Tafeln und Tabellen zur Festigkeitslehre [Reprint 2019 ed.] 9783486780093, 9783486780086

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TAFELN UND TABELLEN ZUR FESTIGKEITSLEHRE von

Dr. phil. Ludwig Föppl

Dr.-Ing. Gerhard Sonntag

o. Professor an der Technischen Hochschule München

Privatdozent an der Technischen Hochschule München

Mit 3 0 5 Abbildungen

M Ü N C H E N 1951 V E R L A G V O N R. O L D E N B O U R G

Copyright 1 951 by R. Oldenbourg, München Gesamtherstellung : R. Oldenbourg, Graphische Betriebe G. m. b. H., München

I n h a I t s v e r z e i c h n is A B S C H N I T T A. UNGESTÖRTE S P A N N U N G S Z U S T A N D E Seite

Einleitung I. B I E G U N G

15 DES

GERADEN

UND

GEKRÜMMTEN

STABES

§1 Voraussetzungen, Schubmittelpunkt 1. Bestimmung des Schubmittelpunktes für ein F-Profil 2. Der Schubmittelpunkt weiterer Profile

17 17 18

§2 Biegung des geraden Stabes 1. Stäbe großer Länge im Vergleich zur Breite und»Höhe 2. Balken großer Breite 3. Breitflanschige Träger 4. Hohe Träger

19 19 19 20 20

§ 3 Biegung des stark gekrümmten Stabes 1. Biegung des krummen rechteckigen Stabes 2. Tafeln zu gekrümmten Stäben verschiedenen Querschnittes unter reiner Biegung 3. Mittragende Breite stark gekrümmter breiter Flansche Gekrümmte Stäbe veränderlicher Querschnittshöhe, siehe A I I I §16

21 21

§ 4 Geschlossene Ringe 1. Der geschlossene Kreisring 2. Elliptischer Ring Literatur zu A I

21 22 22 22 22 23

II.

TORSIONSPROBLEME

§ 5 Einleitung

24

§ 6 Zur Ausrundung der Walzeisenträger

24

§7 Hohlstäbe 1. Hohlstäbe geringer Wandstärke a) Ohne Steg b) Mit Steg 2. Kastenquerschnitte

25 25 25 26 26

4

INHALTSVERZEICHNIS Seite 27

§ 8 Zur Frage der Querschnittsverwölbung § 9 Bemerkenswerte Sonderquerschnitte 1. Aufgeschlitzter Hohlzylinder 2. Hohlzylinder mit nichtdurchlaufendem Längsschlitz 3. Verdrehung zweier paralleler Platten, die an den Schmalseiten starr miteinander verbunden sind

28 28 28 29

§ 10 Zug und Druck von Schraubenfedern

29

Literatur zu A II

30

III. E B E N E

SPANNUNGSZUSTÄNDE

(SCHEIBEN)

§11 Einleitung

30

§12 Halbscheibe und Keil 1. Keil mit Einzellast an der Spitze (Sonderfall: Unendlich ausgedehnte Halbscheibe) a) Belastung der unendlichen Halbscheibe durch eine Einzellast P senkrecht zur Begrenzung b) Keil mit symmetrischer Einzellast c) Keil mit Einzellast rechtwinklig zur Symmetrielinie

30 31 31 31 31

2. Halbscheibe mit Momentbelastung 3. Die durch Belastungsstreifen senkrecht beanspruchte Halbscheibe . . . . 4. Gelochte Halbscheibe mit gleichmäßiger Normalbelastung des geraden Randes 5. Keil, auf einer Flanke gleichmäßig belastet 6. Keil mit längs einer Flanke ansteigender Belastung

31 31

§ 13 Unendlich ausgedehnte Scheibe 1. Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Einzellast 2. Allseitiger Druck eines Bolzens in der unendlich ausgedehnten Scheibe 3. Moment in der unendlich ausgedehnten Scheibe 4. Das durch eine Niet- oder Bolzenkraft in einer Richtung beanspruchte unendlich ausgedehnte Blech ! a) Lochleibungsdruck des Bolzens

33 33

b) Belastung des Lochrandes durch eine konzentrische Normalkraft . . . .

32 32 32

33 33 34 34

§ 14 Rechteckige Scheibe mit Einzellasten am Rande

34

§15 Die gedrückte Walze a) Spannungen in der Walze b) Spannungsverhältnisse und Werkstoffbeanspruchung in der Drucklinie und ihrer Umgebung § 16 Aufgeschlitzte Kreisringscheibe 1. Zentrische Bohrung 2. Exzentrische Bohrung 3. Einfaches Näherungsverfahren zur Berechnung der größten Spannung im Mittelquerschnitt des exzentrischen Kreisringes 4. Technische Anwendungen

35 35

37 38

Literatur zu A l l I

38

35 36 36 37

INHALTSVERZEICHNIS

5 Seite

IV. RÄUMLICHE SPANNUNGSZUSTÄNDE, HERTZSGHE HÄRTE, FUNDAMENTE § 17 Einleitung

39

§18 Die Grundbelastungsfälle des Halbraumes 1. Der durch Einzellast an der Begrenzungsebene belastete unendlich ausgedehnte Halbraum a) Belastung normal zur Begrenzungsebene b) Belastung tangential, d. h. in der Begrenzungsebene 2. Momentbelastung des Halbraumes a) Der Momentenvektor steht senkrecht auf der Begrenzungsebene... b) Der. Momentenvektor liegt in der Begrenzungsebene

39

3. Der über eine Kreisfläche belastete Halbraum

39 39 39 40 40 40 40

§ 19 Hohl- und Vollkegel mit Belastung seiner Spitze

41

§20 Die Hertzsche Härte 1. Druck zwischen Kugel und Platte 2. Druck zwischen zwei Kugeln 3. Beanspruchung des Stoffes in der Druckfläche

42 42 43 43

§ 21 Druckverteilung unter elastisch gelagerten Tragwerken 1. Ebene Probleme a) Das symmetrisch belastete Fundament mit ebener Sohlfläche . . . . b) Das unsymmetrische Fundament mit ebener Sohlfläche c) Ebene Fundamentsohle mit abgerundeten Kanten d) Die parabolisch gewölbte Fundamentsohle e) Schneidenförmiges Tragwerk f) Parabolisch abgerundete Schneidenprofile 2. Das achsensymmetrische Problem a) Fundament mit ebener Sohlfläche b) Ebene Druckfläche mit abgerundeten Kanten c) Paraboloidische gewölbte Druckfläche d) Kugelförmige Fundamentsohle 3. Druckverteilung unter nachgiebigen Tragwerken

44 44 44 45 46 46 47 47 47 47 48 48 48 49

Literatur zu A IV

49 V. P L A T T E N

§ 22 Einleitung

50

„ K i r c h h o f f s c h e P l a t t e n " (Durchbiegung < Dicke -4 Ausdehnung)

50

§ 23 Kreis- und Kreisringplatten 1. Drehsymmetrische Beanspruchung a) Feste Lager und gleichbleibende Plattendicke b) Veränderliche Plattendicke, Versteifungen c) Elastische Unterlage d) Veränderliche Plattendicke und elastische Unterlage 2. Unsymmetrische Belastung

50 50 50 52 54 54 55

§24 Rechteckige Platten (Einflußflächen siehe S. 61)

55

6

INHALTSVERZEICHNIS Seite 1. Die geradlinig-freigestützte rechteckige P l a t t e mit einer sinusförmigen Belastung. Verhindertes Abheben der Ecken 2. Rechteckige P l a t t e mit gleichmäßiger Belastung, R ä n d e r in einer Ebene g e s t ü t z t oder eingespannt 3. Näherungsformeln f ü r rechteckige P l a t t e n mit gleichmäßiger Last und verschiedenen Randbedingungen 4. Rechteckige P l a t t e n mit Aussteifungen . . : a) Das engmaschige R i p p e n n e t z mit quadratischer Feldteilung b) Der P l a t t e n b a l k e n 5. Hydrostatische Druckbelastung—Schleusentore 6. Gitter- oder Zellenplatten

55 56 57 57 57 58 58 58

§ 25 Beanspruchung der P l a t t e n durch Einzellasten

58

§ 26 Die Pilzdecke

60

§ 27 P l a t t e n außergewöhnlicher Gestalt 1. Beanspruchung der aufgeschnittenen Kreisringplatte 2. Plattenstreifen, Dreiecks-, Kreissektor- und elliptische P l a t t e

60 60 61

§ 28 Einflußflächen rechteckiger P l a t t e n 1. E i n f ü h r u n g mit Beispielen 2. Übersicht zu den E i n f l u ß f l ä c h e n rechteckiger E i n f e l d p l a t t e n

61 61 66

„Die m i t t e l s t a r k e

P l a t t e " (Durchbiegung > Dicke)

§ 29 Die gleichmäßig belastete Kreisplatte großer Ausbiegung

67

§ 3 0 Die freigestützte quadratische P l a t t e großer Ausbiegung

69

„Dünne

Platten"

§ 3 1 Die kreisförmige H a u t mit gleichförmig verteilter Belastung

70

§32 Die rechteckige H a u t

70

„Dicke P l a t t e n " § 33 Dicke P l a t t e n verschiedener Belastung

70

L i t e r a t u r zu A V

70

VI.

SCHALEN

§ 3 4 Achsensymmetrische Schalen u n t e r f l ä c h e n h a f t verteilten Lasten 1. E i n f ü h r u n g 2. Zylinderkessel und Kesselböden a) Zylindrisches F a ß mit Korbboden b) Zylindrisches F a ß mit ellipsoidischen Böden vom Achsenverhältnis 1 : 2 3. Der Kesselboden gleicher Festigkeit 4. Die Kugelschale a) U n t e r k o n s t a n t e m Innen- oder Außendruck b) U n t e r der Flüssigkeitslast von der W i c h t e y 5. Kegelschale a) U n t e r Innen- oder A u ß e n d r u c k b) Flüssigkeitsdruck der Wichte y

72 72 73 73 74 75 75 75 75 75 76

INHALTSVERZEICHNIS

7 Seite

6. Der röhrenförmige Kessel 7. Dünnwandige Hohlzylinder gleicher F e s t i g k e i t gegen Innen- und Außendruck § 35 Schiefe Kreiskegelschale unter Innen- oder Außendruck

76 77 77

§ 3 6 Kegelschalen m i t B e l a s t u n g ihrer Spitze

78

1. Die gerade Kreiskegelschale u n t e r B e l a s t u n g ihrer Spitze

78

a) Durch K r ä f t e b) Durch Momente

78 78

2. B e a n s p r u c h u n g der allgemeinen, geschlossenen sowie auch aufgeschnittenen Kegelschale bei B e l a s t u n g ihrer Spitze durch K r ä f t e § 37 R o h r e

79 79

1. Die B e a n s p r u c h u n g freitragender, mit Flüssigkeit gefüllter R o h r e . . . 2. S p a n n u n g in einem g e k r ü m m t e n R o h r von K r e i s q u e r s c h n i t t bei Ü b e r druck 3. Biegung des g e k r ü m m t e n R o h r e s § 38 Biegungsbeanspruchung dünner Schalen

79 80 81 81

a) A c h s e n s y m m e t r i s c h e L a s t e n 1. Ringförmig v e r t e i l t e radiale K r ä f t e a m Zylinderrand 2. Ringförmige M o m e n t e n b e l a s t u n g am Zylinderrand 3. Ringförmige B e l a s t u n g des Zylinders durch radiale L a s t 4. R o h r mit Versteifungsringen u n t e r I n n e n d r u c k 5. Biegungsbeanspruchung einer Zylinderschale m i t Kugelboden innerem oder äußerem Ü b e r d r u c k

82 82 82 82 83 bei

6. Beliebige Umdrehungsschale mit s y m m e t r i s c h e r R a n d b e l a s t u n g . . . b) A s y m m e t r i s c h e L a s t e n

83 83 84

1. Zylinder mit radialer Einzellast

84

§ 39 Dicke Schalen

84

1. Dicke Kugelschale

84

a) U n t e r I n n e n d r u c k

84

b) U n t e r A u ß e n d r u c k

85

2. Dicke Zylinderschale

85

a) U n t e r I n n e n d r u c k b) U n t e r Außendruck c) Dicker Hohlzylinder unter S c h u b

85 85 85

L i t e r a t u r zu A V I

85

A B S C H N I T T B. K E R B S P A N N U N G E N § 1 Einleitung I. E B E N E

87 KERBWIRKUNG

(FLACHSTÄBE

§ 2 Tiefe A u ß e n k e r b e 1. Die beiderseitige tiefe A u ß e n k e r b e a) R e i n e r Zug b) R e i n e Biegung c) R e i n e r S c h u b

UND

SCHEIBEN) 89 89 89 89 90

INHALTSVERZEICHNIS

8

Seite 90 91 91 91

2. Die einseitige tiefe Außenkerbe a) Reiner Zug b) Reine Biegung c) Reiner Schub § 3 Die flache Außenkerbe

91

§ 4 Das elliptische Loch in der unendlichen Ebene

92

§ 5 Der Vorsprung (Kerbwirkung durch Werkstoffanhäufung)

93

§ 6 Kerbwirkungen an Flachstäben 1. Spannungserhöhung in gezogenen Stäben und Blechen mit kreisförmigen Löchern 2. Kerbspannungen bei kreisförmigen Übergängen in Flachstäben 3. Kerbwirkung an Biegestäben in Abhängigkeit vom Kerbradius zur Kerbtiefe 4. Formziffern für Flachstäbe mit kreisförmigen Löchern, halbkreisförmigen Kerben und viertelkreisförmigen Übergängen bei Beanspruchung auf Zug, Druck und Biegung a) Fälle, bei denen Kerbradius und Kerbtiefe übereinstimmen b) Fälle mit verschiedenen Werten von Kerbradius und K e r b t i e f e . . . .

93

95 9& 96

§ 7 Einfluß der Dicke auf die Formzahl gekerbter Stäbe

96

§ 8 Spannungsverlauf an unsymmetrischen Stabecken bei Biegungsbeanspruchung

96

II. D A S K E R B P R O B L E M

IN

DER

93 94 94

PLATTENTHEORIE

§ 9 Gebogene Platte mit beiderseitiger Außenkerbe

97

§ 10 Platte mit Langloch bei Biegung

98

§ 11 Einfluß der Dicke auf die Formzahl gebogener Platten mit Querbohrung . .

98

III. R Ä U M L I C H E

KERBWIRKUNG

(UMDREHUNGSKERBEN)

§12 Die tiefe Umdrehungsaußenkerbe 1. Reiner Zug 2. Reine Biegung 3. Reiner Schub

99 99 100 100

4. Reine Drillung

101

§13 Torsion runder Wellen mit Kerben und Absetzungen ohne axiale Bohrung 101 § 14 Torsion runder Wellen mit axialer Bohrung und Innen- oder Außenkerbe.. 102 1. Flache Umdrehungskerbe mit großem Achsabstand 103 2. Tiefe Umdrehungskerbe mit großem Achsabstand 103 IV. P R I S M A T I S C H E

KERBWIRKUNG

§ 15 Stäbe mit Längsnut

104

§ 16 Dünnwandige Hohlquerschnitte mit Längsnut

105

§ 17 Wellen mit Querbohrung

105

INHALTSVERZEICHNIS

9 Seite

V. Ü B E R S I C H T

Ü B E R D I E L Ö S U N G E N VON

NEUBER

§ 1 8 Formzahlnomogramm mit Beispielen 1. Erläuterungen zu den Formzahlnomogrammen 2. Anwendungsbeispiele a) Beiderseitige Außenkerbe bei Biegung b) Umdrehungsaußenkerbe mit axialer Bohrung bei Biegung

VI. T E C H N I S C H E

106 106 107 107 107

SONDERFÄLLE

§ 19 Spannungsverlauf im Doppelhaken

107

§ 20 Spannungen an einer Schraubenverbindung

108

§21 Entlastungskerben 1. Entlastungskerbe an einer Zuglasche 2. Entlastungskerben an Rundstäben mit Querbohrungen 3. Bohrungen in der Kraftrichtung und Querbohrung a) Bohrungen in Kraftrichtung b) Nützliche Querbohrungen 4. Rundkerben, Gewindeausläufe

108 109 109 109 109 109 110

Literatur zu B

110

A B S C H N I T T C.

STABILITÄTSPROBLEME

§1 Einleitung

113 I. S T Ä B E

UND

WELLEN

§ 2 Knickung von Stäben mit kleiner Ausbiegung

115

§ 3 Der durchschlagende Stab 1. Belastung durch Einzelkraft

115 115

2. Unter gleichmäßiger Last

115

§ 4 Die gedrückte und tordierte Welle

116

§ 5 Knickprobleme der Schraubenfeder 1. Die gedrückte Schraubenfeder 2. Die tordierte Schraubenfeder 3. Die gedrückte und tordierte Schraubenfeder aus Runddraht

117 117 117 118

§ 6 Kipperscheinungen 1. 2. 3. 4.

Das Das Auf Das

Kippen hoher rechteckiger Träger Kippen des I-Trägers Druck und Biegung beanspruchter I-Träger Kippen des C J Trägers

§ 7 Knickbedingungen von Steg und Flansch des I-Trägers

118 118 119 120 121 121

10

INHALTSVERZEICHNIS Seite

II. P L A T T E N U N D

SCHEIBEN

§ 8 Die durchschlagende Kreisplatte

122

§ 9 Elastisches Knicken in ihrer Ebene gedrückter Kreisplatten 1. Die rotationssymmetrische Knickung der Kreisplatte 2. Die am Außenrand radial gedrückte Kreisringplatte

122 122 122

§10 Elastisches Knicken der rechteckigen Platte

122

III. S C H A L E N § 11 Stabilität einer gleichmäßig axial gedrückten zylindrischen Schale

125

§12 Stabilität der Zylinderschale unter Torsion 1. Reine Torsion 2. Torsion und Axialdruck

126 126 127

§13 Knickbedingung der gebogenen Zylinderschale

127

§ 14 Stabilität der Zylinderschale unter Außendruck

127

Literatur zu C

128

A B S C H N I T T D. V E R S C H I E D E N E S §1 Der Gültigkeitsbereich der Elastizitätstheorie

131

§ 2 Einfluß von Querschnittsgröße und Querschnittsform auf die Dauerfestigkeit 132 § 3 Einspannwirkung und Dauerfestigkeit 1. Spannungsverlauf in der Einspannung 2. Der Dauerbruchvorgang 3. Konstruktionsrichtlinien

134 134 135 135

§4 Die Wärmespannungen in einem dünnwandigen Rohr

135

§ 5 Der Biegestoß gegen Balken und Platte 1. Balken 2. Platten a) Kreisplatte b) Rechteckplatte

136 136 137 137 138

Vorwort Die Absicht, ein Tafel- und Tabellenwerk zur Festigkeitslehre herauszugeben, besteht bei mir schon seit langem. Sie entsprang der Erkenntnis, daß wertvolle Forschungsarbeit, die in Zeitschriften, Monographien und Doktorarbeiten niedergelegt ist, teilweise nicht an die Stellen gelangt, die einen praktischen Nutzen hieraus ziehen könnten. Bei der großen Zahl neuer wissenschaftlicher Arbeiten selbst auf einem Teilgebiet der Mechanik, wie es die Festigkeitslehre ist, dürfte ein die feststehenden Ergebnisse zusammenfassendes Werk für jeden von Vorteil sein, der mit Festigkeitsfragen zu t u n hat. Durch das Entgegenkommen einiger Kollegen haben wir Ergebnisse aufnehmen können, die noch nicht anderswo veröffentlicht sind. In dieser Beziehung schulden wir vor allem Herrn Prof. Dr.-Ing. Adolf Puchner Dank dafür, daß er uns die Resultate seiner umfangreichen Berechnungen von Einflußflächen von Platten für unser Tafelwerk freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat. Das nunmehr vorliegende Tafelwerk ist aus Anfängen hervorgegangen, die schon mehr als 15 Jahre zurückliegen. Ich habe damals mit einigen Zusammenstellungen begonnen, wobei mich meine Assistenten unterstützt haben. Der Umfang dieser Vorarbeiten wuchs aber nur langsam an, da wir durch andere dringendere Arbeiten immer wieder davon abgehalten wurden. Auch schien zunächst das Werk von J. Roark „Formulas for Stress and Strain" Mc. Gra^ Hill Book Comp. New York und London 1938 ein Ersatz für die von mir beabsichtigte Zusammenstellung zu sein. Es stellte sich aber doch heraus, daß das Werk von Roark einer Ergänzung bedarf. Wir haben einige Abschnitte eingehender behandelt und größeren Wert auf Anschaulichkeit gelegt als bei Roark. Dies gilt insbesondere für die Kerbspannungen. Umgekehrt haben wir an verschiedenen Stellen unseres Buches auf das Buch von Roark verwiesen, so daß sich eine gegenseitige Ergänzung ergibt. Die im F r ü h j a h r 1945 eintretende längere Atempause führte mich wieder an das Tafelwerk zurück, zumal mir in meinem damaligen Assistenten, Herrn Dr.-Ing. Gerhard Sonntag eine besonders geeignete Hilfe zur Seite stand. Er nahm sich mit Eifer der Arbeit an, so daß sie nun raschere Fortschritte machte. Mit Rücksicht darauf, daß er auch selbständig neue Anregungen für das Werk gab, ist es nur recht und billig, ihn als gleichberechtigten Mitarbeiter im Titel zu nennen. Wir beide sind uns klar darüber, daß das Tafelwerk in der vorliegenden Abgrenzung noch nicht vollkommen ist. Es wird sich gewiß bald herausstellen, daß manche wichtigen Ergebnisse der Festig-

12

V 0 11 WO RT

keitslehre noch fehlen, insbesondere aus der ausländischen Literatur der letzten 10 Jahre. Wir sind daher auf Kritik gefaßt, die wir sogar wünschen, sofern sie berechtigt ist, damit wir bei einer Neuauflage die Sammlung vervollständigen können. Trotz der Lücken, die dem Werk sicherlich anhaften,, haben wir uns zur Herausgabe entschlossen, weil wir glauben, daß es auch in dem jetzigen Umfang schon vielen eine wertvolle Hilfe bieten kann, so daß ein weiteres Hinausschieben der Herausgabe nicht mehr zweckmäßig erscheint. Das Tafelwerk wendet sich in erster Linie an den praktisch tätigen Jngenieur,. der keine Zeit hat, viele Zeitschriften und wissenschaftliche Werke durchzuarbeiten. Er kann sich an Hand der Zusammenstellung jeweils vergewissern, was in der Frage, die ihn gerade beschäftigt, schon vorgearbeitet worden ist. Die im Werk angegebenen Literaturangaben ermöglichen es ihm, Einzelheiten über den betreffenden Gegenstand zu finden. Wir glauben aber auch, da& der Wissenschaftler aus dem Nachschlagewerk Nutzen ziehen kann. Wir übergeben das Buch der Öffentlichkeit in der Hoffnung auf eine freundliche Aufnahme und bitten die Fachgenossen um konstruktive Kritik. M ü n c h e n , Sommer 1951

L. Föppl

Literaturhinweise Die Literaturhinweise sind in runden Klammern ( ) im Text angegeben. Sie wurden im Hauptabschnitt A am Ende jedes Abschnittes mit römischen Ziffern, in den Hauptabschnitten B und C am Ende zusammengestellt. Im Hauptabschnitt D findet sich wegen des unterschiedlichen Stoffes der Literaturnachweis bei jedem Paragraphen.

Abkürzungen

für deutsche

Zeitschriften

VDI

„Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure", VDI-Verlag, Berlin. Seit 1946 Deutscher Ingenieur-Verlag, Düsseldorf.

Forschung Ing. Wes.

„Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens", bis 1945 VDI-Verlag, Berlin, Leitung E. Schmidt, Braunschweig. „Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik", Herausgeber: A. Willers, Dresden. Zeitschrift f. Mathematik u. Physik", Teubner-Verlag, Leipzig. Ingenieur-Archiv, Springer Berlin, Herausgeber R. Grammel VDI, Stuttgart. „Forschungen und Fortschritte", Herausgeber K. Kerkhof, Verlag I. A. Barth, Leipzig. „Der Bauingenieur", Herausgeber F. Schleicher, Berlin. Springerverlag Berlin. „Z. Luftfahrtforschung", Verlag R. Oldenbourg, München. „Beton u. Eisen", seit 1943 „Beton u. Stahlbeton, Verlag Ernst u. Sohn, Berlin. „Die Bautechnik", Verlag Ernst und Sohn, Berlin.

ZAMM Math. u. Physik Ing. Archiv. Forsch, u. Fortschr. Bauing. Luftfahrtforschung Beton u. Eisen Bautechnik

Abkürzungen Wegen der Vielfalt des Stoffes war es nicht möglich, nach straffen Gesichtspunkten einheitliche Bezeichnungen einzuführen. Das Nachlesen der zitierten Literatur wird zwar sehr erleichtert, wenn ihre Bezeichnungen übernommen werden, es war dies aber im Interesse der Einheitlichkeit der Abschnitte nicht durchführbar. Die Bedeutung der Abkürzungen ist, soweit aus den Abbildungen nicht ersichtlich, oder aus anderen Gründen wünschenswert, in jedem § angegeben. Bei ihrer Auswahl wurde nachfolgende Linie verfolgt: E G

Elastizitätsmodul Schubmodul

1 m = - Querdehnungszahl v P, p Normal-Kräfte T Tangential-Kräfte, Schubmittelpunkt Q, V Querkräfte Ersatzbezeichnung (Schwerpunkt, Kräfte) S M Momente J Trägheitsmomente D Biegefestigkeit, Drillsteifigkeit, Durchmesser a, A, b, c, d, g, h, H, g, r, R, s, d Körpermaße in möglichst sinnbildlicher Auswahl L, l Länge F Fläche e, t, u, v Abstandsmaße, Exzentrizität f , w, f Verformungen x, y, z; r, Koordinaten CT, r Normal-, Schubspannung.

Abschnitt A

Ungestörte Spannungszustände EINLEITUNG Die Bezeichnung „Ungestörte Spannungszustände" wurde gewählt in Unterscheidung zu den reinen Kerbproblemen, die im Hauptabschnitt B ausführlich behandelt werden. Im folgenden sind stabile statische Spannungs- und Formänderungszustände zusammengestellt worden, soweit sie für den Ingenieur von Interesse sein dürften. Wenn nicht ausdrücklich anders betont wird, gelten alle Angaben nur für den streng elastischen Bereich isotroper Werkstoffe unter Voraussetzung der Proportionalität von Verformungen und Spannungen.

I. Biegung des geraden und gekrümmten Stabes § 1. Voraussetzungen, Schubmittelpunkt Abb. la—c

Neben den, in der Einleitung aufgeführten Voraussetzungen, soll für die Biegungsspannungen das „Geradliniengesetz" gelten, welches an die Bedingung gebunden ist, daß die Lastrichtung durch den „ Schubmittelpunkt" geht (1, Bd. II). Es gibt für jeden Querschnitt einen bestimmten Punkt, den Schubmittelpunkt, durch den die Lastlinie im Querschnitt laufen muß, damit das Geradliniengesetz für die Biegungsspannungen Gültigkeit hat. Der Schubmittelpunkt muß bei Vorhandensein einer Symmetrieachse auf dieser liegen und im Falle eines doppelsymmetrischen Querschnittes mit dem Schwerpunkt zusammenfallen. Wenn die Lastlinie, d. i. die Schnittlinie der Lastebene mit dem Querschnitt, sich im Querschnitt um den Schubmittelpunkt T dreht, dreht sich gleichzeitig die zugehörige Nullinie um den Schwerpunkt S des Querschnittes. Der Schubmittelpunkt stimmt mit dem Drehpunkt des Querschnittes überein, d. i. der Querschnitts-Durchstoßpunkt derjenigen mittleren Längsfaser, die bei reiner Torsion nicht verwunden wird, sondern gerade bleibt (11), (12). Die Feststellung der Lage des Schubmittelpunktes ist bei einem beliebigen unsymmetrischen Querschnitt unter Umständen nicht einfach. 1. Bestimmung des Schubmittelpunktes für ein C-Profil

Bei einem auf Biegung beanspruchten Balken wird im allgemeinen in einem beliebigen Querschnitt sowohl ein Biegungsmoment M als auch eine Querkraft Q übertragen. Zwischen beiden besteht bekanntlich die Beziehung Q = so daß demnach mit M (x) auch Q (x) bestimmt ist. Dasselbe gilt auch für die Spannungen. Nimmt man für die Biegungsspannungen a das Geradliniengesetz an, so ist damit und durch die gegebene Begrenzung des Querschnittes die Verteilung der Querkraft-Schubspannungen r mitbestimmt. Nehmen wir z. B. bei einem J_ -Träger (Abb. 1 a) die Nullinie in der Symmetrieachse, die hier die «/-Achse ist, an, so daß die Biegungsspannungen durch M o = j • z gegeben sind, wobei M das für den betreffenden Querschnitt gültige Biegungsmoment und J das Trägheitsmoment des Querschnittes, auf die 2

!• i. p pl , Tabellenwerk

18

A.

UNGESTÖRTE

S P A N N U N G SZ U S T Ä N D E

«/-Achse bezogen, bedeutet, so ist bekanntlich die Schubspannung im Steg an der Stelle z = u Tu

Q-s

= J7J

> worin s = J z . dF z=u

das statische Moment der schraffierten Querschnittsfläche (Abb. l a ) in bezug auf die «/-Achse bedeutet. Aus Gleichgewichtsbedingungen folgt, daß die Schubspannungen in den beiden Flanschen des -Trägers im wesentlichen horizontal gerichtet sein müssen. Ihre Größe berechnet sich an der Stelle v des Flansches zu Q h

r„=

j-2-v.

Bildet man zunächst die Resultierenden der Schubspannungen in den drei Rechtecken, aus denen sich der Querschnitt zusammensetzt, so erhält man für den Steg die nach unten gerichtete Querkraft Q und für den oberen bzw. unteren Flansch, die nach links bzw. rechts gerichteten Teilresultierenden Q

H

h-b^-d1

= 7

—

die zusammen ein Kräftepaar H • h bilden. Die Resultierende Q der Schubspannungen im Steg kann man mit diesem Kräftepaar zu einer einzigen Resultierenden gleicher Größe Q zusammensetzen, die parallel zum Steg im Abstand _ Z/vft _ A« di e~

Q

~

4 J

von der Mittellinie des Steges auf der dem Schwerpunkt abgekehrten Seite gelegen ist (Abb. 1 a). Sie schneidet die «/-Achse im Punkte T, der als Schubmittelpunkt oder Querkraftmittelpunkt bezeichnet wircL 2. Der Schubmittelpunkt weiterer Profile (10) (13)

|_ -Profil (Abb. l b )

JT1- _ e

(

i 2

d2h%

kiÄ-

'

12

il— ~~

2

Jt h+h

Für schmale Winkelprofile wird ex = ev — T-Profil (Abb. 1 c)

e = 2 (¿2 + b)

h 3 d2 ' d\b

\

I BIEGLNG DES GERAUEN l NI) GEKRÜMMTEN STA'BES

19

§ 2. Biegung des geraden Stabes

Abb. 2—8 1. Stäbe großer Länge im Vergleich zur Breite und Höhe

Dies ist der Normalfall zur Biegung des durch Querkräfte und gegebenenfalls auch durch zusätzliche Achskräfte belasteten geraden Stabes, der für eine große Gruppe von Lastfällen vielfach zusammengestellt wurde. Es sei hier nur auf die H ü t t e (2) und J . R o a r k (10) verwiesen. 2. Balken großer Breite

Bei einem breiten Balken (Abb. 2) ist bei Verwendung der gewöhnlichen BiegeE • rrfi formeln wegen der behinderten Querdehnung 2 ^ an Stelle von E zu setzen. Im allgemeinen wird ein sehr kurzer, breiter Balken nicht in seiner ganzen Breite gleichmäßig an der Übertragung der Kräfte teilnehmen, so daß wir mit der wirksamen „mittragenden" Breite e zu rechnen haben. Wir unterscheiden gleichmäßige und zentrische, über eine Kreisfläche vom Radius c verteilte Belastung. Die mittragende Breite e ist nach H o l l (3) in Abb. 3 zusammengestellt worden für den Fall freier Stützung am Rande nach Abb. 2. Für denselben Fall gibt W e s t e r g a a r d (4) die Formel an: e = 0,58 • a + 4 c. M o r r i s (5) findet fürfimittigen exzentrischen Lastangriff: e = 0,5 • ec + d, worin ec die mittragende Breite im zentrischen Lastfall und d den Abstand vom nähergelegenen Rand bedeutet. Für den b e i d s e i t i g genügt es E durch

E

eingespannten

Balken unter gleichmäßiger

Last

YYV®

j- zu ersetzen, für zentrische Last über eine Kreisfläche

vom Radius c findet H o l l (3) die in Abb. 4 gegebenen Werte. Man beachte, daß hier ejb angegeben wird an Stelle von eja der vorhergehenden Tafel Abb. 3. H o l l (3) gibt in seiner Arbeit auch noch die Durchbiegung und Verteilung der Auflagerkräfte an. H o l l (6) und Mac G r e g o r (7) haben den sehr breiten einseitig eingespannten Balken b ä 4 a unter Einzellast noch untersucht (Abb. 5). Die Durchbiegung y des äußeren Randes siehe Abb. 6; sie beträgt der Last _ f . q ' K - 1 ) Vm " m? • E • k3 "

unter

20

A. U N G E S T Ö R T E

SPANNUNGSZUSTÄNDE

Die größte Biegespannung an der Einspannung findet man zu 3,05 - P Unter der Last hat sie praktisch die gleiche Größe. Die Berechnung zeigt gute Übereinstimmung mit Versuchen (7). 3. Breitflanschige Träger (10)

Bei breitflanschigen T- oder T-Trägern und bei ähnlichen Konstruktionen, in denen eine Verbindung von Steg und Flansch im letzteren Zug- oder Druckspannungen hervorruft, wird im Flansch ein Spannungsrückgang mit zunehmendem seitlichen Abstand vom Steg zu erwarten sein. Der Berechnung ist somit wieder die „mittragende Breite" e der Flanschbreite b zugrunde zu legen. Es wird dann so gerechnet, als wenn der Flansch die Breite e habe, welche jetzt voll ausgenützt wird. In Abb. 7 wurde das Verhältnis eß (l = Stützlänge) für verschiedene Lastfälle und Werte bß nach Miller (8) zusammengestellt. Obige Werte gelten für Zugspannungen, dagegen für Druckspannungen nur solange sie unterhalb der Knickgrenze der Flansche bleiben. Die wirksame bzw. mittragende Breite des Druckflansches nimmt mit zunehmender Druckspannung 2

=

i

+

h1'h2

i ± i

+

h3

1

A

A4

Die Torsionsspannung r ( längs der Kastenseite mit der Wandstärke hi (i = 1; 2; 3; 4) beträgt J M r 9_ T >~ 8a-b-h,'V 8a-b-h/ Hierbei ist a, /. > 1, ist Mx, max > My, m a x . Die freigestützte Platte wird am stärksten im Mittelschnitt verbogen, der parallel zum längeren Seitenpaar verläuft Abb. 91a. Ihre größte Inanspruchnahme ist gleich Ox, max -

6 üij. m a x p

•

Die Plattenstärke h ist mit Rücksicht auf eine nicht zu überschreitende zulässige Zugspannung azul aus der Gleichung h = a •

lxj 2 im Abstand 0,60 l x vom eingespannten Rand entfernt. Wie groß ist das Randmoment m y in der Mitte der eingespannten Seite, wenn das Seitenverhältnis 5

F ö p p I , Tabellenwerk

66

A.

UNGESTÖRTE

SPANNUNGSZU

STÄNDE

Z Ubersicht zu den Einflußflächen rechteckiger Einfeldplatten E.F. = Einflußfläche fi = Maßstabfaktor der Einflußfläche (Höhe der E.F. über Plattenebene, hier in die Papierebene geklappt) FM = Feldmoment in Plattenmitte, RM=Randmoment in Randmitte, Q = Querkraft freier Rand, frei drehbar gelagerter Rand, eingespannter Rand Die Unterlagen zu den E . F . A b b . 113—121, 147, 148, 155 s. H . Ohlson, F . Reinitzhuber (42), E . F . A b b . 124, 127—149, 151—154, 157 wurden in dankenswerter Weise z. T . unveröffentlicht v o n A . Pucher (43) privat zur Verfügung gestellt, E . F . A b b . 122, 123, 125, 126, 150, 156, 158—162 s. E . Bittner (44). S. auch neuestes (1951) Sammelwerk von A . Pucher (46).

E.F. Randbedingungen lylh statische Abb.

113 114 115

y

r

1 1 1 i i l

116 117 118

l

m

119 120 121 122 y

123

125 126 127 128 129

1

r „

yi

130 131 132

1

133 134 135 136 137 138 139 140 141

y i 1 1 1 1

n»

E.F.

15 30 15

142 143 144

X 1,0 FM mx FM my RM mx

30 30 30

145

2,0 FM mx FM my RM mx

30 30 15

0,8 FM

mx

30

FM

my

30

147

149

lyllxstatische

Größe

8 n 155 8n 8n 156

1,2 FM mx FM my RM my 1,0 FM

Hf

mx

87t

FM

my

87t

FM

mx

8n

RM

mx

30

oo

FM mx FM my RM mx

87t 87t 8n

oo

RM mx 47t (y — 0,25 lx) my 30

oo

{y — 0,35 u 30 my

oo

RM my

8 71

oo

FM mx FM my RM mx

30 30 30

oo

Qx am eingespannten Rand

2lx

oo

2 lx Qx am drehbar gelagerten Rand

r X

y

oo

y

n .

x

Jl

y - -

1,0 FM mx FM Ttly RM mv

8 7t 8 n 157 8n

1,2 FM mx FM my RM my

8 71 158 87t 159 8 71 160

0,8 FM mx FM my RM mv

871 161 8 7t 87t

y

1,0 FM mx FM my RM m,

8 7t 162 87t 8 7t

y

y

r »

y

x

^ X

j I

i »

mx, my 8)1

CO FM

y I

871 87t 8 7t

RM m „ my 8TI

*

y

150

0,8 FM mx FM my RM my

mx

y

148

FM my

X 1,2 FM

Siehe Abb. 136-141

146

151 152 8n 153 30 154 30

mximv

Randbedingungen

Abb.

0,5 FM mx FM my RM mx

1,0 FM

124

Größe

*

V

PLATTEN

67

lyß* = 0,7; 1,1; 2,0 beträgt? Alle drei Fälle sind bei unseren Einflußflächen nicht vertreten. Wir zeichnen die Einflußgröße für die Fälle lvßx — 0 , 8 ; 1,0; 1,2; oo aus den Abb. 129,132,135, 157 und können außerdem für lyßx = 0,60 die Einflußgröße Null setzen, da dann die Last auf dem gestützten Rand steht. Abb. 112 zeigt die Kurve, aus der sich die gesuchten Zwischenwerte leicht ablesen lassen. Übersicht zu den Einflußflächen rechteckiger Einfeldplatten siehe S. 66.

MITTELSTARKE

PLATTEN

I in folgenden soll die Annahme kleiner Durchbiegungen im Vergleich zur Dicke der Platte fallen gelassen werden. Die große Ausbiegung bewirkt neben der Biegungsbeanspruchung eine Dehnung der Plattenmittelfläche. Die dabei auftretenden Gewölbespannungen dürfen nicht mehr vernachlässigt werden.

§ 29. Die gleichmäßig belastete Kreisplatte großer Ausbiegung Abb. 104—107 1. Die Platte sei auf ihrem Kand so fest eingeklemmt, daß sich die Randpunkte in Richtung der Mittelebene nicht verschieben können. Abb. 104 zeigt die Spannungsverteilung für eine Ausbiegung / = 1,49 h. Die Platte wird am stärksten auf ihrem Rande verbogen, die Biegungsspannungen a , " im Einspannungskreis sind für die größte Inanspruchnahme maßgebend. Die Abb. 105 und 106 zeigen die Zunahme des auf der Platte lastenden Druckes und der spezifischen Spannungen ar' er/; er/' er/' in der Mitte (u = rja = 0) und im eingeklemmten Rand (u = r/a = 1) mit zunehmendem Biegungspfeil; die schrägen Geraden entsprechen der Theorie für die unendlich kleinen Durchbiegungen. Man erkennt, daß die Kurven mit der zunehmenden Wölbung der Platte ziemlich schnell die Geraden verlassen. Für größere Durchbiegungen bis jf/A 10 gibt F e d e r h o f e r (36) eine Näherungslösung, die sich an die strenge Lösung von St. W a y (37), deren Bereich sich jedoch nur bis //A = 1,1 erstreckt, bestens anschließt. Weiter stimmt sie mit dem von Nädai untersuchten Bereich (//A g 2,5) gut überein. Neuere Versuche im Spannungsoptischen Laboratorium der Techn. Hochschule München (Diss. K u f n e r ) haben im Bereich fjh = 0,45 bis 3,0 gleiche oder geringere Spannungen und gleiche oder größere Durchbiegungen als die Theorie gezeigt, womit sich die Rechnung auf der sicheren Seite befindet. Die Näherungslösung von F e d e r h o f e r (36) liefert Formeln in geschlossener Form, in denen sowohl der Biegungspfeil //A wie auch die charakteristischen Spannungen cra 2 /£A 2 als Funktionen von C, n und v dargestellt werden. ix,C und n sind ihrerseits Funktionen von pa*IEhi und v, so daß sie eliminiert werden können. Damit kann wie bei W a y der Biegungspfeil als Funktion der Belastung und die Spannungen als Funktionen des Biegungspfeiles und der Querkontraktionszahl aufgetragen werden. Federhofer behandelt Durchbiegungen fjh zwischen 1,04 und 10,91, so daß sich seine Ergebnisse am unteren 5*

68

A. U N G E S T Ö R T E

S P A N N U N G SZ U S T Ä N D E

Ende mit denen von Way überlappen. Während Way die Durchbiegungen für v = 0,25 — 0,35, die Spannungen aber nur für v = 0,3 in Diagrammen mitgeteilt hat, erlauben die geschlossenen Formeln von Federhofer die Berechnung der Spannungen für beliebige Werte von v, dagegen wird fjh von Federhofer nur für v — 0,25 berechnet. Die Formeln von Federhofer lauten in dimensionsloser Schreibweise: Biegungspfeil w0 _

C

I

1

h

'~ 2 Membranspannung in der Mitte o'a2

_

1

1

_C*_