Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik [Reprint 2021 ed.] 9783112574805, 9783112574799

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Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

W. L. BONTSCH-BRU J E WITSCH, I. P. S W J A G I N I. W. K A R P E N K O , A. G. MIRONOW

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik In deutscher Sprache herausgegeben von Dr. K. Unger Karl-Marx-Universität, Leipzig

Mit 20 Abbildungen

A K A D E M I E - V E R L A G 19 7 0

•

B E R L I N

B. JI. EOHH-EPyEBHH, H. n. 3BflrMH H. B. KAPÜEHKO, A. T. MMPOHOB CöopHHK 3 a « a n no H3HKe nojiynpoBOflHHKOB

Erschienen im Verlag Nauka, Hauptredaktion Fismatlit, Moskau

Übersetzt aus dem Russischen von Dipl.-Phys. R. Bindemann, Leipzig

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1970 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 . 100/428/70 Gesamtheratellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 5746 • E S 18 B 1, 18 B 6 9,80

Vorwort Die vorliegende Aufgabensammlung enthält Aufgaben, die von den Autoren im Verlaufe einiger Jahre in den Seminaren mit den Studenten des Lehrstuhles für Halbleiterphysik der MGU (Staatliche Moskauer Universität) und des Lehrstuhles für Halbleitermaterialkunde des MISS (Moskauer Institut für Stähle und Schmelzen) verwendet wurden. Die Aufgaben sind mit der Grundvorlesung über Halbleiterphysik, die im 4. Studienjahr an der Moskauer Universität gelesen wird, abgestimmt. Dabei haben wir uns bemüht, ähnliche Aufgaben auszuwählen, wie sie der Experimentator bei der Vorbereitung des Experimentes und der Bearbeitung seiner Resultate zu lösen hat. Die Werte der verschiedenen Parameter (effektive Massen usw.) wie auch die Werte der Konzentrationen, Lebensdauer, Diffusionslängen usw. entsprechen in der Regel den reellen Halbleitern. Die Aufgabensammlung ist für Personen vorgesehen, die mit den Grundkenntnissen der Halbleiterphysik vertraut sind oder sich damit befassen. Die kurzen Einführungen, die jedem Kapitel vorangestellt sind, enthalten nur eine Zusammenfassung der notwendigen Formeln und können auf keinen Fall als Versuch einer zusammenhängenden Darlegung der Theorie des entsprechenden Kapitels betrachtet werden. Die zur Lösung der Aufgaben notwendigen mathematischen Voraussetzungen gehen nicht über die allgemeine Vorlesung über Integralrechnung und Differentialgleichungen hinaus. Die schwereren Aufgaben sind mit einem Sternchen gekennzeichnet. Die Autoren heben mit Freude und tiefer Dankbarkeit den freundschaftlichen Kontakt mit ihren Kollegen am Lehrstuhl für Halbleiterphysik der MGU hervor. Besonders dankbar sind wir Herrn Prof. Dr. KALASCHNIKOW, der als erster die Vorlesung hielt, mit der die Aufgaben der vorliegenden Sammlung abgestimmt sind. Überaus dankbar sind wir auch Herrn Prof. Dr. W . S. W A W I L O W und Frau D r . W . W . OSTROBORODOWA für ihr Interesse an der Arbeit und der Diskussion einzelner Fragen.

Inhaltsverzeichnis 1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern 9 2. Rekombination der Ladungsträger in Halbleitern . . 18 3. Diffusion und Drift der Ladungsträger 23 4. Diffusion und Drift der Ladungsträger im Magnetfeld 30 5. Oberflächenerscheinungen 35 6. Thermo-EMK in Halbleitern 41 7. Photo-EMK in Halbleitern 46 Lösungen 50 Anhang 1 137 Anhang 2 138

1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern Für die Elektronenkonzentration n im Leitungsband und die Löcherkonzentration p im Valenzband gilt entsprechend n =-^-sJdkfn{En{k)),

(1.1a)

p =-^-Jdkfp(Ep(k));

(1.1b)

hierbei wird über die BsiLLOuiN-Zone integriert; f„(E) und fp(E) — die Energieverteilungsfunktionen der Elektronen und Löcher — sind durch t'W

= l + eVn '

t>{E) =

1

-

U{E)

gegeben, k ist der Quasiwellenvektor, ß — ^ ,

F ist das

(1 2

- )

FEEMI-

Niveau, und En(k) (Ev(ft)) bezeichnet das Dispersionsgesetz der Elektronen (der Löcher). Im Zusammenhang mit den Formeln (1.1a) und (1.1b) ist der Verlauf der Funktionen En(k) und Ep(k) in der Nähe des Leitungsbandminimums und des Valenzbandmaximums von besonderem Interesse. Wenn dem Leitungsbandminimum ein Punkt in der BKCLLOUIN-Zone entspricht, so ist das (in einem kubischen Kristall) der Punkt k =>0. Dann gilt für ein nichtentartetes Band *2 J.2 En(k) =EC + — , 2m» wobei Ec und mn Konstanten sind, m„ > 0.

(1.3a)

10

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

Wenn dem LeitungsbancLminimum einige Punkte h" ( 0.

¿"Mi

(1.3b)

Die Größe Ec entspricht dem Bandminimum, m„ wird als effektive Masse der Elektronen bezeichnet. Im anisotropen Fall (1.3 b) stellen die Größen m ; die Komponenten des Tensors der effektiven Massen m,j, der auf die Hauptachsen transformiert wurde, dar:

m

-i = 13

1 . Ä2

*E» 8kt8kj

8

{ k )

'

Im Hauptachsensystem haben wir somit ™>xx =

m

x,

W-xy =

m

xz

v

mV

=

=

••• =

v>

zz

m

m

=

z,

m

(1.4)

0.

Analoge Beziehungen gelten auch für die Elektronen im Valenzband, und zwar E

p

( k ) = E

v

¿21.2

~

(1.3c)

—

2 mp

im isotropen Fall und E

p

> ( k ) = E

v

-

£ i=x,y,z

P ( k

'

k l f

(1.3d)

im anisotropen Fall. Die Größe Eg = Ec — Ev wird als Breite des verbotenen Bandes oder Bandlücke bezeichnet. Im Falle entarteter Bänder sind die Gleichungen (1.3a), (1.3b) nicht richtig, und die Abhängigkeit von E(k) wird durch komplizierte Ausdrücke wiedergegeben.

1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern

11

Wenn beispielsweise am Yalenzbandminimum bei k = 0 zwei isotrope Bänder entartet sind, so hat das Dispersionsgesetz Ep (k) in der Nähe der Bandbante folgendes Aussehen: Ep {k)=Ev _J—{ Ak*± 2m0

[BW

+ C*(klkl

+ klk 2z+ klkl)] 11!-},

(1.3e)

wobei sich das Pluszeichen auf das Band der sogenannten „schweren Löcher" und das Minuszeichen auf das der „leichten Löcher" bezieht; m0 ist die Masse eines freien Elektrons im Vakuum. In einer Reihe von Halbleitern mit schmaler Bandlücke macht sich bereits in geringer Entfernung vom Bandrand die Nichtparabolizität der Bänder wesentlich bemerkbar. Wenn man annimmt, daß die Abweichung von der Parabolizität mit der Wechselwirkung der beiden Bänder, des Valenzbandes und des Leitungsbandes, zusammenhängt und alle anderen Bänder hinreichend weit entfernt sind, so kann man das Dispersionsgesetz für die betrachteten Bänder angenähert in folgender Form schreiben:

E(k) = Ec + ^ + 1 (± ] El + -jW 2 \ |/ 3 2 m0

- Eg \. /

(1.3f)

Hierbei bezieht sich das Pluszeichen auf das Leitungsband, das Minuszeichen auf das Valenzband, und P ist ein Parameter, der die Wechselwirkung der Bänder charakterisiert. Das Dispersionsgesetz (1.3 f) wurde von KANE abgeleitet. Wenn man in (1.3 f) den Wert 3 h^ E der effektiven Masse an der Bandkante m (0) = einführt 4P 2 und m (0) m0 benutzt, so erhält man E(k) = E c + U ± ] / 2 \

]/ E

l

+

2

^ ^ - E m(0)

g

) . /

(1.3g)

Das Dispersionsgesetz in dieser Form ist auf das Leitungsband einer ganzen Reihe von Halbleitern mit geringer Bandlücke (beispielsweise Indiumantimonid) gut anwendbar.

12

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

Für ein einfaches parabolisches Band (1.3 a) ist die Elektronenkonzentration durch den Ausdruck » =N^r,),

U-6)

gegeben, wobei die Größe N

= c =

22

lm-kTYl [\2nP T ^ ] 1) *

(1-6)

als effektive Zustandsdichte im Leitungsband und -Fi/a(»?) als FermiIntegral (siehe Anhang 1) bezeichnet wird. Bei fehlender Entartung nimmt der Ausdruck (1.5) folgendes Aussehen an (siehe Anhang 1): n=Nceri.

(1.7)

Im Fall einer komplizierteren Abhängigkeit E (k) kann die Konzentration trotzdem durch die Ausdrücke (1.5) und (1.6) wiedergegeben werden. Dabei wird m n durch die Größe md, die man effektive Masse der Zustandsdichte oder auch effektive Zustandsdichtemasse nennt, ersetzt. Somit ist im Fall (1.3 b) md =Q'l>(mxmymzyi>,

(1.8)

wobei Q die Zahl der äquivalenten Minima im Leitungsband ist (vgl. Aufgabe 4). Als Grundbeziehung, die für die Bestimmung der Lage des FermiNiveaus benutzt wird, dient die Bedingung der elektrischen Neutralität p+ Z z i

f

N

i

- n = 0.

(1.9)

Hierin ist Zj die Ladung der lokalisierten Störstellen des j-ten Typs in Elektronenladungseinheiten (mit Berücksichtigung des Vorzeichens), N j ist die Konzentration der j-ten Störstellenart. Der Besetzungsgrad von Störstellenniveaus wird durch folgende Ausdrücke gegeben:

13

1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern

wobei und N^(N^) die Zahl der neutralen und geladenen Donatoren (Akzeptoren), gv{gA) die Entartungsfaktoren des Störstellenniveaus und ED(EÄ) die Energien der Donator- (Akzeptor-) Niveaus sind. Die hier eingehenden Parameter ED, EÄ, gA und gD müssen im allgemeinen in jedem einzelnen Fall experimentell bestimmt werden. Im einfachsten Fall, wenn die Entartung nur mit dem Spin des Elektrons zusammenhängt, ist der Entartungsfaktor gleich zwei. 1. Bestimme die Lage des FERMI-Niveaus und die Temperaturabhängigkeit der Konzentration in einem nichtentarteten Eigenhalbleiter ! Wie verändert sich die Elektronenkonzentration bei einer Temperaturänderung von 200 °K auf 300 °K, wenn EG = (0,785 — £T) eV ist? (Der Wert von | wird nicht gebraucht.) 2. Die Elektronenkonzentration ist in einem Eigenhalbleiter bei einer Temperatur von 400 °K gleich 1,38 • 10 15 cm - 3 . Zu bestimmen ist der Zahlenwert des Produktes der effektiven Massen der Elektronen und Löcher, wenn bekannt ist, daß die Bandbreite sich nach der Beziehung EG = (0,785 - 4 • 10- 4 T) eV ändert (T in °K). 3. In einem eigenleitenden Halbleiter beträgt nach HALL-EffektMessungen die Elektronenkonzentration bei 400 °K 1,3 • 1016 cm - 3 , bei 350 °K jedoch 6,2 • 1015 cm- 3 . Bestimme die Bandlücke des Materials, wenn man annimmt, daß sie sich mit der Temperatur linear ändert! 4. Untersuche den Zusammenhang zwischen der Konzentration und dem FERMI-Niveau und bestimme die effektive Masse der Zustandsdichte der Elektronen in Germanium und Silizium. Für das Dispersionsgesetz im Leitungsband gilt der Ausdruck (1.3 b). Die Flächen konstanter Energie im fc-Raum haben die Form von Rotationsellipsoiden. Für Germanium ist Q = 4, die transversale Masse ist rrit = 0,082 m0, die longitudinale Masse = 1,64 m0. Für Silizium ist Q = 6, MT = 0,19 m0, MT = 0,98 m0. 5. Das Dispersionsgesetz der Löcher im Valenzband (1.3e) kann man wie folgt darstellen: E(K)

=

EV

mA±B' 2mA

1 +

6-6

K4

-m

14

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

1

C%

wobei B'2 = B2 A C2, d — gilt und der Zahlenwert des ^ 6 6 ß'2 Ausdruckes in den runden Klammern 1/6 nicht übersteigt. Durch Entwicklung nach 6 sind die effektiven Massen der „leichten" und „schweren" Löcher im Germanium (A = 13,1; B = 8,3; C = 12,5) und ebenso die effektive Masse der Zustandsdichte für das gesamte Valenzband in linearer Näherung zu ermitteln! 6. Unter Verwendung des Resultates der vorhergehenden Aufgabe ist zu berechnen, wie hoch der Anteil der „leichten" Löcher an der Gesamtzahl der Löcher im Germanium ist. 7. Bestimme die Lage des FEBMI-Niveaus und die Elektronenkonzentration in einem Eigenhalbleiter mit parabolischen Bändern bei einer Temperatur von 600 °K, weiin bekannt ist, daß sich die Bandbreite bei der betreffenden Substanz nach dem Gesetz Eg = (0,26 — 2,7 • 10- 4 T) eV ändert. Es ist der Fehler zu ermitteln, der entsteht, wenn die Entartung des Elektronengases im Leitungsband nicht berücksichtigt wird. Dabei sind für die effektiven Massen die Werte mn = 0 , 1 m0, mp = 0,02 m0 zu verwenden und eine Näherungsform des FEBMI-Integrals für nicht zu hohe Entartung (Anhang 1, (A. 4)) zu benutzen. 8. Die Beweglichkeit der Elektronen beträgt in reinem Ge bei Zimmertemperatur (300 °K) 3800 cm2/Vs. Bestimme den spezifischen Widerstand dieses Materials bei Zimmertemperatur und bei 30 °K, wenn angenommen wird, daß sich die Beweglichkeit mit der Temperatur nach der Beziehung ß = aT~'l' ändert, wobei a eine Konstante ist. Die effektive Masse der Elektronen beträgt 0,56 m„, die der Löcher 0,37 m0. Bei allen hier zu betrachtenden Temperaturen ist anzunehmen, daß sich die Bandbreite mit der Temperatur wie Eg = (0,785 — 4 • 10"4 T) eV ändert. Das Verhältnis der Beweglichkeiten von Elektronen und Löchern ist zur Vereinfachung als kontx

stant (b = — = 2 , 1 ) anzusetzen. ßv

9. Im Leitungsband des Galliumarsenids sind neben dem im Zentrum der BEiLLOUiN-Zone gelegenen Hauptmaximum Nebenmaxima vorhanden, die um den Betrag E, höher als das Hauptmaximum (s. Abb. 1) liegen. Es ist die Konzentrationsabhängigkeit des FERMI-Niveaus in einem solchen Halbleiter für ein nichtentartetes Elektronengas und für den Grenzfall hoher Entartung zu untersuchen. Der Einfluß der übrigen Bänder ist zu vernachlässigen.

1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern

15

10. Für Galliumarsenid ist die Abhängigkeit der Besetzung der oberen Minima (s. Abb. 1) von der Temperatur des nichtentarteten Elektronengases zu berechnen. Bestimme das Verhältnis der Elektronenkonzentration der oberen Minima % zur Elektronenkonzentration des Hauptminimums n\ bei 300 °K und bei 1000°K. Für E(k)

Abb. 1 die effektive Masse der Zustandsdichte der Elektronen des oberen Minimums wird mu = 15 m\ angenommen, Es = — 0,35 eV. Die Gesamt-Elektronendichte ist als temperaturunabhängig zu betrachten. 11. Für Galliumarsenid ist die Abhängigkeit der Beweglichkeit von der Temperatur des Elektronengases zu untersuchen. Die Beweglichkeit in den Minima I und I I und die Gesamtelektronenkonzentration sind als temperaturunabhängig anzusehen. Bestimme die Veränderung der Beweglichkeit bei einer Temperaturänderung des Elektronengases von 300 °K auf 1000°K, wenn das Verhältnis der Beweglichkeiten zu — = 50 angesetzt wird. Die erforderlichen fJ.ii

Zahlenwerte der restlichen Parameter sind aus Aufgabe 10 zu entnehmen. 12. Bestimme den Zusammenhang zwischen der Elektronenkonzentration und dem FERMi-Niveau in einem Halbleiter, wenn bekannt ist, daß bei kleinen Werten von k das Dispersionsgesetz h2k2 folgende Form hat: En(k) = Ec -| (1 — yk2), y = const.

16

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

13. Bestimme den Zusammenhang zwischen der Elektronenkonzentration und dem FERMi-Niveau in einem entarteten Halbleiter vom n-Typ, wenn für das Dispersionsgesetz die Beziehung

kann man, auch wenn das Dispersionsgesetz von der quadratischen Form abweicht, als Bestimmung für die effektive Masse md betrachten. Bestimme die Konzentrationsabhängigkeit von mä für einen Halbleiter mit dem Dispersionsgesetz (1.3g) im Grenzfall hoher Entartung. Der erhaltene Ausdruck ist mit der analogen Abhängigkeit der effektiven Masse m*, die durch die Beziehung m*v = tilc bestimmt wird, zu vergleichen, wobei v die Gruppengeschwindigkeit ist. Für das betrachtete Dispersionsgesetz ist der Zusammenhang zwischen md und m* zu finden. 15. Für einen nichtentarteten Halbleiter, der einfach geladene Donatoren der Konzentration ND enthält, ist der Temperaturverlauf des FERMi-Niveaus, das in der Nähe der Störtermenergie liegen soll, zu untersuchen. 16. Bestimme die Temperatur, bei der das FERMi-Niveau mit dem Niveau der Donatorstörstelle in Germanium, das mit Antimon der Konzentration von 1016 cm - 3 dotiert wurde, zusammenfällt. (Das Niveau des Antimons liegt bei ED — Ec — 0,01 eV; für gD ist 2 anzunehmen.) Wie hoch ist die Elektronenkonzentration bei dieser Temperatur? 17. Es ist der Temperaturverlauf der Elektronenkonzentration für einen Halbleiter, der mit nur einem Typ einfach geladener Donatoren dotiert wurde, zu untersuchen. Wie hoch ist die Konzentration der Ladungsträger bei Zimmertemperatur in Germanium, das 2 • 101B cm- 3 Antimon enthält? 18. Bestimme das Temperaturintervall, in welchem die Elektronenkonzentration etwa konstant und gleich der Donatorenkonzentration ist. Es sind die Grenzen dieses Intervalls für Germanium, das 2 • 1015 cm - 3 Donatoren mit einem Niveau bei ED = Ec — 0,01 eV enthält, zu ermitteln, wenn sich die Bandbreite nach dem Gesetz Eg = A - £ T ändert, wobei A = 0,785 eV, £ = 4 • 10"4 eV/grd gilt; der Entartungsfaktor ist gleich 2 zu setzen.

1. Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern

17

19. Die vorhergehende Aufgabe ist analog für Indiumantimonid zu lösen. Dabeiist anzunehmen, daß die effektive Masse der Elektronen gleich 0,015 m0 ist; außerdem sei A = 0,26 eV, f = 2,7 • 10"4 eVgrd- 1 , E D = E C — 0,001 eV, ND = 2 • 10 15 cm" 3 , gD = 2. Die Nichtparabolizität der Bänder ist zu vernachlässigen. 20. Es ist der Temperaturverlauf des FEBMi-Niveaus im Bereich der Störstellenleitung zu untersuchen, wenn der Halbleiter mit nur einem Typ einfach geladener Donatoren der Konzentration ND dotiert ist. Der Einfluß der Entartung ist zu berücksichtigen. Für Germanium und Indiumantimonid ist die minimale Donatorenkonzentration zu ermitteln, bei der das FEBMi-Niveau das Leitungsband erreicht. Dabei ist die Entartung als nicht zu hoch anzunehmen (rj fg 1,3) und die Näherungsform des FEßMi-Integrales (s. Anhang 1, Gleichung (A. 4)) zu benutzen. Die Zahlenwerte der Parameter sind den Aufgaben 18 und 19 zu entnehmen. 21. Errechne die Löcherkonzentration und den spezifischen Widerstand von Silizium, das mit Bor (NÄ = 1017 cm -3 ) dotiert ist, bei Zimmertemperatur, wenn die effektive Masse der Zustandsdichte der Löcher gleich 0,59 m0, die Beweglichkeit /i p = 100 cm2/Vs und gA = 1 ist. Das Energieniveau von Bor im Silizium liegt 0,045 eV über dem Valenzbandrand. Wie hoch ist die Löcherkonzentration bei 30 °K? 22. Es ist die Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration im Bereich der Störstellenleitung in einer teilweise kompensierten Probe ( N D > NA ) bei fehlender Entartung zu bestimmen. Wie groß ist die Aktivierungsenergie, die den Anstieg des Tieftemperaturabschnittes der Abhängigkeit In n von 1 ¡T bestimmt? 23. Bestimme die Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration in einem stark kompensierten Halbleiter ( N Ä sa ND )! 24. Eine Germaniumprobe ist mit Antimon und Bor dotiert. Die Konzentration von Bor beträgt 1016 cm - 3 und der Kompensationsgrad Na

—

Nd

= 0,5. Bestimme die Elektronenkonzentration bei 25°K, wenn

ra„ = 0,56 m0, ED = Ec — 0,01 eV und gD = 2 gilt. 25. Für einen teilweise kompensierten Halbleiter (NB > NÄ ) ist der prinzipielle Temperaturverlauf der Elektronenkonzentration im halblogarithmischen Maßstab darzustellen. Auf den Achsen sind In n und 1 ¡T abzutragen. 2

Bontsch-Brujewitsoh

18

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

26. Es ist das Temperaturintervall, in dem die Elektronenkonzentration eines teilweise kompensierten Halbleiters (Np > NÄ) etwa konstant und gleich ND — NÄ ist, zu bestimmen. Dabei sind die Grenzen dieses Intervalls für eine mit Arsen (E D = Ec — 0,05 eV) und Aluminium dotierte Siliziumprobe zu ermitteln (Arsenkonzentration: 2 • 1015 cm - 3 ; Aluminiumkonzentration: 1,2 • 1015 cm -3 ). Die effektive Masse der Zustandsdichte für Elektronen ist im Silizium gleich 1,1 m0, und die Bandbreite ändert sich mit der Temperatur nach der Beziehung Eg = (1,21 - 2,8 • 1(H T) eV. Für den Entartungsfaktor der Donatoren ist zwei anzunehmen.

2. Rekombination der Ladungsträger in Halbleitern Beim Abweichen der Ladungsträgerkonzentration von den Gleichgewichtswerten n0 und p0 wird das Gleichgewicht zwischen den Prozessen der thermischen Trägererzeugung einerseits und dem Trägereinfang in die lokalen Zentren oder der Trägerrekombination (Interbandübergänge) andererseits gestört. Die absoluten Rekombinationsgeschwindigkeiten der Elektronen un und der Löcher up, die gleich der resultierenden Zahl der Trägereinfänge pro cm3 und Sekunde sind, werden dabei ungleich Null. Durch die Gleichungen -

/8An\ An — =«„ = —; rn \ vi /Rek.

-

ßAp\ Ap — = Up = — ( 2 . 1 ) Tp \ 0 1 /Rek.

wird die Lebensdauer der Elektronen und Löcher tn und rp bestimmt. (Bei nichtstationären Prozessen hat es nur Sinn, von ihren augenblicklichen Werten zu sprechen.) Die Größen r„ und rp hängen im allgemeinen Fall von An und Ap ab. Wenn die Prozesse der direkten Interbandrekombination überwiegen, gilt somit un = up = a(np — n0p0),

(2.2)

wobei a konstant ist. In vielen Fällen geht die Rekombination durch das Einfangen freier Ladungen an Kristalldefekten (z. B. Haftstellen), die im ver-

18

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

26. Es ist das Temperaturintervall, in dem die Elektronenkonzentration eines teilweise kompensierten Halbleiters (Np > NÄ) etwa konstant und gleich ND — NÄ ist, zu bestimmen. Dabei sind die Grenzen dieses Intervalls für eine mit Arsen (E D = Ec — 0,05 eV) und Aluminium dotierte Siliziumprobe zu ermitteln (Arsenkonzentration: 2 • 1015 cm - 3 ; Aluminiumkonzentration: 1,2 • 1015 cm -3 ). Die effektive Masse der Zustandsdichte für Elektronen ist im Silizium gleich 1,1 m0, und die Bandbreite ändert sich mit der Temperatur nach der Beziehung Eg = (1,21 - 2,8 • 1(H T) eV. Für den Entartungsfaktor der Donatoren ist zwei anzunehmen.

2. Rekombination der Ladungsträger in Halbleitern Beim Abweichen der Ladungsträgerkonzentration von den Gleichgewichtswerten n0 und p0 wird das Gleichgewicht zwischen den Prozessen der thermischen Trägererzeugung einerseits und dem Trägereinfang in die lokalen Zentren oder der Trägerrekombination (Interbandübergänge) andererseits gestört. Die absoluten Rekombinationsgeschwindigkeiten der Elektronen un und der Löcher up, die gleich der resultierenden Zahl der Trägereinfänge pro cm3 und Sekunde sind, werden dabei ungleich Null. Durch die Gleichungen -

/8An\ An — =«„ = —; rn \ vi /Rek.

-

ßAp\ Ap — = Up = — ( 2 . 1 ) Tp \ 0 1 /Rek.

wird die Lebensdauer der Elektronen und Löcher tn und rp bestimmt. (Bei nichtstationären Prozessen hat es nur Sinn, von ihren augenblicklichen Werten zu sprechen.) Die Größen r„ und rp hängen im allgemeinen Fall von An und Ap ab. Wenn die Prozesse der direkten Interbandrekombination überwiegen, gilt somit un = up = a(np — n0p0),

(2.2)

wobei a konstant ist. In vielen Fällen geht die Rekombination durch das Einfangen freier Ladungen an Kristalldefekten (z. B. Haftstellen), die im ver-

19

2. Rekombination der Ladungsträger in Halbleitern

botenen Band lokale Energieniveaus bilden, vor sich. Im einfachen Fall, wenn in einem nichtentarteten Halbleiter Haftstellen eines Typs mit der Konzentration Nt, die nur ein lokales Niveau Et bilden, vorhanden sind, gilt unter stationären Bedingungen die Beziehung =

Mp =

jy,

M =

W ^ - ^ o ) «»(«

+

+

"

P

( p

+

pt)

Hierin ist p

^

,

IC I

ft

=

=

(2.4)

(in Et geht der Summand IcT In g ein, durch den die Entartung der Haftstellenzustände (vgl. (1.10) berücksichtigt wird), txn und ocp sind die Einfangkoeffizienten der Elektronen und Löcher. Es ist vorteilhaft, die Einfangquerschnitte = —>

= ^

VT

(2.5)

VT

einzuführen, wobei vT = ] / — ^ die mittlere thermische Geschwindigkeit freier Elektronen ist. Wenn die Konzentration Nt klein ist, so daß man die Nichtgleichgewichtskonzentration der Elektronen in den Haftstellen vernachlässigen kann, gilt Ant

A p

A p

A p

Nt

t

n0

+

%

a-n'n

X

(2.6) ,

0 + Vi) + «n n0 + «i +

Ntth

n0 + n t

Das ist der Fall, wenn keine Träger anhaften. Dabei gilt „

_

*no(Po

+

Pi

+

An) n

2*

0

I

- \ - p

+ 0

r +

I

p 0

(n

0

A An

-f

nx

+

An)

'

20

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

wobei die Größen r

no

(2.8)

tfpo —

N,« n

Ntotp

die Lebensdauer der Trägerpaare in unipolarem n- oder ¡p-Material sind. Wenn das Einfangzentrum im verbotenen Band zwei lokale Niveaus E1 und E% bildet, so gilt bei geringer Abweichung vom Gleichgewicht und vernachlässigbarem Anhaften 1+5» Po 4 +

Pi

+

•N.

PiPÄ

Po

Pl Vi Po

1

X

1 1 Po

—

x

ni

+

1 Wo —

(2.9)

!

Po_

wobei die zweiten Indizes bei den Einfangkoeffizienten angeben, an welches Niveau der Träger sich anlagert. Die Größen nv nz, pv p2 sind analog (2.4) definiert (dabei ist Et durch E1 oder Ez zu ersetzen). Wenn in einem Halbleiter neben den Zentren, über welche die Rekombination vor sich geht und die selbst kein nachweisbares Anhaften hervorrufen, noch Haftstellen vorhanden sind, die beispielsweise in der Lage sind, nur Elektronen aus dem Leitungsband einzufangen und wieder zurückzugeben, dann gelten für eine «-Probe bei geringer Abweichung vom Gleichgewicht die Ausdrücke 8An

ddp 8t

i-=

An

M p

An

=—, rT

An

Ant

Ant = Ap — An,

(2.10)

wobei TT die Rekombinationslebensdauer, r1 die mittlere Zeit für den Einfang in das Haftniveau und t 2 die mittlere Reemissionszeit ist.

2. Rekombination der Ladungsträger in Halbleitern

21

27. Zur Zeit t1 = 10 -4 s nach Beendigung einer über das Volumen der Probe gleichmäßigen Erzeugung von Elektronen-Löcher-Paaren ist die Nichtgleichgewichtskonzentration der Träger lOmal größer als im Moment f 2 = l O 3 s. Es ist die Lebensdauer r zu bestimmen, wenn die Anregungsintensität nicht groß ist und die Rekombination über einfache Defekte vor sich geht. 28. Es ist die relative Änderung der Leitfähigkeit A 0 , \o. ® < o

gegeben. Die ungefähre Abhängigkeit des FERMi-Niveaus von der Konzentration im Falle starker Entartung ist in Abb. 13 dargestellt. 10. Für die Zahl der Elektronen im oberen Minimum gilt

Abb. 13

~ «ii

=

(¿ji /

_E± dfc/

(^Il(fe)) =

E,

=

fe

Ei kT

1 + f«

Ei ' kT

-^11 /miiV's wobeii f = — = I — 1 = 58 ist. Für das gesuchte Verhältnis ergibt sich somit «ii

»II

ni

n — Tin

= fe

kT

.

Nach Einsetzen der Zahlenwerte für die entsprechenden Parameter erhalten wir Wh (300 °K) = 0,8 • 10- 4 , wi (300 °K)

wh(1000°K) s 1. n\ (1000 °K)

57

Lösungen

11. Die Leitfähigkeit ist durch folgende Beziehung gegeben:

fin\ M, , = enifii +, e nu/i u = enifiiL\ 1. -\nu —) ni ¡Ii) E , i . . kTf*II

Bei tiefen

- erifii 1 + Ce pi— 1 +Ce kT Temperaturen (kT E s ) hingegen ergibt sich a

bei hohen

Mi +

m(0)Et

Die effektive Masse m* für das Dispersionsgesetz (1.3 g) ist

m*

= h*k

^ ^ E E=F

™(0)(i +

d

2

= m(0) / I +

i ) 2Ä

2

m(0)

Die beiden Massen sind durch die Beziehung = m(0) -+ m*

verknüpft. Für das quadratische Dispersionsgesetz gilt md = m* = m(0). 15. Aus der Neutralitätsbedingung n = N^ -(- p ergibt sich bei

N.ei

Nd

=

Ec-E„ kT

l+gf^Ce

Die Lösung dieser bezüglich &1 quadratischen Gleichung lautet Ec-Ep

/

/

Ec-Ep kT

Nj) _

woraus F =ED

+

kT

In

*

2

i ^

, A

1+4 g V

MD

B

- e

4 Ec-Ep kT

i

- 1

60

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

( 2 F

=

2

Ec + ED+kTln

jjj

jjj \

e ^ ^ D\, und es gilt [gnNc(T)'

(

Nd

gilt, erhalten wir F = EC

jjj °

jg \ D

|

-JfcTln^. ND

Somit steigt anfangs bei Erhöhung der Temperatur das FermiE -f- Ejy Niveau vom Wert — aus an. Nachdem es einen Maximalwert 2 durchlaufen hat, nimmt es, solange die Löcherkonzentration vernachlässigbar klein bleibt, fast linear mit der Temperatur ab. Der ungefähre Verlauf des FEBMi-Niveaus ist in Abb. 15 dargestellt.

Abb. 15

16. Aus der Lösung der vorhergehenden Aufgabe ist ersichtlich, daß das FEBMi-Niveau und das Donatorniveau zusammenfallen, wenn

2gD\]f

T

NJTJ

/

Lösungen

61

ist (s. Abb. 15). Die Temperatur, bei der die Niveaus zusammenfallen, wird demzufolge durch die Beziehung

T gegeben. Wenn kT0 = Ec — ED und y — — gesetzt Ti wir die Beziehung

Nd

4gD

wird, erhalten

2

In dem hier betrachteten Fall ist T0 = 116 °K,

Ne (T0) = 2,5 • 1018 cm- 3 .

Somit wird aus der oberen Gleichung y = 6,62 — 1,5 In y. Ihre Lösung ist y = 4,4, und die gesuchte Temperatur beträgt folglich T1 = 26,2 °K. Für die Elektronenkonzentration ergibt sich bei dieser Temperatur yU

e

-v

=

3 3 . io 15 .

17. Aus der Neutralitätsbedingung n = N^ erhalten wir für die Elektronenkonzentration die Gleichung Ep—Ec ^ +

9D

gD

n0 = Nce

woraus als Lösung

folgt.

n = — (1/n% + 4gDnDND — nD) *9d

kT

,

62

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

Bei tiefen Temperaturen, wenn nD /

—

\

»

9D

Wenn jedoch nD

4g D N D ist, ergibt sich Ed—Ec

]/ 9V

4gi>ND ist, wird n = ND. Bei 300°K ist für Ge

7^(300 °K) = 0,7 • 1019 cm- 3 , Somit gilt nD

4:gDND = 1,6 • 1016 cm- 3 .

4gI)NI), und es ist

n = Nv = 2 • 1015 cm-3. 18. Die untere Temperaturgrenze wird durch die Ungleichung Ej)—Ec kT nD ;> 4gBNj),

nD = Nce

bestimmt und aus der Bedingung EP—EC

Nc (TJ e

kTl

=4:gDND

hergeleitet. Somit ist Ti

Ec — Ed =

i l n - M ^ '

*9DNb

Die obere Temperaturgrenze ergibt sich aus der Forderung, daß die Eigenkonzentration im Vergleich zu den Störstellenkonzentrationen klein sind, d. h. n{

n.

Deshalb finden wir die obere Grenze aus der Gleichung Nd = Nce

Ee—E9 2kT ' ,

EC

— Ev =

A —

£T.

Lösungen

63

Damit gilt ^2 = 2k

2k

Nd

Wenn wir die Bezeichnungen _ EC —ED l o

VI

,. _

k~

~

A

LO

~2K' n

TO TJ

einführen, erhalten wir für die Bestimmung der Grenzen zwei Gleichungen: ,

N e (T 0 )

,

NE(TÖ) ND

Vi =ln-—4GDND

w„ = In

3

— yx, 2 3 2YI

^

f . 2k

Für Ge haben diese Gleichungen folgendes Aussehen: yx = 5,06 — 1,5 In y1,

yz = 14,95 — 1,5 In yz,

da Tö = 4,5 • 103 °K, 1 )

y ; = 116°K, NC{T0) = 1,5 • 10 18 cm- 3 ,

Nc(TQ) = 6,2 • 10 20 cm" 3

ist. Ihre Lösungen sind:

1

2/i=3,3,

y s = 11,3,

T-l = 3 5 ° K ,

T% = 400 °K.

) Selbstverständlich hat diese Temperatur nur rein formale Bedeutung.

64

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik 19. Analog zur vorhergehenden Aufgabe haben wir für InSb A = 0,26 eV,

• 10~4 eV/grd,

^ =2,1

T'q = 11,6°K,

' Tö = 1510°K,

NC{T'0) = 3,5 • 1014 cm- 3 ,

NC(T'0) = 5,2 • 1017 cm" 3 .

Daraus erhalten wir die Gleichungen = -3,82 - 1 , 5 I n y

Vl

2

= 7,13 - 1,5 I n y i t

aus denen sich folgende Endresultate ergeben: Vx == 0,078,

2/a=4,78,

Tx = 149 °K,

= 316 °K.

20. In die Neutralitätsbedingung

M "

C

F-ED

'

'

'

1 + setzen wir für das FEBMi-Integral den angenäherten Ausdruck [s. Anhang 1 (A. 4)] ,a

1 + 0,27c

ein. Dadurch ergibt sich die Gleichung e2

,

^

+

/

J_/l_ \

HT \

0

,27^)e Ncj

-T

C - ^ - e gDNc

EC-ED w

=0

mit der Lösung EC-ED

f

/

'

"

Ne) — Ii — 0,27 —• 2 gD \ Nc)

EC-E„

^

gDNc

Lösungen

65

Somit ist "D

9DNc

2 gD\

Wenn T

EC—EP kT

•e

NCJ

0 geht, gilt die Ungleichung Ee—En

(0,27)2 Nd 4 gD

N

c

^

c

-vir

,

und deshalb ist

2

2

Wenn die Konzentration hinreichend hoch ist, kann sich das FermiNiveau innerhalb eines bestimmten Temperaturintervalles im Leitungsband befinden. Die Bedingung 1_

4

& 1

2VD

ND

1 - 0,27

1 - 0,27

N c (T a I N N

C

d

(T

0

)

^

(In

y)''••

y)'h

I

» y 9DNC(T

n

N

)

0

(1)

bestimmt die Temperatur, bei der das FERMI-Niveau mit dem Leitungsbandminimum zusammenfällt. I m Ausdruck (1) wurden folgende Bezeichnungen eingeführt: y

EC-EQ kT

T0

=

Ec

—

ED

k

Bei geringen Donatorenkonzentrationen hat die Gleichung (1) im allgemeinen keine Lösungen, und in diesem Fall tritt das FermiNiveau nicht in das Leitungsband ein. In der Form = - 9D

5 Bontsch-Brujewitsch

+ A(ln y f >

(2)

66 läßt

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

sich die Gleichung

(1) bequemer untersuchen.

Dabei

ist

= 1,27 — e i n der Donatorenkonzentration proportionaler \ 9DNc(T0)J Parameter. Der ungefähre Verlauf der Kurven, die durch den linken und rechten Teil der Gleichung (2) bei verschiedenen Werten des Parameters X bestimmt werden, ist in Abb. 16 dargestellt; dabei ist / i ( y ) = y und fz(y) = /l(ln y)'1'. Aus der Abbildung ist ersichtlich, daß bei Störstellenkonzentrationen, die geringer als eine kritische Konzentration sind, das FEEMI-Niveau bei beliebigen Tempera-

turen nicht in das Leitungsband eintritt. Bei Konzentrationen, die höher als JVj) • sind, schneidet sich die durch den rechten Teil der Gleichung (2) gegebene Kurve mit der durch den linken Teil beschriebenen Geraden in zwei Punkten. Diesen beiden Schnittpunkten entsprechen zwei Temperaturen, die das Intervall abgrenzen, bei dem sich das FEEMi-Niveau im Leitungsband befindet. Die gemeinsame Lösung der Gleichung (2) und der Gleichung

2

y

(3)

bestimmt die kritische Temperatur T ^ und die kritische Donatorenkonzentration, bei der das FEBMI-Niveau das Leitungsbandminimum

Lösungen

67

berührt. Wenn wir A aus der Gleichung (3) in die Gleichung (2) einsetzen, so ergibt sich zur Bestimmung der kritischen Temperatur : 1

y=

2 , h — y in y. 3

9D

Für gD = 2 ist die Lösung der letzten Gleichung y^, — 5,2. Somit ist für Germanium (s. Aufgabe 18) y

¿To/ricr. = 5 2

=

T*

=

m 2- = In 5,2

.W

=

3

(In 2/kr. )

11

— = 70 °K; 1,65

w 1019 c m - 3 .

1,27

Für InSb erhalten wir (s. Aufgabe 19) 1,65

~ 1,5 • 1015 cm-3. 21. Wir ermitteln die Grenzen des Temperaturintervalles, in dem die Löcherkonzentration konstant und gleich NÄ ist. Wie auch in Aufgabe 18 sind dazu folgende Gleichungen zu lösen: fi

=

, N,(Tq)

111

«2 = m

3

~A—

3 f w» ^ . 2 2fc

NV(T'0) Na

Für Silizium ist Zl = 1,21 eV, ,

=

E a - K fc

{ = 2 , 8 - 10-4eV/grd; =

g20 o K, Tö = — = 7020°K;

NV(T'0) = 2,6 • 1019 cm- 3 , 5*

0

2k

^„(Tö) = 1,3 • 1021 cm-3.

68

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

Die Gleichungen lassen sich somit zu 2/i = 4 , 1 8 - 1,5 In ylt

y2 = 11,09 - 1,5 In y2

umformen. Ihre Lösungen sind Vi = 2,69,

yz = 7,98;

Z ^ ^ K ,

T2

=

879 °K. p = NA = 1017 cm - 3 .

Bei Zimmertemperatur gilt demnach spezifische Widerstand der Probe ist 1

Der

= 0,62 Q c m .

pe/ij,

Bei 30 °K ergibt sich die Löcherkonzentration zu -EA ~E« 2hT

y £/ NU aN £ile ]/

= 3 )

2 . 1013 cm- 3 .

9A

22. I m Gebiet der Störstellenleitung ist die Konzentration der freien Löcher gering und das FERMi-Niveau liegt in der oberen Hälfte der Bandlücke, so daß NA

=

NA

1 + 9aexp

(EA

\

-

W

-^T

F \

»

I

gilt. Die Neutralitätsgleichung hat deshalb folgendes Aussehen: n +

Nd

NÄ=-

n

1 +

9D

D

N

=

V~

+

—

nD

jjj \ — i s t - Hieraus folgt

2

*9D

- {nD +

gDNA)\.

-

Na) ND +

g%N\

Lösungen

69

Bei tiefen Temperaturen (wenn nD

NÄ ist) haben wir

Ec—Ed N.e AT

j

9D \Nä

k T

und die Aktivierungsenergie ist folglich Ec — EB. 23. Unter der Voraussetzung, daß 2gD(ND - NA) nD (nB + gDNA)* ^

t

ist, erhalten wir aus dem Resultat der vorhergehenden Aufgabe nD(ND - NÄ) (n„ + gDNA)

_ND-NA NÄ' i + gB— nB

24. Bei 25 °K ist Nc = 2,5 • 1017 cm-3 und nD = 2,5 • 1015 cm-3. Somit ergibt sich 2gDnD(ND - NÄ) (nD + gDNAf

=

Q2

und es kann das Resultat der vorhergehenden Aufgabe benutzt werden. Somit ist ND-NA 1 +

=

_

9d— nD

25. Bei tiefen Temperaturen (T < 7\) und bei hohen Temperaturen ( 7 > y g ) hängt In w wie folgt von der Temperatur ab: In n = const E — — — , wobei Eakt die entsprechende Aktivierungsenergie ist kT (s. Abb. 17). Im Intervall Tx< T < T2 verändert sich die Elektronenkonzentration praktisch nicht und beträgt Np — NA.

70

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

26. Die untere Grenze des Gebietes ergibt sich aus der Bedingung
rt = I , ' \Stz) 2 mdkT

83

Lösungen

43. Unter Verwendung der EmsTEiNschen Beziehung und der Bedingung n = p = Iii finden wir 2w,

D =

2 kT

\Dp

DnJ

2kT/in e(l + b)

\fin

(iv)

= 63 cm2/s.

44. Die Kontinuitätsgleichung nimmt für diese Aufgabe folgende Form an (s. Abb. 2) : _ dVp, da;2

Ap tp = ° -

Die Randbedingungen sind: D-

ddp dx

= sAp bei x

Ap-+g0rp

oo.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet Ap(x) =

g0Tp +

C^-^p

+

C2exlLp.

Wegen der Randbedingungen ist C2 = 0 und somit

Lp -f* S "tp Daraus ergibt sich Ap{oc)

=g0tp

und Ap( 0) = g0tp 6*

srp(l - e-^p) + Lp Lp + stp

Lp

+

STp

84

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

Unter den angegebenen Bedingungen ist Ap{ 0) = 0 , 8 8 - 1 0 1 2 c m - 3 .

45. Die Kontinuitätsgleichung und die Randbedingungen haben in diesem Fall folgendes Aussehen (s. Abb. 2):

da;2

D,

d A p

=

da; 0

A p

g

Tu

bei

0

= I
\

m*F dw /

K

'

Für Halbleiter mit dem Dispersionsgesetz (1.3 g) gilt (s. Aufgabe 14) m% = m(0) / I +

2 h2 m(0)Ei

(3

n2n)'\

Wenn wir diesen Ausdruck in Formel (2) einsetzen und die Zahlenwerte aus der vorhergehenden Aufgabe einsetzen, so ergibt sich für Indiumantimonid oc = 46 ¡¿V/grd. 84. Unter Berücksichtigung der Korrekturen erster Ordnung, die durch die Nichtparabolizität der Bänder entstehen, ist die Transportenergie E~ Er+2 1 + (r - 3 ) Q* = E~ ßr+l 1 + (r - 3 )

= kT{r + 2)

(r - 3 ) ( r + 3) kTF r+zirj) En En

Lösungen

127

Hieraus ergibt sich k_ e

0r + 2)

X

-7)

Dieser Ausdruck fällt für ein stark entartetes Elektronengas mit dem Resultat der vorhergehenden Aufgabe zusammen, wenn wir nach E dem Parameter — , der den Grad der Nichtparabolizität bestimmt, Eb entwickeln und uns auf das Korrekturglied erster Ordnung beschränken. 85. Da die Elektronenbeweglichkeit durch die Streuung an akustischen Phononen bestimmt wird, gilt a m 1, und unter der Annahme, daß lph fa 0,1 cm ist, erhalten wir (Xph fü

• lph

«ü10 mV/grd.

86. Zuerst ermitteln wir die Größe a, die den relativen Betrag der Streuimg durch akustische Phononen an der Beweglichkeit bestimmt: a &

(/

"InSt,)beob-

(iMlnSbXheor.

2 • 10-3.

Für das Verhältnis der „Phononen"-Komponenten der Thermo-EMK erhalten wir unter der Annahme, daß (i Ph ) Ge «a (/Ph)InSl3 ist, (ft)lnSt) «ü ®InSb ^InSb A1Ge aGe vGe ßlnSb (xPh)Ge

10 3 .

Somit ist der Mitführungseffekt der Elektronen durch Phononen („phonon drag effect") im w-Indiumantimonid bedeutend kleiner als im Germanium. Unter Verwendung des Wertes (« Ph ) Ge aus der vorhergehenden Aufgabe erhalten wir für 20 °K (« Ph ) IIlSb œ 10 fxV/grd.

Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik

128

87. Für Träger mit quadratischem Dispersionsgesetz ergibt sich aus den Formeln (6.2b), (6.3c) und (6.3d) im Fall starker Magnetfelder, wenn a2 ;> av q2 q1 ist,

n*

=

& ^

=

=

o0

oo

_ 5

k T

F

2

>iM) F%(V)'

Hieraus folgt, daß die Thermo-EMK «(oo) =

5 [2

FsU(rj) F.lt{ri)

+ V

für starke Felder 1) weder vom Magnetfeld noch vom Streumechanismus abhängt. Infolge dieses Umstandes kann man durch Thermo-EMK-Messungen in starken Magnetfeldern auf bequeme Art die effektiven Massen der Ladungsträger bestimmen. Für ein nichtentartetes Ladungsträgergas gilt «(oo) Aus dieser Formel finden wir f] = 3, und somit bestätigt sich die Annahme, daß das Löchergas nicht entartet ist. Wenn man die Löcherkonzentration kennt, ist es nicht schwer, die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes Nv — p • ei = 1,18 • 1019 cm - 3 zu bestimmen, woraus sich m p = 0,6 m 0 ergibt. 88. Für einen entarteten Halbleitertnit quadratischem Dispersionsgesetz gilt « = « ( # ) | H = 0 = - - [ ( r + 2) - y ] , e

«(oo) = oc(H)

kl 5 \ = — — I— - rjj

Lösungen

129

und folglich A