Sommets : mathématique, 3e secondaire [2-1] 9782765054269

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MATHÉMATIQUE

3e secondaire

Cahier d’apprentissage SAVOIRS ET ACTIVITÉS Jean-François Bernier Julie Cléroux Yohann Dumas Patricia Mercier Eugen Pascu Marie-France Vallée

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MATHÉMATIQUE

3e secondaire

Cahier d’apprentissage SAVOIRS ET ACTIVITÉS Jean-François Bernier Julie Cléroux Yohann Dumas Patricia Mercier Eugen Pascu Marie-France Vallée

Sommets Mathématique, 3e secondaire

Remerciements

Cahier d’apprentissage Jean-François Bernier, Julie Cléroux, Yohann Dumas, Patricia Mercier, Eugen Pascu, Marie-France Vallée © 2017 TC Média Livres Inc. Édition : Christiane Odeh Coordination et révision linguistique : Maude Lessard et Julie Nadeau Lavigne Correction d’épreuves : Anne-Marie Théorêt Conception graphique : Micheline Roy Infographie : Omnigraphe Conception de la couverture : Karina Dupuis et Micheline Roy Impression : Imprimeries Transcontinental

Pour le soin qu’ils ont porté à leur travail d’évaluation, l’Éditeur tient à remercier les personnes suivantes : Sylvia Comsa (C.S. de Montréal), Jean-Obed Fleurissaint (C.S. de la Pointe-de-l’Île), Bruno Fontaine (C.S. des Premières-Seigneuries), Franck Perret (Collège Saint-Jean-Vianney), Ligia Rusu (Académie MichèleProvost), Manon Simard (C.S. des Premières-Seigneuries). Pour sa précieuse expertise, nous tenons également à remercier Karine Desautels (C.S. des Patriotes).

Sources iconographiques Sources de la couverture : iStockphoto, Shutterstock, Photographer’s Choice RF/Getty Images (image de fond). iStockphoto : p. 28 (personnes), 35 (cellule végétale), 85 (classe avec tableau blanc), 88 (gâteau), 99 (plantes en pot), 197 (intérieur d’une tente), 228 (tente ronde), 250 (feu de forêt), 284 (verres de couleur), 294 (maïs soufflé), 372 (épis de maïs).

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie, par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média Livres Inc. Toute utilisation non expressément autorisée constitue une contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction non autorisée. ISBN 978-2-7650-5426-9 Dépôt légal : 1er trimestre 2017 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 2

3 4

5 6

ITIB

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Shutterstock : p. III (coffre à crayons), 1 (cartes à jouer), 2 (chandails), 5 (carte de hockey), 6 (tuiles en verre), 14 (verre rempli d’étoiles), 15 (corde à linge), 16 (poupées russes), 17 (câble), 26 (chemin de fer), 27 (motif géométrique), 28 (valise), 34 (littoral), 36 (gouvernail), 39 (ruban à mesurer), 45 (verre d’eau et Terre), 46 (planète Mars), 49 (affiches enroulées), 52 (confettis), 54 (retailles de crayon), 56 (chandelle sur gâteau), 57 (médailles), 58 (bouleaux), 60 (origami), 62 (lettres de couleur), 69 (aiguisoirs), 71 (pièce de casse-tête), 74 (pomme), 75 (mosaïque), 76 (pots de fleurs, joueuses de hockey), 82 (sushis), 83 (chien), 94 (planète Terre), 95, 297 (foule en forme de diagramme), 96 (photo d’un voilier, dessin d’un voilier), 98 (piscine, sandales), 104 (tour de potier), 108 (ballons), 115 (musée), 118 (biscuits), 120 (cerfsvolants), 122 (bleuets), 126 (crayons), 128 (cubes de glace), 129 (foulard), 131 (randonneurs), 136 (pompe à essence), 138 (micro), 149 (engrenage), 150 (plantation), 153 (canots), 162 (voitures), 163 (tuyau de plomberie), 164 (tuyau d’arrosage, icône de vélo), 166 (règles), 167 (motif géométrique), 172 (chandelles), 174 (petits gâteaux), 177 (livres), 183 (ballon de soccer, bécher avec éprouvette), 184 (microscope), 189 (verre d’eau), 191 (skis), 192 (avion), 194 (kayak de rivière), 196 (patinage de vitesse), 209 (blocs en bois), 239 (marathon), 245 (panneau de randonnée), 248 (chocolats), 249 (ville de Boston), 253 (bouteilles sur étagères), 261 (bonbon à l’érable), 262 (pichet avec orange), 267 (bobines de fil), 268 (coupe), 273 (cartons ondulés), 277 (pile de boîtes), 281 (boules en verre soufflé, oiseaux), 282 (chandelles), 286 (silos), 286 (chapeau de fête), 300 (étoiles de mer), 301 (ballons), 302 (bibliothèque), 303 (ski alpin), 304 (crayons de couleur), 309 (famille à vélo, joueur de basketball), 310 (chaussure de course, patins de hockey), 314 (chaussures), 314 (pièces de monnaie), 315 (souris d’ordinateur), 316 (crayons), 322 (fauteuils), 326 (équerres), 320 (joueuse de basketball), 322 (chaussures bleues), 328 (chaises pliantes), 329 (crayons), 330 (parapluie), 332 (lunettes de natation), 334 (étudiants en classe), 336 (Parlement à Ottawa), 337 (fléchettes), 343 (timbre), 344 (piano), 345 (kiwi), 346 (boules de bingo), 347 (bonbonnière), 348 (parapluie), 350 (lettres en bois), 351 (tasses), 352 (dés), 353 (raisins), 355 (feu de circulation), 358 (écouteurs), 364 (drapeaux), 368 (ballon de soccer), 370 (stéthoscope), 372 (fléchettes), 389 (billets), 390 (boîtes de conserve), 392 (glissade d’eau), 400 (machine agricole). Stephanie Colvey : p. 267 (piles de pièces de monnaie), 283 (bol). Illustrations Marc Tellier : p. 66 (plan d’une chambre), 88 (gâteau complet et part de gâteau), 93 (échelle contre un mur), 197 (tente), 204 (perspective cavalière), 215 (chaudron, pyramide), 229 (réfrigérateur), 236 (croquis d’une sculpture d’Atlas), 248 (moule à chocolats, silo à grains), 256 (immeuble avec arbre), 269 (récipient d’eau avec boule), 271 (bol en bois), 274 (module décoratif et croquis d’une fusée), 291 (cube avec pyramides), 338 (pièce de monnaie, dé à 4 faces), 354 (école), 361 (terrain de soccer), 382 (aquarium), 395 (boîte de gâteaux et deux tentes), 396 (boule de Noël), 397 (plan d’une habitation ronde).

1 Les nombres réels

 7

Rappel                                  8 • Les nombres entiers • Les fractions et les nombres décimaux • La racine carrée

1.1 Les ensembles de nombres          13 • Les nombres naturels et les nombres entiers • Les nombres rationnels et les nombres décimaux • Les nombres irrationnels et les nombres réels • La notation d’intervalle

1.2 La relation de Pythagore            18 • La relation de Pythagore • La réciproque de la relation de Pythagore

1.3 La notation exponentielle            23 • Les cubes et la racine cubique • Les exposants fractionnaires • Les lois des exposants

1.4 La notation scientique et le système international d’unités   31 • La notation scientique • Le système international d’unités (SI) et la notation scientique

Exercices

2 Le calcul algébrique

    49

Rappel                                 50

supplémentaires             37

Retour sur le chapitre 1                 39 Voyage dans l’espace CD1              46 Le trapèze rectangle CD2               48

• Les composantes d’une expression algébrique • Les polynômes

2.1 L’addition et la soustraction d’expressions algébriques           53 • L’addition et la soustraction de termes semblables • L’addition et la soustraction de polynômes

2.2 La multiplication de polynômes      59 • La multiplication d’un polynôme par un monôme • La multiplication de deux polynômes • Le carré d’un binôme

2.3 La division d’expressions algébriques                         68 • La division d’un polynôme par un monôme • La mise en évidence simple

Exercices

supplémentaires             77

Retour sur le chapitre 2                 79 Les tableaux blancs CD1                86 Huit pavés CD2                        88

Consolidation : Chapitres 1 et 2        89 CHAPITRE

CHAPITRE

Mise au point                          1

CHAPITRE

Table des matières

relations et 3 Les les fonctions

            99

Rappel                                100 • Les situations de variation proportionnelle et leurs représentations

3.1 Les relations, les fonctions et leurs réciproques                103 • Les variables dépendantes et indépendantes d’une relation • La réciproque d’une relation • Les fonctions

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Table des matières

III

3.2 Les fonctions associées aux situations de proportionnalité (variation directe ou inverse)        110 • Le taux de variation • Les fonctions linéaires (ou de variation directe) • Les fonctions de variation inverse

4.3 Les inéquations                    173 • La traduction d’une situation par une inéquation • La représentation de l’ensemble-solution d’une inéquation • La description en compréhension

4.4 La résolution d’une inéquation      179

3.3 Les propriétés des fonctions        116 • Décrire une fonction à l’aide de ses propriétés

3.4 Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1 (fonctions afnes)   121 • La fonction afne • Cas particuliers • La règle d’une fonction afne

• Les règles de transformation des inéquations • La résolution d’un problème qui se traduit par une inéquation

Exercices

supplémentaires            185

Retour sur le chapitre 4                187 L’expédition CD1                      194 La course en patins CD2               196

3.5 La modélisation d’une situation     133

Exercices

CHAPITRE

• Le nuage de points et la courbe la mieux ajustée

supplémentaires            141

      197

Rappel                                198

Retour sur le chapitre 3                143

• L’aire des gures planes et des solides

Sylviculture 101 CD1                   150

5.1 Les solides et leurs représentations                    201

CHAPITRE

Suivre sa courbe CD2                  152

systèmes d’équations 4 Les et les inéquations      153

Rappel                                154

• La classication des solides et leurs développements • Les projections orthogonales • Les projections centrales • Les projections parallèles

• Les équations • La résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

5.2 La recherche de mesures à l’aide de la relation de Pythagore         211

4.1 Les systèmes d’équations du premier degré à deux variables : représentation et résolution        157

5.3 L’aire des solides                   219

• Les systèmes d’équations à deux variables • Les mots clés des énoncés • La résolution à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique • Le nombre de solutions

4.2 La résolution algébrique d’un système d’équations           167 • La résolution algébrique d’un système d’équations • Le nombre de solutions

IV

5 L’aire des solides

Table des matières

• Le repérage d’un triangle rectangle dans une gure géométrique

• Les unités d’aire du système international (SI) • L’aire des solides • L’aire de la sphère

Exercices

supplémentaires            227

Retour sur le chapitre 5                229 Atlas illuminé CD1                     236 Lumière ! CD2

238

Consolidation : Chapitres 1 à 5        239

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            253

Rappel                                254 • Les caractéristiques de gures semblables

6.1 Les mesures de volume et de capacité                      257 • Le volume • La capacité • La relation entre les unités de volume et de capacité

6.2 Le volume des solides              263 • Le calcul du volume • La recherche de mesures manquantes à partir du volume

6.3 Les solides décomposables        270 • Le volume et l’aire de solides décomposables

6.4 Les solides semblables             275 • Les caractéristiques de solides semblables

Exercices

supplémentaires            285

Retour sur le chapitre 6                287 Maïs essoufé CD1                   294

CHAPITRE

Les chandelles de Sophie CD2         296

7 La statistique

          297

Rappel                                298

7.3 Les mesures de tendance centrale   312 • La moyenne, le mode et la médiane • La moyenne pondérée

7.4 Les quartiles et les mesures de dispersion                      319 • Les quartiles • Le diagramme de quartiles • Les mesures de dispersion

Retour sur le chapitre 7                327 Les résultats des absents CD1         334 Une question d’âge CD2               336 CHAPITRE

CHAPITRE

volume et les solides 6 Le semblables

8 Les probabilités

       337

Rappel                                338 • L’univers des résultats possibles et les événements • La probabilité d’un événement

8.1 Les expériences aléatoires simples et composées                      341 • La probabilité théorique et la probabilité fréquentielle • Les propriétés des probabilités • Les événements compatibles • Les événements complémentaires • Le principe de multiplication

8.2 La probabilité géométrique         353 • La variable aléatoire • La probabilité géométrique

• Le caractère statistique • Les diagrammes : à bandes, à ligne brisée et circulaire

Retour sur le chapitre 8                363

7.1 L’étude statistique et les méthodes d’échantillonnage    301

À l’épluchette ! CD2                    372

• Le recensement et le sondage • Les méthodes d’échantillonnage

7.2 L’organisation d’une distribution de données                        306 • Le tableau de données condensées • Le tableau de données groupées en classe et l’histogramme

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Santé et bien-être CD1                370

Consolidation : Chapitres 1 à 8        373 Révision de l’année                   385 Outils                                  403 Index                                  415

Table des matières

V

Organisation du cahier d’apprentissage Le cahier d’apprentissage permet de mobiliser l’ensemble des savoirs essentiels du programme de mathématique de la 3e secondaire. Le cahier respecte de plus les indications fournies dans le document Progression des apprentissages au secondaire.

Activités interactives La collection comprend 50 activités interactives qui sont associées à différentes parties du cahier. On trouve une ou deux activités par section dans chaque chapitre, une ou deux activités par Consolidation et trois activités pour la Révision de l’année.

Mise au point Placée au début du cahier, cette section permet de faire une révision des principales notions abordées au cours de la 2e secondaire. On y propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement.

Les chapitres Le cahier comprend huit chapitres, regroupés selon les champs mathématiques : arithmétique, algèbre, géométrie, statistique et probabilité. En première page des chapitres, une rubrique Dé permet d'explorer de nouvelles stratégies de résolution de problème. Chaque chapitre est divisé en sections et débute par une section Rappel. VI

Organisation du cahier d’apprentissage

Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Encadrés théoriques Sous forme de résumé, les encadrés théoriques présentent des explications sur les savoirs essentiels du programme. Des exemples appuient les explications. Activités De nombreuses activités permettent de mettre en pratique les savoirs présentés.

Rubriques et Ces rubriques offrent plus d’exercices pour une meilleure appropriation des savoirs présentés.

Rubrique Au l des sections, cette rubrique signale une activité plus difcile ou qui est de l’enrichissement par rapport au programme à l’étude. Retour sur le chapitre Cette section donne l’occasion de réinvestir les savoirs abordés tout au long du chapitre. On y retrouve des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement.

Situations d’apprentissage Une situation-problème (CD1) et une situation d’application (CD2) viennent clore chaque chapitre. Elles mobilisent des savoirs abordés au cours du chapitre et permettent d’en faire la synthèse. Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Organisation du cahier d’apprentissage

VII

Consolidation Le cahier comprend trois sections Consolidation, une par étape. La Consolidation permet de réviser les savoirs vus dans tous les chapitres précédents. Elle propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement. Elle comprend également une ou deux situations d’application (CD2), ainsi qu’une situation-problème (CD1).

Révision de l’année La Révision de l’année permet de vérier la compréhension des savoirs abordés tout au long de l’année scolaire. Elle propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement, ainsi que deux situations d’application (CD2) et une situation-problème (CD1).

Outils La section Outils présente des concepts utiles dans la pratique des mathématiques : énoncés de géométrie, manipulations algébriques, fonctions réelles, système international (SI), formules d’aire et de volume, projections géométriques, tableaux et diagrammes, graphisme, notation et symboles.

Les rubriques et les pictogrammes du cahier Astuce

Rubrique Cette rubrique présente des rappels et des stratégies mathématiques. Rubrique Cette rubrique présente des faits amusants, anecdotes ou renseignements complémentaires. Ce pictogramme signale qu’une activité interactive est associée aux notions abordées. VIII

Organisation du cahier d’apprentissage

du couple-solution Souviens-toi que les valeurs équations du système. des e cun cha er véri doivent

Curi sité L’étoile Polaire fait partie de la constellation de la Petite Ourse. Cette étoile très brillante, visible à l’œil nu, se trouve tout près du pôle Nord. Elle aidait autrefois les navigateurs à se repérer en mer.

Ce pictogramme signale que le problème permet de travailler un ou plusieurs critères de la compétence 2. Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Mise au point Questions à choix multiples 1

Parmi les égalités suivantes, laquelle est fausse ? a) −2×(−4)=8

2

c) 20÷(−10)=−2

d) 19−(−4)=23

À l’épicerie, les bananes coûtent 1,45 $/kg. Parmi les taux suivants, lequel est associé à cette situation ? a) 29 $/30 kg

3

b) −6+(−2)=8

b) 145 $/50 kg

c) 14 $/10 kg

d) 29 $/20 kg

Quelle est la solution de l’équation suivante ? 8x−8 =4x+12 a) x=0

4

6

7

8

c) x=5

d) x=16

Sachant que l’aire d’un rectangle est de 220 cm2 et que sa base mesure 11 cm, quelle est la mesure de sa hauteur ? a) 5 cm

5

b) x=1

b) 10 cm

c) 20 cm

d) 25 cm

Parmi les expressions algébriques suivantes, laquelle est équivalente à 3x 2y−5xy 2 ? a) x 2y−3xy 2+2x 2y+2xy 2

b) −x 2y+3xy 2−2x 2y−2xy 2

c) 2xy 2−7xy 2−4x 2y+1x 2y

d) −2xy 2−6x 2y+9x 2y−3xy 2

Qui suis-je ? Je suis un solide dont deux faces sont des triangles et les trois autres sont des rectangles. a) Un prisme droit à base triangulaire

b) Un cube

c) Une pyramide droite à base triangulaire

d) Une pyramide droite à base rectangulaire

L’école du Boisé effectue un sondage auprès de ses élèves an de connaître leur sport favori. Quel est le type de caractère de ce sondage ? a) Quantitatif continu

b) Qualitatif

c) Quantitatif discret

d) Quantique

Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 cartes d’un jeu de 12 cartes contenant seulement des gures. Le tirage est fait sans remise. Quelle est la probabilité de tirer une dame rouge suivie d’une dame noire ? a)

1 36

b)

Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

1 9

c)

1 11

d)

1 33

Mise au point

1

Questions à réponses courtes 9

Effectue les opérations suivantes. a) 23−(4×(−2)−2×(−1))= c)

b) (12÷(−4))2−(−8+4)=

(5×(−1)−4)÷(7−(−2))=

d) −15×2÷(−6)−4×(−12)=

10 Trouve le nombre qui correspond à 100 % du pourcentage donné. a) 12 % de ce nombre

est 36.

b) 150 % de ce nombre

c) 60 % de ce nombre

est 48.

est 150.

11 Élliott a acheté un chandail à 54,40 $ avant les taxes. Si le prix du chandail est réduit de 15 %, quel était le prix régulier ?

Réponse :

12 Réduis les expressions algébriques suivantes. a) 3(2x−3y)+(12x+8y)÷4−(10x−9y)

2

Mise au point

b) 2(4ab−6a)−(−8a−12ab)

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13 La somme de trois nombres entiers consécutifs est de 75. Quels sont ces trois nombres ?

Réponse :

14 Les tables de valeurs suivantes sont associées à des situations de variation proportionnelle ou inversement proportionnelle. Précise de quel type de variation il s’agit. Complète ensuite les tables de valeurs. a)

x

6

y

20,4

10

27 51

91,8

Variation :

b)

x

3

y

63

9

12 15,75

6,3

Variation :

15 Trouve la règle de chacune des suites. Utilise les variables t et n pour représenter la valeur d’un terme et son rang. b) {1, −3, −7, −11, −15, …}

a) {2, 8, 14, 20, 26, …}

16 Complète les égalités suivantes. a) 256 dm2=

dam2

b) 245 000 mm2=

m2

c) 0,04 hm=

mm

d) 0,002 4 km2=

m2

e) 1,243 km=

dm

f) 2 dam2=

dm2

g) 8 000 cm2=

m2

h) 2 579,1 m2=

dam2

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Mise au point

3

17 Dans un cercle de 8 cm de rayon, quelle est l’aire d’un secteur formé par un angle au centre de 230° ? Arrondis ta réponse au centième près.

230° 8 cm

O

Réponse :

18 Le triangle vert est l’image du triangle bleu par une homothétie de centre O. Quel est le rapport d’homothétie k associé à ces deux triangles ? 8 cm

6 cm

O

k=

19 Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 jetons d’un sac contenant 8 jetons jaunes (J), 6 jetons rouges (R), 5 jetons noirs (N) et 1 jeton bleu (B). a) Si le tirage est fait avec remise, quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune suivi d’un jeton rouge ?

b) Si le tirage est fait sans remise, quelle est la probabilité de tirer 2 jetons noirs ?

4

Mise au point

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Questions à développement 20 Jacob, Mila et Nathan collectionnent les cartes de hockey. Mila possède 120 cartes de plus que Jacob, et Nathan possède le double du nombre de cartes de Mila. Ensemble, ils ont 1 600 cartes. Combien chacun en possède-t-il ?

Réponse :

21 Le carré et le trapèze suivants ont la même aire. À partir des mesures données, trouve la mesure de la hauteur du trapèze.

16 cm

13,8 cm

h=?

18,2 cm

Réponse :

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Mise au point

5

22 Julien veut créer le vitrail ci-contre composé d’un rectangle et de deux demi-disques. Pour savoir quelle quantité de verre acheter, il doit connaître l’aire de son œuvre. Quelle est l’aire du vitrail ?

8 dm

13 dm

Réponse :

23 Clara est en 3e secondaire. Il lui reste un dernier examen avant la n de l’année. Sachant que les résultats de ses 6 examens précédents sont 92 %, 87 %, 89 %, 82 %, 80 % et 86 %, quelle note doit-elle obtenir pour que sa moyenne soit de 85 % ?

Réponse : 6

Mise au point

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CHAPITR E

Les nombres réels

1

SOMMAIRE Rappel.............................................................................................. 8 1.1

Les ensembles de nombres ............................................13

1.2

La relation de Pythagore ..................................................18

1.3

La notation exponentielle...................................................23

1.4

La notation scientique et le système international d’unités......................................31

Exercices + supplémentaires...............................................37 Retour sur le chapitre 1 ......................................................... 39 Voyage dans l’espace (CD1)................................................ 46 Le trapèze rectangle (CD2).................................................. 48

Dans la mosaïque ci-dessous, les surfaces de même couleur ont la même aire. À l’aide des informations indiquées, trouve l’aire du triangle rectangle jaune.

A=25 cm2

A=9 cm2

Réponse :

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Les nombres réels

Arithmétique

7

Rappel Les nombres entiers L’addition et la soustraction de nombres entiers Les nombres entiers, z, sont formés des nombres naturels et de leurs opposés. Z={…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait des nombres entiers, il faut observer leur signe. 12+3=15

1. L’addition de deux nombres entiers positifs donne un nombre positif. 2. L’addition de deux nombres entiers négatifs donne un nombre négatif.

−12+(−3)=−15 −25+40=15

RAPPEL

3. Lorsqu’on additionne deux nombres entiers de signes contraires, il faut soustraire les deux nombres sans tenir compte du signe. La somme prend le signe du nombre le plus éloigné de 0 (c’est le terme le plus fort).

−30+15=−15 32+(−40)=−8 20−(−15)=35

4. La soustraction d’un nombre entier correspond à l’addition de son opposé.

20+15=35

La multiplication et la division de nombres entiers Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise des nombres entiers, on doit tenir compte de la règle des signes. 1. Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. 2. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

4×11=44 15÷5=3

−4×(−11)=44 −15÷(−5)=3

4×(−11)=−44 −15÷5=−3

−4×11=−44 15÷(−5)=−3

Les chaînes d’opérations Dans une chaîne d’opérations, il faut respecter la priorité des opérations suivante : 1. Les opérations entre parenthèses ;

48−8÷22×(25−18)+3

2. Les exponentiations ;

=48−8÷22×7+3

3. Les multiplications et les divisions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite ;

=48−8÷4×7+3

4. Les additions et les soustractions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.

=48−14+3

=48−2×7+3 =34+3 =37

8

Arithmétique

Chapitre 1 — Rappel

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1

2

3

Effectue les additions et les soustractions suivantes sans utiliser ta calculatrice. a) −18+6= d) −9+27=

b) 10−(−9)= e) −45+(−21)=

c) −8+(−9)= f) −50−25=

g) 35+(−26)=

h) 2+(−3)−(−4)=

i) −52+11=

Effectue les multiplications et les divisions suivantes sans utiliser ta calculatrice. a) 14∙(−2)= d) −3∙12=

b) 21÷7= e) 60÷(−5)=

c) −56÷(−8)= f) −110÷10=

g) −6∙(−11)=

h) −50∙(−6)=

i) 75÷(−3)=

Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice. a) 15∙ d) −108÷ g) −14+

=−29

b) 80+ e) h)

=71 ∙(−4)=48 ÷9=−9

c) f)

−(−12)=83 +(−19)=−37

i) 92−

=104

Trouve le résultat des chaînes d’opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice. a) 14∙(−2)+9∙7=

b) −28÷4−4∙3÷2=

c) 5∙3−(3−9)∙(−1)2=

d) 2∙4+(−2−4)2÷3−9=

RAPPEL

4

=−75 =−12

5

Parmi les chaînes d’opérations ci-dessous, entoure celles qui sont équivalentes à la chaîne suivante. 15−4×5÷10+(−2)3 a) (14+2)÷8+(2−5)

b) 14+16÷8+2∙5

c) 15÷3−1+200

d) 100÷4−80÷4

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Les nombres réels

Arithmétique

9

Les fractions et les nombres décimaux Les fractions et les nombres décimaux peuvent être positifs ou négatifs. Lorsqu’on effectue des opérations sur ces nombres, il faut tenir compte de leur signe, comme on le fait avec des nombres entiers. −3 + 1 =−3 + 2 = −1 4 2 4 4 4 −1 ∙ −2 = 2 5

( 3)

15

Pour indiquer qu’une fraction est négative, on met souvent le signe « –» devant la fraction. 3 −3 3 . Par exemple, = − =−4

−3 − 1 =−3 − 2 = −5 8 4 8 8 8

−0,75+0,5=−0,25

−1,5÷(−0,5)=3

Astuce

3 −3 ÷ 2 =−3 ∙ 15 =− 9

5

( 15 )

1 5

(2)

4

2

4

La racine carrée

RAPPEL

La racine carrée d’un nombre n, notée n , est le nombre positif dont le carré est égal à n. Dans l’ensemble des nombres naturels, élever au carré et extraire la racine carrée sont des opérations inverses.

1

112=121



121 =11

La racine carrée de 121 est égale à 11.

132=169



169 =13

La racine carrée de 169 est égale à 13.

Effectue les opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice. 1 1 a) − + − 8 = 8

d)

( )

3 4 +− = 4 9

( )

3 9 g) − ÷ − 5 = 25

( )

10

Arithmétique

Chapitre 1 — Rappel

b)

8 9 − = 10 5

c)

2 −(−0,3)= 11

e)

1 − 49 ∙ = 2 7

f)

28 7 ÷− = 5 10

i)

1 ÷(−0,1)= 4

(

)

18 1 h) − ÷ 2 = 4

(

)

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2

Effectue les chaînes d’opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice. a) −0,5∙(−0,2)+4÷0,1

2 2 + − 5 25

(−13÷335 )

4 + 3

(−18∙163)

4 1 5 e) − − − ÷ 5

(

7

c) 0,4+(−0,94)÷

)

14

1 10

1 50 1 3 ÷ − + 4 11 25 100

(

f)

)

RAPPEL

d)

b)

3

Énumère les 12 premiers nombres carrés.

Astuce

e puissance Un nombre carré est la 2 exemple, d’un nombre naturel. Par 9 est le carré de 3.

4

Effectue les opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice. a)

25=

b)

225=

c)

16+20=

d)

16−7=

e)

36+64=

f)

36+ 64=

g)

25×4=

h)

25× 4=

i)

( 49 )2=

j)

169=

k)

25− 256=

l)

( 144 )2=

m) − 81÷ 9=

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n) − 4− 144=

2 o) −( 225 ) =

Les nombres réels

Arithmétique

11

5

Le pied de Laurent mesure 19 cm. Si on retranche le produit de 5 et 41 du carré de la mesure de son pied, on obtient la taille de Laurent. Quelle est la taille de Laurent en centimètres ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations. Réponse :

6

Pour un tournoi de soccer, Oscar achète 6 caisses de 54 oranges. Il les partage équitablement entre les 9 équipes participantes. Combien chaque équipe recevra-t-elle d’oranges ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations. Réponse :

RAPPEL

7

L’écart entre deux nombres est de 9,8. Si le plus petit nombre est −21,2, quelle est la valeur du plus grand nombre ?

Réponse : 8

Amayel fabrique un cadre de forme carrée pour y placer une photo. 5 cm L’aire du cadre, photo incluse, est de 300 cm2. Pour décorer le cadre, elle dessine un petit triangle à chaque 5 cm. Combien de triangles doit-elle dessiner ? Réponse :

9

Alicia a emprunté 575 $ à son père pour acheter un ordinateur portable. Elle lui rembourse 50 $ par semaine. Après 4 semaines, elle lui emprunte à nouveau de l’argent an d’acheter un sac à dos pour son ordinateur. Le prix du sac est de 75 $ plus les taxes de 15 %. Quel montant Alicia doit-elle maintenant à son père ? Réponse :

12

Arithmétique

Chapitre 1 — Rappel

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1.1 Les ensembles de nombres Les nombres naturels et les nombres entiers

Astuce

• L’ensemble des nombres naturels, n, comprend les nombres qu’on utilise habituellement pour compter :

La présence d’un astérisque (*) à côté du symbole n ou z indique qu’on considère tous les nombres de l’ensemble, sauf le 0.

N={0, 1, 2, 3, 4, …} • L’ensemble des nombres entiers, z, comprend les nombres naturels et leurs opposés : Z={…,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

• Pour indiquer qu’un nombre appartient ou non à un ensemble, on utilise les symboles é et É . 3 é N se lit « 3 appartient à l’ensemble n » ou « 3 est un élément de l’ensemble n ». −3 É N se lit « −3 n’appartient pas à l’ensemble n » ou « −3 n’est pas un élément de l’ensemble n ». a é Z se lit « a est un nombre qui appartient à l’ensemble z ».

Les nombres rationnels et les nombres décimaux • L’ensemble des nombres rationnels, q, comprend tous les nombres qu’on obtient en divisant deux entiers. a

• Ainsi, ce sont les nombres qu’on peut écrire sous forme de fraction, , où a et b sont des entiers b (a e z et b e z*). • On peut aussi écrire un nombre rationnel en utilisant la notation décimale. Les nombres rationnels écrits en notation décimale comportent une partie décimale nie ou une période. • Les nombres dont la partie décimale est nie sont des nombres décimaux, d. • Quand un nombre est écrit sous forme de fraction réduite, on peut le repérer en décomposant son dénominateur en facteurs premiers. Si la décomposition ne comprend que des 2 et des 5, il s’agit d’un nombre décimal. Par exemple,

Q

1 3

D Z 3 2

−8,0

−11

2

N

8 1 5 6

13 20

13 13 = =0,65. 20 2×2×5

On peut situer les nombres rationnels sur une droite numérique.

1

0 1 =0,5 2

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2 4 =1,3 3

Astuce

la èche Sur une droite numérique, issant. indique toujours l’ordre cro

Les nombres réels

Arithmétique

13

1

Traduis les phrases suivantes à l’aide des symboles mathématiques appropriés.

Curi sité

b)

Le symbole z, qui représente les nombres entiers, provient du mot allemand , qui signie « nombre ».

2

2,5 e ID

a) 2,5 appartient à l’ensemble des nombres décimaux. 1 3

appartient à l’ensemble des nombres rationnels.

c) −10 appartient à l’ensemble des nombres entiers. d) 1,325 n’appartient pas à l’ensemble des nombres naturels. e) 0,16 n’appartient pas à l’ensemble des nombres décimaux.

Coche tous les ensembles de nombres auxquels appartient chaque nombre. N

Z

D

Q

a) −9 b) 4 c) 8,5 7

d) 3 11

e) 5

f) −9,3 g) 6,25 11

h) 250 i) −2 3

Place les nombres suivants au bon endroit dans le diagramme. −9

6,3

1 10

5,3

4 9

11

−13,5

3 6

−125

15 7

Q D Z N

14

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

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Les nombres irrationnels et les nombres réels

Astuce

• L’ensemble des nombres irrationnels, q’, comprend tous les nombres sur une droite numérique qu’on ne peut pas écrire sous forme de fraction, a , où a e z et b e z*. b

• Les nombres irrationnels écrits en notation décimale comportent une partie décimale innie et non périodique. Par exemple, les nombres p=3,141 592… et

2=1,414 213… sont irrationnels.

• L’ensemble des nombres réels, r, comprend tous les nombres rationnels et irrationnels.

On écrit parfois R \ Q pour désigner l’ensemble des nombres irrationnels.

On peut le représenter à l’aide du diagramme suivant. R Q Q’ − 2

−2

−3

D

Z

37

p

22 7

5

N

0

Astuce

13 20

2

−1,25

La racine d’un nombre naturel qui n’est pas un carré parfait est toujours irrationnelle.

− 25

La notation d’intervalle • Les nombres réels correspondent à tous les points sur une droite numérique. Il est impossible de les compter. • C’est pourquoi on utilise souvent la notation d’intervalle pour désigner un sous-ensemble de nombres réels compris entre deux nombres donnés (appelés « bornes »). • Lorsqu’une borne est comprise dans l’intervalle, le point qui la désigne est plein. • Lorsque la borne n’est pas comprise dans l’intervalle, le point qui la désigne est vide. On veut représenter tous les nombres réels entre 2 et 5. [2, 5] : les bornes 2 et 5 sont comprises dans l’intervalle. L’intervalle est fermé. −2

−1

0

1

2

3

4

5

6

]2, 5] : seule la borne 5 est comprise dans l’intervalle. L’intervalle est semi-ouvert. −2

−1

0

1

2

3

4

5

6

[2, 5[ : seule la borne 2 est comprise dans l’intervalle. L’intervalle est semi-ouvert. −2

−1

0

1

2

3

4

5

6

]2, 5[ : les bornes ne sont pas comprises dans l’intervalle. L’intervalle est ouvert. −2

−1

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0

1

2

3

4

5

6

Les nombres réels

Arithmétique

15

1

Indique si les nombres suivants sont rationnels (q) ou irrationnels (q’). a)

2

b)

pe

36 e

c)

11 e

d) 6,3 e

e)

125 e

f) − 80 e

g) −11,756 89 e

h)

i)

25 4

j)

k) 3,62 e

2 l) − e

e

1 000 e

1 296 e 3

Place les nombres suivants au bon endroit dans le diagramme. − 121

256 R

3,5

7 9

− 15

50

−3

7,8

Q

4 121

− 19

Q’ D

Z N

3

Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. a) Un nombre qui appartient à l’ensemble des nombres rationnels (q) appartient aussi à l’ensemble des nombres naturels (n). b) Le nombre −2,532 7 est un nombre décimal. c) Le résultat de l’opération 9×20 est un nombre irrationnel. d) Le quotient de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel. e) Le produit de deux nombres entiers est un nombre rationnel.

4

Complète les expressions suivantes à l’aide des symboles e et E. a) −6,3

d

d) − 400 g) 5

16

( 54pp )

3

z q’

b)

21 7

n

c)

2p 5

e)

48 25

d

f)

4 7

h)

214

q’

i)

q q’

256

q’

Parmi les nombres ci-dessous, entoure ceux qui sont irrationnels. Indique à quel ensemble de nombres le plus restreint appartiennent les autres nombres. a)

0,25

b)

3 +1

c) 2p

d)

3+1

e)

2,5

f)

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

3p 2p

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6

Curi sité

Représente les sous-ensembles des nombres réels sur des droites numériques. a)

[1, 8]

b) ]-2, 4] c)

[3, 7[

d) ]0, 40[ e) [5, ∞[ f) 7

]−∞, 11]

L’inni, ∞ , signie « sans bornes » ou « sans n ». On trouve aussi +∞ et −∞ . Le symbole a été inventé par le mathématicien John Wallis en 1655.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Avec sa règle et son compas, Axel veut construire un carré dont la surface est rigoureusement équivalente à celle du disque ci-contre. « C’est la quadrature du cercle », afrme Danika, « un problème classique de mathématique qui est impossible à résoudre. »

1 dm

Démontre que la construction du carré d’Axel est irréalisable.

8

1 3

Sachant que =0,3, démontre que 0,9=1.

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Les nombres réels

Arithmétique

17

1.2 La relation de Pythagore La relation de Pythagore • Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés des cathètes. • La relation de Pythagore met en relation les côtés d’un triangle rectangle.

b

a 2+b 2=c 2

c =a +b c 2=62+52 c 2=36+25 c 2=61 c= 61 ≈ 7,8 cm

c 6 cm

2

B

C cathètes

On cherche la mesure de l’hypoténuse. 2

hypoténuse c

A

Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cathètes.

On cherche la mesure d’une cathète.

2

5 cm

a

a 2+b 2=c 2

42+b 2=72 b 2=72−42 b 2=49−16 b 2=33 b= 33 ≈ 5,7 cm

7 cm

b

4 cm

La réciproque de la relation de Pythagore • La relation de Pythagore s’applique seulement aux triangles rectangles. • C’est pourquoi on peut utiliser la réciproque de la relation de Pythagore pour vérier si un triangle dont on connaît les dimensions est rectangle ou non. Si ce triangle est rectangle, le côté de 10 m est l’hypoténuse, car c’est le côté le plus long.

7m

8m

10 m

On doit donc vérier si 72+82 est égal à 102. 72+82=113

102=100

Puisque 113 ≠ 100, le triangle n’est pas rectangle.

Si ce triangle est rectangle, le côté de 13 m est l’hypoténuse, car c’est le côté le plus long.

5m

12 m 13 m

On doit donc vérier si 52+122 est égal à 132. 52+122=169

132=169

Puisque 169=169, le triangle est rectangle.

• Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres naturels qui vérie la relation de Pythagore. Par exemple, 3, 4 et 5 forment un triplet pythagoricien, car 3 2+42=52.

18

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.2

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1

Trouve la mesure de l’hypoténuse des triangles rectangles suivants. a)

15 cm

b) 20 cm

65 cm

c) 20 cm

8 cm 21 cm

2

Trouve la mesure de la cathète inconnue des triangles rectangles suivants. a)

33 mm

?

b)

40 mm

9m

?

6 cm

Complète le tableau ci-dessous, sachant que c est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Les mesures données sont en mètres. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

a

b

10

16 10

b) c) d)

?

Exercice

Exercice 3

4 cm

c)

1,5 m

3,2

26

7,68 23

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a

c

27

e)

176

f)

3,6

g)

22

h)

c

a

b b

c 976

4,5 42,2 347,2

Les nombres réels

365,69

Arithmétique

19

4

Trouve les mesures manquantes. Arrondis tes réponses au dixième près. ?

a)

b) 10 cm

41 cm

11 dm

Astuce

?

c)

23 cm

55 cm ?

9 dm

Identie d’abord l’hypoténuse dans le triangle : c’est toujours le côté opposé à l’angle droit.

d)

24 cm

? 18 cm

5

e)

f) ?

4,5 dm 45 cm

Indique si les triplets suivants sont pythagoriciens ou non.

? 9,6 dm

Oui

Non

a) (6, 7, 8) b) (7, 12, 18) c) (135, 352, 377) d) (31, 35, 47) e) (16, 30, 34) 20

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.2

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6

Karine a construit un rectangle en effectuant une rotation du triangle bleu. La grande cathète du triangle mesure 7 cm et l’hypoténuse, 7,9 cm. Quelle est la mesure de la hauteur du rectangle ?

Curi sité Pythagore est un philosophe et mathématicien grec (580 – 490 avant notre ère). Il a énoncé de nombreuses théories en lien avec la géométrie, mais n’en a laissé aucune trace écrite. Ce sont ses étudiants, appelés « disciples de Pythagore », qui ont permis la diffusion de ses enseignements.

Réponse : 7

Nadia dessine un triangle dont les mesures des côtés sont de 96 mm, 40 mm et 104 mm. Le triangle est-il rectangle ?

Réponse : 8

Trouve l’aire d’un triangle équilatéral de 9 cm de côté.

Réponse : 9

Ismaël part de chez lui pour se rendre à la bibliothèque. Il se dirige vers le nord sur une distance de 1,5 km. Ensuite, il tourne à droite et marche vers l’est sur une distance de 2 km.

N E

O

Quelle distance aurait-il parcourue s’il avait effectué le trajet en ligne droite ?

S

Réponse :

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Les nombres réels

Arithmétique

21

10 Anne a planté un poteau dans le sol pour y installer une mangeoire à oiseaux. Pour vérier s’il est perpendiculaire au sol, elle mesure les distances indiquées dans la gure ci-dessous. Aide Anne à déterminer si le poteau est perpendiculaire au sol. poteau

325 cm 1,25 m 290 cm sol

Réponse :

11 Stéphane possède une cour rectangulaire de 9 m sur 12 m. Il y a aménagé une platebande de eurs et un potager clôturé selon le plan ci-contre.

Légumes Clôture

Sachant que le segment bleu sur le plan mesure 36 % de la diagonale, trouve la longueur de la clôture rouge.

Fleurs

9m

12 m

Réponse : A 11 cm

12 Trouve l’aire et le périmètre du triangle ABC. C

B 14 cm 18 cm

22

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.2

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1.3 La notation exponentielle Les cubes et la racine cubique • Le cube d’un nombre est la troisième puissance de ce nombre. • La racine cubique d’un nombre n, notée 3

23=8  8=2

3

n , est le nombre dont le cube est égal à n.

Le cube de 2 est 8. Inversement, la racine cubique de 8 est 2.

3

(−3)3=−27  −27=−3

Le cube de −3 est −27. Inversement, la racine cubique de −27 est −3.

Les exposants fractionnaires • Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques à l’aide d’exposants fractionnaires. 1

a 2= a 1

1

36 2= 36=6 1

273= 3 27=3

1

a 3= 3 a

100=100 2=10 3

Astuce

1

16 2=4

Explique pourquoi a>01 lorsque l’exposant est 2 .

1

1

8 3=2

125=125 3=5

Les lois des exposants • Il est possible de manipuler des expressions algébriques comprenant des puissances à l’aide de certaines propriétés appelées les lois des exposants. 1) Pour trouver le produit de puissances ayant la même base, on additionne les exposants. a m×a n=a m+n 2) Pour trouver le quotient de puissances ayant la même base, on soustrait les exposants. am an

=a m−n, a ≠ 0

3) Pour trouver la puissance d’une puissance, on multiplie les exposants. (a m)n=a mn

52×53=5×5×5×5×5=55 ou 52×53=52+3=55 45 4×4×4×4×4 = =42 43 4×4×4 45 ou 3 =45−3=42 4

(72)3=72×72×72=76 ou

(72)3=72×3=76

• Voici d’autres lois des exposants : 4) La puissance d’un produit : (a×b)m=a m×b m 5) La puissance d’un quotient, b ≠ 0 : a

(b)

m

am

=

bm

6) La puissance d’un exposant négatif (m>0), a ≠ 0: 1 a−m= m a

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(3×5)2=32×52

( 45 ) = 45 3

10−6=

3

Astuce

0 Souviens-toi que a =1 1 et que a =a.

3

1 106

Les nombres réels

Arithmétique

23

1

2

3

Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice. Vérie ensuite tes réponses à l’aide de ta calculatrice. a) (−2)3=

b) 43=

c) (−1)3=

d) 103=

e) 53=

f) 33=

g) 23=

h) 73=

i) 1003=

j)

k)

3

(−14 ) = 3

l)

3

−27=

b)

3

−216=

c)

3

8=

d)

3

−1 000=

e)

3

343=

f)

3

64=

g)

3

−125=

h)

3

−8=

i)

3

1=

j)

3

0,001 =

k)

3

125=

l)

3

8 000=

m)

3

0,125=

n)

3

1 = 8

o)

3−

1 = 64

p)

3

0,008=

Écris les puissances suivantes à l’aide d’une racine. Trouve ensuite le résultat. 1

1

1

1

c) (−2 197)3=

b) (196)2= 1

d) (400)2=

1

f) (−8 000)3=

e) (1 728)3=

1

h) (−36)2=

g) (3 375)3=

Écris les puissances suivantes sans exposant négatif. Trouve ensuite le résultat sans utiliser ta calculatrice. Conserve la fraction dans ta réponse. −

−

a) 10 1=

b) 8 2=

2 3 = 4

f)

−2

c)

( 101 )

g)

2 − = 7 2

−

−

e) 2∙5 1=

=

−1

d)

( 23 )

h)

4 2 − = 3 3

=

−

Place les lettres correspondant à chacun des nombres au bon endroit sur la droite numérique. A) 4−1

B)

1 2

3

( )

1

C) 8 3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

24

( 23 ) =

a)

1

5

3

Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice. Vérie ensuite tes réponses à l’aide de ta calculatrice.

a) (256)2=

4

( 12 ) =

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.3

36 25

1 2

D)

( )

1

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

E) 1,5−2

F)

3

4,913

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6

Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle. a) 33∙34=

b) 25∙2=

c) 72∙7∙76=

d) 10∙105∙10−4=

e) 64∙6−4=

f) 1110∙11−3∙117=

1 2

1 3

g) 3 ∙3−4= 7

8

1

5

i) 4−3∙4 3∙4 3=

h) 5 ∙5 =

Simplie les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle. a)

65 = 62

b)

d)

315 ÷37= 33

e) 107÷107=

212 = 24

c) 911÷93= f) 513÷514=

Dans chaque cas, écris les puissances à l’aide de la même base. Réduis ensuite l’expression obtenue. a) 32∙27=

9

3 2

32 . 33 = 35

b)

5−2 = 25

d)

125 = 5−4

e) 83÷64=

g)

618 = 36

h) 81∙ 5=

4 2

c) 23∙ 5= f) 74÷49=

9 3

i) 32∙26∙2=

Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants. Relie ensuite les expressions équivalentes. a)

89∙36 1 ÷ 35∙815 8

c) (36∙32÷8∙3−3)∙

(83 ) 2

•

• b)

•

• d)

a)

b)

c)

d)

39∙37 32∙89 ÷ 6 38 8 3−5 811 6 ÷3 ∙ −5÷821 3−12 8

(

)(

)

Exercice

Exercice

10 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant négatif. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. 9 7 a) 2 ∙2 =

b) (1218∙124∙12)÷1216=

5 6 c) 73 ∙7−2 =

d) (36∙37)÷(34∙3−7∙35)=

2

7 ∙7

e) g) i)

4 9 ÷ 9∙9 = 15 20 9 ∙9 9 ∙93 24∙4 = 2

9 f) 6 ∙6 ∙ 65 = 2

210∙315 = 25∙330

2 7 j) 104 ÷ 105 =

12

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h)

6 6 81 ∙35= 34

5

5

Astuce

Lorsqu’on divise par une par fraction, on doit multiplier : n ctio l’inverse de cette fra 3 1 3 2 1 ÷ 3= 4∙ 2= 8 4

Les nombres réels

Arithmétique

25

3

11 Observe l’expression n . 3 a) Trouve les résultats obtenus si n=1 et n=2.

b) Lorsqu’on augmente la valeur de n, le résultat se rapproche-t-il de −∞, de 0 ou de ∞ ?

c) Est-il possible d’obtenir 0 ? Justie ta réponse.

12 Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Justie ta réponse à l’aide de calculs, d’exemples ou de contre-exemples. a) Le carré de la racine cubique de 216 est 36.

b) Une base comprise entre 0 et 1, affectée d’un exposant négatif, donne un nombre négatif.

c) La racine cubique du carré de 8 est 4.

d) Une base supérieure à 1, affectée d’un exposant négatif, donne toujours une puissance supérieure à 0 mais inférieure à 1.

13 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle à l’aide d’un exposant positif. 1

a) (43)3= d)

3 5

((−2) ) = 1

g) −(94)2=

b) (22)4= 1

c) (2−2)7=

e) −(35)2=

f) (10−3)

h) (2−8)11=

i)

−10

= 1

((12

)=

−3 2 2

)

14 Les expressions suivantes sont des puissances de produits et de quotients. Réduis-les. Écris ta réponse en notation exponentielle à l’aide d’un exposant positif. a) (2∙34)2= d) g)

26

1 2

( 97 ) = (135 )= 3

Arithmétique

21

12

Chapitre 1 — Section 1.3

−

b) (52∙7) 1= e)

( 1113 ) = 2

2

−

c) (7−3∙32) 5= f)

( 56 )

i)

( 5 2∙3 ) =

1

h) (25∙54)2=

2

−4

−3

3

4

=

1 2

2

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15 Qui suis-je ? Écris ta réponse sous la forme d’une base affectée d’un seul exposant. a) Je suis le carré de la racine cubique de 8. b) Je suis la racine carrée de la 10e puissance de 2. c) Je suis la racine cubique de la 3e puissance de 7. d) Je suis le cube de la 4e puissance de 2. e) Je suis le carré de la racine cubique de la 6e puissance de 3. f) Je suis le cube du carré de 5. g) Je suis le triple du produit de la 9e puissance de 3 et de la 6e puissance de 3. 16 Complète chacune des égalités suivantes à l’aide du symbole=ou ≠. b)

( 5∙5 5 )

3∙34

d)

104 10−5

( 3 216 )2

f)

710 75

a) (25∙2−3)÷(29)−2

240

1

c) 3∙273÷3−2

e)

(6∙66 ) −4

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1

−1

(25∙15 625)2

6

3

3

105∙1022

79 +76∙7−4

Les nombres réels

Arithmétique

27

17 Parmi les expressions suivantes, laquelle n’est pas équivalente aux trois autres ? Justie ta réponse en réduisant les expressions sans calculatrice. (125)

−1 3

3

5 125

1

(5−2)

1

25 2

18 Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants, sans utiliser ta calculatrice.

(1 )

7

a) 87∙ 4 = 7

1

27

1

482 = 122

b) 9 2∙4 2=

c)

e) 253÷2,53=

f) 20 2∙5 2=

( 84 ) = 2 1

7

1

d) 4 3∙16 3=

1

1

19 La base d’un triangle mesure 24 cm et la hauteur, 25 cm. Trouve l’aire de ce triangle. Écris ta réponse sous la forme d’une base affectée d’un seul exposant.

Réponse : 20 La population d’une ville est de 96 habitants. Sa supercie est de 35 km2. Joanie calcule la densité de population et obtient 3 habitants/km2. A-t-elle raison ? Justie ta réponse en calculant la densité de population à l’aide des lois des exposants. Réponse :

Astuce

est La densité de population d’un territoire nts le rapport entre le nombre total d’habita és. carr s ètre kilom et la supercie totale en

28

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.3

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21 Nathanaël doit couper une feuille de métal de forme carrée dont l’aire mesure 64 cm2. Il utilise une machine-outil an de réduire de moitié la supercie de cette feuille. La table de valeurs suivante représente l’aire de la feuille selon le nombre de coupes effectuées. Aire de la feuille de métal Nombre de coupes

0

1

2

Aire (cm2)

64

32

16

a) Dans le tableau, écris les nombres de la deuxième ligne sous la forme d’une puissance de 2 à l’aide de la notation exponentielle. b) Nathanaël croit qu’il doit effectuer 6 coupes an d’obtenir une aire de 2 cm2. A-t-il raison ? Justie ta réponse.

c) Combien de coupes doit-il faire an d’obtenir une supercie de 0,25 cm2 ?

Réponse : 22 Michèle et Carlos épargnent de l’argent pour leurs vacances. Michèle a 9 $ dans son compteépargne. Elle effectue ensuite des dépôts de manière que le montant total triple chaque semaine. Carlos a 16 $ dans son compte. Il effectue ensuite des dépôts de manière que le montant total double chaque semaine. Quatre semaines plus tard, les deux amis comparent leurs avoirs. Qui a le plus d’argent dans son compte-épargne ? Effectue tes calculs à l’aide de la notation exponentielle.

Réponse :

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Les nombres réels

Arithmétique

29

23 En laboratoire, Jacob observe une culture bactérienne contenant 25 bactéries. Il constate que ce nombre double toutes les 30 minutes.

Curi sité

Sa collègue Mia examine un autre type de culture qui contient 312 bactéries. Elle les expose à un antibiotique. Elle constate que leur nombre diminue du tiers chaque heure.

La bactérie la plus étudiée est l’ (communément appelée « E. coli »), car elle se multiplie très rapidement. Cette bactérie est souvent associée à la maladie du hamburger, à la gastro-entérite et à la méningite.

a) Complète la table de valeurs suivante. Trouve le nombre de bactéries présentes dans la culture bactérienne étudiée par Jacob au bout de 6 heures. Culture bactérienne étudiée par Jacob Temps (h)

0

0,5

Nombre de bactéries

25

26

1

1,5

2

2,5

3

…

6

…

×2

b) Après combien de temps, en heures, y aura-t-il 220 bactéries dans la culture de Jacob ?

Réponse : c) Au moment où la culture bactérienne de Mia contiendra 9 bactéries, combien de bactéries contiendra la culture de Jacob ?

Réponse : 24 Jérôme et Kinza ont effectué la chaîne d’opérations suivante:

−5 236 ∙28 ÷ 2−6 2 2

Jérôme a obtenu 214 et Kinza, 224. Qui a raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.

Réponse : 30

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.3

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1.4 La notation scientique

et le système international d’unités La notation scientique • La notation scientique facilite la lecture, l’écriture et la comparaison de très grands ou de très petits nombres. Elle est surtout utilisée dans des contextes de mesure.

Astuce

• Pour écrire un nombre en notation scientique, il faut le décomposer en deux facteurs. 1. Le premier facteur, appelé la mantisse, est un nombre décimal supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10. Pour le trouver, on place la virgule après le premier chiffre non nul du nombre. La mantisse est formée de chiffres signicatifs.

Dans une mesure, les chiffres signicatifs sont les chiffres dont on est certain.

2. Le deuxième facteur est une puissance de 10. Il indique l’ordre de grandeur du premier chiffre de la mantisse. 2 650 000=2,65×106  La mantisse est 2,65 et son ordre de grandeur est 106 (le chiffre 2 occupe la position du million). 0,000 005 4=5,4×10−6  La mantisse est 5,4 et son ordre de grandeur est 10−6 (le chiffre 5 occupe la position du millionième). • Si le nombre initial est supérieur à 1, l’exposant de la puissance de 10 est positif (ou égal à 0).

• Si le nombre initial est compris entre 0 et 1, l’exposant de la puissance de 10 est strictement négatif.

Le système international d’unités (SI) et la notation scientique • Le système international d’unités (SI) dénit les unités de base utilisées pour mesurer différentes grandeurs. Quelques grandeurs et unités de base du SI Longueur

Volume

Masse

Temps

mètre (m)

litre (L)

kilogramme* (kg)

seconde (s)

* Pour des raisons historiques, le kilogramme (kg) est l’unité de base de la masse. Cependant, on utilise le gramme (g) pour former les multiples et les sous-multiples des unités de masse.

• Il est possible d’utiliser des multiples ou des sous-multiples des unités de base. On utilise alors des préxes qui sont associés à des puissances de 10 distinctes. Préxe Téra (T) Giga (G)

Multiple de l’unité de base 1012 109 Méga (M) 106 Kilo (k) 103 Milli (m) 10−3 Micro (μ*) 10−6 Nano (n) 10−9 Pico (p) 10−12 * La lettre grecque μ se lit « mu ».

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5,3 kg=5,3×103 grammes 1,8 ns=1,8×10−9 seconde 2,7 Gm=2,7×109 mètres 9,6 μl=9,6×10−6 litre

Curi sité Pour mesurer le temps, on utilise les préxes du SI surtout s’il s’agit de temps très courts (µs, ns, ps). Sinon, on utilise les minutes, les heures, les jours, les années, etc.

Les nombres réels

Arithmétique

31

1

Qui suis-je ? a) Unité de base servant à mesurer le volume. b) Dans la notation scientique, facteur représenté par un nombre décimal supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10. c) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 109. d) Unité de base servant à mesurer la masse. e) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 10−6. f) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 103. g) Symbole servant à représenter des nanosecondes.

2

3

4

Écris les nombres suivants en notation scientique. a) 125 000=

b) 6 300 000=

c) 0,098=

d) 135=

e) 15 900 000=

f) 0, 000 031=

g) 0, 000 000 42=

h) 18 200=

i) 0, 52=

j) 0,000 001 8=

Écris les nombres suivants en notation décimale. a) 2,5×103=

b) 4,15×10−9=

c) −3,34×10−8=

d) 5,56×1010=

e) 7,78×105=

f) −8,9×10−6=

g) −2,98×102=

h) 1,7×10−3=

Compare les nombres suivants à l’aide des symboles >, < ou =.

Astuce

age Qu’est-ce qui t’aide davant nd à déterminer le plus gra nombre : la mantisse ou la puissance de 10 ?

5

a) 2,4×10−2

3,4×10−3

b)

10×107

c)

1,3×104

13 000

d)

4,8×10−5

5,4×10−6

e)

52×107

5,2×108

f)

1,24×104

3,24×10−3

g) 6,5×10−3

7,2×104

h) 1,13×10−5

1,13×102

Place les nombres suivants par ordre décroissant. a)

127

2,34×103

b) 8,7×10−4

32

1×109

Arithmétique

−0,006

−4,5×10−2

Chapitre 1 — Section 1.4

−5,7×107

0,043

2 554

6,52×107

6,78×104

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6

7

Convertis les mesures suivantes en mètres. Écris-les ensuite en notation scientique. a) 0,45 mm

b) 78 dam

c) 7,56 km

d) 0,8 cm

e) 235 hm

f) 6 570 dm

Complète les égalités suivantes. Écris ta réponse en notation scientique. 8,1×10 –3

a) 8,1 ml=

8

L

b) 9,55 kg=

g

c) 9,6 nm=

m

d) 8 Mg=

g

e) 9,57 cl=

L

f) 2,5 ps=

s

g) 12,3 Gm=

m

h) 2 450 km=

m

Place les nombres suivants au bon endroit sur la droite numérique. Écris chaque lettre dans la case appropriée. A 6,75×103

−16

9

B 4,5×10

000 −14 000 −12 000 −10 000

−8

C −5,004×103

000

−6

000

−4

000

−2

D 6,79×102

000

0

2 000

E 8,44×103

4 000

6 000

8 000

F −1,42×104

10 000

12 000

Trouve les produits et les quotients suivants. Écris ta réponse en notation scientique. a) 2×106∙2,5×107=

5 × 1013

b) 5,7×109∙6,2×1015=

2 × 2,5 × 106 × 107 = 2 × 2,5 × 106+7 = 5 × 1013

c)

9,6×1012 = 2,4×109

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d)

15×1014∙5,2×1010 = 2,5×107

Les nombres réels

Arithmétique

33

10 Dans le cours de science, l’enseignante de Mathilde énonce le fait suivant : « Le corps d’un être humain contient environ 37 000 milliards de cellules. » Mathilde afrme qu’en notation scientique, on peut écrire ce nombre de la manière suivante : 37 000×109. A-t-elle raison ? Justie ta réponse.

11 Écris chacune des mesures suivantes en mètres à l’aide de la notation scientique. a) Le littoral du Canada est le plus long du monde : il mesure environ 243 042 km.

Curi sité L’acarien est un animal qui appartient à la même classe que l’araignée. On en trouve des colonies dans les matelas, entre autres. L’acarien se nourrit de morceaux de peau morte, 1 million d’acariens pouvant se contenter de 1,5 g de ce mets délicieux !

b) On estime que le diamètre de l’Univers est de 800 000 000 000 000 000 000 000 km. c) La grand-mère d’Emma a une assiette plaquée d’une couche de 8 μm d’or. d) Un acarien mesure environ 0,06 mm de longueur.

12 Associe chacun des contextes à la mesure correspondante. a) Le nombre de sièges dans un stade

•

• 7×109

b) La population mondiale

•

• 2,5×105

c) L’âge, en secondes, d’un élève de 3e secondaire

•

• 5×104

d) La distance, en mètres, entre Montréal et Québec

•

• 4,22×104

e) La longueur du parcours d’un marathon, en mètres

•

• 4,5×108

13 Trouve l’aire du rectangle ci-dessous. Écris ta réponse en notation scientique.

0,25×107 mm

1,38×109 mm

Réponse : 34

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.4

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14 La taille d’une cellule végétale est d’environ 100 micromètres et celle d’une cellule animale, d’environ 12,5×10−7 mètres. Combien de fois la cellule végétale est-elle plus grande que la cellule animale ?

Curi sité Contrairement à la cellule animale, la cellule végétale a une paroi cellulosique. Cette paroi est constituée de cellulose, un type de bre alimentaire de la famille des glucides.

Réponse : 15 La cellule est l’unité de base de la vie, tandis que l’atome est l’unité de base de la matière. La taille d’un atome d’oxygène est d’environ 48 picomètres. Combien de fois la cellule animale (12,5×10−7 mètres) est-elle plus grande que cet atome ? Écris ta réponse en notation scientique. Réponse : 16 Pendant un incendie, la fumée recouvre une ville dans un rayon de 1,75×102 km. Trouve la supercie de la partie de la ville recouverte de fumée. Écris ta réponse en notation scientique.

Réponse : 17 La distance entre la Terre et la Lune est environ 3,9×102 fois plus petite que la distance entre la Terre et le Soleil. La Lune se situe à environ 3,84×105 km de la Terre. Combien de kilomètres séparent la Terre du Soleil ?

Réponse :

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Les nombres réels

Arithmétique

35

18 La Terre fait partie d’une galaxie, la Voie lactée, qui comprend environ 100×109 étoiles. La galaxie la plus près, Andromède, contient environ 10 fois plus d’étoiles. Combien d’étoiles environ la galaxie Andromède contient-elle ? Écris ta réponse en notation scientique.

Réponse : 19 Francine prépare deux solutions d’eau salée. La solution A contient 60 g de sel, ce qui correspond à environ 6×1023 molécules de sel. La solution B contient 3×1023 molécules de sel de plus que la solution A. Francine conclut que la solution B contient deux fois plus de sel que la solution A. A-t-elle raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.

Réponse : 20 La lumière voyage à une vitesse d’environ 299 mégamètres par seconde. Le son voyage à une vitesse environ 8,8×105 fois plus petite que la vitesse de la lumière. Quelle est la vitesse du son en m/s ?

Réponse : 21 Les années-lumière sont des unités qui servent à mesurer de très grandes distances. Une année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière en une année, soit 9,461×1012 km. L’étoile Polaire se trouve à une distance d’environ 435 années-lumière de la Terre. Trouve la distance en kilomètres entre la Terre et l’étoile Polaire. Écris ta réponse en notation décimale.

Curi sité L’étoile Polaire fait partie de la constellation de la Petite Ourse. Cette étoile très brillante, visible à l’œil nu, se trouve tout près du pôle Nord céleste. Elle aidait autrefois les navigateurs à se repérer en mer.

Réponse : 36

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.4

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Sections 1.1 et 1.2 1

Effectue les opérations suivantes. Indique ensuite l’ensemble de nombres le plus restreint auquel appartient le résultat obtenu. 1 2 a) − + − 9 =

c)

(

1 7 b) − − − 15 =

( )

3

5

8×2 − 8×2 )=

d)

25 8 e) − ∙ = 4

2

f)

5

(

)

15−(−12)∙2 =

((

2 1 2 ) − ∙3 ∙(−3)=

)

9

Les lettres d, e et f représentent les côtés d’un triangle. Dans chaque cas, indique si le triangle est rectangle. Triangle rectangle Triangle

d

e

f

1

38

23

59

2

36

45

27

3

32

130

126

4

42

16

50

Oui

Non

Sections 1.3 et 1.4 3

4

Écris chaque nombre en notation décimale ou en notation scientique, selon le cas. a) 4,3×109=

b) 2,51×10−6=

c) −72 500 000=

d) 1,9×10−8=

e) 0,000 14=

f) 12 780 000 000 000=

Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant négatif. 109

a) 1012 = d)

3

1136 =

g) 7 4∙34=

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b) (75∙7−4)3= 65

e) 35 = h)

58∙7−1 = 53

c)

225∙214 = (211)4

f)

( 3 3∙3 )

i)

( 44∙4 )

4

9

3

−3

8

5

−2

=

Les nombres réels

Arithmétique

37

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 1.2 5

Sachant que l’aire d’un carré est de 100 cm2, trouve la mesure de sa diagonale.

6

Henri a tracé un triangle rectangle dans le cercle ci-contre. Sachant que la petite cathète mesure la moitié de la grande cathète, trouve la mesure du diamètre du cercle.

7

3 cm

Un bateau part de la marina et se dirige vers le nord. Après avoir parcouru 84 km, il change de direction et se dirige vers l’est. Il parcourt alors 45 km avant d’atteindre une île. Quelle distance sépare l’île de la marina ?

210 m

Sections 1.3 et 1.4 8

La famille Lavoie cultive des pommes de terre et du maïs.

maïs

Combien de fois la supercie du champ de maïs est-elle plus grande que la supercie du champ de pommes de terre ? Écris ta réponse en notation exponentielle.

26 m pommes de terre

27 m

26 m

9

Le virus et la bactérie sont des organismes microscopiques. La taille moyenne d’une bactérie est de 1 micromètre tandis que la taille moyenne d’un virus est de 160 nanomètres. a) Quel micro-organisme a la plus grande taille ? b) Combien de fois ce micro-organisme est-il plus grand que l’autre ?

10 Une entreprise de gazon synthétique doit recouvrir un terrain rectangulaire de 9 m sur 12 m. Samuel, un employé, doit estimer le nombre de brins d’herbe nécessaire pour le recouvrement. La largeur d’un brin à la base est de 1 mm et on ne considère pas l’espace entre les brins d’herbe. Aide Samuel à trouver le nombre de brins d’herbe qui couvrent le terrain. Écris ta réponse en notation scientique.

11 La Russie est le plus grand pays du monde avec une supercie de 17,09×106 km2. Trouve la supercie du Canada, sachant qu’elle représente environ 58 % de la supercie de la Russie. Écris ta réponse en notation scientique.

38

Arithmétique

Chapitre 1 — Exercices+ supplémentaires

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Retour sur le chapitre 1 Questions à choix multiples Quel nombre exprimé en notation scientique est égal à 150 μm ? a) 1,5×10−8 m 2

b) 150×10−3 m

b) (20, 25, 36)

Quelle expression réduite est équivalente à a) 3

4

6

c) (11, 60, 61) 35∙32 38

d) (17, 144, 145)

?

b) 32

c)

1 3

d)

1 32

d)

3

Parmi les expressions suivantes, laquelle est équivalente à 74 ? a)

5

d) 1,5×10−1 m

Parmi les triplets suivants, lequel n’est pas un triplet pythagoricien ? a) (3, 4, 5)

3

c) 1,5×10−4 m

710 7−6

b)

712∙716 77

c)

715 7−4 ÷ 78 7−1

(77 ) 8

4

5

( 5)

4 6 Soit l’égalité − ÷ − ∙3=n . Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ? 5

a) n appartient à l’ensemble des nombres rationnels.

b) n e [0, 1]

c) n appartient à l’ensemble des nombres décimaux.

d) n e z

RETOUR

1

Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ? a) 18 Mm équivalent à 1,8×108 m. b) Il y a 6,5×103 L dans 6,5 ml. c) Un million de kilogrammes équivalent à 1×109 grammes. d) 952 nanosecondes valent 9,52×10−11 seconde.

7

L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 66,25 dm. Si l’une des cathètes mesure 57,5 cm, quelle est l’aire du triangle ? a) 189,75 dm2

8

c) 945,88 dm2

d) 1 904,69 dm2

Quelle est l’aire totale d’un cube dont l’arête mesure 6 m ? a) 36 m2

9

b) 380,94 dm2

b) 63 m2

c) 122 m2

d) 66 m2

Quelle est la mesure de la diagonale d’un rectangle dont les dimensions sont de 3,6 dm sur 7,7 dm ? a) 6,8 dm

b) 8,5 dm

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c) 9,2 dm

d) 11,3 dm

Les nombres réels

Arithmétique

39

Questions à réponses courtes 10 Effectue les opérations suivantes sans calculatrice. Conserve la fraction dans ta réponse. 1 5 a) − + − =

15 1 b) − − =

c)

(−15 ) ∙ 103 =

36 4 d) − ÷ =

e)

7 2 + ∙ 9 3

f)

(−78 − 327 )÷ 74=

7

( 21 )

2

4

5

10

(−154 )=

2

11 Coche tous les ensembles de nombres auxquels appartient chaque nombre. N

Z

D

Q

Q’

R

a) 0,35 9

b) 7 c) − 121 d)

p

RETOUR

11

e) 40 f)

225 3

g)

144 −3

h)

12 Représente les sous-ensembles des nombres réels à l’aide de la notation en intervalle. a) b) c)

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

13 Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. a) 6,3 Mg équivalent à 6,3×106 kg. b) Le nombre 3−2 appartient à l’ensemble des nombres entiers. c) Le nombre 610 appartient à l’ensemble des nombres naturels. d) 245 picomètres équivalent à 2,45×10−10 mètre. e) Le nombre

103 53

équivaut à 23.

f) 25∙27=412 40

Arithmétique

Chapitre 1 — Retour

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Astuce

exposants Pour t’aider, transforme les racines en avant de réduire une expression.

14 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant négatif. a)

22∙23 = 26

d)

72 = 76

b) (35∙36)2=

c)

e) (12 589 0652)0=

f)

g)

104∙106∙10 ∙10= 103

h)

2 53∙52 ∙ = 5 2

j)

(44 ∙ 44 ) =

k)

3 ∙5 (5∙3∙5 )

3

7

9

3

2

4

6

(153 ) = 3

616÷ 615= 3611 229 ∙ = 1811 119

l)

=

5∙54÷58= 3

i)

−2

3

10

10

15 Place les nombres suivants par ordre décroissant. 15 mg

b) 2,5 kl

c)

20 g

6 kg

26 000 ml

1 500 m

d) 6 000 mg

9,8 km

14 000 μg

1 980 nl

12 809 mm

2,5×10−6 Mg

9g

0,005 Mg

25 L

0,003 Ml

83×1015 pm

0,003 kg

0,000 75 Mm

RETOUR

a)

150 250 μg

16 Trouve les mesures manquantes des triangles rectangles suivants. b)

a) 41 mm 25 mm ?

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4 cm

19 cm

c)

1,2 dm

?

? 1,4 dm

Les nombres réels

Arithmétique

41

Questions à développement 17 Dans le triangle rectangle ci-contre, on a tracé la hauteur relative à l’hypoténuse en rouge. a) Trouve les valeurs de a, c et n.

14,4 dm

c n

a

19,2 dm 32 dm

Réponse :

RETOUR

b) Trouve l’aire de ce triangle à l’aide de l’hypoténuse et de sa hauteur relative. Réponse : 18 La grande diagonale d’un losange mesure 16 cm et la petite diagonale, 6 cm. Trouve le périmètre du losange. Arrondis ta réponse au centième près.

Astuce

Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement et en leur milieu.

Réponse : 19 Trouve l’aire d’un carré dont la diagonale mesure 15 cm.

Réponse : 42

Arithmétique

Chapitre 1 — Retour

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20 Les dimensions du rectangle 2 sont 4,2 fois plus grandes que les dimensions du rectangle 1. Trouve l’aire du rectangle 2. Écris ta réponse en notation scientique. 1

3,4×106 mm

9,2×106 mm

2

Réponse : 21 Guillaume a conçu la table ci-dessous. Aide-le à déterminer si les deux pattes sont bien perpendiculaires à la surface de la table.

70 cm

68 cm

68 cm

RETOUR

11 cm

11 cm

70 cm

Réponse : 22 Un atome d’hydrogène pèse 1,61×10−21 kg. Une molécule de glucose (sucre) contient 12 atomes d’hydrogène. Quelle est la masse, en kilogrammes, de ces 12 atomes d’hydrogène ? Écris ta réponse en notation scientique.

23 La masse d’une fourmi charpentière est en moyenne de 15 mg. Combien de fourmis faudrait-il pour égaler la masse d’une personne de 60 kg ?

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Les nombres réels

Arithmétique

43

24 Combien de fois l’aire du triangle isocèle DEF est-elle plus grande que l’aire du triangle rectangle ABC ? Écris ta réponse sous la forme d’une base affectée d’un seul exposant. D A

29 mm

RETOUR

B

210 mm

25 mm

C

E

27 mm

F

Réponse : 25 Julianne part de son chalet en vélo pour se rendre au lac Malartic. Elle emprunte les routes représentées par les èches bleues sur l’illustration ci-contre. Si elle avait emprunté le sentier pédestre indiqué par la èche rouge, la distance parcourue aurait été plus courte. Quelle distance aurait-elle parcourue en moins ?

3 km

4 km

3,162 km Lac Malartic 3 km

Julianne

Réponse : 44

Arithmétique

Chapitre 1 — Retour

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26 On estime que le volume d’eau total des océans est de 1 340×1012 kl. Si on considère qu’une goutte d’eau a un volume de 0,05 ml, combien y a-t-il de gouttes d’eau dans tous les océans de la Terre ? Écris ta réponse en notation scientique.

Réponse : 27 La Lune est située à environ 384 402 000 m de la Terre.

b) Si la Terre était reliée à la Lune par des câbles à bres optiques, on pourrait y envoyer des courriels. Combien de secondes seraient nécessaires pour expédier un courriel sur la Lune à la vitesse de la lumière, soit 3×105 km/s ?

RETOUR

a) Il y a sur Terre une longueur totale de 25 millions de kilomètres de câbles à bre optique. Combien de fois pourrait-on relier la Terre à la Lune à l’aide de ces câbles ?

28 Louise et Mireille, deux microbiologistes, observent des cultures bactériennes. Dans la culture observée par Louise, il y a 212 bactéries. Dans celle de Mireille, il y en a 215. Après 5 heures, il y a quatre fois moins de bactéries dans la culture de Mireille, tandis que le nombre de bactéries de la culture de Louise a doublé. Louise croit que le nombre de bactéries dans sa culture dépasse maintenant le nombre de bactéries dans la culture de Mireille. A-t-elle raison ? Justie ta réponse.

Réponse :

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Les nombres réels

Arithmétique

45

Situation-problème Voyage dans l’espace Tu participes au tournage d’un lm de science-ction. Le lm raconte le voyage de six astronautes à bord d’une navette spatiale. Le voyage les emmène de la Terre à la planète Mars, qu’ils explorent durant deux semaines. Ensuite, ils se dirigent vers Jupiter où ils passent une année entière avant de revenir sur Terre. La navette parcourt 38 000 km en une heure.

Jupiter

Mars 76×106 km

750×106 km

Terre

En moyenne, 1 700 g de nourriture permettent de combler les besoins nutritionnels quotidiens d’une personne. De plus, chaque astronaute doit boire 2 L d’eau par jour. On peut prévoir la même quantité d’eau pour l’hygiène. Les producteurs du lm te demandent de déterminer les données quantitatives associées au voyage. Tu dois trouver : • la distance parcourue par la navette ; • la durée du voyage ; • la quantité de nourriture nécessaire ; • la quantité d’eau nécessaire. Utilise la représentation du système solaire ci-dessus pour effectuer les calculs de distances. Le dessin n’est pas à l’échelle. Note : On considère qu’il y a 365 jours dans une année.

Astuce

Pour saisir des nombres en e notation scientique sur un rd calculatrice, on note d’abo la mantisse. On appuie ou ensuite sur la touche Exp de t san EE et on note l’expo la puissance de 10.

46

Situation-problème

Voyage dans l’espace

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Réponse Les données quantitatives du voyage dans l’espace Distance spatiale parcourue (km)

Durée (années)

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Quantité de nourriture (Mg)

Quantité d’eau (kl)

Situation-problème

Voyage dans l’espace

47

Situation d’application Le trapèze rectangle Adam a tracé un trapèze rectangle. Son ami Mathieu afrme qu’il est impossible de trouver l’aire de ce trapèze, étant donné qu’on ne connaît pas la mesure de la grande base. Adam prétend le contraire.

15 cm

16 cm

18 cm

Qui a raison ? Justie ta réponse.

Réponse

48

Situation d’application

Le trapèze rectangle

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CHAPITR E

Le calcul algébrique

2

SOMMAIRE Rappel........................................................................................... 50 2.1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques..........................................................................53

2.2

La multiplication de polynômes...................................... 59

2.3

La division d’expressions algébriques ........................... 68

Exercices + supplémentaires...............................................77 Retour sur le chapitre 2 ..........................................................79 Les tableaux blancs (CD1) ................................................... 86 Huit pavés (CD2) ...................................................................... 88

x+1

Une afche carrée de x cm de côté a une aire de x² cm². Quelle est l’aire d’une afche carrée dont le côté mesure 1 cm de plus ? Illustre ta réponse.

x

Réponse :

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Le calcul algébrique

Algèbre

49

Rappel Les composantes d’une expression algébrique • Les termes sont des quantités qu’on additionne ou qu’on soustrait. • Dans une expression algébrique, un terme peut être formé d’une partie numérique, le coefcient, et d’une partie littérale, les variables. • Une variable est une quantité qui peut changer. Généralement, elle est représentée par une lettre. • Le coefcient est le nombre qui multiplie la ou les variables. Le signe du coefcient est le signe qui le précède dans l’expression algébrique. • Par convention, le coefcient est placé devant les variables écrites dans l’ordre alphabétique. • Un terme qui ne comprend pas de variables est un terme constant. L’expression xy 2−3xy−8 comprend trois termes : xy², −3xy et −8. • Le terme constant est −8.

RAPPEL

• Le coefcient du 1er terme est 1. • Le coefcient du 2 e terme est −3.

Astuce

Lorsque le coefcient d’un terme est 1, il n’est pas nécessaire de l’écrire.

• Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants (quels que soient les coefcients). On dit qu’ils ont la même partie littérale. Les termes 5ab et −23ab sont des termes semblables. Les termes 5ab et −23a2b ne le sont pas.

Les polynômes • Un monôme est un terme dont tous les exposants sont des nombres naturels. Par exemple, 4x 2 est un monôme, mais 7x−2 n’en est pas un. • Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. 2 Les termes −3xy 3 et x 3 sont des monômes. 3

3 L’expression −4x2y− x+3 est un polynôme. 4

Astuce

sé de deux Un polynôme réduit compo un binôme, monômes est aussi appelé uit composé tandis qu’un polynôme réd trinôme. de trois monômes est un

• Le degré d’un monôme correspond à la somme des exposants de ses variables. Le degré d’un terme constant non nul est 0. • Le degré d’un polynôme correspond au degré le plus élevé des termes qui le composent. • Par convention, on place les termes d’un polynôme par ordre décroissant de degré. a 2

Observe le polynôme 5ab2+ −12. Il comprend trois termes de degrés différents : 5ab 2 : degré 3

a

2

: degré 1

−12 : degré 0

a 2

Donc, le degré de 5ab2+ −12 est 3.

50

Algèbre

Chapitre 2 — Rappel

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1

Complète le tableau suivant. Nombre de termes

Expression algébrique

Variable(s)

Terme constant

Degré du polynôme

a) 5x 2−3x+11 b) 6xy+3x−2y−1 c) 15a+9 d)

3b 2 4

e)

2y 2 1 +6y− 3 2

f) −2p2+pq−q+4 Trouve les deux paires de termes semblables dans chaque série. a) 9y

−3x

b) 7a3

4a

13x

e) 12xyz 3

−5

−2x 2

c) 4x 2y d) xy 2

11y 2

4xy −3a2

5y

6

−3x 2yz

6x

−3

7x

10b3 5

4xy 2

14a2

−8x

−8

9b

7 2 xy 3

−5y 2x

12y 2

6x

5yz

15xz

7xy 2z

11

RAPPEL

2

−2xy

−9xy

3y

−6xz

5y −4xy 2z

Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Si un énoncé est faux, corrige-le. a) Dans le binôme 5x 2−8x, le coefcient du 2e terme est −8.

b) Le coefcient du terme 2x y est 2. 2

5

c) Dans le binôme 5x 2−3y, l’exposant de la variable y est −3.

d) Dans le trinôme 13a2b+7ab−21, le terme constant est 21.

e) Le degré du polynôme 4x 2+3x−15 est 2.

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Le calcul algébrique

Algèbre

51

4

Trouve le degré des polynômes suivants. a) −16x

b) 5xy

c) −8

d) 15x 2

e) x 2+x

f) 5x+3y−2z+7

g) −8a2b2+ab

h) 7xy+2x−1

i) 5

3 a2 5 +ab+ 4 7

j) 3x 2yz2+7x 2y2+2y 2z

Associe chaque polynôme à la description appropriée. 1) 15xy2−8y

2) 22ab+9a−17

5) 11a−7b+6

6) x 2+4x

3) −100a2b2 7) 62x 4y

4) xy3+2xy+x−y

8) 14x 3+5x 2−x+8

a) Trinôme de degré 1 b) Binôme de degré 2 c) Trinôme de degré 2 d) Polynôme à quatre termes de degré 4 e) Binôme de degré 3

RAPPEL

f) Polynôme à quatre termes de degré 3 g) Monôme de degré 4 h) Monôme de degré 5 6

Voici deux conventions d’écriture : • Dans un monôme, le coefcient est placé devant les variables écrites dans l’ordre alphabétique. • Les termes d’un polynôme sont placés par ordre décroissant de degré. Écris les polynômes suivants en respectant ces deux conventions d’écriture.

7

52

a) c∙b2∙(−13)=

b) 6x+x 2−5=

c) 11yx+9x 3=

d) 7xy+4x 2y 2−3x=

e) 8mn+3nm2=

f) 8x−13x 2yz+3zxy=

Trouve la valeur des expressions b), c) et d) de l’exercice précédent, si x=3 et y=−2.

Algèbre

Chapitre 2 — Rappel

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2.1 L’addition et la soustraction

d’expressions algébriques L’addition et la soustraction de termes semblables Pour additionner ou soustraire des expressions algébriques, il faut repérer les termes semblables. • Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants (quels que soient les coefcients). On dit qu’ils ont la même partie littérale. Les termes −5x 2y et 7x 2y sont semblables, alors que les termes 3y et −4y 2 ne le sont pas. • Il est possible d’additionner ou de soustraire des termes uniquement s’ils sont semblables. Il suft de trouver la somme ou la différence des coefcients. • Par exemple : 12x+3x=15x

8ab+12ab=20ab

5x 2y+2x 2y=7x 2y

12x−3x=9x

8ab−12ab=−4ab

5x 2y−2x 2y=3x 2y

L’addition et la soustraction de polynômes

Astuce

• Additionner des polynômes, c’est additionner leurs termes. • Soustraire des polynômes, c’est additionner à un premier polynôme l’opposé de chacun des termes du second polynôme.

1

(2a+5)+(4a−2)

(5x 2y+3xy 2−4x)+(2x 2y−xy 2−5x)

=2a+5+4a−2

=5x 2y+3xy 2−4x+2x 2y−xy 2−5x

=2a+4a+5−2

=5x 2y+2x 2y+3xy 2−xy 2−4x−5x

=6a+3

=7x 2y+2xy 2−9x

Il faut toujours réduire une expression algébrique.

(2a+5)−(4a−2) =2a+5−4a+2 =2a−4a+5+2 =−2a+7

Parmi les termes algébriques suivants, encercle les termes semblables. Additionne-les ensuite. a) 3x 2 b) 4x 2y c) 8xy d) 10a2b e) 7abc

−4y

2x 15xy

−3y −2y

6x 13a2 −8ac

−9

7x −3x

−4xy

14 −8b

−11ab

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11xy 2xy 2

12xyz 13ba2

5y −8

17ab2

ac

−abd

3

2

2ac 3 Le calcul algébrique

Algèbre

53

2

3

Réduis chacune des expressions suivantes en additionnant les termes semblables. a) −10a+23a−3−11

b) 4y+5−2y+13

d) 14x 2+8−12x 2−5

e) 11a 2+6a+ a 2−9a

f) −13b+6+8b−4

g) 7xy−3x+9x+10xy

h) 8p 2+2q−7+15p 2

i) 21x−24y 2−6+16y 2

7 2

c) m+m 2−7m−m 2

Effectue les additions de polynômes. a) (9x+7)+(5x−3)

b) (9x 2+3x−1)+(13x 2−8x+10)

c) (12ab−5)+(8ab+7)

d) (11ab+16a+12)+(14ab−6b+4)

e) (25x 2y+18x)+(14x 2y−3x+4)

f) (13m 2−6m+22n)+(7n 2+13m−10n)

Astuce Après avoir enlevé les parenthèses, regroupe les termes semblables.

54

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.1

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4

Effectue les soustractions de polynômes. a) (16x+6)−(10x+3)

b) (18a 2+13)−(5a 2−7)

c) (9x 2+7x−3)−(5x 2−3x+2)

d) (12mn−7m+4)−(9mn+3n−8)

Astuce Souviens-toi que soustraire un polynôme, c’est soustraire chacun de ses termes.

5

Effectue les opérations suivantes. a) (17x+8)−(9x−2)

b) (10x 2−x+2y)+(16x 2+4y−5)

c) (22a 2+15a−5)−(13a 2−8a+7)

d) (31x 2y−12xy)−(25x 2y+21xy−17x)

Exercice 6

Exercice

Effectue les opérations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) (12x+9)+(19x−4)

b) (19a 2+12)−(8a 2−9)

c) (22x 2+15xy−3)+(9x 2−17xy+6)

d) (10ab+3a−5b)−(7ab−2a+11)

e) (24m 2−n 2)+(18m 2+17n 2−13)

f) (21x 3−16x 2+12x)−(20x 3+9x−25)

g) (32a2b−27b+29a)+(23a2b+31b−22a)

h) (41xy−26y−33)−(36xy+24y)

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Le calcul algébrique

Algèbre

55

7

Mélina a (3x) ans. Sa mère a 4 ans de plus que le double de son âge. Quelle expression algébrique représente la somme de leurs âges ?

Réponse : 8

Astuce Consulte les pages 404 et 405 de la section pour faire un retour sur les principaux énoncés de géométrie.

Un triangle a un angle de (4x)° et un angle de (5x+35)°. Quelle expression algébrique représente la mesure du 3e angle du triangle ?

Réponse : 9

Quelle expression algébrique représente le périmètre des gures suivantes ? Les mesures données sont en centimètres. Tous les angles qui paraissent droits le sont. a)

4x−1 x+2

x+1

b)

x x

5

3x 2x

x

P=

56

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.1

P=

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10 Berthier a (6x+2) $ pour faire ses commissions. Il achète un pain à (2x−3) $ et une boîte de jus à (3x−7) $. Quelle expression algébrique représente l’argent qu’il lui reste ?

Réponse : 11 Trois élèves vendent des savons pour nancer un voyage de n d’année. Éric vend (3x) savons. Daniel en vend trois fois moins qu’Éric. Mariella vend 12 savons de moins que Daniel. Quelle expression algébrique représente le nombre total de savons vendus par les trois élèves ?

Réponse : 12 Trois amis participent à une compétition de saut en longueur. Justin a gagné la médaille d’or. Il a franchi une distance de (4x) m. Charles a gagné la médaille d’argent. Il a franchi 6 m de plus que la moitié de la distance franchie par Justin. Simon a gagné la médaille de bronze. Il a franchi 2 m de moins que Charles. Quelle expression algébrique représente la différence entre les distances franchies par Justin et Simon ?

Réponse :

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Le calcul algébrique

Algèbre

57

13 Liu joue à un jeu de société. Au 1er tour, elle amasse x points. Au 2e tour, elle amasse 12 points de moins qu’au 1er tour. Au 3e tour, elle obtient le double des points du 1er tour. Enn, au dernier tour, elle perd 25 points. Quelle expression algébrique représente le nombre total de points amassés par Liu pendant la partie ?

Réponse : 14 Sur son terrain, Aïcha a planté x arbres. Le tiers des arbres sont des érables et le quart sont des bouleaux. Le reste des arbres sont des sapins. Quelle expression algébrique représente le nombre de sapins sur le terrain d’Aïcha ?

Réponse :

6x+5

15 Pendant un camp de ski de fond, François parcourt six fois le trajet illustré ci-contre.

3x

4x 5x−7

2x+3

3x+2

Quelle expression algébrique représente la distance totale parcourue par François ? Les mesures données sont en kilomètres.

Réponse :

58

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.1

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2.2 La multiplication de polynômes La multiplication d’un polynôme par un monôme • La multiplication est commutative. Ainsi, pour trouver le produit de deux monômes, il faut multiplier les coefcients et additionner les exposants des variables identiques. 5x∙7x=5∙x∙7∙x =5∙7∙x∙x

−5x 2∙7xy=−5∙x∙x∙7∙x∙y =−5∙7∙x∙x∙x∙y =−35x 3y

=35x 2

• La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction. Ainsi, pour trouver le produit d’un polynôme par un monôme, il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme.

3a(4a−2b+5)

2x 2(x 2−3xy+2)

=3a∙4a−3a∙2b+3a∙5

=2x 2∙x 2−2x 2∙3xy+2x 2∙2

=12a²−6ab+15a

=2x 4−6x 3y+4x 2

Astuce

lynôme par Lorsqu’on multiplie un po essaire néc un monôme, il n’est pas ltiplication. d’écrire le symbole de mu ( −1) par Par exemple, le produit de ( −1). (5 ) s’écrit simplement 5

La multiplication de deux polynômes On obtient le produit de deux polynômes en deux étapes : 1. On multiplie chacun des termes du 1er polynôme par chacun des termes du 2e polynôme. 2. On réduit l’expression obtenue. On cherche le produit des polynômes 2x+4 et x 2−3x+9. (2x+4)(x 2−3x+9)=2x∙x 2−2x∙3x+2x∙9+4∙x 2−4∙3x+4∙9 =2x 3−6x 2+18x+4x 2−12x+36 =2x 3−2x 2+6x+36

Le carré d’un binôme En réduisant le développement du carré d’un binôme, on obtient toujours un trinôme dont : – le premier terme est le carré du premier terme du binôme ; – le deuxième terme est le double du produit des deux termes du binôme ; – le troisième terme est le carré du deuxième terme du binôme.

(x+y)2=x 2+2xy+y 2

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(2x+3)2=(2x+3)(2x+3) =4x 2 +6x+6x =4x 2 +12x Carré de 2x

Double de 2x∙3

+9 +9 Carré de 3

(x−y)2=x 2−2xy+y 2

Le calcul algébrique

Algèbre

59

1

2

60

Effectue les multiplications de monômes. a) 7x∙4xy=

b) 3a 2∙9abc=

c) 11xy∙(−8xyz)=

d) 6p 2q∙12pq 2=

e) −11ab 2c∙(−12a 2c)=

f) 9xy 2∙8x 2yz=

g) −7xy∙6x 2y 3=

h) −x 2∙x 2∙x=

i) −3x∙(−3x)=

j) 5xy∙5xy=

k) (8a) 2=

l) (10ab) 2=

Effectue les multiplications suivantes.

Algèbre

a) 2(12x 2+15y)

b) 8(a+7b)

c) x(x+1)

d) 2x (x+1)

e) −4y(y+1)

f) −9y(y−1)

g) 6x (4x+5)

h) 6y(12xy+8y)

i) −8x (9y 2+6x)

j) 3x (8x 2−7xy)

k) −6x 2(9xy−7x 2)

l) 5a 2b(6b 2−8ab)

Chapitre 2 — Section 2.2

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3

Effectue les multiplications suivantes. a) 2x (20x+30y−8)

b) −5x (−5x+y−5)

c) 4y (10xy+15x 2y−4x)

d) 7ab(4a+7b+2)

e) −8x 2(x 2+x+1)

f) −9bc (4b 2+7c 2−9)

g) 4ac (3a 2−5c 2+8ab−10)

h) 3xy (10x 2z)(x+y+z)

Exercice

Exercice 4

Effectue les multiplications suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 11(6ab+11b)

b) 8x 2(12xy+8y)

c) −6bc(6bc−5b+4)

d) 5bc∙5ab∙3a 2

e) 0,5b (4a+10b)

f) 7xyz (9x 2+8yz+1)

g) −5b 2c (−6bc−11)

h) −4x (5xy)(x 2+4)

i) 2x ∙ 3y

j)

5

7

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4x 3x + 2y −5 5 4 3

(

)

Le calcul algébrique

Algèbre

61

5

62

Effectue les multiplications de polynômes.

Algèbre

a) (x+6)(2x+7)

b) (a+3b)(4a−6)

c) (x+7)(2x+8)

d) (x+9)(3x+4)

e) (3x+6)(x+6)

f) (x 2+3)(3x+12)

g) (3x+5)(3x−5)

h) (3x+5)(3x+5)

i) (x 2−9)2

j) (a+b) 2

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6

Effectue les multiplications suivantes. a) (x+1)(x 2+x+1)

b) (x−1)(x 2+x+1)

c) (x+8)(9x 2+3x−1)

d) (a 2+1)(3a 2−2a+12)

e) (a+b)(ab−2b+a)

f) (2x 2+x−4)(x 2+6x)

Exercice

Exercice 7

Trouve le produit des polynômes suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) (x+8)(4x+9)

b) (8x−5)2

c) (3a+b)(a+6b)

d) (3y 2−4)(y 2+6y−1)

e) (x 2−10)(6x 2+7)

f) (7a−b)2

g) (b+5)(7b−11)

h) (4b−5)(8bc+b−3)

i) (x 2+y)(3x 2−2y)

j) (10x+2y)2

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Le calcul algébrique

Algèbre

63

8

Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des polygones suivants. Les mesures données sont en centimètres. 3x−2

a)

b) 3x

3x−1 2x+4

A=

A=

5x+3

c)

x+2

d)

x−2

4x

A= 9

A=

Annabelle est architecte. Voici le prol de l’escalier qu’elle a dessiné pour le plan d’une maison. Si toutes les marches et contremarches sont isométriques, à l’exception de la dernière, qui mesure 1 cm de plus que les autres, quelle est l’aire de la surface représentée dans son dessin ? x+1 x x

Contremarche x

Réponse :

64

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.2

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10 Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des polygones suivants. Les mesures données sont en mètres. 3x

a) x+3

b) a+4

4x−4

Astuce

2a

3x+7

Pour faire un retour sur les formules d’aire, consulte la page 409 de la section .

a

3a−3

a

A=

A=

c)

d=y+4 D=3y−2

d) 5b−3 3b+2

A=

6b−1

A=

11 Les deux rectangles ci-dessous ont la même aire. Bianca estime que la valeur de x est de 12 dm. A-t-elle raison ? Si oui, justie ta réponse. Si non, trouve la valeur de x.

(x−6) dm

(3x−6) dm

(3x−12) dm (x−5) dm

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Réponse : Le calcul algébrique

Algèbre

65

12 Quelle expression algébrique représente la différence entre l’aire du carré ci-dessous et l’aire du cercle qui y est inscrit ?

2r cm

Réponse : 13 Fabiola veut peindre un des murs de son salon. Le mur mesure (3x) m de hauteur sur (x+4) m de largeur. Elle a recouvert la partie inférieure du mur avec des lattes de bois verticales de 1 m de hauteur. Sachant que Fabiola ne peindra pas les lattes de bois, quelle expression algébrique représente la surface à peindre ?

Réponse : 14 Pour nancer un voyage scolaire, des élèves de 3e secondaire organisent un souper et un spectacle. Ils ont vendu : • x billets à y $ chacun pour le souper ; • (6x+10) billets à (y+3) $ chacun pour le spectacle ; • (4x) billets à (2y) $ chacun pour le souper et le spectacle. Quelle expression algébrique représente le montant total amassé par les élèves ?

Réponse :

66

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.2

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15 Miguel veut fabriquer une boîte en carton d’après les dimensions données ci-contre. Quelle expression algébrique représente la surface minimale de carton nécessaire ?

2x cm

(3x−1) cm

(5x−2) cm

Réponse :

Astuce 16 Démontre l’identité suivante. a 2−b2=(a−b)(a+b)

ntité est une En mathématique, une ide ie, quelles que égalité qui est toujours vra aux variables. soient les valeurs données

À l’aide de cette identité, trouve la différence entre 202 et 192 sans calculatrice.

Curi sité Au l du temps, plusieurs mathématiciens ont travaillé sur les notions algébriques pour qu’elles permettent de résoudre une panoplie de problèmes plus efcacement qu’en arithmétique. • Diophante, mathématicien grec du iiie siècle, a représenté des quantités à l’aide de lettres. • Al-Khawarismi, mathématicien ayant vécu à Bagdad au ixe siècle, a jeté les balises de ce qui deviendra les manipulations algébriques.

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• François Viète, avocat français du xvie siècle, a effectué des opérations mathématiques sur des quantités inconnues et a systématisé l’utilisation de lettres pour représenter des quantités. • René Descartes, scientique français du xviie siècle, a créé un langage algébrique abstrait qui comporte la plupart des notations utilisées encore aujourd’hui.

Le calcul algébrique

Algèbre

67

2.3 La division d’expressions algébriques La division d’un polynôme par un monôme • On obtient le quotient de deux monômes en divisant leurs coefcients et en soustrayant les exposants des variables identiques. • Le résultat n’est pas toujours un monôme. Lorsqu’on divise 20x 3 par −4x, où x ≠ 0, on obtient le monôme −5x 2 : Lorsqu’on divise 6x par 3x 2, où x ≠ 0, on obtient l’expression 2x (qui n’est pas un monôme) :

5

20x 3 20∙x∙x∙x − 2 −4x = −4∙x = 5x 1

2

6x 6∙x = = 2x ou 2x−1 3x 2 3∙x ∙x 1

Astuce Souvienstoi qu’il est impossible de diviser un nombre par 0.

• On obtient le quotient d’un polynôme par un monôme en divisant chacun des termes du polynôme par le monôme. • Le résultat n’est pas toujours un polynôme. 2

3

Lorsqu’on divise 4x2−6x par 2x, où x ≠ 0, on obtient le polynôme 2x−3 :

4x 2−6x 4x 2 6x = − =2x−3 2x 2x 12x 1

Lorsqu’on divise 8x2−3 par 2x, où x ≠ 0, 3 on obtient l’expression 4x− 2x (qui n’est pas un polynôme) :

8x 2−3 8x 2 3 3 = − =4x− 2x 2x 2x 2x 1

4

La mise en évidence simple • La mise en évidence simple consiste à exprimer un polynôme comme le produit de deux facteurs. C’est un type de factorisation. • On cherche à mettre en évidence le monôme qui est le plus grand facteur commun à chacun des termes du polynôme. On veut factoriser le polynôme 24x 2+15x. 1. Les termes 24x 2 et 15x sont tous les deux divisibles par 3x. En effet : 24x 2=8x∙3x et 15x=5∙3x 2. On peut donc mettre en évidence le facteur 3x : 24x 2+15x=3x(8x+5) On peut valider la réponse en développant l’expression obtenue, c’est-à-dire en effectuant la multiplication : 3x(8x+5)=3x∙8x+3x∙5=24x 2+15x.

68

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.3

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1

Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles. 4 a) 30x

5 b) 56y3

3 d) 144y2

e)

36b 9c 4 g) − 6 2

8 2 h) 96b c5 d

6

7y

12y

4b c

2

−121k 7 −11k

12b c

c)

−108 a 7 9a 2

3 2 f) 27x y

3xy

i)

−63x 6yz 2 7x 4yz

Sachant que x ≠ 0, y ≠ 0, effectue les divisions suivantes. 2 a) 24x +16xy

2 b) 42x +21xy

2 c) 72x y+24xy

4 2y d) 35x−−20x 2 5x

3 e) 56x −y−40xy 8xy

2 f) 90x y+20xy

4

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7x

8y

10xy

Le calcul algébrique

Algèbre

69

3

Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles. 2 a 3c a) 120a +36 2

12a

d)

−45b 2c+25bc 3−15c 2 −5c

4 2 a 3b g) 24a b −36 2

2a b

4 3q b) 32p −−44p 4p 2

2 3 c) 75x −45xy+15x

2 2 e) 48a b−30ab

3 3 2 2 2 f) 12x y +6x y −18x y

2 3 4 h) 132xy z+48y z+12z

2 3 2+8z 3 i) 88y z −24yz 2

15x

6 ab

6xy

12yz

8yz

Exercice

Exercice 4

Sachant que les variables sont non nulles, réduis les expressions algébriques suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. 3 2 a) 12x +30x −(x 2+1)

2 b) 6x y+14xy −5(3x−2y)

4 2 3 2 y c) 63x y −27x +(8xy−5) 2

3 2 2 2 y d) 48x y +32x +(3x−2)2 2

2 e) 36xy z−24xyz −(9y 2+4y−2)

2 2 f) 56xyz −40xz −6z(2y+3)

6x

9x y

6xz

70

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.3

2xy

4xy

8xz

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5

Sachant que a ≠ 0 et b ≠ 0, trouve le terme manquant. a)

÷(−5b3)=−5b3

b) 14ab 2÷

=7b 2

=6ab 2

d) −42a 8÷

=6a 5

c) 36a 2b 4÷ e) a 6b 5÷

=−a 2b

g) 7a 3b 5÷

=a

6

7

3

h) −81b 4÷

7b

2 ÷(24a 5b 4)= a b

i)

÷(−8a 2b)=3a 3

f)

4

=9b 2 ÷(27a 4b 2)=− 2

j)

a

Trouve le plus grand facteur commun aux monômes suivants. a) 8x et 12y

b) 4a 2 et 16 ab 2

c) 8xyz et 10yz

d) 7x 3y 2 et 8x 2y

e) 6xy 2, 9x 4y, 15xyz

f) 20a 3b 2, 25a 5b 3, 15a 2b 2

g) 30pqr, 6p 2r, 18q 2r

h) 18ab 2, 24b 3, 12ab

Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple. a) 8xz−4x 2 =4

b) 36a3−24a2

2z – 4

= 4 (2z – )

c) 14x 2y−7x

d) −24a3−36a 2b

e) −28x 2y−12xy 2−20xy

f) 54xy 2z−36y 3z

g) 80y 2z 2−20x 5y3z−30y 2z

h) 45a 2b 2c 2+15a3+25abc

i) 21ab3c 2−9a 2b 2c

j) 8a 2b 2−20ab 3+36ab 2

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Le calcul algébrique

Algèbre

71

8

Complète la mise en évidence simple. a) 12x+18y=

(2x+3y)

b) 3x 2−5x=

(3x−5)

c) 4ab+3ac=

(4b+3c)

d) 5x 2+10x=

(x+2)

f) 2mn−n=

(2m−1)

e) 8abc−12ab= g) 42de+100e 2=2e 9

(2c−3)

h) −12ab 2+18a 2b=6ab

Trace deux rectangles différents en fonction de l’aire ou du périmètre donné. a) A=8y

b) A=10y 2

c) P=8y

d) P=10y2

Exercice

Exercice

10 Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

72

Algèbre

a) 12x 3−6xy

b) 16a 2b+40ab 2

c) 18x 4y−27x 3y 2

d) 20a 3b 2+40a 2b−30b

e) 45m 5n 3−30m 3n 2

f) 9a 3c+15a 2−12ac

g) 33ab 5c 3−55a 2b 3c 2

h) 25p 5q 3+35p 3q 2−10p 4

i) 12x 6y 2+60x 4y 3−84x 2y 3

j) 28x 3y 4−21x 4y 2+14x 2y 3

k) −28c 5−8c 4+12c 3+20c 2

l) 14x 3y 2+10x 2y 2−16x 3−22x 2

Chapitre 2 — Section 2.3

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11 Trouve l’expression algébrique associée à la base b de chacune des gures suivantes. Les dimensions données sont en centimètres. b

a)

b

b)

3x

3x

c) 5a

b A=(6x 2+3x) cm2

A=(6x 2+15x) cm2

A=(15a 2+10a) cm2 b

b

d) 4y

e)

4y+1 b A=(12y 2−8y) cm2

a)

6a

f) A=(25x 2) cm2

2x

3x

A=(6x 2+4x) cm2

b)

b=

c)

b=

d)

b=

e)

b=

f)

b=

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b=

Le calcul algébrique

Algèbre

73

12 Amayel prépare de la compote de pommes. Elle remplit une casserole dont la capacité est de (9a 3+15a 2) ml. Amayel transvide ensuite la compote dans de petits pots de (3a 2) ml. Trouve l’expression algébrique qui représente la quantité de petits pots qu’Amayel peut remplir.

Réponse : 13 Trouve les nombres et les signes d’opération cachés sous les taches. −16x y 4 8 y 3− x y 2 =8xy 2−4y+1 x2

Réponse :

14 Les gures de chacune des paires suivantes ont la même aire. Trouve l’expression algébrique qui représente la mesure demandée. Les mesures sont en millimètres.

a)

2x

x 2x−12

d=?

d

b) h

x 3 x 2

x+20

h=?

d=

74

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.3

h=

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15 L’aire d’un enclos pour animaux de forme rectangulaire est de (2x²+12x) m², où x représente la moitié de la largeur de l’enclos. Quelle expression algébrique représente la mesure de la longueur de l’enclos ?

Astuce Pour t’aider, fais un schéma et indiques-y les dimensions de l’enclos.

Réponse : 16 Émile crée une mosaïque avec des carreaux de (0,4x) cm de côté. Il doit couvrir un disque de x cm de rayon et un rectangle de (2x) cm sur (8x) cm. Quel est le nombre minimal de carreaux nécessaires ?

Réponse :

17 Alba achète un gâteau dont le volume est de (12xy 2) cm3. Elle le coupe en tranches de 3 cm. Les dimensions du gâteau sont indiquées ci-dessous, où xPn*. Quelle expression algébrique représente le volume de chaque tranche ? 3 cm

(3x) cm

Réponse :

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Le calcul algébrique

Algèbre

75

18 Jasmine veut planter des eurs sur la moitié de l’espace disponible de son jardin. Au marché, on vend des bacs de eurs qui couvrent chacun une surface de (50x) cm sur 50 cm. Quelle expression algébrique représente le nombre de bacs qu’elle doit acheter ?

(5x+3) m

(2x) m

(4x) m xm

Maison

Réponse :

19 Des timbres carrés sont émis pour rendre hommage aux grands athlètes du pays. La mesure du côté du timbre (en mm) n’est pas encore décidée ; elle est désignée par x. On disposera l’illustration des athlètes sur le carré obtenu en reliant les points situés au tiers de chaque côté du timbre, comme tu peux le voir sur l’illustration ci-contre.

x

Quelle surface du timbre ne sera pas occupée par l’illustration ?

Réponse :

76

Algèbre

Chapitre 2 — Section 2.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Sections 2.1 et 2.2 1

2

Effectue les opérations suivantes. a) (15x+8)+5(9x−3)

b) 4(12xy+3x)−8(4xy−9x)

c) (18a 3−8a 2−13a)−(22a 3+9a)

d) (9xyz+13xy−3)−4(11xy−4yz+15)

Soit A=−4x , B=2x−3 , C=4y+1 et D=6y . Quelle expression algébrique réduite équivaut à : a) B+A−C ?

b) A−(B−C) ?

c) (A−C)−(D+A) ?

d) D(A+B)−DB ?

e) CD−D(B−A) ?

f) A−B2 ?

Section 2.3 3

Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles. 4 2 a) 63x +42x

2 b) 64x y−48x

2 3 3 z+36y 2 z c) 32x y −28y − 2

2 abc+24bc d) 54b c−18 −

7x

4y

4

8x

6bc

Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple. a) 36x 3−18x 2+12x

b) 18x 4−27x 2y

c) 56xyz−40xz

d) 24ab 2+60ab

e) 24a 5b 3+30a 3b−18a 2b 2

f) 36y 2z 4−16y 3z 2+12x 2y 2

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Le calcul algébrique

Algèbre

77

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Sections 2.1 à 2.3 5

Un quadrilatère a deux angles de 90° et un angle de (6x−10)°. Quelle expression algébrique représente la mesure du 4e angle du quadrilatère ?

6

Trois amis participent à une course à relais. Philippe parcourt (6x) m. Isabelle parcourt la moitié de cette distance. Sébastien parcourt 50 m de moins que Philippe. Quelle expression algébrique représente la distance totale parcourue par les trois amis ?

7

Charlotte veut peindre un mur en forme de trapèze rectangle. La petite base mesure le tiers de la hauteur. La grande base mesure 3 m de plus que la hauteur.

3x

Si h=3x, quelle expression algébrique représente la surface à peindre ?

8

Quelle expression représente l’aire de la partie colorée des gures suivantes ? a)

b)

5 5

x

5

5

5

5

A=

9

x

2x+1

5

5

A=

Combien de rectangles de 2 cm sur x cm faut-il minimalement pour couvrir une surface carrée de (8x) cm de côté ? La réponse est une expression algébrique.

10 Combien de bols de (3a 2) ml peut-on remplir avec un contenant de (90a 3+36a 2) ml de yogourt ? La réponse est une expression algébrique.

11 Le bloc d’argile illustré ci-contre a un volume de (4xy 2+12xy) m3, où yPn. Trouve l’expression qui représente :

(2y) m 2m

a) le nombre de tranches de 2 m d’épaisseur qu’on peut obtenir. b) le volume de chaque tranche.

78

Algèbre

Chapitre 2 — Exercices+ supplémentaires

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Retour sur le chapitre 2 Questions à choix multiples 1

Quelle est la somme des termes 9xy 2 et −xy 2 ? a) −9x 2y 4

2

b) 8x 2y 4

c) 8xy 2

d) 9y 2

Quel est le résultat de l’opération suivante ? (17a 2−8b 2)−(12a 2−6b 2)

a) 3 3

b) 5a 2−2b 2

c) 3a 2b 2

d) 5a 2−14b 2

Quelle est la forme réduite de l’expression suivante ? 16x 2y−4xy 2xy

(x−5)2+

4

5

6

a) (2x+8y) m

b) (x+y) m

c) (x+8) m

d) (2x+16) m

d) 6xy+x 2+25

2y Longueur

Quelle est l’aire de la gure ci-contre ? a) 10,14x 2+7x

b) 10,14x 2+10x

c) 9,57x 2+10x

d) 8,57x 2+7x

x

x+3

2x 3x+2

Un prisme à base carrée de (2x) dm de côté a un volume de (20x 3+16x 2) dm2. Quel est le rapport du volume au côté ? 10x 3+8x 2 1

b)

10 1

c)

10x 2 1

d)

10x 2+8x 1

Quelle est la forme factorisée du trinôme (20x 2y+12x 2−8x) par la mise en évidence simple ? a) 4x(5xy+3x−2)

8

c) x 2+25+10xy

L’aire du rectangle ci-contre est de (2xy+16y) m2. Quelle est la mesure de sa longueur ?

a) 7

b) x 2+18x+27

RETOUR

a) x 2−2x+23

b) 2(10xy+12x−4)

c) x(20y+12)

d) 4x

Marcel a un album photos de x pages. Gérard a un album qui compte le double du nombre de pages, mais deux d’entre elles sont inutilisables. Chaque page utilisable de ces albums peut contenir y photos. Si les albums sont remplis, combien de photos les deux garçons ont-ils en tout ? a) 3xy

b) 3xy−2y

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c) xy−2

d) 2xy−2y

Le calcul algébrique

Algèbre

79

Questions à réponses courtes 9

Effectue les opérations suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles. a) (3a+9b)(8a−16b)

b) (7x+y)2

3 2 c) 63m n o

d) −2(15xy−10y)−(7xy+5y)

e) (8a 2−5b)(8a 2+5b)

3 2 2 2 f) 42x y−35x2 y +21x y

9mn

7x y

RETOUR

10 Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple. a) 16x 3y 2−8xy 3

b) 54a 2bc+63ab 2

c) 33a 3b−55ab 2−22a 2b

d) 36x 3y 2z+12x 2z 2

e) 40x 2y 3z 2−60xy 2z 4+80xyz 2

f) 84xy 2z−63xz 2+49y 2z

11 Trouve les polynômes manquants. a)

+8a 2+6b=15a 2+11b

c) 8a(

80

Algèbre

Chapitre 2 — Retour

)=64a 3−56a 2b

b) 17x+14y−(

d)

4x 2y

)=6x+18y

=7x 2y+5xy+3

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12 Quelle expression algébrique représente le périmètre de la gure suivante ? Les mesures données sont en centimètres. x x

x+2

x

x+3

x

P= 13 Quelle expression algébrique représente l’aire des gures suivantes ? Les mesures données sont en millimètres. a)

4x−3

Carré

RETOUR

A=

b) 4x

4x−1 5x+2 Parallélogramme

A= c) 4x 3x+12 Losange

A= d) 4x+1

5x+4 Triangle

A=

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Le calcul algébrique

Algèbre

81

Questions à développement 14 Xavier a 4 ans de plus que son frère Étienne. Leur père a 5 ans de moins que le quadruple de l’âge de Xavier. Si Étienne a x ans, quelle expression algébrique représente la somme de leurs âges ?

Réponse :

RETOUR

15 Dans la cuisine de Chiang, (4x) personnes préparent chacune le même nombre de sushis. S’il y a (12xy+8x) sushis en tout, quelle expression algébrique représente le nombre de sushis préparés par chaque personne ? Réponse : 16 Catherine a 4 boîtes de jus contenant (15x 3+6x 2) ml en tout. Elle les transvide dans des bouteilles individuelles de (3x 2) ml. Quelle expression algébrique représente le nombre de bouteilles que Catherine peut remplir ?

Réponse :

17 Lors d’une braderie, Nima achète y romans et deux fois plus de bandes dessinées. Si chaque roman coûte (6x−15) $ et chaque bande dessinée, (x+10) $, quelle expression algébrique représente le montant total de la facture de Nima avant les taxes ?

Réponse : 82

Algèbre

Chapitre 2 — Retour

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18 Zach veut couvrir la boîte ci-dessous avec du papier d’emballage. Quel polynôme représente la surface minimale de papier nécessaire ? Les mesures données sont en centimètres.

2x 3x

3x+2

Réponse : 19 Une photo rectangulaire mesure (3x+6) mm sur (6x−15) mm. Gilbert veut imprimer une photo plus petite.

RETOUR

Sachant qu’il réduit les dimensions de la photo du tiers, quelle expression algébrique représente l’aire de la nouvelle photo ?

Réponse : 20 Un rectangle et un triangle ont la même aire. Les dimensions du rectangle sont de (3x) m sur (6x−2) m. La base du triangle mesure (4x) m. Quelle expression algébrique représente la hauteur du triangle ?

Réponse :

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Le calcul algébrique

Algèbre

83

21 Trois amis vendent du chocolat et du café pour nancer un voyage scolaire. Un sac de café est 4 fois plus cher qu’une tablette de chocolat. Élisa vend le même nombre de tablettes de chocolat et de sacs de café. Raphaël vend 3 fois plus de tablettes de chocolat qu’Élisa, mais autant de sacs de café. Sami vend 5 tablettes de chocolat de moins que Raphaël et 3 fois plus de sacs de café qu’Élisa.

RETOUR

Sachant que x désigne le nombre de tablettes de chocolat vendues par Élisa et y, le prix d’une tablette, trouve l’expression algébrique qui représente le montant total d’argent amassé par les trois amis.

Réponse : 22 Charles et Léa sont membres du club d’athlétisme de leur école. Ils s’entraînent sur une piste de course circulaire. Charles court sur la grande piste circulaire, alors que Léa fait des huit sur les petites pistes circulaires. Lorsque Léa a effectué 3 fois son parcours, Charles a effectué 3 1 tours 4 du sien. Lequel des deux coureurs a parcouru le plus de kilomètres ?

Réponse :

84

Algèbre

Chapitre 2 — Retour

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23 Max veut installer un plancher de bois franc dans le corridor de son appartement. Dans l’illustration ci‑dessous, la surface à couvrir est orangée. Tous les angles qui paraissent droits le sont. Les mesures données sont en mètres. Trouve l’expression algébrique réduite qui représente la surface à couvrir. x x

z

y

y x

24 Le périmètre d’une fenêtre rectangulaire est de 3,8 m. Les propriétaires aimeraient l’agrandir en augmentant sa longueur et sa largeur de 0,5 m chacune. Si x représente la largeur initiale de la fenêtre, donne ses nouvelles dimensions. Trouve ensuite de combien de mètres carrés la surface de la fenêtre augmentera.

x

P=3,8 m

RETOUR

Réponse :

Réponse :

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Le calcul algébrique

Algèbre

85

Situation-problème Les tableaux blancs La compagnie Ô-Tableau fabrique des tableaux blancs effaçables à sec faits de polycarbonate. Deux modèles sont offerts : le modèle Carré et le modèle Rectangulaire. Ils sont illustrés ci-dessous. Les illustrations ne sont pas à l’échelle.

Modèle Rectangulaire

Modèle Carré

Le modèle Rectangulaire a été conçu à partir du plan du modèle Carré. Sa base mesure 6 cm de plus que le double de la mesure d’un côté du modèle carré. Sa hauteur mesure 1,5 cm de moins que les 3 de la mesure 4 d’un côté du modèle carré. De plus, les tableaux rectangulaires sont entourés d’une bordure métallique de 5 cm de largeur. La compagnie Ô-Tableau prévoit fabriquer 125 tableaux carrés et 180 tableaux rectangulaires. Elle veut connaître la quantité de polycarbonate et de bordure de métal dont elle aura besoin. Trouve l’expression algébrique qui représente la surface totale des tableaux à produire, ainsi que l’expression algébrique qui représente la longueur totale de bordure de métal nécessaire à la fabrication des tableaux rectangulaires.

86

Situation-problème

Les tableaux blancs

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Réponse La surface totale des tableaux à produire est de

cm2.

La longueur totale de la bordure métallique des tableaux rectangulaires est de

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Situation-problème

cm.

Les tableaux blancs

87

Situation d’application Huit pavés Maryse confectionne un gâteau en forme de pavé (prisme à base carrée) dont les dimensions, en centimètres, sont indiquées ci-dessous. Elle coupe ensuite le gâteau sur la moitié de la longueur, la moitié de la largeur et la moitié de la hauteur. Elle obtient ainsi huit petits pavés isométriques. Enn, elle emballe chacun des pavés dans du papier. Trouve l’expression algébrique qui représente la surface minimale de papier nécessaire pour emballer les huit petits pavés.

12x+8 4y

12x+8

Réponse

88

Situation d’application

Huit pavés

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Consolidation : Chapitres 1 et 2 Questions à choix multiples 1

Parmi les triangles suivants, lequel n’est pas un triangle rectangle ?

a)

2

4 cm

3 cm

4 9

c)

8 cm

7 cm

b) 2

8 cm

d) 15 cm

c) − 169

41

b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

c)

d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

d)

3

121

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Khaled et sa petite sœur ont des tables de chevet faites sur mesure. La hauteur de la table de Khaled mesure 10 cm de plus que la moitié de celle de sa sœur. Parmi les expressions algébriques suivantes, laquelle représente la somme des hauteurs des deux tables ? a) 3 x+10

b) x +10

2

5

b)

17 cm

10 cm

6 cm

Parmi les représentations suivantes, laquelle correspond à l’intervalle [2, 9[ ? a)

4

8 cm

6 cm

Parmi les nombres suivants, lequel est un nombre irrationnel ? a)

3

5 cm

c) 10x+ 1

2

2

d) x +5 2

Simplie l’expression algébrique suivante. (x−4)(2x+5)−4(x2−3x−5) 2x

a) −x+ 9 − 20 2

6

x

b) 3x− 15

c) −x+ 9

2

2

d) −x 3+ 9 x 2 2

Le rectangle ci-dessous a une aire de 10x2−15x. Parmi les paires d’expressions algébriques suivantes, laquelle peut représenter la base et la hauteur du rectangle ? A=10x 2−15x

a) 2x et (−5x−3)

b) 2x et (5x+3)

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c) 5x et (2x+3)

d) 5x et (2x−3) Consolidation : Chapitres 1 et 2

89

Questions à réponses courtes 7

Réduis les expressions suivantes. Trouve ensuite le résultat. Conserve les fractions dans tes réponses. a) 33∙3−2=

5 b) 42 =

3 4 d) 22 ∙ 35 =

e)

3

g) 8

9

1

c) (112) 2 =

4

2

(2 ∙3) = 1 2

2

2 3 f) 7 ∙7 = 6

7

h) 2−2∙(25)−3∙27=

5∙ 125=

i)

4 1 2

(57 ) = 8

Écris les nombres suivants en notation scientique ou en notation décimale, selon le cas. a) 12 300 000 000=

b) 0,000 000 054=

c) 978 060 000 000 000 000=

d) 0,000 000 000 2=

e) 345,52=

f) 0,006 2=

g) 7,654×108=

h) 4,31×10−4=

i) 3,21×10−12=

j) 8,999×1015=

Dans le tableau ci-dessous, coche tous les ensembles auxquels appartiennent les nombres suivants. N

Z

ID

Q

Qæ

R

a) −2p b)

−5 9

3 c) − 125

d) 36 9

e)

8

f) 0,6 g) 1,25×107 h) 5,4×10−9 i)

3

−52

10 Place les nombres suivants par ordre croissant. 2,5×10−2

3

−125

3−2

1,8×105

(49)

1 2

Réponse : 90

Consolidation : Chapitres 1 et 2

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11 Réduis chacune des expressions algébriques suivantes. a) 2(2xy−4x 2y 2)+6xy+9y−3(3xy−6y)

b) 2a 4+6b 5+2a 3−(4−a 4+b 5+12)

c) 4x 2∙2x 2−3x 2(2x 2+4xy)−(5x 3y+2x 4)

d) (4x−3)(2x+1)−(2x−5)2

e)

2(x2+2x)−4x(x 2+x−2) x

f) (x−3)2+(5x+2)∙(4x−2)−

6x 3 2x 2

12 Trouve le terme manquant dans chaque multiplication. a)

∙(x−3)=−4x 2+12x

b) 2a∙

=2a2+10a

c) −9x 2−9x=−9x∙

d) 2a2b+6ab+4b=

e) 6a3b−18a2b+12ab=6ab∙

f) 8x 3−4x 2+6x=2x∙

∙(a2+3a+2)

13 Factorise les polynômes suivants. a) 12x 2y+6xy2+3xy

b) 48a3b5−36a2b3−12ab2+8b2

c) 9x 2y−6xy2−6xy+3x

d) a4b6c5−a3b6c4+a2b4c2

e) x(a+3)−6(a+3)

f) 4x(x+2)2−4x(x+2)

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Consolidation : Chapitres 1 et 2

91

14 Trouve les expressions algébriques qui représentent le périmètre et l’aire des gures suivantes. Les mesures indiquées sont en centimètres. a)

(x−1)

b)

(4x−2) (2x+5)

P=

P=

A=

A=

c)

d) (3x−2)

(2x+2)

(2x−1)

(5x−3)

92

P=

C≈

A=

A≈

Consolidation : Chapitres 1 et 2

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15 Pour chacune des gures suivantes, détermine l’expression algébrique qui représente la base, b. a)

b

b)

3x

(9x−7)

P=(22x−8) cm

b A=(6x 2−4,5x) cm2

b=

b=

16 Simon veut laver les fenêtres extérieures du 2e étage de sa maison. Les fenêtres sont situées à une hauteur de 8,5 m. Si le pied de l’échelle est à 3 m du mur, quelle est la longueur minimale de l’échelle ?

Réponse : 17 L’hélium est l’atome qui a le plus petit diamètre, soit 6,2×10−11 m. Le césium est l’atome qui a le plus grand diamètre, soit 5,96×10−10 m. Combien de fois l’atome de césium est-il plus grand que l’atome d’hélium ?

Réponse :

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Consolidation : Chapitres 1 et 2

93

Questions à développement 18 La distance entre la Terre et le Soleil est d’environ 1,5×108 km. La distance minimale entre la Terre et la planète Mars est de 7,53×107 km. Combien de fois la planète Mars est-elle plus loin du Soleil que la Terre lorsque les planètes sont alignées ?

Réponse : 19 La grande diagonale d’un rectangle mesure 20 cm. La mesure de la hauteur est le double de la mesure de sa base. Quelle est l’aire du rectangle ?

20 cm

2x cm

x cm

Réponse : 20 Quelles expressions algébriques représentent les dimensions d’un rectangle dont l’aire est de (24xy) m² et dont le périmètre est de (16x+6y) m ?

Réponse :

94

Consolidation : Chapitres 1 et 2

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(10x−4) cm

21 Francisco veut couvrir le dessus du meuble-lavabo illustré ci-contre avec des tuiles de céramique carrées de 2 cm de côté. Quelle expression algébrique (6x) cm représente le nombre de tuiles nécessaires ?

(10x−8) cm lavabo

(6x−4) cm

Réponse : 22 Des scientiques effectuent des recherches sur deux nouveaux types de bactéries. Le nombre de bactéries de type A double toutes les 2 minutes, alors que le nombre de bactéries de type B triple toutes les 5 minutes. Les scientiques observent une bactérie de chaque type. Après une heure, quel type de bactéries sera en plus grand nombre ?

Réponse : 23 La population de la Terre s’élevait à 7,125×109 habitants en 2013. La même année, on dénombrait 3,165×108 habitants aux États-Unis. Quel pourcentage de la population mondiale habitait aux États-Unis en 2013 ?

Réponse :

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Consolidation : Chapitres 1 et 2

95

Situation-problème Le voilier Un voilier moderne comprend deux voiles : la grand-voile et le foc. Leurs dimensions sont représentées par les lettres E, P, I et J dans l’illustration ci-contre. Thomas a un voilier dont la base de la grand-voile mesure 1 m de moins que le double de la base du foc. La hauteur de la grand-voile mesure le quadruple de la base du foc. Enn, la hauteur du foc mesure 7 m, c’est-à-dire 1 m de plus que le double de la base de la grand-voile.

P

Foc

Grand-voile

E

J

Thomas désire installer un cordon lumineux autour des deux voiles. Quelle sera la longueur minimale du cordon ?

96

Situation-problème

Le voilier

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I

Réponse

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Situation-problème

Le voilier

97

Situation d’application Une question de sécurité Au Québec, les piscines résidentielles doivent être entourées d’une enceinte d’au moins 1,2 m de hauteur, an d'assurer la sécurité des citoyens. Julie a utilisé 42 m de clôture pour entourer sa piscine rectangulaire. L’aire de la surface clôturée est représentée par l’expression algébrique (2x 2+6x) m, où x correspond à la largeur du rectangle. Quelles sont les dimensions de la surface clôturée ?

Réponse 98

Situation d’application

Une question de sécurité

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CHAPITR E

Les relations et les fonctions

3

SOMMAIRE Rappel.........................................................................................100 3.1 Les relations, les fonctions et leurs réciproques ..... 103 3.2 Les fonctions associées aux situations de proportionnalité (variation directe ou inverse) .... 110 3.3 Les propriétés des fonctions......................................... 116 3.4 Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1 (fonctions afnes) ............................................................ 121 3.5 La modélisation d’une situation..................................... 133 Exercices + supplémentaires............................................ 141 Retour sur le chapitre 3 ....................................................... 143 Sylviculture 101 (CD1) ..........................................................150 Suivre sa courbe (CD2)........................................................ 152

Luc étudie la relation entre la hauteur de la tige d’une plante et l’ombre au sol faite par son feuillage. Il a compilé des données observées sur plusieurs plantes de différentes hauteurs dans le tableau ci-dessous. Quelle est la hauteur de la tige dont la surface ombrée est de 81 cm2 ? Ombre au sol produite par différentes plantes à 15 h Hauteur, h (cm)

8

10

12

14

16

Surface ombrée, s (cm2)

24

30

36

42

48

Réponse :

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

99

Rappel Les situations de variation proportionnelle et leurs représentations • Une situation de variation proportionnelle (ou de variation directe) est une situation qui se traduit par une suite de rapports équivalents. Christiane part en voyage. Sa voiture roule à une vitesse moyenne de 100 km/h. On s’intéresse à la distance parcourue par le véhicule selon le temps écoulé depuis le départ. • On peut traduire la situation par la suite de rapports suivants : 100 km 200 km 300 km 400 km = = = =… 1h 2h 3h 4h

• La règle de cette situation est d=100t.

Distance parcourue selon le temps écoulé Temps, t (h)

0

1

2

3

…

Distance, d (km)

0

100

200

300

…

Taux unitaire : 100 km/h

Distance parcourue selon le temps écoulé

RAPPEL

Distance (km) 300 En 2 heures, la voiture parcourt 200 km.

200 100

0

1

1

2

Dans un plan cartésien, une situation de variation proportionnelle est toujours représentée par les points d’une droite oblique qui passe par l’origine, (0, 0).

3 Temps (h)

Pour chacune des situations suivantes, complète la table de valeurs et trouve la règle. a) Marjorie a payé 21 $/h pour faire installer une clôture. Temps, t (h) Coût, c ($)

Règle : b) Peter doit compter 12,5 ml de produit par fenêtre à nettoyer. Nombre de fenêtres, f Quantité, q (ml)

Règle : 100

Arithmétique

Chapitre 3 — Rappel

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2

Marc-Olivier est toiletteur pour animaux. Il peut nettoyer un maximum de trois chiens par heure. Complète la table de valeurs et le graphique. Réponds ensuite aux questions.

Temps, t (h)

Nombre de chiens, c

0

0

2

6

Nombre de chiens

Toilettage de chiens

a) Combien de chiens pourrat-il toiletter en une semaine de 35 h ?

b) Combien de temps prendrat-il pour toiletter 42 chiens ? 3 2

c) Quelle est la règle de cette situation ? Temps (h)

Trace les graphiques à l’aide des tables de valeurs suivantes. Coche la case si la variation est proportionnelle. a)

1 0

x y

2 5

5 11

8 16

b)

0 0

x y

y

4 5

8 10

y

x

x

Variation proportionnelle c)

0 0

x y

10 12,5

RAPPEL

3

3 −1,5

4 −2

Variation proportionnelle 5 −2,5

y

d)

0 15

x y

5 25

8 31

10 35

y

x

x

Variation proportionnelle

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Variation proportionnelle

Les relations et les fonctions

Arithmétique

101

Les tables de valeurs et les graphiques suivants représentent des situations de variation proportionnelle. Trouve le taux unitaire et la règle dans chaque cas. a)

Distance parcourue à pied

Curi sité Le pas a servi d’unité de longueur dans plusieurs civilisations anciennes. Ainsi, 1 pas mesurait environ 74,3 cm chez les Babyloniens, 74 cm chez les Grecs et 73,6 cm chez les Romains.

b)

Pommes de terre ramassées à l’aide d’un tracteur

Nombre de pas, p

Distance, d (m)

Temps, t (h)

Nombre, n

10

8

4

4 744

25

20

5,5

6 523

32

25,6

6

7 116

Taux unitaire :

Taux unitaire :

Règle :

Règle :

c)

RAPPEL

Température, T (°C)

Évolution de la température d’un mélange

d) Quantité, q (g)

4

(5 ; 10,5)

(7, 3 150) (5, 2 250)

(3 ; 6,3)

Nombre de portions, p

Temps, t (s)

5

Quantité de légumes par portion de soupe

Taux unitaire :

Taux unitaire :

Règle :

Règle :

Philippe télécharge des photographies de famille. La vitesse de sa connexion Internet est constante et il peut télécharger en moyenne 9 photographies en 4 secondes. Combien de temps, en minutes, prendra-t-il pour télécharger 252 photographies ?

Réponse : 102

Arithmétique

Chapitre 3 — Rappel

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3.1 Les relations, les fonctions

et leurs réciproques Les variables dépendantes et indépendantes d’une relation • Une relation entre deux variables peut être représentée par des couples, par une table de valeurs, par un graphique ou par une règle. • Dans une relation, la variable dépendante est déterminée à partir de la variable indépendante. • Dans un plan, par convention, on place les valeurs de la variable indépendante sur l’axe des abscisses (axe x) et celles de la variable dépendante sur l’axe des ordonnées (axe y). Situation 1

Situation 2

Romain enseigne le ski. Son tarif est de 20 $ la leçon. D’une semaine à l’autre, ses revenus varient selon le nombre de leçons qu’il offre.

Sarah lance un ballon de football à son amie. La distance entre le ballon et le sol est déterminée par le temps écoulé depuis le lancer.

Variable dépendante : Revenus ($)

Variable dépendante : Distance entre le ballon et le sol (m) Variable indépendante : Temps écoulé (s)

Variable indépendante : Nombre de leçons offertes

Nombre de leçons offertes Revenus ($)

2

3

40

60

5

7

100 140

Temps écoulé (s) Distance ballon-sol (m)

140 120 100 80 60 40 20

1

2

3

1,6

2

2,2

2

Distance entre le ballon et le sol Distance ballon-sol (m)

Revenus ($)

Revenus de Romain

0

2,0 1,5 1,0 0,5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 Nombre de leçons offertes 0

Dans ce cas-ci, seules les coordonnées des points dont l’abscisse est un nombre naturel appartiennent à la relation.

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Temps écoulé (s)

Dans ce cas-ci, les coordonnées de tous les points qui se trouvent sur la courbe appartiennent à la relation.

• On dit d’une variable qu’elle est discrète si on peut énumérer toutes ses valeurs (situation 1). Si ses valeurs appartiennent à un intervalle, la variable est continue (situation 2).

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

103

1

Les tables de valeurs ci-dessous représentent des relations entre deux variables lors de réactions chimiques. Dans chaque cas, indique la variable qui correspond à la variable indépendante et celle qui correspond à la variable dépendante. a) Temps de réaction selon la quantité de solvant

2

Quantité de solvant (ml)

12

40

50

70

80

Temps de réaction (s)

2

1,8

1,4

1,3

1,1

b)

Évaporation de l’eau Temps (h)

1

11

21

42

55

Quantité d’eau 224 223 222 221 220 (ml)

Variable indépendante :

Variable indépendante :

Variable dépendante :

Variable dépendante :

Pour chacune des relations suivantes, indique la variable qui correspond logiquement à la variable indépendante et celle qui correspond à la variable dépendante. a) Maude s’entraîne au lancer du javelot. Elle mesure la distance parcourue par le javelot, en mètres, selon la vitesse de sa course, en mètres par seconde. Variable indépendante :

Variable dépendante :

b) Étienne fait une expérience avec du potassium et de l’eau. Il mesure la chaleur, en joules, que dégagent des morceaux de potassium de différentes masses, en milligrammes. Variable indépendante : 3

Variable dépendante :

Dans chaque cas, représente les données recueillies à l’aide d’un graphique. a)

b)

Hauteur d’une balle qui rebondit Temps (s)

0

3

6

9

12

Hauteur (m)

6

0

4

0

2

Diamètre d’un vase en terre cuite Vitesse (tour/min)

0

50

Diamètre (cm)

0

2

100 150 200 6

5

8

Curi sité Un tour de potier est composé d’un plateau rotatif et d’une roue d’entraînement. Cet outil permet de fabriquer des objets ronds en argile. Les premiers tours sont apparus il y a plus de 5 000 ans.

104

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.1

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La réciproque d’une relation • La réciproque d’une relation permet de décrire la variable indépendante à partir de la variable dépendante. • La réciproque inverse tous les couples d’une relation : (x, y)  (y, x). • Le graphique d’une relation et celui de sa réciproque sont symétriques par rapport à la bissectrice du premier quadrant. Relation

Relation réciproque

Mesure du côté (cm)

Aire (cm2)

L’aire d’un carré dépend de la mesure de son côté. La mesure du côté d’un carré dépend de son aire.

(4, 16)

(3, 9)

2 0

(9, 3)

(2, 4)

2

2 0

Mesure du côté (cm)

Le point (4, 16) indique que, si le côté mesure 4 cm, alors l’aire du carré est de 16 cm2.

(16, 4)

(4, 2)

Aire (cm2)

2

Le point (16, 4) indique que, si l’aire du carré est 16 cm2, alors son côté mesure 4 cm.

Les fonctions • Une fonction est une relation qui associe à toutes les valeurs que peut prendre la variable indépendante, x, une et une seule valeur de la variable dépendante, y. • On utilise souvent la notation fonctionnelle, f(x), pour désigner la variable dépendante (au lieu de y). La notation f(x) se lit « f de x ». Relations Fonctions f(x)

f(x)

f(x)

Astuce

x

test Une relation doit passer le être de la ligne verticale pour ite une fonction : si toute dro e en iqu ph verticale coupe le gra te au plus un point, alors cet relation est une fonction.

x

x f(x)

f(x)

f(x)

x

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x

x

Les relations et les fonctions

Arithmétique

105

1

Encercle les graphiques qui représentent des fonctions. a)

b)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

2

c)

y

x

f)

y

y

x

x

Clément vérie l’étanchéité d’un sac imperméable à l’aide de capteurs placés à l’intérieur. Les capteurs mesurent la quantité d’eau, en ml, qui s’inltre dans le sac à partir du moment où il est submergé dans l’eau. Au début de l’expérience, le sac est complètement vide. Clément observe que 0,2 ml d’eau s’inltre dans le sac toutes les 60 secondes. a) Complète la table de valeurs et le graphique associés à cette expérience. Quantité d’eau dans le sac Temps (min)

Astuce

Cette situation peut être modélisée par une fonction dont les couples sont ( , ( )). Trouver (2) signie trouver la valeur de lorsque =2.

Quantité d’eau (ml)

0 2 3 5 8

b) À l’aide du graphique, trouve les valeurs suivantes. f(1)=

f(4)=

f(5)=

f(7)=

f(7,5)=

f(0,5)=

0

c) Si f(x)=1,2, quelle est la valeur de x? Trouve la réponse à l’aide du graphique. x= 106

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.1

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3

Dans chaque cas, utilise les données du graphique pour tracer le graphique de la réciproque. Coche la case s’il s’agit d’une fonction. Réciproque

a) Relation initiale y

(6, 36)

(−5, 25) (−4, 16) (3, 9) (−1, 1)

(2, 4) x

Fonction

Fonction Réciproque

b) Relation initiale (15, 23)

y

(11, 15) (10, 13)

(5, 3) (3, −1)

x

(0, −7)

Fonction

Fonction

Réciproque

c) Relation initiale y (1, 30)

(2, 15) (3, 10) (5, 6) (15, 2) (10, 3) x

Fonction Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Fonction Les relations et les fonctions

Arithmétique

107

4

On observe le diamètre d’un ballon de latex goné qu’on a mis dans un réfrigérateur.

Curi sité À pression constante, les molécules d’air froid se déplacent moins vite et occupent moins d’espace que les molécules d’air chaud.

Diamètre du ballon (cm)

a) À l’aide du graphique, complète la table de valeurs associée à cette situation.

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Diamètre d’un ballon dans un réfrigérateur

Diamètre d’un ballon dans un réfrigérateur

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Temps (h)

b) Complète les énoncés qui décrivent cette relation. • Le

varie en fonction

.

• Lorsque le ballon est placé dans le réfrigérateur, son diamètre mesure • Après 5

.

h, le ballon est complètement vide.

Ludmilla observe la relation entre la circonférence, C, d’un cercle et son diamètre, d, en centimètres. La circonférence est le produit du diamètre et de la constante p : C=pd. a) Identie la variable indépendante et la variable dépendante. Variable indépendante :

Variable dépendante :

b) Représente cette relation à l’aide d’une table de valeurs. Complète ensuite le graphique associé. Relation entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

c) Cette relation est-elle une fonction ? 108

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.1

Oui

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Non

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6

Jacob vide sa baignoire après avoir pris son bain. La baignoire contient 150 L d’eau au départ et elle se vide à un rythme constant. Elle est complètement vide après 2 minutes. On s’intéresse à la quantité d’eau dans la baignoire, en litres, selon le temps, en secondes. Complète la table de valeurs de cette fonction et celle de sa réciproque. Indique ensuite si la réciproque est une fonction. Quantité d’eau dans la baignoire

Réciproque

0 12 75 90 120 La réciproque est-elle une fonction ? 7

Oui

Non

Dans le cadre d’une expérience en science et technologie, Françoise mesure l’ombre d’un poteau à différentes heures de la journée. Elle a consigné ses données dans le plan cartésien ci-dessous.

Longueur (m)

a) Trace le graphique de la réciproque de cette fonction. Ombre d’un poteau à différentes heures de la journée 4 3 2 1 0

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Heure

b) La réciproque est-elle une fonction ?

Curi sité Il y a plusieurs milliers d’années, on mesurait l’écoulement du temps grâce à l’ombre d’un bâton planté dans le sol. La longueur de l’ombre du bâton permettait de connaître l’heure. Cette méthode était cependant inefcace par temps couvert !

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

109

3.2 Les fonctions associées aux situations

de proportionnalité (variation directe ou inverse) Le taux de variation • Le taux de variation, a, entre deux points d’une fonction est le rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses de ces deux points. • Ainsi, pour deux points (x1 , y1) et (x2 , y2), le taux de variation est le rapport a=

y2−y1 . x2−x1

Distance (km)

Les déplacements d’Eugen à vélo 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

On cherche le taux de variation de la fonction représentée ci-contre. a=

(5, 50) (3, 30)

=

Astuce

) La lettre grecque ∆ ( est souvent utilisée en la mathématique pour décrire s. eur val x deu différence entre ∆ Ainsi, on peut écrire a=

∆y ∆x 50−30 5−3

plutôt que a=

=10 km/h

.

∆

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Temps (h)

• Dans l’exemple ci-dessus, le taux de variation indique qu’Eugen se déplace à 10 km/h.

Les fonctions linéaires (ou de variation directe) • Une fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de variation proportionnelle. • Ainsi, le taux de variation des points d’une fonction linéaire est toujours constant. • La règle d’une fonction linéaire est f (x)=ax, où a est le taux de variation. • Son graphique est une droite oblique passant par (0, 0).

On identie les variables : x : temps (h) y : salaire ($)

x y

1 5

2 10 5 1

a= =

3 15

4 20

×3 5 25 ×3

10 30 =…= =5 2 6

6 30

Salaire ($)

Laurie gagne 5 $/h lorsqu’elle garde des enfants. On peut modéliser cette situation par une table de valeurs, un graphique et une règle.

Salaire de Laurie 20 +5

15

+1 +5

10 5

+1 +5 +1

0 1 2 3 La règle de cette fonction est y=5x ou f (x)=5x. On peut trouver f (6)=5∙6=30  Si Laurie travaille 6 heures, elle gagne 30 $.

110

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.2

4 5 Temps (h)

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Les fonctions de variation inverse • Une fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des variables indépendante et dépendante est une constante, k. • Ainsi, pour tous les points (x, y) d’une fonction de variation inverse, on obtient xy=k. k

• La règle d’une fonction de variation inverse* est f (x)= x , où x>0 et k>0. • Le graphique d’une fonction de variation inverse est une courbe qui s’approche des deux axes sans les toucher. * Il s’agit d’un cas particulier des fonctions rationnelles qui sont étudiées en 4e et 5e secondaire.

Maxime exige 60 $ pour peindre les murs d’une cuisine. Son salaire par heure, y, varie en fonction du temps, x, qu’il prend pour accomplir la tâche.

x y

1 60

2 30

3 20

4 15

×3 5 12 ÷3

Salaire horaire ($/h)

On peut modéliser cette situation par une table de valeurs, un graphique et une règle. Salaire horaire de Maxime On identie les variables : x : temps (h) 30 (2, 30) y : salaire horaire ($/h) 6 10

(4, 15) (6, 10) (12, 5)

10

k=1×60=2×30=…=6×10=60 La règle de cette fonction est xy=60 ou f (x)=

20

60 . x 0

10

(20, 3) 20

30

Temps (h)

On peut trouver f (6)=

60 =10.  Si Maxime travaille 6 heures, son salaire est de 10 $/h. 6

• L’image d’une valeur x est la valeur correspondante f(x). Dans l’exemple ci-dessus, l’image de 6 est 10, car f(6)=10.

1

Trouve le taux de variation des fonctions linéaires suivantes. a)

y

b) (10, 24)

c)

y

y

x x (−14, −6) (8, −12)

x

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

111

2

Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. a) Le taux de variation entre deux points est le rapport

x2−x1 . y2−y1

b) La règle d’une fonction linéaire a la forme f (x)=ax. c) La représentation graphique d’une fonction de variation inverse est une courbe qui passe par l’origine. d) Le taux de variation des points d’une fonction linéaire est toujours constant. e) Pour tous les points d’une fonction de variation inverse, xy=k, où k est non nul. 3

Les fonctions ci-dessous ne sont pas linéaires. Trouve les taux de variation entre les points A et B, puis entre les points B et C. Réponds ensuite à la question. a) y

b) C (3, 27)

y

c)

A (2, 18)

y

B (3, 12) B (2, 12)

B (5, 4)

C (6, 6) A (0, 0)

A (1, 3)

C (10, 0) x

x

x

aAB=

aAB=

aAB=

aBC=

aBC=

aBC=

Le taux de variation des points d’une fonction est-il nécessairement constant ? 4

Trouve la règle associée à chaque fonction linéaire. Donne ensuite l’image de −4. a)

b)

(−3, 9) f(x)

c)

g(x)

x

x

h(x)

(5, 8)

x

(−4, −8)

112

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.2

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5

Trace le graphique associé à chaque règle de fonction linéaire suivante. 4 3

c) t (x)=−2x

a) f (x)= x

b) g (x)=3x

f(x)

g(x)

t(x)

1

1

4 3

1

x

1

x

x 2

e) i (x)= x

7 2

f) j (x)= x

h(x)

i(x)

j(x)

d) h (x)=−

2 5

x

x

x

Exercice

Exercice 6

x

Complète les tables de valeurs des fonctions linéaires suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. x a) f (x)=− b) g(x)=6x 4

6

x f (x)

0

−0,25

10

−1

x −5

4x 3

c) h (x)= x

12 −8 3

4 3

15,3

t (x)

0

−1

−0,2

7,2

30

12

0 −2

0,2 0,36

f) n (x)=50x 1 5

0

−6

x k (x)

e) t (x)=−35x x

g (x)

0,1

d) k(x)=0,2x

−6

h (x)

−4

1 2

−14

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9 10

−35

9 10

0

x n (x) −50

20

25

Les relations et les fonctions

50

Arithmétique

113

7

À partir de chacune des règles suivantes, complète la table de valeurs et trace le graphique. Trouve ensuite f (50). a) f (x)=

45 x

f (x)

x

Astuce Souviens-toi que = pour tous les points d’une fonction de variation inverse.

b) f (x)= f (x)

1

3

2

5

3 6

5

15

f (50)=

d) f (x)=

f (x)

f (x)

0,1

4

0,3

6

0,4

f (x)

f (x)

0,6

4

12

1,2 x

x

3

8

0 4

2

1

x

f (50)=

f (50)=

Exercice

Trouve la règle des fonctions de variation inverse associées aux tables de valeurs suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

x

2

3

5

8

f (x)

60

40

24

15

b)

Règle : c)

x h (x)

Arithmétique

x

2

5

6

12

g (x)

0,18

0,072

0,06

0,03

x

0,1

0,5

1,2

2,4

i (x)

24

4,8

2

1

Règle : 2

3

6

20

0,5

1 3

1 6

0,05

Règle :

114

x

0 0,1

Exercice 8

x

0 3

f (50)=

72 x

x

3

8

x

0 5

c) f (x)=

f (x)

f (x)

x

1

9

24 x

Chapitre 3 — Section 3.2

d)

Règle :

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9

Associe chaque représentation à l’une des règles suivantes. f (x)=4x a)

b)

y

x

x

y

0 4

c)

x

4

t (x)=−4x

g (x)=4x+4

p (x)= x

x

y

0

0

0

1

1

4

10

2,5

2,5

10

15

3,75

3,75

15

q (x)= 4 d) y

x

10 Les situations suivantes peuvent-elles être modélisées par une fonction linéaire ou une fonction de variation inverse ? Si oui, trouve la règle. a) Marguerite part de sa maison pour se rendre à la bibliothèque. Elle marche à une vitesse constante. Après 20 minutes, elle a parcouru 1,8 km. On s’intéresse à la distance parcourue par Marguerite, en mètres, selon le temps écoulé depuis son départ, en minutes. Fonction linéaire

Fonction de variation inverse

Astuce

Modéliser une situation, c’est la représenter par un modèle mathématique.

Autre

Règle : b) Les organisateurs d’un spectacle étudiant xent le prix des billets à 5,50 $. Pour calculer leur prot, ils doivent déduire le prix de la location de la salle, soit 500 $, du montant des billets vendus. On s’intéresse au prot gagné selon le nombre de billets vendus. Fonction linéaire

Fonction de variation inverse

Autre

Règle : c) Édouard possède 48 voitures télécommandées. Il veut les ranger dans des bacs en plaçant le même nombre de voitures par bac. On s’intéresse au nombre de voitures par bac selon le nombre de bacs disponibles. Fonction linéaire

Fonction de variation inverse

Autre

Règle : d) Un musée prépare une exposition. La collection comprend 150 œuvres d’art de toutes sortes. Le musée souhaite placer le même nombre d’œuvres dans chaque salle. On s’intéresse au nombre d’œuvres par salle selon le nombre de salles de l’exposition. Fonction linéaire

Fonction de variation inverse

Autre

Règle : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les relations et les fonctions

Arithmétique

115

3.3 Les propriétés des fonctions Décrire une fonction à l’aide de ses propriétés Une fonction possède des propriétés qui servent à la décrire.

Domaine : l’ensemble des coordonnées x de tous les points du graphique.  [0, 19] h Image : l’ensemble des coordonnées y de tous les points du graphique.  [−4, 2] °C

Température extérieure (°C)

On veut décrire la fonction représentée par le graphique ci-dessous. Température extérieure selon l’heure de la journée 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

2

4

6

8

10

12

14 16

18

20

Heure de la journée

Ordonnée à l’origine : valeur de l’ordonnée lorsque l’abscisse vaut 0.  −2 °C Abscisse à l’origine : valeur de l’abscisse lorsque l’ordonnée vaut 0.  8 h et 16 h Maximum : plus grande valeur de la variable dépendante, y.  2 °C Minimum : plus petite valeur de la variable dépendante, y. −4 °C Variation : croissance (augmentation), décroissance (diminution) et constance de la variable dépendante.  La température est constante à −2 °C de 0 à 6 h. Elle augmente de 6 h à 10 h. Elle diminue de 10 h à 19 h. Signe : intervalles du domaine où la variable dépendante, y, est positive et négative.  La température est négative de 0 à 8 h et de 16 h à 19 h. Elle est positive de 8 h à 16 h.

• Le graphique ci-contre modélise cette situation. • La règle de la fonction est f(x)=

50 . x

• Voici les propriétés de la fonction : Domaine : [2, 5] m. La largeur varie de 2 m à 5 m. Image : [10, 25] m. La longueur varie de 10 m à 25 m. Maximum et minimum : la longueur peut être de 25 m au maximum et de 10 m au minimum. Variation : la fonction est décroissante. Quand la largeur augmente, la longueur diminue.

Dimensions de l’entrepôt Longueur (m)

Un entrepreneur souhaite construire un entrepôt de 50 m2. La largeur du bâtiment doit être de 2 m à 5 m. On s’intéresse aux dimensions possibles de l’entrepôt.

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

(2, 25) (5, 10)

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Largeur (m)

Signe : la fonction est positive. La longueur a toujours une valeur positive. Dans l’exemple ci-dessus, l’image de 2 est 25, car f (2)=25 m : lorsque la largeur est de 2 m, la longueur est de 25 m.

116

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.3

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1

Indique le domaine et l’image des fonctions suivantes. a)

y

b)

(4, 8)

c)

y

x

x

x (12, −2)

(−6, −5)

(−3, −6)

Domaine :

Domaine :

Domaine :

Image :

Image :

Image :

d) y

e) y (1, 54)

f) y

(2 ; 12,5)

(4, 13)

(2, 27) (3, 18)

(5, 5)

x

Domaine : Image :

(10 ; 2,5)

(13, 4)

x

Domaine :

(26, 2) x

Domaine : Image :

Image :

Observe le graphique. Entoure les énoncés qui sont vrais. Altitude (m)

2

y

Altitude d’un oiseau par rapport au niveau de la mer (10, 40)

(100, 35) (30, 15)

(20, 10)

(36, 0) (40, −1)

(120, 0)

(82,5 ; 0) (80 ; −0,5)

Temps (min)

a) Le domaine de cette fonction est [0, 120] min et son image est [−1, 40] m. b) Les abscisses à l’origine indiquent les moments où l’oiseau se trouve au niveau de la mer. c) L’altitude maximale de l’oiseau est de 100 m. d) L’altitude de l’oiseau est toujours décroissante. 3

On s’intéresse à la relation entre le périmètre d’un carré, P (x), et la mesure d’un de ses côtés, x. a) Quelle est la règle de cette fonction ? b) Quel est le domaine de cette fonction ? c) Est-ce que cette fonction peut être négative ? Explique ta réponse.

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

117

y

4

Trace le graphique de la fonction décrite ci-dessous. • Le domaine de la fonction est [−3, 7]. • L’image de la fonction est [0, 5]. • La fonction est décroissante sur tout son domaine. • L’ordonnée à l’origine est 3,5. x

• Le graphique de cette fonction est un segment de droite. 5

Maryse cuisine de petits biscuits pour une fête d’anniversaire. Elle utilise une plaque de cuisson pouvant contenir 12 petits biscuits. Sa recette permet de remplir 15 fois la plaque. Elle veut distribuer la totalité des biscuits aux invités et s’attend à recevoir de 12 à 36 personnes. a) Complète la table de valeurs et trace le graphique de cette fonction. Fête d’anniversaire

12 15

Nombre de biscuits

Nombre Nombre de d’invités biscuits par invité

Fête d’anniversaire

18 20 2

30

0

36

3

Nombre d’invités

b) Quelle est la règle de cette fonction ? c) Indique le domaine et l’image de cette fonction. Que peut-on déduire de ces propriétés ? Domaine :

Image :

Explication :

d) Indique le maximum et le minimum de cette fonction. Que peut-on déduire de ces propriétés ? Maximum :

Minimum :

Explication : e) Quel est le signe de la fonction ? Explique ta réponse.

118

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.3

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6

Trace la fonction à l’aide des propriétés suivantes. • Domaine : [0, 20] h • Image : [−8, 1] °C • Le graphique est une ligne brisée. • Les points (4, −1) et (9, −8) font partie du graphique.

• La fonction est croissante de 0 h à 4 h et de 12 h à 18 h. • La fonction est décroissante de 4 h à 9 h et de 18 h à 19 h.

Variation de la température d’une pièce de métal 1 2

• La fonction est constante de 9 h à • Maximum atteint à : 18 h 12 h et de 19 h à 20 h. • Ordonnée à l’origine : −5 °C 7

• La fonction se termine à (20, 0).

Indique l’abscisse à l’origine et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes. a)

b)

c)

1

1 1

1

1 1

8

Abscisse à l’origine :

Abscisse à l’origine :

Abscisse à l’origine :

Ordonnée à l’origine :

Ordonnée à l’origine :

Ordonnée à l’origine :

Pour se remettre en forme, Théo fait de la marche d’intensité moyenne. Il dépense en moyenne 120 calories par 30 minutes de marche. On s’intéresse à la relation entre le temps de marche quotidien, en minutes, et la dépense calorique, en calories. Sachant que Théo marche de 40 à 60 minutes par jour, trouve la règle, le domaine et l’image de cette fonction.

Astuce

Pour t’aider à visualiser cette fonction, trace son graphique.

Réponse :

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Les relations et les fonctions

Arithmétique

119

9

En prévision d’une fête de quartier, Léonie achète 45 contenants de 4 L de jus. On attend de 20 à 60 familles. Trouve la règle qui permet de calculer la quantité de jus disponible par famille présente à la fête. Décris ensuite le domaine, l’image, le maximum, le minimum et la variation de la fonction.

10 Marc fabrique des coussins décoratifs. Il lui reste une certaine quantité de tissu. Le graphique ci-contre présente la relation entre la surface des coussins et le nombre de coussins que Marc peut fabriquer. a) Cette fonction est-elle linéaire ou de variation inverse ?

Nombre de coussins

Réponse :

b) Quel est le domaine et que représente-t-il dans le contexte ?

Nombre de coussins possibles selon leur surface

(10, 81)

(18, 45)

10 0

3 Surface du coussin (dm2)

c) Quelle est l’image et que représente-t-elle dans le contexte ?

d) Quelle est la règle de cette fonction ?

120

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.3

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3.4 Les fonctions polynomiales

de degré 0 ou 1 (fonctions afnes) La fonction afne • Une fonction afne est une fonction dont le taux de variation, a, est constant. Elle peut être représentée par une droite. • La règle d’une fonction afne est f (x)=ax+b, où a est le taux de variation et b est l’ordonnée à l’origine (la valeur de y quand x=0). Les paramètres a et b sont des nombres réels. Frank se rend en voiture chez son ami Daniel. Il lui reste 60 km à parcourir et il roule à une vitesse de 90 km/h. On s’intéresse à la relation entre le temps écoulé en minutes, x, et la distance à parcourir en km, f (x). Distance à parcourir +10 +10 +10 +10 f (x) 70 x 0 10 20 30 40 Ordonnée à l’origine f (x) 60 45 30 15 0 60 −15 −15 −15 −15 50 (10, 45) −15 3 40 − a= = km/min 10

2

30 − 30

b=60 3 3 Règle : y=− x+60 ou f (x)=− x+60 2

2

Frank doit encore parcourir 60 km et cette distance 3 diminue de km par minute. 2

20 10 0

+20

(30, 15)

Astuce Pour faire un retour sur le taux de variation, consulte la page 110.

10 20 30 40 50 60 x

3 2

f (16)=− ∙16+60=36  Après 16 minutes, il lui restera 36 km à parcourir.

Cas particuliers • Une fonction linéaire est une fonction afne dont l’ordonnée à l’origine est zéro (b=0). Son graphique est une droite oblique (si a ≠ 0). • Une fonction constante est une fonction afne dont le taux de variation est nul (a=0). Son graphique est une droite horizontale. • Le graphique d’une fonction afne f (x)=ax+b, où a ≠ 0 et b ≠ 0, est une droite oblique qui passe par le point (0, b). Fonctions linéaires (b=0) y

x

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Fonctions constantes (a=0) y

Fonctions afnes où a ≠ 0 et b ≠ 0 y

x

x

Les relations et les fonctions

Arithmétique

121

La règle d’une fonction afne • Pour énoncer la règle d’une fonction afne, il faut connaître le taux de variation, a, et l’ordonnée à l’origine, b. On cherche la règle de la droite qui passe par les points (3, 1) et (5, 7). 1) On cherche le taux de variation* à l’aide des deux points. Ainsi, on connaît le début de la règle f (x)=ax+b. 2) On cherche l’ordonnée à l’origine à l’aide d’un des points qu’on connaît. On peut choisir un point au hasard.

a=

∆y 7−1 6 = = =3 ∆x 5−3 2

Donc, f (x)=3x+b En remplaçant x par 3 et f (x) par 1, on obtient : f (x)=3x+b  1=3∙3+b 1=9+b −8=b

3) On écrit la règle de la forme f (x)=ax+b.

f (x)=3x−8.

* Lorsqu’on connaît le taux de variation, on passe à l’étape 2). Jordi, Raphaëlle et Rosalie vont cueillir des bleuets. À la n de la cueillette, on pèse leurs paniers pour établir le montant que chacun doit payer. Le tableau ci-dessous présente cette situation. Trouve la règle qui permet de calculer le montant à payer, f (x), en fonction de la masse du panier, x. Taux de variation :

Cueillette de bleuets Jordi

Raphaëlle

Rosalie

Masse du panier (kg)

2

2,8

2,3

Montant à payer ($)

8,50

12,50

10,00

À partir du tableau, on obtient les points (2 ; 8,50), (2,8 ; 12,50) et (2,3 ; 10,00).

1

a=

∆y 12,5−8,5 4 = = =5 $/kg ∆x 2,8−2 0,8

Ordonnée à l’origine : f (x)=5x+b  8,5=5∙2+b 8,5=10+b −1,5=b La règle de cette fonction est f (x)=5x−1,5.

Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. a) Une fonction linéaire est une fonction afne où a=0. b) Une fonction afne passe toujours par l’origine. c) La fonction f (x)=0 est une fonction constante. d) Une fonction afne peut avoir une ordonnée à l’origine négative. e) Une fonction linéaire n’a aucune ordonnée à l’origine.

122

Arithmétique

Chapitre 3 — Section 3.4

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2

Indique le taux de variation, a, et l’ordonnée à l’origine, b, de chacune des fonctions suivantes. Représente-les ensuite dans le même plan cartésien. a)

i (x)=−3x+1 a :

b:

b:

j (x)=−2x+1 a :

b:

b:

k (x)=−x+1

b:

f (x)=3x+1

a:

b:

g(x)=2x+1

a:

h(x)=x+1

a:

b)

a:

y

y

1

1

0

0

x

1

x

1

c) Lorsqu’on ne tient pas compte du signe de a, quel est le lien entre la valeur de a et l’inclinaison de la droite ?

d) Quel est le lien entre le signe de a et la croissance ou la décroissance d’une fonction ?

3

Les fonctions f (x)=3x et g(x)=x+3 peuvent être représentées graphiquement par une droite. Que représente le nombre 3 dans chacune des fonctions ?

4

Indique si a>0, a9} {xPr | −3 ≤ x − 6

4

b) x < − 6

c) x


Parmi les vues ci-dessous, laquelle correspond à la vue de droite du solide suivant ? a)

b)

c)

d) Face

5

Un contenant de savon à bulles a la forme d’un cylindre tel qu’il est illustré ci-contre. Il contient une tige permettant de faire des bulles.

h = 12 cm r = 2 cm

Quelle est la longueur maximale de la tige qu’on peut placer dans le contenant ? a) 12,16 cm G-198

b) 11,83 cm

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

c) 12,64 cm

d) 11,31 cm

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

)

Questions à réponses courtes 6

Réponds aux questions suivantes. a)

x

0

1

2

3

4

5

y

2

2

2

2

2

2

1) La relation représentée dans cette table

b) Le coût de base pour la location d’un minibus est de 75 $. On demande ensuite un montant de 5 $ par personne. On s’intéresse à la relation qui existe entre le nombre de personnes qui prendront le minibus et le coût total de la location. 1) Cette situation est-elle

de valeurs est-elle une fonction ?

une fonction ?

2) Est-ce que la relation réciproque

2) Est-ce que la relation réciproque est

est une fonction ?

une fonction ?

7

8

Quelle est la règle de la fonction qui modélise chacune des situations suivantes ? a) Une fonction afne qui passe par (−5, 11) et dont l’ordonnée à l’origine est −9.

b)

Règle :

Règle :

x f(x)

2

4

8

9

54

27

13,5

12

Résous algébriquement les systèmes d’équations suivants. a)

b)

Solution :

Solution :

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-199

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

9

)

Résous graphiquement les systèmes d’équations suivants. a)

b)

10 Dans chaque cas, trouve la mesure demandée. a)

b) AT = 150,8 cm2 a=?

r=

a≈

G-200

Sommets • 3e secondaire

AT = 58,9 cm2 r=?

Évaluation

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

)

Questions à développement 11 Dans un cours de physique, une enseignante effectue l’expérience suivante : elle accroche un certain poids à l’extrémité d’un ressort et note la longueur de ce dernier. Elle peut ainsi établir un lien entre la masse du poids et la longueur du ressort. Voici ses résultats. Masse (g)

0

20

50

100

150

200

250

Longueur (cm)

0,8

0,86

0,95

1,1

1,25

1,4

1,55

Trouve la règle de cette fonction afne. Détermine ensuite la masse qu’il faut accrocher au ressort pour qu’il s’étire de 1,64 cm.

Réponse :

12 La mairie d’un village souhaite nettoyer les berges d’une rivière. Un maximum de 20 bénévoles participeront à cette corvée de nettoyage dont l’objectif est de remplir 60 sacs de déchets. On s’intéresse à la relation entre le nombre de bénévoles présents lors de la corvée et le nombre de sacs que chaque personne aura à remplir. Trace le graphique qui représente cette situation. Détermine ensuite le nombre minimal de sacs que chaque personne aura à remplir si tous les bénévoles se présentent le jour de la corvée.

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-201

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

)

13 Un rectangle a une base qui mesure (x + 5) cm et sa hauteur est de 8 cm. Quelles sont les valeurs entières possibles de x pour que le rectangle ait une aire ne dépassant pas 250 cm² et un périmètre supérieur à 70 cm ?

Réponse :

14 Jonathan et Maïté vendent des mitaines qu’ils ont confectionnées. Pour Jonathan, le matériel a coûté 233 $ et il vend la paire de mitaines 21 $. Maïté vend 15 $ la paire et son matériel lui a coûté 107 $. Trouve le nombre de paires de mitaines pour lequel Jonathan et Maïté gagneront le même montant d’argent. Détermine ensuite quel est ce montant.

Réponse :

G-202

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

)

15 Un jeu pour enfant est composé de cinq anneaux semblables et d’un socle en bois. Le socle est formé d’un cône et d’une base cylindrique. On doit recouvrir le socle de vernis. Le diamètre de la base cylindrique est de 15 cm et sa hauteur est de 1,5 cm. Le cône permettant d’enler les anneaux a une hauteur de 18 cm et le diamètre de sa base mesure 3,5 cm. Quelle est l’aire de la surface qu’on doit recouvrir de vernis ?

Réponse :

16 Une entreprise d’équipements de plein air propose un modèle de tente en toile transparente. Celle-ci permet d’observer la nature à tout moment du jour ou de la nuit. Pour les besoins du problème, on considère que le tunnel d’entrée est un cylindre de 2,2 m de diamètre et de 3 m de longueur. Ce tunnel possède deux ouvertures avec fermeture éclair, une à chaque base du cylindre. Trouve l’aire de la surface de toile transparente nécessaire pour fabriquer cette tente, sachant que le diamètre de la demi-sphère mesure 5 m.

Réponse :

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-203

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-2 (

)

Situation d’application Livraison express Une compagnie de livraison propose deux nouveaux modèles de boîtes an de mieux répondre aux besoins de ses clients. Le premier modèle est une très grande boîte rectangulaire dont les dimensions sont de 40 cm sur 30 cm sur 25 cm. Le deuxième modèle proposé est une boîte conique dont la base mesure 52 cm de diamètre. Les deux nouveaux modèles de boîtes sont vendus au même prix. Le prix est calculé en fonction de l’aire totale de la boîte. Voici le prix de certains modèles. Modèle

Très petite boîte

Petite boîte

Moyenne boîte

Grande boîte

Très grande boîte (nouveau modèle)

Dimensions (cm)

15 × 15 × 15

30 × 25 × 5

30 × 25 × 15

40 × 30 × 10

40 × 30 × 25

Coût ($)

3,29

3,99

5,09

5,74

?

Trouve le prix des deux nouveaux modèles de boîtes. Détermine ensuite la mesure de l’apothème de la boîte conique.

Réponse :

G-204

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Groupe :

Date :

Fiche EV-3

Évaluation de n d’étape Étape 3 (chapitres 6 à 8) Questions à choix multiples 1

Quelle expression est équivalente au volume d’une demi-boule de 6 cm de diamètre ? a) (36π) cm2

2

b) (18π) cm3

c) (12π) cm3

d) (108π) cm3

Les deux pyramides régulières suivantes sont semblables. Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ? a) La hauteur de la petite pyramide est de 10 cm. b) L’aire latérale de la grande pyramide est 4 fois plus grande que celle de la petite pyramide. c) Le volume de la grande pyramide est 8 fois plus grand que celui de la petite pyramide. d) Le périmètre de la base de la petite pyramide est le quart de celui de la grande pyramide.

3

4

5

Durant la deuxième étape, les élèves ont fait trois examens de mathématique qui sont pondérés selon des coefcients de pondération différents. Nelly a eu un résultat de 85 % au premier examen, 72 % au deuxième et 66 % au troisième. Sa moyenne pondérée est de 73 %. Quels sont les coefcients de pondération pour chacun des examens ? a) 1er : 0,25 2e : 0,35

3e : 0,40

b) 1er : 0,30

2e : 0,35

3e : 0,35

c) 1er : 0,20 2e : 0,35

3e : 0,45

d) 1er : 0,40

2e : 0,30

3e : 0,30

Observe le diagramme de quartiles suivant. Dans quel quart les données sont-elles le moins concentrées ? a) 1er quart

b) 2e quart

c) 3e quart

d) 4e quart

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

Pour laquelle des gures suivantes la probabilité de choisir un point au hasard dans la zone grise est-elle la plus grande ? Les angles qui semblent droits le sont. a)

débord

1

b)

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c)

d)

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-205

Nom :

Groupe :

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Fiche EV-3 (

)

Questions à réponses courtes 6

Le prisme droit rectangulaire ci-contre est traversé par deux cylindres de 0,2 m de diamètre. Quelle est sa capacité en litres ?

Réponse :

7

Les cônes suivants sont semblables selon le rapport k = 4. Trouve le diamètre et la hauteur du petit cône.

Réponse :

8

Trouve la moyenne, la médiane et le mode de la distribution suivante. Catégorie

Fréquence

1

17

2

38

3

43

4

2

Total

G-206

100

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-3 (

9

)

Deux sphères semblables ont des aires de (400π) dm2 et de (16π) dm2. Quel est le rapport de leurs volumes ?

Réponse :

10 Martin a renversé son café sur l’histogramme représentant les sommes d’argent consacrées aux activités familiales estivales par les Québécois. Une donnée importante est masquée par la tache de café. Aide-le à la retrouver.

Réponse :

11 Un bocal renferme 7 billes rouges (R) et 3 billes bleues (B). On effectue l’expérience aléatoire qui consiste à tirer 3 billes du bocal sans remise. Trouve la probabilité de l’événement B : « Tirer 2 billes bleues et une bille rouge », sans tenir compte de l’ordre.

Réponse : Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-207

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-3 (

)

Questions à développement 12 L’obélisque ci-contre fait 20 m de hauteur. Il est formé d’un prisme droit à base carrée de 6 m de côté et d’une pyramide dont l’apothème mesure 5 m. Quel est le volume de l’obélisque ?

Réponse :

13 Le volume d’un solide constitué d’un cylindre droit et d’un cône droit est de 2 000 cm3. Le cylindre et le cône ont des rayons de même mesure et ont la même hauteur. Justine prétend que ce solide ne rentre pas dans une boîte cubique de 15 cm de côté. Justine a-t-elle raison ? Justie ta réponse.

Réponse : G-208

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-3 (

)

14 Une étude porte sur les heures de sommeil des adolescents. Voici les données recueillies. 8,00

8,25

9,00

7,00

6,50

7,25

8,50

9,00

10,00

9,25

7,75

7,50

8,25

8,00

9,00

7,00

8,25

9,00

8,50

7,25

7,50

8,00

8,25

10,00

7,50

8,25

8,00

9,00

8,25

7,00

8,75

6,00

5,50

7,50

6,25

8,25

9,00

7,50

5,75

6,50

a) Complète le tableau de données groupées en classe. Construis ensuite un histogramme. Nombre d’heures de sommeil des adolescents Nombre d’heures de sommeil

[5, 6[

Nombre d’adolescents

2

b) Quelle est la classe modale de cette distribution ?

15 Le diagramme de Venn ci-contre présente les sports pratiqués par les élèves de 3e secondaire d’une école. Quelle est la probabilité de choisir une personne qui pratique le hockey ou le soccer et un autre sport ?

Hockey

Soccer 72 48

26

105

30 12

25

57 Autres

Réponse :

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-209

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-3 (

16 Carole travaille comme analyste en ressources humaines. Le tableau suivant présente ses prévisions du taux de chômage par province pour le mois à venir. a) Détermine les quartiles de cette distribution.

)

Taux de chômage par province Province

Taux (%)

Terre-Neuve-et-Labrador

12,5

Île-du-Prince-Édouard

10,7

Nouvelle-Écosse

7,8

Nouveau-Brunswick

7,8

Québec

7,0

Ontario

6,5

Manitoba

4,2

Saskatchewan

4,0

Alberta

3,2

Colombie-Britannique

3,2

b) Construis le diagramme de quartiles qui représente cette distribution.

17 On lance une échette sur la cible ci-contre. Le cercle circonscrit un carré dans lequel est tracé un triangle équilatéral de 3 cm de côté. Si on atteint la cible, quelle est la probabilité, en pourcentage, de toucher la zone noire ?

Réponse : G-210

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-3 (

)

Situation d’application La mouche prisonnière Le montage suivant est formé d’un tuyau inséré dans une sphère en verre. Pour les besoins du problème, on considère que le tuyau est un cylindre circulaire droit et que la sphère est complète. On a placé une mouche à l’intérieur du montage. La probabilité que la mouche se retrouve dans le cylindre est de 1. 4 Quelle est la mesure du rayon de la sphère ?

Réponse :

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-211

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-4

Évaluation de n d’année Questions à choix multiples 1

Quel est le résultat de l’opération suivante ?

a) 0,3 × 10−1

2

b) 3 × 102

f(x)

a) f(x) = −3,5x + 4

5

6

−

b) f(x) = 2x + 7

2 3

−

4 1

9 11

10 13

c) f(x) = −2x + 7

d) f(x) = 2x − 7

b) (1, 2)

c)

d)

Quel est le périmètre du losange ci-contre, si son aire est de 48,4 cm2 ? a) 5,07 cm

b) 20,28 cm

c) 40 cm

d) 27,8 cm

La capacité du cylindre ci-contre est de 3,6 L. Quelle est la mesure de son diamètre ? a) 3,3 cm

b) 5,23 cm

c) 6 cm

d) 10,45 cm

Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 boules sans remise d’un boulier qui contient 10 boules numérotées de 0 à 9. Quelle est la probabilité de l’événement « tirer un nombre pair suivi d’un nombre impair » ? a)

G-212

2 11

−

Parmi les couples suivants, lequel est la solution du système d’équations ci-dessous ?

a)

4

d) 3 × 101

Quelle est la règle de la fonction afne associée à la table de valeurs suivante ? x

3

c) 0,03 × 10−2

b) Sommets • 3e secondaire

c) Évaluation

d) Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

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Fiche EV-4 (

)

Questions à réponses courtes 7

Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes en l’unité demandée. a) 32 dm3 =

dl

b) 7 200 m3 =

km3

c) 213 cm3 =

L

d) 70,3 dm3 =

cl

f) 450 ml =

m3

3

e) 2 cl =

8

9

dm

Exprime les nombres suivants en notation scientique. a) 5 400 =

b) 0,035 =

c) 46 500 =

d) 0,000 027 =

e) 2,35 =

f) 89,7 =

Effectue les opérations suivantes. a) 4b2c4(−3bc5 + 2b3c)

b) (11x − 2)(5x + 4)

c) (8x − 3) − (−2x − 4) + (−10x − 2)

d) (t + 5)(4t − 2) − 2t(2t + 9)

10 Calcule la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans la région ombrée du disque suivant. Exprime ta réponse sous forme de pourcentage.

P≈

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-213

Nom :

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Fiche EV-4 (

)

11 Deux droites sont sécantes. La première passe par les points (0, 4) et (5, 14). La seconde a un taux de variation de −2 et passe par le point (10, −12). Trouve le point d’intersection de ces deux droites.

Solution :

12 Les deux distributions suivantes représentent les âges des membres des clubs de l’âge d’or de deux municipalités. Club de Saint-Raymond

Club de Saint-André

55 65 65 65 75 75 75 85 85 85 95 95

55 55 80 80 80 85 85 85 90 90 90 95

Trace le diagramme de quartiles associé à chaque club. Pense à identier chacun des clubs.

Âge des membres des deux clubs de l’âge d’or

55 60 65 70 75 80 85 90 95 Âge (ans)

G-214

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Fiche EV-4 (

)

13 Les deux cônes ci-contre sont semblables. Sachant que l’apothème du plus petit est de 5 m et que le rapport de leurs aires est de 9, trouve le volume du plus grand.

V≈

14 Trouve l’expression algébrique qui représente le périmètre de la gure suivante.

P=

15 Traduis les situations suivantes par une inéquation. Complète ensuite le tableau. a) Le conseil étudiant est composé de plus de 7 élèves, mais de moins de 12 élèves. b) Il me faut plus de 25 minutes, mais au maximum 45 minutes pour me rendre au travail. Description Inéquation

Compréhension

Intervalle ou extension

Droite numérique

a)

b)

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Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-215

Nom :

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Fiche EV-4 (

)

Questions à développement 16 Florence a appuyé son échelle de 10 m contre le mur de sa maison. Le bas de l’échelle se situe à 6,5 m du mur. Florence a mesuré une distance de 1,5 m entre le haut de l’échelle et le haut du mur.

Mur de la maison

Échelle

Quelle est la hauteur totale du mur ?

Réponse :

17 Le périmètre d’un terrain de jeu est de 94 m. La longueur du terrain mesure 3 m de plus que le triple de sa largeur. Quelle est la mesure de la largeur du terrain, si on peut la représenter par l’expression (2x − 1) ?

Réponse :

G-216

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Date :

Fiche EV-4 (

)

18 Deux skieuses descendent une piste à des vitesses respectives de 90 km/h et de 108 km/h. La seconde skieuse part 3 secondes après la première. Après combien de temps les deux skieuses se croiseront-elles et quelle distance auront-elles parcourue ?

Réponse :

19 Voici l’âge des employés d’une grande chaîne de magasins. 17 22

51

35

18

17

45

23

43

22

35

17

35

23

39

41

27

28

42

31 23

61

19

20

54

37 32

52

18

16

26

17

34

25

19

33

a) Complète le tableau et construis un histogramme qui représente cette distribution. Âge des employés Âge (ans)

Effectif

[15, 25[

b) Détermine la moyenne ainsi que les classes modale et médiane de cette distribution. Moyenne :

Classe médiane :

Classe modale :

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Évaluation

G-217

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EV-4 (

)

20 Ludwig économise de l’argent pour aller en Europe. À la n de chaque mois, il met de côté le même montant. Après trois mois, il lui manque 3 150 $. Après sept mois, il lui manque encore 1 750 $. Détermine le coût du voyage de Ludwig et combien de mois il lui aura fallu pour amasser ce montant.

Réponse :

21 Romane est ébéniste. Pour un jeu d’échecs en bois, elle doit tailler des pions ayant la forme d’un cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre a une hauteur de 20 mm, le rayon de la demi-boule mesure 12 mm et le diamètre du cylindre est égal au rayon de la demi-boule. Romane doit recouvrir la surface de ses pions d’une couche de vernis. Elle a acheté trois contenants de vernis couvrant chacun une surface de 1,4 dm2. Elle vient de tailler 20 pions. A-t-elle assez de vernis pour les couvrir ?

Réponse : G-218

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

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Groupe :

Date :

Fiche EV-4 (

)

Situation d’application L’embarras du choix Une entreprise qui fabrique des accessoires de bureau te propose trois modèles de coffre à crayons. Chaque modèle a un volume de 1 500 cm3. Le coffre doit pouvoir contenir des crayons dont la longueur maximale est de 18 cm et sa fabrication doit nécessiter le moins de tissu possible. Lequel des trois modèles respecte le mieux ces critères ?

Réponse : Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

G-219

G-220

Sommets • 3e secondaire

Évaluation

L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérie ses calculs, révise ses étapes, justie ses afrmations, compare sa réponse à la question).

20 points

L’élève présente une démarche complète et structurée tout en respectant les règles et conventions du langage mathématique.

40 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution exacte.

40 points

L’élève : – identie toutes les données pertinentes à la résolution de la situation ; – planie chacune des étapes à franchir ; – tient compte de toutes les contraintes de la situation.

L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérie la plupart de ses calculs ou afrmations, compare sa réponse à la question).

16 points

L’élève laisse des traces claires de la solution, même si certaines étapes sont implicites, en commettant des erreurs mineures relatives aux règles et conventions du langage mathématique.

32 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs mineures (ex. : erreurs de calcul, oublis ou imprécisions).

32 points

L’élève : – identie les données pertinentes à la résolution de la situation ; – planie la plupart des étapes à franchir ; – tient compte de la plupart des contraintes de la situation.

B Satisfaisant

L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérie certains de ses calculs ou afrmations, compare sa réponse à la question).

12 points

L’élève laisse des traces incomplètes ou peu structurées tout en commettant des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

24 points

L’élève : – sélectionne la plupart des concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs conceptuelles.

24 points

L’élève : – identie les données explicites et certaines données implicites ; – planie certaines des étapes à franchir ; – tient compte de certaines contraintes de la situation.

C Partiellement satisfaisant

L’élève utilise peu de stratégies de validation appropriées.

8 points

L’élève laisse des traces confuses et incomplètes de la solution, qui présentent des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

16 points

L’élève : – sélectionne certains concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs conceptuelles.

16 points

L’élève : – identie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ; – présente une planication peu structurée des étapes à franchir ; – tient peu compte des contraintes de la situation.

D Insatisfaisant

L’élève n’utilise pas de stratégies de validation appropriées.

4 points

L’élève laisse peu ou pas de traces de sa solution.

8 points

L’élève : – sélectionne des concepts et processus peu appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs majeures.

8 points

L’élève : – identie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ; – ne planie pas les étapes à franchir ; – ne tient pas compte des contraintes de la situation.

E Nettement insatisfaisant

Groupe :

1. Ce critère doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué.

4. Validation appropriée des étapes de la solution1

3. Élaboration d’une solution appropriée

2. Mobilisation des savoirs mathématiques appropriés

1. Manifestation, oralement ou par écrit, de sa compréhension de la situationproblème

A Très satisfaisant

Nom : Date :

Grille d’évaluation générale Fiche EV-5

CD1 Résoudre une situation-problème

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Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Sommets • 3e secondaire L’élève formule correctement une ou des conjectures et couvre la plupart des éléments de la situation.

16 points

L’élève : – présente une démarche complète, concise et ordonnée où certaines étapes sont implicites et où il commet des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justie les étapes de sa démarche à l’aide des concepts et processus appropriés.

32 points

L’élève applique de façon appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant des erreurs mineures (ex. : erreurs de calcul, oublis ou imprécisions).

32 points

L’élève : – sélectionne les principaux concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à des stratégies et formule des hypothèses appropriées.

L’élève formule une ou des conjectures et couvre quelques éléments de la situation, ou formule une conjecture peu appropriée.

12 points

L’élève : – présente une démarche incomplète ou qui manque de clarté, en commettant des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justie certaines étapes de sa démarche ou manque de précision dans ses justications.

24 points

L’élève applique de façon appropriée la plupart des concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant certaines erreurs conceptuelles.

24 points

L’élève : – sélectionne la majorité des concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à certaines stratégies et formule des hypothèses.

C Partiellement satisfaisant

2. Dans le cas où la situation d’application s’y prête. Le cas échéant, l’évaluation de ces conjectures doit être prise en compte au critère 3.

L’élève formule une ou des conjectures de façon claire et précise, et couvre tous les éléments de la situation.

20 points

L’élève : – présente une démarche complète, concise et ordonnée, en respectant les règles et conventions du langage mathématique ; – justie de façon rigoureuse les étapes de sa démarche, et le fait en utilisant un registre varié.

40 points

L’élève applique de façon appropriée et sans erreur les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation.

40 points

L’élève : – sélectionne tous les concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à des stratégies efcaces et formule des hypothèses appropriées.

B Satisfaisant

E Nettement insatisfaisant

L’élève formule une ou des conjectures peu appropriées et couvre peu d’éléments de la situation.

8 points

L’élève : – présente une démarche incomplète et confuse, en commettant plusieurs erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justie certaines étapes de sa démarche en utilisant des arguments inadéquats et peu variés.

16 points

L’élève applique de façon peu appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation et commet plusieurs erreurs conceptuelles.

16 points

L’élève formule une ou des conjectures inadéquates ou non plausibles.

4 points

L’élève : – présente une démarche incomplète qui ne tient pas compte des règles et conventions du langage mathématique ; – ne justie pas les étapes de sa démarche.

8 points

L’élève applique des concepts et processus peu ou pas appropriés pour répondre aux exigences de la situation.

8 points

L’élève : L’élève : – sélectionne certains concepts – sélectionne des concepts et processus appropriés et processus peu appropriés à la situation ; à la situation ; – recourt à certaines stratégies – recourt à des stratégies et et formule des hypothèses peu formule des hypothèses peu appropriées à la situation. appropriées ou sans lien avec la situation.

D Insatisfaisant

Groupe :

1. Formulation d’une conjecture appropriée à la situation 2

5. Justication congruente des étapes d’une démarche pertinente

et

4. Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente

2. Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés

3. Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation

A Très satisfaisant

Nom : Date :

Grille d’évaluation générale Fiche EV-6

CD2 Déployer un raisonnement mathématique

Évaluation

G-221

Le guide se poursuit à la page suivante.

Offre numérique SOMMAIRE L’offre numérique de Chenelière Éducation                                                   N-2 La version numérique de la collection Sommets                                         N-3 Médiagraphie                                                                                        N-6

L’offre numérique de Chenelière Éducation La collection Sommets est offerte en version numérique sur la plateforme Éducation.

de Chenelière

La présentation qui suit constitue un aperçu des fonctionnalités de cette plateforme et des particularités de la collection Sommets. Une vidéo, qui se trouve à l’adresse cheneliere.ca/sommets3_video, présente également les principaux éléments numériques de cette collection. La vidéo du tour guidé général de la plateforme de Chenelière Éducation, qu’on peut visionner à l’adresse www.cheneliere.ca sous l’onglet /Secondaire/Tour d’horizon, décrit les principaux atouts de la plateforme et des collections qu’on y trouve. On peut aussi consulter les tutoriels qui décrivent le fonctionnement des outils de base de la plateforme à l’adresse www.cheneliere.ca sous l’onglet /Secondaire/Tutoriels.

LA BIBLIOTHÈQUE Le site Internet de Chenelière Éducation permet aux enseignants d’accéder à une bibliothèque personnelle qui contient les livres numériques dont ils ont fait l’acquisition. Les enseignants peuvent accéder à leur bibliothèque en se rendant à l’adresse www.cheneliere.ca/ Ma bibliothèque.

LA PLATEFORME

de Chenelière Éducation

Conviviale, la plateforme est un environnement parfaitement adapté à la consultation d’un livre numérique en classe. Elle offre plusieurs avantages. Elle permet, entre autres, d’enrichir un titre de matériel personnel, de consulter différents contenus interactifs (activités interactives, hyperliens, etc.) ainsi que les documents reproductibles offerts par l’Éditeur.

LE MENU PRINCIPAL Dans la plateforme , les enseignants peuvent consulter la version numérique de toutes les composantes imprimées et numériques d’une collection. Les boutons suivants gurent dans le menu principal, en haut à droite de l’écran. 1. Livre numérique 2. Matériel complémentaire 3. Activités interactives 4. Suivi des travaux 5. Annotations 6. Mon cours 7. Diaporama

N-2

Sommets • 3e secondaire

Offre numérique

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Le bouton « Livre numérique » donne accès au livre numérique et à sa table des matières.

Le bouton « Matériel complémentaire » donne accès au matériel complémentaire, aux documents reproductibles et aux différents contenus interactifs offerts par l’Éditeur ainsi qu’aux chiers personnels que l’enseignant y aura déposés. On peut y faire une recherche par chapitre ou par type de matériel (documents reproductibles, hyperliens, etc.). Le bouton « Activités interactives » permet de consulter la liste des activités interactives liées à un titre, de créer des groupes, d’assigner des activités en mode apprentissage ou évaluation aux élèves et d’accéder à leurs résultats. Le bouton « Suivi des travaux » permet aux enseignants et aux élèves des classes qui utilisent un cahier numérique de suivre leurs échanges de travaux. Le bouton « Annotations » rassemble les annotations personnelles ainsi que les annotations publiques dans un seul répertoire. De plus, des ltres permettent de rafner la recherche d’annotations. L’outil « Mon cours » permet de regrouper au même endroit toutes les ressources nécessaires à l’enseignement d’un cours. Il est ainsi possible d’organiser le contenu d’un cours dans l’ordre qui convient à chacun et de le partager avec les élèves ou des collègues. L’outil « Diaporama » offre l’occasion de créer des présentations animées. On peut y intégrer des captures d’écran, du texte, des images, des hyperliens, des renvois de pages, des chiers audio et vidéo, et plus encore !

1. La version numérique de la collection La version numérique de la collection Sommets offre aux enseignants la possibilité de projeter les pages du cahier à l’aide d’un tableau numérique interactif (TNI) ou d’un projecteur. Dans cette version numérique, les enseignants peuvent, à leur gré, faire apparaître les réponses une à une, afcher toutes les réponses à la fois ou consulter les notes pédagogiques de chacune des pages en un seul clic. Dans les pages, on trouve également des accès directs aux contenus numériques et interactifs. Ainsi, au l des pages, sont épinglés les pictogrammes cliquables suivants. Renvoi vers une autre page Hyperlien Activité interactive

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Document reproductible

Sommets • 3e secondaire

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N-3

Comme pour le cahier, la version numérique du matériel complémentaire qui réunit tous les éléments du guide-corrigé de la collection Sommets permet aux enseignants de projeter les documents reproductibles à l’aide d’un TNI ou d’un projecteur. Les enseignants peuvent également y afcher toutes les réponses en un seul clic. Dans cette version numérique, on trouve tous les documents reproductibles en format PDF, an de faciliter leur impression, mais aussi en format Word modiable, ce qui permet aux enseignants d’adapter ces documents selon leurs besoins.

2. Les activités interactives La version numérique de la collection Sommets comprend de nombreuses activités interactives liées aux contenus du cahier. Chaque chapitre renferme un certain nombre d’activités interactives portant sur les concepts à l’étude et deux activités interactives associées à la section « Retour ». Il y a aussi une ou deux activités interactives pour chaque section « Consolidation ». Enn, trois activités interactives sont proposées pour la section « Révision de l’année ». Ces activités sont accessibles au l des pages du cahier numérique ainsi que dans la table des matières des activités interactives. Elles sont réalisables en classe à l’aide du TNI ou encore individuellement en mode apprentissage ou évaluation. Les élèves peuvent ainsi les faire de façon autonome en classe, au laboratoire informatique ou à la maison, à l’aide d’un ordinateur ou d’une tablette. Chacune des activités compte entre 5 et 10 questions. Le format de chaque question a été choisi avec attention pour servir au mieux la notion traitée (vrai ou faux, choix multiples, réponse libre, associations, menus déroulants, etc.). En mode apprentissage, chaque question comprend deux essais ; les élèves disposent d’un indice pour les aider à répondre à chaque question, puis du corrigé et d’une rétroaction après avoir soumis leur réponse. En mode évaluation, ils n’ont ni indice ni corrigé. Toutefois, dans les deux modes, les points accumulés s’afchent au fur et à mesure que les élèves répondent aux questions. Pages du cahier traitant du sujet de l’activité

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N-4

Sommets • 3e secondaire

Points accumulés

Offre numérique

Terminer l’activité plus tard

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Des outils de gestion de groupe conviviaux sont également offerts aux enseignants dans le module des activités interactives. Ces outils permettent entre autres de créer des groupes d’élèves, de leur assigner des activités en mode apprentissage ou évaluation et de consulter leurs résultats. Pour plus de détails au sujet des activités interactives, visionnez les tutoriels qui les décrivent à l’adresse www.cheneliere.ca sous l’onglet /Secondaire/Tutoriels ou le Guide de l’utilisateur qu’on trouve à www.cheneliere.ca sous l’onglet /Secondaire/Guide de l’utilisateur.

3. Les composantes numériques pour les élèves Les élèves des enseignants qui ont un accès à la plateforme de Chenelière Éducation peuvent réaliser les activités interactives que les enseignants leur assignent sur tout type d’ordinateur ou de tablette. Ils protent aussi de tous les contenus numériques que leur enseignant met à leur disposition à l’aide de la plateforme (hyperliens, vidéos, documents personnels, etc.). Au choix de l’enseignant, les élèves peuvent également travailler avec le cahier numérique sur tout ordinateur ou sur tablette iPad avec l’application Chenelière Éducation pour iPad. Des outils d’écriture performants, qui permettent l’entrée des réponses dans le cahier numérique, sont offerts dans les deux cas.

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Sommets • 3e secondaire

Offre numérique

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Médiagraphie Mathématiques faciles www.mathematiquesfaciles.com

Sites d’intérêt général Allô Prof www.alloprof.qc.ca Site qui offre gratuitement de l’aide aux devoirs. On y propose entre autres une bibliothèque virtuelle, des vidéos, des exerciseurs, des trucs et des jeux. Bibliothèque virtuelle en mathématiques http://nlvm.usu.edu/fr/nav/vlibrary.html Site de l’Université d’État de l’Utah qui propose des outils interactifs pour le primaire et le secondaire, regroupés par champ mathématique. Geogebra www.geogebra.org Site ofciel du logiciel de mathématique gratuit Geogebra. On y trouve entre autres des tutoriels, des exemples de constructions mathématiques, ainsi que les différentes versions téléchargeables du logiciel. La page @ Dage http://lapageadage.com Site de l’enseignant Jocelyn Dagenais qui propose entre autres des outils technologiques pour les enseignants de mathématique au primaire et au secondaire. Le matou matheux http://matoumatheux.ac-rennes.fr Site d’exercices interactifs et d’animations en arithmétique, algèbre et géométrie. On y trouve aussi un dictionnaire et des jeux. Mathématiques et sciences physiques http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/ accueilmath.htm Site de Daniel Mentrard qui propose entre autres des constructions mathématiques de tous les niveaux réalisées à l’aide du logiciel Geogebra.

N-6

Sommets • 3e secondaire

Offre numérique

Site qui propose entre autres des exercices, des jeux et des outils abordant tous les champs mathématiques. Mathématiques interactives www.learnalberta.ca/content/mfjhm/ index.html?l=0 Site de Learn Alberta qui propose des leçons interactives (vidéos et exerciseurs) abordant tous les champs mathématiques. Math et jeux http://juliette.hernando.free.fr Site de Juliette Hernando qui propose des animations, des jeux, des exercices et des problèmes abordant tous les champs mathématiques. Thatquiz www.thatquiz.org/fr Site d’activités et d’exercices abordant tous les champs mathématiques, pour les élèves et les enseignants de tous les niveaux.

Arithmétique et algèbre Desmos https://www.desmos.com/calculator Une calculatrice en ligne à afchage graphique qui permet, entre autres, de tracer le graphique d’une fonction à partir de sa règle ou d’une table de valeurs.

Géométrie Robo-compass www.robocompass.com/app En anglais.

Application en ligne qui permet de créer des démonstrations animées de constructions géométriques.

Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Statistiques et probabilités Piecolor http://piecolor.com/fr Site qui permet de créer et télécharger des diagrammes circulaires en couleurs.

Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Statistique Canada www.statcan.gc.ca Site du gouvernement du Canada qui présente les résultats des études statistiques canadiennes. On y trouve de nombreux exemples de diagrammes, de graphiques et de tableaux de données.

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Offre numérique

N-7

Des notions claires accompagnées d’exercices et de problèmes à profusion !

Une collection complète conçue selon vos besoins Le cahier d’apprentissage Une section qui présente des notions de base et des exercices Des encadrés théoriques concis et rigoureux Des exercices et des problèmes de niveau de difculté gradué Des activités Exercices + De grands espaces-réponses Trois banques d’activités de consolidation (questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement) Des situations d’application (CD2) et des situationsproblèmes (CD1) Une Révision de n d’année Une section Outils à la n du cahier

Le corrigé Le corrigé du cahier et des notes pédagogiques

Le guide-corrigé Le corrigé du cahier et des notes pédagogiques Plus de 225 pages de documents reproductibles Des ches d’activités de consolidation et d’enrichissement Des situations-problèmes (CD1) supplémentaires et leurs grilles d’évaluation Trois évaluations de n d’étape (questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement) Une évaluation de n d’année

Des contenus numériques incomparables sur la plateforme Pour les élèves

Pour les enseignants

Le cahier accessible sur tout ordinateur et sur tablette iPad Un très grand nombre d’activités et d’exercices interactifs avec rétroaction conçus selon la structure du cahier Des documents complémentaires et tout autre contenu numérique que l’enseignant mettra à leur disposition Avec la plateforme i+Interactif de Chenelière Éducation, offerte en ligne et téléchargeable, présentez, créez, personnalisez et partagez des contenus pédagogiques et plus encore!

Les composantes de Composantes imprimées • Cahier d’apprentissage • Corrigé • Guide-corrigé

Les nombreuses fonctionnalités de la plateforme i+Interactif Toutes les composantes imprimées en version numérique ainsi que le contenu numérique offert aux élèves Des outils de gestion des résultats aux activités interactives Tous les documents reproductibles en format PDF et Word modiable Les réponses qui apparaissent une à une et de nombreux hyperliens

pour la 3e secondaire Composantes numériques • Plateforme • Cahier d’apprentissage numérique • Guide-corrigé numérique ISBN 978-2-7650-5428-3