Technische Mechanik: Statik - Dynamik - Fluidmechanik - Festigkeitslehre ; mit 15 Tabellen, 21 Arbeitsplänen, 16 Lehrbeispielen und 40 Übungen 9783834801159, 3834801151

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Alfred Boge Technische Mechanik

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik • Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Boge • Aufgabensammlung Technische IMechaniic von A. Boge und W. Schlemmer • Losungen zur Aufgabensammlung Technische IMechaniic von A. Boge und W. Schlemmer • Formein und Tabellen zur Technischen IMechanilc von A. Boge

Alfred Boge

Technische Mechanik Statik - Dynamik - Fluidmechanik - Festigkeitslehre Unter Mitarbeit von Gert Boge, Wolfgang Boge, Walter Schlemmer und Wolfgang WeiBbach 27., iiberarbeitete Auflage Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, 21 Arbeitsplanen, 16 Lehrbeispielen und 40 Ubungen

Viewegs FachbiJcher der Technik

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Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber abrufbar.

Gesetzt nach den Regeln der neuen Rechtschreibung.

Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur 22. Auflage unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 12., iiberarbeitete Auflage 1970 13., iiberarbeitete Auflage 1971 14., unveranderte Auflage 1972 15., vollstandig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974 16., durchgesehene Auflage 1975 17., uberarbeitete Auflage 1979 18., uberarbeitete Auflage 1981 19., iiberarbeitete Auflage 1983

20., iiberarbeitete Auflage 1984 21., verbesserte Auflage 1990 22., iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1992 23., neu bearbeitete Auflage 1995 24., iiberarbeitete Auflage 1999 25., iiberarbeitete Auflage Juli 2001 26., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Marz 2003 27., iiberarbeitete Auflage September 2006

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kiihn von Burgsdorff, Wiesbaden Satz: Druckhaus Thomas Miintzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a. s. Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-8348-0115-1 ISBN-13 978-3-8348-0115-9

Vorwort zur 27. Auflage

Dieses Lehrbuch ist aus der Unterrichtsarbeit an Technikerschulen entstanden, es hat sich auch an Fachoberschulen, Fachgymnasien und in den Eingangssemestem der Fachhochschulen bewahrt. Das Lehrbuch ist Hauptteil des Lehr- und Lemsystems TECHNISCHE MECHANIK mit der Formelsammlung, der umfangreichen Aufgabensammlung und dem in jeder Neuauflage darauf abgestimmten Losungshuch. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt: Die Hnke Buchseite enthalt den ausflihriichen Lehrtext mit hervorgehobenen Satzen und Regeln. Rechts daneben wird das Problem durch Zeichnungen, mathematische Entwicklungen und Beispiele erlautert. Ubungen schUeBen jeden groBeren Lemabschnitt ab. Hierbei wird der Unterrichtsstoff in die Berufspraxis umgesetzt. Lehrbeispiele zeigen die Form schriftUcher Arbeiten in Schule und Beruf. Arbeitsplane machen die im Unterricht erarbeiteten Losungsverfahren durchschaubar und erleichtem ihre Anwendung bei Mechanikaufgaben. Wichtigste Anderung in der vorangegangenen 26. Auflage war die Aufnahme des Abschnitts Mechanische Schwingungen. Auch in der vorliegenden 27. Auflage werden wieder die fachlichen und didaktischen Verbesserungsvorschlage beachtet. Die wichtigste Anderung im Buch betrifft den Abschnitt Festigkeitslehre. Hier war eine Anbindung an die neuen Berechnungsmethoden fiir Maschinenelemente erforderlich. Das geschieht im Kapitel 5.12 des Abschnitts Festigkeitslehre. Das Buch lebt von der Kritik, die Lehrer und Studierende an Autor und Verlag herantragen. Deshalb bitte ich auch fiir diese Auflage um Zuschriften, besonders zur Erarbeitung der Probleme in den oben angefiihrten neuen Teilen (Festigkeitslehre). Fiir den Informationsaustausch steht die E-Mail-Adresse zur Verfiigung: [email protected]

Braunschweig, Juli 2006

Alfred Boge

VII

IHIIIllil^^i^i^^^^^^^^^^^^^^ 1.1 Grundlagen 1.1.1 Die Aufgaben der Statik 1.1.2 Physikalische GroBen in der Statik 1.1.2.1 Die Kraft F 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M 1.1.2.3 Das Kraftepaar 1.1.3 Ubungen zur Berechnung von Drehmomenten 1.1.4 Bewegungsmoglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Korpers 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene 1.1.5 Gleichgewicht des Korpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fiir Krafte 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kraften (Kraftereduktion) 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Krafte Fi und F2 1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Krafte 1.1.6.4 Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte 1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflachenund Volumenkrafte 1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen 1.1.7.3 Zweigelenkstabe 1.1.7.4 Beriihrungsflachen (ebene Stiitzflachen) 1.1.7.5 RoUkorper (gewolbte Stutzflachen) 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) 1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) 1.1.7.8 Dreiwertige Lager 1.1.8 Ubungen zum Freimachen 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kraftesystem 1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1.2.3 Die zwei Losungsmethoden 1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kraftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe)

2 2 2 3 4 4 5 6 6 6 6 8 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 15 17 18 21 21 21 22 22 22

VIII

Inhaltsverzeichnis 1.2.4.2

1.2.5

1.2.6

1.2.7

Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe) 1.2.4.3 Rechnerische Ermitdung unbekannter Krafte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Krafte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung 1.2.4.5 Ubungen zur dritten und vierten Grundaufgabe Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kraftesystem 1.2.5.1 Rechnerische Ermitdung der Resultierenden (fiinfte Grundaufgabe), der Momentensatz 1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren 1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Krafte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 1.2.5.4 Ubung zur Stiitzkraftberechnung 1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Krafte (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Systemanalytisches Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung 1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen 1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen 1.2.6.3 Beschreibung des Progranmilaufs zur Stiitzkraftberechnung 1.2.6.4 tjbung zum systemanalytischen Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Stiitzkraftermittlung beim raumlichen Kraftesystem (Getriebewelle)

1.3 Statik der ebenen Fachwerke 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktragem 1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktrager 1.3.3 Ermittlung der Stabkrafte im Fachwerktrager 1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren 1.3.3.2 Das Ritter'sche Schnittverfahren 1.3.3.3 Der Cremonaplan

26

28

32 35 38 38 40

44 46

48 53 53 60 61 62 64 68 68 69 70 70 72 74

Inhaltsverzeichnis

2 Sehwei^niiiktslehre

IX

76

2.1 BegrifTsbestimmung fiir Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt

76

2.2 Der Flachenschwerpunkt 2.2.1 Flachen haben einen Schwerpunkt 2.2.2 Schwerpunkte einfacher Rachen 2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flachen 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Flachenschwerpunkts . . . . 2.2.3.2 Ubungen zur Bestimmung des Rachenschwerpunkts

77 77 78 79 79 83

2.3 Der Linienschwerpunkt 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt 2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien 2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienziige) 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts

83 83 83 84 84

2.4

Guldin'sche Regeln 2.4.1 Volumenberechnung 2.4.2 Oberflachenberechnung 2.4.3 Ubungen mit den Guldin'schen Regeln

86 86 86 87

2.5

Gleichgewichtslagen und Standsicherheit 2.5.1 Gleichgewichtslagen 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht 2.5.2 Standsicherheit 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit 2.5.2.2 Ubung zur Standsicherheit

87 87 87 87 87 88 88 89

3 R^lNuig...

%

3.1

Gninderkenntnisse iiber die Reibung

90

3.2

Gleitreibung und Haftreibung 3.2.1 Reibwinkel, Reibzahl und Reibkraft 3.2.2 Ermittlung der Reibzahlen //, und /IQ 3.2.3 Der Reibungskegel 3.2.4 Ubungen zur Losung von Reibungsaufgaben

91 91 92 93 95

3.3 Reibung auf der schiefen Ebene 3.3.1 Verschieben des Korpers nach oben (1. Grundfall) 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht

100 100 100 101 103

X

Inhaltsverzeichnis 3.3.2

3.3.3

3.3.4 3.4

Halten des Korpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel 3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht Verschieben des Korpers nach unten (3. Grundfall) 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel 3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene 3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht (Jbungen zur Reibung auf der schiefen Ebene

Reibung an Maschinenteilen 3.4.1 Prismenfiihrung und Keilnut 3.4.2 Zylinderfiihrung 3.4.3 Lager 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) 3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (Langslager) 3.4.3.3 Ubungen zur Trag- und Spurzapfenreibung 3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde 3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde 3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde 3.4.4.4 Ubungen zur Schraube 3.4.5 Seilreibung 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung 3.4.5.2 Aufgabenarten und Losungsansatze 3.4.5.3 tJbungen zur Seilreibung 3.4.6 Bremsen 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen 3.4.6.2 Bandbremsen 3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen 3.4.7 RoUwiderstand (Rollreibung) 3.4.8 Fahrwiderstand 3.4.9 Ubungen zum RoUwiderstand und Fahrwiderstand 3.4.10 RoUe und Rollenzug 3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) 3.4.10.2 Lose Rolle 3.4.10.3 Rollenzug 3.4.10.4 Ubung zum Rollenzug

105 105 106 108 110 110 Ill 112 114 114 114 115 116 116 117 118 119 119 120 121 122 124 124 124 125 128 128 132 133 133 134 135 138 138 139 141 142

Inhaltsverzeichnis

4 I^fn^Qiik .,,

XI

143

4.1 AUgemeine Bewegungslehre 4.1.1 GroBen und v, r-Diagramm, Ordnung der Bewegungen 4.1.2 (Jbungen mit dem v, r-Diagramm 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichformigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff 4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmaBig beschleunigten (verzogerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff 4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Bewegung 4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand 4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand 4.1.6.2 Luftwiderstand F 4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 4.1.7 Ubungen zur gleichmaBig beschleunigten und verzogerten Bewegung 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung 4.1.8.2 Uberlagerungsprinzip 4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 4.1.9 Ubungen zur zusammengesetzten Bewegung 4.1.9.1 Uberlagerung von zwei gleichformig geradlinigen Bewegungen 4.1.9.2 Uberlagerung von gleichformiger und gleichmaBig beschleunigter Bewegung

144 144 146

4.2

Gleichfbrmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 4.2.1 Die Drehzahl 4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit Vu 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit Vu 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit Vu und Drehzahl n 4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fiir die Umfangsgeschwindigkeit 4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit 4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit o) 4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit 4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fiir die Winkelgeschwindigkeit 4.2.8 BaugroBen und GroBen der Bewegung in Getrieben 4.2.9 tJbersetzung / (Ubersetzungsverhaltnis)

176 176 177 177 177

GleichmaBig beschleunigte (verzogerte) Drehbewegung 4.3.1 Gegeniiberstellung der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen

182

4.3

148 150 153 157 157 157 158 160 164 164 165 165 166 166 167

178 178 179 179 180 180 181

182

XII

Inhaltsverzeichnis 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

Winkelbeschleunigung a Der Drehwinkel im co, /-Diagramm Die Tangentialbeschleunigung a j Arbeitsplan fiir Aufgaben der Kreisbewegung (Vergleich mit Abschnitt 4.1.5)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 4.4.1 Das Tragheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton'sches Axiom 4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte 4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton'sches Axiom 4.4.4 Die gesetzliche und Internationale Einheit fiir die Kraft 4.4.5 tJbungen zum dynamischen Grundgesetz 4.4.6 Prinzip von d'Alembert 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d'Alembert 4.4.8 Ubungen zum Prinzip von d'Alembert 4.4.9 Impuls (BewegungsgroBe) und Impulserhaltungssatz 4.5

Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 4.5.1 Arbeit Weiner konstanten Kraft F 4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W 4.5.3 Federarbeit Wf (Formanderungsarbeit) als Arbeit einer veranderlichen Kraft 4.5.4 Ubungen mit der GroBe Arbeit 4.5.5 Leistung P 4.5.6 Wirkungsgrad rj 4.5.7 Ubungen mit den GroBen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) 4.6.1 Gegeniiberstellung der allgemeinen GroBen mit den entsprechenden KreisgroBen 4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) 4.6.3 Drehleistung P^t (Rotationsleistung) 4.6.4 Zahlenwertgleichung fiir die Drehleistung Prot 4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und Ubersetzung 4.6.6 (jbungen zur Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und (Jbersetzung bei Drehbewegung 4.7

Energie 4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit 4.7.2 Potenzielle Energie E'pot und Hubarbeit Wh 4.7.3 Kinetische Energie E^^ und Beschleunigungsarbeit W^ 4.7.4 Spannungsenergie E^ und Formanderungsarbeit Wf 4.7.5 Energieerhaltungssatz fiir technische Vorgange 4.7.6 Ubungen zum Energieerhaltungssatz

183 183 183 184 188 188 189 191 193 193 195 197 197 202 203 203 204 205 206 209 210 212 213 213 214 215 215 216 216 218 218 218 220 220 221 222

Inhaltsverzeichnis 4.8

Gerader zentrischer StoB 4.8.1 StoBbegriff, Krafte und Geschwindigkeiten beim StoB 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen StoBes 4.8.3 Elastischer StoB 4.8.4 Unelastischer StoB 4.8.4.1 Schmieden und Nieten 4.8.4.2 Rammen von Pfahlen, Eintreiben von Keilen 4.8.5 Wirklicher StoB 4.8.6 Ubungen zum geraden zentrischen StoB 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fiir die Drehbewegung 4.9.2 Tragheitsmoment J und Tragheitsradius / 4.9.2.1 Definition des Tragheitsmoments 4.9.2.2 iJbung zum Tragheitsmoment 4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner'scher Satz) 4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Tragheitsradius / 4.9.3 Ubung zum dynamischen Grundgesetz fiir die Drehung 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fur die Drehung 4.9.5 Kinetische Energie £"^1 (Rotationsenergie) 4.9.6 Energieerhaltungssatz fiir Drehung 4.9.7 Fliehkraft 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft 4.9.7.2 Ubungen zur Fliehkraft 4.9.8 Gegeniiberstellung der translatorischen und rotatorischen GroBen 4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.1 Begriff 4.10.2 Ordnungsbegriffe 4.10.3 Die harmonische Schwingung 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz 4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz 4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz 4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung 4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten GroBen und Gleichungen der harmonischen Schwingung 4.10.3.4 Ruckstellkraft FR, RichtgroBe D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung 4.10.4 Das Schraubenfederpendel 4.10.4.1 Ruckstellkraft FR und Federrate R 4.10.4.2 Periodendauer 7 des Schraubenfederpendels 4.10.5 Das Torsionsfederpendel 4.10.5.1 Federrate R, Riickstellmoment MR und Periodendauer T

XIII 224 224 224 224 227 227 228 228 230 232 232 233 233 234 236 238 239 239 240 241 242 242 243 245 246 246 246 246 246 247 247 247 248 249 250 251 251 253 254 254

XIV

Inhaltsverzeichnis

4.10.6 4.10.7 4.10.8

4.10.9

4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tragheitsmomenten J aus der Periodendauer Das Schwerependel (Fadenpendel) Schwingung einer Russigkeitssaule Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Fliissigkeitssaule Dampfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz.... 4.10.9.1 Dampfung 4.10.9.2 Energieminderung durch Dampfung 4.10.9.3 Energiezufuhr 4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz 4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm

5 Feis^^dtilehre 5.1

Grundbegriffe 5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre 5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kraftesystems 5.1.3 Spannung und Beanspruchung 5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung o und Schubspannung r) 5.1.5 Die ftinf Grundbeanspruchungsarten 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) 5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) 5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) 5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) 5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) 5.1.5.6 Kurzzeichen fiir Spannung und Beanspruchung 5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung 5.1.7 Bestimmen des inneren Kraftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten 5.1.7.1 Das allgemeine innere Kraftesystem 5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspruchungsarten 5.1.7.3 Ubungen zum Schnittverfahren 5.2 Beanspruchung auf Zug 5.2.1 Spannung 5.2.2 Erkennen des gefahrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen 5.2.2.1 Profilstabe mit Querbohrung 5.2.2.2 Zuglaschen 5.2.2.3 Zugschrauben

255 256 257

258 258 258 259 259 260 261

262 264 264 265 266 267 268 268 269 269 269 270 270 270 271 271 272 272 278 278 278 279 279 279

Inhaltsverzeichnis

5.2.3

5.2.4

XV 5.2.2.4 Herabhangende Stabe oder Seile 5.2.2.5 Ketten Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz) 5.2.3.1 Verlangerung A/ und Dehnung e 5.2.3.2 Querdehnung e^ 5.2.3.3 Poisson-Zahl // 5.2.3.4 Das Hooke'sche Gesetz 5.2.3.5 Warmespannung 5.2.3.6 Formanderungsarbeit Wf ReiBlange

280 280 280 281 281 282 282 283 283 284

5.3

Beanspruchung auf Druck

285

5.4

Ubungen zur Zug- und Dnickbeanspruchung

286

5.5

Flachenpressung 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung 5.5.2 Rachenpressung an geneigten Rachen 5.5.3 Flachenpressung am Gewinde 5.5.4 Flachenpressung in Gleitlagem, Niet- und Bolzenverbindungen . . . . 5.5.5 Flachenpressung an gewolbten Flachen (Hertz'sche Gleichungen) 5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindem 5.5.6 Ubungen zur Flachenpressung

288 288 288 290 291

5.6

Beanspruchung auf Abscheren 5.6.1 Spannung 5.6.2 Elastische Formanderung (Hooke'sches Gesetz fiir Schub)

295 295 297

5.7

Flachenmomente 2. Grades / und Widerstandsmomente W 5.7.1 GleichmaBige und lineare Spannungsverteilung (Gegeniiberstellung) 5.7.2 Definition der Rachenmomente 2. Grades 5.7.3 Herleitungsiibung 5.7.4 Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 5.7.5 Axiale Flachenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte 5.7.6 Axiale Flachenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner'scher Verschiebesatz) 5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner'schen Satzes 5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner'schen Satzes

303

292 292 292 293

303 304 305 306 312 313 314 315

XVI

Inhaltsverzeichnis 5.7.6.3

5.7.7

Arbeitsplan zur Berechnung axialer Rachenmomente 2. Grades Ubungen mit Rachen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte

316 316

5.8

Beanspnichung auf Torsion 5.8.1 Spannungsverteilung 5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung 5.8.3 Formanderung bei Torsion 5.8.4 Formanderungsarbeit Wf

321 321 322 324 325

5.9

Beanspnichung auf Biegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kraftesystem bei Biegetragem 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkrafte an beliebigen Tragerstellen 5.9.3 Spannungsverteilung im Tragerquerschnitt 5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung 5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt 5.9.6 Giiltigkeitsbedingungen fiir die Biege-Hauptgleichung 5.9.7 Ubungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tragerarten und Belastungen 5.9.7.1 Freitrager mit Einzellast 5.9.7.2 Freitrager mit mehreren Einzellasten 5.9.7.3 Freitrager mit konstanter Streckenlast (gleichmaBig verteilte Streckenlast) 5.9.7.4 Freitrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 5.9.7.5 Stiitztrager mit Einzellast 5.9.7.6 Stiitztrager (Kragtrager) mit mehreren Einzellasten 5.9.7.7 Stiitztrager (Kragtrager) mit konstanter Streckenlast 5.9.7.8 Stiitztrager mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) 5.9.8 Trager gleicher Biegespannung 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung 5.9.8.2 Achsen und Wellen 5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt 5.9.8.4 Konsoltrager mit Einzellast 5.9.8.5 Konsoltrager mit Streckenlast 5.9.9 Formanderung bei Biegung 5.9.9.1 Kriimmungsradius, Kriimmung 5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung 5.9.9.3 Neigungswinkel der BiegeHnie 5.9.10 Ubungen zur Durchbiegungsgleichung

328 328

5.10 Beanspruchung auf Knickung 5.10.1 Grundbegriffe 5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall)

329 329 330 332 332 333 333 334 335 336 337 338 340 342 343 343 343 344 345 345 346 346 347 348 349 351 351 352

Inhaltsverzeichnis 5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) 5.10.4 Arbeitsplan fiir Knickungsaufgaben 5.10.5 Knickung im Stahlbau 5.10.5.1 Vorschriften 5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knickstaben 5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel 5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis 5.10.5.5 Zusammengesetzte Knickstabe

XVII 355 356 359 359 359 359 359 362

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 5.11.1 Zug und Biegung 5.11.2 Druck und Biegung 5.11.3 tJbung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen 5.11.4 Biegung und Torsion 5.11.4.1 Vergleichsspannung Oy 5.11.4.2 Vergleichsmoment M^ 5.11.4.3 Ubung zu Biegung und Torsion

365 365 366

5.12 Festigkeit, zulassige Spannung, Sicherheit 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm 5.12.2 Einfliisse auf die Festigkeit des Bauteils 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit 5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit 5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit 5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit 5.12.3 Spannungsbegriffe 5.12.3.1 Nennspannung 5.12.3.2 Ortliche Spannung 5.12.3.3 Zulassige Spannung 5.12.3.4 Berechnungen im Buch 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau . . . 5.12.4 Dauerbruchsicherheit 5.12.4.1 Sicherheit 5D bei ruhender Belastung 5.12.4.2 Sicherheit 5D bei dynamischer Belastung 5.12.5 tJbungen zur Dauerfestigkeit

375 375 376 376 376 376 378 380 380 380 380 381 381 382 382 382 383

6 Fhiidmeehanik (Hydraiilik). 6.1

Statik der Fliissigkeiten (Hydrostatik) 6.1.1 Eigenschaften der Fliissigkeiten 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Riissigkeitsdruck, hydraulische Pressung) 6.1.3 Druckverteilung in einer Flussigkeit ohne Beriicksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz

367 368 368 369 370

3S6 386 386 387 387

Inhaltsverzeichnis

xvm 6.1.4

Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock 6.1.4.2 Druckkraft auf gewolbte Boden 6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlangsnaht 6.1.4.4 Hydraulische Presse 6.1.5 Dmckveiteilung in einer Riissigkeit unter Beriicksichtigung der Schwerkraft Kommunizierende Rohren 6.1 Bodenkraft 6.1 Seitenkraft 6.1 6.1 9 Auftriebskraft 6.1 10 Schwimmen 6.1 11 Gleichgewichtslagen schwimmender Korper 6.1 12 Stabilitat eines Schiffes 6.2 Dynamik der Fluide (Stromungsmechanik) 6.2.1 Kontinuitatsgleichung (Stetigkeitsgleichung) 6.2.2 Bemoulli'sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stromung) 6.2.2.1 Horizontale Stromung (Stromung ohne Hohenunterschied) 6.2.2.2 Nichthorizontale Stromung (Stromung mit Hohenunterschied) 6.2.3 Anwendung der Bemoulligleichung 6.2.3.1 Druck in einer Leitung 6.2.3.2 Ausfluss aus einem GefaB 6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel 6.2.3.4 Ausfluss bei Uberdruck im GefaB 6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel 6.2.4 Stromung in Rohrleitungen

388 388 390 390 391 392 394 394 395 397 398 399 400 402 402 402 402 403 405 405 406 407 407 408 410

Sachwortverzeichnis.

411

Umrechnungsbeziehungen fur die gesetzlichen Einheiten.

427

Inhaltsverzeichnis

Arbeitsplan zum Freimachen Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Krafte Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Krafte Arbeitsplan zum Momentensatz Arbeitsplan zum Seileckverfahren Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Krafte Arbeitsplan zum 3-Krafte-Verfahren Arbeitsplan zum 4-Krafte-Verfahren Arbeitsplan zum Ritter'schen Schnittverfahren Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Rachenschwerpunkts Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts Arbeitsplan zur gleichmaBig beschleunigten oder verzogerten Bewegung Arbeitsplan zur Kreisbewegung Arbeitsplan zum Prinzip von d'Alembert Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kraftesystems und der Beanspmchungsarten Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flachenmomente 2. Grades Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung Arbeitsplan fiir Knickungsaufgaben Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis

XIX

17 26 28 29 34 39 42 46 50 52 73 75 80 85 153 184 197 272 316 329 356 359

Ldirbeispele Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F^. eines zentralen Kraftesystems Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kraftesystems Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkrafte Reibung in Ruhe und Bewegung V, f-Diagramm Prinzip von d'Alembert Wirkungsgrad Nietverbindung im Stahlhochbau Nietverbindung im Stahlbau Zugbolzen Torsionsstabfeder Verdrehwinkel (Drehmomentenschliissel) Knickung im elastischen Bereich Knickung im unelastischen Bereich Berechnung einer Getriebewelle

30 31 43 94 156 198 217 298 300 302 326 327 357 358 371

XX

Inhaltsverzeichnis

UlHiBgen IJbungen zur Berechnung von Drehmomenten Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte Ubungen zum Freimachen Obung zur dritten und vierten Grundaufgabe Ubung zur Stiitzkraftberechnung Ubung zum systemanalytischen Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Ubungen zur Bestimmung des Flachenschwerpunkts Ubungen mit den Guldin'schen Regeln Ubung zur Standsicherheit Ubungen zur Losung von Reibungsaufgaben Ubungen zur Reibung auf der schiefen Ebene tjbungen zur Trag- und Spurzapfenreibung (Jbungen zur Schraube Ubungen zur Seilreibung Ubungen zum Roll- und Fahrwiderstand tjbung zum Rollenzug Ubungen mit dem v, ^Diagramm Ubungen zur gleichmaBig beschleunigten und verzogerten Bewegung tJbungen zur zusammengesetzten Bewegung Ubungen zum dynamischen Grundgesetz Ubungen zum Prinzip von d'Alembert Ubungen mit der GroBe Arbeit tJbungen mit den GroBen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Ubungen zum Energieerhaltungssatz Ubungen zum geraden zentrischen StoB tJbung zum Tragheitsmoment Ubungen zum dynamischen Grundgesetz fiir die Drehung Ubungen zur Fliehkraft Ubungen zum Schnittverfahren tJbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Ubungen zur Flachenpressung Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte Ubungen mit Flachen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte Ubungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tragerarten und Belastungen tJbungen zur Durchbiegungsgleichung Ubung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen Ubung zu Biegung und Torsion Ubungen zur Dauerfestigkeit

llllljll 5 10 18 35 46 62 81 87 89 95 113 118 122 125 135 142 146 160 166 193 197 206 212 222 230 234 239 243 272 286 293 306 316 333 349 367 370 383

Inhaltsverzeichnis

XXI

TabeUen Tabelle 3.1 Tabelle 4.1 Tabelle 4.2 Tabelle 4.3 Tabelle 4.4 Tabelle 4.5 Tabelle 5.1

Reibzahlen /IQ und fi GleichmaBig beschleunigte geradlinige Bewegung GleichmaBig verzogerte geradlinige Bewegung GleichmaBig beschleunigte Kreisbewegung GleichmaBig verzogerte Kreisbewegung Gleichungen fur Tragheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) Axiale Flachenmomente /, Widerstandsmomente Wund Tragheitsradius / fur Biegung und Knickung Polare Flachenmomente 2. Grades /p und Widerstandsmomente W^ fiir Torsion Grenzschlankheitsgrad AQ fiir Euler'sche Knickung und Tetmajergleichungen Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnittsformen Zulassige Spannungen im Stahlhochbau Zulassige Spannungen im Kranbau Richtwerte fur die Kerbwirkungszahl Festigkeitswerte fur Stable Festigkeitswerte fur Gusseisen

Tabelle 5.2 Tabelle 5.3 Tabelle 5.4 Tabelle 5.5 Tabelle 5.6 Tabelle 5.7 Tabelle 5.8 Tabelle 5.9

Das pieehische Alphabet Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My

A B F A E Z H

a ^ y d e

e

^

I K A M

S rj i K

X jU

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

N E

o n

V

^ o JT

p

Q

s

o r

T Y muss ein Kraftmoment M wirken, wird er verschoben und gedreht, miissen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wiiken.

Beachte: Die Drehwirkung eines Kraftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet.

\Drehung\

1.1 Grundlagen Umgekehrt lasst sich auch schlieBen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Korper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden ist, wenn er sich nicht dreht. Korper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen sich auch durch Krafte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkrafte und Gegenkraftmomente erzeugt.

AUe Krafte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fallen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Krafte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Krafte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Korper so verhalt, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment.

Keine Verschiebung: F = 0 Keine Drehung: M= 0

Beispiel: Frasmaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, obwohl iiber das Werkstiick Krafte in den Schraubstock eingeleitet werden.

Keine Verschiebung: 2 F = 0 Keine Drehung: SM = 0

2 (Sigma) bedeutet: Summe aller ..., d. h. die Summe aller Krafte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null.

Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Korpers in der Ebene bezogen ergibt: Ein Korper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Krafte in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summie aller Krafte in Richtung der y-Actee gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die z-Achse gleich nuU ist.

Nach dem Tragheitsgesetz gilt das fur alle Korper, deren Bewegungszustand sich nicht andert. Demnach ist ein Korper in drei Fallen im Gleichgewicht: wenn er ruht (Geschwindigkeit v = 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender Geschwindigkeit bewegt (v = konstant) und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) umlauft {n = konstant).

ZFx 2Fy

=0 =0

Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet man unbekannte Krafte und Kraftmomente.

Beachte: Ruhelage und gleichformig geradlinige Oder rotierende Bewegung sind gleichwertige Zustande, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. Die Uberlegungen zum Tragheitsgesetz stammen von dem italienischen Physiker Galileo Galilei (1564-1642).

1 Statik in der Ebene 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fiir Krafte Der Parallelogrammsatz^^ ist die wichtigste statische Grundoperation fiir das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten GroBen (Vektoren). Dazu gehoren neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Krafte F. 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kraften (Kraftereduktion) Krafte sind linienfluchtige Vektoren, d. h. zwei Krafte Fi und F2 konnen auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden Fr zusammengesetzt werden. Man nennt dies eine geometrische (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kraftereduktion.

ParalMc^famiBsatz Die ResoMereBde F^ (&satzkraft) zweier in einem Piiidct A angreifender Krafte Fi und F2 ist die Diagonale des Kitfiiepaiallelogramms.

Einfacher ist es, die Krafte nach Betrag und Richtungssinn maBstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kraftedreieck (Krafteck, Kraftezug).

Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen K Flachen A usw. sind keine gerichteten Gro6en. Dire Betrage konnen algebraisch addiert und subtrahiert werden. Krafte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln.

Geometrische Addition der Krafte Fi und F2 zur Resultierenden Fr

so-*-

Oder

Im Krafteck ist die Resultierende F^^ die Veibinduttgslinfc vom Anfangspnnkt A der zuerst ge2^iclineten Kraft 211111 Endpunkt E der zuletzt gexeichneten Kraft,

Der Betrag der Resultierenden Fj. zweier Krafte Fj und F2, die den Winkel a einschlieBen, lasst sich mit Hilfe des Kosinussatzes, der Winkel 13 mit dem Sinussatz berechnen. Die beiden Satze werden in der Mathematik (Trigonometrie) hergeleitet.

SO-*

Kraftedreiecke als Ersatz fiir das Krafteparallelogramm

Fr = y/F\ + F2^ +2F1F2 cos a

F\ sin a Fr

Boge, A.; Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Losungen, Vieweg 2005

1.1 Gmndlagen 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Krafte Fi und F2 Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten

Das Krafteparallelogramm lasst sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL2 zweier gesuchter Krafte Fi, F2 zeichnen.

FuF2

Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL 1 und WL2 der gesuchten Krafte Fi, F2 parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maBstablich aufgezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Krafteparallelogramm. Die Betrage der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Fiir Fi gilt der Sinussatz; die Gleichung fiir F2 lasst sich aus dem gestrichelt gezeichneten Kraftezug ablesen.

^ sin_p

Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Losungen mogUch.

F2=Fcosl3-FiCOsa

^-2^^.

Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten F^ und Fy einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus.

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Krafte Fj und F2 Fiir die gegebene Kraft F soUen die beiden parallelen Krafte Fi und F2 ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Abstanden /i und I2 die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F Zum Verstandnis fur die Losung dieser Aufgaben ist der spater erlauterte Momentensatz erforderlich (1.2.5.1): F/i = F2(/i + h)

und

—'—"^

Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten

F/2 = Fi (/i + h)

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen fiir die Betrage der Krafte Fi und F2.

Fi=F /1+/2

10

1 Statik in der Ebene

1.1.6.4 Ubungen zum Parallelogrammsatz fiir Krafte 1. Ubung: Zwei Krafte Fi = 2 kN und F2 = 3 kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel a = 120° zueinander. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden F^,

180°-a

b) der Winkel 13 zwischen den Wirklinien von Fi und Ff. Losung: a) der Betrag der Resultierenden lasst sich zeichnerisch durch maBstabliches Aufzeichnen des Krafteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. b) der Winkel yS zwischen den Wirklinien von Fj und Ff wird mit dem Sinussatz berechnet:

• ,,tf

sm(180°-a)

= F^ $ ; sin ^(180°-a)^

sin a

f^ ^T

VFX"-

- F-^^ + 2F1F2 cos a

: / ( 2 k N ) ^ ' ( 3 k N f + 2-2kN-3kN-cosl20°

^r = 2,646 kN

/5 = arcsin

F2 sin (180° -a)

= 79,1°

2. Ubung: Fiir das skizzierte Lager einer Getriebewelle wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen die Stiitzkraftkomponenten FAX = 5089 N und FAy = 471 N berechnet. Zur Bestinmiung der Lagerabmessungen soil die Stiitzkraft (Lagerkraft) F A berechnet werden. Beachte: Die Stiitzkraftkomponenten konnen in den Lagermittelpunkt verschoben werden. Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten FAX und FAy (Langsverschiebungssatz von Seite 3),

Losung:

b) Betrag der Lagerkraft FA, c) Richtungswinkel a zwischen der positiven x-Achse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft FA.

AiifgabeiiNn29--31

a

FAV 471 N ^ a r c t a n — = a r c t a n ^ ^ ^ ^ : : 5,29°

1.1 Grundlagen

11

1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberflachen- und Volumenkrafte Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Krafte zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die Stiitzkrafte (Lagerkrafte), die eine Getriebewelle Oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. Solche Aufgaben konnen nur dann richtig gelost werden, wenn tatsachlich alle am Bauteil (Getriebewelle, Drehkran, Winkelhebel, Schraube usw.) angreifenden Krafte in die Untersuchung einbezogen wurden.

Beispiel: Fi, Fj bekannte Krafte, FAX, ^Ay, ^B gcsuchtc Stutzkiafte

Hinweis: Wird etwa die tatsachlich wirkende Stiitzkraftkomponente FAX nicht in die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen (2Fx = 0, 2Fy = 0 , 2 M = 0), dann wird die Losung falsch.

Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile mit Oberfldchenkrdften, die man sich im Mittelpunkt M der Beriihrungsflache A angreifend denkt, wie im Fall der beiden zusanmiengepressten Bauteile 1 und 2. Oberflachenkrafte heiBen auch auBere Krafte. Tatsachlich verteilt sich jede Oberflachenkraft mehr oder weniger gleichmaBig auf die Flachenteilchen der Beriihrungsflache A (siehe Abschnitt 5.5 Flachenpressung). Auf jede Beriihrungsflache eines Korpers wirkt die von ihr ausgeiibte Oberflachenkraft von dem anderen Korper zuriick (Aktion = Reaktion). Es ist also Fi2 (Kraft F von 1 auf 2) gleich F2,\ (Kraft F von 2aufl). AuBer den Oberflachenkraften konnen noch Volumenkrafte wirken, die man sich im Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) M des homogenen Korpers angreifend denkt. Die wichtigste und stets wirkende Volumenkraft ist die Gewichtskraft FQ. Eine andere Volumenkraft ist die durch Magnete erzeugte Kraft. Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkraften ist das Vorhandensein eines „Feldes", z. B. des Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. Volumenkrafte heiBen daher auch Feldkrafte.

Hinweis: Ob die Gewichtskraft FQ beim Freimachen beriicksichtigt wird, hangt davon ab, ob ihre Wirkung im Verhaltnis zu den Wirkungen der anderen Krafte groB oder klein ist.

12 Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden Krafte richtig erfasst zu haben, geht jeder statischen Untersuchung das Freimachen voraus.

Freimachen heifit: Man nimmt die Nachbarbautefle, die das ftei^aimactende Bauteil bertlhien. Stuck fur Stuck weg und briugt dafiir an den Berilhrungsstellen diejeuigoi Kraflte an, die von den weggenommenen Bauteil^i auf das fieigemachte Bauteil wiilcen.

1 Statik in der Ebene Hinweis: Statt „Freimachen" wird auch die Bezeichnung „Freischneiden" verwendet, weil man das Bauteil mit einem gedachten Schnitt von den angrenzenden Bauteilen trennt. Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil schematisiert ohne die angrenzenden Telle aufzeichnen. 2. Die Angrijfspunkte aller Krafte und die Wirklinien dieser Krafte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf den freigemachten Korper eintragen. Fur die zeichnerische Losung maBstablich zeichnen (Lageplan), fiir die rechnerische Losung geniigt die Lageskizze.

Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen geben die folgenden Beispiele.

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen Seile und itinliche flexible BauteUe konnen nw Zu^cfifte in Seilrichtung ausuben oder aufinehmen. Zugkrifte wiiken stets weg vom Angriflfspunkt am fteigemachten Biauteil. (Regel 1)

Beispiel: Der Kranhaken soil freigemacht werden.

Seilkraft F I

freigemachter Kranhaken

Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Korper ausuben kann. Es ist gleichgultig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft.

Gewichtskraft

FQ

Man nimmt den angehangten Zylinder weg und ersetzt ihn im Beriihrungspunkt durch die Gewichtskraft FQ. Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F = FQ.

1.1 Grundlagen

13

1.1.7.3 Zweigelenkstabe ZweigeleokstMbe kcHmen Zag- oder I>ruckkilfte aufeehmea, deren WirklMe die Verbmdimgsgerade der Gdenkpunkte ist Die Gelenke werdea als teibungsftei aagesehen. (Regel2) Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; er kann gerade oder gekriimmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenkstabe diirfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen verbunden sein und keine Krdfte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Krafte konnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss.

Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstutze) stiitzt eine Plattformab.

,

^wirklinie

Plattform — Druck

freigemachter Stab Zweigelenkstab

Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkrafte auf. Er konnte aber auch Zugkrafte aufnehmen, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst.

1.1.7.4 Beriihrungsflachen (ebene Stiitzflachen) Berdhmngsflachen kdnnen NormalkiMe und TangentialkrHfte aufiiehmen. Normalkmfte wliken stets bin auf die Beriihmngsflache amfteigemachtenBauteil. (Regel3) Beriihren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre Wirklinie steht immer senkrecht auf der Beriihrungsflache. Die Tangentialkraft FT wird durch Reibung (Reibkraft FR) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. Ihre Wirklinie liegt stets in der Beriihrungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft F^. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fallen erkennen, wenn alle ubrigen Krafte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft FT = Reibkraft FR wirkt der Bewegung entgegen, die durch die ubrigen Krafte verursacht wird oder verursacht werden konnte.

Beispiel 1: Ein prismatischer Korper liegt auf einer waagerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe. freigemachter Korper

W///MMW///. Gewichtskraft FQ und Normalkraft F^ haben gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Beispiel 2: Der gleiche Korper hegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe. freigemachter Korper

Gewichtskraft FG und Normalkraft F^ allein konnen nicht im Gleichgewicht sein. Der Korper wiirde abwarts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft FT = Reibkraft FR daran hindem wiirde.

1 Statik in der Ebene

14 Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Beriihrungsflache gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft FT = Reibkraft FR. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibkraft FR entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fallen ist das „langsamere" Bauteil eine ruhende Unterlage.

Beispiel 3: Der Korper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben.

Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung.

Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft /% batten Gewichtskraft FQ und Normalkraft FN eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 3 anders: F und F^ = FR bilden ein rechtsdrehendes Kraftepaar. Bei Gleichgewicht stellt sich dann das linksdrehende Kraftepaar aus FG und FN ein. Die Kraftmomente M beider Kraftepaare sind gleich groB und gegensinnig (2M = 0).

Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, so tritt auch bei waagerechter Beriihrungsflache eine Reibkraft FR auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich.

wmmmm. I • •••-d-V ^^/m7/Y/////////.

Jlf

freigemachter Korper

wf Krafte vom Gleitkorper auf die Unterlage

1.1.7.5 RoUkorper (gewolbte Stiitzflachen) RoUkorper kdnnen Radialkrafte und TangentiaJkrafte aufiiehmen. Die Radialkitfte wirken stets auf den BerCihningspunkt am fteigemachten Korper. (Regel4) Zwischen RoUkorper und Unterlage wirkt eine Radialkraft F^. Ihre Wirklinie verlauft durch den Beriihrungspunkt und den Rollkorpermittelpunkt. Die Bezeichnungen „Radialkraft" und „Nomialkraft" sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf der Beriihrungstangente. Eine Tangentialkraft FT tritt am mhenden RoUkorper nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Beriihrungsflachen (siehe Regel 3, Seite 13). Dire Wirklinie ist die Tangente an den RoUkorper im Beriihrungspunkt und steht darum immer rechtwinklig zur Wirklinie der Radialkraft.

Beispiel: Eine RoUe ruht auf einer waagerechten Ebene und stiitzt eine waagerecht liegende Platte ab.

freigemachte

Rolle

Die Beriihrungspunkte A und B liegen senkrecht iibereinander. Die Radialkrafte FrA und FrB haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft.

15

1.1 Grundlagen 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) Einwerdge Lager (Loslager) koiinen nur eine rechtwinklig zur StCitzflache wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu, Wirhmgsanalyse: Wirklime der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt {eine Unbekannte). (RegelS) Einwertige Lager werden fiir Trager auf zwei Stlitzen verwendet, um die Warmeausdehnung in Langsrichtung nicht zu behindem, z. B. an Briickentragem und Wellen. Bei zweifach gelagerten Tragem muss ein Lager ein Loslager sein.

1

p^ A

freigemachtes Gleitlager

freigemachtes Kugellager

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) konnen eine beliebig gerichtete Kraft auftiehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy. Wirhmgsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, Betrag unbekannt {zy^ei Unbekannte). (Kegel 6)

Trager auf zwei Stiitzen, Wellen und Achsen erhalten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzulassige Langsverschiebung zu verhindem. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe:

Yerschiebt man die StCitzflache des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiweitigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit.

Beispiel 1: Trager auf zwei Stiitzen

^ 2 ^ : : : : : : ^ ^ ^ ^ ^ A Beiastung F

freigemachter Tragei

Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB rechtwinklig zur Stiitzflache. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe!). Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten F^ und Fy und legt den Richtungssinn fiir die spatere Rechnung nach Augenschein fest. Der zunachst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten F^ und Fy wird bei der spateren Berechnung durch ein positives Vorzeichen bestatigt. Ein negatives Vorzeichen fiir Fx oder Fy zeigt den entgegengesetzten Richtungssinn an.

1 Statik in der Ebene

16 Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebeebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Krafte aus jeder behebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits auf Seite 15 (1.1.7.7) erlautert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn unter Beriicksichtigung der ubrigen Krafte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen.

Wellen soUen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkrafte uber Walz- oder Gleitlager auf das Gehause iibertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet. Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten F^ und Fy. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte Komponente F^ wird allein vom Festlager B aufgenommen (Fx = FBX), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Gehause verschiebbar. Es kann nur Normalkrafte aufnehmen, hier die Lagerkraft FADie Stutzkrafte FA, FBX und F^y werden spater mit Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen SFx = 0, 2Fy = 0, 2M = 0 (siehe Abschnitt 1.2.5.3, Seite 44) berechnet.

Beispiel 2: Tur mit Halslager A und Spurlager B

T \

-o-o OSchwerpunktS

1

OS

1

XFG

£fix|

^

^By 1

Lageskizze der freigemachten Tur

Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist einwertig. Den Stiitzhaken bei A wegnehmen: Die Tur dreht nach rechts. Folglich muss FA nach links wirken. Den Stiitzhaken bei B wegnehmen: Die Tiir dreht nach Unks. FBX wirkt also nach rechts.

Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager 5 I I

Zahnkraftkomponenten

Lageskizze der freigemachten Welle

Beachte: AuBer F^ und Fy wirkt noch die Umfangskraft F^ in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 371).

17

1.1 Gmndlagen 1.1.7.8 Dreiwertige Lager Dfeiwerlige Lager koimen eine beliebig gerichtete Kraft and ein Kraftmoment aufiiehmen. Beim Freim^hen metzt man die Lagericraft durch zwei rechtwiuklig aufeinander stehende Komponenten, das Kiaftmoment durch den MomentendrehpfeE. Wtrkungsanalyse: Wkklinie nnd Betrag der Lagerkraft iinbekannt, Betmg des Kraftmoments (Einspamimoment) unbekannt (drei Unbekannte). (Kegel 7)

Beispiel: Eingespannter Freitrager ^..^Mauerwerk

\ M = Fyl\i Einspannmoment

Lageskizze des Freitragers

Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung fiir die richtige zeichnerische und rechnerische Losung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan:

Art^its^bm nim Fr^maehen: L^esMzze des fieizumachenden Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Kraftangriffspunkte (BerCthmngspunkte mit den Nachbaibauteilen) fesdegen.

2. Schritt

Wilklimen aller Krifte nach den Regein 1 bis 7 fur das Freimachen einzeichnen. 3. Schritt Richtuttgssinn fllr alle Kraftpfeile nach den Regehi 1 bis 7 fesdegen*

4. Schritt

18

1 Statik in der Ebene

1.1.8 Ubungen zum Freimachen 1. Ubung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest gestiitzt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft FQ belastet. Die Leiter soil nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die haufig Schwierigkeiten macht. Losung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte A und B markiert. Das sind die Beriihrungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. AuBerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft FQ eingezeichnet.

Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stiitzkrafte FA und F^ einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig.

Aufgabenskizze

B

Lageskizze der Leiter mit Lagerpunkten und gegebener Kraft

Beachte: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stiitzkraft bekannt. Diese ist eine Normalkraft.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Krafte Ubertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft iibertragen, wenn die Reibung nicht beriicksichtigt wird.

Bewegungsprobe: keine Lageveranderung bei Parallelverschiebung des einwertigen Lagers.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstiick um B ergibt Lageveranderungen der Leiter in jeder Richtung. Das Lager ist zweiwertig und ubertragt eine beliebig gerichtete Stiitzkraft mit x- und y-Komponenten.

Lageveranderung bei beliebiger Verschiebung des zweiwertigen Lagers.

Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollstandige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stiitzkraft F^ an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es konnen nur ihre X- und y-Komponenten eingetragen werden. Das ist fiir die zeichnerische oder rechnerische Losung solcher Aufgaben ausreichend.

Lageskizze der freigemachten Leiter

1.1 Grundlagen

19

2. tjbung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil tragt er ein Werkstiick, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft FQ belastet. Der Schwenkarm des Kranes soil nach dem Arbeitsplan von Seite 17 freigemacht werden.

Last FQ

Aufgabenskizze

Losung: Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zunachst wieder ohne Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. In diesem Fall ist die von dem Werkstiick hervorgerufene Gewichtskraft FQ bereits mit Angriffspunkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird.

Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Fesdager).

Die Bewegungsprobe fur beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht.

Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkrafte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft FA verhindert dies. Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fallt auBerdem nach unten. Beides miissen die Lagerkraftkomponenten FBX und F^y verhindem.

1. Schritt

\ p ^

Lageskizze des freigemachten Schwenkarmes

Die Kraftangriffspunkte A und B einzeichnen.

2. Schritt

3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerflache vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten der Spurlagerkraft F^ werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet.

4, Schritt Auf der Wirklinie der Halslagerkraft FA einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen nach rechts gehindert werden kann. Auf der horizontalen Wirklinie von FBX einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von Fey einen nach oben gerichteten Kraftpfeil einzeichnen.

20

1 Statik in der Ebene

3. Ubung: Der aufwarts fahrende Wagen eines Schragaufzugs soil freigemacht werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst miisste es z. B. heiBen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen.

Zugseil

Aufgabenskizze

Losung: Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schrag stehenden Betriebslage, und zwar zunachst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

h Schiitt

Gewichtskraft

Lageskizze des freigemachten Wagens

Hier muss die Gewichtskraft FG beriicksichtigt werden, sonst konnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Krafte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingehangt, die Rader beruhren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens.

Die Gewichtskraft FQ wirkt immer auf der Lotrechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, denn dort ist ein Seil weggenommen. Die Rader werden nach Regel 4 (Seite 14) fiir Rollkorper freigemacht. Da der Wagen wilt, wirken an beiden Radem Radial- und Tangentialkrafte.

Die Gewichtskraft FQ wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkrafte Fr sind aw/die Rader zu gerichtet. Die Tangentialkrafte FT versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn.

Aitfgaben Nn 9-28

2. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Rader als Kraftangriffspunkte kennzeichnen.

3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirklinie der Gewichtskraft FQ zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkrafte verlaufen durch die Beriihrungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkrafte rechtwinklig dazu.

4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: FQ nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, Fr nach links oben und FT der Bewegung des Wagens entgegen nach links unten.

21

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

L2 Die Grimdaiifgabeii der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kraftesystem Unter einem Kraftesystem versteht man beliebig viele Krafte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. Ein zentrales Kraftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Krafte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kraftesystems. Nach dem Langsverschiebungssatz konnen alle Krafte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt verschoben werden. Ein zentrales Kraftesystem kann einen Korper nur verschieben, aber nicht drehen. Ein allgemeines Kraftesystem besteht aus Kraften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander haben. Allgemeine Kraftesysteme konnen genauso wie zentrale Kraftesysteme einen Korper verschieben. Sie konnen ihn aber auBerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen.

Zentrales Kraftesystem

Allgemeines Kraftesystem

1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kraftesystem sind alle Krafte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. Um eine Aus^ge lil^r die Wirkung des Kraftesystems auf ein Bauteil machen zu konnen (z. B. VerscMebung), miissen die resuMerende Kraft Ft wnd das jresultieiende Kraftmoment Mr ennittelt warden.

bekannt: Fi, F2, Fj gesucht: F^, Mj-

2. Hauptaufgabe: In einem Kraftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Krafte bekannt. Una dm F^ti^ei^ii^hnung an einem Bauteil ausfiihiett zu konnen, miissen die noch unbekannten Kiifte emiitljelt werden.

bekannt: Fi, F2, F3 gesucht: FAX, FAy,FB

22

1 Statik in der Ebene

1.2.3 Die zwei Losungsmethoden Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei Weise losbar: rechnerisch und zeichnerisch. Die rechnerische Losung erfordert a) eine unmaBstabliche Lageskizze, die alle Krafte als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen Langenmafie und Winkel — insbesondere die zwischen den Wirklinien der Krafte und einer Bezugsachse — enthalten muss, und b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung Oder eines Gleichungssystems, das aus der Lageskizze entwickelt wird. Die zeichnerische Losung erfordert a) einen maBstablich aufgezeichneten Lageplan, der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) mit alien, ebenfalls maBstablich eingezeichneten Wirklinien darstellt, und b) einen Krdfteplan, der alle Krafte maBstabs- und richtungsgerecht enthalt.

Hinweis: Bel der rechnerischen Losung kann man „analytisch" vorgehen (analytische Methode) Oder Kraftecke „trigonometrisch" auswerten. Zur analytischen Losung legt man die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und arbeitet mit ihren Komponenten (x- und y-Komponenten). Meist wird das Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 , 2M = 0 fiir ebene Kraftesysteme entwickelt.

Hinweis: Lageplan und Krafteplan werden stets ?i\xfeinem Blatt aufgezeichnet. Langen- und KraftemaBstab werden so gewahlt, dass die Plane nicht zu klein werden. Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und daraus wird der Krafteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Krafteplan entwickelt. Zeichnen Sie immer zwei getrennte Plane!

1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kraftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) Aufgabe: Ein zentrales Kraftesystem besteht aus den Kraften Fj = 15 N, F2 = 40 N und F3 = 30 N. Die zugehorigen Richtungswinkel sind ax = 30°, a2 = 135° und as = 280°. Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden Fr und ihr Richtungswinkel a^ nach der analytischen Methode, d. h. durch Kraftezerlegung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier Quadranten I, II, III und IV. Voriiberlegung: Der rechnerischen Losung dieser Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten in Richtung der Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. Als Bezugswinkel fiir die Wirklinie der Krafte wird stets der Winkel a verwendet, den die Kraft

R ich tungs winkel: aj = 30° 0i2 = 135° F3 =30N 0(3 = 280°

Aufgabenskizze

1.2 Die Grundaufgaben der Statik mit der positiven x-Achse einschlieBt, und zwar im positiven Linksdrehsinn von 0° bis +360° (Richtungswinkel). Man erhalt dann Berechnungsgleichungen, die immer wieder in derselben Form gebraucht werden konnen. Den Richtungssinn der Kraftkomponenten F^ und Fy zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im Ergebnis an. Das negative Vorzeichen fiir eine x-Komponente zeigt den Richtungssinn „nach Unks", fiir eine y-Komponente „nach unten" an.

Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten werden in der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe n steht fiir den Index 1,2,3, •. • der Krafte F und ihrer Richtungswinkel a.

23 Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel a geneigten Kraft sind:

Fx —Fcmu

Fy = F$ma

Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schlieBt die Kraft F2 = 40 N mit der positiven x-Achse den Richtungswinkel 02 = 135° ein. Dazu liefert der Rechner: Fix = F2 cos a2 = 40 N • cos 135° = -28,28 N F2y = F2 sin a2 = 40 N • sin 135° = +28,28 N Die Kraftkomponente F2X wirkt nach links, F2y wirkt nach oben.

Fnx=FnCOSan

Berechnung der x-Komponenten Fny = Fn sin an Berechnung der y-Komponenten

Die x-Komponenten F^x sind die Produkte aus den Kraftbetragen F^ und dem Kosinus der Richtungswinkel an. Bei den y-Komponenten tritt an die Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. Die Summe der x-Komponenten der Einzelkrafte ist die x-Komponente Frx der gesuchten Resultierenden (Frx = 2Fnx). Gleiches gilt fiir die y-Komponente Fry der Resultierenden (Fry = 2Fny).

Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum Beispiel a2 = 135°, braucht man sich nicht um den Richtungssinn der Komponenten zu kiimmem. Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei der Addition mit.

Weil die beiden Komponenten Frx und Fry rechtwinklig aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag Fr der Resultierenden berechnet werden, denn Fr ist die Diagonale des rechtwinkligen Kraftecks aus Frx, Fry und Fr.

Ftx = Fi cos ai 4-F2 cos 02 + . . v+Fn cos an X-Komponente der Resultierenden F^

Fry — ^Ffiy

Fry = Fi sin ai H-F2 sin a2 + . . . +Fo sin Oj, y-Komponente der Resultierenden F^

Betrag der Resultierenden F^

24

1 Statik in der Ebene

Der Richtungswinkel a^ der Resultierenden kann nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man braucht erst den spitzen Winkel ^^^ den die Wirklinie der Resultierenden F^ mit der x-Achse einschlieBt. Es ist gleichgiiltig, in welchem Quadranten die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel ^^ kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion ermittelt werden, denn die beiden Katheten Frx und Fry sind jetzt bekannt. Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf nur mit den Betragen gerechnet werden. Je nach Lage der Resultierenden F^ im rechtwinkligen Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Richtungswinkels a^. Fj. liegt im I. Quadranten: In diesem Fall ist der Richtungswinkel a^ gleich dem spitzen Winkel /J^ zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F,. liegt nur dann im I. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: ^rx -^ positives Vorzeichen positives Vorzeichen

{F^ > 0) {Fry > 0)

Fr liegt im 11. Quadranten: Der spitze Winkel fi^ liegt zwischen der negativen x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fj. liegt nur dann im II. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx -^ negatives Vorzeichen positives Vorzeichen

(Frx < 0) (^ry > 0)

Fr liegt im III. Quadranten: Der spitze Winkel fij. liegt zwischen der negativen x-Achse und der wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende Fr liegt nur dann im III. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: Frx -^ negatives Vorzeichen negatives Vorzeichen

(Frx < 0) (Fry < 0)

Hinweis: Die GroBen Fry und Frx stehen in sogenannten Betragsstrichen, d. h. es sind nur die Betrage (ohne Vorzeichen) einzusetzen.

-'•-m

"•—w

ar=/^r

ar = aiictan

\Fr.

ar = lSO''-P, a, = 180° - arctaa L ^ \Frx\

0^ = 180" + ^^^

\Frxl

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

25

Fr liegt im IV. Quadranten: Der spitze Winkel ^^ liegt zwischen der positiven x-Achse und der Wirklinie der Resultierenden. Die Resultierende F^ liegt nur dann im IV. Quadranten, wenn die Komponentenberechnung ergibt: ^rx -^ positives Vorzeichen (Frx > 0) (F^ aus dem F3 wieder in — ^2 und ^3 auf WL 3, J Krafteplan) und zwar so, dass die Wirklinien der Komponenten ^1 und —Si bzw. ^^2 und —^2 zusammenfalien. Zerlegungspunkt I ist beliebig, die folgenden ergeben sich. Es heben sich also auch im Lageplan ^i und —Si, S2 und —S2 wieder auf, es bleiben nur noch die Komponenten ^o und ^3 ubrig. Dies sind die Komponenten der Resultierenden F^ (siehe Kraftevon III ^3 von I plan). Der Schnittpunkt ihrer Wirklinien muss ein nach S verschoben nach S verschoben Punkt der Wirklinie der Resultierenden sein (S). Ergebnis: Damit ist auch deren Lage am Korper bestimmt. Die Resultierende wirkt mit 112,5 N auf der Man bezeichnet die Krafte 5*0, 5"!, —5i, ^'2, ... im Krafteplan als Polstrahlen, im Lageplan dagegen als Seilstrahlen. Bei der praktischen Arbeit mit dem Seileckverfahren zeichnet man Pol- und Seilstrahlen nur als einfache Gerade, also ohne Pfeile, und bezeichnet sie mit 0, 1,2,... (siehe Lehrbeispiel Seite 43). Der Linienzug, gebildet durch die Schnittpunkte der Teilkrafte (I, II, EI . . . ) , heiBt Seileck, weil ein zwischen den Kraften ausgespanntes Seil im Gleichgewicht ist und in den einzelnen Seilabschnitten die Seilkrafte ^o. Si usw. auftreten.

gefundenen Wirklinie nach unten. Beachte: Zu jedem Seilstrahlenschnittpunkt I, II, III ... im Lageplan gehort ein Polstrahlendreieck im Krafteplan. Es miissen immer die richtigen Seilstrahlen auf der richtigen Wirklinie zum Schnitt gebracht werden, also SQ und Sx auf WLl, -Sx und ^2 auf WL2 usw. Die zusammengehorigen Seilstrahlen zeigt der Krafteplan.

Arbeitsplan warn. Seileekverfahren: Lageplan des feigemachten Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Einzelkrafte durch Kmfteckzeichnung zu Ft veieimgen.

2. Schritt

Pol P beliebig wahlen und Polstrahlen im Krafteplan zeichnen.

3. Schritt

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen (durch Parallelverschiebung do* Polstrahlen aus dem Krafteplan); Anfangspunkt I beliebig. Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt bringen.

4. Schritt

Schnit^unkt S der Seilzugenden ergibt die Lage der WL von F^ im Lageplan. BetragxmA Richtungssinn zeigt der Krafteplan.

6. Schritt

Aufgaben Nn 72-82

5. Schritt

43

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

LBhrbempmk SBlleckverfahren, Zusammensetzvng zweier Parallelkrafte a) Die Krafte $md parallel, glehhsinnig, gleich groB: I

Die Wirklinie der Resultierenden liegt auf halbem Abstand zwi$chen den Kraften.

b) Die Krafte sind parallel, gleichsinnig, ungleich gro&:

Fr = Fi + F2 Die Wirklinie der Resultierenden teilt den Abstand I im umgekehrten Verhaltnis der Krafte FiundF2.

c) Die Krafte sind parallel, gegensirtnig, ungleich groB:

Fr =

Fi-F2

Beachte: Die Wirklinie der Resultierenden liegt nicht zwischen den beiden Wirklinien vonFi und F2-

d) Die Krafte sind parallel, gegensinnig, gleich groB:

Fr =

neues KtMepaar

Fr~-F2^0

Die Zusammensetzung des Kraftepaars liefert keine Resultierende, sondern zwel gleich gro&e gegensinnig paratlele Krafte (0 und 2} mit anderer Lege und anderem Abstand: Bin Kraftepaar kann nur durch ein anderes ersetzt und beliebig verschoben werden.

^^ siehe auch: Arbeitsplan, Seite 42

1 Statik in der Ebene

44

1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Krafte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen Die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen im Der Korper ist dann im Gleichgewicht, wenn allgemeinen Kraftesystem lauten: die Summe aller Krafte (oder Komponenten) ^ -^ in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summe aller Krafte (oder Komponenten) in I. 2F. = 0 Richtung der y-Achse gleich null ist und die llFy ^0 Summe aller Kraftmomente, bezogen auf m. I;M(B)=O einen beliebigen Punkt D, gleich null ist. Aufgabe: Bin Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F = 30 kN belastet. Die Stiitzkrafte im Halslager A und im Spurlager B sollen berechnet werden.

I2 = 3m

Voriiberlegung: Bei jeder rechnerischen Behandlung eines beliebigen Kraftesystems miissen alle Krafte, auch die unbekannten, in x- und y-Komponenten nach den Achsrichtungen eines rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt werden. Vergisst man eine Kraft, wird die Losung falsch. Man legt das Achsenkreuz nach der Lageskizze so, dass moglichst wenige Krafte in Komponenten zerlegt werden miissen. Im Normalfall liegt dann die x-Achse horizontal und die y-Achse vertikal. Mitunter ist es zweckmaBiger, das Achsenkreuz anders zu legen, wie das nebenstehende Beispiel zeigt.

Beispiele fiir zweckmaBige Lage der Achsen

Losung: In die (unmaBstabliche) Lageskizze des freigemachten Wanddrehkrans werden entsprechend den Regeln fiir das Freimachen alle Krafte eingetragen, auch die noch unbekannten. Belastung F\ Betrag, Wirklinie und Richtungssinn bekannt\ Halslagerkraft Fp^\ Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt, Richtungssinn angenommen, und zwar positiv im Sinn des gewahlten Achsenkreuzes; Spurlagerkraft F^: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt, Richtungssinn der Komponenten FBX und Ffiy positiv im Sinn des Achsenkreuzes angenommen.

Lageskizze des freigemachten Drehkrans (mit nach Rechnung korrigiertem Richtungssinn von FA)

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Anhand der Lageskizze werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Man erhalt ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten FA, FBX und Ffiy, das mit den Regeln der Gleichungslehre schrittweise nach diesen GroBen aufgelost wird. Das negative Vorzeichen bei FA = — 25 kN zeigt, dass FA nicht nach rechts, sondem nach hnks wirkt. Das negative Vorzeichen (-25 kN) wird beibehalten. Es ergibt sich richtig FBX = +25 kN. Den Momentenbezugspunkt D fiir Gleichung HI legt man in den Schnittpunkt mogUchst vieler unbekannter Krafte. Dadurch haben diese Krafte keine Drehwirkung und erscheinen nicht in der Momentengleichgewichtsbedingung. In den meisten Fallen enthalt dann diese Gleichung nur eine Unbekannte, die sofort berechnet werden kann: Die Momentengleichung (III) ist meist der Schliissel zur Losung. Wichtig ist auBerdem die Erkenntnis, dass auch jeder Punkt aufierhalh der Bauteile als Bezugspunkt benutzt werden kann, wenn dadurch die Rechnungen einfacher werden. Aus den Komponenten FRX und Fsy berechnet man die Stiitzkraft FB als Resultierende wie in der ersten Grundaufgabe. Falls erforderlich, wird der Richtungswinkel ihrer Wirklinie iiber die Tangensfunktion ermittelt.

45 Beachte: Auch gegen die (richtige) Vorstellung FA wirkt nach links, bleibt es bei der Regel: positives Vorzeichen annehmen. I. 11. III.

III. I. II.

2F, IFy

= 0 = F A + FBX

= 0 = - F + Fey

2M(D)=0=:-FA/I-F/2

-Fh - 3 0 kN • 3 m ^^^^^ FA =-r^ = ^^ = -25kN l\ 3,6 m FBX = - F A = - ( - 2 5 kN) = 25 kN Fey = F = 30 kN

Ergibt sich eine negative Kraft (d. h. mit Minus-Vorzeichen), wie hier die Kraft FA, dann bedeutet das, dass sie dem angenommenen Richtungssinn entgegen wirkt. Die Krafte FBX und Fsy ergeben sich aus der Rechnung positiv (d. h. mit Plus-Vorzeichen). Das bedeutet, dass in der Lageskizze ihr Richtungssinn richtig angenommen wurde. Beachte: Das Minus-Zeichen bei der Kraft FA muss bei der weiteren Auflosung des Gleichungssystems mitgefiihrt werden.

= \ / ( 2 5 kN) ^ ' (30 kN)^

FB FB

= 39,051 kN : arctan

iFp ^Byl

• arctan

30 kN : 50,2° 25 kN^

Ergebnis: Im Lager A wirkt eine Kraft von 25 kN nach links, im Lager B eine Kraft von 39 kN nach rechts oben.

Arbeltsplan wm redmerischen Enmtfliing unbekannter Krafte: Lageskizze des freigemachten Bauteils mit alien KrSften zeichnen; Richtungssimi der unbekannten KrMfte nach der Richtungsiegel Seite28 annehmen*

1. Schritt

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und ausweiten.

2. Schritt

Falls oforderlich, Richtungssinn der unbekannten Krafte in der Lageskizze k(mgi^:en.

3. Schritt

46

1 Statik in der Ebene

Nachiiberlegung: Die Losung hat gezeigt, dass die Berechnung der KiSiftbetrdge eine rein mathematische Aufgabe ist, namlich die Auflosung eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten. Dazu werden die drei Gleichgewichtsbedingungen in der nun bekannten Form benutzt. Die Losung ist aber auch mit drei beliebigen anderen Gleichungen moglich, wenn sie die Belastungsverhaltnisse durch die bekannten und unbekannten Krafte korrekt wiedergeben und voneinander unabhangig sind. Diese Behauptung soil am Beispiel des Wanddrehkrans bewiesen werden.

Beispiel:

Stellt man die Momentengleichgewichtsbedingung fiir drei verschiedene Bezugspunkte auf, dann erhalt man ein solches Gleichungssystem. Die drei Bezugspunkte diirfen nur nicht auf einer Gerade liegen, weil sich sonst voneinander abhangige Gleichungen ergeben und das Gleichungssystem dann nicht zu eindeutigen Losungen fiihrt.

I.

2M(i) = 0 -

II.

2M(n)

III.

I:M(„I) = 0 = FBX/I - FBy/2

Damit ist eine weitere rechnerische Gleichgewichtsbedingung gefunden: Ein Kdrper befindet sich im Gleichgewicht, weim die Summe aller an ihm wiricenden Kraftmomente in Bezug auf drei nicht auf einer Gerade liegenden Punkte gleich null ist.

Gegeben: F=30kN l\ = 3,6 m /? = 3 m

Lageskizze

-

-FA/I

0 = FBX/I -

- Fh Fh

30 kN • 3 m 3,6 m

I.

-25 kN

Beachte: Das Minuszeichen zeigt, dass FA nicht nach rechts, sondem nach links wirkt. Das war vorauszusehen. Fh 30 kN • 3 m ^^ , ^^ II. ^ B x = - r ^ = —^-T = 25kN l\ 3,6 m FBX/I

25 kN . 3,6

m

30 kN h 3m Hinweis: Auf diese Weise berechnet man beim Ritter'schen Schnittverfahren unbekannte Stabkrafte in Fachwerken (Seite 72). III. FBy =

1.2.5.4 Ubung zur Stiitzkraftberechnung Der skizzierte federbelastete Winkelhebel wird von einem Festlager (zweiwertig) und einem Loslager (einwertig) im Ruhezustand gehalten. In der gezeichneten Hebelstellung betragt die Spannkraft der Zugfeder F = 1 kN. Mit Hilfe der drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen soUen die Sttitzkrafte in den beiden Lagerpunkten ermittelt werden.

Festlager

Aufgabenskizze

47

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Die Lageskizze wird mit alien am Winkelhebel angreifenden Kraften und deren Komponenten in X- und y-Richtung gezeichnet. Das sind Belastungskraft F mit F^ = F cos a und Fy = F sin a Loslagerkraft FL mit FLX = ^L sin /? und FLy = FL COS 13 Festlagerkraft Fp mit Fpx = Fp cos y und Fpy = Fp sin y. Die Loslagerkraft FL wirkt als Normalkraft rechtwinklig zur Stiitzflache des Loslagers. Damit liegt der Richtungssinn durch die Loslagerkonstruktion fest. Der Richtungssinn der Festlagerkraft Fp ist nicht bekannt und wird nach der Richtungsregel von Seite 28 festgelegt (Annahme hier: Fp wirkt im ersten Quadranten, also nach rechts oben). Mit den Bezeichnungen aus der Lageskizze werden nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Der Drehpunkt D fiir den Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung wird wieder in den Festlagerpunkt D gelegt, well Gleichung III dann nur eine Unbekannte enthalt (FL). Aus der Momentengleichgewichtsbedingung SM(D) = 0 erhalt man den Betrag der Loslagerkraft F L - 188,1 N. Die beiden Kraftegleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0 und 21Fy = 0 lost man nach ^Fx = ^F cos y und Fpy = Fp sin y auf und berechnet diese Komponenten der Festlagerkraft. Die Rechnung ergibt fiir beide Kraftkomponenten Fpx und Fpy das negative Vorzeichen und zeigt damit, dass der Richtungssinn der Festlagerkraft Fp falsch angenommen wurde. Die Komponenten Fpx und Fpy stehen rechtwinklig aufeinander, so dass mit dem Satz des Pythagoras der Betrag der Festlagerkraft Fp berechnet werden kann. Die Lageskizze zeigt, dass der Winkel y aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Komponenten Fpx und Fpy iiber die Arcus-Tangensfunktion berechnet werden kann.

'•'-f^ Fcosa

Fps/n-y

Fisin^

D

Fpcos^

FLCOS^i^-^f'L

Lageskizze Gegeben: F=\kN,a

= 20°,p = 50°

l\ = 120 mm, k = 40 mm /3 = 30 mm

I.

SFx = 0 = F cos a - FL siny3 + FF COS y

II.

2Fy = 0 = F sin a + FL COS/3 + Fp sin y

m. 2M(D)= 0 = F sin ah - F cos ah + FL cos^h

Fi

=

F{h cos a-

h sin a)

h C0S)3

188,1 N

I. Fp cos y = - F cos a + FL sin yS = Fpx Fpx = - 1 000 N • cos 20° + 188,1 N • sin 50° Fpx = -795,6 N (falsche Richtungsannahme) II. Fp sin y = - F sin a - F L cos 13 = Fpy Fpy - - ( 1 000 N • sin 20° + 188,1 N • cos 50° Fpy = -462,9 N (falsche Richtungsannahme)

yFpx

-Fpy2

Fp = yj{195,6 Nf + (462,9 N)^ Fp = 920,5 N iFpyl 462,9 N ' = ' ' ' ' ' " ^ ^ ' ' ' ' ' " m 6 N y = 30,19°

1 Statik in der Ebene

48

1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung von unbekannten Kraften (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleichgewichtsbedingungen Hinweis: Fur alle Verfahren mussen wieder Fiir diese Aufgabe stehen zwei Losungsverfahren zur Verfiieung ^*" Lageplsm und ein Krdfteplsin mafistdblich ^ ^' gezeichnet werden. a) Das 3-Krafte-Verfahren (Gleichgewicht von 3 nicht parallelen Kraften) Drei nicht parallele Krafte sind im Gleichgewicht, weim sich die Wridinien der Krifte in einem Punkt schneiden und das Krafteek sich schlieBt

Hinweis: Das 3-Krafte-Verfahren ist nicht anwendbar bei parallelen Wirklinien. Dann bleibt allein die rechnerische Losung (siehe Seite 44).

Aufgabe: Ein Wanddrehkran wird an seinem Lastseil mit einer Kraft F = 30 kN belastet. Er hat oben ein einwertiges Halslager A und unten ein zweiwertiges Spurlager B. Die Krafte Fp, und F^ in diesen beiden Lagem sollen zeichnerisch ermittelt werden.

In = 3m

F = 30kN

Aufgabenskizze

Voriiberlegung: Im Lageplan des Wanddrehkranes erkennt man die Krafte: Belastung F\ Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Halslagerkraft FA'. Betrag unbekannt, Wirklinie bekannt (einwertiges Lager), Richtungssinn angenommen; iWL Fg istnoch

Spurlagerkraft FB: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn unbekannt (zweiwertiges Lager); FB wird zunachst durch die Komponenten FBX und FBy ersetzt und mit angenommenem Richtungssinn eingezeichnet. 1st die Wirklinie von FB nicht bekannt, kann kein Krafteplan gezeichnet werden. Dann lassen sich auch die Betrage von FA und FB nicht ermitteln. Zuerst muss man die Wirklinie von FB finden.

/

I I I

7

unbekannt

By

Lageplan

49

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Fasst man gedanklich die Krafte FA und F, deren Wirklinien bekannt sind, zur Resultierenden Fr zusammen, hat man es wieder mit nur zwei Kraften zu tun. Angriffspunkt der Resultierenden Fr ist der Punkt S, der Schnittpunkt der Wirklinien der Krafte FA und F. Die Resultierende Fr kann mit der Lagerkraft FB nur dann im Gleichgewicht stehen, wenn beide Krafte auf gleicher Wirklinie liegen und ihr Krafteck geschlossen wird. Also muss die Wirklinie der Lagerkraft FB ebenfalls durch den Punkt S gehen.

Losung: Wie bei jeder zeichnerischen Losung wird erst der Lageplan mit alien bekannten Wirklinien maBstablich aufgezeichnet. Nach der Vortiberlegung wird im Lageplan die Wirklinie der Spurlagerkraft FB festgelegt. Dazu bringt man die Wirklinien der Krafte F und FA zum Schnitt. Ihr Schnittpunkt S ist ein Punkt der Wirklinie von FB. Der andere Punkt ist der Lagerpunkt B selbst. Eine Gerade, durch die Punkte B und S gelegt, muss die Wirklinie der Spurlagerkraft FB sein. Nachdem nun alle Wirklinien bekannt sind, wird der Krafteplan gezeichnet. Man legt den KraftemaBstab fest und verschiebt zuerst die gegebene Kraft F parallel aus dem Lageplan. Dann wird das Krafteck mit den parallel verschobenen Kraften FA und FB auf genau die gleiche Weise geschlossen wie bei der vierten Grundaufgabe (Seite 33). Aus der Lange der Kraftpfeile werden wieder mit Hilfe des KraftemaBstabs die Betrage der Krafte FA und FB berechnet. Dasselbe gilt fiir die Komponenten FBX und FBy der Spurlagerkraft. Der Richtungssinn der gesuchten Krafte ergibt sich aus dem Umfahrungssinn des Kraftecks nach der „Einbahnverkehrs"-Regel. Den Neigungswinkel der Spurlagerkraft entnimmt man dem Lageplan Oder dem Krafteplan. Zum Schluss wird der Richtungssinn der gefundenen Krafte in den Lageplan ubertragen.

(Lager A)-Q-

S ist der gemeinsame Schnittpunkt der Krafte F, Fy, und Fr,

Krafteck

^

^

Lageplan m LangenmaBstab: ML — 1,5 cm 1 cm = 1,5 m) Krafteplan KraftemaBstab: MK

„Einbahn- Verkehr" = Gleichgewicht

kN = 15 — cm

(1 cm = 15 kN)

Gemessen wird: .kN = 1,7 cm- 15— = 25,5 kN cm kN F B = 2 , 6 c m l 5 — = 39kN cm FA

Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss im Halslager eine Kraft von 25,5 kN waagerecht nach links, im Spurlager eine Kraft von 39 kN nach rechts oben wirken.

50

1 Statik in der Ebene

Arbeitsplan zum 3-Krafte-VerfaiiFen: Lageplan mit freigemachtem Bauteil zeichnen und darin WiiUinien der Belastung und der einwertigen Lagerkraft festlegen, Bekaimte Wkklinien zum Schnitt S bringen. Schnittpunkt S mit zweiwerdgem Lagerpunkt verbinden; damit sind alle WrkUnien bekaont. Krafteck mit einer bekannten Kraft begimien und mit den unbekannten Kraften schlieBen^ Richtungssinn in den Lageplan tibertragen.

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

AiifgabenNn 83-116

b) Das 4-Krafte-Verfahren (Gleichgewicht von 4 nicht parallelen Kraften) \^er nicht parallele Krafte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Krafte eine gemeinsame Wirklinie haben ~ die Culmann'sche G^ude ~ und das Krafteck sich schlieBt. Aufgabe: Ein gerader Stab hat an seinen beiden Enden zwei frei drehbare Rollen A und B, die sich an einer vertikalen und einer abwarts geneigten Flache reibungsfrei abstiitzen. Der Stab wiirde durch die Kraft Fi = 50 N nach unten verschoben werden, wenn ihn nicht die waagerecht gespannte Zugfeder in der skizzierten Ruhelage festhielte. Die Federkraft F2 und die Stlitzkrafte FA, FB an den Rollen sollen zeichnerisch ermittelt werden. Voriiberlegung: Der Lageplan des freigemachten Rollstabs zeigt die Krafte: Belastung F\: Betrag, Wirklinie und Richtungssinn sind bekannt; Federkraft F2: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Zugfeder iibertragt nur Zugkrafte in Spannrichtung); Stiitzkraft FA: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkorper); Stiitzkraft F^: Betrag unbekannt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt (Rollkorper).

Hinweis: Das 4-Krafte-Verfahren ist nicht anwendbar bei mehr als zwei parallelen Kraften. Dann bleibt nur die rechnerische Losung (siehe Seite 44).

0,4 m

Aufgabenskizze

Lageplan

51

1.2 Die Grundaufgaben der Statik Es wirken also vier Krafte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Fiir drei von ihnen miissen nur noch die Betrage ermittelt werden. Fasst man nun wieder (wie beim 3-Krafte-Verfahren) gedanklich je zwei Krafte zu einer Resultierenden zusammen, z. B. die Krafte F\ und FA ZU Fri,A und die Krafte F2 und FB ZU Fr2,B, hat man es wiederum mit nur zwei Kraften zu tun. Diese beiden Resultierenden konnen nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein.

(Ro/le A)

Krafteck

Die auf der gemeinsamen Culmann'schen Geraden wirkenden Resultierenden Fri,A und Fr2,B miissen natiirlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. Welche beiden Krafte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgultig. Man kann z. B. auch die Krafte F\ und F2 zur Resultierenden Fri,2 und FA und FB zur Resultierenden FrA,B zusammenfassen. Das ergibt dann zwar eine andere Lage der Culmann'schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung fiir die Anwendbarkeit des 4-Krafte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. Losung: Man zeichnet im maBstablichen Lageplan des Rollstabs die Wirklinie der gegebenen Kraft F\ ein. Nach den Regeln fiir das Freimachen der Bauteile (hier Regeln 1 und 4, Seite 12 und 14) werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskrafte F2, FA und FB ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringt man je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. Fi und FA im Schnittpunkt I und F2 und FB im Schnittpunkt II. Jetzt wird die Culmann'sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte eingezeichnet. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden Fri,A und Fr2,B.

(Ro/le A)

Lageplan

WLFA

^Q^

LangenmaBstab: m ML = 0,2 — cm (1 cm = 0,2 m)

52 Im Krafteplan zeichnet man zuerst die gegebene Kraft F\ maBstablich und richtungsgemaB auf. Dann tibertragt man die Culmann'sche Gerade vom Lage- in den Krafteplan, lasst sie durch Anfangs- oder Endpunkt von Fi laufen und schlieBt dieses Krafteck durch die zugehorige Kraft FA. Das Krafteck zeigt die Krafte F\, F\ und ihre Teilresultierende Fri,A- Die gleichgroBe Teilresultierende Fr2,B hat entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kraften F2 und FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kraftezug aus Fi, F2, FB und FA geschlossen.

1 Statik in der Ebene

Krafteplan KraftemaBstab: MK = 2 0 — ( l c m = 20N)

cm

Gemessen wird:

Aus der Lange der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des KraftemaBstabes die Betrage der Gleichgewichtskrafte berechnet.

F2 = 2,65 cm • 20

:53N

FA = 1,95 cm-20

:39N

FB

Den Richtungssinn der Krafte F2, FB und FA findet man aus der Bedingung des fortlaufenden Kraftezugs, d. h. der Umfahrungssinn beim Einzeichnen der Pfeilspitzen muss, von Fi ausgehend, beibehalten werden („Einbahnverkehr").

= 2,6 cm • 20

N

:52N

Ergebnis: Um Gleichgewicht zu erreichen, muss die Feder mit 53 N nach links ziehen. An der Rolle A wirkt die Stutzkraft FA mit 39 N nach rechts und an der Rolle B die Stutzkraft FB mit 52 N nach rechts oben.

Arbdlsplan zmn 4-Krafte-Veifaliren: Lageplan des freigemachten Bauteils zeichnen und darin die Wiridioien der Belastuiig und der StCttzkrate festlegen. WiridMen von je zwei Kraften zum Schnitt bringen. Geftinitene Schnitlpunkte zur Wirklinie der beiden Teilresultierenden (= Culmann'sche Getade) verbinden. Kfifteplao mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft anfangen, Krafteplan mit der Cuhnann*schen Geraden und den Wirklinien der anderen Krffite schlieBen, Beachte: EMe Ki^fte eines Schmt^nkts im I^eplan eigeben ein Teil-^^ im Krafteplan.

Aiifgal^iiNr. 117-136

1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt

53

1.2 Die Grundaufgaben der Statik

1.2.6 Systemanalytisches Losungsverfahren zur Stiitzkraftberechnung Dieser Abschnitt soUte erst dann bearbeitet werden, wenn die rechnerische Ermittlung von Sttitzkraften an zweifach gelagerten Bauteilen sicher beherrscht wird. Die Lehrinhalte dieses Losungsverfahrens zur Stiitzkraftberechnung eignen sich gut fiir ein abschlieBendes Statik-Projekt mit Gruppenarbeit. Die Bezeichnung „systemanalytisch" soil darauf hinweisen, dass Krafte und geometrische GroBen in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfasst und mathematisch allgemein giiltig verarbeitet werden. Mit den drei rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen 2Fx = 0, 2Fy = 0 und EM = 0 soil ein Gleichungssystem entwickelt werden, mit dem die Stiitzkrafte (Fest- und Loslagerkrafte) bei beliebiger Lageranordnung „automatisiert" berechnet werden konnen. Fiir die Anzahl der Belastungskrafte F gibt es keine Beschrankung, auch nicht fiir ihre Lage zueinander. Vorausgesetzt wird nur, dass die Korper (Trager, Kran, Rebel usw.) durch ein Festlager und ein Loslager gehalten werden, wie der Winkelhebel in der vorhergehenden Aufgabe. GleichungssySterne dieser Art sind Bausteine fiir die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Techniker fur seine Arbeit in der Praxis erstellen kann.

1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen Das gesuchte Gleichungssystem soil am Winkelhebel aus der vorhergehenden Ubungsaufgabe entwickelt werden. Dann stehen Vergleichsdaten zur Verfiigung.

Festlager M

:V

Loslacler

1

Losung: Die Lageskizze des freigemachten Winkelhebels wird in den ersten Quadranten eines rechtwinkligen Achsenkreuzes eingezeichnet. Aus den gegebenen MaBen lassen sich die Koordinaten der Kraftangriffspunkte berechnen: jci und y\ fiir die Kraft F\, jcp und yp fiir den Festlagerpunkt PF und JCL, yL fiir den Loslagerpunkt PL. AUe gegebenen GroBen werden in einer Tabelle zusammengefasst.

£^

h^

^

JvOfi

V

Aufgabe: Neben der BemaBung des Hebels ist die Belastungskraft Fi mit dem Richtungswinkel a\ gegeben. Zu berechnen sind: Festlagerkraft Fp und deren Komponenten Fpx, Fpy und die Loslagerkraft FL. Wichtig ist noch die Erkenntnis, dass bei alien Aufgaben dieser Art der Richtungswinkel a t der Loslagerkraft FL bekannt sein muss: Die Loslagerkraft FL steht immer rechtwinklig auf der Auflagerflache (siehe Seite 15).

/

^k> /

h Aufgabenskizze

Gegeben: Fi = l k N , a i = 2 0 ° , ^ - 5 0 ° l\ = 120 mm, k = 40 mm h = 3 0 mm

Quaeirant

-^

II

u.

PC

2>

h^

Lageskizze

1 Statik in der Ebene

54 Tabelle der gegebenen GroBen (Index n steht fiir 1, 2, 3, usw.)

li'i'lii ljl^^^^^^^^^^^ 1

2^ 3 4 5 .

mnn

y^mxmi on

Af\

Koordinaten des Festlagerpunkts

an

Zeilen fur mehr als eine gegebene Kraft, z. B. bei « = 5 fiir F\, F2, F^, F4, F5

Als erstes werden die Gleichungen fiir die Momente M der gegebenen Kraft Fi in Bezug auf den Festlagerpunkt PF ermittelt. Diese Gleichungen sollen fiir beliebig viele gegebene Krafte F^ mit beliebigen Richtungswinkeln an zwischen 0° und 360° gelten, ebenso fiir beliebig geformte Bauteile, d. h. fiir beliebige Lagen der Kraftangriffspunkte Pn-

= 120 mm

Koordinaten des Loslagerpunkts

XL

Richtungswinkel der Loslagerkraft FL

ttL = 140°

^* Fn Fn si nan I

PnV::M.

Pn

Fpcosap

rr\ xn>xf yn>yF

\!J

KHJ

yn>yF

PF (Momenten