Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel mittels der Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel [Reprint 2019 ed.] 9783111559261, 9783111188614

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Sitzungsberichte d e r H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n S t i f t u n g Heinrich. L a n z Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse J a h r g a n g 1927. 11. A b h a n d l u n g .

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Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kngel mitteis der Beziehung zwischen Lot and Parallelwinkel Von

Ernst Roeser in Bottrop

Vorgelegt von Herrn L i e b m a n n in der Sitzung vom 19. Juni 1927

Berlin

und L e i p z i g

1927

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , Verlagsb u c h h a n d l u n g I G e o r g R e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / Veit & Comp.

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel mittels der Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel. 1. Die Transformationsgleichungen.

Die £t] Ebene gehe durch den Mittelpunkt der Kugel mit dem Radius x, wo shx = 1. Die £ Achse schneidet die Kugel im Nordpol 0' und dieser sei der Anfangspunkt des sphärischen Koordinatensystems. Jedem Punkte P der Ebene soll eineindeutig ein Punkt P ' der Halbkugel durch folgende Konstruktion zugeordnet werden. Man errichte in P auf der Ebene nach der Seite der positiven f (oben) das Lot und ziehe durch den Anfangspunkt 0 des ebeneu Koordinatensystems dazu die Parallele. Sie bildet mit der £ Achse den Winkel r und trifft die Kugel im Punkte P\ wobei 0' P' = r ist. Hat P von 0 den Abstand Q, SO sind r und Q durch die Gleichung: (i)

he=_L_ cos r verbunden, denn r ist das Komplement zum Parallelwinkel von Q und wird durch den Bogen auf der Kugel (da sh x = 1) direkt gemessen. Es sollen überhaupt für alle Strecken, auch für Konstante, die komTT plementären Parallel Winkel eingeführt werden; es ist also II(Q),= —R. u Bedient man sich der W E I E H S T H A S S sehen Koordinaten, so treten die sh-Funktionen auf, sie gehen über in die tg-Funktionen, also diejenigen, welche zu den Achsenkoordinaten gehören. Umgekehrt führen die thFunktioneö der Aehsenkoordinaten zu den homogenen sin-Funktionen. Auch die Zusammenhänge mit den Polarkoordinaten transformieren sich entsprechend. In der Ebene ist: ^ th £ = th Q • cos