Sommets : mathématique, 1er cycle, 2e secondaire. Cahier d'apprentissage : savoirs et activités [1-2] 9782765051978

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MATHÉMATIQUE

1er cycle • 2e secondaire

Cahier d’apprentissage SAVOIRS ET ACTIVITÉS Julie Cléroux Patricia Mercier Eugen Pascu Marie-France Vallée

Conforme à la PROGRESSION des apprentissages

MATHÉMATIQUE

1er cycle • 2e secondaire

Cahier d’apprentissage SAVOIRS ET ACTIVITÉS Julie Cléroux Patricia Mercier Eugen Pascu Marie-France Vallée

Sommets Mathématique, 1er cycle, 2e secondaire Cahier d’apprentissage Julie Cléroux, Patricia Mercier, Eugen Pascu, Marie-France Vallée © 2016 TC Média Livres Inc. Édition : Christiane Odeh Coordination et révision linguistique : Maude Lessard Correction d’épreuves : Anne-Marie Théorêt Conception graphique : Micheline Roy Infographie : Omnigraphe Conception de la couverture : Micheline Roy

Remerciements Pour le soin qu’ils ont porté à leur travail d’évaluation, l’Éditeur tient à remercier les personnes suivantes : Érick Deschênes (C.S. des Premières-Seigneuries), Yohann Dumas (C.S. des Premières-Seigneuries), Jacques Labbé (C.S. des PremièresSeigneuries), Jonathan Lepage (É.S. Saint-Jean-Eudes), Nathalie Mercier (C.S. Beauce-Etchemin), Marie-Claude Tremblay (C.S. des Patriotes), Karina Trudel (C.S. de Portneuf), Marc Vandal (C.S. des Premières-Seigneuries), Stéphane Yelle (Collège Esther-Blondin). Pour sa précieuse expertise, nous tenons également à remercier Karine Desautels (C.S. des Patriotes).

Sources iconographiques Sources de la couverture : Shutterstock, Photographer’s Choice RF/Getty Images (image de fond).

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie, par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média Livres Inc. Toute utilisation non expressément autorisée constitue une contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction non autorisée. ISBN 978-2-7650-5197-8 Dépôt légal : 1er trimestre 2016 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 3

4 5

6 7

IP

22

21

20

19 18

Shutterstock : p. III, 191 (compas), 4 (martin-pêcheur), 7 (glissades), 12 (baleine), 14 (tuiles de céramique), 17 (joueur de basketball), 18 (caramel, pinceau), 21 (facture), 23 (livres et CD), 24 (poissons), 25 (corde), 26 (module), 27 (tour Eiffel), 29 (biscuits), 33 (General Sherman), 34 (citrons), 36 (bananes, noix, bonbons, jambon, bœuf haché, raisins), 37 (citrouille), 38 (vélo, tuyau pour carburant), 40 (chandail, bâton de hockey, cellulaire, ballon, souliers de course, livre), 44 (gazon, cycliste), 46 (tablette électronique), 58 (course à relais), 60 (chaises), 66 (scooter), 71 (parapluies), 76 (allumettes), 84 (crayons), 85 (fléchettes), 86 (tuiles), 90 (crayons), 95 (lettres de Scrabble), 96 (avion), 100-101 (montgolfière), 104 (voiture), 106 (joueur de hockey), 111 (billes), 113 (ballon), 114 (pagaies), 116 (parapluies), 120 (iceberg), 121 (maisons), 122 (pommes), 125 (pelle), 126 (photographe), 127 (barils), 138 (fruits), 141 (pomme), 143 (joggeurs), 146 (salade de fruits), 148 (cochon), 154 (manette de jeu), 155 (pièces de monnaie), 156 (terrain de basketball), 157 (planches de surf), 158 (barils), 159 (cerfs-volants), 161 (dollar), 162 (tuiles de céramique), 168 (pinceaux), 186 (bonbons), 189 (marelle), 190 (miroir), 191 (agrumes), 195 (GPS), 197 (horloge), 198 (cercle de corde), 201 (trampoline, chandelles), 202 (brouette), 210 (assiette, éléments de cuisinière), 211 (planche de bois, chapeau de sorcière), 216 (piscine), 223 (arc), 224 (panneau routier), 225 (couronne), 226 (voitures, roues), 234 (joueur de football), 236 (brouette), 237 (piscine), 239 (robot), 240 (bac à sable), 241 (blocs de bois), 246 (blocs de construction), 248 (dés), 255 (pyramide de Khéops), 259 (clôture), 260 (tubes de peinture), 269 (gratte-ciel), 272 (tuile de céramique), 281 (rouleau de pièces de monnaie), 282 (timbres), 283 (cerfs-volants), 296 (dessins), 300 (plan), 313 (silhouettes et arbre), 314 (mobile), 315 (diagramme à bandes), 317 (bowling), 320 (sièges de cinéma), 323 (fourchettes), 327 (vêtements), 329 (athlète), 334 (Terre), 338 (saisons), 339 (boules), 344, 346 (cartes à jouer), 347 (dé), 348 (joueurs de baseball), 349 (fleurs), 350 (boules), 351 (parapluie), 352 (bonbons), 355 (foulard), 356 (lettres de Scrabble), 359 (billes), 360 (dés), 366 (roue de vélo), 367 (projecteur), 369 (magicien), 371 (ballon), 372 (métro), 374 (dés), 378 (limonade, rosier), 381 (puits), 386 (chapeaux de fête), 390 (avion), 391 (crayon et règles), 400 (rapporteur d’angles). Illustrations Serge Rousseau : p. 27 (poutrelle), 31 (boîte de biscuits), 70 (tour Eiffel), 165 (joggeuse), 168 (tapis), 172 (cerf-volant), 175 (panneau routier, plan), 179 (fenêtre, panneau routier), 186 (volet), 187 (porte de garage, plan), 188 (plan), 189 (marelle), 193 (table), 195 (carte), 202 (chaises et feu de camp), 205 (planche d’équilibre), 206 (chèvres, rampe de planches à roulettes), 215 (voiture), 216 (toile de parachute), 222 (odomètre, plan), 223 (panneau routier), 224 (arroseur rotatif), 259 (boîtes de balles de tennis), 260 (boîtes de jus de tomate), 265 (maquette du Pentagone), 270 (aquarium, boîtes de mouchoirs), 271 (chauffe-eau), 280 (gâteau), 282 (boîte et cylindre), 342 (sac de billes), 343 (dé à 12 faces), 347 (sac de blocs de construction), 350-351 (sac de billes), 380 (table), 382 (tunnel), 384 (jouet), 388 (sous-plat, tissu isolant). Marc Tellier : p. 132-133, 138 (balance à plateaux), 340, 346, 360 (pièces de monnaie, dés à 4 faces).

CHAPITRE

Mise au point                          1

nombres entiers 1 Les et les fractions

 7

CHAPITRE

Table des matières 3 Introduction à l’algèbre

               71

Rappel                                 72 • Les suites arithmétiques

1.1 Les nombres entiers                    8

• La table de valeurs et la règle de construction d’une suite arithmétique

1.2 Les fractions                          15

3.1 Les expressions algébriques        78

Exercices

supplémentaires              19

Retour sur le chapitre 1                  21 Le nouveau parc municipal CD2          26

• Les composantes d’une expression algébrique • La valeur numérique d’une expression algébrique

CHAPITRE

• Les polynômes

2

Les rapports et les proportions

         27

Rappel                                 28 • Les fractions, les pourcentages et le passage d’une forme d’écriture à une autre • Le plan cartésien

2.1 Les rapports et les proportions      31 • Les rapports • Les proportions

2.2 Les pourcentages                  39

• La traduction d’une situation par une expression algébrique

3.2 La réduction d’expressions algébriques I                       86 • L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

3.3 La réduction d’expressions algébriques II                      98 • La multiplication et la division d’expressions algébriques

Exercices

supplémentaires             107

• Le calcul du pourcentage d’un nombre

Retour sur le chapitre 3                109

• Le calcul du « cent pour cent »

Les parapluies CD2                    116

2.3 Les situations de variation proportionnelle et de variation inversement proportionnelle        47 • Les situations de variation proportionnelle • La représentation d’une situation de variation proportionnelle

Consolidation : Chapitres 1 à 3        117 Opération déneigement CD1           124 Le rallye photo CD2                    126

• Les situations de variation inversement proportionnelle

Exercices

supplémentaires              61

Retour sur le chapitre 2                 63 La tour Eiffel CD2                       70

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Table des matières

III

  127

CHAPITRE

CHAPITRE

équations du premier 4 Les degré à une inconnue

6 Le cercle

               191

Rappel                                128

Rappel                                192

• Les égalités et la priorité des opérations

• Le cercle

4.1 La résolution d’équations

6.1 Le cercle et le disque              194

du premier degré à une inconnue   130

• Le cercle et son centre

• Les équations et la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

• Le disque, l’angle au centre, le secteur et l’arc de cercle

• La résolution d’une équation comportant des fractions

6.2 La circonférence d’un cercle

4.2 La résolution de problèmes à l’aide d’équations algébriques           139 • La recherche d’une équation qui représente une situation

Exercices

supplémentaires             149

Retour sur le chapitre 4                151

CHAPITRE

Le transport du pétrole CD2            158

5

L’aire de gures planes                   

et la longueur d’un arc de cercle    198 • La circonférence d’un cercle • La longueur d’un arc de cercle

6.3 L’aire d’un disque et l’aire d’un secteur               207 • L’aire d’un disque • L’aire d’un secteur

Exercices

supplémentaires             217

Retour sur le chapitre 6                219 159

Angles et triangles CD2                226

Rappel                                160 • Le classement des polygones

Consolidation : Chapitres 1 à 6        227

• Le périmètre et l’aire

À l’eau ! CD2                           237

5.1 Le système international

Le dé robotique CD1                  238

• La relation entre les unités de mesure du système international • Les unités d’aires

5.2 L’aire de gures planes            166 • L’aire du carré, du rectangle et du parallélogramme • L’aire du triangle, du losange et du trapèze • L’aire des polygones réguliers et des gures décomposables

5.3 La recherche de mesures manquantes à partir de l’aire       176 • La recherche de mesures manquantes d’un polygone

Exercices

IV

supplémentaires             181

Les bacs à sable CD2                  240

CHAPITRE

d’unités (SI)                       163

7 Les solides

             241

Rappel                                242 • Les solides, les solides convexes et la relation d’Euler

7.1 Les solides et leurs développements           244 • La classication des solides • Le développement des solides

7.2 L’aire des solides                  250 • L’aire des solides • L’aire d’un prisme droit

Retour sur le chapitre 5                183

• L’aire d’une pyramide régulière

Un peu de réexion… CD2             190

• L’aire d’un cylindre droit

Table des matières

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7.3 Les solides décomposables

9.2 La moyenne arithmétique

et la recherche de mesures manquantes d’un solide            261 • L’aire d’un solide décomposable • La recherche de mesures manquantes d’un solide

Exercices

supplémentaires             273

et l’étendue des données          324 • La moyenne arithmétique et l’étendue des données • La comparaison de distributions de données

Retour sur le chapitre 9                331 Les saisons CD2                       338

Retour sur le chapitre 7                275

CHAPITRE

et les 8 L’homothétie gures semblables

    283

Rappel                                284 • Les gures isométriques et les éléments homologues

10 Les probabilités

CHAPITRE

Le collectionneur CD2                  282

     339

Rappel                                340 • La probabilité et le dénombrement

10.1 Les événements                 342 • L’univers des résultats possibles et les événements

• Les proportions

8.1 L’homothétie et ses propriétés     286 • L’homothétie

• Les événements compatibles et les événements complémentaires

10.2 La probabilité d’un événement    347

• Le rapport d’homothétie

• La probabilité théorique et la probabilité fréquentielle

• Les propriétés d’une homothétie

8.2 Les gures semblables            292 • Les caractéristiques de gures semblables • La recherche de mesures manquantes

8.3 Périmètres et aires de gures semblables              298 • Les rapports de similitude, des périmètres et des aires de gures semblables • La recherche de mesures manquantes

• Les propriétés des probabilités • La probabilité d’un événement élémentaire dans une expérience aléatoire composée • L’arbre des probabilités

Retour sur le chapitre 10               353 Jeux de hasard CD2                    360

Consolidation : Chapitres 1 à 10       361

supplémentaires             305

Abracadabra CD2                      369

Retour sur le chapitre 8                307

Les trophées de soccer CD1            370

Le mobile suspendu CD2               314

Les moyens de transport CD2          372

CHAPITRE

Exercices

9 Les statistiques

       315

Rappel                                316 • Le caractère statistique et les diagrammes

9.1 L’organisation et la représentation

Révision de l’année                   373 Le pouce vert CD2                     387 Les sous-plats de Juliette CD1          388 Vol BD342 CD2                        390

de données statistiques           318

Outils                                  391

• Le tableau statistique et le diagramme circulaire

Index                                  407

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Table des matières

V

Organisation du cahier d’apprentissage Le cahier d’apprentissage permet de mobiliser l’ensemble des savoirs essentiels du programme de mathématique du 1er cycle du secondaire. Le cahier respecte de plus les indications fournies dans le document Progression des apprentissages au secondaire.

Mise au point Placée au début du cahier, cette section permet de faire une révision des principales notions abordées au cours de la 1re secondaire. On y propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement.

Les chapitres Le cahier comprend dix chapitres, regroupés selon les champs mathématiques : arithmétique, géométrie, algèbre, statistique et probabilité. Chaque chapitre est divisé en sections. Rubrique

en première page des chapitres

Cette rubrique permet de se questionner sur de nouvelles stratégies de résolution de problème.

Rappel Le chapitre débute par une section Rappel. Elle permet de réactiver les connaissances acquises en lien avec les savoirs présentés dans le chapitre.

VI

Organisation du cahier d’apprentissage

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Encadrés théoriques Sous forme de résumé, les encadrés théoriques présentent des explications sur les savoirs essentiels du programme. Des exemples appuient les explications. Activités De nombreuses activités permettent de mettre en pratique les savoirs présentés.

Rubriques et Cette rubrique offre plus d’exercices pour une meilleure appropriation des savoirs présentés. Dans certains chapitres, on retrouve des Exercices + supplémentaires.

Rubrique Au l des sections, cette rubrique signale une activité plus difcile ou qui est de l’enrichissement par rapport au programme à l’étude. Retour sur le chapitre Cette section donne l’occasion de réinvestir les savoirs abordés tout au long du chapitre. On y retrouve des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement.

Situation d’application Une situation d’application vient clore chaque chapitre Elle mobilise des savoirs abordés au cours du chapitre et permet d’en faire la synthèse tout en travaillant la compétence 2 (CD2). Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Organisation du cahier d’apprentissage

VII

Consolidation Le cahier comprend trois sections Consolidation, une par étape. La Consolidation permet de réviser les savoirs vus dans tous les chapitres précédents. Elle propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement. Elle comprend également une ou deux situations d’application (CD2), ainsi qu’une situation-problème (CD1).

Révision de l’année La Révision de l’année permet de vérier la compréhension des savoirs abordés tout au long de l’année scolaire. Elle propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et à développement, ainsi que deux situations d’application (CD2) et une situation-problème (CD1).

Outils À la n du cahier, la section Outils présente des concepts utiles dans la pratique des mathématiques : énoncés de géométrie, formules de périmètre et d’aire, constructions et transformations géométriques, tableaux et diagrammes, graphisme, notation et symboles, et système international d’unités (SI).

Les rubriques et les pictogrammes du cahier Rubrique Cette rubrique présente des rappels et des stratégies mathématiques. Rubrique Cette rubrique présente des faits amusants, anecdotes ou renseignements complémentaires. Ce pictogramme signale qu’une activité numérique est associée aux notions abordées. VIII

Organisation du cahier d’apprentissage

Astuce Pour trouver le taux unitaire, il faut trouver le quotient.

Curi sité La valeur de la monnaie d’un pays uctue selon les transactions réalisées dans les marchés mondiaux.

Ce pictogramme signale que le problème permet de travailler un ou plusieurs critères de la compétence 2. Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Mise au point Questions à choix multiples 1

Effectue le calcul suivant. (−4×3 ) 2−( 9−(−5 )×3 ) a) −168

2

c) 138

d) 168 3

Parmi les expressions suivantes, laquelle n’est pas équivalente à 2 8 ? a)

3

b) 120

19 8

b) 2,375

c) 237,5 %

d) 2,375 %

Les gures suivantes sont construites à partir de triangles de 1 cm de côté. Quel est le périmètre de la gure 10 ? … Figure 1

Figure 2

a) 24 4

b) 42

b) 172 km

d) 60

c) 175 km

d) 180 km

Parmi les nombres suivants, lequel est divisible à la fois par 6 et par 9 ? a) 39

6

c) 51

Une automobile roule à 80 km/h. Quelle distance parcourt-elle en 2 h 15 min ? a) 160 km

5

Figure 3

b) 54

c) 63

d) 84

Julien s’entraîne chaque jour de la semaine. Après la période d’échauffement, il note sa fréquence cardiaque dans un tableau. S’il veut maintenir une moyenne de 155 pulsations par minute, quelle devrait être sa fréquence cardiaque lors de son entraînement de vendredi ? Fréquence cardiaque de Julien (pulsations/min)

a) 153

Lundi

Mardi

Mercredi

Jeudi

Vendredi

150

153

158

158

?

b) 154

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c) 155

d) 156

Mise au point

1

Questions à réponses courtes 7

8

9

Complète les égalités suivantes. a) 3,5 hm=

dm

b) 450 mm=

m

c) 1 564 cm=

km

d) 763,95 dm=

mm

e) 129 543,5 mm=

hm

f) 0,983 657 km=

cm

g) 345,721 dm=

m

h) 0,006 93 hm=

dm

Effectue les opérations suivantes. a) −3+(−5)−(−10)+8−15=

b) −7×3+(−15)÷5=

c) (−2)3+(−36+12)÷3−18=

d) −32×(−5)−4×(−8)=

e) (62−50)2÷(−42+5×2)=

f)

(−3+15)×(4−(−6))=

Compare les nombres suivants à l’aide des symboles < , > et = . 3 7

a)

3 4

1

−1 2 5

e) −1 4

b)

11 5

11 10

7

26

5

f) 2 9

9 17

c)

g) −10,53

0,42

d) 22 %

11 50

−10,25

h)

3 5

0,6

10 Transforme les fractions en nombres fractionnaires et les nombres fractionnaires en fractions. a) 3 14 = e)

8 = 5

b)

25 = 6

c)

15 = 2

d) 5 56 =

f)

22=

g)

9 = 7

h) 4 1 =

3

3

11 Trouve le terme manquant.

a)

e)

2

25 = 60

12

Mise au point

12

12 = 48

9

b)

3 = 4

f)

1 = 100 5

c)

g)

1

4 = 16

3 = 100 4

d)

h)

9

3 = 25

72 = 80

75

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12 À l’école de Yuli, les élèves portent un uniforme. Yuli peut porter un pantalon ou une jupe. Elle peut aussi choisir parmi trois polos : un rouge, un noir ou un blanc. Représente les différentes combinaisons d’uniformes à l’aide d’une grille.

Polo Jupe ou pantalon

13 Observe le plan cartésien. y

a) Trouve les coordonnées des points suivants.

4 3 2

A

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

1

−2

D

2

3

4

5

6 x

C

−3 −4 B −5

A (

,

)

B (

,

)

C (

,

)

D (

,

)

b) Place les points suivants dans le plan. Relie-les ensuite. E (−4, 0)

F (−2, 3)

G (5, 3)

H (3, 0)

c) Quel est le polygone formé par les points E, F, G et H ?

14 Observe la suite arithmétique suivante. {3, 5, 7, 9, …} a) Trouve la règle. b) Trouve le 35e terme. c) Quel est le rang du terme 131 ?

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Mise au point

3

15 Sans l’aide de ton rapporteur d’angles, trouve la mesure des angles 1, 2 et 3 de la gure ci‑contre. Justie tes calculs à l’aide des propriétés géométriques.

90° 50°

∠1 ∠2 ∠3

Afrmation

Justication

m ∠ 1=

m ∠ 2=

m ∠ 3=

16 Un martin‑pêcheur survole le lac à la Tortue. À 127 m d’altitude, il aperçoit une truite qui nage à 58 m de profondeur. Quelle distance verticale sépare l’oiseau de la truite ?

17 Chaque année, la mère de Chloé mesure la taille de sa lle le jour de son anniversaire. Représente les données du tableau à l’aide d’un diagramme à ligne brisée.

4

Année

Taille (cm)

2005

47

2006

71

2007

88

2008

98

2009

109

2010

114

2011

121

2012

129

2013

137

Mise au point

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Questions à développement 18 Julianne planie une n de semaine de camping au parc national de la Yamaska. Le coût d’un emplacement de camping pour une nuit est de 27,25 $. Julianne désire aussi proter de l’offre spéciale sur les randonnées de kayak en matinée. Le prix courant pour une heure de randonnée est de 21,25 $. Une réduction de 40 % est offerte entre 8 h et midi. Julianne prévoit dormir 3 nuits au camping et faire du kayak le samedi matin de 8 h à 11 h et le dimanche après-midi de 13 h à 15 h. Trouve le coût total du séjour avant les taxes.

Réponse : 19 Pour son cours de science et technologie, Idris doit fabriquer un labyrinthe à souris dans une boîte. Il détermine la longueur des murs intérieurs du labyrinthe à partir des dimensions de la boîte : la longueur des murs bleus correspond aux trois quarts des dimensions de la boîte ; la longueur des murs verts correspond à la moitié des dimensions de la boîte ; la longueur des murs rouges correspond au tiers des dimensions de la boîte. Quelle est la longueur totale des murs du labyrinthe ? Arrondis ta réponse au millimètre près.

Labyrinthe à souris 175 cm

85 cm

Réponse :

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Mise au point

5

20 Victoria veut acheter une télévision. Le prix courant est de 1 299,99 $. Elle consulte les feuillets publicitaires pour connaître les réductions offertes par trois magasins concurrents. La boutique Électro Plus offre une réduction de 20 %, avant les taxes de 15 %. Le Centre de l’électronique offre une réduction de 25 %, après les taxes de 15 %. Le magasin Au prix du gros offre 10 % de réduction sur toutes les télévisions et paie les taxes. Où Victoria devrait-elle acheter sa télévision ?

Réponse : 21 Benoit aime analyser les statistiques de ses deux joueurs de football préférés, Peyton Manning et Tom Brady. Calcule la moyenne du nombre de passes de touché de chaque joueur pour déterminer lequel est le meilleur. Arrondis les moyennes à l’unité près. Peyton Manning

Tom Brady

Nombre de passes de touché 60

Saison

Nombre de passes de touché

2008

27

50

2009

33

40

2010

33

30

2011

0

20

2012

37

10

2013

55

0

2014

39

35

39

34

28

2008

2009

33 25

2010

2011

2012

2013

2014 Année

Réponse : 6

Mise au point

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CHAPITR E

Les nombres entiers et les fractions

1

SOM MAI R E 1.1 Les nombres entiers.................................................... 8 1.2 Les fractions................................................................15 Exercices + supplémentaires......................................19 Retour sur le chapitre 1.................................................21 Le nouveau parc municipal (CD2).............................26

Quel nombre faut-il additionner au résultat de la chaîne d’opérations suivante pour obtenir 10 ? (3)2×((11−16)2+(−3)3)−4×(−2)

Réponse :

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Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

7

1.1 Les nombres entiers L’addition et la soustraction de nombres entiers Les nombres entiers, , sont formés des nombres naturels et de leurs opposés. ={…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait des nombres entiers, il faut observer leur signe. 1. L’addition de deux nombres entiers positifs donne un nombre positif.

12+3=15

2. L’addition de deux nombres entiers négatifs donne un nombre négatif.

−12+(−3)=−15 20−(−15)=35

3. La soustraction d’un nombre entier correspond à l’addition de son opposé.

20+15=35

4. Lorsqu’on additionne deux nombres entiers de signes contraires, il faut soustraire les deux nombres sans tenir compte du signe. La somme prend le signe du nombre le plus éloigné de 0 (c’est le terme le plus fort).

−30+15=−15 32+(−40)=−8

Astuce

L’écart entre deux nombres représente le nombre d’unités qui les séparent sur une droite numérique.

ou che Sur une calculatrice, la tou re négatif. permet d’indiquer le nomb

On cherche l’écart entre −10 et 12. +22 −14

−12

−10

−8

−6 +10

−4

−2

0

2

4

6 +12

8

10

12

14

16

L’écart entre −10 et 12 est de 22.

• Pour trouver l’écart entre deux nombres, il faut calculer leur différence. • L’écart n’est jamais négatif. An d’obtenir une différence positive, il faut soustraire le plus petit nombre du plus grand.

On cherche l’écart entre −28 et −12. −12 >−28 −12−(−28) =−12+28 =16 L’écart entre −28 et −12 est de 16.

8

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

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1

Compare les nombres suivants à l’aide des symboles et=. a)

−13

d)

36

g) −110 2

3

4

−11

b)

12

−13

c)

−5

−(−5)

−(−36)

e) −25

−42

f)

−45

−(45)

28

h)

−(−251)

i) −350

−455

250

Effectue les opérations suivantes. a) −3+(−8)=

b) −(−2)+3=

c) 8+(−11)=

d) 5−6=

e) −15+(−11)=

f) −8−7=

g) −25+(−11)=

h) −7−(−15)=

i) −36−25=

Trouve l’écart entre les nombres suivants. a) 8 et 36 c) −11 et 23

b) −2 et 12 d) −56 et −27

e) 75 et −32

f) −115 et −75

La nuit dernière, les températures minimale et maximale enregistrées ont été respectivement de −5 °C et de 7 °C. Quel est l’écart entre ces deux températures ?

5

L’entreprise de Suki a enregistré des gains de 678 $ le mois dernier. Ce mois-ci, l’entreprise a subi des pertes de 752 $. Au cours des deux derniers mois, quel a été le montant total des pertes ou des gains de l’entreprise de Suki ?

Exercice

Exercice 6

Trouve les termes manquants. Utilise une feuille mobile au besoin. a) −3−11= b) 15+ =27 c) −14+11= d) −18+ g)

=−30 −30=−14

e) 16− =28 h) −35−28=

j)

+113=235

k) 224−

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=−151

f) i)

−23=−49 −(−75)=133

l) −212+

Les nombres entiers et les fractions

=362

Arithmétique

9

La multiplication et la division de nombres entiers Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise des nombres entiers, on doit tenir compte de la règle des signes. 1. Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif.

4×11=44 15÷5=3 4×(−11)=−44 −15÷5=−3

2. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

−4×(−11)=44 −15÷(−5)=3 −4×11=−44 15÷(−5)=−3

La notation exponentielle et les nombres entiers • La notation exponentielle permet de simplier l’écriture d’un produit de facteurs identiques.

Exposant 34=81

• La puissance d’un nombre est le résultat de l’exponentiation. 102  10×10=100

Base

Puissance

43  4×4×4=64

On lit : « 10 exposant 2 est égal à 100 » ; « la 2e puissance de 10 est 100 » ; « le carré de 10 est 100 ».

On lit : « 4 exposant 3 est égal à 64 » ; « la 3e puissance de 4 est 64 » ; « le cube de 4 est 64 ».

• La règle des signes de la multiplication s’applique aussi à la notation exponentielle. (−5)2  (−5)×(−5)=25 Par contre :

−52  −(5×5)=−25

• Toute base non nulle affectée de l’exposant 0 donne 1. (−150)0=1

Les chaînes d’opérations Dans une chaîne d’opérations, il faut respecter la priorité des opérations suivante : 1. Les opérations entre parenthèses ;

48−8÷22×(25−18)

2. Les exponentiations ;

=48−8÷22×7

3. Les multiplications et les divisions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite ;

=48−8÷4×7

4. Les additions et les soustractions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.

=48−14

=48−2×7 =34

10

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

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1

2

3

Effectue les opérations suivantes. a) −5×10=

b) 56÷(−7)=

c) −12×(−8)=

d) 11×(−12)=

e) −21÷3=

f) −125÷(−25)=

g) 100÷(−4)=

h) −12×(−12)=

i) −15×(10)=

j) −108÷(−9)=

k) −99÷3=

l) −20×(−5)=

m) −100×12=

n) 200÷(−50)=

o) −7×(−8)=

Trouve la valeur des puissances suivantes. a) 52=

b) 40=

c) 53=

d) (−2)3=

e) −22=

f) 82=

g) (−3)4=

h) 25=

i) (−1)7=

j) 72=

k) (−3)3=

l) (−1)4=

m) (−10)3=

n) (−9)2=

o) −42=

Effectue les chaînes d’opérations suivantes. a) 3+8×2−8÷(−4)

Exercice 4

b) (−2+6)÷(18−14)

c) (−7+5×32)÷2

Exercice

Effectue les chaînes d’opérations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 3+2×3= b) (2+3)×(−6−4)= c) 110−(2−(−5))= e) (−10+3)÷(18−11)=

d) (16+(−2)×3−9)2=

g) (−2)2+108÷(−3)= i) 5+9÷3−7×(−6)=

h) 92−54÷6= j) −66+3÷3−12×(−6)=

k) (−1−3)3+35÷(−5)= m) 99−3×(−2+52)=

l) (−23+(−11)2×3)÷10= n) (4×3)2−(−16)÷23=

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f) 150÷3−171÷9=

Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

11

5

Pour chacun des énoncés suivants, détermine la chaîne d’opérations appropriée. Trouve ensuite le résultat. a) Je suis le triple de la somme de 21 et de −4.

Astuce

triple,×3 ; Le double signie×2 ; le uple,×5 ; int le quadruple,×4 ; le qu le,×100. le décuple,×10 et le centup

b) Je suis le quintuple de l’écart entre −15 et 4.

c) Je suis le carré de la somme de 5 et de 3 diminué du cube de 2.

6

Vladimir a acheté 8 paquets de 15 chocolats. Il garde 12 chocolats pour lui et partage le reste de manière égale entre ses 9 amis. Combien de chocolats donnera-t-il à chacun de ses amis ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations. Réponse :

7

Kélianne a 12 ans et son frère Tommy en a 8. Leur mère a le double de la somme de leurs âges. Quel est l’âge de la mère de Kélianne ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations. Réponse :

8

Le mammifère le plus petit du monde est la chauve-souris bourdon. Elle mesure environ 3 cm. Le mammifère le plus grand du monde est la baleine bleue. Sa taille correspond au centuple de la somme de 21 cm et du carré de la taille de la chauve-souris bourdon. Quelle est la taille de la baleine bleue ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations. Réponse :

12

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

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Les nombres carrés Un nombre carré est la deuxième puissance d’un nombre. 52  5×5=25 Le nombre 25 est un nombre carré. Il peut être représenté à l’aide d’un carré de 5 lignes et de 5 colonnes.

Les dix premiers nombres carrés sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

La racine carrée • La racine carrée d’un nombre n, notée n , est le nombre positif dont le carré est égal à n. Dans l’ensemble des nombres naturels, élever au carré et extraire la racine carrée sont des opérations inverses. 112=121



121 =11

La racine carrée de 121 est égale à 11.

132=169



169 =13

La racine carrée de 169 est égale à 13.

• Une propriété des racines carrées fait en sorte que a × b = a×b. Ainsi, 2 × 18= 2×18= 36=6.

1

2

3

Trouve la valeur des carrés suivants. a) 62=

b) 92=

c) (−1)2=

d) (−7)2=

e) 122=

f) (−4)2=

g) 82=

h) (−25)2=

i) (−20)2=

j) 112=

k) (−100)2=

l) 02=

Trouve la valeur des racines carrées. Utilise ta calculatrice au besoin. a)

9=

b)

64=

c)

289=

d)

100=

e)

576=

f)

900=

g)

841=

h)

625=

i)

400=

j)

1 024=

k)

2 025=

l)

15 625=

Trouve la valeur des expressions suivantes sans utiliser ta calculatrice. Au besoin, utilise la propriété des racines carrés énoncée dans l’encadré théorique. a)

5× 5=

b) ( 4 )2=

c) 2× 25=

d) − 64+8=

e)

12× 12=

f) (− 49)2=

8× 2=

h)

8×2=

i)

g)

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9× 9=

Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

13

Marco aimerait créer une mosaïque carrée avec 121 photos carrées.

4

Combien de photos doit-il placer par ligne pour former la mosaïque ?

Jesse veut construire une terrasse carrée de 576 cm sur 576 cm. Il hésite entre deux modèles de dalle carrée.

5

Quel modèle de dalle Jesse doit-il choisir s’il veut que sa terrasse lui coûte le moins cher possible ?

B

A

24 cm×24 cm Coût à l’unité : 2,20 $

36 cm×36 cm Coût à l’unité : 4,80 $

Réponse :

6

Quel nombre entier faut-il additionner à chacune des chaînes d’opérations suivantes pour obtenir le nombre carré le plus près de son résultat ?

(−4−(−3))4+2×(−9)÷6+14

80÷(53+3−148)+20−7×2

Réponse :

14

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.1

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1.2 Les fractions Les opérations sur les fractions Une fraction est formée de deux nombres entiers : le numérateur et le dénominateur. Numérateur

5 6

0

Dénominateur

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

• Une fraction impropre représente un nombre supérieur à 1. Le numérateur est alors supérieur au dénominateur.

Astuce

• Un nombre fractionnaire est aussi un nombre supérieur à 1. Il est composé d’un nombre entier suivi d’une fraction. Tout nombre fractionnaire peut s’écrire sous forme de fraction impropre, et vice versa.

Transforme les nombres impropres fractionnaires en fractions ration. avant d’effectuer une opé

• Des fractions équivalentes sont des fractions de même valeur. Fraction ampliée ×2

1 2

=

×3

2 4

=

×2

×4

3 6

=

×3

4 8

×4

1 12 1 = 133 . Par exemple, 4 3 = 3 + 3

Fraction simpliée

×5

=

1

÷2

5 10

16 20

=

×5

÷4

8 10

÷2

=

4 5

÷4

• Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simpliée. En effet, le plus grand commun diviseur de son numérateur et de son dénominateur est 1.

L’addition et la soustraction de fractions Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. 7 8

On cherche le résultat de +

2 . 14

PPCM (8, 14)=56



7 2 49+8 57 + = = 8×7 14×4 56 56 ×7

×4

On cherche le résultat de

15 12 − . 7 21

PPCM (7, 21)=21



15×3 12 45−12 33 11 − = = = 7×3 21 21 21 7

Astuce Simplie les facteurs communs avant d’effectuer la multiplication.

La multiplication et la division de fractions Lorsqu’on multiplie deux fractions, il suft de multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

3 3 9 × = 11 4 44

Lorsqu’on divise un nombre par une fraction, il faut transformer la division en une multiplication par la fraction inverse.

4 2 4 5 2 ÷ = × = 25 5 25 2 5

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2

1

5

1

Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

15

1

Effectue les opérations suivantes. Simplie le résultat au besoin. a)

11 + 14 20

b)

4 5 + 12 5

17 c) 4 25 − 15

d)

8 7 × 24 21

e)

5 ÷2 12

f) 5 13 ÷3 59

Exercice

Exercice 2

Trouve le résultat des opérations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. 3 a) 1 38 +2 28 =

16

4 b) 4 25 − 15 =

11 ÷ 121 = 25 5

( )

d)

7 × 23 = 10

e)

5 4

g)

8 4 ÷ 33 = 11

h)

2 1 − 49 + 27 = 3

5 i) 4÷ 13 × 12 =

j)

7 3 − 25 = 15

k)

4 × 289 = 17 16

l) 2 58 ×1 47 =

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.2

− 57 =

c)

4 f) 2 25 × 3 17 =

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3

4

té des opérations.

Pense à respecter la priori

a)

1 − 23 × 14 2

b)

3 + 38 − 34 5

c)

2 + 11 +2× 3 5 3 20

d)

( 37 + 107 ) ÷ 353

Lors de son dernier match, l’équipe de basketball de l’école l’Oasis a remporté la victoire. Élie a marqué le 15 des points, 3 Jimmy les 38 et Victor les 10 . Le reste des points a été marqué par Akim. Quelle fraction des points Akim a-t-il marquée ?

5

Astuce

Effectue les chaînes d’opérations suivantes.

Réponse :

Anaïs achète du l en métal pour fabriquer des colliers. Elle achète 14 m de l en argent, 3 45 m de l en cuivre et 18 m de l en or. Combien de mètres de l a-t-elle achetés en tout ?

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Réponse : Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

17

Arthur et sa mère préparent du caramel. Ils utilisent deux casseroles. L’une a une capacité 2 de 18 3 L et l’autre est 2 fois plus petite.

6

Arthur et sa mère transvident ensuite le caramel dans de petits pots d’une capacité de 37 L chacun. Combien de petits pots peuvent-ils remplir ?

Réponse :

7

Amir peint une murale dans sa chambre. La murale occupe les 58 de la supercie 4 du mur. Il peint les 15 de la murale en noir, les 23 en bleu et le reste en vert. Quelle fraction de la supercie du mur est peinte en vert ?

Réponse :

18

Arithmétique

Chapitre 1 — Section 1.2

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 1.1 1

Trouve les termes manquants. a) −2−7= d) −15+

2

3

b) −4+

=8

c) 13+(−5)=

e) 21− h) −27−

=37 =−25

f)

g)

=−25 −50=−38

j)

+132=249

k) 175−

=−65

−12=−43

i) 121− l) −284+

=174 =148

Effectue les opérations suivantes. a) −2×8 d) −9×(−12)

b) 63÷(−9) e) −24÷3

c) −11×(−11) f) −64÷(−16)

g) 200÷(−8) j) −66÷(−3)

h) −9×(−8) k) −6×7

i) −5×12 l) −42÷3

Effectue les chaînes d’opérations suivantes. a) 4+5×6= c) 98−(8−(−4))=

b) (4+7)×(−2−3)= d) (12+(−4)×5−7)2=

e) (−14−6)÷(−1−4)= g) (−2)3+144÷(−6)=

f) 160÷4−117÷3= h) 72−56÷7= j) (−15×2+(−12)2)÷2=

i) (−4+1)3+81÷(−3)=

Section 1.2 4

Trouve le résultat des opérations suivantes. Écris ta réponse sous forme de fraction. a) 1 35 +2 14 =

7 b) 5 34 − 16 =

c)

13 ÷ 169 = 36 6

d)

7 × 13 = 20

e)

4 + 29 = 3

f) 3 14 ×2 27 =

g)

9 ÷ 18 = 11 77

h)

9 × 45 = 10

i)

2 1 − 14 + 13 = 7 28

k)

1 ÷ 34 × 25 = 2

l)

3 1 − 38 + 16 = 4

j) 6÷ 14 × 38 =

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Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

19

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 1.1 5

Des scientiques étudient de nouvelles bactéries. Ils remarquent que leur nombre triple toutes les heures. S’il y avait une bactérie au départ, combien y en a-t-il après 5 heures ?

6

Pour son cours de sciences, Marco doit déterminer la masse d’un minéral inconnu à l’aide d’une balance à plateaux. Il dépose le minéral sur le plateau de gauche et place 3 masses de 50 g sur le plateau de droite. Il constate que le plateau de droite est trop lourd. Il enlève donc une masse de 50 g et la remplace par une masse de 25 g. Il ajoute ensuite 2 masses de 10 g, mais c’est trop. Il enlève une masse de 10 g et la remplace par une masse de 5 g et 3 masses de 1 g. La balance est alors équilibrée. Écris la chaîne d’opérations qui permet de déterminer la masse du minéral. Trouve ensuite le résultat.

7

Le plateau d’un jeu d’échecs est un carré formé de 64 petits carrés blancs et noirs. Amylia a créé un jeu dont le plateau est plus grand. Les côtés du nouveau plateau comptent 4 petits carrés de plus que celui d’un jeu d’échecs. Combien de petits carrés forment le nouveau plateau de jeu ?

Section 1.2 8

Pierre prépare 21 13 L de sauce à spaghetti. Il congèle ensuite sa sauce en la transvidant dans des contenants de 89 L chacun. De combien de pots Pierre a-t-il besoin ?

9

2 Un jeu de Scrabble contient 100 pièces. Les 25 des pièces valent 2 points, les 1 1 valent 3 ou 4 points, le 50 des pièces valent 8 points et le 20 des pièces valent 10 points.

3 25

Combien de pièces valent 1 point ? 1 10 Selon le Guide alimentaire canadien, 2 tasse de viande ou correspondent à une portion de viande.

3 4

tasse de légumineuses

Si Miguel veut cuisiner 25 portions végétariennes, combien de tasses de légumineuses doit-il préparer en plus que s’il cuisinait de la viande ?

20

Arithmétique

Chapitre 1 – Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 1 Questions à choix multiples 1

Parmi les afrmations suivantes, laquelle est fausse ? a) La somme de −18 et 12 est −6. b) L’écart entre −18 et 12 est de 30. 5 c) La division de −18 par 12 donne −1 . 6

d) Le carré de la somme de −18 et 12 est 36. 2

Quel est le résultat de la chaîne d’opérations suivante ?

(−2+3×(−4))−2×8+33

3

b) −27

c) −21

d) −3

e) −1

RETOUR

a) −101

Quel est le quotient de l’opération suivante ? 11 ÷ 54 12

a) 4

121 180

b)

11 15

c)

4 5

d)

55 48

e) 3

Le tableau suivant présente les températures extérieures maximales atteintes la semaine dernière. Dimanche

Lundi

Mardi

Mercredi

Jeudi

Vendredi

Samedi

−7 ºC

−3 ºC

5 ºC

11 ºC

−1 ºC

−5 ºC

−12 ºC

Quel est l’écart entre la température la plus basse et la température la plus élevée ? a) −23 ºC 5

b) −12 ºC

c) 12 ºC

d) 16 ºC

e) 23 ºC

d) 100 000

e) 1 000 000

Quelle est la valeur de la puissance suivante ? (−100)3

a) −1 000 000

b) −100 000

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c) −10 000

Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

21

Questions à réponses courtes 6

Complète les égalités suivantes. a) 4

b) −(−3)4=

=16

d) −11− g) (−5)0=

RETOUR

7

8

9

22

+(−18)=17

e)

=4

c) −5×

h) (−66)÷

=−60

f) −49+

×6=−54

i)

=11

=−7

Trouve l’écart entre les nombres suivants. a) 11 et 30

b) −8 et −22

c) −15 et 42

d) 110 et −20

e) −212 et −150

f) 12 et −331

Complète les égalités suivantes. a) (−8)2=

b)

441 =

c)

d) 19

e)

2 116 =

f)

=361

=11 5

=5

Effectue les opérations suivantes. a)

7 3 + 55 11

b) 2 34 − 13 5

c)

18 6 ÷ 49 7

d) 4 13 × 3 2

Arithmétique

Chapitre 1 — Retour

7

( 1)

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a) (−2+3)×4−2÷2×(−8)

b) 43÷2−4×(−5)+108÷12−1

c) 11+(−3)÷ 14 −11×6−52

d) (−19+25)2−2×(6+4×9)÷4

11 Pour chacun des énoncés suivants, écris la chaîne d’opérations. Trouve ensuite le résultat. a) Je suis le carré de la somme de−3 et 12.

RETOUR

10 Trouve le résultat des chaînes d’opérations suivantes.

b) Je suis la différence entre le quadruple de 3 et le triple de−8. c) Je suis le quotient du carré de 8 par le cube de 2. d) Je suis la somme du produit de 4 et−9 et du quotient de 72 par 12.

12 Léonard a 300 $. Il achète 2 DVD à 15 $ chacun et 4 romans à 12 $ chacun, taxes comprises. Combien d’argent lui reste-t-il ? Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne d’opérations.

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

23

Questions à développement 13 Julie et France font de la plongée sousmarine. Lors de leur dernière plongée, elles sont descendues à 15 m de profondeur. Ensuite, elles sont remontées de 3 m pour redescendre de 21 m. Là, elles ont pu observer un splendide banc de poissons. France afrme que le banc de poissons était à −39 m. A-t-elle raison ?

Réponse :

RETOUR

14 Chan aménage sa cour arrière. Il veut installer une terrasse sur le 18 du terrain, une piscine creusée sur les 47 du terrain et un module de jeu 3 sur les 28 du terrain. Quelle fraction du terrain reste-t-il pour aménager des plates-bandes ? Réponse : 15 Avant sa compétition de gymnastique, Edwin doit bien manger. Sa mère lui prépare un plat qui respecte les conseils de son entraîneur. Le plat a une masse 5 1 totale de 12 kg. Il contient 16 kg 7 de protéines et 48 kg de lipides. Le reste du plat contient uniquement des glucides. Quelle quantité de glucides le plat contient-il ?

Réponse :

2 16 Ximena a préparé 5 3 tasses de pâte à crêpes. Pour faire cuire une crêpe, elle utilise 14 de tasse du mélange.

Combien pourra-t-elle faire cuire de crêpes avec son mélange ?

Réponse : 24

Arithmétique

Chapitre 1 — Retour

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17 Martin est laveur de vitres. Il demande 35 $ par déplacement et 15 $ pour chaque heure travaillée. Lors d’une journée de travail, les frais liés aux produits de nettoyage sont en moyenne de 8 $. Hier, il a travaillé 3 heures chez madame Lapierre et 4 2 heures chez 3 monsieur Tremblay. Combien d’argent Martin a-t-il gagné hier ?

Réponse : 18 Jean-Félix et Adriana font de la marche rapide. Après 30 minutes, Adriana a parcouru les 56 du sentier. Jean-Félix a parcouru une distance 4 fois plus courte.

RETOUR

Quelle fraction du sentier Jean-Félix doit-il encore parcourir ?

Réponse : 3 19 Amanda achète 8 5 m de corde qu’elle découpe en morceaux de 37 achète 7 50 m de corde qu’elle découpe en morceaux de 35 m.

5 8

m. Son amie Audrey

Obtiendront-elles le même nombre de morceaux de corde ?

Réponse :

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Les nombres entiers et les fractions

Arithmétique

25

Situation d’application Le nouveau parc municipal Ta municipalité veut remettre en état le parc près de chez toi. Il faut remplacer les modules brisés, construire une nouvelle clôture, changer le sable pour du paillis et aménager une pelouse. Le budget du projet est de 10 440 $.

Clôture

10

7 m 8

Sable 5

2 m 5

Module

Module

5 Gazon

Voici le plan du parc actuel.

10

7 m 8

Madame Rousseau, la responsable du projet, a choisi des modules qui coûtent respectivement 2 945 $ et 3 880 $. Le coût total pour le paillis et le gazon est 5 fois moindre que celui des modules. Il lui reste maintenant à choisir un modèle de clôture. Voici le prix de différents modèles de clôture, incluant l’installation : Modèle 1 52 $ le mètre

Modèle 2 75 $ le mètre

Modèle 3 70 $ le mètre

Si madame Rousseau choisit le modèle 2, respectera-t-elle le budget du projet ?

Réponse

26

Situation d’application

Le nouveau parc municipal

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2 m 5

CHAPITR E

Les rapports et les proportions

2

SOMMAIRE

Rappel...................................................................................28 2.1 Les rapports et les proportions ..............................31 2.2 Les pourcentages ......................................................39 2.3 Les situations de variation proportionnelle et de variation inversement proportionnelle......... 47 Exercices + supplémentaires......................................61 Retour sur le chapitre 2 .................................................63 La tour Eiffel (CD2) .........................................................70

Il faut 24,3 kg d’acier pour fabriquer une poutrelle de 3 m. Combien d’acier faut-il pour fabriquer une poutrelle de 11 m ?

Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

27

Rappel Les fractions et les pourcentages • Des fractions équivalentes sont des fractions de même valeur. 2×4 8 Par exemple, ×4 = sont des fractions équivalentes. 3

Astuce

12

• Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simpliée. 5 Par exemple, est une fraction irréductible.

Pour en savoir plus sur les fractions, consulte la page 15.

12

• Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. 29 Par exemple, =29 %. Cette expression se lit « 29 pour cent ». 100

Le passage d’une forme d’écriture à une autre • Pour passer d’une fraction à un pourcentage, il faut trouver la fraction équivalente dont le dénominateur est 100.

RAPPEL

• À l’inverse, il est possible de réduire une fraction associée à un pourcentage. • Pour écrire une fraction en notation décimale, il faut trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, etc.) pour déterminer la partie décimale. Si ce n’est pas possible, il faut diviser le numérateur par le dénominateur. • Pour écrire un pourcentage en notation décimale, il faut transformer le pourcentage en fraction pour déterminer la partie décimale. • Pour transformer un nombre décimal en pourcentage, il faut multiplier le nombre par

1

28

100 . 100

3×20 60 3 = → =60 % 5×20 100 5 48 ÷4 12 12 = → 48 %= 100 ÷4 25 25

4×4 16 4 = → =0,16 25×4 100 25

4÷25=0,16 →

52 % =

0,45×

4 =0,16 25

52 → 52 % =0,52 100

100 45 = → 0,45 =45 % 100 100

Trouve le terme manquant. a)

1 = 3

d)

9 = 45

g)

4 = 120

b)

30

Arithmétique

5 1

e) h)

Chapitre 2 — Rappel

3 = 5

55 14 = 11

60

c)

10 = 25

= 60 11

f)

20 = 85

154

i)

663

30

17

=

221 12

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2

3

4

Transforme les nombres décimaux en pourcentages ou l’inverse. a) 65 %=

b) 28,3 %=

c) 3,24=

d) 0,21=

e) 115 %=

f) 0,082=

g) 0,015=

h) 38,15 %=

i) 2,158=

Transforme les fractions suivantes en pourcentages. a)

4 = 5

b)

2 = 200

c)

15 = 20

d)

6 = 25

e)

5 = 40

f)

7 = 10

g)

3 = 4

h)

50 = 1 000

i)

3 = 50

Mica a acheté un paquet de 30 biscuits. Elle en donne le 16 à 3 sa sœur Olivia, les 10 à son frère 2 Frédéric et les 5 à son amie Léanne.

RAPPEL

Qui a reçu le plus de biscuits ? Trouve la réponse à l’aide de fractions équivalentes.

Réponse :

5

Laurie doit lire un roman pour son cours de français. Lundi soir, elle 7 a lu les 20 des pages du roman. Les deux soirs suivants, elle a lu 7 respectivement 30 % et les 25 des pages. Quel soir Laurie a-t-elle lu le plus grand nombre de pages ? Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

29

Le plan cartésien

y

Le plan cartésien est un système de repérage déni par deux axes gradués : • l’axe des abscisses, à l’horizontale, • l’axe des ordonnées, à la verticale. Il comprend quatre quadrants, numérotés dans le sens antihoraire.

Axe des ordonnées

(2, 5) Quadrant 1 (+, +)

Quadrant 2 (−, +) Origine (0, 0)

1 1 Axe des abscisses

La position d’un point est donnée par un couple de coordonnées (x, y). • La première coordonnée indique la position du point par rapport à l’axe des abscisses.

x

Quadrant 4 (+, −)

Quadrant 3 (−, −)

RAPPEL

• La seconde coordonnée indique la position du point par rapport à l’axe des ordonnées.

1

Observe le plan cartésien. a) Trouve les coordonnées des points suivants.

y

A

B

B C D

A 1 x

1

b) Place les points suivants dans le plan cartésien. E (−10, 6)

C

F (5, 6) G (10, −7) H (4, 0)

D

30

Arithmétique

Chapitre 2 — Rappel

I (0, −5)

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2.1 Les rapports et les proportions Les rapports • Un rapport est une comparaison entre deux grandeurs exprimée par un quotient. Les deux grandeurs comparées sont le plus souvent de même nature. • On écrit le rapport sous forme de fraction

a b

ou a : b. On dit « le rapport de a à b ». Biscuits au caramel

Observe la boîte de biscuits ci-contre. On peut comparer les nombres de biscuits selon leur saveur à l’aide de rapports : caramel : cerise → 5 : 3 ou noir : caramel → 2 : 5 ou

2 5

5 3

Biscuits au chocolat noir

Rapport de biscuits au chocolat noir par boîte → 2 : 10 ou 1 : 5

Biscuits à la cerise

( 15 )

• Un taux est un rapport dont les grandeurs comparées sont généralement de natures différentes. Il est donc important de préciser les unités de mesure associées à chacune des grandeurs. À l’épicerie, Gusti a acheté 20 mangues pour 15 $. On en déduit le taux suivant :

20 mangues 4 mangues ou . 15 $ 3$

• Le taux unitaire est un taux dont le dénominateur est 1. La vitesse, le tarif horaire, le prix par kilogramme, le taux de natalité et la masse volumique sont des exemples de taux unitaires. • Il est plus facile de comparer des taux en déterminant leur taux unitaire équivalent.

Astuce

n’écrit Dans un taux unitaire, on Il est r. teu ina pas le 1 au dénom sous-entendu.

• Pour trouver un taux unitaire, il faut effectuer une division. Maxime a parcouru 12 km en 30 minutes. 12 km =12 km÷30 min=0,4 km/min 30 min

Maxime a parcouru 0,4 km/min. (On lit « 0,4 km par minute ».) Claudia a payé 15 $ pour 2,5 kg de poulet, tandis que Zaïa a payé 22 $ pour 3,4 kg. Qui a payé le moins cher ? Claudia :

15 $ 6$ = =6 $/kg 2,5 kg 1 kg

Zaïa :

22 $ 6,47 $ ≈ =6,47 $/kg 3,4 kg 1 kg

Claudia a payé le moins cher.

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

31

1

Malika a noté dans un tableau le temps qu’elle a consacré à différentes activités durant une semaine. Activité

Danser

Lire

Regarder la télé

Faire ses devoirs

Jouer au hockey

Temps (min)

90

45

220

210

180

Compare les temps associés à chaque activité à l’aide d’un rapport simplié. a) Danser : Regarder la télé

b) Lire : Jouer au hockey

c) Danser : Lire

d) Faire ses devoirs :

e) Jouer au hockey :

f) Lire : Regarder la télé

Regarder la télé

2

Regarder la télé

Simplie les rapports suivants. Lorsque le rapport est un taux, indique-le en cochant la case. a)

60 m 80 m

b)

c)

Taux :

Taux : d)

100 $ 4h

4 kg 44 kg

e)

Taux :

Taux :

85 $ 15 m

f)

Taux :

32

17 points 34 points

Taux :

Exercice

Exercice 3

10 km 25 min

Simplie les rapports suivants. a)

12 = 3

b)

54 = 9

c)

15 = 5

d)

25 000 = 15

e)

15 = 60

f)

225 = 650

g)

3 500 = 255

h)

321 = 63

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.1

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4

Compare les rapports suivants à l’aide des symboleset=. a) 2 : 5

5

6

1:8

b)

14 15

42 45

c)

110 6

225 16

Astuce

Transforme chacun des taux suivants en taux unitaire. a)

950 $ 40 h

b)

120 billes 40 élèves

c)

152 points 30 parties

d)

8 460 $ 6 000 L

e)

44 g 110 ml

f)

180 minutes 30 questions

g)

30 L 9 min

h)

220 km 80 min

i)

22 $ 4 kg

Pour trouver le taux unitaire, il faut trouver le quotient.

L’arbre le plus haut du monde est un séquoia géant situé en Californie. On l’appelle « General Sherman ». Il mesure 84 m. Un érable du Québec peut atteindre une hauteur de 40 m. Quel est le rapport simplié entre ces deux hauteurs ?

7

Réponse :

Sophie et Camille peinturent des clôtures. Camille gagne 135 $ pour 11 heures de travail. Sophie gagne 145 $ pour 12 heures de travail. Qui a le meilleur tarif horaire ? Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

33

8

Pour obtenir 1 L de peinture vert lime, Guillaume mélange 600 ml de jaune, 275 ml de vert forêt et 150 ml de blanc.

Astuce 1 L = 1 000 ml

Trouve le rapport des couleurs suivantes. a) jaune : vert forêt

9

b) blanc : jaune

c) vert forêt : vert lime

Zachary prépare une recette de limonade. Recette de limonade à l’ancienne Verser 250 ml d’eau dans un pichet. Ajouter 50 ml de jus de citron et 45 ml de sucre. Bien agiter. Déposer au réfrigérateur et laisser refroidir env iron 2 heures.

a) Quel est le rapport simplié du jus de citron à l’eau ?

Réponse : b) Si Zachary double la quantité de jus de citron, le rapport sera-t-il plus petit ou plus grand que celui obtenu en a) ?

Réponse :

10 Matéo a deux ans de plus que sa sœur Mia. Le rapport de leurs âges d’aujourd’hui est-il le même que le rapport de leurs âges d’il y a trois ans ? Justie ta réponse à l’aide d’un exemple.

34

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.1

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Les proportions a b

c d

2 3

Une proportion est une égalité entre deux rapports : = . Par exemple, = En raison de leur position, on nomme : • a et d, les termes extrêmes (ou les extrêmes), • b et c, les termes moyens (ou les moyens).

20 . 30

Les extrêmes

Les extrêmes

a = c b d

a : b=c : d

Les moyens

Les moyens

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. ad=bc Cette propriété fondamentale des proportions est souvent appelée le produit croisé ou le produit en croix. Elle nous permet de trouver le terme manquant d’une proportion. Xavier a besoin de 6 pêches pour faire 12 mufns. Il veut faire des mufns pour les 30 élèves de sa classe. Combien de pêches doit-il mettre dans sa recette de mufns ? Proportion :

6 pêches ? = → 12×?=6×30 12 mufns 30 mufns

12×?=180 ?=15

Validation : 6×30=12×15 180=180 Xavier doit mettre 15 pêches dans sa recette pour faire 30 mufns aux pêches.

1

Détermine si les rapports suivants sont équivalents à l’aide de la propriété fondamentale des proportions. Utilise les symboles = et ≠ . a)

18 16

≠

280 251

b)

55 11

25 5

c)

172 16

e)

71 13

14 3

f)

2 205 693

64 6

18 × 251 = 4 518 16 × 280 = 4 480 4 518 ≠ 4 480

d)

1 152 288

388 96

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35 11

Les rapports et les proportions

Arithmétique

35

2

Astuce

Voici différents articles vendus à l’épicerie.

1,45 $/kg

5 $/200 g

3,50 $/100 g

1 kg = 1 000 g

1,99 $/100 g

8,30 $/kg

3,25 $/kg

À l’aide d’une proportion, trouve le coût des articles suivants. a) 3,5 kg de bananes 1,45 $ 1 kg

=

b) 300 g de noix

c) 85 g de bonbons

e) 652 g de bœuf haché

f) 2,825 kg de raisins

? 3,5 kg

1 × ? = 1,45 × 3,5 ? = 5,075 5,08 $ d) 475 g de jambon

Exercice

Exercice 3

Trouve le terme manquant. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

4 7

e)

24 11

=

i)

22 71

=

m)

36

Arithmétique

=

2 232

200

b)

335 21

f)

165

1 917

= 256 558

j)

20 100

c)

450 3

= 105

g)

1 116 189

=

75

112 64

n)

Chapitre 2 — Section 2.1

=

159

616

= 265

705

k)

o)

=

300

=

51 495

63

= 148 68

=

550 1 680

d)

h)

258 45

=

15

= 528

11

121

l)

2 583 1 107

p)

3 116 10 572

=

=

123 779

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4

Pour préparer 20 biscuits à la citrouille, Stéphane a besoin de 125 ml de purée de citrouille. Combien de purée faut-il pour faire 45 biscuits ?

Réponse :

5

Sophie-Anne a utilisé 7,5 L de peinture pour peindre les murs de sa cuisine dont la supercie est de 67,5 m2. S’il faut 10 L de peinture pour peindre les murs du salon, quelle est la supercie des murs du salon ? Réponse :

6

Astuce

Julie commence un entraînement en vue de participer à un triathlon. De façon hebdomadaire, elle fait 6 heures de course à pied, 3 heures de natation et 4 heures de vélo.

Les mots suivants indiquent un rapport au temps : • Quotidien : tous les jours ;

À ce rythme, pendant combien d’heures aura-t-elle nagé après 18 jours d’entraînement ?

• Hebdomadaire : une fois par semaine ; • Mensuel : une fois par mois.

Réponse :

7

Sergio a une photo rectangulaire de 10 cm de largeur sur 15 cm de longueur. Il désire agrandir la photo en conservant le rapport entre les côtés. La nouvelle photo mesure 21 cm de longueur. Quelle est la largeur de la nouvelle photo de Sergio ? Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

37

Andrée et Sami font du vélo. Andrée parcourt 84,3 km en 2 heures et 15 minutes. Sami parcourt 72,85 km en 1 heure et 55 minutes. Andrée est convaincue qu’elle roule plus vite que Sami.

8

A-t-elle raison ? Explique ta réponse à l’aide de la vitesse (le taux unitaire) d’Andrée et de Sami.

Curi sité La vitesse est le quotient de la distance parcourue par le temps. On peut calculer la vitesse en m/s, en km/h, en m/min, en cm/s, etc.

Réponse :

9

La consommation d’essence d’un véhicule n’est pas la même sur l’autoroute qu’en ville. La capacité du réservoir d’essence de la voiture de Simon est de 50 L. Lorsqu’il roule sur l’autoroute, sa voiture consomme 8 L d’essence par 100 km. En ville, elle consomme 11 L par 100 km. Simon a fait le plein d’essence dimanche. Depuis, il a parcouru 230 km sur l’autoroute et 175 km en ville. Quelle distance peut-il encore parcourir en ville, sans faire le plein ?

Réponse :

38

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.1

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2.2 Les pourcentages Le calcul du pourcentage d’un nombre • Chercher le pourcentage d’un nombre, c’est comme chercher une fraction de ce nombre. Il s’agit de trouver la partie d’un tout. • On peut trouver le pourcentage d’un nombre à l’aide d’une proportion ou d’une multiplication. L’école secondaire des Marais compte 240 élèves. Le midi, 15 % des élèves dînent à la maison. Combien d’élèves dînent à l’école ? Résolution à l’aide d’une proportion

Résolution à l’aide d’une multiplication

Pourcentage des élèves qui dînent à l’école : 100 %−15 %=85 %

Pourcentage des élèves qui dînent à l’école : 100 %−15 %=85 %

85 ? = 100 240

240 ×

85 =204 100

100×?=85×240 ?=204

Il y a 204 élèves qui dînent à l’école.

Il y a 204 élèves qui dînent à l’école.

1

Astuce On peut aussi trouver 15 % de 240 et soustraire cette valeur de 240.

Trouve le pourcentage des nombres suivants. a) 30 % de 150

b) 45 % de 200

c) 110 % de 18

d) 12 % de 36

e) 84 % de 50

f) 250 % de 130

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

39

2

Trouve le prix réduit des articles suivants. a)

b)

Astuce

mple, age du prix réduit. Par exe Trouve d’abord le pourcent % 90 à ut iva le prix réduit équ si la réduction est de 10 %, 10 %=90 %). du prix courant (100 %−

c) Prix courant : 22,95 $

Prix courant : 55,00 $

Prix courant : 239,00 $

Réduction : 30 %

Réduction : 45 %

Réduction : 20 %

Prix réduit :

Prix réduit :

Prix réduit :

d)

e)

f)

Prix courant : 30,00 $

Prix courant : 69,95 $

Prix courant : 18,00 $

Réduction : 15 %

Réduction : 70 %

Réduction : 60 %

Prix réduit :

Prix réduit :

Prix réduit :

Exercice

Exercice 3

Trouve le pourcentage des nombres suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

a) 21 % de 150=

b) 30 % de 210=

c) 12 % de 1 000=

d) 45 % de 1 225=

e) 120 % de 182=

f) 275 % de 380=

g) 18 % de 30=

h) 2 % de 36=

i) 83 % de 75=

3 = 10

k) 75 % de 45 =

l) 40 % de 78 =

j) 30 % de

40

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.2

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4

Complète la facture suivante.

Quantité Description

Curi sité

Prix à l’unité

2

chandail

24,99 $

1

pantalon

39,95 $

4

paire de chaussettes

2,00 $

Les pourcentages sont utilisés dans le calcul des taxes. Au Québec, il y a la TPS (taxe sur les produits et services) et la TVQ (taxe de vente du Québec). Depuis 2008, la TPS est de 5 %. La TVQ est de 9,975 % depuis 2013.

Montant total

Sous-total TPS (

)

TVQ (

) TOTAL

5

Au cours de la dernière saison de soccer, l’équipe des Cobras a remporté 80 % des 15 parties disputées. Combien de parties ont-ils perdues ?

Réponse : 6

Théo a calculé qu’il consommait 60 g de sucre par jour. Il sait qu’un trop grand apport en sucre peut engendrer des problèmes de santé. Il désire diminuer sa consommation de sucre de 70 %. Combien de grammes de sucre devrait-il consommer par jour ? Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

41

Le calcul du « cent pour cent » • Dans certaines situations, on cherche un nombre à partir d’un pourcentage donné. Il s’agit de trouver le tout (le « cent pour cent ») à partir d’une partie de ce tout. • On peut trouver le « cent pour cent » à l’aide d’une proportion ou d’une division. Maélie refait la décoration de sa chambre. Le tapis coûte 90 $, ce qui représente 60 % de son budget. Quel est le budget prévu pour la décoration de sa chambre ? Résolution à l’aide d’une proportion 60 90 = 100 ?

60×?=90×100 ?=

90×100 60

Résolution à l’aide de la division Il faut d’abord trouver la multiplication qui représente la situation. 60 ?× =90 100

Ensuite, on résout à l’aide de l’opération inverse. 60 100 100 ?=90× 60

?=90÷

?=150 Le budget prévu est de 150 $.

?=150 Le budget prévu est de 150 $.

1

42

Trouve le nombre qui correspond à 100 % du pourcentage donné. a) 25 % de ce nombre est 100.

b) 15 % de ce nombre est 30.

c) 210 % de ce nombre est 63.

d) 60 % de ce nombre est 48.

e) 45 % de ce nombre est 3 150.

f) 50 % de ce nombre est 32.

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.2

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2

Trouve l’aire des gures suivantes. a)

b)

c)

Surface colorée : 4 dm2 ou 25 % de la surface totale du carré.

Surface colorée : 1,8 cm2 ou 30 % de la surface totale du losange.

Surface colorée : 10,5 mm2 ou 15 % de la surface totale du trapèze.

d)

e)

f)

Surface colorée : 15,36 cm2 ou 64 % de la surface totale du parallélogramme.

Surface colorée : 3,96 m2 ou 24 % de la surface totale du rectangle.

Surface colorée : 9,8 dm2 ou 80 % de la surface totale du trapèze.

Exercice

Exercice 3

Trouve le nombre qui correspond à 100 % du pourcentage donné. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 12 % de

donne 15.

b) 56 % de

c) 81 % de

donne 170,1.

d) 145 % de

e) 42 % de

donne 235,2.

f) 30 % de

donne 283,5.

g) 60 % de

donne 25,2.

h) 74 % de

donne 244,2.

j) 30 % de

donne 58 .

l) 20 % de

donne

i) 215 % de k) 25 % de

donne 118,25. donne 12 .

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donne 14. donne 478,5.

Les rapports et les proportions

13 . 175

Arithmétique

43

4

Alexandre tond le gazon dans sa cour arrière. Il a déjà tondu 54 m2, ce qui représente 30 % de la supercie totale. Quelle est la supercie totale de la cour d’Alexandre ?

Réponse : 5

Une augmentation d’un salaire horaire de 0,36 $ représente 3 % du salaire. Quel est le salaire horaire avant l’augmentation ?

Curi sité Le salaire horaire est le salaire gagné pour une heure de travail.

6

Réponse :

L’an dernier, le Québec a produit 30 lms. Ce nombre représente environ 35 % de la production canadienne de lms. Combien de lms le Canada a-t-il produits ?

Réponse : 7

Simone s’entraîne au vélo. Elle roule un certain temps, puis ralentit à 24 km/h. Cette vitesse représente 80 % de sa vitesse initiale. Quelle était la vitesse initiale de Simone ?

Réponse :

44

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.2

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8

Un bébé et un adulte n’ont pas le même nombre d’os. À la naissance, un bébé possède environ 270 os, ce qui représente environ 131 % du nombre d’os d’un adulte. Les os crâniens d’un adulte représentent environ 9,71 % de tous les os du corps humain. Combien d’os crâniens un adulte a-t-il ?

Réponse : 9

Les 21 élèves de la classe de Rafaël représentent 14 % du nombre total d’élèves de deuxième secondaire. Rafaël sait que 18 % de tous les élèves de deuxième secondaire sont inscrits aux essais pour faire partie de l’équipe de basketball. Si l’entraîneur choisit 12 élèves, combien d’élèves inscrits aux essais ne feront pas partie de l’équipe ?

Réponse : 10 Le volume d’eau de la piscine de Maxime est de 36 659 L. Pendant une canicule qui dure 5 jours, le niveau d’eau diminue. Maxime constate qu’environ 1,5 % du contenu de la piscine s’évapore au début de chaque journée. Quelle quantité d’eau s’est évaporée pendant la canicule ?

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les rapports et les proportions

Arithmétique

45

11 Léa montre ses derniers achats à son amie Agathe. Elle a acheté un chandail à 30 % de réduction et un pantalon à 10 % de réduction. Les prix courants de ces articles sont respectivement de 29 $ et de 49 $. Léa afrme qu’elle a économisé 40 % du prix total. Agathe est convaincue que le pourcentage de réduction est inférieur à 40 %. Qui a raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.

Réponse :

12 Zoé veut acheter une tablette électronique d’une valeur de 540 $. Elle garde des enfants pour gagner de l’argent. Sa voisine Geneviève a 3 enfants et elle paie Zoé 6 $ l’heure. Zoé les garde 5 heures par semaine. Nadia, une autre voisine, lui demande de garder ses 5 enfants 4 heures par semaine. Étant donné que Nadia a plus d’enfants, Zoé augmente son taux horaire de 60 %. Zoé aura-t-elle accumulé assez d’argent pour acheter une tablette électronique dans 8 semaines ? Pense à calculer le prix des taxes (la TPS de 5 % et la TVQ de 9,975 %).

Réponse :

46

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.2

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2.3 Les situations de variation proportionnelle

et de variation inversement proportionnelle Les situations de variation proportionnelle (ou de variation directe) Une situation de variation proportionnelle est une situation qui se traduit par une suite de rapports équivalents. Situation 1

Situation 2

Marie-Ève se fait couler un bain. La baignoire se remplit à un rythme de 4 L /min. On s’intéresse à la relation entre la quantité d’eau dans le bain et le temps écoulé. Cette situation se traduit par la suite de rapports suivants :

Pour nancer un voyage étudiant, Étienne vend du café équitable au prix de 10 $ /250 g. On s’intéresse à la relation entre la quantité de café vendu et le montant amassé. Cette situation se traduit par la suite de rapports suivants :

Rapport de base

Rapport de base

4L 8L 12 L 16 L = = = =… 1 min 2 min 3 min 4 min

On peut dire que la quantité d’eau dans la baignoire est proportionnelle au temps écoulé.

1

10 $ 20 $ 5$ 40 $ = = = =… 250 g 500 g 125 g 1 000 g

On peut dire que le montant amassé est proportionnel à la quantité de café vendu.

Traduis chacune des situations suivantes par une suite de rapports équivalents. Complète ensuite l’énoncé. a) Annie est payée 15 $ l’heure pour installer une clôture. • Suite de rapports : •

15 $ 30 $ = 2h = 1h

Le salaire ($) d’Annie

est proportionnel

.

b) Un évier se vide à un rythme de 2 L par minute. • Suite de rapports : •

est proportionnel

.

c) Cette semaine, le prix de l’essence est de 1,41 $ le litre. • Suite de rapports : • Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

est proportionnel Les rapports et les proportions

. Arithmétique

47

La représentation d’une situation de variation proportionnelle Une situation de variation proportionnelle peut être représentée à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique. Christiane part en voyage. Sa voiture roule à une vitesse moyenne de 100 km/h. On s’intéresse à la distance parcourue par le véhicule selon le temps écoulé depuis le départ.

Distance parcourue selon le temps écoulé Temps (h) Distance (km)

0

1

2

3

…

0

100

200

300

…

Coefcient de proportionnalité : × 100

• Le coefcient de proportionnalité est le taux unitaire de la situation. • Pour trouver les termes de la deuxième ligne de la table, il faut multiplier les termes de la première ligne par le coefcient de proportionnalité.

Distance parcourue selon le temps écoulé • Dans un plan cartésien, une situation de variation proportionnelle est toujours représentée par les points d’une droite oblique qui passe par l’origine, (0, 0).

Distance (km) 300 En 2 heures, la voiture parcourt 200 km.

200 100

Astuce 1

0

1

de graduation Dans un graphique, le pas ulier. de chaque axe doit être rég

3 Temps (h)

Trace les graphiques correspondants aux tables de valeurs suivantes. a)

x

0

2

4

6

…

y

0

10

20

30

…

b)

y

y

4

0,5

0

48

2

Arithmétique

x

1 Chapitre 2 — Section 2.3

0

x

0

2

3

4

…

y

0

1

1,5

2

…

1

x

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c)

x

0

20

25

30

…

y

0

60

75

90

…

y

y

10

45

e)

x

5

0

0

x

0

6

8

10

…

y

0

90

120

150

…

f)

y

y

30

10

0

2

d)

x

2

0

x

0

100

150

200

…

y

0

180

270

360

…

x

25

x

0

0,2

0,7

0,8

…

y

0

10

35

40

…

x

0,1

Décris la situation de variation proportionnelle représentée par les graphiques suivants. Dépense énergétique de la course Dépense énergétique (cal)

Prix du ruban ($)

Prix d’un ruban

4

280 0

10

Temps (min)

a) La dépense énergétique est proportionnelle à

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0

8

Longueur (m)

b)

Les rapports et les proportions

Arithmétique

49

3

Les tables de valeurs suivantes représentent des situations de variation proportionnelle. Trouve le coefcient de proportionnalité. Complète ensuite la table de valeurs. a) Coefcient de

b) Coefcient de

proportionnalité : 48 8

Astuce Pour trouver le coefcient de proportionnalité, il suft de diviser par .

c) Coefcient de

proportionnalité :

proportionnalité :

=6

x

y

x

0

0

8

48

2

15

6 x 15 = 90

4

20

6 x 20 = 120

7

75

6 x 75 = 450

18

20

e) Coefcient de

f) Coefcient de

d) Coefcient de proportionnalité :

x

y 5

x

17,5

48

100

40

4,5

4,5

13,5

proportionnalité :

y 115,2

x

y

3

45

7

105

52

120

2 250 163,2

135

4

1,5

12,5

12 50

y

11

proportionnalité :

y

x

54

3 750

94

585

Antoine veut peindre les murs de sa chambre. Il prévoit utiliser environ 0,1 L de peinture par mètre carré. Complète la table de valeurs, le graphique et les énoncés qui décrivent cette situation.

Surface Quantité (m2) (L) 0

0

5

0,5

Quantité (L)

Quantité de peinture selon la surface des murs

• La quantité prévue est proportionnelle à .

25

2,5

1

. 0

50

Arithmétique

• Le coefcient de proportionnalité est de

Chapitre 2 — Section 2.3

5

Surface (m ) 2

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5

Michel travaille comme serveur dans un restaurant. Il reçoit en moyenne 150 $ en pourboire par jour.

Astuce

eurs, Pour créer une table de val d’abord il est plus facile de choisir le en . des valeurs pour la variab

Complète la table de valeurs qui représente les pourboires de Michel pour une semaine de travail. Trace le graphique et complète ensuite les énoncés qui décrivent cette situation.

Pourboires de Michel

Jour de travail (j)

Pourboires ($)

0

0

1

150

Pourboires ($)

Pourboires de Michel

2 3 150 0

• Les

Jour de travail (j)

sont proportionnels

.

• Le coefcient de proportionnalité est de 6

1

.

Le périmètre d’un triangle équilatéral varie selon la mesure de son côté. Représente cette situation à l’aide d’une table de valeurs et d’un graphique. Trouve ensuite le périmètre d’un triangle équilatéral de 67 cm de côté à l’aide du coefcient de proportionnalité.

Mesure d’un côté (cm)

Périmètre (cm)

0 4

24

Périmètre d’un triangle équilatéral

Souviens-toi qu’un triangle équilatéral a trois côtés isométriques.

Périmètre (cm)

Périmètre d’un triangle équilatéral

Astuce

4 0

4

Mesure d’un côté (cm)

• Coefcient de proportionnalité : • Périmètre : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les rapports et les proportions

Arithmétique

51

7

Pour une famille de cinq personnes, le coût hebdomadaire moyen de l’épicerie est de 215 $. Représente cette situation à l’aide d’une table de valeurs et d’un graphique. Trouve ensuite le coût annuel (52 semaines) de l’épicerie pour cette famille à l’aide du coefcient de proportionnalité. Coût de l’épicerie pour cinq personnes Coût ($)

Coût ($)

Nombre de semaines (sem)

Coût de l’épicerie pour cinq personnes

0

Nombre de semaines (sem)

• Coefcient de proportionnalité : • Coût annuel de l’épicerie : 8

Charles-Anthony livre les journaux dans son quartier. Il reçoit 0,25 $ pour chaque journal distribué. Représente cette situation par une table de valeurs et un graphique. À l’aide du graphique, trouve ensuite le salaire de Charles-Anthony s’il distribue 40 journaux. Salaire de Charles-Anthony

Nombre de journaux

Salaire ($)

Salaire ($)

Salaire de Charles-Anthony

0

• Charles-Anthony recevra 52

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.3

Nombre de journaux

s’il distribue 40 journaux. Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

9

Anne-Julie travaille comme vendeuse. Son salaire est versé sous forme de commission, c’est-à-dire qu’elle reçoit un pourcentage du montant de ses ventes. Le graphique ci-dessous représente son salaire selon le montant de ses ventes.

Salaire ($)

Quel est le montant des ventes d’Anne-Julie si elle a gagné 553,50 $ la semaine dernière ? Salaire d’Anne-Julie 2 160 1 980 1 800 1 620 1 440 1 260 1 080 900 720 540 360 180 0

1 000

3 000

5 000

7 000 9 000 11 000 Montant des ventes ($)

Réponse :

Remboursement offert (Option 2) Distance parcourue (km)

Montant ($)

0 100 200 300 400

Montant ($)

10 Dans le cadre de son travail, Jany suit une formation à Rimouski. Son patron lui offre de rembourser ses dépenses liées à l’essence. Elle a le choix entre deux modalités de remboursement : • Option 1 : Il lui donne un montant xe de 60 $. • Option 2 : Il lui donne 0,15 $ par kilomètre parcouru. Représente l’option 2 à l’aide d’un graphique. Trouve ensuite laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Jany. Réponse :

15 0

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Remboursement offert (Option 2)

100

Distance (km)

Les rapports et les proportions

Arithmétique

53

Les situations de variation inversement proportionnelle (ou de variation inverse) Une situation de variation inversement proportionnelle est une situation dans laquelle le produit des variables est constant (toujours le même). Situation 1 Une personne prend 12 jours pour effectuer un travail. Si 2 personnes font ce même travail, il leur faudra 6 jours. Si 4 personnes font ce travail, il leur faudra 3 jours. Ainsi, plus le nombre de personnes augmente, plus le temps nécessaire pour faire le travail diminue. • Le produit constant, x∙y, d’une situation de variation inverse s’obtient en multipliant les variables x et y. Le tableau de valeurs suivant représente cette situation. Temps de travail Nombre de personnes

1

2

3

4

…

Temps (jours)

12

6

4

3

…

Produit constant :

1×12 = 2×6 = 3×4 = 4×3 =

…

=12

Temps (jours)

Temps de travail 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Astuce

vail On dit que le temps de tra el nn rtio po pro est inversement . nes au nombre de person

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de personnes

• Le graphique d’une situation de variation inverse est représenté par les points d’une courbe qui s’approche des deux axes sans jamais les toucher.

Situation 2

Frais de location de l’aréna

54

Nombre d’équipes

Coût par équipe ($)

Produit constant : 3 600

1

3 600

1×3 600=3 600

10

360

10×360=3 600

20

180

20×180=3 600

30

120

30×120=3 600

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.3

Coût par équipe ($)

Les frais de location d’un aréna pour un tournoi de hockey sont de 3 600 $. Ces coûts sont partagés également entre les équipes inscrites au tournoi. • La table de valeurs et le graphique suivants représentent cette situation.

Frais de location de l’aréna 3 600 3 000 2 400 1 800 1 200 600 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Nombre d’équipes

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1

Les tables de valeurs suivantes sont associées à des situations de variation inversement proportionnelle. Trouve la valeur du produit constant. Complète ensuite les tables de valeurs. a) Produit constant :

b) Produit constant :

c) Produit constant :

2 × 87 = 174 x

y

x

y

x

y

2

87

2

126

1,5

45

3

58

3

84

4,5

15

4

174 ÷ 4 = 43,5

4

10

6

174 ÷ 6 = 29

6

12

24

174 ÷ 24 = 7,25

36

15

d) Produit constant :

e) Produit constant :

f) Produit constant :

x

y

x

10

50

10

20

25

20

142,5

25

114

2,025

95

1,35

40 50 100

y

100

x

y

3

6,75

5

4,05

18

Astuce 2

e situation de Souviens-toi que, dans un t x y est constant. variation inverse, le produi ∙

Observe les graphiques suivants. Coche la case s’ils représentent une situation de variation inverse. a)

b) (3, 25) (5, 15) (10, 7,5) 2

5 0

1

Situation de variation inverse

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0

2

Situation de variation inverse

Les rapports et les proportions

Arithmétique

55

3

Trace les graphiques à l’aide des tables de valeurs suivantes. a)

x y

2

4

8

8

4

2

1

b)

x y

y

y

1

3

0

c)

x

2

x y

2

5

10

25

25

10

5

2

0

d) y

2

3

e)

x

5

x y

1

2

3

6

42

21

14

7

0

y

y

7

10

0

Arithmétique

1

Chapitre 2 — Section 2.3

x

0

2

5

10

15

6

3

x 3

4

6

8

24

18

12

9

x

2

x y

f)

1 30

2

x y

y

0

56

1

10

10

20

30

40

60

30

20

15

x

Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

4

Pour chacune des tables de valeurs suivantes, précise si la variation est proportionnelle, inversement proportionnelle ou autre. Si la variation est proportionnelle, trouve le coefcient de proportionnalité. Si la variation est inversement proportionnelle, trouve le produit constant. x y

a)

3 15

6 30

9 45

12 60

Variation :

x y

c)

1 40

x y

5 11

2 20

3 0

4 −20

2 16

15 120

20 160

x y

d)

2 15

3 10

5 6

10 3

2 21,25

5 8,5

10 4,25

Variation :

7 15

12 25

15 31

Variation :

5

0 0

Variation :

Variation :

e)

x y

b)

x y

f)

1 42,5

Variation :

Pour chacun des graphiques suivants, précise s’il s’agit d’une situation de variation proportionnelle ou inversement proportionnelle. Si la variation est proportionnelle, trouve le coefcient de proportionnalité. Si la variation est inversement proportionnelle, trouve le produit constant. a) Variation :

b) Variation :

y

y (45, 9) (5, 70)

(35, 7)

(10, 35) (70, 5)

10 0

10

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1 x

0

5

Les rapports et les proportions

x

Arithmétique

57

6

Bikram participe à une course à relais. La distance totale à parcourir est de 30 km. Bikram s’intéresse à la relation entre la distance à parcourir par coureur et le nombre de coureurs par équipe.

Distance par coureur Coureurs/ équipe

Distance (km)

Distance par coureur

10

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

12

0

2 4 6 8

7

Distance (km)

Complète la table de valeurs suivante qui représente la situation. Trace ensuite le graphique.

Curi sité Une course à relais est une course par équipes où les membres courent les uns après les autres. À la n de son tour, le coureur remet un bâton, appelé témoin, au coureur suivant.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Coureurs/équipe

Mikaëla, Kim et Lorick font de la marche rapide dans un sentier près de leur école. Ils notent certaines informations dans le tableau suivant. Temps nécessaire pour parcourir le sentier selon la vitesse de marche Mikaëla

Kim

Lorick

Vitesse de marche (m/min)

90

92,25

98,4

Temps (min)

82

80

?

Lorick n’a pas noté le temps qu’il lui a fallu pour parcourir le sentier. Il croit qu’il a marché pendant environ 85 minutes. Kim est convaincue que la durée de la marche de Lorick est inférieure à la sienne. Qui a raison ? Explique ta réponse.

Réponse : 58

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.3

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Laura part en voyage aux États-Unis. Elle désire changer 275 $ canadiens en dollars américains. Le graphique ci-contre représente la valeur du dollar canadien en dollars américains.

Curi sité La valeur de la monnaie d’un pays uctue selon les transactions réalisées dans les marchés mondiaux.

Valeur du dollar canadien Valeur en dollars américains ($ US)

8

8 7 6 5 4

(4, 3,56)

3 2

(2, 1,78)

1 0

1

2

3 4 5 6 7 8 Dollar canadien ($ CA)

a) Trouve le coefcient de proportionnalité de cette situation. Que représente-t-il ?

b) Combien de dollars américains Laura recevra-t-elle ?

9

La table de valeurs ci-dessous représente la consommation d’énergie d’une sécheuse selon le temps d’utilisation. Sachant qu’un kilowattheure (kWh) coûte environ 0,08 $, trouve le montant de la facture d’électricité pour l’utilisation de cette sécheuse après une année. Énergie consommée par une sécheuse Temps (sem)

0

1

2

3

4

Énergie (kWh)

0

5,2

10,4

15,6

20,8

Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

59

10 Geneviève restaure de vieux meubles. Elle a accepté un contrat pour lequel elle est payée selon un montant xe. Ainsi, plus la restauration est longue, plus le taux horaire diminue. Le graphique ci-dessous illustre le lien entre le nombre d’heures travaillées et le taux horaire. Quel est le taux horaire de Geneviève s’il lui a fallu 15 heures pour restaurer le meuble ?

Taux horaire ($/h)

Contrat de Geneviève 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

(10, 39)

(30, 13)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Temps (h)

Réponse :

11 Thierry participe à une compétition de patinage de vitesse. Pendant la course de 3 000 m, il patine à une vitesse moyenne de 30 km/h. S’il augmente sa vitesse de 5 % lors de la prochaine course de 3 000 m, de combien de temps améliorera-t-il sa performance ? Donne ta réponse en secondes.

Réponse :

60

Arithmétique

Chapitre 2 — Section 2.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 2.1 1

Trouve le terme manquant. a)

e)

3 5

=

174

b)

= 105 165

11

f)

108

225

= 27 16

c)

142 9

=

96 = 675

g)

169 26

=

426

d)

h)

6

17

119 34

=

= 289 170

4

Section 2.2 2

Complète les énoncés suivants. a) 12 % de 74 donne

.

b) 3 % de 325 donne

c) 18 % de 50 donne

.

d) 200 % de 60 donne

.

f) 115 % de 48 donne

.

e) 37,5 % de 60 donne

.

.

g) 44 % de

donne 11.

h) 75 % de

donne 165.

i) 15 % de

donne 13,5.

j) 85 % de

donne 110,5.

l) 10 % de

donne 0,08.

k) 5 % de

donne 1.

Section 2.3 3

Les tables de valeurs suivantes sont associées à des situations de variation proportionnelle ou inversement proportionnelle. Complète-les. a)

c)

e)

x

0

3

y

0

12

x

2

4

y

3

x

12

y

0,4

6

6

9

8

12

10

15

12

b)

d)

24

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1

2

y

90

45

x

10

20

y

9 20

x

30

48 0,1

60

f)

x y

3

4

5

6

30

40

50

60

7,5 5

8

3 13

17

48

Les rapports et les proportions

23

39

138

Arithmétique

61

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Astuce

Section 2.1

Souviens-toi que la vitesse se calcule en divisant la distance par le temps.

4

Sébastien rend visite à sa famille à Chicoutimi. Il parcourt les 451 km en 4 h 15 min. Sa sœur Caroline qui habite à Ottawa le rejoint deux jours plus tard. Elle franchit la distance de 644 km en 5 h 45 min.

Qui a roulé le plus vite ? Explique ta réponse en calculant la vitesse de chacun.

Section 2.2 5

Lors des dernières élections fédérales, 17 559 353 citoyens ont voté, ce qui représente 68,49 % de tous les électeurs. Combien y avait-il d’électeurs en tout ?

Section 2.3 6

La technicienne en loisirs de l’école organise une sortie au centre de glissade sur tube. Elle réserve un autobus qui peut accueillir 48 passagers au maximum. Le coût total de la sortie est de 450 $.

Nombre d’élèves

Coût par élève ($)

10 20 30 40 48

25 20 15 10

Coût de la sortie 50 40 30 20 10 0

Périmètre d’un polygone régulier selon son nombre de côtés Périmètre (cm)

7

Coût par élève ($)

Complète la table de valeurs ci-dessous. Trace ensuite le graphique qui représente cette situation. Si l’autobus est plein et que les élèves partagent le coût de la sortie de façon égale, quel montant chaque élève doit-il payer ?

(6, 21) (4, 14) (3, 10,5)

10 20 30 40 50 Nombre d’élèves

Le graphique ci-contre représente la relation entre le nombre de côtés d’un polygone régulier et son périmètre lorsque la mesure du côté est constante. Quelle est la mesure du côté de ce polygone ?

5 0

62

Arithmétique

2 4 6 8 Nombre de côtés

Chapitre 2 — Exercices+ supplémentaires

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Retour sur le chapitre 2 Questions à choix multiples 1

Mali a 12 ans. Son père a 34 ans. Quel est le rapport de leurs âges ? a) 3 : 2

2

b) 6 : 15

c) 17 : 6

d) 1 : 3

Karel a couru une distance de 1 800 m en 15 minutes. Quel est le taux unitaire associé à cette situation ? a)

3

1m 180 min

b)

180 m 1 min

c)

1 800 m 15 min

d)

120 m 1 min

Le Québec compte 8 180 000 habitants. Sa supercie est de 1 542 056 km2.

4

a) ≈ 0,18 habitant/km2

b) ≈ 0,19 habitant/km2

c) ≈ 5,30 habitants/km2

d) ≈ 5,60 habitants/km2

Le chocolat noir est composé de 30 % à 95 % de cacao. Louis achète une tablette de chocolat noir à 72 % qui contient 144 g de cacao.

RETOUR

Quelle est la densité de population (habitants/km2) du Québec ?

Quelle est la masse de la tablette de chocolat ? a) 72 g

c) 144 g

d) 200 g

Observe le graphique ci-contre. Parmi les afrmations suivantes, laquelle est vraie ? a) Le produit constant est de 2 000. b) Après 12 semaines, Samia aura économisé 180 $. c) Le coefcient de proportionnalité est de 20 $/sem. d) Plus le nombre de semaines augmente, moins Samia a d’économies.

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Économies de Samia Montant économisé ($)

5

b) 103,68 g

400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0

(10, 200) (8, 160)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temps (sem)

Les rapports et les proportions

Arithmétique

63

Questions à réponses courtes 6

Complète les proportions suivantes. a)

7

8 = 15

32

b)

16 = 38

c)

114

115

= 1506 012

Pour son anniversaire, Mélineige a reçu un sac de bonbons qui contient 24 bonbons rouges, 18 bonbons noirs et 42 bonbons orange. a) Quel est le rapport du nombre de bonbons rouges au nombre de bonbons noirs ?

RETOUR

b) Quel est le rapport du nombre de bonbons noirs au nombre de bonbons orange ?

c) Mélineige a mangé la moitié des bonbons orange. Quel est le nouveau rapport du nombre de bonbons noirs au nombre de bonbons orange ?

8

Complète les énoncés suivants. a)

% de 250 donne 80.

c) 15 % de 1 850 donne

64

Arithmétique

Chapitre 2 — Retour

.

b) 24 % de

donne 210.

d) 60 % de 172,8.

donne

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9

Les tables de valeurs suivantes sont associées à des situations de variation proportionnelle ou inversement proportionnelle. Complète-les. a)

c)

x

0

2

y

0

36

x

10

20

y

15

7,5

4

30

6

40

8

50

10

75

b)

d)

x

1

2

y

36

18

x

10

20

y

150

300

3

4

5

6

30

40

50

60

10 Indique si chacun des graphiques ci-dessous représente une variation proportionnelle ou inversement proportionnelle.

a) 100

b) 10

90

9

80

8

70

7

60

6

50

5

40

4

30

3

20

2

10

1

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

RETOUR

Selon le cas, trouve le coefcient de proportionnalité ou le produit constant.

1

2 3

4

5

6

7

8

9 10

11 Pour chacune des situations suivantes, précise si les variables sont proportionnelles ou inversement proportionnelles. a) Dylan teint un meuble en bois. Il a besoin de 12 ml de teinture pour recouvrir 100 cm2. On s’intéresse à la relation entre la supercie à teindre et la quantité de teinture nécessaire.

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b) Pour l’anniversaire de Liam, sa mère a acheté un gâteau de 525 g qu’elle veut partager de façon égale entre tous les invités. On s’intéresse à la relation entre le nombre d’invités et la quantité de gâteau par personne.

Les rapports et les proportions

Arithmétique

65

Questions à développement 12 Édouard achète deux courges spaghetti. Elles pèsent respectivement 2,4 kg et 3,1 kg. Les courges lui coûtent 4,40 $. Combien Édouard paiera-t-il pour une courge de 2,6 kg ?

RETOUR

Réponse : 13 Zara a étudié un certain temps pour se préparer à une évaluation en histoire. Comme elle est déçue du résultat obtenu, elle décide d’augmenter de 15 minutes son temps d’étude pour préparer sa prochaine évaluation, ce qui représente 20 % du temps d’étude initial. Combien de temps Zara étudiera-t-elle en tout pour sa prochaine évaluation ?

Réponse : 14 Enzo fait le plein d’essence de son scooter. Le réservoir peut contenir 5 L d’essence. Il reste environ 15 % du volume total dans le réservoir. Si le prix de l’essence est de 1,41 $/L, Enzo peut-il faire le plein avec 5 $ ?

Réponse : 66

Arithmétique

Chapitre 2 — Retour

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15 Jérémy a trouvé une facture dans son sac d’école. Malheureusement, elle est illisible à certains endroits. Aide Jérémy à trouver les montants qui manquent.

Quantité

Description

Prix unitaire

2

Raquette de tennis

79,00 $

3

Paquet de balles de tennis T-shirt

1

Total

36,00 $ 35,00 $

70,00 $

Bouteille d’eau réutilisable Sous-total TPS (5 %)

13,95 $

RETOUR

TVQ (9,975 %) Total

16 Le végétarisme est populaire à l’école secondaire de la Biosphère. En effet, 12 % des élèves sont végétariens. Il y a 81 lles végétariennes, ce qui représente 9 % du nombre total d’élèves. Combien y a-t-il de garçons végétariens dans cette école ?

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les rapports et les proportions

Arithmétique

67

17 Pour laver les fenêtres d’un immeuble, une compagnie demande 450 $. De ce montant, 70 % est utilisé pour rémunérer les employés. Le salaire d’un employé est de 15 $ l’heure. À combien d’employés peut-on coner ce travail, s’il doit être effectué en 3 heures ?

Réponse :

Complète la table de valeurs suivante. Trace ensuite le graphique qui représente la relation entre la distance parcourue en mètres (m) et le temps de marche en minutes (min). Distance parcourue à pied Temps (min)

Distance (m)

0 10

Distance (m)

RETOUR

18 Lyne quitte son appartement à 15 h 15. Elle marche à une vitesse constante jusqu’à la bibliothèque, située à 4 km de chez elle. Elle arrive à la bibliothèque à 16 h 05.

Distance parcourue à pied 4 000 3 600 3 200 2 800 2 400 2 000

20

1 600

30

1 200 800

40

400

50 0

68

Arithmétique

Chapitre 2 — Retour

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Temps (min)

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19 Le conseil étudiant de l’école organise un spectacle pour nancer les activités scolaires. Les membres du conseil souhaitent amasser le même montant que l’an dernier, soit 2 340 $. Pour atteindre cet objectif, le prix d’un billet est xé selon le nombre de billets qu’ils prévoient vendre en tout. La salle de spectacle peut accueillir 390 personnes. Complète le tableau suivant qui représente cette situation. Trouve ensuite le prix du billet si le conseil prévoit remplir 80 % de la salle. Prix d’un billet selon la prévision des ventes Nombre de billets vendus

300

315

330

345

360

375

390

RETOUR

Prix du billet ($)

Réponse : 20 Clara a postulé pour trois emplois. Pour chacun des emplois, elle doit travailler 40 heures par semaine. Le tableau ci-contre présente les informations au sujet de la rémunération. Lequel des trois emplois offre le meilleur salaire ?

Salaires offerts Emploi 1

Salaire annuel de 43 000 $

Emploi 2

Salaire mensuel de 3 540 $

Emploi 3

Salaire de 20,25 $ l’heure

Réponse :

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Les rapports et les proportions

Arithmétique

69

Situation d’application La tour Eiffel Zack veut reproduire la tour Eiffel avec de petits bâtons de bois. Il veut que sa maquette soit proportionnelle aux dimensions réelles de la tour Eiffel. Voici les dimensions qu’il a calculées pour la maquette : 324 m

Hauteur : 64,8 cm

Largeur de la base : 24,98 cm

Distance intérieure entre les pieds : 13,84 cm

74,24 m

Malheureusement, Zack s’est trompé dans ses calculs. Corrige son erreur pour que la maquette soit proportionnelle à la tour Eiffel.

124,9 m

Réponse

70

Situation d’application

La tour Eiffel

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CHAPITR E

Introduction à l’algèbre

3

SOMMAIRE Rappel...................................................................................72 3.1 Les expressions algébriques...................................78 3.2 La réduction d’expressions algébriques I.............86 3.3 La réduction d’expressions algébriques II............98 Exercices + supplémentaires....................................107 Retour sur le chapitre 3 .............................................. 109 Les parapluies (CD2) ................................................... 116

Frédéric a une planche de forme rectangulaire. Sa longueur mesure deux fois et demie sa largeur. Trouve une expression mathématique qui représente le périmètre de la planche.

Réponse :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

71

Rappel Les suites arithmétiques • Une suite numérique est une liste ordonnée de termes, tn . • Le rang, n, d’un terme est la position qu’il occupe dans la suite. Voici une suite numérique.

{2, 5, 8, 11, 14, 17, …} t1 t2 t3 t4 t5 t6 … Dans cette suite, le terme 2 occupe le premier rang, le terme 5 occupe le deuxième rang, le terme 8 occupe le troisième rang, etc.

• Une suite arithmétique est une suite qui décrit une régularité. En effet, la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est toujours la même. • On nomme raison, r, la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique. Voici une suite arithmétique.

{2,

5,

8,

11,

+3 +3 +3 +3

14,

17, …}

+3

RAPPEL

Dans cette suite, la raison est 3 (r=3).

1

2

Donc, les trois prochains termes de la suite sont 20, 23 et 26.

Pour chacune des suites, trouve la raison. Écris ensuite les trois termes qui suivent. a) 1, 3, 5, 7, 9,

r=

b) 18, 15, 12, 9, 6,

r=

c) −5, −1, 3, 7, 11,

r=

d) 21, 24, 27, 30, 33,

r=

e) 97, 93, 89, 85, 81,

r=

Astuce

La raison d’une suite peut être négative. Par exemple, dans la suite − {10, 8, 6, …}, = 2.

Écris les suites numériques à l’aide de la description donnée. a) Suite numérique dont le premier terme est 5 et la raison est 3. ,

,

,

,

,

,…

b) Suite numérique dont le premier terme est 6 et la raison est −8. ,

,

,

,

,

,…

c) Suite numérique dont le troisième terme est 0 et la raison est 12. ,… d) Suite numérique dont le deuxième terme est 40 et la raison est −150.

72

Algèbre

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Chapitre 3 — Rappel

,… Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

La table de valeurs et la règle de construction d’une suite arithmétique • On peut utiliser une table de valeurs pour énumérer les termes d’une suite. • La règle de construction d’une suite arithmétique est une expression mathématique qui permet de trouver tous les termes de la suite à partir de leur rang. La règle de la suite {4, 8, 12, 16, 20, …} est 4n.

Astuce

En effet, 4×1=4, 4×2=8, 4×3=12, 4×4=16, …

Rang Terme

1

2

3

4

5

…

n

4

8

12

16

20

…

4×n

La règle de la suite {2, 5, 8, 11, 14, …} est 3n−1. En effet, 3×1−1=2, 3×2−1=5, 3×3−1=8, 3×4−1=11, …

Rang Terme

1

2

3

4

5

…

n

2

5

8

11

14

…

3×n−1

En algèbre, un nombre suivi d’une lettre signie une multiplication. Ainsi, 2 =2× et −3 =−3× .

RAPPEL

• La règle d’une suite arithmétique peut s’écrire sous la forme suivante : n e terme=raison×rang du terme+constante tn=r×n+c

• On peut trouver la règle d’une suite arithmétique à l’aide de la démarche suivante : {2, 5, 8, 11, 14, 17, …} 5−2=3 14−11=3

1. Déterminer la raison, r, de la suite en trouvant la différence entre deux termes consécutifs. Ainsi, on connaît le début de la règle r×n+c. 2. Déterminer la constante de la règle à l’aide d’un terme de la suite. On peut choisir un terme au hasard.

La raison est +3. On obtient : 3×n+c Le premier terme de la suite est 2. Ainsi, en remplaçant n par 1, on doit obtenir le terme 2. 3×1+c=2 3+c=2 Puisque 3−1=2, c=−1

3. Écrire la règle de la forme : tn=r×n+c.

tn=3n−1

Vérier la règle à l’aide d’un autre terme.

Vérication à l’aide du quatrième terme (le terme 11) 3×4−1=11 12−1=11 11=11

On peut choisir un terme au hasard.

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

73

1

Trouve la règle de chacune des suites décrites dans les tables de valeurs suivantes. a)

Rang (n)

1

2

3

4

5

Terme (tn )

5

9

13

17

21

Rang (n)

1

2

3

4

5

Terme (tn )

10

8

6

4

2

Rang (n)

1

2

3

4

5

Terme (tn )

−4

−1

2

5

8

Règle : b)

Règle :

RAPPEL

c)

Règle : 2

74

Trouve la raison de chacune des suites à partir de la règle donnée. Écris ensuite les cinq premiers termes de la suite. 2

5

,

7

,

9

,

11

,

a) tn=2n+3

r=

b) tn=5n+4

r=

,

,

,

,

c) tn=2n

r=

,

,

,

,

d) tn=3n−4

r=

,

,

,

,

e) tn=−3n+8

r=

,

,

,

,

f) tn=−n+1

r=

,

,

,

,

g) tn=−2n−12

r=

,

,

,

,

h) tn=−4n−2

r=

,

,

,

,

Algèbre

Chapitre 3 — Rappel

13

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3

Owen est restaurateur. Il veut savoir combien de personnes peuvent s’asseoir autour de différents alignements de tables carrées. La gure ci-contre représente un alignement de trois tables. a) Complète la table de valeurs qui représente la situation. Nombre de tables carrées alignées (n)

1

Nombre de personnes qui peuvent s’asseoir (tn)

4

2

3

4

5

b) À l’aide de la table de valeurs, trouve la règle qui permet de calculer le nombre de personnes qui peuvent s’asseoir selon le nombre de tables carrées alignées.

Règle :

RAPPEL

c) Combien de personnes peuvent s’asseoir autour d’un alignement de 12 tables carrées ?

Réponse : d) Si Owen veut asseoir 16 personnes, combien de tables carrées doit-il aligner ?

Réponse :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

75

4

Les gures suivantes sont formées d’allumettes.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

a) À l’aide d’une table de valeurs, trouve la règle qui permet de calculer le nombre d’allumettes par gure. Figure (n)

1

2

3

4

5

Nombre d’allumettes (tn )

Règle :

RAPPEL

b) Combien d’allumettes forment la 16e gure ?

5

On s’intéresse au nombre de carrés qui forment chacune des gures de la suite suivante.

Figure 1 : 5 carrés

Figure 2 : 8 carrés

Figure 3 : 11 carrés

a) Trouve la raison de cette suite. b) Trouve la règle de cette suite.

c) Combien de carrés forment la 28 e gure ?

76

Algèbre

Chapitre 3 — Rappel

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6

Observe la suite de gures formées de carrés de 1 cm de côté.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

a) À l’aide d’une table de valeurs, trouve la règle qui permet de calculer le nombre de carrés qui forment chacune des gures. Rang de la gure (n)

1

2

3

4

5

Nombre de carrés

RAPPEL

Règle : b) Combien y a-t-il de carrés dans la gure 8 ?

c) À l’aide d’une table de valeurs, trouve la règle qui permet de calculer le périmètre de chacune des gures. Rang de la gure (n)

1

2

3

4

5

Périmètre (cm)

Règle : d) Quel est le périmètre de la gure 12 ?

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

77

3.1 Les expressions algébriques Les composantes d’une expression algébrique • Une expression algébrique comporte un ou plusieurs termes. • Un terme peut être formé d’un nombre, d’une lettre, ou du produit d’un nombre et d’une ou plusieurs lettres. Un terme formé uniquement d’un nombre est un terme constant. • Les lettres qui forment les termes d’une expression algébrique sont appelées des variables. Une variable peut prendre différentes valeurs. • Le nombre qui multiplie la ou les variables d’un terme est appelé le coefcient. Le signe du coefcient est le signe qui précède le terme dans l’expression algébrique.

Astuce

Lorsque le coefcient d’un terme est 1, il n’est pas nécessaire de l’écrire. Par 2 2 exemple : 1 = .

• Voici trois termes distincts : −x , 37xy , 2 . Leurs coefcients sont respectivement −1, 37 et 2. Le terme 2 est un terme constant (ou, simplement, une constante). • L’expression 3y−7 comprend deux termes : 3y et −7. Le terme constant est −7. • L’expression 4xy+3x−17 comprend trois termes : 4xy, 3x et −17. Le terme constant est −17.

• Lorsqu’on écrit le produit d’un nombre et d’une ou plusieurs variables, il n’est pas nécessaire d’écrire les symboles de multiplication. • Par convention, le coefcient est placé devant les variables écrites en ordre alphabétique. Donc, 5×b2×a s’écrit 5ab2. Voici le coefcient et les variables de différents termes. Terme

4x

−5x 2y

2 3

8,2a

17

Coefcient

4

−5

2 3

8,2

17

Variable(s)

x

x et y

aucune

a

aucune

La valeur numérique d’une expression algébrique • Pour trouver la valeur d’une expression algébrique, il faut d’abord remplacer les variables par une valeur. Ensuite, on effectue les opérations selon la priorité des opérations. • Quelle est la valeur de l’expression algébrique 4x 2−3y+7, si x=3 et y=−5 ?

78

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.1

4x 2−3y+7 =4∙32−3∙(−5)+7 =4∙9+15+7 =58

Curi sité Pour ne pas confondre le symbole×avec la variable , le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) introduit le point (∙) pour représenter la multiplication.

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1

Complète le tableau suivant. Expression algébrique

Nombre de termes

Variable(s)

Terme constant

a) 3x 2−6x+8 b) 3,2x−5,15 c) −6xy+5x−2y−13 d)

2x + 45 3

e) 4a−6b+c−8d+1 7 f) −22

2

3

Écris les termes suivants selon les conventions d’écriture d’une expression algébrique. a) 5×a×b2= c) −4×a3×b2=

b) −2×a2×b×c= d) −1×b×c2×d=

e) b×2×d 2×c= g) b×(−3)×d 2×e=

f) d×4×c2×b= h) a×c2×(−2)=

Complète le tableau suivant. Terme

Variable(s)

Exposant(s) de variable(s)

Coefcient

a) 5x 3 b) y 5 c) −12x 2y 3 d) 13 e)

4

2 3 y z 7

Trouve la valeur de l’expression algébrique −3x selon les valeurs de x suivantes. a) x=3

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b) x=−6

c) x=100

Introduction à l’algèbre

Algèbre

79

Trouve la valeur des expressions algébriques suivantes, si x=3, puis si x=−2.

5

a) 4x

b) −5x

c) 5x+3

d) x 2+2x

Astuce Lorsqu’on remplace une variable par une valeur négative, il est préférable d’utiliser des parenthèses pour éviter toute confusion d’opération. Par exemple : si =−4, alors 2 =2∙(−4) =−8.

e)

6x−4 2

f) x 3−3x 2+5x+7

Exercice

Exercice 6

80

Algèbre

Trouve la valeur des expressions algébriques suivantes, si x=3, y=4 et z=−2. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 6x+3y+z= c) −3x+5y−2z=

b) x−2y−z=

e) 2x+5y−5z=

f) xy+2z=

g) x 3−2y+4z=

h) 2xy−3z2=

i) 4xz−2x−16z+8=

j)

Chapitre 3 — Section 3.1

d) y 2−2x=

x−2y+4z = 2

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Les polynômes • Un polynôme est une expression algébrique dont tous les exposants sont des nombres − positifs. Par exemple, 3b 2+7 n’est pas un polynôme. • On attribue un nom distinct aux polynômes ayant un, deux ou trois termes. −8x 2y

• Un monôme comporte un seul terme.

2x 3

• Un binôme comporte deux termes.

5n+6

• Un trinôme comporte trois termes.

6a+b−4

• Un polynôme peut aussi comporter quatre termes ou plus.

2x2+6xy−4y+5

2x+3y x2+2x−9

• Le degré d’un monôme correspond à la somme des exposants de ses variables. • Le degré du monôme 2x est 1, car l’exposant de x est 1. • Le degré du monôme −3a3b2c est 6, car la somme des exposants de a, b et c est 3+2+1=6.

• Le degré d’un polynôme correspond au degré le plus élevé des termes qui le composent. • Par convention, on place les termes d’un polynôme selon l’ordre décroissant de leur degré. Voici le polynôme x²+2x−12.

Voici le polynôme 6x 3y+4y 2−8.

Degré de ses termes :

Degré de ses termes :

x : degré 2

6x 3y : degré 4

Astuce

2x : degré 1

4y : degré 2

−12 : degré 0

−8 : degré 0

Un terme constant est un monôme dont le degré est 0.

2

Donc, le degré de x²+2x−12 est 2.

1

2

Donc, le degré de 6x 3y+4y 2−8 est 4.

Trouve le degré de chacun des monômes suivants. a) 3x 2

b) x 4

c) y 3

d) −2x

e)

3x 4

f) 3a2b5c 2x 3y 5

g) 7

h)

i) 4x 4z 2

j) −99

3 ab 2

l) 72y

m) −12x 2

n) 304

k)

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

81

2

3

Nomme les polynômes suivants selon le nombre de termes qu’ils comportent. Trouve ensuite le degré de chacun. a) 5x 3

b) y 5−1

c) 6x 4+2y 2−9y+1

Nom :

Nom :

Nom :

Degré :

Degré :

Degré :

d) 5a−b+d

e) 3x 3−7 y 2+ 8 x+y−1

f) 2,4b4−7,8a−5,6

Nom :

Nom :

Nom :

Degré :

Degré :

Degré :

5

9

Associe chacune des expressions algébriques suivantes à la description appropriée. 3ab 2

1) 2x−3y

2) 3x 4y−2xy+4x

5) −12b 2

6) 2x 3y 2+5xy 3−3x 2y 4+12xy+1

8) 6a−2b+3

9) xy 6+xy−6x

3)

4) 2x 3+4x 2−3x+7 7) 2x+4

a) Polynôme à quatre termes b) Monôme dont les variables sont a et b c) Polynôme dont le troisième terme comporte deux variables x et y d) Monôme de degré 2 e) Binôme dont le coefcient du deuxième terme est −3 f) Binôme dont la valeur numérique est 8, si x=2 g) Trinôme comportant un terme constant h) Polynôme de degré 7 i) Trinôme de degré 5 82

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.1

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La traduction d’une situation par une expression algébrique • On utilise les expressions algébriques pour traduire des situations qui impliquent des nombres ou des quantités. Voici quelques exemples. La somme de x et de 8 : x+8

6 de plus que x : x+6

La différence de x et de 7 : x−7

15 de moins que a : a−15 Le tiers de z :

Le produit de b et de 2 : b×2=2b Le quotient de 2a et de b :

1

Le quadruple de x diminué de 7 : 4x−7

Traduis chacune des descriptions suivantes par une expression algébrique. a) La somme de a et de 3

b) La différence de 2 et de x

c) Le produit de a et de b

d) Le triple de a

e) 3 de plus que x

f) 6 de moins que le double de y

g) Le quotient de b et de 7 i) 5 de moins que le double de x k) La moitié de b, diminuée de 4 m) Le produit de 6 et de a+2 o) 5 fois le carré de x 2

2a b

z 3

h) Le quart de x j) Le produit de 7 et de x−3 l) Le carré de x n) La différence de 6 et de la somme de x et de 4 p) Le double de x, diminué de 4

Écris en mots les expressions algébriques suivantes. a) x+17 b) x−12 c) 5a d) 6a−4

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

83

e) 2y−8 f)

a +3 2

g)

5x 4

h) 3(y+1) i) 4x+(y−5) j) 3

2b−3 4

Traduis chacune des situations suivantes par une expression algébrique. a) Jean a 6 billes de plus que le double des billes de Sophie. Si Sophie a x billes, combien Jean en a-t-il ? b) Lucas a 4 $ de moins que la moitié de l’avoir de Noam. Si Noam a y $, combien Lucas a-t-il d’argent ? c) Rania gagne a $ l’heure pour garder des enfants. Combien d’argent gagne-t-elle après 6 heures de gardiennage ?

4

Traduis chacune des situations suivantes par une expression algébrique. a) Sean a obtenu une note de 90 % à la première dictée et b % à la seconde. Quelle est la moyenne de ses résultats ? Réponse : b) Au cours d’une saison régulière, une équipe de hockey joue 82 parties. Depuis le début de la saison, l’équipe de Gaëlle a joué (c−2) parties. Combien de parties lui reste-t-il à jouer ?

Réponse :

c) Ali a le carré de la moitié de l’âge de sa sœur. Si sa sœur a x ans, quel âge a-t-il ? Réponse : d) La longueur d’un rectangle mesure 2 cm de plus que sa largeur. Si la largeur du rectangle est de x cm, quel est son périmètre ? Réponse : 84

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.1

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e) Jules joue aux échettes algébriques. Sur la cible, il atteint 2 fois la zone (x+3) points et 4 fois la zone (x−1) points. Combien de points Jules a-t-il accumulés en tout ? Réponse : f) Un roman coûte x $. Une bande dessinée coûte le tiers du prix d’un roman. Rina achète 4 bandes dessinées et 2 romans. Quel est le montant de sa facture, avant les taxes ? Réponse : g) Marylou photocopie un document de 6 feuilles. Le plateau d’alimentation de la photocopieuse contient 500 feuilles au départ. Marylou fait n photocopies de son document. Combien de feuilles reste-t-il dans le plateau d’alimentation lorsqu’elle a terminé ?

5

Réponse :

Luce a 2 chocolats de plus que le cinquième des chocolats de Miguel. Pour chacune des situations suivantes, écris une expression algébrique qui représente le nombre de chocolats de Luce. a) Miguel a x chocolats.

b) Miguel a (4x−7) chocolats.

Luce a

Luce a

c) Miguel a bc chocolats.

d) Miguel a 3x 2y chocolats.

Luce a

Luce a

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

85

3.2 La réduction d’expressions algébriques I L’addition et la soustraction d’expressions algébriques Pour additionner ou soustraire des expressions algébriques, il faut d’abord comprendre ce que sont des termes semblables. • Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants. Dans l’expression algébrique 3x2+8xy−9xy+5x : • seuls 8xy et −9xy sont des termes semblables, car ils sont composés des mêmes variables, x et y, affectées du même exposant, 1. • 3x 2 et 5x ne sont pas des termes semblables, car, bien qu’ils comportent la même variable, x, celle-ci est affectée de deux exposants distincts, 2 et 1.

Curi sité C’est le mathématicien arabe Al-Khwârizmî (780-850) qui introduit d’abord le mot dans son traité sur l’algèbre. Plus tard, le Français François Viète (1540-1603) propose de simplier les calculs en remplaçant les inconnues par des lettres.

• Des termes constants sont toujours semblables entre eux. Par exemple, −3 et 17 sont des termes semblables. • Il est possible d’additionner ou de soustraire des termes uniquement s’ils sont semblables. Il suft de trouver la somme ou la différence des coefcients. On veut réduire l’expression algébrique ci-dessous. 3x2−6x+7x2−2x+12

Astuce

Il faut toujours réduire une expression algébrique.

3x2−6x+7x2−2x+12 =3x2+7x2−6x−2x+12 =10x2−8x+12

• Additionner ou soustraire un polynôme à un autre, c’est additionner ou soustraire chacun de ses termes. 2a+(4a−5) =2a+4a+(−5) =2a+4a−5 =6a−5

86

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.2

3x−(7x−2) =3x−(7x)−(−2) =3x−7x+2 =−4x+2

5y+3+(12y−20) =5y+3+12y−20 =5y+12y+3−20 =17y−17

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1

Voici des tuiles algébriques. Elles représentent respectivement les expressions algé briques x2, x et 1.

x2 x

1 1 1

x x

x 1

Trouve l’expression algébrique représentée par les ensembles de tuiles suivants. a)

b) x2

x2

x2

x2

x2

1 x

x

x

x

Réponse : 2

1

1

1

1

Réponse :

Trouve l’expression algébrique qui représente les résultats suivants. Utilise les tuiles au besoin. a) J’ai (x 2+2x).

J’ajoute (2x 2+3x+4). x2

x x

2

x

+ x

x

1

x

1

x

1

2

1

J’obtiens : (x 2 + 2x) + (2x 2 + 3x + 4) = x 2 + 2x + 2x 2 + 3x + 4 = x 2 + 2x 2 + 2x + 3x + 4 =

b) J’ai (2x+2).

J’ajoute (2x 2+4x+2).

J’obtiens :

c) J’ai (x 2+3).

J’ajoute (2x 2+4).

J’obtiens :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

87

3

Les tuiles algébriques ci-contre représentent les expressions algébriques opposées à celles du numéro 1. x2

−x 2 −x

−1

−x 2

Les tuiles et leur valeur s’annule.

sont des opposés. Lorsqu’on les additionne,

x Les tuiles et leur valeur s’annule.

−x

sont des opposés. Lorsqu’on les additionne,

Les tuiles 1 et −1 sont des opposés. Lorsqu’on les additionne, leur valeur s’annule. Trouve l’expression algébrique représentée par les ensembles de tuiles suivants. a)

b) x2

−x 2 x

−x

1

−1

x2

1

−x −1

1

x

−x 1

−1

1

Réponse : 4

88

x2

−x 2

x

x

−x

−1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1

Réponse :

Trouve l’expression algébrique qui représente les sommes suivantes. Utilise les tuiles au besoin. a) J’ai (x 2−2x+3).

J’ajoute (−2x 2+4x+2).

J’obtiens :

b) J’ai (2x 2−2x+4).

J’ajoute (−x 2+2x−2).

J’obtiens :

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.2

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5

Détermine les termes semblables dans chacune des expressions algébriques. a) 3x+7−6x+1 b) 2x 2+5x−8+7x c) −2x 2+3x+6−x 2 d) 4x+2y−3z+9y+12 e) 4a2b−3a2+6b+9a2 f) −2x 2y+33xy+6x 2y−12x 2 g) 34x 2y+17x−13yx 2+6xy+23 h) 4a3−6a2−5a+2−3a i) 1,2x 2yz 3−3,15xy 2z 2+12,01x 2yz−0,01xy 2z 2 j)

6

7

2x 2y +y− 2x +4x 2y 3

Réduis les expressions algébriques suivantes. Écris tes réponses en respectant les conventions d’écriture. a) −x²−2x+4x²+3

b) 3y 2−12+4y 2+3

c) −59+x−x 2+13

d) x2+2x+4x2+3x

e) x 2+x−8x−x 2

f) 15a+2ab+4b+3ab

Les expressions algébriques suivantes sont-elles équivalentes ? Réduis-les pour trouver la réponse. −10x 2−28+6x 2−3x 2+35

−5x 2+12+5x 2−5

Astuce Deux expressions sont équivalentes si elles ont la même forme réduite.

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

89

8

90

Réduis chacune des expressions algébriques suivantes.

Algèbre

a) x+2y−3x+5y+6x

b) −6a+4b−12+8b−5+9a

c) 4x 2−6x+3x+2x+7x 2

d) 2ab+3b−4a+12b−9a+13

e) x 3−2x 2+3x−4+5x 2+11x

f) 4,2x−3,7y+1,9x+8,2y

g) 5a 3b+6a 2b−3ab 3+11a 2b

h) 2x 2y 2−6x2y 2+5x 2y−21x 2y 2

i) 6x2y 2−3xy2+5x2y−7xy2

j) 6,9a 2b−1,8a 2−3,2a2b−4,5a 2+b

Chapitre 3 — Section 3.2

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9

Réduis les expressions algébriques suivantes. a)

x +y+ 2x − 3y 2 3 5

b)

x 7x − 5y −6+ 4y + 12 + 13 4 5

Astuce L’expression 2 peut 1 s’écrire . Consulte 2

la page 15 pour faire un retour sur les opérations sur les fractions.

c)

3x 7y − 8y −5x+ 12 +19 7

d)

12a −2 56 +6b− 2a + 9b + 43 5 3

10 Écris chacune des expressions algébriques suivantes sans parenthèses. Réduis-les ensuite. a) 3x+(4x+6)

b) 35a−(2a+13)

c) −2x−(4x−7)

11 Réduis les expressions algébriques suivantes.

Astuce a) (3b−2)+(2−6b+4)

b) (3x+4y)−(2x−7)

c) 8+(x+1)−(2x−6)

d) (6xy+1)−(4+21xy−y)

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Introduction à l’algèbre

Rappelle-toi que soustraire un polynôme, c’est soustraire chacun de ses termes.

Algèbre

91

e) 3,25ab+(2,85ab+2,1a−5)

g)

(

x − 56 + 3x 2 4

)

f) (8,2x+1,7)+7−(−20,4x+46)

h)

(4x7 +6)−( 5x8 −2 78 )

Exercice

Exercice

12 Réduis les expressions algébriques suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 3x+7−5x+2

b) 3x 2−4x−9+7x

=

=

c) a 3−3a 2+3b+7a 2

d) 6x 2y+7x−13x 2y+3

=

=

e) 4a 3−5a 2−5a+2−3a

f) 2x 2yz 3+xy 2z 2+x 2yz 3−xy 2z 2

=

=

g) 3,9a−2,7c−2,1c+1,2a

h) 2,4x 2y−1,9y 2+6,8y 2−3x 2y

= i)

=

2a +2b− 49a + 2b 3 7

j)

=

=

k) 2ab+(4ab−6)−5ab

l) −x−(−x−1)+(−x−1)

= m)

=

(

6x + 98 + 3x +1 14 7 4

)

=

92

Algèbre

x + 4y − 65 + 2y − 12 + 13 3 3

Chapitre 3 — Section 3.2

n)

(

x 1 + 98 − 3x + 12 12 4

)

=

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13 Trouve l’expression algébrique qui représente le périmètre de chacun des polygones suivants. Toutes les mesures indiquées sont en centimètres.

a)

x+5

b)

3xy

c) 2x+y 3x+8

2y+1

3x+2

2x−5

d)

x+1

x+3

2x−5

x

e) 8

f) x−6 x

2x+1 4x−(x−3)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

93

14 Pour chacune des gures suivantes, trouve l’expression algébrique qui représente la mesure manquante. Toutes les mesures indiquées sont en centimètres. a)

3x+4

b)

2x

4x+3

?

3x+1

?

P=(12x+7) cm

c)

P=(10x+9) cm

3x

d)

x−1 ?

5,6x+1 4,1x

4x+5

2x+6

?

7,8x−4,3

2x−3 P=(14x+10) cm

94

Algèbre

P=(22,3x−1,6) cm

a)

b)

c)

d)

Chapitre 3 — Section 3.2

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15 Johannie joue trois parties de Scrabble avec son frère. Elle accumule x points à la première partie. À la deuxième partie, elle récolte 20 points de plus qu’à la première. À la troisième partie, elle obtient 24 points de plus qu’à la deuxième. Quelle expression algébrique représente la somme des points que Johannie a accumulés après ces trois parties de Scrabble ?

Astuce

Souviens-toi qu’il faut toujours réduire une expression algébrique.

Réponse :

16 Maryse, Aldo et William vendent des tablettes de chocolat pour nancer leur voyage de n d’année. William vend x tablettes. Aldo en vend 2 fois plus que William. Maryse en vend 12 de moins qu’Aldo. Quelle expression algébrique représente le nombre total de tablettes de chocolat vendues par les trois amis ?

Réponse :

17 Max, Jules et Émile sont des frères. Max a 3 ans de plus qu’Émile. Jules a le tiers de la somme des âges de ses frères. Émile a x ans. Quelle expression algébrique représente l’âge de Jules ?

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

95

18 Fatima observe les variations de température au cours d’une semaine. Elle calcule la température de chaque journée par rapport à celle de la journée précédente. Lundi, le thermomètre indique (2x+4) °C. Mardi, la température descend de x °C. Mercredi, on enregistre une hausse de 6 °C, suivie d’une baisse de 4 °C le jeudi. Vendredi et samedi, on observe une hausse de 2 °C chaque jour. Finalement, dimanche, on observe une baisse de x °C. Quelle expression algébrique représente la température mercredi et dimanche ? a) Mercredi

Réponse :

b) Dimanche

Réponse :

19 Un avion se trouve à (48x+33y+12) m d’altitude. Après plusieurs minutes de vol, l’altitude de l’appareil varie. Il effectue une descente de (20x−2y+10) m, puis une autre de (18y−18) m et nalement une remontée de (2x+12) m. À quelle altitude se trouve maintenant l’avion ?

Réponse :

20 Rémy achète trois jeux vidéo à (2x+4) $, (3x−2) $ et (5x+1) $, taxes incluses. Si Rémy paie avec un billet de 100 $, quelle expression algébrique représente le montant que le caissier doit lui rendre ?

Réponse : 96

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.2

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21 Laurie doit déterminer la mesure manquante d’un des angles intérieurs d’un triangle obtusangle. Elle sait que l’angle obtus mesure (4x+45)° et qu’un des deux angles aigus mesure 2x°. a) Quelle est la mesure manquante du troisième angle ?

Réponse : b) Si x vaut 15°, quelle est la mesure des trois angles du triangle obtusangle ?

Réponse :

22 Françoise effectue un lavage à contre-courant pour nettoyer le ltre de sa piscine. La quantité d’eau évacuée est de (6a+2b−8) L. Françoise ajoute ensuite (a−6) L d’eau dans sa piscine. S’il y a maintenant (89a+108b+225) L d’eau dans la piscine, quelle expression algébrique représente la quantité d’eau dans la piscine avant le lavage à contre-courant ?

Réponse :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

97

3.3 La réduction d’expressions algébriques II La multiplication et la division d’expressions algébriques La multiplication d’expressions algébriques Les propriétés de la multiplication sont très utiles pour trouver le produit d’expressions algébriques. • La multiplication est associative. Ainsi, pour multiplier un monôme par une constante, il faut multiplier le coefcient du monôme par cette constante. −5∙(3a)=(−5∙3)∙a=−15a

• La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction. Ainsi, pour multiplier une expression algébrique par une constante, il faut multiplier chacun des termes de l’expression algébrique par cette constante. 3(2x−4)=3∙2x−3∙4=6x−12

Astuce Lorsqu’on multiplie une constante par une expression algébrique, on peut omettre d’écrire le symbole de multiplication.

Par exemple, les expressions 3×(2 −4) et e 3∙(2 −4) peuvent s’écrir ). tout simplement 3(2 −4

• La multiplication est commutative. Ainsi, pour multiplier des monômes, il faut multiplier les coefcients ensemble et additionner les exposants des variables identiques. 5a∙3a=5∙a∙3∙a =5∙3∙a∙a =15a2

−3b∙1,1b=−3∙b∙1,1∙b =−3∙1,1∙b∙b =−3,3b2

5x∙4y=5∙x∙4∙y =5∙4∙x∙y =20xy

La division d’une expression algébrique par une constante • Pour diviser un monôme par une constante, il faut diviser le coefcient du monôme par cette constante. 35x 2÷5=

35x 2 =7x 2 5

• Pour diviser une expression algébrique par une constante, il faut diviser chacun des termes de l’expression algébrique par cette constante. 24x−16y 4 24x 16y = − 4 4

(24x−16y)÷4=

=6x−4y

98

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.3

Astuce

la notation Il est plus simple d’utiliser er la division d’une fractionnaire pour exprim une constante. expression algébrique par

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1

Trouve l’expression algébrique qui représente les produits suivants. Utilise les tuiles au besoin. a) Le double de (x 2+2x+3) :

2(x 2+2x+3)=

x x2 1

1

x 1

b) Le quadruple de (−2x+1) :

4(−2x+1)=

−x −x 1

c) Le triple de (x 2−4) :

3(x 2−4)=

x2 −1 −1 −1 −1

2

Trouve l’expression algébrique qui représente les quotients suivants. Utilise les tuiles au besoin. (3x 2−6x+9) = 3

a) Le tiers de (3x 2−6x+9) :

x

2

x

2

x

2

−x

−x

−x

−x

−x

−x

−x 2

−x 2

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−x 2

1

1

1

1

1

1

1

1

(−4x 2+6x−10) = 2

b) La moitié de (−4x 2+6x−10) :

−x 2

1

x

x

x

−1 −1 −1 −1 −1

x

x

x

−1 −1 −1 −1 −1

Introduction à l’algèbre

Algèbre

99

3

4

5

100

Effectue les multiplications suivantes. a) 5∙2x= c) −3∙(−8y)=

b) −4∙5a=

e) −2a∙9a= g) −2,3∙4x=

f) 1,2∙3,4xy=

d) 4x∙3x=

i) 5a∙3b=

h) 6,8y∙2y= j) −2x∙(−10xy)=

k) 11x∙7=

l) −9x∙9x 2=

Effectue les divisions suivantes. a) 15a÷3=

b) 20b²÷4=

c) 30x÷5=

d) 12y÷6=

e) 20ab÷(−2)=

f) −45x÷15=

g) −4a÷(−2)=

h) −25z÷(−5)=

i) 8a÷6=

j) −32x÷18=

k) xy÷7=

l) −56xy÷(−8)=

Effectue les opérations suivantes. a) 12ab∙4ab=

b) 10x²∙5x²=

c) −12ab÷4=

d)

e) −2xy∙6x=

f) −2xy∙(−3y)=

1 g) 5xy÷ 15 =

h)

y ÷ 15 = 25

i)

5 ∙2x= 6

j)

2x 4 ∙ = 3 5

k)

2xy ÷ 23 = 3

l)

−2xy 2 ∙3 3

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.3

55xyz = 11

=

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6

Effectue les opérations suivantes. a) 3(2x−5)

b) −2(6a+7)

c) 8(6y−3x)

d) 3,7(2,5xy+3x−7,6)

e)

1 3

(−6x+ 92 )

(

f) −34 8ab− 83

g) (12x 2+9y)÷3

h)

20y+24 4

i) (25xy−15x+45y−75)÷5

j)

54y+78x−42 −6

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)

Introduction à l’algèbre

Algèbre

101

7

Réduis chacune des expressions algébriques suivantes. Pense à respecter la priorité des opérations. a) 3(x−2)+6(5−x)

b) −2(x 3−x+2)+(4x 3−2x)

c) −3(a+1)+(12a−6b+14)÷2

d) 3x∙4x−2(x 2−4x)+(x+5)

e)

64a2b+96 a−72 −(3ba2+6b−12) 8

f) (12xy 2z+6xy−18)÷6+2(2xy−3)

Exercice

Exercice 8

Effectue les opérations suivantes an de réduire les expressions algébriques. a) 3x∙(−5x)=

b) −2,5(2x−5)=

c) 3(5x−4y+3,2)=

d)

e) (9a−6b+4)÷2=

f) (7,84a2−12,46b)÷1,4=

(

102

Algèbre

)

2 5

(3ab− 34 )=

g) 12x+ 25 ÷ 23 =

h) (25x+4)∙2=

i) 3(x 2−2)−3(x 2−2)=

j) 3 x 2− 13 + 13 (3x 2−3)=

Chapitre 3 — Section 3.3

(

)

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9

Pour chacune des gures suivantes, trouve l’expression algébrique qui représente la mesure manquante.

a)

Astuce

b) 2y+1

?

P=(32x 2+20x−16) m

?

Souviens-toi qu’il faut toujours réduire une expression algébrique.

P=(6x+4y+12) cm

10 Dans chaque cas, vérie si les expressions algébriques sont équivalentes. a) 4(x−7)+2

2(2x−13)

b) (54x 3−72x+18)÷9

2(3x 3−4x+1)

c) 6−(2x+5)−8

−2x+3

d) (25a2b+15ab2+45)÷5

5a2∙b+3(ab2+3)

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

103

11 Maëlle fait des courses. Elle achète 4 sacs de crevettes à (7x+5) $ chacun, 2 boîtes de spaghettis à (3x−6) $ chacune et 3 brocolis à (4x−8) $ chacun. Quelle expression algébrique représente le montant total des achats de Maëlle ?

Réponse :

12 Mehdi et sa famille vont au théâtre. Il en coûte (2x+26) $ pour un billet pour adulte et la moitié de cette somme pour un billet pour enfant. Si la famille de Mehdi compte 3 enfants et 2 adultes, combien coûte la sortie au théâtre ?

Réponse :

13 Les membres d’une équipe de basketball organisent un lavothon pour nancer leur prochaine saison. Le prix demandé pour le lavage d’une voiture compacte est de (2 x) $ et celui pour une fourgonnette est de (3 y) $. Les membres de l’équipe ont dépensé (20x−6y 2) $ pour l’achat de produits nettoyants. Si, à la n de la journée, ils ont lavé 120 voitures compactes et (25y) fourgonnettes, combien de prot ont-ils fait ?

Réponse :

104

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.3

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14 Un terrain a la forme d’un trapèze isocèle. La petite base mesure (3x+9) m. La grande base mesure les quatre tiers de la petite base. Chacun des deux autres côtés mesure le quart de la grande base. a) Quelle expression algébrique représente le périmètre du terrain ?

Réponse : b) Si x=12,3, quel est le périmètre du terrain ?

Réponse : c) Si la petite base mesure (3x ) m, quelle expression algébrique représente le périmètre du terrain ?

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

105

15 Kaël joue au hockey depuis quatre ans. La première saison, il a récolté x points et la deuxième saison, il en a récolté le double. À la troisième saison, il a récolté 6 points de plus que le triple des points de la première saison. Enn, cette saison, il a été blessé le quart du temps, mais il a quand même récolté 10 points de moins qu’à sa deuxième saison. Quelle a été la moyenne des points par saison de Kaël au cours de ces quatre années ?

Réponse :

16 Élise participe à une course cycliste qui comporte trois étapes. Elle complète la première étape de (6x+8) km en 3 heures. Elle parcourt la deuxième étape de (5x+22) km en 2,5 heures. La troisième étape compte 4 km de plus que le double de la deuxième étape. Elle la complète en 3 fois plus de temps que l’étape précédente. Quelle a été la vitesse moyenne d’Élise pendant la course ?

Astuce On peut déterminer la vitesse moyenne d’un parcours en divisant la distance du parcours par le temps pris pourd l’effectuer, = t .

Réponse :

106

Algèbre

Chapitre 3 — Section 3.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 3.1 1

Trouve la valeur des expressions algébriques suivantes, si a=−2, b=3 et c=−1. a) 2a+4b+3c=

b) a−2b−c=

c) a2−4b+5c=

d) ab+2c=

e) 6b+2ac= g) −5a+3b−18=

f) a2+2b3−c5= h) −2ab+7ac=

i) 2a2+4b−c=

j)

−3a+8b+2c = 2

Sections 3.2 et 3.3 2

Réduis les expressions algébriques suivantes. a) 2x+5−7x−3

b) 5x 2−3x+6+9x

= c) 2a2b−3a+4b−5ab+4a

= d) 2x 2−3x−5y+3x 2−7y

= e) 2ab−3ab−2ac+bc−2ac

= f) 1,2x+1,7+2,4x−4,2y+8,3

= 3

Effectue les opérations suivantes an de réduire les expressions algébriques. c) 5(2a2b−4)=

b) 5(−2x+6)= d) (−4a+12b)÷2=

e) (12x−24y)÷3=

f) 2(3x−5)+3(x−4)=

a) −2∙8x=

4

=

Réduis les expressions algébriques suivantes. a) 2(3x−2)−(4x−3)

b) (8ab−4b+20)÷ 16

= c)

x − 4y + 3x + 3y 2 4 8

= e)

1 (12x−22y)+(36x−12y)÷6 2

=

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= d)

(

)

2 (3a−3b+4)− 310a +4b 5

= f) −7(−2,1x 2+4,3xy−9)−(3,5xy−63)

=

Introduction à l’algèbre

Algèbre

107

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Sections 3.1 à 3.3 5

Traduis chacune des situations suivantes par une expression algébrique. a) Suzanne a 4 ans de plus que le triple de l’âge de sa sœur. Si sa sœur a x ans, quel âge Suzanne a-t-elle ?

b) Pendant une campagne de nancement, Olivier a amassé x $ et Mathieu a amassé le tiers du carré de ce montant. Combien d’argent Mathieu a-t-il amassé ?

c) Cette semaine, Maude s’est entraînée 4 fois plus longtemps que son frère. Si son frère s’est entraîné pendant ( x−10) heures, pendant combien de temps Maude s’est-elle entraînée ?

d) Samuel a marqué 3 buts pendant sa première partie de hockey et x buts pendant sa deuxième partie. Quelle est sa moyenne de buts par partie ?

e) Les côtés isométriques d’un triangle isocèle mesurent 3 cm de moins que le double de sa base. Si la base du triangle mesure x cm, quel est le périmètre de ce triangle ?

f) Le père de Maéva a 32 ans de plus que sa lle. Sa mère a le triple de l’âge de Maéva, plus 4 ans. Si Maéva a x ans, quelle est la somme de leurs âges ?

g) Quelle est la somme de deux nombres pairs consécutifs si le premier nombre est (2x+4) ?

6

Badr, Austin et Jacob participent à une course à relais à vélo. Badr a parcouru x km. Austin a parcouru 6 km de moins que le double du nombre de kilomètres parcourus par Badr. Jacob a franchi le tiers de la distance parcourue par Austin et Badr ensemble. Combien de kilomètres ont-ils parcourus en tout ?

108

Algèbre

Chapitre 3 — Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 3 Questions à choix multiples Quel est l’exposant de la variable x de l’expression 3xy²−6 ? a) −6 2

d) 3

b) −4

c) 4

d) 8

b) 2

c) 3

d) 6

b) 2

c) 3

d) 8

Comment nomme-t-on le polynôme 2x 2+6x−8 ? a) Monôme

7

c) 2

Quel est le degré du polynôme 3a3+2a−8a ? a) 1

6

b) −1

Quel est le degré du monôme 2x 3 ? a) 1

5

d) 0

Quelle est la valeur de l’expression 2x−y , si x=−3 et y=−2 ? a) −8

4

c) 2

Quel est le coefcient du monôme −3a2b ? a) −3

3

b) 1

RETOUR

1

b) Binôme

c) Trinôme

d) Polynôme à quatre termes

Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle traduit la description suivante ? On soustrait le double de a de 12.

a) 2a−12 8

9

b) 12−2a

c) 2(a−12)

d) 2(12−a)

Parmi les descriptions suivantes, laquelle ne traduit pas l’expression 3x−7 ? a) Le triple de x diminué de 7.

b) On soustrait 7 du triple de x.

c) La différence de 3x et de 7.

d) On soustrait le triple de x de 7.

Réduis l’expression (2x+3y )−(x−4y ) . a) x−1

b) 3x−y

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c) x+7y

d) 8xy

Introduction à l’algèbre

Algèbre

109

Questions à réponses courtes

RETOUR

10 Trouve la valeur des expressions algébriques suivantes, si a=2, b=−3 et c=6. a) 4a−3b−2c

b) −b2+2a

c) abc−3a

d)

a−2b

3c

11 Trouve le degré de chacun des monômes suivants. a) 2x 2

b) 5x

d) 3a2

e) 2x 4

c) −3a2 f) −4

12 Nomme les polynômes suivants selon le nombre de termes qu’ils comportent. Trouve ensuite la constante de chacun. a) 6a2

b) a3−6

c) 3x−2y+5

Nom :

Nom :

Nom :

Constante :

Constante :

Constante :

13 Traduis chacune des descriptions suivantes par une expression algébrique. a) 5 de moins que a b) Le produit de 5x et de y c) 4 de plus que le triple de a d) Le cinquième de x e) 3 de moins que le double de a f) Le produit de 13 et de (a+7) g) La somme du carré de x et de 4

110

Algèbre

Chapitre 3 – Retour

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14 Traduis les situations suivantes par une expression algébrique. a) Béatrice a 3 billes de moins que le double des billes de Charles. Si Charles a (10x ) billes, combien Béatrice en a-t-elle ? Réponse : b) Kavish achète 23 crayons-feutres à (4a) $ chacun. Quel est le montant total de son achat avant les taxes ? Réponse : c) Le périmètre d’un carré est de (48x−16) cm. Quelle est la mesure d’un côté du carré ?

RETOUR

Réponse : 15 Effectue les opérations suivantes. a) 6a+7b+12+3a−2b+9

b) −2∙4x+3∙5y

c) (3xy+y)−(12xy−y+5)

d) 4x+(2x+5)−(5x−6)

e)

16x 2+36 +(5x 2−25)÷5 4

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f)

(

2x +3 3

)−(

4x + 56 5

)

Introduction à l’algèbre

Algèbre

111

16 Trouve l’expression algébrique qui représente le périmètre des polygones suivants. Les mesures indiquées sont en mètres. a)

b)

a+2b

3y−6 2a+3b 2x+4

RETOUR

17 Trouve le périmètre des polygones du numéro précédent, si x=3, y=5, a=−1 et b=4. a)

b)

18 Trouve la mesure manquante de la gure suivante. 6x+1 5x+2

?

11x−4

P=(26x+2) cm Réponse : 112

Algèbre

Chapitre 3 – Retour

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Questions à développement 19 Dans le gymnase de l’école, il y a trois paniers de ballons. Chaque panier compte x ballons de volleyball et 4 ballons de basketball de plus que le double du nombre de ballons de volleyball. Combien de ballons y a-t-il en tout ?

RETOUR

Réponse : 20 Pierre a 26 ans de plus que sa lle et 3 ans de plus que sa femme. Si sa lle a x ans, quelle est la somme des âges des membres de sa famille ?

Réponse : 21 Quelle est la somme de trois nombres consécutifs si le premier nombre est (3x+2) ?

Réponse :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

113

22 Deux amis achètent des vêtements. Noémie achète 2 pantalons et 5 chandails. Sacha achète 1 pantalon, 2 jupes et 3 chandails. Les pantalons sont en solde à (3x+y) $ chacun, les chandails à (2x+4) $ chacun et les jupes à (5x−8) $ chacune.

RETOUR

Quelle est la différence entre le montant total des achats de Noémie et ceux de Sacha ?

Réponse : 23 Fanny et sa famille font une course en kayak. Fanny parcourt 7 km de plus que le double des kilomètres franchis par sa sœur, Béatrice. Leur frère, Jonathan, parcourt 5 km de moins que le double des kilomètres franchis par sa sœur Fanny. Leur père parcourt la moitié de la somme des kilomètres franchis par ses trois enfants. Si Béatrice parcourt x km, quelle expression algébrique représente la distance franchie par leur père ?

Réponse :

114

Algèbre

Chapitre 3 – Retour

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24 Simon observe trois vitraux. Le premier est fait de 25 rangées de x carreaux. Le second comprend 5 rangées de plus que le premier et chaque rangée comprend 5 carreaux de plus. Le troisième vitrail comprend 5 rangées de moins que le premier et chaque rangée comprend 5 carreaux de moins. Quelle expression algébrique représente la différence entre le nombre de carreaux du deuxième vitrail et le nombre de carreaux du troisième vitrail ?

Côté 1

25 Suzy veut clôturer son terrain de forme irrégulière. Le côté 1 mesure (1,5x+4) m. Les côtés 2 et 3 sont chacun deux fois plus grands que le côté 1. Le côté 4 mesure le cinquième du côté 2. Finalement, le côté 5 mesure 4,88 m de plus que le côté 1. Le prix de la clôture est de 22 $/m. Quelle expression algébrique représente le montant total que doit payer Suzy pour clôturer son terrain ?

Côté 5 Côté 2

RETOUR

Réponse :

Côté 4 Côté 3

Réponse :

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Introduction à l’algèbre

Algèbre

115

Situation d’application Les parapluies Une compagnie fabrique trois modèles de parapluie. Le modèle pour enfants se vend (6x+4) $. Le modèle long se vend 4 $ de plus que le triple du prix du modèle pour enfants. Le modèle télescopique se vend le quart de la somme du prix des deux autres modèles. Quel est le revenu annuel de la compagnie si, en moyenne, elle vend chaque mois 4 000 parapluies pour enfants, 5 500 parapluies longs et 7 200 parapluies télescopiques ?

Réponse 116

Situation d’application

Les parapluies

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Consolidation : Chapitres 1 à 3 Questions à choix multiples 1

Parmi les chaînes d’opérations ci-dessous, laquelle donne le même résultat que la chaîne d’opérations suivante ? 7+5×(4÷2)−3 2 a) 6+4×12÷3

2

b) 4×16÷23

c) 2×23−5

Observe le graphique ci-contre. Parmi les afrmations suivantes, laquelle est vraie ? a) Le nombre d’ouvriers et le temps requis augmentent de façon proportionnelle.

Temps requis pour compléter un chantier selon le nombre d’ouvriers y

Temps requis 25 (h) 20

b) Plus le nombre d’ouvriers augmente, plus le temps requis augmente.

(3, 21)

15 10 5

c) Le temps requis est inversement proportionnel au nombre d’ouvriers.

0

(7, 9)

2

4 6

x

Une école compte 200 élèves de deuxième secondaire. Si 75 % des élèves ont participé à une soirée spéciale pour l’Halloween, combien d’élèves étaient présents ? a) 25 élèves

4

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Nombre d’ouvriers

d) Le coefcient de proportionnalité de cette situation est 7. 3

d) 18+9÷32

b) 75 élèves

c) 100 élèves

d) 150 élèves

Quel est le degré du polynôme suivant ? 4a 2+3a−5 a) 2

5

b) 3

c) 4

d) 5

Quelle est la valeur du polynôme suivant, si x=−2 ? 5x 2+x−10 a) −32

6

b) −8

c) 8

d) 12

Parmi les termes suivants, lequel est semblable à 7ab2 ? a) 2a2b

b) 7ba2

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c) 4a2b2

d) −2ab2 Consolidation : Chapitres 1 à 3

117

Questions à réponses courtes 7

8

Effectue les opérations suivantes. Écris ta réponse sous forme de fraction. a)

3 + 56 7

b)

1 +1 34 2

c)

3 − 12 8

d)

7 × 25 8

e)

2 ×1 12 5

f)

3 7 ÷ 12 4

Complète les égalités suivantes. a) (−2)3 = e) 17

9

=289

b)

169 =

f)

12

c) 15

=12

=225

d)

15 625=

h) ( 49 )2 =

g) − 100=

Complète les proportions suivantes.

a)

48 = 105 60

b)

26

= 34 51

c)

9 = 21

21

10 Complète les énoncés suivants. a) 16 % de 60=

118

Consolidation : Chapitres 1 à 3

b)

% de 30=33

c) 28 % de

=35

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11 Pour chacune des tables de valeurs suivantes, détermine si la variation est proportionnelle ou inversement proportionnelle. Trouve ensuite le coefcient de proportionnalité ou le produit constant et complète les tables de valeurs. a)

x

4

7

y

48

84

b)

12 7 200

y

Variation :

c)

12

30

30

15

2

0,5

5

16

Variation :

x y

4

x

52

20

32

26

16,25

d) 2

x y

Variation :

600

1 440 1 920

Variation :

12 Réduis chacune des expressions algébriques suivantes. a) 2xy−4x 2y 2+6xy+9y+3xy−6y

b) 2a 4+6b 5+2a 3−4−a 4+b 5+12

c) 4x 2−(2x 2+4xy)+(−5xy+2)

d) 3(x 2+2)−4(x 2+x−2)

e) 2(a 2b−5a+3b)−(3a 2b−4b)+7a

f)

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4b 2−6ab +3(−9b2+ab) 2

Consolidation : Chapitres 1 à 3

119

Questions à développement 13 Mariam est une adepte de hockey. Elle a compilé dans le tableau suivant certaines statistiques de Mario Lemieux alors qu’il jouait dans l’équipe des Pingouins de Pittsburgh. Quelle est la moyenne des plus-moins de Mario Lemieux pendant cette période ? Saison

Plus-moins

Saison

Plus-moins

1984–1985

1992–1993

1985–1986

−35 −6

1993–1994

55 −2

1986–1987

13

1995–1996

10

1987–1988

23

1996–1997

27

1988–1989

2000–2001

1989–1990

41 −18

15 −3

1990–1991

8

2002–2003

1991–1992

27

2003–2004

2001–2002

−25 −2

Réponse : 14 On estime que 88 % de la taille d’un iceberg se situe sous la surface de l’eau. Sachant que la pointe de l’iceberg (la partie au-dessus de la surface) qui a provoqué le naufrage du Titanic avait une hauteur de 30 m, trouve la taille totale de cet iceberg. Trouve ensuite la profondeur atteinte par l’iceberg.

Réponse : 120

Consolidation : Chapitres 1 à 3

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15 Frank, Donavan et André jouent dans la même équipe de soccer. La gure ci-contre représente la distance entre les maisons des trois amis et le terrain de soccer. Frank marche à une vitesse de 60 m/min. À vélo, Donavan roule à une vitesse de 4,2 m/s. André en prote pour jogger. Il court à une vitesse de 9 km/h.

Terrain de soccer 4,5 km 5,75 km 5 km Frank

André

Qui arrivera le premier au terrain de soccer ?

Donavan

Réponse : 16 Jordan et Sacha protent des soldes du Cyberlundi. Sur leur facture, le marchand indique le montant total qu’ils ont économisé. Qui a obtenu la réduction la plus élevée en pourcentage ? Facture de Jordan Pantalon : 59,95 $ Taxes : 8,99 $ Total : 68,94 $ Montant économisé (avant taxes) : 23,98 $

Facture de Sacha Manteau : 79,59 $ Taxes : 11,94 $ Total : 91,53 $ Montant économisé (avant taxes) : 27,86 $

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Consolidation : Chapitres 1 à 3

121

17 Lors d’une campagne de nancement pour le club de natation de sa région, Catherine prépare des biscuits qu’elle vend 1,25 $ chacun. On s’intéresse à la relation entre le nombre de biscuits vendus et les gains amassés. a) Complète la table de valeurs et le graphique qui représentent cette situation. Gains amassés par la vente des biscuits Nombre de biscuits

Gains ($)

Gains amassés par la vente des biscuits Gains ($) 62,50 56,25 50,00

0

43,75

1

37,50

2

31,25

3

25,00 18,75

5

12,50

10

6,25

50

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Nombre de biscuits

100

b) Observe le graphique. Si Catherine désire amasser 50 $, combien de biscuits doit-elle vendre ?

18 Chaque automne, Ludovic cueille des pommes avec sa famille. On s’intéresse à la relation entre le nombre de personnes présentes à la cueillette et le temps nécessaire pour remplir deux sacs de pommes. a) Complète la table de valeurs et le graphique suivants. Durée de la cueillette de pommes

Durée de la cueillette de pommes Temps (min)

Nombre de personnes

Temps (min)

1

100

100 90 80

2

70

3

60

4

50 40

10

30

20

20

25

10 0

1

2

3

4

5

6 7 8 9 10 Nombre de personnes

b) Ludovic a calculé que sa famille et lui ont cueilli les pommes en 20 minutes. À l’aide du graphique tracé en a), trouve combien de membres de sa famille étaient présents.

122

Consolidation : Chapitres 1 à 3

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19 Pour son anniversaire, Annie a reçu la somme de x $ de son oncle. Ses parents lui ont donné 6 $ de plus que le double du montant offert par son oncle. Quelle expression algébrique représente le montant total qu’a reçu Annie ?

Réponse : 20 Trouve la moyenne des trois nombres représentés par les expressions suivantes. (5x+3)

(3x−6)

(x+9)

Réponse : 21 Les deux gures suivantes ont le même périmètre. Quelle expression algébrique représente la mesure manquante de la gure 2 ? (3x+7) cm

(4x−3) cm (x+12) cm

Figure 2 Figure 1

2(4x−3) cm

(2x+1) cm

?

(2x+5) cm (4x−3) cm (2x+1) cm

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Consolidation : Chapitres 1 à 3

123

Situation-problème Opération déneigement Pascale et Bakary sont voisins. Pascale est propriétaire d’un triplex dont l’aire de stationnement a une supercie de 42,5 m2. Bakary possède un duplex. L’aire de stationnement a une supercie de 27,5 m2. L’hiver prochain, les deux voisins veulent faire appel à une entreprise pour le déneigement de leurs aires de stationnement. Plusieurs entreprises se font compétition dans leur quartier. Voici quatre soumissions d’entreprises différentes. 1. SOS Neige 2,75 $ par déneigement : un déneigement le matin et un déneigement le soir.

2. DéneigeXpert Coût ($) 250 225

(20, 210)

200

3. Rapido-Neige 6,75 $ par jour de neige.

175 150 125 100

4. Vite sur la pelle Pour une surface de plus de 40 m2 : 65 % du prix de DéneigeXpert. Pour une surface de moins de 40 m2 : 85 % de DéneigeXpert.

75

(8, 84)

50 25 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Surface déneigée (m 2)

S’il neige en moyenne de 50 à 56 jours pendant l’hiver, quelle soumission est la plus avantageuse pour les deux propriétaires ? Justie ta réponse à l’aide de tables de valeurs qui représentent les soumissions.

124

Situation-problème

Opération déneigement

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Réponse

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Situation-problème

Opération déneigement

125

Situation d’application Le rallye photo Constance participe à l’organisation d’un rallye photo dans un parc provincial. Son rôle consiste à tracer le trajet de la course. Le trajet doit comporter plusieurs sections. Lors du rallye, les participants s’arrêteront à chaque intersection pour prendre une photo. À la n du rallye, les photos serviront à créer une mosaïque qui sera afchée dans le pavillon d’accueil. Constance commence le plan du trajet en traçant une section de x m. Toutes les sections suivantes du trajet ont une grandeur qui dépend de la valeur de x. En moyenne, un participant Section 2 Photo 1 5x Photo 2 court à une vitesse de Section 1 9 km/h et s’arrête pendant x 3 minutes pour prendre une Section 3 Départ Section 6 photo. Les organisateurs 6x et arrivée Photo 5 7,25x aimeraient que le rallye dure environ 2 heures. Si x a une valeur de 500 m sur le plan de Constance, le rallye durera‑t‑il 2 heures ? Justie ta réponse en calculant la durée totale de la course.

Section 5 8x

Photo 4

Section 4 9,5x

Photo 3

Réponse 126

Situation d’application

Le rallye photo

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CHAPITR E

Les équations du premier degré à une inconnue

4

SOMMAIRE Rappel................................................................................128 4.1 La résolution d’équations du premier degré à une inconnue ............................................ 130 4.2 La résolution de problèmes à l’aide d’équations algébriques.......................... 139 Exercices + supplémentaires................................... 149 Retour sur le chapitre 4 .............................................. 151 Le transport du pétrole (CD2).................................. 158

Le volleyball se joue sur un terrain rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur.

Longueur ? Largeur ?

Si le périmètre du terrain mesure 54 m, quelles sont les dimensions du terrain ? Périmètre=54 m

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

127

Rappel Les égalités Une égalité est une relation entre deux expressions mathématiques équivalentes. Les deux membres de cette égalité ont une valeur de 7, donc l’égalité est vraie. Membre de gauche

2+5

=

3+4

7

Membre de droite

7

Les égalités et la priorité des opérations Pour vérier si une égalité est vraie ou fausse, il faut calculer la valeur de chacun des membres en respectant la priorité des opérations. On veut vérier si l’égalité suivante est vraie.

Astuce

5×(3+4)−62=2×(6−5×2)+7

RAPPEL 1

128

Consulte la page 10 pour faire un retour sur la s priorité des opérations dan une chaîne d’opérations.

5×(3+4)−6 =2×(6−5×2)+7 2

5×7−62=2×(6−10)+7 5×7−36=2×(−4)+7 35−36=−8+7 −1=−1 (Vraie)

Dans chaque cas, détermine si les expressions sont équivalentes. Utilise le symbole=ou ≠. a)

12+4

7+9

b)

11+17

c)

−23+6

−14−3

d)

5−34

−60+29

e)

5+(−3)

−6−(+4)

f) −29−(−13)

4+(−20)

g)

1 + 34 2

3 − 14 2

h)

Algèbre

Chapitre 4 — Rappel

3 + 24 5

14+13

1 1− 10

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Dans chaque cas, trouve le terme manquant pour que l’égalité soit vraie. a) 2+13= +6

b)

+12=15 +22

=

c) −5+32=23+

=

d) 18+ =8 +6

=

=

f) 4−13= −12

e) 12− =6+2

=

g) −5−13= +18

=

h) −4−(−11)=22−

=

3

RAPPEL

2

=

Dans chaque cas, détermine si les expressions sont équivalentes. Utilise le symbole = ou ≠. a) −3×42−62

c) 2×4+102

2×5+102

92+3×9

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b) 7+6×52

d) 58−(1−122)

25×5+2×100

152−3×8

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

129

4.1 La résolution d’équations du premier

degré à une inconnue Les équations • Une équation est une égalité qui comporte une ou plusieurs variables. • L’équation est du premier degré si le degré le plus élevé des monômes qu’elle comporte est 1. • La solution d’une équation du premier degré à une inconnue est la valeur que doit prendre la variable pour vérier l’égalité, c’est-à-dire pour que l’égalité soit vraie. L’égalité 2x+3=13 est une équation à une inconnue (x).

2x+3=13 2∙5+3=13 10+3=13 13=13

La solution de cette équation est 5. En effet, lorsque x=5, l’égalité est vériée.

La résolution d’une équation du premier degré à une inconnue Plusieurs méthodes permettent de résoudre une équation du premier degré à une inconnue. 1) La méthode par essais et erreurs Cette méthode consiste à remplacer l’inconnue de façon stratégique par différentes valeurs jusqu’à ce que l’on trouve la solution de l’équation. On cherche la solution de l’équation 6x+4=52. • Si x=5 : 6∙5+4=30+4=34 Puisque 3452, la solution est inférieure à 10.

Astuce

t utiles lorsque Les méthodes 1) et 2) son ples, lorsque la les équations sont très sim ier ou lorsqu’on solution est un nombre ent résout mentalement.

• Si x=8 : 6∙8+4=48+4 =52 Puisque 52=52, la solution est 8.

2) La méthode du terme caché (ou méthode du recouvrement) Cette méthode consiste à cacher une partie de l’équation pour la simplier. On cherche la solution de l’équation 42−2x=10. • On cache une partie de l’équation qui contient l’inconnue. • On sait que 42−32=10. Donc, 2x=32. • On sait que 2∙16=32. Donc, x=16. • On valide : 42−2∙16=10  42−32=10  10=10.

130

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.1

42−2x=10 42− =10 2x=32 2∙ =32 x=16

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3) La méthode de la balance Cette méthode consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres de l’équation à l’aide des règles de transformation suivantes. 1. Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait le même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente, c’est-à-dire une équation qui a la même solution. 2. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise par le même nombre (différent de zéro) les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Dans la méthode de la balance, on considère les deux membres de l’équation comme les deux plateaux d’une balance qu’on doit garder en équilibre. On cherche la solution de l’équation 3x+2=x+6.

1

1

1 1

x x x

3x+2

=

1

1

2x

x

2x+2=6 −2 −2

On soustrait 2 aux deux membres de l’équation.

2x 4 = 2 2

On divise par 2 chaque membre de l’équation.

x=2

La solution est 2.

4

=

1

=

On soustrait x aux deux membres de l’équation.

6

1 1 1 1

x

3x+2=x+6 −x −x

x+6

=

x

x

x

1 1 1 1 1 1

x x

2x+2

1 1 1

1

1

2

Validation : 3∙2+2=2+6  6+2=8  8=8

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

131

Résous les équations suivantes à l’aide de la méthode de ton choix. Laisse des traces de ta démarche.

1

a) 2x+12=22

b) 12y−3=105

x=

y= d) −25x+75=175

c) 22−6x=4

x=

x=

Exercice

Exercice 2

132

Algèbre

Résous les équations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 3x+5=17

x=

b) 12+7z=26

z=

c) −3x+5=−10

x=

d) 25x−17=58

x=

e) 18−3y=12

y=

f) 16−7x=30

x=

g) 12−5x=47

x=

h) 6z+3=27

z=

i) y+24=68

y=

j) 45−2x=25

x=

Chapitre 4 — Section 4.1

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3

Résous les équations suivantes à l’aide de la méthode de la balance. Valide ensuite ta réponse. a) 1 1 1 1 1

x x x

1 1 1 1 10 1 1 1

x=

3x+5=17 b) x x x x x

1 1

x

10

x=

5x=x+12 c) 1

x 1 x x x

1 10

x

x=

4x+2=x+11 d) x x x

x 1 1 1 x 1 1

3x=2x+5

x=

e) 1 1 1

x x x

1 1 x 1

1

x

3x+3=2x+4

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x=

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

133

4

Résous les équations suivantes à l’aide de la méthode de la balance. Valide ensuite ta réponse. b) 4y+7=−5

a) 5x+2=62

x= c) 18=2b−7

y= d) 3,18x+2,4=8,76

x=

b= f) 2a+7=−4a+37

e) 6z+2=3z+11

z=

Exercice

Exercice 5

134

Algèbre

a=

Résous les équations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. y=

a=

b) 61y−15=−137 d) −2z+11=36,6

e) 6x+24=5x+47

x=

f) 4a−3=a+3

a=

g) 31x+1=52x+106 i) −6y−4=−21y−49

x=

h) 2,1b=11,285−4b j) 2,5c+4=−21c−94,7

b=

a) 16x−3=269

x=

c) 12,4=6a−2

Chapitre 4 — Section 4.1

y=

z=

c=

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La résolution d’une équation comportant des fractions Il est plus facile de résoudre des équations qui ne comportent pas de fractions. Voici deux stratégies qui permettent de supprimer les fractions avant de résoudre une équation. 1) La résolution d’une proportion 2x

8

L’équation = est écrite sous la forme d’une proportion. On peut utiliser 5 10 la propriété fondamentale des proportions pour éliminer les fractions. 2x 8 = 5 10

1) Équation de départ 2) On effectue le produit en croix pour obtenir une équation sans fraction.

10∙2x=5∙8 20x=40

3) On résout l’équation obtenue.

20x 40 = 20 20

4) Solution

x=2

Astuce Consulte la page 35 pour faire un retour sur les proportions.

2) La multiplication des deux membres de l’équation par le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs 2x

21

L’équation +1= comporte deux fractions. On peut multiplier chacun des membres 3 6 de l’équation par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions.

1) Équation de départ

2) On multiplie chaque membre de l’équation par le PPCM (3, 6)=6, pour obtenir une équation sans fraction.

2x 21 +1= 3 6

( 2x3 +1)∙6= 216 ∙6 4x+6=21 4x+6=21 −6

3) On résout l’équation obtenue.

4) Solution

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−6

4x 15 = 4 4 15 4

x=

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

135

1

Transforme les équations suivantes pour éliminer les fractions. Résous-les ensuite. a)

2x =5 3 8

b)

10 = 7x 8 3

x= c)

2x +5=9 3

x= d)

x +1= 3 4 8

x=

x=

Exercice

Exercice 2

136

Algèbre

Résous les équations suivantes à l’aide de la méthode de ton choix. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) 6x+23=77

x=

b) 4y−5=7y−41

y=

c) 7,3a+12,4=3,1a+39,7

a=

d) −5,1z+3=−6,35z z=

e)

x +4=13 8

x=

f) −2y −1=15 3

y=

g)

3x =6 4 7

x=

h) −16y = 48 5

y=

i)

5x −3= 1 2 6

x=

j) −2x +5=4 3

k)

4x+1 =15 3

x=

l)

Chapitre 4 — Section 4.1

15

6

15x+2 =2 8 3

9

x= x=

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3

Résous les équations suivantes. a) 3(2x+8)=−2(x+4)+72

b)

x= c) 2(c−1)=6

d)

x = x+2 4 7

x= f) −7x +1 =−2 6

4b =b+ 1 3 2

3

b=

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Pour t’aider, réduis chacun des membres de l’équation avant de la résoudre.

x=

c= e)

Astuce

3x−2 =1− 14 2

x=

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

137

Résous les équations suivantes.

4

a) 6(2−x)−3(x+7)=−45

b) 2(3x+1)=−2(4x−5)

x=

5

x=

La masse d’un melon est égale à celle de 2 pamplemousses. La masse de ce même melon est aussi égale à celle de 6 pommes. Si on dépose 3 pommes et 3 pamplemousses sur le plateau d’une balance, combien de melons doit-on mettre sur l’autre plateau pour que la balance soit en équilibre ?

Réponse :

138

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.1

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4.2 La résolution de problèmes

à l’aide d’équations algébriques La recherche d’une équation qui représente une situation Voici une démarche qui permet de trouver l’équation qui représente une situation an d’en trouver la solution. Représentation visuelle de la situation Jean et Marcelle jouent aux cartes. Le jeu comprend 52 cartes.

Nombre de cartes de Jean

Nombre de cartes de Marcelle

x

3x−4

×3

−4

À la n de la partie, Marcelle a 4 cartes de moins que le triple de celles de Jean. Combien de cartes chaque joueur a-t-il gagnées ?

52 cartes

1) On identie par une lettre l’inconnue pour laquelle on a le moins d’informations.

Nombre de cartes de Jean : x

2) À l’aide des mots clés de l’énoncé, on construit une expression algébrique qui représente les autres données du problème.

Nombre de cartes de Marcelle : 3x−4

3) On pose l’équation associée à la situation.

x+(3x−4)=52

4) On réduit les deux membres de l’équation. Puis, on résout l’équation.

4x−4=52 +

4

+

4

4x 56 = 4 4

x=14 5) On valide la solution.

6) On répond à la question.

14+3∙14−4=52 14+42−4=52 52=52 Jean a 14 cartes. Marcelle a 3∙14−4=38 cartes.

Les mots clés Voici quelques exemples de mots clés qui indiquent des opérations à effectuer : • • • •

Addition (+) : somme, ajouter, additionné à, plus, de plus que, au total, en tout, etc. Soustraction (−) : différence, enlever, moins, de moins que, diminué de, etc. Multiplication (×) : produit, multiplié par, fois, fois plus que, double, triple, quadruple, etc. Division (÷) : quotient, divisé par, fois moins, fois moins que, moitié, tiers, quart, etc.

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

139

1

Traduis chacun des énoncés suivants par une équation. Résous-la ensuite. a) La somme de a et de 3 est 35. Quelle est la valeur de a ?

a=

c) La moitié de y diminuée de 3 donne 1. Quelle est la valeur de y ?

y= e) Le quadruple de x plus 6 est égal au double de x plus 20. Quelle est la valeur de x ?

x= g) Le double de x est égal au triple de x moins 5. Quelle est la valeur de x ?

x= 140

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.2

b) La différence de 8 et de x est 2. Quelle est la valeur de x ?

x= d) 5 de moins que le triple de x donne 7. Quelle est la valeur de x ?

x= f) La somme du triple de y et de 12 est égale à la différence de y et de −4. Quelle est la valeur de y ?

y= h) Le produit de 25 et de x est égal à la somme du quintuple de x et de 80. Quelle est la valeur de x ?

x=

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2

Traduis les situations suivantes par une équation. a) Une mère a 12 ans de plus que le triple de l’âge de sa lle. La somme de leurs âges est de 36 ans.

b) La somme de deux nombres consécutifs est 131.

Âge de la lle :

Premier nombre :

Âge de la mère :

Deuxième nombre :

Équation :

Équation :

c) La longueur d’un rectangle mesure 3 m de plus que sa largeur. Le périmètre de ce rectangle est de 38 m.

3

d) Pendant une campagne de nancement, Julie a amassé 6 $ de moins que le double du montant amassé par Charles. Ensemble, ils ont amassé 99 $.

Largeur du rectangle (m) :

Montant amassé par Charles ($) :

Longueur du rectangle (m) :

Montant amassé par Julie ($) :

Équation :

Équation :

Bianca et son père ont cueilli 109 pommes. Le père de Bianca a cueilli 13 pommes de plus que le triple des pommes cueillies par Bianca. Combien de pommes chacun a-t-il cueillies ?

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

141

4

Lors d’une année non bissextile, la ville de Montréal a connu 12 jours de gel de moins que la ville de Québec. En tout, les deux villes ont connu 224 jours de gel. Combien de jours sans gel la ville de Montréal a-t-elle connus cette année-là ?

Curi sité Une année bissextile comporte 366 jours au lieu de 365. La journée additionnelle est le 29 février. Une année bissextile revient tous les quatre ans.

Réponse : 5

Marek, Sylvie et Loïc jouent à un jeu de société. Sylvie a 12 points de plus que Marek. Loïc a le double des points de Sylvie. Ensemble, ils ont accumulé 216 points. Combien de points chacun a-t-il accumulés ?

Réponse :

142

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.2

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6

Chloé, Émilie et Jordan jouent aux billes. Émilie a 7 billes de plus que le double des billes de Chloé, et Jordan a 15 billes de moins que le triple des billes de Chloé. Sachant qu’Émilie et Jordan ont le même nombre de billes, combien chacun en a-t-il ?

Réponse : 7

Juan, Kevin et Léa s’entraînent pour un marathon. Ensemble, ils ont parcouru 115 km cette semaine. Kevin a parcouru la moitié des kilomètres parcourus par Juan, et Léa a parcouru 5 km de plus que Juan. Quelle distance chacun a-t-il parcourue cette semaine ?

Astuce

e qui Identie par un l’inconnu antité. représente la plus petite qu

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

143

8

La largeur d’un rectangle mesure 4 cm de moins que la moitié de sa longueur. Si le périmètre du rectangle est de 40 cm, quelles sont ses dimensions ?

Réponse : 9

Les côtés isométriques d’un triangle isocèle mesurent 2 dm de plus que le cinquième de sa base. Sachant que son périmètre est de 10,30 dm, quelles sont les dimensions de ce triangle ?

Réponse : 144

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.2

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10 Tom a reçu un montant d’argent en héritage. Sachant que 3 fois ce montant augmenté de 18 000 $ est égal à 5 fois ce montant diminué de 16 000 $, quel est le montant de l’héritage ?

Réponse :

11 Le plus grand côté d’un parallélogramme mesure 4 dm de plus que son plus petit côté. Le périmètre du parallélogramme est de 60 dm. Quel est le périmètre d’un carré dont la mesure du côté vaut 7 dm de moins que le plus grand côté du parallélogramme ?

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

145

12 Jonathan compte la monnaie de sa tirelire. Il a 17 $ en pièces de 10 ¢ et de 25 ¢. Sachant qu’il a 3 fois plus de pièces de 25 ¢ que de 10 ¢, combien de pièces de 10 ¢ et de 25 ¢ y a-t-il dans la tirelire ?

Astuce Assure-toi que, dans les deux membres de l’équation, les quantités sont exprimées avec la même unité de mesure.

Réponse : 13 Pour préparer une salade de fruits, Sandra achète 3 pommes et 5 abricots. Le montant de sa facture s’élève à 3,25 $. Sachant qu’une pomme coûte 15 ¢ de plus qu’un abricot, combien coûte chaque fruit ?

Réponse :

146

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.2

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14 Jamella participe à une course à vélo qui comporte trois étapes. À la première et à la deuxième étape, elle parcourt respectivement les 25 et le tiers du parcours. À la troisième étape, elle parcourt les derniers 8 000 m. Quelle est la longueur totale du parcours en kilomètres ?

Réponse : 15 Dans 33 ans, Sarah aura le quadruple de son âge actuel. Quel âge a-t-elle aujourd’hui ?

Réponse : 16 La somme de trois nombres pairs consécutifs est 210. Quels sont ces trois nombres ?

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

147

17 Dans la ferme des parents de Charles, il y a 15 poussins de plus que de cochons. Charles compte leurs pattes. Il en compte 318 en tout. Combien y a-t-il de poussins et de cochons ?

Réponse :

18 La semaine dernière, Mégane avait 6,75 $ de moins que Rebecca dans sa tirelire. Aujourd’hui, Mégane a 3 fois plus d’argent dans sa tirelire, tandis que Rebecca a ajouté 1,45 $ à la sienne. Sachant que les valeurs des deux tirelires sont maintenant égales, combien d’argent Mégane et Rebecca avaient-elles la semaine dernière ?

Réponse :

148

Algèbre

Chapitre 4 — Section 4.2

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 4.1 1

2

3

Résous les équations suivantes à l’aide de la méthode de ton choix. a) 2x+5=13 c) −4x+17=21

x=

b) 34−3x=19

x=

x=

d) 63+12x=87

x=

e) −26−3x=−17

x=

f) 10x+45=115

x=

g) 120−8x=72 i) −16+3x=−37

x=

h) 2x−144=20

x=

x=

x=

k) −2x+15=131 m) −15(2x−2)=30

x=

j) 2(2x+1)=26 l) 325x−450=−1 100

x=

n) 660=120−9x

x=

x=

Résous les équations suivantes en isolant la variable x. a) 4x−3=5x+2

x=

b) 3x+7=x−5 d) −6x−3=2x−19

x=

c) 2x−12=7x+8

x=

e) 21x=72−3x g) −9x+3=−7x−5

x=

f) −2x−4=−3x+6 h) x+4=−x−4

x=

i) 12x+15=6x+15

x=

x=

x=

j) 8x+4=9x+3 l) −5x−50=x+22

k) 25x+15=16x+105 m) 2(2x+12)=152−12x

x=

n) 9(3x−1)=9(−5x−57)

x=

x=

x= x= x=

Résous les équations suivantes. Conserve la fraction dans ta réponse. a)

x +6=12 4

x=

b)

x + 14 = 3x +4 2

x=

c)

2x 3 = 12 7

x=

d)

3x −1=17 4

x=

e) 2,3x+8,4=3,1x+37,2

x=

f) −2,5x+4,2=9,2

x=

g) −12x = 60 5 7

x=

h) 2(5x−2)+2x=4x−1

x=

i) 6x+3(x−1)=2(x+3)

x=

j)

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1 (2x−3)= 12 (3x+4) 3

x=

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

149

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 4.2 4

Traduis chacune des situations suivantes par une équation. Résous-la ensuite. a) Le périmètre de la cour de forme rectangulaire de la maison d’Alexia est de 36 m. Si la largeur de la cour mesure 2 m de moins que sa longueur, quelles sont les dimensions de la cour ?

b) Marianne veut acheter une tablette électronique qui coûte 325 $. Elle a déjà 130 $. À cette somme, Marianne ajoute un montant xe chaque semaine. S’il lui faut 15 semaines pour amasser 325 $, quel montant Marianne met-elle de côté chaque semaine ?

c) La somme de deux nombres impairs consécutifs est de 540. Quels sont ces deux nombres ?

d) Élodie a 2 ans de plus que la moitié de l’âge de sa sœur aînée. La différence de leurs âges est de 5 ans. Quel âge Élodie a-t-elle ?

150

5

Hugo, Tom et Safwan collectionnent les cartes de hockey. Hugo a 9 cartes de plus que le double des cartes de Tom. Safwan a 13 cartes de moins que le quadruple des cartes de Tom. Si Hugo et Safwan ont le même nombre de cartes, combien en ont-ils chacun ?

6

Un triangle équilatéral et un carré ont le même périmètre. Le côté du triangle mesure 5 cm de plus que la moitié de la mesure du côté du carré. Quelles sont les mesures des côtés du triangle et du carré ?

7

Léa et Naomie gardent des enfants. Léa demande 5 $ l’heure et 7 $ pour son déplacement. Naomie demande seulement 7 $ l’heure. Hier, elles ont gagné le même montant d’argent. Combien d’heures ont-elles travaillées ?

Algèbre

Chapitre 4 — Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 4 Questions à choix multiples 1

Parmi les nombres ci-dessous, lequel est le terme manquant de l’égalité suivante ? 3+25= +6 a) 12

2

b) 15

c) 22

d) 34

Parmi les nombres ci-dessous, lequel est le terme manquant de l’égalité suivante ? 16+5=2− a) −23

3

b) −19

c) 19

d) 23

Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle doit-on ajouter au membre de gauche de l’égalité suivante pour qu’elle soit vraie ?

a) 6x−10 4

b) −6x+10

c) 6x−6

RETOUR

(6x+2)+ =12x−8 d) −6x−6

Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle doit-on ajouter au membre de gauche de l’égalité suivante pour qu’elle soit vraie ? 34a−5− =3a+4 a) 31a+9

5

b) 31a−9

c) 31a−1

d) −31a−9

Quelle est la solution de l’équation suivante ? 2x+4=32 a) x=14

6

b) x=16

c) x=18

d) x=28

Quelle est la solution de l’équation suivante ? 6y+8=−4y −112 a) y=−60

7

b) y=−12

c) y=10,4

d) y=60

Parmi les équations ci-dessous, laquelle traduit l’énoncé suivant ? Le triple d’un nombre diminué de 13 est égal au cinquième de 12. a) 3a−13= a5

b) 3x−13= 12 5

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c) 3(b−13)=5∙12

12 d) 3y−5= 13

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

151

Questions à réponses courtes 8

Résous les équations suivantes. Valide ensuite ta réponse. b) −2y+3=11

a) 3x+6=33

x=

d) 4z+1=3z+8

RETOUR

c) 3,7x−1,85=17,39

y=

x=

e) −3b+32=5b−32

f) 5(3x+1)=−2(6x−3)+188

b=

152

Algèbre

Chapitre 4 – Retour

z=

x=

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Dans chaque cas, identie les inconnues. Traduis ensuite les situations à l’aide d’une équation. a) Rosa et Stephen ont cueilli 99 prunes. Stephen a cueilli 120 % du nombre de prunes cueillies par Rosa.

b) Fannie gagne 180 $ par semaine, auquel s’ajoute un montant équivalent à 4 % de ses ventes. Son salaire cette semaine est de 320 $.

c) Lors d’une partie de minigolf, Tammy a joué 10 coups de plus que Jana. Ensemble, elles ont joué 108 coups.

d) Un triangle rectangle a deux angles aigus dont la mesure de l’un est le double de celle de l’autre.

e) Denis a cueilli 4 roses de moins que Louise. Le quart des roses qu’ils ont cueillies donne 9.

f) Le double de la différence entre deux nombres est 36. Le deuxième nombre est le triple du premier.

RETOUR

9

10 Résous les équations suivantes. a)

2x = x+3 5 6

b)

x=

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4x + 3 = 63 5 2 10

x=

Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

153

Questions à développement 11 Antoine garde des enfants. Chaque semaine, il met de côté 30 $ pour acheter un ordinateur dont le prix est de 325 $ avant les taxes.

RETOUR

Sachant que le magasin offre une réduction de 20 % sur le prix courant et que les taxes sont de 15 %, après combien de semaines Antoine pourra-t-il acheter son ordinateur ?

Réponse : 12 Dominic paie 81 $ pour acheter 2 jeux vidéo. L’un des jeux coûte 12 $ de plus que le double du prix de l’autre, taxes incluses. Combien coûte chacun des jeux ?

Réponse : 154

Algèbre

Chapitre 4 – Retour

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13 Mehdi discute avec Judy. Il lui dit : « Si je double l’âge que j’aurai dans 14 ans, j’obtiens le quadruple de l’âge que j’ai aujourd’hui. » Quel âge a Mehdi ?

RETOUR

Réponse : 14 Samy compte sa monnaie. Il a 2 fois plus de pièces de 10 ¢ que de 5 ¢ et 6 pièces de 25 ¢ de plus que de 10 ¢. Il a aussi 4 pièces de 1 $ et 7 pièces de 2 $. En tout, il a 29,25 $. Combien de chacune des pièces Samy a-t-il ?

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

155

15 Aux Jeux olympiques d’été, le basketball se joue sur un terrain rectangulaire. La largeur du terrain mesure 1 m de plus que la moitié de sa longueur.

RETOUR

Sachant que le périmètre du terrain est de 86 m, quelles sont les dimensions d’un terrain de basketball olympique ?

Réponse : 16 Il y a cinq ans, Mathias a placé un premier montant d’argent dans un régime d’épargneétudes. Aujourd’hui, son régime d’épargne contient le triple du montant initial diminué de 18 000 $, ce qui représente une augmentation de 31 500 $. Combien d’argent Mathias a-t-il dans son régime d’épargne-études aujourd’hui ?

Curi sité REEE est l’acronyme de régime enregistré d’épargne-études. Il s’agit d’un compte dans lequel les Canadiens peuvent déposer de l’argent dans le but de payer les études postsecondaires de leurs enfants.

Réponse : 156

Algèbre

Chapitre 4 – Retour

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17 Une compagnie fabrique trois types de planches de surf. Les prots réalisés dépendent du type de planche vendue, tel qu’il est indiqué dans le tableau suivant. Modèle de planche

Prix de vente ($)

Prot (% du prix de vente)

De base

425

25

Intermédiaire

675

28

Expert

850

33

Au cours du dernier trimestre, la compagnie a vendu 25 planches de base de plus que de planches intermédiaires. Elle a aussi vendu 2 fois plus de planches de modèle expert que de planches de base. En tout, 1 715 planches de surf ont été vendues. Quel est le montant des prots réalisés par la compagnie lors du dernier trimestre ?

Astuce

RETOUR

Pour trouver le montant des prots, il faut calculer le pourcentage des ventes.

Réponse :

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Les équations du premier degré à une inconnue

Algèbre

157

Situation d’application Le transport du pétrole Le pétrole est souvent transporté par train. Ces convois ferroviaires sont uniquement composés de wagons-citernes. On sait que 8 wagons-citernes contiennent l’équivalent de 6 000 barils de pétrole. De plus, un baril contient 160 L de pétrole. Les trains de la compagnie ferroviaire Dixen transportant du pétrole empruntent deux trajets : Ouest et Est. Un convoi du trajet Est compte 8 wagons-citernes de plus que les 23 des wagons d’un convoi du trajet Ouest. Ensemble, les deux convois comprennent 158 wagons-citernes. Combien de litres de pétrole chacun des convois contient-il ?

Curi sité De 2009 à 2013, le nombre de wagons-citernes transportant du pétrole qui ont traversé l’Île-Perrot, en banlieue de Montréal, est passé de 10 800 à 400 000 par année. Cela représente une augmentation de 370 %.

Réponse

158

Situation d’application

Le transport du pétrole

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CHAPITR E

L’aire de gures planes

5

SOMMAIRE Rappel ...............................................................................160 5.1 Le système international d’unités (SI) ................163 5.2 L’aire de gures planes ..........................................166 5.3 La recherche de mesures manquantes à partir de l’aire ........................................................ 176 Exercices + supplémentaires ...............................181 Retour sur le chapitre 5 ..........................................183 Un peu de réexion… (CD2) .................................190

Mathilde découpe un carton rectangulaire en quatre triangles rectangles identiques pour faire le papillon ci-dessous. Trouve l’aire du papillon. 18 cm

22 cm

Réponse :

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L’aire de gures planes

Géométrie

159

Rappel Le classement des polygones

Astuce

• Un polygone est une gure plane formée d’une ligne brisée fermée. • On nomme les polygones selon leur nombre de côtés. • Les triangles ont trois côtés. On les classe selon les propriétés de leurs côtés et de leurs angles.

RAPPEL

Triangle scalène Trois côtés de longueurs différentes

Triangle rectangle Un angle droit

Triangle isocèle Au moins deux côtés isométriques

Triangle obtusangle Un angle obtus

Isométrique signie « de même mesure ».

Triangle équilatéral Trois côtés isométriques

Triangle Triangle isoangle acutangle Trois angles aigus Au moins deux angles isométriques

Triangle équiangle Trois angles isométriques

• Les quadrilatères ont quatre côtés. On les classe selon les propriétés de leurs côtés et de leurs angles.

Trapèze Deux côtés parallèles

Parallélogramme quelconque Trapèze aux côtés opposés parallèles et isométriques

160

Géométrie

Chapitre 5 — Rappel

Trapèze isocèle Trapèze qui a deux côtés opposés isométriques

Losange Parallélogramme aux quatre côtés isométriques

Trapèze rectangle Trapèze qui a deux angles droits

Rectangle Parallélogramme aux quatre angles droits

Carré Parallélogramme à la fois rectangle et losange

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• Un polygone régulier est un polygone dont tous les angles sont isométriques et tous les côtés sont isométriques.

Triangle équilatéral (3 côtés)

Carré (4 côtés)

Pentagone (5 côtés)

Hexagone (6 côtés)

Heptagone (7 côtés)

Octogone (8 côtés)

Ennéagone (9 côtés)

Décagone (10 côtés)

Curi sité Dodécagone (12 côtés)

RAPPEL

Hendécagone (11 côtés)

Le huard (la pièce de 1 $ canadien) a la forme d’un hendécagone régulier.

Le périmètre et l’aire • Les principales unités de longueur du système international (SI) sont : Unité de longueur Équivalences

kilomètre (km)

hectomètre décamètre (hm) (dam)

1 000

100

10

mètre (m) 1

décimètre centimètre (dm) (cm) 0,1

0,01

millimètre (mm) 0,001

• Le périmètre (P ) d’un polygone est la longueur de son contour. Il correspond à la somme des mesures de chacun de ses côtés. • L’aire (A) d’un polygone est la mesure de sa surface. L’aire s’exprime en unités carrées (mm2, cm2, dm2, etc.). • L’aire d’un rectangle se calcule en multipliant sa base (b) par sa hauteur (h). On cherche le périmètre et l’aire du rectangle suivant. P=5+5+2+2 =14 cm A=b×h =5×2 =10 cm2

2 cm

5 cm

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L’aire de gures planes

Géométrie

161

1

Pour mesurer ou estimer un périmètre ou une aire, il faut choisir l’unité appropriée au contexte. Dans chaque cas, coche si on mesure le périmètre ou l’aire. Détermine ensuite l’unité de mesure appropriée. Périmètre

Aire

Unité de mesure

a) La longueur de la gouttière d’une maison. b) La quantité de tissu nécessaire pour faire un couvre-lit. c) La supercie d’un pays. d) La longueur d’un ruban à coudre autour d’un coussin. e) La longueur d’une haie de cèdres. f) La surface d’un comptoir de cuisine. 2

Trouve l’aire et le périmètre des gures suivantes. La longueur d’un carreau équivaut à 1 cm.

RAPPEL

a)

P=

3

b)

A=

A=

P=

A=

Gérard veut remplacer les carreaux de céramique qui couvrent le plancher rectangulaire de sa cuisine. Celui-ci mesure 500 cm sur 700 cm. Quelle est l’aire du plancher en mètres carrés ?

162

P=

c)

Géométrie

Chapitre 5 — Rappel

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5.1 Le système international d’unités (SI) La relation entre les unités de mesure du système international • De tout temps, les humains ont utilisé des unités de mesure pour noter des grandeurs comme la longueur, la surface, le volume, la masse, le temps, etc. • De nos jours, la plupart des pays ont adopté le système international d’unités (SI). Dans ce système, le mètre (m) est l’unité de longueur de base. Principales unités de longueur du SI ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre (km) (hm) (dam) (m) (dm) (cm) (mm) ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 • Ainsi, pour convertir une mesure, il faut : – multiplier la grandeur par une puissance de 10 pour passer à une unité plus petite ; – diviser la grandeur par une puissance de 10 pour passer à une unité plus grande. • 2,5 km=2 500 m, car :

• 64 mm=0,64 dm, car :

2,5×10×10×10=2,5×103 =2,5×1 000 =2 500

64÷(10×10)=6,4÷102 =6,4÷100 =0,64 1m

Les unités d’aire • Le mètre carré (m²) est l’unité d’aire de base. • À partir d’un carré d’un mètre de côté, on peut calculer que 1 m2=100 dm2.

1 m2

1 m=10 dm 1m

A=1×1 =1 m2

100 dm2

1 m=10 dm

A=10×10 =100 dm2

Principales unités d’aire du SI ×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100 2 2 2 2 2 km hm dam m dm cm mm2 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 2

• Pour convertir une mesure d’aire, il faut multiplier ou diviser la grandeur par une puissance de 100. • 4 m2=40 000 cm2, car : 4×100×100=4×1002 =4×10 000 =40 000

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• 23 mm2=0,000 023 m2, car : 23÷(100×100×100)=23÷1003 =23÷1 000 000 =0,000 023

L’aire de gures planes

Géométrie

163

1

2

3

Trouve l’unité de mesure la plus appropriée pour mesurer les éléments suivants. a) L’aire d’un papier-mouchoir

b) La supercie d’une cour d’école

c) La surface d’un dé à jouer

d) La supercie d’une terrasse

e) La surface d’une table de travail

f) L’aire d’une feuille mobile

g) La surface d’une patinoire

h) La supercie du Canada

Complète les égalités suivantes. a) 54 km=

dam

b) 3,5 dm=

hm

c) 623 m=

mm

d) 72 cm=

m

e) 755 dm=

dam

f) 375 hm=

dm

g) 92 dam2=

dm2

h) 87,2 m2=

cm2

i) 4,5 mm2=

dm2

j) 105 km2=

hm2

k) 4 782 cm2=

m2

l) 43 m2=

km2

Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles ou=. a)

460 hm

460 000 cm

b)

6 km2

60 000 dam2

c) 760 mm2

0,07 dm2

d) 0,835 m

8 350 mm

e) 568 cm2

0,000 568 dam2

f) 900 hm2

90 000 m2

Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles ou=. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

164

Pour comparer des longueurs, trouve d’abord les équivalences.

Exercice

Exercice 4

Astuce

5 040 cm

50,4 dam

b)

6 580 dm2

c) 40 000 m2

0,04 km2

d)

74 dm

e) 9,453 dam2

945,3 dm2

f)

30 mm2

g)

832 m

8,32 dam

h)

37 km2

i)

63 hm2

63 000 dm2

j) 925 000 mm

925 dam

k)

816 cm2

0,081 6 m2

l)

3,23 dm

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.1

0,323 hm

0,000 658 hm2 0,74 hm 0,000 3 m2 370 000 dam2

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Sandra pratique la course à pied. Son trajet est illustré ci-dessous.

5

Combien de kilomètres parcourt-elle ? 4,5 km

4 km 700 m

850 m 2,45 km 5,5 km

Réponse : Raphaël s’intéresse à la supercie de quelques parcs nationaux du Québec.

6

Place les parcs nationaux ci-dessous par ordre croissant de supercie. Parc national

Supercie

Région touristique

de Frontenac (F)

155,3 km2

Chaudière-Appalaches et Cantons-de-l’Est

de la Jacques-Cartier (J-C)

67 000 hm2

Québec

du Mont-Mégantic (M-M)

548 500 dam2

Cantons-de-l’Est

du Mont-Orford (M-O)

5 950 hm

Cantons-de-l’Est

de la Yamaska (Y)

12,9 km2

des Grands-Jardins (G-J)

3 100 000 dam

2

Curi sité Un parc national est une portion de territoire à l’intérieur de laquelle la faune, la ore et le milieu naturel en général sont protégés des activités humaines. On compte 26 parcs nationaux au Québec.

Cantons-de-l’Est Charlevoix

2

Réponse :

7

Le volume est la mesure de l’espace occupé par un solide. Dans le SI, le mètre cube (m³) est l’unité de base du volume. Trouve une équivalence entre le centimètre cube (cm³) et le millimètre cube (mm³).

1 cm 1 cm

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1 cm

Réponse :

L’aire de gures planes

Géométrie

165

5.2 L’aire de gures planes L’aire du carré, du rectangle et du parallélogramme On peut calculer l’aire exacte d’une surface à partir de formules précises. L’aire du carré

c A=c2 =3×3 =9 unités2

A=côté×côté =c×c A=c2

Astuce

161 pour Consulte les pages 160 et ment faire un retour sur le classe des polygones.

c

L’aire du rectangle A=base×hauteur A=b×h

A=b×h =8×6 =48 unités2

h

Astuce

r Souviens-toi que la hauteu rs jou d’une gure est tou perpendiculaire à la base.

b

L’aire du parallélogramme En observant la transformation suivante, on remarque que l’aire d’un parallélogramme est équivalente à l’aire d’un rectangle de même base et de même hauteur.

A=base×hauteur A=b×h =12×5 =60 unités2

h=5

h

t b=12

1

Trouve l’aire des gures suivantes. a)

7 cm 7 cm

166

b

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.2

b) 15 m

60 m

c)

18 dm

7 dm

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2

Dans chaque cas, construis la gure demandée en fonction de l’aire donnée. Écris les dimensions de la gure sur ton illustration. a) Un carré ayant une aire de 25 u2.

3

b) Un parallélogramme ayant une aire de 18 u2.

Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des gures suivantes. 7x+12

a)

12y

b) 8

12y

Exercice

Exercice 4

Trouve l’aire des gures suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

Astuce Avant de calculer l’aire, convertis les dimensions de la gure en une même unité de mesure.

b)

23 dm

A= e) 2 cm

52 hm

A=

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A=

43 dam

1 950 dm

A=

52 hm

c)

A=

5 cm

18 mm

12 m

9m

17 dm

d)

34 m

3,7 cm

f) 3,7 cm

A=

L’aire de gures planes

Géométrie

167

Sur une toile rectangulaire de 5 dm sur 7 dm, Amal peint deux gures côte à côte : un parallélogramme dont la base mesure 13,5 cm et la hauteur 7,5 cm, et un carré de 11,5 cm de côté.

5

Quel pourcentage de la toile reste-t-il pour peindre d’autres gures qui ne se touchent pas ? Arrondis ta réponse au centième près.

Réponse :

6

La surface d’un tapis rectangulaire est de 864 dm2 et sa largeur est de 24 dm. Le tapis est quadrillé de façon régulière par des carrés de 1,44 dm².

24 dm

Combien de carrés y a-t-il sur chaque côté du tapis ?

Réponse :

168

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.2

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L’aire du triangle, du losange et du trapèze En découpant un rectangle de façon à obtenir un triangle, un losange ou un trapèze, il est possible de déduire les formules de calcul de l’aire de ces gures.

Astuce

r est Souviens-toi que la hauteu la base. à ire ula dic toujours perpen

L’aire du triangle • L’aire d’un triangle correspond à la moitié de celle d’un parallélogramme de même base et de même hauteur. b×h 2 8×4 = 2

A= h

=16 cm2 b A=

4 cm

5,7 cm

8 cm

b×h 2

L’aire du losange • L’aire d’un losange correspond à la moitié de celle d’un rectangle dont la base et la hauteur correspondent aux diagonales du losange. A= D×d

D

d d

=300 mm2

D A=

15 mm

2 40×15 = 2

40 mm

D×d 2

L’aire du trapèze • L’aire d’un trapèze correspond à la moitié de celle d’un parallélogramme dont les dimensions sont de (B+b) sur h. b

B A= (B+b)×h

h B

b B+b

A= (B+b)×h

2 (12+8)×5 = 2 20×5 = 2

8 dm 5 dm 12 dm

= 50 dm2

2

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L’aire de gures planes

Géométrie

169

Trouve l’aire des gures suivantes.

1

b)

a) 13 m

40 mm

17 mm

5m

32 mm

12 m

c)

d)

16,6 cm

20 mm

7 mm

16 cm

52 mm

29 cm

Exercice

Exercice 2

Trouve l’aire des gures suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

b) 39 mm

c) 45 cm

28 cm

2,6 cm

1,1 cm 4,7 cm

53 cm 25 mm

A=

A=

d)

e) 77 mm

A=

f)

3,1 mm

1,6 mm

75,5 mm

1,3 mm

69,1 mm

57 mm

4 mm 130 mm 78 mm

A=

170

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.2

A=

A=

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3

Trouve l’aire des gures suivantes. a)

b)

3 cm 5 cm

c)

d) 3 cm

25 mm

40 mm

4 cm

60 mm 20 mm

2 cm

4

Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des gures suivantes. a)

b) 4

3

c) 23x+11y

8 ac

44

4x+3

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54x 2

L’aire de gures planes

Géométrie

171

Les diagonales d’un cerf-volant en forme de losange mesurent 0,94 m et 56 cm. Ses côtés mesurent 547 mm chacun.

5

Quelle est l’aire du cerf-volant ?

Réponse : 60 cm

Observe le motif de carreaux de céramique du plancher ci-contre.

6

40 cm

Quelle est l’aire des carreaux noirs ?

Réponse :

x

7

Un trapèze a une aire de 39 cm . Sa grande base mesure le triple de sa petite base. Sa hauteur mesure 3 cm. 2

Trouve les dimensions des bases de ce trapèze.

3 3x

Réponse :

172

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.2

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L’aire des polygones réguliers • Un polygone régulier est décomposable en triangles isocèles isométriques. • L’aire du polygone régulier correspond donc à l’aire de plusieurs triangles isométriques. • L’apothème (a) d’un polygone est le segment qui relie le centre du polygone au milieu d’un côté de façon perpendiculaire. • L’apothème correspond à la hauteur des triangles qui forment le polygone. La base d’un triangle correspond à la mesure d’un côté (c) du polygone.

Apothème (a) c Un hexagone est composé de six triangles isométriques.

• Ainsi, on obtient la formule suivante : A=nombre de triangles (n)×aire d’un triangle A=

nca

2

ou A=

Pa 2

Pa 2 8×7×8,4 = 2

A=

Astuce

ètre Souviens-toi que le périm est r ulie ( ) d’un polygone rég le produit × : = .

=235,2 cm2

8,4 cm 7 cm

L’aire des gures décomposables Il est possible de décomposer un polygone complexe en polygones plus simples an de calculer son aire. On cherche l’aire de la gure ci-dessous. 1. On peut la décomposer en un rectangle surmonté d’un trapèze. 27,5 cm (B+b)×h 2 (35+27,5)×15 = 2

Atrapèze=

15 cm

12 cm

Arectangle=b×h =35×12 =420 cm2

Atotale=468,75+420 =888,75 cm2

=468,75 cm2 35 cm

2. On peut également calculer l’aire d’un rectangle et en soustraire l’aire des deux triangles qui en forment les coins. 27,5 cm Arectangle=b×h =35×27 =945 cm2

15 cm

12 cm

b×h 2 7,5×15 = 2

Atriangles=

Atotale=945−56,25 =888,75 cm2

=56,25 cm2 35 cm

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L’aire de gures planes

Géométrie

173

1

Trouve le périmètre et l’aire des polygones réguliers suivants. Arrondis tes réponses au dixième près. a)

b)

2,75 dm

1,1 cm

4 dm

c) 4,5 dm

1,7 cm

46,7 cm

P=

P=

P=

A=

A=

A=

Exercice

Exercice 2

Trouve l’aire des gures suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

21 cm

b)

9 mm

c)

6,2 cm

17 mm 32 cm 5,4 cm 26 cm

A=

A=

d)

e)

A= 52 mm

f)

16 cm

7,6 cm 14 cm

31 cm 11 cm

A=

174

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.2

5 cm

A=

A=

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3

Un signaleur routier utilise le panneau ci-contre. Quel pourcentage du panneau est orange ?

Curi sité LENTEMENT

449 mm

Pour attirer l’attention des conducteurs, tous les panneaux de signalisation de travaux routiers ont un fond orange.

186 mm

Réponse : 4

33 m

Le propriétaire d’une maison a un terrain de 34 m sur 33 m. Il veut faire traiter son gazon avec de l’engrais au coût de 0,40 $/m2.

7m Terrasse

Combien payera-t-il avant les taxes pour traiter la supercie de gazon du plan ci-contre ?

8m

Maison 34 m

10 m

19 m

5m 4m Entrée

11 m 1,5 m 12 m

5,5 m

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L’aire de gures planes

Géométrie

175

5.3 La recherche de mesures manquantes

à partir de l’aire La recherche de mesures manquantes d’un polygone Il est possible de trouver une mesure manquante d’un polygone à partir de son aire. Pour ce faire : 1. on note la formule d’aire du polygone en question ; 2. on remplace les variables par les mesures que l’on connaît ; 3. on résout l’équation en utilisant la méthode algébrique de son choix. Un triangle, dont la base est de 15 m, a une aire de 90 m 2. Quelle est la hauteur du triangle ? b∙h 2 15∙h 2. 90= 2 15∙h 3. 90∙2= ∙2 2

1.

A=

Astuce ?

180=15h 180 15h = 15 15

15 m

h=12 La hauteur du triangle est de 12 m.

1

Souviens-toi qu’élever au carré et extraire la racine carrée sont des opérations inverses ( 2 = ).

Dans chaque cas, trouve la mesure manquante. a) A=64 cm2

b) A=112 dm2

c) A=225 cm2

? ?

4 cm

?

14 dm

b=

176

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.3

h=

c=

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2

Dans chaque cas, trouve la mesure manquante. a) A=1 001,13 dm2

b) A=216 m2 ?

? 17 dm 15 m 18 m

c= c) A=220 mm2

d) A=54,19 dm2

11 mm ?

D=

2,2 dm 14 mm

?

16,3 mm

B=

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a=

L’aire de gures planes

Géométrie

177

e) A=224 m2

f) A=56 dm2 5 dm

? 8 dm 28 m ?

h=

B=

Exercice

Exercice 3

Trouve les mesures manquantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) A=72 cm2

b) A=242 dm2

c) A=59,2 cm2 3,5 cm

22 dm

12 cm

?

?

?

b= d) A=564 dam2

h= e) P=60 unités

?

a=

f) A=88 dm2 ?

7 dm

9 dm

47 dam

d=

178

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.3

c=

h=

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4

La maison de Bastien comporte une fenêtre en forme d’octogone régulier dont l’apothème est de 4 dm et l’aire de 52,9 dm2. Bastien veut construire un cadre autour de cette fenêtre. Quelle doit-être la longueur minimale du cadre ?

Réponse : ?

5

En bordure des routes, des panneaux comme celui ci-contre signalent la présence d’une courbe. Si l’aire de la partie rouge du panneau est de 19,6 dm2, quelle est la largeur de la bande blanche ?

7 dm

6 dm

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L’aire de gures planes

Géométrie

179

5,6 cm

4 cm

Sur le logo d’un zoo, l’aire occupée par la lettre Z est de 3,68 dm2.

6

Selon les dimensions données ci-contre, quelle est sa largeur en décimètres ?

3 dm

4 cm ?

Réponse :

7

L’aire de la gure suivante est de 54 cm2. Trouve la mesure demandée.

?

Réponse :

180

Géométrie

Chapitre 5 — Section 5.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 5.1 1

Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles ou=. a)

125 cm

1,25 m

b) 3 422 dm2

34,22 dam2

c)

0,005 km2

500 m2

d)

73 dm

7 300 mm

e)

0,37 hm2

370 000 dm2

f)

250 cm2

0,025 dam2h)

Section 5.2 2

Trouve l’aire des gures suivantes. a)

b)

c)

3 cm

2,4 cm

2 cm

2 cm 5 cm

5 cm

3,2 cm

A=

A=

d)

e) 2,5 mm

A=

2,2 cm

3,5 cm

f)

4,5 cm 1,5 cm

3,8 cm

1,6 cm 2,7 cm

2,16 mm

A=

A=

A=

Section 5.3 3

Dans chaque cas, trouve la mesure manquante. a) A=49 cm2

b) A=10,86 cm2 1,5 cm

? cm

? cm

c=

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c) A=4,5 cm2

a=

? cm

c=

L’aire de gures planes

Géométrie

181

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 5.1 4

Adrien étudie la supercie des provinces et territoires du Canada. Province ou territoire

Supercie

Province ou territoire

Supercie

Colombie-Britannique (C.-B.)

944 735 km2

Île-du-Prince-Édouard (Î.-P.-É.)

56 600 000 dam2

Alberta (Alb.)

661 648 km2

Terre-Neuve-et-Labrador (T.-N.-L.)

40 521 200 hm2

Saskatchewan (Sask.)

65 103 600 hm2

Nouvelle-Écosse (N.-É.)

5 528 400 hm2

Manitoba (Man.)

64 779 700 hm2

Yukon (Yn)

482 443 km2

Ontario (Ont.)

1 076 395 km2

Nunavut (Nt)

2 093 190 km2

Québec (Qc)

1 542 056 km2

Nouveau-Brunswick (N.-B.)

729 080 000 dam

Territoires du Nord-Ouest (T. N.-O.)

1 346 106 km2

2

a) Place les provinces et territoires par ordre croissant de supercie.

b) Quelle est la supercie totale du Canada ? 5

Quelle surface du mur du gymnase le logo occupe-t-il ?

6

1,89 m

La gure ci-contre représente le logo de la coupe des champions du tournoi de volleyball de l’école.

Simone dessine le plan d’une terrasse en forme de trapèze. Elle l’entoure de trois plates-bandes triangulaires.

0,82 m 1,02 m

1,44 dm 3,45 dm

5,98 dm 7,27 dm

a) Détermine l’aire de la terrasse. b) Détermine l’aire des plates-bandes. 7

3,32 dm

Dans son cours de mathématique, Félix a réalisé qu’il pouvait calculer l’aire d’un carré à partir de la formule de l’aire d’un losange, puisqu’un carré est un losange.

3,96 cm

Sachant que les diagonales du carré sont isométriques, aide Félix à déterminer la mesure du côté du carré ci-contre.

182

Géométrie

Chapitre 5 — Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 5 Questions à choix multiples Parmi les longueurs suivantes, laquelle est équivalente à 46 dm ? a) 0,000 46 km 2

b) 460 cm

b) 6,093 15 km2

2 57 400 dm2

a) 4 2 1 3 5

d) 28 740 hm2

c) 609,315 dam2

d) 60,931 5 m2

3 0,574 dam2

b) 4 2 3 1 5

4 57 400 cm2

c) 4 3 2 1 5

5 5,74 hm2

d) 4 3 2 5 1

Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond au côté d’un carré dont l’aire est de 484 mm² ? a) 121 mm

6

c) 28,74 km2

Place les aires suivantes par ordre croissant. 1 5 740 m2

5

b) 28 740 m2

Parmi les mesures d’aire suivantes, laquelle est équivalente à 609 315 cm2 ? a) 6 093,15 mm2

4

d) 4,6 dam

Parmi les mesures d’aire suivantes, laquelle est équivalente à 2 874 dam2 ? a) 28 740 000 dm2

3

c) 0,004 6 hm

RETOUR

1

b) 60,5 mm

c) 22 mm

d) 242 mm

Associe chacune des formules d’aire au nom de la gure correspondante. a) A=b∙h

•

•

Carré

b) A=D∙d 2

•

•

Trapèze

c) A=b∙h 2

•

•

Losange

d) A=(B+b)∙h 2

•

•

Pentagone régulier

e) A=c2

•

•

Triangle

f) A=5c2a

•

•

Parallélogramme

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L’aire de gures planes

Géométrie

183

Questions à réponses courtes 7

8

Transforme les mesures suivantes dans l’unité de longueur ou d’aire indiquée. a) 18 m=

dm

b) 7 km=

d) 9 m2=

cm2

e) 20 mm2=

dm2

c) 2,6 cm=

m

f) 11 km2=

dam2

Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles ou=. a)

340 dm

0,34 dam

b) 0,062 7 hm2

62 700 000 cm2

c)

5,91 m2

5 910 000 mm2

d)

8 250 cm

0,082 5 km

0,000 47 dam2

f)

0,025 km2

250 000 000 dm2

e) 462 500 mm2 9

m

Trouve l’aire des gures suivantes. a)

80 mm

40 mm

b) 2,8 m

90 mm

c)

9m

1,4 cm

2m

1,7 cm

RETOUR

11 m

d)

35 cm 36,5 cm

e) 19 cm

13,1 cm

21 cm

184

Géométrie

Chapitre 5 — Retour

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10 Dans chacun des cas, trouve la mesure manquante. a) A=252 cm2

b) A=2 240 m2 67 m

15,5 cm ?

64 m

?

18 cm

81 m

h=

b=

a)

b)

7a

RETOUR

11 Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des gures suivantes. 27 33 12ab

A=

A=

12 Le périmètre d’une table en forme d’hexagone régulier est de 15 dm. Son apothème mesure 21,65 cm. Quelle est l’aire de cette table ?

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L’aire de gures planes

Géométrie

185

Questions à développement 13 Un conseur fabrique des sachets en forme de triangle pour y mettre des bonbons. Il assemble deux morceaux de papier en forme de triangles isométriques.

22 cm 19 cm

Observe le triangle ci-contre. Il correspond à l’un des deux triangles de papier dont le conseur a besoin. S’il fabrique 12 sachets, de combien de décimètres carrés de papier a-t-il besoin ?

RETOUR

Réponse : 10 cm

14 Observe le volet ci-contre. Quelle est l’aire des quadrilatères qui forment deux volets comme celui-ci ? 65 cm

40 cm

Réponse : 186

Géométrie

Chapitre 5 — Retour

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15 Maha veut repeindre les triangles des portes du garage ci-dessous. Quelle est l’aire des huit triangles ?

a b

a c

d

0,5 m

b

c

1,6 m

d 0,7 m 0,9 m

16 Dans la chambre d’Élirose, deux murs ont la forme d’un trapèze rectangle. Elle les a recouverts avec 35 m² de tapisserie. La hauteur de la pièce est de 3,5 m. La plus grande base du mur mesure 6 m. Quelle est la mesure de la petite base du mur ?

3,5 m

RETOUR

Réponse :

?

6m

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L’aire de gures planes

Géométrie

187

17 Carl veut fabriquer un carré de sable pour ses enfants. La surface du terrain disponible est de 12,25 m2. Quelle est la longueur maximale de la bordure du carré de sable ?

Réponse :

RETOUR

18 Éric a un terrain rectangulaire de 30 m sur 50 m. Sur son terrain, il y a une maison de 12 m sur 17 m et une allée de gravier rectangulaire de 8,5 m sur 7 m. Éric veut construire une terrasse hexagonale de 3 m de côté et dont l’apothème est de 2,6 m. Sachant qu’il couvrira de gazon le reste du terrain et que chaque rouleau de gazon couvre une surface rectangulaire de 0,5 m sur 1,5 m, de combien de rouleaux de gazon Éric aura-t-il besoin ?

Terrasse

Maison Allée

Réponse : 188

Géométrie

Chapitre 5 — Retour

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19 Dans la cour d’une école primaire, un marqueur de lignes doit peindre un jeu de marelle. Cependant, le plan de la marelle est incomplet.

15 cm 13 cm

1

Si les gures formant la marelle ont toutes la même aire, quelle est la longueur totale de la marelle ?

2 3

Curi sité

4 5

RETOUR

La marelle est un jeu très répandu dans le monde. Le mot marelle vient de , (14e siècle), qui signie jeton, petit caillou. La marelle est un jeu très ancien, auquel jouaient déjà les Romains.

?

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

L’aire de gures planes

Géométrie

189

Situation d’application Un peu de réexion… Salma taille un miroir carré de 3 dm de côté. Son amie Jasmine taille elle aussi un miroir carré, mais elle double la mesure des côtés. Jasmine croit qu’elle double ainsi la surface du miroir. Jasmine a-t-elle raison ? Salma n’en est pas certaine. Si oui, justie ta réponse à l’aide de deux autres exemples. Sinon, donne un contre-exemple et énonce une conjecture.

Réponse 190

Situation d’application

Un peu de réexion…

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CHAPITR E

Le cercle

6

SOMMAIRE Rappel.................................................................................192 6.1 Le cercle et le disque ..............................................194 6.2 La circonférence d’un cercle et la longueur d’un arc de cercle...............................198 6.3 L’aire d’un disque et l’aire d’un secteur............... 207 Exercices + supplémentaires .................................... 217 Retour sur le chapitre 6 ...............................................219 Angles et triangles (CD2)............................................226

Oliver délimite une zone circulaire avec une corde. Le rayon de cette zone est de 1 m. Quelle est la longueur de la corde qui entoure la zone ? Trace le cercle. Estime ensuite sa longueur en utilisant le rayon comme mesure repère.

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Le cercle

Géométrie

191

Rappel Le cercle Le cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont situés à égale distance d’un point xe appelé le centre du cercle. Centre O

• La circonférence (C) est la longueur ou le périmètre du cercle.

Circonférence

• Le rayon (r ) est un segment qui relie un point du cercle à son centre. Tous les rayons d’un cercle sont isométriques.

O

RAPPEL

Rayons

• Le diamètre (d ) est un segment qui relie deux points du cercle en passant par son centre.

d=2r

1

192

O

• La longueur du diamètre est égale au double du rayon. On obtient donc les égalités suivantes : d 2

r=

Diamètre

À partir de la mesure donnée, trouve la mesure du rayon ou du diamètre. a) r=9,5 cm

d=

b) r=23,7 dm

d=

c) d=56 mm

r=

d) d=68 m

r=

e) r=12,75 km d=

f) d=116 mm

r=

g) r=164 mm d=

h) d=94 cm

r=

i) d=105 km

r=

j) r=73,4 hm

d=

k) d=19,8 dm

r=

l) r=127 mm

d=

m) r=0,88 mm d=

n) d=0,05 m

r=

Géométrie

Chapitre 6 — Rappel

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2

Observe les trois cercles suivants. Utilise ta règle pour répondre aux questions ci-dessous. 1 3 2

a) Quelle est la mesure du rayon du cercle 1 ? b) Quelle est la mesure du diamètre du cercle 2 ? c) Quelle est la mesure du diamètre du cercle 3 ? d) À l’aide d’un calcul et de tes réponses en a), b) et c), trouve • la mesure du diamètre du cercle 1 :

RAPPEL

• la mesure du rayon du cercle 2 : • la mesure du rayon du cercle 3 : 3

Une table ronde dont le rayon est de 45 cm peut être allongée. Pour ce faire, il faut éloigner les deux moitiés de la table et placer une planche rectangulaire dans l’espace ainsi formé. L

Quelle est la longueur de la planche rectangulaire ? L=

4

Yvan plante des eurs devant sa maison. Sur son terrain, il délimite une zone circulaire de 1,65 m de rayon. a) Quelle est la largeur de la zone circulaire ?

b) Si Yvan veut poser une bordure de plastique autour de la zone eurie, que doit-il calculer ?

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Le cercle

Géométrie

193

6.1 Le cercle et le disque Le cercle et son centre

Astuce

Un cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont situés à égale distance d’un point xe appelé le centre du cercle. • Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.

B

Pour faire un retour sur les caractéristiques du cercle, consulte le Rappel à la page 192.

A O

• Une corde est un segment qui relie deux points d’un cercle.

Cordes C

• Le diamètre (d ) est la plus longue corde du cercle.

• Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle. Il est donc possible de trouver le centre d’un cercle à partir de deux cordes. A AB et BC sont deux cordes du cercle.

B

O

Leurs médiatrices se croisent au centre O du cercle. C

1

Astuce

nt La médiatrice d’un segme ire est une droite perpendicula à ce segment qui passe par son point milieu.

À l’aide de tes instruments de géométrie, trace les cercles demandés. Au besoin, consulte la section Outils, à la page 398, pour en apprendre davantage sur la construction de cercles. a) Cercle de centre O, r=2,5 cm.

b) Cercle de centre O, d=42 mm.

O

194

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.1

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c) Cercle qui comprend les cordes BC et DE.

d) Cercle qui passe par les points J, K et L. L

C J

D

O K

B E

2

Le GPS d’Hubert indique qu’il se trouve à égale distance de Saint-Georges, de Saint-Léon-de-Standon et de Weedon Centre. Où est Hubert ? Laisse les traces de tes constructions géométriques sur la carte géographique suivante. Réponse :

Québec Donnacona

Saint-Léon-de-Standon Lyster Trois-Rivières Victoriaville

Saint-Georges

Drummondville

Weedon Centre

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Le cercle

Géométrie

195

Le disque, l’angle au centre, le secteur et l’arc de cercle • Un disque est une surface délimitée par un cercle. Disque

• Un angle au centre est un angle dont le sommet correspond au centre du cercle. Il mesure de 0° à 360°.

O

Cercle

• Un angle au centre détermine un secteur de disque et un arc de cercle. • Le secteur d’un disque (ou secteur circulaire) est une portion du disque délimitée par deux rayons. • Un arc de cercle est une portion d’un cercle délimitée par deux points de celui-ci. Il se mesure en unités de longueur ou en degrés. • Un arc a la même mesure en degrés que l’angle au centre qui l’intercepte. • Un arc inférieur à 180° est nommé à l’aide des deux points qui le délimitent. Si on veut désigner un arc supérieur ou égal à 180°, il faut utiliser un troisième point sur cet arc. A

Voici un cercle de centre O. L’angle au centre DOE détermine   les arcs DE et DAE (DE, DAE).  DE mesure 60°.

D Arc DE Secteur DOE

 DAE mesure 360°−60°=300°.

1

60º

O

E

À l’aide de ton rapporteur d’angles, trouve la mesure des arcs suivants en degrés. Pour t’aider, mesure l’angle au centre associé à chacun des arcs. a) m  AB =

A

b) m  AC =

B

c) m  AD = d) m  BC =

E

e) m  BD =

D

O

f) m  DE = g) m  BE = h) m  AE =

196

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.1

C

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Sans utiliser ton rapporteur d’angles, trouve la mesure des arcs suivants en degrés. Explique ensuite ta réponse. a) m  AB=

2

B

A

70°

O

b) m  BC=

C

c) m  CD=

D

d) m  AD=

Quelle est la mesure de l’angle au centre formé par les deux aiguilles d’une horloge aux heures suivantes ?

3

a) 4 h b) 7 h c) 8 h 20 min

4

Dans le cercle suivant, l’angle KON est droit, JM est un diamètre et les angles KOL et LOM sont isométriques. Sans utiliser tes instruments de géométrie, trouve la mesure des arcs JK, JN, MN et LM en degrés. N J 35°

O

M L

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K

a) m  JK= c) m  MN=

b) m  JN= d) m  LM=

Le cercle

Géométrie

197

6.2 La circonférence d’un cercle

et la longueur d’un arc de cercle La circonférence d’un cercle • La circonférence d’un cercle (C) est la longueur du cercle. Cette longueur change selon le diamètre du cercle. • Le rapport de la circonférence au C diamètre, , est toujours le même. d Il vaut approximativement 3,141 6. On peut donc afrmer que la circonférence du cercle compte un peu plus de trois diamètres.

C

C ≈ 3d

d d

C

• On représente le rapport par la d lettre grecque π (on lit « pi »). C =π=3,141 d

C=2πr

Curi sité

5 cm

C=2πr

C=π∙5

C=2∙π∙2,5

C ≈ 15,71 cm

C ≈ 15,71 cm

On peut conserver le symbole π dans la réponse. On écrit alors C=5π. On cherche le diamètre d’un cercle dont la circonférence est de 28 dm.

En 1706, le mathématicien William Jones utilise la lettre π pour la première fois pour désigner la longueur d’un cercle dont le diamètre est égal à 1.

1

ou

C=πd

2,5 cm

592 653…

• Puisque le diamètre (d) est le double du rayon (r), on obtient les formules de circonférence suivantes : C=πd

On cherche la circonférence du cercle suivant.

Quelle est la circonférence d’un cercle dont le rayon mesure 25 cm ? Conserve le symbole π dans ta réponse.

C=πd 28=πd

?

28

π

πd π

=

28

d=

π d ≈ 8,91 dm

C=28 dm

Astuce Souviens-toi que la multiplication est commutative. Par exemple, 2∙π∙5=2∙5∙π=10π.

25 cm

C= 198

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.2

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2

Dans chaque cas, trouve la circonférence du cercle. Arrondis tes réponses au centième près. a)

b)

c)

6 cm

C≈

3

42 mm

9m

C≈

C≈

Dans chaque cas, trouve la circonférence du cercle à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. a) d=12 cm

C≈

b) r=57 mm

c) d=0,45 m

C≈

C≈

Exercice

Exercice 4

Dans chaque cas, trouve la circonférence du cercle à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) r=3 cm

b) d=16 cm

c) d=55 mm

d) r=11,5 km

e) r=77 cm

f) d=21,6 dm

g) r=48 dam

h) d=0,92 m

i) r=135 mm

j) d= 12 mm

k) r= 12 m

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l) r= 14 cm

Le cercle

Géométrie

199

5

Dans chaque cas, trouve l’expression algébrique de la circonférence du cercle. Conserve le symbole π dans ta réponse.

( 34 x) dm

b) d=

a) r=(2a) cm

C=

C=

6

Dans chaque cas, trouve la mesure demandée à partir de la mesure de la circonférence. Arrondis tes réponses au dixième près. a) C=76 cm

d=?

d≈ d) C=157 cm

Géométrie

d=?

d≈ r=?

r≈

200

b) C=142 mm

Chapitre 6 — Section 6.2

e) C=17,5 m

r≈

c) C=(7π) m

d=?

d= r=?

f) C=(10π) dm

r=?

r=

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7

Quelle est la longueur minimale du let qui entoure un trampoline circulaire de 2,5 m de diamètre ? 2,5 m

Réponse : 8

La longueur d’une celle décorative qui entoure une chandelle est de 30 cm, incluant la boucle faite de 8 cm de cette même celle.

Curi sité

Quel est le diamètre de la chandelle ?

de l’Antiquité, croyait que π=

Archimède, un grand scientique 22 . 7

Observe ta réponse au numéro 8. Que remarques-tu ?

Réponse :

9

Pier-Anne veut coudre un ruban de dentelle autour d’un coussin circulaire de 12 cm de rayon. Le ruban coûte 4,50 $/m. Elle en achète 10 cm de plus que la longueur nécessaire. Combien coûte le ruban de dentelle, sans les taxes ?

Réponse :

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Le cercle

Géométrie

201

10 La roue de la brouette d’Emmanuelle a un rayon de 14,5 cm. Combien de tours complets la roue fait-elle lorsqu’Emmanuelle fait avancer la brouette sur une distance de 15 m ?

r

Réponse :

11 Les roues de la bicyclette de Youssouf font 200 tours complets lorsqu’il parcourt 377 m. Quelle est la mesure en centimètres du rayon des roues de sa bicyclette ?

Réponse :

12 Inès dispose des chaises en cercle à tous les 1,2 m. Chaque chaise est à une distance de 2,5 m d’un foyer. Combien de chaises place-t-elle ainsi autour du foyer ? 1,2 m

Réponse : 202

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.2

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La longueur d’un arc de cercle • Dans un cercle, la longueur d’un arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte. On peut donc établir la proportion suivante :

Astuce

La circonférence du cercle 0°. correspond à un arc de 36

Mesure de l’angle au centre Longueur de l’arc = 360° Circonférence

On cherche le rapport entre la longueur de la circonférence du cercle ci-contre. m C

=

A

et

120°

120° 1 = 360° 3

O

A

On cherche la longueur de

140°

O

3c

m

Ainsi, l’arc AB mesure le tiers de la circonférence.

B

.

m  AOB m = 360° C

8

140° m = 360° 2∙π∙8

cm

B

m 140° ≈ m 50,27 360°

≈

140∙50,27 360

≈ 19,55 cm

1

Un cercle de centre O a une circonférence de 85 cm. Trouve la mesure en degrés des arcs de cercle suivants. Arrondis tes réponses au degré près. a) m

=13 cm

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b) m

Astuce Souviens-toi qu’un angle au centre a la même mesure en degrés que l’arc qu’il intercepte.

=27,2 cm

Le cercle

Géométrie

203

2

La circonférence d’un cercle de centre O est de 60 cm. Trouve la longueur des arcs de cercle interceptés par les angles au centre suivants. Arrondis tes réponses au centième près. a) m ∠ COD=45°

3

b) m ∠ COD=100°

Dans chaque cas, trouve la longueur de  ABC au centième près. a)

A

B

C

70° 9 cm

O

b)

A

C 85° O B d=32 mm

Exercice

Exercice 4

204

Sachant que la circonférence d’un cercle est de 150 mm, trouve la longueur des arcs suivants en millimètres. Arrondis tes réponses au centième près. a) m  AC=25° b) m  AB=60° c) m  BC=105° e) m  CD=220°

d) m  AD=170° f) m  BD=300°

g) m  AF=40° i) m  CP=130°

h) m  BF=85° j) m  FP=210°

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.2

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5

Trouve le périmètre (P ) de la gure suivante. 6,4 cm

15 cm

10 cm

Réponse :

6

Karine prépare un programme d’entraînement avec une planche d’équilibre pour l’équipe de ski de son école. Elle doit ajouter des bandes antidérapantes sous la planche d’équilibre suivante. Quelle longueur (L) chaque bande antidérapante doit-elle avoir pour couvrir toute la partie du cercle sous la planche ?

Curi sité Les skieurs et les coureurs utilisent souvent une planche d’équilibre lors de leurs entraînements. La planche d’équilibre permet d’améliorer l’agilité, le temps de réaction, la stabilité et la force.

2 dm

115°

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Le cercle

Géométrie

205

7

Laurie prend soin des animaux à la ferme de son oncle. Elle ouvre l’enclos des chèvres. La barrière laisse une trace au sol en forme d’arc de cercle. Quelle est la longueur (L) de la trace laissée au sol si l’angle d’ouverture de la barrière est de 105° et que la barrière mesure 2,5 m ?

105°

2,5 m

Réponse :

8

On veut installer une bordure uorescente rouge sur la rampe pour planches à roulettes suivante. Quelle doit être la longueur de cette bordure ? 1m 0,8 m

1m 0,8 m

80°

3m

Curi sité La planche à roulettes est apparue en Californie, à la n des années 1950. On raconte qu’en l’absence de vagues un surfeur a installé les roues des patins à roulettes de sa sœur sur une planche de bois. La première compétition de planches à roulettes a eu lieu en 1963.

206

Géométrie

Réponse :

Chapitre 6 — Section 6.2

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6.3 L’aire d’un disque et l’aire d’un secteur L’aire d’un disque • L’aire d’un disque (A) est la mesure de sa surface. Elle s’exprime en unités carrées (mm2, cm2, dm2, etc.). • L’aire d’un disque se calcule avec la formule A=πr 2 où r est le rayon du cercle. On cherche l’aire du disque suivant.

6 cm

A=πr 2 =π∙62 =π∙36 =36π ≈ 113,1 cm2

• À l’aide de la formule de l’aire d’un disque, il est possible de trouver la mesure de son rayon. On cherche le rayon d’un disque dont l’aire est de 530,9 cm 2 an de pouvoir calculer la circonférence du cercle qui délimite ce disque. A=πr 2  530,9=πr 2 530,9

π 530,9

C=2πr

=r 2

=2∙π∙13 =26π

=r

π r ≈ 169

≈ 81,68 cm

r ≈ 13 cm

1

Dans chaque cas, trouve l’aire du disque à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. a) r=8 cm

A≈

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b) d=28 mm

A≈

c) r=26 m

A≈

Le cercle

Géométrie

207

2

Dans chaque cas, trouve la mesure du rayon à partir de l’aire du disque. Arrondis tes réponses à l’unité près. a) A=9 160,9 mm2

r≈ 3

b) A=1 661,9 cm2

c) A=907,9 km2

r≈

r≈

Dans chaque cas, trouve la mesure du diamètre à partir de l’aire du disque. Arrondis tes réponses au dixième près. a) A=58,1 cm2

b) A=4 536 m2

d≈

c) A=34 636 mm2

d≈

d≈

Exercice

Exercice 4

208

Dans chaque cas, trouve l’aire du disque à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a) r=15 cm

A≈

b) d=73 mm

A≈

c) r=0,9 km

A≈

d) d=116 mm

A≈

e) d=88 mm

A≈

f) r=250 m

A≈

g) d=42 dam

A≈

h) r=33 mm

A≈

i) r=85 mm

A≈

j) d=65 dm

A≈

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.3

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5

Dans chaque cas, trouve la mesure de la circonférence du cercle à partir de l’aire du disque. Arrondis tes réponses au centième près. a) A=95 m2

b) A=10 568 dm2

C≈

6

C≈

Dans chaque cas, trouve la mesure de l’aire du disque à partir de la circonférence du cercle. Arrondis tes réponses au centième près. a) C=226,2 mm

b) C=47,12 cm

A≈

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A≈

Le cercle

Géométrie

209

7

Le diamètre d’une assiette décorative est de 38 cm. Quelle est l’aire de cette assiette ?

Réponse : 8

Si l’aire d’une fenêtre circulaire est de 50,3 dm2, quelle est la longueur minimale du cadre de cette fenêtre ?

Réponse : 9

Quelle est la différence de surface de cuisson de deux éléments de cuisinière dont l’un a 24 cm de diamètre et l’autre, 7 cm de rayon ?

Réponse : 10 Un tapis circulaire couvre une surface de 10,2 m2. Quelle est la largeur de ce tapis ?

Réponse : 210

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.3

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11 Pour un jeu de mississipi, Gaétan fabrique des rondelles en bois de 4 cm de rayon dans une planche de 16 cm sur 40 cm. Quelle est l’aire du bois qui ne sera pas utilisé ? 40 cm

16 cm

Curi sité Le mississipi est un jeu d’adresse qui se joue à deux. Chaque joueur doit se départir de huit rondelles en bois en les faisant glisser sur une longue table étroite. La rondelle doit atteindre l’autre extrémité de la table et frapper la rondelle placée par le joueur adverse.

4 cm

Réponse : 12 Le rebord d’un chapeau de sorcière est fait d’une bande de tissu noir. La longueur intérieure de cette bande de tissu circulaire est de 62,8 cm et la longueur extérieure est de 131,9 cm.

Longueur extérieure 131,9 cm

Longueur intérieure 62,8 cm

Quelle est l’aire du rebord du chapeau ?

Réponse :

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Le cercle

Géométrie

211

L’aire d’un secteur Sur un disque, l’aire d’un secteur est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui le dénit. On peut donc établir la proportion suivante. Mesure de l’angle au centre Aire du secteur circulaire = 360° Aire du disque On cherche l’aire du secteur AOB. A

125°

7 cm O

B

m ∠ AOB Aire du secteur AOB = 360° Adisque 125° A = AOB2 360° π∙7

Astuce

nd Un disque entier correspo 0°. 36 de r à un secteu

125° A ≈ AOB 360° 153,94

 AAOB ≈

125∙153,94 360

≈ 53,45 cm2

1

Si l’aire d’un disque est de 300 cm2, trouve l’aire des secteurs circulaires dont les angles au centre ont les mesures suivantes. Arrondis tes réponses au centième près. a) m ∠ AOB=55°

b) m ∠ BOC=115°

A≈

A≈ c) m ∠ COD=21°

d) m ∠ DOF=90°

A=

212

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.3

A=

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2

Dans chacun des cas, trouve l’aire du secteur NOP. Arrondis tes réponses au centième près. a) 160°

N

P

O

12 cm

b) N O

60°

P

d=375 mm

c)

N

205° P

O

13,5 dm

Exercice

Exercice 3

Dans chacun des cas, trouve l’aire du secteur TOR. Arrondis tes réponses au centième près. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

T r=19 mm

R

130°

O

O

d=52 mm

ATOR ≈

T 50° R

ATOR ≈

d)

220° d=78 mm

b)

T

O

R

ATOR ≈

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e)

170°

T r=14,5 m

O

R

ATOR ≈ R

r=86 mm

ATOR ≈

c)

T

20° O

f)

T d=103 mm

145° O

R

ATOR ≈

Le cercle

Géométrie

213

4

Trouve la mesure demandée pour chacun des cercles suivants. Arrondis tes réponses à l’unité près. a)

AAOB=859 mm2

O A

B

b)

Adisque=2 290 mm2 m ∠ AOB=?

C

J O

AJOK=175 dam r=?

r≈

214

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.3

Adisque=?

Adisque ≈

d)

m ∠ JOK=62° K

ACOD=2 163 cm2 D

m ∠ AOB ≈

c)

m ∠ COD=85°

O

m ∠ MON=265° AMON=2 290 mm2

2

O M

N

d=?

d≈

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5

Le terrain suivant est formé par l’intersection de trois rues. Quelle est l’aire de ce terrain ? Arrondis ta réponse au centième près.

60°

35 m

Réponse : 6

Observe les faisceaux lumineux créés par les phares d’une voiture. Si un faisceau lumineux éclaire sur une distance de 100 m, quelle est la surface éclairée par un phare ? Arrondis ta réponse au centième près. 100 m

75°

Réponse :

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Le cercle

Géométrie

215

7

Observe la toile de parachute ci-contre. Tous les secteurs sont isométriques. Trouve l’aire de la surface rouge de la toile de parachute.

0,5 m (diamètre du trou au centre)

6m

30°

Réponse : 8

Quelle est l’aire de la toile solaire qui couvre la piscine suivante ?

5m

4,5 m 2,25 m

Réponse :

216

Géométrie

Chapitre 6 — Section 6.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 6.2 1

Dans chaque cas, trouve la circonférence du cercle à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. a) d=3 cm

C≈

b) d=22,4 mm

C≈

c) r=45 dm

C≈

d) d=7 km

C≈

C≈

f) r=0,5 hm

C≈

C≈

h) r= 23 km

C≈

e)

1 r= 5

m

g) d=4 dam 2

Sachant que la circonférence d’un cercle est de 225 cm, trouve la longueur des arcs suivants en centimètres. Arrondis tes réponses au centième près. a) m  AC=30° c) m  AD=270°

b) m  AB=115° d) m  BC=75°

e) m  DC=325°

f) m  CD=53°

Section 6.3 3

4

Dans chaque cas, trouve l’aire du disque à partir de la mesure donnée. Arrondis tes réponses au centième près. a) r=35 cm

A≈

b) r=22 mm

A≈

c) d=40 km

A≈

d) r=9 m

A≈

e) d=12 dm

A≈

f) d=85 dam

A≈

g) r=12,5 hm

A≈

h) d=14 mm

A≈

Dans chaque cas, trouve l’aire du secteur SOT. Arrondis tes réponses au centième près. a)

T

2 cm

S

45°

T

b)

O

35 mm

ASOT ≈

112°

O

15° 1,8 m O

e)

d=48 dm

T S

ASOT ≈

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215° T d=75 dm

S

ASOT ≈

d)

c)

S

ASOT ≈ O

T

72°

f)

25 mm

S

ASOT ≈

O

300° O

S

T

ASOT ≈

Le cercle

Géométrie

217

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 6.2 5

Le coureur du couloir numéro 8 de la piste d’athlétisme ci-contre franchit une distance de 400 m en un tour. Quelle est la mesure du rayon des demi-cercles formant chaque extrémité de la piste ?

6

80 m

Amanda veut entourer chaque pointe d’un gâteau d’une ligne de glaçage rouge.

11 cm

45°

Si un tube de 200 ml de glaçage lui permet de décorer 150 cm de gâteau, combien de pointes peut-elle décorer avec un tube de 350 ml ?

Section 6.3 7

Le logo du nouveau comptoir de crème glacée près de chez Julien est imprimé sur des serviettes en papier.

r=2,27 cm

Quelle est l’aire du demi-cercle représentant la boule de crème glacée ?

8

3,2 cm

L’angle d’ouverture de la porte d’un placard est de 145°.

75 cm

Quelle surface du plancher doit être dégagée pour permettre l’ouverture complète de la porte ?

9

145°

40 cm

Jérôme veut faire cuire des biscuits sur une plaque de cuisson rectangulaire de 30 cm sur 40 cm. Le diamètre d’un biscuit avant la cuisson est d’environ 8 cm.

d

Sachant que la dimension de chaque biscuit augmentera 30 cm de 20 % pendant la cuisson, combien de biscuits Jérôme peut-il placer sur une plaque ?

218

Géométrie

Chapitre 6 — Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 6 Questions à choix multiples 1

Parmi les afrmations suivantes, laquelle est vraie ?

A

a) AO est un diamètre du cercle. b) AC est un rayon du cercle.

B

c) BC est un rayon du cercle. d) DO est un rayon du cercle.

D

e) AC est un diamètre du cercle. 2

O

C

Parmi les afrmations suivantes, laquelle est vraie ? a) Le rayon d’un cercle est égal au double du diamètre. b) Les rayons d’un cercle ont différentes longueurs. c) Trois points non alignés déterminent deux cercles distincts.

RETOUR

d) La mesure d’un angle au centre est toujours supérieure à 360°. e) Le diamètre est la plus longue corde du cercle. 3

Dans le cercle ci-dessous, OJ est la bissectrice de l’angle KON. Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie ? a) m  JK=75° b) m  NJ=45°

N J M 75°

O

c) m  LM=75 cm d) m  JK=45 cm

K

e) m  KN=90 cm L

4

5

Quelle est la circonférence d’un cercle de 10 cm de diamètre ? a) 5 cm

b) 15 cm

c) 10π cm

d) 25π cm

Quelle est l’aire d’un disque de 50 cm de diamètre ? a) 625π cm2

b) 78,54 cm2

c) 50π cm2

d) 7 854 cm2

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Le cercle

Géométrie

219

Questions à réponses courtes 6

7

À partir de la mesure donnée, trouve la mesure du rayon ou du diamètre. a) r=27 cm, d=

b) d=55 mm,

r=

c) d=77,5 m, r=

d) r=4,25 dam, d=

Dans chaque cas, trace un cercle de centre O qui passe par les points suivants. a) les points A et B

b) les points A, B et C B

A

A

B

RETOUR

C

8

Trouve la circonférence et l’aire des disques suivants. a)

b) 9 cm

220

Géométrie

46 m

C≈

C≈

A≈

A≈

Chapitre 6 – Retour

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9

À partir de l’aire donnée, trouve la mesure du diamètre du disque. a) A=3 217 mm2

b) A=1 385,4 cm2

d≈

d≈

10 Trouve la mesure demandée pour chacun des cercles suivants. a) A=1 520,53 mm2 C=?

b) C=229,34 km ?

A=?

RETOUR

?

r≈

d≈

C≈

A≈

11 Quelle est la longueur d’un arc de cercle dont l’angle au centre mesure 140° et dont la circonférence du cercle est de 264 dm ?

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Le cercle

Géométrie

221

Questions à développement 12 Marcus utilise un odomètre mécanique pour mesurer des distances. Si le diamètre de la roue de l’odomètre est de 318,31 mm, combien de tours complets la roue fait-elle lorsque Marcus mesure une distance de 50 m ?

Réponse :

RETOUR

13 Un groupe de citoyens veut créer un aménagement paysager au centre d’un carrefour giratoire. La bordure de l’aménagement a une longueur de 62,83 m.

Bordure

Quelle est la surface disponible pour l’aménagement paysager ? Fleurs

Réponse : 14 Caroline peint une murale faite de cercles. Si l’aire de chacun des cercles est de 28,3 cm2, quelle est leur circonférence ?

Réponse : 222

Géométrie

Chapitre 6 – Retour

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15 Un producteur agricole et son employé veulent rouler une balle de foin ronde sur une distance de 10 m an de nourrir les animaux. Si le diamètre de la balle de foin est de 122 cm, combien de tours complets doit-elle faire ?

Réponse :

16 Justin fabrique des arcs en bois. 2 5

d’un cercle de 35 cm de diamètre, quelle est sa longueur ?

RETOUR

Si un arc tendu forme les

Réponse :

17 Observe le panneau de signalisation routière suivant. L’illustration de la direction est formée d’un arc de 270° et de 33 cm de largeur (à l’intérieur). Quelle est la longueur de cet arc ?

33 cm

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Le cercle

Géométrie

223

18 Asmaa a installé un arroseur rotatif dans son jardin. Elle constate que seulement une partie de son jardin est arrosée.

RETOUR

Si l’arroseur a une portée de 5 m et qu’il couvre un secteur de 130°, quelle surface du jardin est arrosée ?

130°

5m

Réponse :

19 Observe le panneau de signalisation routière de forme carrée ci-contre.

60 cm

Selon les mesures données, est-ce que 75 % du panneau est rouge ? 50 cm 10 cm 28 cm

Réponse :

224

Géométrie

Chapitre 6 – Retour

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20 La façade de la boutique de Guillermo mesure 5 m sur 4 m. La porte d’entrée, située au centre de ce mur, mesure 1 m sur 2,2 m. Guillermo veut installer une grande couronne de sapin de chaque côté de la porte. Si la circonférence extérieure de la couronne est de 329,87 cm, y a-t-il assez d’espace sur la façade de la boutique pour accrocher les deux couronnes ?

21 Un patio adjacent à une piscine de 6,8 m de diamètre a la forme ci-contre. Selon les mesures données, quelle est l’aire du patio ?

108° 2m

6,7 m

5,5 m

3,5 m

RETOUR

Réponse :

3,5 m 7m

Réponse :

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Le cercle

Géométrie

225

Situation d’application Angles et triangles Un fabriquant de jouets veut produire un nouveau modèle de voiture. Pour concevoir la roue du jouet, il doit connaître les dimensions des triangles formés par les diamètres de la roue. Quelles sont les mesures des angles du triangle COD si le secteur AOB a une aire de 141,37 cm2 ? Laisse des traces de ta démarche. A

B

r=18 cm

Astuce

les et des Utilise les propriétés des ang arche. dém triangles pour justier ta

O

C

D

Réponse

226

Situation d’application

Angles et triangles

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Consolidation : Chapitres 1 à 6 Questions à choix multiples 1

Parmi les fractions ci-dessous, laquelle correspond au résultat de la chaîne d’opérations suivante ? 1 + 34 × 56 2

a) 2

23 24

b)

25 24

c)

9 8

d)

4 3

Trouve la valeur de x dans l’équation suivante. 2x+6=−2 a) −8

3

b) −4

c) 2

d) 4

Parmi les équations ci-dessous, laquelle a la même solution que l’équation suivante ? 2x+1=13 a) 3x+5=23

4

b) 4x+2=16

c) −2x−4=12

d) −x+5=7

Réduis l’expression algébrique suivante. 3(2x−4y)+2(4x+6y) a) 14x

5

b) 14x−2y

c) 14x−24y

d) −2x+24y

Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle traduit la description suivante ? La somme du triple de x et du carré de y. a) 3x+y 2

6

b) x 3+y 2

c) 3x+2y

d) x 3+2y

Parmi les mesures suivantes, laquelle est équivalente à 4 769 m2 ? a) 476,9 dam2

b) 0,476 9 hm2

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c) 47 690 dm2

d) 4,769 km2

Consolidation : Chapitres 1 à 6

227

7

8

9

Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond à l’aire du pentagone régulier ci‑contre ? a) 11 cm2

b) 27,5 cm2

c) 13,72 cm2

d) 55 cm2

4 cm

2,75 cm

Observe le cercle ci‑contre. Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond à l’angle d’un arc de 1,57 cm ? a) 8°

b) 45°

c) 22,5°

d) 90°

?

1,57 cm

4 cm

Un carré a une aire de 324 cm2. Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond à son côté ? a) 18 cm

b) 20,25 cm

c) 40,5 cm

d) 81 cm

10 Le diamètre d’un cercle est de 11 cm. Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond à son rayon ? a) 34,6 cm

b) 22 cm

c) 9,5 cm

d) 5,5 cm

11 Un cercle a une circonférence de 37,7 cm. Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond à son rayon ? a) 6 cm

b) 12 cm

c) 19 cm

d) 28,3 cm

12 Marco a obtenu une réduction de 30 % à l’achat d’un vélo, ce qui représente un rabais de 78 $. Parmi les montants suivants, lequel correspond au prix du vélo avant la réduction ? a) 23,40 $

b) 101,40 $

c) 111,42 $

d) 260 $

13 Le record mondial d’écart de température annuelle est de 104,4 °C. Il a été mesuré à Verkhoïansk en Sibérie orientale en 1892. Sachant que la température maximale a été de 36,7 °C, quelle a été la température minimale cette année‑là ? a) −104,4 °C

228

Consolidation : Chapitres 1 à 6

b) −67,7 °C

c) −36,7 °C

d) 41,1 °C

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Questions à réponses courtes 14 Complète les égalités suivantes. a)

225=

d) 24

b) 13

=576

e)

=169

c) (−3)3= f) 352=

10 000 =

15 Les graphiques suivants représentent des situations de variation proportionnelle ou inversement proportionnelle. Dans chaque cas, indique de quel type de variation il s’agit. Trouve ensuite le coefcient de proportionnalité ou le produit constant. a)

b)

y

y

(2, 10)

(−2, 2) −1 0

x

1

(4, 5) (5, 4)

(4, −4) 2 0

x

1

16 Trouve l’expression algébrique réduite qui représente le périmètre des polygones suivants. Les mesures indiquées sont en centimètres. a)

b)

a+5

4x+1

3a−7

2x−3

P=

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2(a+1)

P=

Consolidation : Chapitres 1 à 6

229

17 Traduis chacun des énoncés suivants par une équation algébrique. Résous-la ensuite. a) Le double de a augmenté de 6

b) Le tiers de x diminué de 4 donne 24.

donne 12.

x=

a=

18 Trouve les deux nombres pairs consécutifs dont la somme est 30.

Réponse : 19 Mathis a 10 $ de moins que le quadruple de l’avoir de Félix. Ensemble, ils ont 120 $. Combien d’argent ont-ils chacun ?

Réponse : 20 Résous les équations suivantes. a)

2x 14 − 25 = 15 3

b)

x= 230

Consolidation : Chapitres 1 à 6

2x+6 = 6x−3 4 5

x= Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

21 Trouve l’aire d’un losange dont les diagonales mesurent 8 cm et 3,5 cm.

A= 22 Trouve la circonférence et l’aire des disques suivants. b)

a) 4 dm

C≈

A≈

15 cm

C≈

A≈

23 À partir des mesures données, trouve la mesure du diamètre du disque. a) C=18,85 cm

b) A=452,39 cm2

d≈

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d≈

Consolidation : Chapitres 1 à 6

231

24 Trouve les expressions algébriques qui représentent le périmètre et l’aire des gures suivantes. Les mesures indiquées sont en mètres. a)

b) 5x−2

5x−2 3

2a−3

4y+1

P=

4

A=

P=

7b+1

c)

A=

d) 4y

2

P=

232

Consolidation : Chapitres 1 à 6

3b−5

A=

C≈

A≈

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Questions à développement 25 Six amis désirent louer un chalet pour une semaine. Ils s’intéressent aux deux forfaits suivants. Quel forfait est le plus économique ? 1) Les chalets champêtres : chalet nordique dont le coût est inversement proportionnel au nombre d’occupants selon le graphique suivant. Coût ($) 800

Coût de location d’un chalet pour 7 nuits

2) Le camping Dubois : chalet en bois rond dont le coût est proportionnel au nombre d’occupants selon le graphique suivant. Coût ($) 1 600

700

1 400

600

1 200

500

1 000

400

(10, 188,50)

200 100 0

(5, 1 525)

(3, 915)

800

(5, 377)

300

Coût de location d’un chalet pour 7 nuits

600 400 200

2

4

6 8 10 12 14 Nombre de personnes

0

2

4

6 8 10 12 14 Nombre de personnes

Réponse : 26 Juan et Gabriela vendent des tablettes de chocolat pour nancer un voyage en Espagne. Chaque tablette vendue rapporte 3 $. Gabriela a vendu 3,5 fois plus de tablettes que Juan. Ensemble, ils ont amassé 324 $. Combien de tablettes de chocolat ont-ils vendues chacun ?

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Consolidation : Chapitres 1 à 6

233

27 Mathéo a deux miroirs décoratifs qui ont la même aire. Il veut ajouter une baguette de bois autour de chacun des miroirs.

10 dm

10 dm 8 dm

Trouve la longueur de la baguette de bois dont il a besoin pour faire le tour des miroirs.

12 dm

3,81 dm ? dm

Réponse : 28 Le football canadien et le football américain se jouent sur des terrains de dimensions différentes. Quel pourcentage de l’aire du terrain canadien correspond à celle du terrain américain ? Arrondis ta réponse à l’unité près.

x +61,7 2

2x−18,2 Terrain ligue canadienne

x

Terrain ligue américaine

x +29 3

Périmètre : 320 m

Réponse : 234

Consolidation : Chapitres 1 à 6

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29 Mathilde veut repeindre les murs et le plafond de sa chambre. Pour protéger le plancher, elle désire le recouvrir d’une grande toile. Observe le plan du plancher de la chambre 2,4 m de Mathilde.

5,5 m

4,7 m

Si la toile a une aire de 30 m2, est-elle assez grande pour recouvrir le plancher ? 7,5 m

Réponse : 30 Lors d’une fête foraine, un kiosque propose aux visiteurs de faire tourner une roue. Les participants gagnent un prix si la roue s’arrête sur le secteur rouge.

50

cm

Trouve l’aire du secteur rouge. Calcule aussi le pourcentage de la roue qui correspond au secteur rouge.

120 °

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Consolidation : Chapitres 1 à 6

235

31 Dans une course d’obstacles, les participants doivent faire rouler une brouette sur une distance de 18 m. La roue de la brouette fait alors 15 tours. Trouve le diamètre de la roue en centimètres.

Réponse : 32 Barbara veut reproduire le célèbre bonhomme jaune du jeu vidéo Pac-Man sur un des murs du local d’informatique. Le mur du local mesure 4 m de hauteur sur 15 m de largeur. Quel pourcentage du mur sera jaune si Barbara veut que le dessin de Pac-Man soit le plus gros possible ?

60° 4,5 cm

Réponse : 236

Consolidation : Chapitres 1 à 6

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Situation d’application À l’eau ! Véronique et Frédéric veulent faire installer une piscine dans leur cour. Ils hésitent entre les deux modèles ci-dessous. Leur budget pour l’achat et l’installation de la piscine est de 5 000 $. Véronique croit que le modèle octogonal est le plus économique, alors que Frédéric croit que c’est plutôt le modèle circulaire. Qui a raison ? Piscine circulaire en aluminium

Piscine octogonale en bois 2,2 m

5,2 m 2,66 m

Coût de la piscine (selon l’aire) : 125 $/m2

Coût de la piscine (selon l’aire) : 185 $/m2

Coût d’installation (selon le périmètre) : 50 $/m

Coût d’installation (selon le périmètre) : 40 $/m

Réponse

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Situation d’application

À l’eau !

237

Situation-problème Le dé robotique Kenley et Kariane participent au dé robotique de leur école. Voici les règles du concours :

Segment 2 x−2 2

• Chaque équipe de participants doit construire un robot sur roues, puis tracer un circuit semblable au circuit ci-contre. • Le robot doit parcourir le circuit tracé en entier. Celui-ci doit être assez long pour que les roues du robot effectuent de 30 à 40 tours. Les roues du robot de Kenley et Kariane mesurent 11 cm de diamètre. Aide Kenley et Kariane à déterminer la longueur du circuit en trouvant une valeur pour x qui respecte les règles du concours. Donne ensuite la longueur totale du circuit pour cette valeur de x.

Les mesures sont en décimètres. Segment 3 (x−2)

Segment 1 x Segment 4 (x−2) Départ Segment 5 x

Arrivée

238

Situation-problème

Le dé robotique

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Réponse

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Situation-problème

Le dé robotique

239

Situation d’application Les bacs à sable Michaela et Dominic ont construit des bacs à sable pour leurs enfants. Les bacs à sable ont la même aire, arrondie à l’unité près. Quel bac à sable a le plus petit périmètre ? Formule une conjecture en analysant trois exemples numériques.

Bac à sable de Michaela

Bac à sable de Dominic

Réponse

240

Situation d’application

Les bacs à sable

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CHAPITR E

Les solides

7

SOMMAIRE Rappel.................................................................................242 7.1

Les solides et leurs développements ..................244

7.2 L’aire des solides......................................................250 7.3

Les solides décomposables et la recherche de mesures manquantes d’un solide ...................261

Exercices + supplémentaires .................................... 273 Retour sur le chapitre 7 ...............................................275 Le collectionneur (CD2)...............................................282

Élise veut emballer la boîte ci-contre avec du papier-cadeau. Elle a 0,1 m2 de papier. Élise a-t-elle assez de papier-cadeau ?

10 cm

12 cm

12 cm

Réponse :

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Les solides

Géométrie

241

Rappel Les solides • Un solide est une gure à trois dimensions qui occupe un espace limité par des faces planes ou des faces courbes. Cylindre

• Certains solides ont des arêtes et des sommets.

Cube

Dodécaèdre

Sommet : point de rencontre d’au moins trois arêtes. Face : surface plane ou courbe fermée.

Arête : segment à l’intersection de deux faces.

Les solides convexes

RAPPEL

• Un solide est convexe si tout segment qui joint deux points quelconques de sa surface y est inclus. Solide convexe

Solide non convexe

La relation d’Euler • Il existe un lien, appelé relation d’Euler, entre le nombre de sommets (S ), le nombre de faces (F) et le nombre d’arêtes (A) d’un solide convexe. S+F=A+2 • La relation d’Euler permet de trouver des valeurs manquantes d’un solide.

Curi sité • Ce solide a 6 sommets, 5 faces et 9 arêtes. S+F=A+2 6+5=9+2 11=11

• On cherche le nombre d’arêtes d’un solide qui a 16 sommets et 10 faces. S+F=A+2 16+10=A+2 26=A+2 A=24

Leonhard Euler a vécu de 1707 à 1783. La relation d’Euler est aussi connue comme le théorème de DescartesEuler, car il semble que Descartes ait découvert ce théorème un siècle avant Euler.

Le solide a 24 arêtes.

242

Géométrie

Chapitre 7 — Rappel

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1

Trouve le nombre de faces, d’arêtes et de sommets de chacun des solides suivants. a)

2

b)

c)

Faces : Sommets :

Faces : Sommets :

Faces : Sommets :

Arêtes :

Arêtes :

Arêtes :

Observe les trois pyramides suivantes. 1)

2)

3)

Nombre de faces

Nombre de sommets

Nombre d’arêtes

Relation d’Euler

1) Pyramide à base triangulaire 2) Pyramide à base carrée

RAPPEL

a) Trouve le nombre de faces, d’arêtes et de sommets de chacune des pyramides. Vérie ensuite que la relation d’Euler est respectée.

3) Pyramide à base pentagonale

b) Observe le tableau ci-dessus. Énonce une conjecture au sujet du nombre de sommets et du nombre de faces d’une pyramide.

c) À l’aide de la conjecture, trouve le nombre d’arêtes d’une pyramide à 9 faces.

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les solides

Géométrie

243

7.1 Les solides et leurs développements La classication des solides

Astuce

• Un solide est une portion d’espace délimitée par une ou plusieurs surfaces fermées. • Un polyèdre est un solide composé de faces planes qui sont des polygones. • Un corps rond est un solide qui comprend une ou plusieurs faces courbes. Polyèdres

Prisme à base triangulaire

Les prismes et les pyramides sont nommés selon la forme de leur base.

Corps ronds

Pyramide à base hexagonale

Cylindre

Cône

Boule

Le développement des solides • Le développement d’un solide est la gure plane obtenue par la mise à plat du solide. Le développement permet de voir toutes les faces du solide.

Le prisme • Un prisme possède deux bases isométriques et parallèles. Ses faces latérales sont des parallélogrammes. • Un prisme droit est un prisme dont les faces latérales sont des rectangles. • Un prisme régulier est un prisme droit dont les bases sont des polygones réguliers. Prisme droit à base hexagonale et son développement

Astuce

Un prisme droit dont les arêtes sont isométriques est un cube.

Base

Faces latérales

Un prisme droit dont toutes les faces sont rectangulaires est un pavé.

Base

244

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.1

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La pyramide • Une pyramide possède une base. Ses faces latérales sont des triangles qui se joignent en un sommet nommé apex. • On obtient la hauteur de la pyramide en abaissant un segment de l’apex perpendiculairement à la base.

Pyramide régulière à base carrée et son développement

Apex Centre

Faces latérales

• Une pyramide droite est une pyramide dont la hauteur relie l’apex au centre de la base.

Base

• Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier.

Cylindre circulaire droit et son développement

Le cylindre • Un cylindre circulaire possède deux bases isométriques et parallèles qui sont des disques. Sa face latérale est courbe. • Un cylindre circulaire est droit si le développement de sa surface latérale est un rectangle.

Base Face latérale Base

Le cône • Le cône circulaire possède une base qui est un disque. Sa face latérale est un secteur circulaire. • Le sommet du cône se nomme apex. • On obtient la hauteur d’un cône en abaissant un segment de l’apex perpendiculairement à la base.

Cône circulaire droit et son développement Apex Face latérale Centre Base

• Un cône droit est un cône dont la hauteur relie l’apex au centre de la base.

La boule • Une boule est la portion d’espace délimitée par une sphère. Il n’existe aucun développement possible pour la boule.

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Les solides

Géométrie

245

Les solides présentés dans cette section sont tous droits. 1

2

Détermine si chacun des solides suivants est un polyèdre ou un corps rond. Colorie les bases. Nomme ensuite le solide.

Curi sité Le mot signie « plusieurs faces planes ». Le polyèdre minimal est le tétraèdre. Il a quatre faces.

a)

b)

c)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

d)

e)

f)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

Qui suis-je ? a) Je suis un polyèdre qui possède deux bases carrées isométriques et parallèles. b) Je suis un corps rond qui n’a pas de développement. c) Je suis un corps rond dont le développement comprend un secteur circulaire et un disque. d) Je suis un polyèdre qui a six faces carrées isométriques. e) Je suis un polyèdre qui possède une base octogonale et dont un sommet est appelé apex. f) Je suis un corps rond dont la face latérale est un rectangle et dont les bases sont des disques isométriques.

246

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.1

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3

4

Nomme le solide qui correspond à chacun des développements suivants. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Complète les développements de solides suivants an de former des prismes droits ou des pyramides régulières. a)

b)

c)

d)

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Les solides

Géométrie

247

5

Complète le développement du dé à 6 faces ci-contre en ajoutant les points aux bons endroits. Attention ! La somme des faces opposées d’un dé donne toujours 7.

6

Observe les solides suivants et leur développement. Sur chaque développement, colorie les gures planes qui correspondent aux faces bleues du solide. a) Tétraèdre

7

b) Tronc de pyramide

c) Prisme à base pentagonale

Observe chacun des solides et des développements suivants. Encercle ensuite le développement qui ne correspond pas au solide. a) Prisme à base heptagonale 1)

2)

3)

b) Cylindre 1)

2)

3)

c) Pyramide à base octogonale 1)

248

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.1

2)

3)

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8

Trace un développement pour chacun des solides suivants. Pense à respecter les mesures indiquées. a)

1 cm

2,5 cm

Astuce Consulte la page 401 de la section pour en savoir plus sur la construction d’un polygone régulier.

1,3 cm

1,3 cm

b) 15 mm

8 mm

9

Quelle longueur de ruban décoratif est nécessaire pour faire le tour de la boîte ci-contre, sachant qu’on a besoin de 45 cm pour faire la boucle ?

22 cm

9 cm

32 cm

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Les solides

Géométrie

249

7.2 L’aire des solides L’aire des solides • L’aire totale (AT ) d’un solide est la somme des aires de toutes les faces qui le délimitent.

L’aire d’un prisme droit • L’aire d’un prisme est la somme des aires de ses bases et de ses faces latérales. Prisme droit à base triangulaire et son développement La longueur du trait rouge est équivalente au périmètre de la base.

h

Astuce L’aire d’un solide désigne généralement l’aire totale d’un solide.

h

• L’aire des faces latérales d’un prisme droit, ou tout simplement l’aire latérale (AL), peut être calculée à l’aide de la formule suivante : Pb : périmètre de la base

AL=Pb∙h

h : hauteur du prisme

La hauteur d’un prisme est la distance entre ses deux bases.

• Pour calculer l’aire totale (AT ) d’un prisme, il faut additionner l’aire des deux bases et l’aire latérale (AL) : AL : aire latérale

AT=AL+2Ab

Ab : aire de la base

Astuce

On cherche l’aire totale du prisme suivant. 5 cm

4 cm

5 cm

6 cm 4 cm

6 cm 3 cm

1. AL=Pb∙h =(3+5+4)∙6 =72 cm2

250

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

4 cm b h 2. Ab= ∙

2 4∙3 = 2

=6 cm2

3 cm 5 cm

Consulte la section 5.2, aux pages 166 à 175, pour faire un retour sur les formules d’aire d’un polygone.

3. AT=AL+2Ab =72+12 =84 cm2

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Les solides présentés dans cette section sont tous droits. 1

Complète le tableau suivant. a)

6 cm

b)

c)

3 dm

6 cm

115 mm

8 dm

85 mm

12 cm

6 cm

85 mm

Nom du polygone a) formant les bases

b)

c)

Mesure de la hauteur du prisme

2

Pour chacun des solides suivants, trouve l’aire latérale, l’aire des deux bases et l’aire totale. a) 10 cm 10 cm

10 cm

Cube

AL=

Ab=

AT=

AL=

Ab=

AT=

b) 8 dm 6 dm 7,2 dm Prisme régulier octogonal

Exercice

Exercice 3

Trouve l’aire totale des solides suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

23 m

21,8 m 6,2 m

b)

11 m

34,6 m

c)

29 m 15 m 21 m

11 m

AT=

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AT=

20 m

AT=

Les solides

Géométrie

251

4

Un prisme régulier à base pentagonale a une hauteur de 12 cm. L’apothème de la base mesure 2,75 cm et ses côtés, 4 cm. Quelle est l’aire totale du prisme ? Pour t’aider, trace un schéma du prisme et écris les dimensions.

Réponse :

5

Charles a un coffre en bois qu’il désire peindre. Les deux bases carrées seront rouges et la surface latérale sera bleue. Observe les dimensions du coffre ci-contre.

16 cm 16 cm

28 cm

Sachant qu’un tube de peinture couvre 1 600 cm2, combien de tubes rouges et de tubes bleus Charles doit-il acheter ?

Réponse :

6

Yasmine construit une boîte en carton en forme de pavé. Les dimensions de cette boîte sont de 0,6 m sur 0,4 m sur 0,7 m. Yasmine utilise une feuille de carton carrée mesurant 2,5 m de côté. Trouve la surface de carton qui ne sera pas utilisée pour construire la boîte.

Astuce Un prisme à base rectangulaire, aussi appelé pavé, est composé x de six rectangles. Les deu t ven bases du pavé peu donc être choisies parmi l’une ou l’autre paire de faces opposées.

Réponse : 252

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

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L’aire d’une pyramide régulière • L’aire d’une pyramide régulière est la somme des aires de sa base et de ses faces latérales. • Ces dernières sont formées de triangles isométriques dont la base correspond à un côté de la base de la pyramide. • L’apothème de la pyramide s’obtient en abaissant un segment de l’apex perpendiculairement à un des côtés de la base. • L’apothème correspond à la hauteur du triangle qui forme une face latérale. Pyramide régulière à base carrée et son développement

L’aire des quatre triangles est de

Apex

4∙

a

a

c

c ∙a 4ca ou . 2 2

c

• L’aire des faces latérales d’une pyramide régulière, ou tout simplement l’aire latérale (AL ), peut être calculée à l’aide de la formule suivante : AL= Pb ∙a

Pb : périmètre de la base

2

a : apothème de la pyramide

• Pour calculer l’aire totale (AT ) de la pyramide, il faut additionner l’aire de la base et l’aire latérale (AL ) : AT=AL+Ab

AL : aire latérale

Ab : aire de la base

On cherche l’aire totale de la pyramide régulière suivante.

15 cm

15 cm

12 cm

P b ∙a 2 4∙12∙15 = 2

1. AL=

=360 cm2

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12 cm

2. Ab=c2

3. AT=AL+Ab

=122

=360+144

=144 cm2

=504 cm2

Les solides

Géométrie

253

Les pyramides présentées dans cette section sont toutes régulières. 1

Observe la pyramide ci-dessous. Trouve les mesures suivantes. 27 cm

25 cm

a) Apothème de la pyramide : b) Hauteur de la pyramide :

10,3 cm

c) Apothème de la base : d) Côté de la base :

15 cm

2

Observe les deux pyramides régulières suivantes. Dans chaque cas, trouve l’aire latérale, l’aire de la base et l’aire totale. a) 29 mm

40 mm

AL=

Ab=

AT=

AL=

Ab=

AT=

b) 6,9 dm

19,3 dm

8 dm

Exercice

Exercice 3

Trouve l’aire totale des solides suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. a)

38,1 cm

b)

c) 10,2 cm

12 mm 3,4 mm

44 cm 44 cm

AT=

254

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

5 mm

8,4 cm

AT=

AT=

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4

Trouve l’aire totale d’un tétraèdre régulier, sachant que la mesure d’une arête est de 6 cm et que l’apothème de cette pyramide mesure environ 5,2 cm.

Astuce

e Un tétraèdre régulier est un e atr qu de pyramide composée ues. triq triangles équilatéraux isomé

Réponse :

5

Observe la pyramide de Khéops. Quelle est son aire latérale ?

Curi sité La pyramide de Khéops a été érigée en l’an 4 500 avant notre ère. Sa construction a duré environ 20 ans.

137 m

230 m

Réponse :

6

179 m

Karl a une boîte en forme de tétraèdre. Il désire recouvrir la boîte de papier peint artisanal. Un rouleau de papier peint couvre une surface de 0,01 m2 et coûte 8 $. Karl croit qu’il pourra acheter assez de papier peint avec 30 $. A-t-il raison ?

12 cm 10,4 cm

18 cm

Réponse :

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Les solides

Géométrie

255

L’aire d’un cylindre droit • L’aire d’un cylindre est la somme des aires de ses bases et de sa face latérale. • Celle-ci est formée d’un rectangle dont la longueur correspond à la circonférence de la base. Cylindre circulaire droit et son développement La longueur du trait rouge est équivalente à la circonférence de la base.

h

h

• L’aire latérale (AL ) d’un cylindre droit correspond à l’aire d’un rectangle. Elle peut être calculée à l’aide de la formule suivante : AL=C∙h ou AL=2πr∙h C : circonférence de la base r : rayon de la base

h : hauteur du cylindre

La hauteur d’un cylindre est la distance entre ses deux bases.

• Pour calculer l’aire totale, il faut additionner l’aire latérale et l’aire des deux bases : AT=AL+2Ab

AL : aire latérale

Ab : aire de la base

On cherche l’aire totale du cylindre suivant. r=8 cm

r=8 cm

h=14 cm

h=14 cm

C=2∙π∙8

1. AL=2πr∙h

2. 2Ab=2πr 2

3. AT=AL+2Ab

=2∙π∙8∙14

=2∙π∙82

=224π+128π

=(224π) cm2

=(128π) cm2

=352π ≈ 1 105,84 cm2

256

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

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À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous droits et réguliers. 1

Pour chacun des cylindres suivants, trouve l’aire latérale, l’aire des deux bases et l’aire totale. Conserve le symbole π dans ta réponse. a) 0,3 dm

1 dm

AL=

2Ab=

AT=

AL=

2Ab=

AT=

AL=

2Ab=

AT=

AL=

2Ab=

AT=

b) 21 mm

65 mm

c) 16 cm

18 cm

d) 0,9 m

0,45 m

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Les solides

Géométrie

257

2

Pour chacun des solides suivants, trouve l’aire latérale, l’aire des bases et l’aire totale. a) 75 mm 28 mm 32 mm 66 mm 22,2 mm

AL=

Ab=

AT=

AL=

Ab=

AT=

AL=

Ab=

AT=

AL=

Ab=

AT ≈

b)

27,7 cm

14 cm 16,9 cm

c)

7m

25 m

6,062 m

d) 22 m

12,4 m

258

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

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3

Le diamètre d’un verre cylindrique mesure 70 mm. Sa hauteur est de 120 mm. Quelle est l’aire de la surface latérale du verre ?

Réponse : 4

Justine doit peindre les barreaux cylindriques de la balustrade de son balcon. La balustrade est composée de 30 barreaux de 8 cm de diamètre sur 0,65 m de hauteur. Quelle surface totale Justine doit-elle peindre ? Arrondis ta réponse au centième près.

Réponse :

5

Dans un magasin d’articles de sport, les employés utilisent des boîtes en plastique pour ranger les balles de tennis. Il existe deux formats de boîtes. Jonathan est persuadé que l’aire totale d’une boîte qui contient 6 balles est 2 fois plus grande que l’aire totale d’une boîte qui contient 3 balles. Josiane croit qu’il a tort. Qui a raison ?

45 cm 22,5 cm 7,6 cm

7,6 cm

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Les solides

Géométrie

259

6

Enzo achète 6 boîtes de jus de tomate de forme cylindrique. Les boîtes de jus sont rangées dans une caisse en forme de prisme à base rectangulaire. 22 cm

Trouve l’aire de l’étiquette qui épouse parfaitement la surface latérale d’une boîte de jus de tomate. 24 cm

16 cm

Réponse :

7

Laïa et Antonio peignent chacun un bloc pour construire une maquette. Le bloc peint par Laïa a la forme d’une pyramide à base carrée. Le bloc peint par Antonio a la forme d’un prisme à base octogonale. Chaque bloc doit être peint d’une seule couleur. Un tube de peinture bleue permet de couvrir 900 cm2. Un tube de peinture verte permet de couvrir 1 400 cm2. Quelle couleur Laïa et Antonio doivent-ils choisir pour peindre leur bloc s’ils veulent éviter de gaspiller de la peinture ? 16 cm

20 cm

7 cm

8,4 cm 15 cm 15 cm Pyramide de Laïa

Prisme d’Antonio

Réponse : 260

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.2

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7.3 Les solides décomposables et la recherche

de mesures manquantes d’un solide L’aire d’un solide décomposable • Certains solides sont composés de plusieurs polyèdres ou corps ronds. • Pour calculer l’aire totale de ce type de solide, il faut considérer chacun des polyèdres ou corps ronds dont il est composé.

14 cm Le solide ci-contre est décomposable en deux solides : un prisme droit et une pyramide droite à base hexagonale.

16 cm 6,9 cm 8 cm

1. Aire latérale de la pyramide Pb ∙a 2 6∙8∙14 = 2

AL=

=336 cm2

2. Aire latérale du prisme

3. Aire de la base hexagonale Pb ∙a 2 8∙6∙6,9 = 2

AL=Pb∙h

Ab=

=6∙8∙16 =768 cm2

=165,6 cm2

AT=336+768+165,6 =1 269,6 cm2

2m 3m

Une serre est formée d’un prisme droit à base rectangulaire surmonté d’un demi-cylindre circulaire. On cherche l’aire de la surface en verre.

15 m 4m

1. Aire latérale du demi-cylindre 2πr∙h 2 2π∙2∙15 = 2

AL=

≈ 94,25 m2

2. Aire des deux bases du demi-cylindre πr 2 2 π ∙ 22 =2∙ 2

Ab=2∙

≈ 12,57 m2

3. Aire latérale du prisme AL=Pb∙h =(2∙4+2∙15)∙3 =114 m2

AT ≈ 94,25+12,57+114 ≈ 220,82 m2

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Les solides

Géométrie

261

À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous droits et réguliers. 1

Trouve l’aire totale des solides suivants. Arrondis tes réponses au centième près. a) 0,75 m

0,34 m

AT= b) 6 cm

4 cm

10 cm

AT= c)

8 dm

3 dm 5 dm

AT= 262

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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d)

68 cm

35 cm

22 cm

AT ≈

2

Un dodécaèdre régulier est un polyèdre formé de 12 pentagones réguliers. Trouve l’aire totale de celui-ci.

6 cm

4,1 cm

AT=

3

Trouve l’aire totale du demi-cylindre suivant. Arrondis ta réponse à l’unité près.

75 mm

46 mm

AT=

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Les solides

Géométrie

263

4

Michel est ébéniste. Il doit percer un trou dans un bloc de bois qui a la forme d’un prisme à base rectangulaire. La mesure du diamètre du trou doit être égale aux 25 de la longueur du bloc. Trouve l’aire totale du bloc de bois troué. Arrondis ta réponse au dixième de centimètre carré près.

25 cm

16 cm 42 cm

Réponse : 0,34 m

5

Carmel a une cabane d’oiseau. Elle désire peindre en rouge toutes les faces extérieures, sauf la base de la cabane. Trouve l’aire de la surface à peindre en centimètres carrés.

0,15 m 0,3 m 0,12 m

0,07 m 0,2 m 0,09 m 0,6 m

Réponse : 264

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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6 cm

6

Marwa conçoit des trophées. Voici un modèle très populaire. La base est en bois et la partie supérieure est en aluminium. Marwa désire peindre la base en noir. Quelle est l’aire de la partie noire ? Arrondis ta réponse au dixième près.

7 cm 12 cm

Aluminium 13 cm

Bois

7 cm 22 cm

13 cm

Réponse :

7

Delphine a conçu le plan d’une maquette qui représente le Pentagone. Pour construire sa maquette, Delphine a une planche de contreplaqué qui mesure 610 mm sur 1 220 mm. Delphine a-t-elle assez de bois pour construire la surface latérale et le toit de sa maquette ?

27,5 cm 19 cm

48 cm 70 cm 6 cm

Curi sité Le Pentagone est situé en Virginie, près de Washington, la capitale fédérale des États-Unis. Cet édice abrite le département de la Défense des États-Unis.

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Les solides

Géométrie

265

La recherche de mesures manquantes d’un solide • Il est possible de trouver la mesure d’une dimension manquante d’un solide si on connaît son aire. • Il faut d’abord noter la formule de l’aire du solide. Ensuite, on remplace les variables dont on connaît la valeur et on résout l’équation obtenue. On cherche la hauteur du prisme à base carrée suivant. L’aire totale est de 872 cm2. AT=Pb∙h+2c 2 872=4∙10∙h+2∙102 872=40h+200

h=?

872−200=40h+200−200 672 40h = 40 40

h=16,8 10 cm

La hauteur est de 16,8 cm.

À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous droits et réguliers. 1

Pour chacun des solides suivants, trouve l’aire latérale, l’aire des deux bases ou l’aire totale. a)

b)

Cylindre

266

c)

Prisme à base carrée

Pyramide à base hexagonale

AL : (256π) cm2

AL : 14 dm2

AL :

Ab :

Ab :

Ab : 20,76 m2

AT : (384π) cm2

AT : 18,8 dm2

AT : 43,98 m2

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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2

Complète les calculs suivants pour trouver la mesure manquante de chacun des solides. a)

b)

34,6 cm

17 cm

15 cm

Pense à simplier l’équation avant de la résoudre.

b

h 16 cm

AT : 1 540 cm2

AT : 2 768 cm2 AT=4∙Atriangle

AT=Pb∙h+2Ab 1 540=(2∙17+16)∙h+2∙ 16∙15 2 1 540=50∙h+2∙ 16∙15 2

AT=4∙ b∙h 2 2 768=4∙ b∙34,6 2

h=

3

Astuce

b=

Trouve la mesure manquante de chacun des solides suivants. a)

b)

d

c) a

11,2 dm

3m 23 mm

Cylindre AL=(9π) cm2

d=

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Pyramide à base carrée AT=2 461 mm2

a=

h

Prisme à base carrée AT=958,72 dm2

h=

Les solides

Géométrie

267

4

Trouve la mesure manquante de chacun des solides suivants. Au besoin, trace les solides pour t’aider. a) Solide : cube Arête : AT=37,5 m2

Astuce

isométriques. On peut donc2 Un cube compte six faces de de la formule =6 . calculer son aire totale à l’ai

b) Solide : cylindre Hauteur : Diamètre de la base : 12 mm AT=(768π) mm2

c) Solide : prisme à base rectangulaire Longueur : 12 cm Largeur : 11,5 cm Hauteur : AT=1 333,5 cm2

d) Solide : cylindre Diamètre de la base : Hauteur : Ab=(5,062 5π) dm2 AL=(36π) dm2

268

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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5

Trouve la mesure manquante de chacun des solides suivants. a)

b

5 cm

24 cm

Tronc de pyramide à base carrée AL : 400 cm2

b= b) 23,4 mm

c

Solide formé de deux pyramides isométriques à base hexagonale c=

AT : 1 965,6 mm2

6

Quelle est la hauteur du gratte-ciel ci-contre, sachant que l’aire de sa surface latérale est de 27 120 m2 ?

Curi sité On évalue la durée moyenne de construction d’un gratte-ciel de 100 à 150 m de haut à 2 à 3 ans. Situé à New York et haut de 381 m, l’Empire State Building a, quant à lui, été construit en 1 an et 45 jours !

h

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

48 m

65 m

Les solides

Géométrie

269

7

L’aquarium de Rana est composé d’un prisme à base rectangulaire et de deux demi-cylindres. Elle doit remplir son aquarium d’eau aux 78 de sa hauteur. L’aire latérale de l’aquarium est d’environ 3 070,8 cm2.

h 30 cm

20 cm

Trouve le niveau de l’eau dans l’aquarium de Rana. Arrondis ta réponse au dixième près.

Réponse :

8

Margot achète un paquet de boîtes de mouchoirs enveloppé d’une pellicule de plastique. Le paquet a la forme d’un prisme à base rectangulaire. La pellicule de plastique a une supercie de 1,019 2 m2. Une boîte de mouchoirs a une supercie totale de 854 cm2. Combien de boîtes de mouchoirs y a-t-il dans le paquet ? Emballage de boîtes de mouchoirs

Boîte de mouchoirs 0,4 m 0,84 m

10 cm 21 cm

Réponse : 270

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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9

Un chauffe-eau a la forme d’un cylindre. Boris veut remplacer le petit chauffe-eau de sa maison pour un modèle plus grand. Les deux modèles de chauffe-eau ont des bases isométriques.

h AT=(11 362,5π) cm2

155 cm

Il faut 11 362,5π cm2 de métal pour fabriquer le grand modèle de chauffe-eau. Trouve la hauteur du nouveau chauffe-eau de Boris.

45 cm

Réponse :

10 Vanessa a repeint sa remise en bleu. Elle a appliqué une couche sur toutes les surfaces, sauf la porte et les deux rectangles qui forment le toit. Elle a eu besoin de 3,12 L de peinture. Sachant que 1 L de peinture couvre 10 m2, trouve la hauteur totale de la remise de Vanessa.

1,6 m 0,9 m

1,8 m

h 2,4 m

4,5 m

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Les solides

Géométrie

271

11 Dans son jardin, Félicia a un bac à eurs qui a la forme du solide ci-dessous. Elle désire coller des carreaux de céramique sur la surface latérale extérieure du bac. Voici le format des carreaux de céramique qu’elle veut acheter. 15 cm 90 cm

90 cm h

45 cm

15 cm

45 cm 45 cm

Sachant que l’aire latérale du bac à eurs est de 10 800 cm2, trouve la hauteur du bac à eurs et le nombre de carreaux de céramique que Félicia doit acheter.

Réponse :

12 Les deux boîtes suivantes ont la même aire totale. Quelle est la hauteur de la boîte 2 ?

10 cm

Boîte 1 12 cm

Boîte 2

12 cm

6,5 cm 7,5 cm

Réponse : 272

Géométrie

Chapitre 7 — Section 7.3

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Exercices

supplémentaires

Questions à réponses courtes Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs. À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous droits et réguliers.

Section 7.2 1

Pour chacun des solides suivants, trouve l’aire latérale, l’aire d’une base et l’aire totale. Conserve le symbole π dans ta réponse lorsque cela s’applique. a)

b)

c) 45,48 cm

8 cm

7 cm

14 cm

9,2 cm

AL=

AL=

AL=

Ab=

Ab=

Ab=

AT=

AT=

AT=

d)

e) 4,33 cm

21,65 cm

25 cm

7 cm f)

1 cm

2 cm 5 cm

5 cm

AL=

AL=

AL=

Ab=

Ab=

Ab=

AT=

AT=

AT=

Section 7.3 2

Pour chacun des solides suivants, trouve la mesure manquante. a)

? cm

4 cm

3 cm

7 cm

b)

c) 6 cm

? cm

? cm

3,5 cm

2 cm

AT=92,78 cm2

AL=40,18 cm2

AT=(8π) cm2

c=

a=

h=

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Les solides

Géométrie

273

Questions à développement Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.

Section 7.1 3

Simon veut réutiliser le patron d’une boîte cubique pour découper les faces d’une pyramide régulière à base carrée. Quel pourcentage de carton ne sera pas utilisé s’il découpe la plus grande pyramide possible ?

Section 7.2 4

15 cm

Un fabricant de tasse à café hésite entre deux emballages en carton : une boîte cubique et une boîte cylindrique, ayant toutes les deux une hauteur de 15 cm. a) S’il veut utiliser la boîte dont la surface est la plus petite, laquelle doit-il choisir ? b) Combien de carton économisera-t-il au minimum ?

5

Yasmine veut vaporiser un produit imperméabilisant sur le toit de sa tente. Une bouteille couvre 9,3 m2 et se vend 109,99 $, plus les taxes de 15 %.

2,07 m

1,74 m

Quel sera le coût total de l’achat du produit imperméabilisant ?

1,7 m

2,82 m

Section 7.3 6

Deux chandelles en forme de prisme à base hexagonale et de cylindre ont la même hauteur et la même aire latérale arrondie au centième près.

35 cm

Si le cylindre a un diamètre de 22 cm et une hauteur de 35 cm, quelle est la mesure du côté de l’hexagone ?

7

Quelle est la hauteur d’un pion en forme de prisme à base triangulaire dont l’aire totale est de 348,85 cm2 ?

? cm 16,97 cm

12 cm

274

Géométrie

Chapitre 7 — Exercices + supplémentaires

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Retour sur le chapitre 7 À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous droits et réguliers.

Questions à choix multiples

2

3

4

Parmi les afrmations suivantes relatives au prisme à base hexagonale, laquelle est fausse? a) Ce solide est un polyèdre.

b) Ce solide a 12 sommets.

c) La surface latérale de ce solide est composée de six rectangles isométriques.

d) Ce solide a une seule base hexagonale.

Qui suis-je ? Je suis un polyèdre qui comprend un apex et dont la surface latérale est formée de six triangles. a) Un prisme à base hexagonale

b) Un prisme à base pentagonale

c) Une pyramide à base hexagonale

d) Une pyramide à base pentagonale

Que calcule-t-on à l’aide de la formule 2πrh ? a) L’aire latérale d’une pyramide

b) L’aire latérale d’un cylindre

c) L’aire latérale d’un cône

d) L’aire latérale d’un prisme

Parmi les développements suivants, lequel correspond au solide ci-contre ?

a)

5

RETOUR

1

b)

c)

d)

Parmi les solides ci-dessous, lequel correspond au développement suivant ? a) Un prisme à base rectangulaire b) Un prisme à base triangulaire c) Une pyramide à base rectangulaire d) Une pyramide à base triangulaire

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Les solides

Géométrie

275

Questions à réponses courtes 6

Observe le prisme à base rectangulaire ci-dessous. Ses bases sont bleues et sa surface latérale est jaune. Colorie les rectangles de son développement de la même couleur.

7

Pour chacun des solides suivants, trace le développement en indiquant les mesures précises. Trouve ensuite l’aire totale du solide. a)

RETOUR

1,4 cm

1 cm

1 cm

AT= b) 23 mm

17 mm

AT ≈ 276

Géométrie

Chapitre 7 – Retour

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8

Pour chacun des solides suivants, trouve la mesure manquante. a)

18 cm c

AL : 216 cm2

c=

b) a

17 cm

c)

a=

RETOUR

AL : 1 742,5 cm2

h 2,5 m 2,5 m

AT : 112,5 m2 9

h=

Trouve l’aire totale du solide suivant. 9,1 cm

8 cm

5 cm

ahexagone : 4,3 cm

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AT=

Les solides

Géométrie

277

Questions à développement 10 Rafael désire emballer un bâtonnet de fromage qui a la forme d’un cylindre. Sachant que le diamètre du bâtonnet est de 12 mm et que sa hauteur est de 150 mm, quelle est la quantité minimale de pellicule de plastique nécessaire ? Arrondis ta réponse à l’unité près.

AT= 11 Stéphane a une tente en forme de pyramide à base octogonale. Il veut commander une toile protectrice et désire connaître la surface minimale dont il a besoin pour recouvrir la surface latérale de sa tente.

RETOUR

Combien de mètres carrés de toile Stéphane doit‑il commander au minimum ?

2,7 m

1,5 m

aoctogone : 1,81 m

AL=

12 Un organisme de charité utilise le conteneur suivant pour amasser des dons. Le conteneur est fait d’un prisme à base carrée surmonté d’un tronc de pyramide à base carrée. Trouve l’aire totale du conteneur. Arrondis ta réponse au dixième près. 6,75 dm 8 dm

17,5 dm

18,4 dm

AT= 278

Géométrie

Chapitre 7 – Retour

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13 Gaël doit appliquer deux couches de peinture aux quatre pieds de sa table, ainsi qu’à la surface latérale et au dessus de la table.

3,4 m 1,5 m 3 cm

Les pieds de la table ont un diamètre de 9 cm et la table a une épaisseur de 3 cm.

125 cm

RETOUR

Si un pot de peinture couvre 8 m2, de combien de pots de peinture Gaël a-t-il besoin ?

Réponse : 14 Cédric a construit une pyramide à base carrée avec de la pâte à modeler. L’apothème mesure 85 mm et l’arête de la base mesure 72 mm. La hauteur de la pyramide mesure 77 mm. Il coupe la pyramide en deux parties isométriques pour obtenir un rectangle à la base. Trouve l’aire totale de la moitié de pyramide ainsi obtenue.

77 mm 85 mm

72 mm

Réponse : Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.

Les solides

Géométrie

279

15 Le diamant du pendentif de Léa a la forme d’un icosaèdre (20 triangles équilatéraux). Sachant que l’aire totale du diamant est de 34,64 mm2 et que la hauteur d’une des faces triangulaires est d’environ 1,73 mm, trouve le périmètre d’une des faces de ce solide.

RETOUR

Réponse :

16 Anouk a un gâteau de forme cylindrique dont le diamètre est de 24 cm. Elle coupe une part qui représente le huitième du gâteau. Elle recouvre ensuite de glaçage tout le reste du gâteau, incluant la pointe formée par la part coupée. La surface à glacer est de 1 205,6 cm2. Quelle est la hauteur du gâteau ?

Réponse : 280

Géométrie

Chapitre 7 – Retour

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17 Alexandre a plusieurs pièces de 0,25 $. Il les range dans des tubes de forme cylindrique pour pouvoir les échanger ensuite contre des billets de 10 $. Chaque pièce de monnaie a une épaisseur de 1 mm. L’aire latérale d’un tube est d’environ 29,68 cm2. Alexandre est certain que le diamètre d’une pièce de 0,25 $ est d’au moins 30 mm. A-t-il raison ?

RETOUR

Réponse :

18 Le bassin du parc municipal doit être réparé an d’éviter des fuites d’eau. On estime qu’environ 35 % de la surface totale du bassin nécessite des travaux de maçonnerie. Quelle est la surface du bassin qui doit être colmatée ? Arrondis ta réponse au mètre carré près. Vue du dessus (Intérieur du bassin) 4,2 m 2,8 m

1m

6,5 m 3,4 m

1m Vue en perspective 1,25 m 6,5 m

4,2 m

Réponse :

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Les solides

Géométrie

281

Situation d’application Le collectionneur Florent collectionne les timbres, les pièces de monnaie et les roches. Il range ces différentes collections dans des boîtes cylindriques. Ces boîtes sont à leur tour placées dans un coffre en bois. Florent veut peindre les boîtes cylindriques de différentes couleurs pour les identier. Le tiers des boîtes seront peintes en rouge, le sixième en jaune et le reste en vert. Un pot 0,6 m de peinture couvre 8 m2. Florent va appliquer deux couches de peinture sur chacune des boîtes.

30 cm 30 cm

1,2 m 0,9 m

Si le coffre est rempli au maximum de sa capacité, de combien de pots de peinture de chaque couleur Florent a-t-il besoin ?

Réponse

282

Situation d’application

Le collectionneur

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CHAPITR E

L’homothétie et les gures semblables

8

SOMMAIRE Rappel ...............................................................................284 8.1 L’homothétie et ses propriétés .............................286 8.2 Les gures semblables ..........................................292 8.3 Périmètres et aires de gures semblables ........298 Exercices + supplémentaires ...............................305 Retour sur le chapitre 8 ..........................................307 Le mobile suspendu (CD2)....................................314

Dans sa cuisine, Magali veut recouvrir une surface avec des tuiles de céramique mesurant chacune 10 cm sur 5 cm. La surface à recouvrir mesure 100 cm sur 40 cm. Si Magali double les dimensions de la surface, doit-elle aussi doubler le nombre de tuiles nécessaires pour la recouvrir ?

Réponse :

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L’homothétie et les gures semblables

Géométrie

283

Rappel Les gures isométriques et les éléments homologues • Des gures isométriques sont des gures qui ont la même forme et les mêmes grandeurs. Elles sont parfaitement superposables. • Les côtés ou les angles homologues de gures isométriques sont les côtés ou les angles qui se correspondent. Les deux quadrilatères suivants sont isométriques. On écrit : ABCD ≅ EFGH. F

RAPPEL

Astuce On peut repérer les éléments homologues de deux gures géométriques à l'aide de leurs caractéristiques ou de leur position sur la gure.

G A

B

E

D

C H

Les angles homologues sont : ∠ A et ∠ E, ∠ B et ∠ F, ∠ C et ∠ G, ∠ D et ∠ H. Les côtés homologues sont : AB et EF, BC et FG, CD et GH, AD et EH.

Les proportions • Une proportion est une égalité entre deux rapports.

Astuce

• Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. C’est la propriété fondamentale des proportions.

12 31

1

=

144 372

Consulte la page 35 pour faire un retour sur les proportions.

 12∙372=31∙144

Observe les gures isométriques ci-contre. Trouve les angles ou les côtés homologues demandés.

4 464=4 464

4 cm

A

D

a) ∠ C :

B 11 cm

b) FG :

5 cm

5 cm

6 cm

F

6 cm G

E 11 cm

4 cm H

c) AD : C

d) ∠ H : 284

Géométrie

Chapitre 8 — Rappel

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2

Pour chacune des paires de gures suivantes, trouve les angles et les côtés homologues. a)

I

N 49° 79°

M

52° 79° 49°

52°

J

K

L

Angles homologues : Côtés homologues : b)

A

1,8 cm

2 cm

B′ 1,8 cm

B

D

1,7 cm

1,4 cm

A′

1,4 cm

2 cm

C

1,7 cm C′ D′

Angles homologues : Côtés homologues : S

2 cm 130°

O 1,4 cm P

1,6 cm R

137° 1,6 cm Q

1,7 cm W

V 1,6 cm 130°

1,7 cm

U 1,4 cm

RAPPEL

c)

T

X

Angles homologues : Côtés homologues : 3

Trouve le terme manquant à l’aide de la propriété fondamentale des proportions.

a)

2 = 5

d)

135 = 495

330

165

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b)

e)

15

1 255

= 44

c)

= 251

f)

60

290

23

= 184

520

1 431

= 106

L’homothétie et les gures semblables

159

Géométrie

285

8.1 L’homothétie et ses propriétés L’homothétie • Une homothétie est une transformation géométrique qui permet d’associer une gure initiale à une gure image à partir d’un centre, O, et d’un rapport, k, k ≠ 0. • La gure image est un agrandissement, une réduction ou une reproduction exacte de la gure initiale.

Astuce

Le rapport d’homothétie • Le rapport d’homothétie, k, s’obtient en établissant le rapport des distances entre le centre d’homothétie, O, et deux points homologues. k= distance entre le centre, O, et un point image, A′ = distance entre le centre, O, et un point initial, A

et L’homothétie de centre O . de rapport k se note : h(O, k)

m OA′ m OA

k=

m OA′ 5,2 . Donc, k= =2 2,6 m OA

5,2 cm

On peut trouver le rapport d’homothétie en calculant le rapport de m OA′ à m OA.

2,6

Le triangle A′B′C′ et le triangle ABC sont associés par une homothétie de centre O.

cm

A′

A

B′

C′

B C

O

Il faut savoir qu’on utilise : • un rapport positif (k>0) lorsque la gure image et la gure initiale sont situées du même côté du centre d’homothétie O ; • un rapport négatif (k1 ou k