Bijektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen einer natürlichen Zahl

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- 1 Bayreuther Math. Schr. 19 (1981), 1-59

Abb Brjektive Abbildungen auf der Menge der Partitionen eine; natürligäeg_ägbl von

Dieter Stockhofe, Aachen

Inhaltsverzeichni Seite Einleitung

2

Bezeichnungen

5

51

52

Graphische Darstellung von Partitionen;

q—modulare Diagramme

6

Konstruktion einer bijektiven Abbiidung Lq auf der Menge aller Partitionen

15

53

Einige Abzählsätze für Partitionen

33

54

Der Speziaifall q = 2

39

55

Die Fixpunkte von Lq

47

56

Permutationsgruppen auf P(n)

51

Literaturveräeichnis

58

Einleitung

Die Theorie der Partitionen versteht man als ein TeilTeil;

gebiet der additiven 2ahlentheorie. Erste Fragestellungen,]

die zu dieser Theorie führten, tauchen bereits im Yittelalä

ter auf; als ihr Begründer jedoch gilt L. Euler. E: liefer;j te Viele wesentliche Beiträge zu dieser Theorie, bevor sie

dann von Cauchy, Jacobi, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Rade-

macher und vielen anderen Mathematikern weiterentwickelt wurde.

'

Es zeigte sich bald, daß Partitionen in der Mathe-

matik immer häufiger auch dort eine Rolle spielen, wo es

um die Parametrisierung und Klassifikation mathematischer Objekte geht, wie zum Beispiel der endlichen abelschen

Gruppen oder der irreduziblen Darstellungen der sy:metrischen und vollen linearen Gruppen. Die Untersuchung der Frage, wie oft sich eine positive ganze Zahl n als Summe von positiven ganzen Zahlen n = n" + ... + nw ,

w E N,-

schreiben läßt (zwei Summen werden dabei als gleich angese-

hen, sofern sie sich nur in der Reihenfolge ihrer Summanden unterscheiden), führt auf den Begriff der Partition einer

natürlichen Zahl und gibt Anlaß zu folgender Definition:

Eine Partition a ist eine endliche Folge positiver ganzer Zahlen U

:=

(01,

.--1

uw)

so daß u12u23...2uw

"

WEIN,

ist. Die 31 sind die Teile von a, w ist die Weite der Part‘tion &.

: heißt eine Partition von n,

la! ist.

P(n)

2

:=

falls

“i = n

bezeichnet die Menge aller Partitionen von n. Wir

setzen noch

P(O)

:= {0}.

Ein wichtiger Gegenstand dieser Theorie ist die Ab-

zählung von Teilmengen

T ; P(n)‚

deren Elemente sich durch

gewisse Eigenschaften auszeichnen‚ und der Vergleich soldher

Teilmengen im Hinblick auf ihre Mächtigkeit. Die Beweismethoden sind zum Teil kombinatorischer Art,

zum Teil ana-

lytischer Art, analytisch in erster Linie dort, wo es um die Untersuchung erzeugender Funktionen geht. In dieser Arbeit wird der kombinatorische Aspekt im Vordergrund stehen. Für alle natürlichen Zahlen

ru q € N

werden in 52 bijektive Abbildungen Lq,n auf P(n) konstruiert, aus denen dann in 53 und 54 Abzählsätze hergeleitet werden.

So ergibt sich beispielsweise folgende Anzahlaussage für

Partitionen:

Bezeichnet |m|q die größte durch q teilbare ganze Zahl, die kleiner oder gleich m ist und a' die zu « konjugierte Partition, so ist für alle

k‚l € Wo die Anzahl aller Partitio-

und

'

nen a von n mit

xq(a).= «& .

wq(m)== la1 -u2|q + Ia2—-a3lq +

..

u&+1'ta2q '

-

°5q+1 *

zahl aller Partitionen 8 von n mit

wq(e) = 1 .

...

=

x q(e)

1

= k

...

= k

' gleich der An —

und

Der Fall

q = 2 verdient besonderes Interesse, da sichf

hier unter anderem als Spezialfälle bekannte Identitäten

von Euler, Sylvester und Fine ergeben.

In 55 schließlich wird eine Abzählformel für die Fix— ;

punkte von Lq ' n angegeben, und in 56 wird gezeigt, daß die E . Bijektionen L1 n’ I

..., L

C

n-1,n

die volle symmetrische Gruppe:

auf P(n) erzeugen. Da der Beweis konstruktiv ist, kann zu jeder bijektiven Abbildung f von P(n) Zahlen

q1‚

..., qr

mit

r € N,

werden,

so daß sich f in der Form q1'n

'

.

eine Folge natürlicher natürlicher

1 $ gi S n- 1

.

.

angegeben

. L

'j

%

' ä

c.rln

schreiben läßt. Herrn Prof. Dr. A. Kerber möchte ich für wertvolle Anregungen und Hinweise zu dieser Arbeit herzlich danken.

:

Bezeichnungen

&: u {o}

(1, 2, ..., n}

Anzahl der Elemente der Menge M a ist ein Teller von b

identische Abbildung auf der Menge M

U

U ist eine Cntergruppe von V

U ist isomorph zu V (als Gruppe)

symmetrische Gruppe auf der Menge M

s“n

.

Diedergruppe der Ordnung 2n

2.1

5,11 := {u€5 | p°=p, [«]; hat k singuläre Spalten und l singuläre Zeilen! .

Ganz analog wie in 1.10 und den Bemerkungen dazu sind auch die Mengen 3; 1 , 3f1 , 5k 1

usw. als Vereinigungen der

Menge: 312 1 zu verstehen. Ebenso wie P2° ist auch die Menge

T>'g° einelementig, denn 2.15

=

fi\'° := ((r-1)q+ p1‚(r—2)q + ”z' ... . n r )

ist das einzige Element von 38°. Aus 2.15 folgt sofort:

|?n'°lq=(g) .'

01

%

In Analogie zu 1.19 läßt sich jede Partition

« € 5

in der Form

n =?;f +qäs

\]

2.1

mit eindeutig bestimmten Partitionen

4338 € 3°, (= P°)

N

«€ € 3_ °

und

schreiben. Das Diagramm [qzslq besteht

also aus den singulären Zeilen von [a];. Offensichtlich ist an genau dann ein Element von 53 1 , wenn 3} ein Element von

58 ° und q’äs ein Element von 3?1

Anmerkung:

Die Zerlegung von

ist.

u E ?

gemäß 1.19 ist im all-

gemeinen nicht mit der Zerlegung von a in 2.17 identisch. Am Beispiel der Partition

o

:=

(8,1)

sieht man sofort, daß für

q = 3

af = (2,1)

_';f = (5,1)

und

und

-

_ 24

qas = (6) ist. Hingegen ist

q3's = (3).

Unmittelbar einzusehen ist das folgende Lemma:

2.18 Lemma:

Für alle 5

0

_

o

. P-$r

r 6 No , p e N:q—1

'

no

—+ P .

o '

ist die Abbildung?

definiert durch

‚°(q5) = ii" u q6, bijektiv, und es gilt für

alle

k en„ , (‚36 € 933:

(i)

le°(qö)l

9

= (;) + m

(ii) Ju»; „) =

mit

.

D

Wegen 2.10 kann jede flache Partition a in der Form

«(= mp

\0

2.1

"D PRO

p = p

G.

v q8

und eindeutig bestimmten

ben werden. Dabei ist

qE € P° -Sr

geschrie-

qß = (ao)_1(a). Zusammen mit 2.18

folgt daher, daß durch die Vorschrift

2.20

' = wq(m ' °V q8) wq(c)

==Np m

eine bijektive Abbildung w& von P_

0

U q5

auf 5_

o definiert wird.

wé ist also diejenige Abbildung, deren Einschränkung auf P?° jeweils das Diagramm

°St Up

/'

P9 ' 0

kommutativ ergänzt.

29

___) 'f° ' .° /' /’

/

/'

-25-

Wegen 1.19 und 2.17 kann wé zu einer bijektiven Abbil-

dung wq von P auf ? fortgesetzt werden, indem man für beliebiges

a E ?

2.21

wq(a)

== wé(uf) + qas

setzt. Damit läßt sich nun zusammenfassend der folgende Satz formulieren:

2.22 Satz:

Die in 2.21 bzw. 2.20 definierte Abbildung

°q : P —+ 5

ist bijektiv, und es gilt für

alle k‚l‚r eu„ , ;) emä_‚ , a e p“:

' , u) _lwqtanq

f 11_1)_ ' °g“’ko 1)

' .

=

r (2)

_.

. Im p lq.+.lulq

Pk41".

; up

.

Beweise; Die Anzabl der Teile von"; stimmt - laut Ken-_

struktion von °q - mit der Anzahl der Teile von Oq(al über-

ein; Da die Zahl der regulären Teile bei Anwendung von °q auf « unverändert bleibt,

ist 4 genau dann ein Element von

Pk- , wenn wq(a) in 'i>'k _ liegt. Alles übrige folgt aus 2.10

und 2.18.

d)

e

Eine Verallgemeinerung der konjugierenden Abbildunn

auf 3

Wegen 2.17 und 2.18 kann jede Partition 7 aus 3 in eindeutiger Weise in der Form

mit

laubt laubt

p = pY

v= (Fu? Uqö) +q

und

q6 € P

o

°Sr

geschrieben werden. Dies er-

uns, mit 1.3 durch die Festsetzung

2.23

cq(v) - (m + q6') U qv; _

und

q q q

g 3

q

q 1 5

=

9

=

°—' q q

q q q

.

qqc21qi

[Cq(V)]; = "q q q

“-‘ [qfislq

und folglich

'„-

Also ist

q q _

und

' Dann ist

_

l

[qö]

[q6']

Sei

qqqqq:l

[?]q*'= .

N

eine Abbildung Cq auf 5 zu definieren.

(q?; := q(7s)') 2.24 Beisgiel:

Alp

„

q

__:q

[qv']

[m” + qö'l' =

q

5 q

=

qq_'a

q.2. q q

q q

q

q

und

'

bzw.

und somit

q

1

.

q

1 Man überlegt sich leicht, daß das Diagramm [Cq(x)]; auch durch

2.23'

81: Spiegelung aller Einheiten von [Y]; an der Hauptdiagonalen von [v];

undVertauschung der Resteinheiten o„ mit °r+1-v

für1£v5ä'

aus [Y]; entsteht. An“and von 2.23' ergibt sich also das Bild von 1 aus

aus 2.24 unter Cq auch wie folgt:

9 q q

qqi

m

Hamann

N

m

mm

.a.a.n

m _l

ßnaana

lN£)a

Hanna

[Y]

* =

__.

[Cq(v)lq.

(In vielen Fällen ist es zweckmäßig, die Definition 2.23'

zu benutzen.) Anmerkung:

Die durch 2.23' gegebene Abbildungsvorschrift

ist für Diagramme [y]q mit -1 € ? \ P

nicht sinnvoll, da

ein Diagramm mit zwei Resteinheiten in einer Zeile durch

Anwendung von 81

(und 82) in ein Diagramm mit zwei Rest-

einheiten in einer Spalte umgewandelt würde. 2.25 Satz:

Die durch 2.23 bzw. 2.23' definierte Abbildung

Cq : 3 —+ 5

ist bijektiv, und es gilt für alle4

k,1‚rgn„ , p €Nä_1z "P 0 1) _— 31k (1) _ cq(1>k

(ii)

c; = id; .

Beweis: ‚Da es gleichgültig ist, in welcher Reihenfolge S1

und 82 angewendet werden, und da zweimalige Anwendung

von 51 bzw. 52 auf ein Diagramm [7]; nichts verändert, ist

ca = idä. Teil (1) der Behauptung folgt unmittelbar aus der

Definition von Cq.

Offensichtlich ist für q = 1

3 = p und c1 mit der in

51 definierten konjugierenden Abbildung C identisch.

_28_ 28 -

_e_)__ Die Bijektion !.

Vermöge der in 2.21 definierten Abbildung °q läßt sich sich

die Bijektion Cq von 5 auf P "verlagern":

„[,

P————-D !'

Damit kommen wir nun zum Hauptresultat dieses

Paragraphen:

2.26 Satz:

Die Abbildung Lq := wq " qq ist eine Bijektion Bijektion

auf der Menge aller Partitionen P, und es gilt für alle

(1)

k‚l,r €N°

r

, 9 EN q_1‚a€Pz

q(_a)lq = lczlq

. D .. 9 _ pl“ _Lq(pkl) (li)

(iii) Lq2 = idP Beweis:

(1) folgt aus 2.22 (i) , denn für

|Cq(y)lq = |q .

(ii) gilt wegen 2.22 (ii)

7 e 5

ist

und 2.25 (i) .

(iii) folgt aus 2.25 (ii) .

Im folgenden betrachten wir oft die Einschränkung von

Lq auf P(n) . Wir schreiben dann kurz L

beachte, daß wegen 2.26 (i.) und (ii)

qm

für L

qlP(m'

Lq(P(n)) = P(n)

(Man

ist.)

?.

-

-

29

Schließlich seien noch einige Spezialfälle angeführt:

2.27

ist

d ann

Sei

o = (p1‚ ..., pr)

ND = o P P

und wqip p

Lq(a) = Cq(a)

2.28

Für

q = 1

her wegen 2.27

.

ist

L1 = C1

und

91 < p2 < ..; < °r' Dann

= 1

sten, daß sich die Abbildungen Lq für

1

als Verallge-f

meinerungen der konjugierenden Abbildung C interpretieren ; lassen, da Lq so etwas wie Vertauschung von q-singulären

Spalten bzw. q‚

g+h= f+r'2-s2 2

falls

r = 2r' -1

.

- 50 -

„il

gegen— Def einzige Unterschied beim Beweis von Teil (ii) gegen-

über dem Beweis'von

(1)

_

liegt darin, daß für ungerades r das das

_

größte Quadrat in [wq(°)]; in der rechten unteren Ecke eine eine

Resteinheit enthält.

_51-

Wir hatten in 52 die Abbildungen Lq‚n (= qP(n))

definiert und wollen nun für L.

i‚n

,

..., L

n-1‚n

1 S i S n‘—1

die von

erzeugte Permutationsgruppe bestimmen.

Dazu definieren wir für

(und zu fest vorgegebenen

i € N

E N):

Séé

ni := {« € P(n) | u1 2 il

und Si :=. {1 €SP(n) li(a) =a für alle a €P(n)\ 91}

_L_2 Wegen

P(fl) = 91 2 92 2 ... 2 fin = { n}

(= 591).

folgt sofort:

1 SP(n) = s = s : ... ! sn - { 1dp(n)

}

'

Wir können nun den folgenden Satz formulieren:

6.3 Satz:

(1)

Für n 2 2 und 1 5 i S n'-1 gilt: = s ,

falls i # n-2 .

R. Wegen

und daher

(a) = (kq+°k+1'°k+2'°"'aw)

. mit

w-k a € Pk.

-

uk+1 == 0 , falls w = k.)

Wir haben

und 6.6:

ist

nn_1 = {(n)‚(n—1,1)}

und damit wegen 6.5

Ln-1‚n = ((n-1.1)(n)) -

Teil (1) der Behauptung gilt also für 1 = n-1.

Für n Z 4 ist

-

-

53

On_2 = {(n),(n-1‚1)‚(n—2‚12),(n-2‚2)}

und

somit wieder wegen 6.5 und 6.6

((n—2,2)(n)) .

Ln-2‚n = ((n°2'12)(“'111))

Da zwei Involutionen 11 und 12 eine Diedergruppe der Ordnung 2m erzeugen, wobei m die Ordnung von 1112 ist‚_folgt hier

wegen Ln_2'nLn_1‚n = ((nr1,1)(no2,2)(n)(n-2,12)): .

=D

“n—2

.

Damit ist Teil (ii) der Behauptung bewiesen, denn für r1=3

ist L 1, n = ((13)(3))

und L 2‚n = ((2‚1)(3)) .

Der Beweis von 6.3 für: 1 S i S n-3 und n z 6 erfolgt

durch Induktion nach 1:

Die Behauptung ist richtig für i = n-3= Wir haben näm-

lich n n-3 = “n-2 ü {(n-3‚13)‚(n-3,2,1),(n-3‚3)} und damit

L n—3,n = ((n-3,13)(n-2‚12)) (fln-3,2‚1)(n—1‚1)) ((n-3,3)(n))

wegen 6.5 und 6.6. Da

L

n-3,n'Ln—2‚n'Ln-1 ‚n

ein Zyklus der

Länge 7 (= Inn_3l) ist, erzeugt dieser zusammen mit Ln-1

die symmetrische Gruppe S 3 (8 S7)‚

Angenommen, die Behauptung gelte für i-+1

Wegen 6.4 gibt es dann ein Da für festes

mit

m € 9

"0 € a

(In! 2 2)

..., Ln-1,n>

0 € Qi

liegt. Für

mit

(1 +1 $ n-—3).

L1 n ( ao) = “o . ]

die Transpositionen (“’”o)

die symmetrische Gruppe S

zu zeigen, daß für alle

. (Li'n(a) ‚aa)L1,n -1,n 1‚n

Wie die folgende Liste belegt, ist die Behauptung auch

für die noch verbleibenden Fälle

und

n=5;i=2

6.7 Folgerung:

richtig.

5

1‚n

, ..., L

n-1,n> = sP(n)

und

.f 5.

ll

"h

m

f : A —+ B

eine Folge natürlicher Zahlen

1 5 91 $ n-1

@

mit

'

Da der Beweis von 6.3 konstruktiv ist, läßt läßt

sich zu jeder bijektiven Abhildung

A„ B ; Pin)

, n = 5 : 1 =1

Für n = 2 gilt: