Technische Thermodynamik in Beispielen: Teil 1 Grundlagen 9783110843354, 9783110074543

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de Gruyter Lehrbuch Keller · Technische Thermodynamik in Beispielen Teil 1 Grundlagen

Jürgen U. Keller

Technische Thermodynamik in Beispielen Aufgaben · Rechenweg · Lösungen Begriffssammlung Teil 1 Grundlagen

w DE

G

Walter de Gruyter · Berlin · New York 1979

Privatdozent Dr. sc. techn. Jürgen U . Keller Institut für T h e r m o d y n a m i k und Anlagentechnik Technische Universität Berlin

Das B u c h enthält 85 Abbildungen

CIP-Kurztitelaufnahme

der Deutschen

Bibliothek

Keller, Jürgen U.: Technische Thermodynamik in Beispielen: Aufgaben, Rechenweg, Lösungen, Begriffssammlung / Jürgen U. Keller. Berlin, New York: de Gruyter Teil 1. Grundlagen. - 1979. (de-Gruyter-Lehrbuch) ISBN 3-11-007454-0

© Copyright 1978 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin. Bindearbeiten: Dieter Mikolai, Berlin.

Vorwort

Das vorliegende Buch ist der erste Band eines zweiteiligen Übungs- und Nachschlagewerkes zur „Technischen Thermodynamik", wie sie heute noch im Rahmen einer zweisemestrigen Pflichtvorlesung an Technischen Universitäten und Hochschulen im deutschen Sprachraum gelehrt wird. Seine Zielgruppe sind Studenten solcher naturund ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen, in denen die Thermodynamik ein unverzichtbarer Bestandteil des wissenschaftlichen Grundstudiums ist: der klassische Maschinenbau, die Energie- und Verfahrenstechnik, das Physikingenieurwesen, die Physikalische Chemie, die Technische Chemie und die Umwelttechnik. Das Buch verfolgt einen doppelten Zweck: Es soll einerseits dem Studierenden helfen, die Schwierigkeiten zu überwinden, die dieser normalerweise bei der Anwendung der Lehren und Gesetze der Thermodynamik auf konkrete Aufgaben und Probleme hat. Diesem Zweck dient die Aufgabensammlung im vorderen Teil des Buches. Sie enthält 70 Beispiele mit ausführlichem Rechenweg und vollständiger Lösung. Bei der Auswahl der Aufgaben haben vor allem Fragen nach dem Verständnis der thermodynamischen Zusammenhänge im Vordergrund gestanden. Reine Rechenaufgaben, die zur routinemäßigen Bearbeitung verleiten, sind aber nach Möglichkeit vermieden worden. Das Buch soll andererseits dem Studierenden helfen, sich möglichst klare thermodynamische Grundbegriffe anzueignen. Dies fällt im allgemeinen schwer, ist aber die unabdingbare Voraussetzung zur richtigen und erfolgreichen Anwendung der Gesetze der Thermodynamik. Diesem Zweck dient die Begriffssammlung im hinteren Teil des Buches. Bei ihrer Abfassung haben wir uns stets bemüht, die Grundbegriffe und Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik an Hand von Experimenten zu erklären bzw. zu demonstrieren. Natürlich mußten dabei oft Kompromisse zwischen dem Zwang zur Kürze und dem Wunsch nach Exaktheit der Darlegung geschlossen werden! Wir hoffen aber, trotzdem die physikalischen Wurzeln aller verwendeten thermodynamischen Grundbegriffe aufgezeigt zu haben. Damit soll ausdrücklich betont werden, daß auch die Thermodynamik des Technikers nicht so sehr eine technische Disziplin, sondern vielmehr ein Teil der klassischen Physik ist. Sie ist also eine Grundlagenwissenschaft und damit ein Fundament für eine ganze Zahl von angewandten Wissenschaften! Der zu bearbeitende Stoff ist wegen seines großen Umfanges in Anlehnung an die im Lehrbetrieb praktizierte Semesterteilung zweigeteilt worden. Der vorliegende Band behandelt vornehmlich, wenn auch nicht ausschließlich, die Grundlagen und die Hauptsätze der Thermodynamik. Technisch wichtige Anwendungen und Prozesse sollen in analoger Form in einem folgenden Band abgehandelt werden. Die Bezeichnungen der einzelnen thermodynamischen Größen sind überall dort, wo es sachlich möglich war, entsprechend den Empfehlungen im deutschen Normenausschuß (DIN 1301, 1345) gewählt werden.

VI

Vorwort

Als Maßsystem wird ausschließlich das Internationale System (SI-Einheiten) verwendet. An Vorkenntnissen werden verlangt: Höhere Mathematik, speziell Differential- und Integralrechnung wie sie heute noch in den ersten beiden Semestern eines natur- oder ingenieurwissenschaftlichen Studiums an Technischen Universitäten und Hochschulen gelehrt wird. Ferner dürfte eine gute physikalische Allgemeinbildung, speziell eine gewisse Vertrautheit mit der Newtonschen Mechanik beim Lesen des Buches von Vorteil sein. An unsere Leser richten wir die Bitte, mögliche sachliche Fehler, Mängel oder Unverständlichkeiten freimütig mitzuteilen. Wir werden jeder sachlichen oder didaktischen Bemerkung oder Anregung gewissenhaft nachgehen und sie nach Möglichkeit zu berücksichtigen versuchen. Ein Lehrbuch wie das vorliegende lebt vom (mündlichen oder schriftlichen) Kontakt zwischen den Lernenden und dem Lehrenden! Der Verfasser möchte nun noch verschiedenen Persönlichkeiten danken, die durch Wort und Tat nicht unwesentlich zum Werk beigetragen haben. Zunächst gebührt Frau Ruth Dulinski (TU Berlin) Dank für das Tippen des sicherlich nicht immer leicht lesbaren Manuskriptes. Den Herrn Professoren Dr. W. Muschik (TU Berlin), Dr. Y. W. Yang (Ann Arbor, USA) und Dr. J. Kestin (Providence, USA) möchte ich danken für die mit ihnen geführten grundsätzlichen Diskussionen über Anlage und Struktur des Buches. Schließlich gilt mein Dank auch den Kollegen am Institut für Thermodynamik und Anlagentechnik der Technischen Universität Berlin, insbesondere Herrn Dr. K. L. Eggert (BASF, Ludwigshafen), für alle im Rahmen des Lehr- und Übungsbetriebes geführten Diskussionen. Herrn Dr. R. Weber vom Verlag Walter de Gruyter, Berlin-New York, gilt mein besonderer Dank für die stets konstruktive und fruchtbare Zusammenarbeit. Berlin-Charlottenburg, Juni 1978

J. U. Keller

Inhalt

Korrelationsregister zur Begriffssammlung

XIII

Aufgabensammlung Α Grundbegriffe der Thermodynamik und Maßsysteme Aufgabe A 1 Grundbegriffe Aufgabe A 2 Thermodynamische Systeme Aufgabe A 3 Beziehungen zwischen Druck-, Energie- und Leistungseinheiten Aufgabe A 4 Einige Beziehungen zwischen angelsächsischen Maßeinheiten und SI-Einheiten Aufgabe A 5 Umrechnungen physikalischer Maßeinheiten: Das geoastronomische Maßsystem Aufgabe A 6 Der hydrostatische Druck Aufgabe A 7 Luftdruck-Messung Aufgabe A 8 Das Zweistoffmanometer Aufgabe A 9 Zwei Anwendungen des Hauptsatzes der Dimensionsanalysis (Satz von Buckingham) Lösungen zu den Aufgaben A 1 - 9 Β Der Nullte Hauptsatz und die thermische Zustandsgieichung Aufgabe Β 1 Isotherme Expansion eines idealen Gases Aufgabe Β 2 Adiabat reversible Zustandsänderungen eines idealen G a s e s . . . . Aufgabe Β 3 Polytrope Zustandsänderung eines idealen Gases Aufgabe Β 4 Zustandsänderung eines idealen Gases Aufgabe Β 5 Das ideale Gas mit einer Komponente Aufgabe Β 6 Helium als ideales Gas Aufgabe Β 7 Das radioaktive ideale Gas Aufgabe Β 8 Ausbreitung einer atomaren Explosionswolke Aufgabe Β 9 Mischung idealer Gase Aufgabe Β 10 Mischung idealer Gase (Bombenkalorimeter) Aufgabe Β 11 Die Zustandsgieichung von Dieterici Aufgabe Β 12 Joule-Thomson-Koeffizient und Inversionskurve eines realen Gases Aufgabe Β 13 Innere Energie eines van-der-Waals-Gases Aufgabe Β 14 Isotherme Expansion von Wasser Aufgabe Β 15 Volumen eines Dampfbehälters Aufgabe Β 16 Eine Methode zur Bestimmung des Adiabatenexponenten κ eines idealen Gases Aufgabe Β 17 Füllen eines Ballons

1 1 1 2 2 4 5 5 6 6 7 20 20 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 26 26

VIII

Aufgabe Β 18 Aufgabe Β 19 Aufgabe Β 20 Aufgabe Β 21 Aufgabe Β 22 Aufgabe Β 23 Aufgabe Β 24 Aufgabe Β 25

Inhalt

Eine thermische Sicherung Adiabate Kompressionsschwingungen eines idealen Gases Die barometrische Höhenformel Thermodynamische Aspekte einer Ballonfahrt Druck- und Temperaturverteilung in der „Normalatmosphäre" Temperaturverlauf in der adiabaten Atmosphäre Entwicklung der thermischen Zustandsgieichung aus den thermischen Koeffizienten eines Stoffes Eine Anwendung des Korrespondenzprinzips der Thermodynamik reiner Stoffe

27 28 29 29 30 30 31 31

Lösungen zu den Aufgaben Β 1 —25

32

C Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik Aufgabe C 1 Arbeits- und Wärmeaustausch bei der Zustandsänderung eines idealen Gases Aufgabe C 2 Ideale Kompression eines idealen Gases Aufgabe C 3 Ein einfacher Kreisprozeß eines idealen Gases Aufgabe C 4 Energiebilanz einer chemischen Zustandsänderung eines idealen Gases Aufgabe C 5 Zustandsänderungen eines realen Gases Aufgabe C 6 Adiabatengleichung eines realen Gases Aufgabe C 7 Arbeits- und Wärmeaustausch zwischen thermodynamischen Systemen Aufgabe C 8 Gleichgewicht zwischen zwei thermodynamischen Systemen Aufgabe C 9 Dehnungsarbeit eines Festkörpers Aufgabe CIO Adiabater Füllvorgang Aufgabe C l l Adiabate Düsenströmung Aufgabe C 12 Adiabater Ausströmvorgang Aufgabe C 13 Stationäre Verdichtung von Luft Aufgabe C 14 Energiebilanz eines Wasserkraftwerkes Aufgabe C 15 Dampfkraftanlage Aufgabe C 16 Kältekreislauf Aufgabe C 17 Freier Fall eines Steins in einen Brunnen Aufgabe C 18 Erwärmung eines Meteors beim freien Fall auf die Erde Aufgabe C 19 Lineare Formen für das Wärmedifferential

79

82 83 83 84 84 85 85 85 86 87 87 88 88

Lösungen zu den Aufgaben C 1 - 1 9

89

D Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik Aufgabe D 1 Der Wärmeleitungsversuch von J. B. Fourier Aufgabe D 2 Wärmeaustausch zwischen thermodynamischen Systemen Aufgabe D 3 Ein Beispiel zur Mischungsentropie Aufgabe D 4 Thermodynamisches Gleichgewicht zwischen zwei Gasbehältern Aufgabe D 5 Adiabat irreversible Entspannung heißer Luft

79 79 79 80 81 81

131 131 132 132 132 133

Inhalt

Aufgabe D 6 Aufgabe D 7 Aufgabe D 8 Aufgabe D 9

IX

Arbeitsbedarf und Kühlleistung einer Klimaanlage Erwärmung eines Flusses durch das Kühlwasser eines Kraftwerkes Innere Energie eines realen Gases (Erste Energiebeziehung) . . . . Differentialform einer abstrakten Maxwell-Relation

134 134 135 135

Lösungen zu den Aufgaben D l - 9

136

Ε Mehrphasige Systeme Aufgabe Ε 1 Graphische Darstellung einiger Zustandsänderungen eines reinen Stoffes Aufgabe Ε 2 Eine Anwendung der Gleichung von Clausius und Clapeyron . . . Aufgabe Ε 3 Isobare Zustandsänderung mit Phasenübergang Aufgabe Ε 4 Isotherme Verdampfung von Stickstoff (N 2 ) Aufgabe Ε 5 Drosselung von Naßdampf. Aufgabe Ε 6 Methan-Lagerung Aufgabe Ε 7 Der kochende Geysir Aufgabe Ε 8 Verdampfung von siedendem Wasser

155 155 156 156 157 157 158 159 160

Lösungen zu den Aufgaben Ε 1—8

161

Begriffssammlung Abgeschlossenes System . Absolute Temperatur Absoluter Nullpunkt der Temperatur Adiabatengjeichung eines idealen Gases Adiabater Prozeß Adiabatisch isoliertes System Anergie Arbeit Arbeitsdiagramm Ausdehnungskoeffizient Avogadro-Konstante Avogadrosche Regel Boltzmann-Konstante Boyle-Mariottesches Gesetz Carnotscher Kreisprozeß Carnot-Wirkungsgrad Celsius-Temperatur Clausius-Clapeyron-Gleichung Clausiussche Gleichung Clausiussche Ungleichung Dampf. Dampfdruckkurve Dampfgehalt

177 177 177 178 180 180 180 181 184 185 185 185 186 186 186 188 190 191 192 193 194 194 195

X

Dichte Dissipationsarbeit Dritter Hauptsatz Drossel-Prozeß Einfaches thermodynamisches System Empirische Temperatur Energie Energiebeziehungen Enthalpie Entropie Entropie idealer Gase Erster Hauptsatz der Thermodynamik Exergie Extensive Größe Freie Energie Freie Enthalpie Freiheitsgrad Gasgleichung Gaskonstante Gay-Lussacsches Gesetz Geschlossenes thermodynamisches System Gibbssche Fundamentalgleichung Gleichgewicht, thermodynamisches Gleichgewichtszustand Ideale Gastemperatur Ideales Gas Innere Energie Innere Energie eines idealen Gases Intensive Größe Internationale praktische Temperaturskala (IPTS-68) Internationales Einheitensystem Irreversibler Prozeß Isentrope Zustandsänderung Isobare Zustandsänderung Isochore Zustandsänderung Isoliertes thermodynamisches System Isotherme Zustandsänderung Joule-Thomson-Koeffizient Kalorische Zustandsgieichung Kelvin-Temperatur Komponente Kompressibilität Korrespondenzprinzip Kreisprozeß

Inhalt

195 195 197 197 198 199 199 199 201 202 204 206 214 215 216 216 217 218 219 220 221 221 223 223 223 223 224 225 226 226 227 228 230 230 231 232 232 233 234 235 235 236 236 237

Inhalt

Kritischer Zustand Kurvenintegral Latente Wärme : Maxwell-Beziehungen Mischungstemperatur Molare Größe Molenbruch Molzahl Naßdampf Natürlicher Prozeß Normzustand Nullter Hauptsatz Offenes thermodynamisches System Partialdruck Partialvolumen Perpetuum mobile erster Art Perpetuum mobile zweiter Art Phase Phasengrenzkurven : Phasenumwandlung Polytrope Zustandsänderung eines idealen Gases Prozeßgröße Quasistatischer Prozeß Reales Gas Reversibler Prozeß Rührversuch von Joule Spannungskoeffizient Spezifische Größe Stationärer Zustand Technische Arbeit Temperatur Temperatur-Skalen Thermische Koeffizienten Thermische Zustandsgieichung Thermodynamik Thermodynamisches Gleichgewicht Thermodynamisches Potential Thermodynamische Temperatur Thermodynamisches System Thermometer Tripelzustand Überhitzter Dampf Überströmversuch von Gay-Lussac Unvollständiges Differential

XI

237 239 240 241 242 243 244 244 245 246 247 247 248 248 249 249 250 250 250 251 252 253 254 255 255 256 257 258 258 258 260 261 262 262 262 263 263 264 266 266 266 267 267 268

XII

Inhalt

Van der Waals-Gleichung Verdampfungswärme Virialgleichung Vollständiges Differential Wärme Wärmediagramm Wärmekapazität Wärmekapazität eines idealen Gases Wirkungsgrad Wirkungsgrad eines Kreisprozesses Zustandsgieichung Zustandsgröße Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

269 271 272 273 275 277 278 281 282 283 283 284 285

Symbole und Bezeichnungen Literatur Sachwortverzeichnis

288 301 305

Korrelationsregister zur Begriffssammlung

Formelnummer z.B. ( X 2 ) -

Seitenzahl Seite 178

(XI)

177

(X 2) (X 3) (X 4) (X5) (X 6)

178 178 178 178 178

(X 34) (X 35)

196 196

(X 36)

197

(X 37)

198

(X 38a)

200

38b) 39) 40) 41)

201 201 201 201

(X7) (X8) (X9) (X10) (X 10a) (X11) (X I I a ) (X 12) (X 12a)

179 179 179 179 179 179 179 179 179

(X (X (X (X (X (X (X (X (X

41a) 42) 43) 44) 45)

202 202 202 202 202

(X 13)

180

(X (X (X (X

181 181 181 181

(X (X (X (X (X

46) 47) 48) 49) 50)

203 203 203 203 203

(X (X (X (X (X (X (X (X (X (X (X (X (X (X

51) 52) 53) 54) 55a) 55b) 56) 57) 58a) 58b) 59) 60) 61) 62)

204 204 204 204 204 204 205 205 205 205 205 205 205 205

14) 14a) 15) 16)

(X IV) (X 18)

182 182

(X 19) (X 20)

183 183

(X 21) (X 22)

185 185

(X 23) (X 24)

186 186

(X 25)

187

(X 26)

188

(X 27)

190

(X 28)

191

(X 29) (X 30) (X 30a)

192 192 192

(X 31) (X 31a) (X 32)

193 193 193

(X 33)

195

(X 63)

206

(X (X (X (X (X

207 207 207 207 207

63a) 64) 64') 64a) 64a')

(X 65) (X 66) (X 66')

208 208 208

(X 6 4 b ) (X 6 4 b ' ) (X 64 c)

208 208 208

(X (X (X (X (X (X (X (X

209 209 209 209 209 209 209 209

67) 67') 67a) 67a') 68) 68') 67b) 67b')

(X 69) (X 70)

210 210

(X (X (X (X

71) 71 a) 71b) 72)

211 211 211 211

(X 73) (X 7 3 a ) (X 7 3 b )

212 212 212

(X 74) (X 74a)

213 213

(X 7 3 b ' ) (X 74')

214 214

(X (X (X (X (X

215 215 215 215 215

75) 75 a) 75b) 76) 76 a)

(X 77) (X 78) (X79) (X 80) (X 81)

216 216 216 216 216

(X 82) (X 82a) (X 83)

217 217 217

(X (X (X (X

218 218 218 218

84) 84 a) 84b) 85)

XIV

Korrelationsregister

(X (X (X (Χ

84 b) 86 a) 86 b) 87)

219 219 219 219

(Χ (Χ (Χ (Χ

88) 89) 90) 91)

220 220 220 220

(Χ 125) (Χ 126 a) (Χ 126 b)

238 238 238

(Χ 165) (Χ 164') (Χ 164 a')

259 259 259

(Χ 128) (Χ 129)

239 239

(Χ 164b') (Χ 165')

260 260

(Χ 130) (Χ 131) (Χ 131a)

240 240 240

(Χ 166) (Χ 167)

262 262

(Χ (Χ (Χ (Χ

132) 132 a) 132 b) 132 c)

241 241 241 241

(Χ 168) (Χ 169) (Χ 170 a)

263 263 263

(Χ 134 a - e) (X 135 a - e)

242 242

(Χ (Χ (Χ (Χ

170b) 170 c) 170d) 171)

264 264 264 264

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

172) 173) 174) 174 a) 175)

265 265 265 265 265

(Χ 9 2 a ) (Χ 9 2 b ) (Χ 92a') (Χ 92b') (Χ 9 2 c ) (X92d)

222 222 222 222 222 222

(Χ 93)

223

(Χ 94) (Χ 95)

224 224

(X 136) (Χ 137) (Χ 138)

243 243 243

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

96) 97) 98) 99) 100)

225 225 225 225 225

(Χ (Χ (Χ (Χ

139) 139 a) 140) 141)

244 244 244 244

(Χ 101) (Χ 102)

276 226

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

103 a) 103 b) 104) 105) 106)

231 231 231 231 231

(Χ (Χ (Χ (Χ

142) 143) 142 a) 143 a)

245 245 245 245

(Χ 144 a - d)

246

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

107 a) 107 b) 108) 109) 110)

232 232 232 232 232

(X (Χ (Χ (Χ

145) 146) 147) 148)

247 248 248 248

(Χ 149) (Χ 150) (Χ 151)

249 249 249

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

111) 112) 113) 114) 114 a)

233 233 233 233 233

(Χ (Χ (Χ (Χ

115) 116) 117) 118)

234 234 234 234

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

252 252 252 252 252 252 252

(Χ 117 a) (Χ 118 a)

235 235

(Χ 119) (Χ 120) (Χ 120 a)

236 236 236

(Χ (Χ (Χ (Χ

238 238 238 238

122 a) 122 b) 124 a) 124 b)

152) 153) 154) 155) 152a) 154 a) 155 a)

(Χ 156) (Χ 157)

253 253

(Χ 158)

254

(Χ (Χ (Χ (Χ

257 257 257 257

159) 160) 161) 162)

(Χ 163) (Χ 164) (Χ 164 a)

258 258 258

(Χ 164 b)

259

(Χ 176)

266

(Χ 177)

267

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

178) 179) 179 a) 180) 181) 182)

268 268 268 268 268 268

(Χ (Χ (Χ (Χ

183) 184) 184 a) 184 b)

269 269 269 269

(Χ (Χ (Χ (Χ

185) 186) 187) 188)

270 270 270 270

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

189) 190) 191a) 191b) 191c) 192)

271 271 271 271 271 271

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

193) 194) 195) 196) 197)

272 272 272 272 272

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

198) 197 a) 198 a) 197 b) 198 b) 199)

273 273 273 273 273 273

Korrelationsregister (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

200) 201) 202) 203) 204) 205) 206)

274 274 274 274 274 274 274

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

207) 208) 209) 210 a) 210b) 211)

276 276 276 276 276 276

(Χ 212) (Χ 212a) (Χ 213) (Χ 214) (Χ 215)

XV (Χ 215 a)

279

(Χ 225 a)

283

(Χ 216) (Χ 217) (Χ 218)

280 280 280

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

281a) 219 a) 219 b) 220) 221) 221a)

281 281 281 281 281 281

(Χ (Χ (Χ (Χ

284 284 284 284

278 278 278

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

221b) 222 a) 222 b) 223) 224)

282 282 282 282 282

279 279

(Χ 224 a) (Χ 225)

283 283

226) 227) 227 a) 228)

(Χ 229) (Χ 230)

285 285

(Χ (Χ (Χ (Χ

231) 232) 232a) 233)

286 286 286 286

(Χ (Χ (Χ (Χ (Χ

234) 235) 236) 236 a) 236b)

287 287 287 287 287

Aufgabensammlung

Α Grundbegriffe der Thermodynamik und Maßsysteme Aufgabe A 1 Grundbegriffe Beantworten Sie folgende Fragen: a) Was versteht man unter Thermodynamik? b) Was versteht man unter Thermostatik? c) Was versteht man unter Thermodynamik der Vorgänge oder auch Thermodynamik der irreversiblen Prozesse? d) Geben Sie einige Spezialgebiete der Thermodynamik an. e) Wodurch unterscheiden sich statistische und phänomenologische Thermodynamik? f) Wie lautet der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik? Erklären Sie folgende Begriffe: a) Thermodynamisches System b) Einfaches thermodynamisches System c) Phase d) Komponente e) Zustandsgröße f) Thermodynamisches Gleichgewicht g) Ideales Gas h) Reales Gas i) Thermische Zustandsgieichung k) Kalorische Zustandsgieichung. Aufgabe A 2 Thermodynamische Systeme Die folgenden Objekte können als thermodynamische Systeme im Sinne von W. Schottky aufgefaßt werden:

2

Aufgabensammlung

a) Autobatterie b) Automotor c) Strahltriebwerk eines Flugzeuges d) Kühlschrank e) Menschlicher Körper f) Materialprobe in Zerreißmaschine g) Verkorkte Weinflasche h) Elektrische Glühbirne i) Kalorisches Kraftwerk j) Kernkraftwerk k) Hydraulisches Kraftwerk 1) Erde a) Welche dieser Objekte bilden im „Betriebszustand" geschlossene bzw. offene thermodynamische Systeme? b) Man gebe für jedes Objekt an, ob es mit seiner Umgebung (mechanische oder elektrische) Arbeit, Wärme und Masse austauscht. Aufgabe A 3 Beziehungen zwischen Druck-, Energie- und Leistungseinheiten Man berechne die Zahlenfaktoren, die man benötigt, um folgende Einheiten ineinander umzurechnen: a) Druckeinheiten (vgl. DIN 1314, [36]): Pascal (Pa), Bar (bar), technische Atmosphäre (at), physikalische Atmosphäre (atm), Millimeter Quecksilbersäule (Torr). b) Energieeinheiten (vgl. DIN 1345, [36]): Joule (J), Kilopondmeter (kpm), Kilokalorie (kcal), (15 °C), Kilowattstunde (kWh), British thermal unit (Btu), (Angloamerikanische Wärmeeinheit). c) Leistungseinheiten (vgl. DIN 1301, [36]): Watt (W), Kilopondmeter pro Sekunde (kpm/s), Pferdestärke (PS), Kilokalorie pro Sekunde (kcal/s), British thermal unit per second (Btu/s), (Angloamerikanische Wärmeeinheit pro Sekunde). Stelle die Umrechnungsfaktoren in Tabellen zusammen. Aufgabe A 4 Einige Beziehungen zwischen angelsächsischen Maßeinheiten und SI-Einheiten

Α

3

Grundbegriffe der Thermodynamik

In der Literatur werden viele experimentell ermittelte thermische und kalorische Daten nicht im Internationalen Maßsystem (SI), sondern in angelsächsischen Einheiten angeführt. Diese Daten müssen vor ihrer Verwendung in SI-Einheiten umgerechnet werden. Es ist daher nützlich, sich mit einigen angelsächsischen Maßeinheiten vertraut zu machen*. Das im angelsächsischen Ingenieurbereich am häufigsten verwendete Maßsystem scheint das „English Engineering System (of Units)" (EES) zu sein. Es besitzt folgende Grundeinheiten [11, 24, 5, 25, 32]: Länge:

foot (ft) yard (yd) inch (in)

Zeit:

second (s)

Masse:

pound mass (lbm)

1 lbm

= 0,4536 kg

Kraft:

pound force (lbf)

1 lbf

= 32,174 ft lbm/s 2

Temperatur:

Grad Rankine (°R)

1 °R

= 0,5 56 Κ

Grad Fahrenheit (°F)

Τ 1 ^p-

= 1,8^+32

1 F

= 1 R

Molekülzahl: pound mole (lbmole) Druck

psia-unit

lft lyd

0,3048 m, 3 ft = 36 in

1 lb mole = 453,6 g/mole= 453,6 mol = 2,732 · 10 26 Stück 1 psia = 1 lbf/in 2 = 0,0689 bar

Energieeinheit für die Wärme: British thermal unit (Btu)

1 Btu = 1055,2 J.

Bemerkungen: 1. Als Einheit der Kraft wird im EES-System das Gewicht der Einheitsmasse an einem Ort mit dem Schwerebeschleunigungs-Normal g = 9,80665 m/s 2 = 32,174 ft/s 2 verwendet. 2. Aus den vier Grundeinheiten ft, s, lbm, lbf können zwei gleichberechtigte Energieeinheiten gebildet werden: 1 ft lbf = 1,3558 J , 1A *

2

lbm = 0,0421 J .

Vgl. dazu auch die Angaben in der „Encyclopaedia Britannica" Bd. 19, S. 731 ff., 15 Ed., 1974, sowie die „Units of Weight and Measure" in Misc. Pubis. U.S. National Bureau of Standards 286 (1967).

4

Aufgabensammlung

3. Als Einheit für die Zahl der Moleküle eines Stoffes (lb mole) wird im EES-System jene Anzahl von Molekülen gewählt, die sich in der Molmasse des Stoffes befindet. Die Molmasse eines Stoffes im EES-System sind soviele lbm-Masse, wie die relative Molekülmasse Mr des Stoffes angibt. Beispiel:

CH 4 : Mr = 12 + 4 = 16, Μ = 16 lbm.

a) Man drücke die folgenden SI-Einheiten in EES-Einheiten aus: m 3 , kg/m 3 , bar, kJ, kWh . b) Welchen Wert hat die universelle Gaskonstante R = 8,314 J/Kmol in den Einheiten (ft, lbf/lbmol °R) bzw. (Btu/lbmole °R)? c) Wasserdampf und flüssiges Wasser können nur unterhalb einer gewissen kritischen Temperatur T c und eines kritischen Druckes p c in voneinander getrennten Phasen gleichzeitig nebeneinander existieren. Steigt die Temperatur oder der Druck über den Wert T c bzw. p c an, so werden die beiden Phasen ununterscheidbar und gehen kontinuierlich ineinander über. Die kritische Temperatur T c , der kritische Druck p c und das zu beiden gehörende spezifische Volumen vc sind charakteristische Parameter eines Stoffes. Sie haben für Wasser die Werte [25, 32]: T c - 705 °F , p c = 3203,6 lbf/in 2 , vc = 0,0505 ft 3 /lbm . Welche Werte besitzen diese Daten im SI-System? Aufgabe A 5 Umrechnungen physikalischer Maßeinheiten: Das geoastronomische Maßsystem Jemand schlägt vor, ein Maßsystem mit neuen Grundeinheiten fur die Länge (λ), die Zeit (τ), die Masse (μ), die Temperatur (&) und die Anzahl der Moleküle in einer Stoffmenge (V) einzuführen. Diese Einheiten sind durch folgende Beziehungen zu den SI-Einheiten definiert: 1 λ = 1,49· 108 km

(Erdbahnradius)

1 τ = 365,25 d

(Umlaufzeit der Erde um die Sonne)

1 μ = 5,977 · 10

24

kg

(Erdmasse)

1 ν = 10 40 Stück = 1,65 · 10 17 mol. a) Man bestimme aus diesen Angaben die Umrechnungsfaktoren, die man benötigt, um Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte und Energien vom SI-System in dieses neue Maßsystem umrechnen zu können.

5

Α Grundbegriffe der Thermodynamik

b) Man drücke folgende physikalische Größen im neuen Maßsystem aus: die mittlere Geschwindigkeit der Luftmoleküle bei Τ = 300 Κ: w = 508 m/s, die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 , die (veraltete) Energieeinheit 1 cal = 4,18 J, die (veraltete) Krafteinheit die universelle Gaskonstante

1 kp = 9,81 N, R = 8,314 — 7 7 7 . mol Κ

Aufgabe A 6 Der hydrostatische Druck Eine Tauchglocke besitzt ein Manometer, welches den hydrostatischen Druck ρ anzeigt, der vom Wasser auf die Glocke ausgeübt wird. a) Wie groß ist dieser Druck in einer Tauchtiefe von h = 1500 m? b) Um wieviel ändert sich die Tauchtiefe h der Glocke, wenn beobachtet wird, daß der Druck ρ um Δ ρ = 16 bar abgenommen hat? Die Dichte des Wassers sei konstant ρ = 10 3 kg/m 3 . Aufgabe A 7 Luftdruck-Messung Die Flüssigkeitsspiegel zweier an zwei verschiedenen Orten 1 und 2 aufgestellten Quecksilbermanometer zeigen bei gewissen, unten angegebenen Temperaturen Ti die Höhenunterschiede Δ 1 ι η und A h 2 , , i = 1 . . . 5*. Die Dichte des Quecksilbers ist praktisch unabhängig vom äußeren Luftdruck p u bzw. p 2 ; am Ort 1 bzw. 2 und besitzt bei der Temperatur Tj den angegebenen Wert p,. Die Schwerebeschleunigungen in beiden Orten sind gx = 9,8067 m/s 2 und g 2 = 9.2580m/s 2 .

i

Tj (°C)

Pi (t/m 3 )

l> zr

Man berechne die Unterschiede in den Luftdrücken an beiden Orten Δ ρ 4 = p 2 , — p n , i = 1 . . . 5 und drücke sie in Millibar (mbar) aus. Δ1ι 2 ϊ (mm)

1 2 3 4 5

30 20 10 0 -10

13.521 13.546 13.570 13.595 13.620

742 738 726 729 735

738 736 727 736 741

*

Jedes Hg-Manometer besitzt bekanntlich zwei Flüssigkeitsspiegel. Die Größe Δ h a ; gibt den Höhenunterschied zwischen den Spiegeln ein und desselben Manometers am Ort α bei der Messung i an.

6

Aufgabensammlung

Aufgabe A 8 Das Zweistoffmanometer Kleine Differenzen zwischen annähernd gleichen Drücken ρ t und p 2 können mit dem sogenannten Zweistoffmanometer gemessen werden. Dieses besteht aus einem U-Rohr, in dem zwei unmischbare Flüssigkeiten möglichst ähnlicher Dichte eingefüllt sind (Abb. A 1). a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Druckdifferenz Δ ρ = p 2 - Pi und den Höhen der einzelnen Flüssigkeitsspiegel? b) Das Manometer werde so mit Flüssigkeit 1 aufgefüllt, daß die beiden oberen, freien Spiegel sich in derselben Höhe befinden, daß also h j = h'j ist. Wie vereinfacht sich in diesem Fall der unter a) gefundene Zusammenhang?

Abb. A 1 Das Zweistoffmanometer.

Aufgabe A 9 Zwei Anwendungen des Hauptsatzes der Dimensionsanalysis (Satz von Buckingham [53, 45]) a) Man bestimme dimensionsanalytisch einen Ausdruck für die Schwingungsdauer t 0 eines mathematischen Pendels im Schwerefeld der Erde. Hinweis: Die Schwingungsdauer hängt erfahrungsgemäß nur von der Länge des Pendelfadens, der Pendelmasse, dem Winkel maximalen Ausschlages und der Schwerebeschleunigung ab. Was folgt aus dem allgemeinen Resultat für die Dauer „kleiner" Schwingungen? Die Luftreibung des Pendels kann vernachlässigt werden. b) Man bestimme dimensionsanalytisch einen Ausdruck für die mittlere statistische Geschwindigkeit der Moleküle eines idealen Gases.

Aufgabensammlung - Lösungen

7

Hinweis: Die mittlere Molekülgeschwindigkeit muß nach den Vorstellungen der kinetischen Gastheorie eine Zustands- und keine Prozeßgröße des Gases sein. Sie muß also eine Funktion deijenigen Größen sein, welche den thermodynamischen Zustand des idealen Gases eindeutig bestimmen. Als solche Größen wähle man das Volumen V, die Kelvin-Temperatur Τ und die Masse m des Gases. Ferner kann die Molekülgeschwindigkeit noch von allen Parametern abhängen, die in der thermischen Zustandsgieichung idealer Gase (X 84) auftreten, also der (relativen) Molekülmasse Mr und der absoluten Gaskonstanten R.

Lösungen zu den Aufgaben A 1 - 9 Aufgabe A 1 Beantwortung der Fragen a)-f)·' a) Die Thermodynamik ist die Lehre von den Gleichgewichtszuständen und den Vorgängen in thermodynamischen Systemen. Unter einem thermodynamischen System versteht man ein abgegrenztes System von Körpern, welches mit seiner Umgebung nur dadurch in Wechselwirkung steht, daß es (mechanische oder elektrische) Arbeit, Wärme und Masse austauscht (W. Schottky, 1929, [22, S. 5]). b) Die Thermostatik ist die Lehre von den Gleichgewichtszuständen thermodynamischer Systeme*. c) Die Thermodynamik der irreversiblen Prozesse ist die phänomenologische Theorie der Vorgänge und Prozesse in kontinuierlicher Materie [50, 54]. Diese Theorie enthält verschiedene Methoden, Vorgänge in kontinuierlicher Materie zu beschreiben. Die wichtigsten dieser Methoden sind: 1. Die klassische Thermodynamik der irreversiblen Prozesse [54, 50]. 2. Die rationale Thermodynamik [5, Bd. II], 3. Moderne Theorien der Vorgänge in der Materie [50, 51], d) Spezialgebiete der Thermodynamik: 1. Thermodynamik der Mehrstoffsysteme, Chemische Thermodynamik 2. Thermodynamik der festen Körper Thermoelastizität, Thermoplastizität *

Die Bezeichnung „Thermostatik" ist in Analogie zu anderen Wissensgebieten der Physik, die sich mit Gleichgewichtsphänomenen beschäftigen, nämlich der Elektrostatik, der Magnetostatik und der Statik der Mechanik gewählt worden.

Aufgabensammlung - Lösungen

3. Hochtemperatur-Thermodynamik, Thermodynamik elektrischer Plasmen 4. Tieftemperatur-Thermodynamik Kältetechnik, Thermodynamik suprafluider Stoffe 5. Statistische Thermodynamik, Kinetische Gastheorie, Statistische Mechanik 6. Statistische Thermodynamik der Vorgänge, Statistische Mechanik der Nichtgleichgewichtsphänomene, Ensemble-Theorie der Vorgänge in kontinuierlicher Materie. e) Die phänomenologische Thermodynamik versucht, Gleichgewichtserscheinungen und Vorgänge in thermodynamischen Systemen mit phänomenologischen, d. h. aus der unmittelbaren Erfahrung gewonnenen Begriffen zu beschreiben. Diese Begriffe sind aus den Sinneseindrücken des Menschen entwickelt worden. Einige Beispiele dafür sind: Sinneseindruck: Sehen Gefühl der Muskelkraft Wärmesensoren der Haut

Thermodynamische Größe: Länge, Volumen Druck Temperatur

Die phänomenologische Thermodynamik verwendet allgemeine Naturerfahrungen, stellt sie in den „Hauptsätzen der Thermodynamik" zusammen und versucht, aus ihnen Aussagen über das Verhalten konkreter thermodynamischer Systeme abzuleiten. Die phänomenologische Thermodynamik macht keine Annahmen über die atomistische Struktur der Materie. Sie ist also unabhängig von solchen Annahmen und auch unabhängig von unserem Wissensstand über die atomistische Struktur der Materie! Die statistische Thermodynamik geht von der Tatsache aus, daß jedes thermodynamische System aus sehr vielen, sehr kleinen Teilchen, den Molekülen bzw. Atomen des Systems aufgebaut ist. Die Eigenschaften dieser Moleküle, insbesondere die Wechselwirkungen zwischen ihnen, bestimmen die makroskopischen thermodynamischen Eigenschaften des Systems vollständig. Zur Berechnung dieser Eigenschaften sind allerdings oft komplizierte mathematisch-statistische Verfahren notwendig, die den praktischen Wert der statistischen Thermodynamik einschränken. f) Der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik lautet*: Jedes thermodynamische System besitzt in jedem Gleichgewichtszustand eine (intensive und transitive) Zustandsgröße: die Kelvin-Temperatur T.

*

Die Bezeichnung „Nullter Hauptsatz" stammt von R. H. Fowler. Sie ist wohl deswegen gewählt worden, da die Aussage dieses Satzes sowohl begrifflich als auch methodologisch vor den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gestellt werden kann.

Aufgabensammlung - Lösungen

9

Die Temperatur eines einfachen und fluiden, also flüssigen oder gasförmigen thermodynamischen Systems, ist eine eindeutige Funktion des Druckes p, des Volumens V und der Massen m t . . . m n der einzelnen Komponenten des Systems: Τ = Τ (ρ, V, m , . . . m n ) . Diese Beziehung ist die thermische Zustandsgieichung des Systems. Haben zwei sich berührende Systeme dieselbe Temperatur, so stehen sie miteinander im thermischen Gleichgewicht und tauschen keine Wärme aus. Haben die Systeme verschiedene Temperaturen, so stehen sie miteinander nicht im thermischen Gleichgewicht und tauschen untereinander Wärme aus. Die Begriffe a)—k) sind in der Begriffssammlung erklärt. Wir verweisen daher auf S. 177 ff. Aufgabe A 2 Die Antworten auf die gestellten Fragen sind in der folgenden Tabelle enthalten. Sie sind unter gewissen, uns plausibel erscheinenden Voraussetzungen an den „Betriebszustand" der einzelnen thermodynamischen Systeme erstellt worden. Daher kann nicht ausgeschlossen werden, daß der Leser unter anderen Voraussetzungen auch zu anderen, von seiner Sicht durchaus richtigen Antworten kommt. Beispiel: Die Erde ist ein geschlossenes, d.h. masseisoliertes System, solange man Meteorfall, Höhenstrahlung und den „Sonnenwind" vernachlässigt. Berücksichtigt man diese Phänomene, so ist die Erde in thermodynamischer Hinsicht natürlich ein offenes System. Tab. A 1 Beispiele für den Arbeits-, Wärme- und Massenaustausch einzelner thermodynamischer Systeme.

System: offen

*

Autobatterie Automotor

*

Strahltriebwerk

*

Kühlschrank Menschlicher Körper Materialprobe

Austausch von: geschlossen Arbeit Wärme ± +

#

*

*

Masse

-

+

-

+

-

+

+

+

-

+

10

Aufgabensammlung - Lösungen

Tab. A 1

Fortsetzung

System: offen

Objekt

Austausch von: geschlossen

Weinflasche

*

Glühbirne

*

Kai. Kraftwerk

*

Kernkraftwerk

*

Hydr. Kraftwerk

Wärme

*

Masse

+

-

-

+

-

+

-

+

+

+

*

Erde

Arbeit

±

Bezeichnungen: * . . .

System ist offen bzw. geschlossen

+ .. .

System gibt an Umgebung Arbeit ab*, System nimmt von Umgebung Wärme auf, System nimmt von Umgebung Masse auf.

—.. .

System nimmt von Umgebung Arbeit auf, System gibt an Umgebung Wärme ab, System gibt an Umgebung Masse ab.

Aufgabe A 3 a) Zwischen den angegebenen Druckeinheiten bestehen folgende Beziehungen [36, 39]: 1 Pa = 1 N/m 2

(Pascal)

s

1 bar = 10 Pa 1 at = 1 kp/cm

(Bar) 2

1 atm = 760 Torr

(technische Atmosphäre) (physikalische Atmosphäre)

1 kp = 9,80665 Ν 1 Torr = Druck einer 1 mm hohen Hg-Säule. Aus diesen Beziehungen berechnen sich die folgenden Umrechnungsfaktoren:

* Vgl. die Vorzeichenkonventionen bei den Stichworten Arbeit (S. 183) und Wärme (S. 277).

Aufgabensammlung - Lösungen Tab. A 2

1 Pa 1 bar 1 at lata 1 Torr

11

Umrechnungsfaktoren für Druckeinheiten.

= = = = =

Pa

bar

at

atm

Torr

1 10 s 0,981 · 1 0 5 1,013 10 s 133,32

10"s 1 0,981 1,013 1,33 - 1 0 ~ 3

1,0197 1 0 - 5 1,0197 1 1,033 1,360 · 1 0 - 3

0,987 · ΙΟ" 5 0,987 0,968 1 1,316 - Ι Ο " 3

7,501 ΙΟ" 3 750,06 735,56 760 1

b) Zwischen den angegebenen Energie-Einheiten bestehen die Beziehungen (vgl. [36, 39]): 1 J = l N m = Ws

(Joule)

1 m kp = 9,80665 J

(Meter Küopond)

1 kcal (15 °C) = 4186,8 J*

(Kilo-Kalorie)

6

1 kWh = 3,6 · 10 J

(Kilowatt-Stunde)

1 Btu = 1055,2 J*

(British thermal unit)

Daraus ergeben sich folgende Umrechnungsfaktoren: Tab. A 3

1J = 1 mkp = 1 kcal = 1 kWh= 1 Btu =

Umrechnungsfaktoren für Energieeinheiten.

J

mkp

kcal

kWh

Btu

1 9,807 4186,8 3,6 10 6 1,055 10 3

0,1020 1 4,270 ΙΟ2 3,671 · 10 5 1,076 · 10 2

2,388-ΙΟ"4 2,342 • 10~ 3 1 858,8 0,252

2,778 · 10~ 7 2,724 · 1 0 " 6 1,163 - 1 0 ~ 3 1 2,931 · ΙΟ" 4

9,477 1 0 " 4 9,294 ΙΟ" 3 3,968 3,412 10 3 1

c) Zwischen den angegebenen Leistungseinheiten bestehen folgende Beziehungen (vgl. [36, 39]): 1 W = 1 J/s 1 mkp/s = 9,80665 W 1 PS = 75 mkp/s kcal/s = 4186,8 W 1 Btu/s = 1055,2 W *

(Watt) (Meter Kilopond pro Sekunde) (Pferdestärke) (Kilokalorie pro Sekunde) (British thermal unit per second)

1 cal (15 °C) ist jene Wärme, die man benötigt, um 1 g reines Wasser beim Druck ρ = 1 atm von 14,5 auf 15,5 °C zu erwärmen. 1 Btu ist näherungsweise jene Wärme, die man benötigt, um die Menge von 1 lbm = 0,4536 kg Wasser bei „Zimmertemperatur" um 1 °F = 0 , 5 5 6 ° C zu erwärmen.

12

Aufgabensammlung - Lösungen

Umrechnungsfaktoren: Tab. A 4

1W 1 mkp/s IPS 1 kcal/s 1 Btu/s

Umrechnungsfaktoren für Leistungseinheiten.

= = = = =

W

mkp/s

PS

kcal/s

Btu/s

1 9,807 735,5 4186,8 1,055 -10 3

0,1020 1 75 4,270 · 10 2 1,076 102

1,360 - Ι Ο " 3 1,333 · 10~ 2 1 5,694 1,435

2,388 · 10~ 4 2,342 · 10~ 3 0,176 1 0,252

9,477-10" 4 9,294· 10" 3 0,6970 3,968 1

Aufgabe A 4 Wir fuhren zunächst einige Umkehrrelationen zu den in der Angabe enthaltenen Beziehungen an: 1 m = 3,281 ft

= 39,37 in,

1 kg = 2,205 lbm, 1 Ν = 7,233 ft lbm/s 2 = 0,225 lbf, = 1,45·10-4|ξ,

lPa = 0 , 0 2 1 ^ 1 Κ = 1,8°R.

a) Aus den angegebenen Beziehungen folgt 1 m 3 = 35,320 f t 3 1 kg/m 3 = 0,0624 lbm/ft 3 . . „„ . - c l b m , . , lbf 1 bar = 6,72 · ΙΟ 5 ?—,2 = 14,5 τ ^2 fts in 1 kJ = 0,9485 Btu 1 kWh = 3600 kJ b)

= 3414,6 Btu.

R = 8,314-0,7376 = 1548,6

= 737,6 ft lbf

103

ftM

1,8-2,2 ° R l b mole

ft lbf R lb mole

Btu = 1,990 Ö 3 R l b mole ' c)

T c = 373,9 °C, p c = 220,9 bar, vc = 3,15 liter/kg.

Aufgabe A 5 a) Aus den Angaben folgen unmittelbar die Relationen:

13

Aufgabensammlung - Lösungen

1 m = 0,671 · 1 0 ~ η λ 1 s = 3,169· 1 0 - 8 r 1 kg = 1,673 ΙΟ" 2 5 μ 1 Κ = 1 °C = 0,12 ϋ 1 Stück = ΙΟ" 4 0 ν 1 mol = 6,062 · 10 23 Stück = 6,062 · 1 0 ~ n ν . Daraus ergibt sich: 1 - = 2,117 · 1 0 - 4 — s τ m l - T2 = 6,682 ΙΟ3 A s τ IN = 1,118·10-21μΛ 1 J = 7,501 10~ 3 3 μ (-) 2 . τ b) Aus den obigen Beziehungen folgt in elementarer Weise w = 508 m/s

=0,108T

g = 9,81 m/s 2

= 6,55 ^ τ

1 cal = 4,18 J

= 3,135 · 10- 3 2 μ ( - ) 2 r

1 kp = 9,81 Ν

= 1,097 ΙΟ" 2 0 μ ^

R = 8,314 J/mol Κ = 8,571 ΙΟ" 1 5

μλ2

τ2

ν'

Aufgabe A 6 Bezeichnungen: Symbol

Einheit (SI)

Name

ρ = pgh

bar

hydrostatischer Druck einer Wassersäule der Dichte ρ und Höhe h

Ρ h

10 3 kg/m 3

Dichte des Wassers

1500 m

Höhe der Wassersäule

g=

9,81 m/s

2

Schwerebeschleunigung der Erde

14

Aufgabensammlung - Lösungen

a) Aus der hydrostatischen Druckgleichung [42] Ρ = Pgh folgt mit den angegebenen Daten ρ = 147,15 bar. b) Aus den hydrostatischen Druckgleichungen Pi = P ghi , p2 = p g h 2 für zwei beliebige Tauchzustände (p 1 ; h t ) und (p 2 , h 2 ) folgt durch Subtraktion Δρ = p g A h . Hierbei ist Δ ρ = p 2 - p 1 und Δ ΐ ι = h 2 - h j . Aus dieser Beziehung ergibt sich fur die Änderung der Tauchtiefe

ρg

16 10 s Ν m 3 s 2 = 163,1m 10 3 -9,81 m 2 k g m

Die Tauchtiefe der Glocke hat um 163,1 m abgenommen. Aufgabe A 7 Bezeichnungen: Symbol

Einheit (SI)

Name

1 Τ1 αι = Τ 1

Κ

Temperatur

mbar

Luftdruck

3

Pai = Pi

t/m g/cm 3

Dichte des Quecksilbers

Ahai

mm

Höhe der Quecksilbersäule

am Ort α bei der Messung i. α = 1, 2, i = 1 . . . 5.

Beim Quecksilbermanometer besteht mechanisches Gleichgewicht zwischen dem hydrostatischen Druck der Quecksilbersäule und dem äußeren Luftdruck*. Dieser ist daher nach der hydrostatischen Druckformel [42] durch den Ausdruck Ptti =

*

α = 1, 2 ,

i=1...5,

(A7.1)

Zum Druck der Quecksilbersäule ist streng genommen noch der Druck p p des Quecksilberdampfes im „evakuierten" Teil des Manometers hinzuzuzählen!

Aufgabensammlung - Lösungen

15

bestimmt. Für die gesuchte Druckdifferenz gilt somit ΔΡί = P 2 i - Pii

=

Pi(ß2 A h 2 j - gi A h u ) ,

«=1,2 i =1...5

i= 1. ..5

(A 7.2)

Abb. A 2 Das Quecksilbermanometer.

Für die angegebenen Daten ergibt sich numerisch aus (1) und (2): T°C 1 2 3 4 5

30 20 10

0 -10

Pii (mbar)

p 2 i (mbar)

Δ pi (mbar)

983,86 980,37 966,14 971,92 981,72

905,55 904,76 895,28 908,04 915,89

78,31 75,61 70,86 63,88 65,83

Aufgabe A 8

Bezeichnungen: Symbol

Einheit (SI)

Name

hi, h'x h j , h2

m m

Höhe der Spiegel der Flüssigkeiten 1 und 2 (vgl. Abb. A 1)

P\, Pi

kg/m 3

Dichten der Flüssigkeiten 1 und 2

Pi. P2

bar

g=

9,81 m/s

äußere Drücke 2

Schwerebeschleunigung der Erde

16

Aufgabensammlung - Lösungen

Wir betrachten das Kräftegleichgewicht am gemeinsamen Spiegel der Flüssigkeiten 1 und 2 im linken Schenkel des U-Rohrs (Höhe h 2 ): Pi + P i ß ( h i - h 2 ) = p 2 + P!g(hi - h'2) + p 2 g(h' 2 - h 2 ) . Aus dieser Beziehung folgt P2 " Pi = g(Pi (h'2 - h'i + h! - h 2 ) + p 2 ( h 2 - h 2 » . Dies ist der allgemeine Ausdruck für die Druckdifferenz p 2 — p ^ b) Ist hi = h j , so reduziert sich die obige Gleichung auf die Form P2 - Pi = g(P2 " Pi)(h 2 - h 2 ) .

(A 8.1)

Aus ihr erkennt man, daß man mit dem Manometer um so kleinere Druckdifferenzen messen kann, je geringer der Dichteunterschied zwischen den beiden Flüssigkeiten 1 und 2 ist. Aufgabe A 9 a) Bezeichnungen: Symbol

Einheit (SI)

Name

to

s

Schwingungsdauer

Ψο

1

maximaler Ausschlag

1

m

Länge

m g=

kg

des Pendels

Masse

9,81 m/s

2

Schwerebeschleunigung der Erde

Abb. A 3 Mathematisches Pendel.

17

Aufgabensammlung - Lösungen

Wir nehmen an, die Schwingungsdauer t 0 des Pendels ist eine eindeutige Funktion des maximalen Ausschlages ψ0, der Pendellänge 1, der Masse m und der Schwerebeschleunigung g: t 0 = Φ (*>, 1, m, g) .

(A9.1)

Diese Annahme impliziert, daß die Funktion Φ nur von den in (1) angegebenen, dimensionsbehafteten Größen abhängt und nicht noch von weiteren! Zur Anwendung des Hauptsatzes der Dimensionsanalysis [45, 53] stellen wir die „charakteristische Matrix" der Funktion Φ auf. Diese lautet über den Grundeinheiten Länge (λ), Zeit (7) und Masse (μ): Einheit Länge: Zeit: Masse:

λ τ ß

Ψο

(° 0

\ο

1

m

g

1 0 0

0 0 1

1 -2 0

Diese Matrix hat den Rang r = 3. Es gibt daher nur 4 — 3 = 1 dimensionslose Kombination der in (1) auftretenden unabhängigen Variablen. Diese dimensionslose Größe ist natürlich der Winkel maximalen Ausschlages φ 0 . Ferner ist das einzige Produkt der Größen 1, m, g, welches die Dimension einer Zeit besitzt, gleich

VF Somit muß nach dem Satz von Buckingham [45, 53] die Funktion Φ die Form Φ = ]/^(*>ο)

(A 9.2)

besitzen. Für kleine Ausschläge φ0 kann die Funktion in eine Taylorreiche um ψ0 = 0 entwickelt werden: ψ(ψο) = α ο + «ι Ψο +