man nennt die m Gleichungen (1) l i n e a r u n a b h ä n g i g oder kurz u n a b h ä n g i g , wenn ihre Koeffizientensysteme, d.h. die Zeilen der Matrix (2), im Sinne von § 24 unabhängig sind. Im Falle m > 1 bedeutet dies, daß keine Gleichung aus den übrigen durch lineare Kombination hervorgeht. Im Falle m — 1 kommt die Unabhängigkeit darauf hinaus, daß nicht alle Koeffizienten Null sind. Der obige Satz läßt sich hiernach auch so formulieren: H a t ein S y s t e m l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n den R a n g r, so k a n n man s i c h bei der B e s t i m m u n g der L ö s u n g e n auf r u n a b h ä n g i g e G l e i c h u n g e n des S y s t e m s b e s c h r ä n k e n . Diese r unabhängigen Gleichungen wollen wir das r e d u z i e r t e S y s t e m nennen.

§ 26. Die Lösung des reduzierten Systems. Durch eine geeignete Numerierung der Unbekannten können wir bewirken, daß in dem reduzierten System «U X1 + «12 x2 + ••• + «1» xn = 0 , x «21 X1 «22 x2 • • • "t" «2n n — 0 > «ri xl + «r2 x2 + • • • + «™ xn = 0 die Determinante «H «12 • • «ir «21 «22 • • «2f A arl «r2 • • «rr von Null verschieden ist. Im Falle r=n liefert die Cr am er sehe Regel #1=0, x2 — 0 , . . . , xn = 0 als einzige Lösung. S a t z 2 0 . W e n n der R a n g e i n e s S y s t e m s l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n g l e i c h der A n z a h l der U n b e k a n n t e n i s t , * ) so m u ß man, um das S y s t e m zu b e f r i e d i g e n , alle U n b e k a n n t e n g l e i c h Null s e t z e n . *) Wir könnten auch sagen: „Wenn ein System linearer homogener Gleichungen so viel unabhängige Gleichungen enthält, als es Unbekannte gibt, usw." 4*

52

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

Im Falle r < n können wir xn+1, dann auf die Gleichungen

...,

xn beliebige Werte beilegen und

«11 X1 + • • • + ®ir X,= ~ ( « i , f + l Zr+l + . . . + alnX„) , «21 X1 + • • * • + «2 r XT= — (a2,r + ! xr +1 + ... + a2n xn), Ori®i + • • • + a>TrXr= — (Or,r + 1 a;f + 1 + ... + arn x„) die Cramersche Regel anwenden. Bezeichnen wir mit Aal die Determinante, die aus A entsteht, wenn man die s to Spalte durch Oll «2< art ersetzt (t= r + 1, ..., x1=

n), so ist nach der Gramerschen Regel:*) 1

- — (AliT+1xr+1

+ ... + Aln xn),

1 (-^a, r -h 1 xr + 1 ~t~ • • • 4" 2 — — -j-

x

xf— —

1

(Ar.r-i-i

xr + i -{-...

Dies Gleichungen besagen, daß Xj , x2, ...,

Arn

nxn) > xn).

x„

eine lineare Kombination der folgenden n — r Lösungen ist: A

A

'

A

l,r + 2 A '

2,r + i A

A

%, r + 2 A

A

m A

A

r,r + i , 1 , 0 , . . . , 0, A

A

r,r + A

o, 1, ..., 0 ,

•A.rr A%n , 0,0 1 A A Diese n — r Lösungen sind u n a b h ä n g i g (vgl. §24) und j e d e L ö s u n g u n s e r e s S y s t e m s i s t eine l i n e a r e K o m b i n a t i o n v o n i h n e n . Umgekehrt ist j e d e lineare Kombination von ihnen eine Lösung unseres Systems. Wenn wir p beliebige Lösungen hinschreiben, so sind darunter höchstens 7i — t unabhängige. Fügen wir nämlich noch die obigen n — r Lösungen hinzu, so wird dadurch die Anzahl der unabhängigen Lösungen

'

*) Wir wenden zugleich Satz 6 und 6 an.

§ 27. Methode von Frobenius zur Bestimmung eines Fundamentalsystems.

53

nicht vermindert. Da aber die p ersten Lösungen lineare Kombinationen der n — r letzten sind, so haben wir jetzt genau n — r unabhängige. n — r unabhängige Lösungen besitzen hiernach immer die Eigenschaft, daß jede Lösung eine lineare Kombination von ihnen ist. Nehmen wir nämlich zu n — r unabhängigen Lösungen irgendeine (n — r l) te hinzu, so besteht zwischen ihnen eine lineare Relation, in der diese (n — r + l) te vorkommen muß (vgl. § 24), weil sonst die n — r ersten nicht unabhängig wären. Die (n — r + l) to ist also eine lineare Kombination der n — r ersten. Man nennt ein System von unabhängigen Lösungen, aus denen sich jede Lösung durch lineare Kombination ergibt, ein F u n d a m e n t a l s y s t e m . S a t z 21. W e n n der Rang r eines S y s t e m s l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n kleiner als die A n z a h l n der U n b e k a n n t e n i s t , so g i b t es F u n d a m e n t a l s y s t e m e von n — r L ö s u n g e n . Um ein solches Fundamentalsystem zu erhalten, braucht man nur n — r unabhängige Lösungen zu suchen.

§27. Methode von Frobenius zur Bestimmung eines Fundamentalsystems. Um ein Fundamentalsystem von Lösungen für r unabhängige lineare homogene Gleichungen »11 «21

x-L + X

l

ai2 «i

+ ®22

x2

41- * . *• + «i» • + «2n

+ ••

+ •• • +

«rl «1 + «r2

x« x

n

= -

«rn 3-n =

zu finden (r < n), kann man so verfahren. Man fügt zu ®11 °12 • • • °ln 21 ®22 • • • ®2 n a

a

r

n — r neue Zeilen

1

a

r

2 •• •

a

rn

° r + l , l «r + 1,2 • • • «r + l , n ° r + 2 , l « r + 2 , 2 • • • «r + 2,n ®ni

®B2

• • •

a

nn

derart hinzu, daß die Determinante «11 «12 •. . a z> = «21 «22 •• • «2» l n

«Ol ««2 • • • «nn

nicht verschwindet.

Daß dies möglich ist, wissen wir aus § 24.

54

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

Bezeichnet man nun mit Ahs das algebraische Komplement von a>,e in D, so sind die Wertsysteme •^r+ 1,1, •df + 1,2, •••i -^r + l.n» 2.1 »

,

A„ g , i A-nn • A»1 Lösungen von (1). Das folgt aus Satz 15 in § 20. Wenn wir noch zeigen, daß sie unabhängig sind, so wissen wir, daß sie ein Fundamentalsystem bilden. Aus den Gleichungen Äl A-T + 1,1 ~f" Äi + 2,1 -f" • • • + Xu — r-4»! = 0 , + + • • • "4" Xn — fAni = 0 , A t 1|B -(- A-2 -^r + 2,» H- • • • "4" Än — r-^-nn — 0 folgt aber, wenn man der Reihe nach mit ahl, ah2,..., ahn {h= r-\- 1 , . . . , n) multipliziert und dann addiert, h-r D = 0

(A = r + 1 , . . . , n).

Alle X sind also gleich Null. Damit ist die Unabhängigkeit der Lösungen (2) bewiesen. § 28.

n — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten.

Bei n — 1 unabhängigen Gleichungen « 2 + • • • + «1» • • + «2n

«11 «21

xl

+ «12 + «22

«»—1,1

X1

+ «n—1,2 x2+

..• • + «n-i,

Xn = 0 , = 0, = 0

besteht ein Fundamentalsystem aus einer einzigen Lösung, die von 0, 0, . . . , 0 verschieden ist. Bezeichnet man mit D, diejenige Determinante der Matrix ®ii «21

«12 «22

• • • «m • • • «2W

«n—1,1 «»—1.2 • • • «n — l,n > die durch Streichung der sten Spalte entsteht, so liefert die Frobeniussche Methode die Fundamentallösung A ,

-Dt,...,

(-l)n~1Dn.

55

§ 29. Beliebige lineare Gleichungssysteme.

Das algebraische Komplement von o n , in «11 «12 •• • «1» «21 «22 • «2» •

«nl a„ j . • «nn ( _ i ) » + « D J = ( _ 1)« - i . ( _ l

ist nämlich

Y

-1

A

.

Streicht man den gemeinsamen Faktor (— l) n — 1 , so findet man die angegebene Lösung. Jede andere Lösung hat die Form Beispiel.

Aus

a± xx + at x2 + a3 x3 = 0 , 2>i »i + b2 x2 + b3 x3 = 0 folgt a «I «3 «1 «2 X^'. X2- X3 — 2 «3 b2 6. &3 ^2 oder, anders geschrieben, Oi a 2 «2 «3 Oj «i Ö2 63 : 6S 6i : 6j Vorausgesetzt wird dabei, daß die drei Determinanten auf der rechten Seite nicht alle gleich Null sind.

§ 29. Beliebige lineare Gleiehnngssysteme. Wir wollen jetzt ein System von m linearen Gleichungen betrachten, die nicht alle homogen sind. Ein solches System lautet «11 #1 + «12 & « + • • • +

so ergibt sich durch Subtraktion der Gleichungen ®Al

+ °A2 x i + • • • + ahn

= bh

und

ahj x[ + ah2 x'2 + ... + ahn x'n - bh die Gleichung «ai Vi + ahi y2 + ...+ahny„ = 0 . (h = 1 , 2 , ...,

m).

Umgekehrt folgt aus den beiden letzten Gleichungen durch Addition die erste. Wenn also ' ' ***i 61116 bestimmte Lösung von (1) und yx, VÌI • • • ) Vn eine beliebige Lösung des Systems «u Vi + a12 Vi + • • • + «i» yn = 0 , a 2i f i + o22 yt + • • • + a 2 „ = 0 , (5 J ist, so ist

. aml 3/l + a»»2 ^2 + • • • + a«n» fn =

0

X

'l + Vi, 4 + tfl . • • • 1 < + Vn

immer eine Lösung von (1) und jede Lösung von (1) läßt sich in dieser Form darstellen. Im Falle r = n läßt das System (5) nur die Lösung 2/i = 0, y2 = 0, . . . , yn = 0 zu. Dann gestattet auch das System (1) nur eine Lösung, vorausgesetzt, daß die Matrix (4) denselben Rang hat wie (3), d. h. den Rang ». Im Falle r < n sei VlXi 3/21 »

fl2) Viti

—> f l » l • • • 1 Vi* i

Vn—r,i) Vn—r,2>

3^»—r, »

§ 31. Definition des Produkts zweier Matrizen.

59

eia Fundamentalsystem von (5). Dann sind alle Lösungen von (1) in folgender Form darstellbar: x1 =

xj +

Aj yn

+

^ y21 +

... +

Xn-,

yn-T.

j,

Xt

=

X2

2/l2

3^22

• • • ~t" hi—r Vn—r, 2 >

xn

— xn "h

Vi n

2/2"

• • • "1" ^n—r Vn—r, n •

Die X darf man beliebig wählen.

Sechstes

Kapitel.

Multiplikation von Matrizen und Determinanten. § 30. Produkt zweier Systeme von n Zahlen. x2> • • xn und yt, xn Wir wollen den Ausdruck

Vi +

seien zwei Systeme von n Zahlen.

y 2 , . . . , yn *2 Vi +

• • •+

*n Vn

mit (x y) bezeichnen und das i n n e r e P r o d u k t * ) oder kurz das P r o d u k t der beiden Systeme nennen. Dieses Produkt kommt also dadurch zustande, daß man jede Zahl des einen Systems mit der entsprechenden Zahl des anderen Systems multipliziert und die Resultate addiert. Man sagt auch, daß das innere Produkt zweier Systeme durch Z u s a m m e n s e t z u n g oder K o m p o s i t i o n der beiden Systeme entsteht. Man meint damit, daß die entsprechenden Zahlen multipliziert und die Resultate addiert werden.

§ 31. Definition des Produkts zweier Matrizen. Wir betrachten zwei Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: (A)

«11 «12 • • «1» «21 «22 • • «2»! • «mn

amlami.

und (B)

bu

b12

..

b

b22

. . •hn

.b

a

m l

b

m 2

.

.61-

• bmn

* ) Diese Bezeichnung rührt von H. G r a s s m a n n her. Da wir hier nur eine Art von Produkten brauchen, können wir statt „inneres Produkt" einfach „Produkt" sagen.

60

Sechstes Kapitel. Multiplikation von Matrizen und Determinanten.

Das Produkt der r4™ Zeile von (A) und der s1™ Zeile von (B) bezeichnen wir (vgl. § 30) mit (arbs). Es ist also (arbs) — a,xbsl + Or2bi2 -f ... + arnbs„. Aus diesen m 2 Produkten können wir die folgende quadratische Matrix bilden: (ai h) K b2) ... (ax bm) («2 h) («2 h) ... (a2 bn) (am bj) (am b2) ... (am bm). Die Determinante dieser Matrix, also die Determinante («i bt) («h b2) • • («i bm) («2 &l) («2 h) • • («2 bm) (am bj) (am b2) • bm) nennt man das P r o d u k t der beiden Matrizen (A) und (B), und man schreibt («i &l) («1 h) • • («i bm) «11 «12 • • «in &11 &12 • • bln 6 • b • • «2» («2 bj) (a2 h) • • («2 bm) «21 «22 • &21 22 in • •

( «

m

•

«ml «B»2 • • «mn

(«m bj (am h) • • («m bm)

bm 1bmi • • bmn

Im Falle m = 1 haben wir es mit dem Produkt zweier Systeme von n Zahlen zu tun. § 31 ist also als eine Verallgemeinerung von § 30 anzusehen.

§ 32. Produkt zweier Determinanten. Wenn m= n ist, sind A und B zwei quadratische Matrizen mit n Zeilen. Wendet man auf das Produkt AB mehrere Male den Satz 6 an (bezogen auf die Spalten), so ergibt sich, daß AB gleich «ir, bir„ «lr, b2t, • «H» bnrn «2r, «2r, hu • • 2 • • • ®ren so ist die Determinante (2) gleich ± 91 (vgl. § 13). Hauptglied

In (2) lautet das

Onr,

Dieses Glied hat in 91 den Faktor /I 2 . . . n\ v i r 2 . . . r„J '

Die Determinante (2) ist demnach gleich

und die Summe (1) läßt sich so schreiben: « ' . M U ; ; ; ^ , , Setzen wir b u b12 "i» 93 =

b21

bnl bnz

so ist (vgl. § 9)

.

b22

• • •

b,'2»

bn

Die Summe (1) wird also gleich 9133. S a t z 23. Das P r o d u k t der beiden M a t r i z e n °11 ö12 a21

a

&n\an2

b

i n

®22

und • • • ®nn

n

b12

. •.

bin

^21 ^22 • • • bnlbn2

. . .

i s t gleich dem P r o d u k t ihrer D e t e r m i n a n t e n .

bnn

b2n

62

Sechstes Kapitel. Multiplikation von Matrizen und Determinanten.

Wir können diesen Satz auch so formulieren: S a t z 2 4 . D a s P r o d u k t der b e i d e n D e t e r m i n a n t e n «11 «12 • • «m «21 «22 • • «2n

bu bit • • bln hi b22 . • b2„

und

«ni «n2 • • «nn

bni bn2 • • bnn

l ä ß t s i c h a l s « - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e s c h r e i b e n , und z w a r h a t man ön b bin («i h) (ax b2) .. • («i b„) «11 «12 • • «l» 12 . . b 21 b22 . • b2n «21 «22 • • «2n • («2 h) («2 b2) . •• («2 bn) «ni ®«2 • • «nn

bn i bn 2 . • Kn

(«« h) (an b2) .. • («n b„)

wobei (af bs) = arl bn + ar2 bs2 + ... + arn b9 ist. Man nennt diese Multiplikation zweier Determinanten die M u l t i p l i k a t i o n n a c h Z e i l e n . Es gibt noch drei andere Arten, zwei Determinanten zu multiplizieren. Man kann vor der Multiplikation die Zeilen von oder die Zeilen von SB oder auch die Zeilen von SU u n d die Zeilen von 23 als Spalten schreiben und dann nach Zeilen multiplizieren. Die Elemente der Produktdeterminante entstehen dann durch Komposition der Spalten von 31 mit den Zeilen von SB oder der Zeilen von 91 mit den Spalten von SB oder der Spalten von 31 mit den Spalten von IB. Endlich kann man noch die beiden Faktoren SS und SB vertauschen. So läßt sich z. B. das Produkt von D = K b2 Ci Ca

A = ßiß% Vi Vi

und

zunächst auf folgende vier Arten als zweireihige Determinante schreiben: h ß i + K ß2, 6i yi + b2 y2 ci ßi + ca ß», ci 7i + c2 U ( Z e i l e n von D mit den Z e i l e n von 4 komponiert), h ß i + hyi, 6I/?2 + hy2 cißi + ciYi» cx ßz + c2 y2 ( Z e i l e n von D mit den S p a l t e n von A komponiert), bi

ßi + Ci ßi, h Yl + y2 + Cißi, b2 yx + c2 y2 ( S p a l t e n von D mit den Z e i l e n von A komponiert), bißi

| b2ßl

+ ci7ii + c2y1,

bi

ß2 + cx y2 b2 ß2 + c 2 y2

( S p a l t e n von D mit den S p a l t e n von A komponiert).

63

§ 34. Produkt rechteckiger Matrizen.

Vertauscht man D mit J , so erhält man vier andere Ausdrücke für D j ,, die aber aus den obigen durch Umklappung um die Hauptdiagonale entstehen.

§ 33. Das Quadrat der Yandermondeschen Determinante. Um eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten zu haben, wollen wir das Quadrat der in § 21 betrachteten V a n d e r mondeschen Determinante berechnen. Multiplizieren wir a p 2 .,.. i « r 2 • .. i Vn =

« r 1 « r 2 .. i mit sich selbst, indem wir Spalten mit Spalten zusammensetzen, so ergibt sich «2n—2 «2n—3 • . . Sn—i «2n—3 ®3n—4 • • • «n-2 n =

S„_l

Sn—2

•

• • «0

Dabei hat sk folgende Bedeutung: sk = a\ + ak2+

...

+akn.

( 4 = 0, 1, 2, . . . )

s0 ist also gleich n. Aus § 21 wissen wir, daß Vi gleich - « 2 ) 8 K - a 3 ) 2 • • («1 - On)2 2 (®2 - aa)2 • • K - a„) (a„_i - o«)2 ist, also gleich dem Quadrat des Differenzenprodukts der n Zahlen -Oj, a2, ..., a„ . Das Quadrat des Differenzenprodukts läßt sich demnach durch die Potenzsummen 8k ausdrücken, und zwar in Form einer Determinante, deren Elemente solche Potenzsummen sind.

§ 34. Prodnbt rechteckiger Matrizen. Wenn wir zwei rechteckige Matrizen °11 «12 • •• • «In 21 ®22 • •' • «2«

a

und

6 U 612 . b21 622 • • • ¿2« 1

(m

5

n)

1 • bmn nach Zeilen multiplizieren, so ist es erlaubt, in jeder Matrix k Spalten mit lauter Nullen als (» + 1)*, (» + 2) to , . . . , (» + £)* Spalte hinzua

mlam2

a

• • • mn

bm

• •

64

Sechstes Kapitel. Multiplikation von Matrizen und Determinanten.

zufügen. Dabei bleiben nämlich die Elemente (aT b3) der Produktdeterminante völlig unverändert. Im Falle m > n können wir durch Hinzufügen von m — n Spalten mit lauter Nullen die Matrizen quadratisch machen. Dann wird nach Satz 23 ihr Produkt gleich dem Produkt von zwei m-reihigen Determinanten, deren jede wenigstens eine Spalte mit lauter Nullen enthält, also gleich Null ist. S a t z 25. M u l t i p l i z i e r t man zwei M a t r i z e n m i t m Zeilen u n d » S p a l t e n , so i s t die P r o d u k t d e t e r m i n a n t e im F a l l e m > n gleich Null. Da wir den Fall m = n schon in § 32 untersucht haben, bleibt nur noch der Fall m

70

Sechstes Kapitel.

Multiplikation von Matrizen und Determinanten.

In den n — m letzten Spalten von K ist also nur eine von Null verschiedene Determinante enthalten, und sie hat den Wert (—1)» — Ihr Komplement in K ist • & mn hr. hr, • • bmr. M' = b1Tm bar • Um das algebraische Komplement zu haben, muß man den Faktor (— 1)° hinzufügen, wobei o = Qi + Qi + • • • + Qn-m + (»» + 1) + («» + 2) + . . . + n

ist.

K hat dann nach dem Laplaceschen Satz den Wert ( _ 1 )»-m+a M >

Das algebraische Komplement M von M ergibt sich aus K durch Multiplikation mit (—1)*, wobei r = 1 + 2 + . . . + m + (m + rx) + (m + r,) + . . . + (m + rm), s0

daß

ist.

also weil

MM =

(—i)n~m+a+tMM'

Offenbar wird nun ff+r=m

2+2(l

+ 2 + ... +n),

(_ l)n—m+o+t _ (_

m+m> _

(_

«i2 — m = m (m — 1)

eine gerade Zahl ist. Auf Grund des L a p l a c eschen Satzes haben wir D =]?MM=

(-

iy^MM'.

Andererseits war aber (—l) n D das Produkt der beiden betrachteten Matrizen. Also ist dieses Produkt gleich ^M M', d. h. gleich ®lf, %f, . . . Oi1Trn .. am

blr,

V, • • • blr

b2r,

¿>2r, . . . 6 ,

bmri bmTt . . . bmr

§ 37. Reziproke Beterminanten.

71

Siebentes Kapitel.

Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind. § 37. Reziproke Determinanten. Jedes Element a r s der Determinante a

12 • •• «1» «21 °22 • • Ö&2 « D -Oni On 2 • hat ein algebraisches Komplement Ars. Um Ars zu erhalten, muß man in D die Zeile und die s te Spalte streichen und dann mit (—l) r + « multiplizieren. Die Determinante ¿ u •^12 • A^n A 2X A22 A^n J = •

•

•

An i An 2 • • Ann nennt man die zu D r e z i p r o k e Determinante. Man erhält also zu einer gegebenen Determinante D die reziproke, indem man jedes Element von D durch sein algebraisches Komplement ersetzt. Multiplizieren wir D und A nach Zeilen, so ergibt sich D 0 ... 0

In der Tat ist

aT1 AS1 + a,,

0 0 ... D -f ... + a,n As„

im Falle r ^ s gleich Null und im Falle r = s gleich D (vgl. § 20). In der Produktdeterminante sind daher die Hauptelemente gleich D und die übrigen Elemente alle gleich Null. Sie hat also den Wert D", so daß DJ = Dn ist. Wenn D nicht verschwindet, so folgt hieraus j = i. S a t z 27. Die r e z i p r o k e einer von Null v e r s c h i e d e n e n nr e i h i g e n D e t e r m i n a n t e ist e b e n f a l l s von Null v e r s c h i e d e n . Sie i s t n ä m l i c h gleich der (w— l)'*11 P o t e n z dieser D e t e r m i n a n t e .

72

Siebentes Kapitel.

Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind.

§ 38. Die Minoren der reziproken Determinante. M sei ein p-reihiger Minor von A (1 ^ p < n). Seine Zeilenindizes seien r 1} r2, ..., rp, seine Spaltenindizes s2, ..., sp. Mit q1, p2, . . . , Qn — p wollen wir die Zeilenindizes und mit a l f a 2 , . . . , a n ~ v die Spaltenindizes seines Komplements M' bezeichnen. Jedesmal sind die Indizes nach zunehmender Größe geordnet. Wenn wir in A die Hauptelemente von M' durch 1 ersetzen und alle übrigen Elemente in den Zeilen (>2, . . . , qn — v durch 0, so entsteht eine n-reihige Determinante A, die gleich eM ist; e hat den Wert: T f S = (— l) i + • • • + p + »i + • • • + »p . Entwickelt man nämlich A nach den Zeilen q^, q2 j • • • i Qn p, so reduziert sich die Entwickelung auf ein Glied, weil in den genannten Zeilen nur eine von Null verschiedene Determinante vorhanden ist, die den Wert 1 und das algebraische Komplement eM hat. Wir wollen jetzt A und D nach Zeilen multiplizieren. Dann läßt sich von der Produktdeterminante AD folgendes sagen: In den Zeilen rlt r2, •.., rp sind die Hauptelemente*) gleich D, weil ®rl f i -)- &r2 Ar2 -f- . . . ttgn Arn - D, alle übrigen Elemente aber gleich Null, weil im Falle s ^ r -^rl ~t" as2 -^f 2 • • • "f" a$n A rri = 0 ist. Die Elemente der Zeilen q2, . . . , qn — p in AD lauten a 10i ®2ffi • • • ®nnn bn i K 2 . . b„n miteinander multiplizieren, und zwar nach Zeilen. Um zu der Produktdeterminante (at bj) («! b2) . • («1 b„) («2 ¿>l) («2 • . («2 bn) (an ¿>i) (anb2) . • («»&») die reziproke zu bilden, muß man das algebraische Komplement e rs von (aTba) aufsuchen. (— l) f + s c r s ist das Produkt zweier Matrizen, die man erhält, indem man in der Matrix

«11 «12 • • • «1„ ®21 «22 • • • «2» «nl «n2 • • • «nn die r to Zeile und in der Matrix öu i»!2 ...

bin

^21 ^22 • • • ^2» • • • bfin

die Zeile streicht. Dieses Produkt kann man aber nach § 34 auch durch Komposition der (n — l)-reihigen Determinanten beider Matrizen gewinnen. Die (n — l)-reihigen Determinanten der ersten Matrix lauten: ( - 1 )'+Mfl,

die der zweiten: (-i)*+i£sl,

( - ly+'A,,,

...,(- 1

( - ( - i ) » + » f ?

Y+nArn, s

„ .

Das fragliche Produkt wird demnach gleich ( - 1)'+« (Art Bs! + -^r2

und c rs gleich Afl BS1 + Ar2 Bsi + ...

4"

H~ Arn

Bsn)

+ •Am Bsn — ( A Bs)-

Man erhält also die Elemente c fS , indem man die reziproken Determinanten der beiden gegebenen nach Zeilen multipliziert.

76

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind.

§ 41. Das Theorem yon Sylvester. Wir wollen die n — 1 letzten Zeilen von ®11 ®12 • • • ®1 n A = ®21 ®22 • • • ®2« mit a u multiplizieren.

®ni (¡na • • -®nn Dann erhalten wir (vgl. Satz 5) •»in ®11 ®21 ®11®22 • • • % ®2 n

®ll®ni ®u®n2 • • • ®ll®nn Subtrahieren wir jetzt von der zweiten Zeile die mit a21 multiplizierte erste Zeile, von der dritten die mit a 3 1 multiplizierte erste, . . . , von der ?iten die mit a n l multiplizierte erste, so ergibt sich (vgl. Satz 7) a«r ^A

=

®n ®12 0 «11022 — a12 an . . dii 0 Oll ®"2

®in ®1» ®21

®12 ®»1 • • ®n ®n»

®in ®m

®11®22 — ®12 ®21t • • i ®ll®2»

®in ®21

d. h. (vgl. Satz 14) a

u~

1A

= «11

®11 ®"2 ®12 ®«1 T • )• ®11 ®»" Im Falle an ungleich Null folgt hieraus (1)

®11 ®22 ®11 ®32 = ®11 ®"2

®1 n ®n i

®12 ®21) ®11 ®23 — ®13 ®211 • • •) ®11 ®2» — ®1» ®21 ®12 ®31) ®1X ®33 — ®13 ®31) • • • i ®11 ®3» — ®1» ®31 ®12®»1) ®u ®»3 — ®13 ®ni) • • • i a u anit —

Onl

Die Formel gilt aber auch für a u = 0*). Dann wird nämlich die rechte Seite gleich ®21 ®21 • •®21 ®31 ®31 • ®31 B-1 1) ®12®13 • • ®in ®»1®»1- •®ni Im Falle n > 2 sind also in (1) beide Seiten gleich Null. Im Falle % = 2 reduziert sich die Formel (1) auf A = A, wenn wir ojj durch 1 ersetzen. *) Man kann sich hiervon auch dadurch überzeugen, daß man zuerst a u =j= 0 annimmt- und dann a u nach Null konvergieren läßt.

§ 41. Das Theorem von Sylvester.

77

Die Elemente der Determinante rechts in (1) sind die zweireihigen Minoren von A, welche an als einreihige Unterdeterminante enthalten,, oder die zweireihigen S u p e r d e t e r m i n a n t e n von an. Setzen wir zur Abkürzung «11 «IS i «rs

=

(r, s =

brs

2,

n),

3,

so läßt sich Formel (1J so schreiben:

II

«4

Ii-

(1)

¿>22 b23 • ¿>32 ¿>33 • 2 bna •

•

b2„

•

b3n

•

bnn

Determinante 622 b23

.

•

b2n

b33

•

•

b3n

bn

3 •

•

bnn

B = ¿>32 bn2

können wir wieder die Formel (1) anwenden. ¿>22 ¿>2s b, 2

brs

=

(r,

ßrs

S =

Setzen wir

3 , 4 , . . . , n),

so ist

(2)

ß33

ß3i

•

•

ß3n

ßi3

ßii

•

•

ßi"

ßnz

ßn&

•

•

ßnn

Formel (1) liefert aber, angewandt auf die Determinante crs

«11 «12 «IS — «21 «22 «2 s «rl «r2 «rs

(r, s = 3 ,

4,

..n),

die Gleichung ¿>22 ¿>2s b, 2 ¿>r

so daß (2) folgende Gestalt annimmt: C33 C34

¿>r3

B

=

• c 3« • •

«ïr2 cna

c

in

C nl . . . Cn

78

(2)

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind. Hieraus ergibt sich unter Beachtung von (1) C33 C34 • • C43 CU . • C4n C»3 Cn 4 •• Cnn

Hierbei haben wir a u =f 0 angenommen. Die Formel (2) gilt aber auch für a u = 0, wie sich sofort ergibt, wenn man a u nach Null konvergieren läßt. Die Elemente der Determinante • • ^3n C 43 C44 . • ^it) C33 c34

c

=

CB4 . • Cnn sind die dreireihigen Superdeterminanten von b,0 =

«11 Ö12 ° 2 1 ®22

Man kann hiernach folgenden Satz vermuten: S a t z 30. D i e aus den ( A - f - l ) - r e i h i g e n S u p e r d e t e r m i n a n t e n von

°U °12 • • «1Ä ®21 °22 • • ®2Ä ®Al «Ä2 • • &hh

gebildete D e t e r m i n a n t e ist gleich ° u «ia • • ®21 ®22 •

TO — A — 1®U a12 • • «1» a'll °22 • • ®2n

«Al O/12 • • «AA

®»2 • • ®nn

Um sich von der Richtigkeit des Satzes zu überzeugen, braucht man nur zu beweisen, daß er richtig bleibt, wenn man h durch h + 1 ersetzt (h < n) *). Das geschieht aber in folgender Weise. Setzen wir zur Abkürzung a u ala . °21 °22 • • ®2Ä«2» (r, s = h+ 1, ..., n), b„ = ahl ahi • • ®ÄA Oäs

=

&A+1.A+1 ^A + l,s br,h+t

b,

(r, s = A + 2 ,

...,»).

Wendet man nunmehr auf die Determinante «11 «21

«12 • •• «1, A + l «ls «22 • •• «2, A+l «2 s

«A + l, 1 «A + l, 2 ••«A+l, A + l «A + l, s ®rl «r 2 • • «r, A + l «rs den Satz 30 an, so ergibt sich «11 «12 ßrs

*1 A

«21 «22

=

«Al «A2

«AA

*U »21

-12

«l.h+1 «ls «2, A + l «2«

«A+1,1«A + 1,2- • • «A + l, A + l «A + l, s «r, A + l «rs

Setzt man also «12 • •• «1, A+l «ls «22 • •• «2, A + l «2»

«11 «21 Cr,=

«A+l, 1 «A + l, 2- • «A+l, A + l «A + l, s «ri «1-2 • •• «r, A + l «rs

(r, s =

h +

2 , . . n ) ,

so wird A+2, A+2 • • • ßh + 2,n ßn,

A+2

...

ßnn

n — h «11 • • • «1A

«Al • • • «AA

1 CA+2.A+2 • • • Ch+2,n C», A+2 • • • Cnn

80

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind.

Die Formel (4) liefert also unter Berücksichtigung von (3) cA +

2, A + 2 cA + 2, A + 3 •• cA + 2, n

c A+3,

c

n,

A + 2 c A+3, A + 3 • • CA + 3,

A+ 2

c n,A +

«11

«12

• •• «1, A + l

«21

«22

' ' • «2, A + l

« A + l , 1 «A+l, 2 •

3 •

n

Cnn

n — h — 2 « n «12 • • « i n «21 «22 •

• «A + l, A + l

«m

2

•

• «nn

Dies ist aber der Satz 30, nur daß h durch h - f 1 ersetzt ist. Wir haben hierbei angenommen, daß «11 «12 ÖEoi da

«1 h

«2 A

«Al «A2 • • • «AA

ungleich Null ist; denn es wurde durch «11 «12

«lA

h —

1

«2ft «Al «Ä2 • • • «Ah

dividiert. Ersetzt man au, a22, • • ., a

u

, 1 + - ,

durch

, 1 a22 + - ,

, . . . , «AA +

1

-

und läßt p die Folge 1 , 2 , . . . durchlaufen, dann ist bei genügend großem p . 1 «11 + — «21

«Al

«12

«22

«A 2

«1A 1 V '

• •

«2A

• «AA

,

1

~

von Null verschieden, so daß also Satz 30 anwendbar ist. Bei der Ausführung des Grenzüberganges hat man sich auf § 15 zu stützen. Es ergibt sich dann die Allgemeingültigkeit des Satzes 30. Für den Fall n = h + 2 ist das S y l v e s t e r s c h e Theorem ein Spezialfall von Satz 28 im § 38.

81

§ 42. Geränderte Determinanten.

§ 42. Geränderte Determinanten. Von der Determinante B1

sagen wir, daß sie aus

«11 «12 •

• « i n xi

«21 «22 •

• «27! xi

=

«ni «n2 •

• «nn «n

y-i

•

2/2 •

yn Z

«n «12 • • «171 A = «21 «22 • • «27! «ni «n2 •

• «nn

durch Ränderung entstanden ist, und nennen sie eine geränderte D e t e r m i n a n t e . Solche Determinanten traten in §41 auf. Die Determinante « 1 1 « 1 2 • •• « i n ^ 1 1 « 1 2

•ff,

«21 «22 •

• « 2 n « 2 1 % 22

«n 1 «n 2 •

• « n n « n l xm

Vu

•

2/12 •

2/21 2/i2 •

Vi n *U

«12

• 2/2« * 2 1

Z22

entsteht aus A durch zweimalige Ränderung. minante A p-mal, so ergibt sich

Rändert man die Deter-

• « i n «11 «12 •

• «lp

« 2 1 ®22 • •• « 2 n « 2 1 « 2 2 •

• «2p

« n 1 « n 2 • •• « n n «711 « n 2 •

• «np

«11 «12 •

2/ll 2/12 •

• 2/l n «11 « I I •

•

2/21 2/22 •

• 2/2 n

•

Ä 21

Z22

•

2/p 12/p 2 • • f p n 2p 1 2p 2 •

Z1P

Z2p

• ZPP

Wir wollen zuerst die einfach geränderte Determinante betrachten. Entwickeln wir nach der letzten Spalte, so erhalten wir ^=¿(-1)«+»+.«^

Y^ + zA.

Yft entsteht aus R 1 durch Streichung der letzten Spalte und der fiUa Zeile. Bezeichnen wir mit das Komplement von in A, so ergibt sich durch Entwicklung von Y^ nach der letzten Zeile

K o w a l e w B k i , Determinanten.

82

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind,

so daß

»+l+i'+"Hllvxftyv

+ zA

ist ( „ , , = !. 2, stellt das algebraische Komplement von aflv in A dar. Wir können also auch schreiben: = zA —^Aft,, Xp yv (/i, v= 1, 2, . . n ) . Wir wollen von dieser Formel eine Anwendung machen. Nehmen wir an, daß A = 0 ist. Wie wir aus § 39 wissen, lassen sich dann 2 n Zahlen An A2, ..., A„ und Blf B2, ..., Bn so wählen, daß man hat AH v——

AR v '

Hiernach wird =

B v Xp

i/u.,

d. h. Es gilt also folgender Satz: W e n n in einer D e t e r m i n a n t e das K o m p l e m e n t eines E l e m e n t s a r s gleich Null i s t , so z e r l e g t sich die D e t e r m i n a n t e in zwei F a k t o r e n . Der eine i s t l i n e a r u n d h o m o g e n in den Elem e n t e n , die m i t a r s in d e r s e l b e n Zeile, der a n d r e l i n e a r u n d h o m o g e n in den E l e m e n t e n , die m i t ars in d e r s e l b e n S p a l t e stehen. Bei der p-fach geränderten Determinante R v behandeln wir zunächst nur den Fall, daß alle z gleich Null sind. Wenn p > n ist, reduziert sich die Determinante 11 ®12 ' •• «m XU x12 . • ®21 ®22 ' * %21X22 •

Ö

•

nlan2 • - &nnXn Xn 2 . • Xnp 2/ii 2/12 • • 2/1« 0 0 .. . 0 2/21 2/22 • • 2/2" 0 0 . . ö

a

Vvi Vp2• • 2/p n 0

0 . . 0

auf Null. Denn alle p-reihigen Determinanten, die in den p letzten Spalten enthalten sind, verschwinden, weil sie wenigstens eine Zeile mit lauter Nullen aufweisen.

83

§42. Geränderte Determinanten.

Im Falle p = n ergibt sich durch Entwicklung nach den n letzten Spalten x

x

n

•

•

x

22

•

•

x

tl2

• • •

n

X

B

n

=

21

e

x

n

l

x

i n

Vll

Vl2

•

•

V\*

X

V n

Vtt

•

•

Vtn

U m

•

•

Vnn

2n

x

n n

i

Vn

Dabei ist (vgl. § 18 u. 19) ( _ l ) l + 2 + . . . + n + ( n + l)+(»+2) + ...+2n ) d.h.

e

= ( - l ) » ( 2 » + i ) = (_!)«.

Nun bleibt noch der Fall p < n übrig. p letzten Spalten liefert

Die Entwickelung nach den a

Q,\

...+(n

+

x

r,l

x

t\ 2

• • •

x

x

r,l

x

r,2

•

X

p)

^i—l)« , i+—+ r p+< n + 1 >+-"+ ( n + p )

•

r,p

•

T,V

a

Q n -

x

x

rpl

rp2

•

x

•

r

p

1

p Zahlen aus der Reihe 1, 2, r

p

Vln

Vp2

Vpn

< < • • • < V Streicht man in 1, 2, . . . , n die Zahlen dann bleiben q^ (>2, . . . , Q — übrig. Entwickelt man jetzt ae>i «e. 2 n

P

. . ., TO, und es ist

r2

,

e „ -

Vl2

P Vp

ri

a

1

V

V u

r2, . .

P

®?n-pl a ?n-p2 •

•

V u

•

Vl2

a

9 n - p » Vir,

• • V p n Vpi Vv 2 nach den p letzten Zeilen, so findet man i)«i+...+«p+»-j>+i+—+»

Vi »i 2/is, • • yi*P 2/2 p

ae»—P°»

a

9n-p>

p

aQ,a,

a

Q „ -

p

o .

a

^ « j •SfsO, 2/p.si 2/?.s, + .•• - Z I Sj Sj Sa Oy O2

fai • • •) sind die Zahlen, die übrigbleiben, wenn man in der Reihe 1, 2, ..., n die Zahlen r[, r'2, . . s t r e i c h t . Für e gilt die Formel

Das Komplement des obigen Minors ist in den p letzten Zeilen enthalten und hat die Spaltenindizes ri;

r2,

...,

r

n + k [ ,

v

n + % ,

»

+

i j , ¿gl • • •! ^p—q bleiben übrig, wenn man in der Reihe 1, 2, . . . , p die Zahlen k2, . . . , streicht. Das fragliche Komplement ist also gleich e'

und

fi'=

{Afi

yki)

...

(Ar

Un

Vk9)

• • •

y

k

)

Z t - e (¿rQyk9)

( - l ) ( ? + i) + -.. + P + k/ + ... + i t ' p _ e .

Um das algebraische Komplement zu erhalten, muß man das Komplement e"

mit

= ( - l ) 1 + --- + » + '>' + - " + ' ' n - ? + ( " + *!> +••• + (" + *)

multiplizieren. Man bestätigt leicht, daß e e ' s " = ( -

ist.

1)?

Nach dem Laplaceschen Satz hat man also A " - 1 Z P - 1 Rp

=

(ZklxJ

...

(ZkQxri)

(Ati

(ZkxTq)

...

(ZkQx,e)

(.Ariyko)

• (ZkQ

xTl)

ykx)

...

(Afe

ykl)

•c6 gebildete H a n k e Ische Determinante bleibt also ungeändert, wenn man die x der Reihe nach durch xlt Jxlt J2xlf J3xu J4xx ersetzt. Dabei ist A x^ = x^, J2x! = xa — 2a;2 + % , Xi = 3 #3 -j— 3 X2 X} , ^Z4»! = xs — kx± 4- 6ajs — 4x 2 + a^ . Bildet man die sukzessiven Differenzenreihen von r

also ajj

i 1 Xi 1 3-3 )

)

1

D/n !D| 2a;2 + a;x, 2xa x2, xs 2 - ) - xa, — 3 £3 -f- 3 x2 , X£ 3 x^ 3 x2 j xs—4x4 +6xs —4x2+zlt

S Sm ° Jxlt J2xx, J3x1, J4«! deren Anfangsglieder. Es ist klar, daß man im allgemeinen Fall genau dieselben Betrachtungen anstellen kann. Die H a n k e i s c h e D e t e r m i n a n t e Xi x2 • xn x2 x3 • x« +1

xn S-n+l • X2n~ 1 i s t gleich der H a n k e i s c h e n D e t e r m i n a n t e Jn~1x1 ®1> 4*1, •• . , n Jxlt J*X 1, .. . , J X1 •

Jn~1x1,

Jn xu . .

104

Achtes Kapitel.

Dabei sind

d x

Symmetrische Determinanten.

J

l t

x

2

±

, ...,

J

~

2 n

x

2

1

die Anfangsglieder der Differenzenreihen von X2,

. . .,

X2n—i

•

Wenn die ¡fcte Differenzenreihe von x , x , . . . , x —i aus lauter gleichen Zahlen besteht, so nennt man x , x , . . . , x — eine a r i t h m e t i s c h e R e i h e fcter Ordnung. Alle folgenden Differenzenreihen (wenn es deren gibt) bestehen aus lauter Nullen. Nehmen wir an, daß xl, x2, . . e i n e arithmetische Reihe (n — l) t c r Ordnung ist. Dann haben wir t

1

¿ f a ^ =

J

0,

n

+

x

1

2

2n

2

=

1

2 n

0 ,

...,

1

J

2

- * x

n

= 0 .

1

Die Determinante reduziert sich auf ein einziges Glied, nämlich*) ±

a

n l

. . .

2

a

=

l n

±

( J * -

1

Xj)

.

n

Da es in der Reihe n,

n — 1,

...,

1

genaU

n - l

+

n ( n - l )

n -

Derangements gibt, so ist die Hankeische Determinante gleich n(n-l) ( - 1 )

( J

2

n

~

X

1

)

1

.

n

Bilden x x , . . . , z n—i eine arithmetische Reihe von niedrigerer als 1 a: 1 = 0, J (n — l) t e r Ordnung, so ist x = 0 usw. Die H a n k e i s c h e D e t e r m i n a n t e i s t dann also gleich Null. Ist _ _ _ l f

2

2

n

x2 — q x

,

1

x3 — q x2

,

1

...,

x2n—j—

q x2n—2

,

also x1, x2, . . . , x2n—i eine geometrische Reihe, so lautet die erste Differenzenreihe (?

—

{

q

-

l

)

x

2

,

...,

(q — l ) a ;

2

„_

2

,

die zweite Differenzenreihe ( ? - l )

usw. J x

1

2

* i , (q -

.

( i -

l )

2

^

2

x

t

2

» - 3

Man hat daher = { q —

l ) x

1

,

J * x

t

=

( q -

i ) * x

x

,

...,

J

2 n

~

=

(q — i )

2 n

~

2

x

v

*) ans, ist gleich Null, wenn ^ > 1 ist, o»—llS, ist gleich Null, wenn s 2 > 2 ist usw. Daher muß s t = 1, s 2 = 2,... sein.

§ 61. Beispiele symmetrischer Determinanten.

105

Die aus xlt Jxl7 . . . , z / 2 n — 2 x 1 gebildete Hankeische Determinante ist dann von folgender Form: «1.

(i-

1 ( f f - I)»- «!

(?-

(?-

l)*»- 2 ®!

( « - 1)"*!, ••

Subtrahiert man von der zweiten Zeile die mit q — 1 multiplizierte erste Zeile, so entsteht eine Zeile mit lauter Nullen. Die H a n k e i s c h e D e t e r m i n a n t e ist al.so g l e i c h N u l l , wenn xlt xit ..., x2„—1 eine g e o m e t r i s c h e Reihe bilden. Zyklische

Determinanten.

Als z y k l i s c h e Determinante bezeichnet man eine Determinante von der Form C C 1 2 ••, . Cn C3 . . . cx Cn C1

• •• c„

Die (k + l) to Zeile einer solchen Determinante entsteht aus der ¿ ten durch zyklische Permutation, d. h. dadurch, daß das zweite Element zum ersten, das dritte zum zweiten, . . d a s » te zum (w — t)4"» und das erste zum wten Element gemacht wird. Wir wollen die Zahlen c

n+l ) cn + 2 i • • • durch die Festsetzung definieren, daß ck = c, sein soll, sobald k — l durch n teilbar ist.

Danach haben wir

C c

1 = c n+l = c2» + l = . • . , 2 = cn + 2 = c2n + j = • • • i

c

n — C2n

— ^3»

— ....

Unsere zyklische Determinante läßt sich jetzt auch so schreiben: C

1 C2 C2 C3

• c„ • c n+i

Cn c n+l • • c2n—1

106

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

Die z y k l i s c h e D e t e r m i n a n t e i s t a l s o e i n e s p e z i e l l e H i a n k e l s c h e D e t e r m i n a n t e , nämlich die H a n k e i s c h e Determinanteier 2 » — 1 Zahlen c C„-, 2i Die zyklische Determinante läßt sich in n Faktoren zerlegen, wenn man sich der » ton E i n h e i t s w u r z e l n bedient, d. h. der Wurzeli der Gleichun

S

j;" — l = 0 .

Wir bezeichnen diese Wurzeln mit xlt x2, ..., die Determinante • 1 X1 . xy-1 X 1 2 4 . . X»-1 V —

xn und bilder aus ihnen

2 1 xn Xn • • -Vn.»— 1

Mit ihr multiplizieren wir unsere zyklische Determinante, die wir C nennen, und zwar führen wir die Multiplikation nach Zeilen aus. Die Elemente der Produktdeterminante haben dann die Form: Cfc + Ch+1x + ch+2x2

Cft+n-ia;"-1,

+ ... +

wobei h eine der Zahlen 1, 2, . . . , n und x eine der Wurzeln x1, z2, ..., xn ist. Da x" = 1 ist, können wir statt des obigen Ausdrucks auch schreiben: (C n + 1 oder, weil ist, d.h.

+ . . . + Cfc + n - ! c

n+l — cl t

c

n+2 — c2 t

c1xn~h+1 x n—h+X

+ (ChX» + . . . + C„ *»•-*) • • ••> cÄ+n—1— ch—1 k

+n ,

+ ... +

(Cl

CiX

.,,

CnX»-!)

.

Setzen wir also f(x) = ^ + c2a: + . . . -f C n ^ " 1 so lautet die Produktdeterminante C V : x»f{x2), 1),

/(*„)

...,

K^H*«) x2f(x2), oder f(x1)f(xt).

•

/(*„)

,

xnf( X„)

a j - 1 ... xx s j ? - 1 ... X2 » n

• • • xn

107

§ 61. Beispiele symmetrischer Determinanten.

Mui ist aber

XJ x»-1 . • X1 X«xg-1 . . xt rn "

(«—1) (n-2)

= ( - 1)

1 x"n •. • xn

Wir haben daher

C F = ( - 1)

(B_1)(n_2)

^

HxJHxJ

.../(*„)•

V.

V ist aber von Null verschieden (vgl. § 21), weil die n Wurzeln xv xt, .. xn alle verschieden sind. Aus der obigen Gleichung folgt demnach (n-l)(n-2) C=(-l) ^ f(x1)f(x2) ... f(xn). Zum Schluß wollen wir noch zeigen, daß sich das Produkt zweier zyklischer Determinanten (abgesehen vom Vorzeichen) als zyklische Determinante schreiben läßt. Um dies für die beiden zyklischen Determinanten C1 Ci 3 n Yi Ys C = C» Ca Ci und r = Yi Ys Yi C3 Cj C2 Ys Yi Ys C

zu zeigen, multiplizieren wir C und

Yi Yi Ys -T= YaYiYi Yi Ys Yi

nach Zeilen*).

-cr = oder

-cr=

Dadurch erhalten wir

ciYi + ctY* + c*Ys, ciYa + ciYi + csYi, HYi + ciYs + csYi ciYi + csYi + ciYs, HYs + csYi + ciYi> eiYi + csYs + eiYi csYi + ciYi + c2 Ya, ca Ys + ciYi + c2 Yn ca Yi + ci Ya + ci Yi

ci Yi + caYi + cs Ys. ci Ya + H Yi + cs Yi> ci Yi + c2 Ys + cs Yi ci Ys + %Yi + cs Yi-, ci Yi + c2 Ys + c3 Yi, ci Yi + ciYi + cs Ys ci Yi + ciYs + ca Yi> ci Yi + ciYi + csYs> ci Ya + ci Yi + ca Yi

Diese Determinante hat die Form «i «2 a 3 a2 a3 ax a 3 Oj a 2 ist also eine zyklische Determinante. *) Bei — r entsteht die ftt» Zeile aus der (k -fwährend es bei r umgekehrt ist.

durch zyklische Permutation,

108

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

Hat man zwei ra-reihige zyklische Determinanten C c . • c„ 1 2 n 7a • • 7n c3 . • Ci c = und r = 72 7s • • 71 c„ Cl • • cn—l

7n 7i • • 7n-l

zu multiplizieren, so schreibe man die n — 1 letzten Zeilen der zweiten Determinante in umgekehrter Reihenfolge, was einer Multiplikation dieser Determinante mit (— 1) '/«(n—i) (»—2) entspricht. Dann wird das nach Zeilen gebildete Produkt . . .v.(n . , —=(-!)

Hiernach wird z. B. 1 2. . n 2 3. .1

rM»-l)n 1 2 —'—n"~1 = (-1)

n 1. .n —1 Die Smithsche

Determinante.

Mit (r, s) wollen wir den größten gemeinsamen Teiler der positiven ganzen Zahlen r und s bezeichnen und die symmetrische Determinante D==

(1, 1) (1, 2) . . . (1, n) (2,1) (2,2) . . . (2, n) (», 1) (», 2) . . , (», n)

berechnen. Dies gelingt mit Hilfe der Funktion g>{m), die der Leser aus der elementaren Zahlentheorie kennt. g)(m) ist die Anzahl der Zahlen in der Reihe 1, 2,

...,m,

die zum r e l a t i v p r im sind, d. h. mit m den größten gemeinsamen Teiler 1 haben. So ist z. B. usw.

9>(1) = 1 ,

j»(2)=l,

gp(3) = 2 , p(4) = 2 , g>( 5) = 4

Über g>(m) gilt folgender Satz: Wenn t2, ..., tp die s ä m t l i c h e n Teiler von m sind (1 undwt eingeschlossen), so ist Sf((tz) + ••• + g>(tP) = m.

HO

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

Um diesen Satz zu beweisen, stellen wir die Frage: Wie viele Zahlen gibt es in der Reihe 1, 2, . . . , m, die mit m den größten gemeinsamen Teiler t haben ? Dabei ist t irgendein Teiler von m. Unter den Zahlen

haben genau gcf-^-Jmit m den größten gemeinsamen Teiler t. Denn kt m und — t haben dann und nur dann den größten gemeinsamen Teiler t, wenn t k und — relativ prim sind. t Es gibt also in der Reihe 1 , 2 , . . . , m Zahlen, die mit m den größten gemeinsamen Teiler KT~)

m

haben,

Süßten gemeinsamen Teiler ( l ) + a r 2 a s i ! gt>(2)+ . . . + arn asng> (n). Denn «r( g> {*)

ist nur dann von Null verschieden und gleich g> (t), wenn t sowohl in r als auch in s enthalten ist. Die gemeinsamen Teiler von r und s sind aber

Ill

§ 52. Rang einer symmetrischen Determinante.

identisch mit den Teilern von (r, s). also auf

2ä

(»•»«) =

Die obige Gleichung reduziert sich „ 9>Q)'

wobei die Summation über alle Teiler von (r, s) zu erstrecken ist. Die Smithsche Determinante ist nach dem Obigen das Produkt aus «11

«12 •

«21

«22 •

®nl « » 2

• «in • «2n

und

«21 9

• «nn

•

«12 9 5 ( 2 ) ,

« 1 1 go ( i ) ,

(1)>

«22 9 5 ( 2 ) ,

ani9>(i),

«»29'(2),

., ••

«

l n

q>

(w)

-, «2nÇP (w)

-, «nn9>(«)

Nun ist akt gleich Null, wenn k (n) =

95 (2), •

-,

«nn

95

= 1

99(1)30(2)

...g>{n),

fo)

(1,1) (1,2) . . . (l,n) ( 2 , 1 ) (2,2) . . . (2,n)

= g>(l)g>(2) . . . g->(ra).

(n, 1) (n, 2) ... (n, n)

§ 52. Rang einer symmetrischen Determinante. S a t z 3 5 . In einer s y m m e t r i s c h e n D e t e r m i n a n t e vom R a n g e r g i b t es einen r - r e i h i g e n H a u p t m i n o r , der von Null vers c h i e d e n ist. Für den Fall, daß die symmetrische Determinante selbst r Reihen hat, ist der Satz selbstverständlich. Um den anderen Fall zu erledigen, schicken wir eine Hilfsbetrachtung voraus, die sich auf beliebige Determinanten bezieht. Die Matrix

.

«11 «12 •

•

«in

«21 «22 •

•

«2n

«ni «»2 •

• «»n

112

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

habe den Rang r und r sei kleiner als n. Sucht man in ihr r unabhängige Zeilen C C 11 12 • • ^ln c C C 21 22 • - 2« (2) c

c

rl r2 • aus, so ist jede Zeile von (1) eine lineare Kombination dieser r Zeilen (vgl. § 24). Man hat also k cll + ¿2* C2i + . . . + hkCrl

0>kl =

i = 1, 2, . . . , » ) .

Hieraus folgt, daß die r-reihige Determinante ®k,J, ahl, • • • akJT (¿ich a^i, • • • ak,iT a

*,h ®v« • • • ®Vr

gleich dem Produkt der beiden Determinanten ^lfci Äik,

und

bki

*-\kT hk.

1

• • •

c

C

c

Hi clh 2h CH,

C

c

(1 ^ ¿1 < K < • • •
®2 + ! > • • • . 31 = ®nli

sei

®r>2t

a

ln «2»

•••)®nn~l_l

« i i «12 • • « i „ «21 «22 • • «2» ««1 «nü • • «nn

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten.

152

Der zu beweisende Satz bezieht sich gerade auf die Elemente 9lr, dieser Determinante. % T entsteht aus der Determinante •j ^n «l» «11 + Mi. ^2 «12 ! Ì-Ì «22 H~ M2 ' '• • i Äji «2n K «211 h «nll

• • ) Än «n» "4" M»

^•2 ««2i

indem man l r = 0 und alle anderen l gleich 1 setzt, ebenso alle ¡i gleich 1. Die obige Determinante ist aber, wie wir wissen, gleich Mi «il + h-, M2 «12> Ml «21i M2 «22 A Mi ««i

M2 «n2i

• • i M» «in • • i Mn «2» • •! Mn «nn - ) - ^«

Setzt man hier A, = 0 und alle übrigen l sowie alle fi gleich 1, so geht die Determinante offenbar in über; denn sie unterscheidet sich von 91 nur dadurch, daß arT Stelle von arr + 1 getreten ist. Wir haben also die Gleichung

an die

%r=A(ìl-%r) oder, da A2 = 1 ist, d. h.

A%r=il-%r, (i +

A)%r=K.

Wenn man in der Determinante 6 U bVi ...

bln b21 ^22 • • • bnl ^n2 • • • bnn brT = bss = 0 (r sg s) und alle übrigen Hauptelemente gleich 1 macht, ferner brs—bsr=i und alle andern Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null, so entsteht eine orthogonale Determinante mit dem Wert — 1. Wir wollen jetzt in

a

. I MJ —

«11 + Mi ¿11. ¿2 «12 + /«2&12! • • •> In «m + ¡in bln «21 ^21 > ^2 «22 "I" M2 ^221 • • • l ^n «2» "1" M» ^2» «nl

Mn ^nli ^2 ««2 4" M2 ^nti • • • > ^n ann "I" M" ^nn

§ 72. Sätze von Brioschi und Siacci.

153

= 0 und f i r = 0 setzen, alle andern X, (i aber gleich 1. Dann geht g> (A, ju) in 2t rs über. Nun ist aber nach dem Theorem von S i a c c i

Xs

Ag>(X,(*)

=

—

g>(f*,X).

Bei g> ((*, X) stehen in der r ten Spalte lauter Nullen und nur an der s ten Stelle eine 1. In der s ten Spalte stehen die Glieder

In den übrigen Spalten hat g> (fi, X) dieselben Glieder wie 2t. ergibt sich g>(ju,

und man hat daher

%

S

X) =

Daraus

2l„,

= - A %

r

.

A d d i e r t m a n zu den H a u p t e l e m e n t e n e i n e r o r t h o g o n a l e n D e t e r m i n a n t e A die E i n h e i t , so e n t s t e h t eine D e t e r m i n a n t e 31, deren R e z i p r o k e im F a l l e A — 1 s c h i e f und im F a l l e A = — 1 s y m m e t r i s c h ist. Im Falle A = 1 sind die Hauptelemente der reziproken Determinante alle gleich |2l. Das ergibt sich aus der Formel (1 + A) %r = 21. Nach Satz 28 in § 38 ist 2lrr ^rs _ or or Urs 91 91 —

'

wobei 2I fS den Minor von 21 bezeichnet, der aus 21 durch Streichung der rs Zeilen und Spalten mit den Indizes r, s entsteht. Aus der obigen Gleichung folgt wegen 2l sr = — A % s 2 I „ 2 l s s + 4 2 t r \ = 2l2I rs

TS

oder nach Multiplikation mit (1 - f A)2 W> +

A(i

+

A)*W2rs

=

21(1 +

A)*%s, rs

d. h. A( 1 +

A)2Ws=

21 { ( 1 +

A)*%s

rs

-

21}.

Im Falle A = 1 hat man also 221^=21, 42lr S = 2l{42I f S — 21). rs

W e n n nun 21 — 0 i s t , so sind M i n o r e n von 2t g l e i c h Null.

auch

alle (n — l ) - r e i h i g e n

154

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten.

§ 73. Die Cayleyschon Formeln. Zwischen den w2 Elementen einer orthogonalen Determinante «11 «12 • • «in • «2n A = «a «22 • «nl «tt2 • • «nn bestehen der Definition gemäß die Relationen

Ihre Anzahl ist

«lr «1« + «2r «2(+ • • • + «nr «ns = 0 «lr «lr + «2r «2r + • • • + «nr «nr = 1 • «(n — 1)

n(n -f- 1) n

2

Wenn n2 Veränderliche kann man vermuten, daß

=

i Tb 1 1 \ ¿i n (n + 1)

W

(r == «),

2

'

Relationen unterworfen sind, so n(n — 1)

=

2

2 Veränderliche unabhängig sind. In der Tat wird sich herausstellen, daß die Elemente einer ra-reihigen orthogonalen Determinante sich als Funktionen von (n — 1) Parametern, und zwar als rationale Funktionen, darstellen lassen. Wir wollen annehmen, daß A — 1 ist, und die in § 72 betrachtete Determinante «11 + 1 «12 • • • «1» ! ®21 «22 + 1 • • • «2» | «nl «n2 • • • « n n + 1 bilden. Aus § 72 läß t sich entnehmen, daß die zu 91 reziproke Determinante « u «12 • • • « 1 . « n ^22 . . . « . »

%ll%t2...%tn schief ist und alle ihre Hauptelemente gleich ¿-21 sind. also die Relationen (r^S),

=

Demnach gibt es in 91 nur verschiedene Elemente.

\n(n

-

1) + 1

Es bestehen

155

§ 73. Die Cayleyschen Formeln.

Nach § 37 ist nun = «"-1, und für die algebraischen Komplemente 31™ der Gleichungen «fS=3ln~2ars

s

in 31 gelten die

(r^s),

Daraus folgt, w e n n 21 N u l l v(r^s), erschieden ist, rs von SJJn %s—2 a„ = - 1 oder

-

31«,

2

«

(r^s),

= —1

H — .

(1)

a,,

%r

«

Hiermit sind die Elemente der orthogonalen Determinante rational ausgedrückt durch die \n{n — 1) + 1 Zahlen « , «12, «13, «i», «23, • • • , «2n, Dividieren wir die Brüche

ffl,-!,». •¿i -¿1rs 31

«Irr «

und

im Zähler und Nenner durch 31", so ergeben sich für die Elemente von A rationale Ausdrücke in «In ¿H2 «13 31 ' ' " « ' «23 (2)

«

«2» '

'

«

'

«

Wir wollen jetzt zeigen, daß die Determinante A, deren Elemente durch die Gleichungen (1) bestimmt sind, stets orthogonal ist und den Wert 1 hat, wie man auch die — 1) Parameter (2) wählen mag. Wir gehen also jetzt von einer beliebigen schiefen Determinante 31 aus, deren Hauptelemente alle gleich und von Null verschieden sind*). *) Ihren Null sein.

gemeinsamen Wert nennen wir \ 3t.

Nach § 67 kann 91 nicht

gleich

156

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten.

Aus den Formeln (1) berechnen wir die Elemente von A und wollen beweisen, daß A orthogonal und gleich 1 ist. arlt x2, ..., xn seien n Veränderliche. Zu ihnen mögen die Veränderlichen y1, y2, ..., yn in folgender Beziehung stehen: (3)

Vi = «llZl + «12*2 + • • • + «In 3», Vi = «21 X1 + «22^2+ • • • + «2n*n, yn=%nX1

+ %t2x2+..

,+

%i„xn.

Die Veränderlichen z a , . . . , zB seien mit x1, x2, . Gleichungen zx = àu^ + W21x2 +... + «m xn, z 2 — «12 X1 «22 ®2 "t" ' ' ' «» 2 ) (4)

x„ durch

die

zn — 9llnxt -f- «2n x2-j-... -)- «„n verbunden. Die 9Irs sind die Elemente von 91. Es ist also «rr = i « Daraus folgt (5) 2/1 + 2 ! =

und

^ a12yx +a22y2+...+an2yn, f z2=

und (4')

Z„ = 0 lnî/l + 02»2/2 + - • • + a„„y„ a z Vi — «1121 + ®12Z2 + • • + ln ni 2/2 = °21 Z1 + ®22 22 "1" • 2/n = anlzl

a

n2zn

• • 4~ ®nn2n-

§ 74. Zweireihige und dreireihige orthogonale Determinanten.

157

Setzt man die Werte yu y2, ..., y„, wie sie durch die Gleichungen (4') geliefert werden, in (3') ein, so kommt zs=]?aTS(arlz1

+ ar2z2 + ...+

(s = 1 , 2 ,

arnzn)

...,ra).

larf (weil sich ddie Gleichungen Da man den z beliebige Werte beilegen darf (4) nach den x auflösen lassen), so folgt hieraus (s^i),

£arsaTl=0

£arsars=l.

Die Determinante A ist also orthogonal. Um zu beweisen, daß A den Wert 1 hat, multipliziere man 31 31ii

1

S

- 1

'

3t ä m

+

3t

3t

««.i 1 3t

3t

mit

3I3t 2 :

3t

31 312i A =

3131IM 3t 31 3t 2n

31 3t1:

_ 3t

. . . ,-

1

3t5„„ 3t

• 3l l n «u 3T22 • • 3t 2 „ « n 3t = 3tnl etwa nach Zeilen.

Dann ergibt sich*) ¿31 =

« u «12 • • 3t l n « u «22 • • 3I 2B •

= 31

%>«

Daraus ist zu ersehen, daß A den Wert 1 hat.

§ 74. Zweireihige und dreireihige orthogonale Determinanten. Um die Elemente einer zweireihigen orthogonalen Determinante vom Werte 1 zu finden, gehen wir nach § 73 von einer zweireihigen schiefen Determinante mit gleichen Hauptelementen aus: 31 =

X fi — |U X

Die reziproke Determinante lautet X (i — |U X *) Man bedenke, daß 3i r r = |2i und 9l, s = — 3 I s r ist ( f S i ) .

158

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten.

Die Formeln (1) in § 73 liefern dann: «ii = — 1

2X 2 X2+(i

+

2 X (i X2+(*2'

12

2

2X(A. X + n* '

o»i =

= -

2

•oder

2

®ii = 11 _

«21

X -fi

2

2 X fi

=

2

«22

2

X + (i '

/K2

V + H2' X2[1* A2 + / i 2

=

"""

Ä2 +

2 A jit

«12 =

p+T^'

2 A2

1

Dividieren wir Zähler und Nenner durch X2 und setzen X/[i — t , so ergibt sich 1 ~t2 2< «11 = 1 + Î 2 ' «12 = 1 + L2

2(X2 + v2) + n* + v2 + Q* '

2(XQ-~H V) + ¿U2 + V2 + Q2 '

2(fiç — Xv) X2 + fi2+ V2 + Q2' 2(XQ + (*V) X2 + [I2 + V2 + Q2'

«33 = - 1 Setzen wir

u

X2 V

2(X2 + fi2) + H2 + V2 + Q2' o

160

Elftes Kapitel. Resultanten und Diskriminanten.

so lautet die dreireihige orthogonale Determinante: 1 + r 2 — s2 t2 2 (t - r& 1 + r2 + 2 (t 1 +r

2

1

s2 +

t2

+

s

-j-

2(s

—

rt)

s2

+

s2 +

+

t2

t

2

'

— j - 2- t 2 _ J _ g 2+ t2 1 + • 2 ( r + . si)

t2

'

1 +

rs) 2

+

+

1 + r2

'

+

1

g 2

'

s2

+

'

t2

+

+

r2

+

2(r

2

r

r2

2(s

1 +

-

2

rt) s2

+

t2

st) 2

1 + r + s -f t2 1 + t 2 - r2 - s2 1 + r2 + s2

A h

Und

K+m — 1 gleich Null zu setzen. Die Determinante (2) nennt man die R e s u l t a n t e von / und g. Die Resultante einer quadratischen Form a0x2 + a^xy + und einer Linearform

Kx

aty*

+ hV

a0 ax a2 b0 bt 0 0 6 0 6X

lautet hiernach

die Resultante der beiden quadratischen Formen + a2y2

a0x2 + atxy

a0 0 o0 b0 6, 0 b0

wird

und o2 di 62 bl

b0x2 + btxy

+

bty*

0 a2 0 b2

Wir woUen jetzt zeigen, daß / und g einen Linearfaktor gemein haben, sobald die Resultante verschwindet. Wenn die Determinante (2) gleich Null ist, so besteht (vgl. § 24) zwischen ihren Zeilen eine lineare Relation. Nun sind aber diese Zeilen nichts anderes als die Koeffizientensysteme der Formen z » - 1 / , xn~2yf,

...,

y"-1/,

xm~ig,

zr-tyg,

...,

•

Es lassen sich also m-\- n Zahlen -ß -^0» -^X) •••> -Am—1 finden, die nicht alle Null sind und für alle Werte der x, y die Gleichung (3) erfüllen.

-i

+ A^-ty + ... + Am_t + B i a f - * y + ... + 5„-i

r"1)? r~x)f 11*

164

Elftes Kapitel. Resultanten und Diskriminanten.

Wären alle A gleich Null, so müßten auch alle B verschwinden. Sonst könnten wir x, y so wählen, daß die rechte Seite ungleich Null ist*). Es sind also weder alle A noch alle B gleich Null. Denken wir uns die Formen F = A0xm~i

+ A^-iy

+ ...

+Am_1rl~1

in ihre Linearfaktoren zerlegt, ebenso / und g. Dann muß jeder Linearfaktor, der auf der linken Seite von (3) p-mal vorkommt, auch auf der rechten Seite p-mal vorkommen. Unter den Linearfaktoren von / gibt es nun sicher einen, der in F weniger oft als in / auftritt; denn der Grad von F ist niedriger als der von /. Dieser Linearfaktor muß also in g vorkommen. Er ist ein gemeinsamer Faktor von / und g.

§ 77. / und g haben mehrere gemeinsame Linearfaktoren. / und g mögen mehr als einen, etwa k + 1 gemeinsame Linearfaktoren haben. q sei das Produkt von k dieser Faktoren. Dann sind L=f 1

und

1

l=g

binäre Formen vom (m — &)ten bzw. (n — k)ten Grade, die noch einen gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Es besteht daher nach § 76 zwischen den Formen**) xn~k—1f, xm~k—1g,

xn-k~2yf, xm-k-2yg,

..., ...,

yn~ xm~k—xg

eine lineare Relation, folglich auch zwischen den Formen '

iz"-*-1/, \xm—k—1g,

x"-k~*yf, xm~k~2yg,

.... ...,

ym~k-'ig.

Das bedeutet aber folgendes: Streicht man in der Resultante von / und g von den n ersten Zeilen die k ersten, ebenso von den m letzten Zeilen die k ersten, und außerdem die k ersten Spalten, so entsteht eine Matrix, deren Rang kleiner als m - f n — 2 k ist, d. h. kleiner als die Anzahl ihrer Zeilen. Umgekehrt folgt, wenn dies der Fall ist, daß zwischen den Formen (1) eine lineare Relation besteht. Die m n — 2k Zahlen ^0)

• • • 1 -^m — k—1 7 Bqi -ßl» • • • > Bn — k—l

* ) Das folgt aus dem obenerwähnten Fundamentalsatz. * * ) d. h. zwischen den Koeffizientensystemen der Formen.

§ 77. / und g haben mehrere gemeinsame Linearfaktoren.

165

lassen sich nämlich so bestimmen, daß für alle Werte x, y

V'

\ = (B0ai-*-i

+ Biai—*-» y+ ... +

y—*-i)/

ist, ohne daß die . 4 , .B alle verschwinden. Wären alle >4 gleich Null, so müßten auch alle B gleich Null sein. Es sind also weder alle A noch alle B gleich Null. Denkt man sich nun die Formen

g> = und

+ A!«»-*-«

tj> = - B o « "

- 1

+ ByHP *

y + ... + Am_k^t 2

y + ... +

yn-k-i y"-*-1

in Linearfaktoren zerlegt, ebenso / und xzyz

aixy*, + a3xiy3 + 2 3 + a2x y + a3xy* + aty& , 2 3 + b3x y + b2x2y3 + b3xy4 , + bxx2y3 + b2xy4 -f b3y5

eine lineare Relation, aber nicht zwischen den Formen a0x4 + axx3y + a2x2y2 + a3xy3 + a4 y* , bQ x4 + b1x3y + b2x2y2 + b3xy3 , b0x3y + bxx2y2 + b2xy3+ b3y4 . Es besteht mit anderen Worten eine Identität von der Form

(6)

(.A0x2 + Axxy + Aty*)g = (B0x + (A, B nicht alle Null),

Bxy)f

aber keine von der Form (A0x + A1y)g —

B0f.

Daraus ersehen wir, daß in (6) die Formen F = A0x2 + Axxy

+ A2y2 ,

O = B0x +

Bxy

keinen gemeinsamen Linearfaktor haben. Es müssen daher alle Linearfaktoren von F ebensooft in / vorkommen, d. h. / ist durch F teilbar. Setzen wir / = qF, so wird g — qO, und q ist vom zweiten Grade. Offenbar stellt q das Produkt der gemeinsamen Linearfaktoren von / und g dar.

§ 78. Resultante von Formen gleichen Grades. Die Resultante der beiden binären Formen wten Grades / = a0 x" + ax x»-1 g = b0xn + b1xn~1

y + ... y + ...

+ an y», + a„ yn

167

§ 78. Resultante von Formen gleichen Grades.

setzt sich aus den zweireihigen Determinanten der Matrix f «o ai ... an \ b

{ 1 )

b

0

1

. . . b

n

zusammen (durch Multiplikationen, Additionen und Subtraktionen). Man erkennt dies, wenn man in der Determinante a0 0 0 an 0

0 0 ...b0b1...bn den Zeilen 1, 2, . . . , 2 n die Reihenfolge 1, n + 1, 2, n + 2, . . . ,

n, 2n w(n-l)

gibt, wobei sich die Determinante nur mit dem Faktor (— 1) tipliziert. Entwickelt man nun a0 Oj 0 b b 0 0 a0 0 0

(2)

2

mul-

t

0 60

0

0 0 • «0 «1 • b b 0 0 nach den beiden ersten Zeilen, so ergibt sich 0

«r

a

br

b,

a

MR

t

(ir < « )

und MT, ist, abgesehen vom Vorzeichen, die Determinante, die aus (2) durch Streichung der Zeilen 1 und 2 sowie der Spalten r + 1 und a + 1 entsteht. Diese Determinante kann man wieder nach den beiden ersten Zeilen entwickeln usw. Es ergibt sich auf diese Weise, daß die Resultante von / und g eine Summe von Produkten ist, deren jedes n zweireihige Determinanten von (1) als Faktoren enthält. Z. B. läßt sich die Resultante zweier quadratischer Formen a x «o+ i y + «2 y* > 2 a b s + h x y + &2 i/ 0

Elftes Kapitel. Resultanten und Diskriminanten.

168 so schreiben:

a0 a2 0 b0 b1 b2 0 0 a0 ax a2 0 b0 b1 bt

Entwickelt man nach den beiden ersten Zeilen, so findet man a0 aj 60 6X

ax a2 a a + b00 b22 h h oder, wenn man zur Abkürzung arbs — asbT = pr, setzt: - Pol Pl2 + P02 • Die Resultante der beiden quadratischen Formen ist also gleich der zweireihigen symmetrischen Determinante _ Poi P02 Po2 Pl2 Bei zwei kubischen Formen a0 x3 + at x2 y + a2xy2 -f a3y3 , b0 x3 + b1x2y+ b2xy2+ b3 y3 a0 b0 0 0 0 0

lautet die Resultante

«1 °2 «3 \ h = — Pol a0 3 0 a0 a2 a3 ¿>o f>i h h «0 «2 o 3 0 b0 K h 0 + P02 0 «i €L2«3 — Pos 0 h K b3

»0 b* 0 0

»1 öl a o K

a

3 b3 a2 K

0 0 a3 h

= — Pol (Pi2 P23 — P^s + P23 P03) + Pos (P02 P23 — Pos P13) — Pos (P01 P23 Auf Grund der Identität a0 ax at a3 b0 b2 63 2 a0 ax a2 a3 = (Poi P23 + P02 P31 + Po3 P12) = 0 b0 6j b2 63 kann man statt

poi P23

auch schreiben

p02 p13 — p03 p12 .

Dann wird die Resultante gleich - Poi {(P12 + P03) P23 - Pi23> + P02 {Po2 P23 — Pos P13} — Pos {Pos Pl3 — (P12 + P03)

§ 79. Systeme linearer Formen und lineare Transformationen.

169

Dies ist aber die dreireihige symmetrische Determinante Poi

P03

P02

?02 i>12 +

—

P3

2>03 Pl3

iPl3

P23

Man kann hiernach vermuten, daß sich die Resultante von zwei Formen Grades als w-reihige symmetrische Determinante schreiben läßt, deren Elemente sich additiv aus den pTS zusammensetzen. Diesen allgemeinen Satz hat C a y l e y bewiesen.

Zwölftes

Kapitel.

Lineare und quadratische Formen. § 79. Systeme linearer Formen und lineare Transformationen. Eine l i n e a r e F o r m i n « Veränderlichen x±, x2,. druck von folgender Gestalt: a±

x1

+

x2

a2

+

. . .

+

x„

an

. ., xn ist ein Aus-

.

Die a sind Konstanten. Wir wollen ein System von m linearen Formen betrachten: /l ll i + °12 2 • • • "I" ln ni = x a x fi ®21 l "I" 22 2 • • • ®2n ni =

x

a

x

a

x

amn

xn-

x

fm —

am

1

Der Rang der Matrix

4~

am2

x2

~h

°12 • • «1» ö ®21 2g . • «2» a

(1)

n

m 1 m 2 • • heißt der R a n g des Systems f1, /2, ..., Setzt man a

(2)

• • •

XX

= C11

Xt

#2

= C 21

Xl

x„

= cnl

X1

a

"Ì" C12 4 +

amn

fm. •

C22

4 " c n2 4 +

•

• +

Cin

x„

•

^2 n

xn

•

"I -

cn

n ^n

1

so nennt man diese Operation eine l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n . Die Determinante 11 12 . . . cin (3)

C:

V21

Co 22

c n i c n2

•• • • • • cn

170

Zwölftes Kapitel. Lineare und quadratische Formen.

heißt die Determinante der Transformation. Ist sie gleich Null, so spricht man von einer s i n g u l ä r e n Transformation. Unterwirft man nun die Formen / x , / 2 , . . . , fm der linearen Transformation (2), setzt man also in ihnen xv =

crl

Xi

+ cvt Xz + . . . + cvn x'n

(v

= 1, 2, . . . ,

n),

so verwandeln sie sich in //

=

alt

¡2 = 0 2 !

x\ -f a[2 x

A +

. . . + a[n

x'n,

l + x

n — c n l X1 "I" c n2 x2 "I" • • • 4" cnn xn

unterwirft.

Gehen die Formen in x

«11 i + «i2

x

2 + • •• + « i n x n , «21 x[ + «22 2 + • • • + «2» x n , x

«n 1 x'l + «n2 x2 + • • • + ahn x'n über, so besteht die Relation f «11 «12 • • • «in 1 «21 «22 • • • «:

In der Tat ist (vgl. § 79) «rs = «rl c is "I" «r2 c2s

• • • "I" «rn cns •

Man muß also, um die Matrix des neuen Formensystems zu erhalten, die des alten rechts mit der Matrix der Transformation multiplizieren*). *) Damit meinen wir, daß die Matrix der Transformation den z w e i t e n Faktor des Produkts bildet.

174

Zwölftes Kapitel. Lineare und quadratische Formen.

Was wird nun aus der Bilinearform (1), wenn wir auf die y die lineare Transformation Vi

=

ßn

yi

+

ß u V i +

••• +

Vi

=

ßil

yl

+

ß™

yi

+

• • • +

ßm ß2n

Vn , y'n ,

yn =

ßm

yl

+

ßm

yi

+

• • • -t

ßnn

y'n

anwenden ? Schreiben wir die Bilinearform, nach den x geordnet: ¿ V n

+ «ra

+ • • • + «r» yn) x r ,

so sind die Koeffizienten von xt, ..., xn lineare Formen, die der obigen Transformation unterworfen werden. Die Bilinearform geht also über in J£äri xT y'„, wobei die ä mit den a in folgender Weise zusammenhängen: ' «11 «12 • • • « l n \

«12 ••• a l n \

All

I «21 a22 • • • a2n I

«21 «22 • • • «2» I

\ani

\ « n i «»2 • • • « n n l

a

m

i ß l l ßl2 I ßil

• • • ann]

•••

ßtt

\ßnl

ßin\

• • • ßzn

ßm • • - ßnn)

Setzen wir in JJ äTS xr y't X

1 = «11 A. + «12

x2 =

« 2 1 x[ +

^n = «nl

x22

r s

. . . 4 - ( £ \ n ) = («In) + h ( n \ n ) und diese Ausdrücke verschwinden, wenn man ,

_

( % i )

,

_

_

( A n )

(yiln)""" (n\n) setzt. Würde nun wirklich das Verschwinden der Linearformen oder (£|yp), p = l , ..., k, zur Folge haben, daß auch gleich Null ist, so hätte man ( x

+

Z

X

y

p

p

\ x

£ a

r

s

y

r p

oder

=

d. h. ( x \ x ) +

2 £ ) .

( x \ y

p

v

) +

(Yv\Vv

> =

0

oder nach Einsetzung der Werte Xp m

" ( n h ) + '"" T W n ) ' Diese Formel steht, solange k K yc„ so hat man / auf die Form

y\ + vi + • • • + y'n

gebracht. Eine quadratische Form

t

/

«rs x r x s r, 9 mit nichtverschwindender Diskriminante läßt sich also durch eine nichtsinguläre lineare Transformation =