Sammlung und Auflösung mathematischer Aufgaben [Reprint 2018 ed.] 9783111485911, 9783111119243

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Sammlung und Auslösung

Machemattscher Aufgaben von

K. H. Schellbach, Professor -er Mathematik am König!. Friedrich - Wilhelm- - Gymnasium und an der Königl. Kriegs-Akademie ju Berlin.

Unter Mitwirkung des Dr. H. Lieber

bearbeitet und herausgegeben von

C. Fischer, Dr. phil.

Mit acht Figurentafeln.

Berlin. Druck und Verlag von Georg Reimer.

1863.

Vorwort. 9lt§ früherer Schüler

des

hiesigen Königlichen Friedrich.

Wilhelms-Gymnasium und später als Mitglied des mit dieser Anstalt verbundenen Königlichen

mathematischen Seminares,

hatte ich Gelegenheit, die Unterrichtsmethode des Herrn Pro­ fessor Schellbach genauer kennen zu lernen.

Ich übernahm

daher gern den Auftrag desselben, die wichtigsten mathemati­ schen Probleme, wie sie von ihm in den letzten Jahren in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-Wilhelms-Gymnasium vorgetragen wurden oder theilweise erst beim Unter­ richte entstanden, in Gemeinschaft mit dem Herrn Dr. Lieber zu bearbeiten und sie auch für weitere Kreise zugänglich zu machen.

Der Herr Dr. Lieber

Zusammenstellung Schellbach

indessen, welcher

die erste

der in den Heften des Herrn Professor

enthaltenen

Aufgaben übernahm,

trat

in Folge

eines Rnfcs an das Gymnasium zu Pyritz aus dem mathe­ matischen Seminare und wurde auf diese Weise verhindert, die Arbeit mit mir zum Abschluß zu bringen. Die nun von mir vollendete, vorliegende Sammlung möchte für den mathematischen Unterricht vielfach von

Nutzen sein

können, indem sie zahlreiche Probleme enthält, die sowohl das Interesse der Schüler erwecken und fesseln, als auch bei der Eigenthümlichkeit der Auflösungsmethode die mannigfaltigsten Anwendungen des Erlernten gestatten.

Die schon früher von

mir bearbeiteten Maximum- und Minimum-Aufgaben*) sind dabei in vieler Beziehung als Ergänzung der vorliegenden Sammlung zu betrachten. Berlin, im December 1862. E. Fischer, Dr. phil. *) Mathematische Lehrstunden von K. H. Schellbach. Lehre vom Größten und Kleinsten. Dr. phil.

Aufgaben aus der

Bearbeitet von A. Bode und E. Fischer,

Berlin bei Georg Reimer, 1860.

Inhaltsverzeichnis Erste Abtheilung. Die quadratischen Gleichungen. 1.

Seitr

Die allgemeine Auflösung der quadratischen Gleichungen

....

1

$. 2.

Gleichungen mit einer Unbekannten, die fich auf quadratische Glei­

§. 3.

Reciproke Gleichungen mit einer unbekannten Größe

§. 4.

Quadratische Gleichungen mit zwei unbekannten Größen

§. 5.

Gleichungen mit zwei Unbekannten, deren Auflösung auf reciproke

§. 6.

Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten................................................40

§. 7.

Gleichungen, deren Auflösung durch Einführung von KreiSfunkticnen

chungen zurückführen lasten..........................................................................7 .

.

H

....

19

Gleichungen führt..........................................................................................31

vereinfacht wird.......................................................................................... 53 Zweite Abtheilung. Geometrische und physikalistze Aufgaben. Erstes Kapitel.

Aufgaben aus der ebenen Geometrie.............................. r 64

Dreiecks-Aufgaben 1—9.

Vierecks-Aufgaben 10—14.

gramm-Aufgaben 15—21. Monde des Hippokrates 23b.

Parallelo­

Vermischte Aufgaben 22 — 23.

Die

Die Malfatti'sche Aufgabe in der

Ebene und auf der Kugel 24.25.

Kreisaufgaben, die auf trans­

scendente Gleichungen führen 26—35. Zweites Kapitel.

Ausgaben aus der Stereometrie.......................................... 119

Ausgabe aus der Projektionslehre 1. und die Pyramide betreffend 2—3. aufgabe 10.

Aufgaben, das Prisma Cubaturen 4 — 9.

Kegel­

Inhaltsverzeichnis

VI

Sette

Drittes Kapitel.

Aufgaben aus der sphärischen Trigonometrie

Dreiecks-Aufgaben 1—9.

....

140

Der Legendre'sche Satz 10.

Viertes Kapitel. Aufgaben aus der angewandten Geometrie und Astro­ nomie .......................................................................................................150 Höhenbestimmungen 1—5. Pothenot'fche Aufgabe 6. Verschie­ dene Entfernungsbestimmungen 7 — 11, darunter die Hanfen'fche Aufgabe 10. Astronomische Aufgaben 12—19. Fünftes Kapitel.

Aufgaben aus der Mechanik und Physik....................... 181

Allgemeine Aufgaben, die Bewegung betreffend 1 — 3. BillardAufgaben 4. 5. Ausgaben, den Schwerpunkt betreffend 6. 7. Ausgaben über den Stoß und das Gleichgewicht materieller Mas­ sen 8—14. Die Theilgestalt des Meteoreisens 15. Die Barometerformel 16. Hydrostatische Aufgaben 17—20. Aufgabe aus der Akustik 21. Aufgaben aus der Optik 22—30. Anhang. Reihenentwicklung der einfachsten transscendenten Funktionen....................... 233

Erste Abtheilung.

Die quadratischen Gleichungen. §. 1. Lieber die allgemeine Auflösung der quadra­ tischen Gleichungen. Die für den Unterricht zweckmäßigste Auflösung der Gleichun­ gen zweiten Grades ist die, welche auf der Zerlegung des TrinomS: x* + 2ax + d

in lineare Faktoren beruht. Man hat nämlich identisch: x* -f- 2ax + b = x‘ + 2ax + a* — a* -j- b = (x + a)* — (a* — b) = (i + a + /a*— b) (x + a — Va* —b)„

Diese Zerlegung führt nun nicht allein unmittelbar zur Auflösung der quadratischen Gleichung: x* + 2ax + b = 0,

sondern sie liefert unter andern auch sofort den gemeinschaftlichen Faktor, welchen zwei Trinome etwa haben können. Das Aufsuchen dieser gemeinschaftlichen Faktoren ist für den Schüler eine sehr nütz­ liche Uebung und ein Mittel, das oft bei Umformung algebraischer Ausdrücke angewandt werden kann. Hat man z. B. den Bruch: B _ x2 — 8x + 12 x*—10x+ 24'

so ergiebt sich durch Zerlegung des Zählers und Nenners in Fakto­ ren ersten Grades: B

(x ~ 6) (x - 2) (x — 6) (x — 4)

x—2 4

X —

2

Erste Abtheilung.

Ebenso findet man: x* + 7x -f- 6 _ x -f 6 x* + 8x + 7 — x + 7 und: x* + 2x-15 x — 3 x* — 3x — 40 x — 8 Hat man ferner die Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten: (1) x* + 2ax + b == 0 aufzulösen, so erhält mau durch dieselbe Zerlegung der linken Seite aus der gegebenen Gleichung die folgende: (x + a — yV — b) (x + a + yV — b) = 0. Ein Produkt verschwindet aber, wenn irgend einer seiner Faktoren verschwindet. Um also alle Werthe von x zu erhalten, welche die Gleichung befriedigen, muß man sämmtliche Faktoren einzeln — 0 setzen. Damit ist aber die Auflösung der einen quadratischen Glei­ chung auf die zweier Gleichungen ersten Grades zurückgeführt. Man erhält schließlich aus denselben die bekannten Wurzeln: x — — a + /a1 — b. Aus diesem Resultate lassen sich nun unmittelbar die Folgerungen ziehen: 1) Eine jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln, welche entweder beide reell oder beide imaginär sind. 2) Hat man eine quadratische Gleichung in die Normalform (1) gebracht, so ist die Summe ihrer Wurzeln: xi + x2 = ~ 2a, und das Produkt derselben: x, • x2 = b. Die letztere Eigenschaft der Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man benutzen, um einige einfachere Gleichungöshsteme mit den beiden Unbekannten x und y aufzulösen. Es sei gegeben: x+y = a und: xy — b. Die beiden Größen x und y müssen dann nach dem Vorigen die Wurzeln der quadratischen Gleichung: z* — az -j- b = 0 sein, weil dieselben in der That die Eigenschaft besitzen, daß ihre

Die quadratischen Gleichungen.

3

Summe — a und ihr Produkt — b ist, und sie somit die gegebenen Gleichungen erfüllen, durch welche x und y allein bestimmt waren. Es ist also:

wobei aber in jedem zusammengehörigen Werthpaare von x und y der Quadratwurzel entgegengesetzte Vorzeichen zu geben sind. Die Gleichungen: x—y = a xy = b lassen sich ganz ähnlich auflösen, wenn man — y als die eine un­ bekannte Größe betrachtet. Man kann die Gleichung (1) auch dadurch auflösen, daß man ihre Wurzeln in der Form von unendlichen Kettenbrüchen darstellt. Allerdings kann hier die Convergenz oder Divergenz des Ketten­ bruches nicht untersucht werden. In vielen Fällen ist diese Entwick­ lung auch für die numerische Berechnung nicht ohne Vortheil, indem die unendliche Ausdehnung des Kettenbruches keine größere Schwie­ rigkeiten darbietet, als die ebenfalls unendliche Operation der Berech­ nung einer irrationalen Quadratwurzel. Man kann sich also in der That der Kettenbruchentwicklung zuweilen bedienen, um schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bis zu einem gewissen Grade der Genauigkeit aufzufinden. Hat man die Gleichung aufzulösen:

“ ^ a + in ins.

Die andere Wurzel ergiebt sich, wenn man die aufzulösende Glei­ chung auf die Form bringt: x (x — a) — b = 0,

oder, wenn man durch x — a dividirt: b a—x b b a a + b ■—. r 1 a + in ins.

Hat man z. B. die Gleichung: x* — 20x — 2 — 0,

so ergiebt sich: 9

x — 20 4-

20 +

= 20 +

2 20 + 2 ’

1 10

+

1

20 + —----1 10 + 20 + in ins,

Die Näherungsbrüche sind: 20 10' 201 Nimmt man:

201 '

2020

u. f. w.

201 2020 ' so giebt dieser Werth die Wurzel schon bis auf 7 Decimalstellen genau. Man überzeugt sich auch durch Vergleichung der gefundenen Werthe leicht, daß dieselben alle Eigenschaften der Wurzeln der qua­ dratischen Gleichung besitzen. x — 20

Die quadratischen Gleichungen.

5

Sind aber in der Gleichung (1) die Koefficienten a und b mehrziffrige Zahlen, wie z. B. irrationale Größen mit vielen Decimalstellen, so ist die algebraische Form der Wurzeln, die wir bisher allein betrachtet haben, nicht für die numerische Berechnung bequem, selbst wenn man sich der Logarithmentafeln bedienen wollte. In diesem Falle ist es Vortheilhaft, trigonometrische Funktionen, welche in gewisser Weise von den Koefficienten a und i) abhängig sind, als Hülssgrößen einzuführen. Hat man nämlich die Gleichung zweiten Grades: (1) x* + 2ax -f b = 0 aufzulösen, so führe man für die Unbekannte x einen unbekannten Winkel y ein, welcher durch die Gleichung bestimmt ist: (2) tgiy/b" = x. Durch Substitution von y in (1) ergiebt sich: b tgiy1 + 2a /b tg ig> -f b = 0, oder: Vb

a

2 t gjy l + tg*y*’ — sin y.

Ist nun Vb < a, so ergeben sich aus dieser Gleichung zwei reelle Werthe von y, welche zwischen 0 und 360° liegen, und welche sich zu zwei Rechten ergänzen, so daß die beiden Wurzeln unter der Form: x, — y b~ tg |y, xz = ybcotiy erscheinen. Ist hingegen yb > a, so sind beide Wurzeln imaginär. Die Vortheile, welche die soeben durchgeführte Substitution für die logarithmische Berechnung bietet, liegen auf der Hand, indem die Resultate überall in der Form von Produkten erscheinen. Die Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades läßt sich noch auf die von Gleichungen niederen Grades zurückfüh­ ren. Es ist aber sehr beschwerlich, Polynome, wie sie in diesen

6

Erste Abtheilung.

Gleichungen auftreten, so umzuformen, daß sie, wie die Trinome der quadratischen Gleichuügen, unmittelbar in Faktoren ersten Gra­ des zerfallen. Die Gleichungen fünften und höheren Grades sind sogar über­ haupt nicht mehr algebraisch auflösbar, und es ist im Allgemeinen nicht möglich, ein Polynom höheren Grades in ein Produkt von Faktoren niederen Grades zu verwandeln. ES giebt indessen höhere Gleichungen besonderer Art, deren Auflösung durch verschiedene Kunst­ griffe auf die Auflösung von Gleichungen zweiten Grades zurückge­ führt werden kann, und von denen in den folgenden Paragraphen verschiedene Gruppen behandelt werden sollen. Bei den Umformungen, welche dabei erforderlich sind, werden bisweilen fremde Faktoren in die Gleichung eingeführt, deren Wur­ zeln sich dann mit den eigentlich gesuchten vermischen und Werthe ergeben, welche der gegebenen Gleichung nicht genügen. Ein einfa­ ches Beispiel wird dies klar machen. Um z. B. die Gleichung auf­ zulösen: x —7 — /s+2x = 0, macht man dieselbe rational, indem man sie mit dem Faktor: x- 7 + yl 2x multiplicirt. Man erhält dadurch die quadratische Gleichung: x* — 16x + 48 = 0, welche die Wurzeln liefert: x, = 12

und: x2 — 4. Der gegebenen Gleichung genügt aber nur die Wurzel x, —12, während die andere xt = 4 durch den Faktor x — 7 + yi + 2x eingedrungen ist, also keine Bedeutung für die gegebene Gleichung hat, wenn der besondern Natur der Aufgabe nach Vl + 2x als po­ sitive Größe betrachtet werden muß. Hätte man nach der gewöhn­ lichen Methode die Wurzelgröße auf die andere Seite gebracht und dann quadrirt, so wäre offenbar das Resultat ganz dasselbe geblie­ ben. Es ist dies ein für die Auflösung der Gleichungen wesentli­ cher Punkt, auf den wir in den vorkommenden Fällen aufmerksam machen werden.

Die quadratischen Gleichungen.

7

§. 2. Gleichungen höherer Grade mit einer Unbe­ kannten, die sich durch Substitution auf quadratische Glei­ chungen zurückführey lassen. Zu den einfachsten Gleichungen höherer Grade, deren Wurzeln durch eine einfache Substitution mit Hülfe einer quadratischen Glei­ chung zu finden sind, gehören die, welche die Gestalt haben: x2n -s- 2axn b = 0, wo n irgend eine ganze oder gebrochene Zahl sein kann. Betrachtet man nämlich nicht x selbst, sondern x" — z als die zu bestimmende Größe, so hat man für z die Gleichung: z* + 2az -j- b = 0, also:

_____ z — x" = — a + yV — d,

mithin: x — }/— a + i/a4 — b. ES sind damit die 2n Wurzeln der gegebenen Gleichung gefunden, da, wie aus der Theorie der Wurzeln bekannt ist, jede nte Wurzel auch n verschiedene Werthe hat. Nach dieser Methode lassen sich die folgenden Gleichungen lösen: 1) x4 + 1225 = 74x8, x — +7 oder = +5. 2) 3x6 + 42x3 = 3321, x, — y/27, x3)

x2 — — j/il.

/x + 2/x —8 = 0, x, — 16, x, — 256. ly = 9. 34) x’+y* + xy(x+y) = 68, x3+y3-3x* = 12 +3y*. (X = 4 .x — 2 iy = 2, ly = 4. 35) (x3+y‘)(x3 + y3) = 455, x-fy = 5. 15 + /-309 6 ,x —3 ,x-2 i5+/^3ö9 iy = 3. 6 ' 35a) (x‘+y3)(x3 + y3) = a, x+y = b. Substituirt man zur Abkürzung: )/_ 6b 3+3 /25b1 + 24(^P) = R, so ergiebt sich: jX = |(3b±R), ly = l(3b+R). 36) x3 — y* = a, xy — b. , -,/« + /a* + 4p x = ± s — 2 ----- , y = , |/a + /aj+4b3 37) x* + y*+x—y = a, (x34 y3)(x —y) = b. Man bestimmt zunächst x* + y* und x — y. Setzt man alsdann: l/4(a + b)-2a3+(4 + 2a) /+^4b = R,

25

Erste Abtheilung.

26 so findet man schließlich:

x = i(a + /a2—4b + R), y — |(—a+ya2—4b + R).

x*—18 = x(4y —9). zx = 3, 3

(X = 6 ly = 3,

*-y = b.

32

Erste Abtheilung. X

1

Subsljtuirt man — - - und setzt dann z4— = u, so nimmt die y z erste Gleichung die Form an: — a—2 — 0. Setzt man also zur Abkürzung /4a4-9 — R, so erhält man: -14-R und: z = - = i{—l±R + /2(2a-3 + R)|. Mit Hülfe der zweiten gegebenen Gleichung folgt endlich: 4b . , Y -5±R + /2(2a-3 + R)’ * +Y' 2) xy24-xy8 = a, x4-xys = b. Dividirt man mit der ersten Gleichung in die zweite, so ergiebt sich die reciproke Gleichung: i-y+y,-y3+y4 = yy*. Setzt man y4-— = z, so findet man daraus für z die quadrati­ sche Gleichung: *

z* —z

a 4~ b « — — 0.

Also wird, wenn man /«(da4-4b) —R substituirt: a+ R 2a Z~

AuS z ist dann aber der Werth von y und also auch der von x ohne Schwierigkeit zu entwickeln. 3) xy4-xy9 = a, x-s-xy'-s-xy* — b. Durch Division der zweiten Gleichung durch die erste findet man: i+y*+y4 __ l> y(i4-yz) a' oder, wenn man auf der linken Seite mit y* hebt, und alsdann y+y = z substituirt:

Die quadratischen Gleichungen.

33

a Setzt man endlich y^a'-f-b* — R, so folgt schließlich: y = -L{b + R ±y'2(-6a*+b*± bR)} a x y(i+y*)‘ Die folgenden Gleichungen dieses Paragraphen werden nach ein und derselben Methode aufgelöst. Substituirt man nämlich in die­ selben y = xz und dividirt dann die beiden gegebenen Gleichungen durch einander, so verschwinden aus der resultirenden reciproken Gleichung x und y, während z als einzige Unbekannte darin bleibt. Nachdem man alsdann die Brüche linker Hand mit den gemein­ schaftlichen Faktoren, welche etwa darin enthalten sind, und der ent­ und:

sprechenden Potenz von z gehoben, kann man immer z + -^- oder auch /z +-L = u substituiren und diese neue Unbekannte mit

Vz Hülfe einer quadratischen Gleichung bestimmen. Indem man als­ dann denselben Weg rückwärts macht, findet man z und schließlich aus einer der gegebenen Gleichungen x und somit auch y. 4) (x+y)(x*+y,) = a, x34-y* = b. Die Gleichung für z wird die folgende: l-{-z-\-zz-\-z3 __ a T+P b Hebt man mit z* und setzt z* + z ' — u, so ergiebt sich: u*—2 a üi^3-"b"’ so daß:

5) (x+y)(x3-y») = a, Scheltbach Aufgaben.

(x-y)(x3+y3) = b. 3

34

Erste Abtheilung.

Man erhält ganz analog, nachdem man mit x—y gehoben:

/- , 1 , V3aVz+^=a==±i-^= b

—b

6)

(x+y)(x3 + y3) = a,

x4+y4 = b.

ES folgt für u die Gleichung:

u* — 2 + u u* —2

a b ’

also:

U_ 7)

b + j/8a3-16ab + 9b3 2(a-b)

(x+y)(x3 + y3) = a,

(x-y)(x3-y3) = b.

Man findet:

u*—2 + u _ a u* — 2 —u b und:

_________________

8)

a + b + /9a‘—14ab+9b* U~ 2(a-b) (x* + y‘) (x3 + y3) = a, (x + y)(x4 + y4) — b.

Die Gleichung für u wird die folgende:

u4 — 5u* + 6 _ u4 — 4u*+2

a

also:___________________________

„ _ 4_ n/4a - 5b + ^8al- 8ab + b‘ ~I 2(a —b) 9)

(x+y)(x‘4-y‘) = a,

(x—y)(x4 —y4) = b.

Es ergiebt sich:

u4—4u*+2 a u4 — 6u* + 8 “T* u = + i/3a — 2b + ya3—2ab + 2b' — ' a —b 10) (x+y)(x4+y4) = a, x5+y6 = b. Man erhält:

Die quadratische» Gleichungen.

11)

(x* + y,)(xs+y3) = a,

35

(x3 —y*)(x3—y3) = b.

1/5(a — b) + - 10b + i? 2(a —b)

a~±V 12)

(x — y)3 (x3+y") (x4—y4) = a, u=

13)

x8—y8 — b.

(b ±/(b-a)3+a3).

(x*+y3) (x4 — y4) = a,

(x3-y3)(x4+y4) = b.

Nachdem man mit x3 —y3 gehoben, ergiebt sich für u die Gleichung: ir a u3 —2 b ’ also:

14)

(x3+ y3)(x3 + y3) = ax"y",

(x3 — y‘)(x3 —y3) = bxnyn.

Für z findet sich derselbe Werth, wie unter (11). daraus mit Hülfe der gegebenen Gleichungen:

Man erhält

2—5

x _ |/(1 + Z,)(1 +z*) ' und: T

^/z"-ä(l+z3)(l + z3)

15) (x3+y3) (x4+y4) = a (xn + y"), (x3—y3) (x4—y4) — b(x” + y“). Man findet: 2(2a — b) und: n—6

/(1 + Z3)|(1 + Z4)

r

a(l + zn) z») y — zx.

' n__

n_

16) . (x+y)(x3 + y3)(x3 + y3) = a(ct/x +/S/y), x6 + y6 = b(«)/x + /?/y). 3*

Erste Abtheilung.

36

Man erhält: iV + u —2 u'-3

b '

also: b+i/12a‘ —20ab + 9b‘ 2(a —b)

und schließlich: X =

a (. Hat man nun aus (6) einen Winkel A = q>+if> gefunden, welcher zwischen — y und + y liegt, so folgt aus (7): a cos(A — , oder: b — acosA asinA Durch Vertauschung von a mit b erhält man ebenso: a—bcosA tgi// = bsinA Der Gleichung (6) genügen aber außer dem Winkel A noch eine un­ endliche Reihe von Winkeln, welche sämmtlich in der Form ent­ halten sind: A-s-n?r, wenn man unter n irgend eine ganze, positive oder negative, Zahl versteht. Es liefert aber nur der Winkel Azwei neue Werthe von

=

Erste Abtheilung.

56

b + acosZ asin X

tg

2)

1 —xy

=

x-y

= b.

Vi 4-xVi+y* Quadrirt man die beiden Gleichungen, so ergiebt sich, wenn man: x* + y1 = u

und:

xy — v

setzt: u+2v — a*(l — 2v + v‘), u-2v = b*(l+u + v4). Eliminirt man u, so erhält man für v eine quadratische Gleichung, welche die Wurzeln liefert: v—

(l + a3)(l-b4) + l + /(l + a4)(l-b4) a*—b*—a’b*

Da ferner: u = a4(l —2v + v4) — 2v ist, so können x und y ohne Schwierigkeiten gefunden werden. Um die gegebenen Gleichungen trigonometrisch aufzulösen, setze man: x = tg«,

y = tg/r. Die erste der gegebenen Gleichungen geht dann in die folgende über: (3) a = tg(a+ß). Die andere hingegen nimmt die Form an: (tg a — lgß) cos a cos ß — b, oder: (4) b = sin(a—ß), ES kann also aus (3) und (4) mit Hülfe der trigonometrischen Tafeln a+ß und a—ß unmittelbar gefunden werden. Der Winkel

Dir quadratischen Gleichungen.

57

a-f-/J tütn, welcher zwischen 0 und n liegt und der Gleichung (3) genügt, werde mit

_ x

und:

2

Nimmt man zunächst an k = 0, so ergeben sich die Wurzeln: x

= tg(* + yrc),

y

= tg(M+y^),

in welchen noch für n alle ganze Zahlen zu setzen sind.

Es genü­

gen aber offenbar schon die Werthe: n=0

und:

n — 1,

da man für sämmtliche andere ganze Zahlen nur dieselben Wurzeln x und y wiedererhalten würde. Man findet demnach die Werthpaare: x — tgA und:

y = tg/u,

und:

y — tgGw+i^) — — cot/t.

x — tg(A+T?r) — —cotA

Substituirt man zweitens für k den Werth 1, so wird:

58

Erste Abtheilung.

und:

= tg(x + ^7r). Auch diese unendliche Reihe von Wurzeln reducirt sich auf zwei, welche man erhält, wenn man n—0 und n —1 substituirt. Nämlich: x — tg(/it+|7r) — — cot n y = tg(A.—\n) = — cotA,

und:

x = tg(/M+nr) = tg/« y = tgl

und:

Sämmtliche andere ganze Zahlen, welche noch für k eingesetzt wer­ den könnten, würden stets wieder dieselben Resultate liefern. Es sind somit überhaupt wieder vier Wurzelpaare gefunden, welche den oben bei der algebraischen Auflösung erhaltenen entspre­ chen.

Allerdings erfüllen, wenn man für die Quadratwurzeln in

den gegebenen Gleichungen ein bestimmtes Vorzeichen voraussetzt, nur entweder die ersten oder die letzten zwei Paare die obigen Glei­ chungen.

Da aber die Quadratwurzeln ihrer Natur nach zweideu­

tige Größen sind, so kann man die sämmtlichen erhaltenen Werthe, als richtige Wurzeln betrachten.

3)

Vergleiche §. 1 Schluß.

^±! = a, y—x

xy — 1 yi+xVi+y*

= b.

Auch diese Gleichungen lassen sich auf rein algebraischem Wege auf­ lösen.

Setzt man nämlich, wie in der vorhergehenden Nummer: xi+yli = u

und:

xy = v,

so erhält man, wenn man die gegebenen Gleichungen quadrirt: v*-f 2v-fl — a*(u —2v) und:

v,-2v+l = b2(l+u+v*).

Also, wenn man u eliminirt: v* + 2

a’b’+b’ + a' aV-f b* —a5

v + l=0,

Die quadratischen Gleichungen.

59

oder:

a + bi/l+a" V~ a + bi/T+V* Hat man mit Hülfe von v noch u bestimmt, so ergeben sich daraus vier Werthpaare der Unbekannten x und y. Um die Gleichungen mit Hülfe von Kreisfunktionen aufzulösen, setze man:

— cot«, y — cot/?. X

Die gegebenen Gleichungen nehmen alsdann die Form an:

cot («—/?) — a cos(a+/?) = b.

und:

Sind also