Technische Thermodynamik: Band 1 Grundlagen [2., verb. Aufl. Reprint 2016] 9783111371788, 9783111014432

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 1084

TECHNISCHE THERMODYNAMIK Von

Dr.-Ing. habil. D r . E . h . Wilhelm Nußelt o. Professor an der Technischen Hochschule München i

Grundlagen Zweite, verbesserte Auflage Mit 71 Abbildungen

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co-

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer * Karl J Trübner • Veit & Comp.

Berlin

1945

Alle R e c h t e , i n s b e s o n d e r e das

Übersetzungsrecht

von der V e r l a g s h a n d l u n g

vorbehalten

Archiv-Nr. 111084 Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Schrifttum

Seite 6

Einleitung

6

A b s c h n i t t I. Grundlagen der Wärmelehre § 1. Temperaturmessung § 2. Wärmemenge und spezifische Wärme

6 6 9

Abschnitt I I . D e r I. H a u p t s a t z § 1. Das mechanische Wärmeäquivalent § 2. Die innere Energie § 3. Grundformeln des I. Hauptsatzes § 4. Energiestrom durch eine Rohrleitung § 5. Die technische Arbeit einer Maschine § 6. Arbeitsleistung bei der Ausdehnung eines Gases oder Dampfes § 7. Das PV- oder Arbeitsdiagramm § 8. Der I, Hauptsatz für umkehrbare Zustandsänderungen

12 12 15 16 17 20 21 27 28

A b s c h n i t t I I I . D i e Zustandsgieichungen Gases § 1. Die thermische Zustandsgieichung § 2. Die kalorischen Zustandsgleichuneen

so 30 33

des

vollkommenen

A b s c h n i t t I V . D i e wichtigsten Zustandsänderangen § 1. Die Isotherme § 2. Die Isobare £ 3. Die Isochore § 4. Die Adiabate § 5. Die gegenseitige Lage der Zustandskurven im PF-Diagramm § 6. Die Polytrope § 7. Die Drosselung § 8. Die Mischung vollkommener Gase

39 40 42 43 44 48 48 51 52

Abschnitt V . D e r I I . H a u p t s a t z § 1. Der Kreisprozeß § 2. Die Entropie § 3. Die Entropie fester und flüssiger Körper § 4. Die Entropie von vollkommenen Gasen § 5. Die Aussage des I I . Hauptsatzes § 6. Das Wärmediagramm § 7. Die thermodynamische Temperaturskala § 8. Die Entropiezunahme bei nicht umkehrbaren Zustandsänderungen

56 56 59 61 61 63 68 73 74

A b s c h n i t t V I . D e r trocken gesättigte D a m p f 76 § 1. Die Isobare Verdampfung 76 § 2. Die thermische Zustandsgleichung des trocken gesättigten Dampfes 79 § 3. Die Erzeugungswärme des tiocken gesättigten Dampfes 83 § 4. Der Wärmeinhalt an den Grenzkurven 86 § 5. Die Entropie an den Grenzkurven 89 § 6. Die Clapeyronsche Gleichung 91 1*

4

Inhaltsverzeichnis

Abschnitt VII. Der nasse Dampf § 1. § 2. § 8.

Die ZustandsgröBen des Hassen Dampfes Die Zustandsänderungen des nassen Dampfes Das Mollier- oder JS-Diagramm

Abschnitt VIII. Der überhitzte Dampf § 1. § 2. 5 3. § 4.

Seite

Die Zustandsglelchung von van der Waals Empirische Zustandsgieichungen des überhitzten Wasserdampfes Die Berechnung der kalorischen Zustandsgieichungen des überhitzten Wasserdampfes Die Zustandsänderungen des überhitzten Wasserdampfes

93

93 95 100

103

104 107

109 116

Abschnitt I X . Die Umsetzung von Wärme in kinetische Energie bei der strömenden Bewegung der Gase und Dämpfe 121 § § § § § §

1. Die Strömungsgleichung 122 2. Der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung 124 3. Die Nachexp&nsion im fteien Strahl 130 4. Die Strömung in der de Lavaischen Düse 132 5. Die Strömung durch eine Blende 135 6. Der Druck im Hingquerschnitt von Kohren mit plötzlicher Erweiterung 137

Ausblick Zahlentafel 1 Zahlentafel 2 Sachverzeichnis

,

138 139 140 141

Schrifttum 1. Zur Geschichte R o b e r t M a y e r , Die Mechanik der Wärme, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 180. H e r m a n n H e l m h o l t z , Über die Erhaltung der Kraft, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 1. Sadi C a r n o t , Betrachtungen über die bewegende Kraft des Feuers und die zur Entwicklung dieser Kraft geeigneten Maschinen, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr.- 37. E. C l a p e y r o n , Abhandlung über die bewegende Kraft der Wärme, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 216. Rudolf C l a u s i u s , Über die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 99. Georg H e l m , Die Energetik nach ihrer geschichtlichen Entwicklung 1898. E r n s t Mach, Die Prinzipien der Wärmelehre, historisch kritisch entwickelt 1900.

2. Lehrbücher R. Clausius, Die mechanische Wärmetheorie 1887. G u s t a v K i r c h h o f f , Vorlesungen über die Theorie der Wärme 1894. .Hans L o r e n z , Technische Wärmelehre 1904. G u s t a v ¿ e u n e r , Technische Thermodynamik 1905. J a k o b W e y r a u c h , Grundriß der Wärmetheorie 1907. W. S c h ü l e , Technische Thermodynamik 1930. W. Schüle, Leitfaden der technischen Wärmemechanik 1928. M ü l l e r - P o u i l l e t , Thermodynamik 1928. Max P l a n c k , Vorlesungen über Thermodynamik 1927. H e i n r i c h B l a s i u s , Wärmelehre 1941. F r i e d r i c h B o s n j a k o v i c , Technische Thermodynamik 1935. E r n i ' t S c h m i d t , Einführung in die technische Thermodynamik 1936.

3. Tabellen und Diagramme H ü t t e , Des Ingenieurs Taschenbuch. H. D u b b e l , Taschenbuch lür den Maschinenbau. R i c h a r d Mollier, Neue Tabellen und Diagramme für Wasserdampf 1932. K n o b l a u c h , R a i s c h , H a u s e n , Koch, Tabellen und Diagramme für Wasserdampf 1932. We. K o c h , VDI-Wasserilampftfrfeln 1941.

4. Zeitschriften Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure. Forschungsarbeiten aul dem Gebiete des Ingenieurwesens, herausgegeben vom Verein Deutscher Ingenieure. Forschung auf dem Gebiete des Ingenienrwesens (Zeitschrift ülr Mechanik und Thermodynamik). Zeitschrift f ü r die gesamte Kälteindustrie.

Einleitung Die technische Thermodynamik lehrt die Gesetze für die Verwandlung von Wärme in mechanische Arbeit. Ihr Aufbau wurde durch die Erfindung der Dampfmaschine durch James Watt eingeleitet, der auch die ersten thermodynamischen Versuche anstellte. Aber erst die Entdeckung der beiden Hauptsätze der Thermodynamik ermöglichte die Entwicklung dieses Lehrgebietes zu der heute vorliegenden Vollkommenheit. Der I. Hauptsatz bildet die von Robert Mayer zuerst erkannte Äquivalenz von Wärme und mechanischer Arbeit. Der II. von Sadi Carnot und Rudolf Clausius begründete Hauptsatz gibt ein Maß für die Verwandelbarkeit von Wärme in mechanische Arbeit durch eine Wärmekraftmaschine. Mit ihnen kann man aber erst zu praktisch brauchbaren Ergebnissen gelangen, wenn man die thermischen Eigenschaften der Körper, insbesondere der Gase und Dämpfe, kennt. Auch diese werden deshalb im folgenden eingehend besprochen.

Abschnitt I.

Grundlagen der Wärmelehre

Die Thermodynamik baut sich auf den Grundbegriffen der Wärmelehre: Temperatur, Wärmemenge und spezifische Wärme auf. § 1. Temperaturmessung Die T e m p e r a t u r ist die Größe, die den Wärmezustand eines Körpers bestimmt. Zu ihrer Messung können alle Eigenschaften der Körper benützt werden, die von der Temperatur abhängen; so die Längen- und Volumausdehnung, der elektrische Widerstand, die Thermokraft, die Strahlung usw. Zur Festsetzung der T e m p e r a t u r s k a l a sind zunächst zwei

Temperatunu essung

7

Fixpunkte zu wählen. Nach dem Reichsgesetz vom 7. August 1924 über die Temperatürskala und die Wärmeeinheiten ist den Temperaturmessungen die 100-teilige Skala zugrunde zu legen. Die Temperatur des beim Druck von 1 Atmosphäre schmelzenden Eises ist mit 0° (Grad) und die des beim gleichen Druck siedenden Wassers mit 100° zu bezeichnen. Die weiterb Festlegung der Temperaturskala ist von der Konstruktion des Thermometers abhängig. Beim F l ü s s i g k e i t s t h e r m o m e t e r wird die relative Ausdehnung zwischen Flüssigkeit und Glas der Temperatur proportional gesetzt und demzufolge der Abstand' des Flüssigkeitsstandes bei der Temperatur der beiden Fixpunkte in 100 gleiche Teile geteilt. Die Skala wird auch über diese beiden Stellen hinaus gleichmäßig verlängert. Mißt man die gleiche Temperatur mit verschiedenen Thermometern, die sich durch die Flüssigkeit oder durch die Art des Glases unterscheiden, so ergeben sich dafür verschiedene Temperaturen. Diese Temperaturskala hängt also von der Konstruktion des Thermometers ab. Die Ursache liegt in der Annahme eines konstanten Ausdehnungskoeffizienten. Dasselbe gilt auch für die anderen oben angegebenen Meßinstrumente. Die folgende Zahlentafel zeigt den Unterschied in der Temperaturangabe eines Wasserstoffthermometers und eines Quecksilberthermometers, dessen Gefäß aus Jenaer Glas besteht. t°

C 0 20 40 60 80 100

tu,— t Bg 0 — 0,093 — 0,120 — 0,103 — 0,059 0

Das Quecksilberthermometer zeigt also eine höhere Temperatur an als das Wasserstoffthermometer.

8

Grundlagen der Wärmelehre

Glücklicherweise läßt sich aus dem II. Hauptsatz der Thermodynamik die von Thomson (1848) aufgestellte Temperaturskala, die sogenannte thermodynamische Temper^turskala, ableiten, die vollkommen unabhängig von der Konstruktion des Meßinstrumentes ist. Nach dem oben angeführten Reichsgesetze ist sie den deutschen Temperaturmessungen zugrunde zu legen. Sie wird von der PhysikalischTechnischen Reichsanstalt in Charlottenburg durch das elektrische Platinwiderstandsthermometer dargestellt. Die folgende Zahlentafel zeigt die Berichtigung des Wasserstoffund des Stickstoffthermometers, bezogen auf die thermodynamische Temperaturskala. i°C ¿h, — 200°C + 0,06 + 0,90 0 0 0 — 0,0005 — 0,0079 60 0 100 0 200 + 0,003 + 0,046 1000 + 0,05 + 0,77 Man nennt die vom Eispunkte aus gezählte Temperatur die Celsiustemperatur eines Körpers und bezeichnet sie mit PC. Nun hat schon Amontons (1703) erkannt, daß es eine tiefste Temperatur, den sogenannten absoluten Nullp u n k t , gibt. Seine Existenz und sein Wert folgt auch aus dem II. Hauptsatz. Er liegt nach den Messungen der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt bei t = — 273,16° C. Zählt man die Temperatur eines Körpers vom absoluten Nullpunkt aus, so spricht man von seiner absoluten Temp e r a t u r , die man mit T bezeichnet und mit °abs oder °K (Kelvin) abkürzt. Es besteht dann die Beziehung T = t + 273,16 °K.

Wärmemenge und spezifische Wärme

9

Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, mit dem abgerundeten Wert T = t + 273 °K zu rechnen. § 2. Wärmemenge und spezifische Wärme Bringt man zwei Körper verschiedener Temperatur miteinander in Berührung, so tauschen sie Wärme aus. Der heiße Körper kühlt sieh ab und erwärmt den kalten. Für diesen Wärmeaustausch gilt die G r u n d g l e i c h u n g der Wärmelehre dQ = Gcdt. Hierin ist dQ die dem Körper vom Gewichte G zugeführte Wärme, die ihn um dt Grade erwärmt. Der Beiwert c ist eine Stoffkonstante und wird die s p e z i f i s c h e W ä r m e des Körpers genannt. Sie'ist die Wärme, die man der Gewichtseinheit des Körpers zuführen muß, um sie um 1° C zu erwärmen. Ist c von der Temperatur unabhängig, so liefert die Integration die Wärme Qw, die dem Körper zuzuführen ist, um ihn von t± auf t2 zu erwärmen. Es wird Qli=Gc(tz~t1). Als Gewichtseinheit wird in der technischen Thermodynamik das Kilogramm benützt. Um zu einer Einheit für die Wärme zu kommen, setzt man willkürlich die spezifische Wärme des Wassers bei 15° C gleich eins. Betrachtet man die Erwärmung von 1 kg Wasser um 1° C, so folgt damit aus der letzten Gleichung Q12 = 1 = der Wärmeeinheit = 1 Kilokalorie = 1 kcal. Diese E i n h e i t d e r W ä r m e ist in dem auf Seite 7 genannten Keichsgesetz vorgeschrieben. Sie ist die Wärme, die einem kg Wasser zuzuführen ist, um es von 14y a auf 15V2° C zu erwärmen.

Grundlagen der Wärmelehre

10

Für alle Körper ist die spezifische Wärme c von der Temperatur abhängig. So ist z. B . für Wasser bei i°C

0

C r l kg°C

1,005

15 1

33

100

300

0,9979

1,0043

1,1538.

Obige Gleichung gilt deshalb nur näherungsweise in einem engen Temperaturbereich. Durch die Einführung des Begriffes der mittleren spezifischen Wärme | cm |'2 zwischen den Temperaturgrenzen t± und t2 läßt sich eine ihr entsprechende ansetzen. Es ist

Q12=Q J cdt --•o\cm\ '¿(h—h). Hieraus folgt die Definitionsgleichung der m i t t l e r e n spezifischen Wärme

cdt. In der Abb. 1 ist die spezifische Wärme c eines Körpers über der Temperatur t aufgetragen. Die letzte Gleichung liefert die mittlere spezifische kcal/kg% als Wärme

Abb. 1.

Ermittlung von j cm

mittlere Höhe der Kurve zwischen den Ordinaten bei und t2. Es müssen daher die beiden Dreieckflächen ABC und CDE einander gleich t., °c sein. Bei praktischen Bechnungen ist es zweckmäßig, mit der

Wärmemenge und spezifische Wärme

H

mittleren spezifischen Wärme zwischen 0°C und i° C zu arbeiten, die für die wichtigsten Körper in allen Handbüchern enthalten ist. Sie ist t 0 Damit wird U 0 cdt = G[f cdt + f cdt] e, o t, tt 11 = G[J cdt—f «fe] = ß[|cB1|i'.i2— { c ^ - t ^ . 0 0 Mit dieser Gleichung ist die Wärme zu berechnen, die 0 kg eines Körpers zuzuführen ist, um ihn von auf t2 zu erwärmen, wenn seine mittlere spezifische Wärme abhängig von der Temperatur gegeben ist. Q12=Gf

U

Aus der mittleren spezifischen Wärme | cm | £ Jäßt sich auch leicht die wahre spezifische Wärme c ableiten. Differenziert man die Gleichung t i I

lo = / o

cdt

.

so erhält man I cm ß dt + t • d | em |o = cdt und hieraus dt Nimmt also die mittlere spezifische Wärme mit der Temperatur zu, so ist die spezifische Wärme c größer als jene. Aus

12

Der I. Hauptsatz

Abb. 2. Ermittlung von c aus |

Abschnitt II.

c m

der letzten Gleichung folgt die in der Abb. 2 enthaltene Konstruktion zur Bestimmung von c aus | cm | Q. Man zieht AB 11 zur Abszissenachse und BG || zur Tangente im Punkte A an die Kurve von | |Q.

Der I. Hauptsatz

In der Thermodynamik versteht man unter dem I. Hauptsatz die Anwendung des allgemeineren Energieprinzipes auf die Umsetzung von Wärme in mechanische Arbeit. § 1. Das mechanische Wärmeäquivalent Vor der Entdeckung des Energieprinzipes durch R. Mayer (1842) herrschte die StoStheorie der Wärme. Man hielt die Wärme für einen unwägbaren ätherartigen Stoff, der bei der Erwärmung oder Abkühlung eines Körpers in diesen eindringt oder aus ihm entweicht. Auf den Arbeitsvorgang in der Dampfmaschine angewendet, sagt sie aus, daß die gleiche Wärme, die dem Wasser im Kessel zur Dampferzeugung zugeführt werden muß, ihm im Kondensator wieder zu entziehen ist. Die verschiedene Temperatur im Dampfkessel und im Kondensator ermöglicht durch die Expansion des Dampfes die Arbeitsleistung. Im Gegensatz dazu drückt der I. H a u p t s a t z die Äquiv a l e n z von Wärme und mechanischer A r b e i t aus. Beide sind wesensgleich und besondere Erscheinungsformen des allgemeineren EnergiebegriSes. Sie können ineinander über-

Das mechanische Wärmeäquivalent

13

geführt oder verwandelt werden. Auf die Dampfmaschine angewendet, sagt er aus, daß hierbei die Arbeit nicht aus nichts gewonnen wird, sondern daß ein Teil der dem Dampf im Kessel zugeführten Wärme im Dampfzylinder in mechanische Arbeit verwandelt wird. Die im Kondensator an das Kühlwasser abfließende Wärme ist demnach kleiner als die im Dampfkessel dem Wasser zugeführte Wärme, und zwar um den Betrag der in Arbeit verwandelten Wärme. Durch eine genaue Untersuchung an einer Dampfmaschine (Aufstellung der Wärmebilanz) läßt sich also der erste Hauptsatz prüfen. Derartige Versuche wurden zuerst von Hirn ausgeführt. Der I. Hauptsatz sagt aber noch weiter aus, daß ganz unabhängig von der Konstruktion und der Betriebsweise der Dampfmaschine eine bestimmte Arbeitsmenge aus einer ganz bestimmten Wärme entsteht. Wird umgekehrt Arbeit z. B. durch eine Bremse in Wärme verwandelt, so erscheint aus einer gegebenen Arbeit eine ganz bestimmte Wärmemenge, die auch wieder unabhängig von der Konstruktion der benutzten Bremse ist. Der zahlenmäßige Zusammenhang zwischen Wärme und Arbeit ist nur von den für beide Energiearten benutzten Einheiten abhängig. Er hängt nicht ab von der Art der Energieumsetzung. Im technischen Maßsystem ist die Einheit der mechanischen Arbeit 1 mkg. Nach zahlreichen Versuchen ist das mechanische Äquivalent der Wärmeeinheit 1 kcal = 426,9 mkg ~ 427 mkg und das Wärmeäquivalent der Arbeitseinheit demnach 1 mkg= J,

kcal = A kcal.

Der Buchstabe A dient in den folgenden Formeln als Abkürzung des Zahlenwertes des Wärmeäquivalentes. Bei Untersuchungen von Kräftmaschinen benützt man meist eine größere Arbeitseinheit, die P f e r d e k r a f t s t u n d e

14

Der I . Hauptsatz

(PSh). Sie ist aus der technischen Leistungseinheit der Pferdekraft (PS) abgeleitet und ist gleich der Arbeit, die eine Pferdekraft in einer Stunde leistet. Also ist 1 PSh = 75 ^

h = 75 • 3600 = 270 000 mkg. s Der Wärmewert von 1 PSh ist 270 000 = 632'5 kcal ~ 632 kcaL 1 PSh = Als dritte Arbeitseinheit benutzt man in der technischen Thermodynamik die aus dem absoluten Maßsystem bzw. dem elektrischen Maßsystem abgeleitete Kilowattstunde (kWh). Es ist die Arbeit von 1 Joule = 10' Erg und deren Wärmewert l j 0 U l 6 = 418472 ^ Aus diesem Zusammenhang folgt die elektrische Leistungseinheit

l W a t t = l W = l ^ = - l - ^ s 4184,2 s und hieraus die 1000 fache Einheit 1 Kilowatt = 1 kW = 0,2390

lccSil

. s Die elektrische Arbeit, die diese in 1 Stunde leistet, ist die elektrische Arbeitseinheit 1 Kilowattstunde (kWh). Ihr Wärmewert ist demnach 1 kWh = 0,2390 • 3600 = 860,4 kcal ~ 860 kcal. Nach dem auf S. 7 angeführten Reichsgesetz ist der Wärmewert von 1 kWh gleich dem abgerundeten Wert von 860 kcal zu setzen.

Die innere Energie

15

Man hat nun neuerdings eine neue Wärmeeinheit vorgeschlagen, die i n t e r n a t i o n a l e K a l o r i e , die der 860te Teil einer kWh ist; man hat also gesetzt: 1 internationale kcal = - ^ r kWh = 1,00046 kcal. odO Sie ist also genau gleich der gesetzlichen Kilokalorie und etwas größer als die auf S. 9 definierte kcal. Außer der mechanischen Arbeit und der Wärme gibt es noch andere Energieformen, wie kinetische, potentielle, elektrische, chemische Energie, Strahlung usw. Wenn in einer Maschine mechanische Energie gewonnen wird, so muß eine der gewonnenen Arbeit entsprechende Energie verschwinden. Eine Maschine, die Arbeit aus nichts erzeugen könnte, nennt man ein P e r p e t u u m mobile e r s t e r Art. Nach dem Energieprinzip ist ein Perpetuum mobile erster Art unmöglich. Der Energievorrat eines Systems von Körpern kann sich aus verschiedenen Energieformen zusammensetzen. Er setzt sich additiv aus ihnen zusammen. § 2. Die innere Energie Jeder Körper besitzt auch einen gewissen Vorrat an Wärmeenergie, die man seine i n n e r e E n e r g i e nennt. Sie ist ebenso wie jede andere Energie nur vom augenblicklichen Zustand des Körpers abhängig. Sie ist eine Zustandsgröße. Befindet sich der Körper, z. B. ein Gas, im mechanischen und thermischen Gleichgewicht, d. h. sind alle seine Teilchen in Buhe, oder besitzen sie die gleiche Geschwindigkeit der Größe und Richtung naöh und stehen sie alle auch unter dem gleichen Druck und besitzen dieselbe Temperatur, so ist seine innere Energie U seinem Gewicht 0 proportional. Ist u die innere Energie der Gewichtseinheit, so gilt U —Chi und

. Cr

Da die innere Energie eine Z u s t a n d s f u n k t i o n ist v ist sie

16

Der I. Hauptsatz

durch die t-hermischen Z u s t a n d s g r ö ß e n , die Temperatur T, den Druck P und das Volumen V, bestimmt. Es gilt also Ü=F(T, P, V). § 8. Grundformeln des I. Hauptsatzes Führt man einem Körper oder einem System von Körpern von der inneren Energie U die Wärme dQ zu, so dient sie teils zur Erhöhung der inneren Energie um dU und teils zur Leistung ä u ß e r e r A r b e i t dL. Nach dem I. Hauptsatz ist dann

oder dQ=dU + AdL. Es ist dies der a l l g e m e i n s t e A u s d r u c k des I. H a u p t s a t z e s , angewendet auf eine beliebige Zustandsänderung eines gegebenen Systemes von Körpern. Die drei in dieser Gleichung auftretenden Differentiale haben verschiedene mathematische Bedeutung. dU auf der rechten Seite ist das totale Differential der Größe U. Dagegen sind dQ und dL nur unendlich kleine Größen; Q u n d L sind mit dem momentanen Zustand des betrachteten Körpers nicht gegeben. Das drückt sich bei der Integration dadurch aus, daß bei einem beliebigen Übergang von einem gegebenen Anfangszustand, gekennzeichnet durch den Index 1, zu einem Endzustand 2 das Integral von dU in Z7 2 —L\ übergeht, also nur von dem Anfangs- und Endzustand der Zustandsänderung abhängig ist. Es ist unabhängig von dem besonderen Verlauf der Zustandsänderung, also vom Integrationsweg. Das Integral von dQ ist dagegen die algebraische Summe der zu- bzw. abgeführten Wärmeelemente dQ und gleich Qu. Es hängt vom Integrationsweg ab; dQ ist also kein totales Differential. Dasselbe gilt für die Arbeit L 12 . Es wird also

Energiestrom durch eine Rohrleitung J

U2 — U1

r

17

ÄL12.

Diese Gleichung sagt aus, daß ein Teil der zugeführten Wärme zur Erhöhung der inneren Energie und der übrige zur Arbeitsleistung nach außen dient. Diese äußere Arbeit kann z. B. im Heben eines Gewichtes im Schwerefeld oder in dfer Zusammendrückung einer Feder bestehen. Wird keine äußere Arbeit geleistet, ist also dL = 0, so dient alle zugeführte Energie zur Erhöhung der inneren Energie des Systems. Dann ist Q12=Ü2~UV

Eine andere wichtige Verwendung des I. Hauptsatzes besteht in seiner Anwendung auf einen gegebenen Kaum bzw. auf eine Maschine. Hierfür ist eine wichtige Teilaufgabe die Bestimmung des Energieflusses beim Strömen einer tropfbaren oder elastischen Flüssigkeit durch eine Rohrleitung. § 4. Energiestrom durch eine Rohrleitung Durch eine zylindrische Rohrleitung, die gegen Wärmeaustausch mit der Umgebung durch einen Wärmeschutzstoff gut isoliert sei, ströme im stationären Flusse eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein Dampf. Durch jeden Querschnitt des Rohres strömt dann in der Zeiteinheit dieselbe Flüssigkeitsmenge 0 kg hindurch. Wie groß ist die Energie, die in der Zeiteinheit durch den Rohrquerschnitt hindurchtritt? Unter den gemachten Voraussetzungen fließt durch jeden Rohrquerschnitt die gleiche Energie hindurch, da nirgends in der Leitung Energie aufgespeichert wird. Man denke sich nun zur Zeit 2 = 0 im Querschnitt I I ^ f der Abb. 3 einen | I Kolben mit KolKZI K benstange ange £ -Ü2-»—/Ls bracht,der sich reipaz ZZZZZZZZZZZZj. bungslos im Rohr -I bewege. Bewegter 3 sich mit derselben - Energiestrom durch eine Rohrleitung. N u ß e l t , Technische Thermodynamik r.

2

18

Der-I. Hauptsatz

Geschwindigkeit w, mit der die Flüssigkeit von links nach rechts im Rohr fließt, so wird links vom Querschnitt II, also z. B. im Querschnitt I, an der Strömung nichts geändert. Der Einfachheit halber werde noch angenommen, daß rechts vom Kolben vollkommenes Vakuum herrsche. Ist F der Rohr-, also der Kolbenquerschnitt und P der Gasdruck der Flüssigkeit pro Flächeneinheit, so muß, damit der Kolben nicht beschleunigt wird, durch die Kolbenstange auf ihn eine Kolbenkraft

£ = PF ausgeübt werden. Nach der Zeit z = 1 ist der Kolben im Querschnitt II' angelangt, und der Raum im Rohr zwischen den beiden Querschnitten II und II' hat sich mit der Flüssigkeitsmenge G gefüllt. Ist nun E die zu bestimmende Energie, die in der Zeiteinheit durch die Rohrquerschnitte I bzw. II hindurchtritt, so ist sie zunächst gleich der zwischen den beiden Querschnitten II und II' aufgespeicherten Energie. Diese setzt sich wieder zusammen aus der inneren Energie und der kinetischen Energie von 6 kg, sie ist also

Außerdem wird aber in der Zeiteinheit durch den Kolben die mechanische Arbeit

Kw = PFw = PV übertragen. In dieser Gleichung ist V das Volumen von 0 kg. Die gesuchte Energie, im Wärmemaß gemessen, ist dann

In der technischen Thermodynamik spielt das spezifische Volumen eines Körpers, das ist das Volumen v der Gewichtseinheit desselben, eine große Rolle. Es ist

Energiestrom durch eine Rohrleitung

V oder V = Gv oder, da Q gleich dem spezifischen Gewicht y des Körpers ist, so wird v

1 7

v und y sind also umgekehrt proportional. Führt man in den obigen Ausdruck für die Energie E das spezifische Volumen v der Flüssigkeit ein, so erhält man für den Energiefluß E durch den Rohrquerschnitt

Er setzt sich also aus drei Teilen zusammen: zunächst aus der kinetischen Energie und aus der inneren Energie des Körpers. Beide Energien sind an den Körper gebunden und fließen mit ihm durch das Kohr. Der letzte Ausdruck ist die mechanische Arbeit, die infolge der Spannung P, unter der die Flüssigkeit steht, durch das Rohr übertragen wird. Sie hat ihren Sitz nicht in der Flüssigkeit, sondern wird durch die Strömung übertragen jn ähnlicher Weise, wie durch einen Riementrieb oder eine Welle mechanische Arbeit übertragen wird. Sie stellt, wie die Ableitung zeigt, eine Verschiebearbeit dar. Es ist nun für viele Anwendungen sehr zweckmäßig, die beiden letzten Summanden zu einem Wert zusammenzufassen und mit i zu bezeichnen. Man setzt also i = u + APv. Da u eine Zustandsfunktion ist und P und v auch Zustands2*

20

Der I. Hauptsatz

großen sind, so ist auch der Ausdruck i eine Zustandsfuüuktion, also eine Größe, die mit dem Zustand des Körpers eindeutig gegeben ist. Sie wurde von Gibbs als sogenanntes thermodynamisches Potential eingeführt. Ihre große Bedeutung für die technische Thermodynamik hat zuerst Mollier (1904) erkannt. Leider hat er ihr den irreführenden Namen W ä r m e i n h a l t gegeben. Andere Namen für die Größe i sind Erzeugungswärme bei konstantem Druck und E n t h a l p i e . Mit ihr wird

da die gesamte Enthalpie I = Gi ist, so wird auch

d. h. die durch das Rohr in der Zeiteinheit strömende Energie ist gleich der kinetischen Energie und der Enthalpie. Für Werte der Geschwindigkeit w < 40 m/s kann jene gegen diese vernachlässigt werden. Dann ergibt sich die einfache Gleichung E — I — Gi. § 5. Die technische Arbeit einer Maschine Eine Kraftmaschine laufe im Beharrungszustand. Dann haben alle ihre Teile eine gleichbleibende Temperatur. Auch der in ihr durch seine Zustandsänderungen äußere Arbeit leistende Körper hat selbst bei periodisch arbeitenden Maschinen, über einen größeren Zeitabschnitt betrachtet, denselben mittleren Zustand. Schlägt man deshalb um die Maschine eine virtuelle Hülle, so bleibt der Energieinhalt in der Hülle konstant. Wendet man nun auf diese Hülle das Energieprinzip an, so muß die durch die Hülle zu- und abströmende Energie algebraisch addiert Null sein. In der Abb. 4 stellt

Arbeitsleistung bei d. Ausdehnung eines Gases od. Dampfes das Rechteck die Maschine dar; der gestrichelte Kreis bedeutet die Hülle. Diefließt öser CI U X C U t durch U U 1 C Ueine J O I Rohrleitung mit dem —-GJ, -jEnergieträger, z. B. bei einer Dampfmaschine mit dem überhitzten Dampf, die Energie Gix zu. Aus der Hülle tritt

21

/

Kraftmaschine

1 0,i2

Abb. 4. - Energieumsatz x i u v i ^ i c u s u o a u n in AU einer i / i u g i Maschine. JUOOVUIUUI AMU«

aus: Durch die Maschinenwelle die technische Nutzarbeit im Wärmemaß gleich ALt, der Wärme Verlust Qs der Maschine und ferner mit dem expandierten Treibstoff die Energie 0i 2 . Nach dem Energiesatz muß dann sein: G\ = G¿2 + ALt + Q, Hieraus ergibt sich die von der Maschine abgegebene t e c h nische A r b e i t zu ALt = G(i1~ii)~Q¡ Ist Qs gleich Null, so ist die gewonnene Arbeit gleich der Abnahme des Wärmeinhaltes, die der Energieträger bei seinem Durchgang durch die Maschine erleidet. Die Gleichung gilt für ganz beliebige Zustandsänderungen desselben. § 6. Arbeitsleistung bei der Ausdehnung eines Gases oder Dampfes In der Technik wird in erster Linie durch die Ausdehnung von Gasen und Dämpfen Arbeit gewonnen. Sieht man von dem geringen Einfluß der Schwerkraft ab, so üben sie auf die Wände des Gefäßes, in das sie eingeschlossen sind, einen gleichmäßigen Druck auf die Flächeneinheit aus, den man kurz den Gasdruck oder die Spannung nennt. Da im technischen Maß-

22

Der I. Hauptsatz

system die Einheit der Fläche in m2 und die Krafteinheit in kg gemessen werden, hat der Gasdruck die Dimension kg/m2. Er werde mit P bezeichnet. Außerdem werden noch folgende Druckeinheiten benützt: Die t e c h n i s c h e oder neue A t m o s p h ä r e »J« = „ a t = cm2 F 10000 m 2 ' die physikalische oder alte Atmosphäre 1 At = 1,0333 at = 760 mm Hg Säule von 0° C; die Länge einer Quecksilbersäule 1 at = 735,5 mm Hg von 0° C = 737,4 mm Hg von 15° C = 738,0 mm Hg von 20° C und die Länge einer Wassersäule, die dem Gasdruck das Gleichgewicht hält, 1 at = 10 m Wassersäule von 4° C kg und 1 - 2„ = 1 mm Wassersäule von 4® C. m Neuerdings werden noch folgende Druckeinheiten gebraucht : 1 Tor = 1 mm Hg von 0° C, 1 Bar = 106 dyn/cm2 und 1 Millibar = 10"3 Bar. Dabei wird 1 Bar = 1,01972 at. Bei der Messung des Druckes durch die Länge einer Flüssigkeitssäule ist immer die Temperatur anzugeben, bei der ihre Länge gemessen wurde; oder sie ist auf eine Normaltemperatur zu reduzieren. Außerdem ist bei der Angabe eines Gasdruckes zwischen dem absoluten D r u c k und dem Ü b e r d r u c k gegenüber dem Druck der äußeren Atmosphäre, gemessen durch den Barometerstand, zu unterscheiden. Da die meisten Manometer den

Arbeitsleistung bei d. Ausdehnung eines Gases od.Dampfes

23

Überdruck anzeigen, ist zur Bestimmung des absoluten Druckes noch der Druck der äußeren Atmosphäre zu addieren. Beide sind dabei im gleichen Maß zu zählen. Bei der Berechnung der Arbeit, die bei der Ausdehnung eines Gases geleistet wird, hat man zwei Arten von Zustandsänderungen streng zu unterscheiden. Es sind dies die umk e h r b a r e n und die n i c h t u m k e h r b a r e n Zustandsänderungen. Unter einer umkehrbaren Expansion versteht man eine solche, bei der das expandierende Gas dauernd im mechanischen und thermischen Gleichgewicht steht. Alle seine Teilchen haben die Geschwindigkeit Null und besitzen außerdem gleiche Temperatur und gleichen Druck. Steht das Gas während der Ausdehnung im Wärmeaustausch mit anderen Körpern, so müssen diese auch jeweils die Gastemperatur besitzen. Ist das Gas in einem Zylinder eingeschlossen, in dem sich gas- IL dicht, aber reibungslos ein Kolp -K ben bewegt, so muß auch dieser im Gleichgewicht sein, d. h. die Kraft, die der Gasdruck auf ds den Kolbenboden in der Rieh- Abb. 5. Expansion im Arbeitszylinder. tung der Kolbenstange ausübt, muß gleich der Kolbenstangenkraft sein. Der Atmosphärendruck auf den Kolben ist dabei der letzteren zugerechnet. Unter diesen Voraussetzungen kann sich der Kolben nur sehr langsam, im Grenzfall nur unendlich langsam, bewegen. Eine solche umkehrbare Zustandsänderung kann deshalb nur unendlich langsam erfolgen und stellt nur einen idealen Grenzfall dar, dem man sich bei praktischen Ausführungen nur nähern kann. Die Abb. 5 zeigt ein in einem Zylinder eingeschlossenes Gas, das unter dem Drucke P steht. Der Kolben habe die Fläche F. Dann ist die Kolbenkraft K= PF. Bewegt sich nun der Kolben sehr langsam um das sehr kleine

t

24

Der I. Hauptsatz

Wegelement ds nach rechts, so kann die während der dabei erfolgenden Ausdehnung des Gases entstehende Drucksenkung vernachlässigt werden. Die vom Gas geleistete Arbeit, auch äußere A r b e i t genannt, ist dann dL = Kds = PFds. Da Fds gleich der Volumenvergrößerung dV des Gasvolumens V ist, so wird die Expansionsarbeit dL= PdV. Infolge der sehr langsamen Expansion und des daher herrschenden Gleichgewichtszustandes kann man jeden Augenblick mit derBewe"i ini — ri T• " gung des Kolbens «i I I K, aufhören, ohne an P !i i1 i ii dem augenblickLJ LJ lichen Zustand etJtds r" • fl&jlwas zu ändern. Abb. 6. Expansion im Doppelkolbenmotor. Kehrt man dann die Bewegung des Kolbens um, so wird das Gas bei der nun einsetzenden Kompression oder Volumenverkleinerung die bei der Expansion durchlaufenen Zustände rückwärts wieder erreichen und schließlich wieder am Anfangszustand der Expansion ankommen. Deshalb nennt man diese Art der Zustandsänderung eine umkehrbare. Obige Gleichung für dL gilt deshalb auch für die Kompression und gibt die hierbei aufgewendete Arbeit an. Bezeichnet man sie mit dL', so ist dL' = — PdV. Bei manchen Maschinen ist das Gas während derZustandsänderung zwischen zwei Kolben eingeschlossen, z. B. beim Doppelkolbenmotor von Junkers, siehe die Abb. 6. Bewegen sich hier die beiden Kolben in der gleichen Zeit um die Strecken dst und ds2, so wird die an Abb . 7 . Beliebige Gasbeide abgegebene Arbeit expansion.

Arbeitsleistung bei d. Ausdehnung eines Gases od. Dampfes

25

dh = PFdsi + PFds2 = PF(ds1 + vf Damit wird dL — P V"vlv>l —, aij— aus der durch Integration zwischen den Grenzzuständen 1 und 2 die E x p a n s i o n s a r b e i t

folgt. Ersetzt man das Expansionsverhältnis VJV 2 mit der Gleichung der Adiabate durch das Druckverhältnis, so wird P V / /P \ 1 \ Bei einer zweiten Ableitung geht man vom I. Hauptsatz aus. Nach ihm ist Qi2= U^—TJ^+AL^. Für die Adiabate ist Ql2 = 0, also AL^^—U,. Die gewonnene Arbeit ist also bei der Adiabate gleich der Abnahme der inneren Energie des Gases. Setzt man hierfür die Werte nach der kalorischen Zustandsgieichung des idealen Gases ein, so wird AL12 = Gcv ( T j — T 2 ). Ersetzt man hierin die Temperaturen mittels der Zustandsgieichung und dann mittels der Gleichung der Adiabate das Expansionsverhältnis durch das Druckverhältnis, so erhält man wieder den obigen Ausdruck für L^.

Die Adiabate

47

Bei der Abbildung der Adiabate im PF-Diagramm kann man entweder den zu einem Volumen V gehörigen Druck P mit der Gleichung der Adiabate berechnen zu

P-Pj7*' und über V als Ordinate auftragen, oder man kann eine grar phische Methode wählen, z. B . die von Brauer angegebene. Sie besteht darin, daß man an die Abszissenachse einen beliebigen Winkel dT~ n—1 T ' Mit diesem Wert wird _

APv

Nun ist nach der Zustandsgieichung T Mit —

c>p'

wird so Nußelt, Technische Thermodynamik I.

c^ 4

50

Die wichtigsten Zustandsänderungen

w—* die spezifische Wärme c bleibt also längs der Polytrope konstant. Die bei der p o l y t r o p i s c h e n E x p a n s i o n gewonnene A r b e i t kann aus der Gleichung für die Arbeit bei der adiabatischen Zustandsänderung abgeleitet werden, indem man x durch n ersetzt. So wird

R ' )

oder, wenn man die Temperaturen T, und T 2 mit der Gasgleichung und der Gleichung der Polytrope einführt, A L ^ G c A ^ i ^ - T J . Die während der polytropischen Zustandsänderung ausgetauschte Wärme ist 0 für nicht umkehrbare Zustandsänderungen. Dagegen ist eine Zustandsänderung, bei der EdS leigeuuei lempeid, tur abnimmt. Dagegen nehmen u " und ip, wie auch die Abb. 33 zeigt, mit wachsender Temperatur zunächst zu und dann wieder ab. § 4. Der Wärmeinhalt an den Grenzkarven Die Enthalpie ist nach der Definitionsgleichung i =

u +

APv

zu berechnen. Sie werde an der linken Grenzkurve mit i' und an der rechten mit i" bezeichnet. Es wird

Der Wärmeinhalt an den Grenzkurven

87

i' =u' + APv'. Der Wärmeinhalt des Wassers im Sättigungszustand ist also größer als die innere Energie. Setzt man für u' seinen Wert u' = q— AP(v' — v0) ein, so wird t' = 2 + APv0. Es ist also i' >q> u'. Dieser Unterschied tritt aber erst bei Temperaturen über 100° C in die Erscheinung. Für t < 100° C ist i' = u' = q= t. Im kritischen Zustand ist dagegen i= i' = i= u' =

374,2° C 515,5 kcal k g - 1 510,2 kcal k g - 1 499,1 kcal k g " 1 .

Wendet man auf die isobare Verdampfung den ersten Hauptsatz in der Form äQ=

di~AvdP

an, so erhält man r = i" — i' und daraus den W ä r m e i n h a l t des trocken gesättigten Dampfes zu i" = i' + r. Aus den Werten i' und r der Dampftafeln kann damit i" berechnet werden. Die Abb. 34 zeigt den Einfluß des Dampfdruckes auf den Wärmeinhalt. Er besitzt einen Höchstwert bei 27 at.

88

Der trocken gesättigte Dampf

250

Abb. 34. Wärmeinhalt des trocken gesättigten Dampfes.

Welches ist der Zusammenhang zwischen Erzeugungswärme X und Wärmeinhalt i" ? Man erhält ihn, wenn man in der letzten Formel für i' den Wert i' = q +

einsetzt, zu

APvo

i" = q + r +

APv0

oder i" =k

+

APv0.

2,0 Clausius/icg

Abb. 35. Wärmediagramm für Wasserdampf.

Der Wärmeinhalt i" des trocken gesättigten Dampfes ist also größer als die Erzeugungswärme X. Nur für Drucke, die kleiner als 10 at sind, kann das zweite Glied vernachlässigt werden. In diesem Bereich ist dann i" = X.

ß a ^ gfeich der Fläche

unter der Isobaren im Wärmediagramm ist, erscheint dort in diesem Bereich auch i", siehe Abb. 35.

Die Entropie an den Grenzkurven

89

§ 5. Die Entropie an den Grenzkurven Die Entropie der linken Grenzkurve werde mit s', die der reehten mit s" bezeichnet, s' folgt ans der Gleichung S

'

= J

f

c d T

~T

+

.

V

'

s0 ist die Entropie bei t= 0° C. Es ist üblich, sie Null zu setzen. Zwischen t = 0 und.i = 100° C kann die spezifische Wärme c des Wassers gleich 1 gesetzt werden. In diesem Temperaturbereich wird dann ' = ln 27|l6' und das Abbild im Wärmediagramm wird eine logarithmische Linie, siehe Abb. 35 und 36. Da bei höheren Temperaturen c stark ansteigt und schließlich am kritischen Punkt unendlich wird, nimmt die Neigung- der linken Sie wird im kritischen Punkt Grenzkurve wieder ab parallel zur Abszis- °K K.P. se. Auch s' ist in 673~\ den Dampftafeln enthalten. Mit diesen Werten läßt sich die linke 1,73 Grenzkurve schnell im Wärmediagramm zeich- 373 nen. Die E n t r o p i e s" der rechten Grenzkurve 273 folgt aus der Gleichung S

ds

=

dQ T'

angewandt auf die Verdampfung, zu

t 0 Abb. 36.

0,5 1,0 1,5 2,0 — C h u s i u s / f y Wärmediagramm für Wasserdampf.

Der trocken gesättigte Dampf

90 oder

Sie läßt sich also aus den Daten der Dampftafel berechnen. Ihre Gestalt ist für Wasserdampf aus den Abb. 35 und 36 zu entnehmen. Aber während die linke Grenzkurve im Wärmediagramm für alle Stoffe dieselbe Gestalt zeigt, ergeben sich für die rechte Grenzkurve zwei grundverschiedene Formen, die für die technische Anwendung des betreffenden Stoffes von großer Bedeutung sind. Bei den meisten wächst s" mit abnehmendem Druck KP wie bei Wasserdampf. Bei einigen Dämpfen, wie bei Äther und dem neuerdings für Wärmekraftmaschinen als Energieträger vorgeschlagenen Diphenyloxyd, nimmt von einem gewissen Druck an die Entro" 0

Q2

P i e «" ^

üfi ClwsiiLVfa d,6 v

Abb. 37. Wärmediagramm für Dipbenyloxyd.

^

ab

>

so

daß für solche Stoffe

^

W f c n e d i a g r a m m

ein Verlauf der rechten Grenzkurve wie in der Abb. 37 erfolgt. Die linke Grenzkurve endet bei der Schmelztemperatur, also bei Wasser bei 0° C. Entzieht man ihm bei dieser Temperatur Wärme, so gefriert es. Es ist ihm dabei die Schmelzwärme 80 kcal k g - 1 zu entziehen. Seine Entropie nimmt dabei um 80

s' — s'" = - 2 = 0,293 kcal k g - 1 0 C _ 1 £ 10 ab. Bei 0° ist also die Entropie des Eises s'" = — 0,293 Clausius/kg.

Die Clapeyronsche Gleichung

91

Kühlt man das Eis K.P. weiter ab, so nimmt die *20 Entropie auch ab und man erhält den aus Abb. 38 ersichtlichen ^ Verlauf. Über dem Eis j bildet sich ebenso wie -Soüber Wasser Dampf. Durch isobare Wärme0,8 1,0 1,2 Claiisws/toj zufuhr kann Eis in Abb. 38. Wärmediagramm für COs. Dampf verwandelt werden Deshalb setzt sich auch unter dem Schmelzpunkt die rechte Grenzkurve fort und schließt mit dejr Grenzkurve des Eises ein Zustandsgebiet ein, das aus Eis und gesättigtem Dampf besteht. § 6. Die Clapeyronsche Gleichung Sie gestattet die Berechnung der Verdampfungswärme aus anderen thermischen Daten. Da sie die erste Gleichung ist, die aus dem II. Hauptsatz abgeleitet wurde, besitzt sie große historische Bedeutung. Ihre praktische Bedeutung liegt darin, daß sie bei der Aufstellung einer Dampftafel gute Dienste leistet. Am einfachsten leitet man sie durch die Betrachtung eines < Kreisprozesses ab, der wo Kfí aus zwei benachbar& ten Isobaren im Naßdampfgebiet und den zwischen beiden liegenden Stücken der beiden Grenzkurven 0,01 0,02 0,03 , 0 , 0 t , besteht. Die Abb. 39 und 40 zeigen einen Abb. 39. ElementarpiozeB Im PP-Diagramm. solchen Elementar-

Der trocken gesättigte Dampf

92

KP.

— J Abb. 40. Elementarprozeß im TS-Diagramm.

prozeß im PV- und T8Diagramm. Die bei diesem Prozeß geleistete Arbeit läßt sich aus beiden Diagrammen berechnen. Deren Gleichsetzung ergibt die gesuchte Beziehung. Aus dem P7-Diagramm folgt dL = (v"—v')dP

und aus dem TS-Diagramm ML= (s" — s')dT. Hierin setzt man für T und erhält so die C l a p e y r o n s c h e G l e i c h u n g zu ßP r = A{v" — v') T - ~ . Entnimmt man ~

den Spannungskurven, v" und v' der

t%JDampftafel, so erhält man mit dieser Gleichung die Verdampfungswärme. Man kann sie aber auch benutzen, eine Dampfspannungskurve daraus abzuleiten. Will man nur eine für kleine Drucke gültige Gleichung aufstellen, so kann man für r die Regnaultsche Beziehung r = o — bT und für v" die Gasgleichung ansetzen. Vernachlässigt man In die P=G:ln werden. T. noch v', so kann Gleichung Sie liefert ART integriert AB a b Die Clapeyronsche Gleichung gilt nach ihrer Ableitung auch für

Die Zustandsgrößen des nassen Dampfes

93

den Schmelz- und für den Sublimationsprozeß. Da beim Schmelzen des Eises das Volumen abnimmt, so folgt aus der Clapeyronschen Gleichung, daß ^ für den Schmelzdl prozeß negativ wird, d. h. aber: mit steigendem Druck nimmt die Schmelztemperatur ab. Die Rechnung ergibt, daß bei einem Druck von 130 at die Schmelztemperatur — 1° C .ist. Abschnitt Y I I .

Der nasse Dampf

§ 1. Die Zustandsgrößen des nassen Dampfes Aus den in den Dampftabellen zusammengestellten Zustandsgrößen des Wassers und des trocken gesättigten Wasserdampfes können die entsprechenden Zustandsgrößen für den nassen Wasserdampf vom spezifischen Dampfgehalt x abgeleitet werden. Da 1 kg nasser Wasserdampf aus x kg trocken gesättigtem Dampf und (1 — x) kg Wasser besteht, setzen sich alle Zustandsgrößen additiv aus denen dieser beiden Bestandteile zusammen. Das s p e z i f i s c h e V o l u m e n wird demzufolge vx == xv" + (1— x)v' = v' + x(v" — v'). Für kleine Drucke wird dann vx = xv". Die E r z e u g u n g s w ä r m e wird Xx = xl -f (1— x)q = x(q + r) + ( 1 — x)q = q + xr . Ebenso wird die i n n e r e E n e r g i e ux = m" + (1 — x)u' = vi + x(u" — u') = U' + XQ und der W ä r m e i n h a l t ix = m" + (1— x)i' = i' + x(i" — i') =i' + xr . Für die E n t r o p i e des nassen Wasserdampfes ergibt sich Ss = xs" + (1 — x)s' = s' + x(s" —s')=s'

+

x^.

Mit Hilfe dieser Formeln können auch die Zustände des nassen Wasserdampfes in den beiden Diagrammen abgebildet werden.

Der nasse Dampf

94

Für die praktische Anwendung ist es aber zweckmäßiger, in die beiden Schaubilder Kurven konstanten spezifischen Dampfgehaltes x einzutragen. Für das PF-Diagramm folgt aus der Gleichung v

oder

v V

x

—v' —

x

i = v' +

x(v"—

v')

X

,

' , ,

V

1

daß man auf einer Isobaren einen Punkt mit dem spezifischen Dampfgehalt x findet, wenn man den Abstand zwischen den beiden Grenzkurven im Verhältnis x:(l— x) teilt. Der Zustand mit dem spezifischen Dampfgehalt x = \ liegt also in der Mitte zwischen den beiden Grenzkurven. Will man die Kurven mit x — 0,1, 0,2, . . . 0,9 einzeichnen, so braucht man nur auf allen Isobaren den Abstand zwischen den Grenzkurven in 10 gleiche Teile zu teilen und die Punkte mit dem gleichen x durch eine Kurve zu verbinden. Der Zustand P, x kann dann leicht durch Interpolation abgebildet werden. Für das Wärmediagramm gilt s

x

= s '

+

x(s"

•—s')

oder S

x

— s

X •

alahs •75

.

f.

KP.

50

25

O. 0005 Abb. 4 1 .

Q0075

0,010m%

P F - D i a g r a m m (CO,).

Die Zustandsänderungen des nassen Dampfes also die entsprechende Gleichung wie oben. Die Konstruktion von Kurven konstanten spezifischen Dampfgehaltes ist deshalb im TS- und PVDiagramm die gleiche. In die Abb. 41 und 42 sind solche Kurven gleichen Dampfgehaltes eingezeichnet.

95

Clnusius/fg Abb. 42. Wärmediagramm (HaO).

§ 2. Die Zustandsänderungen des nassen Dampfes

Da durch die Spannungskurve Temperatur und Druck miteinander verbunden sind, fallen im Naßdampfgebiet die Isothermen und die Isobaien zusammen. Fast aller technisch verwendeter Wasserdampf wird im Dampfkessel bei konstantem Druck erzeugt. Die Isobare ist deshalb die wichtigste Zustandsänderung des nassen Dampfes. Sie erscheint sowohl im PVDiagramm als auch im TiS-Diagramm als Parallele zur Abszissenachse. Ist P der Druck der Isobare, Xy der spezifische Dampfgehalt am Anfang und der am Ende der isobaren ZustandsändeAbb. 43. Isobare des Naßdampfes. rung, so kann damit die Zustandsänderung in beiden Diagrammen abgebildet werden, siehe Abb. 43 und 44. Aus dem PF-Diagramm ergibt sich die äußere Arbeit zu L[2 = P(v2— vj = P(x2— xj (v" — v').

Der nasse Dampf

96

Die während dieser Zustandsänderung zuzuführende Wärmemenge ist Q12= h (®a — ®i) • Ebenso einfach läßt sich die isochore Zustandsänderung behandeln. Geht man vom Zustand Pv x1 aus und durch Wärmezufuhr oder -abfuhr zum Druck Abb. U. Isobare des Naßdampfes. p^ { j ^ g 0 J ä ß t g j ^ a u g der Gleichheit des Volumens am Anfang und Ende der Zustandsänderung der spezifische Dampfgehalt am Ende berechnen. Es ist allgemein v1=v[ + x1{v'i' — vi) und V2=V2

+

X2(V2—V2).

Da nun für die Isochore Vi = «a ist, wird X2 — %

Vi

Vi

Vi —

v2

v2— v2 v2—v2 Das zweite Glied auf der rechten Seite ist erst bei Hochdruckdampf zu berücksichtigen. Die zuzuführende Wärme ist nach dem I. Hauptsatz Q12 =

« 2 — ih=u'2

+

x2Q2—

(u'i +

XxQx)

.

Alle Zustandsgrößen sind beim Drucke P x bzw. P2 den Dampftafeln zu entnehmen. Weitere wichtige Erkenntnisse erhält man, wenn man die Isochore ins PF-Diagramm einzeichnet, siehe Abb. 45. Es sind hier zwei verschiedene Fälle möglich. Der Normalfall ist der, daß xx sehr groß, also % größer als das kritische Volumen ist. Führt man die Zustandsänderung 1,2 durch, so erkennt man aus dem PF-Diagramm, daß bei Druck-

Die Zustandsänderungen des nassen Dampfes

97

Steigerung der spezifische Dampfgehalt zunimmt und der Dampf schließlich in trocken H gesättigten Dampf übergeht. Ist dagegen x1 sehr klein, so wird v1 also si + x1 (s" — si) = s'2 + .x2 (?2 — s'2). Daraus folgt

_ s'i—s2 + ^(s" —si) — „II „/ J

«2 «2 der spezifische Dampfgehalt beim Expansionsenddruck P2. Die während der adiabatischen Expansion geleistete A r b e i t ist nach dem I. Hauptsatz gleich der Abnahme der inneren Energie, also ^ 1 2 = «i— u 2 = + x i Qi— («2 + «2^2) • Ist der spezifische Dampfgehalt xx am Beginn der adiabatischen Expansion größer als 0,75, so kann nach Zeuner die A d i a b a t e mit großer Annäherung durch eine Polytrope dargestellt werden, also durch

Pvn =

P^l,

wobei der Exponent n = 1,035 + 0 , 1 ^ nur vom Dampfzustand am Beginn der adiabatischen Expansion abhängig ist. Für trocken gesättigten Dampf lautet also die Adiabatengleichung pv 1,135 __ p ,¡,1,135 _ Es gilt aber nicht wie für vollkommene Gase auch die Beziehung

T

n—1 = konstant,'

pn

Die ZustandsänderuDgen des nassen Dampfes

99

da ja für den Naßdampf Druck und Temperatur durch die Sparmungskurve verbunden sind. In jenem Bereich von x1 kann dann die Arbeit der Adiabate auch nach der Gleichung ¿12 =

berechnet werden. Da trocken gesättigter Dampf bei der adiabatischen Expansion naß wird, muß im PV- ty'n Diagramm die Adiabate unter der rechten Grenzkurve verlaufen, wie dies die Abb. 47 zeigt. Von den nicht umkehrbaren Zustandsänderungen des nassen Dampfes ist die Drosse- V m%g lung die wichtigste. Ist Abb. 47. Adiabate f ü r Naßdampf. der Zustand vor der Drosselstelle durch und xt gekennzeichnet, so ergibt sich der spezifische Dampfgehalt x2 für den Druck P 2 nach der Drosselstelle aus dem Grundgesetz der Drosselung h=h oder ii + V i ^ i i + Vi zu i'l—i'2 + ^ Xn Mit diesem Wert kann man den Zustand nach der Drosselung ins Wärmediagramm eintragen. Ändert man den Druck P2 stetig, so erhält man durch das Einzeichnen der Zustände nach der Drosselung bei konstantem Zustand vor der Drosselstelle eine Kurve konstanten Wärmeinhaltes, die man auch Drosselkurve nennt. Sie schneidet beide Grenzkurven. Während bei 7*

100

Der nasse Dampf

der Drosselung vollkommener Gase die Temperatur konstant bleibt, sinkt sie bei der Drosselung nassen Dampfes beträchtlich, wie die Abb. 48 zeigt. Sie lehrt auch, daß bei der Drosselung nassen Dampfes eine Trocknung eintritt. § 3. Das Mollier- oder /5-Diagramm Eine wichtige thermodynamische Aufgabe ist die Bestimmung der technischen Nutzarbeit Lt, die 1 kg Dampf in einer im stationären Zustand arbeitenden Dampfmaschine oder Dampfturbine leistet. Bei guter Wärmeisolation der Maschine ist sie nach Seite 21 ALt=ix—i2. Für Drucke unter 10 at ist i = A, so daß dann

ALt= Ax— Aj ist. Ist der Anfangszustand und Endzustand bekannt, so können beide im Wärmediagramm durch Flächen unter der Isobaren abgebildet werden, siehe Abb. 49. Erfolgt die Expansion adiabatisch, so erscheint die Nutzarbeit ALt als Diiierenzfläche, siehe die Abb. 50. Da die Bestimmung dieser Fläche durch Planimetrieren aber ziemlich umständlich ist, kann man auch Kurven konstanten Wärmeinlialtes t in das Wärmediagramm eintragen und dann die diagramm.

D a s Mollier- oder / ^ - D i a g r a m m

101

Werte von i für beide Zu- »K stände ablesen. Ihr Unterschied ist dann gleich der Nutzarbeit ALt. Noch einfacher und übersichtlicherläßt T sich diese Aufgabe mit dem | Mollier-Diagramm lösen. Bei ihm wird wie beim Wärmediagramm die Entropie s als Abszisse aufgetragen. Als Abb . 60. Technische Arbeit im Ordinate erscheint der Wäimewärmediagramm. inhalt (Abb. 51). Die Arbeit ÄLt kann dann als vertikale Strecke abgegriffen werden, siehe die Abb. 52. Für vollkom-

0

0,5 Abb. 51.

'.(> s, 1.5

2.0 ciausius/jy

IS-Diagramm für Wasserdampf.

kartbg m

2ß Clwsiuz/fy Abb. 62.

/^-Diagramm für Waseerdampf.

102

Der nasse Dampf

mene Gase geht das Wärmediagramm durch eine Koordinatentransformation in das IS - Diagramm über, da statt T i = cPT aufzutragen ist; dieses bietet also nichts Neues. Dagegen hat es neuerdings für die Behandlung halbvollkommener Gase bei hohen Temperaturen und Drucken Eingang gefunden. Sein Hauptanwendungsgebiet liegt aber bei der Berechnung von Dampfmaschinen und Dampfturbinen. Hier hat es überraschend schnell die weiteste Verbreitung gefunden. Entnimmt man für den Wasserdampf die Zustandsgrößjn s', s", % und i" den Dampftafeln, so kann man damit schnell die beiden Grenzkurven zeichnen, siehe Abb. 51. Der kritische Punkt, der die beiden Grenzkurven trennt, liegt hier nicht im Maximum der Kurven wie beim Wärmediagramm, sondern im linken Ast der Kurve. Aus der Gleichung m= M— ÄvdP folgt für die Neigung einer Isobaren im Mollier-Diagramm

Da im Naßdampfgebiet längs einer Isobaren die Temperatur konstant ist, bilden diese sich als gerade Strecken ab. Ihre Neigung gegen die Abszisse ist um so größer, je höher ihre Temperatur, also ihr Druck ist. Da für Wasserdampf in einigem Abstand vom kritischen Zustand die Isobaren der Flüssigkeit mit der linken Grenzkurve zusammenfallen, berühren die Naßdampfisobaren die linke Grenzkurve. Die Abb. 51 zeigt das Gebiet des nassen Dampfes im /S-Diagramm. Aus den Gleichungen ix = i' + x (i"~ir) und sx= s' + x(s" — s') folgt, daß der Punkt, der nassen Dampf vom spezifischen Dampfgehalt x im Diagramm abbildet, den Abstand auf der

Das Mollier- oder /iS-Diagramm

103

Isobaren zwischen den beiden Grenzkurven im Verhältnis x: ( 1 — x ) teilt. Es lassen sich deshalb Kurven gleichen spezifischen Dampfgehaltes im /¿»-Diagramm ebenso wie im Wärmediagramm einzeichnen. Abschnitt T i l l .

Der überhitzte Dampf

Die Grenzkurven trennen in den Diagrammen das Gebiet des nassen Dampfes von dem Gebiet der Flüssigkeit und des überhitzten Dampfes. Im Naßdampfgebiet wird ein Zustand durch das Ziehen von Isobaren und von Kurven konstanten spezifischen Dampfgehaltes gekennzeichnet; im übrigen Gebiet verwendet man dazu, je nach dem benutzten Diagramm, Isothermen, Isobaren und Isochoren. Die Abb. 53 enthält in der ganzen Zustandsebene Isothermen der Kohlensäure, von der zuerst solche Kurven versuchsmäßig ermittelt wurden. Bei hohen Temperaturen nähern sich die Isothermen der Gestalt der gleichseitigen Hyperbel. In der Nähe des kritischen Punktes erhalten sie einen Wendepunkt. Die kritische Isotherme hat im kritischen Punkt eine horizontale Wendetangente. Eine Isotherme mit einer Temperatur, die unter der kritischen Temperatur liegt, zerfällt in drei Äste. Im Naßdampfgebiet ist sie eine horizontale Gerade. An diese schließen sich die beiden Äste im Gebiet der Flüssigkeit und in dem des überhitzten Dampfes durch einen Knick an. Jener ist sehr steil; dieser verläuft hyperbelartig, oberhalb der rechten Grenzkurve asymptotisch zur Abszissenachse.

104

Der überhitzte Dampf

§ 1. Die Zust&ndsgleichung von Tan der Waals Es ist das große Verdienst von van der Waals, eine Zustandsgieichung aufgestellt zu haben, die sowohl für die Flüssigkeit als auch für den nassen und den überhitzten Dampf gilt. Wenn sie auch zahlenmäßig für viele Stoffe, so namentlich für den Wasserdampf, schlecht stimmt, so gibt sie doch die Gesetzmäßigkeiten und Eigenschaften im ganzen Gebiet überraschend gut wieder. Erfahrungsgemäß gilt für alle Dämpfe im Zustande großer Verdünnung, also für P — 0, die Gleichung der vollkommenen Gase

Pv=

BT.

In diesem Zustand sind die Gasmoleküle weit voneinander entfernt, so daß sie sich, von ihren Zusammenstößen abgesehen, nicht beeinflussen. Van der Waals ging bei der Aufstellung seiner Gleichung von folgender Überlegung aus: In die Gasgleichung ist, wenn v endlich ist, nicht der dem Gas zur Verfügung stehende Raum, also v für 1 kg, einzusetzen, sondern nur der von Materie freie Raum, da nur dieser den Molekülen für ihre Bewegung zur Verfügung steht. E r ist gleich dem spezifischen Volumen, vermindert um das Volumen der Moleküle. Ist dieses für 1 kg gleich so erhält man die Zustandsgieichung

P(v—tx) = BT

oder, nach P aufgelöst,

v — « '

Der Gasdruck P wird durch den Stoß der Gasmoleküle beim Aufprall auf die Gefäßwand erzeugt. Wenn nun bei kleinem spezifischen Volumen die Moleküle näher beisammen sind, wird dieser Stoß und damit der Gasdruck durch die gegenseitige Anziehung der Moleküle abgeschwächt. Van der Waals setzt

o

dieses sogenannte Druckkorrekturglied gleich ~ , wobei ß

Die Zustandsgieichung von van der Waals

105

eine Konstante ist. Damit erhält man die van d e r W a a l s s c h e Zustandsgieichung v—oc

oder

v*

ß

Ihrer Ableitung gemäß geht sie für großes v in die Gasgleichung über. Sie ist vom 4. Grad. Es lassen sich deshalb die kritische Isotherme und die 150 Isothermen bei höhe- atabs rer Temperatur durch sie wiedergeben. Für unterkritische Temperaturen ergeben sich Kurven nach Abb. 54 mit einem relativen Maximum und Minimum. Das 2.5 10103 • V im Naßdampfgebiet Abb. 54. Isothermen für CO, nach van der Waals. liegende Stück dieser Isotherme stellt einen labilen Zweig derselben dar. Der linke Teil derselben bedeutet überhitztes Wasser, der rechte unterkühlten Dampf. Beide lassen sich in der Nähe der Grenzkurve experimentell darstellen. Zwischen den beiden Grenzkurven im Naßdampfgebiet gibt es also für die gleiche Temperatur zwei Isothermen, die stabile und die labile Isotherme. Den Zusammenhang zwischen beiden findet man, wenn man einen umkehrbaren Kreisprozeß betrachtet, der aus der stabilen isobaren Verdampfung 1 2 3 (Abb. 54) und aus einer Kondensation längs der labilen Kurve 3 4 2 5 1 besteht. Die bei diesem Kreisprozeß geleistete Arbeit ist gleich der Fläche 1 2 3 4 5 1 . Bildet man diesen Prozeß ins Wärmediagramm ab, so fallen die beiden Isothermen zusammen, die Fläche des Kreispro-

106

Der überhitzte Dampf

zesses und damit die Arbeit wird also Null. Im PF-Diagramm muß also die Fläche 1 2 5 1 gleich der Fläche 2 4 3 2 sein. Wenn man mit Hilfe der van der Waalsschen Gleichung eine unterkritische Isotherme im PF-Diagramm abbildet, so findet man die zu deren Temperatur gehörige stabile Sättigungsisotherme durch Ziehen einer Parallelen zur Abszissenachse, die die beiden über und unter ihr liegenden Flächen gleich macht. Man erhält auf diese Weise einmal den Sättigungsdruck, der zur Temperatur der Isotherme gehört, also einen Punkt der Spannungskurve, und aus den zwei Schnittpunkten 1 und 2 mit der Isotherme auch die beiden Punkte der Grenzkurve, d. h. v' und v". Man kann also aus der van der Waalsschen Gleichung die Spannungskurve und die beiden Grenzkurven ableiten. Die kritischen Daten lassen sich auch aus ihr gewinnen dadurch, daß man jenen Punkt in der PF-Ebene sucht, dessen Isotherme eine horizontale Wendetangente besitzt. Bezeichnet man mit Pjc den kritischen Druck, mit die kritische Temperatur und mit % das kritische Volumen, so müssen sie einmal die Zustandsgieichung erfüllen. Außerdem ergeben sich die beiden Bedingungsgleichungen dP

d2P 3 = 0 n und^ dir ¿ - „ - =n0 . ov Diese 3 Gleichungen liefern für die kritischen Daten die Werte:

P= k T= k

27 a 2 ' 8ß

27 xR

und vk=Boc. Sie ergeben sich also eindeutig aus der van der Waalsschen Gleichung. Die folgende Zahlentafel enthält für einige technisch wichtige Körper die kritischen Daten auf Grund von Versuchen:

Empirische Zustandsgieichungen

107

3

Stoff pk at abs vk m /kg. t*°c Wasser 225 374 0,0031 — 141 0,0032 Luft 37 Quecksilber 1000 1450 0,0002 Ammoniak 116 133 0,0042 Kohlensäure 75 31 0,0022 — 119 0,0023 Sauerstoff 51 Stickstoff 35 — 147 0,0032 — 240 0,032 Wasserstoff 13 Da die Gaskonstante eines Dampfes aus dem Molekulargewicht berechnet werden kann, enthält die van der Waalssche Gleichung 2 Unbekannte, « und ß. Aus zwei durch den Versuch ermittelten Daten, z. B. pk und tk, lassen sie sich aus obigen Gleichungen berechnen. Leider stimmt aber gerade für den überhitzten Wasserdampf die van der Waalssche Gleichung schlecht. Man ist deshalb für den Wasserdampf auf empirisch aufgestellte Zustandsgleichungen angewiesen. § 2. Empirische Zustandsgleichungen des überhitzten Wasserdampfes Viel besser als aus dem PF-Diagramm lassen sich aus anderen graphischen Darstellungen die Abweichungen vom Pv Gasgesetz ablesen, so z. B. ~ aus dem , i-Diagramm, das in der Abb. 11 für Luft und der Abb. 55 für Wasserdampf gezeichnet ist. Bei der Aufstellung von Zustandsgleichungen für Wasserdampf hatte man früher immer angenommen, daß sich überhitzter Dampf mit steigender Temperatur asymptotisch an den idealen Gaszustand an-

WO'C Zustandsdiagramm für überhitzten Wasserdampf.

Der überhitzte Dampf

108

nähert. Erst in den letzten Jahren hat man die Unrichtigkeit dieser Annahme erkannt. Die Versuche zeigen, daß für jeden Druck schon bei endlicher Temperatur die Gasgleiehung erreicht und bei höherer Temperatur wieder Pv verlassen wird. I m — , t-Schaubild drückt sich das dadurch Pv aus, daß die Isobaren die Ordinate -— = R schon bei endlicher Temperatur schneiden, wie dies z. B. aus der Abb. 11 für Luft hervorgeht. Die aus Versuchen im Laufe der Jahre aufgestellten empirischen Zustandsgieichungen für den überhitzten Wasserdampf gelten alle nur in einem engen Bereich. So gibt es leider noch keine, die auch für das so wichtige Gebiet um den kritischen Zustand herum gilt. Für Drucke bis zu 20 at abs hat sich die von Callendar aufgestellte und von Mollier zu seinen Dampftafeln benützte Gleichung sehr gut bewährt. Das Glied, welches bei ihr die Abweichung Vom idealen Gaszustand angibt, ist dabei nur von der Temperatur abhängig. Sie lautet 10

RT /273\ 3 v = y + 0,001 - 0,075 ( ^ J m3/kg. Hierin ist R die Gaskonstante 47,06. Für Zustandsgieichungen, die für höhere Drucke gelten,muß man noch weitere Korrekturglieder anfügen, die auch noch vom Druck abhängig sind. So lautet die von Koch aufgestellte und den V.D.I.-Dampftafeln zugrunde gelegte 0,9172 1,3088 • 10 -4 4,379 . 107 2 82 (T/100) ' * l (T/100)1* (T/100)31-6 Die folgende sehr einfache Zustandsgieichung ist neuerdings von Leib angegeben worden:

v=

47,06T —

—

Die Berechnung der kalorischen Zustandsgieichungen 1 /186,5\ u \~ir)

Pv RT

"

1

109

3

/i36,5N3

v\ T ) , e —1 Sie hat den Nachteil, daß sie sich nicht nach v auflösen läßt. § 3. Die Berechnung der kalorischen Zustandsgieichungen des überhitzten Wasserdampfes Von der gleichen Bedeutung für die Technik wie die thermische Zustandsgieichung ist auch die kalorische Zustandsgieichung. Beide hängen nach den beiden Hauptsätzen zusammen. Jene sei auf Grund von Versuchen bekannt. Die kalorischen Zustandsgrößen lassen sich dann aus ihr berechnen. Die Callendar-Molliersche Zustandsgieichung zeichnet sich durch sehr einfache Bauart aus; auch stimmt sie bis zu Drucken von 20 at recht gut mit den Versuchen überein. Sie werde deshalb den folgenden Betrachtungen zugrunde gelegt. Zu bestimmen sind die wichtigsten kalorischen Größen, die innere Energie u, der Wärmeinhalt i und die Entropie s. Es werde mit der Berechnung von i aus der Zustandsgieichung begonnen. Man geht aus von der Grundgleichung dQ di—AvdP di Av

Aus dem Differentialausdruck

di ersetzt man — auf der rechten Seite und erhält

oder

110

Der überhitzte Dampf

In dieser Gleichung steht Hnks ein totales Differential, da s und i Zustandsgrößen sind; die Gleichung ist also eine totale Differentialgleichung. Für den Ausdruck auf der rechten Seite muß deshalb die Integrabilitätsbedingung erfüllt sein. Fiii die Gleichung dz = (pdx + ipdy lautet sie bekanntlich d

dy dx' Die sinngemäße Übertragung auf obige Gleichung ergibt die Beziehung

Die rechte Seite dieser Gleichung kann aus der Zustandsgieichung berechnet werden. Die Integration nach P liefert dann bis auf eine unbekannte Temperaturfunktion die Enthalpie i. Sie wird

Schreibt man die Callendar-Molliersche Gleichung in der Form RT b so wird

und damit i=

AaP—

A(ß'+l)bP

+

Tf(T).

DieBerechnung der kalorischen Zustandsgieichungen

Iii

Die noch unbekannte Temperaturfunktion f(T) läßt sich nun aus der spezifischen Wärme (c p ) 0 für P = 0 berechnen. Man geht von der Grundgleichung für die isobare Wärmezufuhr dQ=

cpdT=

di

oder \dT/p

aus. Setzt man den eben erhaltenen Wert von i in diese Gleichung ein, so wird c

p-

An(n + lW r + 1

+ d

d T

I t ( 1 )

-

Die spezifische Wärme beim Druck P = 0 wird damit (Cp)o=

Ä T2/(T) -

Ist diese, die spezifische Wärme des überhitzten Dampfes im vollkommenen Gaszustand, bekannt, so kann daraus die gesuchte Funktion f(T) berechnet werden. Nach Seite 39 nimmt (cp)0 mit der Temperatur zu. Setzt man diese Größe aber in erster Annäherung konstant, und zwar i« 47 nfi 13 (ep)0 =(n + l)AR=^^ = | • 0,11 = 0,477 so wird T W ) = (« + 1 )ÄRT

+G=

(ep\T

+ C.

Damit ist der Wert des W ä r m e i n h a l t e s bis auf eine Konstante gewonnen zu (».+ 1)Z> i = ( n + 1 )ART

+ A a—

-

ijin

P +

C.

Die Konstante C wird dadurch erhalten, daß man für i, T und P die Werte eines Punktes der rechten Grenzkurve einsetzt. Es wird nach Mollier

112

Der überhitzte Dampf 10

i = 594,7 + 0,11 jt-±(0,075y

* -0,00l) P

kcal/kg. Die ersten beiden Summanden auf der rechten Seite stellen den Wärmeinhalt im vollkommenen Gaszustand dar. Er nimmt linear mit der Temperatur zu. Das zweite Glied gibt die Abweichung von jenem Zustand an. Sie ist proportional dem Druck, ist negativ und nimmt mit steigender Temperatur ab. Die Abb. 56 zeigt diesen Einfluß des Druckes auf den Wärmeinhalt. Nun kann die innere Energie aus der Gleichung

i = u + APv oder

u = i— APv Abb, 56. Wärmeinhalt des überhitzten Wasserdampfes.

berechnet werden. Es ergibt sich

u ^ n A R T - ^ +C 10

= 564,7 + 0,367 Auch hier bedeuten die zwei ersten Summanden der rechten Seite die innere Energie im vollkommenen Gaszustand. Das dritte Glied gibt die Abweichung von diesem Zustand an und zeigt, daß auch die innere Energie des überhitzten Dampfes mit steigendem Druck abnimmt. Jetzt kann die E n t r o p i e aus ihrer Definitionsgleichung

du , APdv

Die Berechnung der kalorischen Zustandsgieichungen

H3

durch Integration berechnet werden. Man muß die Gleichungen für u und v total differenzieren, sie in die letzte Gleichung einsetzen und diese integrieren. So erhält man eine Gleichung für die Entropie s, abhängig von P und T bis auf eine unbekannte Entropiekonstante. Es wird S = (c P )oIn T— ÄRlnP—Anb-

P rpn+1

+ s0

oder s = — Ä R l n jm+i

• Arib

jm+i + S0

Die Integrationskonstante ist wieder durch die Heranziehung eines Zustandes der rechten Grenzkurve zu ermitteln. So wird nach Moliier = 0 , 1 1 I n T—In f

10 0,075 /273 427-3 \ ¥

P T

kcal kg°C Die oben abgeleitete-Gleichung für die spezif is che W ä r m e cp zeigt, daß sie für den überhitzten Wasserdampf vom Druck abhängig ist. Bei gleichbleibender Temperatur nimmt sie mit dem Druck zu. Betrachtet man die Veränderung der spezifischen Wärme längs einer Isobaren, wie sie sich z. B. im Uberhitzer eines Dampfkessels abspielt, so folgt aus der Formel, daß am Eintritt in den Überhitzer ep einen Höchstwert hat und dann längs des Überhitzers abnimmt. Diese Veränderung von c p in größerem Bereich auf Grund der Versuche von Knohc — 1,0544

,

,

,

-.IT-.

.

lauen und seiner Mitarbeiter

Abb. 57. Spezifische Wärme p des

Nu fielt, Techoische Thermodynamik I.

überhitzten Wasserdampfes. (j

114

Der überhitzte Dampf

zeigt die Abb. 57. Auch für c„ ergeben sich ähnliche Gesetzmäßigkeiten wie f ü r cp. Ihre Differenz ep— c„ ist auch nicht konstant wie bei vollkommenen Gasen, sondern ergibt auch ein der Abb. 57 ähnliches Kurvensystem. Mit den Werten von s kann jetzt das Wärmediagramm im Gebiet des überhitzten Wasserdampfes gezeichnet werden durch Eintragung von Isobaren und Isochoren, siehe die Abb. 58. Mit Hilfe der Werte der neueren Dampftafeln kann

es auch ins Gebiet des Hochdruckdampfes verlängert werden. Da die Subtangente an die Isobare gleich c p ist, schließt sich an der Grenzkurve die Isobare des überhitzten Dampfes an die des Naßdampfes mit einem Knick an. Die kritische Isobare besitzt einen Wendepunkt im kritischen Punkt mit horizontaler Tangente. Unter Berücksichtigung jener Eigenschaft der Subtangente folgt daraus, daß die spezifische Wärme des überhitzten Wasserdampfes im kritischen Punkt unendlich groß wird. Die überkritischen Isobaren in der Nähe des kritischen Zustandes besitzen auch Wendetangenten. Längs einer

Die Berechnung der kalorischen Zustandsgieichung

H5

überkritischen Isobaxe besitzt die spezifische Wärme deshalb ein relatives Maxi30 mum, wie das erstmalig von Koch gemessen wurde, siehe die Abb. 59. Die oben abgeleitete 378 380 382V Gleichung für die Enthalpie kann zum Entwurf des IS- Abb. öi). Spezifische Wärme cp für Wasserdampf bei 240 at. Diagrammes im überhitzten Gebiet durch Einzeichnung von Isobaren und Isochoren benutzt werden. Die Isobaren des Naßdampfes gehen hier an der Grenzkurve stetig in die des überhitzten Dampfes über, wie dies die Abb. 60 zeigt. Die Isothermen dagegen besitzen an der Grenzkurve einen Knick. Da nach Abb. 60 der Wärmeinhalt bei konstanter Temperatur mit steigendem Druck sinkt, steigen die Isothermen, an der rechten Grenzkurve beginnend, nach rechts an. In der Nähe des kritischen Punktes wird diese Neigung der Isothermen sehr groß. Für die Anwendung

7,2

#

!,6

1,8

——S

2p

22

Uausius/frg

Abb. 60. Mollier-Diagramm für'überhitzten Wasserdampf.

8*

116

Der überhitzte Dampf

des IS-Diagrammes zur Berechnung von Dampfturbinen zeichnet man zweckmäßig noch Isochoren ein. In der Nähe des kritischen Punktes fallen im /^-Diagramm die einzelnen Kurven sehr nahe zusammen und schneiden sich unter sehr spitzen Winkeln. Da dies für die Anwendung ungünstig ist, kann man schiefwinklige Koordinaten wählen, wie dies für Kohlensäure von Mollier ausgeführt wurde. § 4 . DieZustandsändernngen des überhitzten Wasserdampfes

Die wichtigste Zustandsänderung des überhitzten Wasserdampfes ist die Adiabate. Ihre Gleichung leitet man aus der obigen Gleichung für die Entropie ab. Längs einer Adiabate ist die Entropie konstant. Aus jener Gleichung folgt dann für die Adiabate die Beziehung P — jrn— + l — konstant oder -L= 13

oder

y3

£

13

j>3

13

p2 \TJ • Diese Gleichung ergibt sich nur, wenn (ßp)o = {n + l)ÄR angesetzt wird. Setzt man dafür den genauen Wert entsprechend der Abb. 12 ein, so läßt sich keine einfache Adiabatengleichung mehr ableiten. Um den Zusammenhang zwischen P und v für die Heißdampfadiabate zu erhalten, muß man in obiger Gleichung T durch die Zustandsgieichung eliminieren. Aus ihr folgt

Die Zustandsändernngen des überhitzten Wasserdampfes 117 RT

b

und P T

R b V— « + yS

und daraus R + 1

r (i>— a ) r + 6' Da nach obiger Gleichung für. die Adiabate die linke Seite konstant ist, folgt aus dieser 10 (v—a) T= 0—0,001) Ts = konstant. Da außerdem n T = konstant • P " + l ist, ergibt sich als Adiabatengleichung B (v— a) P"+1 = konstant oder n+l P(v— a) » = P(v— a) 1 ' 30 = konstant oder P(v— o)1,so = •Pi(f1— a)1,30 . Dafür kann man auch näherungsweise D 1,30 t> 1,30 Pv = P1 l>i als Gleichung für die Adiabate des überhitzten Dampfes setzen. Da die Gleichung für die Adiabate des trocken gesättigten Dampfes P^l.135 _ p „1,186

118

Der überhitzte Dampf

lautet, verläuft im /VDiagramm die Heißdampfadiabate steiler als die von Sattdampf. Aus dem Wärmediagramm und aus dem /^-Diagramm folgt, daß bei der adiabatischen Expansion von Heißdampf der Zustand des Dampfes bei fortschreitender Expansion sich immer mehr der rechten Grenzkurve nähert. Er wird schließlich trocken gesättigt und dann naß. Im Pv-Diagramm hat die Adiabate an der Grenzkurve einen Knick, da der Exponent sich dort sprungweise ändert. Die Arbeit der Adiabate des Heißdampfes ergibt sich aus der Gleichung für die polytropische Expansion dadurch, daß man in ihr n = 1,30 setzt, zu

Für Drucke über 20 at gilt die benutzte Zustandsgieichung und damit die aus ihr gewonnene Adiabatengleichung und die Gleichung für die Expansionaarbeit nicht mehr. Man muß dann zur Berechnung der adiabatischen Zustandsänderung auf das /S-Diagramm zurückgreifen, in dem die Adiabate als Gerade parallel zur Ordinatenachse erscheint. Benutzt man ein Diagramm, welches außer Isothermen und Isobaren auch Isochoren enthält, dann kann man alle 2ustandsgrößen aus ihm ablesen. Eine der wichtigsten Anwendungen des /-Diagramm, siehe Abb. 52. Aus ihr ergibt sich dann die absolute Expansionsarbeit zu Lt+ P2v2—P1v1;

Die Zustandsänderungen des überhitzten Wasserdampfes

H9

sie läßt sich also auch einfach aus dem Diagramm ableiten. Nach der Adiabate ist die I s o b a r e eine sehr wichtige Zustandsänderung des überhitzten "Wasserdampfes, weil im Überhitzer eines Dampfkessels der überhitzte Wasserdampf aus dem Sattdampf durch eine isobare Zustandsänderung erzeugt wird. Dabei strömt der Dampf durch ein System paralleler Rohrschlangen und wird von außan durch die vorbeistreichenden Verbrennungsgase geheizt. Die ihm pro kg zugeführte Wärme ist Qvi^h—h-

Sie ist also auch aus dem IS-Diagramm abgreifbar. Diese Beziehung gilt nicht nur für die ideale isobare Überhitzung, sondern auch für die wirkliche, bei der eine Drucksenkung infolge der Rohrreibung eintritt. Treten am Anfang und am Ende des Überhitzers größere Dampfgeschwindigkeiten auf, so ist wegen der kinetischen Energie eine Erweiterung der Formel nötig. Es wird dann Qn =

i2—h+2-(wl—wY),

wenn w1 und w2 diese Geschwindigkeiten sind. Auch die nicht umkehrbare Zustandsänderung durch D r o s s e l u n g im Rohr ohne Wärmeaustausch läßt sich im Mollierdiagramm sehr einfach darstellen. Für sie gilt die Grundgleichung h = V Die Zustände vor und nach der Drosselung liegen also im Diagramm auf einer Parallelen zur Abszissenachse. Wegen des Ansteigens der Isothermen von links nach rechts nimmt bei der Drosselung überhitzten Dampfes die Temperatur ab. Da bei vollkommenen Gasen die Temperatur bei der Drosselung konstant bleibt, ist die Temperatursenkung bei der Drosselung des überhitzten Dampfes ein Maß für seine

120

Der überhitzte Dampf

200

r 150

t wo

50

0

5 —

¡0 -

n

Abweichung vom vollkommenen Gaszustand. Läßt man den Zustand des Dampfes vor der Drosselstelle konstant und ändert man den Gegendruck stetig bis herab auf Null,so ändert sich die Temperatur hinter dem Drosselventil auch i5 atabs stetig. Trägt man diese Temperatur in einem

Abb. 61. Drosselkurven für Wasserdampf. g ^ , ^

ü b e r

d e m

Q e

.

gendruck auf, so erhält man eine Kurve, die man Drosselkurve nennt. Li die Abb. 61 sind einige solche Kurven, die an der Sättigungsgrenze beginnen, eingezeichnet. Sie lassen erkennen, wie beträchtlich die Temperatursenkung bei der Drosselung des überhitzten Wasserdampfes ist. Man liest aus ihr z. B. ab, daß trocken gesättigter Dampf von 15 at abs sich bei der Drosselung auf den Druck p = 0 von 197° C auf 156° C abkühlt. Sehr lehrreich ist die Krümmung der Drosselkurven, bzw. die Veränderung ihrer Neigung. Diese ist gleich

i

, der Temperaturänderung bei der Dros-

selung um die Druckeinheit. Dieser Effekt nimmt mit abnehmendem Druck an der Drosselstelle zu und besitzt bei sehr kleinen Drucken ein Maximum. Aus dem /S-Diagramm liest man ferner ab, daß nasser Dampf bei starker Drosselung überhitzt wird, eine Eigenschaft, die man zur Messung der Dampffeuchtigkeit in einer Rohrleitung benutzen kann. Die Isothermen und Isochoren des überhitzten Wasserdampfes lassen sich an Hand des /¿»-Diagramms auch leicht behandeln. Sie haben aber geringe technische Bedeutung.

Umsetzung von Wärme in kinetische Energie

121

In den letzten Jahren sind für zahlreiche Dämpfe ISDiagramme entworfen und in den Handel gebracht worden. Beim Auftauchen neuer Stoffe tritt manchmal an den Ingenieur die Aufgabe heran, ein solches Diagramm zu berechnen. Die Besprechung dieser Aufgabe überschreitet aber den Rahmen dieses Bändchens. Abschnitt IX. Die Umsetzung von Wärme in kinetische Energie bei der strömenden Bewegung der Gase und Dämpfe Bei den bisher betrachteten Zustandsänderungen wurde die während der Expansion eines Gases oder 'eines Dampfes in äußere Arbeit verwandelte Wärme im Augenblick ihrer Entstehung nach außen, z. B. durch den Kolben, an das Triebwerk einer Maschine abgegeben. Bei der Strömung von elastischen Flüssigkeiten durch ruhende Kanäle oder Rohre mit veränderlichem Querschnitt tritt nun der technisch und theoretisch sehr wichtige Fall ein, daß die Expansionsarbeit nicht nach außen abgegeben wird, sondern in der Flüssigkeit in Form von kinetischer Energie erscheint. Die während der Expansion von einem Gasteilchen geleistete äußere Arbeit L12 wird zwar an benachbarte Teilchen abgegeben. Es tritt aber keine Arbeit aus der Gesamtgasmenge nach außen, da jedes Teilchen von benachbarten Teilchen die gleiche Energie zur Beschleunigung empfängt, die es selbst abgegeben hat. Dieser Energieumsatz von Wärme in kinetische Energie tritt bei technischen Anwendungen in Steuerkanälen, Ventilquerschnitten, Leit- und Laufrädern von Dampfturbinen und Turbokompressoren und in Düsen für Mengenmessungen auf. Die hierbei zu behandelnden Aufgaben kam man in dem kurzen Namen Ausfluß zusammenfassen. Sie wurden zuerst behandelt und gelöst bei der Frage nach der Menge eines Gases, die in der Zeiteinheit aus einem Windkessel ausfließt,

122

Umsetzung von Wärme in Kinetische Energie

dessen Wand eine Mündung enthält. Es finden hauptsächlich drei Arten von Mündungen Anwendung. Die wichtigste ist die gut abgerundete Mündung, auch Düse genannt. Bei ihr ist der Mündungsquerschnitt der engste Querschnitt. Zur guten Parallelführung des ausfließenden Gasstrahles besitzt sie meist ein kurzes zylindrisches Stück. Für den Dampfturbinenbau ist die de Lavaische Düse von großer Bedeutung. Sie besitzt einen engsten Querschnitt, an den sich eine kegelförmige Erweiterung anschließt. Für Meßzwecke findet auch vielfach die Blende, auch Mündung in dünner Wand oder scharfkantige Düse oder Staurand genannt, Anwendung. Diese Mündung besteht aus einer ebenen Scheibe mit einer kegelförmigen Bohrung. Dadurch entsteht ein scharfkantiger Mündungsquerschnitt, in dem sich der Ausflußstrahl von der Wand der Blende ablöst. Bei der Verwendung zu. Meßzwecken haben die Mündungen eine gerade Achse, im Dampfturbinenbau eine gekrümmte. In diesem Fall ist auch die Ebene des Mündungsquerschnittes gegen die Achse der Mündung geneigt; die Mündung besitzt einen Schrägabschnitt. § 1. Die Strömungsgleichung Bei der Strömung durch einen Kanal ist die Geschwindigkeit über den Querschnitt des Kanals nicht gleichmäßig verteilt. Sie ist an der Wand Null und steigt gegen die Mitte des Querschnittes zu einem Höchstwert an. Für viele Zwecke kann zur Vereinfachung der Rechnung diese Geschwindigkeitsverteilung durch eine gleichmäßige ersetzt werden. Diese Annahme soll auch im folgenden gemacht werden. Ist G die in der Zeiteinheit durch einen Querschnitt von der Größe F strömende Gas- oder Dampfmenge, w ihre Geschwindigkeit und i ihre Enthalpie, so ist nach S. 20 der Energieeinfluß E durch diesen Querschnitt

Die Strömungsgleichung

123

Bezeichnet man mit dem Index 1 die Werte dieser Gleichung, die sich auf einen Querschnitt des Kanals beziehen, und mit dem Index 2 die entsprechenden Werte in einem in der Richtung der Strömung nachfolgenden Querschnitt, und wird zwischen den beiden Querschnitten in der Zeiteinheit die Wärme Qs an die Umgebung abgegeben, so besteht nach dem Energieprinzip die Gleichung E1 = E2 + Qs oder —

™l) = h —\

— -¿-

Liegen die beiden Querschnitte der Leitung nicht gleich hoch, so ist noch die potentielle Energie der strömenden Menge in die Gleichung einzuführen. Da aber nach dem Wärmeäquivalent einem Höhenunterschied von 1 m nur ^ kcal.kg -1 entsprechen, so kann dieser Energiebetrag gegen die Änderung der Enthalpie, die die Größenordnung von 10—100 kcal.kg -1 hat, bei allen technischen Anwendungen vernachlässigt werden. Auch der Wärmeaustausch mit der Umgebung ist meist, bezogen auf die Mengeneinheit der strömenden Gasmenge, verschwindend klein. So geht die Energiegleichung über in —

= h — V

Die Abnahme des Wärmeinhaltes \ — \ nennt man auch das W ä r m e g e f ä l l e und bezeichnet es mit H. Damit erhält man Yg ("» ~

=

H

-

Man nennt diese Gleichung die S t r ö m u n g s g l e i c h u n g . Sie sagt aus, daß längs der Strömung der Zuwachs an kinetischer Energie gleich dem Wärmegefälle ist.

124

Umsetzung von Wärme in kinetische Energie

Betrachtet man zwei benachbarte Querschnitte, so geht die Strömungsgleichung in die Differentialgleichung — wAw = — di 9

über. Es ist zu beachten, daß diese Strömungsgleichung sowohl für umkehrbare als auch für nicht umkehrbare Zustandsänderungen gilt. Die Mchtumkehrbarkeit wirklicher Strömungen wird durch die Reibung zwischen benachbarten Gasteilchen veranlaßt. Ihre Größe kann durch sehr glatte Rohrwände stark herabgesetzt werden. Es soll deshalb hier nur die reibungsfreie Strömung behandelt werden. § 2. Der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung Den einfachsten und auch wichtigsten Fall der Strömung bildet der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung. Der Mündungsquerschnitt habe die Größe F2. Die in diesem Querschnitt herrschende Geschwindigkeit nennt man die Ausflußgeschwindigkeit w r Die Strömung beginnt im Inneren des Ausflußkessels mit sehr kleiner Geschwindigkeit. Da für Geschwindigkeiten, die kleiner als 30 m/s sind, der Wärmewert der kinetischen Energie kleiner als 0,1 kcal, k g - 1 ist, kann dann in der Strömungsgleichung für dfen Ausfluß die Anfangsgeschwindigkeit w 1 im Kessel Null gesetzt werden. Die A u s f l u ß g e s c h w i n d i g k e i t wird dann

Setzt man

hier für die Erdbeschleunigung

g = 9,81 ms - 2 und für das Wärmeäquivalent ein, so wird w2 = 91,53 ]/H ms" 1 .

den

Wert

kcal, mkg - 1

Der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung 125 Ist z. B . das Wärmegefälle H = 100 kcal.kg - 1 , so wird die Ausflußgeschwindigkeit w2 = 915,3 ms - 1 . Das Wärmegefälle kann bei gegebenem Zustand im Kessel und bekanntem Gegendruck aus dem /S-Diagramm abgegriffen werden. Zur einfacheren Diskussion der Ausflußformel werde sie auf ein vollkommenes Gas angewendet. Nach S. 37 ist für ein solches i = cpT. Damit geht die Ausflußgleichung über in

Ersetzt man in ihr T1 aus der Gasgleichung und AR durch cp — cv, so wird

Bei der angenommenen reibungsfreien Strömung verläuft die Expansion in der Düse adiabatisch. Es gilt dann nach der Gleichung der Adiabate X—1

T, = T,

(P,\ \PJ

»

In Anlehnung an die Erfahrung der Hydraulik werde der Druck P2 im Mündungsquerschnitt F2 gleich dem Gegendruck außerhalb der Mündung gesetzt. Das Gas verläßt dann die Düse als ein zur Düsenachse paralleler Strahl mit dem Umgebungsdruck P2. Setzt man das aus der Adiabate gewonnene Temperaturverhältnis in die Ausflußgleichung ein, so erhält man die schon im Jahre 1839 von de SaintWenant und Wantzel aufgestellte Gleichung für die adiabatische Ausflußgeschwindigkeit, die jetzt mit w0 bezeichnet werde, zu

126

U m s e t z u n g v o n W ä r m « in k i n e t i s c h e

wn =

2g%

x—1

P1 A1 1 L

(£) W

Energie

"

J

Für kleine Druckdifferenzen geht sie über in w0 = | / 2 g P ^ ( l -

Abb. (¡2. Ausflußgeschwinrligfceit einer Düse abhängig vom Druckvcrhäitnis.

= j / S i M

=

wenn h die Druckdifferenz in m Gassäule ist. Die Abb. 62 zeigt diese Abhängigkeit der adiabatischen Ausflußgeschwindigkeit w0 vom Druckverhältnis P J P i bei gleichbleibendem Zustand im Ausflußkessel. Sie steigt mit sinkendem Gegendruck an und erreicht ihren Höchstwert beim Ausfluß ins Vakuum für P2 = 0 mit

,TV

(Wo)max —

Es wird hierbei dann der ganze Wärmeinhalt \ des Gases in kinetische Energie verwandelt. Mit cp = 0,24 für Luft als vollkommenes Gas und = 20° C wird (M>0)max =

767

ms-1.

Neben der Ausflußgeschwindigkeit ist die in der Zeiteinheit ausströmende Gasmenge sehr wichtig. Sie ergibt sich aus der Anwendung der Kontinuitätsgleichung auf die Strömung. Man erhält sie, wenn man das ausströmende Volumen einmal

2i

t

Der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung 127 aus Querschnitt und Geschwindigkeit und dann aus Ausflußgewicht und spezifischem Volumen berechnet zu =

F2wo

oder

GV2

v2 ergibt sich aus der Gleichung der Adiabate zu

Setzt man diesen Wert und den Wert der Ausflußgeschwindigkeit in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhält man für die Ausflußmenge Abb. 63. Theoretische Ausflußmenge abhängig vom Druckverhältnis.

die Beziehung 2

G

i±i'

-'.fe*

Bei gleichem Zustand im Ausflußgefäß oder bei wechselndem Gegendruck ergibt die Formel die aus Abb. 63 ersichtliche Änderung der Ausflußmenge. Das Maximum der Ausflußmenge mit *

erfolgt bei dem k r i t i s c h e n

X+l

Druckverhältnis

128

Umsetzung von Wärme in kinetische Energie

Der linke Zweig der Kurve in Abb. 63 zeigt einen unverständlichen und unmöglichen Verlauf. Es muß der Rechnung eine mit der Wirklichkeit nicht übereinstimmende Annahme zugrunde liegen, zu deren Aufhellung man am besten einen Versuch heranzieht. In der Abb. 64 sind der rechte Ast jener theoretischen Kurve der Abb. 63 und die versuchsmäßige Kurve zusammen eingezeichnet. Man erkennt, daß der rechte Ast der theoretischen Kurve sich mit dem Versuch deckt, d. h. ist das Druckverhältnis, bei dem der Ausfluß erfolgt, größer als das oben berechnete kritische Druckverhältnis ß, so ergibt obige Formel richtige Werte für die Ausflußmenge. Ist dagegen das Druckverhältnis beim Ausfluß kleiner als das kritische, so stimmt die Rechnung nicht. Beim Versuch ergibt sich unter dem kritischen Druckverhältnis eine gleichbleibende Ausflußmenge in der Größe des berechneten G m a x Auch dieses überraschende Ergebnis klärt ein einfacher Versuch. Mißt man den statischen Druck in der MündungsAbb. 64. Wirtuche Ausflußmenge ebene, also im zylindrischen abhängig vom Druckverhältnis. Ansatzstück der DÜSe, SO findet man, daß beim Ausfluß über dem kritischen Druckverhältnis die bei der Aufstellung der Gleichungen gemachte Annahme, daß im Mündungsquerschnitt der äußere Gegendruck sich einstellt, mit der Wirklichkeit übereinstimmt. Ist dagegen das Verhältnis des äußeren Gegendruckes P 2 zum Druck P x im Ausflußkessel kleiner als das oben berechnete kritische Druckverhältnis ß, so expandiert das Gas in der Düse nicht mehr bis auf den Gegendruck P2. Im Mündungsquerschnitt stellt sich ein höherer Druck Pm ein. Nach Versuchen ist er Pm =

ß-Pv

Der Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung

129

Man nennt ihn den k r i t i s c h e n Druck für die Düsenströmung. Läßt man bei einer Versuchsreihe den Innendruck P j konstant und ändert man den Gegendruck P2, so bleibt beim Unterschreiten des kritischen Druckverhältnisses der Mündungsdruck Pm konstant. Wenn Innendruck und Mündungsdruck unverändert bleiben, so bleibt auch die Ausflußmenge konstant. Es gilt also: / für

"i

ß

und für ^ ^ ß

r

—

G

G = 6*max = F,

Das kritische Druckverhältnis ist nach der Formel S. 127 nur vom Exponenten x der Adiabate abhängig. So ist z. B. für mit

ß =

Luft 1,40 0,528

trockengesättigten Wasserdampf

überhitzten Wasserdampf

1,135 0,577

1,30 0,548

Es ist üblich, die Formel für die Ausflußmenge in der Form

und

G - " " ' f i ^rnax = Vmax F2 1/ * r %

zu schreiben. Man nennt dabei y.> den A u s f l u ß f a k t o r . ist nur von x und dem Druckverhältnis

p

"1

abhängig. Die

folgende Zahlentafel zeigt diesen Zusammenhang. Nu Seit, Technische Thermodynamik I.

Er

9

130

Umsetzung von Wärme in kinetische Energie fr-i Ausflußfaktor y ms 1,40

1,135

1,30

ß

2,145

1,992

2,089

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

2,120 1,997 1,753 1,320 0

1,989 1,906 1,694 1,287 0

2,074 1,965 1,731 1,308 0

X

p, Pl

Setzt man in die Gleichung für die Ausflußgeschwindigkeit fiir

das kritische Druckverhältnis ein, so erhält man

die Mündungsgeschwindigkeit wm beim Unterschreiten des kritischen Druckverhältnisses. Sie wird so

Wenn man mittels der Gleichung der Adiabate statt der Zustandsgrößen im Ausflußgefäß die im Mündungsquerschnitt herrschenden Werte Pm, vm und Tm einsetzt, so findet man w>m = VgxPmVm = VgxRTm. Es ist dies die zum Zustand im Mündungsquerschnitt gehörige S c h a l l g e s c h w i n d i g k e i t . Beim Unterschreiten des kritischen Druckverhältnisses wird also bei einer gut abgerundeten Düse der Mündungsquerschnitt mit Schallgeschwindigkeit durchströmt. § 8. Die Nachexpansion im freien Strahl Beim Ausfluß durch eine gut abgerundete Mündung im Druckbereich, der unter dem kritischen Druckverhältnis liegt, muß die Expansion vom kritischen Druck, der im Mündungsquerschnitt herrscht, bis auf den äußeren Gegendruck außerhalb der Düse im freien Strahl stattfinden. Man spricht dann

131

Die Nachexpansion im freien Strahl

von einer Nachexpansion. Die Strömung ist hier sehr verwickelt. Man kann aber annehmen, daß in einiger Entfernung vom Mündungsquerscjinitt das Gas auf den Gegendruck P 2 expandiert ist und die gleichmäßige Ausflußgeschwindigkeit w2 angenommen hat. Diese Geschwindigkeit läßt sich dadurch finden, daß man auf den freien Strahl den Satz vom Antrieb anwendet. Er liefert die Beziehung Cr -

(w2 — wm)

=

F2(Pm

—

Pt).

Hieraus folgt die Ausflußgeschwindigkeit zu M>2 = Wm + (pm — P2)In dieser Formel ist das Ausflußgewicht 0 = y >

a

» F ,

j / ^ .

Diese Ausflußgeschwindigkeit w2 ist wesentlich kleiner als die Ausflußgeschwindigkeit w0, die sich bei adiabatischer Expansion vom Innendruck P1 auf den Gegendruck P2 nach der Formel von de Saint-Venant und Wantzel ergibt. Die Nachexpansion muß also mit starken Verlusten durch Reibung verbunden sein. Führt man das Verhältnis

ein und nennt man

Isobare des nassen Wasserdampfes 95 Isobare des überhitzten Wasserdampfes 119 Isobare des vollkommenen Gases 42 Isochore 39 Isochore des nassen Wasserdampfes 96 Isochore des vollkommenen Gases 43 Isotherme 40 Isotherme des nassen Wasserdampfes 95 Isotherme des überhitzten Wasserdampfes 120 Isotherme des vollkommenen Gases 40 Kalorische Zustandsgleichung, siehe Zustandsgieichung, kalorische x37 Kilokalorie 9 Kilokalorie, International 15 Kilowattstunde 14 Kompressionsarbeit 24 Kontinuittäsgleichung 127, 133 Kreisprozeß 56 Kreisprozeß, nicht umkehrbarer 56 kritische Temperatur 106 kritischer Druck 81,106, 129 kritisches Druckverhältnis 128 kritischer Zustand 81, 106 Mechanisches Wärmeäquivalent 13 Mittlere spezifische Wärme 10 Mol 32 Molekulargewicht 30 Molekularwärme 37 .Mollier- Diagramm siehe /^-Diagramm Mündung 122, 124

Sachverzeichnis Nachexpansion 131 nasser Dampf 78, 93 nasser Dampf, Entropie 93 nasser Dampf, Erzeugungswärme 93 nasser Dampf, innere Energie 93 nasser Dampf, spezifisches Volumen 93 nasser Dampf, Wärmeinhalt 93 nasser Dampf, Zustandsänderung 95 Nullpunkt, absoluter 8, 73

Thomsonsche Formel 71 trockengesättigter Dampf 76

Überdruck 22 überhitz terWasserdampf, 78, 103 überhitzterWasserdampf, Adiabate des 116 überhitzterWasserdampf, cp des 113 ÜberhitzterWasserdampf, Drosselung des 119 ÜberhitzterWasserdampf, Entropie des 113 überhitzterWasserdampf, innere Energie des 112 überhitzterWasserdampf, Perpetuum mobile erster ZS-Diagramm des 115 Art 15 überhitzterWasserdampf, Perpetuum mobile zweiIsobare des 119 ter Art 64 überhitzterWasserdampf, Pferdekraftstunde 13 Wärmediagramm des Polytrope 40, 48 119 PP-Diagramm 27, 81, 94, überhitzterWasserdampf, 97 Wärmeinhalt 112 überhitzter >t asserdampf, Quecksilberthermometer Zustandsänderungen 7 116 überhitztes Wasser 77 Raumanteil 53 umkehrbare Zustandsänderung 23 Sättigungstemperatur 79 umkehrbarer Kreisprozeß 56 Schallgeschwindigkeit unterkühlter Dampf 78 130 Spannungskurve, siehe Dampfspannungskurve Verdampfung 76 spezifische Wärme, siehe Verdampfungstemperatur 77 Wärme spezifische spezifischer Dampfgehalt Verdampfungswärme 83, 85 79 spezifisches Gewicht, s. Volumen, spezifisches 18, 31 Gewicht spezifisches spezifisches Volumen, s. Volumen, spezifisches der Flüssigkeit 80 Volumen spezifisches Stofftheorie der Wärme Volumen, spezifisches des nassen Dampfes 93 12 Strömungsgleichung 123 Volumen, spezifisches des trocken gesättigten Dampfes 80 Temperatur 6 Volumen, spezifisches des Temperatur, absolute 8 überhitzten WasserTemperaturmessung 6 dampfes 108 Temperaturskala 6 Teraperaturskala, ther- Wärme, spezifische 9, modynamische 8, 73 34 TS- Diagramme, siehe Wärme, mittlere spezifiWärmediagramm sche 10, 39

Sachverzeichnis Wärme, spezifische der Oase 34, 39 Wärme, spezifische des überhitzten Wasserdampfes 113 Wärme, spezifische des Wassers 9 Wärmeäquivalent 13, 14 Wärmediagramm 68, 88, 114 Wärmeeinheit 9 WärmeeiDheit, internationale 15 Wärmegefälle 123, 125 Wärmeinhalt der Flüssigkeit 87 Wärmeinhalt der Gasmischung 55 Wärmeinhalt des nassen Dampfes 9 Wärmeinhalt des trokkengesättigten Dampfes 87 Wärmeinhalt des überhitzten Dampfes 111

Wär,meinhalt des vollkommenen Gases 37 Wärmemenge 9, 14 Wirkungsgrad deB Carnotschen Prozesses 71 Wirkungsgrad, thermischer 57, 69 Zustandsänderung 23,27, 39 Zustandsänderung, adiabatische 40, 44 Zustandsänderung, isochore 39, 42 Zustandsänderung, isobare 39, 43 Zustandsänderung, isotherme 39, 40 Zustandsänderung, nicht umkehrbare 23, 25, 40. 65, 75 Zustandsänderung, polytrope 40, 48 Zustandsänderung, umkehrbare 23, 27, 39, 65. 75

143 Zustandsgieichung, kalorische 33 Zustandsgieichung der Luft 38 Zustandsglelchung von realen Gasen 38 Zustandsgieichung, thermische 30 Zustandsgieichung des trocken gesättigten Dampfes 79 Zustandsglelchung des überhitzten Wasserdampfes 108, 109 Zustandsgieichung von van der Waals 105 Zustandsgieichung des vollkommenen Gases 30 Zustandsgrößen, thermische 30 Zustandsgrößen, kalorische 33 Zweiter Hauptsatz, siehe Hauptsatz II.