Atomphysik und Quantenmechanik: Band 1 Grundlagen 9783111344898, 9783110043358

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de Gruyter Lehrbuch Döring Atomphysik und Quantenmechanik

Atomphysik und Quantenmechanik I. Grundlagen

von

Werner Döring Mit 6 8 Abbildungen im Text

W DE

G Walter de Gruyter • Berlin - New York 1973

Prof. Dr.-Ing. Werner Döring, Direktor des I. Instituts für Theoretische Physik, Universität Hamburg

I S B N 3 11 00 4335 1 © 1973 by Walter de Gruyter & Co., Berlin. Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form — durch Photokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren — reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen und dergleichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, daB solche Namen ohne weiteres von jedermann benutzt werden dürfen. Vielmehr handelt es sich häufig um gesetzlich geschützte, eingetragene Warenzeichen, auch wenn sie nicht eigens als solche gekennzeichnet sind. Druck: Color-Druck Berlin. Printed in Germany.

Inhalt Eine Bitte an Stelle des Vorwortes

7

Hinweise für den Leser

.....8

Einleitung und Ubersicht

10

KaBitel_I_i_Die_ExisteDZ_ YQD_ÄtomeD

16

§ 1 . Der Begriff Atom

17

§ 2 . Der Begriff Molekül

23

§ 3 . Atomgewicht, Molekulargewicht und die Zustandsgieichung des idealen Gases 25 § 4 . Die Abschätzung der Molekülzahl nach Loschmidt..31 § 5 . Schwankungserscheinungen A . Lageschwankungen in einem Kraftfeld

........32

Β . Brownsche Molekularbewegung

34

C . Dichteschwankungen

37

§ 6 . Messung der Atomzahl durch Absolutmessung der Wellenlänge von Röntgenstrahlen

38

§ 7 . Die Elementarladung § 8 . Bestimmung der Avogadroschen Konstante aus atomaren Konstanten

46

§ 3a.· Beweis der Bernoullischen Formel für den Druck eines verdünnten Gases § 5a. Beweis der Proportionalität des mittleren Verschiebungsquadrates zur Zeit

48 51

§ 5b. Ableitung der vollständigen Formel für das mittlere Verschiebungsquadrat 52 § 5c. Die Verteilung der Verschiebungen bei der Brownschen Molekularbewegung

54

§ 5d. Qualitative Betrachtungen zur Stokes'sehen Formel für die Beweglichkeit einer Kugel Fragjen Aufgaben K§Bite2._II_i-Dif_§tcuktuc_öfr_G|||

61 64 65 66

§ 9 · Die Verteilungsfunktion

67

§10 . Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

69

§11 . Das Boltzmannsche Verteilungsgesetz

78

§12 . Der Gleichverteilungssatz

90

§13 . Die freie Weglänge und die innere Reibung

97

-1»-

§10a. Ableitung der barometrischen Höhenformel §10b. Berechnung der Konstante in der Maxwellschen Verteilungsformel §10c. Der mittlere Geschwindigkeitsbetrag §lla. Zum Beweis des Boltzmannschen Satzes §13a. Die Zahl der Molekülstöße auf eine Wand Fragen . Aufgaben KiPitfl=iii=i=?ie=Struktur_ö|r_fe§ §14 . Beschreibung der idealen Kristallgitter §15 . Das reziproke Gitter §16 . Das Spektrum der Gitterschwingungen A . Die Eigenschwingungen Β . Die Verteilung der Eigenfrequenzen bei tiefen Frequenzen

104 105 106 106 111 113 115 116 117 133 141 160

Ergänzungen_und_Erläuterungen_1 §l4a. Ableitung der 5 Typen von Symmetrie-Operationen

164

§l4b. Die Unverträglichkeit einer 5-zähligen und einer höheren als 6-zähligen Rotationssymmetrie mit Raumgittern 167 §15a. Kovariante und kontravariante Koordinaten ....169 Fragen 175 Aufgaben 176 KaBitgl_IV_i_ßas_frgie_ElgktroD 178 §17 §18 §19 §20 §21

· . . . .

Entdeckungsgeschichte 179 Der Elektronenstrahl im elektrischen Feld ....181 Der Elektronenstrahl im Magnetfeld 184 Die Meßmethoden zur Bestimmung von e/m 186 Die Nachweise der Partikeleigenschaften freier Elektronen 189 Ergänzungen_und_Erläuterungen §l8a. Die Bahnen von geladenen Teilchen im elektrostatischen Feld 194 §19a. Die Bahnen von geladenen Teilchen im zeitlich konstanten Magnetfeld 196 §20a. Die Konstruktionsprinzipien der Massenspektrographen

196

-5-

§21a. Die Berechnung der Intensität des Röhrenrauschens Fragen

201 204

Aufgaben

205

KMitil=Y=i=0§B_Elektr9Dsal|_Bfi| §22 . Der normale Zeeman-Effekt §23 . Das Theorem von Larmor §24 . Das elastisch gebundene Elektron Fragen Aufgaben K|5itfl=YI=i=ß|?=Butb§rfsrö§cbe_§t^ §25 . Die Entdeckung des Atomkerns §26 . Die Rutherfordsche Streuformel §27 . Nachprüfung der Rutherfordschen Streuformel Ergänzungen_und_Erläuterungeni §26a. Die Ablenkung eines α-Teilchens im Coulombfeld eines ruhenden Kerns Fragen Aufgaben Kaßitel=YiI=i=?if=^i5btflUfptfD §28 . Die Lichtquanten-Hypothese

206 207 208 214 219 220 222 223 226 228

232 236 237 238 239

§29 · Die Nachweise für das Vorhandensein von Lichtquanten 240 A . Die Schwärzung der photographischen Platte..241 Β . Der photoelektrische Effekt 242 C . Die kurzwellige Grenze der kontinuierlichen Röntgenstrahlung 245 D . Der Compton-Effekt 247 §30 . Die Plancksche Strahlungsformel 252 Ergänzungen_und_Erläuterungeni §29a. Die Deutung des Photo-Effektes mit Elektronenwellen 262 §29b. Zur Theorie des Compton-Effektes 264 §30a. Die Flächenhelligkeit eines schwarzen Körpers... 268 §30b. Das Stefan-Boltzmannsche Gesetz und das Wiensche Verschiebungsgesetz • 270 §30c. Die Debyesche Formel für die spezifische Wärme der Festkörper 272 Fragen 274 Aufgaben 275

-6-

K§Bitel_VIII_i_Die.Elektronenwellen

276

§31 . Die Beziehung von de Broglie

277

§32 . Begründung der Beziehung von de Broglie

288

§33 · Die Übereinstimmung der Bewegung von Partikeln und Wellengruppen unter makroskopischen Versuchsbedingungen 294

§31a. Die Eichinvarianz der Intensitätsverteilung bei Elektroneninterferenzen

300

§31b. Die Gruppengeschwindigkeit

302

§31c. Das Fouriersche Integraltheorem

306

Fragen_

314

Aufgaben KaBitel_IX_i_D&§_UöfeestimmtbeitSEriDSiß

315 316

§34 · Welle und Partikel als unvereinbare Modelle... 317 §35 . Die Ungenauigkeit einer Orts- und Impulsmessung an einem Partikel §36 . Die Ungenauigkeit von Ort und Impuls eines Wellenpakets

326

§37 . Die Komplementarität

329

323

§38 . Warum fallen die Elektronen nicht in den Kern?333 Fragen

340

Aufgaben

341

Kagitel_X_ ! _Die_ Schrödingerglei chung

342

§39 . Aufstellung der Schrödinger-Gleichung §40 . DieV-Funktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude

343 350

§4l . Die Schrödinger-Gleichung als Bewegungsgleichung des Wellenmodells

360

Zusammenfassung

370

Ergänzungen_und_Erläuterungenil §40a. Die Impulsverteilungsfunktion einer normierten Wellenfunktion ψ (?) 372 Fragen^ Aufgaben Antworten und Lösungen

375 '

376

Namen- und Sachverzeichnis

381

Die wichtigsten Naturkonstanten

389

Eine Bitte an Stelle des Vorwortes

Dieses Buch enthält kein Vorwort im üblichen Sinne, obwohl über seine Entstehung einiges zu sagen wäre und Gründe für einen Dank an Kollegen und Mitarbeiter bestehen. Es wurde auch nicht, wie sonst üblich, gedruckt, sondern nur vervielfältigt, so daß alle die, welche auf ein ästhetisch schönes Schriftbild Wert legen, enttäuscht sein werden. Beides gesch&h, um den Text so schnell wie möglich und so billig wie möglich in die Hände der Physikstudenten gelangen zu lassen, welche danach Atomphysik und Quantenmechanik lernen wollen. Dem Verfasser erscheint es nämlich heute nicht mehr richtig zu sein, die Benutzer eines Buches von der Mitwirkung an der Gestaltung des Textes auszuschließen. Der hier vervielfältigte Text soll im strengen Sinne des Wortes nur eine erste Auflage sein, welche hoffentlich später durch eine inhaltlich und technisch bessere Auflage unter stärkerer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Leser ersetzt werden kann. Der Verfasser bittet daher alle Benutzer, ihm zu helfen, eine bessere und verständlichere Darstellung zu finden. Jedes neukonstruierte Auto und jede neue Waschmaschine wird heute vor Beginn der Massenproduktion auf seine praktische Brauchbarkeit unter Normalbedingungen erprobt. Bei Büchern geschieht das bisher äußerst selten. Helfen Sie mit, daß das anders werde.

Das bedeutet nicht, daß dieses Buch etwa weniger sorgfältig als andere gedruckte Bücher bearbeitet worden wäre. Das Gegenteil ist richtig. Die langjährigen Erfahrungen des Verfassers im Unterricht wurden berücksichtigt. Er ist sich trotzdem unsicher, ob er sein Ziel erreicht hat, bereits den Physikstudenten des 3. Semesters die Grundlagen der Atomphysik und Quantenmechanik verständlich zu machen, ohne Wesentliches "aus Gründen der Vereinfachung" zu verschweigen. Er bittet alle Leser, es ihn wissen zu lassen, wieweit es ihm gelungen ist. Was ist unklar geblieben? Wo fehlen die notwendigen Voraussetzungen zum Verständnis? Wo sind Fehler unterlaufen? Was könnte man als unnötig fortlassen? Bitte, schreiben Sie an: Prof. Dr. Werner Döring I. Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg 2000 Hamburg, Jungiusstraße 9

Α. Zur Gliederung Jedes Kapitel besteht aus einem Hauptteil und einigen Erläuterungen und Ergänzungen, welche durch Kleinschrift äußerlich gekennzeichnet sind. An den Beginn jedes Kapitels ist eine knappe Inhaltsangabe gestellt. An Schluß stehen einige Fragen und Aufgaben. Wem alles, was in der Inhaltsangabe steht, geläufig ist, kann das Kapitel überschlagen, ohne später den Anschlu£ zu verlieren, obwohl natürlich in dem Kapitel mehr steht als in der Zusammenfassung am Anfang. Er sollte sich aber vorher testen, ob er sich dabei nicht täuscht. Dazu sollen die Fragen dienen, welche nach Möglichkeit so ausgewählt wurden, daß sie nur dann vollständig richtig beantwortet werden können, wenn man die wichtigsten Aussagen des vorangegangenen Kapitels verstanden hat. Die Aufgaben sollen dagegen Gelegenheit geben, das Umgehen mit den behandelten Sätzen und Begriffen zu üben und ein Gefühl für die Größenordnung der vorkommenden Größen zu bekommen. Die richtigen Antworten und die Lösungen der Aufgaben stehen am Ende des Buches.

In dem Hauptteil jedes Kapitels steht das, was nach Meinung des Verfassers jeder Physiker wissen sollte. Leider ist es nicht möglich, stets vollständig zu begründen, wie die Physiker zu diesen Aussagen gelangt sind. In den Fällen, wo eine Überlegung eine längere Rechnung erfordert, wurde diese in den Erläuterungen wenigstens angedeutet. Von dem, was direkt aus Experimenten folgt, müßte eigentlich die Herkunft durch eine genaue Beschreibung der Apparate, ihrer Fehlerquellen und der erhaltenen Meßergebnisse näher belegt werden. Darauf wurde hier verzichtet. Der Verfasser bemühte sich, stets möglichst genau zu sagen, was jeweils die Erkenntnisauelle§ im_gleichen Volumen die gleiche Anzahl von Molekülen. _ Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur verhalten sich also die Massen zweier Gase im gleichen Volumen bzw. ihre Dichten wie die Molekülmassen oder ihre Molekui largewiohte.

1)

'Loreniso Romano Amadeo Carlo Avogadro (1776-1858): J.Phya. 73(1811) S.58

-28-

Avogadro hat sein Gesetz 1811 als Hypothese ausgesprochen. Er vermutete es auf Grund der Beobachtung, daß die Volumina der Gasmengen verschiedener Gase, die miteinander eine Verbindung eingehen, sich bei gleichem Druck und gleicher Temperatur auch wie kleine ganze Zahlen verhalten. Heute kann man dieses Gesetz aus den folgenden Aussagen ableiten : 1) Ein verdünntes Gas aus Molekülen der Masse m ο mit der Molekülzahldichte η (n = Molekülzahl Ν dividiert durch das Volumen V) übt auf die Gefäßwände den Druck ρ = y η mQ v2

(§ 3;l)

τ aus. Darin bedeutet ν

den Mittelwert des Quadrates der Ge-

schwindigkeit der Molekülschwerpunkte. Diese Formel leitete 1) bereits Bernoulli ' um 1750 ab. (Beweis siehe Ergänzungen § 3a). 2) Im thermischen Gleichgewicht ist die mittlere Translationsenergie T

k

-

ψ ν *

(§ 3;2)

der Moleküle verschiedener Gase bei gleicher Temperatur gleich. Dieses Gesetz ist nicht einfach zu beweisen. Einen ersten Beweis versuchte Maxwell um i860. Einwandfrei ergibt es sich nur aus den komplizierten Betrachtungen der statistischen Mechanik, die hauptsächlich von Boltzmann entwickelt, wurden (vergl. Kapitel II). E k ist also eine für alle Gase gleiche Funktion der Temperatur allein. Die absolute Temperatur Τ wird nun gerade so definiert, daß E^ zu Τ proportional ist:

"Eik-

1^

j - k T .

(S

3;3)

'Daniel Bernoulli (1700-1784), niederländischer Physiker, Professor in Petersburg und Basel: Hydrodynamik Bd.10(1738).

-29Die hier auftretende Konstante k heißt Boltzmannsche Konstante. Dann lautet (§ 3;1) nach dem Einsetzen von η = = N/V ρ V = Ν k Τ . Diese Gleichung enthält

(§ 3 ; Ό

1)

1) das Boyle-Manottesche Gesetz

, daß bei fester Tempe-

ratur das Produkt pV von V unabhängig ist, 2) 2) das Gay-Lussac'sehe Gesetz , daß pV bei allen verdünnten Gasen bis auf einen Faktor die gleiche Funktion der Temperatur ist (welche definitionsgemäß gleich der absoluten Temperatur gesetzt wird) und 3)

die Avogadrosche Regel, nach der pV/T bei allen Gasen

das gleiche Vielfache der Molekülzahl Ν sein muß, also k nicht mehr von den Eigenschaften des Gases abhängt. Die Boltzmannsche Konstante hat nach der neuesten, genauesten Messung den Werk k =(1,3804 + 0,0001) .10 1 6 erg/Grad. Da man bei makroskopischen Messungen meist die Molekülzahl Ν nicht kennt, führt man oft statt Ν eine zu Ν proportionale makroskopisch meßbare Größe, die Stoffmenge ein. Sie wird als eine Größe eigener Dimension aufgefaßt, welche als Vielfaches der Einheit Mol ausgedrückt wird. 1 Mol ist eine Stoffmenge mit ebenso vielen Teilchen wie die Zahl der Atome in einem Stück Kohlenstoff mit der 12

Masse 12 g aus dem häufigsten Kohlenstoffisotop

C. Der

Quotient aus Teilchenzahl und Stoffmenge einer Substanz ist eine Naturkonstante, die Avogadrosche Konstante

'Robert. Boyle (I627-I691) veröffentlichte das Gesetz in: Nova Experimenta Physico-Mechanica, 2.Aufl.(1662)S.99 unter Hinweis auf nicht veröffentlichte ähnliche Resultate von Richard Townley. Edme Mariotte (1620-1684) veröffentlichte in: Essai sur la nature de l'air, Paris (1676) dasselbe Gesetz auf Grund eigener Messungen mit demselben Gerät wie Boyle. 2)

'Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850): Ann.de ehem.43(1802) S.137

-30Nach den neuesten Messungen hat sie den Wert L = (6,0249 + 0,0002) -1023-Vmol (§ 3;6) Das Produkt R = kL aus der Boltzmannschen Konstanten k und der Avogadröschen Konstanten L wird allgemeine Gaskonstante genannt: R = Lk = (8,3170 + 0,0003)

107

erg Grad · mol (§ 3J7)

Damit lautet die Zustandsgieichung (§ 3;4) des idealen Gases

pv = y RT.

(§ 3;8)

In dieser Schreibweise enthält sie nur noch makroskopisch meßbare Größen. Man beachte, daß die Stoffmenge eines Körpers nur dann definiert ist, wenn er wie ein verdünntes Gas aus unabhängigen Teilchen besteht oder wenn extra angegeben wird, was als Teilchen angesehen werden soll. Wasserstoff in festem oder flüssigem Zustand kann man z.B. als aus H 2 ~Molekülen bestehend auffassen, und dann hat 1 mol H 2 etwa die Masse von 2 g Man kann aber stattdessen auch die Atome ins Auge fassen und dann von der Stoffmenge des atomaren Wasserstoffs sprechen bzw. 1 mol Η-Atome. Diese Stoffmenge hat dann etwa die Masse von 1 g. Bei einem Gas mit unbekannter Zusammensetzung aus Molekülen verschiedener Massen ist auch die Stoffmenge unbekannt. In solchen Fällen benutzt man bei makroskopischen Untersuchungen statt der Stoffmenge meist die Gesamtmasse m des Gases und schreibt die ideale Gasgleichung in der Form pV = m -R Τ s

(§ 3;9)

mit einer für die betreffende Gasart spezifischen Gaskonstanten R der Dimension Energie/(Temperatur mal Masse), s

-31Die Avogadrosche Konstante L ist die fundamentale Konstante der ganzen Atomphysik. Sie ermöglicht bei bekanntem Atomgewicht die Berechnung der Atomzahl in jedem Körper bekannter Masse und damit die Größe der Atommasse und des Atomvolumens. Der beste Nachweis für die Richtigkeit der Atom- und Molekülvorstellung ergab sich zu Beginn dieses Jahrhunderts aus dem Umstand, daß zahlreiche Messungen dieser Größe nach völlig verschiedenen Methoden mit zunehmender Genciuigkeit zu übereinstimmenden Ergebnissen führten. Deshalb sollen jetzt diese verschiedenen Bestimmungsmethoden kurs; besprochen werden.

§ h . Die Abschätzung der Molekülzahl nach Loschmidt. 1) Etwa I865 gelang Loschmidt zum ersten Mal eine rohe Abschät2;ung der Avogadroschen Konstanten unter Benutzung der Annahme, daß die Moleküle sich wie elastische Kugeln verhalten. Er kombinierte dabei die Meßergebnisse für die innere Reibung eines Gases mit der Dichte derselben Substanz in kondensierten Zustand. Bezeichnet man den Moleküldurchmesser mit d und nimmt an, däß die Moleküle im festen und flüssigen Zustand dicht gelagert sind, so muß die Dichte $>e in diesem Zustand bis auf einen Paktor von der Größenordnung 1 gleich der Molekülmasse m Q dividiert durch das Molekülvolumen sein, also

Im Gaszustand hängt die innere Reibung außer von makroskopischen Eigenschaften von der mittleren freien Weglänge ab (vergl. § 13). Darunter versteht man die Strecke, welche die Moleküle im Mittel zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegen. Diese Strecke Λ ist umgekehrt proportional zur Molekülzahldichte η und dem Querschnitt der Moleküle, 1)

J. Loschmidt, Ber. Wien. Akad.52(1865) S. 395

also ν ~

λ

* ^ p

= *

ysF

Darin ist Ο = nm^ die Dichte im Gaszustand. J ο 3 2 Aus den Werten m /d^ und m /d läßt sich, 3 wenn auch ο ο ziemlich ungenau, m Q und damit L berechnen, denn das Produkt aus L und m Q ist die Masse einer Stoffmenge der Größe 1 mol, also bei einem Gas mit dem Molekulargewicht Μ L

^o =

M

ufr

·

ι a

,

(§ 7;5)

so kann man aus (§ 7;1) den Radius a ermitteln und daher aus